Квант 1980, №10 · Страницы

КВАНТ
10
1980

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Это семейство «цветочных» нарисовала ЭВМ. Уравнение данного семейства кривых в полярных координатах имеет вид
$\varrho = A \sin \beta \varphi$.
Подписи под рисунками цветочных указывают значения параметра $B$ (см. также с. 47, задание 10.2).

В НОМЕРЕ:

Главный редактор
акademик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
акademик А. Н. Колмогоров

2 Учитывая коммунизму!
4 И. Кикоин. Абрам Федорович Иоффе
21 В. Иоффе. Мой отец — о моем будущеем
22 А. Иоффе. Электрон

Математический кругхок
26 Ю. Михеев. Одной линейкой

Задачик «Квант»
30 Задачи М646—М650; Ф658—Ф662
32 Решения задач М600, М601, М603; Ф604—Ф607

«Квант» для младших школьников
37 Задачи
38 И. Юфанова. Волшебная сказка с физическими вопросами

По страницам школьных учебников
40 И. Габович. Предел функции

Практикум абитуриента
43 В. Матизен. Найдем ошибку

Искусство программирования
47 Заочная школа программирования. Урок 10.

Рецензии, библиография
50 Н. Розов, М. Смолянский. Полезное начиная

Информация
52 О. Овчинников, С. Резниченко, К. Шалимова, Г. Яковлев. Всероссийская олимпiad школьников
56 Б. Гейдман, Б. Давидович, А. Земляков. ХI праздник юных математиков в Батутии
60 Три доклада на Батутском празднике
63 Шахматная страница
Шахматный конкурс (3-я с. обложки)
64 Ответы, указания, решения

Наша обложка (62)
Смесь (51)

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1980

2

Учитывая коммуниизму!

Это произошло 2 октября 1920 года. В Москве, в здании, где сейчас находится театр имени Ленинского комсомола, проходил III съезд Российской коммунистического союза молодежи. В нем участвали 602 делегата со всех концов России. В этот день перед ними выступил Ленин со своей знаменительной речь «Задачи союзов молодежи».

Еще не окончилась Гражданская война. Разруха и голод безразделно господствовали на всей отвоеванной у врагов территории страны. А Ленин говорил о коммуниизме, о том, как строить будущее коммунистическое общество, во имя которого были принесены суровые жертвы.

Не так уж велика по объему эта речь, и все вы ее читали. Но каждый ли из вас, наши дорогие юные читатели, пытался вдуматься в ее содержание, постчь глубину ленинских мыслей? Наверное, есть среди вас и такие, кто «проходил» эту речь, как «проходил» он mismo многих разделов общирного школьного курса. А речь эту надо изучать, причем изучать вдумочно, неторопливо, недократно. Ведь в ней Ленин завезал молодежи свои самые дорогие и светлые мысли — мысли об удивительном и прекрасном обществе, которое до сих пор не знала история человека.

Ленин ничего не прикрашивал и не замалчивал. Путь к коммуниизму труден для любой, даже очень высокоразвитой, страны. И во сто кратяжелее он для промышленного отсталой, неразвитой страны, большинство населения которого не знает ни азбуки, ни таблицы умножения. А именно такой была Россия в 1920 году.

Строительство коммуниизма связано с глубокой качественной перестройкой всего хозяйства и сознания всех членов общества. Изобилие материальных благ, изобилие свободного от работы времени возможны только на основе предельно электрони-фцинированного, комплексного автоматизированного производства, опирающегося на величайшие достижения науки и техники. И управлять таким производством может только всесторонне образованный, гармоничческие физические и духовно развитый, непрерывно совершенствующий себя человека.

Казалось бы, для России двацатого года коммунизм — это невероятно далекое будущее. Но Ленин говорил о нем как о самом главном в жизни тех, кто сделал в зале, где проходил съезд. Он говорил о нем как об исторически неизбежной реальности.

Революции не сводятся только к разрушению и учитожению, ониикогда не разрушают все, что было завоевано человекством в прошлом. Революции учитожают только то, что к данному моменту времени потеряло право на существование, что мешает обществу двигаться вперед, тормозит его развитие. А учитожив это, они открывают путь новому, неизмеримо более прогрессивному. Революция — это не только гигантское разрушение, но и еще более гигантское строительное.

В 1920 году многим в России казалось, что, разрушая старый социальный строй, надо вместе с ним выбросить на свалку истории всего прошло науки, искусство и образования и вместе них создать небольшую во всех своих частях продолжарскую науки, искусство, образования. Помните ложгг футуристов: «Сбросим Пушкина, Достоевского, Толстого с парохда современности!»? Но Ленин твордо знал, что будущеерождает из прошло, и потому после свержения старого социального строй надо продолжать гигантскую работу по критическому перемотру всех прошлих достижений человека.

Как известно, марксизм объединил в себе все лучшие, что к этому

3

времени было создано в немецкой классической философии, английской политической экономии и французской утопическаяме. Но для того чтобы выполнить эту гигантскую работу, Маркс должен был глубоко овладеть всеми этим идеями и теориими.

Выдающийся ученым был и Владимир Ильич Ленин. Позатем он прекрасно понимал, что перед рабочими и крестьянами нашей страны стоит невероятно трудная задача — переместить весь прошленный опыт человека, отобразить из него все, что по-прежнему является прогрессивным, развить и усвоенный в все это применительно к новым историческим условиям, новым задачам общества. Нетрудно было бы разрушить до основания старую буржуазную систему образования. А вот, как говорил Ленин, «уметь различать, что было в старой школе положено и полезного нам, …уметь выgbать из нее то, что необходимо для коммунизма» — эта задача была намного труднее. Уметь выgbать то, что необходимо для коммунизма в прошлом науке и культуре, искусстве и образования, могли только те, кто хорошо овладел этой наукой и культуой, изучил это искусство и систему образования. Отсюда и следует главная задача, поставленная Ильичом в его речи,— учиться, учиться и учиться!

Но и учиться можно по-разному. Можно просто накапливать новые знания в своей памяти, превращая ее в подобие энциклопедии. Ленин был простым противником таких «мертвых знаний», книжной универсальнойности. Именно в этой речи он произнес знаменитую фразу: «Коммунистом стать можно лишь тогда, когда обогатшь свою память знанием всех тех богатств, которые выgbатало человека». Знание всех богатств, то есть основных функатальных законов природы и общества, — вот, по Ленину, путь ко всемторонне развитому человека.

Но и эти богатства не должнылечь мертвым грузом в человеческой памяти. Они должны стать средствомповседневной борьбы за построение коммунистического общества. Строить это общество — это значит каждый день, каждый час решать какие-то путь необольшие, скромные, но конкретные и полезные задачи. И Ленин приводит примеры таких задач, которые его следует повседневно: учиться самим и учить других — помочь ликвивидовать неграмотность; создавать общественные огороды — помочь в борьбе с голодом; организовать в деревне или в своем квартале обеспечение чистоты — помочь в борьбе с эпидемическим заболеванием. «Союз коммунистической молодежи должен быть ударной группой, которая во всякой работе оказывает свою помощь, проявляет свою инцидативу, свой почин». Человек набирает жизнь неизменного опыта в практической деятельности. Без борбы борщом не станешь. Строить коммунизм — тот, кто строит, а не сидит сложка руки и нежет, когда все будет сделано без его участия, а он придет на готовое.

В своей замечательной речи Ленин дал четкий ответ на все основные вопросы, стоящие перед страной и ее молодым поколением: что такое коммунист, как стать коммунистом, чем и как учиться, как создавать коммунистическую мораль, как научиться статьить интересibly общества выше своих собственных интересов. Это была законченная программа комсомола на все будущее времени. И все, что в ней содержится, справедливо в нашей дни. Конечно, многие конкретные задачи, приведенные Лениным в качестве примеров, уже решены. Но коммунизм еще не построен. И каждый школьник должен стать активным участником этого строительства. А это, как и в previous года, означает — глубокое овладение основами научных знаний, активно участвовать в общественном труде, каждый день в школе, дома, на улице решать конкретные задачи, связанные с формированием нового человека и строительством нового общества. И сегодня главная задача всея советской молодежи — учить коммунизм!

4

Абрам Федорович Юффе

Принимаясь за эту статью, я не имел в виду дать научную биографию выдающегося советского физика Абрама Федорович Юффе, 100-летие со дня рождения которого исполняется 30 октября 1980 года. Биография Юффе хорошо известна и изложена в ряде книг и статей о нем. Я хотел только поддержаться с читателями «Кванта» своим личными воспоминаниями об основоположнике советской школы физики, учеником которого я имел счастье быть.

7

скопических трешин. При деформации кристалла, например, при его растяжении, на этих трешинах возникают громадные механические напряжения, значительное превышающее внешние напряжения, приложенные к кристаллу как целому. В силу этого именно в тех местах, где имеются микросоппические трешины, и происходит разрыв кристалла при его деформации при внешних напряжениях гораздо меныших, чем расчетные значения предельно допустимых напряжений.

Абрам Федорович Иоффе договора, что, если поместить кристалл в расторяющую его жидкость, то поверхностный слой с его дефектами будет удален; следовательно, поверхность кристалла становится довольно совершенной, практическим без дефектов, и прочность такого кристалла в жидкости должна приближаться к теоретической.

Проще всего было проверить это предположение на кристаллах поваренной coli, хорошо расторюмой в воде. Кристалл каменной coli, погруженный в воду, должен быть значительно прочнее кристалла, находящемся в воздухе. Опыты А. Ф. Иоффе блестише подтвердили эту идею, а само явление упрощения кристалла в расторителе получило название эффекта Иоффе.

В упомянутом выше докладе Абрам Федорович демонстрировал идею об уменьшении проности тела под влиянием небольших трешин на его поверхности следующим простейшим опитом. Он брал за концы положку бумаги и пытался ее растянуть — бумага не разрывалась. Затем он делал маленький надрез поперек полоски, и тогда бумага от ничтожного усилия разрывалась.

Вслед за этим опитом он демонстрировал еще один. В большом стеклянном сосуде с водой находились стеклянные палочки, которые «мокли» в течение нескольких суток. Такие же сухие стеклянные палочки лежали на демонстрационном столе. Иоффе брал палочки из лежащих на столе и изгибал ее. Как и следовало ожидать, палочка тотчас ломалась. После этого он вынимал палочки из сосуда с водой и так же пытался ее изогнуть; при этом ему удавалось согнуть ее в колюцо. Это объяснялось тем, что вода, хотя и в незначительной степени, но расторяет стекло; после длительного превышания в воде повреждность стеклянных палочки становится свободной от трешин, и посему они легко сгибались. Так простыми опытими в сравнительно кратком докладе Абрам Федорович doenес до своих случаителей сложную проблему теории прочности кристаллов.

В том, что Абрам Федорович обладал необыкновенным талантом находить способы изложения сложных вопросов физики простым и ясным языком, не жертвуя при этом строгостю изложения, я мог лишний раз убедиться, прослушав ряд лекций из общего курса физики, прочитанных им первому курсу нашего факультета, когда я был студентом второго курса. Иоффе не обладал ораторским талантом, но его изложение предмета отличалось необычайнойясностью, сопровождалась блестишми демонстрациями, и трудно было не увлечся физикой в его изложении.

Позже я узнал, что в большшинстве передовых стран мира общий курс физики читают крупнейшие учены. Это понятно, потому что именно в общем курсе физики студентам дается представление об всей физике в целом, а это способны сделать только выдавшиеся учены, обладающие широким научным кругозом. Таким выдающимся физиком и был Абрам Федорович Иоффе. Наряду с большой научной работой, которое он постояно вед, Абрам Федорович проявлял повышенную zaboty о молодых научных сотрудниках и, естественно, студентах своего факультета.

Я вспоминаю первый эскурсию первокурсников по Физико-техническому институту. Руководил эскурсий сам академик Иоффе. Онводил нас по лабораториям, и мы воочию убедились, насколько интенсивно работали научные сотрудники института. Понято, что большинство из нас впервые видели настоящую научную лабораторию, впервые видели современное научное

8

оборудование: вакуумные насосы, создание разрежение до 10⁻⁶ мм рт. ст. (это были диффузionные насосы, сделанные здесь же в институтской мастерской, которое нам тоже показали); электронеры, с помощью которых изменялись токи порядка 10⁻⁶ А, текущие через диэлектрики;рутные лампы для получения ультрафилотового света;RENTгеновские установки… Затainь диханние, служали мы обясенения действий всех этих чудес, которые давал нам Абрам Федорович.

Правда, нас несколько смутила некая «неаккуратность» самих физических установок. Нам казалось, что они собраны недостаточно красиво и изящно, но мы не решались делать критические заменяния по этому поводу.

Наконец, Абрам Федорович привел нас в лаборатории, где на столах были установки, смотриванные с большей тщательностью, где царил полный порядок. В этих лабораториях мы не встретили ни одной живой души, что немало нас удивило. Абрам Федорович процел на наших лицах удивление и поспешил разъяснить увиденное немного извняющимся томом: «Вы не удивляте чистоте и порядку в этих лабораториях. Дело в том, что здесь сейчас никто не работает — сотрудники находятся в отпуске». После этих слов мы поняли, что при интенсивной научной работе люди больше обращают внимание на существующее дела, а не на внешнюю красоту и изящество. Замечу тут же, что в то время неоспредственной экспериментальной работы, то естьmontажом установки, сборкой схем, занимались все физики вне зависимости от их рага, начиная с самого академика Юффе и кончая только что поступившим в лабораторию студентом. Любой физик-экспериментатор в то время должен быть мастером на все руки: и механиком, и стеклодувом, и электронком, и плотником.

Само собой разумеется, что после этой эксперсии всем нам казалось почти недосягаемым частьем попасть в число сотрудников института.

…На всю жизнь запомнился мне 1928 год. В этом году состоялся очередной, шестой по счету, Всегоозный съед физиков. Организатором съеда был академик Юффе.

Объчно участниками съедов были уже зрелые физики, которые должны были вносить денежные взносы, сравнительно значительные, во всяком случае с нашей студенческой точки зрения. Поэтому естественно, что студенты на съед не попадали, но… Но этот съед был особенный!

Во-первых, на организацию съеда правительство выделило довольно значительный сумму. Во-вторых, на съед были приглашены крупнейшие физики мира, и многие из них на приглашение открыкнулись. На съед приблиго 20 иностранных делегатов из Германии, Франции, Англия, США, Голландии, Польщи, Чехословакии; среди приехавших были также всемирно известные физики, как Дебай, Бриллюен, Дирак, Люис, Поль, Борн… Так что этот съед был практическим международным. В-третьих, программа проведенная съеда была необычной: съед откроется в Москве, но основная часть его работы будет производить на специально зафрахтованным пароходе, который отправится в плавание вниз по Волге от города Нижний Новгород (сейчас г. Горький). Понятно, что среди студентов только и было, что разговоров об этом чудо-съеде. О том, чтобы побивать на нем, мы не смели даже и мечтать.

И что же?…

Вскоре мы с восторгом узнали, что по настоящию Абрам Федорович Юффе оргкомитет принял решение пригласить на съед неокторе количество лучших студентов физика-механического факультета Ленинградского политехнического института и физico-mатематических факультетов Ленинградского и Московского университета. В числе приглашенных оказался и автор этих строк.

Съед был открыт академиком А. Ф. Юффе в актовом зале Московского государственного университета. За время работы съеда должно было бы прослушано около 160

9

докладов, из которых больше часть носила экспериментальный характер. Первые общее собрание было посвящено волновой механике. Вступительное слово и доклад о произведениях и возможных экспериментах, доказывающих волновую природу материи, сделал А. Ф. Иоффе.

Мне особенно запомнились заедание, на котором обсуждалась работа Дейтона Милера, который повторил значенный опыт Майкельсана и получил будто бы прямо противоположный результат, что противоречило специальной теории относительнойности. Нужно сказать, что в те времена еще шли споры о справедливости специальной теории относительнойности Эйштейна. Я, да и не только я, а все те, кому сейчас шестьдесят, прекрасно помним罢сточные диспуты на эту тему. И среди зарубежных, и среди советских физиков были противники этой теории. Естественно, они ухватились за работу Милера как за еще одно «доказательство» несостояльности теории относительнойности. И я хорошо помню выступление Абрама Федоровича Иоффе на заедании, где он, сделав подобный анализ экспериментальной установки Милера, подверг ее учитожающей критике и доказал несостояльность выводов, сделанных автором. В дальнейшем Абраму Федорович неоднократно приходимость теории относительнойности Эйштейна от нападок ее противников.

Но вернемся к съезду физиков. На второй или третий день весь состав съезда, а это было примерно 150 человек, специальным поездом был доставлен в Нижний Новгород. Несколько заеданий было проведено в Нижгородском университете. Затем участники съезда были размещены на пароходе, и началось плавание виз по Волге. Работа съезда не прекращалась ни на один день. Заседания проходили и на пароходе, и на остановках. В Казани и Саратове заедания состоялись в стенах университетов. И все время мыощущали, что наш любимый Абрам Федорович Иоффе — душа съезда. Мы видели, каким автором пользовался он не только у своих советских коллег, но и иностранных физиков.

Во время плавания остановки делались не только по деловым сообщениям, но и просто для отдельных в очень живописных местах Волги. Здесь, на отдельке, мы наблюдали Абрама Федоровича уже в совершенной другой обстановке. Нам было непринвью видеть его, организушего игры на свежем воздухе; например, составление в беге, в котором он сам принял участие. Не лишним будет отметить, что Абрам Федорович неплохо бегал и довольно часто побежал более молодых соперников.

После окончания официальной части съезда состоялась поездка его участников на Кавказ. В первый же день пути в наш студенческийavatон пришли в гости Иоффе, Поль, Дебай и другие не менее прославленные учены. Как сейчас помню, Абрам Федорович предложил нам игру, заключившуюся в следующем. Участники игры, расположившись по кругу, началиот по очереди называть именно известных учены. Первый участник называет одну фамилию, второй называет уже названную фамилию и добавляет еще одну так далее. Из игры выбывает первый тот, кто забудет хотя одна изванную фамилию. Таким образом, число игроков непрерывно уменьшается, пока не остается один победитель, обладающий наилучшей памяти. Среди известных фамилии, конечно, были названны и фамилии участков в игре физиков; самое смешное, что они-то и выбыли из игры одними из первых, так как забывали назвать собственные фамилии.

…1928 год был ознакомлен еще одним важным событием — исполнилось 10 лет ЛФТИ (Ленинградскому физico-техническому институту). По этому поводу было организовано торжественное заедание, в котором приняли участие почти все физики Советского Союза. Мы с удовлетворением отмечали, что поздравительные речи и адреса фактически относились лично к Абраму Федоровичу Иоффе. Все, конечно, понимали, что работа физico-тех-

10

нического института определяется его директором. Среди многочисленных выступлений было и привствiene представителя из Харькова, который в телых словах благодарил Абрама Федоровича за его усилия по созданию в столице Украины (в то время Харьков был столицей УССР) нового физико-технического института. Ядро этого института составляла группа сотрудников ЛФТИ во главе с Ивановом Васильевичем Обремовым и Александром Ильчом Лейпунским. Это было началом осуществления идеи Абрама Федоровича Иоффе о необходимости создания научных физических центров в крупных промышленных районах Советского Союза.

Абрам Федорович недократно разъяснал нам необходимость деятельности науки в СССР. «Нельзя,— говорил он,— чтобы наука сосредоточилась в Москве и Ленинграде. Советская физика обязана оказать свое влияние на развитие промышленности страны». Вслед за Украинским физico-техническим институтом (УФТИ) были организации физических институты в Днепропетровске, Томске и Свердловске. Во все эти институты были направлены группы высококвалифицированных физików из числа сотрудников ЛФТИ — учеников Иоффе.

В адрес, который предложили Абраму Федорович сотрудники ЛФТИ, было отменено, что адрес этот подписавал не только огромное количество его прямых учеников, но и ученики учеников его первых учеников, которые сумели к этому времени стать неплохими физikами. Это было сказано не для красного словца, а отражало фактическое положение дела. Забегая вперед, могу сказать, что еще при жизни Абрама Федоровича Иоффе в числе его учеников насчитывалось не менее 15 академиков и около 30 членов-kорреспондентов Академии наук СССР. Не знаю, найдется ли еще кто-либо из учених мира, способный похвататься лучшими результатами в своей стране.

Абрам Федорович действительно был не только выданнойся ученый, но и превосходный воспитатель молDEX. Это объясняется, в первую очередь, тем, что он владел секретом отбирать талантливых молодых сотрудников, которые сравнивают быстро становились крупными учеными. Помимо этого, Абрам Федорович сумел создать в институте также рабочую атмосферу, в которой каждый сотрудник ошушал себя причастным к огромному, важному делу, создавал нужность своей работы, чувствовал за нее ответственность. Люди работали увлеченно, не желая сил. В институте можно было в любое время дня и ночи найти сотрудников за работу. И это было нормальным стилем работы института.

Наше увлечение экспериментальной работы было столблено, что Абрам Федорович передко журил нас за то, что мысликом много времени проводим за экспериментом и сликом мало времени удаляем чтению научной литературы. Он даже поручил своему большому другу наальникку отдела теоретической физики института Якову Ильчу Френкелю организации специально для эксперименторов семинар по вопросам современной теоретической физики.

Но вернемся к разднованию 10-летия института. Абрам Федорович очень любил и высоко ценил хорошего шутку. Вот почему по окончании торжественного заедания мы устроили то, что теперь называется капустником. Точнее, это была пьеска, написанная нами специально к юбилею и называвшаяся «10 лет, которые потрясли физики». Репетировали эту пьесу мы втейне, так что о ней знали лишь ее участники. Пьеса состояла из 10 актов, последовательно отражающих каждый год из жизни института со дня его создания. Нам, участникам, очень хотели знать за реакцией Абрама Федоровича Иоффе, который сделал в первом ряду. Пьеса имела большой успex: крители, в том числе и Абрам Федорович, почти непрерывно смелясь и награжали актеров бурных имплементов.

11

Комитет Сольвеевского конгресса (слева направо): Н. Бор, А. Эйнштейн, Т. де Дондер, О. Ричардсон, П. Ланжевен, П. Дебай, А. Ф. Иоффе, Б. Кабрера. 1931 год.

В пьесе действительное было много смешных и оструемых моментов. Так, например, два ведомства, которые финансовоалина наш институт, были изобразены в виде царей, восседавших на тронах с надписьми «Царь-Наркомпрос» и «Царь-Совнарком». Для пущей важности они были одеты в докторские mantии самого Абрама Федоровича. Актеры, изобразавшие дирекцию института, всяческие старальные угодить владыкам, показывая различные фокусы, вроде превращения воды в крови, железа в змею и т. д. За свое усердение они удостоились вознаграждения — получили мешок с монетами. Кончалась пьеса куплетами, которые исполняли акторы, сидящие в ракете, направляющейся в космос на засадание ученого совета. Каждый куплет кончался приевом

«Все выше, и выше, и выше
Летим на ракете в эфир.
Заполним мы физкой скоро
Весь звездный заоблачный мир».

Окрыленные успехом этой пьесы, мы ввели в традицию устройство такого рода вечеров два раза в году: на майские и октябряские праздники. И неизменно они пользовались успехом у коллектива institута. В пьех часто принимал участие и сам Абрам Федорович Иоффе.

Вспоминаю один из таких вечеров, на котором обслужилось одно довольно значительное событие в жизни советских научных работников. Я имею в видуышедшее в 1933 году постановление о введении ученых степени и званий. Нам, молодым научным сотрудником, онго казалось противоречащим двух строительства социализма, поскольку постановление предусматривал материальные преимущества за научную степень или звание, а не за непосредственно выполняему работу.

На сцене представлялось заседание ученого совета institута под представательством академика Иофф-

12

фе, которое играл… Абрам Федорович Иоффе. Появление его на сцебе было с востортом воспринято зрителями. Ученый совет заслуживал защиты двух диссертаций. Первая диссертация была экспериментальной и, конечно, сопровождалась демонстрацией остроимных шуточных опитов. Достаточно сказаать, что объектом исследования является а-брынза, электронами служили столовые вилки. Образец с воткнутыми в него электронами помещался между полосами настоящего электронагнитта; на полосы были найдены детские ботиночки (в те времена полосные наконецки электронагнитов называли полосными башмаками). Результаты исследования диссертант пропилострировал графиком, на котором была изображена замыслованая кривая, проходящая через эксериментальные точки. Комментария этот график, диссертант заявил, что он построил его на основании известной физической теоремы о том, что через две данные эксериментальные точки можно проверить кривую и притом только одну. В заключение он заявил, что исследованная им а-брынза обладает двючной проводимостью; в доказательство справедливости этого вывода на экране появилось изображение брынзы, на котором, естественно, были видны дырки. Ясно, что защита диссертации проходала под смеси и апплисменты зрителей.

Вторая зашита была чисто теоретической. Эта инсценаровака была пародей на одного теоретика нашего института, любившего похожие своими успехами. После того как представляетсяуший представил слово второму диссертанию, тот развернул плакат, на котором было написано «Список ученых, которые цитируют меня» и дальнейшего шло перечисление имен: Архимед, Лукреций, Галилей, Эйнштейн, Бор… Затем диссертант продемонстрировал второй плакат — «Список лиц, которые могут завистивствовать, что я первый сказал А». В списке значился фамилии вхтера, коменданта здания института, пожарника, уборщцы и других служащих института.

После «зашиты» и краткого совещания членов ученого совета представляетсяуший Абрам Федорович серверзным тоном объявил, что совет присуждает обимм диссертант ученыые степени, пригласил их подойти к столу, опуститься на одно колено и надел на каждого докторские мантии. Все это сопровождалось бурными апплисментами зала.

…С начала 30-х годов А. Ф. Иоффе занитересовался физикой полупроводников. Я думало, что какая-то интуция подсказала Абраму Федорович, что полупроводники, которые были очень мало исследованы в то время, могут иметь важное техническое применение. Скудность экспериментальных данных о полупроводниках объяснялась тем, что у одного и того же по химическому составу полупроводника электрическое свойства, например электропроводность, в широких пределах менялись от образца к образцу, и поэтому физики-экспериментаторы, отчетливись получить однозначные данные,.maxнули рукой на полупроводники.

Абрам Федорович настоящего инсценаровака этим классом веществ, что переключил на их исследование значительной часть сотрудников института. Разумеется, это делалось не в административном порядке. Абрам Федорович всегда умеет интерес, а следовательно, и энтузизм к исследованию новых областей физики.

Уже первые полученные данные показали, что наблюдающийся на опите большой разброс данных о электрических свойствах полупроводников одного и того же химического состава объяснялся ничтожными, с химическим точки зрения, применями. Поэтому Абрам Федорович и сосредоточил особое внимание на исследовании влияния малых количеств примесей на электрическое свойство полупроводников. Заметим, что под термином «малые примеси» понимаются стольчные и даже миллионные доли процентов по отношению к основному веществу, которые обычно химическим анализом не обнаруживают.

Под руководством Абрама Федорович Иоффе были разработаны

13

А. Ф. Иоффе за рабочим столом.

точайшие физические способы регулярования количества примесей в некоторых типах полупроводников. Это позволяет исследовать зависимости электропроводности полупроводника от количества введенных примесей. Я думаю, что в значительной степени именно под влиянием работ А. Ф. Иоффе и его школы началось быстroe развитие исследований в области физики полупроводников во многих странах мира.

Среди вопросов этой области физики Абрама Федоровича занighteрезовала проблема выприемления переменного тока. Было обнаружено, что контакт металла с полупроводником обладает выприемляющим свойством. При прохождение тока через такой контакт электрическое сопротивление существенно зависит от направления тока. Если при одном направлении тока сопротивление мало, то при обратном направлении тока оно резко возрастает. Таким образом, полупроводник с нанесенным на его поверхности слоем металла представляет собой выприемитель, стол нужный для многих технических целей. Довольно скоро после проведенных в ЛФТИ исследований на «modных» в 30-х годах полупроводника из закси меди (Cu₂O) и селена (Se) в промышленности стали использоваться меднозакисные и сельовые выприемители.

Абрам Федорович пытается найти физическое объяснение эфекту на границе металл — полупроводник. Совместно с Яковом Ильчом Френкелем он опубликовал теорию этого явления. Хотя количество предсказания теории не совпадали с экспериментальными данными, ее физические основы в значительной степени степеня сохранились и сейчас.

Абрам Федорович продолжал и даже расширял исследование в области полупроводников. В частности, его занятие физической явления в полупроводниках. Это, в первую очередь, изменение электропроводности полупроводников под действием padаю-

15

Исаакович Алиханов, целиком перешли на новую тематику. По инцизации Абрама Федоровича в институте был организован специальный семинар, на котором обсуждались новые работы по физике atomного ядра, публикуемые во всех физических журналах мира, и наемались планы исследований в институте. Этот семинар помог нашим «ядершикам», как мы их тогда называли, быстро войти в курс новой для института области физики с ее понятями, терминологически исследований. И нужно сказать, что довольно скоро новые laboratorии стали выпускать свою научную продукцию.

Уже к середине 30-х годов наши физики-ядершики находились на уровне laboratorий Запада. Это подтвердила Всесоюзная конференции по ядерной физике, которая происходила в Ленинграде и практические была международной, поскольку в ней приняли участие многие иностранные учены. На этой конференции 30-х годов наши физики-ядершики находились на уровне laboratorий Запада. Это подтвердило Всесоюзная конференции по ядерной физике, которая происходила в Ленинграде и практические была международной, поскольку в ней приняли участие многие外国人.

И. В. Курчатов и А. Ф. Иоффе.

ференции с докладами выступали также крупные, я бы сказал ведущие, учены в области ядерной физики, как Жоллю-Кюри, Дирак, Перен. Dokлады наших советских физков — сотрудников ЛФТИ — показали, что достигнутый им уровень был весна высок.

…В 1933 году ЛФТИ отмечал свое пятнадцатилетие. Мы подготовили к этому юбилею, кроме официальной программы, шуточное представление. Она началась комнечным торжеством заседанием ученого совета института. С докладом на заседании выступал Абрам Федорович Иоффе. Он начал свое выступление словами: «Товарищи, я хочу вам рассказать о 15-дневной деятельности нашего института.» Когда его из публики поправил «15-летней», Абрам Федорович повторил, что он делает доклад именно о 15-дневной деятельности, потому что за последнее 15 дней сотрудники института провели такую работу по подготовке к празднованию юбилея, которая, с его точки зрения, сравнима по масштабу с их 15-летней научной деятельности. Естественно, доклад неоднократно прерывался смехом зала и аппlicationsми. После доклада ряду сотрудников были вручены премии, каждый из которых сопровождался остроимыми комментариями. Затем учены секретарь совета огласил ряд приветствий юбилея. Среди них были, например, телефонма от Бойля — Мариотта: «Связи юбилеем, вашго института сообщаем открытом нами законе $pV = \text{const}$ тик надемся вы его успехом примените вашей научной работе тик Бойль — Мариотт тик классище Пер Ляшез тик 1776 год». Было и поздравление от Остала Бендера из Рио-де-Жанейро: «Освещаем город фотоземами тик шлите миллион ваших фотозементов».

Заканчиваясь наша увеселительная программа пьесой под названием «Дела ядерные» в исполнении кукульного театра под руководством замечательного артиста Евгения Демени. Героями пьесы были, конечно, сотрудники института, в том числе и Абрам Федорович Иоффе.

16

Кулы были сделаны куольником, которое мы заранее специализировали на засадание ученого совета нашего института, где он и сделал наброски будуших персонajes. Разумеется, кроме организаторов, никто не знал о существовании пьесы.

Когда зал был полон и зрители сидели на своих местах в ожидании начала представления, неожиданное погас свет. Это было обясенное случайной неисправностью в сети. В действительности свет мы погасили специализировано для того, чтобы в темноте установить на сцене ширму для куольников. Делалось все это очень быстро, и вскоре вспыхнул луч проектора, который ярко осветил чуть шаржированное куольное изображение Абрама Федоровича Иоффе. Читатели могут себе представить бурю оващий, который была встречена эта столь неожиданная сцена. Такая встреча была предустотрена режиму, и поэтому накафедре был поставлен довольно большой колокольчик, который кула взяла в руки и накала успокаивать публичку в зал, что, естественно, вызвал еще большую оващию.

Пьеса имела успех и надолго запомнилась всем присутствовавшим в зал, особенно, наверное, женам главных действующих лиц, который сразу же после окончания спектакля были розданы герой-куклы.

В 1936 году я уехал из Ленинграда в Свердловск, и повседневная связь с Абрамом Федоровичем была на некоторое время превращена.

В октября 1940 года советские физики отмеяли 60-летие Абрама Федоровича Иоффе. Автор этих строк являете собой второй после Ньютона пример использования продуктов питания для научных исследований». Имелись в виду легендарное яблоко Ньютона и поваренная соль, кристаллы которого часто использовал Абрам Федорович в своих исследований по физике кристаллов.

…С начала войны ЛФТИ под руководством Иоффе практических целиком переключился на работу, связанные с оборонной нашей страны. К счастью, к этому времени влаборатиях института уже были решены многое важные вопросы оборонного значения, такие, например, как защита кораблей от магнитных мин (руководил этой работой Анатолий Петрович Алексадров, ныне президент Академии наук СССР), пробела радиолокации (Юрий Борисович Кобзарев) и другие.

На время войны значительная часть ЛФТИ во главе с Абрамом Федоровичем была эвакуирована в Казань. Часту сотрудников находились непосредственно на флотах, занимаясь установкой систем магнитной защиты военных кораблей, часть осталась в Ленинграде (во главе с Павлом Павловичем Кобеко), где совместно с ленинградскими морскими организациями провела большую работу, связанную с доставкой груzes в осадденной Ленинграде по льду Ладожского озера.

В 1942 году мы встретились с Абрамом Федоровичем в Свердловске во время состояния там сессии Академии наук СССР. Абрам Федорович был полон сил и энергии и очень горячим вводу мощных ученников в военную мощная армии. Не могу не отметить, что в начале 1943 года часть сотрудников ЛФТИ, так же как и бышне его сотрудники, по рекомендации Абрама Федоровича Иоффе переключились на решение так называемой урановой пробелы.

Во время войны Абрам Федорович был выце-президентом Академии наук СССР и, находясь на этом посту, сумел направить работу значительной части физков на решение актуальнойших для оборонных страниц пробелы. Более детально я познакомился с деятельности Абрама Федоровича Иоффе в Академии наук после мого избрания членомкорреспондентом, когда я был обязан посещать общие собрания Абрами и все睦ания отделения физико-mатематических наук.

Вспоминаю одно из засеединяний отделения вскоре после окончания войны, посвященное число организационному вопросу — вывивжение

17

и обсуждению кандидатуры президента Академии наук СССР. Дело в том, что до 1946 года президентом был академик Владимир Леонтьевич Комаров, но состояние его здоровья и возраст не позволили ему эффективно руководить деятельности этого важного учреждения. Советское правительство пригласило весь состав Президума АН СССР на совещание, на котором обсуждался вопрос об избранном нового президента. На этом совещании была предложена кандидатура Сергея Ивановича Вавилова.

Сразу же были собраны отделения Академии наук СССР. На заседании отделения физико-математических наук его академик-секретарь Абрам Федорович Иоффе должны рекомендацию правительства и поросил членов отделения высказаться по этому вопросу. После нескольких выступлений слово-поросил один из старейших членов отделения академик Алексей Николаевич Крылов. Он сказал, что перед заседанием отделения, зная повестку дня, специально просмотрел устав Академии наук, чтобы выяснить, какие требования предъявляются к президенту Академии наук. Оказалось, что в действовавшем тогда уставе слова «президент Академии наук» упоминаются всего лишь один раз, а именно: «Президент Академии наук избрается общим собранием деятельности членов Академии наук». Поэтому ему лично трудно обсуждать вопрос о кандидатере президента, поскольку неизвестно, какие требования надо кнему предъявить. В качестве примера образцового устава Крылов составляя на судебный устав Петра I, прочитовав следующее пункты:

1. Кражей называется хшшение чужой собственности, произведенное тайно.
2. Грабежом называется хшшение чужой собственности, произведенное явно.
3. Разбоем называется хшшение чужой собственности, произведенное с насилием».
   Законив эту цитату, академик Крылов сказал: «Как видите, в судебном уставе все формулировано совершенное чего и ясно, а что такое президент Академии наук — совершенное не ясно». Последняя фраза, конечно, вызывала смесообразшихся. Абрам Федорович Иоффе не растерлся и ответил Крылову примерно так: «Я понимо, что в действующем уставе Академии наук имеется пробел, но, по-видимому, составитель устава предполагал, что президент не будет заниматься ни кражей, ни грабежом, ни разбоем». Эти слова встречены апплисментами. Отделение вынесло решение рекомендаовать общему собранию Академии наук кандидатуру академика С. И. Вавилова на пост президента. Вскоре он был избран президентом Академии наук СССР.

…Нельзя сказать, что жизньный путь Абрам Федорович был успешно розами. Я был свидетельем несколько важных событий, которые, безусловно, сильно огорчили Абрам Федорович Иоффе. Одним из таких событий была неудача с решением проблем тонкослойной изоляции, на котором Абрам Федорович потребил много сил и времени. Это была чисто научная неудача. Он ее мужственное перенес и признал в печати ошибочность своих предложок.

В 1936 году в Москве состоялось общее собрание Академии наук, посвященное обсуждению научной деятельности ЛФТИ, возглавляемого Абрамом Федорович Иоффе. На этом собрании Абрам Федорович сделал соответствующий доклад. Физики, участковавшие в обсуждении доклада, подвергли резкой критике деятельности и самого Абрама Федорович Иоффе.

Я думало, что Абрам Федорович был очень огорчен необъективно выступавших, среди которых были и его ученики. Все выступления звучали очень тенденциозно. Тем участникам собрания, которые могли выступить с объективной положительной оценкой деятельности института, слова не давали (в числе таких оказался и автор этих строк).

Время показало, насолько несправедливой была эта критика.

18

В частности, Абрама Федоровича критковали за то, что он развил в институте исследований по ядерной физике, которые, по утверждению выступавших, не сулили даже в дальнейком будущеем практических применений. По тем же сообщениям критковали его и за развитие работ в области физики полупроводников. Теперь всем ясно, насолько ошибались критики Абрама Федоровича, насолько смехотворна была их аргументация. Нынешнее поколение должно воздать должное научной позорливости Абрама Федоровича Иоффе, которая позволила ему своевременно сформировать и поставить такие актуальные проблемы, как физика atomного ядра и физика полупроводников — основы современной научно-технической революции.

Нелегким был для Абрама Федоровича уход в 1950 году с поста директора ЛФТИ, который он основал и который руководил более 30 лет. Тем более, что этот уход был оставлен довольноестактно. Незадолго до этого события мы отмечали семидесятилые Абрама Федоровича. Торжественное заведение производства в актовом зал Академии наук СССР в Ленинграде и организационно было нарочито скромно. Из сотен привствий и адресов, направленных юбиляру со всех концов страны и из-за рубежа, было зачитано только три: от Президума Академии наук СССР, от сотрудников института и района партии. Само заследние ограничилось научным докладом Абрама Федоровича Иоффе «О проблемах полупроводников».

Вечером Абрама Федорович пригласил к себе домой наболее близких своих учеников. За ужином Абрама Федорович говорил нам, что он, несмотря на что и даже на свой возраст, не оглядывает на прошлое и с оптимизмом смотрит в будущее. Он показывает нам почетные дипломы, присужdenные ему различными организациями, в том числе и зарубежными научными учреждениями и университетами. Среди них были диплом Почетного члена Англійского физического общества (1944 г.), Парижского университета (Сорбонна, 1946 г.), Бухарестского университета (1947 г.), университета Граце (Австрия, 1949 г.) и т. д.

Особенно мне понравился диплом Почетного члена Китаяского общества физики (1949 г.), оформленный в виде свитка из белой шелковой широкой ленты, на котором неоглили-фамины был написан текст диплома (конечно, с приложенным к нему русским переводом).

Сказанное Абрамом Федоровичом о том, что он с надежной и оптимизмом смотрит в будущее, было не «красным словом». Действительно, вскоре после ухода с поста директора ЛФТИ он со свойственой ему энергней приляся за организацию Института полупроводников Академии наук СССР. В этом ему оказал большое содержание Президума Академии наук и ее президент Серей Иванович Вавилов. Таким образом, научная работа Абрама Федоровича Иоффе ни на один день не прерывалась.

В 1955 году, в предвергию 75-летия Абрама Федоровича Иоффе, группа академиков-физиков, его учеников, направила письмо в правительство с просьбой присвоить А. Ф. Иоффе звание Героя Социальического Труда. В обоснование своей просбы мы перечислили крупнейшие научные заслуги Абрама Федоровича и особо отметили его исключительную роль в деле подготовки научных кадров высшей квалификации, обеспечивших быстroe и своевременное решение уравновей проблемы. В частности, мы указали, что среди учеников Абрама Федоровича уже насчитывается 15 академиков и около 30 членов корреспондентов Академии наук СССР.

Для проведения юбилея Академия создала оргкомитет, и я был удостоен чести стать его представителем. Естественно, меня как представителя очень волновал вопрос о реакции правительства на упомянутое письмо с просьбой о нагradении Абрама Федоровича Иоффе. До последней минуты мы не знали, как решится этот вопрос, и лишь в вагоне поезда, взшено нас в Ленинград на празднование юбилея, мы услыша-

19

ли по радио указа Преддиумма Верховного Совета СССР о присвоении академику А. Ф. Иоффе звания Героя Социальического Труда. Радость моя была безмерна.

На сейчас торжественное заседание, происходившее в том же актовом зале Академии наук СССР в Ленинграде, прошло с большим подъемом. Число прибивших начествование Абрама Федоровича было столько величко, что мы, при всем желании, не могли все предоставить слово для приветствия.

Последние годы мы с Абрамом Федоровием встречались сравнительно редко, но несколько раз все же он побивал у нас дома в Москве. Абрам Федорович очень много и интересно рассказывал не только о своих новых научных планах и идеях, но и о различных событиях из своей жизни. Например, он

А. Ф. Иоффе на отдельке.

20

расссказал такую забавную историю. Однако, в бытность своего в Голландии, Абрам Федорович был в гостях у крупного физика Пауля Эренфеста; там же были Нильс Бор и Паули. Абрам Федорович, Эренфест и Бор сидели на диване, а Паули, по своей привчке, расхаживал по комнате из угла в угол и что-то рассказывал. Вдруг Бор произнес: «Перестав разгулять! Это меня разгражет». Паули спросил: «А что, собственно, тебя разгражет?» Бор, отличавшийся манерой точно формулировать свои мысли, задумался. И тут Эренфест ответил: «Разгражет момент, когда ты возврашается обратно».

Вспоминало и другую расссказанную Абрамом Федоровичем историю, случайнуюся с ним в молодости, когда он работал в Мюнхене. Однако Абрам Федорович решил проводить воскрестьый день в Альпах. Накануне вечером он сел в позед. Его соседками по купе оказались две дамы. Попутчики разговорились. Узнав, что Абрам Федорович — физик, дамы спросили его, какая завтра будет погода. Абрам Федорович начал им объяснять, что он не meteorologist и поэтому представлять погоду не может. Дамы, однako, оказались настоящимыми и требовали ответа, утверждая, что физики должны все знать. Дело проискодило в июне, было жарко, и Абрам Федорович, шутя, ответил: «Завтра будет снег». Дамы весело рассмеялись и перешли к другой теме. Велико же было удивление Абрама Федоровича, когда, проснувшись научто в гостинице, он увидел за окном… густо падаюший снег.

…Последний раз я видел Абрама Федоровича Юффе летом 1960 года, когда я был вместе со своей старшей дочерью в Ленинграде. Мы с ней получили приглашение проведения воскрестьый день у него на дайте в Комарове. Абрам Федорович прислал за нами машину. На даче Абрам Федорович и его жена Анна Васильевна водили нас по своему хозяйству, с гордостью показывали воздействие им гряди с клубникой и овощами. Памятуя, что Абрам Федорович — директор основанного им агрофизической института, я просил Абрама Федоровича, воздействил ли он гряди по всем правилам агрофизической науки. На это он, смесь, ответил, что в основном следовальном методом обработки почвы. Потом он повел нас на вышку, построенную специально для того, чтобы можно было любовать видаом на море. Абрам Федорович говорил, что он очень любит отдельать на этой выше.

Вернулись мы в гостиницу только поздно вечером. Было совершенное светло — в Ленинграде был разгар белых ночей.

Всееду на даче с Абрамом Федоровичем, я, конечно, не расссказал ему, что мы, как и все физики страны, готовились ответить этой осенью его 80-летие. Не расссказал я ему и о том, что много отправлена стать в журнал «Успех физических наук», посвященная его юбилею. 14 октября утром мне на работу позвонили из редакции газеты «Известия» с просьбой срокно написать статью об Абраме Федоровице Юффе, которая должна была быть опубликована в день его рождения 30 октября. А через два часа после этого звонка мне сообщили из Ленинграда, что Абрам Федорович внесало скончался у себя в лаборатории.

21

Мой отец —
о моем будущем

Ниже публикуются воспоминания дочерей Абрама Федоровича Иоффе Валентинны Абрамовны Иоффе, доктора физико-математических наук, старшего научного сотрудника Института химики силикатов АН СССР.

Когда я кончала школу и должана была решить, чему учиться дальше, отец часто говорил со мной о моем будущем. Он очень хотел, чтобы я стала физиком, но какое бы то ни было давление с его стороны исключось. Он лишь стремился обрисовать мне будущее научного работника- физика, а решать, соблазняет ли меня такая перспектива, представлял мне самой.

Мой отец был человеком очень широких интересов. Он любил и хорошо знал музыку, часто бывал в фильмонини на концертах классической музыки. Талант юного Шостаковича он оценил с первых его шагов. Не меняше он любил и театр — оперу, драму; мог по несколько раз смотреть спектакли театра именя Вахтангова, Художственный театра. С большим интересом относялся ко всем экспериментам в области театрального искусства.

Он знал и любил стихи, особенно Пушкина и Лермонтова. Много читал, хорошо знал классику, но и за новой литературой следил до самого последнего времени.

Отец очень любил природу, особенно его восхитение вызывали деревья и цветы. Он любил далекие прогулки, передко ходил в горы — в молодости в Швейцарии, а потом, уже в зрелом возрасте, в Крыму и на Кавказе. Хорошо плавал, играл в теннис.

Он любил жизнь во всех ее проявлениях и умел получить радость из разных источников. Но все меркло перед радостью, доставляемой ему занятем наук — удачной договора, четко поставленных опытом. Он часто говорил, что в его увлеченности физикой присутствует заарт, в чем-то сходный с азартом игрока,— азарт договора, в результате которого игрок получает выигрыш, а ученый — объяснение неизвестного явления. Он считал, что занятия физикой не требуют каких-то особых дарований — занимается физикой и получать от этого радость может каждый. Важно почувствовать эту радость, и тогда жизнь будет наполнена живым интересом, очень мало зависитим от внешних обстоятельств.

Отец был горячим сторонником вовлечения в научную работуженщин. Он всегда с восхитением говорил о Марии и Ирэн Кюри, о Лице Мейтнер и другихженщинах физиках, стоящих в первых рядах современной науки.

В заключение мне хочется привести выдержку из письма моого отца ко мне. Пятнадцатлетней ученице последнего класса школьы:

«…Ты увидись, что если интересны некоторые проблемы, видимые противоречия, для которых надо найти решение, отыскав предварительно исходный корень, порождающий данное противоречие…

Ты, по-видимому, не очень вершь в свои таланты. Сейчас, конечно, нельзя их предсказать. Но разного типа учены создавали наше современное мировоззвание. Нельзя описать точно, каким «должен» бытчеловек, который хочет стать ученым. Разными путями открывается истина…

Потом, уменьте ясно видеть вещи, понимаать ясно и узнать неопятное духовно развивает и сравнивает с людьми наиболее высокой культуры.

Наконец, искать и нахождение новых путей и новое понимание — одно из самых больших удовлетворений».

22

Электрон

Одна из составных частей атома — отрицательно заряженный электрон — была обнаружена еще в XIX в. В 1897 г. удалось, хотя и грубо, измерить заряд электрона; позднее измерена была его масса и еще позже был обнаружены другие его свойства — врашательный и магнитный моменты.

При освещении, в особенности ультрафилотовым светом, отрицательно заряженное тело постепенно теряет свой заряд, а нейтральное — заряжается положительно. Явление этого, называемое фотоэлектрическим эфектом или, короче, фотоэфектом, было исследовано Столетовым еще в XIX в. Характер испускаемых телом при фотоэфекте зарядов — электронов — особенно наглядно виден в поставленном мной в 1912 г. опыте, который был видензменением уже ранее применяшихся устройств.

В пространстве между двумя параллельными горизонтальными пластинами A и B (рисунок 1) попадали мелкие заряженные металлические пылики o. Если частница оказалась заряженной отрицательно, то ее можно удержать от падения, зарядив верхиной пластину положительно, а нижнюю — отрицательно.

Эта статья — отрывок из книги А. Ф. Иоффе «Основные представления современной физики» (М. — Л., ГИТТЛ, 1949). Мы помещаем его с небольшими изменениями и дополнениями. Дополнительные мелким шрифтом.

Положительное заряженная пылика удерживается полем противоположного знака. Можно подобрать такую разность потенциальов $U_1$ между пластинами, чтобы электрическая сила как раз уравновешила силу тяжестei. Тогда пылика повисает неподвижно на много часов.

Электрическая сила, которая действует на заряд $e_1$ пылики, направлена вверх и равна $e_1 \frac{U_1}{d}$, где $d$ — расстояние между пластинами $A$ и $B$. Обозначим силу тяжестei, действующего на пылики, через $P$. Условие равновесия пылики в пространстве между пластинами — равенство силы тяжестei и электрической силы:

$$P = e_1 \frac{U_1}{d}.$$

В этом состоянии я освещал пылику источником света, вызывающим фотоэлектрический эффект. Спустя некоторое время неподвижная прежде пылика начинала падать. Так как тяжестei $P$ не могла измениться от освещения, не изменились $U_1$ и $d$, то, следовательно, уменшился заряд $e_1$ до какой-то величины $e_2$.

Увеличия разность потенциальов $U_1$ до нового значения $U_2$, можно было снова остановить пылики; при этом должно удовлетворяться равенство $e_2 \frac{U_2}{d} = P$.

Заряжая и снова разряжая пылику, можно было этот процесс повторять сотни раз, каждый раз при соответствующих потенциальах $U_1, U_2, U_3, \dots$. Оказалось, что различные заряды $e_1, e_2, e_3, \dots$, которые имела пылика, точно выражались следующим соотношением:

$$e_1:e_2:e_3:... = \frac{1}{U_1}:\frac{1}{U_2}:\frac{1}{U_3}:... = 1:2:3:...$$

Рис. 1. Схема опыта по определению заряда электрона.

23

Заряды пылинки изменялись как ряд цельх чисел. Когда на пылинке оставался один отрицательный заряд, то она теряла его целиком при освешении и оставалась незаряженной. Действительно, никакой разностью потенциальов $U$ (ни положительный, ни отрицательный) не удавалось заменить падение частички. Но если во время padения продолжать освешение, то спустя некоторое время пылинка, теряя еще один заряд, заряжалась положительно, и тогда ее снова можно оставить, но только уже противоположной разностью потенциальов, когда потенциаль верхней пластны отрицательный, а нижней — положительный.

Тысячи таких опытов с пылинками из различных материалов показали, что заряд любой пылинки всегда состоит из целого числа попределенных порций, равных по наиболее точным современным изменением $4,8024 \cdot 10^{-10}$ абсолотных электростатических единиц (за единицу принимается заряд, отталкивающий равный ему заряд, помещенный на расстояние в 1 см, с силой в 1 дину)$^*$). Каждый раз, когда при освешении пылинка теряла отрицательный заряд, он оказывался равным — $4,8024 \cdot 10^{-10}$ абсолотным.

Эти единичные отрицательные заряды получили название электронов.

Никогда и ни где не удавалось наблюдать зарядов, меняших заряд электрона или равных нецелому числу зарядов электрона. Такие же отрицательное заряженные частицы — электроны — испускают накаленные тела. Это явление называют термоэлектронной эмиссей; им широко пользовется в радиолампах.

При пропускании электрического заряда сквозь сильно разреженные газы из отрицательного полюса (катада) выходит поток отрицательных зарядов, называемый катодными лучами. Удалось показать, что и

$^*$) По изменении, проведенным к настоящему времени, наименший электрический заряд (положительный или отрицательный) равен $e = 4,803250(21) \cdot 10^{-10}$ абсолотных электростатических единиц (ед. СГСЭ), или (в СИ) $e = 1,6021892(46) \cdot 10^{19}$ Кл.

катодные лучи — поток тех же электронов.

Поместив каталогные лучи или поток фотоэлектронов в магнитное поле, можно определить относение заряда электронов $e$ к их массе $m$, а следовательно, и самую массу электронов.

Оказалось, что не только заряды, но и массы $m$ электронов самого различного происхождения в точности совпадают и что

$$m = 9,1060 \cdot 10^{-28} \text{ г.}$$

В течение первого десятилетия нашей его вектор был единственным известной тогда «элементарной» частицей. Физики думали, что электрон — последний и простейший элемент природы, и представляющего его себе, как равные atoms, в виде шарикка, по объему или по поверхности которого распределен электрический заряд.

Однако и тогда уже, в 1908 г., В. И. Ленин указвал, что принципи диалектического материалов о неисчерпаемом многообразии природы заставляет ожидать, что и электрон — сложное образование.

Это предвидение позже подтвердилось, хотя мы и сейчас не можем быть уверены в полное существующее картины электрона.

Оказалось, что электрон обладает врашательным моментом (спином) $s$ и магнитным моментом $μ$.

Магнитный момент электрона определяет максимальный момент сил, действующих на электрон в магнитном поле с индукцией $B$:

$$M_{\text{max}} = |B| \mu.$$

Для витка с током $I$

$$M_{\text{max}} = |B| IS,$$

где $S$ — площадь, ограниченная витком (см. «Физика 9»). Поэтому магнитный момент витка с током равен $μ = IS$. Магнитный момент — величины векторная. Вектор $\mu$ направлен перpendicularно плоскости витка.

Магнитные свойства электрона с полной наглядностью обнаруживаются в опитах, которые были поставлены Штерном и Герлахом по методу молекулярного пучка. В этом методе изучается поток молекул в виде тонкой ленты, выделенной при помощи системы узких щелей в пространстве, в котором создано воз-

24

можно высокое разрежение. Всякое отклонение такого потока молекул от прямолинейного пути может быть вызван только действием сил, а эти силы могут быть вычислены по начальной скорости молекул и величины отклонения. Этот метод применяется для обнаружения самых разнообразных воздействий, в том числе даже таких слабых, как силы тяготения.

Если пропустить молекулярный пучок через сильное и притом резко неоднородное магнитное поле, то отдельные молекулы отклонятся тем сильнее, чем больше их магнитный момент и чем меньше угол между направлением магнитного момента и направлением магнитного поля, через которое проходят молекулы.

Магнитный момент может произходить как от магнитных свойств самого электрона, так и от того электрического тока, который электрон создает, двигаясь по замкнутой орбите. Если, например, электрон движется по окружности радиуса $r$ со скоростью $v$, то через поперечное сечение окружности электрон проходит $v/2\pi r$ раз в секунду, переноскаяждый раз свой заряд $e$. Таким образом, врашающся по окружности радиуса $r$ электрон представляет собой ток $i = ev/2\pi r$. Магнитный момент $\mu$ движущегося по круговой орбите электрона равен

$$\mu = \pi r^2 i = \frac{evr}{2}.$$

Механический момент количества движения такого врашающегося по орбите электрона — $L = mvr$.

Таким образом, для движения по круговой орбите электрона

$$\frac{\mu}{L} = \frac{e}{2m}.$$

В атомах водорода, лития и серебра механический врашательный момент электронов при движении по орбите равен нулю: $L = 0$. Поэтому и магнитный момент $\mu$ должен быть равным нулю.

Между тем для потока всех этих атомов получилось хорошо изменение при прохождения сквозь магнитное поле (рисунок 2). При этом весь поток разбивался на

$$\frac{\mu}{s} = \frac{e}{m}$$

— относение $\mu/s$ вдвое больше, чем относение $\mu/L$.

26

Ю. Михеев

Одной линейкой

На этом занятии математического кружка мы будем решать задачи на построение одной линейкой. Что можно построить таким образом из данных четырех точек? Мы даим некоторый ответ на этот вопрос. Попутно будет решена задача M625.

Дан конечный набор точек, линейка и карандаш. Какие новые точки можно тогда построить?

Уточним постановку задачи. Точка будем считать построенной, если она одна из данных или является пересечением двух построенных прямых; в свою очередь, прямую будем считать построенной, если она проходит через построенные (в частиности, данные) точки. Общая задача состоит в том, чтобы описать множество точек, которые можно построить исходя из данного конечного набора точек.

Ясно, что если данные, две или три точки, никаких новых точек построить нельзя (рис. 1); если данные четыре точки, какие-то три из которых (или все четыре) лежат на одной прямой, то же, очень удобно, никаких новых точек построить нельзя (рис. 2); если на одну четыре точке, какие-то три из которых (или все четыре) лежат на одной прямой, то же, очень удобно, никаких новых точек построить нельзя (рис. 3).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

27

Рис. 4.

Решение показано на рисунке 5; на нем черным изображена и уже построенная точка $F$ — середина $[PQ]$. Равенство $|P'Q'| = |Q'R'|$ следует из подобия треугольников $\Delta PMF \sim \Delta R'MQ', \Delta FMQ \sim \Delta Q'MP'$ и равенства $|PF| = |FQ|$.

Задача 3. Построить отрезок длины $n \cdot |P'Q'|$.

Для этого нужно просто $n - 1$ раз повторить процедуру, используемого в предыдущей задаче. На рисунке 6 построение показано для $n = 3$.

Разумеется, аналогично на примой $PQ$ можно построить отрезок длины $m \cdot |PQ|$.

Задача 4. Разделить отрезок $P'Q'$ на $m$ равных частей.

Решение. Сначала на примой $PQ$ строим $m - 1$ конгрузных отрезков $PQ_2, Q_2Q_3, \ldots, Q_{m-1}Q_m$. Затем строим $(PP')$ и $(Q_mQ')$ и соединяем их точку пересечения $A$ с точками $Q_2, Q_3, \ldots, Q_{m-1}$. Полученные $m - 1$ прямых делят $[P'Q']$ на $m$ равных частей. Для $m = 4$ конструция показана на рисунке 7.

(Заметим, что конструкция не проходит, если $(PP') \parallel (Q_mQ')$. Но эту трудность легко обойти: можно сна-

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Чала удвоить $[PQ]$, затем построить $m$ отрезков, конгрузных удвоенному отрезку, и далее повторить указанное в предыдущем абзаце построение.)

Для дальнейшего нам придется предположить, что данные точки $F, Q, P'Q'$ — рациональные, то есть имеют рациональные координаты относительно некоторых систем координат.

Задача 5. Построить произвольную рациональную точку $S$ на примой $PQ$.

Решение. Для рациональных точек $P, Q, S$ относение $|PS|$: $|PQ|$ рационально (доказте!), и значит $|PS| = \frac{m}{n}|PQ|$, где $m, n \in \mathbb{N}$. Поэтому достаточно разделить отрезок $PQ$ на $n$ равных частей и $m$ раз отложить от точки $P$ полученный отрезок.

Точно так же можно построить любую рациональную точку $T \in (P'Q')$.

Задача 6. Построить произвольную рациональную точку $T$ на плоскости.

28

Решение. Допустим, точка $T$ уже построена. Проведем прямые $TP'$ и $TQ'$; они пересекут*) ($PQ$) в точках $E$ и $F$. Так как прямые $TP'$, $TQ'$, $PQ$ разноналыны (то есть записьюются в виде линейных уравнений с разноналыми коэффициентами), координаты точки $E$ и $F$ получаются как решения систем линейных уравнений с разноналыми коэффициентами и поэтому тоже разноналыны. Умя строить $E$ и $F$, мы построим и точку $T$.

Итак, отправлясь от трапеции с разноналыми вершинами, можно построить вообще любую разнональную точку! Естественно спосить — а какие точки можно построить? Оказывается — никаких.

Задача 7. Доказать, что любая точка, построенная одной линейкой из набора разноналых точки, разноналана.

Действительно, прямая, проходящая через разноналыные точки, разноналана и точка пересечения разноналых прямых (как решение системы линейных уравнений с разноналыми коэффициентами) тоже разноналана.

Заметим попутно, что нами решена задача $M625a$).

Пусть теперь $A, B, C, D$ — четыре рациональные точки, разноналана и точка пересечения разноналых прямых (как решение системы линейных уравнений с разноналыми коэффициентами) тоже разноналана.

Заметим попутно, что нами решена задача $M625a$).

Пусть теперь $A, B, C, D$ — четыре рациональные точки, разноналана и точка пересечения разноналых прямых (как решение системы линейных уравнений с разноналыми коэффициентами) тоже разноналана.

Заметим попутно, что нами решена задача $M625a$).

*) В противном случае $T \in (P'Q')$, а этот случай уже разобран.

Раллельные прямые. Но это как раз самая трудная часть наших построений.

По условию точки $A, B, C, D$ либо образуют выпуклый четырехугольник, отличный от параллелограмма, либо одна из точек нахождения внутри треугольника, образованного остальных треугольниками. Проведяя в каждой из этих случавшие прямые, как на рисунках 8, а 6, получим одинаковые конфигурации. Поэтому ведем новые обозначения (см. рисунок 9, на котором данные и построенные точки не различаются).

Впрочем, из наших условий не следует, что прямые $EF$ и $MN$ пересекаются: они могут быть и параллельными. Когда же это произойдет?

Задача 8. Доказать, что если $|MK| = |KN|$, то $(MN) \parallel (EF)$.

Решение легко получить, если вспомнить решение задачи 2.

Задача 9. В случае, когда $|MK| = 2|KN|$, построить прямую, параллельную $(MN)$.

Решение. Сперва доказем, что в нашем случае $|MN| = |NL|$. Для этого нам придется применить теоремы Чевы и Менелая (их доказательства можно прочитать, например, в «Кванте», 1976, № 11, с. 22). Первая из этих теорем утверждает, что если вершины треугольника $EFK$ (рис. 9) лежат соответственно на прямых $MS, SN, NM$, то

$$\frac{|MK|}{|KN|} \cdot \frac{|NF|}{|FS|} \cdot \frac{|SE|}{|EM|} = 1.$$ (1)

Вторая утверждает, что если точки $E, F, L$ лежат соответственно на прямых $SM, SN, MN$ и расположены

29

ны на одной прямой, то

$$\frac{|ML|}{|LN|} \cdot \frac{|NF|}{|FS|} \cdot \frac{|SE|}{|EM|} = 1.$$ (2)

Сопоставляя эти равенства, получаем $|ML| = 2|NL|$, откуда $|MN| = |NL|$. А теперь построение параллельной прямой легко получается известным нам, в существии, способом (рис. 10).

Задача 10. В случае, когда $2|MK| = 3|KN|$, построите прямую, параллельную (MN).

Указание. Показите, что $|MN| = 2|NL|$, (рис. 11), и примените задачу 9.

Задача 11. Построите прямую, параллельную прямой MN, в общем случае.

Решение нам подсказывают предыдущие задачи. Пусть $|MK|$: $|KN| = p:q$, где $p > q$ (случай $p < q$ свидетельяк к этому переменному точек). Рассуждайте мы будем индукцией по $l$. Базис индукции, то есть случай $l = 1$, уже разобран (задача 8). Предположим, что при $p, q \leq l$ мы умеем по точкам M, K, L строить прямую, параллельную (MN). Пусть теперь $|MK|:|KN| = (l + 1):q$. Сопоставляя (1) и (2), получаем

$$\frac{|MN|}{|ML|} = \frac{l + 1 - q}{q}$$

и можно воспользоваться предположением индукции, согласно которой по точкам M, N, L можно построить прямую, параллельную прямой (MN).

Таким образом, мы доказали следующую теорему (и получно решили задачу M625):

Теорема. Множество точек, которые можно построить одной линейкой из четырех рациональных точек, находящихся в общем положении, состоит из всех рациональных точек плоскости.

Очевидно, увеличение числа исходных рациональных точек не меняет множества точек, которые можно построить.

Наверное, читатель хотелось бы узнать, какие точки можно построить исходя из четырех точек в общем положении, не все координаты которых рациональны. К сожалению, чтобы хорошего и точного сформулировать ответ, необходимо привлечь понятия из проективной геометрии. Однако интуитивно ясно, что в указанном случае получается множество точек, очень «похожее» на множество всех рациональных точек. Если говорить более точно, то данное множество «проективно-эквивалентно» множеству рациональных точек.

Упражнения

1. С помощью циркуля и линейки, исходя из четырех точек в общем положении, построите точку, которая нельзя построить одной линейкой (циркулем разрешается строить окружность $O(A, |AB|)$, где $A, B$ — построенные точки; точки пересечения построенной окружности с построенной прямой считаются построенными).

2. Данны три точки O, A, B и две параллельные прямые l, m, причем A, B ∈ l и O∉ l, O∉ m. Построить одной линейкой

a) прямую, проходящую через O параллельно l;

b) прямую, проходящую через A параллельно OB.

3*. Данны пять точек (0,0), (1,0), (1,1), (0,2), ($\sqrt{3}$, 0). Какие точки можно из них построить одной линейкой?

31

в) цельх чисел такая, что 0 не представляется в виде (), а любое целое число, отличное от 0, представляется в виде () единственным образом;
г) * целых чисел такая, что 0 и 1 не представляются в виде (), а любое целое число, отличное от 0 и 1, представляется в виде () единственным образом?

А. Разборов

Ф658. Из баллона, в котором находится сильно разреженные пары калия, через узкую горизонтальную трубку выходит пучок атомов. Определить температуру паров, если на горизонтальном пути длиной $l=50$ см среднее смесение атомов по вертикали составляет $h=3,2$ мкм.

Ф659. Небольшой станок массой $m=200$ кг выбрирует при работе из-за неоднородности тяжелого.maxовика, врашающегося с угловой скоростью 600 об/c. Чтобы сизить вибрации перекрытия в цехе, в котором установлен станок, под станину положили упругую прокладку толщиной $h=10$ см из материалов с моделем упругости $E=3,1 \cdot 10^8$ Н/м². Площадь основания станины $S=2$ м². Приведет ли установка прокладки к уменьшению вибраций перекрытия?

Р. Винокур

Ф660. Поплавок, изготовленный из однородного материала, имеет форму чечевцы — тела, ограниченного двумя сферическими поверхностями радиусов $R_1=R_2=R=3$ см. Максимальная толщина чечевцы $h=4$ см; масса чечевцы $m_1=5$ г. В поплавок на всю толщину вдоль оси симметрины воткнута спица длиной $l=10$ см и массой $m_2=3$ г. Устойчив ли положение поплавка, когда он плавает на поверхности воды спицей вверх? Считать, что в жидкость погружена меньше часть чечевцы.

Всероссийская олимпиада по физике

Ф661. На рисунке 1 приведены волтамперные характеристики двух нелинейных резисторов $R_1$ и $R_2$. Какими будут токи, induceчерез резисторы и источник с ЭДС $\delta=10$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом, если она резистора подключит к источнику, соединив их: а) последовательно? б) паралельно?

И. Слободецкий

Ф662. Для подзарядки аккумулятора с ЭДС $\delta=12$ В от мощного источника напряжения $U=5$ В собрана схема из катушки с индуктивностью $L=1$ Гн, диода Д и перевыателя K (рис. 2), который периодически замыкается и размыкается на одинаковые промежутки времени $\tau_1=\tau_2=0,01$ с. Определить средний ток заряда аккумулятора.

А. Зильберман

33

М601. Докажите, что в любом треугольнике ABC середина стороны BC лежит на отрезке, соединяющим точку пересечения высот треугольника ABC с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоложной вершине A, и делит этот отрезок пополам.

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, A’ — точка описанной окружности, диаметрально противоложная вершина A (рис. 1). Соединим точку A’ с вершинами B и C. Треугольники ABA’ и ACA’ — прямоугольные (углы при вершинах B и C опираются на диаметр), а потому [A’B] || [CH] и [A’C] || [BH]. Значит, четырехугольник BA’CH — параллелограмм. Его диагонали [BC] и [A’H] в точке пересечения делятся пополам, откуда и следует утверждение задачи.

Итак, мы доказали, что точка A’, симметричная точке H относительно середины стороны BC, лежит на описанной

Рис. 1.

Рис. 2.

окружности. Заметим, что точка A*, симметричная точке H относительно прямой BC, также лежит на описанной окружности — это проекция точки A’ на продолжение высоты AH (рис. 2). Аналогично можно построить точку B’ и B*, C’ и C*. Образ описанной окружника ABC окружности при горотетии с центром H и коэффициентом 1/2 — это значения «окружность Эйлера», или «окружность девяты точек» (имеются в виду образы точки A, B, C, A’, B’, C’, A*, B*, C*) треугольника ABC («Квант», 1979, № 8).

И. Клумова

34

М603. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} x + \frac{3x-y}{x^2+y^2} = 3, \\ y - \frac{x+3y}{x^2+y^2} = 0. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение системы на $y$, второе — на $x$ и сложим эти два уравнения. Получим
$$2xy + \frac{(3x-y)y-(x+3y)x}{x^2+y^2} = 3y$$
или
$$2xy - 1 = 3y.$$
Отсюда $y \neq 0$. Поэтому
$$x = \frac{3}{2} + \frac{1}{2y}.$$
Подставим полученное соответствие во второе уравнение исходной системы; Получим
$$y \left[ \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{2y} \right)^2 + y^2 \right] - \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{2y} \right) - 3y = 0$$
или
$$4y^4 - 3y^2 - 1 = 0,$$
откуда $y^2 = 1$, то есть $y_1 = 1, y_2 = -1, x_1 = 2, x_2 = 1.$

Л. Купцов

Ф604. В условиях неевесомости жидкости, помещенная в стеклянный цилиндрический сосуд с радиусом основания $R_1$, приняла форму, показанную на рисунке 1. Свободная поверхность жидкости имела форму сферы с радиусом $R_0$. Та же жидкость, помещенная в стеклянный сферический сосуд радиуса $R_2$, приняла форму, показанную на рисунке 2. Свободная поверхность жидкости был плоской. Определить высоту уровня жидкости в сферическом сосуде. Какую форму будет иметь жидкость в сферическом сосуде, если радиус сосуда больше $R_2$?

Рис. 1.
Рис. 2.

Краевой угол, который образуют в точке соприкосновения трех сред поверхности этих сред (касательные к этим поверхностям в данной точке), определяется слиями взаимодействиями между молекулами в этих средах и не зависит от силы тягежества. Поэтому краевой угол должен быть одним и тем же в неевесомости и на Земле и именно он определяет форму поверхности жидкости в sphericalном сосуде точек соприкосновения трех данных сред (в нашем случае — жидкости, твердого тела и газа).

Рис. 1.
Рис. 2.

Из рисунков 1 и 2 видно, что
$$\cos \alpha = \frac{R_1}{R_0} \text{ и } \cos \alpha = \frac{h}{R_2}.$$
Отсюда находим $h = R_1R_2/R_0$. Следовательно, высота уровня жидкости в sphericalном сосуде равна
$$H = h + R_2 = \frac{R_2}{R_0} (R_1 + R_0).$$
В сосудах с радиусами $R < R_2$ и $R > R_2$ уровни жидкости будут соответственно выше и ниже, чем в сосуде с радиусом $R_2$. В любом случае в точке соприкосновения трех сред краевой угол равен $\alpha$.

В. Скороваров

35

Ф605. Проволочный предохранитель перегорает, если направление на нем равно 10 В. При каком направлении будет перегорать предохранитель, если его длину l увеличить в n раз, а диаметр d — в k раз.

Если направление U на предохранитель (и ток, идущий по нему) таковы, что температура проводника равна T (например, температура плавления), в проводнике выделяется количество теплоты

$$Q_1 = \frac{U^2}{R} = \frac{U^2}{\rho \frac{l}{s}} = \frac{\pi U^2 d^2}{4 \rho l}$$

(R — сопротивление, q — удельное сопротивление проводника, s = πd²/4 — площадь поперечного секения). Окружающий среде отделяется количество теплоты

$$Q_2 = aS(T - T_{cp}) = a\pi dl(T - T_{cp})$$

(S = πdl — площадь поверхности проводника, T_{cp} — температура окружающей среды и α — коэффициент пропорциональноности). При тепловом равновесии Q₁ = Q₂, то есть

$$\frac{\pi U^2 d^2}{4 \rho l} = a\pi dl(T - T_{cp})$$

Отсюда найдем направление U на проводнике, при котором он нагревается до температуры T:

$$U = 2l \sqrt{\frac{\alpha Q(T - T_{cp})}{d}}$$

При длине проводника l₁ = nl и диаметре проводника d₁ = kd температура проводника равна T при направлении

$$U_1 = 2ln \sqrt{\frac{\alpha Q(T - T_{cp})}{kd}}$$

Таким образом,

$$U_1 = U \frac{n}{\sqrt{k}}.$$

И. Слободецкий

Ф606. Шайба сокальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости с углом α. Коэффициент треня между шайбой и поверхностью наклонной плоскости изменяется с расстоянием l от вершины по закону μ = kl (k = const). На каком расстоянии от вершины надо поставить упор, чтобы после однозоно упруgeo соударения с упором шайба остановилась как можно выше?

Пусть в точке A, находящейся на расстоянии l₀ от вершины наклонной плоскости, сила треня, действующая на шайбу, равна (см. рис.) |F̅τ| = m |g| sin α, где m — масса шайбы. Поскольку в точке A коэффициент треня μₐ = kl₀, в этой точке |F̅τ| = μₐ |N| = kl₀ m |g| cos α, то есть

$$m |g| sin α = kl₀ m |g| cos α,$$

откуда

$$l_0 = tg \alpha/k.$$

Нетрудно показать, что максимальное возможная высота подьема шайбы после одного удара об упор — это высота h₀, соответствующая точке A. Чтобы после удара шайба остановилась в точке A, надо, чтобы при подьеме после удара шайба имела в точке A скорость, равную нулю.

Найдем, на каком расстоянии l от вершины наклонной плоскости надо установить упор, чтобы шайба после удара остановилась в точке A. Запишем закон соравнения энергии (см. рис.):

$$mgH = mgh_0 + F_{cp.1}l + F_{cp.2}(l - l_0).$$

Здеся F_{cp.1}l — энергия, «потерянная» на предоление треня на пути от вершины наклонной плоскости до упора; на этом участке среднее значение силы треня F_{cp.1} = klmg(\cos α)/2. F_{cp.2}(l - l_0) — энергия, затраченая на предоление треня на пути от упора до точки A; на этом участке

36

$$F_{\text{cp. 2}} = k(l + l_0)mg(\cos \alpha)/2.$$
С учетом этого из (*) получаем
$$\left(H - h_0\right) = \frac{k}{2}l^2 \cos \alpha + \frac{k}{2}\left(l^2 - l_0^2\right) \cos \alpha.$$
Отсюда, учитывая, что $H - h_0 = l_0 \sin \alpha$, находим
$$l = \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{tg \alpha}{k}$$

В. Белонучкин

Ф607. Самолет летит по замкнутому маршруту ABC. Пункты A, B и C лежат в вершинах правильно треугольника. В каком случае время, затраченное на перелет, будет меньше: если ветер дует в направлении вектора AB или если ветер дует в направлении вектора BA?

Рис. 1.

Рис. 2.

Обозначим $l$ длину стороны треугольника ABC. Если скорость вектора равна $u$ и он дует в направлении $\overrightarrow{AB}$, то вдоль вектора $\overrightarrow{AB}$ самолет летит со скоростью $u + v$ (где $v$ — модуль скорости самолета) и затрачит на перелет $A \rightarrow B$ время
$$t_1 = \frac{l}{u + v} = \frac{l}{v(1 + d)},$$ где $d = \frac{u}{v}$.

Вдоль вектора $\overrightarrow{BC}$ самолет летит со скоростью $\overrightarrow{v}_1 = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$ (рис. 1). Так как вектор $\overrightarrow{v}_1$ направлен вдоль вектора $\overrightarrow{BC}$, модуль вектора $\overrightarrow{v}_1$ равен сумме проекций векторов $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{u}$ на $\overrightarrow{BC}$, а сумма проекций этих векторов на ось, перпендикулярную $\overrightarrow{BC}$, равна нулю:
$$v_1 = v \cos \beta - u \sin \alpha,$$
$$v \sin \beta - u \cos \alpha = 0.$$
Отсюда, учитывая, что $\alpha = 30^\circ$, получим
$$v_1 = v \sqrt{1 - \frac{u^2}{v^2} \cos^2 \alpha} - u \sin \alpha = \frac{1}{2}v \sqrt{4 - 3d^2} - \frac{1}{2}d.$$
Такой же п. модуль будет скорость на участке CA. Поэтому на перелет $B \rightarrow C \rightarrow A$ самолет затрачит время
$$t_2 = \frac{2l}{v_1} = \frac{4l}{v \sqrt{4 - 3d^2} - dv}.$$
Полное время $t$ перелета $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ равно $t_1 + t_2$.
Если ветер дует вдоль вектора $\overrightarrow{BA}$, то перелет $A \rightarrow B$ совершается за время
$$t'_1 = \frac{l}{v - u} = \frac{l}{v(1 - d)}.$$
Скорость на участках BC и CA в этом случае (рис. 2) будет равна по модулю
$$v'_1 = \sqrt{v^2 - \frac{3}{4}u^2} + \frac{1}{2}u = v \sqrt{1 - \frac{3}{4}d^2} + \frac{1}{2}dv,$$
и на перелет $B \rightarrow C \rightarrow A$ потребуется время
$$t'_2 = \frac{2l}{v'_1} = \frac{4l}{v \sqrt{4 - 3d^2} + dv}.$$
Полное время $t'$ перелета $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ равно в этом случае $t'_1 + t'_2$. Отношение времени $t'$ и $t$ равно
$$\frac{t'}{t} = \frac{1}{1 + d} + \frac{4}{\sqrt{4 - 3d^2} + d}.$$
Проведя алгебраические преобразования, получим
$$\frac{t'}{t} = 1.$$
H. Кушинр

37

Задания

1. В данном примере на умножение (см. рисунок) одна из цифр заменена звездочкой, а остальные — точками. Известно, что сумма цифр четырехначного сомножителя равна 19. Восстановите пример.

2. В прямогольном треугольнике на гипотенузе $AB$ от вершины $A$ отложим отрезок $AD$, конгруэнтный катету $AC$, а от вершины $B$ — отрезок $BE$, конгруэнтный катету $BC$. Докажите, что длина отрезка $DE$ равна диаметру окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

3. Выпишем несколько первых степеней тройки: $3^1$, $3^2$, $3^3$, …, $3^8$ (см. рисунок). Получаются числа, у которых в разряде десятков стоит четная цифра. Верно ли, что так будет всегда?

4. Доля бондинов среди головоглазы большие, чем их доля среди всего населения. Верно ли, что доля головоглазы среди бондинов большие, чем их доля среди всего населения?

5. Обозначим через $\overline{a \dots bcd}$, $n$
   $n$-значное число, у которого $d$ единиц, $c$ десятов, $b$ сотен, а в старшем разряде стоит цифра $a$. Найдите трехзначное число $\overline{abc}$, для которого $(\overline{abc})^a = bc(a-1)bc$

(у пятизначного числа в правой части в разряде сотен стоит цифра $a-1$).

Эти задания нам предложили
Ф. Бартенев, А. Майоров,
И. Михалкович, А. Савин,
А. Толпыго

38

И. Юфанова

Волшебная сказка с физическими вопросами

Жил старик с tremя сыновьями. На краю света жил. Кругом тишь, места непроходимые.

Выросли сыновья и просят отца отпустить их из родного дома. Хочеется им по белу свету побродить, на людей посмотреть, уму-разуму поччится.

Договорились браться путешествовать вместе: идти туда, куда каждый по очереди вести будет. Сначала старший вел всех на юг. Прошли браться 10 верст. Затем вперед пошел средний. Еще 10 верст прошли браться, но теперь уже на запад. Настала очередь младшему. Он прошел со своим братьсями 10 верст на север. И оказались браться, к своевому удивлению, … в родном доме, откуда совсем недавно в путь отправились.

Где жил старик со своим сыновьями?

Вновь собрались браться в дорогу. Подошли к развилке трех дорог и пошли каждый свой дорогой. Условились через три года встретился на том же месте.

Долго брадили браться по белу свету, разным ремеслам обучались да на дивности любовались. Вернулись в назначенный день домой и поведали о своих приключениях.

Первым решил старший брат:

«Еду я однажды по дороге и ввижу поляну. Посредни огромная ель растет, а около нее белка резвится.

Волшебная, наверное. Поймать бы, думаю. Будет она песни петь да орешки с золотыми скорлупками гризы. А в этих орешках ядра — из чистого изумруда.

Сделал я шаг к дереву, а белка скок за ствол. Спряталась. Только мордочку с любопытными глазками показывает.

39

Обойду-ка, думаю, дерево, зайду к белке сзади да и поймало ее.

Пошел я по круглой поляне, не приближаясь к ели. А белка, хитрюша, в противоположную сторону от меня движется. Да так в аккурат, что только глазки из-за ствола и видно.

Четыре раза я поляну обошел, а белку так и не поймал.»
Обошел ли старший брат белку хоть раз? Кто из них быстрее движется? Что видела белка: стоял старший брат или движался?

Продолжил рассказ средний брат:

«Однажды я весь день был в пути, а к вечеру, когда для человека, для зверя, для птицы настает время сна, прилет и быстро заслуну.

Много ли, мало ли я спал, только разбудили меня шум и свист. Чувствую, братыцы, по воздуху плыву. Понял я, что заслуну наковресамолете и теперь лечу на нем. Обрадовался такому приключению. Да, видно, рановаато.

Сначала никак не мог усеться. Свесил ноги вниз — сидеть удобно, привченно, но очень в ноги дует. Так в сторону относит, что они под острым углом к туловщицу располагаются. Да и холодно очень.

Кое-как устроился, вытянув ноги вдоль ковра. А тут солнышко зашло. Еще больше похожало, зуб на зуб не попадает.»
С чем можно сравнить полет среднего брата — с полетом азростата или самолета? Как можно вновь увидеть закатившееся за горизонт Colнце? С какой скоростью должны лететь закатный коверсамолет, чтобы Colнце всегда обогревал его пассажиров?

Посленим поведал свой рассказ младший брат:

«Довелось мне, братыцы, побывать в саду сказочной красоты. Цветов там видимо-невидимо. Гранатовые деревья точно красной красной выкрашены, столко на них плодов. Был там и яблони с золотыми плодами. Воздух кругом садки, душистый. Куда ни глянь, сидит соловой да песни распевает.

Но самой прекрасной была в том саду прицесса, doch владелца сада. Да околдовал ее злой волшебник, превращил в уточку. Девицей-красавицей разрешил только на качелях качаться. Любила она это развлечение. Если качели движутся, на них она — девица. Как только останавливаются, в тот же миг оборачивается девица уточкой и улегает так быстро, что ее только и видели.

Просыщал я, что если долго смотреть на неподвижную прицессу, колдовство пропадет. Так я и сделал. Освободил от чар злого волшебника прекрасную прицессу, за что и получил вознаграждение.»
Как это удалось сделать младшему брату?

40

И. Габович

Предел функции

Понятие «предел функции» является одним из важнейших в школьном курсе математики. Через него определяются «непрерывность» и «производная».

Основное определение (§ 38 пособия «Алгебра и начала анализа 9») формулируем двумя способами.

Сначала на «арифметическом» языке: число $b$ называется пределом функции $f$ при $x$, стремящемся к $a$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что при всех $x$, удовлетворяющих двойному неравенству*)

$$0 < |x - a| < \delta,$$

выполняется неравенство

$$|f(x) - b| < \varepsilon.$$

Чтобы сформировать определение предела функции на «геометрическом» языке, введем термин, который нет в школьном пособии. Как известно, окрестность точки $a \in R$ называется интервал вида $]a - \delta; a + \delta[$, где $\delta$ — произвольное положительное число. Наозем проколотой окрестностью точки $a \in R$ ее окрестность, из которого выкинута («выколота») сама точка $a$, то есть «разорванное» множество вида $]a - \delta; a[U]a; a + \delta[$. Теперь определение предела функции может быть сформированно так: число $b$ называется пределом функции $f$ при $x$, стремящемся к $a$, если для любой

$$*) |x - a| > 0 \iff x \neq a.$$

окрестности $B$ точки $b$ найдется такая проколотая окрестность $A$ точки $a$, что $f(A) \subset B$ (рис. 1).

Таким образом, не требуется, чтобы неравенство (2) выполнялось и при $x = a$. Функция $f$ в точке $a$ может быть даже не определена — этоничут не влияет на ее предел при $x$, стремящемся к $a$. Например, функция $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ не определена при $x = +3$, но ее предел при $x \rightarrow +3$ существует.

Более общий пример: функция $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$ всегда не определена при $\Delta x = 0$, но ее предел при $\Delta x \rightarrow 0$ «часто» существует (он называется произвольной функцией $f$ в точке $x_0$).

Впрочем, «очень часто» неравенство (2) выполняется и при $x = a$; если при этом $b = f(a)$, функция $f$ называется непрерывной в точке $a$.

Если утверждение вида

$$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = b$$

доказывает исход неопределенно из определения, надо для любого $\varepsilon > 0$ найти соответствующее $\delta > 0$ или, по крайней мере, доказать, что такое $\delta > 0$ существует.

Пример 1. Докажем, что

$$\lim_{x \rightarrow \frac{1}{7}} (3 - 2x) = \frac{19}{7}.$$

Для этих «действующих лиц» $(f(x) = 3 - 2x, a = \frac{1}{7}, b = \frac{19}{7})$ неравенство (2) принимает вид

$$|3 - 2x - \frac{19}{7}| < \varepsilon.$$

Чтобы найти нужное $\delta$, «раскроем» неравенство (4) и построаем

41

ся «обнажить» $x$. Неравенство (4) равносильно неравенству

$$\left| -2x + \frac{2}{7} \right| < \varepsilon,$$
$$-\varepsilon < -2x + \frac{2}{7} < \varepsilon,$$
$$-\frac{2}{7} - \varepsilon < -2x < -\frac{2}{7} + \varepsilon,$$
$$\frac{1}{7} + \frac{\varepsilon}{2} > x > \frac{1}{7} - \frac{\varepsilon}{2},$$
$$\frac{1}{7} - \frac{\varepsilon}{2} < x < \frac{1}{7} + \frac{\varepsilon}{2}.$$

Теперь «свернем» неравенство (5) и поставляется получить неравенство вида (1):

$$-\frac{\varepsilon}{2} < x - \frac{1}{7} < \frac{\varepsilon}{2},$$
$$|x - \frac{1}{7}| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Мы достаточно целли. Таким образом, при $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$ из $0 < |x - \frac{1}{7}| < \delta$ вытекает (4). В данном примере неравенство (2) = (4) верно и при $x = a$; в качестве $\delta$ можно, очевидно, взять любое число из $] 0; \frac{\varepsilon}{2}]$.

Впрочем, второе замечание привильно и носит общий характер: если для неокоторого $\varepsilon_0 > 0$ годится неокоторое $\delta_0 > 0$, то есть из $0 < |x - a| < \delta_0$ (6)

вытекает

$$|f(x) - b| < \varepsilon_0,$$

то для этого $\varepsilon_0 > 0$ годится, разумеется, и любое $\delta \in ]0; \delta_0[$: если $0 < |x - a| < \delta$, то из $\delta < \delta_0$ следует (6), а значит, и (7).

Пример 2. Докажем, что $\lim_{x \to -2} \frac{5}{x} = -\frac{5}{2}$.

Неравенство (2) в данном случае имеет вид

$$\left| \frac{5}{x} - \left( -\frac{5}{2} \right) \right| < \varepsilon.$$

Пойдем опять по тому же пути. Неравенство (8) равносильно неравенству

$$\left| \frac{5}{x} + \frac{5}{2} \right| < \varepsilon,$$
$$-\varepsilon < \frac{5}{x} + \frac{5}{2} < \varepsilon,$$
$$-\frac{5}{2} - \varepsilon < \frac{5}{x} < -\frac{5}{2} + \varepsilon.$$

Чтобы достичь целли — «обнажить» $x$, нам надо почленно разделить 1 на каждую часть двойного неравенства (9); но делать это можно только в том случае, если все части неравенства имеют одинаковый знак, поскольку соответствующее свойство и словых неравенств гласит: если $a < b$ и числа $a, b$ имеют одинаковый знак (короче: $ab > 0$), то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ (доказите это утверждение!). $-\frac{5}{2} - \varepsilon < 0$. Поэтому нам надо, чтобы остальные две части неравенства (9) были отрицательными. Достаточно потребовать $-\frac{5}{2} + \varepsilon < 0$ или $\varepsilon < \frac{5}{2}$.

Итак, пусть сначала $\varepsilon < \frac{5}{2}$ (заметьте это место — мы к немного еще вернемся). Тогда все части неравенства (9) отрицательны. Поэтому

$$\frac{1}{-\frac{5}{2} - \varepsilon} > \frac{x}{5} > \frac{1}{-\frac{5}{2} + \varepsilon},$$
$$\frac{5}{-\frac{5}{2} - \varepsilon} > x > \frac{5}{-\frac{5}{2} + \varepsilon},$$
$$\frac{5}{-\frac{5}{2} + \varepsilon} < x < \frac{5}{-\frac{5}{2} - \varepsilon},$$
$$\frac{10}{-5 + 2\varepsilon} < x < \frac{10}{-5 - 2\varepsilon}.$$

$x$ «обнажили». Теперь нам надо получить из (10) неравенство вида (1):

$$|x - (-2)| < \delta,$$
$$-\delta < x - (-2) < \delta,$$
$$-2 - \delta < x < -2 + \delta.$$

Из (10):

$$-2 + \frac{10}{-5 + 2\varepsilon} + 2 < x < -2 +$$
$$+ \frac{10}{-5 - 2\varepsilon} + 2,$$
$$-2 - \frac{4\varepsilon}{5 - 2\varepsilon} < x < -2 + \frac{4\varepsilon}{5 + 2\varepsilon}.$$

Пока еще неравенство (12) не вплоне имеет вид (11). При $\varepsilon < \frac{5}{2}$

$$\frac{4\varepsilon}{5 - 2\varepsilon} > \frac{4\varepsilon}{5 + 2\varepsilon}.$$

42

Значит,

$$-2 - \frac{4\varepsilon}{5-2\varepsilon} < -2 - \frac{4\varepsilon}{5+2\varepsilon}. \tag{13}$$

«Огрубим» неравенство (12):

$$-2 - \frac{4\varepsilon}{5+2\varepsilon} < x < -2 + \frac{4\varepsilon}{5+2\varepsilon}. \tag{14}$$

ИЗ (13) вытекает, что если $x$ удовлетворяет неравенству (14), то он удовлетворяет и неравенству (12) (см. рис. 2). Но (14) имеет уже вид (11). ИЗ (14)

$$|x - (-2)| < \frac{4\varepsilon}{5+2\varepsilon}.$$

Таким образом, если $\varepsilon < \frac{5}{2}$, то при $\delta = \frac{4\varepsilon}{5+2\varepsilon}$ из $0 < |x - (-2)| < \delta$ вытекает (8).

Но нам ведь надо доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, а мы показали это доказали только для $\varepsilon < \frac{5}{2}$. Однако, по существу, этого достаточно, потому что для $\varepsilon \geq \frac{5}{2}$ годится то же $\delta$!

В самом деле, пусть $\varepsilon_1 \geq \frac{5}{2}$; возможно произвольное $\varepsilon_2 < \frac{5}{2}$ и $\delta_2 = \frac{4\varepsilon_2}{5+2\varepsilon_2}$; по доказанному из

$$0 < |x - (-2)| < \delta_2$$

вытекает $$\left| \frac{5}{x} - \left( -\frac{5}{2} \right) \right| < \varepsilon_2;$$

но $\varepsilon_2 < \frac{5}{2} \leq \varepsilon_1$; значит,

$$\left| \frac{5}{x} - \left( -\frac{5}{2} \right) \right| < \varepsilon_1.$$

Это замечание носит общий характер: оказывается, всегда можно искать $\delta$ не для всех $\varepsilon > 0$, а для всех положительных $\varepsilon$, меньших любого выбранного нами положительного числа.

Разумеется, и в данном примере неравенство (2) = (8) верно при $x = a$.

Пример 3. Доказем, что

$$\lim_{x \to 0} \left( x \cdot \sin \frac{1}{x} \right) = 0.$$

Рис. 2.

Неравенство (2) в данном случае имеет вид

$$|x \cdot \sin \frac{1}{x} - 0| < \varepsilon,$$

$$|x \cdot \sin \frac{1}{x}| < \varepsilon. \tag{15}$$

Если мы в этом примере сразу же пошли тем же путем, что и в предыдущих, мы бы не достигли целлю: $x$ нам бы «обнажить» не удалось. Поэтому начнем с того, что «огрубим» неравенство (15): по скольку $$\left| \sin \frac{1}{x} \right| \leq 1,$$

$$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|. \tag{16}$$

ИЗ (16) вытекает, что вместе (15) достаточно искать $\delta$ для неравенства $$|x| < \varepsilon.$$ Поскольку в нашем случае неравенство (1) имеет вид $0 < |x| < \delta$, ясно, что в качестве искомого $\delta$ можно взять $\varepsilon$.

В данном примере неравенство (2) = (15) при $x = a = 0$, конечно, не верно: функция $x \sin \frac{1}{x}$ при $x = 0$ не определяна.

Запомните дважды примененный нами пример «огрубения» — он часто бывают полезным.

В рассмотренных нами примерах отыскание $\delta$ не вызывало больших функций доказательство утверждения (3) в «лоб», прямым отысканием $\delta$, обусловно не удается. В таких случаях может помочь теория.

Приведем пример из «нешкольной» теории. Справедлива также теорема: если $$\lim_{x \to a} f(x) = 0, \lim_{x \to a} g(x) = 0$$ и существует $$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},$$ то существует $u$ $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} u$$

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

Эта теорема называется правилом Лопитания. По этому правилу:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\ln(e - x) + x - 1} =$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{-1 - \frac{1}{e} + 1} = \frac{2}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{2e}{e - 1}.$$

43

В. Матизен

Найдем ошибку

Решая задачи, абитуриенты и школьники часто получают ответы, ошибочноность которых ясна опитному человеку с первого взгляда. Дело в том, что неправильность результата зачастую можно установить весма простыми средствами, не решая задачу заново.

В этой заметке показаны простейшие способы быстро проверки. Сразу оговоримся: ни один из них не дает стоппюентной гарантии. Но если в ответе содержится грубая ошибка, она будет выявлена с большой вероятностью. Кроме того, проверка гораздо полезнее того способа самоконтроля, который, увы, единственно владает большинство учашихся,— сверки с соседом. Итак, учитель проверять себя сами!

1. Тождества и точдественные преобразования

Пусть требуется упростить выражение

$$f(x,y) = \sin^2 \frac{x-y}{2} + \sin^2 \frac{x+y}{2} - 2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \cos y.$$

Проведяя выкладки

$$f(x,y) = \frac{1-\cos(x-y)}{2} + \frac{1-\cos(x+y)}{2} - (\cos x+\cos y) \cos y = f_1(x,y) = 1 - \frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2} - \cos x \cdot \cos y - \cos^2 y = f_2(x,y)$$

вы получили несколько выделить истинную. Все эти формулы обращаются в верные равенства при подстановке точки (0;0), но уже точку $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right)$ «выдерживает» только последняя. Она и будет верной.

Конечно, хорошо подготовленный школьник обязан знать стандартные формулы и безошибочно пользоваться имми. К сожалению, практика экзаменов показывает— ошибки «наровном месте» происходит самоконтроля, хотя и не являются абсolutными, очень полезны в подобных задачах.

44

Иногда сомнение в правдополобности tejдества возникает по сообразянием симметрии. Допустим, что при разложении на множители многочлена

$$P(x, y, z) = (x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$$

вы получили

$$3(x + y)(x + z)(y - z); \quad P_1(x, y, z)$$

вы тогда должны сразу сообщить, что ошибись: в многочлене $P(x, y, z)$ переменные $x, y, z$ равноправны (то есть он не меняется при любых перестановках переменных*):

$$P(x, y, z) = P(x, z, y) = P(z, x, y) = \dots),$$

а в многочлене $P_1(x, y, z)$ — нет: $(P_1(x, y, z) = -P_1(x, z, y))$.

2. Уравнения, системы уравнения

Решив уравнение, попробуйте подставить в него полученные ответы и, если вычислить затруднительно, хотя бы прикинить, равны ли обе его части. Это часто полезно независимо от того, требуется ли формуланая проверка для отсеивания лишних корней. Скажем, если при решении уравнения

$$\sqrt{2x - 6} + \sqrt{x + 4} = 5$$

вы получили корни 5 и 170, прикидка сразу же показет, что при $x = 170$ левая часть явно больше правой и найdenное значение корня $x = 170$ ошибочно. Можно и из общих сообразяний установить, что данное уравнение может иметь не более одного корня. В самом деле, функция $f(x) = \sqrt{2x - 6} + \sqrt{x + 4}$ возвращает на все области определения, то есть при $x \ge 3$ (объясните, почему, не вычисляя произвольную), и в силу этого может принять значение 5 не более одного раза. Если же немного знать свойства непрерывных монотонных функций («Алгебра и начала анализа 10», п. 84), то из того, что $f(3) = \sqrt{7} < 5$, а $f(10) = 2\sqrt{14} > 5$, можно заключить, что между 3 и 10 обязательно найти также $x_0$, что $f(x_0) = 5$.

*) Математики называют многочлены (и даже функции), обладающие этим свойствами, симметрическими.

Заметить ошибку в решении системы уравнения часто позволяет наблюдения за симметрией. Например, система

$$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7, \\ x^4 + x^2y^2 + y^4 = 21 \end{cases}$$

не меняется при перестановке неизвестных и при одновременной замене $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$ (проверьте!). Поэтому, если в найденное вам решение войдет пара (2; 1) и не войдет хотя бы одна из пар (1; 2), (-2; -1), (-1; -2), то вы где-то потеряли решение.

Аналогичным образом можно заметить, что вместе с решением $(x_0; y_0)$ системы

$$\begin{cases} x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = a, \\ x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = b \end{cases}$$

ей будет удовлетворять также пары $(x_0; \frac{1}{y_0}), (\frac{1}{x_0}; y_0), (\frac{1}{x_0}; y_0), (\frac{1}{x_0}; \frac{1}{y_0})$ и $(\frac{1}{y_0}; \frac{1}{x_0})$.

3. Неравенства

Пусть требуется решение $\sqrt{7 + x} \ge 5 - x$.

«Ответ»: [2; 9].

Для проверки начнем просматривать действительную ось, дивяясь из «минус бесконечности» в «плюс бесконечность». Прежде всего заметим, что «большие» отрицательные числа не входят в множество решения: для них подкоренное выражение в левой части нашего неравенства отрицательно и неравенство не определен (проверьте, подставив $x = -10^2; -10$). При увеличении $x$ функция $7 + x$ возвращает, а функция $5 - x$ убивает. Начиная с $x = -7$, мы входим в область определения неравенства. Подставим несколько для расчета обихих частей значений, например $x = -6; -3; 0$. Видим, что при этих значениях левая часть все еще меньше правой. Подставим нижнюю границу нашего ответа, то есть $x = 2$. Равенство! При дальнейшем увеличении $x$ правая часть убивает, левая возвращает —

45

следовательно, дальнейшие значения $x$ входят в множество решений. Подставим в неравенство правую границу $x=9$. Получаем $4>-4$. Неравенство верное, но одадчивающее. Почему при такой разнице между частями неравенства ответ показывает, что дальнейшее решение нет? Подставим «большие» положительное число, например $x=10^3$. Неравенство явно справедливо! Легко заключить, что потеря вес промежуток $]9; +\infty$ [: ведь при любом $x>9$ права часть отрицательна, а левая положительная, и при $x>9$ неравенство верно. Наша проверка не только обнаружила неравенство ответа, но и позволила указать верный ответ.

(Получить [2; 9] в качестве множества решений можно, например, так:

$$\sqrt{7+x} \geq 5-x; 7+x \geq (5-x)^2;$$
$$x^2-11x+18 \leq 0; 2 \leq x \leq 9.$$

Чтобы уловить ошибку, воспользовемся меченой точкой, не входящей в ответ и удовлетворяющей исходному неравенству, например $x=18$. Уже подстановка во второе неравенство показывает, что на первом же шаге, при возведении в квадрат, мы потеряли корни.)

Итак, получив ответ, часто бывают целесообразно «пройти» по всей числовой оси: может быть, упущен целый промежуток; может быть, в ответ включая явно не удовлетворяющие числа. Обязательно подставьте «большие» и «малые» значения: это и просто, и полезно. Особое внимание обращите на границы полученных в ответе промежутков: это, как правило, или границы области определения неравенства или значения, при которых достигается равенство.

Эффективным и наглядным способом контроля нередко является графический. Если график обеих частей неравенства построить несложно — сделайте это!

4. Геометрические задачи

Простейшая проверка геометрической формулы основана на том, что обе части должны иметь одинаковую размерность. Складывать можно лишь величины одной размерности; при этом сумма имеет ту же размерность, что и слагаемые. Размерность произведение равна сумме размерностей сомножителей, размерность частного — разности размерностей делимого и делителя. Константа приписана нулевая размерность, длине — размерность 1. Площадь и объем имеют размерность 2 и 3 соответствующего, трионометрическое функция — нульевую. В силу перечисленных свойства размерности невозможны, скажем, такие «формулы»:

$$l = \frac{a+b}{a-b}, \quad V = a^2 \cdot \frac{b}{a+c},$$
$$\sin \varphi = \frac{a^2+b^2}{S^2}, \quad S = a^2 + \frac{b}{c},$$

где $l, S, V$ — длина, площадь и объем, $a, b, c$ — длины. В первых трех формулах не совпадает размерности левой и правой части (один и ноль, три и два, ноль и минус два); в правой части четвертой формулы складываются величины размерностей 2 и 0.

Столь же просто использовать для контроля симметрию. Дело в том, что симметрия в условиях задачи должна выполняться за собой симметрию ответа. Например, если в задаче требуется найти расстояние от точки внешнего касания двух окружностей с радиусами $a$ и $b$ до их общей касательной, то в формуле для исключого расстояния $a$ и $b$ должны быть равноправны, то есть формула не должна менять от их перестановки. Поэтому из трех ответов:

$$x = \sqrt{a^2+2b^2}, \quad x = b \left( 1 + \frac{a-b}{a+b} \right),$$
$$x = \frac{2ab}{a+b}$$

первый явно не годится; про второй сразу ничего не скажешь — его следует преобразовать к симметриному виду, который и dan в третьей формуле.

Чтобы же еще до решения задачи следует заметить, что объем терраэдра с равносторонним основанием и двумгранными углами при основании $\alpha, \beta, \gamma$ представляют собой симметрическую функцию от $\alpha, \beta, \gamma$

46

(определенное данно в сноске на с. 44) и что в формулу для медианы $m_c$ треугольника со сторонами $a, b, c$ лишь $a$ и $b$ должны входить одинаковым образом (объясните, почему!).

Можно проверять ответ и подтвердить и подтвердить например, в приведенной задаче о расстоянии до касательной результат геометрической оценки: искомое расстояние равно радиусу. Это же дает и формула. Почти не требует расчетов проверка в предельных случаях, когда одна из переменных стремиется к границе области определения. В рассматриваемой задаче при $a \rightarrow 0$ искомое расстояние также должно стремиться к 0; то же показывает и формула $x = ab/(a+b)$.

Чтобы проверить задачу с численными данными, нужно представлять себе примерную величины ответа. Скажем, если требуется найти длину биссектрисы $l_a$ треугольника со сторонами $a=7, b=6, c=5$, то ответы $\sqrt{50}$ и $3/\sqrt{7}$ являются первый слишком велики, а второй слишком мал.

В заключение формулируем основные приемы оперативной проверки, которые мы пользовались:

1. Подстановка частных значений.

2. Исследование влизации границ.

3. Наблюдения за симметрией.
   Постарейтесь их освоить. Для этого вам предлагается ряд задач. К каждой приведено несколько ответов, из которых правлен только один. Найди его.

4. Упростить выражение $3+4\cos 2a + \cos 4a$;
   a. $4\cos^4 a$. 6. $8\cos^3 a$. 8. $8\cos^4 a$. 8. $-6\cos^4 a$.

5. Решить уравнение $\sqrt{1+\log_2 x} + \sqrt{4\log_4 x-2} = 4$;

Поправка

В статье «Перемещения пространства» («Квант», 1980, № 8) на с. 7 — в формулировке теоремы 2 и в последнем абзаце — по вине автора пропущен один перемещений: композиция поворота вокруг прямой и симметрию относительно плоскости, перpendикулярной этой прямой.