Квант 1982, №5 · Страницы

КВАНТ
5
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

В этих головоломках нужно освободить пробоволочных утят от синих веревочек, в которых они запутались. Впрочем, в правой нижней головоломке можно освободить лишь одного утенка — двое других (прияванные за ножки) не смогут убежать от девочки. Эти головоломки легко смастерить самим изобрезков проводки и только ниток или шнурков. Проволока подойдет любая, но лучше взять однозольный медный провод в цветной изоляции. Будьте особенно внимательны при связывании фигурок шнурками, точно следуйте рисунку. Имейте в виду, что иногда достаточно проводить нитку не с той стороны петли — и головоломка не получится. Необходимо выдерживать правильные, точно по рисунку, пропорции фигурок и петель, длину шнурков. Например, цветок должен быть больше лапки утенка, но меньше петли на конце шнурка.

• На первой странице обложки изображен исследовательский реактор MP Института atomной энергии имени И. В. Курчатова. Он используется для изучения свойств материалов, применяемых в atomной энергетике.

1

В НОМЕРЕ:

Б. Пастухов. Верность ленинским заветам, делу партии

---

В. Pastukhov. Fidelity to Lenin’s heritage and to the party’s goals

---

А. Боровой. Год чудес
В. Тихомиров. Аэродинамическая задача Ньютона
11 V. Tikhomirov. Newton’s aerodynamical problem

Задачик «Квант»

Задачи M741—M745; Ф753—Ф757
Решения задач M701—M705; Ф713—Ф717

Kvant’s problems
19 Problems M741—M745; P753—P757
22 Solutions M701—M705; P713—P717

«Квант» для младших школьников

Задачи
Л. Луданский. «Стойте справа, прохождение слева…»

Kvant for younger school children
29 Problems
30 L. Luganski. “Stand right, move along left…”

Практикум абитуриента

E. Морозов. Оптические системы
35 E. Morozov. Optical systems

Вариants вступительных экзаменов вузы

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
40 Moscow M. V. Lomonosov state university
Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола
44 Novosibirsk Lenin Komsomol state university
Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова
46 Leningrad A. A. Jhdanov state university
Ташкентский государственный университет им. В. И. Ленина
48 Tashkent V. I. Lenin state university

Информация

A. Виленкин. Seminar руководитель НОУ
49 A. Vilenkin. Seminar for NOU activists

Искусство программирования

Ю. Первин. Сортировки по текстовым клюкам Включение и распределение
51 Yu. Pervin. Sorting-out by text keys. Inclusion and distribution

Ответы, указания, решения
55 Answers, hints, solutions

Смесь (10, 28)

Miscellaneous (10, 28)

Шахматная страница

Шахматная машина времени (3-я с. обложки)

The chess page
Chess time machine (3rd cover page)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1982.

2

Верность ленинским заветам,
делу партии

ХIX съезд Всегоизного Ленинского Коммунистического Союза Молодежи — волнуошее и важное событие в жизни молодого поколения нашей страны. Идея и правствено повзрослежими приходят юноши и девушки к своему форуму. Среди них больше отряд школьников, учащихся профессионально-технических училищ, тех, кому адресованы журнал «Квант».

К вам, пытливым, вдумчивым и инциативным, обращены слова Генерального секретаря Центрального Комитета КПСС, Председателя Президиума Верховного Совета СССР Леонида Ильича Брежнева: «Пусть и впредь в ваших сердцах горит чистый огонь патриотизма, живет благородное чувство личной ответственности за порученное дело, за все, что происходит в стране».

Коммунистическая партия, Советское государство предоставили молодому поколению исключительные возможности для овладения естественного научным и общественного политических знаниями. Решения XXVI съезда КПСС определяли пути дальнейшего решения задачи развития творческих способностей учащихся общеобразовательных школ, привити им умения самостоятельного пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной информации. Завет В. И. Ленина — учиться — был и остается самым важным, самым актуальным в деятельности ВЛКСМ.

Всегоизный Ленинский Коммунистический Союз Молодежи считает своей важнейшей задачей всемерно помогать школье в повышении качества учебно-воспитательного процесса, теснее соединять учебный процесс с подготовкой молодежи к труду, особенно в сфере материального производства. Жизнь убедительно показала применительно образование,技术和 связанного с учением школьников в производительном труде. Это способствует выработке высоких правственных качеств и активной жизниенной позиции учащихся.

Сегодня на этапе зрелого социализма, когда особенно важно соединение достижения научно-технической революции с применением социальизма, на первый план выдвигается задача подготовки специалистов нового типа — не только высокообразованных, но и творческих мыслящих, способных решать самые ответственные задачи современной теории и практики. Учится коммунизму означает сегодня умение смотреть далеко вперед, быть готовым к самостоятельной творческой работе, к активному учению в общественно-политической жизни общества.

Подготовить себя к участию в коммунистическом строительстве — это значит научиться коллективизму, дисциплине, уметь реализно видеть жизниные проблемы, самостоятельно разбираться в различных явлениях окружающей нас действительности, быть готовым к тому, чтобы, как говорил В. И. Ленин, суметь «достроить и доверить то, что мы начаили»).

Верность ленинским традициям, великому делу Коммунистической партии демонстрирует юность нашей Родины, собрались на свой XIX съезд. Решения съезда, мудрое наuptствие партии своему помогнику и резерву — Ленинскому комсомолу, всей советской молодежи должна стать для читателей «Кванта», как и для всего юношества, путешеводной звездой в их жизни, учебе, труде.

Б. Н. Пастухов,
Секретарь ЦК ВЛКСМ

*) В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 41, с. 301.

Год чудес

Уравнение Дирака
(1928—1931)

«Из-за того что я стал писателем, не следует думать, что я никогда не стремился к какой-либо достойной деятельности». Эту шутку Бернарда Шоу вполне мог бы повторить молодой человек из Бристоля, который стремился к весмам достойной деятельности инженера-электрика, а стал автором многих «безумных идей» физики XX века. Его полное имя Поль Адриен Морис Дирак. Лишьвщись места в Бристоле, он в 1925 году приехал в Кембридж,увлекся только ещерождающейся область физики — квантовой механикой — и сыгral большую роль в создании новой науки.

На 1925—1930 года, по выражению Нильса Бора, приходился «золотой век» квантовой механики. Позднее Дирак говорил: «Я благодарен судьбе, что родился в времена: будь я старше или моложе на несколько лет, мне не представились бы столь блестише возможности. Казалось, все благоприятствало мне…». И, прежде всего, искусительная одаренность,— добавим мы.

В 24 года Дирак удостаивается докторской степени, а в 31 год — Нобелевской premii (вместе с Э. Шредингером) «за открытие новой плодотворной формы atomной теории».

Первая часть этой статьи была опубликована в предыдущем номере журнала.

Уже в 1927 году были выработаны основные принципы квантовой механики, создан ее математический аппарат. Новая теория смогла обьяснить законы природы, действующие в atomных масштабах. Однако она была неприменима к частицам, движущимся со скоростью, близкой к скорости света.

И вот в января 1928 года Поль Дирак вывел уравнение, описывающее поведение быстрых электронов. Она объединяла в себе принципы квантовой механики и теории относительной энергии. Это уравнение обьясило взаимодействие электрона с магнитным полем, описывало поведение внутреннимных электронов, разъясило некоторые особенности спектральных закономерностей и т. д. Все хорошо, но… уравнение Дирака допускало решения, при которых электрон мог иметь отрицательную кинетическую энергию. Это казалось совершенным абсурдом.

Приблизительно три года шли дебаты теоретических решений, пока выход не нашел сам автор. Мы не можем привести здесь его рассуждания, а сообщим только окончательный вы-

4

Сколько сам gamma-квант невидим в туманной камере Вильсона.

Существуют два обязательных условий рождения пары. Первое — энергия gamma-кванта должна превышать сумму энергий покоя компонент пары: $E_\gamma > 2m_e c^2 = 1,02$ МэВ. И второе — обязательное должно присутть ядро или электрон, которые присут на себя избыток энергии и импульса. Иначе нарушается сохранение энергии и импульса$^*$).

Рождение $e^+e^-$ пар обязываило один непонятный эфект, с которым еще в 1930 году столкнулись исследователи. Эксперименты показали, что жесткие gamma-кванты поглощаются в веществе значительно сильнее, чем это предсказывала теория. Как оказалось, «анomalное» поглощение было связано с образованением пар. И вплоне вероято, что, если Андерсон и Блэкетт и Оккалини помедлили, часть обнаружения позитрона принадлежала бы физкам, занимающимся вопросами поглощения gamma-квантов.

«Мелодия превращается в скрипку»

Это — слова академика С. И. Вавилова. На одной из лекций он рассказывает о процессе, обратном реакции ангигляции, когда летающий gamma-квант рождает пару электрон+позитрон:

$$\gamma \rightarrow e^+ + e^-.$$

Такой процесс превращения электромагнитного поля в вещество был открыт почти одновременно в 1933 году четьрым группами физков — во Франции, Германии, Англия и США. На рисунке 2 — знаменитая фотография, полученная супругами Жоллю-Кюри. Вы видите, как пара части возникает словно из ничего, по-

7

К 1932 году на пороге открытия искусственного расшеления ядер стояло несколько групп ученых. Э. Лоуренс и М. Ливингстон (США) приступили к созданию нового прибора — циклотрона. В этом устройстве частицы разгонялись электрическим полем, а магнитное заворываюло их траекторию. Таким образом, пучок мог многократно проходит ускоряющий промежуток. Он движался по плоской спирали, набирая энергию и увеличивая радиус. К началу «года чудес» лаборатория Лоуренса обладала протонным пучком с энергией 2,2 МэВ. Но исследователи сразу стали монтировать циклотрон с гигантским (по тому времени) магнитом весом в 74 тонны.

Замечательный электростатический генератор был еще в 1929 году построен Ван-де-Граафом в Принстонском университете (США). Модель, созданная в 1931 году, могла ужеускорять частицы до энергией 1,5 МэВ при тоже в 25 мкА.

Мы не будем остановивать здесь на работах других групп. Все они шли к одной целли, шли параллельными или почти одинаковыми путими и почти «голова в голову». Но первый пришла группа из Кавендишской лаборатории.

В толстом томе трудов Королевского общества наречатана подробная статья Кокрофта и Уолтона с описанием электростатического генератора дляускорения протонов и других тяжелыхонов. Она построила в редакцию 23 февраля 1932 года.

Экспериментаторы вывели из трубки через тонкое слюдяное окно пучок протонов с энергией около 0,7 МэВ и… начали изучать их поглощение в воздухе в зависимости от величины приложенного напряжения. Одовременно роздались мысли о модернизации установки и замене ее частей (в начальной конструкции были использованы подручные детали, в частиности жестяники из-под печенья).

Итак, все группы исследователей в какой-то мере нарушали приведенную выше заповедь. В Кавендише это продолжалось недолго. По воспоминаниям различных лиц, величины «шторма», который устройл Резерфорд своим ученикам, достигла разных «баллов».

Самый смягченный, «штилевой» вариант приводит тот же Алибон: «Резерфорд все время справивал, ставили ли Кокрофт и Уолтон под пучок мишень; но поскольку они с головой ушли в измерения зависимости пробета от энергии, то ставить мишень даже не пробовали. Резерфорд настанвал и сердился за их медлительность. Поэтому они сделали мишень из лития и поставили эксперимент только для того, чтобы Резерфорд перестал ворчать». В результате было открыто искусственное расшеление ядер:

$$\frac{7}{3} \text{Li} + p \rightarrow \alpha + \alpha.$$

Об этом извещает письмо в редакцию «Nature» («Природа»), присланное 16 апреля 1932 года.

8

(За свою «покладистость» Кокрофт и Уолтон в 1951 году были удостоены Нобелевской премии.)

После этого открытия буквально в течение нескольких месяцев опыт по искусственному распределению был повторен несколько группами и в том числе — советскими физики, работавшими в Харькове: К. Синельниковым, А. Лейпунским, А. Вальтером и Г. Латышевым.

Теперь очень коротко расскажем о самом эксперименте Кокрофта и Уолтона.

Искусственное распределение ядра лития (апрель 1932 года)

Установка Кокрофта — Уолтона располагалась в большой светлой комнате. Вы видите ее на фотографии. Слева — четыре секции электросистемского генератора, справа — ускорительная трубка из двух секций. Остальные колонны — конденсаторы или изолирующие опоры.

Идея получения высокого напряжения качества очень простой. Если зарядить $n$ одинаковых emкостью до напряжения $U_0$ и соединить их последовательно, то разность потенциаль на концах цепи будет $U=nU_0$. Самое трудное — придумать механизм подзарядки такой системы. И эта задача была решена Кокрофтом и Уолтоном черезчайно острумно.

Второй важнейшей частью установки была ускорiosaная трубка, соответная из двух секций, к каждому из которых подводилось напряжение от генератора (до 350 тыссч волт). Таким образом, максимальная энергия протонного пучка могла составлять ~0,7 МэВ.

После «внушения», сделанного Резерфордом, на нижнем конце ускоряющей трубки появился установка для изучения искусственного распределения ядра лития (на фотографию она закрыта черной материей). Сначала схема опыта выглядела так, как это показано на рисунке 4. Пуок протонов padал на минень из лития, повернуть под углом 45° к направлению пучка. Вылетающие из минень а-частицы попадали на экран из сернистого цинка. Когда на такой экран попадает энергия (несколько МэВ) а-частица, происходит вспышка света, которое можно увидеть с помощью микросопа.

Приступив к опыту, исследователи начали понемного увеличивать напряжение на трубке. Когда оно достигло величины 125 кВ, появились первыые вспышки от а-частиц. Их еще было мало (5 штук в минуту при токе в 1 мкА), но чем больше увеличилось напряжение, тем чаще появлялись световые точки. Число вспышек оказалось пропорциональным току протонов.

Ожидаемая и неожиданная удача!

После первых успешных результатов, как всегда, наступило время их кропотливой проверки. Все — яркое вспышек, величина пробела частиц, характер следов в камере Виль-

9

сона (его был заменен счетчик всышек) — указывало на то, что это α-излучение с энергийой около 8 МэВ.

Однако изобретательные молоды физики проводили еще один, контROLный, эксперимент. Согласно расчетам, α-частицы, появляющиеся при ядерной реакции $^7_3\text{Li} + p \rightarrow 2\alpha$, должны разметаться под углом 180° *). Одновременная регистрация двух таких частных была бы полным подтверждением расшеления ядра. Для контROLного эксперимента была собрану установленка, в котором использовались два счетчика (два экрана), расположенные по разные стороны от мишени (на рисунке 5 — схема такой установки).

И вот оба экспериментатора смотрят в микроскопы. У каждой из них под рукой телеграфный ключ и движущаяся бумажная лента. Увивед всышку, надо нажать ключ, и он поставит точку на ленте. При сравнения оказалось, что точки совпадают (по времени) так часто, как это следовало из расчетов.

*) Энергия протонов много меньше, чем высвобождаемая в этом процессе и переходящая в кинетическая энергия α-частиц.

Рис. 4.

Рис. 5.

Еще немного об ускорителей

После 1932 года ускоритель зашагал семимильными шагами. В конце 1936 года разгоняемые в циклотроне α-частицы превозлили по своей энергии все, что давали естественные препараты. Шло время,рождались новые идиен, и создавались новые типы ускорителей. Как-то было подсчитано, что через каждые пять энергии ускоряемых частиц возрастили почти на порядок. Ускорителем стало тесно в комнатах, залах, потом в ангарах. Пришло время, когда увидеть ускоритель целком можно только с самолета. Если установка Кокрофа и Уолтона обошлась «ужасно дорого» (приблизительно в 1000 футов стерлингов), то потом эта цифра обросла таким количеством нулей, что строителью ускоритель стало под силу только богатым странам. Но и они обединиются для создания новых гигаентов.

В распоряжении физков оказались пучки самых различных частц и среди них — дейтонов (d) — ядер тяжелого водорода дейтерия D. Они составят из одного протона и одного нейтрона, то есть имеют заряд +1 и массу 2.

Удивительная судьба связаывает нейтрон и дейтон. Существование обихых было предсказано Резерфордом в 1920 году, и обе частицы были открыты в 1932 году.

Дейтон и тяжелая вода

16 февраля 1932 года в редакцию журнала Американского физического общества «Физическое обозрение» поступила стать «Изотоп водорода с массой 2 и его концентрирование».

Популярный сейчас журнал представляет во времяна своей молодости довольно тонкую, книжку и намного уступал своей известностью европейским изданиям.

Одно работа трех americanских ученых Юри, Брикведда и Мерфи была выдающимся собственным для всей физики.

Путь к обнаружению дейтона был далеко не легким. Подобно любому из путей к большому открытию, он

11

В. Тихомиров

Аэродинамическая задача Ньютона

Ошибаются ли гении? Объчно, задавая такой вопрос, предполагают утвердительный ответ. В сознании, что и гениям свойственно заблудаться, есть нечто утвердительное — об ошибках гениев передко пишут с большим воодушлением. Вот пример. Перу Л. Янга — замечательного математика, внесшего немалый вклад в развитие математического анализа, принадлежит книга «Лекции до варианционному исчислению и теории оптимального управления», М., «Мир», 1974. Это очень интересная и своеобразная книга*). В ней расселяны фilosофские рассуждения автора, обращенные ко многим, иногда удаленным от математики, темам. На вопрос «ошибаются ли гении?» Янг ответает с запальчивой утвердительной ответ на Ньютона. На с. 42 упомянутой книги он пишет: «Ньютон формулировал варизионную задачу о теле врашения, испытывающим наименьшее сопротивление в газе. Приятный им закон сопротивления физических абсурден, в результате чего поставленная им задача не имеет решения (чем более зарубрен профиль, тем меньше сопротивление)… Если бы выводы Ньютона были хотя бы приблизительно верны, то мы не нуждались бы сегония в дорогостях экспериментах в аэродинамических трубах».

Что же это за задача, и насколько справедливы приведенные выше слова? Об этом и будет рассказано далее.

Аэродинамическая задача Ньютона

В 1687 году выши «Matематические начала натуральной физики» Ньютона. Вряд ли какое-либо произведение научной литературы может быть сопоставлено с этой книгой — в ней Ньютону было сужено открыть систему мира. Лагранж назвал это сочинение «вели-

*) Не предназначаенная, размещется, для школьников. (Прим. ред.)

12

чайшим из произведений человекаского ума».
Обсуждая вопросы, связанные с сопротивлением, оказываемым материалным темам средой, в котором они движутся, Ньюотон, как бы минимом, бросил следующее фразу: «Когда же фигура DNFG будет кривой такого рода, что если из любой ее точки N опустить на ось перепределилуар NM и из заданной точки G проведи прямую GR, параллельную касательной к кривой в точке N и пересекающий ось в точке R, то имеет место пропорция MN:GR=GR²:(4BR·GB²), тогда тело, образущееся при обращении этой кривой около оси AB, при движении в вышепомянутой редкой среде в направлении от A к B будет испытывать меньше сопротивление, нежели всякое иное тело врашения, описанное на той же линии и ширине»*) (рис. 1).

Фраза Ньюотона привлекла к себе внимание современников лишь после того, как в 1696 году И. Бернулли поставил свою знаменитую задачу о брахистохроне (см. например «Квант», 1975, № 12 или книгу Г. Н. Бермана «Циклонда», М., «Наука», 1980). Задание о брахистохроне, а не задание Ньюотона, служено было стать родоначальней нового направления в математике, воспользуется названного вариантом исчисления.

В связи брахистохроны задача Ньюотона заняла положение несчастной Золушки: ее как-то избегали, вспоминали о ней редко, да и то, как правило, чтобы поведать о заблужdenии гения. Но, как и для Золушки, для задачи Ньюотона настоял свой черд.

*) Подлинный текст Ньюотона воспроизведен в книге В. М. Алексеева, В. М. Тихомирова, С. В. Фомина «Оптимальное управление». (М., «Наука», 1979). Перевод «Математических называл» опубликован в собрании сочинений академы А. Н. Крылова. (М. — Л., Изд. АН СССР, 1937, т. 7). Цитируемое место содержится на с. 430. Мы чут подкорректировали его. Рисунок 1 — копия рисунка из «Математических называл». Правда, мы расположили его «сверху вниз», а не «слева направо»; кроме того, на рисунке 1 имеются дополнительные краские линии и буквы, нанесенные нами, они попадаются нам в дальнейшем.

Рис. 1.

Попробуем вникнуть в замысл Ньюотона.

При конструкровании кораблей, снарядов, торпед или ракет естественно возникнет стремление придаить им текую форму, чтобы они испытывали возможность меньше сопротивление при своем движении. Ньюотон пишет: «Можно сравнивать сопротивление тел между собой и находить те, которые наиболее присоединены к продолжению своего движения в сопротивляющей среде». Но, если, скажем, корабль не может иметь слишком большой симметричной своего корпуса, то головки ракет, снарядов и торпед естественно делать круглыми в поперечном сечении; иными словами, им резонно придавать форму тел врашения. Но какую именно — сферическую, кончесскую, вертенообразную или еще какую-нибудь? На такой вопрос нельзя ответить без вычисления, без решения неокоторой математической задачи на максимум и минимум. Именно такую задачу ставит ( и решает в приведенной выше фразе) Ньюотон.

В самом первом приближении задача ставится так.

Задча. Найти тело врашения заданной длины и заданной ширины, испытывшее наименование сопротивления при движении в некоторой среде.

Пояснения. Каждый из терминов, участвующий в формировке (длина, ширина, движения и сред

13

да), требует полного описания. Ньютоон представляет себе тело вращения одинаковым сзади и спереди, то есть симметричный относительно плоскости, проходящей через середину оси вращения и перпендикулярной этой оси. Таким образом, диинана тела — это его длина по оси вращения, а радиус среднего сечения — это ширина тела. Следовательно, при всех расстояниях можно ограничиться лишь половинкой тела, что мы и делаем дальше. Будем считать, следдая Ньютооном, что движение, совершаемое телом, — это равномерное движение с постоянной скоростью $v$.

Теперь — о среде — это наиболее тонкий и принимающий во-просс. Среда, описанная Ньютооном, несколько необъчана, он называет ее редкой. Ньютоон представляет себе редкую среду «состоящий из равных части, свободно расположенных на равных друг от друга расстояниях». Неподвижные частицы имеют фиксированную массу $m$ и являются абсолотно упругими шарами. Само тело Ньютоон считает также абсолотно упругим, так что каждой шарики, столкнувшись с движущим телом, отскакивает от него по-закону «угол padения равен углу отражения».

После приведенных пояснений можно было бы сразу точно поставить и начать решать общую задачу, но мы сначала изучим более простую. С этой более простой задачи, кстати говоря, начинает и сам Ньютоон.

Задача об успешном конце. При данном основании и высоте успешного конуса найти тот, который испытает наименьшее сопротивление при движении в редкой среде.

Формализация задачи об успешном конце

Только что задача была формулрованна словесно, без формул. Намнадлежит сейчас осуществить ее переод с общного языка на язык математики. Такой переод называется формализцией.

Итак, пусть успешный конус имеет высоту, равную $H$, и радиус

Рис. 2.

верхнего основания $R$ (рис. 2)*.

Ньютоон пишет: «Так как действие среды на тело то же самое… движется ли тело в покоящей среде или же частицы среды ударят с той же скоростью на покоящей тела, то будем рассматривать тело в покое». Поступит также и мы: оставив конус неодвижным, мы будем считать, что на него снизуверх «надвигается» среда со скоростью $v$.

Поверхность конуса, испытывшая столкновения с шариками среды, состоит из его нижнего основания и боковой поверхности. Сначала вычислим сопротивление, испытывшее нижним основанием. Обозначим его радиус через $x$. За единичное время с этим основанием столкнутся шарики, которые первоначально находились в цилиндре с основанием, равным нижнему основанию, и высотой, равной $v$. Объем этого цилиндра $V_0$ равен $\pi x^2 v$. Пусть $q$ — плотность среды. Тогда число частиц, ударившихся о нижне основании за единичное время, будет равно $N_0 = \frac{\rho}{m} V_0 = \frac{\rho}{m} \pi x^2 v$. Каждый частица после удаля о нижне основании сменит свою скорость на противоположную, то есть получит приращение имплуса, равное —2mv. По третьему закону Ньютона конус получит противоположное приращение

*) Частый рисунка 2, выполненная в черном цвете, содержится в «Математических началах».

15

пробуем теперь отыскать нужные $m$ и $\hat{z}$. Если имеет место неравенство $az^2+2bz+c \geq 0$ для всех $\hat{z}$ и при этом $\hat{a}^2+2b\hat{z}+c=0$, то отсюда следует, что $D=b^2-ac=0$ и $z=-b/a$ (продумайте это!). У нас $a=(1-m)$, $b=-H$, $c=H^2+R^2(1-m)$. Уравнение $D=0$ приводит к соответствии
$$D=H^2-(1-m)(H^2+R^2(1-m)) \Rightarrow (R^2m^2-(2R^2+H^2)m+R^2)=0,$$
откуда
$$m=\frac{2R^2+H^2-H\sqrt{4R^2+H^2}}{2R^2}.$$
Знак + был отброшен, либо то $m$, которое мы ищем, должно быть, как это было установлено, меньше единицы. Далее,
$$\hat{z}=-b/a=H/(1-m) = \sqrt{R^2+(H/2)^2}+H/2(>H).$$
(5)
В итоге нашлись такие $m<1$ и $\hat{z}>H$, что дискриминант уравнения $z^2(1-m)-2zH+H^2+R^2(1-m)=0$ равен нулю, и оно имеет единственный корень $\hat{z} \geq H$, то есть $h(z) \geq m, h(\hat{z})=m$. Задча 1’ решения.
Приведем ответ задачи об усеченном конусе в той форме, который придал ему Ньюотон: «Если на круговом основании CEBH (рис. 2), описанном из центра $O$ радиусом $OC$, требуется построить такой усеченный конус CBFG с высотой $OD$, което сопротивление было бы меньше сопротивления всякого другого усеченного конуса, построенного на том же основании и высоте и движущgosся по оси $OD$ в сторону $D$, то разделив высоту $OD$ в точке $Q$ пополам, продолжи $OQ$ до $S$ так, чтобы было $QS=QC$. $S$ и будет вершиной искомого конуса, который усекается».
Легко убедиться, что геометрическая форма, приданная ответу Ньюотон в точности соответствует аналогичной форме, заключенной в формуле (5).
Обсуждение. Получилось, что конус наименьшего сопротивления на самом деле усеченный, затупленный, а не заостренный. Ньюотон при этом идет еще дальше. Он устремляет высоту $H$ к нулю. При этом $\hat{z}$ устремляется к $R$ и угол при усечении конуса устремляется к $45^\circ$.

Основываясь на этом, Ньюотон делает замечание, что овальное тело следует заменять затуплением, то есть делать спереди плоскую круглую площадку, образующего угол с прямых коилюшей к площадке поверхностью, равный $135^\circ$. «Я считаю, что это замечание,— говорит Ньюотон,— может быть небесполезно при построении судов».

Задча Ньюотона для ломаной
Сделаем еще один, предпоследний шаг к решению обшей задачи Ньюотона. Будем рассматривать не любые кривые выражения, а лишь ломаны. Для этого разделим отрезок $[0, R]$ оси $Ox$ на $N$ равных частей точками деления
$$x_0=0, x_1=\frac{R}{N}, x_2=\frac{2R}{N}, \dots, x_N=R$$
и обозначим ordinateты соответствующих вершин ломаной через $y_0, y_1, \dots, y_N$ (рис. 4). Будем предложать, что ломана начинается в точке $(x_0, y_0)=(0,0)$, затем может идти по оси $Ox$ (то есть $y_0=y_1=\dots=y_s=0$ для некоторого $s$, $0 \leq s \leq N$), затем монотонно поднимается вверх
$$y_s<y_s+1 \leq y_s+2 \leq \dots \leq y_N$$
и приходит в точку $(x_N, y_N)=(R, H)$. Ломаны, удовлетворяющие этим требованиям, называются допустимыми.
Посящим, почему потребовалось условия монотности (6). При его нарушении в поверхности выражения образуют «выемки», от которых неокторы шарики будут многократно отражаться, увеличивая силу сопротивления (и безнедежно усечняя ее подсчет).
Найдем теперь силу сопротивления среды $F$ для поверхности, об-

16

разованной врашением допустимойломаной. Для этого, применяя формулу (1) к каждому ее звену, выразим cosφк через координаты вершин (xk,yk), (xk+1,yk+1) (см. рис. 4) и просуммируем. Получается

$$F_{\pi} = 2K \sum_{k=1}^{N-1} \frac{x_k+x_{k+1}}{2} \cdot \frac{\Delta x_k}{1 + \left( \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k} \right)^2},$$

где мы обозначили $K = 2\pi qv^2$, $\Delta y_k = y_{k+1} - y_k$ и $\Delta x_k = x_{k+1} - x_k = \frac{R}{N}$.

Мы не будем решать задачу минимизации ссыла (7), хотя для этого требуется лишь известные вам средства дифференциального исчисления — решение технически сложное, а нам для дальнейшего важна лишь постановка задачи и сама формула (7).

Формализация задачи Ньютона

Тепер мы можем подойти к задаче Ньютона в общем случае, когда поверхность врашения образована не отрезком, не ломаной, а кривой $y=f(x)$. Какие кривы мы можем рассматривать? Конечно, кривая должна начинаться в точке (0,0), затем может идти по оси $Ox$ до некоторой точки (b, 0) (где $b \geq 0$), затем поднимается монотно вверх и кончается в точке (R, H). Кроме того, мы потребем, чтобы функция $f$ была дифференцируемая во всех точках $x \in [0,R]$, кроме точки $b$, где угол примыкания кривой к горизонтальном участку должен быть равен $135^\circ$ (вспомним замечание Ньютона «небесполезное при построении судов»). Тогда условие монотности может быть записано в виде

$$f'(x) \geq 0 \quad x \in [0,R], \quad x \neq b.$$

Кривы $y=f(x)$, удовлетворяющие этим условиям, мы будем называть допустимыми.

Найдем силу сопротивления среды для тела, полученного врашением допустимой кривой $y=f(x)$ около оси $Oy$. Возьмем достаточно больше числа $N$ и построим допустимую ломаную, положив $y_k=f(x_k)$. Эта ломаная будет мало отличаться от нашей кривой, поэтому исключаем использование $F$ будет мало отличаться от найденной ранее ссыла $F_\pi$ (см. (7)).

Вспомним теперь интегральной суммы и заметив, что $\Delta y_k / \Delta x_k \approx f'(x_k)$, нетрудно поверить, что при неограниченном увеличении числа $N$ сумма (7) стремится к интегралу

$$2K \int_0^R \frac{xdx}{1 + (f'(x))^2} = F,$$

который и выражает искому силу сопротивления. Так, мы пришли к формулизации общей задачи Ньютона:

Средди всех допустимых функций $y=f(x)$ найти ту, для которой интеграл

$$\int_0^R \frac{xdx}{1 + u^2}$$

(minimalen, если $u = f'(x) \geq 0$).

Решение задачи Ньютона

Подабных задач, конечно, вы в школьном учебнике не встречали. Мы начнем, поэтому, с более простой вспомогательной задачи:

Средди всех допустимых функций $y=f(x)$ найти ту, для которой выражение

$$\frac{x}{1 + u^2} + 2cu$$

(minimalно (для всех $x \in [0,R]$), если $u = f'(x)$ и $c > 0$ — константа).

Зачем решать эту задачу? А вот зачем: если найдено ее решение $y=f(x)$, $\bar{u} = f'(x)$, то для любой другой допустимой функции $y=f(x)$ выполняется неравенство (при всех $x \in [0,R]$)

$$\frac{x}{1 + u^2} + 2cu \geq \frac{x}{1 + \bar{u}^2} + 2c\bar{u},$$

проинтегрировав короче на $[0,R]$ учитывая, что $u = f'(x)$, получим

$$\int_0^R udx = \int_0^R \bar{u} dx = H,$$

откуда

$$\int_0^R \frac{xdx}{1 + u^2} \geq \int_0^R \frac{xdx}{1 + \bar{u}^2};$$

а это значит, что $\bar{f}(x)$ (решение вспомогательной задачи (9)) является также и решением задачи Ньютона (8)!

А вспомогательную задачу, как вы наверное договорались, решить не так уж трудно. Ответом будет линия, идушая по оси $Ox$ до точки излома $b=4c$ и далее по кривой, точки $(x; y)$ которой выражается по формулу

18

Рис. 6.

время считалось, что к варианционному исчислению: например, А. Н. Крылов, приведя прочитрованную вначале фразу Ньютона, сопровождает ее таким словами: «Это утверждение Ньютона всегда относится к варианционному исчислению». Далее он формализует задачу Ньютона (чуть иначе, чем мы — у него только движется выбор, как у Ньютона, у нас — вниз) и приходит (если в его выражении заменить $y$ на $x$ и $x$ на $y$) к задаче о минимизации интеграла

$$\int_0^R \frac{xdx}{1 + (f'(x))^2}$$

при само собой разумению начальных условий $f(0) = 0$, $f(R) = H$. Минимизация такого интеграла, действительно, относится к варианционному исчислению, но без дополнительного условия $f'(x) \geq 0$ минимизировать этот интегральное значение. Это отметил Лежандр спустя 100 лет после выхода «Начал». Действительно, выберем в качестве $f$ ломанную, составленную из очень крупных звеньев (по типу той, которая изображена на рисунке 6). Тогда $(f'(x))^2$ будет очень велико, а интеграл (13) мал; его вообще можно сделать сколь угодно малым. Получается, действительно, как по Янгу: «чем зарубреннее профиль, тем меньше сопротивление!» Но мы отмечали уже, что при ньютоновской постановке задачи необходимо требовать, чтобы $f$ была монотной, то есть чтобы выполнялось соответствие $f'(x) \geq 0$.

Минимизация интеграла (13) при условии (14) не относится к варианционному исчислению. Ограничения типа (14), наложенные на задание о минимизации интегралов типа (13), были охвачены теории лишь в середине XX века.

Итак, задача Ньютона, не является первой заданной выраженной исчисления, оказывается первой заданной нового раздела математики — теории оптимального управления.

4. Критика и аполюция Ньютона. Мы определили уже два обвининия в адрес Ньютона: неверно, что задача Ньютона не имеет решения (онo было им найдено), неверно, что «чем зарубреннее профиль, тем меньше сопротивление» — этот фактник не следует из ньютоновских допущений. Но, может быть, все-таки верно, что «приятый им закон физических абсурден?» Что это за редкая среда? Бывает ли такая среда? Не является ли абсурдным то обстоятельство, что тело наименшего сопротивления затупленно? Кто это видывал торпеды или пакеты с затупленными головками?

Справедливости ради надо сказать, что ни вода, ни окружающий нас воздуха, ни какая-либо иная привычная нам газообразная или жидкая среда не обладают свойствами редкой среды Ньютона. Однако физические допущения Ньютона и сама его аэродинамическая задача оказались на самом передом крае современной науки в середине пятыдевых годов, когда настала эра сверхзвуковых и сверхвысотных летательных аппаратов. «Там вверху», среда оказалась «редкой». И заменение Ньютона о затупленных конах оказалось так «небесполезным» при построении судов, а именно — космических судов. наконец,

5. Ошибаются ли генius? Конечно, ошибаются. Но, найдесь, я сумел убедить вас в том, что постановка и решение аэродинамической задачи были не заблужdenем гения, а произенем его, позволившим ему прикоснуть через три века к нашей жизни и нашим проблемам. Над этим стоит призадаться.

Словом, не будем торговли: может статья, что мысл Гения, кажушаяся нам его заблужdenем, несет в себе отпечаток истинны, еще не открывшейся нам.

20

$$|d_1 s_1 + d_2 s_2 + \dots + d_n s_n| \leq 1.$$
6) Задана последовательность трех чисел $(a_n, b_n, c_n)$ таких, что $|a_n| \leq 1$, $|b_n| \leq 1$, $|c_n| \leq 1$ и $a_n + b_n + c_n = 0$ ($n=1, 2, \dots$). По ней строится новая последовательность трех $(x_n, y_n, z_n)$, в котором $x_0 = y_0 = z_0 = 0$, а каждая тройка $(x_n, y_n, z_n)$ при $n \geq 1$ получается из предыдущей $(x_{n-1}, y_{n-1}, z_{n-1})$ прибавлением к $x_{n-1}$ одного из чисел $a_n, b_n, c_n$ по нашему выбору, к $y_{n-1}$ — другого, к $z_{n-1}$ — третьего. Можно ли выгеддадать себя того, что все числа $x_n, y_n, z_n$ будут по абсцилотной величины не больше 1 или хотя бы ограничены некоторой константой? В) Выясните аналогичные вопросы для последовательностей четырех чисел.

Н. Розов

Ф753. На рисунке 1 приведена зависимость напряжения источника питания от тока напряжения. Найти максимальный мощность, которую можно получить в напряжке. При каком сопротивлении напряжения она достигается? Для чего может попадаться такой источник питания и как практические осуществить такую зависимость $U(I)$?

А. Зильберман

Ф754. Муравей безит от муравейника по прямой так, что скорость его обратно пропорциональна расстоянию до центра муравейника. В тот момент, когда муравей находится в точке $A$ на расстоянии $l_1 = 1$ м от центра муравейника, его скорость равна $v_1 = 2$ см/c. За какое время муравей добежит от точки $A$ до точки $B$, которая находится на расстоянии $l_2 = 2$ м от центра муравейника?

С. Кротов

Ф755. Спутник представляет собой легкую жесткую сферу радиуса $R = 1$ м и масса $M = 1$ кг, направленную воздействием при давлении $p = 10^{-3}$ атм и температуре $T = 300$ К. Однакоременно в стенке сферы открываются два клапана. Расположенные друг от друга на расстоянии, равном радиусу сферы. Площади клапанов $S_1 = 10^{-4}$ см$^2$ и $S_2 = 2 \cdot 10^{-4}$ см$^2$. Найти величины отклонения спутника от прежней траектории за время $\tau = 100$ с.

А. Стасенко

Ф756. Баллон обьема $V = 2$ л содержит $m = 2$ г водорода и немного воды. Давление в сосуда равно $p_1 = 17$ атм. Сосуд нагревает так, что давление в нем увеличивается до $p_2 = 26$ атм. Сколько воды при этом испаряется? Чему равны начальная и конечная температуры?

У казане. Воспользовитесь таблицей зависимости давления насыщенных паров воды от температуры.

А. Буэдин

23

Рис. 1.
Рис. 2.

Второе решение. Пусть $l, m, n$ — длины сторона треугольника $LMN$ (см. рис. 1) и $\Delta$ — разность квадратов треугольника сторона треугольников, построенных Людой и Мариной. Ясно, что
$$\Delta = m^2 + n^2 - 2mn \cos \left( \widehat{L} + 60^\circ \right) - \left( l^2 + n^2 \right) + 2ln \cos \left( \widehat{M} + 60^\circ \right) = m^2 - l^2 + 2n \left( l \cos \left( \widehat{M} + 60^\circ \right) - m \cos \left( \widehat{L} + 60^\circ \right) \right) = m^2 - l^2 + n \left( l \cos \widehat{M} - m \cos \widehat{L} + \sqrt{3} \left( m \sin \widehat{L} - l \sin \widehat{M} \right) \right) = m^2 - l^2 + n \left( l \cos \widehat{M} - m \cos \widehat{L} \right),$$
поскольку по теореме синусов $l \sin \widehat{M} - m \sin \widehat{L} = 0$.

А так как $\cos \widehat{L} = \frac{m^2 + n^2 - l^2}{2mn}$, $\cos \widehat{M} = \frac{l^2 + n^2 - m^2}{2ln}$, без труда получаем, что $\Delta = 0$.

А. Каплан

М702. Обозначим через $S_n$ сумму первых $n$ простых чисел: $S_1 = 2, S_2 = 2 + 3 = 5, S_3 = 2 + 3 + 5 = 10, S_4 = 17$. и т. д.
Докажите, что при любом $n$ между $S_n$ и $S_{n+1}$ встречается точный квадрат.

$$p_{n+1} \leq 2k+1 \quad p_n \leq 2k-1 \quad p_{n-1} \leq 2k-3 \quad p_{n-2} \leq 2k-5$$

$$p_2 = 3 \leq x \quad p_1 = 2 \leq x-2$$

Первое решение. Докажем более общее утверждение, рассмотрев вместе последовательности простых чисел последовательность $(p_n)$ такую, что $p_1 = 2, p_2 \geq 3, p_{n+1} - p_n \geq 2$. Докажем, что при любом $n$ между числами $s_n$ и $s_{n+1}$, где $s_n = p_1 + p_2 + \dots + p_n$, встречается точный квадрат.

Предположим, что при каком-то $n$ между числами $s_n$ и $s_{n+1}$ нет квадратов; то есть для некоторого $k$
$$k^2 \leq s_n < s_{n+1} \leq (k+1)^2.$$

Тогда $p_{n+1} = s_{n+1} - s_n \leq (k+1)^2 - k^2 = 2k+1$, поэтому $p_n \leq p_{n+1} - 2 \leq 2k-1$ и т. д. — выполняются все выписанные в таблице на полях соответствия. Каким числом может быть $x$? Если $x=3$, то все неравенства должны превращаться в равенства (при этом $k=n$) и
$$s_{n+1} = 2 + p_2 + \dots + p_{n+1} > 1 + 3 + \dots + (2k+1) = (k+1)^2,$$
в противоречие с правым неравенством (). Если же $x \geq 5$, то $x-2 \geq 3$ и
$$s_n = 2 + p_2 + \dots + p_n < 1 + 3 + \dots + (2k-1) = k^2,$$
в противоречие с левым неравенством ().

Все решения, прикладные читатели, так или иначе используют идею сравнения последовательности $(p_n)$ с последовательностью $(2n-1)$, которая растет медленнее и для которого сумма первых $n$ членов равна $n^2$.

Второе решение. Пусть $S_n = p_1 + p_2 + \dots + p_n$ — сумма первых $n$ простых чисел. На полях выписаны значения $S_n$ при $n=1, 2, \dots, 12$ и все точные квадраты, лежащие в интервалах $]S_1; S_2; [,] S_2; S_3; [, \dots,] S_{11}; S_{12}$. Мы видим, что все эти интервалы содержат хотя бы по одному точному квадрату, а интервал $]S_{11}; S_{12}$ содержит даже два квадрата — 169 и 196. Условия в дальнейшем называют интервал $]S_{k-1}; S_k$ [бозагатим, если он содержит по крайней мере два точных квадратов.

Для решения задачи при $n \geq 12$ воспользуемся методом математической индукции. Пусть каждый из интервалов $]S_1; S_2; [,] S_2; S_3; [, \dots,] S_{n-1}; S_n$ содержит точный квадрат. Пусть, далее, $]S_{n-k-1}; S_n$ содержит первый интервал в последовательности интервалов $]S_{n-1}; S_n$ [,] $S_{n-2}; S_{n-1}; [,] S_{n-3}; S_{n-2}; [, \dots$. Пусть $m^2$ — максимальный квадрат, принадлежащий $]S_{n-k-1}; S_n$ [. Тогда $(m-1)^2 \in ]S_{n-k-1}; S_n$ [, а каждый из интервалов $]S_{n-k}; S_{n-k+1}; [,] S_{n-k+1}; S_n$ содержит второй интервал.

24

Другими словами,
$$S_{n-k-1} < (m-1)^2 < m^2 < S_{n-k} < (m+1)^2 < S_{n-k+1} < \dots$$
$$\dots < (m+k-1)^2 < S_{n-1} < (m+k)^2 < S_n < (m+k+1)^2.$$

Тогда $p_{n-k} = S_{n-k} - S_{n-k-1} > m^2 - (m-1)^2 = 2m-1$. Так как, очевидно, $n-k \geq 12$ и $p_{s+1} > p_s + 2$ при $s \geq 2$, получаем $p_{n+1} > p_{n-k} + 2(k+1) > 2(m+k) + 1$. Следовательно, $S_{n+1} = S_n + p_{n+1} > (m+k)^2 + 2(m+k) + 1 = (m+k+1)^2$. Поэтому $S_n < (m+k+1)^2 < S_{n+1}$, то есть интервал $]S_n; S_{n+1}$ [ содержит точный квадрат.

Н. Васильев, И. Жук

M703. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} 3(x + \frac{1}{x}) = 4(y + \frac{1}{y}) = \\ = 5(z + \frac{1}{z}), \\ xy + yz + zx = 1. \end{cases}$$

Diagram of triangle with sides 2r, 2r, 3r

M704. Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перепendlukляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют новый квадрат (рис. 1).

Ответ: $\left\{ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1\right), \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}, -1\right) \right\}$.

Решение. Поскольку $\frac{x}{3(1+x^2)} = \frac{y}{4(1+y^2)} = \frac{z}{5(1+z^2)}$, чисяла $x, y$ и $z$ имеют одинаковые значки, причем если $(x, y, z)$ — решение системы, то и $(-x, -y, -z)$ — ее решение, к что можно разыскивать лишь положительные решения.

Формула $\sin 2\varphi = \frac{2tg\varphi}{1+tg^2\varphi}$ называют на мыслевые углы $\alpha, \beta, \gamma$ из промежутка $]0; \pi[$ также, что $\tg \frac{\alpha}{2} = x, \tg \frac{\beta}{2} = y, \tg \frac{\gamma}{2} = z$. Тогда (1) превращится в уравнение $\frac{\sin \alpha}{3} = \frac{\sin \beta}{4} = \frac{\sin \gamma}{5}$.

Из второго уравнения системы получаем $\frac{1}{z} = \frac{x+y}{1-xy}$ (ясно, что $xy \neq 1, z \neq 0$), что в новых обозначениях имеет вид $\text{ctg} \frac{\gamma}{2} = \text{tg} \frac{\alpha+\beta}{2}$, или

$$\text{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \text{tg} \frac{\alpha+\beta}{2}.$$

Посленее равенство при выбранных ограничениях на $\alpha, \beta, \gamma$ возможно тогда и только тогда, когда $\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} = \frac{\alpha+\beta}{2}$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Итак, мы получили, что $\alpha, \beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, длины сторона которого относится как 3:4:5 (см. (2)). Это — прямогольный треугольник, у которого $\gamma = \frac{\pi}{2}$, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\sin \beta = \frac{4}{5}$ (см. рисунок), то есть $\text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$, $\text{ctg} \frac{\beta}{2} = \frac{1}{2}$, $\text{ctg} \frac{\gamma}{2} = 1$.

Некоторые читатели решили эту систему чисто алгебраически, но такие решения значительно длиннее приведенного.

А. Вайитров, А. Федоров

Пусть вектор черного квадрата (см. рис. 1) описан гольбой параллелограмм $ABCD$ и через все его вершины проведены красные прямые, перпендикулярные сторонам квадрата. Достаточно доказать, что при повороте на $90^\circ$ вектор $O$ черного квадрата красные прямые переходят друг в друга.

Пусть $H = R_0^{90^\circ} (A)$. Поскольку стороны поверхности параллелограмма перпендикулярны сторонам исходного, $(HE) \perp (AB)$ и $(HF) \perp (BC)$. Поэтому $H$ — точка пересечения высот треугольника $EBF$ и, следовательно, $H$ лежит на красной

25

М705. На прямоугольном листе клетающий бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (то есть каждая карточка имеет размеры 1×2 клетки. Доказите, что можно выбрать часть карточек так, чтобы они покрывали лист в один слой. (Переведите карточки нельзя).

Останется ли это верным, если карточки б) могут иметь произвольные размеры, в*) имеют размеры 1×3 клетки?

прямо, проведенной через вершину B. Таким образом, красная прямая, проведенная через точку A, переходит при повороте $R_{90^\circ}$ в красную прямую, проведенную через точку B. Отсюда немедленно следует утверждение задачи.

Теорема о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке (мы надемся, известная нашим читателем), не доказывается в школьном учебнике. Поэтому мы приведем еще одно решение задачи M704, хотя и не столбизноое, но тоже простое.

Это решение годится и для более общого случая, когда роль квадрата играет черный параллелограмм (рис. 2): мы докажем, что красные прямые (соответственно параллельные стороны черного параллелограмма) образуют параллелограмм, готовотчный черному параллелограмму.

Для доказательства достаточно проверить, что $\frac{x}{a} = \frac{b}{v}$ и $\frac{a}{y} = \frac{u}{b}$ (обозначения см. на рисунке 3). Переможив эти равенства, получим $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$, а это и значит, что точка K лежит на EG.

Полученный результат наоминает теорему Папна, которое Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен в своей замечательной (переизданной недавно по-русски) книге «Наглядная геометрия» формулирует так (с. 126—127): если вершины замкнутой шестизвенной ломанной лежат попеременно на двух прямых и две пары ее противоположных звенев параллельны, то и третья пара звенев параллельна (на рисунке 3 — как раз также ломанная AKBEFGA).

На этом возможно обобщения не исчерпаны. Если «сфотографировать» конфигурацию рисунка 3 (то есть спроектировать ее из некоторой точки S, не лежащей в плоскости рисунка, на непараллельную плоскость), мы получим конфигурацию Паскала: три пары параллельных на рисунке 3 прямых будут пересекаться на «фотографии» в трех точках одной прямой — нам удобно обозначить их $A_1$, $F_1$, $B_1$ (рис. 4) — и наша теорема о точках E, K, G превращается в такую теорему: если каждая трейка точек A, B, F и A_1, B_1, F_1 лежит на прямой, то точки $(AB_1) \cap (A_1B)$, $(BF_1) \cap (B_1F)$ и $(AF_1) \cap (A_1F)$ также лежат на прямой.

Н. Васильев

М705. На прямоугольном листе клетающий бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (то есть каждая карточка имеет размеры 1×2 клетки. Доказите, что можно выбрать часть карточек так, чтобы они покрывали лист в один слой. (Переведите карточки нельзя).

Останется ли это верным, если карточки б) могут иметь произвольные размеры, в*) имеют размеры 1×3 клетки?

a) Мы докажем более общее утверждение: из покрытия любого конечного множества клеtok карточками размером 1×2 клетки (с выполнением условия задачи) можно выбрать часть карточек так, чтобы каждая карточка множества оказалась покрытой равной одной прямой. Нетрудно видеть, что в полученной цепочке число карточек четно (убедитесь в этом!). Раскрасием все карточки цепочки в два цвета: с четыыми номерами — в один цвет, с нечетными — в другой. Легко видеть, что нашей множества клеtok карточками каждого цвета оказалась покрытой равной одной прямой.

Составимся непокрытыми клеtkами множества поступаем аналогично до тех пор, пока все клеtkи исходного множества не будут покрытой равной одной прямой.

26

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Ф713. Гибкий трубопровод длины l соединяет в пространстве точки A и B, разность высот между которых равна h (см. рисунок). Внутри трубопровода по всей его длине лежит вервка, которое удерживает в точке A. С каким ускорением начинает движаться вервка в первый момент времени, после того как ее отсутствует? Тренем между вервкой и стенками трубопровода претенбрець.

Ф714. В закрытом сосуда на поверхности воды плавает шар. Как изменится глубина подружения шара, если в сосуд накачать воздух так, чтобы давление воздуха в сосуд увеличилось в два раза?

6. Ответ: нет. Соответствующий пример изображен на рисунке 1: прямогольный лист размером 3×2 клетки покрыт в два слоя четырьмя карточками размером 1×2, одной карточкой 1×3 и одной — размером 1×1 клетки (на рисунке карточка 1×1 отмещена одной красной точкой; крайние точки карточек 1×2 и 1×3 соединены отрезками; попытка раскраски покрытия в два цвета не приводит к успеху).

в) Ответ: нет. Пример для прямогольника 6×7 клеток, покрытого в два слоя 28 карточками 1×3 клетки, изображен на рисунке 2 (мы попытались раскрасти и его). На рисунке 3 изображен фрагмент рисунка 2 (раскрашенный иначе), на котором выделены пять «попарно зацепленных» карточек. Ни одну из этих карточек удалить нельзя. В самом деле, удалив первую карточку, мы должны оставить вторую; следовательно, должны удалить третью карточку, оставив четвертую, удалить пятую, а потом — оставить первую карточку, что приводит нас к противоречию (она имеет противоположную окраску).

Г. Гальперин,
В. Произвольов

Пусть за малый интервал времени Δt после начала движения вервка переместилась на расстояние Δl и прибрела скорость v. Так как Δt мало, можно считать, что

$$v^2 = 2a \cdot \Delta l,$$

(1)

где a — ускорение всех точек вервки в момент начала движения.

Из закона сохранения энергии (трене отсутствует) следует, что

$$Mv^2/2 = \Delta \Pi,$$

(2)

где M — масса всей вервки, ΔП — изменение потенциальной энергии вервки за время Δt. Очевидно, что ΔП соответствует перерасределенному массу вервки, в результате которого кусок длины Δl «переходит» из точки A в точку B (см. рисунок). Таким образом,

$$\Delta \Pi = \frac{M}{l} \cdot \Delta l \cdot gh.$$

(3)

Из (1)—(3) находится ускорение вервки в момент начала движения:

$$a = gh/l.$$

С. Кротов

При равновесииравноведущая всех сил давления, действующих на шар, равна его весу и весу вытеcenной им воды; поэтому, если пребрежься скимаемостью воды и материала шара, глубина его погружения не изменится при увеличении давления воздуха. Если же скимаемость материала плавающего тела велика по сравнению с скимаемостью воды, то тело будет погружаться при увеличении внешнего давления. Так происходит в известной игрушке, в которой перевернутая верх дом пробирка плавает в направленной водой мензурке, затянутой сверху тонкой рези-

27

Ф715. Как зависит напряжение между точками A и B (рис. 1) от сопротивления резистора R?

Построим векторную диаграмму для цепи (рис. 2). Токи, текущие через конденсатор C и резistor R, одинаковы; значит, векторы $\vec{U}_{MR}$ и $\vec{U}_{MC}$ перепределились. Сумма их равна вектору $\vec{U}_M$; значит, конец вектора $\vec{U}_{MR}$ лежит на окружности,

Рис. 1.

Рис. 2.

диаметр которого равен $|\vec{U}_M|$. Напряжение $U_{MR}$ на резисторе с сопротивлением $r$ равно $U_M/2$. Следовательно, искомое напряжение $U_{MAB}$ численно равно радиусу построенной окружности, то есть

$$U_{MAB} = \frac{1}{2} U_M$$ и не зависит от величины $R$.

При изменении $R$ меняется угол сдвига фаз между векторами $\vec{U}_M$ и $\vec{U}_{MAB}$, так что предложенная схема может служить фазовращателем. (Часто в радиотехнике необходимо менять фазу переменного напряжения, оставляя неизменной амплитуду. На практике вместо делителя из резисторов $r$ обычно использует трансформатор с отводом от середины обмотки.)

А. Зильберман

Ф716. Из куска тонкой стальной ленты ширины d, в которой пробито небольшое отверстие радиуса r, сделали обручи и поставили его на стол так, что отверстие оказалось внизу. Из этого положения обручи немного сместили и преодоставили самому себе. Чему равно максимальное значение скорости качения обруча?

Описание в условиях начального положения обруча неустойчиво. Будучи предоставлен самому себе, обручи начинает движаться. Если трение достаточно велико, обручи поддет без просkalывания. Скорость обруча будет максимальной в тот момент, когда его потенциальная энергия будет минимальной, то есть когда центр тяжести обруча будет в нанизшем положении. Это условие выполняется в тот момент, когда дырка оказывается наверху на расстоянии $D$ от стола, равном диаметру обруча. Нетрудно сообщить, что уменьшение потенциальной энергии обруча при перехождение дырки из нижнего положения (в начале движения) в верхнее равно

$$\Delta \Pi = \Delta m \cdot gD = \frac{M \pi r^2}{\pi Dd} gD = \frac{M r^2 g}{d},$$

где $M$ — масса всего обруча, $\Delta m = \frac{M}{\pi Dd} \pi r^2$ — «масса дырки» ($\Delta m \ll M$).

Это изменение потенциальной энергии равно кинетической энергии обруча в тот момент, когда дырка находится наверху на расстоянии $D$ от стола, равном диаметру обруча. Энергия врашательного движения обруча как целого $Mv^2/2$ ($v$ — скорость центра масс обруча в данной момент) и энергия врашательного движения $Mu^2/2$ ($u$ — линейная скорость всех точек обруча).

29

Задание

1. Можно ли на 24 полях обчченной шахматной доски расставить крестики так, чтобы при вычеркивании любых трех горизонталей и трех вертикалей оставались невычеркинутыми не менее шести крестиков?

2. Пусть $A$ — натуральное число. Обозначим через $b$ число, образованное двумя последними цифрами числа $A$, через $a$ — число, образованное остальные цифрами числа $A$ (например, для $A=2906$ получаем $a=29$, $b=06=6$). Докажите, что число $A$ делится на 7 тогда и только тогда, когда $a$) $2a+b$ делится на 7; 6) $5a-b$ делится на 7.

3. Существует ли такой год, в котором тринадцатое число ни разу не является попедельником? А какое наиболее число раз оно может быть попедельником?

4. На каждой из сторон треугольника $ABC$ построено по прямогольнику так, что они попарно касаются вершинами (см. рисунок). Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника $ABC$ с соответствующими вершинами образовавшегося треугольника $A_1B_1C_1$, пересекаются в одной точке.

5. Можно ли из квадрата размером $5\times5$ клеток вырезать одну клетку так, чтобы получившуюся фигуру можно было разрезать по линейным сетки на восемь прямогольных полосок размером $1\times3$ клетки?

Эти задания нам предложили Ф. Бартенев.
А. Картузов, А. Савин.

30

«Стойте справа, прохождение слева…»

Если вы живете в большом городе, где есть метрополитен — самый удобный и надежный вид городского транспорта, то вы, конечно же, много раз слышали эту фразу, усиленную громкоговорителими, гулко звучую под сводами тоннеля. Безусловно, многие из вас, опаздывая на какое-нибудь важное дело, не оставливались ступив на экскалатор, а, добно стуча каблуками по ступенкам, мчались вниз, лавируя, как слаомист, междуStoryми справа и прохождения слева. Но довольно часто вы неудержимо движение вперед где-то вниз наталкивалось на плотную людскую массу, почему-то не желаюшую прохождение ни слева, ни справа. Возможно, вы даже заметили, что в часы пик всегда движущаяся lectница светху донизу заполненаStoryми людьми, которые, несмотря на настоящие признавы дежурного по экскалатору, никак не хотят прохождение. Давайте повременим неодоваты на несознатьность пассажиров, а взглянем на эту ситуацию объективным взором исследователья. Но прежде — такой пример.

Рассмотрим движущуюся ленту (транспортер), на котором примерно на одном и том же расстоянии друг от друга лежат какие-то предметы. Пусть на единице линейы ленты помещается $n$ предметов; величины $n$ называют концентрацией. В случае ‘расположения предметов вдоль линей ее можно назвать так-

жке линейной плотностью. Она имеет размерность 1/m или, если хотите, 1/cm, 1/км, 1/ярд — в зависимости от выбора единиц длины. Пусть, далее, лента движется со скоростью $v$ mismo наблюдается, который считает эти предметы. (Впрочем, роль такого наблюдается может играть и электронный счетчик с фотоземом, наполобие употребляемых в автоматических туриктах на станциях метро). Возникает вопрос: сколько предметов будет регистрации наблюдаемых в единницу времени? На этот вопрос ответить очень легко. За время $t$ mismo наблюдается продукт и имеет размерность 1/c (или 1/min, 1/год — в зависимости от выбора единиц длины). Мы будем обозначать поток буквой Ф (это — заглавная греческая буква «Фи»). Итак,

$$\Phi = nv.$$

Теперь представим себе, что наш транспорт имеет конечную длину и что расположенные на его ленте предметы, одной до конца, попадают на ленту другого транспорта, движущуюся с другой скоростью $v'$. Очевидно, что наблюдается, стоящий около второго транспорта, в единницу времени насчитывает столбко же прохождения mismo него предметов, сколько их насчитает и первый наблюдается. Если их будет меньше, то можно ручаться, что какие-то золушиленики где-то по дороге похожают предметы. Если же их оказывается (что значительное добавление подкладаваются на вторую ленту дополнительные предметы. Таким образом, поток $\Phi = nv$ и $\Phi' = n'v'$, регистрации обоими наблюдающими, должны быть равны друг друга:

$$nv = n'v'.$$

Отсюда сразу видно, что концентрация $n'$ предметов на втором

31

транспортере будет не такой, как на первом, а именно

$$n' = n \frac{v}{v'}$$

Если скорость $v'$ меньше скорости $v$, то концентрация $n'$ будет больше концентрации $n$. может даже лучше, что на ленте второго транспорта предметы не смогут помещаться без интервалов, а будут громоздиться друг на друга.

Вы, конечно, понимаете, что для наблюдаемого совершенного безразлично, находятся ли предметы на ленте, движущейся со скоростью $v$, или же они самостоятельно движутся со скоростью $v$ по неподвижной ленте (полу, тротуару). Важно только, что их скорость относительно наблюдаемого предмета, регистрирующего поток, равна $v$. Следовательно, поток есть величины, зависимости от системы координат, в которой он изменяется. Так, если наблюдаемый сам находится на другой ленте, движущейся параллельно первой с такой же скоростью $v$, то относительная скорость $v_{\text{отн}}$, а значит, и изменяемый наблюдаемый поток $\Phi = nv_{\text{отн}}$ будет равны нулю.

А сейчас самое время вернуть к вопросу о том, что же происходит на экалаторе в часы пик. Поток пассажиров, стоящих справа, равен $\Phi_1 = n_1v_9$, где $n_1$ — концентрация стоящих пассажиров, $v_9$ — скорость экалатора. Поток пассажиров, проходящих слева, равен $\Phi_2 = n_2(v_9 + v_n)$, где $n_2$ — концентрация идущих пассажиров, $v_n$ — скорость пешекодов относительно экалатора, а $v_9 + v_n$ — скорость идущих пассажиров относительно неподвижного наблюдаемого наблюдаемого. Естественно, что по окончании спуска обе группы пассажиров начинают движаться с одинаковой скоростью $v_n$. При этом правый поток не претерпевает каких-либо сердезных изменений, поскольку $v_n$ приближительно равна $v_9$. А вот пассажеры, находившиеся на экалаторе слева, теперь движутся примерно вдвое медленнее (относительно неподвижных стен), чем раныше, и, согласно выщесказанному, концентрация пассажиров в этой группе должна возрастти примерно вдвое.

По целому ряду причин люди не любят ходить, тесно прижавшись друг к другу, поэтому левый поток сможет движаться нормально, если люди, идущие по экалатору, держат между собой дистанцию раза в два большие, чем при обычной ходьбе по платформе, или же если внизу поток может расширяться в стороны. В часы пик обе эти возможности, как правило, не могут быть реализованы из-за большого степени народа. Вот почему люди на экалаторе разумнее строить и справа, и слева. Иначе внизу обязаτεльно возникнет затор.

Нам кажется, что теперь вы не будете сердиться на непредвиденную задержку на экалаторе, а постарается выйти из дома минут на пять раныше.

---

Понятие потока, конечное же, имеет относение не только к рассмотрению случая; оно очень широко используется в физике.

Пусть есть пучок частиц, движущихся в пространстве в одном направлении с одной и той же скоростью $v$. Число частиц в единице объема пучка, как и в линейном случае, тоже называется концентрацией $n$ (или объемной плотностью) и имеет размерность $1/\text{m}^3$. Произведение $\Phi = nv$ имеет теперь размерность $1/(m^2 \cdot c)$ и равно числу частиц, проходящих ежесекундно через единицу площади секения, перпендикулярного направлению движения пучка. Поэтому величины $\Phi$ называют плотностью потока частиц; умножив ее значение на площадь секения пучка, мы получим полный поток частиц в пучке.

Если каждая движущая часть обладает каким-то свойством и это свойство «переносится» вместе с ней, то целесообразно ввести понятие плотности потока этого свойства

$$\Phi_a = anv$$

где $a$ — количество характера данного свойства. Пусть, например, $a = m$ — масса одной частицы в потоке, тогда $\Phi_m = mnv$ — это плотность потока массы (ее размерность равна $\kappa/(\text{m}^2 \cdot c)$). Или,

32

если $a = q$ — электронческий заряд, переносимый каждой частией, то $\Phi_q = qnv$ — плотность потока электронского заряда (количество электронства). Величину $\Phi_q$, имеющий размерность $KL/(m^2 \cdot c)$, называют также плотностью электронского тока, поскольку сила электронского тока — это количество электронства, прохождение в единицу времени через поперечное сечение проводника. (Это следует также и из сообщений размерностей: $KL/(m^2 \cdot c) = (KL/c)/m^2 = A/m^2$.) Аналогично определяются и другие плотности потоков (энергии, импульса и т. д.).

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач, которые помогут лучше усвоить понятия потока или его плотности.

1. Попробуйте оценить пропускную способность автоматистрали, то есть максимальное число автоматических которые могут пройти по данной дороге за час.

Такие расчеты необходимы при проектировании дорог и для правильной организации движения, особенно в больших городах и на крупнейших международных трассах.

Пусть магистраль двухсторонняя, и в каждом направлении движение происходит в два ряда с максимальной допустимой скоростью $v = 60$ km/ч (таковы, например, условия движения на Московской колцевой автоматической дороге). На интересует поток автоматielen, то есть число автоматии, прохождения в единицу времени mismo неподвижного наблюдается. Используя полученные выше формулы, мы напишем $\Phi = Nnv$, где $N=4$ — общее число рядов движения, $n$ — число машин на единицу длины дороги, которое можно связать с дистанцией $L$ между автоматыми: $n = 1/L$. Таким образом, $\Phi = Nv/L$. Руководства по управлению автоматами рекомендуют держать дистанцию между автоматыми, численно равную в метрах половине скорости, выраженной в километрах в час. В нашем случае при скорости $v = 60$ km/ч $L = 30$ м, и пропускная способность автоматистрали равна

$$\Phi = N \frac{v}{L} = 8000 \text{ 1/ч.}$$

33

2. Люди стоят на эскалаторе, движущемся вниз, на расстоянии $L = 1$ м друг от друга. Каждый поток пассажиров зарецептурют:
   a) дежурный по эскалатору, стоящий внизу; b) наблюдает, стоящий на другом эскалаторе, движущемся вверх? Скорость движения эскалторов приять равной $v = 2$ м/c.

Мы уже говорили о том, что поток зависит от системы отчета, в данном случае — от наблюдаателя. Относительно дежурного по эскалатору пассажиров спускается со скоростью, равной скорости эскалатора, поэтому

$$\Phi_1 = nv = \frac{v}{L} = 2 \text{ } 1/\text{c}.$$

С точки зрения наблюдаателя, находящемся на эскалаторе, движущемся со скоростью $v$ вверх, поток пассажиров будет вдвое больше, так как относительно него скорость потока $v_{\text{отн}} = 2v$, и поток

$$\Phi_2 = nv_{\text{отн}} = 2nv = 4 \text{ } 1/\text{c}.$$

3. Грузовую машину грузоподъемностью $M = 2$ т зарружают arbuzami с помощью транспорта. Средняя масса arbuzа $m = 5$ кг, скорость движения транспорта $v = 0,5$ м/c, расстояние между arbuzами на ленте $L = 0,75$ м. Найдите время погрузки.

В данном случае имеем дело с потоком массы. По определению он равен $\Phi_m = mnv = mv/L$. Тогда искомое время погрузки

$$t = \frac{M}{\Phi_m} = \frac{ML}{mv} = 600 \quad c = 10 \text{ мин.}$$

4. Оцените скорость движения электров в металлическом проводнике, когда по нему протекает электрический ток.

Будем исходить из того, что по правым техника безопасности по проводам с естественным воздействием охлаждения разрешается пропускать электрический ток плотностью до $10 \text{ A}/\text{mm}^2 = 10^7 \text{ A}/\text{m}^2$. Следовательно, речь пойдет о плотности тока, то есть о плотности потока электрического заряда $\Phi_q = qnv$, где $q$ — заряд одного носителя колiectства электричества, $n$ — концентрация носителя, $v$ — скорость их упорячего движения

35

Практикум абитурения

Е. Морозов

Оптические системы

Оптической системе принято называть совокупность различных оптических элементов: линз, зеркал, прisms, плоскопаральных пластин и т. п. Их действие основано на простейших законах геометрической оптики — на законах отражения и преломления света.

Основными элементами многохоптических систем являются тонкие линзы и плоские зеркала (именно о таких системах и поддет речь в статы). Напомним основные результаты применения для них законов отражения и преломления света.

Для тонкой линзы справедлива формула

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$$

которая позволяет найти расстояние $f$ от линзы до изображения по известному расстоянию $d$ от предмета до линзы и фокусному расстоянию линзы $F$. Пользовать этой формулой, надо аккуратно соблюдать правила знаков. Так, следует иметь в виду, что фокусное расстояние $F$ всегда положительное для собирающей линзы и отрицательное для рассеивающей. (Именно поэтому собирающий линз называют также положительным, а рассеивающим — отрицательным.) Расстояние $d$ считается положительным для реализации (действительного) предмета или его изображения, полученного ранее с помощью какого-то другого оптического элемента и расположенного с

36

На каком расстоянии от второй линии находится изобранение $S_2$ предмета $S$, расположенное перед первой линии на расстоянии $d$ от нее? Какова будет оптическая система этих двух lines, если расстояние $l$ между ними становится нулю?

Очевидно, что решение задачи заключается в последовательном применении формулы линзы к линзам $\varLambda_1$ и $\varLambda_2$. Предварительно заметим, что из этой формулы просто образом выражаются не соответствующие расстояния, а обратные им величины, поэтому именно с ними и удобно операровать. В противном случае, как показывает опыт, громоздкость вычисления часто приводит к ошибкам результатам.

Для первой линии формула дает

$$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d_1} = \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d},$$

где $f_1$ — расстояние до изобранения $S_1$. Это промежутное изобранение представляет от второй линии на расстоянии $d_2 = l - f_1$. Применя формулу линзы второй раз, приходим к искомому результату:

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{l - f_1} =$$

$$= \frac{1}{F_2} + \frac{\frac{1}{f_1}}{1 - l \frac{1}{f_1}} = \frac{1}{F_2} + \frac{\frac{1}{F_1} - \frac{1}{d}}{1 - l \left(\frac{1}{F_1} - \frac{1}{d}\right)}.$$

Отсюда в принципе можно найти и само расстояние $f_2$.

Если линзы сложены вплотную, то есть $l = 0$, то полученное выражение упрощается:

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} + \frac{1}{F_1} - \frac{1}{d}.$$

Чтобы найти формуле расстояния такой системы, положим $d \to \infty$.

$$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_{\text{системы}}} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2},$$

или

$$D_{\text{системы}} = D_1 + D_2$$

— оптическая система двух сложенных вплотную тонких lines равна сумме их оптических сил. Этот результат можно обобщить и на случай большого числа lines.

Задача 2. Заполнитель линзой с формуным расстоянием $F$ перендикулярно оптической оси lines на расстоянии $l$ от нее расположено плоское зеркало (рис. 4). Перед линзой на расстоянии $d$ находится точный источник света $S$. Определите полжение изобранения.

37

При каких значениях d изображение будет действительным и при каких — минимальным (расстояние случай l=0)?

Лучи от источника света, попав на линзу, преломляются в ней, затем отражаются от зеркала и еще раз преломляются линзой.

После первого преломления линзой лучи сойдуться в точке $S_1$. Величину отрезка $f_1$ найдем из формулы линзы:

$$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}.$$

Изображением точки $S_1$ в плоском зеркале будет точка $S_2$, расположенная на таком же расстоянии от зеркала, что и точка $S_1$, но по другую сторону от него. Это расстояние $d_2 = f_2 = l - f_1$.

Отразившись от зеркала, лучи снова падают на линзу, как бы исходя из точки $S_2$, находящейся от линзы на расстоянии

$$d_3 = l + (l - f_1) = 2l - f_1.$$

После второго преломления линзой лучи (или их продолжения) сойдуться на расстоянии $f_3$ от нее, причем

$$\frac{1}{f_3} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_3} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2l - f_1} =$$

$$= \frac{1}{F} - \frac{\frac{1}{f_1}}{2l \frac{1}{f_1} - 1} = \frac{1}{F} - \frac{\frac{1}{F} - \frac{1}{d}}{2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) - 1} =$$

$$= \frac{2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) + \frac{F}{d} - 2}{F \left(2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) - 1\right)}.$$

Отсюда искомая величины

$$f_3 = \frac{F \left(2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) - 1\right)}{2l \left(\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\right) + \frac{F}{d} - 2}.$$

ТеперЬ проанализируем, когда полученное изображение будет действительным, а когда — минимым. Очевидно, что окончательное изображение оказывается минимым, если точка $S_2$ находится между линзой и ее правым фокусом, то есть $d_3 < F$. Следовательно, точка $S_1$ должна находиться справа от зеркала на расстоянии $d_2 > l - F$ от него и на расстоянии $f_1 > 2l - F$ от линзы. Тогда из формулы линзы получим

$$\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f_1},$$

илли

$$d = \frac{Ff_1}{f_1 - F} < \frac{F(2l - F)}{2(l - F)}$$

— при таких расстояниях источника $S$ от линзы его изображение будет минимым.

В частности, когда $l = 0$, изображение оказывается минимым при значениях $d < F/2$ и действительным при $d > F/2$.

Задача 3. Из стека с показателем преломления $n = 1,5$ сделана толстая линза. Радиус ее первой выпуклой поверхности $R_1 = 20$ см, радиус второй поверхности, которая бысть как выпуклой, так и военутой, $R_2 = 5$ см. Найдите толщину линзы, если известно, что параллельный лучок света линза оставляет параллельным.

Поскольку линза толстая, формула тонкой линзы к ней не применена. Для решения задачи нам предется пользоваться непредределенно законом преломления света.

Рассмотрим параллельный лучок лучей, падающих на первую сферичесу поверхности раздела двойной оптической оси линзы. После преломления лучи соберутся в некоторой точке на оптической оси. Найдем положение этой точки.

Для этого выберем один луч из лучка — луч $AB$, удаленный от оси на расстояние $h$, и найдем точку $S$ пересечения его с осью после преломления (рис. 5, а). Проведем радиус $OB$ в точку падения луча. Тогда угол $\alpha$ будет углом падения, а $\beta$ — углом преломления, причем, согласно закону преломления,

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n,$$ или $\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}$.

Из треугольника COB

$$\sin \alpha = \frac{h}{R_1},$$ и $\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n} = \frac{h}{nR_1}$.

Заметим, что все оптические системы дают четкие изображения предметов, только если используются уже присевые лучки лучей. В данном случае это означает, что $h \ll R_1$, так что синусы углов падения и преломления можно заменить самими углами:

$$\alpha = \sin \alpha = \frac{h}{R_1},$$

39

фокусная линия. Перемещением этой линии достигается фокусировка на более или менее удаленные предметы.

Задача 4. Найдите область фокусировки зрительной трубы с фокусирующей линии, фокусное расстояние которого равно фокусному расстоянию объекта. В каких пределах при этом перемещается фокусирующая линия? Какова должа быть длина трубы без фокусирующей линии, но с такой же области фокусировки?

Когда труба настроена на бесконечность, фокусирующая линия не должна никака смесьть изображение, создаваемое объективом; следовательно, она должна находиться там, где получается это изображение, то есть в общей фокальной плоскости объекта и окуляра.

Чем дальше от этой плоскости расположить фокусирушую линию, тем больше сместится изображение, создаваемое объективом. В пределном случае линии можно вплотную привинуть к объективу. Найдем, на какое минимальное расстояние $d$ оказывается при этом фокусированной зрительной труба.

Поскольку две одинаковые линии (фокусирующая линия и объектив) свинуты вплотную, их общое фокусное расстояние будет равно половине фокусного расстояния объекта, то есть $F_{06}/2$. Изображение, создаваемое системой этих линии, должно получить на расстоянии $f=F_{06}$. Тогда из формулы тонкой линии найдем $d$:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{F_{06}} = \frac{2}{F_{06}}, \text{ и } d=F_{06}.$$

Таким образом, зрительная труба может быть фокусирована на предметы, находящиеся от трубы на расстояниях от $d=F_{06}$ до $d \to \infty$. При этом фокусирующая линия перемещается непосредственно от объекта к общей фокальной плоскости объекта и окуляра, то есть на расстояние, равное $F_{06}$.

Очевидно, что зрительная труба без фокусирующей линии не может иметь столь большие пределы фокусировки, так как для этого линии трубы должны быть бесконечно большой.

Упражнения

1. На системе из трех линз, главные оптические оси которых совпадают, падает паральный пучок света. Найдите положение точки пересечения лучей после прохождения системы, если фокусные расстояния линии равны $F_1=+10$ см, $F_2=-20$ см и $F_3=+10$ см, расстояние между первой и второй линии равно $l_1=15$ см, а расстояние между второй и третьей — $l_2=6$ см.

2. Плоская поверхность плосковыпуклой линии с фокусным расстоянием $F$ покрыта хорошего отражающим слоем. На расстоянии $d$ от линзы со стороны ее выпуклой поверхности расположен точчный источник света. Определите положение изображения. При каких значениях $d$ изображение будет действительным и при каких — минимым?

3. Объектив с переменным фокусным расстоянием состоит из двух одинаковых тонких плосковыпуклых линз, пространство между которых может заполнять различными жидкостьми (рис. 7). Считая объектив тонкой линии, найдите зависимости его фокусного расстояния $F$ от показателя преломления жидкости $n$ и изобраните эту зависимость графически. Радиусы сферических поверхностей линии $R=20$ см, показатель преломления материалов линз $n_1=1,5$.

4. Зачем крокодилу плоские глаз?

42

3. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB$ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию $AD$, равна 3 см. Биссертиса угла $BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $|MC| = 4$ см. $N$ — точка пересечения биссертисы $AM$ и диагонали $BD$. Вычислите площадь треугольника $BNM$.

4. Каждый из рабочих должны изготовить 36 одинаковых деталей. Первый рабочий приступил к выполнению своего задания на 4 минуты позже второго, но $\frac{1}{3}$ задания они выполнили одновременно. Полностью выполив свое задание, первый рабочий после двухминутного перерыва снова приступил к работе и к моменту выполнения задания вторым рабочим изготовил еще две детали. Сколько деталей в час изготовливал каждый рабочий?

5. Вычислите размеры конуса наиболее объема, вписанного в шар радиуса $R$.

Физика
Задание устного экзамена

Физический факультет

1. Две ступенки, возвышающесая над горизонтальной плоскостью, имеют одинаковую высоту $h$ и находятся на расстоянии $L$ одна от другой (рис. 1). На краю одной ступенки лежит маленький шарик. Тело, масса которого много больше массы шарика, является на шарик, содержается с ним и сталькает его со ступенки. Какую скорость должна иметь тело, чтобы шарик после одного подскока от горизонтальной плоскости попал на вторую ступенку? Все соударения абсолютоно упругие. Сопротивление воздуха не учитывать.

Рис. 1.

2. Маленький шарик подвешен на длиной неиссомой и нерастворимой нити. Шарик врашается по кругу в горизонтальной плоскости. Перiod обращения равен $T_1$, а угол отклонения нити от вертикали — $a_1$. Чему будет равен перiod обращения, если все системы начнет ускоренно движется вускренем $a < g$? Угол отклонения нити при этом равен $a_2$.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.