Квант 1985, №5 · Страницы

КВАНТ
5
1985

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

В декабря прошло года были запущены две советские автоматические станции «Веза-1» и «Веза-2». Этот запуск — начало осуществления Международной экспедиции «Венера — комета Галлея» (сокращенно «Веза»). Проектом «Веза» предусматривается совместное исследование Венеры и кометы Галлея. Наземные исследования кометы осуществляются по Международной программе наблюдения за кометой Галлея — IHW (International Halley Watch). Решение об организации программы IHW было принято на 18 Генеральной ассамблее Международного астрономического союза. На рисунке приведена схема «сценария» полета станции «Веза» и положения «действующих лиц» во время основных этапов научных наблюдений. В июне этого года «Вези» проелят около Венеры. Аэросатные зоны, отделенные от спускаемых аппаратов, будут передавать на Землю результаты исследований атомоферы Венеры. В марта 1986 года должна состояние встреча космических аппаратов с кометой Галлея. Рассказ об экспедиции «Веза» мы предлагаем читателям в этом номере журнала (см. статью «Свидание с кометой»).

В НОМЕРЕ:

2 40 лет Великой Победы
3 И. К. Кикoin Физики — фронту
9 В. В. Гнеденko. Математика и математики в Великой Отечественной войне

---

16 Л. С. Мароchnik. Свидание с кометой
22 В. В. Трофимов. Царевна Дидона, изопериметы и мыльные пленки
Forty years since V-day
I. K. Kikoin. Physicists — for the front
B. V. Gnedenko. Mathematics and mathematicians in the Great Patriotic War

---

L. S. Marochnik. Date with a comet
V. V. Trofimov. Princess Dido, isoperimeters and soap films

Школа в «Кванте»
28 Физика 8, 9, 10
34 Математика 10
50 Избранные школьные задачи
Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 10
Selected school problems

Калейдоскоп «Кванта»
Kvant’s kaleidoscope

«Квант» для младших школьников
Задачи
Kvant for younger school children
Problems

Задачик «Кванта»
15 Призеры конкурса «Задачик «Кванта»
38 Задачи M921—M925; Ф933—Ф937
41 Решения задачи M901—M904; Ф913—Ф916
Kvant’s problems
Kvant problem solving contest prizewinners
Problems M921—M925; P933—P937
Solutions M901—M904; P913—P916

Практикум абитурента
46 О. Ю. Овчинников. Механическая работа и механическая энергия
College applicant’s section
O. Yu. Ovchinnikov. Mechanical work and mechanical energy

Варианты вступительных экзаменов
College entrance examination problems

Информация
21 Ленинградская юношеская астрономическая экспедиция
Information
Leningrad young astronomer’s expedition

56 Ответы, указания, решения
Смеся (55)
Шахматная страница
Вычисления на шахматной доске
(3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (55)
The chess page
Chess board computations
(3rd cover page)

Залл легендарных «Катюш» (см. фотографию на первой странице обложки) — символ сокращительного настоящего наихых войск, приведшего к победе в Великой Отечественной войне. Это также и символ zeroического труда ученых, инженеров и рабочих, создавших оруженые победы. О работах ученых, проведенных накапуне и в годы войны, читайте в статьях «Физики» — фронту» и «Математика и математики в Великой Отечественной войне».

2

40 лет
Великий Победы

Исполнилось сорок лет с того дня, когда народы всего мира торжественно отправновали победу над гитлеровским фашизмом. Дорогую цeny пришлось заплаать им за эту победу. Решающий вклад в разгром фашистских полицей, покоривших почти все страны Европы и подчинивших себе всего их экономического мощь, внес советский народ. История знает, что не было в те годы другой страны, способной на такой подвиг. Более двадцати миллионов советских людей погибли в этой войне, которое мы справедливо называем Великой Отечественной, и среди них много совсем молодых, стоявших, как и наши читатели, на пороге своей жизни. Война всколыхнула весь народ — на фронт стремились все. Юноши и девушки, не достигшие признавного возраства, всему правдини и неправдами старались попасть в действующую армию. Особенно много школьников боролось в тылу врага, в подпольных организациях и партизанских отрядах. Молодогвардейцы Краснодона, юные разведчики в отрядах Ковпака, Федорова, Попудренко, герои крымских катакомб, сироты, усыновленные воинскими частями, — память о них насегда останется в наших сердцах.

Огромную помощь в те годы наша армия получила от ученых. С первых же дней войны они повсюду переключились на разработку проблем, связанных с укреплением обороны страны. Благодария их успешным у нашей армии появились такие виды оружия, которые по своим характеристикам намного превосходили оружие врага,— реактивная артиллерия («Катюши»), танки «T-34», самолеты «Ил-2», «Як-3», «Пе-2», противанковые орудия с усовершенствованными снарядами. Советская наука с честью выдержала суровую проверку войной.

Советский Союз является главным оплом мира. Благодария миролюбивой политике нашшего народа в Европе сорок лет не было никаких войн. Борясь за мир, мы твердо помним, что его не выправивот, а добивавются.

Агрессивные импералистические силы угрожают нам новой войной. Они расходуют колосальные средства на совершенствование оружия массового уничтожения и увеличение его запасов, питания перенетки гонку вооружений в космическое пространство. Но последованные годы убедительно показали, что советские учены вместе со всем народом способны решать самые сложные обороны проблемы и быстроLINKировать все надежды импералистически на военное превосходство. Так было с atomным и термоядерным оружением, ракетными вооружениями, многозарядными боеволоками и т. п. Так недавно произшло и с крылатыми ракетами. В этом залог нашей безопасности и безопасности всего человека.

Народы мира давно уже ведут активную борьбу против агрессивных планах импералистически и в первых рядах этих борцов мы неизменно видим нашу великую Родину.

3

Физики — фронту

Академик И. К. Кикоин

Великая Отечественная война вскольхнула весь советский народ, в том числе и люди, занимающих науки, и конечно, физиков. Все понятно, что значительное роль в создании современного оружея играет техническая наука.

Разумеется, крупные военно-научные проблемы решаются заранее, и это требует немалого времени. Однако некоторые вопросы, связанные с совершенствованием военной техники, нужно и можно было решать и во время войны, в относительной коротке сроки.

Из крупных разработок, подготовленных до войны и потребовших несколько лет, прежде всего следует знать радиолокацию. Сама идея радиолокации очень проста. Она заключается в том, что электромагнитные волны, достигая металлические объектов, отражаются от них, и по отраженным волнам можно, по крайней мере прициппально, определить положение объекта в любой момент времени. Самое это явление обнаружил основоположник радиотехники А. С. Попов, заметивший, что прохождение корабли мешали передаче радиосигналов. От идеи до технического ее вопросия лежал огромный путь, который еще предстояло пройти. Дело в том, что радиовольны, достигиные поверхности металлического объекта, отражаются наничтожной степени, потому что часть из них поглощается, остальные же рассеиваются объектом во все стороны. В применик отраженных радиовольн попадает лишь малая часть энергии, первоначально направленной на изучаемый объект, скажем, самолет. И вот этуничтожную часть надо было суметь зарегистировать.

Первая попытка технического решения этой задачи относится к началу тридцатых годов. Затем в течение нескольких лет техническа развилась, совершенствовалась, и уже в 1939 году нашей армейы был принят на вооружение РУС — радиоуправляемый самолет. Вскоре была решена задача совместения в одной станции источника электромагнитных волн и применика отраженных волн. Она была назван РЛС — радиолокационной станцией, и насоклко мне известно, научный приоритет, то есть первенство, в ее разработке принадлежит именно советским физикам.

Нынешние РЛС сильно отличаются от тех, что применялись в начале Велико Отечественной войны, по той простой причине, что тогда еще не была разработана полупроводниковая техника, все делалось на лампах — и генераторы, и применики. На получированных системы перешли уже во время войны. Такие радиолокаторы можно было уже тогда установить и на самом деле, а не только на земле. Это позволило вести冷却 бой, то есть «видеть» вражеский самолет в темноте.

Успешное использование радиолокаторов для обнаружения движущихся военных объектов — самолеты и т. д. — сыграло огромную роль в военном деле и способствовало нашей победе.

Примерно такая же судьба сложилась у метода защиты военных кораблей от вражеских магнитных мин. Напомню вкратце саму идею таких мин и как можно было от них защищаться.

Известно, что Земной шар создает вокруг себя магнитное поле. Оно небольшее по величины, всего около де-

4

сайтитьсяной доли тесты. Однако его достаточно, чтобы ориентировать стрелку компаса по своим силовым линям. Если в этом поле находится массивный предмет, например корабль, и железа (вернее, стали) в немного, несколько тысяч тонн, то магнитное поле концентрируется и может увеличиться в несколько десятиков раз.

С одной стороны, для навигации с использованием компаса в качестве указателя направления движения корабля это мешает. Корабль искажает истинное направление земного магнитного поля, приходит учиться влияние стального корпуса на компас.

Но, с другой стороны, это успешное кораблем магнитное поле может пройтися и таким образом. Оно способно привести в действие какой-нибудь механизм, поворачивающийся под влиянием магнитной силы и замыкающий электрическую цепь. В эту цепь можно включить детонатор, погруженный во взрывчатое вещество мины. Такие магнитные мины отличаются от обычных, на которые корабль неисредственно натыкается и этим вызывает взрыв, тем, что лежат на дне моря и взрывают на расстоянии — под действием лишь магнитного поля корабля.

Было известно, что эти мины разбавывают во многих странах, и, верятоно, находились в распоряжении военно-морских сил фашистской Германии. Задча по борбе с магнитными минами была поставлена за несколько лет до начала войны в Ленинградском физico-техническом институте. Требовалось «размагнитить» корабли, чтобы ликвидировать успешное имми магнитное поле. Каким путем?

На корабле специальным способом располагали большие катушки из проводов, по которым пропускался электрический ток. Он порождал магнитное поле, компенсирующее поле корабля, то есть поле прямого противоположного направления. К началу войны пробела была начно разрешена, и ее надо было перевести на технические рельсы, то есть создать такие устройства на действующих кораблях советского флота.

Это было очень быстро организовано. Все боевые корабли подвергались в портах «антимагнитной» обработке и выходили в море размагнитными. Тем самым были спасены многоные тысячи жизни военных моряков. Понятоно, что для такой работы потребовались знания физиков, хорошо физическиелаборатории, что и предопределило ее успех.

Перед войной была решена еще одна задача, казалось бы, не имеющая непосредственного отношения к военным действиям, однако ее решение оказало существенное влияние на техническую работу.

В военное время расходуется очень много алюминия — для самолетов, меди — для снарядов. Эти материалы получают электропитание путем их производства в больших количестве, то через электропитание ванну проходит токи, достигающие десятиков тысяч ampер. Так вот, на одном из алюминевых заводов, который запускали перед войной, и предполагалось использовать такие большие токи. Обучный способ изменения токов шутами не годился, шуты были рассчитаны максимум на 10 тысяч ampер. Чтобы можно было регулировать, надо было придумать способ его изменения, не имея шутов.

Тут без физических знаний нельзя было обойтись. Ясно, что когда по проводнику проходит такой большой ток, то создание им магнитное поле тоже довольно велико. Измерив поле, мы узнали, как ток. К сожалению, форма проводов была не цилиндрической, это был ряд прямогоolgных шин, сложенных паралельно. И связь магнитного поля с током, протекающим по такому проводнику, было очень трудно установить, готовых формул не было.

Тем не менее физикам удалось провести расчеты и разработать прибор, который сперва на модели, а потом неисредственно на завода позволял промерять поле и ток. Таких приборов нужно было немного, всего несколько десятиков экземпляров, и их изготовили прямо влаборатории в течение сравнительно небольшого времени.

Перед самым началом войны завод был отрегулирован, пушен, впервые на нем применяли гигантские токи, а продукция его шла на авизаводы. И здесь помощь физиков оказалась очень полезной.

6

тельность станка, естественно, использая не полностью.

Уральские физики придумали неплохой способ непрерывного изменения диаметра шейки без остановки шлифовального станка. Для этого вблизи obtituваемой шейки ставился небольшой прибор, реагирующий на магнитное поле шейки. Оно, разумеется, зависит от расстояния между прибором и поверхностью шейки. По мере сошлифования, уменьшения диаметра детали, менялись и показания прибора. Нужно было только наблюдать за его стрелкой и по доступении его определенной метки на шкале остановывать станок и снимать деталь — всё без промежутных изменений.

Такие приборы непрерывного действия были установлены в больших цехах, где изготовлялись коленчатые валы. Производительность шлифовальных станков резко возрастла. Значит, увеличилась число выпускаемых двигателей и, соответственно, tankов. Это примо способствовало росту военной техники на полях сражений. Так во время войны в течение нескольких месяцев была решена очень задача.

Еще один пример. Перед знакомой битвой на Курской дуге в 1943 году немцы стали выпускать новые типы tankов — «Пантеры» и «Тигры». Это были tanks с резко услениной броней, которые обчанные снаряды пробивали с трудом или вообше не пробивали. За несколько месяцев до битвы нашим войскам удалось захватить несколько таких tankов и установить, насоклко прочна их броя. Чтобы пробить ее, надо было придумать снаряды с лучшенными характерами. Эта задача была поручена нашим металловедам в одном из институтов Москвы.

Хорошо известно, что для увеличения творости стали следует добавить в нее волфрам. Однако он плавится при очень высокой температуре, общная технология выплавления такой стали очень трудна. Организовать в массивом масштабе выплавку волфрамистой стали было невозможно, промышленность не была к этому подготовлена. И вот сотрудники института предложили изготовить головки снарядов из металлического порошка с добавкой порошка волфрамма. Мелкий порошок довольно хорошо спекается при большей температуре. С помощью метода порошковой металлургии также головки были сделаны, и они оказались необсяченными.

Испытания, проведенные с новыми снарядами, показали, что они с легкостью проводят самую толстую брою «Тигров» и «Пантер». Массовое произведение снарядов с головками из волфрамистой стали было налажено довольно быстро. И когда на Курской дуге наши артиллерии встретились с немецкими tankами, стало ясно, что планы гитлеровского командования, связанные с неуязвимостью но-

7

вой техники, провалились. Советские снаряды «внесли» свой вклад в сокращенное порожение немецких войск.

Ну и, конечно, физики не остались в стороне от задачи управления брони наших tanks. В Советском Союзе физика твердого тела получила широкое развитие, особенно в Ленинградском физico-техническом институте. Директор ЛФТИ академик А. Ф. Иоффе с сотрудниками занимались изучением специальных стелей, в том числе и таких, из которых делается броня.

Позотому неудивительно, что знания и опыт этих физиков были использованы во время войны. Броня наших tanks была в значительной степени успешна и отвечала, пожалуйста, смымым высоким требованиям науки и техники военноного времени. Таким образом, специалисты в области физики металлов неосредственно участвовали в создании грозного оружия Советской Армии, наших бронетанковых сил.

Думаю, что будет интересен короткий рассказ о сухопутных магнитных минах. В начале войны к ученым обращались представители инженерных войск с просбой выяснить, нельзя ли разрабатыть подобную мину не для кораблей, а для tanks. Танк, конечно, весит много меньше корабля, десяти тонн. Возможно, его магнитное поле не очень велико. Надо было проверить.

Эта работа была сделана на Урале. Физикам предоставили несколько tanks. Провели измерения магнитного поля под ним на разных глубинах. Оказалось, что поле довольно заменое, и можно было попробовать применить магнитный механизм для подрыва tanks. Однако, ставилось важное дополнительное требование: сама мина должна содержать как можно меньше металла. Ведь к тому времени уже были разработаны миноскателей.

Потребовалось придумать специальный сплав для своегоразной стрелки «компаса», замыкающей цель, содержащую небольшую батарейку, сплав,легко намагничивающийся под действием поля tanks. В результате работы суммарное количество металла ограничивалось 2—3 граммами на одну мину, а магнит из сплава был настоящко хорошо, что позволяет не только tank, но и автоматично. Что уже говорить о паровозах…

Памятная доска, установлена в Институте физических проблем им. С. И. Вавилова АН СССР.

Нельзя не сказал и о физической задаче огромной важности, которое решили физики, оставшиеся во время блокады в Ленинграде. Как известно, довольно должно единственным путем, связывающим город со страной, была Дорога Жизни, продолженная по льду Ладожского озера. Вопрос заключался в том, можно ли и в каких масштабах проводить по дороге грузы ранней зимой или весной, когда озеро только что замерзло или led начиная подтаивать. Нужно было неосредственно изменять льда, указать, какой груз он может выдержать.

Ленинградские физики вместе с гидродолгами и моряками проделали замечательную работу, с блекском решив эту задачу. Они нашли способ определения прочности ледяного порова. Примо на месте, в разных точках Ладожского озера днем и ночью проводились измерения. Именено имми практическими руководствовались, выясняя, на каком расстоянии, с каким грузом должны двигаться машины. Без этих указаний было бы много аварии, погибло бы много людей, город недополучил бы продовольствия и боеприпасов. Это пример добросо-

8

Вестной и интенсивной работы в сложных условиях условия.

Конечно, можно было бы еще рассказать о помощи, которую оказали физики фронту. Но думало, что приведенных примеров достаточно, чтобы убедительно показать, как ученые содержавали успexу наших вооруженных сил.

Трудно в небольшей степени говорить и о других науках, занятых военных делом. Упомяну только, что советская школа физко-химиков, возглавляемая академиком Н. Н. Семеновым, долгое время занимаясь изучением процессов горения и взрыва. Во время войны этим учеными пришлось использовать накопленный багазный для прямых военных цей, активно способствовать нашей историической победе.

После войны немцы пришли, что наши науки и техники были на высоте требований, которые предъявило время. И действительное, советские ученыые, в частности физики, самым неопределенным образом использовали свой патриотический долг помощи фронту.

9

Математика и математики в Великой Отечественной войне

Академик АН УССР В. В. ГНЕДЕНКО

Сорок лет прошло со дня победы советского народа в Великой Отечественной войне. Несчислимые жертвы попесла страна во имя независимости, свободы и общественных идеалов: миллионы погибших и раненых, страдания от голода, тысячи разрушенных городов и деревень, сотни тысяч угнанных на фашистскую каторгу. Несмотря ни на что советский народ выстойл и победил.

На защиту Родины

С первых дней воины математики приняли участие в защите страны: признавались в армию, записавались в народное ополчение, шли на фронт добровольцами. В самые тяжелые для страны дни они показали себя верными сыновями Родины, способными на самопожертвование и готовыми отдать жизнь во имя свободы Отчизны. И действительно, многие из тех, кто ушел на фронт, не возвратились и не приступили к своей любимой работе. Среди погибших было много талантливых математikов, подавших больше надежды, способных вnectи больше больной в прогресс наших знаний.

В ту пору я работал в Московском университете, был доцентом кафедры теории вероятности и ученым секретарем Института математики МГУ. Как только стало известно о нападении фашистской Германии на нашей Отечеству, всоду на заводах и в учреждениях прошли митинги, и возникло общеародное движение по записи в народное ополчение. На нашем механико-mатематическом факультете в оплечение записались практические все студенты и аспиранты и подавляющие больницу ассистентов, доцентов и профессоров, в том числе и те, кто по возрасту и состоянию здоровья был освобожден от войнской службы. Позднее некоторые ополчения были вычеркины из списков, так как они имели профессорские звания или степени доктора. В эту категорию попал и я, поскольку к тому времени мной была защищена докторская диссертация. В результате мне пришлось не с оружением в руках защищать страну, а участвовать в создании этого оружения, а также в разработке методов рационального его использования.

Большое число математikов, как мы уже отмечали, были мобильизованы или ушли на фронт добровольцами. Они храбро воевали ичество использовали свой гражданский долг. Несомненно, что при этом страна потеряла огромное число талантливой молодежки, которая могла бы стать гордостью отечественной науки. Об этом мы можем судить, во-первых, по тому, что среди возвратились после участия в гражданских Великой Отечественной войны значительное число крупными учеными — профессорами, членами-корреспондентами и академиками Всесоюзной и республиканских академий наук. Достаточно назвать такие имена как академики Ю. В. Линник, Ю. А. Митропольский, Г. Г. Черный, Н. П. Еругиин, О. С. Парасок, чтобы убедиться в этом. А во-вторых, каждый из университетов потерял многохлопных ученых, уже сумевших проявить себя и обещавших в будущем очевидать многое, но не вернушinxся с войны. Так, Московский университет потерял талантливых молодых математikов Г. М. Бавли, М. В. Бебутова, Н. В. Веденисова, В. Н. Засухина и многих, многих других. Они могли быть гордостью нашей науки, но война перевала и зачеркула развитие так слабого начастого ими научного пути.

10

В народном ополченении:
бой под Ельней

Помимо преподавателей, аспирантов и студентов, получивших мобильизацияные извлечения уже в первые дни войны и попавших в регулярные воинские части, механико-mатематический факультет Московского университета для 213 человек в 8-ю Краснопресенскую дивизию народного ополчения. Все они были зачислены в 975-й артиллерийский полк этой дивизии и после короткого обучения уже в августа заняли оборонительный рубеж на ржевско-вяземском направлении. Вместе со всеми наших товарищς создавали оборонительный рубеж: рыли окопы, противотанковые рывы, минные поля, установливали орудия. Но на фронте не все проискодит так, как предполагает обороняющийся. В начале октября положение на ельнинском направлении резко обострилось, поскольку немцы сосредоточили здесь большие свежие силы и начали наступательную операцию. В связи с этим командавшие фронтом передало 8-ю Краснопресенскую дивизию из 32-й в 24-ю артиллерий и срокно перебросило ее с подготовленных позиций в район деревни Уварово, расположенной несколько южнее Ельни. К сожалению, подготовленных позиций там не оказалось и пришлось задерживать врага буквално «с марша». Дивизия выполнила боевую задачу: она задержала врага на несколько днев и тем самым оказала значительную помощь Московы. По сохранившимся сведениям эторажение дорогого обошлось оккупантам: около 45 тысяч солдат и офисеров они потеряли под Ельней в результате стойкой обороны советских солдат. Но и мы запалили за это dorогую цeny: около трети ополченцев 8-ой дивизии погибли в этих боях. Средних были аспиранты или уже зашитившие диссертации А. И. Герчиков, М. Е. Глезерман, В. Н. Засухин, И. Р. Лепехин, Х. М. Мильштейн, С. С. Кудашев, С. Я. Карнов, А. Т. Павлов, М. И. Песин и ряд других. трудно переоценить тяжелость этой потерки длястраны и для советской науки, а нам, преподавателем факультета, знавшим их лично, ценившим их способности и увлеченность науки, эта потеря особенно горька.

Академик и директор Института механики МГУ Г. Г. Черный рассказывал, что 975-й артиллерийский полк 5 октября отбивал жесточенные атаки наседавшего со всех сторон противника. Однако за другим выходили из строя орудия. Когда был отдан приказ об отхождение из строя. Расчеты оставшихся двух орудий изготовились к бою, а пехота залегла рядом, на опушке, в наспех вырытых окопчиках. В это время разведка донецла, что вблизи от леса движется большая колонна противника — машины с солдатами, самоходные орудия, минометы, боеприпасы. Выло принято немедленное решение — атаковать наличными средствами беспечного противника. Наводчиком одного из орудий был Г. Г. Черный, другого — также механитов И. Степанов. Тщательное прицеливание, залп и оба снаряда разорвались в колонне. Дальше бешеный огонь по противнику, разбитые машины, мотошиклы, уничтоженные солдаты. Однако растерянность врага прошла, и в ответ попелели снаряды и мины. Дуэль длилась до тех пор, пока у наших оставались снаряды.

Медесстры, летчики и артиллерии

Многие студентки после прохождения двух местных курсов медсестер были направлены в госпиталии, медсанбаты и непосредственно на передвою. Кроме того, студентки университета откликнулись на признание летчиков Героя Советского Союза Марины Расковой и стали штуерманами и летчицами, в частности, 46-го гвардейского полка ночных бомбардировщиков. Летали эти летчицы на тихоокном и незашитном от огня самолете «У-2», но наносили противнику весма значительной ущерб. Пяты летчицам выпускицам механита было присвоено значение Героя Советского Союза. Вот их имена: Е. Руднева, Е. Пасько, Р. Гашева, А. Зубкова, Е. Рябова. Еще три выпускика факультета были Героями Советского Союза — Г. Варыков, Г. Волохов, Л. Ратушная.

11

Добровольцем пошел в Армию и профессор А. А. Ляпунов и, как многое механизмовцы, стал артиллерийским офцером. Он не только храбро воевал, но и вносил много ценного в правила стреллы. Но здесь он использовал свой опыт математика, который свойственно искать самые лучшие решения. Его предложения позволили увеличить эффективность стреллы. За работы в области кибернеки, теории множества и программирования А. А. Ляпунов уже после войны был избран член-корреспондентом АН СССР.

Matematikи нашей страны в период тягчайших испытаний проявили себя как подлинные патриоты, проявляли величайшее мужство, были храбрыми и расчетливыми воинами.

Matематические задачи — для фронта

Мы должны преклоняться перед выдержкой, самотверженностью и верность Отчизне, которое проявляли математики-воины. Однако нельзя забывать и о другом включаем математков в победу советского народа над сильным и коварным врагом. Этот вклад состоит в использовании тех специфических знаний и умений, которые обладают математики. Знание этого фактора особенно важно в наши дни, когда война стала, в первую очередь, совершеннем разума, изобретательности и точного расчета. Дело в том, что для военных действий привлекются все достижения естественного, а вместе с ними и математика во всех ее проявлениях. Создание atomного и пакетного оружия потребовало не только использовать физические законы, но и общирных математических расчетов, создания новых математических моделей и даже новых ветвей математики. Без таких предвариательных математических исследований не создается ни одна техническая система, чем она сложнее, тем разнообразнее и шири ее математической аппарат. Для примера, крейсер представляет собой такую сложную техническую систему. Прежде чем начать его построку, необходимо выявить геометрические объекты корпуса судна, чтобы при движении не создавались дополнительные сопротивления и чтобы одновременно он был послушен управляющим воздействием руля. Предварительно необходимо обеспечить живучность корабля, надежность его управления, расчитать влияние на остойчивость расположения различныхного рода масс — машин, орудий, торпедных аппаратов и пр. Но и этого мало — требуется обеспечить связь со всеми боевыми единицами корабля, то есть создать эффективную систему управления кораблем и его оружием.

Мы перечислили лишь ничтожную долю тех задач, которые должны решить математик, прежде чем корабль можно начать строить. Но серверные задачи необходимо решить в период его эксплуатации — штурманские расчеты, расчеты стрелб и т. д.

Совершенствование военной техники

В период Великой Отечественной войны техническы были разнообразной и сложной. Она также требовала широкого использования математических

12

расчетов для ее изготовления и эксплуатации. Увеличение скорости полета самолетов требовало не только повышения мощности двигателей, но и выбора оптимального профиля фюзеляжа и крыльев, а также решения многих других вопросов. В России над этими вопросами еще с прошлого века работал ряд ученых и в первую очередь Н. Е. Жуковский (1847—1921), названный В. И. Лениным отцом русской авиации. Он закономерно считает основоположником новой математической науки — аэродинамики, в котором ему удалось создать ряд сильных методов исследования и решить многочисленные актуальные задачи, основать большую научную школу, состояшую из ближайших ученików по университету и старшейему высшему техническому заведению Москвы — Московскому высшему техническому училищу. Жуковский заложил основы Военновоздушной академии, получивший впоследствии его имя, а также Центральный аэродинамический институт. Это научное учреждение долгие годы работало под руководством одного из ближайших ученików и сотрудников Н. Е. Жуковского — С. А. Чаплягина (1869—1942) и обведила многие выдающиеся исследования — М. В. Келдыша (1911—1978), В. В. Голубева (1884—1954), М. А. Лаврентьева (1900—1980) и др. Теоретический отдел разработал многоные важные проблемы, в том числе и для военной авиации. Многие из этих разработок пригодились и были широко использованы для создания новых систем инструментов, штумовок и бомбардировщиков, обладающих повышенной маневренностью, скоростью, надежность.

Вольное значение получили теории двух явлений — штопора и шимми (или флаттера), представляющих в ту пору основную опасность для авиторов. Как правило, самолет, попавший в состояние штопора или шимми (особы вибрации самолета, приводившие к его разрушению) уже не могло из него выйти. Теория этих явлений создал М. В. Келдыш (воспел逮ии резидент Академии наук СССР, главный теоретик космонавтики). Однако он пошел дальше и на основании теории сделал заключения о том, как устранять эти явления. В результате практика полетов получила надежное средство дляборбы с шимми и штопором и за все время войны практических не было в нашей авиации гибели самолетов и летчиков по этим принципам. Переоценить результаты исследования невозможно, поскольку они помогли не только сохранить жизнь летчиков и самолеты, но и позволили летать на больших скорости.

Teория стрелых

Традиционная область деятельности ученых нашей страны — исследование артиллерийских систем.

13

Этим занимались М. В. Острогадский (1801—1862) и П. Л. Чебышев (1821—1894), и последующие поколения ученых. Проблемы пристрелки, разработанные еще в XIX веке в связи с появлением новых типов артиллерии потребовали в период Великой Отечественной войны дополнительных исследований и составления таблиц. Стрельба с самолета по самолету и по наземным целям также приведала к математическим задачам, которые нужно было срокно решить. Ими занимались упорно как специализы в области артиллерии, так и математики. Проблемы комбинатия приведели к необходимости составления таблиц, позволяющих находить оптимальное время для сброса бомб на цель, область, которое накроет бомбовой удар. Такие таблицы были составлены еще до начала войны, но для самолетов, обладающих большими скоростями. Во время войны вывилась полезная возможность использовать типходных учебных самолетов для новых бомбежек. Были созданы специализные полки почных бомбардовшков, но для них не было своевременного созданного таблиц бомбометания. Возникла срочная задача произвольства соответствующих расчетов. Таблицы были созданы и они оказали некомненную помощь нашим летчикам и летчицам.

Интересная задача возникла у моряков в связи с желанием увеличить вероятность попадания в цель при торпедном залле. Возникла идея за счет искусственного рассеивания увеличить эту вероятность. Этот задачей заняла один из крупнейших наших математических академик А. Н. Колмогоров. Ему удалось найти полное решение задачи и довести его до практического использования. Некомненно, что какую-то долю успехов наших моряков следует отнести и на счет этой решенной Колмогоровым задачи. Позднее его выводы были перенесены и на проблемы, связанные со стрельбой зенитной артиллерии по самолетам. Вообще нужно сказать, что актуальная математическая задача, решенная в одной практической ситуации, очень быстро находит и другие применения, порой очень далеко от первого начального направления исследований.

Статisticческий контроль в военноом производства

Имеется еще один aspect работы советских математиков на помощь фронту, о котором нельзя умаливать — это работа по организации производстваного процесса, направления на повышение производительности труда и на улучшение качества продукции. Здесь мы столкнулись с огромным числом проблем, которые по самому их существу нужно дадать в математических методах и в успешных математиков. Мы затронем здесь лишь одну проблуу, получившую наименование контроля качества массовой промышленной продукции иправления качеством в процессе производства. Эта проблама со всей остротой возникла перед промышленностью уже в первые дни войны, поскольку прошла массовая модельзация и квалифицированные работы сладатами. Им на смену пришли желщины и подростки без квалификации и рабочого опыта.

Я вспоминаю такой случай: мне пришлось быть на одном из прибросторельных заводов в Свердловске. Он изготовлял крайне необходимые приборы для авиации и артиллерии. У станков я увидел практические только подростков 13—15 лет. Увидел я также огромные кучи бракованных деталей. Сопровождавший меня мастер появил, что эти детали выходят за пределы допуска и поэтому непригодны для сборки. А вот если бы удалось собрать из этих «запороты» деталей пригодные приборы, мы бы смогли сразу же удовлетворить потребности на месту вперед.

Слова мастер не давали мне покоя. В результате обещания с инженерами завода родилась мыль разбитали на 6 групп по размерам, которые уже было бы возможно сопрягать между собой. В шести групп входили детали совершенного непригодны для сборки. Исследования показали, что так собранные приборы оказались в полне пригодными длядела. Они обладают недостатком: если какая-либо деталь выходит из строя, то ее можно было заменять лишь деталь той же группы, из деталей которой собран прибор. Но в ту пору и для тех целей, для которых были предназнача-

14

ны приборы, можно было обойтись заменой приборов, а не деталей. Нам удалось успешно использовать «завалы» испорченных подростками деталей.

Задача контроля качества изготовленный продуктции состоит в следующем. Пусть изготовлено $N$ изделий, они должны удовлетворять некоторым требованиям. Складем, снаружи должны быть определенного диаметра, не выходшего за пределы отрезка $[D_1, D_2]$, иначе они будут непригодны для стреллы. Они должны обладать определенной кучность при стрелле, иначе будут затруднения при стрелле по целю. И если с первой задачей справиться легко — нужно заменить диаметры изготовленных снарядов и отображать те из них, которые не удовлетворяют требованиям, то с другими требованиям положение значительного сложнее. Действительно, чтобы проверить кучность стреллы, необходимо проверить стреллы. А что же останется после испытания? Испытания нужно произвести так, чтобы подавляющая часть продукции оставалась пригодной для дальнейшего использования. Мы столкнулись с основным требованиям: по испытанию малой части изделия научиться судить о качестве всей партии. Методы, которые были для этой целю предложены, получили название статического. Их теория берет свое начало с одной работы 1848 года академика М. В. Острогадского. Позднее этой задачей занимались профессор В. И. Романовский (1879—1954) в Ташкенте и его ученики. Во время воны их совершенствованием занялася А. Н. Колмогоров и его ученики.

Задача, о которой только что было расскадано, обладает одним дефектом в самом ее постановке: партия продукции уже изготовлена и нужно сказать, можно ее принять или же следует ее отвергнуть? Но, справивается, затем же изготовлять партию, чтобы ее затем браковать? Нельзя ли так организовать производственный процесс, чтобы уже при изготовлении поставить засlon для изготовления некачественной продукции? Такие методы были предложены и получили название статического методов текущего контроля. Время от времени со станка берется несколько (скажем пять) только что изготовленных изделий и замерюются параметры их качества. Если все эти параметры находятся в допустимых пределах, то производенный процессprodолжется, если же хотя одно изделие выходит за пределы допуска, то подается сигнал о необходимости переналадке станка или о смене резушено инструмента. Какое отклонение параметра от номинала допустимо, чтобы вся партия была изготовлена качественно? Это требует специальных расчетов.

После окончания войны выяснили, что аналогичные исследования проводили математики США. Они подсчитали, что результаты их работы принесли за годы войны стране миллиардную экономию. То же самое можно сказать и о работах советских математиков и инженеров.

---

Do six пор нет сводного труда, который бы показал как много математики для фронту для победы, как их исследования помогали совершенствовать оружие, которое использовали воины в боях*). Этот пробел следует воспользовать как можно быстрее, поскольку много их тех, кто это делал, уже нет в живых, поскольку человекская память несовершенна и многое забавается. А нам никак нельзяать о том, что подвиг народа в Великой Отечественной войне не ограничивается только славными делами фронтовиков, что основы победы ковались и в тылу, где руками работы и их разумом, руками и разумом инженеров и ученых создавались и совершенствовалась военная техника. Нельзя нам забавать и того, что по многим параметрам к концу войны наши танки, самолеты, артиллерийские ordия стали совершеннее тех, которые противопоставляли нам враг. Нельзя забавать, что в конце войны мы вынуждены были вплотную занять созданием собственного atomного оружия, а для этого пришлось обединить интелектуальные услуги физков, химков, техническов, математиков, металлургов и самостоятельное проектирование тот путь,

*) Есть, однako, книга на более общую тему (см. [3]).

15

который уже был проједен США и их западными союзниками. Мы его прошли сами, тогда как в США работали лучшие учены со всей Европы — Англии, Франции, Италии, Дании, Германии (эмигранты), Польщи, Венгрии и, конечно, самих Соединенных Штатов Америки.

Со времени Победы прошло сорок лет. Советские математики многое дальше восстанавливаю и развитию народного хозяйства, а также прогресс теоретической математики. К сожалению, и теперь положение в мире таково, что страна, а вместе с ней математики, вынуждены удалять внимание разработке проблем оборо-ны. Однако не самоцель, а вынужденная необходимость. Каждый же из нас мечтает о том времени, когда человекство забудет о войнах и о подготовке к ним.

Литература

1. В. В. Гнеденко. Математика и оборона страны. (Matematika в школе, 1978, № 2)
2. В. В. Гнеденко. Математика и контROLкачества продукции. (M.: Знание, серия «Matematika и кибернетика», № 11)
3. В. В. Левшин. Советская наука в годы Великой Отечественной войны. (M.: Наука, 1983)
4. И. Пирогов, И. Тюлина. Мехмат МГУ в годы Великой Отечественной войны. («Квант», 1980, № 5, с. 10)

Призеры конкурса «Задачник «Квант»»
По итогам проверки решений задач из Задачника «Квант» (в дополнение к списку победителей конкурса, опубликованному в «Квант» № 3 за 1985 год) нагружаются Дипломом и значком журнала «Квант»

По математике
Н. АГАЗАРЯН — Ереван, ФМШ № 1 при ЕрГУ, 9 кл.
Р. АЛЕКСЕЕВ — Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ, 10 кл.
Я. АЛИЕВ — Баку, ФМШ № 1, 10 кл.
А. ВАРАВАШ — Киев, с. ii. № 145, 10 кл.
А. ВАТЫРЕВ — Москва, с. ii. № 57, 10 кл.
Р. ВИДГОП — Баку, с. ii. № 175, 9 кл.
Г. ГАЗАРЯН — Ереван, ФМШ № 1 при ЕрГУ, 9 кл.
В. ГОРОДНИЦКИЙ — Днепропетровск, с. ii. № 43, 10 кл.
Н. ГРИГОРБЕВА — Андропов, с. ii. № 33, 9 кл.
Л. ИВАНОВ — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
П. КИРИЛИН — Дубна, с. ii. № 10, 10 кл.
А. КИСЕЛЕВ — Ленинград, с. ii. № 30, 9 кл.
С. КЯРАС — Молетай, с. ii. № 2, 10 кл.
С. МИНАЕВ — Свердловск, с. ii. № 9, 10 кл.
В. ПОРОШИН — Ленинград, с. ii. № 239, 9 кл.

Т. РАДЬКО — Корсунь-Шевченковский, с. ii. № 4, 9 кл.
Е. РОМАНОВ — Димитровград, с. ii., № 25, 10 кл.
С. СТАРЦЕВ — Уфа, с. ii. № 11, 10 кл.
В. СУДАКОВ — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 9 кл.
М. ТЕИТЕЛЬ — Киев, с. ii. № 145, 10 кл.
А. ЧЕРЕВАТЫЙ — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 9 кл.
С. ШЕИНИН — Молодечно, с. ii. № 7, 9 кл.

По физике
В. БАРЗЫКИН — п. Черноголовка Московской обл., с. ii. № 82, 10 кл.
О. ВАСИЛБЕВ — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.
И. ГАВРИК — Часов-Яр, с. ii. № 17, 10 кл.
В. ГАЛУХИН — Рязань, с. ii. № 14, 10 кл.
В. ГУСЕВ — Красноярск, с. ii. № 3, 10 кл.
И. КАЛИНОВСКИЙ — Киев, с. ii. № 145, 10 кл.
А. КЛИМАЧЕВ — Минск, с. ii. № 116, 10 кл.
С. МАШКЕВИЧ — Киев, с. ii. № 145, 10 кл.
К. МОСЕИЧЕВ — Зеленоград, с. ii. № 609, 10 кл.
С. МЯГЧИЛОВ — Свердловск, с. ii. № 16, 9 кл.
С. НИКОНЕНКО — Киев, с. ii. № 145, 10 кл.
А. ПЕРЕПЕЛИЧНЫЙ — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
Ю. РЫВАЛОЧКА — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 9 кл.
А. СОМОВ — Киев, с. ii. № 206, 9 кл.
Г. СПИВАК — Киев, с. ii. № 206, 10 кл.
В. ТАРТАКОВСКИЙ — Киев, с. ii. № 145, 10 кл.
И. ТЕРЕЗ — Симферополь, с. ii. № 7, 9 кл.
А. УМНОВ — Миасс, с. ii. № 6, 10 кл.
Л. ФЕЛЫДМАН — Саратов, с. ii. № 13, 10 кл.
В. ФУРМАН — Ташкент, с. ii. № 19, 10 кл.
Г. ШВЕЦ — Киев, с. ii. № 145, 9 кл.

Свидание с кометой
Доктор физико-математических наук
Л. С. МАРОЧНИК

Вступление от редакции

В июльском номере нашей его журнала за 1982 год была опубликована статья Л. С. Марочника «Кометы». В ней рассказывалось о том, что представляют собой кометы, что в физике комет ясно и что не ясно на сегодняший день, чем интересны для ученых кометы, на какие вопросы они, по мнению исследователей, могут дать ответы.

В той статье была рассана «биография» одной из самых значительных комет — кометы Галлея; биография довольно драматическая, с ней связанны имена многих замечательных ученых. Там же говорилось о проектах эксперийной к комете Галлея, о том, какие научные цели будут преследовать эти эксперии.

Тогда, в 1982 году, все еще было впереди — и старты, и встречи космических missсionеров со значительной кометой. Сегодняя до встречи еще далек — они произойти в марта 1986 года, а вот первый старт уже состоялся. Две советские космические станции «Вега-1» и «Вега-2» успешно стартовали 15 и 21 декабря 1984 года. Извание станций (как и названное всего проекта) — «Вега» — это сокращение от полного названия Международной эксперийции «Венера — комета Галлея». В проекте «Вега» участвуют Австралия, Народная Республика Болгария, Германская Демократическая Республика, Венгерская Народная Республика, Польская Народная Республика, Франция, СССР, Чехословация Социалистическая Республика, Общество именя Макса Планка (ФРГ). Проект «Вега» предусматривает совместное исследование Венеры и кометы Галлея.

В серии «Библиотечка «Квант» готовится к печати книга «Свидание с кометой». Ниже мы публикуем небольшие открытки из этой книги, подготовленные ее ав.ром, Л. С. Марочником, для читателей «Кванта».

17

1. Выбор целей

Итак, мы стартуем к комете Галлея. Прежде всего, почему именно к ней? Очевидно, готовить экспедиции нужно заранее — это многолетняя трудоемкая работа; но заранее можно готовиться только к встрече с какой-либо знакомой кометой, периодичность появления которого изучена. Естественно, это — короткоперiodические кометы. С другой стороны, с точки зрения физических интересов ясно, что комета должна быть активной — яркой, с бурым выделением газов, «пышным» хвостом, развитой атмосферой, «серbezной» ионосферой и т. п. Активными бывают, как правило, молодые кометы, впервые подлегающие к Солнцу, но такие «небесные гости», внесали появлясь в поле зреня, стремительно проносятся через перигели и вновь уходят в «небытие». Подготовить космический аппарат и запустить его настручу такой комете невозможно. (В лермонтовском «Демоне» есть стройки о том, как

«…бегущая комета
Улыбкой ласковой привета
Любила помещаться с ним…»
Это как раз та самая ситуация — ничего, кроме «привета», ни космический аппарат, ни комета не успют передать друг другу.)

Позному все-tаки приходится ориентировать на короткоперiodические кометы. Но такие кометы, как правило, не сликом активны — часто прохождение Солнца в течение своей «жизни», они теряют летние вещества и становятся малoinтересьми, свидания с ними не вызывают особого энтузинама.

Комета Галлея в этом смысле является исключительно. Несмотря на то, что ее появления влизи Солнца регистрации человека человека (или близкой к нынешней) орбите она пребивает, возможно, более 100 тысяч лет, эта комета продолжает оставаться весом активной. Трудно сказать, в чем секрет ее молодости, но, может быть, мы узнаем это после первого свидания.

2. Дороги, которые мы выбираем

Проект «Вега» возник потому, что его автор — известный советский физик академик Р. З. Сагдеев — обратил внимание на удачное расположение Венеры в эпоху прохождения кометы Галлея ее пригелия. Положение Венеры случайно оказалось таким, что возникла возможность совместить, образно говоря, «приятное с полезным». В декабря 1984 года в СССР планировался запуск автоматических станций в стороны Венеры. Но оказалось, что небольшего маневра в поле тяготения Венеры могло бы хватить на то, чтобы направить станцию, выполившую свою исследовательские «венерианские задачи», к комете Галлея. Расчеты показали, что идея осуществима, и проект «Венера — комета Галлея» обрел жизнь.

Обратимся теперь к «дорогам, которые мы выбираем». На языке научки редет о стратегии выбора траектории полета космических аппаратов к комете Галлея. Стратегия эта определяется современным уровнем возможностей космической техники. Дело в том, что Земля летит по своей

Взаимная ориентация обитал и кометы Галлея. В июня 1985 года, когда «Вега» встретился с Венерой, комета будет между орбитами Юпитера и Сатурна.

19

Страт с Земли: 15 и 21 декабря 1984 года.
Коррекции траектории на трассе Земля — Венера.
Встреча с Венерой: середина юня 1985 года; расстояние Земля — Венера в это время — около 103 мл. км.
Продолжительность полета к Венере — приблизительно 175—180 суток.
Коррекции траектории ПА на трассе Венера — комета Галлея.
Встреча с кометом: первая половина марта 1986 года; расстояние до Земли от точки встречи ПА с кометом — около 173 мл. км.
Относительная скорость слижения ПА с кометом при встрече — 78 км/с.
Общая продолжительность полета к комете — около 450 суток.
Положения основных «действующих лиц» этого сценария в развитие моменты показаны на рисунке на второй странице обложки этого номера журнала.

4. Свидание с Венерой

Так же как «театр начинается с вешалки», «Вета» начинается с Венеры. Позному разговору о сценарии проекта без хотя бы краткого описания полета к Венере и предполагаемых исследований этой планеты невозможен.

К тому моменту, как вы будете читать эти строки, больше часть «первоого акта» сценария уже будет позади. Многоступенчатая пакета-носитель вывела космическую станцию вместе с так называемой разгонной ступенью на орбиту искусственного спутника Земли. На первом витке орбиты включались разгонная ступень, и станция перешла на траекторию полета к Венере.

За двое суток до полета к планете, как уже говорилось, «Вета» разделяется на спускаемый аппарат и протеный аппарат. При движении в атмосфере Венеры от спускаемого аппарата отделяется азростатный зонд. Согласно научной программе зонд должен дрейфовать в атмосфере и передать на Землю информацию о скорости венерианских атмосферных течение, температуре, давления и других параметрах вдоль своей траектории. Для приема этой информации на Земле будет использована международная сеть радиотелекопов. Позному и спускаемый аппарат, и азростатный зонд должны входить в атмосферу Венеры так, чтобы и на входе, и в течение всего времени дрейфа (1—2 суток) оставаться на видимой с Земли части диска Венеры.

Со спускаемого аппарата информация

ця может передавать на Землю только через ретранслятор. Таким ретранслятором будет служить протеный аппарат. Тогда получается, что требования, которые предъявляет к нему комплектный характер эксперимента «Вета», взаимно противоречивы. Протеный аппарат должен в атмосферу Венеры спускаемый аппарат и азростатный зонд, не имеющие собственных систем управления полетом в космосе, вполне определенным образом, но при этом сам он не должен входить в атмосферу плаanetы — ведь ему еще лететь дальше. Кроме того, во время работы спускаемого аппарата на Венере протеный аппарат должен находиться в зоне связи, чтобы ретрансровать получаемую информацию на Землю. Оказывается, что при этом протеный аппарат не может выйти на траекторию полета к комете Галлея. Отсюда и возникнет необходимость вravитационном маневре — выполив свой функиций, протеный аппарат должен вращиться ретрансную тягу и изменить свою траекторию, чтобы направиться к комете.

5. От Венеры — к комете

Через 2—4 недели после prolета Венеры планируется произвести первый протеный аппарат на траекторию полета к комете Галлея. Здесь начинается спецфикса, с которой специализит пока не приходимось стalkивать. Дело в том, что впервые в мире осуществляется полет к небесному телу, параметры движения которого в момент старта с требуемой точностью не будут известны. Довольно часто специализиты ошибались в прогнозах момента прохождения кометой ее пергелия, даже при использовании современных математических методов вычислений. Позному совершенно необходимо уточнение элементов орбиты кометы по наземным наблюдиям уже в ходе полета к ней. По этой причине сейчас создана точная небесно-механическая теория движения кометы Галлея. Основанная на анализе данных о ее движении в 1759, 1835, 1910 годах, эта теория показала очень хорошие соглашение с наблюдиями.

20

Всero на участке полета Венера — комета будет произведено три коррекции. О первой уже говорилось. Вторая будет осуществлена в середине полета и третья — за 2—4 недели до полета к комете. Первый сеанс научных исследований начинается двае суток до полета, когда расстояние до кометы будет составляет 14 млн. км. Второй сеанс начинается за один сутки до полета на расстоянии 7 млн. км. Третья сеанс начинается при встрече с кометой.

Вопрос, оставшийся достаточно неопределенным и, соответственно, всех волнуощий, — это расстояние от ядра кометы Галлея, на котором пройдет космический аппarat. Здесь все определяется точноство, с которой известна орбита кометы, а эта точность не слишком велика. После нее обстоятельство связи с тем, что в район перигеля комета испытает значительные негravитационные ускорения. Они вызваны, главным образом, действием реактивных сил, которые возникают при мощном испарении льдов, входящих в состав ядра кометы.

Если основывать на предыдущих прохождения кометы Галлея, то прогноз местоположения узла ее орбиты можно сделать с совершению неудовлетворительной точностью — порядка 10⁶ km. А диаметр головы кометы Галлея всего лишь 4·10⁵ km. Так легко и промахнуться, пролететь mismo кометы. Если, однако, включить в расчеты уже ведущие наблюдения за движением этой кометы, то точность, с которой специализы программы «Вега» найдется попасть в нее, повышается. Сейчас предполагается, что космический аппarat пролетит на расстоянии приблизительно 10⁴ km от ядра кометы.

И еще один очень важный вопрос: пролетит ли аппarat без преждействий через атмосферу кометы? По мере приближения к ядру плотность кометной пыли заметно увеличивается, и, хотя масса пылинок мала, скорости, с которых они будут «налетать» на аппarat, огромны — можно считать, что они равны относительной скорости аппарата и кометы при встрече, то есть близки к 80 км/c. Так что кинетическая энергия налетаются пылинок будет велика, а от нее, понятно, в прямой зависимости находится размеры возможных повреждений.

4

По такой схеме должны проходить второй этап полета — от Венеры до кометы Галлея.

Эти сообщения заставили создатель корабля продумать надежные меры защиты. По расчетам советских и зарубежных специалистов вероятность того, что повреждение произойдет, составляет лишь несколько процентов. Вероятность весма небольшая, но все же не равна нулю.

В полетах к планетам Солнечной системы, где meteorная опасность неизмеримо ниже, научная и службная информация записывается на запоминающей устройство, с которой она передается на Землю в ceансы связи. От этой практики пришлось отказаться, так как лучшие имеет «синццу в руках, чем журавля в небе»: если произойдет повреждение научной или службной аппаратуры, то это поставит под удар успех экспедиции. Поэтому в проекте «Вега» предусмотрена прямая передача информации на Землю. Конечно, это потребовал отказа от сложившихся технических решений. Например, информативность службыного радиокомплека, ответственного за отправку на Землю данных научных изменений, увеличена более чем в 20 раз. Радиоантенна, установлена на протеном аппарате, при проведении через атмосферу кометы Галлея будет все время направлена на Землю.

21

Заключение от автора

Разумеется, мой рассказ — это весна беглый обзор «насушных» проблем и трудностей, с которыми столкнулся специализы при проектовании первых в истории человека миссей к кометам. Очень многое осталось «за бортом» — ведь нельзя объять необъятное (а тем более в журналной статусе). Среди этого «многого» — и уже решенные научно-технические проблемы, связанные с проектом «Вега», и те вопросы, которые учены «задают» комете… Но на одном «философском» вопросе, который, наверное, возникал не раз, я хотел бы немного задержаться.

Зачем все это? Не лучше ли потратить деньги на хозяйственные нужды? Построить, например, больше жилых домов, заводов, санаториев? Можно ответить коротко: не хлебом единим жив человек. Но можно и подробнее.

Програмс в прикладных областях науки и техники, тех, которые создают станки, подъемные краны, хлебоборочные машины, производят медицины и т. п., невозможен без программы вfundamentальных исследований, хотя на первый взгляд они не связаны между собой.

Искусственные спутники Земли и управляемые космонавтами корабли, первоначально предназначенные для исследований околоземного космического пространства — области, далее, казалось бы, от нужданого хозяйства, сегодня дают бесплатную информацию о наших земных природных ресурсах, о залегании полезных ископаемых на поверхности нашей планеты, позволяют делать долгосрочные meteorologicalские прогнозы, так необходимые в народноохозяйственной деятельности.

Я не хочу становиться назыку почву предсказанной того, что могут в будущем дать человеку миссей к кометам вообще и комете Галлея в частности. Следующее перигелиное прохождение кометы Галлея должно произойти в 2061 году, и специальы всех космических программ не забили подумать о будущих поколениях: научная информация, полученная экспертиям, будет собран в Мировом центре данных, чтобы дети и внуки совершенних людей могло его воспользоваться при следующем возврашении этой замечательной кометы.

Информация

Ленинградская юношеская астрономическая экспертия

16 октября 1982 года было зарезстрирован по появление кометы Галлея в созвездии Малого Пса. С этого дня астроомы всего мира следят за движением кометы по созвездии. Уже проведены ученые элементов ее обрыты и вычислена эффективная, которая поможет наблюдателем изучать это уникальное природное явление.

В советской программе исследований кометы Галлея (СОПРОГ) больше место уделено любительским наблюдением. Это связано с тем, что такие наблюдения, несмотря на скорость астрономического оборудования, которые расположают любители, могут внести существенный вклад, если проводятся по единой программе.

В Ленинграде уже много лет постояно действует любительская астрономическая экспертия, в котором участвует люди различных возрастов и профессии. Для наблюдения кометы Галлея организуется юношеская экспертия. Возрастной состав ее — от 13 до 20 лет. В ней примут участие школьники, учащиеся ПТУ, студенты техническим навыкам и взрослых (всего около двадцати человек).

Согласно расчетам, в районе Ленинграда условия наблюдения кометы в основном будут неудовлетворительными, а в благоприятное время кометы будет настояко слаб, что ее можно будет видеть лишь при помощи специальных астрономических приборов. И хотя в октябре — декабре 1985 года все-tаки планируется проводится ряд экспериментов и предварительные работы в окрестностях Ленинграда, вступал вопрос о снаряжении экспериментов в южные районы страны, удобные для наблюдения.

Координация центров по любительским наблюдением СОПРОГ выделили для Ленинградской юношеской экспертия район города Алма-Аты. Работы там будут проходить, ориентировочно, с 5 марта по 27 апреля 1986 года.

Подготовка экспертиции осуществляется уже сейчас. Составлена предварительная научная программа. В нее входит фотографирование, спектральрование кометы, определение ее формы, размеров,Blocks самой кометы и ее ядра, и т. д. В экспертиции будет работать служба времени.

Материалы экспертиции, результаты научных наблюдений будут переданы в центр сбори информации СОПРОГ.

Ответственный по печати экспертиции
С. Н. Erлыков

22

Царевна Дидона, изоперметры и мыльные пленки

Кандидат физико-математических наук
В. В. ТРОФИМОВ

В этой статье речь идет об одном классе элементарно формулируемых задач, известных еще в Древней Греции. Рассказывает, как эти задачи возникли, как они решаются математически и как их решения можно проделировать с помощью мыльных пленок. Статья доступна восьмиклассикам, но, мы надеемся, запретует и более старших читателей.

Легенда о царевне Дидоне

Давным давно физикийская царевна Дидона с небольшим отрядом преданных ей людей покинула родной город Тир, спасаясь от пределованной своего брата, тирана Пигмалиона. Ее корабли отправились на запад по Средиземному морю и пыли, подгоняемые попутным ветром, пока Дидона не облабовала удобное для поселення место на африканском побережье, в нынешнем Тунисском заливе.

Высадившиеся физикийцы были встречены не очень гостеприимно местными жителями, нумидийцами. Король нумидийцев Ярб воинственно и прертельно разговаривал с непрошеной гостей. Он приял драгоценности, предложенные Дидоной для покупки земли, но решительно заявил, что взамен он согласен уступить ей лишь ключок земли, «который можно окружить бычей шкурой». Царевна безропотно согласлась. Ярб понял хитрость и коварство физикианки слишком поздно: Дидона изготовила из бычей шкуры тонкий, длинный ремень и отгородила им от берега значительную территорию. Простодушный, но честный Ярб не стал отказывать от данного слова. А Дидона на этом месте основала город Карфаген. В память об этой истории карфагенская цитадель была назван «Бирса», что на языке обитателей Карфагена ознакомает «бычья шкура».

Заметим, что размеры первоначальной территории могли быть достаточно велики. Представим себе бычую шкуру как прямогольник 1×2 м и будем считать, что Дидона разрезала шкуру на полоски шириной 1 мм по схеме, показанной на рисунке 1. Тогда легко подсчитать длину полученного ремон — она будет равна примерно 2 км, так что Дидона могла бы в этом случае отродить от берега (который мы будем считать прямым), скажем, прямогольный участок 0,5 км² = 500 м×1000 м.

Легенда относит описанные события к 825 г. до н. э. и нам, конечно, судить об их достоверности трудно. Но не исторические события интересют нас здесь, а математическая задача, которую, видимо, пришлось решать Дидоне:

Задча 1 (задча Дидоны).

Как нужно расположить штурф физикованной длины L, чтобы он отгорживал от прямолинейного берега участок земли максимальной площади?

Изоперметрические задачи

Задчаа Дидоны является частью случая изоперметрических задачи. Это название происходит от двух греческих слов isos — равный и perimetron — обмер, обвод. Изоперметрическая задача состоит в том, чтобы данной совершности фигур, имеющих одинаковую длину контура (одинаковый пе-

24

Рис. 2.

Действительно, путь у фигуры ABCD с перimetром p хорда AC делит перimetр пополам (рис. 3). Обозначим через $S_1$ площадь фигуры ABC, а через $S_2$ — площадь ADC. Предположим, что $S_1 > S_2$. Построим тогда новую фигуру ABCEA, заменив линию ADC линей AEC, симметричной с ABC относительной хорды AC. Новая фигура ABCEA, имея прежний перimetр, имеет площадь большие площади первого начальной фигуры, так как площадь новой фигуры равна $2S_1$, а площадь первого начальной равна $S_1 + S_2$, в то время как по предположению $S_1 > S_2$ и, следовательно, $2S_1 > S_1 + S_2$. Поэтому фигура ABCD не является, во время предположения, максимальной. Это доказывает, что предположение $S_1 > S_2$ неверно. Аналогично доказывается, что и предположение $S_1 < S_2$ приводит к противоречию. Окончательно, $S_1 = S_2$.

Назовем всякую хорду, деляшую перimetр фигуры пополам, ее диаметром.

Третье свойство. Всякий диаметр любой максимальной фигуры виден из всех точек ее контура под прямым углом (то есть для любого диаметра AC и любой точки B контура угол ABC равен 90°).

Для доказательства этого свойства нам потребуется следующее свойство треугольников: из всех треугольников с двумя данных сторонами наибольшего площадь имеет тот, у которого эти две стороны взаимно перепределились. Это утверждение мы оставляем читателю в качестве легкого упражнения и перейдем к доказательству треугольника. Предположим, что неокторный диаметр AC фигуры ABCD с перimetром p виден из какой-нибудь точки B ее контура не под прямым углом: $\angle ABC \neq 90^\circ$

Рис. 3.

(рис. 4). Докажем, что в этом случае фигура ABCD не обладает наиболее площадью при фиксированном перimetре p. Обозначим площади фигур ABC и ACD через $S_1$ и $S_2$ соответственно. Построим прямоугольный треугольник $A'B'C'$ с прямым углом при вершине $B'$ такой, что $A'B' = AB$. Другими словами, сдиним или развищем стороны AB и BC, сохраняя их длины без изменения, так, чтобы они образовали при вершине $B'$ прямой угол. К сторонам $A'B'$ и $B'C'$ приложим сегменты $A'E'B'$ и $B'F'C'$ (рис. 5), равные соответствующим сегментам на рисунке 4. В силу максимального примугового треугольника имеем неравенство $S_{\triangle A'B'C'} > S_{\triangle ABC}$. Следовательно, площадь фигуры $A'E'B'F'C'A'$ большие площади $S_1$ первого начальной фигуры. Присоединим к фигуре $A'E'B'F'C'A'$ симметрично с нею относительно оси $A'C'$ фигуру $A'K'D'L'C'A'$, получим фигуру $A'E'B'F'C'L'D'K'A'$ с прямым углом perimetром p, но с большей площадью (рис. 6). Итак, фигура ABCD не является максимальной, если хотя бы из одной точки ее контурка какой-нибудь точки B ее контура не под прямым углом.

25

Из третього свойства сразу следует, что искомая максимальная фигуря является кругом. Действительно, выберем произвольный диаметр; тогда контур фигуры, по третьему свойству, состоит из вершин прямых углов, опирающихся на этот диаметр, то есть является окружностью. Что и требовалось доказать.

Рассужждение Штейнера, изложенное выше, занимавало нами из заменательной, но труднодоступной книги А. Б. Крыжановского «Изопериметры» (М. — Л., Физматлит, 1959). Оно, как может показаться на первый взгляд, завершает доказательство основной теоремы об изопериметрах. Однако мы в нем сделали одно не правомочное предложение. А именно, мы с самого начала предложили, что решение основной изопериметricской задачи существует.

Это незаконное предложение. Яркий пример, показывающий, что существование решения надо доказывать, доставляет следующая модификация парадокса Перрона.

«Теорема». Среди всех квадратов наиболее плоскым имеет квадрат со стороны 1.

Рис. 5.

Из третього свойства сразу следует, что искомая максимальная фигуря является кругом. Действительно, выберем произвольный диаметр; тогда контур фигуры, по третьему свойству, состоит из вершин прямых углов, опирающихся на этот диаметр, то есть является окружностью. Что и требовалось доказать.

Рассужждение Штейнера, изложенное выше, занимавало нами из заменательной, но труднодоступной книги А. Б. Крыжановского «Изопериметры» (М. — Л., Физматлит, 1959). Оно, как может показаться на первый взгляд, завершает доказательство основной теоремы об изопериметрах. Однако мы в нем сделали одно не правомочное предложение. А именно, мы с самого начала предложили, что решение основной изопериметricской задачи составляет следующая модификация парадокса Перрона.

«Теорема». Среди всех квадратов наиболее плоскым имеет квадрат со стороны 1.

Рис. 6.

Пусть наибольшую площад имеет квадрат со стороны $b=a^2$. Рассмотрим два случая: $a<1$ и $a>1$. Если $a<1$, то $a^2<1$ и площадь квадрата со стороны $a$ не является наибольшей (она меньше площади единичного квадрата). Если же $a>1$, мы возьмем квадрат со стороны $b=a^2$. тогда $b>a$ (так как $a>1$), и площадь квадрата со стороны $b$ будет $b^2$, притом $b^2>a^2$ (так как $b>a$). Значит, квадрат со стороны $a$ не имеет наибольшую площад, вопреки предположению. «Теорема» доказана.

Читатель, конечно, понимает, в чем ошибка в этом рассудении. Однако оно проводится по той же схеме, что и приведенное выше «решение» изопериметрической задачи, которое позволяет использовать исчерпывающий см.

Строое решение этой задачи приводится в современных учебниках по варианционному исчислению. Убедительное доказательство существования можно получить и из «элементарных» сообщений, но на этом пути нужно будет проверить довольное тонкое рассудение «по неперерывности»; мы здесь не будем этим заниматься, отсылая читатель к цитированной книге А. Б. Крыжановского или к книге Р. Куранта и У. Роббинса «Что такое математика» (М., «Просвещение», 1967, с. 408). Читатель, сомневающийся теперь в существование решения изопериметрических задачи, мы советем обратиться к последнему разделу нашей статьи.

Решение задачи

Наша ближайшая цель — привести решения четырех ранее сформированных изопериметрических задачи. При этом мы будем предложать известным изопериметрическое свойство кругга.

Решение задачи Диодны. Пусть $ABC$ и $A'B'C'$ представляют собой полукруг и какую-нибудь другую фигуру, удовлетворяющую всем условиям задачи. Прибавляя к этим фигурам фигуры $ADC$ и $A'D'C'$, симметричные с первыми относительно осей $AC$ и $A'C'$, составим две новые фигуры: круг $ABCD$ и отличную от кругга фигуру $A'B'C'D'$, периметры которых равны 2л. Согласно основной

26

теореме об изоперметрах, площадь кругга $ABCD$ больше площади фигуры $A'B'C'D'$. Поэтому площадь площади фигуры $A'B'C'$, и получруг $ABC$ будет решением задачи Диодоны.

Решение задачи 2. Ответом будет дуга окружности $AB$ длины $p$ (рис. 7). Доказательство такое же, как в предыдущей задаче: дуг $AB$ нужно продолжить до окружности и применить изоперметрическое свойство кругга.

Решение задачи 3. Ответом будет дуга $\delta$ окружности с центром в верхине угла $O$, длины $p$. Для доказательства проведем еще 6 лучей из точки $O$ так, чтобы разбит плоскость на 8 углов по $45^\circ$. Если бы ответ — кривая $\gamma$ — отличался от дуги $\delta$, то мы могли бы построить в каждом из семи построенных углов по экземпляру кривой $\gamma$, а тогда обведенное этих кривых (длиной $8k$) ограничивала бы площадь большую, чем площадь кругга перimetра $8p$, вопроси изоперметрическому свойству кругга.

Решение задачи 4. Ответом будет дуга окружности с центром в одной из вершин. Доказательство, аналогичное предыдущему, мы оставляем читателю, так же как вычисление радиуса исключой окружности.

Мышные пленки

Для тех читателей, которые стали сомневаться в существовании решения изоперметрических задач, а также для всех любителей красных физических экспериментов, мы предложаем несколько очень простых опытов с мыльной пленкой, подтверждающих правильность наших решений. Конечно, физический опит не может заменить строгое математическое доказательство, он только делает более праводоподобным полученным результатом.

Для проверения первых — самых простых — опытов, вам потребуется насыщенный мыльный растор (лучше использовать хорошее тушательное мыло, можно добавить немногоглицерина), тонкая проволока, обыкновенная нитка; для следующего потребуется еще и небольшие колечки (свободно скользывание по проволоке) и несколько прямых тонких соломинок.

Первый опит. Проволочную рамку погрузите в мыльный растор и осторожно выньте из него. Рамка затянется тонкой пленкой из мыльной воды. На пленку плавает на пленке, имея неправильную форму (фото 1). Затем пленку внутри петли проколите горячее угол — петля мгновенно и точно принимает форму окружности (фото 2).

Описанное явление объясняется так: из общих физических принципов следует, что устойчивое положение равновесия мыльной пленки отвечает минимуму энергии ее натя-

27

Жения; минимум же энергии доступа, естественно, при минимальной площади поверхности, внешней по отношению к ниточной петле, то есть при максимальной площади дыры.

Таким образом, этот опыт демонстрирует правильность решения основной изоперметрической задачи.

Второй опыт. Привяжите теперь нитку двумя концами к одному из прямолинейных участков рамки так, чтобы расстояние между концами было примерно равно четырёх длины нитки. Погрузите рамку в растор и выньте ее так, чтобы нитка плавала по поверхности полученной пленки. Проколите пленку внутри петли — петля мгновенно и точно принимает форму дуги окружности (фото 3). Двигая один из концов нитки вдоль рамки, вы сможете получить дуги окружностей разных радиусов.

Этот опыт демонстрирует правильность решения задачи 3. Следующий опыт демонстрирует решение задачи Дионны.

Третий опыт. Наденьте два маленьких колечка на рамку и привяжите к ним нитку. Погрузите рамку в растор и выньте ее так, чтобы нитка плавала по поверхности пленки. Проколите маленькие пленочки, образавшиеся внутри колечек и проверьте, что колечки свободно движются по рамке. Проколите теперь пленку внутри петли — петля мгновенно и точно примет форму полукружности. (Этот более тонкий эксперимент может получить не сразу — нужно, чтобы трение колечек с рамкой было очень малим.)

Четвертий опыт. Соедините концы двух прямолинейных проволок нитками одинаковой длины, натяните проволочки так, чтобы получился пря-

28

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга «Импульс и кинетическая энергия» предназначена воспределению силы на время ее действия, то есть импульсу силы («Физика 8», § 50).

Связь кинетической энергии тела с силой выглядит так:

$$E_{k2} - E_{k1} = Fs \cos \alpha = A,$$

где $s$ — модуль вектора перемещения тела, $\alpha$ — угол между векторами $\vec{F}$ и $\vec{s}$, а произведение $Fs \cos \alpha = A$ — работа действия на тело силы. Таким образом, эта запись означает, что изменение кинетической энергии тела равно работе приложенной к телу силы («Физика 8», § 55).

Роль импульса и кинетической энергии в описании движения. Различие между величины $\vec{P}$ и $E_k$ не ограничивается тем, что одна из них векторная, а другая скалярная.

Из равенства (1) видно, что если сила $\vec{F}$ задана, изменение импульса определяется только временем действия силы и не зависит от того, к какому телу она приложена. Любое тело (тело любой массы) под действием данной силы за данное время изменит свой импульс на одну и ту же величины. Далее если бы, например, стокунлы с герой басни Крылова «Слон и Моська», то импульс каждого из них изменился бы одинаково.

Равенство (2) говорит о том, что при заданной силе изменение кинетической энергии тела определяется только расстоянием, прошедным телом в направлении действия силы (произведение $s \cos \alpha$ — это проекция перемещения на направление силы). Любое тело под действием данной силы на данном расстоянии изменит свой кинетическую энергию на одну и ту же величины.

Таким образом, изменение импульса связано с промежутком времени, необходимым для изменения скорости тела, а изменение кинетической энергии связано с расстоянием, которое должно дополнить проектирование его скорости (разумеется, при заданной силе).

Другими словами, изменение импульса — это характеристика действия силы во времени, а изменение кинетической энергии — характеристика действия силы в пространстве.

29

Еще одно различие между импульсом и кинетической энергией. Пожалуй, самоое замещальное свойство импульса тела состоит в том, что общий импульс замкнутой системы тел (то есть векторная сумма импульсов всех тел системы) остается неизменным при любых взаимодействиях и любых движениях тел этой системы. Это — закон сохранения импульса («Физика 8», § 51).

Обладает ли свойством «сохранения кинетической энергии? Расмотрим простой пример, из которого сразу станет видно, что в этом импульс и кинетическая энергия отличаются друг от друга.

Пусть по гладкой (без трения) горизонтальной поверхности движется навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями $v$ два одинаковых, направляем стальные, шарика массой $m$ каждый (см. рисунок). В какой-то момент шарики соприкоснутся, затем какое-то время будут продолжать приближаться друг к другу, потом на мгновение остановятся и после этого начут расходиться, пока не станут движаться в противоположные стороны с прежними по модулю скоростями.

Посмотрим, чему равны суммарные импульсы и кинетические энергии обих шариков до, во время и после столковения.

До столковения импульсы шариков равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому

$$\vec{P}_1 + \vec{P}_2 = (m\vec{v}) + (-m\vec{v}) = 0,$$

а кинетические энергии шариков одинаковы и равны $mv^2/2$ каждый, так что

$$E_{k1} + E_{k2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2.$$

Во время столковения в тот момент времени, когда оба шарика покояться, их скорости равны нулю, следовательно,

$$\vec{P}_1 + \vec{P}_2 = 0,$$

$$E_{k1} + E_{k2} = 0.$$

После столковения шарики, как и до столковения, движется в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями, поэтому

$$\vec{P}_1 + \vec{P}_2 = -m\vec{v} + m\vec{v} = 0,$$

$$E_{k1} + E_{k2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2.$$

Таким образом, суммарный импульс системы двух шариков все время остановляется одним и тем же. Кинетическая энергия до и после столковения одинакова (именно такое столковение и называют упругим), а во время столковения она изменяется, так что в какой-то момент даже временно исчезла совсем. Значит, существует закон сохранения импульса, но нет закон сохранения кинетической энергии.

Заметим, что если бы шарики были не из стали, а из мягкой глины или пластилина, то при столковении они были спиллись, оставились и больше были не движились (такое столковение называют абсолотно неупругим). Их общий импульс был бы по-прежнему равен нулю, а кинетическая энергия во время столковения исчезла бы не временно, а навсегда.

Как известно, закон сохранения существует и для энергии, но не для кинетической, а для полной, включенной в себя и другие формы энергии. Так, в нашем примере временная пропажа кинетической энергии при упругом столковении шариков означает лишь тот факт, что в этот момент она полностью превращалась в потенциальную энергию упругой деформации шариков. В конце столковения потенциальная энергия вновь целиком превращалась в кинетическую. При неупругом же ударе кинетическая энергия шариков переходит во внутреннюю энергию (шарики нагреваются), которая обратно в кинетическую энергию уже не превращается.

30

Скин-эффект

Из школьного курса физики («Физика 9», § 94) известно, что вследствие явления электромагнитной индукции в любом проводнике под действием изменяющегося магнитного поля называется вихревые токи (tokи Фуко). Они вызваются индукционным электрическим полем, которое возникает при изменении магнитного поля. Силовые линии индукционного электрического поля всегда замкнуты, поэтому и токи Фуко тоже замкнутые (вихревые). Так как обычно проводники обладают электрическим сопротивлением, энергия токов Фуко переходит в тепло (проводник нагревается), а сами токи при этом затухают.

Оказывается, что быстро переменные токи Фуко не пропикают в глубь проводника и текст практические только в его поверхности слое. Это явление называют скин-эффектом (от англійского слова skin — кожа). Его надо учитывать при использовании переменных токов (и полей) в технике.

Причину возникновения скин-эффекта качественно можно obсянить с помощью правил Ленца для электромагнитной индукции. Согласно этому правилу, направление индукционных токов всегда таково, что они своим магнитным полем «мешают» изменению магнитного потока, которое эти токи вызвало. Поэтому при помещении проводника во внешнее переменное поле возникают токи Фуко, которые ослабляют это поле в проводнике, экранируют его. Причем чем дальше от поверхности в глубь проводника, тем меньше становится суммарное магнитное поле. Соответственно и величины тока в проводнике с глубиной тоже убивает. Убывание произходит по столь быстром закону, что, начиная с некоторой глубины, поле и ток можно считать практическими равными нулю. Эту глубину называют скин-слоя.

От чего зависит толщина скин-слоя? С одной стороны, чем быстро изменяется магнитное поле, тем больше возникалося электродвижущая сила индукции и тем больше токи Фуко текут в проводнике. С другой стороны, сила тока зависит и от

удельного сопротивления проводника — в проводниках с меньшим удельным сопротивлением наводятся большие токи Фуко и магнитное поле экранируется сльнее. Поэтому при увеличении частоты изменения поля и при уменьшении сопротивления проводника толщина скин-слоя уменьшается.

Точный расчет показывает, что для меди, например, при частоте переменного переменного тока v=50 Гц толщина скин-слоя составляет 1 см. Это не сликом малая величина, поэтому в проводнике диаметром до несколько сантиметров переменный ток распределяется по всему сечению провода, а скин-эффект проявляется в полной мере в гораэдо более толстых проводах. В то же время в диапазоне средних радиоволн с частотой v~10⁷ Гц для толщины скин-слоя в меди имеет ≈10⁻³ см. Это уже достаточно малая величина. Быстро переменные токи такой частоты текст практические только по поверхности проводов. Можно проводники сделать вообщее полями, и это почти не скажется на их сопротивлении. Иногда для уменьшения потерь проводники в радиосхемах покрывают тонким слом серебра — токи текут только в этом слое, а серебро обладает меньшим удельным сопротивлением, чем меди.

Интересно, что в сверхпроводниках индукционные токи вообще не затухают (спротивление равно нулю), и поэтому они способны экранировать даже постоянное магнитное поле. В толщце сверхпроводника суммарная индукция внешнего магнитного поля и магнитного поля экранирующих токов равна нулю. Это явление называют эффектом Мейснера*).

Две загадки бета-распада

Как известно, естественный бета-радиоактивный распад состоит в том, что ядра atomов одного элемента самопроизвольно испускают бета-частицы, то есть электроны, и при этом

*) Об этом эффекте подробно расссказывается в статье Л. Г. Асламазова «Сверхпроводящие магниты», опубликованной в девятом номере «Кванта» за 1984 год.

31

превращаются в ядра другого элемента с atomным номером на единицу большим, но с прежней массой («Физика 10», § 103). Символические это превращение записьается так:

$$\frac{M}{Z} X \rightarrow \frac{M}{Z+1} Y + \frac{0}{-1} e.$$

Здесь $X$ — исходное ядро, $Y$ — продукт распада, $e$ — электрон (верхний индекс «0» показывает, что масса электрона по сравнению с atomной единицей массы очень мала).

Тщательно изучение бета-распада показало, что это явление tant в себе две загадки.

Загадка первая: «пропажа» энергии. Если ядро $X$ самопроизвольно превращается в ядро $Y$, то это значит, что энергия $W_X$ ядра $X$ больше, чем энергия $W_Y$ ядра $Y$. А энергия вылетает при этом бета-частицы должны быть равна разности энергии $W_X - W_Y$ (если пренебречь энергий отдачи).

Поскольку все исходные ядра $X$ одинаковы, равно как одинаковы и все получающие из них ядра $Y$, все вылетающие бета-частицы должны иметь одну и ту же энергию. Опытые же показывают, что энергия практических всех бета-частицы меньше, чем разность энергий $W_X - W_Y$. Точнее: β-частицы имеют различные энергии, и все они лежат в пределах от нуля до максимального значения, равного $W_X - W_Y$. Например, для бета-частицы, испускаемых ядрами $^{210}_{83}$Bi (перiod полураспада 5 дней), максимальное значение энергии около 1 МэВ, а средняя энергия, приходящая на долю одной частицы, меньше чем 0,4 МэВ.

Создавалось впечатьение, что бета-распад — это процесс, в котором, в нарушение закона сохранения энергии, энергия пропадает бесследно. Некоторые физики склонны были думать, что закон сохранения энергии, безусловно верный в мире максимических процессов, «необязательен» для некоторых процессов, связанных с элементарными частицами. К этой мысли (о возможности нарушения закона сохранения энергии) склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность нарушения закона сохранения энергии склонялся даже такой физик, как Нильс Бор. Высказывались и другие мнения, что возможность interruptа элемента, превращается в протон.

(Окончание см. на с. 34)

*) Сейчас существует и другая точка зрения — что у нейрино есть очень малая масса покоя. Однако пока этот факт не существует, оно не может быть доказано.

31

32

Калейдоскоп «Кванта»
Математика является наукой, которая не только показывает в каждом случае соответствия, но и определяет принцип, от которых они зависит по природе самых веще.

Л. Эйлер

Леонард Эйлер (1707—1783) принадлежит к числу величайших математиков, заложивших в XVII—XVIII веках основной математики. Сын швейцарского пастора, он в 1726 году призвает в России для работы в Петербургской Академии наук и остается здесь до конца своей долгов жизни, за исключением перiodа (1741—1765) работы в Берлинской академии наук.

Совершенно удивительные как его работоспособность (около 800 трудов, собраны в настоящем времени в 72 томах), так и умение увидеть главное в любой изучаемой им области математики. В большинстве математических наук обязательно существует основополагающие теоремы, формулы, уравнения, носящие имя Эйлера.

Подробнее об Эйлере и его работах можно прочесть в 10-м номере нашего журнала за 1983 год.

Как разрезать пирог

Matematika — наука точная. Она учит считать, измерять и многому другому. Поэтому не удивительно, что когда на дне рождения у Вас потребовалось разрезать разницей пирог на 11 части, то все закричали: «Пусть это сделает Миша!» — ведь Миша лучший математик класса. Миша взглянул на пирог. Пирог был круглым, но не очень, и с одной стороны потолше, а с другой — потонше. Да, задача оказалась трудной.

«Пусть я действительно разрезу пирог на равноценные части, но другому-нибудь показется, что ему достаточно меньше, чем соседу. Как мне доказать, что части действительного одинаковы?» — думал Миша.

Но тут он вспомнил, как он делил несколько дней назад с именинником мороженое, купленное на два гривенника — его и свой. «Тогда я разрезал мороженое на две части, пооему, поровну, но вместе того, чтобы прятать их

1. В «мацческом квадрате» 3×3 суммы чисел во всех горизонтальных и вертикальных рядах, а также по диагоналям, одинаковы (рис. 1). При этом в его центре обязаτεльно стоит число 5. Если же мы поставим в центральную клетку число 1 (рис. 2), то расставить остальные числа от 2 до 9 в клетках квадрата так, чтобы все указанные суммы были равны, оказався невозможным. Попробуйте их расставить так, чтобы в горизонтальных и вертикальных рядах суммы были одинаковы.

М. В. Варга

33

действительно осталась 1/11, если же ты считаешь, что в нем не больше 1/11 части пирога, то есть в остатке не меньше 10/11, то проходи, не прикасаясь к пирогу. После тебя с перым куском так же сможет поступить следующий по очереди и т. д., пока не будет опрошены все ребята. Тот, кто последним прикоснуляя к куску, тот и забирает его, в частности, если никто из вас ничего не отрезет, кусок достанется мне. Справедливо?» «Вроде бы так, — ответил за ребят Kolya, — а дальше?
«Дальше, — радостно улыбаясь от сознания верно решенной задачи, произнес Миша, — останется

10 человек, утверенных, что в оставшейся части не менее 10/11 от всего пирога. Тем же способом мы комуто из них отдам 1/10 этой части, то есть 1/11 всего пирога, и так далее, пока последний не получит свою часть пирога, которое он, в соответствии с правилами, заведено будет считать не меньше, чем 1/11 часть всего пирога, как и все остальные».

История эта выдумана и ее решение имеет скорее теоретическую, чем практическую ценность, особенно если пирог легко крошится. Впрочем, этой проблемы не будет, если торт сделан из мороженого. Оdnako задача о делже

здесь решение проще изложенного в книге, его присал нам ученик 7 «Б» класса школи № 2 г. Московы Миша Ободовский, сейчас он уже восьмиклассик.

А. П.

ГОЛОВОЛОМКИ

2. Разгадайте серию ребусов «Времена года»:

ВЕСНА·В = ЕЙСКЕ
ЛЕТО:В = ОРЛЕ
ОСЕНЬ·В = МОСКВЕ
ЗИМОЙ·В = ИЛИМЕ

В. М. Радунский
3. Эту головоломку очень просто сделать, носовсем не просто решить. Нужно начать фигуру,

Рис. 3.
изображенную на рисунке 3, и изготовить пять

Рис. 4
цепочек, какдая из которых содержит по пять квадратков. Цепочки удобно делать из картона, оклевая нитку с двух сторон картоными квадратками (рис. 4). Тегер попробуйте замостить фигуру полученными цепочками.

Н. И. Авилов

34

Математика 10

С помощью обратной функции

В школе интегралы вычисляют по формуле Ньютона—Лейбница. Что вычислить таким способом интеграл

$$I_1 = \int_0^1 \arcsin x \, dx,$$

надо знать первообразную для функции $\arcsin x$, а вы ее не знаете. Как быт?

Обратимся к геометрическому смыслу интеграла: интеграл есть площадь. В частности, $I_1$ — площадь области, окруженной на рисунке 1 в голубой цвет. Найдем эту площадь как разность площади соответствующего прямоугольника и площади $\sigma_1$ «желтой области». Поскольку график функции $\arcsin x$ представляет собой «перевернутый» (полученный симметрией около прямой $y=x$) график функции $\sin x$, площадь $\sigma_1$ равна площади под синусоидой $x=\sin y$ на участке изменения $y$ от 0 до $\frac{\pi}{2}$:

$$\sigma_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin y \, dy = -\cos y \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = 1.$$

Следовательно, $I_1 = \frac{\pi}{2} - 1$.

Вычислим теперь интеграл

$$I_2 = \int_a^b \ln x \, dx \quad (1<a<b).$$

Снова обратимся к рисунку (рис. 2). На этот раз «голубая площадь» $I_2$ равна площади «большого прямоугольника» минус площадь «маленького прямоугольника» и площадь $\sigma_2$ «желтой области». График функции $\ln x$ есть «перевернутый» график обратной функции $e^x$, поэтому $\sigma_2$ — площадь под графиком функции $x=e^y$ на участке изменения $y$ от $\ln a$ до $\ln b$:

$$\sigma_2 = \int_a^b e^y \, dy = e^y \Big|_a^b = b-a.$$

35

Следовательно, $I_2 = b \cdot \ln b - a \times \ln a - (b - a) = b \cdot \ln \frac{b}{e} - a \cdot \ln \frac{a}{e}$.

Мы дважды выразили интерраал от некоторой функции (arcsin $x$, ln $x$) через интерраал от обратной функции ($\sin x, e^x$).

$$\ln x \text{ и } e^x - \text{ взимно-образные функции. Но arcsin } x \text{ и sin } x - \text{ не взимно-образные функции (sin } x - \text{ не обратная функция); взимно-образными являются arcsin } x \text{ и sin } x, \text{ рассматриваемый на отрезке } \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right], \text{ или, как говоря математики, } cy\text{ значение функции sin } x \text{ на отрезок } \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right].$$

Нельзя ли это сделать и в общем случае? Если, например, график функции $f$ имеет такой вид, как на рисунке 3, и функция $g$ — обратная для $f$ на $[a; b]$, то из рисунка 3

$$\int_a^b f(x)dx = b \cdot f(b) - a \cdot f(a) - \int_a^b g(y)dy. \quad (1)$$

No если график функции $f$ имеет такой вид, как на рисунках 4, а или 4, 6, то из рисунка равенство (1) не получается. Верно ли оно все-таки? Если верно, то как его доказать?

Как доказать равенство (1) для интеррала, не ясно. Попробуем доказать соответствующее утверждение для первого разной. Заметим в (1) $b$ на $x$:

$$\int_a^b f(t)dt =$$

$$= x \cdot f(x) - a \cdot f(a) - \int_a^b g(y)dy \quad (2)$$

(для простоты мы заменили также переменную интеррирования $x$ на $t$; от обозначения переменной интеррирования величины интеррала, очень не зависят:

$$\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt = \int_a^b f(z)dz = \dots).$$

Как известно, функция $\int_a^b f(t)dt$ является первообразной для непрерывной функции $f$ («Алгебра и начала анализа 9—10», задача 1046). Поэтому, если равенство (2) верно, то функция

$$x \cdot f(x) - a \cdot f(a) - \int_a^b g(y)dy,$$

или, что все равно, отличношаяся от нее на константу функции

$$\Phi(x) = x \cdot f(x) - \int_a^b g(y)dy, \quad (3)$$

также будет первообразной для $f$.

Что бы проверить, верно ли это, надо продиферетировать правую часть равенства (3). Потребуем поэтому, чтобы функция $f$ была дифференцируемая.

Функция $\int_a^b g(y)dy$, входящая в правую часть равенства (3), является композицией функции $z = f(x)$ и функции $\int_a^b g(y)dy$. Поскольку

$$\left( \int_a^b g(y)dy \right)' = g(z), \quad (4)$$

по правилам дифференцирования композиции

$$\left( \int_a^b g(y)dy \right)' = g(f(x)) \cdot f'(x).$$

Так как функция $g$ — обратная для $f$, $g(f(x)) = x$. Следовательно,

$$\left( \int_a^b g(y)dy \right)' = x \cdot f'(x).$$

Позетом

36

Учитывая теорему 1, по формуле Ньютона — Лейбница получаем

$$\int_{a}^{b} f(x)dx = \Phi(x) \Big|_{a}^{b} =$$

$$= [x \cdot f(x) - \int_{a}^{x} g(y)dy] \Big|_{a}^{b} =$$

$$= b \cdot f(b) - \int_{a}^{b} g(y)dy -$$

$$- a \cdot f(a) + \int_{a}^{b} g(y)dy =$$

$$= b \cdot f(b) - a \cdot f(a) - \int_{a}^{b} g(y)dy,$$

что и требовалось доказать.

Например, функция $y = \frac{1}{1+\sqrt{x}}$ дифференцируем и обратим на ]0; +∞[ (рис. 5). Легко подсчитать, что обратной для нее будет функция $x = \left(\frac{1}{y} - 1\right)^2 (0 < y \leq 1)$. Поэтому

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+\sqrt{x}} = \frac{1}{2} - \int_{1}^{1/2} \left(\frac{1}{y} - 1\right)^2 dy =$$

$$= \frac{1}{2} + \int_{1/2}^{1} \left(\frac{1}{y} - 1\right)^2 dy =$$

$$= \frac{1}{2} + \int_{1/2}^{1} \left(\frac{1}{y^2} - \frac{2}{y} + 1\right)dy =$$

$$= \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{y} - 2 \ln y + y\right) \Big|_{1/2}^{1} = 2 \ln \frac{e}{2}.$$

Подсудная цель этой статьи — показать, как бывают полезно сделать чертеж, проинтегрировать аналогичные понятия геометрических (попробуйте «открыть» формулу (1) без чертежа!). Перефразируя известные слова Цезаря, можно эти идею выразить так: «Нарисовал, увидел, доказал!».

Упражнения.
2. Найдите первообразную на [1; +∞[ для функции $a) y = \sqrt{x^2 - 1} + x, 6) y = \sqrt{x^2 - 1}$.
3. Вычислите a) $\int_{-1}^{0} \arcsin \sqrt{x} dx,$ b) $\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{x}{x+1}} dx$.

П. Г. САТЬЯНОВ

37

Задчи

1. Найдите все такие двухначные числа, которые делятся на каждую из цифр в их записи.

2. Однажды в Артеке за круглым столом оказались пятero ребят родом из Москвы, Ленинграда, Горького, Перми и Свердловска — Юра, Толя, Леша, Коля и Витя.

Москович сидит между свердловчиним и Витей, ленинградедц — между Юрой и Толей, а напротив него сидят пермяк и Леша. Коля никогда не был в Ленинграде, Юра бывал в Горьком, но не был в Свердловске, а свердловчинин с Толей регуляро переписьвалися. Определите, кто из ребят где живет.

3. Найдите наименьшее четырехначное число, квадратный корень из которого равен числу, образованному первыми двумя цифрами в сумме с квадратным корнем из числа, образованного последним двумя его цифрами.

4. Для открывания фlakона с тую сидящей в нем принтерой пробкой рекомендуют горлышко фlakона нагреть. На чем основан этот рецепт?

5. Восстановите пропущенные цифры в равенствах на рисунке.

Эти задчи нам предложили: В. Ф. Лев, М. А. Роллова, Н. К. Антонович, А. П. Савин, С. Н. Оlexник.

37

38

Задачи

М921—М925; Ф933—Ф937

М921. В выпуклом четырехугольнике ABCD известны величины двух углов $\angle A=\alpha$ и $\angle B=\beta$, а его удвоенная площадь равна $AB\cdot CD+BC\cdot AD$. Найдите отношение длины всех его сторон $AB:BC:CD:DA$, если
a) $\alpha=5\pi/12$, $\beta=7\pi/12$; 6) $\alpha=\pi/2$, $\beta=\pi/3$*;
b) Выясните, для каких $\alpha$ и $\beta$ существует такой четырехугольник, и выразите через $\alpha$ и $\beta$ отношение его стороны.

М922. Докажите, что уравнение
$$\sin^p x+\cos^q x=1,$$
где $p$ и $q$ — положительные числа, имеет решение на интервале $0<x<\pi/2$ тогда и только тогда, когда $(p-2)(q-2)<0$ или $p=q=2$.

А. М. Седлецкий

М923. Докажите, что плоскость численного равна длине его проекции на прямую, перpendикулярную этой плоскости.

М924. Каждые две из $n$ точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой) соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник ABC с вершинами в данных точках называется ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях AB, BC, CA или AC, CB, BA (например, на рисунке 1 всего три ориентированных треугольника из 10).
a) Объясните, как расставить стрелки, чтобы не возникло ни одного ориентированного треугольника.
b)* Каково наиболее возможное число ориентированных треугольников (для каждой $n$)? (Нарисуйте соответствующее примеру для $n=4$, 5 и 6.)
И. Цаленчук, ученик 10 кл.

М925. (Эвольюция клякс.) На белой плоскости расположена синяя фигура $K_0$. Из нее получается новая синяя фигура $K_1$ по следующему правилу, применяемому одновременно ко всем точкам $M$ плоскости: если не менее половины площади круга радиуса 1 с центром в точке $M$ занято сниметом, то точка $M$ становится синей, а если менее половины — то белой**). На следующем шагу из

*) Близкие к а) и 6) задачи предлагались на вступительных экзаменах 1984 года на экономическом факультете МГУ.
**) Предполагается, что получаются на каждом шагу фигуры имеют площад; так будет, например, если фигура $K_0$ ограничена отрезками прямых и дугами окружностей.

39

полученной синей фигуры $K_1$ по тому же правиле получается фигура $K_2$, затем из нее — $K_3$ и т. д. Доказите, что a) для произвольной ограниченной фигуры $K_0$, начиная с некоторого шага, вся плоскость станет белой; б) если $K_0$ — круг радиуса 100, то это сличится не позже чем через миллион шагов.

А. Л. Тоом

Ф933. Два куска сахара можно поместить в стекан с чаем различными способами. Можно просто положить сахар на дно (рис. 2, a), а можно установить куски «врасор», если стекан имеет кончечную форму (рис. 2, б). В каком случае сахар расторится скорее, если чай не перемешивать?

Л. А. Ашкинази

Ф934. Теплоизолированный сосуд разделен на две части легким поршнем. В левой части сосуда находится $m_1=3$ г водорода при температуре $T_1=300$ К, в правой части — $m_2=16$ г кислорода при температуре $T_2=400$ К. Поршень слабо проводит телло, и температура в сосуде постепенно выравнивается. Какое количество тепла от классорд к тому моменту, когда поршень перестанет двигаться?

З. А. Рафанлов

Ф935. По длиному прямоту проводнику постоянного секения течет ток $I_0$. На участке $AB$ проводника (рис. 3) его удельное сопротивление уменьшается от $\rho_1$ в секении $A-A$ до $\rho_2$ в секении $B-B$. Какой по величины и знаку объемный заряд образуется на участке $AB$?

В. В. Можаев

Ф936. По длиному сверхпроводящему соленоду с индутивностью $L_0=0,1$ Гн, содержащему $N=200$ витков, течет ток $I_0=0,1$ А. Издали к соленоду подносят замкнутый проводящий виток того же радиуса, что и витки соленodia; индутивность витка $L_1=1\cdot 10^{-3}$ Гн. Витокставляют между витками соленodia сосно с ними. Как изменится ток, текущий по соленоду? Как изменится энергия системы?

Ф937. На вертикальной стене нарисован человек «ростом» $h=20$ см, голова человека находится на высоте $H=2$ м над полом. При помощи линзы с фокусным расстоянием $F=0,1$ м получают изображение человека на полу. Найти размер наиболее четкого изображения.

А. Р. Зильберман

Problems

M921—M925; P933—P937

M921. The angles $\widehat{A}=\alpha$ and $\widehat{B}=\beta$ of the convex quadrilateral $ABCD$ are known; its doubled area equals $AB\cdot CD+BC\cdot AD$. Find the ratios of its sides $AB:BC:CD:DA$ if

42

М902. Нагуральный ряд 1, 2, 3, … разбит на несколько арифметических прогрессий. Доказите, что хотя у одной из этих прогрессий первый член делится на ее разность.

$$\angle AKB, \text{ то есть } \frac{1}{2} \angle B + \angle C = \frac{1}{2} \angle A + \angle C \text{ или } \angle A = \angle B; \text{ либо } \angle AMB + \angle AKB = 180^\circ, \text{ то есть } \angle A + \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle A + \angle B = \frac{3}{2} (\angle A + \angle B) = 180^\circ \text{ или } \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 60^\circ.$$

В. Л. Гугенмахер

М903. Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с a) четным; b) нечетным числом сторон?

Овозначием через $a_1, a_2, \dots, a_n$ первые члены прогрессий, на которые разбит натуральный ряд, через $d_1, d_2, \dots, d_n$ — их разности. Произведение всех разностей входит в одну из прогрессий, то есть для некоторого $i, 1 \leq i \leq n$, и некоторого натурального $k$

$$d_1 d_2 \dots d_n = a_i + k d_i.$$

Из этого равенства следует, что $a_i$ делится на $d_i$.

А. В. Келарев

a) Ответ: существует. Покажем, что условию задачи удовлетворяет любой многогранник, из каждой вершины которого выходит четное число ребер, например, octahedр (см. рисунок).

Рассмотрим произвольное сечение такого многогранника, не проходящей через вершины. Очевидно, его можночитать пошевить так, чтобы оно стало непараллельным ни одному из ребер многогранника, а число его стороны осталось прежним. Будем теперь параллельно перемешать плоскость сечения. Тогда число его стороны будет изменяться только при перехождения вершины, причем каждый раз будет проходиться только одна вершина. Если в ней сходится четное число $n$ ребер и $k$ из них пересекали плоскость сечения до перехождения через эту вершину (а значит, $n - k$ — после перехода; см. рисунок), то число вершин сечения при этом перехождение на $n - 2k$ и следовательно, его четность сохранится. А поскольку в конце плоскости сечения не будет пересекать ни одно из ребер, число стороны должно оставаться четным все время, за исключением моментов прохождения вершин.

b) Ответ: не существует. Из решения задачи a) следует, что если у всех сечений многогранника, не проходящей через вершины, число стороны имеет одинаковую четность (в частности, нечетно), то из каждой вершины выходит четное число ребер. Но тогда, как было показано там же, число стороны у любого такого сечения должно быть чётно.

Н. В. Васильев, В. Н. Дубровский

M904. Для каждого натурального числа
$$A = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \dots + 10 a_1 + a_0$$
(с десятичной записью $a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0$) положим

a) Докажем, что если десятичная запись $A$ содержит не менее двух знаков и $A \neq 19$, то
$$D(A) < A.$$

Пусть $A = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \dots + a_0, a_n \geq 1$, тогда $A \geq 10^n$. В то же время

43

$$D(A) = a_n + 2a_{n-1} + 2^2a_{n-2} + \dots + 2^{n-1}a_1 + 2^n a_0.$$
Например, $D(1985) = 1 + 2 \times 9 + 2^2 \cdot 8 + 2^3 \cdot 5 = 91$,
$D(91) = 9 + 2 \cdot 1 = 11$,
$D(11) = 3$.
а) Докажите, что для любого натурального $A = A_0$ в последовательности $A_1 = D(A_0)$, $A_2 = D(A_1)$,… встретился число $A^* = A_k < 20$, для которого $D(A^*) = A^*$.
б) Чему равно $A^*$ для $A = 19^{85}$?

$$D(A) = a_n + 2a_{n-1} + \dots + 2^n a_0 \leq 9 + 2 \cdot 9 + \dots + 2^n \cdot 9 = 9(2^{n+1} - 1) < 18 \cdot 2^n < 10^2 \cdot 2^{n-2}.$$
Следовательно, $D(A) < A$ при $n \geq 2$. При $n = 1$, то есть для $A = 10a_1 + a_0$, имеем:
$$A - D(A) = 10a_1 + a_0 - a_1 - 2a_0 = 9a_1 - a_0 > 0$$
при всех значениях $a_1$ и $a_0$, кроме $a_1 = 1$, $a_0 = 9$ ($A = 19$), а $D(19) = 19$. Наконец, при $n = 0$, то есть для однозначных чисел $A$, очевидно, $D(A) = A$.

Таким образом, последовательность $A = A_0$, $A_1$, $A_2$, … будет строго убивать, пока в ней не встретился число $A_k = A^*$, равное 19 или однозначное; для этого числа $D(A^*) = A^*$.

6. Ответ: $A^* = 19$. Докажем, что если число $A$ делится на 19, то и $D(A)$ делится на 19. Отсюда вытекает, что для $A = 19^{85}$ число $A^*$ делится на 19, а так как в силу утверждения a) $A^* < 20$, это возможно только при $A^* = 19$.

Для любого числа $A = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \dots + a_0$ рассмотрим разность
$$2^n A - D(A) = (20^n - 1) a_n + 2 (20^{n-1} - 1) a_{n-1} + \dots + 2^{n-1} \cdot (20 - 1) a_1.$$
Каждаое слагаемое в правой части этого равенства делится на 19, так как $20^k - 1 = 19 \cdot (20^{k-1} + 20^{k-2} + \dots + 1)$, поэтому, если $A$ делится на 19, то и $D(A)$ тоже делится на 19.

Е. И. Гурьниц, А. Л. Федоров

Ф913. С горизонтальной поверхности земли бросили под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту со скоростью $v_1 = 12$ м/с комок сырной линии. Однакоремно комок вдвое большей массы бросили на вершину первого перуму под углом $\beta = 30^\circ$ к горизонту, причем начальные скорости комков оказались легкими в одной вертикальной плоскости. В результате столкновения комки спиллись. Найти скорость (по модулю) упавшего на землю спилшего комка.

◆ Рассмотрим движение центра масс (ц. м.) комков. Скорость ц. м. непосредственно перед ударом о землю равна по модулю скорости ц. м. при бросании комков, причем
$$3m\vec{v} = m\vec{v}_1 + 2m\vec{v}_2,$$
(1)
где $\vec{v}$ — скорость ц. м. при бросании, $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ — скорости комков в этот момент, $m$ — масса меньше комка.

Поместим начало координат в точке бросания комка массы $m$, направив ось $X$ горизонтальной так, чтобы она проходила через точку бросания большого комка, а ось $Y$ – вертикальной вверх. Запишем равенство (1) в проекциях на оси $X$ и $Y$, предварительно разделив обе части его на $m$:

$$3v_x = v_1 \cos \alpha - 2v_2 \cos \beta,$$
(2)
$$3v_y = v_1 \sin \alpha + 2v_2 \sin \beta$$

(здесь $v_x$ и $v_y$ — проекции $\vec{v}$ на оси $X$ и $Y$). Скорость $v_2$ найдем из условия, что в точке столкновения, которое произойдет время $t$, координата по оси $Y$ у комков одна и та же:

$$v_1 t \sin \alpha - \frac{gt^2}{2} = v_2 t \sin \beta - \frac{gt^2}{2},$$

откуда

$$v_2 = v_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = v_1 \sqrt{3}.$$

Подставляя найденное выражение для $v_2$ в (2), получаем:

$$v_x = -\frac{5}{6} v_1, \quad v_y = \frac{\sqrt{3}}{2} v_1.$$

44

Таким образом, скорость спилшегося комка при ударе о землю —

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \frac{\sqrt{13}}{3} v_1 \approx 14 \text{ m/c.}$$

В. И. Чивилёв

Ф914. В закрытом соусе объема $V = 33,6$ дм³ находится азот $u = 1$ моль воды. При температуре $t = 100^\circ\text{C}$ давление в соусе равно $p = 2 \cdot 10^5$ Pa. Определить количество азота в соусе.

Давление $p$ в соусе складавается из парциальных давления азота $p_a$ и паров воды $p_n$. Максимальное возможное значение $p_n$ — это давление насыщенных водяных паров $p_H$ при данном значении температуры. При $T = 373$ К $p_H = 10^5$ Pa. Посмотрим, каким должно быть количество $v_1$ пара в соусе, чтобы создать давление $p_H$:

$$p_H V = v_1 RT \Rightarrow v_1 = \frac{p_H V}{RT} = \frac{10^5 \cdot 33,6 \cdot 10^{-3}}{8,3 \cdot 373} \text{ моль} \approx 1,1 \text{ моль.}$$

Значит, при испарении $v = 1$ моль воды образовавшийся пар будет не насыщенным. Давление этого пара —

$$p_n = v \frac{RT}{V} \approx 0,9 \cdot 10^5 \text{ Pa.}$$

Следовательно, парциальное давление азота в соусе —

$$p_a = p - p_n \approx 1,1 \cdot 10^5 \text{ Pa},$$

и количество азота в соусе —

$$v_a = \frac{p_a V}{RT} \approx 1,2 \text{ моль.}$$

С. М. Коршунов

Ф915. Жидкость с диэлектрической пропищаемостью в протекает между пластнами изолированного плоского конденсатора со скоростью $v$. Перpendикулярно скорости $\vec{v}$ и паралелюно пластнам направлено магнитное поле с индукцией $\vec{B}$. Определить направление на пластнах конденсатора. Расстояние между пластнами $d$.

На разноменные заряды движущихся диополе диэлектрика со стороны магнитного поля действуют силы Лоренца, направленные в противоположные стороны (см. рисунок). Это приводит к поляризации диэлектрика, и в результате уверхней и нижней пластин конденсатора в диэлектрике будут существовать равные по абсолотной величины поверхностные заряды противоположных знаков. Эти поляризации заряды создают электрическое поле.

Пусть направлено этого поля равна $E$ (на рисунке $\vec{E}$ направлено сверху вниз). Тогда сила, действующая на положительный заряд движущаяся диополя, равна

$$F = q (vB - E).$$

Согласно определению диэлектрической пропищаемости эта сила должна быть в ε раз меньше той силы $F_0$, которая действовала бы на заряд $q$, движущаяся со скоростью $\vec{v}$, в отсутствие диэлектрика. Но в отсутствие диэлектрика $E = 0$, и $F_0 = qvB$. Так что

$$F = \frac{F_0}{\varepsilon} \Rightarrow q (vB - E) = q \frac{vB}{\varepsilon},$$

откуда находится $E$:

$$E = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} vB.$$

45

Таким образом, разность потенциаль между пластинами конденсатора равна

$$U = Ed = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} vBd.$$

Е. А. Ромшевский

Ф916. В схеме, приведенной на рисунке 1 (Д — идеальный диод), ключ К замыкают на время τ, а затем размыкают. В момент размыкания слая точка в катушке индуктивности равна $I_0$. Через сколько времени после размыкания ключа ток $I_L$ в катушке достигает максимального значения, если оно равно $2I_0$? Построить график зависимости $I_L$ от времени $t$ ($0 < t < \infty$).

После замыкания ключа К за очень короткий промежуток времени направление на конденсатор и на катушка индуктивности становится ЭДС источника $\mathcal{E}$ (см. рис. 1: $\mathcal{E} = \varphi_A - \varphi_B$, ток через диод не течение). В течение времени τ на конденсатор будет сохраняться постоянный заряд $q = C\mathcal{E}$, а ток через катушка будет нарастать по линейному закону:

$$L \frac{di}{dt} = \mathcal{E} \Rightarrow i = \frac{\mathcal{E}}{L} t \quad (0 < t \leq \tau).$$

В момент $t = \tau$, согласно условиям, $i = I_0$, то есть

$$I_0 = \frac{\mathcal{E}}{L} \tau.$$

Если в этот момент разомкнуть ключ К, то через катушка будет продолжать работу со временем за счет разрядаки конденсатора, как это происходит в обычном колебательном контуре, то есть по закону с периодом $T = 2\pi \sqrt{LC}$.

Когда ток достигает максимального значения, направление на катушка индуктивности, диode, конденсатор становится равным нулю, то есть конденсатор полностью разрядает. На основании закона сохранения энергии имеем:

$$\frac{LI_0^2}{2} + \frac{C\mathcal{E}^2}{2} = \frac{LI_{\max}^2}{2}.$$

Учитывая, что $I_{\max} = 2I_0 = \frac{2\mathcal{E}}{L} \tau$, находим $LC = 3\tau^2$.

Значение функции $y = \sin x$ изменяется от 0,5 до 1 при изменении аргумента от $\pi/6$ до $\pi/2$, то есть за 1/6 часть периода. Поэтому время $\Delta t$, за которой слая точка в катушка изменяется от $I_0$ до $2I_0$, равно $T/6$, то есть

$$\Delta t = \frac{\pi}{3} \tau \sqrt{3} \approx 1,8\tau.$$

В момент времени $t = \tau + \Delta t \approx 2,8\tau$ потенциаль точек A и B сравнивают, сопротивление участка, содержащого диод, в направлении от B к A становится равным нулю. Таким образом, в последующие моменты времени через катушка индуктивности и диод будет точь постоянной ток $I = 2I_0$, заряд конденсатора будет равен нулю.

График зависимости $I(t)$ приведен на рисунке 2.

Необходимо сделать еще одно важное полное решение. В момент времени $t = \tau$ произойдет плавный (то есть без скачка произвольной) переход с линейного участка на часть синусицы. Это связано с тем, что произвольной $di/dt$ пропорционально направление на катушка индуктивности $U_L = LI'$, которое в каждой момент времени равно напряжению на конденсатор $U_C = q/C$. А так как заряд на конденсатор скажом изменяется не может, на графике $I(t)$ не может быть изломов.

А. И. Киркинский, Е. А. Ромшевский

46

Механическая работа и механическая энергия

О. Ю. Овчинников

§ 1. В механике работа, совершаемая постоянной силой $\vec{F}$ при перемещении тела на величину $\vec{s}$, равна произведению моделей силы и перемещения, умноженному на косинус угла $\alpha$ между векторами силы и перемещения:

$$A = Fs \cos \alpha.$$

Такое понятие не всегда соответствует общеденному представлению о работе. Например, штангист, удерживающий груз на подняться руках, или носильщик, несущий тяжелый чемодан, механической работы не совершают (объясните — почему?).

Когда действующая на тело силы не постоянна (меняется ее модель или направление), работа такой силы можно найти следующим образом. Разобъем все перемещение тела на такие malые участки $\vec{s}_1, \vec{s}_2, \dots, \vec{s}_n$, чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной и равной соответствующей $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$. Затем найдем работу на каждом участке:

$$A_1 = F_1s_1 \cos \alpha_1,$$

$$A_2 = F_2s_2 \cos \alpha_2, \dots,$$

$$A_n = F_ns_n \cos \alpha_n;$$

а полная работа будет равна сумме работы на отдельных участках:

$$A = A_1 + A_2 + \dots + A_n.$$

В тех случаях, когда известно, как изменяется от точки к точке проекция силы на направление перемещения $F_s = F$ cos $\alpha$, работа можно найти графически (рис. 1). Полная работа на участке BC численно равна площади фигуры BDEC.

Задача 1. Чему равна работа по равномерному подъему однородной главной цепочки на главной горизонтальной стол? Первоначальное положение цепочки указано на рисунке 2, а ее длина $l = 6$ м; масса $m = 3$ кг.

В начальной момент на цепочку действует сила тяжесте $mg$, и для ее удержания требуется сила

$$F_0 = mg.$$

По мере поднятия цепочки на стол сила, необходимая для поднятия, будет уменьшаться. Обозначим длину части цепочки, уже лежащей на стол, через $x$ (рис. 2, б). В этот момент к цепочке надо приложить силу

$$F = mg - \frac{mg}{l}x.$$

Построим график зависимости $F = F(x)$ (рис. 2, с). Тогда работа, которую совершит эта сила при равномерном подъеме всей цепочки, будет численно равна площади защиты трехрихового треугольника:

$$A = \frac{1}{2} mgl = 90 \text{ Дж.}$$

Заметим, что совершенная работа равна работе по подъему центра тяжесте цепочки. Посокльку в началь-

47

ный момент он находится на расстоянии l/2 от поверхности стола, потребуется работа A=mg(l/2).

Задача 2. К точкам B и C, находящимся на одной горизонтали, подвешены однородная цепочка длиной 2l и система из двух стержней, соединенных шарниром, каждый из которых имеет длину l (рис. 3, а). Масса цепочки равна массе общих стержней. Какой из центров тяжества — цепочки или системы стержней — находится ниже?

Подействием на цепочку таким образом, чтобы ее положение совпало с положением системы стержней (рис. 3, б). Очевидно, что в этом случае центры тяжестки цепочки и стержней тоже совпадают. Поскольку для того чтобы перевести цепочку в новое положение потребовалось над ней совершить неокоторую работу, можно утверждать, что ее новое положение центра тяжестки выше прежнего.

Следовательно, первоначальное центр тяжестки цепочки находится центра тяжестки системы стержней.

Задача 3. В первом опите пружину, имеющий жесткость k и длину внедормированном состоянии l0, растящают до длины l. Во втором опите эту пружину сначала разрезают на две равные части, затем берет одну из них и растящают ее тоже до длины l. Определите работу, которую надо совершить в первом и во втором опитех.

Согласно закону Гука, при растяжении пружины на величины x

возникает сила упругости F_yпр=-kx (знак «минус» говорит о том, что сила упругости стремится вернуть пружину в исходное состояние). Для того чтобы растнуть пружину, к ней надо приложить внешнюю силу \vec{F}, равную по модели слее упругости, но противоположную ей по направлению:

F=-F_yпр=kx.

Построим график зависимости F=F(x) (рис. 4, а) и по нему найдем работу, которое должно совпать внешняя сила для растяжения недеформированной пружины на величины x:

A=\frac{1}{2}(kx)x=\frac{kx^2}{2}.

В случае, когда пружина уже была растянута на величины x1, а теперь ее надо растить до x2, работа внешней силы будет равна (рис. 4, б)

A=\frac{kx^2}{2}-\frac{kx^2}{2}.

Теперь вернемся к нашей задаче. В первом опите для растяжения цепочки пружины с жесткостью k из недеформированного состояния до длины l необходимо совпать работу:

A_1=\frac{kx^2}{2}=\frac{k(l-l_0)^2}{2}.

Во втором опите до той же длины l растявател лишь положину пружины так, что удлинение x2=l-l0/2. Кроме того, жесткость положины пружины не такая, как жесткость цепочки пружины: она в два раза больше (показите это самостояльно). Поэтому во втором опите необходимо совпать работу.

48

$$A_2 = \frac{(2k)x_2^2}{2} = \frac{(2k)(l-l_0)/2)^2}{2} = k\left(l - \frac{l_0}{2}\right)^2.$$

§2. В механике приято различить кинетическая энергия, обусловленную движением, и потенциальную, определяемую взаимным расположением тела системы или части одного и того же тела.

Кинетическая энергия тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, равна

$$E_k = \frac{mv^2}{2}.$$

Пotenциальная энергия тела, находящаяся в поле тяжестии на высоте $h$ над нульым уровнем, равна

$$E_p = mgh,$$

а потенциальная энергия упруго деформарованного тела равна

$$E_p = \frac{kx^2}{2}.$$

Между понятыми «механическая работа» и «механическая энергия» есть тесяя связь. Работа равноведействующей сил, приложенных к системе, равна изменению кинетической энергии системы:

$$A = E_{k2} - E_{k1}.$$

Работа сил тяжестии или упругостики, действующих в системе, равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии системы:

$$A = -(E_{p2} - E_{p1}).$$

Задча 4. На родатке закреплена длинная (по сравнению с размерами розатки) резина с жесткостью $k$. Надите максимальную скорость камня массой $m$, выпущенного из розатки, если предварительно его оттянуты на расстояние $x$ (рис. 5).

Поскольку резина длинная, можно считать, что на камень действуют две параллельные силы упругостики $\vec{F}$. При оттягивании камня на расстояние $x$ суммарное удлинениеружины будет $2x$, и модель силы упругостики $F = k(2x) = 2kx$.

При возвращении в исходное недеформрованное состояние резины силы упругостики, действующие на камень, совершат работу

$$A = 2\frac{(2kx)x}{2} = 2kx^2.$$

За счет этой работы камень приобретет кинетическая энергия

49

Работа ссыла наняження нити при этом будет равна

$$A = F_H x,$$
а потенциальная энергия груза в поле тягежсти Земли изменится на

$$\Delta E_p = mg(2x) = 2mgx.$$

Таким образом,

$$F_H x = 2mgx,$$

откуда

$$F_H = 2mg.$$

§ 3. Энергия приадлежит к тем немногим физическим величинам, для которых выполняются законы сохранения.

В частности, если система тел замкнута и тела взаимодействуют друг с другом только слиами тяготения и упругости, то полная механическая энергия системы (то есть сумма кинетической и потенциальной энергии) остается постоянной. Действие же силы треня приводит к тому, что часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию системы. Но и в этом случае сумма всех видов энергии системы сохраняется неизменной.

Задча 7. Мальчик на коньках разогнется до скорости v и вкатывается на горку, покрытую льдом. До какой высоты, считая от основания горки, он может поднять, если коэффициент треня μ, а угод наклона горки к горизонту α?

В начальной момент малчик обладает кинетической энергий $$mv^2/2$$, а в конечный момент — потенциальной энергий $$mgh$$ (здесь m — масса малчика, h — искомая высота подьема). За счет уменшення полной механической энергии совершается работа против силы треня $$F_{tp} = \mu mg\cos \alpha$$:

$$\frac{mv^2}{2} - mgh = (\mu mg \cos \alpha) \frac{h}{\sin \alpha}.$$

Отсюда находим искомуую высоту h:

$$h = \frac{v^2}{2g(1 + \mu ctg \alpha)}.$$

Задча 8. Камень массой m соскальзывает с главной горки высотой H. Расстоянием этот процесс в двух различных инерциальных системах отчета. С точки зрения наблюдателя в неподвижной системе потенциальная энергия камня mgH переходит в кинетическое энергию $$mv^2/2$$, так что после сокальзывания с горки камень имеет скорость v (рис. 7). Наблюдает, нахождение в системе отчета, движущейся со скоростью v вправо, скажет, что вначале у камня есть потенциальная энергия mgH и кинетическая энергия $$mv^2/2$$, а в конце нет ни той ни другой. Куда же «пропала» энергия?*)

Сразу же скажем, что закон сохранения энергии выполняется и в этом случае. Причина сформировано в условиях парадокса в том, что рассуждания проводились для независнуть системы — одного камня, а Земля, с которой камень взаимодействует, не учитывалась. Исправим эту ошибку.

a) В неподвижной системе отчета (связанной с центром масс системы камень — Земля) в начальной момент камень и Земля покояться, и все энергия равна потенциальной энергии системы. В конечный момент камень прибретает скорость $\vec{v}$, а Земля — скорость $\vec{u}$, которое можно найти из закона сохранения импульса:

$$mv - Mu = 0,$$

откуда

$$u = \frac{m}{M} v,$$

где M — масса Земли.

Согласно закону сохранения энергии,

$$mgH = \frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2} = \frac{mv^2}{2} \left(1 + \frac{m}{M}\right).$$

Поскольку масса камня ничего мал по сравнению с массой Земли, величины m/M по сравнению с единицей можно пребежать. Тогда получим

$$mgH = \frac{mv^2}{2},$$

*) Аналогические вопросы подробно разбираются в статье В. А. Орлова «Парадокс «большего» тела», опубликованной в третьем номере журнала за 1978 год. (Примеч. ped.)

51

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет

Каждай варнат состоял из пяты задач трех типов.

Первые три задачи — расчетные, различной трудности: от почти стандартных до сравнительно сложных, требующих смекалки, глубоких знаний, умения разобраться в непrivibной или условенной физической ситуации.

Четвертая задача — это задача-оценка. Для ее решения надо понять рассматриваемое физическое явление, формулировать простую (так как нужно только оценка) физической модель этого явления, выбрать результаты числовые значения физических величины и, наконец, получить численный результат, более или менее соответствующейrealности. В тексте задачи подвергиваюсь, что абитурient может сам выбрать необходимые для решения задачи физические величины и их числовые значения.

Пятая задача — это задача-демонстрация, в котором надо объяснить физическое явление, демонстрируемое в аудитории. Здесь важно понять существяя явления и среди различных факторов выделить главный.

На решение задачи давалось пять часов, начняя с завершення демонстрации.

Вариант 1

1. Провод ACB изогнут так, что точки A, C и B образуют правильный треугольник (рис. 1). К середinem сторон AC и BC подключена перемычка EF из провода с вдвоем меньше площадью секения. К точкам A и B приложено напряжение U. Найдите падение напряжения на перемычке.

2. Два закрепленных цилиндра, площади секения которых равны S1 и S2, соединены трубкой (рис. 2). Цилиндры перекрыты поршнями, жестко соединены между собой. Объем газа, ограниченный поршнями, вначале был равен V, а давление внутри системы было равно атмосферному давлению снаружи p0. Затем атмосферное давление изменяется до значения p1. На какое расстояние сдинится поршня? Температура постоянна. Треннем претензь.

3. Колесо снабжено тормозом BC, который шарнирно закреплен в точке B на той же жесткой ramе, что и ось колеса A (рис. 3). Растянутаяружина AC прижимает тормозную колодку C к ободу колеса так, что угол ACB равен a. При врашении колеса по часовой стрелке сила трения, создаваемая колодкой тормоза, равна F1. Козффициент трения колодки об ободу равен μ. Найдите силу трения при врашении колеса против часовой стрелки.

4. Продолжите мысленно прямую, проходящую вдоль отвеска (висящей вертикального нити с грузиком). Оцените для средних шипот, на каком расстоянии от центра Земли пройдет эта прямая.

5. Если в герметичный цилиндр вставить поршень, способный почтить без трения скольить по стеккам цилиндра, и прикрепить к нему груз, то поршень сравнительно легко выскальзывает из цилиндра. Если же напить в цилиндр воды, то поршень держится несмотряна за значительную массу груза. Объясните явление.

Вариант 2

1. Каким должен быть внешний радиус изгиба светаовада, сделанного из произрачного вещеста с показателем предполления n, чтобы при диаметре светаовада l свет, вошедший в световой переменнику плоскости секения, распространился, не выходя наружу через боковую поверхность (рис. 4)?

2. Через трубку переменного секения продвают воздух (рис. 5). Входное отверстие имеет площадь S, выходное — S1. На входе скорость воздуха постояна и равна v, температуре

52

Рис. 7. Рис. 8.

ратура $T$, давление $p$. На выходе температура $T_1$, давление $p_1$. Найдите скорость воздуха в выходном секении.

3. В точках $A$ и $B$ (рис. 6) на расстоянии $|AB| = a$ закреплены заряды $+9q$ и $-q$. Вдоль прямой $AB$ к ним движется частница массой $m$, имеющая заряд $+q$. Какую наименьшую скорость должна быть иметь эта частница на очень большом расстоянии, чтобы она смогла достигнуть точки $B$?

4. Оцените, при какой минимальной скорости ветра он может опрокинуть автовосу.

5. Два одинаковых сосуда нагреваются до одной и той же температуры. При этом один сосуд ополаскивает горячей водой, а другой остается сухим. Затем она сосуда ставится на холодную воду, оба горышкиом вниз. После их остывания уровни воды, втянутой в сосуды, затем различаются. Объясните явление.

Вариант 3

1. Из одной точки вылетают одновременно две частицы с горизонтальным, противоложно направлением скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Через какой интервал времени угол между направлениями скоростей этих частцей станет равным $90^\circ$? Ускорение свободного давления $g$.

2. Жесткое тонкое непроводящее колюто массой $M$, равномерно заряженное зарядом $+Q$, имеет в районе точки $A$ небольшой зазор размера $l$, много меньше, чем радиус колца (рис. 7). Кольцо расположен в горизонтальной плоскости так, что может только свободно врашаться относительно вертикальной оси, проходящей через центр колца $O$. Поконвшеся вначале колюто пришло в движение после того, как было включено постоянное горизонтальное однородное электрическое поле с направлением $\vec{E}$, перpendикулярное $OA$. Найдите максимальное величину скорости колца.

3. Вертикальное стоящее закрытие цилиндры $A$ и $B$ имеют одинаковую высоту $H$ и площади дна $S$ и $S/2$ соответственно. Они закреплены на две ширикоугольного цилиндра $C$ с площадью дна $3S$ (рис. 8). В верхней части цилиндры $A$ и $B$ соединены трубкой 1, а в нижней — через небольшое отверстия в дне все три цилиндра связаны друг с другом общим узком каналом 2. Первоначальное цилиндр $A$ доверху наполнен водой, а отверстие в дне этого цилиндра закрыто. Найдите высоту уровня воды, установившегося в цилиндре $C$ после открывания отверстия в цилиндре $A$. Атмосферное давление $p_0$, плотность воды $q$, ускорение свободного давления $g$. Температура постоянна. Объемом трубки, канала и стенок сосудов пренебречь.

4. Оцените изменение объема футбольного мяча при сильном ударе.

5. Когда между лампочкой и линзой помещена прозачная с плоским стенками кивета с водой, на экран видно резкое изображение спирали лампочки. Если же кивету убрать, изображение становится размытым. Объясните явление.

Публикация подготовил Г. В. Меледин

Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Теплоход прошел 6 км вверх против течение реки и затем прошел еще 27 км вниз по течение, затратив на все 1 час. Найдите скорость теплокода в стоячей воде, если скорость реки 6 км/ч.

2. Решите уравнение
   $$\cos 2x + \cos x + \cos 3x = 0.$$

3. Решите уравнение
   $$3^x = 3 + 2(\sqrt{3})^x.$$

4. Решите неравенство
   $$\log_2(x - 3) < 0.$$

5. В конце с радиусом основания $R$ и осевым сечением, являющимся правильным треугольником, вписка правильная треугольная признака так, что одна ее боковая грань лежит в плоскости основания конуса, а две остальные вершины лежат на его боковой поверхности. Найдите объем признамы, если ее высота равна $2/3R$.

Вариант 2

1. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 28, а сумма второго и третього членов равна 12. Найдите прогрессию.

2. Решите уравнение
   $$9\cos \frac{x}{3} - 2 \cdot 3\cos \frac{x}{3} = 3.$$

3. Решите уравнение
   $$x^3\sqrt{x^2} + 16 = 8\sqrt[6]{x^5}.$$

4. Решите неравенство
   $$\log_2\left(\frac{5x + 4}{x - 2}\right) > \mathrm{tg}g\frac{5}{4}\pi.$$

5. В куб с ребром длиной $a$ вписка правильная шестиугольная признака так, что диагональ куба проходит через центр оснований признамы и на каждой грани куба лежат по две вершины признамы. Найдите объем признамы, если сторона ее основания в 3 раза меньше ребра куба.

Физика

Задачи устного экзамена

1. Тело массой $m=0,1$ кг врашается в верхтикальной плоскости на нити длиной $l=1$ м. Ось врашения расположена над полом на высоте $H=2$ м. При прохождения нижнего по-