Квант 1982, №10 · Страницы

КВАНТ
10
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Советский Союз последовательно проводит в жизнь общирную программу мириного использования космических исследований. Наши космонавты активно участвуют в решении важных проблем народного хозяйства. Они следят за состоянием посевов, предупреждают о лесных пожарах, помогают геологическать полезные ископаемые, способствует созданию точных карт труднодоступных районов.

На приведенных здесь рисунках воспроизведены результаты摄影ирования одного и того же горного района земной поверхности, одновременно снять город блоком из четырех синхронно действующих фотоаппаратов. Первый из них получал общеные фотоаппарации (рис. 1). Остальные регистрации изображения в разных участках длиной видимого и инфракрасного изучения (500—600 nm, 600—700 nm и 700—840 nm). Полученные при этом черно-белые изображения служили основой для синтеза цветных изображений, приведенных на рисунках 2 и 3. Каждый из них позволяет отчетливо выделить какие-то детали изучаемого решения растительного, а третий — почвы в горных долинах. Четвертый рисунок также не является摄影ной — он получен на основе предыдуших摄影師 при помощи специальной обработывающей техники. Такие синтезированные изображения позволяют более четко определить границы различных образований.

Первоначальные摄影ы были получены 27 июня 1975 года летиками-космонавтами П. Климком и В. Севастяновым на долговременной орбитальной станции «Салют-4» с высоты 340 км. Эти материалы предназначются для комплектного изучения природных условий и ресурсов нашей страны и создания точных карт труднодоступных районов.

1

В НОМЕРЕ: IN THIS ISSUE:

A. Михайлов. Значение astronomy 2
B. Гнеденko. Михайл Васильевич 5
Ostrogradский Ostrogradski
M. Левинштейн. Эффект Ганна 11
M. Levinstein. The Gann effect
D. Нозин. Кто пойдет за лимонадом? 19
D. Nogin. Who will fetch the lemonade?

Лаборатория «Кванта» 2
A. Варламов. Сто лет назад 22
A. Varlamov. One hundred years ago

Задачик «Кванта» 26
Задачи M766 — M770; Ф778 — Ф782
Решения задач M739 — M745; Ф748 — Ф757 29
Solutions M739 — M745; P748 — P757

«Квант» для младших школьников 44
Problems
A. Бендукидзе. Треугольник Паскаля 45
A. Bendukidze. Pascal’s triangle

Практикум абитриента 48
В. Данилин. Кinematika. Относительное 48
Движения

Искусство программирования 52
Standard methods of programming.
Урок 1

Рецензии, библиография 56
M. Ядренко, М. Козлов.
Путешествие в мир случайных событий 56
M. Левинштейн. Эйнштейн — изобретатель 56
M. Levinstein. Einstein — inventor
A. Егоров. Новые книги (43, 57)

Информация 59
O. Овчинников, С. Резниченко, Г. Яковлев.
Всероссийская olимппада школьников 59
All-Russian school olumpiad

Ответы, указания, решения 63
Answers, hints, solutions
Наша обложка (4)
Our cover page (4)
Смесь (18, 55, 58)
Miscellaneous (18, 55, 58)

Шахматная страница 63
Queen sacrifices once more (3 rd cover page)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1982

2

Значение астроономии

Часто недооценивают значение астроономии и ее роль в истории человека. Считают, что астроономия помогла выработать правила для измерения времени и ориентировки на

А. Михайлов

Земле и открыла много интересного на звездном небе, но все это не так важно по сравнению с тем, что нам дали другие науки, например физика и химия. Лишь в наш космическийvek важность астроономии стала более очевидной. Однако можно утверждать, что если бы не было астроономии, то и всемирная история была бы другой.

Чтобы обосновать такое утверждение, предположим, что все небо постояно покрыто густыми облаками, не позволяющими видеть Солнце, Луну, планеты и звездное небо вообщее. Тем не менее проискдила бы смена дня и ночи, было бы заметно, что ночи периодически бывают более светлыми, что это явление имеет какую-то связь с морскими приливами. Для obsчения всего этого придумали бы хитроумные теории, скорее всего — весы далекие от действияности.

Благодаря астроономии, более двух тысяч лет назад узнали, что Земля — шар. Это следовало из изменения полуденной высоты Солнца и кульминационной высоты звезд при передвижении наблюдается в меридианном направлении. Это показывает также круглая тень Земли при ее падении на Луну во время лунных затмений. До нас дошла первая удачная попытка определения длинны окружности земного шара, предприятая Эраtocфеном в III веке до н. э. При условии невидимости небесных светил всего этого не мог-

4

Так что на самом деле теодолит будет изменять не понятие горизонта, а угол, величины которого может на несколько degrees повернуться от α. Такой способ изменения кривизны очень ненадежен и не может дать доказательства шарообразности Земли, тем более, что он применит только на морской поверхности, где горизонт представляется правлной линии и можно уверенно фиксировать высоту.

Другой способ, который, казалось бы, позволяет обнаружить шарообразность Земли, — это, как мы уже говорили, изменение сферического избытка в углах треугольников. Сумма углов треугольника, сторонами которого являются дуги больших кругов шара, оказывается больше 180 градусов. Математический расчет показывает, что эта разница — ее и называют сферическим избытком — равна

$$\varepsilon = 206265 S/R^2$$ угловых секунд,

где $S$ — площадь треугольника, $R$ — радиус шара. Допустим, что удалость изменить на Земле углы огромного треугольника со стороны по 100 км (вершинами его, очевидно, могли бы быть только высокие горы). Площадь такого равностороннего треугольника $S = 4330$ km$^2$ и $\varepsilon = 22\%$. Эту величины можно «уловить» хорошо теодолитом, но также инструменты были созданы для астрономических целей; для газдо более «грубых» землемерных работ такая точность была не нужна. Таким образом, и этот способ был бы неосуществим.

Возможно, кто-то скажет: радиоастроoming не бountя obлачного неба и может развивать даже при отсутствии видимости небесных объектов. Но ведь радиоастроoming существует всего около пятидести лет, а возникла она и развилась благодаря своему более старому «родственнику», даже «прародителью» — оптической астроономи.

Наша обложка

25 лет тому назад, 4 октября 1957 года в СССР был осуществлен запуск первого искустеного спутника Земли. Геронческий труд советских ученых, инженеров, рабочих открыт человеку путь в космос. Началась новая эра в истории науки и техники — эра космических полетов.

На первой странице обложки изображен «Спутник-1», установленный на демонстрационном стенде. «Спутник-1» — первый изскусственное небесное тело, выведенное на эллиптическую орбиту в околоземное космосе пространство. Эвольюция движения этого спутника под влиянием верхних слоев атмосферы позволяет ее основные физические характеристики.

К настоящему моменту в СССР запущено более 1400 искустенных спутников.

11

Эффект Ганна

Около двадцати лет назад, в начале шестидесятых годов, английский физик Джон Ганн решил исследовать волтамперные характеристики сравнительно новых тогда полупроводников — арсенда галлия и фосфида индия — в сильных электрических полях. Неожиданно Ганн обнаружил удивительное явление: когда направление, приложенное к образцу, превышает определенное значение, ток в полупроводнике при постоянном напряжении начинает переодвигаться со временем. Это было妒азительно и совершенно непонятно.

Опытный экспериментатор, известный специалист в области физики полупроводников, Ганн не мог подыскать никакого объяснения этому эффекту. Он описал результаты своих наблюдений в 1963 году в короткой заметке, которая сразу привлекла внимание десятьков физиков и инженеров во всем мире. Физикам представлялось интересным объяснить это удивительное явление. Инженеры сразу поняли, что открытие Ганна ознакомает появление нового полупроводникового генератора, который может работать в области сверхвысоких частот. Такие генераторы были очень нужны во многих областях радиоэлектроники, в том числе — в радиолокации и системах связи.

Десятки специалистов размышляли над природу открытого Ганном явления. Однако прошел год, пока его удалось объяснить.

Попытаемся и мы разобраться в природе эффекта Ганна.

Представим себе, что мы, как в свое время Ганн, задались цель изучить волтамперную характеристику (то есть зависимость тока от напряжения) какого-нибудь полупроводника, например германия (Ge), кремния (Si) или арсенда галлия (GaAs).

Пусть в нашем распоряжении имеется массивный monокристалл, представляющий собой полупроводник n-типа (в нем основные носители заряда — электроны) с удельным сопротивлением q. Сначала вырежем из этого monокристалла образец правльной формы, удобнее всего — примугольный параллелипед.

(Дело это непростое, так как полупроводники довольно трудно поддаются механической обработке, и нам придется воспользоваться инструктом, режима кромка которого содержит сверхверdie материалы — корунд, эльбор или алмаз.) Теперь прикосновся к боковым граям образца изменительными концами тестера (прибор для измерения сопротивления). Естественно ожидать, что сопротивление изменленного нами образца будет равно

$$R_0 = \varrho \frac{l}{S} = \frac{l}{\sigma S} = \frac{l}{\sigma hd},$$

где $\sigma = 1/\varrho$ — удельная проводимость полупроводника, а $l, h, d$ — геометрические размеры образца (рис. 1). Однако значение сопротивления, которое загистирует прибор, оказывается в миллионы раз больше, чем величины, предсказываемая этой формулой. Дело в том, что в местах сопротивления металлических концов тестера с полупроводником возникнет тонкий приповерхностный заряженный слой — так называемый

Рис. 1. Образец с контактими.

12

Новые полупроводниковые материалы получают обычно в виде крошечных монокристаллов размером в доли миллиметра. Однако такие хорошего изучение и широко применяемые полупроводники, как Ge (1), Si (2), GaAs (3), современная технология позволяет получить в виде monокристаллов объемом в десяти и сотни кубических сантиметров.

барьер металл — полупроводник, и прибор будет изменять сопротивление барера, а не сопротивление образца.

Что быойти эту трудность, боковые грани образца необходимо сначала «омическим контактими», в которых бареры отсутствуют. Как правило, такие контакты получают, вплавляя в боковые грани определенные металлы (индий, олово) или сплавы (германий — золото, германий — серебро). Изготовить хороший «омический контакт» нельзя. Приходится подбирать материал контакта, температуру и режим вплавления, атмосферу, в котором следует произвольить вплавление (чаsto это бывает атмосфера водорода или инертного газа), определенным образом подготовливать поверхность боковых граней.

Но вот все трудности позади, и тестер, подключенный к боковым граям образца, показывает, что сопротивление равно расчетному значению $R_0$. Теперь можно приступить к измерению волтамперной характеристики.

Пока напряжение $U$, приложенное к образцу, не велико, ток, как и следует ожидать, пропорционален напряжение — выполняется закон Ома $I = U/R_0$. Однако при больших напряжениях ток начинает растить значительное быстрое, чем это требует закон Ома (кривая 1 на рисунке 2).

В этом нет ничего удивительного: когда ток и напряжение велики, образец разогревается джоулевым теплом. Как известно, полупроводники тем, в частности, и отличются от металлов, что с ростом температуры их проводимость увеличивается, то есть удельное сопротивление уменьшается. При нагревании полупроводника все больше электронов разрывают свои связи с атомами кристаллической решетки и становятся свободными. Увеличается концентрация свободных электронов — падает удельное сопротивление материалов и уменьшается сопротивление образца. Значит, при том же напряжение на образце ток становится больше. Увеличение ток bleibt за собой еще больше разогреев образца, еще больше увеличение концентрации электронов, и т. д. Вот почему так резко возрастает ток, когда разогреев образца джоулевым теплом становится заметным.

(Решив задачу 1, помещенную в конце статьи, можно найти, при каких напряжениях и токах волтамперная характеристика начинает отличаться от омической за счет нагрева образца протекающим током.)

Интересно оценить, какова скорость упорядоченного перемещения электронов вдоль поля (дрейфовая скорость электронов) в условиях, когда джоулев разогреев начинает вызывать резкое увеличение ток в об-

13

разце с ростом напряжения. Движение электров в полупроводнике подбно движению тела в вязкой жидкости: внешняя сила определяет установившуюся скорость движения. Поэтому дрейфовая скорость электров $v_\pi$ пропорциональна напряженной электрической поля —

$$v_\pi = \mu E = \mu \frac{U}{l}.$$

Коэффициент пропорциональности и называют подвижностью. Как видно из формулы (*), подвижность численного равна дрейфовой скорости при напряженной поля, равной единице. Если размерность $v$ — м/c, а размерность $E$ — В/m, то размерность $\mu$ — $\frac{m^2}{(B \cdot c)}$. Диапазон значений подвижности электров у различных полупроводников очень широк: от $\sim 10^{-5} \text{ m}^2/(B \cdot c)$ до $\sim 10^2 \text{ m}^2/(B \cdot c)$. При комнатной температуре для Ge $\mu \approx 0,5 \text{ m}^2/(B \cdot c)$, для Si — 0,1 $\text{ m}^2/(B \cdot c)$, для GaAs — 0,8 $\text{ m}^2/(B \cdot c)$. Как показывает расчеты (см. задач 1), значение напряженности поля, при котором влияние джоулева разогрева начинает искажать вид волтамперной характеристики, не превышает $\sim 10^4$ В/m. При этом значения дрейфовой скорости электров — не больше $10^3-10^4$ м/c.

Важно подчернуть, что когда вследствие джоулева разогрева полупроводника ток начинает резко увеличивать с ростом напряжения, величины подвижности не меняется. Ток возратает за счет того, что разогрев вызывает появление «дополнительных» электров.

Итак, джоулев разогрев искажает форму волтамперной характеристики полупроводника в области высокого кинетического напряжения ток растет медленнее, чем по линейному закону. При очень больших напряжениях ток практические перестановы зависит от напряжения — насыщается (кривая 2 на рисунке 2).

Провода эксперименты с образцами различных длины $l$, можно заметить, что отклонение от закона Ома и насыщение всегда наступают при одних и тех же значениях напряженности электрического поля $E = U/l$.

Первое, что приходит в голову при попытке обязывать это явление, — предположить, что по какой-то причине с ростом поля $E$ начинает убивать концентрация $n$ электрионов в области. Однако это не так. Kontrolные эксперименты показывают, что в чистых Ge и Si концентрация электров при тех полях, в которых наблюдается насыщение ток, от поля не зависит. Поскольку сила ток

14

Рис. 3. Зависимость дрейфовой скорости электронов $v_d$ от напряжности электрического поля $E$ для Ge (кривая 1) и Si (кривая 2).

равна $I = env_d hd$, насыщение тока при неизменной концентрации электронов означает, что в Ge и Si дрейфовая скорость электронов в сильных электрических полях от напряжности поля не зависит.

На первый взгляд такая ситуация кажется очень странной. Электрическое поле, ускорящее электроны, растет, а скорость направленного движения электронов не меняется. Вспомним, однако, что дрейфовая скорость электронов определяется двумя процесами: ускорением электронов полем и их торможением в результате стольновей с атомами кристаллической решетки. Величина подвижности как раз и определяется процесами стольновения электронов с кристаллической решеткой. Так вот оказывается, что при больших полях эфективность этих процессов повышается, и подвижность электронов в Ge и Si с ростом поля уменьшается. В очень сильных полях подвижность падает обратно пропорционально напряжности поля. При этом (см. формулу (*)) дрейфовая скорость электронов перестает зависять от напряжности поля $E$ — насыщается (рис. 3).

Насыщение дрейфовой скорости электронов в Ge и Si в сильных электрических полях было открыто до того, как Ганн приступил к своим исследованием. Το obstacleство, что свойства электронов в сильных полях могут очень заметно отличаться от свойств электронов в слабых электрических полях, также было хорошо известно. Но эфект, который Ганн наблюдается в образцах

Рис. 4. Зависимость от времени напряжения на образце (a) и тока через образец (б) в экспериментах Ганна. Пунктром показан случай, когда $U < U_n$, с помощью кривими — когда $U > U_n$.

15

образцов: $U_n = E_n l$, где $E_n$ — приближительное одинаковое для всех образцов значение напряженности поля. Для GaAs величина $E_n$ составляла примерное 3,2 · 10⁵ В/m. Период колебаний тока был также пропорционален длине образца и равняяся приближительного $T \approx 2l/v_n$, где $v_n \approx \mu E_n$.

Пытаясь понять, что происходит в образце, когда возникают колбания, Ганг проделал заменательное по уровню экпериментального мастерства исследование открытою им эффектива. Он установил, что, когда напряжение на образце превышает пороговое значение $U_n$, характер протекния тока и распределение напряжения электрического поля в образце совершено меняются. При $U < U_n$ ток в образце представляется собой поток электриов, текущих от того контакта образца, к которой приложен «минус» источника напряжения (от катода), к контакту, к которой приложен «плосос» (к аноду); электрическое поле распределено вдоль образца однородно (пунктирная кривая на рисунке 5). В этих условиях волтамперная характеристика образца соответствует закону Ома. Но как только напряжение, подаваемое на образец, достигает порогово-

Рис. 5. Распределение электрического поля в образце при $U < U_n$ (пунктирная кривая) и при $U \geq U_n$ (сплошная кривая). Стрелка указывает направление распространения дома от катода к аноду. В верхней части рисунка схематически показано движение дома по образцу.

го значения $U_n$, характер распределения поля вдоль образца резко меняется. В образце у катода возникнет uzкая область очень сильного поля — «домен»*). Хотя ширина этой области не велика, но полез в ней настоящо сcilное, что на домен падает значительная часть приложенного к образцу напряжения (рис. 5). Домен движется от катода к аноду со скоростью, приближительного равной $v_n/2$. Достигнут анодного контакта, домен разрушается. Немедленно после этого у катода зарождается новый домен, и все повторяется снова.

Легко понять, как связано периодическое движение дома по образцу с колбаниями тока, которые Ганг наблюдал в своих первых экпериментах.

Пусть к образцу приложили напряжение, равное $U_n$. В образце возникнет и значительная часть напряжения упала на домен. Но это значит, что на долю остальной части образца, где домена нет, приходится теперь меньше напряжения; следовательно, поле вне домена упало (сравните пунктную и сплошную кривые на рисунке 5). Упало и значение скорости электриов, пропорциональное полю, а следовательно, и ток, текущий через образец.

Пока домен движется вдоль образца, ток не меняется. Когда домен, достигнут анода, начинает разушаться, padreние напряжения на нем уменьшается. При этом поле в остальной части образца растет, и, следовательно, растет ток. Но как только поле в образце в района катода становится пороговым значению $E_n$, в образце начинает формировать новый домен, и ток снова начинает уменьшаться. Пока напряжение, приложенное к образцу, превышает пороговое значение $U_n$, этот процесс периодически повторяется (см. рис. 4, б).

*) Слово «домен» произходит от латинского слова dominis (хозяйский, господский). В средние века «домен» называется лячиваюсь личное владение крупного федала. В физике «домен» используется для обозначения области, свойства которой резко отличается от свойств окружающего ее материала. Существуют ферромагнитные, сегнет-электрические домены, домены сильного и слабого поля. На рисунке 5 показан домен сильного поля.

16

Замечательные эксперименты
Ганна позволили «увидеть», что происходит в образце, когда в нем возникают колебания тока. Однако они не отвечали на вопрос, поему в образце образуется домен, в чем физическая причина образования домена.

На этот вопрос в 1964 году сумел ответить американский физик Герберт Кремер. Он напомнил, что незадолго до открытия Ганна на основании теоретических расчетов было показано, что в арсениде галляя, фосиде индия и некоторых других полупроводниковзависимость дрейфовой скорости электронов от напряженности поля должны иметь такой вид, как на рисунке 6. В определенном диапазоне значений напряженности поля $E$, начинающимся со значения $E_n$, дрейфовая скорость электронов падает с увеличением напряженности поля. Исходя из формулы (*), мы должны заключить, что в этом диапазоне значений $E$ подвижность и электронов уменьшается с увеличением $E$ так резко, что дрейфовая скорость уменьшается, хотя напряжность электрического поля растет.

Как же связанны эффициенты, которые наблюдаем Ганн, с таким видом зависимости скорости электронов от поля?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала очевидную простую задачу.

Пусть к образцу приложено напряжение $U_1 < U_n$. При этом поле вдоль образца распределено одно-

Рис. 6. Зависимость дрейфовой скорости электронов $v_d$ для GaAs от напряжности электрического поля $E$. Аналогичная зависимость характеристика и для многих других полупроводников (InP, GaInSb, InGaAsP и др.).

родно и равно $E_1 = U_1/l$. Дрейфовая скорость электронов $v_1$ равна $v_1 = \mu E_1$ (см. рис. 6), и ток представляется собой поток электронов, текущих со скоростью $v_1$ от κατάда к аноду. Предположим теперь, что где-то в образце случайно образовался небольший участок, в котором направлено поля чуть-чуть больше, чем значение $E_1$. За счет хаотического характера движения электронов в кристалле маленькие отклонения поля от среднего значения $E_1$ (флуктуации поля) возникают непрерывно, иаша задача — проследить за тем, что произойдет с такой флуктуации, когда она возникнет.

Если на каком-то участке образца поле стало несколько больше, чем в остальном образце, то это значит, что на границах этого участка скопились электрические заряды: отрицательный со стороны катода и положительный со стороны анода (см. рис. 5). Иными словами, слева от выделенного участка образовался небольший электронов, а справа — небольший «деффициент» электронов. Складываясь с полем внешнего источника, поля этих «объемных» избыточных зарядов успешают поле внутри выделенного участка.

Что произойдет с такой флуктуации поля дальнейше?

Поскольку мы рассматриваем случае, когда $E_1 < E_n$, скорость электронов пропорциональна полю. Следовательно, электроны внутри флуктуации движения быстро в остальной части образца. Это значит, что флуктуация будет «убегать» от избыточных электронов слева и «догонять» тот участка справа, где электрон не хватает. В результате флуктуация поля рассеется.

А теперь посмотрим, что произойдет с флуктуации, когда напряжение $E_2$ поля в образце несколько больше, чем пороговое значение $E_n$ (см. рис. 6). Будем по-прежнему считать, что вначале поле распределено вдоль образца однородно; за счет флуктуации зарядов возникают объемные заряды; в результате в малом участке образца поле оказывается большим, чем во всем остальном образце. Но теперь больше поло со-

17

ответствует меняя древфовая скорость (см. рис. 6)! Значит, флуктуация движется медленнее, чем электропылева и справа от нее. В результате слева к уже имеющимся в известке электроматрирует, договора флуктуации, новые электропылева, где наблюдается «дефицит» электровов, их станет еще меньше: электропылева «убегут» от флуктуации. Таким образом, объемный заряд станет больше, и увеличится поле внутри флуктуации. Но увеличению поля при $E > E_n$ соответствует уменьшение древфовой скорости. В результате флуктуация станет дивгаться еще медленнее, еще больше электровов накопится слева от флуктуации и еще меньше их станет справа, поле внутри флуктуации станет еще больше, и т. д.

Итак, в условиях, когда древфовая скорость электровов уменьшается с ростом поля, однородное распределение поля неустойчиво по отношению к малой флуктуации поля: разозникнуть, такая флуктуация начинает неудержимо нарастать.

Когда прекратится рост объемного заряда на границах флуктуации и, следовательно, рост флуктуации? Для этого, оченьно, необходимо, чтобы скорость электровов внутри флуктуации сравнялась со скоростью электровов вне ее.

Пока избыточное поле внутри флуктуации мало, на ней падает маленькое напряжение, и ее присутствие в образце практических несказывается на скорости электровов вне флуктуации. Однако по мере нарастания поля внутри флуктуации, на ней начинает паать все больше и больше напряжение. При этом напряжение на остальной части образца становится меньше (вдь полное напряжение, приложенное к образцу, постоянно). Поле вне «флуктуации» падает. Слово «флуктуация» взято в кавычки, поскольку как-то неудобно называется «словом, обозначащим необходимо случайное отклонение, — такое образование, которое поглощает заметную долю приложенного к образцу напряжения. Такая сильно выражая флуктуация и есть домен. Вне дома скорость электровов падает с уменьшением поля, т. к. поле вне дома всегда меньше, чем $E_n$. Таким образом, по мере роста дома скорость электровов вне дома уменьшается. В конце концов скорости электровов внутри и вне дома сравняются и рост домена прекратится. По образцу от каода к андугу будет «бежать» неизменный по форме (стабильный) участок сильно поля — домен.

Эти домены и наблюдаются Ганн в своих экспериментах. Максимальное поле в домене $E_{max}$ может быть очень большим. При среднем поле на образце $E_n = U_n/l = 3,2$ кВ/см величины $E_{max}$ может составлять $20 \div 300$ кВ/см.

За годы, прошедшие со времени открытия Ганном эфекта возникновения колбаний тока в GaAs и InP, в научных журналах опубликовано более 2,5 тысяч работ, посвященных исследованию эфекта Ганна и различных связанных с ним физических явления.

Эффект Ганна наблюдается к настоящему времени более чем в двадцатипопроводниковых соединениях: антиимониде индия (InSb), антиimonиде мышьяка (AsSb), в германии, подвергнутом скатанию, в кремнии, охлажденном до низких температур, в тройных полупроводниковых соединениях GaAlAs, InGaSb, InAsP, в четверном соединении InGaAsP и многих других полупроводников.

Основное применение ганновских диодов (так принято называть образцы, в которых наблюдается эфект Ганна) — генераторы сверхвысокой частоты.

Когда отраженный от целей импульс радиолокатора возврашает к антинерадиону установлен, его необходимо услить. Схема чувствительного современного услителя обязательно включает в себя сравнительно маломощный, но очень стабильный и малошумящий генератор (гетеродин). Ганновские диоды успешно работают в качестве генераторов во многих современных радиолокатрах.

Каждай год в мире в результате автоматных катастроф гибнут сотни тысяч людей. Однако из основных принципов авария — превышение дозволенной скорости. В горode за соблю

20

Чтобы уточнить эту оценку, введем понятие вероятности события. Отношение $p$ количество способов, которые может произойти интересующее нас событие, к общему количество равновозможных вариантов называется вероятностью этого события. Очевидно, $0 \leq p \leq 1$.

В нашем случае ($n=2, m=10$) обозначим через $p_0$ вероятность события, состоящего в том, что за лимонадом пошел нулевой участник, а через $p_1$ — что пошел первый. Тогда $p_0 = \frac{61}{121} \approx 0,504, p_1 = \frac{60}{121} \approx 0,496$.

Нетрудно посчитать, что в случае «бросания» на одной руке при $n=2$ и $n=3$ шансы игроков быть выбранными одинаковыми и равны соответственно $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, а при $n=4$ $p_0=0,248, p_1=p_3=0,25, p_2=0,252$. С ростом $n$ перебор вариантов все более успешнее. Он проведен нами с помощью ЭВМ до $n=100$, исходя из следующих сообщений.

Обозначим через $\Pi_m^n(N)$ количество представления числа $N$ в виде суммы $n$ целых неотрицательных слагаемых, каждое из которых не превозходит числа $m$ (при этом представления, различающееся порядком слагаемых, считаются различными!). Обозначим также через $\Pi_i$ количество способов «бросания пальцев», при которых выбор падает на $i$-го участника, через $\Pi$ — общее количество вариантов «бросания пальцев», через $p_i$ — вероятность выбора $i$-го участника. Таким образом, $p_i = \frac{\Pi_i}{\Pi}$.

Числа $\Pi_i$ и $\Pi$ легко выражаются через $\Pi_m^n(N)$. Поскольку максимальное возможное число «выкинутьх пальцев» равно $mn$,

$$\Pi = \sum_{k=0}^{mn} \Pi_m^n(k).$$

Так как выбор падает на $i$-го участника, если число «выкинутьх пальцев» имеет вид $i+kn$, причем, очевидно, $k \leq m$ (заметим, что при $N > mn$ $\Pi_m^n(N)=0$),

$$\Pi_i = \sum_{k=0}^{m} \Pi_m^n(i+kn).$$

(1)

Число $\Pi_m^n(N)$ может быть подсчитано при помощи простой рекуррентной формулы. Количество интересующих нас представления числа $N$, при которых первое слагаемое есть 0, равно, очевидно, $\Pi_m^{n-1}(N)$; количество таких представлений, при которых первое слагаемое есть 1, равно $\Pi_m^{n-1}(N-1)$; при которых первое слагаемое есть 2 — $\Pi_m^{n-1}(N-2)$; и т. д. Поскольку первое слагаемое принимает одно из значений 0, 1, 2, …, $m$, $\Pi_m^n(N) = \Pi_m^{n-1}(N) + \Pi_m^{n-1}(N-1) + \dots + \Pi_m^{n-1}(N-m) = \sum_{k=0}^{m} \Pi_m^{n-1}(N-k)$ (2)

(в этой сумме неокотряные слагаемые могут равнять 0: если $N$ — «маленькое», то, начиная с неокотряного $k$, может быть $N-k<0$ — тогда $\Pi_m^{n-1}(N-k)=0$; кроме того, если $N$ — «большое», то, вплоть до неокотряного $k$, может быть $N-k>m$ ($n-1$) — тогда тоже $\Pi_m^{n-1}(N-k)=0$).

Вычислив $\Pi_m^2(k)$ при всех $0 \leq k < N$, мы затем с помощью (2) найдем $\Pi_m^3(N)$ и т. д.

Соотношение (2) позволяет также доказать, что $n=m+1$ шансы всех участников равны. Действительно,

$$\Pi_i = \sum_{k=0}^{m} \Pi_m^n(i+kn) = \sum_{k=0}^{m} \left[ \Pi_m^{n-1}(i+kn) + \right. + \left. \Pi_m^{n-1}(i+kn-1) + \right. + \dots + \left. \Pi_m^{n-1}(i+kn-m) \right] = \sum_{k=0}^{m} \left\{ \Pi_m^n(i+km+k) + \right. + \left. \Pi_m^n(i+km+k-1) + \right. + \dots + \left. \Pi_m^n(i+km+k-m) \right\}.$$

«Фигурная скобка» при каждом $k$ имеет вид

$$\Pi_m^n(a) + \Pi_m^n(a-1) + \Pi_m^n(a-2) + \dots$$

Оказывается, «фигурные скобки» при соседних $k$ «стыкуются»: первое слагаемое в «фигурной скобке» с $k=t$ равно $\Pi_m^n(i+tm+t)$, последнее сла-

21

Нетрудно понять, что число $\Pi_m^n(N)$ при $N=0$ равно 1, затем с увеличением $N$ оно растет, при $N=1 = \left[\frac{mn}{2}\right]$ достигает максимума, потом резко убывает и при $N=mn$ вовь становится равным 1. Эта зависимость изображена на рисунке 1.

Таким образом, основной вклад в сумму $\Pi_i$ (см. (1)) вносит слагаемое, для которого $N=i+kn$ близже всего к $\left[\frac{mn}{2}\right]$.

Если $m$ четно, то $\frac{mn}{2}$ — целое число и $\left[\frac{mn}{2}\right] = \frac{mn}{2}$. Значит, максимум функции $\Pi_m^n(N)$ достигается при $\frac{m}{2} \cdot n$ и счет, ведущейся по кругу, составленному $n$ участниками, завершается на игре с номером 0 (см. рис. 2, а).

Если же $m$ нечетно, максимум $\Pi_m^n(N)$ достигается при $N=\frac{m-1}{2}n + \left[\frac{n}{2}\right]$, а максимум $\Pi_i$ приходит на $i=\left[\frac{n}{2}\right]$, то есть на игре*), стоящего на противную нульового (рис. 2, б). В частности, при $m=5$ с наиболееверятностью за лимонадом побежит игрок, стоящий на противного того, с которого начинается счет; при $m=10$ — игрок, с которого начинается счет. Эта разница шансов тем больше, чем больше $n$ и чем меньше $m$.

Для общного класса средней шкoles ($n\sim 40$) при «выбрасывании пальцев» одной руки ($m=5$) встать направив началошго выгоднее (в несколько раз), чем быть им. Однако хотелось бы верить, что овладевшие теории не будут использовать ее в корыстных целях, а расскажут о ней своим одноклассникам.

*) Если $n$ нечетно, то направив нульового игрока стоит два игрок ($i=(n-1)/2$ и $i=(n+1)/2$) и максимум $\Pi_i$ приходит на каждого из них.

22

А. Варламов

Сто лет назад

У многих журналов есть рубрика «О чем писал наш журнал это лет назад», из которой читатель узнает об интересных или курьезных, с современной точки зрения, фактах, имеющих место в те времена. Нашеу журналу до векового юбилей еще далек, так что нам такую рубрику заводить покаано. Впрочем, попытаемся представить, о чем мог бы писать журнал, аналогичный нашему, это лет тому назад.

Тогда еще не были открытые явления сверхпроводимости и сверхтекучести, никто даже не подозревал о возможности создания лазеров и термоядерных реакторов, спутников и космических пакет. Поэтому на первый взгляд кажется, что любозначательным гипназистам, интересующимся физикой, читать было не о чем. Однако читали и небезусловно — выросло поколение замечательных физиков, создавших сложную современную физическую науку.

Недавно автору этих строк в руки попала ветхая книга Б. Доната «Физика в играх для юношества», изданная в конце XIX века. В те времена изучение физики носило более «опытный», наглядный и занимаемый характер.

Ниже приводится описание нескольких забавных экспериментов, взятых из указанной книги.

Фонтан, быший по приказанию

Устройство такого фонтана показано на рисунке 1. Бутылка A (вместимость около одного литра) с двумя горлышками (верхним и боковым) установлена на подставку B, рядом с которой находится резервуар C для сбора воды. Оба горлышка закрыты резиновыми пробками сставленными в них изогнутыми трубками a и b. Трубка в случае основного стока фонтана, а трубка a, конец которой немного не доходит до дня резервуара, играет роль своевобразного замка.

Если трубка a открыта, воздуха поступает в бутылке, и вода свободно вытекает из нее через трубку b, увеличивая количество воды в резервуар. Как только уровень воды достигает отверстия трубки a, доступ воздуха в бутылке прекращается, и вода перестает течь из трубки b — фонтан иссяк!

Для того чтобы он заработал вовь, необходимо открыть отверстия в трубке a. Для этой цели служит трубка c в дне резервуара. Если ее диаметр меньше диаметра трубки b, во время работы фонтана приок воды в резервуар прерышает ее расход, и в некоторых момент отверстия трубка a закрыется — фонтан тут же «умолкнет». Когда же количество воды убавится настолько, что конец трубки a открыется, фонтан заработан снова.

Скрыв от посторонних глаз внутреннее устройство фонтана (например, оклен бутылдревесной корой), этот опыт можно показать в качестве фокуса. Только нужно поменять местами причину и следствие. Пусть не фонтан то бет, то «молчит», а вы, глядя на

24

Дится на расстоянии, равном половине радиуса, от вершины зеркала) помещите часы. Их ход должен быть слышен громче всего в фокусе второго зеркала.

Теперь, когда система настроена, в фокусе одного зеркала поставьте куклу или какую-нибудь фигурку и объявите собравшимся друзьям, что она умеет отвечать на самые разные вопросы, которые ей будут шелтать на ухо. Второе зеркало от зрителей нужно как-то скрыть, например занавести дверь простейней или ярко осветить комнату с фигуркой и оставить затемнной второго комнату.

Разумеется, один вы с этим опытом не справится — у фокуса дальнейшего зеркала должен находиться в шифленый помещик. Здесь он условия все, что будет говорить фигурке на ухо, и смотет отвечать на задаваемые вопросы. А в соседней комнате эти отвецы будут воспринять исходящими от самой фигурки. Объяснить это нетрудно. Если источник звука находится в фокусе одного зеркала, то, отражшись от него, волны будут распространяться вдоль оси обихзеркала, и после отражения от второго зеркала они соберутся в его фокусе.

Еще лучше, если у помещника будет рулор, через который можно сливать вопросы и давать ответы. Кроме того, что рулор успливает звуки, он сильно искажает голоса, а это, безусловно, еще услит эффектив опыта.

Поощий бокал

Оказывается, из тонкостенного стеклянного бокала можно извлекать различные музыкальные звуки, причем веса своевобразым способом. Впрочем, судите сами.

Вы можете руки горячевой водой, чтобы удалить с пальцев жировые вещества. Обмокните палц в воду и аккуратоно водите им по краю бокала, постоянно смачивая палц водой. Сначала бокал будет издавать неприятный скрипший звук, но затем, когда края хорошо оботрится, звуки станут мелодичнее. Меняя силу нажима пальца, вы сможете менять и тон извлекаемого из бокала звука. Кроме того, высота тона зависит еще от размеров бокала, толщины его стенок и количество содержимого в нем.

Заметим, что не любой бокал способен издавать приятные поощие звуки, поэтому понск подходящого бокала может оказаться долгим и хлопотливым. Лучше всего потот (а не скрипят) очень тонкие бокалы, имеющие форму параболюда врашения, на длиной и тонкой ножке. Ton звучания можно менять, подливая в бокал воду — чем больше в бокале будет воды, тем ниже он будет звучать.

(И еще одно замечание к наблюдению. Когда уровень воды поднимается до середины бокала, на ее поверхности появятся волны, возникшие из-за сотрудничества стенок бокала. Сильнее всего волнение будет в том месте, где в данной момент находится ваш палц.)

25

Интересно, что на основе описаного явления знаменитый американский ученый Бенджамин Франклин (открывший, в частности, атмосферное электричесво) создал весна оригинальный музыкальный инструмент. Цель ряда хорошего отшлифованных стеклянных чашек, просверленных в середине, на одинаковых расстояниях друг от друга прикреплялись к одной общей оси. Под ящиком, в котором находилась эта система, была приделана педагог (как у швейной машины), приводящаясь во врашение. От простого прикосновения мокрых пальцев к врашающимся чашкам окружающей звуки усиливались до фортиссимо или padали до шепота.

Сейчас трудно представить себе этот удивительный музыкальный инструмент, но люди, слышавшие его,уверяли, будто бы гармония его звуков потрясающим образом действовала как на самом исполнителя, так и на слушатель. В 1763 году свой образец этого инструмента Франклин подарил английке мисс Дэвис. В течение нескольких лет она демонстрировала его во многих странах Европы, а затем этот удивительный инструмент бесследно исчез.

Зеркало, которое не путает правой и левой стороны

Возьмите два обычных зеркала без рам, составьте их краями под прямым углом друг к другу зеркальной стороны вовнутрь и посмотрите прямо в угол вдоль его биссектрисы. Вы увидите свое изобравжение. Затем закройте один глаз, например правый,— ваше изобравжение закроет тоже правый глаз; поднимите левую руку — в зеркале оказывается поднятой также левая рука. Почему?

Это понять нетрудно. Изобравжение своей левой половины в левом зеркале неисредственно вы видеть не может, так как (следу закону отражения) отраженные от него лучи идут не к вам, а в противоположную стороны и на своей пути встречают второе, правое зеркало. В нем-то и получается окончательное изобравжение вашей левой половины, которое вы увидите, так как правое зеркало расположено соответствующим для этого образом. Другими словами, одно зеркало незаметно «передает» изобравнение другому, в результате происходит не одно отражение, а два, так что левая половина естественно переходит снова в левую, а правая — в правую.

Телер попробуйте плавно увеличивать угол растора зеркал. Вначале пропадет середина лица с носом, потом останется только один уши, а при некоторых угле изобравжение лица исчезнет вовсе, но при угле, близком к 180°, появится обличное изобравжение лица в плоском зеркале. Если опять проводить в обратном порядке, то все будет просходить наоборот: сначала лицо начинает расплываться в ширину, нос распухнет, вотытнется в длину, потом на переносце появится третий глаз и … тому подобное.

Чтобы понять, почему так ведет себя изобравжение, попробуйтеарисовать ход лучей в такой зеркальной системе для различных углов между зеркаами.

26

Задачи

М766 — М770; Ф778 — Ф782

М766. Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.

Ю. Ионин

М767. a) Прямая $l$ делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что относение, в котором эта прямая делит проекцию многоугольника на перпендикулярную к ней прямую, не превыходит $1 + \sqrt{2}$ (рис. 1, а). б) Каждая из трех прямых делит площадь данной фигуры пополам. Докажите, что площадь части фигуры, заключенной в треугольнике между прямями, не превыходит $1/4$ все плоскии фигуры (рис. 1, б).

В. Прасолов

М768*. Сумма $n$ чисел, каждое из которых не превыходит по modulo 1, равна $s$. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от $s/3$ не более чем на $1/3$.

В. Гринберг

М769*. Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $L$, их продолжения пересекаются описанную окружность треугольника в точках $A_1, B_1, C_1$ (рис. 2). Пусть $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите равенства

a) $\frac{|LA_1| \cdot |LC_1|}{|LB|} = R$; б) $\frac{|LA| \cdot |LC|}{|LB_1|} = r$;

b) $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{2r}{R}$.

Р. Мазов

М770*. В основании треугольной парамиды $PABC$ лежит правильный треугольник $ABC$. Докажите, что если углы $PAB, PBC, PCA$ конгруэнтны, то парамида $PABC$ — правильная.

27

Ф778. Колечко массы $m$, свободно скрепляющее два тонких обруча массы $M$, начинает скальзывать вниз; обручи при этом разъезжаются в разные стороны по шероховатой горизонтальной поверхности. Определить ускорение колечка в начальной момент времени, если угол $AO_1O_2$ (рис. 3) равен $\alpha$. Трение между колечком и обручами отсутствует.

С. Кротов

Ф779. Квадрат, состоящий из двух половинок, относение масс которых равно двум, находится на шероховатой поверхности. Под каким углом $\alpha$ к границе раздела половинок необходимо тянут вервку в горизонтальной плоскости, чтобы квадрат двигаллся поступательно? Точка приложения силы лежит в точке пересечения стороны квадрата и границы раздела.

Э. Алиев

Ф780. Цилиндрический сосуд высотой $2h$, поровну разделенный перегородкой, содержит в верхней части воды (ее плотность $\rho$), в нижней — воздуха при атмосферном давлении $p_0$ (рис. 4). В перегородке открывается небольшое отверстие, так что вода начинает протекать в нижнюю часть сосуда. Какой толщины будет слой воды в нижней части сосуда, когда воздуха начинает проходить из отверстия вверх? Температура постоянна. Ускорение силыяжестки равно $g$.

В. Бородин

Ф781. Между двумя независенными металлическими концентрическими сферами радиусов $a$ и $b$ находится точный заряд $q$ на расстоянии $c$ от центра сфера. Какой заряд протечет по тонкому проводнику, если им замкнут сферы?

В. Комов

Ф782. Конденсатор зарядили до напряжения $U_0=100$ В и подключили к нему резистор. При этом за некоторый interval времени выделлась в виде тепла энергия $W_1=1$ Дж, а еще за такой же интервал — энергия $W_2=0,3$ Дж. Определить емкость конденсатора.

А. Зильберман

Problems

M766 — M770; P778 — P782

M766. Prove that the sum of squares of three consecutive integers cannot be the cube of a naturel number.

Yu. Ionin

M767. a) The straight line $l$ splits a convex polygon into two parts of egal area; the parts are projected perpendicularly on a line orthogonal to $l$. Prove that the quotient of lengths

29

Решения задач

M739 — M745; Ф748 — Ф757

М739. Докажите, что при любом значении $x$, для которого левая часть имеет смысл, выполнены равенства

$$\begin{align*} tg x + tg \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + \\ + tg \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) &: \begin{align*} tg x \times \\ \times tg \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \times \\ \times tg \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) \end{align*} = -3; \end{align*}$$

$$\begin{align*} tg x + tg \left( x + \frac{\pi}{n} \right) + \dots \\ \dots + tg \left( x + \frac{(n-1)\pi}{n} \right) &: \begin{align*} tg x \cdot tg \left( x + \frac{\pi}{n} \right) \times \dots \\ \dots \times tg \left( x + \frac{(n-1)\pi}{n} \right) \end{align*} = c_n \end{align*}$$

еде $n$ — нечетное число, $n > 0$, $c_n$ — константа (зависцая от $n$).
в) Найдите $c_n$ для каждого нечетного $n$.

a) Положим $tg x = z$, $tg(\pi/3) = \sqrt{3} = t$, тогда $tg(2\pi/3) = -t$. Используя формулу тангенса суммы, получим (при $zt \neq \pm 1$)

$$\begin{align*} tg x + tg \left( x + \frac{\pi}{3} \right) + tg \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) &= \frac{z + \frac{z+t}{1-zt} + \frac{z-t}{1+zt}}{z \cdot \frac{z+t}{1-zt} \cdot \frac{z-t}{1+zt}} = \\ &= \frac{z (1-z^2 t^2) + 2z + 2zt^2}{z (z^2-t^2)} = \frac{-3z^3 + 9z}{z^3 - 3z} = -3. \end{align*}$$

6. Используя формулы приведения $tg(x+\pi) = -tg(\pi-x) = tg x$ и нечетность $n$, нетрудно проверить, что и числитель, и знаменатель дроби

$$f(x) = \frac{tg x + tg \left( x + \frac{\pi}{n} \right) + \dots + tg \left( x + \frac{n-1}{n}\pi \right)}{tg x \cdot tg \left( x + \frac{\pi}{n} \right) \cdot \dots \cdot tg \left( x + \frac{n-1}{n}\pi \right)} = c_n$$

обращаются в 0 в одних и тех же точках промежуточка [0; $\pi$ [: 0, $\frac{\pi}{n}$, $\frac{2\pi}{n}$, …, $\frac{n-1}{n}$ $\pi$ (и теряют смысл — «обращаются в бесконечность» — также в одних и тех же точках $\frac{\pi}{2n}$, $\frac{3\pi}{2n}$, …, $\frac{2n-1}{2n}$ $\pi$, которые мы в дальнейшем исключаем из рассмотрения). Положим $tg x = z$, $tg \pi/k = t_k$ ($k=0, 1, \dots, n-1$). Числитель и знаменатель дроби $f(x)$ можно, заменив $tg(x+\pi/k/n)$ на $(z+t_k)/(1-zt_k)$, представить в виде отношений многочленов от $z$:

$$z + \frac{z+t_1}{1-zt_1} + \dots + \frac{z+t_{n-1}}{1-zt_{n-1}} = \frac{S_1(z)}{R(z)},$$

$$z \cdot \frac{z+t_1}{1-zt_1} \cdot \dots \cdot \frac{z+t_{n-1}}{1-zt_{n-1}} = \frac{S_2(z)}{R(z)},$$

где $R(z) = (1-zt_1) \dots (1-zt_{n-1})$, а оба многочленas $S_1(z)$ и $S_2(z)$ имеют степени $n$ и одни и те же корни $t_0=0$, $t_1$, $t_2$, …, $t_{n-1}$. Тот факт, что дробь $f(x)$, то есть $S_1(z)/S_2(z)$, есть константа, сразу вытекает из следующей леммы:

Лемма. Если многочлен $az^n + bz^{n-1} + \dots + d = p(z)$ степени $n$ имеет $n$ различных корней $z_0$, $z_1$, …, $z_{n-1}$, то он только действно равен $a(z-z_0)(z-z_1) \dots (z-z_{n-1})$.

Доказательство леммы можно проверить индукцией по степени $n$ многочлена $p(z)$. Для $n=1$ оно очевидно: $az+b=a(z-z_0)$, где $z_0=-b/a$. Пусть $p(z)$ — многочлен степени $n+1$ со старшим коэффициентом $a$ и корнями $z_0$, $z_1$, …, $z_{n-1}$. Тогда $p(z)=p(z)-p(z_n)=az^n+bz^{n-1}+\dots+d-(az_n^n+bz^{n-1}+\dots+d)=a(z^n-z_n^n)+b(z^{n-1}-z_n^n)+\dots=(z-z_n)^q(z)$, где $q(z)$ — неотorious многочлен степени со старшим коэффициентом $a$ и корнями $z_0$, $z_1$, …, $z_{n-1}$. По предположению индукции $p(z)=(z-z_0)\cdot a(z-z_0)(z-z_1)$. $\dots(z-z_{n-1})=a(z-z_0)(z-z_1)\dots(z-z_{n-1})$, то есть утверждение леммы справедливо и для многочлена степени $n+1$. (В доказательстве использовалось тожество

$$z^k-a^k=(z-a)(z^{k-1}+z^{k-2}a+\dots+z a^{k-2}+a^{k-1}),$$

из которого видно, что $z^k-a^k$ делится на $z-a$.

в) Найти.constantу $c_n$ для любого (нечетного) $n$ значительной трудности. Ответ: $c_n=(-1)^{\frac{n-1}{2}}n$, то есть $c_3=-3$, $c_5=5$, $c_7=-7$ и т. д. Во всех решениях, которые мы упомяны, использоваются сообщения, связанные с корнями многочленов.

30

Константа $c_n$ может быть получена как отношение старших коэффициентов многочленов $S_1(z)$ и $S_2(z)$. У первого старший коэффициент равен $t_1 t_2 \dots t_{n-1}$, у второго 1, поэтому $c_n = t_1 t_2 \dots t_{n-1}$. Найти знак произведения $t_1 t_2 \dots t_{n-1}$ нетрудно: среди тангенсов $t_k = \text{tg} \pi k/n$ равно $(n-1)/2$ отрицательных (причем $t_{n-k} = -t_k$). Ряд читателей заметил, что произведение $|t_1 t_2 \dots t_{n-1}|$ можно выразить как отношение $Q'_n(0)/P_{n-1}(0)$, где $Q_n(x)$ и $P_{n-1}(x)$ — многочлены Чебышева, определяемые условиями $Q_n(2 \cos \varphi) = 2 \cos n\varphi$, $P_{n-1}(2 \cos \varphi) = \frac{\sin n\varphi}{\sin \varphi}$ (см. статью Н. Васильева и А. Зелевинского в «Кванте», 1982, № 4, с. 17*).

Приведем пожожее, но более прямое рассудение.

Заметим, что $\text{tg} nx$ обращается в 0 в точках 0, $\frac{\pi}{n}, \frac{2\pi}{n}, \dots, \frac{n-1}{n}$ и может быть выражен как отношение $s_n(z)/r_n(z)$ двух многочленов от $\text{tg} x = z$; по индукции, опираясь на формулу

$$\sum_{k=0}^{m} \text{tg}^2 \frac{k\pi}{2m+1} = \frac{m(2m-1)}{3};$$

$$\sum_{k=0}^{m-1} \text{tg} \frac{(4k+1)\pi}{4m} = m;$$

$$\sum_{k=0}^{2m-1} \text{tg} \left(x + \frac{k\pi}{2m}\right) = -\frac{2m}{\text{tg} 2mx};$$

$$\sum_{k=0}^{2m} \text{tg} \left(x + \frac{k\pi}{2m+1}\right) = (2m+1) \cdot \text{tg} (2m+1)x;$$

$$\sum_{k=0}^{2m} \text{tg} \left(x + \frac{k\pi}{2m+1}\right) = (-1)^m \cdot \text{tg} (2m+1)x;$$

$$\sum_{k=0}^{n-1} \sin \left(x + \frac{k\pi}{n}\right) = \frac{1}{2^{n-1}} \sin nx.$$

Константа $c_n$ может быть получена как отношение старших коэффициентов многочленов $S_1(z)$ и $S_2(z)$. У первого старший коэффициент равен $t_1 t_2 \dots t_{n-1}$, у второго 1, поэтому $c_n = t_1 t_2 \dots t_{n-1}$. Найти знак произведения $t_1 t_2 \dots t_{n-1}$ нетрудно: среди тангенсов $t_k = \text{tg} \pi k/n$ равно $(n-1)/2$ отрицательных (причем $t_{n-k} = -t_k$). Ряд читателей заметил, что произведение $|t_1 t_2 \dots t_{n-1}|$ можно выразить как отношение $Q'_n(0)/P_{n-1}(0)$, где $Q_n(x)$ и $P_{n-1}(x)$ — многочлены Чебышева, определяемые условиями $Q_n(2 \cos \varphi) = 2 \cos n\varphi$, $P_{n-1}(2 \cos \varphi) = \frac{\sin n\varphi}{\sin \varphi}$ (см. статью Н. Васильева и А. Зелевинского в «Кванте», 1982, № 4, с. 17*).

При этом многочлен $s_n(z)$ должен иметь $n$ корней $t_0=0, t_1, \dots, t_{n-1}$ и потому по лемме равен

$$s_n = e_n z (z-t_1) \dots (z-t_{n-1}) = e_n z^n + \dots + e_n t_1 \dots t_{n-1} z.$$

Сравним (1) и (2), получаем, что $t_1 t_2 \dots t_{n-1} = e_n n$.

Приведем еще один способ отискания $c_n$. Подставим в тожество $f(x) = c_n$ значение $x = \pi/4n$. Используя формулы приведения $\text{tg} \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{tg} \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = 1/\text{tg} x$, не трудно показать, что произведение тангенсов углов $\frac{\pi}{4n}, \frac{5\pi}{4n}, \dots, \frac{(4n-3)\pi}{4n}$, стоящее в знаменателе, равно $(-1)^{\frac{n-1}{2}}$.

Найти сумму в числитель можно, опираясь на тот факт, что для всех этих углов $\text{tg} nx = 1$, и использовать формулу (1) (по существу, именно отисканию этой суммы послешения задача M100 — см. «Кванте», 1972, № 12; ряд соответствий между трионометрическими функциями подобного рода и интересных следствий из них разобран в книге А. М. Яглома и И. М. Яглома «Незелематриные задачи в элементарном изложении» (М., ГТТИ, 1954), задачи 130—145).

В. Алексеев, А. Егоров

M740. Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тетю Лиду: «Сколько нуждно налить воды, чтобы получать вкусная каша?» — «Это очень просто, — ответа-

a), 6). Будем считать, что пшено заполняет какую-то часть кастрюли без пустот, наполобие жидкости.

Пусть радиус цилиндрической кастрюли $R$, а пшена насыпано столько, что оно поднялось до высоты $H$

*) Большое того, $Q'_n(x) = nP_{n-1}(x) = |t_1 \dots t_{n-1}| \cdot P_{n-1}(x)$ при всесхх $x$.

32

М742. На а) окружности, б) сфере радиуса 1 расположены n точек. Доказите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше $n^2$.

М743. В стране N городов. а) Между любыми двумя городами имеет прямое сообщение самолетом или пароходом. Доказите, что, пользовать лишь каким-то одним видом транспорта, из любого города можно попасть в любой другой (быть может, с пересадками). б) Между любыми двумя городами имеет прямое сообщение самолетом, поездом или пароходом. Доказите, что можно выбрать не менее N/2 городов и один из трех видов транспорта так, что, пользовать им одним, из любого выбранного города можно попасть в любой другой выборный город. в) Проведите пример, доказывающий, что в утверждении б) заменить число N/2 большим вообществом, нельзя.

Рис. 1.

а), б) Пусть $O$ — центр данной окружности (сферы), $X_1, X_2, \dots, X_n$ — данные точки, $\vec{x}_i = \vec{O}X_i$ ($i=1, 2, \dots, n$), $s$ — сумма квадратов попарных расстояний между точками. Тогда, поскольку $|X_iX_j|^2 = (\vec{x}_j - \vec{x}_i)^2$,

$$2s = (\vec{x}_1 - \vec{x}_1)^2 + (\vec{x}_1 - \vec{x}_2)^2 + \dots + (\vec{x}_1 - \vec{x}_n)^2 +$$

$$+ (\vec{x}_2 - \vec{x}_1)^2 + (\vec{x}_2 - \vec{x}_2)^2 + \dots + (\vec{x}_2 - \vec{x}_n)^2 + \dots +$$

$$+ (\vec{x}_n - \vec{x}_1)^2 + (\vec{x}_n - \vec{x}_2)^2 + \dots + (\vec{x}_n - \vec{x}_n)^2 =$$

$$= 2n(\vec{x}_1^2 + \vec{x}_2^2 + \dots + \vec{x}_n^2) -$$

$$-2[(\vec{x}_1\vec{x}_1 + \vec{x}_1\vec{x}_2 + \dots + \vec{x}_1\vec{x}_n) + (\vec{x}_2\vec{x}_1 + \vec{x}_2\vec{x}_2 + \dots +$$

$$\dots + \vec{x}_2\vec{x}_n) + \dots + (\vec{x}_n\vec{x}_1 + \vec{x}_n\vec{x}_2 + \dots + \vec{x}_n\vec{x}_n)] =$$

$$= 2n(\vec{x}_1^2 + \vec{x}_2^2 + \dots + \vec{x}_n^2) - 2\vec{x} \cdot \vec{x},$$

где $\vec{x} = \vec{x}_1 + \vec{x}_2 + \dots + \vec{x}_n$. Поэтому $s = n^2 - |\vec{x}|^2 \leq n^2$, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда $\vec{x}_1 + \vec{x}_2 + \dots + \vec{x}_n = \vec{0}$.

Полученная формула для суммы квадратов попарных расстояний между точками $X_i$ является очень частным формулой Лагранжа для таких называемого «момента инерции» системы точных масс. Подробнее о моменте инерции, формуле Лагранжа и их применении в геометрии можно прочитать в статьях М. Балка и Н. Григорьева «Механика помогает геометрию» («Квант», 1973, № 11) и З. Скопец «Расстояние между центрицами двух систем точек» («Квант», 1975, № 3).

В. Прасолов

♦

a) Утверждение легко доказывает индукцией по $N$. Для двух городов оно очевидно. Докажем его для $N+1$ города, предполагая, что оно справедливо для $N$ городов.

Пусть $\Gamma$ — один из $N+1$ городов, тогда оставшиеся $N$ городов по предположению индукции соединены одним видом транспорта, например водным. Если хотя бы один из этих $N$ городов имеет парододное сообщение с городом $\Gamma$, то все ясно. В противном случае из этих городов связан самолетом с городом $\Gamma$, а значит, и с любым другим из них (с пересадкой в $\Gamma$).

б) Переформулируем задачу так:

Даны $N$ точек, каждые две из которых соединены красным, сним или черным отрезками. Будем говорить, что какие-то из этих точек образуют красную (синюю или черную) связку, если их можно обойти, дивяясь только по красным (синю или черным) отрезкам. Нало доказать, что можно выбрать связку, содержащую больше точек, чем $A$, а также, что $C \cup D$ — черная связка. Поскольку число точек в связках $A = A_0 \cup C$ и $B = B_0 \cup C$ не меньше, чем в связке $C \cup D$, множество $A_0$ и $B_0$ не пусты. Таким образом, все данные $N$ точек разбиваются на две связки $A_0 \cup B_0$ и $C \cup D$. Однако из них должно содержать не менее $N/2$ точек, а это противоречит тому, что число точек в максимальной связке $A$ меньше $N/2$.

Полученное противоречение доказывает 6).

33

в) Построим пример множества из $N=4k$ точек с соединяющими их отрезками трех цветов, в котором число точек в максимальной связи равно в точности $N/2$. (Для $N=4k+r$ при $r=1$, 2, 3 построение аналогично, но максимальный размер связи будет равен $[N/2]+1$, причем можно доказать, что в этих случаях связка такого размера найдется в сетда.)

Разделим все точки на 4 группы $A_0, B_0, C$ и $D$ по $k$ точек в каждой. Соединим черными отрезками все точки множества $A_0$ со всеми точки $B_0$ и все точки $C$ со всеми точки $D$. Аналогично соединим точки множества $A_0$ и $C$, $B_0$ и $D$ красными отрезками, $A_0$ и $D$, $B_0$ и $C$ — синими (на рисунке 2 изображен случай $k=2$). Внутри каждой из четырех групп отрезки можно проведить произвольное — любые две точки любого из множества $A_0, B_0, C$ и $D$ уже соединены ломанными каждой из трех цветов.

Легко видеть, что при такой раскраске отрезков любые две из четырех групп образуют связку с максимальным числом точки, равным $2k=N/2$.

Л. Курляндчик

M744*. В треугольник $ABC$ вписан подобный ему треугольник $A_1B_1C_1$ (вершины $\hat{A}_1, \hat{B}_1, \hat{C}_1$ уделов, равных по величине $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$, лежат соответственно на отрезках BC, CA и AB). Пусть $A_0, B_0, C_0$ — точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_1, AA_1$ и $CC_1, BB_1$ и $AA_1$. Доказите, что шесть окружностей, описанных около треугольников $ABC_0, BCA_0, ACB_0, A_1B_1C_0, A_1C_1B_0, B_1C_1A_0$, пересекаются в одной точке.

Рис. 1.

Рис. 2.

Наибольшее естественное решение задачи основано на том, что все 6 рассматриваемых окружностей проходят через неподвижную точку преобразования подобия, переводящего $\Delta ABC$ в подобный ему $\Delta A_1B_1C_1$. Для нас важно, что существует лишь единственное такое преобразование. (В самом деле, предположим, что имеются два преобразования подобия, $\Pi$ и $\Pi_1$, которые переводят $\Delta ABC$ в $\Delta A_1B_1C_1$. Тогда преобразование подобия $F=\Pi^{-1}\circ \Pi$ оставляет точки $A$, $B$ и $C$ на месте (например, $F(A)=\Pi^{-1}(\Pi(A))=\Pi^{-1}(A_1)=A$). Отсюда вытекает, что $F$ — пересечение и, более того, тождественное преобразование. Следовательно, преобразование $\Pi^{-1}$ является обратным к $\Pi$, то есть $\Pi=\Pi_1$.

Разбем теперь рассматриваемые окружности на три пары: $ABC_0$ и $A_1B_1C_0, BCA_0$ и $B_1C_1A_0, CAB_0$ и $C_1A_1B_0$. Возьмем любую из этих пар, например окружности $S$ и $S_1$, описанные около треугольников $ABC_0$ и $A_1B_1C_0$. Они имеют общую точку $C_0$; пусть $O$ — вторая их общая точка (см. рис. 1; если они касаются, положим $O=C_0$). Мы показем, что существует преобразование подобия, оставлящее на месте точку $O$, и только ее, и преобразование $\Delta ABC$ в $\Delta A_1B_1C_1$. Поскольку пар окружностей $S$ и $S_1$ можно заменить на любую из двух других пар, и при этом должны получаться одно и то же преобразование подобия, все три пары окружностей должны общую точку, что нам и требуется.

Итак, пусть пока $O \neq C_0$; обозначим центры окружностей $S$ и $S_1$ через $Q$ и $Q_1$. Выполняя последовательное поворот $R_0^\circ$ вокруг точки $O$ на угол $\varphi=QOQ_1$ в соответствии направления (на рисунках — против часов стрелки) и готовим $H_0^\circ$ с центром $O$ и коэффициентом $k=|OQ_1|:|OQ|$, мы получим преобразование подобия $\Pi=H_0^\circ \circ R_0^\circ$, переводящие точку $Q$ в $Q_1$. При этом точка $O$ (и только она) остается на месте, а окружность $S$ переходит в окружность с центром $Q_1$, проходящую через точку $O: \Pi(S)=S_1$. Доказем, что $\Pi$ и есть нужное нам преобразование, то есть $\Pi(\Delta ABC)=\Delta A_1B_1C_1$.

Заметим, что точки $A$ и $A_1$ находится по разные стороны от прямой $OC_0$, и потому лежат на «внешних» двумя $OC_0$ окружностями $S$ и $S_1$ (рис. 2). Следовательно, угол $OAC_0$ равен по величине поливне центрального угла $\theta QC_0$, то есть $\theta AA_1=\theta QQ_1$, и, аналогично, $\theta A_1A=OQ_1Q$. Таким образом, $\Delta OAA_1 \sim \Delta OQQ_1$. С другой стороны, $\Delta OQQ_1 \sim \Delta OAA'$, где $A'=\Pi(A)$, поскольку по определению преобразования $\Pi, AOA'=\varphi=QOQ_1$ и $|OA'|=k=|OQ_1|:|OQ|$. Итак, треугольники $OAA_1$ и $OAA'$ подобны и имеют общую сторону $OA$, поэтому точки $A_1$ и $A'$ либо совпадают, либо симметричны относительно $(OA)$, а так как они лежат на окружности $S_1, A_1=A'=\Pi(A)$.

34

М745. а) Задана последовательность чисел ($d_n$) таких, что $|d_n| \leq 1$ ($n=1, 2, \dots$). Докажите, что можно выбрать последовательность ($s_n$) из чисел $+1$ и $-1$ так, что для всех $n$
$$|d_1s_1 + d_2s_2 + \dots + d_ns_n| \leq 1.$$
6) Задана последовательность трех чисел ($a_n, b_n, c_n$) таких, что $|a_n| \leq 1, |b_n| \leq 1, |c_n| \leq 1$ и $a_n + b_n + c_n = 0$ ($n=1, 2, \dots$). По ней строится новая последовательность трех ($x_n, y_n, z_n$), в котором $x_0 = y_0 = z_0 = 0$, а каждая тройка ($x_n, y_n, z_n$) при $n \geq 1$ получается из предыдущей ($x_{n-1}, y_{n-1}, z_{n-1}$) прибавлением к $x_{n-1}$ одного из чисел $a_n, b_n, c_n$ по нашему выбору, к $y_{n-1}$ — другого, к $z_{n-1}$ — третьего. Можно ли всегда добиться того, что все числа $x_n, y_n, z_n$ будут по абсолотной величины не больше 1 или, хотя бы, ограничены некоторой контанентой?
в) Выясните аналогичные вопросы для последовательности четырех чисел.

Рис. 1.

Аналогичное доказывается, что $B_1 = \Pi(B)$. Наконец, пусть $C' = \Pi(C)$. Как и выше, из подобия треугольников $A_1B_1C' = \Pi(\triangle ABC)$, $ABC$ и $A_1B_1C_1$ вытекает, что точки $C_1$ и $C'$ либо совпадают, либо симметрицы относительно ($A_1B_1$). Но точки $C$ и $O$ лежат по одному сторону от $(AB)$, поэтому их образы $C'$ и $O$ должны лежать по одному сторону от $(A_1B_1)$, и, следовательно, $\Pi(C) = C_1^*$).

Если окружности $S$ и $S_1$ касаются, то, как легко видеть, в качестве преобразования $\Pi$ следует взять готовую с центром $O = C_0$. В этом случае треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ готовятся, что возможно ли шить тогда, когда $A_1, B_1$ и $C_1$ — середины стороны треугольника $ABC$, а $A_0 = B_0 = C_0$ — точка пересечения его медиан.

Д. Изак, В. Дубровский

♦
a) Положим $u_n = s_1d_1 + \dots + s_nd_n$. Числа $s_1, s_2, \dots$ можно выбирать по очереди следующим образом: $s_1$ — произвольное; пусть $s_1, s_2, \dots, s_n$ уже выбираны так, что $|u_k| \leq 1$ для всех $k = 1, \dots, n$, тогда $s_{n+1}$ береется равным $-1$, если числа $u_n$ и $d_{n+1}$ имеют одинаковые знаки, и $+1$, если разные. Совершенно очевидное сообщение, которое мы здесь пользовемся, пригодится и в дальнейшем, поэтому формулируем его в виде леммы:

Лемма. Если два числа имеют разные знаки и каждое по modulo не превысит $M$, то их сумма по modulo не больше $M$.

Эта лемма применяется к числам $u_n$ и $s_{n+1}d_{n+1}$ (в данном случае $M = 1$).

6. Будем называть тройку чисел нормальной, если их сумма равна 0 и каждое не превысит по modulo 1. Докажем, что можно по очереди «складывать» тройки ($a_n, b_n, c_n$), переставляя в них числа так, что тройка ($x_n, y_n, z_n$) будет нормальной при любом $n$. Для этого достаточно заменить, что если тройки $(x, y, z)$ и $(a, b, c)$ нормальны, причем $x \geq y \geq z$ и $a \leq b \leq c$, то тройка $(x+a, y+b, z+c)$ также нормальная. В самом деле, поскольку $ax \leq 0$ и $cz \leq 0$, для суммы крайних чисел неравенства $|a+x| \leq 1$ и $|c+z| \leq 1$ выполняны по лемме (при $M = 1$), а средние числа по modulo не больше 1/2 (если $x \leq y \leq z$, то $x+2y \leq x+y+z=0$, поэтому $y \leq -x/2 \leq 1/2$; аналогично доказывается, что $y \geq -1/2$ и что $|b| \leq 1/2$).

Задча 6) имеет красную геометрическую интерпретацию. Между тройками чисел с суммой 0 и точками плоскости можно установить соответствие с помощью «системы координат» на плоскости, состоящей из трех осей $Ox, Oy$ и $Oz$, составляющих друг с другом углы величины $120^\circ$; при этом каждой точке $P$ отвечает координаты $x, y$ и $z$ ее проекций на эти оси (см. рис. 1). Поскольку сумма единичных векторов $e_x, e_y$ и $e_z$ равна 0, $x+y+z = OP \cdot e_x + OP \cdot e_y + OP \cdot e_z = OP \cdot (e_x + e_y + e_z = 0)$. Условия $|x| \leq 1$, $|y| \leq 1$ и $|z| \leq 1$ задают три полосы ширины 2, перпендикулярные осями; их пересечение и есть шестиугольник, показанный на рис. 1.

Теперь можно посять наше решение. Перестановке двух чисел в тройке, то есть двух координат, отвечает симметрия шестиугольника относительно осей $Ox, Oy, Oz$, а двум «противоположно упорядоченным» тройками $(x, y, z), x \geq y \geq z$, и $(a, b, c), a \leq b \leq c$ — два вектора, лежащие в противоположных — красном и голубом — четырехугольника (см. рис. 1). Их сумма всегда лежит внутри шестиугольника, поэтому, если переводить симметриями

*) Установить совпадение точки $A'$ и $A_1$, $C'$ и $C_1$ можно было бы, опираясь на то наглудно очевидное сообщение, что направления обхода вершин треугольников $OAA'$ и $OAA_1$, а также треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_1B_1C_1$, должны быть одинаковыми. Однако проведи также расчудение строого, без ссылки на чертеж, и даже всего лишь аккуратно определять «направление обхода» довольно сложно.