Квант 1982, №1 · Страницы

КВАНТ
1
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

2

Красные шарики из резервирая вверху скатываясь вниз образуют кривую, которая называется нормальной или гауссовой (ее уравнение $y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2}$). Эта кривая характеризует распределение мужчин и женщин по росту, горошин по размеру, новорожденных по весу, частц газа по скоростям движения и множество других явлений и свойств физического и биологического мира.

В НОМЕРЕ:
С Новым годом! 3
А. Миедал. Судьба нейтронных звезд 4
Н. Васильев, А. Зелевинский. Многочлены
Чебышева и рекуррентные соотношения 12

Лаборатория «Кванта»
А. Шмелев. Новогодный физический
фейерверк 20

Задачик «Кванта»
Задачи M721 — M725; Ф733 — Ф737 23
Решения задач M681 — M685;
Ф692 — Ф697 25

«Квант» для младших школьников
Задачи 35
А. Савин. Камушки и шахматная доска 36

Практикум абитуриента
В. Тугушев. Электрические цепи
с нейнейными элементами 40

Вариants вступительных экзаменов
вузы в 1981 году
Московский физico-технический институт 46
Московский электrotechnический институт
связи 48

Искусство программирования
Заочная школа программирования.
Урок 17 49

Информация
Новый прием во Всесоюзную заочную
математическую шкалу 53
Новый прием на Малый механизм 54
Заочная физico-техническая школа 56

Рецензии, библиография
А. Зайдель. Что умеет микрокалькулятор 58

Ответы, указания, решения 59
Смесь (39, 45, 48)

Шахматная страница
Играют компьютеры (3 с. обложки)

IN THIS ISSUE:
Happy New Year! 3
A. Migdal. The fate of neutron stars 4
N. Vasiliev, A. Zelevinski. Chebysheff
polynomials and recurrent formulas 12

Kvant’s lab
A. Shmelev. New Year’s physics fireworks 20

Kvant’s problems
Problems M721 — M725; P733 — P737 23
Solutions M681 — M685; P692 — P697 25

Kvant for younger school-children
Problems 35
A. Savin. Rocks and chessboards 36

College applicant’s section
V. Tugushev. Electric circuits with
non-linear elements 40

College entrance exams in 1981
Moscow physico-technical institute 46
Moscow electrotechnical
communications institute 48

The art of programming
Computer programming correspondance
school. Lesson 17 49

Information
All-union math. correspondance school
(entrance requirements) 53
Maly Mechmat (entrance requirements) 54
Phys.-tech. correspondence school 56

Book reviews
A. Zaidel. What can microcalculators do? 58

Answers, hints, solutions 59
Miscellaneous (39, 45, 48)

The chess page
Computers play (3rd cover page)

На первой странице обложки мы публикуем
фотографию модели, конструкированной десятиклассиком
из e. Чебоксары Димой Гороховским по эпиюре,
которая была приведена на четвертой странице обложки
двенадчатого номера «Кванта» за 1979 год.

© Издательство «Наука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1982

2

УКАЗ ПРЕЗИДИУМА ВЕРХОВНОГО СОВЕТА СССР

О награждении Генерального секретаря ЦК КПСС,
Председателя Председума Верховного Совета СССР,
Маршала Советского Союза
товарища Брежнева Леонида Ильича
орденом Ленина и медалью «Золотая Звезда»
Героя Советского Союза

За выдающейся заслуги перед Коммунистической партии и Советским государством вделе укрепления экономического и оборонного могущества Советского Союза, большой личный вклад в достижение победы над немецко-фашистскими захватчиками в годы Великой Отечественной войны, восстановление и дальнейшее развитие народного хозяйства СССР в последовательный период, неутомимую деятельности в борьбе за мир, за плодотворное руководство коммунистическим строительством и в связи с semiидентипативием со дня рождения наградить Генерального секретаря ЦК КПСС, Председателя Председума Верховного Совета СССР, Маршала Советского Союза товарища Брежнева Леонида Ильича орденом Ленина и медалью «Золотая Звезда»
Героя Советского Союза.

Первый заместитель Председателя Председума Верховного Совета СССР
В. КУЗНЕЦОВ.

Секретарь Председума Верховного Совета СССР
М. ГЕОРГАДЗЕ.

Москва, Кремль. 18 декабря 1981 г.

3

С Новым годом!

Наступил новый 1982 год, второй год одинадцатой пятилетки. Большие надежды связаны с ним советский народ. Предстоит огромная работа по совершенствованию всех звеньев нашего народного хозяйства и переводу его на путь весторонней интенсивизации. Необходимо расширить и углублять научно-техническую революцию, эффективно использовать ее величайшие достижения. Наука теперь является главным источником разнообразных перемен в промышленности и строительстве, на транспорте, в технике связи и сельском хозяйстве. Недаром в отчетном докладе XXVI съезду КПСС Генеральный секретарь ЦК КПСС Л. И. Брежнев сказал такие слова: «Партия коммунистов исходит из того, что строительство нового общества без научки просто немыслимо».
В нашей стране уделяется огромное внимание успешного научки и подготовке научных кадров. «Квант» стремится ввести вклад в решение этой важной государственной задачи — помощь восприятия пользовше талантливых молодых исследователей.
В целом облик нашего журнала остается и в этом году прежним. Тем не менее некоторые его разделы будут выглядеть несколько поиному.
В 1982 году вы найдете в «Кванте» больше статей по различным разделам современной физики и математики, которые обычно открываются каждый номер журнала. Большое будет опубликовано и статьей по истории научки. Мы намерены расскажать читателям о выдающихся русских ученых М. В. Острогадском, А. М. Ляпунове и К. Э. Циолковском, а также о Гаспаре Монже, Данииле Бернулли и Симеоне Дени Пуассоне.
По иному будет выглядеть раздел «Варианты вступительных экзаменов вузы в 1981 году». Прежде всего, в нем будет значительное больше возраста, чем в previous года. В каждом из номеров первого полугодия вы увидите варианты вступительных экзаменов вузы разного профили — университеты, педагогические институты, технические вызывы. Идя навстречу многочисленным пожеланиям наших читателей, мы расскажем также об экзаменах в экономическе, пищевые, текстильные и некоторых другие вызывы, где физика и математика не является основными учебными дисциплинами.
Три года журнал «Квант» вел раздел «Искусство программирования», в котором, главным образом, помещались материалы школьных программств, организационной новосибирским учеными. Она нашла свои энтузиastsов в самых отдельных уголках нашей страны и зарубежом. Последние уроки этой школы будут опубликованы в первом полугодии нынешнего года. Затем с сентября журнал начинает публикацию материалов новой одногодичной школе юных программств.
В № 11 за 1981 год была опубликована небольшая анкета, адресованная читателем. Мы получили много интересных ответов. Благодарим наших читателей и надеемся, что они будут обращаться к нам со своим предложениями и пожеланиями, сообщать об интересующих их проблемах научки, присылать свои вопросы и задачи, активно участвовать в наших конкурсах.
Желаем вам больших успехов в учебе и жизни, наши дорогие читатели!

Эта статья посвящена последним достижением в бурно развивающейся области современной науки — астрофизике.
Автор — известный советский физик-теоретик академик А. Б. Мигdal — выводит читателя на самый передний край исследований, на границу между известным и неизвестным, показывает, как много интересных и важных проблем еще ждут своего решения.

А. Мигdal

Судьба нейтронных звезд

Незнание природы — величайшая неблагодарность
Планный Стараний

Я попыталось расскаазать о сверхмощных взрывах звезд и о том, как возникают звезды, состояние из нейтронов. Теория предсказывает, что в таких звездах может произойти еще не обнаруженный на опите вид ядерных превращений — образование ядерного вещества с плотностью намного большей, чем плотность atomных ядер (а плотность atomных ядер — порядка $10^{14}$ г/cm$^3$).

Для того чтобы разобраться в этих явлениях, нам придется обращаться ко многим областям физики. Здесь астрономия и теория тяготения переплетаются с физкой элементарных частиц и ядерной физкой. Нам понадобится узнать, что такое «вакуум» и как изменяется свойства пространства больших физических тел.

Можно ли об этом расскаазать в одной статье так, чтобы читатель все было понятно? Автор не ставил перед собой такой задачи. Главная цель статьи — показать, хотя отчасти, ту внутреннюю красоту Вселенной, которая проявляется в богатстве связи между разнородными явлениями.

Предвижу, что не все будет понятно, но считано, что беды в этом нет. Ведь слово «попимать» имеет много значений — от полной ясности до смутного ощушения. Запаситесь терпением и читайте далее; самоое интересное — в конце.

5

Ярче Sta миллиардов солнц

Уже в древности астрономы заметили, что время от времени внесало вспыхивают новые сверхъяркие звезды. Такая вспышка была, например, отмечана китайским астрономами в 1054 году в Крабовидной туманности, входящей в состав нашей Галактики. Сейчас «вспышки сверхновых» хорошо изучены и обнаружены не только в нашей Галактике, но и в других звездных скоплениях. За несколько месяцев сверхновая испускает столько же света, сколько целяя галактика, в которой входятдесятки или сотни миллиардов солнц. По интенсивности и длительности излучения можно было установить, что полная энергия, выделяющаяся при вспышке сверхновой, составляет $10^{43} \div 10^{45}$ Дж. Между тем тепловая энергия звезды в тысячу раз меньше. Значительно меньше и энергия, которая могла бы выделиться при химических превращениях. Откуда же береется громадная энергия сверхновой? Этот вопрос долго оставался без ответа. Надежды объявить вспышки сверхновых появились только после открытия ядерных реакций, освобождающих энергию в миллионы раз больше, чем химические превращения.

Итак, источником энергии сверхновой могли бы быть ядерные реакции, протекающие внутри звезды. Существует, впрочем, еще более мощный источник — это gravитационная энергия звезды. Однако освобождение эту энергию можно только с помощью ядерных превращений. Если в ходе ядерных реакций плотность центральной части звезды увеличится, то под действием сил тяготения вещество нарушных области начинает падать к центру, приобрета к интечесу энергию. Иными словами, потенциальная энергия тяготения превращается в интечесу энергию звездного вещества.

Плотность звезды определяется равновесием между силой тяжестии и силой давления вещества звезды. Для того чтобы звезда сжалась, давление должно уменьшаться. Очень сильное уменьшение давления могло бы произойти при образо-вании нейтронного вещества, когда протоны и электроны превращаются в нейтроны. Попробуем в этом разобраться.

Давление пропорционально кинетической энергии частиц, из которых состоит вещество. При понженении температуры падает кинетическая энергия частиц, и поэтому падает давление. Однако даже при абсолитном нуле температуры кинетическая энергия частиц не равна нулю. Дело в том, что нейтроны, протоны и электроны имеют замещательное свойство — две одинаковые частицы не могут находиться в одном и том же состоянии («запрет Паули»). По этой причине даже при абсолитном нуле температуры частицы не покояться и обладают различными скоростями — как говорят, разбросаны по скоростям. При этом наиболее кинетическая энергию имеет легкие частицы. Таким образом, главный вклад в давление в звезде носит электроны, масса которых приблизительно в две тысячи раз меньше массы протона или нейтрона. Не удивительно, что сила тяжестии скимает нейтронное вещество до городадо большей плотности, чем объечение вещество, состоящее из atomных ядер и электронов, — ведь при этом легкие частицы заменяются тяжелыми и давление резко падает.

Позмоту, если бы в результате ядерных превращений звезда могла превращаться в нейтронную, то это привело бы к резком сжатющему звезды, и за короткое время освобождалась бы громадная энергия, доставочная для объсянения сверхшкровой. При таком внешнем скатании звезды должны возникать мощные упругие волны, идущие от центра. Под их действием нарушная часть звезды срабатывает, превращается в горячий газ, который разлегается с громадной скоростью. Свечение этого газа и объясняло бы длительное вспышк сверхновых.

Итак, вспышки сверхновых перестали казаться загадочным явлением — появились надежды объязывать их как следствие скатания звезды в ходе ядерных превращений.

8

звезд. Оказалось, что в некоторых случаях перiod пульсара внесло уменьшения. Это явление было назван «сбоем». Уменьшение периода естественного объяснить звездотрясением. Если при звездотрясении звезда внесло сделается менее сплошной, то ее момент инерции уменьшится; тем самым уменьшится и период врашения.

Из определения момента инерции (мы приведели его на с. 6) следует, что если при звездотрясении звезда становится менее сплошной, момент инерции ее уменьшается. Поскольку величины $I/\omega$ остаются постоянной (ведь звездотрясение происходит в результате внутренних «потрясений», без участия внешних сил), уменьшение момента инерции приводит к увеличению угловой скорости врашения звезды. Значит, период врашения уменьшается.

Однако после начала сбоя, когда звездотрясение уже окончилось, период продолжает уменьшаться еще долго времени. В одном случае это время — несколько суток, в другом — несколько лет. Объяснить столдительное изменение периода можно, лишь предположив, что после того как нарушая часть звезды, состояние из обычного вещества, ускорила свое движение, нейтронная сердцевина продолжает врашаться с прежней скоростью, и лишь за дительное время скорости сравнивается. Но это означает, что нейтронная сердцевина находится в сверхтекучем состоянии! Ведь при обычном трении скорости выравнились бы за несколько секунд.

Связано ли образование нейтронных звезд со всышками сверхновых, как это предполагали Бааде и Цвики?

Некоторые пульсары расположены там, где вспыхивали сверхновые — например, пульсар в Крабовидной туманности. Но в большинсте случае такой связи нет.

Это означает, что иногда нейтронные звезды рождения без образования сверхновых; и наоборот, неktорные вспышки возникают в результате ядерных реакций, не приводящих к образованию нейтронной звезды с пульсирующим радионзеленем, или, быть может, появляются после взрыва нейтронной звезды. Но об этом печь поняет дальнейшее.

Теперь мы можем приступить к главной теме нашего рассказа — судьбе нейтронной звезды, масса которой растет. Масса звезды может увеличиваться от padения на нее небесных тел и за счет приока вещества от соседних звезд меншей массы. Рост массы приводит к увеличению плотности в центре звезды.

Как мы видим, при достаточно большой плотности нейтронная жидкость скачком переходит в новое сверхплотное состояние. При этом выделяется громадная энергия, и звезда взрывается. Причина этого перехода — неустойчивость вакуума в сильных полях. Эти непонятные пока слова имеют очень простой смысл.

Нустойчивость вакуума и пюнная конденсация

Что такое вакуум? Не есть ли это просто пустота — пространство, в котором движется нейтроны, протоны, электроны, кванты?

Оказалось, что это не так. Вакуум, то есть нашей физической пространство, — не просто геометрической объекта, а сложная физическая система, обладающая интереснейшим свойствами.

Прежде всего, частицы своим присутствием изменяют окружающее их пространство. Вокруг заряженной частицы появляется электрическое поле, которое нужно помнить как некое состояние вакуума. В таком измененном вакууме появляется сила, действующая на другие заряженные частицы.

Вокруг тяжелых тел изменяются даже геометрические свойства. Так, в близи Солнца геометрия вакуума хотя и мало, но отличается от ενклидовой. Отношение длинокружности к радиусу не равно 2π, как насчитывает школе.

Переменное электрическое поле, создаваемое в вакууме антиенной радиопередатчика, вызывает переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, приводит к появлению переменного электрического поля уже в более широкой области пространства. Таков механизм распространения в вакууме электромагнитных

10

с работы автора этой статьи и продолжается до сих пор во многих научных центрах.

Как связана понная конденсация с интересующей нас судьбой нейтронных звезд?

Пионная конденсация в нейтронной жидкости

Когда плотность в центре нейтронной звезды достигает критического значения $Q_k$, соответствующего пионной конденсации, должен наступить dramатическая поворот в судьбе звезды. Сначала в центре звезды возникает зародыш нового сверхплотного состояния нейтронного вещества. Такое состояние оказывается неустойчивым — по мере увеличения радиуса зародыша освобождается энергия тяготения. В равновесном состоянии значительная часть звезды должна стать сверхплотной. Поэтому сверхплотный зародыш начинает расти — вещество нарушных частей звезды с большой скоростью устремляется к границе зародыша. К тому времени, когда радиус сверхплотной сердцевины достигает величины, соответствующий равновесному состоянию, вещество нарушных областей продолжает по инерции движется, и радиус сердцевины просакивает свое равновесное значение. Поскольку равновесие нарушено, начинается обратное движение. Таким образом, радиус сверхплотного зародыша сначала резко возрастает, а затем коллебляется около значения, сравнимого с радиусом нейтронной звезды. Процесс образования сверхплотной звезды занимает тысячи доли секунды. При этом переходы энергия, в несколько раз больше той, которая освобождается при обращении нейтронной звезды. Можно ожидать, что под действием упругих волн, возникших при коллебании радиуса сверхплотной сердцевины, нарушная часть звезды выбрасывается в сильно нагретом состоянии, и картина взрыва напоминает вспышку сверхновой.

Таким образом, помимо вспышек, вызванных ядерными реакциями и предшествующих образований нейтронной звезды, возникновы нечетронной звезды, возникновы вспышки другой природы, возниккающее в результате пионной конденсации и последующого взрыва нейтронной звезды.

К каким последствиям может привести взрыв нейтронной звезды?

Черные дыры

Если заключение о взрыве нейтронной звезды, вызванном пионной конденсацией, будет убедительно доказано теоретически или подтвердится наблюдениями, это будет означать, что нейтронные звезды не могут иметь плотность, превышающего критического значения $Q_k$ (как показывает расчет, $Q_k$ имеет тот же порядок, что и ядерная плотность). Между тем, прициппальная важность, существуют ли звезды с плотностью, значительной превышающего ядерную.

Согласно общей теории относительной при массе звезды, превышающего 2—3 массы Солнца, возникнет гранитционная неустойчивость — звезда начинает скимататься, и, после того как радиус сделается меньше некоторого критического значения (гранитционный радиус), никакие силы отталкивания не смогут удержать материал от падения к центру — скимающее давление силыжести превышает растяживающее давление частище вещества. Это явление называют коллапсом звезды. Оно заканчивается образованным нового объекта — черной дыры. Черная дыра проявляет себя практическим только как источник гранитционного поля. Тело, попадающее в поле черной дыры, падает к центру дыры и перестает быть видимым. Какую бы энергию ни имела частница, она не может вырвать из черной дыры — ведь с увеличением энергии частцы, согласно Эйнштейну, увеличивается ее масса, а следо-

11

вательно, и притяжение к черной дыре. Из черной дыры не только нельзя отправить космический корабль, но даже нельзя подать световой сигнал. В двойных звездах материя легкой звезды перетекает к более тяжелой. Анализ излучения перетекающего вещества позволяет в несколько случаях заполнить, что тяжелый партнер — черная дыра.

Но если бы оказалось, что нейтронные звезды в результате взрыва, вызванного пionной конденсцией, разбрасывают материю уже при ядерных плотностях, то черные дыры не могут быть образоваться.

Другое явление, вызывающее интерес к сверхплотной материи, состоит в том, что при достаточно большой плотности нейтронное вещество может перейти в новое состояние — кварковую материю.

Еще один переход

За последние годы физики пришли к заключению, что все сильно взаимодействующие элементы частицы — такие частицы называют ароднами — состоит из нескольких типов кварков — частиц с дробным электрическим зарядом, равным —1/3 или +2/3 от заряда электрона. Нейтрон и протон (а они — ародны) состоит из трех кварков, а пи-мезон — из кварка и антикварка. Кварки, по-видимому, не существует как свободные частицы. До сих пор все попытки обнаружить отдельный кварк давали отрицательный результат. Но заго на малых расстояниях между ними их свойства настолько хорошо изучены, что сейчас у большшинства физков нет сомнения в реализации этих частиц. Из анализа опытов по рассеянию ароднов друг на друге удалось установить, что при слияении кварков взаимодействие между ними уменьшается. Это явление было назван асимптотической свободной.

Известны частицы, которые существуют длительное время в связином состоянии, но на свободе живут недолго. Самый простой пример — это нейтрон, который в действие неограниченно должно, а в свободном состоянии распадается за десять минут. Причина «невылетания» кварков друга. Когда расстояние между кварками делается больше радиуса ародна, притяжение между ними резко возрастает, так что они не могут удалиться друг от друга на большое расстояние, какую они ни получили при столкновении.

Когда стalkиваются два энергичных ародна, содержащиеся в них кварки не вылетают, а превращаются в другие нуклоны или пи-мезоны.

Для наглядности можно себе представить, что ародон — это нечто вроде мешка, в котором кварки дивигают свободно, но за пределы которого они не могут удалиться. Если с близить два нуклона на расстояние, меньше размера мешка, то получится один общий мешка, в котором будет уже шесть кварков. При большей плотности нейтронного вещества, когда расстояния между нейтронами сравним с радиусом мешка, нейтроны распадаются на свои составные части — нейтронная материя превращается в кварковую. Как показывают расчеты, звезда делается кварковой, когда ее плотность в 10—20 раз превышает ядерную. При этом переходы энергия, и может произойти еще один взрыв звезды.

Осуществляется ли в природе кварковое состояние звезды? Или нейтронная материя уже при ядерной плотности взрывается и разбрасывается? Возможно ли, не смотря на это, образование черных дыр? Уже тот факт, что мы можем ставить такие вопросы, показывает, как далеко мы продвинуты в понимании структуры нейтронных звезд.

У каждой из нас есть свое общение красоты. Удалось ли мне добавить новые краски к вашей картине мира, читатель?

12

Многочлены Чебышева и рекуррентные соотношения

Широко распростраен взгляд на математика как на человека, беспрерывно занимающется сложнейшим арифметическими вычислениями (в более утонченном варианте — выписывающего и преобразующего длины и сложные формулы). Читательям «Кванта» хорошо известно, что бывают красивая и важная математica «без формул», одноколая истинь в таком взгляде все же есть. Умение взглянуть на формулы с необходимой точки зрения, преобразовывать их, открывать новые, находить связи между ними — важная часть работы математica. В этой статье мы рассмотрим какад любопытных формул, связанных со значением последовательности «многочленов Чебышева» (некоютые из этих формул предлагалось доказать в задаче М488 — «Квант», 1978, № 2), а также общее математическое идеи, которые стоит за ними.

Введение. Две замечательные последовательности многочленов

Многочлены, о которых будет идти речь, встречаются во многих задачах анализа, вычислительной математики, алгебры. Они появились в 1854 году, в работе русского математика Пафнутья Львовича Чебышева в связи с таким вопросом.

Рассмотрим всевозможные многочлены данной степени $n$ со старшим коэффициентом 1; какой из них наименее уklоняется от нуля на отрезке $[-1; 1]$, то есть для каждого многочлена $F_n(x) = x^n + \dots$ величины

$$c_n = \max_{[-1; 1]} |F_n(x)|$$

наименшая?

Оказывается, это $\bar{T}_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} T_n(x)$ — многочлен из левой колонки таблицы 1, деленный на старший коэффициент. Например, среди квадратных трехчленов — это $x^2 - \frac{1}{2}$ (его отклонение от нуля $c_2$ равно $\frac{1}{2}$, а у любого другого квадратного трехчлена $x^2 + px + q$ оно больше); среди кубических многочленов — это $x^3 - \frac{3}{4} x$ (для него $c_3 = \frac{1}{4}$); и вообще отклонение от нуля $c_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ многочлена $\bar{T}_n(x)$ меньше, чем у любого другого многочлена $F_n(x) = x^n + \dots$ степени $n.*$).

Таблица 1. Многочлены Чебышева первого и второго рода. Если умножить каждый из многочленов на 2х и вычесть предыдущий (стоящий над ним), получится следующий.

| $n$ | $T_n$ | $U_n$ |
| :— | :— | :— |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | $x$ | $2x$ |
| 2 | $2x^2 - 1$ | $4x^2 - 1$ |
| 3 | $4x^3 - 3x$ | $8x^3 - 4x$ |
| 4 | $8x^4 - 8x^2 + 1$ | $16x^4 - 12x^2 + 1$ |
| 5 | $16x^5 - 20x^3 + 5x$ | $32x^5 - 32x^3 + 6x$ |
| 6 | $32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1$ | $64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1$ |
| 7 | $64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x$ | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . в в в в к лырьсъ�съ�съ�съ�съ�съ�съ�съ�съ�с тейпыс тейпыс тейпыс тейпецыс тейпецыс тейпецыс тейпецыс тейпецыс тейпецыс тейпецс тейпецыс тейпецс тейпецс тейпецс нейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейпецс тейп

13

Если же отклонение от нуля изменять иначе — заменить выражение $c_n$ выражением

$$l_n = \sum_{-1}^{1} |F_n(x)| dx,$$

то наименее уклоняющимся от нуля многочлен $n$-й степени со старшим коэффициентом 1 оказывается многочлен $\tilde{U}_n(x) = \frac{1}{2^n} U_n(x)$, где $U_n(x)$ береется из правой колонки таблицы 1: для многочлена $U_n(x)$ величины $l_n$ (голубая площадь на рисунке 1) равна 2; стало быть, для $\tilde{U}_n$ она равна $1/2^{n-1}$; для любого другого многочлена $F_n(x) = x^n + \dots$ она больше (теорема А. Н. Коркина и Е. И. Золотарева).

Эти факты связаны с таким характеристическими свойствами многочленов Чебышева:

1°. Значения многочлена $T_n$ во всех точках экстремума и в концах отрезка [—1; 1] одинаковы по modulo. Площадь каждого из $n+1$ кусочков, ограниченных графиком многочлена $U_n(x) = \frac{1}{n+1} T'_{n+1}(x)$, осью Ox и прямыми $x = \pm 1$, одна и та же (рис. 1).

(Подобными свойствами обладают лишь многочлены, полученные из равенств $y = U_n(x)$ и $y = T_n(x)$ линейной заменой переменных $x$ и $y$.)
Свойство 1° вытекает из основных соотношений

$$2^\circ. T_n(\cos \varphi) = \cos n\varphi, \quad \sin \varphi \cdot U_{n-1}(\cos \varphi) = \sin n\varphi.$$

*) Здесь мы доказываем этого не будем. Элементарное доказательство можно найти в [1] — первой книге из списка литературы в конце статьи.

При $r=1$:
$$y = T_n(x),$$
при $r=2$:
$$y = Q_n(x)$$

При $r=1$:
$$y = U_{n-1}(x),$$
при $r=2$:
$$y = P_{n-1}(x)$$

Рис. 1. Если произчный лист бумаги $0 \leqslant x \leqslant 2\pi r, -r \leqslant y \leqslant r$ с нарисованным на нем графиком $y = r$ cos $nx$ скрутить в цилиндр (диаметра и высоты $2r$) и посмотреть на него сбоку так, чтобы графики на передней и задней половинках совместились, мы увидим график $n$-го многочлена Чебышева первого рода. Эти графики при $n=2,3,4,5$ изображены в верхнем ряду (при выборе масштаба $r=1$ получаются графики $y = T_n(x)$, при $r=2$ — графики $y = Q_n(x)$ — см. упражнение 3). В нижнем ряду под $n$-м многочлен изображена его произvodная, деленная на $n$; это — $(n-1)$-й многочлен Чебышева второго рода; у него все $n$ голубых фигурок имеют одинаковую площадь.

14

В дополнение к тригонометрическим формулам $2^\circ$, которые определяют значения многочленов $T_n$ и $U_n$ при $|x| \leq 1$, для $|x| > 1$ имеются совершенню иные на вид тожества:

$$3^\circ. \quad T_n(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 - 1})^n + (x - \sqrt{x^2 - 1})^n}{2},$$

$$U_n(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 - 1})^{n+1} - (x - \sqrt{x^2 - 1})^{n+1}}{\sqrt{x^2 - 1}}.$$

Корни многочленов $T_n$ и $U_n$ видны из следующей пары тожеств:

$$4^\circ. \quad T_n(x) = 2^{n-1} \left( x - \cos \frac{\pi}{2n} \right) \left( x - \cos \frac{3\pi}{2n} \right) \dots \left( x - \cos \frac{(2n-1)\pi}{2n} \right),$$

$$U_n(x) = 2^n \left( x - \cos \frac{\pi}{n+1} \right) \left( x - \cos \frac{2\pi}{n+1} \right) \dots \left( x - \cos \frac{n\pi}{n+1} \right).$$

Таким образом, корни и точки экстремума многочлена $T_n(x)$ — проекты вершин правлого $4n$-угольника с диаметром $[-1; 1]$ на этот диаметр (рис. 1).

Ниже мы докажем, наряду с другими, соответствия $2^\circ - 4^\circ$ и проиллюстрируем на их примере некоторые важные методы алгебраических преобразований.

За определение многочленов Чебышева можно было принять любую из написанных выше формул, но нам удобнее положить в основу простое рекуррентное соотношение между ними, которое описано в подписи к таблице 1, и вывести из него все формулы.

Ниже мы предложаем иметь дело с многочленами, получающихся из $T_n$ и $U_n$ изменением масштаба (см. рис. 1): $P_n(x) = U_n(x/2)$, $Q_n(x) = 2T_n(x/2)$; ту роль, которую для $T_n$ и $U_n$ играет отрезок $[-1; 1]$, будет играть теперь отрезок $[-2; 2]$. Новые многочлены хорощем тем, что имеют целые коэффициенты, а их старшие коэффициенты равны 1, (Разумеется, формулы перехода, переписанные в «обратном» виде: $P_n(2x) = U_n(x)$, $Q_n(2x) = 2T_n(x)$, — позволяют в любой момент вернуть к многочленам $U_n$ и $T_n$.) Как правило, мы будем, доказывая что-то для $P_n$, предлагать аналогичные свойства $Q_n$ читателю в качестве упражнения. Призываем его вооружиться карандашом и бумагой и продельать подробно все выкладки, причем сначала — для конкретных небольших значений $n = 2, 3, 4, \dots$ (пока все не станет ясным).

Рекуррентные соотношения и индукция

Положим $P_0(x) = 1$, $P_1(x) = x$ и

$$P_{n+1}(x) = x \cdot P_n(x) - P_{n-1}(x).$$

(1)

Выпишем несколько первых членов этой последовательности. Вслед за $P_0(x) = 1$ и $P_1(x) = x$ идут

$$P_2(x) = x^2 - 1,$$

$$P_3(x) = x(x^2 - 1) - x = x^3 - 2x,$$

$$P_4(x) = x(x^3 - 2x) - (x^2 - 1) = x^4 - 3x^2 + 1,$$

$$P_5(x) = x(x^4 - 3x^2 + 1) - (x^3 - 2x) = x^5 - 4x^3 + 3x$$

и т. д. (для многочленов до $P_{12}$ вы можете проверить результаты по таблице 2).

Многочлены $P_n(x)$ возникают в разных ситуациях. Расмотрим, на пример, дроби

$$R_1(x) = x, \quad R_2(x) = x - \frac{1}{x}, \quad R_3(x) = x - \frac{1}{x - \frac{1}{x}},$$

$$R_4(x) = x - \frac{1}{x - \frac{1}{x}}, \quad R_5(x) = x - \frac{1}{x - \frac{1}{x}}, \dots$$

15

Подобные «миногоэтажные» (так называемые цепные) дроби — полезный инструмент для различных задач о приближениях чисел и функций; ими, кстати говоря, тоже занимаются П. Л. Чебышев.

После преобразования получается

$$R_2(x) = \frac{x^2 - 1}{x}, \quad R_3(x) = \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 1},$$

$$R_4(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x^3 - 2x}, \quad R_5(x) = \frac{x^5 - 4x^3 + 3x}{x^4 - 3x^2 + 1},$$

(проверьте!). Мы видим, что числители и знаменатели в стандартной записи этих дробей — как раз многочлены $P_n(x)$.

Другой пример: рассмотрим функцию sin $n\varphi$ и построаемы выражать ее через sin $\varphi$ и многочлен от cos $\varphi$:

$$\sin 2\varphi = 2\sin \varphi \cdot \cos \varphi,$$

$$\sin 3\varphi = \sin \varphi \cdot (4\cos^2 \varphi - 1),$$

$$\sin 4\varphi = \sin \varphi (8\cos^3 \varphi - 4\cos \varphi)$$

(проверьте!). Оказывается, sin $n\varphi = \sin \varphi \cdot P_{n-1}(2\cos \varphi)$ для всех $n \geqslant 1$; другими словами, при sin $\varphi \neq 0$

$$P_n(2\cos \varphi) = \frac{\sin(n+1)\varphi}{\sin \varphi}.$$

Полученные соответствия нетрудно получить с помощью метода математической индукции и формулы (1). Действительно, $R_{n+1}(x) = x - \frac{1}{R_n(x)}$. Поэтому, если предположить, что для некоторого $n$

$$R_n(x) = \frac{P_n(x)}{P_{n-1}(x)},$$

то из соответствия (1) легко получить аналогическое равенство для $n$, увеличенного на 1:

$$R_{n+1}(x) = x - \frac{P_{n-1}(x)}{P_n(x)} = \frac{xP_n(x) - P_{n-1}(x)}{P_n(x)} = \frac{P_{n+1}(x)}{P_n(x)},$$

что и требуется.

Аналогично для синусов: если предположить, что при $k=n-1$ и $k=n$

$$\sin(k+1)\varphi = \sin \varphi \cdot P_k(2\cos \varphi),$$

то из (1) следует

$$\sin \varphi \cdot P_{n+1}(2\cos \varphi) = 2\cos \varphi \cdot \sin \varphi \cdot P_n(2\cos \varphi) - \sin \varphi \cdot P_{n-1}(2\cos \varphi) =$$

$$= 2\cos \varphi \cdot \sin(n+1)\varphi - \sin n\varphi = \sin(n+2)\varphi;$$

мы воспользовались тождеством 2 cos $\alpha$ sin $\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\beta - \alpha)$.

16

(Заметим, что мы провели индуктивный переход не от $n$ к $n+1$, как обычно, а от $n-1$ и $n+1$; при этом необходимо отдельно проверить первый два равенства при $n=0$ и $n=1$.)
Упражнения

1. Докажите с помощью индуктивный переход не от $n$ к $n+1$, как обычно, а от $n-1$ и $n+1$; при этом необходимо отдельно проверить первый два равенства при $n=0$ и $n=1$.
   $$P_n(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 - 4})^{n+1} - (x - \sqrt{x^2 - 4})^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{x^2 - 4}}.$$

(Mы еще к нему вернемся.)
2. Докажите, что a) $P_n(2) = n+1$, 6) $P_n(-2) = (-1)^n \cdot (n+1)$. (Сделайте это треящее способами: с помощью (1), а также переходя к пределу в равенстве (2) при $\varphi \rightarrow 0$ и $\varphi \rightarrow \pi$ и в равенстве (3) — при $x \rightarrow \pm 2$.)
3. Рассмотрим последовательность многочленов $Q_0(x), Q_1(x), Q_2(x), \dots$, удовлетворяющего соответствию (1) и начальным условиям $Q_0(x) = 2, Q_1(x) = x$. Выпишите первый 6 многочленов $Q_n(x)$. Докажите тожество.
a) $Q_n(x)/Q_{n-1}(x) = x - \frac{1}{x - \frac{1}{x - \frac{2}{x}}}$ ($n-1$ минут);
b) $2\cos n\varphi = Q_n(2\cos\varphi)$;
b) при $|x| > 2$
$$Q_n(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 - 4})^n + (x - \sqrt{x^2 - 4})^n}{2^n}.$$
4. Докажите, что любая последовательность многочленов $R_0(x), R_1(x), \dots$, удовлетворяющая соответствию (1), выражается через последовательность $(P_n(x))$ по формуле $R_n(x) = R_1(x) \cdot P_{n-1}(x) - R_0(x) \cdot P_{n-2}(x)$.
В частности, $Q_n(x) = xP_{n-1}(x) - 2P_{n-2}(x) = P_n(x) - P_{n-2}(x)$. Выведите отсюда все тожество из упражнения 3.

Корни многочленов и произведение
Многие интересные формулы, в которых участвуют симметричные выражения от $n$ чисел (или букв), оказываются легко обязываными, если эти числа рассматривать как корни неокоторого многочлена степени $n$. Для $n$ чисел $\gamma_k = 2\cos \frac{k\pi}{n+1}$ (где $k=1,2,\dots,n$) таким многочленом служит наш $P_n(x)$. В самом деле, подставляя в (2) вместо $\varphi$ значение $\frac{\pi}{n+1}$, $\frac{2\pi}{n+1}, \dots, \frac{n\pi}{n+1}$, мы видим, что числа $\gamma_k = 2\cos \frac{k\pi}{n+1}$ — корни многочлена $P_n(x)$. Тут нам понадобится следствие из теоремы Безу: если $\gamma$ — корень многочлена $F(x)$, то $F(x)$ делится на $x-\gamma$. (В самом деле, заменив переменную $x$ на $y=x-\gamma$, мы получим многочлен $\tilde{F}(y) = F(x-\gamma)$, у которого есть корень $y=0$, а такой многочлен, оченьindo, делится на $y^*$). Наш многочлен $P_n(x)$ должен делиться на каждый из двухленов $x-\gamma_k$, а значит — и на их произведение; поскольку он имеет степень $n$ и старший коэффициент 1, он просто равен произведению $\prod_{1 < k < n} (x-\gamma_k)$. Итак,
$$P_n(x) = \prod_{1 < k < n} (x-2\cos \frac{k\pi}{n+1}).$$

Упражнение 5. a) Докажите тожество
$$Q_n(x) = \prod_{1 < k < n} (x-2\cos \frac{(2k-1)\pi}{2n}).$$

6. Проверьте его и тожество (4) для $n=2,3,4$ и 5.

*) Подробнее о теореме Безу и разложении на многочленов см. [2].

17

Приведем одно любопытное tejдество, которое вытекает из сопоставления формул (4) и (2).

Вычислим двумя способами $P_{2m}(0)$ при $m > 0$ и приравняем полученные выражения.

С одной стороны, из (2) получаем

$$P_{2m}(0) = P_{2m}\left(2\cos\frac{\pi}{2}\right) = \left(\sin\frac{(2m+1)\pi}{2}\right)/\sin\frac{\pi}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} + m\pi\right) = (-1)^m$$

С другой стороны, согласно (4),

$$P_{2m}(0) = \prod_{1 \le k \le 2m} \left(-2\cos\frac{k\pi}{2m+1}\right).$$

Заменив каждое $\cos\frac{k\pi}{2m+1}$ при $m+1 \le k \le 2m$ на $\left(-\cos\left(\pi - \frac{k\pi}{2m+1}\right)\right)$, получим

$$P_{2m}(0) = (-1)^m \cdot \left[2^m \cdot \prod_{1 \le k \le m} \cos\frac{k\pi}{2m+1}\right]^2.$$

Но выражение в квадратных скобках положительное, поскольку в произведение входят косинусы только острых углов; поэтому оно равно 1, то есть

$$\prod_{1 \le k \le m} \cos\frac{k\pi}{2m+1} = \frac{1}{2^m}.$$

Приведем красивую «словесную» формулировку (5): при $m > 0$ среднее геометрическое косинусов острых углов, кратных $\frac{\pi}{2m+1}$, равно $\frac{1}{2}$.

Упражнения
6. а) Найдите $P_n(1), P_n(-1), Q_n(1), Q_n(-1)$.

Докажите похожие на (5) равенства:

6. $\prod_{1 \le k \le m} \sin\frac{k\pi}{2m} = \frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}$ ($m \ge 1$);

b) $\prod_{1 \le k \le m} \mathrm{tg}\frac{k\pi}{2m+1} = \sqrt{2m+1}$ ($m \ge 1$);

г) $\prod_{1 \le k \le m} \cos\frac{(2k-1)\pi}{4m} = \frac{\sqrt{2}}{2^m}$ ($m \ge 1$).

7. Выясните, при каких $m$ и $n$

a) многочлен $P_n$ делится на $P_m$;

b) многочлен $Q_n$ делится на $Q_m$.

Производящие функции, степени ряда и коэффициенты

В этом разделе мы познакомим вас с очень плодотворным методом, широко применяемый в самых различных разделах математики — анализе, комбинаторике, теории вероятности, — с методом производающих функции. Этот метод позволяет иногда собрать отдельные члены последовательности, как «кирпич», в одной целостное «здание» и получить информацию сразу об всей последовательности.

Пусть нам дана последовательность $a_0, a_1, a_2, \dots$. Изовем ее производающей функции выражение

$$f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots = \sum_{n \ge 0} a_nz^n.$$

Такие выражения математики называют формульными степенями ряда. Эти ряды можно складывать, вычитать и переменная как общие многочлены, можно делить один ряд на другой (если свободный член ряда-делителя отличен от 0), любой ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать — и все эти операции можно использовать,

18

Чтобы получить новые последовательности из уже изученных. Часто оказывается возможность из рекуррентного соотношения, который определяна последовательность, найти простую формулу для ее производашей функции, и набор от — из производашей функции извлечь формулу или соотношения для членов последовательности.

Для конечной последовательности $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ производающей функцией будет многочлен $f(z) = a_0 + a_1z + \dots + a_nz^n$. Например, многочлен $f_n(z) = (1+z)^n$ служит производающей функцией для биомпаульных коэффициентов $C_n^0, C_n^1, \dots, C_n^n$ — членов $n$-й строки треугольника Паскала (таблица 2):

$$\sum_{0 < k < n} C_n^k z^n = (1+z)^n.$$ (6)

Продифференцировав это тожество $k$ раз и заложив затем $z=0$, найдем $C_n^k = n(n-1) \dots (n-k+1)/1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$.

Раскрывая скобки и выделяя коэффициенты при $z^m$ в очередном тожестве $(1+z)(1+z)^n = (1+z)^{n+1}$, записанном в виде

$$(1+z) \left( \sum_{0 < k < n} C_n^k z^k \right) = \sum_{0 < k < n+1} C_{n+1}^k z^k,$$

получим важное соотношение $C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m$.

Средние бесконечных последовательностей особенно простую, легко «сворачивающийся» производашую функцию имеет геометрическая прогрессия $b_0=b, b_n=qb_{n-1}$. Заменив в сумме $f(z) = \sum_{n>0} b_n z^n = b + \sum_{n>1} b_n z^n$ каждое $b_n$ на $qb_{n-1}$, получим $f(z) = b + qz \sum_{n>1} b_{n-1} z^{n-1} = b + qzf(z)$, откуда $f(z)(1-qz) = b$, то есть

$$f(z) = \sum_{n>0} b_n z = \frac{b}{1-qz}.$$ (7)

Это, конечно, известная формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии (при $|qz|<1$). Но тем же приемом можно получить и производашую функцию для нашей последовательности многочленов $P_n(x)$.

Положим $\Phi(z) = \sum_{n>0} P_n(x) z^n = 1+xz+\sum_{n>2} P_n(x) z^n$. (Здесть $x$ играет роль параметра и ниже мы для краткости вместе $P_n(x), P_{n-1}(x), \dots$ будем писать $P_n, P_{n-1}, \dots$.) Согласно (1), заменим каждое $P_n$ при $n \geqslant 2$ на $xP_{n-1}-P_{n-2}$. Тогда

$$\Phi(z) = 1+xz + \sum_{n>2} xP_{n-1} z^n - \sum_{n>2} P_{n-2} z^n =$$

$$= 1+xz+xz \cdot \sum_{n>2} P_{n-1} z^{n-1} - z^2 \cdot \sum_{n>2} P_{n-2} z^{n-2} =$$

$$= 1+xz+xz(\Phi(z)-1)-z^2\Phi(z).$$

Следовательно, $\Phi(z) \cdot (z^2-xz+1) = 1$ и

$$\Phi(z) = \frac{1}{z^2-xz+1}.$$ (8)

В этой простой формуле скрыта все хитрая последовательность многочленов $P_n$, который мы до сих пор занимались! Отдельные $P_n$, спрятанные в ней, мы «вытащим» двумя разными способами.

1. При $|x|>2$ квадратное уравнение $z^2-xz+1=0$ имеет два корня:

$$u = \frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}, \quad v = \frac{x-\sqrt{x^2-4}}{2}.$$ (9)

Из $z^2-xz+1=(z-u)(z-v)$, учитывая $uv=1$, получим

19

$$\Phi(z) = \frac{1}{(u-z)(v-z)} = \left( \frac{1}{v-z} - \frac{1}{u-z} \right) \frac{1}{u-v} = \left( \frac{u}{1-zu} - \frac{v}{1-zw} \right) \frac{1}{u-v} = \sum_{n \geq 0} \frac{u^{n+1}-v^{n+1}}{u-v} z^n,$$

то есть $P_n(x) = \left( u^{n+1}-v^{n+1} \right) / (u-v)$; это формула (3).

2. Найдем из (8) отдельные коэффициенты каждого многочлена $P_n(x)$. Делается это так:

$$\Phi(z) = \frac{1}{1-(xz-z^2)} = \sum_{k>0} \left( xz-z^2 \right)^k = \sum_{k>0} \left( \sum_{0<j<k} (-1)^j C_k^j x^{k-j} z^{k+j} \right) = \sum_{n>0} z^n \left( \sum_{j} (-1)^j C_{n-j}^j \cdot x^{n-2j} \right)$$

(мы воспользовались формулами суммы бесконечной геометрической прогрессии (7), биома Ньютона (6) и выделили коэффициент при $z^n$, который и есть нужный нам $P_n(x)$). Следовательно,

$$P_n(x) = \sum_{j} (-1)^j C_{n-j}^j x^{n-2j}$$

(например: $P_6(x) = C_6^0 x^6 - C_5^1 x^4 + C_4^2 x^2 - C_3^3 = x^6 - 5x^4 + 6x^2 - 1$).

Конечно, доказать готовые формулы (3) и (10) можно без произвольных функций — самое замечательное, как они возникли, почти сами собой, из короткой формулы (8).

Обоснование всех действия с бесконечными рядами, которые мы производили — а оно, разумеется, необходимо, — можно было бы проверить, либо заметив, что при необходимости по модели числовых значениях $z$ все рассматриваемые ряды сходятся (как (7) при $|z| < 1/|q|$), то есть представляют настоящие функции от $z$, либо проверив, что для определенных формулыально операционный сложения, умножения и т. д. (каждый коэффициент ряда выражается через конечное число других, а $z$ — просто буква!) выполены все обычные законы. Подробнее с методом произвольных функций и степеними рядами можно познакомиться по книгам [3], [4], [6].

Упражнения

8. Рассмотрим последовательность чисел Фибоначчи

$$u_0 = 0, u_1 = 1, u_{n+1} = u_n + u_{n-1}.$$

a) Докажите, что ее произвольная функция равна $\frac{z}{1-z-z^2}$. Выведите отсюда

b) формулу Бинэ

$$u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$$

(другой вывод этой формулы см. в [5]).

b) Докажите также что $u_n = \sum_{j} C_{n-j}^j$.

9. a) Найните произвольную функцию для последовательности многочленов $Q_n(x)$ из упражнения 3 и докажите с ее помощью, что (при $|x| > 2$)

$$Q_n(x) = u^n - v^n,$$

где $u$ и $v$ определяены формулами (9) (в этом заключалось упражнение 3 в)).

6. (Для тех, кто знаком с комплексными числами; см. [1]). Проверьте, что формулы (3) и (3’) при $|x| < 2$ превращаются в формулы (2) и (2’). (Указание. $u = \cos \varphi + i \sin \varphi, v = \cos \varphi - i \sin \varphi$, если $x = 2 \cos \varphi$.) Литература

1. А. М. Яглом и И. М. Яглом. «Незlementарные задачи в элементарном изложении». («Библиотека математического кружка», выпуск 5) (М., Гостехторидат, 1954); задачи 130—134.

2. «Избранные вопросы математики» (факультативный курс 10), раздел «Комплексные числа и многочлены» (М., «Просвещение», 1980).

3. Д. Пойа, Г. Сеге. «Задание и теоремы из анализа» (М., «Нука», 1978).

4. Анира Картан. «Элементарная теория аналитических функций одного и несколько комплексных переменных» (М., «ИЛ», 1963).

5. Н. Н. Воробьев. «Числа Фибоначчи» («Популярные лекции по математике», выпуск 6) (М., «Нука», 1978).

6. Н. Я. Виленкин. «Комбинаторика» (М., «Нука», 1969).

7. В. А. Успенский. «Треугольник Паскала» («Популярные лекции по математике», выпуск 43) (М., «Нука», 1979).

20

Физика — наука экспериментальная. Каждый физический исследование начинается с наблюдения и изучения какого-либо природного явления и заканчивается сравнительным теории с результатами эксперимента.

Многие законы и явления природы в основе своей не так уж сложны, а их характерные черты можно проследить даже в сравнительно простых экспериментах. Галилей открыл законы padения тел, наблюдая за тем, как они padали с вершины Пизанской башни. Ныют установлен, что солнечный свет является сложной смесью различных цветов, с помощью простой стеклянной признамы. Поразнительно простыми, но необучающего глобокими по содержанию и выводом были многое опыты Фарадея.

Конечно, сегодня очень мало надежды на то, что с подручными средствами можно открыть новый закон природы. Физика наихиз дней нужны очень экспериментальные установки — ускорители заряженных частиц, атомные реакторы, электронные иониные микросолны и т. п. Но многое из того, что уже известно наук, можно самому проверить в простых домашних экспериментах. Движение магнитков, рост кристаллов, дифракиция и интерференция волн, поверхностное натяжение или сухое треннее — все это можно исследовать простыми, подручными средствами. Деревянные кубики или шары, лист бумаги, швейная игла, мыльный пузьрь или струя воды из крана, не говоря уже о компасе и карманном фонаре, — все это можно использовать для разнообразных и почутительных физических экспериментов. Такие эксперименты — первая ступень к самостоятельным исследованием. Они помогают глобке пропинкуть в суть различных физических явлений, развивают наблюдательность и сообщательность.

Лаборатория «Кванта» принадлежит к числу систематических разделов нашего журнала. В нем мы стремемся дать нашим читателем возможность произвести простые, но весы мощные эксперименты, не требующие специального laboratorного оборудования. Из писем читателей мы видим, что многое из них охотно проделывают предлагемые нами эксперименты и даже стремятся творческими видимыми их (варрировать условия — менять температуру, направление или другие участующие в опыте физические величины, подбирать другие вещества и материалов и т. д.). При этом у них возникает много неожиданных и интересных вопросов, с которых они обращаются в «Квант».
При воспроизведении описываемых нами опытов необходимого образования на техническую и строго соблюдать рекомендации в статьях меры предосторожности. Мы надеемся, что Лаборатория «Кванта» поможет нашим читателем лучшие разобраться в своих способностях, развить нашки исследователь природы.

А. Шмелев

Новогодный физический фейерверк

Уже несколько раз в Лаборатории «Кванта» публиковались задачи-вопросы из книги Дж. Уокера «Физическая фейерверк» (см. «Квант», 1980, № 11 и 12). Ответы на многое из них связаны с проведением опытов или с наблюдениями.

Однако данная публикация отличается от предыдущих. Во-первых, чтобы фейерверк получился новогодным, специально выбран те опыты, которые легко проверяют зимой. Вторых, текст Уокера существенно дополен: приведены любопытные истории, связанные с основной темой задачи, и описаны дополнительные эксперименты. наконец, в-третьих, было решено не публиковать ответы сразу, а подождать писем читателей.

Когда мы идем по снегу

Многие, наверное, видели фильм «Александр Невский». Но, возможно, не все знают, что основной эпизод картины — Ледовое побище — снимался…летом. Жара достигала тридцати градусов, а надо было показать снег и лед на Чудском озере. Однако выход был найден: большую площадку около Мосфильма засыпали смесью нафталина и соли. Когда актеры шли по такому «снегу», он

21

скрипел как настоящий в сильный мороз.

Можно легко повторить этот опыт, насыпавровным слоем на тарелку сахарный песок или соль. Нажмите ложкой на такой слой и вы услышите слабый скрип. Попробуйте смочить сахар или соль или слегка расплавить сахарный песок (например, на сковородке) — скрип прекратиется.

Тепер предоставим слова Уокер: «Иногода снег скрипит под ногами, но это бывает лишь в те дни, когда температура воздуха существенно ниже нуля. Что создает этот звук, и почему его возникновение зависит от температуры?»

Тайна мороженого

Когда впервые появилось мороженое, способ его приготовления охранался как строжайший секрет. Напрасно при многих европейских дворах пытались использовать снег или лед для замороживания смеси из сливок, сахара и фруктовых соков. Смесь охлаждаясь, но не замерзала. Пришлось прибегнуть к средству, которое мы теперь называем промышленным шпинонажем. Что же выясинились?

«Когда моя бабушка делает дома мороженое, — пишет Уокер, — она обкладывает сокуд для мороженого льdom, а лед посыпает солью. Зачем она сыпет соль?»

Итак, все дело в обычной соли. Проделяйте ряд простых оптов, прежде чем ответить Уокеру. Возьмите снег или источенный лед и постепенно добавляйте к ним соль, перемешивая смесь. (Приятно, но не обязательно, чтобы опит сопровождался приготовлением мороженого.)

Оказывается, температуру такой смеси можно понизить до —20°С.

Чаще всего для охлаждения используют поваренную соль NaCl. Но подойдут и более редкие вещества: KCl, NaNO₃ и т. п. «Чемпиноом» по понжению температуры оказывается CaCl₂. Смешав 42 г этой соли со 100 г источенного льда, можно получить температуру —55°С!

А каковы результаты ваших опытов? И что ответить Уокеру?

Какая вода замерзнет быстрее?

«В холодных странах, таких, как Канада или Исландия, хорошо известно, что горячая вода, выступления в мороз на улицу, замерзает скорее, чем холодная. Возможно, вам это показется вдором, однако это отнюдь не бабушкины сказки: даже Фрэнсис Бэкон в свое время отмешал данный факт.

Наполните несколько сосудов различных формы теплой и холодной воды и поставьте их в морозный день за окно… И не удивляйтесь, если в каком-либо из сосудов теплая вода замерзнет раньше, чем холодная, а попытайте обьясить, почему?» (Дж. Уокер).

К этому трудно что-либо добавить, кроме, быть может, некоторые советов: в качестве сосудов различных формы возьмите бутылки с узкими горлышками и широкие банки. И еще одно: подумайте, как изменится температура жидкости, если понизить давление над ее поверхностью и, тем самым, дать возможность жидкости испараться более интенсивно. (Можно проверсти и соответствующий эксперимент, использую для понжения давления обычный пылеос.)

22

На каке
Чтобы уменьшить треннее, в технике применяются смазки. Эту роль могут выполнять различные материалы, иногда самые, казалось бы, недохудшие. Для примера расскажем о случае, когда роль смазки сыграла…
сталь.
В конце прошло века английский промышленник Гарвей прислад в России образцы новых броневых плит для защиты кораблей. На испытании снаряды тяжелых огудий вместе того, чтобы пробивать плиты, сами разбивались о броню, не принося вреда тому, что могло скрывать за ней. Но вот русские попросили повторить испытания. И снаряды начали разбивать броневые плиты (а позже, после некоторых усовершенствовании, — и пробивать в них ответия).

Все дело оказалось в том, что теперь снаряды были снабжены специальными колпачками из мягкой стали. Колпачок расплющивался, плавился и, с одной стороны, мешал снаряду расколотся, а с другой — служил своеобразной смазкой при его прохождения сквозь броневую плиту. Избретателем колпачка был талантливый русский ученый и моряк адмирал Макаров.

Итак, при огромных давлениях сталь может служить смазкой. А «почему коньки скользят по льду?» (Дж. Уокер). Что является смазкой в этом случае?

«Сквозь волнистые туманы…»
Влажной зимой дня часто бывают туманными. Принято считать, что туман имеет серый цвет, но это не всегда так.

«Французский художник Моне приехал в Лондон и написал Вестминстерское аббатство. Работал Моне в обыкновенный лондонский туманный день. На картине Моне готовческие очереди аббатства едва выступают из тумана. Написана картина виртуозно.

Когда картина была выступлена, она произвела смятение среди лондонцев. Они были поражены, что туман у Моне был окрашен в багровый цвет, тогда как всем известно, что цвет тумана серый.

Дерзость Моне вызвала сначалавозмущение. Но возмущавшиеся, выйдя на лондонские улицы, вгляделись в туман и впервые заметили, что он действительно багровый», — так писал К. Паустовский в своей книге «Золотая роза».

Вот и Уокер тоже согласен с Моне: «Почему дымка, витающая над городом, имеет коричневый оттенок?» — справивает он.

Вопрос о причины цветного тумана — не легкий вопрос. Не следует мы прибегели его на самый конец. Понаблюдайте за цветом тумана в горode и в сельской местности. А может быть вы даже сумете придумать опыты и получить «туманы» разной окраски?

23

Этот раздел ведется с момента основания нашего журнала. В каждом номере мы помещаем пять задач по математике и пять задач по физике. (Для загубежных читателей мы приводим тексты задачи на английском языке.) Степень сложности задачи различана. Наряду с относительной легким публикуются задачи, требующие длительного размышления; встречются задачи, которые не легко решить и специализатам. Наболее трудные задачи помещаются звездочек.

Если задача вас заинтересовала, но решение ее не получается сразу — не опускайте руки, попробуйте вернуть к ней снова и снова. Не открывайте ее даже после того, как она решена,— подумайте, как наиболее рационально и убедительно записать решение, как обобщить задачу, уточнить ее результат, какие близкие задачи она позволяет решать. Ваши решения присладайте в редакцию по адресу: 117071, Москва, Ленинский проспект, 15, Физматлит, «Квант». На конверте в графе «Кому» написите Задачик «Кванта» и укажите, решения каких задач вы посылаете. Решения задачи по разным предметам (математике и физике) или из разных номеров журнала высладайте в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем домашним адресом (в нем вы получите ответ с результатами проверки ваших решений). В начале письма обязате наипшите свою фамилию, имя, отчество, домашний адрес; школьников просим также указывать класс и номер школи.

Мы регулярно публикуем фамилии читателей, приславших правильные решения. Журнал проводит конкурс на лучшие решения задачи из Задачника «Кванта». Итоги конкурса подводятся в декабре. Победители — школьники, приславшие наиболее интересные и полные решения, — получают право участвовать сразу в ресурсанских турах Всесоюзной олимпиады школьников. Жюри конкурса «Кванта» принимает к рассмотрению только решения, высланные не позже срока, указанного в журнале. Крайний срок ответов на задачи этого номера — 30 марта. Для учеников Всесоюзной заочной математической школы правильное решение задачи из Задачника считается выполенным факультативным заданием (им необходимо в начале письма указывать свой «номер» или адрес фамилия ВЗМШ).

Разумеется, не все задачи, помещаемые в Задачике, публикуются впервые. После формирования мы обчено указывать, кто предложил нам эту задачу. Придумать новую оригинальную задачу, пожалуйста, труднее, чем решить чужую. Если вам это удадется — присылайте нам в двух экземплярах задачу и ее решение. При этом на конверте помещете «Новая задача по математике (по физике)».

Наиболее интересные задачи наших читателей мы помещаем в Задачике «Кванта» или в других разделах журнала.

Задачи

М721 — М725; Ф733 — Ф737

М721. Каждый сторона треугольника подлена на 3 равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

А. Золотовых, ученик 10 кл.
(Mосква, ФМШ № 18 при МГУ)

М722. В точках $A_1, A_2, \dots, A_n$, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа 1, 2, …, n. а) Доказите, что сумма $n$ моделей разностей чисел не меньше $2n-2$. б) Для каждого количества разностей чисел не меньше $2n-2$?

А. Разборов

24

М723*. Существует ли бесконечное множество натуральных чисел такое, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является степенью натурального числа ($a^k$, где $k \geq 2$)?

Л. Гурвиц

М724. По плоскости ползут несколько черпах, скорости которых равны по величины, но различны по направлениям. Докажите, что, как бы черпахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.

В. Прасолов

М725*. Положим $e_n = \cos^n \frac{\pi}{7} + \cos^n \frac{3\pi}{7} + \cos^n \frac{5\pi}{7}$. Найдите a) $e_1$ и $e_2$, б) $e_3$ и $e_4$. В) Докажите, что $e_n$ — рациональное число при любом $n$.

Н. Васильев

Ф733. На «получилиндре» с радиусом основания $R$ лежит гантелька длины $l$ (рис. 1). Найти перiod малых колебаний гантельки.

А. Фролов

Ф734. Веревка, прикрепленная одним концом к боковой поверхности цилиндра у его основания радиуса $r$, обмотана вокруг цилиндра $k$ раз ($k$ — целое число). К свободному концу веревки привязан груз. Грузу сообщают скорость $v$, направленную вдоль радиуса цилиндра (рис. 2). За какое время все веревка снова намотается на цилиндр? Цилиндр закреплен на гладкой поверхности.

Б. Мукушев

Ф735. Две одинаковые катушки индуктивности подключены через ключи $K_1$ и $K_2$ к источнику с постоянной ЭДС $\beta$ и внутренним сопротивлением $r$ (рис. 3). В начальной момент времени оба ключа разомкнуты. Затем замыкают сначала ключи $K_1$, а потом ключи $K_2$. Определить величины тока, протекающего через ключи $K_1$ в момент замыкания ключа $K_2$, если известно, что после замыкания ключа $K_2$ установившийся ток через ключи $K_1$ в два раза больше установившегося ток через ключи $K_2$. Активными сопротивлениями катушка пренебречь.

В. Можаев

Ф736. На однородный стержень, оба конца которого заемлены, падает пучок электронов, причем на каждой сантиметр длины стержня попадает одно и то же число электронов в секунду. Сопротивление стержня $R$. Ток на участке заемления равен $I$. Найти разность потенциалов между сердиной стержня $A$ и его концом $B$ (рис. 4).

Н. Дикаский

26

P736. A beam of electrons is directed on a uniform rod, both ends of which are grounded, the same amount of electrons hitting each centimeter length of the rod per second. The resistance of the rod is $R$. The current at the place of grounding is $I$. Find the difference of potential between the middle of the rod $A$ and its extremity $B$ (see figure Pис. 4).

N. Dikanski

P737. A parallel beam of light dissimulates as it passes through a plate $\Pi$. For any ray passing through the plate, the maximal angle of deflection is $\alpha$. What is the smallest radius of a spot of light that can be obtained by piercing a convergent lens of focal distance $F$ after the plate (see figure Pис. 5)?

I. Vorobiev

Решения задач

M681 — M685; Ф692 — Ф697

Приведем сразу решение задачи 6), следуя В. Серпин-скому (большое количество такого типа содержится в его книге «Элементарная теория чисел»): построим бесконечную последовательность $(a_n)$ натуральных чисел такую, что для любого $n$ сумма квадратов первых $n$ ее членов есть квадрат нечетного числа. Возьмем $a_1=3, a_2=4$; если первый $n$ членов уже выбран и

$$a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 = (2k+1)^2,$$

положим $a_{n+1}=2k^2+2k$. Из точкиства

$$(2k+1)^2 + (2k^2+2k)^2 = (2k^2+2k+1)^2$$

получим, что

$$a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 + a_{n+1}^2 = (2k^2+2k+1)^2$$

— снова квадрат нечетного числа.

Первые пять членов этой последовательности 3, 4, 12, 84, 3612:

$$3^2 + 4^2 = 5^2, 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2,$$

$$3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2,$$

$$3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 + 3612^2 = 3613^2.$$

Из решения задачи вытекает также факт, указанный в письме Ю. Макарова из Ленинграда: для любого $n$ существует $\frac{n(n+1)}{2}$ натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{\frac{n(n+1)}{2}}$ таких, что

$$a_1^2 = a_2^2 + a_3^2 = a_4^2 + a_5^2 + a_6^2 = \ldots = a_{\frac{n(n-1)}{2}}^2 + 1 + \ldots + a_{\frac{n(n+1)}{2}}^2$$

Нам, как и автор письма, неизвестно, могут ли при этом все числа $a_1, a_2, \ldots, a_{\frac{n(n+1)}{2}}$ быть различными.

H. Васильев

M682. Внутри треугольника $\Delta$ нужно расположить треугольник $\Delta_1$ так, чтобы у каждой из трех квадратов, построенных на сторонах треугольника $\Delta_1$, две вершины лежали на разных сторонах треугольника $\Delta$ (рис. 1).

a) Доказите, что медианы треугольника $\Delta$ перpendicularны сторонам треугольника $\Delta_1$.

b) Для любого ли построение возможно?

a) Легко видеть, что из трех головных треугольников (см. рис. 1) при помощи трех параллельных переносов, переводящих вершины треугольника $\Delta_1$ в некоторую точку $O$, можно составить треугольник $\Delta$, подобный исходному треугольнику $\Delta$ (рис. 2). Отрезки, соединяющие вершины треугольника $\Delta$ с точкой $O$, делят треугольник $\Delta$ на три равновелых треугольника, площадь каждого из которых равна площади треугольника $\Delta_1$. Поэтому $O$ — точка пересечения медианы треугольника $\Delta$ (расстояние от $O$ до любой из сторонам треугольника $\Delta_1$).

28

из уже покращенных кружков, его можно раскрасть в тот цвет, который не был использован при раскраске касающейся его соседей.

Утверждение доказано.

На рисунке 2 изображены 11 кружков, для нужной раскраски которых трех цветов недостаточно. Действительно, предположив, что эти кружки можно раскрасть тремя цветами, получим, что кружки A, B, C, D, E должны быть окрашены одинаково. Но это невозможно, поскольку кружки A и E касаются.

В. Покровский

М684. Двое церраот в следующий вариант «морского боя».
Один церрок располагает на доске $n \times n$ неокторое колисество непересекающихся коаблей $n \times 1$ (быть может, ни однозно). Второй церрок наносит одновременного ряду ударов по полям доски и про какдоное поле получает от противника ответ — попал или промахнулся. По какому минимальнымому колисеству полей следует нанести удары, чтобы по ответам противника можно было однозначно определить расположение всех его коаблеей? Расмотите три случая:
a) $n=4, 6$ $n=10, b)$ $n=10, b)$ $n=10$
b) любое натуральное число.

Рис. 1.

Сопоставим каждой горизонтали красную, а вертикали — синюю точку (вершину графа) и для каждой клетки множества A (на рисунке 2 они обозначены звездочками) соединим ребром пару точек, соответствующую ее вертикали и горизонтали (рис. 2). Мы получим граф с 2n вершинами и 2n—2 ребрами. Такой граф не может быть связным (см. «Квант», 1981, № 6, с. 10) — он обязательно распадается на два или больше отдельных кусков. Ребра одного из связных кусков можно принять за множество B (см. рис. 2), остальные — за множество C. (Разумеется, это расчудение можно изложить и не пользоваться терминологическей теории графов.) Итак, в случае (1) ответ: $2n-1$.

(2) Пусть корабли не имеют общих точок. Докажем, что в этом случае необходимое количество $a$ удалов — клеток в множестве $A$ — не меньше $\frac{4n}{3}$. При этом будут использованы только такие свойства множества $A$: в каждой горизонтали и вертикали встречает хотя бы одна клетка множества $A$, и для любой клетки множества $A$ в ее горизонтали или вертикали есть еще хотя бы одна клетка $A$.

Расставим в клетках множества $A$ сине и красные единицы и двойки так: на каждой горизонтали, где клеток $A$ более одной, записем в каждой из них красную 1, а где лишь одна клетка — записем в нее красную 2; точно так же на каждой вертикали записем в клетки множества $A$ сине 1 и 2 (рис. 3). Поскольку в каждой клетке множества $A$ стоит либо единица и двойка, либо две единицы, сумма $s$ всех написанных чисел не больше 3a. Поскольку на каждой линии

*) Отличие нашей игры от «детской», конечно, прежде всего в том, что нам очередной удар наносится после получения информации о предыдущем ходе.

29

М685. Два подмножества множества натуральных чисел называем конгруентными, если одно получается из других сdvизом на целое число. (Например, множества четных и нечетных чисел конгруентными.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающийся) бесконечных конгруентных подмножества?

Ответ: можно. Предположим, что задача уже решена. Пусть $A$ — то из множества разбиения, которое содержит единицу. Остальные множества разбиения получаются из $A$ сdivгами на неокторые натуральные числа, множество которых, дополненное нулем, мы обозначим через $B$. Пусть для каждой $b \in B$ множество $A_b$ — результат сdivга множества $A$ на $b$, то есть множество всех чисел вида $a+b$, где $a \in A$ (в частности, $A_0=A$). По условию, если $b_1 \neq b_2$, то $A_{b_1} \cap A_{b_2} = \emptyset$, и всякое натуральное число $n$ принадлежит одному из множества $A_b$, то есть

каждое натуральное число единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$, (*) еде $a \in A, b \in B$.

Если, наоборот, данные для множества $A$ и $B$, обладающие свойствами (*) и такие, что $0 \in B$, $1 \in A$, то множества $A_b$, где $b \in B$, образуют требуемое разбиение.

Построение множества $A$ и $B$ мы осуществим двумя способами.

Первый способ. Пусть множества $A$ и $B$, обладающие свойствами (*), построены. Поставим в соответствии каждому натуральному числу $n=a+b$ ($a \in A, b \in B$) точку плоскости $Oxy$ с координатами $(a; b)$.

Пусть $M$ — множество всех полученных точек плоскости. Множество $M$, очевидно, обладает следующими свойствами:

a) если $A$ — проекция множества $M$ на ось $Ox$, а $B$ — проекция $M$ на ось $Oy$, то множество $M$ совпадает со всем множествором пар $(a; b)$, где $a \in A, b \in B$;

b) пересечение множества $M$ с каждой прямой $x+y=n$ ($n$ — натуральное) состоит из единственной точки; в частности, при $n=1$ — это точка $(1; 0)$.

Ясно, что, построив хотя бы одно множество $M$, обладающие свойствами а) и б), мы получим нужное разбиение множества натуральных чисел (состоящее из множества $A_b$).

*) Точно такое же рассудение с заменой слов «больше» на «меньше» приводилось в решения задачи М262 («Квант», 1974, №5) про расстановку ладей, быющих доску дважды.

30

Множество $M$ построим как объединение множества $M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_n \subset \dots$, которые, в свою очередь, будем строить так:

Пусть $M_0 = \{(1; 0)\}$. Изовем $n$-й диагональ примую $x + y = n$. Точка $(1; 0)$ попадает на первую диагональ; вычеркием ее и в дальнейшем, строй множества $M_i$, будем последовать вычеркивать диагонали, на которые попадают построенные точки.

Сдвиhem множество $M_0$ на единицу право и положим $M_1 = \{(1; 0), (2; 0)\}$; при этом вычеркием вторую диагональ (см. рисунок). Затем сдвиhem множество $M_1$ на две единицы вверх и присоединим полученные точки к $M_1$; это будет множество $M_2$; при этом вычеркием третью и четвертую диагонали (см. рисунок).

Множество $M_2$ сдвиhem на четые единицы право — так, чтобы вычеркуть следующие четыре диагонали; получим множество $M_3$ (см. рисунок).

Вообщество $M_{k+1}$ строим так: сдвигаем множество $M_k$ (его точки принадлежат первой, второй, …, $2^k$-й диагонали) на $2^k$ единицу право или вверх (в зависимости от четности $k$) — так, чтобы вычеркуть диагонали с номерами $2^k + 1, 2^k + 2, \dots, 2^{k+1}$.

Легко видеть, что объединение множества $M_0, M_1, \dots, M_n, \dots$ (по всем натуральным $n$) обладает свойствами а), б).

Второй способ. Как известно, всякое натуральное число $n$ представляется в виде

$$n = a_0 \cdot 2^k + a_1 \cdot 2^{k-1} + \dots + a_{k-1} \cdot 2 + a_k,$$

где $a_i$ равно 0 или 1, причем такое представление единственно. На этом основана двойная запись $n$:

$$n_2 = a_0 a_1 \dots a_{k-1} a_k.$$

Например, $2_2 = 10, 7_2 = 111, 17_2 = 10001$ и т. д.

Рассмотрим теперь два множества натуральных чисел: множество $A$, состоящее из чисел, в двойной записи которых единница находится в нечетных x (считая справа) разрядах: $A = (1, 100, 101\dots)$, и множество $B$, состоящее из 0 и чисел, в двойной записи которых единница находится в четных x разрядах:

$$B = (0, 10, 1000, 1010,\dots).$$

Очевидно, любое натуральное $n$ единственным образом представляется в виде суммы $n = a + b$, где $a \in A, b \in B$.

Множества $A$ и $B$ обладают свойствами (*), и поэтому множества $A_b$ ($b \in B$) дают нужное разрешение.

А. Федоров, С. Шлосман

◆ Совместим начало системы координат с точки $A$, оси $X$ и $Y$ направим так, как на рисунке 2.

Запишем уравнения движения грузов $C$ и $B$ (в проекциях на оси $X$ и $Y$):

$$ma = mg - 2T_2 \cos \alpha,$$

$$ma_{Bx} = mg - T_1 \cos \alpha + T_2 \cos \alpha,$$

$$ma_{By} = F_{ynp} - T_1 \sin \alpha - T_2 \sin \alpha,$$

где $F_{ynp} = k(2l - 2l \sin \alpha) = k \cdot 2l(1 - \sin \alpha)$ — сила упругости. Из уравнения (1)—(3) после несложных преобразований получим

$$ma_{Cx} + ma_{Bx} - ma_{By} = 2mg - F_{ynp} \cos \alpha \sin \alpha$$

(это соответствие верно при любых значениях $\alpha$). Преобразуем левую часть уравнения (4). Учитем, что изменения $\Delta x_B$ и $\Delta x_C$ координат грузов $B$ и $C$ связаны соотношениям $\Delta x_B = \frac{1}{2} \Delta x_C$ (инными словами, таким соотношениям связаны смесения грузов $B$ и $C$ от положения равновесия), и следовательно,

$$(x_B)'' = \frac{1}{2} (x_C)''$$ или $a_{Bx} = \frac{1}{2} a_{Cx}$.

Кроме того, $y_B = l \sin \alpha, x_C = 2l \cos \alpha$, и при малых отложениях от положения равновесия (то есть когда $\alpha = \alpha_0 + \Delta \alpha$,