Квант 1984, №12 · Страницы

КВАНТ
12
1984
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

15:e INTERNATIONELLA
FYSIKOLYMPIADEN FÖR SKOLUNGDOM

XV I Ph O
24/6-1/7
1984
SIGTUNA SWEDEN

15-th INTERNATIONAL PHYSICS OLYMPIAD
XV МЕЖДУНАРОДНАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

Художники, карисованные эту афишу, позволили себе небольшую смелость. Они символически памекнули на тематку задач, которые предстояло решать участникам олимпиады.
Оргкомитет, zabotясь о «неразглашении олимпиейской тайны», решил распространить афишу лишь после окончания официальных составаний. Ее получили все участники и гости олимпиады в качестве субенира. Справедливый ли был опасения оргкомитета? Ответ на этот вопрос вы можете найти в статье «XV Международная физическая олимпиада».

В НОМЕРЕ:

2. Д. А. Франк-Каменецкий. Электрическое сопротивление — квантовое явление
3. А. Л. Тоом. Сколько площадей у многоугольника?

D. A. Frank-Kamenetski. Electric resistance is a quantum phenomenon
A. L. Toom. How many areas does a polygon have?

Наш календарь
13. Излучение Вавилова — Черенкова
43. Мон встречи с Дебаем

Our calendar
The Vavilov — Cherenkov radiation
My encounters with Debye

Matematический кругок
14. Л. Д. Курляндчик, С. В. Фомин. Теорема Виета и вспомогательный многочлен

Mathematics circle
L. D. Kurlyandchik, S. V. Fomin. Vieta’s theorem and auxiliary polynomials

Школа в «Кванте»
17. Физика 8, 9, 10
22. Математика 8, 9, 10

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 8, 9, 10

«Квант» для младших школьников
27. Задачи
28. Н. А. Родина. Как мы пьем чай
31. Задача в картинах

Kvant for younger school children
Problems
N. A. Rodina. How we drink tea
A problem in pictures

Задачик «Кванта»
32. Задачи М896 — М900; Ф908 — Ф912
36. Решения задачи М881—М883; Ф890, Ф892, Ф893
40. Электроимость — свойство проводника
41. Список читателей, прилавших правильные решения

Kvant’s problems
Problems M896 — M900; P908 — P912
Solutions M881—M883; P890, P892, P893
Capacity as a property of conductors
List of readers who have sent correct solutions

Олимпiadы
44. А. П. Савин. XXV Международная математическая Olympiad
46. С. С. Кротов. XV Международная физическая Olympiad

Olympiads
A. P. Savin. The XXVth International Mathematics Olympiad
S. S. Krotov. The XVth International Physics Olympiad

Информация
52. Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Information
Moscow physico-technical institute’s correspondence school

Игры и головоломки
54. Рэндзю — итоги конкурса

Games and puzzles
Renju contest results

Ответы, указания, решения
61. Напечатано в 1984 году
Смеся (26, 30, 51)
Шахматная страница
Матч века (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Printed in 1984
Miscellaneous (26, 30, 51)
The chess page
The match of the century (3rd cover page)

Разноцветнуюду на кебосводе (см. фоторафию на первой странице обложки) можно увидеть лишь при определениях условий. О том, когда и как она возникнет, рассказывает в заметке «Что такое радуа?» (с. 20).

© Издательство «Нука», Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1984

2

Мы публикуем статью крупного советского физика иlectrischeго популяrizатора науки Д. А. Франк-Каменецкого (1910—1970). Эта статья, впервые опубликованная в 1970 году в «Кванте» № 9, не потеряла своей актуальность и, несомненно, будет интересна и полезна сегодня читателю.
(Печатается с небольшими сокращениями.)

Классическая теория

В современной физике классические называются теории, созданные классиками науки прошлых веков, до возникновения квантовой физики и теории относительной части. Чаще всего слово «классический» физики употребляют как противоположное слово «квантовый».

Классическая теория отличается тем, что в ней не участвует квант. Такие теории очень просты, современному физiku они какуется несколько наивными. Они часто приносят большую полезу, но, как правило, решают вопрос не до конца. В классической теории для современного физика всегда чего-то не хватает.

В многих книгах, в том числе и в учебниках (и даже очень хорошо), пишется, что электрическое сопротивление металла проискодит от стольновения электронов, переносящих ток, с атомами*) кристаллический решетки. Правильно ли такое понимание сопротивления?

Лучше всего не говорить ни «да», ни «нет», а сказать, что оно выражает классический теorio электрического сопротивления. К ней относится все, что мы только что говорили о классических теориях вообще. Но в данном случае классическая теория оказывается совсем слабой: она не может обьясить многих самых основных особенностей электрического сопротивления.

В классической теории безусловно верно одно: сопротивление проискодит оттого, что электроны передают часть своей энергии и импульса (количество движения) кристаллической решетке. Но каким именно образом проискодит эта передача — вопрос совсем не простой и очень интересный.

*) Точнее было бы сказать — с понами, но это здесь для нас не существует.

3

Температурная зависимость

Сопротивление чистых металлов сильно возрастает с температурой. Для многих из них оно примерно пропорционально абсолотной температуре. При низких темперарах такая простая зависимость нарушается. Это хорошо видно на рисунке 1, где показано, как меняется с температурой удельное сопротивление меди — самого употребительного проводника электрического тока. Как видно из рисунка, в области высоких температур зависимости хорошего представляется прямой линейной. Но если эту прямую продолжить в сторону низких температур (на рисунке показано пунктиром), она уходит не в абсолотный нуль, а в несколько более высокую температуре — для меди около 60 К. На самом деле при низких темперарах зависимости становится более сложной: сопротивление меняется пропорционально пятой степени температуры. При приближении к абсолотному нуль сопротивление чистых металлов становится очень малим. Есть группа металлов, у которых сопротивлениесовсем исчезает при температуре на несколько градусов выше абсолотного нуль. Это явления, называемого сверхпроводимостью, мы сейчас касаться не будем. Достаточно много интересного можно сказать и о более простых вещех.

Если объяснить электрическое сопротивление стольновениями электров сатомами, то температура зависимость сопротивления чистых металлов остается совершенной непонятной. Ведь дело обстоит так, как если бы электроны сталькиались только сатомами, совершшими тепловое движение, но свободно прополетами mismo неподвижных. Иnorда так и говорят (как будто электрону легче попасть в движущийся atom), но это ошибка. Это все равно что считать, будто, стрелля не целясь, легче попасть в качающийся магнит, чем в неподвижный. Итак, классическая теория не способна объяснить зависимость сопротивления от температуры.

Остаточно сопротивление

Когда изменяют сопротивление чистых металлов при очень низких темперарах, то обнаруживается замечательная веще. Продолжая кривую рисунка 1 к абсолотному нулю, получают сопротивление, которое должно быть остаться, если бы можно было на опите достичь абсолотного нуля. Его так и называют остаточный сопротивлением. Оказывается, что оно сильно меняется от образца к образцу. Ostаточно сопротивление крайне чувствительно к низжным примесям, к механической и термической обработке. Тщательно очищая металл, образытая его так, чтобы добиться безупречного кристаллического строения, можно уменьшить остаточно сопротивление, и нет предела этому уменшению. Итак, опыт наталкивает на удивительный вывод: идеальный кристалл при температуре абсолотного нуля не должен иметь электрического сопротивления. Инными словами: электрическое сопротивление чистых металлов происходит только от нарушений кристаллического строения, которые вызывают тепловым движением, примесями и дефектами (неправильности) кристаллического решения.

Атомные коридоры

Если бы электроны двигались по законам классической механики, они должны быть сталькиться с атомами неависимо от того, расположены ли atoms в стором порядке или нет. Конецно, между правильными рядами atoms есть своего рода коридоры (рисунок 2), но чтобы направить электрон по такому коридору, требовалась бы точная ориентировка кристалла по отношению к приложенном электрическому напряжению. А ведь обычно мы имеем дело не с одним кристаллом, а с сочетанием множества мелких кристаллов, ориентированных случайным образом. Одиночный правильный крип

4

Рис. 2. Движение электронов и распространение электронных волн в правильном (идеальном) кристалле.

сталл называют монокристаллом (от греческого слова «моно» — один), а сочетание многих кристаллов — поликристаллическим агрегатом (от греческого «поли» — много). Так вот, точные измерения показали, что сопротивление поликристаллических агрегатов сильно уменьшается с понжением температуры. Это никак нельзя объяснить движением электрона по atomным коридорам по законам классической механики. При переходе из одного кристалла в другой atomный коридор резко меняет свое направление (рисунок 3). Электрон должен быть с разлету стукнутся о «стенку». А он способно шестистуvet по atomному лабиринту, подобно Тезею, которое указывала направление нить Аридны. Что же это за чертовщина и как это объяснить?

Чудеса без учедес

Давно известны еще более удивительные факты. Механическая и термическая обработка заметно влияют на электронное сопротивление металлов. Воспользовемся для удобства применения в технике единней удельного сопротивления Ом·мм²/м=10⁻⁴ Ом·см=10⁻⁶ Ом·м. В этих единицах удельное сопротивление общей технической меди при 20 °C выражается числом 0,0172. После холодной протяжки сопротивление медной проводки возрастает до 0,0177. Далее наматывания проводки на катушку достаточно, чтобы ее сопротивление возросло. Если же подвергнуть проводку отжигу, то есть

длительному нагреву, а затем охладить ее опять до 20 °C, значение сопротивления возвращается к нормальной величины. Очевидно, сопротивление чувствует himself к небольшим нарушениям кристаллеской структуры (такие свойства называют структуру чувствительными). Еще妒зительное чувствительность сопротивления к ничтожным примесям. Тщательная очистка уменьшает сопротивление меди при температуре 20 °C до 0,0169 Ом·мм²/м. Это обстоятельство имеет большое значение для техники. Ведь если уменьшить сопротивление проводов, то уменьшается и бесполезные потери электрозернии на их нагрев. Поэтому медь, предназначенную на электронное значение нужды, поддерживает специальной очистке посредством электронизма. Этот своеобразный металлургический процесс несколько наполняется «переливание из пустого в порожнее». На аноде медь расторяется, а на катоде осаждается медь, чистота которого изменяется «трея девятками» после запятой: 99,999 %, то есть примеси в электронтической меди составляют всего тысячную долю процента.

Посмотрим теперь, как количество примесей влияет на сопротивление меди. Достаточно добавить к меди 1 % марганца, чтобы удельное сопротивление ее возросло до 0,048 Ом·мм²/м, то есть почти в три раза! Между тем сопротивление чистого марганца составляет 0,05 Ом·мм²/м. Таким образом, достаточно в медь 1 % марганца, чтобы ее сопротивление стало сопротивлением 100 %-го марганца! Это не исключительно случай. Примерно так же

5

действуют добавки железа, кобальта, иридия и другие. Если бы сопротивление пропускило от стольновейный электронов с атомами примесей, эти примеси должны были бы влиять раз в столько. С точки зрения классической теории непомерное действие малых примесей — чистое чудо.

У сплавов, содержащих примеси в большой пропорции, сопротивление очень велико. Металурги разработали замечательные решеты сплавов с высоким сопротивлением: никелин, магганин, константан, нихром и другие. Сопротивление этих сплавов в несколько раз больше, чем у каждой из составных частей. Так, константан, состоящий из 60 % меди и 40 % никеля, имеет удельное сопротивление 0,44 Ом·мм²/м, в то время как у чистой меди оно равно 0,017, а у никеля 0,072 тех же единиц*).

«Королем» подобных сплавов можно назвать всем известный нихром, удельное сопротивление которого около 1 Ом·мм²/м. Недаром он нашел такое широкое применение в нагревательных приборах.

Поразительно, что температура зависитимость сопротивления у сплавов совсем другая, чем у чистых металлов. Сопротивление большинства сплавов тоже возрастает с температурой, но гораздо слабее. Специально для научных прибора, где желательно иметь постоянное сопротивление, разработан уже упоминавшийся константан, названное которого означает «постоянный». В интервале температур от 0 ° до 400 °С его сопротивление меняется всего лишь от 0,441 до 0,448 Ом·мм²/м.

С точки зрения классической теории постоянство сопротивления сплавов столь же мало понятно, как и пропорционально сопротивления температуре для чистых металлов. Сопротивление сплава должно быть по смыслу этой теории складывать из сопротивления его составных частей по простому правилам смешения (как, например, тепломкость). Если вимательно разработаться во всем, что известно об электрическом сопротивлении, то станет ясно, что уже это простое явление вынуждает для своего понятия обратиться за помощью к кванту.

Электронные волны и atomные волноводы

Все становится на свое место, если вспомнить, что по законам квантовой механики электрон имеет одновременное свойства частицы и волны. Ширина atomных коридоров близка к длине волны электрона, и потому при движении по таким коридорам волновые свойства электрона проявляются в полной мере.

В радиотехнике ситметровых волн широкое применение имеет волноводы. Это — металлические трубки круглого или прямогольного сечения. Радиоволны распространяются по волноводу, следуя за всеми его изгибами. Свет — тоже электромагнитные волны, и его можно запрять в световод — трубку с зеркальными стенками*).

Действие световода с зеркальными стенками легко понять. Световые волны все время отражаются от стенок и, таким образом, остаются внутри световода. Радиоволны тоже хорошо отражаются от гладких металлических поверхностей. Если же поверхность шероховатая, то волна как бы разбивается о зазубрины и в результате рассеивается и поглощается. Ее энергия переходит в тепло.

В квантовой теории протекание электрического тока через металл описывается как распространение электронных волн по atomным коридорам, играющим роль волноводов. Если atomы расположены на плоскости в идеальном порядке, на равных расстояниях друг от друга, то такая плоскость полностью отражает электронные волны — наполобие идеального зеркала. Рассение и поглощение электронных волн происходит только при нарушении строого порядка в расположении atomов. Этот удивительный вывод был получен впервые довольно сложным математическим путем из уравнения квантовой механики. Но его можно было бы сделать и на основании установленных опитным путем свойств электрического сопротивления, если бы к ним отнеслись более вимательно.

В идеальном правильном кристалле волноводы совершено гладкие. Всякое нарушение atomного порядка действует как шероховатость стенок волно-

*) Все цифры здесь приведены для температуры 20 °C.

Рис. 4. Нарушение правильно atomного волновода телловым движением.

вода. Электронные волны рассеиваются нарушениями решетки. Часть энергии электронов поглощается и переходит в телло. Это и есть квантовый механизм электрического сопротивления. Правильно atomных волноводов нарушается телловыми колебаниями, на которых рассеиваются электронные волны (рисунок 4). Отсюда возникает телловая часть электрического сопротивления, зависящая от температуры. Охлаждая металл, ее можно сделать скольгодно малой. При этом сохраняется остаточное, или структурное, сопротивление, связанное с постояными дефектами (порчей) кристалической структуры (рисунки 5 и 6). Дефекты есть во всяком кристалле и зависят от его «биографии» — от условий, в которых он зарождался, рос и существовал. Дополнительные дефекты возникают при холодной механической обработке — протяжке проволоки и даже намотке ее на катушку. Оттого и возрастает

Рис. 5. Первытип дефектов кристалической решетки — вакансии (пустые места). Замечательно, что электроны рассеиваются и на вакансии — нужно ли лучшее доказательство того, что они стalkываются восе не с atomами решетки? Дело в том, что вакансия церрает роль ответствия в стенке atomного волновода, нарушающее правильно распространение электронных волns.

сопротивление. Приdlительном нагреве (отжиге) atoms возвращаются на свой места и дефекты залечиваются — сопротивление падает.

Внедрение инородных atomов вызывает сербезную порчу кристалической решетки (рисунок 7). При этом один atom примеси может быть с места сотни atomов кристалла-«хозяина». Оттого примеси и повышают сопротивление. Замечено, что действие примеси тем сильнее, чем больше ее atoms по размерам и другим фактором отличия от atomов «хозяина», чем сильнее они нарушают правильно кристалической решетки.

Если охлаждать металл, то телловая (то есть проискодация от теллового движения) часть сопротивления падает. Когда она станет гораздо меньше, чем не зависящая от температуры структурия часть, то при дальнейшем охлаждении сопротивление почти не меняется. У сплавов с неупорядоченным строением структурия часть сопротивления настолько велика, что даже при высоких температурах преобладает над телловой. Этим и обьясняется слабая зависящость электрического сопротивления сплавов от температуры.

Рис. 6. Второй тип дефектов кристалической решетки — дислокации.

8

разрешается одна из загадок электронного сопротивления.

Но этот результат справедлив только при достаточно высоких температурах. Ведь по смыслу квантовой теории число фоновов не может быть меньше единиц. Посмотрим, при какой температуре оно равно единице. Эту температуру называют температурой Дебая и обозначают греческий буквой θ. Приравняв $N$ единице, находим: $\theta = \frac{hv}{k}$.

Температура Дебая (или дебаевская температура) играет очень важную роль в физике твердого тела. С помощью этой величины интересующей нас число фоновов выражается совсем просто: $N = \frac{T}{\theta}$. При температуре ниже дебаевской это число становится меньше единицей. Это значит, что можно говорить только о среднем числе фоновов, и расчет условийется. Но величины $\frac{T}{\theta}$ по-прежнему остается мерой числа фоновов в твердом теле, а следовательно, и числа стольновейный электронов с фонанами. Исходя из этих сообщений, была высказана следующая гипотеза: температура зависящать электрического сопротивления чистых металлов выражается универсальной функцией от меры числа фоновов $\frac{T}{\theta}$. Математически эта гипотеза запылается так: $\frac{R}{R_\theta} = F\left(\frac{T}{\theta}\right)$, где $R$ — сопротивление при температуре $T$, $R_\theta$ — при температуре $\theta$, а $F$ — функция, вид которой может быть найден из опыта. Важно то, что функция $F$ — общая для разных чистых металлов. Как хорошо эта гипотеза оправдывается на

$$\frac{v}{\leq \frac{c}{a}}.$$

При тепловом движении возбуждатся звуковые волны (инause говоря, фонаны) с разными частотами, как говорят, целый спектр частот. Но у спектра фонанов есть предельная частота. Волны с более высокими частотами не успевали бы перескочить от одного атома к следующему и потому не могут возбудиться. Подробные расчеты показывают, что дебаевскую температуру можно определять так, как мы это делали, если только за частоту $v$GBT предельную частоту фонаного спектра в твердом теле. Так мы и будем поступать.

Нам осталось оценить расходные между атомами $a$. Если число атомов в единице объема равно $n$, то $n = \frac{1}{a^3}$.

Отсюда и из формулы (*) получается:

$$\frac{v^3}{c^3} \leq n.$$

Более точный расчет, который мы здесь приведен не может, дает добавочный многоцеллель $4\pi$. Таким образом, получается формула, связывающая предельную частоту $v$ со скоростью звука $c$:

$$4\pi \frac{v^3}{c^3} = n.$$

(Окончание см. на c. 12)

9

Сколько площадей у многоугольника?

Кандидат физико-mатематических наук
А. Л. ТООМ

В этой статье не изладается общая теория площадей, а просто рассказывается о различных подходах к определению площади многоугольника. В первой части речь идет о совсем простом (но для многих — совершению неожиданным!) вопросе: корректно ли обученное определение площади треугольника и выпуклого многоугольника? Во второй части обсуждается понятие площади «саморесексациях» многоугольников; оно оказывается связанным с двумя совсем разными физическими вопросами.

Площади треугольника и выпуклого многоугольника

Все знают, что площадные площади равна половине произведения длин основания на высоту. Но у треугольника любу это сторону можно принять за основание. Так, треугольник, изображенный на рисунке 1, имеет три площади:

$$S_1 = \frac{1}{2} ah_a, \quad S_2 = \frac{1}{2} bh_b, \quad S_3 = \frac{1}{2} ch_c,$$

где $h_a, h_b, h_c$ — длины высот, опущенных на стороны с длинами $a, b, c$ соответственно. Вы скажете, что $S_1 = S_2 = S_3$? Да, это верно. А почему? Потому что и то и другие и третье — площадные треугольника? Вот этот довод никака не годится. Отто что мы даем одно и то же название «площадь» каким-то треем величины, они не обязательны стать равными. Наоборот, потому мы и можем называть все три написанные величины одним и тем же именем «площадь», что они равны. А что они равны — это надо доказать.

Задача 1. Докажите, что для любого треугольника

$$ah_a = bh_b = ch_c.$$

Задача 2. Профессор Honсенс предложил рассматривать новую величины — «бульвар» треугольника, равный сумме длиен его основания и высоты, опущенной на это основание. Согласно этому предложению, должны иметь место равенства (см. рис. 1)

$$a + h_a = b + h_b = c + h_c.$$

Так ли это? Годится ли предложение профессора Honсенса? (Ответ надо обосновать.)

Две приведенные задачи иллюстрируют важное математическое понятие корректности определения. Нередко привчка заменяет понятие и доказательство, и мы наивно думаем, что смысл каждого слова всегда один и тот же. Однако в математике все должны быть строго обосновано, и если результаты двух разных вычислений называются одинаково, то из этого еще не следует, что они равны. Наоборот, надо доказать, что они всегда будут равны, чтобы иметь право одинаково их назвать. Говорят, что определение, формулировка которого допускает несколько различных путей вычисления или построения, корректно, если все эти пути приводят к одинаковому результату. Так, первое определение (площади треугольника) оказывается корректным, а второе («бульвар» профессора Honсенса) — не корректным. Обратите внимание: корректность определения нам пришлось доказать. Это необходимо делать во всех случаях, когда в самом определении имеется неокоторый произволь — неоднозначное построение, свобода выбора какого-то элемента и т.п.

Рассмотрим другой пример. В школь-

10

ном учебнике девятого класса величины двугранного угла определяется как величина его линейного угла (угол PAQ на рисунке 2). Но линейный угол можно отложить от произвольной точки A на ребре AA’ двугранного угла, рассмотреть, например, угол P’A’Q’. Почему получится та же величина?

Задача 3. Докажите корректность определения двугранного угла.

Задача 4. Вспомните определение угла между скрещивающимся прямыми. В чем произволь в этом определении? Докажите его корректность.

Поговорим теперь о площади четырехугольника. Если это не есть какой-нибудь особенный четырехугольник, например трапеця, то общий рецепт вычисления его площади таков: разрезать четырехугольник по диагонали на два треугольника и взять сумму их площадей. Но ведь выпуклый четырехугольник можно разрезать по диагонали двумя разными способами. Что, если в одном случае получится одно, а в другом — другое? А для многоугольника с большим числом сторон способов разрезания на треугольники еще больше. На каком основании мы уверены (если уверены), что при всех этих разрезаниях сумма площадей получившихся кусков будет одна и та же? Из практики? Но все практические изменения обеспечивают точность лишь с каким-то числом знаков. Показала же теория относительнойности, что общая формула сложения скоростей верна лишь приблизительно, и лишь для скоростей, существенно меньших скоростей света! Может быть, и традиционные представления о площади многоугольников верны лишь приблизительно? Вот, например, чертеж, заимствованный нами из брошюры Я. С. Дубнова*).

Здесть квадрат со стороны 21 см разрезается на части, из которых, как показывает рисунок 3, вроде бы удается сложить прямой угольник со стороны 34 см и 13 см.

Поскольку
$$21^2=441\neq 442=34\cdot 13,$$
плошадь фигуры меняется от перестановки ее части. А почему бы, собственно, и нет?

Задача 5. Разберитесь, в чем дело на рисунке 3.

Задача 6. Докажите, что, если многоугольник двугранным способами разрезан на треугольник,

*) Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказательствах. М., Гостехидат, 1953, с. 10.

Площади самопересекающих многоугольников

Мы обсуждали корректность школьного определения площади многоугольника и треугольника — их внутреннюю непротиворечность. Но к определению в математике предъявляются не только формульное требование корректности. Определение должно еще «работать». Поясним это на следующем примере, тоже связанном с площадью многоугольника.

Можно ли, и если можно, то как разумно и естественно определить площади самопересекающих многоугольников? Какова, например, площадь пятоконечной звезды (рис. 4)?

Говоря формульно, есть очень много корректных способов приписать каждому самопересекающейемся многоугольнику какое-нибудь число и назвать это число его площадью. Но далеко не каждый такой способ заслуживает чтобы он нем говорить. Вообще, определения в математике формируется относительно не беспринчно, не «с потолка». Во многих (а, может быть, в конечном смете и во всех) случаях математические определения

11

ления бывают входовлены естественноным. Вспомним, где в физике фирирует площад многоугольника. Вот два случая, которые пришли мне на ум.

1. В электронномнике важным понятием является поток магнитной индукции (магнитный поток) Ф сквозь участок поверхности, ограниченной проводящим контуром. Пусть контур лежит в плоскости, а вектор $\vec{B}$ магнитной индукции одинаково во всех точках пространства и перепределкульярен плоскости контура. Тогда

$$\Phi = BS,$$

(1)

где $S$ — площадь фигуры, ограниченной контуром. С физической точки зрения волне уместен вопрос о том, чем равен магнитный поток Ф, если контур имеет вид самопересекающегося многоугольника.

В самом деле, расположим изолированный провод в форме самопересекающегося многоугольника в плоскости, перепределкульяной вектор $\vec{B}$ магнитной индукции одинаково поля (рис. 5), и концы провода присоединим к амператру. Что показет амператр, если начать «шевелить» этот провод? Ведь что-то он показет! Например, отклонится ли стрелка амператра при передвижении треугольника $MNA$ в положение $M'N'A$? Положить заштрихованной части не изменяется. Однако провод $MN$ в своем движении пересекает магнитные силовые линии и поэтому возникает ЭДС индукции. Должен потечть ток. И он действительное течение!

Значит, магнитный поток Ф меняется. Поскольку мы хотим, чтобы формула $\Phi = BS$ имела место, то и $S$ должны меняться (в отличие от заштрихованной площади). Так что же такое $S$ — «площадь самопересекающегося многоугольника»?

Легко понять, что в качестве $S$ здесь не годится сумма общих площад ограниченных частей плоскости (заштрихованных на рисунке 5). Как же определять $S$ в общей случае?

2. В термодинамике работа, которую совершает рабочое тело в произвольном замкнутом процессе, изменяется площадю, ограниченной линейей, изобразяющий этот процесс на $(p-V)$-диаграмме $(p - \text{dавление}, V - \text{объем})$. Естественно считать, что это верно и для процесса, изобразяемого на $(p-V)$-диаграмме самопересекающегося ломаной.

В обихих приведенных физических примерах у нас возникла потребность указывать площад самопересекающих плоских многоугольников. Заметательно то, что в обихих случаях возникнет одно и то же понятие площад, несмотря на то, что примеры эти взяты из различных областей физики. И это понятие площад уже разработано математиками. Оно описано, например, в статье Н. Вагутена*). В ней дается несколько определений этого понятия, эквивалентных между собой; мы останавлиемся на следующем.

Выберем направление обхода нашего многоугольника и обозначим его вершины в том порядке, в каком мы его обходим: $A_1, A_2, ..., A_n$. Отметим на плоскости произвольную точку $P$, не лежащую на контуре многоугольника. Будем обходить многоугольник по его контуру: подdem по $A_1A_2$, потом по $A_2A_3$ и так далее, и вернемся в точку $A_1$. При этом радиус-вектор, начинающийся в точке $P$ и кончающийся в той точке, где мы находимся, будетвертаться то в плоскительной направлении (то есть против часовой стрелки), то в отрицательном. В конечном случае он поверхности на угол $360^\circ \cdot n$, где $n$ — целое число, показывающее, сколько раз мы обходим вокруг точки $P$, или по пути $A_1, A_2, ..., A_n, A_1$. Так, если точку $P$ взяты в центре пятки конечной звезды (см. рис. 4), то мы получим $n=2$.

Наш многоугольник делит плоскость на области: одну бесконечную и несколько конечных. Число $n$ постояно в каждой области, причем в бесконечную

12

ной области $n=0$ (на рисунке 6, а, б расставлены значения $n$ во всех конечных области). Так вот, назовем ориентированной площадью нашего многоугольника сумму

$$S_1n_1 + S_2n_2 + \dots + S_kn_k,$$

Интересно, что определение, выработанное из чисто математических сообщений, оказалось в согласии с двумя современно различными физическими законами. Подобное не раз проискдило в истории науки, и об этом еще будет написано в «Кванте».

Электрическое сопротивление — квантовое явление

(Начало см. на с. 2)

Выражая часть у из формулы (**) и подставляя ее в выражение для дебаевской температуры — $\theta = \frac{hv}{k}$, — получим, что

$$\theta = \frac{hc}{k} \sqrt[3]{\frac{n}{4\pi}}.$$

Итак, мы получили связь между дебаевской температурой $\theta$ и скоростью звука в твердом теле $c$. С помощью этой формулы и графика, представленного на рисунке 8 (см. с. 8) можно решать задачи, которые мы вам предложим. Они просты и не требуют особой смекалки, но интересны и почительны в двух отношениях. Во-первых, вы убедитесь в существовании неожиданной связи между такимими разными вещеми, как скорость звука и зависимости электрического сопротивления от температуры. Во-вторых, вы познакомитесь с обобщенными кривыми, очень полезными во многих случаях, когда не удается воспользоваться формулами теории. Зависимость $R=f(T)$ у каждой металла свон, но раз их удадость совместить на обобщенной кривой (см. рисунок 8), значит, эти зависимости и выражение их кривые подобны. Подобное имеет здесь более широкий смысл, чем в школьной геометрии: оно означает, что кривые могут быть совмещены путем независимо изменения масштабов по двум осям координат.

А теперь попробуйте решить следующие задачи:

1. Скорость звука в железе равна 5200 м/с, уделенное сопротивление при минус 100 °C равно 0,592 Ом·мм²/м. Найдите уделенное сопротивление железа при температуре +200 °C.

2. Пользуясь зависимости сопротивления меди от температуры (см. рисунок 1 на с. 3), определите скорость звука в меди.

13

Излучение Вавилова — Череккова

В этом году исполнились пятыесят лет с того дня, как в журнале «Доклады Академии наук СССР» появились первые сообщения об открытии одного из красивейших физических явлений.

В то время, в 1934 году, молодой начинающий ученый Павел Алексеевич Черекков под руководством академика Сергея Ивановича Вавилова исследовал ломинесценцию (холодное свечение) растровых уравновых солей под действием гамма-излучения. Для ученения измерений было посмотреть, как светятся сами расторители. В то время считалось, что чистые жидкости вообше не дают никакого свечения, но в опытах Череккова было обнаружено слабое видное свечение расторителей. Это свечение не имело ничего общего с ломинесценцией, но к таким выводу пришли не сразу.

В лаборатории Вавилова была разработана специальная методика измерения, которая позволяет апрелять, является ли свечение разных веществ ломинесценцией или нет. Черекков провод соответствующие эксперименты с обнаруженным им свечением чистых жидкостей. По их результатам Вавилов заключил, что найденное излучение не есть ломинесценция.

Какова же природа этого свечения? Первые сообщения об этом высказал тоже С. И. Вавилов. Гамма-излучение, то есть электромагнитное излучение высокой энергии, проходя через вещество, выбирает из атомов электrons, которые затем движут через вещество в направлении, близком к направлению распространения лучка гамма-лучей. Вот эти-то электrons и дают свечение. Вавилов высказал также некоторые предложения о том, как именно излучают высокые электrons, но они не подтвердились в дальнейшем. Однако идея, что источником наблюдаемого свечения служат летящие через среду электrons, оказалась совершенной правильной и определяла весь ход дальнейших исследований.

Круг проблем, связанных с опытами Череккова, Вавилов постояно обсуждал со многими физikами — свойствами других (С. И. Вавилов был директором Физического института имени П. Н. Лебедева АН СССР) и учениками. В частности, ему удалось заинтересовать этими вопросами Игоря Евгеньевича Тамма и Илью Михайловича Франка. Многократные совместные обсуждения помогли понять природного физического явления. Важную роль для понимания сыграло то обстоятельство, что свечение оказалось направленным — свет излучался вперед, под остым углом к направлению движения выбитых электронов.

Через три года после того как были опубликованы первые сообщения об открытии нового вида свечения, Тамм и Франк разработали полную теорию явления. Они показали, что свечение излучается электронами, которые движут через пространное вещество с постоянной (!) скоростью, превышающего (!) скорость света в этом веществе.

Согласно теории относительной технологии, скорость света в вакууме — это предельная скорость для всех материалов тел. Электрон не может обогнать свет в вакууме. Но он может обогнать свет, движясь в прорачной среде, где скорость света значительно меньше, чем в вакууме. Тогда-то и возникнет излучение, открытое Вавиловым и Черекковым.

Теория Тамма и Франка объясняется не только свойством направленности излучения, но и все остальные его свойства — спектральный состав, интенсивность, поляризация. После появления теории Черекков провод рядомпительных измерений для ее проверки. Их результаты, как и результаты предыдущих излучений, оказались в хорошем согласии с теорией Тамма и Франка.

Здесь следует сказать, что проведенные Черекковым излучения были необходимы труды, потому что свечение было крайне слабым, на пределечевительности человека глаза, а приборов лучших, чем глаз, в то время еще не существовало. Черекков с большим искусством справился со всем трудностями и получил надежды результаты.

В первые годы после открытия и обьяснения нового свечения никакого свечения не думал о его практическом применении — слишком слабым было это свечение. Но десять лет спустя были разработаны очень чувствительные приимки свеча — фотоумножители, и тогда возникла идея использовать излучение Вавилова — Череккова для регистрации быстрых загрязнений частиц.

Довольно скоро на этом принципе были созданы соответствующие приборами, получившие название черекковских счетчиков. Такой счетчик состоит из произрачного вещества, в котором летающая заряженная часть создает излучение Вавилова — Череккова. Это излучение затмал попадает на фотоумножитель и преобразуется в легко регистрации импульс напряжения. Ныне черекковские счетчики вошли в арсенал необходимых прибора во всех лабораториях (как наземных, так и космических — расположенных на спутниках), где ведутся исследования по изучению быстрых частиц.

Открытие излучения Вавилова — Череккова получило признание в отсутствии и мировой науки. В 1946 году Вавилов, Тамм, Франк и Черекков были удостоены Государственной премии СССР, а в 1958 году Череккову, Тамму и Франку (С. И. Вавилов скончался в 1951 году) за открытие и обьяснение излучения Вавилова — Череккова была присуждена Нобелевская премия по физике, вышив знак международного научного признания.

А еще позже, в 1974 году, почти одновременно в Англии и в СССР вспомнили о том, что прохождениеаря через вещество со скоростью, превышающей скорость свеча в этом веществе, рассматривал в конце прошло вкапан и лянийский физик и математик Оливер Хевисайд. Он доволно полно изучил это явление (хотя и не так полно, как Тамм и Франк), но в те времена сама мысль о возможностях движения со столбцами скоростими казалась фантастическим, и работы Хевисайда были прочно и надолго забыты.

В. М. Болотовский

14

Teorema Виета и вспомогательный многочлен

Л. Д. КУРЛЯНДЧИК,
кандидат физико-математических наук
С. В. ФОМИН

Мноше задачи так или иначе сводятся к нахождению корней алгебраических уравнений. Но бывают — и об этом пойдет речь в нашей стране, — что для решения задачи полезно, наоборот, построить многочлен, корнями которого является данные, известные числа. Прием, связанный с введением вспомогательного многочлена, позволяет нам решить несколько совсем разных на вид задачи. Средние их — задачи М879 и М882 из Задачика «Кванта» и одна из задач последней международной олимпiadы.

Пусть $u$ и $v$ — два действительных числа. Как построить квадратный трехчлен, корнями которого является $u$ и $v$? Проще всего — рассмотреть многочлен
$$P(t)=(t-u)(t-v)=t^2+pt+q.$$
Его коэффициенты равны:
$$p=-(u+v), q=uv,$$
(1) то есть сумме (со знаком минус) и произведение исходных чисел. Формулы (1) называются формулами Виета. С ним связаны две теоремы из школьного учебника:
если квадратное уравнение $t^2+pt+q=0$ имеет корни $u$ и $v$, то выполняется равенства (1) (теорема Виета);
числа $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2-(u+v)t+uv=0$ (обратная теорема).
Приведем несколько примеров применения обратной теоремы Виета. Начнем с совсем простой задачи.
Задача 1. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого является число $2+\sqrt{3}$.
Решение этой задачи, как и многих других, может быть основано на том, что квадратное уравнение с «сопряженными» корнями $a+b\sqrt{d}$ и $a-b\sqrt{d}$ (где $a, b$ и $d$ — целые числа) имеет

целые коэффициенты*). Этот факт, разумется, сразу следует из формул Виета (1).

Итак, искomme уравнение имеет корни $t_1=2+\sqrt{3}$ и $t_2=2-\sqrt{3}$, поэтому его коэффициенты равны: $p=-(t_1+t_2)=-4$, $q=t_1t_2=1$.

Ответ: $t^2-4t+1=0$.

Задача 2. Является ли число $t_1=\sqrt{37}-\sqrt{20}$ решением неравенства $t^2+9t-17>0$?

Решение. Составим квадратное уравнение, корнями которого является числа $t_1$ и $t_2=-\sqrt{37}-\sqrt{20}$:
$$t^2+2\sqrt{20}t-17=0.$$
Поскольку $2\sqrt{20}=\sqrt{80}<9$, справедливо неравенство $t_1^2+9t_1-17>t_1^2+2\sqrt{20}t_1-17=0$.

Ответ: число $t_1$ является решением данного неравенства.

Вычисление значения функций в данной точке часто упрощается, если предварительно построить многочлен, который в этой точке обращается в нуль. Вот типичный пример.

Задача 3. Вычислить $u^4-5u^3+6u^2-5u$, если $u=2+\sqrt{3}$.

Решение. Вспомним результат задачи 1: $u^2-4u+1=0$ или $u^2=4u-1$. Используя это соотношение, выразим линейно через $u$ степени $u^3$ и $u^4$:
$$u^3=u^2\cdot u=(4u-1)u=4u^2-u=4(4u-1)-u=15u-4,$$
$$u^4=u^3\cdot u=(15u-4)u=15u^2-4u=15(4u-1)-4u=56u-15.$$
Отсюда $u^4-5u^3+6u^2-5u=56u-15-5(15u-4)+6(4u-1)-5u=-1$.

Ответ: —1.

Действuyа так же, как в приведенном решении, можно значение любого многочлена с целыми коэффициентами в точке $u=a+b\sqrt{d}$ представить в виде $ku+l$ ($a, b, d, k, l$ — целые числа).
Задача 4. Доказать, что число $(7+\sqrt{48})^{13}+(7-\sqrt{48})^{13}$ целое и делится на 14.

Решение. Числа $u=7+\sqrt{48}$ и $v=7-\sqrt{48}$ являются корнями квадратного трехчлена $t^2-14t+1$. Используя формулы $u^2=14u-1$ и $v^2=14v-1$, получим «рекуррентное соотношение» для величины $a_n=u^n+v^n$:

• (Много красивых примеров, связанных с этой идеей, читатель найдет в статье Н. Вагутена «Сопряженные числа» (Квант, 1980, № 2, c. 26).

15

$$a_0 = 2$$
$$a_1 = u + v = 14$$
$$a_2 = u^2 + v^2 = (14u - 1) + (14v - 1) = 14a_1 - a_0$$
$$a_3 = u^3 + v^3 = u(14u - 1) + v(14v - 1) = 14a_2 - a_1$$
$$a_n = u^n + v^n = u^{n-2}(14u - 1) + v^{n-2}(14v - 1) = 14a_{n-1} - a_{n-2}.$$

Из этих соотношений следует, что все числа $a_n$ целые. Кроме того, если $n$ нечетно, то $a_n$ делится на 14. Доказать это утверждение можно по индукции: если $a_{n-2}$ делится на 14, то и $a_n$ делится на 14.

Задача 5. Найти $u^8 + \frac{1}{u^8}$, если $u = \sqrt{2} + 1$.

Формулы Виета, аналогичные формулам (1) для квадратного трехчлена, можно выписать и для многочлена $n$-ой степени

$$P(t) = (t - x_1)(t - x_2) \dots (t - x_n) = t^n + a_1 t^{n-1} + a_2 t^{n-2} + \dots + a_n$$

с корнями $x_1, \dots, x_n$. Для этого нужно раскрыть скобки, привести подобные члены и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $t$ в левой и правой части.

Напишем эти формулы в явном виде для многочлена третий степени

$$P(t) = (t - x)(t - y)(t - z) = t^3 + pt^2 + qt + r$$

с корнями $x, y$ и $z$:

$$p = -x - y - z$$
$$q = xy + yz + zx$$
$$r = -xyz$$

Тепер перейдем к наиболее интересным примерам применения вспомогательного многочлена — они связаны именно с тем случае, когда многочлен строится по нескольким (не менее, чем трех) корням.

Задача 6. Числа $x, y, z$ удовлетворяют соотношям:

$$x + y + z = a, \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}.$$

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно $a$.

Решение. Приимем формулы (2). В нашем случае $p = -a$, $q = xyz/a = -r/a$. Поэтому

$$P(t) = t^3 - at^2 - \frac{r}{a} t + r = (t - a)\left(t^2 - \frac{r}{a}\right).$$

Следовательно, число $a$ является корнем многочлена $P(t)$ и значит, совпадает с одним из чисел $x, y, z$.

Задача 7. (М882) Сумма трех целых чисел $u, v$ и $w$ равна нулю. Докажите, что число $2u^4 + 2v^4 + 2w^4$ — квадрат целого числа.

Решение. Пусть $P(t) = t^3 + pt^2 + qt + r$ — многочлен, корнями которого является числа $u, v$ и $w$. В силу теоремы Виета, $p = -(u + v + w) = 0$. Имеем:

$$u^3 + qu + r = 0$$
$$v^3 + qv + r = 0$$
$$w^3 + qw + r = 0.$$

Чтобы получить выражение, функрирующее в условиях, домножим эти уравнения на $2u, 2v$ и $2w$ соответственно и сложим:

$$2u^4 + 2v^4 + 2w^4 + 2q(u^2 + v^2 + w^2) = 0$$

(мы используем то, что $u + v + w = 0$). Но $u^2 + v^2 + w^2 = (u + v + w)^2 - 2q = -2q$, поэтому $2u^4 + 2v^4 + 2w^4 = (2q)^2$.

Сходным образом решается и передко включаемая задача токдеством

$$x^3 + px^2 + qx + r = 0$$
$$y^3 + py^2 + qy + r = 0$$
$$z^3 + pz^2 + qz + r = 0$$,

а затем воспользовемся формулами Виета (2) и уже встречшимся в предыдущей задаче токдеством

$$x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx) = p^2 - 2q.$$

Получим

$$x^3 + y^3 + z^3 + p(p^2 - 2q) - qp + 3r = 0,$$

откуда

$$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = -p(p^2 - 3q) = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$$.

Замечание. Выражение $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx$ неотрицательно (поскольку $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \geq 0)$. Поэтому из доказанного токдествства вытекает неравенство

$$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$$

(3)

для среднего арифметического и среднего геометрического трех неотрицательных чисел: достаточно положить в этом токдестве $x = \sqrt[3]{a}$, $y = \sqrt[3]{b}$, $z = \sqrt[3]{c}$.

Посмотрим теперь, как можно использовать вспомогательный многочлен при решении системы уравнений.

Задача 9. Решить систему

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 14 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 20. \end{cases}$$

Решение. Следуя на шему методу, введем многочлен

$$P(t) = (t - x)(t - y)(t - z) = t^3 + pt^2 + qt + r.$$

По теореме Виета

$$p = -(x + y + z) = -2$$
$$q = xy + yz + zx = \frac{(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)}{2} = -5.$$

Для нахождения коэффициента $r$ домножим уравнения системы на $q$, $p$ и $1$ соответственно и сложим. Поскольку $P(x) = P(y) = P(z) = 0$, получим:

$$-3r = 2q + 14p + 20 = -10 - 28 + 20 = -18.$$

Итак, $P(t) = t^3 - 2t^2 - 5t + 6$. Это — многочлен с целыми коэффициентами, причем его старший коэффициент равен 1. Поэтому любой целый коэффициент равен $P(t)$ должен быть делителем свободного числа. В данном случае все три корня целые (и нахождение среди делителя числа 6) — это 1, -2, и 3$^*$). Таким образом, $\{x, y, z\} = \{1, -2, 3\}$.

$\cdot$) В принципе достаточно уладать — или найти перебор — хотя бы один корень, а затем использовать разложение на многочлен. Подробнее об этом применяем расссказано в статье С. В. Фомина «Разложение на многочлен» (Квант, 1983, № 7, с. 23).

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Закон нечетных чисел» для свободного падения тела преобразования восмиллассикам, «Теорема, позволяющая решать основные задачи электростатики» — девятиклассикам, «Что такое радуга?» — девятиклассикам.
Материалы подготовил И. К. Белкин.

«Закон нечетных чисел»
для свободного падения тела

Движение свободно падающих на Землю тел — это, как известно, движение с постояннымускорением $g = 9,81 \text{ m/c}^2$. В случае, если тело в начальной момент поконтся относительно Земли, закон свободного падения математически выражается уравнением

$$h = \frac{gt^2}{2},$$

(1)

где $h$ — перемещение тела (по вертикали), $t$ — время, отсутстваемое от начала падения.

Оказывается, формула (1) приводит к одному любопытному следствию, о котором в учебниках физики обычно не говорится, но о котором знал еще Галилей, открывший закон свободного падения: Оно само по себе может считаться законом, и им можно пользоваться при решении конкретных задач.

О каком же следствии идет речь?

Формула (1), очевидно, позволяет вычислить перемещение тела за любое время, в том числе и за время $t = n\Delta t$ секунд (здеся $n = 1, 2, 3, \dots, \Delta t = 1$ с). Мало того, с помощью этой же формулы можно определить перемещение не только за все $n$ секунд, но и за каждую из $n$ секунд — за период, вторую и т. д.

В самом деле, если за $n$ секунд свободно перемещение $h_n$, а за $(n-1)$ секунд — $h_{n-1}$, то за $n$-ю секунд (здеся $n$) перемещение $h(n)$, естественно, равно разности $h_n$ и $h_{n-1}$ (здеся $n$ — число секунд):

$$h(n) = h_n - h_{n-1} = \frac{g(n\Delta t)^2}{2} - \frac{g((n-1)\Delta t)^2}{2} = \frac{g}{2}((n\Delta t)^2 - ((n-1)\Delta t)^2) = \frac{g(\Delta t)^2}{2}(2n-1).$$

Из формулы (2) видно, что перемещение $h(1)$ за первую секунд ($n=1$) равно

$$h(1) = \frac{g(\Delta t)^2}{2}.$$

Аналогично можно найти, что в последующей секунды тело совершает перемещения:

$$h(2) = 3 \frac{g(\Delta t)^2}{2}, \quad h(3) = \dot{5} \frac{g(\Delta t)^2}{2},$$

$$h(4) = 7 \frac{g(\Delta t)^2}{2}, \quad h(5) = 9 \frac{g(\Delta t)^2}{2},$$

$$h(6) = 11 \frac{g(\Delta t)^2}{2}, \dots, \quad h(n) = (2n-1) \frac{g(\Delta t)^2}{2}.$$

Таким образом, перемещения за последовательные равные промежутки времени длительного в 1 секунду относится друг к другу как 1:3:5:7:9:11:…:(2n-1), то есть как нечетных чисел (заметим, что величина $(2n-1)$ при любом значении $n$ является нечетным числом).

Интересно, что Галилей формулировал закон свободного падения тела именно в этой форме. Словами самого Галилея: «Пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относится между собой последовательные нечетные числа».

Не следует думать, что «закон нечетных чисел» относится исключительно к случая свободного падения тела. Он, разумеется, справедлив для любого равновесного движения без начальной скорости. Ведь эта закономерность есть прямое следствие того, что перемещение тела при таком движении пропорционально квадрату времени. Не нужно также думать, что этот «закон» верен только тогда, когда промежутки времени, для которых вычислются перемещения, равны одной секунду. Он, конечно, верен для любых равных промежутков времени, как это и отмечено Галилеем.

В заключение предлагаем читателям выяснить самостояльно, как выглядит «закон нечетных чисел» в случае равновесного движения.

18

Teорема, позвольяющая решать основные задачи электростатики

Известно, что электростатическое поле часто изобразают при помощи силовых линий. Попытаемся установить связь между числом силовых линий $N$ и зарядом $q$, создавшим электростатическое поле. Для этого введем понятие потока электростатического поля.

Потоком электростатического поля через некоторую поверхность будем назвать произведение $ES$, где $S$ — площадь поверхности, а $E$ — модель вектора направления электростатического поля, перpendикулярного этой поверхности.*) (Понятие «поток» здесь введено по аналогии с потоком жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы площадью $S$ в единицу времени, который, как известно, равен $vS$ («Физика 8», § 65).)

Начнем с простейшего случая — одного точного заряда. Картина силовых линий поля, созданного положительным точчемзам зарядом $q$, изобразена на рисунке 1. Расстояние сферы радиуса $r$, центром которого служит сам заряд $q$, и определяем поток электростатического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии, выходящие из заряда, перpendикулярные поверхности сферы, и в каждой точке сферы моды напряженности поля равен

$$E = \frac{q}{4\pi r^2\varepsilon_0},$$

(1)

где $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ KJ}^2 / (\text{H} \cdot \text{m}^2)$ — электростатическая постоянная. Но $4\pi r^2$ — это площадь поверхности сферы. Обозначив ее через $S$, получим:

$$ES = \frac{q}{\varepsilon_0}.$$

(2)

Отсюда видно, что поток через поверхности сферы электростатического поля, созданного точчемзам зарядом, не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряд $q$. Поэтому, если проводится ряд концентрических сфера, то поток электростатического поля через эти сферы будет одинаковым. Очевидно,

*) Если электростатическое поле не перpendикулярно данной поверхности, при вычислении потока электростатического поля надо учитывать только проекцию вектора направления нормали к поверхности.

1. Чему равна напряженность электростатического поля внутри проводника?

Известно, что проводник — это такое тело, в котором имеется свободные заряды. Эти заряды действительно свободно могут перемещаться по всему объему проводника. Единственным превращением для их передвижения служит

19

поверхность проводника, которое они сами покинут не могут.

Рассмотрим изолированный проводник, который сообщен электрическим зарядом. Вокруг такого проводника, конечно, создается электростатическое поле. Докажем, что внутри заряженного проводника электростатическое поле отсутствует, то есть направность поля равна нулю.

Как известно, в независимом проводнике отрицательный заряд всех электронов точно сбалансирован положительным зарядом всех протонов, и их суммарный заряд равен нулю. Но если проводник заряжен, то баланс зарядов нарушается. В проводнике создается избыток свободных электронов, если он заряжен отрицательно, или избыток протонов (неодостаток электронов), если он заряжен положительно. В первом случае, взаимно отталкиваясь, избыточные электроны разойдутся друг от друга на максимальное возможные расстояния, вседствие чего они расположятся на поверхности проводника (которую покинут не могут). Внутри же проводника баланс зарядов восстановится, и там суммарный заряд сновастанет равным нулю.

Во втором случае, наоборот, часть электронов с поверхности проводника, вседствие сил притяжения к положительным зарядам, устремится внутри проводника и сбалансируется избыточные положительные заряды. Суммарный заряд внутри проводника сновастанет равным нулю, а избыточный положительный заряд сосредоточится на его поверхности.

Выходит, что заряд любого знака, сообщенный проводнику, располагается на его поверхности. Внутри же проводника, то есть внутри замкнутой поверхности, который в данном случае служит поверхности самого проводника, заряд равен нулю ($q=0$). Но тогда из теоремы Гаусса следует, что

$$E = \frac{q}{\varepsilon_0 S} = 0,$$

то есть внутри проводника поля нет.

2. Как направлены силы у поверхности заряженного проводника?

На любой свободный электрон, находящаяся на поверхности заряженного проводника, действуют силы со стороны остальных зарядов поверхности (в объеме проводника сумма положительных и отрицательных зарядов равна нулю). Имея возможность свободно перемещаться по поверхности, электроны сами расположятся так, чтобы результирующая сила, действующая на каждой из них вдоль поверхности, стала равной нулю. Это означает, что проекция направленности поля на направление касательной к поверхности проводника в любой ее точке равна нулю. А это возможно только при условии, что силовые линии поля направлены перpendикулярно поверхности заряженного проводника (рис. 2).

3. Как направлено поля, созданного заряженной плоскостью?

На рисунке 3 изображен участок заряженной поверхности плоскости с плоскостью S, на котором приходит заряд q.

Мы знаем, что силовые линии поля, созданного этой плоскостью, вседу перpendикулярны к ней. А чему равняется модель направления электрического поля?

Okружим выбранный участок плоскости замкнутой поверхности, через которой силовые линии проходят под прямым углом к ней. Для плоскости такой поверхности служит, например, прямой параллелепид с основаниями, параллельными плоскости. Силовые линии поля перpendикулярны только этим основаниям, остальные четыре грани параллелепида параллельными плоским лицам. Площадь общих оснований равна 2S.

Из теоремы Гаусса следует, что

$$E \cdot 2S = \frac{q}{\varepsilon_0},$$

откуда $E = \frac{q}{2\varepsilon_0 S}$.

Эта формула приведена в §45 «Физика 9» без вывода. Из формулы видно, что направленность поля в любой его точке не зависит от расстояния до заряженной плоскости. Такое поле называют однородным.

20

4. Чему равна направность поля заряженного проводашего шара?

Поскольку шар проводящий силивые линии поля всегда направленный перпендикулярно его поверхности, то есть по радиусам (рис. 4). Найдем модель направления поля в любой точке M, находящейся на расстоянии R от центра шара. Проведем через эту точку замкнутую поверхность, ortogonalную сливым линии поля. Такой поверхности служит сфера радиуса R и площадью 4πR², концентрическая поверхность проводящого шара.

По теореме Гаусса ES=q/ε₀. Отсюда

$$E = \frac{q}{\varepsilon_0 S} = \frac{q}{4\pi R^2 \varepsilon_0}$$

— заряженный шар создает вокруг себя такое же поле, как точный заряд, помещенный в центре шара (см. рис. 4).

Что такое радиуса?

Кажdomу, наверное, доводилось видеть эту удивительное разноцветную «небесную арку», протянувшуюся на полгоризонтта. После освежащшего проходного ливня она радует глаз своим многоцветием на фоне свинцовых туч, уносимых ветром.

Как возникает и что представляется собой это разнительное зрелше? Прежде всего опишем саму радигу, какой она видится на полгоризонтте.

Характерно, что радигу можно видеть только стая спиной к солнцу, если перед глазами направляется туча, а высота солнца над горизонтом не превышает приблизительно 42°. Радига представляется собой часть окружности основания конуса, вершина которого — глаз направляется. Ось конуса — пряма, идущая от солнца через глаз направляется (рис. 1). Центр окружности обчено ниже линии горизонтта, так что радиуга не есть полукружность. К такой она приближается, если солнце близко к закату. Угол при вершине конуса равен приближительно 84°.

При перемещениях наблюдается вместе с ним, так что не имеет смысла пытается добраться до основания радиги и посмотреть на нее «сбоку». Радига — это не то, что находится в определенном месте. Радига — это то, что можно видеть в определенном направлении (под углом около 42° к упомянутой оси).

Внешняя (верхняя) часть радиги — красного цвета, нижняя — фиолетового. Между ними — «все цвета радиги».

Основные явления в радиге

Туча, на фоне которой видна радига, состоит из водных капель. В них-то и происходит те оптические явления, из-за которых она возникает. В основном это:

1. Преломление света на границе воздух — вода. Согласно закону преломления, sin α/sin β=n, где α — угол пленения света, β — угол преломления и n — показатель преломления второй среды (воды) относительно первой (воздуха).

2. Отражение на границе вода — воздух. Она происходит по общимому закону отражения — угол пленения равен углу отражения.

3. Дисперсия света, то есть зависимости показателя преломления от длины световой волны. Видимый солнечный свет содержит в себе различные длины волн — от самых длинных, около 750 nm, вызывающих ощущение красного цвета, до самых коротких, около 400 nm, — фиолетовых. У воды показатель преломления для красного света n=1,331, для фиолетового — n=1,344. Значения n для других цветов лежат между этими числами.

Как возникает радига?

Пользуясь приведенной формулировки n, можно понять, как образуется радига.

Рассмотрим каплю воды, на которой падает солнечный свет (рис. 2). Пусть пучок света (пока какой-нибудь одной длины волны) падает на каплю влизии точки A, преломляется в ней и доходит до точки B. Здесь он отражается, в точке C снова преломляется и вы-

21

ходит из капли. Но выходит уже в виде расходящerea пучка.

Можно, однako, показать, что пучки, которые попадают в то место капли, которые находится на расстоянии 0,86R (где R — радиус капли) от оси, выходят из капли почти без всякой расходимости (рис. 3). Только эти лучи и видит глаз наблюдается. А при таком положении точки A угол между падающим лучом и лучом, выходящим из капли, как раз близок к 42°. Точнее, для красного цвета этот угол равен 42°22′, а для филолетового — 40°36′. Таким образом, угловая ширина радиги составляет 1°46′. В этом угловом интервале и лежат «все цвета радиги».

Конечно, одна и та же капля не может находиться и под углом 42°22′ и под углом 40°36′. Каждый «цвет» исходит поэтому из разных капель, находящая в данный момент под соответствующим углом в указанном интервале. В образованнии радиги участвуют миллионы капель.

Вторая радига

Obviously над основной яркой радиой видна еще одна, менее яркая. Она концентрина с первой, но порядок цветов в ней обратный. Нижний ее край красного цвета, верхний — филолетового. Возникает она в результате тех же процессов преломления и отражения света в каплях воды. Но если основная радига возникает в результате двукратного преломления и однократного отражения света, то вторичная образуется при двукратном преломлении и двукратном же отражении света.

Как видно из рисунка 4, свет в капле преломляется в точке A, дважды отражается в точках B и C и выходит из капли после второго преломления в точке D. Видна эта радига под углом не 42°, а 52°. «Лишее» отражение приводит к некоторой потере световой энергии (в точке C происходит ведь и преломление света!), поэтому она менее яркая. Вторая радига исходит из совсем других капель, расположенных под большим углом к оси конуса.

Понятно, что свет от тех или иных капель (для обеих радиг), попавший в ваш глаз, не может попасть в глаз вашего соседи или вообще какого-то другого наблюдается. Каждый наблюдается природа показывает его «индивидуальный» радигу, возникшую в «его» миллионах капель.

Заключение

Изложенная здесь теория радиги, предложенная еще Ньютоном, не описывается все процессы, происходящие в каплях джедра. Картина радиги осложняется дополнительными процессами интерференции и диффрациции света, играющий важную роль, когда капли очень малы по размерам. Описанная выше картина относится к каплям диаметром 0,5—2 мм.

Дополнительные явления несколько меняют вид радиги. Все это приводит к тому, что цвет в радиге менее чисты, чем цвет, которые можно видеть при преломлении солнечного света в признаме.

22

Математика
8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Где ошиблись Петя и Вова?» предназначаена восмиллассик, «Геометрия помогает решать уравнения» — девятиклассик и трехгранные улыцы — десятиклассик. Это деление в какой-то мере условно, так как каждая из этих заметок может быть полезной не только учащимся указаны классов.

Где ошиблись Петя и Вова?

Два друга, Петя и Вова, решали на оптимальное система уравнений
$$\begin{cases} (x^2 - xy + y^2)(x - y) = 1 + y^3, \\ (x^2 + xy + y^2)(x + y) = 1 - y^3. \end{cases}$$

Петя заменил второе уравнение произведением уравнений:
$$\begin{cases} (x^2 - xy + y^2)(x - y) = 1 + y^3, \\ (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) = 1 - y^6, \end{cases}$$

то есть
$$\begin{cases} (x^2 - xy + y^2)(x - y) = 1 + y^3, \\ x^6 - y^6 = 1 - y^6. \end{cases}$$

Из второго уравнения $x = \pm 1$, открываю он получил ответ: $(1; 0); (-1; -1)$.

Вова заменил первое уравнение произведением уравнений:
$$\begin{cases} x^6 - y^6 = 1 - y^6, \\ (x^2 + xy + y^2)(x + y) = 1 - y^3, \end{cases}$$

откуда
$$\begin{cases} x = \pm 1, \\ (x^2 + xy + y^2)(x + y) = 1 - y^3. \end{cases}$$

Отсюда получается ответ: $(1; 0); (-1; 1)$.

После оlimппады они сверлили ответы и очень удивились. Кто был неправ?
П. П. Горнуша

Геометрия помогает решать уравнения

В некоторых случаях вместо того чтобы преобразовать уравнение можно поступить следующим образом: перевести задачу на геометрический язык, а затем записать полученное геометрическое условие другим способом; в реALEЛЬТЕATE ПОЛУЧАЕТСЯ БОЛЕЕ ПРОСТОЕ УРАВНЕНИЕ. Сейчас мы рассмотрим два таких примера, причем в каждом из них исходное уравнение равносильно условию «некоторые точки лежат на одной прямой»; подходящим образом записав это условие, мы получим более простое уравнение, которое и будем решать.

Задча 1. Решите уравнение $\sqrt{15 - 12\cos x} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}\sin x} = 4$, где $0^\circ < x < 90^\circ$.

Решение. Придадим уравнение вид:
$$\sqrt{(\sqrt{12})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\cos x} + \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot2\cdot\cos(90^\circ - x)} = 4.$$ (1)

На рисунке 1 изображен прямоугольник, в котором $|AC| = \sqrt{12}, |BC| = 2, ACD = x, DCB = 90^\circ - x; |CD| = \sqrt{3}, |AB| = 4$. Первое слагаемое в левой части (1) равно $|AD|$, второе — $|DB|$. Но так как $|AD| + |DB| = |AB|$, значит, $D \in [AB]$. Поэтому данное уравнение можно заменить на уравнение $\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\sin x + \sqrt{3}\cdot2\cdot\sin(90^\circ - x) = 2\cdot\sqrt{12}$ (2)

(так как $S_{ACD} + S_{DCB} = S_{ACB}$), или
$$6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x = 4\sqrt{3},$$

которое решается легче, чем исходное.

Имеем: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = 1$, то есть $\sin(x + 30^\circ) = 1$, откуда $x = 60^\circ$.

Затем инечие. Строю говоря, требуется доказать, что из уравнения (2) следует уравнение (1). Покажем это. Из уравнения (2) следует, что $S_{ACD} + S_{DCB} = S_{ACB}$, поэтому $|AD| + |DB| = |AB|$, а это и записано в уравнение (1).

Рис. 1.
Рис. 2.

23

Задание 2. Решите уравнение: $\sqrt{2} - 2\cos x + \sqrt{10} - 6\cos x = \sqrt{10} - 6\cos 2x$, где $x \in [0; \pi/2]$.

Решение. Пусть $|CA|=1, |CB|=3, |CD|=1, ACD=DCB=x$ (рис. 2). Тогда $|AD|=\sqrt{2} - 2\cos x, |DB|=\sqrt{10} - 6\cos x, |AB|=\sqrt{10} - 6\cos 2x$.

Данное уравнение означает, что $|AD|+|DB|=|AB|$, откуда $D \in [AB]$.

Следовательно, $S_{ACD} + S_{CDB} = S_{ACB}$, то есть $x+3\sin x=3\sin 2x, 4\sin x=6\sin x \cdot \cos x$. Отсюда следует, что $\cos x=2/3$, так как $\sin x \neq 0$ (из условия: $x \in [0; 90^\circ]$).

Ответ: $x=\arccos 2/3$.

Замечание. Если $x \in [0; \pi/2]$, то уравнение имело бы еще один корень $x=0$.

Уражение. Доказитеравно-sильность двух уравнений: $\sqrt{5}-4\cos x + \sqrt{13}-12\sin x=\sqrt{10}$ и $2\sin x + 6\cos x=3$, где $x \in [0; \pi/2]$.

Э. Я. Ясиновый

Друганные и трехгранные углы

Друганные углы. Друганным углом называют объединение двух полуплоскостей, имеющих общую границу, и одной из ограниченных имми пространственных области (рис. 1). Подчеркием: не всякий другранный угол есть пересечение двух полупространств (см. рис. 16).

Величиной другранного угла называют величины плоского угла, получающейся в сечении этого другранного угла плоскостью, перpendикулярной его ребру. Величина другранного угла на рисунке 1а меньше $\pi$, а другранного угла на рисунке 16 — больше $\pi$.

Друганные углы — пространственные аналоги углов на плоскости: многие их свойства аналогичны свойством плоских углов. Например, биссертор выпуклого другранного угла (так называют полуплоскость, деляшую другранный угол на два конгрузных другранных угла) можно определить как множество точек другранного угла, равноудаленных от его граней. Так же, как и плоскости, определяются вертикальные и смесный углы, при этом их величины равны соответствению $\varphi$ и $\pi-\varphi$, где $\varphi$ — величина исходного другранного угла.

Сейчас мы разберем решение двух задач, в некоторых смысле образных друг друга.

Задание 1. Двугранный угол величины $\varphi$, $0<\varphi<\pi$, пересечен плоскостью. В каких пределах может лежать величины $\varphi$ уела, получающейся в сечении?

Задание 2. В каких пределах может лежать величины $\varphi$ уела, являющегося отгоранной проекцией угла величины $\varphi$, $0<\varphi<\pi$?

Ответ к задание 1: $0<\varphi<\pi$. Поскольку велиница другранного угла меньше $\pi$, он лежит по одному сторону от плоскости любой из своих граней. Поэтому и угол в сечении лежит по углу величины $\varphi$. Для этого проще всего указать два луча с общей вершиной на ребре другранного угла, лежащие в разных его гранах, такие, что угол между ними равен $\alpha$ (а затем через эти два луча проводится секущую плоскость).

Выберем на ребре другранного угла луч $OP$ и проведем в его гранах лучи $OA$ и $OB$ под одинаковым углом $\beta$ к $OP$ (рис. 2а). При изменении $\beta$ лучи $OA$ и $OB$ будут поворачиваться, и ясно,

24

что когда β пробегает все значения от 0 до π/2, угол AOB=α будет меняться от 0 до φ. Если же луч OB проводить под углом π—β к OP (рис. 26), угол α будет меняться от π до φ (при 0<β<π/2).

Строго обосновать это рассуждение позволяет несложный расчет. Пусть плоскость, перpendикулярная к ребру двугранного угла и проходящая через точку P, пересекает лучи в точках A и B, M — середина отрезка AB (мы рассматриаем первый случай — рис. 2а). Тогда

$$\sin(\alpha/2) = \frac{|MA|}{|OA|} = \frac{|PA|\sin(\varphi/2)}{|OA|} = \sin\beta \cdot \sin(\varphi/2),$$

позному sin(α/2) принимает при изменении β от 0 до π/2 все значения в промежутке ]0; sin(φ/2)], а сам угол α — в промежутке ]0; φ] (поскольку угол α/2 — острый).

Вычисления для второго случая мы оставим читателю, а здесь показем, как можно обойтись без них. Очевидно, что в сечении двух смежных двугранных углов любой плоскостью (пересекающей их общее ребро) образуется смежные плоские углы (рис. 3). Но угол в сечении двугранного угла, смежного к данному, как показано выше, может иметь любую величины от 0 до π—φ (π—φ — величина этого смежного угла). Позному в соответствии со значениями исходного двугранного угла будут получаться углы величиной от π до φ, что как раз и требовалось.

Перейдем к задаче 2. Пусть угол A1OB1 величины φ является ортогональной проекцией угла AOB величины α. Угол A1OB1 определяет двугранный угол величины φ, ребро которого — это перpendикуляр к плоскости A1OB1, проходящий через точку O, а грани содержат лучи OA1 и OB1. Очевидно, угол AOB является сечением этого двугранного угла. Таким образом, мы снова окаазались в ситуации задачи 1, только теперь задана величины α и φ, 0<α,φ<π, можно так пересечь двугранный угол величины φ, чтобы в сечении получился угол величины α. Следовательно, в задаче 2 при проектировании можно получить угол любой величины φ, 0<φ<π, независимо от α. Учитывая, что φ <π (так как угол AOB меньше развернутого), находим ответ 0<φ<π.

Трехгранные углы. Пусть дан треугольник ABC и точка S, не лежащая в плоскости этого треугольника. Трехгранным углом SABC (выпуклим) называют объединение всех лучей с вершиной S, пересекающих треугольник ABC. (Иогда определют и невыпуклый треугольный угол SABC — объединение всех лучей с вершиной S, не пересекающих внутренность треугольника ABC — также треугольные углы мы рассматривать не будем.)

Для краткости мы будем использовать следующие обозначения для треугольного угла SABC: Â, Â, Â — величины двугранных углов с ребрами SA, SB, SC соответствующего α, β, γ — величины противоложих им плоских углов.

Трехгранные углы — один из возможных пространственных аналогов треугольников (другой аналог — терраэдры). Позному многогеометрическим треугольников (при этом плоским углом соответствующим сторонам треугольников, а двугранным углом — углы треугольников). Например, известная теорема «каждый плоский угол меньше суммы двух других» — аналог неравенства треугольника. Применя эту теорему к треугольному углу SABC1 (рис. 4), получаем другое положное свойство треугольных углов: «сумма плоских углов меньше 360°».

Аналогом теоремы «высоты треугольника пересекаются в одной точке» служит утверждение следующей задачи.

Задача 3. Докажите, что три плоскости, проходящие через ребра треугольного угла перепределения противолежащим грамм («высоты»), имеют общую прямую.

(Имеется в виду, что указаны плоскости определяны однозначно, то есть хотя бы два плоских угла, для определения ASB и ASC, не прямы.) Доказательство мы сведем к применению аналогичной планиметрической теоремы.

Проведем через точку A, взятую на ребре SA, плоскость, перепределкулярную этому ребру (рис. 5). Пусть B и C — точки пересечения этой плоскости с прямыми SB и SC соответственно, AA1, BB1, CC1 — линии пересечения плоскостей из условия задачи с плоскостью ABC.

Плоскость SAA1 перепределкулярна плоскостям SBC (по условию) и ABC (она проходит через перепределкуляр SA к (ABC)), поэтому она перепределкулярна к их линии пересечения — прямой BC. Отсюда следует, что (AA1) ⊥ (BC), то есть, что AA1 — высота треугольника ABC.

Плоскость ASC перепределкулярна плоскостям ABC и SBB1, поэтому она перепределкулярна прямой BB1, следовательно, (BB1) ⊥ (AC), аналогично (CC1) ⊥ (AB), значит [BB1] и [CC1] — тоже высоты треугольника ABC.

Высоты AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в одной точке — точке H, поэтому три плоскости, о ко-

$$\frac{\sin \alpha}{\sin A} = \frac{\sin \beta}{\sin B} = \frac{\sin \gamma}{\sin C}$$

(теорема синусов); (1)

$$\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos \hat{A}$$

(первая теорема косинусов); (2)

$$\cos \hat{A} = -\cos B \cos \hat{C} + \sin B \sin C \cos \alpha$$

(вторая теорема косинусов). (3)

Доказательство теоремы синусов. Возьмем на ребре SA точку P, |SP|=1; пусть Q, R и H — ее проекции на прямые SB, SC и плоскость SBC (рис. 6). В прямогольном треугольнике PQH угол при вершине Q равен $\hat{B}$ (если $\hat{B} \leq \pi/2$ — рис. 6 а) или $\pi - \hat{B}$ (при $\hat{B} > \pi/2$ — рис. 66); в любом случае |PH|=|PQ|sin $\hat{B} = |SP|sin \gamma \cdot sin \hat{B} = \sin \gamma \cdot sin \hat{B}$.

Из прямогольных треугольников PRH и SPR аналогично получается, что |PH|=sin $\beta \cdot sin \hat{C}$. Приравнивая эти два выражения, находим, что sin $\beta/sin \hat{B} = sin \gamma/sin \hat{C}$. Точно так же доказывается второе равенство теоремы.

Доказательство первого теоремы косинусов. Пусть векторы $\vec{SA}, \vec{SB}, \vec{SC}$ имеют длину 1, P и Q — проекции точек B и C на прямую SA (рис. 7). Тогда $\vec{SA} \cdot \vec{SB} = \cos \gamma, \vec{SA} \cdot \vec{SC} = \cos \beta, \vec{SB} \cdot \vec{SC} = \cos \alpha$, угол между векторами PB и QC равен $\hat{A}, \vec{SP} = \cos \alpha \vec{SA}, \vec{SQ} = \cos \beta \vec{SA}$ и (вне зависимости от того остры, прямые или тупые углы β и γ) |QC|=sin $\beta$, |PB|=sin $\gamma$. Далее, QC=SC-SQ, PB=SB-SP и в силу свойства скалярного произведения

$$\vec{QC} \cdot \vec{PB} = \vec{SC} \cdot \vec{SB} - \vec{SC} \cdot \vec{SP} - \vec{SQ} \cdot \vec{SB} + \vec{SQ} \cdot \vec{SP},$$

откуда

$$\sin \beta \sin \gamma \cos \hat{A} = \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma - \cos \beta \cos \gamma + \cos \beta \cos \gamma,$$

то есть

$$\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos \hat{A}.$$

Теорема доказана.

Если угол A — прямой, то cos $\alpha = \cos \beta \cos \gamma$. Это утверждение иногда называют теоремой Пифагора для треугольных углов.

Для доказательства второй теоремы косинусов удобно воспользоваться по-

26

найтием полярного (или пополнительного) треггранного угла.

Полярный угол*). Пусть дан треггранный угол $SABC$. Проведем через его вершину $S$ перепределиляр к плоскости $SBC$ и выберем на нем (из двух возможных) луч $SA_1$ так, чтобы угол $ASA_1$ был тупым. Иными словами, точки $A$ и $A_1$ должны лежать по разные стороны от плоскости $SBC$. (Объясните сами, почему угол $ASA_1$ не может быть прямым.) Аналогично выбираются лучи $SB_1$ и $SC_1$: $(SB_1) \perp (SAC), (SC_1) \perp (SAB)$, углы $BSB_1$ и $CSC_1$ — тупые. Треггранный угол $SA_1B_1C_1$ и называют полярным к углу $SABC$.

Многие примения полярных углов основаны на следующих двух интересных свойствах:

1. уелол, полярный к полярному, совпадает с исходным треггранным углом;
2. для взаимно полярных треггранных углов $SABC$ и $SA_1B_1C_1$

$$\alpha_1 = \pi - \hat{A}, \beta_1 = \pi - \hat{B}, \gamma_1 = \pi - \hat{C}, (4)$$

$$\hat{A}_1 = \pi - \alpha, \hat{B}_1 = \pi - \beta, \hat{C}_1 = \pi - \gamma. (5)$$

Докажите эти свойства самостояльно (см. упражнение 5).

Доказательство второй теоремы косинусов. Запишем первую теорему косинусов для угла $SA_1B_1C_1$, полярного к данному углу $SABC$: $$\cos \alpha_1 = \cos \beta_1 \cos \gamma_1 + \sin \beta_1 \sin \gamma_1 \cos \hat{A}_1,$$ и воспользовемся соответствиями (4) и (5). Получим

$$\cos (\pi - \hat{A}) = \cos (\pi - \hat{B}) \cos (\pi - \hat{C}) + \sin (\pi - \hat{B}) \sin (\pi - \hat{C}) \cos (\pi - \alpha),$$

откуда немедленно вытекает (3).

Уражнение

1. Докажите, что биссертор выпуклого двуггранного угла есть множество точек этого угла, равной длиенному от его граней.
2. Дан двуггранный угол и прямая $l$, пересекающая его ребро и проходящая внутри него.
   a) Пусть она не перепределиларна ребру двуггранного угла. Докажите, что через прямую $l$ можно проведить плоскость так, чтобы она была биссертриной полугившегося в сечении угла, и что такая плоскость единственна.
   b) В каких случаях можно проведить плоскость из п. a), если данная прямая перепределиларна ребру?
3. Докажите, что три следущие плоскости имеют общую прямую:
   a) биссерторные плоскости двуггранных углов треггранного угла («биссертрицы»);
   b) плоскости, проходящие через ребра треггранного угла и биссертрицы противолежащих плоских углов («медианы»);
   b) плоскости, проходящие перепределкуриной грамм треггранного угла через их биссертрицы («середанные перепределки»).

(Окончание см. на с. 42)

Чайворд

Заполнительные буквы слов, заданных в списке 1—12 ниже, имея в виду, что последняя буква каждой предыщенного слова является началом следующего. Выписав буквы, стоящие на клетках с нечетными цифрами, вы получите имя выдающегося французского математика первого половины XIX века. Какого именно?

1. Пlockая геометрическая фигура. 2. Выдающийся советский математик начала XX века. 3. Перpendикляр, опущенный из вершины треугольника на противоложную сторону. 4. Высота боковой грани пирамиды. 5. Раздел математики. 6. Французский физик и математик. 7. Отрезок, соединяющий центр с точкой окружности. 8. Математические знаки. 9. Математический знак. 10. Французский математик и механик XIX века. 11. Тригонометрическая функция. 12. Часть кругга, ограниченная дугой окружности и стягивающей ее хордой.

И. И. Картузов

27

Задание

1. Сколько зеленьх стаканчиков нужно поставить на левую часть весов, чтобы изображенные на рисунке весы оказались в равновесии?

2. На клетчатой плоскости из точки A проведены три лучa AB, AC и AD (см. рисунок). Докажите, что угол BAC равен углу CAD, используя свойства квадратной сетки.

3. Недавно я нашел прошлогодню таблицу хоккейного турира между б-min классами нашей школы. На ней сохранилась лишь небольшая часть записей. Попробуйте восстановить таблицу.

4. Фигуру, изображенную на рисунке, требуется разделить на 6 одинаковых частей, делая разрезы только по линиям сетки. Сколько способами вам удаться это сделать?

5. На рисунке изображена электрическая цепь со звонком,ремя лампочки и время кнопками, каждая из которых в свободном состоянии соединяет одну пару контактов, а в нажатом — другую. Цепь включана в себя. Как она будет работать при нажатии на одну из кнопок?

Эти задания предложили:
M. Koman (ЧССР) и Б. Н. Гордейчик.

27

28

Как мы пьем чай
(или о том, как надо решать качественные задачи по физике)
Доктор педагогических наук
H. A. РОДИНА

В одном из выпусков телевизционной передачи «Что? Где? Когда?» «знатокам» был задан вопрос (приводим его в несколько уточненном виде):

«Уважаемые знатоки! Перед вами стоит стакан с чаем. Отпейте глоток и ответьте на вопрос: почему чай поднимается вверх, в то время как обычно вода льется вниз?»

Ответ, на котором остановился после минутного обслуживания знатоки, был такой: «воду мы всасываем». Он был признан правильным, и знатоки получили очко и награду — книгу.

А что бы ответили вы, если бы такой вопрос задали вам и не в телевизционной передаче, а на уроке физики? Ведь вопрос этот — настоящая качественная физическая задача (так условно называют задачи, в которых нет числовых данных и решения которых не обязательно должно быть выражено в виде формулы или числа). Но прежде чем думать над ответом, договоримся, что мы будем считать ответом. Решить качественно задачу по физике — это значит дать ответ на ее вопрос, обоснованный законом и правилами физической науки, выраженный приятными в ней терминами, изложенный логично, так, чтобы каждый новый этап рассужdenя являлся следствием предыдущего. Наверное, вы согласитесь, что с этой точки зрения нельзя считать данный знатоком ответ на «задачу о чае» удовлетворительным.

Так как же решать задачу? Давайте послушаем, как это делают два шестиклассика — Саша и Алеша.

Саша. Все дело в атмосферном давлении!

(Надо сказать, что Саша предпочта ответать на вопросы быстрого.)

Алеша. Подожди, надо начать с самого начала — с условия: неподвижное тело — чай, находящейся в стакане,— пришло в движение. Мы знаем, что существует явление инерции — если на тело не действуют другие тела, не действует сила, то тело находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Тело не может само по себе изменить это состояние, и чай не может начать движаться без действия силы.

Саша. Но ведь на все тела действует сила тяжесте, она действует и на чай. Он не льется, не падает взиз, потому, что у стакана есть дно.

Алеша. Такое объяснение — у стакана есть дно — может дать и маленький ребенок. С точки зрения физики это — не объяснение. Кто чил физку, тот скажет: под действием веса чай до проигнается, возникнет сила упругости, направленная вверх. Она действует на чай и уравновешивает действующую на него силу тяжесте.

Мы объяснили, почему чай снача не подвижен относительно стакана. Но в нашей задаче редьет не о движении всего тела — воды в стакане — как целого, а о движении частей воды

29

относительно друг друга. Такое движение вызвается разницей давления в разных местах внутри жидкости или на ее поверхности.

Саша. Это пожоже на сообщащиеся сосуды. Когда давление стольов жидкости в сосудах не одинаково, то один столб опускается, а другой поднимается. В нашей задаче один столб чая — это тот, который находит около рта, а второй — весь остальной чай. Пока мы не пымем чая, давление этих столбов воды одинаково, а как только…

Алеша. Нужно обьясить, почему те два столька чая, о которых ты говорил, производят друг на друга одинаковое давление.

Саша. Это мы потом докажем, а теперь продолжим решение задачи. Итак, нам дано: чай в стакане был неподвижен, а когда человек коснулся стакана губами, чай начал подниматься.

Алеша. Во-первых, в физике есть более точные термины, и нужно сказать так: чай находился в покое относительно стакана; а во-вторых, нужно учеть все особенность явления. Ты не обратил внимание на то, что, если стакан неполный, приходится наклонять его, пока губы не коснутся чая. Потом человек делает вдох — и только тогда чай начинает подниматься.

Предлагаю такую, на мой взгляд — четкую, формулировку задачи.

Дано: в стакане находится чай; он покопится относительно стакана. Человек наклоняется к стакану или наклоняет его так, чтобы чай и губы соприкоснулись. Потом он делает вдох, и чай в этом месте поднимается, попадает человеку в рот. Остальная часть чая опускается. Вопрос задачи: почему та часть чая, которая касается губе человека, поднимается вверх?

Саша. Но ведь всего этого не было в условиях задачи!

Алеша. Было. Просто нужно представить себе то явление, о котором говорится в условия. А после этого нужно «привнести» еще те данные, о которых может быть, и не сказано, но которые можно получить из наблюдаемой или природувании задачи. По-моеу, правильное и до конца понятно условия задачи — это уже начало решения.

Саша. Тогда давай продолжим решение. Человек делает вдох, то есть втягавает в себя воздуха,….

Алеша. Подожди. Что значит — втягавает воздуха? Вodox человек делает так: услимем мыщц он расширяет свою грудную клетку, объем его легких увеличивается, воздуха в них расширяется. От этого плотность воздуха в легких и в сообщащейся с ним положении уменышается, и давление его становится меньше, чем давление наружного воздуха. Воздух перемешается из места более высокого давления, то есть снаружи, в области более низкого, то есть в легкие.

Саша. А так как человек, делая вдох, касается губами поверхности чая, причем касается плотно, то проискодит вот что: на всю поверхность чая действует atmosферное давление, а на поверхности, примыкающий к губам человека, действует давление воздуха, находящемся в положении рта, а оно меньше atmosферного. Все ясно! Я же говорил, что причина всего — atmosферное давление! Опять скажешь: подожди?

Алеша. Скажу. Почему atmosферное давление, про которое мы знаем, что оно действует на чай сверху вниз, заставляет чай подниматься вверх?

Саша. Потому что жидкости и газы передают давление во всех направлениях без изменения. Это — закон Паскала.

Алеша. По-моеу, мы уже можем сформировать окончательное решение задачи.

Чай в стакане был неподвижен, так как равноведущая приложенные к нему сил — силы тяжесте и силы упругости дня стакана — равна нуль — ведь значения этих сил равны, направлены силы по одному при помощи противоположные стороны. Неподвижны относительно друг друга были и части жидкости (чая), так как давление внутри нее и давление на ее поверхности было

30

Везде одинаково. Когда человек приблизил вплотную губы к какому-то месту поверхности чая и сделал вдох, то есть расширил легкие, в этом месте давление воздуха на поверхности чая стало меньше, чем действuoшее на остальной часть поверхности атмосферное давление. Разница давления заставила чай перемешаться в области более низкого давления — стольик чая, находящегося под губами человека, поднялся, а остальной чай опустился.

Мне кажется, мы должны образцовое решение задачи.

Алеша. Давай спросим у автора статьи, как можно оценить наше решение.

Автор. Я учительница физики, и шестиклассикам Саше и Алеша поставила бы за данное имя решение задачи оценку «пять». Решение считало очень хорошо. Мне очень понравилось, что по ходу рассужdenя у Алеши все время возникали «попутные» вопросы. Ведь ответы на них и были этапами решения всей задачи.

Но является ли это решение образцовым? В зависимости от того, каковы были практические целые решения задачи, каковы знания решающего ее человека, решение можно оценить по-разному. Но его можно улучшать, пожалуйста, бесплатно. Например, можно было бы указыть, почему и при каких условиях плотность воздуха изменяется при изменении его объема, причем, дать объяснение на основании знаний о молекулах; можно более подробно разяснить роль закона Паскала в наблюдаемом явлении и т. д.

Эти дополнительные объяснения и те, о которых говорили Саша и Алеша, решая задачу, советую читателем продумать.

В заключение предлагаю вам самостоятельное решение такую качественную задачу.

Все знают, как пользоваться пипеткой. А почему поднимается жидкость в пипетке? Будет ли пипетка «работать», если вместо резинового баллончика на стеклянную трубку надеть маленький полизтленовый мешочek?

Наша анкета

Дорогие читатели! Для улучшения работы журнала нам очень знать ваше мнение о публикуемых в «Кванте» материалов. Просим ответить на вопросы анкеты.

1. Ваши фамилия, имя, отчество, возраст, место учебы (город, школа, класс) или работы (профессия, специализность), круг интересов (математика, физика).
2. С какого года вы читете «Квант»? Ваше отношение к журналу в целом.
3. Сколько человек читают ваши номера «Кванта»?
4. Материалы каких рубрик журнала вас интересуют и доступны для вас? Какие не интересуют или не нравятся?
5. Наозвите 2 — 3 лучше стать (за 1983 — 1984 года) из разных рубрик журнала.
6. Справляется ли вы с задачами из Задачника «Кванта»?
7. Статы на какие темы вы хотели бы видеть в «Кванте» в 1985 году?
8. Дополнительные замечания и пожелания.

Ответы высылайте на отдельном листе бумаги, сохранить номера вопросов, до 20 февраля 1985 года по адресу: 103006. Москва К-6, ул. Горького, дом 32/1, «Квант», «Анкета».

31

Задча в картинах

Однажды капитан де Тревиль
наблюдал, как Арузья муш-
кетеры развлекались игрой
в переггивание каната.

Портос
с д’Артань-
яном легко
перегняли
Атоса с Ара-
мисом.

А как кончит-
ся борьба Пор-
tocа с Аtocом
против Армиса
с д’Артаньном?

С трудом победи-
ла первая пара.

Что же
будет, если
поставить
Портос с
Арамисом
против
Атоса с
д’Артань-
ном?

Предлагаю ничего !!!

Как же
мушкетеры
распределяют-
ся по своей
силе?

Текст А. П. Савина, рисунки Э. В. Назарова

31

32

Задчи

М896 — М900; Ф908 — Ф912
М896. Про выпуклей четырехугольник ABCD известно, что окружность с diamетром AB касается прямой CD. Доказите, что окружность с diamетром CD касается прямой AB тогда и только тогда, когда прямые BC и AD параллельны.

М897. Найдите хотя бы одну пару целых чисел (x, y) такую, что число $(x+y)^7-x^7-y^7$ делится на 7, а число $(x+y)xy$ не делится на 7.

М898*. Для нечетных натуральных чисел $a<b<c<d$ выполнены условия: $ad=bc; a+d=2^k$ и $b+c=2^m$, где $k$ и $m$ — неоторные натуральные числа. Доказите, что a) $a=1$; b) для каждой $m \geqslant 3$ существует, причем только один, набор чисел $a, b, c, d, k$, удовлетворяющий этим условиям.

М899. Наозовем окружением нецелого числа $x$ замену его на одно из двух ближайших целых чисел ([x] или [x]+1).
a) Доказите, что в любом равенстве $x_1+x_2+\ldots+x_m=y_1+y_2+\ldots+y_n$ все нецелые слагаемые можно округлить так, что равенство останется верным.
b) В таблицу из $m$ строк и $n$ строкцов записаны неоторные числа, причем суммы их по строкам $a_1, a_2, \ldots, a_m$ и по строкам $b_1, b_2, \ldots, b_n$ — целые числа. Доказите, что все нецелые числа в таблице можно округлить так, что суммы по строкам и строкам будут округленем соответствующих сумм $a_1, a_2, \ldots, a_m, b_1, b_2, \ldots, b_n$.

А. П. Савин

М900. Можно ли проекция на плоскость выпуклого многогранника с 6 гранями быть a) 8-угольником? b) 9-угольником?
b)* Какое наиболее число сторона может иметь проекция выпуклого многогранника с $n$ гранями?
M. Д. Ковалев

Ф908. Самолеты летят по одной прямой навстречу друг другу с одинаковой скоростью $v$. Предельная дальность обнаружения — $l$. Один самолет после

33

обнаружения другого совершает разворот, не меняя значения скорости, и летит паралельно второму самолету, который продолжает лететь со скоростью $\vec{v}$. Потеряют ли самолеты друг друга из виду после разворота, если ускорение при повороте равно $a$? Спустя какое время после обнаружения надо начинать разворот, чтобы в конце разворота расстояние между самолетами оказалось наименьшим?

И. И. Воробьев

Ф909. На невесомой горке, образованной двумя гладкими плоскостями, каждая из которых составляет угол $\alpha$ с горизонтальной плоскостью (рис. 1), находятся два шарика. Горка может без трения скольить по горизонтальной плоскости. Верхний шарик, масса которого $m_1$, отpusходит. При каком условиях нижний шарик, масса которого $m_2$, начинает после этого «забираться» на горку?

А. И. Буздин

Ф910. На цилиндр радиуса $R$ одeto равномерно растянутое резиновое колюто массы $m$. Длина колюца в нерастранутом состоянии равна $lR$, жесткость резинки — $k$. Цилиндр начинают раскручивать с постоянным угловым ускорением $\beta$. Через какое время колюто начинает просkalывать относительно цилиндра, если коэффициент трения колюца о цилиндр равен $\mu$? Чему будет равна при этом угловая скорость колюца?

А. А. Лапидес

Ф911. На рисунке 2 приведен график изменения давления пороховых газов в столье ружья по мере продвижения пули в столье. Определите скорость сторания пороха (в кг/c) при давлении $p_{\text{max}}$, если скорость пули в этот момент равна $v$. Площадь поперечного сечения стова равна $s$. Температуру пороховых газов считать постоянной. Известно, что пороховые газы, образующие при сторании массы пороха $M$, в объеме $V_0$ создают давление $p_0$.

Л. Г. Маркович

Ф912. В катушке из сверхпроводшего провода создают постоянный ток, подключив ее к источнику тока через ключ $K_1$ (рис. 3). После этого к концам катушки подключают батарею из двух одинаковых конденсаторов, включенных паралельно. Ключ $K_1$ размыкают, после чего ток начинает чече конденсаторов, заряжая их. В момент времени, когда напряжение на конденсаторов максимально, а ток равен нулю, двойной ключ $K_2$ перебрасывают из положения 1 в положение 2, так что конденсаторы оказываются включенными последовательно, а напряжение на катушке удваивается. Поскольку индикативность катушки не изменилась, а напряжение возросло, максимальный ток через катушку, а значит, и запасенная энергия будет больше первогоравнальных. Найдите ошибку в приведенных рассуждениях.

Д. В. Павлов

36

Решения задач

M881. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трех вершин равноведренной трапецii больше расстояния от этой точки до четырёх вершин.

Рис. 1.

Рис. 2.

M882. Сумма трех целых чисел a, b и c равна 0. Докажите, что число $2a^4 + 2b^4 + 2c^4$ — квадрат целого числа.

M883. В какое наименьшее число цветов нужно раскрасть клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы a) любые две клетки на расстоянии б были покрыты в разные цвета? (Расстояние между клетками — наименьшее число линей сетки, горизонтальных и вертикальных, которые должны пересечь ладья на пути из одной клетки в другой.) b) любые четыре клетки, образующие фигуру в форме буквы Γ (рис. 1), были покрыты в четыре разных цвета?

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Пусть, для определения, $MA$ — наиболее из расстояний от точки $M$ до вершин равноведренной трапецii $ABCD$ (рис. 1). По неравенству треугольника $MA \leq AC + MC$ и $BD \leq MB + MD$, причем для любой точки $M$ плоскости хотя бы одно из этих неравенств строое. Складывая неравенства и учитьая, что $AC = BD$, получаем $MA \leq MB + MC + MD$.

Это решение имеет красную геометрическую интерпретацию: прикладывая друг к другу треугольники $AMC$ и $BMD$ так, чтобы их равные стороны $AC$ и $BD$ совместились, мы получаем четырехугольник (рис. 2); утверждение задачи совпится к тому, что каждая его сторона меньше остальных (это утверждение выполняется и в тех случаях, когда один или оба треугольника $AMC$, $BMD$ вырождаются в отрезки).

С. Е. Рукин

◆ Пользовать условием $a + b + c = 0$, получаем, что $a^4 + b^4 + c^4 = a^2(b + c)^2 + b^2(c + a)^2 + c^2(a + b)^2 = 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) + 2abc(a + b + c) = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - a^4 - b^4 - c^4$, откуда $2a^4 + 2b^4 + 2c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2$.

Л. Д. Курляндчик, С. В. Фомин

◆ a) Ответ: в 4 цвета. Пример раскраски клетчатой плоскости в 4 цвета, при которой любые две клетки на расстоянии б оказываны в разные цвета, представлен на рисунке 2.

Чтобы доказать, что меньше числом цветов обойтись нельзя, достаточно рассмотреть 4 клетки, показанные на рисунке 3. Любые две из них расположены на расстоянии б друг от друга и, следовательно, все они должны оказаться в разные цвета.

б) Ответ: в 8 цветов. Схема доказательства повторяет пункт a): надо привести пример 8-цвета

*) Решение задачи Ф891 см. в замете «Электроемкость — свойство проводника» на с. 40.

37

ной раскраски (он показан на рисунке 4) и объяснить, почему семи цветов недостаточно.

Рассмотрим 7-клеточную фигуру на рисунке 5,a. Любые две ее клетки можно покрыть одной «буквой Γ» из четырех клеток, поэтому все ее клетки должны быть разноцветными. Следовательно, в фигуре на рисунке 5,6 клетки, отмеченные звездочками, при 7-цветной раскраске должны быть одного цвета (потому что остальные ее 6 клеток нужно покранить в 6 разных цветов). Тогда, оченьindo, в любой бесконечной решетке с шагом в 3 клетки (рис. 6) все клетки должны быть окрашены одним цветом, а остальные клетки плоскости — другими цветами. Но в таком случае потребуется уже не 7, а 9 цветов (по числу таких решеток, покрывающих плоскость).

А. Г. Печковский, И. В. Итенберг

Ф890. Кристаллы железа при температуре до 910 °C состоит из элематриных ячеек, имеющих форму куба с длиной ребра $a_1=2,87 \cdot 10^{-10}$ м. Ячейка железа располагаются в вершинах куба и в его центре (рис. 1). Такая разновидность элемента — с объемочетрированной кубической решеткой — называется альфа-железом ($Fe_a$). При температуре выше 910 °C ячейки кристалла железа представляют собой граничентрированный куб с длиной ребра $a_2=3,63 \cdot 10^{-10}$ м. Ячейка располагаются в вершинах куба и в центрах его граней (рис. 2). Такая разновидность элемента называется gamma-железом ($Fe_\gamma$). Однакокова ли плотность железа в этих состояниях? Относительная atomная масса железа $μ=55,847$.

Определим сначала, сколько atoms элемента прихождения на каждую ячейку-куб. Если мысленно вырезать один элементарный кубик, то в каждой его вершине будет по 1/8 atoms (каждая вершина — общая для 8 кубков). Таких вершин 8. Следовательно, на ячейку-куб $Fe_a$ прихождения $\frac{1}{8} \cdot 8+1=2$ atoms (с учетом центрального atoms).

На элементарную ячейку $Fe_\gamma$ прихождения $\frac{1}{8} \cdot 8+\frac{1}{2} \cdot 6=4$ atoms, так как на каждую прихождения по $\frac{1}{2}$ atoms, а граней — 6.

На ячейку альфа-железа прихождения объем $V_a=(2,87 \cdot 10^{-10})^3 \text{ m}^3 \approx 23,64 \cdot 10^{-30} \text{ m}^3,$ на ячейку gamma-железа — $V_\gamma=(3,63 \cdot 10^{-10})^3 \text{ m}^3 \approx 47,83 \cdot 10^{-30} \text{ m}^3.$

Масса одного atoms железа—

Рис. 1. Рис. 2.

38

$$m = \frac{55,847 \cdot 10^{-3}}{6,02 \cdot 10^{23}} \text{ кг} \approx 9,28 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$$

(6,02·10²³ моль⁻¹ — постоянная Авогадро). Таким образом, плотности Fe₄ и Fe₇ равны, соответственно,

$$\varrho_a = \frac{2m}{V_a} \approx \frac{2 \cdot 9,28 \cdot 10^{-26}}{23,64 \cdot 10^{-30}} \text{ кг/м}^3 \approx 7850 \text{ кг/м}^3,$$

$$\varrho_\gamma = \frac{4m}{V_\gamma} \approx \frac{4 \cdot 9,28 \cdot 10^{-26}}{47,83 \cdot 10^{-30}} \text{ кг/м}^3 \approx 7760 \text{ кг/м}^3,$$

и $\varrho_a > \varrho_\gamma$.

И. М. Низамов

Ф892. На стеклянный шарик радиуса R падает луч света, направленный вдоль радиуса. На расстоянии r от центра шарика свет рассеивает равномерно по всем направлениям на маленьком воздушном пузырьке, образовавшем при изготовлении шарика. Определить зависимость доли выходящого из шарика света от r. Показатель преломления стека n. Потерями света в стекле пренебречь.

Рис. 1.

Рис. 2.

В результате рассеяния на пузырьке луч отклоняется на угол β от своего начального направления и падает на границу раздела стекло — воздух под углом α (рис. 1). Если при этом оказывается, что $\sin \alpha > \frac{1}{n}$, то на границе проискодит полное внутреннее отражение. Второй раз луч упадет на границу стекло — воздух снова под углом α, снова проискодет полное внутреннее отражение, и т. д. Таким образом, луч, испытавшие после рассеяния полное внутреннее отражение на границе стекло — воздух не выйдет из шарика. Найдем, при каких значениях угла отклонения β это проискодит.

Согласно теореме синусов (см. рис. 1),

$$\frac{r}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin \beta}.$$

Подставляя sin α, находим:

$$\beta_1 = \arcsin \left( \frac{R}{rn} \right),$$

(1)

$$\beta_2 = \pi - \arcsin \left( \frac{R}{rn} \right).$$

Полное внутреннее отражение испытавшего все луч, отклоняющегося при рассеянии на углы β, удовлетворяющие условиям

$$\beta_1 < \beta < \beta_2.$$

Все остальные луч после рассеяния выходит из шарика.

Так как луч рассеяются на пузырьке равномерно по всем направлениям, доля η света, выходящого из шарика, равна отношению площадей двух сферических сегментов (на рисунке 2 они заштрихованы) к полной площади сферы проискодного радиуса, центр которого совпадает с центром пузырька:

$$\eta = \frac{2 \cdot 2 \pi \rho h}{4 \pi \varrho^2} = \frac{h}{\varrho}.$$

Как видно из рисунка 2,

$$h = \varrho (1 - \cos \beta) = \varrho (1 - \sqrt{1 - \sin^2 \beta}) = \varrho \left(1 - \sqrt{1 - \left(\frac{R}{rn}\right)^2}\right).$$

Таким образом,

$$\eta = 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{r^2} \left(\frac{R}{rn}\right)^2}.$$