Квант 1982, №7 · Страницы

КВАНМ
7
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Здесь мы воспроизведем литографию с рисуна, сделанного в 1858 году в Париже во время прохождения кометы

Донати (рисунок неизвестного художника).
Кометам посвящена статья Л. Марочника в этом номере журнала.

1

В НОМЕРЕ: IN THIS ISSUE:

В. Тадеев. Простьые, двойные, гармоничские 2 V. Тадеев. Simple, double, harmonic
Л. Марочник. Кометы 10 L. Marochnik. Comets
Г. Меледин, В. Сербо. Конденсация света 19 G. Meledin, V. Serbo. Condensation of light in beweistvo into mattee
В. Дубровский. Алгоритм волшебного кубика 22 V. Dubrovski. An algorithm for the magic cube
В. Сурдин. Солнечное заттение 31 июля 26 V. Surdin. The solar eclipse of July 31, 1981
1981 года

Matematический кругок Mathematics circle
А. ХодULEВ. Расселение физек 28 А. KhodULEV. Resettling chips

Лаборатория «Квант» Kvant’s lab
Л. Миказлян. Домашние опыты с поляризо-32 ванным светом L. Mikaelian. Experiments in polarized light at home

Задачник «Квант» Kvant’s problems
Задачи M751—M755; Ф763—Ф767 39 Problems M751—M755; P763—P767
Решения задач M711—M720; Ф723—Ф732 42 Solutions M711—M720; P723—P732
А. Зильберман. Источник с «отрицательным» 54 A. Zilberman. A source with “negative” inner внутренним сопротивлением resistance

«Квант» для младших школьников Kvant for younger school children
А. Савин. Веселая викторина 56 А. Savin. An amusing quiz

Практикум абитуриента College applicant’s section
Л. Баканина. Законы сохранения при ядерных 58 Л. Bakanina. Conservation laws in nuclear reactions

Ответы, указания, решения 62 Answers, hints, solutions

Новости науки (38) Science news (38)
Смесь (25, 60, 61) Miscellaneous (25, 60, 61)

Шахматная страница The chess page
На пересечении линей (3-я с. обложки) On the intersection of lines (3rd cover page)

© Издательство «Наука». Главная редакция физко-математической литературы, «Квант», 1982

2

В. Тадеев

Простые, двойные, гармоничческие

Никто теперь точно не знает, как в 1640 году семнадцатилетний Блез Паскаль (о его жизни см. брошюру С. Г. Гиндикина «Рассказы о физиках и математиках» (M., «Наука», 1981)) допумался до теоремы, носящей ные его имя. Возможно, продолжив зачем-то стороны вписаного в окружность шестиугольника, он просто заметил, что точки пересечения M, N и K оказались на одной прямой (см. заставку). Слушайно ли это? Юноша взял другой шестиугольник, но точки M, N и K упорно ложились на одну прямую.

Мы не знаем, какие эмоции возникли в его душе. Известно только, что он довольно быстро продолжал доказательство обнаруженного им красного факта и тут же его обобщил. А затем… затем из теоремы, как из рода изобилия, посылась следствия. Воспследствии теорема Паскала оказалась одним из важнейших положений нового раздела математики — проективной геометрии, нашейшего интересные применения в геодезии и картографии.

В этой статье мы докажем теорему Паскала для okружности и обсудим некоторые «проектные понятия», позволяющие ее обобщить.

Простые отношения

Пусть на прямой l заданы точки A, B и C (рис. 1). Для коллинеарных векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ существует такое (единивенное) число $\lambda$, что $\vec{AC} = \lambda \cdot \vec{CB}$. Это число $\lambda$ называется простым отношением точки A, B, C; обозначает оно через (АВС). Когда точки B и C совпадают, простое отношение (АВС) не определяено. Из определения ясно, что

$$|(ABC)| = \frac{|\vec{AC}|}{|\vec{CB}|}.$$

Точнее, $(ABC) = \frac{|\vec{AC}|}{|\vec{CB}|}$, если точка C

3

расположена между $A$ и $B$, и $(ABC) = -\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|}$ в противном случае.

Фиксируем теперь на $l$ точки $A$ и $B$ и исследуем, как изменяется простое отношение $(ABC)$ в зависимости от положения точки $C$. Для этого помещим начало координат в точку $B$, а ось абсцисс направим вдоль $l$ от $A$ к $B$ (рис. 2). Если абсциссу точки $C$ обозначит через $x$ и положить $|AB| = a$, то $|\overrightarrow{AC}| = a + x$ и $|\overrightarrow{CB}| = x$. Легко видеть, что $(ABC) = v(x) = -\frac{a+x}{x}$. (1)

Из графика функции $v$ (рис. 2) видно, что положение точки $C$ на прямой $AB$ однозначно определяется числом $(ABC)$.

Возьем на плоскости прямые $l$, $l'$ и точку $P$ вне их. Произвольной точке $A$ прямой $l$ поставим в соответствии точку $A' = (PA) \cap l'$ прямой $l'$. Это отображение прямой $l$ в прямую $l'$, которое естественно называть центральным проектированем (примой $l$ в прямую $l'$), в дальнейшем будет играть важную роль.

К сожалению, если $l \parallel l'$, простое отношение точки при центральном проектировании не сохраняется (рис. 3). Однако из него легко строится другое отношение, уже обладающее нужным нам свойством.

Двойные отношения

Пусть на прямой $l$ заданы точки $A, B, C$ и $D$ (рис. 4). Число $\frac{(ABC)}{(ABD)}$ называется двойным (или сложным, или ангармоничским) отношением точки $A, B, C, D$; обозначает оно через $(ABCD)$. Таким образом,

$$|(ABCD)| = \frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|} : \frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{DB}|}.$$

Когда точки $A$ и $D$ совпадают, $(ABD) = 0$ (см. (1)); в этом случае двойное отношение $(ABCD)$ не определяено. Не определено оно, конечно, также при $B = C$. При $B = D$ естественно положить $(ABCD) = 0$.

Фиксируем теперь на $l$ точки $A, B$ и $C$. Поместим начало координат в точку $B$ и направим ось абсцисс

4

Рис. 5.

6. $(BACD) = (ABDC) = (CDBA) = (DCAB) = \frac{1}{\omega}$;
7. $(BDAC) = (DBCA) = (ACBD) = (CADB) = 1 - \omega$;
8. $(DACB) = (ADBC) = (CBDA) = (BCAD) = 1 - \frac{1}{\omega}$;
9. $(DBAC) = (BDCA) = (ACDB) = (CABD) = \frac{1}{1 - \omega}$;
10. $(ADCB) = (DABC) = (CBAD) = (BCDA) = \frac{1}{1 - \frac{1}{\omega}}$.

Докажем, что двойное отношение при централином проектировании сохраняется (рис. 5). Обозначим, соответственно, через $h$ и $h'$ расстояния от $P$ до прямых $l$ и $l'$. Расматривая площади, например, треугольников $PAC$ и $PA'C'$, получаем

$$\frac{h \cdot |AC|}{h' \cdot |A'C'|} = \frac{|PA| \cdot |PC|}{|PA'| \cdot |PC'|}.$$

Отсюда

$$|A'C'| = |AC| \cdot \frac{|PA'| \cdot |PC'|}{|PA| \cdot |PC|} \cdot \frac{h}{h'}$$

Из аналогичных равенств для $|C'B'|$, $|A'D'|$ и $|D'B'|$ получаем

$$\frac{|A'C'|}{|C'B'|} : \frac{|A'D'|}{|D'B'|} = \frac{|AC|}{|CB|} : \frac{|AD|}{|DB|}$$

Поскольку точки $A, B, C, D$ на $l$ и $A', B', C', D'$ на $l'$ расположены в одинаковом порядке, простые отношения $(ABC)$ и $(A'B'C')$, а также $(ABD)$ и $(A'B'D')$ имеют одинаковые знаки. Значит, $(A'B'C'D') = (ABCD)$.

Рис. 6.

Паскалевы тройки

Тепер можно пожинать плоды на ших трудов.

Постройте (только аккуратно) вписанный в окружность шестиугольник $ABCDEF$ и продление пары сторона $FE$ и $BC$, ED и $AB$, DC и $FA$ до пересечения в точках $M, N, K$ соответственно*). Если вы проделаете эти построения достаточно точно, вы увидите, что точки $M, N, K$ лежат на одной прямой (рис. 6). Эту тройку точек называют паскалевой тройкой, утверждение об их колlinearности — теоремой Паскалая.

Кстати, сколько вам лет? Семнадцать? Если вы внимаете прочитали предыдущие

*) О случае, когда хотя бы одна пара прямых не пересекается, будет сказано ниже.

5

страницы, вы находите на равных с Паскалем, только что сделавшим свое наблюдение. Не хотите ли посмотреть, сколько времени вам потребуется, чтобы самостоятельно найти доказательство теоремы Паскаля?

Докажем эту теорему. Расмотрим две четверки прямых: FE, FD, FC, FA и BE, BD, BH, BN. Они конгруэнтны, так как углы между соответствующими прямыми равны (например, EFD = EBD, либо они опираются на общую дуг DE). Значит, по доказанному в предыдущем разделе (RDCK) = (EDHN) (здесь R = (FE) ∩ (CD), H = (BC) ∩ (ED)).

Обозначим точку пересечения прямых MK и EH через N’. Тогда (EDHN’) = (RDCK). Следовательно, (EDHN) = (EDHN’), откуда N’ совпадает с N.

Упражнения

2. Выбирая всевозможными способами пары прямых, соединяющих вершины вписанного в окружность шестиугольника ABCDEF, убедитесь, что имеется 60 парaclesых треок.

3*. Исследуйте взаимное расположение 60 парых, на которых лежат эти треоки.

4. Сформируйте и докажите теорему Паскаля для вписанного в окружность пятугольника (Указание. Расмотите его как шестиугольник с совпавшими вершинами E и F, а касательную в точке E как предельное положение секущей EF), четырехугольника и треугольника.

5. Постройте одной линейкой касательную к данной окружности из данной точки.

---

Что бы из теоремы Паскаля получить следствия, о которых говорилось в начале статьи, придется сперва немного потребится. Мы изучим два важных типа преобразования плоскости — паральное проектирование и центральное проектирование. Эти преобразования лежат в основе проектирования.

Вы знаете, что перемещения плоскости оставляют неизменными расстояниям между точками; поэтому они сохраняют размеры и форму фигур. При подобиях сохраняются лишь отношения расстояний — фигуры могут изменяться в размере, но сохраняют свою форму. Хуже обстоит дело с паральным и центральным проектированием — они искажают и форму фигур. Например, при паральном проектировании

ни окружность может перейти в эллипс, а при централином — даже в пару пересекающих прямых! Что же они тогда сохраняют? Как раз об этом и пондет речь — ответ на этот вопрос составляет основное содержание проектной геометрии.

Паралельное проектрование
Около поверхности Земли лучи Солнца с достаточно точностью является паралельными. Поэтому возникние наровной поверхности тени от плоского предмета является иллюстрацией паралельного проектирования (рис. 7).

А математическое определение здесь такое: пусть данные плоскости π и π’ (паралельные или пересекающие) и прямая l, пересекающая обе плоскости; каждый точке A∈π поставим в соответствии точку A’∈π’ пересечения прямой l’, проходящей через A паралельно l, с плоскостью π’ (рис. 8); полученное отображение плоскости π на π’ называется паралельным проектованием (π на π’ вдоль прямой l).

Очевидно, паралельное проектрование является взаимно однозначным отображением плоскости π на плоскость π’, переводящим паралельные прямые в паралельные, пересекающие — в пересекающей.

Паралельное проектрование не только меняет размеры фигур, но и искажает их форму. Так, при паралельном проектовании окружность может «сплошивать» в эллипс (рис. 9)*. Меняются, таким образом, не только расстояния, но и их отношения.

Однако простое отношение трех точек при паралельном проектовании сохраняется. Действительно, когда плоскости π и π’ пересекаются (рис. 10), это сразу следует из подобия треугольников PAA’, PBB’ и PCC’; случай, когда π и π’ паралельны, еще проще — разберите его самостояльно.

Этот простой, но важный факт имеет много интересных следствий.

*) Кстати, это одно из возможных определений эллипса — кривая, получающая паралельным проектованием окружности.

Рис. 12.

Например, при паралельном проектовании середина отрезка переходит в середину отрезка, medida треугольника — в medida. (А вот биссектриса не обязательно передет в биссектрису; то же самое можно сказать и о высоте треугольника.)

Уражнения.

6. Показите, что эллипс имеет единственный центр симметрины.

7. Показите, что середины хорд эллипса, паралельных данному направлению, лежат на одной прямой, проходящей через его центр (рис. 11).

Центральное проектрование
Свет, испускаемый лампой, — конечно, не такой яркий, как солнечный. В пределах освещенности лампой лучи нельзя считать паралельными — лампу поэтому чаще представляют как точный источник, лучи которого расходятся во всех направлениях.

7

лених. Возникновение на экране тени от плоского предмета моделирует центральное проектирование (рис. 12).

Matematическое определение здесь следующое: пусты даны плоскости π и π’ (параллельные или пересекающие) и точка P вне этих плоскостей; каждой точке A ∈ π поставим в соответствие точку A’ ∈ π’ пересечения прямой PA с плоскостью π’ (рис. 13); полученное отображение плоскости π в плоскость π’ называется центральным проектированем (плоскости π в плоскость π’ из центра P).

К сожалению, если плоскости π и π’ не параллельны, центральное проектирование не является ни отображением в сея плоскость π, ни отображением на всю плоскость π’. В самом деле, если через P проведится плоскость π₁, параллельную π’, то точки прямой l = π₁ ∩ π при центральном проектировании из P никака не отображается (рис. 14, а). Аналогично, если через P проведится плоскость π₂, параллельную π, то в точки прямой l’ = π₂ ∩ π’ при центральном проектировании из P никака точек плоскости π не переходят (рис. 14, а).

Постотрим, что делается при центральном проектировании с прямыми плоскости π. Как уже было сказано, прямая l (и любая ее точка) ни во что не переходит. Любая прямая плоскости π, параллельная l, переходит в прямую плоскости π’, параллельную l’ (рис. 14, б). Примая плоскости π, пересекающая l, без точки пересечения — «проколотую прямую» плоскости π’ — в прямую без точки ее пересечения с l’ (рис. 14, в). (В дальнейшем, чтобы не загромождать формулировки отворками, мы в подобных ситуациях будем допускать волность речи и говорить коротко, что прямая переходит в прямую.)

Заметим далее, что пересекающие прямые, если точка их пересечения не лежит на выделенной прямой l, переходит в пересекающие прямые (рис. 14, е), в противном случае они переходят в параллельные (рис. 14, д).

8

Таким образом, можно сказать, что при центральном проектировании в основном прямые переходят в прямые, притом пересекающие — в пересекающейся. Слова «в основном» означает «кроме исключений и оговорок, указанных выше».

Оговорок об исключительных случаях в формулировках о проектировании можно избежать, если считать, что «параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке» и что «все бесконечно удаленные точки данной плоскости лежат на одной (бесконечно удалённой) прямой». Волее того, словам в качестве можно придать точный математический смысл; тогда, присоединяя к нашей обчиной (евклидовой) плоскости ее «бесконечно удаленные точки», мы получим так называемую «проективную плоскость».

На проективной плоскости теорема Паскала выполняется без оговорок: даже в случае правильного шестиугольника противоположные (параллельные) прямые «пересекаются в трех бесконечно удаленных точках, которые все лежат на одной (бесконечно удаленной!) прямой».

Однако мы здесь не будем занимается этим страным математическим объектом. К этой теме «Квант» вскоре вернется.

Кончексные сечения

Постотрим теперь на примере окружности, в какой мере центральное проектирование искажает форму фигур. Расмотрим окружность S, лежащую на плоскости π, и точку P над этой плоскостью (рис. 15). Во что перейдет окружность S

Рис. 15.

при центральном проектировании из точки P, зависит, разумется, от расположения плоскости π′, на которой мы проектируем. На рисунке показаны четыре слуха (плоскости π′1, π′2, π′3, π′4); при этом получаются соответствие, эллипс, парабола, гипербола и пара пересекающих прямых. На рисунке хорошо видно, что совокупность проектировших прямых образует конус; поэтому перечисленные кривы называют конищеским сечениями.

Если центральное проектирование так сильно искажает форму фигур, то что же оно все-tаки сохраняет? Мы знаем, что оно переводит прямые в прямые, то есть сохраняет коллинеарность точек (здесь только нужно помнить об оговорках, сделанных выше!). Кроме того, оно сохраняет двойное отношение четырех точек — это мы фактически доказали ранее. Оказывается, этих двух фактов достаточно, чтобы получить много глубоких геометрических теорем, в частности — следствие из теоремы Паскала.

Упражнения

8. Сформируйте и доказите теорему Паскала для шестиугольника, вписанного в эллипс, параболе и гиперболе.

9. Докажите, что эллипс, параболе и гиперболе однозначно определяются пятьюками.

10. Укажите способ построения одной линейкой по пяту точкам эллипса других его точки.

11. Постройте одной линейкой касательную к данному эллипсу из данной точки. То же — для парабoles и гипербoles.

Гармонические четырёх

Еще древнегреческие математики называют коллинеарную четырёх точек A, B C, D гармонической, если (ABCD) = —1.

Приведем пример. Возьмем произвольный треугольник NAB и проведем биссертису NC «внутреннего» угла ANB и биссертису ND «внешнего» угла KNB (рис. 16). Как известно («Геометрия 6—8», задача 914), $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{|NA|}{|NB|}$. Это утверждение можно записать и так:

$$ABC = \frac{|NA|}{|NB|}.$$

9

Пусть $A$ — точка на оптической оси, $A'$ — ее изображение, $F$ — фокус зеркала, $a$ — его центр ($|PF| = |FO|$). Тогда четверка точек $P, O, A', A$ является гармоничческой. Доказите это самостояльно, воспользоваться формулой

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$$

известной из курса физики.

Древнегреческие учены, кроме арифметической ($a - b = c - d$) и геометрической ($\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$), рассматривали еще гармоничскую пропорцию:

$$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$$ (этому равенству удовлетворяют координаты $a, b, c, d$ гармоничской четверки точек $A, B, C, D$). В случае, когда $b = c$ (в этом случае пропорции называют непрерывными), получаются среднее арифметическое $b = \frac{a+d}{2}$, среднее геометрическое $b = \sqrt{ad}$ и среднее гармоничское $b = \frac{2ad}{a+d}$.

По преданию, еще Пифагор, занимась математической теории музыки, установил, что длины струп, дюших при одинаковом натяжении ноты $do, mi, colb$ (составляющиеmajorное трехвучие), пропорциональны числом 1, $\frac{4}{5}, \frac{2}{3}$. Но $\frac{4}{5}$ является средним гармоничским чисел 1 и $\frac{2}{3}$. Отсюда пришло в математку понятие гармония.

Легко доказать также, что

$$(ABD) = -\frac{|NA|}{|NB|}.$$

(Указание. Рассмотрите отношение площадей треугольников $NAD$ и $NBD$, взяв за основания сначала $[NA]$ и $[NB]$, а потом — $[AD]$ и $[BD]$.) Следовательно, $(ABCD) = -1$, то есть четверка точек $A, B, C, D$.

Упражнение 12. Указите способ построения такой точки с помощью линейки. Указание. См. рис. 17. Точки $P$ и $Q$ на этапах 1 и 5 выбираются произвольно.

Гармоничские четверки встречаются в оптике. Рассмотрим ход лучей в волнутом зеркале 3 (рис. 18).

10

Кометы

Почти четверть века назад человекчесто было потребно известием о запуске искусственного спутника Земли. Во всем мире радиопримники были настроены на волну его передатчика. Простенькие радиосигналы первого спутника «бип-бип-бип» возникли о начале космической эры в истории человекачеста.

Нынешние десятиклассники, не говоря уже о более «молодой поросли», родились в эпоху космических полетов. Все постепенно становились прививчными. И сейчас даже полеты кораблей к другим планетам Солнечной системы — Венере, Марсу, Сатурну — наверное, меньше порождают воображение, чем некогда — запуск первого спутника, полет Юрия Гагарина, высадка amе-

риканских астроавтов на Луне. Тем не менее, и нынешнее поколевание ожидат кое-кание «сюорпризы», граничащие с научной фантастикой. Однако из ближайших порождающих воображение космических экспериментов — экспедицини к комете Галлея, которые будут осуществлены в 1985—86 году, когда эта комета в очередной раз вернется из «окраин» Солнечной системы и приближется к Солнцу.

Такого рода эксперименты имеют, по крайней мере, два важнейших аспекта: психологический и научный. Почему психологический? Дело в том, что кометы всегда порождают воображение людей. Слово «комета» в переводе с гречского означает «волосатая звезда». И в древние времена, и в средние века кометы изобразали чаше всего как отрубленные головы с развевающимся волосами. Человек всегда на звездном небе аналогии с известными ему, понятными образами; отсюда — названия многих созвездий: Большая Медведица, Близнецы, Весы и т. п. В этом смысле кометы не были исключением. Однако, если звездное небо даже искусному наблюдателью виделось практическими неизменными из ночи в ночь, то появление яркой «волосатой звезды», довольно быстро, иногда в течение всего несколько дней, исчезающей с небосвода, было событем выдающимся и ужасающим.

Вид яркой кометы — зрелше впечатляюще. По своему блеску она

Комета Галлея, фотографированная 13 мая 1910 года (внизу слева — Венера).

11

может быть как Венера, например, и даже как Луна в полнолуни. Хвост такой кометы пространства на полнеба. Посмотрите на фотографию кометы Галлея, сделанную во время ее прошлого прохождения через пергейв в 1910 году. Эффектно, неправда ли? Во всяком случае, можно понять, почему кометы во все времена у многих народов считалисьвестниками несчастный, дурными знаменями, «гласом бокжим» или, лучше сказаать, «дьявольским». История человека изобилует войнами, эпидемиями, дворцовыми переворотами и убийствами особ королевского происхождения, так что почти всегда появлению кометы «спутствовало» какое-нибудь трагичское событие.

В 44 году до нашей эры смерт Юлия Цезаря совпала с появлением на небе яркой кометы (об этом известно из трудов римских историков), поэтому в средние века и даже позднее при европейских дворах существовали мнение, что появление яркой кометы может предшевать смерт особ царствующего дома. Яркая комета 1664 года очень напугала французского короля Людовика XIV, знакомого нам по роману Дюма «Виконт де Бражелон», а портгалский король того времени Альфонс VI, опасаясь, что комета явилась за ним, стрелляв в нее из аркбузы.

Любопытно, что «китайская точка зрения» на кометы радикально отличалась от «европейской». По мнению древних китайцев, кометы были курьерами, разносцами по «звездным провинциям» волю императора. Планеты были правительями провинций, а звезды — местными властями. Кометы, перемещаясь из провинции в провинцию, переослили правительственные делещи.

Впрочем, не следует думать, что в давние времена начинато отсутствовать научное изучение комет. Уже в древних китайских хрониках отраженFundamentalный научный факт, лежащий в основе современных представлений о физике комет, заключенной в том, что хвосты комет всегда направлены в сторону, противоположную Солнцу. Об этом было известно также римскому философу и писателю Луizio Сенеке. До XVII века в науке господствовали взгляды Аристotelя — признанного авторитета во всех вопросах естественногония. Аристotelь полагал, что кометы находятся вне ведения актромов, так как, по его мнению, это явление (комета) возникает в земной атмосфере: земные пары, поднимаясь вверх, загораются, соррикаясь со «сферой огня», и хвост кометы — это пламя, которое гонит ветер. Однако уже в 1577 году искуснейший наблюдается того времени Тихо Браге неопровержимо доказал ошибочность взглядов Аристotelя. Если комета находилась в пределах земной атмосферы, то есть сравнительно недалеко от Земли, то, наблюдая ее одновременно из двух различных точек земной поверхности, Тихо Браге и его ученики видели бы ее рядом с различными звездами. Но этого не произшло — комета в обихах пункта проектирования на одну и ту же точку звездного неба, а это означает, что угол «наблюдатель № 1 — комета — наблюдаатель № 2» (так называемый паралакс) весма мал, то есть комета находится очень далеко от Земли, и уже во всяком случае за пределами земной атмосферы. С тех пор изучение комет окончательно перешло в ведение актромов.

После того как Галилей первым наведел на небо построенный им телесопп, в астрономии появился новая профессия — «ловцы комет». Дело в том, что слабая комета имеет вид маленького туманного пятнышка на небе. Но относить не любое туманное пятныisko — это комета. Теперь мы знаем, что так выглядают целый ряд астрономических объектов: планетарные и дифузные туманности, шаровые и рассеяные скопления, галактики. Когда комета еще далек от Солнца, она тоже почти не перемещается по небу от ночи к ночи, поэтому ее трудно отличить от этих «статичных» пятнышки. наблюдайте должен быть достаточно искусным. Французский астроном Шарль Мессье (1730–1817) впервые в истории астрономии составил каталог таких туманностей (болееста объектов) именно для того, чтобы не путать их с кометами. Это и сейчас один из самых известных,

12

можно сказаать, «настольный» каталог астрономов. Объекты каталога Мессье обозначют буквой М. Объект М1 — это значения Крабовидная туманность, в центре которого, как мы теперь знаем, находится Мессье приял сначала за новую комету и именно во избежание дальнейших ошибок составил свой знаментий каталог. «Ирония судьбы» заключается в том, что по простейшии каких-нибудь 200—250 лет причины и следствия, так сказаить, помещались местами. Теперь мы знаем, что кометы — это, скорее всего, обитательны всего лишь нашей Солнечной системы, в которой они, по-видимому, возникли. Солнце — вполне заурядная звезда нашей Галактики (в ней приблизительно 10¹¹ звезд). Таких галактик, как наша, великое множество. Объчно они образуют скопления (число галактик в скоплениях исчисляется сотнями и даже тысячи). Таких скоплений мы видим сегодня около двадцати. И если во времена Мессье галактики и туманности были лишь досадными помещами на пути «вылавливания комет», то теперь объекты каталога Мессье (и других подобных каталогов) являются важнейшим предметом исследования, так как именно они позволяют судить о структуре и зволочии Вселенной, видимые сегодня размеры которой исчисляются миллиардими световых лет (1 световой год≈10¹⁸ см).

Казалось бы, на фоне таких градинозных проблем могут ли кого-нибудь всегда волновать такие частности, как Солнечная система (ее размеры вряд ли превышает сотни астрономических единиц, а 1 астрономическая единица≈1,5·10⁻⁵ световых лет), Солнце и совсем «частиная частность» — кометы? Оказывается, могут. Дело в том, что вопрос о присхождении Солнечной системы тесто связан с проблемой присхождения жизни на Земле и вообщево Вселенной, с проблемой существования внешних цивилизаций. Проблемы эти не менее фундаментальные, чем проблемы зволочии Вселенной. Для их решения нужно знать начальные условия, при которых образовалась Солнечная система. И оказывается, именно кометы могут быть об этом необходимую информацию.

По современным представлениям все тела Солнечной системы (и, в частности, кометы) возникли в едином процессе зволочии досолнечного газопылевого облака. Единой, общеприятной точки зрения о том, как это произошло, в настоящее время не существует. Это связано с большой неопределенностью в начальных условиях возникновения и последующей зволочии досолнечного облака. Считается, например, что возникновение планетных систем вокруг звезд — явление заурядное, и в этом плане наша звезда — Солнце — не есть нечто исключительное. (Подробнее освенение этого вопроса можно найти в прекрасной книге И. С. Шкловского «Вселенная, жизнь, разум».) Однако в самом последнем времени возникновения в заурядности условий, в которых находится возникновения Солнечная система в нашей Галактике. Связывано это с местоположением Солнца в Галактике.

Наша Галактика относится к спиральным. Согласно современным представлениям, спиральные рукава галактик представляют собой волны уплотнения. Галактика врашает. При этом угловая скорость Ω зависит от расстояния R до ее центра, то есть Ω = Ω(R). А волны уплотнения врашает с постоянной угловой скоростью Ω_B. Существует, очень удобно, такая окружность радиуса R_K в диске галактики, угловая скорость врашения по которой совпадает с угловой скоростью волн уплотнения (то есть выполянется равенство Ω(R_K) = Ω_B). Такую окружность называют коротащенной. В каждой галактике (в том числе и в нашей) есть только одна коротащенная окружность.

Оказывается, Солнце в нашей Галактике находится почти на коротащенной окружности, и положение Солнечной системы в этом смысле исключает. Вполне возможно, что из-за этой исключаетности условий, в которых возникла Солнечная система, не являются заурядными. Не исключаено, что это имеет

13

значение и для проблем производства жизни жизни. Вследствие того, что Солнце врашается почти синхронно со спиральным узором Галактики, мы только один раз за время существования Солнечной системы успел пересечь спиральный рукав — место, крайне опасное для всего живого, так как именно в спиральных рукавах вспыхивают сверхновые звезды, которые дают настолько мощные потоки электромагнитного излучения, что это может оказаться губительным для жизни. Например, по мнению И. С. Шкловского, именно вследствие вспышки близкой сверхновой звезды произошло массовое вымирание динозавров на Земле.

Уже из приведенного примераясно, насоклько важно знать начальные условия, при которых формировалась Солнечная система, насоклько они были заурядны или незаурядны в Галактике, каков был химический состав дослечение облака, физические условия в нем и т. п. Информацию об этих начальных условиях, во всяком случае о химическом составе и физических условиях, могут дать кометы. Массы комет очень малы по сравнению с массами планет Солнечной системы (по-видимому, они порядка $10^{-5} \div 10^{-12}$ массы Земли). Это означает, что мала их собственная гравиитация. Поэтому кометы почти не эволюционировали с эпохи своего рождения до «сегодняшнего дня». Другими словами, физические условия в кометах, их химический состав остались такими же (или почти такими же), как в первичной газопылевой туманности, из которой образовались Солнце и планеты. Эвольция затроила большие тела — само Солнце, планеты, но почти не коснулась малых — комет, meteorитов.

Более того, одна из современных гипотез вообще связывает происхождение жизни в Галактике с кометами. Она принадлежит известному американскому физике Дайсону. Его идея заключается в том, что жизнь сконцентрирована на поверхности Земли, в биосфере. Если считать, что жизнь всегда может возникнуть лишь в поверхности Солнце в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике — наиболее подходящим для этого кометы в Галак-тике —��соединения показали, что этот избыток является следствием распада радиоактивного изотона $^{26}$Al (устойчивый изотоп — это $^{27}$Al). Его период полураспада $T=0,72 \cdot 10^6$ лет. Откуда взялся в дослечение туманности радиоактивный $^{26}$Al? Это — вопрос. Ясно, однако, что он должен был в неопасы приблизительно за миллион лет до того как начали затвердевать meteorиты. Сейчас его появление связывает с вероятым

14

взрывом близкой сверхновой*). Если, однako, в досолнечной туманности присутствовал $^{26}$Al, то он был и в том материале, из которого возникли кометы. А это значит, что простейшие организаские молекулы, входящие в состав кометных ядер, находились под облучением распадающегося вследствие своей естественной радиоактивности изотопа $^{26}$Al. Лабораторные опыты показывают, что при облучении такие молекулы способны к самоорганизации, к образованию аминокислот и основании нуклеиновых кислот, а отсюда совсем недалеко до возникновения жизни.

Эти идеи не беспорядны, быть может — даже кометы. Для их проверки, для ответа на множество интереснейших вопросов необходимы прямы эксперименты в космосе и, конкретно, «рандеву» с кометами, непредставенное «прошупывание» их.

Что представляют собой кометы согласно современным научным взглядам? Массы комет малы. Как уже упоминал, они, вероятно, заключены в пределах $10^{15} \div 10^{22}$ г (masса Земли≈6·10$^{27}$ г). В гравиитционном поле колосальной массы Солнца ($\approx 2 \cdot 10^{33}$ г) они движутся согласно закону всемирного тяготения, по орбитам, представляющим собой конечные сечения, то есть, кривые, получающие при пересечении конуса плоскостью. Это — окружность, эллипс, парабола, гипербола. В фокус орбит находится Солнце. Гравитационное поле больших планет (Юптера и Сатурна) возмущает их орбиты, изменяет их, так что комета, движущаяся, направер, по эллиптической траектории, может перейти на гиперболическую или параболическую. Кометы, имеющие эллиптические орбиты (возникновение в таких условиях окружности крайне маловерятно), периодические возвращаются к Солнцу. Такие кометы называют периодическими. Их немного — несколько более семидесят.

*) При взрывах сверхновых температураровыдается настолько, что в их веществе начинается термодерный синтез химических элементов, в частиности, радиоактивного алюминия. Образовавшиеся в результате такого синтеза продукты, разделяясь при взрыве, могут «загрязнить» собой близлежащее досолненое облаako.

Смым большим периодом обладает комета Борелли, которая проходит через периодия раз в 493 года. Самым коротким периодом обладает комета Энке — 3,3 года. (Объчно кометы носит имена своих первогокрывателей.) Всего сейчас известно свыше пятисот кометных орбит. Можно было бы думать, что раз большинство комет движется по незамкнутым траекторям, онирождаются за пределами Солнечной системы, где-то в Галактике. Однако не так. Исследования показали, что в действительности первичными орбитами всех комет были эллипсы, большинство которых постепенно превращалось в гиперболы и парабoles под влиянием пряжения Юптера и Сатурна. Это означает, что кометы возникли в пределах Солнечной системы. Сейчас наиболее популярна точка зрения голландского астронома Яна Оорта, согласно которой на границе Солнечной системы, приблизительно на расстоянии 15000 а. е. от Солнца, существует облако комет (так называемое облако Оорта) — «резерверар», из которого под влиянием тяготения близжайших звезд времени вырывается какая-либо из комет и устремляется к Солнцу. Ее мы и фиксируем как очередную комету. Раньше существовала красивая гипотеза, согласно которой кометное облако возникло из ледяных остатков десяти планеты Солнечной системы — Фаэтона, некогда существовавшей между орбитами Марса и Юптера и погибшей вседействие взрыва. Позднее такое обьясение стало казаться далеко не беспорядным. Кометы возникнут и как побочный продукт при формировании планет, иследствие других процессов вDOSЛненом газопыленом облаako. Важно, одnakо, что они возникли, по всейверятности, в Солнечной системе, мало эвольционноировали и, следовательно, несут информацию о начальных условиях.

Что представляют собой кометы с физической точки зрения? Практические все масса кометы сосредоточена в ее ядре. Ядро, по-видимому, представляет собой твердую смесь камней, льдов различных химических

15

соединенный (метана, аминака, воды и пр.), мелких частиц и т. п. Размеры ядер, вероятоно, заключены в пределах от нескольких километров до десятьков километров. По мере приближения к перигелию кометные ядра «обращают» атмосферами, состоящими из различных молекул и пылинок. Атмосферы появляются вседствие прогрева ядра солнечных лучами — при прогреве испарются льды, при испарении освобождаются и мелкие частицы. Размеры атмосферы вблизи перигеля очень велики. Например, у кометы Галлея в 1910 году голова (т. е ядро+атмосфера) имела диаметр свше 100 000 км. Из головых типичной кометы обычно выходит один или несколько хвостов, которые всегда направлены в сторону, противоположную Солнцу.

Химический состав кометных атмосфер (голов и хвостов) определяют по их спектрам. Чаще всего в головах комет наблюдается молекулярный углерод (C₂), циан (CN), трехатомный углерод (C₃) и другие молекулы. Хвосты комет по своему составу делятся на три типа. Хвосты I типа состоит из плазмы — ионизированных молекул N₂⁺, CO⁺ и электронов — с концентрацией n ≈ 10÷100 частиц/cm³. Спектры хвостов II и III типов непрерывные. Хвосты III типа — пылиные, хвосты II типа, по-видимому, смешанные — газопылиные.

Нейтральные молекулы и пылиники в атмосферах комет движутся под действием двух противоположно направленных сил: силы gravitationного прияжения к Солнцу и отталкивающей от него силы давления солнечного света*). (Сила прияжения к ядру кометы пребрежимо мала по сравнению с этим силами.)

Тот факт, что хвосты комет направлены в сторону, противоположную Солнцу, означает, что отталкивание от Солнца преобладает над прияжением. Ускорения части в хвостах принято изменять в доляхускорения солнечного прияжения g₀ на данном расстоянии. В хвостах II и III типаускорения части оказывают ~(1÷20)g₀, в хвостах I типа — порядка (100÷1000)g₀. может ли лучевое давление обеспечить такиеускорения пылинок и молекул? Пылинок — да. С молекулами дело обстоятель сложнее. Математически расчет показал, что максимальное возможноеускорение, которое под действием лучевого давления может получить молекула, равно 56g₀. Этого достагоно, чтобы обяснить поведение хвостов второго типа. Но не первого.

Высокиеускорения в хвостах I типа, их приудливая, струйная, быстро меняются структура объ-

Фотографии кометы Бредфилда, сделанные в 1979 году в Соккоро (Нью-Мехико). Между первой (верхней) экспозицией и последней — временной интервал в 27,5 минут. За это время хвост кометы, который имел колоссальный длину 1,5 млн км, успел быстро переориентировать, вращаясь как целое. На фотографиях приведен масштаб (линейный и угловой).

В кометых хвостах плазменного типа часто наблюдаются колбательные и спиральные движения. Вращение хвоста как целого, наблюдается у кометы Бредфилда, — явление крайне редкое. Причны его пока недостагоно ясны.

16

Ясняются не лучевым давлением, а электромагнитными силами.

Межпланетное пространство, в котором движутся кометы, заполнен так называемым солнечным ветром, то есть непрерывно истекой из Солнца плазмой — протонами и электронами, уносящими с собой (вследствие своей высокой электропроводности) часть солнечного магнитного поля. Высокие ускорения и струйная структура хвостов I типа обусловлены взаимодействием ионов N₂⁺, CO⁺ и электронов, из которых они состоит, с солнечным ветром.

Не говоря уже о дохх пор нерешенных функентальных проблем, таких как проискжение Солнечной системы, жизни в ней и т. п., на которые могут prolить свет кометы и исследования, даже в самом физике явлений, наблюдаемых в кометах, очень много неясного. Список таких непонятных явлений влик, и мы приводить его здесь не будем.

Таким образом, экспедиции к кометам, помимо захватывающего психологического спектра, имеют и огромное научное значение. Они нужны всем тем, кто интересуется физическим многих непонятных явлений, наблюдаемых в кометах, и тем, кто интересуется функентальным проблеми проискжения нашей Солнечной системы и систем, подобных ей в нашей Галактике, проблеми проискжения жизни на Земле и вообщево Вселенной. Вопрос о том, какие экспедиции и к каким кометам планировались и планируются в последние годы, — это, безусловно, предмет отдельного рассскада. Здесь я коротко остановилось на ближайших из них — экспедициях к комете Галлея. Эта комета — перiodическая. В хрониках зарегистировано

Ненизвестная комета, направляющаяся к Солнцу (1979 год).

18

дующее прохождение кометы ситuation для наблюдения будет наблюдатой. Комета вблизи перигеля будет находиться как бы за Солнцем, и ее можно будет наблюдать в коротке промежутки времени на рассвете и после захода Солнца. Кроме того, комета Галлея, в отличие от большинства комет, имеет так называемое обратное движение — она летит по своей орбите в сторону, противоположную обращению Земли вокруг Солнца. Это очень сложняет эксперимент «Джотто», так как автомат и комета будут поддержать друг к другу как бы на встречных курсах с относительной скоростью 75 км/с, поэтому время проleta вблизи ядра кометы будет очень мало, оно исчисляется секундами. За это время нужно успеть осуществить огромную научную программу: попытаться сформировать ядро, установить химический и изотопный состав кометной атмосферы, степень ionизация, величины магнитного поля и т. д.

Приведенная выше схема полета корабля для встречи с кометой Галлея занимает из опубликового ECA проекта. Внешний круг — это орбита Земли, в центре круга — Солнце. Запуск планируется 10 июля 1985 года. Автомат летит по спирали вокруг Солнца и встречет комету 13 марта 1986 года после прохождения его perигеля. На рисунке отмечены положения Земли,

автомата и кометы в конкретные даты.

Параллельно с «Джотто» в СССР будет осуществлена свой экспедиция к комете Галлея. Ее проект очень остроумен. Автором его является академик Р. З. Сагдеев, директор Института космических исследований АН СССР. Суть проекта в том, чтобы автоматы, которые предполагается послать к Венере в 1984 году, использовать для встречи с кометой Галлея. Дело в том, что, в отличие от Земли, Венера будет расположена весьма удачно по отношению к комете вблизи ее perигеля. Поэтому небольшего маневра в поле тяготения Венеры будет достаточно, чтобы направить автоматы, выполившие свои исследовательские задачи вблизи этой планеты, к комете Галлея. Такой проект практически не требует дополнительных денежных затрат.

Если экспедиции к комете Галлея продолжают удачно, то исключительно этой кометы в истории человека становится неоспоримой.

20

нам $\pi^+$ и $\pi^-$ (π-мезоны — это коротокжившие ядерные частицы с массой, примерно в 300 раз больше массы электрона):

$$\gamma + \gamma \rightarrow \pi^+ + \pi^-$$

или протонам и антипротонам? Или, еще шире — не должно ли процессить превращение света (гаммаквантов) в вещество и антивещество (в atoms и антиатомы, молекулы и антимолекулы)? Конечно, до получения антимолекул на встречных фoton-фotonных пучках пока еще сликом далеко, а вот возможно подробно изучить реакцию рождения пары пи-мезонов вызвала больше интерес физиков.

Как же практическим можно осуществить превращение (или конденсацию) света в вещество? Заметим, прежде всего, что такое превращение каждойся противоречащим хорошо установленному факту: световые волны проходят друг через друга без взаимодействия (прицип суперпозиции электромагнитных волн). Оказывается, прицип суперпозиции выполняется не всегда, для сильных электромагнитных полей он нарушается — после прохождения друг через друга световые пучки изменяется. Теперь возникает новая проблема: для наблюдая реакции типа

$$\gamma + \gamma \rightarrow \pi^+ + \pi^-$$

нужно столкнуть друг с другом два плотных пучка $\gamma$-квантов. К сожалению, плотные пучки фotonов в настоящее время можно получить только от лазеров, но $\gamma$-лазеры еще не изобретены. Объчные же лазеры излучают фotonы сликом малых для наших целей энергий. Как же решить эту проблуу?

Оказалось, что существует очень красивый обходной путь, с помощью которого можно уже сегодня habлю-дать превращение света в вещество: использовать встречные электронозитронные пучки для получения необходимых $\gamma$-пучков. Постараемся обьясить суть этой идеи.

Как известно, $\gamma$-пучок можно представить либо как поток фotonов высокоей энергии, либо как электромагнитную волну большой части.

У такой волны направленность $\vec{E}$ электрического поля и индукция $\vec{B}$ магнитного поля перpendикулярны друг друг и скорсти $\vec{v}$ движения волны (рис. 1). Но как раз почти такими же свойствами обладает электромагнитное поле релятивистского электрона (и позитрона), то есть электрона, движущаяся со скорстью, близкой к скорсти света $c$. Поясним, почему это так. Для этого рассмотрим электрическое поле… движущаяся конденсатора. Да, именно конденсатора, потому что с помощью этого простого примера будет легко связать хорошее извлечное поле неподвижного электрона с полем движущаяся электрона.

Итак, рассмотрим электрическое поле плоского конденсатора в двух инерциальных системах отчета: в системе $K$, в которой конденсатор движется, и в системе $K'$, где он поконтся. Пусть сначала скорсть конденсатора $\vec{v}$ параллельна его пластинам (рис. 2, а). Обозначим через $q$ заряд конденсатора, а через $S'$ — площадь пластин конденсатора в системе $K'$. Тогда электрическое поле $\vec{E'}$, перpendикулярное вектор $\vec{v}$, равно $E' = E'_\perp = q / (\varepsilon_0 S')$. При перехождение в системе $K$ заряд, конечно же, остается прежним, а площадь пластин $S$ изменяется. Из специальной теории относительной извлечности извлечного, что поперечные, по отношению к направ-

21

лению вектора $\vec{v}$, размеры движущихся тел не изменяются, а продолжные сокращаются в $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ раз. Значит, в нашем случае площадь площади $S = \sqrt{1-v^2/c^2} S'$ и электрическое поле

$$E_\perp = \frac{E'_\perp}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{q/(\varepsilon_0 S')}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Аналогично, для случая, когда скорость конденсатора перепределения его площади (рис. 2, б), размеры площади не изменяются, и электрическое поле, параллельное вектору $\vec{v}$, остается одним и тем же в обеих системах отсчета:

$$E_\parallel = E'_\parallel = q/(\varepsilon_0 S').$$

Формулы, полученные для частиного случая плоского конденсатора, справедливы для любого электростанческого (в системе $K'$) поля. Применим их к релятивистскому электрону. В системе $K'$, где электрон поконтся, его поле $\vec{E}'$ имеет хорошего известный вид — оно сферический симметрично (рис. 3, а). В системе $K$, в которой электрон движется со скоростью $\vec{v}$, создаваемое им поле уже не симметрично — в перепределкулярном к вектору $\vec{v}$ направления оно сильнее (рис. 3, б). Чем больше скорость $v$, тем больше отношение $E_\perp/E_\parallel$, и электрическое поле электронаstanвится все более поперечным.

Наконец, вокруг движущого электрона (так же, как и вокруг провода с током) возникает поперечное магнитное поле $\vec{B}$, линии индукции которого имеют вид окружностей с центрами на линии движения электрона.

Таким образом, в поле движущого электрона векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ перепределки друг друг и направлено $\vec{v}$ движения электрона.

Другими словами, это поле — почти такое же, как и у электромагнитной волны. Поэтому электромагнитное поле релятивистской заряженной частицы можно рассматривать как поток фотонов, сопровождающих эту частьцу.

У праваннее 3. Найдите электрическое поле, создавшее релятивистской заряженной частиц, на расстоянии $a$ от нее по направлению скорости и на расстоянии $b$ в перепределкулярном направлении. Скорость частицы $\vec{v}$, заряд $q$.

Именно эти фотоны, сопровождающие летящие навстречу друг друга электроны и позитrons (во встречных электрон-розитронных лучках), и можно использовать как встречные фотон-фотонные лучки с высокими энергиями. В свою очередь, эти фотоны, провзамодействовав, могут превращаться в другие частицы: $e^+$ и $e^-$, $\pi^+$ и $\pi^-$ и т.п.

Впервыерождение новый пары электрон-розитрон через промежуточные столкновенияGamma-пучков (рис. 4, а) наблюдаются в 1971 году в Институте ядерной физики Сибирского отделения АН СССР, а позднее (и на другихускорителих) — в Италии и США.

Peakции срождеением пи-мезонов (рис. 4, б) исследуют, начиная с 1979 года, на самых большихускорителих в ФРГ и США.

Недавно в Новосибирске начались эксперименты на новомускорителье на встречных электрон-розитронных лучках ВЭПП-4. В программу экспериментов входит также детальное изучение процессов превращения (конденсции) электромагнитного излучения в других частицы.

22

В. Дубровский

Алгоритм волшебного кубика

Непросто справиться с «венгерским волшебным кубиком» — самый популярной головоломкой XX века. Поэтому нетерпеливые люди, потеря надежду на успех, зачастую прекращают свое знакомство с ним размывая его на кусочки. Говорят, что после появления «кубика» в Японии даже понизалась произвольностью труда, а в США эту игрушку сейчас продают в комплекте с пластмассовым топориком: не сумел решить —ломай!
«Квант» относится к кубику Рубика более способно и серверно, о чем свидетельствует публикуемая ниже статья.

В этой статье мы расссказываем, как решить волшебный кубик — знаменитую головоломку Э. Рубика*). Строю говоря, алгоритма решения (то есть набора точных правил для приведения раскраски всех граней из произвольной к однозветной) мы здесь не приводим — такой алгоритм уже был опубликован в «Квант» (1980, № 12, с. 17). Вместо этого мы даем большой список полезных комбинаций, указавая для каждой способы выполнения (последовательность поворотов) и результат (какие маленькие кубики представляются и как). Из различных комбинаций, приводящих к одному и тому же результату, мы старались выбрать самое короткую. В конце статьи мы показываем, что волшебный кубик можно привести в начальное состояние (с однозветными граями) за 79 поворотов или меньше.

*) Если у вас нет экземпляра кубика, вы можете его сконструировать, пользовать указаниями статы М. Евграфа в «Квант» 1982, № 3.

Обозначение операций

Обозначим каждую грань волшебного кубика: Ф (фасад), Т (тыл), В (верх), H (низ), Π (правая), Л (левая) (см. рис.). Поворот грани X на n · 90° по часовой стрелке будем обозначать через X^n, например повороты правой грани на 90°, 180°, 270° записьюются, как Π, Π^2, Π^{-1}=Π^3. Таким образом каждой операции (цепочке поворотов граней) отвечает «слова» из букв Ф, Т, В, H, Π, Л со степенями*), читаемое и выполенное слева направо.

Обозначение результата операции

Мы будем записывать в единой формуле как передвижение маленьких кубков, так и изменение их ориентации в пространстве.

Для записи передвижения маленьких кубков перенумерем угловые кубики и соответствующие вершины числами от 1 до 8, средние (и соответствующие ребра) — числами от 1 до 12 (см. рисунок; записи всех расматриваемых в стате операций относятся к нумерации, показанной на этом рисунке).

Допустим, что в результате операции F первый угловой кубик перешел на место i_1-го, i_1-й — на место i_2-го и т. д. Каждый раз в этой цепочке будет появляться новый номер и неизбежно наступит момент, когда

*) Забавный способ запоминания таких «слов» приводится в статье «Венгерский кубик» в журнале «Наука и жизнь», № 3 за 1981 г. (с. 131).

23

кубик с номером $i_{n1}$ вернется на место первого (почему?). Кубики 1, $i_1$, …, $i_{n1}$ образуют в операции $F$ цикл, обозначаемый $(1i_1 \dots i_{n1})$. Если еще не все угловые cubики вошли в этот цикл ($n_1 < 7$), то берем любой из оставшихся (пустые номер $i_{n1+1}$) и повторяем тот же процесс — возникнет второй цикл $(i_{n1+1} \dots i_{n2})$. В конце концов запись угловых cubиков оказывается разложенной на независящие (то есть не имеющие общих элементов) циклы: $(1i_1 \dots i_{n1}) \cdot (i_{n1+1} \dots i_{n2})$.

Аналогично обстоит дело со средними cubikами. Соответствующие циклы мы будем записывать в квадратных скобках; так, запись [2 7 6] означает, что второй средний и кубик перешел в седьмой, седьмой — в шестой, шестой — во второй.

Пусть в результате неокторой операции $i$-й средний cubик занял место $j$-го. Он может расположиться на этом месте двумя способами. Если направление стрелки, привязанной к его ребру (см. рис. 1), оказывается противоположным направлению стрелки $j$-го cubика, то в соответствиицем цикле после номера $i$ поставим знак минус. Отсутствие знака означает, что направления стрелок совпали. Так, запись $[2^{-7}+6^{-}]$ (или $[2^{-7}6^{-}]$, «плюсники» мы обычно опускаем для средних cubikов) означает, что второй средний cubик перешел в седьмой с противоположными стрелками, седьмой в шестой с совпадующими стрелками, шестой во второй с противоположными стрелками. Запись $[2^{-}]$ означает, что второй средний cubик остався на месте, но повернулся на $180^{\circ}$.

Угловой cubик может расположиться на новом месте треящего способами. Соответственно в записи цикла после номера этого cubика будетставить знак +, знак — или ничего не писать. знак не пишется, если горизонтальная грань данного углового cubика и после выполнения операции остается горизонтальной. В противном случае, чтобы привести эту грань на новом месте в горизонтальное положение, нам пришлось бы повернуть cubик вокруг диагонали на $120^{\circ}$. Если поворот должен произвольаться против часовой стрелки, ставим +, если по часовой стрелке — ставим —. Скажем, записи $(5^{+})$, $(5)$, $(5^{-})$ означают, что пятый cubик остается на месте, но поворачивается на $120^{\circ}$, $0^{\circ}$, $240^{\circ}$ по часовой стрелке соответственно.

Пояснения к таблице (см. с. 24)

Записывая операцию, мы будем сначала писать последовательность поворотов (слою из букв Ф, Т, В, Н, П, Л со степенями), затем знак ~, а потом результаты, записанный в виде циклов со знаками. Освить эту систему записи вам помогут примеры; проверьте, что $\Pi \sim (1^{+2}-3^{+4})$ [1234], $B^{-} \sim (1276)$ [2$-9-8-7^{-}]$,$\Phi^{2} \sim (15)$ (46) [16] [57], $\Pi\Phi \sim (1^{+2}-3^{-5}-6^{+})$ (4+) [1234567], $\Pi^{2}\Phi^{2} \sim (135)$ (264) [136] [24] [57].

В таблице приводится 47 операций, найdenных при игре в cubик, иногда методом проб и ошибок, но большей частью с помощью довольно интерсных алгебраических расчужdenей, которые недостаток места не позволяет воспроизвести здесь. Операции $C_{15}$ и $C_{19}$ занимаются из «Венгерского среднейкольного журнала», $C_{18}$ — из упомянутой выше статьи в «Науке и жизни».

Схема алгоритма

Первый этап: сборка «столбика» $2 \times 2 \times 3$. Изовем «столбиком» совокупность всех маленьких cubikов, не лежащих в двух смежных гранах большого cubika, для определения — Ф и П. Для правильной расстановки всех cubikов в «столбике» особых хитростей не требуется. Приведем, например, операции, при которых 1-й средний cubик переходит на 8-е место и в одном случае сохраняет, а в другом меняет свой угол поворота, причем все cubики «столбика», кроме, конечно, 8-го, остаточная нетронутыми: $A_1 = \Pi TB^2 T^{-1}$, $A_2 = \Phi^{-1} TB T^{-1}$. Этот этап удается выполнитьprimерно за 25 ходов.

Второй этап: разborащивание средних cubikов в гранах Ф и П. Легко показать, что при любой последовательности поворотов число средних cubikов, у которых направления стрелок не совпадают с «правильным» (показанным на рисунке), всегда

25

ки всех средних кубиков будут направлены правильно. Для этого нужно не более 8 ходов.

Третий этап: расстановка средних кубиков. На этом этапе будет поворачивать только грани Ф и П, поэтому «столбик» и правильные направления стрелок средних кубиков автоматически сохраняются. Можно доказать (это легко сделать каждый, кто знаком с понятным перестановки), что необходимо для этого передвижение 7 средних кубиков записьвается в виде композиции не более трех циклов длины 3 и, возможно еще одного поворота; следовательно, 7 средних кубиков граней Ф и П можно правильно расставить, использув не более трех операций типа $C_1 - C_{10}$. Более подробный анализ показывает, что этот этап требует не более 14 ходов.

Четвертий этап: расстановка и разворачивание угловых кубиков. На остальном расставить и правильно развернуть 6 угловых кубиков граней Ф и П. Как выше, можно установить, что необходимо передвижение 6 угловых кубиков записьется в виде композиции не более трех циклов длины 3, поэтому для правильной расстановки 6 угловых кубиков нам потребуется не более трех операций типа $Y_1 - Y_{14}$. После этого можно, применяя операции $Y_{15} - Y_{18}$, правая, задча или спор?

Эти совершения очень напоминали состояние штагистов — разминочный зал, поэтому, за которым — огромное табло, участки, собирающиеся с силами (или с мыслями?) перед подходом к снаряду, судьья, аплодименты зрителей… Только вместе штаги на помощь установлен небольший столик с сенсорным электронным фиксатором времени, табло показывало не килограммы, а секунды, вместе грома железа раздаваалось тихое поскрипление, да и «спорстены» не отличались могут телосложением тяжелоатлетов. Здесь,

в Будапеште, 5—6 июня проходил первый черный черный мира по «волшебному кубику Рубика». На него съехались черпioniны 19 стран трех континентов — в основном, школьники и студенты-математики.

Соревнования проходили так: очередной участник на глазах зрителей научал вытакивать из чемоданчика, наполненного заранее «запутанными» кубиками, один, изучал его в течение 15 секунд, еще несколько секунд мог, как гипнаст, прокручивать в уме начало комбинации, а затем уже демонстрировал совершенное своего алгоритма и, конечно,LOBкость пальцев. Было проведено три серии попыток; в зачет шло лушие время. За соблюдением правил следило жори, возглавляемое самим изобретателем

головоломки — профессор Э. Рубиком.

Результаты, показанные «гроссейстера кубика», показывают, даже худшее время лишь немного превышает 55 секунд. (Для сравнения скажем, что нетренированный, но уже знакомый с кубиком человек, пользоваться записью алгоритма, траит на сборку около двух часов.) Не обошлось и без казсов: чемпion Финляндии в одной из попыток так спешил, что один за другим сломал два кубика. А первое место занял шестнадцатилетний американец Мин Тай, его время — 22,95 секунд!

Так что же такое «волшебный кубик» — игра, математическая задача или… новый вид спор?

В. Н.

26

В. Сурдин

Солнечное затмение
31 июля 1981 года

Средние редких астрономических явлений самоевпечатляющей — солнечное затмение. Уверен, что с таким утверждением согласятся тысячи очевидцев полного солнечного затмения, которое 31 июля 1981 года наблюдается на территории СССР. В этот день лунная тень пробежала по Земле путь в 8250 км, из них около 7100 км — по суше; столдинная полоса затмения на материке былает редко. Замечательно, что на всем своем пути лунная тень дивялась по территории нашей страны: от побережья Грузии через Северный Кавказ, Казахстан и Южную Сибирь до восточных границ Советского Союза. Далое тень Луны дивялась по поверхности Тихого океана и закочила свой маршрут у Гавайских островов. Весь этот длинный путь лунная тень пробежала всего за 2,9 часа, а в каждой отдельной точке на поверхности Земли продолжительность полного затмения не превышает 129 секунд. Впрочем, автору этой заметки, вместе с группой астрономов и геофизников, посчастливись наблюдается солнечную корону в течение 155 секунд с борта самолета Як-40, летящero вслед за лунной тенью.

Диаметр лунной тени на поверхности Земли не превыходит 270 км. Во время затмения 31 июля максимальный размер тени был 108 км. По счастливой случайности лунная тень прошла по многим участкам Байкало-Амурской магистрали. В столицу БАма — Тынду съехались многоные любители астрономии и профессIONALные астрономы и геофизики, чтобы наблюдается затмение. Но утром 31 июля погода в Тынде была плохая: облачность начиналась почти у самой земли и тянулясь до высоты 7 км. Все направленное ждали полудня, когда должно было начаться затмение. Предчувствия были самые нежорные. Казалось, что неправдается даже наша надежда на самолет: по метеоусловиям ему не давали взлет. Незадобло до начала затмения туман у земли рассеялся, и после отчаянных уговоров диспетчера, нам разрешили взлет. Солнечную корону мы увидели и сформировали на высоте 7770 м на фоне почти черного неба.

Как выязывались после посадки, в Тынде затмение началось при сплошной облачности, но буквально за несколько минут до момента полного затмения облака быстро рассеялись, и солнечная корона появилась на почти чистом небе. За свое терпение наблюдается были вознаграждены изумительной картиной яркого жемчужного ореола, возникшего всего на 2 минуты вокруг дисков Луны и Солнца, встретившихся на короткое время, чтобы снова надолго разойтись в своем сложном небесном хороводе.

Возможно, у читателя возникнет вопрос: стоит ли это редкое природное явление того, чтобы можноство занять людей отправлялись в далекие, порой необжитые места и в этих небжитых местахSTRAВали почти настоящие астрономические обсерватории со сложными дорогими приборами, и все это несколько минут любования солнечной короной? Да и любования ли? Оказывается, многое астрономы, не разездившие на затмения, такникогда и не видели корону Солнца, хотя погода была отличная. Все время, от первой до последней секунды

27

затменя, учены проводили у своих приборав, боясь даже на мгновение оторваться, чтобы посмотреть на корону.

Ответ на этот вопрос несомненен: стойит. Дело в том, что в короткие минуты затменяя астрономыслевой pollучить ценнейший наблюдаемый материал о структуре и физических условий в верхних слоях солнечной атмосферы. В общное время также исследования проводили нельзя: мешает яркий свет солнечного диска. Поэтому солнечные затменяя еще долго останутся желанным собственным для астрономов и всех любителей науки о небе.

В заключение предлагаем вам решить несколько задач, связанных с солнечными и лунными затменяями. В таблице, помещенной ниже, приведены данные о планетах и их спутниках. Некоторые из этих данных попадаются вам при решении задач. Задание и

1. Почему полные солнечные затменяя чаще бывают летом, а не зимой?

2. Почему самые продолжительные солнечные затменяя наблюдаются в тропических странах?

3. Бывают ли солнечные затменя на Марсе? на Юпитере?

4. Бывают ли на указанных планетах затменя спутников («лунные» затменя)?

5. Можно ли на самом деле догнать лунную тень, движущуюся по поверхности Земли?

6. Можно ли наблюдаать солнечное затменение с борта орбитальной станции «Салют»? Оцените продолжительность затменяя.

7. Можно ли в момент полного лунного затменяя видеть из одной точки земной поверхности и Луну и Солнце?

8. Когда угловой диаметр Луны больше: когда она находится в зенита или у горизонта?

9. Можно ли наблюдаать солнечное затменение на Северном полюсе?

<table><thead><tr><th>Планета</th><th>Экваториальный радиус (км)</th><th>Среднее расстояние от Солнца (млн. км)</th><th>Некоторые спутники</th><th>Радиус спутника (km)</th><th>Среднее расстояние от планеты (тыс. km)</th><th>Перiod обращения (дни)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Земля</td><td>6378</td><td>149,6</td><td>Луна</td><td>1738</td><td>384,4</td><td>27,3</td></tr><tr><td rowspan=“2”>Марс</td><td rowspan=“2”>3398</td><td rowspan=“2”>227,9</td><td>Фобос</td><td>~10</td><td>9,38</td><td>0,32</td></tr><tr><td>Деймос</td><td>~6</td><td>23,5</td><td>1,26</td></tr><tr><td rowspan=“4”>Юпитер</td><td rowspan=“4”>71 900</td><td rowspan=“4”>778,3</td><td>Ио</td><td>1816</td><td>421,6</td><td>1,78</td></tr><tr><td>Европа</td><td>1563</td><td>670,9</td><td>13,55</td></tr><tr><td>Ганимед</td><td>2638</td><td>1070</td><td>7,16</td></tr><tr><td>Каллисто</td><td>2410</td><td>1880</td><td>16,69</td></tr></tbody></table>

28

А. Ходульев

Расселене фишек

От редакции

Эта заметка посвящена следующей задаче М. Концевича (из № 11 за 1981 г.), признанной читателями одной из лучших сред опубликованных в «Задачнике Кванта» в прошлом году:

М715. Прямой угол разбит на клетки. На некоторых клетках стоит фишки, причем расположение фишек можно преобразовать так: если для некоторых фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в эти клетки ставится по фишке, а старая фишка убирается. Вначале в угловую клетку ставится одна фишка. Можно ли несколькими указанными преобразованиями освободить от фишек уголки из a) трех, б) шести, в) десяти клеток, показанные на рисунках 1, a, б, в?

Эта задача нам также очень понравилась — мы нашли в ней многое черты, которые были бы разделить в новых материалов, присылаемых в журнал: наглядная формулировка, побуждающая проделать эксперимент и затем постройть общую теория; характерный для современной дискретной и прикладной математики объekt исследования (решетка, заполненная единицами и нулями, локальные правила перехода); естественное появление в решении целого букета важных математических понятений и конструкций (инвариант, бесконечная сумма, вложение задачи в некоторое ее «расширение», конечный алгоритм и т. п.). Очень советуем тем, кто не решал задачу M715, подумать над ней хотя бы час, прежде чем читать статью («главный» рисунок 8 мы нарочно отправили в конец статьи). Остальные, уже испытавшим это удовлетворение, мы предлагаем доказать не доказанные факты из второй части статьи, где излагается необольшая теория, позволяющая исследовать разрешимость «игры Концевича» в самом общем случае.

Решение задачи M715. Инвариант

Для понсков нужной последовательности ходов удобно воспользоваться шашками и обычной шахматной доской. Поставив шашку в левый нижний угол и немного позкспериментровав, легко найти решение задачи a). В этой задаче можно освободить розовую область, например, так, как показано на рисунке 2 — за 4 хода (1,1), (2,1), (2,2), (1,2). (Запись хода указывает координаты клетки, с которой снимается фишка при выполнении хода. Например, ход (2,1) означает, что фишка снимается с поля (2,1), а на поля (2,2) и (3,1) ставятся новые фишки).

Рис. 1.

30

начием оба этих ряда вместе через $L$ — см. рис. 3, где $L$ выделено голубым цветом) всегда будет находиться лишь по одной фишке, каждая из которых внесет в сумму $s_{\text{кон}}$ вклад, не превышащий 1/8 (поскольку они должны находиться за пределами $B$). Сумма чисел для остальных фишек должна быть меньше, чем $s(K \setminus B \setminus L) = 3/4$. Поэтому $s_{\text{кон}} < s(K \setminus B \setminus L) + 2 \cdot \frac{1}{8} = 1$, а это уже противоречит тому, что $s_{\text{нач}} = 1$.

Задания a), б), в) решены, однако интересно научиться использовать любую аналогичную задачу. Можно ли, например, освободить область $\Gamma$, показанную на рисунке 4? Здесь $s(K \setminus \Gamma) = 1\frac{1}{2}$ и даже с учетом единственности фишек в первом горизонтальном и вертикальном ряду можно получить лишь $s_{\text{кон}} < 1\frac{1}{8}$.

Вместе с тем освободить эту область не удалось.

Мы будем исследовать теперь задачи такого типа: вначале фишки заполняют множество $H$; нужно несколькими ходами освободить множество $F$ (здесь $H$ и $F$ — любые конечные множества клеток из $K$). Будем назвать её задачей освобождения ($H, F$).

Обобщенные позиции и ходы

Прежде всего, удобно избавиться от запрещения делать ход от клетки $(i, j)$, когда она свободна или когда клетки $(i, j+1)$, $(i+1, j)$ заняты (данное в условиях задачи правила

31

мешает менять порядок ходов, что очень стесняет). Но тогда придется сльно обобщить и понятие позиции. Будем теперь считать, что в клетке $(i, j)$ может находиться любое целое число $A_{ij}$ фишек — не только положительное, но ирицательное, причем для каждой позиции $A$ лишь для конечного множества клеток число $A_{ij}$ отлично от 0. Ход (обобщенный) в такой позиции — одновременная замена
$$A_{ij} \rightarrow A_{ij} - 1, A_{i+1,j} \rightarrow A_{i+1,j} + 1, A_{i+1,j} \rightarrow A_{i+1,j} + 1.$$
Прежние позиции (в которых $A_{ij}=1$ или $A_{ij}=0$) и ходы будем называть нормальными.

На рисунке 5 показан ход, в результате которого из нормальной позиции получается не нормальная. В нижней части рисунка 5 та же позиция показана в новой, числовой записи.

Результат выполнения хода из клетки $(i, j)$ состоит в вычитании единиц из $A_{ij}$ и прибавления единиц к $A_{i+1,j}$ и $A_{i,j+1}$; результат нескольких таких вычитаний и прибавлений, очевидно, не зависит от порядка их выполнения.

Имеет место следующий заменательный факт, позволяющий применять обобщенные ходы для решения интересующей нас задачи: если одна нормальная позиция $P$ может быть переведена в другой нормальной позицию $Q$ последовательностью произвольных (возможно, не нормальных) ходов $\{d_1, d_2, \dots, d_n\}$, то $P$ может быть переведена в $Q$ и некоторой последовательностью нормальных ходов, полученной перестановкой ходов данной последовательности. (Доказйте это!)

Далее вместе задачи освобождения $(H, F)$ мы будем рассматривать следующую «задачу нормализации»: задана позиция $A$, в которой все $A_{ij} \geq 0$, причем некоторые $A_{ij}>1$; нужно несколькими ходами приведены к нормальной. Чтобы свести передую задачу ко второй, образуем позицию $A_{ij}=H_{ij}+F_{ij}$ (обозначим ее $A=H+F$), другими словами, к фишкам $H$ добавим еще по фишке повсюду в $F$ — тогда в $F \cap H$ будет стоять по две фишки. Оказывается, что задача освобождения $(H, F)$ эквивалентна задаче нормализации $H+F$. (Доказите это!)

Решение «задачи г» (рис. 4)

Добавляя по одной фишке в клетках области $\Gamma$, получаем задачу нормализации, изображенную на рисунке 6.

Рекомендуем вам продолжать дальнейшие ходы на шахматной доске. Подойдут общные шашки — «минус-шашки» не попадются. Глядя на позицию, мы видим, что на клетке $(1,1)$ стоит две фишки. Одна из них должен быть убрана; это можно сделать только ходом $(1,1)$. Значит, ход $(1,1)$ должен присутствовать в любом решении, то есть это — необходимый ход. Можно считать, что он делается первым. Сделаем его. Получим позицию, изображенную в второй картине на рисунке 7. Дальнейшие (необходимые) ходы показаны на этом же рисунке. В результате их выполнения исходная позиция возникла вновь (только сдинитая на одну клетку вверх и на одну клетку вправа). Отсюда следует, что исходная задача г) неразрешима (продумайте это!).

Общий алгоритм

Пользовать обобщенными ходами и нормализей, мы сумели разо-

Рис. 7. (Окончание см. на с. 55.)

32

Домашние опыты с поляризованным светом

Вместо введения
Эксперименты, описанные в этой статье, по своему характера совем не похожи на те, что обычно делаются в школе (или даже в институте). Там на опыте либо проверяют правильность каких-нибудь соответствий, вытекающих из уже известных законов, либо, изменив часть величины, входящих в эти соответствия, вычислют другие. Например, из закона Гука и второго закона Ньютона следует, что период колебаний груза наружное равен $T = 2\pi\sqrt{m/k}$. Можно независимым способом измерить массу груза $m$ и пругусть пружины $k$, вычислить период $T$ и сравнить его с измененным на опыте значением. Можно также измерить период и массу груза и вычислить пружины.

Такие эксперименты очень нужны и поступно ведется не только в учебных, но и в научных laboratories. Однако для науки не менее важны эксперименты с другими подходом к проблеме. Допустим, вы наполнались на какой-то неизвестный эффект, и он возбудил вашебитство. Вы начинаете исследовать, от каких факторов и условий этот эффект зависит. Причем речне идет о проверке каких-либо законов, потому что проверять пока нечего. Законы еще неизвестны и, возможно, будут установлены не скоро. Но вы внесите свой вклад в развитие науки: будучая теория должна будет обязывать ваши результаты. И этим не исчерпивает значение таких исследований. Если до появления полной теории может быть сделан ряд важных заключений. Кроме того, обнаруженный эффект может даже найти практическое применение. Вспомним хотя бы о магнитной стрелке, которая служила путешествием задолго до того, как была понята природа магнетизма.

Что нас заинтересовало?

Яркий луч солнечного света падает на стеклянную пластинку и… не отражается. Мы видим освещенные пылинки на поверхности стекла, но зайчка на стене нет. Когда в лучи, идущие к стеклу, мы ввели кусочек беспроводной слюды, отражение появилось, а поле зрения окрасилось всеми цветами радгии. Они переливались, переходя друг в друга при повороте или показывании слюды. В наших опытах мы сделали эти и еще несколько открытий. Мы — это я и два восемь классика.

Скажем сразу, что стекла для опытов мы брали самые обикновенные, а вот свет был «приготовлен» особым способом. В прочем, расскажем об всем по порядку.

Почти все необходимое для экспериментов мы нашли дома. Исключение

Смятая целлюфановая обертка, сфотографированная в поляризованном свете. Фото И. Борисевича и А. Шуки.

33

нице составили пластинки слюды (размерами несколько сантиметров при толщине 0,2—0,3 мм) и стекла (очень удобны отмытые от эмульсии фотопластинки 9×12 см). Мы не использували каких-либо глубоких знаний о природе света, кроме одного: что свет — это волны. Какие именно волны — продолжные или поперечные, мы узнали из анализа полученных результатов.

Исчезновение отраженного света

Отложив «эффект слюды» на потом, мы занялись эффектом исчезновения отражения и присутствии к его методическому изучению.

Первый раз мы заметили это явление, рассматривая изображения ярких предметов за окном после двух отражений. Первое проискдилю в окном стекле, второе — в стеклянной пластинке, которое один из нас держал в руках. Меня положение стекол и следяглазами за изображением предмета (например, светлого облака невысокого над горизонтом), мы обнаружили, что при некоторых изображении изображение как бы меркнет, сильно теряя свою яркость. Геометрия хода лучей для этого случая показана на рисунке 1. Она нам будет часто встречаться, и для краткости будем называть ее геометrium №1. Заметьте, что плоскости первого и второго отражений взаимно перpendикулярны (плоскостью отражения будем называть плоскость, в которой лежат падающий и отраженный лучи и перpendикуляр к поверхности стекла), а углы падания лучей на оба стекла (они отсутствовали от перpendикуляра к поверхности стекла) на глаз близки к 60°.

Понимая, что яркость изображения определяется количеством света, отраженного от первого и второго стекол, мы задались вопросом: при каком из двух отражений — первом или втором — падает коэффициент отражения света? Рассматривая предметы, однократно отраженные в стекле, мы убедились в том, что при каком угле падания лучей их отражение не обнаруживает минимума. Например, с ростом угла паде-

Рис. 1. Геометрия №1. Плоскости первого и второго отражений взаимно перpendикулярны. От второго стекла свет практически не отражается.

ния яркость изображения непрерывно возратает. Так мы определили, что доля отраженного света уменьшается во втором стекле, если на него падают лучи, отраженные первым стеклом в геометrium №1. В этом и состоял наш секрет особого «приготовления» света.

Затем мы продолжили эксперименты.

От чего и как зависит эффект?

Прежде всего мы сменили источник света и повторили опыт в геометrium №1. Мы взяли лампу накаливания (мощность 60 Вт) и поставили ее так, что, когда сидшь на стуле, нить находится. несолько выше колен. Первое отражение проискдилю в стекле от книжной полки, которое мы поставили вертикально, а второе — от стеклянной пластинки, которое сидевший на стуле держал в руках перед собой на уровне нитей лампы. Следяглазами за отражением нити, довольно быстро удалось найти положение, при котором нить меркнет почти полностью. Ослабление отражения достигало на глаз по крайней мере несколько десять раз*). Мы повторили опыт еще с одним источником света — свечой — и убедились, что от источника эффект не зависит.

Потом мы провели опыты с другими отражателями. В качестве первого, кроме стекла, использовались лакированная дверца шкафа и по-

*) В дальнейшем, ради краткости, будем говорить не о сильном уменшении отражения, а о его исчезновении.

35

ние отражения. Напротив, отражения от этого экпериментального факта, мы приходим к выводу о поперечности световых волн. (Заметельно, что нам даже не пришлось думать о том, что именно «колеблется» в свете, хотя мы знали, конечно, что свет — это электромагнитная волна.)

Что же происходит при двойном отражении света?

Картина двойного отражения представляет нам в следующем виде. Свет, падающий на первый отражатель, посылается огромным числом различных участков светящого тела. Колбания в этих световых «посылаках» перpendикулярны к направлению их распространения, но в остальном их направления служны и в среднем равноверятны (рис. 3). Каждое такое колбание можно разложить на два: одно проискот в плоскости падения, другое — перpendикулярно к ней (рис. 4). Если угол падения оптимален, то отражается только одно из них. (Какое именно, осталось невыясенным, поэтому направления, показанные на рисунке 4, приняты произвольно.) Втаком случае говорят, что отраженный свет выстроен или поляризован. Исход второго отражения зависит от ориентации направления колбаний и плоскости падения: в геометрии № 2 отражение есть, а в геометрии № 1 его нет.

Если же отчеты от оптимального угла падения на первый отражатель, то в отраженном свете будет представлены оба направления колбаний, но в нединаковой степени, и свет будет поляризован не полностью, а частично. Вот почему при отклонении от геометрии № 1 полного рис. 3. В естественном свете направления колбаний равноверятны.

Рис. 4. Стекло отражает только одну составляющую колбаний — перpendикулярную плоскости падения. Отраженный свет поляризован.

исчезновения отраженного света не проискот.

Оказывается, прошедший свет тоже поляризован

Имея картину явления, мы стали на ее основе высказывать различные представления и проверять их на опыте. Вот один из них. Свет от лампы падает под оптимальным углом на несколько стеклянных пластинок, сложенных в стопу, а затем — еще на одной стекло, называемое анализатором (рис. 5). Если наша картина правильно, то, очевидно, прошедший свет тоже будет поляризован, но в направлении, перpendикулярном поляризация отраженного света. В отличие от отраженного, поляризация прошедшего свет не будет полной, но чем больше пластинок в стопе, тем больше будет поляризация: ведь от каждой из них частично отражается и «отсенвается» свет одной поляризации. И действительно, мы наблюдали, что в геометрии, приведенной на рисунке 5, свет от стеклаанаnalizатора отражается хуже, чем в случае, когда плоскость отражения перpendикулярна плоскости падения (эта геометрия на рисунке не показана).

Этот же, по существу, опыт можно поставить немного по-другому. Использовая поляризованный (то есть отраженный под нужным углом) свет, мы проверили, что произношность стопы пластин сильно зависит от ориентации направления поляризация и плоскости падения.

36

Рис. 5. Неполяризованный свет падает на стопу стеклянных пластин. В проходящем свете преобладают колебания, лежание в плоскости падения. Такой свет плохо отражается от второго стекла.

В случае, показанным на рисунке 6, а, десять стекол почти не уменышают яркости света, а в случае, как на рисунке 6, б, — уменышают ее приблинительно вдвое.

Возникновение и исчезновение разноцветной окраски слюды

Опыты со слюдой мы начали с того, что повторили их в геометрии № 1, при этом источником света слюждала лампа. Настроив систему на возможное более глубокий минимум отражения, мы ввели пластинку слюды

Рис. 6. Поляризованный свет падает на стопу стеклянных пластин. В случае а) — отражение слабое и произносят высока; в случае б) — отражение сильное, произносят плохая.

в лучи, идущие от одного отражаателя к другому, так, что поляризованный свет был перепendlukурен ее поверхности. Это приведо к окрашиванию слюды в различные цвета, правда цветовая гамма была беднее, чем в опыте с дневным светом. Мы наблюдали, как при поворачивании слюды вокруг оси, совпадающей с лучами света, цвет перiodически сменяли друг друга.

Если же смотреть на поляризованный свет, прошедший сквозь слюду непосредственно, то есть минут второе отражение, то никаких цветов не видно. При перемещении слюды в области между лампой и первым отражателем также не было никакой окраски.

Кроме слюды мы испробали другие произчные материалы. Оказалось, что стекло и оргстекло не дают никакого эффекта, а вот целлюлоновая пленка от пачки сиграет дала аналогичный эффект. При поворотах пленки отражение перiodически усиливалось и уменышалось (это проискдило несколько раз один полный поворот), но цветовой окраски в этом случае почти не было.

Наконец, мы взяли гораздо более тонкую слюду, отшелив слой от более толстой пластинки. Слюда довольно легко рассливается, и после небольший тренировки нам удалось это сделать. Отшелленный слой был совершенно произчным, и, по-видимому, заметно тонше 0,1 мм. Если попытаться держать его за уголок горизонтального, то он проиграется под собственной тяжестью. Действие тонкого слюда оказалось похожим

37

на действие целлофана: при врашении слюды яркость изображения нити лампы (после второго отражения) перiodическая менялась, но оказки не были.

Какие можно сделать выводы из наблюдаемого «эффекта слюды»?

1. В геометрии № 1 на второй отражатель падает свет, поляризованный так, что отражения не происходит. При введении слюды отражение появляется. Значит, в прошедшей через нее световой волне появляются колебания другого направления. Другими словами, слюда меняет состояние поляризация света.

2. Слюда по-разному действует на свет различных длин волн (различных цветов), но проявляется это в не очень тонких слоях.

Использову указанные свойства слюды, мы смогли сильно увеличить цветительность обнаружения частичной поляризации света. Далее при небольшей степени поляризации введение слюды в падающие на стекло-анализатор лучи дает в отражении свете характераную окраску, меняющийся с поворотом слюды. Благодаря высокой цветовой цветительности глаза, при таком способе обнаружения поляризация не нужно заботиться о том, чтобы точно подыскать соответствующее положение плоскости падения, что, конечно же, упрощает наблюдения.

С помощью этого «усовершенствования» мы, например, установили, что освещенные сбоку облака посылают частично поляризованные лучи (рис. 7). Мы наблюдали и поляризацию головного безоблачного неба. Эффект в этом случае не особенно велик и проявляется лучше всего, если стоять к Солнцу боком, так, что

Рис. 7. Кусочек слюды или целлофана увеличивает цветительность обнаружения поляризации.

бы лучи, рассеяные atmosферой, приходили приблизительно перпендикулярно к линии, соединяющей Солнце и стекло.

3. Думая об «эффекта слюды», мы заключили, что этот effekt как-то связаан с тем, что взаимодействие слюды со светом зависит от направления. Точнее: слюда имеет различные свойства в различных направлениях, и поэтому результат прохождения света через нее зависит от того, как ориентированы колебания в световой волне относительно этих направлений. Ведь при поворотах пластинки относительно оси светового лучка меняется только ориентация кристалических осей слюды по отношению к направлению колебаний. Стекло, так же как и ортекло, видимо, никаких особых направлений не имеет, то есть их светства одинаковы для всех направлений.

Дальше в понимании этих вопросов мы продвинутся не смогли, но правильность обшей идеи мы сумели подтвердить на опите. Для этого мы искусственно нарушили внутреннюю симметрию ортекла с помощью механических направлений. В геометрии № 1 в лучи, падающие на второй стекло, мы помещили полоску из ортекла размерами $2 \times 20 \times 200$ мм. Оказалось, что если изгибать и скручивать полоску, то местами появляется характерное затмение поля зрения, которое пропадает при сятини направлении. Тогда мы решили «заморозить» направления. Утюгом мы слегка размягчили небольший участок средней части полоски, приложили растягивающее усилие и, не снимая его, быстро охладили полоску под стреуей воды. Например, ортекло стало вести себя подобно целлофановой лленке.

Заметим, что наши исследования велись по классическому схеме: наблюдание — опытное исследование — гипотеза — эксперимент. Фактически мы повторили путь, проеденный наук. Поляризацию света при отражении открытой французский физик Малюс в 1808 году, через три года он и французский ученый Бю обнаружили поляризацию прошедшего

38

света, а в 1815 году английский физик Брюстер нашел условия, при котором отраженный свет оказывается поляризованным полностью. Много лет спустя русский физик Столетов для усиления эфекта поляризация использовал стопу плоскопаралельных пластин.

Когда мы закончили все эксперименты, перед нами оказалось больше вопросов, чем было в самом начале. Вот некоторые из них:

— Почему естественный свет при отражении поляризуется?
— Почему облака и небо посылают поляризованный свет?
— Что именно происходит с поляризованным светом в материалов, подобных слюде?

— Может ли использовать поляризованный свет для количественного изучения спектрального состояния?

Словом, как это и должно быть, проведенные с помощью двух стекол и кусочков слюды опыты открывают широкий простор для размышления и новых исследований.

Новости научки

Астропория и древняя летопись

Трудно, наверное, считать новостью то, что наблюдаю 2000 лет назад; однako, именно такая новость стала известной лишь недавно. Впрочем, когда астроном впервые обнаруживал новую галактику, он с полным правом говорит об открытии, хотя галактика существовала за долго до этого примечательного для научки события.

Открытие, о котором понятет речь, было сделано на страницах древней китайской хроники Ши цзи («Исторические записи»)*) . Ее написал в 95 году до нашей эры Сыма Цянь. В Ши цзи собраны сведения об истории, сельском хозяйстве, науки Китая. Есть там и описание астрономических наблюдений, в частности — указывается цвет неокоторых звезд. Действительно, если внимательно смотреть на звезды и сравнивать их друг с другом, то можно увидеть, что они различаются по цвету.

В Ши цзи написано, что цвет Сирриуса (α Болшого Пса) — белый, Антареса (α Скорпiona) — красный, Бетельгейзе (α Ориона) —

*) Частчно «Исторические записи» переведены на русский язык.

Сыма Цянь (гравиора на дереве).

желтый и Белатрика (γ Ориона) — голубой. Все эти звезды принадлежат к числу самых ярких, и их можно увидеть на нашем светерном небе. Как оказалось, цвет трех звезды указан правильно (зрение у астрономов было острым!), недоумение вызывает лишь цвет Бетельгейзе.

Сейчас хорошо известно, что это — переменная звезда, а именно — красный светгигант, и что цвет ее — не желтый, а красный. Но, повидимому, древние звезды не ошиблись и здесь.

По современным представлениям в данной время Бетельгейзе находится в стадии быстро расшириния.

За 2000 лет ее радиус почти удвоился, и теперь он приблизительно в 300—400 раз превышает радиус Солнца. Расширяясь, звезда охлаждается; и если сейчас температура ее поверхности около 3000 градусов, то во времяна, когда писалась Ши цзи, она должна была быть на 1000—2000 градусов больше. Соответствие, и цвет ее должен быть более желтым.

Таким образом в древней летописи нашлось зримое подтверждение зволочии звезды, явления, которое казалось бы, лежит за пределами возможности человека налюдения. Оно лишний раз доказывает, что любое следствие теоретических построений когда-нибудь да подвергается опитной проверке.

Недавно в старых китайских книгах было обнаружено еще одно интересное свидетельство древних ученых. Летом 365 года до нашей эры Джан Де увидел вблизи Юпитера яркого точку. может быть, это был один из спутников Юпитера, например — Ганимед или Каллисто? По крайней мере, именно так объясняется это место историки.

Конечно, интересная древних авторов не всегда убедительно. Кто знает, не ошиблись ли они.

Я. С.

39

Задачи

М751—М755; Ф763—Ф767

М751. На окружности отмещены 3k точек, разделяющих ее на 3k дуг, из которых k дуг имеют длину 1, еще k дуг — длину 2, и остальные k дуг — длину 3. Доказите, что среди отмещенных точек найдется две диаметрально противоположные. (9)

В. Произвольов

М752. Квадратная таблица $n \times n$ клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличияся одно от другого не больше, чем на 1. Доказите, что хотя бы одно число встреется в таблице:
a) не менее, чем $[n/2]$ раз ([a] — целая часть a);
b) не менее, чем $n$ раз. (8)

А. Берзины

М753. Числа a, b, c лежат на интервале $]0, \pi/2$ [и удовлетворяют равенствам:
$\cos a = a,$
$\sin \cos b = b,$
$\cos \sin c = c$.

Расположите эти числа в порядке возрастания. (10)

С. Гессен

М754. a) Существуют ли многочлены $P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z)$ от переменных x, y, z такие, что выполено тожество $(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-2x+1)^3R = 1?$
b) Тот же вопрос для тожества $(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-x+1)^3R = 1.$ (10)

П. Гусятников, Ю. Нестеренко

М755. Внутри tetraэдра выбрана точка M. Доказите, что хотя бы одно ребро tetraэдра видно из точки M под углом, косинус которого не больше, чем $-1/3$. (9)

С. Гашков

40

Ф763. На горизонтальной поверхности обруч радиуса $R$. Мимо него движется со скоростью $v$ такой же обруч (рис. 1). Найти зависимость скорости верхней точки «пересечения» обручей от расстояния между их центрами. Обручи тонкие; второй обруч «проезжает» вплотную к первому. (9)

С. Кротов

Ф764. Ударная волна представляется собой области повышенного давления, распространяющегося с большой скоростью в направлении оси $X$ (рис. 2); в момент прихода волны давление резко повышается от значения $p_0$ до $2p_0$. На пути распространения волны стоит клин, размеры клина указаны на рисунке 3, масса клина равна $m$. Какую скорость проибретет клин сразу после прохождения через него фронта ударной волны? Считать, что проибретаемая клином скорость много меньше скорости распространения волны; треннее пренебрежимо мало. (8)

А. Буздин

Ф765. В настоящее время мощность всех источников энергии на Земле, использых человекаством, составляет $\Delta P = 10^{13}$ Вт, а мощность солнечной энергии, поступающей на Землю, — $P_0 = 10^{17}$ Вт. К какому перегреву $\Delta T$ поверхности Земли приводят земные источники энергии? Какова максимальное допустимая величины $\Delta P_{\max}$, если предельный перегрев из экологических сообщений не должен превышать величины $\Delta T_{\max} = 0,1$ К? Известно, что энергия, излучаемая в единицу времени нагретом телом, увеличивается в 16 раз при увеличении абсолотной температуры тела в 2 раза. (10)

С. Козел

Ф766. Для лампы-высышки применили нелинейный конденсатор (он заполнен диэлектриком, у которого диэлектрическая проницаемость зависит от напряженности поля). График зависимости напряжения $U$ от заряда $Q$ конденсатора приведен на рисунке 4. Конденсатор заряжают от батареи с $U_0 = 300$ В через резistor с сопротивлением $R = 10$ кОм. Найти максимальное число всыщек за 1 минуту. Считать, что при всыщке конденсатор полностью разряжается. Minimalное начальное напряжение всыщки $U_1 = 250$ В. (9)

А. Зильберман

41

Ф767. В одном из проектов получения электригини предлагалось использовать морские течения и магнитное поле Земли. Проект заключится в следующем.

В море погружают две горизонтальные металлические пластины, расположенные одна над другой на расстоянии $l=100$ м; площадь каждой пластины $S=1$ км$^2$. Морская вода, удельное сопротивление которого равно $Q=0,25$ Ом·м, протекает между пластинами с запада на восток со скоростью $v=1$ м/c. Магнитное поле Земли в данном месте однородно, направлено с юга на север; индукция поля равна $B=10^{-4}$ Тл. Определить максимальную электрическую мощность, которая может выделиться на нагрузке, подсоединенной к пластинам. (10)

А. Шеронов

Problems

M751—M755; P763—P767

M751. A circle is divided into $3k$ arcs by $3k$ points; $k$ arcs are of length 1, $k$ others of length 2 and the remaining $k$ are of length 3. Prove that at least two of the points are diametrically opposed. (9)

V. Proizvolov

M752. Integers are the entries in the $n \times n$ cells of a square table. Integers in cells with a common side differ by no more than 1. Prove that at least one number appears in the table

a) no less than $[n/2]$ times ([a] is the integer part of $a$); b) no less than $n$ times. (8)

A. Berzinsh

M753. The numbers $a, b, c$ in the interval $]0, \pi/2[$ satisfy the relations:

$$\cos a = a, \sin \cos b = b, \cos \sin c = c.$$

Write these numbers in increasing order. (10)

S. Gessen

M754. a) Do there exist polynomials

$$P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z)$$

in the variables $x, y, z$ satisfying the identity

$$(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-2x+1)^3R = 1?$$

b) Same question for the identity

$$(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-x+1)^3R = 1.$$ (10)

P. Gusyatnikov, Yu. Nesterenko

M755. The point $M$ is chosen arbitrarily inside a tetrahedron. Prove that at least one edge of the tetrahedron is seen from the point $M$ under an angle whose cosine is no greater than $1/3$. (9)

S. Gashkov

P763. A hoop of radius $R$ stands on a horizontal surface. An identical hoop rolls past it with velocity $v$ (see figure Pис. 1). Find the dependence of the upper “intersection point” of the hoops on the distance between their centres. The hoops are thin; the second hoop rolls past the first, almost touching it. (9)

S. Krotov

43

Отредакции. Это решение по существу приводит к наблюдению, которое была посвящена задача М648; в таком четырехугольнике (вписанном в окружность, со взаимно перпендикулярными диагоналями) длина стороны вдое больше расстояния от центра окружности до середины противоположной стороны. Есть и значительное более короткие решения, найденные читателями. Например, перпендикуляры, опущенные из центра O на диагонали AC и BD, попадают в их середины (рис. 2), а потому каждая из частей, на которые ломана AOC делит наш четырехугольник, имеет площадь $\frac{|AC| \cdot |BD|}{4}$.

M712. Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девятки чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и 7.

$$\pi = 3,14159265\dots$$

1,11111111…
1,01011111…
1,01011011…
0,01011011…
0,00011011…
0,00001010…
0,00001000…
0,00001000…
0,00001000…
3,14159265…

M713. М — множество точек на плоскости. Точка O плоскости называется «почти центром симметрии» множество M, если из M можно выбросить одну точку, что для оставшегося множества O является центром симметрии в общном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

Рис. 1.

• ● ● ● ● ●
• a)
• ● ● ● ● ●
• b)
• ● ● ● ● ●
• b)
• ● ● ● ● ●

Рис. 2

Отредакции. Это решение по существу приводит к наблюдению, которое была посвящена задача М648; в таком четырехугольнике (вписанном в окружность, со взаимно перпендикулярными диагоналями) длина стороны вдое больше расстояния от центра окружности до середины противоположной стороны. Есть и значительное более короткие решения, найденные читателями. Например, перпендикуляры, opущенные из центра O на диагонали AC и BD, попадают в их середины (рис. 2), а потому каждая из частей, на которые ломана AOC делит наш четырехугольник, имеет площадь $\frac{|AC| \cdot |BD|}{4}$.

◆ Заметим, что любое положительное число можно представить в виде суммы девятки чисел, содержащих в своей десятичной записи только цифры 0 и 1 (на полях в таком виде представлено число $\pi = 3,14159265\dots$). Пусть теперь $a > 0$ — данное число. Представляя $\frac{a}{7}$ в виде суммы девятки чисел, содержащих в своей десятичной записи только цифры 0 и 1, и учитывая, что $a = 7 \cdot \left(\frac{a}{7}\right)$, получим нужное представление числа $a$.

Задча M712 очевидным образом обобщается: любое положительное число можно представить в виде суммы q-1 чисел, q-ичная запись которых содержит только цифры 0 и k (k<q).

Э. Туркевич

◆ Конецное множество точек на плоскости может иметь 0, 1, 2, 3 «почти центров симметрии» (см. рисунок 1, а)—соответственно. Покажем, что больше трех «почти центров симметрии» конечное множество M на плоскости имеет не может.

Прежде всего заметим, что множество M имеет конечное число «почти центров симметрии», поскольку они могут быть только середины отрезков, соединяющих точки множество M. Выберем теперь такую прямую, при проекции на которой точки множество M и его «почти центры симметрии» не сливаются. Поскольку при проекции на прямую центр симметрии множество точки переходит снова в центр симметрии, достаточно доказать наше утверждение для конечного множества точек, лежащих на одной прямой.

Рассмотрим множество точек на прямой с координатами $x_1 < x_2 < \dots < x_n$. Если мы выбросим первую точку, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка с координатой $(x_2 + x_n)/2$; если выбросим последнюю — то только точка с координатой $(x_1 + x_{n-1})/2$; наконец, если мы выбросим какую-нибудь не крайнюю точку, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка с координатой $(x_1 + x_n)/2$ (см. рис. 2; на рисунке 2, а мы выбросили среднюю точку — центр симметрии оставшегося множества попадает в нее). Значит, конечное множество точек на прямой, а тем самым и любое конечное множество точек на плоскости, не может иметь больше трех «почти центров симметрии».

В. Прасолов

44

М714. N друзей одновременного узнал N новостей, причем каждый узнал одну новость. Они стали зовнить друг друга и обменивать новости. Каждый разговор длился один час. За один разовор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество часов не обходимо, чтобы все узнали все новости? Расмотите три случая: a) N=64, 6) N=55, b) N=100.

Обозначим через $T(N)$ минимальное число часов, за которое $N$ друзей смогут обменять новости. Любопытно, что функция $T=T(N)$ не монотна. Это можно обнаружить, найда значения $T(N)$ для небольших $N$ — они приведены в таблице на полях; рядом, на рисунке 1, показан способ, который позволяет для $N=4, 5, 6$ и 8 узнать все новости за $T(N)$ часов. Разумеется, чтобы решить задачу, мы должны не только указыть способ обменяться новости за $T(N)$ часов, но и доказать, что за меньше число часов этого сделать нельзя — получить для $T(N)$ оценку сизу. С нее мы и научем.

Рассмотрим произвольную новость. После первого часа ее знают не больше двух друзей, после второго часа — не больше четырех друзей, …, после $k$-го часа — не больше $2^k$ друзей. Поэтому, если после $T$ часов все $N$ друзей знают все новости, то $2^T \geq N$ и $T \geq \log_2 N$. Так как $T$ — целое число, то $T \geq \log_2 N$. (Здесять через $\Gamma a$ обозначается наименьшее целое число, которое не меньше, чем $a$. Такое обозначение сейчас применяется все чаще, особенно специализмировано по прикладной и вычислительной математике; при этом для общной целой части — «округления вниз» — вместо обозначения $[a]$ использует обозначение $[a]$.) Если $N$ — нечетное число, то найдется один из $N$ друзей — обозначим его через $A$, — который в первый час не участвует в разговорах. Применяяышеприведенные рассудения к той новости $a$, которое вначале знает только $A$, мы получим, что для обмена всеми новостями необходимо не менее $1 + \log_2 N$ часов.

Покажем, что найденная оценка сизу

$$T(N) = \begin{cases} \Gamma \log_2 N, & \text{ если } N \text{ четно}, \\ \Gamma \log_2 N + 1, & \text{ если } N \text{ нечетно} \end{cases}$$

достижима, то есть показем, что можно так организовать обмен новости, что после $T(N)$ часов все друзья будут знать все новости. Разберем три случая.

1°. Проще всего предъявить способ обмена новости за $k$ часов для $N=2^k$.

Сопоставим каждому друзу набор из $k$ чисел 0 и 1 («двоичный номер»); различных таких наборов от $(0,0, ..., 0)$ до $(1,1, ..., 1)$ как раз $2^k$. Пусть в $t$-м часу разговариют друг с другом пары друзей, номера которых отличаются лишь в одном $t$-м месте. Тогда, если номера двух друзей отличаются в $t_1, t_2, ..., t_s$ местах ($1 \leq t_1 < t_2 < ... < t_s \leq k$), то в результате разговорав в $t_1$-м, $t_2$-м, …, $t_s$-м часу они будут знать новости друг друга. (Этот способ для $N=4$ и $N=8$ проплодирован рисуком 1.)

Другой способ, пригодный для любого четного $N$, описан ниже в пункте 3°.

Рис. 1. На этих рисунках (для $N=4, 5, 6$ и 8 друзей) изображен один из оптимальных способов обмена новости. Распространение одной из новостей показано красным цветом.

45

2°. Пусть $2^{k-1} < N < 2^k$, $N$ — нечетное число. Тогда $\Gamma \log_2 N = k$, $N = 2^{k-1} + r$, где $0 < r < 2^{k-1}$. Покажем, как за $k+1$ часов все друзья могут узнать все новости. Разделим $N$ друзей на две группы: первый, состоящий из $2^{k-1}$ друзей, и второй, состоящий из $r$ друзей. В течение первого часа каждый друг из второй группы разговаривает с некоторым другом из первой группы. В последующие $k-1$ часов $2^{k-1}$ друзей первый группы обменывают между собой новости так, как это описано в пункте 1°; в результате каждый из них узнет все новости. Наконец, в последний час каждой друг из второй группы снова разговаривает с некоторым другом из первой группы, в результате чего все друзья из второй группы тоже узнат все новости.

3°. Пусть $2^{k-1} < N \leq 2^k$, $N = 2m$ — четное число. Тогда $\Gamma \log_2 N = k$ и $2^{k-2} < m \leq 2^{k-1}$. Покажем, как за $k$ часов все друзья могут узнать все новости.

Рассмотрим два правильных $m$-угольника, помещенных прямоугольным другом (см. рисунок 2, где $m=6$). Будем считать, что каждая вершина — это один из друзей (разные вершины — разные друзья). Двух друзей в некоторых момент времени $t$ будем называть соседними, если изображение их в этот момент вершины наихм $m$-угольников находится прямоугольным другом (например, как при $t=0$ вершины $A$ и $B$ на рисунке 2). Пусть $a$ — какая-нибудь из новостей. (Вершины, изображющие друзей, знающих в момент времени $t$ новость $a$, будем окрашивать.) Пусть в первый час между собой разговаривают все пары соседних в момент времени $t=0$ друзей (см. рисунок 2 при $t=1$). В дальнейшем перед началом $t$-го часа ($t=2, 3, ..., k$) мы будем поворачивать по часовой стрелке верхиной $m$-угольник на угол $2^{t-1} \cdot \frac{180^\circ}{m}$ и считать, что $t$-ый час разговаривают все пары друзей, оказывающихся к этому моменту соседними (на рисунке 2 изображено распространение новости $a$ после первого, второго и третьего часа). Результатом таких разговоров будет то, что после $t$-го часа $2^{t-1}$ вершин каждой из наихм $m$-угольников оказываются окрашенными. Поскольку $m \leq 2^{k-1}$, после $k$ часов будут окрашены все наихм. Таким образом, после $k$ часов все $N$ друзей будут знать любую новость $a$.

Наште утверждение полностью доказано.

Итак, ответы на пункты a), 6), в нашей задачи: соответствен, $T(64) = 6$ часов, $T(55) = 7$ часов и $T(100) = 7$ часов.

А. Анджан

M716.*) Из точки $M$ внутри данной треугольника $ABC$ опускают перpendикуляры $MA_1, MB_1, MC_1$ на прямые $BC, CA$ и $AB$. Для таких точки $M$ внутри $\triangle ABC$ величины $\frac{|BC|}{|MA_1|} + \frac{|CA|}{|MB_1|} + \frac{|AB|}{|MC_1|}$ прим#aет наименьшее значение?

$\cdot$ Пусть $|BC| = a, |CA| = b, |AB| = c, |MA_1| = x, |MB_1| = y, |MC_1| = z$. Заметим, что величины $ax + by + cz$ постоянна: для любой точки $M$ внутри данной треугольника она равна $2S$ — удвоенной его площади (см. рисунок)*. Оценим произведение интерсуошей нас величины $f = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ на эту постоянную:

$$f \cdot 2S = \left( \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \right)(ax + by + cz) = a^2 + b^2 + c^2 +$$

$$+ ab \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) + bc \left( \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \right) + ac \left( \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \right) \geq$$

$$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = P^2,$$

*) Решение задачи M715—в заметеке А. Ходлева «Расселенение физек» (с. 28).

46

где $P = a + b + c$. Мы трижды воспользовались очевидным неравенством $\frac{u}{v} + \frac{v}{u} \geq 2$, которое превращается в равенство при $u = v$. Таким образом, мы доказали, что неравенство
$$f = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \geq \frac{P^2}{2S}$$

верно для любых $x, y, z$ (таких, что $ax + by + cz = 2S$) и обращается в равенство при $x = y = z$, так что минимум выражения $f$ достигается в центре окружности, вписанной в наш треугольник: именно в этой точке $x = y = z = \frac{2S}{P}$.

Н. Васильев

M717. Данные натуральные числа $n$ и $r$, $1 \leq r \leq n$. Расстояние всегоэмножения подмножества $[1, 2, \dots, n]$, состоящее из $r$ чисел, и в каждом выбором наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выборных чисел равно $\frac{n+1}{r+1}$. (Например, при $n=3$, $r=2$ получаем три подмножества $[1, 2], [1, 3], [2, 3]$ и среднее арифметическое равно $(1 + 1+2)/3 = 4/3$.)

◆ Прежде всего заметим, что у множество $[1, 2, \dots, n]$ имеет $C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ подмножества, состоящих из $r$ чисел. Мы приведем два свойства чисел $C_n^k$), которые понадются нам для решения нашей задачи:
$$1^\circ. C_n^k + C_n^{k+1} = C_n^{k+1};$$
$$2^\circ. C_n^k + C_n^{k-1} + \dots + C_k^k = C_n^{k+1}.$$

Будем называть подмножества множества $[1, 2, \dots, n]$, состоящие из $r$ чисел, $r$-подмножествами. Легко сообщить, что наименьшим элементами $r$-подмножества множества $[1, 2, \dots, n]$ могут быть только числа 1, 2, …, $(n-r+1)$. При этом число $k$ является наименьшим сразу для $C_n^{k-1}$ таких подмножества (в самом деле, каждое $r$-подмножества, для которого число $k$ является наименьшим элементом, содержит наряду с $k$ и $r-1$ элемент из множества $[k+1, k+2, \dots, n]$, состоящего из $n-k$ элементов). Поэтому сумма всех выборных чисел равна
$$S = 1 \cdot C_n^{r-1} + 2 \cdot C_n^{r-1} + \dots + (n-r+1) C_n^{r-1},$$
(*)

и нужно показать, что среднее арифметическое $\frac{S}{C_n^r}$ (всего имеется $C_n^r r$-подмножества) равно $(n+1)/(r+1)$, или что $S = C_n^r \cdot (n+1)/(r+1) = C_n^{r+1}$.

Воспользовавшись тем, что $C_n^{k-1} = C_n^k - C_n^{k-1}$ (см. $1^\circ$), преобразуем сумму $S$ следующим образом:
$$S = 1 \cdot C_n^{r-1} + 2 \cdot C_n^{r-1} + \dots + (n-r+1) C_n^{r-1} =$$
$$= 1 \cdot (C_n^r - C_n^{r-1}) + 2 \cdot (C_n^{r-1} - C_n^{r-2}) + \dots + (n-r) (C_n^{r+1} - C_n^{r+1}) + (n-r+1) C_n^{r+1} =$$
$$= C_n^r + C_n^{r+1} + \dots + C_n^{r+1},$$

Учитывая свойство $2^\circ$, получаем $S = C_n^{r+1}$, что и требовалось.

Эту задачу можно решить и по индукции, рассмотрев множество $[1, 2, \dots, n+1]$ и заметив, что
$$S(n+1, r) = S(n, r) + S(n, r-1)$$
(**)

(см. рис. 2); здесь через $S(m, k)$ обозначена сумма наименьших чисел $k$-подмножества множества $[1, 2, \dots, m]$.

Предположив доказанным равенства
$$S(n, r) = C_n^{r+1}, S(n, r-1) = C_n^{r+1}$$

для $r$- и $(r-1)$-подмножества множества $[1, 2, \dots, n]$ (базис индекции содержится в условиям задачи), получим, учитывая (**) и свойство $1^\circ$,
$$S(n+1, r) = C_n^{r+1} + C_n^{r+1} = C_n^{r+1},$$

что и требуется.

*) Более подробно с числами $C_n^k$ – биомпальными коэффициентами – можно познакомиться, прочитав статью Н. Васильева, А. Зелевинского «Многочлены Чебышева и рекуррентные соотношения» («Квант». 1982, № 1) или брошюру В. А. Успенского «Треугольник Паскала» (Популярные легки по математике, выпуск 43, М., «Наука», 1978); несколько первых строк этого треугольника изображены на рисунке 1.

48

М719. а) Для каких $n \geqslant 3$ существует множество из $n$ последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойствам: наибольшее из этих чисел является делительом наименьшего общего кратного остальных $n-1$ чисел?
6) При каких $n \geqslant 3$ существует единственное множество из $n$ последовательных натуральных чисел, обладающих указанным свойствам?

Любое натуральное $n$ при некотором $k$ удовлетворяет неравенством $2^k < n \leqslant 2^{k+1}$. тогда $2^k < n < 3 \cdot 2^k < 5 \cdot 2^k$.
Рассмотрим множество
$$A = \{3 \cdot 2^k, 3 \cdot 2^{k-1}, \dots, 3 \cdot 2^k-n+1\}$$
из $n$ последовательных натуральных чисел. Поскольку $n-1 \geqslant 2^k$, среди $n-1$ последовательных натуральных чисел от $3 \cdot 2^k-n+1$ до $3 \cdot 2^k-1$ найдется хотя бы одно, делается на $2^k$. При $n \geqslant 4$ хотя бы одно из них делится на 3. Поэтому число $3 \cdot 2^k$ является делителем наименьшего общего кратного остальных $n-1$ чисел множества $A$ для любого $n \geqslant 4$.

При $n \geqslant 6$ легко строится пример еще одного множества, обладающего указанным свойствам:
$$B = \{5 \cdot 2^k, 5 \cdot 2^{k-1}, \dots, 5 \cdot 2^k-n+1\}$$
(проверьте это!). Таким образом, при $n \geqslant 6$ существует по крайней мере два множества $A$ и $B$, обладающих указанным свойствам. Остается рассмотреть случай $n=3$, 4 и 5.

При $n=5$ также имеется два нужных множества: $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ и $\{8, 9, 10, 11, 12\}$.

Докажем, что при $n=4$ существует единственное множество, обладающее указанным свойствам. В самом деле, пусть множество $\{m, m+1, m+2, m+3\}$ обладает нужным свойствам. Поскольку $m+3$ является делителем НОК $(m, m+1, m+2)$ делится на $m+3$. Но $m(m+1)(m+2) = (m+3)(m^2+2) - 6$; значит, 6 должно делиться на $m+3$, откуда $m=3$, и мы получаем единственный пример множества из четырех последовательных натуральных чисел, обладающего указанным свойствам: $\{3, 4, 5, 6\}$.

Наконец, при $n=3$ таких множества $\{m, m+1, m+2\}$ нет: НОК $(m, m+1) = m(m+1)$ ($m$ и $m+1$ взаимно просты), но $m(m+1)$ не делится на $m+2$, поскольку $(m-1)(m+2) < m(m+1) < m(m+2)$.

А. Абрамов

M720. Про функцию $f$, определению на множестве всех пар неотрицательных чисел $(x; y)$, известно следующим следующим:

1°. $f(0, y) = y+1$
2°. $f(x+1, 0) = f(x, 1)$
3°. $f(x+1, y+1) = f(x, f(x+1, y))$
для каждой пары $x \geqslant 0, y \geqslant 0$. Найдите значение $f(4, 1981)$.

Легко видеть, что $f(1,0) = f(0,1) = 2$. Применяя соответствие $3^\circ$, находим
$$f(1, y) = f(0, f(1, y-1)) = f(1, y-1) + 1,$$
откуда следует, что
$$f(1, y) = f(1,0) + y + 2.$$
Аналогично получаем, что
$$f(2, y) = 2y + 3.$$
Поскольку, чем равно $f(3,y)$. Имеем
$$f(3,0) = f(2,1) = 5;$$
$$f(3,y) = f(2,f(3,y-1)) = 2f(3,y-1) + 3,$$
так что
$$f(3,1) = 13, f(3,2) = 29, f(3,3) = 61, f(3,4) = 125, \dots$$