Квант 1984, №4 · Страницы

КВАНТ
4
1984

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

За основу этого рисунка художник А. Е. Остаев взял неокотую неориентирующую двумерную поверхность. Другие также поверхности можно увидеть внутри журнала в разделе «Наша обложка».

1

Научно-популярный
физико-математический журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

4 1984
Основан в 1970 году

Издательство “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы

В HOMEPE:

2 Исследования космоса продолжаются
4 А. А. Рузмайкин. О природе космического магнетизма
11 В. В. Рождественский. Уметее ли вы считать?

The study of outer space continues
A. A. Ruzmaikin. On the nature of cosmic magnetism
V. V. Rozhdestvenski. Do you know how to count?

Новости науки
16 А. Я. Паршин. Волны кристаллизции
17 Наука-83

Science news
A. Ya. Parshin. Crystalization waves
Science-83

Matematический кругок
18 М. Б. Балк, В. Г. Болтянский. Центр тяжесте obлегчает решение

Mathematics circle
M. B. Balk, V. G. Boltyanski. Centre of mass helps solving

Школа в «Кванте»
23 Физика 8, 9, 10
26 Б. С. Эппель. Дифференцирование сложной функции
28 Избранные школьные задачи

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
B. S. Eppel. The chain rule

Selected school problems

«Квант» для младших школьников
29 Задания
30 Б. А. Розенфельд. Откуда произошли название геометрических фигур?

Kvant for younger school-children
Problems
B. A. Rozenfeld. Where did the names of geometric figures come from?

Заданияк «Кванта»
32 Задания M856 — M860; Ф868 — Ф872
35 Решения задач M841 — M845; Ф852 — Ф857

Kvant’s problems
Problems M856 — M860; P868 — P872
Solutions M841 — M845; P852 — P857

Игры, головоломки
42 А. В. Балко. Цепочка с бегушим колытом

Games and puzzles
A. V. Byalko. A chain with a running link

Практикум абитуриента
46 С. М. Козел, А. А. Шеронов. Теплоемкость идеального газа

College applicant’s section
S. M. Kozel, A. A. Sheronov. Heat capacity of ideal gazes

Information
Moscow university physics correspondence school

Варианты вступительных экзаменов

College entrance examination problems

Ответы, указания, решения
Наша обложка (41)
Смесь (44, 45, 49, 50, 51)
Шахматная страница
Четвертый чемпionат мира среди ЭВМ (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Our cover page (41)
Miscellaneous (44, 45, 49, 50, 51)
The chess page
Fourth world computer chess championship (3rd cover page)

Снимок, который воспроизведен на первой странице обложки, сделан космонавтом А. С. Иваченкоовым и В. В. Ковалёнком.
Такой они увидели Землю через широкоеользовный взир орбитальной станции «Салют-6».

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1984

Исследования космоса продолжаются

Каждай год приносит советской науке новые успехи в исследовании космоса. Немало было сделано в этой области и в прошлом году.

150 суток работали на борту орбитальной станции «Салют-7» космонавты Владимир Ляхов и Алексадр Алексадров. Они, в частности, выполнили общирную программу исследований природных ресурсов Земли, по которой совместно с космонавтами работали экспертизы на специальных судах, самолетах, наземных станциях. Например, в сентября 1983 года был проведен комплексный эксперимент «Интеркосмос — Черное море», в ходе которого одновременно осуществлялось «многоэтажное» наблюдение за состоянием моря и атмосферы над ним на различных глубинах и высотах.

Выдающимся достижением является установка на станции «Салют-7» дополнительных солнечных батарей, которые значительное увеличили сабженные станции энергией. Это большой шаг на пути к будщим montажным работам по сборке сложных технических сооружений в космосе. На приведенном вверху снимке вы видите космонавта А. Алексадрова во время повторного выхода в открытий космос.

Изучение разнообразных технических процессов в условиях невесоности и глубокого вакуума, выполненное на станциях «Салют-6» и «Салют-7» при длительных космических полетах, позволяет приступить к производству ценных полупроводниковых материалов, кристаллов с необычными свойствами, новых лекарстенных веществ.

Успешно продолжались исследования планеты Венеры. В прошле года были получены очень ценные для планетологии сведения о составе и строении венерианской атмосферы, а затем и поверхности этой планеты в экватorialном порядке (на фотографии визу воспроизведена панорама участка поверхности Венеры, полученная со спускаемого аппарата станции «Венера-14»). Оказалось, что поверхность планеты нагрета до 460 °C. Atmosфера Венеры в основном состоянии из углекислого газа и азота и оказывает на поверхности планеты давление, равное 90 атм.

В 1983 году на орбиты спутников Венеры вышли две советские косми-

ческие станции «Венера-15» и «Венера-16». Они намного сложнее своих предшествниц. Обе станции имеют радиолокационные установки бокового обзора, позволяющие изучать рельеф поверхности планеты вранее недоступных полярных областях. Таким образом, в недалеком будшем наша наука будет располагать детальной картоЙ поверхности Венеры во всех ее районах. Из того, что мы уже знаем об этой планете, следует, что у нее есть массивные горные цепи, а высота гор доступа иногда 13 kilометров, что намного выше Эвереста.

Станции «Венера-15» и «Венера-16» основаны также аппаратурой, позволяющей регистрации тепловое излучение различных слоев венерианской атмосферы, расположенных выше облачного слоя, на высотах от 65 до 95 kilометров над поверхностью планеты. Именно на этих высотах возникает так называемый «парниковый эффект» — поглощение атмосферы значительной части тепла, уходящего с поверхности Венеры в космическое пространство. Он-то и приводит к дополнительному нагреванию планеты. Существует предположение, что аналогичный эффект может возникнуть и в атмосфере Земли под влиянием продуктов сжигания организации топлива. Это может привести к нежелательным изменениями нашего климата. Изучение этого явления представляет большой интерес для meteorologов и климатологов.

Эксперимент по исследованию температуры разных слоев atmosферы Венеры подготовлен советским учеными совместно с учеными из ГДР.

В 1983 году были произведены запуски советских космических обсерватории «Астрон» и «Прогноз-9», предназначенных для исследования далеких глубин Вселенной. «Астрон» основан самым крупным оптическим телескопом, вынесенным за пределы земной атмосферы. Телесоп детально исследует звезды различных типов, а также далекие галактики и квазары. Обнаружены звезды, в атмосфере которых в сотни раз больше урана, свинца и волфрама, чем в атмосфере Солнца. Зарегистрировано несколько галактик с необъявной высотим уровнем ультрафилотового излучения.

Успешно функционирует и установленный на «Астрон» ретгеновский телескоп. Он использует для исследования сверхновых звезд, а также вспышивающих ретгеновских звезд — барстеров*. Этот телескоп позволяет зарегистрировать эффект «включения» источника ретгеновских лучей в созвездии Геркулеса.

Нынешняя администрация США неоднократно обьявляла о своей стремлении перевести и без того чудовищно опасную гонку вооружений в космическое пространство, о подготовке будщин «звездных войн» против социалистических государств. Советский Союз ведет активную борьбу за прешешение размещения каких-либо видов оружия в околоземном космическом пространстве. Мы за мирный космос, изучаемый совместными усилиями ученых разных стран.

*) См. «Кваант», 1983, № 8.

5

нием вещества (расплавленное железо с примесью углерода, серы, кремния) в жидкой оболочке ядра Земли (это сферический слой, заключенный между 0,19 и 0,55 радиуса Земли). В газообразных звездах (таких, как нашей Солнце) магнитное поле генерируется во внешней частино ионизованной оболочке толщиной около 1/10 радиуса звезды.

Итак, космические магнитные поля создают токами, протекающих в электропроводящей среде. Похожим образом создают поля в катушке электромагнита (рисунок 1, 6). Но для поддержания тока в электромагните нужен внешний источник энергии. Между тем в космических условиях «батарайные» ЭДС, действующие за счет химических или тепловых эфективов, обычно слабы или вообще отсутствуют. Основным источником магнитных полей в космических условиях служит движение самой проводящей среды.

Космические магнитные поля отличаются неопостоянием. Например, крупномасштабное поле Солнца почти перiodически изменяет свою полярность через каждые 11 лет. С этим изменениями связана циклиность солнечной активности, которая проявляется в виде темных пятен, солнечной короны, вспышек и других явлений. В последние годы циклиность обнаружены у многих звезд. Близкое нам магнитное поле Земли также оказывается неопостояным. Через большие промежутки времени — примерно в действии лет — оно меняет свое направление на 180°: северный магнитный полюс становится южным и наоборот.

Почему изменяется магнитное поле в проводящей среде

Электрическое поле, создавшее зарядом, исчезает, если этот заряд нейтрализовать зарядом противоположного знака. В плазме, состоящей из равного колчества движущихся положительных и отрицательных зарядов, любой избиток заряда одного знака, случайно появляющийся в какой-нибудь области, быстро нейтрализуется. Ясно, что время нейтрализации электрического поля тем короче, чем больше электропроводность плазмы. Magнитное поле в плазме создается движущимся зарядами, то есть электрическими токами. Очевидно, с изменением тока будет меняться поле.

Обсудим вначале, как изменяются токи не в плазме, а в обычных металлических проводах, которые имеются в каждой комнате.

Рассмотрим виток радиуса $r$ провода поперечного сечения $\pi l^2$ с удельным сопротивлением $Q$ (Ом·м). Пусть сначала виток подключен к батарее и в нем течение ток $I$ (А), который создает в пространстве вокруг витка магнитное поле $B$ (Тл). Максимальное поле достигается в центре витка. Оно перпендикулярно его плоскости и равно по величины $B_{\max} = I/2r$. Магнитную энергию этой системы можно оценить как

$$W \approx \mu_0 \frac{B^2_{\max}}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \quad (\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \Gamma_{\mathrm{H}} \cdot \mathrm{m}).$$

Рис. 1. Магнитное поле Земли (a) внешнее сходно с полем постоянного магнита. Оdnako природа этих полей различна. Магнитизм магнита объясняется сложными квантовыми свойствами частиц, входящих в состав твердого тела. Магнитное поле Земли создается электрическими токами, текущими в жидком ядре. В этом плане земное поле подобно полю электромагнита (б).

6

ка, сохранить цель замкнутой. На первый взгляд, ток немедленно прекратися вследствие сопротивления проводника $R$. Оdnako в действительности ток исчезнет не мгновенно. Темп его затухания определяет быстрое джоульевых потерь $N = I^2 R$ (Дж/c). Ток поддерживает запасенная вокг витка магнитная энергия. (Отметим, что магнитная энергия намного больше кинетической энергии носителей тока — электровов.) Эта энергия исчезвает за время

$$\tau \approx \frac{W(\Delta x)}{N(\Delta x/c)} \sim 10^{-6} \sigma l^2(c),$$

где $\sigma = 1/\varrho$ — проводимость материала витка.

Оценим величины времени затухания поля $t$ для медного провода с радиусом поперечного секции $l = 1$ см. Проводимость меди составляет около $6 \cdot 10^7 (\Omega \cdot \Omega)^{-1}$. Получим, что теньше сотой доли секунды.

Обратимся теперь к космической плазме. Ее электропроводность обычно такая же, как у плохих металлов, но размеры области, занятых токами, гирантские. В этом случае характерное время изменения поля становится очень большим. Например, в верхней оболочке Солнца электропроводность плазмы составляет около $10^6 (\Omega \cdot \Omega)^{-1}$ (при комнатных температуре примерно также же $\sigma$ имеет ртуть, нижром и высут). Радиус Солнца равен ~700 тыс. км, то есть $7 \cdot 10^8$ м. Следовательно, время исчезновения поля, создаваемого токами, текущими в оболочке размером в 1/10 радиуса, равно по порядку величины $10^{15}$ с, или около 100 млн. лет! Разумеется, оценка весма приближенная. Но сравните с долями секунды для медного провника. Выходит, что привчное электреческое сопротивление практически не изменяет однжды созданные крупномасштабные магнитные поля. Как же тогда обьяснить, что, скажем, солнечное магнитное поле изменяется за более короткий промежуток времени — 11 лет?

Причина в том, что среда движения. Движение среды, в которой имеются свободные положительные и отрицательные заряды, эквивалентно движения проводника. В учебнике «Физика 9» показано, что движения проводника в магнитном поле сопроводается появлением электродвижений силы, и, если концы такого проводника замкнуты, в цепи возникнет ток. Этот вторичный ток сам создает магнитное поле, которое, складывая с первоначальным полем, изменяет его. Замечательно, что в результате такого изменения в идеально проводящей плазме, сопротивление которого равно нулю, суммарный магнитный поток $\Phi = BS$ (S — площадь контур) должен оставаться неизменным. Это значит, что магнитное поле, создаваемое движущимся проводником, как бы перемещается вместе с ним. Такое поле принято назвать вмороженным в плазму магнитным полем. Наглядно можно себе представить магнитное поле в движущейся проводящей среде, где на поверхности легкой нити, брошенной в поток: нить не только переносится, но и растягивает, если частицы, движущие в потоке, удалиются друг от друга.

При вмороженности движение плазмы как единого целого переносит магнитные линии. Движение же одних частей плазмы относительно других деформаций магнитные линии: растягиваются и изгибаются их. Magнитная линия, которая perвоначально проходит через две близкие части плазмы, будет и в дальнейшем проходит через эти же частицы, то есть следовать за их перемещениями (рисунок 2). Количество магнитных линий, произвольших любую площадку, охватывающего замкнутым контуром из движущихся жидких частиц, остается неизменным (при $\varrho = 0$). Magнитная индекция $B$ поля может возникать при деформациях, когда сближаются участки с одинаковым направлением поля, и ослабляется при сближении участков с противоположным направлением поля. Это видно из

Рис. 2. Изменение магнитного поля при перемещении части идеального проводящей плазмы из положения 1 — 2 в положение 1’ — 2'.

7

равенства $B = \Phi/S$: если $\Phi$ сохраняется неизменным, то $B$ меняется обратно пропорционально $S$.

Смытий простой способ усилить мороженое магнитное поле состоит в скатин слоя плазмы (то есть в уменьшении значения $S$). Эта идея используется для простейшего обяснения гигантских магнитных полей пульсаров. Пульсар представляет собой компактную нейтронную звезду с радиусом $r$ порядка 10 км. Если предположить, что нейтронная звезда получалась путем скатия обччной звезды с радиусом $r_0$ около 1 млн км, то, значит, в процессе скатия ее радиус уменшился в $10^5$ раз. Сохранение магнитного потока ознакомлено.

$$\pi r_0^2 B_0 = \pi r^2 B,$$

где $B_0$ — поле исходной звезды, $B$ — поле пульсара. Следовательно, при скатии поле усиливается в $(r_0/r)^2 = 10^{10}$ раз. Поэтому скромное магнитное поле обчной звезды с магнитной индукцией, скажем, 0,01 Тл превращается в поле с магнитной индукцией $10^8$ Тл.

С другой стороны, движения плазмы приводят к искривлению и запутыванию магнитных линей. А для мелкомасштабных полей, как мы видели, становится существенным джоулевы потери.

Оказывается, могут существовать такие движения плазмы, что эффект успешная крупномасштабного поля преобладает или по крайней мере не уступает ослаблению. В этом случае движущаяся плазма работает как генератор.

Такую машину естественно называть «динами» (генератор в свое время называли динамимо-машиной). Действие динамимо-машины обычно демонстрируют на примере рамы с током, врашающейся в поле магнита.

Гидромагнитное динамио

Динами в проводящей среде, о котором мы ведем речь, должно в отличие от технического генератора, работать без проводов, обмоток, а главное — без внешнего магнитного поля, которое в обычном генераторе обязано быть*). Поскольку источником энергии в этом динамиом служат только гидро-
динамическое движение плазмы, его называли «гидромагнитным». Для запуска гидромагнитного дианоно нулю только слабое начальное магнитное поле. Объчно слабые поля существуют благодаря различным эффектам взаимодействия между собой заряженных части плязмы.

Идея обяснения магнитных полей Земли и Солнца с помощью гидромагнитных движений была выдвинута известным английским физиком Дж. Лармором в 1919 году. Но возможно ли самовозбуждающееся гидромагнитное дианоно, «работающее» без внешних источников ЭДС? Положительный ответ на этот вопрос лучше всего использовать пример, впервые продемонстрированный в 1971 году академик Я. Б. Зельдовичем участникам симпозиума в Кракове.

Возьемм кольцевой жгут, состоящий из отдельных колечек-резинок (рисунок 3, а). Пусть резинок жгут имитирует магнитные линии, имеющие одинаковое направление (его удобно помещать стрелочками). Свернем жгут восьмерку (рисунок 3, б), наложим одно кольцо восьмерки на другое и растянем удвоенной жгут до прежнего размера (рисунок 3, с). Обратите внимание на направление стрелок; они одинаковы. Таким образом, количество магнитных линей, проходящих через любое поперечное сеечение жгут, удвоилось. Повторяя процессур складывания и растяжения, можно всякий раз удваивать количество магнитных линей в жгуте, пока этотму не помещает упругость резины. Заметьте, что стартовав из какой-нибудь точки первооначального жгут, можно было вернуть в ту же точку, обойдя один круг. После удвоения возврашения в ту же точку требуется уже двух обходов по окружности. Тем самым удвоенный жгут не вплоне эквивалентен исходному. Что бы избавиться от этого, можно всякий раз разрезать жгут в точке сиба восьмерки и сшивать освободившиеся окружности, складывая их затем в один удвоенный жгут, эквивалентный исходному.

В природных условиях операция удвоения может выполнять движения среды, в котором «вморожено» слабое начальное магнитное поле. Нетрудно представить себе движения такого

*) В современных больших генераторов ток, создавший поле, берется от самого генератора — в этом смысле сходство большое. Однако расположение обмоток и конструкции таких генераторов придуманы

8

Неоднородное вращение

Простейшее движение, характерное для всех планет, звезд и галактик, — вращение. Однако, если все части тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, то есть вращение однородно, то и магнитные линии будут вращаться с телом, оставясь практическими неизменными. Для изгибов, растяжений и переворотов линейных отношений движения соседних части плазмы, то есть вращение должно быть неоднородным. Ясно, что твердые тела вращаются однородно, иначе они разрушаются. Жидкое или газообразное тело способно совершать и неоднородное вращение. Наблюдения за Солнцем показали, что экваториальные части нашей звезды совершают полный оборот на несколько суток быстрее, чем околополярные области. Косвенные данные указывают на то, что внутренние, непосредственное не наблюдаемые, области Солнца вращаются еще быстрее. Неоднородное вращение газовый диск Галактики: за одно и то же время его внутренние части делают больше оборотов, чем внешние.

Чтобы наглядно представить себе неоднородное вращение, вообразите, что перед вам несколько концентрических кругов карселей (рисунок 4, а). Те, что близке к центру, кругятся, скажем, быстрое карселей, расположенных дальше от центра.

Послеим на карселии по нескольку человек, так, чтобы все они расположились вдоль одного диаметра. Дадим им в руки резиновую вервку, закрепленную на концах диаметра и имитирующего магнитную линию, и включим вращение. Легко убедиться, что за несколько оборотов резиновая вервка (магнитная линия) скрутится в спираль (рисунок 4, б). Первоначально линяя располагалась вдоль диаметра, теперь она стала близка к окружности. Таким образом, неоднородное вращение сделало из радиального магнитного поля поле, направленное почти вдоль азимута.

Можно в качестве исходной взяты магнитную линию, которая «провисает» сверху вниз и изогнута в стороны вращения. В этом случае закручивание приведет к образованному двух колес с противоположно направленным полем. Однако из колес будет расположено выше карселей, другое — ниже. Но, как и в предыдущеем случае, встает

10

Рис. 6. Вращающийся слой плазмы с уменьшающейся вверх плотностью. Вращение слоя как целое сообщает дополнительную уловую скорость поднимающейся и раздувающейся вихро.

вращающемуся кругу). А это значит, что вихро сообщается еще одно дополнительное вращение, вызванное общим вращением слоя.

Очевидно, этот эффект возникствие общого вращения одинаков для всех поднимающих вихро — и право-, илевинтовых. На опускающейся и потому скимающейся вихри общее вращение действует в противоположную сторону, но знак вината будет тем же, что и поднимающих вихро. Виторе, действие общого вращения на сово

Рис. 7. Совместное действие на магнитное поле недородного вращения и спиральных движений. Вращение из исходного поля ($B_0$) накручает азимутальное поле ($B_\varphi$). Спиральные движения поднимают петли этого поля, они открывают, поворачивают, растяивают и сливают, давая новое поле, направление параллельно или антиparallelно исходному полю $B_0$.

купность вихрея в недородном слое приведет к тому, что станет больше винтов того знака, который диктуется общим вращением. Но ситуация с преобладанием, скажем,левинтовых вихрея над правовинтовыми, как легко проверить, уже не будет обладать свойством зеркальной симметрии.

Такую турбулентность называют спиральной. Несмотря на ееxaотичность, здесь в среднем имеется неокоторая дополнительная закрутка. Спиральность и есть то организованное свойство, который отличается турбулентностью во вращающейся недородных по плотности космических телах (в ядрах планет, в звездах и галактиках).

Obviously спиральная турбулентность в космических телах действует совместно с недородным вращением. Как мы видели (рисунок 4), недородное вращение превращает поле, направленное по диаметру, в поле, направленное почти по азимуту, точнее — по спирали. Спиральная турбулентность поднимает у азимутального поля много петель и поворачивает их в различные стороны (рисунок 7). Но поскольку винты одного знака преобладают, то после сложения петель остается неокотное общее радиальное поле определяемого направления. Если новое радиальное после совпадает по направлению с первооначальным, то происходит усиление поля. Когда направление получащегося поля противоположно исходному, то возможно «обращение» поля. Это позволяет obсянить явление повторющихся обращений направления поля, которые наблюдаются на Солнце и других звездах. Заметим, что в случае с восьмеркой мы получили динамо с непрерывным усилением магнитного поля без обращений.

Не следует упускать из виду, что гидромагнитное динамо работает в условиях сильного турбулентного запутывания и уничтожения магнитных линей. Таким образом, рост или поддержание поля происходит на фоне непрерывногорождания новых и отмирания старых магнитных полей.

Гидромагнитное динамо широко используется для описания магнитных полей звезд, планет и галактик. В частиности, гидромагнитное динамо является, по-видимому, основным «двигателем» повторяющей солнечной активности.

11

Умеете ли вы считать?

В. В. РОЖДЕСТВЕНСКИЙ

Последние десятилетия характеризуются бурным развитием и распространяемым вычислительным техникки. Электронные вычислительные машины, настольные, карманные и прочие счетные устройства позволяют значительно сократить время всевозможных расчетов. И порой от школьников можно услышать, что «уметь считать» сейчас вообще не нужно. Но как это ни парадоксально, наиболее эффективную помощь техника оказывает именно тому, кто имеет грамотно вычислить.

Мы попробуем показать читатель трудности, возникающие при практиче-

Озадачивающие примеры

Пример 1. При вычислении на настоящий вычислительной машинке выражения $x=1/3\cdot 3/5\cdot 5/7\cdot 7/8\cdot 8$ с точностью до двух цифр после запятой вместе ожидаемой единицей получается $x=0,88$. Если же вычисляется $1/8\cdot 8/7 \times 7/5\cdot 5/3\cdot 3$, то получится 0,90.

Пример 2. При сложении на ЭВМ чисел $1+1/2+1/3+1/4+\ldots+1/250\ 000$ с пятую знаками после запятой слева направо получается 12,88777, а справа налево получается 12,95821; мы видим, что разница в ответах больше, чем каждое из большинства слагаемых.

Пример 3. Приближенное значение $\sqrt{290}$ равно 17,029 (ошибка меньше 0,0004). При вычислении дроби $1/(\sqrt{290}-17)$ с третья цифрами после запятой получается 34,483. Однако если дробь преобразовать к виду $\sqrt{290}+17$, то результат сложения будет 34,029, с ошибкой меньше 0,0004. Стало быть, ответ 34,483 городадо грубее.

12

Пример 4. Решением системы
$$\begin{cases} x+5y=17, \\ 1,5x+7,501y=25,503 \end{cases}$$

является пара чисел (2; 3). Если изменить число 25,503 всего на 0,003 —
$$\begin{cases} x+5y=17, \\ 1,5x+7,501y=25,5, \end{cases}$$

то решением будет пара (17; 0). Если же в исходной системе число 7,501 заменить на 7,499 —
$$\begin{cases} x+5y=17, \\ 1,5x+7,499y=25,503, \end{cases}$$

то решением будет (32; — 3).

Подобные примеры могут смутить начинающего вычисления. Чтобы правильно ориентировать в положих ситациях, нужно знать:

1. какое бывают ошибки и откуда они берется,
2. как количество характераизовать ошибку,
3. как грамотно организовать вычисления.

Классфикация ошибок

Ошибки можно разделить на три типа*).

1. Ошибки, содержащие в исходной информации. Исходными данныхми во всякой задаче обычно служат либо часто встречающиеся конструкты, либо величины, полученные в результате измерения. Но любой измерительной прибор обладает какой-то определенной разрешаюшей способностью. Например, на торговых весах невозможно уловить разницу в 1 г, так что, уплатив за 100 г масла, вред ли стоит верить, что вы получитеровно 100 г, а не 101 г или 99 г. Ошибки измерений могут возникнуть также из-за неверного снятья показания прибора либо в результате грубого просмотр.

Исключая два последних источника ошибок, вызванных субъективными принципами, остается, тем не менее, принять тот факт, что ошибки в исходных данных неизбежны и обусловлены точностью измерительного прибора. Наконец манпуляции с исходными данных не позволяет гарантировать, что результат обладает большей точностью, чем данные. Утверждение вроде следующего: «площадь нарисованного на бумаге

*) О различных источников ошибок, возникших при обработке экспериментальных данных, и о том, что получается, если им пребегается, рассказываясь также в стате А. Н. Зайделя «Обман или заблудение?» («Квант», 1983, № 5, с. 24).

круга, радиус которого изменяется линейкой, равна 3206,9569 mm²», — по меньшей мере наивны.

2. Ошибки округления. Эти ошибки технологии со спецификой приближенногочета. Дело в том, что никакое вычислительное «средство», будь то ЭВМ или человек, не может производить арифметические операции с бесконечными последовательностями. Таким образом, все данные и промежуточные результаты должны быть записаны при помощи ограниченного набора цифр и, следовательно, как правило, неточны.

3. Ошибки ограничения. Очень многое вычисления описываются как бесконечная или астрономическая большая последовательность уточнения результата. Естественно, приходит обработать такой процесс в какой-то момент и довольствовать последним полученным приближением. Примером может служить процесс вычисления $\sqrt{a}$ методом последовательных приближений:

$$x_1 = (a+1)/2, \dots, x_{n+1} = (a/x_n + x_n)/2, \dots$$

Итак, мы видим, что ошибки неизбежны. Значит, необходимо уменьшить их количество оценить, чтобы получить результаты с необходимой точностью.

Распространение ошибок

Поскольку вычислительные процессы в конечном случае сводятся к выполнению четырех арифметических действия, посмотрим, что происходит с ошибками при выполнении этих действия.

Для простоты будем считать все рассматриваемые величины (которые могут быть исходными данных, промежуточными или конечными результатами) положительных. Их точные значения будут обозначать $x, y, \dots$, соответствующие приближенные — $x, y, \dots$.

Характеристикими точности приближения служат абсолютиная ошибка (или погрешность) $\Delta_x = x - x_i$ и относительная ошибка $\omega_x = \Delta_x/x$. Таблице 1 содержы формулы, выражающие зависимости абсолютиной и относительной ошибок результатов арифметических действия от ошибок данных (проверьте эти формулы самостояльно!).

При практических изменениях абсолютиной и расчетах точные значения абсолютиной и

13

Абсолютная ошибка
Относительная ошибка

$\Delta_{x+y} = \Delta_x + \Delta_y$
$\Delta_{x-y} = \Delta_x - \Delta_y$
$\Delta_{x\cdot y} = x\Delta_y + y\Delta_x + \Delta_x\Delta_y$
$\Delta_{x/y} = \left( \frac{\Delta x}{y} - \frac{x}{y} \right)\frac{\Delta y}{y}$
: $\left( 1 + \frac{\Delta y}{y} \right)$

относительной ошибок бывают неизвестны (потому что неизвестны точные значения расматриваемых величины). Однако, зная точность измерительных прибораров, правила, по которым производилось округление промежуточных результатов и т. п., обычно можно гарантировать, что абсолютиная или относительная ошибки не превыходит по модулю неокторных величины — границей этих ошибок. Если заданы границы ошибок для величины $x$ и $y$, то из формул таблицы 1 нетрудно получить границы ошибок для $x+y$, $x-y$, $xy$ и $x/y$ (см. таблицу 2, в которой предполагается, что $|\Delta_x| \leq \Delta_1$, $|\Delta_y| \leq \Delta_2$, $|\omega_x| \leq \omega_1$, $|\omega_y| \leq \omega_2$).

Таблица 2
Граница абсолютиной ошибки
Граница относительной ошибки

$|\Delta_{x+y}| \leq \Delta_1 + \Delta_2$
$|\Delta_{x-y}| \leq \Delta_1 + \Delta_2$
$|\Delta_{x\cdot y}| \leq x\Delta_2 + y\Delta_1 + \Delta_1\Delta_2$
$|\Delta_{x/y}| \leq \frac{y\Delta_1 + x\Delta_2}{y^2}$
: $\left( 1 + \frac{\Delta y}{y} \right)$

В этой таблице особняком стоит формула для абсолютиной ошибки частного $\Delta_{x/y}$: в нее входит сама ошибка $\Delta_y$, а ее граница $\Delta_2$, поэтому $|\Delta_{x/y}|$ может оказаться большим при $\Delta_y < 0$, даже если $\Delta_1$ и $\Delta_2$ малы.

Аналіз примеров

Попробуем сейчас понять, чем объясняется «странности», с которых мы столкнулись в приведенных в начале статьи примерах.

Пример 1. По правилам общей арифметики в произведении дробей $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{1}$ можно, не меняя результата, как угодно переставить числители, а также знаменатели. Из нашей примера видно, что в арифметике приближенных вычислений это уже неверно. Чтобы понять, как возникнет расхождение в результатах, возьмем сcem простой пример — вычислим двумя способами выражение $(1 \cdot 3)/3$ (с точностью до двух знаков после запятой). Имеем
$$1,0 \times 3,0 = 3,0, \quad 3,0 \times 3,0 = 1,0,$$
но, с другой стороны,
$$1,0/3,0 = 0,33, \quad 0,33 \times 3,0 = 0,99.$$
Если арифметических действия много, то разница в ответах может быть еще большей.

Пример 2 показывает, что результат приближенного сложения нескольких чисел может зависеть от порядка, в котором оно произойдет. Расмотрим более наглудный пример. Пусть надо вычислить сумму
$$100 + 0,1 + 0,1 + \dots + 0,1,$$
2000 раз
округляя все результаты до трех значений цифр. (Напомним, что значениями называются все цифры в записи числа, начиная с первой слева ненулевой; скажем, в числах 0,017 и 1,7 — по две значие цифры, в числе 170 — три.) Если вести сложение слева направо, то сначала получим $100 + 0,1 = 100,1$ и после округления опять 100; этот результат, очень нелинейным, не изменится и в дальнейшем. При сложении справа налево получим последовательное: $0,1 + 0,1 = 0,2, \quad 0,2 + 0,1 = 0,3, \quad \dots \quad 99,9 + 0,1 = 100$. Следующая тысяча слагаемых результата не изменит, а при последнем сложении получим $100 + 100 = 200$. Это уже лучшее, но все еще далеко от точного ответа 300, получить которой можно сложить тисцу чисел 0,1, потому еще тисцу 0,1 и затем три полученные сотни. Этот пример делает достаточно понятным следующее практическое правило:

суммирование большого числа слагаемых должно быть организовано так,

16

Волны кристаллизии

Кандидат физико-математических наук
А. Я. ПАРШИН

Можно ли на поверхности твердого тела возбудить волны, подобные обычным волнам на воде? Поверхность жидкости, как мы знаем, может перемешаться и испытывать колебания простого благодаря текущей. В твердом теле такой процесс невозможен (на тоно и твердое!). Однако можно, оказывается, заставить движаться поверхность твердого тела, например кристалла, оставляя само тело неподвижным. Для этого достаточно, чтобы кристалл рос или плавался — при этом его поверхность непрерывно перемешается, хотя само вещество в объеме кристалла остается совершенной неподвижным.

Но ознакомлен ли это, что таким путем можно возбудить свободные колебания поверхности кристалла, обусловленные периодической сменой процессов плавления и кристаллизии? Представьте себе, например, плоскую поверхность кристалла льда, находящогося в равновесии с водой при температуре 0 °C. Что произойдет, если в каком-то месте наружить равновесие, сделав на поверхности лунку (или выступ)? Возникнут ли при этом волны кристаллизии — плавления, аналогичные волнам, образуемым упавшим в воду камнем?

Оказывается — нет, в обычных веществах это невозможно. Дело в том, что интересующие нас волны, как и вообще любые свободные колебания, могут существовать только в условиях, когда необратимые потери энергии достаточно малы. Эти потери вызывают затухание колебаний, энергия колебаний при этом переходит в тепло. Если потери влики, движение становится аперiodическим, то есть колебаний вообще невозникает. Рост и плавание обычных кристаллов всегда сопровождается очень большими потерями энергии (вызванными, главным образом, большим значением удельной теплоты плавления). Поэтому в нашем воображаемом эксперименте вместе волн кристаллизии мы наблюдали бы лишь очень медленное зарастание первого начального лунки.

И все-tаки волны кристаллизии существуют! Правда, их удается наблюдать лишь при температуре, близких к абсолотному нулю (ниже 1 K) и только в гелии — веществе, совершенное уникальным по своим физическим свойствам. Эти свойства — tema для очень осторожного разговора, здесь же мы лишь упомяем о двух из них, имеющих самое прямое отношение к вопросу о волнах кристаллизии.

Во-первых, гелиий — единственное вещество, которое может оставаться в жидком состоянии вплоть до абсолотного нуля и кристаллизуется лишь при повышенных давлениях (выше 25 атм). Во-вторых, рост и плавание кристалли-

лов геляя при очень низких температурах сопровождается низтожными потерями энергии, причем чем ниже температура, тем потери меньше. Поэтому кристаллы геля могут расти и плавиться с фантастическими, по общим меркам, скоростями и, что очень важно, даже при чрезвычайно слабых внешних воздействиях. А это и есть главное условие, необходимое для существования волн кристаллизии.

Посмотрите на кристаллик геля, изображенный на фотографии. Кристаллик размером около 3 мм, выращенный при температуре 0,5 К, висит на стенке экспериментальной камеры, «прицелившись» к ней своим левым боком. Со всех остальных сторон он окружен жидким гелем под давлением 25 атм. Возбудить волны кристаллизии на таком кристаллике столбце просто, как возбудить волны в стакане воды — для этого достаточно чуть потрясти камеру. Именно такой момент зафиксирован на фотографии.

Любопытно, что не все поверхности кристалла обладает способностью к сверхбystрой кристаллизии. Участи, определяемых образом ориентированные относительно кристалограммических осей (в настоящее время известны три такие «особы» ориентации), выглядят как идеально плоские грани и остатrics совершенного неподвижными, то есть ведут себя как поверхность обычного кристалла, имеющего естественный огранку. Кстати, наличиные этих «особы» граней наглядно подвергдает, что мы действительно имеем дело с кристаллом, причем с кристаллом высокого качества. Все остальные участки поверхности криглены и быстро колебются при малейшем внешнем воздействии (в данном случае период колебаний порядка 0,01 с, а их амплитуда ~ 0,1 мм).

21

1B, 5C (так что $E = \frac{1A+1B}{2}, D = \frac{1B+5C}{6}$) и обозначим через $Z$ барисентр этих трех материальных точек. Тогда
$$Z = \frac{1A+1B+5C}{7} = \frac{(1A+1B)+5C}{7} = \frac{2E+5C}{7},$$
и потому $Z \in [CE]$; далее,
$$Z = \frac{1A+1B+5C}{7} = \frac{1A+(1B+5C)}{7} = \frac{1A+6D}{7},$$
то есть $Z \in [AD]$. Следовательно, $Z$ — точка пересечения отрезков $CE$ и $AD$.
Из равенства $Z = \frac{1A+6D}{7}$ по правилам рычага вытекает, что $|AZ|:|ZD| = 6:1$.
Следующие два примера показывают, что иногда удобно помещить в одной и той же точке несколько масс.
Пример 3. В треугольнике САВ (рис. 4) проведена медиана $CD$. На сторонах $CA$ и $CB$ выбраны также точки $K$ и $L$, что $|CK|=4|KA|, 2|CL|=|LB|$.
В каком отношении точка $P$ пересечения прямых $KL$ и $CD$ делит мединую $CD$? В каком отношении точка $P$ делит отрезок $KL$?

Решение. Рассмотрим систему материальных точек 1C, 4A, 4B, 8C (так что $K = \frac{1C+4A}{5}, D = \frac{4A+4B}{8}, L = \frac{4B+8C}{12}$) и обозначим через $P$ барисентр этой системы. Тогда
$$P = \frac{1C+4A+4B+8C}{17} = \frac{(1C+4A)+(4B+8C)}{17} = \frac{5K+12L}{17},$$
то есть $P \in [KL]$;
$$P = \frac{(4A+4B)+(1C+8C)}{17} = \frac{8D+9C}{17},$$
то есть $P \in [CD]$.

Следовательно, $P$ есть точка пересечения отрезков $KL$ и $CD$. Из написанных равенств вытекает, согласно правиларыга, что $|KP|:|PL| = 12:5, |CP|:|PD| = 8:9$.

Пример 4. Основанием парамиды SABCD служит паралелоэрамм $ABCD$ (рис. 5). Пложность а отрезка от трех боковых ребер $SA, SB, SC$ соответствен третье, четверть, пятую часть (считая от вершины $S$). Какую часть отрезка она от четвертого бокового ребра?

Решение. Пусть $A_1, B_1, C_1$ — точки встречи плоскости $a$ с ребрами $SA, SB, SC$. Поместим в точках $A, B, C$, в которых оказываются эти ребра, соответствен массей 1, — 1,1 (так, чтобы центром масс получившихся трех материальных точек был конец $D$ четвертого ребра, см. задачу 5). Далее, в точке $S$ помещим такие три массы, чтобы вместе с уже взятыми материальными точекми 1A, $(-1)B, 1C$ они имели в качестве центров масс точки $A_1, B_1, C_1$. Так как, по условияю
$$|SA_1|:|A_1A| = 1:2, |SB_1|:|B_1B| = 1:3, |SC_1|:|C_1C| = 1:4,$$
мы получаем
$$A_1 = \frac{1A+2S}{3}, B_1 = \frac{(-1)B+(-3)S}{-4}, C_1 = \frac{1C+4S}{5}.$$
Обозначим через $Z$ центр масс всех шести материальных точек 1A, $(-1)B, 1C, 2S, (-3)S, 4S$. Тогда
$$Z = \frac{(1A+2S)+((-1)B+(-3)S)+(1C+4S)}{4} = \frac{3A_1+(-4)B_1+5C_1}{4},$$
откуда видно, что $Z \in \alpha$. Далее,
$$Z = \frac{(1A+(-1)B+1C)+(2S+(-3)S+4S)}{4} = \frac{1D+3S}{4},$$
откуда видно, что $Z \in \alpha$. Следовательно, $Z$ — искомая точка пересечения плоскости $a$ с ребром $SD$. Из равенства $A'$ точку пересечения прямой $AZ$ со стороны $BC$. Доказите, что $A'$ — центр масс двух материальных точек $m_BB$ и $m_CC$.
13. Пусть в вершинах $A, B, C$ некоторого треугольника помещены массы $m_A, m_B, m_C$. Обозначим через $A'$ барисентр материальных точек $m_BB$ и $m_CC$, через $B'$ — барисентр материальных точек $m_CC$ и $m_AA$, а через $C'$ — барисентр материальных точек $m_AA$ и $m_BB$. Доказите, что прямые $AA', BB', CC'$ пересекаются в одной точке.
14. Пусть в системе (1) отмещены $k$ точки $m_1A, \dots, m_kA_k$ и пусть $C$ — барисентр отмещенных материальных точек, а $D$ — барисентр отвалых точек $m_{k+1}A_{k+1}, \dots, m_nA_n$ (предполагается, что $m_1+...+m_k \neq 0, m_{k+1}+...+m_n \neq 0$). Доказите, что барисентр двух материальных точек $(m_1+...+m_k)C$ и $(m_{k+1}+...+m_n)D$ совпадает с барисентром $Z$ исходной системы (1).
15. Из четырех точек $A, B, C, D$ никакие три не лежат на одной прямой. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AB$ и $CD$, $Z$ — середина отрезка $MN$, $P$ — точка пересечения медиан треугольника $BCD$. Лежат ли точки $A, Z, P$ на одной прямой?

22

16. В четырехугольнике $ABCD$ отрезок $KL$ соединяет двех противоложных сторон, отрезок $MN$ соединяет двех других противоложных сторон, а отрезок $PQ$ соединяет двех диагоналей. Докажите, что отрезки $KL, MN$ и $PQ$ пересекаются в одной точке $Z$ и каждой из них делится в этой точке пополам.

17. В четырехугольнике $ABCD$ точки пересечения медиан треугольников $BCD, ACD, ABD, ABC$ обозначены через $A', B', C', D'$. Докажите, что каждой из отрезков $AA', BB', CC', DD'$ проходит через точку $Z$, расстоянию в пределы задаче, и делится этой точкой в отношении 3:1, считая от вершин четырехугольника.

18. В четырехугольнике три отрезки, каждой из которых соединяет одну из вершин с точкой пересечения медиан противоложных ребер. Докажите, что эти три отрезка пересекаются в одной точке $Z$, и каждой из них делится в этой точке пополам.

19. В четырехугольнике четырехугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ последовательно отмещены их середины $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$. Будет ли точка пересечения медиан треугольника $B_1B_3B_5$ совпадать с точкой пересечения медиан треугольника $B_2B_4B_6$?

20. На сторонах шестиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ последовательно отмещены их середины $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$. Будет ли точка пересечения медиан треугольника $B_1B_3B_5$ совпадать с точкой пересечения медиан треугольника $B_2B_4B_6$?

21. Данны шесть точек, из которых никакие три не принадлежат одной прямой. Точка пересечения медиан треугольника с вершинами в каждой либо трех из этих точек соединена отрезком с точкой пересечения медиан треугольника с вершинами в остальных трех точек. Докажите, что все возможные таким образом 10 отрезков имеют общую середину.

22. Противоположные стороны $AB$ и $DC$ четырехугольника $ABCD$ разделены точками $M$ и $N$ в одном и том же отношении $k$ (то есть $\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{DN} = k\overrightarrow{NC}$); $P$ и $Q$ — середины стороны $AD$ и $BC$. В каждом отношении делится каждой из отрезков $MN$ и $PQ$ точкой их пересечения?

23. Противоположные звены $AB$ и $DC$ пространственной замкнутой ломаной $ABCD$ разделены точками $M, N, P, Q$ соответственно в отношениях $\alpha : \beta$, $\beta : \gamma, \gamma : \delta, \delta : \alpha$, где $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ — положительные числа. Докажите, что точки $M, N, P, Q$ лежат в одной плоскости. В каждом отношении делится отрезки $MP$ и $NQ$ точкой их пересечения?

24. Каждый звено замкнутой пространственной ломаной $A_1A_2 \dots A_{2n}A_1$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке, причем звено $A_iA_{i+1}$ делится точкой пересечения $c$ плоскостью $\alpha$ в отношении $k_i (i=1, 2, \dots, 2n-1)$. В каждом отношении звено $A_{2n}A_1$ делится точкой пересечения $c$ плоскостью $\alpha$?

25. На сторонах треугольника $ABC$ взятые также точки $M$ и $N$, что $\overrightarrow{CN} = \alpha\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CM} = \beta\overrightarrow{CB}$. Пусть $S$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BN$. Вычислите отношения $|AS|:|AM|, |BS|:|BN|$.

26. На сторонах $KL$ и $LM$ треугольника $KLM$ взятые также точки $A$ и $B$, что $|LA| = 3|AK|, |BJ| = 4|BM|$. Вычислите отношение площадей треугольников $KLM$ и $KLC$, где $C$ — точка пересечения прямых $AM$ и $KB$.

27. На сторонах $AB, BC, CA$ треугольника $ABC$ взятые также точки $C_1, A_1, B_1$, что $|AC_1| = \frac{1}{3}|AB|, |BA_1| = \frac{1}{3}|BC|, |CB_1| = \frac{1}{3}|CA|$. При пересечении отрезков $AA_1, BB_1, CC_1$ образованы треугольник $A_2B_2C_2$. Найдите отношение площадей треугольников $A_2B_2C_2$ и $ABC$.

Указание. На каждом отношении отрезки $BB_1$ и $CC_1$ (и, аналогично, для точки $B_2$ и $C_2$).

29. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 1. Точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении 3:5. Вычислите площадь четырехугольника $CMPD$, где $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BD$.

30. На стороне $AB$ параллелограмма $ABCD$ взятая точка $M$, отсекающая $\frac{1}{n}$ часть этой стороны, то есть $|AM| = \frac{1}{n}|AB|$. Какую часть диагонали $AC$ отсекает прямая $DM$?

31. В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касает сторон $BC, CA, AB$ соответственно в точках $A', B', C'$. Докажите, что отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке. Указание. Введем обозначения: $|AC'| = |AB'| = p, |BC'| = |BA'| = q, |CA'| = |CB'| = r$ (рис. 6). Загрузим вершины $A, B, C$ массами $1/p, 1/q, 1/r$. Убедитесь, что $C'$ — барицентр двух материалов точки $\frac{1}{p} A$ и $\frac{1}{q} B$, и потому (по теореме о группировке масс) барицентр $Z$ системмы материалов точки $\frac{1}{p} A, \frac{1}{q} B, \frac{1}{r} C$ лежит на отрезке $CC'$. Аналогично проверьте, что $Z \in [AA']$ и $Z \in [BB']$.

32. В угол $PAQ$ вписана окружность, которая касает сторон угла в точках $P$ и $Q$. Прямая $BC$ ($B \in [AP], Q \in [AQ]$) касается окружности в точке $T$. Прямые $BQ$ и $CP$ пересекаются в точке $M$. Лежат ли точки $M, T, A$ на одной прямой?

33. На сторонах треугольника $ABC$ или на их продольных выбранных также точки $A_1, B_1, C_1$, что $\overrightarrow{BA_1} = \alpha\overrightarrow{A_1C}, \overrightarrow{CB_1} = \beta\overrightarrow{A_1A}, \overrightarrow{AC_1} = \gamma\overrightarrow{C_1B}$. Докажите, что если $\alpha\beta\gamma = -1$, то точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой (теорема Менелая).

Указание. Расстояние системы из четырех материалов точки $1A, \gamma B, (-1)A, \alpha\gamma C$.

34. Докажите, что если при обозначениях предыдущей задачи выполнен равенство $\alpha\beta\gamma = 1$, то прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке или параллельны (теорема Чевы).

Указание. Загрузите вершины $A, B, C$ массами $1, \gamma, \alpha\gamma$ и докажите, что при $1 + \gamma + \alpha\gamma \neq 0$ центр масс этих трех материалов точки принадлежит каждой из прямых $AA_1, BB_1, CC_1$.

35. Основанием параллелограмма $ABCD$ Плоскость $\alpha$ отсекает отрезки боковых ребер $SA, SB, SC$ соответственно половину, две трети, три четверти (считая от вершины $S$). Какую часть отсекает она от четырехового бокового ребра?

24

а проекция второго шара

$$u_{2x} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2.$$

Легко видеть, что проекция скорости первого шара всегда положительная, а проекция второго может быть как положительной, так и отрицательной. Если масса налетающего шара меньше массы покоящегося ($m_2 < m_1$), то $u_{2x}$ отрицательна. Это означает, что шар после стольновения изменяет направление своей скорости (отскакивает от поковшегся шара, как показано на рисунке 3). При обратном соотношении масс ($m_2 > m_1$) проекция $u_{2x} > 0$, и направление движения налетающего шара после стольновения не меняется (отскакивает поковшегся шар). Если массы обихшаров равны ($m_1 = m_2$), то $u_{1x} = v_2$, а $u_{2x} = 0$. Это значит, что второй шар, стольновшись с первым, передал ему свой импульс, а сам остановился.

Таким образом, получаем законами сохранения энергии и импульса, можно, зная скорости тел до стольновения, определять их скорости после стольновения. А как обстояло дело во время стольновения, когда шары уже соприкоснулись друг с другом, но еще не разошлись?

При стольновении шары деформируются. Сначала их деформация растет, затем уменьшается. В момент наибольшей деформации шары движутся вместе с одной и той же скоростью. Расстоянием этот момент подробнее. Обозначим скорость их совместного движения через $\vec{u}$ и будем считать, для простоты, массы шаров одинаковыми ($m_1 = m_2 = m$). По закону сохранения импульса

$$mv_2 = 2mu_x.$$

Отсюда следует, что $u_x = u = v_2/2$. Таким образом, скорость обихшаров при их совместном движении равна половине скорости одного из них до стольновения.

Что касается кинетической энергии шаров, то в момент их движения с одной и той же скоростью она равна $2mu^2/2 = mu^2 = mv_2^2/4$. А до стольновения обихшария шаров была равна $mv_2^2/2$. Следовательно, кинетическая энергия уменьшалась вдвое. Куда же она исчезла? Не произходит ли здесь нарушения закона сохранения энергии, как это может показаться на первый взгляд?

Энергия, конечно же, осталась прежней. Все дело в том, что во время стольновения оба шара были деформированы, и поэтому они обладают потенциальной энергией упругого взаимодействия. Именно на величины этой потенциальной энергии и уменьшилась кинетическая энергия шаров. Вначале, когда деформация росла, потенциальная энергия увеличивается и в момент совместного движения шаров она достигла своего максимального значения (в нашем случае равного половине объекта энергии). Затем деформация уменьшалась, а запасенная потенциальная энергия перешла обратно в кинетическую。

Движение заряженных частиц в электречском и магнитном полях

Рассмотрим вначале движения частицы с зарядом $q$ и массой $m$ в однородном постоянном электречском поле направленное $\vec{E}$. Например, поля в этом случае не зависит ни от координат, ни от времени (такое поле возникнет, например, в заряженном плоском конденсаторе, относительной от источника). Следовательно, на заряженную частицу со стороны поля действует постоянная сила $\vec{F} = q\vec{E}$, которая сообщает частице постоянное ускорение $\vec{a} = \vec{F}/m = q\vec{E}/m$. Если частица имеет начальное скорость $\vec{v}_0$, как показано на рисунке 1, то ее движения в таком поле похожие на движения тела, брошенного под углом к горизонту в однородном поле тяжесте, где ускорение тела также постоянно и равно $\vec{g}$. В учебнике «Физика 8» показано, что траектория движения в таком поле похожа — парабола.

При движении заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле на нее действует сила Лоренца

26

нитные волны, интенсивность которых пропорциональна квадрату ускорения.

Этот закон обязывает и излучение электромагнитных волн вRENTеновской трубке. Электроны, пролегая в глубоком вакууме в пространстве между катодом и аномом, разгоняются электрическим полем до больших скоростей, а затем резко тормозятся при соударении с аномом. При этом возникают значительные ускорения, и электроны излучают электромагнитные волны. Такое излучение называется тормозным.

Оказывается, что, тормозясь, электроны излучают цельный спектр электромагнитных волн с разными частотами (или длинами волн). Этот спектр — сплошной, но он ограничен определенной максимальной частотой $v_{\text{max}}$ (такое ограничение по частоте можно обяснить только с точки зрения квантовой теории).

Самая большая частота (и, соответственно, самая малая длина волны) определяется из условия равенства кинетической энергии электрона $eU$ (U — напряжение между аномом и катодом) энергии излучемого кванта:

$$eU = hv_{\text{max}},$$

откуда

$$v_{\text{max}} = \frac{eU}{h},$$

и, соответственно, минимальная длина волны

$$\lambda_{\text{min}} = \frac{c}{v_{\text{max}}} = \frac{ch}{eU} \cdot$$

где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света. При разности потенциальов в несколько десятиков киловольт минimalная длина волны достигает долей ангстрема ($1\mathring{\mathrm{A}} = 10^{-10}\text{ m}$). Такое коротковolverное излучение обладает большой проникающей способностью и называетсяRENTеновским излучением.

(*) Измерив на опыте минимальный длину волны $\lambda_{\text{min}}$ и напряжение $V$, можно из этого равенства определять значение постоянной Планка $h$. Из таких опытов было получено значение $h = 6,62 \cdot 10^{-34}\text{Дж} \cdot \text{с}$.

Дифференцирование сложной функции

В. С. ЭППЕЛЬ

Все абитуренты знают, что $(\sin x)' = \cos x$. Однако равенства вроде $(\sin 2x)' = \cos 2x$ или $(\sin^3 x)' = \cos^3 x$, которые нет-нет да и грешат абитуренты, грубо неверны. Дело в том, что функция $\sin 2x$ и $\sin^3 x$ — сложные и дифференцированные их — задача тоже более сложная. Мы показем здесь, как решать эту задачу практические.

Ошибки вроде $(\sin^3 x)' = \cos^3 x$ возникают тогда, когда поступающие не умют расшифровать запись $y = \sin^3 x$, не видят в этом простом выражении сложной функции — композиции двух функций (см. «Алгебра и начала анализа 9—10», п. 20). В действительности, функция $y = \sin^3 x$ получается последовательным выполнением двух операций: взятая синуя угла $x$ и возведенная полученного числа $\sin x$ в куб:

$$x \rightarrow \sin x \rightarrow (\sin x)^3.$$

В записи функции $y = \sin^3 x$ нужно су-метЬ разделно уви деть одну за другой две функции (синус и степень), из которых она составлена. Это легче сделать, если эта функция записана в виде $y = (\sin x)^3$.

Для наглядности, на первых порах мы будем помогать читателю распознавать сложные функции с помощью цвета. В нашем примере

$$y = (\sin x)^3 \quad \text{или} \quad y = \sin^3 x$$

В общем случае, чтобы применять правила дифференцирования сложной функции («Алгебра и начала анализа 9—10», п. 21)

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

необходимо данную функцию суметь «увидеть» в форме $f(g(x))$. Для этого вначале нам будет помогать цвет. Расстояние между двумя примерами.

Продифференцируем функцию

$$y = \sin 2x = \sin u, u = 2x$$

(каждая функция имеет свой цвет):

$$y' = (\sin u) \cdot (2x)' = (\cos u) \cdot 2 = 2\cos 2x.$$

27

(Но не cos 2x.)
Точно так же
$$y = \sin^3 x = u^3, \quad u = \sin x;$$
$$y' = (u^3)' \cdot (\sin x)' = (3u^2) \cdot (\cos x) = 3 \sin^2 x \cos x.$$

(Но не cos³ x.)
На практике такое дифференцирование произвольного города короче и проще, во всяком случае без введения в запись u.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно — дифференцируемую в данной момент), не замечая пока другие, — открытые их видение до момента их дифференцирования.

Вот еще несколько демонстрационных примеров, уже без введения промежуточного «u», так, как обычно осуществляют и записьют дифференцирование сложной функции те, кто обладает свободным навыком такого дифференцирования. Только по-прежнему каждую дифференцируемую функцию и ее произвольную мы будем писать одинаковым цветом.

$$y = (2x^4 - 5x^2 + 6)^8;$$
$$y' = 8(2x^4 - 5x^2 + 6)^7 \cdot (8x^3 - 10x).$$
$$y = \sqrt{R^2 - x^2} = \left(R^2 - x^2\right)^{\frac{1}{2}};$$
$$y' = \frac{1}{2}\left(R^2 - x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$$

Следующая сложная функция —
$$y = \sin^3 5x.$$

она является, как видно хотя бы уже по количеству цветов, композицией трех функций: 1) сину; 2) возвведение в степень; 3) умножение на 5.

Продиференцируем ее:
$$y = \sin^3 5x;$$
$$y' = \left(3 \sin^2 5x\right) \cdot \left(\cos 5x\right) \cdot \left(5\right) = 15 \left(\sin^2 5x\right) \cos 5x.$$

Поскольку от перемены мест сложнительной произведение не меняется, то и перебирать функции для дифференцирования, само собой разумется, можно в любом порядке.

Еще несколько примеров:
$$y = \mathrm{tg} x^3; \quad y' = \frac{3x^2}{\cos^2 x^3}.$$
Функцию

мы дифференцируем как произведение функции по формуле $(uv)' = u'v + v'u$:
$$y' = \left(x^2\right)' \left(\ln x^3\right) + \left(x^2\right)' \cdot \left(\ln x^3\right)' = 2x \ln x^3 + x^2 \cdot \frac{1}{x^3} \cdot \left(3x^2\right) = 2x \ln x^3 + 3x.$$

$$y = 2x^3 - 5x;$$
$$y' = 2x^3 - 5x \ln 2 \cdot \left(3x^2 - 5\right)$$

У разнения. Продиференцируйте, используя по мере надобости многоцветную запись:

1. $y = (x^3 + 2)^4$; 2. $y = \sqrt{1 + 5x^2}$;

2. $y = e^{x^2 - 3x}$; 4. $y = \ln (2x^3 - 4x^2)$;

3. $y = \lg (2x^3 - 4x^2)$; 6. $y = 5^{\sin x}$;

4. $y = \log_{0.3}(8x^2 - 2x^3)$;

5. $y = \cos (2x - 1)$; 9. $y = \cos^2 3x$;

6. $y = \sqrt{\mathrm{tg} x}$; 11. $y = x \mathrm{tg}^2 x$;

7. $y = \sin \sqrt{ax}$; 13. $y = \ln \sin x$;

8. $y = 3^{\frac{1}{x}}$; 15. $y = \frac{1}{\cos 2x}$.

9. Доказите, что функция $y = c \sqrt{1 + x^2}$ служит решением дифференциального уравнения $y' = xy / (1 + x^2)$.

Поправки

1. В «Кванте» №1 на с. 57 во втором уравнении задачи 1 варианта 1 ошибочно напечатано 15 вместе 55.
2. В последнем абзаце на с. 47 «Кванте» №2 над 1-й, 4-й, 7-й жирными буквами A и 1-й, 3-й, 5-й, 6-й, 8-й жирными буквами B должны стоять черта (А, В), пропущенная по вине типографии.

28

Избранные школьные задачи

Под этим задолковом в разделе «Школа в Кванте» будут решаирно публикаться заданно по математике, теоно связанные со школьным курсом. В отличие от «Задачника Кванта», здесь мы будем помещать довольно известные задачи — «школьную математическую класску». Их решения (как правило, короткие, но не всегда очень удобные!) будут публикаться в конце того же номера журнала. Систематически разбирая эти задачи, вы познакомитесь со многими полезными примами, которые пригодятся вам на школьных контрольных и экзаменах, при поступлении вуз или на олимпиаде. Мы надеемся, что «Избранные школьные задачи» оказывается интересным и для учтелей, а также для тех студентов, которые готовятся стать им.

Восьмой класс

1. Разложите на множители выражения:
   a) $a^4 + 4b^4$;
   b) $a^4 + b^4$.
2. Докажите, что в грапении 4 точки — середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
3. a) Пусть на плоскости заданы две параллельные прямые и отрезок $AB$ на одной из них. Постройте середину отрезка $AB$ с помощью одной линейки.
4. Какую фигуру задает на координатной плоскости herавенство $|x| + |y| \leq 1$?
5. При эскаваторам должны выкопать грашено. Сначала первый из них работал столкво времени, сколько попадобилось бы второму и третьему эскаватором, чтобы вырыть половину трашен. Затем второй из них работал столкво времени, сколько попадобилось бы первому и третьему эскаватором, чтобы вырыть половину трашен. Наконеч после этого третий эскаватор проработал столкво времени, сколько попадобилось бы первому и второму эскаватором, чтобы вырыть половину трашен. В результате этой работы эскаваторы вырыли всю трашено. Во сколько раз быстрее они вырыли бы трашено, работая все вместе, а не подиночке?

Девятый класс
6. Пусть $a + 4b = 2$. Какое наиболее значение может принять произведение $ab$?
7. Задание о чистом кунцце. Один честный кунцец заметил, что на весах, которые он пользовется, одно плею кормься немного длине другого (в то время пользовались весами с двумя чашками на кормьсле). Что делать? Обещивать покупателей — грех, но и себя обжать не хочеется! В это время в лавку запел покупатель и попросил взвесить ему два фунта орехов. «Взвесу-ка я орехи в два приема», подумал кунцец. «Сначала поставлю фунтовую грию на левую чашку весов и насыплю на правую столько орехов, чтобы уравновесили. Отдав эти орехи покупателю, я затем поставлю ту же фунтовую грию на правую чашку весов, а на левую насыплю столько орехов, чтобы весы снова

8. Пусть функция $f(x)$ задана формулой
   $$f(x) = (x^2 + 5x - 8)^{100} \cdot x^5.$$
   (1)

Если произвести все указанные в правой части формулы (1) действия и приведенные подблены члены, то функция $f(x)$ запишется в виде многочлена:
$$f(x) = a_0x^{205} + a_1x^{204} + a_2x^{203} + \dots + a_{204}x + a_{205},$$
(2)
где $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{205}$ — некоторые числа (коэффициенты многочлена).
a) Найдите сумму всех коэффициентов
$$S = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{204} + a_{205}$$
указанного многочлена, стоящих при нечетных степенях $x$.
b) Найдите сумму коэффициентов
$$S_4 = a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{205}.$$
9. Докажите, что любую функцию $f(x)$, определяющую на все числовой оси, можно представить как сумму четной и нечетной функции.
10. Пусть в терраде (произвольной треугольной прямые) высота, проведенная из вершины, проходит через точку пересечения высот треугольника, расположенного в основании. Докажите, что:
a) скрещивающийся ребра треугольника взимно перпендикулярны;
b) остальные высоты треугольной прямые пересечения высот соответствующих границ;
b) все четыре высоты треугольника пересекаются в одной точке;
g) суммы квадратов длины каждой пары скрещивающихся ребер одинаковы.

Десетый класс
11. a) Докажите, что $\cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{3\pi}{5} = \frac{1}{2}$.
6) Докажите, что $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
12. Какую фигуру задает в координатном пространстве herавенство $|x| + |y| + |z| \leq 1$?
13. Решите уравнения:
a) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^x = 2; b)$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^x = 2^x.
14. Упростите выражения:
a) $\log_a tg \theta + \log_a tg 2^\theta + \dots + \log_a tg 88^\theta + \log_a tg 89^\theta; b)$\log_a sin 60^\circ + \log_a sin 61^\circ + \dots + \log_a sin 119^\circ + \log_a sin 120^\theta;
b) $\log_2 3 + \log_3 4 + \log_4 5 + \dots + \log_{n-2}(n-1)n.$
15. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри или на границе правильного треугольника, до его граней равна высоте треугольника.

Публикацию подготовил Ж. М. Раббот

29

Задание

1. При каком соотношения радиусов шестеренок будет врашаться система, изображенная на верхнем рисунке? А система на следующем рисунке?
2. Решите числовой ребус:

$$\frac{ВАГОН}{+ВАГОН}$$

$$\frac{СОСТАВ}{COSTAB}$$

3. Каждый грань кубика разделена на 4 квадрата и каждый квадратик окружен в один из трех цветов: синей, желтый или красный так, что квадратки, имеющие общую сторону, окружены в разные цвета. Сколько при этом может быть синих, красных и желтых квадратков?
4. Расмотрим некоторое двухначное число, например 13. Умножим это число на 20 и сложим его с исходным числом — получится число 273. Умножим полученное число на 481 — получится число 131 313, в записи которого трижды повторяется исходное число 13. Это удивительное свойство выполняется для любого двухначного числа. Почему?
5. На электронных часах высечивается время: часы и минуты. Сколько времени в сутки высечивается хотя бы в одном месте цифра 2? Найдите соответствующее время для остальных цифр: 0, 1, 3, 4, …, 9.

Эти задания нам предложили: П. В. Молодчик, С. Н. Оlexник, В. В. Произволов, А. П. Савин, В. П. Чичин.

32

Задачи

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задания отмещаются звездочки. После формирования мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задания публикуются впервые. Решения задач из этого номера можно отправлять не позднее 30 июня 1984 года по адресу: 103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» №4 — 84» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M856, М857» или «Ф868». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещите: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указать номер школь и класс, в котором вы учитесь.

ВНИМАНИЕ!

Задачу М846 следует решать в более общей формеировке: докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длины его диазоналей. Срок отправки ее решений продлевается до 30 июня.

M856—M860; Ф868—Ф872

M856. а) Постройте четырехугольник, зная длины его сторон и длину отрезка, соединяющегося диагоналей.

6. При каких условиях задача имеет решение?

И. З. Титович

M857. Среди 1984 первых натуральных чисел (от 1 до 1984) отметим те, которые можно представить в виде суммы пятей целых неотрицательных степеней двойки (то есть пяти не обязательно различных чисел 1, 2, 4, 8, …). Каких чисел оказывается больше: отчеченных или не отчеченных?

С. Стадниченко

M858. Для величины α, β и γ углов неокоторого треугольника выполнен соотношение

$$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin \gamma.$$

a) Найдите α, β, γ, если известно, что треугольник равнобедренный (расмотрите все случаи).

6. Может ли треугольник быть остроугольным?

b)* Какие значения может принимать наиболее угол треугольника?

П. Б. Гусятиков

M859. Найдите наименьшее положительное число α такое, что для любого квадратного трехчлена f(x), удовлетворяющего при 0≤x≤1 неравенству |f(x)|≤1, выполняется неравенство |f’(1)|≤α.

В. П. Пикулин

M860.* a) Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности, K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со стороны треугольника ABC. Доказите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем |OZ|:|ZK|=3R/r.

6. Пусть a, b, c — длины сторона треугольника ABC, $\vec{n}_a, \vec{n}_b, \vec{n}_c$ — единичные векторы, перпендикулярные к соответствующим сторонам треугольника и направленные во внешнюю сторону (рис. 1). Доказите, что

$$a^3\vec{n}_a + b^3\vec{n}_b + c^3\vec{n}_c = 12S \cdot M\vec{O},$$

где S — площадь треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. O — центр описанной окружности.

Чан Куан

33

Ф868. Колечки $O$ и $O'$ надеты на вертикальное закрепленные стержни $AB$ и $A'B'$. Нерастяжимая нить привязана к колцу $O$, пропущена через колцо $O'$ и закреплена в точке $A'$ (рис. 2). В тот момент, когда $\angle AOO' = \alpha$, колцо $O'$ движется вниз со скоростью $v$. Найти скорость колцца $O$ в этот момент.

С. С. Кротов

Ф869. Вертикальная длина кирпичная труба заполнена чугуном. Нижний конец трубы поддерживается при температуре $T_1 > T_{nл}$ ($T_{nл}$ — температура плавления чугунна), верхний — при температуре $T_2 < T_{nл}$. Теплопроводность у расплавленного чугунна в $k$ раз больше, чем у твердого. Какая часть металла находится в расплавленном состоянии?

А. И. Буздин

Ф870*. Одноатомный идеальный газ расширяется так, что его молярная температура $c_x$ остается постоянной; при этом газ совершает работу $A = 165$ Дж. Затем газ изохорически нагревается до первоначальной температуры, для чего к нему подводят количество теплоты $Q = 125$ Дж. Определить $c_x$.

А. А. Шеронов

Ф871. Первоначально незаряженный конденсатор emкости $C$ подключит к последовательно соедининым батареем с напряжением $U_0$ и катушки с индуктивностью $L$. Ток через катушки вначале увеличивается, а затем уменьшается. В тот момент, когда ток становится равным нулю, конденсатор отключают от схемы и подключит вновь, поменяя местами его выходы. Какой максимальный ток будет после этого чечез катушки? Как изменится этот ток, если процесс переключения повторить 1984 раза? Сопротивлением цепи пренебречь.

А. Р. Зильберман

Ф872. Длинные санки, скользывание по очень гладкому льду, вызжают на acфальт и останавливаются, не пройдя половины своей длины. После этого саням резким толком сообщают первоначальную скорость, и они вновь останавливаются. Как относится время на торможения в первом и во втором случах? Как относится пути торможения?

С. С. Кротов

Problems

M856—M860; P868—P872

M856. a) Construct a quadrilateral knowing the lengths of its sides and that of the segment joining the midpoints of the diagonals.

b) Under what conditions does the problem have a solution?

I. Z. Titovich

35

isochorically heated to its initial temperature, which requires the amount of heat $Q=125$ J. Determine $c_x$.

A. A. Sheronov

P871. An initially uncharged capacitor of capacity $C$ is connected consecutively to a battery of EMF of tension $U_0$ and a coil of inductivity $L$. The current in the coil first increases, then decreases. At the moment when the current banishes, the capacitor is disconnected and then reconnected with the ends interchanged.

What maximal current will then flow through the coil. How will the current change if the reconnection process is repeated 1984 times? The circuit’s resistance is negligible.

A. R. Zilberman

P872. A long sled, sliding on very slippery ice, reaches an ice-free section of the road and stops before travelling half its length. Then a sharp push restores the sled’s previous velocity, and it stops again. What is the relationship between 1) the slowing down times in the first and second cases? 2) the distances travelled while slowing down?

S. S. Krotov

Решения задач

M841 — M845; Ф852 — Ф857

Эта простая задача имеет несколько решений. Приведем только одно из них. Пусть $a$ и $b$ — длины катетов, $c$ — длина гипотенузы данного треугольника $ABC$; $A_1, B_1$ и $C_1$ — точки касания вписанной окружности со стороны (см. рисунок). По теореме о равенстве касательных, проведенных к окружности из одной точки, $|AB_1| = |AC_1|$, $|BC_1| = |BA_1|$ и $|CA_1| = |CB_1|$. Отсюда следует, что

$$|AC_1| = \frac{c+b-a}{2}, \quad |BC_1| = \frac{c+a-b}{2}.$$

Позтому

$$|AC_1| \cdot |BC_1| = \frac{1}{4} (c+b-a)(c-(b-a)) = \frac{1}{4} (c^2-(b-a)^2) = \frac{1}{4} (c^2-b^2-a^2+2ab) = \frac{ab}{2} = S_{\triangle ABC}$$

(мы воспользовались теоремой Пифагора).

В случае произвольного треугольника $ABC$ аналогичная выкладка приводит к такой формуле:

$$S_{\triangle ABC} = |AC_1| \cdot |BC_1| \cdot \text{ctg} (\widehat{C}/2).$$

В. Н. Дубровский

a) Это довольно известное утверждение — подсказка к пункту 6); оно легко доказывается с помощью стандартных формул преобразования суммы синусов и разности косинусов в произведение:

$$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \left( \cos \frac{\gamma}{2} - \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \right) =$$

b) Величины $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ и $\widehat{C}$ уелов треугольника удовлетворяют