Квант 1980, №5 · Страницы

КВАНМ 5
1980

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ГОЛОВОЛЮМКА «ЦВЕТНОЙ КУБИК»

Из прямогольных параллелепипедов 6×6×1, окрашенных в шесть различных цветов: красный, желтый, синий, зеленный, белый и черный (на рисунке приведены развертки параллелепипедов), выложите куб так, чтобы каждый грань его представляла квадрат, в котором по горизонтали, по вертикали и по диагоналям были представлены все шесть цветов (то есть каждый цвет встречался бы по одному разу).

Л. Мочалов

Основан в 1970 году
5
1980

Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-mатематической литературы

В номере:

35 лет победы над физистской Германии
2 Победа, которая спасла мир
5 В. Резель, В. Ткаченко. Размагничивание кораблей в годы Великой Отечественной войны
10 И. Пирогов, И. Тюлина. Мехмат МГУ в годы Великой Отечественной войны

---

18 П. Халмои. Логика от А до Г
26 Л. Гродко. Устойчивость автоматоля

Лаборатория «Кванта»
32 В. Матизен. О попытке скатывания шариков

Математический кругхок
33 В. Ольхов. Как придумать геометрическое неравенство
34 Л. Курляндчик, А. Лисцкий. Как придумать комбинаторное тожество

Задачик «Кванта»
36 Задачи М621—М625; Ф633—Ф637
38 Решения задач М566, М567, М569; Ф578, Ф580—Ф582

«Квант» для младших школьников
43 Задачи
44 А. Дозоров. По страницам старого учебника

Практикум абитриента
46 Н. Розов. Читатель советуют
Вариants вступительных экзаменов вузы в 1979 году
51 Г. Меледин, В. Пененко. Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола
53 Г. Кембровский, А. Самусеенко, А. Саржевский. Белорусский государственный университет им. В. И. Ленина
55 Б. Алексеюнас, А. Казлаускене, Э. Мисевицо. Вильнюсский государственный университет им. В. Капсукаа

Искусство программирования
56 Ю. Первин, А. Салтовский. Как работает процессор
62 Шахматная страница
63 Ответы, указания, решения

Смесь (17, 25, 31, 42, 55)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1980

2

Победа, которая спасла мир

Прошло 35 лет с того незабываемого дня, когда наш народ впервые отправдовал День Победы над фашистскими захватчиками. Труден был путь к этой победе. Прежде чем напасть на нашу страну, фашисты захватили всю Западную Европу и подчинили себе европейскую промышленность. Вся Европа кормила фашистские войска и снабжала их самых современным оружием. Казаюсь, что на всея земле нет такой силы, которая могла бы остановить фашизм, перерадить его армям путь к господству над миром. История опровергла эти прогнозы. Героическая советский народ уничтожил чудовищную фашистскую военноную машину и навсегда избавил человека от фашистской дискатуры. Ни один другой народ в мире не мог бы в то время решить эту невероятную трудную историческую задачу.

Представьте себе на мгновение, что фашизм победил и во всем мире установился фашистский «новый порядок». Цель народа была поголовно истреблены. Народы нашей страны были бы превращены в рабочи, лишенных самых элементарных человеках прав. Каждый из вас, наши юные читаели, должны твордо помнить, чем вы обязаны погибшим в этой войне. Это они вам возможность нормально учиться, свободно выбирать профессию и самостоятельную стройжизнь. Не будь этой великой победы, каждый из вас по 10—12 часов в день гнул бы спину на тяжелых работах в фашистских трудовых лагерях, жил бы впроголдь, без малейшей надежды на нормальное питание, образование и личное счастье. Вам это трудно представить себе, но вашим отцам и дедам пришлось столкнуться с этой странойвозможностью лицом к лицу. Помните о тех, кто отдал свою жизнь за эту победу и гордитесь им! Помните и о тех, кто пережил эту страную войну, и уважайте их!

Школьники нашей страны давно уже шефствуют над могилами Павших бойцов Великой Отечественной войны, разыскивают погибших воновь, проводят походы по местам боев, организуют школьные музей боевойclasses. Это справедливая дань тем, кто отстоял ваше право на свободную и счастью жизнь. В этой работе должен участковъ казды из вас.

Когда вы смотрите фильмы о Великой Отечественной войне, читайте книги о ее героях, многим из вас кажется, что героизм нужен был только в тёгодах, и вы желаете, что опоздали родиться. Конечно, война предъявила к каждому жителю нашей страны предельно суровые требования, она нуждалась в массовом героизме, и его проявляли даже детей. Но ведь и тогда героми были не только те, кто горел в танке, таранил вражеский самолет или, спасятовшей, грудью закрывал пулеметную амбазуру. Не меняше героизма было и в жизни тех, кто в жуткий мороз на пустырях сибирских городов восстановил эвакуированные заводы, вооружал, одевал, кормил наших солдат, или тех, кто оказвал сопротивление фашистам на временно оккупированных территориях. Героические были и последованные годы, когда наш народ, потеряший более 20 миллионов человек, восстановил владение войной хозяйство. Об этом героизме трудных будней ваших родителей прекрасно рассказано в замечатель-

3

ных книгах Леонида Ильича Брежнева «Возрождение» и «Целина».

Геронзм нужен нам и сегодня: стропельство коммунистического общества, формирование нового человека потребуют от нашего народа немало геронческих свершений. Еще не изжиты представность, растuctельство, хшениния государственного (а значит, народного!) имущества, взяточничесто и некоторые другие отрицательные явления нашей жизни. И нам нужны сознаательные, активные, непримиримые борцы со всеми подобными недостатками, борцы за светые идеалы коммуниизма, а не за личное сиюминутное материальное благополучие.

Наша страна была бы сейчас намного богате, если бы не война, если бы нам не мешали строить новую жизнь. Готовясь к этой войне, наш народ сознаательно жертвовал своим благоостоянием. Но в жизни существует суровая неархия ценностей, и у нас не было другого выхода. По существу мы только еще начинаем жить в относительной благоприятной для нашей страны международной обстановке, связанной с разрядкой напряженности, с переходом на рельсы мирного сосуществования.

Научно-техническая революция вызвала к жизни оружие массового учитожения, угрожающее всему живому на нашей планете. Но 35 лет человеке прожило без новый мировой войны, и как бы ни старались и ни стараются противники разрядаки, силы мира растут и крепнут с каждым днем. Во главе этих сил стоит великий Советский Союз, который последовательно проводит ленинскую миролюбивую внешнюю политику. Весь мир признает огромный вклад, внесенный в борьбу за мир главой нашего государства Леонидом Ильичем Брежневым. Мы не только спасли человеке от кошмара физического «мирового порядка», но и избавили его от новой мировой войны.

Немалый вклад в эту великую победу советского народа внесла и наша наука. Многие научные работники сразу с оружением в руки в наших войсках, партизанских отрядах и отрядах народного ополчения. И в каждом научном центре, каждом вузе есть свои_MEMORIALНАЯ ПЛИТА с именами погибших героев. Но вклад науки в нашу победу намного шире. Благодаря огромному труду наших ученых перед войной и в ходе войны была полностью обновлена советская военная техника. Армия получила новые самолеты (истребители, штуермовики, пикирующие бомбардировщики), реактивные минометы («катаоши»), наводившие ужас на фашистских солдат, танки «T-34», «ИС» и «KB», превосходившие аналогичное немецкое оружие.

Советские учены всеми возможными путями старались приблизить нашу победу. Мы расскажем здесь лишь о некоторых работах наших физиков, математиков и механиков.

Для решения оборонных научно-технических вопросов в осажденном физическими войсками Ленинграде была создана специальная группа ученых, которые возглавили директор Ленинградского физического технического института Академии наук СССР академик Абрам Федорович Юффе. По заданию Ленинградского горкома партии в этом институте создали девеевую и эфективную zajигательную смесь, уничтожившую сотни вражеских танков, разработали новые противоковыследства. Простые и удобные в обработении полупроводниковые термозлектронераторы, сконструированные А. Ф. Юффе и работающие от общих керосиновых ламп, широко использовались партизанскими радистиками. Сотрудник ЛФТИ Юрий Борисович Кобзарев (ныне академик) создал первую в мире радиолокационную установку.

Группа ученых того же института во главе с членом-корреспондентом АН СССР Павлом Павловичем Кобеко помогала обеспечить надежность ледяной дороги через Ладожское озеро, единственной, связывающей Ленинград с «Большой землей», которой в те годы назвали «Дорого жизни».

Еще одна группа сотрудников Ленинградского физического института, возглавляемая нынешним председателем Академии наук СССР

5

Размагничивание кораблей в годы Великой Отечественной войны

24 июня 1941 года в 2 часа 41 минуту в усте Финского залива подорвался на мине эсминец «Гневный». В 4 часа 21 минуту в этом же районе подорвался на мине крейсер «Максим Горький», но своим ходом пришел в Таллин. Предполагалось, что мины были неконтактивными (магнитными). Противник уже в первые дни войны создал серверную минную угрозу увыхода из советских военно-морских баз и на основных морских путях сообщения, использув в общей сложности 1060 якорных ударных мин и до 160 données неконтактивных мин. Положение создалось угрозой щee. А что же наш флот? Был ли он подготовлен к возможности минной блокады или это случайное совершенное неожиданно?

Среди многих задач оборонного значения важное место занял размагничивание кораблей. В короткой стать нельзя подробно осветить всю эпопея размагничивания и перечислить всех участников, поскольку к решению этой проблемы, помимо научных работников, были привлечены многое военные моряки и судостроители.

Для взрыва магнитной мины не требуется непосредственного соприкосовения ее с корпусом корабля. Взрывать сравтьсяот воздействия на него магнитного поля судна. Идея изготовления такого взрываателя столь проста, что могла возникнуть сразу после изобретения компаса и появления стабильных кораблей. Каждому известно, что стрелка компаса отклоняется, если к нему поднести железный предмет. Отклонение подобной стрелки, помещенной внутри мины, можно использовать для замыкания контакта взрываателя. При соответствующем подобрече чувствительности взрыв мины будет проинсходить в тот момент, когда корабль оказывается над ней, а значит, будет поражена самая незашищенная его часть — днище. Далее больше корабли, как правило, гибнут при взрыве под ним таких мин. Кроме того, магнитные мины, лежащие на дне, не подаются обичным методом траления, расчитанным на подсекание и подрыв якорных мин. Установка магнитных мин может производиться не только с кораблей, но и с самолетов — в открытом море, в бухтах, гаванях, на фарватере рук.

Эти примущества магнитных мин перед обичными якорными контактиями минами для основание военно-морским специализатам заранее предугаданы их применение в предстоящей войне, тем более, что нашим военным морякам пришлось познакомиться впервые с магнитными минами англяйских интервентов еще в сентября 1919 года на Северной Двине. Уже тогда на выступлении англяйнами загружения из магнитных мин подорвалось несколько наших кораблей. Однако военные моряки быстро очистили фарватер от этих, еще сравнительноprimитивных, мин.

Естественно было ожидать, что в новой войне будет использоваться усовершенствованные магнитные мины: более чувствительные, с присоединениями, затрудняющими их траление и уничтожение. Все это заставило командавшие Военно-Mорской

6

го Флота СССР поставить перед специальными задачу — разработать методы защиты кораблей от неконтактного магнитного минного и торпедного оружия.

Эта важная работа была поручена Ленинградскому физico-техническому институту (ЛФТИ) Академии наук СССР еще в 1936 году. За ее выполнение взялись Анатолий Петрович Алексадров (ныне академик, директор Института атомной энергии им. И. В. Курчатова, президент АН СССР) и Борис Алексадрович Гаев (воспледний доктор технических наук, заместитель директора ЛФТИ им. А. Ф. Иоффе АН СССР, умер в 1974 году). А. П. Алексадров организовал в своей лаборатории специальную группу, возглавляемую Б. А. Гаевым, которая занималась проблемой размагничивания кораблей.

Идея, положенная в основу работы по защите кораблей от неконтактных магнитных мин, состояла в размагничивании корабля. Предполагалось, что это можно сделать путем компенсации магнитного поля корабля с помощью закрепленных на нем специальных обмоток, через которых пропускается постоянный ток (см. рисунок). При этом магнитное поле корабля может быть скопленно магнитным полем тока в такой степени, что прохождение корабля над миной не будет вызывать сравнительная взрывая, имеющего ограниченную чувствительность.

Простая идея, предложенная А. П. Алексадровым, Б. А. Гаевым и инженером ленинградского Балтийского завода А. А. Картковским, не сразу получила поддержку со стороны специалистов. Многие из минеров считали, что если уже размагничивать корабль, то нужно полностью скопленровать его магнитное поле до нуля. А так как это невозможно из-за веса сложной конфигурации поля, размагничивание становится бессмысленным, и нужно сосредоточить все силы на создании и совершенствования методов traлиния. Некоторые специализиты считали даже, что корабль нужно не размагничивать, а намагничивать еще сильнее, с тем чтобы увеличенное магнитное поле вызывал взрыв магнитной minы на большом расстоянии от корабля. Кстати, как стало известно после войны, англичане, начавшие работу по противоминной защите кораблей также в 1936 году, пошли именно по этому неправильному пути (ведь противник может вызывать как чувствительные, так и загрубленные minы). В результате к началу войны их корабли не были защищены от немецких магнитных мин и торпед, и англичский флот попесвьма ошутимые потери. Уже в ходе войны англичанам пришлось размагничивать размагничивающие устройства и срокно оснашать имми свои корабли.

Группе А. П. Алексадрова надо было преждевременно идентифицировать в осуществимости идентификации. Сначала исследования проводились на лабораторной модели корабля, сделанной из дерева и общой листьевим железом. В результате этих опытов были найдены наиболее оптимальные виды размагничивающих обмоток. Решено было переходить к опытом на плавающих кораблях.

7

Президент Академии наук СССР академик А. П. Александров.

Первые изменения магнитных полей кораблей и опыты по их компенсации были проведены сотрудниками ЛФТИ в 1937 году в сухом доке Кронштадта на эсминцах «Яков Свердлов» и «Артем», а затем на лицере «Ленинград». Итоги были весыма благориятными. В мае 1938 года в Оранжевым морском порту на корабль «Дозорный» была наложена временная размагничивающая обмотка и путем изменения поля под корабlem был подобран оптимальный ток в ней. Затем корабль сделал больше количество проходов с выключенной и включенной обмоткой над установленными на разных глубинах разоруженными неконтактными магнитными минами. Было зафиксировано, что мины уверенно сраватыют при прохождения над ними корабля с выключенной обмоткой и совершенно не реагируют при выключении в обмотку оптимального тока.

Таким образом, задача противоминной защиты малого корабля была успешно решена. Над было переходить к опытом по размагничиванию крупных кораблей. В октября 1938 года был выдлен для экспериментовLINKОР «Марат». И на этом кругнейшем корабле нашего ВМФ при помощи временной размагничивающей обмотки удалось в десяти раз уменьшить магнитное поле в непредставенной близости от килля.

Чтобы получить все необходимые данные о поле корабля для проектирования системы защиты, надо было изменить значения магнитной индекции этого поля в большом числе точек на разных глубинах. Для этого под корабль опускалась алюминевая штангга с прикрепленным к ней на специальной тележке магнитометром *). Штангу перемещали под корабlem и установлиали на разных глубинах. Для каждого положения штангги изменяли магнитную индекцию в несколько точках под килем и за бортами корабля. Эту трудоемку работы, требующую хорошего отладки прибора и приспособления, группа ЛФТИ научилась выполнять быстро, чтобы не задерживать более корабли на рейде.

Таким образом, к началу Великой Отечественной войны были созданы надежные методы защиты наших кораблей от магнитных мин противника.

Первое военное утро застало группу А. П. Александрова на бортуLINKОР «Марат». Уже в 4 часа утра на нем была обьявлена boевая тревога: с финского берега появились вражеские самолеты. Проверив соответствие расчетных ампера-витков в секциях обмоток и убедившись в правильности направления токов в них, комиссия передала в эксплуатацию защите устройстваLINKора, сошла на берег в Кронштадте и тут же получила задание командования в сроком порядке оборудовать противоминными системами защиты несколько тральщиков. Не ограничивая этим, группа А. П. Александрова из имеющегося в наличии кабеля смонтировала два электромагнитных траля, и уже 27 июня 1941 года

*) Магнитометр — прибор, предназначенный для измерения магнитной индекции поля.

8

да эти тральщики вышли на выполнение боевого задания.

Прогнозы специальов ЛФТИ и флота оправдались: самым первым мероприятием немецко-фашистского командования на морских театрах военных действия после вероломного нападения на Советский Союз была попытка заблокировать наши корабли в их базах и связывать их боевые действия массовыми постановками магнитных мин. Фашисты возлагали большие надежды на эффективность этого нового морского оружия и были уверены, что советские моряки и специалисты не смогут быстро найти способы и средства защиты кораблей.

Именно в этих тяжелейших условиях начала войны и стал сказывать тот огромный труд, который был проделан в предвоенные годы учеными, военныхми моряками и специалистами судостроения. В первые же дни на ряде кораблей Балтийского флота были пропожены и закрыли на палубе вдоль бортов время.

Группа научных работников ЛФТИ, занимашихся размагничиванием кораблей. Слева направо А. Р. Регель, Ю. С. Лазуркин, И. В. Курчатов. Фотография сделана в Поти в декабря 1941 года.

Линкор «Марат» — первый из крупнейших кораблей Военно-Mорского флота СССР, оборудованный размагничивающий системой.

И. Пирогов, И. Тюлина

Мехмат МГУ
в годы Великой Отечественной войны

«…Золотом по мрамору высечены столбцы фамилия. Рядом с двумя — золотые звездочки. Герой Советского Союза. Всего же на mexmate их семь. Шесты из них — студентки. Не знаю, есть ли в каком-нибудь университете второй такой геронческий факультет». Так писала газета «Известия» 9 июня 1979 года. Об этом геронческом факультете — механико-математический факультете Московского государственного университета, его жизни в годы Великой Отечественной войны, о некоторых его преподавателей и студентах — участниках войны — рассказывают воспитники факультета, бышие фактовки, новые доценты МГУ И. А. Тюлина и И. З. Пирогов.

Фронтовики
21 июня 1941 года Женя Руднева записала в дневнике: «Сданы все зачеты! Все экзамены! Все! Все! Жизнь прекрасна и удивительная!»
А на следующей утро на весь наш народ обрушиласьрозная весь — война. Мехмат, университет, вся страна закипели, как развороченный муравейник: один спешили в военкоматы, другие узжали на трудфронт и на оборонительные работы; бесплатные шелоны и колонны потянулись на запад.

12

Же рассказывается о многочисленных подвигах Барыкова. Так, в одном воюе на немецкой земле Барыков остался один со своей пушкой, когда из леса показались на большой скорости 9 немецких танков. Геннадий Бесстрашно вступил в подeinок с танками. Вскоре метким огнем он поджег головой танк, другие пытались маневрировать в чашце. Но огонь артиллерия вынуждил их повернуть назад. После войны Барыков успешно окончил mexмат, зашитил кандидатскую диссертацию и работает в одном из взов Москвы.

Давид Шклярский, один из организаторов школьных математических кругков и математических олимпiad в университете, по окончании mexмат МГУ вступил в действующую артиллерию и погиб в составе моториизованной бригады особого назначения в тылу врага. Через два десятилетия, когда его друзья и ученики затеали выпуск серии книг «Библиотека математического кружка», в списке авторов первым был поставлен Шклярский. Не по алфавиту — по долгу памяти.

Второкурсник Юра Тихомиров участвовал в Сталинградской битве. Командир роты Тихомиров под управлением огнем поднимал в атакуоцов, вел их на дзоты противника. В письме домой в 1944 г. он писал: «Попробовал я и пули, и осокков, вытаскивали меня из заваленного блиндажа, а я — цел и невредим…». Так он писал за полгода до победы, когда за плечами остались и формирование Сожка и Днепра, и взятые Барановичей. На гипнастерке алло много наград. Бой шли за Варшаву. И здесь, на польской земле, под городом Пултуском, в деревне Старые Барсуки Юра Тихомиров был сразу снарядом, когда он щел в наступление вперед своей роты. Боевыте товарищи писали о нем: «Несмотря на

13

го, что он не был богатый слоЖения, своим действием он не раз обеспечивал успех нашей части. Он был лучшим офисом полка».

Его товарищ по второму курсу механита Вася Жиров был пулеметчик в пехоте. Но погиб он не за пулеметом. В жарких боях ранней весной 1942 г. под Ржевом прорвались немецкие танки. Вася Жиров бросился под вражеский tank со связкой гранат и погиб смертью героя.

В тылу врага сражались и погибали комсомольцы механита, которые отбрали в первые дни войны как самых надежных и выносных: два Василия — Подольский и Власенко, Володя Игнатович и Ваня Архименко. Они были десятиками. Младший политрук motorизованного десантного батальона спирант Казимир Агаев (комсомолец с 1929 г.) был высажен с десятом под Курском зимой 1942 г.; в февраля того же года Казимир Агаев пал смертью храбрых в упорном неравномбою в тылу противника.

Многие довоенные механические запомнили Пашу Лунева. В 1933 г. он пришел на механит с восьмилетим рабочим и годовым парттийным стажем (он был приятит в партию на автозаводе им. Сталина, где работал шофером). На механите он учился хорощо и с большим интересом. Был оставлен в аспирантуре. Он был комсортом, потом секретарем биого ВЛКСМ механита, а перед войной — секретарем комитета ВЛКСМ МГУ. Получив еще до университета спе-то, что он не был богатый слоЖения, своим действием он не раз обеспечивал успех нашей части. Он был лучшим офисом полка».

Штурман эскадрилы 46 Гвардейского почного легко-бомбардировочногоженского авиаполка, Герой Советского Союза Екатерина Рябова перед боевым вылетом.

Циальность танкиста, в начале войны Паша Лунев вступил добровольцем в армию и вскоре погиб под Белой Церковью.

Всего с механико-mатематической факультета МГУ ушло в действующую армию более 300 человек, половина не вернулась. Комсомольцы факультета ведут поиск следов и воинских биографий погибших товарищей. Наemornalной доске 14 этажа высотного здания на Ленинских горах занесено 80 имен, но это еще не все.

Более пятидесети человек вернулись на механит с различных фронтов Отечественной войны. В настоящее время на факультете работает 33 участника Великой Отечественной войны; из них 15 профессоров, докторов наук (пrimерно столько же ветеранов работает в НИИ механики МГУ).

Известный ученый-упругист П. М. Огибалов (декан механико-

15

Старшийлейтенант стрелковых войск, участник битвы под Сталинградом (где был тяжело ранен) Виктор Васильевич Московин, нивен профессор механика МГУ.

Капитан артиллерии Артур Яковлевич Сагомонян, нивен профессор механика МГУ.

Комсомольский билет Михаила Иванова, погибшего в 1941 г.

Студенческий билет Андрея Павлова, погибшего в 1941 г.

стариннаячугуннаяограда. Помещения факульта надолго оказались непригодными к занятиям. Но зимняя экзаменационная сессия, а затем и весенняя состояние: студенты сдавали зачеты и экзамены, в том числе и госпязамены, получали дипломы.

Основная часть факультета, закупированная в Ашхабад, присутствовала к занятиям в декабре 1941 г.

Перезимовав в Ашхабад, факультет летом 1942 г. переехал в Свердловск, где условия для занятий были лучшие. А весеной 1943 г. радостная весть облегла студентов: Московский университет возврашает в Москве! Летом факультет восстанавливается в Москве, но трудности в жизни факультета еще прибавились. Коллектив факультета значительное увеличился (на 1 курс было принято 155 студентов), а занимается было неде, читальные залы не работали. В это время нередко можно было встреть нашero студента с учебником, а чашце с консpektом в метро, курсирующего по несколько раз в день «от Сокольников до Парка» и обратно, в трамвае — от Дома Союзов до общежития в Останкино, а в весеннюю экзаменационную сессию — в Александровском парке, у Кремля — напротив мехмата.

Косени 1944 г. аудитория факультета была полностью восстановлена. По инциативе студентов была проведена научная студенческая конференции по математике и механике, а весной 1945 г. состоялась первая научная конференции «Ломоносовские чтения». Ломоносовая премия была присуждена профессор Х. А. Рахматулину, сделавшу доклад на тему: «Распространение линейных волн при ударе по гибкой нити».

Учены факультета — фронту

Сорок лет назад, еще до начала войны, на эродроме у станции Планерная под Московой проходили испытания perвых в мире пакет с воздушно-реактивными дивигателями. Это было одно из существенных достижений на пути реализации смелых идей К. Э. Циолковского, по замыслу которого еще в 1933 г. в Москве был основан Реактивный научно-исследовательский институт (РНИ). В Московском университе проводились хозяйственные экспериментальные работы для РНИ, о которых в журнале «Крылья родины» (№ 5 за 1964 г.) читаем:

«Начальным этапом явились исследования пакет в эродромамчес-

16

кой трубе механико-математического факультета МГУ. Путем нескольких продуктов определили коэффициенты лобового сопротивления пакеты, подбрали аэродинамические тормозы, предназначавшиеся для быстрейшей расцепки первой и второй ступеней.

Одновременно с аэродинамическими исследованиями проводились испытания процесса горения в камере ВРД наrotationной установке, устроенной на станции Планерная». В продукке второй ступеня пакеты в вертикальной трубе аэродинамической лаборатории МГУ принимали участие под руководством профессора Х. А. Рахматулина студенты механики МГУ И. А. Меркулов (конструктор пакеты с ВРД), А. Т. Ульбеков и Л. Сабсович.

В начале войны молодыми учеными механико-математического факультета МГУ А. А. Космодемьянским и Л. П. Смирновым были выполенены исследования, имеющие неопределенное отношение к первым образцам пороховых военных пакет, получивших название «катюш». Об этом говорится в книге «Московский университет в Великой Отечественной войне».

Флаттер — это слово наводило ужас на летчиков-испытателей и конструкторов самолетов в предвоенные годы. Но вот вборбу с этим танистенным явлением, вызвавшим разрушение самолетов в воздухе, вступили математики. После того как профессор нашго факультета М. В. Келдышем была разработана математическая теория флаттера, танистенноъ этого явления исчезла, а за время войны не было случаяв разрушения самолетов из-за флаттера.

С первых дней войны учены факультета самым активнейшим образом включились в научные исследования по оборонной тематике. Коллектив кафедры теории вероятностей под руководством академика А. Н. Колмогорова проводил большие исследования по разработке теории артиллерийской стрелбы и созданию таблицы стрелбы. В связи сроки была решена задача о наивыгоднейшем рассеивания снарядов при стрелбе по площадям. Профессор С. В. Бахалов, бышний в годы гражданской войны артиллеристом, разработал теорию прибовов управления артиллерийским огнем. В организации обороны Москвы от налета вражеской авиации посильную помощь войском ПВО оказал профессор Н. А. Глаголев, решивший задачу об оптимальном размешении зенитных батарей вокг Москвы.

Важная для ПВО задача об устойчивости формы аэростата воздушного загрязнения, а также о прочности тросов загрязнения была решена профессором Х. А. Рахматульным; им же разработывалась теория парашютов и аэродинамика пропищаемых тел.

Трудной и актуальной проблем для нашей авиации была комбардировка вражеских войск с малых высот при малых скоростях самолетов. В решении этой проблемы приняли участие многоные крупные учены факультета. Академик Н. Е. Кочин дал практическое решение задачи по теории полетов самолетов на низкой высоте, а коллектив кафедры теории вероятностей создают в 1942 г. таблицы комбардирования с малых высот при малых скоростях самолетов.

Всему миру известна «Дорога жизни» по льду Ладожского озера и ее роль в обороне Ленинграда и спасении многих ленинградцев. В создании этой дороги принимал участие профессор кафедры теории управления техническими особенностями артиллерии, которые проводились на кафедре теории управления под руководством членена-корреспондента АН СССР А. А. Ильюшина с первых дней войны. Несмотря на то, что во время налетов вражеских комбардировков на Москвы лаборатории механика сильно пострадали, лабораторные работы на кафедре управления имели перерыв лишь около двух месяцев (в конце 1941 г.).

Главный результат этих работ — теоретическое определение и доказance

17

зательство допустимости пластических деформацийосколочно-фугасных сарядов при выстреле. Этот результат был проверен стрелбами и привед к созданию новых форм прочности, позволивших уже в 1943 г. коренным образом расширить производство сарядов из взязких стелей без термообработки и изсталых чугунов. Использование же низколегированных стелей для изготовления сарядов значительное удешевляло и прросло производство их, что было особенно важно при работе в условиях эвакуации.

При исследовании устойчивости вззко-пластических течений было определено число осоклов и их размер при разрыве сарядов, а на основе этих исследований былиданы предложения об оптимальном проектировании сарядов. Впервые в практике исследования были применены методы моделирования производения авиабомб в грунт и dan анализих прочности. Эти методы позволили решать проблемы оборонной техникиускоренных темпами. В начале войны был предложен метод скорости испытаний на установь ферросплавов для танковой промышленности. А в 1942 г. дано приближение определение угла управления торпедной стрелбы по скорости изменения пленга и сделан соответствующей прибор.

Сложную математическую задачу по устойчивости продольно-вращательных движений сарядов и расчет и определению наивыгоднейшей критизмы нарезки столовов решил член-kорреспондент АН СССР Н. Г. Четаев. Им же совместно с профессором А. А. Космодемьяским и профессором Н. Д. Моисеевым была решена важная практическая задача об устойчивости сamlета при движении по земле (эта задача возникла при частом перебазировании сamlетов на новые неблагостроенные аэродромы). Понято, какое исключающее значение в годы войны имела служба времени ГАИШ, обеспечившая передачу точных радиоисгналов времени для нужд фронта. В ее бесперебойную работу немалый вклад внес профессор Н. Д. Моисеев, руководивший этой службы. Академик А. Ю. Ишлинский, член-корреспондент АН СССР Б. В. Булгаков и профессор Я. Н. Ройтенберг проводили большую теоретическую и практическую работу по совершенствованию и повышению точности морских гироскопических приборов и приборов управления артиллерийским огнем на кораблях Военно-морского флота СССР.

Профессор М. А. Крейнес принимал активное участие в решении задачи о выборе схем регулярных сложных зубчатых передач для механизмов управления танков.

Здесь перечислены далеко не все работы оборонного характера, которые успешно выполняли учены факультета. Этот труд ученики механико-mатематического факультета был отмечен многими правительствами ми наградами и Государственными премиями СССР.

Забытая теорема

(софизм-шутка)

Вот «теорема», забытая авторами учебников геометрии:

Через любые n точек можно проводить пряму лилию (n — произвольное натуральное число).

Докажем эту теорему методом математической индукции.

При n=1 и n=2 теорема справедлива (в силу известной аксиомы геометрии). Остается доказать теорему для больших значений n.

Допустим, что теорема справедлива при некотором n=k, и показем, что в этом случае она будет сохранять силу и при n=k+1.

Итак, пусть произвольный заданы k+1 точек M1, M2,…, Mk, Mk+1. В силу предположения индукции, через k точек M1, M2,…, Mk проходит некоторая прямая l. В силу того же предположения через k точек M2,…, Mk, Mk+1 также проходит некоторая прямая l’. Этти две прямые имеют по крайней мере две общие точки M2 и Mk. Но две точки определяют единственную прямую. Примыты l и l’ должны поэтому совпадать. Следовательно, прямая l, проходящая через точки M1, M2,…, Mk, проходит и через точки Mk+1 — и теорема доказана.

Ю. Гайдук

18

П. Халмои

Логика от А до Г

Описание механического помещника математика
с вольными замечаниями математика-исследователья

Чем является и чем не является логика

Первоначально «логика» ознакомлено то же, что «законы мышления». Логики изучали эту науку, надаясь, что смогут найти лучшие способы мышления и более надежные способы избегать ошибок, чем те, которые знали их предки. Они надеались, что смогут научить этому искусству все человека. Однако опыт показал, что это были несбыточные места.

Перевод с английского Л. Савиной статьи из Mathematics Magazine, т. 50 (1977), № 1, с. 5—11.

Нормальный, здоровый человек владает всем «законами мышления», которые когда-либо были изобретены, и нет ничего такого, чем логики могли бы его научить по части мышления и способов избегать ошибок. Это не означает, что человек знает, как он думает, и это не означает, что он никогда не делает ошибок. То же самое относится к органам движения, с которыхрождается все нормальные, здоровые люди. Я не знаю, как я хочу, но я делаю это. Иногда я спотыкаюсь. Законы ходьбы могли бы представлять интерес для физологов и физков, а все, что хочу я, — это продолжать ходить.

Предмет математической логики, который является темой этой статьи, не претендует на открытие законов мышления и обучение им. Этот пред-

Аксиломы
Грамматика

20

вым анализом важнейших слов все и некоторые. (Между прочим, мы сейчас достигли начала алфавита: буква А в названия «Логика от А до Γ» обозначает, конечно, Аристотеля.) Для них использовются следующие сокращения: ∀ и ∃. Чтобы проиллюстрировать использование этих символов, рассмотрим предложение «Кто заколебался, тот пропал»*. На педагогном математическом языке это может быть сказано следующим образом: «Для всех X, если X заколебется, то X пропал». Используя K(X) и Π(X) в качестве сокращений для «X заколебется» и «X пропал», мы можем написать (∀ X) (K(X) ⇒ Π(X)).

Если мы сомневаемся в этом утверждении, то есть если мы склонны верить, что в полне возможно колебание без последующей гибели, мы можем выразить наш скептицзм в виде (∃ X) (K(X) & (∏ Π(X)).

И, наконец, Фреге и много кванторов
Важной частью аристотелевских сокращений является использование дополнительных символов, подобных вышеприведному символу X. Такие символы в языке логики играют местоимений. Вспомните, что в вышеприведном примере X занало место слова «он». Символы, используемые таким образом, называются индивидальным переменными. Следующей исторической фигурой, заслуживающей упоминания, является человек, который первым решился их использовать. Его имя Фреге, и он тоже жил в XIX веке. Сегодня мы ценим его за то, что именно он подчерknул: одна переменная, то есть одно местоимение, — список убогий инструкмент для большинства научных и математических целей. Например, если мы хотим выразить очень скромное утверждение, что имеет больше чем два числа, то есть что существует по крайней мере три различных числа, мы можем сделать это следующим образом:

(∀ X) (∃ X’) (∃ X’’) (∃ X’’’) (∃ X’’’’)
(X = (X’ × X’) + ((X’’ × X’’’) +

• ((X’’’’ × X’’’’’) + (X’’’’’ × X’’’’’’)))).

На самом деле, можно навести некоторую экономию; некоторые символы можно легко и естественно

*) Буквалный перевод английского варианта нашей поговорки «Промедление смерти подобно». (Прим. пер.)

Совершенно очевидно, что для этой целли нужны по крайней мере три переменные. Чтобы сказать, что имеется больше чем десять чисел, нужно по крайней мере одиннадцать переменных. Чтобы продолжать любое нетривиальное количество расчетов, нужно (по крайней мере потенциально) бесконечный запас переменных. Эффективный способ создания такой запас (обычно алфавиты имеют слишком конечное число букв) состоит в том, чтобы использовать одну букву, скажем X, и один дополнительный символ, скажем штириx. И затем использовать в роли переменных символы
X, X’, X’’’, X’’’’’, X’’’’’,…

Кроме схимволов, которые я упоминал до сих пор, имеются еще два, которые я уже использовал, и безудержная частность заставляет меня присоединить их к нашему списку. Символы, которые я имею в виду,—левая и правая круглыские скобки: они обозначются, конечно, так:
(
и
)

Сколько символов?
Оказывается, очень большая математика, а именно все аргументы, может быть выражена с помощью символов, которые я перечислил до сих пор. Например, знаменитая теорема Эйлера*): каждое целое положительное число есть сумма четырех квадратов — может быть записана следующим образом:
(∀ X) (∃ X’) (∃ X’’) (∃ X’’’) (∃ X’’’’)
(X = (X’ × X’) + ((X’’ × X’’’) +

• ((X’’’’ × X’’’’’) + (X’’’’’ × X’’’’’’)))).

На самом деле, можно навести некоторую экономию; некоторые символы можно легко и естественно

*) В русской математической литературе ее называют теоремой Лагранжа. (Прим. ред.)

21

определенть через другие. Наш список можно без труда уменьшить до джинны, а именно:

$$\& + \times 0 \exists X' = ()$$

Чтобы снова получить $V$, заметьте, что $P \vee Q$ есть не что иное, как $(\cap P \& \cap Q)$. Чтобы получить $\Rightarrow$, заметьте, что $P \Rightarrow Q$ есть то же самое, что и $(\vee X) P(X)$. Чтобы получить $\vee$, заметьте, что $(\exists X) (\cap P(X))$. Так, словами, высказывание «Все не навидят шпинат» означает то же самое, что отрицание того, что есть кто-то, кто его любит. В таких сокращениях есть неокоторое техническое премиущество в принципе, но нет смысла связать себя ими на практике. Всякий раз, когда удобно, я буду использовать $V$, $\Rightarrow$, и я даже буду использовать $Y, Z, U, V$ и т. п. в качестве переменных. Чтобы установить эти отклонения от наших правил, достаточно заменить $V$, $\Rightarrow$, $\vee$ и т. п. на их определения, а также заменить $Y, Z, U, V$ и т. п. на $X', X''', X''''$ и т. д.

Сделаем пару любопытных замечаний. Во-первых, все, что мы делаем для элементарной арифметики, с таким же успехом может быть сделано для всех существующих разделов математики. Технический аппарат, то есть символка и правила, управляющие его, даже не стали бы сложнее: единственная разница состоит в том, что нам пришлось бы думать немного больше. Но ясно, что это не желательно, поэтому я собираюсь ограничиться элементарной арифметкой. Во-вторых, в числе «двенадцать» нет ничего магического. Дюжина символов достаточно для арифметики и фактически для всей математики (хотя в этом случае мы, возможно, должны были бы найти другую дюжину). Более того, потравив незначительные условия, можно обойтись и более скупными средствами. Налучший возможный результат, на который вы могли надеться в самых фантастических местах, оказався верным, а именно, что достаточно даже двух символов*). Получить через другие. Наш список можно без труда уменьшить до джинны, а именно:

$$\& + \times 0 \exists X' = ()$$

Чтобы снова получить $V$, заметьте, что $P \vee Q$ есть не что иное, как $(\cap P \& \cap Q)$. Чтобы получить $\Rightarrow$, заметьте, что $P \Rightarrow Q$ есть то же самое, что и $(\vee X) P(X)$. Чтобы получить $\vee$, заметьте, что $(\exists X) (\cap P(X))$. Так, словами, высказывание «Все не навидят шпинат» означает то же самое, что отрицание того, что есть кто-то, кто его любит. В таких сокращениях есть неокоторое техническое премиущество в принципе, но нет смысла связать себя ими на практике. Всякий раз, когда удобно, я буду использовать $V$, $\Rightarrow$, и я даже буду использовать $Y, Z, U, V$ и т. п. в качестве переменных. Чтобы установить эти отклонения от наших правил, достаточно заменить $V$, $\Rightarrow$, $\vee$ и т. п. на их определения, а также заменить $Y, Z, U, V$ и т. п. на $X', X''', X''''$ и т. д.

Сделаем пару любопытных замечаний. Во-первых, все, что мы делаем для элементарной арифметики, с таким жеUCCESSION для всей математики (хотя в этом случае мы, возможно, должны были бы найти другую дюжину). Более того, потравив незначительные условия, можно обойтись и более скупными средствами. Налучший возможный результат, на котором вы могли надеться в самых фантастических местах, оказався верным, а именно, что достаточно заменить $V$, $\Rightarrow$, $\vee$ и т. п. на их определения, а также заменить $Y, Z, U, V$ и т. п. на $X', X''', X''''$ и т. д.

Механический математик

Давайте, теперь приступим к созданию механического математика, который положит конец всем математикам. Достоинства этой воображаемой машины чисто умозрительные; мы не утверждаем, что создание механического математика принесет какую-либо практическую выгоду. Он никогда не сможет заменить живого математика.

Начнем строить машину. Для этого нам понадобится лента для пшуших машинок, дожина клавишей (на каждом находится один из джинны основных символов) и потенциально бесконечно длиной рулон бумаги для печати. Идея машины состоит в том, что после нажатия пусковой кнопки машина должна печать все, что она когда-либо может напечать. Один из способов запрограммировать это такое: расположим джинну символов в произвольном порядке (назовем его алфавитным) и затем даим указание машине печать первые две надцать символов («букв») алфавита, потом печать 144 «слова» из двух букв, затем 1728 «слов» из трех букв и т. д. до бесконечности. Машина, сконструированная таким образом, напечатает много чепухи, например:

$$= = = ((0 + ')$$

и много лжи, например

$$(\exists X) ((0 \times X) = 1)$$

но она рано или поздно напечатает любое арифметическое утверждение.

Потребуем соблюдения грамматики

Чтобы сделать машину более похожей на живого математика из плоти и крови, мы должны ограничивать дело так, чтобы на выходе машина никогда не давала сущero вздора, хотя пока мы ей разрешаем врать.

23

рых она обязана начинать. Будем называть эти предложения аксюмами. Я опять не указываю здесь точно, какие предложения должны быть аксюмами арфметики, но приведу несколько примеров. (Полное определение понятия «аксюма» в элементарной.arifметике не очень длинно или сложно. Просто здесь не время и не место вдаться в обсуждение технических частностей.) Ну, хорошо: машину можно было бы научить, что всякий раз, когда P и Q — предложения, тогда предложение

$$P \Rightarrow P \lor Q$$

должно печататься красной краской. Идея состоит в том, что каждое такое предложение нужно считать аксюмой. Аналогично, мы можем сказать, что если $P(X)$ и $Q(X)$ — фразы (содержание «висящее» местимение X, но никаких других), то предложение

$$(\exists X)(P(X) \lor Q(X)) \Rightarrow (\exists X)P(X) \lor (\exists X)Q(X)$$

должно печатся красным. Последний пример: такое предложение, как $(\forall X)(\forall Y)(X+Y=Y+X)$, (С)

может быть аксюмой элементарной.arifметики. (Пояснительные примеры: (A) Если погода теляя, то или солнце светит, или погода теляя, или же и то и другое вместе. (B) Если кто-то любит или шпинат или капусту, то или кто-то любит шпинат, или кто-то любит капусту. (C) $2+3=3+2$.

Суть дела здесь состоит в следующем: из всех предложений неким разумным и систематическим способом выбирается определенная группа предложений, которые машина может печатать, и машина дается команда печатать эти специальные предложения красным. Предложения, напечатанные красным, называются аксюмами для машины.

Запрограммируем процедуру

Выше я сказал, что никто не может доказать что-то из ничего, по этой причине я надело механического математика некоторыми исходными предложениями. Но также верно, что никто не может доказать что-то при помощи печатать предложения черным и красным, и если аксюмы были выбраны в соответствии с пожеланиями разумного существа, то предложения, напечатанные красным (аксюмы), будут верны. Тем не менее машина может печатать много ложных штуковин, и она все еще не имеет средства для создания новых правилных предложений из старых.

Теперь процесс обучения машины доступен этапа. На этом этапе машина должна научиться распознавать определенные комбинации предложений и за это вознаграждается тем, что ей разрешается использовать большее красной печатнойкраски. Общий список таких правил процедуры не длинный, список из двух примеров таких правил, который я собираюсь дать, даже еще короче. Возможное правило номер 1: если $P$ — красное предложение и если $P \Rightarrow Q$ — красное предложение, то печатей $Q$ красным. (Объяснение: если «Солнце светит» — аксюма или было уже доказано, так же как и высказывание «Если солнце светит, то погода теляя», тогда мы можем считать доказанным, что «Погода теляя».) Возможное правило номер 2: если неполная фраза $P(X)$, содержащая «висящее» местимение $X$ (и никаких других), такова, что предложение $P(0)$ — красное ($P(0)$ — предложение, полученное из $P(X)$ подстановкой 0 вместе $X$), то печатей предложение $(\exists X)P(X)$ красным. (Объяснение: если мы подставим 0 вместе $X$ в $(1+X)=1$, мы получим $(1+0=1)$. Если это предложение — аксюма или уже было доказано, то мы можем считать доказанным $(1+X=1$ для неокоторого $X$).)

Сделав последнее добавление, мы можем, наконец, почить на лаврах. Мы можем, если хотим, изменить внутреннюю конструкцию машины так, чтобы она не печатала ничего, кроме красных предложений. Когда нажата кнопка, машина начинает печатать аксюмы и с помощью правил процедуры продолжает печать

24

тать теоремы, которые она может вывести из этих аспектов. Машина может делать это в некоторых систематическом порядке, скажем в алфавитном.

Наступил золотой век. Механический математик закончен. Нажмите кнопку и, откинулись на спинку стула, можете бездельничать. На ленте будут появляться одна за другой теоремы элементарной арифметики. Если подходить достаточно долго, то рано или поздно перед вашими глазами пройти все теоремы. Машина никакda не говорит непроведей и никакda не говорит непроведы. Вы будете считать, что машина несколько скучноваata, часто повторяет одно и то же, работает очень медленно с точки зрения человека. Но это не ее вина.

Есть ли противоречия?
Мы ввели в машину все, что мы сами, ее создали, знаем об элементарной арифметике. Внутренняя работа машины и есть элементарная арифметика. Теория такой машины, ее конструкция, ее структуры свойства является частью другой дисциплины, часто называемой metamатематикой (или, в нашем случае, метаариметикой). Следующий вопрос является типичным вопросом, задаваемым в метаматематике: «Напечатает ли машина когда-либо как предложение $P$, так и его отрицание $\neg P$?» Если бы она когда-либо сделала это, то мы бы, верятоно, выразили неудовольствие таким состоянием дел, сказав, что элементарная арифметика противоречива. К счастью, это не так: арифметика не противоречива. Доказательство этого зависит от очень утонченного, не элементарного изучения той машины, которую мы описали. Изучение является «незелементным» в нескольких смыслах этого слова. В самом томом техническом смысле дело в том, что доказательство того, что машина непротиворечива, не является одной из теорем, которое машина сама может доказать. Повторим это иначе: машина никакda не будет противоречить сама себе, но она не может доказать это.

Может ли все быть доказано?

Другим интересным вопросом метаматематики является следующий: «Является ли машина полной в том смысле, что она либо доказывает, либо проверяет каждое предложение элементарной арифметики?» В существии, я уже dal ответ на этот вопрос, но все-taki стоит его повторить. При создавшемся положении в каждой в каждой все то, что машина написает, она доказывает. Если я занитересован в каком-то конкретном арифметическом предложении, я могу написать это предложение на кусочке бумаги и затем после включения машины сравнить все последующей текст, печатающая машиной, с помощью заготовленным бланком. Если на бумаге утверждается $P$ и если на какой-то стадии машина также печатает $P$, то я удаляюсь с победой; мое утверждение $P$ доказано. Если на бумаге утверждается $P$, но на какой-то стадии машина печатает $\neg P$, то я удаляюсь с победом: мое $P$ провергнут. Однако нет ли здесь третий возможность? Не может ли так служить, что машина никакda не написает $P$, а также никакda не написает $\neg P$? Не может ли так служить, что машина никакda не разрешит спора между $P$ и $\neg P$? На самом деле может, и тем самым доступили конца нашего анализа арифметической машины, что существует утверждения (и таких много), которые машина никакda не разрешит. Это доказательство является оно дает полную инструкцию для записи не-

25

разрешимого предложения. Доказательство того, что предложение, которое получили, следующий инструкции, неразрешимо, зависит от подробного изучения тех же самых инструкций. Здесь нет ничего неправильного, здесь нет парадокса, здесь все волне логичного. Тот факт, что никака не потребила запись неразрешимое предложение Гёдель полностью, снова объявляется недостатком терпения и быстроеность человека жизни.

Когда я ставил вопрос о полоте, я сказал, что уже ответил на него. На самом деле, рассмотрим предложение (записанное форматно с помощью дюжины формальных символов аргметики), которое утверждает, что аргметика не противоречитва. Совсем не ясно, что скудный форматный аппарат аргметики способен выразить такое предложение. Однако из-зауг Гёдель является то, что он показал способность аргметики проделать это. Если мы примем это на веру и если мы наоземем одно такое предложение $P$, то мы знаем только, что $P$ недоказуем в элементарной аргметике. А как насчет $P$? Ну, совершенно ясно, что $P$ также не может быть доказано. Причина: все доказываемое, как мы уже знаем из наших предложших рассужdenи на эту тему, истинно. (Это связано с тем, что аргметика не противоречитва.) Предложение $\neg P$, конечно, не истинно. (Вспомните, что $\neg P$ отрицает непротиворечность аргметики.) Вывод: ни $P$, ни $\neg P$ не доказуем. (Замечание: из этих двух высказываний, истинным является $P$).

Но это не все

To, что я сообщил вам, произошло в 30-х годах. Но с тех пор наука не стояла на месте. Сам Гёдель добавил много ярких результатов к нашим знаниям о форматной логике. Многие другие работы в этой области и обнаружили неожиданные приложения и затруднения. Кто, например, мог ожидать, что форматная логика оказется одним из самых важных инструментов при конструкции самых что ни есть настоящих электронных вычислительных машин! Математическая логика жива и здорова, многое еще предстоит сделать, иройдет много времени до того, когда кто-нибудь сможет описать математическую логiku от «А» до «Я».

Дорогой Великой Отечественной войны прошли миллионы советских людей: учтеля и инженеры, рабочие и колхозники. Люди самых разных профессии по признаву партии и зову сердца встали на защиту отчечества. Мы рассказем вам об учтнике Великой Отечественной войны, вся жизнь которого неразрывно связана с преподавательской деятельности в Ростове-на-Дону. В 1937 году он оказивает институт и начинает работать на кафедре математики.

Великая Отечественная война прерывает педагогическую деятельности А. Ф. Жинкина. 15 ноября 1941 года он уходит на фронт, прини-мает участке в боях на Малой земле. Именно там назывник политотдела армии товарищ Л. И. Брежнев вручает А. Ф. Жинкину партийный билет.

За боевые заслуги А. Ф. Жинкин нагradжен многими боевыми ordenами и медалими.

По окончании войны он продолжает свою преподавательскую деятельности в Винницком. педагогите на кафедре методики математики, занимаясь изготовлением наглядных пособий.

Выйдет в 1970 году на пенсию, А. Ф. Жинкин не перестает заниматься педагогической и общественной деятельности — выйдет с lekциями перед молодежью, прививая ей любовь к математике.

М. Барская

27

на угол φ, то левое нижно повернуть на несколько больший угол φ + β. Расстояние R от оси симметрики корпуса автоматия до центра поворота можно найти из соответствия

$$R = L \text{ ctg } \varphi - \frac{d}{2},$$

где L — расстояние между осями передних и задних колес — так называемая база автоматия, d — расстояние между соосными колесами — колей автоматия.

Однако такая картина поворота возникла лишь при очень медленном повороте, когда центростремительное ускорение центра тяжести автоматия и вызывающие его боковые силы, приложенные к колесам от земли, невелики.

При наличии боковой силы автоматная шина «идет» под некоторым углом к своей плоскости симметрики. Это называется явлением увода шины. Для изучения явления увода применяется такой опыт. Испытемую шину закрепляют на неподвижной оси и прижимают к врашшощемуся барабану силой G, соответствующей нагрузке, то есть вес автоматия, «приходящемуся» на одно колесо (рисунок 2, а). Колесо закрепляют так, что его плоскость симметрики (Пл. M) составляет с плоскостью симметрики барабана (Пл. N) некоторые угол δ, называемый углом увода (рисунок 2, б).

При врашении барабана на колесо будет действовать сила треня $\vec{F}_{\text{тр}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ (рисунок 2, в) Слагаемое $\vec{F}_1$ — это сила, «раскручивающая» колесо, а слагаемое $\vec{R}_2$ — это та сила; которая, если ее не «компенсировать», будет смешать колесо «поперек» барабана. Следовательно, чтобы колесо «шло» под углом δ к плоскости N, к нему надо приложить силу $\vec{P} = -\vec{F}_2$.

Измеряя с помощью диаметра величины силы $\vec{P}$ при различных углах увода, можно построить график зависимости $\|\vec{P}\|$ (δ). Общий вид такого графика приведен на рисунке 3. При малых углах увода ($\delta < 5^\circ$) зависит $\|\vec{P}\|$ от δ оказывается почти линейной, так что напишем $\|\vec{P}\| = k\delta$. (1)

Коэффициент k называют сопротивлением бокового увода данной шины. Значение k зависит от конструкции шины и от величины нагрузки $\vec{G}$. Для современных шин приблизительно выполняется соответствие сопротивления.

$$k \approx 5 \|\vec{G}\|.$$

Например, для автоматия «Жигули» нагрузка на одно колесо составляет примерно 2200 Н. Следовательно, $k \approx 11000$ Н/рад.

При углах увода $\delta > 5^\circ$ боковая сила представляет растие с ростом δ. Участок кривой $\|\vec{P}\|$ (δ) при $\delta > 5^\circ$ соответствует качению колеса с полным боковым скольжением. Соответствующая сила треня — так называемая предельная сила треня — $\|\vec{P}_0\| = \mu \|\vec{G}\|$, где μ — общный коэффициент треня

28

ния скольжения, который в теории автоматического принято называть коэффициентом сцепления шины с дорогой.

Для современной шины на сухом асфальте μ=0,6÷0,8 (то есть трение шины о дорогу очень велико; например, при скольжения стали по стали μ=0,08÷0,1).

Оказывается, что при обычной эксплуатации автоматия углы увода находятся на линейном участке характерастики |P| (δ). Далее на таких «крайных» режимах работы шины, как поворот автоматия «с письмом», угол увода еще несколько меньше «критического» значения δ=5°.

При езде по хорошейровной дороге значения углов увода все время меняются, так как водитель все время «подправляет» рулем движения автоматия, но остатся при этом очень малими (δ≈0,5÷1°).

Линейный участок характерастики увода, описываемый формулой (1), определяется, как показали многочисленные исследования, боковой упругостью шины. Для очень жесткого колеса (например, колесо детского велосипеда или коляски со сплошной резиновой шиной) критический угол увода очень мал — порядка 0,5÷1°.

Рисунок 4 сделан с фотографии модели шины в месте ее контакта с дорогой. (Шина «катилась» по барабу со специальной проразной поверхности, через которой изнутри барабана и были сделаны снимки.) На рисунке 4, а показано при контакта при качении без увода, а на рисунке 4, δ — с уводом. Для того чтобы картина деформации шины была видна более четко, на шине нарисована средняя линия (экватор на недеформированной шине). Как видно из этих рисунков, средняя линия в зоне контакта направлена по вектору скорости движения шины и величина деформаций тем больше, чем больше угол увода. Отсюда ясно, что при одном и том же угле увода, а следовательно, при одних и тех же деформациях боковая сила тем больше, чем жестче шина.

Выяснение зависимости величины k — сопротивления боковому уводу шины — от конструктивных параметров шины (давления воздуха в шине, ее геометрических размеров, жесткости резины и т.п.) является очень сложной задачей. Кроме того, рассмотрена нами зависимость (1) справедлива лишь в тех случаях, когда угол увода неизменен во времени или меняется сравнительно медленно.

В случаех, когда необходимо расстматировать быстро меняющиеся углы увода, зависимость оказывается более сложной. Такая зависимость изучалась академиком М. В. Келдышем при исследовании быстрых колебаний колеса с прругой шиной относительно вертикальной оси. Колебания этого типа носит название «шимми» (по названю американского танца). Такие колебания во многих случаях приводили к поломке рулевых управлений автоматией и самолетных шасси. Теория М. В. Келдыша позволяет создать специальные приспособления, устройства эти колебания.

Для изучения же устойчивости и управляемости автоматия в целом зависимость (1) оказывает достаточно.

Движение автоматия на круговом повороте

Как мы уже говорили, даже при движении автоматия по прямой и сравнительноровной дороге водитель немного движения рулем, так как различные помехи, неровности дороги (пусты даже очень малые), порывы бокового ветра и, наконец, просто невозможность поставить передние рулевые колеса точно в положение

29

«Прямо» заставляет немного поворачивать руль время от времени. В течение одного какого-нибудь промежуточка времени, пока руль неодвижен, траектория центра тяжести автоматоля близка к дуге окружности очень большого (по сравнению с длиной автоматоля) радиуса. Таким образом, реализная траектория центра тяжести автоматоля, движущшегося «прямо», состоит из друг окруженной большого радиуса и только кажется прямой линейей.

Рассмотрим движение автоматоля по окружности радиуса $R$ при неподвижном положении руля и постоянной скорости $v$. Такое движение называется установившимся повтором.

Пусть рулевые (передние) колеса автоматоля повернуть под некоторым постоянным углом $\varphi$ по отношению к положению «прямо» (рисунок 5). Центр тяжести автоматоля (точка $C$) движется по дуге окружности радиуса $R$ с центростремиальнымускорением

$$|\vec{w}_C| = v^2/R.$$

Это центростремиальноеускорение сообщается равнойствушей боковых сил, приложенных к колесам автоматоля (на рисунке 5 показаны лишь составляющие $\vec{P}_A, \vec{P}_B, \vec{P}_D$ и $\vec{P}_E$ этих сил, переменную оси автоматоля; продолжные их составляющие в рассматриваемом случае неусуществены). Если радиус поворота $R$ велик по сравнению с длиной автоматоля, то можно принять

$$\vec{P}_A = \vec{P}_B$$

Рис. 5.

Однако суммарная сила $\vec{P}_D = \vec{P}_E$. Однако суммарная сила $\vec{P}_1 = 2\vec{P}_A$, приложенная к передней оси, и суммарная сила $\vec{P}_2 = 2\vec{P}_D$, приложенная к задней оси, не равны между собой. Их соответствие условиям

$$|\vec{P}_1| = m \frac{v^2 b}{RL}, \quad |\vec{P}_2| = m \frac{v^2 a}{RL},$$

где $m$ — масса автоматоля, $L = a + b$ — база автоматоля.

Действие боковых сил приводит к уводу шин. Пусть $\delta_1$ и $\delta_2$ — углы увода соответствующего передней и задней шин. Векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_D$ скоростей переднего ($A$) и заднего ($D$) колес направлены так, как показано на рисунке 5. Перpendикуляры к векторам $\vec{v}_A$ и $\vec{v}_D$ в точках $A$ и $D$ пересекаются в точке $O$ — в центре дуги-траектории. (Мы считаем, что $R$ очень велико по сравнению с шинной автоматоля, и поэтому пренебрегаем разницей в радиусах окружностей, описываемых точками $A, B, C$ и $D$, и считаем, что все эти радиусы равны $R$.) В соответствии с изложенной выше теорией увода

$$|\vec{P}_1| = 2k_1\delta_1, \quad |\vec{P}_2| = 2k_2\delta_2,$$

где $k_1$ и $k_2$ — сопротивления увода соответствующего углом $v$ (см. рисунок 5): $R = L/v$ (поскольку $L \ll R$). Как видно из рисунка 5,

$$v = \varphi - \delta_1 + \delta_2.$$

Если $\delta_1 = \delta_2$, то $v = \varphi$ — угол поворота руля полностью определяет радиус автоматоля. Автомобиль, у которого

30

выполняется это условие (а это выполняется в соответствии с (4), если $k_1 a = k_2 b$), называется по терминологии академика Е. А. Чудакова авторомлением с «нейтральной поворачиваемостью».

Если увод задней оси больше чем передней ($\delta_2 > \delta_1$ и соответствен, $k_1 a > k_2 b$), то очевидно, $\vartheta > \varphi$ — авторомиль поворачивает «круче». Такой авторомиль называют авторомлением с «избыточной поворачиваемостью».

И наконец, если увод задней оси меньше чем передней ($\delta_2 < \delta_1$, то есть $k_1 a < k_2 b$), то $\vartheta < \varphi$ — авторомиль имеет «недостаточно поворачиваемость».

Так как углы увода при данном $R$ растут с ростом скорости (см. (4)), то «недостаточно» или «избыточность» поворачиваемся тем сильнее, чем больше $v$.

Подставляя (4) в (5) (с учетом соответствия $R = L/\vartheta$), можно получить общую формулу для «результирующего» угла повората:

$$\vartheta = \frac{4}{1 - \frac{mv^2}{L^2} \left( \frac{k_1 a - k_2 b}{k_1 k_2} \right)}$$

Пусть $k_1 a > k_2 b$ (избыточная поворачиваемость). При данном $\varphi$ с ростом скорости $v$ занимается в выражении (6) уменшается и $\vartheta$ возрастает. То есть чем больше $v$, тем «круче» поворачивает авторомиль (при постоянном угле повората руля $\varphi$). наконец, при некоторых скорости $v = v_{\kappa}$ величины $\vartheta$ становятся бесконечно большой. При такой скорости достаточно бесконечно малого движения руля, чтобы авторомиль «развернуть» вокруг вертикальной оси. Поэтому величины $v_{\kappa}$ называют критической скоростью потери управляемости для авторомиля с избыточной поворачиваемостью.

Значение $v_{\kappa}$ найдем из (6), приравняв знаменатель нулю:

$$v_{\kappa} = L \sqrt{\frac{k_1 k_2}{m(k_1 a - k_2 b)}}$$

Для авторомиля с недостаточной поворачиваемостью критической скорости не существует. В этом случае ($k_1 a < k_2 b$) занимается в формуле (6) всегда положитель и монотно увыает с ростом скорости $v$. Таким образом, в этом случае эффективность управления это увыает (а это увыает в соответствии с (4), если $k_1 a = k_2 b$), называется по терминологии академика Е. А. Чудакова авторомлением с «нейтральной поворачиваемостью».

Если увод задней оси меньше чем передней ($\delta_2 < \delta_1$, то есть $k_1 a < k_2 b$), то $\vartheta < \varphi$ — авторомиль имеет «недостаточно поворачиваемость».

Так как углы увода при данном $R$ растут с ростом скорости (см. (4)), то «недостаточно» или «избыточность» поворачиваемся тем сильнее, чем больше $v$.

Подставляя (4) в (5) (с учетом соответствия $R = L/\vartheta$), можно получить общую формулу для «результирующего» угла повората:

$$\vartheta = \frac{4}{1 - \frac{mv^2}{L^2} \left( \frac{k_1 a - k_2 b}{k_1 k_2} \right)}$$

Пусть $k_1 a > k_2 b$ (избыточная поворачиваемость). При данном $\varphi$ с ростом скорости $v$ занимается в выражении (6) уменшается и $\vartheta$ возрастает. То есть чем больше $v$, тем «круче» поворачивает авторомиль (при постоянном угле повората руля $\varphi$). наконец, при некоторых скорости это недостаточно поворачиваемость.

Значение $v_{\kappa}$ найдем из (6), приравняв знаменатель нулю:

$$v_{\kappa} = L \sqrt{\frac{k_1 k_2}{m(k_1 a - k_2 b)}}$$

Для авторомиля с недостаточной поворачиваемостью критической скорости не существует. В этом случае ($k_1 a < k_2 b$) занимается в формуле (6) всегда положитель и монотно увыает с ростом скорости $v$. Таким образом, в этом случае эффективность управления это увыает (а это увыает в соответствии с (4), если $k_1 a = k_2 b$), называется по терминологии академика Е. А. Чудакова авторомлением с «нейтральной поворачиваемостью».

Для легкового авторомиля с одинаковыми передними и задними колесами и с центром тяжестями, расположеннымиprimerно в середине ($a \approx b$), поворачиваемость близка к нейтральной и критической скорость, если и существует, то достаточно высока. Если, однако, у такого авторомиля «спустит» одна из задних шин, то сопротивление уводзадней оси будет определяться, грубо говоря, лишь один из двух колес и поэтому уменшитсяprimerно вдвое. Легко проверить по формуле (7), что при этом критическая скорость может оказаться довольно низкой, порядка $20 \div 30$ км/ч. (В случае $a = b$, $k_2 = \frac{1}{2} k_1$ и $k_1 = \frac{5}{4} gm$ формула для $v_{\kappa}$ принимает вид $v_{\kappa} = \sqrt{\frac{5}{2}} gL$.) Если при этом до спуска задней шин авторомиль имел скорость $60 \div 70$ км/ч, то после неожиданного спуска шин он оказывается за критической скоростью. Ситуация при движении с «закритической» скоростью очень интересна. Из формулы (6) видно, что при $v > v_{\kappa}$ знаменатель отрицательен. Это означает, что наступает «обратимость управления». То есть, если руль повернуть «налево», то авторомиль завершет «направо», и наборот. Недвижительно поэтому, что резкое padение давления в одной из задних шин приводит во многих случаях к серверным авариям, так как водитель не может быстро «перестроиться» и теряет управление. При специальных испитаниях, когда водитель подготовлен, онправляется с машиной и может двигаться со скоростью, большей критической. Но когда спуск шин происходит неожиданно, авария почти неизбежна.

Существует мнение, что наиболее опасен разрыв шин переднего колеса. Это, однако, несовсем так. При быстропуске передней шины резко возрастает усилия на руле. Но если суметь «удержать» руль (для этого требуется не очень большие усилия, дело лишь в неожиданности), то ничего опасного не произойдет.

31

При спуске же задней шины на большой скорости справиться с машиной очень трудно.

Любопытен еще следующий факт. Из вышеприведенных сообщений ясно, что для улучшения устойчивости автоматия желательно, чтобы центр тяжести был расположен как можно близке к передней оси (то есть нужно, чтобы выполнялось условие $k_1 a < k_2 b$; если $k_1 \approx k_2$, то чем меньше отношение $a/b$, тем лучше).

У автоматия с «задним» расположением двигателя это условие как раз не выполняется. (Двигатель очень тяжелый, и центр тяжести автоматия «смешается» в сторону двигателя.) Для таких автоматических компенсируют этот недостаток понижением давления в передних шинах (это снижает $k_1$).

В свое время для малитражного автоматия фирмы «Фиат» с «задним» расположением двигателя было предложено установливать давление в передних шинах в три разаmenыше, чем в задних. Но даже при таких условиях автоматиль имел критическую скорость 40 км/ч и его эксплуатация была практическим невозможна.

На грузовых автомателях устойчивость замено ухудшается, когда они сильно нагружены, так как при этом центр тяжести сдвигается назад и увеличивается масса $m$ автоматила. Это ухудшение устойчивости компенсируется тем, что у большинства грузовых автомателей задние шины двойные, и это увеличивает вдвое сопротивление уводу задней оси.

У тех же грузовых автомателей, которые имеют задние также колеса, как и спереди (такие автоматили тоже существуют), дело с устойчивостью при полной загрузке обстоит хуже. У таких автомателей приходится тщательно следить за давлением в задних шинах. Далее небольшое снижение давления может в этом случае привести к неустойчивости.

Замечательные треугольники

1. Расмотрим треугольник, пожожий на треугольник Паскала (рис. 1). В нем заданы первые три единицы, а каждое следующие число получается суммированным стоящих выше, образующих вместе с искомым параллелограмм (для чисел, стоящих по боковым сторонам треугольника, параллелограмм вырождается в отрезок).

Обозначим через $a_{ij}$ элемент $i$-й строки этого треугольника, $j$-й по счету от начала строки.

a) Доказите формулы:
$$a_{n1} = 2^{n-2}, \text{ где } n \geq 2;$$
$$a_{n2} = n \cdot 2^{n-3}, \text{ где } n \geq 2;$$
$$a_{n3} = 2^{n-5}(n^2 + n - 4),$$
$$\text{ где } n \geq 3.$$

b) Выведите рекуррентное соотношение, связывающее элемент $a_{nk}$ с предшествующими, у которых второй индекс меньше $k$.

b) Выведите формулы для вычисления $a_{n4}$ и $a_{n5}$.

2. Напишем теперь вместе чисел, образующих треугольник.

Рис. 1

Рис. 2.

угольник на рисунке 1, их последние цифры. Мы получим числовой треугольник, изображенный на рисунке 2. Доказите, что этот треугольник обладает следующими замечательными свойствами:

1°. Треугольник можно разить на ромбки $5 \times 5$ пяты различных видов (не считая верхнего ромба), у которых в верхнем углу и, соответственно, на нижних сторонах этой цифры 0, 2, 4, 6 или 8 (см. рис. 2).

2°. Если вместе каждое ромбка поставить цифру, стоящую в его нижнем углу, то получится числовой треугольник, отличной шириной от данного лише первых tremя строками.

3°. В каждом ромбке либо все цифры — нулы, либо имеется равно два нулы, расположенных в его самом длинной строке на втором и четвертом местах.

4°. Цифра, стоящая в центре любого ромбка, равна каждой из двух цифр, расположенных с ней по соседству ниже строкой.

M. Штеребере (Саратов)

32

В. Матизен

О пользе
скатывания шариков

Бросая в воду камещки, смотри на крупица, или образуемые; иначе такое бросание будет пустого забаво…
Козьма Прутков

Предлагаем вам продолжать такой опыт.

Возьмите комок пластинна и положите его на стол. Накройте комок пластиной и под нажимом раскатайте его. Движения пластины должны быть круговыми с относительной небольшим радиусом. Следите за тем, чтобы все точки пластины описывали окружности равного радиуса на одной и той же высоте над столом.

Попробуйте предсказать, какую форму примет пластинн.

Во-первых, верхняя и нижняя поверхности равноправны: в системе отчета, связанной с пластиной, стол совершает то же самое вращение. Следовательно, полученное тело должно состоять из двух одинаковых половинок.

Во-вторых, увлекаемый пластиной комок катится вокруг некоторой точки на стол. Естественно предположить, что пластинн примет такой форму, которая позволяет бы ему катиться свободно. Этому требованию удовлетворяет, в частности, кончческая поверхность.

И действительно, комок пластинна превращается в два конуса, симметричных относительной обшезония.

Обозначим через α положину угла при вершине освого сечения конуса, через r — радиус освонания конуса и через h — их высоту (см. рисунок). Пусть объем комка пластинна равен V, а радиус вращения пластинны — R. Найдем связь между указанным величиными. Поскольку

$$h = \frac{R}{2\cos\alpha}, \quad r = h \mathrm{tg}\alpha \quad V = \frac{2}{3}\pi r^2 h,$$

получаем

$$\frac{12}{\pi} \frac{V}{R^3} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^5\alpha}.$$

Другими словами, если вы хотите получить конус с заданным углом α, величины V и R должны быть связаны друг с другом в полное определение соответствия.

Так, при α = 45°

$$\frac{V}{R^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}.$$

Если исходный комок пластинна имеет форму шара радиусом q, то

$$V = \frac{4}{3} \pi q^3 \quad \frac{\varphi^3}{R^3} = \frac{1}{4\sqrt{2}}.$$

Отсюда

$$\frac{R}{\varphi} = 2^{\frac{5}{6}} \approx 2,$$

то есть R ≈ 2φ — радиус вращения пластинны при близительной равендировке диаметра пластинного шара.

Заметим также, что на опите нельзя получить правильные конусы с углом α, существенно меньшим 45°. Нетрудно объяснить, почему. Чем меньше угол α, тем больше длина образующей конуса (при неизменном объеме пластинна), а значит, тем на большую поверхность должен распространяться нажим. В таких условиях оказывается практическим невозможным формировать вершины участки конуса, так как основной нажим прихождения на участки вблизи обшезония конуса. Кроме того, малым углом α соответствует большие значения R, при которых неправильно движения рук может сильно исказить форму получшего тела.

33

Как придумать геометрическое неравенство

«Придумать новую, оригинальную задачу — сделать небольшое самостоятельное «открытие», пожалуйста, даже труднее, чем решить готовую чужую». Эти слова стоит в предисловии к Заданнику «Кванта» в первом номере журнала. Многие ребята спрашивают: а как же все-tаки самому придумать задачу?

Рассскажу, как я однажды придумал несколько геометрических неравенств.

Я начал с того, что доказал два известных неравенства:

$$a^4 + b^4 + c^4 \geqslant 16S^2,$$
$$a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 \geqslant 16S^2,$$

в которых $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь. Доказывал я их так.

Написав формулу для площины треугольника

$$S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$$

и теорему косинусов

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma,$$

я нашел синус и косинус

$$\sin \gamma = \frac{2S}{ab},$$
$$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

и подставил их значения в тригонометрическое тожество $$\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1.$$ Получилось

$$\frac{4S^2}{a^2 b^2} + \frac{a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2 b^2 - 2a^2 c^2 - 2b^2 c^2}{4a^2 b^2} = 1,$$

или

$$16S^2 = 2(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2) - a^4 - b^4 - c^4.$$

Отсюда, воспользоваться алгебраическим неравенством (доказите его)

$$a^4 + b^4 + c^4 \geqslant a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2,$$
(5)

я и получил неравенства (1) и (2).

Подумав немного, я решил попытать использовать другое тригонометрическое тожество. Вместо $$\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$$ я написал

$$\sqrt{3} \sin \gamma + \cos \gamma = 2 \sin (\gamma + 30^\circ),$$
$$\sqrt{3} \sin \gamma + \cos \gamma \leqslant 2,$$

подставил соответствия (3) и (4) в последнее неравенство и после преобразования получил

$$c^2 - a^2 - b^2 + 4ab \geqslant 4\sqrt{3} S.$$

Заметив, что длинны $a, b, c$ входят в (6) «неисметрично», я написал еще два варианта этого неравенства

$$a^2 - b^2 - c^2 + 4bc \geqslant 4\sqrt{3} S,$$
$$b^2 - a^2 - c^2 + 4ac \geqslant 4\sqrt{3} S.$$

и, сложив их, получил

$$(4ab + ac + bc) - (a^2 + b^2 + c^2) \geqslant 12\sqrt{3} S.$$

Глядя на (7), я решил воспользоваться неравенством

$$a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + ac + bc$$

и получил, как при доказательстве (1) и (2), два красных (но, к сожалению, довольно хорошего известных!) неравенства

$$a^2 + b^2 + c^2 \geqslant 4\sqrt{3} S,$$
$$ab + bc + ca \geqslant 4\sqrt{3} S.$$

После этого мне уже было ясно, как можно получить еще много геометрических неравенств.

Ураженя

1. Доказите неравенство
   $$2ab + 2bc - b^2 \geqslant 4\sqrt{3} S$$
   Выясните, когда оно превращается в равенство.

2. Доказите, что для равностороннего треугольника неравенство (7) превращается в равенство. Верно ли обратное?

3. Применить тригонометрическое неравенство $$\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma \leqslant \sqrt{2},$$ докажите, что

$$c^2 - a^2 - b^2 + 2\sqrt{2}ab \geqslant 4S,$$
$$\sqrt{2}(ab + bc) - b^2 \geqslant 4S,$$

и исследуйте, когда они превращаются в равенства

34

Как придумать комбинаторное тожество

В различных задачках, да и в задачнике «Кванта», часто встречаются тожества, содержащие биоминальные коэффициенты $C_k^i$. Довольно часто удается их доказать методом математической индукции, иногда различными хитрыми преобразованиями, но эти доказательства, как правило, оставляют чувство неудовлетворенности: из них совершено неясно, как же было придумано данное тожество, как вообще нахождение новых тожества.

Здесь мы укажем несколько примов, позволяющих придумывать подобные тожества. В частности, мы обьясим, каким образом мы когда-то придумали задачу М470; об этом спрашивал в письме в «Квант» дагестанский школьник А. Габибов.

Представим себе, что нам нужно найти $\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}$. Попробуем воспользовать, где нам встречалось выражение $kx^{k-1}$. Конечно же, в формуле $(x^k)' = kx^{k-1}$. Наша договора «убивает» задачу; действительно,

$$\left( \sum_{k=1}^{n} x^k \right)' = \sum_{k=1}^{n} (x^k)' = \sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}.$$

С другой стороны,

$$\left( \sum_{k=1}^{n} x^k \right)' = \left( \frac{x^{n+1}-x}{x-1} \right)' =$$

$$= \frac{((n+1)x^n-1)(x-1)-(x^{n+1}-x)}{(x-1)^2} =$$

$$= \frac{1}{(1-x)^2} + \frac{nx-n-1}{(1-x)^2} x^n.$$

(В этой выкладке мы, естественно, предполагали, что $x \neq 1$.) Значит,

$$\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2} + \frac{nx-n-1}{(1-x)^2} x^n. \quad (1)$$

Тепер попытаемся найти

$$\sum_{k=1}^{n} k(k-1)x^{k-2}. \quad (\text{Особенности человекого характера побуждают повторить процедуру, которая помогла нам ранее в анализной ситуации...})$$

(Д. Пойя «Математическое открытие», М., «Наука», 1970, с. 88). Так повторим ее!

$$\sum_{k=1}^{n} k(k-1)x^{k-2} =$$

$$= \sum_{k=1}^{n} (kx^{k-1})' = \left( \sum_{k=1}^{n} kx^{k-1} \right)' =$$

$$= \left( \frac{1}{(1-x)^2} + \frac{nx-n-1}{(1-x)^2} x^n \right)' = \frac{2}{(1-x)^3} +$$

$$+ \frac{n(1-x)^2+2(1-x)(nx-n-1)}{(1-x)^4} x^n +$$

$$+ \frac{n(nx-n-1)}{(1-x)^2} x^{n-1}. \quad (2)$$

Равенства (1) и (2) весыгагромодки. На их основе можно получить (при $|x| < 1$) более красивую формулу

$$\sum_{k=0}^{\infty} C_{k+n}^n x^k = \frac{1}{(1-x)^{n+1}},$$

но ее вывод выходит за рамки школьной программы.

Расскажем теперь об одном примеем, который позволяет получить «новые» тожества из «старых». Расстояние хорошего извлечения формулу Ньютона

$$(1+x)^n = \sum_{i=0}^{n} C_i^n x^i.$$

Профиференцируем это равенство. Получаем

$$n(1+x)^{n-1} = \sum_{i=1}^{n} iC_i^n x^{i-1}. \quad (3)$$

Положив в равенстве (3) $x=1$ и $x=-1$, найдем.

36

Задачи

М621—М625; Ф633—Ф637

М621. Вокруг окружности описан $n$-угольник. Произвольная точка $P$ внутри окружности соединена со всем его вершинами и точками касания. Образовавшиеся $2n$ треугольников окрашены попеременно в красный и синей цвет. Доказите, что произведение площадей треугольников равно произведение площадей синих треугольников.

У. Алла

М622. Доказите, что количество решений уравнения
$$x^3 + y^2 = z^3 + t^2 + 1$$
в натуральных числах, не превысading $10^6$, меньше, чем количество решений уравнения
$$x^3 + y^2 = z^3 + t^2$$
в натуральных числах, не превысading $10^6$.

В. Вавилов

М623. а) Сколько осей симметрины имеет куб? Правильная треугольная парамида?
б) * Доказите, что если некоторый многогранник имеет $k$ осей симметрины ($k \ge 1$), то $k$ нечетно.

В. Сендеров

М624. Найдите последовательность $(a_n)$, определяемую условиями $a_1 = 1$,
$$1 + \sum_{d} (-1)^{n/d} a_d = 0,$$
где сумма $\sum$ берется по всем делительям $d$ числа $n$ (включая $d = 1$ и $d = n$).

Например, если $n = p$ — простое число, то (*) принимает вид $1 + (-1)^{p/1} a_1 + (-1)^{p/p} a_p = 0$, откуда $a_p = 2$, если $p = 2$, и $a_p = 0$ — если $p > 2$.

В. Абрамович

М625.* На координатной плоскости заданы четыре точки с разциональными координатами, не лежащие в вершинах параллелограмма, причем никакие три из них не принадлежат одной прямой. Разрешается проводить прямую через любые две уже полученные точки и отмечать точку пересечения любых двух проведенных прямых. Доказите, что множество точки, которые можно получить таким образом, — это множество всех точек плоскости.

37

кости с рациональным координатами, если:
a) эти четыре точки — вершины трапеци; б) эти четыре точки — вершины произвольного четырехугольника.

Ю. Михеев

Ф633. Три одинаковых резистора, конденсатор емкостью $C$ и катушка индуктивностью $L$ соединены в цепь, как показано на рисунке 1. Частота $\omega$ переменного тока в цепи такова, что $\omega L = 1/\omega C$.
При каком сопротивлении $R$ резисторов tok в неразвлекательной части цепи в $n$ раз меньше тока в каждой из ветвей?

Г. Савкун

Ф634. Стержень $AB$ длиной $l$ и массой $m$ нижним концом опирается на стену и с помощью нити удерживается в наклонном положении (рис. 2).
Нить привязана к стене в точке $C$, а к стержню — в точке $D$ такой, что $|AD| = 1/3|AB|$. Углы, составляемые нитью и стержнем со стеной, равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Найти возможность значения коэффициента треня между стержнем и стеной.

Ф635. Два одинаковых автоматics массой $m = 10^3$ кг движутся вверх по одной и той же горной дороге. Зависимость высоты $h$ дороги от расстояния $x$ до начала подьема показана на рисунке 3. Каждый автоматиль развивается постоянно мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению автоматия пропорциональна квадрату его скорости: $|\vec{F}| = \alpha|\vec{v}|^2$, где $\alpha = 1,4$ кг/м. На последнем горизонтальном участке дороги расстояние между автоматями равно 100 м. Каким было минимальное расстояние между автоматами при их движении?

«Средниекольный математический журнал», Будапешт

Ф636. Цилиндрический сосуд, закрытый невесоимм поршнем площадью сечения $S$, содержит газ под атмосферным давлением $p_0$. Объем газа при этом равен $V_0$. Сосуд погружают в воду (плотность $\rho_0$) так, как показано на рисунке 4. Найти зависимость расстояния $x$ между поршнем и поверхностью воды от модели $F$ силы, удерживающей нить, которая привязана к поршню.

«Средниекольный математический журнал», Будапешт

Ф637. В сверхпроводящих катушках с индуктивностями $L_1$ и $L_2$, включенных паралельно, возбужден ток. Индуктивность $L_1$ одной из катушек уменьшается до нуля. Во сколько раз изменяется при этом ток в цепи и энергия системы?

П. Зубков

39

так что наименьшее отношение площадей $\frac{a^2}{x_{\max}^2} = \frac{1}{5}$.

Для случая 6)

$$x_{\max} = 2a,$$

так что наименьшее отношение площадей равно $\frac{1}{4}$.

Как и раньше, делаем вывод, что искомое наименьшее отношение площадей равно $\frac{1}{5}$.

Второе решение, конечно, длине первого; но оно основано на красивом геометрическом рассужении, которое можно применять и в других ситуациях. Например, когда рассматривают произвольные треугольники. В этом вы можете убедиться, решив самостояльно такую задачу:

В данной треугольник $ABC$ описать подобный ему треугольник $A_1B_1C_1$ ($\hat{A} = \hat{A}_1$, $\hat{B} = \hat{B}_1$, $\hat{C} = \hat{C}_1$) так, что $A_1 \in [BC]$, $B_1 \in [CA]$, $C_1 \in [AB]$ и площадь треугольника $A_1B_1C_1$ — наименьшая. Более общая задача уже разбиралась в «Кванте» (М207, решение — «Квант», 1974, № 2).

В. Батырев, А. Сосинский

M567. Натуральные числа $p$ и $q$ взаимно просты. Отрезок $[0; 1]$ разбит на $p+q$ одинаковых отрезков (рис. 1). Доказите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежитровно одно из $p+q-2$ чисел

$$\frac{1}{p}, \frac{2}{p}, \dots, \frac{p-1}{p},$$

$$\frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q-1}{q}.$$

Приведем два решения.

Первое решение. Из условия следует, что каждое из чисел $p$ и $q$ взаимно просто с числом $n=p+q$, поэтому никакие две из точки $i/p, j/q, k/n$ (отличные от 0 и 1) не совпадают. Поскольку $1/p > 1/n$ и $1/q > 1/n$, любые две из точки $i/p$ лежат в разных отрезках $\left[\frac{k}{n}; \frac{k+1}{n}\right]$ и любые две из точки $j/q$ — тоже. Нужно лишь доказать, что какие-то две точки $i/p$ и $j/q$ не могут попасть в один и тот же отрезок $\left[\frac{k}{n}; \frac{k+1}{n}\right]$ ($k=1, 2, \dots, n-2$). Но это сразу следует из того, что дробь $\frac{k}{n} = \frac{i+j}{p+q}$ лежит между $\frac{i}{p}$ и $\frac{j}{q}$ (см., на рис. 1).

$p=8, q=5, n=8+5=13$

пример, рисунок 2: угловой коэффициент диагонали параллелограмма заклочен между угловыми коэффициентами его стороны*).

Второе решение. Нарисуем на клетчатой бумаге прямогольник размерми $p \times q$ клеток и проведем в нем диагональ $OE$ (рис. 3) — она и будет играть роль отрезка $[0; 1]$ нашей задачи. Линии одного направления (синние) делят ее на $p$ равных частей, другого (красные) — на $q$ равных частей. Проведем через вершины клеток еще ряд параллельных прямых — под углом $45^\circ$ к линяям сетки (на рисунке это черные прямые $x+y=k$, где $k=1, 2, \dots, p+q-1$). Они делят $OE$ на $n=p+q$ одинаковых отрезков. Утверждение задачи становится почти очевидным. В самом деле, на $OE$ между любыми двумя синкрасьми точкиками обязательно лежит черная точка: ведь, пересекая какую-то клетку, $OE$ обязается пересекает и ее черную диагональ. (Можно вместо этого сказаить и так: между любыми точками пересечения $OE$ с соседними черными прямыми лежит точка пересечения с синей или красной линей.)

В этом решении взаимная простота чисел $p$ и $q$ гарантирует, что $OE$ не проходит через узлы сетки, отличные от $O$ и $E$ (глядя на наш маленький рисунок, в этом можно усомниться).

*) Тот факт, что «mediana» двух дробей $i/p$ и $j/q$ лежит между ними, использовался в статье «Близкие дроби» («Квант», 1975, № 8).

40

Задча M567 допускает заменательное обобщение. Пусть α и β — любые положительные числа, связанные соотношением 1/α + 1/β = 1.

Отметим на числовой оси свободные числа вида iα и jβ (i ∈ Z, j ∈ Z). Тогда каждый отрезок [k; k+1] оси (k ∈ Z), ни в один из концов которого не попало отмещение число, содержитровно одно из отмещенных чисел iα, jβ.

Наша задача эквивалентна этому факту при разциональных α и β: нужно взять α = n/p, β = n/q (роль отрезка [0; 1] будет играть теперь отрезок [0; n]). Этот же факт (для инрациональных α и β) упоминался недавно в решении задачи M538 («Квант», 1979, № 11), очень похожем на нашей второе решение M567.

Н. Васильев

M569. В теперь направлено несколько чисел. К этим числам разрешается приписать число, равное среднему арифметической длины или нескольких из них, если оно отлично от всех уже написанных чисел. Докажите, что, наавс с двух чисел 0 и 1, с помощью описанных операций можно получить
a) число 1/5;
b) любое рациональное число между 0 и 1.

Рис. 4.

$$\frac{1}{3} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8}}{3};$$
$$\frac{1}{5} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{5}$$

Рис. 2.

Начнем с представления числа 1/5 и вообше 1/q. Числа 1/2, 1/4, 3/4 получить очень просто:

$$\frac{1}{2} = \frac{0+1}{2}, \frac{1}{4} = \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{3}{4} = \frac{\frac{1}{2}+1}{2}.$$

Так же можно, оченьindo, получить любую двойную двойно-рациональную дробь, то есть дробь вида p/2^m, p<2^m (рис. 1).

Чтобы получить дробь 1/q, достаточно представить 1 в виде суммы q различных правильных двойно-рациональных дробей: их среднее арифметическое будет равно как раз 1/q. Докажем по индукции, что это возможно. В виде суммы двух таких дробей 1 представить можно (например, 1=3/4+1/4).

Из представления 1 в виде суммы n-1 различных двойно-рациональных дробей можно получить ее представление в виде суммы n таких дробей:

$$1 = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} = \frac{1}{2} + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2} + \dots + \frac{a_{n-1}}{2}.$$

В частности, следует этому построению, получим

$$1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} =$$
$$= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32},$$

что дает представление числа 1/5.

Гелерь к доказательству второго утверждения задачи можно идти многоими разными путями. Приведем два из них.

1. Докажем, что если натуральное число p можно представить в виде суммы n-1 различных правильных двойно-рациональных дробей:

$$p = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} \quad (0 < a_{n-1} < \dots < a_2 < a_1 < 1),$$

то его можно представить и в виде суммы n таких дробей. Пусть 2^m — наиболее низким из значений слагаемых a_i. Заменив a_n-1 на сумму $\left(a_{n-1} - \frac{1}{2^m+2}\right) + \frac{1}{2^m+2}$, получим нужное представление. Итак, каждая из дробей $\frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \dots, \frac{q-1}{q}$ может быть представлена в виде среднего арифметического различных правильных двойно-рациональных дробей, то и дроби $\frac{1}{q+1}, \frac{2}{q+1}, \dots, \frac{q-1}{q+1}$ могут быть представлены в аналогичном виде. Чтобы доказать доказательство по индукции (база индукции — представление числа 1/2), осталось представить в нужном виде дробь $\frac{q}{q+1}$. Ее можно получить из представления числа $\frac{1}{q+1}$ заменой всех дробей a_i на 1—a_i.

2. Расмотрим три уже полученных числа: 0, 1/q, 1. Однако из двух средних $\frac{0+1}{2}, \frac{1/q+1}{2}$ — дроби вида p_0/q, 1<p_0<q (если q>2). Однако из двух средних $\frac{0+p_0/q}{2}, \frac{1/q+p_0/q}{2}$ —

41

Дробь $p_1/q$, где $1<p_1<p_0$ (если $q>3$). Ясно, что, продолжая этот процесс, мы получим дробь $2/q$. Расстояв затем тройку чисел $1/q, 2/q, p_0/q$, мы таким же спуском получим дробь $3/q$, затем (если $q>4$) $4/q$, …, $(q-1)/q$ и т. д. (рис. 2).

Заметим, что среднее арифметическое больше чем двух чисел нам надо находить лишь один раз.

М. Серов

Ф578. Концы А и В стержня AB скольzt по сторонам прямого угла (рис. 1). Как зависит от угла α, образуемо стержнем с одной из сторон этого угла, ускорение середины стержня (точки C), если конец В стержня движется с постоянной скоростью $v$?

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф580. В схеме, показанной на рисунке, ЭДС батареи Е, ее внутреннее сопротивление r, сопротивление резистора R. При замыкнии ключа K1 стрелка галванометра отклоняется на угол α. На какой угол отклоняется стрелка галванометра, если при замкнутом ключе K1 замкнуты ключи K2? Отклонение стрелки пропорционально заряду, прошедему через галванометр.

Рис. 3.

Рис. 4

◆

Точка C при любом положении стержня находится на расстоянии $l/2$ от вершины O прямого угла (медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы). Следовательно, точка C движется по окружности радиуса $l/2$ с центром в точке O. Скорость $v_c$ точки C направлена по касательной к траектории и в любой момент перпендикулярна OC.

Так как стержень нерастяжим, проекции скоростей точек C и В на направление стержня равны (рис. 2).

$$v \cos \alpha = v_c \cos \beta = v_c \cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{2} \right) = v_c \sin 2\alpha.$$

Позтому

$$v_c = \frac{v \cos \alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{v}{2 \sin \alpha}.$$

Проекция ускорения $\vec{a}_c$ точки C на радиус OC = $l/2$ должна быть равна $\frac{v_c^2}{l/2} = \frac{v^2}{2l \sin^2 \alpha}$. Как направлен вектор $\vec{a}_c$? Заметим, что проекция скорости $\vec{v}_c$ точки C на горизонтальном ось равна $v_c \cos (\alpha - \beta) = v_c \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{v}{2}$. Эта величина не зависит от α и, следовательно, постоянна. Это означает, что вектор $\vec{a}_c$ направлен вертикально.

Таким образом,

$$a_c \cos \left( \frac{\pi}{2} - a \right) = \frac{v^2}{2l \sin^2 \alpha},$$

откуда

$$a_c = \frac{v^2}{2l \sin^3 \alpha}.$$

◆

После замыкния ключа K1 направление на конденсаторе становится равным Е. При этом заряд конденсатора равным

$$q_1 = C \varepsilon.$$

Такой заряд и проходит через галванометр при замыкнии ключа K1. Следовательно,

$$\alpha = kq_1 = kC \varepsilon,$$

где $k = \text{const}$ — коэффициент пропорциональности.

После замыкния ключа K2 направление на конденсаторе становится равным резисторю на резисторе, то есть $U = IR$, где I — ток, текущий через резistor. Так как резistor включен после давления с источником, $I = \varepsilon / (R + r)$. Следовательно, $U = \varepsilon R / (R + r)$. Заряд же конденсатора после замыкния ключа K2 становится равным

$$q_2 = CU = C \varepsilon \frac{R}{R + r}.$$

Следовательно, через галванометр после замыкния ключа K2 проходит заряд

$$q = q_1 - q_2 = C \varepsilon \frac{r}{R + r}$$

42

и угол β отклонения стрелки галванометра равен

$$\beta = kq = kC \frac{r}{R+r} = a \frac{r}{R+r}.$$

Ф581. Перед зеркалом стоит человек, закрыв один глаз. Изображение закрытою глаза в зеркале он закрывает, наклевая на зеркало кусочек бумаги. Что увидит человек, если он открыт закрытый глаз и закроет открытый?

На рисунке красными линяями показан ход лучей, индших от левого глаза в правый, а синими линями — от правого глаза в левый. Благодаря этим лучам изображен одного глаза видно другим глазом. Так как глаза расположены симметрично, ясно, что при наклевании на участок A зеркала бумажки человек всегда будет видеть бумажку на месте изображения своего закрытоого глаза.

Ф582. Тело плавает в воде так, что 2/3 его объема поруженны в воду. Какая часть объема тела будет находиться под водой, если сосуд с водой перемешать с ускорением $\vec{a}$ в вертикальном направлении?

На тело действуют две силы: сила тяжестки $M\vec{g}$ (M — масса тела) и сила $\vec{F}$, которая представляет собой равноведную всех сил давления жидкости, действующих на маленькие участки поверхности тела (рис. 1). Согласно второму закону Ньютона

$$\vec{F} + M\vec{g} = M\vec{a}.$$

Для того чтобы найти $\vec{F}$, воспользуемся следующим примемом. Выделим в жидкости объем $V_1$, равный объему погруженной в жидкость части тела и имеющий форму погруженной части тела (рис. 2). На этот выделенный объем со стороны остальной жидкости действует точно такая же сила $\vec{F}$, как и на тело. И так как выделенный объем жидкости вместе с сосудом движется вверх с ускорением $\vec{a}$, то

$$\vec{F} + m\vec{g} = m\vec{a},$$

где $m$ — масса выделенного объема жидкости. Поэтому

$$M(\vec{a} - \vec{g}) = m(\vec{a} - \vec{g}) \Rightarrow M = m.$$

Но $M = \varrho_T V$, а $m = \varrho V_1$, где $V$ — объем тела, $\varrho_T$ — плотность тела и $\varrho$ — плотность жидкости. Следовательно,

$$\varrho_T V = \varrho V_1.$$

Отсюда

$$\frac{V_1}{V} = \frac{\varrho_T}{\varrho}.$$

Это отношение, как мы видим, не зависит от ускорения $\vec{a}$ сосуда и, следовательно, при любом ускорении одно и то же. Поэтому, с каким бы ускорением $\vec{a}$ ни двигляс сосуд, объем погруженной части тела будет составлять 2/3 всего объема тела.

И. Словодецкий

Неколько вопросов по астрономии

1. Есть ли такие места на Земле, где в течение всего года продолжительность дня равна продолжительности ночи?

2. Существует ли на экваторе смена времени года?

3. На какое время года приходится на экваторе смые жаркие дни?

4. В день летнего солнеctория (22 июня) высота кульминца Солнца (наибольшая высота Солнца над горизонтом) в средних сельных широтах максимальная, в средних южных — минимальная. А на экваторе — промежуточная?

H. Михайленко

43

Задачи

1. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его можно разрезать на шесть конгруэнтных квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать конгруэнтных квадратов?
2. На рисунке изображено родословное дерево одной семьи коми, родоначальником которого был некий Тихон Федорович. Вот все его потомки (на языке коми): Педот Тикон, Остап Тикон, Тикон Вась, Педот Вась, Падей Остап, Тикон Падей, Падей Илля, Тикон Педот. Известно, что средних нет женщин. Установите, какое имя соответствует каждому узлу дерева.
3. Найдите два числа, разность и частное которых были бы равны пяты.
4. Покажите, что площадь фигуры синего цвета (см. рисунок) равна половине площади прямоугольника.
5. В книгах новгородских писцов XV века упоминаются такие меры жидких тел: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что 1 бочка и 20 ведр кваса уравниваются с третья бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами.
   Могут ли историки на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке?
6. Рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся и оканчивающиеся одинаковой цифрой, например 343. Докажите, что если сумма первого и второй цифр делится на 7, то и все число делится на 7.
   Эти задачи нам предложили
   Н. Антонович, Ф. Бартенев,
   В. Беликов, А. Савин, Я. Тестелец

43

44

По страницам старого учебника

Однажды в библиотеке мне в руки попала одна страная книга. Это было двадцать первое издание «Учебника физики», рекомендованного к изучению в гимназиях, реализых училищах и других средних учебных заведениях. Автор учебника — известный педагог, сокурсник Д. И. Менделеева по педагогическому институту Константин Дмитриевич Краевич.

Этот учебник прослужил не одно десятилетие и всегда пользовался большой популярностью. Так, двенадцатое его издание было удостоено «полной премии Императора Петра Великого». Впрочем, учебником вполне можно пользоваться и сейчас. В нем не хватает лишь раздела о физике XX века да стиль изложения несколько отличается от современного.

Вот описание нескольких опытов, взятое из учебника К. Д. Краевича. При желании вы можете проверсти эти опыты в домашних условиях.

О пыт 1

«Если нагретое до некоторой температуры (например, до 50°С) тело а (например, строимую медную гирьку) помещить в углубление, сделанное в куске льда A и закрываемое другим куском льда B, то тело будет охлаждаться, уступая свою теплоту льду и превращая его в воду (рис. 1). Через некоторое время тело примет температуру растаяшей воды и льда, то есть 0°С, и дальнейшее таяние прекратиется. Вода может быть собрана губкой, и количество образованшейся воды определяено взвшиванием; оно может служить мерю той теплоты, которую тело потеряло, охладишь от 50 до 0°С, и которое надо ему сообщить, чтобы нагреть его от 0 до 50°С.»

Ледяной calorimetр обладает рядом преимуществ по сравнению с другими calorimetрами. Главное из них — это практический полное отсутствие рассеяния тепла в окружающей среду.

О пыт 2

Известно, что тренем можно добиться огонь. Но это требует определенного искусства. А вот вскипятить воду, использую трене, легко.

«Медная трубка (рис. 2), наполненная водо и закрыта пробкой, закнимается между двумя

45

досками $T$, соединенными шарниром, и приводится в быстрое вращение. Предодлевая трене, можно заставить жидкость закипеть и образовать шиммся параметры выбросить пробку.»

О пыт 3

Для этого опыта вам понадобится металлическая сетка или рассекатель пламени для газовой плиты, газовая горелька или обыкновенная газовая плита. Во избежание непряятности при проведении эксперимента будьте очень осторожны.

«Если покрыть пламя газа сеткой, то горение за сетку не переходит (рис. 3, а); точно так же, если неажженный газ пропустить через сетку и потом зажчь, то пламя вниз не передается (рис. 3, б). В обихх случае металл сетки отличает от газа значительную часть тела, которое распространяется по всей сетке и постепенно теряется в воздухе; оставшаяся в газе теплота недостаточная, чтобы горение продолжалось.»

О пыт 4

Если каким-либо образом менять плотность одного и того же тела, его можно заставить то всплывать, то тоннуть в жидкости.

«Так, рыба, изменяя объем своего тела посредством плаваательного пузира, поднимается, опускается и держится на месте.

В картезанском водолазе стеклянный шарик $a$, наполненный часть воды, часть воздуха и имеющий вид изврустение, плавает на поверхности воды (рис. 4). Надавливая на кучековую перепонку $b$ и скимая воздуха, который давит на воду, мы заставляем воду входить в шарик и скимать нахождение в шарике воздуха. Шарик делается тяжелее, следствие чего он опускается и при надлежащем давлении может держаться внутри жидкости. С прекращением давления скажей в шарике воздуха вытесят воду, и шарик снова поднимается.»

О пыт 5

«Если намагничиваемый стальной брусок мал, то одного прикосновения к сильному магниту бывают достагоно, чтобы его намагнитить. Для намагничивания же больших стальных полос применют следующий предложенный Дюгамелем способ. Стальную полосу $AB$kladут на два разноменных полоса $S$ и $N$ двух магнитов (рис. 5). Затем ставят наклонно на середину два других магнита $P$ и $Q$ так, чтобы $P$ касался намагничиваемой полосы северным, а $Q$ — южным полосом, и проводят ими по полосе $AB$ от ее середины до концов. Потом магниты поднимают, ставят снова на середину $AB$ и повторяют прежнее действие несколько раз… Намагничиваемый брусок полезно при этом поворачивать и подвергать, постукивая по нему, сотрудниcem.»

46

Практикум абитурения

Н. Розов

Читатель советуют

В письмах и заметках, присвязываемых в «Квант» учащимся, преподавателей, любители математики, часто затрагиваются вопросы, относящие к тематике «Практикума абитурения». Читатель журнала высказывают замечания теоретического характера, сообщают приемы решения отдельных типов задач, дают методические советы, предложают самостоятельно придуманные упражнения. Далеко не всегда содержащиеся в этих письмах и заметках сообщения и задачи являются новыми и оригинальными, однако с некоторыми из них, по нашему мнению, полезно позначить готовящийся к вступительным экзаменам вузы. Поэтому редактирация решила подготовить очередную подборку материалов, составленную по идеям к предложениям читателей «Кванта», с необходимыми дополнительными комментариями.

В вариантах вступительных экзаменов по математике передко встречаются системы управления. Поступающие, как правило, хорошо с основными приемами решения систем — методом подстановки и методом исключения. На интересное сообщение, позволящее решать некоторых систем управления, обращает внимание читатель журнала П. Чеботарев (Москва). Однако, прежде чем рассказыть об этом, немного поговорим о сложных функциях специального вида.

Пусть дана функция $f$, причем для простоты будем считать, что $D(f) = R$. Исходя из этой функции, можно образовать новую функцию

$$F(x) = f(f(x));$$

она, оченьindo, определяна также на всей числовой прямой. Функцию $F$ принято называть iterацией) функция $f$. Из рисунка 1 легко понять, каким образом с помощью графика функции $f$ находится значение iterации $f(f(x_*))$ для конкретного значения $x_*$ аргумента.

Рассмотрим уравнение

$$f(f(x)) = x. \tag{1}$$

Прежде всего заметим, что если $x_0$ — корень уравнения

$$f(x) = x, \tag{2}$$

то $x_0$ — корень и уравнения (1). Но уравнение (1) может, конечно, иметь и другие корни, не являющиеся корнями уравнения (2) (попытательесь усмотреть этот факт из рисунка 1).

Поскольку уравнение (2) является уравнения (1), полезно указать ситуацию, в которых эти уравнения равносильны. Докажем, например, следующое предложение: если функция $f$ при некотором аудовлетеоряет условия

$$\begin{cases} f(x) \geq x, \text{ при всех } x < a, \\ f(a) = a, \\ a \leq f(x) \leq x, \text{ при всех } x > a, \end{cases}$$

то уравнение (1) и (2) равносильны (дайте геометрическую интерпретацию этой теоремы).

Выше уже отмечалось, что корни уравнения (2) всегда служат корнями уравнения (1); установим справедливость обратного утверждения. Пусть $x_0$ — корень уравнения (1):

$$f(f(x_0)) = x_0; \tag{4}$$

*) Вообщие iterацией (от латинского iteratio — повторение) в математике называют результат повторного применения каждой-нибудь операции.

47

рассмотрим каждый из возможных случаев $x_0 > a$, $x_0 < a$, $x_0 = a$ в отдельности.

Если $x_0 > a$, то (см. (3))
$$a \leq f(x_0) \leq x_0.$$ (5)

Из свойств (3) функции $f$ следует, что неравенства $a \leq f(z) \leq z$ имеют место при любом $z \geq a$. Поэтому, выбрав $z = f(x_0)$, будем, учитывая (5), имеем
$$a \leq f(f(x_0)) \leq f(x_0).$$ (6)

Из соответствии (6) и (5) ясно, что
$$f(f(x_0)) \leq f(x_0) \leq x_0.$$
Сравнивая эту целочку неравенства с равенством (4), заключаем, что $f(x_0) = x_0$, то есть $x_0$ — корень уравнения (2).

Допустим, далее, что $x_0 < a$.
В этом случае неравенство $f(x_0) \geq a$ невозможно: если бы оно имело место, то выполнялось бы соответствие (6), которое, с учетом неравенства $x_0 < a$, привело бы к противоречию с равенством (4). Таким образом, если $x_0 < a$, то $f(x_0) < a$. Из свойств (3) функции $f$ следует, что неравенство $f(z) \geq z$ имеет место при любом $z < a$. Поэтому, выбрав снача $z = x_0$ и затем $z = f(x_0)$, будем имееть
$$x_0 \leq f(x_0) \leq f(f(x_0)).$$
С помощью равенства (4) снова заключаем, что $f(x_0) = x_0$.

Слушай $x_0 = a$ оченьiden. Следовательно, при условиях (3) любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

В заключение отметим, что по заданной функции $f$ можно, очевидно, определить также функция
$$f(f(f(x))), f(f(f(f(x))))), \dots$$
Справедливо следующее предложение (доказите его самостояльно): если функция $f$ удовлетворяет условиям (3), то каждое из уравнений $f(f(f(x))) = x, f(f(f(f(x)))) = x, \dots$
равносильно уравнению (2).

А теперь посмотрим, как формулированные предложения удается использовать для решения таких систем, в которых все уравнения одинаковы с точностью до обозначения переменных и в каждое уравнение входят лишь две переменные.

Пример 1 (МГУ, мехмат, 1977). Найти все решения системы уравнений
$$\begin{cases} y^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0, \\ z^3 - 6y^2 + 12y - 8 = 0, \\ x^3 - 6z^2 + 12z - 8 = 0. \end{cases}$$

отределим функцию
$$f(x) = \sqrt[3]{6x^2 - 12x + 8}, x \in \mathbb{R};$$ (7)

тогда данную систему можно переписать в виде
$$y = f(x), z = f(y), x = f(z).$$ (8)

Используя метод подстановки, получаем отсюда
$$f(f(f(x))) = x.$$ (9)

Прежде всего рассмотрим уравнение $f(x) = x$, или
$$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0.$$
Оно имеет единственный корень $x = 2$ (сгруппируйте первый левый части с последним и второй с третьим), который является корнем и уравнения (9). Из выражения (7) для функции $f$ и уравнения (8) получаем решение исходной системы:
(2; 2; 2).

Проверим, что функция (7) удовлетворяет условиям (3) при $a = 2$, а потому уравнение (9) не имеет корней, помимо $x = 2$. Неравенство $f(x) \geq x$, которое в данной случае приводится к виду
$$(x - 2)^3 \leq 0$$
(проведите необходимые преобразования), действительно выполняется при $x < 2$, а $f(2) = 2$. Далее, что $f(x) \leq x$ при всех $x > 2$. Наконец, неравенство $f(x) \geq 2$ легко переписать в форме
$$6x^2 - 8x \geq 0,$$
откуда видно, что оно справедливо при $x > 2$.

Следовательно, исходная система имеет единственное решение (2; 2; 2).

Упражнения

1. Найти интеграцию $f(f(x))$, если:
   a) $f(x) = \sin x$;
   b) $f(x) = \sqrt{1+x^2}$;
   c) $f(x) = -x^2 + 1$.