Квант 1984, №1 · Страницы

КВАНТ
1
1984
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Здесь изображено переплетение цилиндра, города, бутылки Клейна и бесконечного листа Мёбиуса. Эти поверхности — топологические модели «локально евклидовых плоскостей», о которых рассказывает в статье И. Х. Сабитова в этом номере «Кваита».

В НОМЕРЕ:
2 В. Л. Гинзбург. О ключевых проблемах физики и астрфизики
8 А. А. Боровой. Искусственная радиоактивность
14 И. Х. Сабитов. Так ли просте ενклидов мир?

IN THIS ISSUE:
V. L. Ginzburg. Key problems in physics and astrophysics
A. A. Borovoy. Artificial radioactivity
I. Kh. Sabitov. Is the Euclidean world so simple?

НОВОСТИ НАУКИ
Stabilized monoatomic hydrogen

Science news
Stabilized monoatomic hydrogen

Лаборатория «Кванта»
И. А. Медков. Удивительная живкость

Kvant’s lab
I. А. Medkov. A surprising liquid

Matematический кругок
В. Л. Гутенахер. Системы линейных уравнений

Mathematics circle
V. L. Gutenmacher. Systems of linear equations

Geometric page

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10

«Квант» для младших школьников
Задачи
A. П. Савин. В уме и на пальцах

Kvant for younger school-children
Problems
A. P. Savin. In your head and on your fingers

Задачик «Кванта»
Задачи M841—M845; Ф853—Ф857
Решения задач M826—M830; Ф837—Ф841

Kvant’s problems
Problems M841—M845; P853—P857
Solutions M826—M830; P837—P841

Информация
Новый прием во Всесоюзную заочную математическую шкалу
Заочная физico-техническая школа при МИСиCe
Новый прием на заочное отделение Малого механита

Information
Entrance requirements to the All-Union mathematics correspondence school
The MISIS physico-technological correspondence school
Entrance requirements to the correspondence “Maly mekhmat” school

Варианты вступительных экзаменов
Ответы, указания, решения
Смесь (13)
Шахматная страница
Рентген (3-я с. обложки)

College entrance examination
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (13)
The chess page
X-raus (3rd cover page)

Фотоография на первой странице обложки илиструует свойство ферромагнитной жидкости «заполинать» нанесенный на ее поверхности рисунок. Об этой удивительной жидкости можно прочитать в статье И. А. Медкова.

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1984

2

О ключевых проблемах физики и астрологии

Академик В. Л. ГИНЗБУРГ

Если уподобить физику заданию, то это — огромное многоэтажное здание с мощным фундаментом, подвалными помещениями и эффективными башенками. Рядом подbezдные путы, ведущие на заводы, в клиники, на полигоны. Многие тысячи людей, многочисленные laboratorии, сотни различных установок и приборов, большие библиотеки, сотни журналов… Здание все время доставвается, разратается. Тысячи проблем и задач, многое взаимосвязано, с трудом отделяется от соседнего и выделяется из общего. С другой стороны, просходит дифференциальия и развление, люди годами работают рядом, но остают незнакомыми. Здание начинает напоминать Вавилонскую базию.

В то же время для физики характерно (быть может, правильнее сказать — все еще характерно) глубокое внутреннее единство и методов. Разратание здания лишь ведет к тому, что ставится все труднее выявить это единство, проследить и использовать его. Впрочем, на уровне преподавания основ физики, включая теоретическую физку, особых проб-

lem не возникает, они появляются позже, приходят с узкой специализцией. Не раз приходилось сталкивать с такой картиной: хорошо, способный студент или уже научный работник, автор оригинальных статей, имеет весма узкий кругозор. Скажем, он знаком с глубокими и трудными проблемами квантовой теории поля, но о нейтронных звездах, черных дырах, сегнетозлектриках, сверхпроводниках, жидком гелли-тири (³He) и много других не имеет достаочного представления даже на качественном уровне. Между тем для успева в работе очень важно видеть широкий горизонт и, во всяком случае, не замыкаться в пределах «своей темы». В целом, известная формулировка «все об одном и коe-что об всем», пусты и не в буквальном смысле, но все же отражает цель, к которой нужно стремиться.

Конечно, для школьника такая цель — это еще довольно далеко будущее, но я совершенню убеждан в том, что начиная можно и нужно уже в школе: не ограничивать школьной программи и учебники, знакомиться с широким кругом является, с последними научными достижениями и открытиями. Разумеется, речь здесь идет о понимании на качественном уровне, в известном отношении — о поверхности ознакомления. Но и этосовсем не мало и во много может облегчить дальнейший путь. Да, наконец, для интересушихся научнойзнавать, чем сегодия «живет и дышит» физика, астрономия, биология, просто очень интересно, не менее увлекательно, чем для любителей соответствующей литературы — читать о путешествиях и приключениях.

Естественно, для решения поставленной задачи нужно научно-популярная литература, доступная школьникам. Вот уже более 50 лет (!) прошло, а я с благодарностью помню, какую роль сыграла для меня в школьные годы книга О. Д. Хвольсона «Физика наших дней». К сожалению, называется аналогичную по шире и глубине книгу я не могу, да и физика за это время так разрослась, что,

3

быть может, сегодня нужно уже несколькоиной подходке популяризации. Об одном из возможных путей я как раз и хочу здесь расскаать.

Среди огромного числа проблем, задач и вопросов, изучением которых заняты физики и астрофизики, некоторые выделены в силу своей большой потенциальной важности для техники, существования каких-то трудно предолимых преятствий при попытках решения, особой тинстенности, глубины и т. п. Поэтому имеет известный смысл составление списка «особенно важных и интересных» или «ключевых» проблем физики и астрофизики. Конечно, такой список не может не носить несколько условный характер, и вообще, здесь необходимы неокоторые погсенения и оговорки, о них еще поjdет речь ниже.

Так или иначе, более десяти лет назад я составил подобный список и написал для обзорного журнала «Успех физических наук» статью «Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными?» (УФН, том 103, с. 87, 1971 год).

При этом я рассматривал составление списка и комментариев к нему как неокторий педагогический прием, способ расширить кругозор молодых физиков. Но мнение молодежи я не знаю и до сих пор. Это совершенно неожиданно статья навлекла на меня град упреков со стороны коллег-физиков среднего и старшего поколения. Неокторы из них считают, что вообще неелья выдельть «особенно интересные и важные проблемы», другие обжажаются, если в списке таких проблем нет тех, которые они сами занимают, и т. д. и т. п. С такой критикой я не согласен в ответ на нее превращил упомянутую статью в небольшую книжку, переведенную уже на многое языки*). Последнее свидетельствует по крайней мере о том, что обсуждение «ключевых вопросов» вызывает интерес. Недавно я опубликовал статью того же названия, что и в 1971 году, но с подзаголовком «десятъ лет спуста» (УФН, том 134, с. 469, 1981 год).

*) Книжка называется «О физике и астрофизике». Последнее (третье) издание выпущено издательством «Наука» в 1980 году.

4

Ее цель — не попытка совершаться с Дюма, а желание проследить за развитием физики и астрономики за десятилетие (1971—1981) на примере некоторых количеств ключевых проблем *).

Но, как говорят английские, “the proof of the pudding is in the eating” — для того чтобы оценить качество pudинга, нужно его съесть,— и пора, наконец, привести список, о котором идет речь.

Макрофизика

1. Управляемый термодерный синтез.
2. Высокотемпературная сверхпроводимость.
3. Новые вещества (проблемы создания металлического водорода и неокторных других «необычных» веществ).
4. Металлическая экстонная (электронно-дырочная) жидкость в полупроводниках. Переходы металл — диэлектрик. Спиновые стекла.
5. Фазовые переходы второго рода и близкие к ним (критические явления).
6. Физика поверхности.
7. Поведение вещества в сверхсильных магнитных полях.
8. Изучение очень больших молекул. Жидкие кристаллы.
9. Разеры, гразеры и лазеры новых типов.
10. Солитоны. Странные аттракторы. Нелинейные явления.
11. Сверхгяжелые элементы (далекие трансруаны). «Экзотические» ядра.

Микрофизика

12. Кварки и глюоны. Квантовая хромодинамка.
13. Единая теория слабого и электронная магнитного взаимодействия. W-, Z-бозоны. Лептоны.

В этой статье, а также в книжке, о котором я упоминал, можно найти довольно многочисленные ссылки на литературу по всем затрагиваемым вопросам.

14. Великое обедение. Распад протона. Масса нейтрино. Суперобедение.
15. Фундаментальнаялина. Взамодействие части при высоких и сверхвысоких энергиях.
16. Нарушение CP-инвариантности. Нелинейные явления в вакууме, в сверхсильных магнитных и электронических полях. Фазовые переходы в вакууме.

Астрофизика

17. Экспериментальная проверка и границы применимости общей теории относительной энергии.
18. Гравитационные волны.
19. Космологическая проблема. Связь космологии с физкой высоких энергиями.
20. Нейтронные звезды и пульсары. Физика черных дыр.
21. Квазары и ядра галактик. Образование галактик.
22. Проискождение космических лучей и космического гамма- иRENTгеновского излучения.
23. Нейтрина астрономия.
    Разделение всех этих проблем на макрофизике, микрофизике и астрономике довольно условно. Выделение 23 тем, а не, скажем, 20 или 30 — тоже условно. Почти полное отсутствие вопросов, связанных с биологическим, обучяемостям не недооценкой важности связей физики с биологическим (напротив, я отношу к биофизике с особым уважением и интересом), а стремлением все же как-то ограничить тематику и, кроме того, совсем недостаточной моей компетентностью в биологии. Наконец, главное: не может и не должно быть печи о том, чтобы занимать только «ключевыми» проблемами. Последние как-то выделены и привлекают особое внимание в силу отмеченных выше черте. Однако, каким бы разумным образом ни определять понятие «ключевая проблема», вред ли найдет даже два физика, которые составят совершенню одинаковые спискки таких проблем.

Каждай из перечисленных много 23 проблем посвящена общирная литература, часто специальные моно-

6

на проблемы термоедерного синтеза.
Я хотел лишь продемонстрировать, что понять основы вовсе не трудно. То же относится к большимству проблем, упомянутых в нашем списке. Например, легко обязывать, что такое нейтронная звезда. Такая звезда представляет собой как бы гигантское atomное ядро, состоящее в основном из нейтронов, но с примесью одинакового числа протонов и электронов. Плотность вещества в общих атомных ядрах порядка $Q_\rho = 3 \cdot 10^{14} \text{ g/cm}^3 = 3 \cdot 10^{17} \text{ kg/m}^3$.
Средняя плотность вещества в нейтронных звездах, грубо говоря, такое же порядка (сама плотность в данной точке звезды зависит от массы звезды и расстояния до ее центра).
Позному сразу же легко оценить, что звезда с массой $M_\odot = 2 \cdot 10^{30} \text{ кг}$, превращшись в нейтронную звезду, будет иметь радиус

$$r_n \sim \left( \frac{3M_\odot}{4\pi Q_\rho} \right)^{1/3} \sim 10^4 \text{ m} = 10 \text{ km}$$

(радис факторы — видимой поверхности Солнца — $r_\odot = 7 \cdot 10^8 \text{ m}$).

В 1967—68 годах были открыты так называемые пульсары — космические источники перiodических повторяющихся импульсов радионзеления. Оказалось, что пульсары представляют собой быстро врашающее и сильно намагниченные нейтронные звезды (например, пульсар PSR 0531, нахождение в знаментий Крабовидной туманности — остатке взрыва сверхновой звезды в 1054 году, делает 30 оборотов в секунду; магнитное поле на поверхности пульсара в тысячи миллиардов раз сильнее магнитного поля Земли).

Почему и как «объичные» звезды превращаются в нейтронные звезды?
Каково строение этих звезд на разных глубинах? Почему они быстро врашают? На эти и многие подобные вопросы также можно дать качественные ответы. Например, быстро врашение нейтронных звезд связывано с законом сохранения момента колчества движения — при сканирование тела оно начинает врашаться быстро (всем известно, как это обстоятельство использует в балете и при фигурном катании на льду).

Мне хотелось бы, чтобы читатель школьник (и особенно такой уже почти взрослый человек, каким является 15—17-летний ученик 9 или 10 класса) сделал также выводы. Во-первых, не нужно думать, что даже самые последние достижения физики, астрофизики и, скажем, биологически недоступны для понимания школьника. Например, в большинстве случаеев качественное представление о сутки дела, о характере открытий можно получить без большой затраты труда. Во-вторых, для человека, любящого накуку, узнать о новых явлениях и эфектах, знакомиться с научными новостями, чувствовать пульс наччной мысли — огромное удовлетворение, радость. Думаю, что эти чувства вполне сравнимы и сопоставимы с теми, которые посещают люди при «встрече» с произведениями искусства. В-третьих, нужно занимать активную позицию. К сожалению, как в школе, так и в институтах, не взведе и не всегда заботятся о приобретении учащихся к научным новостям, достижением современной науки. Не произойдет это приобретение и при игре на гитаре, и даже в процессе столбительстваной игры как шахматы. (Очень прошу читатель неоспринять это замечание как совет не играть на музыкальных инструментах или в шахматы. Я хотел лишь подчернуть, что это не должно мешать занятым наукой.) Нужно самому искать ответы, читать научно-популярные книги и журналы. Быть может, приведенный список ключевых проблем физики и астрофизики, при всей его условности и ограниченности, также помогет понять, о чем можно и интересно было узнать.

8

Искусственная радиоактивность

(к 50-летию со дня открытия)

Кандидат физико-mатематических наук
А. А. БОРОВОЙ

В конце прошло века известный шведский инженер-химик, изобретатель динамита и один из богатейших промышленников Альфред Нобель оставил завышение, согласно которому проценты от его капитала в 31 миллион крон идут на выплату премии за выдающиеся работы по физике, химии, физиологии или медицинке, по литературе и за активную деятельность по укреплению мира.

Первую premio по физике в 1901 году получил немецкий ученый Вильгельм Конрад Рентген за открытие излучения, которое он назвал «Х-лучами», а мы привели назватьRENTGENOVSKIUM.

Очень скоро Нобельская premia по естественным научам стала общепризнанной международной наградиой. Ее вручают 10 декабря. Позднее Нобельские луреаты выступают с традиционной lekцией в зале Стокгольмского университета.

Комитет, выбирающий луреатов, считает обязательным, чтобы открытие прошло проверку временем. По тем или иным принципам, для многих ученых она затягивалась на десятилетия.

Однако Джеймс Чедвик, Ирен и Фредерик Жоллю-Кюри, выступавшие перед шведскими и иностранными учеными 12 декабря 1935 года не могли пожаловать на долго время ожидания.*) Масштаб их открытия был оценен сразу, поскольку они вызвали настоящую революцию в физике.

Первым в тот вечер выступал Чедвик. Известный ученый, долгие годы работавший вместе со своим учительем Эрнестом Резерфордом, рассказывал об открытии нейтрана. Он было сделано весной 1932 года.

Затем на трибуну по очереди поднимаются супруги Жоллю-Кюри. В января 1934 года французские физики сообщили об открытии имми нового явления — искусственный радиоактивности.

«Впервые стало возможным внешней причины вызвать радиоактивность некоторых atoms ядер в течение определенного промежутка времени и в отсутствии вызвавшей ее причины».

Тепер они рассказывали об этом открытии, имеемх хотя и неprodолжительную, но довольно драматическую предысторию, самым темным образом связанную с обнаружением нейтрана.

Ирен и Фредерик Жоллю-Кюри

«Для нас является великий честь и радость, что Шведская Академия наук присудила нам premio… после того, как она удостоила Нобельской premии Пьера и Марию Кюри в 1903 году и Марию Кюри в 1911 году за открытие радиоэлементов»,

— так начала свое выступление Ирен Кюри.

…А за десять лет до этоговадцатипятилетний инженер Фредерик Жоллю впервые появился в Институте радия, возглавляемом Марийей Кюри. Он приSEL договориться о месте лабората, на которой его

*) Чедвик получил premio по физике «За открытие нейтрана»; Ирен и Фредерик Жоллю-Кюри — premio по химии «За открытие искусственного радиоактивности и синтез новых радиоактивных элементов».

9

рекомендоваал профессор Ланжевен. Формальности были сведены к нулю: «Вы можете начать работу с завтрашнего дня?» — спросила его маленькая седая женишка с живыми глазами.

На первых порах молодому исследователю пришлось достаточно трудно, поскольку он имел самые поврежденные представления о радиоактивности. А все вокруг только ей и занимались, и особенно успешно дочь Марии Кюри — Ирен, защищшая в это время докторскую диссертацию.

Однако Фредерик удивительно быстро освоил и теории, и эксперимент. «Мальчик — настоящий фейерверк», — говорила о нем Мария Кюри. Процесс приобретения к радиоактивности привел к тому, что через год в зэричетворого округа Парижа был зарегистирован брак Ирен Кюри и Федерака Жолю.

Что связавало этих людей в течение тридцати лет их счастью и трудной жизни?

«Ирен… казалась прямой противоположностью Фредерику; она была настоящко же спокойна и невозмутима, насколько он — вспыльчив и экспансивен… При спорах она не шла ни на маленьую уступку. С безжалостной прямолинейностью Ирен выдвигала свои положения, прямо бросая их в лице собственника, даже если он занимамал высокое общественное положение. Напротив, Федерак Жолю, никогда не уступая по существу, умерло использовал свои способности, чтобы психологически подготовить собственника к принятию своей точки зрения» (П. Бикар)*.

Очевидно, для них как нельзя лучше подхолла любимая Фраза Нильса Бора: «Противоположности — это не противоречия, а дополнения!»

В 1930 году Федерак защищил докторскую диссертацию, и супруги Жолю-Кюри продолжили свои работы по изучению радиоактивности. Они хотели сделать мощный источник излучения, для того чтобыombардировать а-частицами различные вещества. Изготовление такого источника было не простым и далеко не безопасным делом. Пройдут годы, и радиоактивный полонный самый страшным образом напомнить о себе.

*) П. Бикар — профессор физики. Друг Жолю-Кюри.

10

No poka молоды физики стал обладаетями десяти миллиардов α-распадов в секунду.

В том же 1930 году в лаборатории появились пока еще иком не узналиные нейтроны.

Нейтрон

Нобелевская лекция продолжается:

«В течение последних лет были открыты разного рода искусственные превращения: одна вызываются α-лучами… другие нейтронами, то есть нейтральными частицами с массой 1, о которых говорил профессор Чедвик».

…Физики уже довольно долго — с 1896 года — занимались исследованием естественной радиоактивности. Радией, торий, полоний, … — всего около 30 веществ — испускали α-частицы (ядра геля), β-частицы (электроны) и γ-лучи (электромагнитное излучение). В 1919 году Резерфорд быстроми α-частицами расшиел ядро и обнаружил, что в состав ядер входят протоны — ядра водорода.

В 1930 году немецкие физики В. Боте и Г. Беккер, бомбардиря α-частицами мишени из легких элементов, обнаружили излучение необчайной проникающей способности. Они называли его «берилиевые лучи» (поскольку лучшее эксперимент шел с бериллием) и решили, что это γ-лучи с огромной энергейой. Около года их работа не привлекала внимание, пока его не заинтересовалась Жоллю-Кюри. Они проведели красивые опыты — ставили на пути берилиевых лучей вещества, содержащие водород (например, парафин), — и обнаружили, что загадачные частицы выбивают из мишней ядра водорода — протоны. Испследатели измерили скорость этих протонов и пў нейценили энергию берилиевых лучей, считая, что это γ-кванты. Получалась огромная величины.

11 января 1932 года работа была доложена во Французской Академии наук. Жоллю-Кюри продолжали опыты, все еще считая, что имеют дело с γ-лучами. Возможно, что им понадобилось бы совсем немного времени, еще несколько недель, чтобы отбросить эту гипотезу и найти правильное решение. Но тут их опередили.

Чедвик, уже 12 лет безспешно искавший нейтрон (существование которого предсказал его учитель Резерфорд), сразу понял, с какими частицами имели дело французские физики. Его лабораторное оборудование было наготовое, и понадобился всего месяц для доказательства того, что берилиевые лучи — поток тяжелых нейтральных частиц — нейтронов. Ядерную реакцию взаимодействия α-частиц с бериллием надо было записать так:

$$9\mathrm{Be} + 4\mathrm{^2} \alpha \rightarrow 12\mathrm{C} + 1\mathrm{n}.$$

Можно представить себе разочарование французских физков, которые так близко от физища уступили победу.

Позитрон

Из Нобелевской лекции:

«Мы наблюдали, что алюминий и бор испускают при облучении не только протоны и нейтроны, но также и положительные электроны».

Мы наблюдали…

Пришло время кратко расскаать о приборах, а точнее, об одном, самом любимом приборе Prefederico Жоллю-Кюри — камере Вильсона, с помощью которого велись эти наблюдения. В этой камере капельки жидкости, образующая вдоль траектории заряженной частицы, делают ее следы видимым и дают возможность сфоргаировать его. Большинство прибора в лаборатории Жоллю-Кюри было сделано руками самих экспериментаторов или, во всяком случае, им сконструировано. И камера Вильсона была большой и весла усвоершенствованной, так что след частицы мог бы растнуть почти в 80 раз по сравнению с обычным вариантом прибора. Кроме того, камера была помещена в магнитное поле, и следы положительных частиц в ней отклонались в одну сторону, а отрицательных — в другую. По кривизне

11

траектории можно было судить и об имплусе частицы.

…Жолно-Кюри продолжали работу, облучая α-частицами бор, фтор, натрий, и вскоре доказали, что в этих реакциях также появляются нейтроны (иногда и протоны). Тут они столкнулись с трудностями, которые и стали продолжом к открытию. Трудности состояли в том, что при испускании нейтрона, например, алюминим, в результате реакции

$$\frac{27}{13}\text{Al} + \frac{4}{2}\alpha \rightarrow \frac{30}{15}\text{P} + \frac{1}{0}n$$

должны образоваться ядра фосфора-30, которое никакто в природе не встречал, тогда как ядра кремния-30 — $$\frac{30}{14}\text{Si}$$ — способно существовать.

Наверное, при облучении все же появляется кремний, — решили использовать, и стали изобретать механизм, при котором ядро фосфора-30 с зарядом +15 могло бы потерять единицу заряда, не меняя массы.

Сначала предположили, что оно захватывает во время реакции один из atomных электронов и превращается в ядро кремния:

$$\frac{30}{15}\text{P} + e \rightarrow \frac{30}{14}\text{Si}.$$

Если бы все знать наперед! Ведь переход $$\frac{30}{15}\text{P} \rightarrow \frac{30}{14}\text{Si}$$ мог бы осуществлен и при испускании положительного электрона — позитрона. Более того, на фотографиях в камере Вильсона французские физики давно замещали следы, выходящие из мишени, по всем признакам электронные, но только поворачивающие в магнитном поле в сторону, соответствующее заряду $e^+$. Они обьясняли их электронами, летящими назад — к мишени.

«Нильс Бор занитересовался этим chimkammi, но мы сделали ошибку, неудельвдолжного вимания этим следам».

Прошло еще несколько месяцев, прежде чем в космических лучах Андерсон открыл существование позитрона. Все вроде бы встало на свои места, и Жолно-Кюри могли теперь записать реакцию взаимодействия ядер алюминия с α-частицами в виде

$$\frac{27}{13}\text{Al} + \frac{4}{2}\alpha \rightarrow \frac{30}{15}\text{Si} + \frac{1}{0}n + e^+.$$

Второй раз они были так близки к обнаружению новой частицы и второй раз опоздали!

Искусственная радиоактивность

Теперь следует то, что можно было бы назвать формулой открытия:

«Имеются два процесса, различно протекающие во времени. Сначала происходит захват α-частицы и мгновенное испускание нейтрона с образованным… фосфора-30… Затем этот неустойный, то есть новый радиоактивный элемент… распадает по экспоненциальному закону с временем полураспада в три минуты и образует кремний».

Но до этого обьяснения оставались еще места упорного труда. Осенью 1933 года на Сольвевском конгрессе в присутствии крупнейших физков супруги Жолно-Кюри расскаазали о своих опытах, при которых под действием α-лучей из ядер алюминия, фосра, натрия вылетали нейтроны и позитроны. «Большинство из присутствующих на конгрессе физков не поверило в правильность наших опытов. После заедания мы были очень огорченны, но в этот момент Нильс Бор ответел на сторону… и сказал, что придает больше значения полученным результатам. Вслед за этим и Паули поддержал нас своим одобренемом» (Ф. Ж-К).

Вернувшись с конгресса в Париж, Жолно-Кюри снова приступал к работе. И наконец пришел тот день, а точнее яварский вечер 1934 года, когда это произшло. Нензвестно, насоклько можно доверять легенде, которая быут среди физков, но согласно ей это произшло так. Ирен и Фредерик спешли закончить свои опыты, поскольку в тот вечер были приглашены в гости, спешли, и в результате кто-то из них опрокиннул амплуу с полонем. Альфа-частицы перестали попадать на алюминиеву фольгу, а счетчик продолжал считать позитроны, правда, все медленнее и медленнее.

Дальше легенда уже подтверждается восполнимами П. Бикара: «Все стало ясным… При условии, что пошелкивание счетчиков вызвано новым излучением, а не поломкой самих прибора. Этот вопрос Жолно задал себе в 6 часов вечера. Но они уже не могли отказаться от приглашения в гости. К счастью, в лабора-

12

Приборы, с помощью которых Жоллю-Кюри удалость выделить радиоактивные элементы.

торин работал молодой немецкий физик В. Гентнер, специализит по счетчикам. Жоллю… попросил его проверить правильность их действия…

На следующей утро Фредерик и Ирен нашли на своем столе запису Генттера, в котором он уверял, что счетчик в полном порядке».

Итак, когда уносили источник α-частиц, алиминевая фольга продолжала изучать позитроны! Они испускались еще некоторое время, при этом число их уменшалось вдвое каждые три минуты, строго следуя закону радиоактивного распада, который открыл Резерфорд для естественных радиоактивных изотопов.

Реакция взаимодействия α-частиц с алиминем представилась теперь с совершению новой стороны —

$$\begin{align*} 27Al + \frac{4}{2}\alpha &\rightarrow 30P + \frac{1}{0}n \\ 30P &\xrightarrow{T_{1,2}=3\text{ min}} 30Si + e \end{align*}$$

— и впервые были произнесены слова «искусственная радиоактивность».

…На трибуну поднимается Фре-, дерик Жоллю-Кюри и продолжает рассказ Ирен:

«Получив источников первых результатов при помощи выводов чистого физического характера, мы поставили свое целую подкрепить наши гипотезы с помощью… химических доказательств реализации вызываний превращений».

Физики на время превращлись в химikus, чтобы выделить образован-

шийся фосфор из алюминия. Сделать это было нелегко: ведь период полураспада фосфора мал — всего около трех минут. Кроме того, выделить несколько радиоактивных atoms вообще невозможно. Однако можно сначала подмешать к ним весомое количество неактивного фосфора-31, обладающего абсолотно теми же химических свойствами, а затем проводить извлечение. Атомы фосфора-30 будут всуду следовать за свойствами «братьями» — атомами фосфора-31.

Облученную алиминеву фольгу и кусочек красного фосфора помещали в пробирку с соляной кислотой. Из пробирки выделялся водород вместе с фосфористым водородом, которые и собирались в другую пробирку. Вся операция продельалась за считанные минуты. Потом пробирка с газами подносилась к счетчику, и он начал считать позитроны. Вот теперь можно было раздновать победу!

Оtkрытие завоевывает мир

«Число известных в настоящее время искусственного полученных радионзотопов уже превосходит число естественных радиоэлементов, которые находится в земной коре»,

— говорил Ф. Жоллю-Кюри.

13

Это было похож на фейерверк: в начале 1934 года — три искусственных радионзотопа, к концу — уже около пятидесети. Их получали облучением элементов α-частицами, протонами и дейтронами на только что созданных ускорителей. В Италии группа Энрико Ферми использовала незаряженные снаряды — нейтроны, которые легко проникали в ядро. Уже началось применение искусственных радионзотопов в химии, в медицине. Со временем к этому списку добавились биология, энергетика, металлургия, пищевая промышленность, кримinalистика, сельское хозяйство и т. д., и т. п. Искусственные радиоактивных изотопов извесно более тысячи (а стабильных изотопов — около 300), и число их «специальностей» перевалило за сотню.

Как случайность, что искусственное радиоактивность обнаружили именно Ирен и Федерарик Жоллю-Кюри? Качестве физиков-экспериментатов позволили им совершить это открытие?

О двух главных качественных направлений Б. Понтекорво*): могучея научной фантазии и способности признавать даже самый, казалось бы, неверятный и страный факт. Можно добавить к этому и третье — научное предвидение.

*) Б. Понтекорво — советский физик, академик. Неколько лет работал в лаборатории Жоллю-Кюри.

Катастрофа на экваторе

В Москве сейчас зима, в Австралии — лето. А какое время года в стилизованном на экваторе? На этот вопрос жители этого города отвечают шуткой: «Если солнечно, то лето, если дождь — зима». А если ответить серезно?

Высота кульминации Солнца день одного меняется. У нас, в сервисом получарики, день низшей кульминации Солнца наступает 22 декабря («зимнее солнеctостоянное»). В южном получарики, как известно, этот день — 22 июня («летнее солнеctостоянное»). А теперь представим себе, что мы движемся к экватору;data низшей кульминации остается неизменной. Но стоит перешагнуть через экватор — и эта величина меняется скачком, на целях 6 месяцев. Сделаем шаг назад — скачок на 6 месяцев обрабатно! Как объяснить этот парадок?

На самом деле ничего удивительного здесь нет. Проство не все физические вещиины изменяются непрерывно — иногда бывают разрывы, скачки. Математическое теория «неплавных» изменений называют теорией особенностей или (с легкой руки французского математика P. Тома) теорией катстроф.

В описанном случае на экваторе происходит простейшая «катстрофа»: сколько угодно малое изменение одной величины (географический широты) приводит к значительному скачкообразному изменению другой (даты низшей кульминации).

(Окончание см. на c. 23)

14

Так ли просте ввклидов мир?

Кандидат физико-mатематических наук И. Х. САБИТОВ

Геометрию, изучаемую в школе, называют ввклидовой в честь древнегреческого ученого Евклида, сумевшего систематизировать эту наук на основе акисиатического метода. Среди акисиом геометрии, предложенных Евклидом, наиболее известность снискала пятая — акисиома паралельных. Эта акисиома (или «пятый постулат», как ее назвал Евклид в своих «Началах»), в существии, утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно проверсти единственную прямую, паралельную данной. Правда, в «Началах» Евклид формулировал это утверждение в другой (но эквивалентной) форме: «Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меняше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меняше двух прямых».

Не геометрия Евклида — не единственная логическая возможность

Рис. 1. В геометриях Евклида, Лобачевского и Римана — разные акисиomy паралельных.

Рис. 2. В ограниченной части пространства непредседательно не видно, какая из акисиomy имеет место.

15

Так как же осуществить экспериментальную проверку аксиомы параллельных?

Сумма углов треугольника — пробный камень геометрии мира?

Оказывается, это, в принципе, возможность. Дело в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых равносильна утверждению, что сумма углов произвольного треугольника равна 180° *), а в геометрии Лобачевского получается, что эта сумма меньше 180°. Поэтому Гаусс, использую геодезические измерения, решил вычислить сумму углов в треугольнике, образованном треяя высокими вершинами (Броккен, Хохенгаген и Инзельберг) в горном массиве Гари, отстоящими друг от друга приблизительно на 100 км. Лобачевский выбор для своих вычислений космические масштабы — он измерил сумму углов треугольника, вершинами которого были Земля, Солнце и смая яркая звезда северного полушария Сириус. Но в обихх экспериментах полученные отклонения от 180° были в пределах допустимой ошибки измерений, поэтому никакого вывода о геометрии реального мира они не дали.

Однако представим себе, что какому-нибудь наблюдается удалость с безукоризенной точностью установки, что сумма углов неокторого треугольника равна 180°. Значит ли это, что наша геометрия — евклидова?

Ответ утвердительный, если мы считаем верной теорему Лежандра. Эта теорема, разумеется, доказывает с использованием других аксиом Евклида. Но выполняются ли остальные аксиомы в реальном мире? Например, почему можно быть увеличным в том, что две прямы, пересекающие на лежащем перед нами листе бумаги, больше нигде в реальном пространстве не пересекутся,

*) Более того, французский математик А. Лежандр доказал, что аксиома параллельных следует из существования хотя бы одного треугольника с суммой углов 180° (см. доказательство в книге Энциклопедия элементарной математики, М., «Наука», 1966, т. V, с. 399).

как бы далеко мы их ни продолжали? Давайте поэтому относится ко всем аксиомам Евклида с одинаковой требовательностью — ни про одну аксиomy не будет заранее предполагать, что если она доступна проверке в ограниченной области, то она справедлива и во всем пространстве.

Тогда мы приdem к таким вопросу: предположим, что всюду в реальном пространстве все аксиомы евклидовой геометрии выполенены «в малом», то есть в пределах доступности для наших изменительных прибора (где бы ни находился наблюдаемый); верно ли тогда, что реализное пространство является евклидовым «в целом» (то есть все евклидово трехмерное пространство является правильно моделью всего физического пространства)? Этот важный (в существии, космогоническая) вопрос дает чисто математическую формулировку, которая и будет интересовать нас здесь.

Постановка задачи

Пусть в окрестности каждой точки пространства (скажем, в некотором шаре с центром в этой точке) выполенены все положения евклидовой геометрии. (Разумеется, сформированные так, чтобы они имели смысл в пределах шара; например, аксиома параллельных должны быть заменена на утверждение «Сумма углов треугольника равна 180°» и т. п.) Что тогда можно сказать о геометрии всего пространства?

Пространство со свойством евклидовости в окрестности каждой точки называется локально евклидовым.

Математически более точно определение локального евклидова пространства следует из существования хотя бы одного треугольника с суммой углов 180° (см. доказательство в книге Энциклопедия элементарной математики, М., «Наука», 1966, т. V, с. 399). Если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее расстояния (это значит, что расстояние |ab| равно |a’b’| для любых точек a, b ∈ A, если a’, b’ — соответствующее точки из A’). Так вот, пространство называется локально евклидовым, если в нем определено расстояние между любыми двумя его точками и если каждая его точка имеет окрестность, изменчивую неокторому шару объкновенного евклидова пространства.

16

В данной статье мы не имеем возможность записать локальное всклидовыми пространствами трех измерений, а ограничимся рассмотрением локального всклидовых пространств только двух измерений. Мы будем их назвать локальное всклидовыми плоскости. Нашу задачу можно сформировать так: как устроены локальное всклидовы плоскости в целом?

Цилиндр и его развертка

Разумеется, простейший пример локального всклидовой плоскости — это сама всклидова плоскость. На ней мы останавливаемся не будем — тут все ясно, — а начнем со следующого по простоте примера — бесконечной цилиндрической поверхности (или, кратко, — цилиндра). На рисунке 3 она представлена как множество всех точек на горизонтальных прямых (образующих), проходящих через всевозможные точки единной окружности $C_0$ (направляющей), расположенной в вертикальной плоскости $a$.

Но пока у нас нет «геометрии» на цилиндре. Нам нужно определить расстояние между точками, выяснить, что полимать под «прямой» на цилиндре, и т. д. Чтобы это сделать, разрежем наш цилиндр $U$ по одной из образующих и развернем его на координатную плоскость $Oxy$ в виде бесконечной плоскости $P$, точки $(x; y)$ которой удовлетворяют неравенству $0 \leq y \leq 2\pi$ (рис. 4). Мы будем считать, что плоская полоса $P$ со «склеенныхми краями» (то есть полоса, у которой все пары точек $(b; 0)$,

Рис. 3. Бесконечный цилиндр.

(b; 2π) считаются совпадащими) и задает «геометрию» на цилиндре. Как говорят математики, мы отождествляем пары точек вида $(b; 0)$ и $(b; 2\pi)$ для всех $b$ и рассматриваем геометрию на полосе $P$, учитывая это отношение.

Проверим локальную всклидовость такой геометрии на цилиндре. Для этого возьмем произвольную точку $A(x; y) \in \Pi$. Если точка $A = A_1$ не лежит на краях полосы (см. рис. 4), то все очевидно: возьмем круг радиуса $r$, меньше, чем расстояние от $A$ до ближайшего края; этот круг циликом лежит в полосе $P$ и, разумеется, представляется собой общий всклидовокруг. Если же точка $A = A_2$ лежит на краю полосы (см. рис. 4), то ее координаты имеют вид $(b; 0) \equiv (b; 2\pi)$ и круговой окрестностью служит, например, объедининие двух (склеенных!) получгов единчного радиуса с центрами в точках $(b; 0)$ и $(b; 2\pi)$, а так как эти получgruги склеиваются по диаметром $MN \equiv M'N'$, после склейки получается общий единный всклидовокруг.

На цилиндре $U$, как на поверхности в пространстве, естественно задается расстояние между точками как длину кратайшей линии, идушей по $U$ и соединяющей эти точки. На основании этого на цилиндре тоже можно развитить некоторую геометрию. Вдумчий читатель спроектирует: будет ли эта геометрия совпадать с геометрией на полосе $P$ с отношением краями? Оказывается, что будет. Однако обоснование этого факта (относится к так называемой дифференциальной геометрии) выходит за рамки нашей статьи.

Геометрия на цилиндре

Мы установили, что локальное (в малом) геометрия цилиндра —

Рис. 4. Цилиндр (полоса со склеенными сторонами) — локальное-евклидово.

17

евклидова. А как выглядит геометрия на цилиндре (то есть, на полосе П с отношением краями) в целом? Как устроено «расстояние» на цилиндре? Какие на нем «прямы»? Какие аксимы на нем выполняются?

Прежде чем ответить на эти вопросы, разберем один несколько необъичный пример. Пусть в некоторой местности проходят две параллельные дороги, вдоль которых довольно часто расположены дорогные станции; из каждой станции идет одна линия телефонной связи — в симметрично станцию на другой дороге. Во внутренних пунктах местности телефонной связи нет, и сообщения передаются, скажем, бегунами. Примем за расстояние между двумя пунктами времени, требующей для передачи какого-либо сообщения. Тогда ясно, что для скорейшей передачи сообщения из пункта А в пункт В иногда гонцу лучше бежать не прямо из А в сторону B, а в противоположную сторону, к близкой телефонной станции.

Такого же рода необъичное расстояние имеет место на нашей полосе со склеенными краями. Действительно, рассмотрим точки А, B, C в полосе П. Для точек А и B (цы координаты $y_A$ и $y_B$ отличия меньше, чем на половину ширины полосы — π) расстояние обусловное, то есть — длина отрезка $AB$. А вот для А и C (для которых $|y_A - y_C| > \pi$) расстояние равно $|AK'| + |KC|$, где $A'$ получается из А с двумя отрезками $CA'$ с краем полосы и $KK' = -AA'$ (рис. 5). На языке «telefonного» примера выгоднее гонца послать из C в точку K, передать сообщение мгновенно по телефону в K’ и доставить его в A со вторым гонцом по отрезку $K'A$.

Задача 1. Докажите, что расстояние от точки $A(x_A; y_A)$ до точки $B(x_B; y_B)$ на полосе П со склеенными краями задается формулой

$$|AB| = \begin{cases} \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \\ \frac{\varepsilon \left|y_A - y_B\right|}{\sqrt{(x_A - x_B)^2 + (2\pi - |y_A - y_B|)^2}}, \\ \varepsilon \left|y_A - y_B\right| > \pi. \end{cases}$$

«Прямы», как и расстояния, в нашей геометрии необъичны — они бывают трех типов (рис. 6, а). Во-первых, прямой будет любая обчная прямая, параллельная краям полосы. Во-вторых, «прямой» будет любой отрезок (so склеенными концами), соединяющий края и перpendикularный им. И в-третьих, «прямой» будет совокупность периодических повторяющихся параллельных косых отрезков — таких, как на рисунке 6, а. На цилиндре в пространстве эти три прямых представляют собой, соответственно, образующие цилиндра, окружности, параллельные направляющей, и винтовые линии (рис. 6, б).

Что касается аксимом, заметим прежде всего, что аксима параллельных выполняется «в целом» (на всей поверхности)!

Задача 2. Найтиите (единистенные) «прямы», параллельные «прямы» KL, MN и ST, проходящие через точку A на рисунках 6, а и 6, б.

Не теперь уже нарушают другие аксимы. Далее такая: Через две точки проходят только одна прямая. Например, красная

Рис. 5. Кратчайшее расстояние между точками A и C равно $|AK'| + |KC|$.

Рис. 6. Три гипа «прямы» на цилиндре: винтовая линия ST, прямая KL, окружность MN.

18

(винтовая) «прямая» пересекается с черной (образушей)… бесконечное число раз (см. рис. 6)!

Задача 3. Описите те пары точек на цилиндре, через которые проходит только одна прямая.

Этим курьезы цилиндрической геометрии не исчерпываются. Читатель заметил, наверное, что «прямы» на цилиндре, параллельные направления, ограничены: максимальное расстояние между точками на такой прямой… равно π.

Задача 4. Приведите примеры, показывающие, что отрезок «прямой» не всегда является кратчайшим путем между концевыми точками, наклонная иногда короче перпендикулара, теорема Пифагора верна не всегда. Испледуйте, как выглядит «окружность» (то есть множество точек, равно удаленных от данной точки) при увеличении ее радиуса.

Таким образом, локальная выполнимость всех аксиомев включовой геометрии, и даже выполнимость «в целом» аксиомы о параллельных, не гарантирует, что мир, в котором разворачивается такая геометрия, обязательно будет неограниченной плоскостью. Возможно и строение такого мира в виде бесконечного цилиндра, а также, как мы сейчас увидим, в виде других геометрических образований.

Плоскийтор

Пусть на плоскости $Oxy$ дан прямойгольник $T$ с вершинами $A, B, C, D$ (рис. 7). Отождестим сторону $AB$ со стороной $CD$ так, что $A$ отождестляется с $D$, а $B$ — с $C$; далее отождестим сторону $BC$ — со стороной $AD$ так, что $B$ совпадает с $A$, а $C$ — с $D$ (при таком отождестлении окажется, что все вершины прямогогольника $T$ сливаются в одну точку). Определим «расстояние» между двумя точками прямогогольника как длину кратчайшего пути между этим точками, учитывая при этом указано выше согласно об отождествлении.

Например, вычислим «расстояние» между точками $M\left(-\frac{3}{4}a; \frac{1}{4}b\right)$ и $N\left(\frac{3}{4}a; b\right)$ (см. рис. 7). Прежде всего замещаем, что отрезок $MN'$, где $N'=\left(\frac{3}{4}a; -b\right)$, короче отрезка $MN$; следовательно, кратчайший путь от $M$ к $N$ надо искать среди путьей, соединяющих $M$ с $N'$ (так как $N'$ и $N$ — это одна и та же точка по условию отождествления). Правая отождестость стороны $AD$ — это одновременно правая отождестость стороны $BC$; поэтому, «приставив» положку $a \leq x < 2a$, $-b \leq y \leq b$ к стороне $BC$ (см. рис. 7), видим, что всякий другой путь из $M$ в $N'$, в том числе отрезок $MN'$, длинее, чем отрезок $M'N'$. Значит, самый короткий путь из $M$ в $N$ — это объединение отрезков $MM_1$ и $M'_1N'$ и «расстояние» между $M$ и $N$ равно $\sqrt{(a/2)^2+(3b/4)^2}$.

Задача 5. а) Укажите примеры пар точек прямогогольника $T$, «расстояние» между равно $\sqrt{a^2+b^2}$; б) показите, что «расстояние» между любыми двумя точками не больше, чем $\sqrt{a^2+b^2}$; в) показите, что для любой данной точки найдется единственная точка, отстоящая от данной на расстояние $\sqrt{a^2+b^2}$.

Рис. 7. Плоскийтор — склеенный прямоугольник. Кратчайшее расстояние между точками $M$ и $N$ равно $|MM_1|+|M'_1N'|$.

Рис. 8. Две «прямы» (красная и синия) на торе.

19

Прямогольник $T$ с отождествленными параметрами противоположных сторон и указаны выше правилом вычисления «расстояний» называется плоским тором.

«Прямы» на плоском торе определяются как и в полосе $Π$ — модели цилиндра. На рисунке 8 изображены две «прямы»: красная замкнутая «прямая» $AC$ состоит из одного ввклидова отрезка, синяя «прямая» состоит из многохотрезков — $M_{-1} = M_0) M_2 = M_1) M_4 = M_3)$ … и она, возможно, замкнется при дальнейшем ее продолжении.

Задача 6. Докажите, что «прямая» на плоском торе будет замкнутой в том и только в том случае, когда число $(a \ tg a)/b$ является рациональным, где $tg a$ — угловой коэффициент (относительно оси $Ox$) отрезков в $T$, составляющих эту прямую.

Мы утверждаем, что построенная таким образом геометрия на плоском торе — локальное ввклидова. Действительно, каждая внутренняя точка прямогольника $T$ имеет малую окрестность, где все введенные для плоского torа объекты и правила изменения — те же самые, что и в ввклидовой геометрии. Для точки $M_1$ на границе доказательство усматривается из рисунка 7. Для вершины этого видно из того же рисунка: все окрестности отождествления, и геометрия вокруг вершины тоже оказывась геометрией ввклидова кругга!

Итак, плоский тор представляет собой еще один пример локального ввклидова мира. На нем, как и на цилиндре, пятый постулат справедлив «в целом», однако строение torа «в целом» отличается от общий плоскости, и от цилиндра.

Задача 7. Докажите, что на плоском torе нет скольного больших расстояний, хотя есть скольного длины прямые. Исследуйте форму «окружности» на плоском torе при увеличении ее радиуса.

Есть еще одно важное отличие плоского torа от цилиндра: плоский тор нельзя с сохранением длины кривых представить в трехмерном пространстве в виде поверхности, на котором пары отождествляемых сторон — $AB$ и $CD$, $BC$ и $AD$ — были бы действительно склеены вместе, как это происходит с краями полосы $Π$ при свертывании ее в цилиндр. Но это отличие уже называют внешним, так как оно проявляется лишь при попытке связать геометрию полосы $Π$ и прямогольника $T$ с геометрией некоторых поверхностей во внешнем по отношению к ним пространстве. Если прямогольник $T$ считать сделанным из резины и допускать растяжения, то из него можно склеить тор; более подробно об этом см. статью А. Землякова («Квант», 1979, № 9, с. 2):

Бесконечный лист Мёбиуса

Снова рассмотрим бесконечную полосу $Π : a \leqslant y \leqslant b, -\infty < x < +\infty$, но на этот раз проведем отождествленное краев полосы $Π$ по следующему закону: точка $(x; a)$ отождествляется с точки $(-x; b)$ (то есть прямая $y = b$ сначала отражается зеркальное относительное оси $Oy$ и лишь затем отождествляется с прямой $y = a$). Определения «расстояния» и «прямы» аналогичны случаем цилиндра и плоского torа. Полученная при этом локальное ввклидова плоскость называется «бесконечным листом Мёбиуса».

Рис. 10. Прямы на бесконечном листе Мёбиуса: черная (вертикальная), синяя (MN), красная (A’B).

2*

20

буса (объчный лист Мёбиуса является частью бесконечного, получаемый склейкой вертикальной полоски (рис. 9). На рисунке 10 нарисованы три «прямы»: черного цвета — замкнутая, синero цвета — параллельная краю полосы Π, красного цвета — наклонная, состоящая из бесконечного числа евклидовых отрезков. На примере точки B (см. рис. 9) показано, как закон отождествления порождает евклидову геометрию вблизи точки края полосы Π.

Задача 8. Исследуйте геометрию на бесконечном листе Мёбиуса. Показите, что каждая наклонная прямая пересекает себя бесконечное число раз. Верен ли пятый поступат «в целом»? Как выглядят окружности?

Плосая бутылка Клейна

Обратимся снова к прямогольнику на рисунке 7. Введем следующие правила отождествления: сторону AD отождествляем с BC с сохранением порядка следования точек, то есть точка (—a, y) ∈ AD отождествляется с точкой (a; y) ∈ BC, а сторону AB отождествим со сторону CD с изменением порядка следования точек, то есть точка (x: —b) ∈ AB отождествляется с точкой (—x: b) ∈ CD; в частиности, все вершины будут считаться за одну точку. «Прямы» и правила измерения «расстояний» введем как и выше. Можно проверить, что снова в окрестности каждой точки геометрия получается евклидова (проведите эту проверку для окрестности вершины прямого угольника). Эта модель локального евклидовой геометрии называется плоским односторонним горомили плоской бутылкой Клейна.

Рис. 11. Model бутылки Клейна (с саморесечением).

Задачка 9. Исследуйте геометрию на плоской бутылке Клейна.

Так же, как плоский тор, плоскую бутылку Клейна нельзя помещить в трехмерное пространство, не искажая расстояния на ней. Более того, ее можно помещить в пространство только с самопересечениями, даже если разрешать расстояния и скатия (без разрывов). Model бутылки Клейна с самопересечением показана на рисунке 11.

Заключение

Итак, принципи одинаковой требовательности ко всем аксиомам некомненно себя оправдал: мы обнаружили, что евклидова геометрия плоскости жива не единой аксиомой о параллельных, но что и другие аксиомы существенным образом определяют ее облик. Более того, оказалось, что даже евклидовость в окрестности каждой точки и выполнимость пятого пространства всуду не приводят еще к евклидовости в целом (пример: цилиндр и плоский тор). Значит, если даже во всех отдельно изследованных частях пространства геометрия оказывается евклидовой, то в целом строение такого мира вовсе не обязательны столь простым, как двумерная плоскость или трехмерное пространство.

В курсах высшей геометрии доказывается, что кроме перечисленных пятей примеров — плоскость, цилиндр, плоский тор, бесконечный лист Мёбиуса и плоская бутылка Клейна — других полных локальных «миров» нет. (Полнота, грубо говоря, ознакомает, что можно неограниченно продолжить каждой точкой «прямую», хотя бы и по самому себе.)

Что касается локального евклидовых пространств трех измерений, то их существенно отличаются от их существуют 18 типов. Из них мы упомяем лишь один пример: это слой пространства между двумя параллельными плоскостями, которые считаются отождествлеными по точкам, симметричным относительно средней плоскости в слое.

21

Удивительная жидкость

Н. А. МЕДКОВ

В этой статье будет рассказано о некоторых свойствах необъчного вещества — ферромагнитной жидкости — и о простых экспериментах с ней.

Если с твердыми магнитами человекачество знаком с древнейших времен, то ферромагнитные жидкости, то есть коллоидные растворы твердых ферромагнитков, были получены в 60-х годах нашего века. Сейчас эти новые вещества уже достигочно изучены и даже находят неокторое практическое применение.

Давайте и мы «познакомимся» с ферромагнитной жидкостью и ее свойствами.

Как приготовить ферромагнитную жидкость

Прежде всего вам понадобится касторовое масло (его можно купить в аптеке) и гидрат оксис железа Fe₂O₃ • nH₂O (он есть в школьном кабинете химии).

Автор этой статьи Илья Медков ученик 10 класса 204-й Московской школе.

В фарфоровоу ступку налейте 10—15 г масла и смешайте его с изменяенным ферромагнитком до образования жидкости, пожожей на густую сметану. Приготовленную смесь растрайте в ступке в течение 10—15 минут.

To, что у вас получилось, не есть настоящий коллектив раствор, так как частицы неоднородны и их размеры горизонтно больше, чем 10⁻⁹ м. (Для получения действительно коллективных растворов необходимо сложные аппараты, например вибромельница для изменения частицы и центрифуга для последующого разделения их по размерам.) Однако для изучения характерных свойства ферромагнитных жидкости данная смесь в полне подойдет.

В наших опытах в качестве источника магнитного поля мы использовали школьный демонстрационный электромагнит с обмоткой из 2400 витков. Питался он от сети переменного тока с напряжением 220 В через диодный мост (годятся любые диоды с максимальным током, больше

22

шим 0,5 А). Самое важное — выбор магнитопровода (сердечника электромагнита). Чтобы получить доста-
точно однородное магнитное поле, площадь секения магнитопровода должна быть не менее 8—10 см².
Его можно изготовить самим, набрав из тонких, хорошо изолированных друг от друга пластин, или можно воспользоваться съемным сердечником школьного демонстрационного трансформатора.
Приготовив ферромагнитную жидкость и собрав электромагнит, можете приступать к экспериментам.

Опыты и наблюдения

1. Поместите 30—40 г жидкости в мелкую чашку (обязательно из немагнитного материала!), поставьте чашку на торц магнитопровода и включите поле. Вы будете наблюдать поднятие жидкости в центре (в наших опитах оно составляет около 5 мм). Если смесь недостаточно хорошо перемешана или слищком велико содержание ферромагнитного порошка, получится «еж», такой, как на рисунке 1.

2. Тщательно перемешайте жидкость после предыдущего опыта. Если у вас получился «еж», приготовьте новую порцию смеси, с бóльшим содержанием масла. Снова поставьте чашку на торц магнитопровода, взьмите палочки из немагнитного материала и при включенном магнитном поле нарисуйте его какой-нибудь узор на поверхности жидкости (рис. 2,a). Подождите несколько секунд и выключите поле. Поверхность жидкости разглажится, и на ней будет еще виден контур нанесенного вам рисуника (рис. 2,б). Затем повторно включите поле — рисунок появится снова (рис. 2,в). Обыт можно продолжать несколько раз, включая и выключая магнитное поле.

На рисунке 2 изображены фото-graphии, полученные нами во время опыта. Одно и то же изображение нам удавалось «восстановлять» 5—6 раз, при этом четко рисука практически не умеешьлась (хотя интервалы между включениями поля достигали 20 и более минут).

23

3. Для этого опыта вам понадобится очень сильное магнитное поле. Можно воспользоваться тем же электромагнитом, но на теоретическом подходе конус. Возле острия конуса магнитное поле будет наиболее сильным. Если капнуть на острие капельку жидкости и затем включить поле, жидкость мгновенно изменит цвет, став оранжевой или ярко-красной (в зависимости от ее состав).

Эксперименты закончены. Телерь подумаем, почему и как проискудят эти удивительные явления.

В первом опыта мы видели, что жидкость поднимается в центре сечения магнитопровода. Этот эффект известен под названием магнитостаческого и заключится в увеличении давления жидкости в области сильного поля.

Способность «запоминать» свойствена многоимогим материалов. Так и магнитная жидкость, однажды прияв форму, при которой ее энергия минимальная, снова «вспоминает» свое состояние при включении поля.

Другие опыта и наблюдения поставят обязывать сами.

Возможное практическое применение

Придумано много оструемых конструкций, использующих электromagнитные жидкости. Вот некоторые из них.

В высококачественных громкоговорителей в зазор между катушкой электронагнитна и его сердечником можно залить магнитную жидкость. Это позволяет значительное увеличение улучшить характеристики диамикков.

На основе этой удивительной жидкости можно создать специальный насос. Он представляет собой трубку из гибкого материала, помещенную вместе с электromagнитом в камеру с жидкостью. При включении электронагнита жидкость пульсирует, возникает деформация эластичной трубки, и нахождение в ней вещество перекачается в нужном направлении. Это несколько напоминает работу пищевода человека, отсюда и название: перистальтический насос. Такой насос можно использовать, например, для подачи топлива на космических кораблях.

Ферромагнитные жидкости можно применять также в магнитожидкостьх уплотительных подшипников турбин, в качестве теплопостелья в тепловых машинах и т. д.

Заключение

Эксперименты с ферромагнитными жидкостями очень интересны. Если вам понравились наши опыта, вы сможете продолжить их или придумать новые. Так, в популярных книгах по химии можно найти рецепт приготовления пирофорного железа. Это настоящее мелкий порошок, что он самопроизвольно загорается на воздухе (позетом будьте с ним осторожны!). Ферромагнитные жидкости, содержащие пирофорное железо, обладают очень интересными свойствами.

Катастрофа на экваторе

(Начало см. на с. 13)

Tri графика на рисунке, выражающие высоту кальминазии Солнца как функцию времени (даты) для трех точек около экватора, объясняют, в чем дело. Все три функции близки друг к другу и имеют два минимума (22 июня и 22 декабря), но лишь для одной из них (линия 6 — точка на экваторе) значения функций в этих точек одинаковы; для точки в южном полушарии (линия 8) наименьшее значение достигается в первом минимуме (22 июня), для точки в северном (линия а) — во втором (22 декабря).

Пунктные линии показывают, что все три графика получены из обычных синусoidальных кривых отражением относительно прямой α=90° той их части, которая лежит выше этой прямой (ведь по определенному Солнце не может поднять все точки зенита, для которой α=90°).

H. H. Михайленко

24

Системы линейных уравнений
Кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

Системы линейных уравнений часто встречаются в различных приложениях математики (например, к физике, химии, экономике). В статье расссказывается о простейших способах решения таких систем и об универсальном способе — методе Гауса.

Исключение переменной

Понять метод лучше всего на примере. Расмотрим систему
$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 7x + 5y = 1. \end{cases}$$

Чтобы ее решить, исключим с помощью первого уравнения переменную $x$ из второго уравнения. Подготовим для этого оба уравнения так, чтобы коэффициенты при $x$ у них были одинаковы. Умножая первое уравнение на 7, а второе на 2, получаем
$$\begin{cases} 14x + 21y = 35 \\ 14x + 10y = 2. \end{cases}$$

Тепер оставим первое уравнение нетронутым, а второе заменим на разность между первым и вторым уравнениями:
$$\begin{cases} 14x + 21y = 35 \\ 11y = 33. \end{cases}$$

Придамим теперь первому уравнению его perвоначальной вид, а второе разделим на 11:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ y = 3. \end{cases}$$

Подставляя значение $y=3$ в первое уравнение, находим
$$\begin{cases} x = -2 \\ y = 3. \end{cases}$$

25

Ответ получен, система уравнения имеет единственное решение — пару чисел (-2; 3).

Задачи

1. Метод исключения переменной решения системы
   a) $\begin{cases} 2x+3y=4 \\ 3x-2y=5 \end{cases}$
   b) $\begin{cases} \frac{3}{4}x-\frac{5}{6}y=1 \\ \frac{5}{6}x-\frac{3}{4}y=2. \end{cases}$
2. Две точки движутся по числовой оси с скоростью $u=-12$ km/ч и $v=12$ м/c. Вначале их абсциссы были $a=3$ km и $b=-500$ м. Где и когда они встретятся?

Замена переменных
Одним из основных приемов алгебры является замена одних переменных других. Этот прием позволяет создать задачи к более простым. Пусть, например, нам нужно решить систему не линейных уравнений
$$\begin{cases} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=5. \\ \frac{7}{x}+\frac{5}{y}=1. \end{cases}$$
Полягая $u=\frac{1}{x}, v=\frac{1}{y}$, мы получаем линейную систему с новыми переменными $u, v$:
$$\begin{cases} 2u+3v=5 \\ 7u+5v=1. \end{cases}$$
Решая ее, находим $u=-2, v=3$. Возвращаем теперь к старым переменным: $\frac{1}{x}=-2, \frac{1}{y}=3$, откуда $x=-\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}$.

Задача 3. Метод замены переменных решения системы
a) $$\begin{cases} \frac{1}{2x+3y-5}+\frac{7}{5x-8y+12}=1 \\ \frac{4}{2x+3y-5}-\frac{14}{5x-8y+12}=1 \end{cases}$$
b) $$\frac{x^2+xy=5}{3x^2+5xy=23}$$
c) $$\frac{xy}{3x+2y}=\frac{1}{5}, \frac{xy}{5x+7y}=1.$$

Геометрический смысл линейного уравнения
Чтобы найти уравнение прямой $y=kx+b$, прохождение через точки с координатами (1; 2) и (3; 1), подставим в уравнение $y=kx+b$ вместо $x$ и $y$ координаты данных точки. Мы получим систему
$$\begin{cases} 2=k+b \\ 1=3k+b. \end{cases}$$
Решая ее, находим $k=-\frac{1}{2}, b=\frac{5}{2}$.
Таким образом, искomme уравнение $y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.
Но может служить так, что соответствующий система уравнения не имеет решения. Пусть, например, данные точки имеют координаты (1; 2) и (1; 3). Подставля эти значения в уравнение $y=kx+b$, получаем систему
$$\begin{cases} 2=k+b \\ 3=k+b, \end{cases}$$
не имеющего решения (ведь из уравнения системы следует $2=3$). На первый взгляд, это немного удивительное — ведь через две точки всегда проходит прямая. Оказывается, уравнение прямой, проходящей через точки (1; 2) и (1; 3), не записывается в виде $y=kx+b$ — ее уравнение $x=1$.
Таким образом, мы выяснили причину недоразумения — задача была недачно сформулирована: в условиях предполагалось, что уравнение прямой на координатной плоскости всегда имеет вид $y=kx+b$, однако для прямых, параллельных оси ordinат, это не так. В связи с этим оставляем уравнение произвольной прямой записываются в виде $ax+by=c$. Такой вид позволяет охватить уже все прямые на координатной плоскости. Например, если положить $a=\frac{1}{2}, b=1, c=\frac{5}{2}$, получится уравнение первого нами прямой, а если взять $a=1, b=0, c=1$ — уравнение второй прямой.
Рассмотрим теперь систему
$$\begin{cases} x+\sqrt{2}y=\sqrt{3} \\ \sqrt{2}x+2y=\sqrt{6}. \end{cases}$$
Решить ее — это на геометрическом языке значит найти общие точки прямых, заданных уравнениями $x+\sqrt{2}y=\sqrt{3}, \sqrt{2}x+2y=\sqrt{6}$. Решим эту систему методом исключения переменной: уножим первое уравнение на $\sqrt{2}$ и вычтем из второго:

26

$$\begin{cases} \sqrt{2}x + 2y = \sqrt{6} \\ \sqrt{2}x + 2y = \sqrt{6} \end{cases} \quad 0 = 0.$$

В результате осталось только одно уравнение. Это означает, что система имеет бесконечное число решений и прямые совпадают. В процессе решения мы обнаружили, что второе уравнение — это первое, умноженное на $\sqrt{2}$, что сразу можно было не заметить.

В разобранных задачах мы столкнулсь со всеми возможными ситуациями: система имеет единственное решение, не имеет решения, имеет бесконечное число решений. Так же обстоит дело и в общем случае. Система $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными, как правило, имеет единственное решение. Но когда одно из ее уравнений является «линейной комбинацией» остальных уравнений или противоречит им, она имеет бесконечное число решений или их вообше нет.

Задачи

4. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки a) (1; 5) и (2; 3); б) (6; 1) и (6; 5).

5. При каких $k$ и $b$ прямые $y - kx = 2$ и $2y - 6x = b$ совпадают? б) не пересекаются?

6. При каких $a$ системы

$$\begin{cases} 2x + (9a^2 - 2)y = 3a \\ x + y = 1 \end{cases}$$

не имеет решение?

7. Докажите, что система

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

тогда и только тогда имеет единственное решение, когда $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$. (Число $a_1b_2 - a_2b_1$ называется определенным системы.)

Ошибки при округлении

При решении задача на ЭВМ могут возникать удивительные ситуации. Классический илистрацией этого является решение системы

$$\begin{cases} x + \sqrt{2}y = \sqrt{3} \\ \sqrt{2}x + 2y = \sqrt{6}. \end{cases}$$

Эта система, как мы уже убедились, имеет бесконечное число решения. Однако, если решать ее на ЭВМ, она будет иметь… единственное решение! Это происходит потому, что ЭВМ не имеет операровать с числами вида $\sqrt{2}$, — они заменяют в ней на десятичные (или двойные) приближения.

Если, например, числа $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$ заменить на их десятичные приближения с одной цифрой после запятой: $\sqrt{2} \approx 1.4; \sqrt{3} \approx 1.7; \sqrt{6} \approx 2.4$, система примет вид

$$\begin{cases} x + 1.4y = 1.7 \\ 1.4x + 2y = 2.4. \end{cases}$$

Решив ее, мы получим одно решение: $x = 1; y = 0.5$.

Если же оставить четые знака после запятой, получается система

$$\begin{cases} x + 1.4142y = 1.7320 \\ 1.4142x + 2y = 2.4494 \end{cases}$$

имеющая тоже одно (но совсем другое) решение: $x = 0,3178; y = 1$.

Интересно, что, какими бы десятичными приближениями мы ни заменяли число $\sqrt{2}$, всегда будет получаться единственное решение.

Докажем это. Заменив в системе (1) $\sqrt{2}$ буквой $a$, получим

$$\begin{cases} x + ay = \sqrt{3} \\ ax + 2y = \sqrt{6}. \end{cases}$$

Покажем, что при $a^2 \neq 2$ система имеет единственное решение. Если $a = 0$, это очевидно. Пусть теперь $a \neq 0$. Умножая первое уравнение на $a$ и вычитая из него второе, приводим систему к виду

$$\begin{cases} x + ay = \sqrt{3} \\ (a^2 - 2)y = a\sqrt{3} - \sqrt{6}. \end{cases}$$

Так как $a^2 \neq 2$, $y$ принимает единственное значение $\frac{a\sqrt{3} - \sqrt{6}}{a^2 - 2}$. Подставляя его в первое уравнение, находим единственное значение $x$. Таким образом, если в качестве $a$ взять не само число $\sqrt{2}$, а его какое-нибудь приближение, то $a^2 \neq 2$ — значит, система обладает единственным решение.

Остается напомнить («Алгебра 7», п. 28), что само число $\sqrt{2}$ не представляется в виде конечной десятичной дроби (и даже в виде любой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ целые числа).

Из-за этого мы и получили парадокс, связанный с решением системы (1) на ЭВМ.

Обратим внимание на то, что даже в случае, когда все коэффициенты данной системы — конечные десятичные дроби, при их округлении решение системы может сильно измениться. Так, система (2) получается округленем коэффициентов системы (3), и при этом их решения совсем разные. В системе с большим числом переменных ошибки, возникло ошибка при округлении, тем более могут приводить к существенным измененным решений.

Оценить ошибку и указать процесс решения, гарантирующего наименьшую погрешность, — важная и далеко не простая задача. В начале прошло века ее начал изучать вликий математик Гаусс, а существенные дальнейшие продвижения в этом направлении были сделаны только в последние десятичные. В связи с основополагающим вкладом Гаусс в эту область его именем назван простой и универсальный метод исключения переменных.

Метод Гаусс

Послеовательное исключение переменных — наиболее удобный способ решения системы линейных

27

Уравнение на ЭВМ. Продемонстрируем его на примере системы трех уравнений с трея переменными

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = -1 \\ 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -4 \\ 4x_1 + x_2 + 4x_3 = -2. \end{cases}$$

Первый шаг состоит в том, что с помощью первого уравнения переменная $x_1$ исключается из остальных уравнений: первое уравнение оставляем неизменным; из второго уравнения вычитаем увоенное первое; из третього уравнения вычитаем учетверенное первое; получаем

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = -1 \\ -3x_2 - 2x_3 = -2 \\ -3x_2 - 4x_3 = 2. \end{cases}$$

Второй шаг состоит в том, что с помощью нового второго уравнения переменная $x_2$ исключается из третьего уравнения: первые два уравнения оставляем неизменным; из третьего уравнения вычитаем второе; получаем

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = -1 \\ -3x_2 - 2x_3 = -2 \\ -2x_3 = 4. \end{cases}$$

Теперь из последнего уравнения находим $x_3 = -2$. Подставляя это значение в предыдущей уравнение, находим $x_2 = 2$. Подставляя $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$ в первое уравнение, находим $x_1 = 1$. Итак, у нас готов ответ: $(1; 2; -2)$.

Аналогичным образом можно решать любые системы линейных уравнений. Грубо говоря, метод Гауса заключается в следующем:

С помощью первого уравнения переменная $x_1$ исключается из остальных уравнений. Затем с помощью нового второго уравнения переменная $x_2$ исключается из всех следующих уравнений. Потом с помощью нового третьего уравнения исключается переменная $x_3$. И так далее, пока мы не получим в последнем уравнение значение последней переменной. После этого находим переменные в обратном порядке, подставляя их известные значения в уравнение.

Мы видим, что это — почти готовая программа для ЭВМ. Но, чтобы этот метод сравывает, нужно, чтобы на $k$-м шаге новое $k$-е уравнение содержало $k$-ю переменную (ведь с его помощью нам нужно исключать эту переменную из остальных уравнений). Если оказывается, что это не так, приходит переставлять (переумерровывать) уравнения или переменные.

Может служиться также, что с некоторого места последние уравнения превращается в числовые равенства вида $0 = b$. Если хотя бы одно из этих равенств неверно ($b \neq 0$), то система не имеет решений. Если же все эти равенства верны, то система имеет бесконечное число решений. (Все также считаются предусмотрены в результате использования программы для ЭВМ.)

Отметим, что в ЭВМ вводятся не уравнения, а таблицы коэффициентов — так называемые матрицы системы. Например, системе, которая мы только что решили, сопоставляется матрица

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$

Два шага метода Гауса, которые мы сделали при решении, можно изобразить так:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -4 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$

Кстати сказаны, когда системы с трея и большим числом переменных решаются вручную, а не на ЭВМ, то тоже удобнее действовать с матрицами — меньше шансов ошибиться.

Задача 8. Решите систему, предлагавшуюся семиклассикam на 2-м type XV Московской области:

$$\begin{align*} x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 2x_5 &= 1 \\ x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 4x_4 + 4x_5 &= 2 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 6x_4 + 6x_5 &= 3 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 8x_5 &= 4 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 9x_5 &= 5. \end{align*}$$

Разные задачи

9. Математик выsel гулять — сначала он пошел поровной дороге, затем поднялся в гору, повернул назад и пришел домой той же

28

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Дорогой. Он знал, что гулял всего 5 ч, что его скорость поровной дороге равна 4 км/ч, в гору — 3 км/ч и при спуске с горы — 6 км/ч. Сев за стол и составив одно уравнение с двумя переменными: $x$ — пройденное в оба конца расстояние и $y$ — длина наклонного участка, математик с удивлением обнаружил, что может найти $x$. Найдите $x$.

10. За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждой стопт кружка с молоком. Один из гномов переливает $\frac{1}{4}$ своего молока соседу справа. Затем соседа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий соседа и, наконец, четвертый гном $\frac{1}{4}$ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если
    a) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было вначале?

11. Определите числа $a, b$ и $c$ так, чтобы функция $y = ax^2 + bx + c$ имела таблицу значений

Решение. Подставляя последовательно данные значения $x$ и $y$ в формулу $y = ax^2 + bx + c$, получаем $1 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c, 2 = a \cdot 1 + b \cdot 1 + c, 2 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c$. Решив эту систему уравнения, находим $c = 1$, $a = -\frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$. Следовательно, функция имеет вид
$$y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 1.$$

12. Определите числа $a, b$ и $c$ так, чтобы функция $y = a + b(x-1) + c(x-1)(x-2)$ имела таблицу значений

Решение. Из рисунка 1 получается система

$\cdot$ Поскольку данная статья в первую очередь расчитана на семиклассиков, здесь и далее используются обозначения из учебного пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6-10».

29

Рис. 4. Рис. 5.

$$x + y = c, y + z = a, z + x = b.$$

Она, конечно, легко решается любым из вышечкаанных способов, но красивее и проще поступить иначе. Сложим все три уравнения. Получаем $2x + 2y + 2z = a + b + c$, откуда $x + y + z = \frac{a + b + c}{2}$. Вычитая из этого уравнения каждое из уравнений системы, находим $x = \frac{b + c - a}{2}, y = \frac{a + c - b}{2}, z = \frac{a + b - c}{2}$.

16. На основании $AB$ равноведренного треугольника $ABC$ взята точка $E$. В треугольнике $ACE$ и $ECB$ вписаны окружности, которые касаются отрезка $CE$ в точках $K$ и $H$. соответственно. Найдите длину отрезка $KH$, если $AE = a, EB = b$.

17. (Предлагалась воспоминания на XXIII Украинской олимпиде в 1983 г.) Прямогольник разбит на квадраты так, как показано на рисунке 2. Известно, что сторона защищенного квадрата равна 1. Найдите стороны остальных квадратов.

Решение. Обозначим искомые стороны через $x, y, z, u$ (см. рис. 2). Тогда $MN = y = u + 1, AB = x = y + 1, KL = z = x + 1$. Подставляя $y = u + 1$ во второе соответствие, находим $x = u + 2$. Подставляя $x = u + 2$ в третье соответствие, находим $z = u + 3$. Тепер запишем равенство противоположных сторон прямогольника: $x + z = y + 2u$; подставив сюда $x, y$ и $z$, получаем $(u + 2) + (u + 3) = (u + 1) + 2u$, откуда $u = 4$. Тепер находим $x = 6, y = 5, z = 7$.

18. Прямогольник разбит на квадраты так, как показано на рисунке 3. Известно, что сторона защищенного квадрата равна 2. Найдите стороны остальных квадратов.

В двух следующих задачах реш идет о разветвленных электрических цепях, составленных из проводников единичного сопротивления. Каждая цепь подключана к источнику в двух точках (полюсах). Тoki подчиняются правым Кирхгофа, которые для расматриваемых цепей можно сформулировать так:

1. Сумма токов, входяших в любой узел, равна сумме токов, выходяших из него (полюс узлом не считается).

2. В любом замкнутом контуре сумма токов, идущих по часовой стрелке, равна сумме токов, идущих против часовой стрелки$^*$).

19. На рисунке 4 изображена электрическая цепь с полюсами $A, C$ и узlamи $B, D$. Найдите токи во всех проводниках этой цепи, если известно, что ток в проводнике $DB$ равен 1. (Стрелками обозначены направления токов.)

20. На рисунке 5 изображены электрические цепи с полюсами $A$ и $C$. Найдите токи в их проводниках, если известно, что в каждой цепи ток в проводнике $CD$ равен 1. Некоторые токи у вас получаются нулевыми и отпечатальными, что это означает?

21. Двое играют в такую игру: в системе
    $$\begin{cases} x + y = * \\ x + y = * \end{cases}$$
    они по очередно вместе какой-нибудь звездочки ставят какое-нибудь число; первый хочет, чтобы полученная в конце системы имела решение, а второй хочет, чтобы система решений не имела. Кто выиграет при правильной игре? А кто выиграет, если, наоборот, первый хочет, чтобы полученная система не имела решений, а второй — что бы имела?

22. (Предлагалась в восемом и десятом классах на XXIII Всегоозной олимпиде и вошла в заданок «Кваンタ» под номером М578; решение см. в разделе «Ответы, указания, решения».) Решите систему $(a$ и $b$ — данные числа)
    $$\frac{x - y \sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2 + y^2}} = a, \quad \frac{y - x \sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2 + y^2}} = b.$$

$^*)$ Правильнее сказаать, что одинаковые суммы падений направления, но, поскольку все проводники имеют единичные сопротивления, можно говорить и о токах.

30

Видимые контуры

На верхнем рисунке воспроизведена фотографика тора (поверхности бублика или спасательного круга), сделанного из тонкого стекла. Мы видим на этой фотографию темную линюю замысловатой формы: она имеет две точки самопересечения и четыре точки возврата — так называются точки, в которых линяя скачком меняет свое направление на 180°, образуя нечто вроде острого клюва. Что изобразает эта линяя, почему на ней присутствует точки самопересечения и точки возврата и как выглядит отвечающая ей линяя на самой поверхности? Что ответить на эти вопросы, переведем их на привчный геометрический язык.

Луч света, вовсе не пересекающий поверхность или пересекающий ее под большим углом, не теряет или почти не теряет своей интенсивности. В то же время, луч, близкий к касательной к поверхности*), проходит через значительную толщу стекла (рис. 1) и соответствующое место на фотографию или на экране будет более темным. Таким образом, наши проблемы имеют следующее геометрическую переформулировку.

Лежащий в пространстве тор произвивается пучком параллельных прямых (лучей света). Оставим в этом пучке только те прямые, которые касаются тора, и отметим на каждой из этих прямых точку касания и точку пересечения с заранее фиксированной плоскостью — «экрана». Отмеченные точки составляют линей на торе и на экране. Мы хотим разобраться в устройстве этих линей.

Оказывается, что если угол наклона прямых к плоскости осевой окружности тора не слипком велики, то линей будут выглядеть как показано на рисунке 2, в частиности линей на торе не будет иметь никаких особенностей — ни точек самопересечения, ни точек возврата). Чтобы в этом убедиться, проведем через наши лучи вертикальные (параллельные оси врашения тора) плоскости. Эти плоскости будут пересекаться тор по линяям, которые мы будем дальнейать сечениеми. Изменение сечение при плавном движении вертикальной плоскости изобрежено на первой «кинограммме» (рис. 3). В каждой из наших вертикальных плоскостей лучи составляют семейство параллельных прямых. Мы отбираем те из них, которые касаются сечениеми, и отмещаем точки касания с ним карандашом, а точки пересечения касательных с прямой — следом нашего экрана — красным карандашом (см. кинограмму). Вертикальные плоскости, составляющими нашу кинограмму, отвечают параллельные прямые на экране. Нарисуем их и отметим на них найdenные краские точки (см. рис. 3). Получившаяся картина позволяет проследить ход почти всей линей на экране, несяными остатками два отчечных на рисунке места. В оставшихся двух местах (достаточно расстоять одно из них, поскольку они симметричны) мы применим метод «замедленной киносбемки», причем ограничится лишь центральной частью кадра.

*) Касательная к поверхности есть, по определению, прямая, касающаяся некоторой линей, лежащей на этой поверхности.

31

На рисунке 4 изображена получающая кинограма, а под ней показаны соответствующие части красной и синей линии (синюю линии мы проектируем на вертикальном плоскосте, она от этого существенно не меняется). На нашей кинограме мы видим, что две касательные сначала движутся друг к другу и проходит друг сквозь друга. В этот момент (кадр № 2) на красной линии получается точка самопересечения, а на синей — нет (соответствующая касательная касается тора в двух точках! — впрочем, это проходит только если касательная достигано полога). Затем в некоторый момент (в момент сляния двух кусков сечения в одной — см. кадры № 9 и 10 первой кинограммы) в центре каждая возникла две новые касательные, которые быстро расходятся. Затем скорость, с которой они расходятся, уменьшается, но все равно они догоняют две стары касательные (кадр № 5 второй кинограммы). И тут же все касательные исчезают.

Послений момент мы рассмотрим еще визитальное. Для этого на третьей кинограме мы применим еще большее замедление, еще больше увеличение и — еще один кинотрик — заставим время двигаться вспять. На попадающих в поле зреня кусках сечения имеется точка перегиба, причем касательная к сечению в точке перегиба с течение времени поворачивается против часовой стрелки. Пока она остается положе направления наших лучей, рассматривая часть кривой вообще не имеет касательных, параллельных лучам. Затем такая касательная появляется, причем в момент своего появления это — касательная в точке перегиба. Сразу после появления она разделивает, причем точки касания двух касательных расходятся очень быстро, а сами касательные расходятся очень медленно (см. кинограму на рисунке 5). Поэтому две ветви красной линии, прилегающие к основанию касательной в точке перегиба, очень близки друг к другу — мы имеем точку возврата; соответствующие же ветви синей линии расходятся в разные стороны, то есть синей линия является величиной рассматриваемой точки объIkновенной глазкой кривой.

Можно заметить, что в точках, отвечающих точке возврата красной линии, касательная к синей линии имеет направление наших лучей. Уже одного этого достаточно, чтобы убедиться в существовании у красной линии точек возврата. Действительно, красная линия получается в результате проектирования синей линии вдоль лучей. При проектировании же пространственной кривой на плоскость в направлении касательной к этой кривой в некоторых точке на проекции получается точка возврата. Чтобы это увидеть, возьмите изогнутую проводку и посмотрите на нее одним глазом так, чтобы касательная в некоторых проекциях проходила через центр вашего экрана. Вы увидите точку возврата.

В заключение заметим, что наша конструкция «красной и синей линии» применима не только к поверхности тора, но к любой поверхности, произвольной параллельными прямыми. При этом красная линия может иметь точку пересечения и возврата, а синея линия, как правило, их не имеет.

Заметим, что художник, изображющий объемный предмет при помощи линей, изображает в действительности часть нашей красной линии, отвечающей поверхности предмет — часть, состоящую из оснований тех касательных, которые не пересекают предмет между точкой касания и экраном. Эта часть красной линии образует «видимый контур» предмета, такой, как на сосуде на рисунке 6 (справа к видимому контуру пунктиром пририсования невидимые части красной линии — это не принято делать на рисунках, но принято делать на чертежах).

В проечем, точки возврата на видимом контуре никака не появятся: по крайней мере, одна из двух ветвей красной линии, входящих в точку возврата, будет невидима.

32

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Вращение Земли и ускорение свободного падения» представляет возможность исследования восьмилассикам, заметка «Два вида электросистемы» — девятилассикам и «Прицили Ферма» — десятилассикам.
Материалы подготовил И. К. Белкин.

Вращение Земли и ускорение свободного падения

В учебнике «Физика 8» на странице 104 сказано: «Вращение Земли приводит к тому, что ускорение свободного падения, измененное относительно какого-либо тела на поверхности Земли, на разных шипотах различно». Выясним причины этого различия.

Относительно движения состоящит как известно, в том, что движение одного и того же тела, но относительно разных систем отчета, движущихся друг относительно друга, выглядит по-разному. Различны траектории движения, скорости, ускорения.

Если одна из систем отчета движения относительно друг с постояной скоростью (без ускорения), то скорость $\vec{v}$ тела относительно одной из систем отчета, условно принятой за неподвижную, равна $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$, где $\vec{v}_1$ — скорость тела относительно подвижной системы и $\vec{v}_2$ — скорость подвижной системы относительно неподвижной. Ускорение тела относительно обих систем в таком случае одно и то же (оно, как говоря, абсолютино).

Иное дело, если одна из систем отчета движения относительно друг с ускорением. Тогда не только скорость, но и ускорение тоже относительно ускорение $\vec{a}$ тела относительно неподвижной системы отчета равно сумме ускорений $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$, где $\vec{a}_1$ — ускорение тела относительно подвижной системы и $\vec{a}_2$ — ускорение подвижной системы относительно неподвижной, то есть

$$\vec{a} = \vec{a}_1 + \vec{a}_2.$$

Одним из примеров именно такое случай служит свободное падение тела на Землю. Поскольку Земля врашается вокруг своей оси, система отчета, связанная с любой точкой на ее поверхности, движется с ускорением. Поэтому ускорение падающего тела относительно неподвижной системы должно равнуть сумме ускорения тела относительно подвижной системы и ускорения подвижной системы относительно неподвижной.

Неподвижная система отчета может быть связана с каким-нибудь неизменным телом, например с Солнцем. Но можно поступить и проще, не покидая Землю. Ведь и на поверхности Земля есть точки, не участвующие в ее врашении. Это — положы Земля, через которые проходит ось врашения. Следовательно, чтобы найти значение ускорения падающего тела относительно неподвижной системы отчета, нужно изменить ускорение свободного падения на земном полюсе. Для этого на полюсе можно установить линейку с делениями (рис. 1) и, например, с помощью строкосоппического метода, изменить ускорение падающего вдоль линейки тела. Линейка и связанная с ней система координат и будут для нас неподвижной системе отчета. Так как свободное

Рис. 1. Рис. 2.

34

приятения к Земле действует на опору или подвес. Если опора или подвес покояться относительно Земли или движется относительно нее без ускорения, то вес численного равен силе тяжесте. Но весы, при помощи которых изменяется вес тела, в любом месте Земли, кроме ее положов, движется с ускорением. Поэтому весе, кроме положов, вес тела не равен силе тяжесте. Наименьшим веса тела будет на экваторе. Впрочем, значения веса на экваторе и на положе различаются так же мало, как и значения ускорения свободного падения.

Два вида электречства

(Из истории физики)

В прошлом году исполнилось 250 лет с того времени, когда впервые стало известно о существовании двух видов электречства. В 1733 году французский физик Шарль Франсуа Дюфе (1698—1739) опубликовал во французском и английском журнале статы, в которых описал результаты своих оптово электризации различных тел.

Стеклянное и смоляное. Из многочисленных иостройно поставленных экспериментов Дюфе сделал вывод, что существуют два вида электречства. Одно электречство возникает при натирании копала (ископаемой смолы), антаря (тоже ископаемой смолы), воска, щелка и многохydrites веществ. Другое появляется при натирании стека, горного хрустала, драгоценных камней, шести и др. Позетом Дюфе называл первое из них смоляным, а второе стеклянным электречством. Тело, обладающее любым из двух видов электречства, притягивает к себе легкие тела (именно это свойство еще с античных времен обозначалось словом «электречство»). Различие же состоит, как выясил Дюфе, в том, что тела, заряженные одним и тем же электречством (стеклянным или смоляным), отталкивают друг друга, но если одно тело заряжено стеклянным, а другой смоляным электречством, то они взаимно приятываются.

Так были установлены функции электречства факты: существование двух видов электречства и существование электречских сил прижжения и отталкивания.ECTественно возникло вопрос о том, как же появляется у назлестриованных тел то или иное электречство. В то время об этом можно было только строить договора.

Флюид Франклина. Одна такая договора была высказана в 1750 году американским физиком (а также известным государственным и общественным деятельности, одним из руководителей борбы americanских колоний за независимость) Бенджамином Франклином (1706—1790).

По Франклину в каждом теле содержится особое электречское вещество (флюид, как тогда говорили), что-то вводе электречской жидкости отталкивания друг от друга, но сильно приягиваются частицами тела, так что всякое тело действует на электречскую жидкость подобно губке, втягивающей в себя_body (частцы электречской жидкости много меньше частицы самого тела, иначе они не могли бы пропускать внутреннее тела). Но присутствуют электречской жидкости в теле не делает его назлестриованным, если она содержится в теле в некотором, так сказаать, нормальном количестве. При натирании же одного тела другим часть электречской жидкости перетекает из одного тела в другое, вот тогда-то оба тела и становятся назлестриованными. То тело, в котором электречская жидкость перетекала и в котором позетом создается ее избыток по сравнению с нормальным количеством, становится обладаателем стеклянного электречства. Второе тело, в котором электречская жидкость меньше нормального количества, заряжается смоляным электречством. Оdnako Франклин дал этим двум видам электречства другие назлестриования. Стеклянное электречство (им образом тела с избытком электречской жидкости) Франклин назвал положи-

35

тельным, а смоляное (которым обладают тела с недостатком электрического флюида) — отрицательным. Эти называния, как известно, сохранились до наших дней, впрочем, как и другие термины, введенные в научу об электричестве Франклином: заряд, разряд, конденсатор, батарея, проводник и т. д.

Такое довольное странное толкование дал Франклин известным в его время электрическим явлениям. Странное потому, что оно не могло обьясить самый важный из известных тогда фактов — прятяжение легких предметов к назначенным темам.

Электричество и …чулки. Другое обьясение было предложено в 1759 году английником Робертом Симмером. Поводом для этого послужило довольное занятие наблюдания, проведенные им.

Симмер имел обьясовение носить две пары чулок: черные шерстяные для теплла и белые шелковые для красоты. Снимая с нори сразу оба чулка и выдергивая один из другого, Симмер видел, как оба чулка раздуваются, воспроизводят форму ноги и прятягиваются друг к другу. Однако чулки одного цвета, как черные, так и белые, друг от друга отталкиваются. Если держать в одной руке два белых, а в другой два черных чулка, то при сслижении рук взаимное отталкивание чулок одного цвета и прятяжение разноцветных приводит к забавной вознеме между ними, чулки противоположных цветов как бы набравыются друг на друга и сплегаются в один причудливый клубок.

Эти наблюдания и привели Симмер к заключению, что в каждом теле имеет не одна, а две электрические жидкости — положительная и отрицательная, содержащие в теле в одинаковых количеств. При натирании двух тел какая-то из них может перейти из одного тела в другой, тогда в одном теле оказывается избыток одной из жидкости, а в другой — ее недостаток. Оба тела станут налектированными противоположными по значу электричеством (зарядами).

Электрический конфликт. Так появились два представления об электричестве. Долгое время, почти полтора столетия, ни одна из них не получала всеобщого признания.

Когда в конце XVIII — начале XIX вв. появилась возможность получить и изучать постоянный электрический ток, возникок спор о том, что именно «течет» в цепи, содержащей источник тока и проводники. Были сомнения и в том, одинаковы ли электричество, которое получают при натирании тел, и то, что течет в электрической цепи. Последнее получило даже специальное название — галваническое электричество. Но все же многое считали, что в проводниках электрической цепи текст одновременно два симмеровских электричества, и называли электрический ток… электрическим конфликтом, поскольку эти электрические тексты в противоположных направлениях. Так, например, когда в 1820 году Х. Эрстед издал брошюру, в которой описывалось открытое им действие тока на магнитную стрелку, он называл ее так: «Опыты, относится к действию электрического конфликата на магнитную стрелку». Тогда читательм было понятно это странное для нас название, и брошюра имела успех ввиду фундаментальной важности сделанного открытия.

Прав был Симмер. Окончательное разрешение старый спор двух теорий — Франклина и Симмер — получил лишь в конце XIX — начале XX вв.

Тепер мы знаем, что победителем в споре надо признать Симмера. «Электрические жидкости Симмера» — это отрицательно заряженные электрины и положительное заряженные протоны, которые в строю одинаковом числе содержатся в каждом нейтральном теле, в каждом atomе любого вещества.

Но коое-что оказалось верным и в теории Франклина: при натирании тел переходить с одного тела на другой может только один «флюид» — отрицательно заряженные электрины. Однако тело, на которое они переходят, становится отрицательно заряженным, в то время как Франклин считал его заряженным положительным

36

но. Это связывано с тем, что Франкин счел нужным называть положительным стеклянное электрическо Дюфе. Отсюда, от этого выбора, сделанного Франкином, следует и то, что электону мы приписываем отрицательный знак заряда, и то, что за направление электрического тока принимается направление движения положительных зарядов, хотя в металлических проводниках фактически движутся отрицательно заряженные частицы. В электритах и газах электрический ток — это встречное движение и положительные, и отрицательные частиц. Но теперь никто это не считает электрическим конфиктом.

Приципл Ферма

Основу геометрической оптики, которая оперирует понятем «световой луч», составляют три закона — законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. В давние времена, когда были формулированы эти законы, вопрос о природа света еще не стоял, и за понятем «луч» не скрывалось ничего физического реализации света. Так это и сделано в учебнике «Физика 10» (§§ 37 и 65). Однако в конце XIX — начале XX вв. стало ясно, что свет обладает не только волновыми, но и корпускулярными свойствами тоже. С точки зрения корпускулярной (квантовой) природы свет представляется собой поток элементов световых частиц — фотонов. В однородной среде луч можно считать траекторий движения фотонов.

Но интересно, что задолго до этого был формулирован удивительный принцип, из которого примо следуют все основные законы распространение

Рис. 1.

ния света. Приципл этот, найденный французским математиком Пьером Ферма (1601—1665) около 1660 года, гласит: из всех возможных путей между двумя точками свет проходит по тому, по которой время прохождение называется наименьшее.

Из принципи Ферма (так его обобщено называют) следует, что в однородной среде (в такой среде скорость света всюду одинакова) свет должен распространяться прямоолично: прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками, следовательно, и время распространения — наименьшее.

Покажем теперь, что закон отражения света — тоже примо следствие принципи Ферма.

Закон отражения света. Пусть MM — плоское зеркало. В точке A находится источник света, и нас интересует, по какому пути свет, отражшись от зеркала, приходит из точки A в точку B (рис. 1). На рисунке 1 показаны некоторые из возможных путей — AA’B, ACB, AB’B. Таких «маршрутов» для света можно избежать бесчисленное множество. Они различны по длине, так что на их прохождение требуется различное время. Оно зависит от того, в какую точку зеркала упадет луч и, отразившись, направится в B.

Из простых геометрических сообщений легко выяснить, куда именно должен упасть луч, чтобы время его прохождения по «маршруту» точка A — зеркало — точка B было наименьшим. На рисунке 2 представлен один из возможных путей — ACB. Опустим из точки B припендикуляр на зеркало MM и продолжим его по другую сторону зеркала до точки B’, отстоящую от зеркала на расстоянии |OB’| = |OB|. Проведем линю CB’. Получившиеся треугольники COB и COB’ равны друг другу, так как они прямугольные, сторона OC у них общая

37

и $|OB| = |OB'|$. Следовательно, $|CB| = |CB'|$, откуда следует, что длина пути луча $ACB$ равна сумме длины от $A$ до точки $C$ падения луча на зеркало и от этой точки до точки $B$. Ясно, что эта сумма будет наименьшей, если точка $C$ будет лежать на прямой, соединяющей точки $A$ и $B'$ (рис. 3). Тогда и сумма длины $|AC|$ и $|CB|$, то есть длина всего пути света, будет наименьшей, Наименьшим будет и время прохождения света этого пути.

Из рисунка 3 видно, что $\widehat{BCO} = B'\widehat{CO}$ (треугольник $BCB'$ равновесный, поэтому $CO$ — биссектриса угла при вершине), а $\widehat{B'\widehat{CO}} = A\widehat{CM}$ (как вертикальные). Это значит, что углы наклона падающего и отраженного лучей к зеркалу равны друг другу. В этом и состоит закон отражения света. Приято, однako, отчитывать углы не от плоскости зеркала, а от нормали к ней в точке падения. Но ясно, что если равны углы $i$ и $i'$, то равны и углы $a$ и $\gamma$. Закон отражения обычно записывается в виде

$$\alpha = \gamma.$$

Закон этот, как мы видим, — следствие того, что свет как бы «выбирает» пути, который проходит за наименьшее время. Нетрудно видеть, что из принципа Ферма следует и утверждение, что луч падаюший, луч отраженный и нормаль к зеркалу в точке падения лежат в одной плоскости. Если бы это было не так, то пути был длинее и требовал бы большого времени.

Отметим еще одну важную особенность, связанную с отражением света от зеркала. Если в точке $A$ (см. рис. 3) находится источник света, а в точке $B$ — глаз, то глаз воспринет свет так, как будто бы источник света находится не в $A$, а в $A'$, а зеркала вовсе нет. Если зеркало убрать, а источник перести из $A$ в $A'$, то глаз не заметит такой замены.

Закон преломления света. Из принципа Ферма можно получить и закон преломления света (точнее — световых лучей). Здесь речь идет о перехождение света из одной среды (среда $I$ на рисунке 4) в другую (среда $II$) через границу раздела между ними. Различие средости в том, что в них различны скорости распространения света.

Мы рассмотрим случай, когда среда $I$ — это вакуум, в котором скорость света равна $c$, а вторая среда — какое-то произведение (например, стекло, вода и т. д.), в котором скорость света $v$ меньше, чем $c > v$.

Междуточками $A$ в среде $I$ и $B$ в среде $II$ также мыслимь бесчисленное множество путей, но, согласно принципи Ферма, свет «выбирает» тот из них, для прохождения которого нужно наименьшее время. Ясно, например, что пути $AA'B$ не есть такой пути, потому что здесь свет проходит короткое (кратчайшее) расстояние в среде с большой скоростью и большое расстояние в среде с малой скоростью. Быть может, выгоднее пути $AB'B?$ Здесь свет в среде с малой скоростью проходит минимальную часть пути, а наиболее частый проходится на среду с большой скоростью. Но есть ли именно этот пути самый выгодный в смысле экономии времени? Можно быть, выгоднее несколько удалить пути в среде $II$ с тем, чтобы сократить пути в среде $I?$. Словом, нужно найти, в какой точке света

38

(лучу) нужно пересечь границу раздела двух сред, чтобы время прохождения от $A$ к $B$ было наименьшим. Ясно, что эта точка лежит где-то между $A'$ и $B'$ (включая, возможно, и самую точку $B'$).

Обозначим расстояние между $A'$ и $B'$ через $d$. Если нужно нам точка $C$ пересечения границ раздела на расстояния $x$ от $A'$, то от $B'$ она отстит на расстоянии $d-x$ (см. рис. 4). Путь $AC$, проходимый светом в среде $I$, равен $\sqrt{y_1^2+x^2}$, а время прохождения этого пути

$$t_1 = \frac{\sqrt{y_1^2+x^2}}{c}.$$

Путь $CB$, проходимый светом в среде $II$, равен $\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}$, а время, нужно для прохождения этого пути,

$$t_2 = \frac{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}{v}.$$

Общее время $t$ определяется равенством

$$t = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{y_1^2+x^2}}{c} + \frac{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}{v}.$$

Время $t$ зависит только от $x$ — координаты точки падения лука, так как величины $y_1, y_2, c, v$ и $d$ — постоянные, то есть одинаковые при всех значениях $x$. Вот нам и нужно найти, при каком значении $x$ время $t$ будет наименьшим. Средствами общей алгебры эту задачу решить нельзя. Чтобы ее решить, нужно воспользоваться тем, что при этом значения $x$, при котором $t$ минимально, производная функция, стояшей в правой части уравнения (1), равна нулю.*) Это приводит нас к таким условиям для $x$:

$$\begin{align*} \frac{x}{c\sqrt{y_1^2+x^2}} &= \frac{d-x}{v\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}. \\ \frac{x}{\sqrt{y_1^2+x^2}} &= \sin A'AC = \sin \alpha; \\ \frac{d-x}{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}} &= \sin CBB' = \sin \beta, \end{align*}$$

где $\alpha$ — угол между padаюшим лучом и нормально к границе раздела в точке падения (угол падения) и $\beta$ — угол между этой нормально и предполенным лучом (угол предполнения). Условие (2) принимает поэтому вид:

$$\frac{\sin \alpha}{c} = \frac{\sin \beta}{v},$$

или $$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{c}{v}.$$

В этом и заключается закон преломления для нашего случая: относение синуса угла падения к синусу угла преломления равно относению скоростей распространения света в вакууме и в среде, которая с ним граничит. Отношение $c/v$ — величана постоянная, характера для данной среды. Она называется показателем преломления вещества и обозначается буквой $n$, так что

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n.$$

В общем случae, когда свет переходит из произвольной среды, в которой скорость света равна $v_1$, в среду со скоростью света в ней $v_2$, закон преломления имеет вид

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{v_1}{v_2} = n_{21},$$

где $n_{21}$ — относительной показатель преломления сред 2 и 1.

Приципп Ферма справедлив, конечно, не только для тех простейших примеров отражения и преломления света, которые мы здесь рассмотрели. С помощью этого прициппа можно понять и точно расчитать ход лучей и в признаме, и в лице и в любой самой сложной системе призм, линз, зеркал.

39

Задания

1. Саша образил внимание на номер автоматизины, подъявшей к его дому. Интересно! Если прибавить к первому числу цифры второго: 85+8+7, то получится 100, и если прибавить ко второму числу цифры первого: 87+8+5, то тоже получится 100. А сколько всего таких номеров?

2. Поставьте в примере на умножение вместе звездочек недостающие цифры.

3. Расставьте числа от 1 до 12 в кружки так, чтобы суммы чисел на каждой из шести прямых, на каждой из трех окружностей и в вершинах каждой из трех ромбов были одинаковы.

4. У Вадика было орехов в 3 раза меньше, чем у Кости. Если Вадику дать еще столько же орехов, взяв их у Кости, то у обонх будет поровну. Сколько орехов было у Кости?

5. «— Огонь в полумиле от нас, и ветер несет его в нашу сторону со страшной быстротой…

— Что там огонь!… По-вашему, это огонь?… Ну, молодцы, за работу… Беритесь-ка за эту низку, вялуго траву и выдержайте ее вол…

Старик прошел в противоположный край… и, выбрав пук самых сухих стеблей, положил их на полку своего ружея. Они мгновенно вспыхнул от искры…

— Теперь, — сказал старик,… — вы увидите, как огонь дереется с огнем!»

Так в романе Ф. Купера «Преерия» описывает один из способов борьбы со степным пожаром — поджигание степи с противоположной стороны. Попробуйте обьясить, в чем секрет этого способа.

Эти задания нам предложили Ю. А. Аленков, С. Н. Олехник, А. В. Сидерландский, А. В. Токарев, А. М. Чарных.

41

лиценое на 1 число десятков больше, добавить к этому числу целую часть половины разности десятков, а к полученному числу приписать либо 25, если эта разность четна, либо 75, если она нечетна. Хотя приведенная нами словесная формулировка звучит сложно, предлагаемый способ очень прост, как видно из следующих примеров:

$$35 \cdot 75 = (3 \cdot 8 + \frac{7-3}{2}) \cdot 100 + 25 = 2625.$$
$$25 \cdot 55 = (2 \cdot 6 + [\frac{5-2}{2}]) \cdot 100 + 75 = 1375.$$

Доказательство того, что это правило справедливо, мы оставляем читателю в качестве упражнения.

---

Манана Вансовская, ученица десятого класса Набакевской средней школы Самтредского района Грузинской СССР, предлагает способ возвления в квадрат трехзначных чисел, окачивающийся на 25:

«Для получения квадрата трехзначного числа, которое окачивается на 25, пишем в конце 625, затем число сотен умножаем на 5, у полученного числа последнюю цифру пишем вперед числа 625, а первый цифру запоминаем. Потом число сотен данного числа возводим в квадрат и прибавляем ту цифру, который только что запоминали, полученный результат пишем вперед написанных нами чисел.»

Например, при возвлении 325 в квадрат, находим 3 \cdot 5 = 15, предчислом 625 пишем 5 и запоминаем 1:

$$(325)^2 = 10000(3^2 + 1) + 1000 \cdot 5 + 625 = 105625.$$

Манана приводит также пожойный пример для возвления в квадрат четырехзначных чисел, окачивающийся на 125. А мы предлагаем нашим читателем обосновать изложенный Мананой способ возвления в квадрат трехзначного числа, окачивающегося на 25, а также самостоятельно придумать ее «похожий пример» для четырехзначных чисел.

*) Квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Любопытный способ использования пальцев рук для заполнения значений и знаков синуса и коснуса основных углов предложил семиклассник Миша Перваков из шкoles № 2 г. Егорьевска Московской области:

«Постотрим на ладонь левой руки и пропумерем пальцы так: минец — 0, безымянный — 1, средний — 2, указательный — 3, большой — 4. При широко расставленных пальцах они примерно соответствуют «основным» углам первого квадрата: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (рис. 1). Синусы этих углов будут равны половине квадратаного корня из присвоенного пальцу номера.»

Например,

$$\sin 45^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{homер среднего пальца} = \frac{1}{2} \sqrt{3}.$$

Значение косинуса находится аналогично, только пальцы нужно пропумеровать в обратном порядке: больший — 0, …, минец — 4.

Эти значения можно свести в легко заполнитошуюся таблицу, которое прислал в редакцию учитель Л. Ф. Белов (г. Дубовка Волгоградской области)

| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\sin \alpha$ | $\sqrt{0/2}$ | $\sqrt{1/2}$ | $\sqrt{2/2}$ | $\sqrt{3/2}$ | $\sqrt{4/2}$ |
| $\cos \alpha$ | $\sqrt{4/2}$ | $\sqrt{3/2}$ | $\sqrt{2/2}$ | $\sqrt{1/2}$ | $\sqrt{0/2}$ |

42

Задачи

M841—M845; Ф853—Ф857

М841. Докажите, что произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямогоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника.

M842. a) Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = 0$, то
$$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}.$$
6) Величины $\hat{A}, \hat{B}$ и $\hat{C}$ углов треугольника удовлетворяют условиям
$$\frac{\sin \hat{A} + \sin \hat{B} + \sin \hat{C}}{\cos \hat{A} + \cos \hat{B} + \cos \hat{C}} = \sqrt{3}.$$
Докажите, что хотя бы один из них равен $60^\circ$.

Л. Д. Курляндчик

M843. В верхних треугольника $ABC$ восставлены перpendикularы $AA_1, BB_1, CC_1$ к его плоскости по одному сторону от неё, равные по длине соответствующим высотам треугольника. Докажите, что перpendикular, опущенный из точки пересечения плоскостей $ABC_1, BCA_1$ и $CAB_1$ на плоскость $ABC$, попадает в центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности и равен по длине ее радиусу.

А. А. Ягубьянц

M844. a) Докажите, что любое натуральное число $a$ можно единственным образом представить в виде
$$a = a_1 \cdot 1! + a_2 \cdot 2! + ... + a_n \cdot n!,$$
(1)
где $a_k$ — целые числа, $0 \leq a_k \leq k$, $a_n \neq 0$. (По определению, $k! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k$, $1! = 1$.)
6) * Докажите, что любое рациональное число $r$, $0 \leq r < 1$, можно единственным образом представить в виде
$$r = \frac{b_1}{2!} + \frac{b_2}{3!} + ... + \frac{b_n}{(n+1)!},$$
(2)

43

где $b_k$ — целые числа, $0 \leq b_k \leq k$, $b_n \neq 0$.
в) Представьте в виде (1) число $a = 1984$ и в виде (2) число $r = 19/84$.

В. Е. Колосов

М845*. Для каких $n$ из $n$ уголков, состоящих из четырех клеток $1 \times 1$, и неокоторого числа прямогольников $4 \times 1$ (рис. 1) можно составить центрально-симметричный фигуру (многоугольник на клетчатой бумаге)?

В. Г. Белов

Ф853. Левые опоры контейнера, в отличие от правых, сделаны на роликах (рис. 2), обеспечивающих пренебрежимо малое tremие (размеры опор malы). Чтобы сdwинуть контейнер влево, к центру его правой стенки перпендикулярно ей надо приложить силу $F_1$. Чтобы сdwинуть контейнер вправо, к центру его левой стенки perpendикулярно ей надо приложить силу $F_2$. Определить массу контейнера, считая его однородным кубом.

И. И. Воробьев

Ф854. Оценить среднее число, которое надо прилагать к краю надувного матраца, чтобы согласно его посредине под прямым углом (рис. 3). Матрац не имеет поперечных перетяжек. Необходимые для решения величины и их достаточно реальные числовые значения задайте сами и получите численный результат.

Е. И. Пальчиков

Ф855. В плоский конденсатор, присоединенный к полосам батареи с ЭДС $\delta$, полностью ввинута паралельно его пластинам заряженная пластина на расстоянии $b$ от одной из пластин конденсатора (рис. 4). Найти силу, действующего на ввинутую пластину, если ее заряд равен $q$. Силой тяжесте принебреть. Площадь пластин конденсатора равна $S$, расстояние между ними — $d$.

В. П. Бородин, А. П. Ерисов

Ф856. Через нагревальную спираль с постоянным сопротивлением пропускают постоянный ток. На сколько процентов изменится среднее количество тепла, выделяющегося в спирали за секунду, если через нее пропускать одновременное еще и переменный (синусоидальный) ток, амплитудное значение которого составляет 10% от величины постоянного тока?

В. Г. Дудников

Ф857. На блестящей банке имеется плоская вместена, от которой отражается на экран пучок света. В банку наливают охлажденную жидкость. Отраженный сигнал заметно ослабляется. Объясните явление.

В. Г. Дудников

45

and supply them with reasonable numerical values yourself and obtain a numerical answer.

E. I. Palchikov

P855. A charged plate is introduced all the way between the plates of a flat capacitor parallel to them at a distance $b$ from one of the plates (see figure Pisc. 4). The capacitor is connected to the poles of a battery of EMF $6$. Find the force acting on the charged plate if its charge is $q$. The weight of the plate is negligible. The area of the plates is $S$, the distance between them is $d$.

V. P. Borodin, A. P. Ershov

P856. Direct current circulates through a heating spiral of constant resistance. What will be the percentage change in the mean amount of heat emitted by the spiral per second if an alternative (sinusoidal) current, whose amplitude is 10% of the direct current’s value, is also sent through the spiral?

V. G. Dudnikov

P857. A shiny can has a dent which reflects light on a screen. A cooled liquid is poured into the can. The reflected signal noticeably weakens. Explain this phenomenon.

V. G. Dudnikov

Решения задач

M826—M830; Ф837—Ф841

Ответ: a) нет, 6) да. Заметим сначала, что если исходными числами были 2, 2, 2 или 3, 3, 3, или вообше любые числа, больше 1, то и все последующие числа будут больше 1, причем наиболее число в каждой новой тройке всегда на 1 меньше суммы двух других. Это сообщение позволяет по последней тройке чисел восстановить все предыдущие, кроме самой первой.

Действительно, пусть в тройке $a, b, c$ для определения $a \leq b \leq c$. Тогда $c = a + b - 1$ и предыдущая тройка имеет вид $a, b, x$. Набольшим числом в ней можно считать $b$ (если $x > b$, то $x = a + b - 1 = c$). Но тогда $b = a + x - 1$. Следовательно, тройка $a, b, c$ при $a \leq b \leq c$ получается из тройки $a, b, b - a + 1$.

Пользоваться этим правилом, восстановим все записи на доске, начиная с конца:

(17, 1967, 1983) $\leftarrow$ (17, 1967, 1951) $\leftarrow$ (17, 1935, 1951) $\leftarrow$ … $\leftarrow$ (17, 15, 31) $\leftarrow$ (17, 15, 3) $\leftarrow$ (13, 15, 3) $\leftarrow$ … $\leftarrow$ (5, 7, 3) $\leftarrow$ (5, 3, 3).

По нашему правилу тройке 5, 3, 3 должна быть предшествовать тройка 1, 3, 3, содержащая 1, что невозможно. Поэтому 5, 3, 3 — тройка, полученная на первом шаге. (Очевидно, что остальные тройки на первом шаге возникнут не могут.) Ясно, что тройка 5, 3, 3 может получить из 3, 3, 3 и не может из 2, 2, 2.

A. Берзины

M827. Известно, что четыре синхронные на рис. 1 равновелики.
a) Доказите, что три красных четырехуровнки на этом рисунке также равновелики.

Нам понадобится следующая часть применения:

Лемма. Пусть $P$ — точка на стороне KL треугольника KLM. Тогда отношение площадей треугольников MKP и MPL равно

$$S_{MKP} : S_{MPL} = |KP| : |PL|.$$

(Для доказательства достаточно знать, что тре-

46

6. Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

М828 *. Можно ли в клетках бесконечного листа клетчатой бумаги так, чтобы сумма чисел в каждой прямеугольнике размера 4×6 клеток, стороны которого идут по линям сетки, равнялись a) 10; б) 1?

a) Введем обозначения, как на рисунке 1. Заметим, что треугольники $A_0C_0$ и $AA_0C_1$ равновелики (каждый из них составлен из треугольника $AA_0B_0$ и одного из синх треугольников). Эти треугольники имеют общее основание $AA_0$, поэтому их вершины $C_0$ и $C_1$ равновелены от прямой $AA_0$, то есть прямые $AA_0$ и $C_1C_0$ параллельны. Аналогично, $BB_0 \parallel A_1A_0$ и $CC_0 \parallel B_1B_0$. Расмотрим трапецю $AA_0C_0C_1$ (рис. 3). Её диагонали пересекаются в точке $B_0$, а продолжения боковых сторон — в точке $B$. Эти точки лежат на прямой, соединяющей середины $D$ и $E$ ее оснований $AA_0$ и $C_1C_0$. (Действительно, $B_0$ — центр гомотетии треугольников $B_0AA_0$ и $B_0C_0C_1$, а $B$ — центр гомотетии треугольников $BAA_0$ и $BC_1C_0$.) А поскольку эта прямая параллельна $A_1A_0$, точка $B_0$ — середина отрезка $A_1A$. По лемме отсюда вытекает, что $S_{AB_0C_0} = S_{B_0A_1C}$. Следовательно (см. рис. 1), площади четырехугольников $AB_0A_0B_1$ и $CA_0C_0A_1$ равны. Аналогично доказывается, что и третий красный четырехугольник $BC_0B_0C_1$ имеет такую же площадь.

Подумайте, останется ли верным утверждение этого пункта задачи, если потребовать равенства площадей только трех угловых синх треугольников.

6. Ответ: площадь красного четырехугольника $s = 1 + \sqrt{5}$. Чтобы составить уравнение для нахождения исходной площади s, выразим двумя способами относение $|BC_1|:|C_1A|$ с помощью леммы:

$$|BC_1|:|C_1A| = S_{CBC_1}:S_{CC_1A} = (2s+2):(s+2) = S_{B_0BC_1}:S_{B_0C_1A} = (s/2):1.$$

(Пояснение здесь требует только равенство $S_{B_0BC_1} = s/2$. Как было показано выше, точка $E$ — середина $C_0C_1$ (рис. 3). Отсюда, опять-tаки пользоваться леммой, легко вывести, что треугольники $B_0BC_1$ и $B_0BC_0$ равновелики. А вместе они составляют четырехугольник $BC_0B_0C_1$ площади s). Итак, s удовлетворяет уравнению:

$$s^2 - 2s - 4 = 0,$$

откуда $s = 1 + \sqrt{5}$.

Б. И. Чиник, В. Н. Дубровский

◆

Ответ: a), 6) можно. В обих случае искому расстановку можно получить, комбинируя две более простые расстановки.

a) Поставим единицы на параллельных диагоналях сетки, удаленных друг от друга на 4 клетки (по горизонтации или вертикали), в остальные клетки поставим нули (рис. 1, a). Тогда сумма чисел в каждой прямеугольнике $4 \times 6$ будет равна 6. Это первый расстановка. Вторая устроена так же, но в ней расстояния между диагоналями с единицами — 6 клеток (рис. 1, 6); для нее сумма чисел в любом прямеугольнике $4 \times 6$ равна 4. Тепер наложим одну расстановку на другую и сложим числа, попавшие в одну клетку; оченьindo, для итоговой расстановки расматривается сумма чисел всего равна 10.

6. Возьмем те же расстановки, что и в пункте a), но на диагоналях вместе с единицами — 6 клеток (рис. 1, 6); сумма чисел в любом прямеугольнике $4 \times 6$ будет равна 4. Тепер наложим одну расстановку на другую и сложим числа, попавшие в одну клетку; оченьindo, для итоговой расстановки расматривается сумма чисел всего равна 10.

Предлагаем читательям, используя те же идеи, доказать такое общее утверждение: в клетках бесконечной плоской решетки можно так расставить целые числа, что сумма чисел в любом прямеугольнике данных размеров принимает одно и то же заданное значение. То же верно для