Квант 1985, №4 · Страницы

КВАНТ
4
1985

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

В этом номере публикуется
заметка «О простых машинах».
В ней рассказывает о
механизмах, которые
с незапамятных времен
использовались человеком.
Глядя на приведенную здесь
старинную гравюру,
попробуйте определить, какие
именно механизмы
приемались тогда для работы
в порту.

В НОМЕРЕ:

2 День советской научки
В. Р. Почуев. Приближенные вычисления и формула Тейлора
А. Л. Стасенко. О функциях распределения

Soviet science day
V. R. Pochiev. Approximate calculations and the Taylor formula
A. L. Stasenko. On distribution functions

12 Пульсирующе Солнце

Science news
The pulsating Sun

13 Математический кругок
M. Г. Крейн. Диофантово уравнение
A. A. Маркова

Mathematics circle
M. G. Krein. A. A. Markov’s Diophantine equation

17 Физика 8, 9, 10
Mathematica 10
Избранные школьные задачи

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 10
Selected school problems

29 «Квант» для младших школьников
Задания
Л. И. Тучинский. Может ли быть невозможное?

Kvant for younger school children
Problems
L. I. Tuchinski. Can the impossible be?

32 Калейдоскоп «Кванта»

Kvant’s kaleidoscope

36 Задачик «Кванта»
Задачи M916—M920; Ф928—Ф932
Решения задач M896—M900; Ф908—Ф912

Kvant’s problems
Problems M916—M920; P928—P932
Solutions M896—M900; P908—P912

48 Практикум абитриента
А. А. Болибрух, В. М. Уроев, М. И. Шабунин.
Метрические соотношения в треугольнике

College applicant’s section
A. A. Bolibrukh, V. M. Uroev, M. I. Shabunin.
Metric relations in the triangle

53 Информация
Заочная физическая школа при МГУ

Information
Moscow university physics correspondence school

54 Варианты вступительных экзаменов

College entrance examination problems

59 Ответы, указания, решения

Answers, hints, solutions

Наша обложка (35)
«Квант» улыбается (47)
Смеся (11, 46)
Шахматная страница
Фигуры на своих местах (3-я с. обложки)

Our cover page (35)
Kvant smiles (47)
Miscellaneous (11, 46)
The chess page
The pieces are at their own places (3rd cover page)

2

День советской науки

Советская наука за несколько десятилетия прошла впечатляющий путь, увенчанный многими, известными всему миру, достижениями. Путь этот можно проилистрировать высказыванием наших выдающихся творцов науки. Речь в них идет не только об особенностях науки социализации, но и важнейших чертах советского ученого.

Технический и социальный прогресс tecnейшим образом связаны друг с другом. Октябрь послужил основой градинозных социальных преобразований, в свою очередь, оказавших глубокое влияние на научно-техническую революцию.

Академик М. В. КЕЛДЫШ

Советская наука, далека от крайностей, сочетает в себе здоровый, сильный практиизм, определенный задачи социалистического строительства, с той внутренней логикой научного мышления, которая требует для правильной постановки и решения научных проблем.

Академик С. И. ВАВИЛОВ

Именно прогресс функментальных знаний изменяет, казалось бы, установленся и неизблемые в науке точки зрения, открывает новые области в науке и технике, коренным образом меняет технологическую приводит к появлению новых материалов и открывает возможность использовать современное новых, часто неожиданных явлений в области, совершенное не имеющих никакого отношения к первоначальной области исследований.

Академик А. П. АЛЕКСАНДРОВ

… развитие науки — это не только результат генциального процесса одиночек, сколько плод организованного и целенаправленного труда многих простых, но очень настоящих, добросовестных и трудолюбивых людей.

Академик А. И. БЕРГ

В организаском случае и прикладной математики, в диалектическом единстве абстрактного и конкретиного явку наиболея ярку и философски значительную, наиболее прициппально особенность советской математики.

Академик П. С. АЛЕКСАНДРОВ

… современная физика — это своего рода двуликий Янус. С одной стороны, — это наука с горяшим взором, которая стремится проникнуть в глубь великих законов математного мира. С другой стороны, — этоfundamentной техники, мастерская смелых технических идеей, опора обороны и движущая сила непрерывного индустриального прогресса.

Академик Л. А. АРЦИМОВИЧ

… исследовать, способный к глубокому философскому анализу, обогащенный понятием того, что происходит на всем огромном фронте науки, пониманием существии общественных процессов, знаков и ценностей, такой исследователь, кроме всего прочего, шири смотит на проблемы своей научной области, видит то, чтоускольает от взгляда какого-нибудь профессионального аскета.

Академик Р. В. ХОХЛОВ

Наука — общее достояние человека, и задача подлинного ученого — обогащать этот запас знаний, доступных всем.

Академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Советский ученый является преждевременным своей страны, поэтому идеалы его жизни и деятельности совпадают с идеалами, которые живут все граждане его страны. Его научная работа движется той же целуустремленностью, которой живет вся страна.

Академик П. Л. КАПИЦА

Я верю, что человекский разум восторжествует и люди не допустят использования достижений науки в целях, не совместимых с гуманизмом и человекской моралью.

Задача ученых заключится не только в развитие научных исследований, но и в борьбе за их использование на благо общеямыми мира.

Академик И. И. АРТОБОЛЕВСКИЙ

3

Приближенные вычисления и формула Тейлора

В. Р. ПОЧУЕВ

Эта статья начинается с простых заменений о приближенных арифметических вычислениях, которые естественно приводят к заменеальной формуле Тейлора. В частности эта формула устанавливается школьными методами, а затем используется для приближенного вычисления значений функций.

Два примера для размини

Предположим, что нужно вычислить произведение

$$p = 1,03 \times 2,01$$

с точностью до 0,001. Это вычисление естественно проделать так

$$p = (1 + 0,03) \cdot (2 + 0,01) \approx 2 + 0,06 + 0,01 = 2,07.$$

Здесь мы преберегли четырьмя слагаемым $0,01 \times 0,03 = 0,0003$, так как оно меньше предписанной точности.

Использованный примет станет более нагладным, если обозначить число 0,01 через $x$. Тогда нашей вычисление — это просто вычисление функций (многочлена)

$$f(x) = (1 + 3x)(2 + x) = 2 + 7x + 3x^2$$

при значении $x = 0,01$, либо $p = f(0,01)$. При написании приближенного равенства $f(x) \approx 2 + 7x$, мы пренебрегаем членом $3x^2$ более высокой (второй) степени.

Рассмотрим чуть более сложный пример: вычислим с точностью до 0,01 произведение

$$q = 2,12 \times 1,97.$$

Обозначая теперь число 0,1 через $x$, мы видим, что вычислить $q$ — это значит найти значение функции

$$g(x) = (2 + x + 2x^2)(2 - 3x^2)$$

при $x = 0,1$. Раскрывая скобки, получим

$$g(x) = 4 + 2x - 2x^2 - 3x^3 - 6x^4.$$

Членами с $x^3$ и $x^4$ можно пренебречь, так как при $x = 0,1$, $x^3 = 0,001$ и $x^4 = 0,0001$ находится за пределами требуемой точности 0,01. Итак,

$$q = g(0,1) \approx 4 + 2(0,1) - 2(0,1)^2 = 4,18.$$

Проанализируем нашей действия

Успех вычислений основывался на том факте, что искомое произведение $p$ (или $q$) было близко к точному числу $A$, а затем представлялось как значение некоторой функции $f(x)$ при малом $x$, причем $f(0)$ равнялось $A$.

Так, в первом примере грубая прикидка дает $p \approx 1 \cdot 2 = 2 = A_1$, а отклонения comножитель от единиц и двойки малы. Аналогично, во втором примере грубая прикидка дает $q \approx 2 \cdot 2 = 4 = A_2$, и вновь отклонения comножитель от двоек малы. В пер-

4

Вом случае это отклонение сомножителей мерилось в «x-единицах», где $x$ было 0,01, а во втором слуае — в `других «x’-единицах», где $x'$ было 0,1.

Далее, подбираемая функция $f(x)$ (или $g(x)$) разбивалась на две части — существуюю и второстепенно:

$$f(x) = f_1(x) + f_2(x), \quad f_1(x) = 2 + 7x, \quad f_2(x) = 3x^2, \quad g(x) = g_1(x) + g_2(x), \quad g_1(x) = 4 + 2x - 2x^2, \quad g_2(x) = -3x^3 - 6x^4,$$

где существенные части $f_1(x)$ (и $g_1(x)$) были многочленами первой и второй степени, представляющими результаты с требуемой точностью, а $f_2$ и $g_2$ были пренебрежимо малы.

Введем символь «о малое»

В рассмотренных слуаях в математическом анализе часто используется следующая более короткая и более выраженная формула записи:

$$f(x) = 2 + 7x + o(x), \quad g(x) = 4 + 2x - 2x^2 + o(x^2).$$

Здесь символь $o(x)$ (читается «о малое от $x$») обозначает некоторую функцию от $x$ (точный вид ее нас не интересует), которая стремится к нулю быстрее чем $x$, то есть такая, что

$$\lim_{x \to 0} \frac{o(x)}{x} = 0.$$

Аналогично, $o(x^2)$ — некоторая функция от $x$, стремящаяся к нулю быстрее, чем $x^2$, то есть

$$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} = 0.$$

Вообщее $o(x^n)$, при $n \ge 1$, — это обозначание для функции от $x$, обладающей таким свойством:

$$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0.$$

Используя арифметические свойства пределов (см. Алгебра и начало анализа 9—10, п.), легко установить следующие правила, позволяющие преобразовать сложные выражения, содержащие о малое, в более простые:

(a) $o(x^n) + o(x^n) = o(x^n)$,
(b) $x \cdot o(x^n) = o(x^{n+1})$,
(c) $x^{n+1} = o(x^n)$, и т.п.
(Например, чтобы установить (a),

$$\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} &= 0. \end{align*}$$

нужно показать, что сумма двух функций, каждой из которых стремится к нулю, сама стремится к нулю; а это сразу следует из правила о сумме пределов.)

Выведем несколько приближенных формул

Воспользуемся символьами $o(x)$, $o(x^2)$, … и их свойствами для вывода некоторых формул, полезных при приближенных вычислениях.

Пример 1. Докажем формулу:

$$(1+x)^3 = 1 + 3x + o(x).$$

(Член $o(x)$ подсказывает нам, что этой формулой можно пользоваться, если квадратом $x$ можно пренебречь в наших вычислениях.)

Доказательство. По формуле куба суммы

$$(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3,$$

но $x^2 = o(x)$ (правило (г)); $3x^2 = o(x)$ (правило (б)); $x^3 = o(x)$ (правила (г), (в)). Поэтому

$$(1+x)^3 = 1 + 3x + o(x) + o(x) = 1 + 3x + o(x).$$

Таким образом, мы можем написать с точностью до 0,01:

$$(1,012)^3 \approx 1 + 3 \cdot 0,012 = 1,036.$$

Пример 2. Докажем формулу:

$$\frac{1}{1-q} = 1 + q + q^2 + \dots + q^n + o(q^n).$$

Доказательство неедленно следует из легкого проверяемого подхода

$$\frac{1}{1-q} = 1 + q + q^2 + \dots + q^n + \frac{q^{n+1}}{1-q}.$$

Воспользуемся формулой (2) для приближенного вычисления дроби $r = 201/203$. Представляя эту дробь в виде

$$r = \frac{1 + \frac{1}{200}}{1 + \frac{3}{200}},$$

расмотрим функцию

$$h(x) = \frac{1+x}{1+3x}; \quad h\left(\frac{1}{200}\right) = h(0,005) = r.$$

Возьем в (2) $n=2$, $q=-3x$; тогда

$$\frac{1}{1+3x} = 1 - 3x + 9x^2 + o(x^2),$$

5

$$h(x) = \frac{1}{1+3x} = 1 - 2x + 6x^2 + o(x^2).$$

Таким образом, $r = h(0,005) \approx 1 - 0,01 + 0,000150 = 0,990150$.

Упражнения

1. Написать и установить формулу для $(1+x)^7$ с точностью $o(x^2)$.
2. Написать и установить формулу для $1/(1+q)$ с точностью $o(q^n)$.

Приближенное вычисление радиkalов

При приближенном вычислении радиkalов мы будем разливать «хороший» случай и «плохой». В «хорошем» случай под знаком квадратного корня стоит число, мало отличнее от полного квадрата, вычисляемое число $\lambda$ имеет вид $\sqrt{a^2 + a^2}$, где $a$ мало по сравнению с $a^2$. Для иллюстрации этого случай рассмотрим следующий пример.

Пример 3. Найдем приближение значение корня $\lambda = \sqrt{99}$.

Представим $\lambda$ в виде
$$\lambda = \sqrt{100-1} = 10\sqrt{1-0,01}$$
и рассмотрим функцию $r(x) = \sqrt{1+x}$, так что $\lambda = 10r(-0,01)$. Допустим, что при малых $x$ существует приближенная формула
$$r(x) = a + bx + cx^2 + o(x^2).$$

(3) Найдем $a, b$ и $c$. Прежде всего, устремляя $x$ к нулю, получаем: $a = 1$. Тепер возведем обе части равенства (3) в квадрат:
$$1 + x = a^2 + 2abx + (b^2 + 2ac)x^2 + o(x^2).$$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в обеих частях последнего равенства, получим $a^2 = 1; 2ab = 1; b^2 + 2ac = 0$. Учитывая, что $a = 1$, находим: $b = 1/2; c = -1/8$. Итак,
$$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).$$

(4) Таким образом,
$$\lambda = 10r(-0,01) \approx 10(1-0,005 - 0,0000125) = 10(0,9949875) = 9,949875.$$

Покажем теперь, как нужно действовать в «плохом» случай. В качестве иллюстрации разберем

Пример 4. Найдем приближение значение корня $\mu = \sqrt{2}$.

Ясно, что найdenная нами формула (4), дающая $\sqrt{2}$ при $x = 1$, для вычисления корня совершено не подходит, поскольку $x$ не является малым, и мы не можем расчитывать, что слагаемые в правой части (4) быстро убывают. Чтобы сделать к «хорошему» случай, подберем два полных квадрата, относение которых к 2. Такими квадратами являются, например, 25 и 49. Тогда
$$\mu = \sqrt{2} = \frac{7}{5} \sqrt{\frac{50}{49}} = \frac{7}{5} v.$$
Вычисление $v$ — это уже «хороший» случай, так как под знаком радикала стоит число близкое к 1 (полное квадрату). Запишем $v$ в виде:
$$v = (1-0,02)^{-\frac{1}{2}}$$
и рассмотрим функцию $S(x) = 1/\sqrt{1+x}$. Тогда $v = S(-0,02)$. Допустим снова снова, что имеет место формула вида
$$S(x) = a + bx + cx^2 + o(x^2).$$
Устремляя $x$ к нулю, получаем $a = 1$. Возводим обе части в квадрат и умножаем на значенатель,
$$1 = (1+x)(a^2 + 2abx + (b^2 + 2ac)x^2 + o(x^2)),$$
$$1 = a^2 + (a^2 + 2ab)x + (b^2 + 2ab + 2ac) \times x^2 + o(x^2).$$
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в обеих частях последнего равенства, получим $a^2 = 1, a^2 + 2ab = 0, b^2 + 2ab + 2ac = 0$. Учитывая, что $a = 1$, находим: $b = -1/2; c = 3/8$. Итак,
$$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + o(x^2).$$

Таким образом,
$$\mu = \sqrt{2} = (7/5)S(-0,02) \approx 1,4(1+0,01+0,00015) = 1,41421.$$
Формула Тейлора для многочленов Пусть дан многочлен степени $n$:
$$p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$$
Тогда имеет место следующая формула:
$$p(x) = p(0) + p'(0)x + \frac{1}{2!}p''(0)x^2 + ... + \frac{1}{n!}p^{(n)}(0)x^n,$$

6

в котором $p^{(n)}$ обозначает $n$-ую производуную функцию $p$, а символ $n!$ (читается «эн факторал») расшифровывается так: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

Например, при $n = 2$, $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$, поэтому $p'(x) = 2a_2x + a_1$, $p''(x) = 2a_2$, значит, $p'(0) = a_1$, $p''(0) = 2a_2$ и поэтому, действительно,

$$p(x) = p(0) + p'(0)x + \frac{1}{2}p''(0)x^2 = a_0 + a_1x + a_2x^2.$$

В общем случае формула (6) проверяется неосредственно. Советуючитатель не полениться и продолжать эту проверку, начав «для разминки» со случай $n = 3$.

Формула Тейлора для функций

Пользовать правилами (6), и (г), формулу (6) можно переписать в виде

$$p(x) = p(0) + p'(0)x + \frac{p''(0)x^2}{2} + \dots + \frac{p^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + o(x^{n-1}).$$

Эта формула полезна для приближенных вычислений в том случае, когда $x^n$ пренебрежимо мало. Однако она нас интересует здесь по другой причине: оказывается, эта формула верна не только для многочленов $p(x)$, но и для произвольных функций $f(x)$ (лишь бы они имели произвольные $f'(x)$, $f''(x)$, …, $f^{(n+1)}(x)$ до порядка $n+1$ включительно). Соответствие

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$$

называется формулой Тейлора (или Маклорена) по имену двух английских математических коэффициентов XVII—XVIII веков, хотя по существу была известна еще и Ньюотону. Мы не будем доказывать эту формулу в общем виде, а получим также разложения более простыми средствами, как мы уже это делали ранее.

Формула Тейлora
для дробно-рациональных функций (метод неопределенных коэффициентов)

Дробно-рациональный называют всякую функцию, которая представляет

лечение в виде отношения двух многочленов. Разберем на конкретном примере, как получить разложение Тейлора для таких функций.

Пример 5. Разложим по формуле Тейлора до $o(x^3)$ функцию

$$f(x) = \frac{1+x}{1+x+x^2}.$$

Первый способ. Рассмотрим функцию $g(x) = \frac{1}{1+x+x^2}$. Введем новую переменную $t = x+x^2$. По формуле (2), где $q = -t$, можем написать

$$g(x) = \frac{1}{1+t} = 1-t+t^2-t^3+o(t^3) = 1-(x+x^2)+(x+x^2)^2-(x+x^2)^3 + o(x^3) = 1-x+x^3+o(x^3).$$

Итак,

$$f(x) = (1+x)(1-x+x^3+o(x^3)) = 1-x^2+x^3+o(x^3).$$

Второй способ (метод неопределенных коэффициентов). Пусть

$$f(x) = \frac{1+x}{1+x+x^2} = a+bx+cx^2 + dx^3 + o(x^3)$$

Умножим обе части на знаменатель:

$$1+x = (1+x+x^2)(a+bx+cx^2+dx^3 + o(x^3))$$

$$1+x = a+(a+b)x+(a+b+c)x^2 + (b+c+d)x^3+o(x^3).$$

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в обеих частях последнего равенства, получим $a=1, a+b=1; a+b+c=0; b+c+d=0$. Таким образом, $a=1, b=0, c=-1, d=1$, и мы приходим к прежнему результату.

Формула Тейлora
для тригонометрических функций

Наша цель — доказать следующее формулы, не пользоваться общей формуле Тейлora (7).

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5),$$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4).$$

8

О функциях распределения

(или Как поливать огород при помощи ветра)

Доктор технических наук
А. Л. СТАСЕНКО

«На платформе, в окидании поезда, пассажиры должны размешаться равномерно по длине поезда…»
(Из «Правил пользования Московским метрополитеном им. В. И. Ленина»)

Фраза из эпиграфа, «житейский» смысл которого в полне ясен, приводит на память широко распространенное в физике понятие функции распределения. С функциями распределения мы сталиваемся при решении теоретических и практических задач, в которых рассматриваются системы с большим числом частц. Чтобы проведти аналогию между требованием «Правил» и понятием функции распределения, «переведем» эпиграф на языке математики.

Разобем платформу (точнее, ту ее часть, возле которой останавливается поезд) последовательно на участки длины $\Delta x_1$, $\Delta x_2$, …, $\Delta x_k$, …, $\Delta x_m$. Обозначим числа пассажиров, стоящих в ожидании поезда на каждом из участков, через $\Delta n_1$, $\Delta n_2$, …, $\Delta n_k$, …, $\Delta n_m$. Тогда «Правила» требуют, чтобы отношение $\Delta n_i$ к $\Delta x_i$ было одним и тем же для любого $i=1, 2, ..., k, ..., m$, то есть

$$\frac{\Delta n_i}{\Delta x_i} = f_0 = \text{const.}$$

Мы обозначили это отношение буквой $f$, чтобы подчернуть, что вообще-то это может быть и какая-то функция от $x$; но в данном случае, при хорошем поведении граждан на платформе, эта функция должна быть постоянной ($f_0$). На рисунке 1 приведен ее график — прямая линия.

Но вот подошел поезд, и еще до того, как откроются двери варонов, около них собираются «грузки» граждан. Тогда их распределение вдоль платформы уже не равномерно, и его можно качественно представить в виде кривой $f(x)$, как на рисунке 1. Если число граждан за время ожидания поезда не изменилось, этот факт должен как-то отражаться на этих двух графиках. Действительно, во время ожидания на каждом участке $\Delta x_i$ платформы, согласно (1), число граждан было равно

$$\Delta n_i = f_0 \cdot \Delta x_i;$$

значит, чтобы найти полное число пассажиров на всей платформе, нужно сложить их количество на каждом участке. Получим

$$N = \sum_{i=1}^{m} \Delta n_i = \sum_{i=1}^{m} f_0 \cdot \Delta x_i = f_0 \sum_{i=1}^{m} \Delta x_i = f_0 \cdot L,$$

где $L$ — длина платформы. Как видно из рисунка 1, $f_0$ Л есть площадь прямого движения $f_0$ и длины $L$. И это есть полное число пассажиров $N$. Когда после подхода поезда распределение по платформе изменилось и стало неокоторой функцией $f(x)$, сумма всех величины $f(x_i) \cdot \Delta x_i$ — это тоже площадь под кривой $f(x)$ и по-прежнему это полное число граждан $N$:

$$\sum_i f(x_i) \cdot \Delta x_i = N.$$

Просто равше $f(x)$ была постоянной $f_0$, и в формуле (2) мы ее вынесли за знак суммы, а теперь этого следует нельзя — на каждом участке $\Delta x_i$

9

свое число граждан (они перераспределились).

«Ба! — воскликнет математик (он просто обязаан так воскликнуть), — да ведь то, что написано в (1), в пределе, когда отрезки $\Delta x_i$ становятся все меньше и меньше, переходит в то, что называется производной от $n$ по $x$:

$$f(x_i) = \lim_{x_i \to 0} \frac{\Lambda n_i}{\Lambda x_i} = \frac{dn}{dx},$$

а то, что написано в (3), — в интеграл от $f(x)$ по всей длине $L$ платформы:

$$N = \lim_{x_i \to 0} \sum_{i=1}^{m} f(x_i) \Delta x_i = \int_0^L f(x) dx.$$

И, воскликнуть так, он будет совершенно прав.

Итак, распределение граждан по платформе в ожидании поезда можно описать функцией $f(x) = \frac{dn}{dx}$, которое естественно так и называть: функция распределения пассажиров по длине платформы.

Теперь, возможно, воскликнет читатель: «Да ведь этак можно самую общковенную скорость материальной точки, то есть производную от перемещения по времени —

$$\vec{v} = \frac{\vec{ds}}{dt} = \lim_{t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t},$$

— называть распределением смесений точки во времени; ускорение —

$$\vec{a} = \frac{\vec{dv}}{dt} = \lim_{t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

— распределением скоростей во времени; а общковенную плотность вещества, то есть производную от массы по объему —

$$\varrho = \frac{dm}{dV} = \lim_{V \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta V},$$

— распределением массы по объему!?» Все это так, и все же слова «распределение» несет в физике и в быту свою смысловой нагрузку. Говорят, например, о распределении молекул газа по модулю скорости ($\frac{dn}{dv} \frac{\text{молекул}}{\text{м/с}}$); о распределении продуктов среди населения ($\frac{dm}{dn} \frac{\text{кг}}{\text{человек}}$), а не о производной от массы продуктов по числу граждан; о распределении школьников по возрасту ($\frac{dn}{dt} \frac{\text{школьников}}{\text{лет}}$). Наверное, где-то в 10 классе это, последнее, распределение имеет вид, изображенный на рисунке 2: максимум функции $f(t)$ соответствует (приблизительно) 17 годам; маловерятно встречается в 10 классе кого-либо (далее очень способного) из детского сада или в пенсионном возрасте — поэтому функция распределения довольно быстро стремится к нулю по обе стороны от максимального значения.

Очень интересна (особенно, наверное, для десятиклассников) функция распределения абитриентов по числу задач, решенных им на вступительных экзаменах. Как правило, эта функция графиски может быть представлена либо кривой I, либо кривой II на рисунке 3. Если это кривая I, то ее минимум в точке A легко позволяет установить «цену» удовлетворительной оценки — все, кто следа от точки A, не проходит. Если же это кривая II, то экзаменатором приходится думать, какое число решенных задач считать достаточно для удовлетворительной оценки.

Важность функций распределения в физике поддерживает и тот факт,

10

Что многое из них связаны с изменениями замечательных ученых: есть, например, распределения Большмана и Максвелла (молекул газа по скоростям), распределение Планка (квантовизлучения по их частотам), распределение Ферми (электрон по энергиям).

Тепер, научившись понимать смысл функций распределения, решим одну полезную задачу. Предположим, нам нужно равномерно полить водой горизонтальной участок земли, скажем, большой огород или поле. Конечно, это можно сделать с помощью ведер или леек, так сказаны, «пешком»; можноездить между градками на тракторе, основанием спецальным агрегатом — поперечной трубой с отверстиями и форсунками, в которой подается вода (так устройны «фрегаты», которые часто можно видеть в полях). Но мы попробуем использовать ветер, который почти всегда дует в больших открытых пространствах.

Расположим горизонтальную трубку, сабженную форсунками, на высоте $h$ над землей. По этой трубе под давлением подается вода, которая «распыляется» на капли, летящие во всех направлениях. Радиусы капель могут быть различными, причем, мы можем управлять набorem капель, то есть функцией их распределения по собственным радиусам ($f(r) = \frac{dn}{dr}$).

Наша задача: найти какой должа бытей функции $f(r)$, чтобы орошаемая площадь поливалась равномерно (то есть на любые участки одинаковых площадей попадали одинаковые массы воды).

Прежде всего нам надо разобраться, как будут двигаться вылетящие из трубы капли. Конечно, все они имеют какую-то начальную скорость; но если капли достаточно мелкие, они быстро затормятся в воздухе и, в отсутствие ветра, осудут под самой трубой на узкую полоску земли, паралельную трубе. Чтобы посянить сказанное, рассмотрим каплю радиуса $r$, выброшенную из трубы вертикальной визз. Движение капли в дальнейшем происходит под действием силы тяжести $mg$ и силы сопротивления $f_c$ со стороны воздуха. Сила сопротивления $f_c$ зависит от скорости капли и от ее радиуса — она тем больше, чем больше $v$ и чем больше $r$, в частности, для мелких капель $f_c = bvr$, где $b$ — некоторый коэффициент пропорциональности. (Эту силу называют силой Стокса — по имени английского физика и математика XIX века Дж. Стокса, исследовавшего движение тел в вззой среде. Такая зависимость $f_c(v, r)$ верна как раз для очень низких условий с изменениями замечательных ученых: есть, например, распределения Большмана и Максвелла (молекул газа по скоростям), распределение Планка (квантовизлучения по их частотам), распределение Ферми (электрон по энергиям).

Тепер, научившись понимать смысл функций распределения, решим одну полезную задачу. Предположим, нам нужно равномерно полить водой горизонтальной участок земли, скажем, большой огород или поле. Конечно, это можно сделать с помощью ведер или леек, так сказаны, «пешком»; можноездить между градками на тракторе, основанием спецальным агрегатом — поперечной трубой с отверстиями и форсунками, в которой подается вода (так устройны «фрегаты», которые часто можно видеть в полях). Но мы попробуем использовать ветер, который почти полностью впервые дует в больших открытых пространствах.

Расположим горизонтальную трубку, сабженную форсунками, на высоте $h$ над землей. По этой трубе под давлением подается вода, которая «распыляется» на капли, летящие во всех направлениях. Радиусы капель могут быть различными, причем, мы можем управлять набorem капель, то есть функцией одинаковых площадей попадали одинаковые массы воды).

Прежде всего нам надо разобраться, как будут двигаться вылетящие из трубы капли. Конечно, все они имеют какую-то начальную скорость; но если капли достаточно мелкие, они быстро затормятся в воздухе и, в отсутствие ветра, осудут под самой трубой на узкую полоску земли, паралельную трубе. Чтобы посянить сказанное, рассмотрим каплю радиуса $r$, выброшенную из трубы вертикальной визз. Движение капли в дальнейшем происходит под действием силы тяжести $mg$ и силы сопротивления $f_c$ со стороны воздуха. Сила сопротивления $f_c$ зависит от скорости капли и от ее радиуса — она тем больше, чем больше $v$ и чем больше $r$, в частности, для мелких капель $f_c = bvr$, где $b$ — некоторый коэффициент пропорциональности. (Эту силу называют силой Стокса — по имени английского физика и математика XIX века Дж. Стокса, исследовавшего движение тел в вззой среде. Такая зависимость $f_c(v, r)$ верна как раз для низких условий с изменениями замечательных ученых: есть, например, распределения Большмана и Максвелла (молекул газа по скоростям), распределение Планка (квантовизлучения по их частотам), распределение Ферми (электрон по энергиям).

Тепер, научившись понимать смысл функций распределения, решим одну полезную задачу. Предположим, нам нужно равномерно полить водой горизонтальной участок земли, скажем, большой огород или поле. Конечно, это можно сделать с помощью ведер или леек, так сказаны, «пешком»; можноездить между градками на тракторе, основанием спецальным агрегатом — поперечной трубой с отверстиями и форсунками, в которой подается вода (так устройны «фрегаты», которые часто можно видеть в полях). Но мы попробуем использовать ветер, который почти полностью впервые дует в больших открытых пространствах.

Расположим горизонтальную трубку, сабженную форсунками, на высоте $h$ над землей. По этой трубе под давлением подается вода, которая «распыляется» на капли, летящие во всех направлениях. Радиусы капель могут быть различными, причем, мы можем управлять набorem капель, то есть функцией одинаковых площадей попадали одинаковые массы воды).

Прежде всего нам надо разобраться, как будут двигаться вылетящие из трубы капли. Конечно, все они имеют какую-то начальную скорость; но если капли достаточно мелкие, они быстро затормятся в воздухе и, в отсутствие ветра, осудут под самой трубой на узкую полоску земли, паралельную трубе. Чтобы посянить сказанное, рассмотрим каплю радиуса $r$, выброшенную из трубы вертикальной визз. Движение капли в дальнейшем происходит под действием силы тяжести $mg$ и силы сопротивления $f_c$ со стороны воздуха. Сила сопротивления $f_c$ зависит от скорости капли и от ее радиуса — она тем больше, чем больше $v$ и чем больше $r$, в частности, для мелких капель $f_c = bvr$, где $b$ — некоторый коэффициент пропорциональности. (Эту силу называют силой Стокса — по имени английского физика и математика XIX века Дж. Стокса, исследовавшего движение тел в вззой среде. Такая зависимость $f_c(v, r)$ верна как раз для низких условий с изменениями замечательных ученых: есть, например, распределения Большмана и Максвелла (молекул газа по скоростям), распределение Планка (квантовизлучения по их частотам), распределение Ферми (электрон по энергиям).

Тепер, научившись понимать смысл функций распределения, решим одну полезную задачу, с постоянной скоростью $u$. Можно показать, что и в этом случае, какова бы ни была начальная скорость выбрасываемых мелких капель, все они быстро вовлекаются в горизонтальное скорость $u$ и в вертикальное скорость $v = a r^2$. Поскольку оба движения капли — падание и перенос ветром — равномерные, все капли будут двигаться по прямым прямым (рисунок 4).

Время движения до земли тем больше, чем меньше радиус капли: $t(r) = \frac{h}{v(r)} = \frac{h}{a r^2}$, так что мелкие капли (радиуса $r_1$) упадут на землю для этого и источника, чем более крупные (радиуса $r_2 > r_1$):

$$x(r) = u \cdot t(r) = u \frac{h}{a r^2}.$$ (4)

На какой участок $\Delta x$ упадут все капли, радиусы которых отличаются от данного $r$ на малую величину $\Delta r$? Поскольку, как видно из (4), $\Delta x / \Delta r = -\left(u \frac{2h}{a}\right) \frac{1}{r^3}$ (мы продолжимференцировали функцию $x(r)$),

$$\Delta x = -\left(u \frac{2h}{a}\right) \frac{1}{r^3} \cdot \Delta r$$

(знак «минус» готовит об уже известном нам факте: если радиус капли больше $r$ ($\Delta r > 0$), она упадет ближе к источнику ($\Delta x < 0$), и наоборот).

11

Рис. 4.

Теперь посмотрим, какая масса воды попадет на участок Δx. Пусть число капель, радиусы которых лежат в интервале от r до r+Δr, равно Δn(r). Величину Δr мы выберем столь малой, что массы капель можно считать одинаковыми и равными m(r) = $\frac{4}{3} \pi r^3 \varphi$. Тогда масса воды, которую присутут эти капли на землю, равна

$$\Delta M = m(r) \cdot \Delta n(r) = \frac{4}{3} \pi r^3 \varphi \cdot \Delta n(r).$$

Наконец, формулируем требование равномерности каплива:

$$\frac{\Delta M}{\Delta x} = -\frac{4 \pi r^3 \varphi r^3}{6 uh} \frac{\Delta n(r)}{\Delta r} =$$

$$= -\frac{2 \pi \varphi}{3 uh} r^6 \frac{\Delta n(r)}{\Delta r} = C,$$

(5)

где C — константа. Но ведь $\frac{\Delta n(r)}{\Delta r}$ в пределе ($\Delta r \rightarrow 0$) и есть искомая нами функция распределения капель по их радиусам!

Итак, $f(r) = \lim_{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta n(r)}{\Delta r} = K \frac{1}{r^6}$, то есть $f(r) \sim r^{-6}$.

Это очень крупная зависимость. Допустим, мы выбрали два одинаковых интервала радиуса капли Δr в близи двух различных значений, соответствующих мелким ($r_1$) и крупным ($r_2$) каплям. Пусть их радиусы отличаются в два раза: $r_2 = 2r_1$. Тогда из

(6) следует вывод: внутри этого интервала Δr число капель Δn(r) должно быть в $(r_2/r_1)^6 = 2^6 = 64$ раза больше, чем число крупных ($\Delta n(r_2)$).

Теперь, зная длину поливаемого участка L = x_max - x_min (см. рисунок 4), можно найти с помощью формулы (4) наименьший и наиболее радиусы капель r_min и r_max, их полное число (формула (2)) и полную массу воды, «выдаваемой» в единницу времени источником (в частиности, в постоянную C в формуле (5) вошла и ширина участка — ведь ясно, что полная масса воды должна быть пропорциональна ширине поливаемого участка, но чтобы избаваться от этой тривиальной мысли, можно считать, что мы провели расчедения в расчете на единицу его ширины, или на единицу длины трубы). Все эти практические расчеты можно сделать, потому что мы нашли характер функции распределения капель по размерам. И не обязательно капель воды для полива: это может быть расторяемо для борбы с вредными насекомыми или сорными травами, или взвес мелких семян, или капли краски для покрытия больших площадей, или…

Итак, мы нашли ту функцию распределения капель по их размерам, которое должно стать «обеспечить» конструктор при помощи набора форсунок.

А что мы не учили в своей решении? Многое: ну, например, что ветер дует не всегда равномерно, а порывиami; и даже если равномерно, то его скорость по высоте над землей тоже как-то меняется; что капли, особенно мелкие (они должны время находятся в «полете»), могут испараться, и т. д. Всякая физическая модель имеет свои рамки, внутри которых она справедлива, а за которых она требуется уточненей, условияней, а может быть, и совсем «не работает».

Советуем купить

В 1985 году в научно-популярной серии для школьников «Библиотечка «Квант» издательства «Нука»» будут изданы следующие книги:

Вып. 37. Г. С. Воронов. Штурм термоядерной крепости.

Вып. 39. В. В. Брагинский, А. Г. Полнарев. Удивительная гравиитация.

Вып. 40. С. С. Хилькович. Физика вокруг нас.

Вып. 41. Г. А. Звениггородский. Первые уроки программирования.

(Окончание см. на c. 53)

12

Пульсирюще Солнце

«Солнечный круг, небольшокруг», — каждый знает, что такое Солнце, и может изобразить его. А как устроено Солнце?

«Я сделал шар из ваты, пропитал спиртом и зажет. Недурно горело, а?» — так смоделировал Солнце «великий и ужасный» волшебник Гудвин из книги А. Волкова «Волшебник Изумрудного города».
Идея неплохая, но такое солнце, конечно же, потухло бы через несколько минут.

Сегодня физики знают, что в реальном Солнце «горит» термоядерное горючее. Ядра водорода (проTONы) объединяются с нейтронами, образуя ядра геля, при этом выделяется колоссальная энергия. Но это — общий принцип, а многое детали процесса до сих пор установить неудается. Более того, в науке о нашем светеILE есть немало противоречий.

Известно, например, что в термоядерных реакцияхрождаются нейтрино — самые легкие и неуловимые частички из общирно семейства элементарных частиц. Несмотря на фантастическую неуловимость нейтрино, физики научились их регистрации, а научившись, решили выяснить, сколько же их летит от Солнца. Оказалось, что зарегистированный поток нейтрино от Солнца в три раза меньше, чем должен был бы, если рассчитывать его по гипотезе термоядерных реакций. В чем же дело?

Есть и другие вопросы. Однако из них связан с изменением светового потока, посылаемого Солнцем на Землю; физики считают, что за время существования нашей планеты мощность излучения Солнца должна быть бы увеличиться по крайней мере на 20—30 процентов, а геологии и палеокlimатологии (специалисты по климату прошлых эпох) считают, что этого не было.

Все сходились в одном: необходимо пристальное внимание к Солнцу и его тщательнейшее изучение.

Стали пристмативаться повышательнее и, как это бывает в науке, вместе ответов на поставленные вопросы обнаружили новые неожиданные противоречия. Началось все с того, что американские физики Р. Дикке и Г. Гольденберг решили проверить, действительно ли Солнце — шар. Из результатов их измерений следовало, что Солнце сплюснуто. Эта «находка» совсемуж не вписывалась ни в какие теории, и ее стали перепроверять в разных странах.

Тщательные исследования в этом направлении были начаты примерно дескать лет назад в Крымской астрофизической обсерватории АН СССР. Советские астрофизики под руководством академика А. Б. Северного обнаружили и неизвестное ранее явление — колебания диаметра Солнца. Оказывается, Солнце перiodических расширяется и скимается, то есть пульсирует. Частота «солнечного пульса» — один раз в 160 минут, а амплитуда пульсации составляет к центру из внешних слоев. Такой «подtok» может привести к возникновению сферического волны от центра к поверхности Солнца. Правда, количество расчета расчета, основанные на такой модели, дает период пульсации 120 минут, но в качестве перворого прилечение этого волне удовлетворительно.

Вот так пристальное внимание к Солнцу не ответило на стоящие перед учеными вопросы, а привело к открытию целой новой области «солнечедения» — гелиосейстолгини. Теперь, изучая пульсации поверхности Солнца, можно надеяться на новую информацию об устройстве его внутренних слоев.

А. В. Семенов

13

Диофантово уравнение
А. А. Маркова

Член-корреспондент АН СССР М. Г. КРЕЙН

В этой статье рассказана история одного уравнения в четых числах и приводится его решение. Решение использует лишь простейшие свойства чисел и теорему Виета для квадратного трехчлена, и потому доступно воспользоваться математическим круглым. Оно основано на ряде задача «на доказательство», разбор которых мы составить предмет заятия математического круглая. (Подробные доказательства вы найдете в конце следующей номера журнала.)

В 1879 году в Петербургском университете молодой человек 23 лет зашиит магистерскую диссертацию под названием «О бинарных квадратных формах положительного определителя». В ней решались труднейшие вопросы теории чисел и она определяла новое направление в этой теории. Ее автором был будущий знаменитый академик Андрей Андреевич Марков (1856—1922).

В основу диссертации были положены две его статьи, опубликованные в Германии в 1879 и 1880 годах в одном из наиболее известных в мире математических журналов — “Mathematische Annalen”. Несмотря на это, прошло более 30 лет, прежде чем на западе «открыли» работы Маркова. В 1913 году крупный немецкий математик Георг Фробенius (1849—1917) опубликовал тему под названием «О числах Маркова». В предисловии к нему он написал, что вопросы тому, что исследования А. А. Маркова являются «чрезвычайно заменательными и важными», они, по-видимому, остались мало известными. Г. Фробенius обьясил это сложность их изложения (А. А. Марков систематически пользовался непопулярным для того времени в этих вопросах аппаратом непрерывных дробей)*.

Разумеется, настоящая статья неставит себе цель дать хотъ какое-либо представление о глобоких исследований А. А. Маркова. Но дело в том, что в своих построениях А. А. Марков неожиданно пришел к вспомогательному диофантову уравнения (называемому теперь его имеем), имеющему вид

$$x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz.$$

И вот — сенсция! А. А. Марков получил описание всех решений уравнения (1), пользовясь только средствами школьной математики (среди них существуют роль сыграла теорема Виета для квадратного трехчлена). Но прежде чем разобрать решение уравнения (1), стоит сказать несколько слов вообще:

О диофантовых уравнений

Как известно, диофантовым уравнением для целочисленных переменных $x, y, ..., w$ называется уравнение, которое быить приведено к виду

$$P(x, y, ..., w) = 0,$$

где $P$ — некоторый многочлен от указанных переменных с целыми коэффициентами.

Иогда к диофантовым уравнением приводят сравнительно простые вопросы. Например, решая вопрос о том, каким способом сумму в $n$ копеек можно разметать на монеты достинством в 1, 2, 3 и 5 копеек, мы приедем к диофантову уравнения:

$$x + 2y + 3z + 5w = n^*$$.

По-видимому, еще в Древнем Вавилоне родилась задача о построении прямоугольного треугольника с попарно созмерными сторонами. Созмеримость сторон означает, что найдет такая масштаб, в котором катемты и гипотенуза будут выражаться натуральными числами $x, y$ и $z$, но тогда

$$*) О непрерывных (или целых) дробях можно прочитать в «Кванте», 1983, № 5, c. 16 и № 6, c. 26. **) О решении этого уравнения см. «Кванте», 1984, № 5, c. 11.$$

14

$$x^2 + y^2 = z^2.$$

Таким образом, вавилонская задача состоит к задче построения всех трехек натуральных чисел $x, y, z$, удовлетворяющих предыдущему уравнению. Пифагорецы нашли способ построения всех его решений. Но, возможно, этот способ был найден еще раньше в Вавилоне и Индии. Так или иначе, решения $(x, y, z)$ уравнения $x^2 + y^2 = z^2$ принято называть пифагородными тройками).

Задача об отыскании всех решений даже простого на вид диофантова уравнения, как правило, сложная. Известно, что нет единобразного способа (общего алгоритма) для выяснения даже того, имеет ли диофантово уравнение решения в целых числах, или нет **). Поиск решений конкретных диофантовых уравнений продолжается и в наши дни; здесь с помощью сложного аппарата современной алгебраической геометрии в самые последние годы доступны значительные условия ***). Однако интереснее нас уравнение Маркова (1) решается элементарно — вернемся к нему.

Родословное дерево уравнения Маркова

Упорядоченная тройка целых чисел $(a, b, c)$ называется *решением диофантова уравнения с переменными $x, y, z$, если это уравнение при $x=a, y=b, z=c$ превращается в верное числовое равенство. Числа $a, b, c$ решения $(a, b, c)$ будем называть координатами решения. Для уравнения Маркова (1) мы условимся рассматривать только те решения, у которых нет нулевых координат, иными словами, тройку $(0, 0, 0)$ мы будем исключать из решений (легко видеть, что если равна нулю одна из координат решения уравнения (1), то и остальные координаты решения равны нулю).

Левая часть (1) положительная для любого решения $(a, b, c)$, поэтому либо все $a, b, c$ положительные, либо два

*) О пифагоровых тройках и о решении некоторых других диофантовых уравнений см.: А. О. Гельфонд. Решение уравнения в целых числах, 4-е изд. — М.: Наука, 1973. О. Оре. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980. — (Серия: Библиотека Квант).
**) См. Квант, 1970, № 7, с. 39.
***) См. Квант, 1983, № 3, с. 19.

из них отрицательны. В последнем случае переход от $(a, b, c)$ к $(|a|, |b|, |c|)$ приводит к решению уравнения (1) с положительным координатами. Обратно, если все координаты решения $(a, b, c)$ положительные, то, изменив знак у каких-либо двух координат, мы снова получим решение. Поэтому в дальнейшем без ограничения общности мы будем рассматривать только решения $(a, b, c)$ с положительным координатами.

Из симметричного уравнения (1) следует, что если $(a, b, c)$ — решение уравнения (1), то решениями будут:

$$(a, b, c), (c, a, b), (b, c, a),$$
$$(b, a, c), (a, c, b), (c, b, a),$$

то есть вместе с $(a, b, c)$ решениями будут все тройки, получаемые различными перестановками координат данного решения.

Ввиду этого мы можем условиться все шесть решений уравнения Маркова, получающихся друг из других перестановками, считать одним решением, то есть считать, что для решения существования лишь значения координат, а не их порядок.

Уравнение Маркова имеет очевидное решение (1, 1, 1). Сейчас мы выясним, как, зная какое-либо решение, можно находить другие решения. Если $(a, b, c)$ — решение уравнения Маркова, то можно утверждать, что а есть корень квадратного уравнения

$$\Phi_a(x) = x^2 + b^2 + c^2 - 3bcx = 0.$$

Но по теореме Виета это уравнение будет иметь еще один корень $x=a'$, такой, что

$$a + a' = 3bc, \quad aa' = b^2 + c^2.$$

Очевидно, $a' > 0$ и $(a', b, c)$ также является решением уравнения (1). Она называется соседним решением по координате a. Очевидно, если $(a', b, c)$ — соседне решение для $(a, b, c)$, то $(a, b, c)$ является соседним по координате $a'$ решением для $(a', b, c)$.

Аналогично вводятся решения, соседние по координате 1 решения $(1, 1, 1)$. Для этого нужно решить квадратное уравнение

15

$$x^2 + 1^2 + 1^2 - 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot x = 0.$$

Кроме корня $x=1$, это уравнение имеет корень $x=2$. Таким образом, получено еще одно решение (2, 1, 1).
В дальнейшем решение (1, 1, 1) и (2, 1, 1) будут играть существенно роль. Назовем их, следуя Маркову, сингулярными.

Сингулярные решения выделяются из множества всех решений следующим свойством.

Задача 1. Если у решения $(a, b, c)$ уравнения Маркова две из координат равны, то в этом и только этом случае решение является сингулярным. Докажите это.

Первое сингулярное решение (1, 1, 1) имеет только одно соседнее решение. Второе сингулярное решение имеет два соседних: одно из них — (1, 1, 1), другое (соседнее по координате 1), получается из уравнения

$$2^2 + y^2 + 1^2 = 3 \cdot 2 \cdot y \cdot 1$$

и имеет вид (2, 5, 1). В свою очередь, решение (2, 5, 1) имеет три соседних: одно, естественно (2, 1, 1) и два новых — (13, 5, 1) и (2, 5, 29). Вообще, каждое несингулярное решение $(a, b, c)$ порождает три соседних

$$(a', b, c), (a, b', c), (a, b, c')$$

где (сравните с (2))

$$a' = 3bc - a, b' = 3ac - b, c' = 3ab - c.$$

Задача 2. Если решение $(a, b, c)$ несингулярно, то одно из его соседних решений имеет меньшую максимальную координату, а два других — большую. Докажите это.

Теорема Маркова. Любое решение уравнения (1) содержется целочкой соседних решений с сингулярным решением (1, 1, 1).

Доказательство. Пусть $(a, b, c)$ — решение уравнения Маркова, отличное от сингулярного. Тогда у него есть соседнее решение $(a_1, b_1, c_1)$ с меньшей максимальной координатой (задача 2). Если это решение также несингулярно, то оно порождает решение $(a_2, b_2, c_2)$ с меньшей максимальной координатой, и так далее. Так как из натуральных чисел нельзя обозначить бесконечную убывающую последовательность, то этот процесс должен закончится, когда мы придем к некоторому решению $(a_n, b_n, c_n)$, у которого есть равные координаты, то есть (задача 1) к сингулярному. Если оно (1, 1, 1), то теорема доказана, если же это решение (2, 1, 1), то остается вспомнить, что соседним решением для (2, 1, 1) по координате 2 будет (1, 1, 1). Теорема доказана.

Из теоремы Маркова следует, что, отправляясь от сингулярного решения (1, 1, 1), и последовательно переходя к соседним решением с большим максимумом координат, мы получим все решения уравнения Маркова. При этом получается такая таблица — родсловое дерево (см. рисунок). Эта таблица позволяет для данного $N (\geqslant 1)$ конечным числом действия найти все решения уравнения Маркова, координаты которых не превыходит $N$.

Задача 3. Докажите, что у каждой решения уравнения Маркова координаты попарно взаимно просты.

Исключительное уравнение Маркова

Поставим следующий вопрос, который, на первый взгляд, может показаться страным. Если сумма квадратов трех натуральных чисел делится на их произведение, то каким может быть частное?

Этот вопрос равноселен следующему: при каких натуральных $k$ диофантов уравнение

$$X^2 + Y^2 + Z^2 = kXYZ$$

(3)

16

имеет неулевое решение? При $k=3$ это уравнение совпадает с уравнением Маркова. Легко видеть, что при $k=1$ уравнение (3) имеет решение, например (3, 3, 3). Проанализировав уравнение (3), Гурвиц и Фробенус пришли к разительному результату: уравнение (3) имеет решение только при $k=3$ и $k=1$. Этот результат также может быть получен элементарными средствами.

Начнем со случай $k=1$. При этом окажется, что отискание решения уравнения (3) для $k=1$ совпается к отисканию решения уравнения Маркова.

Задача 4. Пусть $A, B, C$ — натуральные числа. Тогда остаток от деления числа $A^2+B^2+C^2$ на 3 равен количеству неделяшихся на 3 чисел среды $A, B, C$, если их меньше трех, и равен нулю в противном случае. Доказите это.

Задача 5. Все решения $(A, B, C)$ уравнения

$$X^2+Y^2+Z^2=XYZ$$

получаются по формулам

$$A=3a, B=3b, C=3c,$$

где $(a, b, c)$ — произвольное решение уравнения Маркова

$$x^2+y^2+z^2=3xyz.$$

Доказите это.

Обратимся к случай $k=2$.

Задача 6. Пусть $A, B, C$ — натуральные числа. Тогда остаток от деления числа $A^2+B^2+C^2$ на 4 равен количеству неделяших чисел среды $A, B, C$. Доказите это.

Задача 7. Доказите, что уравнение (3) не имеет решения при $k=2$.

Теорема. Уравнение (3) имеет неулевое решение только при $k=1$ и $k=3$.

Доказательство. При $k=1$ решение находится в соответствии с задачей 5. При $k=2$ уравнение (3) не имеет решения в силу задачи 7. Остается рассмотреть случай $k>3$.

Допустим, что при некотором $k>3$ уравнение (3) имеет решение $(a, b, c)$. Покажем, что координаты $a, b, c$ этого решения попарно различны. Пусть, например, $b=c$; тогда $a^2=kab^2-2b^2=(ka-2)b^2$, так что $a=bd$, где $d$ — целое. Отсюда $b^2d^2=(kbd-2)b^2$, $d^2=kbd-2$, $2=d(kb-d)$. Таким образом, 2 делится на $d$ и, стало быть, $d=1$ или 2. В обих случаях $kb=3$, что противоречит условию $k>3$.

Итак, у любого решения уравнения (3) при $k>3$ координаты попарно различны. Без ограничения общестим можно считать, что $a>b>c$. Для решения $(a, b, c)$ с помощью квадратного трехчлена

$$\Psi_a(x)=x^2+b^2+c^2-kxbc$$

образует соседнее по координате $a$ решение $(a', b, c)$. Так как

$$\Psi_a(b)=2b^2+c^2-kb^2c<3b^2-kb^2<0,$$

мы видим, что $b$ лежит между корнями $a$ и $a'$ многочлена $\Psi_a(x)$, то есть $a>b>a'$. Поэтому у решения $(a', b, c)$ максимальная координата меньше максимальной координаты решения $(a, b, c)$. Итак, по каждому решение $(a, b, c)$ можно построить решение $(a_1, b_1, c_1)$ с меньшей максимальной координатой. Это построение можно повторить, получив решение $(a_2, b_2, c_2)$ с еще меньшей максимальной координатой. Так как у каждой решения координаты попарно различаны, этот процесс можно продолжать неограниченно и получить бесконечную последовательность решения уравнения (3) со все меньшими и меньшими максимальными координатами. Но это невозможно, так как координаты — натуральные числа. Теорема доказана.

Следствие. Для любого решения $(a, b, c)$ уравнения Маркова числа $a, b, c$ попарно взаимно просты.

Доказательство. Если, например, $a$ и $b$ имеют общий делитель $d$ ($>1$), то в силу уравнения (1), число $d$ будет делителем и числа $c$. Следовательно, найдется натуральные $X, Y, Z$ также, что $a=dX, b=dY, c=dZ$, и в силу (1) будет иметь $X^2+Y^2+Z^2=3dXYZ$, а это противоречит только что доказанной теореме.

Непосредственным общешением уравнения Маркова на случай $n$ переменных ($n \geqslant 3$) является уравнение

$$x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2=nx_1x_2\dots x_n.$$

Нетрудно видеть, что ряд изложенных предложений переносится на этот случай (существует сингулярное решение $x_1=1, x_2=1, \dots, x_n=1$, для всякого решения существуют соседние решения и т. д.). Однако автор неизвестно, чтобы где-нибудь была изложена достационная полная теория уравнения (7). Поиск такой теории могли бы стать основой необольшего самостоятельного исследования.

17

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «О простых машинах» предназначена восемиклассик, «Диа- и парамазнетики» — девятиклассик, «Обыты Резерфорда и явление радиоактивности» — десятиклассик.
Материалы подготовили Н. К. Белкин.

О простых машинах

Равновесие тел и работа сил. На первый взгладкажется, что понятия «равновесие» и «работа» несовместимы друг с другом. Ведь сила совершает работу только тогда, когда она приложена к движущему телу; равновесие же, как будто, связано с отсутствием движения. Однако связь между равновесием тела и работой приложенных к нему сил существует. Поясим это на примере рычага.

Рычаг — одна из самых древних простых машин. Как известно, для равновесия рычага необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов приложенных к нему сил была равна нулю:

$$F_1 d_1 = F_2 d_2,$$

или $$\frac{F_1}{F_2} = \frac{d_2}{d_1}.$$

Здесь $F_1$ и $F_2$ — модифицированных к рычагу сил, $d_1$ и $d_2$ — площистих сил (рис. 1).

Условие равновесия можно, однako, выразить и иначе. Будем считать, что точка опоры рычага $O$ — это закрепленная ось (точнее — ее проекция на плоскость чертежа), около которой наш рычаг может поворачивать. При повороте точки $a$ и $b$ прилою

$$F_1 s_1 = F_2 s_2,$$

или $$\frac{F_1}{F_2} = \frac{s_2}{s_1}.$$

Таким образом, в основе действия рычага лежит следующие правила:

отношение приложенных сил равно

18

обратному отношению перемещений точек их приложения.

В нем, в этом правиле, оказывается, и заключает «секрет» действия рычага. Если, например, с помощью рычага поднимают груз (рис. 2), то положительная работа силы $\vec{F}$ (работа на «вхode») равна отрицательной работе силы тяжестии $m\vec{g}$ (работа на «выхode»). Но из рисунка 2 видно, что перемещение поднимаемого груза меньше перемещения того конца рычага, к которой приложена сила $\vec{F}$. Согласно формуле (3), модель силы тяжестии, приложенной к грузу, во столько же раз больше $F$. Отношение силы «на выхode» к силе «на входе» (по модели) называют передаточный числом рычага (иногда его называют также механической выгодной рычага). Рычаг позволяет, как говорят, «выгрывать» в силу. Но за всякий выгрышнado платить. И платой служит «проигрыш» в перемещении: перемещение «на входе» во столько же раз больше перемещения «на выходе», во столько раз сила «на выходе» больше силы «на входе».

Это правило, примененное не только к рычагу, но и во всем другим простым машинам, известно как «золотое правило механики».

Еще одна простая машина — наклонная плоскость. Формула (3) справедлива не только для рычага. Еще одним устройством, тоже называемый простой машиной, служит гладкая наклонная плоскость. Если, например, нужно поднять груз массой $m$ на высоту $h$, то при равномерном движении по вертикали к грузу нужно было приложить силу, равную силу тяжестии груза $m\vec{g}$. Но если движать этот груз равномерно по наклонной плоскости длиной $l$, то для этого достаточно силы, во столько раз меньше $m\vec{g}$, во сколько раз $l$ больше $h$. Выигрышнв в силу (передатное число) равно, следовательно, относению $l/h$. Но $l/h=1/\sin \varphi$, так что выгрышнв в силу для наклонной плоскости равен $1/\sin \varphi$, где $\varphi$ — угол наклона плоскости к горизонту.

Наклонная плоскость, как и рычаг, использовалась человеком с незапамятных времен. Издавна известны также и разновидности наклонной плоскости — клин и винт. Клин представляет собой сложные вместе

основаниями две наклонные плоскости, винт — наклонную плоскость, обернутую вокруг стержня. В качестве примера винтового устройства на рисунке 3 показан домкрат. Из рисунка 3 видно, что для подмена груза на высоту $h$ (шаг винта) конец рукотки, к которой приложена сила, должен пройти путь, равный $2\pi R$, где $R$ — расстояние от оси винта до конца рукотки. Ясно, что выгрышнв в силу в этом случае равен относению $2\pi R/h$. Сила «на входе», следовательно, в $2\pi R/h$ раз меньше силы «на выходе».

Разновидность рычага — блок. Еще один важный вид простых машин связи с блоком. Сам по себе неподвижный блок представляет собой разновидность рычага, но рычага равноведущего, никакого выгрыша в силу не дающего. Но различные системы подвижных и неподвижных блоков известны как устройства, позволяющие не хуже рычагов и наклонных плоскостей заменять больше силы на малые.

На рисунке 4 показана типная система блоков — полиспаст. Сила $F$, приложенная к свободному концу каната $A$, передается через блоки каната $B$, $C$ и $D$. Каждый из них действует на груз тоже с силой $F$. вместе они действуют с силой $3F$. Таким образом, сила «на выходе» второе превозходит силу «на входе». Однако при подмещение груза, скажем на 1 метр, каждая вервка $B$, $C$ и $D$ укорочивается на 1 метр, поэтому свободный конец каната $A$ нужно удалить на 3 метра. Это — «плата» за выгрышнв в силу.

---

Таким образом, основа всех «техники» простых машин — рычаги и наклонные плоскости. С древней-

19

Диа- и параметрики

Как известно, индукция магнитного поля в веществе может услышаться или ослабляться по сравнению с вакуумом. В первом случае вещество называют параметриком, во втором — диамагнетиком.*) В чем же причина пара- и диамагнетизма?

Кратко природу параметризма можно объяснить так. В atomах (или молекулах) электроны движутся по замкнутым траекториям (орбитам). Эти мелчайшие электрические точки, называемые молекулярными, создают магнитное поле. В отсутствие внешнего магнитного поля из-за теплового движения atomов плоскости орбит ориентированны беспорядочно, поэтому индукция собственного магнитного поля, создаемого всеми atomами, в среднем равна нулю.

Когда же вещество помещают во внешнее магнитное поле, плоскости орбит электронов (подобно рамкам с током) частично поворачивают, так, чтобы векторы индукции создаемых им们 полей складывают с вектором индукции внешнего поля. В результате суммарная магнитная индукция оказывается больше индукции внешнего поля.

Приода диамагнетизма более сложная. Чтобы ее понять, вспомним явление электромагнитной индукции (Физика 9, § 92, 93). При изменении магнитного потока через электрический контур в нем возникает индукрованный электрический ток. Согласно правилам Ленца, этот ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле превращает изменению магнитного потока. В контуре, не обладающим электрическим сопротивлением, например в сверхпроводящем контуре или в «контуре», образуемом электроном, движущимся в.atome по своей орбите, индуцированный ток не затухает. Он сохраняет до тех пор, пока существует внешнее магнитное поле. Magнитное поле индуцированного тока направлено противоположно внешнему полю, так что суммарная магнитная индукция в веществе умеется.

В каждом веществе проявляется оба эффектива. С одной стороны, внешнее магнитное поле ориентируется орбиты электронов и вседействие этого успливается. С другой стороны, оно изменяет скорость движения электронов по орбитам и вседействие этого, в соответствии с законами электромагнитной индукции, ослабляется.

Уменышение магнитного поля обычно очень мало, и поэтому диамагнетизм заменено проявляется лишь в тех веществ, атомы которых собственного магнитного поля не создают (и в которых, следовательно, нет параметрического эффектива).

Простейший диамагнитный atom можно представить себе следующим образом: два электрона врашают вокруг ядра по одному орбите, но в противоположных направлениях. В этом случае создаемые электронами магнитные поля компенсируют друг друга, и поворот плоскости орбиты не приводит к усплению магнитного поля. А вот диамагнитный эффектива проявляется в полной мере. Расмотрим его подробнее.

Пусть каждый электрон в atomе в отсутствие внешнего магнитного поля движется по круговой орбите радиусом $R$ со скоростью $v_0$. При включении магнитного поля возникнет выходе электрической поле, которое изменяет скорость движения электрона. Предположим, что теперь она равна $v$. Если считать, что вектор магнитной индукции $\vec{B}$ перепendlкулярен плоскости орбиты, то на электрон состоянии магнитного поля действует сила Лоренца, равная по модулю $F_{\vec{L}}evB$.

Запишем второй закон Ньютона для движения электрона по орбите до и после включения магнитного пола

20

Опыты Резерфорда и явление радиоактивности

Опыты Резерфорда, о которых рассказывается в § 93 «Физики 10», двояко связаны с явлением радиоактивности. С одной стороны, в этих опытах для бомбардировки atomов тяжелых элементов использовались положительные заряженные быстрыя альфачастицы, испускаемые радиоактивными веществами. Радиоактивность, таким образом, для опытов. С другой стороны, результаты опытов Резерфорда, приведшие к созданию планетарной модели атома, позволили подойти к обяснению самого явления радиоактивности, до того бышнего в высшей степени загадочных.

Из опытов Резерфорда выяснили, что atom любого элемента состоит из положительного заряженного ядра, размеры которого в десяти или даже сотни тысяч раз меньше атома, и отрицательно заряженных электронов, образующих электронную оболочку. При этом оказалось, что электрический заряд ядра, если его выразить через заряд электрона, принятый за единицу, равен порядковому номеру элемента в таблице Менделеева. В символьческой записи ядр их заряд выразяется порядковым номером, который записывается в виде нижнего индекса при символье элемента. Верхний же индекс обозначает массу ядра, выраженную в atomных единицах массы. Например, ядра atomов железа и золота символьически записываются так:

$$\frac{56}{26}\text{Fe}; \frac{197}{79}\text{Au}.$$

Radioактивность — явление ядерное. В какой же части атом — ядре или электронной оболочке — происходит процесс, приводящий к испусканию радиоактивных излучений (альфа-, бета- и gamma-излучений)?

Нетрудно понять, что все дело в atomном ядре. Это видно, во-первых, из того, что один из видов излучения — альфа-излучение — это поток быстрых положительных заряженных частиц, а также в электронной оболочке просто нет. Правда, другой вид излучения — бета-излучение, состоящее из электронов, — в принципе

21

мог бы исходить и из электронной оболочки. Однако, и это во-вторых, энергия бета-частиц столбела (она достигает миллионов электронов), что электронная оболочка такую энергию сообщить явно не может. Известно, например, что при химических реакциях, в которых atoms участвуют своим электронными оболочками, энергия, приходящая на один atom, равна примерно 1 эВ. Энергия квантов видимого света, которые несомненно возникают в электронной оболочке, тоже около 1 эВ. Только энергия квантов penetrates лучей (они также испускают электронной оболочкой) может достигаться и даже десять тысяч электронов. Миллионов же электроновят электронная оболочка «свойм» электронам сообщить не может.

Таким образом, и альфа- и бета-частицы могут испускаться только в результате каких-то процессов в atomном ядре. То же можно сказать и оGamma-излучении.

Радиоактивные превращения. Итак, радиоактивные излучения испускаются ядрами atomов радиоактивных элементов. Заряд же ядра равен порядковому номеру элемента в таблице Менделеева. Тогда из закона сохранения электрического заряда прямо следует, что когда какое-нибудь ядро испускает заряженную частицу, заряд ядра должен измениться. А это значит, что оно превращается в ядро atomа другого элемента, занимающего другую клетку таблицы.

Как выяснили, альфа-частица обладает положительным электрическим зарядом, вдвое большим зарядом электрона, и массой, внутреннего большей atomной единицей массы. Поэтому ядро, испускшее альфа-частицу, превращается в ядро atomа элемента, у которого порядковый номер на две единицей меньше исходного, а масса меньше на четыре единиццы. Если, например, радиоактивный элемент полной с порядковым номером 84 и относительной atomной массой 218 испускает альфа-частицу, то он превращается в ядро atomа элемента, занимающего клетку номер 82 таблицы (это свинец) с относительной atomной массой 214:

$$\text{Po} \rightarrow \text{Pb} + \alpha.$$

Поскольку α-частица представляет собой ядро atomа геля, этот процесс можно записать иначе:

$$\text{Po} \rightarrow \text{Pb} + \frac{1}{2} \text{He}.$$

Происходит, как говоря, pasnad ядра полония на две части — ядро свинца и ядро геля.

Несколько иначе обстоит дело при испускании ядром бета-частицы, то есть быстрое электронное. Оно приводит не к уменьшению заряда ядра, а к его увеличению на одну единицу и,

23

Рис. 1.

«раскут» на чертеже во вполне определенных местах (оставшийся процент зависит от неисчерпаемой фантации авторов задач), и учащся должны знать, как выглядит фрагмент чертежа, где можно ожидать уравнение, и какие уравнения там следует искать.

Основными поставшиками уравнения служат треугольники и окружности (с хордами, касательными, секущими) и их stereometрические аналоги: тетраэдры (треугольные пирамиды) и сферы. Вспомогательными элементами служат частично правильные четырехугольники (параллелограммы, ромбы, прямогольники, квадраты) и их stereometрические аналоги (параллелопеды, призмы). Планметрические фигуры более богаты на уравнения и более обозримы, поэтому всегда следует стремиться получить планиметрические фрагменты чертежа. Расмотрим основные соотношения, поставляемые нам треугольники, tetraэдрами, окружностями и шарами.

1. Треугольник определяется, вообще говоря, 3-я своим элементами (не всякими). Если 3 заданных элемента полностью определяют треугольник, то через них можно выразить все остальные элементы, для чего полезно знать основные соотношения в треугольниках. Обозначим: $a, b, c$ — длины сторона, $a, \beta, \gamma$ — углы, $S$ — площадь, $r, R$ — радиусы вписанной и описанной окружности, $h_a, m_a, l_a$ — высота, медиана и биссектриса, проведенные из угла $a$ (рис. 1, a). Тогда можно выписать следующие соотношения:

a) $a/\sin a = b/\sin \beta = c/\sin \gamma = 2R$ (теорема синусов);
b) $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ (теорема косинусов);
c) $S = \frac{ah_a}{2} = \frac{(a+b+c)}{2} \cdot r =$
$$\sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} \cdot \frac{a-b+c}{2} \cdot \frac{-a+b+c}{2}}$$
(формула Герона);
d) $h_a = \frac{2S}{a} = b \sin \gamma$;
e) $m_a^2 = a^2/4 + b^2 - ab \cos \gamma$
(по теореме косинусов из $\triangle ACM$, рис. 1, $\sigma$);
f) $l_a = \frac{b \sin \gamma}{\sin \left(\frac{a}{2} + \gamma\right)}$
(по теореме синусов из $\triangle ACL$, рис. 1, $\theta$).

Соотношения a) — d) являются основными, их следует запомнить. Соотношения e) — ж) являются вспомогательными: они выражают длины медианы и биссектрисы через основные элементы треугольника путем применения теоремы синусов или ко-