Квант 1981, №9 · Страницы

КЕАНМ
9
1981

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Надгробье великого живописца, ваятеля и зодчего Микеланджело заинтересовало нас не столько симметрией общего рисунка, сколько одной деталью своего декоративногоgebraнства: зацелленными венками из лавровых, оливковых и дубовых листев (см. статю А. Калинина «Эта удивительная вязыва колец»).

1

В НОМЕРЕ:

Главный редактор
академик И. К. Киоин

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капицца
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. славного редактора)
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург

2 С новым учебным годом!

Учены образуют к молодежи

4 Н. Семенов. Смелее, не отступайте перед трудностями!

6 С. Пикин. Снова о жизни критICALХ

13 М. Крейин, А. Нудельман. Замечательные пределы, порождаемые классическими средними

Математический кругжок

16 И. Яелом. Почти простые числа

Задачик «Квант»

20 Задачи M701 — M705; Ф713 — Ф717

21 Решения задач M661 — M665; Ф673 — Ф677

28 Список читателей, приславших правильные решения

30 Премии «Квант»

«Квант» для младших школьников

31 Задачи

32 А. Калинин. Эта удивительная вязь колец

По страницам школьных учебников

36 Г. Перевалов. Можно и без произвольной

Практику абитриента

42 В. Нахшин. Уравнения думают за нас

46 И. Габович. Вспомогательные отрезки и углы

Искусство программирования

50 А. Рар. Какие бывают языки программирования

55 Конкурс машинных рисунков

Рецензии, библиография

57 М. Гервер. Веселаяmozika Сэма Лойда

61 И. Зорич. История одного заблудения

63 Шахматная страница

64 Ответы, указания, решения

Шахматный конкурс (3 с. обложки)

Наша обложка (41)

Физики о физике (40)

Новости науки (40)

Смесь (41, 49, 62)

© Издательство «Наука». Главная редакция физiko-mатематической литературы, «Квант», 1981

2

С новым учебным годом!

Быстро прополета прекрасные летние дни. Отшумели школьные каникулы. И снова звонок приглашает вас в просторные светлые классы, вы встречаете со старыми друзьями, делитесь впечатлениями, строите планы на будущее.

У многих из вас школьное лето было не только мясцами отдыха, но и мясами упорного труда. Около трех миллионов учащихся провели каникулы в лагерях труда и отдыха, помогали колхозам и совхозам выращать и убирать урожай. В 45 тысячах школ были созданы ученические школьные бригады. Они объединяли 2,5 миллиона учащихся 8—10 классов. Ребята работали на полях, в лесничевых, на производственных предприятиях, стройках, в сфере обслуживания. Школа трудовой закалки на пороге самостоятельной жизни необычайно полезна для нашей молодежи.

Нынешний год — знаменательный в жизни нашего народа. Это год XXVI съезда КПСС, первый год новой, одинаковой пятилетки. Съездуделл большое внимание состояние школьных дел. В отчетном докладе Генерального секретаря ЦК КПСС Л. И. Брежнева, в частности, сказал: «Взят важный рубеж — завершен переход к обязательному всеобщему среднему образования. Главное сегодня в том, чтобы повысить качество обучения, трудового и правственногооспитания в школе, изжить формализм в оценке результатов труда учитель и учащся, надел укрепить связь обучения с жизни, улучшить подготовку школьников к обеспечению полезному труду».

В одинаковой пятилетке наша страна должна добиться новых крупных успехов на пути повышения эффективности и лучшення качества продукции во всех звеньях народного хозяйства. Эти требования продиктованы жизнь и, прежде всего, производшейся научно-технической революцией. Использовая ее достижения, можно коренным образом изменить эффективность любого труда, любой профессиональной деятельности. А это значит, что растут требования к работникам практических на любом рабочем месте. Удовлетворить этим требованиям можно лишь успешно овладевая достижениями современной науки и техники.

Присмотрите внимание к тому, о чем пишут наши газеты, прислушайте к тому, о чем рассказывают радио и телевидение — комплексно автоматизированные линни и цеха, роботы и промышленные манипуляторы, станки с программным управлением, новые технологические процессы,рождающие небывалую продукцию, применение ЭВМ в управлении, торговле, обслуживания, здравоохранения, новые, все более мощные и

разнообразные машины в сельском хозяйстве… Может ли в будущеем все это успешно использовать тот, кто сегодня учится плюхо, перебиваясь с двойки на тройку? Конечно, есть еще у нас профессии, не требующие глубоких знаний и специальной подготовки, но с каждым годом потребность в них будет все меньше и меньше.

Ребята иногда спрашивают: «Почему все должны знать математику и физика — ведь не всем же эти науки понадобятся в их будущее работе?» Конечно, для того, чтобы подсчитать в магазина сдачу, достаточно и знания элементарной арифметики. Затем же алгебра и геометрия будущеу повару, закройшие или рабочему на конвейере? Работать можно по-разному. Можно день за днем, ни над чем не задумываясь, класть один и те же продукты в котел, разрезать ткани по стандартным шаблонам и завертывать гайки примитивным инструментом. А можно уже сегодня подсчитывать卡尔ийность продуктов, составлять оптимальные и недорогие пищевые рационы, искать наиболее экономные методы раскройки ткани, совершенствовать инструменты и приемы труда. Вот тут-то без хорошего знания школьных дисциплин шагу не сделаешь!

Изучение математики дает человеку не узко профессиональные знания и навыки, приготовление для каждой-то одной профессии, а развивает, третирует и совершенствует его ум — учит правильно расуждать, анализировать прочитанное или услышанное, обосновывать и убедительно доказывать свои суждения, принимать правильные решения в сложных жизни ситuations. Математика учит человека думать и думать правильно, а это необходимо всем.

Не менее важна и физика. Она дает человеку знания об основных законах природы, являющихся теоретическимfundamentом всей современной техники. И если шофер хочет не просто крутить руль и нажитать ногого на pedалии, а хотя немного разбираться в своей машине, ему безусловно нужны хорошие знания школьной физики. А elektrичесво — ведь мы с ним неразрывно связанны и дома, и на работе. Как же не знать его основных законов!

Школа не готовит профессиональных физиков, математков или историков. Чтобы стать ученым, надо много и упорно трудиться. Но многовековой опыт человека позвольл отбрать и ввести в школьные программы то, что нужно всем членам общества, независимо от их будущих профессии.

Наши читатели имеют более глубокий интерес к математике и физике, — иначе они не были бы подписчики нашего журнала. Многие из вас увлечены этим науки, с удовлетворением проработывают наши статьи и решают предлагаемые нами задачи. Но нам хотелось бы, чтобы даже те, кто по-настоящему владелен в математике или физике, не пренебрегал остальные школьными предметами, а старались и в них искать основные закономерности, причинные связи, анализировать ход доказательств, словом, как сказал наш великий позт, алгеброй поверять гармонию. И еще нам хотелось бы, чтобы ваш интерес к этим науки не оставался внутри вас, не был бы только вашим личным достоянием. Поставайте увлечь этим ваших товаровей, привлекайте их к постановке опытов, о которых мы расссказываем в «Лаборатории «Кванта», к решению задач, головоломок, кроссвордов, ребусов. Пусть и они почувствуют «радость скромных побед», поверят в свои силы, поверят свои способности.

Выступая на третьем съезде комсомола, В. И. Ленин призывал молодежь активно отделать свои знания другим, помогать товарищам успешно учиться. «Только в такой работе превращается молодой человек или девушка в настоящого коммуниста» — говорил Владимир Ильич. Мы строим коммунизм, и каждый школьник может с успехом и больше ползой участвовать в этом строительстве уже сегодня.

4

Н. Семенов

Смелее,
не отступайте
перед трудностями!

Каждай год в советскую науку вступают тысячи юношей и девушек.

При воспитании молодежи, начинающей научную работу, самое важное — последовательное и неуклонное развитие у нее инциативы и самостоятельности.

Конечно, это не значит, что мы, ученые, должны предоставить молодежь самой себе: путь, мол, привлекатель к самостоятельности, путь самоопределения в науке. При таком «самотечном» методе первые же шаги молодежи могли бы привести к цепи ошибок и глубоких разочарований. Однако еще хуже вторая крайность — передача огромного теоретического и экспериментального наследства в готовом виде.

Необходимо, чтобы молодежь до многого доходила сама, изыскивая свои, путь еще не лучшие, но самостоятельные решения. Это после первых неуверенных шагов даст возникновить молодым ученым почувствовать свою силу, свою способность хоть с трудом, но уже самостоятельно шагать в науке. Наш долг — давать им задачи не с оченьным ответом, а те, которые бы требовали сервисных размышлений, коренного изменения и усовершенствования методики работы и глубокого самостоятельного анализа.

Мы стараемся ни в коем случае не навязывать «безоговорочных» суждений и путей решения и не требуем, чтобы результаты решения строго соответствовали точке зрения руководителя — и никакой другой.

Академик Николай Николаевич Семенов — дважды Герой Социалистического Труда, лауреат Нобелевской, Ленинской и Государственных премии, директор Института химического физики АН СССР.

Статья перепечатается из сборника «Ленин. Наука. Молодежь», выпущенного в 1980 году издательством «Наука».

5

Мы обязаны помогать, но не дисковать. Научная догма вредна. Она мешала развитию науки и в древности, и во время Ломоносова, и в наши дни.

Однако среди молодых ученых встречаются также, которые с первых же шагов сами стаются не искать «нехоженных троп». Они недовольны такой постановкой, желуются на недостаточное руководство, склонны к движению по «автострадам» науки, ошибочно полагая, что такое движение быстрое и результативнее.

В большинстве случаев подобные молодые ученые через год-два начинают чувствовать, что пути настоящей науки не здесь, что нужно идти иной раз по полному бездорожью, по целинным землям, где каждый шаг стоит огромного труда. Но ведь именно в этом труде формируется воля ученого и твердое стремление к самостоятельной работе. Если в сознании юноши или девушки не произойдет такого кругого поворота, им не следует посвящать себя науке.

Научное руководствоникогда не должно достигнуть уровня, при котором приходит встили молодежь за руку. Я ответгавсгда этот метод еще в те времена, когда был старше своих молодых учеников всего на пять-шесть лет. И никакая в жизнь не жалел об этом.

Работать творчески, с огоньком можно во всех областях науки и техники. Это подтверждается множеством замечательных примеров труда нашей молодежи, строящей огромные города и заводы, поднимающей миллионы гекторов целинны, созданной сложные машины и новые материалы. И не следует думать, что молодой ученый — это только тот, кто работает в соответствии инструментом академиков и профессоров, имеет научное значение или ученую степень. Научку движут вперед и молодые новаторы, рационализаторы, изобретатели, упорно работающие каждой в своей области, создание немало нового, ложшегося в фундамент величественного здания науки.

В понисках нового неизбежны неудачи. Но истинный ученый не должен их бояться, опускать руки. Ведь именно учедчи часто помогают в понисках правильно пути, показывают, в каком направлении не следует движаться, а в каком надо работать еще упорнее. Нередко поэтому бывают так, что анализяя неудачных экспериментов приводит к Великим открытиям.

Научная работа в любой области открывает неиссЯкаемый источник радости. Открытия и достижения, умножая славу нашей великой Родины, тем самым приносит славу и огромное удовлетворение отдельным ученым.

Будьте же смелее в науке, не отступайте в ней перед трудностями! Перед молодежью лежит еще неистощная целина, которая принесет народу урожай невиданного изобилия.

6

С. Пикин

Снова о жидких кристалах

В августаском номере журнала в статье «Жидкие кристаллы» было расссказано об одном типе жидких кристаллов — нематического жидкости, о том, что из себя представляют молекулы такой жидкости, как они взаимодействуют между собой, о важнейших областях применения этих жидких кристаллов. Теперь мы хотим познакомить вас с двумя другими типами жидких кристаллов, которые играют исключительно важную роль в науке, технически и жизни. Речь пойдет о холестерических и смектических жидких кристалах.

Холестерическая жидкость

Структура холестерической жидкости (холестерика) во многом сходна с нематической, но имеет одно существенное отличие. Можно сказать, что холестерик обладает нематической состояниям последнего, то есть состоит из стопки нематических слоев (рис. 1, а). Но если параллельных друг другу слоев развернуть на некоторый угол, причем для двух соседних слоев этот угол составляется малую величины $\alpha \approx 0,5^\circ$. Расстояние между соседними слоями примерно равно поперечному размеру молекул $a$. Если dwгататься вдоль оси $Z$, перpendикулярной плоскости слоев (см. рис. 1, а), то через число слоев $N = \pi/a$ ориентация молекул станет такой же, как в самом первом слое (направления $\vec{n}$ и $\vec{n}$ физических эквивалентны). Расстояние $h = a \cdot 2\pi/a$, через которое повторяется ориентация молекул в пространстве, представляется собой удвоенный период своегообразной решетки (рис. 1, б). Величину $h$ принято назвать шагом спирали, которое образуют в пространстве концы молекул, лежащих в последовательных слоях.

Рис. 1. Холестерический жидкий кристалл. а) холестерическая спираль; б) сельтивное отражение света холестерком.

7

Описанная перiodическая решетка — ее называют холестерический спираль — удивительная тем, что четкая перiodичность в ней касается только ориентации молекул. В то же время в каждом нематичческом слое молекул могут свободно перемещаться, меняться местами; словом, холестерическая жидкость свободно теет вдоль таких плоскостей, но спираль при этом почти не нарушается. молекул могут перескакивать и из слоя в слой, поворачиваясь при этом на угол α, но это дается им не так легко. Все это и определяет особые свойства холестерической жидкости, схожие со свойствами твердого кристалла. Особенности структуры холестерической жидкости наиболее сильно проявляются при изменении температуры вещества и при различных внешних воздействиях. Холестерическая спираль обладает ярким оптическими свойствами, чувствует themselves к малейшим повреждениями стол свободозразной решетки. Все это вызвало громадный интерес к изучению и применению холестерических жидких кристаллов. Однако, прежде чем говорить о применении холестерических жидких кристаллов, разберемся, чем вызвана такая структура холестерика.

Мы знаем сегодня, что обяснение заключится в особенности строения молекул, из которых состоит эти вещества. молекули холестерика — почти такие же, как в нематичской жидкости, но имеют на своей конце небольший отросток (рис. 2, а). Этот отросток образуется обычно или несколькими atomами, которые выступают из основной плоскости, содержащей подавляющее большинствоatomов молекул. Симметрия молекул нарушается из-за отростка и напоминает симметрию руки, которая, как известно, бывает только правой или тольколевой.

Как сказывается такая форма молекул на ориентационном порядке жидкости? Подобные молекул можно расположить параллельно друг другу в определенной плоскости, например в плоскости, в которой лежат сами молекулы. Именно эти плоскости и образуют отдельные слоны холестерика (рис. 2, б). А как могут быть «пристроены» друг к другу эти слоны? Очевидно, что молекулы слоя 2 могут быть параллельны молекулам слоя 1 (речь идет об основных, плоских, участках молекул), если слой расположены друг от друга на расстоянии, примерно равном высоте отростков. В этом случае отростки немешают молекул оставаться параллельными. Если расстояние между слоями меньше высоты отростков, то векторы $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ не могут быть строго параллельны — менее отростки. Поэтому между векторами $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ имеет малый угол α.

Таким образом, мы приходим к выводу, что несимметричные молекул должны образовать стопку нематических слов, причем от слоя к слою молекул должны поворачивать на определенный угол α. Вза-

Рис. 2. Молекули холестерика. а) atomная структура; б) ориентация в соседних слоях.

8

висимости от того, как изогнуты отростки отделных молекул, холестерическая спирали могут быть либо правыми, либо левыми. (Кстати, на рисунках 1, а и 2, б изображена левая спираль — продвигаясь вдоль оси спирали, мы видим, что молекулы поворачиваются своими длиными осями против часовой стрелки.)

Конечно, подобные расхождения об устройстве холестерической жидкости — довольно грубые и приближенные, но они дают наглядное представление об особенностях структуры таких веществ. В этих расхождениях можно найти дальше иpointerсоватся, чем уже равны угол α и шаг спирали h. Разумеется, эти величины — параметры вещества, состоящего из конкретиных молекул. Но приближение их можно оценить, если исходить из разумного предположения, что угол α тем меньше, чем меньше энергия взаимодействия отростков с основными участками молекул и чем больше взаимодействие плоских участков между собой. Поскольку, грубо говоря, в отросток входит примерно один atom, а в плоский участок — примерно 100 atoms, то относение этих энергий взаимодействия составляет около 1/100. Соответственно, угол α примерно равен сотой доле радиана, то есть половине градуса. В свою очередь шаг спирали h при поперечном размере молекулы a≈10Å составляет несколько тысяч ангстрем, то есть сравним с длиной волны света в видимой части спекта. Мы видим, что это чрезвычайно ценно.

Избирательное отражение света холестерики

Важнейший оптический эффект, наблюдаемый в холестерической жидкости, заключается в избирательном отражении света слоем холестерика. Холестерические плоскости, как и обычные кристаллические плоскости, могут отражать падающие на них волны. Волны, отраженные разными плоскостями, могут при интерференции и ослаблять, и услышать друг друга. Если свет падает перpendicularно плоскостям, то условие исцинирования такое такое.

Леня таково: между соседними эквивалентными плоскостями должно укладывать строгого полволны падающего света. Из рисунка 1, б видно, почему так происходит. Мы хотим, чтобы колбанная в волнах, отраженных от первой и второй плоскостей, произходили в одинаковых фазах, то есть значения электрического поля $\vec{E}$ в каждой точке и в любое время были одинаковы. При этом амплитуды $\vec{E}_0$ обихих волн складываются — произходит усиление света. Так будет, если волна 2 (см. рис. 1, б), вошедшая в кристалл, на пути от первой ко второй плоскости и обратно отстанет от волны 1ровно на длину волны λ. Но в холестерике такие плоскости на расстоянии h/2 друг от друга (на этом расстоянии ось $\vec{n}$ поворачивается на 180°). Поэтому условия усиления в данной случае есть h/2=λ/2, или h=λ.

Свойство холестерика отражать свет с избранной длиной волны ($\lambda=h$) обеспечивает соответствующее окраску вещества, которая зависит от шага холестерской спирали. А шаг спирали очень зависит от температуры. Объчно вещество при высокой температуре (в изotropном состоянии) бесцветно, затем, в момент перехода в холестерик (при меньшей температуре), синеет (вспомним наблюдаемое Ф. Рейницера) и при дальнейшем попрежнему температуре последовательно прибретает все цвет спекта, от синего до красного. Это означает, что по мере охлаждения холестерской жидкости шаг спирали увеличивается, а при нагревании — уменьшается. Такое поведение холестерской спирали нетрудно обьясить.

Напомним, что в силу особенностей взаимодействия молекул с отростками оси $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ не могут образовать между собой слишком малый угол (как, скажем, в кристаллической решетке соседние atoms не могут слижаться на слишком малое расстояние, меньше диаметра atoma). Но с повышением температуры в результате тепловых колбаний молекул в каждой нематчском слое увеличивается разброс молекулярных ориентаций относительно

9

но выделенного направления $\vec{n}$ (как в кристалле увеличивается амплитуды тепловых колебаний атомов).
Иными словами, оси отдельных молекул в нематическая слое оказывается не параллельными выделением направления $\vec{n}$. Поэтому при нагревании угол между осями $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ соседних слоев должны увеличаться, чтобы теплые колебания не приводили к критическому угловому слиянию молекул (в кристалле циклической решетке при нагревании увеличивается среднее расстояние между атомами и наблюдается тепловое расширение тела). Увеличение угла $\alpha$, характеризующего закручивание осей $\vec{n}$ в пространстве, и вызвает уменьшение шага холестерического спирали по мере увеличения температуры.

Это замечательное явление лежит в основе широкого применения холестерков в качестве простых и эффективных термоиндикаторов для медицинской диагностики, отыскания повреждений в сложных электронных схемах, контроля темпераного поля в лопатках турбин и т.п. Сейчас синтезированы холестерические вещества, в которых весь спектр цветов, от красного до синего, наблюдается при изменении температуры всего на 0,01 градуса, что говорит о большейчевствительности устройства на их основе.

Шаг холестерской спирали также оченьчевствитель к содержанию примесей в холестерике, и поэтому эти вещества могут служить надежными индикаторами загрязнения в атмосфере.

Жидкие кристаллы — расторы

Жидокристаллические состояния можно получить и при расторении подходящих веществ в расторительле, например в воде, который сам по себе не образует жидкий кристалл. При этом получается самые разные жидкие кристаллы. Если молекуры расторяемого вещества имеют форму стержней — получается нематическая жидкость; если у стержнеобразных молекул имеются отростки — холестерическая жидкость. Можно получить и более сложные состояния.

Рис. 3. Зависимость ориентации молекул от их плотности.
$a$) низкая плотность; $\delta$) высокая плотность.

В таких жидких кристаллах важную роль играют не только силы притяжения между молекулами, уже обсуждавшиеся нами, но и силы отталкивания молекул на близких расстояниях. Роль сил отталкивания молекул на близких расстояниях. Роль сил отталкивания молекул на близких расстояниях. Роль сил отталкивания молекул на远离ающей в пространстве как уголно. Но чтобы при всевозможных повреждах молекул не мешали друг другу, не задавали друг друга, надо каждой молекULE ответи в жидкостях определенный объем. Этот объем представляет собой кубик с размером ребра, примерно равным длине молекул $l$; в пределах такого кубика с объемом $l^3$ молекula действительно может быть ориентирован как уголно (рис. 3, $a$).

Поместим теперь то же число молекул при той же температуре в меньше объеме, то есть повышим плотность системы. В результате на каждую молекул станет прихождения объем, меньший чем $l^3$. Как будут размещаться молекул в этом случае? Естественно, они смогут размещаться в меньше объеме, если не будут поворачивать как уголно, задавая друг друга, а затем более или менее параллельные положения. Если размер поперечного сечения молекул $a$ заметно меньше $l$ и на каждую молекул приходится объем $\sim a^2 l$, то все молекул должны быть

10

ориентированны одинаково, так как только в этом случае они не задавают друг друга (рис. 3, 6). Но это может произойти лишь в случае очень высокой плотности. При средней плотности, когда на каждую молекул приходится объем, менящий чем $l^3$, но больший чем $a^2l$, ориентационный порядок будет, конечно, неполным, но все-тakin заметным. И связан этот порядок с тем, что молеклы не могут из-за сильного отталкивания проникать друг в другга.

Плотность стержнеобразных молекул можно изменять без заметного изменения общего объема жидкости, когда такие молекулы расторяются в каком-нибудь объчем расторитель, например в воде. Повышая содержание воды в соответствииощем расторе, мы получаем обусловную неориентированную жидкость. При очень малом же содержании расторителя образуется нематическая или холестерическая жидкость, в зависимости от деталей структуры молекул. Обсуждавшиеся в предыдущей статье расторы полимерных молекул являются как раз такие нематических жидкими кристалами.

Работу клеток животного организма во многом определяют жидкие кристаллы — расторы, которые образуют из специальных молекул. Эти молекулы устроены более сложно. Их взаимодействие друг с другом и с молекулами расторителя характеризуется слиами отталкивания и слиами электростатического притяжения. Такая молекula схематически изображена на рисунке 4, $a$. Она состоит из небольшой головки, представляющей собой электростатический диополь, и длиного незааряженного хвоста. Напомним, что молекулы воды — тоже электростатические диополи. Противоположно заряженные концы диополей притягиваются друг к другу, и поэтому молекулярные головки притягивают воду. В то же время хвосты молекул химических устроены так, что они отталкивают воду, как молекулы жиров или воска.

Частчно твердые
жидкие кристаллы
Строение особых молекул, описанных выше, объясняет большое разнообразие структуры жидких кристаллов.

Рис. 4. Водный растор — жидкий кристалл. $a$) диопольная молекula; $b$) стопка жидких слоев (смектик).

таллов — расторов. Например, при определении концентрации таких молекул в воде могут получаться жидкие кристаллы, в которых молекулы не только одинаково ориентиются, но и образуют жесткую кристаллическую решетку. Только эта решетка лишь отчасти похожа на обычную решетку твердого тела, перiodичную в трех взаимно перpendикularных направлениях. Таких направлений в особых жидких кристалках может быть только два или даже одно.

На рисунке 4, $b$ изображена стопка слоев, образующихся при не очень малой концентрации молекул в воде. Хвосты молекул как «прячутся» от воды за оболочками из диопольных головок. Вода является проследной между двойными слоями молекул. Стопка таких слоев образует кристаллическую решетку, перiodичную только в одном направлении — вдоль оси $Z$. В этом направлении жесткость решетки таких же, как в твердом теле, в то время как в поперечных направлениях слой могут свободно скользыть, то есть вдоль слоев системы ведет себя как жидкость. Такая структура средних мыли, поэтому такие жидкие кристаллы называются смектическими. Они похожи на холестерки своей сложностью, но перiodы решеток в этих двух случах совершенню различны. В холестерках период составляет несколько тысяч ангстрем, а в смекτικах —

11

несколько десять ангстрем (что соответствует длине молекул).

При определении концентрации растора возникает кристалическая решетка, периодическая в двух направлениях. При этом диопольные молекуры собираются в жидкие стольники или «нити», которые, собственно, и образуют такую решетку, похожую на стопку карандашей (рис. 5, а). Подобные отчасти твердые кристаллы существуют не только в расторах. Ими могут быть и отдельные вещества, изменяющие свое состояние при изменении температуры. При этом обычно с понжением температуры состояния меняются в такой последовательности: обыкновенная жидкость — нематическая жидкость или холестерик — смектик — твердый кристалл. Долго время не находили жидкокристалических веществ с решетками, периодических в двух направлениях, но недавно были обнаружены и они. На рисунке 5,6 изображена такая решетка, образованная жидкими стольниками дискообразных молекул. Интересно, что в последнем случае существует и ориентационный порядок: плоскости дисков в стольнике параллельны друг другу, хотя центры дисков расположются совершенно хаотически вдоль оси жидкого стольника.

Структура жидких кристаллов — растровов имеет огромное значение для жизнидействности организации, например для циркуляции крови, перенаса его кислорода, функционирования клеток мозга, для работы разнообразных клеточных membrан. Такие membranes часто имеют структуру типа изображенной на рисунке 4,6; дефекты этой структуры приводят к заболеванию организации. Образование холестерических и тем более смектических жидких кристаллов в крови вызывает сердечно-сосудистые заболевания. При неблагоприятной концентрации различных компонент в желчи образуется сначала неполностью твердые кристаллы, а затем и «камни». Эти примеры можно было продолжить. Вот еще два.

Первый пример связан с выражением «холестерин в крови», который пользовется и врачи, и не специализиты, чтобы указать на заболевание, выражающееся в закупорке кровеносных соков. Это как раз тот случай, когда «хороший» (то есть с совершенной структурой) холестерский жидкий кристалл, образованныйся в результате болезни, является плоским симптомом. Действительно, мы уже отмечали, что холестерик обладает хорошей текущностью только вдоль нематических слоев, в то время как в поперечном направлении он скорее похожит на твердое тело. Поэтому, когда в кровеносном состоянии кусочки холестерических спиралей, расположенные так, что поток крови должен протекать сквозь нематические слоны, сопротивление этому потоку очень сильно возрастает — со суд закупоривает.

Рис. 5. Кристалическая решетка, периодическая в двух направлениях. а) жидкие «нити» в расторе; б) жидкие «нити» из молекул-дисков.

13

Замечательные предыды, порождаемые классическими средними

Для двух положительных чисел $a$ и $b$, как известно, средним арифметическим называется число $\frac{a+b}{2}$, средним геометрическим — число $\sqrt{ab}$. Режке, чем эти средние, встречается среднее гармоничское $\frac{2ab}{a+b}$ (ему равна, например, средняя скорость автоматчика, проехавшего первую половину пути со скоростью $a$, вторую — со скоростью $b$). Каждое из этих средних расположено между числами $a$ и $b$ (убедитесь в этом).

Легко проверяется справедливоность herавенств

$$\frac{2ab}{a+b} < \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$$

для любых положительных $a \neq b^*$.

Мы заимемся здесь следующим вопросом. Пусть данные два положительных числа $a$ и $b$, $a < b$. Вычислив какую-нибудь пару средних этих чисел, получим числа $a_1$ и $b_1$. Затем для чисел $a_1$ и $b_1$ вычислим те же средние — получим числа $a_2$ и $b_2$. С ними повторим ту же процедуру и так далее. В результате получим последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$.

Например, взяв среднее геометрическое и среднее арифметическое и отправлясь от чисел 1 и 3, получаем

$$a_1 = \sqrt{3} \approx 1.732050808, \quad b_1 = 2;$$
$$a_2 \approx 1.861209718, \quad b_2 \approx 1.866025404;$$
$$a_3 \approx 1.863616006, \quad b_3 \approx 1.863617561;$$
$$a_4 \approx 1.863616784, \quad b_4 \approx 1.863616784;$$
и т. д.

Мы видим, что в нашем примере последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ очень быстро сбижаются. Всетда ли так будет? Оказывается, подобные последовательности всегда имеют общий предел — это доказывается сравнительно легко. Но как найти значение этого предела?

Арифметико-гармоничское среднее

Мы начнем со случай, когда выбранная пара средних — это среднее гармоничское и среднее арифметическое; таким образом, члены последовательностей $(a_n)$ и $(b_n)$ определяются формулами

$$a_{n+1} = \frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}, \quad b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$$

($n=0, 1, 2, \dots; a_0=a, b_0=b$).

Задача о нахождения их общего предела представляет на II командиной олимпиде школа города Омска («Квант», 1979, № 12).

Из неравенств (1) следует

$$a < a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n$$

то есть последовательность $(a_n)$ возратает «навстречу» убивающей последовательности $(b_n)$.

Таким образом, обе последовательности монотонны и ограничены; следовательно, по теореме Вейерштраса («Алгебра и начала анализа 9», п. 32) они имеют предель $\alpha = \lim_{n \to \infty} a_n, \beta = \lim_{n \to \infty} b_n$. Перейдя к пределу в одном из равенств (2), получим

$$\beta = \lim_{n \to \infty} b_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n+b_n}{2} =$$
$$= \frac{1}{2} \left( \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n \right) = \frac{1}{2} (\alpha + \beta),$$

откуда $\alpha = \beta$: последовательности $(a_n)$, $(b_n)$ имеют общий предел. Этот предел называется арифметико-гармоничским средним чисел $a$ и $b$. Найдем его. Из (2)

14

$$a_{n+1} \cdot b_{n+1} = a_n \cdot b_n = \ldots = a_1 b_1 = ab,$$
позтому
$$a^2 = \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right)^2 = \lim_{n \to \infty} a_n \times \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_n \times b_n = ab,$$
откуда
$$\alpha = \sqrt{ab} = \beta,$$
(арифметико-гариончское среднее совпадает со средним геометрическим).

Упражнение 1. Докажите, что $b_n - a_n < \frac{b-a}{2^n}$.

Таким образом, последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ достаточно быстро сходятся к $\sqrt{ab}$. Поэтому они могут оказаться полезными для приближенного вычисления квадратных корней. Для вычисления $\sqrt{c}$ нужно начиная последовательности $(a_n)$, $(b_n)$ с таких чисел $a$ и $b$, что $c = ab$ (например, $a = 1, b = c$), причем процесс будет сходиться тем быстрее, чем меньше разность между этим множительями (например, для вычисления $\sqrt{56}$ лучше быть не $a = 1$, $b = 56$, а $a = 7$, $b = 8$). Легко убедиться, что последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ получаются по формулам
$$b_{n+1} = \frac{1}{2} \left( b_n + \frac{c}{b_n} \right), a_{n+1} = \frac{c}{b_n}.$$
Для иллюстрации вычисления $\sqrt{12}$, положив $b = 4$. Получаем $b_1 = \frac{1}{2} \left( 4 + \frac{12}{4} \right) = 3,5$, $b_2 \approx 3,464285715$, $b_3 \approx 3,464101620$, $b_4 \approx 3,464101615$ и далее все знаки стабилизируются:
$$\sqrt{12} \approx 3,464101615.$$

Арифметико-геометрическое среднее Четырнадцатилетный Карл Фридрих Гаусс*) обнаружил на числовых примерах, что при вычислении последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ с помощью геометрических иарифметических средних:
$$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$$

($n = 0, 1, 2, \ldots; a_0 = a, b_0 = b$) эти последовательности очень быстро сходятся с ближайшими.

*) Биографию «Короля математиков» и интересные сведения о его научной деятельности читатель найдет в статье С. Гиндикна «Карл Фридрих Гаусс» («Квант», 1977, № 8).

Упражнение 2. Докажите существование и совпадение пределов последовательности (3).

Этот общий предел называется арифметико-геометрическим средним чисел $a$ и $b$ и обозначается через $\mu(a, b)$. Найти явное выражение для $\mu(a, b)$ через $a$ и $b$ очень не просто. впервые оно было получено Гауссом в результате необсячайно оструемых и виртуозных расчудений и преобразований, использующих свойства так называемых эллиптических интерголов. Приведем это выражение без доказательства*):

$$\mu(a, b) = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}}.$$

Геометрическо-гариончское среднее

Если строить последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ с помощью средних грамонических и средних геометрических:
$$a_{n+1} = \frac{2a_n b_n}{a_n + b_n}, b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$$

($n = 0, 1, 2, \ldots; a_0 = a, b_0 = b$),

то в этом случае легко доказать, что они сходятся к общему пределу. Назовем его геометрическо-гариончческим чисел $a$ и $b$ и обозначим через $\nu(a, b)$. Однако ничего существенного по сравнению с последовательностями (3) здесь нет, так как из (4) усматриваем, что
$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + \frac{1}{b_n}, \frac{1}{b_{n+1}} = \sqrt{\frac{1}{a_n} \cdot \frac{1}{b_n}}.$$
Позтому
$$\frac{1}{\nu(a, b)} = \mu\left(\frac{1}{b}, \frac{1}{a}\right),$$
или же, в силу формулы Гауса.

*) Если это выражение использовать «в обратном направлении», получится быстро способ приближения вычисления интеграла, стоящего в знаменателе: он равен $\frac{\pi}{2\mu(a, b)}$, а среднее $\mu(a, b)$ вычисляется приближенно с помощью последовательностей $(a_n)$ и $(b_n)$. В наш век ЭВМ эти вычисления можно проводится с огромной скоростью и точностью.

16

Почти простые числа

Как в математике делаются открытия? Часто — так же, как в других наукках: подмеченный факт исследователь пытается включить в качестве частного случай в общую закономерность. Найти эту закономерность не всегда удается, и математик, как и любой другой исследователь, действует «методом проб и ошибок».
Как при этом могут выглядеть его рассужdenя, когда речь идет о делимости чисел, расссказано в этой статье.

1. Малая теорема Ферма

Ясно, что квадрат $n^2$ натурального числа $n$ будет четным или нечетным одновременно с самим числом $n$. Таким образом, числа $n^2$ и $n$ всегда будут одновременно четными или нечетными одновременно. Но, более того, эта разность всегда и на 3. В самом деле, число $n$ либо делится на 3 (то есть имеет вид $3k$), либо дает при делении на 3 остаток 1 (имеет вид $n=3k+1$), либо дает при делении на 3 остаток 2 (тогда его можно представить в виде $n=3k+2=3(k+1)-1=3(k'-1)$).

Если $n$ делится на 3, то и $n^3$ делится на 3. Если же $n$ имеет вид $3k \pm 1$, то $n^3=(3k \pm 1)^3=3(9k^3 \pm 9k^2+3k) \pm 1$, то есть $n^3=3l \pm 1$.

Во всех случаях разность $n^3-n$ кратна 3. Итак, имеет место

Утверждение 2. Разность $n^3-n$ делится на 3 при любом $n$.

Упражнения

1. Докажите утверждение 1 и 2 разложением многочленов $n^2-n$ и $n^3-n$ на множители.
2. Докажите, что разность $n^3-n$ делится на 6 при любом $n$.

Утверждение 1 и 2 внушают надежду, что справедлива.

Гипотеза 1. Разность $n^m-n$ делится на $m$ при любых $m$ и $n$.

Увы! Легко набрести на контрпример, опровергающий эту гипотезу: разность $2^4-2=14$ не делится на 4.

Все же хотелось бы найдеть, что сходство между утверждениями 1 и 2 не является случайным. Попробуем проверить разность $n^5-n$. Например, $2^5-2=30$ делится на 5. Легко установить, что это не случайно, и справедливо.

Утверждение 3. Разность $n^5-n$ делится на 5 при любом $n$.

В самом деле, число $n$ либо делится на 5, либо дает при делении на 5 один из остатков 1, 4 (в этих случаях оно представимо в виде $5k \pm 1$), либо дает при делении на 5 один из остатков 2, 3 (тогда $n=5k \pm 2$). Если $n$ делится на 5, то и $n^5$ делится на 5. Если $n=5k \pm 1$, то

$$n^2=(5k \pm 1)^2=5(5k^2 \pm 2k)+1.$$

Если $n=5k \pm 2$, то

$$n^2=(5k \pm 2)^2=5(5k^2 \pm 4k+1)-1.$$

Таким образом, если $n$ не делится на 5, то число $n^2$ имеет вид $5L \pm 1$ и

$$n^4=(5L \pm 1)^2=5(5L^2 \pm 2L)+1$$

дает при делении на 5 остаток 1. Отсюда следует, что разность $n^4-1$, а значит и разность $n^5-n=n(n^4-1)$, делится на 5.

Теперь мы имеем уже три положительных утверждения. Это заставляет нас продолжать поиск. Разность

18

2. Почти простые числа

Вспомним, как мы в предыдущем пункте пришли к малой теореме Ферма. Фиксировав $m$, мы выязывали, все ли разности $n^m - n$ делятся на $m$. Чтобы сформировать правильное прибодобную гипотезу, мы каждый раз сначала проверяли, делится ли на $m$ число $2^m - 2$. При всех рассмотренных простых $m$ разность $2^m - 2$ делилась на $m$, при составных — не делилась. Естественно возникает

Гиотеза 5. Разность $2^m - 2$ делится на $m$ при простом $m$ и не делится — при составном*).

Гипотезу 5 высказали еще древнекитайские математики — около 2,5 тысячи лет назад.

В древнем Китае, как и во всех других предшествующих древней Греции цивилизациях (Вавилоне, Древнем Египте и т. д.), математика была неедуктивной, а решетурной наукой. Основную роль в математике играли не выводы, а факты, причем вопрос о том, как тот или иной факт был установлен, не считался особенно важным: достаточно правдополобная доказка в полне могла заменить доказательство. Выписав несколько десятков первых чисел $N_m = 2^m - 2$ ($m = 2, 3, 4, \dots$) и проверив, какие из них делятся на $m$, а какие не делятся, древнекитайские математики уверлились в справедливости гипотезы 5 и зафиксировали ее как теорему. Однако мы с вами — не древние китайцы. Великие Евклид и Архимед (а еще ранее их — и Пифагор, и Платон, и Аристотель) убедили нас, что существ математики состоит именно в доказательстве гипотезы 5 и зафиксировали ее как теорему. Однако，我们没有证据表明 $m \neq 1$ почти простым, если разность $2^m - 2$ делится на $m$.

В силу малой теоремы Ферма любое простое число является почти простым. Поэтому гипотезу 5 можно переформулировать так:

Гипотеза 5’. Какое почти простое число является простым.

*) Первая «половина» гипотезы 5 является, конечно, частью случая теоремы Ферма.

Мы уже сказали, что древнекитайские математики рассмотрели делимость на $m$ нескольких десятков первых чисел $N_m$ и не нашли опровергающих примеров. Сегодня, с помощью ЭВМ, нетрудно было бы проверить делимость на $m$ нескольких сотен первых чисел $N_m$. Однако и тут опровергнуть гипотезу 5 было бы непросто: среди первых 300 натуральных чисел мы бы не нашли почти простых чисел, не являющихся простыми. Однако гипотеза 5 все таки неверна, то есть справедлива.

Теорема 2. Существуют почти простые числа, не являющиеся простыми.

Самым маленьким таким числом является 341. Найти его было нельзя, доказать же, что оно — почти простое, совсем несложно, если к нашим услугам будет

Лемма 1. Разность $n^m - 1$ делится на $n - 1$ при любых $m$ и $n$, вытекаювая из точки простых чисел, не являющихся простыми.

Лемма 2. Разность $n^m - 1$ делится на $n - 1$ при любых $m$ и $n$, вытекаювая из точки простых чисел, не являющихся простыми, причем $m_1 > m$.

В самом деле, так как $m$ — не простое, $m = kL$, где $k > 1$, $L > 1$. Тогда, в силу леммы 1,

$$m_1 = 2^m - 1 = 2^{kL} - 1 = (2^k)^L - 1$$

делится на $2^k - 1$. Из $L > 1$ следует $2^k - 1 < m_1$. Из $k > 1$ вытекает $2^k - 1 > 1$. Значит, $m_1$ — не простое.

Так как $m$ — почти простое, $m_1 = 2^m - 2 = N_m$ делится на $m$: $N_m = mn$. Поэтому, в силу леммы 1,

20

Задачи

M701 — M705; Ф713 — Ф717

М701. Люда, Марина и Наташа наиссовали остроугольный треугольник LMN. Затем Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны $|LM|$ и $|LN|$, а угол между ними на 60° больше угла $L$ треугольника LMN. Точно так же Марина построила свой треугольник со стороны длины $|ML|$ и $|MN|$, угол между ними на 60° больше $\hat{M}$, а Наташа — свой, у которого угол между стороны $|NL|$ и $|NM|$ равен $\hat{N} + 60^\circ$. Докажите, что треты (новые) стороны треугольников у всех трех девочек одинаковы.

A. Каплан

M702. Обозначим через $S_n$ сумму первых $n$ простых чисел: $S_1 = 2, S_2 = 2 + 3 = 5, S_3 = 2 + 3 + 5 = 10, S_4 = 17$ и т. д. Докажите, что при любом $n$ между $S_n$ и $S_{n+1}$ встречается точный квадрат.

И. Жук

M703*. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} 3(x + \frac{1}{x}) = 4(y + \frac{1}{y}) = 5(z + \frac{1}{z}), \\ xy + yz + zx = 1. \end{cases}$$

A. Федоров

M704*. Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перепendlкуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют новый квадрат (рис. 1).

H. Васильев

M705. На прямогольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линейных сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (то есть каждую клетку листа покрыют в точности две карточки). а) Пусть каждая карточка имеет размеры $1 \times 2$ клетки. Докажите, что можно выбрать часть карточек так, чтобы они покрывали лист в один слой. (Передвигать карточки нельзя.) Останется ли это верным, если карточки 6) могут иметь произвольные размеры, в*) имеют размеры $1 \times 3$ клетки?

Г. Гальперин, В. Произвольов

22

М662. В копилке собрано четыре рублей медными монетами. Докажите, что эти монетами можно заплаать три рублей без сдачи.

Достаточно доказыть, что можно заплаать без сдачи рублей.

В копилке могут находиться монеты четырех видов: однокопеечные, двухкопеечные, трехкопеечные и пятаки. Поэтому монет какого-то вида не меньше рублей.

Если это — пятаки, двухкопеечные или однокопеечные, то ясно, что можно заплаать рублей без сдачи.

Рассмотрим поэтому случай, когда больше, чем на рублей, трехкопеечных монет, а монет какого другого вида меньше, чем на рублей.

Если в копилке есть хотя бы одна однокопеечная монета, то, добавляя ее к 33 трехкопеечным, получаем рублей.

Если есть две двухкопеечные или два пятаки, то, добавляя к 32 (соответственно к 30) трехкопеечным, получаем рублей.

Остается, таким образом, один случай, когда однокопеечных монет нет, двухкопеечных монеты двух (398 не делится на 3); если двухкопеечных нет, то пятаки не меньше двух (395 не делится на 3). Итак, в рассмотрении случаче есть один пятак и одна двухкопеечная, и мы можем набрать рублей, добавив один пятак и одну двухкопеечную к 31 трехкопеечной монете.

Интересно разобраться, какие вообще суммы могут быть уплачены без сдачи при четырехрульном наборе медных монет в копилке.

Например, если в копилке только двухкопеечные монеты, то не может быть уплачена никакая нечетная сумма; если только пятаки, то — никакая сумма, не делящаяся на 5; если, наконец, в копилке 133 трехкопеечных и одна однокопеечная, то не может быть уплачена никакая сумма, которая при делении на 3 дает в остатке 2.

Значит, если некоторая сумма может быть уплачена при любом четырехрульном наборе медных монет в копилке, то она делится на 10 и при делении на 3 не дает в остатке 2. Все ли такие суммы могут быть уплачены?

А. Куширенко

M663. Найдите все простые числа p, для которых число 2$^p$ + p$^2$ — тоже простое.

При p=2 получается составное число 8, при p=3 — простое число 17.

Докажем, что при простом p>3 число 2$^p$ + p$^2$ всегда на 3.

Действительно, p=3k±1 при некоторых натуральном k. Поэтому 2$^p$ + p$^2$ = (3−1)$^{3k±1}$ + (3k±1)$^2$ = (3M−1) + (3N+1) = 3(M+N).

Можно рассудить иначе. Из нечетного p следует, что 2$^p$ + 1 = (2+1) (2$^{p−1}$−2$^{p−2}$+…+1). Значит, 2$^{p+1}$ делится на 3. Поскольку p не делится на 3, p$^2$ − 1 = (p−1) (p+1) делится на 3. Отсюда следует делимость на 3 суммы (2$^p$ + 1) + (p$^2$ − 1) = 2$^p$ + p$^2$.

С. Майзус

M664. Дан четырехухольник ABCD площади S. Обозначим точки пересечения высот трехольников ABC, BCD, CDA, DAB через H, K, L, M соответствующего. Докажите, что площadb прямойника HKLM тоже равна S.

Самое простое анализческое решение этой задачи получается с помощью операции псевдоскалярного произведения векторов: $\vec{a} \wedge \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \varphi$, где $\varphi$ — угол, на котором нужно повернуть вектор $\vec{a}$ против часовой стрелки, чтобы его направление совпало с направлением вектора $\vec{b}$. Геометрический смысл числа $\vec{a} \wedge \vec{b}$ — ориентированная площад параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 1). Нужные нам свойства:

1°. $(\vec{a} + \vec{b}) \wedge \vec{c} = \vec{a} \wedge \vec{c} + \vec{b} \wedge \vec{c}$,
2°. $\vec{a} \wedge \vec{b} = -\vec{b} \wedge \vec{a}$,

23

Рис. 1,а. $\vec{a} \wedge \vec{b} = 2S_{\triangle AOB}$, если $\triangle AOB$ ориентирован положительно — против часовой стрелки.

Рис. 1,б. $\vec{a} \wedge \vec{b} = -2S_{\triangle AOB}$, если $\triangle AOB$ ориентирован отрицательно.

Рис. 2. $\vec{HC} = 2\vec{KO} = \text{ctg} \hat{C} \times \mathbf{R}^{90^\circ}(\vec{AB})$.

3°. $\vec{a} \wedge \vec{b} = 0$, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ колlinearны следуют из того, что $\vec{a} \wedge \vec{b}$ равно скалярному произведению векторов $\vec{b}$ и $\mathbf{R}^{90^\circ}(\vec{a})$.

Удобно ввести «симметричные» обозначения: пусть $A_1A_2A_3A_4$ — данный чет孵уговлиник, $H_1, H_2, H_3$ и $H_4$ — точки пересечения высот треугольников $A_2A_3A_4, A_3A_4A_1, A_4A_1A_2$ и $A_1A_2A_3$ соответственно, а $\vec{a}_i$ и $\vec{h}_i$ — векторы, идущие из фиксированной точки $O$ в $A_i$ и $H_i$ ($i=1, 2, 3, 4$).

Докажем, что треугольники $A_1A_2A_3$ и $H_1H_2H_3$ равновелики (имеют одинаковую площадь) и одинаково ориентированны. Поскольку удвоенная площадь $\triangle A_1A_2A_3$ (с учетом ориентации) равна $\vec{A}_1\vec{A}_2 \wedge \vec{A}_1\vec{A}_3 = (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \wedge (\vec{a}_3 - \vec{a}_1) = \vec{a}_1 \wedge \vec{a}_2 + \vec{a}_2 \wedge \vec{a}_3 + \vec{a}_3 \wedge \vec{a}_1$, мы должны доказать равенство

$$\vec{a}_1 \wedge \vec{a}_2 + \vec{a}_2 \wedge \vec{a}_3 + \vec{a}_3 \wedge \vec{a}_1 = \vec{h}_1 \wedge \vec{h}_2 + \vec{h}_2 \wedge \vec{h}_3 + \vec{h}_3 \wedge \vec{h}_1.$$

(1)

Для этого мы используем лишь тот факт, что $[A_iH_j] \parallel [A_jH_i]$ при всех $i \neq j$. Скажем, $[A_1H_2] \parallel [A_2H_1]$, поскольку они перpendикularны $[A_3A_4]$; поэтому $(\vec{a}_1 - \vec{h}_2) \wedge (\vec{a}_2 - \vec{h}_1) = 0$. Сложив три равенства:

$$\vec{a}_1 \wedge \vec{a}_2 - \vec{h}_1 \wedge \vec{h}_2 = \vec{a}_1 \wedge \vec{h}_1 - \vec{a}_2 \wedge \vec{h}_2,$$
$$\vec{a}_2 \wedge \vec{a}_3 - \vec{h}_2 \wedge \vec{h}_3 = \vec{a}_2 \wedge \vec{h}_2 - \vec{a}_3 \wedge \vec{h}_3,$$
$$\vec{a}_3 \wedge \vec{a}_1 - \vec{h}_3 \wedge \vec{h}_1 = \vec{a}_3 \wedge \vec{h}_3 - \vec{a}_1 \wedge \vec{h}_1.$$

получим (1).

Разумеется, так же доказывается вообщество, что треугольники $A_iA_jA_k$ и $H_iH_jH_k$ равновелики и одинаково ориентированны (для всех $i \neq j \neq k$); в частности, это относится к треугольникам $A_3A_4A_1$ и $H_3H_4H_1$. Отсюда следует равенство площадей четырехугольников $A_1A_2A_3A_4$ и $H_1H_2H_3H_4$.

Более того, оба эти четырехугольника будут одновременно либо (a) выпуклими, либо (b) невыпуклими, но несамопересекающимся, либо (b) самопересекающимся: если все четырехугольника $A_1A_2A_3, A_2A_3A_4, A_3A_4A_1, A_4A_1A_2$ имеют одинаковую ориентацию, то (a), если один отличается по ориентации от трех других — (б); если «счет ничейный» 2:2 — (в).

Если бы мы попытались перевести это решение на элементарно геометрический язык, получилось бы грамодикая картина из множества параллелограммов, оченьные соответствия между площадями которых запутаны из-за особенностей расположения. Более элегантное геометрическое решение (требующое, однако, неокругности, в частиности, оно использует формулу $tg\alpha + tg\beta = (1 - tg\alpha tg\beta) tg(\alpha + \beta)$) основано на полезных соотношениях, показанных на рисунке 2, где $H$ — точка пересечения высот треугольников $ABC$, $O$ — центр описанной бокругнего него окружности, $K$ — середина стороны $AB^*$). На этом пути сразу ясно, что для четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$, вписанного в окружность, «ортоцентрический» четырехугольник $H_1H_2H_3H_4$ будет ему не только равновелик, но и конгрузентен (в общем случае, как следует из равенства площадей треугольников $A_iA_jA_k$ и $H_iH_jH_k$, эти четырехугольники аффицино эквивалентны, то есть один получается из другого линейным преобразования координат).

Б. Батырев, Н. Васильев, В. Трофимов

M665. Световое табло состоит из нескольких лампочки, каждый из которых может находиться в двух состояниях (оответствие или не содержать). На путь несколько ключом, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние у неокторого набора лампочки

Пусть число лампок равно $N$, количество кнопок — $n$. Обозначим через $A_i$ подмножество лампочки, которое переключает $i$-я кнопка, то есть узор, который получается из начального состояния $B_0$ — «все лампочки не горят» — при нажатии $i$-й кнопки; мы будем также говорить об «операции $A_i$», понимая под этим нажатие $i$-й кнопки.

*) Это решение будет приведено в книге И. Ф. Шарыгина «Задачи по геометрию», выходящей в Библиотечке «Квант».

24

(для каждой конфигурации — своего). Вначале лампочки неорят.
а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, — степень двойки.
б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из $m \times n$ лампочки, расположенных в форме прямоугольника, если конфигурация как двойный горизонтальный и как двойный вертикальный ряд лампочки (проверьте ваш ответ для небольших значений $m, n$)?
в) Придумайте другие примеры таблицы и наборов (переклоцаемых конфиками), в которых можно найти число узоров.

Мы получили много доказательств утверждения a), основанных на разных сообщениях. Приведем vkratце неокторы из них.

1°. Всего существует $2^N$ различных узоров светового табло, потому что каждая из $N$ лампочки может находиться в двух состояниях — гореть или не гореть. Пусть нажатим ключ из начального узора $B_0$ можно получить $m$ разных узоров $B_0, B_1, \dots, B_{m-1}$. Тогда из люгого начального узора $X$ можно получить такое же количество узоров — это те узоры, которые отличаются от $X$ на множество $B_0, B_1, \dots, B_{m-1}$. Таким образом, если все $2^N$ узоров разбит на несколько ключей а ссов: отнести к одному классу те узоры, которые можно получить друг из друга нажатим ключом, то в каждой классе будет по $m$ узоров. Поэтому $2^N$ делится на $m$; следовательно, $m$ — степень двойки.

2°. Пусть ключ запумерованы так, что ни один из $s$ узоров $A_1, A_2, \dots, A_s$ нельзя получить комбинацией предыдущих (с меньшим номерами), а каждый из остальных $k-s$ узоров $A_{k+1}, \dots, A_k$ можно получить комбинацией некоторых операций $A_1, A_2, \dots, A_s$. Тогда общее число узоров $m$, которое можно получить из начального состояния $B_0$, равно $2^s$. В самом деле, все комбинации операций $A_1, A_2, \dots, A_s$, соответствуют $2^s$ различных подмножества множества $\{1, 2, \dots, s\}$, дают различные узоры: если бы какие-то два из них совпадали:

$$A_{i_1}A_{i_2}\dots A_{i_m}=A_{j_1}A_{j_2}\dots A_{j_l},$$

то узор $A$ с наиболее из входящих в это равенство номеров можно было бы получить комбинацией предыдущих.

3°. Посмотрим вначале не на все $N$ лампочки, а на первые $L$ из них. Пусть на этих лампочки из начального состояния $B_0$ можно получить $m_L$ различных узоров. Затем посмотрим на $(L+1)$-ю лампочку. Если состояние $(L+1)$-й лампочки вполне определяется набором состояния первых $L$ лампочки, то $m_L+1=m_L$. Если же хотя бы два лампочки, но отличия на $(L+1)$-й, то можно получить узор, в котором первые $L$ лампочки не горят, а $(L+1)$-я горит. Тогда из каждого узора наших $L$ лампочки можно получить два различных узора из первых $L+1$ лампочки, то есть $m_L+1=2m_L$. Поскольку одна (первая) лампочка может находиться в двух состояниях, ясно, что интересушение нас $m=m_N$ будет степень двойки.

Многие читатели заметили, что операции $A_i$ и состояния таблицы («узор») удобно представлять как набор из $N$ чисел $+1$ и $-1$ (при этом операция нажатия ключей соответствует умножению наборов) или как набор из $N$ чисел $0$ и $1$ (тогда наборы складываются по члену «по модулю 2», то есть $1+1=0$).

Приименим первое из этих представлений для решения задачи 6).

Будем считать, что $x_{ij}=-1$, если лампочка в $i$-й строке и $j$-м столбце горит, и $x_{ij}=1$ — в противном случае $(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$. Докажем, что общее число узоров, которые можно получить из начального состояния «все $x_{ij}=1$», равно $2^{m+n-1}$.

Допустимые операции (их $m+n$) — это умножение строки или столбца на $-1$. Очевидно, мы можем получить произвольный набор из $m+n-1$ чисел $\pm 1$ в первой строке и в первом столбце: $x_{11}, x_{12}, \dots, x_{1n}, x_{21}, x_{31}, \dots, x_{m1}$. Но каждое из остальных $x_{ij}$ этих $m+n-1$ числа определяется уже однозначно, поскольку при любых допустимых операциях будет сохраняться равенство $x_{ij}x_{11}=x_{i1}x_{1j}$.

Аналогично рассуждание (с использованием точекства $x_{ij}x_{1j}x_{i1k}x_{i1k}x_{i1j}=x_{111}x_{11k}x_{11j}x_{i11}$) показывает, что таблию, имеющего форму прямогоного параллелеппеда, состояние из $m \times n \times p$ лампочки, у которого разрешается переключать любой ряд лампочки, параллельный ребру параллелеппеда, число узоров в одном классе равно $2^{mnp-(m-1)(n-1)(p-1)}$. то есть число классов узоров равно $2^{(m-1)(n-1)(p-1)}$ (см. решение $1^\circ$ задачи a)).

H. Васильев

25

Ф673. Груз висит на упругодной нити. Если к грузу прикладывать силу, медленно нарастую от нульового значения, то нить оборвется, когда величины силы достинет значения $F_1$. При какой минимальной величины силы оборвется нить, если прикладываемая сила меньше достадает некоторого значения и в дальнейшем остается незначенной?

Упругую нить можно рассматривать какружину. Пусть жесткость этой прижимы равна $k$. Согласно условиям задачи при медленном нарастании силы нить объявиется, когда полная сила $F_\pi$, приложенная к ней, равна

$$F_\pi = mg + F_1,$$

где $m$ — масса подвешенного груза. Посмотрим, что происходит в том случае, когда прикладываемая сила мгновенно достигает некоторого значения $F$ и в дальнейшем не меняется.

В начальной момент (когда сила равна нулю) нить растянута под действием силы тяжестей груза $mg$ на величины $x_0$, определяемую условием $kx_0 = mg$, то есть координата нити в положении равновесия равна $x_0 = mg/k$ (за начало отсчета принято положение конца нити в отсутствие груза). При приложении силы $F$ координата конца нити в положении равновесия будет равна $x' = mg/k + F/k$. Однако в состоянии равновесия система перейдет лишь после затухания воздуха колебаний. Начальная амплитуда этих колебаний определяется начальным отклонением системы от положения равновесия, то есть $A = x' - x_0 = F/k$. Так как затухание колебаний мало, через положину перiode полное растяжение прижимы будет равно

$$x_\pi = \frac{mg + F}{k} + A = \frac{mg}{k} + 2 \frac{F}{k}.$$

Это означает, что к нити приложена суммарная сила

$$F'_\pi = mg + 2F.$$

Нить оборвется, если эта сила больше чем сила $F_\pi$ (см. (*)), определяющая предел прочности нити. Таким образом, минимальная сила $F_{\min}$, при которой произойдет обрыв нити, находится из условия $F'_\pi = F_\pi$, то есть

$$mg + 2F_{\min} = mg + F_1;$$

отсюда

$$F_{\min} = F_1/2.$$

Г. Баронов

Ф674. Серный ангидрид $SO_3$ в количестве $v_1 = 1$ моль помещили в замкнутый сосуд и нареты до температуры $T_1 = 1000$ К, при которой $SO_3$ частично диссоцирует на серный ангидрид $SO_2$ и кислород: $SO_3 = SO_2 + \frac{1}{2}O_2$.

Степень диссоциации в этих условиях оказалась равной $a_1 = 0,2$ (то есть диссцировали 20% первого начального имевшихся молекул $SO_3$). Когда в тот же сосуд помещили $v_2 = 0,4$ моль $SO_3$, то оказалось, что для получения такого же, как в первом опыте, давления газ над нареты до температуры $T_2 = 2000$ К. Определить степень диссоциации $SO_3$ во втором опыте. Все вещества в общих опытах находятся в газообразном состоянии.

Ф675. Для изменения больших токов в цепи CC (см. рис.ок) используется шунт Ш,

При полной диссциации из 1 моля $SO_3$ получается 1,5 моля газов ($SO_2$ и $O_2$). Следовательно, если диссцировало αᵇ молей $SO_3$, то в сосуд находится 1,5αᵇ молей $SO_2$ и $O_2$ и (1−α)ᵇ молей $SO_3$; полное число газов в сосуд равно $n = 1,5αᵇ + (1−α)ᵇ = (1+0,5α)ᵇ$.

Запишем уравнения состояния газов в сосуд в первом ($v_1 = 1$ моль, $T_1 = 1000$ К, $a_1 = 0,2$) и во втором ($v_2 = 0,4$ моль, $T_2 = 2000$ К, $a_2 = ?$) случая (давления и объемы в общих случаях одинаковы):

$$pV = n_1RT_1, \quad pV = n_2RT_2.$$

Следовательно, $n_1T_1 = n_2T_2$, то есть

$$(1+0,5a_1)v_1T_1 = (1+0,5a_2)v_2T_2,$$

откуда

$$a_2 = 2\left((1+0,5a_1) \frac{v_1T_1}{v_2T_2} - 1\right) = 0,75 = 75\%.$$

В. Белонукин

Так как сопротивление шунта много меньше сопротивления подключенной к нему изменительной схемы, направление на участке CC равно $U = Ir_\pi$.

26

паралельно которому через сопротивления $R_1 = 2$ Ом и $R_2$ подключается изменительный прибор Г с внутренним сопротивлением $r = 10$ Ом. В положении А переключателя П всегда шкара прибор соответствует току в цепи $I_1 = 10$ А. Каким надо взять сопротивление $R_2$, чтобы в положении В переключателя П всегда шкара прибор соответствовала ток $I_2 = 100$ А?

Сопротивление шитта считать много меньше внутреннего сопротивления прибор.

Если стрелка прибора при двух вариантах замыкания схемы отклоняется на полную шкалу, то токи, текущие через прибор, в общих случаях одинаковы. Следовательно,

$$\frac{I_1 r_1}{R_1 + r} = \frac{I_2 r_2}{R_1 + R_2 + r},$$

откуда

$$R_2 = \left( \frac{I_2}{I_1} - 1 \right) (R_1 + r) = 108 \text{ Ом.}$$

Л. Лугаанский

Ф676. Проволочный квадратной рамке с перimetром 4а и массой m сообщают в горизонтальном направлении некоторую начальную скорость. Рамка движется в вертикальной плоскости, все время нахождения в магнитном поле, перепедикулярном плоскости рамки (см. рисунок). Индукция поля меняется по закону $B(z) = B(0) + kz$, где $k$ = const. Сопротивление рамки равно R. Через некоторое время скорость рамки становится постоянной и равной v. Найти начальное скорость, сообщаемую рамке. Ускорение свободного nadения g.

В отсутствие магнитного поля рамка двигалась бы в поле тяжесте Земли с постоянной горизонтальной скоростью $\vec{v}_0$ вдоль оси X и равноускорению сускорением свободного padения $\vec{g}$ вдоль оси Z. Очевидно, что движение рамки не изменилось бы, если бы она падала в однородном магнитном поле. В нашем случае поле — не однородное (вдоль оси Z): $B(z) = B_0 + kz$, то есть индукция поля линейно растет с ростом z; поэтому при padении рамки поток магнитной индукции Ф, произвольной контур рамки, будет меняться и в контур рамки будет возникать ЭДС индукции. Поскольку рамка является замкнутым проводящим контуром, по ней потечет индукционный ток. В этом случае, согласно закону Ампера, на стороны рамки будут действовать силы со стороны магнитного поля. Найдем направления и величины этих сил.

Пусть в некоторый момент времени центр масс рамки находится в точке с координатами $x_t$, $z_t$ и проекции скорости центра масс на оси X и Z равны $v_x$ и $v_z$ (см. рисунок). Поток магнитной индукции Ф, произвольной рамку в этот момент времени, равен

$$\Phi = \frac{(B_0 + k(z_t - a/2)) + (B_0 + k(z_t + a/2))}{2} a^2 = (B_0 + kz_t) a^2.$$

Здесь $B_0 + k(z_t - a/2)$ и $B_0 + k(z_t + a/2)$ — значения индукции магнитного поля соответствующего уверхней и нижней стороны рамки; поскольку зависимость $B(z)$ — линейная, для вычисления Ф мы получаем средим (по высоте z) значением индукции.

ЭДС индукции в рамке в данной момент времени равна

$$|\mathcal{E}| = \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = ka^2 \frac{|\Delta z|}{\Delta t} = ka^2 |v_z|,$$

индукционный ток равен

$$I = \frac{|\mathcal{E}|}{R} = \frac{ka^2}{R} |v_z|.$$

Согласно правилам Ленца, возникновящий ток будет течить часовой стрелки. По закону Ампера со стороны магнитного поля на верхнюю сторону рамки будет действать сила

$$|\vec{F}_1| = (B_0 + k(z_t - a/2)) Ia = (B_0 + k(z_t - a/2)) \frac{ka^3}{R} |v_z|,$$

на нижнюю сторону — сила

$$|\vec{F}_2| = (B_0 + k(z_t + a/2)) Ia = (B_0 + k(z_t + a/2)) \frac{ka^3}{R} |v_z|.$$

27

Силы $\vec{F}_3$ и $\vec{F}_4$, действующие на боковые стороны рамки, очень/no, будут равны по величины и противоположны по значку:

$$|\vec{F}_3| = |\vec{F}_4| = \frac{(B_0 + k(z_t - a/2)) + (B_0 + k(z_t + a/2))}{2} Ia =$$

$$= (B_0 + kz_t) \frac{ka^3}{R} |v_z|,$$

$$\vec{F}_3 + \vec{F}_4 = 0.$$

Следовательно, $v_x = const$, то есть рамка будет двигаться вдоль оси $X$ с постоянной скоростью, равной начальной скорости $v_0$.

Таким образом, характер движения рамки в направлении оси $Z$ определяется силами $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$ и силой тягости $m\vec{g}$. При установившейся скорости $v$ рамки проекция скорости на ось $Z$ постоянна, то есть ускорение $\vec{a}_z$ вдоль оси $Z$ равно нулю:

$$m|\vec{a}_z| = m|\vec{g}| + |\vec{F}_1| - |\vec{F}_2| = mg - \frac{k^2 a^4}{R}|v_z| = 0.$$

Отсюда находим проекцию $v_{yct. z}$ на ось $Z$ установившейся скорости рамки:

$$v_{yct. z} = mgR/k^2 a^4.$$

Установившаяся скорость рамки равна $v = \sqrt{v_0^2 + v_{yct. z}^2}$, где $v_0$ — проекция скорости $v$ на ось $X$, равная, как мы показали, начальной скорости, сообщенной рамке. Таким образом,

$$v_0 = \sqrt{v^2 - v_{yct. z}^2} = \sqrt{v^2 - \left(\frac{mgR}{k^2 a^4}\right)^2}.$$

Скорость $v_{yct. z}$ может быть найдена и из энергетических сообщений. При установившемся движения рамки изменение за время $\Delta t$ потенциальной энергии рамки в поле тягости Земли равно тепловой энергии, выделяющейся за это время в рамке:

$$mgv_{yct. z}\Delta t = l^2_{yct. z}R\Delta t = \left(\frac{ka^2}{R}\right)^2 v^2_{yct. z}R\Delta t.$$

Отсюда

$$v_{yct. z} = \frac{mgR}{k^2 a^4}.$$

В. Можаев

Ф677. С помощью системы концентрических зеркал (рис. 1) на экране получено изображение Солнца. Радиус зеркал $R_1 = 12$ см, $R_2 = 30$ см. Каково должно быть фокусное расстояние тонкой линии, чтобы с ее помощью получалось изображение Солнца такое же размер?

Задча может быть решена двумя способами.

1. В фокальной плоскости первого зеркала (радуса $R_1$) получается изображение Солнца, которое является предметом для второго зеркала (радуса $R_2$). Если угловой размер Солнца равен $a$, то размер этого изображения равен $l = aF_1 = aR_1/2$; находится изображение на расстоянии $d_2 = R_2 - R_1/2$ от второго зеркала. Увеличение второго зеркала равно $\Gamma_2 = F_2/(d_2 - F_2) = R_2/(R_2 - R_1)$. Размер изображения, получается в системе зеркал, равен

$$L_3 = l\Gamma_2 = \frac{aR_1}{2} \frac{R_2}{R_2 - R_1} = a \frac{R_2 R_1}{2(R_2 - R_1)}.$$

Тонкая линия создает в своей фокальной плоскости изображение Солнца размер

$$L_\pi = aF_\pi.$$

Чтобы получить изображение размер $L_\pi = L_3$, надо взять линзу с фокусным расстоянием

$$F_\pi = \frac{R_2 R_1}{2(R_2 - R_1)} = 10\text{ см}.$$

2. На рисунке 2 показан ход одного из лучей $(AB)$, параллельных оптической оси системы зеркал. Точка $M$ — точка пересечения параллельного на системе луча $AB$ (его продолжения) с лучом $DF$, выходящим из системы. Поместим в плоскость $NN'$, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную оптически-