Квант 1982, №12 · Страницы

КВАНМ 12
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Исполнитель 350 лет со дня основания Тартуского университета. Это один из старейших и известнейших университетов Советского Союза.

В Тарту работали также заместные математики, как М. Бартельс — учитель Н. И. Лобачевского, Т. Клаузен, Ф. Г. Миндинг. Работы академика В. Я. Струве и его учеников прославили Тартуский университет как мировой астрономический центр. Воспитанником университета был известный физик Э. Х. Ленц (правило Ленца, закон Джоуля — Ленца). Профессор Тартуского университета Б. С. Якоби, физик и электroteхнику, принадлежит изобретение галванопластики, им был сконструирован первый в мире электродвигатель. Здесь работал профессор Б. Б. Голицьн, один из основоположников сеймологии. Выпускником Тартуского университета был известный естественный центр К. М. Бэр (он открыл закон подмыва берегов рек). Здесь училися создатель «Толкового словаря живого великорусского языка» В. И. Даль. В университете работали выдающие хирургии Н. И. Пирогов и Н. Н. Бурденko, известный историк академик Е. В. Тарле.

В наши дни Тартуский университет — видный центр образования, культуры и науки Советского Союза, кузница кадров Эстонской Советской социальстической Республики.

1

В НОМЕРЕ: IN THIS ISSUE:

И. Кикoin. Физика в Союзе Советских Социалистических Республик
3. I. Kikoin. Physics in the Union of Soviet Socialist Republics
А. Александров. Туплость и геней
7. A. Alexandrov. Dimwittedness and genius
E. Забабахин. Маленькие заметы
13. E. Zababakhin. Brief remarks
A. Баков. Разбивание фигур
16. A. Bakov. Partitioning figures

Задачик «Квант»
Задачи М776 — М780; Ф788 — Ф792
18. Problems M776 — M780; P788 — P792
Решения задач М750 — М758; Ф768 — Ф777
21. Solutions M750 — M758; P768 — P777
Список читателей, приславших правильные решения
32. List of readers who have sent correct solutions

«Квант» для младших школьников
Задачи
33. Problems
А. Панов. Загадка фигуры № 51
34. A. Panov. The mystery of figure № 51

Практикум абитурента
Л. Баканина. Законы Ньютона
38. College applicant’s section
L. Bakanina. Newton’s laws

Искусство программирования
Стандартные приемы программирования. 42
Урок 3
Standard programming methods
Lesson 3

Рецензии, библиография
Л. Владимирова. Новые книги
44. L. Vladimirova. New books
Ю. Брук. Задачи Новосибирской ФМШ
45. Yu. Bruk. Novosibirsk PMS problems

Информация
А. Абрамов, А. Савин. XXIII Международная математическая олимпiad
46. A. Abramov, A. Savin. XXIII International mathematics olympiad
Л. Асламазов. XIII Международная физическая олимпiad
49. L. Aslamazov. XIII International physics olympiad
Заочная физико-техническая школа 53
Physico-technological correspondence school
Напечатано в 1982 году
56. Published in 1982

Ответы, указания, решения 59
Answers, hints, solutions

Шахматная страница
Новогодние сюрпризы (3-я с. обложки)
The chess page
New year surprise (3rd cover page)

На первой странице обложки помещена fotografия потока плазмы, распространяющегося вдоль линей магнитного поля в термоядерной установке «Огра 4» (Институт атомной энергии им. И. В. Курчатова). Плазма видна благодаря свечению специально добавленного газа, возбужденного потоком.

Фото Ф. Кузьмина. Фотохроника ТАСС.

© Издательство «Наука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1982

4

нипомышленных ядерных реакторов для atomных электростанций. В настоящее время в УФТИ ведутся важные исследования как в области физики низких температур и создания новых конструкционных материалов, так и в области управления термоядерного синтеза.

В столеце Латвийской ССР Рите создан превосходный физический институт, в котором имеется исследовательский ядерный реактор, используемый как мощный источник нейтронов.

Любой ядерный реактор служит не только источником энергии, но и сравнительно мощным источником нейтронов. Исследовательские реакторы используются для изучения широкого круга физико-химических процессов. Сооружение таких реакторов требует значительных средств, а экспериментать их может только высококвалифицированный персонал.

Известно, что многие вещества при облучении их нейтронами заметно изменяют свой физические и химические свойства. На реакторе Института физики в Рите учены исследуют изменения строения ряда диэлектрических кристаллов, приводящие к изменению их оптических свойства. Эти исследования имеют не только научное значение, но и практическое применение при решении ряда технических задач. Так, в последнее время на реакторе изучалось влияние нейтронного облучения на вещества, которые предполагают использовать в строительстве промышленных atomных реакторов.

Под действием нейтронного облучения молекулины неокторных химических соединений диссоцируют (распадаются) с большей или меньшей скоростью. Поиск соединений, достаточно устойчивых к нейтронному облучению,— важная задача. Изучение ряда химических соединений в этом направлении проводится на исследовательском реакторе Института ядерной физики в столеце Узбекиской ССР Ташкente. Обыты, проведенные узбекскими учеными совместно с учеными Института atomной энергии им. И. В. Курчатова на Ташкентском исследовательском реакторе, позволили выбрать пригодные для применения в технике химические соединения, молекулы которых достаточно устойчивы к нейтронному облучению.

Самое важное свойство нейтронов заключится в том, что они способны проникать в ядро атома и изменять его состав; при этом образуется либо ядро другого химического элемента, либо ядро радиоактивного изотона облучемого элемента. Классический пример подобного ядерного превращения служит лежащий в основе всея ядерной техники процесс образования новых химических элементов при облучении нейтронами урана. Радиоактивные изотоны находят широкое применение в медицине, техническе, сельском хозяйстве. На Ташкентском реакторе физики Узбекиста получают радиоактивные изотоны ряда элементов.

Важная научная и практическая работа ведется на исследовательском реакторе Института ядерной физики в столеце Казахской ССР Алма-Ате.

Нейтроны могут нести и еще одну важную «служебу». Они бывают незаменимы для анализа химического состояния вещества, при определении содержания в веществе того или иного элемента; особенно, когда количество элемента в веществе настолько мало, что методами химического анализа обнаружить его присутствие невозможно. Примером может служить анализ горных порода на содержание в них редких, а потому и дорогих, элементов. Здесь приходится на помощь приходимы к применению в основных случаях электроны (β-частицы). Современные прибора позволяют регистрации каждой отдельной γ-кванта и каждой электрон и изменять их энергию. Энергия испускаемого кванта или электрона — величины, характерная для ядра данного элемента. Поэтому, облучив анализируемый образец горной породы нейтронами и сосчитав за определенное время число γ-квантов

5

Большой зеркальный телефон Ленинградского оптико-механического объедининия, установленный в Бiopakaской астрофизическойObservatorии Академии наук Армянской СССР.

или β-частиц с энергийой, соответствующей ядру какого-либо элемента, можно определить количество данного элемента в образце, даже если оно очень мало. Этот метод анализа химического состава вещества называется активционным анализом.

Такой анализ можно проводится на любом исследовательском реакторе, но в Институте ядерной физики в Алма-Ате этот метод развит основно хорошего. Результаты, полученные учеными института, имеют очень важное значение при поисках месторождения редких металлов.

В этом же институте имеется циклотрон — установка не менее дорогостояшая, чем исследовательский реактор.

Циклотрон, как известно, применяется для ускорения заряженных частиц, в частности — α-частиц. Облучая α-частицами какой-либо легкий металл, например бериллий, можно получить лучки нейтронов. Правда, количество нейтронов в этом случае заметно меньше, чем получаемое от ядерного реактора, но заато, использую циклотрон, можно с большой точностью регуляровать энергию ускоряемых α-частиц и соответственно энергию «выбиваемых» имми нейтронов. Для ряда исследований это преимущество неоценимо.

Советское государство удаляет большое внимание означению научных учреждений союзных ресурсных мощными современными исследовательскими средствами. Так, в столице Армянской ССР Ереване сооружен один из самых мощных в мире циклический ускоритель электронов. Это — градинозное сооружение, в котором кинетическая энергия электронов достигает 6·10⁹ электронов (такую энергию получил бы электрон в электрическом поле при напряжении 6·10⁹ В). В Армянской же ССР, в Бiopakaне, находится известная во всем мире астрофизическая observatorия, основанная самим современным научным оборудованием.

За последние десятилетия большое развитие физические научки получили в Белоруссий ССР. В состав Академии наук БССР входит ряд крупных физических институтов, ведущих важные работы в области оптики. В Институте физики АН БССР проводятся широкие исследования по физике и технике лазеров. Важное научное и техническое значение исследований Белорусских

6

Лазер на красительях «Радуга-6», разработанный в Институте физики Академии наук Белоруссий ССР.

физиков в области спектроскопии. Недалеко от столицы ресурсники Минска сооружен исследовательский ядерный реактор. Оно из важных направлений работ на этом реакторе — исследование возможности при помощи obluчения нейтронами лучшая физическая и химическая свойства ряда материалов, применяемых в промышленности.

Мне довелось pobíвать в столце Грузинской ССР Тбилиси и ознакомиться с работой некоторых из имеющих там научных физических учёждений. На физической факультете Тбилиского государственного университета и в других научных учреждениях города проводятся широкие исследования по физике и технике полупроводников, по радиоэлектронке. В Институте физики, где имеются исследовательский реактор и крупная криогенная установка, изучаются всема интересные явления, связанные с воздействием нейтронов на физические свойства веществ при низких температурах. Эти исследования позволили в значительной степени прояснить физическую природу изменения свойств материалов, поддержающих обluчения нейтронами. В том же институте изучаются уникальные свойства так называемого сверхтекучего Не-II. Дело в том, что жидкий гелий, будучи охлажден до температуры 2,17 К, скачом переходит в новое состояние, в котором его взкость становится равной нулю (жидкость течение без треня). Вследствие отсутствия взкости движение жидкого гелия имеет всема интересные особенности. Они-то и стали предметом изучения грузинских физков.

Я не имею возможность сколь-нибудь подробно остановиться на состоянии физических наук в самом большой из союзных ресурсник — РСФСР. Достаточно сказать, что крупные научные физические центры расположены по всей огромной территории ресурсники от Калининграда до Владивостока. Со многими из них мне приходилось и приходиться сотрудничать. Далее просто перечисление названной важнейших физических учёждений РСФСР занял бы слишком много места. В столце РСФСР находится и главный штаб советской науки — Академия наук СССР, которая возглавляет выданнойся советский физик академик А. П. Александров.

Необходимо отметить большие заслуги советских физков в решении важнейших задач, стоящих перед страной. Так, во время Великой Отечественной войны они внесли огромный вклад в усвоениествование существовавшей боевой техники и создание новых ее видов.

Автору этих строк вместе с другими физikами, учеными и инженерами многих специалистов поступил в коллектив технических науки, создавшейся в нашей стране. На моих глазах физические идеи, лежащие в основе этой техники, получили промышленное воплочение. Сейчас Советский Союз — одна из ведущих держав в этой области. В ряде.atomной техники наша страна операдает наиболее промышленно развитые капиталистические страны. Хорошо известно, что первая atomная электросистема была сооружена в Советском Союзе. Советские atomные ледоклы не имеют себе равных в мире.

Шестидесятельные образование Союза Советских Социалистических Республика советская физика встречает новыми успехами как в области физиологических исследований, так и в их приложении в различных отраслях народного хозяйства. Тем самым физики всех союзных ресурсников выполняют исторические предначерания Коммунистической партии Советского Союза.

7

Тупость и гениий

Оглянемся теперь на историю пятого поступата Евклида. Лобачевский сказал о ней: «Напрасные страны… в продолжение двух тысяч лет». Но какие страны! Множество математиков расточает их, и каких математиков! Среди них знаменитые имена: попытки открытия, возникло, Архимедом, прохождение через Омара Хайяма и подходят к завершению с Гауссом.

Попытки доказать пятый поступат были, как мы выяснили раньше, совершенное естественными. Но 2000 лет никто не договоравался, что доказательство невозможно. Никто не мог подумать, что возникна какая-то геометрия, отличная от привлечной евклидовой. Ее независная связь с нашим пространственным опитом и наглядным представлением, ее логическое совершенность и произношение, включающие ее изучения и, можно сказать, использование — все это делало геометрию Евклида непререкаемой, как бы абсolutно необходимой, присушей и миру, и разуму. Ее проискжение из практики затмевалось совершенным и ясностояю ее логики. И дошло, наконец, до того, что в 1781 г. великий философ Кант в своей «Критике чистого разума» счел геометрию априорной — неависимой от опыта — и основал на этом вывод об априорности самого пространства,

окончание. Начало — в предыдущем номере.

Геней

Но как раз в это же время из попыток доказать пятый поступат стали пробиваться проблемы.commеней. Уже в 1766 году у Ламберта безжит мысль, что отрицание пятого поступата «имеет место на какой-то минимой сфере», что, может быть, страные выводы, к которым приводит это отрицание, — не бессмыслица. Напряжение нарастает. Кантовское «априори» распространяется в умах, особенно после второго издания его «Критики» в 1787 г.

Но труд Ламберта выходит в 1786 г. Затем, из столже упорных, как и безупрежных попыток доказать пятый поступат, в первой четверти XIX века прорастает наконец обшая мысль о том, что, возможно, мыслима геометрия, отличная от евклидовой. Почти одновременно, хотя и с разной степенью определенности и ясности, эта идея появляется у нескольких человек — у Швейкарта, Тауринуса, Гаусса, Лобачевского и Больяи.

Дойти до мысли, проверяющей прививное, может быть само по себе генеральным. Но это еще не hayка, а только идея. Наука же требует превворения идеи в теории, как инженерия — превворения идеи в предмете, в осуществленном изобретении.

Геней — не только полет мысли, но также ее упорство — труд, приподнятий в доходовением, и в доходовение, подкрепленное трудом. Так, Коперник не только выразил мысль, что не Земля, а Солнце — в центре (мысль, кстати сказаь, не новую: ее выразил еще в III в. до н. э. Аристарх Самосский), но и построил «систему Коперника» — dal точное описание движения планет вокруг Солнца, согласно с наблюдениями. Точно так же Лобачевский не только выразил убеждание в возниклидовой геометрии, но и построил эту геометрию. И как от Коперника пошло новое развитие act-

8

рономии, дошедшее до современного взгляда на Вселенную с множеством «миров» — планетных систем, галактик и пр., так от Лобачевского пошло новое развитие геометрии, приведшее к созданию многочестава разнообразных «геометрий», самых разных геометрических теорий «воображаемых» пространств — топологических, римановых, финслеровых, рассловенных… — «им же неть числа». Недаром, когда в 60—70 гг. прошло века начал во всю силу разворачиваться этот пошедший с Лобачевского процесс преобразования геометрии, Лобачевский был назван «Коперником геометрии». Нельзя, конечно, забывать, что новую геометрию развил и обнародовал также Больяи, но преимущество отделется Лобачевскому, потому что он сделал это раныше и потом еще существенно продолжил свои исследования и публикации.

Лобачевский утверждался в мысли о недоказуемости пятого поступала и о возможности неевклидовой геометрии, исходя из физофских, теоретическо-позначательных убежданий. Это выражено уже в приведенных ранее (в первой части статьи) его словах из предисловия к «Новый началом геометрии…». «Истина, которую хотели доказать», то есть пятый поступал, не заключается «в самых понятях», а в применении к реальному пространству и подлежит проверке опитом, как физический закон. Этот отрицается кантовское «априори»: геометрия не независима от опыта, а подлежит проверке опитом*). В других сочинениях Лобачевский явно возражал против кантинства в общей форме, когда писал, например, что «понятия приобретаются опитом… вожденным не должно верить».

*) Собственное говоря, слово «геометрия» должно пониматься двойкой: как чисто математическая теория и как теория реальных пространственных отношений. В этом втором качестве она подлежит проверке опитом (современная физика доказала, что наше пространство не является точной ενклидовым). Но от чисто математической теории самой по себе требуется логическая стройность прежде всего и обязательно непротиворечность. В таком виде та или иная геометрия — это совокупность предложений, выводных из принятых посылок. А какие она находится приложения — это ее саму по себе не затрагивает.

Кстати, это стоит заметить научным способам, полагаюшим будто ним, ни наук вообще не нужно философское мышление. Все великие учены от Ньютона и Галилея, если говорить лишь о новом времени, были философскими мыслителями. Без философии наука не развивается: положение новых ее путей, когда они не оформились, и есть философское движение мысли. Вопрос только в том — какая это философия, связьается ли она с точной логикой и фактами опыта или с пребывающим в безвоздушном пространстве общими фразами априорности и чистого спекулятивного мышления. Галиле, Ньютон, Лобачевский не только высказывали философские суждения, но и, отправлясь от общих убежданий, строили задания научных теорий — прочные основания целых общирных областей науки.

Появление неевклидовой геометрии было началомреволюнного преобразования геометрии. Но также, что характерно для революции, вместе с названием ее сил, росла и реакция. Именно тогда, когда открытие новой геометрии уже приближалось, появился философия Канта с ее учением об априорности геометрии, о пространстве как априорной форме созерцания. Лобачая другая геометрия, кроме той, которая присула этой форме созерцания, казалась немыслимой.

Лобачевский явно выступает против этих воззрения. Появление новой геометрии определяет их и открывает невидимые, немыслимые равные пути развития науки — революция совершается. Геней — этореволюция,революция — это геней в действии.

Тупость

Как история пятого поступала и неевклидовой геометрии демонстрирует человека геней, так демонстрирует она и неповоротливость ума, если избегать грубого слова «тупость».

Начать с того, что можно попыток доказать пятый поступать было основано на ошибках. Авторам

9

этих доказательств только казалось, что они нашли доказательство. Так было даже в начале XIX века. Только немногое понимали, что опираются на дополнительные предположения, равносильные пятому постулату, и явно их формулировали. Ошибки были психологически обусловлены тем, что автору очень хотелось пятый постулат доказать, отказ от него был невообразимым, а положение, приятое открыто, на которое автор опирался, казалось само собой очередным иускольazo от того, чтобы его явно формулировать.

Очень характерен пример Саккери: при всей глубине и тонкости его выводов, относится к неевклидовой геометрии, он в конце все же заключет, что ему удалось «вырвать с корнем» гипотезу, отрицающего пятый постулат, и очистить Евклида от пятен.

И Ламберт, далек разивший неевклидовый геометрию, только «почти» сделал вывод о ее выполнимости, и Гауссс мучительно долго «все более приходил» к убежданию о невозможности доказать пятый постулат.

Когда же неевклидова геометрия была открыта и обнаружена и вступло вопрос о ее реальном смысле, то тут неообразительность показала себя в полную силу.

Гауссс еще в 1827 г. развил основы общей теории геометрии на поверхности, в котором роль прямолинейных отрезков играют кратчайшие линии, расположенные на поверхности. У него был получен, в частности, вывод, что на некоторых поверхности (поверхности отрицательной кривизны) сумма углов треугольника (стороны которого кратчайшие линии) меньше 180°. Он знал вместе с тем, что в неевклидовой геометрии верно то же. Но он не сопоставил эти два вывода, неогдаался, что неевклидова геометрия должна осуществлять на некоторых поверхности. Если бы он допумался до этого, то доказательство не представило бы для него, при его исключительной силе математика, особого труда (этот вывод был получен инальянским математиком Белтрами только 40 лет спустя).

Веряяно, мысли Гауса в неевклидовой геометрии, с одной стороны, и в теории поверхностей, с другой, шли как бы параллельно, не пересекаясь. Явление довольно обобщное. Людмал сплошь и рядом не приходит в голову сопоставить вещи, которые каждуся совершеннялись, но при ближайшем рассмотрении оказываются тесно связанных или даже совпадающих. Так былает и у одного человека, когда он знает обе «вещи», но не сопоставляет их. Так же былает и в группе людей, когда они знают одно, другие — другие, да не сопоставляют.

Именно так и было дальше с неевклидовой геометрией и геометrien на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Миндинг, найда формулы триgonometрии на этих поверхности, — а они такие же, как в геометрии Лобачевского — не заметил этого, хотя работа Лобачевского была уже опубликована. Двумя годами ranble в том же журнале! Да и Лобачевский, который как геометр-профессional мог бы прочитать работу Миндинга, не сделал этого сопоставления!

Так путешественики, подошедшие к горному хребту или подплившие к острову с разных сторон, могут не сообщать, что открыли одно и то же.

Работу Миндинга развил в 1857 г. Кодации, но и он не сообщил со-

10

поставить свои выводы с неевклидовой геометрией. Да он, возможно, о ней и не знал, хотя часть работы Лобачевского была опубликована по-французски и по-немецки, а работа Больши еще в 1832 г. вышла на латинском языке.

И только в 1868 г. Белтрами, отправлясь от работ Миндинга и Кодаци, делает наконец нужное сопоставление и подробно доказывает, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны выполяняется геометрия Лобачевского.

В промежутке, в 1859 году, Кэли создает теорию расстояния, содержащую модель геометрии Лобачевского, но не понimed этого, так как не сопоставляет свою теорию с этой геометрией. Хотя позже, в 1861 году, он публикует работу по геометрии Лобачевского!

И только в 1871 году Клейн делает это сопоставление — приходит к той простой модели в круге, о которой мы расссказали вначале. Указанием на эту элементарную модель решения вопрос о недоказуемости пятого поступата. Вот к чему, можно сказать, свелось то, над чем более 2000 лет были умы математиков!

История неевклидовой геометрии показывает, с каким трудом люди доходят до вещи, которые, когда они наконец ухвачены и понятны, оказываются простыми, и как люди зачастую не понимают, что делают и что лежит у них под руками. Ни Гayсс, ни Лобачевский не поняли то, что было у них почти в руках. Далее Гayсс и Лобачевский.

В нашей время все еще находится люди, занимающиеся «доказательством» пятого поступата и осаждающие математиков этих своих «трудами». Но так как вопрос о пятом поступате решен и решение это с помощью модели в круге нетрудно понять как дому, называемые «доказательства» и «труды» относится уже не к неевворотливости ума, а к глупости или даже к сфере медицинны. Глупость — это совсем не то, что тупость — неевворотливость ума; напротив, у друга может быть «легкость в мысли необыкновенная», ум его может поворачивать с головокружительной быстротю, да без только не имеет никакого отношения к той неповоротливости ума, свойственной даже гениям, которое так ярко показывает трудная история пятого поступата и неевклидовой геометрии.

Характер

Гayсс, Больши, Лобачевский — три математика, открывших неевклидовую геометрию. При человека — три характера.

Фридрих Гayсс — математик чрезвычайной силы, о котором говорят «великий Гayсс», «princeps mathematicorum» (то есть король математиков), «старшина математиков»*).

Но Гayсс при всей его математической силе была свойственная интеллектуальная осторожность, нерешительность, которая проявилась в частиности, в том, что он более 30 лет занимался теорией параллельных, прежде чем решился выразить даже самому себе и в частиных письмах творое убеждание в правомерности неевклидовой геометрии. Дальше следовала уже иная осторожность — трудность, которая не дала ему выступить со своим выводами из опасения «крика безопасцев»…

Полной противоположностью Гayсс представляет перед нами Янош Больши — самый молодой из трех: когда он допумался до неевклидовой геометрии, ему было всего 23 года (соответственно Гayсс — 47, Лобачевскому — 31). Лобачевский выступает публично в 32 года, Больши — в 30, Гayсс — никака. Работа Больши по неевклидовой геометрии написана блестяще, разве что уж слишком кратко. Блеск его талант соответствовал остальным чертом его пылкой натуры. Он был гусарский офисер, один из знаменитых венгерских гусар, дузлант. Как-то ему пришлось встреться в дузле на шпагах с несколькими противниками; схватки следовали одна за другой, и он овогорил себе право в перерывах играть на скрипке, чтобы восстановно…

*) О Гayссе можно прочитать в «Кванте», 1977, № 8, с. 2 или в брошюре С. Г. Гиндикина «Рассказы о физике и математике» (М., «Наука», 1981).

11

вить гибкость кисти. Он приколл (не до смерти) всех своих противников.

Но гуарское самолюбие погубило Больяи. Не тем, что его самого убили на дузли, а тем, что его самолюбие распространялось у него в области математики.

Гаусс прислал его отцу, своему старому знакомому, положительный отзыв о работе Яноша, написав, что очень хвалить его достижения не может, так как этим он хвалил бы сам себя, потому что те же результаты известны ему давно. Янош же решил, что Гаусс попросту присвоил себе его открытия. Позже, когда появился немецкий перевод одной из книг Лобачевского, он решил, что подпсевдомим Лобачевского скрывается Гаусс, украший его, Больяи, результаты. Кроме открытия неевклидовой геометрии Больяи выполнил еще одну работу по математике, где содержались идеи, операционные его времени, но не достаточно тщательно оформленную. В последние годы жизни сознание его помрачилось. Он умер в 1860 г., на 58 году жизни.

Лобачевский решительно отличался от Гаусса и от Больяи, соединяя смелость с упорством и основательство, силу теоретической мысли с силой воли. Его открытие не встретило признания, и его считали даже немного сумасшедшим, как говорил о нем, например, Чернышевский. Признание, идущее от Гаусса, пришло позднее. Но Лобачевский не смущался и продолжал свои «сумасшедшие» исследования по «сумасшедшей» геометрии, публикуя вслед за первой обширной работы 1829—30 гг. следующее. Ослепнуть к старости, своего последнего книг «Пангеометрия» он дисковал.

Деятельность Лобачевского была не только научной: 18 лет он был

12

ректором Казанского университета, прошив на этом посту выдающийся энергию, административное уменение и понимание задачоспитания юношества. Его энергичная и умела деятельности в тяжелое время хлерной эпидемии 1835 года может показаться даже страной у человека, который занимался воображаемой геометрией, одной из астрактнейших области абстрактнойшей из наук — математики. Но, может быть, этому не следует особенно удивляться. Воля, необходимая для решительных действия в трудных условиях, также необходима для того, чтобы развить и отстаивать научные убеждания и истину вопроси всем «крикам безопасности».

Талант, гений — это не только специализные способности, но и характер. Как Магеллану и Нансену была нужна решимость, чтобы отправиться в неизведанное плавание, так теоретику нужна интеллектуальная решимость, чтобы подумать «невероятное» и развивать его вопросы не только устоявимся взглядам и традициями, но нередко и вопросы собственным сомнением. Но мало убедиться в своих идеях для самого себя — их нужно передать другим людям. А это тоже может требовать решимости, потому что люди могут не понять, отбросить и даже подвергнуть насмешкам и поруганию новые идеи и выводы. Это могут сделать в первую очередь свои же коллеги — учены, убеждающие в незыблемости своих взглядов в своей академической непогрешимости,— мешане в академических креслах и на профессорских кафедрах, те «беотийцы», которые побоялись противоставить себя Гауссс.

В недавнее время, да возможность и по сюю пору, с легкой руки Бертольда Бреxtа принято было поносить Галилея за представство истинны — за то, что он отрекает с своих научных убежданий. То, что отрекается от истинны дурно, еда ли нуждается в особых обязываниях. Но в момент суда инквизции Галилея был 68-летим стариком, через 3 года он ослеп, а ему грозили пыткой, заточнем, перед ним стоял образ сохраняного на костре Джордано Бруно.

Остановитесь, читатель, и постановесь представить себе, что вас жутт на костре или вздергивают на дыбе. После этого мы продолжим разговор оверности истинне — о ней так легко рассудать, когда вам нерозят ни костер, ни пытки, ни заточение.

В действительности, Галилея, хотя и отрекаces словенно, но истинны не предал. Ослепший старец, узник инквизции, он дискутет свое главное научное сочинение и издает его за границей — в Голландии. Галилей исполнил свой долг ученого. По-видимому, на самом деле он не сказал инквизитом знаменитые слова: «А все-tаки она верится!». Но он сказал то же, хотя и менее эфективно, но более весом — своим научным трудом, своей книгой, написанной после суда инквизции. Поэтому легенда, приписывающая ему те слова, справедлива по существу. Поэтому правильно он остался в памятии народы верным истинне, верным своим научным убежданием.

Но Гауссс ничего нерозил, кроме разве неlectных судений коллег, а он скрыл свои научные убеждания, скрыл истинную. Он поступил мудро с точки зрения мешанства, одинаково — прошлого или современного, подвигающегося в науке или всякого другого.

Охотно морализуя по поводу «отречения» Галилея или тех, кто когда-то «калялся в грехах мендelmизма-морганизма», мешанн будет делать все, чтобы «не испортить отношения» с тем следует. Он не будет ни отрекаться, ни каяться. Потому что ему неотчего отрекаться и не в чем каяться. у него все в порядке, все как полагается.

Этот конформизм, этот подый двух приспособления противен настоящей науке, потому что она требует готовности подвергнуть сомнению и переместить любые научные взгляды, научные положения, как бы ни казались они прочно установлены. Она требует деревости мысли и деревости в том, чтобы открыто выступить с деревкой мысли, как это было с открытием неевклидовой геометрии.

(Окончание см. на c. 15)

13

Маленькие заметки

Е. Забабахин

Маленькие заметки

Этот простой, но острумный прибор для получения огромных давления был изобретен американским физиком Перси Уильямсом Бриджемом (1882—1961).

Если два конуса свести вершинами (рис. 1, а) и скать вдоль оси, то образуется контактная площадка (рис. 1, б). Возникающее направление σ максимального в середине этой площадки, а на краях равно нулю (рис. 1, θ). При усилении скатания площадка увеличивается, но максимальное направление σм остается тем же (пунктирные линии на рисунках 1, θ и θ).

Вблизи вершины этого устройства, называемого наковальней Бриджема, материал скат не только по вертикали, но и с боков, то есть скатие его близко к всестороннему (подобно скатию, вызванному гидроостатическим давлением). При этом допустимое направление много больше обычного предела прочности. (Страго всестороннее скатие не разрушает материал вообше.) К тому же, с ростом давления прочность увеличивается, так как затрудняет взаимное скольжение слоев материала (как при трении).

Максимальное направление σм зависит от угла конуса: для больших углов α оно мало, но с заостренемом конуса растет. При некотором критическом угле σкр достигаются условия разрушения, и конусы ломаются. Условие прочности такой

14

Практические наковальные делаются очень прочными, например алмазными, на которых сеяас получают давления порядка миллиона атмосфер. С помощью таких наковален исследуются свойства различных веществ при высоких давлениях (для этого вершины концов слегка приупляют и испытуемый образец помещают между ними).

Ни упругость,
ни пластинность…

Хорошо известны такие свойства твердых тел, как упругость и пластичность. Есть твердые тела, не обладающие этим свойствами; они похожи на очень важные жидкие например на вязкий вар, текущие, хотя и медленно, при любой малой нагрузке. Но теперь инженеры знают пластиссы, поведение которых не связается ни к одному из этих случаем. Это очень ярко видно на примере наблюдания за бутилметакрилатом (БМА).

Если пластинку из него согласить вводе, то сила, с которой ее надо удерживать, через несколько секунд значительно уменьшается (плasticка «привыкает» к новой форме), то есть обычной упругости здесь нет. Однако это и не пластичность, так как塑性 отпустить, то она медленно, но полностью распрямляется. Если же ей помочь распрямиться и отпустить, то она снова несколько сгибается

Рис. 1.

Рис. 2.

и лишь потом медленно сама выпрямляется. Это похоже на поведение чего-то живого, не желающего выполнять навязанные ему движения.

Проиллюстрируем сказано присуком 1, на котором показана последовательность соответствующих нагрузок (σ) и деформаций (ε) БМА. До t=0 долго поддерживает напряжение +σ₁, затем к нему добавляем —2σ₁ и ждем момент t₁, когда деформация ε обратится в нуль. Здесь нагрузку снимаем, то есть добавляем +σ₁. Казалось бы, после этого деформация должна монотно убивать до нуля. Но мы помним, что это не так (согнутая塑性 «сопротивления» помощи при разгибании), то есть в действительности процесс соответствует сплошной кривой AB с максимумом, а не пунктирной линии.

Своеобразно поведение этого материалов при периодическом нагрузке. Если колбания очень быстро, то он ведет себя как материал упругий и весма жесткий (линия AA на рисунке 2). Если они очень медленны, то материал тоже похож на упругий, но гораздо более мягкий (линия BB). Наконец, для промежуточных частот деформация «отстает» от напряжения, процесс соответствует замкнутой кривой, площадь которого есть потеря энергии на тепло за один период колбаний. В этом случае совмещаются свойства упругости и вязкости, то есть материал работает одновременно как рессора и как амортизатор.

15

Описание свойство может быть как полезным, так и вредным: например, деталь, отштампованная из БМА, может «вспомнить» исходную форму и сильно покоробиться.

Появление материалов нового класса, безусловно, интересно и в научном, и в практическом отношении. Изучением их занимается специалиста отрасль науки — геология.

Страницы koleбания

Не приходилось ли вам когда-нибудь наблюдать такую картину: таз со слегка выпуклым дом устойчиво стоит на столе, а на горячее плите он почему-то начинает раскачиваться, и колебания эти не затухают довольно долгое время? (Хозяйкам известно, что некоторые касроли тоже способны «плясать» на плите.) Как это можно обьяснить?

Устойчивость таза на столе вполне понятна — его центр тяжести С находится ниже центра кривизны дня O (рис. 1). Причина необычного поведения таза на горячее плите — в том, что в месте контакта с плитой до сильно разогревается и выпучивает внимание, в результате чего местный центр кривизны O’ оказывается ниже центра тяжести С (рис. 2), и равновесие становится неустойчивым. Этому способствует и то, что проревдна по толщине herabномерен: нижняя сторона его горячее, она расширяется больше, и выпukлость направлена именно вниз. На рисунке 2, где показан контакт с плитой, более горячея сторона дана таза зачеренна. Эффект еще усиливается, если в таз налита холодная вода — это увеличивает разность температур и коробление дня. Качнувшись в сторону, таз на мгновение останавливается, контакт и выпukлость образуют в новом месте, он качественно и т. д.

Холодный шар на горячее плите тоже будет неустойчив, но он становится не колебаться, а катиться в одном случае, он качественно и т. д.

Если же таз горячей, а плита холодная, то эффект будет обратным — случанные колебания таза очень быстро затухут, а качающий шар — остановится.

Тупость и геней

(Начало см. на с. 7)

Но история пятого поступата и неевклидовой геометрии показывает также, с каким трудом люди, даже деревко мыслящие, доходят до истин, которые, когда они уже открыты, оказываются простыми. Эта история показывает, насолько неповороливой былает мысль самых выдающихся ученых. Поэтому с деревостью мыслящие они соединиют скромность в оценке своих достижений. Так, Дарвин сказал о себе в авторографии: «Достойно удивления, что человек таких ограниченных способностей, как я, смог оказать неокторое влияние на мнення людей в науке».

Дерзость в достижениях и скромность в их оценке, глубокое понимание того, что достигнутое — только капля в окане неодтигнутого и непозначенного, этому, вместе с законами и теориими, тоже можно учится у великих ученых, у истории науки.

16

Разбение фигур

В последнее время большое развитие получила комбinatorная геометрия — наука, изучающая оптимальные конфигурации точки или фигур. Она все больше применяется в транспорте (укладка грузов), конструкровании (компоновака деталей), архитектуре (планировка) и во многих других отраслях народного хозяйства.

Чтобы посянить одну из очень известных задач комбinatorной геометрии, введем понятие диаметра фигуры. Диаметр фигуры — это такое число $d$, что расстояние между любыми двумя точками фигуры не превышает $d$, но для любого числа, меньше $d$, в ней найдется точки, расстояние между которых превышает $d$. Например, круг диаметра (в традиционном смысле) $d$ является фигурой диаметра $d$. Правильный треугольник со сторонай $d$ тоже имеет диаметр $d$.

Плоская (пространственная) фигура называется ограниченной, если она содержится в некотором круге (шар). Если фигура имеет диаметр, то она, оченьindo, ограниченная. Можно доказать, что верно и обратное.

Точка плоской фигуры называется граничной, если в любом круге с центром в этой точке имеется как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей. Фигура называется замкнутой, если она содержит все свои граничные точки. Например, плоская фигура $A_1 = \{(x; y) | x^2 + y^2 \leq 1\}$ — замкнутая, а фигуры $A_2 = \{(x; y) | x^2 + y^2 < 1\}$ и $A_3 = \{(x; y) | 0 < x^2 + y^2 \leq 1\}$ — не замкнутые.

Оказывается, если ограниченная фигура замкнута, то в ней найдется пара точек,

Эта заметка основана на докладе, который в ноябре 1981 г. девятиклассик Антон Баков (Свердловск) сделал на XIII конференции юных математиков в Батуми («Квант», 1982, № 4).

Рис. 1.

17

люших» фигур. Здесь не годились ни «шестнуюльник Пала» (любая плоская фигура диаметра $d$ содержится в нем), ни круг диаметра $d$ (многие фигуры диаметра $d$, например правильный треугольник со стороной $d$, не «влезут» в него). Искомыми фигурами оказались так называемые фигуры постояной ширины.

В доказательстве своей теоремы Пал использовал опорные прямы. Прямая называется опорной к данной плоской фигуре, если она имеет с фигурой хотя бы одну общую точку и вся фигура лежит от нее по одному сторону (рис. 2). Число $h$ называется шириной фигуры, если у нее есть параллельные опорные прямы, расстояние между которых равно $h$. Вообще говоря, фигура может иметь много «ширин» (рис. 3). Если ширина фигуры не зависит от направления опорных прямы, фигура называется фидурой постояной ширины (рис. 4).

Оказывается, любая плоская фигура диаметра $d$ содержится в некоторой фигуре постояной ширины $d$. Было также доказано, что фигуру постояной ширины $d$ нельзя на 2 части диаметра меньше $d$.

Эти сообщения позволили советскому математике В. Г. Болтянскому в 1969 г. доказать, что плоскую фигуру диаметра $d$ тогда и только тогда нельзя разить на 2 части диаметра меньше $d$, когда она содержится в единственной фигуре постояной ширины $d$.

Решение рассмотренной задачи послужило фундаментом для дальнейшего развития комбинаторной геометрии.

Сегодня эта задача решена не только для плоскости: доказан эквивалент теоремы Борсука для трехмерного пространства (там всегда достаточно 4 частей). Существует гипотеза, что для $n$-мерного пространства всегда достаточно $n+1$ частей.

Задачи (добавлены В. Г. Болтянским)

1. Докажите, что диаметр многоугольника равен наибольшем из расстояний между его вершинами.

2. Опираясь на теорему Пала, докажите, что любую плоскую фигуру диаметра $d$ можно разить на три части, диаметр каждой из которых не превысит $\frac{\sqrt{3}}{2} d \approx 0,866 d$.

3. В правильном многоугольнике с нечетным числом сторон проведены другие окружности, каждая из которых содержит концы сторон и имеет центр в противолежащей вершине (см. рис. 4). Докажите, что эти другие ограничивающие фигуру постояной ширины.

4. Докажите, что правильный многоугольник с нечетным числом сторон, у которого наибольшая диагональ имеет длину $d$, не может быть разить на две части, каждая из которых имеет диаметр меньше $d$.

5. От круга диаметра $d$ отрезан сегмент, меньший полукруг. Полученная фигура $F$ по-прежнему имеет диаметр $d$. Ее легко разить на две части диаметра меньше $d$ (как?. Следовательно, $F$ содержится в разных фигурах постояной ширины $d$. Приведите две такие фигуры.

6. Докажите, что вписанный многоугольник с нечетным числом сторон может быть разить на две части меньше диаметра. Верно ли это для произвольного многоугольника с нечетным числом сторон?

7. Пусть $|AB| > d$ и фигур $M$ («двуугольник») представляется собой пересечение двух кругов радиуса $d$ с центрами $A$ и $B$. Докажите, что если фигура диаметра $d$ целиком содержится в двухугольнике $M$, то ее можно разить на две части диаметра меньше $d$.

18

Задачи

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи несандарты, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмещаются звездочкой. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задания публикуются впервые. Задачи по математике из этого номера предлагались этим летом на XXIII Международной математической олимпiadе. Решения задач из этого номера можно отправлять не позднее 28 февраля 1983 года по адресу: 103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачник «Кванта» № 12 — 82» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M776, M777» или «Ф788». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

M776 — M780; Ф788 — Ф792

M776. На диагоналях AC и CE правильно шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, такие что

$$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|} = \lambda.$$

Известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой. Найдите λ.

M777. Дано уравнение $x^3 - 3xy^2 + y^3 = n$. Доказите, что a) если натуральное n такое, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по меньшей мере три целочисленных решений;
6) при n=2891 это уравнение не имеет целочисленных решений.

M778*. Дан неравноведенный треугольник $A_1A_2A_3$. Пусть $a_i$ — его сторона, лежащая против вершины $A_i$ ($i=1, 2, 3$), $M_i$ — середина стороны $a_i$, $T_i$ — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данной треугольник, и $S_i$ — точка, симметричная $T_i$ относительно биссертрисы угла $A_i$ треугольника. Доказите, что прямые $M_1S_1$, $M_2S_2$ и $M_3S_3$ имеют общую точку.

M779*. Расматривают последовательности $\{x_n\}$ положительных чисел, удовлетворяющих условиям

$$1 = x_0 \geqslant x_1 \geqslant x_2 \geqslant \dots \geqslant x_n \geqslant \dots$$

a) Доказите, что для любой такой последовательности $\{x_n\}$ существует n, при котором

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} \geqslant 3,999.$$

6. Найдите такого последовательности $\{x_n\}$, удовлетворяющего указанному условиям, для которой любом n

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} < 4.$$

А. Гришков

M780*. Дан квадрат K со стороны 100. Пусть L — несамопересекающая незамкнутая ло-

21

enclose an unstamped self-adressed envelope — we shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant problem contest. If you have an original problem to propose for publication please send it to us under separate cover, in two copies (in Russian or in English), including the solution. On the envelope write “NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS)” with the horizontal plane and the angle $\varphi$ with the line $AB$ (see Pис. 1). For what minimal initial speed will the body move without detaching itself from the tube’s surface?

S. Krotov

P789. A detail with flat bottom, shaped on a lathe, is placed inside a receptacle, into which water is poured. The figure Pис. 2 shows how the force $F$ with which the detail presses on the bottom depends on the water level $H$ in the receptacle (no water seeps under the detail’s bottom). Use the graph to determine the area of the detail’s bottom, its volume and the density of the material out of which it is made. Make an approximate sketch of the detail. At what height is the area of its horizontal section equal to that of its bottom?

D. Belov

P790. A bar of mass $m$ is attached to a wall by means of a spring of rigidity $k$. A second bar of the same mass lies at a distance $d$ from the first one (figure Pис. 3). What minimal speed must the second bar be given in order to make the first bar return to its initial position after the bars collide with each other? The friction coefficient of the bars on the surface does not depend on velocity and equals $\mu$; the collision may be assumed perfectly elastic.

V. Peterson

P791. A cylindrical receptacle closed by a piston contains 1 mole of ideal monoatomic gas. The piston’s mass is $M$, its area is $S$. What quantity of heat must be supplied to the gas in unit time to make the piston move uniformly upward with velocity $v$? The atmospheric pressure is $p_0$. There is no friction between the piston and the walls of the receptacle.

D. Podlesnyi

P792*. A two-wire telephone line links Moscow and Leningrad. The resistance of one meter of the wire is $r = 0.05$ Ohm. Because of imperfections in the insulation, the resistance between the two wires is $R = 10^7$ Ohm per meter of the line. A source of tension $U = 100$ v is switched on to the ends of the wire in Moscow. What will the voltmeter reading be a) at the ends of the line in Leningrad? b) in the middle of the line?

Z. Rafailov

Решения задач

M750—M758; Ф768—Ф777

В решении мы многоократно использовем «приицип Дирекле»*.

a) Этот пункт — частный случай следующого.

b) Рассмотрим горизонтальную полосу бумаги ширины $lN$ (рис. 1). Она состоит из бесконечного числа столбцов высоты $lN$. Средние них найдется $m$ одинаково окрашенных столбцов (общее число разных раскрасок конечного). Проведем через эти столбцы $m$ вертикальных прямы.

Так как каждый из выбранных столбцов окрашен в $N$ цветов, найдется цвет, который встретиется в одном (и, стало бы, в любом) из них не меньше $l$ раз (иначе высота столбца меньше $lN$). Через клетки этого цвета проведем $l$ горизонтальных прямы.

b) Пусть клетки окрашены в красный и синиый цвет. Рассмотрим целочкупно не пересекающих квадратов $3 \times 3$, расположенных по «динагонали» (рис. 2).

*) См., например, статью В. Болтянского в «Кванте», 1977, № 2.

22

ди них найдуться два одинаково раскрашенных квадрата (число способов раскраски квадрата 3×3 в 2 цвета конечно). На диагонали каждой из квадратов есть по 2 клетки одного цвета (на рисунке 2 это красные клетки). Расмотрим клетки, получающейся в пересечении вертикальных и горизонтальных полосок, проходящих через эти красные клетки. Если хотя бы одна из них красная — задча reшена. Если нет, то все они синнего цвета, и из них легко выбрать такие три, что их центры образуют равнобедренный прямогольный треугольник.

г) Будем рассудать аналогично с решением пункта в). Расмотрим бесконечную цепочку достаточно больших квадратов, расположенных по диагонали (что значит «достаточно большой» — выяснить ниже). Среди них всегда найдуться два одинаково раскрашенных. Пусть сторона большого квадрата настолько велика, что вдоль его диагонали можно помещить большие квадратов 4×4, чем число способов раскраски квадрата 4×4 в 3 цвета. Тогда на диагонали каждой из двух выбранных нами одинаковых больших квадратов будет по крайней мере по 2 одинаково раскрашенных квадрата 4×4 (рис. 3). На диагонали каждой из них найдуться как минимум по 2 одинаково окруженных (и одинаково расположенных) клетки — на рисунке 3 их центры помещены красными точками; одинаковый цвет имеет и 4 соответственные клетки этих квадратов с синними центрами, а также 2 соответственные клетки больших квадратов с желтыми центрами. Если цветка каких-то двух из указанных трех групп клеток совпадает, то, очевидно, один из треугольников, выделенных на рисунке 3, будет искомым. В противном случае можно считать, что цвета всех этих клеток совпадают с цветами их центров. Тогда в какой бы из трех цветов — желтый, синний или красный — ни была окружена клетка с черным центром (см. рис. 3), один из трех равнобедренных прямогольных треугольников с общей вершиной в этом центре и двумя другими вершинами или в желтых точках, или в крайних синих, или в крайних красных будет «одноцветным».

С. Бесплатных

Эта задача тесто связывана с так называемой «теоремой Ван-дер-Вардена о прогрессиях», о котором мы раскажем в одном из ближайших номеров.

М 751. На окружности отмеченны 3k точек, разделяющих ее на 3k дуе, из которых k дуе имеет длину 1, если k дуе — длину 2, и остальные k дуе — длину 3. Доказите, что среди отмеченных точек найдуться две диаметрально противоположные.

Рис. 1.

Поделим образователься на окружности дуги длины 2 и 3 на равные части длины 1 и пометим эти k+2k=3k точек деления черным цветом, а данные по условию 3k точек — красным. Всего будет отмечен 6k точек — вершины правильного 6k-угольника (рис. 1). Далее будем рассудать от противного.

Предположим, что утверждение задачи неверно, тогда каждой точке данной окружности L0 диаметрально противоположна отмеченая черная точка. Поэтому против каждой из k дуе длины 1 с красными концами лежит дуга длины 1 с черными концами, то есть средняя часть одной из k дуе длины 3 с красными концами (см. рис. 1). Вырежем из окружности L0 две такие противоположные единичные дуги и из двух оставшихся больших дуг сделаем новую окружность L1 (рис. 2); она будет состоять из 6k—2 единичных дуг, концами которых служат 3k—1 красных и столько же черных точок. При этом диаметрально противоположные точки окружности L0 перейдут в противоположные точки окружности L1, поэтому против каждой точки будет по-прежнему расположаться черная. Красные точки разделят L1 на участки длины 1, 2 или 3, причем единичных участков будет k—1 — на 1 меньше, чем было до перестройки, двойных будет k+1 — на 1 больше, а тройных, как и единичных, — на 1 меньше.

23

Рис. 2.

М752. Квадратная таблица $n \times n$ клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отлично от других не больше, чем на 1. Доказите, что хотя бы одно число встречается в таблице:

a) не менее чем $|n/2|$ раз ($|a|$ — целая часть $a$);
b) не менее чем $n$ раз.

Рис. 1.

Рис. 2.

$k-1$ — на 1 меньше, чем было до перестройки, двойных будет $k+$ — на 1 больше, а тройных, как и единичных,— на 1 меньше.

Эту операцию выбрасывания двух друг длины 1 можно проделать и с $L_1$, затем — с полученной окружностью $L_2$ и т. д., всего $k$ раз (столько, сколько имеющих первогоально единчных — и противожащих им тройных — друг с красными концами). В итоге получится окружность $L_k$, составленная из друг длины 1, концами которых служат $2k$ красных и $2k$ черных точек, причем против каждой красной точки будет, как и равше, расположаться черная. С другой стороны, участков длины 1 или 3 с красными концами на $L_k$ уже не остаются (на каждом шагу число тех и других уменьшалось на 1), то есть красные точки будут разбиать $L_k$ на $2k$ участков равной длины (длинны 2). Поэтому против каждой красной точки должна оказаться красная.

Требуемое противоречие получено.

Точно так же доказывается аналогичное утверждение для окружности, разбитой на $k$ единичных, $l$ двойных и $k$ тройных друг, где $k+l$ — четное число.

В. Дубровский

Нам понадобится следующая

Лемма. Пусть дана цепочка из $N$ клеток таблицы (каждая клетка границит с предыдущей по общей стороне), в крайних клетках которой записаны числа $a$ и $b$ (рис. 1). Тогда $|a-b| \leq N-1$; 2) любое цепое число $x$, заключенное между $a$ и $b$, записано в одной из клеток цепочки.

Доказательство. Пусть $x_i$ — число, записанное в $i$-й клетке цепочки, тогда утверждение вытекает из того, что

$$|a-b| = |a-x_2 + x_2-x_3 + \ldots + x_{N-1}-b| \leq |a-x_2| + |x_2-x_3| + \ldots + |x_{N-1}-b|,$$

а разность двух соседних чисел не больше 1. При доказательстве второго утверждения будем для определения считать, что $a < x \leq b$. Двинимся по цепочке от первого клетки (с числом $a$) и найдем последнюю клетку, в которой еще записано число, не превысodiaщее $x$. Эта клетка — искомая: в ней записано $x$, поскольку и в следующей клетке было бы число, не превысodiaщее $x$ (ведь числа в соседних клетках отлично не больше чем на 1).

a) Пусть $M$ и $m$ — наиболее и наиболее числа в таблице. Поскольку любые две клетки можно соединить цепочкой не более чем из $2n-1$ клеток, из неравенства леммы следует, что $|M-m| \leq 2n-2$. Поэтому в таблице встречается не более чем $2n-1$ различных чисел, а значит, хотя бы одно из них записано не менее чем в $[n^2/(2n-1)]$ клетках. Но $n^2/(2n-1) > n/2$, откуда и следует утверждение a).

b) Пусть $M_k$ и $m_k$ — наиболее и наиболее числа в $k$-м столбце. Если найдется такое число $x$, что $m_k \leq x \leq M_k$ сразу при всех $k$ от 1 до $n$, то по второму утверждению леммы числа $x$ встречается в каждой столбце, то есть не менее $n$ раз. Если же такого числа нет, то для некоторых номеров $k$ и $l$ имеем $m_k \leq M_k < m_l \leq M_l$, то есть любое число $k$-го столбца меньше числа $l$-го столбца. Применив то же утверждение к числу $y$, заключенное между $M_k$ и $m_l$, и горизонтальным цепочкам между $k$-м и $l$-м столбцами, мы получим, что число $y$ записано в каждой строке, и значит, не менее чем $n$ раз.

Заменить в задаче 6) число $n$ на большее нельзя, как показывает таблица, изображенная на рисунке 2.

А. Берзинь

24

M753. Числа a, b, c лежат в интервале [0, π/2] и удовлетворяют равенства
cos a=a,
sin cos b=b,
cos sin c=c.

Расположите эти числа в порядке возрастания.

Ответ: b<a<c. Для доказательства заметим, что, поскольку sin x<x при всех положительных x, а cos x убивает в интервале ]0; π/2 [, при всех x∈]0; π/2 [ справедливо следующое двойное неравенство:
sin cos x<cos x<cos x.

Отсюда вытекает, что
b=sin cos b<cos b, cos c<cos sin c=c,
то есть
cos b-b>0=cos a-a>cos c-c.

Но функция y=cos x-x убивает в интервале ]0; π/2 [, следовательно, b<a<c.

С. Гесси

M754. a) Существуют ли многочлены
P=P(x,y,z),
Q=Q(x,y,z),
R=R(x,y,z)
от переменных x, y, z также, что выполено тождество
(x-y+1)³P+(y-z-1)³Q+
+(z-2x+1)³R=1?
6) Тот же вопрос для тождества
(x-y+1)³P+(y-z-1)³Q+
+(z-x+1)³R=1.

a) Ответ: не существует. Заметим, что система уравнений
x-y+1=0, y-z-1=0, z-2x+1=0
имеет решение (x,y,z)=(1,2,1). При подстановке этих значений переменных в рассматриваемое тождество многочлены при многочленах P, Q и R, а с ними и всяя часть, обращаются в нуль, и тождество нарушается, какие бы многочлены мы ни выбрали.

6. Ответ: существуют. Пусть f=x-y+1,
   g=y-z-1, h=z-x+1, тогда f+g+h=1 при всех значениях x, y и z. Возведя последнее тождество в седьмую степень, получим, что 1 представляется в виде суммы слагаемых вида f⁵·g⁵·h⁵, где k, l, m≥0 и k+l+m=7, а значит, хотя бы одно из чисел k, l, m не меньше 3. Таким образом, каждое из этих слагаемых делится или на f³, или на g³, или на h³. Группируя все слагаемые, делящиеся на f³, и вынося f³ за скобки, получим f³·P. Группируя те из оставшихся слагаемых, которые делятся на g³, получим g³·Q. Сумма остальных слагаемых равна h³·R (P, Q и R — какие-то многочлены от x, y, z). В итоге мы получим тождество нужного вида:
   f³·P+g³·Q+h³·R=1.

П. Гусятников,
Ю. Нестеренко

Отредакции. Эти задачи наводят на мысль, что верна общая теорема: если многочлены F₁, F₂, …, Fₙ (от одного или нескольких переменных) не обращаются одновременно в нуль, то найдет также многочлены P₁, P₂, …, Pₙ, что F₁P₁+F₂P₂+…+FₙPₙ=1. Такая теорема в самом деле верна, если учитывать не только действительные, но и комплексные значения переменных*). Более того, эта теорема — частный случай значений теоремы Гильберта о корнях: если многочлен G обращается в 0 при всех тех (комплексных) значениях переменных, при которых одновременно F₁=0, …, Fₙ=0, то существуют многочлены P₁, P₂, …, Pₙ и натуральное число r также, что

F₁P₁+F₂P₂+…+FₙPₙ=G'.

Возьемем на лучах, содействияющих точку M с вершинами данного тераэдра, точки A, B, C и D на расстоянии 1 от M. Очевидно, точки M будет находиться внутри нового тераэдра ABCD и его ребра видны из этой точки под теми же

*) О комплексных числах расссказываюсь в статьях Л. Понтрягина в «Кванте», 1982, №№ 3, 4.

25

углами, что и ребра данного tetraэдра. Поэтому, не теряя общности, можно заменить данный tetraэдр на $ABCD$.

Первое решение. Поскольку точка $M$ лежит внутри tetraэдра, луч $DM$ проходит внутри его трехгранного угла при вершине $D$ и потому пересекает плоскость $ABC$ в некоторой точке $P$, причем точка $P$ находится внутри треугольника $ABC$ (рис. 1). Допустим, что косинус углов $AMD, BMD$ и $CMD$ больше — 1/3 (инначе доказывается нечего). Тогда сами эти углы меньше $\varphi = \arccos(-1/3)$, а значит углы $AMP, BMP$ и $CMP$ больше чем $180^\circ - \varphi$. Отсюда вытекает, что длины отрезков $AP, BP$ и $CP$ больше sin $\varphi$.

Действительно, возьмем, например, отрезок $AP$. Если угол $AMP$ — острый, то sin $\overrightarrow{AMP} > \sin(\pi - \varphi) = \sin \varphi$. В то же время $|AP|$ не превысит расстояния от точки $A$ до прямой $MP$, которое равно $|AM| \cdot \sin \overrightarrow{AMP} > 1 \cdot \sin \varphi$ (см. рис. 1). Если угол $AMP$ — тупой или прямой, то $AP$ — наиболее сторона в треугольнике $AMP$ и $|AP| > |AM| = 1 > \sin \varphi$.

Поскольку точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC$, один из углов $APB, BPC$ и $CPA$ не меньше $120^\circ$. Пусть $\overrightarrow{APB} \ge 120^\circ$, тогда

$$|AB|^2 = |AP|^2 + |BP|^2 - 2|AP| \cdot |BP| \cdot \cos \overrightarrow{APB} > \sin^2 \varphi + \sin^2 \varphi - 2 \sin^2 \varphi \cdot \cos 120^\circ = 3(1 - \cos^2 \varphi) = \frac{8}{3}.$$

С другой стороны, полагая $\alpha = \overrightarrow{AMB}$, мы имеем

$$|AB|^2 = |AM|^2 + |BM|^2 - 2|AM| \cdot |BM| \cos \alpha = 2(1 - \cos \alpha).$$

Таким образом, $2(1 - \cos \alpha) > 8/3$; следовательно, $\cos \alpha < -1/3$.

Второе решение. Обозначим векторы $\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}$ и $\overrightarrow{MD}$ через $e_1, e_2, e_3, e_4$ (рис. 2). Так как точка $M$ лежит внутри tetraэдра, никакие три из них не комплинаны. Разложим вектор $e_4$ по остальным трех:

$$e_4 = y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3.$$

Заметим, что коэффициенты $y_1, y_2$ и $y_3$ отличаются. В самом деле, расстояние, например, $y_3$. Вектор $e_4$ есть сумма вектора $y_1 e_1 + y_2 e_2 = \overrightarrow{MK}$, где $K$ — некооторая точка плоскости $ABM$, и вектора $\overrightarrow{KD} = y_3 e_3$, колlinearного вектор $e_3$ (см. рис. 2). Точка $M$ лежит внутри tetraэдра, поэтому точки $C$ и $D$ лежат по разные сторонам от плоскости $ABM$, а значит, векторы $\overrightarrow{MC} = e_3$ и $\overrightarrow{KD} = y_3 e_3$ противоположно направлены, то есть $y_3 < 0$.

Положим $x_i = -y_i$ при $i = 1, 2, 3$ и $x_4 = 1$, тогда полученное разложение вектора $e_4$ перепишется в виде

$$x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 + x_4 e_4 = 0,$$

причем все числа $x_i$ положительные. Пусть $x_1$ — наиболее числа (1) скалярно на вектор $e_1$:

$$x_1 + x_2 \cos \alpha_2 + x_3 \cos \alpha_3 + x_4 \cos \alpha_4 = 0,$$

где $\alpha_i$ — угол между векторами $e_1$ и $e_i$ ($i = 2, 3, 4$), и перегруппируем слагаемые:

$$\left( x_1 - \frac{1}{3} \left( x_2 + x_3 + x_4 \right) \right) + x_2 \left( \cos \alpha_2 + \frac{1}{3} \right) + x_3 \left( \cos \alpha_3 + \frac{1}{3} \right) + x_4 \left( \cos \alpha_4 + \frac{1}{3} \right) = 0.$$

Первое слагаемое влевой части неотрицательно, так как $x_1 \ge x_i$ при $i = 2, 3, 4$; поэтому хотя бы одно из остальных слагаемых неоположительно: $x_i \left( \cos \alpha_i + \frac{1}{3} \right) \leq 0$ для некооторая $i$. Но $x_i > 0$; следовательно, $\cos \alpha_i < -1/3$.

Сделаем два заменения. Во-первых, построенную — 1/3 в условиях уменшить нельзя, как показывает пример правильного tetraэдра $ABCD$ и его центра $M$. В этом случае

27

М758*. Какое наименьшее количество цесел необходимо вычернуть из последовательности 1, 2, 3, …, 1982, чтобы ни одно из оставшихся цесел не равнялось произведению двух других оставшихся цесел?

Ответ: 43 цесла; можно вычернуть цесла 2, 3, …, 44.

Если вычернуть указанные 43 цесла, то условие задачи будет выполнено, либо произведение любых двух из оставшихся цесел (исключая 1) будет больше чем $45^2 = 2025 > 1982$. Покажем теперь, что если вычернуть меньше чем 43 цесла, то останется 3 цесла, произведение двух из которых равно третьему.

Рассмотрим 43 тройки цесел
$(2, 87, 2 \cdot 87), (3, 86, 3 \cdot 86), ..., (44, 45, 44 \cdot 45)$.

Так как функция $x \cdot (89 - x)$ на отрезке [2; 44] возрастет, все вычисленные цесла различны и не превысают 44 · 45 = 1980 < 1982. Если вычернуть менее 43 цесла, то хотя бы одна из вычисленных троек останется, и условие задачи будет нарушено.

Л. Курляндчик

Ф768. По главному столу движется, быстро врачаясь воркут свое оси, волокок, имеющий форму конуса (см. рисунок). При какой скорости v поступательного движения волокок не ударится о край стола, сосочив с него? Ось волока остается вертикальной. Размеры волка указаны на рисунке.

Соскочив со стола, волокок будет двигаться по параболе (вращение лишь стабилизирует вертикальное положение оси волка). Горизонтальная проекция $v_x$ скорости волка будет равна скорости $v$ его поступательного движения по столе; вертикальная проекция будет меняться со временем по закону $v_y = gt^2/2$. Волокок не ударится о край стола, если за время $t$, за которое он сместится по вертикали на $H$, его смещение по горизонтали будет больше или равно $r$ (см. рисунок). Запишем это условие:

$$v_x\tau = v\tau \geq r, \quad \tau = \sqrt{\frac{2H}{g}}.$$

Таким образом, скорость поступательного движения волка должна удовлетворять условию:

$$v \geq \sqrt{\frac{r^2g}{2H}}.$$

А. Зильберман

Ф769. Массивный цилиндр радиуса $R$ опирается на две подставки одинаковой высоты (см. рисунок). Одна подставка неподвижна, а другая вызжает из-под цилиндра со скоростью $v$. С какой силой давит цилиндр на неподвижную подставку в тот момент, когда расстояние между точками опоры равно $R\sqrt{2}$? Считать, что в начальной момент подставки располагается очень близко друже к дружеу; трене между цилиндром и подставками отсутствует.

До тех пор, пока цилиндр не оторвется от опор, осылиndра будет всегда находиться точно посередине между опорами. Следовательно, горизонтальная проекция скорости оси цилиндра (точки $O$ на рисунке) равна $v/2$. Поскольку все точки оси движут по окружности с центром в точке $A$, полная скорость $u_t$ каждой точки оси направлена в любой момент времени перепедикулярно радиусу $OA$. Следовательно, все точки оси движут с центростремительным ускорением $a_t = u_t^2/R$.

Запишем уравнение движения точки $O$ в проекции на ось $Y$ (см. рисунок):

$$Mg \cos \alpha - N = Ma_t = M \frac{u_t^2}{R},$$

где $N$ — абсолотное значение силы реакции со стороны неподвижной опоры. По III закону Ньютона с такой же по абсолотной величины силой цилиндр давит на неподвиж-

28

нуло опор. Из уравнения (*) находится
$$N = Mg \cos \alpha - M \frac{u^2}{R}.$$
В тот момент, когда расстояние между опорами равно $|AB| = R\sqrt{2}$,

$$\cos \alpha = \frac{R\sqrt{2}}{2R} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$
Горизонтальная проекция скорсти точки $O$ равна $u_i$ cos $\alpha = v$, откуда $u = v/\sqrt{2}$. Таким образом, при $|AB| = R\sqrt{2}$

$$N = M \frac{g}{\sqrt{2}} - M \frac{v^2}{2R}.$$
Для того чтобы цилиндр не оторвался от опор до того, как $|AB|$ становится $R\sqrt{2}$, должно выполнять условие $\frac{g}{\sqrt{2}} > \frac{v^2}{2R}$, то есть $v < \sqrt{gR\sqrt{2}}$.

С. Кротов

Ф770. В теплозолюрованном цилиндре под легким поршнем находится смесь равных количеств воды и льда: $m_B = m_\pi = m = 1$ кг. Давление на поршень медленно увеличивается от начального значения $p_0 = 10^5$ Па до $p_1 = 2,5 \cdot 10^6$ Па. Определить, сколько льда при этом растает и какую работу совершит雯ня сила. Известно, что для уменшення температуры плавления льда на 1 градус нужно довести давление до $p = 14 \cdot 10^6$ Па.

1. Решите задачу, считая воду и лед несжимаемыми.

2. Оцените поправку, которую дает учет скимаемости.
   Известно, что для уменшення объема неокоторого количества воды на 1% давление нужно поднять до $p' = 20 \cdot 10^6$ Па. Сжимаемость льда примите для оценки равной половине скимаемости воды.
   Удельные теплозолюкости воды и льда — $c_B = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К), $c_\pi = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К); удельная теплота плавления льда $\lambda = 3 \times 10^5$ Дж/кг, плотность льда $Q_\pi = 0,9Q_B$, где $Q_B$ — плотность воды.

3. Сначала найдем уменшение температуры смеси в результате увеличения внешнего давления:

$$\Delta T = \frac{p_1}{p} \approx 0,17 \text{ K}.$$
Столь малое изменение температуры указывает на то, что растает малое количество льда, то есть $\Delta m \ll m_\pi$.
Запишем закон сохранения энергии:

$$A = \lambda \cdot \Delta m - (c_\pi + c_B)m \cdot \Delta T.$$
Оценим значение работы $A$ внешней силы. Изменение объема смеси в результате таяния массы $\Delta m$ льда равно

$$\Delta V = \frac{\Delta m}{Q_\pi} - \frac{\Delta m}{Q_B} = \Delta m \frac{Q_B - Q_\pi}{Q_B Q_\pi} \ll 0,1 \frac{m}{Q_\pi} \sim 10^{-4} \text{ m}^3,$$
следоватьно,

$$A \approx p_1 \cdot \Delta V \ll 2,5 \cdot 10^2 \text{ Дж}.$$
Количество тепла $\Delta Q$, необходимое для нагрева массы $m$ льда и массы $m$ воды на $\Delta T$ градусов, равно

$$\Delta Q = (c_\pi + c_B)m \cdot \Delta T \approx 1,1 \cdot 10^3 \text{ Дж}.$$
Видно, что $A \ll \Delta Q$; поэтому можно для оценки считать, что $\lambda \cdot \Delta m \approx \Delta Q$, откуда

$$\Delta m = \frac{\Delta Q}{\lambda} \approx 3,7 \cdot 10^{-3} \text{ кг}.$$
Изменение объема за счет таяния этой массы льда равно

$$\Delta V = \Delta m \frac{Q_B - Q_\pi}{Q_B Q_\pi} \approx 4 \cdot 10^{-7} \text{ m}^3.$$
Учитывая, что при медленном увеличении давления $\Delta V \sim \Delta p$, найдем работу внешней силы:

$$A = \frac{1}{2} p_1 \cdot \Delta V \approx 0,5 \text{ Дж}.$$
2) Прием во внимание скимаемость льда и воды. Изменение объема льда и воды будет равно

$$\Delta V' = \frac{p_1}{p'} \cdot 10^{-2} V_{\text{OB}} + \frac{p_1}{p'} \cdot 10^{-2} \frac{V_{\text{OI}}}{2},$$
где $V_{\text{OB}} = 10^{-3} \text{ m}^3$ и $V_{\text{OI}} = 1,1 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3$ — начальные объемы воды и льда. Подставляя числовые данные, находим

$$\Delta V' \approx 2 \cdot 10^{-6} \text{ m}^3.$$

29

Работа $A'$ внешней силы, затраченная на скатные смеси, равна

$$A' = \frac{1}{2} p_1 \cdot \Delta V' \approx 2,5 \text{ Дж}.$$

Полная работа внешней силы равна

$$A_\pi = A + A' \approx 3 \text{ Дж}.$$

А. Буздин

Ф771. В схеме, приведенной на рисунке 1, диод Д и катушка с индуктивностью $L$ в момент времени $t=0$ при помощи ключа К подключаются к источнику переменного напряжения $u = U_M \cos \omega t$. Определить силу тока в катушка как функцию времени; построить график этой функции. Диод и катушка считать идеальным. Внутренним сопротивлением источника претенбрь.

Рис. 1.

Рис. 2.

напряжение на катушка будет меняться со временем по закону

$$u = U_M \cos \left( \omega t + \frac{3}{2} \pi \right) = U_M \sin \omega t.$$

Так в катушка будет меняться по закону

$$i = \frac{U_M}{\omega L} (1 - \cos \omega t)$$

(тут учтено, что при $t = t_2$ $I = 0$).

На рисунке 2 приведены графики $u(t)$ и $i(t)$.

В. Скороваров

Ф772. Междупленный кораль совершил мяскую посядку на Луну. Кораль имеет форму диска радиуса $r=4 \text{ м}$; его поверхность покрыта черной (неотражающей) красной. Можно ли обнаружить приложение кораль с помощью самого большого в мире светского телевиса БТА с

Вследствие диффрациции света на оправе объекта с помощью телевиса можно различить две точки на поверхности Луны, находящиеся на расстоянии не менее

$$R = \frac{\lambda}{D} L = 40 \text{ м}.$$

Объекты, размер которых меньше $R$, не отличны от точного объекта. Для того чтобы прочитать букву, нужно различать несколько ее элементов. Оценка числа этих элементов может быть сделана только приближенно. Для

30

диаметром объекта $D = 6\text{ m}$, если в фокальной плоскости установить фотопластику и сформировать участок поверхности Луны, в котором находится предполагаемое место приложения?

Приятить, что надежно разчитаемая контрастность изображения на фотопластике (то есть минимальная относительная разница в освещенности светлых и темных частей изображения) равна $k = 0,05$.

Расстояние от Земли до Луны $L = 4 \cdot 10^5\text{ km}$; фотопластирование ведется в свете с длиной волны $\lambda = 0,6\text{ мкм}$. Оценить, при каком размере букв, выложенных космонавтами на поверхности Луны, их можно прочесть при наблюдении с Земли с помощью телескопа БТА.

Ф773. На цереховатой наклонной плоскости с углом наклона $a$ лежит тело, к которой прирязана лежая нерастяжимая нить. Свободный конец нити пропущен через маленькое отверстие в плоскости. В начальной момент тело лежит на плоскости так, что нить горизонтальная (рис. 1). Нить начинают медленно вытяивать; при этом тело к моменту достижения отверстия описывает поливную окружность. Найти величины коэффициента треня тела о плоскость.

Ф774. Для многохвостев существуют такие значения температуры $T_{\text{tp}}$ и давления $p_{\text{tp}}$, при которых все три фазы этого можно попытаться, например, изобразать буквы цепочки соприкасающихся кругков. Число кругков в таких цепочках должно не меньше 5—6, чтобы буквы отличались друг от друга. Учитывая, что радиус этих кругков на поверхности Луны должно быть $R = 40\text{ m}$, мы получим оценку размена буква: $l \approx 400-500\text{ m}$.

При фотографировании освещенности любой точки изображения Луны в фокальной плоскости объекта создается за счет излучения всех элементов поверхности Луны, лежащих в пределах круга радиуса $R = 40\text{ m}$, то есть площади $S = \pi R^2$. Если часть площи этого круга будет закрыт черным (неотражающим) диском площи $s = \pi r^2$, то освещенность изображения точки приложения будет пропорциональна $(S-s)$, в то время как в других точках она пропорциональна $S$. Следовательно, контрастность изображения будет равна

$$k = \frac{S - (S - s)}{S} = \frac{s}{S} = \left( \frac{r}{R} \right)^2 = 10^{-2}.$$

Эта величины меньше заданной в условиях надежного различиной контрастности изображения $k_{\text{min}} = 5 \cdot 10^{-2}$. Следовательно, междупленный корпель обнаружить неудостяя.

С. Козел

◆ На рисунке 2 приведена траектория движения тела от начального положения до отверстия (плоскость рисунка совпадает с наклонной плоскостью). Точка $O'$ — центр полукружности, по которой движется тело.

Поскольку нить вытягаивает медленно, можно считать, что в каждой момент времени тело находится в состоянии равновесия. Запишем условие равновесия тела для момента, когда нить составляет угол $\varphi$ с горизонтальной $OO'$ (рис. 2).

В проекциях на ось $X$ —

$$f \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2\varphi \right) = T \cos \varphi,$$

или $f \sin^2 \varphi = T \cos \varphi.$

В проекциях на ось $Y$ —

$$f \cos 2\varphi + T \sin \varphi = mg \sin \alpha.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

В проекциях на ось $Y'$, перpendикулярную наклонной плоскости (см. рис. 1), —

$$mg \cos \alpha = N.$$

Учитывая, что сила треня $f$ равна по абсцилотной величины $\mu N$, из (1)—(3) находится $\mu = tg \alpha.$

А. Зильберман

◆ На рисунке приведена диаграмма состояния вещества в координатах $p-T$.

Рассмотрим цикл $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$, который совершает над массой $m$ вещества в трейной точки. В этом цикле

31

вещества — газообразная, жидкая и твердая — нахождение в равновесии друже с другой точка. Для воды $T_{tr} = 0,0075^\circ C$, $p_{tr} = 4,58$ мм рт. ст; удельная температура в твердой точке равна $r = 595,8$ кал/г, удельная температура плавления — $\lambda = 79,7$ кал/г. Наути удельную температусу сублимции (прямоугольная из твердого состояния газообразное) воды выполнено тройной точке

$$rm + \lambda m - \theta m = 0,$$

где $\theta$ — удельная температура сублимции (работа системы за цикл равна нулю, приока теплла извне нет, полное изменение внутренней энергии системы также равно нулю). Следовательно,

$$\theta = r + \lambda.$$

Подставив числовые данные для воды, найдем удельную температусу сублимции воды:

$$0 = 675,5$$ кал.

В. Давыдов

◆ Изменения тока при переключении амператора малы. Значит, можно считать, что изменение тока в цепи при подключении амператора мало и пропорционально изменению полного сопротивления цепи, то есть $\Delta I = \alpha \cdot \Delta R_{06\mu}$, где $\alpha$ — коэффициент пропорционального. Но $\Delta R_{06\mu} = R_A$ ($R_A$ — сопротивление амператора). На разных пределах сопротивление амператора разное.

Если $I_0$ — ток в цепи до подключения амператора, то

$$\Delta I_1 = I_0 - I_1 = \alpha R_{A1},$$

$$\Delta I_2 = I_0 - I_2 = \alpha R_{A2},$$

где $R_{A1}$ — сопротивление амператора на пределе 10 мА, $R_{A2}$ — на пределе 3 мА. Учитывая, что $\frac{R_{A1}}{R_{A2}} = \frac{3}{10}$, из (*) получаем

$$\frac{I_0 - I_1}{I_0 - I_2} = \frac{3}{10},$$

откуда

$$I_0 = \frac{10I_1 - 3I_2}{7} \approx 2,97$$ мА.

А. Зильберман

◆ За одну минуту чайник оставает на $\Delta t_1 = 0,2$ градуса. Колчество теплла, «термяемое» за это время чайником, равно

$$\Delta Q_1 = cm \cdot \Delta t_1$$

(c — удельная темперакость воды). Если в минуту в чайник капают n капель, то количество теплла, передаваемое им воде в чайнике, равно

$$\Delta Q_2 = nm_k c (t_2 - t_1).$$

Условие построения температуры воды в чайнике — $\Delta Q_1 = \Delta Q_2$, то есть

32

На сколько градусов подореется вода за одну минуту, если начать капать второе чаце?
Считать, что температура воды в чайнике выравнивается очень быстро. Лишь вода выливается из носика. В чайник входит 0,3 литра воды. Температура окружающей воздуха $t_0 = 20^\circ C$.

Ф777. На неевесом нейраструмой нити подвешен блок. Расстояние между точками подвеска равно диаметру блока; длина вертикальных участков нити равна $l$ (рис. 1). Определить перiod малых колебаний системы в вертикальной плоскости, в которой лежит.

Рис. 1. Рис. 2.

$cm \cdot \Delta t_1 = nm_k c (t_2 - t_1)$.

Отсюда находим $n$:

$$n = \frac{m}{m_k} \frac{\Delta t_1}{t_2 - t_1} = 20 \text{ капель в минуту.}$$

Если капать не $n$, а $3n$ капель в минуту, то вода в чайнике нагреется за одну минуту на

$$\Delta t_2 = \frac{3\Delta Q_2 - \Delta Q_1}{cm} = 2\Delta t_1 = 0,4 \text{ градуса.}$$

А. Зильберман

Покажем, что при малых углах отклонения блок движется поступательно, то есть в любой момент времени все точки блока имеют одну и ту же скорость.

Отклоним нити на малый угол $a$ от вертикали. Пусть $C$ и $D$ — крайние точки касания нити с блоком (рис. 2). Посмотрим, какой угол составляют радиус-векторы точки $C$ и $B$ ($D$ и $A$). Понятно, что длины друг $AD$ и $CB$ равны

$$\Delta l = \frac{1}{2} |FE| = \frac{1}{2} d\alpha$$

(поскольку $a$ малo, sin $\alpha \approx \alpha$).

С другой стороны,

$$\Delta l = \frac{1}{2} d\varphi.$$

Следовательно, $\varphi = \alpha$. Это означает, что отрезок $AB$ лежит по-прежнему на горизонтали, то есть блок движется поступательно.

Таким образом, кинетическая энергия блока в любой момент времени равна $mv_i^2/2$, где $m$ — масса блока, $v_i$ — скорость его центра в данной момент. Поэтому в любой момент времени полная энергия блока равна

$$\frac{mv_i^2}{2} + mgl(1 - \cos \alpha_i),$$

то есть такая же, как у математического матрика длины $l$. Следовательно, колебания блок идентичны колебаниям математического матрика; период колебания

$$T = 2\pi \sqrt{l/g}.$$

В. Ильин

Список читателей, приславших правильные решения

В этом номере мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения задач М721—М735 и Ф748—Ф762 (цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задач).

Большинство читателей, приславших решения, успешно справились с задачами М721, М724, М726, М727, М729, М731, М734. Остальные задачи решили: В. Айзенштадт (Люберцы) 22, 23, 33; Т. Акопян (Ереван) 22; М. Алексеев (Москва) 22, 23; А. Аляев (п. Пачелма Пензенской обл.) 28; М. Арасланов (Запорожье) 23, 25, 28, 30; А. Бажилов (София, НРБ) 23, 25; Л. Байрак (Белгород) 32; В. Барабанов (Севастополь) 23; А. Белуус (Винница) 28; А. Берештеин (Москва) 33; А. Бирер (Иваново) 23, 30, 32, 33; А. Блаездарев (Пенза) 32; И. Боeyславский (Москва) 22, 23, 25, 33; М. Бродицкий (Кишинев) 23, 28, 30, 35; В. Булавас (Паневжис) 22, 25, 30, 32, 33; И. Вайштеин (Калинин) 23; В. Вайшток (Калинин) 25; Г. Виннер (Сверд-ловск) 22, 23, 25, 28, 32; А. Виноредов (Москва) 23, 28, 32, 35; Л. Вовк (Киев) 22, 25, 32, 33; В. Волчков (Донецк) 23, 25; С. Галкина (Пенза) 25; М. Гараев (Физули) 23, 33; О. Гарифулин (Пенза) 25; А. Герцык (Ленинград) 35; М. Гликман (Кишинев) 30, 32, 33; М. Горбунов (Минск) 25, 28, 32; А. Громов (Ленинград) 25; С. Громов (Янгюль) 25; А. Гутман (Новокузнецк) 23; А. Дейнека (Винница) 32; А. Добрин (Киев) 28, 30, 32, 33; В. Долотин (Курск) 23; Л. Дочев (София, НРБ) 25; А. Дробивцев (Ленинград) 23, 25; А. Дубицкас (Таураге) 22, 23, 25; В. Enxueв (Новосибирск) 28; О. Ерошкин (Днепропетровск) 23, 25, 33, 35; К. Зыков (Москва) 30, 33; М. Ивко (Павлодар) 25; В. Ивлев (Джезкаган) 25; А. Ивченко (Могилев-Подольский) 33; М. Йотов (София, НРБ) 22, 25; Е. Кабаков (Ленинград) 28; П. Кабышев (Москва) 28; А. Карпович (Киев) 30; А. Картацев (Витебск) 32, 33; С. Кастели (Белград, СФРЮ) 22; Н. Каценко (Киев) 23, 25, 32, 33; В. Кидыюк

(Продолжение см. на с. 37)

33

Квант
для младших школьников

Задачи

1. Замените звездочки цифрами в выражении 52★2★ так, чтобы полученное число делилось на 36.

2. На столkladут одну за другой 8 цветных квадратных салфеток (см. рисунок). При этом последующая салфетка закрывает часть хотя бы одной из предыдуших. Определите, какая салфетка была положена первой и какая из двух салфеток — коричневая или белая — была положена равше?

3. Когда секундная стрелка на часах прошла 1 секунду, минутная стрелка прошла 6 минут, тем не менее часы исправны. Как это обьяснить?

4. Для каких двухначных чисел сумма куба числа единиц и квадрат числа десятков равняется самому числу?

5. Какое наиболее количество чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была четна, а сумма любых 18 последовательных чисел была нечетна?

Эти задачи нам предложили
К. Ашурбеков, Ф. Бартенев,
В. Произволов, А. Савин, А. Швецов

33

34

А. Панов

Загадка фигуры № 51

Вырежьте из картона квадрат и разделите его на части так, как показано на рисунке 1,— вы получили головоломку «танграм», придуманную несколько тысячетей назад в Китае и известную ныне во всем мире. Используя все семь элементов танграма, можно сложить много изяшных фигурок; попробуйте составить, например, «женщину с ввером» (рис. 2).

No исходный квадрат можно разрезать и по-другому, например — как на рисунке 3. Именно так он разделен в головоломке «пифагор», выпускаемой в нашей стране. На рисунке 4 изображена фигура № 51 из инструкции к экземпляру пифагора, который изготовлен в г. Кузнецке; в инструкции предлагается составить эту фигуру из семи элементов пифагора.

Я долго пытался составить фигуру № 51. Самое близкое к ней из того, что мне удалось, показано на рисунке 5. В конце концов я засомневался: а можно ли это сделать?

Найти ответ помогла книга М. Гарднер «Математические головоломки и развлечения» (М., «Мир», 1971). На с. 329 рассывыется о том, как была решена задача перечисления выпуклых многоугольников, которые можно составить из семи элементов танграма:

«Два китайских математика, Фу Трен-ван и Чуань Чи-сюнь, в 1942 году опубликовали статью, в которой рассмотрели эту задачу. Их подход к решению был весом остроumen. Каждый из пяты больших частей танграма (два больших треугольника, один треугольник помещше, квадрат и параллелограмм) можно разбить на равноведенные прямоугольные треугольники, конгруэтные двум самым маленьким треугольникам. Всего при этом получится 16 совершенно одинаковых равноведенных прямоугольных треугольников. С помощью тонких расчудений авторы показали, что из этих 16 треугольников можно построить 20 различных выпуклых многоугольников (многоугольники, переходящие друг в друга при поворотах и отражениях, различными не считаются). Отсюда уже нетрудно доказать, что лишь 13 из найden-

36

государник, надо указать еще 4 целых неотрицательных числа $x, y, z$ и $w$ — длины катетов отрезаемых углов (см. рис. 8). Зная эти шесть чисел, легко вычислить площад многоугольника:

$$S = ab - \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2 + w^2).$$

Для исключых многоугольников она должна совпадать с суммарной площадью 16 равноведренных прямоугольных треугольников с катетами длины 1: $S = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$.

Итак, наша задача претерпела удивительное превращение: из чистого геометрической задачи о составлении многоугольников она превращалась в чисто арифметическую задачу о нахождения неотрицательных целочисленных решений уравнения

$$2ab - 16 = x^2 + y^2 + z^2 + w^2. \quad (1)$$

При этом, конечно, надо еще, чтобы сумма длин катетов отрезаемых углов, прилегающих к одной стороне прямоугольника, была не больше длины этой стороны. Другими словами, числа $a, b, x, y, z$ и $w$ должны удовлетворять дополнительным условиям

$$x + y \leq a, y + z \leq b, z + w \leq a, w + x \leq b. \quad (2)$$

Дальше геометрия и арифметика будут идти рука об руку.

Прежде всего, выясним, какими могут быть размеры прямоугольника.

С одной стороны, его площад должа быть не меньше площади исключого многоугольника:

$$ab \geq 8. \quad (3)$$

(Это неравенство легко получить и пряmo из уравнения (1).)

С другой стороны, если отрезать от прямоугольника уголки наиболее общей площади, то площад остатка должна быть не больше 8. Из рисунка 9 видно, что суммарная площад углов, прилегающих к одной стороне прямоугольника, меньше площади равноведренного прямоугольного треугольника, катемы которого конгрузенты этой стороне. Поэтому маленький по площади (непустой) остаток получается, если отрезать уголки от прямоугольника как на рисунке 10, $a$ при $a < b$ и как на рисунке 10, $b$ при $a = b$. В первом случае у нас останется параллелограмм площади ($b - a$) $a$, во втором — трапеця площади $a - \frac{1}{2}$. Следовательно, при $a < b$

$$(b - a)a \leq 8, \quad (4)$$

а при $a = b$

$$a - \frac{1}{2} \leq 8. \quad (5)$$

(Попробуйте вывести эти неравенства из условия (1) и (2)!)

Пары натуральных чисел ($a, b$), удовлетворяющие неравенствам (3) и (4) или (3) и (5), легко найти простым перебором. Например, при $a = 1$ получим, что $b \geq 8$ и $b - 1 \leq 8$, то есть $b = 8$ или 9, при $a = 2$ найдем, что $b = 4$, 5 или 6 и т. д. Всего имеется 19 таких пар: (1, 8), (1, 9), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6), (6, 7), (7, 7), (7, 8), (8, 8), (8, 9).

Для каждой из этих пар нужно, согласно уравнения (1), найти все представления числа $2ab - 16$ в виде суммы четырех квадратов $x^2 + y^2 +$

37

+z²+w², а затем проверить неравенства (2), или наиссовать прямоугольник a×b и найти все способы отрезания углов, при которых остается многоугольник площади 8.
(Кстати, для некоторых из 19 пар (a, b) числа x, y, z, w подобрать не удается.) Результаты подобных расчетов суммированы в таблице, содержащей список всех 20 выпуклых многоугольников, которые

$$\begin{array}{cccccccc} a & b & x & y & z & w & T & \Pi \\ 1 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 9 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 9 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & + & + \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 2 & + & + \\ 2 & 5 & 1 & 1 & 1 & 1 & + & + \\ 2 & 6 & 0 & 2 & 0 & 2 & + & + \\ 2 & 6 & 0 & 2 & 2 & 0 & + & + \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & + & + \\ 3 & 3 & 0 & 1 & 0 & 1 & + & + \\ 3 & 4 & 0 & 2 & 0 & 2 & + & + \\ 3 & 4 & 0 & 2 & 2 & 0 & + & + \\ 3 & 5 & 0 & 3 & 1 & 2 & + & + \\ 3 & 5 & 0 & 3 & 2 & 1 & + & + \\ 4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 4 & + & + \\ 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 & + & + \\ 4 & 6 & 0 & 4 & 0 & 4 & + & + \\ 5 & 5 & 0 & 3 & 0 & 5 & + & + \\ 5 & 5 & 1 & 4 & 1 & 4 & + & + \\ 8 & 9 & 0 & 8 & 0 & 8 & + & + \\ \end{array}$$

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 32)

(Рязань) 32; К. Кнол (Одеска) 30; Е. Ковальчик (Киев) 22, 33; М. Креал (Донецк) 32, 35; И. Копылец (Карловка) 28; Д. Коршунов (Новосибирск) 22, 23, 30, 32, 33; А. Косток (Бердцеве) 22; К. Кохас (Ленинград) 23, 32, 33; Ю. Кочетков (Винница) 28; Е. Кочкин (Волжский Волгоградской обл.) 32, 33; И. Куляцин (Свердловск) 32; М. Лев (Свердловск) 22; Б. Лееб (Кельхайм, ФРГ) 28, 30; М. Левкин (Душанбе) 22, 23, 25, 28; Д. Локшин (Москва) 32; О. Мазуров (Новосибирск) 23; И. Маркев (Москва) 22, 23; А. Маркович (Белград, СФРЮ) 23, 25, 28, 35; О. Матвеев (Свердловск) 25; Л. Наймарк (Ленинград) 23; П. Наконецный (Кривой Рог) 25; С. Некрасов (Черповец) 25; А. Ненов (Плевен, НРБ) 22, 23; Ю. Николаевский (Харьков) 25; А. Оленко (Умань) 22, 25; Д. Орлов (Владимир) 22, 25; Д. Першеев (Москва) 23; К. Порайко (Винница) 28, 35; А. Родцовов (Москва) 22, 23, 33; В. Романов (Москва) 22, 23, 33, 35; Л. Рудый (Кировск Мурманской обл.) 23, 25, 33, 35; Е. Рухлин (Винница) 28; В. Садовский (Ташкент) 23, 32, 33; А. Свиридов (Москва) 25, 28, 32, 33, 35;

А. Семенов (Саратов) 23; Ф. Серженко (Запорожье) 25; P. Сефибеков (с. Кашкент ДАССР) 32; O. Смирнов (Остров) 23; B. Старобин (Северодонец) 32; C. Струков (Воронеж) 22, 25, 28, 30, 32; A. Сурков (Ленинград) 23; И. Терецак (Стражcke, ЧССР) 30; C. Типцов (Киев) 23, 25, 30; M. Титаренко (Винница) 35; H. Титаренко (Винница) 28; P. Угриновский (Хмельник) 25, 28; H. Федин (Омск) 25; B. Фридман (Москва) 22, 33; C. Хирман (Киев) 23; Л. Христоф (София, НРБ) 32, 33; B. Хрыцков (Севастополь) 23; C. Цонев (София, НРБ) 23, 25, 32; C. Чернышев (Алексаандров) 32; B. Шабунин (Москва) 23, 25; C. Шкарин (Москва) 25, 28, 30; E. Шульман (Волгода) 22; Y. Эмус (с. Тюки ЭССР) 25, 32; Л. Эрдец (Будалецт, ВНР) 22, 28, 33, 35; C. Юровский (Мытниц) 23, 25, 32, 33, 35.

Физика

Большинство читателей, приславших решения, справились с задачими Ф748, Ф754 и Ф761. Остальные задачи: O. Андреев (Киев) 59, 60; A. Бабаян (Москва) 49, 52, 56, 60, 62; Л. Байрак (Белгород) 57; B. Баранов (Донецк) 52, 55, 56, 59—62; Ю. Бриль (Днепропетровск) 50, 55—57, 59, 60; M. Бродицкий (Кииннев) 53; B. Будилов (Кирово-Чепецк) 55—57; B. Булавас (Паневжис) 49,

(Продолжение см. на с. 41)

38

Л. Баканина

Законы Ньютона

Основные законы динамики были установлены около трехсот лет тому назад великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643—1727). Ньютон сформировал их следующим образом (А. Г. Дорфман. «Всемирная история физики». М., «Наука», 1974):

Закон I. Всякое тело продолжает сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку оно не принуждается приложенными силами изменять это состояние.

Закон II. Изменение〈количество движения пропорционально приложенной движения силы и проискот по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Закон III. Действие всегда встречает равное противодействие, или воздействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

За 300 лет эти законы многоократно подвергались экспериментальной проверке, и никаких нарушений не было. Уточнялись лишь границы их применности и вносились поправки, необходимые для области микромира и скорости, близких к скорости света.

Очевидно, что первый закон, по существу, поступует существенно таких систем отчета (связанны с материалными объектами), в которых справедливый второй и третьий законы Ньютона. Эти системы отчета называют инерциальными.

Третий закон утверждает, что сила всегда является результатом взаимодействия двух каких-то тел. Если рассмотреть все тела, которые взаимодействуют с исследуемым телом, можно определить все силы, на него действующие. В современной физике силы взаимодействия делят на четыре больших класса: гравиатические, электромагнитные, сильные и слабые (два последних класса относится к ядерным взаимодействиям). В механике, кроме гравиатонных сил, принято выделять силы упругости и силы треня. По проискхдению две последние силы — электромагнитные, но каждая из них имеет свой особенность и потому рассматривается отдельно.

Основным явлением, конечно, второй закон, который в настоящее время чаще всего записывается в виде

$$\vec{F} = m\vec{a},$$

где $\vec{F}$ — действующая на тело силы, $m$ — масса тела и $\vec{a}$ — прибретаемое теломускорение. Если известны все действующие силы, с помощью этого закона можно найтиускорение тела, а следовательно, скорость и координаты в любой момент времени.

Рис. 1.

39

Поясним сказаное на конкретных задачах. Большинство из них предлагалось на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задача 1. Сила, действующая на тело, периодически меняет свое направление на противоположное (рис. 1, а). Как движется тело под действием такой силы?

Рассмотрим, как зависит от времени скорость тела и его перемещение вдоль линии действия силы (пусть это будет ось X). Для определения будем считать, что начальные скорость и координата равны нулю.

На участке 0—1 сила постояна и по modulo, и по направлению; следовательно, движение тела равноускоренное: скорость меняется пропорционально времени, а перемещение — пропорционально квадрату времени. В таком случае график скорости (точнее — ее проекции v на выбранное направление) представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 1, б), а график перемещения (вернее — координаты x) — парабoly, вершина которого находится в начале координат (рис. 1, в).

На участке 1—2 сила постояна, но направлена в противоположную сторону. Скорость линейно падает со временем и в точке 2 обращается в нуль (время действия силы также же, как на первом участке; значит, такое же и изменение количества движения). График координаты на этом участке — парабола, у которой вершина находится в точке 2. В точке 1 происходит плавный переход одной параболи в другую, так как разрыва скорости в этой точке нет.

Дальше рассмотрене ведется аналогично. Как видно из полученных графиков, скорость ни меняет знак, лишь периодические обращается в нуль, а координата все время увеличивается. Другими словами, тело все время удаляется от первогочаального положения, его движение вовсе не является периодическим, хотя именно такой ответ часто приходится слышать от абитурентов на вступительных экзаменах.

Задача 2. Два тела массой $M_1=7$ кг и $M_2=5$ кг связаны нитью

40

коя $F_2$ уравновешивает натяжение нити:

$$F_2 = T_2 = 3 \text{ H}.$$

Во втором случае $Mg = 15 \text{ H}$; следовательно, $Mg > F_{\text{max}}$, и система тел движется как единое целое. При этом силы треня, действующие на тела, есть силы треня скольжения. Следовательно,

$$F_1 = \mu M_1 g = 7 \text{ H} \text{ и } F_2 = \mu M_2 g = 5 \text{ H}.$$

Обозначим модель ускорения всех тел через $a$ и запишем второй закон Ньютона для каждого из тел, выбрав соответствующее ось координат:

$$Mg - T_1 = Ma,$$
$$T_1 - F_1 - T_2 = M_1 a,$$
$$T_2 - F_2 = M_2 a.$$

Решая эту систему уравнения, находим

$$T_1 = Mg \frac{(M_1 + M_2)(1 + \mu)}{(M + M_1 + M_2)} = 14,65 \text{ H},$$
$$T_2 = Mg \frac{M(1 + \mu)}{(M + M_1 + M_2)} = 6,12 \text{ H}.$$

Распространенная ошибка абитурентов — и в первом случае используется решение, пригодное только для движения системы.

Задача 3. По «экватору» внутренней поверхности сферической оболочки массой $M$ с постоянной по модулю скоростью движется небольший шарик массой $m$, совершая полный оборот за время $T$ (рис. 3). Считая, что внешних сил нет и трене отсутствует, определяте, с какой силой шарик давит на сферу. Расстояние между центрами тяжестями шарика и сферы равно $d$.

Поскольку на системе «сфера — шарик» внешние силы не действуют, центр масс этой системы должен покопаться (что непосредственно следует).

Рис. 3.

Дует из законов Ньютона). Это означает, что движется не только шарик, но и сфера, причем оба они врашают вокруг оси, проходящей через центр масс системы.

Обозначим расстояние от шарика до центра масс через $r$, тогда

$$mr = M(d - r), \text{ и } r = d \frac{m}{M + m}.$$

По третьему закону Ньютона сила, с которой шарик давит на сферу, равна по модулю силе, с которой сфера действует на шарик. Она и сообщает шарику центростремительное ускорение

$$a_u = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \frac{Md}{(M + m)}$$

Итак, искомая сила равна по модулю

$$F = ma_u = \frac{4\pi^2 Mm d}{T^2 (M + m)}$$

и направлена по радиусу от центра врашения.

Задача 4. Невесомая шанза длиной $L$ одним концом закреплена в идеальном шарине, а другом опирается на пружину жесткости $k$ (рис. 4). Определите период малых колбающих шанzes в зависимости от положения $l$ на ней груза массой $m$.

Пусть груз сметлися по вертикали на расстояние $x$. При этом пружина деформарует на $x_1 = xL/l$, и со стороны пружины на конец шанги действует сила $F_1 = kx_1 = kxL/l$. Шанга невесома, поэтому суммарный момент сил, действующих на нее, должен быть равен нулю (инначе она приобрела бы бесконечно большое угловое ускорение):

$$F_1 L = F_2 l,$$

где $F_2$ — сила, действующая на шанze

41

нию движения груза наружне, только роль жесткости пружины здесь играет выражение $k_1 = k(L/l)^2$.

Таким образом, период колебаний груза, а значит, и невесомой штангги, равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\pi \frac{l}{L} \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Уражнения

1. Как будет движется тело, если действующая на него сила изменяется со временем так, как показано на рисунке 5?

2. Три бруска одинаковой массой $M = 5$ кг лежат на горизонтальном столе. Бруски связаны нитями, которые рутятся при натяжении $T = 20$ Н. Коэффициенты треня брусков о столравны, соответственно, $\mu_1 = 0,3$, $\mu_2 = 0,2$ и $\mu_3 = 0,1$. Брусок 3 тунут с силой $F$, которое постепенно увеличивается. Которая из нитей, скрепляющих бруски, повется, и при какой минимальной силе $F$ это произойдет? Как изменится ответ, если силу $F$ прикладывается к бруску 1?

3. Груз, подвешенный на нити длиной $L$, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Найдите период обращения груза, если нить отклонена от вертикали на угол $a$.

4. Коробка массой $M$ стоит на горизонтальном столе (рис. 6). Коэффициент треня между столом и коробкой $μ$. Внутри коробки лежит тело массой $m$, которое может без треня движется по дну коробки. Оно прикреплено к стенке коробки пружиной жесткостью $k$. При какой амплитуде колебаний тела коробка начинает движаться по столе?

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 32)

55, 60; М. Верховодов (Киев) 49, 53, 56, 57, 59; М. Гаджибабаев (Махачкала) 57; И. Гайович (Киев) 53, 59, 60; Д. Голенков (Долгопрудный) 60; Э. Горячковский (Кишинев) 52; М. Гостев (Липецк) 49, 50, 52, 56, 60; А. Грабак (с. Ободова Винницкой обл.) 60; О. Гришин (Тула) 50, 56, 60; Л. Доросинский (п. Черноголовка Московской обл.) 49, 56, 59, 60, 62; А. Дубровский (Харьков) 59; А. Дунаевский (Киев) 50, 52—57, 59, 60, 62; М. Дьячков (п. Черноголовка Московской обл.) 49, 50, 55, 56, 60; С. Ефимов (Баку) 56, 57; В. Житомирский (Харьков) 49, 52, 53, 55, 56, 59, 60, 62; Р. Жямайтис (Вильнюс) 49, 50, 52, 59, 60, 62; Д. Зайцев (Горький) 49, 53, 56; Ю. Звезинцев (Харьков) 52, 55—57, 59, 62; А. Зенков (Свердловск) 57; М. Зиманов (Алма-Ата) 59, 60; Д. Каледин (Москва) 57, 59, 60; И. Калииновский (Киев) 56, 60, 62; Е. Канчип (Таллин) 57, 60; А. Карнаухов (Ижевск) 52; С. Кастелли (Болград) 53, 57, 59, 60, 62; Ю. Кившарь (Харьков) 57; В. Кидыскок (Рязань) 51—53, 56, 57, 62; М. Козаченко (Ровно) 55, 60; А. Комов (Александров) 49—52, 57, 59, 60, 62; А. Корцацин (Красноармейск) 49, 53, 56, 57, 59, 60; Н. Косматов (Москва) 51; В. Криман (Винница) 53—57, 59, 60; И. Крылов (Куыбышев) 57; Д. Купцов (Москва) 53, 55, 56, 59, 60; Н. Кухаркин (Москва) 56, 59, 60; Г. Ландсберг (п. Протвино Московской обл.) 53—55, 57, 59, 60; М. Ларционов (Свердловск) 56; С. Лиханский (Херсон) 60; А. Лихачев (Барнаул) 56; О. Лопин (Фрунзе) 55, 56; Д. Макаров (п. Черноголовка Московской обл.) 51, 52, 56, 57, 60; К. Макарук (Киев) 62; А. Макимов (Новосибирск) 56, 60, 62; А. Малай (Каушаны) 60; А. Маркович (Белград, СФРЮ) 52, 55, 57; Л. Маркович (Брест) 50, 52, 56, 57, 60, 62; В. Маслов (Омск) 59, 60; И. Медков (Москва) 49, 51; В. Мороз (Минск) 55—57, 60; С. Мусаев (Баку) 59, 60; Д. Набутовский (Новосибирск) 56, 57, 59; А. Носков (Москва) 59; Р. Овчарек (Шецин, ПНР) 60; А. Охапкин (Чита)

(Окончание см. на с. 55)

42

Стадарные приемы программирования.

Урок 3. Переработка массивов на месте

Сравните свои решения подготовительных задач к этому уроку (см. «Квант» № 11, Урок 2) с приведенными здесь. Варианты a) — это правильные решения, варианты b) — это типичные ошибки (программы не дают желаемого результата), варианты θ) работать будут, и все же их нельзя признать приемыми.

Так же, как на прошлом уроке, давайте посмотрим, что общего в условиях задач.

Главным общим моментом является то, что результат должен получаться на том же месте, где находится исходные данные. Тепер посмотрит на расчетные формулы в условиях задач (читатель простит употребление программыского знака «присваивание» вместе математического знака «равно», оно здесь естественно) и сравните расчетные формулы с решениями б); эти решения — «дословные» переводы формулы на языке программирования. Мы столкнулись с той же проблемой, что и на прошых уроках: разницы в правильах разговора на языке математики и языке программирования.

Когда математик пишет формулу трансопроизводия матрицы, то есть отражения ее элементов относительно диагонали (для всех i, j a’ij := aji) он, по видимому, имеет в виду, что по команде «Алле-оп!» все элементы матрицы разом подпрыгнут вверх и тут же все разом опустятся на свои места, но уже с измененными значениями. Но ЭВМ не может делать все сразу*, процесс обработки данных производит в пространстве и во времени: сначала обрабатывается один элемент, затем друг и т. д. И к тому времени, когда начинается обработка i-го элемента, для которого нужно строение k-го элемента, k-й элемент

*) Некоторые современные ЭВМ уже научились и этоomy, но в языке пакель также возможности не отражены.

Решения подготовительных задач

a) Задание 1 (среднее арифметическое и среднее геометрическое)
for i:=1 to n do
begin d:=a[i];
a[i] := (a[i] + b[i])/2;
b[i] := sqrt(db[i])
end;
Более быстрый вариант:
for i:=1 to n do
begin ai:=a[i]; bi:=b[i];
a[i] := (ai+bi)/2;
b[i] := sqrt(aibi)
end;

b) Задание 2 (деление на диагональной элемент)
for i:=1 to n do
begin d:=a[i,i];
for j:=1 to n do
a[i,j] := a[i,j]/d;
end;

Задание 3 (транспроизводение)
for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
begin d:=a[i,j];
a[i,j] := a[j,i];
a[j,i] := d
end;

for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
a[i,j] := a[j,i];
второе решение:
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin d:=a[i,j];
a[i,j] := a[j,i];
a[j,i] := d
end;

43

уже может успешить новое значение. Аналогично, мы привыкли, что математический фразу «для всех $i$ при $i \in M$» мы переводим на язык программирования циклом с параметром $i$, пробегающим множество $M$. Чаще всего этот перевод правильный, но бывают и исключания, одним из которых часто является переработка массивов на месте. Посмотрите на второе решение $6$) задачи 3 и попробуйте понять, что сделает программа и почему в результате ее работы матрица останется в неизменном виде.

Итак, стало понятно, что если один из элементов переработываемого на месте массива нужен для вычисления нового значения другого элемента, то его надо как-то сохранить. Простейшее решение — снять копию с исходного массива и записать результат в другой место — на практике часто не годится. Программиру задачу больших размеров (или задачу не очень больших размеров, но на ЭВМ с небольшой памяти), вы можете столкнуться с ситуацией, когда массив занимает почти всю память и на копию просто нет места. В этом и заключается недостаток вариантов $b$): при больших размерах массивов программе не хватит памяти. Однако, как показывают варианты $a$), необходимо в копировании массива нет: в полне можно обойти одним дополнительным элементом (в программах — это переменная с именем $d$) для сохранения значения, необходимого для вычисления нескольких новых значений.

Теперь можно сделать окончательные выводы.

$\theta)$
for $i:=1$ to $n$ do
begin $c[i]:=a[i]$;
$a[i]:=(a[i]+b[i])/2$;
$b[i]:=sqrt(c[i]*b[i])$
end;

for $i:=1$ to $n$ do
begin $d[i]:=a[i,i]$;
for $j:=1$ to $n$ do
$a[i,j]:=a[i,j]/d[i]$;
end;

for $i:=1$ to $n$ do
for $j:=1$ to $n$ do
$c[j,i]:=a[i,j]$;
for $i:=1$ to $n$ do
for $j:=1$ to $n$ do
$a[i,j]:=c[i,j]$;

1. При переработке массивов на месте необходимо приниматьеры к сохранению значений элементов, нужных при последующих вычислениях. Как правило, для этого достаточно ОДНОГО вспомогательного элемента.

В крайнем случае, когда одного элемента явно мало, можно взять массив меньше размерности (например, одномерный массив вместе матрицы). Разумеется, былоют случаи, когда массив на месте обработать нельзя, и тогда приходим к копию.

2. Если элементы обработываются не в порядке их расположения в массиве, то циклы перебор элементов массива следует организовать специальным образом.

Например, в задаче 3 одновременно обработываются пары элементов, симметричные относительно диагонали, поэтому организация цикла отличается от «дословного» перевода математической формулы.

Посмотрим теперь, почему начинающие программы не видят ошибки в вариантах — это переменная с именем $d$) для сохранения значения, необходимого для вычисления нескольких новых значений.

Проверим, например, вариант $b$) задачи 1. Для этого возьмем небольшие массивы, скажем $a=(2,3,4)$, $b=(5,6,7)$, и прокрутим программу $n=3$, $i=1$, $a[1]=(2+5)/2=3,5$, $b[1]=\sqrt{2\cdot5}=\sqrt{10}$ и т. д. Это и есть та самая типичная ошибка: мы сделали то, что сами хотим от ЭВМ, а не то, что сделает ЭВМ на самом деле!

Правильная прокрутка выполняется так: а) выписывает таблица всех действующих в проверяемом формате и идентификаторов и их значений, б) на каждом шаге старое значение зачеркивается и заменяется новым.

Прокрутим tot же пример:

$$\begin{array}{c} n \\ 3 \\ a_1=(a_1+b_1)/2=3.5 \\ 1 \\ 3.5 \\ b_1=\sqrt{a_1b_1}=\sqrt{(3.5)\times5}=\sqrt{17.5} \\ (2,3,4) \\ b(5,6,7) \end{array}$$

Ошибка стала видна на первом же шаге.

И, наконец, последний вопрос: не ухудшается ли программа по скорости при