Квант 1982, №4 · Страницы

КВАНТ
4
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На рисунке показано семейство линей, нарисованное ЭВМ по параметрическим уравнением
$$x = F(t, u), y = G(t, u),$$
где $0 \leq t \leq 1$ и $0 \leq u \leq 1$. При изменении $t$ от 0 до 1, точка с координатами $(x, y) = (F(t, 0), G(t, 0))$ (конец перa на графопостроитель) движется по некоторому пути, описывая верхнюю кривую, а точка с координатами $(F(t, 1), G(t, 1))$ — по другому пути (кривая с двумя petлями внизу). Последовательно приведая параметру $u$ промежутные значения, возвращающие от 0 до 1, ЭВМ начертила более тонким пером 38 промежутных кривых. В целом рисунок использовает процесс деформации одного пути в другой; нужно только себе представить, что кривые меняются при изменении параметра $u$ не скачками, а непрерывно. О деформации пути можно прочитать в статье Л. Понтрягина «Основная теорема алгебры», опубликованной в этом номере.

Ю. Котов

2

Космическая весна человекства

Для всех нас апрель отменен двумя выдающимся событиями — днем рождения В. И. Ленина и первым полетом человека в космос. 12 апреля 1961 года космический корабль «Восток», пилотируемый Ю. А. Гагариным, совершил первый в мире орбитальный космический полет, продолжавшийся 108 минут. 21 год отделяет нас от этого выдающегося события в истории человека, и каждый из них отменен замечательными успехами на пути в космос.

В нашей стране запущено более 1300 искусственных спутников Земли и несколько десятиков пилотируемых и автоматических космических кораблей. Всемидесные годы основным направлением развития космических исследований стало создание орбитальных научных станций «Салют». По словам Л. И. Брежнева «Советская наука рассматривает создание орбитальных станций со сменяемыми экипажами как магистральный путь человека в космос».

Более четырех лет успешно работает в околоземном космическом пространстве орбитальная научная станция «Салют-6». Первоначально предполагалось, что она сможет успешно функционировать в течение полутора лет. Однако к настоящему моменту этот срок превозден почти в три раза. Постоянно возрастала продолжительность работы основных эксперий на станции «Салют-6» — 96, 140, 175, 185 суток! Последнийrekord принадлежит космонавтом Леониду Ивановичу Попову и Валерию Викторовичу Рюмину.

На станции «Салют-6» впервые были испытыны такие сложные научные приборы, как субмиллиметровый телефон БСТ-1 и радиотелекоп КРТ-10 с диаметром антенны 10 м.

Достижения космонавтики являются достоянием всего человека, способствует укреплению мира и развитию прогресса. Поэтому наша страна внесит огромный вклад в развитие международного сотрудничества в космосе. Вместе с советскими космонавтами на «Салюте-6» работали космонавты Чехословакии, Польщи, Германской Демократической Республики, Болгарии, Венгрии, Румыния, Вьетнам, Кубы и Монголии. Успешно проходит подготовка к совместному советско-французскому космическому полету; развивается советско-индийское сотрудничество в области исследований космоса.

Советские космические исследования прокладывают человеку путь к созданию специализированных орбитальных станций, предназначенных для разработки космической технологии, использующей неиссомость и глубокий вакуум, а также специальных медицин-биологических laboratorий. Появятся еще более тяжелые и долговерные орбитальные станции с совершенным научным оборудованием для разнообразных астрофизических исследований. Развитие цивилизации потребует создания орбитальных космических производства, мощных энергетических установок, международных научных поселенений, освеняя ближайшего спутника Земли — Луны.

Космос ждет и вас, наши дорогие читатели. Профессия космирования нелегка; она требует глубокого научной подготовки и совершенного здравоохранения. И тот, кто хотел бы овладеть его, должен готовиться к этому еще в школьные годы.

Л. Понтрягин

Основная теорема алгебры

Здесь будет доказана основная теорема алгебры, утверждающая, что всякий многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень.

При этом действительные числа считаются частным случайом комплексных чисел. Эта теорема впервые была доказана Гауссом в 1799 году для частного случай многочленов с действительными коэффициентами. Гаусс показал, что всякий многочлен имеет по крайней мере один действительный или комплексный корень. С точки зрения современной абстрактной алгебры теорема эта показывает, что поле комплексных чисел алгебраических замкнуты: это значит, что, рассматривая корни алгебраических уравнений (то есть корни многочленов) в этом поле, мы не можем получить новых чисел.

В этом смысле поле комплексных чисел радиkalно отличается от поля действительных чисел, которое не является алгебраическим замкнутым.

При этом стоит заметить, что поле комплексных чисел получено из поля действительных чисел присоединением лишь корня одного уравнения $z^2+1=0$.

Доказательство основной теоремы алгебры основано на сообщениях абстрактной алгебры, а на конкретином рассмотрении поля комплексных чисел. Строое ее доказательство должно опираться на точное определение действительного числа и на точное определение непрерывности функций. Я здесь привожу не строгое, но геометрическую убедительное доказательство, основанное на рассмотрении путей в плоскости комплексного переменного и их деформаций. Доказательство этого не только доказывает теорему, но до некоторой степени обязывает, почему она верна.

Как следствие основной теоремы алгебры мы показем, как многочлен с комплексными (в частности, действительными) коэффициентами рассматривается на многотелели.

Пути в плоскости комплексного переменного

Если точка $z$ в плоскости $P$ комплексного переменного перемещается во времени, когда время $t$ меняется в пределах $t_0 \leq t \leq t_1$, то мы считаем, что в плоскости $P$ задан пути (рис. 1). Таким образом, путь есть функция $z(t)$ действительного переменного $t$, принимающая комплексные значения, заданная на отрезке $t_0 \leq t \leq t_1$, $z(t)$; $t_0 \leq t \leq t_1$.

Формула эта задает пути. Речь идет здесь о движении точки, осуществляемом, естественно, без скалков. Так что функция $z(t)$ является непрерывной функцией. Мы не уточняем здесь понятие непрерывности, считая, что оно интуитивно ясно, как движение точки. Следует отчетливо понимать, что путь есть процесс

Рис. 1

4

движения, а не та линия, которую описывает движущая точка. Однако и ту же линию можно описать разными способами.

В процессе движения точка $z(t)$ в различных моменты времени может попадать в одну и ту же точку плоскости, так что не исключается равенство

$$z(t_2) = z(t_3)$$ при $t_2 \neq t_3$.

Таким образом, пусть может иметь самопересечения. Он может даже состоять из одной точки, именно в случае, когда точка $z(t)$ вовсе не перемещается при изменении $t$.

В дальнейшем, если это не будет оговорено специально, мы всегда будем предполагать, что пусть не проходит через начало координат, то есть что величина $z(t)$ ни при каком значении $t$ не обращается в нуль.

Toчка $z(t_0) = z_0$ называется началом пути, а точка $z(t_1) = z_1$ — его концом.

Если имеет место равенство $z_0 = z_1$, то пусть называется замкнутым (рис. 2).

Так как комплексно число $z(t)$ не обращается в нуль, для всякого значения $t$ определяен аргумент $\varphi(t)$ комплексно числа $z(t)$; но он определяен лишь с точностью до слагаемого $2k\pi$. Эта неоднозначность для нас не желательна. Для того чтобы освободиться от нее, мы выберем для начальной точки $z_0$ вполне определенный аргумент $\varphi_0 = \varphi(t_0)$.

Затем по мере возрастания $t$ будем выбирать аргумент $\varphi(t)$ точки $z(t)$ так, чтобы при малых изменениях $t$ он менялся мало. Этот неоднозначность выбора аргумента будет устранена. Добавление к аргументу числа $2k\pi$ при $k \neq 0$ приводило бы сразу к резкому изменению величины $\varphi(t)$. Выбрав начальное значение аргумента $\varphi(t_0) = \varphi_0$ и следя за тем, чтобы аргумент $\varphi(t)$ точки $z(t)$ менялся вместе с $t$ непрерывно, мы получаем вполне определенную функцию $\varphi(t)$, меняющую непрерывно, то есть без скачков. Если выбрать начальное значение аргумента $\varphi_0$ иначе, изменив его на $2k\pi$, то он будет отличаться от ранее выбранногоровно на $2k\pi$ на всем протяжении изменения $t$. Отсюда следует, что при таком способе построения функции $\varphi(t)$ величина

$$\varphi(t_1) - \varphi(t_0)$$

не зависит от случаяно выбранного начального значения аргумента числа $z_0$.

Если пусть замкнут, то точки $z_0$ и $z_1$ совпадают и, следовательно, их аргументы $\varphi(t_0)$ и $\varphi(t_1)$ могут отличаться лишь на $2k\pi$. Поэтому число (1) в случае замкнутого пути есть $2k\pi$. Целое число $k$ называется индексом замкнутого пути в плоскости комплексно первогоного $z$. Следует еще раз подернуть, что индекс замкнутого пути можно определить лишь в том случае, когда пусть не проходит через начало координат.

Индекс $k$ имеет простой геометрический смысл. Именно, он указывает, сколько раз точка $z(t)$, описывая замкнутый пути, обходит начало координат (рис. 3).

Рассмотрим простой пример. Пусть $1 + r(\cos t + i \sin t); 0 \leq t \leq 2\pi$ является замкнутым. Он описывает окружность с центром в точке 1 и радиусом $r$ и проходит окружность

5

с течение времени $t$ равномерно против часовой стрелки. Если число $r$ меньше 1, то окружность не содержит внутри себя начало координат и индекс пути равен 0. Если $r > 1$, то окружность содержит внутри себя начало координат, и индекс пути равен 1 (проверьте это самостояльно). В случае $r = 1$ пусть проходит через начало координат и его индекс не определялен. Если число $r$ меньше 2, как говоря, деформация замкнутого пути его индекс не меняется, если только пусть в какой-то момент деформация не проходит через начало координат.

Говоря, что пусть описывается движением точки во времени, мы лишь хотели придать более интуитивный характер определению пути. В действительности же речь идет о зависимости комплексного переменного $z$ от некоторого действияного параметра $t$ (который можно обозначить и другой буквой). Так, например, пусть (2) можно записать в виде $1 + r(\cos \alpha + i \sin \alpha); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,$ (3) где параметром уже является не $t$, а $\alpha$. Ясно, что пусть (3) описывается точкой $1 + z$, когда точка $z$ описывает пусть

$$r(\cos \alpha + i \sin \alpha); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi.$$

Здесь $r$ есть числовой параметр, от которого зависит сам пусть. Говоря, что при изменении $r$ пусть (3) деформауется.

Введем понятие деформации пути. Будем считать, что пусть деформация, если он постепенно меняется

$$r( \cos \alpha + i \sin \alpha ); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi.$$

Рис. 4.

Деформация пути 1+r(cosα+i sinα) при изменении $r$

Рис. 5.

6

до 2π, аргумент точки $z^n$ меняется от 0 до $2n\pi$. Таким образом, индекс пути (5) равен $n$ (см. рис. 6, где схематически показан случай $n=3$).

Комплексные функции комплексного переменного

Если числовое значение комплексной переменной величины $w$ можно найти, зная числовое значение другой комплексной переменной величины $z$, то переменная величина $w$ называется функцией переменной величины $z$, что записьается в форме

$$w = f(z).$$

Если комплексная функция $f(z)$ комплексного переменного $z$ имеет произвольную, то она называется аналитической функцией. Теория аналитических функций является теперь одним из важнейших разделов математики. Здесь нас будут интересовать лишь аналитические функции очень частного вида, именно многочлены.

Рассмотрим многочлен

$$w = f(z) = z^n + a_1 z^{(n-1)} + \dots + a_{(n-1)} z + a_n,$$

где $a_1, a_2, \dots, a_n$ суть комплексные коэффициенты, а $n$ — неотрицательное целое число, которое называется степенью многочлена. Целью нашего исследования будет доказательство того, что многочлен (6) положительный степень имеет корень, то есть что уравнение

$$f(z) = 0,$$

где $f(z)$ — многочлен (6) и $n > 0$, имеет решение. Для доказательства этого мы рассмотрим замкнутый путь

$$f(r(\cos \alpha + i \sin \alpha)); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,$$

которые описывают точка $f(z)$, когда точка $z$ описывает замкнутый путь

$$r(\cos \alpha + i \sin \alpha); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi.$$

Случай, когда свободный член $a_n$ многочлена $f(z)$ равен 0, не требует рассмотрения, так как в этом случае многочлен $f(z)$ имеет оченьный корень $z = 0$. Поэтому мы будем считать, что $a_n \neq 0$. Замкнутый путь (7) зависит от параметра $r$ и при изменении параметра $r$ деформаруется. При $r = 0$ число $z$ равно 0, и путь $f(z)$ состоит из неподвижной точки $a_n$. Таким образом, его индекс при $r = 0$ равен 0. Мы доказем, что если взять $r$ достаточно большим, то индекс пути (7) равен $n$. Но по предположению $n \neq 0$, поэтому при изменении чисел $r$ от большого значения к нулю путь (7), деформаруется, прошёт при каком-то значении $r$ через начало координат, а это и значит, что при некотором значении $z$ функция $f(z)$ обратится в нуль, то есть корень у этого многочлена существует (рис. 7).

Для доказательства того, что при достаточно большом $r$ замкнутый путь (7) имеет индекс, равный $n$, продолжируем этот путь в более простой, индекс которого легко сосчитать.

Прежде всего мы разобем многочлен $f$ на сумму двух

$$f(z) = z^n + g(z),$$

где $g(z)$ задается формулой

$$g(z) = a_1 z^{n-1} + a_2 z^{n-2} + \dots + a_{n-1} z + a_n.$$

Многочлен $g(z)$ суть вполне определенные числа, то они все не преосходят по модulo неокоторую константу $C$. Из доказанного в предыдущей статье (см. «Квант», 1982, № 3) неравенства (8), распространенного на произвольное число слагаемых, следует, что при $|z| > 1$

$$|g(z)| \leqslant nC|z^{n-1}|.$$

Рассмотрим многочлен $f(z, s)$, зависящий от параметра $s$, $0 \leqslant s \leqslant 1$, задаваем следующей формулой:

$$f(z, s) = z^n + sg(z).$$

Мы имеем равенство

$$z^n = f(z, s) - sg(z),$$

откуда

$$|z^n| \leqslant |f(z, s)| + |-sg(z)| \leqslant |f(z, s)| + nC|z^{n-1}| \leqslant |f(z, s)| + nC|z^{n-1}|,$$

7

Рис. 7.

(см. (8)). Отсюда следует
$$|f(z, s)| \geq |z^n| - nC |z^{n-1}|.$$

Обозначим $|z|$ через $r$, тогда последнее неравенство принимает вид
$$|f(z, s)| \geq r^n - nCr^{n-1} = r^{n-1}(r - Cn).$$

Таким образом, при $r > Cn$ права часть предыдущего неравенства положительного. Следовательно, модель функции $f(z, s)$ не обращается в нуль ни при каком значении $S$, если только $0 \leq s \leq 1$.

Обратим внимание теперь на тот факт, что при $s = 0$ многочлен $f(z, s)$ превращается в известный нам многочлен $z^n$. А индекс пути $z^n$, когда $z$ описывает окружность $r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$, нами уже сосчитан (см. (5)). Он равен $n$. При $s = 1$ многочлен $f(z, s)$ превращается в многочлен $f(z)$ и определяемый им путь (7) имеет индекс, тоже равный $n$. Итак, мы доказали, что индекс пути (7), определяемый многочленом $f(z)$, при $r > Cn$ равен $n$. Из этого, как сказано выше, уже следует, что многочлен $f(z)$ обращается в нуль при некотором значении $z$, где $|z| < Cn$.

Итак, основная теорема алгебры доказана.

Деление многочленов

При делении целого положительного числа $a$ на целое положительное число $b$ мы приходим к равенству
$$a = bh + k,$$
где $h$ и $k$ — целые неотрицательные числа и $k < b$. Число $h$ называется частным, а $k$ — остатком при делении числа $a$ на число $b$.

Способ деления чисел хорошего из арифметики. Но так же, как целые числа, можно делить друг на друга и многочлены. Будем исходить из двух многочленов
$$a(z) = a_0 z^p + a_1 z^{p-1} + \dots + a_p,$$
$$b(z) = b_0 z^q + b_1 z^{q-1} + \dots + b_q.$$

Мы будем предполагать здесь, что числа $a_0$ и $b_0$ не равны нулю, так что многочлен $a(z)$ имеет степень $p$, а многочлен $b(z)$ имеет степень $q$. В результате деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$ мы можем прийти к следующему равенству, аналогичному равенству (9):
$$a(z) = b(z)h(z) + k(z),$$
(10)

где степень многочлена $k(z)$ меньше $q$. Многочлены $h(z)$ и $k(z)$ называются, соответственно, частным и остатком при делении многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$.

Если $k(z) = 0$, то говорят, что многочлен $a(z)$ делится на многочлен $b(z)$, а $h(z)$ является частным от их деления.

Равенство (9) доказано в арифметике, а равенство (10) должно доказывать в алгебре. Но деление многочленов не входит в ниле действияующего школьную программу. Чтобы доказать (10), мы должны построить такие многочлены $h(z)$ и $k(z)$, которые удовлетворяют этому равенству. Процесс этого построения представляется собой очень важный алгоритм. Опишем его.

Если $p < q$, то тогда $h(z) = 0$, $k(z) = a(z)$, и равенство (10) выполнен.

Теперь мы будем строить многочлены $h(z)$ и $k(z)$ в предположении, что $p \geq q$. Сперва построим равенство
$$a(z) = b(z)h_1(z) + a_1(z),$$
(11)
в котором строить многочлена $a_1(z)$ меньше $p$. Для этого положим
$$h_1(z) = \frac{a_0}{b_0}z^{(p-q)}.$$

Тогда разность
$$a(z) - b(z)h_1(z) = a_1(z)$$
имеет степень меньше, чем $p$, так как в этом многочлене коэффициент при $z^p$ равен нулю, а остальные степени $z$, входящие в этот многочлен, очень меньше $p$. Таким образом, равенство (11) построено.

8

Если многочлен $a_1(z)$ имеет степень меньше, чем $q$, то равенство (11) уже является равенством (10). В противоположном случае к многочлену $a_1(z)$ применим ту же процедуру, которая применена к многочлену $a(z)$ при построении равенства (11). И тогда мы получим для него равенство

$$a_1(z) = b(z)h_2(z) + a_2(z),$$

причем степень многочлена $a_2(z)$ уже меньше, чем степень многочлена $a_1(z)$. Если многочлен $a_2(z)$ уже имеет степень меньше, чем $q$, то подставляя $a_1(z)$ из последнего равенства в равенство (11), мы получим

$$a(z) = b(z)(h_1(z) + h_2(z)) + a_2(z),$$

которое уже является равенством (10). Если многочлен $a_2(z)$ тоже имеет степень больше, чем $q$, то мы продолжим наше построение дальнейше, и в конце концов докажем нужное равенство (10).

Здесь мы описали процесс деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$, то есть нахождение многочленов $h(z)$ и $k(z)$, входящих в равенство (10). Докажем теперь, что они однозначно определяны многочленами $a(z)$ и $b(z)$. Допустим, что нарушу с равенством (10) имеет место равенство

$$a(z) = b(z)h_0(z) + k_0(z),$$

причем степень многочлена $k_0(z)$ меньше $q$. Вычитая равенство (12) из равенства (10), получим

$$b(z)(h(z) - h_0(z)) = k_0(z) - k(z).$$

Так как степень многочлена $b(z)$ равна $q$, а степень многочлена $k_0(z) - k(z)$ меньше $q$, то последнее равенство может иметь место лишь при условии $h(z) - h_0(z) = 0$, так что и $k(z) - k_0(z) = 0$.

Многочлены с произвольными комплексными коэффициентами

Теперь существуетющий по основной теореме алгебры корень многочлена $f(z)$ с комплексными коэффициентами обозначим через $z_1$. Докажем, что многочлен $f(z)$ делится на двулен $(z - z_1)$. Производа деление многочлена $f(z)$ на многочлен первого степени $(z - z_1)$ по правилам, описанным в предыдущем разделе, мы получим частное, которое обозначим через $f_1(z)$, и некоторый остаток в виде многочлена нулевой степени, то есть числа, которое мы обозначим через $k$. Таким образом, имеем

$$f(z) = f_1(z)(z - z_1) + k.$$

Так как $f(z_1) = 0$, то полагая в предыдущем равенстве $z = z_1$, получаем $k = 0$.

Итак, многочлен $f(z)$ разделился на $(z - z_1)$, и мы имеем

$$f(z) = (z - z_1)f_1(z),$$

где $f_1(z)$ — многочлен степени $n-1$, который, очевидно, начинается с члена $z^{n-1}$. Если $n > 1$, то $n-1 > 0$; тогда многочлен $f_1(z)$ будет положительным степени и, по доказанному ранее, имеет некоторый корень $z_2$. Таким образом, по только что доказанному, многочлен $f_1(z)$ разделяется на многочлен

$$f_1(z) = (z - z_2)f_2(z).$$

(13)

Продолжая этот процесс dalleше, мы получим разложение $f(z)$ на $n$ линейных многочленей

$$f(z) = (z - z_1)(z - z_2) \dots (z - z_n).$$

Числа $z_1, z_2, \dots, z_n$ являются корнями многочлена $f(z)$, и других корней многочлен $f(z)$, очевидно, не имеет. Можно, однако, оказаться, что один и тот же корень встречается в этом разложении несколько раз. Группируя равные между собой корни, мы получаем разложение

$$f(z) = (z - z_1)^{k_1}(z - z_2)^{k_2} \dots (z - z_q)^{k_q},$$

где все корни $z_1, z_2, \dots, z_q$ различны. Число $k_1$ называется кратностью корня $z_1$, число $k_2$ — кратностью корня $z_2$, и так далее, число $k_q$ — кратностью корня $z_q$. Таким образом, число различных корней многочлена $f(z)$ может быть и меньше, чем $n$. Однако если учитывать кратность каждой корня, то сумма кратностей в точности равна $n$. В этом смысле многочлен $f(z)$ имеетровно $n$ корней.

Многочлены с действительными коэффициентами

Рассмотрим теперь случай, когда все коэффициенты многочлена $f(z)$ — действительные числа. О корнях та-

9

кого многочлена можно высказать некоторые весы интересные дополнительные сообщения.

Для рассмотрения многочлена с действительными коэффициентами введем понятие числа $\bar{z}$, комплексного сопряженного данному комплексному числу $z$. Именно, если
$$z = x + iy,$$
то, по определению, число
$$\bar{z} = x - iy$$
(14)

называется комплексно сопряженным с $z$. Таким образом, число $\bar{z}$, комплексного сопряженное с числом $z$, является зеркальным образом числа $z$ относительно оси действительных чисел.

Если
$$z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha),$$
то
$$\bar{z} = r(\cos \alpha - i \sin \alpha) = r(\cos (-\alpha) + i \sin (-\alpha)).$$
(15)

Таким образом, аргументы двух комплексно сопряженных чисел отличаются лишь знаком. Из формулы (14) следует, что
$$\bar{z}_1 + \bar{z}_2 = \bar{z}_1 + \bar{z}_2.$$
Из формулы (15) следует, что
$$\bar{z}_1 \bar{z}_2 = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2.$$
Заметим еще, что равенство
$$\bar{z} = z$$
имеет место тогда и только тогда, когда $z$ есть действительное число.

Из трех предыдущих формул легко получить, что для многочленов $f(z)$ с действительными коэффициентами имеет место равенство
$$\bar{f}(\bar{z}) = f(\bar{z}).$$
Из этого равенства следует, что если $z_1$ есть корень многочлена $f(z)$ с действительными коэффициентами, то $\bar{z}_1$ есть также его корень. В случае, если $z_1$ есть действительное число, то это утверждение бессодержательно. В случае, если $z_1$ не есть действительное число, то утверждение указывает на существование наряду с корнем $z_1$ отличного от него корня $\bar{z}_1$. Таким образом, если $z_1$ — не действительное число, то многочлен $f_1(z)$ (см. (13)) имеет делитель $(z - \bar{z}_1)$, и мы получаем разложение на множители

$$f(z) = (z - z_1)(z - \bar{z}_1)f_2(z).$$
Поляга в этом равенстве
$$z_1 = x_1 + iy_1,$$
получаем
$$f(z) = (z^2 - 2x_1z + x_1^2 + y_1^2)f_2(z).$$

Таким образом, мы видели у многочлена $f(z)$ действительный квадратический множитель $z^2 - 2x_1z + x_1^2 + y_1^2$. Отсюда следует, что многочлен $f_2(z)$ — также многочлен с действительными коэффициентами, так как он получается в результате деления многочлена $f(z)$ на действительный квадратический трехчлен. Следовательно, у этого многочлена $f_2(z)$ комплексные корни опять попарно сопряжены. Если у него найдется корень, равный уже равен найdenному корню $z_1$, то найдется и корень $\bar{z}_1$. Таким образом, в этом случае из многочлена $f_2(z)$ выделяется один квадратический множитель, равный прежнему квадратическому множитель. Из этого видно, что кратность комплексного корня многочлена $f(z)$ с действительными коэффициентами равна кратности сопряженного корня, и мы получаем разложения многочлена $f(z)$ на действительные множители:

$$f(z) = (z^2 - 2x_1z + x_1^2 + y_1^2)^{k_1} \dots (z^2 - 2x_pz + x_p^2 + y_p^2)^{k_p} \times (z - z_{p+1})^{k_{p+1}} \dots (z - z_q)^{k_q}.$$

Заметим, что квадратические множители вида
$$z^2 - 2x_i z + x_i^2 + y_i^2, \quad i = 1, 2, \dots, p,$$
в которых все $y_i$ не равны нулю, уже не разлагаются на действительные множители.

11

вся масса атома. А размеры ядра в сто тысяч раз (!) меньше, чем размеры электронного облака.

Теперь все условия исследователей средоточились на следующем шаге — понять, из чего состоит ядро. И опять на помощь пришли α-частицы. Резерфорд со своим сотрудниками obлуал ими азот и другие легкие газы и наблюдают расщепление ядер. При этом из них вылетали ядра водорода — протоны, как их позднее назвал Резерфорд. Первые работы по расщеплению ядер были опубликованы в 1919 году, и уже в них учены сделали вывод, что протоны являются структурной частью более тяжелых ядер.

А через год Резерфорд выступил с лекцией, в котором рассказал, как он представляет себе устройство ядра. По мнению Резерфорда, ядра более сложные, чем водород, должны состоять из положительного заряженных протонов и электронов. Для такого предположения имелись весные причины. Наличие протонов подтверждали опыты самого Резерфорда. Существование электронов казалось естественным, поскольку они вылетали из ядра при β-распаде. Наконец, эта гипотеза помогала объяснить накопившее к тому времени данные о соответствии между массами и зарядами ядер. Так, заряд ядра геляя в два раза превышает заряд протона, а масса была в четыре раза больше, чем масса ядра водорода. Для углерода эти соответствия составляли соответственно 6 и 12 и т.п.

Предположение Резерфорда все объясняло:

Элемент
Водород
Гелий
…
Углерод
…

Состав ядра
p (протон)
4p+2e−
…
16p+6e−
…

Заряд ядра (Z)
+1
+2
…
+6
…

Относительная масса ядра (A)
~1
~4
…
~12
…

Гипотеза была вполне логичной (она существовала и раньше), по-

(одинаковые заряды ядер!). А может существовать ядро из протона и элект-

13

часиц с массой, близкой к массе протона.

Жолно-Кюри впоследствии говорил:

«Большинство физков, в том числе и мы, не образили вимания на гипотезу Резерфорад. Но она все еще блуждала под сводами здания лаборатории Кавендша, где работал Чедвик, и вполне естественно и справедливо, что последняя точка в открытии нейтрона была поставлена именно здесь. Идеи, высказанные когда-то нашими учителями — как живущими, так и учедшими от нас, — много раз вспоминаются и забываются в их лабораториях, сознательно или подознатьлно проникая в мысли тех, кто постояно там присутствует. Постепенно идеи созревают: тогда совершается открытие».

О том, в каких экспериментах был обнаружен нейтрон и почему он оказался вполне «самостояльной» частицей, а не просто объединением протона и электрона, можно прочитать в статье Л. Тарасова «Открытие нейтрона», которая была опубликована в «Кванте» № 5 за 1979 год. Нам же осталось отметить, что в 1935 году Джеймс Чедвик стал лapyреатом Нобельской премии по физике, а доказательство существования нейтрона сразу привлекло всеобщие внимание. Стало ясно, что ядра состоит из нейтронов и протонов и что эти частицы должны быть объединены новым, еще неизвестным видом сил. Так родилось понятие о «ядерном» или «сильном» взаимодействии.

Исполнилось и предсказание Резерфорад о том, что нейтрон становится исследователем прекрасным инструментом, проникающим в глубь ядер. Во многих лабораториях мира стали обструивать вещество нейтронами и получили интересные результаты.

Нарушим немного хронологию и перейдем теперь к открытию другой частицы. Среди уже известных элементов частиц — фотона (квант электромагнитного излучения), электрона, весма призначного (но уже предсказанного) нейтрино и, наконец, нейтрон — возник еще один удивительный феномен.

О «случайных» открытиях

Часто говорят, что позитрон обнаружил случайно. Писать так стало почти традиционным. Действительно, Карл Андерсон, который и совершил это открытие, проводил эксперименты, «цель которых состоит в измерении энергетического спектра электронов, образующихся в атмосфере и в материалов благодаря приходящему из космоса излучению». Ни о каких позитронах речь не шла.

Однако любое физическое открытие, как бы оригинально и неожиданное оно ни было, всегда только звено в бесконечной цепочке успехов и ошибок науки. И примером тому как раз может служить обнаружение позитрона. Мы расскажем только о некоторых звеньях цепочки, приведших к целю.

О первых исследований космических лучей.

О приборе, с помощью которого было сделано открытие.

О работах советского физика Д. В. Сковельцына.

И конечно же, о предсказании существования позитрона — ведь 1932 год — год исполняшихся предсказаний!

Космические лучи (1901—1927)

Всем, наверное, знаком школьный прибор — электросокоп. Если его зарядить, то листочки со временем опадают, и это происходит, как бы хорошо ни была изолированна подставка и каким бы терметичным ни был кожух. Напрашивается естественный выбор, что в возникшее среди нейтральных молекул всегда присутствует носители заряда —оны. Воздух хоть и плохо, но проводит электричщее ток, и поэтому электросокоп разряжается. Каково произхождение этихонов? Попытка ответить на этот вопрос сыграла важную роль в обнаружении космического излучения.

14

В начале нашего века, после открытия радиоактивности, положение казалось, пряянилось. Ведьничное количество радиоактивных элементов всегда присутствует в почве, в стенах здания, в материаловх建筑物, и наконец, в самых экспериментаторов. В атмосферу попадают радиоактивные газы (правда, они быстро распадают). Это идущее отовсюду излучение «разбивает» молекулы и приводит к онизация воздуха.

Экспериментальная техника лучшаясь, на смену относительно простым приборами пришли сложные — электронметры, которые могут употребить приступные даже несколько десятиков ионов в кубическом сантиметре воздуха. Чтобы еще больше увеличить чувствительность электронметров и избавиться от внешнего фона, их окружали слоем свинца, поглощавшим внешнее излучение, и выдерживали несколько суток, чтобы внутри прибора распались радиоактивные газы. И тем не менее ток разрядищел. Была высказана гипотеза, что через свинец пропникает энергичное излучение земных пород. А поскольку начало нашей века ознакомалось удивительными успехами в воздействию излучения, почем бы не поднять над поверхностью Земли и тем самым удалиться от ее излучения? Так и было сделано. Сначала пытаемся использовать Эйфелеву башню (300 м), затем, в 1909-10 годах К. Геккель поднялся на воздействию шара на высоту около 4 км. Наболее точные измерения в то время провел В. Гесс. Согласно его данным, ток разрядики вчалале уменьшался, а затем быстро возрастал; на высоте 5 км он был уже в три раза больше, чем у поверхности Земли. Гекс высказал предложение, что существует пропникащеонизирующее излучение, иначе сверху и ослабляемое атмосферой.

В 1922—26 годах работы, которые велись группой американских физиков под руководством Р. Милликена на воздействию шара-зондах (они поднимались до 5 км), в горных местностях, под водой, позволили с точностью установки, что на Землю из мирового пространства падает неизвестное излучение. Милликен назвал его космическим. Для того чтобы понять природу этого излучения, онизация метод уже не годился — он регистрации только следствие (онизацию), которое могло быть вызван самыми различными причины. Чтобы продвинутся дальше в изучении космических лучей, физиком понадобился «самый оригинальный и удивительный инструмент» (это — слова Резерфорда), существовавший в то время для регистрации частиц — туманная камера Вильсона.

Камера Вильсона
(1911—1912)

Поток влажного воздуха, нагрето землей, поднимается вверх. В более высоких слоях атмосферы воздуха массы расширяются и одновременно охлаждаются. Теперь водяной пар находится в пересыщенном состоянии и начинает конденсировать, собираться в капли влаги. Мы говорим: «небо затянулось пленной тумана». Процесс роста капель в пересыщенном паре оказывается не простым. Так, учены выяснили, что для образования тумана необходимо центры конденсции, иначе пар может значительное время оставаться пересыщенным. Чаще всего центрами конденсции становятся мелкие частицы пыли.

Этими вопросами занимаются и английский физик Чарльз Вильсон. Именно он открыл, что центрами конденсции пара могут стать ноны, образовавшиеся при облучении пересыщенного параRENTеновским лучами или радиацией других видов (α, β, γ). Со свойствим ему упорством и огромным экспериментальным искусством (а Вильсон слабился тем, что почти всего аппаратуру делал сам), проработав над этой темой много лет, учены создают новый прибор для регистрации частиц. Он назвал его «туманной камерой», но очень скоро экспериментаторы переменовали его в «камеру Вильсона».

Опишем теперь в самых общих чертах принцип работы камеры Вильсона. Объем, наполененный парáми

15

Жидкость (вода, спирт и т. п.), с помощью поршня или диафрагмы резко увеличивается. Пар, тщательно очищенный от пыли, неокоторое время (0,1÷1 с) находится в пересыщенном состоянии и не конденсируется. Если в этот момент через объем пропетает частица, онизирующая молекулы пара, то на образованныхся нахах начальной возникать капли воды. След частицы становятся видимым и может быть сформирован. Для этого стенка камеры делается произной. За счет теплопроводности стенок температура пара довольно быстро повышается, след исчезает, и иногда всего камеру заполняется туман. Надо опять готовить прибор к работе, и подготовка требует уже десять секунд. В этом и состоит главный недостаток прибора — у него, как говоря физики, «большое мертвое время». (Внешне простой принципи работы туманной камеры (его описание есть даже в школьных учебниках) не дает ни малейшего представления о тех физических и технических трудностях, которые возникали при ее изготовлении и наладке.) Но прежде чем более совершенные установки вычислений «туманную камеру», прошли десяти лет, и с ее помощью были сделаны выдающие открытия. Поэтому Чарльз Томсон Рис Вильсон «за метод делать видимыми пути заряженных частиц с помощью конденсции пара» получил в 1927 году Нобелевскую премию по физике.

Итак, у физков появился возможность наблюдать частицы и определять многое их характеристики. Вот на снимке (рис. 1) «жирный след» α-частицы, а слева — первый след из редких капель, образованных быстром электроном. Разница легко объяснить, если воспользоваться приближенной формулой для числаонов N, образующихся на пути длиной в 1 см:

$$N \sim Z^2/v^2,$$

(1)

где Z — заряд частицы, v — ее скорость ($[v] = cm/c$). Электрон с энергийой 5 МэВ движется практически со скоростью света, а α-частица с той же энергийей — в 20 раз медленнее. Кроме того, она имеет в 2 раза больший заряд.

Измеря кривизну траектории электронов на фотографиях, можно найти их импульс. Мы сейчас не будем останавливаться на исследованиях электрон-эфекта, которые сами по себе для исключительного интересные

16

результаты, а вспомним о космическом изучении.

Вот что писал Д. В. Скобельцын:

«…на снимках обнаруживались время от времени прямы пути частиц неизвестного происхождения, почти не отклоняемые магнитным полем, но по своему ионизирующему действию не отличующая сколько-нибудь от быстрых β-лучей, фотографики которых имеются на тех же снимках. Дальнейшие наблюдения, результаты которых были опубликованы в 1925 году, позволили установить, что появление путей таких «ультра β-лучей» относительно с прохождение через камеру Вильсона γ-лучей, что наличие поток частиц, произвывающих атмосферу».

Частцит такой большой энергии, что они практически не отклонялись в относительной слабом поле камеры.

Скобельцын доказал, что инициация, создаваемая космическим изучением, может быть объясена «ультра β-частицами».

На ряде снимков Скобельцына был виден цельный поток быстрых частиц. Их назвали космическими ливнями.

Итак, звенья цепочки, ведущей к позитроу, собраны:

1. Открыты космические лучи.
2. Создан прибор — камера Вильсона, помещенная в магнитное поле.
3. Этот прибор позволяет что в состав космического изучения. входят заряженные частицы.

Вот только поле пока еще было мало и не отклоняло «ультра β-лучи».

Открытие позитрона

Мы уже упоминали имя Робerta Эндриса Милликена. Это был виддающийся физик, получивший в 1923 году Нобелевскую premio «за работы по изучению элементарного заряда электричества и фотоэлектрического эффекта». По воспоминаниям друзей, он сочетал в себе (кроме многих других искусительныхных чертов) два качества, которые трудно было не заметить: разговоривость, во много раз превышало среднюю норму, и вдалося физическую интупцию. Сыграло ли первое какую-нибудь роль для открытия позитрона — осталось неизвестным. Но второе оказалось решающим. Узнав об опытах Скобельцына, Милликен сразу же поручил одному из своих сотрудников — Карлу Андерсону — начать исследование космического изучения с помощью камеры Вильсона, но уже помещенной в значительной более сильное, чем в опытах Скобельцына, магнитное поле. Это потребовал и экспериментального искусства, и исключительных для того времени технических средств.

И вот получены фотографики, на которых видны исправленные траектории космических частиц. Рисунок 2 сделан с такой фотографики. Плотность инизации, радиус кривизиты траектории — все говорило о том, что следы I и II принадлежат электронам. Но как обьяснить появив

Рис. 2. Следы электронов (I, II) и позитронов (III, IV) в камере Вильсона. (Магнитное поле направлено на нас.)

Рис. 3. Фотографика следа позитрона в камере Вильсона (светлая горизонтальная полоса — свинцовая пластинка).

17

К. Андерсон около своей установки.

ленние следов III и IV с «неправильной» кривизной? На фотографиях их было приблизительно столько же, сколько и электронных.

Первое предложение, и веса естественное, заключалось в том, что это следы протонов. Другой знак заряда — другой знак кривизны траектории. Но исследование фотографий привело к выводу, что ониизируются способностью уположительных частиц практических та же, что у электронов. Если предложить, что это протоны, то скорость их должны быть столь же велика, что и скорость электронов (см. (1)), то есть ~c; импульс же таких протонов — в 10³ раз больше импульса электронов, и следовательно, радиусы кривизны их траекторий-следов в магнитном поле должны быть в тысячу раз больше, чем у электронов (см (2)).

Вывод один — не протоны.

Второе предложение заключалось в том, что «неправильные частицы» — электроны, но легящие в противоположном направлении. Тогда и траектория у них будет иметь противоположную кривизну. Чтобы проверить это предложение, Андерсон придумал остроимый опыт. Он помещил посередине камеры свинцовую пластину. Проходя через нее, частица теряет энергию, замедляется и магнитное поле сильнее искривляется траекторию. По фотографии (рис. 3) можно определить направление движения частицы, а зная, что поле направлено «от нас», убедиться, что она имеет положительный заряд.

И вот в 1932 году Андерсон пришел к выводу, что новые частицы — не что иное как «положительные электроны» с массой $m_e$ и зарядом $e^+$. Сначала это предложение было высказано довольно робко. Но вскоре оно было убедительно подтверждено в экспериментах самого Андерсона, а также Блэкетта и Оккалини. Кроме того, эти учены показали, что появление позитронов в камере связано сливями космического излучения.

Самым порозительным в этой истории было даже не открытие новой частицы, хотя в физике, особенно в то время, это было собственным первостепенной важности. Поразнительным было то, что обнаружилась частица, представанная в 1931 году, в существование которого никак не верил — слишком необучимым было это представление. Но об этом — в следующем номере журнала.

Литература

1. Л. Тарасов. Открытие нейтрона. «Квант», 1979, № 5.
2. Д. Юз. История нейтрона. М., Атомиздат, 1964.
3. Нейтрон. Предыстория, открытие, последствия. М., «Наука», 1975.
4. И. Дорман. Космические лучи. М., «Наука», 1981.

Только у нас!

В кунсткамеру «Квант» поступила знаменитая свеча, являющаяся эталоном единицей силы света до 1967 года (когда она была заменена канделю) и хранившаяся в платиновом цилиндре близ Парижа. Платиновый цилиндр нам пока не прислали.

18

В 1981 году, в канун 20-летия полета Юрия Гагарина, в Москве, рядом со станцией метро «ВДНХ», в цоколе обелиска Героям космоса, открылся темпориальный музей космонавтики. Его экспонатами стали образцы космической техники, оригиналы документов, в которых отражен путь нашей страны к высотам космоса, личные вещи космонавтов. Расссказуемый ли не о каждом экспонате

НА ОРБИТЕ - НОВЫЙ МУЗЕЙ

можно начать со слов «первый», «впервые». Но эти слова во многом относятся к самому музею.

В нем впервые в практике музейного дела в таком весобемлюшем виде используется звук, освещение, оптические эффекты, проекционная аппаратура, новейшие конструкции. Цель, которая при этом преследуется, — человек, пришедший сюда, должен пережить максимальное возможное «погружение» в космос на земле.

Уже ввестию в витринах, наполняющих скафандры, посетители встречают документы, памятные медали и другие реликвины, отмечующие основные этапы в развитию советской космонавтики. Затем, через оригинальный «шлюз», посетители попадают в главный зал, который наполняет внутреннюю часть космического корабля. В глубине залах находится моументальная композиция, которая состоит из витража, излучащего «космическое» сине-голубое сияние, полупроэрачной сферы «Знаки зодиака», опцетворяющей наши прошленные представления о Вселенной, и скульптуры космонавта (часть этой композиции воспроизведена на первой странице нашей обложки).

Витрин в музее мало. Проходя вдоль зала, посетители видят экспонаты как бы через иллюминаторы космического корабля. Зеркальные проемы из чержавшей стали создают иллюзию «невесоности», в которой находится демонстрируемые образцы космической техники. Голубая светяющая лента отделяет экспонаты от зрителей. Акустическая и телевизионная аппаратура позволяет вести красочный рассказ о буднях и праздниках нашей космонавтики.

Знакомство с музеем завершается в кинозале. Над полупрозрачным зеркальным парит семimetровая модель планетоплана с солнечной батареей. Поверхность стен зала выполена в виде рельефа с цветодинамической системой освещения.

В этом зале с помощью новейших средств лазерной, электронной и полиэкранной техники зрители показывает художственное композиция, отражающая гуманистические идеалы человека в освоении космического пространства. В течение 20 минут посетители светяют путешествие в прошлое, настоящее и будущее космических исследований.

В создании экспозиции музея участвовали художники, скульпторы, архитекторы, конструкторы: О. Ломako (главный художник), Г. Шульц, Н. Ломako, Ж. Канкаян, Н. Рудко, И. Казанский. Научное руководство по созданию музея осуществляла З. Кострикина.

В. Колейчук

Кинозал
Общий вид экспозиционного зала музея
Скульптурная композиция «Знаки зодиака»
Скафанд космонавта и спускаемый аппарат
Луноход и первый искусственный спутник
Лучные вещи первого в мире космонавта Ю. А. Гагарина

Фото Г. Макарыева

21

Прежде всего — шутливое стихотворение М. В. Ломоносова:

Слушильсь вместе два Астронома в пиру
И спорили весма между собой в жару.
Один твердил: Земля, вертясь, круг Солнца ходит;
Другой, что Солнце все с собой планет водит:
Один Коперник был, другой сьыл Птоломей.
Тут повар спор решил устмешко своей.

Хозяин спрашивал: «Ты звезд течение знаешь?
Скажи, как ты о семом сомненье рассуждaeшь?»
Он дал такой ответ: «Что в том Коперник прав,
Я правду докажу, на Солнце не бывал,
Кто видел простaka из поваров такова,
Которий бы вертел очаг вокруг жаркова?»

Пушкин, как всегда, поразитлено точек и тонок в известном стихотворении «Движение». Вдумайте еще раз в содержание пушкинского шедевра:

Движения нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить,
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловать.

Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однаокж прав упрямец Галилей.

Позт Евгений Винокуров, верятоно считая, что Пушкин не исчерпал тему, написал стихотворение «Очевидности»:

Меня со всех стороны
окружили оченьности.
— Это же очень, — я слышал,
как восклицают то тут, то там…
Я не верю, что земля
стоит на месте,

а солнце всходит,
хотя и убеждаюсь в этом
всякий раз —
стоит лишь мне
выглянуть в окно.

Позтов, естественно, поражает конечность величины скорости света и эфекты, с этим связанные. Фет в стихотворении «Угасшим звездам» пишет:

Может быть, нет вас под теми
огнями:
Давняя вас погасила эпоха,—
Так и по смерти лететь к вам
стихами,
К призракам звезд, буду призраком вздоха!

Иначе объгрывает ту же тему Степан Шипчев в стихотворении «Свет звезды»:

Вечерний свет звезды
Мерцает в вышине.
Задумались сады,
И стало грустно мне.
Он здесь, в моем окне,
Звезды далекой свет,

Хотя безжал ко мне
Сто сорок тысяч лет,
А вам езды-то час,
И долго ли собраться!
А нет, чтоб договорая
Приехать вот сейчас.

(Окончание см. на c. 24)

22

Почему висит колъю?

«Почему повисает алиминиевое колъю, свободно надето на незамкнутый сердечник трансформатора?» — такой вопрос был предложен участником III Московского турира юных физиков. Наверное, любой девятиклассик, не задумываясь, ответил бы примерно следующее: «В колъце индуриются токи, которые взанмодействуют с внешним магнитным полем. Согласно правилам Ленца, индурионный ток всегда направлен так, чтобы своим действием мешать причине, его породившей. В данном случае индурионные токи имеют такое направление, что сила Ампера как бы отталкивает колъю от катушки трансформатора. В некоторых эта сила уравновешивает силу тяжестки колъца, и оно повисает в воздухе».

В том, что такое поведение колъца обусловлено именно индурионными токами, убедиться нетрудно. Для этого достаточно просто разрезать колъю поперек — оно не будет висеть ни при каких условиях. Однако в приведенном обьясении есть два момента, на которых мы хотели бы обратить внимание. Во-первых, не ясно, какое именно сопротивление колъца — активное или индуктивное — играет решающего роль. Во-вторых, требуется обьясенная существование лишь одного положения равновесия колъца. Попытаемся разобраться в этих вопросах.

1. Покажем, что эфекта повисания колъца не было бы, если бы колъю обладало только активным сопротивлением. Проведем некоторые вычисления.

Сила Ампера, действующая на тонкое колъю длиной l, по которым течет ток I, равна

$$F = B_r I l,$$

где $B_r$ — горизонтальная проекция вектора магнитной индукции внешнего поля (рис. 1). Индукционный ток I определяется законом Ома:

$$I = \frac{\varepsilon}{R}.$$

Здесь $\varepsilon$ — электродвижущая сила индукции, $R$ — активное сопротивление колъца. Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, взятой с противоположным знаком:

$$\varepsilon = -\Phi' = -(B_B S)'$$

($B_B$ — вертикальная проекция вектора магнитной индукции, $S$ — площадь, ограниченная колъюм). Пусть магнитное поле изменяется по гармоничскому закону с частотой $\omega$, тогда

$$B_r = B_{rm} \cos \omega t,$$

$$B_B = B_{bm} \cos \omega t,$$

$$\varepsilon = -(B_B S)' = B_{bm} S \omega \sin \omega t.$$

$$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B_{bm} S \omega}{R} \sin \omega t,$$

и

$$F = B_r I l = \frac{B_{rm} B_{bm} S \omega}{2 R} \sin 2 \omega t,$$

где $B_{rm}$ и $B_{bm}$ — максимальные значения горизонтальной и вертикальной проекции вектора индукции.

Так как среднее за период значение синуса равно нулю, среднее значение сила Ампера тоже равно нулю. Следовательно, колъю всеット не сможет.

Это противоречие устраняется, если предположить, что колъю обладает не только активным, но и ин-

23

дуктивным сопротивлением тоже, которое и играет первостепенно роль. В таком случае ток в колце будет изменяться со сдигром по фазе относительно ЭДС, и для мгновенного значения силы Ампера получится другое выражение:

$$I = \frac{B_{\text{BM}} S \omega}{Z} \sin(\omega t + \varphi),$$

и

$$F = B_{\text{r}} I l = \frac{B_{\text{GM}} B_{\text{BM}} S \omega l}{Z} \cos \omega t \times \sin(\omega t + \varphi) = \frac{B_{\text{GM}} B_{\text{BM}} S \omega l}{2 Z} \times (\sin(2 \omega t + \varphi) + \sin \varphi)$$

(здесь $Z$ — полное сопротивление колца, $\varphi$ — сдигром по фазе между током и электродвижущей силой). Среднее значение силы за период будет равно

$$F_{\text{cp}} = \frac{B_{\text{GM}} B_{\text{BM}} S \omega l}{2 Z} \sin \varphi,$$

что, безусловно, не равно нулю.

В наших опытах использовались колца, изготовленные из нескольких слоев алюминовой фольги общей толщиной около 1 мм. Внутренний радиус колц был равен 15 мм, а внешний — 30 мм. По оценкам на частоте 50 Гц активное сопротивление таких колц составляет миллиомы, а индуктивное — десяти миллиом. При таких параметрах сила Ампера получалась порядка $10^{-2}$ Н, что вплане достагоно для удержания колца массой в несколько граммов. Это и наблюдается на опыте.

2. Почему же колцо находится в равновесии только в одном положении, на одной определенной высоте? Ответ на этот вопрос мы получили из опыта.

В выражение для силы Ампера входят амплитудные значения вертикальной и горизонтальной проекций вектора магнитной индукции. Необходимо было выяснить, как эти значения изменяются с высотой.

Мы работали на установке, фотография которой представлена на рисунке 2. В катушку (ее внутренний радиус 10 мм, радиус 40 мм, высота 70 мм) с обмоткой из медного эмалированного провода (диаметром 1,2 мм)ставлен цилиндрический сердечник, набранный из железных стержней (длина 200 мм, диаметром 2 мм). На катушку подавалось напряжение (100—120 В)отлабораторного автотрансформатора. Нам удалось изменить вертикальную и горизонтальную проекции магнитного поля в непосредственной близости от сердечника на различных расстояниях от катушки. В качестве датчика мы использовали катушку (из 300 витков медного эмалированного провода диаметром 0,2 мм), в которой наводилась ЭДС индукции. Для измерения этой ЭДС катушка подключалась ко входу осциллографа.

Оказалось, что вертикальная проекция вектора магнитной индукции практически не меняется с высотой, а горизонтальная проекция изменяется так, как показано на рисунке 3. Здесь по оси абсцисс отложена высота $H$ над катушкой (измеренная в сантиметрах), а по оси ординат — амплитудное значение $B_{\text{GM}}$ горизонтальной проекции магнитного поля (в миллисекла). Полученный график и позволяет объяснить существенные единственного положения установки колца.

24

Пусть колъю имеет такую массу, что для компенсации силы тяжести, действующей на колъю, необходимо горизонтальная проекция поля, равная приблизительно 0,9 мТл. На графике лишь одна точка A соответствует этому значению; значит, колъю повиснет на высоте 4 см над катушкой. Это положение равновесия устойчиво, так как при случайном опускании колъца оно попадет в более сильное магнитное поле, сила Ампера уvelчится и поднимет колъю до прежней высоты.

А что, если для равновесия колъца потребуется горизонтальная проекция, равная приблизительно 0,75 мТл? Этому значению соответствует две точки на графике — C и D. Однако и в этом случае устойчивое равновесие только одно — в точке C, то есть на высоте 6 см над катушкой. А в точке D равновесие — неустойчивое. Действительно, если колъю опустится чуть ниже высоты 11,5 см, сила Ампера уменышится и не сможет уравновесить силу тяжести; следовательно, колъю опустится еще ниже (до точки C).

Заметим, что опытным путем положение неустойчивого равновесия обнаружить довольно трудно. Это связано с наличием различных внешних воздействий, выводящих колъю из этого положения.

Можно ли услышать рев мамонта?
(Начало см. на c. 20)

Леонид Мартынов, поэтому, внимательно следивший за развитием физической науки, в такой форме отображил соответствие звука и света:

Это почти неподвижности мука.
Мчаться куда-то со скоростью звука,
Зная прекрасно, что есть уже где-то
Некто,
Летящий
Со скоростью
Света!

А вот стихотворение Михаила Светлова «Голоса», наталкивающее на мысль, что человек со временем, благодаря космическим полетам, может услышать голоса ранее живших людей и животных:

И возможно, что за небосклоном
Он живет среди звездных миров —
Не записанный магнитофоном
Околевшего мамонтарев.
Мы — живущие вместе на свете —
Разгадали не все чудеса.
И бедут от планеты к планете
Крепость мужков голоса.
И быть может, на всех небосклонах
Повторяется снова сейчас
Несмолкающий шепот влюбленных
И густой Маяковского вас.

Пусть звезда не одна расколлась,
Но понятный и вечно живой
С хрипотцой Циолковского голос
Не замолк на волне звуковой.
С детства не был сilenя я в науке;
Не вступая с учеными в спор,
Я простер постарившие руки
В нестареющий синий простор.

Небо полнится головами
Тех, кто жил и любил на Земле.

Если Светлов прав, то нетрудно расчитать, с какой сверхзвуковой скорость должен удалять космосовтот от Земли, чтобы, скажем, за десять лет полета догната уsedший в космос рев мамонтов. Как известно, мамоны исчезли примерно десять тысяч лет назад.

Дорогой читатель, сделай прикидку и оцени трудности запуска ракеты, летящей с соответствующей скоростью.

К сожалению, самокритика позта, имеющая в данной стихотворении, не лишена основания. Помня оpusкинской прице, не будем строги к позту, но, все же, в чем основная физическая ошибка Светлова? Ответ на вопрос настоящего простого, что не стоит присылать его к нам в журнал. Подумайте о том, насолько усложналась бы жизнь на Земле, если бы Светлов был прав.

25

Задачи

M736—M740; Ф748—Ф752

M736. Медиана ВК и бискетриса CL треугольника ABC пересекаются в точке P. Докажите равенство
$$\frac{|PC|}{|PL|} - \frac{|AC|}{|BC|} = 1.$$
З. Анджапаридзе

M737. Обозначим через $d_k$ количество таких домов в вашем городе, в которых живет не меньше $k$ жителей ($d_1 \geq d_2 \geq d_3 \geq \dots$), и через $c_m$ — количество жителей в $m$-м по величине населения дома ($c_1 \geq c_2 \geq c_3 \geq \dots$). Докажите равенства
a) $c_1 + c_2 + c_3 + \dots = d_1 + d_2 + d_3 + \dots$;
b) $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + \dots = d_1 + 3d_2 + 5d_3 + \dots + (2k-1)d_k + \dots$;
c) $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + \dots = c_1 + 3c_2 + 5c_3 + \dots$;
… + $(2m-1)c_m + \dots$,
A. Зелевинский

M738*. Докажите, что a) количество прямых различных направлений, на которые данные $n$-угольник дает одинаковые по величине проекции, не превыходит $2n$; б) максимальное число таких прямых для любого многоугольника четно; в) для треугольника это число больше 3 тогда и только тогда, когда он остроугольный.

B. Прасолов

M739. Докажите, что при любом значении $x$, для которого права часть имеет смысл, выполены равенства
$$\frac{tg x + tg \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + tg \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)}{tg x \cdot tg \left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot tg \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)} = 3;$$
$$\frac{tg x + tg \left(x + \frac{\pi}{n}\right) + \dots + tg \left(x + \frac{(n-1)\pi}{n}\right)}{tg x \cdot tg \left(x + \frac{\pi}{n}\right) \cdot \dots \cdot tg \left(x + \frac{(n-1)\pi}{n}\right)} = c_n,$$
где $n$ — нечетное число, $c_n$ — константа (зависшая от $n$).
b) $^*$ Найдите $c_n$ для каждой нечетного $n=5, 7, \dots$.

M740. Сережа насыпал в цилиндрическую картию немного шена и просил соседку тетю

26

Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получалась вкусная каша?» — «Это очень просто, отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыларовно половину дна. Тепер заметь точку на стенке кастрюли, близжайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми ее пальцем! До этого уровня и надо налить воду» (рис. 1). — «Так ведь пшена можно насыпать побольше и поменше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие», — усомнился Сережа. — «Все равно, мой способ годится в любом случае!» — гордо ответила тетя Люда.
a) Докажите, что тетя Люда права: относение объемов воды и пшена по ее рецепту всегда получится одинаковым.
b) Чему равно это относение?

В. Семенова

Ф748. По винтообразному желобу с прямоугодным профиlem, вырезанному на внутренней поверхности беконечного длиного полого цилиндра, скользит маленький кубик (рис. 2). Радиус основания цилиндра равен R, шаг винта —h, коэффициент треня скольжения —μ. Найти установившуюся скорость движения кубика. (Размер кубика и глубина желоба много меньше R.)

Р. Энфиджян

Ф749. Массивный диск вращается вокруг кальной оси с угловой скоростью Ω. На него сверху опускают диск радиуса r массы m, ось которого направлена строго вертикально (рис. 3). Расстояние между осями дисков равно d (d>r). Коэффициент треня между поверхностями дисков равен μ. Определить установившуюся угловую скорость малого диска. Какой момент сил необходимо приложить к оси большого диска, чтобы скорость его вращения оставалась неизменной? Трене в осях отсутствует.

С. Кротов

Ф750*. При изменении направления на элементе Э ток через него меняется так, как показано на рисунке 4. Как будет меняться со временем направление на элементе Э, если его включить в схему, приведенную на рисунке 5 (параметры схемы указаны на рисунке)? Какого минимального сопротивления резистор можно подключить паралельно элементу Э, чтобы направление на элемент не оставалось постоянным?

З. Рафаилов

Ф751. На очень шероховатый цилиндр радиуса r, расположенный горизонтально, надет тонкий обруч радиуса R (рис. 6). Найти перiod колбаный обруч в вертикальной плоскости.

К. Сергеев

Ф752. На расстоянии L1=5 м от тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F=10 см расположена равномерно освещенная вертикаль-

29

М697. Наозовем пузатостью прямогольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямогольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.

Будем считать, что длина стороны квадрата равна 1. Пусть $a_k \times b_k$ — размеры прямогольников разбиения, причем $a_k \geq b_k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Поскольку $a_k \leq 1$ при всех $k$,
$$\frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \dots + \frac{b_n}{a_n} \geq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = 1$$
(в правой части стоппадь квадрата).

Отметим, что равенство в написанном неравенстве возможно лишь, если все $a_k = 1$ ($k=1, 2, \dots, n$), то есть если квадрат разбит на полосы отрезками, параллельными его сторонам.

Интересно выяснить, какую оценку суммы пузатостей прямогольников разбиения можно дать для данного прямогольника площади 1 и пузатости $k$.

С. Фомин

М698. На сторонах $a, b, c, d$ вписанно в окружность четырехугольника «наружу» построены прямогольники размерами $a \times c, b \times d, c \times a, d \times b$. Докажите, что центры этих прямогольников являются вершинами $a$) параллельрамма, $b$) прямогольника.

Будем считать, что длина стороны квадрата равна 1. Пусть $a_k \times b_k$ — размеры прямогольников разбиения, причем $a_k \geq b_k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Поскольку $a_k \leq 1$ при всех $k$,
$$\frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \dots + \frac{b_n}{a_n} \geq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = 1$$
(в правой части стоппадь квадрата).

Отметим, что равенство в написанном неравенстве можно дать для данного прямогольника площади 1 и пузатости $k$.

С. Фомин

М699. Полукруе с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перпендикулярным $AB$, на два кривolineных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которых выса-

a) Пусть $M, P, N, Q$ — центры прямогольников, построенных на сторонах $AB, BC, CD$ и $DA$ вписанно четырехугольника $ABCD$ (см. рисунок).

Поскольку в четырехугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны $180^\circ$, а прямогольники, построенные на противоположных сторонах, конгруэнтны, то $MBP = NDQ$ и $NCP = MAQ$ (мы рассматриваем углы, меньшие $180^\circ$). Таким образом, $\triangle MBP \cong \triangle NDC$ и $\triangle NCP \cong \triangle MAQ$. Отсюда $|MP| = |NQ|$ и $|NP| = |MQ|$, а это означает, что четырехугольник $MPNQ$ — параллельгам.

6. Можно считать, что сторона $MQ$ параллельграма видна из точки $A$ изнутри параллельграма, сторона $PN$ видна из точки $C$ снаружи и, аналогично, сторона $MP$ видна из точки $B$ изнутри, а сторона $NQ$ из точки $D$ видна снаружи. Тогда расположение всех отрезков и треугольников будет таким, как показано на рисунке.

Докажем, что $MPN + NQM = 180^\circ$ (отсюда будет следовать, что $MPN = NQM = 90^\circ$). Эта сумма, очень/no, равна $BPC + DQA = 180^\circ$, поскольку $BPM = DQN$, а $CPN = AQM$.

О. Пенкин

a) Пусть $O$ — центр данного полукруга. Будем считать, что $|AO| = 1$. Пусть, для определения, точка $C$ лежит между точками $B$ и $O$ и $|OC| = a$ (см. рисунок).

Применяя теорему Пифагора к треугольникам $ADC$ и $ODC$, получаем $|AD|^2 - |AC|^2 = |OD|^2 - |OC|^2$, то есть

30

ны окружности, касающиеся AB в точках E и F (см. рисунок). Доказите, что $|AD| = |AF|$, $|DF| = |BC|$, величина уела EDF не зависит от выбора точки C и AB.

M700. Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разить на a) два, b) три класса так, чтобы в один класс не попали два числа с разностью $10^m$ (ни при каком целом m=0, ±1, ±2…)?

Ф708. Для исследования свойств неплинойо резистора был произведен ряд экспериментов. Вначале была исследована зависимость сопротивления резистора от температуры. При повышении температуры до значения $t_1 = 100^\circ C$ менялось сопротивление от величины $R_1 = 50$ Ом до величины $R_2 = 100$ Ом; при охлаждении обратный скалок просходил при температуре $t_2 = 99^\circ C$ (пис. 1).

Во втором опите к резистору приложили постоянное напряжение $U_1 = 60$ В, при котором его температура оказалась равной $t_3 = 80^\circ C$.

Наконец, когда к резистору приложили постоянное напряжение $U_2 = 80$ В, в цепи возникли самопротивление колбания тока. Определите период этих колбаний, а также максимальное значение тока. Температура воздуха в laboratorии постоянная и равна $t_0 = 20^\circ C$. Теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур и окружающей воздуха. Темперакость резистора $c = 3\Delta J/K$.

$|AD|^2 = |AC|^2 + |OD|^2 - |OC|^2$, или $|AD|^2 = (1+a)^2 + 1-a^2 = 2+2a$.

Пусть $O_1$ — центр окружности, вписанной в кривойный треугольник BDC, $r$ — ее радиус. Из прямогольного треугольника $OO_1F$ находим $(1-r)^2 = r^2 + (a+r)^2$, или $(a+r)^2 + 2r = 1$. Поскольку $|AF|^2 = (1+a+r)^2 = 1+2a+2r + (a+r)^2 = 2+2a$, получаем $|AF| = |AD|$. (Аналогично доказывается $|BD| = |BE|$).

6. Треугольник ADF — равноведенный, так что $AFD = ADF$. Далее, $AFD = BDF + DBF$, $ADF = ADC + CDF$ и $ADC = DBF$; поэтому $CDF = BDF$.

в) из решения пункта 6) следует, что $EDF = EDC + CDF = \frac{1}{2} ADB = \frac{\pi}{4}$.

В. Сендеров

6. Ответ: можно. Разобем множество всех конечных десятичных дробей на 3 класса, объединив в один класс те дроби, суммы цифр которых дают одинаковые остатки при делении на 3. Легко видеть, что разность двух любых дробей, принадлежащих одному классу, имеет сумму цифр, делушися на 3, и поэтому не равна $10^k$ ни при каком $k \in \mathbb{Z}$.

А. Лейдерман

Телловая мощность, выделяющая при прохождения тока через резistor, частную идет на нагревание резистора, частную рассеивания в окружающей пространство. В состоянии теплового равновесия (когда температура резистора остается постоянной) все выделяющая мощность рассеивания.

Обозначим через α коэффициент пропорциональности между рассеиваемой на резисторе мощностью и разностью температур резистора и окружающей воздуха.

При температуре $t_3 = 80^\circ C$ сопротивление резистора равно $R_1 = 50$ Ом (см. рис. 1), и $U_1^2/R_1 = \alpha(t_3 - t_0)$ (где $U_1 = 60$ В), откуда

$$\alpha = U_1^2/R_1(t_3 - t_0) = 1,2 \ B^2/(\Omega \cdot \text{град}).$$

Самопротивление колбания тока при напряжении на резисторе $U_2 = 80$ В произойдет в результате колбаний значения сопротивления резистора. Когда температура резистора становится равной $t_1 = 100^\circ C$, сопротивление его скалком увеличивается от $R_1 = 50$ Ом до $R_2 = 100$ Ом. В результате уменьшается тепловая мощность, выделяющая на резисторе, резistor начинает охлаждаться, чем отвод. При температуре $t_1 = 100^\circ C$ вновь произойдет скалком сопротивления, и процесс повторяется.

Перiod колбаний тока в цепи равен $T = t_1 + t_2$, где $t_1$ — время нагрева резистора от $99^\circ C$ до $100^\circ C$, $t_2$ — время охлаждения от $100^\circ C$ до $99^\circ C$.

Запишем уравнение теплового баланса:

$$\frac{U_2^2}{R_1} \tau_1 = \tau_1 \alpha(t_1 - t_0) + c(t_1 - t_2),$$

$$\frac{U_2^2}{R_2} \tau_2 = \tau_2 \alpha(t_1 - t_0) - c'(t_1 - t_2)$$

31

Рис. 1.
(поскольку температура резистора меняется очень низначительно, можно считать, что отводная тепловая мощность постоянна и равна $\alpha(t_1 - t_0))$.

Подставляя числовые данные, находим:
$$\bar{\tau}_1 = \bar{\tau}_2 \approx 0,1 \quad c \Rightarrow T \approx 0,2 \quad c.$$
Максимальное значение тока равно, очевидно,
$$I_{\max} = U_2/R_1 = 1,6 \quad A.$$
Minimalное значение —
$$I_{\min} = U_2/R_2 = 0,8 \quad A.$$
На рисунке 2 приведен график изменения тока в цепи со временем.

А. Буздин

Ф710.*) При наблюдении в области за пределем капли, которая увеличивается в размерах, положая мелчайшие капельки, встречаются на ее пути, было установлено, что капля движется все время с постояннымускорением. Определите этоускорение, считая начальный размер капли малым. Сторотивлением воздуха при движении капли пренебрежь.

Изменение импульса padаюшей капли переменной массы за малое время $\Delta t$ равно
$$\Delta(mv) = mg \cdot \Delta t.$$ (1)

По условию задан изменение массы капли за время $\Delta t$ равно
$$\Delta m = a\varrho v_{\text{cp}} s \cdot \Delta t,$$ (2)

где $\varrho$ — плотность воды, $v_{\text{cp}}$ — средняя скорость капли за время $\Delta t$, $s = 4\pi r^2$ — площадь поверхности капли, $\alpha$ — безразмерный коэффициент пропорциональности. С другой стороны, поскольку $m = 4/3\pi r^3 \varrho$ ($r$ — радиус капли),
$$\Delta m = 4\pi r^2 \varrho \cdot \Delta r = s\varrho \cdot \Delta r.$$

Если за время $\Delta t$ капля проходит расстояние $\Delta y$, то $\Delta t = \Delta y/v_{\text{cp}}$. Подставив выражения для $\Delta m$ и $\Delta t$ в (2), получим
$$\Delta r = \alpha \cdot \Delta y \sim \Delta y.$$

Следовательно, радиус капли растет пропорционально проиденному пути, то есть $r \sim y$.

Поскольку капля движется с постояннымускорением $a$, $y = at^2/2 \sim t^2$. Значит, $r \sim t^2$, $m \sim r^3 \sim t^6$. Учитывая эти соотношения, из (1) получаем
$$\Delta(t^6 at) \sim t^6 g \cdot \Delta t.$$

Выполняя следва дифференцирование, находим $a$:
$$\Delta(at^7) = 7at^6 \cdot \Delta t = t^6 g \cdot \Delta t \Rightarrow a = g/7.$$

А. Стасенко

Ф711. В таблице приведены экспериментальные данные о тепломкости и молярных массах неокорых твердых тел (первы две строки таблицы). На основании этих данных установить неокорую физичесу закономерность и заполнить три пустые клетки

*) Решение задачи Ф709 — в статье А. Зильбермана «Два способа расчета электрических цепей» на с. 33.

Если внешательное посмотреть на таблицу, то можно увидеть, что произведение удельной тепломкости $c$ (Дж/(г·К)) на молярную массу $A$ (г/mоль), то есть молярная тепломкость $C = cA$ (Дж/(моль·К)), для всех приведенных в таблице металлов есть величина, примерно постоянная (значения $C$ приведены в третьей строке таблицы) и близкая к $3R = 24,93$ Дж/(моль·К). Этот экспериментальный факт известен как закон Дюлонга и Пти. Среднее значение $C$ для десяти приведенных в таблице металлов равно 25,02 Дж/(моль·К). Максимальное отклонение от среднего равно 0,7 для алюминия и +0,8 для нижеяя, то есть относительное превышет $3 \div 4\%$. Разумно ожидать, что и для таких металлов, как титан, железо, магний, молярная тепломкость должна быть близка к 25 Дж/(моль·К) с такой же примерно превышет.

32

таблицы. Какова предполагаемая точность ваших предсказаний (в процентах)? Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·К).

Теперь легко заполнить оставшиеся пустыми клеточками таблицы: для железа $A \approx 56$ г/моль; для магния $c \approx 1,04$ Дж/(г·К); для титана $c \approx 0,52$ Дж/(г·К).

Приведем экспериментальные значения молярной теплоемкости этих металлов: для железа $C=25,02$ Дж/(моль·К);

| Серебро | Алюминий | Золото | Висмут | Кобальт | Медь | Железо | Литий | Матний | Никель | Платина | Титан | Ванадий |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $c$, Дж/(г·К) | 0,238 | 0,90 | 0,128 | 0,122 | 0,417 | 0,383 | 0,447 | 3,52 | 0,43 | 0,131 | 0,484 |
| $A$, г/моль | 107 | 27 | 197 | 209 | 59 | 64 | 7 | 24 | 60 | 196 | 48 | 51 |
| $C$, Дж/(моль·К) | 25,47 | 24,31 | 25,22 | 25,5 | 24,6 | 24,5 | 24,64 | 25,8 | 25,7 | 24,7 |

для магния $C=24,6$ Дж/(моль·К); для титана $C=25,02$ Дж/(моль·К).

Е. Сурков

Ф712. Небольшой шарик движется с постоянной скоростью $\vec{v}_0$ по гладкой горизонтальной поверхности и попадает в точке $A$ в цилиндрический вертикальный колодец луббины $H$ и радиуса $R$. Вектор скорости шарика составляет угол $\alpha$ с диаметром колодца, проведенным в точку $A$ (рис. 1). При каком соответствии между $\vec{v}_0$, $H$, $R$ и $\alpha$ шарик после упружеих соударении со стенками и дном сможет «выбрать» из колодца?

На рисунке 1 приведен вид сверху на траекторию движения шарика.

Поскольку соударения шарика со стенкой и дном колодца упругие, абсолотное значение горизонтальной проекции скорости шарика остается неизменным и равным $v_0$. Расстояния по горизонтали между точками, в которых проискодят два последовательных соударения, равны $|AA_1| = |A_1A_2| = |A_2A_3| = \dots = 2R$ cos $\alpha$. Время между двумя последовательными соударениями шарика со стенкой колодца равно $t_1 = 2R \cos \alpha/v_0$.

Вертикальная проекция скорости шарика при соударениях со стенкой не изменяется, а при соударении с дном меняет знак на противоположный. Абсолотное значение вертикальной проекции при первом ударе о дно равно $\sqrt{2gH}$; время движения от вершины колодца до дна равно $t_2 = \sqrt{2H/g}$.

На рисунке 2 представлена vertikальная развертка многогранника $A_1A_2A_3\dots$. Следы траектории шарика на такой развертке — парабoles (целые парабoles — следы траектории между последовательными ударами о дно). Понятно, что шарик сможет «выбрать» из колодца, если момент максимального подема по параболе совпадет с моментом соударения со стенкой (то есть в момент максимального подема шарик оказывается в точке $A_n$ на границе колодца). Это означает, что времена $t_1$ и $t_2$ должны быть связаны.

Рис. 1.

Рис. 2.