Квант 1985, №1 · Страницы

ISSN 0130-2221
1
1985
Научно-популярный физиком-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР
KBANM
4
1984
KBANM
1
1978
KBANM
1
1979
E hv

ДИПЛАМ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР
И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ
НАУК СССР

Здесь воспроизведен Диллом, который с 1985 года награждалются победители конкурсов, проводых нашим журналом (Задачик «Кванта», шахматный конкурс и др.). На нем изображены аллегорическая фигуры Пифазора и Архимеда, заимствованные из первого русского учебника математики, написанного Леонтием Магницким и изданного в Москве в 1703 году.

В НОМЕРЕ:

2 «Кванту» — 15 лет
3 К нашим читателем
4 Л. В. Тарасов. Мирные профессии лазерного луча
10 О. В. Ляшко. Почему не уменышится сопротивление
16 Ф. Н. Склокин. Белая мгла, или Не верь глазам своим

IN THIS ISSUE:

Kvant is fifteen
To our readers
L. V. Tarasov. Peaceful professions of the laser ray
O. V. Layshko. Why the resistance does not decrease
F. N. Sklokin. White haze, or Don’t believe your own eyes

Mathematический кругок
Н. В. Васильев, В. Л. Гутенмахер. Пары чисел и действия с ними

Mathematics circle
N. В. Vassiliev, V. L. Gutenmacher. Pairs of numbers and operations with them

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10
Mathematica 8, 9, 10
Избранные школьные задачи

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 8, 9, 10
Selected school problems

Kалейдоскон «Кванта»

Kvant’s kaleidoscope

«Квант» для младших школьников
Задания
C. C. Кротов. О давлении и законе Паскала, или Почему у сыра круглые дыры

Kvant for younger school children
Problems
S. S. Krotov. On pressure and Pascal’s law, or Why does cheese have round holes

Новости науки
Топ-кварк и тигренок Топ

Science news
Top-quarks and Top the little tiger

Заданияк «Кванта»
Задания M901—M905; Ф913—Ф917
Решения задач M884, M885; Ф894—Ф897

Kvant’s problems
Problems M901—M905; P913—P917
Solutions M884, M885; P894—P897

Информация
Братическая летняя школа юных программистов
Новый прием во Всесоюзную заочную математическую шклу
Новый прием на заочное отделение Малого механита
Заочная физico-техническая школа при МИСиCe

Information
Young programmer’s summer school in Bratislava
Entrance requirements to the All-Union mathematics correspondance school
Entrance requirements to the Maly Mechmat correspondance school
The MISIS physico-technical correspondance school

Варианты вступительных экзаменов
Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (40)
Шахматная страница
Фантастика на шахматной доске (3-я с. обложки)

College entrance examinations
Answers, hints, solutions
Kvant smiles (40)
The chess page
Science fiction on the chessboard (3rd cover page)

3

К нашим читателем

В нашей стране издается много журналов: Они нужны математикам и физикам, биологиям и врачам, географам и геологиям, инженерам разных специальностей, учтелем и, конечно,… школьникам. Но своего научного журнала у школьников пока не было. Настала пора заполнить этот пробел. Мы хотели бы, чтобы для школьников, интересующаяся математикой и физикой, «Квант» стал их первый научным журналом.

Конечно, мы рассчитываем на школьников, которые математика и физика просто «правятся» или могут поправиться. Но сейчас очень велика потребность страны в молодении, занимающей научкой с увлечением и сверх обязательных школьных требований. В СССР на конец 1968 года было более 800 000 научных работников и среди них более 80 000 специалистов по физico-mатематическим научам. Общее же число научных работников, инженеров, экономистов и т. п., которые надо с инцизацией и собственной выдумкой владелять математическим методами и искусством физического эксперимента, скоро будет исчисляться миллионами. Наша страна занимаетована в том, чтобы школьники, которые учь-

ствуот в себе способности справляться с математическими и физическими задачами, своевременно задумались о выборе такого дальнейшего изученного пути, на котором их способности и интересы не пропадут даром. Поэтому и создатся все возможности для успешных занятий математикой и физикой. Организуются специальные физико-mатематические школы, со старшими школьниками ведутся дополнительные факультативные занятия, устанавливается физическая и математическая олимпиады. Это же целый случай и «Квант». В журнале будет много материалов, подходящие для работы в школьных кругжках. Но с журналом можно будет работать и самостоятельно.

Сразу надо поддержнуть это слово — работа. В журнале вы найдете и весленные страницы, и материалов для сравнительного_LEGACIOUS_MATHEMATICS_WORKS. Но основные материалы журнала расширяны на школьников, которые будут над ним работы. Задания надо решать, статьи читать с бумагой и карандашом в руках, описываемые опыты надо постараться самим воспроизвести.

Большая часть материалов журнала расширяна на старшеклассников, но и ученики 6—7 классов, мы надемся, найдет в журнале коe-что интересное.

Не пугайтесь, если вычале yourself показется вам недоступным и трудным. Возьмите за другой материал журнала, попрощите, но через некоторое время попробуйте вернуть к тем, которые сначала оставили в стороне.

В заключение о том, почему журнал называн «Квант». В своей время появление идеи о кванте вызвало глубокие изменения в физической науке. Нам хочет她说ся, что появление нового журнала тоже вызвовет большее продвижение и даже заметный скакок вперед в деле приобретения школьников к современной науке. Повторим еще раз: чтобы наши надежды стали реальностью, надо, чтобы читатели сразу вместе с нами в активную работу.

Желаем успеха!

Редакционная коллекция
(«Квант», № 1, 1970 г.)

Мирные профессии лазерного луча

Кандидат физico-mатематических наук
Л. В. ТАРАСОВ

Сезодняя луч лазера применяется в сварке и резке металлов, в хирургических операциях (от крупных полостиных до тончайших операций на сетчатке глаза), тонких технических процессов в электронике, микровызывах в установках термоядерного синтеза. Всякий малчищка теперь знает слово «лазер».

Президент АН СССР
академик А. П. Алексаидров
(из речи на XXVI съезд КПСС)

Создав лазер, человек получил возможность необычайно сильно концентрировать световую энергию и посылать ее в том или ином направлении в пространстве. Этот поток световой энергии может быть и непрерывным, и в виде следующего друг за другом мощных импульсов. Можно управлять и частотой следования лазерных импульсов, и их параметрами — энергий, длительностью. Лазерный луч можно сформировать на облучаемой поверхности в световое пятно диаметром до 1—10 мкм. Современная лазерная техника легко позволяет сконцентрировать на поверхности матрица светового интенсивность $10^5$—$10^6$ Вт/см². Иными словами, научские облучения размером ~1 мкм на поверхности матрица ежекундно попадает энергия порядка 0,1 Дж. При столбь больших интенсивностей металлы начинают плавать. Сегодня не составляет особого труда обеспечить еще более высокую световую интенсивность: $10^6$—$10^8$ Вт/см². В этом случае происходит интенсивное испарение облучаемого матрица.

Мощный лазерный луч может стать грозным оружением, но он может успешно использовать в мириных целях. Советские учены и инженеры убедительно показали, сколько круглых профессий лазерного луча. Они доказали эффективность и перспективность использования лазеров для обработки матриалов, в медицинке, в современной вычислительной технике, в точнейших контрольно-измерительных устройствах, для научных исследований. Однако из величины изобретений XX века — лазер — может и должен быть труденком, а не солдатом.

В пределах одной статы невозможно даже кратко расскаать о всех мириных профессиях лазерного луча. Мы ограничимся здесь лишь двумя темами: обработка матриалов лазерным лучом и применение лазеров в медицинке.

Лазерный луч — новый инструмент для обработки матриалов

На циферблатеручных часов «Полет» есть надпись: «23 камня». Упо-

Лазерная установка «Рубин-2», использует для контроля радиоэлектронной аппаратуры.

5

минание о числе камней можно видеть и на циферблатах других часов с механическим заводом. Что это за камни? Речь идет о рубиновых камнях, использемых в часовом механизме в качестве подшипников скольжения. Чтобы изготовить такой подшипник, надо выверить в рубине (материале весма твердом и в то же время хруплом) небольшоеуглубление диаметром всего 0,1 мм. Многие годы эта операция выполнялась механическим способом с использованием сверл из специально обработанной тонкой проволоки. Сверло делало в минуту более 10 000 оборотов и одновременно совершало при этом около 100 возвратно-поступательных перемещений. Для сверления одного камня требовалось примерно 15 минут.

Начиная с 1964 года малопроизводительное механическое сверление отверстий в часовых камнях стало повсеместно заменять лазерным сверлением. Конечно, термин «лазерное сверление» не надо понять буквально. Лазерный луч не сверлит отверстие — оно создает за счет интегисивного испарения материалов. Отверстие в рубиновом камне (при толщине заготовки 1 мм) пробивается серий из нескольких лазерных импульсов, имеющих энергию 0,1 Дж и длиательность порядка $10^{-4}$ с (то есть имеющих максимальную мощность порядка $10^3$ Вт); при фокусировке лазерного импульса в световое пятно диаметром 0,01 см обеспечивает световая интенсивность порядка $10^7$ Вт/сm². Производительность работы лазерной установки, действующей в автоматическом режиме, — один камень в секунду. Это примерно в тысячу (!) раз выше производительности механического сверления.

Во многих изменительных приборах, в технических процесах, требующих соблюдения высокой точности, необходимо очень тонкие проволоки из меди, бронзы, волфрама. Чтобы получить такую проволоку, металл протягивает сквозь отверстия соответствующего диаметра, высокленные в сверхтвердом материале, например в алмазе (так называемые алмазные фильеры). Алмазные фильеры позволяют проводку диаметром всего 10 мкм; эта проволока в десяти раз тонше человека всего волока. Но как просверлить столбное отверстие в таком сверхтвердом материале, каким является алмаз? Механические это сделать довольно трудно; для сверления одного отверстия требуется до десяти часов. Это совсем нетрудно пробить это отверстие серий из нескольких сфокусированных мощных лазерных импульсов.

Как видите, лазерное сверление обладает рядом весма важных преимущества: оно позволяет получить отверстия в материалов, отличающихся высокой твердостью (например, алмаз) или повышенной хруплостью (например, глиноземная керамника); можно получить очень тонкие отверстия, и при этом относение глубины probываемых лазером отверстий к их диаметру достигаетrekordно больших значений (по сравнению с другими методами сверления) — глубина отверстия может превышать его диаметр в 10—50 раз. Во всех случаях лазерное сверление отличается высокой производительностью. Наконец, в отличие от обычных сверл «лазерные сверла» не ломаются и не изнашиваются.

Развитие микрозлектронки организации связи с совершенствованием технологии изготовления микросхем. Большую помощь может оказать здесь лазерный луч. Вначале лазеры применяются лишь для микросварки. Так, при помощи рубинового лазера привязывается вводы к контактам на кремневых пластинках, привязываясь тонкие провода к тонким плenkам. Затем начали применять $\text{CO}_2$-лазеры (лазеры на углесклом газе) для повышения отверстия в керамнических подложках для микросхем. Сегодня лазерный луч все чаще использует для подгонки параметров тонкопленочных схем и для изготовления отдельных элементов схемы. С помощью лазера можно целком изготовить пленочный схему — со всеми входящими в нее резисторами, конденсаторами, индуктивностями. Предположим, что на диэлектрическую подложку микросхемы нанесена напылленем тонкая металлическая плена. Перемещая вдоль поверхности пленки сфокусированное лазерное пятно, можно испарить определенные участки пленки и тем самым создать нужный «рисунок» микросхемы.

6

В нашей дни лазерный луч широко применяют для резания материалов. Им можно резать практические любой материалов: ткани, бумагу, дерево, фанеру, резину, пластмассу, керамику, листовой acбест, стекло, листы металла. При лазерной резке можно получить аккуратные разрезы сложного профиля, с гладкими необожженными краями среда. Для резки используются неперрывно генерирующие лазеры или лазеры, генерирующие последовательность световых импульсов с высокой частотой следования. Требуется мощность излучения зависит от разрезаемого материала и толщины заготовки.

Чтобы продемонстрировать, насколько широко используется сегодня лазерная резка, приведем два примера. Первый пример — лазерная резка и раскрой ткани на современной тканикой фабрике. Устройство включает в себя неперрывно генерирующий CO₂-лазер мощностью 100 Вт, систему фокусировки и перемещения лазерного лука, ЭВМ и система для натажения и перемещения ткани. В процессе резания лазерный луч перемещается по поверхности ткани со скоростью до 1 м/c. Диаметр фокусированного светового пятна равен 0,2 мм. Перемещениями лазерного лука и ткани управляет ЭВМ. Подобное устройство позволяет, например, в течение часа раскроить материал для 50 костюмов. Раскрой производится не только быстро, но и с очень высокой точностью. При этом обеспечивает хорошое качество краев разреза.

Другой пример — применение лазерной резки в авиационной промышленности и, в частности, при производстве космических летательных аппаратов. С помощью лазеров осуществляют автоматизированное разрезание листов титана, стали, алюминия. Непрерывно генерирующий CO₂-лазер мощностью 3 кВт разрезает лист титана толщиной 5 мм со скоростью 3,5 м/min.

Наряду с лазерной резкой широко применяется сегодня и лазерная сварка. Замечательно, что прочность сварных соединений (ширина шва составляется несколько миллиметров) достигает уровня прочности сварваемого материала. Осуществляется автоматическая лазерная сварка кузовов автоматический, общивки судов, сварка газопроводов. На автозаводе имеются И. А. Лихачева в Москве, например, при помощи CO₂-лазера мощностью 5 кВт производят автоматическую лазерную сварку карданныхалов автоматическим. Срок службывали повышается в три раза.

Лазерная сварка успешно конкуррует с хорошего извлечения способами сварки, например с дуговой сваркой. Это убедительно подтверждает таблица, помещенная на этой странице. В таблице приведены данные, относящиеся к дуговой и лазерной сварке одного погонного метра стального листа толщиной 20 мм.

8

ном случае лазерным лучом — «проожечь» отверстия (протоки) в радижной оболочке и тем самым восстановить нормальный отtok внутриглазной жидкости. Очень скоро, однako, выясились, что «проожигание» радижной оболочки вызывает воспаление, которое довольно быстро ликивидирует сделанные протоки. Исследования советских медицин во главе с академиком AMH СССР М. М. Красовым показали, что надо не проиграть, а «пробивать» протоки в радижной оболочке. Для этого нужно, чтобы лазерный имплус был чрезвычайно коротким. В применяемой для лечения глаукомы советской лазерной установке «Ятаган» использовая лазерные имплусы длительностью всего 10⁻⁷с. Вся операция занимает 10—15 минут.

Начиная со второй половины 60-х годов лазерный луч стал применяться в качестве своегообразного скальпеля в хирургии. В СССР практическое использование лазеров в хирургии началось в 1966 году в Институте хирургии имени А. В. Вишневского (под руководством академика AMH СССР А. А. Вишневского). Лазерный скальпель был применен в операциях на внутренних органах грудной и брюшной полости. В настоящее время лазерным лучом делают кожно-пластические операции, операруют пшезовод, желудок, кишечник, почки, печень, сельзенку и другие внутренние органы. Делают первые шаги по применению лазера в операциях на сердце.

Объчно используется CO₂-лазер нерерывного действия мощностью в несколько десятиков batt. Излучение лазера поступает в систему шарниро соединительных полых развигающихся трубок, по которой свет распространяется, отражаясь от зеркал. На выходе из системы излучение вырывается наружу в виде достагоно интенсивного светового луча. Во время операции хирургдержит в руке выходную трубку и может перемешать ее, свободно поворачивая в разных направлениях и тем самым посылая лазерный луч в нужное место.

Лазерный скальпель использует как для рассечения, так и для сшивания ткани. Рассечение ткани производится фокусированным лучом. При мощности излучения 20 Вт и диаметре фокусированного лазерного пятна 1 мм достигается интенсивность около 2,5 кВт/cm². Излучение пропикает в ткани примерно на глубину 50 мкм. Следовательно, объемная плотность мощности излучения, induza на нагрев ткани достигает 500 кВт/cm³. Для биологических ткани это огромная величины. Естественно, происходит быстрое разогревание и испарение ткани — налицо эффектив рассечения ткани лазерным лучом.

Если же сизить интенсивность излучения до 25 Вт/cm², то ткани испарятся не будет, а будет происковать поверхностная коагуляция (сгущение) тканивой жидкости. Этот процесс и использует для сшивания разрезанной ткани. Биологическая сварка осуществляется за счет коагуляции жидкости, содержащейся в рассекаемых стенках операруемого органа и специально выдавливаемой в промежуток между соединяемыми участками ткани.

Лазерный луч как хирургический

10

Почему не уменьшится сопротивление

Кандидат физико-mатематических наук
О. В. ЛЯШКО

Хотя в этой статье решается чисто физическая задача, перед вам — стать по математике. Для ее понимания не требуется серверных знаний по физике; статьи не ставит себе цель подробно описать как целлюлоб глубокие физические явления. Как часто бывают в приложениях математической науки, здесь строится математическая модель рассматриваемой ситуации иводится математической аппарат, применение которого дает простое решение исходной задачи, а также позволяет ответить на многие другие вопросы, не только по физике — но и по экономике и геометрии.

Рассмотрим электрическую цель, состоящую из резисторов, и изменим общее сопротивление $R$ цепи между двумя ее точками $A$ и $B$. Предположим теперь, что один из резисторов сторел и его сопротивление возросло*). Вновь изменим сопротивление $R$ между $A$ и $B$. Как вы думаете, может ли тогда оказаться, что сопротивление $R$ 1) увеличилось? 2) осталось неизменным? 3) уменьшилось?

1. Ясно, что сопротивление увеличится может. Например, если цель состоит из одного или нескольких последовательно соединенных resistоров, то общее сопротивление цепи равно сумме входящих в цепь сопротивления; поэтому — увеличилось одно из слагаемых, возвращет и сумма (рис. 1).

2. Чуть подумав, вы, наверное, суммете привести пример, когда общее сопротивление не меняется. Две также цепи показаны на рисунке 2. В обеих цепях увеличение сопротивления $R_0$ не изменяет общего сопротивления (продумайте, почему).

3. А вот попытки привести пример, когда общее сопротивление уменьшается, не приводят к успеху. Так может ли это быть?

— Конечно, нет, — правильно ответит здравомыслящий читатель (так, во всяком случае, ответают все мои знаками). Но на вопрос почему этого не может быть, точно ответа от них мне не довелось услышать. Это не удивительно. Ответ на этот вопрос, то есть строое математическое доказательство того, что при увеличении одного из сопротивлений любой резисторной цепи ее общее сопротивление уменьш-

11

шиться не может, совсем не прост. Он основан на одном глубоком принципе, который можно назвать принципом минимального действия).

Суть его в следующем: многое физическое процессы происходит таким образом, что некоторые величины принимает минимальное значение. Так, например, мыльная пленка, натянутая на проволочный контур в пространстве, выбирает из всех возможных формуту ту, при которой ее площадь минимальная. Луч света в среде с переменным показателем преломления из всех возможных траекторий выбирает ту, при которой время его путешествия минимально («приицип Ферма»). Должная капля, стекающая вниз с выпуклой горы, выбирает тот путь между данными уровнями, чья длина наименьшая и т. п.

Поэтому, чтобы решить соответствующее задачу (найти форму пленки, или траекторию луча, или путь капли), нужно найти минимум соответствующей функции (площади, или времени, или длины). Вот здесь, конечно, и нужна математика: математическая формулировка приципа минимального математического приемы для его использования.

Я думаю, читатель будет интересно не столько установление самого факта, сколько эти приемы и приципы. Впрочем, любопытный читатель, наверное, уже сейчас задаст себе такой вопрос: как это можно дать «строгое математическое доказательство» факта (в данном случае физического), не имеющего к математике никакого от-

Рис. 3.

ношения? Попробуем, забегая вперед, сначала наметить ответ на этот вопрос.

Когда математик береется за решение прикладной задачи, он обычно начинает с построения ее математической модели. Для этого он должен выделить нужные для описания задачи основные понятия и отбросить те стороны явления, которые не существены для ее решения. В результате возникнет абстрактное описание задачи, в котором реализуется и является заменены на математические абстрактции (точки, линии, числа, функции), а законы, которые подчиены эти явления, выражаются в виде уравнений. Так, наша электрическая цепь превращится в «натруженный граф», сопротивления станут числами, закон Ома и правила Кирхгофа запишутся в виде «основной системы уравнений». Мы забудем, что изоляция проводов сравота из пластмассы желтого цвета, что проводники и резисторы сделаны из каких-то металлов, что ток — «это бегущие электроны»: все это для нас станет одинаково несущественным. Но я, наверное, слишком забежал вперед. Обо всем по порядку.

Натруженный граф (или электрическая цепь)

Сопоставим каждой электрической цепи натруженный граф, то есть конечную совокупность точек плоскости или пространства (их называют вершинами) и некоторых набор соединяющих точки друг (ребра графа), на которых написаны числа (натружeki ребер). Например, электрическим цепям на рисунке 2 сопоставляются графы, показанные на рисунке 3; более сложный пример графа показан на рисунке 4.

Вершины перенумерем числами от 1 до n; вершину с номером i будем обозначать ⟨i⟩. Мы будем рассматри-

13

в первую вершину $\langle 1 \rangle$, $\varphi_1 - \varphi_n$ — это разность потенциалов на входе и выходе, стало быть, по закону Ома, $R$ — общее сопротивление цепи.

Существование гармоничного потенциала (или расчет резисторной цепи)

Математические задача расчета резисторной цепи, поставленной под напряжение, состоит в следующем. Дан граф Г с нагрузками $R_{ij}$ и выбранны значения потенциала $\varphi_1, \varphi_n$ на входе и выходе; требуется найти гармоничный потенциал с этим данными значениями на входе и выходе, то есть решить основную систему (1) относительно неизвестных $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ при данных $\varphi_1, \varphi_n$.

Физики знают из практики, что первого правила Кирхгофа (то есть системы (1)) хватет для расчет любых резисторных цепей. Математикам, конечно, этого мало — им нужна соответствующая общая теорема. И она есть:

Теорема 1. Для любого графа Г с положительным нагрузкам $R_{ij}$ и любыми значениями потенциала $\varphi_1, \varphi_n$ на входе и выходе существует гармоничный потенциал $\varphi$.

Я не привожу прямого доказательства теоремы по двум принимам. Вопросы, оно нам в дальнейшем не потребуется. Во-вторых, для строого доказательства нужны некоторые понятия из «линейной алгебры», дисциплины, не изучаемой в обычной средней школе. Идея же доказательства состоит в том, что у основной системы всего $n-2$ неизвестных $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ и столько же (линейных) уравнений, притом эти уравнения неависимы, и потому имеют единственное решение.

Уражения

1. Найдите другое доказательство теоремы 1, опирающееся на основную теорему (см. с. 14).

2. Проверьте, что в случае графов $2,a$ и $2,6$ ток действительное нечетet по ребрам с сопротивлением $R_0$ (то есть разность потенциалов на концах этих ребра равна нулю).

3. Докажите в общем случае, что при $\varphi_1 = \varphi_n$ общий ток (см. формулу 2)) равен нулю.

4. Составьте основную систему уравнений для графа на рисунке 4 и прикиньте, сколько нужно времени для ее решения вручную. Если вы имеете программировать, подумайте, как подключить к этой задаче компьютер.

5. Удвойте одно из сопротивлений на графе $2,a$ и сосчитайте, на сколько уведомится его общее сопротивление.

6. Докажите, что из уравнения (1), (2) и закона Ома следует (2).

Для любого нагруженного графа (электрической цепи) Г с вершинами $\langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \dots, \langle n \rangle$ и положительных нагрузками (сопротивлениями) $R_{ij}$ на ребрах мы знаем, что можно считать гармоничный потенциал $\varphi$ этого графа, то есть для произвольных значений потенциала $\varphi_1, \varphi_n$ на входе и выходе находить остальные значения $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ потенциала, решая систему уравнения (1). Далее, подставляя полученные значения потенциала в соответствии (2), мы можем найти общее сопротивление цепи $R$. Для конкретизации цепи всегда можно также обозначить, уменышилось ли общее сопротивление при уведомлении одного из $R_{ij}$ или нет. Но нам этого мало — мы хотим доказать общий факт, установить, что при уведомлении одного сопротивления общее сопротивление никака не уменышается, неависимо от конкретиного выбора цепи.

К сожалению, доказать этот факт не посредством из уравнения (1) и формулы (2) не удалось (!). Как говорится — нужна идея!

Квадратная функция (или тепловая мощность цепи)

Эту идею нам подсказет не математическая интуция, а один из тех принципов минимального, о котором шла речь в начале статьи: направление в резисторной электрической цепи распределяется согласно таким принципу. Оказывается, так «ленивый»: из всех возможных вариантов поведения он выбрает тот, при котором его энергетическая затрата (мощность, выделяющаяся на проводниках электрической цепи) минимальны. Номним, что при прохождения по проводнику с сопротивлением $R_{ij}$

14

така $I_{ij}$, соответствующего разности потенциалов $U_{ij} = \varphi_i - \varphi_j$, на проведение $\langle i, j \rangle$ выделяется тепловая мощность (то есть количество теплла за единицу времени), равная $q_{ij} = R_{ij} I_{ij}^2 = U_{ij} I_{ij} = U_{ij}^2 / R_{ij}$, а на всей цепи—мощность $Q = \Sigma q_{ij}$, где сумма берется по всем ребрам $\langle i, j \rangle$ нашего графа. Общая мощность $Q$ зависит от значений потенциалов $\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n$; поэтому общую мощность мы будем записать в виде $Q[\varphi]$.

Таким образом, мы ввели в рассмотрение функции

$$Q[\varphi] = \Sigma q_{ij}, \quad \text{где } q_{ij} = \frac{(\varphi_i - \varphi_j)^2}{R_{ij}},$$

которую мы будем называть квадратной. (Сумма в выражении (3) берется по всем ребрам $\langle i, j \rangle$ нашего графа.)

Подчеркием, что с математической точки зрения мы просто должны определение некоторой функции $Q$ на множество всех потенциалов $\varphi$ графа $\Gamma$ и (исходя из физических соображений) интересемся ее минимумом.

Квадратная функция $Q$ сама зависит не от числовой переменной, а от другой функции — потенциала $\varphi$. Такие «функции от функции» математики называют функциональными. Поиск их экстремумов — одна из важных задач варцационного исчисления, заменительной ветви математики, зародившейся еще в работах Я. Бернулли, Эйлера и Лагранжа.

Уражение 7. Выпишите квадратную функцию $Q$ для графа на рисунке 4. Подумайте, есть ли у вас методы для поиска его минимума.

Указание. Функция $Q$ зависит от $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{11} (= \varphi_{n-1})$, то есть от нескольких переменных. В школе изучают только методы поиска экстремумов функций от одной переменной, поэтому поиск минимума $Q$ — пока недоступная для вас задача.

Минимальный принцип (или приципи наименьшего действия)

Наша близкая цель — найти минимум квадратной функции $Q$. Но есть ли у нее минимум? Начнем с ответа на этот вопрос. Наш читатель, конечное же, угадал, что ответ — положительный (это тоже «физические оценки»). Те, кто готов принять на веру это утверждение, могут пропустить доказательство следующего теоремы.

Теорема 2. Для функции $Q$ существует набор значений переменных $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-1}$, при котором она достигает минимального значения.

Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем считать, что $\varphi_1 \geqslant \varphi_n$. Обозначим через $M$ множество значений переменных $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-1}$, удовлетворяющих условиям $\varphi_1 \geqslant \varphi_i \geqslant \varphi_n$ при всех $i$. Расмотрим какой-нибудь набор значений ($\varphi_2', \dots, \varphi_{n-1}$) $M$ и построим по нему новый набор значений ($\varphi_2'', \dots, \varphi_{n-1}$) $M$, заменив все значения, больше чем $\varphi_1$, на $\varphi_1$, и все значения, меньше $\varphi_n$, на $\varphi_n$. При этом, как легко видеть, значение функции $Q$ уменьшится:

$$Q(\varphi_2', \dots, \varphi_{n-1}) \leqslant Q(\varphi_2', \dots, \varphi_n).$$

Таким образом, наименьшее значение $Q$ на множество значений $Q$ на всем множестве потенциалов. Настоящее соглашение на теорему Вейерштрасса из анализа, которая утвердает, что непрерывная функция ($Q$) на замкнутом ограниченном множестве ($M$) достигает своего минимального значения. (Эту теорему в школе не проходят: точное obяснение понятный непрерывности, замкнутости и ограниченности, использующая в ней, завершение нас слишком далего, так что мы не станем здесь этим заниматься.)

Доказательство — типичное для математической «теоремы существования» — не дает нам ни способа найти интерсуцию нас минимум, ни способа как-либо описать его. Однако следует теорема, выражющая минимальный принцип для нашей ситуации, характеризует исключый минимум.

Основная теорема. Потенциал, на котором достигается минимное значение функции $Q$, — гармоничческий.

Доказательство. Пусть $\varphi^0$ — потенциал, на котором достигается минимшее значение. Нам нужно доказать, что числа $\varphi_1^0, \varphi_2^0, \varphi_3^0, \dots, \varphi_{n-1}^0, \varphi_n^0$, где $\varphi_1^0 = \varphi_1, \varphi_n^0 = \varphi_n$, являются решением системы уравнений (1). Зафиксируем все переменные, кроме одного — $\varphi_j$. Тогда функция

$$Q(\varphi_2^0, \dots, \varphi_{j-1}^0, \varphi_j, \varphi_j^0+1, \varphi_j^0-1)$$

одной переменной $\varphi_j$ также достигает минимума при $\varphi_j = \varphi_j^0$.

Эта функция является квадратным трехлелем по $\varphi_j$: $Q = a\varphi_j^2 + b\varphi_j + c$, причем коэффициенты $a$ и $b$ лежат выше, раскрывая скобки в выражении (3):

$$a = \sum \frac{1}{R_{ij}}, \quad b = -2\sum \frac{\varphi_i^0}{R_{ij}}$$

(здесь суммы берется по всем $i$, для которых $\langle i \rangle \in S_j$).

Так как минимум функции $a\varphi_j^2 + b\varphi_j + c$ ($a > 0$) достигается в точке $\varphi_j^0$, которая удовлетворяет уравнению $a\varphi_j^0 + b/2 = 0$, мы получим, подставляя в него выражения для коэффициентов $a$ и $b$,

15

Σφ₁ᵢ/Rᵢᵢ — Σφ₁ᵢ/Rᵢᵢ = Σ(φ₁ᵢ−φ₁ᵢ)/Rᵢᵢ = 0.
Таким образом, φ₁ᵢ, φ₂ᵢ, …, φₙᵢ−1, φₙᵢ — решение системы (1), что и требовалось доказать.

И, наконец, последний вопрос, на котором мы ответим: чем равно минимальное значение функции Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — ошибка сопротивления электрической цепи.

Доказательство. Пусть φ₂, …, φₙ−1 — набор чисел, на котором доступа минимум функции Q. Тогда, по основной теореме, — это решение системы уравнения (1). Следовательно, нам нужно показать, что (φ₁−φₙ)²/R = (φ₁−φₙ)I равно выражению

Σ(φ₁−φₙ)Iᵢᵢ (сумма по всем ребрам〈ij〉), где величины токов I и Iᵢᵢ подчиняются первому правилу Кирхгофа (1), (2). Раскроем скобки в (1) и вычислим коэффициент при φ₁. Значение потенциальа φ₁ умножается на величины всех токов Iᵢᵢ, проходящих по ребрам〈i, j〉, выходящим из вершины〈i〉 (если номер j меньше номера i, то φ₁ умножается на −Iᵢᵢ=Iᵢᵢ). Поэтому коэффициент при φ₁ равен

ΣIᵢᵢ (сумма по〈j〉 ∈ Sᵢᵢ)
и, значит, равен нулю для всех i≠1, n, из (1). Коэффициенты при φ₁ и φₙ равны соответствению I и −I из (2) и (2′), следовательно, суммиру по всем ребрам,

Σ(φ₁−φₙ)Iᵢᵢ = φ₁·I + φₙ(-I) = (φ₁−φₙ)I.

Решение исходной задачи

Пусть мы уведомили одно (или неоторные) из сопротивления ребер: Rᵢᵢ′ ≥ Rᵢᵢ. Тогда для функции Q = Σ(φ₁−φₙ)²/Rᵢᵢ′ и Q′ = Σ(φ₁−φₙ)²/Rᵢᵢ′ (суммирование по всем ребрам〈ij〉 нашего графа) справедливо неравенство Q′[φ] ≤ Q[φ] для любого потенциальа φ, с данными φ₁ и φ₂ на входе и выходе. Очевидно, что это неравенство справедливо и для их минимальных значений:

min Q′ = (φ₁−φₙ)²/R′ ≤ min Q = (φ₁−φₙ)²/R′,
а значит R′ ≤ R′, что и требовалось доказать.

Другие примения
нашей математической модели

А стоит ли игра свеч? — может спросить читатель. Нужно ли развоить такой математической формулиzm ради задачи, которая и так физически очень интересна?

Matематические модели создаются не только для того, чтобы математикам было удобнее работать. Отбрасывая конкретную спецификацию прикладной задачи, часто приходит к модели, которые оказываются применными к совсем другим задачам, из совсем других областей человекаской деятельности. Исследование таких модели позволяет, образно говоря, одним камнем убить много зайцев.

Здесь мы ограничимся перечислением некоторых ситуаций, в которых наш аппарат нагруженных графов (или его модификации) успешно работает.

1. Сеть из резинок на прямой. В системе из n точек на прямой неокотые пары соединены резинками известной жесткости; концевые точки растягиваются (к ним прикладываются известные силы); требуется определить положение равновесия точки.

2. Второе правило Кирхгофа и формула Эйлера. Это правило (см. с. 27 в этом номере) также удобно применять при расчете электрических цепей. Оказывается, что соответствующая математическая теория связана с формулой Эйлера B−P+Γ=1, где B, P, Γ числа вершин, ребер и области, ограниченных плоским графом.

3. Транспортные потоки. Плокский граф может изображать сеть дорог (авналиней, железных дорог) между городами, нагрузки — определенные стороны перевозок между соседними городами; требуется найти минимальное по стоимости распределение транспортировки потоков. Интересно, что на практике такие экономические задачи решаются моделированием транспортировки сети с помощью электрической сети: оператор вводит данные о количестве транспортировного товара и о стоимости перевозок, ставит себе под напряжение и считывает ответ с соответствующим амператором!

4. Совершенные прямолинники. Так называются прямолинники, которые можно разить на конечное число квадратов разных размеров. Как это ни странно, все совершенные прямолинники находятся построением и расчетом некоторых нагруженных графов!

Этот список можно было бы продолжить, но к этим вопросам «Квант» надеется в скором времени вернуть.

Белая мгла,
или
Не верь
глазам своим

Кандидат технических наук
Ф. Н. СКЛОКИН

…Густой туман тонким слоем лежит на поверхности земли и насквозь пронизывается ярким весенним арктическим солнцем. Освешенность настолько велика, что без темных очков невозможно смотреть ни вдаль, ни перед собой. Белое, ослепительно яркое снежное покрытие океана полностью сливается на расстоянии нескольких метров с окружающим воздухным пространством, словно вы находите на дне банки с молоком. Предметы не отбрасывают тени, в окружающем ландшафе почти отсутствует контрастисть…

Это — белая мгла, одно из необычных явлений природы, которое можно наблюдать иогда зимой в горах и почти всегда — весной в Арктике. В белой мгле зрительные ощущения очень часто не соответствуют действительной, реальной картине окружающего вас пространства. И это приводит иогда к довольно неприятным последствиям.

Основное прейстствие на пути льжников, идущих к Северному полюсу, — торосы. Размеры торосов — от несколько десяктков сантиметров до несколько метров; их надо либо обходить, либо карабаться через них, предолевая «в лоб». В белой мгле внешний вид торосов преобразуется. Нередко впереди себя вы четко видите вмятину в снежном покрове. Но вот вы хотите проектилые льжу над вмятиной и… натыкаетесь на приорошенный снегом кусок льда. В результате этой неожиданной встречи вы теряете равновесие, падаете; а за плечами тяжелый рюкзак. Уже лежа, вы видите, что перед вам действительное торос, и сколько бы вы теперь ни смотрели на него, он не превращится во вмятину.

Хочу привести один случай из наших полярных экпедицин. Это было в первых числах мая во время льжного перехода через поливон. Настров Врангеля. Была сама настояшая белая мгла. Я визмательно всматривался в льжню, положенную ищими впереди товаровами, и вдруг заметил, что она стала выпуклой — след от льжста на десять сантиметров выше, чем поверхность снежного покрова. Тут же я переведал взгляд на кончики своих лыж. Нет, лыжи вдавливались в снег. Но стоит ответитьзор от льжки, как льжняя сразу же становилась выпуклой. Мне было ясно, что это лишь оптический эффект, но отделаться от этого «наваждения» было непросто.

18

Эти обманы зрения объяснить не трудно. О размерах предметов можно судить, если есть информация об их удаленности от нас и возможность зрително сравнивать их величины с размерами известного этаона — например, с фигурой человека.

Если наблюдаете, находящийся в точке Н (рисунок 2), знает примеры расстояния до человека и до оцениваемого предмета и знает примерный рост человека, он может из сравнения этих данных найти приближную высоту предмета.

Зная realistic размеры объекта, мы можем по его видимым размерам оценить расстояние до него. В этом нам помогают окружающее предметы, ландшафт.

При оценке удаленности и величины предметов в Арктике наблюдаете не с чем сравнивать. Зрительный образ торса не является этаоном — ведь торс может иметь любые размеры: от сантиметров до метров. Окружающий ландшафт, а в белой мгле — практические отсутствие такогоового, не дает возможность оценить расстояние. Отсюда такая неопределенность в оценке видимых размеров предметов в белой мгле.

Вот какие коварные сюрпризы готовит Арктика путешественикам, идущим сквозь белую мглу.

19

Пары чисел и действия с ними

Кандидат физико-математических наук
Н. В. ВАСИЛЬЕВ,
кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

Содержание этой статьи в основном доступно ученкам сельмого класса. Однако мы рекомендуем ее также и старшеклассика. В статье речь идет о решениях уравнения с двумя переменными в целых числах. В связи с этим рассматриваются различные правила умножения пар чисел, в том числе и умножение комплексных чисел.

1. Уравнение $ax - by = c$
   в целых числах
   Рассмотрим уравнение
   $$8x - 5y = 19.$$

На примере этого уравнения мы продемонстрируем метод решения в целых числах линейных уравнений вида $ax - by = c$ с целыми $a, b$ и $c$.

Поскольку $8 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 19$, пара чисел $x = 3, y = 1$ является решением исходного уравнения. Это решение мы нашли простым подбором.

Покажем теперь, как, имея одно решение, можно записать все остальные решения (их бесконечного много). Вычитая из уравнения $8x - 5y = 19$ равенство $8 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 19$, получаем $8(x - 3) - 5(y - 1) = 0$, или $x - 3 = 5(y - 1)/8$. Из последнего равенства видно, что число $x - 3$ будет целым тогда и только тогда, когда $y - 1$ делится на 8, то есть $y - 1 = 8n$, где $n$ — какое-нибудь целое число. Подставляя $y - 1 = 8n$ в числитель дроби $5(y - 1)/8$ и сокращая ее на 8, получаем $x - 3 = 5n$.

Тем самым, все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

$$\begin{cases} x = 3 + 5n, \\ y = 1 + 8n, \end{cases}$$

или $(x/y) = \frac{3}{1} + n\frac{5}{8}$;

здеся $n$ — любое целое число.

Второй вид записи будет подробно объяснен в следующем пункте, а сейчас часетим, что тем же методом по-лучается формула для всех целых решений любого уравнения $ax - by = c$ (где $a$ и $b$ — взаимно простые числа):

$$(x/y) = \left( \frac{x_0}{y_0} \right) + n\left( \frac{b}{a} \right),$$

где $(x_0; y_0)$ — какое-нибудь одно его целое решение.

Для решения предложенных ниже задач надо иметь виду следующие остояльства. Если целые числа $a$ и $b$ имеют общие делители (кроме 1 и —1), то надо разделить все целые уравнения на их наиболее общий делитель. В случае, когда $c$ не делится на него, уравнение, очевидно, не имеет целых решений, а в случае, когда делится, такие решения существует — надо только подобрать одно какое-нибудь решение и записать по формуле (*) все остальные.

Для любых чисел $a$ и $b$ имеет общий метод нахождения одного решения уравнения: этот метод основан на алгоритме Евклида (см. [1] и [5]).

Задание и

1. Имеют ли следующие уравнения решения в целых числах: a) $7x - 5y = 0$; b) $7x - 5y = 1$; b) $15x - 9y = 6$; г) $39x - 63y = 47$?

Если уравнение имеет решения, то указывает одно из них и записите по общей формуле все его решения.

2. Сколько решений в натуральных (целых положительных) числах $x, y$ имеет уравнения: a) $19x + 85y = 1985$; b) $7x + 5y = 99$?

3*. Автомат делает на ленте длиной 2 м синине пометки от ее начала через каждые 7 см и красные пометки тоже от ее начала через каждые 5 см. Сколько раз сияя и красная пометки оказутся на расстоянии 1 см друг от друга?

2. Пары чисел

Если уравнения с одним переменным $x$ представляют собой отдельные числа, то уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ — это уже пары чисел. В предыдущем пункте мы показали, как из одного целого решения уравнения $ax - by = c$ получать все остальные решения: надо к одному его решение — паре чисел $(x_0; y_0)$ — прибавить пару чисел $(b; a)$, умноженную на какое-нибудь целое число. Сейчас мы придам точный смысл сложению пар чисел и умножению их на числа.

Для большей нагладности нам удобно пары чисел $(x; y)$ записывать в виде столбик $(x/y)$; а сами числа $x$ и $y$ будут называть соответственно первой и второй компонентами данной пары (столбика). (Не надо путь столбик $(x/y)$ с дробью $\frac{x}{y}$!)

20

Два столька считаются равными тогда и только тогда, когда равны их компоненты:

$$\binom{x_1}{y_1} = \binom{x_2}{y_2},$$

только если $\begin{cases} x_1 = x_2, \\ y_1 = y_2. \end{cases}$

Сложить два столька — это значит сложить их компоненты:

пусть $u = \binom{x_1}{y_1}, v = \binom{x_2}{y_2},$

тогда $u + v = \binom{x_1 + x_2}{y_1 + y_2}$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма чисел не меняется: $a + b = b + a$, то же самое можно сказать и про стольки: $u + v = v + u$. Для стольков верно также правило $(u + v) + w = u + (v + w)$.

Умножить стольк $u$ на число $k$ — это значит умножить на $k$ обе его компоненты:

если $u = \binom{x}{y},$ то $ku = \binom{kx}{ky}$.

Особую роль, подобную той, которую для чисел играет число 0, для стольков играет нулевой стольк $\binom{0}{0}$. Если это не приводит к путанице, то его обозначают тоже через «0». Для всякого столька $u$ верно равенство $u + 0 = u$.

Казалось бы, стол же естественно ввести умножение стольк:

$$\binom{x_1}{y_1} \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1 x_2}{y_1 y_2}.$$

Для такого умножения выполнения все те же свойства, что и для умножения чисел: 1) $uv = vu$, 2) $u(vw) = (uv)w$, 3) $(u + v)w = uw + vw$. Роль «единицы» играет стольк $e = \binom{1}{1}$.

Но в отличие от чисел, здесь не всегда возможность деление на нулевой стольк. Например, если $u = \binom{1}{0}$, то не существует столька $v$ такого, что $uv = e$.

В конце статьи мы познакомимся с другими, как оказывается, тоже естественным и более содержательным правлом умножения пар чисел:

$$\binom{x_1}{y_1} \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1 x_2 - y_1 y_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1}.$$

Это правило заменительно тем, что для него обратная операция — деление на нулевой стольк — всегда возможна.

Пара чисел $(x; y)$, записанная не в виде столька, а в виде строчки, используется обычно для обозначения координат точки на координатной плоскости $Oxy$. Метод координат поэлеметрует связать алгебру с геометrienей. Так, например, уравнение $ax - by = c$ соответствует прямой на координатной плоскости, а целые решения этого уравнения — точкам с целыми координатами (рис. 1). С помощью правил сложения пар чисел и умножения их на число можно записывать формулы для координат точки на прямой, например, если $A = (x_1; y_1), B = (x_2; y_2)$ — две точки, то точка

$$C = \frac{1}{2} \left( (x_1; y_1) + (x_2; y_2) \right) =$$

$$= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

— середина отрезка $AB$.

Задание и
4. Данные стольки

$$u = \binom{7}{-1}, v = \binom{-2}{5}, w = \binom{1}{3}.$$

Найдите стольки: a) $2u$; b) $2u - v$; b) $u + 2v - 3w$.

5. Найдите числа $x$ и $y$, удовлетворяющие равенству

$$x \binom{-7}{-1} + y \binom{-2}{5} = \binom{1}{3}.$$

Сравните результаты с 4 в).

6. a) Пусть данные точки $A = (7; -1)$ и $B = (-2; 5)$. Найдите координаты такой точки $C = (x; y)$, что $B$ — середина отрезка $AC$. 6) Найдите координаты точки $D$ и $E$, которые делят отрезок $AB$ на три равные части.

7. Уравнение $x^2 - dy^2 = 1$ в целых числах

В первом пункте мы показали, как, исходя из одного решения уравнения $ax - by = c$, получать и записывать бесконечную серию его решения. Подобный результат мы получим и для уравнения $x^2 - dy^2 = 1$, где $d$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом. Но для этого потребуется свой, более сложный метод. Мы продемонстрируем его на примере уравнения

$$x^2 - 2y^2 = 1.$$

Это уравнение имеет очень решения (1; 0) и (-1; 0). Ясно, что если $(x; y)$ — решение уравнения, то $(-x; y), (x; -y)$ и $(-x; -y)$ — тоже решения. Поэтому можно ограничиться поиском только положительных (натуральных) решений. Вот два таких решений: (3; 2), (17; 12) — дальней в их

21

Понсках продвинутся трудно.

Неожиданную помощь здесь оказалась играющей играционнойное число $\sqrt{2}$. Пользователь тождеством $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ разложим левую часть уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$ на множители

$(x + y\sqrt{2}) (x - y\sqrt{2}) = 1$

и подставим сюда наше первое решение в натуральных числах $x = 3, y = 2$:

$(3 + 2\sqrt{2}) (3 - 2\sqrt{2}) = 1.$

Оказывается, что второе решение можно получить, если, пользователь тождеством $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, возвсти в квадрат число $3 + 2\sqrt{2}$ (или $3 - 2\sqrt{2}$):

$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2},$

$(3 - 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}.$

Пара (17; 12) является вторым решение. Проверим это следующим образом. Возведем обе части верного равенства (2) в квадрат:

$(3 + 2\sqrt{2})^2 (3 - 2\sqrt{2})^2 = 1$

и получим

$(17 + 12\sqrt{2}) (17 - 12\sqrt{2}) = 1$, или

$17^2 - 2 \cdot 12^2 = 1.$

Следующое новое решение можно получить, возвремя число $3 + 2\sqrt{2}$ в куб:

$(3 + 2\sqrt{2})^3 = (3 + 2\sqrt{2})^2 (3 + 2\sqrt{2}) = 99 + 70\sqrt{2}.$

Совершенно аналогично получим $(3 - 2\sqrt{2})^3 = 99 - 70\sqrt{2}$. Поскольку $(3 + 2\sqrt{2})^3 (3 - 2\sqrt{2})^3 = 1$, имеем $(99 + 70\sqrt{2}) (99 - 70\sqrt{2}) = 99^2 - 70^2 \cdot 2 = 1$, то есть $(99; 70)$ — тоже решение уравнения $x^2 - 2y^2 = 1.$

Теперь, наверное, уже ясен способ получения новых решений — надо и дальше возводить $3 + 2\sqrt{2}$ в степень, то есть если

$(3 + 2\sqrt{2})^n = x_n + y_n\sqrt{2},$

где $x_n$ и $y_n$ — натуральные числа, то пара $(x_n; y_n)$ является решением уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$. Можно доказать, что этот способ дает все его решения в натуральных числах.

Рассмотрим теперь более общие уравнения такого вида:

$x^2 - dy^2 = 1,$

где $d$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом.

Оказывается, что все его решения в натуральных числах получаются таким же методом. Надугадать самое меньше его решение $(x_0; y_0)$ и возводить число $x_0 + y_0\sqrt{d}$ в степень $n$:

$(x_0 + y_0\sqrt{d})^n = x_n + y_n\sqrt{d}.$

(Смым меньшим решением называется такое решение $(x_0; y_0)$, что для любого другого решения $(x; y)$ выполняется неравенство $x_0 + y_0\sqrt{d} < x + y\sqrt{d}$.)

Для любых чисел $d$ имеет общий метод нахождения наименьшего натурального решения, основанный на разложении чисел в целые дроби (см. [1] и [2]).

Задание 1.

7*. Найдите четые решения в натуральных числах уравнения: a) $x^2 - 3y^2 = 1$; b) $x^2 - 5y^2 = 1$; b) $x^2 - 2y^2 = -1$.

8 *. Докажите, что

$x_n = \frac{1}{2} ((3 + 2\sqrt{2})^n + (3 - 2\sqrt{2})^n),$

$y_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} ((3 + 2\sqrt{2})^n - (3 - 2\sqrt{2})^n) -$

целые числа, удовлетворяющие уравнению $x^2 - 2y^2 = 1$, a) для $n = 1, 2, 3, 6$ для любого натурального $n$.

9. Найдите все целые решения уравнения $x^2 - 4y^2 = 13$.

10*. Докажите, что уравнение $x^2 - 3y^2 = -1$ не имеет решения в целых числах.

4. Числа вида $p + q\sqrt{2}$

Обратим внимание на то интересное обстоятельство, что числа вида $p + q\sqrt{2}$ с разнональными $p$ и $q$ можно естественно сопоставить пару чисел $(p; q)$. При этом равенство двух чисел $p_1 + q_1\sqrt{2} = p_2 + q_2\sqrt{2}$ имеет место в том и только в том случае, когда $\binom{p_1}{q_1} = \binom{p_2}{q_2}$.

В самом деле, пусть $p_1 + q_1\sqrt{2} = p_2 + q_2\sqrt{2}$ и $q_1 \neq q_2$; тогда получится, что $\sqrt{2}$ равеняемую числу $(p_1 - p_2)/(q_2 - q_1)$, а это неверно. Следовательно, должно выполнять равенство $q_1 = q_2$; но тогда из равенства $p_1 + q_1\sqrt{2} = p_2 + q_2\sqrt{2}$ сразу получаем, что $p_1 = p_2$.

22

Правило сложения чисел $p_1 + q_1\sqrt{2}$ и $p_2 + q_2\sqrt{2}$ такое же, как для стольников:
$$p_1 + q_1\sqrt{2} + (p_2 + q_2\sqrt{2}) = (p_1 + p_2) + (q_1 + q_2)\sqrt{2},$$
$$\binom{p_1}{q_1} + \binom{p_2}{q_2} = \binom{p_1 + p_2}{q_1 + q_2}.$$

Тепер переменная числа $p_1 + q_1\sqrt{2}$ и $p_2 + q_2\sqrt{2}$:
$$p_1 + q_1\sqrt{2}(p_2 + q_2\sqrt{2}) = (p_1 + p_2) + (q_1 + q_2)\sqrt{2}.$$
В результате мы приходим к числу такого же вида и получаем новое правило умножения для стольков с рациональными комплексами $p_1, q_1, p_2, q_2$:
$$\binom{p_1}{q_1}\binom{p_2}{q_2} = \binom{p_1 p_2 + 2 q_1 q_2}{p_1 q_2 + p_2 q_1}.$$

(3)

Если следовать такому правилу, то можно записать решение умножения $x^2 - 2y^2 = 1$ так:
$$\binom{x_n}{y_n} = \binom{3}{2}^n$$ (возвеси стольник $n$ раз на себя).

Для правила (3) выполнен общие свойства умножения; роль единцы здесь играет стольник $\binom{1}{0}$, так как он соответствует числу $1 = 1 + 0\sqrt{2}$.

Оперировать с числами $p + q\sqrt{2}$ очень помогает интересная симметрия в множестве таких чисел: каждому числу $a = p + q\sqrt{2}$ соответствует число $\bar{a} = p - q\sqrt{2}$, которое называется сопряженным к $a$. (Для стольников переход к сопряжному ознакомает просто изменение знака $y$ второй компоненты.)

Для операции сопряжения выполнены такие свойства:
$$\bar{a} + \bar{b} = \bar{a} + \bar{b}, \bar{a}\bar{b} = \bar{a}\bar{b}, \bar{a} = a.$$

Но самое важное — это то, что произведение сопряженных чисел $(p + q\sqrt{2})(p - q\sqrt{2}) = p^2 - 2q^2$ уже не содержит $\sqrt{2}$; $\bar{a}\bar{b}$ — рациональное число. Это позволяет делить числа вида $p + q\sqrt{2}$ друг на друга, получая при этом число такого же вида. Чтобы разделить $\beta$ на $a$, достаточно умножить $\beta$ на $\bar{a}$ и разделить результат на $\bar{a}\bar{b}$.

Мы уже пользовались параметрами сопряженных чисел при решении умножения $x^2 - 2y^2 = 1$. Левую часть $x^2 - 2y^2$ мы представили как произведение двух сопряженных чисел
$$a = x + y\sqrt{2}, \bar{a} = x - y\sqrt{2}.$$

Возьем теперь два числа $a = x_1 + y_1\sqrt{2}$ и $\beta = x_2 + y_2\sqrt{2}$ и сопряженные к ним $\bar{a} = x_1 - y_1\sqrt{2}$ и $\bar{b} = x_2 - y_2\sqrt{2}$. Расмотрим произведение $\alpha\bar{a}\beta\bar{b}$. Произведение вычисления в определенном порядке — сначала $\bar{a}\bar{b}$, потом $\beta\bar{b}$ и затем $(\alpha\bar{a})(\beta\bar{b})$ — получаем:
$$\alpha\bar{a}\beta\bar{b} = (x_1^2 - 2y_1^2)(x_2^2 - 2y_2^2).$$

(4)

Если вычисление того же произведение $\alpha\bar{a}\beta\bar{b}$ произвести в другом порядке, то мы получим
$$\alpha\bar{b} = (x_1x_2 + 2y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)\sqrt{2},$$
$$\bar{a}\bar{b} = (x_1x_2 + 2y_1y_2) - (x_1y_2 + x_2y_1)\sqrt{2},$$
$$\alpha\bar{a}\beta\bar{b} = (x_1x_2 + 2y_1y_2)^2 = 2(x_1y_2 + x_2y_1)^2.$$

(5)

Из равенств (4) и (5) получаем также $(x_1^2 - 2y_1^2)(x_2^2 - 2y_2^2) = (x_1x_2 + 2y_1y_2)^2 - 2(x_1y_2 + x_2y_1)^2.$

Из этого тоже соответствует интересная связь между целыми решениями умножения более общего вида $x^2 - 2y^2 = c$.

Если для пары целых чисел $(x_1; y_1)$ выполнен равенство $x_1^2 - 2y_1^2 = c_1$, а для пары целых чисел $(x_2; y_2)$ выполнен равенство $x_2^2 - 2y_2^2 = c_2$, то пара целых чисел $(x_1x_2 + 2y_1y_2; x_1y_2 + x_2y_1)$ является решением умножения $x^2 - 2y^2 = c_1c_2$.

Все сказанное про числа вида $a + b\sqrt{2}$ верно и для чисел вида $a + b\sqrt{d}$, где $d$ — простое число (или натуральное, не делится на квадрат). В частности, оно верно и при $d = -1$; получающейся при этом тожество будет игреть центральную роль в следующем пункте.

Задачи
11. Переножьте числа $(2 - \sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})(2 + \sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})$.

12. Разделите числа, изображенные от irrationalности в знаменателе
    a) $\frac{9 + 4\sqrt{5}}{9 - 4\sqrt{2}}$; b) $\frac{p_1 + q_1\sqrt{d}}{p_2 + q_2\sqrt{d}}$.

13*. Докажите, что произведение чисел вида $x^2 + 5y^2$, где $x$ и $y$ — целые числа, есть снова число того же вида. Найдите все такие числа меньше 100.

5. Замечательное тожество и композиция Виета

Любые две пары чисел $(a_1; b_1)$ и $(a_2; b_2)$ связаны таким тожеством, известным еще Диофанту:
$$a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) = (a_1a_2 - b_1b_2)^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)^2.$$

Оно получается из тожества (8) при $d = -1$ и часто используется в алгебре и теории чисел. Мы рассекем здесь о другом его применении: интересном способе, позволяющим получить из двух прямоугольных треугольников новый прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной произведению их гипотенузи.

Возьем один прямоугольный треугольник с квадратами $a_1, b_1$ и гипотенузой $c_1$ и другой — с квадратами $a_2, b_2$ и гипотенузой $c_2$. Поскольку по теореме Пифагора
$$a_1^2 + b_1^2 = c_1^2$$ и $a_2^2 + b_2^2 = c_2^2,$
то жество (9) можно записать так:
$$(c_1c_2)^2 = (a_1a_2 - b_1b_2)^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)^2.$$

23

Из этого равенства видно, что существует прямогольный треугольник с квадратами $|a_1a_2-b_1b_2|$, $a_1b_2+a_2b_1$ и гипотенузой $c_1c_2$. По-видимому, это впервые заметил в XVI века французский математик Франсуа Виет (см. [7]), поэтому назовем такой способ получения из двух прямогольных треугольников нового прямогольного треугольника «композицией Виета».

Рассмотрим два одинаковых прямогольных треугольника с квадратами $m, n$ и положим в точдестве (9) $a_1=a_2=n$, $b_1=b_2=m$. Получим

$$(m^2+n^2)^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2.$$

Мы видим, что композиция Виета дает новый прямогольный треугольник с квадратами $|m^2-n^2|$, $2mn$ и гипотенузой $m^2+n^2$. Интересно, что все прямогольные треугольники с целыми (взаимно простыми) сторонами $a, b$, $c$ — так называемые «пифагорвы тройки» — могут быть получены по этим формулам

$$c=m^2+n^2, a=m^2-n^2, b=2mn, (10)$$

где $m$ и $n$ — (взаимно простые) натуральные числа разной четности, $m>n$.

Самое же необходимое заключается в том, что при композиции Виета двух прямогольных треугольников получается новый прямогольный треугольник (рис. 2), у которого угол против квадрата $a_1b_2+a_2b_1$ равен сумме $\varphi+\psi$ углов $\varphi$ и $\psi$ исходных треугольников против квадратов $b_1$ и $b_2$ (если $\varphi+\psi<90^\circ$; если $\varphi+\psi>90^\circ$, то этот угол равен $180^\circ-(\varphi+\psi)$). Таким образом, композицию Виета можно задать число геометрической. Композиция Виета двух прямогольных треугольников является прямогольный треугольник с гипотенузой $c_1c_2$. По-видимому, это впервые заметил в XVI века французский математик Франсуа Виет (см. [7]), поэтому назовем такой способ получения из двух прямогольных треугольников нового прямогольного треугольника «композицией Виета».

Рассмотрим два одинаковых прямогольных треугольника с квадратами $m, n$ и положим в точдестве (9) $a_1=a_2=n$, $b_1=b_2=m$. Получим

$$(m^2+n^2)^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2.$$

Мы видим, что композиция Виета дает новый прямогольный треугольник с квадратами $|m^2-n^2|$, $2mn$ и гипотенузой $m^2+n^2$. Интересно, что все прямогольные треугольники с целыми (взаимно простыми) сторонами $a, b$, $c$ — так называемые «пифагорвы тройки» — могут быть получены по этим формулам

$$c=m^2+n^2, a=m^2-n^2, b=2mn, (10)$$

где $m$ и $n$ — (взаимно простые) натуральные числа разной четности, $m>n$.

Самое же необходимое заключается в том, что при композиции Виета двух прямогольных треугольников получается новый прямогольный треугольник (рис. 2), у которого угол против квадрата $a_1b_2+a_2b_1$ равен сумме $\varphi+\psi$ углов $\varphi$ и $\psi$ исходных треугольников против квадратов $b_1$ и $b_2$ (если $\varphi+\psi<90^\circ$; если $\varphi+\psi>90^\circ$, то этот угол равен $180^\circ-(\varphi+\psi)$). Таким образом, композицию Виета можно задать число геометрической. Композиция Виета двух прямогольных треугольников получается newest straight line of the triangle with vertices $a, b, c$.

Задание

14. На клипописной таблице, изображенной в древнем Вавилоне примерно 1500 лет до н. э., среди других пифагоровых треугольников указан такой: 4961, 6480, 8161. Каким $m$ и $n$ в формулах (10) он соответствует?

15*. Найдите cos $75^\circ$, используя композицию Виета для двух прямогольных треугольников с углами $30^\circ$ и $45^\circ$.

16. В пифагорных треугольках со стороны 5, 12, 13 и 7, 24, 25 гипотенуза на 1 большие одного из катетов.

a) Найдите еще два таких пифагоровых треугольника.

b) Найдите общую формулу для сторона таких треугольников.

b) Укажите среди них треугольники, у которых гипотенуза есть полный квадрат (как у треугольника 7, 24, 25=5²).

6. Комплексные числа $a+bi$

В предыдущих пунктах мы с помощью чисел видна $a+b\sqrt{d}$ пришли к точдеству (8), которое оказывается верным при любом $d$. Затем мы положили в этом точдеству $d=-1$; при этом сами выражения $a+b\sqrt{d}=a+b\sqrt{-1}$ потеряли смысл, так как среди чисел нет $\sqrt{-1}$ — ведь квадрат любого числа является неотрицательным числом. Тем не менее оказывается целесообразным в употребление новое «минимое» число, квадрат которого равен -1. Его обозначают буквой $i$ (от латинского слова imaginary — миный, воображаемый).

Выражение вида $a+bi$, где $a$ и $b$ — общчные числа, называют компплексными числами. Два компплексных числа, по определению, равны тогда и только тогда, когда равны их комппONENTы:

24

$a_1 + b_1 i = a_2 + b_2 i$, только если $a_1 = a_2$ и $b_1 = b_2$.

Сложение и умножение комплексных чисел $a + bi$ производится аналогично тому, как они производились для чисел вида $a + b\sqrt{2}$ с разциональными $a$ и $b$. Однако здесь $a$ и $b$ могут быть любыми числами, а $i^2 = -1$. В результате этих операций мы снова получаем выражение вида $a + bi$:

$$(a_1 + b_1 i) + (a_2 + b_2 i) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i,$$
$$(a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) i.$$

Мы видим теперь, откуда взялось умножение (1) стольков, которое мы указали в пункте 2. Это умножение по существу уже обсуждалось в предыдущем пункте — как композиция Виета двух прямоугольных треугольников с катетами $(a_1; b_1)$ и $(a_2; b_2)$.

Особую роль играют нулевое комплексное число $0 = 0 + 0i$, единица $1 = 1 + 0i$ и миная единица $i = 0 + 1i$. Заметим, что если какая-нибудь компонента $a$ или $b$ комплексного числа $a + bi$ равна нулю, то соответствующее часть комплексного числа при записи опускают.

В мире комплексных чисел можно делить на любое число, отличное от нуля $0 = 0 + 0i$. Вычисляя частное двух чисел, удобно умножить оба эти числа на сопряжение число $c - di$ к делению $z = c + di$:

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \left( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} \right) + \left( \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} \right) i.$$

Комплексные числа возникли впервые в алгебре, в задачах о решении алгебраических уравнений треугольей и более высокой степени. Однако применения комплексных чисел охватывают едва ли не все основные области математики и физики — геометрию, теории чисел, математической анализ и теории вероятностей, расчет электрических целей, гидродинамику и квантовую механику.

Мы получили комплексные числа как пары действительных чисел, определяв для них умножение правилом (1), удовлетворяющее естественным условиям — коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. Для математики интересна задача классификации всех таких пары. Оказывается, все они укладываются в общую схему: пары $(x, y)$ записываются в виде «обобщенных комплексных чисел» $x + yj$ и $j^2$ в вычислениях заменяется на $r + sj (r, s$ — фиксированные числа, см. задачу 19); здесь возможно три существенного различных слугая (которым можно свести остальные):

$$(1) j^2 = 1$$

(к этому типу относится подробно изученное нами правило $j^2 = 2$); (2) $j^2 = 0$ (любопытно, что соответствующее правило умножения, записанное для столбков):

$$\left( \frac{x_1}{y_1} \right) \left( \frac{x_2}{y_2} \right) = \left( \frac{x_1 x_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1} \right)$$

— это перевернуть правило сложения дробей

$$\frac{y_1}{x_1} + \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_1 x_2 + x_2 y_1}{x_1 x_2}$$

и, наконец, (3) $j^2 = -1$ — настоящие комплексные числа.

Задание и

17. Будем изобразать комплексное число $x + iy$ точкой $(x; y)$ на координатной плоскости. Пусть $u = 1 - i$, $v = -2 + 5i$. Найдите a) $u$; 6) $v$; b) $uv$; г) $u/v$ и изобразите все эти числа на координатной плоскости.

18. Пусть $z = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$, $w = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$. Найдите a) $z^2, z^4, z^8$; 6) $w^2, w^3, w^6, w^2 + w + 1$.

19*. Пусть $r$ и $s$ — два фиксированных числа. Зададим умножение на парах чисел (все, а не только рациональных) формулой

$$\left( \frac{x_1}{y_1} \right) \cdot \left( \frac{x_2}{y_2} \right) = \left( \frac{x_1 x_2 + ry_1 y_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1} \right).$$

(Это правило соответствует умножению «обобщенных комплексных чисел» $x + jy$, где $j^2 = r + sj$.) a) Проверьте, что для этого умножения выполнен основные свойства 1) — 3) из пункта 2. b) Какая пара $e$ играет роль единицы? b) При каких $r$ и $s$ для любой пары $u$, отличной от $0 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$, существует такое $v$, что $uv = e$? r) При каких $r$ и $s$ существует такая пара $u \neq 0$, что $u^2 = 0$? 20. Зададим умножение пар чисел $(a; b)$ так: каждой пар чисел $(a; b)$ соответствует линейная функция $u(t) = at + b$, а произведение $(a_1; b_1)$ на $(a_2; b_2)$ соответствует композиция функции $u_1(t) = a_1 t + b_1$ и $u_2(t) = a_2 t + b_2$, то есть подстановка первого во вторую $u_2(u_1(t)) = a_2(a_1 t + b_1) + b_2 = a_2 a_1 t + a_2 b_1 + b_2$, или

$$\left( \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_1 a_2 \\ a_2 b_1 + b_2 \end{array} \right).$$

Какие из следующих законов выполнен для этого умножения: $uv = vu$, $(uv)w = u(vw)$, $u(v + w) = uv + uw$, $(u + v)w = uw + wv$?

Список дополнительной литературы

1. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: Наука, 1983. — (Популярные лекции по математике, вып. 8).
2. Нестеренко Ю. В., Никшин Е. М. Очерк о целых дробях. Квант, 1983, № 5, 6.
3. Вагутен Н. Сопряженные числа. Квант, 1980, № 2.
4. Ашманов С. Числа и многочлены. Квант, 1980, № 2.
5. Заочные математические алгебры. М.: Наука, 1981.
6. Понтрягин Л. С. Комплексные числа. Квант, 1982, № 4.
7. Башмакова И. Г. Становление алгебры. М.: Знание, 1979.