Квант 1984, №10 · Страницы

КВАНТ
10
1984
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Физика изучает только такие свойства тела, которые могут быть выражены числом, и для изучения этих свойства в физике выводятся физические величины, характеризующие те или иные свойства (о том, как это делают, рассказано в статье академика И. К. Кикона в этом номере журнала). Для каждого физического величины должны быть указаан способ ее измерения. Измерить физическую велиину — это значит сравнить ее с однородной величины, принятой за единицу. Для такого сравнения необходимо какое-либо устройство или тело, которое воспроизведено бы единующей данной величины. Такие устройства называют мерами. Для каждого физического величины приняты свои единцы измерения и, соответственно, свои merы. Например, миллиметровая линейка, сантimeter, который пользовется портные,— это merы длины; зги и разновеси — merы массы и т. д. Каждая merа с той или иной точностью воспроизведет этапн, который принят за единующей величины. Этаон массы — это, как известно, специально изготовленный цилиндр из сплава платины иирида. Масса этого цилиндра — ее называют килogramм — и принята за международную единицу массы.

Килogramм как этапон массы получили «международное признание» сравнительно недавно — в начале XX века. А измерения массы производились с незапятых времени, и в незапятые времени существовали merы и приборы для измерения массы. По нашим сегодиями представляем они были применены и неудобны. С развитием культуры, науки и техники они совершенствовались, число ихросло. Со временем стала очень удобно использовать создание этаонов, «хранящих» единицы измерения. На приведенной здесь фотографии вы видите сделанные из бронзы разновеси, которые воспроизведены единцы массы, принятые в некоторых странах Европы специальным соглашением в 1570 году, иZipю, который пользовался в те времена в быту (в настоящее время они хранятся в одном из музеев в Брюсселе).

1

Научно-популярный
физико-математический журнал
Академии наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

10 1984
Основан в 1970 году

Издательство “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы

В HOMEPE:

2 Беседа с академиком
С. П. Новиковым
И. К. Кикoin. Как вводятся физические величины
В. К. Приходько. Решение уравнений на микрокалькуляторе
A talk with academician
S.P. Novikov
I. K. Kikoin. How physical quantities are introduced
B. K. Prikhodko. Solving equations on microcomputers

Новости науки
6 Кольца вокруг Солнца
Science News
Rings around the sun

Лаборатория «Кванта»
18 А. А. Дозоров. Приципп относительности
Kvant’s lab
A. A. Dozorov. The relativity priciple

Matematический кругок
20 В. Г. Болтянский. Экспонента
Mathematics circle
V. G. Boltianski. The exponential function

Школа в «Кванте»
25 Физика 8, 9, 10
30 Математика 8, 9, 10
33 Избранные школьные задачи
Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 8, 9, 10
Selected school problems

«Квант» для младших школьников
35 Задания
36 В. А. Розенфельд. Откуда произшли названия звезд и созвездий
Kvant for younger school children
Problems
B. A. Rozenfeld. Where do the names of stars and constellations come from

Задачник «Кванта»
40 Задачи M886 — M890; Ф898 — Ф902
43 Решения задач M871 — M875; Ф883 — Ф886
Kvant’s problems
Problems M886 — M890; P898 — P902
Solutions M871 — M875; P883 — P886

Практикум абитуриента
53 В. А. Данилин. Передача электрозергини на расстояние
College applicant’s section
V. A. Danilin. Long-distance transmission of electric energy

Олимпiadы
56 Х Всероссийская олимпiadа школьников
60 Задачи Московской городской математической олимпiadы школьников
Olympiads
10 th All-Russian school olympiad
Problems of the Moscow school mathematics olympiad

Ответы, указания, решения
Смесь (13, 34)
Шахматная страница
ЭВМ против гроссместера
(3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (13, 34)
The chess page
Computer vs. grandmaster
(3 rd cover page)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1984

2

Беседа
с академиком
С. П. Новиковым

Из богатого талантами поколения математиков, вошедших в научку в конце 50-х годов и в начале 60-х годов, научные успехи Сергей Петровича Новикова относятся, пожалуй, к числу наиболее впечатляющих. Начав с одной из самых трудных и абстрактных области математики — современной алгебраической топологии, С. П. Новиковащитил кандидатскую диссертацию в 25 лет, докторскую в 27, был избран членом-корреспондентом Академии наук в 28 лет и академиком в 43 года. В 1967 году Сергей Петрович получил Ленинскую премию, а в 1970 году на Всемирном конкурсе математиков С. П. Новиков стал первым советским лауреатом премии Филдса, присуждаемой раз в четыре года ведущим математикам мира (в возрасте до 40 лет). Сейчас Сергей Петрович совмещает работу в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ланду (его работы связаны с математической физикой, в частности, с теорейной солитотов) и в Математическом институте им. В. А. Стеклова с заведыванием кафедрой высшей геометрии и топологии в Московском университете.

Сергей Петрович, член редакленини журнала «Квант», ответил на вопросы нашего корреспондента А. В. Сосинского у себя дома. Беседа проходила в юотном рабочем кабинете, целиком установленном книгами (не только по математике!), живо и непринуженное. Мы воспроизведем здесь (практические без редактионных изменений) магнито-фонную запись этой беседы, лишь добавив в виде способ несколько посясенной к ответам Сергей Петрович.

— Сергей Петрович, когда вы всегда заинтересовались математикой? Что больше повлияет на этот выбор: школа, олимпиды, семья?

— Как вы знаете, я проискжу из математической семьи*). Влияние семьи я бы, конечно, поставил на первое место. Нельзя сказать, чтобы я серbezно нацал увлекателься математикой в школе; но во всяком случае я много

*) Отец Сергей Петрович, академик П. С. Новиков (1901—1975), — выданнойся специальст по теории функций и множества, алгебре и математической логике; мать, Л. В. Кельыш (1904—1975), — доктор физико-математических наук, известный специалист по теории множества и геометрической топологии.

3

о ней знал — профессию математика я себе представлял. Это, наверное, было решающим в моем выборе. А увлекателься математикой по-настоящему я начал на первом курсе университета. Хочу заметить, что наша школа — средняя школа № 330 г. Москвы — в те годы была первоклассной, давшей хорошее общеобразование (включая даже латынь, которую я, правда, забыл).

— Участовали ли вы в олимпiadах?
— В олимпiadах я поччастовал в младших классах — в классах 5-м, 6-м, их тогда в Москве устранвал Институт условийственного университета. Участовал и в олимпаде, организованной в Московском университете, но, получив в 7-м класс вторую премию (в 1952 году), я потерял к этому интерес. Хотя в дальнейшем я ходил на кружки и олимпады, но активности не проявлял и блистательных результатов не показывал.

— Сергей Петрович, был ли вы прилежным учеником?
— Учился я прилично: без троек. Но круглым отличникомник не был.
— Как вы выбрали, в университете, свою будущую научную специальность внутри самой математики?
— В нашей время на международ*) была очень разумная система предоставления тем курсовых работ уже на втором курсе. Тогда к моменту распределения по кафедрам (в начале третьго курса) студенты были хотимально научно подготовлеными. Все мы служали спецкурсы и участовали в работе специальаров, даже «полутворческих», уже на первом курсе. Существовшее тогда математическое образование хорошо подготовлено к выбору научной специальности. При этом важную роль, у меня например, сыграло желание занять каким-то совсем другим кругом проблем, не теми, которые в основном знамаловстве поколеще. Мне хотелось занять не теории множества и теории функций действительного переменного, не общей алгеброй и математической логикой, но какими-то совсемными, совсем другими областими. Вот так я выбрал себе алгебраической топология. Немалую роль сыграло то, что блестиший профессор, вскоре лауреат Ленин*

*) Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, где С. П. Новиков был студентом в 1955—1960 гг.

5

— Часто приходится слышать, что в науке, в том числе математике, сегодня преобладает узкая специализация. В то же время, о таких математиках XX века, как Пуанкаре, Гильберт®), Бурбаки, говорят как об «универсалах». Какова сейчас в этом отношении ситуация в математике?

— В вашем вопросе есть какая-то страная ошибка. Математика по фамилии Бурбаки**) никака не существует, а составляющее его талантливые ученыые, и даже наиболее крупные среди них, не были универсальными наполовите. Пуанкаре и Гильберт. Личное мне особенное симpatична фигура Пуанкаре, наиболее близкого к естественным наукам.

Мне кажется, что узость специализации многих математков связана с чрезмерно абстрактным и переусловенным языком. Я бы сказал, что эта узость происходит также из-за ослабления связи теоретической математики с приложениями, которое имело место на определенном этапе. Мы лишьлись четкого критерия того, что нужно знать обязаательно. Каждый знает только то, что он хочет, или то, что ему приказал вычитать научный руководитель. Пока естественно-начный характер математического образования не будет восстановлен, этот универсализм возродить не удалось.

— Математикам не дают Нобельские премии. Справедливо ли это?

— Я не верю в известные анекдоты, которые математики на этот счет рассказывают. По завершению Нобеля, премии не дают также ни физико-теоретическим, ни биологическим. Формулировка его завершения совершенню ясная. Премии, учреженные А. Нобелем, изобретателем динамита, присуждаются за работы типа изобретений, неисредственно полезных человекству. Биология получает Нобельскую премию за исследование, относящемся, по существу, к медицине, на самом деле нет Нобельской премии по биологии. Когда физики-теоретически получают Нобельскую премию, это неокоторое смешение, которое они добавились десятилиями. Завещание состоит в том, что премии получают за изобретения, но не за научные открытия. Если Нобельскую премию завершать не дал биологии и теоретической физике, почему она должна была доставаться математике? Я рекомендувал бы математикам не обнаружся на то, что инженер А. Нобель не помнял математику в своей завещании. Она от этого не становится хуже.

— Есть ли у вас сервисные увлечения, кроме науки? Хобби, спор, доступ?

— Спорт для нас, ученых, существует, как мы считаем, для поддержания здоровья и вред ли я смогу сказать вам что-то новое об этом.

А если говорить об интеллектуальных увлечениях, я с какого-то времени пользовил исторические книги, но в первую очередь не книги, написанные историки, а книги — подлинники, написанные самими действующими людьми, древними и современными (к сожалению, только по-русски или по-англійски). Потому, что мне было любить понять, как они жили и действовали, чем они от нас отличались, чем были на нас похожи.

Для меня чтение истории исторических книг — просто любимое чтение; я не советовал бы, однако, никакому из математков пусть увлечения такого рода с деятельности настоящих профессионалов.

— Что вы можете посоветовать тем нашим читателем, которые всегда интересуются физикой и математикой?

— Перед человеком, который хочет стать ученым, стоит две задачи. Первая из них — научиться творческой работы и совершать хотя бы необольшие научные открытия в определенной специализации, на грамотном научном уровне. Вторая — не утомить в узкой области, с которой (возможно, случайно) начал. Эти две задачи нужно решать гармонично. Однако из них требуется воспитание и тревировки творческих навыков, другая — затраты громадного труда на приобретение образования, хотя этот труд может показаться на первый взгляд бесполезным, исходя из синонимных интерсов. Сочетание этих двух компонентов творческого процесса есть то, что необходимо ученому на литеральный период.

6

Кольца вокг Солнца

Когда в 1610 году Галилей впервые направил на небо телесоп, он, в частности, обнаружил несколькостраный вид планеты Солнца. Она казалась состоящей из трех звезд, как бы касаошихся друг друга, причем средняя звезда выглядела примерно в три раза больше боковых («высочайшую*) планету тройного наблюда]). Через пятьдесят с небольшим лет Гойгенс с помощью более сильного телесопа объясил необучный вид Солнца тем, что он, единственный на небе, носит красивое украшение — колца (при меньшем увеличении колца представлялись боковым звездами). Первое теоретическое исследование колц Солнца принадлежит Максвеллу. В 1859 году он закончил работу об устойчивости колц, в котором доказал, что колца не является сплошными, а состоит из множества отдельных частиц. Это была первая работа Максвелла, удостоеная премии Лондонского королевского общества.

Лишь совсем недавно Сатурн потерял свою монополию на колца. В 1977 году были открыты колца Урана (обнаруженные по затмению блеска звезд, оказавшихся для земного наблюдателя позади колц), а в 1979 году из космоса были фотографированы колца Юпитера (невидимые с Земли.*) Теперь колца у планет Солнечной системы перестал быть коллекционной редкостью, и их существование стало почти обчным. Правда надо признать, что законы движения мелких частиц и крупных обломков, из которых состоит колца, таят в себе много загадок.

*) Во времяена Галиляя Сатурн считался самой удаленной от Солнца планетой (Уран, Нептун и Плуон были открыты позже).

К НАШИМ ЧИТАТЕЛЯМ

Продолжается подписка на журнал «Квант» на 1985 год.

Журнал расчитан на учеников 6—10 классов. Он полезен учетелям, особенно тем, кто ведет крупки или факультативные занятия, и всем любительям математики и физики.

Основное содержание журнала — материалы, помогающие лучше понять физику и математку, научиться применять эти науки для обучения различных явлений и процессов, с которых мы сталкиваемся на практике, научиться решать задачи.

Журнал публикует на своих страницах статьи обзорного характера, рассказывающее о достижениях науки и о проблемах, которые еще ждут своего решения, рассказы об ученных и рассказы самых ученных о том, как «делается научка».

Цена номера 40 коп. Стонимость годов подписка 4 руб. 80 коп. Индекс журнала в каталоге «Союзпечати» 70465.

7

Как вводятся физические величины
Академик И. К. Кикоин

Физика отличается от других естественных наук тем, что объектные закономерности, установливаемые при изучении физических явлений природы, выражаются количественно (математически). Для этого физики вводят величины, характеризующие изучаемое явление или процесс. Экспериментально установливаются математические соответствия между величинами в виде соответствующих уравнений или формул, которые называются физическими законами природы.

Как же вводятся физические величины? Для каждой физической величины должен быть указан способ измерения. Точнее, нельзя вводить физическую величины, не указав, по крайней мере, принципальный способ измерения. Поясним это неокоторыми примерами. Начнем с величины, используемых в механике.

1. Скорость

Понятие скорости введено с незапамятных времен. И можно себе представить, как это было сделано. Возможно, какой-то человек, расположший прибором для измерения времени — это могли бы, например, солнечные часы — наблюдал за движением караванов в пустыне. Он определил, какой путь проходит караван за определенный промежуток времени. может быть, он сделал это, сосчитав число шагов верблюда. Шаг верблюда — это мера измерения длины. Соответствующаяся, выражющей промежуток времени и пройденный путь, он установил любопытное соответствие между ними. Оказаюсь, что отношение путей,ройденных караваном за любые промежутки времени, равно относению этих промежутков времени. На современном языке это означает следующее: если обозначить путь,ройденный караваном за промежуток времени $t_1$, через $s_1$, а путь,ройденный караваном за промежуток времени $t_2$, через $s_2$, то $\frac{s_1}{s_2} = \frac{t_1}{t_2}$. Очень любопытный факт! Наблюдать, верятоно, рассказал об

8

Возможно, в незапамятные в времена скорость изменяется телом за промежутки времени $t_1$ и $t_2$ соответственно. Таково, например, движение тел, свободно падающих в вакууме, или движение тел визно по наклонной плоскости без трения.

Такие движения изучаются изменениемитальянский физик Галилей. Он записал уравнение (1) в виде $\frac{2s_1}{t_1^2} = \frac{2s_2}{t_2^*}$ и назвал эти отношения и вообще относение $\frac{2s}{t^2}$ ускорением движения тела (материальной точки). Понятие ускорения связано, очевидно, с тем, что сама скорость движения тела может меняться со временем. Если скорость пропорциональна времени, то есть $v = v_0 + at$, то $a = \frac{v - v_0}{t}$, где $(v - v_0)$ — изменение скорости за промежуток времени $t$.

Таким образом, была введена новая физическая величина — ускорение. Известная формула $s = \frac{at^2}{2}$ (предполагается, что начальная скорость тела равна нулю) также не выражает никакого закона природы, а есть следствие принятого определения ускорения.

В дальнейшем было введено уточнение: для правильного описания различных рода движения необходимо принять во внимание, что перемещение $s$, скорость $v$ и ускорение $a$ — величины векторные.

*) Коэффициент 2 вводится из чисто математических соображений.

2. Ускорение

Бывают и такие движения, при которых отношение пройденных путей за любые промежутки времени равно относению квадратов этих промежутков времени. На современном языке это записывается следующим равенством:

$$\frac{s_1}{s_2} = \frac{t_1^2}{t_2^2},$$

где $s_1$ и $s_2$ — расстояния, прошедные движущимся телом за промежутки времени $t_1$ и $t_2$ соответственно. Таково, например, движение тел, свободно падающих в вакуume, или движение тел визно по наклонной плоскости без трения.

Такие движения изучаются изменениемитальянский физик Галилей. Он записал уравнение (1) в виде $\frac{2s_1}{t_1^2} = \frac{2s_2}{t_2^*}$ и назвал эти отношения и вообще относение $\frac{2s}{t^2}$ ускорением движения тела (материальной точки). Понятие ускорения связано, очевидно, с тем, что сама скорость движения тела может меняться со временем. Если скорость пропорциональна времени, то есть $v = v_0 + at$, то $a = \frac{v - v_0}{t}$, где $(v - v_0)$ — изменение скорости за промежуток времени $t$.

Таким образом, была введена новая физическая величина — ускорение. Известная формула $s = \frac{at^2}{2}$ (предполагается, что начальная скорость тела равна нулю) также не выражает никакого закона природы, а есть следствие принятого определения ускорения.

В дальнейшем было введено уточнение: для правильного описания различных рода движения необходимо принять во внимание, что перемещение $s$, скорость $v$ и ускорение $a$ — величины векторные.

*) Коэффициент 2 вводится из чисто математических соображений.

9

3. Масса

Из ряда опытов, проведенных в самых разных условиях, можно сделать вывод, что тело, бесконечно удаленное от всех других тел, не может двигаться сускорением, если рассматривать движение относительно некоторых вплоне определенных систем отчета, которые называются инерционными системами отчета. Такое тело находится либо в состоянии покоя, либо движется равномерно и примолнено относительно инерционной системы отчета. Если же тело движется сускорением, то всегда можно указать другой тел или другие тела, влияние которых вызываетускоренное движение данного тела. В таких случаях говорят, что тела взаимодействуют друг с другом. Расмотрим простейший случай — когда взаимодействуют два тела. Опыт показывает, что в этом случае оба тела получаютускорения, направления которых взаимно противоположны. Что качает модельускоренной обихх тел, то они могут быть различны. Но относение моделиускоренной обихх тел остается постоянным, независимо от того, в каких условиях происходит взаимодействие. Так, оно не зависит от взаимного расположения этих тел в пространстве, не зависит от времени, не зависит от скорости обихх тел, не зависит от окружающей среды и т. д. Это относение зависит только от свойств самых взаимодействующих тел.

В физике изучают только такие свойства тела, которые могут быть выражены числом, и для изучения тех или иных свойств в физике вводятся физические величины, характеризующие эти свойства. Когда речь идет обускорении тела, выванном влиянием на него другого тела, то этоускорение может быть большим или меньшим. Чем большеускорение тела, тем, очевидно, больше изменение его скорости за данный промежуток времени. И наоборот, еслиускорение тела мало, то это значит, что за тот же промежуток времени его скорость изменяется мало. Скорость не может меняться мгновенно — для всякого изменения скорости тела требуется неокоторый промежуток времени.

ускорения двух взаимодействующих тел вызываны их взаимодействием. Очевидно, что промежуток времени, в течение которого изменяется скорость двух взаимодействующих друг с другом тел,

11

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

(закон всемирного тяготения Ньютона). В частности, в условиях Земли слава всемирного тяготения проявляется в виде силы тяжесте, действующей на любое тело и направленной к центру Земли.

Электростатическая сила определяется формулой

$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$$

(закон Кулона). В механике электричке силы, характеризующие взаимодействие между заряженными частицами, из которых состоит тела, проявляется в виде силы упругости и сил тряния. Сила упругости возникает при деформации тела, то есть при изменении взаимного расположения части тела, например, при растяжении или скатин пружины. Сила тряния возникает, как известно, при движении соприкасающих тел относительно друг друга.

Таким образом, в механике обычно изучаются три вида сил: слава всемирного тяготения, слава упругости и слава тряния.

Если любая из этих сил, приложенная к телу массы $m$, вызывает его ускорение, равное $\vec{a}$, то значение этой силы всегда равно $m\vec{a}$. Другими словами, если телу массы $m$ нужно сообщить ускорение, равное $\vec{a}$, то к этому телу нужно приложить силу $\vec{F}$, равную $\vec{F} = m\vec{a}$ (ясно, что направление приложей силы $\vec{F}$ должно совпадать с направлением ускорения $\vec{a}$, которое нужно сообщить телу). При этом сила $\vec{F}$ может быть силой тяжесте (силой всемирного тяготения), силой упругости, силой тряния или, наконец, геометрической суммой этих сил. В этом и заключается смысл второго закона Ньютона.

Попытаемся выяснить, что последний основанием для формировки второго закона Ньютона. Представим себе две материалы точки $A$ и $B$, взаимодействующие друг с другом, то есть сообщающее друг другу ускорения. Опыт показывает, что направления этих ускорений взаимно противоположны.

Очевидно, обе взаимодействующие материалы точки «равноправны» в том смысле, что можно взаимно поменять их обозначения. Другими словами, ни одна из взаимодействующих точек не имеет никаких преимуществ перед другой. Отсюда следует, что должны существовать физические величины, одинаковая для обих взаимодействующих материалов точек. Нетрудно найти такую величины. Из соответствия (2) следует:

$$\frac{m_A}{m_B} = \frac{a_B}{a_A},$$

где $m_A$ и $m_B$ — массы взаимодействующих материалов точек, $a_A$ и $a_B$ — модели их ускорений. Следовательно,

$$m_A a_A = m_B a_B.$$ (5)

Вот мы и нашли величины, которые одинаковая для обих взаимодействующих телят. Эта величина характеризует взаимное влияние материалов точек друг на друга, вызывающее их ускорения. Существование такой величины и последнего основанием для формировки второго закона Ньютона.

Учитывая, что ускорение — величина векторная, перепшем соответствие (5) в виде

$$m_A \vec{a}_A = -m_B \vec{a}_B.$$

Обозначив $m_A \vec{a}_A = \vec{F}_A$ и $m_B \vec{a}_B = \vec{F}_B$, получим

$$\vec{F}_A = -\vec{F}_B.$$

Векторные величины $\vec{F}_A$ и $\vec{F}_B$ Ньютон называют силами. Как видно, с которой материалная точка $A$ действует на материалную точку $B$, равна по modulo, но противоположна по направлению силе, с которой материалная точка $B$ действует на материалную точку $A$. Это утверждение выражает третий закон Ньютона. Иного кратко

этот закон формулирует так: действие равно противодействию.

Из всего сказано о физической величины, называемой силой, следует, что единственный результат действия силы на тело (материальную точку) — это ускорение, прибретаемое телом под действием этой силы.

5. Импульс

Мы уже знаем, что при взаимодействии двух тел оба тела получают ускорения, которые зависит от их масс. Но можно найти величины, которая будет одинаковая для обих взимодействующих тел и не будет зависит от масс этих тел.

Эту величины мы найдем, переписав второй закон Ньютона — $\vec{F} = m\vec{a}$ — в несколько измененном виде. Вспомним, что ускорение тела можно записать как $\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t}$. Тогда $\vec{F} = m\frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t}$, откуда

$$\vec{Ft} = m\vec{v} - m\vec{v}_0.$$

Величина $m\vec{v}$ получила название импульса тела, а величина $\vec{Ft}$ — импульса силы.

Теперь мы можем сказать, что при взаимодействии двух тел изменяется импульс каждой силой, с которым тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Поэтому и изменения импульсов обих тел также равны по модулю и взаимно противоположны по направлению. Значит, геометрическая сумма импульсов взаимодействующих тел остается постоянной при любом взаимодействии этих тел. Это утверждение называют законом сохранения импульса. Можно показать, что закон сохранения импульса справедлив не только для двух, но и для любого числа взаимодействующих друг с другом тел. Это — один из важнейших законов природы.

6. Работа и энергия

Импульс силы мы определили как произведение сил $\vec{F}$ на время ее действия $t$. По аналогии можновести величины, равную произведение сил, действующей на тело, на перемещение тела. Эту велиницу называют работой силы. В том случае, когда направление векторов сил $\vec{F}$ и перемещения $\vec{s}$ совпадают, работа силы равна $Fs$.

В общем же случае, когда направление силы и направление перемещения тела составляют угол $\alpha$ друг с другом, выражение для работы имеет вид

$$A = Fs \cos \alpha.$$

В отличие от импульса тела, который есть величина векторная, работа — величина скалярная.

Можно доказать, что работа силы, действующих на тело, всегда равна

$$A = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}.$$

Величину $\frac{mv^2}{2}$ называют кинетической энергейой движения тела. Равенство (6) выражает так называемую теорему о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно работе действующих на тело сил. Например,

13

Что взаимодействие тел можно характеризовать не только силой, но и потенциальной энергии. Для потенциальной энергии справедлива следующая теорема: изменение потенциальной энергии взаимодействующих тел, взятое с обратным знаком, равно равоте сил взаимодействия.

Таким образом, мы введли три важные физические величины — работу сил, кинетическая энергия энергии тела и потенциальную энергию взаимодействия тела.

Нетрудно показать, что для системы тел, взаимодействующих друг с другом силами тяготения и упругости, справедлив закон сохранения полной энергии: сумма потенциальной и кинетической энергии взаимодействующих тел, взятое с обратным знаком, равно равоте сил взаимодействия.

Мы приведли ряд примеров того, как вводятся физические величины. Из этих примеров видно, насоколько важно правильно выбрать физические величины, характеризующие то или иное явление. Мы ограничились только величины, характеризующими механическое движение.

Рассинhalное введение физических величины позволяет открыть и сформулировать ряд важных законов классической механики (ныютовской механики). Эти законы нашли широкое применение во многих областях техника. По тем же принципам вводятся физические величины и в других разделах физики.

Задача для исследования ВыБРАТЬ ВЕРШИНЫ ВЫПУКЛОГО k-УГОЛЬНИКА

Условия называют систему точек на плоскости точками общего положения, если никакие три из этих точек не принадлежат одной прямой. Ясно, что 4 точки общего положения на плоскости могут не является вершинами выпуклого 4-угодника; однako, как нетрудно доказать, если на плоскости имеются 5 точек, то неоторные 4 из них наверняка является вершинами выпуклого 4-угодника. 6, 7 или 8 точек общего положения можно расположить на плоскости так, что никакие 5 из них не будут являться вершинами выпуклого 5-угодника; однako среди любых 9 точек общего положения наверняка

ка найти тяких, что они являются вершинами выпуклого 5-угодника. Доказательство этого утверждения несложно, но довольно громоздко. Ему посящена заметка Г. А. Тонояна («Квант», 1975, № 11, с. 26).

Знаменитomy венгерскому математике Палу Эрдёшу, члену Венгерской Академии наук и многих других академий и научных обществ разных стран приладлежит задача об определении наименшего числа N=N(k) такого, что из N точек общего положения на плоскости наверняка можно выбрать k точек, являющиеся вершинами выпуклого k-угодника. С помощью довольного громоздкого перебора возможных вариантов расположения точек на плоскости Эрдёша доказал, что N(6)=17: на плоскости можно указать такие 16 точек общего положения, что никакие 6 из них не являются вершинами выпуклого 6-угодника; однako если точек общего положения равно 17, то среди них 6 вершин выпуклого 6-угодника обязательно найти тяких, что для системы тел, взаимодействующих друг с другом силами тяготения и упругости, справедлив закон сохранения полной энергии: сумма потенциальной и кинетической энергии взаимодействующих тел, взятое с обратнымком, равно равоте сил взаимодействия.

Мы приведли ряд примеров того, как вводятся физические величины. Из этих примеров видно, насоколько важно правильно выбрать физические величины, характеризующие то или иное явление. Мы ограничились только величины, характеризующими механики (ныютовской механики). Эти законы нашли широкое применение во многих областях техника. По тем же принципам вводятся физические величины и в других разделах физики.

Эта гипотеза Эрдёшы выглядают прилежащим: формулировка ее содействия. Однако, увы! — на сегодняший день не видно никаких подходов к решению задачи об определении числа N(k), то есть к доказательству (а, может быть, и напротив — к опроверению) гипотезы Эрдёша (самому же Эрдёшу приладлежит лишь оценка числа N(k), к сожалению, довольно далекая от гипотетического результата). Было бы интересно получить хорошее оценки N(k) сверху и снизу.

И. Я.

15

Однако будьте осторожны! Выполнение равенства (4) не гарантирует совпадение $x_n$ с корнем $\xi$ с заданной точностью на расстоянием отрезке. На рисунке 2 показано, какая непрятность может произойти: последовательность $(x_n)$ сходится к точке $\eta$, для которого значение $\varphi(\eta)$ очень близко (в пределах заданной точности) к $\eta$, но не совпадает с $\eta$, в то время как настоящий корень $\xi$ уравнения расположен в другом месте.

Выбор функций $\varphi$

Для составления уравнения (2) функцию $\varphi$ можно выбирать различными способами*), однако не каждый выбор подходит для вычисления корня методом интерации. Мы будем предполагать, что уравнение (1) имеет корень $\xi$ на заданным отрезке $[a, b]$ и что мы это уравнение заменили на равносильное ему уравнение (2). Тогда iterazioni процесс $x_{n+1} = \varphi(x_n)$ сходится при любом начальном приближении $x_0 \in [a, b]$ к корню уравнения (1), если выполено следующие условия:

$$|\varphi'(x)| \leq q < 1 \text{ при любом } x \in [a, b],$$

(5)

еде $q$ — фиксированное число.

Мы не будем доказать это утверждение (см. задачу 10 цифрованной выше статьи В. Г. Болтянского), но будем постояно им пользоваться.

Заметим, что, если условие (5) не выполено, процесс интерации (3) может быть расходящимся (см. рис. 3).

Доказано, что чем меньше число $q$, тем быстрее сходится интерационный процесс (3) и тем меньше потребуется последовательных приближений для получения окончательного результата. Поэтому, выбирая функцию $\varphi$, необходимо стремиться к тому, чтобы число $q$ было по возможности малым. Если же удastoreть функцию $\varphi$ так, чтобы выполнялось уравнение $\varphi'(\xi) = 0$, то iterazioni процесс (3) будет сходиться очень быстро.

Но это еще не все. Надо непреемно учитывать удобство вычисления на данном калькуляторе. С целью сокращения затрат времени на вычислительной работы, функцию $\varphi$ следует выбирать так, чтобы процесс вычисления корня по формуле (3) получался целочным. Под целочим вычислительным процессом понятно такой процесс, который может быть реализован на данном калькуляторе без записи промежуточных результатов.

В дальнейшем будем конструкировать только целочимые вычислительные процессы.

Извлечение корней

Чтобы извлечь кубический корень из положительного числа $a$, поступим

*) Например, положив $\varphi(x) = j(x) + x$.

16

следующим образом. Обе части уравнения
$$x^3 = a$$
умножим на $x$ и извлечем корень четвертой степени. Получим
$$x = \sqrt[4]{ax}.$$
Положим $\varphi(x) = \sqrt[4]{ax}$. Тогда формула (3) принимает вид
$$x_{n+1} = \sqrt[4]{ax_n}, n=0, 1, 2, \dots$$
Так как
$$\varphi'(x) = \frac{a}{4\sqrt[4]{a^3x^3}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3/a}}$$
получаем
$$\varphi'(\sqrt[4]{a}) = \frac{1}{4} < 1.$$
При $x > \sqrt[4]{a}$ функция $\varphi'(x)$ убивает. Следовательно, на бесконечном промежуточке $[\sqrt[4]{a}, \infty[$ выполняется условие (5), и сходимость iterационного процесса (6) обеспечена.
Из формулы (6) вытекает, что извлечение кубического корня свойится к умножению полученного результата на константу $a$ и последующему двукратному извлечению квадратного корня, а следовательно, представляется собой цепочный вычислительный процесс. Условия для упрощения записи алгоритмов клавишу очистки индикаторного регистра обозначают значком $C$, а цифровые и операционные клавиши — соответствующими цифрами и знаками математических операций без рамок. Символ ind($A$) будет означать, что на индикаторе высвечивается число $A$. Тогда алгоритм извлечения кубического корня на «Электронке БЗ-14M» запишется так:

$$x_0 \times a = \sqrt[4]{x} \times a = \sqrt[4]{x} \times a = \sqrt[4]{x} \dots$$
… ind($\sqrt[4]{a}$),

где $x_0$ — начальное приближение. Графические iterационный процесс показан на рисунке 4.

Если требуется вычислить корень пятой степени, обе части уравнения $x^5 = a$ разделим на $x$, а затем извлечем корень четвертой степени, после чего получим рекуррентную зависимость
$$x_{n+1} = \sqrt[4]{a/x_n}, n=0, 1, 2, \dots$$
Принимая $x_0=1$, запишем алгоритм извлечения корня пятой степени на «Электронке БЗ-14M»:

$$a\sqrt[4]{-1/x} \times a = \sqrt[4]{-1/x} \times a = \sqrt[4]{-1/x} \dots$$
… ind($\sqrt[4]{a}$),

Графические iterационный процесс показан на рисунке 5.

Очевидно, таким же путем можно извлечать корни степей $2^k(2^m-1), 2^k(2^m+1)$, где $k=0, 1, 2, \dots, m=2, 3, 4, \dots$.

Остается сказать несколько слов о выборе начального приближения. При извлечении корней во всех рассмотренных случаях за начальное приближение можно быть $x_0=1$ или вообще любоче число $x_0 \in [1, a]$. Сходимость iterационного процесса (3) от этого не нарушится.

Решение уравнения
Прием, который мы воспользовались при извлечении корня пятой степени

Рис. 4.
Рис. 5.

17

(деление обих частей равенства на неизвестную $x$ с последующим решением уравнения в квадратных радиках), можно применить для вычисления положительных корней неокотorbих алгебраических уравнений высших степеней.

Как это делается, показем на примере. Пусть требуется вычислить положительный корень уравнения
$$x^5 - 10x^3 + 21x - 3 = 0.$$ (7)

Разделив левую часть уравнения на $x$ и обозначив $g(x) = 21 - 3/x$, получим биквадратное уравнение $x^4 - 10x^2 + g(x) = 0$, решая которое, найдем $x = \sqrt{5 \pm \sqrt{\frac{3}{x}} + 4}$.

Выберем рабочую формулу:
$$x_{n+1} = \sqrt{5 + \sqrt{\frac{3}{x_n}} + 4}, \quad n = 0, 1, 2, \dots$$

Вычисления ведем на «Электронке БЗ-14М». Начиная с $x_0 = 1$, получим следующее ряд последовательных приближений:
$$x_0 = 1, \quad x_3 = 2,694692,$$
$$x_1 = 2,765095, \quad x_4 = 2,694672,$$
$$x_2 = 2,693507, \quad x_5 = 2,694672.$$

Сравнивая приближения $x_4$ и $x_5$, видим, что равенство (4) выполняется с точностью до $10^{-6}$. Следовательно, искомым значением корня будет $x = 2,694672$ с той же точностью. Впрочем, это еще надо проверить!

Аналогичным способом можно находить корни других алгебраических уравнений. Некоторые из них здесь запишем в общем виде:

1. $x^{2m+1} - ax \pm d = 0,$
2. $x^{2m+1} - 2ax^{2m} \pm bx \pm d = 0,$
3. $x^{2m+1} - 2ax^{2m+1} \pm bx \pm d = 0,$
   $a > 0, \quad m = 0, \quad 1, \quad 2, \dots$

Описанный способ решения уравнения удобен в том отношении, что, как и в случае извлечения корней, за начальное приближение можно быть $x_0 = 1$.

Упражнения

1. Докажите, что решение уравнения (7) нами найдено верно.
2. Последовательность $(x_n)$ задана рекуррентно: $x_{n+1} = \sqrt[4]{ax_n}, \quad x_0 = 1$. Найдите формулу для $x_n$ и докажите, что $\lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{a}$.
3. Докажите, что $\sqrt[3]{a} = \sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[2]{a} \cdot \dots \cdot \sqrt[2]{a} \cdot \dots$ при $a > 0$.
4. Придумайте интерационный процесс для извлечения кубического корня, который бы:
   a) сходился быстрее, чем (6),
   b) сходился медленнее, чем (6),
   b) был расходящимся.
5. Найдите рекуррентные формулы для извлечения корней a) 11-й степени; 6) 13-й степени.
6. Напшите алгоритм извлечения корня 6-й степени на «Электронке БЗ-14М».
7. По заданному алгоритму найдите $x$:
   $$x_0 \times a \sqrt[]{-} = \sqrt[]{-} \sqrt[]{-} \times a \sqrt[]{-} = \sqrt[]{-} \sqrt[]{-} \dots \dots \text{ind}(x).$$
8. С точностью до $10^{-6}$ найдите корни из следующих чисел: a) $\sqrt[3]{10}, \quad 6)$ $\sqrt[3]{756}, \quad b)$ $\sqrt[5]{23}, \quad r)$ $\sqrt[7]{653}, \quad d)$ $\sqrt[13]{7895}, \quad e)$ $\sqrt[17]{1256}, \quad j)$ $\sqrt[17]{3224}$.
9. С точностью до $10^{-6}$ вычислите содержащие в промежуточке [1, $\infty$] корни следующих уравнений: a) $5x^2 - 296x + 453 = 0, \quad 6)$ $x^3 - 71x - 11 = 0, \quad b)$ $x^3 - 220x + 17 = 0, \quad r)$ $x^4 - 6x - 109 = 0, \quad d)$ $x^4 + 3x - 15 = 0, \quad e)$ $x^5 - 4x - 2 = 0, \quad j)$ $x^3 - 24x^2 + 92x - 5 = 0, \quad 3)$ $x^4 - 12x^2 + 5x - 25 = 0, \quad i)$ $x^4 - 18x^2 + 7x + 13 = 0, \quad k)$ $x^5 - 102x^3 + 487x + 50 = 0.$

Поправки
(см. «Квант» № 7)

На с. 17 в условиях задач 7 и 8 после знака $\Leftrightarrow$ должна стоять буква $n$.

На с. 38 в первом абзаце следует читать: и относительно $O:I_0 = (a + b + c)R^2 = 2pR^2$.

На с. 39 неправильно указаны инициалы одного из авторов задач — следует читать А. В. Бялко.

На с. 44 во второй колонке дробь $1/n$ нужно заменить на $1/(2n)$, величины $S_{n-1}$ — на $S_{n-1}/2$, а координату $x_1 = 1$ — на $x_1 = 1/2$. На рисунках 1 и 2 кирпичей должны лежать так, чтобы расстояния между краями соседних кирпичей, считая сверху, составляли последовательность $1/2, 1/4, 1/6, \dots, 1/(2(n-1))$ (для стопки из $n$ кирпичей), соответствующие изменению нужного в первую колонку. В третьей колонке $1/(2p)$ надо заменить на $(1/2)^p$.

На с. 48 формула в задаче 10 должна выглядеть так:
4 | $MN|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 - |AC|^2 - |BD|^2$.
(см. «Квант» № 8)

В решения задачи Ф874 (с. 52) допущена неточность: при повороте автоматияускорение ему сообщает слар трения, действующая и на передние, и на задние колеса и равная $\mu m g$ (а не $\mu m g/2$). Поз忘у $v_M = \sqrt{\mu m g}$, $v \leq v_M \approx 60$ км/ч.

18

Прицип относительно
относительной

Какидат физико-математических наук
А. А. ДОЗОРОВ

В природной электричеке, глядя в окно на только что тронувшийся поезд, пятлетний мальчик спросил:
— Мама, это кто поехал, мы или тот поезд?
— Поезд,— ответила мама.
— А почему мне кажется, что это мы поехали?

Мама как-то ответила, не обратив внимание на то, что ее сын формулировал один из фундаментальных вопросов физики.

Одиним из первых аналогичный вопрос формулировал и дал на него ответ великий италянский ученый Галилео Галилей. Случилось это в 1636 году, то есть примерно 350 лет тому назад. Вот рассуждение Галилея по поводу так называемого принципа относительной, изложенные им в книге «Диалог о двух главнейших системах мира — полемеевой и коперниковой»:

«Уедините с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь муками, бабочки и другими подобычими мелкими летающими насекомыми; пусть будет у вас там также большой сосуд с водой и плавающим в нем маленькими рыбками; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; рыбы, как вы увидите, будут плавать безразлично во всех направлениях; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одному сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же; и если вы будете прыгать сразу двумя ногами, то сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом направлении. Приложно наблюдайте все это, хотя у вас не возникнет никакого сомнения в том, что показать стоп неоднократно, все должно присходить именно так. Заставьте теперь корабль дивятся с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни маленьшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно… И причина согласованности всех этих явлений заключается в том, что движение корабля обще всем нахождения на нем предметам, так же, как и воздуху».

Исак Ньюотон в книге «Математические науки натуральной физиофии»,ышедший в 1687 году, так формулировал принцип относительной: «Относительные движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо пространстве, одинаковы, покoitется ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно безвращения».

В современной формулировке принцип относительной Галилея обычно звучит так: законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсутства.

Этот принцип очень долго не подвергался какому-либо перемотру. Лишь в 1905 году в своих знаменительных работах по специальной теории относительной Альберт Эйнштейн обобщил механический принцип относительной, расположенный его на все физические явления: «Законы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависит от того, к которой из двух координатных систем, движущся равномерно и прямолинейно относительно друг друга, относены эти изменения состояния».

Таким образом, никакие опыты, проводимые в какой-либо инерциальной системе, не позволяют сказать, движется ли данная система прямолинейно и равномерно или покoitется.

Представьте себе, что неподвижная пушка стрелляет точно вверх. Снаряд, естественно, должен возвращаться точно

19

в дулю этой пушки.*) В этом еще нет никакого фокуса, секрет заключен лишь в тренировке артиллеристов. Если же теперь заставить пушки двигаться равномерно и прямолинейно и стрелять с ходу без изменения наодки ордия, то, согласно принципу относительной снаряда снова должны возвратиться в дулю пушки. Это уже гораздо интереснее.

При некоторых условиях вы можете самостоятельно изготовить соответствующее установку, схематически изображенную на рисунке, и продемонстрировать ее работу на уроке физики. Самое сложное — это пушка. Пружина пушки при помощи ручек 1 сжимается и фиксируется в этом положении спусковым устройством 2. Снаряд (металлический шарик) укладывается на чашечку, скрепленную с ружиной. При стрелбе с ходу спусковое устройство сравпадает при наезде на клин 3, укрепленный на доске 4, по которой запускается пушка. Настройка ордия (прицеливание) осуществляется при помощи отвеса 5 и трех винтов 6 (для большей точности наодки платформу лучше изготовить из двух пластин 7 и 8). При точной наводке ответ должен совместиться с меткой 9.

Порядок подготовки и проведения опыта следующего. При помощи двух винтов 6 дорога-доска 4 установлена на столе так, чтобы пушка скатывалась по ней примерно с постоянным скоростью (так что движущуюся система можно считать инерционной). Подложив под колеса пушки, например, линейку, при помощи трех винтов 6 производят наодку пушки. Затем пушка заряжается, и выстрел производится с места (для этого другой линейкой заставляют сравовательное устройство 2). Шарик вылетает и вновь возврашается в дулю пушки. Потом линейка-стопор убирается, пушка набирает скорость, примененное дороги наезжает спусковым устройством на клин 3, шарик вылетает вверх, одновременно движясь вдоль дороги с той же скоростью что и пушка, и под апплисменты зрителей вновь попадает в дулю ордия. Опыт действительного достаточно эффективен.

В заключение — несколько практических советов. Пушки лучше делать массивной, чтобы при наезде на клин и при выстреле наодка не сбивались. Достаточный диаметр дула — около 3 см. Для осуществления на воображение зрителей шарик должен вылетать примерно на 1,5—2 м, за это время платформа с пушкой должна пройти приблизительно 0,5 м. Доску-дорогу нужно делать жесткой, чтобы она не проигналась под тяжести ордия, а два винта 6, укрепленные на доске, лучшие заострить, тогда сама доска-дорoga будет устойчивой. Для того чтобы опит можно было повторить несколько раз, в конце дороги пушки надо или плавно остановить рукой или сделать на конце дороги мягкий барер.

*) Здесь предполагается, что Земля — инерционная система отчета, хотя на самом деле любая реальная система отчета может считаться инерционной лишь с тем или иным приближением.

20

Экспонента

Член-корреспондент АПН СССР
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ

В любом школьном учебнике изложение темы о показательной функции и числе e содержит недоказанные утверждения, кратко изложенные места. Объясняется это сложностью темы. Здесь мы рассакем о другом подходе к этим понятиям, посящием их смысла и связь с дифференциальными уравнениями. При таком способе изложения также имеются недоказанные утверждения (обцая теорема существительных и единственности для дифференциальных уравнений и свойство непрерывной функции приимать промежуточные значения). Однако эти недоказанные утверждения имеют простой наглядный смысл и принципальное значение для всей математики.

1. Задча о падении тела в сопротивляющей среде

На опускашегося парашотиста действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха (остальные возможности для дифференциальных уравнений и свойство непрерывной функции приимать промежуточные значения). Силу сопротивления воздуха можно считать пропорциональной скорости $v$, то есть равной по величины $qv$ (козффициент $q$ зависит, в основном, от диаметра и формы парашота). Таким образом,

$$ma = mg - qv,$$

где $a = v'$ — величины ускорения (знак минус перед $qv$ связыван с тем, что сила сопротивления воздуха действует противоположно направлению падения; рис. 1). Разделив на $m$, получаем

$$v' = -\frac{q}{m} v + g.$$ (1)

Соответствие (1) представляет собой линейное дифференциальное уравнение: произvodная неизвестной функции $v = v(t)$ (которую требуется определить из этого уравнения) выражается в виде многочлена первой степени от этой неизвестной функции. Обозначая неизвестную функцию через $y = y(x)$, а коэффициенты через $a$ и $b$, запишем дифференциальное уравнение в виде

$$y' = ay + b.$$ (2)

Таким дифференциальным уравнением описывается не только падение тела в сопротивляющей среде, но и многогрегное физическое процессы.

2. Теорема существования и единственности

Теорема 1. Каковы бы ни были действительные числа $x_0, y_0$, существует и притом только одна функция $y = y(x)$, являющаяся решение уравнения (2) и удовлетворяющая соответствующую уравнению $y(x_0) = y_0$. Это решение определяно на всей числовой прямой.

Соотношение $y(x_0) = y_0$ называется наальным условием. Таким образом, теорема 1 означает, что уравнение (2) при любом заданном наальном условии имеет решение (и притом единственное).

Приведем геометрическое посяне этой теоремы, причем рассмотрим частный случай, когда $a = 1$, $b = 2$, то есть возьмем уравнение

$$y' = y + 2.$$ (3)

В точках, где $y = 0$ (на оси $x$), мы имеем, согласно (3), $y' = 2$, то есть график исходной функции $y(x)$ должен иметь в этих точках угловой коэффициент касательной, равный 2. Наметим коротками черточками, проведенными в точках оси абсцисс, направление касательной (рис. 2). Далее, при $y = 1$ имеем, согласно (3), $y' = 3$, то есть в точках прямой $y = 1$ график исходной функции должен иметь угловой коэффициент касательной, равный 3; наметим в точках прямой $y = 1$ коротками черточками направление касательной. Мы можем затем наметить черточки и на других прямых, параллельных оси абсцисс (рис. 2). Теперь становится понятным поведение «силовых линей» этого «поля направлений». В каждой точке «силовая линия» касается соответствующей черточки, то есть ее касательная имеет угловой коэффициент $y'$, который, в силу построения черточки, равен $y + 2$. Это означает, что «силовая линия» является графиком функции, удовлетворяющей уравнению (3). Из чертежа понятно, что через каждую точку $(x_0; y_0)$ проходит «силовая линия» и притом только одна. Это и дает наглядное подтверждение справедливости теоремы 1. Ее доказательство

21

3. Экспонента

Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению $y'=y$ и начальное условию $y(0)=1$, называется экспонентой и обозначается символьом expr.

Заметим, что уравнение $y'=y$ является частным случайным уравнения (2); поэтому его решение с начальным условием $y(0)=1$, в силу теоремы 1, существует и определяено однозначно, причем область определения этого решения (то есть экспоненты) является всячилась прямая.

Непосредственно из определения следует, что экспонента — дифференцируемая функция и ее производная совпадает с этой же функцией (поскольку она является решением уравнения $y'=y$):

$$\text{exp } x' = \text{exp } x.$$ (4)

Теорема 2. Значения функции expr положительных, то есть expr $>0$, для любого действительного $x$.

Доказательство. Допустим, что expr $x_0=0$ при некотором $x_0$. Тогда функция $y=\text{exp } x$ удовлетворяет уравнению $y'=y$ и условию $y(x_0)=0$. Функция $y\equiv 0$ также удовлетворяет уравнению $y'=y$ и условию $y(x_0)=0$. При этом функция $y=\text{exp } x$ и $y\equiv 0$ различны (например, expr $0=1$, то есть expr $0\neq 0$). Но тогда получается, что уравнение $y'=y$ имеет при начальном условии $y(x_0)=0$ два различных решения, что противоречит теореме 1. Итак, равенство expr $x=0$ не может иметь места ни при каком $x$.

Допустим теперь, что при некотором $x_1$ имеем expr $x_1<0$. Функция expr дифференцируема и потому непрерывна; следовательно, между двумя точками, в которых она принимает значения различных знаков ($\text{exp } x_1<0$, expr $0=1$), эта функция должна обращаться в нуль (рис. 3). Но это, как мы видели, невозможно.

Итак, экспонента не может принимать ни нульового значения, ни отрицательных значений; значит, expr $x>0$ при любом $x\in R$.

Следствие. Экспонента — возрастоящая функция.

22

Действительно, производная функция exp (то есть сама эта функция) принимает, по теореме 2, лишь положительные значения, и потому функция exp — возрастоящая.

Теорема 3. Для любых p, q ∈ R имеем

$$\exp(p+q) = \exp p \cdot \exp q.$$ (5)

Доказательство. Рассмотрим функцию y = exp(p+x). Имеем

$$y' = (\exp(p+x))' = \exp(p+x) = y$$

(cм. (4)), то есть эта функция удовлетворяет уравнению y’=y. При этом y(0) = exp p.

Рассмотрим теперь функцию y = exp p · exp x. Имеем

$$y' = \exp p \cdot (\exp x)' = \exp p \cdot \exp x = y$$

то есть эта функция также удовлетворяет уравнению y’=y. При этом y(0) = exp p. По теореме 1, рассматриваемые функции совпадают:

$$\exp(p+x) = \exp p \cdot \exp x.$$

В частности, при x=q получаем (5).

4. Число e

Значение функции exp. при x=1 обозначается буквой e, то есть e=exp 1. Чтобы найти приближенное значение числа e, можно поступить следующим образом. Разделим отрезок [0; 1] на n равных частей (каждая из них имеет длину Δx=1/n). Через точку A0 (0; 1) проведем «черточку», соответствующую уравнению y’=y; она имеет угловой коэффициент k1=y, то есть k1=1. Эту «черточку» будем рассматривать над отрезком [0; 1/n]. Правый ее коенц A1 имеет координаты x=1/n, y=1+k1Δx=1+1·1/n=1+1/n (рис. 4).

Через A1 проведем новую «черточку», также соответствующую уравнению y’=y; ее угловой коэффициент равен y (ординате точки A1), то есть равен k2=1+1/n. Эту «черточку» будем рассматривать над [1/n; 2/n]. Правый ее коенц A2 имеет координаты

$$x = \frac{2}{n}, y = \left(1 + \frac{1}{n}\right) + k_2 \Delta x =$$

$$= \left(1 + \frac{1}{n}\right) + \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$$

Через A2 снова проведем «черточку», соответствующую уравнению y’=y. Ее угловой коэффициент k3 равен ordinate точки A2, то есть k3=(1+1/n)^2, а правый коенц A3 имеет координаты x=3/n, y=(1+1/n)^2+k3Δx = (1+1/n)^3.

Продолжая, мы получим ломанную A0A1A2…An — ломанную Эйлера для уравнения y’=y (на рис. 4 для удобства взятые разные масштабы на осях); точка An имеет координаты x=1, y=(1+1/n)^n. Эта ломанная дает приближенное представление о решении уравнения y’=y, проходящем через точку A0, то есть о функции y=exp x (красный график на рисунке 4); в частности, точка An близко расположена к точке графика y=exp x, имеющей абсциссу x=1, то есть к точке (1; e). Иначе говоря, (1+1/n)^n≈e. Чем больше n, тем более точным является это приближенное равенство, и потому

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e.$$ (6)

Например, взяв n=1 000 000, то есть выполнив действие 1,0000011000000 (это нетрудно сделать с помощью микрокалькулятора), находим e=2,7182818…

5. Обозначение e^x

Лемма. Для любого рационального x справедливо равенство

$$\exp x = e^x.$$ (7)

Писс. 4.

23

Доказательство. Последовательно применяя формулу (5), находим
$$\exp 2x = \exp (x+x) = \exp x \cdot \exp x = (\exp x)^2,$$
$$\exp 3x = \exp (2x+x) = \exp 2x \cdot \exp x = (\exp x)^2 \cdot \exp x = (\exp x)^3$$
и т. д. Итак, для натурального $n$ имеем
$$\exp nx = (\exp x)^n,$$
откуда $\exp x = (\exp nx)^{1/n}$. Поляга здесь $x=m/n$ (где $m$ — натуральное), получаем
$$\exp \frac{m}{n} = (\exp m)^{1/n} = (\exp m \cdot 1)^{1/n} = \left((\exp 1)^m\right)^{1/n} = (\exp 1)^{m/n} = e^{m/n}$$
Это означает, что для положительного рационального числа $x=m/n$ доказываемая lemma справедлива. Легко проверить, что она остается справедливой и для отрицательных рациональных чисел (а также для $x=0$).
Условия считать по определению, что соответствие (7) справедливо для любого действительного числа $x$. Иначе говоря, мы условия считать $e^x$ просто другой формул записи для $\exp x$ (причем для рациональных $x$ эта форма записи согласно в силу доказанной lemмы с понятным стелени с рациональным показателем). При использовании этого обозначения формула (5) прибретает привчный вид $e^{p+q} = e^p e^q$. Заметим, что в математической литературе используется обе формулы записи экспоненты: $y=e^x$ и $y=\exp x$.

6. Решение дифференциальных уравнений

При записи решения дифференциальных уравнений чаще применяют обозначение $e^x$, а не $\exp x$. Этот традиции мы и будем придерживаться.

Теорема 4. При $a \neq 0$ решение дифференциального уравнения (2) с начальным условиям $y(0)=y_0$ имеет вид
$$y = -\frac{b}{a} + ce^{ax},$$
(8)
$$e\delta e = b/a + y_0.$$
Доказательство. Так как (согласно теореме 1) исключение единственного, то достаточно лишь проверить, что функция (8) (при указанном значении $c$) удовлетворяет уравнению (2) и требуему начальному условияю. Имеем
$$y' = (ce^{ax})' = c(e^{ax})' = cae^{ax} = a(ce^{ax}) = a(y + \frac{b}{a}) = ay + b,$$
то есть функция (8), действительно, удовлетворяет уравнению (2) (при любом значении постоянной $c$). Далее,
$$y(0) = -\frac{b}{a} + ce^0 = -\frac{b}{a} + c = -\frac{b}{a} + \left(\frac{b}{a} + y_0\right) = y_0.$$
значит, при указанном значении $c$ функция $y$ удовлетворяет и требуемому начальному условияю.

Доказанную теорему обещено применяют следующим образом. Слагаемое $y = -b/a$ легко запомнить: оно получается, если $y'$ приравнять нулю; далее, коэффициент $a$ при неизвестной функции в (2) становится коэффициентом при аргументе в показатель экспоненты. Что же касается常态ы $c$, то ее значение (указанное в теореме 4) обычно не запомниют, а в каждом конкретном примере находится $c$ с помощью начальных условий.

Пример 1. Масса $m(t)$ радиоактивного вещества, имеющегося в куске породы в момент $t$, с течение времени убывает, то есть производаная $m'(t)$ (скорость распада) отрицательна. При необходимости количество радиоактивного вещества скорость распада пропорциональна массе радиоактивного вещества:
$$m' = -km$$
(где коэффициент $k > 0$ зависит от вида радиоактивного вещества). Найти закон изменения массы $m(t)$ с течение времени, если в начальной момент $t=0$ масса имеющегося радиоактивного вещества была равна $m_0$.

Решение. По теореме 4 имеем $m(t) = ce^{-kt}$. Подставляя $t=0$, получаем $m_0 = ce^0$, откуда $c = m_0$. Окончательное имеем $m(t) = m_0e^{-kt}$.

Пример 2. Через какой промежуток времени $T$ количество радиоактивного вещества уменьшитсяровно вдвое?

Решение. Надо найти $T$ из уравнения $m_0/2 = m_0e^{-kT}$, то есть $e^{-kT} = 1/2$, или $e^{kT} = 2$. Это соответствие равновесью следующему: $\ln 2 = kT$, откуда $T = (\ln 2)/k \approx 0.7/k$.

Значение $T = (\ln 2)/k$ называется перiodом полураспада. Он зависит от $k$ (то есть радиоактивного вещества); например, для радия $T \approx 1600$ лет.

24

Пример 3. Найти закон падения тела в сопротивляющей среде, зная, что при $t=0$ скорость падения была равна $v_0$.

Решение. Из уравнения (1) находим по теореме 4:

$$v(t) = \frac{mg}{q} + ce^{-\frac{q}{m}t}.$$

Подставляя $t=0$, получаем $v_0=mg/q+ce^0$, откуда $c=v_0-mg/q$. Таким образом, окончательное имеем

$$v(t) = \frac{mg}{q} + \left(v_0 - \frac{mg}{q}\right)e^{-\frac{q}{m}t}.$$

Так как $e^{-\frac{q}{m}t} \to 0$ при $t \to \infty$, то $v(t) \to mg/q$, стало бы, скорость падения постепенно установливается. Например, парашютист, падающий в затяжном прыжке с большой скоростью, после раскрытия парашюта быстро прибретает примерно постоянную скорость $mg/q$ (зависшую от массы парашютиса и параметров парашюта). Это позволяет расчитать парашют так, чтобы приземление было безопасным.

Задание

1. Докажите, что для любого $x \neq 0$ справедливо уравнение $x > x+1$.
2. Используя неравенство $\exp \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{n}$ (см. задач 1), докажите, что $e > (1+1/n)^n$.
3. Используя неравенство $\exp \left(-\frac{1}{n+1}\right) > 1 - \frac{1}{n+1}$ (см. задач 1), докажите, что $e > (1+1/n)^n$, то есть $e < (1+1/n)^{n+1}$.
4. С помощью неравенств, полученных в задач 2 и 3, докажите справедливо равенства (6).
5. Докажите, что решение уравнения (2) с начальным условием $y(x_0)=y_0$ имеет вид (8), где $c=(b/a+y_0)e^{-ax_0}$.
6. В момент $t=t_0$ масса имевшегося в куске породы радиоактивного вещества была равна $m_0$, а в момент $t=t_1$ она оказалась равной $m_1$. Определите период полураспада.
7. При распаде одного грама радиоактивного вещества образуется $d$ граммов продукта распада. Перiod полураспада $T$ этого радиоактивного вещества известен. Определите возраст куска породы, если в нем имеется $p$ граммов расматриваемого радиоактивного вещества и $q$ граммов продукта его распада.
8. В результате теплобмена со средой нагретое тело постепенно охлаждается, то есть его температура $t(\tau)$ уменьшается со временем $\tau$. Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость охлаждения пропорциональна разности температуры тела и среды: $t'(\tau) = -k(t(\tau) - t_{cp})$. Считая температур среды $t_{cp}$ постоянной, выведите формулу закона охлаждения.
9. Сила тока $I(t)$, протекающего в $RL$-целии (рис. 5), изменяется по правли $LI' + RI = E$, где $L$ — индуктивность катушки, $R$ — сопротивление резистора. Определите закон $I(t)$ изменения тока, если в момент замыкания цепи ($t=0$) ток был нулеевым.
10. В $RL$-контуре (рис. 6) в момент $t=0$ протекал ток $I_0$. Определите значение протекающего в цепи тока при $t>0$.
11. Наряжение $u(t)$ (разность потенциаль на обкладках конденсатора) изменяется в $RC$-целии (рис. 7) по правли $Cu' + u/R=0$. Определите характеристика изменения напряжения, если в момент $t=0$narяжение было равно $u_0$.
12. Рассмотрев ломанную Эйлера для уравнения $y'=y$ с начальным условием $y(0)=1$, показите, что при фиксированном $x>0$ последовательность $(1+x/n)^n$ возвращается и ограничена.
13. Пользовясь теоремой Вейерштрасса об ограниченной возрастанию последовательности и задачей 12, установите существование предела $(1+x/n)^n$ при фиксированном $x \geq 0$, а затем и при $x<0$.
    14*. Докажите существование экспоненты. Указание. Положив $y(x)=\lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$ (см. задач 13), вычислите произведение $y'(x)$ и установленное, что $y'(x)=\lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$; выведите отicioда, что $y(x)$ является решением уравнения $y'=y$ с начальным условием $y(0)=1$. (При вычислении $y'(x)$ воспользоваться формулой биома Ньютона.)
    15*. Докажите единственное экспоненты. Указание. Предположите противное (существование двух разных экспонент) и рассмотрите их разность.

25

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Об одном стихотворении А. С. Пушкин» предназначана восемиклассиком, «Масса и количество веса, или Об одной «ошибке» Ньютона» — девятиклассиком, «Постоянный и переменный электrical ток» — десятиклассиком. Материалы подготовил И. К. Белкин.

Об одном стихотворении А. С. Пушкина

Среди позтических сокровищ, оставленных нашим великим национальным позтом А. С. Пушкиным, есть стихотворение, прямо относится к физике, точнее — к механике. Называется это стихотворение «Движение». Оно небольшее по объему — в нем всего 8 строк, но очень богатое по содержанию.

В первых четырех строках читаем:

Движения нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал предметным ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловать.

Здесь позт рассказыает о легендарном споре двух древнегреческих философов. «Мудрец брадатый» — это Зенон Элейский; его противник в споре — Диоген Синопский. Первая утверждал, что движение невозмножно; второй стал молча «пред ним ходить», как бы наглядно показывает несуразность такого утверждения.

Но дальше А. С. Пушкин пишет:

Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день предмет солнце ходит, Одно же прав upрямый Галилей.

Этими словами позт показывает, что доказательство Диогена вовсе не такое безупречное, как казалось тем, кто хвалил «ответ замысловать». В самом деле, ведь солнце ежедневно делает то же, что делал Диоген, маршируя перед Зеноном: оно «пред нами ходит». В действительности же, как всегда за Коперником утверждал «упрямый Галилей», Солнце поконтся, а движется (вращается вокруг своего оси) Земля. Но никакого другого доказательства Диоген дать не мог, поэтому он и «смолчал».

Сейчас неправоту утверждения Зенона можно доказать, не прибегая к методу Диогена. Попробуем это сделать. Прежде всего, постараемся представить себе, как Зенон пришел к выводу, очень несуразному, что «движенья нет».

Зенон, по-видимому, рассуждал следующим образом. Тело, дивяясь по некоторой траектории, в любой момент времени может быть здесь за другим состоянии покоя. В каждом такой состояния покоя перемещение тела, естественно, равно нулю. Складывая это непрерывное множество нуля, Зенон, конечно, получал в итоге нуль: «Движения нет»!

Так вот, ошибка Зенона как раз и состоит в том, что скорость тела в каждой точке траектории он считал равной нулю. На самом деле в каждый момент времени движущее тело обладает скоростью — так называемой мгновенной скоростью v («Физика 8», § 11). А раз оно обладает скоростью, то за любой сколь годно малый промежуток времени Δt тела совершает малое перемещение Δs=vΔt. Число таких малых перемещений, в пределе — бесконечного малых, за все время движения t бесконечного велико. Но сумма бесконечного большого числа бесконечного малых

27

Дело в том, что во времяна Ньютона слово «плотность» не могло ознакомиться до же, что оно ознакомится теперь. Ведь понятие массы было введено в физику именно Ньютоном. До Ньютона не было поняття массы, не могло познакомиться и поняття плотности как массы единицы объема. С чем же связываюсь слово «плотность» в те времена?

Ньютон считал, что все тела состоит из совершенного одинаковых частиц, но в различных веществ по-разному движущся (об этом мы узнали из другой книги Ньютона — «Оптика»). Различие в движениях частиц и определяет различие всех свойств веществ и тела. Слово же «плотность» тогда имело буквальный смысл — оно показывает, насколько плотно друг к другу прилегают частицы, то есть насколько плотно они «упакованы». В той же «Оптике» Ньютон упоминает, например, что вода в 19 разлегче, а следовательно, в 19 раз разреженное золота, что в воде много большие пустот между частицами, чем в золоте. При таком понимании плотность просто означает число частиц в единице объема, а умноженная на объем тела она дает общее число части в тела. Эту-то величины Ньютон и называет количество материалов (вещества). Поскольку частицы во всех веществ и телах одни и те же и массы всех части в любом веществе одинаковы, масса тела определяется только числом части в нем, то есть количество вещества в тела. Если массы двух тел одинаковы, то и количество вещества в них тоже одинаковы.

В нашей величины «количество вещества» имеет в существии тот же смысл, что и у Ньютона. Это число части, содержащихся в теле; тех частиц, из которых тела состоит. Для бруска железа — это число atoms железа, для воды в сосуда — число молекул воды. Естественный единственный измерения количества вещества была бы 1 частица. Но тогда число, выражающее эту величины, было бы невообразимо большим. Условились за единшую количество вещества принять такое его количество, в котором содержится только частиц (atomов, молекул), сколько atoms содержится в 0,012 кг изотопа углерода с atomной массой 12, то есть 6,02·10²³ частиц (число Авогадро Nₐ). Называется эта единlua molle.

Хотя в молle любого вещества содержится одно и то же число частиц, масса моля разных веществ различна. Масса M моля (молярная масса) равна 10⁻³·M_r кг, где M_r — относительная молекулярная масса («Физика 9», § 2). Моль железа, например, имеет массу 0,056 кг, моль алюминия — 0,027 кг и т. д. Таким образом, 5 кг железа — это приблизительно 90 молей железа, а 5 кг алюминия — около 185 молей. Массы одинаковы, а количество вещества различны.

Хозяйку, купившую в магазина поликлограмма сыра, интересует, конечно, не масса этого куска, а количество сыра в нем. Оdnako острой необходимости в замене килограммов молями все же нет, потому что масса и количество вещества (для данного вещества) пропорциональны друг другу, так что в 0,5 кг сыра вдвое меньше, чем в 1 кг. А измерять число килограммов куда проще, чем число молей.

В физике, однako, масса и количество вещества далеко не всегда взаимозаменены. Приведем один пример.

И опыт и теория показывают, что произведение давления p идеального газа на его объем V пропорционально температуре T газа и его массе m:

pV~mT.

Козеффициент пропорциональности в этом соответствии для различных газов различен. Но если pV пропорционально m, то оно пропорционально и числу части в веществе:

pV~NT.

В этом соответствии козеффициент пропорциональности оказывается одинаковым для всех газов:

pV=kNT, (1)

где k=1,38·10⁻²³ Дж/K — постоянная Больцмана. Количество вещества v (в молях) связано с числом части N простым соотношением: v=N/Nₐ. Поэтому можно написать

pV~vT.

Козеффициент пропорциональности будет теперь другим, но тоже одинаковым для всех газов:

pV=RvT. (2)

Здесь R=8,31 Дж/(моль·К) — уиверсальная газовая постоянная. Это уравнение равно как и уравнение (1), представляется собой уравнение постоянная идеального газа.

28

Постоянный и переменный электрический ток

Долгое время единственным источником электрического тока служил галванический элемент, появившийся в самом начале XIX века. В цепи, присоедининой к такому источнику, течение постоянной электрической ток.

Успех в изучении электромагнитизма привели к изобретению генератора переменного тока, и с тех пор именно переменный ток стал основой современной электрознергетики.

Почему? Чем переменный ток «лучше» постоянного?

Переменный ток, как и постоянный, — это упорядоченное движение заряженных частц, в частности в металлах — электровов. Но в цепи переменного тока электроны по много раз изменяют направление своего упорядоченного движения. Малая масса электровов позволяет им «успевать» изменять направление движения не только 100 раз в секунду, как это происходит в промышленной сети, но и десяти миллионов раз в секунду, как, например, в антеннах радиостанций.

Чтоы в электрической цепи протекал переменный ток, цель должна быть присоединина к источнику переменной ЭДС. Она выстрает здесь в роли перiodического вынуждаюшей силы, и ток в цепи совершает вынужденные колбания, разумется, с частотой вынуждаюшей силы. Если ЭДС в источнике изменяется со временем по закону $e = \mathcal{E}_m \cos \omega t$ и источник включен в цель с активным сопротивлением $R$, то и ток изменяется по косинусным закону («Физика 10», § 17):

$$i = \frac{e}{R} = \frac{\mathcal{E}_m}{R} \cos \omega t = I_m \cos \omega t.$$

Здесь $\mathcal{E}_m$ и $I_m$ — амплитуды (максимальные значения) ЭДС и силы тока. Но свойства функции косинуса таковы, что в среднем за период колбаний сила тока равна нулю. Это, однако, не значит, что такой ток бесполезен и ни в чем себя не проявляет. Потому что хотя в среднем сила ток и равна нулю, не равен нулю квадрат силы ток. А мощность ток определяется именно квадратом силы ток. В любой момент времени мощность переменного тока в цепи с активным сопротивлением выражается равенством

$$p = i^2 R = I_m^2 R \cos^2 \omega t.$$

Среднее значение квадрата косинуса за период равно не нулю, а $1/2$, так что среднее значение мощности

$$\bar{p} = \bar{i}^2 R = \frac{1}{2} I_m^2 R = \left( \frac{I_m}{\sqrt{2}} \right)^2 R.$$

Величина $I = I_m / \sqrt{2}$ называется действуошим значением силы тока. В нашем случае мощность можно также выразить через напряжение на сопротивлении:

$$p = \frac{u^2}{R}, \bar{p} = \frac{\bar{u}^2}{R} = \frac{1}{2} \frac{U_m^2}{R} = \frac{U^2}{R},$$

где $U = U_m / \sqrt{2}$ — действуошем значение напряжения.

В этом состоянии одно из отрицательных свойств переменного тока. Ведь провода, по которым протекает ток, необходимо расчитывать на максимальное значение силы тока, а практические использует немногим более 2/3 этого значения. Есть и другие отрицательные следствия. Явление электромагнитной индекции приводит, например, к тому, что переменный ток в проводах распределяется не равномерно по всему сечению, а главным образом влизи поверхности. (Это явление называется скин-фектом, о нем в «Физике 10» не рассматривается. Характерно, что глубина пропикновения переменного тока зависит от многих факторов, в том числе и от частоты колбаний. Так, при частоте 50 Гц в медном проводнике эта глубина составляет ≈ 9 мм. С увеличением частоты глубина пропикновения тока уменьшается.) Благодар тому, что используется не все сечения проводов, их сопротивление реализует. Далее, переменный ток, как и ток постоянный, окружен магнитным полем, но полем переменным. А такое поле, согласно закону электромагнитной индекции, вызывает в соседних

29

проводах и в других проводящих материалов электрические токи, что приводит к бесполезной потребе энергии.

Все эти недостатки полностью отсутствуют у постоянного тока. Почему же все-tаки переменный ток практически безразделно господствует в технике и в быту?

Прежде всего, сам принцип действия электрических генераторов таков, что в них возникает именно переменная ЭДС («Физика 10», § 23). Но не в этом главное. С помощью нехитрого устройства можно тот же генератор сделать источником и постоянного тока. Главная причина «популярности» переменного тока связана с тем, что электрическую энергию приходит передавать из мест, где она производится (электростанции), к местам ее потребления и часто на большие расстояния. При этом часть передаваемой энергии неизбежно теряется в виде тепловах, по которым она передается в линиях электропередачи (ЛЭП). Чтобы потери были не сликом высокими, нужно, оказывается, использовать для передачи высокое напряжение.

Необходимость высокого напряжения видна из следующого простого расчета. Допустим, что электрическая мощность $P=66$ кВт передается от электростанции в город под напряжением 220 В (именно такое напряжение обычно используется потребителем). Пусть сопротивление ЛЭП равно 0,4 Ом. Тогда сила ток в ЛЭП составляет $I=66000 \text{ Вт}/220 \text{ В}=300 \text{ А}$, а выделившееся в линии количество теплоты — $Q=I^2R=(300 \text{ А})^20,4 \text{ Ом}=36000 \text{ Вт}$. Большое положение передаваемой мощности (54,5%) будет потеряно в виде тепла в ЛЭП! А теперь представим себе, что та же мощность по той же ЛЭП передается при напряжении 22000 В. Теперь ток в цепи будет равен $I=66000 \text{ Вт}/22000 \text{ В}=3 \text{ А}$, а выделившееся количество теплоты — $Q=(3 \text{ А})^20,4 \text{ Ом}=3,6 \text{ Вт}$. Потребность всего около 0,005 %! Вот почему электрическая энергия по ЛЭП всегда передается при очень высоком напряжении — 110,220,330,400,500 и даже 750 киловольт.

Но на klemmах генераторов электростанций напряжение значительное меньше — всего несколько тысяч волт. Значит, в начале линии электропередачи это напряжение нужно повышить, а перед распределением энергии среди потребителей — понизить так, чтобы потребитель получил ее при напряжении 220 волт. Такое повышение и понжение напряжения оказывается возможным только для переменного ток. Делается это с помощью устройства, действующего на основе явления электромагнитной индукции, — трансформаторов («Физика 10», § 24). Существование трансформаторов — пожалуй, единственная причина повышенного применения переменного ток в техническе.

Однако неодостатки переменного ток, которые были изложены выше, заставляют думать о том, нельзя ли все-tаки для передачи электрической энергии использовать постоянный ток, конечно, тоже высокого напряжения? Это сделать не просто. Действительно, сначала нужно переменное напряжение, после его повышения, преобразовать в постоянное (для этого служат выпрямители), а затем на другом конце ЛЭП — превращить переменное постоянное напряжение в переменное (это можно сделать с помощью устройства, называемых инверторами), чтобы напряжение можно было понизить до значения, нужно потребить. Однако такая ЛЭП постоянного ток на напряжение 400 кВ в СССР уже работает.

Сказанное в этой замечке нельзя полимать так, что постоянный ток — это «хороший» ток, а переменный — «плохой». И тот и другой — это явление природы, и их нельзя оценить словами «лучше», «хуже». Сказанное лишь означает, что для передачи энергии на большие расстояния предоптимное постоянный ток. И если пока все же преобразуется применение для этой цели переменного ток, это объясняется тем, что преобразование переменного ток в постоянный и обратно до сих пор еще представляется собой трудную задачу, которая, впрочем, успешно решается. Для техника в равной мере нужны и полезны оба тока. В некоторых случаях незаменим постоянный ток, например там, где используется электролиз. Но без переменных токов не было бы радосвязи, телевидения и т. д. Перефазируя известное детское стихотворение, можно сказать: токи всякие нужны!

30

Математика 8,9,10
Еще один примем самоконтролля

Публикуемая ниже заметка «Где ошибка?» предназначана восемиклассикам, «Еще один примем самоконтролля» — девятиклассикам и «Надо ли делать проверку?» — десятикласикам. Это деление в какой-то мере условно, так как каждая из этих заметок может быть полезной не только учащимся указанных классов.

Где ошибка?

Как известно, поворот является одним из движений плоскости. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру. Сейчас мы «показем», используя свойства движения, что при повороте треугольник переходит в неравный ему треугольник.

При повороте вершины треугольника скольяет по тем концентрическим окружности, общий центр которых совпадает с центром поворота, а расстояния между его вершинами сохраняется. Для того чтобы получить образ треугольника ABC при повороте на угол α вокруг точки O, построим концентрическое окружности с центром в точке O, на которых лежат точки A, B и C. Затем на окружности, содержащей точку A, построим точку A1 так, чтобы угол AOA1 был равен α. Наконец, на окружности, содержащих точки B и C, построим соответственно точки B1 и C1, также, что A1B1=AB и A1C1=AC

(см. рис.). На рисунке хорошо видно, что полученный нами треугольник A1B1C1 не равен треугольнику ABC (например, B1C1≠BC).

Где ошибка?

Н. И. Бовсуновский

Материал данной заметки дополняет статью В. Матизена (см. «Квант» № 10, 1980 г.).

Из собственного опыта знаю, что можно хорошего заполнить одну формулу и забыть ей подобную. Предположим, например, вы твордо помните, что sin (x+y)=sin x cos y+cos x sin y (1), но забыли, чему равен cos (x+y). В этом случае вам помогет следующий примем. Можно считать, что в равенстве (1) x — переменная величины, а y — фиксированное число. Дифференцируя это равенство (по x), получим (sin(x+y))′= (sin x)′cos y+(cos x)′×sin y, откуда cos (x+y)=cos x cos y−sin x sin y.

Итак, забытая формула восстановлена. Аналогично, из формулы

sin x cos y=1/2 (sin(x+y)+sin(x−y))

(2)

легко получить формулы: а) cos x cos y=1/2 (cos(x+y)+cos(x−y)) (достаточно продиференцировать равенство (2) по x, считая y постояным);

б) sin x sin y=1/2 (cos(x−y)−cos(x+y)) (достаточно продиференцировать (2) по y, считая x постояным:

−sin x sin y=1/2 (cos(x+y)−cos(x−y))

и сменить знак у обеих частей полученного равенства).

Приведем другой пример. Учащемуся предложили вывести формулу, выражающего sin 3α через sin α. Он представил 3α в виде α+2α и воспользовался формулой синуса суммы:

sin (α+2α)=sin α cos 2α+cos α sin 2α=sin α(1−2sin²α)+2sin α cos²α=3sin α−4sin³α.

В результате им была получена правильная формула:

sin 3α=3 sin α−4 sin³α.

После этого ему предложили получить аналогичную формулу для cos 3α. Без особого энтузизма он повторил преобразования:

cos 3α=cos (α+2α)=…=4 cos³α−3 cos α.

31

После этого его спросили, нет ли другого способа для получения этой формулы. Немного подумав, он записал cos 3α=±√1−sin² 3α=…, но быстро понял, что ничего хорошего на этом пути не получится.

А ведь в данном случае опять помогает дифференцирование. Продиферегировав обе части равенства (3) по α, получаем

3 cos 3α=3 cos α−12 sin² α cos α=
=3 cos α−12(1−cos² α) cos α,
откуда cos 3α=4 cos³ α−3 cos α.

Упражнения

1. Зная, что sin 5x=16 sin⁵ x−20 sin³ x+5 sin x, получите формулу, выражающего cos 5x через cos x.

2. При помощи дифференцирования получите из «простого» тождества 2 sin 2α sin α+cos 3α=cos α другое, «более сложное» тождество.

3. Известна формула a sin x+b cos x=
   =√a²+b² sin(x+φ), где угол φ определяется из условия sin φ=b/√a²+b², cos φ=a/√a²+b².
   Получите из этой формулы формулу для a cos x−b sin x.

В. Е. Ольхов

Надо ли делать проверку?

Школьники часто задают вопрос: «Мы нашли корни уравнения, надо ли делать проверку?» Проверять корни на всякий случай, «для надежности» (подставляя их в данное уравнение), конечно, полезно, во всяком случае, когда это не приводит к более трудом выкладкам, чем само решение. Но здесь не это имеет в виду — печь идет о проверке, связанной с возможностью «пробрежности построение корни». Школьники знают, что не сделав такую проверку, они могут иногда получить неверный ответ («лишний корень»). Более того, даже если ответ оказался верным, учитель или экзаменатор иногда объявляет решение неполным, если проверка отсутствует. Но когда? В каких случаях надо делать проверку? Поставаемся ответить на этот вопрос.

1. В тех случаях, когда корни были найдены по простейшим «готовым» формулам (таким, как формулы для решения линейных и квадратных уравнений или уравнения вида cos x=a,

log₂ x=a, b⁻=a и т.п.), проверку можно не делать.

Например, как правило, нет смысл проверять корни, полученные по формуле

x₁,₂ = -b ± √b²−4ac/2a

для квадратного уравнения ax²+bx+c=0. (Впрочем, если корни получаются целыми или разциональными, проверка делается быстро и вреда в ней нет.)

Тем не менее при использовании таких формул следует помнить об условиях, при которых их можно применять. Так, формулу (1) можно использовать при условиях a≠0, b²−4ac≥0. К сожалению, нередки случаи, когда школьники говорят, что при a=0 уравнение ax²+bx+c=0 не имеет корней, так как знаменитель в правой части формулы (1) обращается в нуль. При этом забывают о том, что при a=0 это уравнение не будет квадратным и имеет корень x=-c/b, если, конечно, b≠0.

Грубейшей ошибкой считается ответ x=±arccos 2+2πk, k∈Z для уравнения cos x=2, поскольку формулой x=±arccos a+2πk, k∈Z для корней уравнения cos x=a можно пользоваться только при |a|≤1.

2. Чаще же при решении уравнения приходим到 много преобразования; при этом данные уравнения заменяется каждый раз на какое-то новое, а у нового уравнения, естественно, могут быть и другие корни. Если в ходе преобразования уравнение заменить новый уравнение, имеющим все корни предыдущего и только их (то есть преобразовать уравнение так, чтобы не произшло потери или прибретания корней), то такие уравнения называются равносильными.

Хорошо известно, что

1. при перенос членов уравнения из одной части в другую,
2. при прибавлении к обеим частям уравнения одного и того же числа,
3. при умножении обих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число исходное и преобразование уравнения равносильны. Равносильны они также в том случае, если преобразование состоит в применении тождества, верных на множество всех действительных чисел, например тождеств сокращенного

32

умножения, формул синуса и косинуса суммы и т. п.

При применении всех этих преобразований каждый раз получается равносильные уравнения. Поэтому после нахождения корней их проверка не является обязательным этапом решения задачи.

Решим, например, таким образом уравнение
$$\sqrt{3} \cos x - \sin x - 1 = 0.$$ (2)
Разделив обе части уравнения на 2, получим уравнение
$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} = 0,$$ (3)
равносильное уравнение (2). Так как
$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2},$$ то уравнение (3) перепишется в виде
$$\cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} = 0.$$
Примена «справа налево» формулу косинуса суммы двух углов, получаем уравнение
$$\cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2} = 0,$$ (4)
равносильное уравнение (3).
Прибавляя к обем части уравнения $\frac{1}{2}$, получаем уравнение
$$\cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2},$$ (5)
равносильное уравнение (4).
Решение простейшего уравнения (5) запишется так:
$$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$
$$x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z},$$
откуда
$$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$
$$x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$
Так как все проведенные преобразования были равносильными, то проверка найденных корней не обязательна.
3. Оdnako не всякое уравнение удается решить путем только равносильных преобразований. Гораздо чаще приходит применять неравносильные преобразования. При применении таких преобразований, вообще, можно потерять некоторые корни исходного уравнения или прообрестu построение корни, то есть корни, не являющиеся корнями исходного уравнения. Чаще всего такие преобразования основаны на использовании формул, верных не при всех действиях $x$. При этом, в частиности, «меняется» область определения уравнения.
Если, например, формулы
$$\log_3 x^2 = 2 \log_3 x,$$ (6)
$$\sin 2x = \frac{2 \mathrm{tg} x}{1 + \mathrm{tg}^2 x}$$ (7)
прииметь «слева направо» (то есть заменить левую часть формулы правой), то возможно потеря корней исходного уравнения; поэтому такие преобразования без дополнительных расужений недопустимы.
Например, уравнение
$$\log_3 x^2 = 2$$ (8)
имеет два корня: $x_1 = 3, x_2 = -3$. Однако если мы применим формулу (6) «слева направо», то получим уравнение
$$2 \log_3 x = 2,$$
имеющей только один корень: $x_1 = 3$. Следовательно, в результате применения формулы (6) «слева направо» произошла потеря корня уравнения (8). Отметим, что при применении формулы (6) возможно потеря всех отрицательных корней. С формулой (7) дело обстоятель проще. Его можно пользоваться, только дополнительно следует проверить, является ли корнями числа вида $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, при которых не определен $tg x$.
4. Если же применять формулу (6) «справа налево», то потеря корней не произойдет, но может произойти прибавление построенных корней, а поэтому обязательно надо проверить корни и те из них, которые оказываются построенными, отбросить.
Посторонние корни могут появиться также при возниклении обихих частей уравнения в степени, при потенцировании обихих частей уравнения и при ряде других преобразований. Поэтому, если применялось какое-то из этих преобразований, то обязательно надо проверку найденных корней и отбросить построенные корни.
Пример. Решим уравнение
$$x - 3 = \sqrt{x - 1}.$$ (9)

33

Возведя обе части этого уравнения в квадрат и перенос все члены полученного уравнения в левую часть, приходим к уравнению
$$x^2 - 7x + 10 = 0,$$
имеющей корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$. При возвведении в квадрат могли появиться корни, построение для исходного уравнения, поэтому найденные корни обязательно надо проверить. Подставляя в уравнение (9) первый корень $x_1 = 2$, получаем неверное числовое равенство $-1 = 1$, значит, $x_1 = 2$ есть построенный корень для исходного уравнения (9). Подставляя в уравнение (9) второй корень $x_2 = 5$, получаем верное числовое равенство. И, следовательно, $x_2 = 5$ есть корень исходного уравнения.
Итак, уравнение (9) имеет единственный корень $x = 5$.
Вот еще пример. Решим уравнение
$$\log_7(x^2 - 4) = \log_7(4x - 7).$$
Потенцируя, мы приходим к уравнению
$$x^2 - 4 = 4x - 7,$$
корни которого $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. При потенцировании могли появиться корни, построение для исходного уравнения, поэтому найденные корни надо проверить. Число $x_1 = 1$ не удовлетворяет уравнению (10), так как не имеет смысла логарифмы отрицательных чисел, поэтому $x_1 = 1$ не является корнем этого уравнения. Число же $x_2 = 3$ обращает исходное уравнение в верное числовое равенство.
Итак, уравнение (10) имеет единственный корень $x = 3$.

Избранные школьные задачи

Здесь мы приводим ряд задач, предлагавшихся на районы олимпiadах в Новосибирской области. Средние их есть совсем несложные, есть задания и потребнее, но все они близки к школьной программе. В скобках после номера задания указано, в каких классах она предлагалась.

Восмой класс
1 (7—8). Два величины, Вася и Петя, одновременно выехали из пункта А в пункт Б. Вася весь путь проехал с постоянной скоростью, а Петя, проехав сначала 1 час со скоростью 12 км/ч, оставшийся путь ехал со скоростью 14 км/ч и приблив в Б на 5 минут раныше Васи. Если бы Петя все время ехал со скоростью 12 км/ч, то он бы приблив в Б на 6 минут позже Васи. Найдите расстояние от А до Б.
2 (7—8). Возраст человека в 1959 г. оказался равен сумме цифр года его рождения. Найди-te год рождения этого человека, если известно, что он родился в XX веке.
3 (7—8). В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. В точке T она касается стороны BC. Известно, что $\angle BOT: \angle COT = 3:4$. Найдите длину сторон BC, если радиус описанной окружности равен 3, а величины угла A — 30°.
4 (7—8). Докажите, что если положительные числа x и y удовлетворяют неравенствам x+y>2,6 и x^2+y^2<4, то xy>1.
5 (7—9). Можно ли разрезать квадрат на 1980 квадрат меньше размер? А на 1981? (Полученные квадраты могут быть не одинаковыми.)
Девятый класс
6 (7—9). Тебе и мне вместе 35 лет. Сейчас мне вдвое больше лет, чем было тебе тогда, когда мне было столько лет, сколько тебе сейчас. Сколько мне лет и сколько тебе?
7 (8—10). В трапеции сумма углов при основании равна 90°. Докажите, чтолина отрезка,
(Окончание см. на c. 55)

«За науку»
в гостях у «Кванта»
Более 25 лет издается газета «За науку» Московского физико-технического института. Сезодняя мы публикуем подборку номерстических материалов из этой газеты.

Улыбки художников

Соотношение неопределенностей $\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar$ поннимают лишь немногие физики. Я не буду углубляться в эту тему, иначе число таких людей в десяти раз увеличится.

Если домашние спросит вас, что такое элементарные частицы, скажите, что это просто энергия. Они ничего не понут, но будут думать о вас хорошо.

Какое из колес Френеля ведет себя точно так же, как и в прошлом семестре.

Что больше — делать больше или делать маленьое?

Если мы не сделаем этого ограничения, то произойдет нечто ужасное: синус станет больше единицы.

Действие рассмотренного устройства просто и понятно. Именно поэтому на практике его не использует. Применяется другой несложный прибор, на изучение которого мы иptrатим оставшиеся два места.

Объясняю второму и седьмому факультет: atom водо-рода состоит из одного электрона и одного протона. Четвертый факультет это должен знать.

Дайте-ка, я покрупнееарисую бесконечно malые треугольники.

НОВОСТИ

В бутерброде столовой № 4 обнаружен 126-й элемент таблицы Менделеева. Виновые еще не найдены.

Студент пятого курса Марк Новодачный придумал 317-e доказательство того факта, что химия — не наука. Всем сомневающимся он просто демонстрирует два журнала: «Нука и жизнь» и «Химия и жизнь».

Обыявления

Всем студентам сдать для анкет голограммы $3 \times 4 \times 6$.

Вниманиюженщин! Долго-pруденская парикмахерская делает не только химию, но также и физику и дифференциальные уравнения.

Крутакки

Голографика — баня для аристократов.
О’Генри — нульвая индуктивность.
Меломан — испачковый лектор.
Затор — газета топологов.
Баран — пивная для сотрудников АН СССР.
Экспресс — быший штамповщик.
Застолье (франц.) — расстояние до дальней деревни.
Возгонка (спорт.) — соревнование извозчников.
Паровоз — свадбная карета.
Монополь — француз.
Диполь — два француза.
Биполь — еще два француза.

(Шахматные)

Турнуть — сделать ходладей.
Сlonяться — ходить по динагоили.
Вездexod — ферзь.
Подоконник — фигура, стояшая под уdarом кавалерии.
Патология — исследование ничейных окончаний.
Спешиться — сдвоить пешки.
Матожидание — предчувствие близкого проигрыша.

(По заказу автошколи)
Карман — автолюбитель.
Кардан — классность японского автомобилиста.
Картуз — заправила автомобильного бизнеса.
Карнавал — конвейер в Тольятти.

35

Задания

1. «Алло, Катя! Нам поставили телефон! Сообщаю номер. Он, как и у тебя, пятизначный. Первая цифра — простое число, следующие две цифры — двузначное простое число, а последнее две цифры получаются из предыдущего пары перестановкой и образуют точный квадрат. Так какой у меня номер телефон?»

2. Возможен ли треугольник со стороны $a=7$ см и $b=2$ см, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

3. Предложите конструкцию прибора, основанного на принципе сообщающихся сосудов, предназначенного для проверки горизонтальнойности классичных стен.

4. В магазина привезли 223 литра масла в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов?

5. Решите кроссамбер, то есть заполните клетки квадрата цифрами, как клетки кроссворда, в соответствии с указаниями.
   По горизонтали:
   $a=(a по вертикали)^2$,
   $h=(f по вертикали) \times 2$,
   $i=(c по вертикали) + (g по вертикали)$.
   По вертикали:
   $b=(g по горизонтали)^2$,
   $d=(a по горизонтали) \times (e по горизонтали)$.

Задание предложили М. А. Роллова, С. Р. Сефбеков, В. Д. Выон, Н. К. Антонович, А. П. Савин

36

Откуда произшли названия звезд и созвездий

Доктор физико-математических наук
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД

Если вы посмотрите на звездное небо, то при некоторых воображении в руссыпи более или менее ярких звезд увините различные фигуры. Эти фигуры можно составлять различными способами. Уже в древней Греции было выделено 48 таких фигур, заполивших почти все звездное небо, они получили название «созвездий». Некоторые звезды

Зодикальные созвездия. Изображения даны по звездному атласу известного полского астронама XVII века Гевелия.

ды не входили в созвездия, а характеризовались тем, около какого созвездия они расположены.

Еще древниеавылоние, астрономические знания которых оказали сильное влияние на греков, выделили 12 созвездий Зодикака, то есть 12 созвездий, расположенных вдоль большого круга небесной сферы, по которым совершает свое видимое годичное движение Солнце (этот круг называется эклипткой, от греческого слова «заттение», так как заттения проискают, когда Луна попадает на этот круг). Число созвездий Зодикака равно числу местцев, и Солнце проходит каждое из них за месяц.

Первоначально вступление Солнца в созвездие Овна приурочивалось ко днявеннего равноведствия, но за две

Впервые эта статья была опубликована в 1970 году в «Кванте» № 10. Перепечатается с небольшими изменениями.

тысячи лет этот день несколько «сдвинился» по отношению к созвездям Зодиака. Заметим, что «овен» и «телец» — устаревшие названия барана и быка (ср. «овца» и «теленок»). Под Стrelьом, то есть стрелком, понимали кентавра, вооруженного луком со стрелами; под Козерогом — козла с рыбным хвостом; Рыб представляли в виде двух рыб, соединенных тесьмой. Извание Зодиака (от греческого слова зодион — «животное») объясняется тем, что большинство созвездий Зодиака имеет вид животных.

Северное Зодиака греки располагали 21 созвездие, а южнее — 15 созвездий (созвездия южного полушария греки залих хуже, так как в древности путешествники редко доходили даже до эkvватора).

Извание созвездий обьясяются теми фигурами, которые получались при соедининии звезд, образующих созвездие, линяями. Разные народы по-разному «рисовали» эти фигуры. Например, в ковше Большой Медведицы греки видели медведя, а araбы — погребальную процессию — гроб, перед которым идут плакалыщцы, возглавляемые «предводителем плакалыщц». Некоторые созвездия связываны между собой: Волопаса, то есть пастуха, греки расматривали как сторожа медведи. ШестЬ созвездий — северные созвездия Цефей, Кассопен, Андромеды, Персея, Пегаса и Кита — также связываны общей легендой об эфирском царе Кефее (Цефей —латинская форма этого имени), его жене Кассопее и дочеги Андромеде. Согласно этой легенде Кассопея оскорбила морских нимф переди и в наказание за это морской бог Посейдон послал морское чудовище Кита (представлявшегося зверем с лапами и страшной пастью) опустошать

Созвездие Большой Медведицы.

Берега Эфиропии. Для спасения страны Кефей должны были привести в жертву своего dochь, имя которой ознакомает «не видевшая мужа». Девушка уже была прикована к скале, когда появился на крылатом коне Пегасей — герой, убивший ужасяную Медузу Горону, обращавшую в камень всех, кто встречался с ней взгляdom (сам Пегсей в борбе с Медузой Гороной смотрел не на нее, а на ее отражение в своем шите). Пегсей отрубил голову Гороньи и явился к Андромеде с этой головой. Показав ее Киту, он превращил его в камень, освободил Андромеду и женился на ней.

Созвездие Геркулеса получило название только в новое время, греки называли его «Коленопреклоненный». Созвездие Эридана также получило свое название в новое время, греки называли его «Река». Эридан — древнее название греки По, а также одно из имен мифических сына Солнца Фээтона, согласно легенде упавшего на землю и утонувшего в По.

Созвездие Корабля Арго впоследствии было разделено на Корму, Паруса, Компас и Киль, а из мелких звезд, не входящих в известные раныше созвездия, были образованы новые созвездия: Малый Лев, Гончие Псы, Шит (первоначально Шит Собесского), Лисичка, Яшерница, Рысь, Единорог и Секстант.

Еще более любопытны созвездия звезд. Пожалуйста, только название Полярной звезды — звезды α созвездия Малой Медведицы (яркие звезды созвездий принято обозначать греческими буквами α, β, γ, …, примерно в порядке их убивающего блеска) и звезд, носящих собственные имена людей, понятны без обращения к словарю. Полярная звезда получила свое название потому,

Созвездие Большой Медведицы.

38

Что она находится вблизи Северного полюса мира, вокруг которого происходит видимое суточное вращение звездного неба. Собственные имена имеют звезды α и β созвездия Близнецов — Кастор и Полукс; они называют так по именам двух мифических близцев — сыновей Зевса и Леды, и α Гончих Псов — Сердце Карла, названная Э. Галлеем в 1725 году в честь английского короля Карла II.

Очень немного звезды имеют греческие и латинские названия, большинство этих названия арабского проискхождения. Это объясняется тем, что в средние века центр передовой науки находился на Ближнем и Среднем Востоке, где языком науки был арабский язык (как до этого в элинистических странах — греческий, а позже в Европе — латинский). Важный вклад в научу того времени внесли учены Средний Азии и Азербайджана: ал-Хорезми, ал-Бируни, ал-Фергани, Ибн Сина (Авиценна), Омар Хайям, Насир ад-Дин ат-Туси, Улугбек и учены его шкOLS в Самарканде; много важных открытий было сделано также учеными Ирана, Ирака, Сирии, Египта, Северо-Западной Африки и мусульманской Испании. Труды этих учены попадали в Западную Европу через Испанию и Италию, а потом через Константинополь, и переодились на латинский язык. Со многими трудами античной науки европейцы познакомились сначала по их арабским переводам и только потом — с их греческими оригиналами.

Большинство арабских названия возникло следующего отранощим образом. В заменитом труде алексадрийского астронама Клавдия Полемея (П век н. э.), обычно называемом нами «Алмагест», имея каталог 1022 звезд, положения которых были изменены астрономами того времени. Европейцы познакомились с «Алмагестом» по его арабскому переводу, чем и обьясняется его название: одно из греческих названия этого сочинения «Мегисте синтаксис» — «Величайшая система» — арабы передали в алмаджстии, откуда и получилось нашей названия. Каждый звезду Полемей характеризовал небольшим описанием, указавшим место этой звезды в созвездии. Именно от этих описаний в арабском переводе и произшли наши названия. Некоторые названия, впрочем, восходят не к Полемейю, а к староарбском названиям звезд. Таблица названия некоторых звезд приведена на с. 39.

Заметим, что название Антараса объясняется тем, что эта звезда, как и Марс, красного цвета и является как бы заместitelем Марса (наши названия планет — имена римских богов, соответствующих греческим богам Гермсу, Афродите, Аресу, Зевсу и Хроносу, имена которых назвали греки).

От названия звезды Регул проискот слово «регулировать», так как этой звездой пользовались при регулировании полезных работ в Древнем Египте.

Название Мира и Проксима былиданы учеными сравнительно недавно: название Мира было dado этой звезде за ее удивительные свойства (эта звезда является долгоперiodичной переменной звездой), название Проксима былодано учеными после того, как было обнаружено, что эта звезда расположена близке весе звезд к Солнечной системе.

40

Задачи

М886—М890, Ф898—Ф902

М886. Можно ли в 4n—4 клеток, расположенных по перimetру квадрата n×n клеток, расставить 4n—4 последовательных целых чисел (не обязательно положительных) так, чтобы суммы чисел в вершинах каждого прямогольника, стороны которого параллельны диагоналям квадрата, а также суммы чисел в концах каждой diagonали равнялись одному и тому же числу s? Решите задачу для n, равного: a) 3, 6) 4, в) 5, г) 1985. Если можно, най-дите допустимые значения s.

В. Г. Болтянский

М887. Две касательные к окружности, CA и CB, пересекаются в точке C (A и B — точки касания, рис. 1). Вторая окружность проходит через точку C, касается прямой AB в точке B и пересекает первую окружность в точке M. Доказите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

И. Ф. Шарыzin

М888. Науральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab=cd. Доказите, что число a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984} составляет.

А. В. Анджанс

М889. Существуют ли на плоскости такие три точки A, B, C, что для любой точки плоскости P хотя бы один из отрезков PA, PB и PC имеет irrationalную длину?

А. М. Слинько

М890. На территории страны, имеющей форму квадрата со стороны 1000 км, находится 51 город. Страна расположает средствами для прокладки 11 000 км шоссеных дорог. Сможет ли она соединить сетью шоссеных дорог все свои города?

Л. Д. Курляндчик

Ф898. Оdnородная палочка длины l связана неевесомой нитью длины l с неподвижной точкой A (рис. 2). Нижний конец палочки может скольить без трения по горизонтальному столу. Расстояние от точки A до стола равно H(l<H<2l). Палочка начинает двигаться без начальной скорости из положения, изобразеного на рисунке. Найти максимальную скорость центра палочки при последующем движении.

С. С. Кротов

Ф899. На две большого закрытого сосуда, заполненного водой, лежит перевернутая чашка массы m. Чашка имеет форму цилиндра радиуса R и высоты R

41

с полусферической полостью, радиус которого также равен $R$ (рис. 3). Полость заполнения груты. Воду из сосуда начинают медленно открывать.

1. Определите, при какой высоте $h$ столбца воды в сосуде чашка оторвется от его дна и ptrут начнет вытекать из-под ее краев.
2. Найти высоту ptrут в полости, когда из сосуда откачают всю воду.
   Давлением паров воды пренебречь. Плотность воды $q$ и плотность ptrут $q_1$ считать известными. Примечание: объем шарового сегмента высоты $H$ и радиуса $R$ (рис. 4) равен $\pi H^2 \left( R - \frac{H}{3} \right)$.

М. Г. Абрамян

Ф900. Часть графика, изображающего процесс, происходивший с идеальным одноатомным газом, утерияна (рис. 5). Масштабы по обеим осям известны (они указаны на рисунке 5). В течение всего процесса перехода из состояния 1 в состояние 2 газ отделл столбко же телла, сколько получил. Найти работу, совершенную газом в этом процессе. Универсальная газовая постоянная $R=8,3$ Дж/(моль·К).

В. Т. Карапетян

Ф901. Три одинаковых конденсатора, каждый emкость $C$, соединили последовательно и подключили к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$. После того, как они полностью зарядились, их отключили от батареи. Затем к ним одновременно подключили два резистора с сопротивлением $R$ каждый так, как показано на рисунке 6. Какое количество теплы выделится на каждом из резисторов? Чему равны точки через резисторы в момент времени, когда направление на среднем конденсаторе в 10 раз меньше ЭДС батареи?

А. Р. Зильберман

Ф902. Два плоских слоя толщины $d$ каждый равномерно заряжены по объему с плотностями зарядов — $q$ и + $q$. Частца с отрицательным зарядом — $e$ и массой $m$ подлегает к положительной заряженному слюю со скоростью $v$, направленной под углом $\alpha$ к поверхности слоя (рис. 7).

1. При каком значении скорости частица не сможет проникнуть в отрицательно заряженный слой?
2. Через сколько времени и на каком расстоянии от точки $A$ частица в этом случае покинет положительное заряжение слой?

А. И. Буздин

Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 7.

44

Рис. 1. Рис. 2.

рону). Докажите, что после нескольких повторений этой операции во всех клетках будет стоять единицы.

Рис. 1. Рис. 2.

что $a_i^2 = 1$. Эти таблицы показаны на рисунке 2, где для краткости в клетках таблиц приводятся только индексы компонентей, например, произведение $a_1a_3a_5$ обозначает 1, 3, 5. Звездочка * означает число 1. Как видим, всегда после чего операция во всех клетках будет стоять единицы.

И. К. Жук, И. В. Вороновищ

M872. На плоскости расположены три окружности $C_1, C_2, C_3$ радиусов $r_1, r_2, r_3$ — каждая вне двух других, причем $r_1 > r_2$ и $r_1 > r_3$. Из точки пересечения внешних касательных к окружности $C_1$ и $C_2$ проведены касательные к окружности $C_3$, а из точки пересечения внешних касательных к $C_1$ и $C_3$ — касательные к $C_2$. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырехугольник, в котором можно вписать окружность, и найдите ее радиус.

Ответ: $r = r_1r_2r_3 / (r_1r_3 + r_1r_2 - r_2r_3)$.

Обозначим центры данных окружностей через $O_1, O_2, O_3$, точки пересечения касательных — $A$ и $B$ (рис. 1).

Решение задачи основано на следующем очевидном, но часто использовом сообщения: точка пересечения внешних касательных к двум окружностям служебит центромомометрии этих окружностей (то же верно и для точки пересечения внутренних касательных). Из него сразу вытекает, что четверя окружность должна быть готовית $C_2$ с центром $A$ и $C_3$ с центром $B$, поэтому ее центр $O$ должен лежать на пересечении отрезков $AO_2$ и $BO_3$. Тепер надо

Рис. 1.

доказать существование такого числа $r$, что окружность $C$ с центром $O$ радиуса $r$ будет готовится $C_2$ с центром $A$ (то есть $r : r_2 = |AO| : |AO_2|$) и, одновременно, готовится $C_3$ с центром $B$ (то есть $r : r_3 = |BO| : |BO_3|$), и найти это число.

Вычислим отношение $|AO| : |AO_2|$. Для этого проведем отрезок $O_2D$, параллельный $BO_3$ (рис. 2), тогда, пользоваться готовностью треугольников $AOO_3$ и $AO_2D, O_1BO_3$ и $O_1O_2D$, получим

$$\frac{|AO_2|}{|AO|} = \frac{|AD|}{|AO_3|} = 1 + \frac{|O_2D|}{|AO_3|} = 1 + \frac{|O_3D|}{|O_3O_1|} \cdot \frac{|O_3O_1|}{|AO_3|} =$$

$$= 1 + \frac{|BO_2|}{|BO_1|} \cdot \left( \frac{|AO_1|}{|AO_3|} - 1 \right).$$