Квант 1981, №1 · Страницы

КЕАНТ
1
1981

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На этом рисунке показано принципальное устройство рельефного потолка, встречающийся в некоторых современных зданиях. В левом верхнем углу приоткрыт стержневой каркас, на котором montриуется покрывающая потолок плечка.

Конструкция основана на удивительном соответствии между разбиениями плоскости на квадраты и на правильные треугольники. Разбиение на квадраты (с черными сторонами) вы видите в левом верхнем углу; к вершинам квадратов (сине точки) приделены по четыре стержня; они скреплены (в красных точках) так, что под каждой квадратом образуется полуктаздр. Закрывающийся стержневую систему пленка геометрической образована следующим образом: сначала плоский лист пленки разбиается на равносторонние треугольники, они объединяются парами в параллелограммы (эти параллелограммы и образуют видимые на рисунке грани потолка) и затем лист складывается «двойной гармоской».

Удивительно здесь вот что: оказывается, если взять сторону треугольника равной стороне квадрата, сложенная пленка как раз примет без зазоров к стержневой системе — все стороны параллелограммов прижутся к ребрам полуктаздров.

Подобную двойную гармоску нетрудно изготовить из плотного листа бумаги. Подробнее о таких потолках можно прочитать на cl8.

1

1981

Основан в 1970 году

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО·НАУКА·
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:

Главный редактор
академик И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. В. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Н. А. Патрикева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

2 К нашим читателем

Учены образуются к молодежи

3 А. П. Алексаидров. Речь на XVIII съезде Всесоюзного Ленинского Коммунистического Союза Молодежи

6 Л. Ашкинази. Как получают сильные постоянные магнитные поля

11 А. Битман, Е. Гик. ЭВМ за шахматной доской

Лаборатория «Кванта»

19 А. Колмаков, Р. Смирнов. Необучные свойства общной структу

Математический кругжок

21 Л. Курляндчик. Приближение к экстремому

Задачник «Кванта»

26 Задачи М661—М665; Ф673—Ф677

28 Решения задач М611—М615; Ф618—Ф622

«Квант» для младших школьников

33 Задачи

34 С. Дворянинов. Узоры и… арифметика

По страницам школьных учебников

37 М. Гельфанд, В. Берман. Десять задач на применение произвольной

Практикум абитуриента

40 А. Едоров. Показательные уравнения

43 Л. Баканина. Задачи о спутниках

Варианты вступительных экзаменов вузы в 1980 году

46 Московский инженерно-физический институт

Искусство программирования

49 Ю. Первин. Зачем и как детей учат программирование?

53 Заочная школа программирования. Урок12.

Информация

56 Новый прием во Всесоюзную заочную математическую школа

57 Заочная физическая школа

59 Новый прием на малый механизм

Рецензини, библиография

60 В. Лешковцев. Путешествие в мир кристаллов

61 Шахматная страница

62 Ответы, указания, решения

Шахматный конкурс (3-я с. обложки)

Наша обложка (18)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1981

2

К нашим читателем

Подписавшись на наш журнал, вы уже сделали свой выбор, и нам не надо агитировать вас занимать физик или математикой. Тема нашего с вами разговора иняя.

1981 год — знаменательный. Это первый год новой, одинадцатой, пятилетки. Он является также годом XXVI съезда нашей великой Коммунистической партии. Съезд наметит новые рубежи в развитию нашей Родины, поставит перед всем народом новые задачи на пути строительства коммунистического общества.

XXV съезд КПСС ориентировал всех нас на борьбу за повышение эффективности и качества различных форм труда. Ваш труд — это ваша учеба. Учитывая можно по-разному. Учение становится радостным, когда школьник овладает навыками умственного труда. Тогда каждый день он наталкивается на открытия — математические, физические, астрономические… И в этом смысле он уподобляется ученым. Учены открывают то, что еще никому не известно. Школьник открывает то, чего еще не успел узнать, хотя научке это уже известно. Решая задачи, овладевая новыми понятиями и законами, вы занимаетесь настоящим научным трудом. Ведь и ученым прежде всего приходит узнать, что уже сделано другими в интересующей их области, и только потом они могут дивгаться дальше.

Приветствуя первых читателей нашего журнала, Председент Академии наук СССР академик М. В. Келдыш писал в нем в января 1970 года: «…мне хотелось бы пожелать юным математикам и физикам, всем читателем «Кванта» большех успехов в учете, в работе, в приобретении и совершенствовании своих знаний». Содействовать приобретению и совершенствованию ваших знаний — главная задача журнала. Мы хотим, чтобы те из вас, кто уже успел полностью физику или математику, нашли в «Кванте» материал для самостоятельных размышлений, для развития своего ума и способностей. Мы также хотели бы помочь остальным школьникам запитересоваться нашими научами.

В этом году на страницах «Кванта» вы познакомитесь с развышенными крупнейших советских физиков и математков о нашей школе, о роли молодежи в развитию научки. В конце прошло года к 60-летию выступления В. И. Ленина на III съезд комсомола, издательство «Наука» выпустило интересный сборник статей под названием «Ленин. Наука. Молодежь». К сожалению, эту книгу трудно разделить и немного из вас смогут с ней познакомиться. Поэтому мы решили поместить на страницах нашего журнала некоторые статьи из этой книги. Цикл этих статей открывается речь Председента Академии наук СССР академика А. П. Алексадрова на XVIII съезд ВЛКСМ.

Не скроем от вас, что мы сами не всем довольны в нашем журнале. Некоторые из публикуемых нами статей излише трудны, суховаты, мы редко расскажаем о нерешенных проблемах научки, в журнале мало юмора. Мы стремимся повышить эффективность и качество нашего журнала, сделать его стать интереснее, живее, доступнее (конечно, не снижая их научного уровня).

В стремлении улучшить журнал «Квант» нам очень нужно и советы наших читателей. Поэтому мы обращаемся к вам — пишите нам в редакцию о том, что вам нравится и не нравится в нашем журнале, о чем бы вы хотели в нем прочитать, какие вопросы из области математики, физики, астрономии и космонавтики вас волнуют. Мыjdем ваших писем.

Желаем вам большех успехов в текущем учебном году.

3

Учены образуют к молодежи

Президент Академии наук СССР
акademik А. П. АЛЕКСАНДРОВ

Речь на XVIII съезд
Весоюзного Ленинского
Коммунистического Союза Молодежи

Дорогие товарищ们! Позвольте мне прежде всего передать вам сердечный привет от штаба советской науки — Академии наук Союза ССР. В своей речи на съезд ВЛКСМ товарищ Леонид Ильич Брежнев сказал, что в целом коммунистисту старшего поколения могут быть довольны советской молодежью наших дней. Это, товарищи, очень значшие слова. Мы действительно довольны нашей советской молодежью.

Мне уже много лет — 75 минут. Приходилось работать вместе с молодежью в самых разнообразных направлениях деятельности и в самых различных условиях. Это было и в мирное время, это было и в войну, это было и в сложнейший последовательный период, когда начиналась работа в областиatomной техники,atomной энергетики. Во всех этих случаях старшему поколению всем сердцем помогала молодежь. На них, молодых ученых, легла набольшая тяжесть всех этих работ. На самые сложные, трудные участки с большой охотой шла молодежь. И она самоотверженно выполняла то, что надо было выполнить. Вот поэтому я считаю, что мы можем быть абсolutно довольны нашей молодежью. И мы, ученые, с большим удовлетворением XVIII съезд комсомола.

Перепечатываться с небольшими сокращениями.

4

Товарищ! Мы живем уже 33 года без войны, и это ваше великое счастье, и вы за это так же, как и мы, люди старшего возраста, должны быть глубоко признанты нашей Коммунистической партии, которая направляет огромные усилия на благородное дело мира.

Я должны сказать, что Леонид Ильич, который провел всю войну в самых ее тяжелых местах, который видел и пережил все то, что принесла война нашему народу, особенно ясно чувствует необходимость сохранения мира, он особенно большее усилия включает в то, чтобы наша страна могла развивать dalleше в мирных условиях. А это, товарищи, непросто. Ведь как-nикак после Октябрьской революции, а особенно после окончания второй мировой войны все усиливается противостояние стран социальистического содержства и лагеря капитализма. Стоит только повиться у нас какому-то слабому месту, как на него моментально обращают внимание наши враги. Конечно, все это накладывает на нас и на вас, молодых, громадную ответственность. Мы не должны допускать, чтобы в нашем едином фронте были какие-то слабые места, которые могут быть использованы для идеологических диверсий против нас, для усилия направленности и военной конфронтации.

Товарищ! Вы знаете, что использование ядерного оружия в Хиросиме и Нагасаки не вынуждалось военных обстоятельствами. Это была демонстрация так называемой политики с «позицини силы» для того, чтобы заставить нашу страну так или иначе капитлировать перед этим новым видом оружия. Вы знаете, что вскоре после окончания войны начали создавать вокруг стран военные базы. Я помню тот период, когда зарубежом рисовались карты, на которых показывали самолеты, вылеталише с военных баз, их маршруты лежали к нашим городам, они несли ядерные бомбы. И вот тогда, товарищи, наша молодежь вместе с нашими учеными, которые руководил крупнейший наш ученый и патриот, прекрасный, самоотверженный и преданный Родине человек, академик Игорь Васильевич Курчатов, решила труднейшую научную и техническую задачу — создала наш ядерный шит. Под его руководством были развернуть работы по созданию ядерной техники, и наша страна решила эту сложнейшую задачу в те же сроки, которые требовались США, привлекшим к этой работе крупнейших ученых мира.

Много юношей и девушек, только что вернулисься с войны, принимало участие в этой важной работе. Надсказать, что тогда эти коллективы не чувствовали, что война кончалась, настолько велика была направленность работы. Все понимали, что своевременное окончание этих работ может спасти мир от ядерной войны. И вот тогда молодежь показала себя в этом новом для нее направлении. Ведь пришлось всему вычится, чем раныше не учили,— и ядерной физике, и всем сложнейшим вопросамatomной техники. Просто этих наук еще не было в то время. Все приходилось создавать и открывать, учиться и учить. И вот эти задачи, товарищи, с большой помощью, с огромным участием нашей молодежки были вовремя решены.

В то время на Западе писали, что Советский Союз может создать ядерное оружие, верятно, к 1954 году, аprimерно на 1952 год намечалась развертивание против нашей страны ядерной войны, но у нас создали ядерное оружие уже в 1949 году благодаря этому самоотверженному труду. Я напомню вам, товарищи: Игорь Васильевич Курчатов докладывает тогда на сессии Верховного Совета СССР относительно участия молодежки в этих работах. Это действительное был геронческий подвиг нашей научной молодежки.

Товарищ! Мы живем в напряженной обстановке. Мы, люди Земли, начинаем чувствовать, что ресурсы нашей планеты не безграничны,

5

что нам надо заботиться об их сохранении навозможно долгий промежуток времени. Наука нам дает для этого многое. Мы можем компенсировать нефть ядерной энергетикой, которая работает сейчас, а еще больше будет работать в будущеемве. Наука делает огромные шаги в изменении техники сегоднянего дня, в изменении технологии. Вам всем приходится работа в тех или других отраслях, и вы лично чувствуете постоянный научно-технический прогресс. Вы прекрасно знаете, что именно от инциативы в труда, от творческого подхода, от широких кругозора каждой из вас, в существии, зависит и успехвает работы. Не только направленный труд, но и обучивание этого труда, планирование этого труда, создание новой техники в этом труде — это то, что мы должны делать каждой день. Если мы чему-то когда-то научились и успокопились на этом, то мы безнадежно и быстро устареем. Нам предстоит неизбежно учится каждый год и каждый день, учится работа все в новых направлениях и с новым оборудованием, с новой технологическей или перекраивать старую технологию, чтобы дивятся вперед. Тут у нас огромное поле деятельности, товарищи. И здесь творческая молодежь может сделать огромный вклад в развитие всего нашего хозяйства, техники, обороны — всего, что нужно нашей стране…

Так вот, товарищи, чем шире у вас будет кругозор, чем больше вы будет пристатировать к окружающейму, читать, изучать, тем больше успехов вы сможете добиться в вашем труде, тем больше будет развивать ваше творчество, ваше инциатива…

Товарищи! Творческий труд — это наиболее счастuble, которое может получить человек от жизни. Нанобольшее удовлетворение получаемы тогда, когда в результате своего труда видшь, как меняется наука, как меняется техника, видшь заводы, которые создают при творомучасии, а иногда и новые отрасля, как это служилось со мной при развитиюatomной энергетики. Это огромная радость — удовлетворение своим трудом. Я желаю вам всем, какому из вас в отдельности, испытать такую радость творчества к тому времени, когда вы должны до моего возраста. А этоого я вам всем желаю!

Товарищи! Жить в нашей стране — большое счастuble. Достаточно человеку родиться, и о нем заботятся родители, государство. Его учат бесплатно, работа ему обеспечена. Нет нынче таких обстоятельств, при которых нужно было бы думать о том, куда он должен после того, как окончит школь или взз. Это все в нашей стране обеспечено. Это великое счастuble, товарищи! Я ведь еще помню, когда были у нас биржи труда, когда была безработица. Тепер этоому даже трудно поверить. Наша страна — замечательная страна. Наша партняя хорошо ведет нашу страну, отлично ведет. Я считаю, что вамслужь жить в очень счастливое время. И вы должны за это сердечно благодарить нашу партню, наше правильность, нашу Советскую страну. Яелаю вам успехов!

8

Проблема прочитности

На рисунке 2 показан соленод, витки которого сделаны из металлической ленты (скоро мы узнаем, почему их делают именно из ленты, а не из провода круглого секения). Силы, действующие со стороны магнитного поля, стремятся разорвать соленод в плоскости витков и, кроме того, прижимают крайние витки к средним. Для борьбы с разрывающимся силами соленод помещают в прочную наружную оболочку, которая и воспринята разрывающие усилия. Для борьбы со скимающими силами между витками прокладывают изоляцию, имешую высокую прочность на скатке, например слюду или керамику. Но и прочность изоляции, и прочность оболочки не беспредельны. Другой путь борьбы с разрушением в больших полях — так называемые «малосиловые» соленоды. Витки в таких соленодах располагаются так, чтобы угол между вектором $\vec{B}$ и направлением тока был по возможности меньше — тогда силы уменшаются (см. (1)). Однако сделать совсем «бессиловой» соленод неудается.

Силы, действующие со стороны магнитного поля, ограничивают возможность величины индукции поля. Так, в объеме ~100 см³ практические нельзя получить поле больше 20 Тл с использованием медного соленода. Если обмотка сделана из медных сплавов повышенной прочности (медь + цирконий, медь + кадмий и др.), индукция поля в объеме 100 см³ может достигать 40 Тл. Однако сплавы меди имеют большие (в 1,5—2 раза) сопротивление, чем медь. А это условия (см. (2)) и без того непростую проблему теплотвода.

Теплоотвод

Из всех жидкости, которые можно применить для охлаждения, наиболее теплоустойчивые имеют вода; поэтому, как правило, для охлаждения применяют именно ее. Было бы наиболее просто вместе медного провода намотать соленод медной трубкой и пропускать внутренний трубки воды для охлаждения, а по самой трубке — ток. Так и делали когда-то; так делают и сейчас, но только в тех случаях, когда тепло, которое нужно отвести от соленода, невелико. Длинная и тонкая трубка создает большое сопротивление текущей воды, и прокачать через такой соленод большое количество воды неудается.

Между тем, чтобы ответить от соленода теплового мощность, скажем, 5 MBt с помощью воды из водопроводной магистрали (температура воды 10÷15°C), надо прокачивать сквозь соленод 1000 л воды в минуту, и эта вода будет выходить из соленода нагретий почти до кипения. Поток воды не должен ни на мгновение ослабать — иначе температура воды doit до 100°C, вода закипит, теплотвод ухудшится (темпропроводность пара мала) и соленод разрушится. Поэтому путь для воды должна быть короче и шире, чтобы сопротивление текущую

10

Так что у криогенных соленодов есть важный недостаток — больший расход сравнительного дорогого хладагента.

В результате криогенные соленоды широкого распространения не получили, тем более что у них появились еще более холодные конкуренты:

Сверхпроводящие соленоды

У многих металлов и сплавов при охлаждении до определенной температуры (критической) сопротивление становится равным нулю. В таком состоянии эти металлы и сплавы называют сверхпроводниками. Если сделать из такого материала обмотку соленода и охлаdit соленод до температуры ниже критической, то его сопротивление становится равным нулю. Этим решается проблема теплотвода — ведь если равно нулю сопротивление, то равна нулю и вышеюшаяся мощность. Проблема прочитности остается, поэтому «рекордных» полей сверхпроводящие соленоды не создают. Но это они легче и меньше по размерам, чем медные водохлаждемые. По сравнению с криогенными сверхпроводящими соленоды требуют в сотни раз меньшего расхода хладагента. (Вобщество гороря, сверхпроводящие соленоды тоже можно было бы назвать криогенными — ведь они охладаются теми же жидкими газами, но по традиции криогенными называют только не сверхпроводящие соленоды).

Казалось бы, с помощью сверхпроводих соленодов можно получить громадные поля. Однако это не так — индукция поля в сверхпроводящем соленоде ограничена неокторым критическим значением $B_{\kappa p}$. При этом критической значения поля исчезает сверхпроводимость. Значения $B_{\kappa p}$ различны для разных металлов и сплавов. Нанболее широко применяется сейчас в качестве материала сверхпроводящих соленодов содержание $Nb_3Sn$. Для него $B_{\kappa p} = 30$ Тл (при 4,2 К). Но и такое поле с помощью сверхпроводшего соленода из $Nb_3Sn$ получить не удалось. Практические с помощью соленодов из $Nb_3Sn$ получают пока поля $B \leqslant 20$ Тл.

Важный вклад, внесенный в технику сильных магнитных полей сверхпроводящими соленодами, состоит в том, что поля $B = 10 \div 15$ Тл стали доступны большинству физических laboratorий. Например, сверхпроводящий соленод, о котором только что шла речь, занимает место со всем отношением кнему оборуданием несколько квадратных метров и расходует ≈ 10 л жидкого геля в сутки, а соответствующий медный водохлаждемый соленод требует стропельства специальной насосной станции.

Области применения сверхпроводящих соленодов расшириется, если будут найдены сверхпроводящие соединения с большими значениями $B_{\kappa p}$.

И в заключение упомянем еще об одной возможности получения сильных магнитных полей. Вспомним, что ограничивает доступные значения индекции поля: перегрев соленода и его механическое разрушение. Однако и разогрев до плавления, и разрушение не. Проискодят мгновенно (по льду можно бежать, даже когда он такой тонкий, что сломается, если остановится). Поэтому в течение малого промежутка времени по соленодуму можно пропускать такой больший ток, которое он «не выдержал» был при длительной работе. В таком импульском режиме на короткий промежуток времени могут быть получены горячдо бóльшие магнитные поля, чем при работе в стационарном режиме.

Упражнения

1. На соленоде получают поле с индекцией $B_1 = 10$ Тл, и при этом отводимая тепловая мощность $P_1 = 1$ MBt. Можно ли на этом соленоде получить поле $B_2 = 25$ Тл? Производительность водопроводной магистрали $V = 50$ м³/ч, температура воды в магистрали 10°C, а температура воды на выходе из соленода не должна превышать 90°C.

2. Телловая мощность, выделяющая на медном соленоде, равна 5 MBt. Какова должа быть производительность водопроводной магистрали для охлаждения соленода? Теллертура воды в магистрали 10°C, температура воды на выходе из соленода не более 90°C.

Каков должен быть раскод хладагента, если для охлаждения использовать жидкий азот? Теллота испарения жидкого азота 70 Дж/cm³. Сколько жидкого водорода надо прокачивать через систему охлаждения, если соленод сделан из алюминия?

Иndукция поля во всех трех случаях одна и та же.

11

А. Битман, Е. Гик

ЭВМ за шахматнойDOSКОЙ

В экономике, в задачах управления, в долгосрочном планировании, иными словами в так называемыхбольших системах, выбор достаточнохорошого решения представляется трудно задачу. Дело в том, чторешение приходится принять в ограниченное время, в сложной, меняощеся ситуации, зависящей от большого числа факторов, не поддаюшихся однозначной оценке и механическому учету. Здесь уже невозможно обойтись без современныхтехнических средств, способных взять на себя часть интелектуальной работы.

Смысл современной автоматизации и состоит в передаче ЭВМ таких функций, как воспрятие обстановки, переработка больших объектов информации, способность сопоставлять и оценивать различные ситуации, делать логические выводы.

Для того чтобы ЭВМ могла решать все эти задачи, необходимо их формилизовать, затем разработать достаточно эффективные алгоритмы (то есть такие, чтобы решение могло быть получено) и, наконец, реализовать эти алгоритмы в виде программы для ЭВМ.

Вот тут-то нам на помощь и приходят… шахматы. Они представляют собой очень удобную модель «большой системы». Действительно, в шахматах легко сформировать конечную и многое промежуточныецели, но невозможно дать точногорецепта для их достижения. Выборхода в шахматной партии — это и есть приятие решения в описанной выше сложной ситуации. Вот почемуученные многохстран, работающие над проблемой искусственного интелектката, избрали именно шахматы в качестве отличной модели для своихисследований.

Научить машину играть в шахматы — дело не слишком трудное. Достаточно выбрать некоторые способ кодирования полей шахматной

12

доски и фигур, а затем написать программу, которая определяла бы в данной позиции все допустимые правила игры ходы. Делая любой из этих ходов, машина, тем самым, играла бы в шахматы. Нетрудно представить себе качество такой игры!
А вот научить машину хорошо играть в шахматы — задача исключительно трудная. Чтобы ее решить, надо научиться находить лучший, по возможности, ход в предъявленной позиции. Как построить алгоритм, отыскивающий такой ход? При этом важно, чтобы алгоритм обеспечивал решение поставленной задачи не теоретически, а реально, то есть позволял выбирать ход в разумное время. Чтобы подготовки к решению этой проблемы, нам придется вместе некоторые термины и понятия, используемые в общей теории игры.

Некоторые сведения из теории игры
Шахматы относятся к разряду конечных игра с полной информацией. В этом отношении они ничего не отличаются, скажем, от простейшей игры в крестики-ноликки на доске $3 \times 3$. Для таких игра теоретически почти все известно, их структура абсолотно ясна. В каждой позиции существует лучший ход (возможно, не единственный). Последовательность лучших ходов за обе стороны приводит эту воображаемую партию к однозначному результату. В этом смысле говорят, что исход игры в любой позиции, в том числе и начальной, является предопределенным. Но если в крестиках-ноликах борба при наличии игры сторон завершает ничей, то в шахматах вопрос о том, как именно предопределенна начальная позиция, по-видимому, останется открытым.

Доказательство того, что исход игры в любой шахматной позиции предопределен, было впервые данно итальянским математиком Цермело в 1913 году. Мы приведем его здесь, поскольку оно необходимо для понимания дальнейшего.

Обозначим исходную (не обязательно начальную) шахматную позицию через $P_0$ (рис. 1), пусть в ней будет ход белых (позиция с ходом белых соответствует белые кружки, а позиция с ходом черных — черные). Произведем все возможные ходы белых из $P_0$, из каждой полученной позиции — все возможные ходы черных и т. д. Графические эта процедура представляет собой так называемое дерево церры, начатой в $P_0$ (корень дерева).

Позиции, в которых уже нельзя сделать ход (то есть на доске стоит мат или пат), называем заключительный. Введем для них естественные оценки: $1$ — выигрыш белых, $1/2$ — ничья, $0$ — выигрыш черных. Если неоктора позиция вдоль ветки повторилась, то ее также будет считать заключительной и припшем ей оценку $1/2$. Поскольку число шахматных позиций конечно, любая партия через конечное число ходов придет к заключительной позиции.

Пусть максимальная длина партии, начатой из $P_0$, равна $N$ ходам (под ходом понятия ход только одной из сторон). Рассмотрим все партии длины $N$ за ход до конца. На рисунке 1 ниже точки соответствует заключительным позиция ($N$-й уровень). Покажем, что оценки можно по простым правилам перенести с $N$-го уровня на $(N-1)$-й. Пусть $A$ — позиция, из которой все ходы ведут в заключительные позиции. Поскольку их оценки нам известны, можно установить и оценку позиции $A$. Если в ней ход белых (как на рисунке 1), то ее оценка равна максимальной из оценок за-

13

ключительных позиций, в которых можно попасть из $A$. Если же в $A$ ход черных, то вместо максимальной оценки следует взять минимальную. В нашем случае из $A$ белые могут сделать 4 хода. Два из них ведут к ничей, два к выигрышу. Оценка позиции $A$ равна 1.

После описанной процедуры все позиции дерева игры ($N-1$)-го уровня будут оценены. Действительно, некоторые из этих позиций с самого начала были заключены и уже имели оценку, остальные получили ее по указанному правилу. Теперь можно удалить из дерева игры все позиции $N$-го уровня и продолжать описную процедуру над новым, чуть подрезанным деревом. В результате оказется оцененными все позиции ($N-2$)-го уровня и т. д.

Таким образом, всякий раз позиции сходом белых приписывается максимальная из оценок позиций, в которых можно попасть из нее, а позиции сходом черных — минимальная. Такая процедура называется minimumкой или минимаксом. Применив минимакс в последний раз, то есть на $N$-м шагу, мы найдем оценку исходной позиции $P_0$, а заодно и лучший ход из нее. Этим доказательство заканчивается.

Отметим, что процедура минимака лежит в основе большинства играющих программ. Только при этом в качестве заключенных рассматривается позиция, получаемые из анализируемой на некоторое, не слишком большое число ходов.

На основе метода Цермело можно составить алгоритм, то чно решаюший нашу задачу, — выбрать лучший ход в позиции. Однако с точки зрения получения результата это будет абсolutно нереальный алгоритм. Машина никака не сделает хода, поскольку обход полного дерева игры и при нынешнем уровне техники, и в обозримом будущеем оказется для нее делом явно непосильным.

Общий подход к созданию шахматных программ

В 1950 году известный американский математик К. Шенон опубликовал статью, в котором дал общий подход к построению шахматных программы. Прежде всего он введил понятие оценочной функции, сопоставляющей каждой шахматной позиции определяющее число (оценку). Далее он предложил вести перебор вариантов до некоторой фиксированной глубины, а возникающие при этом концевые позиции оценить с помощью оценочной функции. Лучший ход определяется после этого по правилам минимакской процедуры.

Шенон указыл на две возможные схемы перебора. По первой схеме в процессе усеченного дерева игры рассматривается в сходы, допустимые по правилам игры. Во второй схеме предусматриется перебор лишь тех ходов, которые по некоторым сообщениями признаются разумными. При реализации перебор схемы трудно достичь большой глубины расчета, так как дерево перебора катстрофических быстро растет. Во втором случае возникают проблемы, связанные с определением «разумности» ходов.

В качестве оценочной функции Шенон предложил использовать многочлен вида $\sum_{i=1}^{k} a_i p_i$, где $k$ — число признаков позиции, $a_i$ — «вес» признака, $a_p$ равно 1 или 0 в зависимости от наличия или отсутствия данного признака в позиции. С помощью оценочной функции можноучеть материалное соответствие с также позиционные факторы: слабые пещки, владение центром, открытыные линии, подвижность фигур и т. д.

Возникает вопрос: а нельзя ли придумать столбцовую оценную функцию (не обязательно указаного вида), которая бы позволяет использовать их в любой предложенной позиции? С помощью такой функции можно было бы безошибочно играть в шахматы, не производу утомительного перебора. Лучшим всего будет ход, который ведет в позицию с максимальной оценкой*).

*) Строго говора, для оптимальной игры следует еще учиться, во сколько ходов выиграваться позиция. Для этого достаточно в теореме Цермело заключенным выиграным позициям приписывать оценки $\pm 1/n$, а ничейным — 0 ($n$ — длина ветви, ведущей в данную позицию).

14

To, что такая оценочная функция в принципе существует следует из теоремы Цермелю. Значения этой функции могут быть заданы в виде таблицы, левый столбец которого представляется собой набор всех шахматных позиций, а правый — их оценок (1, 0, 1, 2). Однако эта таблица будет только же необозримой, как и полное дерево шахматной игры. Разумеется, нас интересует не таблица оценочная функция, а также, которая использует в качестве аргументов статистические признаки позиции. Доказать это невозможно, но, скорее всего, идеальная оценочная функция, основанная на простых и явных признаках позиции, будет такой же громоздкой, как и таблица функция. Компактную функцию построить, по-видимому, можно, но тогда уже и признаки должны быть слишком «умными».

Трудности, возникшие при создании хорошего оценочного функции, носят вп前列 закономерный характер и отражают сложность шахматной игры. Высказанные сообщения показывают, что беспереборная игра в шахматы вряд ли возможна. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

В позиции на рисунке 2 матерIALный перевес на стороне белых, но оба их слона находится под боем, и нетрудно убедиться, что окончание ничейно. Немного изменим позицию, добавив черным пешку на c5. Как будто положение черных от этого может только уличиться, одноколер они проигрывают: 1. h7+! Кр:h7 2. Ca4! Л:b2+ 3. Cc2+! Л:c2+ 4. Kpf3, и собственная печка мешает черной ладье вернуть на последнюю горизонталь. Роковая роль пешки c5 выявлась только в процессе перебора варянтов. А теперь представьте себе оценную функцию, которая могла бы во всем этом разобраться, то есть предпосеть (за белых) вторую позицию перой!

Оценочные функции, использемые в реальных шахматных программах, состоит обычно из двух компонентов — матерIALной и позиционной. Подсчет матерIALной составляющей несложен и произвольно

Рис. 2.

Дитя в соответствии с принятой у шахматистов шкалой относительной ценности функции. Что касается позиционной составляющей, то можно рассматривать различные позиционные оценки, и как показывает практика, разумное выражение весов признаков не сказывается на силе игры машины. Гораздо важнее сам факт учета того или иного позиционного фактора.

Obviously при создании программы учитываются такие факторы, как подвижность функции, владение центром и открытыми линями, безопасность короля, а в решенной структуре — фаланги, опорные пункты, прохождение, сдвоенные и изолированные пешки и т. д. Рассмотрим один из факторов — владение центром. Вот как трактует его оценная функция советской программы «Кансса»: центром с точки зрения белых считаются поля e4, d4, e5, d5, e6, d6; пешка или легкая фигура, стоящая в центре, дает 20 условных единиц; удар пешкой или фигурой на центральное поле ценится в 10 единиц. Для учонения масштаба добавим, что подвижность функции определяется числом полей, которые она быет, причем за каждое поле прибавляется одно число.

В различных站ях шахматной партии (дебют, mittelшпиль, эндшпиль) оценка некоторых позиционных факторов может существовать. В соответствии с этим сильные программы имеют настройку оценочного функцию, то есть функцию, для которой набор признаков и их весов определяется самой программы в зависимости от обстановки на доске. В частности, у «Канссы» таких состояния четы-

15

ре — три предназначены для трех стадий партии, а четвертое используется для матования короля противника при подавляющем материальном перевесе.

Современные методы шахматного программирования

Любая шахматная программа так или иначе реализует некоторую переборную схему. В этом разделе мы рассмотрим методы и алгоритмы, которые являются общими для большихinstва работающих шахматных программ.

1°. Метод граней и оценок
Нибольное мощный метод сокращения перебора — это метод граней и оценок, использующий в настоящее время во всех играющих программах. Остановимся на нем подробнее. Для этого выделим из дерева игры некоторый фрагмент, схематически изображенный на рисунке 3.

Пусть белые в позиции $A$ уже изучили ход $AB$ (то есть ход, ведущий из позиции $A$ в позицию $B$). При этом соответствующое подделево с вершиной $B$ в результате минимкаса должно позицини $B$ оценку $+20^*$). Это означает, что, пробуя другие ходы из $A$ при спуске вниз по дереву, белые уже никака не согласятся на оценку, меньшею или равную 20 (поскольку эту оценку им обеспечивает ход $AB$).

Оценка $+20$ является гарантированной оценкой позиции $A$ (для белых), или, иначе, ее нижней гранью. При движении вниз по дереву гарантированные оценки всякий раз переносится в соответствующей позиции через один уровень.

Пусть теперь белые, продолжая перебор, попробавали ход $AC$, а черные ответили ходом $CD$. При вершине $D$ пока что была записана ее оценка, равная $+20$, перенесенная из $A$. Если теперь оценка, принесенная спизу в позицию $D$, оказется не больше 20, это будет означает следующее:

*) Здесь и в дальнейшем оценка понимается с точки зрения белых (для черных оценка этой позиции равна — 20).

1. Ход $AC$ не лучше, чем $AB$ (при правильном ответе черных $CD$ оценка белых будет не выше, чем при ходе $AB$). Будем называть ход $AC$ плохим.

2. Ход $CD$ определяет ход $AC$ (в указанном смысле). Будем называть его закрывающим.

3. Другие ходы черных из позиции $C$ можно не рассматривать.

В этом случае говорят, что произойдет отсчение, и ходы $CE$ и $CF$ уже не изучаются.

Важно отметить, что в описном методе больше значение имеет порядок рассмотрения ходов. Предположим, что сначала пробовались ходы $CE$ и $CF$ и только потом $CD$. Если бы они один из ходов $CE$ и $CF$ не оказался закрывающим, то мы только зря потеряли бы время на перебор ненужных вариантов.

Допустим, что нижняя гранью позицини $C$ равна +30. Это означает, что в дальнейшем перебор будет рассмотряться только те позиции, оценки которых заключаются в интервале ]20, 30[.

Пусть оценка позицини $D$, принесенная спизу, оказалась равной 25. Тогда ход $CD$ называет уличшающим, гарантированная оценка позицини $C$ становится равной 25, черные продолжают перебор ходом $CE$ и будут вести его в границах ]20, 25[.

Улучшающим ход существует последующих отсчения. Ходы $CE$ и $CF$ могут еще более улучшить оценку для черных или даже оказаться закрывающим.

16

В любом случае перебор сокращается, если самый лучший ход пробуется первым.

Наконец, если оценка позиции $D$ оказывается не менее 30, то ход $CD$ будет плохим. Черные продолжат перебор ходом $CE$ в прежних границах. В случае, когда все ходы из вершины $C$ оказываются плоскими, уже ход белых $AC$ становится закрывающим, и черные должны будут сменить ход, приведший в позицию $A$.

В рассмотрении примере границы были получены непосредственно из перебора как минимальные оценки. Однако, когда мы только начиная перебор, никаких границ еще нет или их можно считать бесконечными. В этом случае, одной впервые до заключительной позиции, программа будет мириться даже с потерей ферзя. Лучший ход, в конце концов, будет найден, но ценой рассмотрения огромного количества бесконечных вариантов.

Чтобы этого избежать, обычно в начале перебор устанавливают некоторые границы. Их можно получить разными путями, например проверяя негулубкий перебор или с помощью некоторого формирования варанта (см. ниже). Важно лишь, чтобы исходные границы оказались более полеем или менее достоверными.

В том случае, если мы не удалось с границами и оценка, полученная в результате перебор, в них не попала, приходит сdvигать границы в соответствии со стороны перебор. Повторение обязательно, если перебор выел нас на нижнюю границу — все ходы в установленных границах «проигрывают». Сdvиг границ необходим здесь, чтобы выбрать меньше из золл. Если оценка оказалась равной верхней границе и при этом «выигрывший» ход (выводящий на эту границу) единственный, то он и будет лучшим, хотя его истинная сила нам точно неизвестна. Сdvиг границ вправо и повторный перебор попадяется только при наличии выигрывших ходов-конкурентов.

Описанный алгоритм обычно называют $\alpha$—β-процедурой, имея в виду обозначение граней $] \alpha, \beta]$. Эффективность этого алгоритма целиком зависит от качества упорядочения ходов в переборе. Так, если лучшие ходы пробются первыми, то возникало общее отсутствие размотренем всего около $\sqrt{n}$ позиций, где $n$ — полный объем дерева перебора.

$2^\circ$. Форсированный вариант. Когда мы говорили об оценочной функции, то отмечали, что она учитывает лишь статистические свойства позиции и поэтому ей можно доверять только в относительной спокойных ситуациях, в которых он одна из сторон не может близкими ходами изменить материалное соответствие сил в свою полезу. Если же чисто механические обработать расчет при достижении предельной глубины перебора, то может оказаться, что сторона, имеющая право хода, выигравает фигуру или даже обьявляет мат.

Чтобы избежать этих оценных ошибок, были придуманы различные эвристические методы, позволяющие более эффективно использовать оценную функцию. Однако из таких методов является «форсированный вариант» или сокращенно ФВ. Реализованный в виде подпрограммы ФВ используется основной программиру в различных моменты игры и с различными целями, но основным его назначением является получение достоверной оценки для конечных позиций дерева перебора.

ФВ представляет собой неоторующее переборную схему со своим правилами отбора ходов-кандидатов и со своей эвристической. Допустимыми ходами в ФВ являются взяття, превращения, шахи и ответы на шахи, то есть ходы, которые могут существовать ситuation на доске. Перебор ведется в неоторых заранее установленным границах. Основная идея ФВ заключится в следующем: сторона, имеющая право хода и не находится под шахом, может оценить возникшую позицию и привести ей эту статистическую оценку. Отсюда сразу следует, что в ФВ разумно рассматривается, если самый лучший ход пробуется первым.

17

Рис. 4. Боголюбов-Капабланка (Нью-Иорк, 1924).

ривать не все взяття, а только те, которые сохраняют материал как минимум на уровень своей нижней границы.

Если имеет в виду сотрудничентов человека и машины, то уже знание результата ФВ в данной позиции во многом помогло бы шахматисту. Зачастую неочевидные комбинации проходят в русле чистого форсированного варанта. Расстоярим пример из партии известных гроссейстеров прошло (рис. 4).

Черные в этой позиции сыграли: 1…К:d4!, и после 2. cd Л8:c5! Боголюбов сдела, так как на 3. dc решает 3…Ф:c5+ и 4…Л:c1.. Программа, использующая ФВ, нашла бы эту комбинацию даже при глубине расчета на один полуход.

Впервые ФВ был программо реализован в 1962 году в одной из ранних версий «Канссы». В настоящее время им активно пользовется многое шахматные программы.

3°. Порядок расстояния ходов в позиции. Остановимся теперь на тех методах, которые позволяют добиться качественного упорядочения ходов в позициях дерева перебора. Как было показано выше, этот вопрос имеет решающее значение для времен работы шахматной программы.

Ходы из корня дерева должны упорядочены наболее аккуратно. Это будет способствовать возникновению максимальных отсечений в процессе перебора. Для этой цели после каждого из этих ходов применяется ФВ, который и приносит оценку хода.

На более глубоких уровнях перебора средства для диагностики качества хода более разнообразны. Если можно взять незашищенную фигуру или съесть слабой фигурой сильную, то такие ходы-кандидаты расматривают в первую очередь. Это так называемые выгодные взяття. В числе первых попадают также отсутствия фигур при нападении на них (правило «напалушел»). Эффективным оказывается взятие фигуры противника, только что сделавшей ход. При прочих равных условиях выгrodнее начать с ходов на небитые поля и т. д.

Все эти сообщения служат для приорной оценки хода. Они безусловно полезны, хотя и несколько абстрактны. На помощь приходит «служеба лучших ходов», позволяющая учитывать динамику позиции. В этой справочной службы запоминаются те ходы, которые оказывались лучшими (то есть закрывающими или улучшаюшими) на различных уровнях в ходе перебора. Эти ходы предлагаются затем в качестве ходов-кандидатов во новых возникновениях позициях. Интересно, что, когда «Кансса» впервые использовала «служебу лучших ходов», время работы машины сократилась более чем в 10 раз.

В заключение следует отметить, что многие интересные проблемы остались нами не рассмотренными. Кроме того, не надо думать, что описанные в этой статье иден и методы, использующие при программировании шахматной игры, являются единственно возможными. Так, экс-чемпрон мира, доктор технических наук М. М. Ботвинник, который в настоящее время занимается вопросами программирования шахмат, идет по иному пути*). Будущее покажет, какой из путей решения этой задачи оказывается более плодотворным.

*) См. книгу М. М. Ботвинника «От шахматства к машине» (М., «Физкультура и спорт», 1979).

18

ПОЛУОКТАЭДРЫ…
И ДРАПИРОВКА
ПОТОЛКОВ

Перекрытия многохиссовременных зданий (вокзалов, кафе) выполнены в видестержневой системы, геометрической основной которой служит «плотная упаковка» тетраэдров и получ兢дов (см. «Квант», 1976, № 9, с. 25). Верхняя плоскость одного из вариантов такой

Рис. 1.
стержневой системы (рис. 1) — квадратная решетка; к каждой квадрату прикреплены четыре стороны стороны, образующие вместе с этим квадратом полуктаэдр. Верхняя поверхность системы обычно покрывается листовыми материалов, играошими роль крышил или перекрытия между этажами. Нижняя же часть решетки оставляется пустой, представляя зрителю, сидящему в за-
ле, аккуный стержневой узор.

Однако такую решетку легко обогатить, покрыв ее треугольными гранями. Примером такой орнаментции является потолок в главном залле Ленинградского вокзала в Москве. Этот потолок покрыт жесткими кусками листового материала. Но также потолки можно драпировать и целым куском материалов.

Рис. 2.

Рис. 3.
Как это можно сделать?
На получасстelm неразрезанную драпировку (ткань, полистленную пленку и т.п.). В местах, отвечающим вершинам узора, показанного на рисунке 26, пришем (прикленм) крючки. Протягивая от этих крюковниты к соответствующим вершинам потолочной решетки (рис. 2a), можно «мгновенно» поднять на потолок всего драпировку (рис. 3). Она образует орнаментцию, показанную на второй странице обложки.

Задча. Каково соотношение площади потолка и площади драпировки на систему полуктаэдров, описанную выше (см. рис. 2a, 6)?

В. Гамаюнов

Магическая спираль

В квадрате 5×5 можно расположить двацать пять последовательных чисел 1, 2, …, 25 так, чтобы их суммы по столбцам, строкам и диагоналям квадрата равнялись числу 65. Такой квадрат называется магическим квадратом пятого порядка. Пятышевный рисунок на четвертой странице обложки является его модификацией.

Суммы чисел, расположенных вдоль пятых, выходящих из центра спирали, равны одной и той же константе 65 (4+23+17+11+10 = 16+15+9+3+22 = …). Это же константе равны и все пятим чисел, расположенных на концентрических окружностях (8+16+4+12+25 = 2+15+

+23+6+19 = 21+9+17+5+13 = …). Кроме того, если какое-либо число на одной из прямых, кроме среднего, сложить с четырьмя числам, расположенными на концах однозвереных с ним диаметрально противоположных полос, мы снова получим магическую сумму 65 (например, 14+(6+17)+(5+23) = 20+(6+4)+(12+23) = 2+(24+10)+(18+11) = 8+(5+11)+(24+17)). Тем самым мы получаем еще двацать пятых, расположенных диаметрально противоположно этой прямой, соответственно на внутренней и внешней окружности (21+(4+12)+(18+10) = 13+(16+4)+(22+10) = 5+(16+8)+(22+14) = 17+(8+25)+(14+1) = 9+(12+25)+(18+1)). Магическая сумма 65 получается также при сложении пятых чисел, расположенных в вершинах и в центре внутренних четырехпрямых четырехпрямых полос, соответственно этой прямой, соответственно на внутренней и внешней окружности и при сложении чисел в конце концов возвратами к исходному числу, то есть к единице (при этом квадратина набор оказывается составленным из разноветных чисел).

Е. Кривощеев

Лаборатория «Кванта»

2. Струя, обвивающая спицу
   Поместите в струю спицу, как показано на рисунке 2. Смачивая спицу, струя будет стекать по ней. Теперь аккурато поверните спицу вокруг ее оси — струя, как бы следуя за спицей, обовется вокруг нее (см. рис. 2,a). Продолжая врашать спицу, нам удавалось получить два—три оборота струи (см. рис. 2,6).

Необъчные свойства обычной струи

Оказывается, много интересного и неожиданного можно увидеть, наблюдая за самой обычновенной струей воды из водопроводного крана. Вот несколько примеров проведенных нами опытов и наблюдений. Надеемся, они заинтересуют и вас тоже.

1. Рябь на поверхности струи
   Откройте водопроводный кран так, чтобы из него вытекала. Тонкая спокойная струя воды. Возьмите спицу (или иголку) диаметром 1—2 мм и введите ее в струю на расстоянии 5—7 см от крана (рис. 1). Вы увидите, что на небольшем участке над спицей поверхность струи становится волнистой, образуется рябь*). Обратите внимание на расстояния между горбами волны — чем дальше от спицы, тем они больше.

Что будет, если перемешать спицу вниз или вверх по струе? По мере опускания спицы рябы станет все более и более мелкой, наконец глаз вообще перестанет ее разлиать. А если спицу поднести к самому основанию струи, ряби не будет, но струя немного искривится.

*) Объяснение этого явления вы можете найти, например, в статье Е. Кузнецова и А. Рубенчика «О волнах на море и рыби на лужах» («Квант», 1980, № 9) или в статье С. Соскина «Капиллярные волны в струе» («Квант», 1976, № 10).

Рис. 1.

Рис. 2.

20

Рис. 3.

Рис. 5.

принимает вид своегоразной плоской цепочки (рис. 4).

5. Образование капельного тумана

Возьмите тонкую трубку (диаметром 3—5 мм) и с ее помощью получите тонкую струю желательно холодной воды. Понаблюдайте за стреей, и вы увидите, что в своей нижней части она как бы разрушается и при этом становится мутной. Это вызвано тем, что там струя действительно перестает быть монолитной, она распадается на отдельные капли. Вследствие рассеяния света глаз не воспринимает падение отдельных капель, поэтому разрушенный участок струи и кажется непрозрачным (рис. 5).

Интересно, что, помимо сравнительно больших капель, по бокам распавшейся струи возникает своеобразный туман из очень мелких капель. Иногда они образуют волне устойчивую конфигурацию. Глядя на струю сверху, можно увидеть явно выраженную внутренную линию. Если же смотреть на струю сбоку, сразу бросается в глаза ее синуcondальное очертание.

4. Струя и наклонная плоскость

Стекло, с которым вы проводили предыдущий опыт, слегка наклоните так, чтобы вода стекала с него. Потоки из области тора, встретились, другно устремляются вниз, а поток из первой зоны, имеющий большую скорость, стремится обогнать их и огибает боковые потоки сверху и снизу. В результате стекаюшая струя

21

Л. Курляндик

Приближение к экстремуму

Понятие произвольной, которое вы изучаете в школе, дает простой способ нахождения наибольших и наименьших значений функции $y=f(x)$ от одной переменной $x$. Однако в задачах приходится порой нахождение наибольшее или наименьшее значения выражений, зависит от нескольких переменных. Способы, связанные с применением произвольной, здесь значительное сложнее и в школе не изучаются, поэтому большешую ценность прибретают элементарные методы решения таких задач. Об одном из таких методов, предложенном в 1884 году немецким математиком Р. Штурмом, почти речь в статье.

Начнем с двух задач.

Задача 1. Какой из n-угодных, вписанных в данной круге, имеет наибольшую площадь?

Задача 2. Сумма n чисел равна 1. При каких значениях этих чисел сумма их квадратов принимает наименьшее возможное значение?

На рисунке 1 и 2 показаны триггеры ABC, причем $|AB| > |BC|$. Посмотрим, что произойдет с площадью этого треугольника, если, не изменяя положения точки A и C, переместить точку B по дуге AC так, чтобы длины сторон AB и BC были близкими, то есть уменьшилась их разность. Пусть точка $B'$ на дуге AC такова, что $|AB'| = |CB|$. Чтобы слизить длины стороны AB и BC, нужно заменить точку B любой точкой других BB’. При этомлина выcisоты BH треугольника ABC увеличится и, следовательно, увеличится его площадь.

Это наблюдается показывает, что неправильный n-угодник не является решением задачи 1. Действительно, если $|AB|$ и $|BC|$ — неравные соседние стороны этого n-угодника (рис. 2), то, заменив вершину B какой-либо точкой других BB’, мы увеличим площадь треугольника ABC и получим вписанный n-угодник большей площади.

Переход к задаче 2, выясним, что произойдет с суммой квадратов двух чисел, если слизить эти числа, не изменяя их суммы. Пусть $a, b$ — данные числа, $a < b$, и пусть $0 < \varepsilon < b - a$. Тогда

$$(a + \varepsilon)^2 + (b - \varepsilon)^2 = a^2 + b^2 - 2\varepsilon(b - a - \varepsilon) < a^2 + b^2.$$

Мы видим, что сумма квадратов уменьшилась. Это наблюдается показывает, что набор n чисел (с суммой 1), среди которых есть два неравные числа, не является решением задачи 2. Действительно, слизив неравные числа, мы, не изменив суммы всех чисел, уменьшим сумму их квадратов.

22

Может показаться, что задачи 1 и 2 решения: решением задачи 1 является правильной $n$-угольник, вписанный в данной круг, а решением задачи 2 является набор чисел $(1/n, 1/n, \dots, 1/n)$. На самом деле пока доказано лишь, что ни один $n$-угольник, отличный от правильного, не является решением задачи 1 или один набор $n$- чисел, отличный от $(1/n, 1/n, \dots, 1/n)$, не является решением задачи 2. Но остается неисследованной еще одна логическая возможность: никакой $n$-угольник не является решением задачи 1, никакой набор $n$- чисел не является решением задачи 2. Доказательство существования математического объекта с заданным свойством часто оказывается довольно трудным. Но решение любой задачи упрощается, если известен возможность ответ, а именно так обстоит дело в задачах 1 и 2.

Решение задачи 1.

Докажем, что площадь любого вписанного в данной круг $n$-угольника не больше площади вписанного в этот круг правильного $n$-угольника. (Это как раз означает, что правильный $n$-угольник является решением задачи 1; в предыдущем рассужdenнии мы установили лишь то, что неправильный $n$-угольник не является решением.)

Заметим, что, если заменить вершину $B$ вписанного $n$-угольника точкой $B'$ (рис. 2), получится вписанный $n$-угольник той же площади, отличной от исходного многоугольника порядком следования двух соседних сторон. Произведя такой операцию нужно число раз, мы можем поменять местами любые две стороны вписанного $n$-угольника, не изменив его площадь.

Пусть $P$ — вписанный в данной круг $n$-угольник, отличный от правильного. Наименьшая сторона этого $n$-угольника стягиваетдугу, угловая вершина которой меньше, чем $360^\circ/n$, а наиболее сторона стягиваетдугу, большего, чем $360^\circ/n$. Переставим стороны $n$-угольника так, чтобы наиболее и наиболее стороны оказались рядом. На рисунке 3 это стороны $AB$ и $BC$. Отложим на дуге $AC$дугу $AB_1$, угловая вершина которой равна $360^\circ/n$. Заменив вершину $B$ точкой $B_1$, мы получим вписанный $n$-угольник $P_1$, площадь которого больше $n$-угольника $P$.

При этом в многоугольнике $P_1$ есть, по крайней мере, одна сторона, стягивающаядугу величины $360^\circ/n$, то есть равная стороне правильного вписанного $n$-угольника. Если многоугольник $P_1$ не является правильным, то,prodелав с ним описанную операцию, мы приdem к вписанному $n$-угольнику $P_2$ большешей площади, в котором еще, по крайней мере, одна сторона равна стороне правильного вписанного $n$-угольника. Через конечное число шагов мы приdem к вписанному вписанному $n$-угольнику, и площадь его, тем самым, больше всего площади многоугольника $P$.

Решение задачи 2.

Пусть сумма чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ равна 1. Если не все эти числа равны между собой, то наименьшее из них меньше 1/n, а наибольшее больше 1/n. Пусть $a_1 < 1/n, a_2 > 1/n$. Заменив число $a_1$ на 1/n, а число $a_2$ на $a_1 + a_2 - 1/n$, мы «сблизим» $a_1$ и $a_2$, не изменив их суммы и, следовательно, уменьшим сумму квадратов. Таким образом, мы получим новый набор чисел с суммой 1, и сумма квадратов чисел этого набора меньше суммы квадратов чисел исходного набора. При этом в новом наборе есть, по крайней мере, one число, равное 1/n. Если в этом наборе не все числа равны 1/n, то,prodелав с ним описанную операцию, мы приdem к набору с суммой 1, но еще меньше суммой квадратов, в котором еще, по крайней мере, one число, равное 1/n. Через конечное число шагов мы приdem к набору $(1/n, 1/n, \dots, 1/n)$ с суммой квадратов, меньшей, чем в исходном наборе. Таким образом, набор чисел $(1/n, 1/n, \dots, 1/n)$ является решением задачи 2.

Если для произвольного числа $S$ среди наборов $n$ чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ с суммой $S$ искать такой, в котором сумма квадратов членов минимального, то проделанные рассужdenя привели бы нас к набору $(\frac{S}{n}, \frac{S}{n}, \dots, \frac{S}{n})$. Таким образом, для произвольных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ справедливо нера-

24

Действительно, если не все данные числа равны между собой, то наименьшее из них меньше $A$, а наиболее — больше $A$. Пусть, скажем, $a_1 < A, a_2 > A$. Заменив $a_1$ на $A$, а $a_2$ на $a_1 + a_2 - A$, мы, сохраив сумму этих чисел, сглазим их. При этом среднее арифметическое $A$ не изменится, а среднее геометрическое $\Gamma$ увеличится (см. заготовку I). Если в новом наборе чисел есть неравные, то проделаем ту же операцию. Так как на каждом шаге увеличивается количество чисел, равных $A$, через конечное число шагов все числа станут равными, и мы приедем к набору, для которого среднее арифметическое равно среднему геометрическому. Так как при этом на каждом шаге просто среднее геометрическое и не изменялось среднее арифметическое, в исходном наборе чисел среднее арифметическое больше среднего геометрического.

Упражнение 1. Используя заготовку I, выясните, на какие 25 натуральных слагаемых $n_1, n_2, \dots, n_{25}$ следует разить число 1981, чтобы произведение $n_1! n_2! \dots n_{25}$ было наименьшим.

Упражнение 2. Используя заготовку II, доказите для положительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ и натурального числа $k$ наравенство

$$\frac{a_1^k + a_2^k + \dots + a_n^k}{n} \geq \left( \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \right)^k.$$

Используя заготовку III, мы доказем теперь наравенство, которое носит имя знаменного ученого XVIII века Христина Гюйгена: если $x_1, x_2, \dots, x_n$ — положительные числа, то

$$\left( 1 + x_1 \right) \left( 1 + x_2 \right) \dots \left( 1 + x_n \right) \geq \geq \left( 1 + \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \right)^n.$$

При слияении положительных чисел $a$ и $b$ с фиксированным произведением сумма $a + b$ уменьшается, значит, уменьшается и произведение $(1 + a)(1 + b)$, равное $1 + ab + a + b$.

Положим $\Gamma = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$. Если средние чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ есть неравные, то наименьшее из них меньше $\Gamma$, а наиболее — больше $\Gamma$. Заменим $x_1$ на $\Gamma$, а $x_2$ на $\frac{x_1 x_2}{\Gamma}$. При этом $x_1$ и $x_2$ сохранием произведение, и потому

*) Эта задача predлагалась на XII Весоизной математической олимпиде. В «Кванте», 1979, № 7, изложено ее решение, отличное от разбиреемого в статье.

25

ваться внутри отрезка $[a; b]$. В конце концов мы приdem к ситуации, когда каждое из чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, за исключением, быть может, одного, будет равно $a$ или $b$.

Левую часть неравенства можно теперь рассматривать как функцию одной переменной, определяную на отрезке $[a; b]$. Покажите, что эта функция принимает набольшее значение на одном из концов отрезка $[a; b]$, и проверьте, что это значение не превыходит правой части неравенства.

Упражнения

3. Какой из $n$-угольников, вписанных в данной полукруг (так, что одна из сторон совпадает с диаметром), имеет набольшую площадь?

4. Докажите, что средние трехугольников данной площади наименьший перimeter имеет равный треугольник.

5. Выясните, как ведет себя произведение $(1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b})$ при слияении положительных чисел $a$ и $b$.

Докажите, что если сумма положительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ равна 1, то

$$(1 + \frac{1}{x_1}) (1 + \frac{1}{x_2}) \dots (1 + \frac{1}{x_n}) \geq (n+1)^n.$$

6. Выясните, как ведет себя сумма $(a + \frac{1}{a})^2 + (b + \frac{1}{b})^2$ при слияении положительных чисел $a$ и $b$.

Докажите, что если сумма положительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ равна 1, то

$$(x_1 + \frac{1}{x_1})^2 + (x_2 + \frac{1}{x_2})^2 + \dots + (x_n + \frac{1}{x_n})^2 \geq \frac{(n^2+1)^2}{n}.$$

7. Исследуйте поведение дроби $(1-a)(1-b)/ab$ при слияении положительных, меньших 1, чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 1.

Докажите, что если сумма положительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ равна 1, то

$$(1-x_1)(1-x_2) \dots (1-x_n)/x_1x_2 \dots x_n \geq (n-1)^n.$$

8. Исследуйте поведение суммы $\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b}$ при фиксированном произведении положительных чисел $a$ и $b$.

Докажите неравенства:

a) если числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ больше 1, то

$$\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \dots + \frac{1}{1+x_n} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n}}.$$

6. если положительные числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ меньше 1, то

$$\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \dots + \frac{1}{1+x_n} \leq \frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n}}.$$

9. Числа $a, \beta, \gamma, \delta$ принадлежат промежуточку $]0; \frac{\pi}{2}[\, a+\beta+\gamma+\delta=\pi$. Доказите, что $tg\alpha+tg\beta+tg\gamma+tg\delta \geq 4$.

10. Положительные числа $a, \beta, \gamma, \delta$ таковы, что $a+\beta+\gamma+\delta=\pi$. Доказите, что $\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\sin\delta \leq \frac{1}{4}$.

11. a) $a, b, c, d$ — положительные числа. Докажите неравенство

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geq \sqrt{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}.$$

6. $x_1, x_2, \dots, x_n$ — положительные числа, $k$ — натуральное число, $k \geq 2$. Докажите неравенство

$$\sqrt{\frac{x_1^k+x_2^k+\dots+x_n^k}{n}} \geq \sqrt{\frac{x_1x_2\dots x_n}{n}}.$$

12. Какие $n$ чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ следует встать между положительным числам $a$ и $b$ ($a<b$), чтобы дробь

$$\frac{(a+x_1)(x_1+x_2)(x_2+x_3)\dots(x_n+1+x_n)(x_n+b)}{x_1x_2\dots x_n}$$

приняла наименьшее возможное значение?

13. Сумма нескольких неотрицательных чисел равна 3, а сумма квадратов этих чисел больше 1. Докажите, что из этих чисел можно выбрать три числа, сумма которых больше 1.

26

Задачи

M661 — M665; Ф673 — Ф677

M661. На берегу круглого озера четыре писания K, L, P, Q. От писания K отплывает ктер, от L — лодка. Если ктер поплывет прямо в P, а лодка — прямо в Q, то они столкнутся в некоторой точке X озера. Докажите, что если ктер поплывет в Q, а лодка в P, то они достигнут этих писаний одновременно.

H. Васильев

M662. В копилке собрано четыре рублей медными монетами. Докажите, что эти монетами можно заплаать три рублей бездачи.

A. Куширенко, Г. Куширенко

M663. Наjdите все простые числа p, для которых число 2^p + p^2 — тоже простое.

C. Майзус

M664*. Дан четырехугольник ABCD площади S. Обозначим точки пересечения высот треугольников ABC, BCD, CDA, DAB через H, K, L, M соответственно. Докажите, что площад четырехугольника HKLM тоже равна S.

B. Батырев, В. Трофимов

M665*. Световое табло состоит из нескольких лампочки, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние у некоторого набора лампочки (для каждой кнопки — сво его). Вначале лампочки не горят.

a) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, — степень двойки.

b) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из m×n лампочки, расположенных в форме прямогольника, если кнопками можно переключить каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд лампочки (проверьте ваш ответ для необходимости значений m, n)?

b) Придумайте другие примеры табло и наборов (переключаемых кнопками), в которых можно найти число узоров.

H. Гриберг, ученица 10 класса

Ф673. Груз висит на упругой нити. Если к грузу прикладывать силу, медленно нарастую от

27

нулевого значения, то нить оборвется, когда величины силы достигнет значения $F_1$. При какой минимальной величины силы оборвется нить, если прикладываемая сила мгновенно достигает некоторого значения и в дальнейшем остается неизменной?

Г. Баронов

Ф674. Серный ангидрид $SO_3$ в количестве $\gamma_1 = 1$ моль поместили в замкнутый сосуд и нагрели до температуры $T_1 = 1000$ К, при которой $SO_3$ частично диссоцирует на сернистый ангидрид $SO_2$ и кислород: $SO_3 = SO_2 + \frac{1}{2}O_2$. Степень диссоциации в этих условиях оказывается $\alpha_1 = 0,2$ (то есть диссоцировали 20% первого иимевшихся молекул $SO_3$). Когда в тот же сосуд поместили $n_2 = 0,4$ моль $SO_3$, то оказалось, что для получения такого же, как в первом опыте, давления газ надо нагреть до температуры $T_2 = 200$ К. Определить степень диссоциации $SO_3$ во втором опыте. Все вещества в обихах опытах находятся в газообразном состоянии.

В. Белонуккин

Ф675. Для изменения больших токов в цепи $CC$ (рис. 1) используется шунт Ш, паралельно которому через сопротивления $R_1 = 2$ Ом и $R_2$ подключается изменительный прибор Г с внутренним сопротивлением $r = 10$ Ом. В положении $A$ переключителя П все шкара прибора соответствует току в цепи $I_1 = 10$ А. Каким надо взять сопротивление $R_2$, чтобы в положении $B$ переключителя П все шкара прибора соответствовала току $I_2 = 100$ А?

Сопротивление шунта считать много меньше внутреннего сопротивления прибора.

Л. Луцанский

Ф676. Проволочный квадратной рамке с перimetром $4a$ и массой $m$ сообщают в горизонтальном направлении некоторую начальную скорость. Рамка движется в вертикальной плоскости, все время нахождения в магнитном поле, перpendикулярном плоскости рамки (рис. 2). Индукция поля меняется по закону $\cdot B(z) = B(0) + kz$, где $k = const$. Сопротивление рамки равно $R$. Через некоторое время скорость рамки становится постоянной и равной $v$. Найти начальную скорость, сообщаемую рамке. Ускорение свободного падения $g$.

В. Можаев

Ф677. С помощью системы концентрических зеркал (рис. 3) на экран получено изображение Солнца. Радиусы зеркал $R_1 = 12$ см, $R_2 = 30$ см. Каково должно быть фокусное расстояние тонкой линзы, чтобы с ее помощью получалось изображение Солнца такого же размера?

Е. Кузнецов

28

Решения задач
M611—M615; Ф618—Ф622

М611. На хорде АВ окружности с центром О берется произвольная точка M. Через точки A, M и O проводится окружность, пересекающая первую окружность в точках A и C. Докажите, что $|MB| = |MC|$.

Пусть $\widehat{ABC} = \beta$. Тогда $\widehat{AOC} = 2\beta$, так как $\widehat{ABC}$ и $\widehat{AOC}$ — вписанный и соответственно центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дуг AC данной (черной — см. рисунок) окружности.

С другой стороны, $\widehat{AMC}$ и $\widehat{AOC}$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дуг AC построенной (голубой) окружности (расположенную в нечерной окружности). Поэтому $\widehat{AMC} = 2\beta$.

$AMC$ — внешний угол треугольника MBC. Значит, $\widehat{MCB} = \widehat{AMC} - \widehat{MBC} = \beta$. Из $\widehat{MCB} = \widehat{AMC}$ следует $|MB| = |MC|$.

Это решение годится (в отличие от некоторых решений, присланных читателями) для любого расположения точки M на [AB], кроме того случая, когда M совпадает с серединой хорды AB. В этом последнем случае голубая окружность касается черной, точки A и C слияются и равенство $|MB| = |MC|$ превращается в равенство $|MB| = |MA|$.

Подумайте, останется ли доказанное утверждение верным, если M взять на продолжении отрезка AB.

Н. Васильев

М612. Возрастющая последовательность натуральных чисел ($a_n$) такова, что $a_{n+1} \leq 10a_n$. Докажите, что если все числа $a_n$ записьят рядом (без пробелов и запятых), то полученная последовательность цифр не будет перiodичной.

Допустим, что у нас получилась периодическая последовательность цифр и что длина перiodа (количество цифр в нем) равна T. Легко видеть, что число $a_{n+1}$ может быть «длиннее» числа $a_n$ не более чем на один разряд (и, разумеется, не короче). Поскольку последовательность ($a_n$) — возвращающая, в ней есть числа любой длины, большей, чем длина $a_1$. Поэтому в ней неверняя найдется число $a_m$, длина которого $kT$ кратна перiodу (см. рисунок). Первые $kT$ цифр числа $a_{m+1}$ должны совпадать с цифрами числа $a_m$, поэтому у $a_{m+1}$ есть еще один разряд ($a_{m+1} > a_m$), и в нем обязательно стоит нуль ($10a_m \geq a_{m+1}$). Но тогда первая цифра в записи $a_m$ — нуль, что, конечно, невозможно.

Заметим, что если условие $a_{n+1} \leq 10a_n$ заменить чуть-чуть более слабым: $a_{n+1} \leq 10a_n + 1$ или $a_{n+1} \leq (10 + \varepsilon)a_n$, где $\varepsilon$ — произвольное положительное число, то полученная последовательность цифр может оказаться периодической.

И. Клумова

М613. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники ADB, BEC и CFA ($|AD|/|DB| = = |BE|/|EC| = = |CF|/|FA| = k$, $ADB = BEC = CFA = \alpha$). Докажите, что a) середины отрезков AC, DC, BC и EF — вершины параллелограмма; b) у этого параллелограмма два целых именуются a, а отношение длины сторона равно k.

Обозначим через $\vec{a}'$ вектор, получащийся из вектора $\vec{a}$ поворотом на угол a против часовой стрелки. (Известно, что $(k\vec{a})' = k\vec{a}'$ для любого числа $k$, $(\vec{a} + \vec{b})' = \vec{a}' + \vec{b}'$, и вообще, для любого числа слагаемых, $(\vec{a} + \vec{b} + \dots + \vec{c})' = \vec{a}' + \vec{b}' + \dots + \vec{c}'$.) Введем векторы $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{EB} = \vec{b}$, $\vec{FC} = \vec{c}$ (см. рисунок).

По условию $\vec{DB} = \frac{1}{k}\vec{a}'$, $\vec{EC} = \frac{1}{k}\vec{b}'$, $\vec{FA} = \frac{1}{k}\vec{c}'$.

Поскольку $\vec{AD} + \vec{DB} + \vec{BE} + \vec{EC} + \vec{FC} + \vec{FA} = 0$, $\vec{a} + \frac{1}{k}\vec{a}' - \vec{b} + \frac{1}{k}\vec{b}' - \vec{c} + \frac{1}{k}\vec{c}' = 0$, то есть $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \frac{\vec{a}' + \vec{b}' + \vec{c}'}{k} = \frac{1}{k} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})'$.

Обозначив $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ через $\vec{u}$, получим $\vec{u} - \frac{1}{k}\vec{u}' = 0$. (*)

Поскольку векторы $\vec{u}$ и $\vec{u}'$ неколлинеарны ($\alpha \neq 0$ и $\alpha \neq 2\pi$), равенство (*) возможно тогда, когда $\vec{u} = \vec{0}$. Поэтому $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.

29

Далее так как $Q$ — середина $[DC]$ и $P$ — середина $[AC]$ (см. рисунок), $\overrightarrow{QP} = \frac{1}{2} \vec{a}$. Аналогично $\overrightarrow{QR} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB}$. Из $(PQ) \parallel (AD)$ и $(QR) \parallel (BD)$ следует $PQR = \alpha$.

Наконец,

$$\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{RC} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FS} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} - \vec{c} + \frac{1}{2} \overrightarrow{FE} =$$

$$= \frac{1}{2} \left( -\vec{b} + \frac{1}{k} \vec{b}' \right) - \vec{c} + \frac{1}{2} \left( \vec{c} - \frac{1}{k} \vec{b}' \right) = -\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{a}}{2} = \overrightarrow{QP}$$

Таким образом, четырехугольник $PQRS$ — параллелограмм с углом $PQR$, равным $\alpha$, и отношением длины сторона $|PQ|/|RQ| = |AD|/|DB| = k$.

Л. Купцов

**M614. Для каждого натурального $n$ через $S(n)$ обозначим сумму цифр всех натуральных чисел от 1 до $n$ (в десятичной записи):

$S(1) = 1, S(2) = 3, S(3) = 6, \dots, S(9) = 45, S(10) = 46, S(11) = 48, S(12) = 51, \dots$

а) Найдите $S(100)$.

б) Докажите, что $S(10^k - 1) = 45k \cdot 10^{k-1}(*)$ для всех $k = 1, 2, \dots$

в) Докажите, что для двумя натурального числа $\overrightarrow{ab}$

$$S(\overrightarrow{ab}) = 5a^2 + ab + 41a + b(b+1)/2.$$

е) Найдите аналогичную формулу для трехначных чисел.

д) Вычислите сумму $S(1980)$.

Выведем общую формулу для $S(\overrightarrow{a_k a_{k-1} \dots a_1})$. Представим эту сумму в виде $a_k + 1$ слагаемых, отдельно вычислив ее для чисел с $k$-м разрядом 0, 1, …, $a_k - 1$ и $a_k$ соответственно.

Первые $a_k$ слагаемых однозначно: в них на цифры, стоящие в менших, чем $k$, разрядах, никаких ограничений не накладываются. Если $k$-й разряд равен $b$ (причем $0 \leq b \leq a_k - 1$), то сумма цифр всех таких чисел равна $10^{k-1} \cdot b + S(10^{k-1} - 1)$ (вклад от $k$-й цифры и от остальных цифр соответственно). $(a_k + 1)$-е же слагаемое (когда $k$-м разряде стоит цифра $a_k$) выглядает так: $a_k \cdot (\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1} + 1) + S(\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1})$ (снова вклад от $k$-й цифры и остальных разрядов соответственно).

Okончательно для $S(\overrightarrow{a_k \dots a_1})$ получаем

$$S(\overrightarrow{a_k \dots a_1}) = a_k \cdot (\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1} + 1) + S(\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1}) +$$

$$+ 10^{k-1}(0 + 1 + \dots + (a_k - 1)) + a_k \cdot S(10^{k-1} - 1) =$$

$$= a_k \cdot (\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1} + 1) + S(\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1}) + 5 \cdot 10^{k-2}a_k(a_k - 1) +$$

$$+ a_k \cdot S(10^{k-1} - 1).$$

Осталось вычислить $S(10^{k-1} - 1)$. Если воспользоваться уже выведенной формулой, получим

$$S(10^{k-1} - 1) = 9 \cdot 10^{k-2} + S(10^{k-2} - 1) + 5 \cdot 10^{k-3} \cdot 9 \cdot 8 +$$

$$+ 9 \cdot S(10^{k-2} - 1) = 10 \cdot S(10^{k-2} - 1) + 45 \cdot 10^{k-2}.$$

Если считать уже доказанным, что

$$S(10^{k-2} - 1) = 45(k - 2) \cdot 10^{k-3},$$

получим формулу

$$S(10^{k-1} - 1) = 45(k - 1) \cdot 10^{k-2},$$

позному достаточно доказать (*) (см. п. 6) условия для $k = 1$.

Имеем $S(10 - 1) = 45 \cdot 1 \cdot 10^\circ = 45$ — формула (*) верна. Итак, $S(10^k - 1) = 45k \cdot 10^{k-1}$ — мы доказали утверждение 6) задачи.

Для двумя значениями этого дает

$$S(\overrightarrow{a_2 a_1}) = a_2(a_1 + 1) + S(a_1) + 5a_2(a_2 - 1) +$$

$$+ 45a_2 = a_2(5a_2 + a_1 + 41) + \frac{a_1(a_1 + 1)}{2} -$$

— см. пункт в задачи.

Для трехзначных чисел

$$S(\overrightarrow{a_3 a_2 a_1}) = a_3((\overrightarrow{a_2 a_1} + 1) + 900 + 50(a_3 - 1)) + S(\overrightarrow{a_2 a_1}) =$$

$$= a_3(50a_3 + \overrightarrow{a_2 a_1} + 851) + a_2(5a_2 + a_1 + 41) + \frac{a_1(a_1 + 1)}{2}.$$

(B частности, $S(100) = 901$).

Наконец,

$$S(1980) = 980 + 1 + 45 \cdot 3 \cdot 10^2 + S(980) =$$

$$= 13500 + 981 + 9(450 + 80 + 851) + 8(40 + 41) = 27558.$$

И. Клумова

31

ем $F = 10$ см. Точку смесили на расстояние $h = 5$ см в плоскости, перpendикулярной.elавной оптической оси. На сколько и куда надо смесить линзу, чтобы избрание светящейся точки вернулось в старое положение?

перемещать в направлении, противоположном направлению перемещения точки.

При смесении точки $A$ в точку $A'$ оптический центр линзы надо смесить из точки $O$ в точку $O'$ такую, чтобы точки $A', B, O'$ лежали на одной прямой. В новом положении линзы ее оптическая ось $N'N'$ должна быть паралелна прямой $NN$.

Из рисунка видно, что расстояние $x$, на которой надо смесить оптический центр линзы, удовлетворяет условияю

$$\frac{x}{h} = \frac{f}{d-f} \Rightarrow x = \frac{hf}{d-f}.$$

Незвесное значение $f$ найдем по формуле рассеивающей линзы:

$$\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = -\frac{1}{F} \Rightarrow f = \frac{dF}{d+F}.$$

Таким образом,

$$x = \frac{hF}{d} = 1,25 \text{ см.}$$

А. Изеренин, С. Манида, В. Саулит

Ф620. Если в центр квадратного стола поставить предмет массой, большей $m$, пожки стола сломаются. Найти множество точки стола, куда можно поставить предмет массой $m/2$, не боясь поломки стола.

Чтобы ножки стола не ломались, сила, действующая на каждую ножку, не должна быть больше $m/4$ (это следует из условия задачи). Посмотрим, какая сила $f_1$ действует на ножку $I$ (рис. 1), когда на столе стоит груз массы $m/2$ в точке с координатами $x, y$ (за начало отсчета принята точка $I$).

Пусть $f_2, f_3, f_4$ — силы, действующие на ножки $II, III, IV$ соответственно. Очевидно, что действие сил $f_1$ и $f_2$ эквивалентно действию силы $f_{1-2} = f_1 + f_2$, приложенной в точке $A$ с координатами {0; $y$}, а действие сил $f_3$ и $f_4$ эквивалентно действию силы $f_{3-4} = f_3 + f_4$, приложенной в точке $B$ с координатами { $l$; $y$} (длина стороны стола равна $l$). Запишем условия равновесия стола:

$$f_{1-2} + f_{3-4} = \frac{mg}{2},$$

$$f_{1-2} x = f_{3-4} (l - x).$$

Отсюда

$$f_1 + f_2 = f_{1-2} = \frac{mg}{2} \frac{l-x}{l}.$$

С другой стороны, $f_1 y = f_2 (l - y)$, откуда

$$f_1 = f_2 \frac{l-y}{y}.$$

Из (1) и (2) находится

$$f_1 = \frac{mg}{2} \frac{(l-x)(l-y)}{l^2}.$$

Чтобы ножка не сломалась, должно выполнять условия

$$f_1 = \frac{mg}{2} \frac{(l-x)(l-y)}{l^2} < \frac{mg}{4},$$

то есть груз массы $m/2$ может стоять в точке, координаты которой связаны соотношениям

$$y > l \left(1 - \frac{l}{2(l-x)}\right).$$

График функции $y(x) = l \left(1 - \frac{l}{2(l-x)}\right)$ изображен толь-

32

Ф621. Конеч нити, намотанной на катушку, перекинуть через бытный в стену звездь (см. рисунок). Нить тянут с постояной скоростью v. С какой скоростью движется центр катушки в тот момент, когда нить составляет угол а с вертикалью? Внешний радиус катушки равен R, внутренний — r.

Если нить тянут так, как показано на рисунке, катушка будет катиться вправа, вращаясь при этом по часовой стрелке вокруг движения и линейной скорости вращательного движения с угловой скоростью ω на направление нити равна v:

$$v_0 \sin \alpha - \omega r = v$$

(v₀ — модуль искомой скорости). Из-за отсутствия проскальзывания катушки по горизонтальной поверхности сумма проекций соответствующих скоростей для точки C равна нулю:

$$v_0 - \omega R = 0.$$

Полученные уравнения дают

$$v_0 = v \frac{R}{R \sin \alpha - r}.$$

Очевидно, что при R \sin \alpha = r (это соответствует случаю, когда точки A, B и C лежат на одной прямой) выражение для v₀ теряет смысл. Заметим также, что найденное выражение описывает движение катушки как вправо (когда точка B находится слева от прямой AC и R \sin \alpha > r), так и вплево (когда точка B находится справа от прямой AC и R \sin \alpha < r).

С. Кротов

Ф622. Когда и во сколько раз больше абсолотная влажность воздуха (плотность воздуха) в нюбре при температуре t₁ = 0°С и влажности 95% или в нюле при t₂ = 35°С и влажности 40%, если давление насыщенного пара при t₁ = 0°С равно p₁ = 6 · 10²Па, а при t₂ = 35°С равно p₂ = 5,5 × 10³Па?

Давление водыных паров при относительной влажности α равно

$$p = \alpha p_H,$$

где p_H — давление насыщенных паров при данной температуре. Плотность водыных паров (абсолотную влажность) найдем из уравнения газового состояния:

$$pV = \frac{m}{\mu} RT \Rightarrow \varrho = \frac{m}{V} = \frac{\mu p}{RT} = \frac{\mu a p_H}{RT}.$$

Отношение плотностей водыных паров q₂/q₁ в нюле и в нюбре при заданных в задание условиях (α₂ = 0,4, T₂ = 308 K, p_H₂ = p₂ = 5,5 · 10³Па, α₁ = 0,95, T₁ = 273 K, p_H₁ = p₁ = 6 · 10²Па) равно

$$\frac{q_2}{q_1} = \frac{\alpha_2 p_2}{\alpha_1 p_1} \cdot \frac{T_1}{T_2} \approx 3,4.$$

Таким образом, в сухом нюле (выжность 40%) в воздухе в 3,4 раза больше водыных паров, чем в сыром нюбре (выжность 95%).

В. Белонуккин

33

Задания

1. Вырежьте из картона фигуры, изображенные на рисунке. Попробуйте сложить квадрат, используя a) каждую из них, кроме квадратка, по одному разу; б) все пять фигура по одному разу; в) каждую из фигура по два раза. (Цифрами 1 и 2 на рисунке указаны относительно размеры фигур.)

2. Найдите, чем равен МИНУС в примере на умножение, изображенное на рисунке (одинаковым буквам соответствует одинаковые цифры, разным — разные).

3. В сорока пяты кружочках, сложенных в треугольник ABC (см. рисунок), просталены цифры от 1 до 9 (каждая цифра повторяется по пять раз, причем никакие две одинаковые цифры не являются соседними). Из вершины A до стороны BC можно добраться 256 различными путями. Но только один из них проходит через все две цифры. Найдите этот путь.

Попытайте также найти аналогичные пути из вершин B и C до сторона AC и BC соответственно.

4. Найдите все пятизначные числа с таким свойством: каждая цифра числа строго больше суммы цифр, стоящих правее нее (в частности,четвертая цифра больше пятой).

5. В Советском Союзе населене составляет 260 млн. человек. Казалось бы, на карте СССР с масштабом 1:1 000 000 (в 1 сантиметре 10 километров) может помещаться в миллион раз меньше людей, чем на всей территории страны, то есть может помещаться 260 человек. Однако из опыта известно, что и пяты десяткам человек это будет нелегко сделать. Почему?

Эти задания нам предложили
H. Антонович, Г. Гальперин,
B. Дубровский, А. Швецов

34

С. Дворянинов

Узоры и…
арифметика

Рисунок, который вы видите перед собой (рис. 1), получен с помощью несложного устройства, называемого спироэграфом. И хотя спироэграф продается в магазинах игрушек, он интересен не только школьникам младших классов, но и старшеклассникам, да и люди постарше. С его помощью можно вычерчивать разнообразные кривы. Наверное, многие после того как получат несколько прекрасных рисунков, захотят разобраться — как же они получаются?

Спироэграф состоит из набора колес и двух колес с зубцами одного размера. Они изготовлены из произвольной пластмассы. Колеса имеют 24, 32, 52, 60, 63, 72 и 80 зубцов. На внутренней стороне одного колца 96 зубцов, на внешней — 144; на другом колце соответствен 105 и 150 зубцов. В каждом колесе и колце имеется несколько небольших отверстий. Чтобы привести спироэграф в действие, надо одной рукой прижать колцо к бумаге или закрепить его булавками на планшетке, колесо поместить внутри колца (или вне него) и совместить их зубцы (рис. 2). Затем следует уkreпить острие шариковой ручки в одном

Рис. 1

35

из ответный в колесе и врашать колесо без просkalzbывания по колъцу. При этом острие ручки будет вычерчивать на бумаге некоторую кривую. После нескольких оборотов кривая замкнется. Почему это так, мы сейчас обьясим.

Пусть $R$ — радиус колца, $r$ — радиус колеса, $\varphi$ — расстояние от центра колеса до ответия, в котором укреплена ручка. При врашении колеса острие ручки будет дивгаться по листу бумаги в некоторой колъевой области. Ее внешний радиус $R_{\text{внешн.}} = R - r + \varphi$, внутриний — $R_{\text{внутр.}} = R - r - \varphi$. Из последней формулы видно, что если, например, $r = \frac{3}{4}R$, $\varphi = \frac{1}{4}R$, то кривая окажется уже не в колъце, а в круге, так как при этом $R_{\text{внутр.}} = 0$.

Пусть на колце имеется $N$ зубцов, на колце — $n$. Предположим, что после того, как колесо совершило $K$ оборотов вокруг центра и $k$ оборотов по колъцу, оно вернулось в исходное положение, а острие ручки оказалось в начальной точке. При этом вычерчиваемая кривая замкнулась, и при дальнейшем врашении колеса новой кривой не получится — острие ручки будет повторять уже пройденный путь. Нетрудно сообщать, что в момент, когда кривая замкнулась, выполняется равенство

$$Kn = kN = D. \quad (*)$$

Поскольку для любых натуральных чисел $N$ и $n$ найдет числа $K$ и $k$, удовлетворяющие равенству (), всякая вычерчиваемая с помощью спирографа кривая окажется замкнутой. При этом числа $K$ и $k$ — это такие наименьшие целые, при которой выполнен равенство (), а $D$ — наименьшее общее кратное чисел $N$ и $n$. На основе этого можно было бы так считать НОК двух чисел $m$ и $M$: сделать колесо с $m$ зубцами, колъю — с $M$ и, врашая колесо внутри колъца до тех пор, пока кривая не замкнется, считать, сколько оборотов сделает колесо вокруг собственного центра (число $K$), или сколько оборотов — по колъцу (число $k$). Затем по формуле (*) вычисляется величины $D = \text{НОK}(m, M)$.

При данных $N$ и $n$ вид кривой зависит от $\varphi$. На рисунках 3 и 4 $N = 96$, $n = 60$, $K = 8$, $k = 5$, но на рисунке 3 величины $\varphi$ больше, чем на рисунке 4. Постепенно увеличивая или уменьшая $\varphi$, то есть используя разные ответия в колесе, можно проследить как деформаруются получаемые кривые при изменении величины $\varphi$.

Число $K$ легко определять по рисунку — оно совпадает с количеством самых удаленных от центра колца точек кривой. На рисунках 3 и 4 эти точки занутерованы в порядке их прохождения.

При вычерчивании кривых лучше поступать наоборот. В тех случаях, когда $N$ и $n$ немного общих делителей (например, $N = 105$, $n = 72$), для получения замкнутой кривой колесо должно сделать большее количество оборотов. Чтобы определить момент, когда кривая замкнется, следует заранее сосчитать число $K$ ировно столько раз прокатить колесо по колъцу.

Знакомые с irrationalными числами могут представить себе идеальный спирограф — в нем на колесе и колъце нет зубцов, но колесо

36

двигается по кольцу без просkal-
зывания. Пусть $l$ — длина окружности колеса, $L$ — длина окружности кольца, по которой перемещается колесо. Если числа $l$ и $L$ не совпадаемыми (например, число $l$ — рациональное, $L$ — irrationalное), то вычерчиваемая кривая никогда не замкнется, потому что ни при каких натуральных $K$ и $k$ равенство $Kl=kL$, соответствующей (*), не может быть выполнено. Однако след от острия ручки имеет конечную ширину, а потому после достаточно большого количества оборотов колеса мы получим на бумаге целиком закрашенное кольцо. Сходная картина возникнет при больших взаимно простых числах $N$ и $n$ (например, 105 и 52). Если же предположить, что след от острия ручки — это идеальная математическая линия, то получающая при несовизмеримых $l$ и $L$ кривая будет расположена в соответствующей кольцевой области всюду плотно (то есть траектория движения острия ручки к любой точке внутри области подходит как уголно близко). Подобные траектории возникают в разных математических задачах и изучаются, например, в теории дифференциальных уравнений.

В тех случаях, когда величина $q$ близка к $r$, описываемые спирографом траектории близки к известным кривым, имеющим специальные названия*). Когда колесо катится по внутренней стороне кольца, получается зипоцклопда. В частности, при $N=96$, $n=24$ получается астрода (рис. 5). Если колесо катится по кольцу из внеш или по другому колесу, то вычерчиваемая кривая близка к эпццклопде (при $q$ близком к $r$; рис. 6). Кардиоид (рис. 7) получается при использовании двух одинаковых колес. Если же заставить колесо катиться без просkalзывания по прямой, а величины $q$ взять по-прежнему близкой к $r$, то получится кривая, похожая на циклопду.

И в заключение — несколько советов тем, кто сам захочет смастерить спирограф. Кольцо можно вырезать из плотной резины или линолеума, колеса — из оргстекла, произной пластмассы или изготовить их других материалов, у которых достаточно большой коэффициент трения. Следует только заранее расчитать отношение $L:l$; например, можно взять относение равным 4:3, 3:1, 7:5. В колесах на разных расстояниях от центра следует просверлить несколько ответственный по диаметру стержня ручки.

*) Более подробно об этих кривых можно прочесть в следующих номерах «Кванта»: 1975, № 8, № 12; 1977, № 12.

37

По страницам школьных учебников

М. Гельфанд, В. Берман

Десять задач на применение произвольной

Предлагаемые задачи адресованы девятиклассикам. Для их решения требуется понимание геометрического и физического смысла произвольной, а также умение судить о свойствах функций по ее графику.

Задача 1. На каждом из рисунков 1, а—и изображены графики зависимости от времени $t$ координаты $x(t)$ и скорости $v(t)$ материальной точки, движущейся по квадратическому закону $x(t) = pt^2 + qt + r$ вдоль координатной прямой. Восемь издевяты графиков скорости неверные. Установите, какие именно. В чем состоит допущенные ошибки? Найдите правильный рисунок.

Указание. Воспользовитесь тем, что $v(t) = x'(t) = 2pt + q$, поэтому графиком скорости является прямая, тангенс угла наклона которого к оси $t$ равен $2p$. Точка $t = -\frac{q}{2p}$, в которой эта прямая пересекает ось $t$, является точкой экстремума функции $x(t)$.

Задача 2. На каждом из рисунков 2, а—г схематически изображены графики зависимости от времени координаты $x(t)$ и скорения $a(t)$ материальной точки, движущейся вдоль координатной прямой по такому же закону, как и в задаче 1. Известно, что при построении некоторых графиковускорения допущены ошибки. Установите, какие из рисунков-

Рис. 1.

Рис. 2.

38

Ков правильны, а какие нет. В чем заключаются допущенные ошибки? Нарисуйте правильные графики.

Указание. Если $x(t) = pt^2 + qt + r$, то $a = v'(t) = 2p$ (см. «Алгебра и начала анализа 9», п. 53), то есть графиком ускорения в данном случае является прямая, параллельная оси $t$ и проходящая через точку $(0; 2p)$.

Задача 3. На каждом из рисунков 3, $a - b$ черным цветом изображен график зависимости от времени $t$ ускорения $a(t)$ движущейся прямойной/materialной точки. Ученик попытался, опираясь на этот график, построить один из возможных графиков скорости $v(t)$ движения той же точки (линии красного цвета). Однако при этом он допустил ошибки. Помогите ученику найти допущенные им ошибки. Нарисуйте правильные графики скорости.

Указание. Воспользовитесь признаками монотности функции (см. «Алгебра и начала анализа 9», п. 54).

Задача 4. Через поперечное сечение проводника протекает заряд. График зависимости заряда $q$ от времени представлен на рис. 4, $a$. Ис