Квант 1981, №12 · Страницы

КВАНМ
12
1981
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Трудно поверить, что оранжевый резиновый «крендель», охватывающий железное колюцо обеими свойствами «ушками» (рисунок слева сверху), можно так деформировать, не разрезая и не склеивая, что он будет охватывать колюцо лишь однимушком (как показано сверху справа). Но это действительное можно сделать, если разрезается «крендель» скимать, раздувать и растягивать. Как? Если не сообщите сами, посмотрите раздел «Ответы, указания, решения».
Естественно возникает желание отклеить от колюца и второеушко — ведь они равноправны! Оdnako отцепить обаушка нельзя.
А теперь подумайте, можно ли распутать крендель с однимушком, зацепленным за другой (рисунок внизу).

А. П.

1

Главный редактор
академик Киконн И. К.

Первый заместитель
главного редактора
академик Колмогоров А. Н.

Заместители
главного редактора:
Данилычева М. Н
Левковцев В. А.
Соловьев Ю. П.

Редакционная коллекция:
Асламазов Л. Г.
Башмаков М. И.
Белонучкин В. Е.
Болтянский В. Г.
Боровой А. А.
Брук Ю. М.
Вавилов В. В.
Васильев Н. Б.
Воронин С. И.
Гнеденко Б. В.
Гутенхмер В. Л.
Долбилин Н. П.
Дубровский В. Н.
Земляков А. Н.
Зильберман А. Р.
Климанов А. И.
Козел С. М.
Кротов С. С.
Кудрявцев Л. Д.
Михайлов А. А.
Никшин Е. М.
Новиков С. П.
Потапов М. К.
Разумовский В. Г
Родина Н. А.
Розов Н. Х.
Савин А. П.
Смородинский Я. А.
Сосинский А. Б.
Уровев В. М.
Фабрикант В. А.

Редакционный совет:
Беляев С. Т.
Балдин А. М.
Буховцев Б. Б.
Велихов Е. П.
Верченко И. Я.
Воздвиженский Б. В.
Глушков В. М.
Дорофеев Г. В.
Ермолаева Н. А.
Ершов А. П.
Зубов В. Г.
Иванов Ю. Б.
Канторович Л. В.
Капица П. Л.
Кириллин В. А.
Коткин Г. Л.
Логунов А. А.
Можаев В. В.
Орлов В. А.
Кузьмин Р. Н.
Патрикева Н. А.
Перышкин А. В.
Сагдеев Р. З.
Соболев С. Л.
Стасенко А. Л.
Сурин И. К.
Сурков Е. Л.
Фаддеев Л. Д.
Фирсов В. В.
Яковлев Г. Н.

Новоодnio еlkу
на нашей обложке
мы составили
из четырнадцатей экземпляров
кубика Рубика —
математической головоломки,
секреты которой
«Квант» раскроет
в новом, 1982 году.

12
1981

Оскован в 1970 году

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО·НАУКА·
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:

Учены образуют к молодежи

2 Велихов. Задача все та же — учиться!

---

4 А. Чернин. Зведная динамika

11 Ю. Демков. Поворачиваем кубики

17 С. Вавилов. «Тепленный свет» и тепловое излучение

Задачник «Кванта»
24 Задачи М716 — М720; Ф728 — Ф732

26 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ М676 — М680; Ф688 — Ф691

34 Г. Гуревиц. Системы разновесов

36 Список читателей, приславших правильные решения

«Квант» для младших школьников
37 Задачи

38 С. Тавридов. Пентамино на плоскости и в пространстве

По страницам школьных учебников
40 В. Рыжик. Геометрический подарок

Практикум абитриента
42 В. Белонучкин. Диаграмма состояния

Информация
46 Л. Асламазов. ХII Международная физическая олимпиада
50 А. Абрамов, В. Мишин. XXII Международная математическая олимпиада
54 В. Сердеев, А. Криворучко, М. Немцценцер. Математические олимпиады в ПТУ

Рецензии, библиография
55 И. Зорич. Что может головрфика?

57 Шахматная страница

58 Ответы, указания, решения
61 Напечатано в 1981 году

Новости науки (23)
Смесь (41, 53)
Шахматный конкурс (3-я с. обложки)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1981

Задча все та же — учиться!

В один из самых критических моментов для судьбы Советского государства, 60 лет тому назад, В. И. Ленин, выступая на III Всероссийском съезде РКСМ, сказал: «…задчи молодежи вообше и союзов коммунистической молодежи и всяких других организаций в частности можно было бы выразить одним словом: задча состоит в том, чтобы учиться». Прошло 60 лет. Возникло и окрепло первое социальное государство, образовательное развитие социализма в СССР, социальным победил во многих странах. Из семян, посеянных в первые годы Советской власти, выросла советская наука. Она решила ряд исторических задач — от электронификации страны до создания atomной науки и техники, освоевения космоса и т. д. Сегодня в СССР работает треть научных работников всего мира.

Развитие научно-технической революции привело к тому, что продукт научки — знания — стала одним из основных национальных богатств.

В СССР созданы не только могучея передовая наука, научные школи, экспериментальная и/materialная базы науки, но и одна из самых мощных и эффективных систем образования. И в то же время по-прежнему главная задача молодежи — учиться — остается стол же актуальной, как и 60 лет назад.

Кажденое новое поколение советской молодежи встречает с новыми задачими, поставленных различным общества, — от восстановления народного хозяйства после гражданской войны, строительства первых пятилеток до освоевения целины, строительства БАМа, шефства над atomной энергетикой, нефтяными промышленами Тюмени. Не менее титанческая задача стоит и в учебе: каждое новое поколение должно припринять и переварить все то, что создано предыдушими. В XX веке рост научно-технической информации проискит лавинообразно. Далее преподаватели подчас не успевают быть в курсе современной науки. Однако прогресс нашего общества зависит от успеха этого процесса — учебы.

Академик Евгений Павлович Великов — лауреат Государственной премии, вице-президент Академии наук СССР, председатель Секции физико-технических и математических наук Преддиума Академии наук СССР, заместитель директора Института atomной энергии имени И. В. Курчатова.

Статья перепечатается с сокращениями из сборника «Ленин. Наука. Молодежь», выпущенного в 1980 году издательством «Наука».

3

Задачи здесь понятие градинозные, но и резервы daleko не использованы. Как ни странно, но сам процесс мышления и обучения мы знаем еще очень плохо, и поэтому весь неэффективно использовать способности человека разума. Преподавание по-прежнему остается искусством, иногда творящим чудеса. По собственному школьному опыту мы знаем, что большое из нас за 10 лет так и не овладевает иностранным языком, который при необходимости и по соответствующей методике эффективно усаивается за полгода. То же касается и всех других дисциплин. Школьник, изучивший причины высшей математики в 6—7 классах, выглядиит вундеркиндом, хотя это не менее естественно, чем научиться плавать в годовальном возрасте.

Современный спор заставляет нас обращать много внимание на развитие человека до пределов его физических возможностей. В спорте считается нормальным, что школьники совершают за мировое первенство, льжники достигают Северного полюса. В области обучения мы значительно более робки. Да и придаем ли мы сравнимое социальное значение соответствующим усилиям человека в интеллектуальной сфере? Только тот, кто когда-либо соррикался с настоящим педагогом, может представить себе, до какой степени неэффективенрутинный процесс передачи знаний от поколения к поколению, выработанный человеком. При современной потребности общества в человекеском интеллекте сколько Эйнштейнов, Мендлеевых, Толстых мы терем! Важными факторами успеха в учебе является стремление, внутренняя потребность и увеличность в себе каждой молодого человека. И, конечно, эти свойства должны стимулировать прежде всего обществом, в том числе комсомольскими и другими общественными организациями.

Не менее страно и то, что мы искусственно разделаем два процесса — учебу и творчество. На самом деле — это один процесс. Если учеба для человека не является процессом творческого, то она почти бесполезна. И наоборот, только сохраняя способность учиться и удивляться новому, человек сохраняет способность творить независимо от возраста. Опытаки этот процесс определяется индивидуальным усилиям и потребностями и общественными стимуликами, которые формируют их.

Современный мир с его «накатанными дорогами», мелкими ежедневными проблемами и соблюдами способствуетAMEРирования личности. Сам процесс образования, а затем и начало работы деятельности иногда также подавляет индивидуальную нашественное в том, чтобы каждой молодой человека был яркой индивидуальной с сильным, самостоятельным, творческим характером, независимо от того, какую профессию он избегет и где он будет трудиться. В промышленности, в сельском хозяйстве, в сфере обслуживания, тем более в науке и технике в социальистическом обществе все больше и больше требуется интеллект — это генеральная линия нашего развития. Формирование такой личности требует ранней закалки и тренировки — уственной и физической.

Важнейшей задачей всего советского общества, в том числе и молодежи, является обеспечение должного научно-технического уровня и прогресса в непрерывном совершении с капитализмом. У нас есть основая быть уверенными, что эта задача будет успешно решена.

МЛЕЧНЫЙ ПУТЬ

Демокрит (V — IV вв. до н. э.) говорил, что Млечный Путь, это белесовая полоса, протянувшаяся через небо, есть «соедининие света множества звезд». История астроνομии знает немало и других предположений о природе Млечного Пути, обсуждающихся задолго до того, как появился возможность проверить их астроνομические наблюдениями; споры о Млечном Пути продолжались веками. Решение — в ползу договора Demokрита — пришло в 1610 году, когда Галилей направил на небо только что созданный им телесоп.

За несколько часов было сделано тогда множество замечательных астроνομических открытий и средних — открытие звезд Млечного Пути. Как писал Галилей, стали «доступными глазу звезды, которые раньше никогда не были видимы и число которых по меньшей мере в десять раз больше числа звезд, известных издревле. Это — факт высокого значения, который положил конец спора о Млечном Пути и выявил его природу для чувства и разума».

5

Исследования Млечного Пути превращлись в одну из главных задач астрономии в XVIII и XIX веках, и теперь мы знаем, что звезды Млечного Пути принадлежат к гипантской звездной системе, содержащей в себе более ста миллиардов звезд, среди которых и близкой к нам звезда — Солнце. Общие черты строения и динамики этой системы, называемой Галактикой*), надежно выясены лишь в последние 30—40 лет. Вместе с тем стало известно, что во Вселенной имеются и другие системы такого рода — галактики.

Движение звезд в галактиках определяется слиами тяготения. Закон взаимного тяготения тел, установленный в исследованиях земного притяжения, в наблюдениях за движениями тел в Солнечной системе, справедлив и в звездных системах, которые в миллионы и миллиарды раз больше Солнечной системы; в этом проявляется универсальный, всемирный характер тяготения.

Галактика и галактики

Встроении Галактики различают два главных структурных элемента — диск и сферическую составляющую. Диск образован молдыми и яриками звездами, у него имеется уголшение в середине, так что он похож на чечenuцу или линзу (рис. 1). Диаметр диска составляет примерно 75 тысяч световых лет, его поперечный размер раз в десять менше; Солнце находится в диске на расстоянии двух третий радиуса от центра. Видимый изнутри диск Галактики и представляется нам полосой Млечного Пути.

Кроме звезд диска в Галактике имеются и другие, менее яркие звезды; они заполняют, гушаясь к центру, сферический объем с диаметром, близким к диаметру диска. Найболее плотная центральная часть Галактики — ее ядро (см. рис. 1).

Один из самых впечатляющих астрономических феноменов — спиральный узор галактик (рис. 2). Он образован самых молдыми, яриками звездами дисковой составляющей. Наша Галактика и другие газы

*) Что в переводе с новогреческого означает «млечный».

Рис. 1. Галактика в попереном разрезе. Диск, сферическая составляющая и ядро — три главных элемента ее структуры. Положение Солнца указано символом Э; так его обозначали еще в древнегипетских надписах. В сферической составляющей показаны некоторые из шаровых звездных скоплений, ее коллективных членов.

лактически, украшенные этим узором, называются спиральными. В руках спиралей находится очень небольшая доля звезд, но загоно ярче всех, и потому в удаленных галактиках бывают чаше всего виден только их спиральный узор. Самая близкая к нам гипантская спиральная галактика

Рис. 2. Схема спиральных рукавов в диске Галактики «анфас». В диске имеется газ, который врашает вместе со звездами; это гипантский вхрь, и в создаваемых им уплотнений роздаются молдые звезды, которые и обрисовывают спиральный узор.

6

тика — значення туманность Андромеды.

Галактики, лишенные спирального узора, обчено не имеют и дисковой составляющей. Их сферическая составляющая (в действительности она всегда в той или иной степени сплошнута) представляется настроничческих摄影ях эллипсом; поэтому такие галактики называют эллиптическими. Встречаются и во все бесструктурные на вид образования — неправильные галактики, которые выглядят ключоватыми облаками звезд. Иного оказывается, что и у них имеется сферическая составляющая, содержащая, как и в других случаях, слабые, нерркие звезды. Наконец, сейчас находится очень концентрированные звездные системы, напоминающие плотные центральные области, ядра спиральных и эллиптических галактик, только они еще плотнее и гораздо массивнее.

Движение звезд в диске Галактики

Звезды дисковой составляющей Галактики движутся по почти круговым орбитам. Их движение похож на образшение планет вокруг Солнца, хотя в Галактике нет такого подавляющего по массе центрального тела, как Солнце в Солнечной системе, которое одно создаело бы притяжение всех тел к центру. Ядро нашей Галактики имеет небольшую массу и не оно удерживает звезды на их орбитах. Сила притяжения к центру создается в Галактике совместными тяготениями самих звезд.

На звезду, движущуюся по круговой орбите радиуса $r$, действует притяжение звезд, находящаяся внутри этой орбиты. Сила притяжения, создаваемые внешними звездами, направлены в разные стороны и друг друга уравновешивают*). Звезды «не замечают» внешних тяготюших масс, а масса всех внутренних звезд действия так, как если бы она была целиком сосредоточена в центре. В соответствии с этим и на основа

*) Это всегда так, когда в системе имеется сферическая или цилиндрическая симметрия. Доказательство приведено в Приложении I на с. 10.

Рис. 3. Кривая врашення — типичная зависимость скорости врашення звезд в диске спиральной галактики от расстояния до центра. К пунктирной линии, уходящей за пределы галактики, мы вернемся позже.

низакона всемирного тяготения сила притяжения звезды к центру дается формулой

$$F = G \frac{m \cdot M(r)}{r^2}.$$ (1)

Здесь $m$ — масса звезды, $M(r)$ — полная масса внутри орбиты радиуса $r$, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ m}^3 (\text{кг} \cdot \text{с}^2)$ — постоянная тяготения. Сила $F$ направлена к центру Галактики. При скорости движения звезды $v$ сила тяготения создает центростремительное ускорение

$$\frac{v^2}{r} = \frac{F}{m}.$$ (2)

Из уравнения (1) и (2) следует связь между скоростью звезды, радиусом орбиты и массой звезды:

$$v^2 = \frac{G \cdot M(r)}{r}.$$ (3)

Такая же по виду формула описывает круговые движения планет и образование спутника вокруг Земли.

Формула (3) позволяет оценить скорости звезд в диске Галактики по известным значениям радиуса орбиты и массы внутри нее. Если радиус орбиты сравним по величины с полным радиусом Галактики, то есть $r \sim R \sim 10^{20} \text{ m}$, то под массой $M(r)$ нужно понимать величины, сравним с массой всего Галактики: $M(r) \sim M \sim 10^{41} \text{ кг}$. (Масса Галактики находится уножением средней массы звезд $m \sim 10^{30} \text{ кг}$ на полное число звезд в Галактике $N \sim 10^{11}$.) Для этих величины $r$ и $M(r)$ находится

7

приближение из соответствия (3)
$$v \approx 3 \cdot 10^5 \text{ m/c} = 300 \text{ km/c}.$$

Согласно данным наблюдений Солнеце обращается вокруг центра Галактики со скоростью $v = 220 \text{ km/c}$, что довольно близко к полученной нами оценке. (Это — самое быстroe из всех движений, в которых мы участвуем вместе с Землей; скорость обращения Земли вокруг Солнца составляет 30 km/c, а линейная скорость собственного врашения Земли — 0,5 km/c.)

Движение звезд в диске Галактики происходит согласно этому процессу — разные на разных расстояниях от центра (рис. 3).

Динамика сферической составляющей

Движение звезд в сферической составляющей Галактики иное, их орбиты не круговые, а сильно вытянутые. Некоторые орбиты весма близки к прямым линиям, а в принципе возможно и чисто прямолинейные, радиальные орбиты.

Чтоы разобраться в особенностях такого движения, стоит вспомнить сначала один вопрос, который, кажется, любят задавать наузовских приемных экзаменах: как будет движаться камень, брошенный в шахту, пробуренную в Земле насвободы через центр? Очевидно, камень будет сначала падать сускорением к центру вдоль радиуса; затем, миновав центр, начинает замедлять движения; потом на миг остановится и полетит обратно, наращивая скорость; но пролетев центр, он снова начинает замедлять движения, остановится, полетит опять к центру и т. д. Это будет периодическое колебательное движение от одного апостерия, то есть точки максимального удаления от центра, до другого.

Подобные колебательные движения вокруг Галактики и совершают звезды ее сферической составляющей. Το обстоятельство, что их орбиты немного отличаются от чисто радиальных, мало что меняет в этой картине. Поведение скорости радиального движения звезд на помощь интересующим нас величинами мы воспользовемся методом размерности $M, R, G$:

$$[M] = \kappa r, [R] = m, [G] = \frac{M^3}{k\Gamma \cdot c^2}.$$

Интересующая нас средневартическая скорость $\vec{v}^2$ имеет размерность

$$[\vec{v}^2] = \frac{M^2}{c^2}.$$

*) Метод размерностей посвящена большая статья в 6 номере «Кванта» за этот год.

8

Из трех величины $M, R, G$ — можно составить единственную (проверьте!) комбинацию, имеющую размерность квадрата скорости:

$$\left[ \frac{GM}{R} \right] = \frac{M^2}{c^2}.$$

Позному нужно считать, что

$$\overline{v^2} = a \frac{GM}{R}.$$

Здесь $a$ — некоторый безразмерный множитель, зависит от деталей строения системы; как показывает накопленный в теоретической физике опыт оценок такого рода, безразмерный множитель чаше всего не слишком сльно отличается от единицы.

Из соответствии (4) следует, что характерная скорость радиальных движений звезд в сферической составляющей Галактики близка к значению в несколько сотен километров в секунду, которое мы находим выше для круговых движений в диске. Эти скорости — одного порядка.

Метод анализа размерностей и оценок по порядку величины незаменным, когда точная теория либо слишком сложна математически, либо невозможна из-за неопределенности или недостатка имеющихся наблюдаемых или экпериментальных данных. Формально он как будто прост, но, по существу, предполагает, что сначала достаточно общее качественное понимание того, что происходит. Точность оценок невелика, но, например, для целей астрофизики во многих случаях достаточно.

И на круговых, и на радиальных (или близких к ним) орбитах звезды совершают финитное движение, то есть при своих перемещениях они не выходят за пределы неокоторого ограниченного объема: их связь в звездной системе их общее поле тяготения. Связанное состояние звезд обеспечивает неизменное во времени, Staционное состояние системы в целом.

Массы галактик

Возможен только один способ определения масс звездных систем — по создаваемой имми силе тяготения. Тяготение проявляется в движениях звезд,

и если удается изменить их характеристика скорости и размер системы, то масса может быть найдена с помощью формул (3) или (4).

Первая применена к спиральным галактикам с дисками, а вторая — к сферическим составляющим галактик и к эллиптическим галактикам, которые динамическими им подобны.

В обихх случае речь чаше всего идет о приближенной оценке, и потому, опуская в (4) неопределенный множитель, можно написать общую оценочную формулу для массы галактики:

$$M \sim \frac{\overline{v^2} R}{G}.$$ (5)

Найденные таким способом массы спиральных галактик лежат в пределах от $3 \cdot 10^{-8} M_\odot$ до $3 \cdot 10^{11} M_\odot$, где $M_\odot$ — масса Солнца; диапазон масс эллиптических галактик шире — от $3 \cdot 10^6 M_\odot$ до $3 \cdot 10^{12} M_\odot$; массы неправильных галактик сравнительно невелики — от $10^6 M_\odot$ до $10^9 - 10^{10} M_\odot$.

Многие круглые галактики, и наша Галактика в том числе, обычно имеют по нескольку малых галактик спутников. Эти спутники обращаются вокруг центраной галактики, и по анализу их движений тоже можно получить динамическую оценку масс круглых галактики. Если центраная галактика целиком лежит внутри орбит ее спутников, а именно такая картина и наблюдается на фотографиях, то силы тяготения, действующие на все спутники, обусловлены одной и той же тяготению массой.

Приемя в этом случае формулу (3), найдем, что скорость $v_1$ выражения близкого спутника с радиусом орбиты $r_1$ больше скорости $v_2$ более далекого спутника с радиусом орбиты $r_2$:

$$\frac{v_1}{v_2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{1/2},$$

и скорость убывает с радиусом орбиты по закону

$$v(r) \sim r^{-1/2}$$ (6)

(этому закону подчиняется и планет Солнечной системы).

К удивлению астрономов, в последние годы стали появляться ука-

9

заня на то, что в семействах спутников нашей Галактики, галактики Андромеды и неокторых других массивных галактик закон (6) не выполняется. В наблюдениях изменялись скорости спутников, находящихся на расстояниях до десяти радиусов центральной галактики, и всякий раз оказывалось, что скорости отнюдь не убывают с радиусом орбиты, а остатся (с известной точностью) постоянными. Это обстоятельство и отражает пунктриная линия на кривой врашения (см. рис. 3).

В поисках обяснения советские астрономы из Тартуской обсерватории и американские астрономы из Приинстонского университета предложили обсуить одну далею идущую возможность. Что если масса галактики на самом деле не ограничивается той, что лежит в пределах видимого на фотографиях объема?
Не могут ли, кроме звезд, существовать и какие-то иные тяготющие массы, распределенные по гораздо большему объему вокруг галактик?
Так возникла гипотеза о невидимых, «скрытых» массах галактик.

Предполагается, что эта дополнительная масса образует корону галактики, которая простадает на большие расстояния и достигает самых дальних орбит галактик-сплутников. Если так, то спутники движут не в пустоте, а среди невидимых, «скрытых» масс. Тогда тяготющая масса, влияющая на движение спутника, складывается из массивных звезд галактики и «скрытой» массы, находящейся внутри орбиты спутника. В результате суммарная тяготющая масса возрастает с ростом радиуса орбиты; из-за этого скорости галактик-сплутников и не подчиняются закону (6). Если скорости одинаковы на орбитах разных радиусов, то, как видно из формул (3) и (5), с ростом $r$ тяготющая масса должна возрастать по закону

$$M \sim r.$$ (7)

Отсюда следует, что полная масса галактики может оказаться во много раз большие массы видимых звезд. Если семейство галактик-сплутников, движущихся с одинаковыми скорностями, находится на расстоянии, скажем, $3R$ от центра галактики, то и полная масса всей системы в три раза большие массы видимых звезд, то есть видимого тела галактики.

При возрастании массы по закону (7) плотность вещества в галактике убивает от центра наружу как $r^{-2}$ (мы показем это в Приложении II). На достаточно удалении от центра плотность падает быстрее и сходит на нет.

---

Гипотеза «скрытой» массы объясняется диамикку галактик-сплутников, но ставит вместе с тем новые трудные вопросы. Прежде всего, что представляется собой эта масса? Ответ не известен. Предполагают, что она может складывать из масс малых и очень слабых по блеску звезд. Если так, то звезд в Галактике города больше, чем можно увидеть даже в самых лучший телескоп.

Но это — не единственная возможность. В последнее время астрономы и физики внимательно обсуждают идею, согласно которой «скрытая» масса представляется собой газ элементарных частиц — нейтрино. Эти частицы известны в физике уже почти полвека, но до них пор неясно, имеют они массу покоя (подобно протону, электрону и другим частицам) или их массу покоя нуллю (как у фотона). При наличии массы покоя, хотя бы и гораздо меньшей, чем у электрона (легчайшей из частиц, относительно которой точно известно, что она имеет массу покоя), нейтрино действительное могло бы создавать вокруг массивных галактик протяженные облака, невидимые, но тяготющие.

В недавних экспериментах Moscovских физков, проведенных не с космическими, а с laboratorными нейтрино, возникло ошибки при радиоактивном распаде, были обнаружены признаки того, что нейтрино, возможно, на самом деле имеют массу покоя. Сообщается, что она приблизительно в десяти тысяч раз меньше массы покоя электрона. Это предварительная результат, но если он подтвердится, то нужно будет считать, что и космические нейтрино имеют массу покоя. Тогда идея нейтриной «скрытой» массы получит надежное физическое обоснование.

10

А пока что, как и много веков назад, высказываются все новые договора, иен, гипотезы — споры о природе галактик продолжются…

Приложение I
Докажем, что силы притяжения, действующие на звезду со стороны «внешних» звезд, уравновешивают друг друга, если внешнее распределение сферической симметрично.

Рассмотрим сначала gravитационное действие тонкого сферического слоя радиуса $r$ и толщины $l \ll r$ на области внутри этого слоя (рис. 4). Для этого подсчитаем сумму сил, действующим со стороны отдельных элементов слоя на массу $m$, помещенную в произвольной точке $A$. Выделим пару элементов, «вырезаемых» в слое двуполостным конусом с вершиной в точке $A$ (см. рис. 4). Конус считаем очень узким, так что $a \ll \pi$. Образуемые таким сечением элементы слоя можно приближенно считать плоскими дисками, пренебрегая кривизной их поверхности. В этом приближении диаметры дисков равны
$$d_1 = r_1 a, \quad d_2 = r_2 a,$$
где $r_1, r_2$ — расстояния дисков от точки $A$.

So стороны диска 1 на массу $m$ в точке $A$ действует сила $\vec{F}_1$, со стороны диска 2 — сила $\vec{F}_2$.

Ввиду малости размеров диска ($d_1 \ll r_1, d_2 \ll r_2$) силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ можно определить, считая, что все масса каждой из дисков сосредоточена в точке, находящейся, соответственно, на расстояниях $r_1$ и $r_2$ от точки $A$. Тогда
$$|\vec{F}_1| = \frac{G m_1 m}{r_1^2}, \quad |\vec{F}_2| = \frac{G m_2 m}{r_2^2},$$
где $m_1, m_2$ — массы дисков. Чтобы найти $m_1$ и $m_2$, учтем, что диски имеют столбную толщину, что изменением плотности $\rho$ внутри них можно пренебречь, так что эти массы равны

Приложение II
Докажем, что если полная масса $M$, заключенная внутри сферы радиуса $r$, возвращает пропорционально $r$, то плотность $\rho(r)$ (сферической симметричной распределения) по закону $\rho \sim r^{-2}$.

Выделим тонкий сферический слой толщины $l$ с внешним радиусом $r$. Масса такого слоя равна $\Delta M = M(r) - M(r-l) = Kr - K(r-l) = Kl$, где $K$ — коэффициент пропорциональноности. Объем такого слоя равен $\Delta V = \frac{4}{3} \pi r^3 - \frac{4}{3} \pi \cdot (r-l)^3 = \frac{4}{3} \pi (3r^2 l - 3rl^2 + l^3)$ (объем сферы радиуса $r$ равен $\frac{4}{3} \pi r^3$). Средняя плотность в слое равна
$$\rho_{cp} = \frac{\Delta M}{\Delta V} = \frac{3Kl}{4\pi(3r^2 l - 3rl^2 + l^3)} = \frac{K}{4\pi r^2} \sim r^{-2},$$
что и требовалось доказать.

Рис. 4.

11

Поворачиваем кубики

Нет, в этой статье не обсуждается «венгерский шарнирный кубик» (см. «Квант», 1980, № 12, с. 17) — головоломка, родившаяся в руках венгерского архитектора Эрнё Рубика и вызавшая акционер во всем мире, особенно в ВНР и США, где ее выпускают в миллионах экземпляров. К этой трудной и интересной игре «Квант» скоро вернется, а здесь речь пойдет о значительно более простой головоломке, которое каждый может смастить за несколько минут и для которого можно построить несколько и законченную математическую теорию.

Возьем 8 кубков и сложим из них куб вдвое большого размера*). Раскрасим три пары противоположных граней этого куба, соответственно, в белый и желтый, красный и оранжевый, зеленьий и синий цвета. Тогда у каждой из маленьких кубков три грани окажут раскрашениями в разные цвета. Возьем теперь куб в руки и повернем на 180° слой из четырех прилегающих друг к другу кубков относительно четырех остальных (по часовой или против часовой стрелки, не важно, — результат от этого не зависит). Очевидно, что это можно сделать третья разными способами. Изовем эти три поворота элематрими операции или ходами. Повторяя эти ходы в разном порядке несколько раз, мы будем получить разные распределения

ния цветов по граням куба. Изовем каждое такое распределение цветов состояния куба, причем все распределения, отличношеся поворотом куба как целого, будем считать одним и тем же состоянием. Изовем нулевым то состояние, при котором каждая грань больше больше куба раскрашена одним цветом.

Возникают следующие вопросы. Сколько имеется различных состояния, получающихся из нулевого некоторой последовательностью ходов? Каково наименьшее число ходов, переводящихся данное произвольное состояние в нулевое? Каково минимальное число ходов, переводящихся данное произвольное состояние в нулевое?

Изображение состояния и запись ходов

Чтобы ответить на эти вопросы, научимся сначала описывать состояние куба и введем специальную запись для ходов. Сперва зафиксируем положение куба в пространстве, считая, что один из маленьких кубков остается неподвижным при всех преобразованиях, например тот, три внешние грани которого окрашены в белый, оранжевый и зеленьий цвета.

На рисунке 1 изображение куба и 12-ти обращенных к нам граней малых кубков дополнен изображением 9-ти задних граней, как бы отраженных в круглом вогнутом зеркале. При грани заднего малого кубика, остающиеся неподвижными, на рисунке кубиков которого окрашены в белый, оранжевый и зеленьей цвета.

Обозначим поворот передних четырех кубков на 180° вокруг оси x буквой X, поворот четырех правых кубков — Y и поворот четырех верхних кубков — Z (рис. 2). При всех этих ходах задний малый кубик будет оставаться неподвижным, так что выполнях ходы X, Y, Z, мы никакда не повернем куб как целое. Состояния, которые получаются из нулевого применением операций X, Y, Z, изображены на рис. 1, где они помещены номерами 2—4.

Композиция ходов и соответствия

Композицию (последовательное выполнение) ходов мы будем назвать

12

Рис. 1.

также умножением; произведение ходов будем записывать слева на право. Например, $YZX$ — это последовательное выполнение ходов $Y, Z, X$; $X^3 = XXX$ — это выполнение трех ходов $X$. Два произведения ходов мы будем считать равными, если они на каждое состояние куба действуют одинаково.

Умножение ходов, конечно, не коммутативно; например, все шесть «парных» произведений не равны (номера 5—10 на рисунке 1).

Обозначим $I$ «тождественный» ход, оставляющий куб не изменившимся. Очевидно,

$$X^2 = Y^2 = Z^2 = I.$$

Легко проверить, что все «парные» произведения, повторенные три раза, не меняют состояние куба:

$$(XY)^3 = (YZ)^3 = (ZX)^3 = (YX)^3 = (ZY)^3 = (XZ)^3 = I.$$

Кроме того,

$$(XYZY)^2 = (XZYZ)^2 = (YXZX)^2 = (YZXZ)^2 = (ZXYX)^2 = (ZYXY)^2 = I$$

Из равенств (), (), () легко получить (уже не обращаясь к кубу!) много новых равенств. Например (проверьте!), $XYX = YXY$ (см. также задачу 1 на с. 16).

Итак, мы получили три группы равенств, согласно которым все три хода $X, Y, Z$ являются «корнями квадратными из единиц» (*), а все шесть парных ходов — «корнями кубичными из единиц» (**), а еще шесть комбинаций ходов специального вида $(XYZY, YZXZ, ...)$ тоже являются.

13

Рис. 2.
ляются «корнями квадратными из единиц» (***).

Граф состояний
Мы научились изобразить состояния куба (и приписали им номера 1—24, рис. 1), научились записывать ходы и нашли соответствия между ходами. Хотелось бы уметь более наглядно изобразить связь между состояниями и ходами. Для этого служит граф состояний, показанный на рисунке 3. На нем точки (вершины) обозначают состояния, а отрезки — ходы, позволяющие перейти из одного состояния в «соседнее». Так, в центре рисунка жирная точка изобразает нульевое состояние; из нее выходит три отрезка, отвечающие ходам X, Y, Z; из точки на концах этих отрезков также выходит по три отрезка: один возврашает в нульевое состояние, остальные приводят в два новых состояния, и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, можно считать всего плоскостью покрытой шестиугольной сеткой — графом состояний.

Соотношения (*) на графе ответает движение туда и обратно по одному из отрезков, а соотношения (**) — обход шестиугольника (проверьте!).

У полученной картины оченьный недостаток — на ней имеется бесконечного много вершин (состояний), в то время как у нашего куба лишь конечное число состояний. Значит, какие-то (различные) вершины ответают одному и тому же состоянию. Чтобы в этом разобраться, зануемуйте (например, прямо на рисунке 3) все вершины графа номерами 1—14, пользовать рисунком 1.

Вы тогда увидите, какие вершины между собой должны совпадать. Например, жирная точка в верхней части рисунка 3 тоже ответает нульевому состоянию (а всего таких точки на рисунке уменьшилось 7). Кстати, путь от «центральной» нульевой точки к «верхней» соответствуют соотношениям

$$XZYZXZYZ = 1,$$

то есть одному из соотношения (***).

Рис. 3. Граф состояний куба. Стороны шестиугольников обозначают элементы операции (они помещены буквами X, Y, Z), вершины шестиугольников — состояния, а жирные точки ответают нульевому состоянию. Синние, красные и зеленные линия выделяют фундаментальные области.

14

Имея перед глазами пропумерованный граф состояний, легко ответить на поставленные в начале статьи вопросы. Имеется всего 24 состояния (и 24 класса равных между собой последовательностей ходов). Из них 3 состояния получятся из нулевого состояния одним ходом, 6 — двумя ходами, 9 — третья ходами и 5 — четверя ходами. Вообще, чтобы найти минимальную целочкуховов, соединяющую данные два состояния, достаточно найти две вершины на графе с соответствующими номерами и соединить их кратчайшей ломаной, которая указывает нужные ходы, причем число этих ходов всегда ≤4.

Фундаментальные области

В последней фразе вымательный читатель должен был заметить неообщим брать не любые «две вершины с соответствующими номерами», а также, которые расположены «по соседству», иначе может появиться лиший путь типа (***).

В этой связи удобно «раскройть» наш граф на ячейки, внутри которых нет совпадающих вершин и которые содержат все 24 состояния. На рисунке 3 показаны три способа для осуществления такого раскрой: на красные шестиугольники, на синее ромбы и на зеленье «прямоугольники с ломаными сторонами».

В математике также ячейки часто называют фундаментальными области. Проверьте, что после неообщимых отношений граничных точек каждой из указанных ячейки действительное содержит 24 различных вершин — состояний.

Пространственный граф состояний

Не pobоявшись последницей «лучшее — враг хорошо», попробуем получить еще более точную модель состояний нашего куба, отправлясь от фундаментальных области. Для этого придетя выйти в трехмерное пространство.

Выделим сперва фундаментальную область, изображенную зеленьми линейми на рисунке 3 и выпрямым горизонтальным ломаные линии. Тогда фундаментальная область превраща-

Рис. 4.

тится в прямогольник, а сстка путей представится в виде регулярной крипичной класси из десяти «кирпичей» и четырех «полукрипичей» (рис. 4). Скленвая верхиной и нижнюю стороны прямогольника, получим трубку. Далее, скрутим эту трубку на полоборота и, изогнут ее, склеим торцы. Получим изображенную на рисунке 5 поверхность, называемую гором. Она покрыта сеткой из 12 шестиугольников с 24 вершинами и 36 ребрами. Если на каждую вершину мы запишем ее номер (получаясь пропумерованным рисунком 3), то полученный граф на теоре дает полное описание нашей геоловоломки. Действительно, каждой из 24 вершин на теоре ответаетровно одно из 24 состояний нашего куба, и от состояния к состоянию можно перейти за один ход тогда и только тогда, когда соответствующие вершины на теоре соединены (черным) ребром (см. рис. 5).

Геометрическая задача. Покажите, что отношение границ других фундаментальных области (см. рис. 3; красные шестиугольники и синее ромбы) по указанным выше правилам дает тор с направованным на нем графом. Сравните этот граф с предыдущим.

Рис. 5.

15

Группы преобразования

Увлекшись неожиданно возникшей здесь геометрии, нам не следует упускать из виду алгебраической куло природу наших исследований, связанных с важным понятием группы преобразования. Непустая совокупность $G$ преобразования неокоторого множества*) называется группой преобразования, если

$$1^\circ \text{композиция любых двух преобразований из } G \text{ также является преобразованием из } G:$$

$$f, g \in G \Rightarrow f^\circ g \in G;$$

$$2^\circ \text{преобразование, обратное к любому преобразованию из } G, \text{ также содержится в } G:$$

$$f \in G \Rightarrow f^{-1} \in G.$$

Из свойств $1^\circ$ и $2^\circ$ сразу следует, что тождественное преобразование $1$ всегда содержится в $G$ (ибо $f^{-1} \circ f = 1$).

Легко видеть, что для нашей игры совокупность всех преобразования (то есть последовательностей ходов) куба является группой преобразования множества всех его состояний. Действительно, свойство $1^\circ$ очень видно, свойство же $2^\circ$ следует из того, что любой ход обратен сам к себе (см. (*)), а преобразование, обратное к любой последовательности ходов, является той же последовательностью, только выписанной в обратном порядке (проверьте!).

В качестве других примеров групп преобразования называем семейство всех перемещений плоскости и совокупность всех взаимно-однозначных преобразования конечного множества (из $n$ элементов) на себя. Последняя группа называется группой подстановок (из $n$ элементов) и обозначается $S_n$. (Проверьте для нее свойства $1^\circ$ и $2^\circ$ и показите, что в $S_n$ имеется $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ элементов).

С алгебраической точки зрения не существует, какова природа преобразуемых элементов, а важна алгебраическая структура самих преобразований, то есть то, как устройна операция умножения $\circ$ (композиция) в совокупности $G$. Алгебраические считают две группы преобразования $G$ и $H$ одинаковыми, если они изоморфны; это значит, что существует взаимно однозначное отображение $\alpha : G \rightarrow H$ группы $G$ и $H$, сохраняющее операцию композиции, то есть удовлетворяющее свойству

$$g, g' \in G \Rightarrow \alpha(g \circ g') = \alpha(g) \circ \alpha(g').$$

Например, совокупность всех перемещений плоскости, переводшей в себя некоторый фиксированный равносторонний треугольник, является группой (почему?) и эта группа изоморфна группе подстановок множества из трех элементов $S_3$ (проверьте!).

Подробнее о группах преобразования и о важном понятии (абстрактной) *группы можно прочитать в книге П. С. Александрова «Введение в теории групп» (Библиотека «Квант», вып. 7, М., 1980).

Алгебраическая модель игры

Мы показем, что группа преобразования называго куба изоморфна группе $S_4$ перестановок четырех элементов. Для этого занумерум вершины куба (или, что то же, маленькие кубики) цифрами от 1 до 8, как показано на рисунке 2. Легко видеть, что вершины $1-4$ и $5-8$ являются вершинами tetraэдров, вписанных в куб, причем при всех наших преобразованиях вершины $1-4$ и $5-7$ переходят друг в друга (а вершина $8$ остается на месте). Таким образом, наши преобразования осуществляют перестановку вершин $1-4$ и двацати четыREM преобразованиям куба взаимно однозначно сопоставляются $4! = 24$ перестановки четыREM четыREM.

Трем ходам $X, Y, Z$ соответствуют перестановки двух вершин: ходу $X$ — вершин $1, 2$, ходу $Y$ — $1, 3$ и ходу $Z$ — $1, 4$. Таким образом, мы связали нашу исходную задачу с довольно простой задачей о представлении всех элементов группы преставновок четыREM четыREM в виде произведения трех базисных парных преставновок одного выделенного элемента с треями остальных и показали, что

16

Все остальные элементы группы можно построить в виде произведений не более чем четырех базисных элементов.

Наряду с геометрической, мы получили алгебраическую модель нашей игры.

Алгебраические задачи. 1. Покажите, что группа преобразованный нашего куба однозначно описывается основными соответствиями (); (), (). Это значит, что любое верное соотношение между ходами X, Y, Z может быть получено из основных вставками и сокращениями. (Вставкой называется операция над соотношениями, при которой в любое место уже полученного соотношения встляется одна из левых частей основных соотношения напрямера

$$XYXY = I \Rightarrow XY(ZZ)XY = I,$$

а сокращение — это операция, обратная к вставке, например:

$$ZXY(ZZ)YXZ = I \Rightarrow ZXYYXZ = I).$$

2. Покажите, что соотношение (*), (**) однозначно описывает группу тех перемещений плоскости, которые совмещают шестиугольную сетку саму с собой. (Указание. Ходу X отвечает симметрия плоскости относительно серединного перпендикуляра отрезка X — см. рис. 3).

Только ли игра?

Отметим в заключение, что в природа имеются объекты, обладающие свойствами, похожими на свойства нашего куба. Это так называемые молеклы с внутренними враценями.

Простейшей такой молекулой является молекula этана CH₃—CH₃, в которой один метильный радикал может поворачивать относительно другого (рис. 6). Свойства симметрики таких молекул, описываемые группами преобразования, оставляющих молекулы неизменными, в настоящее время интенсивно изучаются. И хотя пока неизвестна молекula, обладающая как раз такой симметрией внутренних враценей, как расстояний нами куб, но не исключано, что она может быть найдена. Существует молекula «кубон», состоящая из восеми atomов углерода и восеми atomов водорода (рис. 7), похожая на рассмотренную здесь модель; но, по-видимому, свободного враценя одной грани относительно паралельной грани не происходит.

Отметим также, что двойная перiodическая структура, которая видна на рисунке 3, встречается в результате в результате кристаллах. В этом случае мелкие шестиугольные ячейки соответствуют элементарным ячейкам кристалла, состоящим из атомов, в то время как бóльшие ячейки связаны с более тонкими свойствами кристалла — ориентацией спинов атомов, размещением различных изотопов и т. д.

Отсюда видно, что исследованные группы симметрики такого типа может оказаться интересным и с физическим точки зрения.

Поправка

В программу на с. 56 «Кванта», 1981, № 9 включает несколько операторов, из которых указывает отсутствие метки 1 перед пятым оператором и пропуск знаков продолжения в записи оператора DATA. На с. 55 вместе CALL STR следует читать CALL STR.

17

В этом году исполнилиось девяност лет со дня рождения академика Сергея Ивановича Вавилова (12.3.1891—25.1.1951) — выдавшегося советского физика и организатора науки, председателя Академии наук СССР, директора физического института имени П. Н. Лебедева АН СССР. С. И. Вавилов внес очень крупный вклад в развитие физической оптики, прежде всего — в изучение приоды ломинесценции. Вместе со своим ученком Павлом Алексеевичем Черенковым (воспел逮ии академик) С. И. Вавилов открыл знаменитый эфект «сверхветового электрона», получивший позднее имя авторов открытия.
С. И. Вавилов был активным пропагандистом естественного-научных знаний, автором несколько превосходных научно-популяриных книг. Мы помещаем здесь главу из его книги «О «теллом» и «холодном» свете», изданной в 1949 году. Текст дается с небольшими редактионными изменениями.

С. Вавилов

«Телый свет» и телловое излучение

«Надо подумать о безвредном свете биологических деревьев и светящих черней. Затем надо написать, что свет и теллота не всегда взaimно связываны и потому различствуют».
М. В. Ломоносов

«Удивительная это весть — свеча».
М. Фарадей. «История свечи»

Хорошо известно, что источник света, до его времени осталось господствующим, — электронской лампа накаливания — предшествовали многоные тысячи лет развития и совершенствования. И все же с принципиальной стороны лампа накаливания мало отличается от первобитного костра. На общих концах многоцычелетней эволюционной лестницы мы находим накаленное творое тело в качестве излучателя. Внача-

ле — это частицы твердого угля в пламени, в конце — накаеленный металл вольфрам. Различие заключится в температуре и в других важных и существенных, но не принципиальных подробности.

Разберем сначала привчные источники «теллого света». Вспышиваем спичка, давая на короткое время желтоватое пламя и свет. Температура пламя очень высокая, выше 1500°С. При этом, если следить за горением спички более внимательно, вначале (по крайней мере, в некоторых сортах спичек) ясно заметно своеобразное резкое желтое свечение, такое же, как при введении в беспсевенное газовое пламя поваренной соли. Когда пламя установливается, часть его, около ствола спички, имеет слабую голубую окраску. Однако основная часть пламя светится привчным для нас желто-оранжевым, «телым» светом, зависимости от накаливания пылинок сахки, находящихся в пламени. В стеариновой свече мы встречаемся с той же картиной — желто-оранжевым пламем и слабо светящейся синея часть у фитили; и здесь свет исходит, главным образом, от части угля, сосредоточенных в пламени и накаленных

18

до температуры выше 1500°С. Мало чем в этом отношении отличся керосиновая лампа и даже электронная лампа накаливания. В первых моделих ламп Лодыгина и Эдиссона светиласы угольная нить, накаливаемая током. В угольной лампе температура накала примерно на 100—200 градусов выше, чем в свечах и кострах. В современных волфрамовых лампах накал доводится при близительной до 2700°С. По качеству излучаемого света эти лампы все же ближе к костру, чем к Солнцу. Температура Солнца близка к 6000°С; до сих пор ни одно накаленное тело в практически примемых условиях не удалось довести до такого накала. Преятствием служит плавление металлов и их испарение. Волфрам в этом отношении подходит больше всего ( температура плавления 3380°С и малая испарением).

Далее при поверхностном наблюлении бросаются в глаза некоторые общие черты у самых разнообразных теплых источников света — спички, свечи, лампы накаливания, Солнца. Одана из таких особенностей состоит в следующем. Источник при одной и той же температуре светит тем ярче, чем темнее, чернее светящая тело. Например, при одной и той же температуре произное кварцевое стекло почти не светит, а кусок черного угля излучает весма сильно. Чернота, так же как и белизна, конечно, не может возрастать безгранично; для нее существует предел, когда весь свет, какого угодно цвета, падающий на тело, без остатка в нем поглощается. Тело с таким свойством называют «абсолотно черным телом». Осуществить такое тело с большим приближением к требуемым условиям не очень трудно. Всем хорошо известно, что если в яркий солнечный день, когда кругом все светится и блестит, посмотреть изделка через открытое окно или дверь вглубь закрытого помещения, то внутренние части каждой угольно-черными, несмотря на то, что комнаты могут быть побелены или оклеены светлыми обоями. Происходит это потому, что лучи света, произнув внутреннюю светлую черную чернее окно, неизбежно там поглощается вследствие многохрассе ней и отражений и нарушку невыходят.

Отсюда становится понятным, как постройть абсолотно черное тело: его можно изготовить из любого материала — угля, железа, белого фарфора и пр., если устройть некоторое замкнутое пространство с маленьким отверстием.

Abсолотно черное тело можно нагреть до высокой температуры, например, до накаливания, и подерживать нагрев постоянным. Внутри постити тела со стенок будет излучаться свет, который должен вновь поглощаться на стенках. Наше тело — абсолотно черное, поэтому поглощение у него, по условиям, максимальное, то есть полное. Но в то же время мы приняли меры к тому, чтобы температура тела была постояной, поэтому возможно поглощение большей мощностью максимальной излучением, иначе температурное равновесие нарушится, тело нагреется.

Таким образом, мы приходим к выводу, что не только поглощение, но и излучение абсолотно черного тела должно быть максимальным. Вместе с тем, из этого же рассуждания следует, что излучение, поскольку оно максимальное, так же как и поглощение, не может зависят от материала, из которого сделано тело. Заключение это имеет огромное теоретическое значение. В нем и кроется причина большого сходства самых разнообразных тепловых источников света. Костер, спичка, Солнце, лампочка накаливания по своим свойствам — достаточно «черные», они близки к абсолотно черному телу. Разница в значительной мере свойства к тому, что температура Солнца равна примерно 6000°С, а спички — около 1500°С. Если температура низкая, тело не может светиться за счет нагревазания затемным видимым светом, оно будет излучать, главным образом, невидимые инфракрасные лучи с длиными волнами. При повышении нагрева тела начинает испускать темно-красный цвет. При дальнейшем возрастании температуры излучение становится оранжевым, желтым и, наконец, белым. С качеством стороны этого одинакового справадливого как абсолотно черного

тела, так и, например, для лампы накаливания.

Нужно, однako, сделать одно важное замечание. Положе тело с небольшим отверстием полностью поглощает всякие лучи, любого цвета, с любыми длинами волн. Но существуют тела (конечно, не имеющие вида полости), полностью поглощающее только лучи определенного цвета, с определенной длиной волны. Такие тела можно назвать также абсолютино черными, но только в отношении некоторых длиной волн. Расстояние, например, спиртовое пламя или газовое пламя в кислороде. Они бысветны, хотя и имеют высокую температуру. Внесем в такое пламя немного объективной столовой соли. Пlamя прибретает резкую желтую окраску, такую же, какую имеют, как уже говорилось, некоторые спики в самом начале горения. В среднем пламя при этом остается произрачным; вместе с тем оно начинает очень сильно поглощать свет в узкой области световых волн, в желтой части спектра; здесь оно становится абсолютино черным. Именно потому оно и светится.

Для большого посянения этого существенного обстоятельства расстоянием еще один интересный опит. Химчесские элементы, называемые редкими землями, такие как неодим, разеодим, самарий и т. д., при введении их в стекло или кварц дают в спектре очень тонкие сильные полосы поглощения. Можно приготовить тонкую палочки или нитку из стекла или кварца с несколькими редкими землями. Если накапить такую палочки и посмотреть на нее в спектрокоп, то оказывается, что светится только несколько тонких линей, как раз отвечающих поглощению редких земля; остальные части спектра — темные, так как само стекло или кварц в видимой части света не поглощают и потому при накапливании не светятся. Описанная стеклянная палочка стала «черной» только в отдельных узких спектральных области.

Сказанное позволяет теперь объяснить ранее упоминавшиеся особенности горения спики и свечи. Яркое лягушка в начальной стадии горения у неокторых сортов спичек объясняется присутствием в головке

$$E = aE_0,$$

(*)

20

так как поглощаемая энергия равна $aE_0$; в этом важном законе необходимо помнить, что все входящие в него величины ($a, E$ и $E_0$) относятся к определенной длине волны света $\lambda$ и к определенной температуре $T$.

Иными словами, написанный закон можно выразить так: относение тепловой излучательной способности любого тела к его поглощательной способности (для данных $\lambda$ и $T$) равно излучательной способности абсолотного черного тела (для тех же $\lambda$ и $T$).

Исходя, таким образом, из самых общих представлений о телах (именно — предполагая, что они в той или иной степени могут поглощать свет и находиться при этом при постоянной температуре), мы приходим к выводу, что любое тело — твердое, жидкое, газообразное — обязаательно должно испускать тепловое излучение, если только оно находится в тепловом равновесии при температуре выше абсолотного нуля. В зависимости от степени нагрева этот свет будет видимым или невидимым.

Как уже указавалось выше, можно легко доказать, что не может существовать тела, излучение которого превышает бы излучение абсолотного черного тела при той же температуре.

В этом смысле абсолотно черное тело — лучший, самый совершенный тепловой излучатель, и Фарадей в приведенных в начале главы словах имел основание удивляться общий свече, свойства которого довольно близки к свойством абсолотного черного тела, не говоря о ее практических применениях.

Такое «совершенство» абсолотно черного тела и близких к нему свечей и ламп накаливания, впрочем, очень относительно и условно. Дело в том, что все «тепловые излучатели» крайне неэкономичны в обычном техническом смысле слова; они превращают в видимый свет только ничтожную часть потребляемой ими энергии. Для абсолотно черного тела, находящeres при 2000°С, всего лишь 0,3% энергии переходит в видимый свет; при температуре в 3000°С коэффициент полезного действия поднимается до 3%. Выгоднее всего абсолотно черное тело должно быть около 6000°С, то есть при температуре Солнца. Причина этого, на первый взгляд удивительного совпадения состоит в том, что человекский глаз биологически, в процессе развития, присособыся к солнечному свету, и поэтому свет от теплового излучателя с солнечной температурой наиболее экономичен. Однако экономичность даже этого самого высокого абсолотного черного тела не велика; коэффициент полезного свечего договора действия приблизительно 13%, то есть 87% всей потребляемой источником энергии для глаза бесполезны. Для наиболее экономичных современных ламп накаливания мощностью 100 Вт коэффициент полезного свечего договора действия составляет 2—3%.

Естественное воздействие вопрос: почему нельзя превращать всю энергию, сообщаемую абсолотно черному телу, или, во всяком случае, значительная ее часть в видимый свет?

Ответ на этот вопрос физикам удалось получить не легко; для этого пришлось произвести, в существии, целую революцию в науке, потребовалось откладаться от многого общеприятного, считавшегося непреложной истинной.

Если абсолотно черное тело остается постоянной при однород и той же температуре и в то же время излучает свет, то, следовательно, все перерывно подводимая к телу энергия превращается в излучение. Только ничтожная доля этого излучения видима, остальная часть сосредоточена, главным образом, в области невидимых инфракрасных лучей с меньшим частотами световых колебаний (с бóльшим длинами волны), чем у видимого света. Подводимая энергия, превращается в свет, распределяется между различными волнами, создавая непрерывный спектр теплового излучения. Процесс производства превращения механической или электрической энергии в тепло. При этом молекулы вещества приходят в поступательные, колебательные ивращательные движения с разнообразными скоростями, распределясь по непрерывному закону. Такое рас-

21

пределенное осуществляется посредством беспорядочных столковей молекул друг с другом. Число молекул в данной объеме конечное, и, применяя обычные правила статистического расчета, можно определить наиболее вероятную среднюю энергию молекул и закон распределения энергии по молекулам.

До конца XIX века общеприятным в науке было мение, что свет есть волновое движение среды, заполняющей пространство. Но если свет действительно таков, то, в отличие от частиц вещества, число которых в ограниченном объеме конечно, должно существовать бесконечное число возможностей распределения световой энергии по световым волнам при условии равновесия в тепловом излучении.

В самом деле, поскольку излучение абсолотно черного для всех волн тела не может зависят от природы вещества, из которого изготовлено тело, вспектре его не может быть никаких характеристих линей или полос, должны присутствовать все части только колбаний, от очень малых до очень больших в непрерывном черездании. При этом, с точки зрения старой, классический волновой теории света, все части правоправны и не имеют никаких преимуществодана приед другой. А это значит, что на каждый бесконечно малый участок частив вспектре в среднем должа в условиях равновесия приходится одна и та же бесконечно малая доля энергии.

Ясно, с другой стороны, что, по мере того как мы будем переходить от малых частиот к большим, принимающим к бесконечно большим, мы будем встречать все большие число бесконечно малых участков частиот, на каждый из которых приходится одна и та же бесконечно малая доля энергии. Иными словами, с точки зрения классического волнового учения о свете в условиях теплового равновесия, энергия излучения обязательно должна непрерывно расти при передвижении по спектру от красной к фиолетовой части. Этот вывод, между тем, самым решительным образом расходится с опитом. В действительности во всех тепловых источниках, начиная с абсолотно черного тела, имеется максимум излучения, который в случае температур ниже 4000°С находится в инфракрасной области спектра и только при дальнейшем нагревании передвигается постепенно в видимую (желтую, зеленью и т. д.) часть. В физевой области, волреки теоретическому выводу, энергия при привченных для нас температуре не возрастает, а, наоборот, резко падает. Такое противоречение опыта самим общим представлениям о веществе и свете было справедливо навано физики в своей время «фиолетовой катстрофой»; оно действительно обозначает необходимость полного отказа от многих установившихся воззрения, намечало цель переворот в естествознании.

На опите получалось, что энергия распределяется по световым частотам примерно так же, как тепловая энергия распределяется по молекулам, то есть имеет отсутствий максимум. Единственное возможность объяснение опыта (до известной степени подсказываемое аналогий с молекулами) состоит в следующем. Вопреки всем приходим воззрения и несомненный волновой характеристике света в пространстве, приходится принять, что его энергия сосредоточена в некоторых центрах, что свет поглощается и излучается молекулами только в виде целых порций энергии, называемых квантами. Величина энергии кванта не постоянна; она пропорциональна частоте световых колбаний v. Коэффициент пропорциональности h всегда один и тот же; он составляет веса малую, но точно известную теперь величину, равную 6,62 × 10⁻²⁷ эрг·с.

Энергия кванта hν совершенноеничтожна для радиоволн, где поэтому перевенное строение излучения практически не заменено; но квант приобретает все более ощутимые значения при переходе через видимый свет к лучам Рентгена. Здесь «зернистость» световой энергии проявляется в полне ясно и резко.

Почти за полвека после открытия квантов энергии были найдены бесписленные другие доказательства их

22

существования. В настоящее время это твердо установленная истина.

Представление о квантах световой энергии вполне обьясило свойства теплового излучения и дало возможность расчитывать спектр излучения абсолотно черного излучателя для любых температур. На рисунке 1 изображено вычисленное таким образом распределение энергии в спектре теплового излучения абсолотно черного тела для солнечной температуры 6000°С. Максимум изображенной кривой соответствуют длине волны 0,483 мк, то есть сине-зеленой области спектра.

На рисунке 2 в скатом логарифмическом виде представлено распределение энергии в спектре абсолотно черного тела для громадного интервала температур, начиная от абсолотного нуля до 50 000 К. По оси абсцисс отложены логарифмы длины волн в сантиметрах, по ordinатам — логарифмы величины, пропорциональной интенсивности излучения. Действительные линии волн указаны на нижней шкале в микронах. При таком изображении максимы спектра излучения располагаются на прямой линии, как отмечено пунктиром на рисунке. Из этого рисунка сразу видно, например, что при температуре человекаского тела (около 310 К) максимум излучения абсолотно черного тела соответствует длине волны около 10 мк в дальнейшем инфракрасной части спектра. Максимум свечения при привчных для нас температуре тепловых ис-

Рис. 2. По оси абсцисс отложены значения lg λ([λ] = cm), по оси ordinат — значения lg 2I_λ ([I] = Bt/cm³). I — интенсивность излучения, то есть мощность излучения, приходящая на единицу объема абсолотно черного тела.

Каждая кривая соответствует определенной температуре черного тела (числа у кривых — значения T, K).

24

Задачи

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Найболее трудные задачи отмещаются звездочкой. После формировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задания публикуются впервые. Задачи по математике этого номера представлены на XXII Международной олимпiadе школьников, проходившей в Соединенных Штатах Америки.

Решения задач из этого номера можно отправлять не позднее 15 февраля 1982 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 12—81» и номера задач, решения которых вы посылаете, например, «M716, M717» или «Ф728». Решения задач из различных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи.

M716—M720; Ф728—Ф732

M716. Из точки $P$ внутри данного треугольника $ABC$ опускаются перпендикуляры $PA_1, PB_1, PC_1$ на прямые $BC, CA$ и $AB$. Для каких точек $P$ внутри $\triangle ABC$ величана

$$\frac{|BC|}{|PA_1|} + \frac{|CA|}{|PB_1|} + \frac{|AB|}{|PC_1|}$$

принимает наименьшее значение?

M717. Даны натуральные числа $n$ и $r$, $1 \leqslant r \leqslant n$. Рассмотрим всевозможные подмножества множества {1, 2, …, $n$}, состоящие из $r$ чисел, и в каждом выборе наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выборных чисел равно $(n+1) / (r+1)$. (Например, при $n=3$, $r=2$ получаем три подмножества {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} и среднее арифметическое равно $(1+1+2)/3 = 4/3$).

M718. Найдите наименьшее значение выражения $m^2+n^2$ для всехвозможных пар $(m; n)$ натуральных чисел, таких что $1 \leqslant m \leqslant 1981$, $1 \leqslant n \leqslant 1981$ и $|n^2-mn-m^2|=1$.

M719. а) Для каких $n \geqslant 3$ существует множество из $n$ последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойством: наименьшее из этих $n$ чисел является делителем наименьшего общего кратного остальных $n-1$ чисел?

6. При каких $n \geqslant 3$ существует единственное множество из $n$ последовательных чисел, обладающих указанным свойством?

M720. Про функцию $f$, определяную на множество всех пар неотрицательных целых чисел $(x; y)$, известно следующей:

$$1^\circ. f(0, y) = y+1,$$
$$2^\circ. f(x+1, 0) = f(x, 1),$$
$$3^\circ. f(x+1, y+1) = f(x, f(x+1, y))$$

для каждой пары $x \geqslant 0, y \geqslant 0$. Найдите значение $f(4, 1981)$.

Ф728. Три маленьких шарика с одинаковыми массами — красный, синий и зеленьй, закреплены неверсным каркасом в верхинах равностороннего треугольника со сторонами $l$. Система положена на главную горизонтальную поверхность и приведена во врашение с периодом $T$ воркруг центра масс.

27

М677. Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка M, являющаяся
a) точкой пересечения медиан;
b) точкой пересечения биссектрис;
b) точкой пересечения высот.
Доказите, что если радиус окружности, вписанных в треугольника AMB, BMC, AMC, равны, то треугольник ABC — правильный.

Рис. 1.

a) Площади треугольников AMB, BMC и AMC (рис. 1) одинаковы — они равны $\frac{1}{3} S_{ABC}$ (доказите это).

Поскольку площадь S треугольника, его полуперметр p и радиус r вписанной в него окружности связи соответствием S=pr, перметры треугольников AMB, BMC и AMC также одинаковы.

Предложим теперь, что треугольник ABC — неправильный; пусть, например, $|AB| > |BC|$. Тогда угол BDA — тупой; поэтому $|AM| > |MC|$, так что перметр треугольника AMB больше перметра треугольника BMC — противоречие.

6. Поскольку CBM=ABM и радиус окружности, вписанных в треугольника AMB и BMC, равны, эти окружности касаются биссектрисами BM в одной и той же точке (рис. 2).

Рис. 2.

Рис. 3.

Из этого следует, что все три окружности попарно касаются, а их центры O1, O2 и O3 образуют правильный треугольник, стороны которого перpendикулярны биссектрисам данного треугольника ABC. Поэтому, например, $\widehat{BMC} = \frac{\pi + A}{2} = \frac{2\pi}{3}$, то есть $\widehat{A} = \frac{\pi}{3}$. Аналогично доказывается, что $B = C = \frac{\pi}{3}$.

в) Как и в задаче a), предположим, что треугольник ABC — неправильный; пусть, например, $|BC| > |AC|$. Обозначим через D и E точки касания окружностей, вписанных в треугольники AMC и BMC соответственно, со стороны AC и BC (рис. 3). Поскольку радиус этих окружностей равны и $\widehat{CA} = \widehat{CBM}$, $|AD| = |BE|$. Значит, $|CD| > |CE|$ — противоречие.

A. Егоров

М678. 2м-значное число называется справедливым, если его чётные разряды содержат столько же четных цифр, сколько и нечетные.

Заметим вначале, что если мы в любое место (2m—2) значного справедливо число добавим две идущие подряд цифры одинаковой четности или добавим по цифре одинаковой четности в его начало и в конце, то получающейся при этом 2m-значное число оставется справедливым.

28

Докажите, что в любом $(2m+1)$-значом числе можно вычернуть одну из цифра так, чтобы полученное 2м-значное число было справедливым.

Теперь доказем требуемое утверждение индикцией по $m$. При $m=1$ оно верно, поскольку в трехзначном числе всегда можно вычернуть цифру так, чтобы две оставшиеся были одинаковой четности. Предположим, что утверждение задачи верно для некоторого $m$, и докажем, что оно верно для $m+1$.

В любом $(2m+3)$-значом числе всегда найдет две цифры одинаковой четности, стоящие либо рядом, либо одна — в начале, а другая — в конце числа. Вычернуть на время две эти цифры, получим $(2m+1)$-значное число, в котором, по предположению индикции, можно вычернуть одну цифру так, что получившее 2м-значное число будет справедливым. Восстановив в нем две вычернутьые цифры одинаковой четности, получим согласно сделанному замечанию справедливое $(2m+2)$-значное число.

A. Сидоренко

**M679. a) На плоскости расположены четыре круга так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке B, третьий — четвертою в точке C и четвертый — первый в точке D. Докажите, что через четыре называемые точки можно proveсти окружность или прямую.

6. В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке B, третьий — четвертою в точке C и четвертый — первый в точке D. Докажите, что через четыре называемые точки можно proveсти окружность или прямую.

7. В пространстве расположены четыре шара так, что каждый касается трех других. Докажите, что шесть точки касания приадлежат одной сфере или одной плоскости.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Таким образом, плоскость $ABC$ пересекает шары по четырем кругам, касающихся, соответственно, друг друга в точках A, B, C, D так, как сказано в пункте a). Из этого следует утверждение задачи 6).

в) Пусть $A$ — точка касания первого и второго, $B$ — первый и третьего, $C$ — первый и четвертою, $D$ — второй и четвертою, $E$ — второй и четвертою, $F$ — третьего и четвертою шаров.

По доказанному в пункте 6) точки A, C, F, D лежат на одной окружности или прямой. Точки A, E, F и B обладают тем же свойствами.

29

М680. Два связsta цераот в такую церру. Имеется п телефонных узлов, и связstsы по очереди соединиют кабелями два из них по своему выбору.

Вызрывает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвонить до любого других (может быть, через несколько промежуточных).

a) Выясните, кто вызрывает при n=4, 5, 6, 7,8 — начинающий или его партнер?
b) Каков ответ при произвольном n?

Рассмотрим также два видоизмененных варианта церры:

в) Пусть церрок, связанный все узлы, произрывает. Ответьте на вопросы a) и b) для этой новой церры.

г) Пусть вначале все узлы попарно соединины кабелем, а связstsы убирают по очереди по одному соедининию. Иерок, нарушивший связь в схеме, произрывает. Вопрос тот же, что и в пунктах a) и b).

У этих двух четырех точек есть две общие точки: A и F. Позтому если одна из четырех лежит на прямой, все шесть точек лежат в одной плоскости.

Если же эти четырех лежат на двух окружности, находящаяся в разных плоскостях и имеющих общую хорду AF, то через эти окружности можно проведи сферу: центром этой сферы является точка пересечения перпендикуляров к плоскостям этих окружностей, проведенных через центры окружностей (эти перпендикуры лежат в плоскости, проходящей через центры окружностей и середину их общей хорды AF).

В. Произвольов

◆

a) При n=4, 7, 8 выигрывает первый игрок, при n=5, 6 — второй; это будет следовать из решения общей задачи 6).

b) Будем называть группу узлов связной, если любые два входящие в нее узла соединены (может быть, через несколько других узлов). Связную группу узлов будем называть комппонентой, если ни один из входящих в нее узлов не соединен ни с одним из узлов, в ней не содержащихся. Ясно, что любой эраф (система как-то соедининых узлов) состоит из одной или нескольких комппонентов.

При любой игре противников hastanet момент, когда множество всех узлов оказывается разбитным на три комппоненты A1, A2, A3. Пусть a1, a2, a3 — количество узлов в этих комппонентах. Ясно, что проигрывает тот из игроков, кому придает первым соединить какие-то две из этих комппонents. Критическая ситуация возникнет, когда все возможные соедининия внутри комппонент A1, A2, A3 будут осуществлены.

Ясно, что с начала партини до наступления такого момента будет сделано

$$N = \frac{a_1(a_1-1)}{2} + \frac{a_2(a_2-1)}{2} + \frac{a_3(a_3-1)}{2} = \frac{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - n}{2}$$

ходов. Если число N оказывается четным, то первый игрок проигрывает, если же нечетным — то выигрывает. Четность числа N, очень/no, определяется остатком, который дает число $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - n$ при делении на 4. Так как остаток от деления на 4 числа $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$ равен количеству нечетных чисел среди чисел a1, a2, a3 (убедитесь в этом), первый игрок должен добаваться того, чтобы количество нечетных чисел среди a1, a2, a3 не совпадало с остатком от деления n на 4. Второй же, наоборот, должен стремиться к их совпадению.

В дальнейшем комппоненты с четырьмя числом узлов мы будем называть четырьмя, а с четырьмя числом узлов — нечетными.

Рассмотрим отдельно четырьмя счучая: n=4k, n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3.

1°. n=4k. Первый игрок добавляется победы, игра следующим образом. Пока комппонент более трех, он играет так, чтобы после каждой его хода получалось не более одной четверной комппоненты: если в какой-то момент возникнет две четные комппоненты, он тут же объединяет одну из них с нечетной. В момент появления трех комппонент (независимо от того, после чего ход это произойдет) две комппоненты будут

30

нечетными, а одна четной. Число $N$ при этом нечетно — первый игрок выигрывает.

$2^\circ$. $n=4k+1$. В этом случае выигрывает второй игрок, поскольку он может играть так, чтобы после каждого его хода было не менее двух четных компонент (убедитесь в этом). При этом среди чисел $a_1, a_2, a_3$ два непреемно будет четными, а одно — нечетным (независимо от того, чей ход приведет к образование трех компонент).

$3^\circ$. $n=4k+2$. И в этом случае выигрывает второй игрок, применяя стратегию первого игрок в случае $n=4k$, так как при $n=4k+2$ среди чисел $a_1, a_2, a_3$ будут два нечетных.

$4^\circ$. $n=4k+3$. Этот случай наиболее интересен.

При $n=3$, очевидно, выигрывает второй игрок.

Докажем, что при $n>3$ выигрывает первый игрок.

Если первый игрок своим первым ходом соединяет какне-то два узла $A$ и $B$, а второй игрок — два других узла $C$ и $D$ (рис. 1), то первый игрок выигрывает, применяя стратегию второго игрок для случая $n=4k+1$. Если же второй игрок соединяет узел $A$ с третьим узлом $C$, то вторым ходом первый игрок заменяет треугольник, соединяя узлы $C$ и $B$ (рис. 2). Второй игрок при этом любым ответным ходом создает четную компоненту. После этого первый игрок добавляется того, чтобы после каждого его хода было не меньше двух четных компонент. Среди чисел $a_1, a_2, a_3$, как и в случае $n=4k+1$, будут два четных, что в данном случае обеспечивает победу первого игроку.

в) Этот пункт аналогичен предыдущему. При любой игре противников настанет момент, когда множество узлов разобъется на две компоненты $A_1$ и $A_2$ по $a_1$ и $a_2$ узлов. Проигрывает тот из игроков, кому придает соединить компоненты $A_1$ и $A_2$. Рассуждая так же, как и раньше, получим, что до настояления критического момента будет сделано $N = \frac{a_1^2 + a_2^2 - n}{2}$ ходов.

Вновь рассмотрим те же четыре случая.

$1^\circ$. $n=4k$. Второй игрок выигрывает, добавяясь того, чтобы после каждого его хода было две четные компоненты (при этом $N$ — четно).

$2^\circ$. $n=4k+1$. Выигрывает второй игрок, так как, независимо от хода игры, одно из чисел $a_1$ или $a_2$ будет нечетным, а $N$ — четным.

$3^\circ$. $n=4k+2$. Первый игрок при $k \geqslant 1$ добавляется победы так же, как в случае $4^\circ$ пункту 6): ему достаточно следить за тем, чтобы после каждого его хода, кроме может быть, второго, было не менее двух четных компонент, чего он и добавляется (см. рисунки 1, 2).

$4^\circ$. $n=4k+3$. Выигрывает первый игрок, независимо от хода игры (докажите!).

г) Изовем связную группу узлов $B_1, B_2, \dots, B_m$ циклом, если узел $B_1$ соединен с узлом $B_2$, узел $B_2$ — с узлом $B_3$, …, а узел $B_m$ соединен с узлом $B_1$. Ясно, что если в связи с системе узлов есть циклы, то игрок, делаюший очередной ход, не проигрывает: он может разорвать любое из соединений в любом цикле — система остатуса связной.

Таким образом, выигрывает тот из игроков, после чего в системе не остатуса циклов. Докажем, что в связи с системе из $n$ узлов, не содержащей циклов (такая система в теории графов называется деревом), имеетсяровно $n-1$ соединения. Для этого зафиксируем какой-нибудь узел $B$ и заметим, что существует единственный путь, ведущий из $B$ в любой другой узел. Вдоль всех путей, выходящих из $B$, расставим стрелки, показывающие направление от $B$. В каждый из узлов, кроме $B$, входитровно одна стрелка и, значит, общее число стрелок равно $n-1$.

Таким образом, дерево образуется после

$$N = \frac{n(n-1)}{2} - (n-1) = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$$

ходов. Следовательно, при $n=4k$ и $n=4k+3$ выигрывает первый игрок ($N$ — нечетно), а при $n=4k+1$ и $n=4k+2$ второй ($N$ — четно).

А. Разборов

31

Ф688. Тонкий обруч массы M и радиуса R жестко закреплен при помощи лекких спиц на леккой тонкой оси, прохождение через центр обруча так, что плоскость обруча составляет с осью угол α (рис. 1). Определить, какую работу необходимо совершить, чтобы раскрутить ось до угловой скорости ω.

Рис. 1.

Рис. 2. $|O_1A_1|^2 = |OA_1|^2 - |OO_1|^2; |OA_1|^2 = R^3, |OO_1|^2 = |Oa_1|^2 \cos^2 \alpha = R^2 (\cos^2 \varphi) (\cos^2 \alpha) = \frac{R^2}{2} \times \cos^2 \alpha$ (так как $\varphi = \pi/4$). Таким образом,

$$|O_1A_1|^2 = R^2 - \frac{R^2}{2} \cos^2 \alpha = \frac{R^2}{2} (1 + \sin^2 \alpha).$$

Ф689. На главном горизонтальном столе лекит пачка бумаги, в которой 500 листов. Сотый лист (считая спизу) больше других. Этот лист осторожно тянут в горизонтальном направлении. Какое максимальное ускорение можно сообщить пачке, чтобы она при этом движалась не распадаясь? Какое максимальное ускорение, с которым может dwizaаться центр масса пачки? С каким ускорением должен dwizaться при этом столйст? Козффициент треня о бумагу μ=0,2.

Найдем кинетическая энергия обруча,вращающегося с угловой скоростью ω вокруг оси $O'O''$ в таком положении, как указано в условиям.

Линейные скорости различных точек обруча различны; соответственно, различны вклады, даваемые отдельными участками обруча в общую кинетическую энергию. Найдем кинетическую энергию пары малых участков $A_1$ и $A_2$ обруча, расположенных так, что $A_1OA_2 = \pi/2$ (рис. 2). Размер каждого участка равен $R \cdot \Delta\varphi$, масса — $m = \frac{M}{2\pi R} R \cdot \Delta\varphi = \frac{M}{2\pi} \cdot \Delta\varphi$ (размер $R \cdot \Delta\varphi$ настоящего мал, что различен в радиусах окружностей, по которым врашают точки участков, можно пребежать). Линейные скорости участков $A_1$ и $A_2$ равны, соответственно,

$$v_1 = \omega |O_1A_1|, \quad v_2 = \omega |O_2A_2|,$$

где $|O_1A_1|, |O_2A_2|$ — радиусы окружностей, по которым врашают точки участков $A_1$ и $A_2$ вокруг оси $O'O''$. Как видно из рисунка 2,

$$|O_1A_1| = \sqrt{|OA_1|^2 - |OO_1|^2} = R \sqrt{1 - \cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \varphi},$$

$$|O_2A_2| = \sqrt{|OA_2|^2 - |OO_2|^2} = R \sqrt{1 - \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \varphi}.$$

Таким образом, кинетическая энергия пары участков $A_1$ и $A_2$ равна

$$E_n = \frac{1}{2} m (v_1^2 + v_2^2) = \frac{M}{4\pi} \cdot \Delta\varphi \cdot \omega^2 R^2 (1 + \sin^2 \alpha).$$

Рассмотрев любую пару участков, радиус-векторы которых образуют угол π/2, мы получим такое же выражение для их кинетической энергии. Число таких пар, очевидно, равно π/Δφ. Следовательно, общая энергия врашающего обруча равна

$$E = \frac{\pi}{\Delta\varphi} E_n = \frac{M}{4} \omega^2 R^2 (1 + \sin^2 \alpha).$$

Согласно закону сохранения энергии работа, которую надо совершить, чтобы раскрутить обруч до угловой скорости ω, равна

$$A = \frac{M}{4} \omega^2 R^2 (1 + \sin^2 \alpha).$$

Для частного случая α = π/2 (обруч врашается в горизонтальном плоскости вокруг вертикальной оси)

$$E_r = \frac{M}{2} \omega^2 R^2.$$

Для α = 0 (обруч врашается вокруг вертикального диаметра)

$$E_b = \frac{M}{4} \omega^2 R^2 = E_r/2.$$

С. Кротов

Любой лист в верхней части пачки под действием сил треня может получить ускорение

$$a_1 \leqslant \mu g.$$

Это значит, что друг относительно друга эти листы просальзывать не будут, а приускорении большого листа a > μg возможно просальзывание всей верхней части пачки относительно большого листа.

В нижней части пачки просальзывание возникает только в месте контакта с большим листом, потому что чем ниже лист, тем больше сил, прижимающая листы друг к другу. Ускорение листов нижней части пачки

$$a_2 \leqslant \frac{\mu M g}{m} = 4\mu g$$

(M — масса верхней части пачки, m = M/4 — масса нижней части). Ясно, что для получения максимального ускорения пачки при условии, что она не распадается, большой листу нужно

32

тянуть с укорением

$$a = a_1 = 2 \text{ m/c}^2.$$

Таким и окажется укорение пачки.

Чтобы получить максимальное укорение центра масс пачки (без учета большого листа!), нужно сделать так, чтобы просkalзывал обе части. При этом общая внешняя сила $F = f_{\text{тр1}} + f_{\text{тр2}} = 2\mu Mg$; укорение центра масс

$$a = \frac{F}{M + m} = \frac{2\mu Mg}{M + m} = 2 \frac{\mu g}{1 + \frac{m}{M}} = 1,6\mu g = 3,2 \text{ m/c}^2.$$

Тянуть большой лист нужно с укорением $a \geq a_{2\max} = 8 \text{ m/c}^2$.

3. Рафаилов

Ф690. Между точками $A$ и $B$ на поверхности Луны, расположены на угловом расстоянии $90^\circ$, прорbit прямолейный канал (рис. 1), заполненый воздухом при нормальной температуре. Давление воздуха в середине канала $p_C = 10^5$ Pa. Найти давление воздуха в канале у поверхности Луны. Луну считать однородным шаром с диаметром $D = 3480$ km. Ускорение $g_L$ свободного падения на поверхности Луны в шесть раз меньше земного.

Рассмотрим стольник воздуха малой высоты $\Delta y$, находящийся на расстоянии $y$ от центра Луны, и запишем условие:

$$\varrho g \Delta y = -\Delta p,$$

(*)

где $\varrho$ — плотность воздуха, $g$ — укорение свободного падения на данной глубине, $\Delta p$ — разность давления на высотах $y + \Delta y$ и $y$.

Плотность воздуха найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона:

$$pV = \frac{m}{\mu} RT, \quad \varrho = \frac{m}{V} = \frac{\mu}{RT} p,$$

где $p$ — давление воздуха на выбранной глубине.

Тепер выясним, как меняется укорение свободного падения по мере «углубления» в Луну. Выделим внутренний Лунь — шара радиуса $a$ — шар радиуса $y < a$ (рис. 2). Если на поверхности этого меньше шара помещить материалную точку массы $m_0$, то реализно она будет принятывать только меньше шаром. Суммарное действие gravитационных сил между нашей/materialной точкой и всеми частями в защищенной области (см. рис. 2) равно нулю. Тогда укорение $g$ в точке $C$ (с координатой $y$) определяется формулой

$$G \frac{m_0 m_y}{y^2} = m_0 g,$$

а укорение $g_L$ в точке $K$ — формулой

$$G \frac{m_0 M}{a^2} = m_0 g_L,$$

где $m_y$ и $M$ — массы меньше и больше шаров соответственно. Разделив формулы почленного друг на друга и учтя, что массы шаров пропорциональны их объемам (а значит, и кубам их радиусов), получим:

$$g = g_L \frac{y}{a}.$$

Подставим полученные выражения для $q$ и $g$ в уравнение (*):

$$\frac{\mu p}{RT} \frac{g_L y}{a} \Delta y = -\Delta p,$$

или

$$\frac{\Delta p}{p} = -\frac{\mu g_L}{RTa} y \Delta y.$$

Если конечные приращения $\Delta p$ и $\Delta y$ заменить бесконечно малыми $dp$ и $dy$, получим дифференциальное уравнение

$$\frac{dp}{p} = -\frac{\mu g_L}{RTa} y dy.$$

Решение этого уравнения находится интегрированием:

34

Г. Гуревич

Системы разновесов

Проблема Эрдема

Системой разновесов называется совокупность натуральных чисел, из которого нельзя извлечь два различных набора с одинаковой суммой (например, числа 1, 3, 7, 20 образуют систему разновесов, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 8 не образуют: 2+3+4=8+1).

В 1956 году известный венгерский математик П. Эрдем сформировал следующую проблему: Найти наименьшее натуральное число m(k) такое, чтобы из натуральных чисел, не превысodiaщих m(k), можно было выделить систему разновесов из k чисел.

Другая, в известном смысле образная проблeme Эрдема задача состоит в нахождении наиболее колисества l(N) разновесов среди чисел, не превысodiaщих данного натурального N.

Несмотря на большой интерес, вызванный поставленными задачими у специалистов по теории чисел, теории кодирования и комбинаторному анализу, полностью они до сих пор не решены. Получены лишь некоторые оценки чисел m(k) и l(N), причем вопрос точно эти оценок остается открытым.

В задаче М675 («Кваант», 1981, № 3) мы предложили нашим читателем получить некоторые оценки, относится к проблeme Эрдема, для конкретных k и N. Именено, мы предложили доказать, что из чисел, меньших 1000, можно выделить систему разновесов a) из 10 чисел; б) из 11 чисел; с) из 14 чисел из них выбрать нельзя; е) если числа образуют систему разновесов, то сумма их образных величины не превысодит 5/2. И, наконец, мы предложили д) из чисел, меньших 700, выбрать систему разновесов, состоящую из 11 чисел.

Оценки сверху

Некоторые грубые оценки сверху числа m(k) можно получить из очень простых соображений.

В самом деле, k чисел 1, 2, …, 2^{k-1} образуют системы разновесов при любом натуральном k.

Упражнение 1. Докажите это.

Поэтому, оценindo, m(k) ≤ 2^{k-1}. В частности, из чисел 1, 2, …, 1000 выделяется система разновесов из 10 чисел 1, 2, …, 2^9 = 512. Это дает решение пункта a) задачи М675.

Легко строится система разновесов и из 11 чисел, не большех 1000.

В самом деле, k чисел 3, 3·2, 3·2^2, …, 3·2^{k-1} также образуют системы разновесов.

Совв. Добавим к ним два числа 3·2^{k-1} - 1 и 3·2^{k-1} + 1 и докажем, что получащие числа также образуют системы разновесов.

Если какой-то набор из этих чисел содержит оба добавленных числа (тогда набор из оставшихся чисел их не содержит), то его сумма не меньше, чем 3·2^k, и, следовательно, больше суммы всех остальных чисел.

Если же какой-нибудь набор содержит одно добавленное число, то любой набор, его не содержащий, будет иметь сумму, дающий при делении на 3 остаток, отличный от остатка при делении на 3 суммы исходного набора.

При k=9 получаем систему разновесов 3, 6, 12, …, 767, 768, 769 из 11 чисел (это дает решение пункта 6)).

Итак, m(11) ≤ 769. Вообще же нами получена оценка m(k) ≤ 3·2^{k-2} + 1.

Оценка сизу

Попробуем теперь оценить число m(k) сизу. Пусть a₁ < a₂ < … < aₖ — система разновесов из k чисел (k>1).

Очевидно, что ka_k - 1 ≥ a₁ + a₂ + … + aₖ. Поскольку любые два набора из данных чисел имеют разные суммы, а общее число набора из k чисел равно 2^k - 1, получаем неравенство a₁ + a₂ + … + aₖ ≥ 2^k - 1.

Упражнение 2. Убедитесь в этом.

Поэтому ka_k ≥ 2^k, то есть a_k ≥ 2^k/k. В частности, для k=14 получим a₁₄ ≥ 2^14/14 > 1000. Это дает решение пункта b).

Итак, m(k) ≥ 2^k/k.

Теперь мы можем оценить сумму $\frac{1}{a_1} + ... + \frac{1}{a_k}$. Поскольку любая система разновесов сама является системой разновесов, неравенство a_i ≥ $\frac{2^i}{i}$ справедливо при любом i, большем 1. Отсюда

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_k} \leq 1 + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + ... + \frac{k}{2^k}.$$

Вычислим сумму S(k) = $\frac{2}{2^2} + ... + \frac{k}{2^{k-1}}$ и поэтому,

$$S(k) = 2S(k) - S(k) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{k-1}} - \frac{k}{2^k} = \frac{3}{2} - \frac{k+2}{2^k} < \frac{3}{2}.$$

Таким образом,

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_k} < \frac{5}{2},$$

— утверждение пункта г) также доказано.

Сравнительно недавно (1977 год) американские математики Ф. Хансон, Дж. Стил и Ф. Степджер доказали более сильное неравенство:

$$\frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + ... + \frac{1}{a_k^2} < \frac{2^s}{2^{s-1}}$$

для любого s>0. В частности, при s=1 по-

35

Лучаем

$$\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_k} < 2.$$

Некоторые наблюдения

Числа 1, 2, 4, …, 512, как мы видели, образуют систему из 10 разновесов. Посмотрим, нельзя ли, пользоваться этой системой, получить систему разновесов из 11 чисел, меньших 1000.

Рассмотрим 11 чисел: 999—0, 999—1, …, 999—512. Докажем, что это — система разновесов.

Будем в дальнейшем назвать дииной набора количественного чисел в этом наборе.

Преждем всего ясно, что два набора одинаковой длины имеют разные суммы (мы вычитаем из 999 нуль и числа; дающие системы разновесов).

Докажем теперь, что более длинный набор имеет большеную сумму.

В самом деле, сумма шести самых маленьких чисел системы: (999—512) + (999—256) + … + (999—16) — больше суммы пятей самых больших из этих чисел: 999 + (999—1) + (999—2) + (999—4) + (999—8).

Пусть теперь $a_1, a_2, ..., a_m$ и $b_1, b_2, ..., b_l$ — два набора из наших чисел, причем $m > l$. Если $m > 6$, то $a_1 + ... + a_m$ очень много, больше $b_1 + ... + b_l$. Если же $m \leq 6$, то $a_1 + ... + a_m$ не меньше суммы $m$ наименьших чисел нашей системы, которая в свою очередь больше суммы $l$ ($l < m$) самых больших чисел системы (убедитесь в этом!); последняя же сумма, конечно, не меньше $b_1 + ... + b_l$.

Итак, мы построили еще одну систему разновесов из 11 чисел, меньших 1000.

Проанализируем проведенное доказательство.

Преждем всего заметим, что вместе числа 999 мы могли бы взять любое число $a$, для которого $a + (a-1) + (a-2) + (a-4) + (a-8) < (a-16) + ... + (a-512)$, то есть любое $a > 512 + ... + 16 - 8 - 4 - 2 - 1 = 993$.

Кроме того, мы воспользовались тем, что суммы наборов одинаковой длины различны.

Попробуем обобщить наши наблюдения. Возьмем $k$ натуральных чисел $a_1 < a_2 < ... < a_k$, для которых суммы любых двух наборов одинаковой длины различны.

Теперь, если $k$ — четно ($k = 2l$), выберем число $a$ так, чтобы выполялось неравенство $(a - a_{2l}) + ... + (a - a_l) > (a - a_{l-1}) + ... + (a - a_1) + a$, а если $k$ нечетно ($k = 2l+1$) — то неравенство $(a - a_{2l+1}) + ... + (a - a_{l+1}) > (a - a_{l-1}) + ... + (a - a_1) + a$.

Так построенные числа $a, a - a_1, ..., a - a_k$ образуют систему разновесов длины $k+1$. Упражнение 3.

3. Докажите это утверждение.

4. Докажите, что из двух наборов одинаковой длины, состоящих из различных чисел построенной системы, большешую сумму имеет набор, содержащий наиболее низкую сумму чисел.

Улучшенная система разновесов

Пользоваться описанным способом, мы можем строить системы разновесов любой длины $k$.

Построим сначала последовательность чисел $a_1 < a_2 < ... < a_n < ...$, удовлетворяющую таким соотношением:

$$a_1 = 0, a_2 = 1,$$

$$a_{2n+1} = (a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{2n}) - (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) + 1,$$

$$a_{2n+2} = (a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{2n+1}) - (a_1 + a_2 + ... + a_n) + 1$$

при $n \geq 1$.

Выпишем первые одинаковые членов этой последовательности: 0, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 46, 88, 172, 337.

Положим $a = (a_{11} + a_{10} + ... + a_6) - (a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1) + 1 = 667$.

По доказанному ранее мы получаем систему разновесов из 11 чисел: 667, 667—1, 667—2, …, 667—337. Все эти числа меньше 700. Это дает решение пункта д) задачи Упражнения 5. Докажите, что $m(6) = 24$.

Система Конверя — Гая

Из всех систем разновесов, известных в настоящие время, на роль «рекордсмена» претензует система, построенная американским математиками Конверя и Гая. В частности, для разновесов из 11 чисел у них самое большое число равно 594.

Построение, предложенное Конверя и Гая, состоит в следующем (см. таблицу):

| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $x_n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| $y_n$ | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 |
| $z_n$ | 0 | 1 | 2 | 4 | 7 | 13 | 24 | 44 | 81 | 161 | 309 | 594 | 1161 |

В первой строке таблицы записаны 0 и натуральные числа; во второй строке — последовательность $(x_n)$, в которой всякое число $k > 0$ встречается равно $k$ раз; в третьей строке — последовательность $(y_n)$, полученная вычитанием второй строки из чисел первого строки $(y_n = n - x_n)$. Последовательность $(z_n)$ задается рекуррентно: $z_0 = 0$, $z_1 = 1$, $z_{n+1} = 2z_n - z_{n-1}$. (Например, чтобы вычислить $z_7$, надо взять $z_6 = 24$, умножить его на 2 и вычесть $z_3 = 4$, поскольку $y_6 = 3$.) Последовательность $(z_n)$ записана в последней строке таблицы. Упражнение 6. Докажите, что $x_n = (\sqrt{2n})$, где через $(x)$ обозначено ближайшее к $x$ целое число.

Конверя и Гая высказали гипотезу, что при любом $n > 0$ числа $a_0 = z_n - z_0$, $a_1 = z_n - z_1$, …, $a_{n-1} = z_n - z_{n-1}$ образуют системы разновесов, и проверили ее для всех $n \leq 40$. (При $n = 11$ получается следующее система разновесов: 594, 593, 592, 590, 587, 581, 570, 550, 510, 473, 285; как мы видим, наиболее число здесь равно 594.).

В 1974 году индиский математик Х. Гупта доказал справедливость гипотезы Конверя — Гая и тем самым получили оценку для числа $m(k)$: $m(k) \leq z_k$. Совсем недавно советский математик В. Д. Яковелев не назвисимо получил другой доказательство.

Очень интересно было для каждого $n$ найти пример системы разновесов из $n$ чисел, в котором самое большее число было бы показано, что процедура получения системы разновесов Конверя — Гая все-tаки не наилучшая.

36

Список читатель, приславших правильные решения

В этом номере мы публикуем фамилии тех, кто прислад правильные решения задач М661 — М675 и Ф678 — Ф691 [жирные цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задач].

Математика

Большинство читателей, приславших свои решения, успешно справились с задачими М661, М662, М663, М671, М672. Остальные задачи решили: Э. Абасов (Сумгант) 67; А. Абдулaeв (с. Карапапах Аз.ССР) 66, 67; В. Александров (Саратов) 66; М. Алексеев (Москва) 73; В. Арабидзе (Тбилиси) 73; М. Арасланов (Запорожье) 66, 75; С. Ассев (Николаев) 66, 68; Р. Ахмедов (с. Хосрех Даг. АССР) 73; Э. Ахмедов (Баку) 67; А. Ашурбеков (с. Пилич Даг. АССР) 67; Я. Базалий (Донецк) 66—69; В. Барабанов (Севастополь) 66; Ю. Баркадан (Пенза) 66; А. Белоус (Винница) 66; Ю. Беспалов (Шостка) 65, 66, 69, 73; И. Бинус (Пенза) 66; В. Будовский (Харьков) 66; В. Валев (Тула) 73; И. Васлененко (Целиноград) 67; В. Вермул (Душанбе) 67; И. Гайович (Киев) 66; Г. Гарезин (Ереван) 67; О. Гарифуллин (Пенза) 66; А. Гасанов (с. Б. Колатан Аз. ССР) 66, 69; В. Гешкенбейн (Москва) 65; Г. Головин (Славянск) 66, 69; В. Гольдфарб (Москва) 67; А. Гордиенко (Димитров) 66—68, 73; А. Гохбере (Донецк) 66—69, 73; А. Грижебовская (Ставрополь) 69; О. Гринив (Киев) 65, 66, 68, 73, 74; Н. Гришко (Киев) 65—69; Е. Гутман (Киев) 66—69; Д. Демин (Винница) 66, 67; О. Добровадных (Белорецк) 66; О. Дранко (Киев) 73, 74; А. Дубицак (Таураре) 64, 68, 73—75; М. Елисеев (п. Нововоронежский Воронежской обл.) 73; О. Емченко (Белорецк) 66; О. Ерошкин (Днепропетровск) 65—68, 73; И. Жуков (Ленинград) 65, 66, 73, 75; В. Зальцман (Хабаровск) 65; М. Заславский (Харьков) 66, 73; И. Зябрев (Кролевец) 66, 68, 69; В. Ивлев (Джезкаган) 68; И. Итенбере (Ленинград) 68, 73; А. Казмерук (Киев) 73, 74; Ю. Какулов (п. Цалка ГССР) 67, 69; Д. Калюжный (Одеcca) 66—69; Д. Камутавичус (Вильнос) 65, 73; А. Карпович (Киев) 68, 73; А. Кач (Ташкент) 67, 68, 73; В. Кварцанин (Кутанси) 67; А. Кернерман (Киев) 73; В. Кисль (Одеcca) 65, 66, 73, 74; С. Кодрян (Киев) 66—69; Г. Козлов (Апрелевка) 69; В. Козловский (д. Н. Двор Гродненской обл.) 66; С. Комков (Москва) 69; А. Корнилов (Ростов-на-Дону) 65, 68, 75; Д. Короткин (Ленинград) 65, 73, 74; Д. Корушков (Новосибирск) 73; И. Кудряшов (Ленинград) 66, 67; И. Ланджев (Бургас, НРБ) 67, 69; Л. Лейцин (Чернигов) 66, 69, 73, 74; М. Манцев (Ставрополь) 67; О. Марчинковский (Одеcca) 66; С. Махмедов (Баку) 66, 67; В. Михайлов (Опочка) 66; А. Михалева (Ветка) 73; Д. Мустафин (Ош) 66; А. Наймов (Харьков) 66; Ю. Николаевский (Харьков) 65, 67, 73; А. Никонов (Москва) 73; М. Овецкий (Донецк) 66—69, 73, 74; О. Одурцов (Ленинград) 66; Р. Оруджев (Баку) 66, 69; С. Палий (Одеcca) 67; Г. Перельман (Ленинград) 65, 66, 68, 69, 73—75; А. Попов (п. Нововоронежский Воронежской обл.) 67; В. Поярков (Николаев) 66; К. Пулятов (Ташкент) 67; С. Путинцев (Невиномысск) 66—69, 73—75; А. Разин (с. Нивицы Львовской обл.) 66; А. Родионов (Москва) 66, 73; Н. Розенайн (Киев) 66, 68; В. Романок (с. Куснище Вольнской обл.) 66; А. Савкин (Ленинград) 66, 67, 69; Р. Самборский (Терноволь) 73; А. Семенов (Саратов) 65; А. Сикса (Киев) 66—68, 73; С. Сирош (Котовск) 66, 67; Н. Смолин (п. Туровец Вологодской обл.) 66, 67; Т. Сокова (Белорецк) 74; А. Сохет (Харьков) 66, 67, 73; С. Стетанян (Баку) 66, 67; Н. Титаренко (Винница) 66; А. Топорова (Душанбе) 73; О. Третьяков (Омск) 66; Г. Трунов (Москва) 73; Е. Тюрин (Вильнос) 66, 67, 69; Р. Уериновский (Хмельницк) 66, 67, 69; Т. Утелов (Алма-Ата) 73; Н. Федин (Омск) 67, 69; В. Финогенов (Москва) 69, 73; Д. Фомин (Ленинград) 65—68, 73; В. Хенкин (Симферополь) 69; С. Хиршан (Киев) 66, 67; А. Хохлов (Москва) 66, 69, 73; С. Цветков (Ленинград) 66; П. Цветков (Подольск) 66, 67, 69, 74; Р. Цоуф (Прага, ЧССР) 73, 75; О. Чалых (Витебск) 66—69, 73; Н. Черникова (Ленинград) 67; Г. Чхендзе (Тбилиси) 73; В. Шабунин (п. Хохольский Воронежской обл.) 69; В. Шевчицин (Львовов) 65; А. Шзараев (Сибай) 68; Л. Эпремидзе (Тбилиси) 66, 67, 69; Ф. Эфрендцев (Баку) 66, 73, 74; С. Юровский (Мытши) 66; Ю. Юрьев (Никель) 66, 73.

Физика

Почти все читатели, приславшие свои решения, справились с задачими Ф678 и Ф683. Остальные задачи решили: И. Алексеев (Москва) 84, 85, 87—91; Э. Алиев (Баку) 86, 88, 91; З. Али-Заде (Баку) 89; Т. Аракелян (Ереван) 81; М. Араян (Ереван) 87; Д. Асмус (Челябинск) 81, 86, 88, 91; А. Астахов (Железнодорожный Московской обл.) 91; О. Ахремов (Вильнос) 81, 85, 87, 89; А. Бабаев (Баку) 81, 91; Э. Баддасарян (Баку) 91; Я. Базалий (Донецк) 80—82, 86—88, 90; Ю. Байкин (п. Актюбинский Тат. АССР) 82; Ю. Бабрышев (Воронленской обл.) 85; С. Бочко (Братск) 88; Б. Вейцман (Одеcca) 80—85, 87, 88—91; Ю. Воеводов (Гомель) 82; К. Гризоршин (Запорожье) 79—81, 86, 87, 89, 91; Д. Грицорьев (Москва) 81, 82, 85—87; И. Гуровин (Одеcca) 87, 91; М. Догадов (Арзамас) 81; И. Доценко (Москва) 84—87, 89—91; В. Евстратов (Ленинград) 81, 84, 87—90; С. Егоров (Ленинград) 79, 81, 84; М. Жаконис (Каунас) 88, 90; Т. Кадыев (Москва) 88, 99; Е. Касперский (Долгопрудный) 89; А. Колежук (Киев) 80, 81, 84, 88, 91; Л. Кудрявцев (Нефтекамск) 81; А. Кузнецов (с. Шурской Ярославской обл.) 88, 89; А. Кузьменко (Киев) 88, 89; А. Латинин (Киев) 80, 81, 88, 90; И. Ломako (Минск) 81;

(Окончание см. на с. 45)

37

Задания

1. В равенствах
   $$a:b=c, c+d=e, e-f=g,$$
   $$g \cdot h=10i+j$$
   расставьте вместе букв 10 цифр 0, 1, …, 9 так, чтобы получились верные равенства.

2. В коврике, сплетенном из разноцветных веревок (см. рисунок), есть веревочное колюцо, при разрезании которого коврик распадается на три части так, что две из этих частей составят из одинакового числа веревок, а третья — всего из одной веревки. Укажите это колюцо.

3. Доказите, что в любом выпуклом семиугольнике есть две диагонали, угол между которых меньше 13°.

4. Тогда предложил Ире разрезать «клетчатый» прямоугольник размером 8×9 (см. рисунок) по линяям сетки на прямоугольные полоски 1×6. Сможет ли Ира это сделать?

5. В первой строчке записаны три целых числа: $a, b, c$. Во второй строчке под ними записаны три разности: $a-b, b-c, c-a$. Числа в третьей строчке образованы из чисел второй строчки по тому же закону и т. д. Показите, что ни в одной из строчек ниже седьмой не может встретиться число 279.

Эти задания нам предложили
Ф. Бартенев, А. Калинин, А. Савин,
А. Швецов.

38

С. Тавридов

Пентамино
на плоскости
и в пространстве

Пентамино — это фигура, являющаяся многоугольником, составленным из пятин одинаковых квадратов*); полный сбор пентамино изображен на рисунке перед заглавием. Разумеется, во всех задачах, о которых поддет речь ниже, пентамино можно перевертывать.

Из пентамино получается прекрасные головоломки. Так, из двенадцати пентамино можно сложить прямоугольник $4 \times 15$, $5 \times 12$, $6 \times 10$,

*) Такие многоугольники, составленные не только из пятин, но и из одного, двух, трех, четырех, шести и т. д. квадратов, введ в математикой гровой обиход американский математик С. В. Голом б. Он предложил для них общее название — полимино. О них можно прочесть в его книге «Полимино» (М., «Мир», 1975). См. также «Квант», 1977, № 2, 3 с. обложки и 1979, № 11, с. 22.

причем последний — 2389 принципиально различными способами (два решения, получающейся одно из другого поворотом или отражением, считаются одинаковыми); конечно, эти 2389 решения помогла найти ЭВМ. А вот прямогольник $3 \times 20$ из двенадцати пентамино можно сложить только двумя различными способами; найдет их. А два прямогольника $5 \times 6$ можно сложить так, что получится либо прямогольник $5 \times 12$, либо $6 \times 10$ (проверьте!).

Объчную шахматную доску с четырьмя незакрытыми клетками также можно многогими способами составить из пентамино. Такая «неполная» доска выглядит довольно изящно (три варианта сборки показаны на рисунке 1).

А вот фигуру, изображенную на рисунке 2, нельзя сложить из пентамино: с краев она ограничена 22 квадратами, а если посчитать, сколько квадратов каждого пентамино может находиться на краю этой фигуры, то в сумме для всех пентамино получится 21. Нельзя из пентамино сложить и фигуры, изображенные на рисунке 3, однако краткого и изящного доказательства этого факта пока не найдено.

39

Представьте теперь, что пентамино можно изгибать по сторонам квадратов. Тогда, использя все пентамино, можно оклеить поверхность фигуры, изобразенной на рисунке 4. Разумеется, придется напрячь воображение, проявить изобретательность. Можно сначала построить развертку фигуры и заполнить ее пентамино. Но более удачным нам представляется следующий способ.

Посмотрим на рисунок 4. В поле нашего зреня находятся передние, верхние и правые квадратики поверхности нашей фигуры. Уберем эти квадратики и изобразим оставшуюся часть поверхности, то есть задние, нижние и левые квадратики (рис. 5). Теперь, обозначив каждое пентамино своим символом, запишем на каждых пяты квадратиках поверхности соответствующей данному пентамино символь.

Одно из возможных оклеивания фигуры рисунка 4 показано на рисунке 6.

«Гибким» пентамино можно оклеить большое число многогранников с поверхностью из 60 квадратиков. Попробуйте придумать такие многогранники. Как ни страно, средние них нет ни одного прямогоного параллелепипеда. Ждем ваших предложений — лучшие из них мы опубlikем.

Как только что было сказано, один параллелепипед нельзя всем пентамино. А вот два одинаковых параллелепипеда 1×3×3 (на поверхности каждого из них по 30 квадратиков) так оклеить можно. Можно оклеить и шесть параллелепипедов 1×1×2. Сделайте это! Попробуйте перечислять все возможные наборы параллелепипедов (не обязательно одинаковых), оклеиваемых комплектом пентамино. (Разумеется, число квадратов на поверхности каждого такого параллелепипеда должно быть кратно пяты.)

Наконец, оклейте набором пентамино два одинаковых «крестообразных» многогранника, изображенных на рисунке 7.

40

В. Рыжик

Геометрический подарок

Федя и Вася не мучились вопросом: «А что подарить друг другу на день рождения?» Каждый из них дарил другому приуманную им задачу или теорему — что-нибудь из математики. Близился Васин день рождения.

— А помнишь ли ты, — как бы невзначай спросил Федя у Васи, — как проводить перепределкур из точки на плоскость?

Вася стал водить карандашом по бумаге. Минут пятьводил, а потом вздохнул:

— Нет, не помню.
— Не ты один, — посочувствовал Федя.

(Попробуй и ты, читатель, быстро и правильно сделать это построение.)

— Ну, тогда посмотри, что я приумал, — продолжал Федя. — Берем плоскость α и точку A вне ее. На плоскости α проводим прямую a — любую. Из точки A проводим перепределкур AB к прямой a. В плоскости α проводим прямую BC, перепределкурую прямой a. Из точки A проводим перепределкур AD на прямую BC (см. рисунок). Все.

— Что «все»? — удивился Вася.
— Вообще все. Перепределкур из точки A на плоскость α построен.
— А dokазательство? — спросил Вася.
— Пожалуйста. Проведем через точку D любую прямую, пересекающий прямую a; точку пересечения назовем K. Проведем еще отрезок AK. Из прямогольных треугольников ADB и ABK получаем

$$|AK|^2 = |AB|^2 + |BK|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 + |BK|^2.$$

Из прямогольного треугольника KBD —

$$|BD|^2 + |BK|^2 = |KD|^2.$$

Значит, $$|AK|^2 = |AD|^2 + |KD|^2.$$ Но тогда угол D в треугольнике ADK — прямой, то есть (AD) ⊥ (DK). Прямая AD перепределкур двамметricalя прямым в плоскости α. — BC и KD; по признаку перепределкурности прямой и плоскости она перепределкурна плоскости α. Ну, как?

— Мне нравится, — сказал Вася. — Главное, я его уже запомил, это построение. Один перепределкур, второй и третьий. — Он помахал в воздухе пальцем, изобразая перепределкуры.

— И dokазательство ясное, — продолжал он. — Из трех прямогольных треугольников можно вывести, что и четвертый треугольник — тоже прямогольный.

— Ты прав, — подтвердил Федя. — Между прочим, из этих же треугольников можно устотреть доказательство теоремы о трех перепределкурах. Вот тебе конверт: в нем записано и построение, и dokазательство.

Тут его голос приял слегка торжественный оттенок.

— Этот конверт — мой подарок к творему дня рождения. Между прочим, там есть еще над чем подумать.

Через несколько дней Вася пришел к Феде.

42

В. Белонуккин

Диаграмма состояния

Как известно, любое вещество в зависимости от внешних условий может находиться в твердом, жидком или газообразном состоянии.

Если давление мало, а температура велика, вещество обычно существует в виде газа. При низкой температуре и высоком давлении все вещества превращаются в твердые тела. При каких-то промежуточных значениях параметров существует жидкость. Схематически это изображено на рисунке 1. Осталось проверить границы между областями различных состояний — и мы получим так называемую диаграмму состояния вещества в $p - T$ координатах. Припомним несколько известных фактов, которые помогут нам в этом деле.

1. Давление насыщенных паров растет с ростом температуры; соответственно, температура кипения повышается с ростом давления. Значит, граница жидкость — газ (Ж — Г) идет следва — снизу вправо—наверх.

2. Температура плавления слабости от давления — граница твердое состояние — жидкость (Т — Ж) идет почти вертикально.

3. Существует особая точка — критическая ($T_{кр}, p_{кр}$). При приближении к ней по границе Ж — Г свойства жидкости и газа (в первую очередь — плотности) отличаются все меньше и меньше; в критической точке отличия исчезают. граница Ж — Г в этой точке кончается.

4. Для всех веществ (исключение — гелий) имеется точка — такая совокупность параметров ($T_{тр}, p_{тр}$), при которой существует все три фазы (жидкая, твердая и газообразная). Если $T < T_{тр}, p < p_{тр}$, то жидкое состояние невозможно, возможно только твердое и газообразное состояние. Следовательно, существует граница твердое состояние — газ ($T - \Gamma$). А так как при низких температурах, далеко от критической ($T \ll T_{кр}$), размещение между жидким и твердым состоянием города меньше, чем между ним и газом, поведение границы Т — Г похоже на поведение границы Ж — Г.

Итак, вид диаграммы состояния должна быть примерно таким, как на

43

рисунке 2. Обратите внимание: граница T — Ж проведена в трех вариантах. Общий вариант — 1 — температура плавления растет с ростом давления. Но для некоторых веществ, например, высута, отдельных сортов чугунна, $T_{пл}$ с ростом давления падает — вариант 2. Для воды $T_{пл}$ падает до давления порядка $2 \cdot 10^8$ Па (2000 атм), а затем начнет растет — вариант 3.

Качественный зависимости температуры фазового перехода (так называют переход вещества из одного состояния — твердого, жидкого или газообразного — в другое) от давления можно получить, опираясь на один из наиболее общих законов природы — принцип Ле Шателье — Брауна*). Несколько упрощенно его можно формулировать следующим образом:

Всякое внешнее воздействие вызвадает в системе изменения, уменьшающее эффектив этого воздействия.

Так, если насыщенные пары находятся в равновесии с жидкостью, при уменьшении объема, занимаемого системой, давление паров начинает повышаться. Плотность жидкости больше плотности паров. Если паров сконденсируется, плотность, а значит, и давление осталосься паров, уменьшится. Эффект внешнего воздействия частично (а если температура поддерживает постоянной, то и полностью) компенсируется. Следовательно, немедленно начинается этот компенсирующий процесс — конденсация паров. Чтобы воспрепятствовать конденсции, то есть чтобы все-tаки повышить давление паров, оченьindo, надо повышить температур системы. Таким образом, опираясь (кроме принципи Ле Шателье — Брауна) только на тот факт, что плотность жидкости больше плотности пара, мы пришли к выводу, что более высокому давлению насыщенных паров отвечает более высокая температура.

Чаще всего нас интересует переход жидкости — газ; им мы в основном и будем заниматься.

Обсуждение некоторых постоянныхповедения насыщенного пара. Заметим, в частности, что плотность и давление (иногда несколько старомодно насыщаемое управство) насыщенных паров не связаны прямой пропорциональнойностью.

Зад а.ч a 1. Приготовление пиццы в кастрюле-скороварке идет при температуре $t_1 = 120^\circ C$. При такой температуре давление насыщенных водяных паров $p_1 = 2$ атм. Во сколько раз плотность пара при этом выше, чем

*) Текст, набранный мелким шрифтом, затемно выходит за рамки школьного курса.

над поверхностью кипящей воды в открытохой кастрюле?

В открытохой кастрюле вода кипит под давлением $p_0 = 1$ атм при температуре $t_0 = 100^\circ C$. Из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV = \frac{m}{\mu}RT$ получим выражение для плотности:

$$\varrho = \frac{m}{V} = \frac{\mu p}{RT}.$$

Для отношения плотностей имеем

$$\frac{\varrho_1}{\varrho_0} = \frac{p_1}{p_0} \cdot \frac{T_0}{T_1} = \frac{2 \cdot 373}{1 \cdot 393} \approx 1,9.$$

Результат понятен: давление должно поднять в 2 раза, но немного выросла температура, значит (это ясно и из формулы $p = nkT$) плотность увеличилась меньше, чем вдвое.

Диаграмму состояния мы строили для случая, когда система состоит только из того вещества, состояние которого мы анализируем. Как влияет на состояние наличие построенных веществ? Чтоы разобраться в этом, решим следующее задачу.

Задача 2. В сосуд обмена $V = 22,4$ литра при нормальном давлении воздуха и температуре $t_0 = 0^\circ C$ налили 18 г воды. Затем сосуд закрыли герметичной крышкой и нарели до температуры $t_1 = 100^\circ C$. Определить давление в сосуде.

К сожалению, нередко можно услышать от школьников два разных, но одинаково неправильных ответа.

1. В сосуд давление воздуха $p_0 = 1$ атм, да при нагревании до температуры $T_1$ оно возвращает до величины $p_1 = p_0 \frac{T_1}{T_0} = 1 \cdot \frac{373}{273} \approx 1,3$ атм. Это больше давления насыщенных паров воды при $100^\circ C$; значит, вода испаряется не будет, и общее давление в сосуде будет равно $p = p_1 = 1,3$ атм.

2. $100^\circ C$ — температура кипения воды. Значит, все вода в сосуде испарится; давление образовавшегося пара (в количестве 1 molь — ведь воды было 18 г) нетрудно расчитать (при $T_0 = 273$ К 1 molь в объеме 22,4 л создает давление $p_0 = 1$ атм, а при $T_1 = 373$ К давление пара будет $p_{п1} \approx 1,3$ атм); давление воздуха в сосуде возрастет при нагревании до $p_{в1} \approx 1,3$ атм; общее давление становится равным $p_1 = p_{п1} + p_{в1} \approx 2,6$ атм.

44

Авторы первого ответа забывают, что жидкость должна находиться в равновесии со свойм паром; это означает, что при $t_1 = 100^\circ\text{C}$ вода будет испариться, пока давление ее паров не достигнет 1 атм.

Неправилен, понятно, и второй ответ, так как давление паров воды при $100^\circ\text{C}$ не может поднять выше 1 атм.

Итак, в сосуде давление воздуха будет $p_{\text{в1}} \approx 1,3$ атм, давление водыных паров — $p_{\text{п1}} = 1$ атм (мы убедились, что масса воды достаточно для создания такого давления), и суммарное давление в сосуде будет всего $p_1 = p_{\text{п1}} + p_{\text{в1}} = 2,3$ атм.

Кстати, кипеть вода при этом не будет. Ведь кипение — это процесс парообразования не только на поверхности жидкости, но и во всем ее объeme. Если температура такая, что соответствующее ей давление насыщенных паров равно суммарному внешнему давлению, то образуются внутренки жидкости пузырьки пара не схлопываются внешним давлением; дальнейшее испарение внутренки пузырьков увеличивает их объем, пузырьки всплывают, на поверхности лопаются — жидкость кипит.

Подчеркием еще раз: испарение происходит всегда, когда давление паров над поверхностью жидкости меняше давления насыщенных паров при данной температуре; кипение происходит лишь в том случае, когда суммарное давление (и внутренки жидкости) не превыходит давления насыщенных паров при данной температуре.

Между прочитам, на Земле полно воды; а относительная влажность, равная 100%, то есть насыщение воздуха парами воды, встречается редко. Почему при избытке воды не вся атмосфера насыщена водяными парами? Может быть, достаточно количество воды просто не успело испариться? Давайте оценим скорость испарения воды.

Задча 3.*) Оцените количество

*) Аналогичная задача есть в сборнике «Задачи по физике» И. Слободцкого и Л. Аслама зова, выведем в серии «Библиотека «Квант» (задча № 75).

Задачи, которые используют в стате, — из перертура применных экзаменов в МФТИ.

ство воды, испарющая при комнатной температуре с единицей поверхности в открытом стакане (а также в реке, в ручейке, в океане). Давление насыщенных паров воды при температуре $T = 300\text{K}$ равно $p_{\text{н}} = 3,5\text{кПа}$.

Когда вода находится в равновесии со свойм насыщенным паром, то она, строго говоря, испаряется. Более того, скорость испарения не зависит от того, есть ли над поверхностью воды пар. Она определяется только тем, какое количество молекул воды имеет скорость, достичьную, чтобы покинут жидкость (и подхождение направление скорости). Просто точно такое же количество молекул пара попадает в жидкость — скорость испарения равна скорости конденсации, существует диамическое равновесие. А подсчитать количество конденсирующегося пара не так уж трудно.

Число молекул пара, попадающих за единицу времени (1 с) на единичную площадку (1 м²) поверхности воды, равно

$$z = \frac{n |v_x|}{2} \approx \frac{p_{\text{н}}}{2kT} \sqrt{\frac{RT}{M}} \left( \frac{1}{M^2c} \right)$$

(так как расчет приближенный, мы не учитываем различия между средним по модулю значением $v_x(|v_x|)$ и средним квадратическим значением $v_x(\sqrt{v_x^2})$). Масса же пара, конденсирующегося на единице площади поверхности за единицу времени, равна, очевидно,

$$m = z \frac{M}{N_{\text{A}}} = \frac{p_{\text{н}}}{2} \sqrt{\frac{M}{RT}} \left( \frac{\kappa r}{M^2c} \right)$$

($N_{\text{A}}$ — число Авогадро).

Как мы договорились, такая масса воды испаряется независимо от влажности воздуха, то есть независимо от содержания воды паров в воздухе (что характеризуется значением $n$). Если восполнение испарющей воды не происходит ( влажность очень маленькая), то именно такое количество воды испарится, уйдет с единицей поверхности за секунд. Расчитаем понжение уровня воды за секунд:

$$h = \frac{p_{\text{н}}}{2Q} \sqrt{\frac{M}{RT}} = \frac{3,5 \cdot 10^3}{2 \cdot 10^3} \sqrt{\frac{18 \cdot 10^{-3}}{8,3 \cdot 300}} \approx 4,7 \cdot 10^{-3} \text{ м/c} = 4,7 \text{ мм/c}$$