Квант 1983, №10 · Страницы

КВАНТ
10
1983

Научно-популярный физиком-математической журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Леонард
ЭИЛЕР
1707·1783

В сентября 1983 г.
исполнимось 200 лет
со дня смерти
выдающегося
математика
Леонард Эйлера
(см. статю
С. Г. Гиндикина
в этом
и следующего
номерах журнала).

aϕ(m)-1:m
eᵢϕ=cosϕ+isinϕ
T-P+B=2

2

Физика
поверхности

Доктор физико-математических наук
Л. А. ФАЛЬКОВСКИЙ

Как выглядит поверхность твердого тела? Ответ на этот вопрос, пожалуйста, оченьлен: вид поверхности зависит от способа ее получения. Если взять кристалл и пройтись по его грани наждачной бумагой, то картина под микросkopом будет напоминать вид горных цепей из окна самолета. А до обработки наждачной бумагой поверхность хорошо кристалла кажется нам идеально robust, зеркальной. В действительности и на такой поверхности есть нервности, а ее зеркальное ознакомление лишь, что размеры нервностей не превышает длины волны видимого света — нашего инструмента. Свет не «видит» дефектов, размеры которых мы по сравнению с его длиной волны. Подобно тому, как мы не замечаем на дороге нервностей, мыых по сравнению с нашим шагом. Как обнаружить эти дефекты? Что мы увидим на поверхности при более сильном увеличении? Для того чтобы получить на этот вопрос, в настоящее время разработаны разнообразные и весычистые методы исследования. Но перед тем, как расказать о них, — несколько слов о том, зачем нужно столдательная информация о структуре поверхности.

На первый взгляд может показаться удивительным, что в нашей космической исследования и физики элементарных частиц бурное развитие переживает столб «рядом лежащая» область науки — физика, химия и механика поверхности. Диктуется это, конечно, запросами новой техники. Поведение элементов малых размеров, использых в микроэлектронике, в значительной степени определяется свойствми их поверхности. Проблема удержания плазмы требует выяснения механизма взаимодействия частиц и изучения с границами того объема, где плазма находится. Конструирование вакуумных насосов, а также разделение и очистка газов сталькиются с проблемами адсорбции, то есть поглощения газа разветвленной поверхностью твердого тела. Удивительное влияние катализаторов, одно присутствие которыхускоряет течение химических реакций, безусловно связано с проискодящими при этом поверхностями явлениями. И, нако-

5

метричного расположения к другому.

До сих пор речь шла о том, как выглядит поверхность твердого тела снаружи. Не менее важно знать, какой она представляется электронам проводимости, подлегающим к ней, так сказаать, изнутри. Для этой цели служит недавно представленный оригинальный метод, который иллюстрирует рисунок 3. В точках a и b к поверхности подсоединены два токовых контакта, а перpendикулярно линни ab в плоскости поверхности приложено постоянное магнитное поле с индукцией B. Электроны, вылетящие из контакта a со скоростью v, будут движаться в плоскости рисунка по окружности радиуса r, который определяется силой Лоренца и равен mv/eB, где m и e — масса и заряд электрона*). Если расстояние ab меньше диаметра окружности 2r, то на контакте b будут регистрации электроны, вылетящие из a не стого по нормали к поверхности. При ab > 2r электроны перестанут приходить на контакт b. Увеличим теперь магнитное поле в два раза. Радиус r уменьшится, соответственно, в два раза. На контакт b теперь могут прилететь электроны, отражающие зеркальное от поверхности

*) Далеко не в любом реальном металле траектория электрона в магнитном поле представляется собой окружность. Так бывают только в щелочных металлах. В общем случае из-за взаимодействия электрона с кристалической решеткой его траектория может быть искажена.

6

О влиянии поверхности на свойства проводников

Хорошо известно, что сопротивление проводки определяется ее длиной $L$ и диаметром $d$:

$$R = \rho L / S = 4 \rho L / \pi d^2.$$

Вопрос, который нас интересует, заключается в следующем: можно ли считать, что удельное сопротивление $Q$ зависит только от материала проводки и не зависит, например, от диаметра $d$? Мы сейчас видим, что для ответа на этот вопрос важно знать характер отражения электронов проводимости от внутренней поверхности проводника.

Пусть электрон отражается зеркальное, то есть параллельная поверхности проекция его импульса, а также энергия не меняются при отражении (рисунок 4, а). Это значит, что присутствие поверхности никак не сказавается на движении электрона в направлении, параллельном поверхности. Электрическое поле мы считаем, как это обычно бывают, направляемым вдоль поверхности. Поэтому удельное сопротивление $Q$ также обязаща — с «зеркальной» внутренней поверхности — должно совпадать с удельным сопротивлением неограниченного образца. Это сопротивление зависит от концентрации свободных электронов и от характеристис свободных электронов и от характеристис движения внутри проводника. Как показывает несложный расчет (мы проделаем его в Приложении в конце статьи), удельное сопротивление неограничного проводника равно

$$\varrho_0 = m / e^2 n \tau,$$

(1)

где $m, e$ — масса и заряд электрона, $n$ — концентрация электронов в области

$$\varrho_0 = \rho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right)$$

(2)

(эту формулу мы тоже выведем в Приложении). Здесь $l$ — средняя длина свободного пробета электрона, то есть среднее расстояние, проходное электроном между двумя последовательными столковенными с дефектами, а $q$ — величина, определяемая характером столковения электрона с поверхностью. Значения $q$ лежат в интервале между 0 и 1. При чисто зеркальном отражении $q = 0$, и мы приходим к прежней формуле (1). Относительная поправка к ней, то есть величина $\varrho_0 = 1 + q l / d$, содержит отношение длины свободного пробета $l$ к толщине образца $d$. Это довольно естественно, поскольку электрон «зеркает» о поверхности на расстоянии $l$ от нее, а ток течет по всему сечению образца.

Для достаточно только образцов, то есть при $d \gg q l$, формула (2) практически совпадает с формулой (1). В обратном предельном случае, когда $d \ll q l$, удельное сопротивление определяется лишь диаметром $d$ и вообще не зависит от длины свободного пробета $l$. Происходит это потому, что электрон часто столковается с поверхностями образца и отражается от них диффузно. В этом случае роль длин свободного пробета играет диаметр образца.

Мы видим, что при «зеркальной» поверхности зависимо уделного

7

спротивления от размера образца определяется соответствием между длиной свободного пробета $l$ и размером $d$. В современных кристалических образах величины $l$ существенно меняется при изменении температуры. При комнатной температуре типное значение $l$ — порядка $10^{-5}$ см. С понжением температуры длина свободного пробета быстро растет. При температуре жидкого геля (~4 К) величина $l$ достигает подчас миллиметров. Спротивление образцов такого размера и более тонких зависит от рассеяния на поверхности, следовательно — от диаметра $d$.

Зависимость (2) часто наблюдается в эксперименте, но известны и отклонения от нее. Особого внимания заслуживает ситуация, когда длина свободного пробета $l$ очень велика по сравнению с толщиной $d$, а отражение близко к зеркальному. Не следует думать, что почти зеркальное отражение не реально. В предельном случае почти скользывающего падения, то есть когда угол между направлением движения и поверхности стремиется к нулю, отражение обязательно зеркальное. С этим явлением знаком каждый: если вы смотрите на асфальтированное шоссе под достаточно малым углом, например, поднимаясь в гору, то оно сверкнет зеркалом в тот момент, когда луч зрения пройдет по касательной к шоссе.

Таким образом, мы можем, несколько условно, разделить электроны на две группы: скользывание, которые отражаются почти зеркальное, и остальные, отражающие диффузию. Каждая из этих групп дает вклад в сопротивление проводника.

Теперь нам понятно, что условия отражения от поверхности определяются состоянием самой поверхности и углами, под которым электроны подлегают к поверхности. Величина $q$ в формуле (2), характеризующая взаимодействие электронов с поверхности, при малых углах скольжения $\theta$ (при углах падения, близких к $\pi/2$) может быть представлена в виде $q = Q\theta$, где $Q$ — некоторые коэффициент, определяемый качеством поверхности. (Такая формула для $q$ наиболее простым образом удовлетворяет требованию $q \rightarrow 0$ при $\theta \rightarrow 0$, но ее можно получить и путем строих вычислений.)

Как показывает расчеты, вклад, внесимый скользывами электронами в сопротивление тонкой пластины толщины $d$, оказывается равным

$$\varrho_{\text{ск}} = \varrho_0 \sqrt{Ql/d}$$

(3)

(для тонкой проводочки формула получается инной). Вклад остальных электронов, отражающихся диффузию, дает вторым слагаемым в формуле (2), где $q$ соответствует большим углам скольжения ($\Theta \approx \pi/2$). Для достаточно малых толщин величины (3) меньше, чем это второе слагаемое (легко видеть, что для малейших $x \sim \sqrt{d}/l \ll 1$ выполняется неравенство $x \gg x^2$). Полное сопротивление образца подчитывается как сопротивление двух параллельно соединенных проводников.

Мы рассмотрели здесь несколько различных задач, каждая из которых представляется самостоятельный интерес. Обединият их то, что все они посвязываны изучению поверхности языки. На наших глазах скользывается новая область науки, привлекающая разнообразные методы исследования, которые разработаны и использоваются в механике, физике и химиии.

Приложение

Рассмотрим проводник длины $L$ с плоскальным сечения $S$, к которой приложено напряжение $U$. Электрическое поле внутреннего проводника равно $E = U/L$.

В отсутствие поля электроны в проводнике движалисьxaотических и их средняя скорость равнялась нулю. В результате действия поля электронов появляется от нуля средняя скорость $\bar{u}$ (так называемая дрейфовая скорость). Эту скорость можно оценить, предположив, что она полностью теряется при стольновении электрона солеблющим атомом, с дефектом или с применым атомом. Если среднее время между двумя.stольновениями стольновениями электрона равно $t$, то к моменту стольновения средняя скорость электрона равна

$$\bar{u} \approx a\tau = \frac{eE}{m}\tau = \frac{eU}{mL}\tau$$

где $a$ —ускорение, прибретаемое электроном в поле $E$.

Для того чтобы вычислить электрический ток, текущий по проводнику, надо умножить количество электронов, протекающих черезечение проводника за единицу времени, на заряд электрона:

$$I = enS\bar{u},$$

8

где $n$ — концентрация электронов. Подставляя сюда $u$, получаем закон Ома: $I = U/R$, где сопротивление $R$ пропорционально длине $l$ и обратно пропорционально сечению $S$ — $R = \varrho_0 L/S$, а удельное сопротивление $\varrho_0$ от $L$ и $S$ не зависит:

$$\varrho_0 = \frac{m}{ne^2\tau}.$$

(а)

Do such поры отвлекались от того факта, что у проводника имеются границы. Теперь учитем его.

Мы видим, что удельное сопротивление массивного проводника определяется величины, обратной временем между двумя последовательными стольновениями электрона с атомами или с дефектами в проводнике. При наличии границ роль т играет время между двумя последовательными стольновыми электронами с границами. Это время по порядку величины равно $d/v$, где $v$ — характеристик движения электронов в металле, $d$ — толщина образца. Вклад, который вноситнике незначующих (стационных) токов. Они возникают при приближении магнита к поверхности сверхпроводника вследствие явления электромагнитной индукции. Например токов индукции в сверхпроводнике определяется правом Ленца, и создаваемое имя магнитное поле отталкивает кольцевой магнит, уравновешивая действие силы тяжесте. Малейшее движение магнита вызвает изменение магнитного поля сверхпроводящих токов — поле «следит» за магнитом; при этом вогунутьсть поверхности сверхпроводника приводит к тому, что положение равновесия магнита оказывается устойчивым.

Установку с паряшим магнитом в шутку называют «гроб Магомета» (по преданию гроб порока Магомета висел в пространстве без всякой поддержки). Прибор, который изображен на первой странице обложки, нужен в удобное сопротивление стольновения с границами, мы можем оценить, подставив в (a) вместе 1/τ величины $v/d$:

$$\varrho_s = q \frac{mv}{ne^2d},$$

(б)

где множитель $q$ введен для того, чтобы учесть эффективность стольновей с поверхностью: для идеального зеркальной поверхности $q = 0$, в случае полностью диффузного отражения электронов от поверхности $q = 1$.

Какждый электрон может, в принципе, испытывать стольновей как на поверхности, так и внутри проводника. Поэтому полное учесть сопротивление образца равно сумме слагемых (a) и (б):

$$\varrho = \varrho_0 + \varrho_s = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{v\tau}{d} \right) = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right),$$

где $l = v\tau$ — средняялина свободного пробета электрона, то есть среднее расстояние, проходимое электроном между двумя последовательными стольновями.

На первой странице обложки показана демонстрация опыта с паряшим магнитом. Внутри блестищего металлического сосуда, над корпом висит без всякой поддержки постоянный колцевой магнит, находится жидкий гелий и в нем — сверхпроводник. Сверхпроводник представляет собой тонкий свинцовый диск диаметром 16 см, поверхности которого сделана слегка вогнутой. (Внешняя стена сосуда повторяет форму сверхпроводника; вогнутость поверхности обеспечивает устойчивость равновесия магнита.) Этот опит подтверждает существование сверхпроводника в сверхпроводнике. Они возникают при приближении магнита к поверхности сверхпроводника вследствие явления электромагнитной индукции. Например токов индукции в сверхпроводнике определяется правом Ленца, и создаваемое имя магнитное поле отталкивает кольцевой магнит, уравновешивая действие силы тяжесте. Малейшее движение магнита вызвает изменение магнитного поля сверхпроводящих токов — поле «следит» за магнитом; при этом вогунутьствие поверхности сверхпроводника приводит к тому, что положение равновесия магнита оказывается устойчивым.

Установку с паряшим магнитом в шутку называют «гроб Магомета» (по преданию гроб порока Магомета висел в пространстве без всякой поддержки). Прибор, который изображен на первой странице обложки, нужен в удобное сопротивление стольновей с границами, мы можем оценить, подставив в (a) вместе 1/τ величины $v/d$:

$$\varrho_s = q \frac{mv}{ne^2d},$$

(б)

где множитель $q$ введен для того, чтобы учесть эффективность стольновей с поверхностью: для идеального зеркальной поверхности $q = 0$, в случае полностью диффузного отражения электронов от поверхности $q = 1$.

Какждый электрон может, в принципе, испытывать стольновей как на поверхности, так и внутри проводника. Поэтому полное учесть сопротивление образца равно сумме слагемых (a) и (б):

$$\varrho = \varrho_0 + \varrho_s = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{v\tau}{d} \right) = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right),$$

где $l = v\tau$ — средняялина свободного пробета электрона, то есть среднее расстояние, проходимое электроном между двумя последовательными стольновями.

На первой странице обложки показана демонстрация опыта с паряшим магнитом. Внутри блестищего металлического сосуда, над корпом висит без всякой поддержки постоянный колцевой магнит, находится жидкий гелий и в нем — сверхпроводник. Сверхпроводник представляет собой тонкий свинцовый диск диаметром 16 см, поверхности поверхности сверхпроводника оказывается устойчивым.

Установку с паряшим магнитом в шутку называют «гроб Магомета» (по преданию гроб порока Магомета висел в пространстве без всякой поддержки). Прибор, который изображен на первой странице обложки, нужен в удобное сопротивление стольновей с границами, мы можем оценить, подставив в (a) вместе 1/τ величины $v/d$:

$$\varrho_s = q \frac{mv}{ne^2d},$$

(б)

где множитель $q$ введен для того, чтобы учесть эффективность стольновей с поверхностью: для идеального зеркальной поверхности $q = 0$, в качестве полностью диффузного отражения электронов от поверхности $q = 1$.

Какждый электрон может, в принципе, испытывать стольновей как на поверхности, так и внутри проводника. Поэтому полное учесть сопротивление образца равно сумме слагемых (a) и (б):

$$\varrho = \varrho_0 + \varrho_s = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{v\tau}{d} \right) = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right),$$

где $l = v\tau$ — средняялина свободного пробета электрона, то есть среднее расстояние, проходимое электроном между двумя последовательными стольновями.

На первой странице обложки показана демонстрация опыта с паряшим магнитом. Внутри блестищего металлического сосуда, над корпом висит без всякой поддержки постоянный колцевой магнит, находится жидкий гелий и в нем — сверхпроводник. Сверхпроводник представляет собой тонкий свинцовый диск диаметром 16 см, поверхности поверхности сверхпроводника оказывается устойчивым.

Установку с паряшим магнитом в шутку называют «гроб Магомета» (по преданию гроб порока Магомета висел в пространстве без всякой поддержки). Прибор, который изображен на первой странице обложки, нужен в удобное сопротивление стольновей с границами, мы можем оценить, подставив в (a) вместе 1/τ величины $v/d$:

$$\varrho_s = q \frac{mv}{ne^2d},$$

(б)

где множитель $q$ введен для того, чтобы учесть эффективность стольновей с поверхностью: для идеального зеркальной поверхности $q = 0$, в качестве полностью диффузного отражения электронов от поверхности $q = 1$.

Какждый электрон может, в принципе, испытывать стольновей как на поверхности, так и внутри проводника. Поэтому полное учесть сопротивление образца равно сумме слагемых (a) и (б):

$$\varrho = \varrho_0 + \varrho_s = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{v\tau}{d} \right) = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right),$$

где $l = v\tau$ — средняялина свободного пробета электрона, то есть среднее расстояние, проходимое электроном между двумя последовательными стольновями.

9

Ненерциальные системы отчета
Доктор физико-mатематических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

Когда Колерник заменил геоцентрическую систему мира Птолемея на гелиоцентрическую систему и объясил в ней движение всех планет, он произвел решение в человеческом мышлении. В течение многих веков люди рассматривали движение всех тел только относительно Земли. Говоря современным языком, они пользовались единственной, выделенной системой отчета, связанной с Землей, хотя движение планет и Солнца в ней описываясь очень сложным образом.

Позже из трудов Галилея и Ньютона стало понятно, что для описания движения пригодна не только система отчета, связанная с Солнцем и неподвижными звездами, но и любые другие системы, движущиеся по отношению к ней равномерно и прямолинейно. Так были открыты инерциальные системы отчета, в которых движением тел управляют простые законы Ньютона.

Ну, а что служилось дальше с земной системой отчета? Ведь для нас Земля это, все-тakin, выделенная система; исследуя движение тел на Земле, чаще всего можно вообщесь забыть о Солнце и звездах. Строго говоря, эта система отчета не является инерциальной, так как Земля врашается вокруг своей оси и Солнца. Оdnakoускорения, связанные с этим движениями, мы, и обычно мы делаем лишь небольшую ошибку, пользоваться для описания движения законами Ньютона. Объчно, но не всегда.

Многие, наверное, бывали в Ленинграде и видели знаменитый мятник в Исаакиевском соборе или, хотя бы, слышали о нем (рис. 1). Этот мятник не только колеблется, но плоскость его колебаний ещё и медленно поворачивается. Такое наблюдение впервые провел французский ученый Фуко в 1851 году. Опыт проводился в огромном зале Парижского Пантеона, шар мятника имел массу 28 кг, а длина нити была 67 м. С тех пор такой мятник называют мятником Фуко. Как же объяснить его движение?

Если бы на Земле строго выполнялись законы Ньютона, то, как известно из школьного курса физики, мят-

10

ник колебался бы в одной плоскости.
Значит, в системе отчета, связанной с Землей, законы Ньютона надо «исправить». Это делают, вводя специальные силы — силы инерции.

Силы инерции приходит вводить в любой системе отчета, движущейся относительно инерциальной сускорением. Такие системы называют неинерциальными системами отчета.

Что бы найти силы инерции, надо рассмотреть движение одного и того же тела в двух системах отчета — неинерциальной и инерциальной. Результат зависит, прежде всего, от того, как движется неинерциальная система. Она может двигаться посту-

пательно, может вращаться, возникны и комбинации этих движений.

Оставим на время мятник Фуко — это довольно сложный. случай — и рассмотрим вначале более простой пример.

Система отчета
движется поступательно

Представьте себе, что вы нахоните в кузове грузовика, и грузовик резко трогается с места. Если не успеть схватиться за борт, можно вылететь из кузова. Относительно Земли все понятно: человек остается неподвижным, а пол кузова уходит из-под ног. Но как обьяснить это же

11

явление в неинерциальной системе отчета, связанной сускорено движущимся грузовиком? Никаких новых сил на человека, стоящего в кузове, не действует (для простоты будем считать, что силы треня малы), а человек начинает двигаться относительно грузовика сускорением. Ясно, что простой приметь законы Ньютона в этой системе нельзя: естьускорение, но нет сил. Вот почему приходится вводить фиктивные силы — силы инерции.

Другой пример неинерциальной системы отчета, который мы разберем более подробно, — это движущаясяускоренное лифт. При движении лифта вверх чувствуется «утяжеление» при разгоне и «облегчение» при резком торможении. Если пользоваться в системе лифта законами Ньютона, то этого понять нельзя. Действительно, на тело действуют силы тяжестии $m\vec{g}$ и силы реакции $\vec{N}$. Так как человек поконтся, сила реакции должна быть равна по модулю силы тяжестии. Но из опыта ясно, что это не так. Поэтому (если считать в лифте) к силе тяжестии надо добавить какую-то фиктивную силу при разгоне лифта и вычесть ее при разедлении. Это и есть сила инерции.

Чему же равна сила инерции? Для того чтобы выяснить это, сначала найдем силу реакции, действующего на человека приускорении и замедления лифта в неподвижной системе отчета. Относительно такой системы справедлив второй закон Ньютона

$$\pm ma = N - mg,$$

где знак «+» соответствует разгону лифта (ускорение направлено вверх), а знак «-» — относится к случая его замедления (ускорение направлено вниз). Отсюда сила реакции

$$N = mg \pm ma.$$

В системе, связанной с лифтом, сила реакции должна получить такой же, поэтому к силе тяжестии необходимо добавить силу инерции при разгоне лифта и вычесть ее при замедлении. Из последнего равенства получаем, что сила инерции, действующая на человека в лифте, равна

$$\vec{F}_n = -m\vec{a}.$$

Теперь все в порядке: при разгоне лифта слая инерция как бы утяжелает тело, а при замедлении, наоборот, облегчает его (рис. 2). Обратите внимание, что слая инерция внешне похожа на силу тяжестии: обе они пропорциональны массе тела.

Иногда приходится слышать, например, что слая инерция откидывалют пассажиров назад при разгоне поезда и только их вперед при его замедлении, то есть говорят о силах инерции как об обычных силах. При этом обязаательно надо добавить, что движение рассматривается относительноускоренного движущейся системе отчета (в данном случае относительно поезда). Но и этой системе не следует забывать о произхождения сил инерции. Эти силы прициппально откладются от обычных сил: они не связаны с взаимодействием тел. Вот почему их часто называют фиктивными силами или псевдосилами. Сила инерции вводятся искусственно, для того чтобы описать изменениеускорения тела в неинерциальной системе отчета по сравнению с инерциальной при тех же самых движущих на телоrealных силах.

Исследовать движение в неинерциальной системе отчета, вводя слая инерции, часто оказывается более простым и удобным, чем в инерциальной системе, где таких сил нет, но характер движения может быть

12

гораздо сложнее. В этом легко убедиться, решив задачи, приведенные в конце статьи.

Система отсутства врашается

Предположим, что уже знакомый нам грузовик с человеком в кузове поворачивает. Тогда человек может стукнуть о борт и даже набить себе шишку. Почему это происходит? Относительно Земли все понятно: человек продолжает двигаться прямолинейно, а борт грузовика, поворачивая, приближается к нему. В системе отсутства, связанной с грузовиком, наборот, человек приближается к борту, хотя никаких новых реальных сил на человека в этой системе не действует. Для того чтобы обьясить это движение в неинерциальной системе грузовика, приходится ввести фиктивную силу — центровку силы инерции, направленную по радиусу от центра повората. Вот так — силы фиктивные, а шишки реальные!

Еще один пример — человек на карусели. Почему он движется по окружности? В инерциальной системе отсутства ответ дает второй закон Ньютона: сила реакции со стороны боковой стены креса, направлена к центру, вызвает центростремирование. Можно ли понять это движение, пользоваться законами Ньютона во врашающей системе? Опять нет: в этой системе человека поконтится, и в то же время на него действует сила реакции со стороны креса. Но все встает на свои места, если ввести центровку силы инерции, направленную от центра врашения. Тогда можно обьясить, почему в этой системе движения нет.

Чтобы найти величины центровжения силы инерции, рассмотрим сначала движение человека в неподвижной (инерциальной) системе отсутства. Центростремирование ускорение $a_u = \omega^2 r$ (ω — частота врашения карусели, r — ее радиус) вызывается действующей на человека силой реакции $T$ со стороны креса карусели (рис. 3):

$$m\omega^2 r = T.$$

Во врашающей (инерциальной) системе отсутства центровжения силы инерции $\vec{F}_{u6}$ должна быть по modulo равна силе $\vec{T}$, а по направлению — противоположна ей. Поэтому

$$F_{u6} = -m\omega^2 r,$$

где знак «—» указывает, что эта сила направлена от центра врашения. Как видно, и во врашающей системе отсутства сохраняется характерная

особенно сил инерции — эти силы пропорциональны массе тела.

С центробежными силами инерции стalkиваются во многих практических задачах. При этом часто, делая расчеты, забывают об их происхождения и обращаются с ними как с обычными силами. Например, считают, что центробежная сила инерции сущит больше в центрифугах, разделяет изотопы, помещает тренировкам космонавтов; она же может разрушить ротор турбины и вызвать биение колеса при плоской центровке. Еще раз отметим, что такие утверждения имеют смысл лишь во врашающей системе отчета. Но и там надо помнить, что сила инерции — фиктивные сила, которые вводятся для того, чтобы описать изменение ускорения тела, вызванное врашением системы отчета. Все описанные явления можно обязывать, рассматривая их и в инерциальной системе, где справедливые обязываемые законы Ньютона. Правда, там обязывание будет сложнее.

Корполисова сила

Теперь обсуждим случай, когда человек не просто катается на карусели, а еще и вздумал перебрать из одного креса в другой (см. рис. 3), то есть начинает двигаться по окружности с некоторой скоростью $v_0$ в системе карусели, например, в сторону врашения. (Эксперимент чисто мысленный, так как это строкайше запрещено правлими.) Оказывается, тогда необходимо вести еще одну инерции, направленную тоже от центра врашения.

Рассмотрим вначале движение человека относительно Земли. Полная скорость движения $v$ складывается из линейной скорости карусели $\omega r$ и скорости относительного движения $v_0$:

$$v = \omega r + v_0.$$

Центростремительное ускорение определяется известной формулой

$$a_u = \frac{v^2}{r} = \frac{v_0^2}{r} + \omega^2 r + 2v_0\omega.$$

По второму закону Ньютона

$$ma_u = Q,$$

где $Q$ — сила реакции, действующая на человека со стороны карусели.

Теперь рассмотрим это же движение в системе карусели. Там скорость равна $v_0$, и центростремительное ускорение $a_u' = v_0^2/r$. Используя предыдущие два равенства, можно записать

$$ma_u' = \frac{mv_0^2}{r} = Q - m\omega^2 r - 2mv_0\omega.$$

Если мы хотим пользоваться законом Ньютона и во врашающей системе, надо вести сил инерции

$$F_{ин} = -(m\omega^2 r + 2mv_0\omega),$$

где знак «—» указывает, что эта сила направлена от центра врашения. Первая член — это уже знакомая центра роблисовой сила инерции $F_{ин6}$. Она тем больше, чем быстрее врашение и чем дальше от центра. Вторая сила называется корполисовой сила $F_k$ (по имени французского ученого Корполиса, впервые расчитавшего эту силу). Ее приходится вводить только тогда, когда тело движется во врашающей системе. Она не зависит от положения тела, но зависит от скорости движения тела и от скорости врашения системы отчета.

Что, если тело во врашающей системе движется не по окружности, а, например, по радиусу (см. рис. 3)? Оказывается, и в этом случае также необходимо вести сили Корполиса, но направлена она будет не вдоль радиуса, а перpendикулярно ему. И вообщее при любом движении во врашающей системе корполисова сила направлена перpendикулярно оси врашения и скорости тела. Удивительно, но факт: при движении во врашающей системе сила инерции как бы только вбок.

Слова «как бы» стоит не случайно. Происхождение силы Корполиса также же, как и всех сил инерции — это псевдосила. Вот наглядный тому пример.

Представьте себе, что на полное установлена пушка, которая стреляет вдоль меридиана (полос вязят для простоты рассторения). Цель нахождения на том же меридиане. Можно ли снаряд попасть в цель? Если смотрить на стрелбу со стороны (ползоваться инерциальной системе от-

16

братья в этом явлении можно, решив задачу 7 в конце статьи.

Корилисова сила приводит к отклонению padaiоших тел к востоку. (Объяснить этот эфект попробуйте сами.) В 1833 году немецкий физик Фердинанд Райх в Фрейбурской шахте провел очень эксперименты и получил, что при свободном padaiоших тел с высоты 158 м их отклонение в среднем (по 106 опытам) составляет 28,3 мм. Это послужило одним из первых экспериментальных доказательств теории Корилиса.

Задачи

1. В кузове грузовика лежит деревянный ящик, загруженный кирпичами. Дно ящика — квадрат со стороны $l=1$ м; масса ящика пребрежимо мала по сравнению с массой кирпичца. Известно, что ящик начинает скольить, если грузовик грогается сускорением, большим $a=6$ м/c². До какой высоты можно уложить кирпич в ящик, не опасясь, что он опрокинется при такомускорении?

2. При вертикальном взлете ракета движется сускорением 2g. Каков период колбаний маятника длины $l$, расположенного в кабине ракеты? Каким станет период колбаний маятника при вертикальном спуске ракеты с тем жеускорением 2g?

3. Мягтниковые часы установлены в природной электричке, которая отправляется от вокзала и через некоторое время возврашает назад. Как будет различаться показания вокзальных часов и часов в электричке? Учесть, что при торможении и разгонах электричка движется сускорением.

4. Оdnородный стержень длины $2l$ и массы $m$ врашается с угловой скоростью $\omega$ в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через его середину. Определяте, как меняется натяжение стержня в зависимости от расстояния до центра врашения. Найдите максимальное значение этого натяжения.

5. Металлическая цепочка длины $l$ и массы $m$, концы которого соединены, насажана на диск. Диск врашается в горизонтальной плоскости, делая $n$ оборотов в единицу времени. Определяте натяжение цепочки $T$.

6. В узку радиального канавку, расположенного на поверхности горизонтального диска,ставлено лезвие бритвы. В каком направлении — в стороны врашения или против него — будет padать лезвие при врашении диска (лезвие может скольить вдоль канавки)?

7. Река в сверверном полушарии течение к югу. Ширина руслей на шипотека $d$, скорость течение $v$. Выведите формулу для разности уровней воды на восточном и западном берегах реки. Оцените эту величины для реки Волги. Будет ли наблюдается этот эфект, если река течение вдоль паралелли? Что произойдет, если река пересекает экватор?

Наш календарь

Эффект Мейснера
(или Как делаются открытия)

Осенью 1933 года было сделано выдающейся открытие: обнаружено, что магнитное поле не пропикает в глубь сверхпроводников, иными словами, магнитная индукция в сверхпроводников равна нулю.

Как же было сделано это открытие? Видный специалист по физике низких температур В. Мейснер и его сотрудник Р. Оксенфельд решили экспериментально проверить расчет известного физика, лаурета Нобелевской премии М. Лауэ. Лауэ расчитал распределение магнитного поля вокруг сверхпроводников простой геометрической формулы. Он исходил из следующих сообщений. При включении магнитного поля в сверхпроводникеследствие электромагнитной индукции должна возникать не затухающие выходные точки. Согласно правилам Ленца, магнитный поток поля, создаваемое этим токами, равен магнитному потоку включенного поля, но имеет противоположный знак. Следовательно, суммарное магнитное поле в сверхпроводнике равняется нулю. Таким образом, включаемое магнитное поле не должно пропикать в сверхпроводнике.

Мейснер и Оксенфельд изменили распределение магнитного поля вокруг магнитного поля и убедились, что расчет Лауэ точны. Потом они решили использовать операцию эксперимента. Сначала включили магнитное поле, и в это постоянное магнитное поле помещили при комнатной температуре исследуемый образец. Затем его охладили и тем самым перевеели в сверхпроводнике состояние. Снова повторили измерения распределения магнитного поля вокруг магнитного поля в вокруг магнитного поля вытекались из образца при переходе его в сверхпроводнике состояние. Это уже явно противоречило расчету Лауэ.

Так было обнаружено функментальное свойство сверхпроводников, которое никак нельзя «вывести» из равенства нулю электроспротивления. Это явление «непроницаемости» сверхпроводника для магнитного поля имеет функментальное значение для физики сверхпроводимости. Она получила название «эффект Мейснера».

Б. Е. Явелов

17

Леонард Эйлер

(к 200-летию со дня смерти)

Кандидат физико-математических наук
С. Г. ГИНДИКИН

Итак, Эйлер перестал вычислять и жить.
Кондорсе

В начале 1783 г. директором Петербургской Академии наук была назначена княгиня Екатерина Романовна Дашкова, которая за 20 лет до того была ближайшей сподвижной Екатерины II в дни воцарения ее на российском троне. Известная своей изобретательство княгиня придумывает безошибочный ход, который должен убедить академик в ее приверженности науке. Она уговаривает сопровождать ее при первом посещении Академии преставлого Эйлера, который давно был не в ладах с академическим начальством и не посещал академических конференций. Слепой Эйлер появляется в сопровождании сына и внука. Дашкова вспоминала восплездии: «Я сказал им, что просила Эйлера вместе меня в засадание, так как, несмотря на собственное невежство, считаю, что подобным поступком самим торжественным образом свидетельствую о своем уважении к науке и просвещению».

А всего через несколько месяцев в протоколов Академии было записано: «В заседании конференции 11 сентября 1783 г. академик Н. И. Фусс взял на себя обязан-ности секретаря *), отсутствуютшего из-за кончины его знаменного отца, г. Леонард Эйлера, который умер от аппликсического удара 7 сентября в 11 часов вечера, ввозрасте 76 лет, 5 месяцев и 3 дней, совершившего свой долгий и блестиший путь и сделавшего свое бессмертное имя известным всей Европе».

Исключительное личности Эйлера, его беспреследняая роль в истории Академии заставили искать нестандартные способы почтить его памяти. 23 октября академик Н. И. Фусс, ученик Эйлера и муж его внуки, произнес «Похвалное слово». Академики решили на свои средства изготовить бост «Бессмертного Эйлера, равно достойного восхшения своим гением и своим достоинствами», а их «прославленный начастник» (Дашкова) «прибавила к этому великоленную колонну, которая служит основанием этому бюсту»; вначале бост установили в библиотеке, а затем — напротив креста президента в зале заседаний (а в библиотеке осталась

*) Им был Иоганн-Альбрехт, старший сын Л. Эйлера.

18

картина «Силуэты группы академков Математического класса, занятия установкой бюста покойного Л. Эйлера»). В больших подробности (включая качество бумаги) обсуждались вопросы, связанные с изданием трудов покойного.

Служи о почетях ученому распространилися далее за пределы России. Непреемный секретарь Французской Академии наук маркиз Кондорсе (менее чем через 10 лет он примет участие в революции и его имя вычеркиют из списков Петербургской Академии за «достойное порицания поведение… против суверена») сказал в своем «Похвальном слове»: «Итак, народ, который мы в начале этого века принимали завараров, в настоящее случае подает пример цивилизованной Европе — как частовать великих людей при жизни и уважать их память по смерти: и другим национим приходит в данном случае красеть, что они не только в этом отношении не могли предупредить Россия, но даже не в силахей подражать». Хотя в дальнейом Париже обстановка в Петербурге казалась более благополучной, чем была на самом деле, относение к науке за 60 лет существования Петербургской Академии стало неизнаваемым.

Первые годы Академии

Петр I думал об организации Академии в России еще в последние годы XVII века. Начина с 1711 г. от трижды обсуждал свои планы с Лейбницем и даже зачислил последнего на русскую службу.

Лейбницц не считал отсутствие наук в России преястивием к созданию Академии и даже нахождения в этом некоторых преимущества. Однако мало кто в России разделял этот оптимизм. Трудности на пути проекта были многочисленны, но в 1724 г. Сенат принял решение о создании Академии наук. В это время даже слово «наука» еще не существовало в русском языке и Академию назвали «ди сиянс Академия».

В 1725 г. Петр умер, так и не дождавшись открытия Академии. Екатерина I не без колебаний осуществила замысел мужа, хотя и не разделяла его интерес к науке (как пишет современник, «похвальные рецепи ученых были непонятны Ее Величеству»). Судьба Академии все время внесла на волоске. Она воспринялась как явление исключительно немецкое, и русская партия, в частности Меншиков, была настроена против нее. Академики пытались наладить контакты с русской публикой, плюхо понимавшей функиции Академии. Два раза в неделю ее двери открывались для посетителей. Иногда там можно было видеть нечто удивительное.

24 февраля 1729 г. «профессор Лейтман умудрился изменить изображение государственного герба (с помощью призем) в портрет царствующего императора». Академии несколько утвердили себя успешами в организации «потешных огней» и иллюминций, в сочетании торжественных od. Высокие материалы не были в чести, разве что при составлении «ландкарт» да неоторых рекомендаций мореплавателям.

20

В 1727 г. Эйлер предприял попытку занять кафедру физики в Базеле, заранее обреченную на неудачу. Тем временем он успешно участвует в конкурсе Французской Академии наук на наилучший способ расположения мачт на корабле. Причемельно, что «в гористой Швейцарии, из которой до того времени Эйлер никака не выезжал, он, конечно, имел случай видеть корабль не иначе, как на картинах…» (акад. А. Н. Крылов).

Даниил Бернулли выполнил обещание, данное при отъезде в Петербург: еще до попытки Эйлера устроиться в Базеле он узнал о возможности получить место адыонкта по физологии с окладом 200 рублей. Бернулли торопит, рекомендует_exать «шеце этого зимю». Эйлера не смутило, что ему предстоит заниматься медициной. В те годы медицина не воспринялась как наука, далека от математики. За примерами идти недалеко: его учитель И. Бернулли черезвал заяния математкой с медицинской практикой (как, впрочем, и с преподаванием греческого языка). Эйлер приступает к изучению анатомии и физологии; позднее он удивил окружаюших медицинскими позаниями. Отъезд не удался столь быстро, как хотелось Д. Бернулли, но весной 1727 г. Эйлер получил «на проезд денег это тридцать рублей в векселем» и уехал в России. В Петербург он прибил в день смерти Екатерины I.

В своих первыепетербургские годы вряд ли Эйлер думал, что его жизнь так прочно будет связана с Академией. Само дальнейшее существование Академии казалось тогда крайне проблематичным. Потом Н. И. Фусс напишет: «Эйлер был украшением и слабой нашей Академии в продолжение пятидесети лет. На его глаза она начала свое существование, несколько раз погибала и восстановлена». Очень неуютно чувствовал себя Эйлер, когда гибель Академии представлясь ему реальноностью. В один из самых тяжелых моментов, когда после кончины Петра II в 1730 г. началось массовое бегство академков из России, отчетлився Эйлер ведет переговоры о поступлении на морскую службу. Но это не потребовалось. Напротив, освободилась вакансия позволила Эйлер занять место профессора (академика) по кафедре физики (правда, с сравнительно невысоким окладом в 400 рублей). А через два года Д. Бернулли покинул России и Эйлер занял его кафедру математики (хотя его оклад — 600 руб.— лишь половина оклада, который получал на этом месте Д. Бернулли).

За эти годы Эйлер стал в Академии заметной физрой. Большинство академиков не слишком ревноностно относились к своим обязанностям, которые к тому же еще и не определенлись четко. Эйлер не пребегал никакими поручениями: он постояно делал доклады на академических конференциях, читает публичные лекции, пишет учебник по арифметике для академического гипназии и научно-популярные статьи для «Примечаний» к «Санкт-Петербургским ведомостям», он вコミссиях по исследованию пожарного нассаса, весов, «пильной машины» и магнитов, принята разнообразные экзамены. Эйлер подробно вмоглочисленные технические проекты. Забегая вперед, можно вспомнить исследование Эйлера по гидравлическим турбинам и заключения по проектам местов через Неву, в том числе об одноарочном деревянном месте И. П. Кулибина, работавшего в Академии механиком.

Начиная с 1733 г. Эйлер участвует в «экзамене» карт, и постепенно участвие в картографической деятельности выходит среди его академических обязанностей на первый план. Встает вопрос о составлении генеральной карты России на основе уже составленных губерских карт, и Эйлер предлагает свой проект, сопровождая его словами: «Я уверен, что география российская через мои и г. профессора Гензинуса труды приведена города в исправнейшее состояние, нежели география немецкой земли». Острые разногласия с академком Делием привели Эйлера в 1840 г. к решению прекратить занятия картографей. Верятоно, состоя-

22

в тяжелой депрессии, что было связано не только со здоровьем, но и с постоянным напряжением из-за неустойчивости политической жизни в России. Позже он вспоминал, что «после кончины достославной имперрицы Анны — при последовавшем тогда регенстве,ела стать идти плохо». К тому времени появляется возможность переехать в Берлин к Фридриху II и Эйлер подает заявление об отставке: «…тоо ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других обстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его королевского величества прусского учененное мне признание. Того ради прошу императорскую академию наук всеподаннейшее меня миллистово уволить и сабдить для моого и домашних моих процесу потребным пашпортом…» Он общеает сохранить контакты с Академией, «а пришедши в лучшее здоровье, из немецкой земли опять в России возвратиться». Впрочем, в Пруссию Эйлер писал, что «твердо решился жить подлавным правлением» Фридриха. 29 мая 1741 г. Эйлер увольняется со службы, а позднее удовлетворяется его просба «почетным членом Академии наук учинить, с определенным пенсию по двести рублей в год». Такая практика перевода узжайших членов Академии в почетные с обязательством оказать помощь Академии была объявной. С Эйлера береется общеание «через всегданюю корреспондению и другими математическими письми более того службы, нежели как он в действительной академической службы был».

На службе
у «коронованого философа».

Итак, Эйлер в Берлине. Постепенно он втягается в Берлинскую жизнь. Порученный здесь не меняше, чем в Петербурге: он рекомендует королю книги по баллистике и сам печатает три тома работ на эту тему, обследует нивелировку канала между Гавелем и Одером и состояние дел в солеварях, участвует в организации государственных лотерей и реформе довых касс, дает отзывы на множество проектов. Все быстро понял, что он может хорошо делать разнообразные дела и ни от чего не отказывается. После организации Берлинской Академии наук (1744 г.) Эйлер — директор ее математического департамента.

Однако отношения с королем сложились не самым лучшим образом. Показательно, что оклад Эйлера составлял половину оклада президента Академии Мопертию. Эйлер редко удостановался монаршей пожавы.

В Берлине считали, что в обязанности ученых входит службы указываем гостинных, радовать приятной беседой. Французские учены Мопертию и Даржан блестише владели этим искусством, а Эйлер — нет. В 1746 г. с Эйлером познакомился брат Фридриха Август-Вильгельм, он делится с королем своим впечателями: «…г. Мопертию познакомил меня с математиком Эйлером. Я нашел, что в нем подтверждается истинна, что все вещи несовершены. Благодария прилежню он развил в себе логическое мышление и прибрел тем самым имя, но его внешность и нельзякая манера выражаться затемнют все его прекрасные качества и мешают получить от них удовольствие».

Эйлер делил свое время на научкой и домом, но он не принадлежал к категории ученых, не интересовались внешними событиями и избегавших обещания с людьми. Его научные познания были энциклопедичны, он много знал по богатике, химини, анатомии, медицинне, хорошего знания «древние» и «восточные», владел русским языком. После его смерти вспоминали, что он хорошо знал «лучших писателей древнего мира», «древнюю литературу по математике», «историю всех времен и народов». Н. И. Фусс писал в своих воспоминаниях, что Эйлер знал изучить «Эненду», причем помил, каким стихом начинается и каким кончается каждой страница его экземпляра. Впрочем, для русского двора культурный уровень Эйлера оказался «недостаточным». Эйлер, прочно завоевавший репутацию одного из крупнейших, а может быть, крупнейшего математика Евроны, в окружке-

23

нини Фридриха был обречен оставаться человеком второго сорта.

После окончания Семилетней войны (1763 г.) Эйлер все решительно думает о возвращении в России. В 1746 и 1750 гг. он уже получал приглашение через представителя Академии графа К. Г. Разумовского, но тогда вежливо отложил принятие решения на неопределенный срок.

С восществием на русский простолЕкатерины II (1762 г.) переговоры о перееезде возобновились с новой силой. Екатерине II очень хотелось получить Эйлара. Эйлер едва не уехал в России в 1763 г., но все же отказылся от перееезда. Однако через два года Эйлер вызвал гнев короля, заступившись во время ревизии за академическо казначейя.

Эйлер сообщает в России свои условия: оклад в 3000 руб. (такой оклад получал представитель, оклад академика обычно не превышал 1200 руб.), место академика по физике для сына Иоганна-Альбреста, подхождения места для других сыновей (артиллериста и врача), квартира, свободная от солдатского постоя, и, наконец, учреждение для него поста вице-президента с соответствующимчином. Когда-то Фридрих отказывался предоставить Эйлер вакантный пост председателя Берлинской Академии. Теперь Эйлер хотел хотя бы отчасти реализовать свои чистообивые планы в Петербурге (на место председента он не претендовал, считая, что в России его должен занимать вельможа). 6 января 1766 г. Екатерина пшет канцлеру графу Воронцову: «Письмо к Вам г. Эйлара доставило мне больше удобства, потому что я узнал из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожу его совершенностью желаемого звания вице-президента Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это звание — говорю установленю, так как донные его не существовали. При настоящее положении дел там нет денег на желание в 3000 рублей, но для человека с таким достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому желанию из государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей. У него будет казенная картира и ни малейшей тени сладат. …Я утверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравлю себя с тем, что возвратила России вликного человека». Узнав о желании Эйлара принять участие в перестройке Академии, импертица обещает «не предпринимать до его приезда никаких перемен в Академии, на тот конец, чтобы лучше уговориться с ним об улучшении…». С великим дипломатическим мастерством Эйлер отказывают в чине: «Я дала бы, когда он хочеет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет его с множеством людей, которые не стоит г. Эйлара. Понстине его известность лучшечина для оказания ему должного уважения». Эйлер, вероятно, быстро понял, что щедра импертица имеет четко объяснить границы дозволенного, согласилась со всеми условиями и решил «кончить дни своей на службе этой неправненной государни».

24

Снова в России

Эйлер прибил в Петербург 17 июля 1766 года. Он отсутствовалровно 25 лет и приближался к своему шестидесятейтию. Поначалу Эйлер всегда приял предложение Екатерины принять участие в реорганизации Академии. Он привед с собой подробный проект, причем он не стремился к автономии Академии, а, например, ориентировался на技术和 переплетение деятельности Академии и развительских учреждений. Однако постепенно выяснилсь, что импертица не склонна передоверять Эйлерру руководство Академiei. Эйлер получил еще один урок того, что просвещенные монархи любят, чтобы их ученызали свое место.

Эйлер привед с собой в Петербург кипу рукописей, которые не удалось опубликовать в Берлине из-за почти прекратившейся во время войны издательской деятельности. Но еще больше привед он в своей голове почти созревших, но не реализованных замыслов. А жизнь подсказывала ученому, что он должен торговаться. Вскоре после приезда он лишьается зрения во втором глазу, но не прекращает работать, дисктуя свои сочинения мальчику, не имещему ни малейшего представления о математике. Приглашенный импертицей окулист барон Вентцель удалил катаракту на одном глазу, но предупредил, что перегрузка неминуто приведет к возврашению слепоты. Так и случайность вскоре, либо Эйлер предпочел потери зрения пассивности. Он пробут привлечь к занятым других ученых: своего сына, академков Крафта, Фусса и Лекселя, но больше всего дикетет то, что он знал и хотел поведать людей. За полтора десятика лет он продуктовал более 400 статей и 10 больших книг. К следеите стала присединять глухота. В 1766 г. умирает жена и Эйлер женился на ее сестре (так проще всего было сохранить порядок, принять в доме). Сгорел дом и большая часть имущества. Ничего не может заставить Эйлер превращать работу. Летом 1777 г. Эйлер посетил Иоганн Бернули (1747—1807), племянник Даниила. Вот его впечатления: «Здо-

24

25

Изменение фигуры Земли и ее врашения

Кандидат физико-mатематических наук
А. В. БЯЛКО

Два года назад в «Докладах Академии наук» и сразу же в журнале «Наука и жизнь» появилось сообщение, от которого сільнее заблились сердца физиков. Как показали измерения, проведенные советскими учеными в трех точках Земного шара — в Потtsdame, на станции Лёдово под Московой и Новосибирске, укорение сільные тяжесто во всех указанных пунктах с течение времени регулярно уменьшается на величины порядка $10^{-7}$ м/с² за год. Недавно известные геофизики Ю. Д. Буланже и Н. Н. Париский дал обязывание этому удивительному факту. Оказывается, уменьшение укорения отнюдь не означает, что уменьшается масса Земли или гравиатизация постоянная. Причиной всему — изменение фигуры Земли. Попытаемся это обьясить.

Как известно, врашение Земли вокруг своей оси приводит к тому, что наша планета не точный шар, а слегка сплюснутый у полосов: его экваторальный радиус приближительно на 21,4 км больше полярного. Кроме того, из-за этого врашение укорение сільные тяжесто (чаще называемое укорением свободного падения), измеренное в земных условиях, то есть во врашающей системе отчета, не есть чисто гравиатизное укорение, а представляет собой разность гравиатизного и центростремительного укорения: $g = GM/R^2 - \omega^2 R\cos\varphi$.

Здесь $G$ — гравиатизная постоянная, $M$ — масса Земли, $R$ — расстояние до центра Земли, зависит от шаровых (см. рисунок), $\omega$ — угловая скорость врашения Земли, $\varphi$ — географическая широта места. Таким образом, изменяемое укорение меняется с широтой: оно минимально на экваторе и максимально на полюсах.

Еще Лаплас, автор классического «Трактата о небесной механике», подозревал, что врашение Земли несовсем равномерно во времени. Теперь нам известно несколько тому причин. Во-первых, врашение замедляется океанским приливами, которые вызваны прияжением Лунны и Солнца. Величину этого постоянного замедления, называемого вековым (в отличие от других, более кратковременных, изменений угловой скорости), удалось найти, использую данные о полных солнечных затмениях в древности. Она оказалась очень малой.

Сохранились сведения о том, например, что одно из полных солнечных затмений наблюдали жители Вавилона 15 апреля 136 г. до н. э. Если сделать соответствующий расчет в пределоложении, что скорость врашения Земли неизменна, то оказывается, что в указанный день действительно должно быть бы произойти затмение, но не в Вавилоне, а примерно на $49^\circ$ западнее его. Однако затмение наблюдалась именно в Вавилоне, откуда можно заключить, что угловое смение полосы затмения вызвано на кооплишим изменением угловой скорости врашения Земли. Для оценки будем считать, что угловая скорость уменьшалась равномерно, то есть с постоянным угловым укорением $\beta = \Delta\omega/t$. С моментта затмения прошло примерно 2100 лет, или $t = 6,7 \cdot 10^{10}$ с. По аналогии с равноскорейным прямолинейным движением запишем формулу зависимости углового смения $\alpha$ ($\alpha = 49^\circ \approx 0,85$ рад) от времени: $\alpha = \beta t^2/2$. Отсюда угловое укорение, то есть быстро изменяя угловой скорости, $\beta = \Delta\omega/t \approx 3,8 \times 10^{-22} \text{ c}^{-2}$.

(Окончание см. на с. 42)

26

Прямы на кривой поверхности

To, что на сильно искривленной поверхности могут целиком помещаться прямые, не удивит читателя, рассмотревшего обложку предыдущего номера «Кванта». Мы еще не раз обратимся к этому феномену на наших геометрических страницах; сегодня же мы поговорим о поверхности, на которых эти прямых особенно много.

Поверхность называется линейчатой, если через каждую ее точку проходит целиком содержащаяся в ней прямая; прямые, лежащие на линейчатой поверхности, называются ее прямолинейными образующими. Поверхность называется двукратно линейчатой, если через каждую ее точку проходит по крайней мере две различные прямолинейные образующие.

Простейший пример неплоской двухкратно линейчатой поверхности — «однополостный гиперболид врашения». Это — поверхности, получающая при врашении гиперболы вокруг не пересекающей ее оси симметрии (рис. 1). В системе координат OXYZ с началом в центре гиперболы и с осью OZ, проходящей по оси врашения, уравнение нашей поверхности имеет вид

$$x^2 + y^2 = a^2z^2 + b^2,$$

(1)

где $a$ и $b$ — длины отрезков, отмещенных на рисунке 1. Мы не занимаемся выводом этого уравнения, и оно нам почини не попадбится. Важно лишь, что наша поверхности задается многочленом второй степени от $x, y, z$, то есть наш гиперболид есть, как говоря, поверхности второго порядка: если прямая имеет с гиперболом по крайней мере три общие точки, то она в нем содержится.

Доказательство. Пусть $l$ — любая прямая и $A_1(x_1,y_1,z_1)$, $A_2(x_2,y_2,z_2)$ — любые две ее точки. Вектор $\overrightarrow{A_1A_2}$ имеет координаты $(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1)$. Пусть $A$ — произвольная точка прямой $l$. Тогда вектор $\overrightarrow{A_1A}$ кол-

линеарен $\overrightarrow{A_1A_2}$; значит, он имеет координаты $(\lambda(x_2-x_1); \lambda(y_2-y_1); \lambda(z_2-z_1))$, где $\lambda$ — неокторое число. Значит, точка $A$, в свою очередь, имеет координаты $(x_1+\lambda(x_2-x_1); y_1+\lambda(y_2-y_1); z_1+\lambda(z_2-z_1))$. Чтобы точка $A$ лежала на нашей поверхности, необходимо, чтобы ее координаты удовлетворили уравнению поверхности. Подставляя эти координаты в уравнение (1) и переоснащения все члены в левую часть, мы получаем уравнение относительной $\lambda$ вида $\alpha\lambda^2 + \beta\lambda + \gamma=0$, где коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma$ легко подчитываются (они зависят от $u$, $x_1, x_2, y_1, y_2, z_1, z_2$), но их явное выражение нам не нужно. Если хотя бы один из этих коэффициентов $\alpha, \beta, \gamma$ не равен нулю, последнее уравнение имеет не более двух решений, то есть прямая имеет не более двух общих точки с поверхности, что невозможно по условиям. Значит, $\alpha=\beta=\gamma=0$, и при любом $l$ точка $A$ лежит на поверхности.

Кстати, точно так же доказывается, что кривая второго порядка (то есть кривая на плоскости, заданная многочленом второй степени от неизвестных $x, y$) пересекается с прямой (не содержащейся в ней) не более чем в двух точках. (В школьных тетрадях прихотится иногда видеть небрежный рисунок гиперболы в таком рode:

Красная прямая пересекает эту гиперболу в 4 точках, что невозможно: ведь гипербола — кривая второго порядка!)

27

Вернемся к нашему гиперболюдиу. Возьмем точку $A$ на горловой окружности (то есть на линей пересечения гиперболюда с плоскостью $XOY$), проведем касательную $t_1$ к этой окружности и касательную $t_2$ к соответствующему положению врашаемой гиперболы, а затем проведем через прямые $t_1$ и $t_2$ плоскость $T$. Заметим, что окружность и гипербола, которые касаются прямые $t_1$ и $t_2$, лежит по разные стороны от плоскости $T$. Поэтому в любой из четырех четвертей, на которые прямые $t_1$ и $t_2$ делят плоскость $T$, найдется общая точка гиперболюда и плоскости. Пусть $B$ — одна из таких точек (рис. 2). Так как, очевидно, наш гиперболюд симметричен относительно плоскости, проведенных через $t_1$ и $t_2$ перpendикулярно $T$, его пересечение с $T$ симметрично относительно $t_1$ и $t_2$ и вместе с точкой $B$ ему принадлежат точки $B_1, B_2$ и $B_3$, образующие с $B$ прямогольник с центром $A$. Каждый из диагоналей $l_1, l_2$ этого прямогольника имеет с гиперболюдом три общие точки (соответственно, $B, A, B_2$ и $B_1, A, B_3$). Значит, согласно доказанному выше, каждая из них содержится в нашем гиперболюде. Остатся заметить, что это рассуждение применимо к любой точке $A$ горловой окружности. Прямы $l_1$ и отдельно прямые $l_2$ заметют весь гиперболюд. Таким образом, однополостный гиперболюд вращения — двухкратно линейная поверхность.

В заключение два замечания. Первосоответствует в том, что однополостный гиперболюд вращения является также поверхностью вращения одной прямой вокруг друга, если не паралельной (доказите это!). Из этого видно, что соорудить гиперболюд легче, чем нарисовать гиперболюд: достаточно связать нитками два одинаковых обруча, как показано на рисунке, и повернуть один обруч относительно другого, держа все нити в натянутом состоянии (рис. 3). Заменив обручи на картоны круги, посаженные на обшую ось, можно соорудить такую модель для школьного математического кабинета. Вопрос на сообразительность: можно ли сделать нитной гиперболюд, имея два одинаковых обруча?

Второе замечание. Заключается оно в том, что двухкратно линейных поверхностей существуют немного. Если скать гиперболюд к любой плоскости, то он, конечно, сохранит свою двухкратную линейность; возниклашая поверхность называется однополостным гиперболюдом (не «вращения», а просто). Другой пример линейной поверхности второго порядка — гиперболическая параболюд. Эта поверхность получится, если в каждой точке парабола, ось которой вертикальная и направлена вверх, подвесят за вершину перpendикулярную ей парабoly (см. рисунок в начале «странички»); подвешиваемые параболы все одинаковы, парабола подвески может иметь другие размеры). Гиперболическая параболюд — тоже поверхность второго порядка, в подходящей системе координат он имеет уравнение $z=xy$. Других связных (то есть состоящих из одного куса) двухкратно линейных поверхностей не было.

Задание к следующему вынуку геометрической страницы.

Тор (поверхность вращения окружности вокруг не пересекающей ее оси, лежащей с ней в одной плоскости) произвелается путем параллельных прямых, которые пересекают затем плоскость («экран»). Мы рассматрием только те прямые, которые касаются тора. Точки касания мы отмечаем с ним карандашом, точки пересечения наших прямых с экраном — красным. На торе возникает слияния, на экран — красная. Попробуйте их нарисовать. (Особенно интересный результат получится, если угол наклона прямых к плоскости осевой окружности тора неверлик — меньше 45° — и если расстояние от оси вращения до вращаемой окружности не превышает радиуса окружности.)

28

Перед школьной олимпиадой

Кандидат физико-математических наук
А. Г. ГЕЙН

Сегодняшнее занятие математического кружка следует рассматривать как подготовительное к олимпиадам.

Для многих школьников математические олимпиады — это первый шаг в знакомстве с внешкой математикой. На олимпиадах ребята учатся применять свои знания к решению нестандартных задач, совершаются со сверстниками из других школ и городов. Объчно на олимпиаде предлагаются задачи, которые условно можно назвать алгебраическими, геометрическими, числовыми и логическими. Мы предлагаем вашему вниманию несколько таких задач уровня школьных и районных олимпиад (цифра в скобках указывает класс, в котором предлагается задача*)). Краткие решения и указания ко всем задачам вы найдете в следующем номере журнала.

Начем с задач алгебраических и геометрических — они, пожалуйста, не нуждаются в комментариях.

1. На дне озера быот ключи. Стado из 183 сlonов могло бы выпить озеро за один день, а стado из 37 сlonов — за 5 дней. За сколько дней выпеть озеро один слон? (7)

2. Пусть $a, b, c, d$ — целые числа и $a+b+c+d=0$. Докажите, что числа

*) Эти задачи предлагаются школьникам Свердловской области в разных годы. Свердловские области олимпиады по математике организуют учеными Института математики и механики Уральского научного центра АН СССР и Уральского государственного университета им. А. М. Горького. Единое жирно составляет варнаны от школьного до области туров. Об олимпиадах в Свердловске см. «Квант», 1983, № 9.

$a^2+b^2+c^2+d^2$ можно представить в виде суммы квадратов трех целых чисел. (7)

3. Данны не равные нулю числа $a, b, p, q$ такие, что $p+q=1$ и $\frac{p}{a}+\frac{q}{b}=\frac{1}{pa+qb}$. Докажите, что $a=b$. (8)

4. Найдите все числа $a, b, c, d$ такие, что

$$\begin{cases} abc=a+b+c, \\ bcd=b+c+d, \\ cda=c+d+a, \\ dab=d+a+b. \end{cases}$$ (8)

5. Найдите все числа $x, y, z$ такие, что

$$\begin{cases} x^4+y^4+z^4=3, \\ x^5+y^5+z^5=3, \\ x^6+y^6+z^6=3. \end{cases}$$ (9)

6. Определите значение параметра $k$, если известно, что неравенство $\frac{x^2+kx+10}{x^2+3x+10} \leq 1$ выполняется для всех $x$. (9)

7. При каком $a$ уравнение $1+\sin^2\alpha x=\cos x$ имеет единственное решение? (10)

8. Решите уравнение $x^3-[x]=4$, где $[x]$ — целая часть числа $x$. (10)

9. Найдите

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{8}\right)\left(1+\frac{1}{15}\right) \dots$$

$$\dots \left(1+\frac{1}{n^2+2n}\right).$$ (10)

10. Докажите, что если каждая диагональ выпуклого четырехугольника разбивается его на два конгруэнтных треугольника, то этот четырехугольник — параллелограмм. (7)

11. Две окружности касаются внутриним образом в точке $M$. На первой окружности постройте точку $A$, а на второй — точку $B$ так, чтобы треугольник $ABM$ был равносторонним. (8)

12. Каково множество центров окружностей, вписанных в треугольник $ABM$, когда точка $M$ пробегает окружность, а $AB$ — фиксированная хорда этой окружности? (9)

13. Пусть $ABCD$ — треугольная парамида. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины парамиды с точками пересечения медиан противоволлежащих этим вершинами граней,

29

пересекаются в одной точке и делятся его в отношении 3:1, считая от вершины. (10)

Числовые задачи — это, в основном, задачи на делимость и решение уравнения в целых числах. Такие задачи в школье практические не встречаются и участику олимпiadы прихождения изобретать методы их решения непредставенно в «боевой» обстановке. Начнем с совсем простых задач.

14. Сумма 1982 целых чисел нечетна. Докажите, что произведение этих чисел четно. (7)

15. Докажите, что число $2^9+2^{99}$ делится на 100. (7)

В задачах на целые числа часто помогает делимость на 3 и на 9.

16. Докажите, что ни при каких натуральных $m$ и $n$ число $10^m+1$ не делится на $10^n-1$. (7)

17. Найдите все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножении на 2. (7)

18. Докажите, что уравнение $x^2+1=3y$ не разрешимо в целых числах. (7)

В последней задаче используется тот факт, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то каждое слагаемое делится на 3. Это утверждение верно и для числа 7, и для числа 11, и вообще для всех простых чисел вида $4k+3$. Но это уже — «настоящая» математическая теорема, впервые доказанная П. Ферма. Как видите, от олимпадной задачи до математической теоремы — один шаг. Только как его сделать?

19. Умножение на 9 изменяет порядок цифр неокоторого четырехзначного числа на обратный. Найдите это число. (7)

20. Найдите все натуральные числа $x, y, z$, для которых выполняется равенство $xyz=x+y$. (7)

21. Найдите все натуральные числа, обладающие следующим свойством: существует такое $k$, $1 \leq k \leq 8$, что если все цифры квадрата этого числа уменьшить на $k$ единицу, то получится квадрат числа, которое на $k$ меньше, чем исходное. (10)

Логические задачи обычно называют «число олимпадными». Bot несколько таких задач.

22. Докажите, что среди 82 кубиков, каждый из которых выкрашен в определенный цвет, всегда можно выбрать 10 кубиков так, что либо все они выкрашены в разные цвета, либо они — одного цвета. (7)

23. Плоскость произвольным образом раскрашена в два цвета. Докажите, что найдется две точки одного цвета на расстоянии 1 м друг от друга. (7)

24. a) Докажите, что среди любых 11 натуральных чисел найдется два, разность которых делится на 10.

6. Докажите, что среди любых $k+1$ натуральных чисел найдется два, разность которых делится на $k$. (7)

25. По краю круглого стола равномерно расставлены таблички с фамилиями дипломатов, участвующих в переговорах. После начала переговоров оказалось, что ни один из дипломатов не сидит против своего таблицы. Можно ли повернуть стол так, чтобы по крайней мере в одном ящике лежит не менее $n+1$ предметов. Нало только сообщить, что принять за «предметы», а что — за «ящики».

Та же идея избыточности использования и вследующих трех задач.

26. Внутри квадрата со стороны 1 расположено несколько окружностей, сумма длины которых равна 10. Докажите, что найдется прямая, пересекающая по крайней мере четырехметров. Нало только сообщить, что принять за «предметы», а что — за «ящики».

27. В окружности радиуса 1 проведено несколько хорds, суммарная длина которых больше, чем 7π. Докажите, что найдется диаметр, пересекающий не менее высмихорds. (9)

28. Внутри круга радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется колюцо ширины 1 и внутреннего радиуса 2, содержащое не менее десяти из этих точек. (10)

В задачах, где известные в каком-то смысле равенства, полезно полезно рас-

30

смотреть «экстремальный» (то есть крайний) по отношению к некоторому свойству элемент (самый левый, самый верхний, самый длинный, наиболее низкий, наиболее низкий, наиболее низкий, наиболее низкий, наиболее низкий, наиболее низкий,��зитный, что все десять чисел равны между собой. (7)

29. В каждой вершине десятиугольника записано число, причем каждое число равно полученное чисел, написанных в соседних вершинах. Доказите, что все десять чисел равны между собой. (7)

30. Доказите, что в любом выпуклом пятугольнике можно выбрать три диагонали так, что из них можно составить треугольник. (8)

31. Решите систему уравнений
    $$\begin{cases} x_1 + x_2 = x_3^2, \\ x_2 + x_3 = x_4^2, \\ x_3 + x_4 = x_5^2, \\ x_4 + x_5 = x_1^2, \\ x_5 + x_1 = x_2^2. \end{cases}$$ (10)

32. Найди положительные решения системы уравнений
    $$x^2 + y^2 = 1,$$
    $$x^y = y^x.$$ (9)

33. Можно ли 44 монеты разложить по 10 кошелькам так, чтобы любые два из них содержали различное число монет? (Считаем, что два пустых кошелька содержат одинаковое число монет.) (8)

34. В квадрате со стороны 1 отмечен 500 различных точек. Доказите, что среди отмеченых точек можно выбрать 12 точек $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{12}$ так, что длина ломаной $A_1A_2...A_{12}$ меньше 1. (10)

Часто на одномадах предлагаются задачи, в условиях которых приводится описание некоторого способа действия и спрашивается, может ли в результате этих действия получить тот или иной результат. Основным методом решения таких задач является обнаружение свойства исходного объекта, не меняющегося при выполнении действия, указанных в задаче (такое свойство называют инвариантом). Если конечный объект задачи не обладает найденным свойством, то он, очень/no, не может быть получен в результате описанных действий.

Вот несколько подобных задач.

35. Начало-яблоне садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он сывает два плода и тут же на яблоне вырастет новый, причем если он сывает два одинаковых плода, то вырастает апельсин, а если он сывает два разных плода, то вырастает банан. Каким оказывается последний плод на этом дереве? (7)

36. Данны три числа: 2; $1+\sqrt{2}$; $1-\sqrt{2}$.

a) За один ход разрешается написать новые три числа, заменив каждое из исходных чисел получимый других чисел. Можно ли, продолжав эту операцию несколько раз, придти к набору 1; $2+\sqrt{2}$; $2-\sqrt{2}$?

6. За один ход разрешается любые два числа заменить их суммой, деленной на $\sqrt{2}$, и разность, деленной на $\sqrt{2}$, оставив третье число неизменным. Можно ли, продолжав эту операцию несколько раз, придти к набору 1; $\sqrt{2}$; $1/\sqrt{2}$? (8)

37. Три кузнечника играют в чехарду: если кузнечник из точки $A$ прягает через кузнечника в точке $B$, то он оказывается в точке $C$, симметричной точки $A$ относительно точки $B$. В исходном положении кузнечники занимают три вершины квадрата. Могут ли они, играя в чехарду, попасть в четвертую его вершину? (8)

В задачах на клетчатой бумаге или на шахматной доске найти инвариант помогает удаляться раскраска.

38. У шахматной доски $8 \times 8$ вырезаны левая вершня и правая нижняя угловые клетки. Можно ли ее замостить косточками домино, покрывощимировно две клетки доски, так, чтобы покрыть без наложений всего такую доску? (7)

39. Можно ли из четырехлетных фигурок, изображенных на рисунке, составить квадрат размером $50 \times 50$ клеток? (9)

40. Из шахматной доски $8 \times 8$ вырезана одна угловая клетка. Можно ли оставшуюся часть покрыть без наложений прямого угловиками, составленными из трех клеток? (9)

Самая лучшая подготовка к оптимизации «олимпидных» задач. Желаем вам успеха!

31

$$n^x = X^n$$

Л. Б. ПЕЧЕРСКИЙ

Сколько корней имеет это уравнение, если $n \in \mathbb{N}$ и $n \neq 1$?

С открытельными корнями все просто и ясно: если $n$ — четное, уравнение имеет один отрицательный корень (набросайте график!); если $n$ — нечетное, таких корней нет.

Займется положительными корнями. Данное уравнение равно сильно уравнениям

$$\ln (n^x) = \ln (x^n),$$
$$x \cdot \ln n = n \cdot \ln x,$$
$$x \cdot \ln n - n \cdot \ln x = 0.$$

Сколько же нулей*) имеет на $]0; +\infty[$ функция $y(x) = x \cdot \ln n - n \cdot \ln x$?

Ее произведение $y'(x) = \ln n - \frac{n}{x}$ на $]0; +\infty[$ возвращает (набросайте график!). В точке $x_0 = \frac{n}{\ln n} y'(x_0) = 0$; значит, на $]0; x_0[$ $y'(x) < 0$, на $]x_0; +\infty[$ $y'(x) > 0$. Так как функция $y$ неперивна в точке $x_0$, $x_0$ — точка ее минимума. На $]0; x_0[$ функция $y$ убывает, на $[x_0; +\infty[$ — возвращает.

Какой же знак имеет функция $y$ в точке $x_0$?

$$y(x_0) = n(1 - \ln n + \ln \ln n).$$

Чтобы определить знак числа $y(x_0)$, исследуем функцию $z(x) = 1 - \ln x + \ln \ln x$. Поскольку $z'(x) = \frac{1 - \ln x}{x \cdot \ln x}$, $x_1 = e$ — точка максимума функции $z$, причем на $]1; e]$ $z$ возвращает, на $[e; +\infty[$ — убывает. Так как $z(x_1) = 0$, в остальных точках области определения $z(x) < 0$; в частино-сти, при $n \in \mathbb{N}$, $n \neq 1$ $z(n) < 0$. Значит, $y(x_0) < 0$.

Функция $y$ неперивна на $]0; +\infty[$ она убывает. Поскольку «около нуля» (например, заведomo при $x < 1$) $y(x) > 0$, а $y(x_0) < 0$, на интервале $]0; x_0[$ функция $y$ имеетровно один нуль (см. рисунок).

Покажем, что при «больших» $x$ («на плоске бесконечности») $y(x) > 0$. Для этого рассмотрим функцию $u(x) = \frac{x}{\ln x}$. Поскольку $u'(x) = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x}$, $u$ возвращает на $[e; +\infty[$. Если $n \geq 3$, то при $x > n \geq 3$

$$\frac{x}{\ln x} > \frac{n}{\ln n},$$
$$x \cdot \ln n > n \cdot \ln x,$$
$$x \cdot \ln n - n \cdot \ln x > 0,$$
$$y(x) > 0.$$

Доказите сами, что и при $n = 2$ $y(x) > 0$ при «больших» $x$.

Поскольку $y(x_0) < 0$, $y$ возвращает на $[x_0; +\infty[$ и $y(x) > 0$, при «больших» $x$, на промежутке $]x_0; +\infty[$ функция $y$ тоже имеетровно один нуль (см. рисунок).

Итак, при $n \geq 2$ уравнение, стоящее в заголовке, имеет на $]0; +\infty[$ два корня: один — на $]0; x_0[$, другой — на $]x_0; +\infty[$.

Между прочитам, один его корень: $x = n$ — оченьiden сразу.

Задачи о числе корней неокоторого уравнения $f(x) = g(x)$ встречаются на вступительных экзаменах. Как правило, даются уравнения, недоступные алгебраическим средствам. В подобных случаях часто бывают полезно исследовать функцию $f$, $g$, входящие в уравнение, а тут уже совершенно естественно использовать средства анализа.

33

Таким образом,

$$\Delta s_1 = v_0 \Delta t,$$
$$\Delta s_2 = v_0 \Delta t + a (\Delta t)^2,$$
$$\Delta s_3 = v_0 \Delta t + 2a (\Delta t)^2,$$
$$\Delta s_4 = v_0 \Delta t + 3a (\Delta t)^2,$$
$$\Delta s_n = v_0 \Delta t + (n-1) a (\Delta t)^2,$$

где $n$ — число промежутков, на которых мы разделили время движения $t$. Так как промежутки $\Delta t$ малы, $n$ велико, поэтому в правой части последнего равенства можно пренебречь единцией по сравнению с $n$ и считать, что

$$\Delta s_n = v_0 \Delta t + na (\Delta t)^2.$$

Общее перемещение $s$ равно сумме всех малых перемещений $\Delta s_i$:

$$s = \Delta s_1 + \Delta s_2 + \Delta s_3 + \ldots + \Delta s_n,$$

или

$$s = nv_0 \Delta t + a \Delta t^2 (1 + 2 + 3 + \ldots + n).$$

Сумма последовательных натуральных чисел равна получиме краинных слагаемых, умноженной на их число:

$$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{1+n}{2} n.$$

Пренебрегая единцией по сравнению с $n$, получаем

$$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n^2}{2}.$$

Отсюда

$$s = v_0 n \Delta t + \frac{a (n \Delta t)^2}{2}.$$

Но $n \Delta t = t$, а $(n \Delta t)^2 = t^2$, тогда окончательно

$$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}.$$

О графике прямолинейного равноускореного движения

При изучении механического движения широко пользовется графиками, показывающими зависимость координаты тела от времени (график движения) и скорости тела от времени (график скорости). Графики, как и соответствующие формулы, полностью описывают движения, то есть позволяют определить координаты науку и скорость в любой момент времени. Но график имеет преимущество наглядности (построив график какой-либо функции, можно как «увидеть» функцию).

В учебнике «Физика 8» приведены графики движения и скорости для прямолинейного равномерного движения, а также графики скорости для прямолинейного равноускореного движения. С помощью последнего графика была получена формула для перемещения $s$, а значит, и для координаты $x$ тела, движущегося равноускоренно:

$$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}, \quad x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}.$$

Эти формулы, впрочем, можно получить и прямым вычислением (см., например, заметку «Перемещение при прямолинейном равноускоренном движения»). Графики движения этого случая не приведен, а он представляется немалый интерес. О нем и пондет речь в этой заметке.

Как видно из последней формулы, выражение для координаты при равноускоренном движения — это квадратный трехчлен. В общем случае коэффициенты при $t$ и $t^2$ и свободный член не равны нулю. Графики, выражающий такой функцию, называется параболой. Ее вид и расположение относительно осей координат зависит от трех константа — $x_0$, $v_0$ и $a$. На рисунке 1, например, изображена парабола, соответствующая уравнению

$$x = 3 + 12t + 3t^2.$$

Оно описывает прямолинейное равноускоренное движение с начальной скоростью $v_0 = 12$ м/с иускорением $a = 6$ м/с². Начало отсчета времени — это момент времени, когда координата $x$ тела (начальная координата) была равна $x_0 = 3$ м. Графиком такого движения служит, строго говоря, лишь права часть кривой, показанная на рисунке 1 сплошной линейей.

Но если бы тело движения по той же прямой и с тем жеускорением и до момента времени, принято за начало отсчета, то графиком его движения была бы и левая часть кривой тоже (она показана на рисунке 1 штриховой линейей).

В качестве другого примера рассмотрение движения, представленное

34

Формулой

$$x = 2 + 20t - 5t^2.$$

Она описывает движение тела, которое в начальной момент времени $t = 0$, когда его координата была равна $x_0 = 2$ м, сообщена начальная скорость $v_0 = 20$ м/с и которое в дальнейшем движется с постояннымускорением $a = -10$ м/с². Это движение очень близко к движению тела, брошенного вертикально вверх (туда направлена ось $X$) с начальной скоростью 20 м/с с высоты 2 м над Землей. Мы лишь, для простоты, прияли ускорение свободного падения равным не 9,8 м/с², а 10 м/с². График этого движения приведен на рисунке 2 сплошной красной линии.

Из рисунка 2 очень видно (яснее, чем из соответствующего формулы), как движется тело. Сначала оно поднимается вверх, быстро удаляясь от Земли. Через 2 секунды оно достигает максимальной высоты 22 м, после чего начинает движаться вниз (падать). Движению вверх соответствует левая ветвь параболы, падению вниз — правая ветвь. Вообще парабола (с двумя ветвями) всегда изобразает движение «туда и обратно». Синей линии на рисунке 2 показан график такого же равнуюскоренного движения, но с противоположно направлениемускорением.

В математике доказывается, что парабола, выражающая квадратный трехчлен вида

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2},$$

паралельным переносом осей координат может быть преобразована в параболу, выражаюшую формулу

$$x = \frac{a}{2} t^2.$$

Применительно к нашему случае этого нужно ось $t$ перенести вдоль оси $X$ на расстояние, равное $x_0 - v_0^2/2a$, а ось $X$ перенести вдоль оси $t$ на расстояние, равное $-v_0/a$. На рисунках 1 и 2 пересечены по этому правлу оси показаны штриховыми линиями.

Такой перенос осей означает, что за начало отсчета времени теперь принимается тот момент, когда скорость тела равна нулю (при движении «туда и обратно» такой момент обязается существует), а за начало отсчета координаты выбирается точка, в которой в этот момент находится тело. После перенос осей парабола становится симметричной относительной оси $X$. Значения координаты $x$ в момент времени $t$ и $-t$ и теперь одинаковы, поскольку в формулу входит только $t^2$ и замена $t$ на $-t$ ничего не изменяет.

По такой параболе (в новых осях) легко найти ускорение. Ясно, что ordината точки парабoles, соответствующей моменту времени $t = 1$, равна $a/2$, откуда и находим $a$. Ускорение $a$ можно найти и другим путем. Если построить график зависимости $x$ не от $t$, а от $t^2$, то из формулы $x = at^2/2$ видно,

35

что получится пряма, прохождение через начало координат. На рисунке 3 приведен такой график для нашего случая движения тела, брошенного вверх. Значение $a/2$, а значит и $a$, можно теперь найти, взяв для любой точки графика отношение ее ordinаты к абсциссе. Иначе говоря, $a/2$ равно тангенсу угла наклона прямой к оси $t$.

Интересна еще одна особенность парабoles, позволяющая легко определить и скорость движения тела. Известно, что если график движения представляется собой прямую (прямолинейное равномерное движение), то скорость определяется углом наклона прямой к оси $t$. График же прямолинейного неравномерного движения — всегда кривая. Если выделить на этой кривой участок, соответствующий промежутку времени $\Delta t$ и изменению координаты $\Delta x$ (рис. 4), то отношение $\Delta x/\Delta t$ будет равно средней скорости за время $\Delta t$. Как видно из рисунка 4, она определяется углом наклона хорды, стяя

Рис. 3.

Рис. 4.

гивающей виделенный участок кривой (она равна тангенсу этого угла). Если беспредельно уменьшать промежуток времени $\Delta t$, устремля его к нулю, то хорда перейдет в касательную к кривой в точке, соответствующей моменту времени $t$, а угол ее наклона определяет уже мгновенно скорость в этот момент времени. Таким образом, чтобы найти про график движения мгновенно скорость в какой-то момент времени, нужно проверить касательную к графику в точке, соответствующей этому моменту времени касательную можно и не проводить. Эта особенность парабoles (квадратного трехчлена) связана с тем obstructionом, что при прямолинейном равновесном движении скорость за любой промежуток времени равна получиме начальной и конечной скорости. Поэтому, чтобы пользоваться параболой, найти мгновенно скорость в какой-то момент времени, нужно выполнить промежуток времени, для которого интересующий нас момент служит серединой. Тогда средняя скорость на этот промежуток оказывается равной мгновенной скорости в середине промежутка. А чтобы найти среднюю скорость, нужно проверить хорду, а не касательную, что не представляется большого труда.

Давление идеального газа

Вывод выражения для давления идеального газа

$$p = \frac{1}{3} n m v^2 = \frac{2}{3} n \frac{m v^2}{2},$$

приведенный в учебнике «Физика 9», основан на предположении, что моле-

36

кульы ударяются о стенку сосуда обязательно упруго. Покажем, что эту же формулу можно получить и не делая никаких предположений о характеристике ударов молекул о стенку.*)

Достаточно знать, что молекулы движутсяxaотическая. Это, в частности, означает, что в любой момент времени число молекул, движущихся во взаимно противоположных направлениях, одинаково.

Кроме того, мы знаем, что давление $p$ газа равно по определению

$$p = \frac{F}{S},$$

где $F$ — сила, действующая на перpendикулярную ей поверхность плоскую $S$. Значит, нам предстоит вычислить силу $F$. Это мы сделаем, пользовясь законами механики Ньютона.

Поместим наш газ в сосуд в виде прямогольного параллелепипеда и направим оси координат $X$, $Y$ и $Z$ вдоль его ребер, как показано на рисунке. Найдем силу, с которой газ действует, например, на правую стенку сосуда. Очевидно, что ее надо обозначить через $F_x$.

По третьему закону Ньютона эта стенка сама действует на приложении к ней слой газа с силой — $F_x$ (на рисунке этот слой газа защищен). Из второго закона Ньютона следует, что сила — $F_x$ должна соответствовать как и в случае положения и не должна находиться в положении.

Так мы убедились, что как величие в слой газа молекулы, так и величие из него сообщают ему имплусы, проекция которого равна $mv_x$.

Предположив для простоты, что значения $mv_x$ одинаковы для всех молекул, легко вычислить изменение имплуса $\Delta P$ всего слоя газа за время $t$. Оно, очевидно, равно удвоенному произведению $mv_x$ на число $z$ молекул, величих в слой газа за время $t$:

$$\Delta P = 2zmv_x.$$

Значение $z$ вычисляется так же, как число соударений молекул со стенкой (см. «Физикку 9»):

$$z = \frac{1}{2} nSv_x t,$$

где $n$ — число молекул в единице объема газа. Следовательно,

37

$$\Delta P = 2 \cdot \frac{1}{2} n S v_x t \cdot m v_x = n S m v_x^2 t.$$

Вот мы и нашли, откуда берется у нашей слоя импульс, направленный по оси $X$ и равный $F_x t$. Значит, $F_x t = n S m v_x^2 t$.

Сократив на $t$ и разделив обе части этого равенства на $S$, получаем выражение для давления газа на правую стенку сосуда:

$$p = \frac{F_x}{S} = n m v_x^2.$$

(1)

Повторив наши рассуждания для стенок, перпендикулярных осем $Y$ и $Z$, получим

$$p = n m v_y^2,$$

(2)

$$p = n m v_z^2.$$

(3)

Давления $p$ на все стенки, конечно, одинаковы. Сложив почленно равенства (1), (2) и (3), получаем

$$3 p = n m \left( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right),$$

или

$$p = \frac{1}{3} n m \left( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right).$$

(4)

В действительности, значения $v_x$, $v_y$ и $v_z$ у разных молекул разные (вследствие хаотичности их движения). Поэтому в правой части равенства (4) надо вместо $v_x^2$, $v_y^2$ и $v_z^2$ подставить их средние значения $\bar{v}_x^2$, $\bar{v}_y^2$ и $\bar{v}_z^2$. Сумма $\bar{v}_x^2 + \bar{v}_y^2 + \bar{v}_z^2$ равна $\bar{v}^2$, тогда окончательно

$$p = \frac{1}{3} n m \bar{v}^2 = \frac{2}{3} n \frac{m \bar{v}^2}{2}.$$

Физическая смысл универсальной газовой постоянной

В уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона)

$$p V = \frac{m}{M} RT$$

входит универсальная газовая постоянная $R$. Она, как известно, равна произведению двух других постоянных — числа Авогадро $N_A$ и постоянной $k$:

$$R = N_A k.$$

Постоянные $N_A$ и $k$ имеют ясный смысл: $N_A$ — это число молекул или atomов в единице количество веществ, то есть mole; $k$ — постоянная, определяющая связь между температурой в кельвинах и температурой в единицах энергии. Но определяенный физический смысл (быть может, многим он показется неожиданным) имеет и комбинация $N_A$ и $k$ — постоянная $R$.

Представим себе, что 1 mole идеального газа находится в сосуде с подвижным поршнем и что подводом телла к нему или отводом телла от него его температур изменяют на 1 кельвин. Благодаря тому, что сосуд закрыт подвижным поршнем, давление газа будет оставаться постоянным (и равным внешнему давлению).

Напишем уравнение состояния газа до и после нагрева:

до нагрева $p V_1 = RT$,

после нагрева $p V_2 = R (T + \Delta T)$, где $\Delta T = 1$ K. Вычтя первое равенство из второго, мы получим

$$p \left( V_2 - V_1 \right) = RT + R \Delta T - RT = R \Delta T.$$

Левая часть этого равенства представляет собой работу, совершаемую силой давления газа (или внешней силой против силы давления), когда при постоянном давлении $p$ объем газа увеличивается (или уменьшается) от $V_1$ до $V_2$. Следовательно, газовая постоянная $R$ равна работе, которую совершает 1 mole идеального газа, расширяясь при нагревании на 1 K при постоянном давлении.

Разумеется, при изобарном охлаждении 1 molя газа на 1 K также равнуется совершению внешняя силы, действующая на поршень.

38

Квашт
для младших школьников

Задачи

1. Симметричен ли узор на рисунке?
2. Имеется два шарика красного цвета, два — синено, два — зелено, два — желтого и два — белого. На однуашку весов положили несколько разноцветных шариков, а на другую — вторые шарики этих цветов. При этом перевесила левая чашка весов. Оdnako было заменено, что какую бы пару шариков одного цвета ни помещать местами, весы либо окажутся в равновесии, либо переянет правая чашка. При каком количестве шариков на весах это может быть?
3. Переставьте в каждом ряду по одной спиче так (см. рисунок), чтобы вздлее оказалось верное равенство.
4. Квадрат разрезан на прямоугольники так, что никакая точка квадрата не является вершиной сразу четырех прямоугольников. Доказите, что число точки квадрата, являющихся вершинами прямоугольников, — четно.
5. Стальной шарик плавает в рути. Увеличится или уменьшится глубина погружения, если повышится температура?

Эти задачи нам предложили Г. А. Гальперин, В. В. Произволов, Н. А. Родина, Л. М. Салахов, Л. А. Штейнгац

38

39

А если…,
что тогда?

Кандидат педагогических наук
И. Л. НИКОЛЬСКАЯ,
Н. Г. САБЛИНА

В конце последнего урока в класс, где учится Петя, вошла Татьяна Ивановна, их классный руководитель.

— Ребята,— сказала она,— у меня есть для вас хорошая новость: летом двадцать учеников класса поедут в Москве.

— Ура!— закричали все.
— А кто поедет в Москве? — спросил Петя.

— Для того чтобы поехать в Москве, достаточно окончит учебный год без троек, — ответила Татьяна Ивановна.

Домой Петя пришел взволнованный. Ката это сразу заметила и спросила, в чем дело. Петя рассказал ей про поездку в Москве.

— Ну, — протянула Ката,— уж тебе по русскому год будет тройка, а может быть, еще и по математике.

— КатЬка права,— подумал Петя.— По математике я еще смогу получить за год четверку, а вот по русскому… Схожу-ка я к Мите; он — студент, он должен чтобы придумать.

Мити внимательно выслушал Петю и посоветовал ему не вешать нос раныше времени.

— Да,— уныло проговорил Петя,— Татьяна Ивановна, знаешь, какая: если уже сказала, то непрееменно так и сделает.

— Погоди, давай разберемся,— сказал Мити.— Что означает фраза «Для того чтобы поехать в Москве, достаточно окончит учебный год без троек?» То же самое можно сказать так:

«Если ученик окончит учебный год без троек, то он поедет в Москве». Это сложное предложение образовано с помощью логического связки «если …, то…» из двух простых предложений: «Ученик окончит учебный год без троек» и «Он поедет в Москве». Обозначим первое из этих предложений буквой А, а второе — буквой В. Впрочем, так нежорно — ведь истинность или ложность этих предложений зависит от того, к какому ученику они применяются: один ученик может закончить учебный год с тройками, а другой — без троек; один поедет в Москве, а другой не

40

подет. Таким образом, эти фразы являются предложениями с переменной, а не высказыванием; помещь — в «Алгебре 6» ты читал об этом? Позному давой обозначим их не через $A$ и $B$, а через $A(x)$ и $B(x)$, где $x$ может быть любым учеником класса. Теперь при помощи знаков математической логики запишем фразу Татьяны Ивановны так:

$(\forall x)[A(x) \Rightarrow B(x)]$; (1)

знак $\forall$ применяется в математике вместе с слов «любой», «всякий», «каждый». Таким образом, фразу Татьяны Ивановны в форме (1) можно прочитать так: «Любой ученик, окончивший учебный год без треок, поддет в Москве». Впрочем, в словесной формулировке слова «любой» и т. п. обычно опускаются — их подразумевают. Поэтому-то и можно сказать: «Если ученик окончит учебный год без треок, то он поддет в Москве», то есть $A(x) \Rightarrow B(x)$ (2)

Вместо «Если $A(x)$, то $B(x)$» говорят также «Из $A(x)$ следует $B(x)$». Как по-твоему, когда мы сможем сказать, что учительница не выполнила обещания?

— Если найдется ученик, который окончит год без треок, а в Москве не поддет, — ответил Петя.

— Правильно, для такого ученика высказывание $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно; поэтому ложно высказывание (2). А теперь скажи, в каких случаях Татьяна Ивановна обещание выполнит.

— Если все ученики, окончившие учебный год без треок, поддет в Москве.

— Верно. А как должа поступить Татьяна Ивановна с учениками, имеющими годовую «тройку»? Если она такого ученика в Москве не возьмет, она, конечно, своево обещания не нарушит (таким образом, когда $A(x)$ и $B(x)$ ложны, $A(x) \Rightarrow B(x)$ истинно). Но, если Татьяна Ивановна такого ученика все-tаки возьмет в Москве, она тоже не нарушит своево обещания! Вспомни, что она сказала: «Для того чтобы поехать в Москве, достаточно окончить учебный год без треок».

Достаточно, но не обязаτεльно! Можно отличаться в какомибудь другом деле. А ведь ты у нас спортем!

— Это что же получается! — воскликнул Петя. — Приложим $A(x)$ и истинном $B(x)$ опять $A(x) \Rightarrow B(x)$ истинно? Значит, у меня все-tаки есть шанс поехать в Москве.

— Итак, — продолжал Митя, — высказывание (1) ложно только в одном случае: если найдется такое $x$, для которого $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно. Давай запишем наши «исследования» в таблицу:

| $A(x)$ | $B(x)$ | $A(x) \Rightarrow B(x)$ |
| :— | :— | :— |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |

Именно в таком смысле употребляется связка «Если…, то…» в математике: высказывание $A \Rightarrow B$ ложно в том и только в том случае, когда $A$ истинно, а $B$ ложно; в остальных трех случаях оно является истинным. Наша таблица как раз и задает определение союза «Если…, то…». Возьмем, к примеру, утверждение «Всякое число $n$, делшееся на 4, четно». Ты, конечно, понимаешь, что оно имеет вид (1). В форме (2) оно будет выглядеть так: «Если $n$ делится на 4, то оно четно». Как ты считешь, это верно?

— Ясно, верно, — ответил Петя, — это и третьекласснику известно.

— Ну, тогда скажи, верно ли утверждение «Если 18 делится на 4, то 18 четно»?

— Но ведь 18 на 4 не делится, — засомневался Петя.

— Ну и что же, что не делится, — возразил Митя, — не в этом делю! Ведь ты сам сказал, что утверждение «Если $n$ делится на 4, то оно четно» верно, то есть верно при любом значении $n$. А раз так, то верно и утверждение «Если 18 делится на 4, то 18 четно» (третья строка таблицы), и утверждение «Если 17 делится на 4, то 17 четно» (четвертая строка таблицы), и утверждение «Если 16 делится на 4, то 16 четно» (первая строка таблицы). И только слу-

41

Чая «A(n) истинно, B(n) ложно» (вторая строка таблицы) для данного утверждения не будет ни при каком значении n; именно поэтому это утверждение верно. Иными словами, из высказывания «Число n делится на 4» следует высказивание «Число n четно». А как ты думешь, следует ли первое из этих высказывания из второго?

— Нет,— быстро сказал Петя,— ведь 2 четно, а на 4 не делится.

— Молдец,— пожвалил друг Митя.

— Разраз меня гром, если я не исправлю тройку по математике!— радостно закричал Петя.

— Конечно же, ты исправшь тройку по математике и гром тебя не разразит,— засмеялся Митя.— Будем надеться, что твое восклисание — истинное высказивание с ложными A и B. Подобные истинные любил изрекать мудрейший Козма Прутков. «Если бы тени предметов зависели не от величины сих последних, а именно бы свой произвольный рост, то, может быть, вскоре не осталось бы на всем земном шаре ни одного светлого места», — говаривал он.

Но вернемся к математике. Ты, я вижу, хорошо понял, что значит «Из A следует B». Если же каждое из двух высказываний следует из другого, то такие высказывания называются равносильными.

Знаешь, как-то раз родители сказали нам с естекой Галей и братом Колей: «Если мы поедем в дом отдыха, то вы поедете в лагерь». В школе нас спросили, куда мы поедем летом. «Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха»,— ответила Галя. Коля сказал «Если пана с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в лагерь». «Вы все перепутали,— сказал я.— Было сказано: «Если мы не поедем в лагерь, то родители не поедут в дом отдыха».

— Да, но ты ведь тоже сказал не так, как родители,— заметил Петя.

— Так-то оно так,— ответил Митя,— но ведь одно и то же можно сказать по-разному. Давай-ка снова составим таблицу. Пусть A означает высказывание «Родители поедут в дом отдыха», а B — «Мы поедем в лагерь». Тогда то, что сказали родители, запишется как «Если A, то B», ответ Гали запишется как «Если B, то A», ответ Коли — как «Если не A, то не B», а мой ответ — как «Если не B, то не A».

Давай теперь составим таблицу, пожжую на предыдущую. Поскольку опять каждое из высказываний A, B может быть истинным или ложным, в ней снова будет 4 строки. Чтобы нам легче было считать, запишем после столбцов для A и B столбцы для «не A» и «не B» («не A» истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно; аналогично «не B»). Столбец для «если A, то B» просто перепишем из предыдущей таблицы. А столбцы для трех остальных высказываний заполняются по общему правила: «Л» пишется тогда и только тогда, когда посылака (то, что стоит между «если» и «то») истинна, а заключите (то, что стоит после «то») ложно. В результате мы получим следующую таблицу:

| A | B | не A | не B | если A, то B | если B, то A | если не A, то не B | если не B, то не A |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| И | И | Л | Л | И | И | И | И | И |
| И | Л | И | И | И | И | И | И | И |
| И | Л | И | И | И | И | И | И | И |

Ты видись, что высказыванию «Если A, то B» (тому, что сказали родители) равnocильно только высказывание «Если не B, то не A» (то, что сказал я). Так что правильно передал смысл сказанного родителями только я. Галя и Коля сказали одно и то же, но не то, что родители.

— А-a,— протянул Петя,— значит, зря я обиделся на Катьку. Мама сказала мне: «Если понедельь в кино, то сначала сделай все уроки», а Катька съединила: «Если не сделаешь уроки, то и в кино не пойдешь». Оказывается, они сказали одно и то же!

— Конечно,— улыбнул Митя,— Обе они сказали, что для того чтобы пойти в кино, необходимо сначала сделать все уроки.

42

Петя, быстро сделав уроки, отправился в кино, а тебе, читатель, мы предлагаем решить несколько задач.

Задание

1. Какие из следующих высказываний истинны, какие ложны?
   a) Если Париж расположен на Сене, то Австралия находится в северном полушарии.
   b) Если Астралия находится в северном полушарии, то Париж расположен на Сене.
   c) Если Австралия находится в северном полушарии, то Париж расположен на Темзе.
   d) Если 1 = 0, то 2 = 1.
   e) Если 1 = 0, то 2 = 2.

2. При любых x и y верны утверждения:
   a) «Если x — брат y, то y — брат x»?
   b) «Если x — брат y, то x и y — родственники»?

3. Следует ли из утверждения «Если ученик много занмается, то он успешно сдает экзамены» утверждение «Ученик, провалившийся на экзамене, заннимался мало»?

Изменение фигуры Земли и ее врашення
(Начало см. на с. 25)

Во-вторых, на это мало, но постоянное увеличение продолжительности суток накладываются сезонные изменения врашення Земли, вызванные различными перемещениями масс атмосферы и океана. В-третьих, скорость врашення Земли изменяется (обычно скачками) при землетрясениях, перемещающих массы земных недр. Например эти перемещений, как правило, таково, что оно стремится сделать фигуру Земли более шарообразной (как показано стрелками на рисунке), при этом скорость врашення Земли возрастает.

В частности, такое возрастание скорости врашення наблюдается в период с 1973 по 1978 гг., когда продолжительность суток уменьшилась на 0,006 с. Во время этих наблюдений и были получены сведения о регуляром изменении ускорения свободного падения.

Когда форма Земли приближается к сферической, ускорение силы также стремится к среднему значению, равному 9,7977 м/c², увеличивая в низких широтах и уменьшая севернее и южнее широты 35°. Теперь понятно, почему первые изменения показали именно уменшение ускорения: и Москва, и Новосибирск, и Потсам находится на широте от 52 до 56°.

43

Задачи

М826—М830; Ф838—Ф842

М826. На доске написали три числа. Затем одно из них стерли и вместе него написали сумму двух других чисел, уменьшенно на единицу. Эту операцию повторили несколько раз и в результате получили числа 17, 1967, 1983. Могли ли первоначально быть написаны числа a) 2, 2, 2; 6) 3, 3, 3? (8)

А. А. Берзины

М827. Известно, что четыре синх треугольника на рисунке 1 (с. 44) равновелики.
a) Докажите, что три красных четырехугольника на этом рисунке также равновелики.
b) Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного синго треугольника равна 1.(8)

Б. И. Чиник

М828*. Можно ли в клетках бесконечного листа клетчатой бумаги расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в каждой прямогольнике размера 4×6 клеток, стороны которого идут по линяям сетки, равнялись a) 10; 6) 1? (8)

Н. Ю. Нечевгаев

М829. Докажите, что среди любых 2m+1 различных целых чисел, по модulo не превосходящих 2m—1, найдутся три числа, сумма которых равна 0.(9)

Н. В. Картацов

М830*. Школьник упражняется в решении квадратных уравнений. Выписав какое-то уравнение $x^2+p_1x+q_1=0$, он решает его и, убедившись, что оно имеет два корня, составляет второе уравнение $x^2+p_2x+q_2=0$, в котором $p_2$ — это меньший, а $q_2$ — больший корень первого уравнения. По второму уравнению он составляет третье, если это возможно, и т. д.
a) Докажите, что это уравнение не может продолжаться бесконечно долго.
b) Найдите наиболее простовательно квадратных трехленов, удовлетворяющих указанному условияю.(10)

М. В. Сапир

Ф838. В 1844 году выдаюшийся математик и астроном Бессель обнаружил, что собственное (не связанное с движением земного наблю-

44

дателя) движение Сириуса произходит примерно по синусиде (рис. 2.). Максимальное угловое отклонение от прямолинейного пути $\alpha=2,3''$, период $T=50$ лет. Бессель предположил (через 18 лет это было подтверждено прямыми наблюдениями), что искривление пути Сириуса вызывается начиным спутника — более слабой звезды. Найти относение массы $m$ спутника (Сириуса $B$) к массе $M_C$ Солнца, если масса основной звезды (Сириуса $A$) $M=2,3$ $M_C$. Известно, что радиус земной орбиты виден с Сириуса под углом $\beta=0,376''$. Считать, что орбиты звезд круговые, а плоскость орбит перепendlukулярна направлено от Солнечной системы к Сириусу. (10)

В. Е. Белопучкин

Ф839. Если шестигранный карандаш положить на наклонную плоскость, составляющего угол $\alpha$ с горизонтальной поверхности, перпендикулярно ее образующей (линии пересечения плоскости с горизонтальной поверхности), карандаш будет покопиться. Если его положить параллельно образующей, он будет скатывать вниз. При каких углах $\phi$ между осью карандаша и образующей наклонной плоскости (рис. 3) карандаш будет находиться в равновесии? (8)

С. С. Кротов

Ф840. В горизонтальном расположенной плоской коробке размером $10\times10$ см беспорядочно лежат 1000 маленьких стальных шариков массы $m=0,5$ мг каждой. Коробку начинают двигать со скоростью $v_0=10$ м/с перпендикулярно одной из боковых стенок. Считая удары шариков о стенки коробки и друг о друга абсолотно упругими, определять: а) какие импульсы передадут шарики каждой из боковых стенок за первые 10 секунд; б) какие импульсы получают стены за следующее 10 секунд после того, как коробку резко затормозили. (9)

А. Р. Зильберман

Ф841. Спускаемый аппарат космического корабля приближается к поверхности некоторой планеты с постоянной скоростью, передавая на борт коробля данные о наружном давлении. График зависимости давления $p$ (в условиях единицах) от времени $t$ приведен на рисунке 4. Опустившись на поверхности планеты, аппарат изменил и передал на борт данные о температуре иускорении свободного падения: $T=700$ К, $g=10$ м/$c^2$. Определить скорость спуска аппарата, если известно, что атмосфера планеты состоит из углекислого газа ($CO_2$). Определить также температуру на высоте $h=15$ км над поверхности планеты. (9)

А. И. Буздин

46

Р839. If a pencil with hexagonal section is placed on an inclined plane (forming the angle $a$ with the horizontal plane) perpendicularly to the intersection $l$ of these planes, the pencil remains motionless. Placed parallel to $l$, it rolls down. For what angles $\varphi$ between the axis of the pencil and $l$ (see figure Pис. 3) will the pencil remain in equilibrium?

S. S. Krotov

P840. A flat $10 \times 10$ cm box placed horizontally contains 1000 small steel ball-bearings of mass $m = 0.5$ mg each, mixed at random. The box starts to move with velocity $v_0 = 10$ m/s perpendicularly to one of its sides. Assuming the collisions of the ball-bearings with each other and the walls of the box absolutely elastic, determine: a) what impulses will the ball-bearings communicate to each of the walls during the first 10 seconds; b) what impulses will the walls get in the 10 seconds following a sudden braking of the box to a stop.

A. R. Zilberman

P841. A landing craft from a spaceship approaches the surface of a planet with constant velocity, transmitting data on outside pressure to the mother ship. The graph of the pressure $p$ (in conditional units) as a function of time $t$ is plotted on figure Pис. 4. Having landed, the craft measures temperature and gravitational acceleration: $T = 700$ K, $g = 10$ m/s$^2$. Determine the descent velocity of the landing craft, if it is known that the atmosphere of the planet consists of carbon dioxide ($\text{CO}_2$). Determine the temperature at elevation $h = 15$ km above the planet’s surface.

A. I. Buzdin

P842. In the circuit shown on figure Pис. 5, the switch $K$ is turned on. Find the established value of the current flowing through the coil of inductivity $L$ and active resistance $r$. What charge will flow through the galvanometer $I$ after $K$ is switched on? The parameters of the elements shown on the figure are assumed known. The inner resistance of the source and the resistance of the galvanometer are negligible.

V. V. Mojaev

Решения задач

M811—M815; Ф823—Ф827

Умножим обе части доказываемого неравенства на площадь треугольника $S$ и воспользуемся формулами

$$S = \frac{ah}{2} = \frac{bh}{2} = \frac{ch}{2} = r \frac{a+b+c}{2}.$$

Тогда оно приведется к виду

$$\frac{m_a \cdot a}{2} + \frac{m_b \cdot b}{2} + \frac{m_c \cdot c}{2} \leq S + R \frac{a+b+c}{2}$$

или

$$\frac{(m_a - R)a}{2} + \frac{(m_b - R)b}{2} + \frac{(m_c - R)c}{2} \leq S.$$

Ясно, что величины $m_a - R$ не превозходит расстояния от центра $O$ описанной окружности до стороны $BC$ (см. рис.нок), то есть выcisты треугольника $OBC$. Следовательно, первоое слагаемое в левой части неравенства () не больше площади треугольника $OBC$. Аналогично, два других слагаемых не превозходит площадей треугольников $OCA$ и $OAB$ соответственно. Тем самым доказано неравенство (), а с ним и неравенство задачи.

Из доказательства видно, что равенство имеет место только для правильного треугольника. Заметим еще, что поскольку медиана всегда не меньше высоты, проведен-