Квант 1981, №11 · Страницы

КВАНТ
11
1981

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ХV Весеюизная олимпида школьников по физике
(Tашкент, апрель 1981 г.).
Идет эксперимент.

1

Главный редактор
академик Киконн И. К.
Первый заместитель
главного редактора
академик Колмогоров А. Н.
Заместители
главного редактора:
Данилычева М. Н.
Лешковцев В. А.
Соловьев Ю. П.
Редакционная коллекция:
Асламазов Л. Г.
Башмаков М. И.
Белонучкин В. Е.
Болтянский В. Г.
Боровой А. А.
Брук Ю. М.
Вавилов В. В.
Васильев Н. Б.
Воронин С. И.
Гнеденко Б. В.
Гутенхахер В. Л.
Долбилин Н. П.
Дубровский В. Н.
Земляков А. Н.
Зильберман А. И.
Климанов А. И.
Козел С. М.
Кротов С. С.
Кудрявцев Л. Д.
Михайлов А. А.
НИКИШН Е. М.
Новиков С. П.
Потапов М. К.
Разумовский В. Г.
Родина Н. А.
Розов Н. Х.
Савин А. П.
Смородинский Я. А.
Сосинский А. Б.
Уровев В. М.
Фабрикант В. А.

Редакционный совет:
Балдин А. М.
Беляев С. Т.
Буховцев Б. Б.
Велихов Е. П.
Верченко И. Я.
Воздвиженский Б. В.
Глушков В. М.
Дорофеев Г. В.
Ермолаева Н. А.
Ершов А. П.
Зубов В. Г.
Иванов Ю. Б.
Канторович Л. В.
Капица П. Л.
Кириллин В. А.
Коткин Г. Л.
Логунов А. А.
Можаев В. В.
Орлов В. А.
Кузьмин Р. Н.
Патриеева Н. А.
Перышкин А. В.
Сагдеев Р. З.
Соболев С. Л.
Стасенко А. Л.
Сурин И. К.
Сурков Е. Л.
Фаддеев Л. Д.
Фирсов В. В.
Яковлев Г. Н.

В НОМЕРЕ:

Учены образуют к молодежи
2 П. Капица. Профессор и студент

---

6 Б. Вертгейм. Игры с квадратными функциями
11 Я. Смородинский. Джеймс Клерк Максвелл
(к 150-летию со дня рождения)

Лаборатория «Квант»
18 А. Боровой, Ю. Климов. Маятник Максвелла

Задачик «Квант»
21 Задачи М711 — М715; Ф723 — Ф727
23 Решения задач М671 — М674; Ф683 — Ф687
28 В. Гальперин, Г. Гальперин. Овсешение плоскости проекторами

«Квант» для младших школьников
31 Задачи
32 Р. Рубинов. По следам теоремы Пифагора

Практикум абитуриента
36 С. Коршунов. Закон Дальтона

Искусство программирования
40 Заочная школа программирования. Урок 16

ХV Весоюзная оптимизация школьников
44 В. Вавилов, А. Земляков. Олимпида по математике
50 Т. Петрова, Л. Чернова. Олимпида по физике
54 Призеры XV Весоюзной оптимизады школьников

Рецензии, библиография
56 А. Едоров, И. Климов. Новые книги
58 Шахматная страница
59 Ответы, указаны, решения

Анкета (39)
Смесь (10, 39)
Шахматный конкурс (3 с. обложки)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1981

2

П. Капица

Профессор и студент

Наш традиционный вечер, где собираются окончившие Московский физико-технический институт и те, кто предполагает его окончить, разделяется на две части. Первая часть называется торговленной и посвящена жизни и деятельности нашего института. Во втором отделении мы смотрим нашу замечательную самостоятельность, встречаемся со старыми друзьями и веселимся. Мне приходится принять участие в первой части этой программы, которая менее привлекательна, чем вторая, но следует помнить, товарищи, что хороший обед всегда состоит из сытного жаркого и только после него сдадкое было доставляет нам удобствие, и вот этим жарким нельзя пренебрегать, надо относиться кнему со всей серbezною. Конечно, для меня как повара не такая это легкая задача — сделать вам вкусное жаркое за 15—20 минут, которые даются на выступление, и поговорить о наших делах так, чтобы это было сердезно и чтобы вы не заслули. У нас есть, однако, целый ряд вопросов, связанных с работой нашего института, которые должны заинтересовать всех нас. Вот об этих вопросах мне и хотелось бы с вами поговорить.

Всем вам хорошо известно, что физех был создан около двацати лет назад. Основная идея создания этого института была проста и очень видна. Наука развилась черезчайно быстро как у нас в Советском Союзе, так и в других странах; создавалось много научных институтов, эти институты принятыали к себе лучших научных работников, и все «большая наука» сосредоточилась в этих институтах. Вузы были обеспечены: они теряли преподавательский состав, профессуру, а также оборудование, на котором обучались студенты. Поэтому студенты не имели возможность еще вузе присутствить к научной работе, и они должны были переучивать в других институтах перед тем, как подготовить к научной работе.

Академик Петр Леонидович Капица — дважды Герой Социальического Труда, лауреат Нобелевской и Государственных премии, директор Института физических проблем им. С. И. Вавилова Академии наук СССР.

Статья, представляющая собой выступление П. Л. Капицы на вечере выпускников Московского физико-технического института в 1963 году, перепечатается с небольшими сокращениями из сборника «Ленин. Наука. Молоджь», выпущенного в 1980 году издательством «Наука».

Такой разрыв между вызами и научными институтами оказался чрезвычайно вредным для подготовки кадров, поэтому надо было этот разрыв.linkedinровать. Для этого и был создан Московский физико-технический институт, в котором обучение студентов тесто связано с научной работой; они участвали на самом совершенном оборудовании, их обучают молодые учены, которые активно работают в науке, и, наконец, физических имеют возможность приступить к научной деятельности со второго-третього курса. Таким образом, все те недостатки в организации нашей науки, которые связаны с ее быстро ростом, были в значительной мере.linkedinровать.

Успех этой системы несомненный. Учебных заведений, работающих по тому же принципиу, как и МФТИ, который готовит молодых ученых, становится все больше и больше в Советском Союзе. Однако как ни успешно работает такая система в продолжение этих лет, в ней есть еще существенные недостатки, с которых надо бороться и которые надо выправлять, и наша задача — поставить диагноз этих недостатков, искать способы их.linkedinровать.

Первый выпуск МФТИ настоящего сейчас подрос, что ректором нашего института стал товарщик Белоцерковский, старый наш физический. Благодар тому, что он успешно прохолил свой курс у нас и хорошо понimed дух и значение системы преподавания и обучения в физике, с ним чрезвычайно приятно и легко работать, и мы с ним часто обслужаем те мероприятия, которые необходимо для лучшення нашей работы.

Мы замеаем, что у нас еще есть все-tаки большие проблемы в нашей профессуре, нам не всегда удается привлекать к обучению молодежи лучших профессоров. И есть еще один недостаток, о котором я скажу. Институт не выполняет еще все те функции, которые он мог бы выполнять. Вот об этих функциях я тоже хочу поговорить. Что касается подора профессуры, то, как вы знаете, у нас есть и хорошо профессора, есть и средние и даже встречаются ниже. Тут ничего не поделаешь. Так всегда будет.

Самое, пожалуй, тяжело то, что у нас недостаточно хорошо обеспечено преподавание основных дисциплин. В прежние времена учение курсов основных предметов в высших учебных заведениях — общая физика, химия, математика, механика — возлагалось на самых крупных ученых, и считалось исключительно почетным делом вести также курсы. Теперь это изменилось, трудно сказать, почему. Потому что с точки зрения воспитания молодежи очень важно, конечно, чтобы основа знаний давалась крупными учеными, которые заключали бы фундамент, сообщали молодежи то, что нужно для построения знания. Если фундамент недостаточно надежным, то и все знание будет нереспользоваться на ногах.

Как поправить дело, как обеспечить, чтобы вузе читали курс лучшие профессора, лучше преподаватели, лучшие учены? Kazалось бы, можно было бы использовать современную технику, скажем, сделать кинофильм, в котором лектор, самый крупный ученный в данной области (или даже группа ученных), будет рассказывать студентам физики, или химию, или математике.

Конечно, это привлечет лучших профессоров к преподаванию студентам. Но посмотрим, что из этого получится на самом деле. может быть, администрация института и будет привствовать такое начинание: сократится число штатных единиц и не будет необходимости привлекать и подыскивать преподавательские кадры. С точки зрения минстерства — те же самые удобства. Сделав один фильм, они смогут сократить штаты и снить расходы по вузам. Некоторые студенты были бы рады, поскольку все-tаки в темных киноадминистрациях компортабельнее спать, чем в светлых.

4

И все же такая система, конечно, нелена. Вы представьте себе, что в институте вместе профессуры стоит один киноаппараты и ходят только студенты и киноханники. Это будет исключительно скучное и темное завершение, к которому вы не будете относиться, как к своей альма mater. Не в этом, однако, дело. Говорят, студенты рано или поздно как-нибудь к этому приспособятся, как-нибудь это переживут. Гораздо хуже отнесется к этому изменению сами преподавателя. Дело в том, что совершенню забывают о другой функции высшего учебного завершения — учить не только студентов, но учить и самих профессоров и преподавателей.

Хороший ученый, когда преподает, всегда учится сам. Во-первых, он проверяет свои знания, потому что, только ясно обязывает другому человека, может быть уверен, что сам поннимаешь вопрос. Во-вторых, когда ищешь форму ясного описания того или иного вопроса, часто приходит новые идеи. В-третьих, те, часто неелепые, вопросы, которые задают студенты после лекции, исключительно стимулируют мысль и заставляют с совершенню новой точки зрения взглянуть на то явление, к которой подходили стандартно, и это тоже помогает творческим мыслить.

И наконец, студенты лучше знают, шире знают вопросы физики, чем преподаватель. Преподаватель, как специалист, подходит узко, у него нет широкого подхода. У студентов гораздо шире подход. И когда студент беседует с преподавателем, преподаватель очень много узнает от студента.

Вот почему молодым ученым необходимо занимать преподавательской деятельности. Хороший вуз — это тот вуз, который дает возможность развивать талантм преподавателей так же просто, как и талантам их учеников.

Чтобы показать, что это не общие фразы, я вам приведу целый ряд примеров того, как преподавательская деятельность приводала к большим открытиям. Примеры эти настолько разительны, что они, мне кажется, волне подтверждают эту идею.

Один из самых классических примеров хорошо известен — это Д. И. Менделеев и его перiodическая система. Менделеев искал, каким способомлегче обязывать студентам свойства элементов, чтобы эти свойства могли воспринять по определенной системе. Он распределял элементы по карточкам, складывал эти карточки в разном порядке и, наконец, нашел, что карточки, разложенные в виде перiodической таблицы, представляют собой закономерную систему. 1 марта 1869 г. таблица была напечатана отдельным изданием и немного позже вошла как приложение во второй выпуск «Основ химии». Таким образом, перiodическая система элементов в основе своей возникла из педагогической деятельности Менделеева как профессора Петербургского университета.

Второй случай, немного более ранний, относится к математике. В начале XIX в. русское правительство решило, что все чиновники должны иметь среднее образование. Те чиновники, которые не имели аттестаэзрелости, должны были его получить. Чтобы облегчить им это, были созданы курсы, которые готовили к экзаменам на аттестаэзрелости. Одним из преподавателей геометрии таких курсов был Н. И. Лобачевский. Ему было тогда 24—25 лет. Он был очень молод, и он обучался представляемым чиновникам прициппы в включенной геометрии. И они никак не могли понять, откуда берется аксиома о непересекаемости двух паралельных линей.

Лобачевский долго бился над тем, чтобы дать подходящие обязывание, но убедился, что такого обязывания не существует. Он понял, что можно построить такую геометрию, при которой линей всегда пересекаются. Так была создана его неевклидова геометрия. Таким образом

5

зом, он нашел новую область математики, который, как вы знаете, существует было сиграть фундаментальную роль в современной физике.

Могу привести еще пример, о котором мне рассказал известный физик Дебай. Дебай был преподавателем, профессором в Цюрихе. У него был ученик, тоже преподаватель, Шредингер, тогда еще совсем неизвестный молодой человек. Дебай познакомился с работой де Бройля, в котором де Бройль, выдвинувший, как вы знаете, гипотезу о существовании волновой структуры электрона, показал, что при известных условиях интерференции можно заменить движение электрона волновым движением. Идея эквивалентности волнового движения и квантовых процессов, волнового движения и корпускулярного былаоспринята целым рядом физков весма отрицательно. Отрицательно отнесся к ней и Шредингер. Когда Дебай попросил его рассказать молодежи о работах де Бройля, Шредингер сначала отказался. Потом, когда Дебай, пользовясь своим положением профессора, снова преодолжил ему это сделать, Шредингер согласился и начал искать, как можно было бы объяснить идеи де Бройля в наиболее полной и точной математической форме. И когда он рассказал о работах де Бройля в том представлении, какое он считал наиболее точным, Дебай ему сказал: «Послушайте, ведь вы же нашли новый замечательный вид уравнения, который является фундаментальным в современной физике!». Таким образом, в результате педагогического деятельности было найдено и волновое уравнение — основное уравнение современной физики.

Подобных примеров можно было бы привести еще много, но мне кажется совершенно очевидным, что если учебная деятельности плодотворна в таких серbezныхfundamentальных вопросах, то она, несомненно, плодотворна и в более простых вещих, она часто оказывает плодотворное влияние на современную науку и на современных ученых. Позому вышище учебные заведения нужно рассматривать не только как заведения, в которых готовят молдых ученых, но и как место, где развиваются научные таланты и уже формировавшиеся ученыы. Учебные заведения должны быть так организованы, чтобы эта возможность была широко предоставлена преподавательскому персоналу.

У нас это не всегда признается. До них пор, например, в университетах и других высших учебных заведениях считается разумным, чтобы часть персонала занималась научной деятельности, а часть персонала — педагогический. Как раз в высших учебных заведениях должна быть такая система, чтобы она основывалась на ученых, которые неользовую часть своего времени занимаются педагогической деятельности. Только тогда учебное заведение будет выполнять все свои функции — учить студентов и учить преподавательский персонал.

Позому замена профессоров киноаппаратами совершенно неела, она была сделала невозможной вторую часть деятельности высшего учебного заведения, которая, несомненно, в ближайшем будущем будет развиваться и на котором мы обратим внимание. Должны обращать больше внимание.

Я вам рассказал об этом потому, что всем вам, молдым ученым, в ближайшее время представит покинуты физех и в том или ином качестве работы в научно-исследовательских институтах. Если вы хотите продолжать расти как ученые, не стареть и совершенствовать свои знания, вам необходимо не терять контакта со следующим подрастшим поколением, учитать это подрастшее поколение и учиться у него, развивать свои знания. Если вы оторветесь от обучения молдежи, вы сразу начете стареть и сразу начинаете отставать от научки.

Вот этот маленький завет я вам хочу передать от себя, так как считаю его очень важным.

6

Б. Вергеём

или вправо от себя. Их мастерство отражено в таблице *): если игрок

Игры
с квадратным функциями

Можно ли изучать математку игра? Оказывается, можно, так как в математике есть много задач, описывающих «игровые ситуации».

Мы займемся играми, связанными с поиском наиболее и наиболее значений функций. Искусство такого поиска важно во многих задачах экономики, военноного дела, биологии, спорта,…

Решающее десять одинаковатиметровых

Мы — на футбольном поле. Игрок А и вратарь В готовятся к серии из 10 одинаковатиметровых ударов. Игрок будет вправо или влево; вратарь, пытаясь угадать направление удара, готовится к прыжку влево

бет вправо (это его стратегия № 1), а вратарь готовится к прыжку влево от себя (это стратегия № 1 для B), то в среднем вворотах будет 7 мячей из 10; если же B готовился к прыжку вправо, то вляется 10 мячей и т. д.

Оба игрок будутередовать свой выбор случайным образом. Если каждый из них выбирает каждую из своих стратегий примерно в половине случайев (как говорят, с вероятностью 1/2), то в среднем будет забито (7+10+9+6):4=8 мячей.

Если же А будет применять свою первую стратегию с вероятностью 0,6 (в 60% случайе), а вторую — с вероятностью 0,4 (в 40% случайе),

*) В теории игри и в экономике подобные таблицы называются плательными матрицами.

7

a вратарь — своего первую стратегию с вероятностью 0,8, а вторую — с вероятностью 0,2, то в среднем будет забито $(7 \cdot 0,6 + 9 \cdot 0,4) \times 0,8 + (10 \cdot 0,6 + 6 \cdot 0,4) \cdot 0,2 = 7,92$ мяча, что меньше 8. Конечно, говорить о том, что в данной конкретиной серии будет забито 7,92 мяча бессмысленно. Здесь имеется в виду, что при многократном повторении серий, удовлетворяющих поставленным условиям, среднее количество забитых мячей (отношение объщего количества мячей к числу серий) будет близко к числу 7,92.

Пусть вообще $A$ выбирает свои первую и вторую стратегии с вероятностью $x$ и $1-x$ ($0 \leq x \leq 1$), а $B$ — с вероятностью $y$ и $1-y$ ($0 \leq y \leq 1$). В этом случае говорят, что числа $x$ и $y$ определяют смешанные стратегии игроков. тогда среднее число забитых мячей равно $m = (7x + 9(1-x))y + (10x + 6(1-x)) \times (1-y) = -6xy + 4x + 3y + 6$. (*)

Естественно возникает вопрос: каковы наиболее значения $x$ для $A$, $y$ — для $B$? Наилучшее значение $x^*$ для $A$, размещается, должно гарантировать минимальное число забитых мячей (в среднем), независимо от тактики вратара. Наилучшее значение $y^*$ для $B$ должно гарантировать минимальное количество забитых мячей (в среднем), независимо от стратегии игрока, былошего пеналы.

Оказывается (вы в этом убедитесь, решив упражнение 1), $x^* = 1/2$, $y^* = 2/3$; в этом случае будет забито (в среднем) $m^* = 8$ мячей. Легко проверить (обязательно сделать это!), что если хотя бы один из играющих будет придерживаться указанной «наилучшей» стратегии, то независимо от стратегии другого будет забито $m^* = 8$ мячей (в среднем). Если же один из играющих от указанной стратегии, то он уже не может ничего гарантировать — результат будет зависеть от действия правилника.

Так, если вратарь будет одинаково часто прыгать вправо и вплево (то есть $y = 1/2$), а игрок все время быть в правый угол ($x = 0$), то будет забито в среднем меньше мячей ($m = 7,5$). Но если игрок $A$ охитtee, он будет всегда быть влевый угол ($x = 1$) и тогда станет забивать чаше ($m = 8,5$).

А теперь отдохнем от футбола, отверяностей и займемся «просто» функциями, причем без ограничений на $x$ и $y$ — это облегчит первые шаги.

Выиграш, проигрыш, ничья

Пусть две игроков играют в такую игру: $A$ выбирает действительное число $x$, $B$ — число $y$, причем каждый делает свой выбор, не зная выбора противника. Оба числа сообщаются судьбе, после чего по заранее известному игрокам правли подсчитывается выиграш первого $v = f(x, y)$, равный проигрышу второго; точнее говоря, при $v > 0$ А выиграшает у $B$ величины $v$, при $v < 0$ А проигрышает $B$ величины $|v|$; если же $v = 0$, то в игре — ничья; символ $f(x, y)$ означает, что $v$ — это заданная функция двух переменных ($x, y$).

Пусть, например, правило подсчитета выиграша в игре таково:

$$v = y^2 - x^2.$$

Попробуйте сыграть несколько раз по правлу (1). После нескольких «партей» игрок заметят, что каждому из них лучше выиграть нулявые значения: при $x = y = 0$ получается ничья, причем ни одному из игроков невыгодно отклоняться от этого выбора, даже зная выбор противника.

Действительно, поскольку при $x = 0$ $v = y^2$, наилучший ответ игрока $B$ — это выбор $y = 0$. Аналогично, при $y = 0$ $v = -x^2$ и наилучший ход $A$ — это $x = 0$.

Теперь ужеясно, что играть с плагежной функцией $v = y^2 - x^2$ не интересно: ничья обеспечена как тому, так и другому игроку. Труднее и интереснее играть со следующей плагежной функцией:

$$v = y^2 - x^2 + 8x - 10y + 9.$$

Существуют ли в этом случае такие числа $x$ и $y$, которые можно рекомендовать игрокам и от которых им будет «накладно» отклоняться?

Простой ключ к игре (2) дает разложение

8

Рис. 1.

$$v = (9 - x - y)(x - y + 1).$$

Составив систему уравнения
$$\begin{cases} 9 - x - y = 0, \\ x - y + 1 = 0, \end{cases}$$

имеющий единственное решение $x^* = 4, y^* = 5$, заключаем, что игра (2) имеет ничейный исход $v^* = v(x^*, y^*) = 0$ при $x = x^* = 4, y = y^* = 5$.

Геометрическое объяснение здесь таково (рис. 1): пара чисел $(x^*; y^*) \in R^2$ определяется точкой пересечения прямых, соответствующих уравнением системы; если точка с координатами $(x; y)$ лежит на одной из них, то $v = 0$; для точек, лежащих внутри углов, образованных на шимми прямыми, величины $v$ имеет знак, указанный на рисунке. Этот рисунок дополяют следующие вычисления и рассуждания; если $x = 4$, то $v = (5 - y)^2 \geq 0$; $v_{\min} = 0$ при $y = 5$ (в точках вертикали $x = 4$ всегда $v \geq 0$); если $y = 5$, то $v = -(x - 4)^2 \leq 0$; $v_{\max} = 0$ при $x = 4$ (вдоль горизонтали $y = 5$ имеем $v \leq 0$).

Таким образом, если $A$ выберет $x = 4$, то игрок $B$ при любом выборе, кроме $y = 5$, проиграает. Аналогично, если $A$ выберет $x \neq 4$, игрок $B$ выиграет взяв $y = 5$.

Итак, у первого игрок есть ход, сделав который он заведomo не проиграет. Такой же ход есть и у второго игрок. Поэтому в этой игре тот, кто рискнет сыгать не «по теории», тот и проиграает (если, конечно, и его противник не идет на риск отказа от теории).

Приведем для примера результаты пятки партий нашей игры (в каждой тройке первого число — это $x$, второе — $y$, третье — $v$): $(0,0,9), (0,7, -12), (4,7,4), (4,5,0), (5,5, -1)$.

Изучение этих партий подсказывает еще один путь решения (к сожалению, не всегда пригодный). Пробуем рассудать за первого игрок: «Если $B$ выберет $y = y_0$, то тогда получается квадратный треугольен $v(x, y_0) = (9 - y_0 - x)(x - y_0 + 1)$ относительно $x$, который я должен сделать как можно большем, выбрав подходящие $x$; но у этого треугольена максимум при $x = 4$, поэтому я хочу $x = 4!$. Рассудя аналогично, второй игрок обеспечит себе минимальный проигрывший $y = 5$ (при любом ходе $x = x_0$ приводого).

Седловая точка и решение игры

Мы видели, что в игре с функцией (2) каждой игрок может гарантировать себя от проигрыша, так как удалость найти такую пару чисел (4:5), что $f(4,5) = 0$ и для всех остальных $x$ и $y$ значения функции $f$ удовлетворяют неравенству
$$f(x, 5) \leq f(4, 5) \leq f(4, y).$$

Отсюда видно, что первый игрок выбирая $x = 4$, во всяком случае, не проигравает (это вытекает из последнего неравенства), как не проигравает и второй, выбирая $y = 5$.

Дадим общее определения.

Определение седловой точки.

Пусть задана функция $f$, определенная на некотором множество $G$ точек плоскости. Точка $(x^*; y^*) \in G$ называется седловой точкой функции $f$ или точкой равновесия, если при $(x, y^*) \in G, (x^*, y) \in G,$
$$f(x, y^*) \leq f(x^*, y^*) \leq f(x^*, y).$$

Из этих неравенств следует, что $\max f(x, y^*) = f(x^*, y^*) =$
$$= \min f(x^*, y)$$
(влевой части максимум по переменной $x$ при функционином $y = y^*$, в правой части — минимум по $y$ при функционином $x = x^*$).

В теории игрок седловую точку $(x^*; y^*)$ часто называют решением игры (с платежной функцией $v = f(x, y)$), число $v^* = f(x^*, y^*)$ называют ценой игры, а числа $x^*, y^*$ — оптимальные стратегии первого и второго игроков соответственно.

9

Рис. 2.

Туристы и альпинисты

Туристы, желая пройти из долины $D_1$ в долину $D_2$, идут через перевал (седловину) — при этом максимальная высота на пути из $D_1$ в $D_2$ (рис. 2) оказывается минимальной по сравнению со всеми близкими маршрутами, не проходящими через седло. Альпинисты, желая совершить траверс от вершины $V_1$ к вершине $V_2$, проходят то же седло по другой причине — чтобы не «терять высоту», то есть чтобы была максимально возможной минимальная высота на пути от $V_1$ к $V_2$.

Рисунок 1 показан на карту, где высота перевала принята за нуль, а $x$ и $y$ — это долота и широта. Будем рассматривать прямые, параллельные осями, как возможности пути для туристов и альпинистов. Подобно маршрутам в горах, основные прямые рисуна 1 ($y=5$ и $x=4$) выделены тем, что
$$f(x^*, y^*) = \min_{y} \max_{x} f(x, y) = \max_{x} \min_{y} f(x, y),$$
и это очень полезно при анализе игра. Здесь max $f(x, y)$ — наиболее значение $f$ при заданном $y$ и переменном $x$, то есть это нахождение исход для $B$ при выбранном значении $y$; очевидно, это велича минимальная при $y=5$. Истолкуйте аналогично выбор $x=4$ для играка $A$.

Рассмотрим теперь игра с платежной функцией $v=x^2-y^2$, у которой нет седловой точки (убедитесь в этом). Анализ игра с подобной функцией сильно осложняется. В данном примере противники будут заинтересованы выбирать самые большие числа, как им достичьы. Если ввести ограничения на переменные $x$ и $y$ вида $|x| \leq a, |y| \leq b$, что передко встречается на практике, появятся 4 седловые точки: $x^* = \pm a, y^* = \pm b, (v^* = a^2 - b^2)$.

Однако при такого рода ограничения седловая точка может и не появиться (см. упр. 3).

Решение игры с квадратной платежной функцией

Итог нашим теоретическим рассмотрением подводит следующая теорема. Пусть дана цера с платежной функцией
$$v = ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2px + 2qy + r.$$
Эта функция имеет седловую точку, а цера — решение в следующих семи случаях и только в них:

1. $a < 0, c > 0$;
2. $a < 0, c = 0 \neq b$;
3. $a < 0, c = b = q = 0$;
4. $a = 0 \neq b, c > 0$;
5. $a = b = p = 0, c > 0$;
6. $a = c = 0, b \neq 0$;
7. $a = b = c = p = q = 0$.

Седловая точка является решение системы уравнений
$$\begin{cases} ax + by + p = 0, \\ bx + cy + q = 0. \end{cases}$$

Это решение $(x^*, y^*)$ во всех этих случаях, кроме цера, читатель: разбор предыдуших конкретных примеров помогет ему.

Уражнения

1. а) Расмотите игра с платежной функцией $m = 6 + 4x + 3y(1-2x)$ и найдите значение $x$, при котором $m$ не зависит от $y$, а также значение $y$, при котором $m$ не зависит от $x$. Дает ли эта пара значений решения игры?

2. Найти решение и цены игра со следующими платежными функциями:
   a) $v = -x^2 + 6xy + y^2 - 10x - 10y + 15$;
   b) $v = (x + y - a)(y - x - b)$;
   c) $v = 10\ln x - x^2 + 2xy + y^2 + 10x - 8y - 40, x > 0$;
   d) $v = k(\sqrt{x}, -\sqrt{y}) + \sqrt{a-x} - \sqrt{b-y}$;
   d) $v = k(-x^2 + 2pxy + y^2) - x_0^2 - 2px_0y + y_0^2$, где $x_0 = a - x, y_0 = b - x$;

10

3. Есть ли точки равновесия в следующих играх «с ограничением»: а) $v = x^2 + y^2$; б) $v = (x-y)^2$; в) $v = x^2 + xy + y^2$, причем во всех трех случаях $|x| \leq a, |y| \leq b$.

4. Как изменяется утверждение теоремы при дополнительном условии $x \geq a$?

5. Расстояние следующие игры с платейной матрицей $2 \times 2$ вида $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})^*$. Игрок $A$ выбирает строки, а $B$ — столбцы — а решение надо найти для смешанных стратегий $(x, y)$ и функций типа (1) при $0 \leq x$, $y \leq 1$ в следующих случаях:

a) «Прятки» или «понск»: $a = d = -1$, $b = c = 1$. Игрок $A$ приуется в одном из двух мест, а $B$ ищет его там же. Тот, кто достигает своей цели, получает, а другой — теряет очко (monету).

6. «Защита и нападение»: $a = d = c + 1$, $b = 1$, где $c > 1$ задано, например, $c = 3$. Отряд во главе с $A$ отвечает за 2 склада с горючим (во втором его в $c$ раз больше, чем в первом). Сил у $A$ хватит лишь для защиты одного склада. Отряд $B$ может атаковать лишь один из этих складов. Если их выборы совпадают, то все остается целым, если нет — незашищенный склад горит. Найти решения и цену игры и источовать результаты.

b) «Случай на пляже»: $a = d = -\frac{b + c}{2}$, $b > c > 0$. Например, $b = 30$, $c = 10$. К туристу $A$ подходит незнакомец $B$ и предлагает такую игра: оба разом показывают одну из сторон — монеты. Если $y A$ «орел», $y B$ «решка», то $A$ выиграет 30 монет; если

*) Число $a$ — это выиграшигрока $A$ (проигрыш $B$), если она применяет свои правила стратегии, и т. д. (сравните с таблицей для игры с вратarem); здесь также играютются много раз.

Приименить этот способ в играх упражнения 5.

7. (Задача для юных программистов.) Для проведения серии из $N$ игра с заданной функцией составить программу на языке Папира или на другом алгоритмическом языке ($N = 5$ или 10); в очередной партии судья вводит в ЭВМ выбранные значения $x$ и $y$, и после подсчета, на печать выводится выигрышигрока в этой партии и накопленый его выигрыш за все партии игры с начала данной серии.

8. Доказать, что если цена игра с квадратной функцией существует, то она единственная, хотя седловых точек может быть более одной.

9. Число — элемент матрицы — на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца часто обозначают $a_{ij}$ — это краткая запись для $a(i, j)$, функция двух целочисленных аргументов. Элемент матрицы называется «седловым», если он наименьший в своей строке и наиболее в столбце. Если такой элемент существует, то он равен цена игра, а номера его строк и столбцов дают решение игры «в чистых стратегиях». Верно и обратное (доказите). У каких матриц из упражнения 1 и 5 есть седловые элементы?

Задачи наших читателей

1. Так называемый ударный трансформатор Гойгенса представляет собой желоб, в котором лежат $n$ тел. Их массы $m_1$, $m_2$, …, $m_n$ связаны условием $m_i/m_{i+1} = k > 1$. Если первоое тело начинает движаться со скоростью $v_1$, то после всех соударений (соударения абсолютоно упругие) последнее тело покидает желоб со скоростью $v_n \gg v_1$ (исторически это один из первых способов получения больших скоростей). Найти выражения для отношений $v_n/v_1$ и для коэффициента полезного действия $K\Pi D = (m_n/m_1)(v_n/v_1)^2$ как функция $k$ и $n$. Покайте, что при заданной $v_n/v_1$ существенно такое $k$, при котором $K\Pi D$ максимален.

Л. Ашкинази

2. Широко распространяется спиртовые термометры обладают веса существенным недостатком: если их использовать для измерения температуры воздуха на улице, где они освещаются солнечными лучами, термометры довольно быстро (в течение одного-двух лет) начинают давать значенные показания. Причина тому является уменьшение количества параметров, если бы обивка перегородки была вдобавок не идеально, а пропускала бы одну сотую часть звуковой мощности.

Г. Гальперин

3. Две комнаты разделены звуковопроницаемой перегородкой, в которой имеется дырка в виде квадрата со стороны 2 см. Ширина перегородки 2м, высота комнаты тоже 2 м. Оцените, во сколько разухудшились бы звуковозолюционные параметры, если бы обивка перегородки была вдобавок не идеально, а пропускала бы одну сотую часть звуковой мощности.

М. Ваксман

11

Жизнь Максвелла, наверное самого крупного физика прошло века, представляется как переплетение занимаемых историй. Каждая из истории оказала глубокое влияние на наш представления о природе.

Если мы сейчас говорим о физическом поле (электромагнитном, gravитационном или еще каком-нибудь), то смысл в это понятие волжил Максвелл. Молекулярная (или статистическая) физика приобретала четкий смысл после работы Максвелла. Первая теоретическая работа по кибернетике «О губернаторе» (так Максвелл называет регулятор машин) принадлежит Максвеллу. Теория цвета существования образом связывана с его работами. Ода из очень старых задач о природе коллец Сатурна была решена Максвеллом.

История о колых Сатурна — самая простая. С нее мы и начнем.

В 1609 году Галилей сделал первый телефон, условиянствовав голландскуюрительную трубу, которое он увидел в Венеции. Построив трубу (он называл ее «перспективой»), Галилей посмотрел в нее на него. То, что он там увидел, его потрясло. У Юпитера оказались четыре Лунны, на Луне открылись горы, а на Солнце нашлись пятна. Но самых удивительных были видны отростки. Через некоторое время отростки исчезли, и их природу Галилей не смог разгадать. Лишь в 1659 году Гюйгенс понял, что Сатурн окружен колыцами.

Прошло еще 100 лет. Астрономы стали думать: почему колыца не падают на Сатурн, почему они не разрушают под действием собственной тяжости?

В конце XVIII века этой задачи заняла Лаплас. Вывод, к которым он пришел, был малоутешитель: для того чтобы колыца врашались вокруг Сатурна как твердые сплошные конструкции и при этом не раз-

12

рушались, плотность материалов колес должны быть очень большей.

Теоретические представления оказались недостаточных для описания новых наблюданий. В 1855 году в Кембридже был объявлен конкурс (премия Адамса*) решенный загадки колес Сатурна. Максвелл, который в это время заималкафедру в Абердине (насебе Шотландии), занялся систематическим изучением этой проблемы. Он последовательно исследовал три случая: 1) — колца жидкие; 2) — колца твердые; 3) — колца состоят из отдельных кусков.

Выводы, к которым пришел Максвелл, следующие. Плотные колца, даже если они удовлетворяют условиям Лапласа, будут разрушаться из-за волн, распространяющих вдоль окружности колца. Никакая жесткая или деформарующая структура (жидкие колца) не может стабильно врашаться вокруг Сатурна.

Единственный возможность остается колцо, состоящее из отдельных сравнительно небольших кусков, каждый из которых обращается с первой космической (сатурнанской) скоростью — по орбите спутника, как бы мы сейчас сказали.

Это и было решением задачи. Премия Адамса была присуждена Максвеллу.

«Work, finish, publish» (работай, закончи, публикуй) — таков был девиз Максвелла. В 1855 году он приступил к работе над проблемой колцес Сатурна, а в 1859 году полное исследование задачи было опубликовано в Кембридже.

Как было сказано, разные истории из жизни Максвелла перепелются между собой. Размышляя над поведением колцес Сатурна, Максвелл понял, что необходимо развитить теорию системы, которые из большого числа взаимодействующих частиц. Описывать такие системы, решая уравнение Ньютона,— задача безнадежная. Наду уметь вы-

*) Д. К. Адамс (1819—1892) — астроном из Кембрижа, доказавший существование планеты за Ураном (Нептуна) на основании математического анализа движения Урана.

*) Перевод этой первого работы Максвелла был написан в «Кванте» № 12 за 1979 г.

13

правильно регистрации цвета. Это должно повод к новым опытам и к созданию первого теории цветной слепоты.

В истории с цветовым зренем ярко прослеживаются характерные черты начного метода Максвелла. Почти все его исследования содержали обязательные этапы: создание наглядной геометрической модели и привлечение простых аналогий.

Стотит приведены слова Максвелла о том, что значит физическая аналогия, что значит постройть модель: задача состоит в том, чтобы «найти физический аналогию, которая помещала бы мышленю охватить результаты прежних исследований, однокое поздние какой-либо теории, основанной на физических принципах той науки, откуда была заимствована аналогия, чтобы не отвлечся от самого предмета исследования, разбия аналитические тонкости, и не очититься за границей истинны из-за понравившейся гипотезы».

Такая формула, полная одних предостережения, сравняется полностью в понских решениях главной проблемы Максвелла — теории электромагнитного поля. Именно Максвеллу удалось увидеть в работах Фарадея то, чтоникrome него увидеть не смог. В силовых линях Фарадея он увидел новый физический объект — поле. Но для этого надо было пройти через тяжелый этап исследований — этап примитивной модели.

Опять история начинается с работ Великого физика. Фарадей предположил, что действие на расстоянии между зарядами и токами передается с помощью силовых линей, связывающихся между собой разноменные заряды (электрические линей) или кольцами окружающих точки (магнитные линей). Эти линии стремятся сделать вдоль своей длины (притяжение) и оттолкнуть от своих соседей. Движением таких линей Фарадей удалилось объяснить результаты огромного количества своих и чужих опитов.

Максвеллу очень нравилась идея Фарадея: наглядная картина упругих нитей оказывалась удачной аналогией. Необходимо было найти математический аппарат для описания такой механической модели. Максвелл вспоминает работу Томсона (в будущем лорда Кельвина) о том, как пожжи между собой уравнение для потенциала силы тяжестии и уравнение распределения тепла. И то, и другие явления можно описывать с помощью системы поверхностей, на которых потенциал или температура. Так, температура в пространстве вокруг нагретого шарика падает по тому же закону, что и потенциал поля тяжестии массивного шарика.

Исходя из подобной аналогии, Максвелл начинает с описания электрического и магнитного полей с помощью системы линей, произвольных каждую точку пространства и указывающих направления действия сил. Для того чтобы описать и величины сил, Максвелл делает еще один шаг, который надо, как в шахматной партии, обозначить знаком «!!». Он заменяет сливые линей трубками, а чтобы сделать трубки упругими, предполагает, что по ним чечет жидкость.

Представление об электрических и магнитных жидкости было не новым. Так, еще до Фарадея пытался описывать явления, произходящие с зарядами и магнитами. Ноникто не пытался относиться к ним как к объектам, достойным математическим описания, иникто не сочетал их с силовым линейми Фарадей. Фарадей понял, что в присутствии полей тело переходит в некоторое «электрическое состояние» (так он представлял себе действие поля). Максвелл попытался найти математические законы, описывающие это состояние. В первой своей работе по электромагнитизму «О фарадевых силовых линейях» (сделана она была в 1855—1856 годах, а опубликована в 1861 году) он еще с грустью пшетет: «…я сохраняю надежу при визитлении свойств упругих тел и движения взких жидкости найти такой метод, который позволяет бы дать и для электрического состояния неоторый механический образ, способный вести к общим закочением». Следующую работу «О физи-

14

зических линяях сил》 он публикует в 1861—1862 годах. В этой работе механическая модель электромагнитного поля доведена почти до абсурда (с сегодящей точки зрения) — здесь и врашающесся частицы, выстроенные в ряды, и выход в среде, и многое другое. С неопстижным искусством Максвелл извлекает из модели лишь то, что нужно для будущей теории, никак не использует конкретные свойства механизмов, которые он наполнил пространство (в этом и заключется смысл предотвращения, о которых он писал). В следующей работе, в 1864 году, все вспомогательные предметы исчезают, как по маневнию волшебной палочки, исчезают бесследно. Работа называется «Динамическая теория электрического поля», и в ней есть также слова.

«Та теория, которую я предложю, может быть назван теории электромагнитного поля, потому что она имеет дело с пространством, окружающим электрическим и магнитные тела, и она может быть назван также диамической теории, поскольку она допускает, что в этом пространстве имеет materiaя, находящаяся в движении, посредством которого и производится наблюдаемые электромагнитные явления. Электромагнитное поле — это часть пространства, которая содержит в себе и окружает тела, находящаяся в электрическом или магнитном состоянии».

Электродинамика практическая была построена. Окончательно она была оформлена в знаменитом двухтомном «Трактate об электричестве и магнитизме», вышедем в 1873 году.

Только первая из работы по электродинамике была сделана в Абердине. В 1860 году из-за реорганизации Университета (два колледжа были слиты в один) Максвелл был вынужден покинуть Абердин. Он принял приглашение и занял кафедру в Королевском Колледже в Лондоне, где оставался пять лет, после чего до 1871 года не занимался педагогический деятельности.

Принимая кафедру в Лондоне, Максвелл обращался к студентам со вступительной lekцией, в которой он расссказал о том, как переплегаются между собой отдельные области физики и как важно, чтобы учения о теллоте и об электричестве достигли той же степени завершения, какой достигла механика.

«В нашей стране, — говорил Максвелл, — натуральной философий называют собранное наук, состоящих из двух основных групп (класический труд Ньютона называется «Matематическая наука натуральной философии» — Я. С.). Первая группа включает механику и охватывает общую теорию движения и равновесия, а также приложения принципов механики к исследованию явлений природы.

Вторую группу принято назвать физикой. Сейчас в нее включают изучение света, теплоты, электричества и магнитизма и всех таких явлений, которые мы связываем с более общими принципами, хотя и не можем пока свести их к простому результату известных механических действия.»

Глубина приложения в законы природы у Максвелла была разработана. В 1868 году он публикует работу «О метода прямого сравнения электросатического и электромагнитной силы; с заменением об электромагнитной теории света».

Рассужждение в этой работе воспринимается как в полне современные. Если не стремиться к тому, чтобы передать их совсем точно, то идею Максвелла можно изложить просто.

Взаимодействие электрических зарядов проявляет себя двумя способами. Два неподвижных зарядда действуют друг на друга по закону Кулона. С другой стороны, ток в проводнике, который есть не что иное, как поток зарядов, создает магнитное поле. Это магнитное поле может действовать на другой проводник с током. В результате, как хорошо известно, два прямолинейных проводника с токами, текущими паралельно друг другу, пригravаются. Так как проводники не заряжены, электриче克斯 сил между ними нет.

15

Максвелл со своей женой Кэтрин Дьюар (Шотландия, около 1875 года).

Формулы, описывающие взаимодействие зарядов и токов, были известны давно. Два заряда $q_1$ и $q_2$ на расстоянии $r$ друг от друга взаимодействуют по закону Кулона:

$$F_q = k \frac{q_1 q_2}{r^2},$$

где $k$ — постоянный коэффициент (равный в СИ $9 \cdot 10^9 \frac{H M^2}{K \pi}$). Сила, с которой, действует прямолинейный ток $I_1$, на параллельный ему ток $I_2$, текущий по отрезку проводника длины $l$, находится на расстоянии $r$, равна

$$F_l = a \frac{2 I_1 I_2}{r l},$$

где $a$ — постоянный коэффициент (равный в СИ $10^{-7} \frac{H c^2}{K \pi^2}$).

Во время Максвелла физики пользовались двумя системами единиц для измерения электрических величины. Единицу для заряда выбирали так, чтобы два заряда $q_1 = q_2 = 1$ отталкивались на расстоянии $r = 1$ (1 см) с силой $F_q = 1$ (1 дина= $10^{-5}$ H). Такая система назывался электрической (будем обозначать ее E). В другой системе единица также два ток $I_1 = I_2 = 1$ приятивались на расстоянии $r = 1$ (1 см) с силой ($F_l = 2$ (2 дины). Эта система называлась электромагнитной (будем обозначать ее M). В системе $E = k = 1$, в системе $M = 1$. Нетрудно понять, что нельзя придумать такую систему единиц, в которой одновременно выполнялись бы оба условия ($k = 1, a = 1$). Законы взаимодействия токов и неподвижных зарядов разные, и их нельзя изменить выбором системы единиц.

Но ток $I$ и заряд $q$ могут быть связанны друг с другом. Ток равен заряду, проходящему через сечение проводника за единицу времени. В системе $E$ величина $q^2$ имеет размерность $[F] [L^2]$ ($[L]$ — размерность расстояния). Квадрат ток $I^2$ в этой системе будет иметь размерность $[F] [L^2] [T^{-2}] [T]$ — размерность времени. В системе же $M$ размерность $I^2 - [F] [\frac{1}{a}]$. Из последних двух соответствий ясно, что коэффициент $a$ в формуле для $F_M$ — размерный и размерность его $[L^{-2} T^2]$. Иными словами, величина $a$ имеет размерность квадрата скорости (с этих замечаний и начал свою работу Максвелл).

Для того чтобы соприкнуть численные значения единиц заряда в системе $E$ и $M$, можно, например, зарядить два конденсатора зарядами $q_1 = q_2 = 1$ ($q = 1$ — в системе $E$; на опите можно взять любой известный заряд) и разрядить эти конденсаторы через два параллельных проводника, изменив время заряда (это дает возможность определить ток). Величина силы взаимодействия между проводниками, очень/no, определяет, восколько раз заряд $q_E = 1$ в системе $E$ меньше заряда $q_M = 1$ в системе $M$.

Отношение $q_E:q_M$ изменили еще в 1856 году Вебер и Кольрауш, получив $(3,107 \cdot 10^8 \text{ m/c})^2$ — величины, близкую к квадрату скорости света. Случайно ли это совпадение? Если нет, то какова связь между соответствием единиц $q_E$ и $q_M$ и скоростью света? На эти вопросы до Максвелла ответа не было.

16

Для Максвела это совпадение не могло быть случайным: он увидел в нем подтверждение электромагнитной приоды света. Еще в 1862 году в работе «О физических линейных сил» он написал: «…мы едва ли можем отказывать от вывода, что свет состоит из поперечных колбаний той же самой среды, которая является приной электрических и магнитных явлений». Это замечание оказалось необычайно глубоким.

В СИ в формуле для $F_1$
$$a = \frac{k}{c^2} = \frac{9 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{16}} \frac{H_m^2/K_l^2}{M^2/c^2} = 10^{-7} \frac{H_c^2}{K_l^2},$$
как и было написано выше.

Теория электричеста и магнетизма Максвела должно считаться одной из самых трудных физических теории. Его современник она казалась не менее трудной, чем квантовая механика — физик нашего века. Главная трудность состоит в том, что Максвелу нужден был носитель поля — эфир.

Следуя Фарадю, Максвелл считал, что пространство, окружающей заряд или ток, обладает свойствами, отличными от свойств пустого пространства, пространства без вещества. Но, как и всем физкам прошло века, ему было оченьно, что у пустого пространства нет свойств, тем более пустое пространство не может изменять свойство. Поэтому физики считали, что пространство заполнен некой субстанцией — эфиром, свойства которого отличаются от свойств известных веществ*). Эфир изменяется под действием тока, колбания эфира лежали в основе распространения света. Размышляя над свойств эфира, Максвелл обсуждал возможность изменения влияния движения Земли на скорость света (в 1881 году опыт был поставлен Майкельсом). Эфир долго держался в физике. Только Эйштейн понял окончательно, что электромагнитное поле не нуждается ни в каком особом материалном носитель, что оно само обладает свойством, характерным для материалов — у него есть энергия, импульс.

Так закончилась еще одна история. Теория Максвела до сих пор не обнаружила никаких пределов применимости. Когда Эйштейн построил теорию относительной уравнения Максвела вошли в нее в почти неизменном виде, в то время как уравнения механики Ньютона оказались лишь приближенными. Уравнения Максвела выбрали в себя поправки, произходящие от квантовой механики. Они описывают явления, происходитше и в масштабах Вселенной (расстояния $\sim 10^{28}$ см), и в микромире (расстояния $\sim 10^{-16}$ см).

Нам осталось расссказать еще о кинетической теории. Остальные истории мы оставим в стороне. Мы не будем расссказывать о математических работах Максвела, о работах по механике и оптике. Существуют еще и стихи Максвела, серверные и смешные — он любил шутить. Мы оставим без внимания работы о движении оси вращения Земли и разные другие «мелочи», которые могут быть само по себе обеспечить известность.

Итак, об истории с кинетической теории. Физики давно пытались вывести формулы, описывающие давление газа на стенки сосуда. Оказалось, что это сделать не так просто. Со времени Бернулли для описания давления газа на стенки сосуда использовали модель, в которой частица газа не стальнались между собой, а летели от стенки к стенке с одной и той же (по величине) скорость, не изменяя ее даже при удалении от стенку. Это, конечно, не отвечало реальному положению вещей. В середине XIX века Клаузиус стал рассматривать взаимные столкновения молекул. Он введил понятие длинной пробега $\lambda$ — расстояния, пропетаемого молекулами между двумя столкновениями. Эту величины Клаузиус считал неоторойной характеристикой газа. Столкновения молекул проискают часто, и молекула не может летать по всему сосуду, а остается как бы запертой в небольшим объеме, размер которого примерно $\lambda^3$. При таком

17

Фамильный дом Максвеллов в юго-западной Шотландии.

описание газа становилось не очень ясным, каким образом «запертые» вдалеке от стенки молекулы могут оказать давление на стенку — передавить стенке свое количество движения.

Максвелл постарался исправить стол несовершенную модель газа. Прежде всего он рассмотрел задачу о распределении молекул по скоростям. После этого он показал, что в газе при стокновениях происходит передача количества движения от молекулы к молекуле, совсем так, как передается желез в этафете. Хотя сами молекулы и не уходят, как правило, далеко от своего местопрерывания (как не уходит бегун со своего этапа), при стокновениях возникает поток количества движения, который и достигает стенок. Так же происходит и перенос тепла в неравномерно нагретом газе или выравнивание концентрации смеси — процесс диффузии. Теория процессов перенос — очень важная работа Максвелла, оказавшая большое влияние на развитие кинетической теории газа.

Для подробных расчетов свойств газа Максвелл предложил, что между молекулами действуют силы, которые убывают как пятая степень расстояния между молекулами. Такая сравнительно простая модель позволила Максвеллу расчитать (конечно, не очень точно) многое характеристики газа.

Максвелл довел уменение пользоваться моделими до совершенства. И он всегда говорил, что «аналогия должна помогать воображению, но не заменять физическое явление».

В 1860 году Максвелл публикует работу «Иллюстрации к диинамической теории газов», в котором дает формулу для распределения скоростей молекул. Это — знаменита формула «распределения Максвелла, занимающая центральное место в молекулярной физике. Главное, что понял Максвелл, состоит в том, что в таких системах, как газ, распределение частиц по скоростям (или, точнее, по величины кинетической энергии) зависит только от температуры. Разбия вопрос о стокновениях молекул, Максвелл показал, что трене в газах не зависит от давления. Этот вывод былоспринят с большим недоверием, и Максвелл вместе со своей jenой проверил его на опыта.

Кинетическая теория Максвелл занимается до конца своих дней. Он умер 5 ноября 1879 года в возрасте 48 лет. Посление года он провел в Кембридже, был первым руководителем знаменитой КавендискойLABоратории, названной так в честь английского физика XVIII века Кавендиша, который Максвелл высокоценил и собранте трудов которого он подготовил к изданию.

Жизнь Максвелла — пример устремленного движения к победе, жизни, прожитая под девизом «Work, finish, publish».

18

Маятник Максвелла

«Важным разделом нашей обязаноностей является постановкаилостративных опытов, поощренные другие к постановке их и развите всевозможными способами освещаемых им们 идеи. Чем проще матерialsилостративного опыта и чем более они прививны учащему, темлубнее он поймет идею, которое долженилострировать этот опыт. Воспитательная ценность таких опытов часто обратно пропорциональна сложности прибора.»
Эти слова Джеймса Клерка Максвелла — великого английского физика, стоятидесятление со дня рождения которого отмечается в этом году, как бы специально предназначаны для Лаборатории «Кванта». В данной статье мы хотим обратиться к прибору, носящему его имя, — к так называемому матринику Максвелла. Несложный в изготовлении, он часто демонстрирует на lekциях по механике и позволяет выявить ряд интересных закономерностей движения твердого тела.

Посмотите на фотографию такого матриника (рис. 1). Это диск, насаженный на ось, к которой привязаны две нити (их верхние концы закреплены). Закрутите нити вокруг оси — диск поднимется. Теперь отпустите матрифик — и он начинает совершать периодическое движение: сначала диск опускается, нити раскручиваются, диск вращается все быстрее и быстрее; дойдя до нижней точки и продолжая по инерции врачается, диск меняет направление своего движения и поднимается в ось, движение диска замедляется; в самом верхней точке матрифик на мгновение останавливается и снова начинает свое движение вниз и т. д.

Сразу хотим предупредить читателей, что матрифик будет колебаться устойчиво и достаочно долго, если соблюдится несколько условия. Сам диск должен быть относительно тяжелым (m>100 г) и большим (динамиром 5—8 см), ось — тонкой (динамиром 4—5 мм) и «невесомой», а нити — прочными и достаочно длиными (~0,5 м). Обратите внимание на то, чтобы диск находился строго посередине оси и был перпендикулярен к ней, а нити имели одинаковые длины.

Для изучения закономерностей движения матрика нам понадобят-

Рис. 1.
Рис. 2.

19

ся часть с секундной стрелкой (конечно, лучше — секундомер) и набор дисков — одного и того же радиуса, но разной толщины (массы), а также различных радиусов, но одной толщины. Диску удобно сделать съемными; один из способов их закрепления на оси показан на фотографии на рисунке 2.

Итак, начнем наши эксперименты. Наблюдения за колебаниями различных магнитков дают первый результат — период колебаний, то есть полное время спуска и подъема магнитка, не зависит от массы диска, а зависит от его радиуса, причем зависит эта — почти пряма пропорциональная.

Далее, легко видеть, что с течение времени колебания довольно заметно затухают, причем чем меньше становится их амплитуда (максимальная высота подъема) и чем меньше скорость вращения диска, тем менее устойчиво ведет себя магниток. Интересно также проделать такой эксперимент: задавая некоторые возможности (то есть вывод магнитка из источного состояния), проследить за их затуханием при движении магнитка. Если, например, в момент запуска слегка повернуть диск в горизонтальной плоскости, то при своем padении он довольно быстро вернется к относительной устойчивому положению. Но если же отклонить магниток в плоскости его вращения, то практические до самого конца движения сохраняются оба колебания: вверх-вниз и в плоскости вращения.

Постараемся теперь обьясить часть наших экспериментальных результатов. Для простоты рассужdenый предположим, что все масса рассматриваемого диска сосредоточена на его поверхности, то есть что магниток — не диск, а обруч.

Обозначим радиус обруча через $R$, а радиус оси — через $r$ (рис. 3). Расмотрим магниток в тот момент, когда он опустился на расстояние $h$ от верхнего положения. Каждый точка обруча, например точка $A$, одновременно участвует в двух движениях: в построальном движении вместе с осью $O$ вниз со скоростью $\vec{v}_0 = \vec{v}_{\text{пост}}$ и вращательном со скоростью $\vec{v}_1 = \vec{v}_{\text{пост}} + \vec{v}_{\text{пост}}$.

Нить размытается без прокалывания, и это означает, что мгновенная скорость точки $B$ равна нулю. Поэтому движение магнитка можно представить и как ряд последовательных поворотов вокруг мгновенного центра вращения $B$. Тогда справедливо равенство

$$\frac{v_0}{v_A} = \frac{r}{R-r}, \text{ или } \frac{v_{\text{пост}}}{v_{\text{bp}} - v_{\text{пост}}} = \frac{r}{R-r} \tag{1}$$

(буквой $v$ мы обозначили модуль той или иной скорости). Отсюда

$$\frac{v_{\text{пост}}}{v_{\text{bp}}} = \frac{r}{R}.$$

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии:

$$mgh = \frac{mv_{\text{пост}}^2}{2} + \frac{mv_{\text{bp}}^2}{2} \tag{2}$$

Мы представили кинетическое энергию (правую часть равенства (2)) в виде двух слагаемых — энергии поступательного движения и энергии вращательного движения вектора тяжести*).

Из кинematики известно, что

$$v_{\text{пост}}^2 = 2ah, \tag{3}$$

где $a$ — модуль ускорения поступательного движения магнитка.

*) Возможность такого разбиения можно доказать и строго, но интуитивно это ясно и так.

20

Рис. 4.

Таким образом, из уравнения (1) — (3) найдем:

$$a = \frac{g}{1 + (R/r)^2}.$$

В нашем случае $R/r \gg 1$ (при этом условии выполняется требование «невесомости» оси), поэтому можно считать, что

$$a = g \left( \frac{r}{R} \right)^2.$$

Если длина разматывающейся нитли $l$, то $l = at^2/2$ и период колебаний матрика равен

$$T = 2t = 2\sqrt{\frac{2l}{a}} = 2\frac{R}{r}\sqrt{\frac{2l}{g}}.$$

Для диск формулы (4) и (5) соответственно преобразуют (см. «Дополнитель»):

$$a = 2g \left( \frac{r}{R} \right)^2,$$

$$T = 2\frac{R}{r}\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Тепер мы можем сравнить результаты расчетов и экспериментов. Из (4’) и (5’) видно, что и ускорение $a$, и период $T$ не зависит от массы диска, но зависит от отношения радиусов $R/r$: чем больше $R$ (по сравнению с $r$), тем меньше ускорение и, соответственно, больше период колебаний. Это действительное согласуется с экспериментом. Но если вы опыты проводили аккуратоно, то заметили, что расчетный период (5’) меньше экспериментального. Это, как уже говорилось, связано с затуханием. А как вы думаете — где именно происходит наиболее подробная погрешность наибольшая погрешность?

Наконец, можно продолжать еще один очень эффективный опит с матриком Максвелла, но для этого необходимо вызывать все (рис. 4). Сначала при неподвижном матрике приведите все в равновесие, а затем отпустите матрик. Равновесие нарушится: матрик как бы станет легче. Почему? Объясните это самостояльно.

Дополнитель

Для тех, кто знаком с интегральным исчислением, приведем вывод формулы кинетической энергии вращающегося диска, откуда будет легко получить формулы (4’) и (5’).

Разобъем диск радиусом $R$ на $n$ тонких колеси шириной $\Delta x$ каждое (рис. 5). Кинетическая энергия одного колеса радиусом $x$ и шириной $\Delta x$ равна

$$\Delta E_k = \left( \varrho 2\pi xb \Delta x \right) \frac{\omega^2 x^2}{2},$$

где $\varrho$ — плотность матриала диска, $b$ — его толщина, $\omega$ — угловая скорость вращения, а выражение в скобках — масса выбранного колца.

Рис. 5.

Кинетическая энергия всего диска приближенно равна сумме кинетических энергий отдельных колес:

$$E_k \approx \sum \Delta E_k.$$

Если перейти к пределу при $n$, стремится к бесконечности, приближенное равенство становится точным:

$$E_k = \lim_{n \to \infty} \sum \Delta E_k =$$

$$= \int_0^R \varrho 2\pi xb \frac{\omega^2 x^2}{2} dx =$$

$$= \frac{\varrho \pi b \omega^2 R^4}{4} = \frac{\varrho \pi R^2 b \omega^2 R^2}{4} = \frac{m \omega^2 R^2}{4}.$$

Кинетическая энергия вращающегося обруча той же массы равна $mv^2/2 = m\omega^2 R^2/2$. Следовательно, кинетическая энергия диска в два раза меньше.

Формулы (4’) и (5’) выведите самостояльно.

21

Задачи

M711 — M715; Ф723 — Ф727

M711. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная AOC делит четырехугольник на две части равной площади.

В. Варваркин

M712. Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяты чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и 7.

Э. Туркевич

M713. М — множество точек на плоскости. Точка O плоскости называется «почти центром симметрии» множество M, если из M можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множество O является центром симметрии в общном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

В. Прасолов

M714*. N друзей одновременного узнал N новостей, причем каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обменивать новостими. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все новости? Расмотрите три случая: a) N=64, 6) N=55, b) N=100.

А. Анджан

M715*. Примой угол разбит на клетки (рис. 1). На некоторых клетках стоит фишки, причем расположение фишек можно преобразовать так: если для некоторых фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в этих клеткиставится по фишке, а старая фишка убирается. Вначале в угловую клеткуставится одна фишка. Можно ли указанным операциями освобить от фишек уголки из a) трех, 6) шести, b) десяти клеток, показанные на рисунках 2, a, 6, b?

М. Концевич

22

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф723. Спортмены бегут с одинаковыми скоростями $v$ колонной длины $l_0$. Навстречу бежит тренер со скоростью $u$ ($u < v$). Спортмен, поровняющийся с тренером, бежит назад с той же скоростью $v$. Какова будет длина колонны, когда все спортмены развернутся?

И. Воробьев

Ф724. Насколько переместится конец перекинутою через подвижный блок нити (точка $A$ на рисунке 3), если к нему приложить силу $\vec{F}$? Жесткость пружин одинаковы и равны $k$. Пружины, нить и блок считать неевесомыми.

Г. Меледин

Ф725. Из взрывчатого вещества нужно изготовить тонкостенную конечскую оболочку так, чтобы при взрыве, начинающемся с вершины конуса и «сползающем» вниз, продукты взрыва ударились о горизонтальной плиту, на которой стоит конус, одновременно. Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна $v$, а скорость разлега продуктов взрыва $u$. Каким должен быть угол ф между основу конуса и его образующей?

И. Воробьев

Ф726. В длиной горизонтальной расположенной теплопроводной трубе между двумя поршнями массы $m$ каждой нахождения 1 моль идеально одноатомного газа при температуре $T_0$. Вне поршней — вакуум. В начальной момент скорости поршней направлены в одну сторону и равны $v$ и $3v$. До какой максимальной температуры нагреется газ? Поршни телло не проводят. Универсальная газовая постоянная равна $R$.

В. Бородин

Ф727. Зависимость направления от тока для некоторого источника электрической энергии показана на рисунке 4. Постройте график зависимости направления на нагрузке, на которой замкнут источник, от сопротивления нагрузки.

Problems M711 — M715; P723 — P727

M711. The diagonals of a convex quadrilateral $ABCD$ inscribed in a circle of centre $O$ are perpendicular to each other. Prove that the broken line $AOC$ splits the quadrilateral into two parts of equal area.

V. Varvarkin

24

М672. Пусть $a$ — натуральное число такое, что $2^a - 2$ делится на $a$ (например, $a = 3$). Определим последовательность $(x_n)$ условиями
$$x_1 = a, x_{k+1} = 2^{xk} - 1.$$
Докажите, что $2^{xk} - 2$ делится на $x_k$ при любом $k$.

Легко заметить, что треугольники $ABC$ и $ADC$ равновелики: $S_{ABC} = S_{ADC}$ — они имеют общее основание $AC$ и равные по длине высоты, опущенные на это основание. Поэтому $\frac{1}{2} ab \sin \widehat{B} = \frac{1}{2} cd \sin (180^\circ - \widehat{B})$, то есть $ab = cd$. Складывая (1) и (2), получаем требуемое.

Р. Мазов

Докажем это утверждение методом математической индукции.
При $k = 1$ оно справедливо по условиям. Предположим, что $2^{xk} - 2$ делится на $x_k$, и докажем, что $2^{xk+1} - 2$ делится на $x_{k+1}$.
Пусть $x_{k+1} - 1 = 2^{xk} - 2 = mx_k$, где $m > 1$ — натуральное число. Тогда
$$2^{xk+1} - 2 = 2(2^{xk+1} - 1) = 2(2^{mx_k} - 1) = 2(2^{xk} - 1)(2^{(m-1)x_k} + 2^{(m-2)x_k} + \dots + 1) = Mx_k + 1$$
где $M$ — натуральное число, что и требовалось доказать.

В. Яноус

От редакции. Задча М672 по существу совпадает с леммой 2 из статьи И. Яглома «Почти простые числа» («Квант», 1981, № 9).

М673. На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A, B, C$. Хоккеист выбирает одну из них и будет по ней так, что она проходит между двумя друзями и оставливается в каждой точке.
a) Покажите, как после пяти ударов шайба $C$ может вернуться на свое место, а шайбы $A$ и $B$ поменять места.
b) Может ли все три шайбы $A, B, C$ вернуться на свою прежние места после 25 ударов?

a) Нетрудно сообщать, что если по шайбе $C$ наносится хотя бы один удар, то за пять ударов вернуть назад шайбу $C$ и поменять местами шайбы $A$ и $B$ неудается.
Оdnako, если шайба $C$ стоит на месте, а перемещаются только шайбы $A$ и $B$, задача легко решается (см. рис. 1; индекс $i$ означает положение шайбы после $i$-го удар).

Рис. 1.
Рис. 2.

б) Ответ: не могут. Для доказательства простым за ортегацией треугольника $ABC$ — направлением обхода его контрара. Легко видеть, что после каждого удар направление обхода меняется на противоположное (на рисунке 2 обход вершин $A \rightarrow B \rightarrow C$ и осуществляется против часов стрелки, а обход вершин $A \rightarrow B' \rightarrow C \rightarrow A$ — по часовой стрелке).
Позному после нечетного числа удар направление обхода будет противоположным заданному вначале.

А. Егоров

М674. На сторонах $BC, AC$ и $AB$ остроользово треугольника $ABC$ взяты точки $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно. Известно, что центр описанной около треугольника $ABC$ окружности совпадает с точкой пересечения его высот. Рассмотрим преобразование подбия $F = H_0^k \cdot R^k$ (композицию готовении $H_0^k$ с центром $O$ и коэффициентом $k$ и поворота $R^k$ на угол $φ$ вокруг $O$),

25

сечения высот треугольника $A_1B_1C_1$. Доказите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

где $k = \frac{1}{\cos \varphi}$. При этом точки $F(A_0)$, $F(B_0)$ и $F(C_0)$ будут принадлежать прямым $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Таким образом, при изменении ф мы получаем целое семейство треугольников с общим ортоцентром (точкой пересечения высот), вписанных в треугольник $ABC$ и ему подобных. Осталось показать, что треугольник $A_1B_1C_1$ принадлежит этому семейству.

Выберем $\varphi = B_0\widehat{OB}_1$ так, что $F(B_0) = B_1$; пусть $F(A_0) = A_2$, $F(C_0) = C_2$. Точка $O$ служит точкой пересечения высот треугольников $A_1B_1C_1$ и $F(\triangle A_0B_0C_0) = \triangle A_2B_1C_2$; значит, сторона $A_2C_2$ должна быть параллельна стороне $A_1C_1$ или совпадать с ней. Но ясно, что высоты треугольника $A_2B_1C_2$, опущенные из вершин $A_2$ и $C_2$, не могут пройти через $O$, за исключением того случая, когда $A_2 = A_1$ и $C_2 = C_1$, так что на самом деле треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_1C_2$ совпадают.

В заключение заметим, что в нашем решении остроугольность треугольника $ABC$ не использовалась: утверждение задачи верно для любого треугольника $ABC$ (и любых точек $A_1$, $B_1$, $C_1$ на прямых $BC$, $AC$, $AB$).

Д. Изаак

Ф683. На рисунке показаны источник $AB$ и его изображение $A'B'$, полученное в лице. Определить построением расположение линии и ее фокусное расстояние.

Описический центр линзы лежит в точке $O$ пересечения прямых $BB'$ и $AA'$. Точка $D$, являющаяся пересечением прямых $AB$ и $A'B'$, лежит в плоскости линзы. Следовательно, линза расположена вдоль прямой $OD$; $MN$ ($MN \perp OD$) — главная оптическая ось линзы.

Лучи $Aa$ и $Bb$ после преломления пересечется в фокус линии ($Aa \parallel Bb \parallel MN$). Следовательно, $F$ — фокус линии.

С. Кротов

Ф684. Схема имеет $N$ входных зажимов, один выходной и один общий («земляя»). На каждом из входных зажимов потенциально «земляли» составляют от +50 до +200 В.

1. Нарисуйте варцант схемы, который обеспечит на выходном зажиме максимальный из приложенных ко входам потенциальов.
2. Нарисуйте другой варцант — обеспечивающий на выходном зажиме минимальный из приложенных потенциальов.
   Пострайте общие без применения дополнительных источников питания.

Первый варцант приведен на рисунке 1. В схеме закрыты все диоды, кроме одного — того, который подключен ко входу с максимальным потенциальом $\varphi_{\max}$. Этот потенциаль и окажется на выходе; разность между ним и другими (меньшими) потенциальами обеспечит запирание остальных диодов.

Второй варцант может быть таким, как на рисунке 2. Если потенциаль пластинка ($\delta$) больше или равен $\varphi_{\max}$, то открытым окажется диод, подключеный ко входу с минимальным потенциальом; то же будет и на выходе; остальные диоды будут заперты.

Рис. 1.
Рис. 2.

26

Для того чтобы обойтись без дополнительного источника, можно воспользоваться схемой первого варианта — ее выходное напряжение вполнезменяет источник.

Строго говоря, потенциальы на выходных захимах схем не равны в точности входным, а отличются на величины padения напряжения на открытом диode — оно составляет доли волта. Этот недостаток можно в значительной мере уменьшить, воспользовавшись тем, что напряжение на открытом диode мало зависит от тока, протекающего через диод. Подумайте сами, как это сделать. (Подсказка: без дополнительного источника не обойтись.)

А. Зильберман

Ф685. Между стенкой и кубом массы $M=10$ ке летает на еладком столе управления шарик массы $m=0,1$ г. Ето скорость вначале, когда куб покопился, составляла $v_0=100$ м/с. Найти скорость куба в тот момент, когда он будет в 2 раза дальше от стенки, чем вначале.

Будем считать, что при каждом ударе шарика о куб скорость куба меняется на очень малую величины и остается во много раз меньше, чем скорость шарика.

Пусть $x$ — расстояние от куба до стенки, $u$ — скорость куба, $v$ — скорость шарика. Тогда время между двумя последовательными соударениями равно $\tau=2x/v$. При каждом соударении куб получает импульс $\Delta p=2mv$ (мы учили, что $u\ll v$). Скорость шарика за один удар изменяется на $\Delta v=-2u$ (это очень/no, если рассматривать движение в системе отсчета, связанной с кубом). Для упрощения расчетов примем, что в результате соударений скорости $u$ и $v$ меняются не скачаками, а плавано. Тогда «среднее» ускорение шарика $v'=\frac{\Delta v}{\tau}=-\frac{uv}{x}$. Учитывая, что $u=x'$, перепишем это равенство:

$$v'x+x'v=0.$$

Заметим, что следва написано выражение, равное произведению от произведения $vx$; тот факт, что эта произведение равна нулю, означает, что величина $vx$ остается в процессе построения. Следовательно,

$$vx=v_0x_0,$$

где $x_0$ — расстояние между кубом и стенкой в начале процесса. При $x=2x_0$ скорость шарика равна $v_0/2$. Скорость куба в этот момент найдем из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv_0^2}{2}=\frac{m(v_0/2)^2}{2}+\frac{Mu^2}{2} \Rightarrow u=\frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{3m}{M}} \approx 0,27 \text{ м/с.}$$

3. Рафаилов

Ф686. Тонкий обручи массы $M$ и радиуса $R$ поставлен на горизонтальном плоскости. По еладком каналу, проходящему внутри обруча, сокальзывает из верхней точки без начальной скорости небольшая шайба массы $m$. Определить скорость центра обруча в тот момент, когда шайба находится в точке обруча $A$, радиус-вектор которого обраузет угол $\varphi$ с вертикально. В начальной момент обручи покопится. Трене между обручи и плоскостью отсутствует.

Силы, действующие на системе обруча — шайба, — это сила тяжестеки и сила нормальной реакции со стороны плоскости. Обе эти силы направлены вдоль вертикали. Следовательно, центр масс системы в горизонтальном направлении не перемещается.

Поскольку между обручем и плоскостью отсутствует, обруча движется поступательно. Согласно закону сохранения импульса, в любой момент времени

$$M|u|=m|v_x|,$$

где $u$ и $v_x$ — горизонтальные проекции скоростей обруча и шайбы (причем $u=|\vec{u}|$). Так как $v_x$ периодически меняет знак, то и $u$ «синхронно» меняет знак. Общий характер движения обруча таков: шайба на участках $BC$ и $BE$ (рис. 1) — центр обруча движется вправо; шайба на участках $CD$ и $DE$ — центр обруча движется влево.

Скорости шайбы $\vec{v}$ и обруча $\vec{u}$ связаны законом сохранения энергии:

$$mgR(1+\cos \varphi)=\frac{mv^2}{2}+\frac{Mu^2}{2},$$

где $\varphi$ — угол, которое составляет с вертикалью радиус-вектор точки, в которой в данной момент (при данных значениях $\vec{v}$ и $\vec{u}$) находится шайба.

27

Движение шайбы относительно неподвижного наблюда-tеля можно представить в любой момент времени как супер-позицию двух движений: движения относительно центра обруча со скоростью $v_k$, направленной по касательной к обручу, и движения вместе с обручем со скоростью $u$, направленной горизонтально (рис. 2). Как видно из рисунка 2,

$$\frac{|v_y|}{|v_x| + |u|} = tg \varphi.$$ (3)

Решая совместно уравнения (1) — (3), найдем значение скорости центра обруча в тот момент, когда радиус-вектор точки, в которой находится шайба, составляет угол $\varphi$ с вертикалью:

$$|\vec{u}| = m \cos \varphi \sqrt{\frac{2Rg(1+\cos \varphi)}{(M+m)(M+m\sin^2\varphi)}}.$$

С. Кротов

Ф687. Стальному шарику, находящемуся в точке А основания AB равноведренного прямугодного клина, сообщают скорость $v_0$ в направлении стороны AO (см. рисунок). При каких значениях $v_0$ шарик из точки A попадает в точку B? Длина ребра клина $l$.

В обшем случае траектория шарика после открыва от клина в точке O будет такой, как показано на рисунке, — она будет состоять из участков парабол. Проекции на ось OX перемещений шарика за последовательные равные промежутки времени $t_1, t_2, t_3, \dots, t_n$ относятся как

$$s_1: s_2: s_3: \dots: s_n = 1: 3: 5: \dots: (2n-1)$$

(поскольку в момент «отрыва» шарика в точке O проекция его скорости $\vec{v}_1$ на ось OX равна нулю). Если при $n$-м соударении с ребром OB шарик попадает в точку B, то

$$s_1 + s_2 + s_3 + \dots + s_n = s_1(1+3+5+\dots+(2n-1)) = s_1n^2 = l.$$

Найдем, как связаны $s_1$ и $v_1$. Проекции ускорения шарика на оси OX и OY равны $a_x = a_y = g\sqrt{2}/2$, и

$$s_1 = a_x \frac{t_1^2}{2} = g \frac{\sqrt{2}}{4} t_1^2.$$

Время $t_1$ движения шарика до первого удара о клин найдем из условия $v_1 - a_y \frac{t_1}{2} = 0$:

$$t_1 = \frac{2v_1}{a_y} = \frac{4v_1}{g\sqrt{2}}.$$

Таким образом,

$$s_1 = \frac{2v_1^2\sqrt{2}}{g},$$ или $v_1^2 = \frac{gl\sqrt{2}}{4n^2}$.

Связь между $v_1$ и $v_0$ найдем из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + mgl \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow v_0 = \sqrt{v_1^2 + gl\sqrt{2}} = \frac{1}{2n} \sqrt{gl\sqrt{2}(4n^2 + 1)}$$

Итак, шарик попадает в точку B, если в точке A ему сообщают скорость $|\vec{v}_0| = \frac{1}{2n} \sqrt{lg\sqrt{2}(4n^2 + 1)}$, где $n$ — натуральное число. Отметим, что

$$\lim_{n \to \infty} v_0 = \sqrt{gl\sqrt{2}}.$$

Этот же результат из закона сохранения энергии: при $n \to \infty v_1 \to 0$, и

$$\frac{mv_0^2}{2} = mgl \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow v_0 = \sqrt{gl\sqrt{2}}.$$

E. Рабкин

28

В. Гальперин, Г. Гальперин

Овсешение плоскости проекторами

Интересная и трудная задача М545, решение которого посвязывана эта заметка, по постановке вопроса и методам решения типична для комбинаторной геометрии — раздела геометрии, занimaющeresя задачи о разбиениях, покрытиях, упаковках фигур.
Напомним ее формулировку:

На плоскости задано n точек. Нужно разместить в этих точках n проекторов, каждый из которых освещает угол величины $\frac{360^\circ}{n}$ так, чтобы освещать всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если a) n=3; 6) n=4; в) n — любое натуральное число (в случае a) — в) проекторы можно поворачивать); г) Пусть теперь проекторы освещают углы $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($a_1 + a_2 + \dots + a_n = 360^\circ$) и составлены в одну точку так, что они освещают всю плоскость. Докажите, что можно перевести*) в каждую из данных точек по одному из n проекторов так, что все плоскость будет по-прежнему освещена.

История этой задачи достаточно интересна. Самый простой ее частный случай 6) представляется на первой Всесоюзной математической оптимизации в 1967 году. Именно там с ней познакомился второй из авторов этой заметки (тогда он еще был школьником). Несколько лет спустя он нашел доказательство более

*) Имеется в виду, что проекторы можно параллельно переносить, но не поворачивать!

Рассмотрим теперь углы, симметричные этим углам относительно точки O. На рисунке 2 показано, как направить проектор, помещенный в точку $M_1$ так, чтобы он освещал закрашенный красным цветом угол. Аналогично, проекторы в точках $M_2$ и $M_3$ можно направить так, чтобы они освещали «свой» углы.

Ту же идею — разделить плоскость на части. Так, чтобы каждую из них удалость освещить своей группой проекторов, — можно применить в случае в).

Для этого достаточно доказать следующее два утверждения.

Утверждение 1. Пусть внутри данной угла величины $\alpha = k \frac{2\pi}{n}$, где $k \leqslant \frac{n}{2}$ расположен k проекторов. Тогда их можно повернуть так, чтобы они вместе освещили целиком угол, симметричный данному относительно его вершины (рис. 3).

Для доказательства этого утверждения индикцией по k удобно использовать такую арифметическую лемму. Если $s_1, s_2, \dots, s_k$ — целые неотрицательные числа, причем $s_1 \geqslant 1$,

Рис. 1.
Рис. 2.

29

$s_k \geq 1$ и $s_1 + s_2 + \dots + s_k = k$, то существует $m < k$, для которого $s_1 + \dots + s_m = m$ (тое $s_{m+1} + \dots + s_k = k - m$).

Наконец, остается доказать еще такой довольно очередный факт — легче сделать это отдельно для четного и для нечетного $n$.

Утверждение 2. Если в плоскости задано $n$ точек $A_1, A_2, \dots, A_n$, то ее можно разбит на две полуплоскости, содержащие по $n/2$ точек, если $n$ четно, или на три угла с общей вершиной и величины $k_1, k_2, \frac{2\pi}{n}, k_3, \frac{2\pi}{n}$, где $k_1 + k_2 + k_3 = n$ и $k_i < n/2$ ($i=1, 2, 3$), каждый из которых содержит по $k_i$ точек, если $n$ нечетно.

Упражнение 1. Докажите утверждение 1, лемму и утверждение 2.

После этого, согласно утверждения 1, освещаем соответствующими проекторами углы, симметричные относительно их общей вершины тем углом, в которых они расположены, и все плоскость оказывается освещенной.

Алгоритм улушення

Наметим идею решения пункта. Г). Расставим проекторы по данным точкам $M_1, M_2, \dots, M_n$ произвольным образом. Если при этом не все плоскость освещена, мы предъявим другой, «улушенный» способ расстановки проекторов (при этом «качество» расстановки будет оцениваться неокторой числовой функцией $f$). Поскольку всего расстановок проекторов по точкам $M_1, M_2, \dots, M_n$ лишь конечное число (равное $n!$), взяв расстановку, для которой значение функции $f$ максимально, мы автоматически освещим полностью все плоскость: действительно, если бы при этом не все плоскость освещалась, мы смогли бы еще «улушить» расстановку, получив тем самым противоречие.

Начем реализовать этот план. Тепер проекторы — любые углы $a_i$ с общей вершиной $O$, $0 < a_i < \pi$, $a_1 + a_2 + \dots + a_n = 2\pi$, причем каждый из них освещает изучтри сторону неокторого выпуклого $n$-угольника $A_1A_2\dots A_n$ (рис. 4), $A_i \overrightarrow{OA_{i+1}} = a_i$. Опустим из точки $O$ перpendикularы $OH_i$ на стороны многоугольника (или их продления); пусть $|OH_i| = h_i$.

Рассмотрим векторы $\vec{e}_i = \frac{1}{h_i} \overrightarrow{OH_i}$. Ясно, что $|\vec{e}_i| = \frac{1}{h_i}$ (рис. 5).

Расстановке проекторов по точкам $M_1, M_2, \dots, M_n$ отвечает расстановка векторов $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n$ по этим точкам (мы как бы прикрепляем вектор $\vec{e}_i$ к проектору $a_i$ и переставляем их вместе как единое целое).

Единственный геометрический факт, нужный нам в дальнейшем и «оправдывающий» страный, на первый взгляд, выбор векторов $\vec{e}_i$, состоит в следующем:

Лемма. Пусть проектор $a_p$, помещенный в точку $M$, освещает точку $N$, а проектор $a_q$ — нет. Тогда $\overrightarrow{MN} \cdot \vec{e}_p > \overrightarrow{MN} \cdot \vec{e}_q$.

Доказательство. Пусть $\overrightarrow{MN} = \vec{v}$. Отложим от точки $O$ вектор $\overrightarrow{OP} = \vec{v}$ (рис. 6). Луч [OP] пересекает $p$-ю сторону многоугольника $A_1A_2\dots A_n$ в неокторой точке $K$, а $q$-ю сторону не пересекает, расстоялу проектора $s_k \geq 1$ и $s_1 + s_2 + \dots + s_k = k$, то существует $m < k$, для которого $s_1 + \dots + s_m = m$ (тое $s_{m+1} + \dots + s_k = k - m$).

Наконец, остается доказать еще такой довольно очередный факт — легче сделать это отдельно для четного для нечетного $n$.

Утверждение 2. Если в плоскости задано $n$ точек $A_1, A_2, \dots, A_n$, то ее можно разбит на две полуплоскости, содержащие по $n/2$ точек, если $n$ четно, или на три угла с общей вершиной и величины $k_1, k_2, \frac{2\pi}{n}, k_3, \frac{2\pi}{n}$, где $k_1 + k_2 + k_3 = n$ и $k_i < n/2$ ($i=1, 2, 3$), каждый из них освещает изучтри сторону неокторого выпуклого $n$-угольника $A_1A_2\dots A_n$ (рис. 4), $A_i \overrightarrow{OA_{i+1}} = a_i$. Опустим из точки $O$ перpendикularы $OH_i$ на стороны многоугольника (или их продления); пусть $|OH_i| = h_i$.

Рассмотрим векторы $\vec{e}_i = \frac{1}{h_i} \overrightarrow{OH_i}$. Ясно, что $|\vec{e}_i| = \frac{1}{h_i}$ (рис. 5).

Рис. 6.

жектор $a_p$ освещает точку $N$, а проектор $a_q$ не освещает.

Есть две возможность: 1) луч [OP] не пересекается с прямой, на которой лежит $q$-я сторона, и 2) луч [OP] пересекает эту прямую в неокторой точке $R$.

В первом случае очень важно, так как $\vec{v} \cdot \vec{e}_p > 0$, а $\vec{v} \cdot \vec{e}_q \leq 0$.

Во втором случае очень важно, так как $\vec{v} \cdot \vec{e}_p > 0$, а $\vec{v} \cdot \vec{e}_q \leq 0$.

Луч [OP] пересекает $p$-ю сторону многоугольника $A_1A_2\dots A_n$ в неокторой точке $K$, а $q$-ю сторону не пересекает, расстоялу проектора $s_k \geq 1$ и $s_1 + s_2 + \dots + s_k = k$, то существует $m < k$, для того чтобы они освещались по $n/2$ точек, если $n$ четно, или на три угла с общей вершиной и величины $k_1, k_2, \frac{2\pi}{n}, k_3, \frac{2\pi}{n}$, где $k_1 + k_2 + k_3 = n$ и $k_i < n/2$ ($i=1, 2, 3$), каждый из них освещает изучтри сторону неокторого выпуклого $n$-угольника $A_1A_2\dots A_n$ (рис. 4), $A_i \overrightarrow{OA_{i+1}} = a_i$. Опустим из точки $O$ перpendикularы $OH_i$ на стороны многоугольника (или их продления); пусть $|OH_i| = h_i$.

Рассмотрим векторы $\vec{e}_i = \frac{1}{h_i} \overrightarrow{OH_i}$. Ясно, что $|\vec{e}_i| = \frac{1}{h_i}$ (рис. 5).