Квант 1980, №9 · Страницы

КЕАНТ
9
1980
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

К 1000-летию со дня рождения Авиценны (см. также с. 7,57). Бахрам в головом дворце. Семь планет. Бухара, Бодлеянская библиотека.

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Узор,
изображенный
на первой странице обложки,
связан
с понятным эволюты,
о которой
можно прочитать
на с. 61.

В НОМЕРЕ:

4 И. Кикoin. Нуука — дело молодых
7 З. Усманов. И. Ходжев. Математика в трудах великого
mediка
9 А. Варламов, А. Шапиро. Метод виртуальных переме-
щений
14 Е. Глушанков, П. Певзнер. Переключательная игра
Шенона
22 Е. Кузнецов, А. Рубенчик. О волнах на море и ряби
на лужах

Лаборатория «Квант»
27 Ф. Вафин. Еще раз о реакции вытекающей и втекаю-
шей струй

Математический кругок
28 Г. Гееделя. Приницп скимаюших отображений

Задачик «Квант»
34 Задачи М641—М645; Ф653—Ф657
36 Решения задач М596, М598, М599; Ф599—Ф603
40 Премии «Квант»

«Квант» для младших школьников
41 Задачи
42 И. Никольская. «Неверно, что…» — как это понимать?

По страницам школьных учебников
47 А. Земляков. Проверьте себя

Практикум абитуриента
51 Ю. Метт. Три стандартные задачи

Искусство программирования
52 Заочная школа программирования. Урок 9: Циклы

Рецензии, библиография
58 А. Едоров, М. Смолянский. Новые книги
59 И. Зорич. Твой первый робот

Шахматная страница
63 Ответы, указания, решения
Шахматный конкурс (3-я с. обложки)
Наша обложка (57, 61)
Смесь (21, 33, 46, 49)

© Издательство «Нуука», Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1980

2

Иосиф Шавич Слободецкий
(апрель 1941 г. — июль 1980 г.)

Редакционная коллекция и коллектив редакции журнала «Квант», редакционная коллекция «Библиотечки «Квант» с глубокой скоростью сообщают о трагической гибели в автомобильной катстрофе 23 июля 1980 г. члена редакционной коллекции журнала «Квант», члена редакционной коллекции и ученого секретаря «Библиотечки «Квант», кандидата физико-математических наук Иосифа Шавича Слободецкого.

3

Памяты друга

Редакционная коллекция журнала «Квант» попесла тяжелую утрату. Трагически погиб один из создателей журнала и самых активных его сотрудников кандидат физико-математических наук Иосиф Шавич Слободецкий.

Талантливый, энергичный, необыкновенное трудоспособный человек, он полностью отделался делу, никогда не теряя из виду главной цели — приносить пользу людей. За свою коротку, но такую яркую жизнь он успел сделать очень много.

И. Ш. Слободецкий родился 28 апреля 1941 г. в г. Киеве. Последокочания средней школы он учился в Московском физико-техническом институте на факультете общей и прикладной физики, а затем работал в Институте физики высоких давлений АН СССР. Во всей его научной деятельности нарушу с талантом и глубокой профессиональной эрудицией физика-теоретическа проявлялся постоянный интерес к практическим приложениям теоретических исследований.

Безграничная любовь к детям и любовь к научке естественных образом привели Иосифа Шавича к серbezной работе со школьниками. Поистине неоценим его вклад в дело привлечения к занятиям научкой новых поколений молодежи. Еще в студенческие годы И. Ш. Слободецкий был одним из инцицаторов проведения физико-математических оптимизации МФТИ. В этой своей деятельности он был настоящим подвижником. Во многом благодар его энтузизму и bleibtшим организатским способностью оптимизации МФТИ со временем выросли во Всероссийскую, а затем во Всесоюзную оптимизации школьников. Он умел убеждать людей, увлекать их своим идеями, настойчиво добиваться волошения этих идей в конкретных делах. Центральную роль И. Ш. Слободецкий в создании и всея последующей работы редакции журнала «Квант». Он был бессменным руководителем раздела «Задачник «Кванта» по физике, активным организатором и прициппальным судьей всей работы отдела физики журнала. Читатели знают его также как постоянного автора журнала.

Много сил и энергини Иосифа Шавич отдавал научно-популярной серии «Библиотека «Квант», членом редакционной коллекции и ученым секретарем которого он был с момента создания этой серии. И. Ш. Слободецкий был научным редактором учебников по физике для средней школы и ряда научно-популярных книг, выходящих в издательства «Наука», «Мир», «Просвещение». Много прекрасных задач по физике собрано в двух книгах, которые он недавно подготовил к печати. Активное участие И. Ш. Слободецкий принимал в работе Всесоюзного общества «Знание», где состоял членом научно-mетодического совета по пропаганде физико-математических знаний.

Глубокая научная интупация, кипучая энергия и редкий дар общения, который он обладает, вызывали глубокое уважение к немуру дружей, коллег по работе. С ним он делился своим разнообразными научными и издательскими планами, проектами своих новых книг по физике. Трудно прийтися с мыслью, что этим планам не существует.

Ушел из жизни талантливый физик, умный человек, сделавший так много добро и полезного людей. Память о нем будет долго хранить в сердцах его друзья, все, кто сталкивался в жизни с этим прекрасным, светлым человеком.

4

И. Кикопин

Наука — дело молодых

Многие считают, что научные работы, открытия, формирование законов природы — это результат работы маститых ученых, то есть люди почтенного возраства, накопивших знания и больной опыт в своей специальности. В действительности, как показывает история науки, дело обстоит не так: крупнейшие открытия делались молодыми людьми.

Хотя мне легче всего говорить о физике, не могу не сказать о выдающейся работе Владимира Ильича Ленина «Развитие капитализма в России». Опубликана эта работа была в марте 1899 года, следовательно, написал Ленин ее в возрасте 28 лет. При подготовке этой работы он использовал, в общей сложности, около 600 книг и статей. Это — капитальный труд, в котором Ленин впервые, вореки общеприятной тогда точке зрения, доказал, что последнего Россия развивалась по капиталистическому пути, в полном соответствии с учением Маркаса. Работа оказала огромное влияние на революционное движение в России. Все дальнейший ход событийlectricale подвергил развить в работе научные идеи ее автора. Замечу здесь же, что до этого Ленин успел написать свыше 30 произведений, в которых он разработал программу и тактику партии.

Большинству людей хорошо знаком портрет Галилея — старца с больной бородой. Галилей (1564—1642) действительно жил долго, но первоое свое крупное открытие в физике он сделал в 1583 году, когда ему было около 20 лет. Наблюдая за колебаниями логры в соборе и сравнивая период колебаний с биением собственного пульса, он установил, что период колебаний логры не зависит от амплитуды (закон изохронности магнитка). Это открытие послужило основанием для создания часов. В возрасте 25 лет Галилей стал профессором. Вскоре он экспериментально установил свои знаменитые законы padения тел под действием силы тяжести.

Классический механика, которая в течение двух с лишним веков службы основной физики, была создана Ньютоном, который родился в год смерти Галилея. Ньютон (1642—1727), так же как и Галилей, одно из крупнейших своих открытий — открытие закона всемирного тяготения — сделал в возрасте около 20 лет (по случайным обстоятельствам опубликано оно было существенно позже).

Всем девятиклассикам известно имя знаменитого русского физика Эмилия Христановича Ленца (1804—1865). Так называемое правило Ленца, касающейся направления индукционного электрического поля, было формировано им в 1833 году в работе «Об определении направления галванических токов, возбуждаемых электродинамической индукцией». В это время Ленцу было 29 лет. В тридцатлетем возникте он был избран академиком.

Teоретической основой своей современной электротехники, радиотехники и оптики служат знаменные четыре уравнения Максвелла. На этом основании Джеймса Клерка Максвелла (1831—1879) справедливо называют Ньюотоном в электричестве. Свою первую работу Максвелл опубликовал, когда ему едва исполнилось 15 лет. В 25 лет он стал профессором Абердинского университета, а в 29 лет — профессором Королевского колледжа в Лондоне. Вскоре он опубликовал одну из важнейших своих работ под названием «Динамическая теория электромагнитного поля».

Дмитрий Иванович Мендлеев (1834—1907), который портретсты изображали общно седовластим старцем с бородой, свою первую научную работу опубликовал в возрасте 21 года, еще будучи студентом Петербургского главного педагогического института. В 29 лет он был избран профессором. Свой знаменный перiodический закон, приесший ему всемирную славу, Мендлеев открыл, когда ему было 35 лет.

Павел Николаевич Яблочков (1847—1894) в 1876 году, то есть в возрасте 29 лет, запатентовал дуговую лампу — первый электрический источник света — которая под названием «русского света» обошла почти все столцы мира.

Основание всей современной ядерной физики и техники было положено открытом радиоактивности, в изучении которого главную роль сыграла Мария Склодовская-Кюри (1867—1943). Тогда ей было около 30 лет. В 36 лет Мария Склодовская-Кюри получила, совместно с Пьером Кюри и Анри Беккерелем, одну из первых Нобелевских премии.

Петр Николаевич Лебедев (1866—1912) в возрасте 29 лет, занимаясь исследованием в области кристаллоптики, показал полную аналого между светом и электромагнитными волнами в миллиметровом диапазоне (в то время не было еще твердого установлено тождество между «искусственных» электромагнитными волнами и «натуральными» световыми волнами). Дальнейшее развитие этой работы привело его к знаменному экспериментальном документу доказательству существования давления света.

Основоположник советской школа физики Абрам Федорович Юффе (1880—1960), столетке со дня рождения которого мы отмеаем в этом году, пероначально получил техническое образование, законом Петербургский технический институт в 1902 году. Занитересовавшись физикой, он в том же году узжеет в Мюнхенский университет, вLABораторию знаменного Рентгена, где в возрасте 25 лет с блеском защиты докторского диссертационного.Вернувщись в России в 1906 году, Юффе проводит ряд блескуших экспериментальных работ, снискавших ему всемирную известность. Так, он доказал, что каталогные лучи представляют собой электрический ток и что электрический заряд меняется дискретно (последнее Юффе сделал одновременно с Милликом).

В 1905 году в немецком физическом журнале «Annalen der Physik» появились три статьи одного и того же автора, каждая из которых могла бы обеспечить ему бессмертие. Автором этих работ был Альберт Эйнштейн (1879—1955), который в то время было всего лишь 26 лет. (В прошлом году весь

7

Математика
в трудах
великого медика

Абу Али ibn Сина (980—1037), известный всему миру под именем Авиценна, внес фундаментальный вклад в самые различные области человекаского знания. Его общирное наследие должно до нас не полностью, а то, что дошло, еще изучено недостаточно. Общее число доведших до нас трудов Авиценны оценивает специализми от 100 до 500; среди них исследования по медицине, биологии, философии, логике, языкованию, музыке, геологии, химии, физике, астрономии, механике.

Часты наследия Ибн Сины посвязывают математике. Например, в своей энциклопедическом труде «Книга исцеления» и в комментариях к «Логике» и «Алмагесту» Птолемея «он дал, — пишет его ученик и первый биограф Джузджани, — сокращенное изложение [«Начал геометрии»] Евклида, арифметики и музыки и включил дополнительная в каждую книгу по математическим наукам, так как нашел, что в дополнениях имеется настоящая необходимость. Что касается «Алмагеста», то он включил [в него] десять геометрических предложений о параллелсе и добавил в конце «Алмагеста» также вещи по астрономии, каких [до него] не существует. Он добавил также к Евклиду некоторых теоремы, к арифметике [ряд интересных] тонкостей, а в музыке [затронул] вопросы, о которых не ведали [его] предшественики.

В его труде «Книга знания» также есть две математические главы — они посвящены геометрии и арифметике. По замыслу Ибн Сины эти главы должны были представовать соответствующее главам «Астрономия» и «Музика» и предназначаться для

8

их лучшего понимания. К сожалению, оригинальный текст был утерян. В последствии его восстановил Джузджи.

Геометрическая глава содержит изображение «Начал» Евклида с подробными доказательствами, передко не совпадащими с доказательствами Евклида. Ибн Сина приводит даже доказательство V постулата Евклида (аксионы параллельных), основанное на предположении о существовании равностоящих прямых (равносильном доказываемому постулату!).

В геометрической части «Книги исцеления» Ибн Сина дополняет аксионы и постулаты Евклида аксиомами существования точки, линии и поверхности и аксиомой возможности выбора точки на линии или на поверхности. Ибн Сина систематически применяет к геометрическим величиным арфметическое терминологическое например говорит об умножении линии, что никака не делали древние греки; терминология Ибн Сины сыграла существенную роль в расширении понятия числа (под которых в древности понимали только натуральные числа). до того, что мы называем положительным действительным числом.

Сохранили очень интересный трактат Ибн Сины «Об исследования угла», где он рассматривает так называемые «готовидные углы» — углы между двумя касающимся линяями (см. рисунок) — и показывает, что эти углы не удовлетворяют так называемой аксиоме Архимеда*, а так как Ибн Сина считал,

*) Если на прямой дны два отрезка А и В, то можно А повторить сладаемым чито величины обязаательно должны удовлетворять этой аксиоме, он приходит к выводу, что городные углы не являются величиными.

Как мы видим, Ибн Сина, в основном, интересующей проблемами математики, граничisms с логикой, большим знаком которого он был (в ряде сочинений Ибн Сина развил логическое учение Аристотеля).

Приведем еще примеры арифметических результатов Ибн Сины, содержащихся в «Книге исцеления»:

1. Если дано число, которое, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1. Если число, деленное на 9, дает в остатке 2 или 7, то квадрат этого числа, разделенный на 9, дает в остатке 4. Если число, деленное на 9, дает в остатке 4 или 5, то его квадрат, деленный на 9, дает в остатке 7. Наконечн, если число, деленное на 9, дает в остатке 3,6 или 0, то его квадрат, разделенный на 9, дает в остатке 0.

2. Если число, деленное на 9, дает в остатке 1,4 или 7, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 1. Если число, деленное на 9, дает в остатке 2,5 или 8, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 8. И если число, деленное на 9, дает в остатке 3,6 или 0, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 0.

3. Если последовательные нечетные числа помещить в квадратной таблице, то сумма чисел, находящихся на каждой из диagonale, будет равна кубу (размерности) стороны; сумма чисел, заполняющих квадрат, равна квадратно-квадрату (размерности) стороны квадрата.

Например, для квадратной таблицы размером 4×4 получаем

$$1 + 11 + 21 + 31 = 7 + 13 + 19 + 25 = 4^3$$ и $$1 + 3 + 5 + ... + 29 + 31 = 4^4.$$

Matематика затрагивает и в переписке Ибн Сины с его современником, великим среднеизатским ученым Абу Райханом Беруни.

Далее такое беглощество с математическим наследием Авиценны дает яркое представление о выдающем энциклопедическе раннего среднеевековья.

столько раз, чтобы сумма была больше В:

$$A + A + ... + A = A \cdot n > B.$$

Если перефразировать это утверждение для положительных чисел a и b, то оно сведется к существованию такого натурального числа n, что na > b.

Разумеется, эта аксиома (как и любая другая) имеет смысл и становится полне понятной только тогда, когда она рассматривается в составе некоторой системы аксиом (прим. ред.).

9

Метод виртуальных перемещений
(об одном следствии закона сохранения энергии)

В 1717 году Иоганн Бернулли введил новый метод решения статических задач — метод виртуальных перемещений. Метод этот прост и изящен, он позволяет рассчитывать условия равновесия сложных механических систем, не прибегая к громоздким выкладкам; с его помощью можно решать и гидроскатические задачи, и задачи электростатики. В основе его лежит вытекающее из закона сохранения энергии свойство сил реакции связей: при малом отклонении системы от положения равновесия полная работа сил реакции связей равна нулю.

В этой статье на примере конкретиных задач мы постараемся показать читатель, к каким красивым результатам приводит это следствие закона сохранения энергии.

Задача 1
Электрический заряд Q равномерно распределен по тонкой абсолотно жесткой металлической сфере радиуса R. Какая сила F действует на единицу площади поверхности со стороны остального заряда?

По условию сфера предполагается совершено жесткой, поэтому ее реализный радиус R изменяется не может. Однако представим себе, что в результате отталкивания одномименных электрических зарядов сферы чут-чут увеличился — на бесконечно малую величины δR. Иными словами, представим себе, что каждый точка сферы совершила бесконечно малое перемещение δR в направлении, перпендикулярном поверхности. Подчеркием, что изменение радиуса δR — чисто вообразаемое; однако с помощью этого вообразаемого, мысленного перемещения точек сферы нам удалось решить задачу очень просто, и при этом δR, разумеется, в ответ не войдет.

Что произойдет при увеличении радиуса сферы на δR? Заряженная сфера обладает свойством конденсатора — она сохраняет сообщенный ей заряд. Потенциаль поверхности сферы связан с зарядом сферы соответствием φ = Q/4πε₀εR. С другой стороны, согласно определению емкости φ = Q/C. Поэтому емкость заряженной сферы равна C = 4πε₀εR. Энергия такого конденсатора W = Q²/2C = Q²/8πε₀εR. При увеличении радиуса сферы энергия уменьшается: W′ = Q²/8πε₀ε(R + δR).

Таким образом, энергия сферы-конденсатора в результате увеличения радиуса сферы на величины δR уменьшается на величины δR.

ΔW = W − W′ = Q² · δR / 8πε₀εR(R + δR).

Согласно закону сохранения энергии это изменение энергии равно суммарной работе A сили электростатического отталкивания, действующих между отделными элементами заряженной поверхности. Если F — сила, действующая на единицу площади сферы, то A = 4πR²F · δR. Следовательно,

4πR²F · δR = Q² · δR / 8πε₀εR(R + δR).

Учитывая, что δR ≤ R, из этого равенства находится F = Q² / 32π²ε₀εR⁴.

Использованная в процессе решения задачи идея совершения бесконечного малого мысленного перемещения, которое называют виртуальным, и лежит в основе метода виртуальных перемещений.

10

Объчно условия равновесия системы в статике записьют как равенства нулю суммы всех сил и суммы моментов всех сил, приложенных к каждой точке системы. При этом существующие в системе связи (опоры, стержни, нити и т. д.) характеризуют возникшую ошибку в них силами реакции. Необходимость учета сил реакции при написании условий равновесия в случае систем, состоящих из нескольких тел, приводит к громоздким расчетам. Однако имеется возможность избежать рассмотрения этих сил вообше.

Важным свойством сил реакции является тот факт, что их полная работа при малом отклонении системы от положения равновесия равна нулю. Это свойство сил реакции связано с законом сохранения энергии: так как поддержание связей в положении равновесия не требует расхода энергии (силы реакции приложены, одноко нет смысления точек системы), то в результате действия связей не возникает выигрыша или затраты работы. Таким образом, мы приходим к утверждению, что при любом возникном малом отклонении системы от равновесия полная работа сил реакции равна нулю.

Но кроме сил реакции на точки системы действия и внешние силы. Какова же их работа при том же малом перемещении из положения равновесия? Так как система первого аналогно поконтся, то для любого перемещения системы необходимо совершить некоторую положительную работу. В принципе эту работу могут совершать внешние силы и сил реакции связей. Но, как мы уже знаем, полная работа всех сил реакции равна нулю. Поэтому, для того чтобы система вышла из состояния равновесия, суммарная работа внешних сил при любом возникном перемещении должна быть положительной. Следовательно, условия невозможности движения, то есть условия равновесия, мы можем формировать как требование неположительности полной работы внешних сил при любом возникном виртуальном перемещении: $\Delta A \leq 0$.

Допустим, что при перемещениях $\vec{\Delta r}_1, \vec{\Delta r}_2, \dots, \vec{\Delta r}_N$ сумма работы внешних сил оказывается $\Delta A_1$. А что произойдет, если система совершит перемещения $-\vec{\Delta r}_1, -\vec{\Delta r}_2, \dots, -\vec{\Delta r}_N$? Эти перемещения так же возникны, как и первые; однако работа внешних сил теперь изменит знак: $\Delta A_2 = -\Delta A_1$. (В задаче со сферай такая проедура соответствовала бы не растяжению, а скатную сферы.) Рассуддая аналогично предыдущего случая, мы приdem к выводу, что теперь условия равновесия имеет вид $\Delta A_1 \geq 0$, то есть работа внешних сил должна неотрицательной. Единственное возникновение «примирить» два этих почтей противоречных условий — потребовать точного равенства нулю полной работы внешних сил при любом возникном виртуальном перемещении системы из положения равновесия: $\Delta A = 0$.

В таком виде мы и будем использовать принцип виртуальных перемещений при дальнейшем решения задач. Его обычно формулируют следующим образом:

для равновесия любой механической системы с идеальным связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементов работы действующих на системе силы при любом возникном виртуальном перемещении была равна нулю.

Значение принципа виртуальных перемещений заключается, прежде всего, в том, что для нахождения условий равновесия с помощью этого принципа нет необходимости рассматривать большое число сил реакции связей, обеспечивающих равновесие сложных систем. Нет необходимости вникать в механизм осуществления этих связей вообше. Достаточно быть необходимые перемещения, которые допускают положенные связи, вычислить соответствующую им полную работу внешних сил и приравнять ее нулю.

Частным случае принципа виртуальных перемещений является

11

Представим себе, что точка приложения сны $\vec{F}$ перемещается вертикально вниз на расстояние $\delta H$. При этом груз $m$ перемещится вверх на расстояние $\delta h = \frac{1}{4} \delta H$ (этот результат оченьiden из рисунка 1). Согласно принципу виртуальных перемещений
$$|\vec{F}| \delta H = |\vec{mg}| \delta h = (4 |\vec{F}| - |\vec{mg}|) \delta h = 0.$$
Отсюда
$$|\vec{F}| = |\vec{mg}| / 4.$$
(При решении этой задачи мы не выписвали условий равенства сил в положении равновесия; это демонстрирует беспорядное премишество метода виртуальных перемещений.)

Задча 3
В коробке К (рисунок 2) заключен передающий механизм неизвестной конструкции. При повороте ручки Р вертикальной винт В плавано поднимается. При одном полном обороте (радус оборота $r$) винт перемещается вверх на расстояние $h$.
На винт кладут груз массы $m$. Какое число надо приложить к ручке, чтобы удержать систему с грузом в равновесии?
Предположим, что система находится в равновесии, когда к ручке приложена сила, равная по абсолотной величины $f$.
Представим себе, что ручка совершает бесконечно малый поворот на угол $\delta \varphi$. Работа силы $f$ равна
$$\delta A_1 = f \frac{2\pi r}{2\pi} \delta \varphi = fr \cdot \delta \varphi.$$
Груз $m$ при этом поднимается на высоту $\delta h = \frac{h}{2\pi} \cdot \delta \varphi$. Силаяжести mg совершает работу
$$\delta A_2 = -mg \frac{h \cdot \delta \varphi}{2\pi}.$$
Согласно принципу виртуальных перемещений
$$\delta A_1 + \delta A_2 = fr \cdot \delta \varphi - mg \frac{h \cdot \delta \varphi}{2\pi} =$$
$$= (fr - mg \frac{h}{2\pi}) \delta \varphi = 0,$$

12

Рис. 3.

откуда находим $f$:

$$f = mg \frac{h}{2\pi r}.$$

(Объчными статистическими методами задача в рассмотрении постановке не может быть решена вообще, так как ничего не известно о скрытом в коробке механизме передачи.)

Задча 4

Петля из цибкой тяжелой цепи массы $m$ надета на главный прямой круговой конус, высота которого $H$, а радиус основания $R$ (рисунок 3). Цепь покотится в горизонтальной плоскости. Найти натяжение цепи $T$.

Пусть радиус круга, образованного цепью, равен $r$. Совершим виртуальное перемещение цепи как целого вертикального вниз на расстояние $\delta H$. Уменьшение потенциальной энергии цепи при этом равно $mg\delta H$. Радиус же цепи при таком перемещении увеличился на $\delta r$. Увеличение радиуса цепи и ее смесение связаны соотношением $\delta r/\delta H = R/H$.

Работа сил натяжения $T$ при рассматриваемом виртуальном перемещении цепи (виртуальная работа) равна

$$\delta A_1 = (2\pi(r + \delta r) - 2\pi r)T = 2\pi \cdot \delta r T.$$

Виртуальная работа силы тяжеста равна

$$\delta A_2 = -mg \cdot \delta H.$$

Из условия

$$\delta A_1 + \delta A_2 = 2\pi \cdot \delta r \cdot T - mg \cdot \delta H = 0$$

находим

$$T = \frac{mg}{2\pi} \frac{\delta H}{\delta r} = \frac{mgH}{2\pi R}.$$

Задча 5

Имеется цепочка, содержащая $n$ одинаковых неvesомых звенев, скрепленных шарнирно (рисунок 4). Пренебрегая тренем, определять, какое натяжение должна выдерживать нить, соединяющая точки 1 и 2, если к цепочке подвешен érуз массы $m$.

Представим себе, что груз $m$ опустился на расстояние $\delta h$. Из сообщений симметрины понятно, что при этом больше диагональ каждого из звенев удлинилась на $\delta h/n$. Следовательно, виртуальное удлинение нити между точками 1 и 2, равное виртуального перемещению точки 2, также равно $\delta h/n$.

Запишем условие равенства нулю виртуальной работы:

$$T \cdot \delta h/n - mg \cdot \delta h = 0$$

(T — сила натяжения нити). Отсюда

$$T = nmg.$$

В рассмотренных выше примерах мы использовали метод виртуальных перемещений для решения задач механики. Однако, как мы уже говорили, поле применимости этого метода городадо шире. Например, формула избыточного давления внутри сферического пузыря —

$$p = \frac{4\sigma}{r}$$ — может быть легко выведе-

13

на с использованием метода виртуальных перемещений.

Пусть мыльный пузьрь, радиуса $r$ находится в равновесии. Дадим его радиусу виртуальное приращение $\delta r$. Тогда виртуальная работа сил избыточного давления равна $\delta A_1 = F_{n36} \cdot \delta r = 4\pi r^2 p_{n36} \delta r$ (сила $F_{n36}$ избыточного давления направлена по нормали к поверхности пузьря). виртуальная работа сил поверхностного натяжения равна изменению поверхности энергии:

$$\delta A_2 = 2\sigma \cdot 4\pi (r^2 - (r + \delta r)^2) = -16\pi \sigma r \delta r$$

(y мыльного пузьря две поверхности).

Согласно принципу виртуальных перемещений

$$\delta A_1 + \delta A_2 = 4\pi r^2 p_{n36} \delta r - 16\pi \sigma r \delta r = 0.$$

Отсюда

$$p_{n36} = \frac{4\sigma}{r}.$$

Задча 6

Воспользовемся методом виртуальных перемещений для решения задачи по электростанке.

Жидкость с диэлектрической проницаемостью $e$ налита в больший сосуд. Две вертикальное расположенные параллельные пластны касаются поверхности жидкости (рисунок 5). Расстояние между пластнами $d$. Пластны подключают к источнику с разностью потенциалов $U$. Какова будет высота $h$ столбец между пластнами после установки равновесия?

Рассмотрим систему в положении равновесия. Пусть размер пластны $a \times b$. Совершим виртуальное изменение высоты столбца жидкости на $\delta h$. Тогда работа сил тяжести $\delta A_1 = -mg \cdot \delta h/2 = -\rho g hdb \cdot \delta h/2$.

(Изменением массы столбца жидкости из-за «втягивания» жидкости изсуда в пространство между пластнами мы пренебрегаем, поскольку соответствующая работа сил тяжести по поднятию этой массы на высоту $\delta h$ пропорциональна $(\delta h)^2$.)

Работа сил электрического поля равна изменению энергии конденсатора, образованного пластнами, при виртуальном изменении высоты столбости на $\delta h$:

$$\delta A_2 = \delta E = \delta \frac{CU^2}{2} = \frac{U^2}{2} \cdot \delta C$$

(так как $U = \text{const.}$).

Рассматривая заполнение и независимую часть конденсатора как два параллельно соединенных конденсатора, для полной емкости получим выражение

$$C = \frac{S_1}{4\pi d} + \frac{\varepsilon S_2}{4\pi d} = \frac{(a-h)b}{4\pi d} + \frac{\varepsilon hb}{4\pi d} = \frac{ab}{4\pi d} + \frac{(\varepsilon-1)hb}{4\pi d}.$$

Следовательно,

$$\delta C = \frac{(\varepsilon-1)b \cdot \delta h}{4\pi d}.$$

Таким образом,

$$\delta A_2 = \frac{U^2(\varepsilon-1)b \cdot \delta h}{8\pi d}.$$

Приципп виртуальных перемещений дает

$$\frac{U^2(\varepsilon-1)b \cdot \delta h}{8\pi d} - \rho g hbd \frac{\delta h}{2} = 0.$$

Отсюда

$$h = \frac{U^2(\varepsilon-1)}{4\pi gd^2}.$$

В заключение, чтобы вы могли проверить, насколько хорошо вам освоен метод виртуальных перемещений, мы предлагаем вам решить две задачи:

(Окончание см. на c. 26)

14

Е. Глушанков,
П. Певзнер

Переключательная игра Шенона

Нельзя ли без полного перебора?

Стремительное развитие в XX веке произвolvedства, экономики и транспорта поставило перед математикой новые проблемы. Как управлять современным предприятием, как спланировать большой комплект работы, как составить удобное расписание движения поездов — со всеми этим вопросами инженеры стали обращаться к математикам. Однако методы классической математики, предзначаенные, в основном, для решения задач физики и механики, не могли дать ответ на такие вопросы. Это привело к появлению новых математических дисциплин — теории игры, теории графов, теории кодирования и многих других, объединяемых сейчас называемем «дискретная математика».

Первая работа по дискретной математике (она принадлежит Леонарду Эйлеру), появившаяся в 1736 году, была посвящена известной головоломке о кенигсбергских местах: можно ли совершить прогулку по Кенигсбергу (план города изображен на рисунке) таким образом, чтобы выйдет из дома, вернуться обратно, пройдя по каждому местуровно один раз? Долгое время дискретная математика занималась почти исключительно головоломками, и поэтому находилась у серверных математиков на положении Золушки. Однако уже в XIX веке дискретные методы применились при изучении электронических цепей и молекулярных схем в химиии.

Настоящий расчет дискретной математики наблюдается в последние два—tri decrytления. Физика, химия, программирование, экономика, генетика, социология, лингвисти-

15

ка, антипология — это лишь часть длиного списка наук, в которых применяется методы дискретной математики.

В последнее время всеобщие внешние привлекли некоторые классические задачи дискретной математики, которые вот уже болееста лет ждут своего решения. Все эти задачи характеризуют тем, что если дан «кандидат в ответы», то очень легко проверить, действительно ли он является ответом, но очень трудно такой ответ найти; фактически приходит перебирать по очереди все возможные варианты.

С одной стороны задачей занимающей математикой стalkиваются edва ли не каждый день. Это задача поиска доказательства данной теоремы. В самом деле, если доказательство дано, то проверить его правильность в принципе не трудно. Нужно лишь убедиться в том, что каждый шаг сделан в соответствии с правилами логики, а промежуточные утверждения следует из аксиом и известных теорем. Но как это доказательство найти? Нужели перебирать все возможные рассуждания, начиная с аксиом? Если бы кто-нибудь мог объяснить, как он «догадывается», решая задачи, может быть, это помогло бы математикам научить машину делать то же самое.

А вот более простой пример: задача о разбиении. Пусть $A = \{s_1, \dots, s_N\}$ — конечное множество, содержащие натуральные числа. Требуется разить множество $A$ на два подмножества $I$ и $J$ ($I \cap J = \emptyset$, $I \cup J = A$) так, чтобы сумма элементов из $I$ равная сумме элементов из $J$. Как, и в предыдущем примере, для данного разбиения множество $A$ на множество $I$ и $J$ очень легко проверить, равны ли соответствующие суммы. Но как найти искомое разбиение? К сожалению, наука не может пока предложить ничего существенного лучшего, чем перебор всех $2^N$ вариантов. Но уже при $N = 100$ современной вычислительной машине понадются миллиарды лет для проверения такого перебора.

В настоящее время распространяется мнение, что для некоторых задач (например, задачи о разбиении) ничего существенного лучшего, чем полный перебор, предложить невозможно. Именно поэтому каждый пример эффективного алгоритма в той ситуации, где раньше приходимы довольствовать перебором, представляет большой интерес для науки, даже если сама ситуация «игрушенная». Об одном таким примере инойдет речь в этой статье.

В начале 50-х годов выдавшийся американский математик и инженер, создатель теории информации Клод Шенон предложил схему перебора вариантов для шахматной программы. Почти все современные шахматные программы являются этой схемы. Однако число вариантов, перебираемых программы, играющих по алгоритму Шенона, оказывась столь велико, что ни память, ни быстроестия современных ЭВМ недостаточно для их реализации.

Шенон пытается применить свои методы к некоторым другим играм. Он рассмотрел игру на графах, которая называется теперь переключательной церой Шенона (сокращенно — ПИШ).

В настоящее время предложено несколько подходов к программированию игра. О методе, основанным на переборе с отсутствием беспереспективных (с некоторой точки зрения) вариантов, «Квант» уже писал*. Другой метод (на его основе в середине 60-х годов А. Леман предложил «идеального играка» в ПИШ), связанный с полным отказом от перебора вариантов, опирается на некоторых новые результаты дискретной математики.

О том, как можно играть в ПИШ, не перебирая вариантов, мы и рассскажем ниже.

Бридж-ит

В конце 50-х годов американец Гейл придумал игру Бридж-ит. Стандартное поле для игры Бридж-ит показано на рисунке 1. Один игрок соединяет с ним карандашом синего точки, другой — красным карандашом красные. «Ходят» (то есть проводят отрезки) игри по очереди. Выигравает тот, кто первым построит ломанную, соединяющую две противоположные стороны своего цвета (на рисунке 2 партия закончилась победой красных).

*) Р. С. Гутер, М. В. Донской Машина церает в шахматы («Квант», 1974 № 11).

16

Попробуйте, поиграв в бридж-ит на маленьких полях (рис. 3), понять, у какого игрока — преимущество в этой игре, а затем попытаться разрабатыть выигрышную стратегию для этого игрока.

Задача 1. Докажите, что в игре бридж-ит «ничных» не бывают.

Если в цереге не былает «ничных», то один из церков имел выигрышную стратегию. Действительно, пусть, например, игрок $A$ не имеет выигрышной стратегиии, то есть на любой его ход у игрока $B$ существует такой ответ, что игра не кончится победой $A$. Поскольку предположено, что в рассматриваемой игре нет «ничных» партии кончится победой игрока $B$, то есть у $B$ есть такая последовательность ходов, что, как бы ни играл $A$, все равно выиграет $B$. Таким образом, у игрока $B$ существует выигрышная стратегия.

Только что приведенное рассуждение есть чистое доказательство существования: доказывается, что стратегия есть, но как ее найти — ни слова. А ведь это и есть самый интересный вопрос.

ПИШ

Чтобы описать выигрышную стратегию для игры Бридж-ит, передем от бридж-ит к ПИШ. Для этого изменим немного правила игры. На рисунке 4 все возможные ходы «синнего» игрок отмечены синими отрезками, а «красного» игрок — красными. Мы будем называть такие рисунки «графами возможных ходов». Если вы уже погалли в бридж-ит, то наверное поняли что игрокам бессмысленно проводить отрезки, обозначенные на рисунке 4 пунктом. Поэтому давйте вообще не будем их рассматривать и сделаем следующее: стянем все верхние точки в одну и то же самое сделаем с левыми, правыми и нижними точкими (рис. 5). Теперь цель «синнего» игрок — соединить путем из синних ребер вершины $s$ и $t$, а цель «красного» — соединить красным путем вершины $s'$ и $t'$.

Заметьте, что каждый красный отрезок пересекаетровно один синий. Поэтому, если «красный» игрок делает ход, то это, по существу, означает, что он делает невозможным один (и только один) ход «синнего» игрок, то есть «красный» игрок своим ходом как бы вы червиает ребро синнего графа. Но вместе того чтобы вычеркивать синее ребро, можно просто закрасить его красным цветом. Теперь мы можем вообще удалить красный граф из рисунка 5 и считать, что игра проходит так:

Два игрока по очереди красят ребра графа, у которой выделены вершины $s$ и $t$: один — синим цветом, другой — красным (рис. 6). Цель «синнего» игрок — соединить выделенные вершины путем*) из синних ребер, а цель «красного» игрок — помещать ему (что это значит, мы уточним позднее).

*)Напомним, что граф называется конечное множество точки (вершин графа) и соединиших их отрезков (ребер графа). Путь — это линяя на графе, не проходящая ни по какому ребру более одного раза.

17

Это и есть переключатель изра Шенона ПИШ). Только Шенон предложил ее в более общей постановке: во-первых, играть можно на любом графе и, во-вторых, на данном графе можно выделить любую пару вершин.

Каждай граф с двумя виделенными вершинами задает неокотрый варциант ПИШ. Первый ход в каждом варинате может делать любой игрок — как «синей», так и «красный». Поскольку «синей» игрок соединяет вершины, его уместно называют Соединицим или С-цероком. А красного игрока мы назовем Режущим или P-цероком.

Совершенно очевидно, что «ничых» в ПИШ не бывают — С либо соединит виделенные вершины, либо нет. Поэтому один из игроков в ПИШ имеет выигрышную стратегию. Но какой? Как найти эту стратегию?

Классификация варинатов ПИШ
Заметим, что если церок, цероцший вторым, имеет выигрышную стратегию, то он имеет ее и в том случае, когда церок первым. Действительно, церок первым, он закрасит своим цветом любое ребро, а потом будет отвечать на ходы противника так, как он делал бы это, играя вторым. Если на каком-то шаге надо будет покрасить ребро, которое он покрасил раньше, то он покрасит произвольное ребро. Так он и будет играть, имея одно «лишнее» ребро своего цвета, которое, конечно же, не может помещать ему выиграть.

Таким образом, с точки зрения возникности выиграть для каждой варината ПИШ возникен один и только один из следующих трех слияев:

1. соединиций имеет выигрышную стратегию, независимо от того, играет он первым или вторым;
2. режущий имеет выигрышную стратегию, независимо от того, играет он первым или вторым;
3. выигрышную стратегию имеет игрок, делаюший первый ход.

Варинаты ПИШ первой группы мы назовем С-церами, второй —

2 Квант № 9

18

Р-церami, третий — Н-церami. На рисунках 7, а) — в) изображены графы, дающие С-церу, P-церу и Н-церу соответственно.

Задача 2. Докажите, что бридж-ит является Н-игрой.

Немного теории

Давайте на некоторое время отвлечемся от игр и даим несколько определений из теории графов, которые попадются в дальнейшем*.

Граф G называется связным, если в нем между любыми двумя вершинами существует путь. Несязный граф представляет собой набор нескольких связных графов, каждый из которых называется его компонентой. Путь, в котором начальная и конечная вершины совпадают, называется циклом. Если в связном графе есть цикл, то при удалении любого ребра из цикла граф остается связным. Связный граф без циклов называется деревом. Примеры деревьев приведены на рисунке 8.

Легко видеть, что удаление любого ребра из дерева приводит к графуровно с двумя компонентами, причем концы удаленного ребра лежат в разных компонентах (рис. 9).

Ребро графа с концами x и y будем обозначать [x, y]. Ту компоненту, которая образуется при выбрасывании ребра [x, y] из дерева A и содержит вершину x, обозначим через A(x), а ту, которая содержит вершину y,— через A(y).

Лемма о двух деревьях. Пусть A и B — два дерева на одном и том же множестве вершин и [x, y] — ребро дерева A. Тогда в дереве B существует ребро b, один конец которого лежит в A(x), а другой — в A(y) (рис. 10).

Новые правила игры

Чтобы научиться играть в ПИШ, мы опять немного изменим поле и правила игры. Для этого введем понятие стягивания графа.

*) Подробнее о графах расссказано, например, в книге Л. Ю. Березиной «Графы и их применение» (М., «Просвещение», 1979).

20

Эта лемма подсказывает стратегию для соединяющего игрока.

Цель игрока $C$ — подерживать в графе существование двух деревьев, удовлетворяющих условию Лемана (деляя это, он обеспечивает существование двух путей между вершинами $s$ и $t$, и игроку $P$ никака не удался разведить эти две вершины). И игрок $C$ действительно может это сделать, если такие два деревья имелись в исходном графе. Если игрок $P$ удаляет ребро $a$ в одном из этих деревьев, то игрок $C$ в ответ должен стянуть ребро из другого деревья, существующего по последней лемме. Если же игрок $P$ удаляет ребро, которое не принадлежит ни одному из наших двух деревьев, то игрок $C$ может стянуть ребро в одном из деревьев; ясно, что в новом графе по-прежнему найдется два деревья Лемана (какие?).

После каждой пары ходов количество вершин в каждой из наших деревьев уменьшается на единицу, поэтому вершины $s$ и $t$ рано или поздно сольются и игрок $C$ выиграет.

Мы начили вас играть в $C$-игру, используя два деревья Лемана. Но как находится эти деревья? Конечно, можно использовать полный перебор, однako это связано с огромными затратами времени даже на современных ЭВМ. Леману не удалось найти эффективного алгоритма для отыскания двух таких деревьев, поэтому неокупPOSE время казалось, что теорема Лемана имеет лишь теоретический интерес. Только в начале 70-х годов Бруно и Вейнбергу удалось построить такой алгоритм.

На самом деле, Леман полностью решил переключательную игру Шенона: он доказал также, что вариант ПИШ тогда и только тогда является $P$-игрой, когда в графе имеются два подграфа определенного вида. Если же вариант ПИШ является $H$-игрой, то после первого разумного хода мы получаем на новом графе вариант ПИШ, который является $P$-игрой или $C$-игрой — в зависимости от того, кто делал первый ход: $P$ или $C$ соответственно. Такой ход существует. Такой ход существует по определенному $H$-игры. На эти ход в принципиме можно перебором.

Стратегия для бридж-ит

Итак, мы расссказали, как играть в $C$-игры. Но ведь бридж-ит, согласно задаче 2, есть $H$-игра. Как же играть начинающему, чтобы выиграть?

Очевидно, что в игре бридж-ит начинающему можно считать $C$-игроком. Своим первым ходом он может стянуть, например, ребро, отмеченное на рисунке 13 зеленьм цветом. В получающейся после этого хода графе имеется два деревья Лемана: они выделены на рисунке 13 красным и черным цветом. А затем игрок $C$ может пользоваться описанной выше стратегией для $C$-игры. На рисунке 13 стрелочки рассматриваются таким образом, что игрок $P$ удаляет ребро, на которой указывает конец неокторой стрелочки.

21

ки, то игрок $C$ в ответ должны стать нуть ребро, на которое указывает другой конец этой же стрелочки (проверьте, что стрелочки расставлены в соответствии с доказанной леммой).

Задача 4. Укажите другие возможности «выигрышные» начальные ходы для игрок $C$.

Американский математик О. Гросс предложил ту же самую стратегию, что и на рисунке 13, задолго до Лемана, не свояя бридж-ит к ПИШ: По решету Гросса, для того чтобы выиграть, игрок $C$ должен первым ходом проверти отрезок, обозначенный на рисунке 14 сним цветом, а затем действовать так: если игрок $P$ задавает своймход один конец неокторной стрелочки, то $C$ ответным ходом должен задеть другой конец той же стрелочки.

А что дальше?
Научившись играть в ПИШ, Вы, возможно, уже задали себе вопрос: «А нельзя ли простые и эффективные дискретные методы, которые в случае с ПИШ привели к полному успешу, распространить на другие игры?» Попытки применить такие методы действительного были, однако они не дали результата даже для близкойшего «родственника» ПИШ — вершиной переключающей церы Шенона. (Эта игра очень похожа на ПИШ, она также ведется на графе с двумя виделенными вершинами $s$ и $t$, только красится в ней не ребра, а вершины; при этом игрок $C$ старается так показать вершины, чтобы от $s$ к $t$ можно было пройти путем, проходящим по вершинам своего цвета, а игрок $P$ — помещать ему.) Более того, в 1976 году Ивен и Тарьян. доказали, что найти выигрышную стратегию для вершиной переключающей церы Шенона не менее просто, чем решить неокторные классические комбинаторы проблемы, для которых, как считают многие математики, вообще не существует эффективных алгоритмов решения. До окончательного решения подобных проблем еще далеко.

Список читателей, приславших правила решения задач из Задачника «Кванта»

В этом номере мы публикуем фамилии читателей, приславших правила решения задач М581—М600 и Ф588—Ф602.

Математика

Большинство читателей, приславших свои решения, успешно справились с задачами М581, М582, М586—М590, М592. Остальные задачи решили: Э. Абдулаев (Масаллы) 91; А. Авербах (Донецк) 85а), 91, 94; А. Адеев (с. Покровка АзССР) 91, 99; М. Азиштейн (Москва) 96, 98, 00; Р. Ардан (Львов) 84; Л. Аррушанов (Баку) 85а), 6), 96, 98; Г. Баламетова (Куасары) 91; А. Балинский (Львов) 84, 85а), 6), 91, 94, 96—99; А. Барре (НИколаев) 91; Г. Барздинь (Рига) 85а), 6); Д. Батуров (Орел) 96; А. Белозеров (Одеcca) 85а), 6), 91; А. Белокольтов (Киев) 85а), 6); Ю. Белочековский (Минск) 856), 95, 99; А. Белова (Кривой Рог) 85а), 6); В. Бережной (Киев) 91, 94—98, 00; С. Бесплатных (Артемовский Свердловской обл.) 93—98, 00; А. Бишчаев (Алма-Ата) 98; Н. Бовсуновский (с. Путлович Житомирской обл.) 91; А. Боровских (Воронеж) 98; А. Брациский (Волгодонск) 83, 85а), 6), 91, 94, 95; Я. Брегман (Киев) 85, 91, 94, 98—00; А. Бурин (Москва) 83, 84, 85а), 6), 91, 94, 95; Ю. Бушк (Черемхово) 91; Э. Вайслеб (Киев) 91; С. Васловский (Ашхабад) 91, 95, 98—00; И. Владимиров (Москва) 85, 91, 97—00; С. Волосвец (Саратов) 91; А. Волнов (Киев) 91; М. Гайсинский (Ташкент) 856), 91, 94; Д. Гешкенбейн (Москва) 85; Л. Гитлин (Витебск) 91, 94; Г. Гокадзе (Кутанси) 91; С. Горшков (Москва) 98; Е. Горшкова

(Пермь) 96; А. Градинер (Баку) 91, 94; И. Деребас (Магнитогорск) 98; Ш. Джафаров (Кировабад) 91; Б. Добров (Ангарск) 91; К. Дойнов (НРБ) 96—99; И. Дралов (НРБ) 91, 94; О. Драч (Кривой Рог) 856); Д. Дунцев (с. Аркиван АэССР) 91; И. Елицевич (Чернигов) 91; Т. Енцев (НРБ) 96—99; А. Ermolин (Петрозаводск) 84, 85, 91, 93—96, 98—00; А. Жилинский (г. п. Крупки Минской обл.) 85, 94, 95; Е. Жиллев (Москва) 85а), 6); А. Золотых (Курск) 96, 98, 00; Ю. Иванов (Воронеж) 99, 00; Ю. Ильясов (Сизань) 91, 00; Ф. Кабдыкаров (Алма-Ата) 85а), 6), 91, 93, 94; А. Кадарманов (Белорец) 91, 95, 00; П. Калуенин (Москва) 84; Р. Камалян (Ереванн) 91; А. Каплан (Сумгант) 84, 91, 93—00; А. Кварцани (Кутанси) 91; А. Келарев (Свердловск) 85а), 6), 91, 94, 95; И. Колпаков (Сочи) 97, 99, 00; О. Крижановский (Харьков) 85, 97, 98; Е. Кузнецов (Ижевск) 91, 98; С. Курчатов (Саратов) 91, 94; Б. Лапидус (Москва) 84, 85а), 6); А. Липин (Ленинград) 85а), 91, 96, 98, 99; Д. Лихачев (Владивосток) 95; А. Мамедов (с. Сaatло ГССР) 91; Г. Марион (Могилев-Подольский) 91; А. Мередец (Ленинград) 84, 85, 91, 94, 95; В. Мельник (Гайсин) 91; Л. Мерклявицс (Лентваррис) 85а), 6), 91; С. Мокроусов (Ленинград) 84; С. Морейно (Москва) 85а), 6), 91, 95—00; Р. Набоков (Саратов) 85; И. Нестеров (Пскент) 85, 98; З. Нишианii (Кутанси) 91; С. Новаковский (Саратов) 85, 91, 94, 96—00; В. Новохаций (Полтава) 91; П. Овчинников (Вязники) 91, 00; М. Окроя (Ереванн) 91, 94; С. Осенний (Киев) 84, 85а), 6), 94; А. Павлычев (Рига) 84, 91; Г. Перельман (Ленинград) 85а), 6), 91, 94, 96, 98—00; В. Пидстрицан (Львов) 84, 91, 93—96, 98—00; А. Поеэд (Москва) (Продолжение см. на с. 33)

22

О волнах на море и рыб на лужах

Бросая в воду камещки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустого забавого.

Козьма Прутков

Из всех многочисленных типов волн, изучаемых физики, волны на воде наиболее доступны наблюдению. Поняття амплитуды, длины волны и т.п. для них наглядны, а возникающие при их распространении являются знакомы и интересны. В то же время многие закономерности их распространения такие же, как и для световых или звуковых волн, и потому, «бросая в воду камещки», можно понять многое.

Волны на воде — весьма широкий круг явленый. Это морской прибой и рыб на лужах, огромные штормовые валы и медленное поднятие воды во время приливов, карабельные волны и сокрушающие все на своем пути цунами.

Изучать волны на воде начали очень давно. Первая теория — теория приливов — восходит еще к Ньютону и является прямым приложением его теории всемирного тяготения. Далее в изучении явлений на воде были и периоды затшья, и свой «золотой век», связанный с именами Рэллея и Стокса. Но вот что удивительное — очень интересные результаты в этом классическом разделе науки были полученысовсем недавно. С их помощью удалось обяснить эксперименты, проделанные еще в прошлом веке.

В этой статье мы хотели бы рассмотреть некоторые явления, возникшие на поверхности жидкости, в частности — воды. Может быть, после этого вы будете немного подругому смотеть на круги, рассходящиеся от брошенного камня.

О скорости волн

Прежде всего выясним, как меняется скорость распространения волн в зависимости от длины волны (или,

как говорят физики, найдем закон дисперсии волн).

В состоянии равновесия поверхности жидкости обычно горизонтальная. Если вывести ее из этого состояния (например, бросить камень), появляется сила, стремящаяся вернуть поверхность жидкости в исходное состояние. Жидкость приходит в движение, но не оставливается на прежнем уровне, а по инерции просакивает его. Возникающие коллебания жидкости распростраются по ее поверхности — появляются волны.

Какая же сила стремится сделать поверхность жидкости плоской? Очевидно, что она складывает из силы тяжестии и силы поверхностного натяжения. Но, оказывается, роль этих сил для разных волн различана. При длиных волнах преобладает сила тяжестии, поэтому длиные волны называют гравиатционными. В случае очень коротких волн доминирует сила поверхностного натяжения, и поэтому короткие волны называют капиллярными. Несколько позже мы посямим, что значит «длинные» и «ч魄ь короткие» волны. А пока рассмотрим по отдельности гравиатционные и капиллярные волны и выясним, как зависит скорость распространения волны от ее длины. Воспользуемся методом размерностей.

В случае гравиатонных волн их скорость может зависят от длины волны, глубины жидкости, ее плотности и ускорения свободного падения. (На самом деле, скорость распространения волн зависят еще от плотности воздуха, притяжения Луньи и многих других факторов. Но их влияние веса мало и не существенно.) Другими словами, скорость волны $v$ является функцией от длины волны $\lambda$, глубины жидкости $H$, плотности $\rho$ и ускорения свободного падения $g$:

$$v = f(\lambda, H, \rho, g).$$

Из сообщений размерностей следует, что плотность не должна входить в ответ, так как лишь она одна из всех пятей величины содержит размерность массы. Кроме того, размерности $\lambda$ и $H$ одинаковы, а размерность времени содержится только в ускорении свободного падения.

Следовательно, скорость распространения волны можно записать в виде

$$v = \sqrt{gH} \varphi \left( \frac{\lambda}{H} \right)$$

или

$$v = \sqrt{g\lambda} \psi \left( \frac{H}{\lambda} \right),$$

поскольку $\lambda$ и $H$ равноправны и ччем не выделяют по отношению друг к другу.

Рассмотрим, например, выражение (1) и конкретизируем его в двух предельных случаях — когдалина волны мала и когда она велика по сравнению с глубиной. В первом случае говорят о коротках волнах, или о волнах на глубокой воде. Во втором — о длиных волнах, или о волнах на мелкой воде. Вот несколько примеров. Когда вы бросаете камень в реку,лина возникающих волн будет порядка размера камня, который мал по сравнению с глубиной. Следовательно, волны можно считать коротками. Рябы на глубоких лужах, штормовые волны — это тоже короткие волны, то есть волны на глубокой воде. С другой стороны, существуют волны, для которых и океан — мелкая вода. Например,лина приливных волн порядка земного шара, так что для них какие-то 11 км глубины Маринской впадины! Или другой пример — цунами, гигантские волны, возникающие при «моретрясении».

В случае коротких волн жидкости движется лишь в поверхностном слое толщиной порядка длины волны, так что скорость волн не должна зависят от глубины жидкости. Следовательно, $\varphi \left( \frac{\lambda}{H} \right) = \alpha \sqrt{\frac{\lambda}{H}}$

$$v_{\text{кор}} = \alpha \sqrt{g\lambda}.$$

Точный расчет дает, что $\alpha = 1/\sqrt{2\pi}$.

В противоположном случае — длиных волн — в движение вовлекается все жидкость, вплоть до дна, поэтому скорость волн не должна зависят от длины волны: $\psi \left( \frac{H}{\lambda} \right) = \beta \sqrt{\frac{\lambda}{H}}$

25

Рис. 3.

мое штормами в южной части Тихого океана, обнаружила, что таким образом можно определить расстояние до шторма, которое может составлять 2000 миль и даже более.

О возбужdenи волн

Рассмотрим теперь, как возбуждаются волны на поверхности жидкости.

Первые попытки понять процессов возбуждания волн ветром были сделаны в середине прошло века. Эту задачу решал выдающийся английский физик Томсон (лорд Кельвин) в предположении, что движение воздуха является лaminарным, как бы состоящим из отдельных струй. Над водным горбом эти струи воздуха грушаются (рис. 3, а), скорость течение возрастает, а давление в этом месте, в соответствии с законом Бернулли, падает. При достаточно большой скорости ветра возникающая подъемная сила предолевает стабилизирующее действие сил тяжестии и поверхности натяжения, и на поверхности воды возбуждаются волны. Интересно, что расчитанная критическая скорость оказалась очень большой, в десяти раз превышают наблюдаемую. Такое вонищее расхождение между результатами теории и экспериментата много лет было одной из обсуждаемых проблем гидродинамики. Путем различных сложных и хитрумных условий условия теории удалось сизить критическую скорость в несколько раз. Однако парадокс оставался.

Объяснение его появилось только в конце пятидесных годов нынешнего столета. Оно основано на том, что слой воздуха, прилегающий к воде, не является лaminарным. Он состоит из множества мелких винрей (рис. 3, б), или, как говоря физики, турбулизован. Вихри эти движются со скоростью ветра. Если скорость ветра меньше скорости волны, склон волны доогоняет винри, только их и, следовательно, отдает им энергию. При этом поверхность жидкости остается спокойной. Далее возбуждаются волны, они быстро затухут. Ситуация меняется, если винри доогоняет волну. Они «толкают» ее, отдают ей энергию и, следовательно, увечивают ее амплитуду.

Такой процесс возбуждания волн не случайно называют резонансным. И действительно, это общный резонанс. Точно с таким же резонансом вы стalkиваете, например, при быстро движении поезда, который трасется на стыках. Частота v тряски определяется скоростью поезда u и длиной рельса l: v = u/l. Если частота v совпадает с одной из собственных частот варона, варон сильно раскачивает. Так же обстоит дело и при возбуждании волн ветром. Здесь роль длины l принимает на себя длина волны λ, а скорость u представляет собой скорость ветра, то есть при резонансе скорость волны должна равна скорости ветра.

Позмоту, если скорость ветра превышает минимальную скорость волн v_min, случайно возбуждающие волны малой амплитуды будут усиливать и нарастать. Расчетное значение v_min хорошо согласуется с данными наблюдаемыми.

Если скорость ветра близка к v_min, возбуждаются волны с длиной, близкой к λ_min, что составляет несколько сантиметров. Именно такие волны возбуждаются на лужах при лег-

26

ких порых ветра. С ростом скорости ветра появляется все более быстроые волны. Из рисунка 1 видно, что при этом возбудаются как более длинные, так и более короткие волны. Но очень короткие волны, с длиной волны порядка миллиметра и меньше, заметны плохо и быстро затухают. Позмоту мы обычно видим, что с ростом скорости ветра $u$ возбудаются все более и более длинные волны. Например, при скорости ветра ~40 km/ч, соответствующей шестибалному шторму, возбудаются волны длиной вплоть до 60 м.

И последнее. Вы, конечно, замечали, что когда ветер слабый, волны маленькие, а во время шторма больше. Почему? Ясно, что энергия волны не может растить бесконечно. Как только амплитуда волны становится больше неокторой критической, гребень волны обрушивается. Опять-tаки из сообщений размерностей эта критическая амплитуда должна быть порядка длины волны. Во время шторма возбудаются все более длинные волны, и поэтому они дорастают до большой амплитуды.

Все явления, которые описаны выше, мы наблюдали много раз. Их легко моделировать. Например, эксперименты по возбудению волн ветром можно проделать с помощью обычного вентилятора.

О разрушении сверхтекущости

В заключение нам хотелось бы заметить следующее. Интересно, что рассуждания, приведенные выше, годятся для объяснения совсем другого, достаточно далекого от волна на море явления, — разрушения сверхтекущости. Прежде всего объявим, что такое сверхтекущость. Сверхтекущость — это свойство жидкости протекать без треня через узкие капилляры. Она присуще единственный жидкость — жидкому гелью при очень низких температурах, близких к абсолотному нулю ($T<2,2\mathrm{K}$).

Оказывается, в жидком гельи также существуют волны. При больших длинах волн это звуковые волны, их скорость постояна и не зависит от длины волны. С уменьшением длины волны скорость уменьшается, а при очень малых длинах волн снова увеличивается. Таким образом, зависимости скорости волн от длины волны для геляя похожа на такую же зависимости для поверхностных волн (см. рис. 1). Самое главное, что обе эти кривые имеют минимум.

Предположим, что скорость геля в капилляре превышает минимальную скорость волн. Очевидно, тогда будет произходить возбудение колебаний. При этом энергия поступательного движения геля будет передаваться этим волнам, то есть возникнет трене и сверхтекущость разрушится. Таким образом, максимальная скорость, при которой геля сохраняет свойство сверхтекущости, равна минимальной скорости волн.

Любопытно, что это явление было обнаружено советским физиком П. Л. Капицей в 1937—1941 году и нашло свое объяснение в работе другого советского физика Л. Д. Ландду в 1941 году, задолго до того, как был понят механизм возбудения волн ветром.

Метод виртуальных перемещений

(Начало см. на с. 9)

1. Два однородных стержня, массы которых $m_1$ и $m_2$, опираются на гладкие вертикальные стены и гладкую горизонтальную поверхность (рисунок 6). Найдите соответствие между углами $a_1$ и $a_2$ при равновесии системы.

2. Решите задачу 5 при условии, что масса каждой шарнира равна $M$.

Рис. 6.

27

Еще раз о реакции вытекающей и втекающей струй

В сентября 1978 года в нашем журнале была опубликована статья В. Майера «Реакция вытекающей и втекающей струй». Редакция получила много открыток на нее.
Предлагаем вашему вниманию еще одну ту же тему. В ней расссказывает о том, как сделать прибор, называемый «морским жителем» или «картезианским водолазом», и как с его помощью наглядно продемонстрировать наличие реакции вытекающей струй и отсутствие реакции втекающей струй.

Возьмите стеклянную пробирку диаметром около 2 см, заполните ее водой приблизительно на 3/4 объема и закройте пробкой. В пробку вставьте две изогнутые трубочки, образующие сегнерово колесо. Трубочки можно изготовить самим, на

пример из пустых стержней для шариковой авторучки, слегака нагрева места изгиба.

Пробирку опустите вверх дом в высокой цилиндрической сосуд (скажем, в трехлитровую банку), целком заполненный водой (см. рисунок). Количество воды в пробирке отрегулирует так, чтобы пробирка плавала в сосуде. Удобнее всего лишнюю воду из пробирки выливать через одну из трубочки (сама пробирка при этом расположена горизонтально). Когда отрегулируется количество воды в пробирке, ответственное соуса затяните тонкой (но прочной) резиновой пленкой.

Тепер можно приступать непосредственно к опыту. Надавите пальцами на пленку, и вы увидите, что пробирка начинает опускаться, не вращаясь. Снимите пальцы с пленки — пробирка будет подниматься и при этом вращаться. Как это можно обьяснить?

Когда пробирка плавает, ее силаяжести уравновешена вытalkивающей силой. Если надавить на пленку, гидрорастительное давление в сосуде увеличится, а давление воздуха в пробирке остается прежним. Под действием разности давления через изогнутые трубочки будет входить в пробирку, объем воздуха над водой в пробирке будет уменьшаться, а давление — увеличивается. Поскольку количество воды в пробирке возрастет, увеличится ее силаяжести, а вытalkивающая сила не изменится. В результате пробирка начинает тоннуть, но вращается она не будет. Это явно свидетельствует об отсутствии реакции втекающей струй.

При снятьцах пальцев с пленки гидрорастительное давление в сосуде при этом избитыочного давления воздуха в пробирке часть воды из пробирки вытечет. Став легче, пробирка начинает всплывать, вращаясь при этом под действием реакции вытекающей струй.

28

Прицели скимающих отображений

(Из хроники НОУ)

Настоящая статья основана на докладе, сделанном ее автором — тогда десятикласиком — на «Празднике математики» в Батуми. В ней расссказывается об одной важной теореме, которая в нашей части применяется при решении больших систем на ЭВМ, но может быть использована и для приближенного нахождения корней «типичного школьных» уравнений.

Неподвижные точки

Пусть $f$ — отображение произвольного множества $A$ в себя. Точка $x \in A$ называется неподвижной точкой $f$ отображения $f$, если

$$f(x) = x. \tag{1}$$

Когда $A \subset R$ (то есть когда $f$ — общная числовая функция), найти неподвижную точку отображения $f$ попросту означает решить уравнение (1). Обратно, если данное уравнение $g(x) = 0$, то его решение будет неподвижной точкой отображения $f$, где

$$f(x) = g(x) + x. \tag{2}$$

Рассмотрим несколько примеров.

1. Поворот плоскости на ненулевой угол около данной точки имеет единственную неподвижную точку (центр поворота).

2. Параллельный перенос плоскости на ненулевой вектор не имеет неподвижной точки.

*) О неподвижных точках расссказывается также в статье Б. Вертгейма («Квант», 1980, № 6).

3. Симметрия плоскости относительно прямой имеет бесконечное множество неподвижных точек (все точки этой прямой).

4. Отображение $x \rightarrow ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$, имеет две, одну или ни одной неподвижной точки в зависимости от знака выражения

$$\Delta = (b - 1)^2 - 4ac.$$

Задание 1. Построите отображение плоскости на себя, имеющееровно $n$ неподвижных точек ($n \in \mathbb{N}$).

Сжимающее отображения

Как мы заметили выше, решение любого уравнения вида $g(x) = 0$ простым приемом (приавлением $x$ к левой части уравнения) совпится к нахождению неподвижной точки некоторого отображения. Позному очень важно знать условия, при которой неподвижная точка существует, а также умет нахождение саму неподвижную точку. Такое условие мы сейчас указываем.

Пусть данное отображение $f: A \rightarrow A$, где в множество $A$ определено расстояние между точками: $d(x, y)$; (например, $A$ — подмножество прямой, плоскости или пространства). Отображение $f$ называется скимающим, если существует такое число $a < 1$, что для любых точки $x, y$ $A$

$$ad(x, y) \geq d(f(x), f(y)). \tag{3}$$

Иными словами, расстояние между образами точки меньше, чем расстояние между самими точкими, причем оно уменьшается по крайней мере в $a$ «раз», где $a < 1$. Число $a$ называется коэффициентом скимающим. Примеры:

1. Гомотетия плоскости с коэффициентом $0 < k < 1$ будет скимающим отображением (с коэффициентом скимающим $k$).

2. Поворот плоскости не является скимающим отображением. Следующая теорема показывает, зачем нужно понятие скимающего отображения.

Теорема (приицип скимающих отображений на прямой). Вся-

29

Рис. 1.

кое сжимающее отображение $f$:
$|a; b| \rightarrow |a; b|$ интеграла в себя имеет единственный неподвижную точку.

Единостенное неподвижной точки очевидна: если бы их было две, то расстояние между ними должно быть бы измениться (по условию (3)), в то время как оно на самом деле остается неизменным (ибо сами точки не движются).

Доказательство существования основано на простом, но важном методе интеграции: берем любую точку $x_0 \in |a; b|$ и многократно применяем к ней $f$:

$$x_0, x_1 = f(x_0), x_2 = f(x_1), \dots, x_n = f(x_{n-1}), \dots$$

тогда последовательность $x_1, x_2, \dots, x_n$ … сходится к использованию неподвижной точке.

Прежде чем обосновать этот метод (то есть завершить доказательство теоремы), мы проиллюстрируем его на простейшем примере:

Пусть $f: ] - 1; 1[ \rightarrow ] - 1; 1[$ — отображение, заданное формулой $f(x) = \dot{x}^2$ (рис. 1). Возьмем точку $x_0 = 0,1$. Тогда

$$x_1 = (0,1)^2 = 0,01,$$
$$x_2 = (0,01)^2 = 0,0001,$$

Очевидно, $\lim_{k \to \infty} x_k = 0$. Точка 0 действительно неподвижна, либо $0^2 = 0$.

(Kстати, этим способом мы решили уравнение $x^2 - x = 0, x \ni 1$; 1[]).

Возвращаясь к доказательству теоремы, обозначим через $(x_n)$ последовательность (4). Покажем, что эта последовательность обладает следующим свойствам.

(K) Для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $n_0$, что для всех больших номеров $n, m > n_0$ выполняется неравенство

$$d(x_n, m) < \varepsilon.$$

Иными словами, точки последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно близки.

Чтобы это доказать, применим $k$ раз неравенство (3); получим

$$d(x_k, x_{k+1}) \leq \alpha^{k-1} d(x_1, x_2).$$

Позтому

$$d(x_n, x_{n+p}) \leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, x_{n+2}) + \dots + d(x_{n+p-1}, x_{n+p}) \leq \alpha^{n-1} + \alpha^n + \dots + \alpha^{n+p-2} d(x_1, x_n) = \frac{\alpha^{n-1}(1-\alpha)^p}{1-\alpha} d(x_1, x_n) \leq \frac{\alpha^{n-1}}{1-\alpha} d(x_1, x_2).$$

Теперь для любого данного им $\varepsilon > 0$ мы в качестве $n_0$ можем взять

$$n_0 = \log_a \frac{\varepsilon(1-\alpha)}{d(x_1, x_2)}.$$

Тогда для любых $n, m > n_0$ из неравенства (6) сразу следует нужное

30

Рис. 2.

нам неравенство (5) (проверьте!). Свойство (K) доказано.

Пользовать свойством (K), доказаем теперь сходимость последовательности $(x_n)$. Для числа $\varepsilon = 1/2$, по свойству (K), найдется такой номер $n_1$, что при $m > n_1$ выполняется $d(x_m, x_{n_1}) < 1/2$, то есть $x_m \in ]a_1; b_1[$, где $a_1 = x_{n_1} - 1/2$, $b_1 = x_{n_1} + 1/2$. Расстоянием далее число $\varepsilon = 1/4$ и аналогично найдем такой номер $n_2$, что при $m > n_2$ выполняется $x_m \in ]a_2; b_2[$, где $a_2 = x_{n_2} - 1/2$, $b_2 = x_{n_2} + 1/2$. Если одна из точек $a_2, b_2$ не лежит в $]a_1; b_1[$, то мы ее заменим на $a_1$ (соответствие $b_1$), сохранить обозначение $]a_2; b_2[$ для построенного отрезка. И так далее (см. рис. 2).

Получим последовательность интегралов

$$]a_1; b_1[ \supset ]a_2; b_2[ \supset ... \supset ]a_n; b_n[ \supset ...$$

длина $n$-го интеграла не превыходит $1/2^{n-1}$, и для каждого из них существует такой номер, что все $x_i$ с большими номерами лежат в этом интеграле.

Рассмотрим последовательность $(a_n)$ левых концов наших интегралов. Она возрастает и ограничена сверху (например, числом $b_1$) и, следовательно (см. «Алгебра и начала анализа 9», п. 32), имеет предел $x = \lim_{n \to \infty} a_n$. Покажем, что это же число $x$ является пределом последовательности $(x_n)$. Действительно,

$$d(x, x_n) \leq d(x, a_n) + d(a_n, x_n);$$

оба слагаемых в правой части скольго уголно малы (при достаточно больших $n$), стало бы $d(x, x_n)$ скольго уголно мал (при достаточно больших $n$), то есть $x = \lim_{n \to \infty} x_n$.

Нам осталось только доказать, что $x$ — неподвижная точка отображения $f$. Имеем

$$0 \leq d(x, f(x)) \leq d(x, x_n) + d(x_n, f(x)) = d(x, x_n) + d(f(x_{n-1}), f(x)) \leq d(x, x_n) + a d(x_{n-1}, x).$$

Последение два слагаемых скольго уголно малы (при достаточно больших $n$), значит, $d(x, f(x)) = 0$, то есть $f(x) = x$, что и требовалось доказать.

Легко видеть, что теорема остатся верной, если интеграл $]a; b[$ мы заменим отрезком, лучом или даже все прямой $R$. Более того, она остается верной и на плоскости.

Задание 2. Сформируйте и доказите прицили скимающих отображений для круга на плоскости.

Указание. Воспользовитесь координатами.

Если вы проделали это упражнение, вам, конечно, ясно, что наш прицили остатся верным для получения или полосы и даже в пространстве — скажем, для шара. Естественно спроисить: а как формулировать этот прицили с тем, чтобы охватить как можно больше случае? Как найти наиболее общую формулировку?

Поставив этот вопрос, мы попали в ситуацию, характерную для творческого работ математика-исследования. И сейчас мы посмотрим

Как рассуждает математик

Matematик-proфессional здесь стал бы думать примерно так:

Нам нужно найти формулировку, обобщающую доказанную выше теорему. Чтобы сделать это, посмотрим, какие именно свойства данной ситуации на самом деле потребовались при доказательстве.

Во-первых, мы пользовались определением скимающего отображения (3). Значит, в множество $A$ должно быть определено расстояние $d(x, y)$ между точками $x, y$ в прямой — это число

$$d(x, y) = |x - y|.$$

Но важно ли, что оно задается именно так? Наверное, нет: ведь на плоскости $d(x, y)$ определено иначе, а доказательство все же проходит. Стало бы, нужно смотреть, какие свойства расстояния на самом деле использются. Посмотрим.

31

В конце доказательства мы пользовались тем, что две точки, находящиеся на нульевом расстоянии, совпадают. Запишем это так:

$$d(x, y) = 0 \iff x = y.$$ (I)

Далее нам было нужно (где?), чтобы

$$d(x, y) = d(y, x)$$ (II)

(для любых $x, y \in A$).

Наконец, мы неоднократно (например, при доказательстве неравенства (6)) пользовались неравенством треугольника:

$$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$$ (III)

(для любых $x, y, z \in A$).

Теперь подумаем — какие-нибудь другие свойства расстояния нам были нужны? Просмотрим еще раз доказательство; нет, от расстояния больше ничего не требуется. Таким образом, нам нужны лишь общные аксимоны расстояния.

Пойдем далее. Проследим, как была доказана сходимость последовательности (4), обладающей свойством (K). Довольно хитро, с использованием специфических свойств интервалов на прямой. Понять, какие именно общее свойство здесь использованы, трудно. Остается только один выход: «убрать трудность в аксиому», то есть поступил в ответ, что всякая последовательность, обладающая свойством (K), сходится. Ведь это сделать очень просто — достаточно орангиится теми множеств $A$, для которых из условий (K) следует сходимость!

Подведем итог. Доказательство проходит для скимающего отображения, если в $A$ есть расстояние, удовлетворяющее условиям (I) — (III), причем любая последовательность точек из $A$, обладающая свойством (K), сходится к точке из $A$.

Формулировка в общем случае

Чтобы формулировать нужную нам теорему, начнем с формальных определений. Читатель, разобрающийся в рассужданиях нашего выдумного математика-профессионала, сразу поймет, почему эти определения именно такие.

Множество $A$, на котором каждой паре точек $x, y \in A$ сопоставлено число $d(x, y) \in \mathbb{R}$, называется метрическим пространством, если для $d$ выполнены условия (I) — (III); при этом число $d(x, y)$ называется расстоянием между точками $x$ и $y$.

Послеовательность точек $x_1, x_2, \dots, x_k$, … метрического пространства $A$ называется функentialной (или последовательностью Коши), если для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $n_0$, что

$$n, m > n_0 \Rightarrow d(x_n, x_m) < \varepsilon.$$

Послеовательность ($x_n$) в метрическом пространстве $A$ называется сходящейся, если существует точка $x$, такая что для любого $\varepsilon > 0$ найдется номер $n_0$, для которого

$$n > n_0 \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon.$$

Точка $x$ в этом случае называется пределом последовательности $x_n$. Обозначение: $\lim_{n \to \infty} x_n = x$.

Наконец, метрическое пространство называется полным, если любая функentialная последовательность в нем сходится.

Теорема (общий принцип сложимощих отображений). Любое скимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственное неподвижную точку.

Доказательство по существу не отличается от доказательства первой теоремы, только конец процесса: из того, что последовательность (4) функentialна (то есть обладает свойством (K)), и из полоты пространства $A$ по определению следует, что (4) сходится.

Задание 3. Напишите доказательство подробно.

На самом деле, принцип скимающего отображения, который обычно связывается с именами Пикара и Банаха, формулирован выше не в самом общем виде. Более тонкий анализ доказательства приведенного математика С. Банаха к понятию полного нормированного линейного пространства (или как сейчас говорят, банахова пространства), для которого теорема им и была доказана. Примушество этой формулировки в том, что «точками» такого пространства могут быть функциции, так что припип становится применимым к решению, например, дифференциальных уравнений.

32

Как работает ЭВМ
Мы уже отмечали, что метод интерации дает нам способ приближенного нахождения неподвижной точки:
так как последовательность $x_0, x_1 = f(x_0), x_2 = f(x_1)$, … сходится к $x$, точку $x$ можно получить с заданной точностью $\varepsilon$, выбрав номер $n$ так, чтобы $|x_n - x| < \varepsilon$.

Это прекрасно может сделать компьютер, действующий по алгоритму, показанному на рисунке (так называемой «блок-схеме» алгоритма). Посмотрите на него внимательно и попытите, как действует этот алгоритм.

Ясно, что в условиях теоремы о скимаюших отображениях машина после конечного числа интерации выдает на печать число $x_n$, удовлетворящее условию $|x_n - x| < \varepsilon$, то есть приближенное (с заданной точностью $\varepsilon$) значение $x$. Если же эти условия не выполнены, машина может «работать вечно» (если она не сломается, так и не выдав нам ответа).

Чтобы зря не тратить дорогостоящее машинное время, целесообразно, прежде чем запустить алгоритм, проверить выполнение условий теоремы о скимаюших отображениях.

Задание 4. Применить описанный выше алгоритм для приближенного решения уравнения
$$g(x) = x^3 + 3x + x \cos^2 x - \sin(\cos x) = 0,$$

Рис. 4.

34

Задачи

М641—М645; Ф653—Ф657

М641. Дан правильный шестиугольник ABCDEF с центром O. Точки M и N — середины сторона CD и DE. Прямы AM и BN пересекаются в точке l. Докажите, что:
a) треугольник ABL и четырехугольник DMLN имеют равные площади;
b) ALO=OLN=60°;
b) OLD=90°.

Э. Готман

М642. Докажите, что каждое натуральное число представляется в виде $a_0+2a_1+2^2a_2+\ldots+2^n a_n$, где каждое из чисел $a_k$ равно 0, —1 или 1 и $a_k \cdot a_{k+1}=0$ для всех $0 \leq k \leq n-1$, причем такое представление единственно.

И. Жук

М643. Карточки с числами 1, 2, …, 32 сложены в стопку по порядку. Разрешается снять сверхлюое число карточек и вложить их между некоторыми из оставшихся или под ними, не меняя порядка тех и других, а в остальном произвольно.

Эта операция называется перемещением. Докажите, что за 5 перемещений можно
a) переложить карточки в обратном порядке;
b) разложить карточки в любом порядке;
b) докажите, что не всякий порядок карточки можно получить за 4 перемещения.

В. Турчанинов

М644. a) Докажите, что существует выпуклый 1980-угольник со сторонами длины 1, 2, …, 1980, все углы которого равны по величины.
b) Существует ли такой 1981-угольник?

Г. Гуревич

М645. В подвале три коридора (рисунок 1; $|OA|=|OB|=|OC|=l$), все выходы из которых закрыты. В нем находится инспектор Варнике и представник. Варнике заменяет представника, если расстояние между ними не превыходит $r$. Он знает, что максимальная скорость представника в два раза меньше его собственной максимальной скорости. В начальной момент инспектор нахождения в точке O и не видит представника. Как

35

должен действовать Варике, чтобы наверняка пояматЬ представника, если а) $r=l/3$, б) $r=l/4$, в) $*r>l/5$, г) $*r>l/7$. Шириной коридоров и размерами людей пренебречь. (Варике должно придуть такой план действий, чтобы, даже если представник о нем заранее знает, он все равно не смог ускользнуть.)

В. Дринфельд. В. Соколов

Ф653. Некоторые элементы $Z$, соединены с батареей с ЭДС §=10 В и внутренним сопротивлением $r=10$ кОм, подключен к внешнему источнику тока так, как показано на рисунке 2. Вольтамперная характеристика такой цепи показана на рисунке 3. Постройте волтамперную характеристику элемента $Z$.

В. Можаев

Ф654. Штатив массы $M$ стоит на гладком столе. К штативу на легкой нити длины $l$ прикреплен шарик массы $m$. Нить отклоняет на малый угол $\alpha$ и отпускают (рис. 4). Нарисовать график зависимости скорости шатива от времени. Столкововая шарика с основанием шатива абсолотно упругие.

А. Зильберман

Ф655. В настоящее время используется соленoids со сверхпроводящей обмоткой. Такие соленoids могут дительное время создавать магнитное поле без затраты энергии. Оdnako, если вследствие каких-либо причин участок обмотки соленода утраит сверхпроводящие свойства, произойдет авария. На этом участке током будет выделяться большое количество теплла и произойдет взрыв. Придумайте простейшее приспособление, исключайте подобные аварии (не пытайтесь придувать какие-либо схемы с реле, размыкающим цепь,— они не помогут).

Г. Мякишев

Ф656. Прямоугодный кузов самосвала заполнен песком. Высота кузова $h=1$ м, его ширина $d=3$ м, длина $l=6$ м. Какая сила действует на задний борт самосвала при равномерном движении автоматия и при его движении сускорением $a=3$ м/c$^2$? Плотность песка $\rho=1,5 \cdot 10^3$ кг/m$^3$, коэффициент треня между песчинами $\mu=0,6$.

И. Словодецкий

Ф657. Радиусы кривизны двух одинаковых спилшихся друг с другом мыльных пузырей равны $R$. После того как перегородка между пузырями лопнула, образовался один пузырь радиуса $R_1$. Найти атмосферное давление. Коэффициент поверхностиного натяжения мыльного растора равен $\sigma$.

36

М596. Дана пятуюльная прізма с основанием $A_1A_2A_3A_4A_5$ и $B_1B_2B_3B_4B_5$. Все ребра оснований и все отрезки $A_iB_j$ ($i, j = 1, 2, 3, 4, 5$) окружены либо в красный, либо в синей цвет так, что в каждом треугольнике с вершинами в вершинах прізмы, стороны которого окружены, есть две стороны разного цвета. Докажите, что все десять ребер оснований окружены одинаково.

Рис. 1.

Рис. 2.

М598. Даны плоскость $P$, точка $P$ на этой плоскости и точка $Q$ вне плоскости $P$. Найдите все точки $R$ в плоскости $P$, для которых отношение $(|PQ| + |PR|)/|QR|$ максимально.

Рис. 1.

Сначала докажем, что все ребра нижнего основания окружены в один и тот же цвет. Действительно, пусть найдет два ребра нижнего основания, окруженных в разные цвета, тогда на нижнем основании найдет два смежных ребра, окруженных в разные цвета (рис. 1). Можно считать, что это ребра $A_1A_2$ и $A_2A_3$, причем первое ребро окружено в красный цвет, а второе — в синей. Из пяты отрезков $A_2B_k(k = 1, 2, \dots, 5)$ по крайней мере три отрезки в одинаковый цвет, будем считать, что этот цвет — красный. Из трех вершин на верхнем основании, в которых ведут эти отрезки, найдет две соседние вершины. Обозначим их через $B_i$ и $B_j$. Очевидно, ребро $B_iB_j$ должно быть синним, иначе в треугольнике $A_2B_iB_j$ все ребра были бы окрашены в красный цвет (см. рис. 1). Синним должны быть и отрезок $A_1B_i$, иначе все стороны треугольника $A_1A_2B_i$ были окрашены в красный цвет. Отрезок $A_1B_j$ тоже должен быть синним, чтобы все стороны треугольника $A_1A_2B_j$ не были красными. Но в таком случае все стороны треугольника $A_1B_iB_j$ будут синними. Получили противоречие.

Аналогично доказывается, что и ребра верхнего основания окрашены одинаково.

Предположим теперь, что ребра нижнего основания окрашены в красный цвет, а ребра верхнего основания — в синей. Тогда из любой вершины нижнего основания выходит не более двух отрезков синнего цвета (в противном случае два синих отрезка, выходящих из одной вершины нижнего основания, будут оканичивать в соседних вершинах верхнего основания, образуя с соединишим их отрезком «синей» треугольник — см. рис. 2). Таким образом, из отрезков $A_iB_j$ не более чем $2 \cdot 5 = 10$ синих. Аналогичные рассуждания, проведенные с другими основанием, показывают, что красных отрезков тоже не больше десяти. Но всего отрезков $A_iB_j$, как не трудно посчитать, 25, а мы получили, что их не более двадцати. Противоречие. Тем самым мы и доказали, что все ребра общих оснований прізмы окрашены в один и тот же цвет.

Отметим, что утверждение задачи любой прізмы с нечетным числом вершин при основании и неверно для прізмы с четным числом вершин при основании (приведите пример).

А. Савин

Обозначим через $x$ расстояние от точки $P$ до точки $R$ и положим $\alpha = \sqrt{QPR}$ (рис. 1). Тогда указано в задане отношение записывается так:

$$\frac{x + |PQ|}{\sqrt{x^2 + |PQ|^2 - 2x|PQ| \cos \alpha}}.$$

Заметим, что при фиксировании $x$ это отношение будет максимально, когда максимален $\cos \alpha$, а это произойдет в том случае, когда плоскость $PQR$ будет перpendикулярна плоскости $P$ (рис. 2). Следовательно, можно считать, что плоскость $PQR$ перpendикулярна плоскости $P$, а $\angle QPR$ — угол между прямой $PQ$ и плоскостью $P$.

Выражение (*) максимально одновременно с его квадратом $\frac{(x + |PQ|)^2}{x^2 + |RQ|^2 - 2x|PQ| \cos \alpha}$. Чтобы найти максимум этого выражения, продолжениеируем его по $x$:

38

Ф600. В схеме, приведенной на рисунке 1, ключи попеременного замыкают и размыкают в те моменты, когда направление на первом конденсатор равно нулю. Нарисовать график зависимости напряжения на катушке индуктивности от времени.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф601. На Луне ввертикальном цилиндре, закрытом тяжелым поршнем, находится аргон при температуре $T_1$.

где $\vec{a}$ — ускорение, с которым движется человек относительно земли. Решая эти уравнения совместно, находим

$$a = \frac{2M}{m} g - g.$$

Относительно лестницы человека с ускорением

$$\vec{a}' = \vec{a} + \vec{g} = \frac{2M}{m} \vec{g}.$$

О. Овчинников

При замкнутом ключе конденсатор $C_1$ и катушка образуют конденательный контур; напряжение на катушка и конденсатор меняется со временем по гармоничскому закону:

$$u = U_1 \sin \omega_1 t,$$

где $\omega_1 = 1/\sqrt{LC_1}$ — частота конденсации, $U_1$ — амплитуда. Перiod $T_1$ конденсиный напряжение (и тока) в этой цепи равен $2\pi/\omega_1 = 2\pi/\sqrt{LC_1}$. Следовательно, напряжение $u$ становится нулю в момент времени $t_1 = T_1/2 = \pi/\sqrt{LC_1}$. В этот момент ток в цепи максимален и вся энергия контура заключана в магнитном поле катушки.

При размыкании ключа последовательно с конденсатором $C_1$ включается конденсатор $C_2$ и образуется конденательный контур с индуктивностью $L$ и емкостью $C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$. Напряжение на катушка в такой цепи меняется по закону

$$u = U_2 \sin \omega_2 (t - t_1),$$

где $\omega_2 = 1/\sqrt{LC} = \sqrt{\frac{C_1 + C_2}{LC_1 C_2}}$. Напряжение в нуль через поливну перiodа конденсации, то есть в момент времени

$$t_2 = t_1 + \frac{T_2}{2} = \pi \left( \sqrt{LC_1} + \sqrt{L \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}} \right).$$

Далее ключ замкнется, напряжение на катушка вновь будет меняться по закону (*).

Найдем соответствие между $U_1$ и $U_2$. В те моменты, когда напряжение на конденсатор максимального, ток в контуре равен нулю и вся энергия сосредоточена в электростанческом поле конденсатора. Поэтому согласно сохранению энергии

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} = \frac{CU_2^2}{2},$$

откуда

$$U_2 = U_1 \sqrt{\frac{C_1}{C}} = U_1 \sqrt{1 + \frac{C_1}{C}}.$$

Теперь нетрудно построить график зависимости напряжения на катушке индуктивности от времени. Он показан на рисунке 2.

И. Словодецкий

Процесс производства на Луне, поэтому внешним давлением можно преобразить.

Изменение внутренней энергии газа равно равен силу, действующей на газ. Эта сила — вес поршней.

40

Премии «Квант»

В 1979/80 учебном году редакция получила более 12 тысяч писем с решениями задач из Задачника «Квант». Специальной премией, учрежденной редакционной коллегей журнала, — подпиской на «Квант» на 1981 год — награждаются школьники, решившие наобольшее число задач или приславшие наобольшее оригинальное решение:

АПОЛОНСКИЙ Игорь (г. Жуковский)
БАРГ Анатолий (г. Киев)
ВАСИЛБЕВ Владислав (г. Великие Луки)
ВАХРИН Сергей (г. Новосибирск)
ВЕЙЦМАН Борис (г. Одеcca)
ГАЙСИНСКИЙ Моисей (г. Ташкент)
ГРИГОРЬЕВ Дмитрий (г. Москва)
ЕЛИШЕВИЧ Илья (г. Чернигов)
ЗЕЙФМАН Михаил (г. Вологда)
КОРОВОВ Виктор (г. Кировоград)
ЛУКЬЯНЧУК Игорь (г. Киев)
ЛЯПИН Алексадр (г. Гомель)
МИХАЙЛОВСКИЙ Сергей (с. Концерогье Архангельской обл.)
ПАВЛЫЧЕВ Андрей (г. Рига)
ПЕНТЕГОВ Всеволод (г. Киев)
ПЕРЕЛЬМАН Григорий (г. Ленинград)
ТИТЕНКО Владимир (д. Блужа Минской обл.)
ЦЕКАНОВСКИЙ Владислав (г. Донецк)
ШКРАДЮК Игорь (г. Ногинск)

За активную работу с учащимся и пропаганду физико-математических знаний, в результате чего многие школьники достигнутых успехов в нашем конкурсе, подпиской на «Квант» на 1981 год награждаются школа № 145 г. Киева и школа № 11 г. Львова.

За успешное участие в XIV Всесоюзной физико-математической оптимизации подпиской на «Квант» на 1981 год награждаются:

ВИШНЯКОВ Владимир (г. Балаково)
ДРЯСОВА Наталия (г. Ангарск)
ИВЛЕВ Вадим (г. Железногорск-Илимский)
КРАСОВ Андрей (г. Узловая)
КУВАТБЕКОВА Роза (г. Фрунзе)
РУДИК Виктория (г. Уральск)
СИНЮКОВ Юрий (ст. Селезни Тамбовской обл.)
ТАНИ Юрий (г. Славгород)
ФРЕГЕР Вячеслав (г. Волск)
ХОДОРОВСКИЙ Вадим (п. Нововоронежский Воронежской обл.)
ЦЫГВИНЦЕВ Павел (г. Анадырь)
ШИШКЕВИЧ Ирина (г. Чарджоу)
ЯХШИМОВ Хамдам (Хорезмская обл.)

За успешное участие в V Летней школе юных программистов подпиской на «Квант» на 1981 год награждаются:

АБДРАХМАНОВА Гульзина (п. Курайли Актюбинской обл.)
БОРДЕ Сергей (г. Красорск)
МЕЛЯКОВА Татьяна (п. Чегдомын Хабаровского кр.)
ПОГОЯСН Константин (г. Усть-Каменогорск)
УСТИНОВ Игорь (г. Верхняя Пышма)

За активное участие в Празднике юных математиков (г. Батуми) подпиской на «Квант» на 1981 год награждаются: бакинская школа № 46, батумская школа № 7, киевская школа № 208, ленинградское ПТУ № 24, Московские школа № 18, 19, 57, 91, тбилисская школа № 96 и член оргкомитета Праздника преподаватель школа № 7 г. Батуми Жгенти М. И. За активное участие в Празднике юных физиков (г. Москва) подпиской на «Квант» на 1981 год награждаются: Московские школа № 2, 18, 57, 91, 179, школа № 82 п. Черноголовка Московской области и комитет ВЛКСМ Физического института им. П. Н. Лебедева Академии наук СССР.

41

Квант
для младших школьников

Задания

Вот уже 17 лет существует в Европории городской клуб КС² — Клуб Смежистых и Сообразительных. Руководит этим клубом учитель школа № 8 Владимир Александрович Славинн. Члены клуба вместе решают задачи, вместе отдельют. В этом номере мы предлагаем нашим младшим школьником несколько задача клуба КС².

1. Заданы пять чисел: $a_1=1, a_2=-1, a_3=-1, a_4=1, a_5=-1$. Шестое число равно произведению первого на второе, седьмое — произведение второго на третье,осьмое — произведение третьего на четвертое и так далее. Какое число получится на 1980-м месте?

2. Из карточек, на которых написаны цифры, сложена фигура, изображенная на рисунке. Володя предложил Саше разложить карточки так, чтобы фигура осталась прежней, но каждая карточка касалась только новых соседей. Саша до сих пор решает эту задачу и никак не может ее решить. Что вы ему посоветете?

3. Известно, что в январе — четыре понедельника и четыре пятницы. Какой день недели приходит на 1 января?

4. В стоначном числе 1234567890 1234567890123…7890 вычеркнул все цифры, стоящие на нечетных местах. В получном пятидесятином числе вновь вычеркнул цифры на нечетных местах. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока ничего не осталось. Какая цифра была вычеркнута последней?

5. Можно ли раскрасти клетки квадратной сетки $5 \times 5$ в пять цветов так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце были клетки всех пятей цветов, а поля каждой цвета можно было бы обойти ходом шахматного коня, побив на каждом из пятей таких полейровно один раз?

42

И. Никольская

«Неверно, что…» — как это понimatь?

Петя твордо решил развить у себя силу воли и сказал об этом Кате.
— Начну с того,— доверительно сообщил он сестре,— что составило план на каникулы и выполню его по всем пунктам.
Накануне каникул Петя торжественно вручил Кате листок бумаги, на котором было аккуратно написано:
В каникулы я обязательно прочиту, по крайней мере, одну толстую книгу, схожу в музей или на лекцию и, если не будет оттепели, все вечера проводу на катке.
Повесив обязательство над кроватью, Петя с первого дня каникул решительно взялся за делю: начал читать «Записи охотника» и принес из библиотеки «Три музикета».
На другой день он сходил в Зоологический музей посмотреть мamonтенка Диму. Пять вечеров подряд Петя провел на катке, но потом сталосовсем телло (+5°!) и каток пришлось отменить. К концу каникул Петя закончил чтение «Записок охотника» и прочитал половину «Трех музикетов». В обшем Петя был собой доволен, но Катя сумела испортить ему настроение.
— Между прочим, ты не был на катке ни вчера, ни позавчера,— ехидно заметила она.
— У меня же была уважительная причина! — возмутился Петя.
— Ну, а кроме того, ты не был на лекции,— напомнила Катя.
Сходить на лекцию Петя и в самом деле не собрать, но и тут нашел, что возразить: в Зоологическом музее он слушал экскурсовода, рассказывавшего о мамонтах.
— Но ведь ты собирался в музей или на лекцию, а не в музей и на лекцию сразу,— не унималась Катя,— и «Три музикета» не дочитал.
Поняв, что Катю ему не переспорить, Петя.maxнул рукой и пошел к приятель Мите, очень рассудилному человеку, интересующемуся к тому же математической логикой.
Мите захотелось утешить расстроенного друга.
— Мы еще посмотрим, кто прав, ты или Катя,— сказал он.— Что зна-

43

чит — ты не выполнил плана? В этом надо разобраться.

И они стали разбираться.

— Сначала давайте раз перечислим дела, которые ты наметил,— предложил Митя.— Сделаем это так: пусть $D_1$ — прочитать, по крайней мере, одну только книгу, $D_2$ — сходить в музей, $D_3$ — сходить на лекцию, $D_4$ — все вечера проводи на катке. Теперь запишем взятое только обязательство кратко, обозначив условия не будет оттенелу буквой $\gamma$: $D_1$ и $(D_2$ или $D_3)$ и (если $\gamma$, то $D_4$).

— Ката утверждает, что ты не выполнил свое обязательство, т. е. отрицает, что ты его выполнил. Что же это означает— отрицает?

В каком случае отрицание какого-либо утверждения истинно, а в каком — ложно? Начнем с простого. Допустим, ты утверждаешь, что «Чапаев» середняя идет в нашем клубе, а Катя, как всегда, спорит, уверяя, что «Чапаев» середняя не идет в нашем клубе. Если твое утверждение истинно, то Катино ложно, а если ты ошибаешься, то Катя права.

Отрицанием данное предложения $A$ называют предложение, утверждающее, что $A$ не верно; таким образом, если $A$ истинно, его отрицание ложно; если же $A$ ложно, его отрицание истинно. Отрицание предложения $A$ иногда обозначают через $\overline{A}$ или $\overline{A}$ (рис. 1).

Построить для любого предложения его отрицание проще простого: достаточно поставить перед ним слова неверно, что. Например, отрицанием предложения «Чапаев» середняя идет в нашем клубе будет

Рис. 1.

предложение Неверно, что «Чапаев» середняя идет в нашем клубе. А предложение Неверно, что все отличники в нашем класс — спорстемы — отрицание предложения Все отличники в нашем класс — спорстемы.

Однако это Неверно, что делает предложение громоздким, неуклюжим. В первом случае, как мы с тобой уже видели, можно сказать проще, а именно «Чапаев» середняя идет в нашем клубе, то есть вместе неверно, что в начале предложения поставить не перед его сказуемым. А можно ли и во втором случае поставить так же?

— Почему же нет? — удивился Петя. — Пожалуйста: Все отличники в нашем класс — не спорстемы.

— Напоминало, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными, — заметил Митя.

Подумав, Петя сказал:

— Да, а предложения Все отличники в нашем класс — спорстемы и Все отличники в нашем класс — не спорстемы оба ложны: Катья — отличница и фигуристка, а ты вот — отличник, а спортом не занимаешься. К сожалению, некоторые отличники в нашем класс — не спорстемы.

— Вот-вот, — обработался Митя, — ты как раз и формулировал отрицание предложения Все отличники в нашем класс — спорстемы: Некоторые отличники в нашем класс — не спорстемы. Это предложение имеет тот же смысл, что и предложение Неверно, что все отличники в нашем класс — спорстемы. Вообщество отрицанием предложения Всех отладают свойством $P$ является предложение Некоторые х не обладают свойством $P$.

Символически это записьюот так:

$$\forall x P(x) \Leftrightarrow \exists x P(x).$$

Знак $\forall$ означает все (всякий, какный, любый), а знак $\exists$ — неотorious (существует, есть, имеется).

Пусть, например, $x$ означает озеро, а $P$ — свойство быть пресоводным; тогда запись (1) будет означает «Неверно, что все озера пресоводные равносильно Некоторые озера — не пресоводные».

Интересно, что отрицание предложения, имеющего форму $\exists x P(x)$, строится аналогично:

$$\forall x P(x) \Leftrightarrow \forall x P(x).$$

47

А. Земляков

Проверьте себя

Открывая в новом учебном году наш раздел «По страницам школьных учебников», мы предлагаем нашим читателем, в качестве разминки перед началом учебного года, проверить свои знания за прошедший год. Для этого им следует выполнить публичную ниже задание: девятиклассик — за VIII класс, десятиклассик — за IX класс. Для каждой из 10 вопросов нужно выбрать единственный правильный ответ; на выполнение всего задания ответится 30 минут.

Это задание предлагаюсь на республиканских турах Всесоюзной математической олимпiadы 1980 г. Не следует, однократ, думать, что решить о решении хитрых, «олимпидных» задач: задание состоит из простых вопросов, проверяющих знания учащихся по основным темам математики VIII—IX классов.

Итак, наточите карандаши, засеките время…

VIII класс

Алгебра

1. Какая из указанных формул задает парабoly, изображенную на рисунке 1?

A) $y = -x^2 + 2$;
B) $y = -x^2 + 2x$;
B) $y = -x^2 - 2x$;
G) $y = -(x-1)^2$;
D) $y = -(x-2)^2$.

2. Что представляется собой график уравнения $x^2 + xy = 0$?

A) Точку;

B) Прямую;
B) Объедининие двух прямых;
G) Окружность;
D) Пустье множество.

3. Сократите следующую дробь:
   $$\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}.$$

A) $\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$;
B) $\frac{x^2 - xy + y^2}{x + y}$;
G); $\frac{x^2 - xy + y^2}{x - y}$;
D) $\frac{x^2 + xy - y^2}{x + y}$.

4. При каких значениях $x$ верно равенство $\sqrt{x^2} = |x|$?

A) При всех $x$;
B) Только при $x \geqslant 0$;
B) Только при $x \leqslant 0$;
G) Только при $x = 0$;
D) Ни при каких $x$.

5. Какова область определения выражения $(a - 5)^{-\frac{1}{3}}$?

A) $] -\infty; +\infty[$;
B) $] -\infty; 5[U]5; +\infty[$;
B) $[5; +\infty[$;
G) $]5; +\infty[$;
D) $\emptyset$.

6. Каково множество решений неравенства $(0,1)^x > 100$?

A) $] -\infty; 2[$;
B) $]2; +\infty[$;
B) $] -\infty; -2[$;
G) $] -2; +\infty[$;
D) $\emptyset$.

Геометрия

7. Чему равно значение sin $\alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$?

A) $\frac{1}{2}$;
B) $-\frac{1}{2}$;
B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;
G) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;
D) Определить нельзя.

48

8. В прямогольном треугольнике $ABC$ длины сторон равны $a, b$ и $c$, как показано на рисунке 2. Чему равен sin $\hat{B}$?

A) $\frac{a}{b}$; B) $\frac{a}{c}$; B) $\frac{c}{a}$;
G) $\frac{c}{b}$; D) $\frac{b}{c}$.

9. Два угла треугольника $ABC$ равны $\hat{A} = 20^\circ$ и $\hat{B} = 60^\circ$. Где лежит центр окружности, описанной около этого треугольника?

A) $\frac{a}{b}$; B) $\frac{a}{c}$; B) $\frac{c}{a}$;
G) $\frac{c}{b}$; D) $\frac{b}{c}$.

10. Точка $M$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$ (рис. 3). Какому из указаных ниже векторов равна сумма векторов $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM}$?

A) $\overrightarrow{CA}$; B) $\overrightarrow{CB}$; B) $\overrightarrow{AC}$; G) $\overrightarrow{BC}$; D) $\overrightarrow{AB}$.

IX класс
Алгебра и начала анализа

1. Каково множество решений неравенства $|x-2|<1$?
   A) $]-\infty; 3[$;
   B) $]0; 3[$;
   B) $]1; 3[$;
   G) $]2; 3[$;
   D) Нужное множество не указано.

2. Какое множество задает на координатной плоскости уравнение $x^2+xy=0$?
   A) Прямую;
   B) Объедининие двух прямых;
   B) Точка;
   G) Окружность;
   D) Пусть множество.

3. Какая из указаных функций имеет предел 1 при $x \rightarrow 0$?
   A) $x$; B) $\frac{1}{x}$; B) $1+2x$; G) $1+\frac{1}{x}$;
   D) Ни одна из этих функций не подходит.

4. Какая из указаных функций имеет произвольную, график которого изображен на рисунке 4?
   A) $f(x)=x^2-1$; B) $f(x)=x^2-x$;
   B) $f(x)=\frac{x^2}{2}-1$; G) $f(x)=\frac{x^2}{2}-x$;
   D) $f(x)=-\frac{x^2}{2}+x$.

5. Какая из указаных функций является произвольной для функций $y=\sqrt{x^2+1}$?
   A) $\sqrt{2x+1}$; B) $\sqrt{2x}$; B) $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$;
   G) $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$; D) $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$.

6. Какие промежутки возвращения имеет функция $f$, если график ее произвольной выглядит так, как изображено на рисунке 5?

49

Геометрия

7. Точки Н, К, М — середины ребер AB, BC и CD произвольного tetrahedра ABCD (рис. 6). Какие еще ребра tetrahedра, кроме указаных, пересекает плоскость (HKM)?

А) AD; Б) BD; В) AC; Г) Других ребер плоскость (HKM) не пересекает; Д) Определьть нельзя.

8. Сколько существует плоскостей, проходящих через данную точку и параллельных двум данным параллельным между собой прямым?

А) Ни одной;
Б) Одна;

9. Какому из указанных ниже векторов равна сумма векторов $H\vec{M} + D\vec{A} + C\vec{M}$, где точки H и M — середины ребер AB и CD tetrahedра ABCD (см. рис. 6)?

А) 0; Б) HC; В) AC; Г) AH; Д) HA.

10. Скалярное произведение двух векторов равно — 2. Что можно сказать об угле между этим векторами?

А) Ostрый;
Б) Тупой;
В) Прямоий;
Г) Определьть нельзя, острый угол, тупой или прямой;
Д) Скалярное произведение не может равнять — 2.

Список читатель, приславших правильные решения задач из Задачника «Кванта»
(Нацало см. на c. 21, 33, 46)

С. Одинцова (Киев) 99; А. Орлов (п. Черновоголовка Московской обл.) 89—91, 95, 96; А. Осипов (Сосновый Бор Ленинградской обл.) 89, 95; И. Осовяк (с. В. Дедеркалы Терновополской обл.) 94—97, 00—02; О. Панаценко (Киев) 90, 94—97, 00—02; А. Пантелеев (Ростов-на-Дону) 94; В. Пентегов (Киев) 94, 96, 97—99; Г. Перельман (Ленинград) 95; С. Пищенин (Череповец) 90; А. Полисский (Киев) 95, 96; Е. Поляков (Калининград Московской обл.) 94, 96; А. Пономаренко (Киев) 89, 90, 94, 97, 01; Е. Рабкин (Гомель) 89; С. Равняго (Золочев Львовской обл.) 94—96, 02; Ю. Рацинский (Москва) 99; В. Розозин (Шелково) 95; Б. Рублев (Киев) 99, 01; Г. Рыбкин (Смоленск) 99, 02; С. Рязанцева (Борисоглеск) 94, 95, 00, 02; А. Санжур (Киев) 95, 97, 99, 01, 02; В. Саракула (Ижевск) 90, 94—96; С. Селифонова (с. Попелев Калужской обл.) 95—97, 01; Т. Серёцейцев (Челябинск) 89—91, 93—97, 99—01; В. Середа (Львов) 89, 93—97, 99, 01; А. Сивенцеев (Свердловск) 01; В. Сидорин (Руетов) 95; И. Сирых (Ярославль) 95, 97, 99, 01; И. Сковронский (Анджан) 99; А. Сок (Талгар) 89, 94—97, 00, 01; С. Сопцов (Ангарск) 89, 90, 94, 95; Н. Смирнов (Москва) 01; С. Смирнов (Ташкент) 93, 95, 97, 99; Г. Солдак (Минск) 89, 90, 93—97; Д. Сорока (Запорожье) 90, 93—97, 99, 00, 02; А. Спивак (Стерлитамак) 01; Д. Суворов (Свердловск) 94, 95; П. Страдынь (Рига) 94—96, 00, 01; А. Стрешинский (Донецк) 89, 94, 95, 97, 99—02; Д. Стыркас (п. Черноголовка Москов-

50

Как всегда, с сентября номера нашего журнала начинается новый учебный год в «Практикуме абитриента». В этом разделе редакция «Кванта» будет систематически публиковать материалы, адресованые, в первую очередь, тем, кто готовится к вступительным экзаменам вузы.

Читатели найдет в статьях «Практикума абитриента» подробное разяснение наиболее трудных тем и отдельных теоретических вопросов школьных курсов математики и физики, анализ особенно часто встречалось осибок поступающих, методические рекомендации, разбор решений типичных задач из вариантов применных экзаменов. На страницах этого раздела будут помещены также образцы вариантов письменных экзаменов и задач устных экзаменов по математике и физике, которые предлагались в 1980 году в различныхузах нашей страны.

Статы «Практикума абитриента» будут полезны не только тем, кто собирается поступать на математические или физические факультеты университетов и институтов, но и абитриентам техническихузов. Сегодняшие десятиклассники, особенно те из них, кто живет в сельх, рабочих поселках, вдали от научно-педагогических центров, получат возможность узнать, что представляют собой применный экзамен, какие требования предъявляются к поступающим. Кстати, многое в материалов «Практикума абитриента» будет доступно и девятиклассикам, так что читать этот раздел могут все старшеклассики.

Будущих абитриентов, конечно, интересует вопрос, как лучше организовать подготовку к применным экзаменам. Прежде всего, нужно внимательно познакомиться с «Программами вступительных экзаменов для поступающих». Там подробно перечислены основные математические и физические понятия, которые должны владеть поступающих, теоремы и утверждения, которые надо уметь доказывать, факты, которые необходимо знать. Все эти сведения содержатся в школьных учебниках — их-то и надо в первую очередь изучить. Для успешной связи вступительных экзаменов никаких дополнительных — по сравнению со школьными курсами математики и физики — знаний не требуется. Однако не следует думать, что достаточно еще раз просто прочесть школьные учебники! Необходимо внимательно разобраться и глубоко усвоить теоретический материал, получить творые и прочные навыки в решении задачи. Залог успеха на экзаменах — систематическая и регулярная самостоятельная работа в течение всего оставшегося до экзаменов времени. Математику и физику нельзя вычитать за один день или за одну неделю — только планомерные литералы занять следотворот экзаменционной задачи и вопросы простыми и легкими.

Несоклко слов еще об одном вопросе — о решиторах. Не секрет, что некоторые поступющие (а еще чаще — их родители) надеются с помощью решиторов перед экзаменами быстро и без особого труда повторить необходимый теоретический материал и познакомиться с методами решения типичных задачи. Это глубоко забуженное! Никакие решиторы не могут заменить главного — подлинного интереса к избранной специальности, внутренней потребности учиться, упорного и настоящого труда.

Редакция журнала «Кванте», 1980, № 1, c. 46—47.

51

IO. Метт

Три стандартные задачи

Поводом для этой статьи послужили грубыые ошибки, допускаемые иногда школьниками при решении некоторых стандартных задач.

Задача 1. Решить систему
$$\begin{cases} x^4 - 1330x - 23 = 0, \\ x^4 - 1319x - 144 = 0. \end{cases}$$

Порой предлагается такое «решение»: вычтя из первого уравнения системы (1) второе уравнение, получим уравнение $-11x+121=0$, открываем $x=11$. Оdnako нетрудно заметить, что найденное значение не является решением ни одного из данных уравнений: их свободные члены на 11 не делятся. В чем же ошибка?

Дело в том, что уравнение
$$-11x+121=0,$$
имеющей единственное решение $x=11$, является только следствием системы (1), оно не равно сcilно ей: всякое решение системы (1), действительно, является решением уравнения (2), но не наоборот. Поэтому пока можно сделать лишь выбор: если система (1) имеет решение, то оно единственное и является решением уравнения (2). Подставляя $x=11$ в систему (1) или рассуждая, как выше, делаем окончательный выбор: система (1) решений не имеет.

Задача 2. При каких значениях параметра $k$ сумма квадратов корней уравнения
$$4x^2 - 28x + k = 0$$
равна 22,5?

Obviously the same task as above:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2.$$

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения (3), то по теореме Виета
$$x_1 + x_2 = 7 \text{ и } x_1x_2 = k/4.$$ Тогда из (4) $k=53$.

Но это число нельзя считать ответом задачи 2, так как оно было получено в дополнительном предложении, что корни существуют, то есть, что уравнение (3) имеет решение. Однако при $k=53$ дискриминант уравнения (3) $14^2-4k$ отрицательен и уравнение решений не имеет. Таким образом, правильный ответ в задаче 2 — «ни при каких».

Задача 3. В какой точке функция
$$y = (2+\sin x)(6-\sin x)$$

принимает наиболее значение на числовой прямой?

Один школьник предложил следующей «изящное решение» этой задачи (беда только в том, что оно неверно):

Как известно, если данное положительное число надо разложить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наиболее широким, эти слагаемые надо взять одинаковыми (задча № 501 в пособии «Алгебра и начала анализа 9»). Посокльку
$$(2+\sin x) + (6-\sin x) = 8,$$

функция (5) принимает наиболее значение на $R$ при $2+\sin x=6-\sin x$, то есть при $x=2$ — абсурд! Поэтому этот школьник сделал выбор, что функция (5) экстремальный значений не имеет.

Решив эту задачу общим способом (использования произвольную), легко найти, что функция (5) имеет экстремальные значения в точках, для которых $\cos x=0$, именно, $y_{\min}=7$, $y_{\max}=15$.

В чем же ошибка первого рассуждения? А дело в том, что в задаче 3 решет не о числах, а о функциях, и нужно нам утверждение, обобщающее вышеприведенное, звучит так: если всё о пределенная функция $f$ принимает в какой-то точке $x_0$ значение $\frac{c}{2}$, то функция
$$g(x) = f(x) \cdot [c-f(x)]$$
(Окончание см. на c. 60)