Квант 1980, №4 · Страницы

КВАНМ
4
1980

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ВЕНЕРА-5
ВЕНЕРА
МАЙ 69
ЗЕМЛЯ
ЯНВ.69

СОЛОВ СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ НАУК СССР

1870-1980

1

В НОМЕРЕ:

110 лет со дня рождения В. И. Ленина
2 Великий ученый и мысленель
6 М. Барская. Ленин и школа
10 С. Вавилов. Ленин и физика
15 А. Колмодоров. Диалектко-материалистическое мировоззрение в школьных курсах математики и физики

---

19 М. Смолянский. Умножение … точек на плоскости

Лаборатория «Кванта»
23 В. Майер. Оптические опыты с глазом

Matематический кругхок
26 С. Алексадров. Измельчающесу узоры

Задачик «Кванта»
30 Задачи М616—М620; Ф628—Ф632
32 Решения задач М562—М565; Ф573, Ф574, Ф576, Ф577

«Квант» для младших школьников
37 Задачи
38 Н. Михайлов. Плоды «просвещения»

Практикум абитриента
40 И. Мельник. Где расположено основание высоты?
44 Е. Кузнецов. Фотоаппарат на вступительных экзаменах
48 С. Кротов, И. Мельников, Л. Михеева, Ю. Нестеренко. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Искусство программирования
54 Ю. Первин, А. Салтовский. Память ЭВМ

Информация
59 А. Виленкин. ХVI лингвистическая олимпиада

61 Шахматная страница
62 Ответы, указания, решения
Наша обложка (26, 43)
Смесь (58)

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1980

2

В. И. Ленин произносит речь на Красною площади в день празднования 1-ой годовшины Великой Октябрьской Социалистической революции.

Великий ученый и мыслитель

110 лет отделют нас от дня рождения Владимира Ильича Ленина — вдохновитель и руководитель поворотного события всемирной истории — Великой Октябрьской социалистической революции, создателя первого государства рабочих и крестьян.

Социальism и коммунизм строятся на научной основе. И в эту научку внес огромный вклад В. И. Ленин. Он глубоко и вессторонне разработал вопрос о роли научки в строительстве социалистического и коммунистического общества.

Ленин уделял огромное внимание развитию молодой советской науки. По его указанию в первые годы Советской власти были созданы многие научные центры, получившие затем всемирную известность. Среди них упомянем созданные в Петрограде Физiko-технический, Оптический, Радиевый и Физiko-mатематический институты, Центральный аэрофридинамический институт в Москве, специальную радиолабораторию в Нижнем Новгороде (Горьком).

Величее геняя характеризуется способностью предвидеть будущее развития событий. Этот способностью Ленин обладал в полной мере. Так, научный анализ развития событий в России в 1917 году позволил Ленину почти с математической точностью определить момент совершения социалистической революции. Его знаменитые слова: «Промедление в восстановии смерти подобно» были не просто фразой, а точной формулировкой, результатом глубокого анализа конкретной политической ситуации.

Труды геняльных ученых характеризуется еще и тем, что они с течение времени не только не отражают своего значения, а, наоборот, служат основой для дальнейшего развития идеи, заложенных в этих трудах. Так было с трудами Ньютона, Максвелла, Эйнштейна. Это в еще большей степени относится к работам Ленина. И хотя нас отделяет от

3

момента его смерти более полувека, вся последующая история нашей Родины, вся последующая мировая история явли бы беспорядные доказательства бессмертия ленинского учения. Прав был Владимир Маяковский:

«Ленин
и теперь
живее всех живых —
наше знань,
сила
и оружие.»

Жизнь и дейтельность В. И. Ленина служат для всех советских людей ярким примером мужственного борбы за самые высокие и светлые человека идеалы. Его научное наследие является неисчерпаемым источником вдохновляющих идеей. Отсюда — живое, неподдельное внимание к каждому событию, связанному с именем Владимира Ильчца, естественное желание пронIKнуть в сутку каждого ленинского высказывания.

Читательям «Кваната» особенно интересно и важно познакомиться с неокоторыми мыслями В. И. Ленина, касающимся математики и физики, подробнее узнать о фактах его биографии, связанных с этим научами.

Matematika и физика пользовались в семье Ульяновых больше всего. Прежде всего это объяснялось тем, что отец В. И. Ленина — Илья Николаевич Ульянов — учился на физико-mатематическом факультете Казанского университета и потом долгие годы преподавал математике в гимназии. С уважением и теплой И. И. Ульянов вспоминал выданное государя русского математика Николая Ивановича Лобачевского, который во время его учебы был ректором Казанского университета. Лобачевский учтко отнесся к молодому студенту и даже рекомендовал привлечь его к работе на meteorologicalской станции — делу, по тому времени, сложному и ответственному. По свидетельству Анны Ильничны Ульяновой-Елизаровой, старший секретарь В. И. Ленина, «почти благоговейное отношение к науке» отличало Илью Николаевича всю жизнь и с детства внутривесь всем в семье Ульяновых.

Илья Николаевич Ульянов много времени уделял занятым с детьми и, в частности, постоянно старался глубже разъяснять им уроки физики и математики, знакомил с астрономическим и физическим приборами, ставил интересные опыты. В доме Ульяновых увлекались составлением и решением острумных логических задач, математических головоломок, игрой в шахматы, что безусловно способствало развитию строости мышления у детей. Большое влияние на Володю Ульянова оказал и его старший брат Алексадр, который с детства проявлял незаурядные математические способности и училися на естественном отделении физико-mатематической факультета Петербургского университета.

В гимназии Володю Ульянов учили отлично. Один из его товарищей впоследствии вспоминал: «Мы часто не могли разобрать во всем заданном. Тут на помощь и приходил Владимир Ильчц. Он любил заниматься математикой…». Помимо обязательных занятий математикой, Володя Ульянов принимал активное участие в гимназическом математическом кругжке, где решал трудные задачи и даже сам их составлял. В июне 1887 года он блестяще сделав выпускные экзамены (в том числе три экзамена по математике) и был нагружен — один из всего выпуска — золотой медалью (в 1921 году Ленин передал эту медаль в фонд помощи головающим).

В воспоминаниях о В. И. Ленине есть многочисленные свидетельства о том, что он проявлял большой интерес к математике. Например, летом 1887 года он встречался и подолгу беседовал с Г. Н. Шебуевым, который читал лекции по математике в Казанском университете. Не однажды Шебуев с увлечением уверял, что Владимир Ильчц непреемно следует поступить на математический факультет, что у него «определенно математичен»

4

тический склад ума». Однако, несмотря на свои успехи в математике, В. И. Ленин решил продолжать образование на юридическом факультете. «Теперъ такое время; нужно изучать науки права и политическую экономию. Может быть, в другой время я избрал бы другие науки…», — писал он сам.

Избрав путь профессионального революционера, В. И. Ленин прекрасно понимал, что основную теоретическую задачу русских марксистов — углубленный анализ общественного строя России и выявление роли различных классов в революции — можно решить только на твордой основе кропотливого изучения фактов и точного анализа цифр, характеризующих русскую действительность. Поэтому одновременно с углубленным изучением идеи марксизма он начал усиленное занимается статистической науки, используемой математической методы для количественного выражения закономерностей социально-экономических процессов.

В. И. Ленин был крупнейшим представителем экономического и социальной статистики. С его именем связан новый этап в теории и практике экономического статистики, в ее приложении к социологии. Он мастерски умел пользоваться статистическими данных и постоянно подчеркивал необходимость их систематического использования для углубленного исследования социальных явлений. Им был выдвинут целый ряд принципальных положений о приемах и способах статистической обработки данных, о точности цифрового анализа, о соответствии конкретного и абстрактного в статистике. Количество описание характеристик массовых социально-экономических явлений, производящих в обществе, В. И. Ленин всегда рассматривал в первые годы прослеживается мысль о том, что цифры, статистический материал должен наглядно раскрыватьrealное положение вещея в экономическом и политическом жизни, в классовой борьбе, должны служить убедительным доказательством того или иного конкретного вывода.

Ленин впервые ввел в социальную статистику понятие функции распределения, которое лежит в основе физической статистики. Это и позволяет ему в работе «Развитие капитализма в России» опровергнуть идею народников об особом пути развития России и научно обосновать утверждение о том, что она, как и многие другие страны, идет по капиталистическому пути. Этот же метод Ленин успешно воспользовался в работе «Империализм как высшая стадия капитализма», где он предсказал неизбежность распада мировой колональной системы. Это генциальное предвидение осуществляется на наших глазах.

Основополагающие мысли В. И. Ленина по методологическим вопросам статистики не потеряли своего значения и в нашей время, хотя математический аппарат статистики сегодня гораздо более развит, чем это было на рубеже XX века. Превосходные образцы критики В. И. Лениным субъективизма, ненawyности, физиизация чисел в полной мере относится к тем буржуазным исследователям, которые, прикрываясь местной цифр, сознанательно изврашает действительные факты, формирование использования статистические сведения, строят математические модели, игнорирующие связи, причинность и источники изменений в обществе.

Среди огромного числа ленинских произведений нет ни одного, где бы исследовалось конкретное физическое явление. И тем не менее влияние В. И. Ленина на развитие физики трудно переоценить. По существу, Ленин заложил научные основы физиосфии и методологии этой науки в своей знаментийной работе «Материализм и эмпирикритизм».

В конце XIX — начале XX века в центре внимания естественногоателей и философов находилось большое число экспериментальных фактов, неукладывающихся в привлечные рамках физических представлений (открытие радиоактивности иRENTеновских лучей, создание теории относительнойности и открытие вытекающей из этой теории зависимости массы электрон-

5

на от его скорости). Ряд крупных ученых того времени утверждали, что эти экспериментальные факты отражают объективность внешнего мира или, по крайней мере, объективность наших знаний об окружающей нас мире и его явлениях. Создавая «Материализм и эмпирикритизм», Ленин поставил перед собой цель — показать ошибочность подобных взглядов, вскрыть социальные и гносеологические корни физического идеализма, указать верный выход из кризиса физики, продемонстрировать справедливость диалектко-materиалистического подхода в физике и математике.

В. И. Ленин видел кризис физики «в отсутствии… от прямого решенияного и бесповоротного признания объективной ценности» физических теории. Одну из принцип идеализма в физике он усматривал в успешни связи физики (и вообще естественного) с математкой. Обладая чрезвычайно умозрительным, абстрактным характерам, математика создает предпосылки для возникновения рассматривать математические абстракции как существующие самостояльно, в полном отрыве от реального действияности, независимо от нее. Отсюда и возникло идеалистическое решение основного вопроса физиофии теми учеными, для которых «то остraintство, что эти физики ограничивают свою теорию системой уравнения, есть опровержение материализма; уравнения и все тут, никакой материи, никакой объективной реализации, одни символьы… «Материя исчезает», остаются одни уравнения».

И в нашей дни, в период бурного процесса математизации знаний, особое значение имеет указание Ленина о том, что вопрос, отделяющий материализм от различных идеалистических направлений, состоит не в том, каким “функциональным соответствием” можно математически описать причины связи и другие категорий различных наук, «…a в том, является ли источником нашей позиции этих связей объективная закономерность природы или свойство нашего ума». Человек, несомненно, поздает закономерности, существующие в природе объективно, вне нашего сознания.

Философские идеи В. И. Ленина благотворно влияют на всю современную науку, они стали прочным идеологическимfundamentом физики наших дней. Это является еще одним подтверждением генциального предвиждения В. И. Ленина, сделанного семьдесят лет тому назад, о том, что «Современная физика лежит в родах. Онарожает диалектический материализм». Сейчас можно утверждать, что роды состояния именно в таком виде, как это предвидел Ленин.

Советские учены свято чут заветы В. И. Ленина. Выступая на торжественное заседании, посвященном 250-летнему юбилею Академии наук СССР, Генеральный секретарь ЦК КПСС Л. И. Брежнев сказал: «Советский ученный, если, разумется, это подлинно советский ученный, во всей своей научной деятельности исходит из научного мировозрения маркзима-леннизма, является активным борцем за дело коммунизма, против любых сил реакции и мраковесия». Нет сомнения, что и те юные читатели нашего журнала, которые со временем придут в большеную науку, с естею оправдают высокое значение советского ученного, будут успешно служить своему народу, нашей Родине.

Ленин и школа

«Задачи молодежи вообще и союзов коммунистической молодежи и всяких других организаций в частности можно было бы выразить одним словом «Задача состоит в том, чтобы учиться».» Эти слова, произнесенные В. И. Лениным на III Всероссийском съезде Российской Коммунистического Союза Молодежи 2 октября 1920 года, являются ключевыми для понимания отношения молодого Советского государства во главе с В. И. Лениным к делу образования. Мысли о необходимости образования народных масс были высказаны Владимиром Ильчом еще задолго до победы революции… Конец прошло века. Повальные адресы и объявы выводят из строя марксистские кругжи. А в дальнейй сибирской ссылке молодой революционер, который еще нет и трудится, пишет о невозможности построения нового общества без коренного изменения старой школи, набрасывает план создания новой системы образования.

Прошло время. В стране восторжествовала Великая Октябрьская социалистическая революция. Власть перешла в руки народа. Наступили геронческие годы борбы и создания. На всех фронтах власть罢ченная борба с интервентами и белогвардейскими бандами. Повсюду были разруха и голод, не хватало топлива и электрозергини. Но даже в это трудное для страны время В. И. Ленин считал необходимым, в качестве первогореferенной задачи, поднять вопрос о создании новой системы молодого образования.

На II Всероссийском съезде советов 26 октября 1917 года было на-

7

В. И. Ленин и Н. К. Крупская средние крестьян деревни Кашино в день открытия сельской электрической станции.

мечено создание комиссариата просвещения, а 9 ноября того же года был принят Декрет Государственной комиссии по народному образования. Было создано 15 отделов народного образования. Среди них отделы по введению всеобщей грамотности, внесколного воспитания, школьной медицины и гигиены, школьного строительства, технических школ и политического образования. Ленин пишет: «Наше дело в области школьной есть та же борба за свержение буржазии: мы открыто заявляем, что школа вне жизни, вне политики — это ложь и мещанство»*).

Под руководством Владимира Ильчча работники комиссариата просвещения проводили большую работу в области строительства новой школи. Ленин недократно указал на важность и сложность этой работы, всяческие старались предостеречь своих соратиков от ошибок и перегибов. Владимир Ильчч постояно говорил о необходимости умелого использования культурного наследия старого строй.

В эти годы ленинские положения о школе были организациино закреплены в «Положении об Единой трудовой школе РСФСР» от 30 сентября 1918 года.

Статья 1. Всем школа Российской Социалистической Федеративной Советской Республики, состоящим в ведении Народного комиссариата по просвещению, присваивается наименование «Единая трудовая школа».

Статья 2. Единая школа разделяется на 2 ступени: 1-я — для детей от 8 до 13 лет и 2-я — от 13 до 17 лет.

Статья 3. Обучение в школе 1 и 2 ступеней бесплатное.

Статья 5. В школе 1 и 2 ступеней вводится совместное обучение.

Статья 6. Преподавание в стенах шкoles какого бы то ни было верующия и исполения в школе обрядов культа не допускается.

• В. И. Ленин. ПСС, т. 36, с. 77.

В. И. Ленин — гимназист.

8

обучения с производственным трудом молодого поколения*)》.

Говоря о том включает, который внес внес В. И. Ленин в дело народного образования, нельзя не остановиться на его отношении к народному учителью. Эта тем с детства близка Владимиру Ильчу. Отец В. И. Ленина И. И. Ульянов более 50 лет своей жизни отдал делу народного образования, и его отношение к народному учителью не могло не сказаться на взглядах Владимира Ильчча. В. И. Ленин поимал, что нельзя создать новую школа без завоевания учительства на сторону Советской власти. В ноябре 1917 года был создан Союз учитель-интернациональныхов. Ленин одобрял и всячески его поддержал. На I Всероссийском съезде учитель-интернациональныхов он говорил о том, что «задача новой педагогики — связать учительскую деятельности с задачей социальстической организации общества**).

Еще не раз будет Владимир Ильч образаться к этому вопросу. «Народный учитель должен у нас быть поставлен на такую высоту, на котором бы никогда не стоял и не может стать вбургузном обществе. Это — истина, не требующая доказательства. К этому положению дел мы должны идти систематически, неуклонной, настоящий работой и над его духовным подъемом, и над его всесторонней подготовкой к его действительному высокому званнию, и главное, главное и главное, над подняемем его материального положения» — пишет В. И. Ленин в статье «Странички из дневника»*) (январь 1923 года).

Нет вопроса, связанного с народным образованиям, который бы не волновал Владимира Ильчча. 16 августа 1921 года В. И. Ленин подписывает декрет СНК «О порядке издания учебников». Он заботится о том, чтобы библиотека страны были снабжены новейшей научной и технической зарубежной литературой.

Для восстановления народного хозяйства необходимо было подготовить значших специалистов из рабочих и крестьян. Чтобы привлечь молодежь в высшие учебные заведения, нужно было создать новую школу. 2 августа 1918 г.

*) В. И. Ленин. ПСС, т. 2, с. 185.
**) В. И. Ленин. ПСС, т. 36, с. 420.

9

В. И. Ленин подписал декрет «О приеме в высшие учебные заведения РСФСР» и «Постановление СНК о приемуществном приеме в высшие учебные заведения представитель пролетариата и беднейшего крестьянства». Следующим шагом на пути привлечения трудящихся в высшие учебные заведения было «Постановление СНК о рабочих факультах», принятое 17 сентября 1920 года.

Рабфаки сыграли огромную роль в преобразования высшей школи, пополив взовские аудитории рабочими и крестьянами.

Все меры, принятые для перестройки системы образования, были направлены на то, чтобы воспитать молодых специалистов, которые с большим подъемом примут за востановление народного хозяйства и экономики, добьются успехов в социальистической науке, литературе и технике. Выступая на III Всероссийском съезде Российской Коммунистического Союза Молодежи 2 октября 1920 года, В. И. Ленин сказал: «Только преобразуя коренным образом дело учения, организиating отдельные отделения.

Выступая на XXV съезде КПСС, Л. И. Брежнев сказал: «Очевидна необходимость дальнейшего сервисного совершенствования всей общеобразовательной системы и, в первую очередь, средней школи. В современных условиях, когда объем необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, уже невозможно делать главную ставку на условия определенной суммы фактов. Важно прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации. Тут насжет большая работа. Конечно, работа осмотрительная, вдумная, без ненужной ломки или поспешных решений. Что здесь требуется? Видимо, и лучшие подготовки преподавателей, и приведенные сами методов обучения в соответствии с требованиями жизни, и обеспечение школьных современными учебными пособиями, в том числе наглудными»**).

*) В. И. Ленин. ПСС. т. 41, с. 301.
**) Материалы XXV съезда КПСС (М., Политизdat, 1976), с. 77.

10

С. Вавилов

Ленин и физика

Сопоставление имени В. И. Ленина и физики не случайно и не искусственно. Великий теоретик и практик социальизма, Ленин, точно так же как Маркс и Энгельс, не мог пройти mismo физики. Среди прочих естественных наук физика занимает центральное место — положение штаба, получающего сведения о периодии и посылающего свои итоги-директивы обратно на периодию. Абстракция по существу, но опирающаяся на опыт и наблюдение, физика всегдаствие своей общности служит естественным научным основанием одновременного философии и техники. Так было во время Ахимеда, Ньютона, Максвелла, и это совершенно очевидно в новой физике.

Борьба за физicoю диалектического materialизма, продолжаяся Ленинным, всегда за Марксом и Энгельсом, с неизбежностью должна была развиваться на материале этапов новой физики. С другой стороны, как величайший политический дейтель, создавший социальisticое государство, В. И. Ленин необходимо должен был встретиться с физкой как основной техники.

Коренная техническая персетройка страны требовала прежде всего укрепления научного, физическогоFundamenta, и, конечно, не случайно в самом начале революции,

11

В момент исключательно тяжелого состояния промышленности, ранее, чем много другие другие, были учреждены большие физические научно-исследовательские институты в Москве и Петрограде и при живом учасии В. И. Ленина было предприятого широкое физическое обслуживание Курской магнитной аномали *).

До его времени, по-видимому, еще не обработаны документы, конкретно обрисовывающие организацию роль В. И. Ленина в развитие советской физики. Значительно больше известно относительно взглядов Ленина на физку в связи с анализом основных маркстской физики. Книга «Материализм и эмпириокритиизм», опубликованная еще в 1909 году в Москве, на всем своем значительном протяжении касается физики и физков, а предпоследняя ее часть «Новейшая революция в естествознании и физофский идеализм» специально посвящена физике начала XX столета.

Эпоха опубликования «Материализм и эмпириокритиизм» была исключательно направленной для физики во всем мире. В эти годы на неожиданных фактах радиоактивности, на явлениях газовых разрядов и на удивительных свойств света создавалась «новая физика». Строились первые варианты теории атомов, уточнялось понятие об электроне, шли споры о существовании положительного электрона. В это время сформирован принцип относительной отпутнувший свой необъчноностью многих самых смелых, и возникла теория квантов, встречная в штыки почти со всех сторон, начиная от ее создателя — М. Планка. Это была эпоха фактического крушения классического физики, когда заколыхались ее, казалось, навеки несокрушными устон — ньютоновская схема абсолитного пространства и времени, постоянство массы и непрерывность действия.

Факт зависимости массы электрона от скорости казался совершенно сокрушительным для «матери» классического физики… Еще несколько лет спустя после опубликования книги Ленина, в 1911 году, в речи на втором менеджевском съезде профессор Н. А. Умов так характеризовал положение дела: «Последующее развитие физики есть процесс против Materials, окончившийся ее изгнанием. Но рядом с такой отрицательной деятельности tekla работа формирования электромагнитной смвольки: она должна быть оказаться способной к изображению свойств материалов мира, его atomистического строя, инерции, излучения и поглощения энергии»*).

В этой речи встречался восклиния, на которые несколькими годами раныше были направлены стрелы «Материализм и эмпириокритиизма». «Не пора ли изгнать материалы?… Материя исчезла, ее развитиености заменены системами родственных друг друга электрических индуктивов, и перед нами рисунется вместе привчного материалов глубоко отличный от него электромагнитный**). Нет сомнения, что для Н. А. Умова как физика электромагнитный мир был объективным миром, что под «исчезновением материалов» мыслилось только исчезновение ньютоновской постоянной массы. Но не так воспринимались эти luzунги физофами и физофствующими естественными естественнымиателими. «Исчезновение материалов》 считалось эксperиментальным. Доказательством крушения материалов».

*) В настоящее время Курская магнитная аномали стала одним из основных источников железной руды в нашей стране. (Применение редакции.)

*) Н. А. Умов. Социнния, т. III, с. 408.
**) Там же, с. 403—404.

12

В. И. Ленин у карты ГОЭЛРО.

Разрушая основные представления классического физики, являющиеся вместе с тем привчными образами веняочного мышления, развивающимся у каждой человека в результате обиденного опыта, новая физика порывал в несколько пунктах свозможностью представить себе процессы наглядно, на моделих. По словам Великого представителя классического, механического физики В. Томсона: «Истинный смысл вопроса: понятие ли мы, или мы не понятие физического явление? — свойство к следующему: может ли мы построить собственную механическую модель, или нет?». Новые факты были, однako, и оставется теперь в этом смысл неопонятными. При таком положении дела на известной fase развитиявозможен единственный путь создания физической теории — математическое описание найденных законов и дальнейшая экстраполяция полученных математических форм вплоть до нового опыта, подтверждающего экстраполяцию.

Комбинируя опытные данные и математические формы и опираясь на классический схему, современный физик строит свою теорию. Но на этом неизбежном пути чрезвычайно легко увлечется по ложному следу.

«Крупный успех естественногония, — пишет Ленин, — приближение к таким однородным и простым элементам материи, законы движения которых допускают математическое обработку, порождает забвение материи математики. «Материя исчезает», остаются одни уравнения. На новой стадии развития и, якобы, по-новому получается страя кантинская идея: разум предписывается законы природа»*).

Крах механического мироозерцания и громадный рост математической символьки увлекали физков либо в сторону упорного, упрямого непризнания новой физики, безнадежных попыток механического объяснения немеханических явлений,

*) В. И. Ленин. ПСС, т. 18, с. 326.

14

тину мира, как движущейся материи》*). Этот ясный и простой анализ устраняет все мистические туманы, грезившие на пути развития новой физики. Сегодняший «физический» идеализм «…означает только то, что одна школа естественного спыпателей в одной отрасли естественного скатилась к реакционной философии, не сумев прямо и сразу подняться от metaфизического материализма к диалектическому материализму. Этот шаг делает и сделает современная физика, но она идет к единственному верному методу и единственному верной физической естественной не прямо, а загазами… Современная физика лежит в родах. Онарожает диалектический материализм**). Таков окончательный диагноз, поставленный Лениным новой физике.

Книга Ленина, своевременно прочитанная физики, конечно, освооблюдала бы наук от многих последующих воображаемых «кризсов», от тех паничских выводов,

*) В. И. Ленин. ПСС, т. 18, с. 296.
**) Там же, с. 331—332.

примеры которых приводились выше; но «Материализм и эмпирокритизм» по-настоящему, внимательно и много стали читать только после Октябрьской революции, и теперь нет надобности подробно излагать книгу, по которой все Советская страна, в том числе все советские физики, учится диалектическому материализму.

Не утратив для нас и сейчас своего политического значения, «Материализм и эмпирокритизм» по прежнему весба актUALEN для новой физики. Диалектический ход ее стремительного роста, предсказанный Лениным, оправдался с потрясающей убедительностью, и снова, как и прежде, «неприимиримость» новых фактов с привъявным шаблоном, противоречие хотя и несколько усовершенствовавшемся «здравому смыслу» загоняет передко физков в большо идеализма… Дорога диалектического материализма доступна далеко не всем. О ней знают очень многое, но по ней еще надо научиться ходить, ленинский метод должен быть применен к конкретной работе…

15

Диалектко-материалистическое мировоззрение в школьных курсах математики и физики

Владимир Ильич Ленину приналлежат слова, в которых выражено первейшее требование к настоящему ученому: «…без солидного философского обоснования никакие естественные науки, никакой материлизм не может выдержать борбы против натиска буржузных идей и восстановления буржузного мирооззрения. Чтобы выдержать эту борбу и провести ее до конца с полным успехом, естественный должен быть современным материлистом, сознаательным стороном того материлизма, который представлен Марксом, то есть должен диалектко-mатериалистческое мировоззрение. Эти слова в полной мере относятся к юным читателем «Кванта», любительям физики и математики: их задача состоит не только в том, чтобы накапливать конкретные научные факты и знания, но и в том, чтобы воспитывать в себе диалектко-mатериалистческое мировоззрение. Вопросы, входящие в школьные курсы математики и физики, дают достаточно много возможностей для того, чтобы на элементарном уровне познакомиться с материалистическим понятием научных проблем, с элементами диалектического мышления.

О некоторых из этих вопросов рассылается в докладе академика А. Н. Колмогорова, прочитанном в 1977 году на IV плену Ученого методического совета Министерства просвещения СССР. Ниже приводится (с незначительными сокращениями) текст этого доклада. Хотя доклад не предназначался для школьников, мы уверены, что он запитует и их.

Обсуждая диалектко-mатериалистческое мировоззрение в школьных курсах математики и физики, я хочу сделать ударение на более трудной стороне дела: на знакомстве с элементами диалектического мышления. К обсуждению этой темы обычно относятся с некоторым недоверием, так как часто разговор о диалектике остается очень поверхностным.

Например, ссылаются на то, что по словам Энгельса, с появлением в математике переменных величины в математике вошли движение и диалектика. Отсюда делают вывод, что раннее введение переменных в современных учебниках является достинением в смысле внедрения диалектики в школьную математику. При этом забывают о том, что переменная в этих учебниках трактуется просто как буква, вместе которой можно поставить наименование любого элемента некоторого множества. Диалектика здесь kroется глубже — за этим формальным определением. Ее понимание требует развернуть исторического подхода к делу.

Я хочу на конкретных примерах проплодировать свою мысль.

1. Вы все хорошо знаете дифференциальное уравнение показательного роста или убывания («Алгебра и начала анализа 10», п. 110)

$$f'(t) = kf(t),$$

в краткой записи

$$y' = ky.$$

В качестве первого примера в учебнике приводится радиоактивный распад вещества: $f(t)$ обозначает количество распадающего вещества, сохранившего к моменту времени $t$. Здесь коэффициент $k$ отрицательен. В виде второго примера с положительным $k$ расстоянием рост населения страны на 2% в год. Вот этот второй пример и вызывает у многих недоумение или даже резкий протест. Как же, говоря рецептели математической стороны, дифференцировать функцию, принимающую только целые значения! Возмущение сменяет замещательством после наполнения, что в случае радиоактивного распада речь идет тоже о целом числе атомов, сохранившихся к моменту времени $t$.

Между тем это хорошо повод для того, чтобы подчернуть математическая модель явления; как правило, это явление схематизирует. Поэтому она дает правильные pred-

16

сказания лишь в некоторых пределах (в нашем случае лишь при большой численности населения и для неслишком малых промежутков времени). За этими пределами математическая модель теряет реализный смысл и при ее бездумном применении приводит к ошибочным или бессмысленным результатам.

2. Общеизвестные ставшие классические примеры: ньютоновская механика при обычных земных скоростях объективно правильно отражает realizные явления, но при скоростях, сравнимых со скоростью света, перестает быть применой — приводит к противоречию с опытом. За пределами годности ньютоновской механики действует уже другая — механика теории относительной Эйнштейна. Но крайне важно пропллюстрировать и на более простых примерах этот диалектический процесс перехода от одних моделей, объективно правильных в некоторых пределах, к новым. Разберу подробно один пример из механики, который я разбирал со школьниками в летней школе в Пушино в этом году.

В курсе физики для VIII класса правильно говорится, что во многих задачах достаточно маленькое материальное тело можно считать «материальной точкой» — пренебрегать его размерами. Таким является подброшенный вверх мяч, движущийся по закону

$$z = v_0 t - \frac{gt^2}{2}.$$

Его скорость меняется по закону

$$v = v_0 - gt,$$

аускорение постоянно

$$a = -g.$$

Координата $z$ и скорость $v$ меняются непрерывно. В учебнике говорится, что так и должно быть в общем случае движения материальной точки. Действующие на тело силы всегда конечны. Поэтому конечно иускорение, откуда уже вытекает непрерывность зависимости от времени скорости и координаты $z$. Но на практике мяч, ударившись об пол, сразу меняет направление движения и подпрыгивает вверх. Так как мяч не совершенню упругий, при втором прыжке его начальная скорость будет

$$v_1 = kv_0,$$

где коэффициент $k$ меньше единиццы. Приявив, что коэффициент $k$ постоянен при последовательных прыжках, можно рассчитать вес дальнейший ход процесса. Школьникам было предложено проделать расчеты и нарисовать графики зависимости $z, v$ и $a$ от времени при различных коэффициентах $k$. С этим заданием они справились с местотельно, хотя результаты их очень удивили и вызывали много споров.

Оказалось, что последовательные моменты удалов об пол $t_n$ при расчете $n$ скодятся к конечному пределу $T$: за промежуток времени [0; $T$] происходит бесконечная последовательность подскоков все уменшающееся высоты.

Конечно, эта модель идеализирована; для подскоков на высоту того же порядка, что и диаметр мяча, она не применiza. Но модель вполне реалистична. Быстро ущение моментов удала об пол и полная остановка мяча через время $T$ наблюдается достагоно является простой «на слух». На рисунке представлены схематические графики зависимости $z$ и $v$ от времени $t$.

В момент удала $t_n$ скорость меняется скачком от прицательного значения $-v_{n-1}$ к значению $v_n = kv_{n-1}$. Ускорение все время равно $-g$, за исключением моментов удала $t_n$. В эти моменты мяч получает мгновенные имплульсы конечной величины.

18

3. Общеизвестно, что воспитание научного материалистического мировозрения невозможно без ознакомления учашихся с историей научки и понимания учашимся основных этапов развития науки. Именно из этих сообщений в новую программу по математике введено понятие о простейших дифференциальных уравнений. Изучаются детально лишь три уравнения: равномерно-ускоренного движения

$$y'' = a,$$

гармонических колебаний

$$y'' = -k^2 y$$

и показательного роста или убывания

$$y' = ky.$$

Напомню, что для Ньютона существовали две основные задачи анализа: 1) нахождение по функциям их произвольных, 2) нахождение по соответствием между функциями и их произвольными самих этих функций. Вторая задача и есть задача интеррирования дифференциальных уравнений. Задачу нахождения первообразных Ньютона рассматривал как простой частный случай.

С понятием дифференциального уравнения неразрывно связана вся идеология математического естественного от Ньютона до Лапласа. Общий принцип determинизма Лапласа излагаал, исходя из того, что основные законы природы выражаются в форме дифференциальных уравнений, а их интеррирование позволяет по-настоящему представить будущее. Интеррирование соответствующих дифференциальных уравнений, как известно, представляет собой градинозную задачу, решаемую лишь численными методами. Но ясно представление о задаче дать нетрудно. Без достаточно конкретиного понимания этого этапа развития математического естественного невозможно и понимание дальнейших этапов, появления статистической физики, квантовой физики.

4. Со времени Платона существование чистой математики с ее абсолотно достоверными выводами, выходящими за пределы эмпирической проверки, которая всегда лишь при-

19

М. Смолянский

Умножение…
точек на плоскости

«Умножать точки — разве это возможно? — спроситудивленный читатель. — Ведь умножают (и складывают) числа, а не точки!» Такому читателю легко возразить: во-первых, действительные числа часто рассматривают как точки на числовой оси, поэтому в этом смысле можно умножить точки; во-вторых, в современной математике умножают не то что точки, а почти все что угодно: функции, матрицы, перемещения…

В этой статье мы постараемся показать читатель, как и зачем нужно умножать точки на плоскости. На этом пути мы получим геометрическую модель компликственных чисел и изучим некоторые их свойства. А кроме того, мы показем, что разумно умножать точки в пространстве уже нельзя.

Прежде чем научиться умножать точки на плоскости, будет полезно посмотреть…

Как умножаются точки на прямой
Чтобы сложить две точки на прямой, достаточно функционировать

начало $O$: тогда точки можно складывать как векторы. Если зафиксировать точку $A$ и прибавить ее к каждой точке $X$ на прямой, получим отображение $X \rightarrow X + A$ прямой на себя. Ясно, что это будет параллельный перенос всей прямой на вектор $\vec{OA}$ (рис. 1a). Для умножения нужно еще функционировать единицу $1$: тогда прибретают координаты, и с их помощью точки можно перемножать (как числа); при этом, как легко видеть, умножение всех точек прямой на функсированную точку $A$ — этоометрия с центром $O$, переводящая точку $1$ в точку $A$ (рис. 1, 6).

Определим умножение на плоскости

Прежде всего выясним, какое умножение мы хотим определить на нашей плоскости, в котором уже выбрана числа ось $Ox$ с единицей $1$ (рис. 2). (Заметим, что сложеное точек уже определено: наличие начала $O$ позволяет складывать точки как векторы, по правлу параллелограмма.) Мы, конечно, хотим, чтобы новое умножение совпадало с тем, которое уже есть на оси $Ox$ (мы будем назвать эту ось действительной). Поэтому мы потребуем:

I. Умножение на любую точку $A$ действительной оси $Ox$ естьометрия с центром $O$ и коэффициентом $x$, где $x$ — абсцисса точки $A$.

Но этого, конечно, мало. Нам еще нужно, чтобы наше умножение обладало общными свойствамиарифметических операций. Именно:

II. Умножение ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения, и определено деление на любую точку $A$, отличную от $O$.

Запишем эти свойства более подробно:

Па. Ассоциативность. Для любых точек $A, B, C: A(BC) = A(BC)$.

Рис. 1.

20

Пис. 2.

IIб. Дистрибутивность. Для любых точек $A, B, C$

$$A(B+C) = AB+AC,$$
$$(B+C)A = BA+CA.$$

IIв. Деление (существование обратного). Для любой (отличной от $O$) точки $A$ существует точка $A^{-1}$ также, что

$$A^{-1}A = AA^{-1} = 1.$$

Итак, нам нужно построить операцию умножения на плоскости, удовлетворяющего условиям I и II. Стоп: пока не читайте дальше, а подумайте сначала, как это сделать.

Ну как, придумали? Конечно же, проще всего определить умножение «так же», как для точек на действительной оси. Именно, умножение на точку $A$ — это подобие плоскости, переводящей точку 1 в точку $A$, оставляющей на месте точку $O$ и сохраняющей ориентацию. Наглядно можно себе представить, что мы поворачиваем плоскость около начала так, чтобы луч [О1) совпал с лучом [OA), а затем делаем готовую, переводящую точку 1 в точку $A$.

Ясно, что для такого умножения выполняется условие I.

Уражение 1. Докажите, что выполено также II и, более того, умножение коммутативно.

Преждем чем читать дальше, разберите, как устройо умножение на конкретиные точки, например, $I(0,1)$, $J(-1,0)$, $C(1,1)$.

Естестенно спросят, является ли введенное нами умножение единственным, обладающим свойствами I и II.

Уражение 2*. Докажите, что такое умножение не единственное.

Если это упражнение не будет получаться, то советем вернуть к нему после прочитания дальнейше-то. В следующем же разделе мы выязываем в пространстве?

Как и плоскость, нашей пространство сначала числовой осью $Ox$ с единицей 1; мы будем искать умножение, удовлетворяющей тем же условиям, что и в предыдущем разделе, то есть ответать на такой вопрос: можно ли в пространстве вещецы умножение, удовлетворяющей условиям I и II?

Okрыленные предыдущими условиями, вы скажете: конечно, можно,ритом так же, как раньше: умножение на точку $A$ — это подобие пространства, переводящей 1 в $A$ и $O$ в $O$. Но тут получится небольшая загвоздака:

Уражение 3. Покажите, что при $A$, не лежащей на действительной оси, существует бесконечного много таких подобий.

Какое из них брать? Да возьмем любое, скажет оптимист. На это мы ему возразим, что вряд ли из этого выйдет что-либо путиное: ведь умножения на разные точки должны быть согласованы (так, чтобы выполнялось условие II). Как их согласовать?

Не пробуйте — не получится. Дело в том, что умножения в пространстве со свойствами I и II не существует! Мы доказем это от противного.

Допустим, нам удалось определить неокоторое умножение. Возьмем произвольную точку $X$ вне оси $Ox$ и рассмотрим ее степень $X^2$ и $X^3$ (то есть точки $X \cdot X$ и $(X \cdot X) \cdot X$).

В силу одной из аксиом геометрии, предложенных Г. Вейlem («Геометрия 9—10», с. 234), для любых четырех векторов пространства $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ можно найти такие действительные числа $k, l, m, n$, не все равные нулю, что выполняется равенство

$$k\vec{a} + l\vec{b} + m\vec{c} + n\vec{d} = \vec{0}.$$

Приименим этот факт к четырем векторам, соединяющим точку $O$ с четырьмя точками $1, X, X^2, X^3$; тогда существует действительные числа (в нашей терминологии —

21

Рис. 3.
точки действительной оси) $A, B, C, D$ такие, что выполяется равенство:
$$A + BX + CX^2 + DX^3 = 0$$
(1)

У праванице 4. Объясните, почему $A \cdot 1 = A$.

Теперь нам потребуется следующий факт:
У праванице 5*. Любое уравнение третьей степени имеет действительный корень.
(Если вам трудно решить это уравнение, посмотите «Квант», 1980, № 2, с. 20.)

Обозначим этот корень (точку на действительной оси) через $X_0$; тогда для некоторых чисел (точек на действительной оси) $C', B'$
$$X - X_0) (DX^2 + C'X + B') = A + BX + CX^2 + DX^3.$$

Так как произведение ненулевых сомножителей не может даить нуль (это следует из условия Па, ПВ: если $Q \neq 0$, $P \neq 0$ и $P \cdot Q = 0$, то $0 = 0 \cdot Q^{-1} = P \cdot Q \cdot Q^{-1} = P \cdot 1 = P \neq 0$), одна из этих скобок равна нуль. Так как $X$ — не «действительная» точка, $D \neq 0$ и точки 0, 1, $X$ и $X^2$ лежат в одной плоскости. Расмотрим точку $Y$, не лежащую в этой плоскости (рис. 3).

Рассмотрим четыре точки 1, $X$, $Y$, $YX$, лежащие в пространстве; еще раз применяя (ту же) аксиomy, можно подобрать такие точки $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ на действительной оси, не все равные нулю, что
$$B_1 + B_2X + B_3Y + B_4YX = 0.$$

Иначе это можно записать так:
$$(B_1 + B_2X) + Y(B_3 + B_4X) = 0.$$ (2)

Заметим, что в плоскости, содержащей 0, 1, $X$, есть точка $Y_0$, удовлетворяющая (2).

Рис. 4.
У праванице 6. Запишите ее в виде $C_1 + C_2X$ и найдите $C_1$ и $C_2$, воспользовавшись уравнениям $DX^2 + C'X + B' = 0$.

Но тогда $(Y - Y_0)(B_3 + B_4X) = 0$, откуда $Y = Y_0$, то есть точка $Y$ лежит в той плоскости, вне которой она была выбрана. Противоречие. Нет нужного нам умножения в пространстве!

Для тех, кто знает, что такое четырехмерное пространство, отметим, что в нем ввести умножение (удовлетворяющей условием I и II) можно, но это умножение не будет коммутативным. Это не просто, но по-proбуйте это сделать!

Вернемся теперь на плоскость. Что же мы там получили?

Точки как комплексные числа

Будем считать, что действительная прямая горизонтальная, и рассмотрим вектор единичной длины, торчащий вверх (рис. 4). Обозначим его через $i$. Легко видеть, что $i^2 = -1$. Итак, для плоскости разрешим уравнение $x^2 + 1 = 0$; рассирив действительное прямую до плоскости, мы получили возможность решать уравнение, которое для прямой не разрешимо.

Любую точку плоскости можно записать в виде $a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные точки; сложение и умножение точки, записанных таким образом, задается формулами:
$$(a_1 + ib_1) + (a_2 + ib_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2),$$
$$(a_1 + ib_1) \cdot (a_2 + ib_2) = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + b_1a_2).$$

У праванице 7. Выведите эти формулы из геометрических определений.

22

Рис. 5.

Эти формулы показывают, что наши точки, их сложение и умножение — геометрическая модель компплексных чисел *). Легко получить такой замечательный факт: любое уравнение $AX^2 + BX + C = 0$ (вде $A, B, C$ — точки плоскости и $A \neq 0$) разрезимо — на плоскости существует точка, обращающая его в точдество. На самом деле на плоскости разрезимо любое алгебраическое уравнение (см. «Квант», 1980, № 2, с. 17).

Упражнение 8. Напишите формулу для решения квадратных уравнений на плоскости.

Формулы для корней $n$-й степени

Как вы знаете, для действительных чисел, а значит и для действительной прямой, уравнение $X^n = A$ при $A \neq 0$ и четных $n$ не всегда разрезимо. Причем оно либо не разрезимо, либо разрезимо двух значений. (Например, 1 и —1 в квадрате дают единицу.) Для плоскости сгущения намного изящней: для каждой отличной от нуля точки $A$ у уравнения $X^n = A$, $n$ — натуральное число, существуетровно $n$ корней.

Для того чтобы доказать это, научимся сперва возводить в степени точки, лежащие на окружности $\Gamma$ единичного радиуса с центром в нулей (рис. 5). Эта окружность обладает таким замечательным свойством: произведение двух точек из $\Gamma$ — вновь точка окружности $\Gamma$. В самом деле, умножение плоскости на точку этой окружности — просто поворот с центром в нулей. Поскольку при поворотах единичная окружность,

*) См. «Квант», 1980, № 2, с. 17.

Рис. 6.

как и все другие окружности с центром в нулей, переходит в себя, наше утверждение справедливо. Задно мы получили новый способ записи поворота — как умножения на соответствующее точку.

Тепер ясно, что такое $X^n$ для $X \in \Gamma$. Умножение на $X^n$ — это композиция $n$ поворотов на угол, соответствующий точке $X$, поэтому точке $X^n$ соответствует угол в $n$ раз больший угла $XO1$. Итак, $X^n$ — это точка $\Gamma$, для которого

$$X^n \widehat{O1} = n \cdot X \widehat{O1}.$$

С учетом знака угла точки $X^n$ определяется этой формулой однозначно.

Но теперь понятно и как obtains корень уравнения $X^n = A$, если $A \in \Gamma$: это такая точка $X \in \Gamma$, что

$$\widehat{XO1} = \frac{1}{n} \widehat{AO1}.$$

Ну, а где же общеанные $n$ значений? Оказывается, они спрятаны в этой формуле. Действительно, мы можем определить величины угла $AO1$ с точностью до числа радиан, кратных 2π: углам $\widehat{AO1}, \widehat{AO1} + 2\pi, \widehat{AO1} + 4\pi, \dots$, вообще $\widehat{AO1} + 2\pi k$, где $k$ — целое, соответствует одна и та же точке. А при определении $X$ для разных $k$ получается разные точки. Легко видеть, что получится как раз $n$ разных точек, отвечающих углам величины $\frac{1}{n} \widehat{AO1} + 2\pi \frac{k}{n}$ ($k = 0, 1, \dots, n-1$). На рисунке 6 изображены корни следующей из единиц. Видно, что они образуют вершины правильного семиугольника.

(Окончание см. на c. 29)

23

Оптические опыты с глазом

Экспериментальное исследование

После проведения моделиных опытов и их тщательного анализа (см. «Квант» № 3, с. 19) можно присутствить к экспериментам непосредственно с глазом.

1. Зажигите настольную лампу с матовым колпаком (или какой-нибудь другой протяженный и довольно резко очерченный источник света) и поставьте ее на расстоянии около метра от себя. Перед глазом расположите небольшие плоское зерко-label так, чтобы оно не перекрывал прямых лучей, падающих от лампы на глаз. В зеркале вы увидите изображение лампы на зрачке глаза.

Ясно, что это изображение создано отраженными от глаза лучами. Но почему оно одно? Ведь моделиные опыты показали, что должно быть четые изображения!

Сравним между собой ярости всех возможных изображений. Для этого в формулу для коэффициента отражения света $k$ подставим конкретиные значения показателей преломления роговиццы, водяностой жидкости, хрусталика и стекловидного тела. Получим, что от передней поверхности роговиццы отражается 2,5%, от задней поверхности роговиццы — 0,02%, а от передней и задней поверхности хрусталика — по 0,03% падающего на глаз светового потока. Это означает, что ярость первого изображения приблизительно в сто раз больше ярко-сти остальных изображений. Вот почему в опытно только одно изображение — полученное от передней поверхности света от передней поверхности роговиццы.

Вплотную к глазу приставьте линейку (как показано на рисунке 1) и вместе с линейкой и зеркалом приближайте к лампе (или удаляйте от нее) до тех пор, пока ширина $l_1$ изображения лампы не станет равной, например, 1 мм. Измерьте расстояние $d$ между глазом и лампой и поперечный размер $l$ лампы. По формуле для увеличения предмета $\Gamma = \frac{l_1}{l} = \frac{R}{2d}$ вычислите радиус кивизны $R$ передней поверхности роговиццы.

В одном из наших опытов изменения длины следующего: $l = 120$ мм, $l_1 = 1$ мм, $d = 450$ мм; отсюда радиус кивизны

$$R = \frac{2dl_1}{l} = 7,5$$ мм.

2. В затемненной комнате на расстоянии около polymета от себя посадите партнера и попросите его, не отрываясь, смотреть, например левым глазом, на какой-нибудь предмет, находящейся на расстоянии нескольких метров за вами. Сбоку от его глаза на расстоянии 10—20 см поместите лампочку для карманного фонаря и зажигите ее. Своим правым глазом вы сразу увидите маленькое довольно яркое изображение ниги лампочки на зрачке глаза партнера.

Рис. 1.

24

Рис. 2.

Перемещайте лампочку вверх и вниз, вправо и влево (при этом ваш партнер должен непрерывно смотрить на удаленный предмет, а не водить глазами вслед за лампочкой). При внимательном наблюдении вы заметите в зрачке еще два, правда гораздо более слабых, изображения: большие и меньше по сравнению с первым.

На рисунке 2 схематически изображены зрачки глаза и все три изображения нити лампочки: первые два — прямые, а третье — перевернутое.

Обратите внимание, что при движении лампочки второе изображение перемещается в том же направлении, что и первое, а третье — в противоположном направлении.

Сопоставьте результат этого опыта с результатами модельных экспериментов. Очевидно, что первое — прямое и самое яркое — изображение создается передней поверхности роговицы (как и в предыдущем опыте). Гретье изображение (перевернуть) может быть создано только во нутым зерком, то есть задней поверхности хрусталика. Второе изображение (прямое, как и первое) создается либо задней поверхности роговицы, либо передней поверхности хрусталика. Чем же именно?

Как мы уже говорили, на самом деле в глаза должны быть четые изображения, а в опыте наблюдются только три. Почему? Оказывается, все дело в том, что роговица очень тонка и задняя ее поверхности имеет практические такую же кривизну, как передняя. Следовательно, изображения, создавемые обеими поверхностями, должны находиться очень близко друг от друга. Поскольку яркость изображения, создаваемого передней поверхности роговицы, гораздо больше яркости изображения, полученного от ее задней поверхности, увидеть последнее изображение на фоне первого практического необходимости. Точные изменения показали, что для среднего глаза толщина роговицы составляет 0,5 мм, а радиусы кривизны ее передней и задней поверхности — 7,7 мм и 6,8 мм соответственно. (Сравните первое значение радиуса кривизны с тем, которое вы получили в опыте 1.)

Таким образом, второе изображение нити лампочки (см. рис. 2) обусловлено отражением света от передней поверхности хрусталика. Но от сюда и из того, что третье изображение получается при отражении света от задней поверхности хрусталика, следует, что хрустлик действительно существует!

3. Для проведения следующего опыта нужно предварительно подготовка. На расстоянии 20—30 см от глаза партнера поставьте небольшой предмет (например, белый буражный диск диаметром около 1 см, закрепленный пластином на конце карандаша). Попросите партнера посмотреть сначала на удаленный предмет, затем — на близкий предмет, а сами наблюдайте за его глазом. Если зрачки глаза и оба предмета находятся на одной прямой, при аккомодации глаза партнера сам глаз будет оставаться неподвижным. Постраайтеесь добиться этого, иначе эксперимент оказывается неубедительным.

На деревянной палочке (или карандаше) резиновыми колечками закрепите две лампочки для карманного фонаря на расстоянии 5—10 см друг от друга. Лампочки будут обозначать концы предмета, изображения которого вы будете наблюдать при отражении света от глаза партнера.

Попросите партнера смотрить на удаленный предмет. Перемещая горящие лампочки сбоку от глаза партнера, получите в его зрачке три изображения лампочки. На фотофини, приведенной на рисунке 3, изображены сами лампочки и их изображения, создаваемые роговицы глаза (остальные изображения сфотографировать не удалось, потому

25

му что они слищом слабые). На рисунке 4, а схематически показаны все три изображения лампочек в зрачке.

Теперь попросите партнера посмотреть исследуемым глазом на близкий предмет. Вы увидите, что вторые изображения лампочек, созданные передней поверхности хрусталика, оказываются значительно близке друг к другу (рис. 4, 6). Первые изображения, полученные от передней поверхности роговицы, останутся практическими на том же расстоянии друг от друга, а третьи изображения, созданные задней поверхности хрусталика, слегка уменьшается изображение, созданное передней поверхности хрусталика, слегка уменьшается изображение, созданное передней поверхности роговицы. Отсюда можно сделать вывод: акомодация глаз на более близкое расстояние происходит, в основном, за счет уменьшение

Рис. 3.

Рис. 4.

ния радиуса кривизны передней поверхности хрусталика.

Таким образом, не видя самого хрусталика, вы не только доказали, что он существует, но и выяснили, как он действует.

Аналіз полученных результатов

Подведем итоги. Что же можно доказать, продолжав указанные эксперименты? Во-первых, что в глаза действиялено есть хрусталик. Вовторых, что роговица глаза очень тонкая и кривизна ее обиховистей практических одна и та же. В-третьих, что показатели преломления водяностой жидкости и стекловидного тела очень мало отличия от показателей преломления роговицы и хрусталика. В-четверых, что акомодация глаз обусловлена изменением кривизны поверхности хрусталика.

Заключение

Obviously in zaklочении выполняют то, что обещано во введении. Мы не хотим нарушать результаты.

Сядьте так, чтобы настояная lamпа находилась за вам, точнее — немного в стороне, на расстоянии 1,5—2 м от вашей головы. Перед собой на расстоянии около polymера посадите вашого терпельного партнера. Дайте ему в руку кусок старого зеркала, у которого сдали удален слой защитыной краски и середина с участка диаметром 5—7 мм. Попробите партнера смотрить в ваш глаз через отверстие в зеркальном слое и поворачивать зеркало до тех пор, пока на ваш глаз не попадет отраженный зеркалом свет лампы (вы без труда сумете это зафиксировать). Именно в этот момент партнер и увидит, что сразу вашого глаз светится… красным светом!

26

Измельчающийся узоры

Постотрице внимательно на первую страницу обложки — на ней в правильном пятунгольнике расположен бесконечный набор пятиконечных звезд, измельчающихся к его сторонам. Цель очередного занятия математического кружка — разобраться в этом красивом построении и понять, как можно строить сходные узоры.

Задача о звездной площади

Узор на обложке получен следующим образом:

Рассмотрим правильный пятунгольник, в котором проведены все 5 диагоналей (центральный «черный» пятунгольник на обложке). Концы диагоналей наозем внешними вершинами образовавшейся пятиконечной звезды, а точки пересечения диагоналей, лежащие внутри пятунгольника, наозем внутренними вершинами этой звезды.

К этой звездде (наозем ее звездой нульвого порядка) присоединим 5 подобных ей звездем меньше размера (звезды первого порядка) так, что три внешние вершины каждой звезды первого порядка совпадают с треями смежными вершинами звезды нульвого порядка: двумя внешними и одной внутренней.

Вокруг звездд первого порядка подобным же образом построен после из 15 еще меньших звездового порядка, причем неокторые из этих звезд по необходимости частично рекрывают друг друга, так что у пары таких звезд общими является одна сторона и, кроме того, одна внешняя вершина. Изовем такой фигуру — обведенное двух частично перекрывающихся звезд — двойной звездой.

Вокруг звездд второго порядка точно так же построен после звезды, а тот фон, который не занят ими. Фигура, наполняющая лист дикого винограда или смешного человека с приподнятой шляпой, повторяется многократно во все уменьшающемся размера и притом так, что эти фигуры попарно не пересекаются, а их объединение составляет весь фон. Вокруг каждой такой фигуры можно описать ромб с углом 72° при вершине (рис. 1).

Задача 2. Найти отношение площади части ромба, дополяющей целевенака (и его шляпу!), к площади всего ромба.

(Возможно, вы угадали, что ответ к задаче 2 равен… ответу к задаче 1.) На рисунке 2 читатель найдет самостояльно*):

$$\alpha = 36^\circ, \quad a = dq,$$
$$b_1 = a \text{tg} \alpha = a \sqrt{5} - 2\sqrt{5},$$
$$b_2 = b_1 q, \quad b_3 = b_2 q = b_1 q^2,$$
$$b_4 = b_3 q = b_1 q^3, \quad b_5 = b_1 q^4,$$
$$q = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0,618034.$$
В результате искомое отношение $p$ равно
$$p = 77\sqrt{5} - \frac{343}{2} \approx 0,677234.$$

*) Если эти вычисления вызовут у вас трудности, прочитайте сначала следующий раздел.

27

Обратимся к рисунку 3, несколько отличиящемуся от рисунка 1. В угол $LAL'$ вписан ромб нулевого порядка $ABFB'$, у которого $|AB| = a_0$.

В два образовательных угла $LBF$ и $FB'L'$ вписаны два ромба первого порядка $BCGC'$ и $B'C_1G'C_1'$ со стороны $a_1 = a_0q$, где

$$0,5 \leq q \leq 1.$$ (1)

Для построения ромбов второго порядка проведем прямые $FG$ и $FG'$, которые отсекут на прямых $CH$ и $C_1'H_1'$, параллельных диагонали $AF$ исходного ромба, отрезки, служебные диагонали ромбов $CDHD'$ и $C_1D_3H_1'D_3'$, подобных исходному. Эти два ромба принадлежат ряду конгречных ромбов второго порядка со стороны $a_2 = a_1q = a_0q^2$.

Точно так же построим ряд ромбов третьего порядка со стороны $a_3 = a_0q^3$ и т. д.

Если $q < 1$, то прямые $FG$ и $FG'$ не параллельны сторонам исходного угла и пересекают их в некоторых точках $L$ и $L'$. Точка $L$ является центром гомотетии для ромбов $ABFB'$, $BCGC'$, $CDHD'$, …

В силу симметрии таким же центром гомотетии для соответствующих фигуры является и точка $L'$. На прямой $LL'$ расположено, кроме этих двух точек, бесконечное множество других центров гомотетии для различных рядов ромбов. Одним из таких центров, например, является точка $L''$.

Задча 3. Найти такой коэффициентом готовности $q$, чтобы ромбы сплошь застилали внутренность треугольника $LAL'$ (без просветов и наложений).

Для этого необходимо и достаточно, чтобы при некоторых натуральном $n$ длина стороны $a_i$ ромба любого порядка равнялась сумме длины сторона $n$ ромбов следующего:

$$a_i = a_{i+1} + a_{i+2} + \dots + a_{i+n-1} + a_{i+n},$$

откуда вытекает, что $q$ должно удовлетворять уравнению

$$q^n + q^{n-1} + \dots + q^2 + q - 1 = 0.$$ (2)

При $n = 1$ уравнение (2) принимает вид $q - 1 = 0$, откуда $q = 1$. В этом случае точки $C'$ и $C_1$ на рисунке 3

28

совпадают с точкой $F$, точки $L$ и $L'$ «уходят в бесконечность», а ромбы всех порядков становятся конгруэтными (рис. 4) *).

При $n=2$ уравнение (2) имеет вид $q^2+q-1=0$, а его корень, удовлетворяющий условию (1), равен:

$$q_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$

Теперь на рисунке 3 с вершиной $F$ исходного ромба совпадает точка $D'_1$, а укладка ромбов внутри угла $LAL'$ прибретает вид, показанный на рисунке 5. Это — уже разобраный нами основной случай.

При $n=3$ корень кубического уравнения

$$q^3+q^2+q-1=0,$$

ограниченный условием (1), приближительно равен $q_3=0,543689$, а сплошная укладка ромбов иллюстрируется рисунком 6.

Легко видеть; что для $n>1$ левая часть уравнения (2) отрицательна при $q=\frac{1}{2}$ и положительная при $q=1$. Следовательно, это уравнение имеет корень $q_n$, удовлетворяющий условию (1), причем единственный (так как левая часть уравнения (1) возвращает при $q>0$). Нетрудно также доказать, что $q_1>q_2>q_3>...>q_n>...$, причем $\lim_{n\to\infty}q_n=1/2$.

По мере возрастания числа $n$ примая $LL'$ все более приближается к вершине $F$ исходного ромба.

Сетка ромбов, заполняющих внутренность угла в пределном случае $q_\infty=1/2$, изображена на рисунке 7. Точка $F$ и аналогичные ей вершины ромбов всех порядков оказываются теперь на одной прямой $LL'$.

Решение задачи 1

Легко проследить связь между сеткой плотно уложенных ромбов на рисунке 5 и орнаментом, изображенным на обложке. Эту связь иллюстрирует

*) На рисунках 4—8 для краскоты выделен красным цветом орнамент, не влияющий на математическую суть дела.

30

Задачи

М616 — М620; Ф628 — Ф632

М616. Можно ли числа 1, 2, …, 30 разбит на группы
a) по пять чисел,
b) по шесть чисел
так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?
b) При каких n и k числа 1, 2, …, nk можно разбит на n групп по k чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

С. Берколайко

М617. Внутри треугольника расположены окружности α, β, γ, δ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей α, β, γ касается двух сторон треугольника и окружности δ (рис. 1). Докажите, что цент окружности δ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной в данной треугольник окружности и окружности, описанной около него.

В. Ягубьянц

М618. a) Докажите, что существует бесконечного много натуральных n таких, что n! делится на n²+1.
b) Докажите, что для любого α>0 существует бесконечного много натуральных n таких, что [αn]! делится на n²+1. (Здесь m!=1·2·…·m; [x] — целая часть числа x.)

А. Сивацкий, ученик 10 класса

М619. Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнен равенство |CD|=|AD|+|BC|, то биссектрисы его углов A и B пересекаются на стороне CD.

И. Шарыцин

М620. Пусть x₁, x₂, …, xₙ — действительные числа, что x₁²+x₂²+…+xₙ²=1. Докажите, что сумма моделей 2ᵐ чисел
±x₁±x₂±…±xₙ
(so всевозможными комбинациями знаков «+» и «—») не превыходит 2ᵐ.

Я. Касаковских

31

Ф628. В верхкальной трубке длины $H=152$ см, запаянной с нижнего конца, имеется стольник воздуха высоты $h=76$ см, запертый стольником рутии (рис. 2). Атмосферное давление $10^5$ Па, а температура $t_0=17^\circ\text{C}$. До какой температуры $t_1$ следует нагреть воздуха в трубке, чтобы все руты вылились?

Е. Бутиков, А. Быков, А. Кондратев

Ф629. Шарик массы $m$ подвешен наружне жесткости $k$ (пружинный мятник). Точка подвеса пружины совершает вертикальное гармоничное колбания с амплитудой $a$ и частотой $\omega$. Как движется шарик при установившихся колбании?

Ф630. Элемент atomной батареи представляет собой конденсатор, на одну из пластин которого нанесен радиоактивный препарат, испускающий α-частицы со скоростью $v_0=2,2 \cdot 10^6$ м/с. Определить ЭДС этого элемента. Отношение заряда α-частицы к ее массе $k=4,8 \cdot 10^7$ Кл/кг.

Ф631. Проволочная спираль, присоединенная к городской сети, нагревается электрическим током. Половину спирали начинают охлаждать (например, водой). Как это отражается на количестве тепла, выделяемого этой половиной спирали? другой половиной? все спиралью?

В. Горбунова

Ф632. Оценить, во сколько раз освешенное солнечного зайчика, который получают на вертикальной стене в полдень, меньше освешенности прямыми солнечных лучами, если солнечный зайчик посылается на стену зеркалом с диаметром $d=10$ см с расстояния $l=50$ см.

Шахматный конкурс

Дорогие ребята!

За несколько месяцев существования шахматной странички «Кванта» мы убедились, что среди вас имеются много поклонников шахмат, этой древней и вечного юной игры. Мы получили от вас немало писем с решениями задач, опубликованных на шахматной страничке. В своих письмах вы задаете различные вопросы на шахматную тему, а также предлагаете уведомить число задач для самостоятельного решения. Все это привело нас к идее объявить Шахматный конкурс «Кванта». Этот конкурс мы начем со второго полудняя. В нем вам будет предложены шахматные и шахматно-mатематические задачи, этиды, комбинации, головоломки.

Решения конкурсных задач следует присылать (в одном экземпляре и в отдельном конверте) по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редактируя журнала «Квант». На конверте не забывайте сделатьометку: «Шахматный конкурс» и номер журнала (например: «№ 7—80»).

Крайний срок отпавки ответов на задания — последний день следующего месяца. Так, решения позицией из № 7 вам надо будет отпавить не позднее 31 августа 1980 года.

Итоги Шахматного конкурса «Кванта» будут подвешены в начале следующего месяца. Победитель конкурса мы пригласим в редакцию журнала на встречу с чемпионом мира по шахматам Анатолем. Карповым. Победителем будет награженный шахматной и математической литературой с авторфом А. Карпова.

32

Решения задач

M562—M565; Ф573, Ф574, Ф576, Ф577

M562. На отрезке [0; 1] задано множество M, являющееся объединением несколько отрезков, такое, что расстояние между любыми двумя точками из M не равно 0,1. Докажите, что сумма длины отрезков, составляющих M, меньше a) 0,55; б) 0,5.

Рис. 1.

а) Обозначим сумму длини отрезков, составляющих множество M, через S. Сдвинем множество M ⊆ [0; 1] вправо на расстояние 0,1. Полученное множество N не имеет общих точек с M, поскольку в M нет двух точек на расстоянии 0,1. Но оба конгрузных множеств M и N помещаются на отрезке [0; 1,1] для них 1,1. Таким образом, 2S<1,1, откуда S<0,55.

6. Разобем отрезок [0; 1] на десять одинаковых отрезков A₀A₁, A₁A₂, …, A₉A₁₀. Расположим эти отрезки над другим, как на рисунке 1, после чего спроектируем все отрезки на самый нижний отрезок A₀A₁. Докажем, что в любую точку отрезка A₀A₁ спроектируется не более пяты точек из множества M. В самом деле, если некоторая вертикальная прямая пересекает не менее шести отрезков, принадлежих M, то найдет два соседних отрезка AᵢAᵢ+1 и Aᵢ+1Aᵢ+2, пересекающих с этой прямой в точках, принаддатей.

Рис. 2.

Рис. 3.

лежащих множества M (рис. 2). На отрезке [0; 1] расстояние между этим точками будет равно 0,1 (рис. 3), что противоречит условиям. Поэтому в каждую точку отрезка A₁A₂ длины 0,1 проектируется не более пяты точек из множества M. Из этого сразу следует, что суммарная длина отрезков, составляющих множества M, меньше 0,1 • 5=0,5.

А. Кац

M563. Функция f определяна на отрезке [a; b] длины 4 и имеет на нем непрерывную произvodную f’. Докажите, что внутри отрезка [a; b] найдется точка x, для которой

$$f'(x) - (f(x))^2 < 1.$$

Предположим, что утверждение задачи неверно, то есть что во всех точках x∈[a; b] выполнен неравенство

$$f'(x) - (f(x))^2 \geq 1,$$

или

$$\frac{f'(x)}{1 + (f(x))^2} \geq 1.$$

Поскольку (arctg y)’ = $\frac{1}{1 + y^2}$, следует производная сложной функции Φ(x) = arctg f(x). Итак, мы знаем, что во всех точках отрезка [a; b]

$$\Phi'(x) \geq 1.$$

Воспользуемся формулой Ньютона — Лейбница:

$$\Phi(b) - \Phi(a) = \int_a^b \Phi'(x) dx \geq \int_a^b dx = b - a = 4.$$

Но arctg принимает лишь значения из интервала $] - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}$ [, значит, $\Phi(b) - \Phi(a) < \pi$. Получили противоречение.

Из нашей решения ясно, что утверждение задачи верно для отрезка [a; b] длины π (или больше). Кроме того, в нашем решения мы игнорize не пользовались непрерывностью произvodной функции f.

Наглядную интерпретацию задачи можно получить, заметив, что дифференциальное уравнение $\frac{y'}{1 + y^2} = 1$ имеет

33

М564. Для каких точек М стороны BC треугольника ABC верно утверждение: $\triangle MPQ \sim \triangle ABC$, если точки P и Q являются:
а) центрами окружности, описанных соответственно около треугольников ABM и ACM;
б) точками пересечения их медиан;
в) точками пересечения их высот?

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

а) Покажем, что точку M на стороне BC можно выбрать произвольно.

Треугольники MPQ и APQ конгруэнтны ($|AP|=|MP|$, $|AQ|=|MQ|$, рис. 1). Докажем подобие треугольников APQ и ABC. Пусть K, L, O — середины сторона AB, AC и AM соответственно. Без ограничения общности можно считать, что $\overset{\frown}{AMB} < \pi/2$ (случай [AM] $\perp$ [BC]) тривиален).

Вокруг каждой из четырехугольников AOLQ и AKPO можно описать окружность ($\overset{\frown}{AOQ} = \overset{\frown}{ALQ} = \overset{\frown}{AOP} = \overset{\frown}{AKP} = \pi/2$ — см. рис. 1). Поэтому $\overset{\frown}{LAQ} = \overset{\frown}{LOQ}$ и $\overset{\frown}{POK} = \overset{\frown}{PAK}$. Но $\overset{\frown}{LOQ} = \overset{\frown}{POK}$ — как вертикальные углы. Отсюда $\overset{\frown}{LAQ} = \overset{\frown}{PAK}$ и

$\frac{|AL|}{|AQ|} = \frac{|AK|}{|AP|}$. Поэтому композиция поворота на угол $\overset{\frown}{PAK}$ с центром в точке A и готовится с коэффициентом $k = \frac{|AK|}{|AP|}$ с тем же центром A переводит треугольник APQ в подобный ему треугольник AKL. Итак, $\triangle APQ \sim \triangle ABC$.

6. Гомотетия с коэффициентом $\frac{3}{2}$ и центром в точке M переводит $\triangle PQM$ в подобный ему $\triangle KLM$ (рис. 2). Допустим, что $\triangle KLM$ подобен $\triangle AKL$. Разберем три случая:

1°. $\alpha = \delta$ (см. рис. 2). Тогда $(AL) \parallel (KM)$, так что $|MB| = |MC|$, то есть $M$ — середина [BC].

2°. $\alpha = \gamma$. Тогда $(AM) \perp (KL)$, так что $M$ — проекция вершины A на сторону BC.

3°. $\alpha = \widehat{A}$. Тогда либо $\beta = \gamma$ и $|MB| = |MC|$, либо $\beta = \delta$ и $M$ — проекция вершины A (на [BC]).

Нетрудно убедиться, что верно и обратное: если M — середина стороны BC или проекция на [BC] вершины A, то треугольники MPQ и ABC подобны.

в) В этом случае, как и в случае a), точку M на стороне BC можно выбрать произвольно. В самом деле (рис. 3), $\overset{\frown}{MPQ} = \overset{\frown}{ABC}$, $\overset{\frown}{MQC} = \overset{\frown}{ACB}$ (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами); значит, $\triangle MPQ \sim \triangle ABC$.

К сожалению, при публикации условия этой задачи наборщик переуптал знаки подбия и конгруэнтности (он учился еще по старой программе); мы приносим извивения читателя, который эта опечатка помещала понять условия.

Э. Туркевич

34

М565. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — различные положительные числа. Обозначим через $b_k$ среднее арифметическое вещеzmожных произведений по $k$ данных чисел ($k=1, 2, \dots, n$):

$$b_1 = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n},$$
$$b_2 = \frac{a_1 a_2 + a_1 a_3 + \dots + a_{n-1} a_n}{n(n-1)},$$
$$b_n = a_1 a_2 \dots a_n.$$

Доказите неравенства:

a) $b_1 \geq \sqrt{b_2}$,
b) $b_k^2 \geq b_{k-1} b_{k+1}$ ($k=2, \dots, n-1$);
b) $\sqrt[k]{b_k} \geq k+1 \sqrt{b_{k+1}}$ ($k=2, \dots, n-1$).

Пусть $s_1 = nb_1, s_2 = \frac{n(n-1)}{2} b_2, \dots,$
$\dots, s_k = C_k^k b_k, \dots, s_n = b_n^*$.

Рассмотрим многочлен

$$P(x) = x^n - s_1 x^{n-1} + \dots + (-1)^{n-1} s_{n-1} x + (-1)^n s_n.$$ (1)

Поскольку $P(x) = (x - a_1)(x - a_2) \cdot \dots \cdot (x - a_n),$ (2)
$P(x)$ имеет $n$ различных положительных корней $a_1, a_2, \dots, a_n$.
a) Продифференцируем его $n-2$ раза, после чего поделим на $n(n-1) \dots 4 \cdot 3$. Мы получим квадратный трехчлен

$$x^2 - \frac{2}{n} s_1 x + \frac{2}{n(n-1)} s_2,$$ (3)

имеющий различные положительные корни (между двуя корнями многочлена всегда корень его производной — см. рисунок). Значит, у многочлена (3) положительный дискриминант $D = \frac{s_1^2}{n^2} - \frac{2s_2}{n(n-1)}$, открывающая $\frac{s_1}{n} > \sqrt{\frac{s_2}{n(n-1)}}$, то есть $b_1 > \sqrt{b_2}$.

6. Продифференцируем теперь многочлен $P(x)$ ($n-k-1$) раз ($k=2, \dots, n-1$). Получим многочлен $n(n-1) \cdot \dots \cdot (k+2) x^{k+1} - (n-1) \cdot \dots \cdot (k+1) s_1 x^k + \dots + (-1)^{k-1} s_{k-1} \times \frac{(n-k+1)!}{2} x^2 + (-1)^k s_k (n-k)! x + (-1)^{k+1} s_{k+1} (n-k-1)!,$ (4)

имеющий $k+1$ различных положительных корней. Поэтому многочлен $(-1)^{k+1} (n-k-1)! s_{k+1} y^{k+1} + (-1)^k (n-k)! s_k y^k + (-1)^k \frac{(n-k+1)!}{2} s_{k-1} y^{k-1} + \dots$

… + 1, $(4')$ получаются из многочлена (4) заменой $y = \frac{1}{x}$, также имеет $k+1$ различных положительных корней. Продифференцируем теперь $k-1$ раз многочлен $(4')$. Получим квадратный трехчлен $(-1)^{k+1} (n-k-1)! \frac{(k+1)!}{2} s_{k+1} y^2 + (-1)^k (n-k)! k! s_k y + (-1)^k \frac{(n-k+1)!}{2} (k-1)! s_{k-1},$ (5)

имеющий два различных положительных корня. Разделим его на $(-1)^{k-1} (n-k-1)! (k-1)!$; получим трехчлен

$$\frac{k(k+1)}{2} s_{k+1} y^2 - k(n-k) s_k y + \frac{(n-k+1)(n-k)}{2} s_{k-1}.$$

Дискриминант его положитель, так что

$$k(n-k) s_k^2 - (k+1)(n-k+1) s_{k-1} s_{k+1} > 0$$

или

$$\frac{s_k^2}{(C_k^n)^2} - \frac{(k+1)(n-k+1)}{k(n-k)} \frac{s_{k-1} s_{k+1}}{(C_k^n)^2} > 0,$$

то есть

$$\left( \frac{s_k}{C_k^n} \right)^2 - \frac{s_{k-1}}{C_k^n} \cdot \frac{s_{k+1}}{C_k^n} > 0$$ (6)

(поскольку)

$$\frac{n-k}{k+1} C_k^n = C_n^{k+1} \text{ и } \frac{k}{n-k+1} C_k^n = C_n^{k-1}$$

Таким образом,

$$b_k^2 > b_{k-1} b_{k+1} (k=2, \dots, n-1).$$

Неравенство 6) называется неравенством Ньютона. в) Будем доказывать в) по индукции. Базисом индукции ($k=1$) служит неравенство a). Предположим теперь, что нера-
*) Выражения $s_1, s_2, \dots, s_n$ называются элементарными (основными) симметрическими функциями от $n$ переменных $a_1, a_2, \dots, a_n$, а тот факт, что они с чередуюшимся знаками служат коэффициентами многочлена с корнями $a_1, \dots, a_n$ — теоремий Виета.

35

венство в) выполняется для $i=2, 3, \dots, k-1$, в частиности что
$$k-1 \sqrt{b_{k-1}} > \sqrt[k]{b_k},$$
и докажем его для $i=k$.
Перепишем неравенство из пункта 6) в виде
$$b_{k-1} < \frac{b_k^2}{b_{k+1}}.$$
Последние два неравенства дают
$$b_{k-1}^k < b_{k-1}^k < \frac{b_{k+1}^2k}{b_{k+1}^k},$$
то есть
$$b_{k+1}^k < b_{k+1}^k,$$
что и требовалось доказать.
Неравенство в) называется неравенством Маклорена.
M. Розенберг

Ф573. Оцените, какое количество воды можно учести в решете с квадратными ячейками размером $2 \times 2$ мм. Диаметр D решета равен 20 см. Нити решета не смачиваются водой.

Жидкость между нитями решета будет образовать меняск. Радиус этого меняска не может быть больше поливины расстояния между нитями, то есть $r_{\max} = 1$ мм. Поэтому максимальное давление, которое может быть в жидкости над меняском, превышает атмосферное давление на величины $\Delta p = \frac{2\sigma}{r}$ (σ — поверхностное натяжение воды). Эта формула справедлива для круглого меняска, то есть для решета с круглыми ячейками. Однако для оценки мы можем не учитывать сложной формулы меняска на квадратной сетке и пользоваться этой формулой.

Итак, $\Delta p = \frac{2\sigma}{r}$. С другой стороны, $\Delta p$ равно гидрохотное столбце жидкости $h$, напитой в решете:
$$\frac{2\sigma}{r} = \rho gh.$$
Отсюда находим $h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$. Масса же жидкости в решете равна произведению ее объема $V$ на плотность $\rho$, то есть
$$m = V \rho = \frac{\pi D^2}{4} h \rho = \frac{\pi D^2 \sigma}{2gr} \approx 0,458 \text{ кг}.$$

Ф574. Два шара с массами $m_1=0,2$ кц и $m_2=0,3$ кц летят наструечу дружея другу со скоростью $v=20$ м/с каждый. График зависимости от времени сили взимодействия шаров при стolkновении показан на рис. 1. Какое количество теплла выделилось при стolkновении шаров?

Изменение импульса каждой из шаров равно импульсу действующей на этот шар силы. Импульс силы $\vec{F}$, действующей на шар в течение времени $\Delta t$, равен $|\vec{F}| \Delta t$. Следовательно, полный импульс силы, действующей на шар за время столковения, равен по абсолотной величины площади фигуры под графиком зависимости $|\vec{F}|(t)$. Из рисунка 1 находим импульс силы $|p_c|$:

$$|p_c| \approx 10^5 \cdot 10^{-6} \cdot 54 \text{ H} \cdot \text{c} = 5,4 \text{ H} \cdot \text{c}$$

(под графиком зависимости $|\vec{F}|(t)$ приблизительно 54 квадрата; площадь каждой квадрата $10^5 \cdot 10^{-6} \text{ H} \cdot \text{c}$).

Для проекций импульсов на ось $X$ (рис. 2) можно записать:
$$p_1 = m_1 v - |p_c|,$$
$$p_2 = -m_2 v + |p_c|.$$

Здесь $\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$ шаров после столковения; $m_1 v$, $m_2 v$ — модили импульсов шаров до столковения. Из (1) и (2) находим скорости шаров после столковения:
$$v_1 = \frac{p_1}{m_1} v - \frac{|p_c|}{m_1} = -7 \text{ м/c},$$
$$v_2 = \frac{p_2}{m_2} = -v + \frac{|p_c|}{m_2} = -2 \text{ м/c}.$$

36

Теперь воспользовется законом сохранения энергии. Кинетическая энергия системы до стокновения равна $E = \frac{m_1 v^2}{2} + \frac{m_2 v^2}{2}$, а после стокновения $E' = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$. Разность $E - E'$ равна количеству теплы $Q$, выделившегося при стокновении. Следовательно,

$$Q = \frac{m_1 + m_2}{2} v^2 - \frac{m_1 v_1^2}{2} - \frac{m_2 v_2^2}{2} = 94,5 \text{ Дж}.$$

И. Слободецкий

Ф576. По прямой OB равномерно движется самолет со скоростью $v > c$ (с скоростью звука). Наблюдаемый следит за полетом из точки A. В том момент, когда самолет находится в точке O, специальное устройство, установленное на самолете, испускает два коротких звуковых импульса: сначала имплус с малой амплитудой, затем — с большей. Временной интервал между имплусами равен т. При каких условиях наблюдаемый следит зарезистрировать сначала имплус с большей амплитудой, а потом с малой? Расстояние OA равно L, угол AOB равен $\theta$.

Пусть за время т самолет переместился из точки O в точку D. Отложим на отрезке AO отрезок AC такой, что $|AC| = |AD|$. Если к моменту испускания второго имплуса (с большой амплитудой) первый имплус (с малой амплитудой) успет «пройти» расстояние $|OC|$ и оказывается в точке C, то оба имплуса будут зарегистированы в точке A одновременно. Если же расстояние, «пройенное» первый имплусом за время т, будет меньше $|OC|$, то второй имплус будет зарегистирован в точке A равше, чем первый. Таким образом, нас интересует, при каких условиях выполняется энергность

$$c\tau < |OC|.$$

Поскольку время т мало, можно считать, что углы, под которых наблюдаемый видит самолет в точках O и D, практически одинаковы, то есть угол $\phi$ (см. рис.ок) очень мал. Следовательно, можно считать, что $\vec{ACD} = \vec{ADC} = 90^\circ$. Тогда $|OC| = |OD| \cos \theta = v\tau \cos \theta$.

Подставим это выражение для $|OC|$ в (*):

$$c\tau < v\tau \cos \theta.$$

Отсюда находим, что второй имплус будет зарегистирован в точке A равше, чем первый, если

$$v > c/\cos \theta.$$

Это неравенство означает, что скорость самолета должна быть во всейском случае больше, чем скорость звука. Тогда, как показывает наше рассмотрение, может оказаться, что самолет приближается к наблюдаемой, а наблюдаемый будет слышать, как самолет удаляется.

В. Болотовский

Ф577. При температуре на纵це $t_0 = -20^\circ C$ работает батарея поддерживает в комнате температуру $t_1 = 16^\circ C$. Коеда кроме батареи включали электропитку мощностью $P_1 = 1$ кВт, в комнате устанавливалась температура, равная $t_2 = 22^\circ C$. Определить теплую мощность батареи.

При.mechanie. Теплоотдача от однозою тела к другим пропорциональна разности температур этих тел ($\Delta P = k\Delta t, k = const$).

При установленной температуре в комнате тепловая энергия, выделяющаяся на приборах, равна теплым потерям (потерям на теплотдачу). Следовательно, теплая мощность батареи равна

$$P = k(t_1 - t_0).$$

При включенной электропитке и работающей батарее

$$P + P_1 = k(t_2 - t_0).$$

Из (1) и (2) находим теплую мощность батареи:

$$P = P_1 \frac{t_1 - t_0}{t_2 - t_1} = 6 \text{ кВт}.$$

И. Слободецкий

37

Задания

1. Реши ребус — составьте ребус!
   Расшифруйте ребус, изобразенный на рисунке (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные). Затем, используя найденные значения букв, замените в записи

ОЛИМПИАДА = 80

звездочки арифметических знаками, скобками или «пустым местом» (то есть уберите их) так, чтобы получилось тожество.

2. Докажите, что число 63!—61! делится на 71.

Запись $n!$ означает произведение всех целых чисел от 1 до $n$, например, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$.

3. Из шестинадцатей спичек сложили пять квадратов — см. рисунок. Переложите две спички так, чтобы число квадратов уменьшилось на единицу.

4. В очереди за билетами в кино стоит друзья: Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что Юра купит билет раныше, чем Миша, но позже Олега, Володя и Олег не стоит рядом, а Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Володей. Кто за кем стоит?

5. В какой системе числения верно равенство: $10 + 10 = 10 \cdot 10$?

6. Равносторонний треугольник нетрудно разрезать на четыре равносторонних треугольника. Для этого нужно соединить отрезками середины его сторон. Но можно ли разрезать его на 8, или 10, или 11 равносторонних треугольников? И вообще, на какое число равносторонних треугольников можно разрезать данный равносторонний треугольник?

Эти задания нам предложили
Ф. Бартенев, Ф. Вайницейн,
В. Радунский, Д. Филонов

38

Н. Михайлова

Плоды
«просвещения»

В воскресенье днем я подсчитал, что после утреннего похода с Федькой в кино у меня осталось четыре копейки, а к среде нам велели привести в школьную новую тетрадку для рисования. У меня испортились настроение. Нужно идти к папе и опять просить деньги.

«Пап, — сказал я, — мне деньги нужны на тетрадку для рисования. Дай, пожалуйста». «Интересно, — ответил папа. — А кому мы с мамой выдали вечер полтининок?»

«Мы, пап, сегодня с Федькой в кино были. А как Федька любит лимонад и слоенные трубочки, ты просто не представляешь!»

«Все ясно, — сказал папа. — Ты пал жертвой других. Тебя, бедняжку, пить лимонад заставить невозможно, а трубочки ты и в рот не берешь. Но для друга готов на все!»

«Пап, ну, хватит издеваться. Я лимонад люблю и трубочки тоже. Просто у Федьки денег сегодня не было, и мы мой полтининок прогуляли».

«Другой разговор! — ответил папа. — Оdnako, если ты еще на полтининок претендуешь, придется попотеть. Вот реши задачу — получшь полтининок. Договорились?».

«Договорились. Давай скорей задачу, а то вдруг я не успело решить».

«Ладно,dam тебе время до вторника. А задача такая: Представьте себе, что вы с Федькой пошли сейчас в магазина. Какдому из вас нужна тетрадка для рисования. Пришли в магазина и вдруг выясняется, что Феде не хватает одной копейки, чтобы купить тетрадку, а тебе целых тридцати. Вы сложили ваши деньги, чтобы купить хотя одну тетрадку, но делег все равно не хватило. Сколько стоит тетрадка?»

Папа написал мне условия на листе бумаги. Я пошел в свою комнату и стал думать, но до обеда так ничего и не придумал. Потом пришли гостями, а потом меня отправили спать.

В попедельник я сразу после школьный прибежал домой, доставл условия и снова сел ее решать.

Значит так, — сказал я себе — у меня осталось 4 копейки. А на тетрадь мне не хватило 30 копеек:

$$4 + 30 = 34.$$

Тетрадь стоит 34 копейки. Тогда у

39

Федыки 34—1=33 копейки. У нас с ним вместе 33+4=37 копейк. Как раз хватит на 2 эклимо в шоколаде по 18 копеек и еще одна копейка останется. Красота!

Хотя нет. Ведь по условию задачи нам на тетрадку не хватило, даже когда мы сложили деньги.

Значит, получилась erwnda. Неверно я решаю. Попробую еще раз. Ага… Папа ведь не знает, что у меня осталось 4 копейки. Почему же я тридцать к четырем прибавлял? Ошибка!

Начну по-другому. Я не знаю, сколько стоит тетрадка. Это число обозначу буквой x. Значит, у меня было (x—30) копейк, а у Федыки (x—1) копейка. Складываем мои деньги и Федыки. Получится
x—30+x—1=(2x—31) копейка.
Но по условию задачи этих денег нам все равно не хватило на одну тетрадку. Значит,
2x—31<x.
Правильно? Да, ну а что дальше? Ага! Теперь уберем x из правой части:
2x—x—31<x—x,
x—31<0,
x<31.

Что знаит, что тетрадка стоит меньше 31 копейки? Сейчас я себе нарисую. Все числа, которые меньше 31, лежат слева от него:

Тетрадка не может стоить 31 копейку — я это число зачеркну. А меньше, ну, например, 29 копейк, она может стоить? Нет, потому что тогда у меня было бы
29—30=—1 копейка!
Вот умора — минус одна копейка! Так не бывают. Зачеркну 29. И все, что левее 29, тоже нужно зачеркнуть. Тогда получается такая картина:

Остается только 30. Значит, тетрадь стоит 30 копейк.

Сколько же у меня денег было?
30—30=0 копейк.
НИ одной копейки. Это пала так думает. Он думает, что я такой же бедный, как дядя Эдик. Мама его всегда жалеет. «Бедный Эдик! Он купил машину — теперь у него ни копейки. Бедный Эдик! Он отдыхал с семьей в Болгарии — теперь у него ни копейки».

Но я совсем не такой бедный. И я скорей побежал к пале, чтобы его успокопить.

У палы сидят гости. Дядя Олег с сыном Тарасом. Тарас плюхо решает задачи, но ему и не нужно: он будет скрипачом.

«Так, — сказал я, — во-первых, я не такой бедный, как дядя Эдик. У меня есть четыре копейки. Во-вторых, тетрадь стоит 30 копейк. Вот решение. Если ты теперь дыш мне 26 копейк, то я смогу ее купить.» Папа и дядя Олег сначала долго смялись, а потом решили дать эту задачу Тарасу. Сказали, ее можно решить проще.

По-моему, давать Тарасу задачу без толку. Но путь попробует, раз они так хотят.

А Тарас глаза вытарашил и говорит: «Так в чем же задача? У Федыки не хватало 1 копейки, а у Женыки 30. Они сложились, но на тетрадку снова не хватило. Значит, Женыка ни копейки не добавил к Федыкиным деньгам. То есть у него ничего не было. А на тетрадку ему не хватило 30 копейк. Значит, она стопла 30 копейк. Вот и все задача».

«Молодец! — похожил папа этого воображалу.

«Лев Толстой называл это ”Плоды просвещения“. — сказал он мне. — Да, ладно, Женыка, не расстраиваясь. Ведь ты задачу решил? Решил. Запомни теперь, что иногда надо не школьную науку в ход пускать, а просто подумать. И еще одно. Ты ведь, небось, думал, что Тарас эту задачу не решит. Нехорошо, брат. Высокомерие — паршивая штука и всегда былает посрамлено. Рано или поздно. А теперь береи полинник на тетрадь и текущие расходы».

Деныги я взял. Ведь я все-tаки решил задачу, но и урок этот я запомнил. Наверное, на всю жизнь.

40

Где расположено основание высоты?

Решая stereometрические задачи, важно уметить правильно определить взаимное расположение элементов возникших в них фигур. Многие ошибки, допускаемые при решении этих задач, связаны с изобравлением высоты парамиды (или призмы). Неверно расположение основание высоты относительно основания парамиды (или призмы), поступающий вследствие этого неправильно определят угол наклона бокового ребра к плоскости основания, ошибается при построении линейного угла двумя направного угла и т. д.

Цель предлагаемых ниже задачи и примеров — научить вас решать stereometрические задачи, избегая подобных ошибок. Для этого в начале статьи мы предлагаем три задачи со списком возможных ответов, из которых нужно выбрать правильный. Разумеется, здесь нельзя ограничиться угадыванием правильного ответа: его нужно обосновать. Разобраться с этим задачими, вы легкоойте решения следующих за ними примеров, взятых из практики вступительных экзаменов.

Задача 1. Какая точка плоскости ABC является основанием высоты парамиды SABC, если:
a) боковые ребра конгрузить;
b) боковые ребра образуют равные углы с плоскостью основания;
b) боковые грани образуют с плоскостью основания конгрузные углы;
г) плоские углы при вершине S прямы;

д) две пары противоположных ребер взаимно перепределить;
e) боковые ребра конгрузить между собой и
$ASB = ASC = 60^\circ, BSC = 90^\circ$;
ж) $ACB = 90^\circ, (AC) \perp (BS)$;
з) $\vec{SO} = \frac{1}{3}(\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC})$?

Возможные ответы:

1. точка пересечения медиан треугольника ABC;
2. точка пересечения его высот;
3. центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC;
4. центр окружности, описанной в треугольник ABC;
5. центр окружности, описанной в треугольник ABC, или одной из внешних *);
6. середина отрезка BC;
7. точка прямой BC.

Для решения задачи часто бывают существенно установить, принадлежит ли основание высоты парамиде или нахождение вне ее.

Задача 2. В парамиде SABC улы наклона боковых ребер к плоскости основания конгрузить между собой. При каком достающим условии основание высоты SO парамиде принадлежит треугольнику ABC?

Возможные ответы:

1. $\triangle ABC$ — равноведренный;
2. $\triangle ABC$ — равносторонний;
3. $\triangle ABC$ — прямойный или остроугольный;
4. $\triangle ABC$ — тупоугольный;
5. в каждом из этих случаях.

Задача 3. В основании парамиды SABCD лежит трапеция ABCD ([BC]||[AD], |BC|<|AD|). Боковые ребра парамиды конгрузить между собой. При какомdestающим условии основание высоты SO парамиде лежит вне трапеция ABCD?

Возможные ответы:

1. если $ABD \leq 90^\circ$;
2. если $ABD > 90^\circ$;
3. если $(BD, CA) \geq 90^\circ$;
4. если $(BA, CD) > 90^\circ$;
5. ни при каком.

*)Вневписанной окружности треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолженной двух других сторон.

41

Перейдем теперь к разбору двух примеров, характерных для вступительных экзаменов.

Пример 1 (КГУ, 1975). Боковые ребра треугольной парамиды имеют одинаковую длину $l$. Два плоских угла при вершине парамиды равны $\alpha$, а третий — $\beta$. Найти объем парамиды.

Решение. Пусть $SABC$ — данная парамида, $\hat{ASB} = \beta$, $\hat{ASC} = \hat{BSC} = \alpha$. Из условия задачи находится:

$(\triangle ASC \cong \triangle BSC) \Rightarrow$
$\Rightarrow ([AC] \cong [BC])$;

основание $O$ высоты $SO$ находится в центре окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$ (задача 1). Возможны три случая (см. задачу 2):

a) $\hat{ACB} < 90^\circ$ — основание высоты расположено внутри $\triangle ABC$ (рис. 1);
b) $\hat{ACB} = 90^\circ$ — основание высоты

случит середина $[AB]$ (рис. 2);
в) $\hat{ACB} > 90^\circ$ — основание высоты лежит вне треугольника $ABC$ (рис. 3).
Обозначим через $D$ середину отрезка $AB$.

Случай a). Исходя из условия, находим

$$|AB| = 2l \sin \frac{\beta}{2}; \quad |SD| = l \cos \frac{\beta}{2};$$
$$|AC| = |BC| = 2l \sin \frac{\alpha}{2};$$
$$|CD| = \sqrt{4l^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} - l^2 \sin^2 \frac{\beta}{2}} = l \sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}}.$$

Положим $|OD| = x$. Из треугольника $SOD$
$$|SO|^2 = l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - x^2;$$

из треугольника $CSO$
$$|SO|^2 = l^2 - (|CD| - x)^2 = l^2 - l^2 + 2l^2 \cos \alpha - l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - x^2 + 2xl \sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}}.$$

Отсюда
$$l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - x^2 = 2l^2 \cos \alpha - l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - x^2 + 2xl \sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}};$$
$$x = l \frac{\cos^2 \frac{\beta}{2} - \cos \alpha}{\sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}}};$$
$$h = |SO| = \sqrt{l^2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - l^2 \frac{(\cos^2 \beta/2 - \cos \alpha)^2}{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \beta/2}} = l \frac{\sqrt{\cos^2 \beta/2 - \cos^2 \alpha}}{\sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \beta/2}}.$$

Значит,
$$V = \frac{1}{3} Sh = \frac{1}{3} l^3 \sin \frac{\beta}{2} \sqrt{\cos^2 \frac{\beta}{2} - \cos^2 \alpha}.$$

Заметание. Поскольку $\hat{ASB} < \hat{ASC} + BSC$, выполняется неравенство $\beta < 2\alpha$ и подкренное выражение положительное. Впро-