Квант 1983, №3 · Страницы

КВАНТ
3
1983

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

8

1 — катушка Фараделя;
2 — электромотор Якови;
3, 4 — выборрор и резонатор Герца;
5, 6—7 — передатчик и приемник Попова.

Эти физические приборы можно считать прообразами современных мощных электродвигаелей и радиостанций.

Проресс в технике неразрывно связан с достинениями и открытиями физики.

Об этом читайте в статье И. К. Кикошна.

В НОМЕРЕ:

2. И. К. Кикошн. Физика и научно-технический прогресс
3. Рудольф Мёссбауэр отвечает на вопросы редакции журнала «Квант»
4. Ю. А. Самарский. Эффект Мёссбауэра (или резонансное ядерное поглощение γ-квантов в кристаллах)
5. В. Г. Болтянский. Метод интерации
   I. К. Кикошн. Physics and technological progress
   Rudolph Mössbauer answers Kvant’s questions
   Ju. A. Samarski. The Mössbauer effect (or the resonance nuclear absorbion of γ-quan-tums in crystals)
   V. G. Boltianski. The iteration method

Новости научки
15. В. А. Бронштэн. Загадочный Плутон
Science news
V. A. Bronshten. Mysterious Pluto

Лаборатория «Кванта»
22. А. А. Боровой. Первоапрельский калей-доскоп
Kvant’s lab
A. A. Borovoy. April fool’s day kaleido-scope

Matematический кругжок
26. М. И. Башмаков. Равномерное движение
Mathematics circle
M. I. Bashmakov. Uniform motion

Школа в «Кванте»
31. С. А. Юрский. Проводящая сфера в задачах по электростатике
Kvant’s school
S. A. Yurski. Conducting spheres in electro-static problems

«Квант» для младших школьников
38. Задачи
39. С. Л. Табачников. У нас в гостях — математический радиокружок
Kvant for younger school-shildren
Problems
S. L. Tabachnikov. Our guest — the mathematical radio circle

Задачик «Кванта»
42. Победители конкурса «Кванта»
43. Задачи M791—M795; Ф803—Ф807
47. Решения задач M770, M775—M779; Ф788—Ф792
54. Список читателей, приславших правильные решения
Kvant’s problems
Prizewinners of the Kvant contest
Problems M791—M795; P803—P807
Solutions M770, M775—M779; P788—P792
List of readers who have sent correct solutions

Искусство программирования
55. Стандартные приемы программирования. Урок 6
The art of programming
Standard programming methods. Lesson 6

Практикум абитриента
60. Ответы, указания, решения
Наша обложка (25)
Смесь (56)
Шахматная страница
Фигуры в безопасности (3-я с. обложки)
College applicant’s section
Answers, hints, solutions
Our cover page (25)
Miscellaneous (56)
The chess page
Secure pieces (3rd cover page)

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1983

3

Машинный зал Красноярской ГЭС.

Один из первых электрических двигателей был создан петербургским академиком Б. С. Якоби.

Явление электриагнетизма послужило основой для создания электриагнитного телеграфа, ставшего впоследствии основным видом связи между городами и странами. Первый электриагнитный телеграф был создан членом-корреспондентом Российской Академии наук П. Л. Шиллингом.

В 1831 году английский физик Фарадей сделал открытие, приведшее к революции в основных областях физики и техники. Речь идет об открытии электриагнитной индукции. Это явление заключается в том, что вокруг изменяющегося со временем магнитного поля возникнет замкнутое электрическое поле и соответствующая ему электридвижущая сила. Эта электридвижущая сила, как и само электрическое поле, прямо пропорциональна быстрое изменения магнитного поля. До Фарадей физики говорили об электрических и магнитных жидкости. Понятие о поле, как электрическом, так и магнитном, впервые было введено Фарадем. Открытие электриагнитной индукции было возможнымность генератор электрического тока. По существу, любая современная электрическая станция — это вопросы в градинозных масштабах laboratorных опытов Фарадей.

Открытие электриагнитной индукции было воспринято всем научным миром как крупная научная сенсация и принесло Фарадей всемирную известность. Существует легенда, связанная с этим. Тогдаший премьер-minister Агглии узнал об открытии Фарадей из газет. Чтобы ознакомиться более подробно с существующее открытие всемирную сказуемую слова, премьер-minister посетил лабораторию Фарадей. Фарадей продемонстрировал ему на самодельных приимтивных приборах свои знаменитые опыты (сейчас они демонстрируют на уроках физики в любой средней школе). Посмотрев опыт, премьер-minister воскликнул, обращаясь к Фарадю: «И эти детские игрушки принесли Вам такую slavery?!» Легенда утверждает, что на это воскликание последовал следующий ответ Фарадей: «Сэр, я думаю, что из этих игрушек Вы будете извлекать налоги!»

4

Это только легенда, но в действительности уже три десятилетия спустя вошли в строй первые промышленные электростанции, владелцы которых, верятно, уплачвали налоги. Электрические генераторы и до сих пор служат основными источниками электроснажения, без которого трудно себе представить жизнь современного общества. В 70-х годах прошло столетия Великой агиглиский физик Максвелл, который можно назвать Ньюотоном в электричестве, тщательно изучив многочисленные опыты, проведенные Ампером, Фарадем и другими физikами, сумел обобщить полученные результаты и написать соответствующее им математическое уравнение (уравнение Максвелла) *). Из этих уравнений следовали все закономерности в области электромагнитизма, полученные его представлениями. Большоето, Максвелл договорался, что нарушу с явлением электромагнитной индукции, открыто Фарадем, должно существовать новое явление, обратное явлению, открытом Фарадем. Если Фарадей открыл, что изменение магнитного поля вызывает появление электрического поля, то явление, теоретически predсказанное Максвеллом, заключается в том, что изменение электрического поля вызывает появление вокруг него магнитного поля, и направлено этого магнитного поля так же примо пропорциональна быстрете изменения электрического поля. Это означает, что изменяющиеся магнитное поле не может существовать без возникающего вокруг электрического поля, так же как изменяющиеся электрические поля, так же как изменяющиеся электрические поля, которые легко наблюдаются по вызываемому ими току в замкнутом проводнике. Обнаружить же магнитное поле,

*) Сам Максвелл «Ньюотоном электричества» называл Ампера.

ле, возникалошее при изменении электрического поля, очень трудно, так как магнитные силы малы по сравнению с электрическими силами. Для этого требуется, чтобы технически максимальное достижимое электрическое поле изменялось с огромной быстротой. Так, для обнаружения магнитного поля самых цувствительных современными приборами требуется, чтобы электрическое поле с напряженнойностью $10^6$ В/cm уменьшилось до нуля в течение примерного миллиардов доли секунды. Такой эксперимент влаборатинического осуществим.

Главнейший вывод, который Максвелл сделал из своих уравнений, заключается в том, что электромагнитное поле, периодические меняющиеся со временем, должно распространяться в пространстве волнообразно — так, например, как распространяются звуковые волны от колблюшейся струны или другого источника звука. Но скорость распространяния электромагнитных волн должна, согласно Максвеллу, равнять скорости распространяния света, то есть 300 000 000 м/c, что примерно в миллион раз больше, чем скорость звука в воздухе. Вот это обстоятельство и приведено Максвелла к генциальной договора, что свет представляется собой электромагнитные волны (электромагнитная теория света).

Поначалу большинство физков считало, что уравнения Максвелла носит чисто математический характер и его идея об электромагнитной приодае света не имеет под собой достаточных оснований. Вскоре после появления труда Максвелла знаменитый немецкий физик Гельмгольц поручил молодому сотруднику Герцу экспериментально проверить казавшиеся парадоксальными выводами Максвелла.

В 1888 году Герцо опубликовал результаты своих оптов, быстрошее подтверждение вывода Максвелла. Он создал экспериментальный уровень, состоящую из конденсатора, к обкладкам которого присоединялся высококовольный генератор, направленное к торорею перiodических меняющих с высокой частотой, то есть время

6

Рудольф Мёссбауэр
отвецет на вопросы редакции журнала
«Квант»

В 1958 году немецкий физик Рудольф Мёссбауэр обнаружил новые методы исследования веществ — мёссбауэровская спектропия и мёссбауэрография, которые применяются в различных областях физики, технических, химии, биологии, медицинии.

В сентября 1982 года профессор Мёссбауэр был избран иностранным членом АН СССР. Мы встретились с ним и попросили ответить на наши вопросы.

— Какие, по Вашему мнению, проблемы в физике наиболее актуальны?

Проблем в физике очень много. Найбольший прогресс следует ожидать в области элементарных частиц. Здесь выделяются вопросы об устойчивости протона, массей нейтрано и существования монополя Дирака. Конечно, много проблем в астрофизике и космологии. С другой стороны, следует отметить также важную область, как биофизика. Сейчас, например, начиная изучать диамикку больших биологических молекул. Наконец, важнейшая проблема, которое я рассматрию как некий aspect инженерных проблем, — это управляемый термодерный синтез. Многие открытия делаются случайно, трудно прогнозировать реальные сроки решения отдельных вопросов.

— Как Вы стали физиком?

В школе мне нравились и математика, и физика; я увлекался также химей. Любил экспериментировать. Очень интересовался электронкой. Вместе с группой товарищей мы делали телефонны, услители. Именно увлечение электронкой оказало решающее влияние на мой выбор, и я стал физиком.

— Советете ли Вы молодым людям получать физическое образование, становиться физиками?

Конечно. Физика изучаетfundamentalные явления. Физические образование позволяет легко переквалифицировать, если возникнет необходимость перейти в другие области исследования, например, в биологии или химию. Физические закономерности используются вздземе.

— Каким должно быть современное образование?

Я считаю, что нет необходимости в прямом смысле изменять систему образования, ее нужно приспособить к нужным современной науки. В физической образование очень важно помнить основополагающие моменты, а не удалять слишком много внимания частностям. Сейчас современная электронка, миникомпьютеры и ЭВМ вторгются в жизнь буквально каждой человека. Этот факт следует также учитывать даже на самом начальной стадии образования.

— Какая математика нужна физику?

Хотя часто физики в своей работе опираются на интуитивные соображения, значение математики необходимо. Чем лучше физик знает математике, тем успешнее он сможет работать. Нужно хорошо владеть практической математикой. Математика — язык физика. Однако следует различать потребности в математике для физика-теоретика и физика-экспериментатора. Существует опасность слишком увлекателься компьютерами. Многие молодые люди настолько полагаются на них, что перестают сами думать.

— Ваш пожелания читателем «Кванта».
Учитывая настоящее и плодотворно. За годы учебы много усвоить. Изучая математике и физика, не забывайте, что это только часть общечеловеческой науки и культуры.

7

Эффект Мёссбауэра или резонансное ядерное поглощение γ-квантов в кристаллах

Кандидат физико-математических наук Ю. А. САМАРСКИЙ

Немного о резонансе

Даже людям, далеким от физики, хорошо знакомы самые разнообразные явления резонанса. Кто не крупил ручку радиоприемника, настраивая на нужную волну? Или не ссылал древезжания стекол в оконной раме от прохождения mismo трамвая? Многие, наверное, помнят фольклорную историю о том, как рота солдат, шагая строем по месту и случайно попав в такт с его собственными колебаниями, рухнула вместе с местом в реку.

В этих и многих других случаях резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний — возникает при совпадении частоты внешнего воздействия на систему с собственной частотой колебаний этой системы. Если вблизи рояля сыграть на музыкальном инструменте какую-нибудь ноту, рояль откликнет звучанием именно этой ноты: частота звука, издаваемого инструментом (частота внешнего воздействия), совпадает с собственной частотой колебаний соответствуют струны рояля.

Для примного контурра радиоприемника внешнее воздействие — это радиовольты от передающей станции, а собственная частота определяется параметрами контура — сопротивлением, индуктивность и емкостью, которые мы меняем, вращая ручку настроики.

На примере радиоприема удобно обсудить и еще одну сторону явления резонанса. Кроме частоты, на котором мы хотим настроить приемник, очень важно точность настройки. У хорошо приемника даженичтожный поворот ручки резко меняет условия приемника. Это означает, что приемный контур обладает острым резонансом. Величина, характеризующая остроту резонанса, называется добротностью Q и определяется отношением резонансной частоты vₚ к ширине Δv того интервала частот, в котором удается наблюдать резонансное явление (рисунок 1):

$$Q = \frac{v_p}{\Delta v}.$$

В современных радиотехнических контурах добротность составляет примерно 200÷300.

Резонанс в атоме

Типичными резонансными системами являются также атомы, молекулы и атомные ядра.

Нayka о законах движения микрочасти — квантовая механика — смогла обязывать многое явления, проискодящие в атоме, и, в частности, способность атомов поглощать и испускать фотоны лишь с определенной энергией.

Рис. 1. Типичный вид резонансной кривой. В нашем случае она изображает зависимость амплитуды колебаний А приемного контура от частоты v передающей станции. Наболее интенсивные колебания в контуре будут наблюдаться при частоте v = vₚ. Величина Δv, взятая на половине высоты кривой, называется шириной резонансной кривой.

10

Основной. Такие переходы происходят самопроизвольно. Основождающая энергия уносится фотонами. Эта энергия обычно заключита между несколькими сотнями и несколькими миллионами электроновыть, то есть на много порядков больше энергии видимого света. Так возникает γ-излучение. Наблюдаемый спектр γ-лучей всегда дискретный, что и позволяет говорить о дискретности ядерных уровней. Схема энергиетическая уровней для ядерных переходов изобрается совершенно аналогично схеме переходов в atomе. Как и в atomе, из-за конечного времени жизни возбужденные уровни ядра имеют естественный ширину Γ (см. рисунок 3). Размытость возбужденных уровней ядра приводит к появлению ширины успектальных линей γ-излучения.

Ядра atomов могут не только испускать, но и поглощать фотоны. Этот процесс возможно лишь для γ-квантов определенных энергией и, следовательно, тоже носит резонансный характер.

Казалось бы, резонансное поглощение γ-лучей должно легко наблюдаться. Для этого достаточно пропустить поток γ-квантов, испущенных радиоактивным источником, через вещество-поглотитель, содержащий те же ядра в невозбужdenном (основном) состоянии. Однако это не так. Дело в том, что энергия $E_\gamma$, уносимая γ-квантом, оказывается меньше энергии перехода между уровнями, и ее недостаточно для возбуждения ядра-поглотителя. Хотя и небольшая, но заметная доля энергии уносится ядром-источником, которое, согласно закону сохранения импульса, начинает двигаться в сторону, противоположную направлению вылета γ-кванта (как ordine после выстрела).

Проведем некоторые простые оценки для свободного ядра (атома).

Пусть излучающей ядро свободно и первоначально поконтся, а испускаемый γ-квант соответствует ядрому переходу с первого возбужденного уровня на основной (рисунок 3). Согласно закону сохранения импульса, после испускания γ-кванта ядро получит импульс отдачи, равный по абсолотной величины импульсу $\gamma$-кванта: $p_\gamma = p_\gamma = E_\gamma/c$. В результате ядро начинает двигаться со скоростью $v_\gamma = p_\gamma/m_\gamma$, уносся энергию отдачи $R$, равную

$$R = \frac{m_\gamma v_\gamma^2}{2} = \frac{p_\gamma^2}{2m_\gamma} = \frac{E_\gamma^2}{2m_\gamma c^2}. \quad (4)$$

По закону сохранения энергии, $E_\gamma + R = E_{21}$, где $E_{21}$ — расстояние (разность энергией) между основным и первым возбужденным уровнями ядра. Поскольку всегда $R \ll E_\gamma$, в формуле (4) $E_\gamma$ можно заменить на энергию перехода $E_{21}$:

$$R \approx \frac{E_{21}^2}{2m_\gamma c^2}. \quad (5)$$

Оценим величины $R$. Расстояним в качестве примера ядро изотопа $^{119}\text{Sn}$, у которого $E_{21} = 2,38 \cdot 10^4$ эВ, время жизни возбужденного уровня $\tau = 1,8 \cdot 10^{-8}$ c, а естественная ширина эровня — $\Gamma_2 = h/2\pi t = 3 \cdot 10^{-8}$ эВ. Энергия отдачи в этом случае составляет

$$R \approx \frac{E_{21}^2}{2m_\gamma c^2} \approx \frac{(2,38 \cdot 10^4)^2 (\text{эВ})^2}{2 \cdot 119 \cdot 10^9 \text{эВ}} \approx 2,5 \cdot 10^{-3} \text{эВ}.$$

Энергия, которая расходуется на отдачу ядра, поглощшего γ-квант, оказывается точно такой же. Эта картина показана на рисунок 4: линия испускания смещена на величины $R$ влево от $E_2$, а линия поглощения — на столько же вправо от $E_2$ (расстояния по оси $E$ данной).

Какое же влияние оказывает сдвиг $R$ на резонансное поглощение γ-квантов? Смара по себе величины $R$ не представляется существенно интереса, важно соответствовать и шириной Г резонансной линии. Легко видеть, что резонансное поглощение возможно только в случае, если спектры испускания и поглощения перекрываются, то есть при условии

$$2R \leq \Gamma. \quad (6)$$

А это условие почти никака не выполняется для γ-переходов в свободно

11

Рис. 4.

ных ядрах, то есть в случае, когда можно пренебречь энергий связи ядер в веществе. Так, для рассмотренного свободного ядра $^{119}$Sn шрина Г на пять порядков, то есть в соответствии тысяч раз, меньше R. Понятно, что в этом случае наблюдаются резонансное поглощение γ-квантов невозможно.

Почему же тогда энергия отдачи не помещала наблюдающего оптического резонанса для желтой линии натрия? Или там отдачи вовсе нет? Отдача, конечно, существует и там, но посмотрим, какова ее величины. Масса атома натрия равна 22 а. е. м., и энергия отдачи равна

$$R = \frac{(hv)^2}{2M_{\text{Na}}c^2} = \frac{(2,1)^2 (\text{эВ})^2}{2 \cdot 22 \cdot 10^9 \text{эВ}} \approx 10^{-10} \text{эВ}$$

Она оказывается ничтожно малой по сравнению с естественной шириной уровня $\Gamma \approx 4,4 \cdot 10^{-8} \text{эВ}$.

Как же все-tаки наблюдаются γ-резонанс? В принципие, можно компенсировать энергетический сдвиг 2R с помощью эффекта Доплера, который состоит в изменении частоты излучения, а значит, энергии фотонов, при движении источника (или поглощителя) *). Действительно, если движение отдачи разрушает резонанс, то противоположное, компенсирущее отдачу движения должно восстановить его. Но какова при этом должны быть скорость движения?

Рассмотрим случай, когда поглощение ядро поконтся, а излучающее ядро движется к нему навстречу. Пусть частота неподвижного ядра-источника равна $v_\gamma$. Тогда при движении этого ядра со скоростью $v$ частота его излучения изменится, и по отношению к неподвижному ядру-поглощителю будет равна $v = (1 + v/c) v_\gamma$. Соответственно, энергия испускаемых фотонов будет $E = hv = (1 + v/c) hv_\gamma = (1 + v/c) E_\gamma$, где $E_\gamma = hv_\gamma$ — энергия фотнов, которые испускаются не подвижное ядро-поглощитель.

Итак, при движении ядра-источника «навстречу» энергия испускаемых им фотнов, попадающих на неподвижное ядро-поглощитель, увеливается на величины

$$\delta E = E - E_\gamma = E_\gamma \frac{v}{c}.$$ (7)

Если окажется, что $\delta E = 2R$, то должен наблюдаться γ-резонанс. Пользоваться формулой (7), легко расчитать, при какой скорости $v$ выполняется это условие:

$$\dot{v} = c \frac{2R}{E_\gamma}.$$ (8)

Так, для ядер $^{119}$Sn эта скорость равна примерно 60 м/c.

Основанные на этой идее опыты на ядрах других были проведены в 1953 году П. Муном и А. Сторустом. Они смотрировали источник с возбужденными ядрами ртути на плече центрифуги. Плечо приводилось во врашение, и тогда наблюдается резонанс в покоящем ртутином поглощитель. Скорость движения, необходимая для компенсации ядерной отдачи в ртути, была порядка скорости звука! Подобные опыты по γ-резонансу имели ограниченное применение, были технически сложны и поэтому проводились крайне редко.

Так продолжалось до 1958 года, когда положение радиального изменилось благодаря открытию молодого немецкого физика Рудольфа Мёссбауэра. Открытие состояло в том, что Мёссбауэр нашел, как избежать затраты части энергии на отдачу ядер и наблюдать γ-резонанс без отдачи. Если опыты Мунна и Сторуста показали, как компенсировать отдачу, то опыты Мёссбауэра показали, как ее уничтожить.

12

Чтобы избавитьружье при выступе от движения отдели и тем самым всю энергию заряда передать пуле, надо, оченьно, опереть ружье, связать его с каким-нибудь массивным телом. Но обо что «опереть» ядро, испускающее или поглощающее γ-квант, как сделать его неподвижным? Оказаюсь, что при определенных условиях ядра можно «закрепить» в решетке кристалла. Именно кристаллическая решетка, в которой ядра прочно «скованы» друг с другом цепями химических связей, и сыграла роль массивного тела, предотвращающего отделу.

Как же происходит процесс поглощения и испускания γ-квантов ядра, входящими в состав кристаллической решетки?

Нанболее прост случай, когда энергия отдели превышает энергию связи ядра в решетке, которая довольно влика — она составляет 10÷30 эВ. Формула (4) показывает, что такой случай реализуется лишь при больших энергиях γ-квантов ($E_\gamma > 1$ МэВ). При этом связывая ядра становится несущественной, и мы, по существу, имеем дело со свободным ядром.

При испускании γ-квантов с $E_\gamma < 1$ МэВ энергия отдели неостачана для вырывания ядра из кристаллической решетки, а импульс ядра в той или иной форме передается всему кристаллу. Чаще всего энергия отдели преходит в звуковые колебания решетки. Такой процесс очень виден. В результате отдели ядро связывая со своей места, но не теряет связи с решеткой. Оно отделе свой импульс соседним ядрам, те передают его своим соседям — и в кристаллической решетке возникнет механическая волна.

Известно, что кристаллическая решетка это квантовая система, которая, подобно атому, не может возникать произвольным образом. «Вследствие квантования собственной энергии кристалла он может поглощать энергию отдели лишь дискретными порциями. При понженении температуры вероятность возникнет собственных уровней кристалла уменьшается, поэтому при испускании γ-квантов малой энергии ($E_\gamma \lesssim 100$ кэВ) некоторая часть переходов происходит так, что импульс отдели воспринимает весь кристалл в целом» — писал Р. Мёсбачер в своей стране. Таким образом, в кристалле возникен случай, когданикаго возникен колебаний вообще не происходит! Тогда отдачу испытывает вся решетка как целое. В формулу (5), определяющего энергию отдели, вместе ядра следует теперь подставлять массу всего кристалла. В результате энергия отдели поняется на 20 порядков и оказывается много меньше ширины линии Γ. В этом случае γ-резонанс сравнительно легко наблюдается.

Такое упругое, то есть без отдели, испускание и поглощение γ-квантов в кристаллах и носит название эфекта Мёсбачера.

Конечно, мы не можем проследить за каждым отделю взятым atomом или γ-квантом. Все рассмотренные процессы носят случайный характер. Поэтому ясно, что даже при низкой температуре относить не все ядра в кристалле испускают γ-кванты без отдели, а только неоторая их часть. Чем ниже температура, тем больше доля ядра излучает «резонансные» γ-кванты. В первых опытах Мёсбачера, где в качестве источника γ-лучей использовался радиоактивный придиний $^{191}$Ir, при температуре жидкого азота $T \approx 80$ К доля резонансных квантов не превышала несколько процестов. В настоящее время известны радиоактивные соединения, визлучения которых даже при комнатной температуре доля резонансных квантов составляет почти половину всего излучения. Для проведения γ-резонансных оптов с таким источникамсовсем не требуется их охлаждения.

Замечательной особенность γ-резонанса является его необъчайно высокая добротность. Так, для изотопа олова $^{119}$Sn с энергией γ-квантов $E = 2,38 \cdot 10^4$ эВ и шириной резонансного уровня $\Gamma = 3 \cdot 10^{-8}$ эВ добротность равна

$$Q = \frac{E}{\Gamma} \approx 0,8 \cdot 10^{12}.$$

Это почти в 20 тысяч раз лучше, чем для оптического резонанса зна-

13

менитой желтой линии натрия. Для ядер железа $^{57}$Fe добротность γ-резонанса выше еще в три раза, а для цинка $^{67}$Zn она равна $2 \cdot 10^{15}$!

Высокая добротность γ-резонанса превращала его в инструмент измененный исключительной точности. Например, для олова достаточно с помощью эффекта Доплера изменить энергию γ-квантов на одну триллюнную часть, чтобы уйти за пределы естественной ширины возбужденного уровня и разрушить резонанс. На этом условии «расстройки» основан метод наблюдения резонанского поглощения γ-квантов, предложенный Мёссбауэром. Рассмотрим его.

Пусть ядра источника и поглотителя находятся в идентичных кристалах и при одинаковой температуре. Тогда линяя испускания полностью перекрывается с линейной поглощения, и число γ-квантов, резонансно поглощенных поглотителем, будет максимальным при неподвижных источнике и поглотителе ($v=0$). Если теперь поглотитель (или источнику) сообщить небольшую скорость, то произойдет сдвиг линей испускания и поглощения (его называют дополнительским сдигром), и резонанс будет нарушаться. Такое разрушение резонанса происходит уже при ничтожных скорости.

Оценим величины скорости для $^{119}$Sn. Подставляя в формулу (8) вместо $R$ естественного ширину линей $\Gamma=3 \cdot 10^{-8}$ эВ, мы найдем, что для нарушения резонанса достаточно перемешать поглотитель или источник со скоростью порядка миллиметра в секунду! (Вместо 60 м/c для получения резонанса на свободных ядрах.) Таким образом, изменяя энергию γ-квантов с помощью эффекта Доплера можно уходить от резонанса или восстановить его.

На рисунке 5 показана схема одной из первых экспериментальных установок Мёссбауэра для наблюдения γ-резонанского поглощения на ядрах придания $^{191}$Ir с энергией γ-квантов $E_{\gamma}=129$ кэВ.

Радиоактивный источник, расположенный за свинцовойащитой, мог равномерно врашаться по окружности в тупи длигу сторону*). γ-кванты, испускаемые источником при его движении на участке траектории, отмещением на рисунке 5 жирной линии, попадали на неподвижный поглотитель (придивую фольгу). За поглотителем устанавливается счетчик γ-квантов. Благодаря специальному устройству счетчик регистрации γ-кванты, прошедшие через поглотитель, только в то время, когда источник находится на «работем» участке траектории. При изменении угловой скоростивращения источник движения насстечу поглотительного либо от него с различными строю контролируемых скоростими.

В эксперименте исследовалась зависимость числа γ-квантов, попадающих в счетчик в единицу времени, от скорости движения источника. Для построения графика исследования источник движения насстечу поглотительного либо от него с различными строю контролируемых скоростими.

Движение источника насстечу поглотительного или от него приводило благодаря эффекта Доплера к смешению линей испускания в стороне большей энергии. Ре-

*) Интересно отмечать, что в начале исследования эффекта Мёссбауэра для перемещения источника или поглотителя с малой скоростью физики использовали диск проигрывателя, суппорт станка, диффузор репродуктора и т.п.

14

зультаты измерений представлены на рисунке 6.

Такая кривая называется мёссбачеровским или γ-резонансным спектром. Измеряемая на опите ширина резонансной линии представляется собой результат наложения линей источника и поглотителя. При тонком поглотителе и источнике и при отсутствии вибрации ширина линей равна удвоенной естественной ширине 2Г. Измерив эту ширину, можно определить время жизни возбуждения состояния.

Дальнейшие работы показали, что любое внешнее воздействие, изменяющее первоначальную энергию ядер, может быть компенсировано при помощи относительной движения. Тогда величины изменения может быть определена по значению относительной скорости, необходимой для восстановления резонанса.

Таким образом, открытие Мёссбачера должно способствовать регистрации изменений энергии (именно изменений, а не абсолотной величины этой энергии) γ-квантов и легло в основу целой новой области — мёссбачерской спектроскопии, в зависимости которого заменый вклад внесли советские учены.

В настоящее время эфект Мёссбачера обнаружен более чем на 40 элементов таблицы Менделеева.

Применения эфекта Мёссбачера многочисленные и основны, главным образом, на использовании мёссбачеровских спектров как источников ценной информации об исследуемом объекте. Остановимся кратко на некоторых приложениях.

Еще совсем недавно трудно было представить, что можно заметить изменения энергии ядерного перехода в зависимости от характера химического окружения ядра. Однако оказалось, что при испускании и поглощении γ-квантов ядрами, входящими в состав химических соединений, максимум линей поглощения может наблюдаться при скорости, отличной от нуля. Это объясняется следующим. Энергия ядерного перехода зависит от электростантических сил взаимодействия ядра с окружающими его электронами. Но вклад этого взаимодействия настолько мал, что неисредственно наблюдается не может. Однако в опытах по изучению эфекта Мёссбачера положение меняется. В этом случае электростантических сил на энергетические уровни ядра нужно сравнить не с энергийой γ-перехода, а с шириной линей резонансного положения.

Смешение максимума мёссбачеровского спектра при этом заменяется. Такие изменения, следовательно, дают информацию о характех химических свойства.

Важным и плодотворным оказалось применение эфекта Мёссбачера в физике твердого тела. Атомные ядра представляют собой маленькие магнитки, которые взаимодействуют с магнитными и электрическими полями окружающих электронов. Такие взаимодействия существенно влияют на мёссбачерские спектры и потому могут детально изучаться. Именно с помощью эфекта Мёссбачера впервые удалось измерить внутренние (Окончание см. на c. 30)

15

Загадочный Плутон

Кандидат физико-математических наук
В. А. БРОНШТ.ЭН

В 1930 году, то есть чуть более пятидесети лет назад, была открытая девятая, самая удаленная от Солнца планета Солнечной системы — Плутон. Сравнительно быстро астрономырные определения элементы орбиты новой планеты — среднее расстояние до Солнца, степень вытянутости (эксцентриситет) орбиты и наклонение к плоскости земной орбиты.

Гораздо труднее оказалось определить физические характеристики Плутона — его размеры, массу, плотность. Длительное времяпочему-то считалось, что по размерам и массе Плутон практически не отличается от Земли. Такие оценки вошли даже в астрономические справочники. Однако в 1950 году астрономырные измерители диаметр диска Плутона и нашли его равным примерно 5000 км (напомним, что диаметр Земли ≈ 12 750 км). Спустя пятнадцать лет, наблюдения закрытия Плутоном слабой звезды показали, что диаметр планеты еще меньше, во всяком случае не превышает 4400 км.

В начале 70-х годов учены попытались уточнить массу Плутона по возникшении, создаваемым им в движении соседней планеты — Нептуна. Они получили оценку массы в 0,11 массы Земли. Но сразу ясно, что эта оценка зависит, так как при диаметре даже 4400 км она приводила к нереально большому значению средней плотности Плутона — около 15 г/см³*) (из планет Солнечной системы самую большую плотность имеет Земля — 5,5 г/см³).

Открытие в 1978 году спутника Плутона, названного Хароном, позволило определить массу планеты по периоду обращения и радиусу орбиты ее спутника. Она оказалась равной весю лишь 0,002 массы Земли (то есть в шесть раз меньше массы Лунны). Вот почему все попытки определить массу Плутона по возникшении в движении Нептуна были заранее обращены на неудачу — при такой ничтожной массе Плутон никак не мог влиять на движение своего в 7500 раз более массивного собрать.

Недавно был изобретен новый способ измерения диаметров небесных тел. Этоало возможность определить размеры Плутона с большей точностью, чем прежде. Оказалось, что его диаметр заключен в пределах от 3000 до 3600 км (это примерно в полтора раза меньше диаметра Меркурия, считавшегося самой маленькой планетой Солнечной системы).

Из оценок массы и диаметра следует, что плотность Плутона — от 0,5 до 0,8 г/см³. До них пор планетой с наиболее плотностью считался Сатурн: его средняя плотность равна 0,7 г/см³. Уточнение размеров Плутона показет, не оберет ли он у Сатурна перевенства по самой низкой плотности.

И еще один своеобразный рекорд «установлен» Плутоном. Его спутник Харон лишь в движении планете по массе. Раньше считалось, что наиболее относение массы планеты к массе спутника у системы Земля — Луна, где оно равно 81.

Совсем недавно обнаружилось, что блеск Плутона испытывает колбания и кроме того интенсивно ослабевет, несмотря на приближение планеты к Солнцу (перигелян она пройдет в 1990 году). Пока объясненей этому нет. Возможно, будущее исследования проблемы с нетузагду.

*) В астрономии принято плотности небесных тел выражать в г/см³, а не в единицах СИ. (Прим. ред.)

16

Метод интерации

Член-корреспондент АПН СССР
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ

I

Несколько тысячлетий назад в Древнем Вавилоне был изобретен простой способ приближенного вычисления квадратных корней.

Пусть мы хотим вычислить $\sqrt{a}$ (где $a > 0$), то есть найти положительный корень уравнения $x^2 = a$.

Это уравнение равносильно следующему:

$$x = \frac{a}{x}.$$

(1)

Предположим теперь, что мы имеем некоторое приближение $x_0$

числа $\sqrt{a}$. Согласно (1), $x_0$ надо сравнить с числом $\frac{a}{x_0}$: ведь если $x_0$ и $\frac{a}{x_0}$ совпадают, то $x_0$ — точное значение $\sqrt{a}$. Если, однако, $x_0 \neq \sqrt{a}$, то одно из чисел $x_0$, $\frac{a}{x_0}$ меньше, а другие больше, чем $\sqrt{a}$ (поскольку произведение этих чисел равно $a$), то есть $\sqrt{a}$ лежит между $x_0$ и $\frac{a}{x_0}$. Можно предложить, что среднее арифметическое этих чисел

$$x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{a}{x_0} \right)$$

является лучшим приближением числа $\sqrt{a}$, чем исходное приближение $x_0$.

Это приближение $x_1$ можно улучшить таким же способом, то есть взять среднее арифметическое чисел $x_1$ и $\frac{a}{x_1}$

$$x_2 = \frac{1}{2} \left( x_1 + \frac{a}{x_1} \right),$$

затем можно взять среднее приближение

$$x_3 = \frac{1}{2} \left( x_2 + \frac{a}{x_2} \right)$$

и так далее.

Какова точность вывилонского способа? Для ответа на этот вопрос проведем следующие вычисления:

$$x_n - \sqrt{a} = \frac{1}{2} \left( x_{n-1} + \frac{a}{x_{n-1}} \right) - \sqrt{a} =$$

17

$$\frac{1}{2} \left( \sqrt{x_{n-1}} - \sqrt{\frac{a}{x_{n-1}}} \right)^2 = \frac{1}{2x_{n-1}} \left( x_{n-1} - a \right)^2. \quad (2)$$

Равенство (2) дает возможность выразить ошибку приближения $x_n$ (то есть число $|x_n - \sqrt{a}|$) через ошибку предыдущего приближения $x_{n-1}$.

Задание

1. Докажите, что все приближения числа $\sqrt{a}$, найденные по вавилонскому способу, кроме, быть может, начального приближения $x_0 > 0$, является приближением с избытком.
2. Докажите, что при любом $x_0 > 0$ последовательность $(x_n)$ приближений, найденных по вавилонскому способу, стремится к $\sqrt{a}$.
3. К какому предely будет стремиться эта последовательность, если в качестве $x_0$ взять некоторое отрицательное число?

Чтобы оценить, насколько быстро числа $x_0, x_1, x_2, \dots$ приближются к $\sqrt{a}$, вычислим $\sqrt{19}$, взяв начальное приближение $x_0 = 4$. Вооружившись микрокалькулятором$^*$), находим

$$x_0 = 4,0000000; \quad x_1 = 4,3750000; \quad x_2 = 4,3589285; \quad x_3 = 4,3588989; \quad x_4 = 4,3588989.$$

Как видим, уже четвертое приближение не отличается (при вычислениях с семью знаками после запятой) от третьего. Естественно приять, что $\sqrt{19} \approx 4,3588989$.

Читатель может возразить, что незачем было «огород городить»: имея в руках микрокалькулятор, можно было набрать число 19 и затем, нажав всего одну кнопку $\sqrt{19}$, сразу получить тот же результат $\sqrt{19} \approx 4,3588989$. Однако согласитесь, что нас интересало не столько значение $\sqrt{19}$, сколько достоинства вавилонского способа. Они оказывались весмя значительными: уже после третьего повторения одотипной операции (или, как говоря, после третьей utepaши) мы получили значение $\sqrt{19}$ с семью верными знаками (см. задачу 4).

$^*$ Тем, у кого микрокалькулятор под рукой нет, придетя либо считать вручную, либо поверить написанному.

3 задачи
4. Пусть, применяя вавилонский способ, мы вычисляем последовательные приближения $x_0 > 0, x_1, x_2, \dots$ числа $\sqrt{a}$ с $k$ знаками после запятой, то есть okругляем каждый раз $(k+1)$-ю цифру. Докажите, что если приближения стабилизируются в точке $x_n$ (то есть $x_{n+1} = x_n$ с точностью до $10^{-k}$, но $x_n \geq x_{n-1} + 10^{-k}$), то ошибка приближения $\sqrt{a} \approx x_n$ меньше 0,75 $\cdot 10^{-k}$.
5. Сколько интересный нужно сделать, чтобы провода вычисления по вавилонскому способу с $k$ знаками после запятой, получить число $\sqrt{a}$ с $k$ верными знаками после запятой?

Что бы показать читателю превосходство человекаского интеллекта над любой машиной (в частности, над микрокалькулятором, который лишь выполняет волю человека, является его помощью), мы проведем вычисления с пятнадцатью знаками после запятой. С этой целью применяют найденное приближение числа $\sqrt{19}$ за новое исходное приближение $x_0$ (то есть положим $x_0 = 4,3588989$) и вычислим по вавилонскому способу следующее приближение $x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{19}{x_0} \right)$. Положим $\frac{19}{x_0} = x_0 + h$, то есть

$$19 = (x_0)^2 + x_0 h. \quad (3)$$

Мы имеем

$$(x_0)^2 = (4,3588989)^2 = (4,358 + 8,989 \cdot 10^{-4})^2 = 4,358^2 + 2 \cdot 4,358 \cdot 8,989 \cdot 10^{-4} + 8,989^2 \cdot 10^{-8}.$$

Так как наш микрокалькутор точно вычисляет произведение двух четырех значений чисел, мы сложаем вправой части посчитать точно. Тепер, подписав одну под другой три получившиеся десятичные дроби

$$18,992164 \quad 0,0078348124 \quad 0,00000080802121$$

мы можем (вручную, что совсем несложно) найти их сумму.

$$(x_0)^2 = 19 - 37,957879 \cdot 10^{-8}$$

и потому, подставляя в (3), имеем

$$4,3588989 h = 37,957879 \cdot 10^{-8},$$

откуда (с помощью микрокалькуля-

21

довательных приближений — в этом состоянии другая причина того, что при решении практических задач вычислители ограничиваются нахождения установившихся значений с помощью ЭВМ, производящих вычисления с достаточно большим числом знаков. Трудно сказать, что лучше: tratить дорогое машинное время на проверку точности решения как одной задачи или решать большое количество практических задач, получая «как правило» хорошего точность решения…

Задача и

14. Примените метод интераций к управлению (6), где $f(x)=0,9999x+0,0004$. Докажите, что если интерационный процесс решения, проводимый с четырьмя знаками после запятой, останавливается в точке $x_n$, то ошибка приближения $x^* \approx x_n$ применено равна единице, то есть комнительны не только знаки после запятой, но и целая часть приближения $x_n$. (Эти сообщения и использованы при построении примера 1; в этом примере $0,9999<f'(x)<1$ при $x>0,12$.)

15. Пусть функция $f$ удовлетворяет условиям $f(a)>a$, $f(b)<b$ и $|f'(x)|<q<1$ при $x \in [a; b]$. Тогда уравнение (6) имеет на отрезке $[a; b]$ единственный корень $x^*$. Докажите, что при решении уравнения (6) метод интераций

$$|x_{n+1}-x_n| \leq |x_1-x_0| \cdot q^n$$

$$|x^*-x_n| \leq |x_1-x_0| \cdot \frac{q^n}{1-q}.$$

16. Примените эти оценки к функция (5).

17. Решите метод интераций уравнения $0,6095+0,274 \sin x=x$ (пользовясь микрокалькулятором). После скольких интераций процесс останавливается? Сколько верных знаков имеет полученное приближение?

18. Решите метод интераций уравнения $\sqrt{1+x}=x$, взяв $x_0=0$. Сравните полученный результат с корнем, получаемым при «обчислом» решения этого irrationalного уравнения. Докажите, что $n$-е приближение имеет вид

$$x_n = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \ldots + \sqrt{1}}} \quad (n \text{ единиц}).$$

IV

В задачах 8, 10 и 15 указаны условия, при выполнении которых метод интераций завершено приводит к цели. А как бы, если эти условия не выполнены?

Пусть рассматривается уравнение $g(x)=0$, где $g(a)<0$, $g(b)>0$, функция $g$ имеет на отрезке $[a; b]$ непрерывную производную и $g'(x)>0$ при $x \in [a; b]$. Таким образом, функция $g$ возвращает на отрезке $[a; b]$, и уравнение $g(x)=0$ имеет на этом отрезке единственный корень $x^*$. Что бы сделать применим метод интераций, обозначим через $p_1$ и $p_2$ такие положительные числа, что $p_1 \leq g'(x) \leq p_2$ на отрезке $[a; b]$. Затем темп теперь уравнение $g(x)=0$ равносильным ему уравнением $x+a \cdot g(x)=x$, где $a$ подберем так, чтобы функция

$$f(x)=x+a \cdot g(x)$$

удовлетворяла условиям задачи 15. (Проверьте, что это будет, например, при $a=-\frac{2}{p_1+p_2}$, $q=\frac{p_2-p_1}{p_2+p_1}$.) Таким образом, мы заменили уравнение $g(x)=0$ на равносильное уравнение $f(x)=x$, к которым метод интераций уже применим.

Если $g'(x)<0$ при $x \in [a; b]$ применим тот же прием. (В этом случае $p_1$ и $p_2$ отрицательны и $a=-\frac{2}{p_1+p_2} > 0$.)

Пример 2. Решим метод интераций уравнения

$$x^2-x=\cos x.$$

При $0 \leq x \leq 1$ левая часть неположителя, а правая положителя; поэтому на отрезке $[0; 1]$ корней нет. Переписав уравнение в виде

$$x^2-x-\cos x=0,$$

замечаем, что функция $g$, стояшая влевой части, имеет производную $g'(x)=2x-1+\sin x$, которая при $x \geq 1$ положительная, то есть $g$ возвращает на $[1; +\infty]$. Поскольку $g(1)<0$ и $g(2)>0$, на луче $[1; +\infty]$ имеетровно один корень расматриемого уравнения, причем он расположен на отрезке $[1, 2]$. С помощью микрокалькутора на отрезке $[1, 2; 1, 3]$. Функция $g'$ возвращает на $[1; +\infty]$ (поскольку ее производная $g''(x)=2+cos x$ положительная). Следовательно, $p_1 \leq g'(x) \leq p_2$ на отрезке $[1, 2; 1, 3]$, где $p_1=g'(1,2) \approx 2,332$, $p_2=g'(1,3) \approx 2,564$. Таким образом, $a=-\frac{2}{p_1+p_2} \approx -0,401$. Взяв для простоты $a=-0,4$, получаем уравнение (Окончание см. на с. 37)

22

Первоапрельский калейдоскоп

А. А. БОРОВОЙ

Приближается первоое апреля — день веселых розыгрышей, мистификаций и маленьких обманов. Лаборатория «Квана» тоже захотелось приобретться к этому празднику. Довольно долго мы разделывали над тем, как деликатнее обманут читателя, и, наконец, решили действовать по решению: чтобы тебе не поверили, надо говорить чистую правду. Поэтому, если наш рассказ показывает вам по менышей mere страным, не полениться и проверьте сказанное на опите, преждечем кричать: «С первым апреля! Никому не верю!».

Знакомый всем сифон

Это незатейливое приспособление для перекачивания жидкости из одного сосуда в другой извесно с незапамятных времен. Различные конструкции сифонов изобретал еще Герон Александрийский, живший две тысячи лет тому назад.

Как же устроен простейший сифон? Представьте, что вам надо перелить жидкость из одного сосуда в другой, расположенный ниже первоого (рис. 1). По каким-то принципам наклонять сосуд и лить жидкость через край неудобно. В таком случае берется гибкая трубка и опускается одним концом в верхний сосуд, другим — в нижний. Это и есть сифон (не случайно слово «сифон» в переводе с гречского ознакомает «трубка», «насос»). Чтобы он начал действовать, его необходимо предварительно заполнить жидкость. Для этого чаще всего используют простой (но не всегда приятный) способ: опустив в жидкость один конец трубки, ptом отсавыют из нее воздуха,ажимают другой конец и быстро погружают его во второй сосуд.

Таким образом, для работы с фонаю надо:

— хотя бы один сосуд;
— предварительно наполненную жидкость трубку, у которой «выливное» колено опущено ниже жидкости в сосуде;
— атмосферное давление.

Хотите верьте, хотяите нет, но почти все, что перечислено, на самом деле вовсе не обязательно.

Начнем с атмосферного давления. Действительно ли оно нужно для работы с фонаю? «Совершенно необходимо,— утверждают многие,— ведь оно подпирает жидкость, не дает ей разорвать внутренний трубки на перегибке». В своей рода это утверждение — первоапрельская шутка. Если помещить сифон под колокольную насоса, он будет работать и без атмосферного давления, лишь бы только жидкость не вскипела и пузьры не перекрыли сечение трубки. Столб жидкости не разрывается из-за сил молекулярного сцепления.

Теперь о предварительном наполнении жидкости. Некоторые трубки заполняют не приходится — они это делают сами.

Изготовьте трубку, изобравенную на рисунке 2. Лучше всего из стека

23

(правда это трудно), но можно и из жести. Закройте узкий конец пальцем, а широкий опустите в верхний сосуд и резко отпустите палец. Сифон начинает переливать воду. Почему так получилось, понять совсем нетрудно. Попробуйте это сделать сами.

Существует и другой тип «самонаполняющся» трубок — фитилли. Если сосуды соединить вместе трубки фитилли, жидкость, хотя и медленно, будет перекать по нему. Здесь вступают «в игру» капиллярные явления.

Остается сказать, что и сама трубка требуется не всегда. Так, в книге Дж. Уокера «Физическая фейерверк» можно прочитать про «самоперетекающие» жидкости: «Некоторые жидкости, например жидкий полизтилен, могут сами вытекать из сосуда, если только дать только действию такого «сифона», вылив часть жидкости…». Поскольку нет никакой уверенности в том, что у вас дома хранится жидкий полизтилен, советует испыть другие жидкости. Возможно, вам удостсяда добиться нужного эфекта.

Заметим еще, что существует одна понятие замечательная жидкость, которая может вытекать из сосуда, сама поднимаясь по его стенкам. Это жидкий гелий, точнее — гелий II. Так называют эту жидкость при температуре ниже 2,17 К, когда у нее появляется совершенное удивительные свойства. И прежде всего — сверхтекучесть, то есть полное отсутствие вззости*). Вот что пишут об этом явлении Л. Д. Ландду и А. И. Китайгородский в книге «Физика для всех»:

«… Гелий II способен сам «вылезать» из стакана или пробирки, куда от наlint.

На рисунке 3 показана схема проведения этого опыта. Пробирку с гелем II помещают в дыюар над гелевой ванной. «Ни с того ни с него» гелий поднимается по стенке пробирки в виде тончайшей совершенной независной планы и перетекает через край; с донышка пробирки капают капли.

*) Вязкость жидкости обусловлена тренемом, возникающим между соседними слоями жидкости при их относительной движении.

Рис. 2.

Надо вспомнить, что благодаря капиллярным силам … молекулы всякой жидкости, смачивающей стенку сосуда, взбираются вверх по этой стенке и образуют на ней тончайшую пленку, ширина которой по порядку величины равна одной миллионной доле сантиметра. Эта пленочка незаметна для глазза, да и вообще ничего не проявляет для общной вязкой жидкости.

Картина совершенного меняется, если мы имеем дело с лишенным вззостем гелем… Через борт стакана или пробирки поверхностная плена образует сiphон, по которым гелий переливается через край сосуда.>

Понять поведение жидкого гелия можно только с точки зрения квантовой механики.

Вот видите, сколько необходимо тайт в себе общий сiphон.

24

Оптические иллюзии

«Если на клетке слона прочитать надпись «буйвол», неверь глазам своим», — так советовал действительный статский советник, директор Пробирной Палатки Козма Петрович Прутков.

Мудрый человек был несовсем прав. В основном, глазам своим можно и должно верить, поскольку наиболее колчество информации об окружающей мире человека получает именно с помощью зреня. Правда, иногда эта информация представляется совершенно неправдополобной, а иногда и вовсе оказывается неверной.

Сделаем совсем простой опыт. Свидимом большой и указательный пальцы так, чтобы между ними образовалась щель, и посмотрим сквозь нее на свет лампы. Когда щель станет совсем узкой, в центре появится черная полоска. Что это — обман зреня?

Чуть-чуть условим опыт. Для этого разглаadm кусочек алюминевой фольги (например, обертку от шоколадной конфеты) и сделаем в ней бритвой разрез длиной 4—5 см. Если теперь посмотреть одним глазом через этот разрез на свет матовой лампочки, в центре тоже можно увидеть черную полоску. Кроме нее будут видны и более слабые боковые темные полосы.

Опыты действительно очень простые, а объяснить их далеко не просто. Приятно считать, что просхождение темных полос связи с дифракцией света — огибанием волнами преляется. (Возможно, однако, что немалую роль играет здесь и физологический эффект.)

Но когда же глаза действительно обманывают нас? Почему это происходит? Какие цели при этом преследует природа?*)

Сразу скажем, что обманы следует отнести не за счет оптической системы глаза, а за счет того, что нервная система, мозг человека «подправляют», «домысливают» много гнезды. Так из плоского рисунка возникает объемный конус (рис. 4) или на границе черного и белого появляется контрастные полосы, которые как бы пытаются сделать более резкими переходами освещенности.

Чтобы наблюдать эти полосы (называемые полосами Маха), сделаем следующий опит. Диск из белого картона с нанесенным на нем черной тушью рисуком (рис. 5) приведем в быстroe вращение. Естественно ожидать увидеть в центре белый круг, затем серый и, наконец, черный с относительной плавами переходами освещенности. Однако в действительности картина представляется несколько иной: центральный белый круг опоясывает узкое яркое светлое колюцо, а на границе черного колюца видна черная полоса максимальной густоты. Это и есть полосы Маха.

В некоторых случаях их появление очень полезно. Например, они дают нам возможность читать, четко воспринять отдельные буквы. Белизна бумаги рядом с буквами каждой ярче, а границы букв — чернее, чем это есть в действительности.

Раз уж речь зашла о вращающихся дисках и связанных с ними оптических обманах, нельзя не вспомнить еще один диск — так называемый диск Бенхэма. С его помощью можно получить красный, голубой и зеленьй цвет при смешивании только белого и черного цветов. Про этот эффект часто пишут в различных популярих изданиях (см., например, журнал «Наука и жизнь»: 1970, № 11 или 1971, № 10), поскольку его очень легко наблюдать.

*) Тем, кто всегда заинтересуется этим и аналогичными вопросами, связанным с физическим среднем прочитать книгу С. И. Вавилов а «Глаз и Солнце». Совсем недавно поевилось последнее издание этой замечательной книги.

25

Электрический разряд в laboratorии

Фотография, воспроизведенная на первой странице обложки, сделана в учебной laboratorии кафедры технических направлений Ленина и ордена Октябрьской Республики энергетического института, одного из ведущих техническихузов страны.

На фотографии изображена часть laboratorий установки, с помощью которого отработывается методы защиты высоковольтного оборудования. В частности, на ней использовается зависимость напряжения, вызванного туманю форму газового разряда, от емкости разрядного промежутка.

На переднем плане виден электрод в форме полушария. За ним находится стеклянная пластина, еще дальше — таллическая заемленная плоскость. Между электродом и плоскостью создают высокое напряжение. Возникающий электрический разряд развивается по поверхности стекла, проходя последовательное разные стадии (сначала коронный, затем искровой и наконец, дуговой разряд). На фотографии запечатлен процесс перехода коронного разряда в искровой.

26

Равномерное движение

М. И. БАШМАКОВ

Мы здесь рассматрием прямой нечёное равномерное движение, то есть движение по фиксированной прямой с постоянной скоростью. Выбрав направление на этой прямой, можно записать уравнение движения в виде

$$s = vt,$$

(1)

где $t$ — время движения, $s$ и $v$ — проекции векторов перемещения и скорости на выбранную ось. Тогда $s$ и $v$ могут принадлежать как положительные, так и отрицательные значения.

Средняя скорость

Формулу (1) часто записьюот в виде $v = s/t$. Соотношение $v = s/t$ имеет смысл и для неравномерного движения (движения с переменной скоростью), но в этом случае $v$ является по определению средней скоростью движения.

В качестве разминки, поставляется, не составляя уравнения, ответить на следующие вопросы:

1. Одна машина шла первую половину пути со скоростью 30 km/час, а вторую — со скоростью 50 km/ч. Вторая машина шла весь путь со скоростью 40 km/ч. Какая из машин затратила на всю дорогу меньше времени?

2. Одна машина первую половину времени движения шла со скоростью 30 km/час, а вторую — со скоростью 50 km/ч. Вторая машина двигалась столько же времени, сколько ее скорость была все время 40 km/ч. Какая из машин проила большие расстояние?

(Ответы указаны в подписи к рисунку 1).

Возможные ошибки при ответах на вопросы о равномерном движении связываны с тем, что мы иногда путем характер зависимости между двумя из величины $s$, $v$ и $t$ при фиксированной третьей.

При фиксированном перемещении зависимости между временем и скоростью — обратно пропорциональна. При этом, если перемещение $2s > 0$ состоит из двух одинаковых частков $s$, которые проходятся с постоянными (но разными) скоростями, первый за время $t_1$, второй за время $t_2$, то средняя скорость $v = 2s/(t_1 + t_2)$ меньше среднего арифметического скорости на каждом из частков, равного

$$\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{s}{t_1} + \frac{s}{t_2} \right) = \frac{s(t_1 + t_2)}{2t_1t_2}.$$

(Действительно, разность

$$\frac{s(t_1 + t_2)}{2t_1t_2} - \frac{2s}{t_1 + t_2} = \frac{s(t_1 - t_2)^2}{2t_1t_2(t_1 + t_2)}$$

очевидно, положительная, то есть $v < \frac{v_1 + v_2}{2}$).

Так, в задаче 1 средняя скорость первого машины меньше, чем $(30 + +50)/2$ km/час = 40 km/ч, значит вторая машина (шедшая со скоростью 40 km/ч) придет быстрее.

При фиксированном времени движения зависимости между перемещением и скоростью — прямой пропорциональна. Поэтому если в течение двух одинаковых отрезков времени $t$ происходит равномерное движение с разными скоростями $v_1$ и $v_2$, то средняя скорость $v$ на всем пути будет равна среднему арифметическому скорости на отдельных участках. (Действительно,

$$v = \frac{s_1 + s_2}{2t} = \frac{1}{2} \left( \frac{s_1}{t} + \frac{s_2}{t} \right) = \frac{v_1 + v_2}{2}).$$

Так, в задаче 2 средняя скорость первого машины равна скорости второй $(50 + 30)/2 = 40)$ и поэтому они за одинаковое время совершают одинаковое перемещение.

28

сноваъ его; кроме формулы (1), вам потребуется общая формула сложения скорости:

$$v_k = v_{k\theta} + v_p,$$

утверждаяшая, что скорость $v_k$ катара в реке равна сумме его скорости в стояней воды $v_{k\theta}$ и скорости реки $v_p$.

В задаче с категром мы столкнулись с наложением двух равномерных движений — движения катара и движения воды в реке. С такой ситуацией связано много интересных и неожиданных задач. Попробуйте без вычислений решить такую задачу:

5. По движущемуся вверх эскалатору в направлении движения идет человек и считает проиденные ступеней. Скорость человека относительно неподвижного эскалтора равна $v$. Как выглядит график зависимости числа $s$ проиденных им ступеней от скорости $v$?

Прежде чем рисовать график, ответьте для себя на вопрос: возвращает или убивает функция с ростом скорости $v$? Грубый эскиз графика изобран на рисунке 3.

Давайте изучим ситuation более подробно. Обозначим общее число ступеней (неподвижного) эскалатора через $s_0$, скорость движения эскалатора через $v_3$, скорость подъема человека через $v$, число ступеней, проиденных человека, через $s$. Эти величины связаны соотношением

$$\frac{s}{v} = \frac{s_0 - s}{v_3}$$

(мы приравняли время подъема человека и время подъема эскалатора).

Отсюда находится

$$s = \frac{s_0 v}{v + v_3} = \frac{s_0 + s_0 v_3 - s_0 v_3}{v + v_3} = s_0 - \frac{s_0 v_3}{v + v_3}.$$

Начертим график функции

$$s = s_0 - \frac{s_0 v_3}{v + v_3},$$

считая, что $v$ может принимать любые (в том числе и отрицательные) значения. График изобран на рисунке 4.

Глядя на график (и вспоминая условия задачи), ответьте на следующие вопросы:

a) Что происходит с $s$ при неограниченной возрастанию $v$?

b) Как можно обьяснить, что $s$ неограниченно возрастает, если $v$ приближается к $(-v_3)$? Представьте себе, что вы встали на первую ступенку движения вверх эскалтора и начали спускаться вниз с той же скоростью, что и сам эскалатор. Далеко ли вы уйдет? А сколько ступеней вы можете пройти?

г) Как изменится график функции (2), если одновременно заменить $v$ на $kv$ и $v_3$ на $kv_3$?

Ответ на последний вопрос — график не изменяется — означает, что число проиденных ступенек зависит только от относительной скорости человека и эскалтора.

В заключении этого раздела предлагаем еще две задачи.

6. Человек, поднимаясь по эскалатору, насчитал 100 ступеней, а двигаясь с вдвое большей скоростью,

29

насчитал 120 ступеней. Сколько ступеней на неподвижном экалаторе?

7. Человека, идущее вдоль трамвайных путей, каждые 7 минут обойти трамвай, а каждые 5 минут трамвай проходит навстречу. Как часто ходят трамвай?

Кусноно-линейное движение

Простота формулы $s=vt$ обусловлена тем, что за начало отсчета выбрана точка на прямой, в которой находится движущейся тело в момент времени $t=0$. Если сдвинуть начало отсчета на $s_0$ (влево или вправо, в зависимости от знака), уравнение равномерного движения примет вид $s=s_0+vt$. (3)

На графике (рис. 5) движение изображается прямой (пересекающей ось $s$ в точке $s_0$) наклон которого зависит от скорости $v$. Положительный наклон (острый угол) соответствует положительным скоростям (то есть движению в положительной направлении оси $s$), отрицательный — движению в обратном направлении.

Формула (3) полезна в тех случаях, когда мы на едином графике изображаем кусноно-линейное движение, то есть движение, которое является равномерным (но с разными скоростями) на соседних отрезках времени. На графике такое движение изображается в виде ломанной линии, каждое звено которого задается функцией вида (3) на соответствующем отрезке времени (рис. 6, $a$). Если же изображить скорость такого движения как функцию времени $v=v(t)$, то получим кусноно-постоянную (ступенчатую) функцию (рис. 6, $b$). Связь между графиками кусноно-постоянной функции скорости и кусноно-линейной функции пути хорошо видна на рисунке 6.

Мы теперь воспользуемся этим сообщениями, чтобы решить более трудную (олимпидную) задачу, на первый взгляд не имеющую отношения к равномерному движению.

8. По кругу выписано 10 чисел, сумма которых равна нулю. Мы начинаем с однозою из них, например, $a_1$, и последовательно складываем их по кругу (скажем, по часовий стрелке).

Получим суммы $a_1, a_1+a_2, a_1+a_2+a_3, \dots, a_1+a_2+\dots+a_{10}=0$. Докажите, что можно так выбрать начальное число, что все эти суммы будут неотрицательны.

Для решения представим себе, что $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ — скорости движения на десяти равных отрезках времени, которые примем за единицу.

Считая, что в начальной момент путь равен нулю, получим, что путь $s$ через единицу времени будет равен $a_1$, через две единицы — $a_1+a_2$, и т. д. График такой функции изображается ломаной, начинающийся и кончающее на оси $t$, так как по условию $a_1+a_2+\dots+a_{10}=0$ (рис. 7, $a$). Можно считать, что движение повторяется периодически — через десять единиц времени скорость снова равна $a_1$ и т. д. График движения представится в виде периодических повторяющихся 10-звенной ломаной (рис. 7, $a$). Начало отсчета в другой точкеозначает

30

Перенос начала координат в одной из вершин ломаной. Что означает неотрицательность сумм? Она означает, что все вершины ломаной лежат выше оси времен (или на ней). Сначала мы выбрали начальную точку произвольно (рис. 7, а). Теперясно, что если перенести начало координат в вершину ломаной, для которого значение наименьшее, и начать

Эффект Мёссбауэра

(Начало см. на с. 7)

магнитные и электрические поля во многих соедининых. Это позволяет глубже понять механизм таких взаимодействий и сделать еще один шаг в познании внутренней структуры твердого тела.

В заключение рассмотрим еще одно интересное применение эффекта Мёссбауэра. Оказывается, при движении фотонов против сил тяготения произходит уменьшение их энергии, следовательно, частоты света (увеличение длины волны), то есть налидается так называемое «красное» смешение спектра. При движении фотонов «по полю» должны налидаться «филотовое» смешение. Используем эффекта Мёссбауэра позволяет осуществитьрезвычайно тонкий красный опыт по определению изменения энергии γ-фотонов при их движении в гравиатционном поле.

В опите Р. Паунда и Г. Ребки источник и поглотитель — железо $^{57}$Fe — располагались в башне на высоте $H=22,6$ м друг от друга: источник наверху, а поглотитель с детектором у основания башни. Затем их меняли местами. Как показывает расчет, который мы здесь описаем, в этом случае относительное изменение частоты квантов $\approx 2,5 \times 10^{-15}$. Эффект Мёссбауэра позволяет даже такое небольшое изменение частоты.

Можно с увеличностью сказать, что среди последних научных открытий эффект Мёссбауэра — одно из наиболее плодотворных.

31

Проводящая сфера в задачах по электростанке

С. А. ЮРСКИЙ

Сферическая поверхность — одна из самых простых в геометрии. Близко к ней поверхности в природе имеет многое тела: Солнце и Земля, капли дождя и ягоды рябины, и даже электоны в нашем воображении рисунются маленькими шариками.

Тела сферической формы — часть гости и в задачах по электростанке. Нередко это связано с тем, что сферическая симметрия позволяет значительное употребить многое математическое вычисления без ущерба для физического содержания.

Прежде чем приступить к разбору конкретных задач, обсудим неокоторые общее вопросы электростанки.

В изолированной системе тел, какие бы изменения в ней не производили, алгебраическая сумма положительных и отрицательных зарядов остается постоянной.

Электрические взаимодействия можно описать количественно. В простейшем случае двух точных зарядов $q_1$ и $q_2$, находящихся в вакууме на расстоянии $r$ друг от друга, сила взаимодействия между ними определяется законом Кулона

$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2},$$

где $k$ — численный коэффициент, зависимости от выбора системы единиц. В СИ его записьют в виде $k = 1 / (4\pi\varepsilon_0)$ (здесь $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная). Неточные заряды, конечно, тоже действуют друг на друга, но их сила взаимодействия уже не определяется приведенной формулой. В таком случае заряженные тела следует мысленно разбитать на точные заряды, найти силу взаимодействия для каждой пары зарядов, а затем все полученные значения сложить.

Как известно, электрические заряды взаимодействуют через электрическое поле, которое они создают. Для количественного описания этого поля служат сливая и энергетическая характеристика: напряженность поля и его потенциал. Напряжение $\vec{E}$ поля в данной точке равна силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку, а потенциал $\phi$ данной точки равен работе, совершаемой полем по перемещению единичного положительного заряд из этой точки в бесконечность, или, что то же самое — работе внешних сил по перемещению единичного положительного заряд из бесконечности в данной точку. Под «безконечностью» понимают область пространства, настоящего удаленного от всех электрических зарядов, что поле в ней отсутствует.

Из приведенного определения потенциала ясно, что практическое значение имеет только разность потенциалов между расматриваемыми точками, а не абсолотное значение потенциалов точек. Поэтому начало отчета потенциала можно выбирать произвольно. Как правило, за нуль приннимают потенциал точки на бесконечности или потенциал любой точки, соединенной проводником с Землей (то есть заземленной точки). В связи с этим поговорим немного о заземлении тел.

Земля представляет собой проводящее тело огромных размеров. Она обладает значительным отрицательным электрическим зарядом. Разный ему положительный объемный заряд содержится в атмосфере, в слое высокого порядка десятков километров. У поверхности Земли напряженность поля ≈ 130 В/m. Считая Землю проводящим шаром и зная напряжность поля у поверхности, можно оценить величины заряда Земли:

32

$Q_3 \approx 6 \cdot 10^5$ Кл и ее потенциал: $\varphi_3 \approx 8 \cdot 10^8$ В. Термин «тело заземлено» означает, что оно соединено проводником с Землей. При таком соединении заряд и потенциал Земли практически не меняются, хотя какой-то заряд может перейти с тела на Землю или наоборот. Поскольку Земля по сравнению с любым земным телом пространства до бесконечности и потенциал ее постоянен, условились этот потенциал принимать за нуль. Таким образом, заземligt проводник зазначает сообщить ему нульовой потенциал.

Для получения заряда модель напряженности

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

и потенциал

$$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$

Все опытные факты говорят о том, что электрическое поля обладают замещательным свойством: электрическое поле системы источников является суммой полей отдельных источников. Другими словами, поле каждого фиксированного заряда не зависит от присутствия других зарядов. Чтобы найти результатную напряженность в некоторой точке, достаточно векторно сложить напряженность полей, созданных в этой точке отдельными зарядами. Для нахождения суммарного потенциала достаточно в данной точке взять алгебраическую сумму потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности, при этом точка нульового потенциала должна быть, конечно, обшей для всех зарядов. Такой принципи нахождения результатующего поля называется принципиом суперпозицини.

Электрическое поле часто изображают графические либо с помощью линей напряженности (силовых линей), либо с помощью эквивпotenциальных поверхностей. Силовые линей всегда перpendикулярны к эквивпotenциальным поверхностям, поэтому, зная одну картину, можно легко получить другую.

Под словом «проводник» обычно понимают проводящие, то есть содержащие свободные заряды, тело любых размеров и формы, чаще всего металлическое. Внутри проводника, помещенного в электрическое поле, направлено поля всегда равна нулью, а все точки проводника имеют один и тот же потенциал. Отсутствие поля в проводнике вовсе не означает, что внешнее поле в него не пропидает. Совсем наоборот, благодаря пропинителью поля в проводник, на его поверхности появляется заряды, поле которых внутри проводника компенсирует внешнее поле. Таким образом, свободные заряды в проводнике могут располагаться только на его поверхности.

Для характеристики способности проводников накапливать электрическое заряды вводится специальная физическая величины — электроемкость. Большой электроемкость обладает конденсатор — система двух проводников (разделенных тонким слоем диэлектрика), заряженных равными по модели, но разноменными зарядами. Емкость конденсатора $C$ называют относение заряда $q$ одного из проводников к разности потенциалов $\Delta \varphi$ между ними: $C = q / (\Delta \varphi)$. Она зависит от размеров, формы и взаимного расположения проводников, а также от электрических свойства диэлектрика.

А теперь обратимся к решению конкретных задач.

Задание 1. Металлическая тонкость сфера радиуса $R$ равномерная с поверхностью плоскостью $o$. Показите, что напряженность поля в любой точке внутри сферы равна нулью. Найдезависимость напряженности и потенциала от расстояния $r$ (от центра сферы) внутри и вне сферы. Постройте соответствующие графики.

Вначале показем, что напряженность поля внутри сферы равна нулью. Для этого возьмем произвольную точку $A$ и построим два симметричных конуса с одинаковыми малыми углами при вершине, как показано на рисунке 1. На поверхности сферы конуса вырезают малые сферические участки $S_1$ и $S_2$, которые можно считать плоскими. Конуса подобны другому, так как углы при вершине равны. Из подобия следует, что пло-

34

сферы, где поля нет, работа не совершается, то есть к уже совершенной работе ничего не добавляется. Это и означает, что для любой точки внутри сферы потенциаль такой же, как на ее поверхности. Зависимость φ=φ(r) показана на рисунке 3, б.

Задача 2. Точенный заряд +q помещен в центр незаряженной проводящей сферы, внутриный радиус которого a, а внешний b. Где и какое заряды при этом возникют? Изображение картины линей направления и потенциаль электрического поля от расстояния r до центра сферы.

Изображение также картину линей направления внутри и вне сферы при смешении заряда +q в произвольную точку внутри сферы.

При внесении заряд +q на внутри и внешней поверхности сферы индуцируются заряды. Пусть они равны q₁ и q₂ соответственно. Известно, что силовые линии электросケого поля (линия направления) всегда начинаются на положительных зарядах и оказываются на отрицательных. Поскольку поля в проводящей только стенок сферы нет, то нет там и силовых линей. Внутри сферы силовые линии начинаются на точном заряде q и оказываются на наведенных зарядах q₁

внутренней поверхности. Отсюда следует, что полный заряд внутри сферы равен нулю:

$$q + q_1 = 0, \quad q_1 = -q.$$

В свою очередь, из электронной плотности проводящей сферы для заряда на ее внешней поверхности имеем

$$q_2 = -q_1 = q.$$

В силу симметрии индуцированные заряды распределены по обеим поверхности сферы равномерно. Картина силовых линей имеет вид, приведенный на рисунке 4.

Для нахождения напряженности и потенциальа поля, создаваемого всей системой зарядов, применим принцип суперпозициции. Поле вне сферы совпадает с суммарным полем точчных зарядов q, q₁ и q₂, помещенных в центр сферы. Так как наведенные заряды равны по величины и противоположны по знаку: q₁ = -q₂, суммарное поле создается только точным зарядом q:

$$\text{при } r > b \quad E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \quad \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$

В толще сферы поле отсутствует, напряженность равна нулю, а потенциаль одинаков во всех точках и равен потенциальу на внешней поверхности сферы:

$$\text{при } a < r < b \quad E = 0, \quad \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}.$$

Внутри сферы поле также совпадает с полем только точного заряда q (поскольку заряды q₁ и q₂ внутри

35

сферы поля не создают; см. задач 1):

при $r < a$ $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, $\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.

Графики зависимости $E = E(r)$ и $\varphi = \varphi(r)$ показаны на рисунках 5, а и 6.

Рассмотрим теперь последний вопрос задачи. При смешении заряда $+q$ из центра сферы в какую-то другую точку величины индуцированных зарядов, очевидно, остanetся прежней, но изменится плотность распределения зарядов на внутренней поверхности. Отрицательные заряды перераспределятся так, чтобы поле в тольце стенок оставалось равным нулю. Плотность этих зарядов будет больше в том месте внутренней поверхности, которое расположено близке к заряду $+q$. В этой же области внутренний сферы будет больше и устота силовых линии. Поскольку сфера представляется собой поверхность равного потенциала, силовые линии искривляются так, чтобы подойти к эквивпотенциальной поверхности под прямым углом. Заряды на внешней поверхностиникакого отношения к полю внутренней сферы не имеют; там их суммарный вклад равен нулю. «Внешние» заряды по-прежнему распределены равномерно. Таким образом, поле внешней сферы остается без изменений; оно не зависит от распределения заряда $+q$ внутренней сферы. Картина силовых линии в этом случае изобравена на рисунке 6.

Задача 3. Две концентрические металлические сферы радиусов $R_1$ и

$R_2$ имеют заряды $q_1$ и $q_2$. Нарисуйте графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния $r$ до центра системы.

Рассмотрим случай сферического конденсатора ($q_1 = -q_2$) и найти его ею emкость.

Пусть $q_1 > q_2$. Тогда

$$\begin{align*} \text{при } 0 < r < R_1 & \left\{ \begin{array}{l} E = 0, \\ \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{R_1} + \frac{q_2}{R_2} \right); \end{array} \right. \\ \text{при } R_1 < r < R_2 & \left\{ \begin{array}{l} E = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0} r^2, \\ \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R_2} \right); \end{array} \right. \\ \text{при } r > R_2 & \left\{ \begin{array}{l} E = \frac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0} r^2, \\ \varphi = \frac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0} r. \end{array} \right. \end{align*}$$

Соответствующие графики показаны на рисунках 7, а и 6.

Сферический конденсатор имеет заряды обкладок, равные по величины и противоположные по значку: $q_1 = -q_2$. Поэтому напряжение и потенциал во внешней области обращаются в нуль, а между обкладками ($\text{при } R_1 < r < R_2$) имеют вид

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} r^2, \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R_2} \right).$$

Зависимости $E = E(r)$ и $\varphi = \varphi(r)$ для этого случая представлены на рисунках 8, а и 6. Для определения ею системы сферического конденсатора найдем разность потенциальов на его об-

36

Кладках. Так как потенциаль внешней сферы равен нулю, разность потенциальов

$$\Delta \varphi = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right).$$

Отсюда емкость конденсатора

$$C = \frac{q}{\Delta \varphi} = 4\pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}.$$

Задача 4. Незаряженный металлический шар радиуса r окружающий проводящий оболочкой радиуса R с потенциальом φ. Чему станет равен потенциальом оболочки, если шар заземлить (рис. 9)?

До заземления потенциаль оболочки φ создается неокоторым зарядом q: φ = $\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$. Поскольку шар не заряжен, он имеет тот же самый потенциаль. После заземления потенциаль шара обратился в нуль. Это означает, что на нем появился каои-то заряд. Его величины $q'$ найдем из условия, что суммарный потенциаль, создаваемый зарядами q и $q'$, на поверхности шара равен нулю:

$$\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 r} = 0, \text{ и } q' = -\frac{r}{R} q.$$

Тепер легко найти новый потенциаль оболочки, который создается теми же зарядами q и $q'$:

$$\varphi' = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{q(R-r)}{4\pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{R-r}{R} \varphi.$$

Задача 5. Пробой ввоздуке наступает в электрическом поле с напряженною $E_M = 3 \cdot 10^4 \text{ B/cm}$. Имеется сфericalный конденсатор с воздушимзаром, наружная обкладка которого имеет радиус R=4 см, а радиус внутренней обкладки подбигается таким, чтобы конденсатор не пробивался при возможно большем значении разности потенциальов. Определите эту максимальную разность потенциальов.

38

Квашт
для младших школьников

Задания

1. Лёня и Коля пошли в гости к Боре, но забили номер его квартиры. Коля помил, что если прибавить к этому номеру 10, то получится точный куб, а Лёня помил, что если вычесть из номера квартиры число 10, то получится точный квадрат. В какой квартире живет Боря?

2. Маше нужны были для шитьянитки № 20. У нее не было такихниток, но былинитки № 40 и № 10. Что ей делать? (Номернитки определяется как отношение длинынитки в метрах к ее массе в граммах, то есть он численно равен длине в метрах 1 граммниток.)

3. Надутый воздухом воздушный шарик взвесили на весах. Потом надули его еще сильнее и вновь взвесили. Одинаковы ли будут показания весов?

4. Какое число нужно поставить вместе знака «?» в последовательность 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, 31, 100, ?, 10 000?

5. Вершина А треугольника ABC соединена отрезком с точкой M на противоположной стороне треугольника. Вершина B соединена с точкой K на противоположной вершине B стороне треугольника. Могут ли отрезки AM и BK пересекаться делиться пополам?

Эти задания нам предложили
Н. В. Васильев, А. Н. Виленкин,
С. В. Казаков, Л. З. Карелин, А. П. Савин

38

39

У нас в гостях — математический радиокружок

С. Л. ТАБАЧНИКОВ

Сегодня в гостях у «Кваита» профессор Сцема и его постоянные помещики: мальчик Альфа и девочка Бета. Они участники радиопередачи «Математический радиокружок Сцема». Занятия этого необучного радиокружка прошедят раз в месяц в одну из среды в 16—00 по первой весоизозной радиопрограмме. А сейчас профессор Сцема, Альфа и Бета познакомят читателей «Кваита» с темой одного из занятий своего математического радиокружка.

Сигма. Мы начнем с задачи из «Кваита для младших школьников» (№ 1 за 1981 г.): В Советском Союзе населенние составляют 260 млн. человек. Казалось бы, на карте СССР с масштабом 1:1 000 000 (в одном сантиметре 10 километров) может помещиться в миллион раз меньше людей, чем на всей территории страны, то есть может помещиться 260 человек. Однако, из опыта известно, что и пяты десять человек это будет нелегко сделать. Почему?

Альфа. Да я эту задачу сразу решил! Ведь люди живут в многоэтажных домах, значит на единицу земной поверхности приходится не один, а несколько человек.

Бета. А по-моеу, Альфа, ты не прав. Возьмем, например, такое густо населенное здание, как здание школа. Первого сентября все, кто находится в этом здании, выходит во двор на линейку, посвященную началу учебного года. Также и жители других домов могут размещаться во дворах и на улицах — им даже не будет тено. А еще остатся степи, пустыни, тундра!

Сигма. Бета права. Тебе, Альфа, придется понскать другое obъяснение. А пока попробу сравнить площади квадратов со стороны 2 и 1.

Альфа. Ну как же — площадь первого будет в четыре раза больше, чем площадь второго. И вообще, при уменьшении размеров любой фигуры в N раз, ее площадь уменьшается в N² раз. Не зря площадь изменяется в квадратных единицах!

40

Бета. Теперь все ясно! Человек занимает на Земле определенную часть площади. При изображении на карте с масштабом 1:1 000 000 площади всех фигур уменьшают в $(1\ 000\ 000)^2$ раз, то есть, в $10^{12}$ раз. Именно на это число, а не на миллион и нужно разделить населенные страны. При этом получится около одной четырехсячной части человека и никакой парадокс не возникает.

Сигма. Очень хорошего, ребята, вы во всем разобрались. Мне остается лишь добавить, что при решении задачи вы воспользовались так называемыми сообщениями подобия. Тема нашего занятия как раз — сообщения подобия.

А теперь решим еще одну задачу. В два одинаковых заполненных водой ведра засыпают дробь: в первоое ведро крупную, а во второе мелкую. В каждое ведро насыпают столько дроби, сколько помещается. Из какого ведра выляется больше воды?

Альфа. Ну конечно, из второго, в него насыпают мелкую дробь!

Бета. Ну и что?

Альфа. Раз дроб мелкая, то и промежутки между отдельными дробниками будут маленькими. Поэтому мелкая дробь уляжется плотнее.

Бета. Хотя промежутки между крупными дробниками и большие, зато смих промежутков будет меньше. Так что еще не известно, какая дробь уляжется плотнее: мелкая или крупная.

Сигма. Действительно, надо выяснить, какая дробь уляжется плотнее: мелкая или крупная. Давайте для простоты предположим, что отношение диаметров дробинок равно двум. Теперь посмотрим на ведро с мелкой дробью в бинокль с двухкратным увеличением. Что мы увидим?

Альфа. Мы увидим ведро, заполненное крупной дробью. При двухкратном увеличении и объем ведра, и объем каждого дроби увеличится в 8 раз $(8=2^3)$, а их отношение остается неизменным. Значит плотность мелкой и крупной дроби будет одинаковой.

Бета. Получается, что из ведр вычитет одинаковое количество воды. Вот никака бы не подумала!

Сигма. Тем не менее, это правильный ответ. И получить его нам помогли сообщения подобия. Хочу только внести необольшее уточнение: наш ответ верен, если размеры дробинок намного меньше размеров ведра. Если же дробинки крупные (или ведро совсем маленькое), то наши рассудения теряют силу.

Причина в том, что мы пренебрегли нарушением правилного расположения дробинок влизи стенок ведра. А если дробинки больше, то влиянием стенок ведра пренебречь уже нельзя.

Бета. Профессор Сигма, а какие еще задачи можно решать с помощью сообщения подобия?

Сигма. Сообщения подобия оказылись очень полезными в биологии. А впервые их применил к изучению строения животных великий итальянский ученый XVI века Галилео Галилей. Галилей занимал вопрос, как могло бы выглядеть очень крупное сухопутное животное, например гигантская собака. В одной из книг Галилей можно даже найти рисунки костей такой воображаемой собаки.

Альфа. А очень здесь думать? Увеличить скелет общий собаки раз в 10 и все!

Сигма. Нет, все не так просто. Прочность костей пропорциональна площади их поперечного сечения. При увеличении размеров в 10 раз эта площадь увеличится в 100 $(=10^2)$ раз. Значит, кости гигантской собаки смогут выдержать стократную нагрузку. Но в том то и дело, что нагрузка возвращает не в 100, а в 1000 раз. Ведь нагрузка пропорциональна массе животного, то есть его объему. Obъем же увеличится в 1000 $(=10^3)$ раз. Вот и получается,

Победители
конкурса «Кванта»

Ежегодно наш журнал проводит конкурс среди школьников по решению задач из Задачника «Кванта». В соответствии с решением оргкомитета Всесоюзной олимпiadы школьников победили этого конкурса получают право участвовать сразу в четвертом (республиканском) туре Всесоюзной олимпiadы.

Ниже публикуется список победителей конкурса «Кванта» 1982 года, получивших право участвовать вреспубликанских олимпадах 1983 года. Все они нагradдаются также книгами серии «Библиотека «Квант»» с авторфамами авторов.

Математика

В. АЛИВЕРДИЕВ — Баку, шк.-инт. № 1, 10 кл.
В. АРАБИДЗЕ — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 10 кл.
А. БЕРЕНШТЕЙН — Москва, с. ш. № 1140, 10 кл.
А. БИРГЕР — Иваново, с. ш. № 6, 8 кл.
В. БУЛАВАС — Паневежис, с. ш. им. Ю. Бальчикониса, 11 кл.
Г. ВИННЕР — Свердловск, с. ш. № 9, 10 кл.
А. ВИНОГРАДОВ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
М. ГАРАЕВ — Физули, с. ш. № 2, 9 кл.
М. ГОРБУНОВ — Минск, с. ш. № 19, 10 кл.
А. ДЕЙНЕКА — Винница, с. ш. № 32, 10 кл.
А. ДОБРИН — Киев, с. ш. № 45, 10 кл.
О. ЕРОШКИН — Днепропетровск, с. ш. № 15, 10 кл.
М. ЗАПЛЕТИН — Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.
К. ЗЫКОВ — Москва, с. ш. № 57, 10 кл.
А. ИВЧЕНКО — Могилев-Подольский, с. ш. № 1, 9 кл.
Ю. КАКУЛОВ — Цалка, с. ш. № 3, 10 кл.
А. КАРПОВИЧ — Киев, с. ш. № 39, 10 кл.
Д. КОРШУНОВ — Новосибирск, с. ш. № 25, 10 кл.
К. КОХАСЬ — Ленинград, с. ш. № 239, 10 кл.
Р. МИСЯВИЧЮС — дер. Повилаяскай Лит. ССР, Наумастская с. ш., 10 кл.
Ф. НАЗАРОВ — Ленинград, с. ш. № 239, 9 кл.
Л. ОРИДОРОГА — Донецк, с. ш. № 64, 9 кл.
А. РОДИОНОВ — Москва, с. ш. № 444, 10 кл.
Л. РУДЫЙ — Кировск, с. ш. № 6, 10 кл.
В. САДОВСКИЙ — Ташкент, с. ш. № 71, 10 кл.
А. СВИРИДОВ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
С. СТРУКОВ — Воронеж, с. ш. № 85, 9 кл.
С. ТИПЦОВ — ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
В. ХРЫЧИКОВ — Севастополь, с. ш. № 24, 9 кл.
У. ЭММУС — п. Ныцни ЭССР, Ньюсская с. ш., 11 кл.
С. ЮРОВСКИЙ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.

Физика

Э. БАГДАСАРЯН — Баку, с. ш. № 46, 9 кл.
Г. БАРАНОВ — Донецк, с. ш. № 17, 10 кл.
А. ДУНАЕВСКИЙ — Киев, с. ш. № 39, 10 кл.
М. ДЬЯЧКОВ — п. Черноголовка Московской обл., с. ш. № 82, 10 кл.
С. ЕФИМОВ — Баку, с. ш. № 91, 10 кл.
Р. ЖЯМАЙТИС — Вильнюс, с. ш. № 9, 11 кл.
Ю. ЗВЕГИНЦЕВ — Харьков, с. ш. № 116, 10 кл.
М. ЗИМАНОВ — Алма-Ата, РФМШ, 9 кл.
И. КАЛИНОВСКИЙ — Киев, с. ш. № 145, 8 кл.
Е. КАНЦЫПЕР — Таллин, с. ш. № 15, 10 кл.
С. КАСТЕЛЛИ — Болград, с. ш. № 1, 10 кл.
А. КОРЧАГИН — Красноармейск, с. ш. № 2, 10 кл.
Г. ЛАНДСБЕРГ — п. Протвино Московской обл., с. ш. № 1, 10 кл.
О. ЛОПИН — Фрунзе, с. ш. № 61, 10 кл.
Д. МАКАРОВ — п. Черноголовка Московской обл., с. ш. № 82, 9 кл.
К. МАКАРЧУК — Киев, с. ш. № 145, 8 кл.
А. МАЛАЙ — Каушаны, с. ш. № 4, 10 кл.
В. МОРОЗ — Минск, с. ш. № 16, 10 кл.
С. МУСАЕВ — Баку, с. ш. № 91, 10 кл.
М. ПУСТИЛЬНИК — Свердловск, с. ш. № 9, 10 кл.
М. РОЗЕНБЕРГ — Ленинград, с. ш. № 30, 10 кл.
В. РОМАШИН — Донецк, с. ш. № 17, 10 кл.
А. РЫЛЯКОВ — Саратов, с. ш. № 13, 10 кл.
Ф. СЕРЖЕНКО — Запорожье, с. ш. № 28, 10 кл.
М. СКОРИК — Киев, с. ш. № 145, 9 кл.
В. ФЕЛЬДМАН — Саратов, с. ш. № 13, 10 кл.
И. ШОЙХЕТ — Ташкент, с. ш. № 71, 10 кл.

44

6. Вектор $\vec{PA}' + \vec{PB}' + \vec{PC}'$ перпендикулярен плоскости $ABC$.
   в) Из точки $O$, взятой внутри терраэдра $ABCD$, опускаются перпендикуляры на плоскости его граней. На этих перпендикулярах от точки $O$ откладываются отрезки, равные по длине площадям соответствующих граней, и концы этих отрезков принадлежат за вершины нового терраэдра $A'B'C'D'$. (Разумеется, с точностью до паралельного перенoca, этот терраэдр не зависит от выбора точки $O$.) Доказите, что повторив это построение для терраэдра $A'B'C'D'$, мы получим терраэдр, готовый исходному с коэффициентом 3V, где $V$ — объем исходного терраэдра $ABCD$. (Если $3V=1$, то последний терраэдр получается из исходного паралельным переносом.)

В. Н. Дубровский

М794. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $K$ первой окружности проводятся прямые $KA$ и $KB$, пересекающие вторую окружность в точках $P$ и $Q$ (рис. 2). Доказите, что хорда $PQ$ второй окружности перпендикулярна диаметру $KM$ первой окружности.

Алла Ивченко, ученица 9 класса шкалы № 1
г. Могилева-Подольского

М795. Обозначим через $\sigma(n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$ (рис. 3). Доказите, что существует бесконечного много $n$ таких, что $a) \sigma(n) > 2n; 6) \sigma(n) > 3n$. Доказите, что для любого $n$ в $^* \sigma(n) < n(\log_2 n + 2); \gamma) \sigma(n) < n(\ln n + 1)$.

В. Ф. Лев

Ф803. Человек поднимается в гору с углом подьема $a$ с постоянной скоростью $v_0$ и тянет за собой на легкой вервке длины $l$ сани массы $m$, находящемся на горизонтальном участке (рис. 4). Найти натяжение вервки в тот момент, когда она составляет угол $a$ с горизонтальной поверхности. Силой tremия саней о поверхности дороги пренебречь.

В. И. Чивилёв

Ф804. Две одинаковые звезды $A$ и $B$ врашаются под действием взаимного притяжения на неизменном расстоянии $R$ друг от друга. На некотором неизвестном расстоянии $x$ от звезд в плоскости их орбит движется легкая планета $C$, причем $|AC| = |BC| = x$, а треугольник $ABC$ сохраняет свои размеры. Найти расстояние $x$.

Г. Л. Коткин

Ф805. Через плоский конденсатор, заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $e$ и удельным сопротивлением $Q$, течение ток $i(t) = I_0 \cos \omega t$. Определить ам-

45

Плитуду напряжения на конденсаторе. Расстояние между пластинами $d$, площадь каждой пластины $S$.

В. В. Можаев

Ф806. В схеме, показанной на рисунке 5, сразу после выключения внешнего магнитного поля, в котором находится катушка с индуктивностью $L$, через резistor с сопротивлением $R_1$ течет ток $I$. Пренебрегая омическим сопротивлением катушки, определять, какое количество теплы выделяется на резисторе с сопротивлением $R_1$ и на резисторе с сопротивлением $R_2$. Магнитное поле было направлено перпендикулярно плоскости витков катушки индуктивности.

В. В. Можаев

Ф807. Последовательно с катушкой индуктивности $L$ и конденсатором emкости $C$ через ключ $K$ подключили батарею с постоянной ЭДС $\varepsilon_0$ (рис. 6). В начальной момент времени ключ $K$ разомкнут, конденсатор не заряжен. Определить максимальную величины тока в цепи после замыкания ключа. Омическим сопротивлением в цепи пренебречь.

Problems

M791—M795; P803—P807

M791. On his birthday Pete was given a microcalculator which carries out the following operations: for any numbers $x$ and $y$ it computes $x+y$, $x-y$, $x+1$ and $1/x$ (when $x \neq 0$). Pete says he uses his calculator to:
a) compute the square of any number in 6 operations or less;
b) multiply any two numbers in 20 operations or less. How does he do it?

S. B. Gashkov

M792. Find the positive integer solutions of the equations
a) $3^x+1=2^y$; b) $3^x-1=2^y$; c)*
Find all positive integers $n$ for which both fractions $1/n$ and $1/(n+1)$ have finite decimal expansions. d)*
Prove that for any prime $p>3$ and any integer $m>1$ neither of the numbers $p^m+1$ and $p^m-1$ is a power of 2.

S. N. Bychkov, V. V. Prasolov, L. D. Kurlyandchik

M793.* Three line segments $PA', PB', PC'$ are constructed perpendicularly to the faces $PBC$, $PCA$, $PAC$ of the tetrahedron $PABC$; the lengths of the segments are numerically equal to the areas of these faces and the points $A'$ and $A$, $B'$ and $B$, $C'$ and $C$ lie on opposite sides of the planes containing these faces (see figure Pис. 1). Prove that
a) Repeating this construction for the tetrahedron $PA'B'C'$ (from vertex $P$), we obtain a tetrahedron homothetic to $PABC$ with coefficient $3V/4$, where $V$ is the volume of $PABC$.

47

Решение задач

M770, M775—M779; Ф788—Ф792

Первое решение. Можно считать, что длина стороны основания равна 1. Пусть $x \geq y \geq z$ — длины ребер PA, PB и PC. Ясно, что $x+y \geq x+Z \geq y+z \geq 1$.

По теореме косинусов (см. рис. 1)

$$x^2+1=y^2+ax,$$
$$y^2+1=z^2+ay,$$
$$z^2+1=x^2+az,$$

где $a=2\cos \alpha (0<a<2)$. Отсюда следует, что

$$\begin{cases} x^2-y^2=y^2-z^2+a(x-y), \\ y^2-z^2=z^2-x^2+a(y-z), \\ z^2-x^2=x^2-y^2+a(z-x), \end{cases}$$

$(x+y-a)(x-y)=(y-z)(y+z),$
$(y+z-a)(y-z)=(z-x)(z+x),$
$(z+x-a)(z-x)=(x-y)(x+y). Легко видеть, что если какие-либо два из чисел$x, y, z$равны, то равны и все три числа. Предположим, что$x \neq y, y \neq z, x \neq z$. Переменная уравнения последней системы, получим после сокращений$$(x+y-a)(y+z-a)(z+x-a)=(y+z)(z+x)(x+y).$$Поскольку права часть (*) положительная, должна быть положительная и левая часть. При этом, если все три сомножителя положительных, то равенство (*) невозможно. Следовательно,$y+z-a<0; y+z-a<0, a+x-y-a>0$. Кроме того,$(x+z)+(y+z)>2>2a$. Поэтому$(y+z-a) \times (x+z-a)=(y+z)(x+z)-(x+z+y+z)a+a^2=(x+z) \times (y+z)+a(a-(h+z+y+z))<(x+z)(y+z)+a(a-2)<(x+z)(y+z).

Позтому левая часть произведение (*) меньше правой. Противоречие.

Второе решение. Построим на плоскости угол $a$. На одной из его стороны отрезок $|OK|=1$, а на другой — отложим отрезки $OP=x, |OQ|=y, |OR|=z$. Получившиеся треугольники конгружены граями парамиды, причем $|PK|=y, |QK|=z, |RK|=x$.

Из треугольника RQK получаем $x=|RK|<|QR|+|QK|=y-z+z=y$, то есть $x<y$ — противоречие!

С. А. ВалерIAN

M775. При каких натуральных $n \geq 3$ существует различные натуральные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ или $a_n-a_1$ различны?

Ответ: при $n=4k$ или $n=4k-1, k \in N$. Расмотрим сумму $S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\dots+|a_n-a_1|$. По условию все $n$ составляющих ее слагаемых различны и заключены между числами 1 и $n$, следовательно $S=1+2+\dots+n=n(n+1)/2$. С другой стороны, если заменить модили разностей чисел $a_i$ в этой сумме на сами разности с соответствующими знаками и приведенными подобные, каждое из чисел $a_1, \dots, a_n$ будет входить в сумму с коэффициентом 2, —2 или 0 (так как любое из них содержитсяровно в двух модилях). Следовательно, $S$ — четное число. Но, поскольку $n+1$ — числа разной четности, число $n(n+1)/2$ будет четным тогда и только тогда, когда $n$ или $n+1$ делится на 4, то есть $n=4k$ или $n=4k-1, k \in N$.

В общих случаях нужно чисел быть указан: см. рис. 1 для $n=4k$ и рис. 2 для $n=4k-1$. Для удобства на общих рисунках числа $a_i$ расположены по окружности; на рисунке $1a_1=4k+1, a_2=1, a_3=4k, \dots, a_n=2k+1$ (не используется $k+1$), на рисунке $2a_1=4k, a_2=1, a_3=4k-1, \dots, a_n=2k$ (не используется $3k$). Заметим, что на общих рисунках при движении по часовой стрелке начинается от $a_1$, числа, записанные внутри окружностей,

48

Рис. 2.

М776. На диагоналях AC и CE правильно шестиугольника ABCDEF взяты, точки M и N соответственно, такие, что
$$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|} = \lambda.$$
Известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой. Най-dите λ.

М777. Дано уравнение $x^3 - 3xy^2 + y^2 = n$. Докажите, что
a) если натуральное n такое, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по меньшей мере три целочисленных решения;
b) при n = 2891 это уравнение не имеет целочисленных решения.

возрастают, а записанные снаружи — убывают, причем «внутренние» числа меньше «внешних». Отсюда легко вывести, что указанные наборы удовлетворяют условиям задачи.

А. В. Анджан

♦ Ответ: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Пусть $L$ — точка пересечения диагоналей AC и BF (см. рисунок). Диагоналки BF и CE параллельны, поэтому треугольники BLM и NCM подобны; следовательно,
$$\frac{|BL|}{|NC|} = \frac{|LM|}{|CM|}.$$
Выразим длины отрезков в этом равенстве через $\lambda$, считая длину диагонали AC равной 1.
Из подобия треугольников ABL и CFL следует, что $|BL|:|LF| = |AB|:|CF| = 1:2$. Следовательно, $|BL| = 1/3$, так как $|BF| = |AC| = 1$. Аналогично, $|AL| = 1/3$. Ясно, что $|CN| = |AM| = \lambda$, $|CM| = 1 - \lambda$, а $|LM| = |AM| - |AL| = \lambda - \frac{1}{3}$. Таким образом,
$$\frac{1/3}{\lambda} = \frac{\lambda - 1/3}{1 - \lambda},$$
то есть $\lambda^2 = 1/3$ и $\lambda = 1/\sqrt{3}$.

А. П. Савин

♦ a) Обозначим левую часть уравнения через $P(x, y)$. Ее можно переписать так:
$$P(x, y) = x^3 - 3xy^2 + y^3 = (y - x)^3 + 3(y - x)x^2 - x^3 = -y^3 + 3y(x - y)^2 + (x - y)^3.$$
Следовательно, $P(x, y) = P(y - x, -x) = P(-y, x - y)$. Поэтому, если пара целых чисел $(x, y)$ является решением нашего уравнения, то ему удовлетворяют также еще две пары $(y - x, -x)$ и $(-y, x - y)$. Все эти пары различны, либо в противном случае $x = y = 0$, что невозможно при $n \neq 0$.

б) Чтобы убедиться, что уравнение $x^3 - 3xy^2 + y^3 = 2891$ не имеет целочисленных решений, достаточно доказать, что левая часть ни при каких целых $x$ и $y$ не дает при делении на 9 в остатке 2, поскольку $2891 = 9 \cdot 321 + 2$. Для доказательства воспользовемся таблицей, в которой для всехможных остатков от деления числа $a$ на 9 приведены остатки для чисел $3a$ и $a^3$.

| $a$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $3a$ | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 |
| $a^3$ | 0 | 1 | 8 | 0 | 1 | 8 | 0 | 1 | 8 |

Из второй и третьей строк таблицы видно, что остаток 2 в левой части может получаться тогда, и только тогда, когда остатки от деления $x^3$, $3xy^2$ и $y^3$ на 9 соответствовно