Квант 1983, №12 · Страницы

КВАНТ
12
1983
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

2

Роль
математической
физики
в современной науке

Академик
В. С. ВЛАДИМИРОВ,
доктор физико-математических наук
А. С. МИШЕНКО

Едиство природы обнаруживается в «позицительной аналоциности» дифференциальных уравнений, относится к разным областям явлений.
В. И. Лен и н. «Материализм и эмпириокритиизм»

Уже само название «математическая физика» говорит о том, что эта дисциплина занимает как бы промежутную область между математикой и физикой, находясь под непосредственным и сильным влиянием как той, так и другой. Чем же конкретоно занимается эта «промежутная область» науки? Говоря коротко и, может быть, не совсем понятно, на этот вопрос можно ответить так: «Matематическая физика — это теория математических модели физических явлений». Чтобы понять это краткое определение, обратимся к некоторым (хорошо известным школьникам) примерам таких математических модели.

Описывая закономерности движения твердых тел, физики формулируют второй закон Ньютона: ускорение материального тела прямо пропционально сумме всех сил, действующих на данное тело.

Как использовать на практике второй закон Ньютона? Пусть твердое тело настоящего малого, что его положение в трехмерном пространстве задается одной точкой. Если в пространстве физирована некоторая декартова система координат, то точка, а значит, положение твердого тела определяется темя числами — координатами точки x, y, z, или, что то же самое, положение твердого тела определяется вектором $\vec{r}$ в трех-

4

шero математика XVIII века, академика Российской академии наук Л. Эйлера. Это задачи о количеях струн и распространении звука, гидравлика и гидродинамика, сопротивление материалов, оптика, электричесво, магнетизм и многое другое.

Характерной особенность этих методов является построение математических моделей в виде дифференциальных уравнений в частиных произвольных — уравнений, в которых входят неизвестная функция, зависящая не от одной, а от нескольких переменных, и ее частные произвольные (то есть произвольные по отдельным переменным). Поэтому такие уравнения иногда называют уравнениями математической физики, хотя в настоящее время арсенал математических средств, используемых в математической физике, им не исчерпывается.

---

В XIX веке большой вклад в развитие и идеи методов математической физики внесли русские учены М. В. Острогадский (1801—1862), П. Л. Чебышев (1821—1892), А. М. Ляпунов (1857—1918), Н. Е. Жуковский (1847—1921), В. А. Стеклов (1864—1926) и С. А. Чаплгиин (1869—1942).

Замечательный русский и советский математик, создатель Петербургской школи математической физики В. А. Стеклов так писал о классической математической физике в 1922 году:

«Решение задач математической физики приводится к определению одной или нескольких величины, характеризующих тот или иной физический процесс, совершающего в данной среде (в данном теле) зависяности от положения каждой точки этой среды и времени при помощи одного или нескольких дифференциальных уравнений.

Эти уравнения выводятся при помощи небольшего числа возможных простых гипотез, которые полагаются в основу теории каждой физической и представляют как результат обобщения длинного ряда оптов и наблюдай над физическим процессами, которые делятся в逮ительно проискодят в окружающей нас природа или создаются искусственно.

В результате такого отвлечения (обобщения) создается небольшое число основных положений (гипотез), которые должны быть независимы между собой и не противоречит ни одному из известных в данной время фактов действительности.

Эти гипотезы полагаются в основу теории того или иного физического явления, и все теории развивается затем детективно при помощи аксиом математики и основных законов обещей механики по методам дифференциального и интегрального искусственности.

Таким путем, по физическим данным каждой задачи, составляют дифференциальные уравнения, характеризующие существо расматриваемого процесса для каждой точки среды и для каждой момента времени.

Задача сводится к определению в функции времени, координат каждой точки среды, в котором происходит изучаемое явление, и величины, определяющих физические свойства среды, тех неизвестных, которые фигурируют в полученных дифференциальных уравнениях, то есть к интеграрованию этих уравнений.

При этом получаем таким путем решения должно удовлетворять всем данным, которые получаются как результат непосредственного наблюдания над изучаемым процессом».

---

Еще больше развитие получила математическая физика в XIX веке и в нашем, двацатом. Расширяется число физических явлений, изучаемых методами математической физики: теплопроводность, диффузия, оптика, электродинамика, нелинейные волновые процессы, квантовая физика и теория относительности. Расширяется и область математики, применяемая при построении математических моделей. Кроме дифференциальных уравнений для исследования задач математической физики служат интегральные уравнения, выраженное исчисление, теория функций, функциональной ana-

5

лиз, теория вероятностей, приближенные и численные методы.

Математическая физика сегоднянего дня благодаря своим глубоким связи с всеми разделами математики занимает центральную, центральную роль в общирномздании современной математики.

Своими темными связями с физкой и другими естественными науки математическая физика всегда привлекала внимание многих крупных ученых. Этот она стимулировала развитие математики. Хорошо известно, что в течение последнего десятилетия многие крупные представители «числой» математики стали заниматься математической физикой. Однако обратное влияние математики на физку часто недооценивается. Быут заблуденное, «что настоящая» математика не имеет ничего общего с решением проблем, интересных для практики», что математика нужна физике только как средство для вычисления, что физика нужна только «упрощенная» математика, что можно даже обойти одним лишь компьютером. На самом деле математики города глубже. Хорошо известны многие примеры из истории науки, когда в рамках удачного выбранной математической модели, с помощью только расужений и вычислений, как говорят, «на кончке пера», удавалось представить новые физические явления или существование новых физических объектов. И эти представления последствии блестише подтвердились на опыта.

---

Одним из наиболее замещательных примеров теоретического представления является открытие планеты Нептун Солнечной системы. В 1781 году английский астроном Вильям Гершель обнаружил с помощью построенного им самим телексана новое небесное тело. Вначале он предоплал, что обнаруженное им тело является кометой. Но тщательно изучение движения этого объекта, которое в течение двух лет проводил русский астроном Андрей Иванович Лексель, показало, что обнаруженное В. Гершелем тело является новой планетой. Этот планету называли вычисления орбиты Урана и обнаружил, что ее движение не согласуется с теоретическими расчетами. Он высказал предположение, что неправильности в движении Урана вызываются приженением еще одной неизвестной ранее планеты, образующейся на более далеком расстоянии от Солнца. Начальись поиск этой неизвестной планеты. Спустя более половина Дж. Адамс, английский астроном, в centябре 1845 года закончил вычисления орбиты этой новой планеты и сообщил результат своих вычислений директору Гринвичской общеватории Дж. Эри. Однако последний не организовал свое время поиск новой планеты. Одовременно с Дж. Адамсом аналогичные вычисления произвольного во Франции Урбен Леверь. 18 сентября 1846 года У. Леверь отправил в Берлинскую астрономическую общеватorio письмо, в котором сообщил местоположение гипотетического планеты. Письмо было получено немецким астрономом Иоганном Галле 23 сентября 1846 года. В тот же вечер И. Галле обнаружил планету. Она находилась в вычисленного места всего в 52 угловых минутах.

Теоретическое представление существенно новой планеты Нептун явилось триумфом научной мысли XIX века.

---

Примеров таких представлений последствии появилось очень много. Пожалуй, наиболее почтательной является история возникновения и развития теории электромагнитного поля. В истории физики считается, что основополагающей работой, посвященной созданию диамической теории электромагнитного поля, являетсяfundamentalная работа выдающегося английского физика Дж. Максвелла «Динамическая теория электромагнитного поля» (1864 г.) В ней Максвелла написал систему дифференциальных уравнений, которые количественно связывают воедно известные до этого величины электрического и магнитного полей. Стройная система уравнения Максвелла

6

велла дала многочисленные предсказания, которыеlectraшие подтвердились впоследствии. Самый важный выбор из теории Максвелла заключается в установлении электромагнитной природы света. То, что световые лучи являются ничем иным, как электромагнитными волнами высокой частоты, было проведены доказано непредставенной экспериментальной проверкой немецким физиком Герцем.

---

Приведем еще пример, относящийся к самому последнему времени. В января 1983 года в Женеве, в Европейской организации ядерных исследований, было объявлено об открытии новой части — W-бозона*). Открытие этой части давно уже ожидалось — ее существование было предсказано несколько лет назад. Бозоны — «главные действующие лица» теории электрослабого взаимодействия, единой теории электромагнитных и слабых процессов (ее авторы С. Вайнберг, Ш. Глэшоу и А. Салам получили Нобелевскую премию 1979 г.). Теория предсказала не только сам факт существования W-бозонов, но и их массу. Подготовка к опытам длилась два года, наконец приборами были зарегистрированы первые базоны. Явление этого чрезвычайно редкое — и за два месяца работы установки было зарегистрировано лишь шесть случаев W-бозонов. Самое замечательное, что опытные оценки массы части оказылись очень близкими к теоретическим — практическим нахождением в пределях точности эксперимента. Таким образом, теория электромагнитного и слабого взаимодействия получила экспериментальное обоснование.

---

В современной математической физике стало привчным установить те или иные физические эффекты с помощью теории, а потом подтверждать эти эффекты в экспериментах. Об этом огромном влиянии математики на физку недократно высказывались выдающие учены математики и физики. Так, на Всемирном конгрессе математиков в 1900 году великий немецкий математик Д. Гильберт, выдвигая свои знаменитые математические проблемы (воспользушись названия «проблем Гильберт»), назвал б-то проблему об «аксиоматизация тех физических наук, в которых важную роль играет математика». Постановка этой проблемы, нарушу с другими узловыми проблемами «чистой» математики, свидетельствует о той важной роли, которую Гильберт придавал математике для прогресса физики, для ее теоретической формулировки. Ту же мысль выразил В. А. Стеклов в 1921 году, обосновывая настоящее необходимость организации при Академии наук физико-mатематического института: «Ни одна из естественных наук, если дело идет не о собственном материале, а о действительном творчестве, не обойдется без математики, материи всех наук. Что же касается физики, поставленной впереди всех других наук, …, то в настоящее время математика и физика до такой степени слились в одно целое, что иногда трудно отделить — где кончается математика и начинается физика».

Еще более определенно сказал выдающийся физик-теоретик и математик П. Дирак в известной статье 1930 года, в котором он теоретический предсказал существование античасти: «Прогресс физики требует для ее теоретической формулировки все более «высокой» математики… Кажется вероятным, что этот процесс непрерывного абстрагирования будет продолжаться и в будущем и что успех физики должен в большой степени опираться на непрерывные модификации и обобщения аксиом на математическом основе…»

*) Об этом см. статью «Открытие новой части» («Квант», 1983, № 5).

7

Н. Н. Лузин

(к столетю со дня рождения)

Отмечая столетие выдающегося ученого, создатель советской школы теории множества и функций академика Н. Н. Лузина, мы публикуем воспоминания двух его ученников, академика П. С. Алексадрова и члена-корреспондента АН СССР Л. А. Люстерника. Кратко наполним основные этапы жизниного пути Н. Н. Лузина.

Николай Николаевич Лузин родился в 1883 г. в Томске, учился в Томской и Иркутской гимназиях. В 1901 г. поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. В 1905 г., будучи студентом, выехал в Париж, где сливал в Сорбонне лекции Э. Бореля, А. Пуанкаре, Ж. Адамара и Ж. Дарбу. Вернулись в Москву, успешно сдел государственные экзамены и был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию. Осенью 1910 г. факультет командировал его в Гёттинген и Париж, где Лузин написал свои первые самостоятельные исследованияские работы. В 1915 г., после возврашения в Москву, Н. Н. Лузин закончил работу «Интеграл и трионометрический ряд», за которым получил степень доктора чистой математики (1916 г.). С 1918 г. работал в Политехническом институте г. Иваново, с 1922 г. — в Московском университете. После избрания академиком (1929 г.) руководил отделом теории функций Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова. Н. Н. Лузин умер в Москве в 1950 г.

Из воспоминаний
П. С. Алексадрова*)

Я впервые встретился с Н. Н. Лузным в 1914 году, будучи студентом второго курса Московского университета. Впечатление от этой встречи было, можно сказать, потрясающим и наседдающим мне.

*) Предлагаемая подборка воспоминаний о Лузине — отрывки из трех статей академика П. С. Алексадрова (1896—1983): «Сспех математических наук», т. 34, вып. 6, с. 219—249; т. 35, вып. 3, с. 241—278 и «Квант», 1977, № 10, с. 13.

Два самых выдающихся профессора-математика, преподавшие в Московском университете в первой трети текущего столета: Д. Ф. Его-

8

ров и Н. Н. Лузин как лекторы и вообщее профессора университета принадлежали к двум противоположным типам. Д. Ф. Егоров принадлежал, я бы сказал, к классическому типу, а Н. Н. Лузин — к романтическому. В лекциях Д. Ф. Егорова, всегда безукоризненно тщательно приготовленных, все доказательства были до конца продукны и изложены в абсолютоно строгой форме. В них не было места никаким элементам импровизации, и они соответствовали подготовке и уровню понимания тех службы, для которых были предназначаены.

В противоположность этому Н. Н. Лузин был ярким представителем «романтического» типа профессора университета. Все его преподавание было чрезвычайно эмпириально. Форма этого преподавания далек не всегда бывал безукоризненной. Н. Н. Лузину служилось приходить на лекцию и плохо подготовленным и тут же, стоя у dockки перед студентами, импровизировать еще не готовое доказательство. При этом он часто ошибался, путался в выкладках и откладывал до следующей лекции материал, предназначающийся для данной лекции, но оказавшийся не подготовленным. Словом, образцовым его преподавание называть было нельзя. При этом он иногда и несколько кокетичал этой своей «необразцовостью». Но лекции Лузина, в эпоху расцвета его педагогической деятельности в Московском университете, были полны новыми и интересными идеями, способными побудить службы к дальнейшим самостоятельным занятиям. Даром увлекательны и воспламенять сердца Н. Н. Лузин обладал в высшей степени. Естественно, что результаты этого увлечения и воспламенения были различны в зависимости от того горючего материала, на котором padали брошенные в него искры вдохновения. Способные молодые начнающие математики, а их было немало среди студентов, службы Н. Н. Лузина, побудались к серbezным и глубоким собственным исследованием, осуществлять дальнейшее продвижения в математической науке.

Не менее важным, чем характер лекций Лузина, побуждающий и, я бы сказал, вдохновляющий служителей к самостоятельным исследованием в области математики, был и введенный Лузиным в практику нашего факультета совершенню новый стиль взаимодействия между профессором и студентами. В нем порожали большая свобода и непринужdenность, отсутствие всякой официальности и замена внешних проявлений почтительности со стороны студентов действительного глубоким уважением, часто переходившим в восторженное преклонение. Это уважение и делало невозможным вырождение свободы и непосредствности в отношениях между Н. Н. Лузиным и его студентами в какое-либо панибратство.

---

Мое знакомство с Лузиным пришлось довольно точно на середину того десятилетия, в котором он получил самые значительные свои результаты. Он жил тогда совершенню один в меблированных комнатах (Кокоревское подворье на Балчуге), жил только наукой. Мне запомнилась одна его фраза, сказанная в одну из многочисленных наших встреч: «Я дни и ночи думаю над аксиомой Цермело (аксиома произвольного выбора в теории множества). Если бы кто-нибудь знал, что это за веще!».

Видя Лузина в эти годы, я действительно видел то, что может назвать свою новым отношением к науке, и я не только чучлау него математике, но и получил урок того, каким должен быть профессор университета.

Тогда же я понял, что наука и приобретение к ней новых молодых людей — две стороны одной и той же деятельности — деятельности ученого. Все это осталось мне на всю жизнь.

---

Сформировався еще в 1914—1916 гг. группа старших учеников Н. Н. Лузина состояла из

9

Д. Е. Меньшова, А. Я. Хинчина, М. Я. Суслина и меня. К 1919—1920 гг. она пополнилась рядом молодых математиков: П. С. Урысон, Л. А. Люстерник, М. А. Лаврентьев, Н. К. Бари, несколько других учеников и учениц Н. Н. Лузина. Так возник嗽ь других коллективов, к которым вскоре присоединились два таких выдающихся математика, как А. Н. Колмогоров и Л. Г. Шнирельман. В этот коллектив сразу же включился из математиков старшего поколения В. В. Степанов. Несколько позже в этот коллектив вошли П. С. Новиков и Л. В. Келдыш. Так возникла знаменитая Лузитания — собственно молодых математиков, спаянных не только техными другихскими отношениями между его счленами, но и горячей любовью, и живым бекорьстным интересом к математичной науке.

Лузитания сразу осознала себя как нечто целое и провозгласила себя «орденом» с «командером» Н. Н. Лузным и «гроссейстером» Д. Ф. Егоровым. Лузитания была коллективом большого трудового, творческого и эмпионального подъема, отражавшего в «микрокосме» тогданего математического факультета Московского университета грандизный и всеобъемлющий подъем, пережившийся всей страной в те годы, в первые годы революции, годы становления новой жизни.

Существным элементом общения Н. Н. Лузина с его учениками были встречи и беседы, которые Н. Н. Лузин имел с совсем небольшими их группами (примерно в 1—3 человека, занимающимся какой-нибудь темой). Кроме того, был ежедневный общий применный день для всех учеников Николая Николаевича. Однако время это были четверги, потом среды.

Эти собрания у Н. Н. Лузина состояли из двух частей. Сначала была математическая часть в кабинете Николая Николаевича, очень уютной комнате, в котором, как, впрочем, и во всей тогданей квартре Н. Н. Лузина (Арбат, 25, третий этаж), было (по желанию хозяйина) керосиновое освещение. Никогда не забуду тех насыщенных самой живой математикой разговоров, которые тогда происходили. Эти разговоры иногда затягивались за полное, но, когда бы они ни кончались, за ними следовал чай с неизменным очень вкусным ореховым тортом. За этим чаем — уже не в кабинете, а в столовой квартиры Лузиных — разговоры принимали другой, nemатематический характер и касались самых различных вопросов культурной и общественной жизни. Иногда что-нибудь читалось всуху. Так, например, Н. Н. Лузин с большим мастерством и артистическую читал предназначенные собственно для детей произведения Корнея Чуковского. Я, помню, однажды прочитал рассказ Анатоля Франса «Чудо свягого Николая».

Собрання у Н. Н. Лузина кончалась глубокой ночью. После их окончания участники большой группы выходит на Арбат и его переулки и постепенно, в различных последовательных комбинациях проводя друг друга, наконец расходились — облично уже к утру — по своим домам.

Лузитания жила не только других, она жила весело, и еще как весело! Это веселье даже захлебываю «старших», и не только Н. Н. Лузина, но и Д. Ф. Егорова, принимающих так сказать, полноправное участие в наших ожидениях веселых собрания. Собрання эти были многочисленны и произходили по различным поводам. Встреча Нового года и Татьянин день, именины Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина, дни рождения отдельных лузитанцев — все давало повод для наших встречи.

Лузинская школа, Лузитания, была единственная в своей роде, неповторимым коллективом молодых, в большинстве своей одаренных и жизнирадостных математиков.

---

Однако, по моему убеждению, годами вышено расцвета Н. Н. Лузина как математика да и как человека личности были негоды Лузитании, а неоспредственно

11

московской школе ценилось решение конкретных трудных задач, и общее концепции в ней, как общно в математике, возникали в связи с решением конкретных задачи. Замечу, что одной из принципов успеха Н. Н. Лузина как создателя научной школы было как раз то, что он в печатных работах, на семинарах и в беседах вывигал интересные задачи.

---

Вечером в день приезда в Петрооград мы были в Академии. А. А. Марков сделал доклад, в котором поделился своим воспоминаниями о П. Л. Чебышёве. В. А. Стеклов проел доклад «Теория и практика в трудах П. Л. Чебышёва», вышедший через года в свет. После этого на протяжении пары дней в здании университета состоялись научные доклады какпетербургцев —

Роль математической физики в современной науке

(Начало см. на c. 2)

Послеушке развитие теоретической и математической физики, особенно квантовой физики, полностью подтвердило эти мысли. Этоало возможность крупнейшей ученому современности Н. Н. Боголюбову сказаеть следующее (1963 г.): «Основные понятия и методы квантовой теории поля становятся все более математически».

---

Развитие научки последних десятилетий показало, что методы математической физики, первоначально открыты для задач физики, механики и астрономии, то есть для тех наук, в которых изучаются наиболее про-
стые формы движения материи, проникают почти во все разделы современного естественного и технически и в ряд разделов гуманитарных наук. Математическое моделирование широкого использования в геофизике, химии, геология, биология, экономике, социологии, экономии, медицинские, психологически, linguistichesque. Хотя математические модели являются изучаемых в этих науках, и отличаются от модели математической физики, однако многое методы исследовании этих моделей (точные или приближенные, с использованием электронно-вычислительных машин) сохраняются и после надлежащей адаптации получают дальнейшее развитие.

Таким образом, подтверждается известная точка зрения, что «наука только тогда достаточно совершенства, когда ей удается пользоваться математкой». Современная математика с развитиями методами и аппаратом является мощным средством научно-технического прогресса.

14

имеются бесплатные факты, то задача ученого — проверить.

Хуже, пожалуй, другое. В бесконечных исторях со спиритами проявилися некоторые способизм мужей науки, убежданость: стоит мне повиться, взглянуть — и все обьясниться. А полезно помнить, что любой фокусник средней руки может без труда продемонстрировать серию «сверхестственных» эффектов собранного набелевских лауреатов, и вред ли кто-нибудь из них сможет почти его за руку.

Насколько мне известно, первый, кто сразу оказался на высоте, — это Майкл Фарадей. Он приготовил стопку кружков, соединенных мягкой и вязкой замазкой. Треннее имелось — слабое, слегка тормозящее врашение кружков, но не ликидирующее его полностью. После «явления духа» выяснили, что верхний кружок повернулся максимально, следующей — поменше, нижний — совсем не стронулся. (Из этого следовало, что источник врашающего силы находился наверху—там, где лежали руки спиритов. Сознательно или бессознательно, они сами врашали «волшебное блюдечко».) Само собой разумеется, тут же появилась масса мыслих и немышленных обяснения этого эффекта. Но Фарадей спиритизмом больше не интересовался. А другие проверяли, теряли время. В 1871 году наш великий соотчетственный Д. И. Менделеев возглавил комиссию Петербургского университета по изучению спиритизма. Заключение комиссии было однозначно: спиритизм — это суверние. Так что упрекать учены в бездоказательном отрицании учедес не приходит.

Итог: десяти и сотни ясных слуаев обмана или бессознанного стремления получить нужный результат. И ни одного достоверно-факта.

Тем не менее и понные блюдечко врашают, вызывают Юлия Цезаря и Наполеона. В Корнузл, в Техас, в Уфу. Мало того, в Англии и в Голландии в определенных журнальных суспестуют отдельы спиритизма.

Потом появились медиумы. Эти оказались устойчивей. До них пор они пользовются определенной популярностью, только теперь их порой имеют «экстрасенсами». С ними было посложней, неоторные оказались незадурными, пожалуй, даже блестишим фокусниками.

История «mediумизма» интересна, забавна; поччительна, но итог — все тот же: ни одного достоверного факта.

Хотя «оккульные явления» все еще могут очень неплохо прокормить «толкового» человека, moda на них несколько угасла. Снова образовался некий вакуум.

В него хлынули уже «наши» мифы — мифы XX века: Бермудский треугольник, Лохнеское чудовище, снежный человек, телепаты, десятиные отряды космических пришельцев…

Чем так приятагательна идея проживания в некоторых озерах (в первую очередь, в шотландском озере Лох-Несс) сохранились до на-

15

шero времени плезнозавров, или как их там еще?

Почему рядом обитателя нашей планеты так волнует мысль, что где-то в горах — то ли в Гималах, то ли в Кордильерах, то ли (чем мы хуже?) на Памире и Кавказе — бродит дикая большая обезьяна? Почему открытие т-частицы или W-бозона либо, на худой конец, обнаружение пульсаров не вызывают десяной, сотой доли столь живого интереса?

Почему недоброй памятки машина Дина мгновенно оказывается мировой сенсащей, а проблема высокотемпературной сверхпроводимости едва вызывает вялое, снисходителовое внимание?

История началась в Америке. Если не вдаваться в детали, суть была такова. Неккий Дин сконструировал довольно грубое и простое механическое устройство, какется, даже патент получил. Подчеркиваю, никаких тонкостей в его системе не было. Но для человека, плохо понимающего законы механики, поведение «машины» при работе могло показаться страным. Она, машина, то ли подпригивала, то ли делала нечто подобное.

Я народно не хочу вдаваться в детали, и чуть позже станет ясно, почему.

Так вот, вместе того чтобы обратиться за объясненем принципов ее работы к грамотному человеку, возникло, сам Дин, а может быть, и какой-то журналист берут и обявляют: «Машина показывает, что механика Ньютона грубо ошибочная. Уравнения механики необходимо существенно поправить».

Сенсация! Первого разряда. Вот тут-то и началось. Сейчас трудно, да и неинтересно установливать, сколько статей было посвящено «великой находке». И, конечно, намекли присутствовали: вот-de надменные физики-proфессионалы даже не желают (а может быть, и не могут) разобраться в новой генциальной теории.

А зачем разбираться?

Любой физик заранее, совершенно не интересуясь деталями, знал: все это пустой вдор. И разбираться даже не следует, разве что расстретить в качестве забавной задачи для школьников.

«Вот тут-то и выявлась надменная существующая профессиональная»,— могут закричатьиспровергалели механики Ньютона. «Кастовая организаность. Неверие в человекеский гений.»

Вовсе нет. Ниччего такого не вывилось. А совсем напротив — проявился научный склад мышления или, если угодно, здравый смысл. Десячки, нет, сотни тысяч экспериментов показали нам — механика Ньютона безукоризненно работает в своей области. Тысячи знаменитых и безвестных рядомых физиков проверяли ее законы, проверяли для самых разных явлений с точностью до многих знаков. И теперь мы абсолютино уверенно можем утверждать: для макросоппических тел при скоростях, много меняших скорости света, механика Ньютона работает величкой. В этой области любая более общая теория может лишь чуть-чуть «поправить» Ньютона, показать, что восьмом или десятом знаке должны появиться отличия. Но зачеркнуть Ньютонову механику как безупречное практическое руководство к расчету миллионов и миллионов задач не сможет никакой эксперимент и никакая теория. Физики приняли теорию относительной и квантовую механику, но, само собой разумется, первоое и основное требование к новым теории состоит в том, чтобы в известной, равнее проверенной области их предсказания совпадали с классической физикой и, конечно, с механикой Ньютона.

Это — общее требование к любой новой теории.

Можно допустить, что теория относительной будет сменена новой, но результаты теории относительной будут включены в новую схему и в пределах ее области применения останутся неизменными (с точностью до возможных малых поправок).

Позому никакогда ни один профессионал не станет серЬезно относиться к разговорам, что в каких-то опытах, скажем, с диhamомашиной

16

обнаружили кардиальное нарушение уравнения Максвелла или, скажем, в стандартном полупроводниковом приборе умельцы наблюдали прициплальное нарушение второго начала термодинамики.

Примеры эти, увы, не придуманы. Они в свое время обсуждались на страницах газет и журналов.

Легче всего упрекать журналистов. Пусты и за дело. Но жажда сенсащий, куда живуча и среди работников науки. Примеров тому тьма. Всех не перечислишь. Вот один. С десяток лет тому назад весма живо обсуждалась «проблема» магнитной воды. На некоторых заводах, как-будто, было четко установлено: стонло пропустить обычную воду через магнитное поле, причем и не очень сильное, как технологические процессы резко улучшались. Существенно уменышалась накипь на стенках водонагревательных котлов, возрастал срок службы труб и вообще — наблюдалась масса выгод.

Не проверял достоверность фактов, но охотно готов допустить — все права. Вода, обычная вода, — это не просто H₂O, но еще и множество расторенных в ней химических соединений, это и микрочастицы и минералыные, и биологические. Думаю, каждый встречался в обыденной жизни с мягкой и жесткой водой. Например, в городе А мыло смывает грязь великолепно, а в городе B помыть руки и даже само мыло смыть — проблема неправда. И, казалось бы, с магнитной водой все понятно. Мелкие (невидимые) ферромагнитные примеси (например, частицы железной руды) могут задерживать в магнитном поле, оседать на стенках, и освобожденная от них вода дальше может давать меньше накипи. Вот и все.

Нет! Это уж слишком просто. И возникал немысленные обязывания: магнитное поле меняет структуру воды, приводит к принципальной новой неизвестной наuke химии и т. д., и т. л. Для физика все это звучит на той жеnote, что и гимна машине Дина.

Пожалуйста, не стоит углубляться в детали, побыть на слова: тот факт, что магнитное поле даже в десятки теста практически ничего не изменит в химической структуре, установлен так же строго, как и законы Ньютона.

Подобных историй повторяется множество. В чем же дело, почему вместе естественных, нормальных объяснения столь часто привлекют самые невероятные?

Может быть, в человекской природе заложено стремление к Чуду? (Вспомним старый фильм «Праздник свягого Юргена».)

Телерь после краткого «научного эксперса» снова вернемся к мифам.

Обратимся к телефати, или, говоря «научно», экстрасенорному восприятию. Ситуация прежняя. Много лет исследований в самых разных странах, десятики, сотни сенсащий и… ни одного достоверного факта.

Напомним, что важнейшее требование к любой научной работе — воспроизведение экспермиента. Научный результат — лишь тогда результат, когда он многоократно повторен (или может быть повторен) независимыми группами. Здесь же — ни одного проверенного факта.

Ни одного! (Кстати, окажись, что подобное явление существует, — не произшло бы никакой сенсащии. Ну, существует — и хорошо.)

Например, установлено, что некоторые виды постоянных постоянных магнитное поле и (что еще важней) анализировать полученную информацию. Кстати, поклонники телефати часто даже не могут четко сказать, что именно они имеют в виду. Общно экстрасенорными называют восприятия, реакции, не связанные с известными нам «чувствами» человека (осязанием, обонянием, вкусом, зренем и слухом). Но подобные реакции — факты общеизвестны. И говорить тут не о чем. Хорошо известно, что мы реагируем на изменения atmosферного давления, колбания информации частоты. Влияет на нас и электронная магнитное поле влияет мощных радиоистанций. Хорошо также известно, что живые организмы излучают, хотя и очень слабые, электронная магнитные волны.

17

Можно, наконец, допустить, что отдельные люди в силу каких-либо случаных обстоятельств обладают способностью генерировать более мощное излучение. Или, например, передавать и воспринать информацию в ультразвуковом диапазоне. Ведь слышат же собаки звуки высокой частоты, недоступные нам. Да и более того, частотный диапазон, воспринаемый большим читателем журнала «Квант», существенно шире, чем практические у любого человека старше пятидесети лет. Свозрастом высокие частоты все хуже и хуже восприняются нашим слухом. В конце концов можно допустить способность человека накпливать небольшие электронские заряды, например, на кончиках пальцев. Подобные гипотезы не противоречат законом природы, а скелтикам можно ответить, что мы пока еще очень мало знаем о некоторых механизмах деятельности живых существ, в том числе и о механизмах работы нашей нервной системы и нашей мозга. Соответственно, мы не умем точно оценивать потенциальные возможности человека организация (впрочем, это в равной мере относится ко всем живым существам). Загадочные не только механизмы мышления, инстинкта, передачи наследственности. По сутки неязыки и тысячи более простых вопросов.

Итак, можно допустить, что в определенных условиях у определенных людей проявляются необучные способности. Правда, повторясь, нет пока ни одного строго установленного факта, если говорить, например, о телепатии. Но допустить некие неизвестные нам возможность человека организация, снова повторюю, можно.

Но… Есть важнейшее no. Любая гипотеза не должна противоречит известным нам законом природы.

Мы знаем: как неживая, так и живая materia подчиняется законом физики. Более того, для известных живых систем ядерные взаимодействия не играют никакой роли. Поэтому все реакции и действия живых организаций связаны только с электронмагнитными взаимодействиями и гравитационным полем. Ни

каних особых «полей», специфические присущих животу, нет. В этом нас убеждает весь научный опыт. Опыт биофизики, биохими, химии, физики — вообщее всех естественных наук.

Позтому, когда начинаются разговоры о неведомых «биополях» или из журнала в журнал (было такое) перепечатьется статью о том, что невинные крошки усилием воли замедляли радиоактивный распад, или, на худой конец, публикуются сообщения оясновидетельте с учедной способностью не схода с места раскрывать давно совершенные представления (и также писалось, бумага все терпит), можно смело утверждать: все это относится к жанру расскадов о полетах ведим на помощь.

А самоое интересное в этом то, что верят ведь всему подобному. В старую чертовизну не верят, а в новую — пожалуйста.

Наконец, «летающие тарелочки» и космические пришельцы. Предметом научного обсуждения в этом случае может быть лишь тот факт, что в атмосфере, по-видимому, иногда наблюдаются явления, которые мы не можем удовлетворительно обьясить.

К примеру, мы до сих пор не знаем, как устроена «обычная» шаровая молния. Гипотез несколько. Влаборатория воспринывает молния не могут. И вопрос открыт.

Точно так же можно предложить несколько появление «тарелок», или — чтобы не разделять адептов космических пришельцев — неопознанных летающих объектов (НЛО). Однако такой гипотезу недавно разработали в Институте океанологии АН СССР. Видимо, можно придумать и другие. Но суть в том, что поклонников НЛО в подавляющем большим системе меньше всего интересуют естественные обьяснения. Ситуация тут удивительно напоминает «магнитную воду». Приципл тот же: естественные, нормальные обьяснения к конкурсу не допускаются.

В начале нашего века великий французский математик Ани Пуанкаре сформировал правило: в пер-

18

вую очередь в научной работе расматриются простые гипотезы.

В мифотворчестве все наоборот.

Ждут и требуют чуда. Космические пришельцев… Пусть даже маленьких и зеленьких.

Автору как-то пришлось читать лекции, где он пытался признать к разумному подходу в вопросе о пришельцах. И убедился, сколько трудна борба с суевериями. Мифы XX века по своей природе, внутренней структуре и произхождениением не отличаются от нерассуждающей веры наших предков. Любые доводы разума действовали на поклонников космических пришельцев столбже эффективно и благотворно, как, скажем, сомнение в реальности путешествия Магомета на небо, высказанное среди паломников в Мекке.

Люди хотели чуда.

С каким немыслимым успехом прошел по миру шарлатанский фильм «Воспоминание о будущеем». Трудно вообразить что-либо непелее доводов в ползу посещения в прошлом на-

шей Земли гостями из космоса, чем ссылки на гипантские монолитные pltиты Баальбекской веранды или храмов Инков, либо на километровые рисунки (опознавательные знаки?) в перуанской пустыне Наска.

После сами. Сейчас, после полетов космических аппаратов, мы твордо убежданы: на других планетах нашей Солнечной системы нет и никака не было разумной жизни. Поз тому если какая-то цивилизация посетила Землю, то ее место виной звездной системе. Технический уровень подобной цивилизации относится к нашемуprimерно так же, как нашиatomные станции к кремневым наконецкам питекантров. Действительно, квазиученные рассуждения о фотонных ракетах, довольно модные лет двацать назад, любопытные лишь в том смысле, что прекрасно показали, сколько неверятны для нас международные полезы. Неверятны не на уровень сегодня нашей техники. Это было бы поледы. Они неверятны и непредставляемы даже и в том случае, если мы как угодно волно будем экстраполировать нашивозможности, то есть почти безудержно фантазировать. Слова «почти безудержно» ознакомют фантазию, как-то ограниченную нашим знанием законов природы. Можно, например, мысленно использовать идеальное ядерное горючее, сверхпрочные материалы, привлекать любые «чудеса» известной нам науки…

Самый элементарный анализ сразу показывает, что при всем этом полеты людей в других звездные системы остаются абсолютино нереальной мечтой. Если они и возможны, то только с помощью еще неведомого. Только если нам открытое нечто прициплально новое. Кстати, лучшие из писателей-фантастов это очень хорошо чувствуют и для сохранения «достоверности» вымысла давно и с успехом использут для космических полетов субпространства, нуль-транспортировку, гиперпространства и т. д. Фантасты имеют на то законное право. Такая фантазия не противечит нашему знанию законов природы. Она апеллирует к неведомому. Но,

20

Признаюсь, тогда я не очень понял простую мудрость этого довода.

Скелис Ланду подтвердился неокторое время спустя. В 1960 году в Непал, где йети признан, можно сказать, на государственном уровне, прибила специальная экспедиция под руководством Хиллари — первого покорителя Эвереста. Несолько мясцев велись тщательные всесторонние исследования. Итоги оказались крайне неутешительны для йети. Как показал биологический анализ, связанные с склады йети, хранившиеся в монастрях, были тривиальной подделкой. Таннстевные следы на снегу получили самое простое объяснение: под горным солнцем снег быстро подтавает, и через считанные минуты след горного козла может обернутся следом неведомого чудовща. Все рассказы «очевидцев» либо объявляются встречей с редкой разновидностью гималайского медведя, либо были явно выдуманы. Но само собой, местные жители обещали добиться беспорные доказательства на следующий год. Прошло 23. Почти каждой год Хиллари приезжает в Непал на долгий срок, но… йети так и не объявили.

Вы думаете, эта история произвела какое-либо впечатление на большинстве снежного человека? Конецно, нет. Любые доводы бесписьны, когда место разума занимает нерассуждающая вера.

В США уже с десять лет работает частный институт, организованный искусством энтузинастами НЛО. Устроен он в самом что ни на есть тарелоч/noобильном месте. Итог: ни одного факта, ни одной сенсационной публикации. Но на поклонников НЛО это не произвolved ни маленьго впечатления. Они веруют в пришельцев. Веруют да и всё. Впрочем, мода все же несколько спала.

Сейчас лидерство снова захватили экстрасенсы.

Интересно, что на очереди?

Торные тропы Торо
Кандидат физико-mатематических наук
А. В. БЯЛКО

Астерод Торо был открыт в 1948 году американским астрономом К. Виртаненом. Торо — небольшой астрономик; диаметр его около 3 км, масса — порядка 10$^{17}$ кг. В своем движении вокруг Солнца по эллиптической орбите Торо в перигелини оказывается влизи орбиты Венеры, а в афелии удаляется за орбиту Марса.

На рисунке 1 показаны орбиты Торо, Венеры, Земли и Марса. Вы видите: орбита Торо пересекает орбиты Земли и Марса. 1 февраля 1984 года Торо проелит около нашей планеты на расстоянии ~0,15 а. е.*), то есть подойдет к Земле на 2,25 · 10$^{7}$ км. Такие сбижения происходят в среднем раз в 4 года. А не может ли служить, что Торо столкнется с Землей? Это было бы катстрофой, которое нельзя даже сравнивать с природными явлениями на нашей планете. Энергия, которая выделилась бы при таком столкновении, близка к энергии 10$^{10}$ atomных бомб трагедии Хиросимы.

Оказывается, подобные описания направны. Вероятность столкновения Торо с Землей ничего мала. Причина этой малости обнаружили американские учены Л. Даниэльсон и У. Ип. Они показали, что отношение периодов обращения Земли и Торо равно 5:8. Иными словами, за 8 земных лет Торо совершает 5 оборотов вокруг Солнца, и, следовательно, через каждые 8 лет относительно расположение Солнца, Земли и Торо повторяется.

*) 1 а. е., или 1 астрономическая единица длины, — единица расстояния в астрономии, равная среднему расстоянию Земли от Солнца: 1 а. е. = 149,6 · 10$^{6}$ км.

22

Где тонко, там и рвется

В. В. МАЙСКИЙ

Данную статью можно рассматривать как образец постановки любого физического эксперимента. Прежде всего четко формулируется задача и вывивается идея ее решения. Затем проводится собственно эксперимент: выбирается установка и делаются соответствующие измерения. После чего полученные результаты обработываются и обязываются теоретически.

Когда Всеволод Майский написал свою статью, он учился в десятом классе 179-й Московской школи. Сейчас он студент Московского института химического машиностроения.

«Прочный», «непрочный» — эти терминами мы часто пользовемся в быту, и в технике, характеризуя различные предметы и материалы. А что такое «прочность» и как ее можно измерить?

Рыболовам, например, хорошо известен простой способ определения прочности лески: привязанный за один конец отрезок лески нагружается различными гирями; максимальная нагрузка, выдерживаемая леской, и есть ее прочность на растяжение. Этим методом можно исследовать на прочность и другие материалы.

От чего зависит прочность, например прочность на растяжение? Во-первых, от площади поперечного секения. Так, для разрыва лески диаметром 0,1 мм необходимо сила порядка 50 Н, а леска диаметром 0,5 мм может выдержать вес взрослого человека. Для того чтобы исключить зависимости от толщины образца, вводится специальное понятие — предел прочности. Это максимальное напряжение, выдерживающее образцом без разрушения.

Во-вторых, прочность материалов зависит от его температуры. У металлов, скажем, при повышении температуры предел прочности уменьшается (соответствие графики зависимости предела прочности от температуры для различных металлов приведены, например, в «Справачине по элементарной физике» Н. И. Кошкина и М. Г. Ширкевича).

А может ли прочность зависит от … длины? На первый взгляд кажется, что нет, и для больших сливаев это действительное так. Но есть материал, прочность которого зависит от длины образца. Этот материал — шерсть.

На небольших свойствах шестиблаза основана одна из задач заочного типа IV Турира юных физиков. Вот ее условия:

Шерстная нить сплетена из множества отдельных ворсинок. Исследуйте прочность такой нити на разрыв в зависимости от ее длины. Объясните результаты эксперимента.

Первое, что потребовалось, это подобрать подходящий объект для исследования. После нескольких perвых опытов выбор пал на тонкую, но довольно прочную шестяную нитку (для ее разрыва требовалось усилие от 2 до 4 Н). Во время этих опытов было установлено:

23

a) Для образцов одной и той же длины разброс значений сили, разрывающей нить, очень велик; поэтому для получения достоверного результата необходимо больше число опитов.

6. При длительном воздействии на нить она сильно вытягивается и может порвать при силе, существенно меняющий допустимой; следовательно, установка должна быть по возможности простой, чтобы проведение самого опита не занимало много времени.

В ходе поисков были придуманы иprobованные различные устройства. Это и подвешивание груза к нити, закрепленной за один конец, и использование рычага с изменяемым отношением плеч, и применение соленода с сердечником (так называемые электромагнитные весы).

После многих проб выбор пал на одну из наиболее простых установок, сделанную на основе обычного школьного диамометра (максимальное показание 4 Н, цена деления 0,1 Н). К основанию диамометра была прикреплена линейка для измерения длины нитей. На проводочный стержень, который заканчивается пружина диамометра, был насажен движок, могущий движаться по шкале с небольшим tremем. С его помощью фиксировались показания диамометра. Крючку диамометра привязывался пучок нитей (10—15 штук). Из пучка выбиралась одна нить, по линейке измерялась ее длина, а затем нить резко тянлась за свободный конец. Стрелка, движаясь по шкале диамометра, толкала движок. После разрыва нитей стрелка возвращалась в исходное положение, а движок указываал значение сили, при которой произел разрыв нити, то есть прочно образца.

Для опитов использовались нити длиной 2, 3, от 5 до 30 с интервалом 5 и, наконец, 40 см. Для каждой длины проводилось 10—15 опитов и находилось среднее значение прочити нити. По полученным данным был построен график зависимости прочити шестой нити от ее длины (рис. 1). Из графика видно, что по мере увеличения длины образца прочить нити уменьшается. Как это можно обьясить?

Оказывается, все дело во внутреннем устройстве шестяных нитей. Каждая нить состоит из большого числа отдельных ворсинок толщиной 30—50 мкм, скрученных между собой. Длина разных ворсинок разная: от 4 до 40 см. Во время опита была изменена длина околю ворсинок, при этом средняя длина оказалась равной 8,1 см, в интервал от 4 до 13 см попало 89% общего числа ворсинок, а очень коротких и очень длинных ворсинок было совсем мало.

Рассмотрим предельно упрощенную модель — нить, состоящую из большого числа абсолотно одинаковых ворсинок (одинаковой длины, площади поперечного сечения и прочити). Ворсинки свиты между собой так, что в каждом сечении нити количество участки (будем назвать их дефектами), где в силу тех или иных причины толщина нити уменьшена.

Допустим, что нить имеет длину, бóльшую длины одной ворсинки. Как известно из практики, ввести там, где тонко. Это справедливо и по отношению к нашей нити: для разрыва уоньшенного участка нити требуется сила, меньше той, которая необходима для разрыва остальной части нити. Обозначим первую силу через $F_1$, а вторую — через $F'_1$. Поскольку ворсинок много, можно считать, что дефекты распределены по нити равномерно и что

25

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Сила и деформация» предназначена восемиклассик, заметка «О силах поверхностного натяжения» — девятиклассик и «Энергия и громкость звука» — десятиклассик.
Материалы подготовил И. К. Белкин.

Сила и деформация

Слово «сила» — одно из наиболее употребляемых слов. В обидном языке оно может иметь самые значные значения. Но в механике смысл этого слова в полне ясен. Все, что можно сказать о механической силу вообше, содержится в законах Ньютона.

В законе, числящемся под номером три, говорится, что сила, а точнее, сны возникают при взаимодействии тел. Из второго закона Ньютона следует, что сила — это причина ускорения тел, то есть изменения их скорости. Наконец, первый закон Ньютона утверждает, что при отсутствии сил или при равенстве нулю геометрической суммы приложенных к телу сил оно, тело, движется без ускорения. Все три закона формулированы для случая, когда движение рассматривается относительно инерциальной системы отчета.

Казалось бы, роль сны в механике ясна: сила сообщает телу, к которым она приложена, ускорение. Согласно законам механики, это ее единственная «специальность».

Между тем иногда встречаются (далее в учебниках физики) утверждения о том, что сила не только сообщает телу ускорение, но и деформирует его. В первом случае говорят о динамическом, а во втором — о статическом проявлении сил. Так, в одном из учебных пособий, рекомендованных старшеклассникам, читаем: «Результатом взаимодействия тел является либо деформация (изменение размеров или формы тела), либо ускорение (изменение величины или направления скорости). Конечно, не исключаено, что одновременно могут возникать и деформации, и ускорения». Еще пример. В учебнике для высшей шкols, пользоваться всемирной известностью, сила определяется следующими словами: «Понятие „сила“ происходит от нашего muscularного ощущения. Качественное сила определяется двумя признаками: она может деформировать неподвижное твердое тело и ускорять подвижное тело». В других книгах читаем: «Силой называется то, что вызывает или прекращает движение, изменяет направление движения или изменяет форму тела» или «сила — векторная величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате которого тела деформируется или прибретают ускорения… Статическое действие силы проявляется в наличии деформаций, динамическое — в наличии ускорений». Число таких примеров можно увеличить, хотя в большинстве современных книг по физике силу деформацией неосредственно не связывается.

Как же, в самом деле, связаны между собой силы, ускорения и деформации?

Сила — причина ускорения. Поэтому еще раз, что в трех законах Ньютона, с помощью которых может быть решена любая механическая задача, нет и намека на такое явление, как деформация тела. Да и не может быть, потому что законы Ньютона относятся к движению материалов точек (это постоянное подвергивание в ускорении «Физика 8»). А точки, разумеется, деформироваться не могут! Уже отсюда следует, что сили, в соответствии с законами Ньютона, следует рассматривать как причину ускорения и только ускорения.

26

Однако связыва между силой и деформацией действительного существуют. Прежде всего она состоит в том, что одна из трех расстатриаемых в учебнике механических сил — сила упругости — возникает именно при деформации тел. Но ведь это означает, что сила (по крайней мере сила упругости) есть следствие деформации. Как же тогда понимать приведенные выше утверждения о том, что сила — это причина деформации? Быть может, они просто не имеют смысла? Чтоы ответить на эти вопросы, вспомним.

Как возникают деформации? Deформация — это изменения формы или размеров тела. Они невозможны без изменения взаимного расположения части тела. При деформации растяжения, например, расстояния между частицами тела увеличивается, частицы удляются друг от друга. При скатин тела его частицы, наоборот, сближаются. Таким образом, непосредственная причина деформации — это движения части тела относительно других. Движения, а не силы!

Но и силы играют существенно роль, потому что именно они зависят те движения, которые приводят к деформации тела. Однако роль丝 не прямая, а косвенная. Сила неосредственно не вызывает деформации.

И деформация, и ускорение. Расстояним более подробно, каким образом сила, приложенная к телу, сообщает ему ускорение и какую роль при этом играет деформация.

Допустим, что к телу массой $m$, имеющей ускорение, например, форму стержня, приложена постоянная сила $\vec{F}$ так, как это показано на рисунке 1. Оговорим только, что $\vec{F}$ — не сила всемирного тяготения. Поскольку сила приложена к правому торцу стержня, она неосредственно сообщит ускорение лишь точкам (частицами) на этом торце. Только они, эти точки, и получат ускорение

$$m \quad F$$

Рис. 1

Таким образом, в рассмотрении случае тела под действием приложенной к нему силы движется с ускорением и при этом оказывается деформированным. В том, что тело деформировано, «виновага», конечно, и сила $\vec{F}$, но ее роль не примая. Тело оказываясь деформированным, поскольку разные его точки движались относительно друг друга. То, что роль силы при деформации лишь косвенная, видно уже из того, что величины и характер деформации не определяются однозначно приложенной силой, а зависит и от материалов стержня, и от однородности его по секению и составу. Ускорение же стержня однозначно определяется действующей на него силой.

Ускорение без деформации. Важно отметить также, что сила, приложенная к телу, может и не вызвать деформацию. Если сила — сила тяжести (вообще, сила всемирного тяготения), то картина движения будет совсеминой. Сила тяжести, как известно, действуют сразу на все точки тела и сообщают им одно и то же ускорение $\vec{g}$. Поэтому все точки будут движаться одинаково, так что движения одних точки относительно других не будут. Не будет, следовательно, и деформации.

27

Деформация без ускорения. Расстояние теперь такой случай. К неверсомойружине, верхний конец которого прикреплен к неподвижной подставке, подвешивается тело массой $m$ (рис. 2). Под действием силы тяжести тела, конечно, начинает падать. Вместе с ним приходит в движение и нижний конецружины. Поэтому причина деформации, и возникает сила упругости, действующая на верхний конец тела. Так как сила тяжести действует на все части тела, а сила упругости только на его верхний конец, различные части тела будут двигаться по-разному и только оказывается деформарованным. Сила упругости, возникшая вследствие этого, будет действовать на нижний конецружины и т. д.

Легко понять, что в конце концов иружина, и тело остановится. Это значит, что сумма сил, действующих и наружину, и на тело, будет равна нулю. Наружную действует сила упругости со стороны деформарованной подставки и силы упругости деформарованного тела (силы $\vec{f}_1$ и $\vec{f}_2$ на рисунке 2). На тело действуют силы тяжести $m\vec{g}$ и силы упругости деформарованнойружины $f$. Все тела нашей системы деформарованы, но ни одно из них не обладает ускорением.

Очевидно, именно эту ситуацию имеет в виду, когда говорят о статическом действии силы, то есть о действии силы, приводящем к деформации, но не ускорению (действительно, в нашем примере речь может идти об этом). Однако надо помним, что в случае, подобных рассмотренному, ускорения нет потому, что и на тело, и наружную действуют две силы и их сумма равна нулю. Разумеется, ни при каких условиях одна сила (или несколько сил, если их сумма не равна нулю) не может деформаровать тело, не сообщив ему и ускорения тоже. У силы (одной!) не может быть статиского действия. Сила — величана диамическая.

О силах поверхностного натяжения

Особые свойства поверхности жидкости связаны с тем, что молекулы на поверхности имеют много соседей с одной стороны, в глубине жидкости, и мало с другой — над ее поверхностью. Благодаря этому на молекулы, находящиеся на поверхности, действуют силы, направленные в глубь жидкости, перпендикулярно к ее поверхности. Эти силы складываются и оказывают давление на жидкость, которое уравновешивается давлением, вызванным силы упругости самой жидкости.

Между тем многочисленные опыты, например описанные в учебнике «Физика 9», говорят о том, что на поверхности жидкости действуют силы, направленные не перпендикулярно, а по касательной к поверхности (деляя ее положей на упругую пленку). Это отражено и навани — силы поверхностного натяжения. Выходит, что реальные силы, действующие на молекулы поверхности, направлены перпендикулярно к ней, а сил собственно поверхностного натяжения в действительности нет?

Оказывается, силы, направленные по касательной к поверхности, действительное, не возникают они только тогда, когда поверхность жидкости разрывается какими-нибудь посторонними телами, твердыми или жидкими. Если же никакие другие тела с жидкостью не соприкаются (кроме собственного пара), силы поверхностного натяжения нет. Это нетрудно понять. В самом деле, любая молекula внутри объема жидкости okружена со всех сторон других молекулами, действующими на нее с силами, равномерно распределенными по всем направлениям, поэтому эти силы уравновешиваются. Это относится ко всем молекулам жидкости, кроме лежащих на ее поверхности. На них, как было указано, действуют силы, направленные внутри жидкости, нормально к ее

28

поверхности. Жидкость как бы стремится втянуть в себя молекулы поверхности, или, что то же самое, по возможности уменшить свою поверхность.

Как известно из математики, наименьший поверхностью при данном объеме обладает шар. Вот почему жидкость, представленная самой себе и не подверженная действию никаких внешних сил, кроме силы тяжестей, принимает форму шара. Сила тяжестей не влияет на форму жидкости потому, что она сообщает всем частям одинаковое ускорение и не меняет взаимного расположения частиц.

Итак, жидкость, находящаяся только под действием силы тяжестей, движется сускорением $\vec{g}$ (превывает в состоянии неевесомости) и сохраняет форму шара. Но на любую молекулу $A$ сферический поверхности жидкости действуют еще силы притяжения со стороны ее близкойших соседей $B$ и $C$, лежащих на той же поверхности (см. рисунок). Равно действующая эти силы, очевидно, тоже направлена перpendикулярно к поверхности, и никаких сил, касательных к поверхности, нет.

To же относится и к случая, когда поверхность жидкости плоская (такова большая часть поверхности жидкости, находящаяся в широком сосуде). Действительно, любая молекula на плоской поверхности также со всех стороны окружена другими молекулами, расположенными на той же поверхности. Они действуют на нее с силами, равномерно распределеными по всем направлениям на плоскости и потому взаимно уравновешивающимся. Следовательно, и на плоской поверхности нет силы поверхного натяжения.

No когда поверхность жидкости разрывается, например, твердым

Различные звуки, воспринимаемые органом слуха человека, отличаются друг от друга, прежде всего, частотой колебаний. Камерон, например, изделия звук одной единственной частицы, которая определяет его тон. Тот же тон, издаваемый скрипкой, пинано или гитарой, звучит для нас иначе, хотя ухо и улавливает, что это звуки одного тона. Это отличие связано с тем, что в сложном музыкальном звуке частоте, определенной оснновой тон звука, сопутствуют и другие частоты — обертоны. Они-то и придают звуку особое качество — тембр. Есть звуки, которые нельзя приписать определенную частоту или даже набор частот. Это шумы. В шуме содержатся самые разнообразные частоты, часто и беспорядочно сме-

29

наяошие друг друга. Шум — это скрип несмазанных дверей (вроде дверей в доме гоголевских старосветских помещков), древезжание оконных стекол, беспорядочные крики толпы и т. д.

Но любые звуки различются еще и громкостью. Звук одного и того же источника, одного и того же тона и тембра может быть более и менее громким. Обсуим это подробнее.

Звуковая волна несет с собой энергию — энергию колебаний частицы среды, в котором она распространяется. С этой энергией и связывана громкость звука. Но связыва эта не такая простая, как может показаться.

Каждая единца объема среды, в которой распространяется звуковая волна, обладает, как можно показать, энергией $w = \varrho v_m^2/2$, где $\varrho$ — плотность среды и $v_m$ — амплитуда колебаний скорости колеблюшейся частицы. Амплитуда же скорости равна $\omega x_m$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний и $x_m$ — амплитуда колебаний частиц (см. «Физику 10»), так что энергия единцы объема, то есть плотность энергия, равна

$$w = \frac{\varrho \omega^2 x_m^2}{2}.$$

Но волна распространяется с некоторой скоростью $v$ (эта скорость обычно величка по сравнению со скоростью $v_m$), так что энергия как бы течение направления распространения волны. Если мысленно представить себе плоскую площадью $S$, перpendикулярную направлению распространения волны, то за время $t$ через нее «протеет» энергия, заключенная в объеме $Svt$ и равна $\varrho \omega^2 x_m^2 Svt/2$. Отсюда следует, что за единицу времени через плоскую единицу волны пройдет энергия, равна

$$I = \omega v = \frac{\varrho \omega^2 x_m^2}{2} v.$$

Величина $I$ называется интегиивностью звука. Она измеряется в Дж/($m^2 \cdot c$), или в Вт/$m^2$.

Ухо человека особенно чувствуетлено к частотам порядка 1000 герц. При такой частоте интегиивность самого слабого звука, который еще можно услышать, равна всего $10^{-12}$ Вт/$m^2$. При обычном разговоре интегиивность не превышает $10^{-5}$ Вт/$m^2$. Самые мощные звуки организуют требуемое каждый квадратный метр мощность порядка $10^3$ Вт/$m^2$. Звуок интегиивностью 1 — 10 Вт/$m^2$ вызываетольь вушах и ощущается кожей. Таким образом, орган слуха человека воспринимает звуки, интегиивности которых пространются от $10^{-12}$ до 10 Вт/$m^2$. Самый мощный звук по интегиивности превозходит самый слабый в 10$^{13}$ раз!

Однако у нас никака не былает такого ощущения, что один звук в миллионы или даже в миллиарды раз громче другого. Оказывается, надо различать интегиивность звука и его громкость. Если интегиивность одного звука в десять, сто или миллион раз больше интегиивности другого звука, то это вовсе не значит, что он во столько же раз и громче. Громкость звука оценяется физиологически, с участием нервной системы и мозга человека. А физиологическая слуха такая, что удвоение интегиивности звука не воспринимается как удвоение его громкости. Связыва громкость с интегиивностью звука вот какая.

По логарифмическому закону. Обратимся сначала к звукам частоты 1000 Гц. Самый слабый звук, который еще может воспринять уход на этой частоте, называемый порогом слышимости, имеет интегиивность $10^{-12}$ Вт/$m^2$. Будем считать, что громкость этого звука равна нулю. Громкость звука той же частоты, но с интегиивностью в 10 раз больше равна одной единице, называемой «бел», или десяти единицам, называемых «десибел» (краткое обозначение — дБ). Громкость звука, интегиивность которого еще в 10 раз больше, увеличивается еще на 10 децибел и т. д. Другими словами, когда интегиивность звука умножается, громкость прибавляется.*)

*) Этот закон был открыт немецким анатомом и физиологом Э. Вебером (1795—1878), а немецкий физик и психолог Г. Фехнер (1801—1887) придал ему математическое форму, поэтому закон называется законом Вебера—Фехнера. Он гласит: сила ощущения пропорциональна логарифму силы разделения. Это справедливо не только для воспринятия звука, но и для других ощущений человека.

30

Математические этот закон выгляделит так. Обозначим интенсивность некоторого звука частоты 1000 Гц через $I$, а интенсивность у порога ссылающихся на той же частоте через $I_0$. Тогда громкость звука $L$ интенсивности $I$, выраженная в белых, равна

$$L_6 = \lg \frac{I}{I_0},$$

а в децибелах —

$$L_{\lambda 6} = 10 \lg \frac{I}{I_0}.$$

Звук частоты 1000 Гц может входить в состав звуков, изделияемых человека, ведущим тихий разговор, и человека, кричащим во весь голос. В первом случае интенсивность звука равна примерно $10^{-8}$ Вт/м², во втором — $10^{-4}$ Вт/м², громкость же первого звука равна 40 дБ, второго 80 дБ. Это, однako, не значит, что громкость крика вдвое больше громкости тихого разговора. Об этих двух звухах говорят, что один из них на 40 дБ громче другого. Заметим, кстати, что разность громкости в 1 дБ — это наименьшая разность в громкости, которое может удовлетворить человекае ухо.

Универсальная единица громкости — фон. Приведенный выше логарифмический закон верен, размещется, не только для звуков частоты 1000 Гц. Но для других частот интенсивности у порога ссылающихся другие. Так, например, при частоте около 100 Гц она равна $10^{-8}$ Вт/м², то есть в $10^4$ раз больше, чем для частоты 1000 Гц. Согласно формуле для громкости, это означает, что если громкость какого-то звука на частоте 1000 Гц — интенсивность звука у порога ссылающихся при частоте 1000 Гц.

В заключение приведем несколько значений громкости часто встречших звуков:

| Порог ссылающихся | 0 фонов |
| :— | :— |
| Шепот | 20 |
| Тихий разговор | 40 |
| Нормальный разговор | 50 |
| Громкий разговор | 60 |
| Уличный шум | 70 |
| Крик | 80 |
| Шум motorика (без глинистеля) | 100 |
| Шум motorа самолета | 120 |
| Предел большого ошибения | 130 фонов |

Торные гропы Торо
(Начало см. на с. 20)

сближение произойдет около 2200 года. Разумеется, это скажется и на взаимном расположении Торо и Земли (2200 год — это и год ссылания Торо с Землей). В результате произойдет следующие: Земля окажется внутри замкнутого витка траектории Торо (внутри лепестка розетки, нарисованной на первой странице обложки).

Точные расчеты движения Торо с учетом возникшей, возникших Землей, Венерой и Марсом, сделаны на несколько тысяч лет. Они показывают, что Торо никакая не приближается к Земле на расстояние, меньше 0,1 а. e. По-видимому, исключена и веряность столковения Торо с Марсом. Если бы это было не так, то за миллиарды лет существования Солнечной системы Торо не удалось бы учесть.

31

Задание

1. Возьмем два двухначных числа и переменным их. Пусть $A$ — их произведение. Теперь в каждом сомножитель переставим цифры и полученные числа также переходим; получим число $B$. Докажите, что число $A$—$B$ делится на 99.

2. Покажите, что на рисунке закрашенаровно половина площади правильно пятиконечной звезды.

3. Два гроссейстра возвразывась в гостиницу после очередного тура ежегодного шахматного турина.
   — Три восьмых турина позади,— сказал один.
   — Да,— ответил другой.— А участков с каждым годом делается все больше. Подумай только, уже сыграно столько партии, сколько в прошлом году было сыграно за весь турир!
   — Если дело так пондет дальше,— устмехнула первый,— то через несколько лет в турире будет уже играть человек 30…
   Сколько шахматистов играло в турире?

4. Существует ли фигура на плоскости, не имеющая ни осей симметрии, ни центра симметрии, но переходящая в себя после поворота вокруг некоторой точки на угол, меньший 360°?

5. В ребусе на рисунке каждому цвету соответствует число. Однако некоторые цветные кружки закрыты черными maskами. Найдите числа, соответствующие каждому из цветов, и цвета кружков под maskами. (В этом ребусе, кроме правил сложения чисел, выполняются еще правила сложения цветов.)

Эти задания нам предложили Н. И. Авилов, В. Н. Ветров, Н. Н. Михайленко, С. Н. ОLEXНИК, Д. Б. Фукс.

32

Решаем задачи по физике

Т. С. ПЕТРОВА

В федеральском номере «Кванта» за этот год была опубликована статья «Дано… Требуется определить…». В этой статье приведились условия восыми задач. В условиях было сказано, что «Дано», а что «требуется определить» — читатель предлагалось придумать самому и определить.

В редакцию пришло много писем, в которых читатели приводят свои законченные формулировки задач и их решения. Нам поправилось, как справились с заданием семиклассик Исмаил Эркенов из поселка Корф Камчатской области, шестиклассика Наташа Петрина из города Коканда Узбекской ССР, девятиклассик Ихтейр Умзаков из Новосибирска, шестиклассик Вологда Любомиров из Вильнюса, пятиклассика Светлана Горохова из Ангарска, семиклассик Павел Лушников из Москвы, ребята из шестого класса школа № 68 со станции Углеуральская в Пермской области, Михаил Гавевский из города Botкинска Удмурской АССР, восемиклассик Каха Бабукашвили из Кутанси…

Давайте разберем приспланиемые решения задачи и по ходу делала обсудим те ошибки, которые встречались во многих письмах.

Задача 1. Две дороги пересекаются под прямым углом. Участий дорог, образующие перекресток, покрыли асфальтом. Длина каждой участка 25 м, ширина 4 м. На покрытие израсходовали 5520 кг асфальта. Сколько асфальта расходуется на покрытие 1 м² дюголи?

Ответ: 30 кг.

Во многих решениях встречалась одна и та же ошибка — не учитывалась, что в месте пересечения дорог (рисунок 1) асфальтом покрывают только одну из них. Некоторые читатели приводали к этой задаче другой вопрос: чем равна толщина покрытия? Что же, формально этот вопрос правомочен. Но жизньный опыт под-

Рис. 1.

33

сказывает, что покрытие всегда очень неравномерно; так что имеет смысл говорить только о некоторой средней толщине. А ответы получались самые разнообразные — от 1 мм до 1,5 м.

Задача 2. Стальной шар, масса которого равна 1,2 кг, имеет объем 200 см³. Чему равен объем полости внутри шара?

Решение. Плотность стали равна 7,8 г/cm³ (это значение берем из таблиц). Стальное тело массы m=1,2 кг=1200 г должно иметь объем

$$V_{ct} = \frac{m_{ct}}{q_{ct}} = \frac{1200 \text{ г}}{7,8 \text{ г/cm}^3} \approx 150 \text{ cm}^3.$$

Следовательно, в стальном шаре объема 200 см³ имеется полость, объем которого равен

$$V_{n} = V - V_{ct} \approx 200 \text{ cm}^3 - 150 \text{ cm}^3 = 50 \text{ cm}^3.$$

Ответ: 50 см³.

Во многих письмах к этой задаче ставили вопрос: чему равна плотность стали? Решение такой задачи очень удобно: $\rho = m/V = 6 \text{ г/cm}^3$. И на этом упоканивались. Но ведь этот ответ можно проверить по табличным данным. Несовпадение полученного ответа с таблицым значением $\rho_{ct} = 7,8 \text{ г/cm}^3$ наталкивает на мысль, что что-то в условияне не так. Что? Нам кажется, что при таком ходе рассуждений немного придешь к выводу, что в шаре есть полость. И тогда вопрос об объеме этой плотности направляется сам собой.

Задача 3. Длина платформы железнодорожной станции равна 60 м. Товарный состав, движущийся со скоростью 45 км/ч, идет mismo платформы 16 с. Определить длину состава.

Решение ясно из рисунка 2:

$$l + x = vt \Rightarrow x = vt - l.$$

Подставляя v = 45 км/ч = $\frac{45,000}{3600}$ м/c = 12 м/c, t = 16 с и l = 60 м, получаем x = 140 м.

Ответ: 140 м.

В несколько письмах повторялась одна и та же ошибка: вычисляя x, скорость v подставляли численно равной 45, то есть в единицах km/ч, а время — равное 16, то есть измененное в секундах. Это очень грубая ошибка!

Задача 4. Атмосферное давление у поверхности Венеры — 10,3 МПа, сила тяжесте — в 1,2 раза меньше, чем на Земле. Какова будет на Венере высота стольа пути в барометрической трубке?

Решение. Высота h стольа пути определяется из условия p_{B} = q_{pt} g_{B} h, где g_{B} —ускорение свободного падения на Венере. Сила тяжесте, действующая на тело массы m, на Венере равна F_{B} = g_{B} m, а на Земле F_{3} = g_{3} m. Масса тела и на Земле, и на Венере одна и та же, а F_{3}/F_{B} = 1,2. Следовательно, g_{B} = g_{3}/1,2 = 8,2 м/c². Таким образом, h = \frac{p_{B}}{q_{pt} g_{B}} = \frac{10,3 \cdot 10^6 \Pi a}{13,6 \cdot 10^3 \text{ кг/m}^3 \cdot 8,2 \text{ м/c}^2} \approx 91 м.

Задача 5. Металлический шар массы 900 г, нагретий до 155°С, опустил в calorimeter, в котором было 3 л воды при температуре 10°С. В результате в calorimeter установилась температура 15°С. Теплоемкость calorimeter пребежимо мала по сравнению с темпераимостью шара и воды. Определить, из какого метала сделан шар.

Ответ: шар сделан из стали. (Из закона сохранения энергии определяем удельную темпераность металла: c = 500 Дж/(кг·°С). По таблицам находим, что такой темпераность имеет сталь.)

Задача 6. В цилиндрическом соусе с площадью дна 125 см² находится вода. Когда в сосуд положили кубик льда, уровень воды повышался на 9 мм. Чему равна длина ребра ледяного кубика?

Решение. Представим себе, что кубик льда, помещенный в сосуд,

34

растаял в воде (рисунок 3). Масса воды в сосуде будет равна массе первоначальной воды (в сосуде без льда) плос масса воды, образованшей из льда, то есть плос масса кубика. Объем, занимаемый этой «дополнительной» водой (он выделен на рисунке 3), равен $V_B = Sh$; масса этой воды — $m = \rho_B V = \rho_B Sh$ — равна массе ледяного кубика; но масса кубика равна $m = \rho_B V_B = \rho_B a^3$ (а — длина ребра кубика). Следовательно, $\rho_B Sh = \rho_B a^3$, откуда

$$a = \sqrt[3]{\frac{\rho_B Sh}{\rho_B}} = \sqrt{\frac{1 \, \text{г/cm}^3 \cdot 125 \, \text{cm}^2 \cdot 0,9 \, \text{cm}}{0,9 \, \text{г/cm}^3}} = 5 \, \text{см}.$$

Ответ: 5 см.

Большинство читателей формулировали вопрос к этой задаче так: найти объем кубика. По существу, решение такой задачи совершено аналогично тому, которое мы только что привели. Однако в такой постановке вопрос не используется тот факт, что кусок льда имеет форму куба.

Задча 7. Сопротивление железной проводки, масса которого 390 г, равно 5 Ом. Определить длину и площадь поперечного сечения проводки.

Решение. Сопротивление проводки равно $R = rl/S$, где $r = \frac{9,8}{10^8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$ — удельное сопротивление железа (мы обозначили его буквой $r$, чтобы не путать с плотностью $\rho$). Масса проводки — $m = \rho l S$, где $\rho = 7880 \, \text{кг/m}^3$ — плотность железа. Из последнего равенства выразим $l$ через $S$: $l = m / (\rho S)$; подставляем это значение в выражение для $R$: $R = rm / (\rho S^2)$. Отсюда найдем $S$:

$$S = \sqrt{\frac{r m}{R \rho}}$$

$$\frac{(9,8/10^8) (\text{Ом} \cdot \text{м}) \cdot 0,39 \, \text{кг}}{5 \, \text{Ом} \cdot 7880 \, \text{кг/m}^3} \approx \frac{1}{10^6} \, \text{м}^2 = 1 \, \text{мм}^2.$$

Тепер находим $l$:

$$l = \frac{m}{\rho S} = \frac{0,39 \, \text{кг}}{7880 \, \text{кг/m}^3 \cdot (1/10^6) \, \text{м}^2} \approx 50 \, \text{м}.$$

Ответ: 50 м, 1 мм².

У разных читателей длина проводки получалась от 5 см до 500 м. В связи с этим поговорим об одной ошибке. Вернее, это не сама ошибка, а следствие допущенной в решении ошибки. Вы получили ответ, а сверить его не может — в заданке не приведены ответы. Посмотрите, не получился ли ваш результат несуразным. Помните стихотворение С. Я. Маршака про нерадивого ученика, который решал задачу и получил в ответе «два землекапа и две трети»? Такая нелепита говорит сама за себя. А в других случаях оценить разумность полученных значений вам помогут наблюдательность, сообщатьительное, интуиция. Вернемся к нашей задаче. Житейские сообщения подсказывают, что железная проводка длиной 5 см не может иметь массу 390 г, а моток железной проводки длиной поликлometра не так-то просто поднять.

Задча 8. Два ползунковых рестата, расчитанных на сопротивление 20 Ом каждый, намотаны один и нижелиновый проводок, а другой — из нихромовой. Длины проводок, использованных для обмоток, одинаковы. У какой из проводок площадь поперечного сечения больше? Во сколько раз?

Решение этой задачи запишем конспективно:

$$R = \rho_{ник} \frac{l}{S_{ник}} = \rho_{ник} \frac{l}{S_{ник}};$$

$$\frac{S_{ник}}{S_{ник}} = \frac{\rho_{ник}}{Q_{ник}} = \frac{1,1 \, \text{Ом} \cdot \text{м}^2 / \text{м}}{0,4 \, \text{Ом} \cdot \text{м}^2 / \text{м}} = 2,75.$$

Ответ: площадь сечения нижнего проводки в 2,75 раза больше.

---

Итак, с задачами мы разобрались. Те, кто решил их неправильно, смогут теперь сами понять, в чем ошибка.

35

Задачи

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с моментта основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задания отмещаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 29 февраля 1984 года по адресу: 103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № Г2—83» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M836, М837» или «Ф848». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школа и класс, в котором вы учитесь.

Задачи M836—M840 предлагались на XXIV Международной математической олимпиаде (с. 46).

M836—M840; Ф848—Ф852

M836. Пусть $A$ — одна из точек пересечения двух okружностей с центрами $O_1$ и $O_2$, $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ — общие касательные, $M_1$ и $M_2$ — середины хорд $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ этих okружностей (рис. 1). Доказите равенство углов $O_1AO_2$ и $M_1AM_2$.

И. Ф. Шарыцин

M837*. Пусть $a, b, c$ — целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Доказите, что наиболее из целых чисел, не представимых в виде

$$xbc + yca + zab$$

(где $x, y, z$ — неотрицательные целые числа), равно

$$2abc - ab - bc - ca.$$

M838. Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника $ABC$, разбиты на два множества $E_1$ и $E_2$. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множества $E_1$ и $E_2$ найдется тройка вершин прямого треугольника?

M839*. Можно ли выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих $10^5$, так, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (т. е. ни одной тройки $a, b, c$, в которой $a + c = 2b$)?

M840*. а) Доказите, что если $a, b, c$ — длины стороны треугольника, то выполено неравенство

$$a^2b(a - b) + b^2c(b - c) + c^2a(c - a) \geq 0.$$

Выясните, в каких случаях оно превращается в равенство.

б) Доказите, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполено неравенство

$$a^3b + b^3c + c^3a \geq a^2bc + b^2ca + c^2ab.$$

Ф848. По гладкому горизонтальном круговому желобу длины $l$ катается шарик. Скорость $v$ шарика известна с точностью $\varepsilon = \pm 5\%$. При каких значениях $v$ можно точно утверждать, что через время $t$ после того, как шарик находится в точке $A$ (рис. 2), его нет в точке $B$?

E. И. Рабкин

36

Ф849. Сухой термометр нахождения в комнате исхрометра показывает температуру $t_1 = 18,0^\circ\text{C}$, а влажный — $t_2 = t_1 - \Delta t = 15,0^\circ\text{C}$. Не пользовать таблицей, определяйте относительной влажность воздуха в комнате. Давление насыщенного водяного пара при указанных температурах равно, соответственно, $p_1 = 15,5$ мм рт. ст. и $p_2 = 12,8$ мм рт. ст. Молярная температура испарения воды — $l = 4,07 \times 10^4$ Дж/моль; тепломкость воздуха — $c = 20,8$ Дж/(моль • град) (при постоянном объеме).

И. С. Солодовников

Ф850. На рисунке 3 показана экспериментальное полученная зависимость силы упругости пружины от ее длины. Найти перiod малых колебаний груза массы $m = 60$ г, подвешенного вертикального на этой пружине в поле тяжесте.

В. И. Комов

Ф851. Найти силу взаимодействия двух непроводящих половинок шара радиуса $R$, каждая из которых равномерно заряжена по объему с плотностью $q_1$ и $q_2$ соответственно. Дизлектрическую пропищаемость материалов шара считать равной единице.

И. В. Гребнев

Ф852. По горизонтальной непроводящей плоскости без проскальзывания катится равномерно заряженное колью массы $m$. После включения горизонтального магнитного поля с индикцией $\vec{B}$, перpendикулярной плоскости колца (рис. 4), сила давления колца на плоскость уменьшалась вдвое. С какой скоростью катилось колью, если его заряд равен $q$?

Л. Г. Маркович

38

Решения задач
M821, M822, M824, M825*); Ф800, Ф833—Ф836

М821. Решите уравнение
$$x^3 + x^2 + x = -\frac{1}{3}.$$

Перепишем уравнение в виде $3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$; получаем сумма кубов: $(x+1)^3 + 2x^3 = 0$. Запишем ее в виде $(x+1)^3 = -2x^3$ и извлечем кубический корень из обеих частей: $x+1 = -x\sqrt[3]{2}$; отсюда $x = -\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2}}$.

Ю. И. Ионин

М822. Карточки четырех цветов — п зеленьх, п красных, п синих и п желтых — сложены стопкой так, что через четыре карточки цвет повторяется (например, 1-я, 5-я, 9-я, …, (4n—3)-я карточки — красные, 2-я, 6-я, …, (4n—2)-я — желтые и т. д.).
Неколько карточки сверху сияли, не перекладывая перевернули и произвольным образом встали между осташимися. После этого стопку разделили на п маленьких стопок по четыре карточки. Доказите, что в каждой из этих четырех встретиется карточки всех четырех цветов.

Занумерумем цвета карточек чисlam们 1, 2, 3, 4 таким образом, чтобы первоначально расположению карт в колоде соответствовала последовательность
12341234…1234

(левый конец этой последовательности соответствует низу колоды, правый — ее верху).

Мы делим колоду на две части так, как показано на рисунке 1, после чего карточки части II переворочиваем и произвольно встали между карточками части I. В новой колоде в первой (снизу) четверке будет $k$ карточки из начала части 1 (1, …, $k$) и $4-k$ карточки из конца части II ($k+1$, …, $4$) — см. рисунок 2; очевидно, что при этом каждой цвет будет представлен по разу. Остатки частей I и II (без первой четверки карточек) примут вид, показанный на рисунке 3. Прежде чем дивигаться данные, переумерумем цвета: $(k+1)$-й цвет получит номер 1, $(k+2)$-й цвет — номер 2, …, 4-й номер — номер $(4-k)$, 1-й цвет — номер $(4-k)+1$, …, $k$-й цвет — номер 4.

Рис. 1.
1234 … 1234 1 … s
11 s+1 … 4 1234 … 1234

Рис. 2.
1234 1234 … 1 … t
11 t+1 … 4 1234 … 1234

Рис. 3.
После этого части, изображенные на рисунке 3, будут выглядеть, как в самом начале, только номер $s$ заменится каким-то номером $t$ (рис. 4). Во второй четверке новой колоды (см. снова рисунок 2) будет $l$ карточки из части I (новые номера 1, …, $l$) и $4-l$ карточки из части II (новые номера $l+1$, …, $4$) — и снова каждой цвет будет представлен по разу. И так далее. Когда в новой колоде останется всего четыре карточки (каждую рассмотренную четверку карточки мы всякий раз убираем в новую стопку), часть I (точнее, её «остаток») будет иметь вид 1, …, $u$, часть II — вид $u+1$, …, 4, где $u$ — номер, который после всех переумеризации получит цвет, имеющий начальное номер $s$. И в этой последней четверке снова будет представлен все цвета.

С. Б. Шлюсман

М824. В сетке, изображенной на рисунке 1, каждая ячейка имеет размер $1 \times 1$. Можно ли эту сетку представить в виде объедининия $a)$ 8 ломанных длины 5; 6) 5 ломанных длины 8?

◆ a) Можно. Обозначим некоторые узлы сетки, как показано на рисунке 2. Тогда наша сетка распадается в объедининие восемми ломанных длины 5: $AR_1S_1$, $R_1R_2S_2$, $R_2R_3S_3$, $R_3BC$, $AP_1Q_1$, $P_1P_2Q_2$, $P_2P_3Q_3$, $P_3DC$. Есть и другие способы.

*) Задачка M823 будет решена на «Геометрический страничке» в одном из следующих номеров «Квана».

39

М825. Множество M состоит из k попарно непересекающихся отрезков, лежащих на одной прямой. Известно, что любой отрезок длины, не больше 1, можно расположить на прямой так, чтобы концы его принадлежали множеству M. Доказите, что сумма длины отрезков, составляющих M, не меньше 1/k.

Ф800. Схема состоит из конденсатора emkoctи C, диодов D1 и D2 и катушки с индуктивностью L1 и L2, собранных, как показано на рисунке 1. Найти перiod колбающий напряжение на конденсаторе в этой схеме.

Рис. 1.

Рис. 2.

6. Нельзя. Заметим, что суммарнаялина наших ломанных равна суммарной длине всех линей сетки, так что ломанные не могут давать в обедении всю сетку и в то же время пересекаются по отрезку прямой. Поэтому в каждой из точек R1, R2, R3, Q1, Q2, Q3, S1, S2, S3, P1, P2, P3 образательно должны расположаться конец хотя бы одной ломанной. Так как концов всего 12, ломанных должны не менше шести.

Н. И. Авилов

◆ Будем считать, что множество M расположено на числовой прямой и составлено из отрезков [a1, b1], [a2, b2], …, [ak, bk], a1 < b1 < a2 < b2 < … < bk; Длины этих отрезков обозначаем, соответствующим, δ1, δ2, …, δk. Для каждой пары номеров i и j (1 ≤ i ≤ j ≤ k) через Mij обозначаем множество длини отрезков с концами, лежащими на отрезках [ai, bi], [aj, bj]. Эти множества, очевидно, на числовой прямой образуют отрезки, длины которых равны δi, если i = j, и δi + δj, если i < j. По условияю задачи сумма длины отрезков не меньше 1. Следовательно, δ1 + (δ1 + δ2) + … + (δ1 + δk) + δ2 + (δ2 + δ3) + (δ2 + δ4) + … + δk ≥ 1.

В сумме, написанной в левой части неравенства, каждое δj (j = 1, …, k) встречает k раз. Таким образом, k (δ1 + δ2 + … + δk) ≥ 1, откуда δ1 + δ2 + … + δk ≥ 1/k, что и требовалось.

Е. И. Хухро

◆ Эта задача довольно сложная, и разобраться в ней нам помогет анализя с механическими колбациями.

Нужная нам механическая система изображена на рисунке 2. Это два бруска с массами m1 и m2, лежащие на гладкой горизонтальной плоскости и соединенные пружиной с жесткостью k. Каждый из брусков снабжен стором, позволяющим ему свободно движаться вправо, но не допускающим движения впево. Koординаты брусков в начальной момент обозначаем x1 и x2’, где x2’ = l + x2, l — длина нераспятой пружины.

Установим соответствие электрических и механических величины в наших колбационных системах.

Пусть положительному заряду Q на пластине A конденсатора соответствует растяжение пружины на длину x. Изменение x возможно за счет смешения каждого из брусков: x = x2 — x1; скорость удлинения пружины определяется разностью скоростей брусков: Δx/Δt = v2 — v1. Аналогичным образом скорость изменения заряд Q определяется разностью токов, протекающих по катушкам: ΔQ/Δt = I2 — I1. Стороны S1 и S2 допускают скорости лишь одного знака: v1 > 0, v2 > 0; аналогично диоды D1 и D2 пропускают токи лишь в одном направлении. Энергия конденсатора Q²/2C соответствует потенциальная энергия пружины kx²/2 (а величине 1/C, обратной емкости, — жесткость пружины k). Кинетические энергии брусков m1v1²/2 и m2v2²/2 соответствуют энергиям магнитных полей в катушках L1I1²/2 и L2I2²/2.

Как будет дивгаться механическая система, если только вправо или сместить один оба бруска? Если бы не стороны, то движение свелось бы к наложению (суперрозицини) поступательного движения с постоянной скоростью V и колбацией:

v1 = V + v10 cos(ωt + φ), v2 = V - v20 cos(ωt + φ). (*)

В некоторых моментах какая-либо из скоростей, v1 или v2, обращается в нуль; затем, как следует из (*), эта скорость должна быть отрицательной. В этот момент в игру вступает соответствующий стопор, и один из брусков оста-

41

относительно Земли, когда коробка уже не движется относительно транспорта, то есть $|\vec{AC}| = v_0$. За время просkalывания коробки по ленте транспорта вектор ее скорости относительно Земли опшет отрезок BC. Минимальным значением этой скорости будет тогда, когда она будет направлена вдоль перpendикуляра к отрезку BC. Следовательно (см. рисунок),

$$u_{\min} = |\vec{AD}| = \frac{u_0 v_0}{\sqrt{u_0^2 + v_0^2}} \approx 0,9 \text{ m/c.}$$

С. С. Кротов

Ф834. На очень длинной неевесомой нити подвешен к потолку шарик массы $m_1 = 0,1$ кг, к нему прекреплен на нити длины $l = 0,2$ м шарик массы $m_2 = 0,05$ кг. Нижнему шарику толком сообщают скорость $v_0$ в горизонтальном направлении. При какой величины $v_0$ шарики могут оказаться на одной высоте?

При очень длинной верхней нити можно считать, что верхний шарик движется по горизонтальной прямой. В тот момент, когда шарики окажутся на одной и той же высоте, то есть нижняя нить займет горизонтальное положение (см. рисунок), горизонтальная проекция скорости второго шарика будет равна скорости первого шарика. Это следует из нерастяжимости соединяющей их нити. Чтобы минимальное значение скорости $v_0$, при которой шарики окажутся на одной высоте, нужно считать, что в этот момент вертикальная проекция скорости второго шарика равна нулю (то есть скорости $v$ общих шариков равны и направлены горизонтально).

Все действующие на системе внешние силы (наяжение верхней нити и силы тяжесте) направлены по вертикали. Поэтому горизонтальная проекция полного импульса системы сохраняется:

$$m_2 v_0 \min = (m_1 + m_2) v.$$

Отсюда

$$v = v_0 \min \frac{m_2}{(m_1 + m_2)}.$$

Согласно закону сохранения механической энергии,

$$\frac{1}{2} m_2 v_0^2 \min = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + m_2 gl.$$

Подставляя в это уравнение найденное выражение для $v$, находим

$$v_0 \min = \sqrt{2 gl \left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)}.$$

Подставляя числовые данные, получаем

$$v_0 \min = \sqrt{3 gl} \approx 2,4 \text{ m/c.}$$

В пределном случае $m_2 \ll m_1$ верхний шарик остается неподвижным, и, чтобы нижний шарик поднялся на высоту $l$, ему нужно сообщить скорость $v_0 = \sqrt{2 gl}$.

Е. И. Бутиков

Ф835. В стакан с водой опустили нарезаватель и силизависимость температуры воды от времени (таблица 1). 1) На сколько градусов остынет вода за 1 мин, если нарезаватель отключить от сети при температуре $t_1 = 50^\circ\text{C}$? 2) Закипит ли вода, если нарезаватель не выключать достагоно долю? Мощность нарезавателя считать неизмененной.

Будем считать, что мощность, которой нарезаватель отделяет воде, не меняется, а температура воды увеличивается неравномерно за счет увеличения теплотадачи с ростом температуры. Чтобы учесть влияние теплотадачи, проследим, как меняется приращение $\Delta t$ температуры за 1 минуту работы нарезавателя в зависимости от температуры воды ( температура будем брать среднюю между значениями ее в начале и в конце каждой минуты). Соответствующие данные приведены в таблице 2. Построим по этим данным график зависимости $\Delta t(t)$. Как видно из графика (см. рисунок), все точки хорошего логасяна на прямую, пересекающую ось температуры в точке $t_{\text{кр}} = 85^\circ\text{C}$. Ясно, что если даже закон теплотадачи не изменится (а с ростом температуры испарение должно увеличиться, что уvelличит теплотадачу), вода

42

нагреется только до 85°С и, следовательно, при нормальных условиях не закипит.

Из этого же графика видно, что при температуре $t_1=50^\circ\text{C}$ вода за одну минуту нагрелась на 3,5 градуса, а без теплотдачи она нагрелась бы на 6,5 градуса (температура окружающей среды 20°С). Значит, если при температуре 50°С отключить нагреватель, то за 1 мин вода остынет на 3 градуса.

А. Р. Зильберман

Ф836. Пластина А плоское конденсатора неподвижна, пластина Б прикреплена к стене пружиной и может двуцаться, оставясь параллельной пластине А (см. рисок). После замыкания ключа К пластина Б начала двуцаться и остановилась в новом положении равновесия. При этом расстояние между пластинами уменьшилось на $a_1=10\%$. На сколько изменилось бы равновесное расстояние между пластинами, если бы ключа К замкнул на короткое время? Предполагается, что за это время пластина Б не успевает заметно сdvинуться.

Когда ключ $K$ замкнут, направление на конденсатор поддерживает постоянным и равным ЭДС $\mathcal{E}$ источника. Пусть начальное расстояние между пластинами конденсатора (когда пружина не растянута) равно $d$, а смешение пластины Б при достижении нового положения равновесия равно $x_1=a_1d=0,1d$. Заряд на конденсатор при этом будет

$$Q_1 = C_1 \mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}}{(d-x_1)},$$

где $S$ — площадь пластина конденсатора. Например, поля в конденсаторе $E_1=\mathcal{E}/(d-x_1)$. Это поле создает двумя пластинами, так что поле, создаваемое одной пластиной, имеет направленность $E_1/2$. В соответствии с этим для сил, действующих на пластину $B$, можно записать

$$\frac{E_1 Q_1}{2} = \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}^2}{2(d-x_1)^2} = kx_1$$

(к — жесткость пружины).

Рассмотрим теперь ситuation, когда ключ $K$ замкнут на короткое время. Конденсатор при этом получаем загрязнД

$$Q_2 = \varepsilon_0 S \mathcal{E}/d$$

(плastины не успели сdvинуться с места), который в дальнейшем остается постоянным. Пусть в новом положении равновесия смешение пластины $B$ равно $x_2$. тогда направленность поля в конденсаторе будет $E_2 = Q_2/C_2(d-x_2)$, где $C_2=\varepsilon_0 S/(d-x_2)$. Условие равновесия пластины $B$ запишется в виде

$$\frac{E_2 Q_2}{2} = \frac{Q_2^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}^2}{2d^2} = kx_2.$$

Из уравнения (1) и (2) находим $x_2$:

$$x_2 = x_1 \left(\frac{d-x_1}{d}\right)^2 = 0,081d,$$

то есть расстояние между пластинами конденсатора уменьшается на $a_2=8,1\%$.

А. И. Буздин

44

06—08, 14, 15, 17; М. Бижк (Краснодар) 06, 07, 17; С. Бойко (Винница) 07, 08, 14; В. Бряжников (Запорожье) 05—07, 15; А. Бураев (Орджонкидзе) 06; Н. Бурдейная (Винница) 05—07; О. Важевский (Москва) 06, 07; В. Вайсман (Винница) 08, 14; В. Ванцелов (Бургас, НРБ) 08, 14, 15, 17; Д. Владимиров (Новолукомль) 06—08, 17; А. Выровов (Осинники) 06—08; О. Гаврилов (Киев) 05—08, 17; Б. Галцикий (Москва) 08; В. Глазолев (Тула) 15; П. Глазырин (Воткинск) 06, 07; О. Голинский (Тамбов) 07, 08, 17; Ю. Гордиенко (Винница) 05, 08, 15; Г. Гореликов (Елец) 06, 07; С. Гребенциков (п. Черновогловка Московской обл.) 05—07, 17; М. Грибере (Краснойрск) 05—08, 14, 15, 17; И. Гришина (Елец) 06—08; Г. Данелия (Тбилиси) 08; Л. Демидова (Винница) 05—07; В. Дерендлев (Березняки) 06, 07; Г. Долюпятов (Донецк) 05—07, 11, 14, 15, 17; Е. Дубинин (с. Вострецов Пrimорского кр.) 08; А. Еричан (Ереван) 06—08; Д. Ermosшин (Москва) 08; О. Ефремов (Воронеж) 05—07, 14, 15, 17; М. Житомирский (Харьков) 05—07; Н. Жоков (Александров) 05—07; Г. Жуков (Куйбышев) 07; Р. Жмайтис (Вильнос) 05—07; Э. Заводчик (Тамбов) 06—08; А. Зайцев (Целиновград) 06; И. Зайцев (Москва) 06, 07; Д. Иванов (Оренбург) 05—07; Э. Иванов (Орджонкидзе) 06, 07; Е. Ивлева (Свердловск) 06, 07; М. Имас (Донецк) 08, 14; Б. Иричанин (Бельгард, СФРЮ) 06, 07; Л. Иосыпив (Иванов-франковская обл.) 06, 07; Т. Каталози (Кутанси) 05—07; Д. Каледин (Москва) 06, 07; И. Калииновский (Киев) 05—08, 15, 17; Е. Канцыпер (Таллин) 06, 07; В. Карасев (Алма-Ата) 08, 14; А. Карнаухов (Ижевск) 05, 06; Е. Качковская (Винница) 06, 07; Ю. Кившарь (Харьков) 05—07; А. Кириценко (Москва) 07; П. Кларк (Тула) 08; А. Клишин (Киев) 05—07; М. Кыщин (Краснодар) 07; Ю. Коваль (Киев) 17; М. Козлов (Москва) 08; К. Кондратец (Киев) 05—07; А. Корбуш (Свердловск) 08; Е. Корнилова (Ефремов) 05—07; А. Коршак (Киев) 08, 11, 15; И. Коршун (Коммунарск) 05—07; А. Котляр (Минск) 06; С. Кравчук (Киев) 07, 08, 15; А. Краснов (Ташкент) 06, 08; О. Краснойров (Грозный) 06, 07, 15, 17; А. Круев (Киев) 07; И. Крылов (Куйбышев) 06; С. Ксеневич (Куйбышев) 06, 08; В. Кудашов (п. Вуктыл Коми АССР) 05—07; Д. Кузнецов (Куйбышев) 14; Д. Кузотин (Алма-Ата) 06, 07; И. Куличик (Брест) 07, 17; Д. Купцов (Москва) 05—07, 10, 14, 15, 17; И. Кухаркин (Москва) 05—08, 15, 17; С. Лауринавичус (Мажейкий) 05—07, 10, 14, 15, 17; И. Левин (Донецк) 05—07, 12; К. Липников (Ярославль) 08; А. Лихачев (Барнаул) 07; И. Лорман (Киев) 06, 07, 15; Д. Лунц (Саратов) 05—08, 14; А. Люлько (Москва) 06, 07; Б. Мавлонов (Хорезмская обл.) 06; Д. Макаров (п. Черноголовка Московской обл.) 03—17; К. Макарчук (Киев) 05—07, 15, 17; И. Мамедов (Баку) 06, 08; А. Мамырева (Москва) 05; А. Маркин (Егорьевск) 17; Л. Маркович (Минск) 06—08, 14, 15, 17; О. Маров (Канев) 06, 07, 14, 15; А. Мартишенко (Днепропетровск) 06, 07, 15, 17; С. Меднов (Калинин) 05—07; П. Милотин (Хабаровск) 06—08, 15; А. Михеев (Кимры) 06—08; К. Мишин (Днепропетровск) 06, 07, 17; П. Молодчик (Киев) 05; С. Моланов

48

XIV Международная физическая олимпиада

Доктор физико-математических наук
С. М. КОЗЕЛ

С 5 по 14 июля этого года в столице Социалистической Республики Республики Румыния города Бухарете прохождение XIV Международная физическая олимпиада школьников. В олимпиаде приняли участие 16 стран: Австралия, Болгария, Венгрия, Вьетнам, ГДР, Голландия, Куба, Польша, Румыния, СССР, Финляндия, Франция, ФРГ, Чехословакия, Швейция, Югославия.

Команда каждой страны состояла из пяты участников — учащихся и выпускников общеобразовательных и профессиональных школ — и двух руководителей. Возраст участников не превышал 20 лет.

Команду СССР представляли призеры Всегоизной олимпиады:

Антон
Алексеев — ученик 10 класса с.ш. № 239 г. Ленинграда,

Валдис
Бирзвалкс — выпускник с.ш. № 1 г. Риги,

Андрей
Гниловской — выпускник с.ш. № 239 г. Ленинграда,

Михаил
Дыячков — выпускник с.ш. № 82 п. Черноголовка Московской области,

Владимир
Моланов — выпускник школьного при Киевском государственном университете.

Руководители команды были заведующей лабораторией Научно-исследовательского института содержания и методов обучения Академии педагогических наук СССР О. Ф. Кабардин и старший научный сотрудник того же института В. А. Орлов.

По традиции организации и проведением олимпиады занимались хозяйственные физики. Из их числа была формирована Рабочая группа олимпиады. В ее задачу входила подготовка заданий для теоретического и экспериментального туров олимпиады и предварительная проверка работ участников. Все результаты утверждались Международной комиссей под председательством декана физического факультета Бухареского университета профессора Константина Плевицу. В состав комиссии входили представители всех стран-участниц.

Олимпиада была организована очень хорошо. Все участники жили в благоустроенном студенческом комплексе. Они имели возможность не только творческие труды, но и отделнуть. В дни отдыха между теоретическим и экспериментальным турами была организована эксперсия в курортийной город Снагов. После экспериментального тура участники три дня отдыха в Международном молодежном лагере Костинштина на берегу Черного моря. Гости ознакомились также с работой ряда научных учреждений Национального физического центра и посетили лаборатории одного из физico-mатематических лицев Бухареста.

На олимпиаде участникам были представлены следующие задачи:

Теоретический тур
Задание 1 (8 баллов)

Частца движется вдоль положительной полоси ОХ под действием силы, проекция $F_x$ которой на ось $X$ представлена на рисунке 1 ($F_x = F_y = 0$). Одовременно на частицу действует сила треня, модель которой $F_{rp} = 1,0$ Н. В начале координат установлен идеально отражающая стена, перпендикулярная оси $X$. Частца стартует из точки с координатой $x_0 = 1,0$ м с кинетической энергией $E_k = 10,0$ Дж.

1. Определите длину пути,ройденного частиц до ее полной остановки (3 балла).
2. Представьте графики зависимости

51

Чение Джордже Чуку, есть победитель, но нет победенных. Важна не только победа в опитпаде, но и самоучание в ней. Каждый участник опитпады прошел нелегкий путь и продемонстрировал свою преданность физике и способность творчески применять ее законы. Это большое достижение.

Затем представлен Международной комиссии профессор Константин Плевицу зачитал официальное решение комиссии об итогах опитпады, и состоялась церемония нагrajжения победителем дипломами и признами.

В заключение слова было представлено руководителю шведской делегации профессор Ларсу Сильвербергу, который передал официальное приглашение провести XV Международную физическую опитпаду школьников в Швеции в конце июня 1984 года.

На опитпаде в Бухаресте присутствовали представители трех молодежных физико-математических журналов: югоскворого журнала «Молодой физик», венгерского «Среднешкольного математического журнала» (в этом журнале есть и физические ский раздел) и «Кванта». В ходе опитпады между ними неоднократно происходил обмен мнениями по различным вопросам: о работе с одаренной молодежью, о национальных физических опитпадах, о роли молодежных журналов и т.п. В беседах принимали участие руководители делегации ряда социальических стран. Отрадно отмечить, что участники беседали для выискую оценку журналу «Квант», который хорошо известен за рубежом. Опыт «Кванта» ширококо использовется молодежными физико-математическими журналими в других странах.

В заключение от имени всей советской делегации хочется пользовать румынский оргкомитет опитпады за темы, дружственный прием.

Хочется также пожелать успехов всем читателем «Кванта» в предстоящих опитпадских странах.

Игры, головоломки

Эта серия рисуков показывает, как можно изготовить красивые бумажные звездочки, приведенные на обложке «Кванта» № 5 за этот год. Для этого вам потребуется по четыре бумажные полоси 1×30 см для каждой звездочки и… немного терпения. Полоси желательно взяты двухцветные (например, как здесь: красные — с одной стороны, белые — с другой). Сложив каждую из четырех полосок пополам, зацепите их так, как показано на рисунке 1. Затем последовательно заплетите их, следуя рисунам 2—8. Изготовление «белых уголков» (рис. 3) показано отдельно внизу (рисуки а — в). Имейте в виду, что на картинах для экономии места длиные свойства концы полосок, образуются на perвых шагах, spreзаны. Концовка сплетения звездочки довольно хитроумна.
Желаем удачи!

53

ФМШ при университетах — 20 лет

«при Университете необходимо должа быть зимнация, без которой Университет как пашня без семени»
M. B. Ломоносов

В 1963 году при Московском, Ленинградском, Киевском и Новосибирском университетах были созданы специальизированные физико-математические школы-интернаты.

Инициаторами создания этих школ были выданшие учены академики А. Д. Александров, П. С. Александров, С. Т. Беляев, В. М. Глушков, А. Н. Колмогоров, И. К. Кикоин, М. А. Лаврентьев, И. Г. Петровский, члены-корреспонденты АН СССР А. А. Ляпунов, Д. К. Фаддеев, Д. В. Ширков и другие.

Эксперимент оказался удачным. Вот уже двадцать лет эти школы дают хорошее пополнение научных кадров нашей страны.

Вслед за четырьмя первыми ФМШ были открыты аналогичные школы в Ереване, Тбилиси, Алма-Ате и других городах.

Среди выпускников ФМШ несколько десятиков докторов наук, сотни кандидатов наук. Многие выпускники являются студентами и ассирантами крупнейшихузов страны и уже на студенческой скале выполняют свои первые научные работы.

А. Н. Колмогоров писал: «Задача этих школ состоит в том, чтобы подготовкам, живущим вдалеке от больших научных центров, предоставить те же возможности, что и ученикам лучших школ Москвы и других университетских городов, поэтому, например, в ФМШ при МГУ не принимаются школники из Москвы и других университетских городов.»

Поступить в ФМШ нельзя. У каждой из них свои традиции проведения приема, однако общее сдо — необходимо проявить настоящий живой интерес к науке, умение мыслить нестандартно.

Как правило, отбор кандидатов начинается на областных и ресурсивских математических и физических олимпiadах. Подробнее о порядке приема можно узнать в области отдельных народного образования.

Не следует думать, что для поступления в ФМШ нужно обладать каким-то исключительным талантом. Прежде всего требуется настоящая увлеченность и готовность трудиться несколько больше, чем при обучении в обычной школе.

Обучение математике и физике в ФМШ ведется по программам, разработанным коллективами их преподавателей. И хотя программы шире и глубже программы массовой школа, они не дублируют взовозских курсов. Цель обучения в ФМШ, говорил академик М. А. Лаврентьев, «научить думать, изобретать, ставить опыты, научить направлять все силы для решения трудной задачи».

Интересный учеников не замыкаются на одну математику или физику. Школьники ходят в туристические походы, занимаются спортом. Так, ученики Московского интерната расшифровали аббревиатура ФМШ как «футбольно-mатематическая школа». Футбольные, волейбольные и баскетбольные матчи между командами учеников и преподавателей — давнишняя традиция ФМШ.

В гостях у «фымышат» были круглейшие учены нашей страны, писатели, артисты, художники. Словом, коллективы школ делают все для того, чтобы жизнь школа полноценной, чтобы школа стала настоящим домом для своего воспитания.

Наш журнал поздравляет коллективы школа-юбиляров, всех выпускников, учеников и преподавателей этих школа и желает им всем счастья и больших творческих успехов. Доброю вам пути, «фымышата»!

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) при Московском ордена Трудового Красного Знамени физико-техническом институте (МФТИ) проводит набор учащихся восемилетних и средних школа, расположенных на территории РСФСР, в 8, 9 и 10 классы на 1984/85 учебный год.

Цель этой школа — помочь ученикам в самостоятельных занятиях по углублению своих знаний по физике и математике. Вот почему при приеме в ЗФТШ предопочтение отделения учащимся, проживающим в сельской местности и рабочих поселках, где такая помощь особенно необходима.

Обучение в школе бесплатное.

54

ЗФТШ дает хорошие дополнительные знания по физике и математике своим выпускником, многие из которых поступают в ведущие buses нашей страны.

Кроме отдельных учащихся, в ЗФТШ принимаются физико-технические кружки, которые могут быть организованы на месте по инциативные двух преподавателей — физики и математики. Руководители кружка набирают и зачисляют в них учащихся, успешно выполивших вступление задание ЗФТШ. Кружок принимается в ЗФТШ, если директор школы сообщит фамилии руководителя кружка и помещенный список кружка по классам (с указанием итоговых оценок за вступительное задание). Все материалы по организации кружка следует выслать в адрес ЗФТШ до 25 мая.

Учащие, принятые в ЗФТШ, и руководители физико-технических кружков будут получать задание по физике и математике в соответствии с программой ЗФТШ, а также рекомендуемые ЗФТШ решения этих заданий. Задания содержат теоретический материал и разбор характеристих задач и примеров по теме, а также 10—14 задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные (на уровне конкурсных задач в МФТИ). Работы учащихся-заочников проверяют в ЗФТШ или ее фильпах, а членов кружка — его руководителей.

С учащимся Москвы проводятся (по программе ЗФТШ) очень заняття по физике и математике два раза в неделю в вечерних консультативных пунктах (в ряде Москвыских школ). Набор в эти группы произвольится или по результатам выполнения вступительного задания ЗФТШ, или по результатамочного собеседования по физике и математике (справки по телефону 408-51-45).

Вступительное задание по физике и математике каждой учениквыполняет самостоятельно на русском языке. Работу надо аккуратно переписать в одну школьную терраду. Порядок зададолжен быть тот же, что и в задании.

Тетрадь перешлите в большом конверте простой бандеролью (только не сворачивайте в трубку). Вместе с решением обязательно вышлите справку из школа, в котором вы учитесь, с указанием класса. Справку накладите на внутреннюю сторону терради. Без этой справки решения рассматривается не будет. На внешнюю сторону терради наклейте лист бумаги, заполненный по образцу:

1. Область (край или АССР) Чув. АССР
2. Фамилия, имя, отчество Носова Лариса Ивановна
3. Класс сельмой
4. Номер и адрес школа Ново-Байдерковская высшетная школа
5. Профессия родитель и занimaемая должность шофер колхозница
6. Подробный домашний адрес Чув. АССР, Яльчикский район, n/o Лац-Таяба, д. Ново-Байдерково.

Внизу на чертегите таблицу оценок за вступительное задание:

№ | Ф. | М. |
| :— | :— | :— |
| | | |

Для ответа на вступительное задание подписите конверт с указанием класса и выходите его в терраду.

Срок отправления решения – не позднее 1 марта 1984 года (по почтовому штемпелю места отправления). Вступительные работы обратно невысшают.

Защисление в школе произвольится приемной комиссии Московского физико-технического института. Решение приемной комиссии будет сообщено, не позднее 1 августа 1984 года.

Тетрадь с выполненным заданием (обязательно по физике и математике) присваивается по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл., Московский физико-технический институт, для ЗФТШ.

Учащие Архангельской, Вологодской, Калининской, Калининградской, Кировской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской и Псковской области, Каральской и Коми АССР выслалт работы по адресу: 198904, г. Старый Петерф, ул. 1 Мая, д. 100, ЛГУ, фильпал ЗФТШ при МФТИ.

Учащие Амурской, Иркутской, Камчатской, Сахалинской и Читинской области, Красноярского, Приморского и Хабаровского края, Бурятской, Тувинской, Якутской АССР и Чукотки выслалт работы по адресу: 660062, г. Красноярск, пр. Свободный, д. 79, Государственный, фильпал ЗФТШ при МФТИ.

Ниже приведется вступительное задание по физике и математике. В задании по физике задачи 1—5 предназначены для учащихся седьмых классов, 4—9 — для восемых классов, 5, 9—15 — для девятых классов. В задании по математике задачи 1—5 предназначены для учащихся седьмых классов, 4—10 — для восемых классов, 7—13 — для девятых классов.

56

Напечатано в 1983 году

Кчитательм 1 2
Кондаков М. И. С новым учебным годом!

---

Гнеденко Б. В. Математика и произвольство 1 3
Ершов А. П. Программирование — вторая грамотность 2 2
Кикопин И. К. Физика и научно-технический прогресс 3 2
5 2

---

Рудольф Мёссбауэр отвечает на вопросы редакции журнала «Квант» 3 6
Уникальная laboratorия (интервью с летчиком-космонавтом СССР А. А. Серебровым) 4 7
Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым 4 12

---

Гиндикин С. Г. Леонард Эйлер 10 17
Каданов М. И. Выдающийся физик-теоретический XX века (Л. Д. Ландду) 11 17
Кикопин И. К. Он прохил счастью жизни (И. В. Курчатов) 1 7
Кикопин И. К. Анатолий Петрович Александров 2 8
Лишевский В. П. Революционер в науке и жизни (Г. Монж) 7 17
Н. Н. Лузин (к столетю со дня рождения)

Статы по математике
Анохин А. И., Ломакина З. Д. Математика мореплавателью 8 7
Болтянский В. Г. Метод интерации 3 16
Винокуров В. А., Митин Б. С. Математика и технологический в космосе 4 2
Владимиров В. С., Миценко А. С. Роль математической физики в современной науке 12 2
Галиллин Р. В. Как устроены кристаллы 11 10
Гиндикин С. Г. О пользове «попстине софистических» 6 10

Зайдель А. Н. Обман или заблуждение? (Об одном способе вычисления л.) 5 24
Крейн М. Г., Нудельман А. А. Теорема Борсука — Улама 8 20
Матвеев С. В. Расправление конструк на плоскости 4 22
Миценко А. С., Соловьев Ю. П. Кватернионы 9 10
Нестеренко Ю. В., Никшин Е. М. Очерк о цепных дробях 5 16
6 26
Понтглезин Л. С. Комплексные числа 2 16
Фельдман Н. И. Алгебраические и трансцендентные числа 7 2
10 57
Фоменко А. Т. Миниальные поверхности 6 18

Статы по физике
Асламазов Л. Г. Meандры рек 1 17
Асламазов Л. Г. Нейнерциальные системы отчета 10 9
Бронштэн В. А. Тунгусский меторит — в laboratorии физика 7 9
Бляко А. В. Что такое атмосфера 6 2
Бляко А. В. Торные тропы Торо 12 20
Губанков В. Н. Солитоны 11 2
Житковский Ю. Ю. Физики изучают гидрокосмос 8 2
Займовский В. А. У металлов есть память?! 9 3
Кудрявцева Е. Н., Хилькевич С. С. Почему вода выливается из ведра? 9 16
Митрофанов А. В. Задачи П. Л. Капиць 5 21
Пегоев А. Н. Что служилось с лампочкой? 8 26
Самарский Ю. А. Эффект Мёссбауэра (или резонансное ядерное поглощение γ-квантов в кристаллах) 3 7
Смородинский Я. А. Черные дыры 12 13
Фабрикант В. А. Рождение кванта 2 11
Фальковский Л. А. Физика поверхности 10 2
Чернин А. Д. ВспыхивающиеRENTеновские звезды 8 13
Шур А. А. Эти разные радиовольны 5 9

Новости науки
Асламазов Л. Г. ЭВМ на сверхпроводниках 11 24

59

XXIV Международная математическая олимпиада
Приводим решение задачи, формированной на с. 46.
Пусть сначала $f$ — искомая функция. Положив в 1) $y=x$, получаем, что при любом $x \in \mathbb{R}^+$ число $b=x \cdot f(x)$ является неподвижной точкой функции $f$ (то есть $f(b)=b$). Пусть $a$ — произвольная неподвижная точка функции $f$. Докажем, что $a=1$. Если при $n \ge 2$ имеем $f(a^{n-1})=a^{n-1}$, то $f(a^n)=f(a \cdot a^{n-1})=f(a \cdot f(a^{n-1}))=a^{n-1} \cdot f(a)=a^{n-1} \cdot a=a^n$.
Таким образом, все числа $a^n(n \in \mathbb{N})$ тоже являются неподвижными точками. Далее, $a=f(a)=f(1 \cdot a)=f(1 \cdot f(a))=a \cdot f(1)$; из $a \neq 0$ следует $f(1)=1$. Затем $a \cdot f\left(\frac{1}{a}\right)=f\left(\frac{1}{a} \cdot f(a)\right)=f\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)=f(1)=1$, откуда $f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}$. Наконец, аналогично проверяется, что $f\left(\frac{1}{a^n}\right)=\frac{1}{a^n}$. Таким образом, все числа $a^n(n \in \mathbb{Z})$ — неподвижные точки. Из условия 2) заключаем, что $a=1$. Итак, при любом $x \in \mathbb{R}^+$ имеем $x \cdot f(x)=1$, откуда $f(x)=\frac{1}{x}$.

Обратно, легко проверить, что функция $\frac{1}{x}$ удовлетворяет условиям 1), 2).

XIV Международная физическая олимпиада
Теоретический тур
Задание 1

1. Очевидно, что частица остановится в начале координат. Поэтому из закона сохранения энергии получаем
   $$E_K+F_xx_0=F_{\tau p}s$$
   откуда
   $$s=\frac{1}{F_{\tau p}}(E_K+F_xx_0)=20,0 \text{ м.}$$

2. Потенциальная энергия частицы в поле силы $F_x$ есть $E_\pi=F_xx+C$, где $C$ — некоторая постоянная величины. Зависимость $E_\pi=E_\pi(x)$ (для случая $C=0$) представлена на рисунке 1.

3. Частца движется к стенке и от нее с постояннымиускорениями
   $$a_{1x}=\frac{1}{m}(F_x+F_{\tau p}) \text{ и } a_{2x}=\frac{1}{m}(F_x-F_{\tau p})$$
   соответственно. Из условия задачи следует, что $a_{1x}<0$, $a_{2x}<0$ и $a_{1x}<a_{2x}$. Качественные графики зависимости скорости $v_x$ от координатных $x$ для двух возможных значений начальной скорости частицы $v_{0x}>0$ и $v_{0x}<0$ представлены на рисунке 2, а и 6. Заметим, что $v_{0x}^2=2a(x_i-x)$, где $a$ — модульускорения на данном участке движения, а $x_i$ — координата точки остановки после очередного отскока от стенки. Поэтому графики зависимости $v_x^2$ от координатных $x$ (при $v_{0x}>0$ и $v_{0x}<0$) имеем более простой вид (рис. 3, а и 6).
   Задание 2

4. Обозначим через $U$ и $I$ действующие значения напряжения и тока источника. Тогда
   $$U=IZ=I\left(\frac{1}{R^2}+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^2\right)^{-1/2}$$
   Здесь
   $$C=C_1+C_2, \quad L=\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}$$
   Мощность, выделяемая в резисторе, есть
   $$P=\frac{U^2}{R}=\frac{I^2}{R}\frac{1}{\frac{1}{R^2}+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^2}$$
   По условиям задачи $I$ есть постоянная величины, не зависит от частоты генератора $\omega$. Поэтому $P=P_M$ при условии $\omega_M C-\frac{1}{\omega_M L}=0$, или $\omega_M=\frac{1}{\sqrt{LC}}=10^5 \text{ c}^{-1}$.
   Мощность уменьшится в два раза по сравнению с $P_M$ на частотах $\omega_\pm$, удовлетворяющих $\omega_\pm C-\frac{1}{\omega_\pm L}=0$, откуда
   $$\omega_\pm=\frac{\pm L \pm \sqrt{L^2+4R^2LC}}{2RLC}$$

Рис. 1. Рис. 2.

60

Знак «минус» перед корнем физического смысла не имеет, так что в итеге получаем

$$\Delta \omega = \omega_+ - \omega_- = \frac{1}{RC},$$

$$\frac{V_M}{\Delta v} = \frac{\omega_M}{\Delta \omega} = R \sqrt{\frac{C}{L}} = R \omega_M C = \frac{R}{L \omega_M} = 150.$$

2. После размыкания ключа в контуре, состоящем из конденсаторов и катушек индуктивности (рис. 4), происходит свободные незатухающие колебания. Этот контур эквивалентен обичному колебательному контуру с параметрами $C = C_1 + C_2$ (параллельное соединие конденсаторов) и $L = L_1 L_2 / (L_1 + L_2)$ (параллельное соединие катушек). Поэтому частота свободных электромагнитных колебаний в цепи есть

$$v_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = \frac{\omega_M}{2\pi} \approx 15,9 \text{ кГц.}$$

3. При параллельном соединии идеальных катушек имеем

$$L_1 \frac{di_1}{dt} = L_2 \frac{di_2}{dt} = U.$$

Здесь $U$ — напряжение на параллельно соединительных катушках и конденсаторах. Отсюда следует

$$L_1 i_1 = L_2 i_2 + L_2 i_0,$$

где $i_0$ — постоянная величины. Из данных задачи для момент времени $t_0$ найдем

$$i_0 = \frac{1}{L_2} \left( L_1 i_{01} - L_2 i_{02} \right) = -0,15 \text{ A.}$$

Этот результат физическогоозначает, что в катушках циркулирует постоянный ток. Причиной возникновения этого ток могло быть, например, изменение внешнего магнитного поля.

Приименя 1 закон Кирхгофа, получим

$$i_1 + i_2 + i_{C_1} + i_{C_2} = i_1 + \frac{L_1}{L_2} i_1 - i_0 +$$

$$+ \left( C_1 + C_2 \right) \frac{dU}{dt} = i_1 \left( 1 + \frac{L_1}{L_2} \right) - i_0 +$$

$$+ L_1 \left( C_1 + C_2 \right) \frac{d^2 i_1}{dt^2} = 0,$$

или

$$\frac{d^2 i_1}{dt^2} + \frac{1}{CL} i_1 = \frac{1}{CL_1} i_0.$$

Решение этого дифференциального уравнения есть

$$i_1 = I_1 \cos \left( \omega_0 t + \varphi \right) + \frac{L}{L_1} i_0,$$

где $I_1$ и $\varphi$ — амплитуди и начальная фаза колебаний тока в катушке с индуктивностью $L_1$, $\omega_0 = 1 / \sqrt{LC}$ — круговая частота свободных колебаний, совпадающая с резонансной частотой $\omega_M$. Теперь найдем ток на участке $AB$:

$$i_{AB} = i_1 + i_{C_1} = i_1 + C_1 \frac{dU}{dt} = i_1 + L_1 C_1 \frac{d^2 i_1}{dt^2} =$$

$$= I_1 \cos \left( \omega_0 t + \varphi \right) + \frac{L}{L_1} i_0 - \frac{L_1 C_1}{LC} I_1 \cos \left( \omega_0 t + \varphi \right).$$

Из данных задачи имеем $L_1 C_1 / (LC) = 1$, поэтому

$$i_{AB} = \frac{L}{L_1} i_0 = \frac{L_2}{L_1 + L_2} i_0 = -0,1 \text{ A.}$$

Мы получили, что на участке $AB$ протекает только постоянный ток. Этот результат можно было бы предупредить, если заметить, что в нашей схеме $C_1 L_1 = C_2 L_2 = CL$. Это означает, что колебательные процессы в контурах $C_1 L_1$ и $C_2 L_2$ происходит с одной и той же частотой $\omega_0$ независимо друг от друга.

4. Амплитуду колебаний тока $I_1$ в катушке с индуктивностью $L_1$ найдем из закона сохранения энергии. Расматривая процессы незатухающих колебаний в контуре $C_1 L_1$ и исключая постоянную составляющую тока в катушке, равную $i_{AB}$, записем

$$\frac{L_1 \left( i_{01} - i_{AB} \right)^2}{2} + \frac{C_1 U_0^2}{2} = \frac{L_1 I_1^2}{2}.$$

Отсюда найдем

$$I_1 = \sqrt {\left( i_{01} - i_{AB} \right)^2 + \frac{C_1}{L_1} U_0^2} \approx 0,204 \text{ A.}$$

Заметим, что решение этой задачи выходит за рамки нашей школьной программы и требует знания хотя бы в объему факультативного курса физики.

Задча 3

1. Волна не будет испытывать преломления на грани $AC$ (см. рис. 3 в статье) при условии равенства показателей преломления:

$$a_1 + \frac{b_1}{\lambda_0^2} = a_2 + \frac{b_2}{\lambda_0^2} = n_0.$$

Отсюда

$$\lambda_0 = \sqrt {\frac{b_1 - b_2}{a_2 - a_1}} = 500 \text{ nm}; n_0 = 1,5.$$

Излучение с длиной волны $\lambda_0 = 500 \text{ nm}$ относительно

61

система к зеленой области видимой части спектра.
2) Заметим, что показатели преломления обих примс с увеличением длины волны излучения уменшаются. Кроме того, поскольку по условию $b_1 > b_2$, для филотового излучения ($\lambda_\phi < \lambda_0$) имеем $n_1 > n_2$, а для красного ($\lambda_{\kappa p} > \lambda_0$) $n_1 < n_2$ (рис. 5). Качественный ход лучей в системе примс для трех различных длины волн ($\lambda_{\kappa p} > \lambda_0$, $\lambda_0$ и $\lambda_\phi < \lambda_0$) изображен на рисунке 6.
3) Угол наименьшего отклонения $\delta$ луча примс с преломляющим углом $A$ связыван с показателем преломления $n$ соответствием (вывод представляем читателем)
$$n = \frac{\sin(A + \delta)}{2 \sin A/2}.$$
В нашем случае система примс для излучения с длиной волны $\lambda_0$ работает как одиночная примма с показателем преломления $n_0 = 1,5$ и преломляющим углом $A = A_1 - A_2 = 30^\circ$. Следовательно,
$$\delta = 2 \arcsin (n_0 \sin A/2) - A = 15,68^\circ.$$
4) На рисунке 7 изображен ход луча, падающего на системе примс и выходшего из нее параллельно основанию $DC$. На основании закона преломления можно записать
$$\sin \alpha = \frac{1}{2n_1},$$
$$\sin (60^\circ - \alpha) = \frac{n_2}{2n_1}.$$
Отсюда после преобразования получаем уравнение для длины волны $\lambda$:
$$\lambda^4 (3a_1^2 - a_2^2 - a_2 - 1) + \lambda^2 (6a_1 b_1 - 2a_2 b_2 - b_2) + 3b_1^2 - b_2^2 = 0.$$
Подставляя числовые значения $a_1, a_2, b_1$ и $b_2$ и решая биквадратное уравнение, найдем $\lambda \approx 1200$ nm.

Задча 4
На рисунке 8 изображена так называемая диаграмма импульсов для расматриемых процессов. Здесь через $\vec{P}_i, \vec{P}_0$ и $\vec{P}_f$ обозначает импульсы фotonов, через $\vec{P}_{e1}$ и $\vec{P}_{e2}$ — импульсы электронов. Заметим, что расматриемый в условиях задачи первый процесс рассеяния фotonна на движущемся электроне является обращением во временного процесса — рассеяния на неподвижном электроне (эффекта Комптона). Отсюда сразу следует, что $\lambda_i = \lambda_f = 1,25 \cdot 10^{-10}$ м и $P_{e1} = P_{e2} = P_f$. Длину волны де Бройля электрона можно найти через его импульс $P_e$:

$$\lambda_e = \frac{h}{P_e}.$$
Для определения $P_e$ достаточно применить законы сохранения энергии и импульса к любому из двух процессов рассеяния (например, ко второму):

$$h v_0 - h v_f = E_\kappa,$$
$$\frac{h v_0}{c} = \frac{h v_f}{c} \cos \theta + P_e \cos \varphi,$$
$$0 = \frac{h v_f}{c} \sin \theta - P_e \sin \varphi.$$
Здесь $E_\kappa$ и $P_e$ — кинетическая энергия и импульс электрона, $\varphi$ — угол, определяющий направление его движения после рассеяния. Задча может быть доведена до конца различных путем. Можно, например, просто использовать известную формулу для эффекта Комптона, которая вытекает из написанных выше соотношения:

$$\lambda_f - \lambda_0 = \frac{h}{mc} (1 - \cos \theta),$$
где $h/(mc) = 0,24 \cdot 10^{-11}$ м — так называемая комптоновская длина волны. В этом случае решение получаетсясовместим. Действительно,

$$E_\kappa = h v_0 - h v_f = h \frac{c}{\lambda_0} - h \frac{c}{\lambda_f} =$$
$$= h c \frac{\lambda_f - \lambda_0}{\lambda_0 \lambda_f} \approx \frac{h c}{\lambda_f^2} \frac{h}{mc} (1 - \cos \theta) \approx$$
$$\approx 1,56 \cdot 10^{-17} \text{ Дж} \approx 97,4 \text{ эВ}.$$
Так как $E_\kappa \ll mc^2 \approx 0,5$ МэВ, сразу ясно, что электрон нерелятивисткий. Поэтому можно использовать классический формулу

$$E_\kappa = \frac{P_e^2}{2m}.$$

62

В источе получим

$$\lambda_e = \frac{h}{P_e} = \frac{h}{\sqrt{2mE_K}} \approx 1.24 \cdot 10^{-10} \text{ m}.$$

Если «готовая» формула Комптона решающему неизвестна, то придется искать импульс электрона из уравнения, выражающий законы сохранения энергии и импульса. Но тогда возникнет вопрос, какими формулами описываются электрон — релятивистскими или классическими. В данном случае оба решения дают одинаковый результат, но при использовании с самого начала классических формул необходимо дать обоснованное заключение, что электрон нерелятивистский. Представляем чемителям возможность самостоятельного довести решение задачи до конца. Для справок укажем, что кинетическая энергия $E_K$ и импульс $P$ частицы с массой покоя $m$ связаны в релятивистском случае соответствием

$$P^2 c^2 = E_K (E_K + 2mc^2),$$

из которого при $E_K \ll mc^2$ получается классическое соответствие $E_K = P^2/(2m)$.

В заключение подвергем, что данная задача далеко выходит за рамки нашей школьной программы.

Задача 5

Решение этой задачи, которая не входила в официальный зачет лимпиды, мы здесь приводить не будем. Предлагаем ее читательям для самостоятельного разбор.

Экспериментальное задание

1. На рисунке 9 изображены две схемы. В первой из них оба волтметра подключены к источнику последовательно, во второй используется только один волтметр. Обозначим через $U_1$, $U_2$ и $U'_1$ показания волтметров и через $I_1$ и $I_2$ — токи в цепях. Тогда

$$U_1 + U_2 = \mathcal{E} - I_1 r, \quad U'_1 = \mathcal{E} - I_2 r.$$

Заметим, что

$$\frac{U_1}{U'_1} = \frac{I_1}{I_2}.$$

Из этих соответствий получим

$$\mathcal{E} = \frac{U_2 U'_1}{U'_1 - U_1}.$$

Таким образом, для определения ЭДС источника достаточно использовать две схемы.

2. Вольтметр и магазин сопротивлением можно подключать к источнику двумя способами (рис. 10). Предполагается, что в ходе эксперимента сопротивление $R$ магазина изменяется, и при каждом значении $R$ произвольится отсутствует показанный волтметра $U$. В случае $a$) связывает формулой

$$\frac{1}{U} = \frac{1}{\mathcal{E}} \left( 1 + r \left( \frac{1}{R_V} + \frac{1}{R} \right) \right),$$

где $r$ и $R_V$ — внутренние сопротивления источника и волтметра соответственно. Отсюда видно, что зависимость величины $1/U$ от $1/R$ — линейная. По экспериментальным данным можно построить соответствующий график (рис. 11, а). По наклону графика и по точке пересечения с осью ordинарного определить величины

$$k_1 = \frac{r}{\mathcal{E}} \text{ и } b_1 = \frac{R_V + r}{\mathcal{E} R_V}.$$

В случае $6$) имеем соответствие

$$\frac{1}{U} = \frac{R_V + r}{\mathcal{E} R_V} + \frac{R}{\mathcal{E} R_V}.$$

Здесь линейной зависимость связи величины $1/U$ и $R$. По экспериментальным данным строится соответствующий график (рис. 11, б), и из него определится

$$k_2 = \frac{1}{\mathcal{E} R_V} \text{ и } b_2 = \frac{R_V + r}{\mathcal{E} R_V}.$$

Следовательно, эксперимент позволяет найти следующие параметры:

$$k_1 = \frac{r}{\mathcal{E}}, \quad k_2 = \frac{1}{\mathcal{E} R_V} \text{ и } b = b_1 = b_2 = \frac{R_V + r}{\mathcal{E} R_V}.$$

Отсюда для $\mathcal{E}$, $r$ и $R_V$ получаются квадратные уравнения, имеющие по два положительных решений. Таким образом, предлагаемый метод без дополнительных данных не позволяет однозначно определить исключаемые величины.

63

Окончательное расчетные формулы для $\mathcal{E}, r$ и $R_V$ могут быть записаны в виде

$$r_{1,2} = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4k_1k_2}}{2k_1}; \quad \mathcal{E}_{1,2} = \frac{1}{k_2} r_{1,2}; \quad R_{V_{1,2}} = r_{2,1}.$$

3. Погрешности измерений определения, в основном, классом точности использых волтметров. Отметим здесь, что существенную роль играет также соответствие параметров волтметров и источника. Например, при выполнении первой части задания максимальная точность достигается в случае, когда внутреннее сопротивление источника и сопротивления обих волтметров одного порядка. Если один из волтметров высокоимный, а другой низкоимный, рассмотренный способ даст плохой результат. Если у одного из волтметров $R_V \gg r$, то лучшее всего измерять ЭДС источника с помощью одной схемы, приведенной на рисунке 9, $\delta$ (в этом случае $\delta \approx U'_1$). Заметим, что в ходе эксперимента могла заметно проявиться несабильность источника, что передко наблюдается, например, у батареек для карманного фонарика при протекании достаточно большого тока. В этом случае графики (см. рис. 11) представляют бытей линейными, что может привести к большой ошибке.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 11)

1. Пусть первое число $10a+b$, а второе — $10c+d$; тогда $A=100ac+10(ad+bc)+bd$, а число $B=(10b+a)(10d+c)=100bd+10(bc+ad)+ac$. Таким образом, $A-B=99(ac-bd)$.

2. Из рисунка 12 видно, что закрашенная и неакрашенная часть звезды равносствлены.

3. Если в турипе играет $k$ шахматистов и каждой встреется с каждой по разу, то всего в турипе играется $\frac{k(k-1)}{2}$ партий.

Предположим, что в этом году в турипе играет $x$ шахматистов, а в прошлом году их было $y$. Тогда по условию

$$\frac{3}{8} \frac{x(x-1)}{2} = \frac{y(y-1)}{2}.$$

Таким образом, $\frac{3}{16}x(x-1)$ — целое число, то есть или $x$, или $x-1$ делится на 16. Так как $2 \leq x < 30$, то $x$ может равнять 16 или 17.

Если $x=16$, то $\frac{3}{8} \frac{x(x-1)}{2} = \frac{3}{8} \cdot 120=45$ и уравнение $\frac{y(y-1)}{2} = 45$ имеет решение $y=10, y=-9$, из которых второе нам не гораздо сложное очиков на всех костях комплекта домино равно 168, поэтому сумма очков в каждой строке и каждой столбце равна 21. Из первого строки — $3z+v=21$. Из первого уравнения следует, что $z$ делится на 3, а из второго, что $v$ делится на 3. Значит, одно из этих чисел равно 3, а другое 6. Если $z=3$, а $v=6$, то $3z+v=15$, а не 21. Если же $z=6$, $v=3$, то второе уравнение удовлетворяет, а из первого уравнения получаем, что $y=5$. Из четвертой строки находится $u=2$, из пятой — $x=4$, из первой — $w=1$. Окончательное решение изобравено на рисунке 14.

5. Ключом к решению этой задачи является тот факт, что видимые (угловые) размеры Солнца и Лунны одинаковы, что особенно хорошо наблюдаются во время солнечных затмений. Поэтому из подобия следует, что радиус Солнца в 387 раз больше радиуса Лунны, а объем Солнца в 387³ раз больше объема Лунны.