Квант 1981, №4 · Страницы

КВАНТ 4
1981

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Космонавты Валерий Рюмин и Леонид Попов у звездного глобуса в планетарии Центра подготовки космонавтов именя Ю. А. Гагарина.

Фото А. Моклецова

1

В НОМЕРЕ:

2. Подвиг Гагарина бессмертен
   Ученые обращаются к молодежи
3. А. Просоров. О становлении молодого ученого
4. Международные космические экспедиции
5. Малый интеркосмос
6. В. Ланце, Т. Ланце. Об удельной мощности человека и Солнца (или почему у комара «холодная кровь»)
7. И. Яелом. Соединим две точки отрезком
   Математический кругжок
8. Н. Вагутен. Формула площади
9. С. Сефибеков. О площади многоугольника
   Задачик «Квант»
10. Задачи М676 — М680; Ф688 — Ф692
11. Решения задач М628, М630 — М635; Ф638 — Ф646
    «Квант» для младших школьников
12. Задачи
13. Г. Гальперин. Бильярд
    По страницам школьных учебников
14. В. Рыжик. Задачка как задача
    Практикум абитуриента
15. Н. Ростовцев. Приближенные вычисления при решении задачи по физике
16. Н. Розов. Читатель советуют
    Варианты вступительных экзаменов вузы в 1980 году
17. Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола
    Искусство программирования
18. Ю. Первин. Трехадресные, одноадресные и … безадресные машины
    Информация
19. В. Орлов. VII Всеросский слет юных рационализаторов и конструкторов
20. Шахматная страница
21. Ответы, указания, решения
    Шахматный конкурс (3-я с. обложки)
    Смесь (39, 57)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1981

О становлении молодого ученого

Обращаясь к молодежи, считаю необходимым обсудить вопрос об авторитете старших и самостоятельности молодых.

Надо сказать, что этот крайне важный вопрос возникает очень рано, при выборе молодым человекаом поля деятельности. Этот выбор должен делаться по признанию, а не по принятому мнению среды, близкого округжения, не по мнению родителей, не из представных соображений. Авторитеты надо уважать, присущивать к их мнению, учитывая их и использование их опыт, но не следовать им слепо, если есть способность к собственному мышлению, если есть собственное мнение. Другое дело, что это собственное мнение не должно быть капризом или данью mode, оно должно быть творческим формировано и даже выступано молодым человекам при естеороннем полном и глубоком учете опыта, мненной, советов авторитетных для него людей.

Надо сказать, что без способности к собственному мышлению, без умения выработать собственное мнение, без желания это мнение отстаивать бессмысленно даже пытается выбирать для себя в качестве поля деятельности научно-исследовательскую работу.

Но вот выбор сделан, необходимое для начала образование получено, молодой человека приступает к научно-исследовательской работе. Крайне важно для него теперь сохранить и дальше развивать умение учиться, ос-

Академик Алексаандр Михайлович Прожоров — лауреат Нобелевской, Ленинской и Государственных премей, академик-секретарь Отделения общей физики и астрономии, заместитель директора Физищеского института имени П. Н. Лебедева Академии наук СССР.

Статья перепечатается из сборника «Ленин. Наука. Молодежь» (М., «Наука», 1980).

4

мысливая опыт старших и выработывая свое собственное отношение к этому опыту.

Надо сказать, что роль руководителя исключительно важна именно на начальном этапе работы молодого научного работника. При этом неважно, называется ли молодой человек студентом-дипломником, студером-исследовательем, аспирантом или младшим научным сотрудником. Особое значение на этом этапе имеет постановка задачи исследования. Именно в ней концентрируется накопленный руководителем опыт, его понимание сутки дела, проявляется его интуция и, если хотите, его произливость. В момент постановки задачи и на первых шагах ее исследования руководитель, кроме того, обладает большим объемом конкретных знаний по разработываемой теме, чем молодой исследователь. Но если дело поставлено правильно, если руководитель воспитывает в молодом человеке самостоятельность, а тот ее проявляет, то к моменту решения задачи именно он обладает наиболее мощным конкретных знаний по этой проблеме. Долг руководителя — активно интересоватьсяходом выполнения исследования, тщательно смотеть за стилем и характером работы молодого исследователь и аккуратно направлять его усилия.

Здесь снова встает вопрос об авторитете и самостоятельности. Нельзя следовать пероначально поставленной задаче. Исследование, процесс познания закономерностей объективного мира, процесс открытия новых явлений имеет свою собственную логику. При проведенииfundamentальных исследований и опытный руководитель, и творческий одаренный молодой исследователь должен следовать этой логике позанина, не обращать новые возможности, нежидано возникшие при проведении исследования, смело идти новыми путями, казалось бы уводящими в сторону от первого аналогного поставленной цели.

Прекрасным примером правильного сочетания такта руководителя и упорства исследователья является открытие С. И. Вавиловым и П. А. Черековым явления, получившего впоследствии название эфекта Черековова. Задча была поставлена С. И. Вавиловым в плане исследования логистически жидкости под воздействием быстрых электронов. Очень скоро было выясено, что имеет слабое свечение, которое не является примесной логистическей, да и вообще не является логистическей вещества под воздействием электронов. Казалось бы, исследование надо было прекратить. С точки зрения поставленной задачи работы зашла в тупик. Но П. А. Череков проводилось и самостоятельность мышления. Так новое слабое явление было превращено в сильный эфект, играющий, как это хорошо известно, крайне важную роль в современной физике. Надо сказать, что произошло все это при полной поддержке академика С. И. Вавилова — руководителя аспиранской работы П. А. Черековова.

Очень часто исследователь в своей работе приходится предолевать такое психологическое явление, которое можно назвать авторитетом общественного мнения, передко играющим консервативную роль. Это самое трудопределенное превращение. Только ученый, умEOЩий самостоятельное мышление, выработавший в себе, в том числе и под влиянием опитного и тактического учитель, способность формировать свое собственное мнение и умение это мнение отстаивать, может успешно предолевать такое превращение.

5

Великоленным примером является создание академиком П. Л. Капицей и внедренное им в производство турбодетанного ожидителя. Все специальные по машinem глубокого охлаждения, все загубенные фирмы, работающие в этой области, ответгал и дело П. Л. Капицей просто как несерbezную. Только упорство, настоящность, талант физика-экспериментатора и инженера, глубокое понимание физики процессов, играющих крайне важную роль при ожидении газов, позволили П. Л. Капице полностью решить поставленную проблему.

Приведенные яркие примеры относятся к работам, удостовенным Нобелевских premий по физике. Это выдалошее работы, и именно поэтому они привлечены в качестве наглядных примеров для использования простой мысли: плодотворная научная работа немыслima без самостоятельного мышления, и учиться этому надо смолоду.

Надо сказать, что роль руководителя не исчерпивает поставкой задачи и направлением работы молодого исследователья. Точно так же молодой человек должен не только упорно работать над поставленной задачей, восприннимать опыт старших и развивая только свою самостоятельность. Современная исследовательская работа носит по большей части коллективный характер. Научно-исследовательская работа осуществляется в больших laboratorиях, часто работа идет над многими разными темами, связанными, однako, общей большой «сверхзадчей». И здесь крайне важно развивать двух доброжелательства и товарищеской взаимопомощи, уметь радовать успехам друг друга, поддерживать и ободрать друг друга, критковать друг друга, имея преждевое в виду ползу дела, уметь служать критку и правильно восприннимать ее. Всему этому надо учиться.

Роль авторитетного руководителя в создании и сохранении такой подлинного творческого обстановки в коллективе трудно переоценить. С другой стороны, именно молодые исследователь составляют большую и, в силу своей молодости, перспективную часть коллектива. Поэтому их моральный уровень в значительной мере определяет моральный климат коллектива. В вопросах нравственного воспитания коллектива авторитет настоящего руководителя должен быть непререкаемым.

Надо сказать, что крайне эффективно коллективизм и правильная система оценок воспитания на научных семинарах. Руководитель должен так вести семинаар, делая это не навязчиво, но строго, чтобы молодежь надел видела доброжелательность и поддержку нового, принципиального и объективность, высокоую требовательность и конструктивность критики. С другой стороны, именно на семинарах научная молодежь должна учиться не замыкаться только в своей задаче, только в себе, должна учиться приобретать широкую взгляду взглядов и кругозор, должна обогащать свой опыт опитом товаровей.

Сказанное относится к тем сторонам становления личности ученого, которые прямо связаны отношениями учитель — ученик. В этих отношениях больше значение авторитет учителя и самостоятельность ученика.

Говоря кратко, авторитет учитель и самостоятельность их учеников необходимо и для старших и для младших, для успешной работы научно-исследовательского коллектива в целом.

7

Наш фоточерк посвящен trem международным космическим экипажам, которые в 1980 году работали на гостеприимной советской космической станции «Салют-6», плотириумой Леонидом Поповым и Валерием Рюминым. В состав этих экипажей входили Валерий Кубасов и венгерский космонавт Берталан Фаркаш (26 мая — 3 июня), Виктор Горбатко и вветнамский космонавт Фам Туан (23 июня — 31 июня), Юрий Романенко и кубинский космонавт Арналдо Тамайо Мендес (18 сентября — 26 сентября).

Советский Союз еще в 1976 году вывинул идею совместных полетов международных космических экипажей социалистических стран. Дружеская помощь наших специалистов обеспечила успешнуюускоренную подготовку зарубежных космиателей.

В результате выполнения общирной программы научно-технических исследований, разработанной совместно учеными Советского Союза и социалистических стран, получено много ценной информации, которая принесет огромную помощь и народному хозяйству стран социалистического содужества.

Фото 1. Валерий Кубасов и Берталан Фаркаш около тренажера космической станции «Салют».
Фото 2. Виктор Горбатко и Фам Туан в зале тренажеров.
Фото 3. Юрий Романенко и Арналдо Тамайо Мендес отработывают приводение.
Фото 4. Леонид Попов и Валерий Рюмин возле стыкового узла.
Фото 5. Встреча в Звездном. С букетом цветов Арналдо Тамайо Мендес.

В. Лешковцев
Фото А. Моклецова

8

Малый интеркосмос

Центральный Комитет ВЛКСМ, Академия наук СССР, Министерство просвещения СССР, Государственный комитет СССР по профессионально-техническому образования и Всесоюзное общество «Знание» совместно с Федерацией космонавтики СССР и ВЫставкой достиненной народного хозяйства СССР проводят с февраля по ноября 1981 года Всесоюзный конкурс учащихся школа и профессии или лучший проект космического эксперимента, посвященный 20-летию со дня полета Ю. А. Гагарина. Конкурс носит название «Малый интеркосмос». Он проводится в целях дальнейшего развития познавательной активности, фантазии, углубления общественного полезной направления научно-технического творчества учащихся, подготовки их к труду, пропаганды среды школьников и учащихся ПТУ достиненной Советского Союза и стран социалистического содержания в освобождании космического пространства.

В конкурсе могут участвовать как отдельные учащиеся, так и коллективы юных любителей науки и технических, которые представляют интерес для специалистов и могут быть реализованы в ближайшие годы.

Участики конкурса могут разработать и предложить:

— научные эксперименты, с помощью которых можно получить новые знания в астрономии, физике, химии, биологии, медицинские географии, геофизике и других наук;
— технические эксперименты и предложения, направленные на совершенствование имеющейся космической техники (применение новых узлов и прибов, углубление условий работы и жизни космонавтов на станции, организация их доступа), на создание новых систем выведения на орбиту, систем энергетики и связи, транспортивных средств для перемещения космонавтов и грузов в открытом космосе и на небесных телах, а также на использование в космосе применяемых на Земле приборов и устройств;
— технические эксперименты, направленные на создание в космосе промышленных производств (сварка металлов, выращивание кристаллов, получение сплавов);
— прикладные эксперименты, связанные с использованием возможности космонавтики для решения народного хозяйствных задач. Например, геологические, сельское и лесное хозяйство, связи, навигация, охрана окружающей среды, meteorология. К этой группе можно отнести предложения по использованию на Земле достиненной космической техники.

На конкурс могут быть предложены:

— идеи создания новой космической техники, проведения экспериментов или исследований с обеспечением их ценностей и целесообразности; разработанные технические предложения или экизные проекты с чертежами и описаниями; модели, макеты, приборы, конструкции экспериментальных устройств и систем с необходимыми погсенями.

К участю в конкурсе допускают проекты, которые могут быть реализованы в кабине плотируемого и бесплатного космического аппарата, в открытом космосе, на поверхности планет или других небесных тел, проекты наемных устройств, связанных с космонавткой, предложения по использованию в земных условиях средств, применяемых сейчас только в условиях космоса.

Все работы представляют неоспределенное Центральномуоргкомитету до 20 сентября 1981 года. Предложения по проведению технических экспериментов, краткие характеристики и фотографией макетов, модели, приборов направляются на Центральную станцию юных технологий Министерства просвещения РСФСР (103055, Москва, ул. Тихвинская, дом 39). Идеи и проекты научных, технических экспериментов — в Московский городской Дворец по чертежам и школьников (117334, Москва, Воробьевское шоссе, дом 11). Если нарушенheit идеи научного эксперимента изготовлен и может соответствующую прибора, описание приборы высылается вместе с изложением идеи.

Работу следует оформить так, чтобы ее можно было демонстрировать на выставке. Это может быть альбом, тетрадь с приложениями к ней чертежами, фотографией макета или модели с пожертвлением текстом.

Необходимо указать фамилию, имя, отчество, место жительства и занятый автора (класс и номер школа, курс ПТУ, крупок внешкольного учреждения, секция научного общества), кто был руководителем или консультантом работы.

Авторы лучше работы будут приложены в Москову на заключительный этап конкурса, проводимый в ноябре 1981 года. Наблюдаем интересные предложения, приготовленные для реализации на современном этапе, будут включены в программу космических исследований, а также для демонстрации на ВДНХ СССР.

Все участники заключительного этапа будут нагradжены дипломами учащихся и значками. Для них будут организованы эксперименты в Звездный городок, Музей космонавтики, встречи с космонавтами и учеными. По каждому из направлений конкурса определяются по 3 лурегата. Они будут нагradжены имёнными призами Ю. А. Гагарина, К. Э. Пиолковского, С. П. Королева, М. В. Келдыша, вытелами и значками, повышенными в космосе.

(Окончание см. на с. 42)

9

В. Ланге, Т. Ланге

Об уделной мощности человека и Солнца
(или почему у комара «холодная кровь»)

Поток энергии, индейой от Солнца, колосален. Из геофизических измерений следует, что даже в верхних слоях атмосферы Земли, на громадном расстоянии почти в 150 миллионов kilометров от Солнца, каждый квадратный метр, расположенный перpendикULARно солнечный лучам, получает от Солнца ежекундно 1,4 кДж. Эту величины называют солнечной постоянной и обычно обозначают буквой I. Зная, что I = 1,4 кДж/(m²·с) = 1,4 кВт/m², нетрудно найти полную мощность излучения Солнца $P_1^*$). Для этого достаточно умножить солнечный постоянную на площадь сферы, описанной вокруг Солнца, с радиусом $R = 150 000 000$ км:

$$P_1 = I \cdot 4\pi R^2 \approx 4 \cdot 10^{26} \text{Bt.}$$

Конечно, энергетические возможности человека во много раз скромнее. Среднюю мощность $P_2$, развиваемого человека, можно довольно точно оценить по卡尔ийности пищи, потребляемой им в сутки. Как известно, лица, не занимающейся тяжелым физическим трудом, должны получить с пищей ежедневно примерно 12 МДж. Почти все энергия идет на поддержание постоянной температуры человекаого тела и в конечном случае генерируется человекаом в окружающей пространство. (Лишь очень малую часть получаемых 12 МДж человек)

*) $P_1$ называют также полным потоком энергии Солнца. Тогда I можно определить как плотность потока солнечной энергии на расстоянии от Солнца, равном радиусу орбиты Земли.

10

расходет на совершение механической работы). Разделив 12 МДж на длительность суток (86 400 с), получим
$P_2 \approx 140$ Вт.

Таким образом, как генератор энергии Солнце примерно в $3 \cdot 10^{24}$ раз мощнее человека. Тем неожиданнее результат сравнения их удельных (то есть приходящийся на единицу массы) мощностей. Масса $M$ Солнца составляет около $2 \cdot 10^{30}$ кг, массу $m$ человека примет равной 80 кг. Тогда
$$P_1:M=2 \cdot 10^{-4} \text{ Вт/кг},$$
$$P_2:m=1,75 \text{ Вт/кг}$$

— удельная мощность человека оказается почти в 10 000 раз больше, чем у Солнца!

Результат, к которым мы пришли, кажется на первый взгляд совершенно неправедоподобным. Однако так и есть на самом деле.

Как же объясняется этот «парадокс»? Почему Солнце — этот гипотезный термодерный реактор — проигрывает по удельной мощности человека, энергию которого поставляет химическое реакцию, куда больше «слабосильные», чем ядерные?

Ответ на этот вопрос нетрудно получить, если принять, что тепловещеском теле и в Солнце выделяется более или менее равномерно по всему объему. Следовательно, скорость выделения тела прямо пропорциональна объему тела, иными словами — кубу линейного размера. Скорость же теплотдачи пропорциональна площади поверхности тела, то есть квадрату линейного размера. Стало бы, чем больше тела, тем меньше может быть скорость выделения тела, необходимая для поддержания некоторой заданной температуры.

Объем Солнца — порядка $10^{27}$ м$^3$, площадь его поверхности ~ $10^{18}$ м$^2$. Соответствующие параметры тела человека ~ $10^{-1}$ м$^3$ и ~ $1$ м$^2$. Таким образом, отношение объемов Солнца и человека равно ~ $10^{28}$, а отношение площадей поверхности этих тел — порядка $10^{18}$. Образно говоря, на единицу объема Солнца приходится приблизительно в 10 миллиардов раз меньше свободной поверхности, чем у человека. Поэтому не удивительно, что, несмотря на то, что солнечный «обмен веществ» протекает со скоростью всего лишь 0,2 мВт/кг, температура на поверхности Солнца достигает 6000 градусов.

Проиллюстрируем связи между размерами, темпом энерговыделения и температурой тела следующими примерами из жизни животного мира.

Температуры тела млекопитающих отличятся не особенно сильно. В частности, они примерно одинаковы и у слона, и у маленькой полезной мыши. Однако скорость выделения тела в организме слона примерно в 30 раз меньше. Если бы внутри тела слона выделение теплла проискодило с такой же скоростью, как у мыши, то выделяющее теплло не успевало бы покинуть организм слона достагоно быстро, чтобы сохранили нормальную температура, и слон бы «зажарился» в собственной шкуре.

Чем меньше теплокровное животное, тем больше должа быть удельная (то есть в расчете на единицу массы) скорость выделения тела, чтобы скомпенсировать потеря и поддержать температуру тела, обеспечивающую нормальную жизньность организма, тем больше пищи (опять-tаки в расчете на единицу массы) оно должно поглощать. Мальчик-с-пальчик из шрикоизвестной детской сказки должен быть ужесно прохорлив: при одинаковых пропорциях с нормальным человеком ему требовалось бы на 1 кг массы в 20 раз больше пищи.

Самые маленькие млекопитающие на Земле — этурусские мыши — имеют массу всего 1,5 г, а съедают за сутки в два раза больше. Если этурусную мышь оставить без пищи хотя бы на несколько часов, она погибнет. Практические всеся периододствования заняты поисками и поглощением edы колибри (крошечные птички с массой около 2 г, обитающие в Южной Америке). Длительный почной перерыв в этом занятии колибри могут переносить только потому, что температура их тела на это время резко поняжеется.

12

И. Яелом

Соединим две точки отрезком

Древние греки под математикой понимали в первую очередь геометрию. Например, алгебраическое равенство $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ они доказывали с помощью чертежа (рис. 1). Сегодня математика, например, стремительно алгебраизуется — алгебра в своих отношениях с геометрией берет реванш. В последние годы изложение геометрии чаще всего основывают на тех или иных исчислениях (например, на векторном исчислении). Об одном из этих исчислений, очень простом, но неожиданном, поjdет речь в статье.

Умножение точек и фигур

Отрезок с концами $A$ и $B$ часто обозначает символьом $AB$ (рис. 2). Эта запись подсказывает неожиданную терминология: отрезок $AB$ называем произведением точек $A$ и $B$. Аналогично произведением αβ фигур α и β мы назовем обведенное всех отрезков $AB$, где $A \in \alpha$, $B \in \beta$, то есть обведенное всевозможных произведений точек фигуры α на точки фигуры β (рис. 3). Мы уверены, что никакет это неожиданное произведение точек и фигур с обычным произведением чисел.

Каковы же свойства такого умножения точек? Первые из них очевидны:

(a) Умножение точек коммутировно:

$$AB=BA$$

(b) Умножение точек ассоциативно:

$$(AB)C=A(BC)$$

для любых точек $A, B$ и $C$.

В самом деле, произведение $(AB)C$ представляет собой объединение всех отрезков, соединяющих точки отрезка $AB$ с точкой $C$ (рис. 4,a), а произведение $A(BC)$ — объединение отрезков, соединяющих $A$ с точками отрезка $BC$ (рис. 4,б). Таким образом, $(AB)C=A(BC)=ABC$, где $ABC$ — треугольник с вершинами $A, B, C$.

Здесь нам будет удобно объединение фигур α и β называть также их суммой; соответственно, вместе α и β мы будем писать α+β.

(c) Умножение точек дистрибутно относительно их сложения:

$$(A+B)C=AC+BC$$

для любых точек $A, B$ и $C$.

Это ясно, так как произведение пары точек $A+B$ на точку $C$ является объединением отрезков $AC$ и $BC$ (рис. 5).

Следующое свойство умножения точек уже отличается от привченных нам свойств умножения чисел:

(d) Умножение точек идентично:

$$AA=A$$

для любой точки $A$.

Действительно, отрезок $AA$ со слившимся концами — это просто точка $A$.

Свойства (a) — (c) умножения точек переносится и на произвольные фигуры:

(A) Умножение фигур коммутировно:

$$\alpha\beta=\beta\alpha.$$

(B) Умножение фигур ассоциативно:

$$(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma).$$

Фигуру $(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)$ уместно обозначит через αβγ; она представляет собой объединение всех возможных треугольников $ABC$, где $A\in \alpha$, $B\in \beta$, $C\in \gamma$.

13

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
Рис. 6.
(C) Умножение фигур дистрибутивно относительно их сложения:
$(\alpha + \beta)\gamma = \alpha\gamma + \beta\gamma$
(рис. 6).
Однако идемпотность умножения фигур места, вообще говоря, не имеет. Можно утверждать лишь, что
(D) Произведение любой фигуры на себя содержит эту фигуру:
$\alpha\alpha \supset \alpha$.
Рисунок 7 показывает, что фигура $\alpha\alpha$ может не совпадать с $\alpha$. Более того, нетрудно видеть, что для любой фигуры $\alpha$
$\alpha^n \subset \alpha^{n+1}$, где под $\alpha^n$, как обычно, понимается произведение $\underbrace{\alpha\alpha \dots \alpha}_{n\text{ раз}}$.
Упражнения

1. Пусть $A, B, C$ и $D$ — произвольные точки (плоскости или пространства). Докажите, что
   $(AB)(CD) = (AD)(BC) =$
   $= (AC)(BD) = A(BCD) = B(ACD) =$
   $= C(ABD) = D(ABC)$.
   Что представляется собой это произведение четырех точек (его можно обозначить просточерез $ABCD$ без скобок)?
2. Докажите, что $(AB)(AC) = ABC$.
3. Что представляют собой фигуры $a)(A+B)(A+C); 6)(A+B)(C+D);$
   $b)(A+B+C)D; 7)(A+B+C)(D+E)$?
   (В задачах 6) — г) отделно рассмотрите случай, когда все точки принадлежат одной плоскости и когда это произвольные точки пространства.)
4. Что представляет собой произведение а) точки и круга; 6) точки и окружности;$$b) точки и треугольника; 7) точки и контур треугольника; 8) точки и квадрата; e) двух кругов; ж) двух треугольников; з) двух квадратов; и) круга и квадрата?
5. Что представляет собой произведение двух прямых, если эти прямые a) параллельны; 6) пересекаются; в) скрещиваются?

Когда $\alpha\alpha = \alpha$
В аргументке и в алгебре особую роль играют те числа, для которых $a \cdot a = a$. Ясно, что этим свойством обладают лишь замечательные и во многих других отношениях числа 1 и 0.

14

В геометрии также интересно специально рассмотреть такие фигуры $\alpha$, для которых $\alpha^2 = \alpha \alpha = \alpha$. Каждая такая фигура характеризуется тем, что ей принадлежит любой отрезок, соединяющий две точки этой фигуры (рис. 8). Такие фигуры, как вы знаете, называются выпуклыми.

Определению выпуклой фигуры можно придать также следующую элегантную форму: множество точек $\alpha$ называется выпуклым, если оно замкнуто относительно операции умножения точек, то есть, наряду с любыми двумя точками $A$ и $B$, фигуре $\alpha$ принадлежит и произведение $AB$ этих точек.

Легко придумать плоскую фигуру $\beta$, для которого $\beta^2$ не выпуклая. Можно доказать, что для любой плоской фигуры $\beta$ фигура $\beta^3$ является выпуклой; она представляется собой наименьшую выпуклую фигуру, содержащую $\beta$, и называется выпуклой оболочкой фигуры $\beta$. Для фигуры $\beta$, расположенной в трехмерном пространстве, выпуклой оболочкой будет $\beta^4$.

Вообще, для любой фигуры $\beta$, расположенной в $n$-мерном эклидовом пространстве, фигура $\beta^{n+1}$ выпукла, и потому все фигуры $\beta^{n+2}, \beta^{n+3}, \dots$ совпадают с $\beta^{n+1}$.

Теория выпуклых фигура занимает сегодня в математике видное место.

Упражнения

6. Докажите, что произведение двух выпуклых фигура выпуклою.

7. Что представляют собой фигуры $\beta^2; \beta^3; \beta^n$, если $\beta$ — объединение: a) трех точек плоскости; b) четырех точек пространства; c) вершин правильного пятугольника; d) окружности и точки, которая не лежит в плоскости окружности и ortogonalно проектировется в ее центр.

Где умножение, там и деление

В области чисел деление определяется как операция, обратная умножению: число $q$ называется частным чисел $a$ и $b$ (запись: $q=a/b$), если $a$

15

есты произведение $b$ и $q$. Другими словами, записи $q=a/b$ и $a=bq$ имеют один и тот же смысл. Аналогично этому и операцию деления точек мы ведем как обратную для их умножения: если $A \neq B$, то через $A/B$ обозначим множество точек $Q$, для которых $A \in BQ$; положим еще, по определению, $A/A=A$.

В силу определения умножения точек условие $A \in BQ$ означает, что $A$ принадлежит отрезку $BQ$ (рис. 9); таким образом, точка $Q \in A/B$ лежит на проходящей черте $A$ и $B$ прямой и расположена по другую сторону от $A$, чем точка $B$. Итак, частное $A/B$ двух точек — это луч с началом $A$, продолжение которого проходит черте $B$. Можно также сказать, что $A/B$ — это тень, отбрасываемая «кольшком» $A$, освещенным «фонарем» $B$ (рис. 10).

Частное $\alpha/\beta$ двух фигур $a$ и $b$ мы определим как обе имена всех лучей $A/B$, где $A \in \alpha, B \in \beta$, то есть объединение всехозможных частных точек фигуры $a$ на точки фигуры $b$ (рис. 11). Например, если $A$ — точка, то $\alpha/A$ — это тень, отбрасываемая фигурой $a$, освещенной «фонарем» $A$ (рис. 12).

Как легко видеть (см. рис. 13—17), для каждой трех точек $A, B$ и $C$ справедливы следующее соотношение (первые два из них положки на свойства чисел):

$$(A/B)/C = A/(BC),$$
$$(A+B)/C = (A/C) + (B/C),$$
$$A/(B+C) = (A/B) + (A/C),$$
$$(AB)/C = (A/C)(B/C)$$
$$A/(BC) = (A/B)(A/C).$$

Ясно, что для любой фигуры $a$ справедливо включение $\alpha/\alpha \supset \alpha$. Обычный интерес представляют такие фигуры $\lambda$, для которых $\lambda/\lambda = \lambda$. Такие фигуры мы назовем линейными (см. рис. 18).

Уражения

8. Что представляют собой фигуры $A)$ $(ABC)/D; 6)$ $(AB)/(CD); 8)$ $A/(BCD)?$

9. Что представляют собой фигуры $\alpha/\alpha; (\alpha/\alpha)/\alpha; [(\alpha/\alpha)/\alpha]/\alpha; ...$,

если $\alpha$ — объединение трех точек, не лежащих на одной прямой?

10. Запишите с помощью операций умножения и деления точек области, на которых точки $A$ и $B$ делят прямую;

6. три прямые, соединяющие попарно точки $A, B$ и $C$, делят плоскость;

в) четыре плоскости, соединяющие по три данных точки $A, B, C$ и $D$, делят пространство.

В упр. 11—13 приняты такие обозначения: $A$ — точка; $\lambda, \lambda_1, \lambda_2$ — прямые; $\pi, \pi_1, \pi_2$ — плоскости; $\sigma, \sigma_1, \sigma_2$ — окружности; $x, x_1, x_2$ — кругги; $\tau, \tau_1, \tau_2$ — треугольники.

11. Что представляют собой фигуры $a)$ $(A/\lambda; 6)$ $\lambda/A; b)$ $A/\pi; \Gamma)$ $A/\sigma; e)$ $\sigma/A; jx)$ $A/x; 3)$ $x/A; i)$ $A/\tau; k)$ $\tau/A; l)$ $\lambda/\pi; m)$ $\pi/\lambda$?

12. Что представляют собой фигуры $a)$ $\sigma_1/\sigma_2; 6)$ $x_1/x_2; b)$ $\tau_1/\tau_2; \Gamma)$ $\lambda_1/\lambda_2; d)$ $\pi_1/\pi_2$?

В упр. г) отделно рассмотрите случай, когда $\lambda_1$ и $\lambda_2$ пересекаются; параллельны; скрещиваются.

13. Что представляют собой фигуры $a)$ $\sigma/\sigma; 6)$ $x/x; b)$ $\tau/\tau; \Gamma)$ $\lambda/\lambda; d)$ $\pi/\pi$?

14. Докажите, что для любых точек $A, B, C$ справедливо следующее соотношение:

a) $A(B/C) \subset (AB)/C; 6)$ $A/(B/C) \subset (AC)/B; b) (A/B)(C/D) \subset (AC)/(BD); g) (A/B)/(C/D) \subset (AD)/(BC).$

(Аналогичные свойства справедливых и для произвольных фигур.)

15. Докажите, что для любых фигур $a, b, \gamma$ $(\alpha/\beta)/\gamma \subset (\alpha/\gamma)\cap(\beta/\gamma); 6)$ $(\alpha+\beta)/\gamma = (\alpha/\gamma)+(\beta/\gamma); b) \alpha/(β+\gamma) = (\alpha/\beta)+(\alpha/\gamma); g) (\alpha/\beta)/\gamma = (\alpha/\gamma)(\beta/\gamma); d) \alpha/(β\gamma) = (\alpha/\beta)(\alpha/\gamma).$

16. Докажите, что линейная фигура обязаτεльно выпукла.

17. Докажите, что все линейные фигуры плоскости исчерпываются точки, прямыми и все плоскостью; в пространстве линейными фигурами являются точки, прямые, плоскости и все пространство.

18. Условия писать $\alpha \approx \beta$, если у фигур $a$ и $b$ есть хотя бы одна общая точка (для сравнения заметим, что $\alpha = \beta$, если $a$ и $b$ все точки общие).

Докажите, что выполянется следующее изящное правило пропорции: если фигуры $a, b, \gamma, \delta$ таковы, что $\alpha/\beta \approx \gamma/\delta$, то $\alpha\delta \approx \beta\gamma$ (расстояние сначала случай, когда $a, b, \gamma, \delta$ — точки; рис. 18). Докажите также, что $\alpha/\beta \approx \gamma\Leftrightarrow \beta\gamma \approx a$.

«Не ενклидово» умножение точки и фигур

Содержание данной статьи базируется на недавних исследованиям американского геометра Валтера Пенровица. Идея исследования Пенровица (ввсе не рассчитанных на начинающих математиков, какими являются читатели этого журнала) состоит в рассмотрении широкого класса новых «геометрий», отличных от привлечной вам «школьной» гео-

16

метрии Евклида; эти геометрии можно назвать «не ενклидовыми» геометриями. Вот два примера «не ενклидова умножения точек» по Пенровицу:

I. Произведением AB точек A и B на координатной плоскости назовем прямогольник со стороны, параллельными осем координат, «натянутый» на A и B (рис. 19); если прямая, проходящая через точки A и B, параллельна какой-нибудь из осей координат, то прямогольник вырождается в отрезок и произведение AB совпадает, по определению, с тем произведением, которое мы определили ранее.

II. Фиксируем фигуру П, образованную tremя выхождения из одной точки O лучами (рис. 20). Эта фигура будет нашим «универсумом»: будем рассматривать далее только точки, принадлежащие П, и фигуры, являющиеся подмножествами множества П. Под произведением AB точек A∈П и B∈П условиями понимать кратчайшую ломаную, соединишую A и B внутри фигуры П.

После того как определено произведение точек, дословно так же, как и раньше, последовательно определяются произведение фигур, выпуклая фигур, частное точек, частное фигур, линейная фигур. На рисунке 21 изображено частное точек A/B для примера I, на рисунке 22 — частное A/B для примера II (при различных расположениях точек A и B).

Оказывается теория выпуклых фигур в «геометриях Пенровица» имеет очень много обещено с соответствующей теорией в общчной ενклидовой геометрии.

Упражнения

20. Проверьте, что произведение AB и частное A/B точек для примера I удовлетворяет всем свойствам, перечисленным в основной части статьи и в упражнениях. Какие фигуры являются в этой «геометрии» выпуклыми? Какие — линейными?

21. То же для примера II.

Редакционная коллекция журнала «Квант» с глубоким прискорбением извещает читателей о безвременной кончине члена редакционной коллекции известного советского математика члена-корреспондента АН СССР Анатолия Илларионовича Ширшова, последовавшей 28 февраля 1981 года.

17

Математический кругок

Н. Вагутен

Формула площади

В этой статье мы обсуждим полезную формулу, выражающую площад многоугольника через координаты его вершин. При подготовке статьи использовано А. Старцева, приспланное в «Квант» в 1970 году (когда автор был еще школьником).

Комбинации грапейций

Пусть дан многоугольник, расположенный в положительном квадрате $x > 0, y > 0$ и к тому же выпуклый. Занутерум его вершины против часовой стрелки: $A_1(x_1; y_1), A_2(x_2; y_2)$, …, как показано на рисунке 1, где число вершин $n = 5$. Опустим из всех вершин перpendикуляры $A_1H_1, A_2H_2$, …, $A_nH_n$ на ось $x$; их длины равны $y_1, y_2, ..., y_n$.

Площадь грапейции $A_kH_kH_{k+1}A_{k+1}$ равна модulo произведения $(y_k+y_{k+1})(x_k-x_{k+1})/2$. Это произведение положительное при $x_k > x_{k+1}$ и отрицательно при $x_k < x_{k+1}$ (здесь $k$ — одно из чисел 1, 2, …, $n$, причем следующий за $n$ номер $n+1$ надо заменить на 1). Замечательным образом оказывается, что сумма всех $n$ таких однотипных произведений как раз равна площади многоугольника $A_1A_2...A_n$.

Например, для пятугольника на рисунке 1 из пятги произведение

$$\frac{(y_1+y_2)(x_1-x_2)}{2}, \frac{(y_2+y_3)(x_2-x_3)}{2}, \frac{(y_3+y_4)(x_3-x_4)}{2}, \frac{(y_4+y_5)(x_4-x_5)}{2}, \frac{(y_5+y_1)(x_5-x_1)}{2}$$

tri, соответствующие верхним сторонам (синние), положительные, а два, соответствующие нижним сторонам (красные), отрицательные; вычитая из суммы площад синих трапеций сумму площад красных, находим площад пятугольника.

Полученную сумму можно несколько упростить, сократив произведение $x_1y_1, x_2y_2$, ..:

$$S = \frac{(y_1+y_2)(x_1-x_2)}{2} + \frac{(y_2+y_3)(x_2-x_3)}{2} + \frac{(y_3-y_4)(x_3-x_4)}{2} + \frac{(y_4+y_5)(x_4-x_5)}{2} + \frac{(y_5+y_1)(x_5-x_1)}{2} = \frac{(x_1y_2-x_2y_1) + (x_2y_3-x_3y_2) + ... + (x_5y_1-x_1y_5)}{2}.$$

1. Выведите формулу площади выпуклого $n$-угольника при любом $n$.

Основная формула

Итак, площад $S$ выпуклого $n$-угольника с вершинами $A_k(x_k; y_k)$, $k = 1, 2, ..., n$, равна

$$\frac{1}{2} \left[ (x_1y_2-x_2y_1) + (x_2y_3-x_3y_2) + ... + (x_ny_1-x_1y_n) \right].$$

Выражение $ad-bc$ так часто встречается в математике, что для него приято специальное обозначение $|a|^2 b|^2$ и называние «определенель».

Рис. 1.

18

Рис. 2. Произведение чисел, соединенных с ним отрезком, берутся со знаком +, а красным — со знаком -.

второго порядка»; с помощью таких определителей формулу площади можно записать компактнее:

$$S = \frac{\left| x_1 x_2 \right| + \left| x_2 x_3 \right| + \ldots + \left| x_n x_1 \right|}{2}.$$

(Для заполнения формулы (1) удобен рисунок 2. Заметим, что формула (1) предполагает, что вершины занумерованы против часовой стрелки.)

2. Проверьте, что если занумеровать вершины в обратном порядке — по часовой стрелке, то каждая круглая скобка, соответствующая определенной стороне многоугольника: $A_1 A_2$, $A_2 A_3$, …, $A_n A_1$, изменит знак. Тот же эффект будет, если помещать местами привченные обозначения осей — изменить ориентацию плоскости.

Чтобы не заботиться о том или ином направлении нумерации вершин, вместе квадратных скобок в формуле (1) можно поставить знак модуля. Полученная формула

$$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{k=1}^{n} \left(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k\right) \right|$$

годится для любого случая. (Напомним еще раз, что $y_{n+1}$ и $x_{n+1}$ следует заменить на $y_1$ и $x_1$.)

Заметим, что пока мы считали все координаты вершин многоугольника положительных, а сам многоугольник — выпуклым. Было бы очень обидно и удивительно, если бы наша формула оказалась верной лишь при таком дополнительном предположении. К счастью, это не так: формула справедлива для любого многоугольника на плоскости. Как доказать ее для невпуклого многоугольника, мы обсуждим ниже — в упражнения 13 (см. также заметку С. Сефибкова на с. 20). А сейчас мы избавимся от предположения, что многоугольник расположен внутри угла $x > 0$, $y > 0$.

3. Проверьте, что права часть формулы (2) не изменится, если:

a) каждое $x_k$ заменить на $x_k + a$;
b) каждое $y_k$ заменить на $y_k + b$.

Любой многоугольник $A_1 A_2 \ldots A_n$ мы можем параллельно перевести на некоторый вектор $(a; b)$ в угол $x > 0$, $y > 0$. При этом координаты его вершин изменяются, но не меняются ни его площадь — левая часть формулы (2), ни права часть этой формулы. Поскольку для получения многоугольника с положительнымными координатами вершин равенство (2) верно, оно будет верным и для исходного многоугольника $A_1 A_2 \ldots A_n$.

4. Найдите по формуле (2) площади четырехугольников с вершинами:
   a) $(0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1)$;
   b) $(0; 0), (-1; 1), (2; 3), (1; 2)$;
   b) $(0; 5), (3; 0), (0; -4), (2; 0)$. Проверьте ответ, найдя эту площадь другим способом.

5. a) Запишите формулу для площади треугольника с вершинами $(0; 0), (a; b), (c; d)$.
   b) При каком условии три точки $(x_1; y_1), (x_2; y_2)$ и $(x_3; y_3)$ лежат на одной прямой?

Комбинации треугольников
Основную формулу (2) можно вывести иначе — так, что будет ясен геометрический смысл каждой слагаемого $(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)/2$ (заметим, что в него входят координаты только двух соседних точек $A_k$ и $A_{k+1}$). Мы по-прежнему можем считать, что $x_k > 0$, $y_k > 0$.

Оказывается, выражение $(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)/2$ равно по модели треугольника $OA_k A_{k+1}$, причем положительное, если отрезок $OA_k+1$ составляет больший угол с осью $x$, чем $OA_k$, и отрицательно, если меньше.

6. Пусть $B(x_1; y_1)$ и $C(x_2; y_2)$ — две точки с положительным координатами, причем $y_1/x_1 < y_2/x_2$. Тогда площадь параллельграма $OBDC$ (рис. 3) равна $x_1 y_2 - x_2 y_1$.

Теперь ясно, что сумма $n$ членов $(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)/2$ дает нуждную площадь $n$-угольника (см. рис. 4): из суммы площадей сних треугольников мы вычитем сумму площадей красных — это удачное совпадение знаков уже встречалось нам в рассудении с трапециями).

7. Проверьте, что геометрический смысл выражения $x_1 y_2 - x_2 y_1$ для точек $B(x_1; y_1)$, $C(x_2; y_2)$ с координатами любого знака — это

19

Рис. 3.

ориентированная площадь параллелограмма OBDC, построенного на векторах $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$*): площадь OBDC береется со знаком «плюс», если направление $\vec{OC}$ получается из направления $\vec{OB}$ врашением против часовой стрелки (на угол не больше 180°) и «минус», если по часовой стрелке.

Дополнительные задачи и комментарии
В заключение предложаем доказать еще несколько утверждений, связанных с формулой площади многоугольника, ее доказательствами и обобщениями.

8. Для двух векторов $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$ на плоскости будем обозначать ориентированную площадь параллелограмма OBDC (упражнение 7) через $\vec{b} \wedge \vec{c}$.

Тогда для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и любого числа $\lambda$ выполнены равенства:
$$1^0. \vec{a} \wedge \vec{b} = -(\vec{b} \wedge \vec{a}).$$
$$2^0. \lambda \vec{a} \wedge \vec{b} = \vec{a} \wedge (\lambda \vec{b}) = \lambda (\vec{a} \wedge \vec{b}).$$
$$3^0. \vec{a} \wedge \vec{b} = 0$$ тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
$$4^0. \vec{a} \wedge (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \wedge \vec{b} + \vec{a} \wedge \vec{c}.$$

Величину $\vec{a} \wedge \vec{b}$ называют иногда посвободным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

9. Найди координаты точек $A, B$ пересечения прямой $ax + by + c = 0$ с осами координат ($a \neq 0, b \neq 0$) и площадь треугольника $ABM_0$, где $M_0(x_0; y_0)$, выведите формулу для расстояния от точки $M_0$ до данной прямой:

$$|ax_0 + by_0 + c| / \sqrt{a^2 + b^2}.$$

10. a) Пусть вершины $A_1, A_2, \dots, A_n$ многоугольника двигаются по плоскости прямой и равномерно (каждая — со своей постоянной скоростью). Докажите, что площадь многоугольника $A_1A_2\dots A_n$ меняется

$$\sum \begin{matrix} x_i x_j x_k \\ y_i y_j y_k \\ z_i z_j z_k \end{matrix} = x_1 y_2 z_3 - x_1 y_3 z_2 + x_2 y_3 z_1 - x_2 y_1 z_3 + x_3 y_1 z_2 - x_3 y_2 z_1.$$

по всем его грамам $\Delta A_i A_j A_k$, где $A_i(x_i; y_i; z_i)$ — вершина многоугольника, а «определитель треугольника» вычисляется по формуле

$$\begin{matrix} x_1 x_2 x_3 \\ y_1 y_2 y_3 \\ z_1 z_2 z_3 \end{matrix} = x_1 y_2 z_3 - x_1 y_3 z_2 + x_2 y_3 z_1 - x_2 y_1 z_3 + x_3 y_1 z_2 - x_3 y_2 z_1.$$

причем выписывать каждый определитель надо, глядя на грань $A_i A_j A_k$ из точки $(0; 0; 0)$: координаты вершин видимых граней — по часовой стрелке, невидимых — против нее.

12. a) Проверьте с помощью формулы (2), что при громотении $k$ площадь увеличивается в $k^2$ раз, а при симметриях $(x; y) \rightarrow (-x; y), (x; y) \rightarrow (x; -y), (x; y) \rightarrow (-x; -y)$ она не меняется.

*) См. также статью А. Лопшица «Площади ориентированных фигур» («Квант», 1978, № 3).

2*

20

6. • Проверьте, что при преобразовании плоскости $(x; y) \rightarrow (x'; y')$, где
     $$x' = x \cos \varphi - y \sin \varphi,$$
     $$y' = x \sin \varphi + y \cos \varphi,$$
     плошадь многоугольника не меняется. (Это преобразование — поворот на угол ф во-kруг начала координат.)
     в) То же — для преобразования $x' = kx, y' = y/k$ (к — фиксированное число); это — так называемый едиверgentный поворот.
     г) Во сколько раз изменяется площад при преобразования $x' = ax + by, y' = cx + dy$? (Ответ. Этот коэффициент один и тот же для всех многоугольников; он равен modulo определителя $\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right|$.)

13. Формула (2) верна и для невеликого многоугольника. Чтобы доказать ее, удобно использовать такую лему: Пусть MP — луч, выходящий из некоторой точки M. Если M лежит в не многоугольника, то, обходя многоугольник против часовой стрелки, мы пересечем луч MP четное число раз (поровну — справа налево и слева направо); если же точка M лежит внутри многоугольника, то — нечетное число раз (справа налево — на один раз больше).
14. Пусть многоугольник разрезан ломаной линейной на две части. Проверьте, что площади, определяемые по формуле (2) для каждой из части, в сумме дают выражение (2) для всего многоугольника.
    Этот факт (адитивность) вместе с результатами упражнения 3 и 12 а), 6) (инвариантность относительной переносов, симметрий и поворотов) дает возможность принять число (2) за определение площади многоугольника.
15. Пусть все стороны многоугольника $A_1B_1A_2B_2...A_mB_m$: $A_k(a_k; b_k), B_k(a_k+1; b_k), k=1, ..., m$, причем $B_m(a_1; b_m)$. Запишите формулу площади для такого многоугольника.

Рис. 5. Числа указывают, сколько раз (с учетом направления) ломана обходит вектор каждой кусочки.

нikka. Проверьте ее для шестиугольника с вершинами $(-1; 0), (2; 0), (2; 5), (3; 5), (3; 7), (-1; 7)$. (Эта формула пригодилась нам в решении задачи М608 — см. «Квант», 1980, № 11.)
16. Выясните, что дает формула (2) для любых $n$ точек $A_1, A_2, ..., A_n$ плоскости.
Ответ состоит в следующем: пусть замкнутая ломанная $A_1A_2...A_n$ делит плоскость на $r$ кусок площади $S_1, ..., S_r$; тогда права часть формулы (2) равна сумме $k_1S_1 + ... + k_rS_r$, где целое число $k_j$ показывает, сколько оборотов делает ломанная $A_1A_2...A_n$ вектор $j$-го куска (причем обороты против часовой стрелки считаются положительными, по часовой стрелке — отрицательными, см. рис. 5).

С. Сефибеков

О площади многоугольника

В статье Н. Вагутена обсуждается формула площади многоугольника и ее приложения. Еще одно доказательство этой формулы приводится в публикуемой ниже заметке.

Для площади $S_n$ $n$-угольника $A_1A_2...A_n$ справедлива формула
$$S_n = \frac{1}{2} \left| (x_1y_2 + x_2y_3 + ... + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + ... + y_nx_1) \right|,$$
в которой $(x_1; y_1), (x_2; y_2), ..., (x_n; y_n)$ — координаты вершин $A_1, A_2, ..., A_n$.

Доказите формулу (2) сначала для прямоугольного треугольника с катетами, параллельными осем координат (рис. 1), затем для треугольника, одна из сторон которого параллельна одной из осей координат (рис. 2), а затем для общего случая (рис. 3).

Если вы решили до конца эту задачу, вам будет несколько решить и следующее.

21

Рис. 1.

Рис. 5.

Задание 2. Докажите формулу (1) для выпуклого четырехугольника.
Указание. Разбейте четырехугольник на два треугольника (с помощью диагонали — см. рис. 4) и примените задачу 1.

Задание 3. Докажите формулу (1) для выпуклого n-уольника.
Указание. Воспользовитесь методом математической индукции, представив данный выпуклый n-уольник $A_1A_2A_3...A_n$ в виде объедининия $(n - 1)$-уольника $A_2A_3...A_n$ и треугольника $A_1A_2A_3$ (рис. 5). Читательям, не знакомым с методом математической индукции, мы предлагаем решить задачу 3 для $n = 5$.

Перейдем теперь к следующим произвольного (не обязательного выпуклого) многоугольника.

Задание 4. Докажите формулу (1) для произвольного четырехугольника.
Задание 5*. Докажите формулу (1) для произвольного n-уольника.
Указание. Докажите, что в любом n-уольнике можно проведи диагональ, целиком лежащую внутри него и примените метод математической индукции.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

22

Задачи

M676 — M680; Ф688 — Ф692

M676. Докажите, что для любого натурального $m$ сумма цифр числа 1981$^m$ не меньше 19.

A. Савкин

M677. Внутри остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $M$, являющаяся
a) точкой пересечения медиан;
b) точкой пересечения биссектрис;
b) точкой пересечения высот.
Докажите, что если радиус окружностей,писанных в треугольника $AMB, BMC, AMC$, равны,
то треугольник $ABC$ — правный.

Э. Туркевич

M678. 2$m$-значное число называется справедливым, если его четные разряды содержат столько же
четных цифр, сколько и нечетные. Докажите, что в любом (2$m+1$)-значном число вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное
2$m$-значное число было справедливым (рис. 1).

A. Сидоренко

M679. a) На плоскости расположены четыре кругга так, что первый касается второго в точке $A$, второй — третьего в точке $B$, третьий — четвертого
в точке $C$ и четвертый — первого в точке $D$ (рис. 2). Докажите, что через четыре называемые точки можно проверить окружность или прямую.
b) *В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке $A$, второй — третьего в точке $B$, третьий — четвертого
в точке $C$ и четвертый — первого в точке $D$. Докажите, что через четыре называемые точки можно проверить окружность или прямую.
b) *В пространстве расположены четыре шара так, что каждый касается трех других. Докажите, что шесть точек касания принадлежат одной сфере
или одной плоскости.

B. Произвольов

M680. Два связиста играют в такую игру. Имеются $n$ телефонных узлов, и связисты по очереди соеди-

23

наяют кавелем два из них по своему выбору.
Выиграает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого (быть может, через несколько промежутных; начало игры изображено на рисунке 3).
a) Выясините, кто выиграает при $n=4, 5, 6, 7, 8$ — начинающий или его партнер?
b) Каков ответ при произвольном $n$?
Рассмотите также два видом измененных варианта игры:
в) Пусть игрок, связавший все узлы, проигравает. Ответьте на вопросы a) и b) для этой новой игры;
г) Пусть вначале все узлы попарно связаны кавелем, а связисты убирают по очереди по одному соединению. Игрок, нарушивший связь в схеме, проигравает. Вопрос тот же: кто выиграивает при правильной стратегии для $n=4, 5, 6, 7, 8$? для произвольного $n$?
Затем ие. Можно было бы рассмотреть четвертый вариант: считать, что в пункте г) игрок, нарушивший связь, выигравает. Полное исследование этого варианта автору неизвестно.

А. Разборов

Ф688. Тонкий обруч массы $M$ и радиуса $R$ жестко закреплен при помощи легких спиц на легкой тонкой оси, проходящей через центр обруча, так, что плоскость обруча составляет с осью угол $\alpha$ (рис. 4). Определить, какую работу необходимо совершить, чтобы раскрутить ось до угловой скорости $\omega$.

С. Кротов

Ф689. На гладком горизонтальном столе лежит пачка бумаги, в которой 500 листов. Сотый лист (считая сизу) больше других. Этот лист осторожно тянут в горизонтальном направлении. Какое максимальное ускорение можно сообщить пачке, чтобы она при этом движалась, не распадаясь? Каково максимальное ускорение, с которым может двигаться центр масс пачки? С каким ускорением должен двигаться при этом сотый лист? Козффициент трения бумаги о бумагу $\mu=0,2$.

З. Рафаилов

Ф690. Между точками $A$ и $B$ на поверхности Луны, расположенными на угловом расстоянии $90^\circ$, прорыт прямолинейный канал (рис. 5), заполненный воздухом при нормальной температуре. Давление воздуха в середине канала $p=10^5$ Па. Найти давление воздуха в канале у поверхности Луны. Луну считать однородным шаром с диаметром $D=3480$ км. Ускорение $g_n$ свободного падения на поверхности Луны в шесть раз меньше земного.

А. Стасенко

25

и точку K окружность. Пусть M — точка пересечения касательной к этой окружности в точке K с прямой PQ. Какое множество заполняют точки M?

M631. Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подряд. Делится ли получающей число 192021…7980 на 1980?

Так как 1980 = 99 · 20, причем 99 и 20 не имеют общих делителей, достаточно выяснить, делится ли число A = 192021…7980 на 20 и 99. Делимость A на 20 очевидна. Далее заметим, что 100 в любой степени при делении на 99 дает остаток 1, поэтому число

$$A = 19 \cdot 100^{61} + 20 \cdot 100^{60} + \dots + 79 \cdot 100 + 80$$

при делении на 99 дает такой же остаток, как и число

$$B = 19 + 20 + \dots + 79 + 80 = \frac{19 + 80}{2} \cdot 62 = 99 \cdot 31.$$

Итак, получилось, что число B делится на 99; следовательно, и число A делится на 99, а вместе с тем и на 1980.

B. Федотов

M632. Груз, упакованный в контейнеры, нужно доставить на обратную космическую станцию «Салют». Число контейнеров не меньше 35, общая масса груза 18 тонн. Имеется семь транспортивных кораблей «Продресс», каждый из которых может доставить на орбиту 3 тонны груза. Известно, что эти корабли могут одновременно доставить любые 35 из имеющихся контейнеров. Докажите, что они смогут доставить на орбиту сразу весь имеющийся груズ.

Наовем контейнер массы более 0,5 т тяжелим, а контейнер, масса которого не превыходит 0,5 т, — легким. Поскольку общая масса груза равна 18 т, число тяжелих контейнеров меньше чем 18:0,5 = 36, то есть не превышает 35. Поэтому по условию задачи все тяжелые контейнеры можно погрузить на имеющиеся корабли (добавив, при необходимости, легкие контейнеры до общого числа 35).

После погрузки тяжелых контейнеров могут остаться только легкие контейнеры. Покажем, что все эти контейнеры можно по очереди погрузить в корабли. В самом деле, если на каком-то шаг погрузки контейнер массы $x < 0,5$ т не удается погрузить ни на один из семи кораблей, то на каждый корабль погружено уже больше (3—x) тонн груза, всего погружено больше 7(3—x) тонн, а осталось меньше 18—7(3—x) = 7x—3 тонн груза. Но тогда $x < 7x—3$, откуда $x > 0,5$, в противоречие с предположением. Требуем доказан.

A. Колотов

**M633. На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через хорошо BSD так, чтобы площадь четырехугольника ABCD была наиболее.

Пусть O — центр, R — радиус окружности, $|OE| = a$. Легко видеть (см. рисунок), что $S_{ABCD} = \frac{2R}{a} S_{\triangle OBD}$. Следовательно, площадь четырехугольника наибольшая, когда наибольший является площадь треугольника OBD. Треугольник OBD равноведный, $|OB| = |OD| = R$, $S_{\triangle OBD} = \frac{1}{2} R^2 \sin \varphi$, где $\varphi = BOD$. Угол ф тем меньше, чем меньше хорды BSD или, соответствующей, чем длине проведенной к этой стороне perpendicular OH. Поскольку $|OH| \leq |OE| = a$, наименьшее

*) См., например, книгу Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Прямы и кривы», §2 (Азбука), утверждение Е, с. 32 (М., «Нayka», 1978).

26

Знание $\varphi = \varphi_0$ характеризуется тем, что отрезки $OH$ и $OE$ совпадают, что соответствует хорде $BD$, перпендикулярной $AC$; для этого знания

$$\cos \frac{\varphi_0}{2} = \frac{a}{R}.$$

Итак, остается найти наиболее значение площади треугольника $OBD$ при $\varphi_0 \leqslant \varphi < \pi$. Возможны два случая:

1. Если $\varphi_0 \leqslant \frac{\pi}{2}$, то максимум достигается при $\varphi = \frac{\pi}{2}$. В этом случае

$$\frac{a}{R} = \cos \frac{\varphi_0}{2} \geqslant \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$a \geqslant \frac{R}{\sqrt{2}}.$$

а искомая хорда $BD$, стягивающая дугу в $90^\circ$, должна отсутствать от центра на расстояние $R/\sqrt{2}$, то есть должна касаться окружности с центром $O$ радиуса $R/\sqrt{2}$.

2. Если же $\varphi_0 > \frac{\pi}{2}$, что будет при $a < \frac{R}{\sqrt{2}}$, то максимум площади достигается при $\varphi = \varphi_0$ — искомая хорда $BD$ должна быть перпендикулярна диаметру $AC$.

И. Шарыцин

M634. Обозначим через $S(n)$ сумму всех цфр натурального числа $n$.

a) Существует ли натуральное $n$ такое, что $n + S(n) = 1980$?

b) Докажите, что хотя бы одно из любых двух последовательных натуральных чисел представимо в виде $n + S(n)$ для некоторого треугольного натурального числа $n$.

◆

a) Ответ. Существует: $n = 1962$. Как до этого договора, видно из решения пункта 6) этой задачи.

6. Обозначим $n + S(n)$ через $S(n)$. Легко видеть, что если $n$ оказывается на цифру 9, то $S_{n+1} < S_n$; в противном случае $S_{n+1} = S_n + 2$.

Докажем, что для любого $m \in \mathbb{N}$ хотя бы одно из чисел $m, m+1$ равно $S_n$ для некоторого $n$. Так как $S_1 = 2$, для $m=1$ и $m=2$ утверждение задачи верно. Если $m > 2$, то существует $S_n$, меньше $m$ (например, $S_1$), и в то же время при $n \geqslant m$ $S_n > n \geqslant m$. Следовательно, среди $n$ таких, что $S_n < m$, найдется наиболее общим его через $N$. Тогда $S_{n+1} \geqslant m > S_n$, поэтому $N$ не может оказаться на цифру 9 и, значит, $S_{n+1} = S_n + 2$. Следовательно, $m \leqslant S_{n+1} < m+2$, поэтому число $S_{n+1}$ равно $m$, либо $m+1$ — требуемое доказано.

C. Коняцин

**M635. Коротышки, произвольние в Цветочном горode, вдруг стал более гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никогда не простужался, здоровые коротышки заболели, называя своих больных друзей. Известно, что каждой коротышка больше гриппомров день, причем после этого у него по крайней мере еще один день есть иммунитет, то есть он здоров и заболеть опять в этот день не может. Несмотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно наценает всех своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки заболели по прививках и не делают их. Докажите, что:

a) если до первого дня эпидемии какие-нибудь коротышки

27

сделали приивку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продлаться сколько уконо не было, то эпидемия рано или поздно кончится.

«График заболевимости»

| День | А | В | С |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | И | Б | 3 |
| 2 | 3 | И | Б |
| 3 | Б | 3 | И |
| 4 | И | Б | 3 |
| 5 | 3 | И | Б |

Ф638. Читая в 1908 году лекции в Страсбурге, академик Л. И. Мандельштам поражал служателей следующим красным опитом. Два камертона на резонантовых ящиках, имеющих резонансные части 500 Гц и 505 ц, ставили рядом и один из камертонов возбуждали. Второй камертон при этом практически не откликался на колебания первоого. Но стоило экспериментатору начать перiodические закрывать и открывать рукой ящик эвчащего камертона, как тут же начинал эвчать второй камертон. Объясните результат этого опыта.

Из ящика эвчащего камертона исходят волны частоты $f=500$ Гц. Периодически закрывая ящик, Л. И. Мандельштам изменял амплитуду колебаний, приходим к второму камертону. Что же представляют собой колебания с меняющей амплитудой — модированные по амплитуде колебания?

Рассмотрим простейший случай, когда модуляция синусоидальная, то есть амплитуда $A$ меняется по закону синуса (косинуса) с частотой $F$:

$$A = A_0 \cos 2\pi F t.$$

В этом случае изменение давления (или плотности) воздуха, которое и является эвкусовой волной, происходит по закону

$$\Delta p = (A_0 \cos 2\pi F t) \cos 2\pi f t.$$ (*)

Преобразуем право часть равенства (*), воспользоваться известными формулами трионометрии:

$$\Delta p = \frac{A_0}{2} [\cos 2\pi(f-F)t + \cos 2\pi(f+F)t].$$

Таким образом, колебания частоты $f$, амплитуда которых меняется с частотой $F$, можно представить в виде суммы (суперпозицини) гармоничных колебаний (то есть колебаний синусоидальной формы с постоянной амплитудой) двух частот:

$$f_1 = f - F$$ и $$f_2 = f + F.$$ Если $F=5$ Гц, то частота $f_2$ совпадает с резонансной частой камертона-приемника, соответствующая составляющая колебаний раскачивает этот камертон, и он начинает эвчать.

При произвольном, несинусоидальном, по периодическом характеристике модуляции колебаний их представление в виде суммы гармоничных составляющих (их спектр) будет содержать больше двух членов (гармоник) — говоря, что спектр колебаний будет богатое. Но если период модуляции равен 1/F, то в спектре обязательно будет составляющая с частотой $f+F$ (как и с частотой $f-F$). Мы рассматривали синусоидный закон модуляции только потому, что в этом случае разложение на гармоники выглядает наиболее просто и может быть проведено элементарным образом.

В. Белонукин

28

Ф639. Две пружинки с жесткостьми $k_1$ и $k_2$ присоединены какдая одним концом к вертикальной стене, другим — к грузу массы $m$, лежащему на горизонтальном столе. В начальной момент пружина с жесткостью $k_1$ растянула на величины $l_1$, а пружина с жесткостью $k_2$ ската на величины $l_2$. Груз отпускают. Найти амплитуду и период колебанной груза. Тренец пренебречь.

Прием координату груза в начальной момент за нуль (см. рис.ок). Тогда зависимость сил упруости, действующих на груз, от координаты $x$ груза будет следующая:

$$F_1(x) = -(l_1+x)k_1,$$
$$F_2(x) = (l_2-x)k_2.$$

Здесь $(l_1+x)$, $(l_2-x)$ — алгебраические значения удлинией первой и второй пружин соответственно. В момент прохождения грузом положения равновесия суммарная сила $F$, действующая на груз со стороны пружин, равна нулю. Обозначим $x_0$ координату груза в этот момент. Тогда

$$F(x_0) = F_1(x_0) + F_2(x_0) = -(l_1+x_0)k_1 + (l_2-x_0)k_2 = 0,$$

откуда

$$x_0 = \frac{l_2k_2-l_1k_1}{k_1+k_2}.$$

Амплитуда колебанной груза равна, очевидно,

$$A = |x_0| = \frac{|l_2k_2-l_1k_1|}{k_1+k_2}.$$

Чтобы найти перiod колебанный, записем, как зависит возврашающая сила $F$ от отклонения груза от положения равновесия:

$$F = F_1 + F_2 = -x(k_1+k_2) + (l_2k_2-l_1k_1) = -x(k_1+k_2) + x_0(k_1+k_2) = -(k_1+k_2)(x-x_0)$$

((x-x_0) — отклонение груза от положения равновесия). Видно, что искомая зависимость такая же, как если бы к грузу была присоединена одна пружина с жесткостью $k=k_1+k_2$. Поэтому перiod колебанной груза равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}.$$

А. Береман

Ф640. На рис.хах 1 и 2 показаны границы области волнеи, возбуждаемых корабlem на двух участках пути. Красными стрелками указаны направления скорости корабlem. На первом участке (рис. 1) течение отсутствует. Направление течение на втором участке (рис. 2) показано синего стрелкой. Определите скорость течение, если скорость корабля относительно берегов в общих случаях одна и та же и равна 18 км/ч.

Совместим рисунки 1 и 2 (рис. 3). Из произвольной точки $A$ на курсе корабля осуществим перепределкуляр на границу области волнеи в отсутствие течения. Длина этого перепределкира ([AB] или [AB’]) определяет расстояние, прошеденное волной за то время, за которой корабль прошел расстояние $AO$. Расстояние $BC$ (или $B'C'$) определяет способ границы области волнеи течением за тот же промежуток времени. Следовательно, относение [BC]/[AO] (или $B'C'$/[AO]) определяет относение скорости $v$ течения к скорости корабля. Из чертежа находится

$$\frac{v}{v_0} = \frac{1}{5} \Rightarrow v = 3,6 \text{ km/ч}.$$

В. Белонучкин

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.

29

Ф641. Настенные часы с матриком имеет массу $M=5$ кц. Масса груза на конце легкого матрика $m=150$ кц. Какая ошибка в показаниях часов накопится за сутки, если часы подвесят к потолку на двух длиных паралельных шнурах? Считать, что часы, прикрепленные к стене, идут точно.

Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закреплены на стене, могут раскачивать. Если шнуры паралельны, то при раскачивании движение корпуса часов будет поступательным, то есть все точки часов (кроме матрика) будут движаться одинаково. Это значит, что всю массу часов без матрика ($M-m$) можно считать сосредоточенной в одной точке, например в точке $A$ подвеса матрика (рис. 1).

Перемещения корпуса часов при их раскачивании неVELКИ — много меньше амплитуды колебаний матрика часов (это будет показано ниже). Поэтому длиные шнуры все время будут оставаться почти вертикальными. Условие этого будет выполнаться тем лучше, чем длинее шнуры.

Таким образом, действующие на часы наяжения шнуров можно считать направленными вертикальным вверх. Силья тяжестя, действующие на корпус и на матрик, направлены вертикально вниз. Других внешних сил нет. Следовательно, в горизонтальном направлении на расматриваемой системе (корпус часов + матрик) никакие внешние силы не действуют, и центр масс этой системы по горизонтали перемещаются не будет.

Теперяясно, что при колебаниях матрика корпус часов (точка $A$) будет совершать колебания в противофазе — так, чтобы центр масс (точка $C$ на рисунке 2) все время оставался на одной вертикали. Смешения груза матрика $s_1$ и корпуса часов $s_2$ в любой момент будут относиться обратно пропорционально соответствующим массам:

$$\frac{s_1}{s_2} = \frac{M-m}{m}.$$ (1)

Из формулы (1) видно, что при $m \ll M$ амплитуда $S_2$ раскачивания корпуса много меньше амплитуды $S_1$ колебаний матрика часов ($S_2 \ll S_1$).

Остается выяснить, каким будет период $T_1$ колебаний матрика. Глядя на рисунок 2 и учитьвая, что точка $C$ по горизонтали не перемещается, нетрудно сообщать, что движение груза матрика $m$ можно приближенно представить как свободные колебания математического матрика длиной $l_1$. (Строю говоря, точка $C$ совершает перемещения по вертикали; однако при небольшей амплитуде колебаний матрика эти перемещения столбцы, что не влияют на период колебаний.)

Из подобия защитых на рисунке 2 треугольников видно, что

$$\frac{l}{l_1} = 1 + \frac{s_2}{s_1}.$$ (2)

Подставляя сюда $s_2/s_1$ из соответствия (1), находим

$$\frac{l_1}{l} = 1 - \frac{m}{M}.$$ (2)

Перiod колебаний математического матрика пропорционален квадратному корню из его длины: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$. Так как $l_1 < l$, период $T_1$ колебаний матрика в подвешенных на длиных шнурах часах меньше периода $T$ колебаний матрика в закрепленных на стене часах. Значит, подвешенные на шнурах часы будут спешить.

Учитывая соответствие (2), найдем отношение $T_1/T$:

$$\frac{T_1}{T} = \sqrt{\frac{T_1}{l}} = \sqrt{1 - \frac{m}{M}} \approx 1 - \frac{m}{2M}.$$ (3)

(Здесь мы учили, что по условию задачи $m/M=0,03 \ll 1$, и воспользовались приближенной формулой $\sqrt{1+x} \approx 1+x/2$, справедливо при $|x| \ll 1$.)

Теперя из (3) легко найти уменшение периода $\Delta T = T-T_1$:

$$\Delta T = T \frac{m}{2M}.$$

Подставив значения $m$ и $M$ из условия, найдем: $\Delta T = 0,015T$. За сутки подвешенные на шнурах часы уйдет вперед на 21 мин 36 с.

Е. Бутиков