Квант 1984, №8 · Страницы

КЕАНТ
8
1984
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Около 1200 лет назад родился величайший ученый средневековый, астроном и математик Мухамmed ibn Musa al-Xорезmi.
О значении его трудов говорит хотя бы то, что слово «алгебра» возникло из названия его главного математического труда, а слово «алгоритм» — видоизменение его имени «ал-Xорезmi».
Подробнее об al-Xорезmi написано внутри номера.

В НОМЕРЕ:

2. А. Б. Миедал. Как создавалась квантовая теория
3. Л. А. Ашкинази. Что такое электрический пробой
4. Л. Е. Садовский, А. Л. Садовский, О. Л. Садовская. Пять сетов
5. Г. И. Гриёва, Г. В. Розенберг. Дела и проделки фен Морганы
6. З. Д. Установ, И. Ходжиев. Ал-Хорезми
7. А. П. Ершов. На родине великого ученого
   A. B. Migdal. How quantum theory was created
   L. A. Ashkinazi. What is electric breakthrough
   L. E. Sadovski, A. L. Sadovski, O. L. Sadovskaya. Five sets
   G. I. Grineva, G. V. Rozenberg. Deeds and misdeeds of the fairy queen Morgana
   Z. D. Usmanov, I. Khodjiev. Al-Horezmi
   A. P. Ershov. In the great scientist’s homeland

Лаборатория «Кванта»
32. А. А. Варламов. Из старых опытов
Kvant’s lab
A. A. Varlamov. From old experiments

Matematический кругок
35. Чан Куанг. Если массы заменить на площади…
Mathematics circle
Tran Quang. If masses are replaced by areas…

Новости научки
38. Новый вид радиоактивного распада
Science news
A new kind of radioactive decay

«Квант» для младших школьников
39. Задачи
40. Л. Кэрролл. Море слез.
Kvant for younger school children
Problems
L. Carroll. The pool of tears

Задачик «Кванта»
44. Задачи М876 — М880; Ф888 — Ф892
47. Решения задач М861 — М865; Ф873 — Ф877.
Kvant’s problems
Problems M876 — M880; P888 — P892
Solutions M861 — M865; P873 — P877

Олимпiadы
56. А. С. Меркурьев, Д. К. Фаддеев. Ленинградский olimpiadam — 50 лет
Olympiads
A. S. Merkuriev, D. K. Faddeev. 50 years of Leningrad Olympiads

Информация
59. Заочная школа при НГУ
60. Вечерняя физическая школа при МГУ
Information
Novosibirsk university correspondence school
Moscow university evening physics school

Игры и головоломки
61. А. И. Климанов. Оригами
Games and puzzles
A. I. Klimanov. Origami

Ответы, указания, решения
55. Наша обложка
Смеся (34, 58)
Шахматная страница
Каспаров — победитель матчей претенентов (3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Our cover page
Miscellaneous (34, 58)
The chess page
Kasparov — winner of the challenger’s matches (3rd cover page)

2

Как создавалась квантовая теория

Академик А. Б. МИГДАЛ

Как возникает теория? Сначала в результате анализа накопленных экспериментальных и теоретических знаний появляется глубокая и ясная физическая идея, скажем, «движение небесных тел и падание камня на Земле вызываны одной причиной», или «время течет по-разному в неподвижной системе отчета и в равномерно движущейся». Из первой иен Ньюотен вывел свою теорию тяготения, из второй — Эйнштейн — теорию относительной С важнейшей физической теории современности — квантовой теории — все было совершенно наоборот: ее главные результаты возникали раньше, чем становились понятным их смысл!

На примере создания квантовой теории можно увидеть в действии многоестественного теоретических особенностей физики. Это было движение в полутье, наошуль, через смутные догадки, которые часто не подверждают и уводили в стороны, но это удачи были раззantedы; ученные оказались провидцами — их утверждение, построенные на шатких основаниях, точнейшим образом подверждают позже.

Постараемся проследить и почувствовать этот сложный и необъчный ход indeed.

Все началось с катастрофы

Парадокс под мрачным названем «катастрофа Рэлея—Джинса» достигла физика в наследство от прошлого века. Он возник, когда законы статистической физики применили к равновесному теловому излучению, которое установливается внутри ящика с нагретыми стенками. Это излучение представляет собой стояние электромагнитные волны.

Statisticalная физика установила замечательный закон «равнораспределеня энергии»: в теплом равновесии на каждую «степень свободы»*)

*) Числом степеней свободы называют число независимых координат, определяющих состояние системы. (Прим. ред.)

3

приходится одинаковая энергия. Так, на каждое возможное колебание приходится энергия, равная $kT$ (к — постоянная Больцмана, $T$ — абсолотная температура). Если возможных колебаний в системе много, то такая система заберет на себя большую энергия. Полная энергия колебательной системы равна $NkT$, где $N$ — число возможных колебаний.

Постотрим, сколько стоянных электромагнитных волн может образовать в ящике. Для того чтобы возникла стоячая волна, от стенки до стенки должны уложиться целое число полу волн (рисунок 1). Чем короче длина волны, тем больше возможностей выполнить это условие. Поэтому число возможных стоянных волн растет с уменьшением длины волны — и, значит, с увеличением частоты. Если на каждое колебание приходится одна и та же энергия, а число колебаний растет с увеличением частоты, то и интенсивность изменения длины волны — и, значит, с увеличением частоты. Между тем точными опитами было установлено, что интенсивность изменения длины волны — и, значит, с увеличением частоты. Но главное — общее число возможных стоянных волн в ящике оказывается бесконечным, и они должны быть забрать на себя всю энергию стенок, сколько бы теплла мы к ним ни подводили. Это было бы действительно катастрофой — все предметы вокруг должны были бы охлаждаться, их теплопередило бы в «бездонную бочку излучения».

В 1900 году Макс Планк нашел единственный возможность обяснить описанный парадокс. Он предположил, что частицы, излучющие волны с частотой $v$, могут изменять свою энергию не перерывным образом, а только скачками — дискретными порциями $hv$. Коэффициент пропорциональности $h$ вошел в научку под названием «постоянная Планка».

Нагреты стенки ящика можно представить себе как набор частц, излучших электромагнитные волны различных частот. Согласно гипотезе Планка, эти излучатели не могут испускать электромагнитные волны с энергиями, затем большеми, чем средняя тепловая энергия $kT$, приходящая на одну частцу. Излучатели высокой частоты как бы «заморожены» в состоянии с минимальной энергейой. Для возникления таких излучателей им следует передать энергию $hv$, много большеми, чем тепловая энергия. Но согласно законам статистической физики это событие маловерятно, так что возникеной оказывается лишь малая доля таких излучателей, и интенсивность испущенного им света мала. Так нашел свое объяснение эмпирический закон Вина.

Планк получил формулу, которая описала результаты экспериментов по распределению интенсивности излучения всех частот при различных температурах стенок; нужно было только правильно подобратьCONSTANTУ $h$. Численное значение этой величины оказалось равным $h=6,62 \times 10^{-34}$ Дж·с. Поянято, почему скачкообразность в изменении энергии излучателей не заменали в повышенной жизни — порции энергии настоящего малы, что ее изменение какется непрерывным.

Что же такое свет?

Известные всем опыты по интерфеции и дифракции доказывают, что свет — это волна. Ньюотон, обьясняя конечную скорость распространения света, предположил, что светшееся тело испускает частицы — корпусклы,— передающие свет. Но он не смог таким способом обяснить явления интерфеции и дифракции, и корпускулярная теория света была надолго забита.

В 1905 году Альберт Эйнштейн, обьясняя явление фотоэфекта — выраженная электронов из молекул газа при облучении его ультрафилотовым све-

4

том*),— заключит, что волна не может создать такой концентрации энергии на сдном электреоне, чтобы вырвать его с орбиты. Однако свойства фотоэфекта полностью обязываются, если предположить, что свет — это набор частиц — фотонов, которые, взаимодействуя с электронами, вырабатывают их наружу**).

Эйштейн показал, что при появлении или исчезновении кванта света возникает или исчезает количество движения; таким образом, фотон имеет импульс $p$, который связан с длиной волны света соответствием $p=h/\lambda$. Энергия волны заданной частоты может изменяться только порциями $hv$, так же как и энергия излучателей в рассуждениях Планка. Таким образом, дискретность распространилась и на электромагнитные волны.

Теория фотоэфекта отчасти подтверждила корпускулярную теорию Ньютона. Так что же такое свет — частица или волна? Объяснить это тогда никто не смог, и противоречие так и осталось чем-то вроде занозы.

Правила квантования

В 1913 году Нильс Бор установил правила, настолько загадочные даже для самого их создания, что он назвал их «постулатами» — недоказуемыми предположениями.

Бор сделал еще один шаг по той неведомой дороге, который шли Планк и Эйштейн,— он распространил дискретность на atom, утверждая, что допустимы не все орбиты электронов, а только неокоторы. Согласно существовшей в классической физике планетарной модели atomа, электрон, обращаясь вокруг ядра, движется с центромретильнымускорением и, следовательно, должен излучать электромагнитные волны — ведь по законом классической электродинамики не излучает только заряд, движущийся по прямой с постоянной скоростью. Излучащий же электрон, непрерывно теряя энергию, упал бы на ядро.

Согласно правиле, введенным Бором, электрон может излучать кванты

*) В школьном учебнике 10 класса рассмотрен случай фотоэфекта в металх. (Прим. ped.)
**) При фотоэфективе электрон поглощает фотон, который передает ему свою энергию и импульс. (Прим. ped.)

света — фороны — только при перехождение с одной орбиты на другую. Существует орбита с наименьшей возможной энергейей, и в таком состоянии электрон живет неограниченно долго — ему некуда переходить. Так была обяясена стабильность.atoma.

Смысл правил квантования был неясен, но теория Бора описала все главнейшие свойства atoms, например, то, что atoms испускают свет дискретных частиот. Бор выражил частоты излучаемого atomом света через заряд ядра, заряд и массу электрон и постоянную Планка.

Еще одна дорога

Собиться, которыйсуждено было объяснить смысл поступатов Бора, произшло в 1923 году. Но сначала оно лишь чувствует他自己 задело больше место — проблему волн-частиц.

Французский физик Луи де Бройль предложил, что электрон на самом деле не частицы, а волны, вернее — и частицы, и волны… Частцы должны описывать неокоторий волновым процессом, характеризующимся длиной волны $\lambda$, связанной с количеством движения частицы $p$ так же, как длина волны фотона связывана с его импульсом.

Через четыре года американские физики Девиссон и Джермер и независимо от них английии Томсон*) открыли дифракцию электронов на кристаллах (см. рисунок 3). Значит, электрон на самом деле волна!

Так подтвердилось не только удивительное предложение де Бройля, но и в точности его формула для длины волны электрона. История повторилась в обратном порядке: свет сначала изучили как волну, потом как набор частиц, а электрон — наоборот.

Новая механика

В 1926 году Эрвин Шредингер, обобщив гениальную договору де Бройля на случай, когда электрон движется не в свободном пространстве, а во внешнем поле, например, в кулоновском поле ядра, получил уравнение для функции, описывающей волновые

*) Сын знаменитого английского физика Дж. Дж. Томсона, впервые исследовавшего электрон. (Прим. ped.)

5

свойства частиц, которые он называют волновой функцией.

Если написать это уравнение в свободном от полей пространстве, функция будет описывать волновой процесс с длиной волны де Бройля, то есть волну с постоянной длиной. Во внешнем же поле длины не постоянна, она изменяется от точки к точке.

Оказалось, что решение уравнения Шредингера для атома водорода получается в точном согласиии с правилами квантования Бора не для всех энергий, а только для определенных дискретных значений, совпадающих с теми, которые следовали из боровских правил. Стασионарное — устойчивое — состояние электрона в atomе водорода — допустимая боровская орбита — на языке уравнения Шредингера означает, что получилась стоячая волна, а стоячая волна получается при условии, что в области движения электрона укладывается целое число волны де Бройля.

В этом и состоит смысл правил квантования: стояние волны могут образовать только при дискретных значениях энергии электрона в atomе, когда в области движения укладывается одна, две или любое целое число волн (рисунок 4).

Простой пример

Предположим, что частица движется между непроницаемыми стенками, расположенными на расстоянии $l$ друг от друга. У каждой из стенок волновая функция должна обращаться в нуль, то есть переходит в волновую функцию снаруки, которая равна нуль, поскольку за стенки частица не выходит. Поэтому, чтобы получилось стασионарное состояние с номером $n$, на длине $l$ должно уложиться целое число полуволн: $2l/\lambda=n$. Так, в первом состоянии, когда между стенками укладывается поливна длины волны, волновая функция равна нуль на стенках и имеет максимум посередине. Стоячую волну можно представить в виде двух волн, бегущих навстречу друг другу. Поэтому импульс стоячей волны равен нуль. Абсолютное же значение импульса такое же, как у соответствующего бегущей волны, и связано с ее длиной соответствием де Бройля: $p=h/\lambda=nh/2l$. Найдем энергию $E=p^2/2m$.*)

Отсюда легко получить формулу $E=\pi^2\hbar^2n^2/2ml^2$. Так в этом простом случае мы нашли энергии.

Итак, на первом этапе развития квантовой механики была установлена дискретность возникших значений ряда физических величины; найден один из основных масштабов природы — постоянная Планка, разграничивающая область явления, описывающая классический физический, и явления квантовой природы**); выясенно, что частицы выступают как носители и волновых, и корпускулярных свойства; найдено уравнение для волновой функции, описывающей состояние квантовой системы.

Но главный вопрос оставался нерешенным — что такое волновая функция, главный инструмент теории?

В 1905 году Эйнштейн перевернул привъяные представления о пространстве и времени, после чего самой собой возникли и были поняты формулы, полученные ранее Лоренцем. Предстояло сделать такой же важный шаг в квантовой механике. Физика — это не только формулы, а глубокое понимание физических явлений, обогащенное математическим языком.

*) Связь энергии $E$ с импульсом частицы $p$ получается из системы уравнения: $E=mv^2/2$ и $p=mv$. (Прим. ped.)
**) Законы квантовой механики переходят в классические в пределе $h \rightarrow 0$. (Прим. ped.)

6

Координата или скорость?

В 1927 году один из создателей квантовой механики Вернер Гейзенберг размышлял о понятиях координаты и скорости частицы. Он проделывал мышленные эксперименты и понял, что невозможно одновременно точно изменить координату и скорость — чем точнее изменять координату электрона, тем менее определенной становится его скорость…

Чтобы изменить координату, нужно посмотреть в микросопп на электрон, освещенный светом короткой волны. При этом координата электрона будет изменена с неопределенностью порядка длины волны использованного света*). Но, взаимодействуя с волной, электрон получит отдачу. Его импульс изменяется на величины порядка импульса одного фотона. А этот импульс, как мы уже знаем, равен $h/\lambda$. Чем меньше $\lambda$, тем лучше будет изменена координата, но это тем более неопределенным станет имплусс.

Итак, неопределенность координаты составляет $\Delta q \sim \lambda$, а неопределенность импульса $\Delta p > h/\lambda$. Умножая выражение для $\Delta p$ на $\Delta q$, получим

$$\Delta q \cdot \Delta p > h.$$

Это и есть соответствие неопределенностей Гейзенберга.

Проделав множество подобных мышленных экспериментов, Гейзенберг пришел к заключению, что для микроэлектрицы существует принципальное ограничение, которое природа накладывает на понятие координаты и импульса. Это ограничения не знала классическая физика, оно не вносит изменений в описание больших тел из-за малости $h$.

Особенно квантовой механики заключится в том, что свойства микросоппических объектов нельзя изучать, отвлекаясь от способа накладения. В зависимости от него электрон проявляет себя то как волна, то как частца. Конечно, есть такие свойства, которые не зависит от способа накладения: масса, заряд, спин частцы**)…

Прициплальная неопределенность некоторых величины есть следствие применения классических понятий к описанию неопределенных объектов. Но это неизбежно — ведь изменительные приборы должны давать определенные показания, и в этом смысле они обязательно классичны. Не значит ли это, что нашей описание объективных свойств микрообъектов неопределенно и двусмысленно? Нет, язык классический физики, на котором говорят средства наklюдения, на котором мы формируем мысли, позволяет до конца исследовать квантовые свойства микрообъектов.

Квантовая механика помогла, наконец, вытащить занозу, применить представление об электроне как о частице и о волне. Сказочные мифические существа — кентавры, кони-люди,— в одной ситуации вопросают человекаскую мудрость и благожелательность, в другой проявляют животный буйный прав и невоздержанность; один из них воспитывает героев, другие вредят им. Частца-волна электрон — то человек, то конь, то конавр, в зависимости от ситуации, от вопросов, которые задает эксперимент.

Физический смысл волновой функции

Вернемся к опыту. Пусть электроны падают на экран с ответием. Поставим далоко за экраном фотопластику. Электрон, попав на нее, «засветит» зерно эмульсии, и его координата определяется с точностью до размеров зерна. Пучок электронов в результате дифракции засветит круг с радиусом $R$, значительно больше, чем радиус ответия. Если уменьшать интенсивность лучка электронов так, чтобы на экран паал, скажем, один электрон в минуту, дифракционная картина не изменится, надо только подольше подождать, пока она проявиется. Значит, и одному электрону нужно приписать вероятность попадания в то или иное место фотопластики…

Анализ подобных опытов позволяет Максу Борну в 1926 году предпользовать, что квадрат волновой функции определяет вероятность того или иного значения координаты или импульса электрона в зависимости от типа поставленного опыта.

7

Что помогло прийти к таким заключению? Вспомним, что теория волновых явлений света — интерференции и дифракции — была разработана задолго до уравнения Максвелла*), до понимания электромагнитной природы света. Предполагалось только, что источник света испускает волны неизвестной природы, а интенсивность света пропорциональная квадрату той величины, которая колблется. В современном представлении в световой волне колблотся во времени и пространстве электрическое и магнитные поля, и интенсивность света пропорциональная их квадрату. Но почти все волновые проявления света обязываются независимо от его природы. Было естественно и для волн, связанных с микрочастицами, считать, что имеет некий волновой процесс, а интенсивность — в нашем случае верятность — пропорциональная квадрату волновой функции.

Сначала предполагали, что волновым свойством частицы соответствуетrealное физическое поле, подобное электромагнитному в световой волне. Но тогда уже один электрон давал бы в одном акте всего дифракционную картину, а он чернит только одно зерно… Значит, волновая функция частицы не физическое поле и не физическая волна. Это «волна информации». Она представляет собой запись потенциальных возможностей исхода того или иного последующего наблюдания.

Волновая функция — максимальное полное допустимое описание состояния частицы. Она заменяет классические состояния, которое задается координатами и скоростями.

Удивительные свойства волновой функции казались Эйнштейну физической недопустимыми. Спор Эйнштейна с Бором продолжался много лет и способствовал выяснению понятный квантовой механики. Если принять, что волновая функция — волна информации, а не физическое поле, все становится на свое место. Ведь если волновая функция — описание верятностей, значит, опыт, проделанный в одном месте, может скачком изменить результаты измерений в другом месте. Это скачнообразное изменение верятности вызывано уточненем, новой информацией. Мы задаем вопрос: «Какова верятность получить двойку по физике?». Прибавив к этому уточнение, определяенное условиями, например: «не заглядывая дома в учебник», мы получим скачкообразное изменение верятности, она подскочит до единиц. Обратное условия: «полностью поняв и вычувв урок», снова скачом светят верятность к нулю.

Представим себе, что две частицы с суммарным импульсом, равным нулю, разделились, и нам нужно найти импульс одной из них в Москве, другой — на Северном полюсе. Верятность скачком изменится, если мы изменим импульс Москвыской частицы и будем искать импульс другой при условии, что Москвыский нам известен. Верятность зависит от того, какой вопрос мы поставим, отберем ли мы любые исходы северных опытов или только те, при которых Москвыский импульс имеет заданную величины. Ниччего странного и необычного в этом нет.

Квантовая механика не дает однозначного ответа на некоторых вопросы, а только верятность того или иного результата.

Нарушается ли причинность?

Удивительные условия небесной механики в XVII—XVIII веках внутренних глубокую веру в однозначность предсказания. Гордясь могутстроить свойства науки, французский астроном, математик, физик Пьер Лаплас сказаел: «Дайте мне координаты и скорости всех частиц, и я предсказую будущее Вселенной!»

Но вот мы узнали, что одновременно точно задать координаты и скорости частиц невозможно! Согласно квантовой механике можно указать только верятность того или иного значения координат и скоростей.

Наука уже сталкивалась с верятностью предсказаниями; классическая статистическая физика может ответить на вопрос: какова верятность найти частицу нагретого газа с такой-то энергей? Но эта верятностьрождана сложностью системы, нечочноство определения начального состояния, и за него стоит строя однозначность механических законов.

В квантовой механике верятность подлинная, обусловленная неопределенностью классических понятений. Она су-

8

шествует даже для самой простой системы — для одной частицы. Вероятностный характер законов Вселенной — главное открытие квантовой механики.

Согласно квантовой механике, на некоторых вопросы нельзя однозначно ответить — на взгляд классической физики приинность нарушена! Да, мы не можем задать координаты и скорости частиц, можем только задать в начальной момент волновую функцию и однозначно найти ее в любой более поздний момент.

Мы можем с такой же гордость, как и Лаплас, воскликнуть: «Дайте мне волновую функцию всех частиц, и я предсказу будущее!»

Итак, в более точном смысле приинность сохраняется; из максимального полно определенного в квантовом механическом смысле начального состояния однозначно следует единственно возможное состояние.

Квантовая механика — необычайно красивая и внутреннее непротиворечная теория, хорошо согласуются с опытом для своего круга является。

Применение квантовой механики к электромагнитному полю и к другим физическим полям

Применение квантовой механики к системе, колблющемся около положения равновесия, — осциллярном — имело удивительные следствия. Если классический осцилляр — мятник или грузик наружке — находится в покое в положении равновесия, квантовый — совершает «нулевые» колбания. Кинетическая и потенциальная энергия этих колбаний порядка $h\nu$. Среднее значение координаты осциллярта равно нулю, но среднее значение квадрата координаты отлучно от нуля*)! Энергия квантового осциллярта изменяется порциями $h\nu$ и для состояния с номером $n$ равна $E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)h\nu$.

Если рассматривать звуковые колбания твердого тела как набор квантовых осцилляртов, получится, что при абсцилтом нулей температуры atoms твердого тела не неподвижны — они совершают нулевые колбания. Это в точности подтверждается опытами по рассеянию света твердыми телами. Но и электромагнитные волны в пустоте можно считать набором осцилляторов, и, значит, в вакууме, где нет ни частиц, ни квантов, должны проискать нулевые колбания электромагнитного поля.

Попробуем разобраться, что такое квант света — фотон.

Для этого проделаем опыт. Представим себе, что между параллельными металлическими экранами образовалась стоячая электромагнитная волна перепедикулярно им. Если расстояние между экранами $l$, между ними может уменьшаться стоячая волна с максимальной длиной $\lambda$ такой, что $l = \lambda/2$. Частота волны $v = c/\lambda$ связана с возможными значениями энергии волны соответствием $E_n = (n+1/2)h\nu$. В наиболее состоянии с $n=0$ между экранами нет квантов. В состоянии с $n=1$ появляется один квант с длиной волны $\lambda = 2l$. При $n=2, 3, \dots$ есть два, три и так далее квантов с этой длиной волны.

Для следующих строчек волн (обертовов) с длинами $\lambda=l, l/2, \dots$ можно повторить то же самое. Для $m$-й волны $\lambda_m = 2l/m$. В этом состоянии также может быть сколько уголков квантов, они определяются степенью возбуждения данного осциллятора, а значок $m$ определяет длину волны, то есть тип осциллятора. Число $n_m$ — номер возбуждения осциллятора — показывает число квантов данного типа.

Кванты принято характеризовать не длиной волны, а величиной, которая называется «волновым вектором». Модуль волнового вектора $k$ просто связана с длиной волны: $k = 2\pi/\lambda$. Для каждой $k$ свой осцилляр и свои кванты, число которых равняется номеру возбуждения осциллятора.

И в бегущей волне проискодят периодические колбания. Энергию волны для каждой волнового вектора тоже можно записать как энергию осциллятора, изменяющего порядки $h\nu$. Но бегущая волна обладает количеством движения, значит, квант будет иметь импульс. У частицы с массой, равной нулю, импульс равняется энергии, деленной на скорость света: $p = h\nu/c$.

*) См. статью А. Б. Мигдала «Вычисления без вычислений» в «Кванте» № 8 за 1979 год. (Прим. ред.)

9

Что такое электрический пробой

Л. А. АШКИНАЗИ

Почему в линиях электропередачи (ЛЭП) используется высокие напряжения, известно, называем, всем. Действительно, чем выше напряжение в линиях, тем меньше в ней ток (при постоянной передаваемой мощности) и тем меньше тепловые потери. Казалось бы, чем выше напряжение, тем лучше. Однако ЛЭП с рабочим напряжением, скажем, в несколько миллионов волт не существует, а разработка каждой последующей ЛЭП на большее, чем у предшествующих, напряжении требуется большех usили. По-видимому, есть какой-то эфект, ограничивающий работу напряжения ЛЭП.

Оказывается, это тот же самый эфект, который ограничивает «работе напряжения» между тучей и землей (или между двумя тучами).

И свет, и звук

Короткий гром — глубокой обвал, Рождествен света и озона, Далеких молний карнавал.

Н. Майоров

В этих трех строках уменьшалась практическая вся информация о молнии, хотя автор их был позтом, а не физиком.

Итак, молния — это кратковременный («короткий») процесс в атмосфере с генерацией звука («гром») и свега («рождение света») и с протеканием химических реакций («и озона»). Во время этого процесса выделяется энергия, во всяком случае в виде света и звука — мы видим свет и слышим звук.

Первый вопрос, который сразу возникнет, — откуда береется эта энергия? Ответ оченьiden: энергия накапливается в конденсаторе, обкладки которого — это туча и земля, а диэлектрик — воздух между ними. Попытаемся оценить запасенную в этой системе энергию.

Пусть туча имеет размеры 3×3 км, а расстояние между тучей и землей — 1 км. Тогда емкость конденсатора будет около 0,1 мкФ (как получено это значение?). Несмотря на внутренные размеры конденсатора, емкость его весы скромная — в радиоприменениях есть конденсаторы с емкостью в 1000 раз больше. Правда, энергия заряженного конденсатора зависит и от напряжения, а оно между тучей и землей достигает 10^9 В. Таким образом, энергия составляет около 5·10^10 Дж (как получена эта величины?), что, например, в 10^9 раз больше энергии заряженного конденсатора физических (емкость 800 мкФ, напряжение 300 В).

Но для того чтобы эта, даже не очень значительная, энергия электри-

11

Рис. 2. Две стадии молнии: образование ionизированного канала разряда (a) — b) и прохождение импульса основного тока (e) — e)).

света и озона». Газ расширяется — мы слышим гром.

Почему-то обично молнию рисунот бышей сверху вниз (туча и Зевстромоверженц наверху). Между тем импульс основного тока и свечение начнаются внизу и волной разливаются по каналу, оставленному лидером. Молния, точнее — видимая ее фаза, оказывается, быть сизу вверх!

Таков вкратце механизм молнии, или пробоя в газе, причем пробоя больших промежутков (рис. 2). При пробое малых промежутков существенными оказываются процессы на электродах.

Нустичнойность и пробой в твердых и жидких диэлектриках

Развитие неустойчности, то есть катстрофическое нарастание perвоначального малого возмущения, является, естественно, процессом нестатического. От нестаточного процесса мы впраve осидать, что в конце концов он к чему-то приведет.

Ю. П. Райзер. Основы современной физики газоразрядных процессов

Пробой в твердом теле приводит обично к пробитому в образце отверстию с оплавлением краями. Именно из-за этого и возникло название «электри-

ричесный пробой». Пробой чистых жидкости имеет много общого с пробом твердых тел (отверстия же при этом, естественно, не остаются).

Основных механизмов пробоя твердых тел и жидкости три.

Если вещество состоит изонов (atoms связаны ionной связи), то электрическое поле может эти связи разорвать. При таком механизме электропроцесс должны быть тем выше, чем больше энергия связионов. И действительно, такая закономерность наблюдается, например для ionных кристаллов (рис. 3). Далее происходит следующее. Во-первых, он движется по веществу, разрушая химические связи и порождая новые свободныеоны, которые сразу же начинают выполнять свое «черное дело». Во-вторых, все этионы отбирают энергию у поля и отдают ее веществу (тормозь при соударениях). вещество нагревается, плавиется и испаряется, в результате чего происходит еще и пробой в парах. Что там равше, что позже, разобратья трудно — все эти процессы идут одновременно. А кончаются они — в зависимости от мощности источника электрозергини и напряжения пробоя — тихим щелч-

12

ком или грохотом (если пробой в парах — последняя стадия, то открыт грохот понятно, а если до пробоя в парах дело не дошло?).

Следующий механизм очень похож на предыдущий, но здесь ускоряются,онизируют atoms, отбирают и выделяют энергию неоны, а электроны. Ясно, что такой механизм будет иметь место, например, в веществах, состоящих из одинаковых атомов, то есть в чистых элементах. Кончается пробой в этом случае так же, а начинается, естественно, иначе — для начала процесса нужен свободный электрон. Причин, по которым он может оказаться в веществе, много: наличие примесей, приэлектродные явления и т. п.

Наконец, третий механизм пробоя — так называемая электротелловая неустойчивость. Что такое неустойчивость и как она, согласно эпиграфу, развивается? Неустойчивость в физике вообще это то же самое, что и неустойчивость в механике,— мало отклонение от состояния равновесия нарастает (шарик, лежащий на вершине сферы, чуть-чуть отклонившись, не возвращается, а скатывается дальше). В данном случае неустойчивость возникает следующим образом. Сопротивление изолятора хотя и велико, но все же не бесконечно. Какой-то ток через него проходит, и поэтому изолятор нагревается. При нагревании сопротивление изолятора уменьшается (раствор число свободных носителей заряда-

Рис. 3. График зависимости электропроцности целочноголадных ionных кристаллов от энергии связи кристалической решетки.

*) Сорбция (от латинского sorbeo — поглощаю) — поглощение твердым телом или жидкостью какого-либо вещества из окружающей среды.

13

Рис. 4. Поверхностный пробой.

такой процесс: электростантические силы, притягивающие один электрод к другому, отрывают слабо держащуюся на электроде частичку (пыль, засеченец после механической обработки, кристаллик, отделенный микротрещиной). Оторванная часть пересекает зазор и при ударе о противоположный электрод испаряется. В парах материалов частички и присходит пробой.

И снова — ЛЭП

Видимо, пришло время стимуляции условия для развития более тщательных и фундаментальных исследований новедения изоляторов.

Дж. Фаррел. Электрический пробой в вакууме

Наш расссказ начался с высоковольтных ЛЭП. Вернемся к ним и обратим наше внимание на изоляторы, с помощью которых подвешены проводка к опорам. Эти изоляторы — вы, конечно, помните, как они выглядят,— составят из отдельных «тарелок» (рис. 4).

Очевидно, что прямую палку сделать проще, чем довольно хитрой формы диск. Зачем же изоляторам придаток такую причудливую форму? Что меняется, если прямую палку заменить ребри-

стой? Расстояние между электродами по объему диэлектрика, конечно, не изменится, но зато увеличится расстояние по поверхности диэлектрика, то есть по границе между изоляторам и воздухом. По-видимому, существует какой-то особый вид пробоя, связанный с поверхностью твердого тела. Практический именно этот вид пробоя наблюдается в опите с керамическим кубиком, к противоположным граям которого приложена разность потенциальов. В этом случае пути между электродами внутри диэлектрика, по воздействующим совпадают, а соответствующие напряжения пробоя относятся примерно как 10:3:1. В этом есть нечто загадочное. Казалось бы, поверхность — понятие чистого геометрического. Почему же напряжение пробоя по поверхности меняше остальных? Разгадка в том, что на самом деле поверхность — понятие не только геометрического.

После поверхности пробоя на диэлектрике, как правило, повреждения отсутствуют. Значит, пробой происходит все-tаки в газе, окружающим образец. Но почему тогда канал пробоя «стелется» по образцу? Можно быть, газ в непосредственной близости к образцу как-то отличается от газа вдали? Но к этому может привести только выделение газа из образца. Действительно, на поверхности твердого тела всегда имеет слой сорбированного газа и влаги. Чтобы проверить, не происходит ли «поверхностный пробой» в слое более плотного газа у поверхности образца, можно проверить такой опыт. Поместим образец в вакуум и нагреем. При нагревании сорбированные на поверхности газ и влага удаляются, а новые не сорбируются, так как образец находится в вакууме. В таких условиях напряжение поверхности значительное выще. Следовательно, поверхности пробой — это, по существу, пробой в газе (маленькая molния). Однако этот процесс изучен еще плюхо, о чем свидетельствует эпиграф к разделу.

Пять сетов

Доктор физico-mатематических наук
Л. Е. САДОВСКИЯ,
Кандидат физico-mатематических наук
А. Л. САДОВСКИЯ,
О. Л. САДОВСКАЯ

Одна из самых популярных спортивных игры, в частности, среди ученых — большой теннис. В этой стате строится математическая модель игры в теннис, позволяющая оценить шансы выигрыша каждой из сторон. Однако для понимания статы не требуется ни разряда по теннису, ни специальных знаний по математике.

Немного о теннисе

Сто десять лет тому назад английский майор в отставке У. Уингфилд запатентовал изобретенную им игру, называнию теннисом. Однако корни тенниса уходят в дальнейшее — во французское средневековое и даже во времена древнего Египта. Ныне в теннис играет 120 миллионов человек в 193 странах мира (заметим, что в футбол играет лишь 40 миллионов) — это один из самых полезных, увлекательных,RENTабельных видов спорта. По темпам развития, росту популярности он уже ряд лет операция все иные виды спорта. Теннис, являясь незаменимым видом спорта для людей, успешно занимающихся умственной работы (особенно математиков, физиков, шахматистов), способен доставлять не только физическое, но и огромное интеллектуальное удовлетворение. Недаром говорят, что в теннис играют руками, а выигрывают головой. По словам одного известного теннисиста, для игры высокого класса необходимо три составляющие: выносливость стайера, быстрота спринтера и стремительное мышление шахматства, свободно играющего в глубоком цейтоне.

15

Правила игры

Местом для игры в теннис служитровная площадка (корт) определяемых размеров (рис. 1) с нанесенными на ней линиями и разделенная пополам сеткой.*)

Мяч вводит в игру один из двух**) содержников — этот удар называется подачей. Подают по диагонали: стая на первой позицини подачи — в первое поле подачи противника, стая на второй — во второй. Подчача производится почередно с каждой из позиций. Мяч, введенный в игру ударом ракетки, должен перелететь через сетку и удариться о площадку в пределах соответствующего поля подачи противника (см. рис. 1). Если первая подача в данное поле была неправильной, игрок должен повторить в то же поле. После второй неправильной подачи очко считается для подающего противным.

Поданный мяч должен быть отражен ударом ракетки принимающего после первого, но до второго приземления мяча. После приема подачи (во время розыгрыша очка) мяч разрешается отражать не только между первым и вторым приземлением, но и «с лета» (до приземления). Розыгрыш очка состоит в том, что каждый из противников почередно отражает направленный к нему мяч, не позволяет ему приземиться на своей стороне более одного раза. Мяч находится в игреока какой-либо из противников окажется не в состоянии ударить мяч до второго приземления или пошлет его с сетку или за пределы площадки; он тогда противал этот мяч.

Теннисная встреча подразбивает на сеты (партии), сеты на zeймы (игры), геймы формируется при розыгрыше отдельных мячей (очков). В пределях одного гейма игра ведется до выигрыша одной из сторон не менее четырех мячей (очков) при условии, что эта сторона получила перевести не менее чем на два мяча.

Счет очков в гейме имеет особенность, сохранившееся с тех времен, когда игра влась на «интерес». Во Франции ценой игры является монета в 60 су: она размещалась на четыре по 15 су. Эти последние, по-видимому, составляли цену четырех ударов: 15, 30, 45, 60. Правда, в XX века судьи стали лакончнее, вырикивая «сорок» вместе «сорок пять».

Итак, при выгирыше какой-либо стороне первоого в гейме очка, ей зачастывается 15:0, при выгирыше той же стороне второго очка добавляется еще 15 и счет становится 30:0 в ее ползу. При выгирыше третьего очка счет становится 40:0, выгирыш четвертого очка («игра», как говорят судьи) приносит завершение гейма в ползу этой стороны.

Если одна из сторон после выгирыша первоого очка второе очка противнику (счет ставится 15:15) и т.п. Следовательно, счет (а он ведется всегда, начинается с очков подающего) в гейме может быть только следующий: 15:0, 30:0, 40:0, 0:15, 0:30, 0:40, 15:15, 30:15, 40:15, 15:30, 30:30, 40:30, 30:40, «ровно», «большое», «меньше»; выгирав окся сразу после счет 40:0, 40:15, 40:30, подающий выгирыает игру, а противающий — после счет 0:40, 15:40, 30:40.

Счет «ровно» имеет место при равенстве очков у противников, начинается с шестого разгранного очка; «большое» («меньше») — начинается седьмого

*) Игра в теннис впервые в русской литературе описана Л. Н. Толстым в романе «Анна Каренина».
**) Мы не останавливаемся на так называемой «парной игре», в котором игреют две двое.

Рис. 1.

очка, если подающий выигral (проигral) очень после счета «ровно»; «игра» подающего, если подающий выигral неосредственно следующий за счета «большше»; «игра» принимающего, если при счета «меньше» подающий проигral очередное очко. Возможную эволюцию счета в гейме можно проследить по рисунку 2.

По завершении первоого гейма начинается розыгрыш второго гейма, при котором подача переходит к противоположной стороне и т. д. до завершения сета (партии).

Счет геймов в сете наполинает счет очков в волейболе или пинг-понгге, но не до 15 и 21, а до 6 (с приемуществом в 2 очка). Сет заканчивается, таким образом, когда счет геймов становится равным одному из следующих: 6:0, 6:1, 6:2, 6:3, 6:4, 7:5, 8:6, 9:7 и т. д.

После первого разрывается второй сет и т. д. пока одна из сторон не выгирет розец — двух (из трех) или трех (из пяты) сетов, в зависимости от условий совершения. При выгирыше одной из сторон подряд двух (трех) сетов ей присуждается победа и остальные сеты не играются. Следовательно, счет выгиранной розец может быть 2:0, 2:1 (соответственно 3:0, 3:1, 3:2).

Кто победает?

Итак, читатель, мы ознакомили с основными правилами игры в теннис **) в объеме, достаточно для дальнейшего. Телер мы смогли бы начать игра: Вы (читатель) и я (автор). Если я играю значительное сильнее Вас, то мое приемущество выявится быстро — в первом же сете, затем во втором. Если же разница в силе не столь велика, то счет в каждой ей и сете будет неустойчным. Именено так объект для встроих игроков, входящих в мировую элиту, например, на турирах серии «Гранд при» или неффициальным первенствием мира (профессионалов и любителей) в Уимблоне (Англия). Все сильнейшие игроки мира классифицированы по силе игры. Каждый из ведущих игрок имеет свои достоинства (при почтном отсутствии слабых

*) Для более детального знакомства с особенностями игры отсылаем читателя к брошюре Теннис. Правила совершения игры на этапе с шестого разгранного очка; «большое» («меньше») — начинается седьмого

16

мест) и встречи между ними проходят, так сказать, «на равных», а исход зависят общно от дополнительных obstructions: психологической подготовки, самоучствия, эмоционального настроя, покрытия корта (грунт, трава, пластик), погоды и т. п.

Так кто все-tаки выиграет? Настоящий спортем, проиграв, скажет: победил сильнейший. Можно услышать, однако, фразы вроде «он выиграл у меня случайно» или «ему все время взело». Какова же в действительности доля мастерства и доля случая при вывелини победителя при игре в тениис?

Попытаемся построить математическую модель игры в тениис и с ее помощью разобраться в поставленном вопросе.

Основные предложки модели

Элемент случайности в тениис, беспорно, присутствует, и наша модель должна это учитывать. Выигращи мяча нельзя предсказать заранее однозначно, однако можно объективно оценить «шансы на выигращи» каждого из противников. Эта оценка шансов — число — называется вероятностью, и поэтому модели, подобные нашей математики называют вероятностью (или статистическими) моделими.

Но не пуляйся, читатель! Для понятия нашей простой модели не потребуется глубоких знаний по теории вероятности. Тот небольшой объем понятный из этой науки, который будет нужен, мы разяемся по ходу дела. А читатель, захотевшим вникнуть глубокие в эту теорию, мы рекомендуем обратиться к выпуску 23 библиотекки «Квант» (А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Просоров. Введение в теории вероятности, М.: Наука, 1982).

Итак, в нашей модели каждый отдельный розыгрыш мяча является случайным испытанием с двумя возможными исходами — выигращами автора (A) и выигращем читателя (Ч). Каждому исходу приписывается его вероятность — числа P(A) и P(Ч) также, что
$$0 < P(A) < 1, \quad 0 < P(Ч) < 1,$$
$$P(A) + P(Ч) = 1.$$

Что означает, скажем, число P(A)? Оно выражает долю мячей (отнесенную к единице), которое автор в среднем выигравает у читателя. Если автор в среднем выигравает у читателя 60 мячей из 100, то вероятность его выиграща, P(A), равна 0,6. (Мы считаем, что автор, опытный перворазрядик, играет несколько лучшей читателя. В нашем случае, разумеется, P(Ч) = 0,4 и выполняются написанные выше неравенства и равенство.)

Мы будем предложать далее, что вероятность P(A) = 0,6 (а значит, и P(Ч) = 0,4) одинакова для всех розыгрыш мяча в течение всейstreчи. Исход из этой предложыки, мы хотим выяснить, каковый шансы (вероятность) выиграща автора сначала гейма, затем сета и наконец — всеstreчи.

Обсуждение академости модели

Разумеется, всякая математическая модель является лишь схемой, идеализирующей реальный процесс или явления. Упрошая реальность, мы пребеггаем определенными ее сторонами. Так, считая вероятность P(A) неизменной в течениеstreчи, мы пребеггаем, в частиности, физической подготовкой противников (в концеstreчи автор, наверное, установ больше своего более молодого соперника и станет чаще ошибаться) и психологическими факторами (проиграв окно, особенно два, автор обычно играет внимание и зле — его шансы на выигращо очередного окна повышаются). У нашей модели есть и более сердезный недостаток, который заменит любой опытный тениисист, — она не учитывает премумущество подающего, особенно ошибимо на быстром корте (из травы, дерева или скольского пластника).

На самом деле все названия факторов (и некоторые другие) можно включить в вероятность модели игры в тениис. Мы не делаем это здесь — это существенно осложню бы схему и технику счета, в то время как наш упрошенная модель уже позволяет принять к интересным выводум, подчас неожиданным, но подтвержденным практикой.

Кто выиграет гейм?

Наша близкая цель — посчитать вероятность того, что автор выиграет гейм у читателя. На рисунке 2 показано, как последовательно может изменяться счет в гейме. При этом записывается счет в гейме. При этом записывается счет в гейме. Для кратности обозначим p=P(A), q=P(Ч). Например, что p и q — вероятности выиграща отдельного окна (мяча) автора и читателя — в течение гейма не меняются; мы приняли p=0,6, q=0,4.

По условияю, вероятность перехода в состояние 15:0 (то есть вероятность возникновения счета 15:0), который мы обозначим P(15:0), равна p. Соответственно P(0:15)=q.

17

Найдем $P(30:0)$ — вероятность выигрыша автором первых двух мячей подряд. Очевидно
$$P(30:0) = P(15:0) \cdot p = p^2 = 0,36.$$
Но так ли это очень? Почему мы переможили вероятности? На самом деле мы здесь пользовемся «теоремой умножения вероятностей последовательных независимых событий» (о ней можно прочитать в цифрованной выше книге А. Н. Колмогорова и др.). Постараемся все же пожертвить этот подсчет на языке средней части выигрыша. Если автор постоянно выигрыает у читателя в среднем 60 мячей из каждой 100 мячей (то есть в среднем 3/5 мячей), то из 60 мячей (разыгранных непосредственно после выигрыша первого мяча) автор тоже выигреет в среднем 3/5, то есть $60 \times (3/5) = 36$ раз из 100 (в среднем) автор будет выигрыть два первых мяча подряд.

Аналогично,
$$P(0:30) = P(0:15) \cdot q = q^2 = 0,16$$
— у читателя мало шансов выиграть первыше два мяча подряд!

Сосчитаем теперь $P(15:15)$. Имеем (подумайте, почему)
$$P(15:15) = P(15:0) \cdot q + P(0:15) \cdot p = 2pq = 0,48$$
— счет «по пятнадцати» после первых двух мячей будет возникать почти так же часто, как остальные два счета (30:0 и 0:30) вместе взятые.

Дальнейший подсчет производится совершенно аналогично. Двигаясь по рисунку 2 вниз, читатель может найти вероятность всех состояний (то есть возможных счетов) и заполнить клеточки, оставленные пустыми. Наже интересует левый столбик («игра автора»). В нем $A_1$ обозначает выигрыш автора сразу после счета 40:0, $A_2$ — сразу после счета 40:15, $A_3$ — сразу после 40:30.

2 Квант № 8

18

Ясно, что $P(40:0) = p^3 = 0,216$ и поэтому $P(A_1) = P(40:0) \cdot p = p^4 = 0,1296$,
автор выигрыает гейм «в сухую» довольно редко.

Легко подсчитать, что $P(40:15) = 4p^3q \approx 0,3456$,
$P(30:30) = 4p^2q^2 \approx 0,2304$ и $P(40:30) = 10p^3q^2 \approx 0,3970$,
откуда находится

$$P(A_2) = P(40:15) \cdot p = 4p^4q \approx 0,20736$$
$$P(A_3) = P(40:30) \cdot p = 10p^4q^2 \approx 0,20736$$.

Далее нетрудно видеть, что числа $P(A_3), P(A_4), P(A_5)$,… образуют геометрическую прогрессию с начальным членом $P(A_3) = 10p^4q^2 \approx 0,20736$ и значением $2pq = 0,48 < 1$. По известной формуле находим сумму прогрессии

$$P(A_3) + P(A_4) + \dots = \frac{10p^4q^2}{1 - 2pq} \approx 0,3988$$.

Прибавляя к ней начальные числа $P(A_1) + P(A_2)$, находим вероятность выигрыша гейма автором $P(\text{гейм автор}) = P(A_1) + P(A_2) + \dots = p^4 + 4p^4q + \frac{10p^4q^2}{1 - 2pq} \approx 0,7357$.

Таким образом, автор выигрыает у читателя в среднем около 74 геймов из 100, а читателю достается лишь 26 из 100.

Схемы, подобные той, что изображена на рисунке 2, называются цепями Маркова, по имени выдающегося русского математика А. А. Маркова (1856—1922). Цепь Маркова состоит из конечного или бесконечного числа состояний (y нас состояние — это счет в гейме), соединенных переходами (стрелками), на которых указываются переходные вероятности (y нас — числа p и q). Такие цепи описывают случайные процессы при условии, что переходные вероятности не зависят от предыдущего процесса.

Задание

1. При игре в пинг-понг игрок А выигрыает очень у игрок Б с вероятностью p; пусть $q = 1 - p$ (вероятность выигрыша Б). Тогда вероятности возникновения того или иного счета в начале игры следует:

$$1:0(p); 0:1(q);$$
$$2:0(p^2); 1:1(2pq); 0:2(q^2).$$

a) Продолжите эту схему.
b) Пользовать ей, составьте вероятность выигрыша партии игрок А (партия игреется до выигрыша им не менее 21 очка, но с преимуществом в 2 очке).
2. Исследуйте аналогичную модель для игры в волейбол.

Кто выигреет cet?

Тепер, по аналогичной схеме, пользовать рисуком 3 вместе рисука 2, читатель может самостоятельно сосчит-

Рис. 4.

тать вероятность выигрыша сета (партини) автором (или читателем). На рисунке 3 в прямоуольничках ставится счет геймов в сете («состояния»); вероятность выигрыша гейма автором равна $p' = 0,736$, читатель — $q' = 0,264$ ($p'$ и $q'$ — это «переходные вероятности» для новой «цепи Маркова»; как и $p, q$ в предыдушей цепи, они не только не зависят от предыдории, они просто постоянны). Вы должны получить

$$P(\text{сет автор}) \approx 0,966$$
$$P(\text{сет читателя}) \approx 0,034$$

Кто выигреет встречу?

Как видно, вероятность выигрыша сета автором близка к единице. Это, в общем, естественно, если учеть, что автор выигрыает отдельный мяч с вероятностью в полтора раза большей, чем читатель. Если же продвинутся дальше, то подсчет показывает (проверте сами), что матч из трех сетов автор выигреет с вероятностью 0,996, а из пяты с вероятностью 0,9996, то есть практические — наверняка. Ясно поэтому, что более трех сетов игреть в этом случае не целесообразно.

Но допустим теперь, что класс игровок практических одинаков, например, вероятность выигрыша мяча автором составляет 0,51, а читателя — 0,49. Иными словами, из эта разыгранных мячей читатель выигрыает в среднем

21

Изогнутая прямая

Дикарь, строгойший острой раковиной стрелу для лука, проверял качество своего изделия, поднося его к глазу. Сам того не зная, он пользовался свойством прямолинейности световых лучей: если световой луч, не отклоняясь, скользил вдоль поверхности стрелы — значит, стрела прямая. Так же поступали строители египетских пирамид, контролируя прямизну их граней, и даже поведели об этом в одной из надписей, выгравированных на камне. Современные мастерские следуют их примеру. Когда снайпер или землемер наводят свой видонскатель на отдельный предмет, они расчитывают на прямолинейность световых лучей. Да и как же иначе? Ведь само понятие прямой линия возникло из представления о световом луче — ничего не может быть пряме его.

Но и световой луч может изгибаться. Это происходит, когда он пронизывает неоднородную среду. Вам наверняка приходилось заменать, как сильно искажаются очертания предметов, находящихся под водой, если смотреть на них сквозь поверхность воды. Причина этих искажений в том, что, проходя через границу воды и воздуха, световой луч поворачивает — преломляется.

Как известно, поведение светового луча при переходе из одной среды в другую определяется законом прямолинейния. Напомним этот закон: падающий луч, прямолинейный луч и перпендикуляр к границе двух сред, восстанавливающий в точке padения луча, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла padения к синусу угла преломления есть величины постоянная для двух данных сред. Если $\Theta_1$ — угол padения, $\Theta_2$ — угол преломления, то

$$\frac{\sin \Theta_1}{\sin \Theta_2} = \frac{n_2}{n_1},$$

где $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления (абсолютные) сред.

А что будет проинсходить, если по пути своего распространения световой луч будет проходить через несколько разных сред, то есть через несколько сред с разными показателями преломления?

Обратимся к рисунку 1 а. Согласно закону преломления, при переходе из среды I в среду II

$$\frac{\sin \Theta_1}{\sin \Theta_2} = \frac{n_2}{n_1},$$ или $n_1 \sin \Theta_1 = n_2 \sin \Theta_2$;

при следующем переходе, из среды II в среду III,

$$\frac{\sin \Theta_2}{\sin \Theta_3} = \frac{n_3}{n_2},$$ или $n_2 \sin \Theta_2 = n_3 \sin \Theta_3$;

при переходе из среды III в среду IV

$$\frac{\sin \Theta_3}{\sin \Theta_4} = \frac{n_4}{n_3},$$ или $n_3 \sin \Theta_3 = n_4 \sin \Theta_4$;

и т. д. Из всех записанных соответствует, что при переходе светового луч из одной среды в другую сохраняется постоянным произведение показателя преломления среды на синус

22

угла падения луча на границу сред, то есть
$$n_i \sin \theta_i = \text{const.}$$

Отсюда следует, что чем больше показатель преломления среды, тем меньше угол падения луча на границу раздела, то есть тем больше угол, который составляет луч с самой границией раздела (угол $\frac{\pi}{2} - \theta_i$). По мере увеличения показателя преломления луч все больше отклоняется от границы раздела (в нашем примере — от горизонтали) и все больше «прижимается» к нормали к границе раздела (в нашем примере — к вертикали).

Мы рассмотрели случай, когда по пути распространения светового луча показатель преломления возрастал, то есть луч переходил из оптически менее плотной среды в оптически более плотную. Что будет проискодить при «обратном» ходе луча — при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную? В этом случае (рисунок 1.6) луч будет все больше отклоняться от нормали к границе раздела сред. На какой-то из границ угол падения может оказаться таким, что соответствующий угол преломления должен быть равным $\frac{\pi}{2}$. Как видно из соответствия $n_i \sin \theta_i = n_k \sin \theta_k$, это произойдет “тогда, когда $\sin \theta_i = \frac{n_k}{n_i}$”. В этом случае преломленный лучой появляется угол среды, когда $\sin \theta_i > \frac{n_k}{n_i}$, то луч отразится от границ, вернется в среду с показателем $n_i$ и в дальнейшем будет распространяться «обратным» ходом — переходить из оптически менее плотной среды в более плотную.

Если нет резкой границы раздела сред, а свойства среды (ее показатель преломления) плавано меняются в каком-либо направлении, то и световой луч, распространящийся в такой среде, будет представлять собой не ломанную линю, а плавную кривую. Такое искривление светового луча в среде с непрерывно меняющимся показателем преломления называют рефракцией света. На рисунке 2 показана рефракция световых лучей в двух случаях: когда на пути распространения лучей

23

Так что с Земли все светила мы видим расположенными выше над горизонтом, чем на самом деле. По той же причине заход звезд и Солнца мы видим на несколько минут позже, а восход — на несколько минут ранше, чем было бы в отсутствие атмосферы; в результате рефракции фигуры Солнца и Луны искажаются вблизи горизонта. Лучи разного цвета искривляются по-разному: синее (для которых значение A больше) сильнее зеленьх, а зеленье сильнее красных. Это особенно выразительно проявляется у горизонта, порождая множество красных явлений.

Земные предметы мы тоже видим несовсем в том направлении, где они находятся. И это тоже связано с оптической недородностью воздуха. Плотность воздуха, как известно, зависит от температуры: φ=ρμ/RT. Давление p зависит от высоты, но на данной высоте оно практически одинаково. А вот температура воздуха на одной и той же высоте может быть разной — над лугом, над лесом, над поверхностью водоема, у склона горы и т. п. она не одинакова. В результате световые лучи, проходящие через стол неодноородный воздух, начинают «виться», и мы видим предметы смещенныхми то вверх, то вниз, то в бок. В предгорях, как правило, все удаленные предметы кажутся как бы приподнятими и слегка отодвинутыми от гор, а порой становятся видимыми и предметы, общую скрытые горным массивом. Более того, если смотреть на один и тот же предмет с различных сторон, с различных расстояний или в разное время, то он будет находиться как бы в разных местах.

Атмосферное зеркало

Временами, особенно в тихую солнечную погоду, у поверхности земли или воды образуется устойчивый слой теплого, то есть менее плотного воздуха, Лучи, наклонно падающие сверху на этот слой, будут распространяться в среде с убывающей оптической плотностью. Если слой достаточно толстый, то внутри слоя может произойти полное внутреннее отражение; лучи могут, пройдя неокторое расстояние, вновь вынырнуть из слоя, но теперь они будут направлены вверх, как будто после отражения от зеркала. Поэтому мы видим зеркальное отражение всех предметов, вернее их мираж, где-то вниз, под землей или под водой (см. рисунок 4 а на с. 24). Мы можем видеть и сами предметы, либо другие лучи могут попасть в наш глаз прямо, минут нагretый слой.

Нечто подобное произошло с темя девушками. Только слой нагретого воздуха находится не у них под ногами, а сбоку, у опушки леса, охранившего этот слой ночной от остывания. И зеркало, как мы видим, особое — в нем отражаются только очень наклонные лучи, постепенно изгибаются внутри толстого слоя, — этим и отличается мираж от общчного отражения.

Если достаточно толстый слой теплого воздуха расположен не под ногами, а на неокторой высоте над головой (рисунок 46), мираж будет в воздухе в воздухе, как в случае с «Летучим Голландцем». Сам же предмет может находиться daleko за горизонтом и быть невидимым. Такие миражы образуют лучами очень пологими, наклоненными под малыми углами к поверхности Земли.

Направление, в котором распространяется звук, тоже меняется при перехождение из холодного воздуха в теплый. Поэтому в атмосфере бывают и звуковые миражи, отличующие от обычного эха тем, что порождаются они не отражением, а(refракцией звука).

Во время войны 1914 года было замечено, что артиллерийская канонада, общую слишма до расстояния 50—60 км, вновь становилась слишна, если отделиться на расстояния 100—150 км. Оказалось, что это был мираж, порождаенный(refракцией звука в теплом слое воздуха, существующем на высоте 50—60 км.

А что будет, если в теплом воздуха образуется прослояка из холодного воздуха? Световые лучи, распространяющиеся в этой прослоюке, могут оказаться как бы в западне — отражаясь почередно от верхнего и нижнего слева, они не смогут вырвать за их пределы (рисунок 4 в). В этом случае можно увидеть приудливо сочетание многократно повторенные прямые и перевернутые изображения одних и тех же предметов, как в калейдоскопе или в комнате со множеством зеркал. Этот уважение фантастически переплетаются множествыми миражей собственно и присвоено науковой назначение Фата-Моргана.

24

Канал, по которым свет распространяется почти без потерь, называется волноводом. Повав внутри такого волновода как в ловушку, свет, звук или радиоволны уже не могут из него вырваться, пока не достигнут его конца. Этот полезность для передачи различных сигналов от одного прибор к другому. Способы изготовления волноводов различны в зависимости от целей их применения. Для микроподоволн, например, на которых работает локаторы, волноводами служат металлические трубы. Для света волноводы изготовления в виде тонких гибких стеклянных волокон.

Сравнительно недавно было обнаружено, что в окане сушистую естественные звуковые волноводы. Они образуют чередующимся просолейками воды различной температуры или солености. Слабый звук небольшого колокольчика, звенящего у побережья Америки, по такому волноводу беспрепятственного пересекает Атлантику и при благоприятных условиях может быть слышим у берегов Франции.

Для радиоволн волноводом служит все пространство между земной поверхностью и ионосферой. Показатель предположения для радиоволн убивает в атмосфере с высотой. Радиолучи, удаляясь от Земли, испытывать, подобно световым лучам, рефракцию: они все более и более загибаются, пока не «отразятся» от ионосферы и не вернуть на Землю. То, что «ловят» наши приемники, — это радиоимраж передаюшей станции.

25

Фея снова куражится

Положение астронама, геодезиста, радиооператора и оператора у локатора осложняет еще одной неустранимой и очень досадной помещой. Под действием ветра в воздухе то и дело возникнет местные изменения плотности, температуры, концентрации электров и других характеристик состояния воздуха. Эти случаи, быстро сменяющиевозмущения — неустойчивы и подвижны. Проходя сквозь такой трепещший неоднородный воздух, луч вынужден все время немного менять свое направление. Путь его оказывается и очень извилистым, и очень переменчивым — соседние лучи то сходятся, то расходятся, то переплетаются. Поэтому изобразения далеких предметов и огней (например, звезд) никогда не стоит на месте, а все время как бы танцуют и мерцают, то вспыхивая, то бледная. Эта неспокойность оптической, звуковой или радиокартины, порождаемая шалостями Морганы, ограничивает реализныевозможности астрономических и геодезических изменений, локционной техники, технической связи и т. п. При сильных порых ветра, когда плотность воздуха вдруг резко меняется, луч порой просто «сносится» на мгновень ветром в сторону или рассыпается им на сонопезависимо колышихся самостояльных лучков. На рисунке 5 (он сделан с фотографии) приведен пример того, как движение воздуха размывает и дробит на части равномерный хорошего сформированный световой лучок (он показан справа), когда он проходит в воздухе путь всего в 1/2 км при сравнительно способной погоде.

Проследим путь локционного импульса (оптического или радио), отправленного оператором в атмосферу. По картизу Морганы он помещается в воздухе не как по асфальтовому шоссе, а как по ухаистой дороге — его будут трепать неоднородности воздуха, и путь его будет совсем не прямолинейным. Когда он настигнет искомый предмет и, отражившись от него, вернется к оператору, то вернется он, вообше говоря, по другой дороге и появится неоттуда, куда был послан. Объчно эти помещи не велики и не доставляют излишних хлопот. Впрочем… История минутшей войны знает случан, когда огонь корабельных батарей на

26

Как создавалась квантовая теория

(Начало см. на c. 2)

Вы видите, что импульс кванта точно так же связан с длиной волны, как и у частицы: $p=h/\lambda$. Значит, для бегущей волны кванты света можно считать дебройлевским частицами — фотонами.

Итак, что же такое фотон? Это порция возбуждения квантового осциллятора — бегущей электромагнитной волны с данным волновым вектором $k$.

Что такое «нулевые» колебания электромагнитного поля? Это нулевые колебания квантовых осцилляторов — электромагнитных волн со всемозможными волновыми векторами.

Другие поля, существующие в природе, например, гравиитационное, тоже можно представить в виде совокупности осцилляторов. Поэтому в пустое должно существовать нулевые колебания гравиитационного поля. Но, согласно теории относительной, поле также связано с изменением геометрических свойств пространства. И эти геометрические свойства колеблются, геометрия мерцает! Отношение длинокружности к радиусу колеблется около 2π…

To же относится и к полям, описывающим частицы, например, электроны и позитrons или пи-мезоны. Существуют нулевые колебания в пустоте электронно-positронного, пионного и вообще полей всех возможных частиц. Нулевые колебания в вакууме полей, описывающих частицы со спином 1/2, проявляются во временномрожении и уничтожении пар электрон — позитрон, нуклон — антинуклон… Вакуум наполнен таким не вполне родившимся частицами, их называют «виртуальным». Но стоит в вакууме столкнуть двум нуклонами или электрону с позитром, виртуальные частицы могут превращаться в реальные — так при столковении роздаются новые частицы. Реальная часть большой энергии окружена облаком виртуальных частиц, и чем больше энергия частицы, тем больше облака. Достаточно краем его задать другую реализую часть, как все виртуальные частицы облака станут realizыми!

После того как стало ясно, что такое квант, исчез мучительный философский вопрос, проблема волн-частиц. Свет — это волны, энергия которых изменяется порциями, и если мы рассматриваем всевозможные бегущие волны, то совокупность их наполнивает газ частиц: у каждой есть определенная энергия и импульс.

Понять — значит уметить на любой разумный вопрос, а разумными в физике считаются те и только те вопросы, ответы на которые могут быть проверены мысленным или реализным экспериментом.

28

ны равенства в другую так, чтобы обе эти стороны содержали только положительные члены. Слово же «ал-мукабала» означает следующую за этим операцию приведения подобных членов, так что в конце концов в уравнении для каждой степени остается только один положительный член, расположенный с той или иной стороны. Так, например, благодаря первого операции уравнения $3x^2 - 5x + 6 = x^2 + 7x + 2$ превращается в $3x^2 + 6 = x^2 + 12x + 2$, а благодаря второй — в $2x^2 + 4 = 12x$. Таким образом, вся наука об уравнениях («алгебра»), а затем и употребление требующейся для нее совокупности символов, и, наконец, теория абстрактных операций получили название, относшееся сначала только к одной, вышедшей теперь из употребления операции «ал-джабр»; в настоящее время мы — в отличие от греков, арабов и их непредседательных преемников в Европе — не требуем, чтобы на обеих сторонах уравнения были только положительные члены.

В своей «алгебре» ал-Xорезми рассматривает линейные и квадратные уравнения, но без какого бы то ни было алгебраического формализма. Все здесь излагается с помощью слов; так, переменная уравнения называется корнем, а ее квадрат — просто квадратом. Расматривается шесть типов уравнения:

«квадраты равны корням»,
«квадраты равны числу»,
«корни равны числу»,
«квадраты и корни равны числу»,
«квадраты и число равны корням»,
«корни и число равны квадратам»*).

Первые три типа разбияются на следующих примерах уравнения:

$x^2 + 10x = 39; \ x^2 + 21 = 10x; \ 3x + 4 = x^2$ (эти уравнения затем часто встречаются в последующих алгебраических текстах). Уравнение $x^2 + 10x = 39$ описывается так: «квадрат и десять его корней тридцати девяты дирихем**), … это означает, что если добавить к некоторому квадрату то, что равно десяти корням, получится тридцать девяты. Процедуру нахождения корня,

*) В переводе на наш алгебраический язык эти уравнения выглядят так:
$ax^2 = bx; ax^2 = b; ax = b;$
$ax^2 + bx = c; ax^2 + b = cx; ax + b = cx$
$(a, b, c > 0)$.
**) Дирихем — середняя монета; здесь это слово используется для указания свободного члена уравнения.

$$x = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + 39} - \frac{10}{2} = 3,$$

ал-Xорезми описывает следующими словами: «… разделой число корней, получится в этой задаче пять, умножь это на равное ему, будет двацать пять. Прибав это к тридцати девяты, будет шестьдесетчтые четырьше. Извлечки из этого корень, будет восемь; вычити из этого положений числа корней, то есть пять, остается три. Это и будет корень квадрата, который ты искал, а квадрат есть девять.»

Для решения этого уравнения пригодится и два геометрических способа (рисунки 1, 2). На рисунке 1 на четырех сторонах квадрата $x^2$ строятся прямоугольники с высотой 10/4, после чего углы получаются фигуры заполняются квадратами со стороны 10/4; образованный таким образом квадрат со стороны $x + 10/2$ будет иметь известное значение $39 + (10/2)^2$. На рисунке 2 квадрат той же площади 64 составляется из двух квадратов площади $x^2$ и 25, что со-

31

только в первой половине XX века. Люди тысячелетями придумывают и применяли алгоритмы, но только в начале тридцатых годов появились точные математические понятия алгоритма. Однако с первыми шагами новая теория алгоритмов принесла математике серio крупнейших открытий, во многом определяющих ее современный облик.

Уже первое определение алгоритма, известное под названием примитивно рекурсивных функций, позволило австрийскому математике К. Геделью доказать в 1931 г. свою значенную теорию истинных, но недоказуемых утверждений. Это очень глубокий результат, который, с одной стороны, установил предельные формальные теории, а с другой стороны, обосновал беспредельность процесса человекаского позания. Еще одно определение алгоритма, напоминаяшее общеизвестное правило подстановки и замены переменных при вычислениях по формулам, позволило американскому математике А. Черчу в 1936 г. обнаружить существование алгоритмических неразрешимых проблем, то есть серий задач, допускающих точную математическую формулировку, для которых не может существовать единого алгоритма решения. Примером неразрешимой задачи является такая: найти общий способ, который для любого алгоритма обнаруживает бы, дает ли он результат для любых своих аргументов или же существуют такие данные, для которых он будет работать бесконечно.

Естественно, что как только появились такие ограничительные результаты, стали думать, что, может быть, эти ограничения могут быть не столько стеснительными, если как-то видименные или услить определение алгоритма. И здесь математики столкнулись еще с одним удивительным fenomenом: самые разные определения алгоритма, придуманные из совершенного несходных предпосылок, оказались друг друг полностью эквивалентными.

По общему мнению участников, ургенческий симпозум стал уникальным собранием. По выражению одного из его организаторов, американского ученого-информатика Д. Кнута «…это был незабываемый опыт. Вместо «объичной» конференции, где участники считывают заранее приготовленные доклады, мы провели взаимные дискусии поfundamentальных проблем вычислительной науки. Ландшафт пустыни, окружающий хорезмский оазис, и дыхание истории отвлекли нас от повседневных миссей, одолеващих нас дома, и помогли сосредоточиться на наиболее глубоких и устремленных в дальней философских размышлениях.»

Вечером 22-го сентября 1979 г. симпозум законил свою работу. Участники разъехались. Площадь опустела, труженики-хлопкоробы тоже разъехались по домам. Около гостицы полная луна освещала камень, положенный участниками симпозума в основание памятника Мухаммеду ал-Xорезми, выходцу из Хорезма, оставившего человекаву в наследствю индийскую позиционную систему численения, арфметики, алгебру и свое доброе имя.

32

Из старых опытов

Кандидат физико-математических наук
А. А. ВАРЛАМОВ

Под таким названием мы публикуем статьи о закатных и вместе с тем весыма почитательных опитах по физике, которые проводили любозначительные зимнастически в прошлом веке.*)

Сезодня виманюч читателей предладается рассказ об опытах, плострирующих взаимное влияние водяной струпи и… звука.

Кто из вас не знаком с микрофоном? Вы его видите по телефизору, в театре и кино, пользовесь им во время записи на магнитофонную пленку, его устройство описано даже в школьном учебнике по физике. А вот как сделать водяной микрофон, наверное, знают немного. Да, да, не удивляйтесь. Оказывается, с помощью водяной струпи можно успешно усиливать различные звуки. Сделал этот необучный прибор американец Александер Грейам Белл, который известен миру как один из изобретателей телефонна. Но прежде чем приступить к изготовлению водяного микрофона, познакомимся пользовке с некоторыми свойствами его «усилителя» — водяной струпи.

Если в дне сосуда с водой просверлить небольшое круглое отверстие, то можно заметить, что вытекающая сквозь него струпу воды состоит из двух, различных по своим свойствам, частей. Верхняя часть струпи произрачана и неподвижна настолько, что кажется стеклянной. По мере удаления от источка она становится все тонше, и в точке наиболее сокращенная начинается нижняя часть, переменная по форме и непрозрачная. На первый взгляд эта часть струпи, как и верхняя, кажется непрерывной, монолитной. Однако иногда удается быстро проверсти через палец, не замочив его.

Французский физик Феликс Савар проводил подобное исследование свойств

*) См. статьи А. А. ВАРЛАМОВ в «Кванте» № 10 за 1982 год и в № 5 за 1983 год. (Прим. ред.)

водяных струпи и пришел к выводу, что в самом узком месте водяная струпу перестает быть сплошной и распадается на отдельные капельки. Попробyte убедиться в этом сами, сделав фотографию струпи воды со вспышкой или посмотрев на струпо при стробоскопическом освешении*)

Другим важным открытом Савара было то, что на длину верхней, произной части струпи большое влияние оказывают окружающие звуки. Если влилизи водяной струпи возбудить звуковые колебания определенной частиты, произная часть струпи мгновенно становится мутной**)

СаварObсясил это так. Капли, на которых расположена водяная струпу в

33

своей нижней части, зарождаются еще вверху, у самого ответствия. Представляясь как кольцевыми выступами, по мере удаления от ответствия они проявляются все четче и четче, пока не отделятся совсем. Эти выступы следует друг за другом настолько часто, что производят слабый звук. Музькальная нота, звучащая в унисон с этим звуком, способствует более раннему распадению струи на отдельные капли, то есть переводит произную часть струи в мутную.

Известный вам по предыдушим публикации английский физик Джон Тиндаль повторил в своей laboratorии опыты Савара. Ему удалось создать струю (жилу, по выражению Тиндала), произная часть которого достигала длины около 90 футов (≈27,4 м). При воздействии звука организтуры соответствуют цастий и умеренной силы эта произная жила тут же превращалась в мутную, распадяясь на огромное количество водяных капель.

В одной из статей Тиндаль так описывалает свое наблюдение за padением водяной струи в бассейн с водой: «Когда исходящая струя пересекает жидкую поверхность выше точки перерыва (точки перехода от произной части струи к мутной — А. В.), причем давление не слищком сильно, то она входит в жидкость молча; но когда эта поверхность пересекает струю ниже точки перерыва, то сейчас же слышится журчание и появляется множество пузьрьков. В первом случае не только нет сильного разбрызгивания жидкости, но она вокруг основания жили собирается в кучку, в выступ, где движение противоположно струе». Попытайте повторить эти простые опыты со струей из водопроводного крана и, скажем, тазом с водой. Обратите внимание на напор, под которым струя вытекает из крана.

Описанные свойства водяной струи использует теперь для создания водяного микрофона. Приготовьте медную струку диаметром 2 см и длиной 20 см, кусочек резины от лопнувшего воздействия силиката и несколько стеклянных струок. На боковой поверхности медной струки, отступив на 3 см от верхнего конца, продолжайте ответствие и впаяйте в него патрубок немного меньше диаметра и длиной примерно 3 см. На патрубок наденьте воронку (рупор), склеенную из картона. (В верхине рупора следует сделать небольшую шейку, диаметром чуть превышающим диаметр патрубка, с помощью которого рупор будет крепиться к струбе). Верхний ко-

35

Если массы заменить на плоскади…

ЧАН КУАНГ

В этой статье мы докажем несколько теорем, которые можно смело отнести к желчужинам элементарной геометрии. Бесспорно, эти теоремы должны доставить читателю удобные даже одними свойствами формулировками. Но мы расссказываем о них здесь по другой причине — они будут выведены из одной формулы — формулы Лагранжа для вычисления «момента инерции». Приведем ее для служая трех точек A, B, C:
$$\alpha |PA|^2 + \beta |PB|^2 + \gamma |PC|^2 = \frac{1}{\mu} (\alpha \beta c^2 + \beta \gamma a^2 + \gamma a b^2) + \mu |PZ|^2;$$
(1)

здесь A, B, C и P — произвольные точки, α, β и γ — произвольные числа (понимаемые как «массы», сосредоточенные в точках A, B и C), μ = α + β + γ ≠ 0, a, b, c — длины отрезков BC, CA, AB, наконец, Z — это центр масс системы материалов точек αA, βB, γC, то есть, по определению, точка, удовлетворяющая условиям
$$\alpha ZA + \beta ZB + \gamma ZC = 0$$
(материальный точкой называют пару (точка, число), αA, βB и γC — критические обозначения материалов точек (A, α), (B, β), (C, γ)). В принципи, сказанного достаточно, и чтобы вывести формулу (1), и чтобы понимать дальнейшее. Но все же мы советем ознакомиться с статьей В. Н. Дубровского «Момент инерции в геометрии» в предыдущем номере журнала, где доказывается формула Лагранжа (формула(7) из этой статьи), объясняется, как она связана с «моментом инерции», и приводятся еще некоторые ее геометрические следствия, а также необходимые свойства масс.

37

крашая на $abc \cdot |DA| \cdot |DB| \cdot DC/4RS^2$, получим, что
$$-c \cdot |DC| - a \cdot |DA| + b \cdot |DB| = 0,$$
то есть
$$|DB| \cdot |AC| = |DA| \cdot |BC| + |AB| \cdot |DC|.$$

Площадь педального треугольника
Выражение, стоящее в правой части (4), выглядает довольно неуклюжке, но, как мы сейчас увидим, оно имеет хороший геометрический смысл. Опустим из точки $Z$ перpendикуляры $ZA_1, ZB_1$ и $ZC_1$ на прямые $BC, CA$ и $AB$ (рис. 5). Образовавшийся треугольник $A_1B_1C_1$ называется педальным треугольником точки $Z$. Леонард Эйлер обнаружил, что его площадь равна
$$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{|OZ|^2}{R^2} \right) S_{ABC}$$
(обе площади ориентированные!). Выведем этот результат из нашей формулы (4). Для этого мы докажем, что $S_aS_bc^2 = abcR \cdot S_{ZA_1B_1}$. Складывая это равенство с аналогичными равенствами для двух других слгаемых в правой части (4), мы получим:

$$R^2 - |OZ|^2 = \frac{1}{S^2} abcR \left( S_{ZA_1B_1} + S_{ZB_1C_1} \right) + S_{ZC_1A_1}$$
$$= \frac{4R^2}{S_{ABC}} S_{A_1B_1C_1},$$
что эквивалентно формуле Эйлера.

Итак, рассмотрим выражение $S_aS_bc^2$. Ясно, что $|S_a| = a |ZA_1|/2$, $|S_b| = b |ZB_1|/2$, $c = 2R \sin \widehat{ACB} = 2R \sin A_1ZB_1$ (поскольку стороны углов $ACB$ и $A_1ZB_1$ взаимно перpendикуляры, их величины равны или дают в сумме $180^\circ$). Следовательно,
$$|S_aS_bc^2| = abcR \cdot \frac{1}{2} |ZA_1| \|ZB_1| \sin A_1ZB_1 = abcR |S_{ZA_1B_1}|.$$

Остается доказать, что знак произведения $S_aS_b$ совпадает со знаком $S_{ZA_1B_1}$. Это легко сделать, перебирая четыре возможных слугая расположения точки $Z$ относительно прямых $AC$ и $BC$ (внутри каждой из четырех углов, образованных этих прямыми, знаки $S_a, S_b$ и $S_{ZA_1B_1}$ постояны).

В заключение приведем еще одну старинную теорему: основанная перпендикуров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны (или их продолжения), лежат на одной прямой — «прямой Симсона» (рис. 6).

38

Рис. 6.

Эта теорема сразу следует из формулы Эйлера, потому что для точки Z, лежащей на описанной окружности, площадь педального треугольника равна нулю, то есть он вырождается в прямую.

Задание
Если точка Z служит центром масс системы материалов точка αA, βB, γC, то три числа α, β, γ называются барицентрическими координатами точки Z относительно точки A, B, C.

1. Докажите, что для любой точки плоскости барицентрические координаты определяны однозначно с точностью до пропорциональности и обратно, любая трейка чисел (α, β, γ) с нелевой суммой задаетровно одну точку плоскости.

2. Докажите, что барицентрические координаты «замечательных точек» в треугольнике ABC относительно его вершин равны: для центра Z вписанной окружности — (a, b, c); для центра Z внешней окружности, касающейся стороны BC, — (-a, b, c); для центра O описанной окружности — (sin 2A; sin 2B; sin 2C); для точки H пересечения высот — (tg A, tg B, tg C); для точки G пересечения медиан-(1, 1, 1).

3. Докажите, что расстояние между точками M и M’ с барицентрическими координатами (α, β, γ) и (α’, β’, γ’) относительно точки A, B, C при α+β+γ=α’+β’+γ’=1 можно вычислить по формуле |MM’|²=-(a²k_bk_c+b²k_a+c²k_bk_b), где k_a=α-α’, k_b=β-β’, k_c=γ-γ'.

4. Выразите расстояния от центра описанной окружности треугольника до центра вписанной и внешней окружности через радиус этих окружностей.

5. Докажите, что (в обозначениях задачи 2) |OG|²=R²-(a²+b²+c²)/9, где R — радиус описанной окружности.

Новости науки

Новый вид радиоактивного распада

В природае есть много элементов, в основном тяжелых, которые самопроизвольно излучают альфа-частицы, бета-частицы и гамма-лучи.*) Эти элементы образуют три естественного радиоактивных ряда (семейства), где каждый последующий член воз�nikaет в результате радиоактивного распада предыдущего.

Родоначальник одного ряда — это ядро 238U, изотопа урана с массовым числом 238 (семейство урана), другого — ядро тория 232Th (семейство тория) и третьero — ядро изотопа урана 235U, называемого также аktинуραном (семейство аktиния). Заканчиваются все три ряда источников ядром

того или иного изотопа свинца.*)

В семействе, которое начинается с 235U, есть ядро изотопа радия, которое распадается с излучением альфа-частицы, превращается в ядро радиона. За этим распадом следует еще два аналогичных — превращение радиона в полоний и полония в свинце:

223Ra → α → 219Rn → α → 215Po → α → 211Pb.

Физиков давно интересовал вопрос — обязаться ли α-частицам вылетать по очереди или они могут обединиться в ядро углерода 12C и вылететь одним большим «куском»? Этому процессу, естественно, мешает отсутствие в ядре радиого ядра углерода. Впрочем, α-частица тоже не «заготовлена» заранее, а должа «собратья» перед самым вылетом из ядра. Оказывается, α-частице это сделать все же легче, чем ядр углерода, и до последнего времени никак не наблюдал вылета легкого ядра (кроме ядра атома геляя, то есть альфа-частицы) из тяжелого.

*) Естественная радиоактивность была открыта в 1896 году.

В 1940 году было открыт (К. А. Петряком и Г. Н. Флеровым) спонтанное деление тяжелых ядер на два примерно одинаковых осколка, но это явление вовсе не похож на вылет легкой частицы. Лишь совсем недавно был обнаружен новый вид радиоактивного распада, который происходит с излучением ядра углерода. Оказывось, что из радия действительно вылетает ядра углерода, причем не 12C, а 14C, так что три α-частицы прихватывают с собой еще два нейтрона. При этом, как показывает расчет, достигается максимальный выгрыш энергии — 32 МэВ. Если бы вылетало ядро изотопа 12C, то оно уносило бы меньше энергии — 28 МэВ.

Вероятность вылета ядра 14C очень мала — она меньшевероятности α-распада радия в 1010 раз. Другими словами, одно ядр углерода вылетает на 10 миллиардов альфа-частицы. По оценкам вылет ядра 12C еще менеевероятен (меньше еще в 106 раз). С такой жевероятностью должны вылетать ядра и других изотопов (13C, 15C).

Можно с увеличенной сказать, что для физков открылась новая область исследований. Я. С.

Задчи

1. Какая ошибка допущена художником в заставке к вечерней телевизionной передаче «Спокойной ночи, мальши»?

2. Высота треугольника в 2 раза меньше его основания, а один из углов при основании равен 75°. Доказать, что треугольник равноведенный.

3. Первоклассница Наташе было задано на дом выразить заданное целое число часов в секундах. Она красиво написала ответ в терради и тут же закрыла ее. Прийдя в школе, Наташа обнаружила, что две цифры расползлись в кляксы. Ko всему, она еще забила какое именно число часов нужно было выразить в секундах. Какие цифры нужно написать вместе клякс?

4. Слава взял у товарища книгу на три дня. В первый день он прочел полкиги, во второй — треть оставшихся страниц, а в третьий день прочитал количество страниц, равное половине страниц, прочитанных за первый дня. Успел ли Слава прочесть за три дня книгу?

5. Решите числовой ребус

$(HE)^2 = SHE$

$(HE$ и $SHE$ — это «он» и «она» по-английски).

Эти задчи нам предложили: ученик 5-го класса школы № 8 г. Мозыря Саша Коршков,
А. Н. Смоляков, Н. К. Антонович,
В. Д. Выюн, А. П. Савин

Мы завершаем краткий цикл публикаций отрывков из замецательной книце Л. Кэрролла «Алиса в стране удеся» ее авторIELA (как и первая в прерывшем номере «Кванта») вопросами и задачими. Мы возобновим подобные публикации, если первые две пораваются нашим читателем.

— Все страныше и страныше! — вскричала Алиса. От изучения она совсем забила, как нужно говорить. — Я теперь открываюсь, словно подзорная труба. Прошайте, ноги!
(В эту минуту она как раз взглянула на ноги и увидела, как стремительно они уносятся вниз. Еще мтновение — и они скроются из виду.)
— Бедные мои ножки! Кто же вас будет теперь обувать? Кто натянет на вас чулки и башмаки? Мне же до вас терь, мои милые, не достиг. Мы будем так далеки друг от друга, что мне будет не до вас… Придетя вам обхотиться без меня…
В эту минуту она ударилась головой поtocolок: ведь она вытянулась футов до девятки, не меняше. Тогда она схватила со стола золотой ключик и побежала к двери в сад.
Ведная Алиса! Разве могла она терь пройти в дверцу? Ей удалось лишь заглянуть в сад одним глазком — и то для этого пришлось лечь на пол. НаDEXЫ на то, чтобы пройти в нору, не было никакой. Она уселась на пол и снова расплакалась.

когда я вставала, я это была или не я? Кажется, уже не совсем я! Но если это так, то кто же я в таком случае? Все так сложно…
И она снова принялась перебирать в уме подружек, которые были с ней одного возраста. Может, она превращалась в одну из них?
— Во всяком случае, я не Ада! —скаазала она решительно. У нее волосы вытся, а у меня нет. И уж, конечно, я не Мейбл. Я столбко всего знаю, а она совсем ничего. И вообше, она это она, а я это я. Как все непонятно! А ну-ка, проверю, помню я то, что знала, или нет. Значит, так: четырехы пять — двенадцать, четырехы шесть — тринадцать, четырехы семь… Так я до двадцати никака не доиду!
Ну ладно, таблица умножения это неважно. Попробую географию, Лондон — столца Парижа, а Париж стояла Рима, а Рим… Нет, все не так, попробую прочитать «Дом. который построил Джек…»
Она сложила руки на коленях, словно отвечала урок, и начала. Но голос ее завычал как-то страно, будто кто-то

Задаша 2. Ада, Алиса и Мейбл однажды вышли на прогулу в белом, зеленом и сinem платях. Их туфли были одного из тех же цветов. Известно, что только у Алисы туфли были то-то же цвета, что и плавьте. у Ады ни плавьте, ни туфли не были белыми. Мейбл была в зеленьх туфли. Определьить цвет плавить каждай из девочек.

Задаша 3. Возможны ли равенства, о которых говорит Алиса? И почему она никака не doitет до двадцати?

— Стыдись, — сказала себе Алиса немного спустя. — Такая большая девочка (тут она, конецно, была права),— и плачешь! Сейчас же перестан! Слышишь?
Но следует лились ручями, и вскоре вокруг нее образовалась большая лужа доима в четыре глубиной. Вода разлилась по полу и уже дошла до середины зала.
Немного спустя вдалеке послышался потот маленьких ног. Алиса торопливо вытеляла глаза и стала ждать. Это взрывался Бельй Кролик. Одет он был парадно, в одной руке держал пару лайковых перчаток, а в другой — большой beep.
На бегу он тихо бормотал про себя:
— Ax, более мои, что скажет Герцо-гиня! Она будет в ярости, если она опоздаю! Просто в ярости!
Алиса была в таком отчастини, что готова была образиться за помощью к кому угодно. Когда Кролик повавился с него, она робко прошелала:
— Простите, сэр…
Кролик подпрыгнул, уронил перчатки и beep, метнулся прочь и тут же исчез в темноте.
Алиса подняла beep и перчатки. В зале было жарко, и она стала обмахиаться beep.
— Нет, вы только подумайте! — говорила она, — Какой сегодня день странный! А вчера все шло как обично. Может, это я измениллась за ночь?
Дайте-ка вспомнить: сегодня утром,

другой хрипло произносил за нее совем другие слова…
— Слава совсем не те, — сказала бедная Алиса, и глаза у нее снова наполнись слезами. — Значит, я все-tаки Мейбл! Придется мне теперь в этом старом домищке. И игрушек у меня совсем не будет. Зато уроки надо будет учить без конца. Ну что же, решено: если я Мейбл, остань здесь насегда. Пусть тогда попробуют прийти сюда за мной! Свесят головы виз, станут звать: «Подымайся, миллиочка, к нам! А я на них только посмотрю и отbewу: «Скажите мне сначала, кто я? Если мне это поправится, я поднимусь, а если нет — остань здесь, пока не превращесь в кого-нибудь другого!
Тут следует брызнуть у нее из глаз. — Почему за мной никто не приходит? Как мне надоelo сидеть здесь одной!
С этим словами Алиса глянула виз и, к своему удивлению, заметила, что, пока говорила, натянула на одну руку крошечную перчатку Кролика.
«Как это мне удалось? — подумала она. — Видно, я опять уменыюсь». Алиса встала и подошла к столку, чтобы выяснить, какого она теперь роста. Судя по всему, в ней было не больше двух футов, и она продолжала стремитьно уменьшаться. Вскоре она поняла, что виной тому beep, который она держала в руках, и тут же швивручала его на пол. И хорошо сделала, а то могла бы и вовсе исчезнуть.

43

Тут она услышала какой-то плеск неподалеку и поплыла туда, чтобы узнать, кто это там плещет. Сначала она решила, что это морж или гиппополтам, но потом всомнила, какая она теперь крошка, и влядевшись, увидала всего лишь мышь, которая, видно, также упала в воду.
«Заговорить с ней или нет? — подумала Алиса. — Сегодия все так удивительно, что, возможно, и она умеетоворить. Во всяком случае, попытается стоит».
И она начала:
— О Мышь! Не знаете ли вы, как выбраться из этой лужи? Мне так доверительно, что, возможно, и она умеетоворить. Во всяком случае, попытается стоять в округе и всех мыши… Ax, более мои! — грустно промолвила Алиса. — По-моему, я ее опять обидела!
Мышь изо всех сил плыла от нее прочь, по воде даже волны пошли.
— Мышка, милая! — ласково закрыла ей всед Алиса. — Прошу вас, вернитесь. Если кошки и собаки вам не по душе, я о них больше ни слова не скажу!
Услышав это, Мышь повернула и медленно поплыла назад. Она страшно побледнела («От гнева!» — подумала Алиса.)
— Выlezем на берег, — сказала Мышь тихим, дрожащим головом, — и я расскажу тебе мою историю. Тогда ты поимешь, за что я неавивжу кошек и собак.
И в самом деле надо было выlezать. В лучке становилось все теснее от всяких птиц и зверей, улавших в нее. Там были Робин Гусь, Птица Додо, Популячик Лори, Орленок Эд и вякие другие виды вительные существа. Алиса поплыла вперед, и все потянулись за ней к берегу.

Задания 5. Мыше до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. За один прыжок кошки мышка делает 3 шага. Один прыжок кошки равен 10 шагам мышки. Догонит ли кошка мышику?

44

Задачи

M876—M880; Ф888—Ф892

М876. На окружности, касающейся сторон угла с вершиной O, выбраны две диаметрально противоположные точки A и B (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке B пересекает стороны угла в точках C и D, а прямую OA — в точке E (рис. 1). Докажите, что длины отрезков BC и DE равны.

А. С. Меркурьев

M877. Из листа клетчатой бумаги размерами 29×29 клеток вырезали 99 квадратков размерами 2×2 каждый. Докажите, что из него вырезать еще один квадратик.

С. В. Фомин

M878. Докажите, что если сумма плоских углов при вершине парамиды больше 180°, то каждое боковое ребро парамиды меньше полуперimetра ее основания.

Ю. И. Ионин, А. В. Смирнов

M879. Про пять целых чисел a, b, c, d, e известно, что суммы a+b+c+d+e и a²+b²+c²+d²+e² делятся на нечетное число p. Докажите, что число a⁵+b⁵+c⁵+d⁵+e⁵ — 5abcde также делится на p.

С. В. Фомин

M880*. В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0,… каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре сумме шести предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встречается подряд шесть чисел …, 0, 1, 0, 1, 0, 1,….

А. С. Меркурьев

Ф888. На рисунке 2 изображена прициппальная схема гравиметра — прибора для измерения варнацей ускорения свободного падения g. В теплопроводных газовых баллонах 1 и 2 давления соответственно p₁≈2·10⁴Па и p₂≈3·10⁴Па. Цилиндрическое сосуды A и B радиуса 10 см и соединишая их трубка заполнены рутью. Поверх ртути налита очень легкая жидкость (толуол); эта жидкость заполняет сосуды A и B с баллонами 1 и 2. Опишите процесс измерения варнацей ускорения g с помощью этой прибора. Какова величана варнацей g, которые можно зарегистиро-

45

васть этим граvimетром, если известно, что при изменениях в разных пунктах изменения разности горизонтальных смещений только в капиллярах могут достигать несколько миллиметров (до 1 см)? Температура во время изменения поддерживается постоянной; плотность ртути $\rho = 13,5 \times 10^3$ кг/м$^3$.

Ю. М. Брук

Ф889. Солнце находится на угловой высоте ф над горизонтом. Под каким углом к поверхности Земли нужно бросить тело в вертикальной плоскости, проходящей через Солнце, чтобы тела прошла наиболее путь по Земле?

В. А. Нахшин

Ф890. Кристаллы железа при температуре до 910 °C состояят из элементов ячеек, имеющих форму куба с длиной ребра $a_1 = 2,87 \cdot 10^{-10}$ м. Атомы железа располагаются в вершинах куба и в его центре (рис. 3). Такая разновидность элемента — с объемноцентрированной кубической решеткой — называется альфа-железом ($Fe_a$). При температуре выше 910 °C ячейки Kristalliza железа представляют собой гранецентрированный куб с длиной ребра $a_2 = 3,63 \cdot 10^{-10}$ м. Атомы располагаются в вершинах куба и в центрах его граней (рис. 4). Такая разновидность элемента называется gamma-железом ($Fe_\gamma$). Однакокова ли плотность железа в этих состояниях? Относительная atomная масса железа $\mu = 55,847$.

И. М. Низамов

Ф891. Как изменится электроемкость проводящей сферы, если в ней сделать вмятину?

Р. Л. Энфидджян

Ф892. На стеклянный шарик радиуса $R$ падает луч света, направленный вдоль радиуса. На расстоянии $r$ от центра шарика свет рассеивает равномерно по всему направлениям на маленьком воздушном пузырьке, образованшемся при изготовлении шарика. Определить зависимость доли выходщего из шарика света от $r$. Показатель преломления стека $n$. Потерями света в стекле пренебречь.

А. А. ЛанUDEC

Problems

M876—M880; P888—P892

M876. Diametrically opposed points $A$ and $B$ are chosen on a circle which touches the sides of an angle with vertex $O$ (neither $A$ nor $B$ is a tangency point). The tangent to the circle at $B$ intersects the angle’s sides at the points $C$ and $D$ and the line $OA$ at $E$. Prove that the segments $BC$ and $DE$ are of equal length (see figure Pис. 1).

А. S. Merkuriev

47

“face-centered” cubes of edge $a_2=3,63 \cdot 10^{-10}$ m, the Fe atoms now being located at the vertices of the cube and at the centres of its faces (figure Pис. 4). Iron in this state is called $\gamma$-iron ($\text{Fe}_{\gamma}$). Is the density of iron the same in these two states? The relative atom mass of iron is $\mu=55,847$.

I. M. Nizamov

P891. How will the electric capacity of a conducting sphere change if we make a dent in it?

R. L. Enfiadjan

P892. A ray of light falls along a diameter on a glass ball of radius $R$. At the distance $r$ from the ball’s centre the ray is dissipated uniformly in all direction by a little air bubble in the glass. Find how the amount of light leaving the glass ball depends on $r$. The refraction coefficient of glass is $n$. Light losses within the glass are negligible.

A. A. Lapides

Решения задач

M861 — M865; Ф873 — Ф877

Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — данные числа, $b_1=\{a_1\}, b_2=\{a_1+a_2\}, \dots, b_n=\{a_1+a_2+\dots+a_n\}$ ($\{x\}$ — дробная часть $x$). Все числа $b_1, \dots, b_n$ лежат в промежутке $[0; 1]$. Разделим его на $n+1$ равных промежутков $\Delta_0=[0; 1/(n+1)]$, $\Delta_1=[1/(n+1); 2/(n+1)]$, …, $\Delta_n=[n/(n+1); 1]$. Если хотя бы одно из чисел $b_i$ попадет в один из краейних промежутков $\Delta_0$ или $\Delta_n$, то утверждение задачи, очевидно, будет выполнено для суммы $a_1+\dots+a_i$. В противном случае в $n-1$ промежутках $\Delta_1, \dots, \Delta_{n-1}$ будет расположено $n$ точек $b_1, \dots, b_n$, поэтому хотя бы в одном из них оказется две точки, $b_k$ и $b_l$. Пусть $k>l$, тогда $a_{l+1}+a_{l+2}+\dots+a_k=(a_1+\dots+a_k)-(a_1+\dots+a_l)=\epsilon$ число ($|b_k-b_l|<1/(n+1))$.

Легко видеть, что число $1/(n+1)$ в условиях уменьшения нельзя — достаточно взять все числа $1/(n+1)$.

C. Ю. Оревков

M862. a) Внутри данной поверхности треугольника указите множество всех точек $M$ таких, что расстояние от $M$ до его стороны слижат themselves.

b) Внутри данной поверхности треугольника указите множество всех точек $M$ таких, что расстояние от $M$ до его стороны слижат themselves.

a) Ответ: искомое множество — это внутренность треугольника, ограниченного средними линейными данно-треугольника (рис. 1).

Пусть $d_a=d_1, d_b, d_c$ — расстояния от точки $M$ до стороны $BC, CA, AB$ данной三角形. Для существования треугольника со стороны длины $d_a, d_b$ и $d_c$ необходимо и достаточно выполнить трех неравенств: $d_a<d_b+d_c, d_b<d_a+d_c$ и $d_c<d_a+d_b$, или $d_a<d/2, d_b<d/2, d_c<d/2$, где $d=d_a+d_b+d_c$, но $d$ — этолина высоты треугольника $ABC$ (если $l$ — длина стороны треугольника, то $ld/2=(ld_a+ld_b+ld_c)/2=S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB}=S_{ABC}$).

48

Позному условие $d_a < d/2$ определяет в треугольнике $ABC$ трапецию $BCB_1C_1$, отсекаемую от него средней линии $B_1C_1$ (сам отрезок $B_1C_1$ при этом исключается). Аналогичные трапеции задаются и двумя другими неравенствами, а пересечение этих трапеций и есть внутренность треугольника $A_1B_1C_1$.

6. Ответ: искомое множество — это внутренность правильного octаэдра с вершинами в серединах ребер данного tetraэдра (рис. 2).

Повторяя ход решения задачи a), разобем данные tetraэдр $T$ на четыре tetraэдра, основаниями которых служат грани данного, а вершины расположены в точке $M$. Пусть $d_1, d_2, d_3, d_4$ — их высоты, то есть расстояния от точки $M$ до граней tetraэдра $T$, тогда сумма их объемов равна $(d_1S+d_2S+d_3S+d_4S)/3$ (где $S$ — площадь грани данного tetraэдра), следовательно, $d=d_1+d_2+d_3+d_4$ — это высота tetraэдра $T$. Для того чтобы из отрезков длины $d_1, d_2, d_3, d_4$ можно было составить четырехугольник, каждая из этих длин должны быть меньше $d/2$ (скажем, неравенство $d_1 < d/2$ эквивалентно $d_1 < d_2 + d_3 + d_4$). Очевидно, каждое из неравенств «отсекает» от tetraэдра вдвое меньший tetraэдр (тетраэдры с красьми ребрами на рисунке 2). После четырех «отсечений» остanetся правильный octaэдр.

Обратно, для любой точки внутри этого octaэдра будет выполнены неравенства $d_i < d/2$, поэтому из отрезков длины $d_1, d_2, d_3, d_4$ можно составить четырехугольник. (Действительно, пусть $d_1 > d_2 > d_3 > d_4$; инвервалы $|d_1 - d_2|, d_1 + d_2|$ и $|d_3 - d_4|, d_3 + d_4|$ содержат общую точку $l$, так как $d_1 - d_2 < d_3 + d_4 < d_1 + d_2$; теперь нужно четырехугольник можно получить, приставляя друг к другу треугольники со стороны $d_1, d_2, l$ и $d_3, d_4, l$.

Э. А. Ясиновый

M863. В каждой клетке доски $n \times n$ стоит по фишке. Можно ли переставить их так, чтобы любые две фишки, урезавшие друг друга другую ходом коня, после перестановки стали урезать друг друга ходом короля, если $a) n=3, b) n=6, c) n=4$?

◆
a) Ответ: можно. Требуется перестановка изображена на рисунке 1.

6. Ответ: нельзя. Для доказательства введем два «расстояния» между клетками доски: $d_1(a, b)$ — наименьшее число ходов коня, необходимых для перехода из клетки $a$ в клетку $b$, $d_2(a, b)$ — наилогичное число ходов короля. Обозначим через $a'$ и $b'$ клетки, на которые попадают фишки из клеток $a$ и $b$ после перестановки. Тогда рассматривается в задаче условие, оченьindo, влечет неравенство $d_1(a, b) \geqslant d_2(a', b')$. Если $a'$ и $b'$ — противоположные угловые клетки, то (при $n=6$) $d_2(a', b')=5$, но для любых двух клеток $a$ и $b$ $d_1(a, b) \leqslant 4$. В этом можно убедиться непосредственно, причем достаточно расстоять случай, когда $a$ — угловая клетка (например, $d_1$-расстояние между головыми клетками на рисунке 2 завершено не превосходит $d_1$-расстояния между розовыми клетками; цифры на этом рисунке равны $d_1$-расстояниям от соответствующих клеток до левой нижней).

49

Точно так же рассматривается случай любого $n > 6$: можно показать, что наиболее значение $d_1(a, b)$ для доски $n \times n$ равно $[2(n+1)/3]$ (при $n \geq 5$)*, то есть менш ее, чем $n-1 - d_2$-расстояние между противоположными углами.

в) Ответ: нельзя. Пусть $a_1, a_2, a_3, a_4$ — поля, на которых строили фишки, попавшие после перестановки в углы доски. тогда $d_1(a_i, a_j) \geq 3$ при $1 \leq i < j \leq 4$ (см. пункт 6)). На рисунке 3 для трех существенного различных положений (с учетом симметрий) клетки $a_1$ отмещены клетки, расположенные на $d_1$-расстоянии 3, 4 или 5 от $a_1$. Пользовать этим рисунком, нетрудно проверить прямым перебором, что ни в одном из случав не坠яя подсказать клетки $a_2, a_3, a_4$ с соблюдением условия $d_1(a_i, a_j) \geq 3$.

Аналогично доказывается, что и при $n=5$ требуем перестановки не существует.

С. Стефанов

M864. Наозем «красивым» разбение треугольника на подобные ему треугольники, никакие два из которых не равны по размерам.
a) Доказите, что для всякого прямоугольного треугольника существует красное разбение.
b) Для каких неравносторонних треугольников существует красное разбение?

a) Красивое разбение неравноведренного прямоугольного треугольника (это самый простой случай) показано на рисунке 1, $a$, равноведренного — на рисунке 1, $6$.

6. Ответ: нельзя. Доказательство проведем от противного. Допустим, что красное разбение равностороннего треугольника $\Delta$ существует, и оценим число $N$ «внутренних» сторон составляющих его треугольников, то есть сторон, лежащих внутри треугольника $\Delta$. Концы этих сторон (вершины треугольников разбения) былиот трех типов:
   1-й тип — точки, лежащие внутри треугольника (пример — точка $A$ на рисунке 2, $a$); из каждой такой точки выходит 4 внутренние стороны ($AB, AC, AD$ и $AE$ на рисунке);
   2-й тип — точки внутри треугольника $\Delta$, в которых ходятся 6 треугольников разбения; из такой точки выходит 12 внутренних стороны (рис. 2,6);
   3-й тип — точки, лежащие внутри какой-либо стороны треугольника разбения (рис. 2,8); такая точка служит концом для 6 внутренних сторон.

Обозначим число точки каждой типа через $n_1, n_2, n_3$ соответственно. Поскольку каждой сторона имеет два конца, число внутренних сторон равно

$$N = \frac{1}{2} (4n_1 + 12n_2 + 6n_3) = 2n_1 + 6n_2 + 3n_3.$$

В то же время, каждой точке $A$ 3-го типа можно сопоставить три внутренние стороны: сторону $s$, внутренной лежит точка $A$, и две примыкающие к $s$ стороны, выходящие из вершины $A$ (на рис. 2,8 точке $A$ сопоставляется стороны $s=BC, AD$ и $AE$). При этом каждая внутренняя сторона будет

*) См. статью Д. Козна «Метрика коня» («Квант», 1981, № 10, с. 13).

50

способленна хотя бы одной точке 3-го типа — в противном случае внутри этой стороны нет вершин разбиения и сама она не содержится ни в какой большей стороне, а значит, она является общей для двух треугольников разбиения; но это невозможно, так как треугольники разбиения не должны быть равными. Отсюда следует, что $N \leq 3n_3$, то есть $2n_1 + 6n_2 + 3n_3 \leq 3n_3$, или $2n_1 + 6n_2 \leq 0$, таким образом, $n_1 = n_2 = 0$. Но если на сторонах исходного треугольника $\Delta$ нет вершин разбиения ($n_1 = 0$), то нет и разбиения, как такового, — оно состоит из одного треугольника $\Delta$.

в) Ответ: красивое разбиение имеет у любого неравностороннего треугольника. Его построение по-

Puc. 2,a.

Puc. 2,б.

Puc. 2,в.

Puc. 3.

казано на рисунке 3 (равные углы отмеченны на рисунке дужками одного цвета).

Удобно решать как бы обратную задачу: дополнительный треугольник $ABC$ до большого подобного ему треугольника других подобными ему и попарно различными треугольниками. Очевидно, эта задача эквивалентна исходной. Пусть для определения $|BC|:|AC| = k > 1$. При этом к треугольнику $\Delta_0 = ABC$ подобные треугольники $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4$ и $\Delta_5$ в соответствии с рисунком 3. Легко видеть, что при этом коэффициент подобия треугольников $\Delta_{n+1}$ и $\Delta_n$ для $n = 0, 1, 2, 3$ равен $k$, поэтому коэффициент подобия треугольников $\Delta_0$ и $\Delta_n$ при $n = 1, 2, 3, 4$ равен $k^n$, а $\Delta_5$ и $\Delta_0$ — $|CM|:|AB| = (|CK| + |CM|):|AB| = k + k^3$. Отсюда ясно, что единственный парой конгруэнтных треугольников здесь могут быть только $\Delta_5$ и $\Delta_4$ — если $k + k^3 = k^4$. В последнем случае дополнитель конгруэнтных треугольников $\Delta_6, \Delta_7$, а $\Delta_5$ заменим на $\Delta_8 = CNL$ (см. рис. 3). Снова единственный парой конгруэнтных треугольников среди $\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4, \Delta_6, \Delta_7$ и $\Delta_8$ могут быть только $\Delta_8$ (подобный $\Delta_0$ с коэффициентом $|CN|:|AB| = k + k^3 + k^5$) и $\Delta_7$ (подобный $\Delta_0$ с коэффициентом $k^6$). Но если $k + k^3 = k^4$, то

51

$$k + k^3 + k^5 > k^3 + k^5 = k^2(k + k^3) = k^6,$$ а значит $\Delta_7$ и $\Delta_8$ не конгруэнтны.

Итак, любой неравносторонний треугольник имеет красное разбиение (на 6 или 8 треугольников).

А. В. Савкин

М865. Обозначим через $[a, b]$ наименьшее общее кратное целых чисел $a$ и $b$. Докажите, что для любых $n+1$ чисел $a_0 < a_1 < ... < a_n$ выполняено неравенство

$$\frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} + ... + \frac{1}{[a_{n-1}, a_n]} \leq 1 - \frac{1}{2^n},$$
если $a) n=2; b) n=3; \theta)^{*} n$ — любое натуральное число.

При небольших $n$ задачу можно решить с помощью перебора.

a) Так как $[a, b] \geq 2a$ при $a < b$, и $a_0 \geq 1, a_1 \geq 2$, справедливый неравенства $\frac{1}{[a_0, a_1]} \leq \frac{1}{2}, \frac{1}{[a_1, a_2]} \leq \frac{1}{4}$ и $\frac{1}{[a_0, a_1]} \leq \frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

b) Если $a_2 \geq 4$, то, как и в пункте a), $\frac{1}{[a_0, a_1]} \leq \frac{1}{2}, \frac{1}{[a_1, a_2]} \leq \frac{1}{4}, \frac{1}{[a_2, a_3]} \leq \frac{1}{8}$, если же $a_2=3$, то $a_0=1$, $a_1=2$, $[a_0, a_1] = 2$, $[a_1, a_2] = 6$, $[a_2, a_3] \geq 6$, и $\frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} + \frac{1}{[a_2, a_3]} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} < \frac{7}{8}$.

в) Доказательство проведем методом математической индукции. При $n=1$ нашей неравенство очень интересно. Допустим теперь, что оно справедливо при $n=k$ и доказем его для $n=k+1$. Рассмотрим два случая

1. Пусть $a_{k+1} \geq 2^{k+1}$, тогда $[a_k, a_{k+1}] \geq a_{k+1} \geq 2^{k+1}$ и по предложению индукции

$$\left( \frac{1}{[a_0, a_1]} + ... + \frac{1}{[a_{k-1}, a_k]} \right) + \frac{1}{[a_k, a_{k+1}]} \leq \left( 1 - \frac{1}{2^k} \right) + \frac{1}{2^{k+1}} = 1 - \frac{1}{2^{k+1}}.$$

2. В случае, когда $a_{k+1} < 2^{k+1}$, воспользуемся тождеством $[a, b] = ab/(a, b)$, где $(a, b)$ — наиболее общий делитель чисел $a$ и $b$. Поскольку $b-a$ делится на $(a, b)$, и следовательно, $(a, b) \leq b-a$ (при $b>a$), из этого тождества вытекает, что $1/[a, b] \leq (b-a)/ab = 1/a-1/b$. Поэтому

$$\frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} + ... + \frac{1}{[a_k, a_{k+1}]} \leq \left( \frac{1}{a_0} - \frac{1}{a_1} \right) + \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) + ... + \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) = \frac{1}{a_0} - \frac{1}{a_{k+1}} < 1 - \frac{1}{2^{k+1}}$$

что и требовалось доказать.

Отметим, что указаная оценка точная: при любом $n$ равенство достигается для последовательности $a_0=1, a_1=2, ..., a_n=2^n$.

Б. М. Ивлев

Ф873. Выптел на майте корабля образует угол $60^\circ$ с курсом корабля при его скорости 20 км/ч. Не меняя курса, корабль увеличился скорость в 2 раза, и угол стал равным 30°. Найти по этим данным скорость ветра (считая ее неизменной). При какой скорости корабля угол станет равным 90°?

Вымпел на майте корабля показывает направление вектора $\vec{u} + \vec{v}$, где $\vec{v}$ — вектор скорости корабля (он определяет курс корабля), $\vec{u}$ — вектор скорости ветра.

Спроектируем вектор $\vec{u}$ на направление курса корабля и на направление, перпендикулярное курсу. Пусть $u_1$ и $u_2$ — абсолотные значения соответствующих проекти. Поскольку направление ветра нам

52

нензвестно, мы можем в обшем случае записать следующие соотношения:

при скорости корабля $|\vec{v}| = 20$ km/ч —
$$\frac{\pm u_2}{v \pm u_1} = \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3},$$

(1)

при скорости корабля $2|\vec{v}| = 40$ km/ч —
$$\frac{\pm u_2}{2v \pm u_1} = \text{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

(2)

Решив совместно уравнения (1) и (2), найдем
$$u_1 = \frac{1}{2} v, \quad u_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} v.$$

Отсюда можно найти модель вектора скорости ветра:
$$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} = |\vec{v}| = 20 \text{ km/ч}.$$

Направление вектора $\vec{u}$ по этим данным найти нельзя, но можно сказать, что угол $\alpha$, который образует вектор скорости ветра с курсом корабля, с точностью до знака определяется условием
$$\text{tg} \alpha = \pm \frac{u_2}{u_1} = \pm \sqrt{3}.$$

В том случае, когда выимpel образует угол $90^\circ$ с курсом корабля, скорость $v_x$ корабля и скорость $u$ ветра связаны соотношением
$$|\vec{u}|^2 - |\vec{v}_x|^2 = u_2^2,$$ или $u_1^2 + u_2^2 - |\vec{v}_x|^2 = u_2^2,$
откуда
$$|\vec{v}_x| = u_1 = \frac{1}{2} v = 10 \text{ km/ч}.$$

Итак, выимpel будет составлять с курсом корабля угол $90^\circ$ при скорости корабля $|\vec{v}_x| = 10 \text{ km/ч}.$

В. Е. Скороваров

Ф874. Автомобиль движется вдоль прямой $OO'$ (рис. 1) и в точке А начинает поворачивать, не сжимая скорости. В точке В автомат съемп酚ный столбик. Оцените скорость, с которой может ехать автомать. Считайте сцепление шин с асфальтом хорошим. Руль автоматия управляет его передними колесами.

Ясно, что мы можем оценить только максимальную скорость автоматия, соответствующую самому кругту из возможных поворотов — когда автомать движется по дуге $AB$ окружности, которая касается прямой $OO'$. Радиус этой окружности (см. рис. 2) —
$$R = |AC| = \frac{1}{2}|AD|; \quad R \approx 35 \text{ м}.$$

Разворачивает автомать (сообщает ему центростремительное ускорение) сила треня, действующая на передние колеса в направлении, перпендикулярном скорости автоматия. Если считать, что центр масс автоматия расположен примерно посредине

53

и поднять не очень высоко над дорогой, аускорение автоматически не очень велико (подумайте сами, почему это существенно), то сила нормальной реакции, действующая со стороны дороги на два передних колеса, равна половине силы тяжести, а сила треня равна $\mu \frac{mg}{2}$. Уравнение движения автоматics при повороте —

$$\frac{mv^2}{R} = \mu \frac{mg}{2},$$

откуда находится максимальный скорость $v_M$:

$$v_M = \sqrt{\frac{\mu g R}{2}}.$$

Прияв $\mu=0,8$, получаем $v_M \approx 12$ м/с $\approx 43$ км/ч.

Итак, скорость автоматics $v \leq v_M \approx 43$ км/ч.

Разумеется, это довольно грубая оценка. Более точную оценку можно было бы получить, рассматривая весь след автоматics от точки $A$ до точки $B$.

А. Р. Зильберман

Ф875. По горизонтальном направлении рельсам, расстояние между которых равно $d$, может скользить без трения перемычка, масса которой равна $m$ (см. рисунок). Рельсы соединены резистором с сопротивлением $R$ и помещены в вертикальное магнитное поле, индуктивного которого $B$. Перемычке сообщают скорость $v_0$. Найти пусть, пройденный перемычкой до остановки. Как зависит ответ от направления вектора $\vec{B}$?

◆ При движении перемычки меняется поток магнитной индуктивции через контур, образуется перемычкой, рельсами и резистором. В контуре возникнет ЭДС индуктивции и появляется ток. В результате действия магнитного поля на ток, текущий по перемычке, перемычка будет тормозиться.

Найдем тормозящую силу $F$. Пусть скорость перемычки равна $v$. За малый промежуток времени $\Delta t$ перемычка переместится вдоль рельсов на малое расстояние $\Delta x = v \cdot \Delta t$. Изменение площади контура будет равно $v d \cdot \Delta t$, поток магнитной индуктивции за это время изменится на $\Delta \Phi = B \cdot v d \cdot \Delta t$, в контуре появится ЭДС

$$\mathcal{E} = - \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = - B v d,$$

и по перемычке, согласно закону Ома, будет течь ток $i = \mathcal{E} / R$. Сила, действующая на перемычку со стороны магнитного поля, будет равна

$$f = i B d = - \frac{B^2 d^2}{R} v;$$

направлена сила $f$, согласно правилу Ленца, против скорости $v$.

Запишем теперь уравнение движения перемычки (при малом перемещении $\Delta x$):

$$ma = f = - \frac{B^2 d^2}{R} v,$$

или, учитывая, что $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$, $v = \frac{\Delta x}{\Delta t},$

$$m \frac{\Delta v}{\Delta t} = - \frac{B^2 d^2}{R} \frac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow m \cdot \Delta v = - \frac{B^2 d^2}{R} \cdot \Delta x.$$

Мы видим, что изменение скорости перемычки проорционально изменению ее координаты $x$ (в начальной момент $x_0=0$). Значит, полное изменение скорости $v_{кОН} - v_0 = 0 - v_0 = -v_0$ связывано с изменением координаты $x$