Квант 1982, №11 · Страницы

КВАНМ
11
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ХVI ВСЕСОЮЗНАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ
(Баку, апрель 1982 г.). Идет эксперимент…

Фото Г. Мирзаханова

1

В НОМЕРЕ: IN THIS ISSUE:

Б. Гнеделенко. Математика в СССР 2
В. Гнеделенко. Mathematics in the USSR
Б. Бокштейн. Атомы блуждают по кристаллу 5
В. Вокstein. Atoms roaming in a cristal
А. Алексадров. Тупость и гениий 12
А. Alexandrov. Obtuseness and genius
В. Френкель. Рыцарь научно-популярной книги (к столетю со дня рождения Я. И. Перельмана) 18
V. Frenkel. The knight of popular science books (100 years since Ya. I. Perelman’s birth)

Лаборатория «Кванта» 2
А. Боровой, Ю. Климов. Что происходит на границе 22
А. Borovoi, Yu. Klimov. What happens on the boundary

Задачник «Кванта» 26
Задачи M771 — M775; Ф783—Ф787 26
Решения задач M746 — M749; Ф758 — Ф767 29
Solutions M746 — M749; P758 — P767

«Квант» для младших школьников 41
Задачи 41
И. Кириллов. Из книг Я. И. Перельмана 42
I. Kirillova. From Ya. I. Perelman’s books

Практикум абитуриента 46
П. Сатьянов. Формулы и графики 46
P. Satianov. Formulas and graphs

XVI Весоизная олимпиада школьников 51
А. Земляков. Олимпида по математике 51
Т. Петрова, Л. Чернова. Олимпида по физике 54
В. Орлов. Экспериментальный тур олимпиады 57
V. Orlov. The experimental round of the physics olympiad
Призеры XVI Весоизной олимпиады 60
Prizewinners of the XVIth All-union school olympiad

Искусство программирования 62
Стандартные приемы программирования. Урок 2.
Standart programming methods. Lesson 2.

Ответы, указания, решения 63
Смесь (11, 25, 50) 63
Miscellaneous (11, 25, 50)

Шахматная страница 64
Путешествие в прошлое (3-я с. обложки) 64
The chess page
A trip to the past (3rd cover page)

Разноцветные шарики, которые вы видите на первой странице обложки, — это капли воды, подкрашенные акварельными красками. Чем обусловлена четкая сферическая форма капель? Почему они «висят» неодвинуто? Об этом вы можете прочитать в статье А. Боровоо и Ю. Климова «Что проискодит на границе».

2

Математика в СССР

30 декабря исполняется шестьдесят лет со дня торжественного проведения Первым Всесоюзным съездом Советов декрета о создании первого в мире многонационального социальстического государства — Союза Советских Социалистических Республик. В этом году дарotheе оказались объединенные народы и народности, населяющие нашу страну.

Первоначально, в 1922 г., в состав Советского Союза входили лишь четыре союзные республики — РСФСР, УССР, БССР, и ЗСФСР. Церез два года в состав СССР вошли Узбекиская и Туркменская союзные республики. В 1929 г. к ним присоединились Таджикская республика. После того как Казахская и Киргизская автономные республики РСФСР достигли определенных успехов в хозяйственном и культурном развитии, в 1936 г. они были преобразованы в союзные. В том же году Закавказская federция размежалась по национальному признаку на три союзные республики — Азербайджанскую, Армянскую и Грузинскую. Латвийская, Литовская, Эстонская и Молдавская республики вошли в состав Союза в 1940 году. Пятнадцать равноправных республик прошли большой и трудный путь экономического и культурного развития, вместе выдержали все испытания и победили в Великой Отечественной войне.

Советский Союз начал существование в очень сложных условиях. Долгие три года разрушительной имипералистической войны, приведшей к революционному взрыву 1917 года, разорили страну. Последующие пять лет Гражданской войны, интервенции, голода и разухи лишили ее огромного числа производителей — крестьян, рабочих, инженеров, учитель, врачей. Необходимо было немедленно приняться за восстановление разрушенного войной хозяйства,LINKвидировать массовую бесприззорность детей.

Но царизм оставил и другие тяжелое наследие — почти 75% населения дороголюционной России было неграмотным. На национальных же окранах положение было во много раз хуже. Так, среди киргизов грамотность достигла лишь 0,6%, среди туркмен — 0,7%, среди таджиков — 0,5%, среди узбеков — 1,5%. Лиц же, имеющих высшее образование и принадлежавших кренным национальнымностям царских окраин, в лучшем случае насчитывались единиц. На огромных пространствах Белоруссии, Закавказья, Средней Азии, Закайкалы не было ни одного высшего учебного заведения. Народы, населяющие эти территории, фактически были лишены возможности роста и расцвета.

Представители мого поколения прекрасно помят, как сразу же после Великой Отечественной войны потянулись к знаниям. Тогда в самых глубих уголках нашей родины были открыты шкoles.

Но Советская власть не ограничалась развитием только начальной ступени образования. Еще гремела Гражданская война и голод соблюдал свою страшную жатву, а Советское правительство стало создавать университеты на бывших окраинах России, столетями отрезанных от просвещения (Иркутск, Баку, Ереван, Тбилиси, Ташкент). За годы своего существования эти университеты воспитали десятичные специализиты.

3

В тяжелые годы разрухи, Гражданской войны и голода революция вызвала подлинную страсть к позаниню и научному творчеству. Причемлено, что эту страсть не могли погасить ни голод, ни холод, ни материальные трудности.

Об этом времени прекрасно сказано академиком П. С. Алексадровым — одним из ведущих советских математиков, создателем советской школы теоретико-множестеной топологии: «Перiod начала 20-х годов… был довольно своеобразным явлением. Важным положительным фактором этой эпохи в истории математики Московского университета является безграничный научный энтузизм молодежки. Своей иденой почвой этот энтузизм имел великие патриотические идеи советской научной культуры, возбудившие в учащихся и ученых то подлинное научное горение, которое с такой силойника не проявлялось в стенах дореволюционного математического факультета Московского университета».

Такая же картина наблюдается как в немногочисленных старых университетах, так и во новь созданных. Первые, революционные приемы студентов в университеты подготовили и выпустили в жизнь старшее поколение советских математиков, воспитавшее последующее поколения советских ученых и заложившее основу научных математических школ.

Такие школы возникли в Москве, Тбилиси, Ташкенте, Киеве, Харькове. В Ленинграде продолжала развивать математическая школа, основы которой были созданы еще трудами П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова, А. А. Маркова и других замечательных ученых и педагогов. В Москве зародилась школа теории функций действительного переменного, вскоре распространяющая свои интересы на теории функций комплексного переменного, теории вероятности, топологии, дифференциальные уравнения, геометрию; основоположниками этой школы были Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин.

Новые университетские центры получили серьезную помощь от старых университетов, в первую очередь от Московского и Ленинградского. В частности, в Тбилиси переехали воспитавшиеся безграничный научный энтузизм молодежки. Для массовых студентов заводов и фабрики были нужны инженеры — для их подготовки требовались математики. Появились крайняя нужд в ученых, способных математически методами оказать помощь практике. В конце двадцатьх — начале тридцатьх годов на все территории страны развернулись строительство новых видов, был расширен прием в.acпирантуру, в старейшихузах и в институтах Академии наук СССР были выделены места для подготовки специалистов всех уровней из среды молодежки коренных национальной союзных и автономных ресурсных. Эта мера оказалась исключительно продуктивной, поскольку в коротке сроки для активной научной работы было подготовлено большее количество талантливых молодых людей. Вернувшись к себе на родину, они стали центрами принятия научной мысли молодых ресурсных и организаторами национальных научных школ. В результате в Ереване возникла сильная школа теории функций комплексного переменного, в Баку — школа функциониального анализа и теории дифференциальных уравнений, в Алма-Ате и Фрунзе начали развивать исследование по качественной теории дифференциальных уравнений.

Великая Отечественная война выявила не только силу советского строя, но и правЛЬность концепции, согласно которой наука должна

4

на развиваться на территории всей страны. Наука, в том числе и математика, смогла решить ряд актуальных проблем обороны страны: были созданы теории, которые позволили разработать действияемые меры борьбы с явлениями «шимми» и «штопора» в авиации, предложены статистические методы контроля качества промышленной продукции и статистические методы управления качеством, методы получения большей точности стреллы по быстрое движущимся объектам и многое другое. К концу войны необходимо было срокно разрабатывать теорию кумулятивных зарядов, баллистических ракет, ядерного оружия, современных вычислительных средств. Математики приняли активное участие в решении всех этих проблем.

Окончание войны выdvинуло срокные проблемы восстановления народного хозяйства и дальнейшего его развития на новой производственной базе. Требования практики к математикеросли буквально с каждым днем, особенно в связи с тем, что вычислительная техника потребовала создания и развития новых ветвей математической науки — программирования, логики, теории автоматов.

Советская математика должна большое число примеров создания общих теории, вошедших в активный обход науки и преобразивших лице больших научных направлений. Достаточно напомнить теорию случайных процессов, родившуюся из запросов статистической физики, телефони, меторологии и биологии. Сейчас эта теория является основным направлением развития теории вероятности и мощным орудием при решении проблем естественного, технически, теории связи, радиотехники и многих других областей знания. Укажем еще на теорию оптимального управления, превращающихся в большой раздел современной математики и одновременной являющейся мощным орудием прикладных исследований. Уместно вспомнить, что в нашей стране родилось новое направление исследований, получшее наименование линейного программирования.

Кто из нас предполагал в предвоенный период, что через какиеибудь пятнадцать лет человекство изобретет электронные вычислительные машины? Советская наука добавла того, что за короткий срок были предложены новые методы программирования для ЭВМ, и многие тысячи специализов убедились в их силу вычислений и для производства логического анализа сложных ситуаций. В настоящее время все союзные ресурсы обладают не только мощными ЭВМ, но и кадрами хорошего подготовленных специалистов, способных творчески их экспертировать.

Мы можем гордиться, что за 65 лет, прошедших со временей Великой Октябрьской социалистической революции, и за 60 лет существования Советского Союза во всех ресурсных созданных математических научных школы.

Сейчас перед Советским Союзом стоит очередная задача — повышить темпы научного прогресса и воспитать молодое поколение в духе творческого искания, в духе в связи с способности и неограниченную силу человекаческого развития. Но для этого необходимоучимся шкOLS научиться не заучивать, а вникать в смысле изучаемого и использовать узнанное для активного применения. Далее следует приучиться к самостоятельному поиску решения сложных задач, чтобы создание привыкло к самостоятельному мышлению и критическому подходу к задаче и предлагаемым решениям. Только творческий поиск в учебе и при первых самостоятельных шагах в науке позволяет молодому поколению математиков внести свой вклад в повышение темпов научного прогресса в нашей стране.

5

Атомы большают по кристаллу

Околоста лет назад, в 1896 году, английский металлург Вильям Робертс-Aустен проделал такой опыт. Он крепко прижал тонкий золотой диск к отшлифованному торцу цилиндра из чистого свинца, убедился, что контакт достаточно плотный, и помещил эту пару на десять дней в печь при температуре 200°С. Когда отжиг кончился, оказалось, что металлы разъединить уже невозможно. Тогда эксерриментатор разрезал составной цилиндр вдоль оси и, пометрев его под микросопом, убедился, что золото и свинце проникли друг в друга, произшло перемешивание.

ВНИИКНОВЕНИЕ ОДНОГО ВЕЩЕСТВА В ДРУГОЕ НАЗЫВАЕТСЯ ДИФФУЗИЙ. Именно диффузия приводит к созданию науглероженной зоны в стали, обеспечивает соединение металлов при сварке, пайке, хромировании, никелировании, приспекнии порошков и многих других процессов.

Почему.atомы (или молекулы) одного вещества пропикают внутри другого? Как расчитать глубину этого пропиковения? От чего она зависит? В этой статье мы попытаемся ответить на эти вопросы.

Почему это пропис丹ит?

Диффузия в газах и в жидкостях известна давно. Все хорошо знают, что если в сосуд впустить последовательно порции различных газов, то через некоторое время все газы однородно перемешаются: число частиц каждого сорта в единице объема соуда станет постоянным, концентрации выравняются. Если в узкую пробирку осторожно налить две смешивающие жидкости одну на другую (например, воды и раствор медного купороса), то мы увидим, что поверхность раздела (между светлой водой и темно-голубым купоросом), очень четкая в первый момент, начинает постепенно расплаваться. Появится переходная зона, которая будет увеличиваться в размере до тех пор, пока вся жидкость не станет однородной по составу (мы увидим это по однородной окраске). Процесс протекает очень медленно, и если взять стольки жидкости высотой в несколько сантиметров, то разница окраски (а следовательно, концентрация) в верхнем и нижнем концах пробирки будет заметна еще через сутки после начала опыта. Но в конце концов жидкость станет однородной.

Таким образом, мы приходим к новому определению диффузии: диффузия — это самопроизвольное выравнивание концентраций. Атомы (или молекулы) сорта А перемешаются туда, где их меньше или нет совсем и где больше atomов сорта B, и наборот. В результате пропис丹ит перемешивание.

Однако диффузию в твердых телах до Робертса-Aустена не наблю-

6

дал никто. Удивительно это или нет? Ведь мы имеем дело с твердыми телами никак не реже, чем с жидкостьми или газами. Почему же так долго не заменали их перемешивания?

Попробуем в этом разобраться.

Почему происходит перемешивание? Что заставляет частицы разных сортов перемешивать? Ответ на эти вопросы представляется оченьным: перемешивание — результат теплового движения частиц. Но за этим «очевидным» ответом встает законный вопрос: а почему в результате теплового движения частицы не разделяются по сортом? Возьмем пустой сосуд и впустим в него порцию азота и порцию кислорода. Газы перемешаются. Подождем: может быть, через некоторое время они разделятся — в одной половине сосуда будет азот, в другой — кислород? Не тут-то было. Точно так же легко перемешать соль и сахар (телловое движение тут ни причем, их надо потрясти), но безнадежно ждать, пока они разделятся снова.

Причны, по которым частицы перемешиваются, связаны со стремлением любой системы, состоящей из большого числа частиц, к беспорядку, кxaотическому расположению частиц. Эти принципы одинаково действуют и в газах, и в жидкости, и в твердых телах, привод к случайным перевижням, случайным блужданием частиц, которые создают беспорядок. В этом смысле ничего удивительного в том, что твердые золото и свинец взаимно пропникают друг в друга, казалось бы, нет. И тем не менее этот экспериментальный факт чрезвычайно удивительен. Почему?

Вспомним, какие движения совершают частицы в различных агрегатных состояниях вещества. В газах частица до стольновения с другой частицей движется прямолинейно, совершая свободный пробег. После стольновения частица проletaет по новому направлению и с новой скоростью отрезок новой прямой до следующей стольновения. Ясно, что такое движение приводит к перемешивание, к диффузии.

В жидкости смешения частицы при тепловом движении сопоставимы с их размерами. Однако положения частиц, как и в газе, не фиксированы; частица все время смешается и в результате за достаточно продолжительное время уходит далеко от начального положения. Такое движение также приводит к перемешиванию.

Совсем не так обстоит дело в кристаллических твердых телах. Для кристалла характера упорядоченное расположение atoms в строю определяемых местах — в узлах кристаллического решетки. Кристаллическая решетка — это совокупность повторяющихся совершенню одинаковых геометрических тел, так называемых элементарных ячеек. Сколько бы мы ни «гуляли» по кристаллу, в любом месте все устроено совершенню одинаково.

Основной вид тепловых движений, которые совершают atoms в твердых телах, это маленькое околопоженяемое равновесия — узла решетки. Подчеркием — малые. Амплитуда этих колбаний много меньше расстояния между узлами. У атома, совершающего такие колбания, нет никаких шансов попасть в соседний узел.

В свете всего сказанного взаимное пропикновение atoms золота и свинеца — вещество удивиительная. Как они это делают? Каков механизм перемешивания atoms?

Как это происходит?

Как бы ни были различны механизмы большей частицы в газах, жидкости и твердых телах, важно что эти большаяния — случайные. Нельзя предсказать заранее, куда попит молекула газа после очередного стольновения. Она может попеть с равной вероятностью в любом направлении.

Возникает любопытная задача. Пусть в произвольной точке пространства, которое мы примем за начало координат, находится группа частиц, способных совершать только случайные большие частицы. Пусть в некоторый момент времени, который мы примем за начало отсечета, все они начинают движаться. Зададимся вопросом: где будут находиться части-

7

цы через время $t$, как далеко они уйдет от начальной точки?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует ряд предположений, которые упростят нашу задачу: будем считать, что все части движения только вдоль оси $X$; каждый очередной шаг частица делает через равные промежутки времени $\tau$ ($\tau$ — время «оседлой» жизни), и длина каждого шага одна и та же и равна $\delta$; вероятность шага влево и ввертность шага вправо одинаковы и равны 1/2.

На рисунке 1 приведена как бы моментальная fotografия десяти частиц, начавших движаться одновременно, через время $t$ от начала движения. (Мы помещили частицы на начальный момент на прямую $x=0$.) Ясно, что предсказать местонахождение отдельной частицы через время $t$ нельзя: они частицы за это время почти не сдинились с места, другие ушли довольно далеко. Речь может идти только о смешении, усреднением по всем частицам.

Поскольку для каждой частицы вероятность шагнуть вправо или влево одна и та же, очевидно, что среднее смешение частицы от прямой $x=0$ (то есть сумма смешений всех частиц, деленная на их число) равно нулю, так как число частицы слева и справа от этой прямой будет одинаково и с равной вероятностью смешения могут иметь и положительное, и отрицательное значение. Но ведь в целом положение в группе меняется: сначала все частицы были вместе, а потом все-tаки расходятся. Как же охарактеризовать это положение?

Смешения частицы после $n$ шагов и $n+1$ шагов связаны очень closely соотношением

$$x_{n+1} = x_n \pm \delta.$$

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$$x_{n+1}^2 = x_n^2 + \delta^2 \pm 2x_n\delta.$$

Это равенство справедливо для любой частицы, поэтому оно справедливо и для средних значений входящих в него величины (напомним, что, говоря о среднем значении, мы имеем в виду условия по всему числу частиц):

$$\sqrt{x_n^2} = \sqrt{\delta^2} \sqrt{t} = \sqrt{\delta^2\Gamma} \sqrt{t}.$$

Рис. 1.

частиц):

$$\sqrt{x_{n+1}^2} = \sqrt{x_n^2} + \delta^2 \pm 2x_n\delta,$$

где $\sqrt{x_n^2}$, $\sqrt{x_{n+1}^2}$ — средние значения квадрата смешений частицы. (Среднее значение смешения частицы равно нулю — $x_n = 0$, $x_{n+1} = 0$, но среднее значение квадрата смешения не равно нулю, так как $x^2$ положительное независимо от знака $x$.) Поскольку мы считаем, чтолина шага постоянна, значение $\delta^2$ равно просто $\delta^2$, а $x_n\delta = x_n\delta = 0$. Следовательно,

$$\sqrt{x_{n+1}^2} = \sqrt{x_n^2} + \delta^2.$$

Это соответствие справедливо для любого $n$; значит, $\sqrt{x_1^2} = \delta^2$, $\sqrt{x_2^2} = 2\delta^2$, $\sqrt{x_3^2} = 3\delta^2$ и т. д. Таким образом,

$$\sqrt{x_n^2} = n\delta^2.$$

А теперь вспомним, что каждый очередной шаг частица делает через равные промежутки времени $\tau$. Следовательно, за время $t$ она сделает $n = t/\tau$ шагов, а средний квадрат смешения частицы за время $t$ равен

$$\sqrt{x_n^2} = \frac{\delta^2}{\tau}t.$$

Можно вести частоту шагов $\Gamma = \tau^{-1}$. Тогда

$$\sqrt{x_n^2} = \delta^2\Gamma t.$$

Величина, равная $\sqrt{x_n^2}$, характеризует смешение частицы, совершающее случайные блуждания, от начального положения за время $t$. Из полученных нами соответствий следует, что диффузionный путь пропорционален корню квадратному из времени:

$$x_{\text{дифф}} = \sqrt{x_n^2} = \sqrt{\frac{\delta^2}{\tau}} \sqrt{t} = \sqrt{\delta^2\Gamma} \sqrt{t}.$$

9

и обратно пропорционален среднему времени их оседлой жизни.

Тепер интерсно сделать некоторые численные оценки. Как вы думаете: часто ли шагот atoms в кристалле? Довольно ясно, что в обшем виде на такой вопрос не ответшь — ответ зависит от природы кристалла, от температуры, может быть, и еще от чего-то. Но, оказывается, некоторые общие закономерности существуют. Так, почти для всех кристаллов коэффициенты диффузии вблизи температуры плавления (но еще в твердом состоянии) приближительно одинаковы и равны $10^{-8} \text{ cm}^2/\text{c}$ (для разных кристаллов температуры эти, конечно, разные: для свинца — чуть ниже $327^\circ\text{C}$, для золота — $1063^\circ\text{C}$, для железа — $1539^\circ\text{C}$, для волфрама — $3387^\circ\text{C}$). Пренебрегая в соответствии (3) численным коэффициентом (нам важны порядки величины) и принимая $\delta = 3\mathring{\text{A}} = 0,3$ nm $= 3 \cdot 10^{-8}$ cm, находим, что $\Gamma \approx 10^7 \text{ c}^{-1}$. Следовательно, величина температуры плавления atom шагает в кристалле в среднем 10 миллионов раз в секунду.

Много это или мало? Казалось бы, много. Но на самом деле так даже и вопрос ставить нельзя. Пять публей — это много или мало? Смотря для чего! А один kilogramм? С чем сравнивать! Естественно сравнить наши $10^7 \text{ c}^{-1}$ со средней частотой колбанный atomов в кристалле v (ведь колбания — основной вид теплового движения atomов в кристалле). Так вот $v \approx 10^{13} \text{ c}^{-1}$. Таким образом, atom шагает в соседний узел сравнительно редко. Далее не семь раз отмеряет, как в последнее, а миллион раз «поколебляется», а уж потом шагнет. Еще более «осмотрильным» atom ставится при охлаждении кристалла. У меди температура плавления $1083^\circ\text{C}$, и при температуре $1075^\circ\text{C}$ atom меди шагает положенные 10 миллионов раз в секунду, а вот при комнатной температуре время его оседлой жизни составляет, ни много, ни мало, $3 \cdot 10^{12}$ лет, то есть он просто сидит на месте. Вот, кстати, и ответ на вопрос, почему так долго не изучали диффузию в твердых телах. Она очень медленная, и заметить ее (а тем более изменить) можно только при достаточно высоких температурах, да еще с помощью специальных (идовольно сложных) методов.

Еще одна полезная оценка. Сравним смешение atoms из исходного положения при диффузии (диффузionality of atoms in the original position) с общим расстоянием, которое он проходит за то же время ($x_\Sigma$). В соответствии с уравнением (1) первый величана равна $\delta \sqrt{\Gamma t}$; вторя, очевидно, равна $\delta n = \delta \Gamma t$.

Принимая, как и раньше, $\delta \approx 0,3$ nm и $\Gamma \approx 10^7 \text{ c}^{-1}$ (величина температуры плавления), найдем, что после 100 часов блужданий $x_{\Delta n} \approx 0,6$ мм, а $x_\Sigma \approx 1$ км, то есть, отшагав в целом kilometer, атом смещается меньше чем на миллиметр. Вот сколько мала эффективность службы блужданий по сравнению с направлением движения.

Исследования показали, что коэффициент диффузии быстро растет с увеличением температуры. Сильная зависимость основных характеристик процесса от температуры наблюдается во всех процесах, в которых для перехода из исходного состояния в конечное необходимо предолеть потенциальный барер. При случайных блуждациях в кристалле барер очень высокий, его высота в десяти раз превышает энергию теплового движения. Вот почему коэффициент диффузии сильно зависит от температуры: чем выше температура, тем легче atomом предолеть барер.

Но что это за барер? И куда шагает atom, если все содействие узлы решетки заняты? Мы возврашаемся к вопросу, сформулированному нами раньше: каков механизм диффузии в кристаллах?

Как же все-tаки это происходит?

Ответ на этот вопрос дал один из основоположников физики твердого тела совершений физик-теоретической Яков Ильич Френкель.

В своих воспоминаниях, посвязываемых Френкелю, английский физик Невилл Мотт, возвращавший много лет знаменитую Кавендишскую laboratorию, писал, что в Англии каждой студент-физик знает о «дефектах по Френкелю». Что же это такое?

10

Рис. 3.

Вот как описывает это сам Френкель в статье «О тепловом движении в твердых и жидких телах», опубликованной в 1926 году в немецком журнале «Zeitschrift fur Physik» (я приведу длину цитату с коротками комментариями (в квадратных скобках)). «Предположим, что какой-нибудь atom, набравший случайное избыточную энергию, вырывается из клетки, образованной его соседями, как бы развигая «прутыя» этой клетки, и вылетает в какую-то внутреннюю полость. [Атомы в кристаллической решетке не занимают всего объема тела, между ними остаются еще свободные промежутки (междуузлия); благодаря этому atomы могут колебаться.] Мы видим, таким образом, что один из узлов оказывается ваканным, затем один из междуузлий оказывается занятым. Переход из одного междуузлия в соседнее, atom может страстовать по всему внутреннему пространству кристалла.

Так как эти нарушения правильности обусловлены тепловыми движениями, количество ваканций должно быть тем больше, чем выше температура. Около температуры плавления число ваканций может достигнуть примерного одного процента по отношению к числу atomов. [Тут Я. И. Френкель ошибся примерно в 100 раз: около температуры плавления доля ваканций достигает 0,01%, то есть примерно одна ваканция на десять тысяч atomов.]

Не обязательно, чтобы число свободных ваканций в точности равнялось числу междуузlebных atomов. Ваканция может возникнуть и проникнуть внутри кристалла путем перехода одного из atomов на поверхность.

Рис. 4.

ность [последовательные этапы такого процесса изображены на рисунке 3]. Этот механизм можно рассматривать как расторжение в кристалле окружающей пустоты. Наличие в кристалле ваканций обеспечивает его atomам подвижность, возможно перемешаться по всему его объему.>

Заметьте, что в 1926 году никаких этих ваканций и в глаза не видел. Вот вам яркий образец абстрактного научного мышления и предвижения. Ваканция «увидели» (то же, кстати, по идее, высказанной Я. И. Френкелем) много позже — это сделал харьковский физик Б. Г. Лазарев (он опубликовал свою работу в 1956 году). Идея такая: концентрация ваканций сильно растет с температурой. Нагреем металл почти до плавления и резко охладим до комнатной температуры («закалим»). Ваканция не успеют уйти на поверхность и оставаться в металле. Разница — большая: в меди при 1075°С (медь плавится при 1083°С) доля ваканций 1,3·10⁻⁴, а при 27°С — 10⁻¹⁹. Как всякое нарушение правильности решетки, это приведет к увеличению электрического сопротивления. Его можно изменить и определьть концентрацию ваканций.

Таким образом, Френкель придумал два основных механизма диффу-

12

Тупость и гениий

Всякий, кто занимается математикой — решая задачи, доказывая теоремы или формируя новые концепции, наверно, имея случай не раз порождается своей тупости. Думал, думал над задачей — не решил, а узнал решение — подумал: какойдурак! как я не сообщил? А то думал, думал — решил и рад, а все же, бывает, подумаешь: тупица! как я раныше не сообщил?

У ученых-математиков бывают:
думаешь, думаешь над теоремой, иногда долго,иной раз и не год, и не два, ищь доказательство и так, и с этого конца, и с другого, а не выходит, а вышло — удивляешься:дурак! как я раныше не сообщил? ведь по сути это совсем просто. А уж о новых концепциях и говорить не приходит: занимаешься какими-нибудь вопросами, а не приходит в голову посмотреть на них с более общей точки зрения или с другой, так сказать, стороны; не формулируют поэтому общие понятия, прояснющие круг вопросов. А потом, если — такое счастье! — сообщил, то удивляешься: как это раныше тебе в голову не пришло?
Ну, а если сообщил кто-тодурокй, то, как ни раныше услуну науки, а это берет: как это я, тупица, сам не допумался!

Понски решения нестандартной задачи, как и доказательства теоремы, состоит обычно в том, что приходит в голову одно решение или доказательство — неверное! потом — другой: «генциальная идея!» — неверно! треться попытка — неверно! еще бросок на задачу — промах… и если задача или теорема трудная, то так может длиться долго.

Помню, предложил я*) Иосиф Либерману одну теорему доказать была у меня хорошо гипотеза. Тогда он был студентом — талантливый был парень! — и стал крупным геометром, если бы не война: он погиб в августа 1941 г., а в июле в форме морского официера защитил диссертацию — уже на втором году аспирантуры — такой был талант. Так вот, предложил я ему доказать теорему. Встречаемся через некоторое время, он говорит: доказал, и рассказывает. А я егозапелл: в этом месте почему вы так утверждаете? Ошибка — ушел Иосиф. Опять встречался — исправил он ошибку, но дальше опять ошибки. Так я его почтицей год гонял. Но потом он еще подучил топологию и доказал не только мою теорему, но и более сильную, которую уже сам формулировал.

Таких историй должны possess the most significant. Вот, например, придумал я в 1937 году одну теорему, очень хорошо теорему, и доказал ее при некоторых дополнительных предложениях. Естественно, вставл вопрос доказать ее без этих предложений. Вопрос стоит до сих пор — 45 лет. Очень я старался доказать и другие очень старались, да не вышло.

И так во всех науках. Бывает фиолог над расшифровкой и толкованием текста — и так, и сяк…
А потом, когда сообщил, тоже, наверно, удивляется, вроде нас, математиков: какойдурак! как это я раныше не сообщил? оно ведь очень видно!

Словом, тот, кто думал, вдумывался, искал, тот знает, насколко туп и несообразительен бывают человек. Сообщительностью своей

*) Автор — видный советский геометр А. Д. Алексадров, академик АН СССР (Прим. ред.)

14

что аксиома паралельных не выполняет в этой модели, видно непосредственно: на рисунке 2 через точку С, не лежащую на «прямой» (то есть на хорде) AB, проходит бесконечно много «прямых» (хорд), не пересекающих (AB).

Позному, если в геометрии Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие (вернее, его перевод на «язык в круге») имеется в геометрии Евклида.

Далее, всякая теорема геометрии Лобачевского описывает в модели Клейна неокторые факты, имеющие место внутри круга. Именно факты, если мы берем не абстрактный круг, а реализный круг и реализные хорды и понимаем теоремы как утверждение об этих реальных вещеах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким образом, геометрия Лобачевского имеет волне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.

Стою быть, геометрия Лобачевского настоящего непротиворечива, насколько непротиворечива геометрия Евклида, и имеет в такой же степени реальный, экспериментально установливаемый смысл.

От Евклида до Лобачевского

Сам Евклид (IV в. до н. э.) принимал в качестве аксиомы паралельных следующие предложения (у Евклида оно было «пятым постулатом»): Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньшие двух прямых, то при необходимости этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньшие двух прямых. Мы приведли эту формулировку Евклида только затем, чтобы можно было убедиться в ее сложности. Другие постулаты газдо проше и формулируют газдо короче, начиная с первого: Через всякие две точки можно проводить прямую.

Естественно возникали попытки освободиться от сложного пятого постулата, вывести его из других основных посылок геометрии. Я думаю, что сам Евклид предпринимал такие попытки и, во всяком случае, в его время уже были такие попытки. Известно упоминание у araбских авторов неwoordшего до нас сочининия Архимеда (III в. до н. э.) «О паралельных линях», где, надо полагать, пятый постулат выводился из каких-то более простых посылок.

15

Попытки доказать пятый поступатель продолжались с тех пор в течение 2000 лет. Их предпринимало множество учены. Вот неполный перечень: греки Птолемей (2 в. н. э., тот самый Птолемей, «которого система») и Прокл (5 в.), арабал-Xайсам (10 в.), перс (или таджик) Омар Хайям (11 в.— начало 12 в., тот самый Хайям, который известен как вликий позт), азербайджанцат-Туси (13 в.), немец Клавий-Шлюсель (1514; здесь и далее data работы) иальный Катальди (1603), Боррелли (1658) и Витале (1680), английин Валисс (1663), итальянц Саккери (1733), немец Ламберт (1766), французы Бертран (1778) и Лежандр (1794, 1823), русский Гурьев (1798). Все их попытки сводились к тому, что пятый поступатель выводился из какого-нибудь другого положения. При этом многое не заменали этого, считая, что доказательство им удалось. Другие, более pronikновенные и критические, явно формулировали то положение, из которого выводили пятый поступатель, как это сделал, например, Омар Хайям.

Напряжение понков доказательства с бурым развитием математики в 17—18 вв. возрастало.

Значительные условия сделали инальянский монах, преодаватель математики и грамматики Джироламо Саккери, труд которого с попыткой доказательства пятого поступателя появился в 1733 году — в год его смерти. Он назвается «Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить первые начала все геометрии». Отправляясь от работ своих предшественников, Саккери пытается доказать пятый поступатель от противного — прияв предположение, равносильное отрицанию пятого поступателя, он выводил из него следствия, стремясь прийти к противению. Но так как отрицание пятого поступателя есть аксиома Лобачевского, то выводы, которые получали Саккери, были не более и не менее как теоремии геометрии Лобачевского. Иначе говоря, Саккери развивал новую геометрию, не понимая, однako, того, что делает.

К противоречию он не пришел, но все же заключит, что ему удалось доказать пятый поступатель, хотя, повидимому, он не был в этом вопросе. Он как бы убеждал сам себя, когда писал о гипотезе, равносильной отрицанию пятого поступления, что он «вырвал этуловредную гипотезу с корнем».

Из довольно многочисленных (55) появившихся в 18 в. сочинений по теории параллельных особенно выделется написанная в 1766 г. «Теория параллельных» И. Г. Ламберти, немецкого математика, физика и астронома. Ведя доказательство пятого поступателя от противного, Ламберти вывел из его отрицания много следствий. Он, можно сказать, в значительной мере поступил основы геометрии Лобачевского. В его выводах не было противоречия, и он не подумал, что нашел его, как это делали почти все его предшественники. Ламберти даже высказал мысль, что он «почти должен сделать вывод», что опровергаемая им гипотеза «имеет место на какой-то минимой сфере». Но все же он остался уверен, что геометрия, основанная на отрицании пятого поступления, невозможна. Его работа не давала, однako, доказательства этому убежданию. Поэтому, надо думать, он остался еще недоволен и не опубликовал ее. Она была издана только в 1786 г.— через 9 лет после его смерти и через 20 лет после того, как она была написана. В общем Ламберти очень близко подошел к открытию новой геометрии, но не сделал его.

Вплотную подошли к пониманию возможности неевклидовой геометрии немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825), но ясно выраженной мысли, что имеемая им теория будет столблологически законной, как и геометрия Евклида, они все же не высказали.

Гаусс, по его собственному свидетельству, занимался теорией параллельных с 1792 г. и, как видно из его переписки, постепенно приходил к убежданию, что доказательство пятого поступления невозможно. Так, в 1817 г. в письме к Оль-

16

берсу он писал: «Я приходу все более к убежению, что необходимо нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человекаским рассудком и для человекаского рассудка». Раз он пишет «прихожу все более», то значит еще не пришел окончательно. Далее он продолжает: «Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До тех пор геометрию приходится ставить не в один ранг с аргметикой, существующей чисто априори, а скорее с механикой…» В то время он далек развил неевклидову геометрию, но только в 1824 г. в письме к Тауринусу он написал определенно, что нееквлидова геометрия, «в котором сумма углов треугольника меньше 180°, совершенно последовательна» и что он «развил ее для себя совершенно удовлетворительно». Однако только в 1831 г. он взялся за то, чтобы изложить, хотя бы кратко, свои выводы, но за всю свою жизнь так ничего и не опубликовал по поводу неевклидовой геометрии. В 1829 г. в письме к Бесселю он писал: «Я опасюсь крика безопас, если выскажу мои воззрения…»). Он богатся подровать свой научный авторитет.

Но когда Гауссс писал все это, уже нашелся человек, который не только совершенно удовлетворительно развил геометрию, отрицательно пятый постулат, и не только пришел к убежению, что эта геометрия совершенно последовательна, но, не убоявшись ничего крика, должен все это научному собранно. Это был Николай Иванович Лобачевский, который пришел к убежению о возможности неевклидовой геометрии еще в 1824 г. и представил доклад с изложением ее начал физико-математическому факультету Казанского университета 23 (11) февраля 1826 года; опубликовал он его в расширенном виде в работе «О началх геометрии» в ряде выпусков «Казанского вестника», научного из-зания Казанского университета, с февраля 1829 по августа 1830 г.

В 1835—38 г. Лобачевский публикует более развитое изложение своей теории «Новые начала геометрии с полной теории параллельных», в предисловии к которым пишет:

«Напрасное старение со времен Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставло меня подозревать, что в самых понятных ещё не заключается той истинны, которое хотел доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законом, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения». Для Лобачевского вопрос об истинности той или иной геометрии был, стало бы, вопрос опыта; свою геометрию он рассматривал как возможность теории свойств реального пространства, то есть свойств структуры соответствующих отношений математических тел и явлений.

Почти одновременно с Лобачевским — в 1825 г.— к той же геометрии пришел молодой вгенерский математик Янош Больяи*). Свои выводы Янош Больяи изложил в 1832 г. в качестве приложения (Аппендикса) к учебнику геометрии своего отца Фаркаша Больяи. Фаркаш Больяи послал учебник Гауссу. Тот, одобрително отозввись о результатах Яноша, написал вместе с тем, что все это ему давно известно. Янош, понимавший значение своих открытий, решил, что Гауссс просто приписал их себе. Он надолго прекратил свои занятия неевклидовой геометрией. Но Лобачевский продолжал разрабатывать свою геометрию и публиковать работы с ее изложением вплоть до самого смерти.

Нельзя удивляться, что новая геометрия могла казаться невозможной. Посмотрите на рисунок 3: ясно, что прямая CM, если ее достаточно далеко проджить, обязаτεлено пересечет прямую AB. Допущение, будто через одну точку проходят две прямые, параллельные данной, совершенно противоречит

*) Более высоким образом Древней Греции Беотии, считались особо глубыми, так что названное «Беотие» было нарицательным.

17

наглядному представлению. Такое допущение кажется просто неелепым. Никакой неевклидовой геометрины быть не может! Тем более нужно отделить должное смелости мысли Лобачевского и Больяи, которые решились допустить «неелепость». Нелепость с точки зрения наглядного представления — да, но с точки зрения логики — другой дело. Как ни кажется наглядно неелепым допущение многих параллелей, логических оно допустимо. Нужна была большая смелость мысли, чтобы твордо убедиться в этом, хотя теперь, когда найden простой смелл неевклидовой геометрины, Никакой смелости мысли не нужно — достаточно самого небольшей способности к отвлечению мышлению.

От убеждания к доказательству

Итак, Лобачевский и Больяи публино, а Гаусс в письмах выразили убеждание в правомерности неевклидовой геометрии и далеко развили ее. Однако это убеждание основываясь только на том, что в полученных выводах не было противоречий. Но ведь можно было бы думать, что в дальнейших выводах противоречия все же появятся. Реальный смысл новой геометрии оставался совершенню неясным. И пока он не был найден, великое открытие все же внесло в воздействие — геометрия Лобачевского оставалась не более чем воображаемой.

В 1839—40 гг. появились две работы профессора Дерптского (ныне Тартуского) университета Ф. Миндинга, в которых он исследовал неекоторые специальные поверхности — поверхности постоянной отрицательной кривизны. В этих работах по существу заключался вывод, что геометрия на таких поверхности есть не что иное, как геометрия Лобачевского. Но этот вывод там не был явно высказан. Интересно, что двумя годами раны в том же журнале, где были напечатаны работы Миндинга, была опубликована одна из работ Лобачевского!

В 1854 г., при вступлении на должность профессора Геттингенского университета, Б. Риман, как это полагалось, проел пробную lekцию.

Лекция называлась «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии». Она содержала необычайное богатство плодовных идеи — от общей концепции математического пространства до предвидения того, что стало потом общей теорией относительнойности. Кроме того, в lekции была намечана общая теория неокоторого типа пространств (называемых теперь римановыми), которые включают, как простые частиные случаи, пространства Евклида, Лобачевского и так называемые сферические пространства. Риман дал чисто аналитическое определение этих пространств; это по существу ознакомало, что геометрия Лобачевского в такой же степени непротиворечива, как и анализ.

Но этогоник не понял, не заметил. Лекция Римана осталась не понятой. И только слушавший ее стать, 77-летний Гаусс ушел, как свидетельствуют, после lekции в глубокой задачивости. Лекция Римана не была сразу опубликована, ее издали только в 1868 г., через 2 года после его смерти. И тогда она сразу произвела величащее впечатание, вызвало бурное развитие на поверхности постоянной отрицательной кривизны.

Однако выводы Бельтрами были анализически, далеко от элементов геометрии, от Евклида. Лишь в 1871 г. Клейн заметил ту модель на круге, о которой шла речь в начале статьи. Позднее Пуанкаре нашел другую интересную модель, связанную с компликсными числами (см. «Квант», 1976, № 3, с. 7).

Так через 40 лет после опубликования первых работ Лобачевского и Больяи их убеждание было доказано и их геометрия получила всеобщие признание.

(Окончание в следующем номере)

18

Рыцарь
научно-популярной
книги

(к столетю со дня рождения
Я. И. Перельмана)

Яков Исидорович Перельман любил повторять слова Лапласа: «Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случай делать его заиматательным». К словам знаменитого французского ученого можно добавить, что не менее серьезен и предмет физики. Всю свою жизнь Я. И. Перельман посвятил тому, чтобы заинтересовать других, и в первую очередь школьников, этими научами. Но не только школьников. Он искренне сетовал на то, что образованные люди — медики и ботаники, физиологи и лингвистины — почти ничего не знают о физике, астрономии, математике. Истинная культура, по его мнению, должна включать в себя знание основ любимых им точных наук.

Расцвет творческой энергии Перельмана совпал с величайшими открытиями в физике и технике. Но для того чтобы в полной мере понять значение и смысла этих открытий, необходима основательная подготовка, значение азов. Вот этом-то он и посвящал свои книги «Занимательная физика» и «Живая математика», «Ракетой на Луну» и «Межпланетные путешествия» и многое-много другие, которые, безусловно, знакомы читаютим эти строки.

Перельман учил обращать внимание на, казалось бы, применявшиеся явления или предметы и простыми словами, образами, средствами показывавали, какая физика за ними стоит. Составляющие единое целое маленькие этюды, на которых разбиты книги Перельмана, в чем-то схожи со стихотворениями в проце. Сходство отпидь не определяется «высоким штилем»—язык его этидов прост и лакончен. Привлекатель в них изящество, с которым раскрывается физическая подоплека того или иного явления, уменне минимальным математическим (арithmetic) средствами подвергать или опровергуть физические расхождения. Часто уже в названях этидов заключена неокоторая парадокальность. Вспомните: «Горячий лед», «Вода в решете», «Зренные tremя глазами», «Холод из угля», «Лед, не тайший в кипятке» или «Как мы пьем?», «Умеете ли вы считать?», «Мог ли быть потоп?», «Сколько стоит молния?», «Мог ли Архимед поднять Землю?» и т. д.

Однако еще более парадокально, что на простые вопросы: «Кто такой Перельман?», «Когда он родился?», «Где жил и работал?», «Как и когда начал писать?»,

19

«С кем общался?», «Когда и где умер?»— на вопросы, ответы на которые составляют биографию человека, вряд ли смогут ответить многие читатели его книг, люди, умелоще давать ответы на замысловые вопросы природы. Ни в первых, ни в десятых, ни в двадцатьх изданиях книг Перельмана не нашлось места для краткой биографической справки об их авторе.

К счастью, сведения о Якове Исидоровиче Перельмане имеются в фондах Ленинградского отделения Архива Академии наук СССР. Архив расположен на Университетской набережной в Ленинграде, рядом со значением Кунсткамерой. В нем хранятся бумаги выданнойся отчетственными и иностранными ученых, в частности и тех, имея которых встречался в книгах Перельмана. Если таких документов — письм, рукописей и т. д.— много, они составляют специальный фонд. Фонд Якова Исидоровича имеет номер 796; он достаточно общен, и его описание занимает четые объемные терради. Приведенные ниже сведения поерплуты из этого фонда.

Я. И. Перельман родился 22 ноября 1882 года в Белостоке в семье служащого. В 1901 году он переезжает в Петербург и поступает в Лесной институт (ныне Лесотехническая академия им. С. М. Кирова), где уже учится его старший брат Осип — впоследствии известный писатель Осип Дымов. (Именное из письма О. И. Дымова к младшему брату можно узнать о некоторых подробностях биографии Якова Исидоровича.) Оdnako не 1901 год, год переезда из провинции в столицу, выдляется Я. И. Перельманом как поворотный в его жизни, а 1899 — от него ведет он отсутствие жизни писателя, выбравшего точные науки героями своих произведений. В этот год в России, да и в других странах тоже, много писали о комете, которая должна была протеять неподалеку от Земли, и о порожденном его потоке meteorных тел. Ходили слухи, как это часто бывал, чуть ли не о конце света, но вот 23 сентября 1899 года в газете «Гродненские губерние ведомости» появилась статья, эти служи опровергавая. Иззывалась она «По поводу ожидемого meteorного джда», автор ее был гипназист Яков Перельмен, но фамилию своего он скрыл под псевдонимом. (Воспел逮ин он часто выступал, публикуемые статьи и заметки, под разными псевдонимами, один из которых звучал характерно: Цыфиркин.) Дело в том, что по уставу гипназий их ученики не имели права публиковать свои произведения в печати вплоть до окончания учебного заведения.

Когда в 1924 году в Ленинграде был напечatan прироценный к 25-летию научно-популяризаторской деятельности Я. И. Перельмана каталог его сочинений, он открывался отзывам о нем, написанным патриархом русской физики — Орестом Данииловичем Хвольсоном, автором самого известного в 20-e годы курса общей физики. Хвольсон писал: «Автор прибрел волне заслуженную известность своих популярными сочинениями, между которых первоое место занимает «Занимательная физика». Это, действительное, занимаетальная книга, интересная даже для специалиста по физике. В ней собран ошибкий и разнообразный материал; изложение легкое и правильно». Затем в каталоге приводился перечень написанных Перельманом за 25 лет работы 17 книг, причем общий тираж их издания составлял более миллиона экземпляров — по тому времени цифра гирантская. (Для сравнения указываем более цифры: семь изданий первого части «Занимательной физики» составляли в общем 90 000 экз., а имеющееся у автора этих строк 17-e издание (1965 г.) вышло тиражом 100 000 экз.; после этого книга издавалась еще три раза. В 1981 году увидел свет очередной ежегодник, издавший ЮНЕСКО — “Index Translationum”. В нем собраны сведения об всех книгах в мире, переведенных в течение 1977 года с одной языка на любой другой. Книги Перельмана в этом году издавались в переводах 17 раз. Они вышили в издательстве «Мир» в СССР, а также в ГДР, Чехословаки, Испании и Япони.)

20

Для ленинградских школников 30-х годов Перельман был не только автором полюбившихся книг. С его именем однозначно связьвался «Дом занительной науки» (ДЗН), одним из входновителей и организаторов которого был Яков Исидорович. Культурно-просветительный отдел Ленинградского совета делутов трудящихся передал для организации этого Дома красное здание дворца Шереметева на набережной реки Фонтанки. ДЗН был открыт 4 ноября 1935 года. В его залах размещились экспонаты, «реализовавшие» и наглядно демонстрировавшие многое из опытов и примеров, о которых рассказывал Перельман на страницах своих книг. В ДЗН проводились математические и физические олимпиды, организовывались встречи с учеными, тудаходили на экскурсии. В дни школьных каникул он был местом паломничства не только ленинградцев, но и ребят, приезжших в Ленинград со всей страны. Только в 1938 году его посетило более 100 тысяч человек.

В объемистой папке фонда 796, имеющей номер 33, храняться письма. Письма деловые и семейные (у Якова Исидорович был сын Михаил, погибший на фронте в первый год Великой Отечественной войны). Большое всего сохранили черновики писем Перельмана разным лицам. Особое внимание привлекало его письмо 1902 года, адресованное известному французскому астроному Камилю Фламмарину. Имя Фламмарина было хорошо знаком русским читателем на рубеже XIX и XX веков. Только в течение 1900—1902 годов (мы специально выбрали годы, примыкавшие кDATE письма) в России вышло девять книг Фламмарина, популяризирующих астрономию; в мире он имел заслуженный репутацию «популяризатора № 1». Наряду с «Астрономей», «Живописной астрономей», «Начатками астрономии», «Маленькой астрономей» и даже… «Астрономей дляdam», Фламмарин написал несколько фантастических романов, в том числе «Люмен». Героем этого романа был нежий двух Люмен, способный двигаться в миром пространстве с любыми скоростями, в частности—превышащими скорость света.

В письме студента второго курса Лесного института (где тогда училия Я. И. Перельман) разбияются приписьваемые Фламмариной Люменуощущения, когда тот приближается к Земле или покидает ее со скоростью, меняшей, равной или большей скорости света. Так, по Фламмарину, Люмен, дивяясь со скоростью, равной скорости света, будет наблюдать «застывшую» картину того, что происходило на Земле во время его отлета. По Перельману — вообщше ничего не будет видеть. Действительно, рассуждает Перельман, разве может Люмен испытывать действие несущихся рядом с ним лучей, если он находится по отношению к ним в относительной позике? «Если бы солдат бежал от неприятеля со скоростью пушечного снаряда, то ни одно ядро не в состоянии было бы удариться в него, хотя бы они окружали его черной тучей». Наблюдатель, заключает Перельман, ничего не увидит.

Приведем теперь другую цитату: «Если бы стал двигаться вселд за лучом света со скоростью с (скорость света в пустоте), то я должен был бы воспринять такой луч света, как покоящеся, переменное в пространстве электромагнитное поле. Но ничего подобного не существует; это видно как на основании опыта, так и из уравнений Максвелла. Интупивно мне казалось ясным с самого начала, что с точки зрения такого наблюдаемого все должно совершаться по тем же законам, как и для наблюдаателя, неподвижного относительной Земли. В самом деле, как же первый наблюдаемый может знать или установить, что он находится в состоянии быстро равномерного движения?».

Возможно, читатели договорались, что это рассужждение принадлежит знаменитому Альберту Эйнштейну. Цитата взята из его «Автобюграфических заметок», написанных в 1949 году. В них Эйнштейн вспоминал, что над парадоком движение

21

ния со скоростью света он размышлял начиная с 16-летнего возраства, когда впервые на него натолкнулся (в 1895 г.), в течение 10 лет — до 1905 года, когда была создана специальная теория относительнойности. «В этом парадоксе уже содержится зародыш специальный теории относительнойности, — продолжает Эйнштейн. — Сейчас, конечно, всякий знает, что все попытки удовлетворительно разъяснить этот парадокс были обречены на неудачу до тех пор, пока аксиома об абсолотном характере времени и одновременности оставалась укоренившейся, хотя и несозначной в нашем мышлении».

Итак, в 1902 году мысли Перельмана находились в развитиеном соответствии с предметом долги размышления Эйнштейна. Были общим источник этих размышлений? Эйнштейн, конечно, мог к тому времени прочесть роман Фламмарина (вышедший первым изданием во Франции в 1878 г.), однako позднее, в апреле 1920 года, беседу в Берлине со своим первым биографом А. Мошковским и обсуждая этот роман, он с некоторым разражением говорил о нем. («Фламмарин взял его <парадокс — В. Ф.> у других и только популяризировал», — заметил Мошковскому Эйнштейн.)

Мы подробно остановились на этом эпизоде — одном из многих сюжетов, которые могут быть почерпнуть из изучения архива Перельмана, потому что он, этот сюжет, имел своеобразное продолжение.

Во-первых, многое, верятно, помнить главу «Можно ли понимать пулью?» из «Занимательной физики» Перельмана. Это — замечательная иллюстрация к рассужdenю 20-летнего юноши в письме к Фламмарину. (Надо сказать, что в книгах Перельмана рассыпано много автобюграфических моментов — помимо тех, в которых он прямо это подчеркивает. Так, в «Живой математике» в этой «Умеете ли вы считать?» рассказывается о способах подчеркав в лесу деревьев разных пород. А «Занимательная геометрия» и вовсе начинается главой «Геометрия в лесу». Теперь, зная, что Яков Исидорович закончил Лесной институт, мы можем догадается, что соответствующее примеры почерпнуть им из его студенческого практики.)

Во-вторых, и это не менее интересно, и в дальнейшем «мировые линии» (если воспользоваться термином специальный теории относительнойности) Эйнштейна и Перельмана в какой-то мере пересекались. Не удивительно, что Перельман знал работы генциального физика (о них написано, например, в приложении к одной из его книг) и интересовался его личностью. Существенно, что и Эйнштейн, со своей стороны, не только знал, но и высокого ценил научно-популяриные книги Перельмана. Яков Исидорович было известно об этом от разных лиц. Так, Осип Дымов в 1943 году писал брату: «Эйнштейн знает о тебе, слышал твое имя. Я говорил с ним о тебе в Берлине еще три года тому назад». В одном из письем А. М. Горькому, говоря о своей книге «Занимательная физика», Перельман писал, что недавно получил «lectный отзыв о ней Альберта Эйнштейна». Эйнштейн мог знать об этой книге, например, от Эренфестов, с которым других и часто видели. Татьяна Алексеевна Афанасьева Эренфест, жена знаменного голландского физика-теоретика Пауля Эренфеста, в письмах Перельману говорила, что все ее семья «давно уже состоит в числе поклонников Ваших книг,— впрочем, Вы это уже знаете от моого мужа».

В блокированном Ленинграде, в возрасте 59 лет, 16 марта 1942 года Перельман умер, не доказавшись прорыва и снять блокады. Но его книги — основное дело его жизни — продолжают жить, завоевывая себе все более широкий круг читателей у нас в стране и за ее пределами, приобретая к математике и физике сотни тысяч молоды людеи, как и вprevious года, определяя для многих и многих выбор их жизниного пути. Завидная для писателя судьба!

22

Что пронсходит на границе

В школьном курсе физики не так уж много места отводится является, происходит нам на границе жидкости с другой средой, — поверхностному натяжению, смачиванию, капиллярности. Вместе с тем, с этим является окруженное пятно. Теперь центра этого пятна касаются намыленной палочки или просто кусочком мыла — пятно разрывается и превращается в тонкое колюцо. Снова его центра касаются пером (можно при этом использовать тушь другого цвета), затем в ход идет намыленная палочка и т. д. На поверхности воды возникает орнамент из разноцветных концентрированных колцес (рис. 2). Достаточно осторожно положить сверху промокательную бумагу, и красные узоры перейдет на нее.

Этот опыт нашел практическое применение. С его помощью в Японии изготовляют бумагу с самых разнообразными узорами.

Описанные эксперименты легко понять, если поверхность жидкости считать натянутой палкой. Впервые такой модель предложил известный английский физик Томас Юнг. В декабре 1804 года Юнг написал работу, в котором с помощью аналоги «поверхность жидкости — упругая пленка» объяснялось поведение жидкости в капиллярах. Вскоре модель, подтвержденная новыми наблюдениями, получила всеобщие признание.

Итак, поверхность чистой воды — натянутая пленка, а мыльная или подкрашенная вода — такая же пленка, но менее упругая. В результате воды плана перегrizает мыльную или подкрашенную, увлекая за собой «ракету» или окруженное тушью колюцо.

Существует много способов экспериментального определения степени «упругости» поверхностной пленки — так называемого коэффициентом

23

та поверхностного натяжения σ.
Один из наиболее простых — с помощью отрывающихся капель. Если взять пипетку с оттянутым носиком и, наполивев ее водой, осторожно и медленно начать выдавливать каплю, то можно наблюдать, как она постепенно увеличитается, изменяет свою форму и, наконец, отрывается от пипетки (рис. 3).

Заметьте, что капля отрывается только тогда, когда достигает определенных размеров. Пока капля недостаточно велика, поверхностное натяжение удерживает ее на кончике пипетки. Очевидно, что в момент отрыва сilia тяжесте mg капли становится равной по модулю силе поверхностного натяжения F: mg=F. Или (см., например, § 28 учебника «Физика 9», М., «Просвещение», 1982)

$$mg=2\pi r\sigma$$

где r — радиус шейки, образующейся у капли перед отрывом.

Отсчитав, скажем, 100 капель и найдя с помощью весов их суммарную массу M=100 m, можно определить коэффициент поверхностного натяжения жидкости:

$$\sigma=\frac{mg}{2\pi r}=\frac{Mg}{200\pi r}$$

Но, к сожалению, очень неточно.

Во-первых, нелегко изменить радиус шейки (чаsto для этого отрывающегося каплю в увеличенном виде проектируют на экран и там уже производят измерения). Во-вторых, отрыв капли оказывается более сложным процессом, чем просто разрыв шейки (в частности, одновременно с основной каплей образуется еще одна, маленькая капелька). Есть и еще несколько источников ошибок в этом эксперименте. Однако, если мы хотим определить лишь порядок величины σ или качественно сравнить поверхностное натяжение, скажем, чистой воды и мыльного раствора, волне допустимо воспользоваться пипеткой, а радиус шейки при этом считать равным внутреннему радиусу носика пипетки (измерить последний можно, например, с помощью проволочки извесной толщины, плотно входящей в пипетку).

Для справок приведем значения σ в единицах СИ для некоторых

Рябы на поверхности воды и как ее погасить

Оказывается, благодаря силам поверхностного натяжения возникают так называемые капиллярные волны (то есть рябь на воде). Наблюдаются их можно при помощи той же пипетки. Наполните таррелку водой и, держа пипетку на небольшим расстоянии от ее поверхности, капайте воду — быстро разбегающее концентрическое волны и будут волнами поверхностного натяжения. (Вобщеме механизм образования и распространения волн на воде — веще не простая. Здесь участвует и сilia тяжесте, и поверхностные явления. Но для объяснения проискождения мелкой ряби в полне можно использовать модель упругой пленки.)

О волнах на поверхности воды в «Кваните», в том числе и в Лаборатории «Кваните», рассказывалось не раз. Советует вам прочитать, например, такие статьи: С. Соскин, «Капиллярные волны в струне» («Квант», 1976, № 10); Е. Кузнецов, А. Рубенчик, «О волнах на море и ряби на лужах» («Квант», 1980, № 9).

Существует легенда о том, что в древности ловцы жемчuga, добавившие его со дня Эгейского моря, перед тем как нырнуть, набирали в противного оливкового масла. Поэтому, уже находясь на дне, они выпускали масло, которое поднималось на поверхность и образовало спокойное «окно», уничтожая рябь на поверхности. Проникающий черз

24

«окно» свет позволялLOBцам лучше ориентироваться на дне моря.

Вот еще одно интересное наблюдение. «Вштилевую погоду на способной поверхности моряясно видны своеобразные узоры, напоминающие муар… Приглядевшись, легко заметить, что в пределах более яркого цветного фона возникает рябь и что светлее пятна и полосы на этом фоне соответствует участкам поверхности моря, на которых эта рябь погашена», — писал известный советский геофизик академик В. В. Шулейкин. Под его руководством были проведены опыты по измерению коэффициента поверхного натяжения морской воды методом отрыва конуса (см., например, лабораторную работу № 2 в «Физике 9»). Они показали, что там, где существует рябь, коэффициент такой же, как у чистой воды, а в области светлых пятен — существенно меньше. Отсюда был сделан вывод, что рябь на поверхности моря гасится плenkами жира или каких-то других веществ. Правда, обьяснить это оказалось делом не простым.

Как показали исследования, поверхность пленки газят, в основном, небольшие волны, но они могут также преятствовать появлению пены на гребнях волн во время шторма. И эта сравнительно скромная «помощь» может сыграть свою роль: «для практики важно погасить лишь пенистые гребни, представляющие иногда серbezную опасность для корабля или тем более для спускаемой шлюпки» (В. В. Шулейкин).

Какую форму имеет капля?

Ответ на этот вопрос зависит от целого ряда обстоятельств. Если бы все определялось только силими поверхного натяжения, капля всегда принимала бы такую форму, при которой ее поверхность минимальная, то есть форму шара. В условиях земного тяготения под действием силы тяжестки капли чаще всего получаются сплюснутыми, лишь очень маленькие капель остатся сферическими. А нельзя ли исключать силу тяжестки,скомпенсировать ее какой-нибуд еще силой?

В 1843 году белгийский физик Плато поставил опыт, который вскоре получил его имя и вошел во все учебники физики. Плато подобрал концентрацию растora спирта в воде таким образом, что плотность растora оказалась равной плотности olivкового масла, и ввел в расторка каплю масла. В этом случае архимедова сила выталкивания уравновешивает силу тяжестки капли, а поверхность натяжение обусловлена ее сферическую форму.

Интересно, что в состоянии невесомости можно получить большие капли-шары различных жидкости. Такие капли наблюдаются, например, во время опытов по электросварке в космосе. Состояли они из расплавленного металла.

В домашних условиях можно повторить опыт Плато, использую касторовое масло и воды. Плотность масла чутчучт меньше плотности воды, поэтому если капать в него чистую воду, то медленно опускаются водыные капли будут иметь практические шаровую форму. Капли легко окрасить в разные цвета акварельными красками, и тогда в стакане с маслом возникает картина, напоминающая высшие разноветные шары (см. 1 с. обложки).

Более трудный, но и более эффективный опыт получается с жидкой эпоксидной смолой и растором соли. Насыпав на доно банки соль, можно получить растор с убывающей по высоте концентрацией, а следовательно, и плотностью. В таком расторе капля смолы будет высеть на определенной высоте. Результококарки капли предоставляем вышебрать самим читателем.

След от высокшей капли

Одно из загадочных на первый взгляд является связанные со смачиванием, возникает при высыхании капли какого-либо растора. Сделаем такой несложный опыт — помещим на стеклянную пластинку капли растора соли (не очень концентрированного) и дадим им высокнуть. Естественно, на месте капель образуют светлее пятнышки соли. Так вот, загадочно то, что соль

25

Рис. 4.

осаждается не равномерным слоем, а в виде чередуошихся колес (рис. 4). Оказывается, причиной тому — скачкообразный характер высыхания капли. Для обязывания этого явления мы приведем отрывок из книги Я. Е. Гегузина «Капля» (М., «Наука», 1973), которое, кстати сказать, очень советует прочитать:

«С каплей проискодит следующее. Вода со всей ее поверхности испаряется равномерно. Легко понять, что по мере испарения влаги концентрация расторенной соли будет возрастать и раныше всего кристаллики начнут выпадать там, где избыточная концентрация соли будет наиболее胆囊. Это будет в самом тонкой части капли, то есть вдоль ее перimetра. Именно вдоль перimetра кристаллики и выпадут. Жидкость капли, смачивая выпадящие кристаллики, как бы приклеивается к ним. Поэтому капля, теряя жидкость, должна менять свою форму, становиться более плоской — ведь ее объем уменшается, а перimetр остается неизменным.

В начале процесса высыхания форма капли, лежащей на стекле, была равновесной. Это означает, что из всех возможных форм осуществляется та, при которой энергия поверхности, граничшей с воздействием и стеклом, — наименьшая при данном объеме капли…

Чем больше испаряется влаги, тем больше испаряется форма капли, и на каком-то этапе капля оторвется от кристалликов на перimetре и приет равновесную форму. А затем — все сначала…, пока капля не испарится, оставив после себя пятно, состояние из концентрических колес кристалликов соли».

«Квант» улыбается

Курьезы

Приведенные ниже изречения были успешны от учеников 9—10 классов.

1. Вакуумный диод — это диод, помещенный в вакууме.
2. Вольтметр служит прибор для регулярования силы тока в цепи.
3. Равноускоренный движением называется движение, при котором тело за равные промежутки времени увеличивается на равные величины.
4. При фотоэфекте, если электропызаряжены отрицательно, то они вырываются из металла, если положительно, то поле их удерживает.
5. Солнце — раскаленная планета, расположено от Земли на расстоянии 100 световых лет.
6. Перiod колебаний математического матрика $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ при перезделе из Москвы на Северный полос изменится потому, что изменится число л.
7. Инфракрасные лучи — невидимые лучи красного цвета.
8. Приемная антенна начинает колебаться при действии на нее электромагнитного поля.
9. Переменное электрическое поле порождает в антенне электроны.
10. Холодный воздух превращается в капельки воды.

Н. Патрикеева

26

Задачи

М771 — М775; Ф783 — Ф787

М771. В треугольнике ABC проведена bicсектираса AK. Известно, что центры окружностей: вписанной в треугольник ABK и описанной около треугольника ABC — совпадают. Найдите углы треугольника ABC.

М772. В мастерской имеется пять различных станков. Обучение одного рабочого работы на одном станке стоит 1000 рублей. С каждим наименьшим затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трех из них все станки могли быть одновременно использованы в работе? Каждый рабочий может одновременно работать только на одном станке.

М773. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, BC и AC в точках M, N и P соответственно. Известно, что
$$\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}.$$
Докажите, что треугольник ABC правильный.
П. Гусятников, С. Резниценко

М774. Функция $f(x)$ определяная на отрезке [0; 1], такова, что
$$f(0) = f(1) = 0$$
и
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq f(x) + f(y)$$
для всех $x, y \in [0; 1]$. Докажите, что:
a) $f(x) \geq 0$ при всех $x \in [0, 1]$;
b) $f(x)$ имеет бесконечную много нуля на отрезке [0; 1];
в) если существует такое число $A \geq 0$, что для всех $x; \left[0; \frac{1}{2}\right]$ выполено неравенство
$$f(x) \leq A$$, то $f(x) \leq A$ для каждой $x \in [0; 1] \in \Gamma^*$ если функция $f(x)$ непрерывна хотя бы в одной точке $x_0$ отрезка [0; 1], то $f(x) = 0$ для всех $x \in [0; 1]$;
d) $^*$ существует функция $f(x)$, удовлетворяю-

27

шие условия (1), (2), не равные токдействию нулю.

П. Гусятников

М775. При каких натуральных $n \geqslant 3$ существует различные натуральные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ такие, что $1 \leqslant a_k \leqslant n+1$ для любого $k=1, 2, \dots, n$ и все $n$ чисел $|a_1-a_2|, |a_2-a_3|, \dots, |a_{n-1}-a_n|, |a_n-a_1|$ различны?

А. Анджан

Ф783. Горизонтальное расположенный невесомый стержень длины $3l$ с закрепленными на нем грузами с массами $m_1$ и $m_2$ удерживается в положении равновесия при помощи двух вертикальных нитей (рис. 1). Определить силу натяжения левой нитей в первый момент времени, если правую нить перезают.

С. Кротов

Ф784. На движущемся с постоянной скоростью $v$ тело начинает действовать постоянная сила $F$. Спустя время $t$ скорость тела стала равной $v/2$. За следующий такой же интервал времени скорость уменьшилась еще в два раза. Определить, чем будет равна скорость тела спустя интервал времени $3t$ с начала действия силы $F$.

К. Сердеев

Ф785. В стакане с водой плавает кусок льда. На поверхности воды наlint слой масла. Как изменится уровень жидкости в стакане, когда лед растает? Куда сместится при этом граница раздела воды и масла?

С. Казаков

Ф786*. В нейдельном одноатомном газе между молекулами действуют силы притяжения. Считая, что потенциальная энергия между молекуларного взаимодействия пропорциональна плотности газа, то есть $U = \alpha \frac{N}{V}$, где $N$ — число молекул газа, $V$ — объем, занимаемый газом. $\alpha$ — коэффициент пропорциональности ($\alpha < 0$), определять разность молярных теплоемкости газа при постоянном давлении ($c_p$) и при постоянном объеме ($c_V$).

В. Тугущев

Ф787. Напряжение источника меняется со временем по линейному закону. В начальной момент направление было равно нулю. С помощью ключа $K$ источник можно подключит к схеме, приведенной на рисунке 2. В какой момент нужно замкнуть ключ, чтобы ток в цепи был постоянным по величины? Сопротивление резистора $R$, емкость конденсатора $C$.

А. Зильберман

29

P786. Forces of attraction between molecules act in a nonideal single atom gas. Assuming that the potential energy of molecular interaction is proportional to the gas density, i.e. $\Pi = \alpha \frac{N}{V}$, where $N$ is the number of gas molecules, $V$ the volume of gas, $\alpha$ a coefficient ($\alpha < 0$). Find the difference between the molar heat capacities at constant pressure ($c_p$) and at constant volume ($c_V$).

V. Tugushev

P787. The voltage of a source varies linearly. At the initial moment it was zero. The switch $K$ can be used to connect the source to the circuit shown on figure Pric. 2, p. 27). At what moment should the switch be turned on to make the current in the circuit constant? The resistance is $R$, the capacity is $C$.

A. Zilberman

Решения задач

M746. Бумажный квадрат складывается пополам по неокторой прямой $l$, проходящей через его центр, в (невыпуклый) девятцудольник. Как нужно провести прямую $l$, чтобы:
a) полученный девятцудольник имел набольшую площадь?
b)* в нем помещалась окружность набольшего возможного радиуса?

Рис. 1.

Рис. 2.

Пусть прямая $l$, по которой складывается квадрат, образует с его горизонтальной стороны угол $\alpha (0 \leqslant \alpha \leqslant 45^\circ)$, длина стороны квадрата — $2q$.

a) Если фигуру, полученную складыванием квадрата по прямой $l$, дополить симметричной (относительно центра квадрата $O$ или относительно прямой $l$ — все равно!), то получится изображенный на рисунке 1 многоугольник — объединение квадрата с поверхным на угол $2\alpha$. Он имеет четыре оси симметрики. Чтобы выяснить, когда его площадь максимальная, затемим, что его можно получить, дополнительный квадрат $2q \times 2q$ четрымя одинаковыми розовыми прямоугольными треугольниками. Гипотенузу $c$ и катеты $a, b$ каждого из них легко найти, затемив, что $a + b + c = 2q$, $a = c \sin 2\alpha$, $b = c \cos 2\alpha$, откуда $c = 2q / (1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha) = 2q / (1 + \sqrt{2} \cos(45^\circ - 2\alpha))$; площадь треугольника равна $q(q - c)$ и максимальная при $\alpha = 22,5^\circ$, когда гипотенуза $c$ минимальная. Таким образом, 16-угольник на рисунке 1 имеет максимальную площадь $8q^2(2 - \sqrt{2})$, когда он имеет форму «звездочки» с 8 осями симметрики (рис. 2); при том же угле $a = 22,5^\circ$ набольшую площадь имеет и его половина.

6. Ответ: набольшая окружность в сложном квадрате помещается при $\alpha_0 = 2$ arctg $2 - 90^\circ \approx 36,87^\circ$; ее радиус $r_0$ равен $5q/8$, а соответствующая прямую $l$ делит сторон квадрата в отношении 1:7. Подтвердить этот ответ помогает геометрической эксперименте: если через каждые $2^\circ$ или $3^\circ$ (от $\alpha = 0^\circ$ до $\alpha = 45^\circ$) поточнее постройить соответствующий чертеж (удобно вырезать из картона больший квадрат, проткнуть его в центре кнопкой и использовать для построения основного и поверхности квадрата, а набольшую окружность — для каждого $\alpha$ — строить «циркульем и линейкой»), можно достаточно точно построить график зависимости радиуса набольшей окружности $r$ от $\alpha$ (рис. 3). На графике этой функции выделяется несколько точек $a_i$ — отрезок $0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 45^\circ$ делится на 5 кусочков, на каждом из которых набольшая окружность определяется разными геометрическими условиями, так что ее радиус выражается разными (иногда — весма громоздками) формулами. Однако из этих особых точек является и $\alpha_0$, поэтому в точке $a_0$ функция $r = r(\alpha)$ не имеет произвольной, и приходит оценить ее отдельно на разных кусочках.

На рисунках 2, 4—7 показаны неокторые этапы «эвольции» набольшей окружности при изменении $\alpha$ от $0^\circ$ до $45^\circ$. Глядя на них, нетрудно представить и остальные: при $\alpha = 0^\circ$ годится любая окружность, касающаяся длины сторона прямугольной половины квадрата; при

30

0° < α < α₁ окружность касается прямых l = (MN), MB и CK, точка L лежит вне ее; при α = α₁ точка L попадает на окружность; случай α₁ < α < α₂ показан на рисунке 4; при α₂ ≤ α ≤ α₃ окружность касается l и проходит через точки L и K, причем при α = α₂ она касается (CK) в точке K, а при α = α₃ — касается (MC) в точке L; сюда относится и «звездочка» (рис. 2); остальные случаи на рисунках 5, 6 и 7.

Докажем, что радиус окружности всегда не больше 5q/8, причем равенство имеет место только при α = α₀. Некоторые подробности рассудений мы опустим, но их нетрудно восстановить по надписам на рисунках.

При α₀ ≤ α ≤ 45° все просто: набольшая окружность касается прямой l в точке O и касается двух сторон девятугольника, симметричных относительной прямой OK; ее радиус r равен (рис. 7)

$$r = q \mathrm{tg}(45° - \alpha/2) / \cos \alpha = q/2 \cos^2(45° - \alpha/2) = q/(\cos(90° - \alpha) + 1)$$

и, очевидно, при уменьшении α от 45° до α₀ увеличивается (от (2 - √2)q до 5q/8); значения α₀ и r₀ можно определить из треугольников ONQ и ONK на рисунке 6.

Случай малых α также не вызывает трудностей: ясно, что, пока набольшая окружность касается (CK), ее диаметр не превыходит |MC| (рис. 4). Если |MC| < 5q/4, то есть α < arctg 1/4 ≈ 14,43°, то тем более r ≤ 1/2 |MC| < 5q/8.

Для значений α, при которых набольшая окружность проходит через точку L, то есть для α₁ ≤ α ≤ α₃, в качестве оценки для ее радиуса можно взять радиус окружности, проходящий через точки K, L и O (см. рис. 4), равный |KL|/2 sin KO L = c/2 sin 45° = q/(\sqrt{2}/2 + cos(45° - 2α)) (см. решение пункта a)). Этот радиус не превышает 5q/8 при cos(45° - 2α) ≥ 8/5 - √2/2 ≈ 0,8929, то есть 9,12° < α < 35,88°. Поскольку этот интервал перекрывается с предыдущим, тем самым проверены все значения α от 0° до, по крайней мере, α₃.

Осталось доказать, что r < r₀ = 5q/8 на участке [α₃; α₀], где набольшая окружность расположена так, как показано на рисунке 5. Зафиксируем окружность радиуса r₀ и доказем, что если пристроить к ней наш сложенный квадрат так, чтобы она оказалась вписанной в угол CMO, то точка K оказется внутри окружности (или на ней при α = α₀). Это и значит, что поместить в нашу фигуру окружность большого радиуса невозможно.

Сторону MO мы будем рисовать горизонтальной и касающей окружности радиуса r₀ в ее нижней точке T (рис. 8). Для того, чтобы построить точку K = K(α), нужно от точки T отключить влево отрезок TM длины r₀tg(45° + α/2) (напомним, что OMС = 90° - α) и затем впроверяем — отрезок MK длины q√2/cos α под углом 45° к MO (△OMK — прямогательный равноведенный, а |OM| = q/cos α). При α = α₀ точка K попадает в верхнюю точку круга; при уменьшении α она совершает движение со скоростью, равной векторной сумме двух скоростей: одна — вдоль прямой MO — направлена вправа и имеет величины u = r₀|tg(45° + α/2)|’ = r₀/2 cos²(45° + α/2) = r₀/(1 - sin α), другая — вдоль прямой K(α)M(α) — направлена впево-вниз и равна по величины v = q√2|(1/cos α)’| = q√2sin α/(1 - sin²α) (росьем играет величины α₀ - α≥ 0). На интересует лишь небольшой участок значений α вблизи α₀; но даже если продолжить это движение точки K до α = 0°, она не выйдет за пределы круга, поскольку при α = 0° √2 q = |MK| < r₀(√2 + 1). Если еще заметить, что отношение u/v возвращает при уменьш-

32

$$= |\vec{a}| \left( \sin \frac{\pi}{2} - \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = 2 |\vec{a}|.$$

Позтому

$$|\vec{a}_1| + \dots + |\vec{a}_n| = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \left( a_1(\varphi) + \dots + a_n(\varphi) \right) d\varphi \geqslant$$

$$\geqslant \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \left( b_1(\varphi) + \dots + b_m(\varphi) \right) d\varphi = |\vec{b}_1| + \dots + |\vec{b}_m|.$$

Пусть теперь $A'_1, \dots, A'_n$ и $O'$ — проектини точек $A_1, \dots, A_n$ и $O$ на произвольную прямую (см. рисунок). Согласно лемме нам достаточно доказать, что

$$p' = |A'_1A'_2| + |A'_2A'_3| + \dots$$

$$\dots + |A'_nA'_1| \geqslant \frac{4}{n} \left( |O'A'_1| + \dots + |O'A'_n| \right).$$

Заметим, что $O'A'_1 + \dots + O'A'_n = 0$, так как сумма проектини несколько векторов равна проектини их суммы. Поэтому координаты точек $A'_1, \dots, A'_n$ на числовой оси $l$ с началом координат $O'$ образуют набор чисел, удовлетворяющий условию пункта a). Сумма $a$ абсолотных величины этих чисел равна сумме в правой части неравенства (), а разность между набольшим и наименьшим из них — длине проектини многоугольника, то есть положие суммы $p'$ длин проектини всех его сторон. В силу утверждения a) $p'/2 \geqslant 2a/n$ и неравенство () доказано.

Второе решение. (Это решение предложил ученик 10-го класса ФМШ № 18 г. Москвы C. Матюшов.) Для любой точки $A$

$$\overrightarrow{OA} = \frac{1}{n} \left( (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{A_1A}) + \dots + (\overrightarrow{OA}_n + \overrightarrow{A_nA}) \right) =$$

$$= \frac{1}{n} \left( \overrightarrow{OA}_1 + \dots + \overrightarrow{OA}_n \right) + \frac{1}{n} \left( \overrightarrow{A_1A} + \dots + \overrightarrow{A_nA} \right) =$$

$$= \frac{1}{n} \left( \overrightarrow{A_1A} + \dots + \overrightarrow{A_nA} \right).$$

Отсюда сразу следует неравенство

$$|OA| \leqslant \frac{1}{n} \left( |AA_1| + \dots + |AA_n| \right).$$

Полагая в нем последовательно $A = A_1, A = A_2, \dots, A = A_n$ и складывая все полученные неравенства, мы найдем, что

$$d = |OA_1| + \dots + |OA_n| \leqslant \frac{2}{n} \sum |A_iA_j|$$

(**)

(каждое слагаемое $|A_iA_j|$, $1 \leqslant i < j \leqslant n$, входит в сумму один раз, так что она представляется собой сумму длин всех сторон и диагоналей многоугольника).

При нечетном $n$ имеется $n$ сторон, $n$ диагоналей, отсекающих 1 вершину, $n$ диагоналей, отсекающих 2 вершины, …, $n$ диагоналей, отсекающих $\frac{n-3}{2}$ вершины. Длина диагонали, отсекающей $k$ вершин, не превыходит длины $(k+1)$-звенной ломаной из сторона многоугольника, соединяющей концы диагонали. Поэтому сумма длины таких диагонали не больше $(k+1)p$, где $p$ — перimeter многоугольника и (**) переписывается так:

$$d \leqslant \frac{2}{n} \left( p + 2p + \dots + \frac{n-1}{2} p \right) = \frac{n^2 - 1}{4n} p,$$

то есть $p \geqslant \frac{4n}{n^2 - 1} d.$

33

Для четного $n$ отличие в том, что число диагоналей, отсекающих $n/2$ вершин, равно $n/2$. Посколькулина каждой из них не больше $p/2$, из (**) получаем

$$d \leq \frac{2}{n} (p + 2p + \dots + \frac{n-2}{2} p + \frac{n}{4} p) = \frac{n-2}{4} p + \frac{1}{2} p = \frac{n}{4} p,$$

то есть $p \geq 4d/n$.

в) Из решения пункта 6) следует, что при нечетных $n$ оценка точнее: $p \geq \frac{4n}{n^2-1} d > \frac{4d}{n}$. Дальнейшее уточнение невозможно. Действительно, пусть $n = 2k$ или $n = 2k+1$. Рассмотрим вырожденный «$n$-угольник», $k$ вершин которого находится в одной точке, а остальные $n-k$ — в другой. Легко видеть, что отношение $p/d$ для такого «$n$-угольника» в точности равно $4/n$ при $n = 2k$ и $4n/(n^2-1)$ при $n = 2k+1$. Ясно, что можно чут-чут развинуть его вершины так, чтобы образовался «настоящий» выпукленный $n$-угольник, при этом величины $p/d$ будет сколь угодно мало отличаться от указанных нами границ.

В. Прасолов

М748. a) Можно ли размерность на плоскости конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость? (Внутренней области парабол мы называем выпуклую фигуру, границей которой служит эта парабол.)

6)* В пространстве расположено несколько непересекающихся концов. Доказите, что их нельзя переместить так, чтобы они покрыли все пространство. (Конус мы называем здесь неограниченную выпуклую фигуру, полученную в результате врачиния неотородо уела вокруг его биссертисы.)

Рис. 1.

Рис. 2.

a) Проведем произвольную прямую, не параллельную ни одной из осей парабол. Такая прямая может пересекаться с внутренней области любой из парабол только по интервалу. В самом деле, уравнение парабол в некоторой системе координат имеет вид $y = ax^2$ ($a > 0$), а уравнение прямой — $y = kx + l$; абсциссы точек прямой, принадлежащих внутренности параболы, удовлетворяют неравенству $kx + l > ax^2$, множество решений которого либо пустое. Либо — интервал $x_1 < x < x_2$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 - kx - l = 0$.

Отсюда следует, что на проведенной прямой найдет точки, не принадлежащие ни одной из внутренних области парабол.

6. Пусть $O$ — произвольная точка пространства и $K'$ — конус, полученный из конуса $K$ с вершиной $Q$ параллельным переносом, переводящим точку $Q$ в точку $O$. Проведем произвольный луч $l$ с началом в точке $O$. Рассмотрим сечения концов $K$ и $K'$ плоскостью, проходящей через луч $l$ и точку $Q$ (рис. 1). Она пересекает конусы по двум углам с параллельными сторонами; пользоваться этим, легко убедиться, что луч $l$ пересекается с конусом $K$ по лучу тогда и только тогда, когда он целиком содержится в конусе $K'$. В противном случае луч $l$ пересекается с конусом $K$ по отрезку или по одной точке $Q$ или вовсе не пересекается.

Пересеcem теперь вершины всех концов в точку $O$ и доказем, что никакие два конуса $K'_1$ и $K'_2$ имеют общую точку $A \neq O$. Тогда луч $l = [OA)$ содержится в каждой из них. Как было показано, в этом случае луч $l$ пересекается с конусом $K_1$ по некоторому лучу $l_1$, а с конусом $K_2$ — по лучу $l_2$. Но тогда луча $l_1 \cap l_2$ принадлежат общим конуsem $K_1$ и $K_2$. Противоречие.

Рассмотрим теперь сферу с центром в точке $O$. С каждым из концов «букета» она пересекается по некоторой «сферической шапочке» (рис. 2). Так как все также «шапочки» попарно не пересекаются, их суммарная площадь меньше площади сферы. Поэтому, как бы мы их перемещали по сфере, покрыть имя своей сферы неозможно. Это значит, что при любом расположении концов в пространстве на сфере найдет точку, не покрытые «шапочками». Если $A$ — такая точка, то луч $[OA)$ может пересекаться с конусами только по конечному числу отрезков. Поэтому на этом луче завершено найдет точки, не принадлежшие ни одному из концов.

А. Кузьминых

34

М749*. а) Докажите, что если $x_1, x_2, x_3$ — положительные числа, то
$$\frac{x_1}{x_2+x_3} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \frac{x_3}{x_1+x_2} \geq \frac{3}{2};$$
при каком условия это неравенство превращается в равенство?
б) Докажите, что если $x_1, x_2, \dots, x_n (n \geq 4)$ — положительные числа, то
$$\frac{x_1}{x_2+x_n} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \dots + \frac{x_{n-1}}{x_n+x_{n-2}} + \frac{x_n}{x_1+x_{n-1}} \geq 2,$$
причем равенство возможно только при $n=4$.
в) Докажите, что при $n>4$ неравенство пункту б) является точным в том смысле, что ни при каком $n$ число 2 в правой части нельзя заменить на большее.

Рис. 1.

Рис. 2.

a) Пусть $a=x_2+x_3, b=x_3+x_1, c=x_1+x_2$. Тогда $x_1 = \frac{b+c-a}{2}, x_2 = \frac{a+c-b}{2}, x_3 = \frac{a+b-c}{2}$, и левая часть неравенства перепишется так:
$$\frac{b+c-a}{2a} + \frac{a+c-b}{2b} + \frac{a+b-c}{2c} =$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) - \frac{3}{2}.$$
Каждая из скобок в этом выражении не меньше 2 в силу известного неравенства $x + \frac{1}{x} \geq 2$ при $x>0$. Поэтому все левая часть не меньше 3—$\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$. А так как $x + \frac{1}{x} = 2$ только при $x=1$, доказанное неравенство обращается в равенство только при $a=b=c$.
б) Докажем неравенство индукции по $n$. При $n=4$ оно очевидно:
$$\frac{x_1}{x_2+x_4} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \frac{x_3}{x_4+x_2} + \frac{x_4}{x_1+x_3} =$$
$$= \frac{x_1+x_3}{x_2+x_4} + \frac{x_2+x_4}{x_1+x_3} \geq 2;$$
равенство возможно в том и только в том случае, когда $x_1+x_3=x_2+x_4$.
Докажем теперь неравенство для произвольных положительных чисел $x_1, \dots, x_{n+1}$, предполагая, что оно сраведливо для любых $n (n \geq 4)$ положительных чисел. Выберем наименьшее из чисел $x_1, \dots, x_{n+1}$. Поскольку они входят в неравенство симметрично, можно, не ограничивая общности, считать, что это $x_{n+1}$. Тогда $x_{n+1}>0$, $x_{n+1} \leq x_n$ и $x_{n+1} \leq x_1$, и поэтому
$$\frac{x_1}{x_2+x_{n+1}} + \frac{x_2}{x_3+x_{n+1}} + \dots + \frac{x_n}{x_{n+1}+x_{n-1}} + \frac{x_{n+1}}{x_1+x_{n}} > \frac{x_1}{x_2+x_n} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \dots + \frac{x_n}{x_1+x_{n-1}} \geq 2$$
(последнее неравенство выполняется по предположению индукции). Попутно получаем, что при $n>4$ равенство неравенство.
в) Числа $x_1, \dots, x_n$ удобно расставлять по окружности; тогда каждое слагаемое в левой части рассматривается неравенства есть одно из этих чисел, деленное на сумму двух соседних с ним. При $n=2k$ определяем $x_i$ так, как показано на рисунке 1, а при $n=2k+1$ — как на рисунке 2.
В первом случае получим сумму
$$2 \left( \frac{1}{q+1} + \frac{q}{q^2+1} + \frac{q^2}{q^3+q} + \dots + \frac{q^{k-1}}{q^{k-1}+q^{k-2}} \right) =$$
$$= 2 \left( 1 + \frac{(k-2)q}{q^2+1} \right),$$
а во втором —
$$\frac{1}{2q} + 2 \left( \frac{q}{q^2+1} + \frac{q^2}{q^3+q} + \dots + \frac{q^k}{q^k+q^{k-1}} \right) =$$
$$= \frac{1}{2q} + \frac{2(k-1)q}{q^2+1} - \frac{2q}{q+1} =$$

35

$$= 2 + \left( \frac{1}{2q} + \frac{2(k-1)q}{q^2+1} - \frac{2}{q+1} \right).$$

В обонх случах при достаточно большом $q$ значение левой части будет сколь угодно близко к 2, поэтому число 2 в неравенстве на большее заменить нельзя.

А. Егоров

Ф758. Жесткая заготовка зажата между двумя паралельными направляющими, движущимися в горизонтальном направлении со скоростью $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. В некоторых момент времени точки касания заготовки с направляющими лежат на прямой, перпендикулярной векторам $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Какие точки заготовки имеют в этот момент скорости, равные по абсолотной величины $v_1$ и $v_2$?

Скорости точек заготовки, лежащих в данной момент на отрезке $AB$, равномерно меняются от $\vec{v}_1$ в точке $A$ до $\vec{v}_2$ в точке $B$. Следовательно, скорость точки $O$ (см. рисунок) в данной момент равна нулю. Точка $O$ — мгновенный центр врашения. (Поскольку заготовка объемная, точка $O$ лежит на мгновенной оси врашения, которая перпендична плоскости рисуника.) Понятно, что скорость $|\vec{v}_1|$ в данной момент имеет точки заготовки, лежащие на окружности радиуса $OA$, а скорость $|\vec{v}_2|$ — точки, лежащие на окружности радиуса $OB$. (В объемной заготовке точки с таким скоростью лежат на цилиндрических поверхностях, радиусы которых равны соответствующно $|OA|$ и $|OB|$.)

С. Кротов

Ф759. Невесомый стержень длины $l$ с небольшим грузом массы $m$ на конце шарниро закреплен в точке $A$ (рис. 1) и находится в строю вертикальном положении, касаясь при этом тела массы $M$. От небольшего толка системы приходит в движение. При каком соотношения между $m$ и $M$ стержень в момент «отрыва» от тела $M$ будет составлять с горизонтом угол $α = \pi/6$? Чему будет равна в этот момент скорость тела $M$? Тренцем пренебрежь.

До тех пор, пока груз касается тела, скорость тела равно горизонтальной проекции скорости груза, а ускорение тела равно горизонтальной проекции ускорения груза.

Пусть $\vec{a}$ — полное ускорение груза. Тогда можно записать: $\vec{a} = \vec{a}_\tau + \vec{a}_u$, где $\vec{a}_u$ — центростремительное ускорение груза при его движении по окружности радиуса $l$, то есть $|\vec{a}_u| = v^2/l$, где $v$ — модуль скорости груза. Горизонтальная проекция ускорения груза равна (см. рис. 2)

$$a_r = a_\tau \sin \alpha - \frac{v^2}{l} \cos \alpha.$$

С таким ускорением движется тело. Уравнение движения тела —

$$N = Ma_r = Ma_\tau \sin \alpha - M \frac{v^2}{l} \cos \alpha,$$

где $N$ — сила нормального давления со стороны груза. В момент отрыва груза $N = 0$, и

$$a_\tau \sin \alpha = \frac{v^2}{l} \cos \alpha.$$

Ускорение $a_\tau$ в момент отрыва сообщается грузу только силой тяжестei и (см. рис. 2)

$$a_\tau = g \cos \alpha.$$

Таким образом, скорость в момент отрыва равна

$$v = \sqrt{g l \sin \alpha},$$

36

а скорость тела —

$$u = v \sin \alpha = \sin \alpha \sqrt{g l \sin \alpha}.$$

Согласно закону сохранения энергия, в момент времени, когда стержень составляют угол $\alpha$ с горизонтом,

$$m g l = m g l \sin \alpha + m \frac{v^2}{2} + M \frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2}.$$

Подставив в это равенство найденное выражение для $v$ в момент отрыва и значение $\sin \alpha = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, найдем отношение $M/m$:

$$\frac{M}{m} = \frac{2 - 3 \sin \alpha}{\sin^3 \alpha} = 4.$$

Скорость тела при отрыве груза равна

$$u = v \sin \alpha = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g l}{2}}.$$

К. Сердцев

Ф760. В теплозолюрованный сосуд, содержащий $m_1 = 20$ г зеленя, влагает со скоростью $v = 100$ м/с стальной шарик массы $m_2 = 1$ г. Начти изменение температуры в сосуд. Удары шарика о стенки сосуда и атомов о шарик считать абсолотно упругими.

◆

Через большое время шарик потеряет практические всю скорость (его масса во много раз больше массы атома зеленя), и можно считать, что изменение внутренней энергии газа в сосуд равно начальной кинетической энергии шарика:

$$\frac{m_2 v^2}{2} = \Delta U = \frac{3}{2} N k \cdot \Delta T = \frac{3}{2} k N_A \frac{m_1}{\mu} \cdot \Delta T,$$

(*)

где $N = N_A \frac{m_1}{\mu}$ — число атомов зеленя в сосуде, $\Delta T$ — изменение температуры зеленя. Учитывая, что $k N_A = R$, из (*) находится:

$$\Delta T = \frac{m_2 v^2 \mu}{3 m_1 R} \approx 0,08 \text{ K}.$$

Волее точное решение должно учеть повышение температуры шарика. Тогда

$$\frac{m_2 v^2}{2} = c m_2 \cdot \Delta T' + \frac{3}{2} \frac{m_1}{\mu} R \cdot \Delta T'$$,

где $c = 0,5 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) — удельная теплоемкость стали. Отсюда находится $\Delta T'$:

$$\Delta T' = \frac{m_2 v^2}{2 \left[ c m_2 + \frac{3}{2} \frac{m_1}{\mu} R \right]} \approx 0,08 \text{ K}.$$

Ответ получается практическим тот же.

Р. Алексаидров

◆

Ток $I_3$ через волтметр $B_2$ равен разности токов, протекающих через амperметры $A_1$ и $A_2$:

$$I_3 = I_1 - I_2 = 0,2 \text{ мA}.$$

При этом показания волтметра $B_2 - U_2 = 0,25 \text{ B}$. Следовательно, сопротивления волтметров $B_2$ и $B_1$

$$R_{B1} = R_{B2} = U_2/I_3 = 12,5 \cdot 10^2 \text{ Ом}.$$

Ток, текущий через волтметр $B_1 - I_1 = 1,1 \text{ мA}$; при этом волтметр $B_1$ показывает

38

Ф764. Ударная волна представляет собой область повышенного давления, распространяющийся с большой скоростью v в направлении оси X (рис. 1); в момент прихождения волны давление резко повышается от значения p0 до 2p0. На пути распространяния волны стоит клин, размеры клина указаны на рисунке 2, масса клина равна m. Какую скорость прибретет клин сразу после прохождения через него фронта уdarной волны? Считать, что прибретаемая клином скорость много меньше скорости распространяния волны; трение пренебрежимо мало.

$$v_A = \frac{v}{2\sqrt{1 - \left(\frac{d}{2R}\right)^2}}$$

С. Кротов

ВЫБЕРЕМ НАЧАЛО ОТСЧЕТА ПО ОСИ X ТАК, КАК ПОКАЗАНО НА РИСУНКЕ 2. Тогда сила, действующая на клин, зависит лишь от координаты x фронта уdarной волны. Горизонтальная проекция этой силы равна

$$F_x = p_0 c x \ t g a = \frac{p_0 c x a}{b} = \frac{p_0 c v t a}{b},$$

где x = vt — координата фронта волны к моменту времени t от начала прохождения волны через клин. Ускорение, сообщаемое клину в данной момент времени, равно

$$a_t = \frac{F_X}{m} = \frac{p_0 c a}{b m} \ v t.$$

В тот момент времени t0, когда фронт волны doit до дальней гранки клина, то есть координата фронта будет равна b = vt0, ускорение клина будет

$$a_t0 = \frac{p_0 c a}{m}.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Поскольку клина линейно зависит от времени, для вычисления скорости u клина к моменту времени t0 воспользуемся средним значением ускорения acp = \frac{p_0 ca}{2m}:

$$u = a_{cp} t_0 = \frac{p_0 abc}{2mv}.$$

Когда вес клин оказывается в области повышенного давления, результирующая сила, действующая на клин, будет равна нулю.

Видно, что условие u << v означает, что

$$p_0 \ll 2mv^2/abc.$$

А. Буэдин

Ф765. В настоящее время мощность всех источников энергии на Земле, использующих человека, составляет ΔP = 10^{13} Вт, а мощность солнечной энергии, поступающей на Землю, — P0 = i\theta^{17} Вт. К какому перегреву ΔT по-

Предположим, что мощность P, излучаемая нагретом телом, связана с абсолотной температурой T степени зависимости P = σT^n, где σ — некоторые коэффициент пропорциональности. Тогда для двух значений температур излучающего тела T1 и T2 получим:

$$P_1 = \sigma T_1^n, \quad P_2 = \sigma T_2^n, \quad \frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^n.$$

39

верхности Земли приводят земные источники энергии? Какова максимальное допустимая величина $\Delta P_{\text{max}}$, если предельный перегрев из экологических сообщений не должен превышать величины $\Delta T_{\text{max}} = 0,1$ К? Известно, что энергия, излучаемая в единицу времени нарегетим телом, увеличивается в 16 раз при увеличении абсолютной температуры тела в 2 раза.

Отсюда легко получить, используя данные задачи, что $n = 4$.

Итак, $P = \sigma T^4$. Теперь можно записать:

$$P_0 + \Delta P = \sigma (T_0 + \Delta T)^4 \approx \sigma T_0^4 (1 + 4 \frac{\Delta T}{T_0} + \dots).$$

Поскольку $\Delta T/T_0 \ll 1$, в последнем выражении можно отбросить члены второго и более высоких порядков. Тогда получим:

$$\Delta P = 4P_0 \frac{\Delta T}{T_0}.$$

Отсюда находится:

$$\Delta P = \frac{\Delta P}{4P_0} T_0 \approx 10^{-2} \text{ K},$$

$$\Delta P_{\text{max}} = 4P_0 \frac{\Delta T_{\text{max}}}{T_0} \approx 10^{14} \text{ Bt}.$$

Таким образом, мощность всех источников энергии на Земле, используемых человеком, может быть увеличена не более чем в 10 раз. (Это, разумеется, не относится к источникам, использующим солнечную энергию.)

С. Козел

Ф766. Для лампы-высшикки применили нелинейный конденсатор (он заполнен диэлектриком, у которого диэлектрическая пропищевая зависит от напряжения поля). График зависимости напряжения $U$ от заряда $Q$ конденсатора приведен на рисунке 1. Конденсатор заряжают от батареи $c$ $U_0 = 300$ В через резистор с сопротивлением $R = 10$ кОм. Найти максимальное энергию высшики. Оценить максимальное число высшек за 1 минуту. Считать, что при высшке конденсатор полностью разряжается. Minimalное начальное напряжение высшики $U_1 = 250$ В.

Максимальная энергия всыщки численно равна площади под графиком кривой $U(Q)$, ограниченной значением $U = U_0 = 300$ В (при этом $Q \approx 0,3$ Кл; см. рис. 1). Чтобы посчитать эту площадь, разделим кривой $U(Q)$ на участки, на которых зависит $U(Q)$ можно приближенно считать линейной. Под каждым таким участком площадь численно равна $U_i \cdot \Delta Q_i$. Таким образом, максимальная энергия всыщки равна (см. рис. 1)

$$W \approx \left( \frac{140}{2} \cdot 0,05 + \frac{140 + 200}{2} \cdot 0,075 + \frac{200 + 300}{2} \cdot 0,175 \right) \text{ Дж} = 60 \text{ Дж}.$$

Удобный способ нахождения времени заряда конденсатора от 0 до 250 В подсказывает формула $I \cdot \Delta t = \Delta Q$, откуда $\Delta t = \Delta Q/I$ и

$$t_{\text{обш}} = \sum \frac{1}{I} \cdot \Delta Q.$$

Нарисуем график зависимости $1/I$ от $Q$ (рис. 2). Ток при заданном значении $Q$ находится по графику на рисунке 1:

Рис. 1.

$$I = \frac{U_0 - U}{R}.$$

Площадь под графиком кривой, ограниченной значениями $I = 200$ А, $Q = 0,2$ Кл, численно равна высшению конденсатора

$$t_{\text{обш}} \approx \left( \frac{33 + 100}{2} \cdot 0,125 + \frac{100 + 200}{2} \cdot 0,075 \right) c \approx 20 \text{ c}.$$

40

Ф767. В одном из проектов получения электрознергии предлазалось использовать морские течения и магнитное поле Земли. Проект заключится в следующем.

В море порружают две горизонтальные металлические пластины, расположенные одна над другой на расстоянии $l=100$ м; площадь каждой пластины $S=1$ км$^2$. Морская вода, удельное сопротивление которого равно $\varrho=0,25$ Ом·м, протекает между пластинами с запада на восток со скоростью $v=1$ м/с. Магнитное поле Земли в данной месте однородно, направлено с юза на север; индукция поля равна $B=10^{-4}$ Тл. Определить максимальную электрическую мощность, которая может выделиться на напряжение, подсоединенной к пластинам.

Морская вода обладает заметной nonnoий проводимостью, так что при движении заряженныхонов в магнитном поле Земли они отклоняются с полей Лоренца к одной из горизонтальных пластин. В результате на этой пластине возникнет некомпенсированный заряд, и между пластинами появляется электрическое поле. Это поле действует наоны с силой, направленной противоположно силе Лоренца. Такое наполнение заряда на одной из пластин будет произходить до тех пор, пока электрическое поле этих зарядов не уравновесит действие силы Лоренца. Отметим, что для возникновения такого равновесия достаточно отклонения к одной из пластин весма малой доли инов из их общего числа, протекающих между пластинами.

Определить напряжение $\mathcal{E}$, возникающее между горизонтальными пластинами в отсутствии между ними тока, то есть ЭДС образовавшегося «электрического генератора». Если $q$ — заряд инов, то в условиях равновесия

$$qvB=q\mathcal{E}/L \Rightarrow \mathcal{E}=vBL.$$

Если соединить пластины с внешней нагрузкой $R$, то через нее потечет ток $I$; при этом сопротивление морской воды между пластинами. равное $\varrho L/S$, будет играть роль внутреннего сопротивления образовавшегося электрического генератора.

Определим мощность, выделяющегося в нагрузке:

$$P=I^2R=\frac{\mathcal{E}^2R}{(\varrho L/S+R)^2}.$$

Для определения максимума, мощности восползуется следующим математическим фактом: для любого $x>0$ выполняются неравенства

$$x+1/x \geq 2, (x+1/x)^2 \geq 4.$$

В формуле для мощности вынесем в знаменатель мощитель $\varrho L/R/S$ за скобки:

$$P=\frac{\mathcal{E}^2R}{\varrho L/R/S(\varrho L/S+RS/L\varrho)^2}.$$

В последней формуле выражение в скобках в знаменатель больше или равно 4. Поэтому для максимальной мощности имеем:

$$P_{\max}=\mathcal{E}^2S/4\varrho L=\frac{v^2B^2LS}{4\varrho}=1 \text{ Вт}.$$

(Заметим, что эта формула соответствует случаю равенства внешней нагрузки внутреннему сопротивлению генератора.)

41

Квашт
для младших школьников

Задания

1. В каждом горизонтальном ряду переложите по одной спиче так, чтобы все шесть равенств оказались верными.

2. На растяжимой вервке, привязанной к двум противоположным стенкам комнаты, завязаны два узла. Можно ли, не отвязивая и не разрывая вервки, поменять узлы местами?

3. Восстановите пример на сложение (разным квадратным фигурам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые).

4. Витя сказал своеему другу Коле: «Я придумал пример на деление, в котором делимое, делитель, частное и остаток оканчиваются соответственно на 1, 3, 5 и 7». Подумав, Коля ответил: «Что-то ты путаешь». Прав ли Коля?

Эти задания нам предложили
Н. Актонович, А. Лексис, Д. Плахта,
С. Савасток

41

42

Из книг
Я. И. Перельмана

В этом году исполнили свою лет со дня рождения известного популяризатора физики и математики, механики и астрономии Якова Исидоровича Перельмана. Имя этого талантливого человека широко известно и в нашей стране, и зарубежом, оно знаком и маститым ученым, и юным любителем науки.
Я. И. Перельман — автор более пятидесети книг и тышеч газетных и журнальных статей. Его книги открывают и будут открывать новым поколением читателей необучайный и замечательный мир науки.
Вот несколько отрывков из них.

Как велик миллион

(из книг «Вечера заимателовой науки», написанной в соответствии с В. И. Пряницинковым)

Каждай день читаем мы в газетах и книгах про миллионы рублей, миллионы тонн или kilометров. Мы знаем, что миллион — это тысяча тысяч, и все же подлинной численности миллиона мы себе не представляем. Звезд на небе видно простым глазом тоже очень много; какое же множество больше: число «миллон» или число звезд на куполе почного неба?

Учены перечитали все звезды, видимые на небе простым глазом, и оказалось, что их гораздо меньше миллиона: $3^{1/2}$ тысячи; между тем, в миллионе 1000 тысячи. Значит, звезд на небе мы видим (без труда)

О жизни и творческой деятельности Я. И. Перельмана рассказывает в статье В. Френкеля «Рыцарь научно-популярной книги».

По страницам Джонатана Свифта

(из «Занмателовой геометрии») Автор «Путешествия Гуливера» с большой осмотрительностью избежал опасности запутаться в геометрических отношениях. Читатель помнит, без сомнения, что в стране лилипутов нашему футу соответствовал дюйм*), а в стране великанов, наоборот, дюйму — фут. Другими словами, у лилипутов все вещи, все произведения приоды в 12 раз меньше нормальных, у великанов — во столько же раз больше. Эти на первый взгляд простые отношения, однако, сильно усложнялись, когда приходимы решать вопросы в ходе следующего исследования:

1. Во сколько раз Гуливер съедал за обедом больше, чем лилипут?
2. Во сколько раз Гуливер требовал больше суха на костюм, нежели лилипут?

*) 1 дюйм = 0,0254 м, 1 фут = 12 дюйм = 0,3048 м. (Прим. ред.)

43

3. Сколько весло яблоко страны великанов?

Автор «Путешествия» справлялся с этим задачами в большине случаев волне успешно. Он правильно расчитал, что разлипут ростом менше Гулливера в 12 раз, то объем его тела менше в 12×12×12, то есть в 1728 раз; следовательно, для насщения Гулливера нужно в 1728 раз больше пищи, чем для лилипута. И мы читаем в «Путешествия» такое описание обеда Гулливера:

«Триста поваров готовили для меня кушанье. Вокруг моето дома были поставлены шалаши, где присходила страпня и жили повара со своим семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, человек 100 прислуживало с пола: один подавали кушанье, остальные приносили бочки с вином и другими напитками на шестах, перекинутьх с плеча на плече. Стоявшие наверху, по мере надобности, поднимали все это на стол при помощи ввервок и блоков…».

Правильно расчитал Свифт и количество материалов на костюм Гулливера. Поверхность его тела больше, чем у лилипутов, в 12×12=144 раза; во столько же раз нужно ему больше материалов, портных и т. п. Все это учтено Свифтом, рассказывающим от имени Гулливера, что к нему «было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить полную пару платы по местным образом». (Спешность работы потребовала двойного количества портных.)

Надобность производить подобные расчеты возникала у Свифта чуть не на каждой странице. И, вообще говоря, он выполял их правильно. Если у Пушкина в «Евгении Онегине», как утверждает позт, «время расчислено по календарю», то в «Путешествия» Свифта все размеры согласованы с правилами геометрии. Лишь изредка надлежащий масштаб не выдерживался, особенно при описании страны великанов. Здесь иногда встречаются ошибки.

«Один раз,— рассказывает Гулливер,— с нами отправился в сад приводный карлик. Улучив удобный момент, когда я, прохаживаясь, очутился под одним из деревьев, он ухватился за ветку и встряхнул ее над моей головой. Град яблок, величиной каждой с хорощей бочонок, шумно посыпался на землю; одно ударило меня в спину и сбило с ног…»

Гулливер благополучно поднялся на ноги после этого удара. Однако легко расчитать, что удар от падения подобного яблока должен быть понятие сокрушаюшим: ведь яблоко в 1728 раз тяжелее нашего, то есть весом*) в 80 кг, обрушилось с 12-кратной высоты. Энергия удара должна превосходить в 20 000 раз энергии падения объIkновенного яблока и могла бы сравнить разве

44

лишь с энергией артиллерийского снаряда…
Нанбольшую ошибку допустил Свифт в расчете мускульной силы великанов. Мы уже видели в первой главе*), что мощных животных не пропорциональна их размером. Если применить приведенные там сообщения к великам Свифт, то оказется, что, хотя мускульная сила их была в 144 раза больше силы Гулливера, вес их тела был больше в 1728 раз**). И если Гулливер в силах был поднять не только вес своего собственного тела, но и еще примерно такой же груз, то великаны не в состоянии были бы предолеть даже груза своего огромного тела. Они должны бы неподвижно лежать на одном месте, бессильные сделать сколько-нибуд значительное движение. Их могут естество, так картино описанное у Свифта, могло явиться лишь в результате неправильного подсчета.

Несколько занимаемых опитов (из книги «Физика на каждом шагу»)

Водолазный колокол. Для этого опита годится обыкновенный таз, но если вы сможете получить глубоко и широкую банку, то опит продолжать удобнее. Вам понадобится еще высокий стакан. Это и будет ваш «vodолазный колокол», а таз с водой представляет уменьшенное подобное моря или озера.

Едва ли есть опит прошедшего. Вы держите стакан вверх дом, погружаете его на дно таза, продолжая придерживать рукой (чтобы вода его не вытолкнула). При этом легко заметить, что вода внутри стакана почти не пропикает: воздух не допускает ее. Это становится гораздо нагляднее, когда под нашим «колоколом» находится какой-либо легко намокающий предмет, например кусочек сахар. Положите на воду пробковый кружок, на него — сахар и прикройте сверху стаканом. Смело опускайте теперь стакан в воду. Сахар очистится ниже уровня воды, но остanetся сухим, потому что вода под стакан не пропикнет.

Такой же опит можно продолжать и со стеклянной воронкой, если, повернуть ее широким концом вниз, плотно заткнуть пальцем ее отверстие и тогда погрузить в воду. Вода под воронку не пропикает, но стоит от-

*) Имеется в виду книга «Занимательная геометрия». (Прим. ped.)

**) Так как сила мускульов зависит от их толщины, то есть поперечного сечения, то при увеличении размеров животного силы растет пропорционально квадрату, а вес — кубу увеличения. (Прим. ped.) «Законом неодинакового нарастания объема и вес животного, а вместе с тем и мускульной силы, объясняется, почему насекомое, как мы это наблюдаем на муравьях, химных осах

и т. д., может тащитьяжестки, в 30, в 40 раз превосходящие все собственного их тела, тогда как человек в состоянии тащить нормальное — мы исключаем гимнастов и носильщиков тяжелей — лишь около 9/10, а лошадь, на котором мы взираем как на прекрасную живую рабочуюашину, и того меньше, а именно, лишь около 7/10 своего веса». (Из статьи «Шестиногне богатыри».)

45

нять палец от ответия и тем дать воздуну выход, чтобы вода быстро поднялась в водонке до уровня окружающей воды.

Этот опыт должен обьясить вам, как люди могут находиться и работать под водой в водолазном колоколе или внутри тех широких труб, которые называются кессонами. Вода не пропикает внутри водолазного колокола или кессона по той же причине, по какой не втекает она под стакан в нашем опите.

Тяжелая газета. — Возьми-ка газету в руки, — сказал мне как-то старший брат в те годы моей юности, когда физика была мне еще совершенно незнакома. — Газета очень легка, неправда ли? И ты думaelь, конецно, что сможешь всегда поднять ее хотя одинм пальцем. Но вот сейчас ты увидишь, что та же самая газета может сделать очень и очень тяжелой. Подай мне вон ту чертежную линейку.

— Она изрублена, никака не годится.
— Тем лучше: не жалко, если сломается.
Брат положил линейку на стол так, что часть ее высокивалась за край.
— Тронь за высокую конец. Легко наклонить, правда? Ну, а по-

попробуй наклонить ее, когда я на-kрою другую половину газетой.

Он разостал газету на стол, аккуратно расправив ее складки и покрыв его линейку.
— Бери палку и сільно ударь по выступающей части линейки. Бей со всего размаху.
— Так ударю, что линейка в потолок попетит! — воскликнул я, размахивая.
— Главное — не жалей силы…

---

На этом месте мы перевем рассказ. Проделяйте сами этот опит и поставайте объяснить результат, обосновав его численными расчетами.

Публикацию подготовила
И. Кириллова

46

П. Сатьянов

Формулы и графики

Арифметические знаки — это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы.

(Д. Гильберт)

Как та или иная особенность формулы, задающей функцию, отражается на графике этой функции? Умение правильно ответить на этот вопрос — в разных ситуациях — было полезным при построении графиков, в частности таких, которые попадаются на вступительных экзаменах. Мы не останавливаемся здесь на особенности графиков функции, связанных с их экстремумами (об этом подробно сказано в учебном пособии «Ал-

Нули и изменение знака

Если функция $y=f(x)$ обращается в нуль в некоторой точке $x_0$, это еще не означает, что график функции $f$ обращательно пересекает ось $Ox$ под ненулеевым углом. Есть и другие возможности — например, касание (смена знака или без). Как отличить касание от простой смены знака?

График функции$^*$

$$y=(x-1)^3(x-2)^2$$

изображен на рисунке 1. В формулу (1) можноть $x-1$ входит в нечетной степени — поэтому при перехождение $x=1$ он меняет знак. Множитель $x-2$ при перехождение $x=1$ знака, конечно, не меняет. Следовательно, при перехождение $x=1$ их произведение меняет знак — график пересекает ось абсцисс. Множитель $x-2$ входит в формулу (1) в четной

*) На этом и следующее рисунок масштаб по оси $Oy$ отличается от масштаба по $Ox$.

47

степени — поэтому при перехождение через $x=2$ он знака не меняет. Множитель $x-1$ при перехождение через $x=2$ тоже, конечно, не меняет знака. Следовательно, их произведение при перехождение через $x=2$ знака не меняет, и график касается оси $x$, не пересекая ее, в точке $x=2$.

Графики функций $y=(x-1)^2 \times (x-4)^4$ и $y=-(x-1)^2(x-4)^4$ изображены соответственно на рисунках 2 и 3.

Таким образом, в выражениях вида $f(x)=\varphi(x)(x-a)^k$ ($k \in N$), где $\varphi(a) \neq 0$ и $\varphi$ неперивна в точке $x=a$, все дело в чистости $k$: смена знака в точке $x=a$ произходит тогда и только тогда, когда $k$ нечетно. В случае, когда $\varphi$ дифференцируема в точке $x=a$, график $f$ касается оси $Ox$ в точке $a$, если $k \geq 2$ (подумайте, почему), и остается при этом по одному сторону от оси $Ox$ тогда и только тогда, когда $k$ четно.

Вертикальные асимптоты

График функций $y=\frac{1}{x-2}$ показан на рисунке 4. Когда $x$ стремится к 2, модель $\left|\frac{1}{x-2}\right|$ неограниченно увеличивается; в этом случае прямая $x=2$ называется вертикальной асимптотой. Мы запишем это так:

$$\lim_{x \to 2} \left|\frac{1}{x-2}\right| = +\infty.$$

В дальнейшем мы будем пользоваться этой удобной записью, хотя ее нет в школьном учебнике. На экзамене, конечно, немного опасно пользоваться внешрограммным материалом; поэтому лучше сказать словами, что при $x \to 2$ функция $1/|x-2|$ неограниченно возрастает. Для любозначенных сообщаем соответствующее определение в общем случае: функция $f(x)$ стремится к $+\infty$ при $x \to a$ (запись: $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$), если для любого числа $A_0$ существует такое $x_0$, что $f(x) > A_0$, как только $x$ близке к $a$, чем $x_0$, точнее, как только $0 < |x-a| < |x_0-a|$.

Поведение функций $y=\frac{1}{x-2}$ в окрестности точки $x=2$ можно описать и детальнее — при $x$, стремящемся к 2 справа («Алгебра и начала анализа 9-10», п. 11), $\frac{1}{x-2}$ стремится к $+\infty$:

$$\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{x-2} = +\infty;$$

при $x$, стремящемся к 2 слова, $\frac{1}{x-2}$ стремится к $-\infty$:

$$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty.$$

Прямая $x=2$ является также (вертикальной) асимптотой графика функции $y=\frac{1}{(x-2)^2}$ (рис. 5):

$$\lim_{x \to \infty} \left|\frac{1}{(x-2)^2}\right| = \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty.$$

В этом случае при $x$, стремящемся к 2 слова, и при $x$, стремящемся к 2 слова, $\frac{1}{(x-2)^2}$ стремится к $+\infty$:

$$\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty,$$

$$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty.$$

Прямая $x=2$ является также асимптотой графика функций $y=-\frac{1}{x-2}$ (рис. 6) и $y=-\frac{1}{(x-2)^2}$ (рис. 7).

Любая прямая вида $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ ($k \in Z$) является асимптотой графика функции $y=\mathrm{tg} x$ (рис. 8).

Прямая $x=0$ является асимптотой графика функции $y=\log_a x$ при $x$,