Квант 1985, №6 · Страницы

КВАНТ
6
1985

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Фиолетовые крибы, показанные на рисунках а и б, называются эпициклопедами — их вычисляется точка подвижной окружности, когда эта окружность катится по внутренней стороне неподвижной окружности. Об этих кривых, а также об удлиенной и укороченной эпициклопеде, гипоциклопеде и удлиенной гипоциклопеде (рисунки б, 2, д и е соответственно) расскажено в статье С. Г. Гиндикина в этом номере журнала.

В НОМЕРЕ:

2. Б. М. Болотовский. Что мы видим?
3. С. Г. Гиндикин. Звездный век циклопы
4. Л. А. Ашкинази. Что же такое электrizация тренем?
5. А. И. Привень. Не беда, что нет функции

В THIS ISSUE:

22. Лаборатория «Кванта»
    A. А. Боровой. Мостик из бумаги

Kvant’s lab
A. А. Borovoy. Paper bridges

«Квант» для младших школьников
Задачи
J. Кэрролл. Билль вылетает в трубу

Kvant for younger school children
Problems
L. Carroll. The rabbit sends in a little bill

32. Калейдоскоп «Кванта»
    Kvant’s kaleidoscope

Задачник «Кванта»
Задачи M926 — M930; Ф938 — Ф942
Решения задач M905 — M910; Ф917 — Ф922
Список читателей, приславших правильные решения

Kvant’s problems
Problems M926 — M930; P938 — P942
Solutions M905 — M910; P917 — P922

List of readers who have sent correct solutions

Олимпiadы
Заочная олимпiadа по программированию

Olympiads
Programming olympiad (by correspondence)

Варианты вступительных экзаменов

College entrance examination problems

57. Ответы, указания, решения
    «Квант» улыбается (47)
    Смеся (19, 45)
    Шахматная страница
    Инерционность мышления (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Kvant smiles (47)
Miscellaneous (19, 45)
The chess page
Inertiality of thought (3rd cover page)

Известно, что налектrizовать тело можно разными способами. Можно передать ему часть «чужого» заряда (именно так налектrizовали листочки «султанчика», которые вы видите на первой странице обложки). Есть и другие способ электронизации тренем. О нем рассказывается в этом номере журнала (см. с. 16).

2

Что мы видим?
(о видимой форме быстро движущся предметов)

Доктор физико-математических наук
Б. М. БОЛОТОВСКИЙ

Введение

Есть поговорка: «Лучше один раз увидеть, чем это раз услышать». Смысл этой поговорки в полне ясен: говорить можно все, что угодно, но для того чтобы убедиться в сказанном, нужно все увидеть своими глазами. Глаза не обманут.

Однако всегда ли можно доверять своим глазам? Оказывается, не всегда. Иnorда мы видим то, чего нет на самом деле. Не подумайте, что речь идет о галлюцинациях или дефектах зрения. Наблюдаете, находящийся в здравомume и обладающий хорошо зренем, при определенных условиях может увидеть очень искаженную картину явления, весма далекую от того, что проискодит в действительности. И причина этого заключается не в том, что чувства могут изменить человека. Поставим вместе на наблюдательная книокамеру, уже ее-то «показания» можно считать объективными. И все же, просмотрев заслятый фильм, мы видим то же самое, что и наблюдатель, которое мы выразили недоверие и которого заменили книокамерой.

И то, что мы видим на экране, и то, что видел наблюдатель, совсем не то, что проискодит на самом деле.

Как это может быть?

Мы на несколько примерах показем, как это может быть. Иначе тайнственного в наших примерах вы не найдете. Они говорят лишь о том, что нужно обумывать каждое физическое наблюдение, страться понять, о чем говорят показания приборов, и по этим показаниям восстанавливать реальную картину явления.

Фотографирование света на лету

Okоло пятнадцат们 лет назад американский физик Мишель Дюге сконструировал фотографический затвор, который сравытвал за необычайно короткие времена. Зачем нужны такие затворы?

Если мы фотографируем неподвижную картину, то промежуток времени, в течение которого затвор открыт — этот промежуток называется временем экспозиции, — не влияет на резкость изображения. Объект съемки неподвижен, изображение объекта на пленке также неподвижно, поэтому увелиние времен экспозиции не умеется резкости изображения. Иное дело, если объект съемки движется. Тогда движение и изображение объекта на пленке. В этом случае чем меньше времени экспозиции, тем резче будет изображение предмета на фотографини. И наоборот, чем больше времени экспозиции, тем больше «размажется» изображение предмета.

На некоторых фотографиях (объчно это фотографини бегущих людей быстро мучихся автоматизин) нерезкость изображения уменьшена — она как бы подвергивает стремительное движению. Но, как правило, чем быстрое движется объект съемки, тем меньше должно быть время экспозиции, тем на меньше времени открывается затвор. (В наших расускениях мы не учитываем, что фотографическая пленка обладает определенной увелиниеостью и что меньше времени экспозиции должен соответствовать большая увелиниеность. Будем считать, что увелиниеность пленки можно подобраться так, чтобы она соответствовала нужному времени экспозиции.)

Вернемся теперь к началу нашейповестования. Выл создан фотографией затвор с временем экспозиции фантастическими мальем — около $10^{-11}$ с. Конечно, «фантастически» мальем это время можно было считать только до создания затвора. Когда же он создан — это уже никакая не фантастика, а реализное замечательное достижение. Но… где его применить?

Такой «молниеносный» затвор можно было использовать для фотографирования объектов, движущихся со скоростью, близким к скорости

3

света, — изображение на пленке получилось бы достаточно резким. Но где разыскать такие объекты? Они должны быть достаточно велики, для того чтобы получиться на фотографии, — скажем, имеет размерcaptionа. Но сообщить материалному телу таких размеров скорость, близкую к скорости света, мы пока не можем — это требует огромных затрат энергии. (Например, чтобы разогнать тело массой в 1 г до скорости, равной половине скорости света, нужно затратить энергию порядка $10^{11}$ Дж. Такую энергию вырабатывает ежекундно десять современных atomных электростанций.) Максимальные скорости макросопических тел, достигнутые в земных условиях, составляют величины порядка десятьков километров в секунду. Мы уменьшаем электроны до скорости, которые близки к скорости света. Но ведь электрон непредставенно не фотографируешь — он слищком мал. Нужен объект, который имел бы заметные размеры и двигался со световой скоростью. И Дюге, создатель затвора, нашел такой объект. Им оказался… сам свет.

Источником света служил лазер, который давал излучение в виде очень кратковременных импульсов — длительностью примерно $10^{-11}$ с. Испущенный лазером световой импульс можно представить как неокоторий объем, заполненный световыми волнами и движущияся в пространстве со скоростью света (рисунок 1). Такой объем называют волновым (или световым) пакетом. Длина пакета равна, очень high, $l=c\tau$, где $c$ — скорость света, а $\tau$ — время излучения, то есть длительность импульса; подставив $c=3 \cdot 10^5$ km/c, $\tau \approx 10^{-11}$ с, мы получим $l \approx 3$ мм. «Тело» таких размеров можно фотографировать.

Казалось бы, все просто — помещим фотоаппарат сбоку от пути светового «тела», наведем на какую-нибудь точку пути и в нужный момент спустим затвор. Такая постановка опыта изображена на рисунке 1. Однако если мы так сделаем, то ничего не увидим на пленке. Почему что изображение появляется на пленке лишь в том случае, если на нее попадает свет от движущего тела. Это может быть «собственный» свет, если тело само излучает (так, например, произходит при фотографировании горячей лампочки). Если тело само не светится, его надо осветить, и тогда на пленку попадет отраженный или рассеяный телом свет от внешнего источника. Из рисунка 1 видно, что световые волны, составляющие пакет, распространяются по такому пути, что они никак не могут попасть в объектив фотоаппарата. Освещать такой пакет внешним источником тоже бесплатно — пакет не отражает и не рассеивает свет, световые волны от внешнего источника проходят через волновой пакет как через бесплатное привидение, не меняясь и не меня пакета.

Выход был найден такой. На пути светового сгустка был помещен стеклянный сосуд с водой. В воду было добавлено несколько капель молока. От этой добавки вода стала немного мутной. Мутная среда рассеивает падающий на нее свет. Когда в такой сосуд с муной воды попадает световой сгусток, составляющие его световые волны начинают рассеивать и сгусток становится видимым.

4

перь его можно фотографировать. Разумеется, вся установка для фотографирования должна помещаться в темной комнате, чтобы посторонние источники света не создавали помех.

С помощью такой установки были получены очень красивые фотографиля летящего света. Однако из них воспроизводится на рисунке 2. Это — первый в истории науки фотография, полученная в «комнатных условиях» и изображающая объект, летящий со скоростью, близкой к скорости света (в воде скорость света приблизительно в полтора раза меньше, чем в пустоте). За время эксплуатации световой стусток в сосуде успел сдвиги.

Рис. 2. Фотографика светового имплуса, движущаяся в мутной (рассеивающей) среде. Время экспозиции 10⁻¹¹ с.

Световая «гантель»

Прежде чем описывать результаты по фотографированию световой «гантели», следует несколько слов о том, зачем нужен такой опит.

Согласно теории относительной длина тела, измеряемая в некоторых системе отчета, зависит от того, с какой скоростью движется тело относительно этой системы отчета. Если, в частности, тело покoitится и его длина равна l₀, то при движении этого тела со скоростью v его длина будет l = l₀√(1-v²/c²), где c — скорость света. Множитель √(1-v²/c²) всегда меньше единицы, так что при движении тела его размеры в направлении движения (именно этот размер мы имели в виду, когда говорили «длина») сокращаются в 1/√(1-v²/c²) раз.* (Для скоростей, достижимых в земных условиях в настоящие время, множество √(1-v²/c²) очень мало отличается от единицы. Если тело имеет скорость 10 km/c (это по порядку величины скорость космических аппаратов — пакет и спутников), то этот множество равен 0,9999999944, то есть отличается от единицы в десятом знаке после запятой. Следовательно, при достижении низких оборухи обнаружить сокращение размеров при движении чрезвычайно трудно. Но это утверждение теории относительной длины при движении приводит к изменению их формы. Движущая шар, если скорость его движения близка к скорости света, должен сплошивать и превращаться в «блин», плоскость которого перепедикулярна направлению скорости; куб должен превращаться в паралелепипед и т.п.

*) Такое сокращение часто называют «лоренцовым» — по имени индерландского физико-теоретика X. А. Лоренца, одним из первых (в 1892 году) предсказавшего этот эффект.

5

Поскольку в нашем распоряжении нет тел, движущихся с достаточно большой скоростью, неосредственно проверить изменение формы не представлялось возможным. Но теоретический анализ этого явления был проведен довольно подробно. И анализ показал, что дело не так просто, как кажется. Действительно, размеры шара в направлении движения сокращаются. Но заметить это сокращение, глядя на движущийся шар, наблюдается не сможет. Ему помещает… сам способ наблюдания.

Что бы понять, почему так получается, рассмотрим несколько примеров, имеющих отношение к затронутым вопросам. В летний день мы любымся каким-нибудь ландшафтом. Светит Солнце, шеLECTят деревья, поэтому птицы. Мы все это восприниваем одновременно.

Но в тот момент, когда мы слышим чириканье, птица может молчать. Звук в воздухе распространяется со скоростью более 300 м/с. Поэтому между временем использованием птицы трели и временем «приема» есть полное изменение запаздывение. Мы видим Солнце в некоторых месте на небосводе. Но ведь свет от Солнца до Земли «идет» примерно восемь минут. Значит, мы не может утверждать, что сейчас, «сюю минуту», Солнце находится именно там, где мы его видим.

Еще пример. Мы фотографируем звездное небо. О чем говорит сделанная нами фотография? Можно ли считать, что она отражает расположение звезд именно в тот момент, когда мы проводили съемку? Нет. Свет от удаленных звезд идет к Земле десяти, сотни и тысячи лет. Звезда, может быть, давно погасла, а мы не скоро узнаем об этом, свет от нее все еще идет, и мы видим эту звезду на фотографии. Звезда родилась, но свет от нее еще не дошел до нас,— и на фотографии этой звезды нет.

Все эти несоответствия имеют своей причины одно и то же явление — конечную скорость распространения того сигнала, который доносит до нас сведения о состоянии объекта. Пока сигнал идет к нам, состояние объекта меняется. Если мы одновременно фотографируем несколько объектов, находящихся на разных расстояниях от камеры, то мы одновременно получаем информацию о положении этих тел. Но изображения всех тел на этой фотографии отражают положения этих тел в разных моменты времени. Эти моменты времени «сдвинуты» в прошлое по отношению к моменту съемки.

А теперь вернемся к вопросу о том, почему наблюдается не сможет заметить логенцова сокращения.

Все, что мы говорили о съемке нескольких объектов, относится к одному объекту, имеющему определенные размеры. Если предмет неодвижен и время экспозиции достаточно для того, чтобы сигнал (свет) от самой удаленной точки предмета успел дойти до объектава, то мы можем сувернностю сказать, что фотография точно отображает и положение предмета, и его размеры. Иное дело, если предмет движется.

Фотография движениящего тела дает нам сложную картину, на ней изображены различные точки тела в тех положениях, которые они занимали в различных моменты времени. Пусть, скажем, фотографируемое тело приближается к фотокамере. Тогда точки тела, которые во время съемки больше удалены от объектава, будут казаться «отставшими» по сравнению с более близкими точками, так как на фотографии получается изображение более раннему моменту времени. Таким образом, на фотографии движениялся предмет оказывается растянутым в направлении движения. Понятно, что такое минимое «растяжение» будет особенно заменено, если скорость тела будет сравним со скоростью света.

Расчеты показали, что минимое растяжение будет компенсировать логенцова сокращение. Так что наблюдается не сможет заметить изменение формы быстро движения тела, и шар так и будет казаться ему шаром.*)

Как проверить справедливость всех этих расхуджений? Нужно сформировать движения тела, скорость которого была бы близка к скорости света,— в этом случае и сокращение

*) Попробуйте сами найти, как будет выглядеть на фотографии, сделанной с малым временем экспозиции, куб, пропелающий mismo объектава в направлении, перpendикулярном оптической оси. Проверить себя вы сможете, посмотрев решение задачи Ф827 в 10 номере «Кваната» за 1983 год.

6

длины в направлении движения, и запаздывание сигналов от разных точек тела будут наиболее заметны. Для этого Дюге с сотрудниками и создали «гантель» из света.

Для «приготовления» гантели достаточно разделить один световой пакет на две половинки, на два пакета. Затем эти половинки нужно развести в стороны так, чтобы получилось два летяших параллельно волновых пакета. Такие два пакета и составляют гантель.

«Приготовить» гантель можно, например, с помощью системы зеркал, изображенной на рисунке 3. Ось BB′ гантели перепendlukularна линии AA′ и делится этой линейной пополам. Поворачивая всю систему зеркал вокруг оси AA′, мы можем менять ориентацию гантели в вертикальной плоскости; перепendlukularной оси AA′. На рисунке 3 гантель изображена в вертикальном положении; повернуть систему зеркал на 90° (в любом направлении относительно оси AA′), мы получим горизонтальную гантель, и т. п.

Готовая световая гантель направляется в сосуд с мутной водой. Пакеты, составляющие гантель, влетали в сосуд одновременно и фотографировались.

На рисунке 4 представлены фотографи гантелей, по-разному повернутьх относительно оси AA′. Симок a) сделан с вертикально ориентированной гантели, и на фотографи гантель тоже вертикальна. Симок б) сделан с гантели, которая была поверхности вертикального положения вокруг оси AA′ на угол, примерно равный 30°. Симок с) дает изображение гантели, повернуть относительно вертикального положения примерно на 60°. Наконец, симок 2) изображает гантель, расположенную горизонтально. На всех сигках световые пакеты, составляющие гантель, движутся слева направо, как и на рисунке 3.

Симки эти удивительные. Пожалуйста, только симок a) оказывается таким, как можно было предполагать. Два пакета, составляющие гантель, на этом сигке изображены один над другим. Так и должно быть, если фотографировать вертикальное ориентированную гантель. Остальные сигки дают очень страничную картину явления. может быть, наблюдаемым является симок 2), поэтому мы начнем с разбора именно этого сигка.

В самом деле, симок сделан с гантели, которая была расположена в горизонтальной плоскости перепendlukularна линии AA′ (то есть параллельно лучу зерняна нашей фотокамеры), и по всему привчным нам законом на этом сигке должно быть одно светлое пятно, а не два — ведь в момент съемки более близкий к камере световой пакет загоражает более удаленный. А на сигке — два пакета, летящих друг за другом. Фотоаппарат «видит» гантель, ориентированное со скоростью c/n.

8

Звездный век циклопиды

Кандидат физико-mатематических наук
С. Г. Гиндикин

Циклопда сыграла беспреcedentedную роль в истории математики XVII века, геронческого века анализа бесконечного малых. Быть может, наиболее красоречивые следы этого сохранились вдалеке от математики — в художественной литературе. В третьей части «Путешествий Гуливера» Джонан Свифт рассказывает, как Гуливер попадает на летающий остров Лапуту и король, покровительствоващий наук и музыке, угошает его изысканным обедом. За барныйлопаткой, вырезанной в форме равностороннего треугольника, и куском говядины в форме ромба последовал пудинг в форме циклопиды. Верячто, в начале XVIII века трудно было представить себе более изощренную форму!

Лет через тридцать циклопда появляется на страницах «Жизни и мениний Тристрама Шенди, джентльмена», бессмертного романа Лоренса Стерна. Чудакованый добряк Тоби Шенди, собираясь построить мест, который должен стать учетом фортификационного искусства, решает придать ему форму циклопиды: «…он переменил решение в ползу места, изобретеного маркизом de Лопиталем, который так обстоятельно и научно описан Бернулли-младшим, как ваши миLOCти могут убедиться в Acta Erud. Lips, an. 1695; также месты удерживаются в устойчивом равновесии свинцовым грузом, который их охраняет не хуже двух часовх, если мест выведен в форме кривой линии, как можно больше приближающейся к циклопиде».

К Лопиталю, Бернулли и к научному журналу Acta Eruditorium мы еще вернемся, а пока выясним, что могли знать о циклопиде современники Тоби Шенди, жившие в середине XVIII века.

Авторитетным источником информации является «История рулеты, называемой также треходной или циклопидой», датированная еще октября 1658 года и подписанная Амосом Деттонвиллем; как мы увидим, это псевдомим французского математика, физика и мыслита Блеза Паскала (1623—1662). Он пишет: «Рулета является линейной столбцной, что после прямой и окружности нет более часто встречающей линии; она так часто вычерчивает перед глазами каждой, что надо удивлять тому, как не рассмотрен ее древние… либо это не что иное, как путь колеса, когда оно катится своим движением с того момента, как гвоздь начал подниматься с земли, до того, когда неперерывное качество колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота, считая, что колесо — идеальный круг, гвоздь — точка его окружности, а земля — идеально плоская». В этом тексте содержится определение циклопиды: это

9

траектория точки окружности, которая катится без скольжения по прямой. Точка, поднимаясь с нижнего положения, описывает симметрично выпуклу арку, причем при каждом обороте получается новая арка; в точке соприкосновения арок имеет острые (рис. 1).

Термин «циклонда» (происходящая от круга) принадлежит Галилею (1564—1642), который, по-видимому, первый рассмотрел ее. «Рулетта» — французский термин (от глагола rouler — катать), «трохонда» — его греческий эквивалент. Разнобой в терминологии отражает энергичный франко-итальянскую дискусцию о приоритете в открытии циклонды: Паскаль утверждает, что Марен Мерсен (1588—1648) рассмотрел ее уже в 1615 году, равше Галилея.

Эпициклонды в системе Птолемея

Достойно внимания удивление Паскала по поводу того, что циклонду не рассмотрел древние. В чем причина этого? Дело в том, что для древних источников появления новых кривых были разнообразные задачи на геометрическое месточек, а траектории криволиейных движений были за пределами интересов большинства математков древности.

Лишь новая механика, начавшаяся в первые годы XVII века с работ Галилея о движениях, перестроила идеологическо происходения, и знаменитлено, что именно Галилей в результате первого подходения — эпициклондой. Эпициклонды (см. 2-ю с. обложки, a, б) получаются как траектории точек окружности, качающей без скольжения по внешней стороне другой окружности (при качении по внутренней стороне получаются кривые, называемые zипоцклондами; обл., д). Эпициклонды встречаются в геоцентрической системе мира*), Птолемея (85?—165?). Еще Платон (427—347 до н. э.) и Аристotel (384—322 до н. э.) считали, что все планеты, а также Солнце и Луна, равномерно врашаются по окружности с центром в Земле. Эта теория не только входила в противоречие с численными данными, полученными по составлению астрономических таблиц, но не объясняла ряд грубых качественных эффектов. Скажем, Марс, который, как правило, дивигрался по звездному небу против часовой стрелки, в окрестности противостояния начиная дивягаться по часовой стрелке («попятное движение»). Это легко объяснить в рамках геоцентрического системы, но ученыдеревности, не сомневающиеся в основном догмате геоцентрического системы, решили примирить ее с данными астрономических наблюдений. Аполлоний и вслед за ним Птолемей сохраняют аксиому о том, что в мире царит равномерное круговое движение, но полагают, что движение планет является сложным; планета движется по окружности, центр которого в свою очередь вращается по большой окружности с центром в Земле. Оказывается, что можно так подобрать скорости этих двух вращений, что траектории планет будут содержать петли, на которых будут происходить «попятное движение». Эти траектории не будут в точности эпициклондами, но очень близки к кривым. Если предположить, что по неподвижной окружности катится не окружность, а круг, то его граничные точки будут описывать эпициклонды,

*) В геоцентрической системе мира Земля считает центр Вселенной, в отличие от геоцентрической системы Коперника, согласно которой планеты вращаются вокруг Солнца.

11

горизонтальные вектор скорости в точке циклоды с врашательным вектором (касаоцимся производащего круга и имеющим ту же длину), получаем, что касательная к циклоде проходит через верхиной точку круга в соответствии with the given problem (проделяте это построение на рисунке 1).

Аналогичное рассудение (возможно, несколько равны) принимает француз Жиль Персон, по производу Робервалы (1602—1675). Заслуга Роберваля заключитсь в том, что он не ограничился рассмотрением циклоды, а разработал общую технику проведения касательных при помощи представления кривых в виде траекторий сложных движений. Его метод был по началу в полне конкурентонособен в сравнению с другими способами проведения касательных, имеющих в это время.

И все же будущее принадлежало более прямым методам, разработавшим Пьером Ферма (1601—1665) и Рене Декартом (1596—1650). Эти методы не требовали «индивидуального подхода» к каждой кривой (например, подбора составляющих движений). А позволяют ли эти методы проведсти касательную к циклоде — кривой механического проискождения?

Выяснили, что метод Ферма касательная строится без всяких затруднений, а вот метод Декарта, ориентированный на рассмотрение кривых, заданных многочленами, отказал. Но не таков Декарт, чтобы дать повод утверждать, что он не справился с задачей, доступной его коллегам.

Он придумывает удивительное по красоте механического теории. В моделиизированном варианте речь идет о том, что при обработании циклоды мы рассматриваем не движение изолированной материальной точки, а движение твердой пластины — катащегося круга. При этом в каждой момент времени движение, как правило, мало отличается от поворота пластины около неокоторого (мгновенного) центра врашения. Скорости во всех точках перепределения радиуса мгновенного центра врашения. В случае циклоды, как легко понять, мгновенный центр врашения — это не центр катащегося круга, а его точка касания с направляющей прямой. Отсюда немедленно следует формулировано выше правило проведения касательной (ведьписанный прямой угол опирается на диаметр).

Площадь и «спутница» циклоды

Покончим с касательными и перейдем к площадям. В случае циклоды французские математики рассмотрели эти задачи даже раньше, чем задачу о касательных (возможно, причиной была большая уверенность в задачах о площадях). Прежде всего речь идет о вычислении площади сегмента под подной аркой циклоды. Ввинини и Торичелли утверждают, что Галилей знал, что площадь этого сегмента равна утроенной площади производащего круга. Робервал доказал эту теорему в 1634 году. Несколько слов об очень красивом рассудении Роберваля. В каждый момент времени Робервал процурет наблюдаемую точку циклоды на вертикальной диаметр катящого круга и следит, как перемещается эта проекция. Получается новая кривая, которую Робервал называл «спутница циклоды» (рис. 2) А потом выяснили, что эта очень симметричная кривая является …свиднутой синусоидой! Именно так (а не как график синуса) впервые появились в математике синусоида. Площадь под синусоидой считается легко: если разрезать ее средним горизонтальным и вертикальным линяями, то получаются части, из которых составляется прямой угольник со стороны 2лr и r (см. рис. 2, где r=1), то есть площадь равна 2лr². Что касается двух оставшихся фигуры (их называли лепестками Роберваля), то они как нельзя лучше иллюстрировали очень популярный в те годы прием вычисления площадей — приципи Бонавентуры Кавальери (1598—1647). Он состоит в том, что если две фигуры при пересечении любыми горизонтальными дюйм отрезки равной длины,

Рис. 2.

12

то они имеют одинаковые площади. Кавальери мыслил себе фигуры состоящими из «неделимых» — паралельных слоев нульовой толщины — и утверждал, что при взимных сдвигах слоев площадь не меняется. Лепестки Роберваля имеют те же пересечения с горизонтальными, что и отсекаемая вертикальным диаметром поливна катящегося круга, значит, по принципу Кавальери их общая площадь равна площади $r^2$ этого круга, а общая площадь под аркой циклойды равна $3\pi r^2$. Не правда ли, очень оструимое расужждение!

Задачи Мерсенна и конкурс Паскаля

На этом кончается первый этап «жизни» циклойды. Первые связи с ней задачи решились очень красно, и циклойда прочно заняла место в поле зреня крупнейших ученых. Но оставались нерешенные задачи, которые естественно было поставить в рамках развивающегося анализа бесконечного малых. Пропагандистом новых задач (в случае про циклойды) был Мерсенн, который мы уже упоминали. О нем и его своеобразной роли в истории науки стоит сказать еще несколько слов. У французской монаха Мерсенна были собственные достижения и в математике и физике (например, он доволно точно измерил скорость звука), но много выше его заслуги как организатора науки. В то время, когда еще не было научных журналов, почти все научные связи осуществлялись через Мерсенна: он был своеобразным «почтовым ящиком». Учены из разных стран сообщали ему о полученных результатах, понимая, что он оперативно дакт знать о них заинтересованным коллегам и конкурентам (а авторитет Мерсенна был гарантийной сохранения приоритета). Мерсенн следил за актуальным задачи, передавал их тем ученым, который было естественно имми занимать. С 1639 года начались «мерсенновские четверги», которые посещали Эттен и Блез Паскалли (отец и сын), Дезарг, Мидорж, Робервал, словом все серые учены, находившиеся в тот год в Париже. Эти «четверги» были представником Французской Академии наук. На примере Христина Гюйгенса (1629—1695), с которым Мерсенн переписывался с 1646 года, видно, как заботился Мерсенн о становлении молодого таланта. Он начинает с учебных задач, переходит к нерешенным, предшествует, что его юный корисpondент станет «Аполлонем и Архимедом … грудущего века», и, наконец, ставит задачу (обещая премию за решение) о приведенной ligne физической матрики, которое Гойгенс сможет решить лишь через несколько десятилетий, не прекращая все это время думать над ней.

Что касается циклойды, то Мерсенн считал, что не следует ограничивать вычислениям площади полного сегмента циклойды, а надо рассмотреть сегменты, отсекаемые различными горизонтальными, нужно найти центрыяжесты этих сегментов, объемы тел вращения, ими образованных, и т. д. Мерсенн, верятоно, правильно оценивал то, что в этих задачах элементарные манипуляции с «неделимыми слоями» Кавальери не ведут к цели (нужно соччитать интервал от синуса в обшем виде). Поэтому Мерсенн нацеливал на эти задачи самого многообещающего и оригинального из своих коллег — Блеза Паскаля.

Паскаль, однако, занялся этим задачи лишь весной 1658 года, когда он находился в монастре Пор-Рояль послеяжельх потрясений и когда казалось, что он окончательно разочаровался в математике и уже никак да не вернется к ней. Сохранили рассказы егоести Жильберти Перь и племянницы Маргариты о последнем контакте Паскаля с математкой. Он вспомнил о задачах Мерсенна, когда не мог уснуть из-за жестчайшей зубной боли. Размышления над циклойдой отвлекали от боли и постепенно захватили Паскаля. К утру он знал решение давно не поддавшейся задачи и… совершенно исцелился от зубной боли. Паскаль не собирался записывать полученный результат, но его друг герцог де Роанне уговорил его сделать это, успокив тем, что возврашение к математике было вызванно «внушением свыше». Герцог выделил 60 пистолей для организации конкурса на решение задач Мерсенна.

В июне 1658 года рассылается циклярное письмо крупнейшим геометрам Европы с предложением решить

13

шесть задач о циклиоде. Срок конкурса — 1 октября — предельно краток. Письмо подписано псевдоном «Амос Деттонвилль», — это анаграмма псевдонама Паскаля «Луи де Монтальт», под которым в это время выходили его «Писма к провинциальу».
7—9 октября было сообщено о закрытии конкурса, 24 октября были подведены итоги. Мерсенн не доходит до решения своих задач. Его функция «почтового ящика» перегляд Пьер Каркави (1603—1684), который и возглавил вместе с Робервалем жюри. На признав Деттонвилля отключились крупнейшие математики: Джон Валлис (1616—1703) решил все задачи, но к его решении были претензии, Гойгенс решил четыре задачи. А жюри присудило приз Деттонвиллю, который использовал премиальные средства на публикацию решений. «Работа выполнения стол тонко, что к ней ничего нельзя прибавить», — писал Гойгенс канонику де Слюзу, участнику конкурса, решивему одну задачу.

Конкурс Паскаля сыграл большую роль в научной жизни. Для грудущего анализа бесконечно малых было принципиально перейти от рассмотрения конкретных примеров к общим методам. Рассмотрения Паскаля практически не использовали специфики циклиоды и без затруднений могли быть перенесены на общую ситuation. Однако Паскаль сам этого не сделал, а оценено это было задним числом, когда Лейбниц (1646—1716), который и разработал наряду с Ньюотом обще методы дифференциального и интегрального исчисления, обратился по рекомендации Гойгensa к работе Паскаля. «Меня озарило новым светом», — писал Лейбниц и удивлялся, что Паскаль не формировал обещено приема, как будто «на его глазах была пелена». Трудно угадать, почему это произошло. Часто учены не видят ходов, которые по проществу неоторого времени кажутся естественными. Но опять-tаки можно предположить, что Паскаля уже не волновали судьбы математики: он отдавал свои последние силы направленный размышлениям о смысле жизни, о месте человека на Земле.

С конкурса Паскаля началась новая жизнь циклиоды. Участники конкурса не ограничились задачими, предложенными Паскалем. Например,

Кристофер Рен (1632—1723), талантливый английский математик, прославленный архитектор (создатель собора св. Павла в Лондоне), не достиг больших успехов в конкурсе, но сообщил теорему, которая произвела очень сильное впечатление на математиков. Он доказал, что длина одной арки циклиоды равна 8r.

Часы с циклондальным матником

Другой участник конкурса 28-летний Гойгенс отвлекся на решение задачи про циклонду от построения матниковых часов, который он с увлечением отдавал все свое время уже второй год. Первый экземпляр часов появился в середине 1658 года. С тех пор Гойгенс был занят их условиянтованием. Идея, лежащая в основе матниковых часов, состоит в том, что период колебаний матника — это постоянно воспроизводимая единица времени, которая в силу открытого Галилеем изхронного свойства матника (независимость периода от амплитуды размаха) остается неизменной при затухании колебаний. Гойгенс хотел создать морской хронометр, при помощи которого можно будет изменять долготу на борту коаблаля (по разности местных времени на борту и в порту отплытия; время отплытия и «помнит» хронометр). Проблема измерения долготы была пробелой века. Не удивительно, что ведущее морские державы назначали баснословные премии за достагоно надежный способ измерять долготу на борту.

Вскоре после того как стало известно об изобретении Гойгensa, выяснили, что Галилей обладал идеей матниковых часов, но очень до нее дошла лишь за год до смерти, когда уже не было сил для реализации. Не смог справиться с этой задачей и его сын Винченцо, который было завершено извершение проекта.

Создавая первые часы, Гойгенс обнаружил, что утверждение Галилея об изхронности колебаний математического матника не точно. Оно справедливо лишь для малых углов размаха. А как же обеспечить изхронность? Гойгенс понimed, что для этого надо уменьшать длину матника по мере отклонения от вертикали. Но каков должен быть закон уменьшения длины

14

ны подвеса? Для первых часов Гойгенс эмпирических подбирает форму «щек», на которые частино наматывается нить подвеса по мере удаления от вертикали (рис. 3). Но он не может найти способ вычислить форму щек. Отчаявшись, он убирает щек в конструкции 1658 года (поставив ограничитель амплитуды). Но через год щеки появились новые, — теперь уже Гойгенс знал точный закон изменения длины подвеса, при котором имеет место изохронность колебаний: в промежутке, как мы помним, он участвовал в конструке Паскала!

Галилей ясно понимал, что задача о колебании математического матрика эквивалентна задаче о движении тяжелой материальной точки по круговому щелобу (который совпадает с траекторий конца матрика). На точку, движущая по щелобу, и конец матрика наложены одинаковые связи. Утверждение об изохронности эквивалентно тому, что, с какого бы места на щелобе точка ни начинала движение, она оказывается в нижней точке через один и тот же момент времени. Удивляться возможность существования такого эфекта не следует: если движение начинается на большей высоте, то точка проходит больший путь, но набирает по дороге большую скорость. Впрочем, как выясил Гойгенс, круговой щелоб, в противоречи с мнением Галилея, свойством изохронности не обладает. И Гойгенс шест форму щелоба, при которой время спуска не зависит от начальной точки. Такую кривую Гойгенс называют также изохроной). Оказалось, что татухрона — это… перевернутая циклonda!

Но это еще не решает задачу до конца. Нужно придумать способ подвески (форму щек), при которой конец матрика будет движаться по циклонде. И опять совпадение: Гойгенс ранее интересовался развертками кривых — траекториями точек нитей, наматываемых на кривolinейные препятствия. Имевшийся опит позволил ему выяснить, что для получения циклондального матрика щелкам надо придать также форму циклонд. При этом циклонда, отвечающая концу матрика, и циклонд щелей должны быть сдвинуты на полоборота. Длина матрика равна 4r; когда он полностью наматывается, он оказывается

Рис. 3.
в нижней точке щеки. Отсюда мгновенно получается упомянутая выше теорема Рена: перimetр щеки вдвое большие длины матрика.

Гойгенс уверен вfundamentalности обнаруженных им свойств циклонды: «…потребовалось укрепить и, где нужно, дополнительное увеличение Галилея о падении тел. Наболее желательным плодом, как бы величайший вершиной этого учения, и является открытое много свойство циклонды».

С 1661 года начинаются испытания морского варнита матриковых часов, но постепенно становится ясно, что надежного морского хронометра на этом пути создается не удасса. Однако теоретические изыскания Гойгенса по математике и механике, предприятые в связи с совершенствованием часов, были столбцы значительных, что его книга «Матриковые часы» (1673 г.), в которой они подытожены, нарушу с книгами Галилея и Ньюотона, является великим памятником эпохи становления классической механики.

В «Матриковых часах» ГойгенсCONSTATIROVAL, что циклонда исследована «точнее и основательное других кривых».

Последняя тайна циклонды

Циклонде довелось еще один раз удивить математиков, на заказ в анализа бесконечного малых. Необходимость перейти от рассмотрения отдельных задач к построению общего метода первого осознан Исаак Ньюотон (1643—1727), который во время «чумных каникул» в Линкольшпере (1665—1667) построил свой метод «флюокси». Однако он не торопился публикаровать его, концентрировавшись на получении разнообразных результатов этим методом. Фейверрк этих результатов сверкает на стра-

15

ницах «Математических начал натуральной философии» (1687), но метод здесь систематически не развивается, оставясь на втором плане. С начала 70-х годов Готфрид Вильгельм Лейбниц, отвлекаясь от своих многочисленных государственных и научных дел, с возрастанием энтузиназом начиная разработать формулизм дифференциального и интегрального исчисления (под сильным влиянием упоминавшейся работы Паскала). Он узнал о работах Ньютона, а с 1676 года переписывается с ним. В отличие от Ньютона, Лейбниц активно привлекает внимание к своему методу как при помощи личных контактов, так и пользоваться страницами журнала «Acta Eruditorium» (помните, его читал дядя Тоби), выходшего с 1682 года.

В 1696 году на страницах «Acta Eruditorium» появился заметка «Новая задача, к решению которого приглашают математики». Вот ее формулировка: «В верхкальной плоскости даны две точки A и B. Определять путь AMB, спускаясь по коротому под действием собственнойяжестни тело M, начав двигаться из точки A, дойдет до точки B в кратчайшее время». Задча понравилась; Лейбниц называл ее «столь прекрасной и понные неизвестной». Впрочем, Галилей в «Беседах» с энтузиназом обсуждая, что тяжелая точка по отрезку прямой спускается медленнее, чем по ломаной с теми же концами, довольно уверенно утверждал, что быстрее всего точка спускается по четверти кругга. Кривую наискорейшего спуска стали называть брахистрохоной. Но является ли она другой окружности?

Своевременность задачи проявилась в том, что ее сравнительно быстро решили и оба брата Бернулли — Якоб (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), и Лейбниц, и Лопиталь (1661—1704), и Ньюотон (он представил анонимное решение, но по словам Иоганна Бернулли, «льва узнал по контям»). Самым популярным стало решение самого И. Бернулли. Предложенный им ход был совершенно неожидан: он предложил заменить механическую задачу оптической. Нетрудно убедиться, что если рассмотреть оптическую среду, в которой скорость света в точке M равна $\sqrt{2gy}$, где $y$ — разность высот точки A и M, то свет из точки A в B поддет по брахистохроне (в силу прицппа Ферма свет выбирает путь, на который уходит наименьшее время). После этого, пользоваться законом преломления, с одной стороны, и хорошо известным тогда свойством касательной к циклюде (см. выше), легко вывести, что брахистохрона — это опрокинутая циклюда с острием в точке A!

Один из исторков механики об этом писал так:

«Без всякого еще метода, при помощи одной своей геометрической фантации Иоганн Бернулли одним взглядом решает задачу, умело пользоваться при этом тем, что случайно уже известно,— картина понятие заменателя и удивительное красива. Мы должны признать в Иоганне Бернулли истинно художственного натуру, действующую в области естественногоника. Брат его, Якоб Бернулли, был ученымсовсем другого рода. В нем было более сильное критическое наqualю, но гораздо меньше творческой фантации. И он решил задачу о брахистохроне, но гораздо более тяжеловиться обозначим метод для решения задачи этого рода. Таким образом мы находим у каждой из братьев лишь одну из тех двух сторон научного таланта, которые в величайших исследованиях природы, каким бы напририм, Ньюотон, бывают соединины с необычайной силой».

Геронческая история циклюды завершилась с концом XVII века. Она так тинстевенно возникала при решении самых разных задач, что никто не сомневался, что она играет совершенное исключительное роль. Пиетет перед циклюдой держался долго, но прошло время, и стало ясно, что она не связана с функментальным законом природы, как, скажем, кончексное сечение. Задчиц, приводившие к циклюде, сыгали огромную роль в становлении механики и математического анализа, но когда величественные данные этих наук построены, оказалось, что эти задачи являются частными, далеко не самыми важными. Произошла почучительная историческая纵юния. Однако, знакомясь с удивительной истории циклюды, можно увидеть много прицппальных фактов из истории науки.

17

Тысячи лет назад люди знали, что при тренни неокторых веществ одно о другое они, как мы бы сейчас сказал, электризуются. Не исключено, что древнегипетские и древнегреческие жрецы поражали публику зрелищем гребня, притягивающего кусочки папируса. Оdnako, несмотря на столдревно историю, с электrizащей тренем не все ясно до сих пор. Когда-то полагали, что есть некая электризская жидкость, перетекающая от тела к тела при контакте, а тело с ее недостатком притягивает к тела с ее избытком.

Когда люди открыли электрон, они поняли, что на электrizованное тело должно содержать избыток или недостаток электронов, и стали считать, что при тренни электроны переходят от одного тела к другому. Но такое заключение было не вполне обосновано: в диэлектрике — на то он и диэлектрик — электроны не могут дивятся свободно. Существный процесс в понимании того, как происходит электrizация тренем, был достигнут в последнее десятилетие. Об этом и понят dalыше речь. Эксперименты, о которых будет расссказано, выполнялись в 1969—1977 годах в Физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе в Ленинграде. Два цилиндрика из хороших диэлектриков (тефлон, янтарь, рубин, оргстекло), диаметром 10 мм и высотой 14 мм, прижимались один к другому торцами и врашались со скоростью 0,5 об/с один относительно другого (рисунок 1,a). Через три оборота измерялись заряды цилиндриков, для чего они разъединились и по очереди помещались в камеру, соединенную с электрометром (рисунок 1,б); потом они опятьставили один на другой, делалось еще три оборота, опять измерялись заряды, и так далее. Оказалось, что исходно нейтральные образцы при тренни заряжаются. Сумма их зарядов, однako, остается равной нулю. Следовательно, в процессе переназовса зарядов не участвует «третьий лишний».

Далее, оказалось, что при врашении цилиндриков заряды их сначала постепенно увеличивают (у одного — отрицательный, у другого — положительный), а при скорости примерно трицать оборотов в секунду стабилизируются. Проще касание цилиндриков переназовса заряда не вызывает, то есть существенно именно

Рис. 1.

18

«шкуруку». Заряд шкури в точности равен собственному заряду образца, но, конечно, с обратным знаком (так что в целом образец нейтрален).

Остальное понятно — разные диэлектрики, разные собственные заряды и разные заряды шкурок. Потерли, перемешали шкури — и получили заряженные куски.

Пусть, например, каждый цилиндрический образец имеет длину, равную диаметру. Тогда площадь торца будет составлять 1/6 от всей поверхности. Обозначим заряды шкурок на образцах (до трения) $q_A$ и $q_B$ и будем считать, что заряд каждой шкури распределен по поверхности образца равномерно. Тогда после трения, когда шкури на торцах перемешались и их заряды разделились поровну, полные заряды $q'_A$ и $q'_B$ новых шкурок будут составлять из 5/6 собственных старых зарядов и половины от суммы $1/6 q_A$ и $1/6 q_B$:

$$q'_A = \frac{5}{6} q_A + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} q_A + \frac{1}{6} q_B \right) = q_A + \frac{1}{12} \left( q_B - q_A \right),$$

$$q'_B = \frac{5}{6} q_B + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} q_A + \frac{1}{6} q_B \right) = q_B + \frac{1}{12} \left( q_A - q_B \right).$$

Ясно, что раз заряд шкури изменится (а это будет всегда, когда $q_A \neq q_B$), то изменится и заряд образца в целом.

А могут ли электrizоваться два куска одного и того же диэлектрика?
Если они имеют одинаковые собственные заряды, то нет. Но они могут иметь разные собственные заряды, то есть содержать разные количество вакансии, если условия образования кусков различались (например, один куск инного диэлектрика образывался в окружении паров какого-то из входящих в него элементов, так что заполнялись все вакансии на месте инов этого элемента, а вокруг другого куска давление паров было меньше, и вакансии на месте инов остались). Поэтому и была обнаружена электrizация при трении двух цилиндриков из одинакового, казалось бы, рубина.

Электrizация происходит не только при трении. Фарадей писал в 1833 году, что электrizация возникнет при деформации кристаллов, в том числе при их раскалывании. Однако время для исследования этого процесса, видимо, тогда не пришло. Почти через сто лет, в 1930 году, было замечено, что электrizуется при расшпленении слюда, но детальное изучение электrizации при расшпленении началось спустя четверть века.

Как уже говорилось, кристалл диэлектрика «сам по себе», то есть с чистой поверхностью, без шкурики, не нейтрален. В нем есть вакансии, и как правило, они распределены по кристаллу неравномерно. Заряд же шкури, нарастающей на образец, во многих случаях можно считать распределенным по его поверхности почти равномерно. Когда мы ломаем кристалл пополам, половинки получают «в наследство» по половине объема и поверхности, а с ним — по полшкурики. Но заряд шкури делится при этом чисто, поровну, заряд же объема, если он был распределен неравномерно, делится не поровну. В этом случае заряды получившихся при раскалке частей будут иметь противоположные знаки, так как у одной части заряд шкури будет больше собственного (объемного), а у другой — меньше. Но есть и другая причина неравномерного деления заряда.

Кристалл LiF устроен простейшим из возможных способов: кубическая решетка,оны Li$^+$ и F$^-$ чередуются вдоль лобой оси. При удале кристалл раскалывается обычно по плоскости,

19

перендикулярной осем кристаллической решетки (рисунок 2). Но иногда направление трешины может измениться, и она пойдет по диагонали в плоскости, в которой лежатоны одного сорта (рисунок 3).

В этом случае на одной поверхности трешины сразу после раскола оказывается ноны одного знака, а на другой — противоположного. И действительно, при движении зонда электромета вдоль поверхности раскола также участи были обнаружены.

No значительное больше силы неравенство зарядов отдельных кусков было обнаружено при расколе образца на нединаковые части. Действительно, пусть длиной кристалл с квадратным торцом со стороны, равной $a$, и длиной $l \gg a$ (рисунок 4) раскалывается на две части, толщины которых $b$ и $a-b$. Если $\varrho$ — средняя плотность собственного объемного заряда целого кристалла, то поверхности заряда шкурики вычисляется из условия равенства нулю суммы зарядов:

$$Q_{\text{кристалла}} + Q_{\text{шкурики}} = 0.$$

Пусть площадь торцов мала и заряд шкурики

$$4a\sigma + \varrho la^2 = 0.$$

Отсюда находится заряд шкурики:

$$\sigma = -a\varrho/4.$$

Считая, что плотности объемных зарядов левой и правой части одинаковы (и равны $\varrho$), находим заряд, например, левой части, равной сумме объемного и поверхности зарядов:

$$\varrho abl - \frac{\varrho a l}{4}(a + 2b) = \frac{\varrho a l}{2}(b - \frac{a}{2}) < 0,$$

что и было обнаружено на опите.

… Разумеется, это далеко не все, что можно расссказать о механизмах электrizации. Масс интересы вопросов можно задать о моменте, когда трешина разделяет кристалл (электроны могут «перерыгивать» со стенки на стенку), об отсутствие самфирового «рубила» (электроны могут переходить и на него), наконец, о механизме электrizации при трении диэлектрика по металлу, о механизме электrizации при скатании кристаллов и так далее. На некоторых из этих вопросов ответы уже получены. Остальные — ждут своего времени. И, может быть, вас.

Задание
наших читателей

1. Докажите, что не существует натуральных чисел $x, y, z$ таких, что $x^{p-1} + y^{p-1} = z^{p-1}$, где $p$ — простое, $p > 3$, а $x$ и $y$ не делятся на $p$.
   Указание: примените Малую теорему

Ферма: $a^{p-1} \equiv 1$ (mod $p$), где $a$ — натуральное и $(a, p) = 1$ (см. «Квант», 1978, № 10, с. 7).

2. Докажите, что при $p=3$ любое решение диофанта уравнения

$$x^{p-1} + y^{p-1} = z^{p-1},$$

состоящее из попарно взаимно простых натуральных чисел, содержит число кратное 3.

О. А. Черепанов

20

Не беда, что нет функций

А. И. ПРИВЕНЬ

— Папа, ты знаешь, Маше Сидоровой родители купили новеньку «Электронку БЗ-36» с функциями. И у других ребят она есть…
— А что, твой «Электронка БЗ-30» плохо работает?
— Работать-то она работает, но на ней же нет функций: только арифметические действия делает, и корни изображает. А у нас в девятом классе всё снусы и косинусы, логарифмы, показательные функции. Не носить же мне всюду с собой таблицы Брадиса!
— Не беда, что нет функций. Ты же у нас математиком хочет быть, значит сообщать должа. Ряд Тейлора на крупке вам расссказывали? Ну тогда слушай…

Как соччитать логарифм

Сначала немного теории. Ты, конечно, знаешь, что

$$\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e.$$

Это равенство с достаточно точностью выполняется, если $x$ близко к 0. Тогда получаем $(1+x)^{1/x} \approx e$, или $1+x \approx e^x$, откуда

$$\ln(1+x) \approx x,$$

(1) то есть, отпав от числа единицу, получим его натуральный логарифм. А как быть с большими числами?
Довольно просто. Ведь

$$\ln a = \ln (a^{N/N}) = N \ln (a^{1/N}).$$

Если $N$ достаточно велико (о конкретных значениях поговорим позже), то $a^{1/N} \approx 1$ и $\ln (a^{1/N}) \approx a^{1/N} - 1$.

На машине $a^{1/N}$ вычисляется легко, если $N=2^n$ — достаточно лишь $n$ раз нажать на клавишу $\sqrt{}$. А затем для нахождения исходного логарифма нужно вычесть единицу и умножить на соответствующее двойки:

$$\ln a = \ln a^{N/N} = N \ln a^{1/N} \approx (a^{1/N} - 1) \cdot N.$$

Осталось лишь найти оптимальное значение $N$. Из равенства (1) вытекает

$$\ln (1+x)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln (1+x) \approx \frac{1}{2} x \approx \ln \left(1 + \frac{1}{2} x\right),$$

то есть

$$\left(1+x\right)^{1/2} = \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2} x.$$

Что бы оценить точность этого равенства, воспользоваться формулой Тейлора*. Нам достаточно трех первых членов:

$$f(a+x) = f(a) + xf'(a) + \frac{x^2}{2!} f''(a) + \dots$$

В нашем случае $a=1$; $f(a+x) = \sqrt{1+x}$;

$$f(a) = \sqrt{a} = 1; f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{1}{2};$$

$$f''(a) = -\frac{1}{4a^{3/2}} = -\frac{1}{4},$$

то есть $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}$;

остальные члены при $x \to 0$ можно отбросить.

Таким образом, погрешность формулы (3) примерно равна $x^2/8$. Зададимся величины погрешности $\Delta = 5 \cdot 10^{-9}$. Это наиболее величины, которые не сказываются на показании 8-разрядного калькулятора.

Далее просто: $\Delta = \frac{x^2}{8} = 5 \cdot 10^{-9}$, $x=2 \cdot 10^{-4}$. Это значение $x$ должно обеспечить минимум погрешности. Так, значение $ln 2$, вычисленное по формуле $\ln 2 = 2^{12} (2^{1/2^12} - 1) = 4096 \times 0.0001691$, равно 0,693207 вместе табличного 0,693147.

Однако тутсказывается один чисто «машинный» эффект: извлечение корня (как и другие вычисления) проводится с недостатком в последнем знаке, и эта ошибка с каждым разом увеличивается. В конце концов она перекрывает величины $\frac{x^2}{8}$, и формула для $\Delta$ становится непримемой. Этот эффект заменено сказывается при $n > 10$, где $n = \log_2 N$ — число извлечений корня. В результате тот же $\ln 2$, вычисленный по той же формуле на микрокалькуляторе БЗ-30, равен 0,69263… По-

*) О формуле Тейлора см. статью В. Р. Почуева в предыдущем номере «Квана».

21

этому в случае $n > 10$ целесообразно принять $x = (3,5 \div 7) \cdot 10^{-4}$.

Тот же ln 2, вычисленный на той же машине при $n = 11$, равен 0,69304 с относительной ошибкой 0,014 %.

Итак, мы нашли алгоритм вычисления ln $a$:

$$\ln a = \frac{\ln a}{\ln 10} = \frac{\ln a}{2,303}.$$

Для $2 < a < 10$ достаточно точные результаты дает выражение

$$\lg a \approx (a^{2/10} - 1) \cdot 445,$$

где $445 \approx \frac{2^{10}}{\ln 10}$.

Как считать показательную функцию

Для вычисления функции $e^x$ преобразуем выражение, полученное для ln $a$. Мы имеем ln $a \approx N (a^{1/N} - 1)$, при большом $N$, значит,

$$a \approx \left( \frac{\ln a}{N} + 1 \right)^N.$$

Сделав замену $x = \ln a$, получим $a = e^x$ и поэтому

$$e^x \approx \left( \frac{x}{N} + 1 \right)^N = \left( \frac{x}{N} + 1 \right)^{2n}.$$

Чтобы быстро пользоваться этим соответствием на простейшем калькуляторе, желательно превращать его в целочичный алгоритм, то есть такой алгоритм, при котором не нужно записьать промежуточные результаты. Для этого возведение в степень $N$ (или $n$ раз в квадрат) и нужно выполнять, повторяя последовательность команд $\times =$ для модели B3-30 или

$$\dots \times 1 \times = \dots ,$$

для модели типа B3-14. При этом результат все время остается во «временной памяти» калькулятора, и поэтому не нужно вновь вводить в машину после каждойтерации. Таким образом, алгоритм нахождения $e^x$ выглядит так (ниже $n$ — это натуральное число, притом $N = 2^n$):

$$x : 2^n + 1 \times =$$

Вычисление функции $10^{xn}$ отличается лишь тем, что после набора $2^n$ результат умножается на ln $10 \approx 2,303$.

Осталась функция $x^y$. Продолжарифмируем ее:

$$\ln (x^y) = y \ln x = Ny \ln (x^{1/N}) \approx Ny (x^{1/N} - 1).$$

Отсюда по формуле (4)

$$x^y = e^{\ln (x^y)} \approx e^{Ny (x^{1/N} - 1)} \approx \left[ \frac{Ny (x^{1/N} - 1)}{N} + 1 \right]^N = [y (x^{1/N} - 1) + 1]^N.$$

Формула (5) представляется программой:

Как считать тригонометрическе функции

Здесь формула Тейлора дает два удобных выражения для синуса и косиуса

$$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} = \frac{(x^2 - 6)x}{6};$$

$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} = 1 + \frac{(x^2 - 12)x^2}{24}.$$

Первое выполняется достаточно при $x \leq \frac{\pi}{4}$; то же можно сказать и о втором. Величина $\frac{x^4}{24}$ начинает заметно сказаться при $x \geq \frac{\pi}{6}$, при $x < \frac{\pi}{6}$ можно упростить формулу для cos $x$, отбросив третьей член:

$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}.$$

Ограничение $x \leq \frac{\pi}{4}$ не опасно, так как тригонометрические функции всегда можно привести к аргументу, меньше $\frac{\pi}{4}$.

---

Как видить, совсем немного математики — и простейший микрокалькулятор становится приготовным для вычисления практических всех «школьных» функций.

22

Мостик из бумаги
Доктор физико-mатематических наук
А. А. ВОРОВОЙ

I. Одно из важнейших свойств любых инженерных конструкций — их жесткость. Понятно, что ни под действием собственной силы тяжести, ни под влиянием внешних нагрузок конструкция не должна изменять свою форму. Правда совсем избежать деформации невозможно, но нужно так выбрать материал, тип деталей, чтобы изменения формы проискодили до определенного, зараннее расчитанного предела. Эта задача, стоящая перед инженерами, почти всегда дополняет другой: сделать конструкцию наиболее простой,дешевой,легкой,истративь на нее как можно меньше материалов.

Лавиря между этим противоречащими друг другу требованием, инженеры-конструторы находят оптимальное для данной решение. В ряде отраслей промышленности, как например в авиастроении, вопрос о сочетании максимальной жесткости и одновременного минимальной массы жизни важно важен.

Великим конструктором является природа. Давно уже решила она многое задачи, волнующие инженеров.

В ходе естественного отбора возникли такие шедевры, как pero птицы, степель бамбука, полые кости наземных животных и т. п.

Мы недаром приведли в качестве примера природные конструкции, имеющие в своей основе трубку — полый цилиндр. Почему они получили такое широкое распространение?

Попробуем разобраться в этом. А научем с весы простого эксперимента.

II. Опыт, который предлагается proveсти, известен в литературе как «Опыт Умова» (или «Прочность трубки»).

Николай Алексеевич Умов (1846—1915) был крупным русским физиком, на протяжении почти двадцати лет — профессор Московского университета. Николое важные его работы связаны с вопросом перенасазения энергии, он впервые введил понятие скорости и направления движения энергии, потока энергии, плотности энергии в данной точке и т. п. Известен был Умов и как прекрасный лектор, уделяющий много винания демонстрационным экспериментам.

В домашних условиях опыт можно выполнить с помощью совсем простой «аппаратуры». Вырежьте из плотной

23

бумаги два прямотольника длиной около 20 и шириной около 8 см. Затем, использую в качестве подставок две стопки книг, так, как это показано на рисунке 1, положите на них один из листков и нагрузите его легкими гирьками (а если таких нет, то монетами). Под мальым грузом листок — своевобразный мостик — сильно прогенется (см. рис. 1,a).

Оказывается, жесткость нашей конструкции можно увеличить в десяти раз, причем очень простым способом. Для этого второй листок сверните в трубку и обмотайте ниткой, чтобы он не развертывался. Вы увидите, что под прежим грузом трубка практически не прогенется. Только значительное большая гиря заставит ее заметно деформировать (см. рис. 1,6).

А насоколько жестко, например, pero птицы? Проведите аналогичные испытания. В наших опытах гусиноеpero длиной около 10 см «держало» гирю массой 0,5 кг.

«Опыт Умова» можно существенно видимизменить. Изготовьте из одинаковых листков бумаги так называемые профили: углы с равными и неравными сторонами, швеллеры, табры и двутавры, гофрированный лист (рис. 2). Убедитесь, что все они имеют газдо большую жесткость, чем исходный мостик из бумаги. Для этого проведите ряд сравнительных опытов: определяйте величины прогиба при равных грузах или добивайтесь одинакового прогиба, нагружая конструкцию различныхми гирьками.

III. Теперь надо, хотя бы на качественном уровне, разобраться, от чего же зависит жесткость конструкции по отношению к изгибу.

Проделяйте еще один опит. Для него вам понадобится прямоугольный брусок из резины (или другого упругого материала) с поперечным сечением приближительного 1—2 см² и длиной около 10 см.

Нанесите на брусок масштабную сетку изprodольных и поперечных прямы линей (рис. 3,a). Затем согласно брусок — сетка исказится (рис. 3,б). При этом поперечные линей останут прямыми, но поверхности относительно друг друга и перестановыт быть паралельными, а продольные линей искривятся. Нетрудно заметить, что материал бруска на одной стороне испытывает растяжение, а на другой — скатание. Но средиprodольных линей есть одна, ищшая посередине, которая не изменяет свое длины. Очевидно, что и все горизонтальные слой материалов, лежащий за этой линей, не испытывает деформации. Поэтому он носит название нейтрального слоя (или нейтральной поверхности).

Из этого опыта следует, что чем дальше от нейтральной поверхности расположен участок бруска, тем больше растяжение (или скатание) он испытывает. Тогда, согласно закону Гука, и сила упругого сопротивления изгибу возрастает по мере удаления от нейтрального слоя. Другими словами, основной вклад в жесткость бруска восит слой, наиболее дальней от нейтрального. А от сюда вывод: чтобы увеличить жесткость конструкции, надо расположить ее основной материал как можно дальше от этого слоя. Вот почему листок бруски в «Опытте Умова» почти не оказывает сопротивления нагрузке, а, например, двутавр из того же материала ведет себя значительное жестче.

Однако удалением основного материала от нейтральной поверхности слишком увеличивается нельзя. Так, если двутавровую балку сделать в середине очень тонкой, она становится неустойчивой и будет скручивать. В то же время конструкция двутавр при одинаковой жесткости со сплошной балкой квадратного сечения оказывается в четыре с половиной раза легче.

24

Рис. 3.

стите диаметром D/2, то, как показывают расчеты, жесткость балки уменышится всего на 6—7 %, а экономия материалов составляет около 25 %.

Теперь понятно, почему природа так широко использует трубчатые конструкции. А родились они в процессе эволюции. Пока жизнь сосредоточилась в воде, особой необходимости в малой массе скелета не было — помогала выталкившаяся сила жидкости. Поэтому у акул, например, сохранился от предков массивный хрящевой скелет. Но вот живые существа вышли на суше. Теперь прочность скелета должна была сочетаться с возможной меньшей его массой. Миллионы лет длился процесс превращения хрящевых образований в трубчатые кости и закончился созданием прочной, легкой и весла экономной по расходованию материалов конструкций.

IV. Попытки построить бумажный местик между двумя стопками книг привели к тому, что мы на опите (а потом и качественных рассудениями) убедились в том, что его надо делать не плоским, а профилярованным.

Есть и другой способ увеличить жесткость местика — использовать конструкцию, называемую фермой. Проctейшую ферму, представленную на рисунке 4, легко изготовить самостояльно. К середине листка бумаги приклейте поперечную полоску, соединенную натянутыми нитками с концами

Рис. 2.

Полый цилиндр в силу своей симметрии одинаково реагирует на нагрузку с любой стороны, и материал его достаточно удален от нейтральной поверхности, вот почему во многих случаях именно он является оптимальной конструкцией. По сравнению со сплошной цилиндрической балкой полая мало проигрывает в жесткости по отношению к изгибу, но сильно выигрывает в экономии материалов. Например, если внутри сплошного цилиндра диаметром D сделать ответ

25

листка. (Подумайте, как прочно закрепить концы ниток.) Теперь, если мощник нагрузить, он начинает прогибаться и нитки натянутся сльнее. Разорвать их достаточно трудно, и поэтому такая конструкция значительное значение, чем плоский листок.

Фермы очень часто используются в строительстве мостов (рис. 5). С их помощью направление изгиба переводится на направление расяжения или скатания балок и стержней, роль которых в нашем опите сыграли нитки.

Можно упомянуть еще одну очень распространенную в строительстве конструкцию — арочный мост (рис. 6). Арки были известны с глубокой древности, чуть ли не с начала четвертого тысячелетия до нашей эры. Приципи их действия состоит в трансформации вертикальных нагрузок в боковые давления арочного колца, которые передаются на основание (пяту) арки.

Вобобщение различных конструкций мостов существует влике множества. Ведь, кроме решения инженерных и экономических вопросов, создатели места должны еще «привязать» его облик к местности, добиться того, чтобы он был красив. Никакого общего решения здесь не существует, и может быть, это и к лучшему. Вспомним хотя бы места Ленинграда — какое прекрасное разнообразие весовможных решений!

В заключение статьи мы хотели бы напомнить читателя, что для многих выдалося изобретателей и инженеров создание в детстве макетов самых разных машин и конструкций было как бы первым шагом к выбору своего дальнейшей специализации. «Интерес к техническому методу появился при изготовлении строительных моделей и не только модели, сколько, главным образом, макетов (в период 6—7 классов)», так писал крупный ученый, конструктор и инженер в области транспорта академик В. Н. Образцов.

Возвращаясь к тем опитам, которые мы вам предлагали проделать, следует отметить, что конструкровать прочный и красный мост из бумаги, применив необучные «инженерные» нахождения, тоже не легко. Если это занятие вас увлечет, и модель получится интересной, мы будем рады получить (а возможно, и опубликовать) ее фотографии и описание.

Арочный мост, который в начале нашего века создал шевейцарский инженер Робер Майар. Фотографию и чертежи этого моста можностерить буквально в каждом обшем труде по архитектуре. Мост порождает эргетеля смеLOCТью формы и совершенством инженерной конструкции.

26

Заочная олимпида по программированию

17 февраля 1985 года Учебно-производственный центр вычислительной техники Октябрьского района Москвы и институты Электронных управляемых машин Минипибора СССР и Проблем информационных (шестую) Московскую городскую олимпиду по программированию для школьников, в котором участвовали около 200 человек.

Журнал «Квант» предлагает всем школьникам и учащимся ПТУ, умEOЩИМ программировать (кроме Москвы), задачи этой олимпиды в качестве задания Заочной олимпиды по программированию. Решения отправляйте не позднее 1 августа (по почтовомуITEMПЕЛЮ) на адрес «Кванта», написав на конверте: «Олимпида по программированию». Присланьные решения будут оценяться жюри под председательством доктора физиокатематических наук А. Л. Брудно. Все участникам будут присланы отзываны об их работах. Победители получат Дипломы журнала «Квант».

Имейте в виду, что описки снижают оценку решения. Снижают оценку и алгоритмы с излишим числом действия или массивами, без которых можно обойтись. Хорошие алгоритмы и экономно написанные программы оценку повышают. В каждой работе зачитываются только 3 задачи с более удачными решениями.

Задчи приведены в порядке убывания трудности. Принимаются решения на любых языках программирования. Переед решения надо дать сложное описание алгоритма.

Задачи

1. Разложение на слагаемые. Напечать все способы представления натурального числа $n$ суммой натуральных чисел. Перестановка слагаемых новым способом не считается.

2. Равные элементы. Задан массив чисел $P[1:m, 1:n]$. Каждая строка массива упорядочена по возрастанию. Найти и отпечать число, встречающееся во всех строках, и надпись NET, если такого числа не оказывается.

3. Несоставляемое число. Задан массив натуральных чисел $M[1:n]$. Найти и отпечать минимальное натуральное число, не представное суммой элементов массива $M$. Сумма может состоять и из одного слагаемого, но каждый элемент массива может входить в нее только один раз.

4. Тетраэды. На гранах двух равных правых tetraэдров $M$ и $N$ написаны числа $M1, M2, M3, M4$ на одном, и $N1, N2, N3, N4$ на другом (в том же порядке). Можно ли совместить tetraэдры так, чтобы на совпавших гранах оказались написаны одинаковые числа? Напечать DA или NET.

5. Самое частое число. В массиве чисел $M[1:n]$ найти число, повторяющее максимальное количество раз. Если их несколько, то одно из них.

6. Системы числения. В целочисленном массиве $M[1:9]$ записаны разряды (цифры) некоторого натурального числа в $i$-ричной системе числения ($M[1]$ — разряд единиц и т. д.). Отпечать разряд этого числа в $j$-ричной системе числения. Числа $i$ и $j$ не более числа десять.

7. Воковая диагональ. Найти сумму элементов $A[i, j]$ массива $A[1:m, 1:n]$, имеющих заданную разность индексов $i-j=k$. Число $k$ — целое, но не обязательно положительное.

---

Пояснение. Здесь массив $P[1:m, 1:n]$ обозначает массив чисел $P_{ij}$ для $i=1, 2, ..., m$ и $j=1, 2, ..., n$, а запись $P[i, j]$ обозначает элемент $P_{ij}$. Если сказано, что массив $P[1:m, 1:n]$ задан, то значит заданный числа $m, n$ и значения элементов массива. Аналогичный смысл имеются и задания других массивов.

В программах (решения) ученики вводят извлеканые значения и печатают их. Неокоторые оформляют решения в виде подпрограммы (в алгорите — procedure, в фортера — subroutine и т. д.). В тех языках, где размер массивов нужно задать числа (как на фортера), ученики их выбирают произвольно.

«Хорошие решения» должны укладывать (с точностью до постоянного множителя) в следующие колчества: $m \cdot n$ (задача 2), $n^2$ или $n \cdot \log n$ (задачи 3 и 5), min {$m, n$} (задача 7), считая $n$ и $m$ большими числами.

27

Задания

1. В корзине лежат 20 грибов: белые, подосиновики и подберезовики. Сколько в ней белых грибов, если подберезовikus в ней в 9 раз больше, чем подосиновikus?

2. Восстановите деление:
   $$3^{***} \times 3$$
   $$\frac{3}{3}$$
   $$\frac{3}{2}$$
   $$\frac{3}{4}$$

3. Поверхность кубика $1 \times 1 \times 1$ нельзя оклеить целиком положкой бумаги $1 \times 6$, не допуская разрывов. Можно ли такой кубик оклеить положкой бумаги $1 \times 12$ в два слоя?

4. Рассматриваются всевозможные треугольники со сторонами $a \leqslant 2, b \leqslant 3, c \leqslant 4$. Найдите длину наиболее из высоких треугольников.

5. Фотограф следал свой симок, стоя в лодке (см. рисунок). Оцените длину изображенного катера, считая, что фотографом были вы.

Эти задания нам предложили С. Н. Олехник, Н. К. Антонович, В. В. Произволь, Г. А. Гальперин, Я. Л. Калда.

ПОЧЕМУ, ЕСЛИ БРОСИТЬ БОЛЬШОЙ КУСОК СТЕКЛА,ТО ОН РАЗЛЕ ТИТСЯ НА БОЛЬШОЕ ЧИСЛО МАЛЕНЬКИХ ОСКОЛКОВ? А ЕСЛИ БРОСИТЬ МАЛЕНЬКИЙ КУСОК,ТО ОН ПОЧТИ НЕ РАЗО БЪЕТСЯ?

5. Робкий Билль не мог сразу залеять на лестницу. Он то поднимался вверх, то опять опускался, но, наконец, преодолев страх, оказылся на крышке. Какое наименьшее число шагов он мог сделать, если за каждый шаг он перемещался на 1 перекладину, на земле оказылся один раз, на верхней перекладине — тоже один раз, на остальные перекладинах побывал одинаковое количество раз, и если всего у лестницы 9 перекладин.

6. Удар + удар = драка.

7*. Вы забудились в вы-пуклом лесу площади 100 км². Доказйте, что вы можете выйти из леса, пройдя путь, не больше чем 30 км.

32

1. В круглый сосуд с водой (ведро, таз, тарелка) бросают маленький предмет, стараясь попасть в центр. Как проверить точность броска?

2. Соедините нитью середины подвесов двух висших рядом матникков равной длины так, чтобы нить с легка стягивала их друг с другом. Придерживая один матникок, немного подтолкните другой перпендикулярно стягивающей нити. Что произойдет, если теперь отпустить первый матникок? Почему?

3. Известен период одного из двух матников разной длины. Как, не пользовать кундомером и линейкой, определить период другого матника?

4. Как обьяснить расчетку крыльев стрекозы, и почему она меняется, если наблюдание вести под разными углами?

КАЛЕИДОСКОП «КВАНТА»

КАЛЕИДОСКОП

Наблюдения и эксперименты

АТАК ЛИ ХОРОШО ЗНАКОМО ВАМ ПОНЯТИЕ ВОЛНА

ЗНАКОМО ВАМ ПОНЯТИЕ ВОЛНА

Забачити и забачки

…зеуковая волна, выйда из одного фокуса эллисоidea и отразилась от его поверхности, придет в фруzon фокус. Эту особенность кривых поверхностей знаний давно, и во время инкреции использова ли свойства потолки для подслушивания подозрительного разговоров.

33

1. Почему басовые струны музыкальных инструментов оплегают спиралью из проводов?

2. Что именно колоблется в электронномной волне?

3. Приближаясь к береру, морские волны «раструт», достигая иногда высоты в десятики метров. Отчего это проинсходит?

4. Вывает, что у пологого берера направление распространяется на набегающих волны изменяется. Как можно объяснить это явление?

5. Разговор стоящих за приоткрытой дверью лодей может быть слышен, но их мы не видим. Почему же звуковые волны достигают нас, а световые — нет?

ВОЛНА
ЭТО ОДНО ИЗСАМЫХ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПОНЯТТИЙ В ФИЗИНЕ, ВСТРЕЧАЮЩЕЕСЯ В САМЫХ РАЗНЫХ ПРОЯВЛЕНИЯХ ПРАКТИЧЕСКИЙ ВО ВСЕХ ЕЕ ОБЛАСТХ. ВОЛНЫ

распространяется по поверхностям океанов и в их толще, в межзвездной пустоте и в кристаллических решетках, бетут по проездам линий электропередачи, допустя до нас многообразие цветов и общие звуков. Существуют волны песчание и волны на ссету, землетрясения и океанские цунками — тоже волновые движения, только гигантских масштабов. Есть волны, которые еще не стапили привычными и дляся физиков, например, волны в транспортихных потоках, в химических peakциях, в сердце и нервной системе, в сообщственных биологических организмов, в звездных системах — галактика. По образному выражению ученых, волны «разбежались» из физики и охватили едва ли не все множества процессов в живой и неживой природе. И самоое интересное — все эти волны математически схожи, то есть могут быть описаны одними и теми же уравнениями. Bot почему так важно «подружиться» с этим понятением, ведь и вам, быть может, придет не раз столкнуться с ним самым неожимым образом.

ВОЛНА

1. «О волнах на море и рыби на луках» — 1980, № 9.
2. «Что такое волна?» — 1982, № 6.
3. «Солтонны» — 1988, № 11.
4. «Цвета рассеянноо счета» — 1984, № 3.
5. «Связанные магнитки» — 1984, № 5.
6. «Уравнение волны» — 1984, № 11.
7. «Переговорная трубка дииной в экватор?» — 1985, № 2.

34

Задчи

M926—М930; Ф938—Ф942

M926. Докажите, что если
$$x^2 + y^2 = u^2 + v^2 = 1, \quad xu + yv = 0,$$
то
$$x^2 + u^2 = y^2 + v^2 = 1, \quad xy + uv = 0.$$
С. В. Дужин

M927*. На плоскости данного конечное множество точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведено несколько отрезков с концами в данных точках. Эти отрезки разрешается менять: если какие-то два из них, AC и BD, пересекаются, их можностерить и провести:
a) отрезки AB и CD,
b) отрезки AB и BC.
(Если «новый» отрезок уже проведен, проводить его второй раз не нужно.)
Можно ли после нескольких таких замен (только по правлу a) или только по правлу b), но не по обимм) вернуть к исходному набору отрезков?

В. Е. Колосов

M928. В книотатре N+1 место. Вначале N целое, имеющие бильеты с указанием места (в их числе и Игорь), если на произвольные N мест, не глядя на свои бильеты. Пришедший последним (N+1)-й зритель хочет занять свое место; если оно занято,—стоняет сидящого там, тот поступает так же и так далее, пока нужно согласно месту не оказывается свободным. Какова вероятность того, что Игорю придется пересесть? (Другими словами, какую среди всех возможных размешений зрителей составляют невелигные для Игоря?)

И. В. Алексеев-Астафев

M929. Науральные числа a, b, c, d, e удовлетворяют условиям $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4$. Докажите, что по крайней мере a) три из них четны, 6) три делятся на 5, в) два делятся на 10.

В. Д. Яковлев

M930*. Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множество. Докажите, что в одном из них найдется три числа, одно из которых равно сумме двух других (или два числа, одно из двух более большей другого).

А. Д. Валцев (уч. 9 класса).

35

Ф938. Пилот космического корабля, движущого со скоростью $v=1$ km/c, затемл прямо по курсу астроид диаметром $d=7$ km, когда до его поверхности оставалось расстояние $l=8,5$ km. Космонавт сразу же включил авариные дигители, которые за пренебрежimo малое время сообщают кораблю дополнительную скорость $\Delta v=300$ м/c, направление которой задается космонавтом. может ли корабль избежать столковения?

А. В. Андранов

Ф939. Дно сосуда наклонено под углом $\alpha=45^\circ$ к горизонту. В дне имеется полусферическая выпуклость радиуса $R$ (рис. 1). Высота столька жидкости над выпуклостью равна $H$. Какая вертикальная сила действует со стороны жидкости на выпуклый участок дня? Плотность жидкости равна $q$.

Л. Г. Маркович

Ф940. Почему прикладке кирпичных печей для скрепления кирпичей используют глиняный растор, а не, например, цементный (хотя он более твердый)?

В. А. Ильин

Ф941. В магнитном поле постоянного прямолинейного тока находится квадратная металлическая рамка $ABCD$ (рис. 2). Рамку переводят в новое положение, показанное на рисунке пунктиром. Это можно сделать двумя способами: равномерным повтором вокруг стороны $CD$ или равномерным параллельным переносом вдоль $AD$. При каком способе выделится больше телла, если время перевода рамки в новое положение в обихах случаях одинаковое?

Л. Е. Шмитс

Ф942. Плоская световая волна падает нормально на экран $\partial$. Как изменится освещенность экрана в точке $M$ (рис. 3), если на пути волны помещить полубесконечную непрозрачную пластину $\Pi$, параллельную экрану?

Д. А. Купцов

Problems

M926—M930; P938—P942

M926. Prove that
$$x^2 + y^2 = u^2 + v^2 = 1, \quad xu + yv = 0$$
implies
$$x^2 + u^2 = y^2 + v^2 = 1, \quad xy + uv = 0.$$

S. V. Duzhin

M927*. In the plane a finite set of points, no three of which are collinear, is chosen. Some line segments joining pairs of these points are drawn. We are allowed to change the segments in the following way: if, say, $AC$ intersects BD, we can delete both, replacing them by
a) the segments $AB$ and $CD$,
b) the segments $AB$ and $BC$.

=a(a+x+1). Поскольку $a$ и $a+x+1$ — взаимно-простые числа (любой их общий делитель должен превышен делить $x^n$ и $x+1$), существует такие натуральные числа $u$ и $v$, что $a=u^n$, $a+x+1=v^n$, $x=uv$. Но тогда при $n \geqslant 3$

$$uv+1=x+1=v^n-u^n$$
$$=(v-u)(v^{n-1}+v^{n-2}u+\ldots+u^{n-1}) \geqslant 1+vu+1.$$

Полученное противоречие показывает, что исходное уравнение решений не имеет.

М. Гараев, В. Н. Дубровский

M906. a) Доказите, что при любом натуральном $a>1$ уравнение
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}$$

имеет по крайней мере три решения в натуральных числах $x$ и $y$.

б) Надите число натуральных решений этого уравнения при $a=1985$.

a) Решениями данного уравнения при любом натуральном $a$ является пары натуральных чисел $(2a, 2a), (a+1, a(a+1))$ и $(a(a+1), a+1)$.

6. Ответ: при $a=1985$ данное уравнение имеет 9 решений. Показем, что уравнение
   $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}$$

имеет столько решений, сколько делитель у числа $a^2$. (При $a=1985=5 \cdot 397$ число делитель $a^2$ равно 9, так как любой из них можно представить в виде $5^n \cdot 397^k$, где $n$ и $k$ незначимо принимают любое из трех значений 0, 1, 2.)

Для доказательства достаточно переписать наше уравнение в виде $ay+ax=xy$ или
$$a^2=(x-a)(y-a),$$

и заменить, что количество разложений числа $a^2$ на два компонента равно числу его делителей.

М. В. Славинский, А. Ю. Вайитров

M907. Про треугольник ABC с длинами сторона $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ известно, что $3\angle A+2\angle B=180^\circ$. Доказите, что $a^2+bc-c^2=0$.

Diagram of triangle ABC with sides $a, b, c$

Доказываемое соответствие удобно переписать в виде равенства отношений отрезков
$$\frac{a}{c}=\frac{c-b}{a}.$$

Тепер его можно доказать с помощью подобных треугольников. Возьмем на стороне $AB$ такую точку $D$, что $AD=b$ (a $DB=c-b$; см. рисунок). Равенство (*) — это условие пропорциональности сторона треугольников $ABC$ и $CBD$, заключающих общий угол $B$ этих треугольников, поэтому достаточно доказать, что эти треугольники подобны, то есть что, например, углы $ACB$ и $CDB$ равны. Имеем
$$\angle CDB=180^\circ-\angle ADC=180^\circ-\frac{180^\circ-\angle A}{2}$$
$$=180^\circ-(\angle A+\angle B)=\angle ACB.$$

(Мы воспользовались тем, что треугольник $ACD$ равноведренный и данным соответствием $3\angle A+2\angle B=180^\circ$.)

39

M908. На стороне AB треугольника ABC выбирается точка P, и через нее проводятся прямые, параллельные BC и AC, до пересечения с сторонами AC и BC соответственно в точках M и N. При каком выборе точки P отрезок MN имеет наименьшую длину?

Решите эту задачу a) для треугольника с прямым углом C; б)* для произвольного треугольника ABC.

Рис. 1.

Рис. 2.

a) Ответ: точка P должна быть основанием высоты треугольника ABC. Действительно, в случае, когда угол C прямой (рис. 1), параллелограмм CMPN являются прямоугольниками. Следовательно, MN=CP, а отрезок CP имеет наименьшую длину, когда он перепendlуларен к AB.

6. Мы начнем решать задачу standardным способом: введем параметр $x \equiv AP/AB$ $0 \leqslant x \leqslant 1$, и выразим вектор $\vec{MN}$ через $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, чтобы записать затем его длину как функцию от x и найти наименьшее значение этой функции. Однако, как мы видим, получающие векторы соответствия сами подсказывают более простое и по существу «чисто геометрическое» завершение решения.

Из готовности треугольников BPN и BAC, APM и ABC (рис. 2) следует, что CN/CB=AP/AB=x, то есть $\vec{CN}=x\vec{CB}$, CM/CA=BP/BA=1-x, то есть $\vec{CM}=(1-x)\vec{CA}$ и (см. рис. 2)

$$\vec{MN}=\vec{CN}-\vec{CM}=x\vec{CB}-(1-x)\vec{CA}=\vec{AC}+x(\vec{CA}+\vec{CB})=\vec{AC}+x\vec{CD}=\vec{AQ}$$

где $\vec{CD}=\vec{CA}+\vec{CB}$, а точка Q определяется условием $\vec{CQ}=x\vec{CD}$. Когда точка P пробегает отрезок AB, параметр x меняется от 0 до 1, а точка Q пробегает отрезок CD. Следовательно,лина MN=AQ будет минимальная, когда Q — близкаяая к A точка отрезка CD. Чтобы найти ответашее этой точке положение точки P, заметим, что $\vec{QN}=\vec{AM}$ (так как $\vec{MN}=\vec{AQ}$), а значит, Q лежит на прямой, проходящей через N параллельно прямой AM, то есть на прямой PN.

Итак, ответ к нашей задаче можно формулировать так: достроим данный треугольник до параллелограмма ACBD; найдем на его диагонали CD точку Q, близкийную к A, и проведем через прямую, параллельную стороне AC; точка пересечения этой прямой со стороной AB и есть исключающая точка P. В частности, если она угла ACD и ADC острые, то Q — это проекция точки A на CD; если ACD — не острый угол, то Q=C, а P=A, если же ADC — не острый угол, то Q=D, а P=B.

В. Н. Дубровский, Э. Г. Готман

**M909. a) Докажите, что существует arithmetic progression из 4 различных членов, содержащая только степени натуральных чисел $n^k(k \geqslant 2)$.

Существует ли такая прогрессия из 6) любого конечного числа, b) бесконечного числа членов? Существует ли бесконечная (не постоянная) arithmetic progression, не содержащая

40

наименьшее общее кратное показатель $k_1, \dots, k_m$.
Полученная последовательность из $m+1$ чисел
$a_1 b^k, \dots, a_m b^k, b^{k+1}$,

очевидно, является арифметической прогрессей с разностью $d \cdot b^k$, причем все члены — степеня натуральных чисел (так как $a_i b^k = (n_i b^{k/i})^{k_i}$). Таким образом, например, любую пару степеней можно «нарастить» до прогрессии любой заданной длины.
Пример в пункте a) получен из прогрессии 1, 25, 49.

в) Ответ: не существует. Приведем доказательство, основанное на рассмотрении ряда из чисел, обратных к членам прогрессии.

Заметим, что для любой бесконечной арифметической прогрессии, $a_1, \dots, a_m, \dots$ из натуральных чисел сумма

$$S_m = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_m}$$

с ростом $m$ неограниченно возрастает.

Действительно, поскольку $a_{i+1} \leqslant (a_1+d)i=a_2i$ при $i=1, 2, \dots$, где $d$ — разность прогрессии,

$$S_m \geqslant \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{m-1} \right) = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} \cdot s_{m-1}.$$

Одно из обычных доказательств неограниченного возрастаания суммы $s_m$ состоит в следующем: пусть $2^k \leqslant m < 2^{k+1}$, тогда

$$s_m > 1 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \right) + \dots$$

$$\dots + \left( \frac{1}{2^{k-1}} + \dots + \frac{1}{2^{k-1}} \right) > 1 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) +$$

$$+ \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2^{k-1}} + \dots + \frac{1}{2^{k-1}} \right) = k > \log_2 m - 1.$$

Тепер показет, что для любого набора (без повторений) степеней натуральных чисел сумма обратных к ним величины не превыходит 2.

Числа, обратные к степеням (не ниже второй) данного натурального числа $n$, образуют бесконечную геометрическую прогрессию со значением $1/n$ и первым членом $1/n^2$. Их сумма (при $n > 1$) равна

$$A_n = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \dots = \frac{1}{n^2} \frac{1}{1-1/n} = \frac{1}{n(n-1)}.$$

Пусть наиболее число, степени которого входит в данный набор степеней, равно $m$. Тогда сумма чисел, обратных к этим степеням, не превыходит

$$1 + A_2 + A_3 + \dots + A_m = 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(m-1)m} =$$

$$= 1 + \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m} \right) = 2 - \frac{1}{m} < 2,$$

что и требовалось доказать.

Из двух доказанных утверждений, очевидно, вытекает, что составить бесконечную арифметическую прогрессию из степени натуральных чисел невозможно.

Другое решение задачи опирается на то, что доля, которое составляют члены произвольной арифметической прогрессии с разностью $d$ среди первых $n$ натуральных чисел, с ростом $n$ приближается к $1/d$, а доля, составляя среди тех же чисел всевозможными степенями натуральных чисел, стремится к 0.

41

Читатель без труда восстанавливает детали этого решения, ознакомившись с решением задачи M783 (Квант, 1982, № 8, с. 35).

г), д) Ответ к обеим задачам г) и д): существует. Из разнообразных примеров мы выбрали такой, который годится сразу для обеих задач — прогрессio 10, 30, 50, … Ее $n$-й член $a_n=-10+20n==(2n-1) \cdot 10$ при любом $n$ оканчиваетсяровно одним нулем и, следовательно, не может быть степенью натурального числа (так как делится на 10, но не делится на $10^2$) и не состоит из одинаковых цифр.

Р. Н. Азизян, Н. Б. Васильев

M910. На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1, A_2, ..., A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смешные стороны шестиугольника $A_1...A_6$ ($A_1A_2, A_3A_4, A_5A_6$) определяют треугольник KLM, вершины которого лежат на продолжениях диагоналей правильного шестиугольника. Докажите, что это верно и для трех других сторон шестиугольника $A_1...A_6$.

Рассмотрим данные правильный шестиугольник как ortогonalную проекцию куба вдоль его диагонали $PQ$. Возьмем на продолжения ребер куба, выходящих из вершины $P$, по точке так, чтобы эти точки проектировались в точки $K, L, M$ (на рисунке 2 они обозначены теми же буквами $K, L, M$). Тогда, очевидно, сечение куба плоскостью KLM будет шестиугольником, который при проекции переходит в шестиугольник $A_1...A_6$. Пусть $K_1, L_1, M_1$ — точки пересечения этой плоскости с продолжениями ребер, выходящих из вершины $Q$, тогда и в пространстве (рис. 2) и на проекции (рис. 1) отрезки $A_2A_3, A_4A_5$ и $A_6A_1$ будут лежать на сторонах треугольника $K_1L_1M_1$, откуда и следует утверждение задачи.

Из проведенного рассуждения видно, что противоположные стороны шестиугольника $A_1...A_6$ параллельны (плоскость сечения пересекает противоположные грани куба по параллельным прямым), Это можно вывести и непосредственно из условия: например, треугольники $BA_1A_2$ и $PML$ на рисунке 1 готовятся с центром готовети $K$ ($KA_1:KM=KB:KP=KA_2:KL$) и, следовательно, $A_1A_2 \parallel A_4A_5$. Отсюда в свою очередь вытекает, что треугольники $CA_4A_5$ и $PM_1L_1$ (где $M_1$ и $L_1$ — точки пересечения прямых $A_4A_3$ и $A_5A_6$ с $A_1A_2$) тоже готовятся, как треугольники с соответственно параллельными сторонами, а значит, прямые $A_3A_4, A_5A_6$ и $BC$ пересекаются в одной точке — центре готовети. Расматривая аналогичным образом две другие пары противоположных сторон шестиугольника $A_1...A_6$, мы получим другое решение задачи, не использующое «выход в пространство».

С. Ю. Оревков, В. Н. Дубровский

Ф917. Предмет находится между линей и плоским зерком, перепедикулярным главной оптической оси линзы. Зеркало, линза и предмет заклонили в конexus из светопропищаемой матовой пластmasсы. Такая система создает два изображения предмета и изображение линзы. Оба изображения предмета имеют

Линза создает изображение предмета, а также изображение его отражения в зерке. Поскольку предмет и его изображение в зерке имеют одинаковые размеры, но находится на различных расстояниях от линзы, их изображения, создавемые линзой, не могут иметь одинаковые размеры, если они являются действительными или оба минимыми. В самом деле, для действительного изображения мы можем написать фор-

42

мулу линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f},$$

где $F$ — фокусное расстояние линзы, $d$ — расстояние между линзой и предметом, $f$ — расстояние между линзой и изображением. Поскольку увеличение определяется формулой $\Gamma = f/d$, то, исключая с помощью формулы линзы $f$, получаем

$$\Gamma = \frac{F}{d - F}.$$

(1)

Для минимого изображения формула линзы принимает вид

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f},$$

а увеличение задается выражением

$$\Gamma = \frac{F}{F - d}.$$

(2)

Если мы обозначим через $d_1$ расстояние от предмета до линзы, через $\Gamma_1$ — увеличение, с которым линза изображает этот предмет, через $d_2$ — расстояние от линзы до изображения предмета в зеркале и через $\Gamma_2$ — увеличение, с которым линза изображает это отражение, то с помощью формул (1) и (2) нетрудно увидеть, что если изображения, создаваемые линзой, оба действияные или оба миниые, то условие $\Gamma_1 = \Gamma_2$ выполнить невозможно.

Остается предположить, что одно изображение является действительным, а другое — минимом. Очевидно, что миним будет изображение предмета, поскольку он находится близке к линзе, а изображение его отражения — действительным. Тогда, в соответствии с формулими (1) и (2), мы можем написать:

$$\Gamma_1 = \Gamma_2 \Rightarrow F - d_1 = d_2 - F.$$

(3)

No расстояние от линзы до изображения предмета в зеркале равно $d_2 = 2a - d_1$, где $a$ — расстояние от линзы до зеркала. Тогда из (3) получаем $a = F$, то есть зеркало расположено в фокальной плоскости линзы. Линза создает изображение собственного отражения в зеркале. Но это отражение имеет те же размеры, что и линза, и расположено на расстоянии $d = 2F$ от нее. Следовательно, согласно формуле (1), линза создает действительное изображение своего отражения в зеркале с увеличением $\Gamma = 1$.

П. Кузнецов

Скорость грузика $A$ непосредственно перед тем моментом, когда он начинает сокальывать со стола, находим с помощью закона сохранения энергии:

$$2m \frac{v_0^2}{2} = mgh = \frac{2}{3} mgl,$$

43

откуда

$$v_0 = \sqrt{\frac{2}{3} gl}.$$

(1)

Теперь убедимся в том, что эта скорость мала для того, чтобы в дальнейшем нить была натянута. Дейстивительно, в этом случае грузик $A$ стал бы двигатся по окружности радиуса $l$; центростремильное ускорение в верхней точке, равное $v_0^2/l$, должно быть бы обеспечивать сумму силы тяжестии $mg$ и силы натяжения нити $T$:

$$m \frac{v_0^2}{l} = mg + T.$$

(2)

Подставив в (2) значение $v_0$ из (1), получим: $T = -mg/3$, что не имеет смысла (такое движение было бы возможно, если бы вместе нити были жесткий стержень). Следовательно, сосокольну со стола, грузик $A$ в дальнейшем будет двигатся по параболе.

Использовая систему координат, изображенную на рисунке, запишем координаты грузика в момент времени $t$:

$$x = v_0 t, y = l - \frac{gt^2}{2}.$$

(3)

Нить вновь будет натянута, когда будет выполнять соответствие

$$x^2 + y^2 = l^2.$$

(4)

Подставив в (4) выражения для координат из (3), получим уравнение для определения того момента времени, когда нить вновь будет натянута:

$$v_0^2 t^2 + \left(l - \frac{gt^2}{2}\right)^2 = l^2,$$

или, с учетом (1),

$$gt^2 \left(\frac{gt^2}{4} - \frac{1}{3} l\right) = 0,$$

откуда $t^2 = 4l/3g$ (корень $t = 0$ соответствует моменту сосокольывания грузика $A$ со стола). Подставляя это значение $t^2$ в выражение для координаты $y$ (см. (3)), находим искому высоту:

$$y = \frac{1}{3} l.$$

Г. Л. Коткин

Ф919. На рисунке показано долевое сечение прибора, использующего в качестве этапа длины. Центральный стержень $C$ и внешняя оболочка $A$ прибора сделаны из материалов с коэффициентом теплового расширения $a_1$; их длины при $t_1 = 20^\circ C$ одинаковы и равны $l_1$. Внутренняя груба $B$ сделана из материалов с коэффициентом теплового расширения $a_2$. Какой должа быть

Пусть при температуре $t_0 = 0^\circ C$ центральный стержень $C$ и внешняя оболочка $A$ имеют длину $l_{10}$, а внутренняя груба $B$ — длину $l_{20}$. Тогда

$$l_1 = l_{10} \left(1 + a_1 t_1\right) \Rightarrow l_{10} = l_1 / \left(1 + a_1 t_1\right),$$

$$l_2 = l_{20} \left(1 + a_2 t_1\right) \Rightarrow l_{20} = l_2 / \left(1 + a_2 t_1\right),$$

где $l_2$ — искомая длина грубы $B$ при температуре $t_1 = 20^\circ C$. При изменении температуры от $t_0$ до $t_1$ длины соответствующих деталей изменились

44

Длина внутренней трубы при $t_1=20^\circ C$, чтобы при изменении температуры полная длина эталона (CD) не менялась?

$$\Delta l_1 = l_1 - l_{10} = l_{10} \alpha_1 t_1,$$
$$\Delta l_2 = l_2 - l_{20} = l_{20} \alpha_2 t_1.$$

Конструкция эталона такова, что при любом изменении температуры изменение длины трубы $B$ должно компенсировать суммарное удлинение деталей $A$ и $C$. Следовательно, должно выполнять условие $\Delta l_2 = 2\Delta l_1$, то есть

$$l_{20} \alpha_2 t_1 = 2 l_{10} \alpha_1 t_1.$$

Подставляя в это равенство записанные выше выражения для $l_{10}$ и $l_{20}$, находим $l_2$:

$$l_2 = 2 l_1 \frac{\alpha_1 (1 + \alpha_2 t_1)}{\alpha_2 (1 + \alpha_1 t_1)} \approx 2 l_1 \frac{\alpha_1}{\alpha_2}.$$

А. П. Ершов

Ф920. Через трубку переменного сечения продукют воздух. Входное отверстие трубки имеет площадь $S_1$, выходное — $S_2$. На входе скорость воздуха $v_1$, температура — $T_1$, давление — $p_1$; на выходе температура воздуха $T_2$, давление — $p_2$. Какова скорость воздуха на выходе?

Обытем воздуха, входящого в трубку за время $t$, равен $V = S_1 v_1 t$. Объем выходящого за то же время воздуха равен $V_2 = S_2 v_2 t$, где $v_2$ — искомая скорость воздуха на выходе. Так как скорости $v_1$ и $v_2$ не меняются со временем, массы выходщего и выходящого воздуха одинаковы. Поэтому, согласно обедининному газовому закону,

$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = V_1 \frac{p_1 T_2}{p_2 T_1},$$

то есть

$$S_2 v_2 t = S_1 v_1 t \frac{p_1 T_2}{p_2 T_1}.$$

Отсюда находится $v_2$:

$$v_2 = v_1 \frac{S_1 p_1 T_2}{S_2 p_2 T_1}.$$

Г. Л. Коткин

Ф921. Плоский конденсатор подключаен к источнику напряжения $U$. Плоский конденсатор имеет площадь $S$ какая, расстояние между пластинами равно $d_1$. К одной пластине прижата металлическая пластинка площади $S$ и толщины $d_2$ (рис. 1), имеющая массу $m$. Плоский отнускатор. С какой скоростью она ударится о других пластинку конденсатора? Влиянием силы тяжестеи пребрежь.

На рисунке 1 показано распределение зарядов в системе в начальной момент времени $t_0$. Под действием силы притяжения со стороны заряда — $q_0$ пластинки 2. Пластина, когда ее отпустят, начинает движаться сускорением по направлению к пластине 2. На рисунке 2 показано положение системы в момент времени $t$, когда пластина ударяется о пластину 2.

Обозначим скорость пластинки в момент удара $v$. Чтобы найти $v$, воспользуемся законом сохранения энергии.

В момент $t_0$ энергия $W_0$ системы конденсатор + пластинка равна энергии конденсатора, заряженного до разности потенциальов $U$; расстояние между пластинами этого конденсатора равно $d_1 - d_2$, и его емкость — $C_0 = \varepsilon_0 S / (d_1 - d_2)$. Так что

$$W_0 = C_0 \frac{U^2}{2}.$$

45

В момент времени $t$ энергия системы равна

$$W = C_0 \frac{U^2}{2} + m \frac{v^2}{2} = W_0 + m \frac{v^2}{2}.$$

Откуда взялась дополнительная энергия $mv^2/2$?

За время движения пластинки от пластины 1 до удара о пластину 2 между обкладками конденсатора прошел заряд $q_0$. Такой же заряд прошел через источник. Значит, источник совершил работу $A = q_0 U$. Эта работа и пошла на сообщение пластинке энергии $mv^2/2$.

Итак,

$$m \frac{v^2}{2} = q_0 U = C_0 U^2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1 - d_2} U^2.$$

Отсюда находится $v$:

$$v = U \sqrt{\frac{2 \varepsilon_0 S}{m(d_1 - d_2)}}.$$

А. П. Ершов

Ф922. Фотографируя муравая с близкою расстояния, экспериментатор использовал удлинительное колюц, которое увеличило расстояние от ленки до объекта на $\Delta l = 7,5$ мм. Резкое изобравнение муравая получилось в том случае, когда на шкале объекта было установлено расстояние $b = 1,05$ м (на шкале указывается значения расстояния от предмета до объекта без изобравнения удлинительных колей). Фокусное расстояние объекта $F = 50$ мм. На каком расстоянии от объекта находится муравой?

Из условия задачи следует, что без использования удлинительного колюца на ленке будет получаться резкое изобравнение предмета, находящего от объекта на расстоянии $b = 1,05$ м. Это позволяет определить по формуле линзы расстояние между объектным (без колюца) и ленкой:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{b} + \frac{1}{f} \Rightarrow f = \frac{Fb}{b - F} = 5,25 \text{ см.}$$

При фотографировании с колютом расстояние между объектным и ленкой было $f' = f + \Delta l = 6$ см. Воспользовавшись вновь формулой линзы, найдем, на каком расстоянии $b'$ от объекта (с колютом) находится муравой:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{b'} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{b'} + \frac{1}{f + \Delta l},$$

откуда

$$b' = \frac{F(f + \Delta l)}{f + \Delta l - F} = 30 \text{ см.}$$

А. П. Ершов

Поправка

В «Кванте» № 4 на с. 54 в левой колонке в знаменатель второй дроби в условия задачи 1 варианта 1 должно быть

$$kx^2 + 2xy + ky^2.$$

На с. 55 в верхней строке левой колонки вместо 9х должно быть $9^x$; условия задачи 1 варианта 6 должно заканчивать фразой: «Найти скорости поездов».

47

КВАНТ УЛЬБАЕТСЯ

Что написано на конденсатор?
(из ответов на экзаменах)

— И много весит этот «реборатор Гука»?
— Не очень. Примерно 800—900 кг.
— Ну, допустим, контур приемника такой удар выделяет, но ведь стеклянная лампа наверное разобется?
— И были. Но наука нашла выход из этого положения. Лампа заменили трансistorом.

---

— Что такое звук?
— Звуок — это колебание ушей.

---

— Как определить скорость звука?
— Для определения скорости звука необходимо уко приложить к рельсу, а по другому ударить.

---

— Каково назначение трансформатора?
— Трансформатор — это прибор, который преобразует переменный ток в равномерный и прямолинейный.

---

— Из каких основных частей состоит любая тепловая машина?
— Основной частью любой тепловой машины является ее оболочка.

---

— Как вы себе представьте свободное padение тела?
— Возьмем какое-либо тело и бросим его вверх. Там оно на несколько минут оставится, а затем медленно начинает padать вниз.

---

— В каких единицах измеряется электроемкость конденсатора?
— ???
— Ну, хорошо. Вы взяли в руки конденсатор. Что на нем написано?
— Как что? Цена!

— Рассказите об устройстве и принципе работы приемника А. С. Попова.
— Основным элементом приемника А. С. Попова является ребrator Гука.
— ?!
— Это ротор, наполненный металлическими опилками, который в момент приема сигнала сперва ударяет по контуру, а потом по ламне. Благодаря этому возникает звук.

---

— Для того чтобы motor не портился, его макают в масло.

---

— Кипение — это бурленное жидкость.

---

— Вода из банки не выливается, так как в ней еще остался кусочек атмосферы.

Собрал Л. А. Бирюков

47

48

Задание
вступительных экзаменов
в различные виды в 1984 году

Предлагаемnodborку задан вступительных экзаменов по математике и физике в некоторые университеты — Белоруссий (1), Воронежский (2), Донецкий (3), Киевский (4), Омский (5), Ташкентский (6), Уральский (7) и институты — Горьковский политехнический (8), Ленинградский технический (9), Рижский политехнический (10), Томский политехнический (11), Тбилисский педагогический (12), ПМ Московский медицинский (13), Минский радиотехнический (14).

Математика
Писменный экзамен
Алгебра

1. (5) Дано натуральное число. Если к его цифровой записи справа приписать цифру 2, то получится число, которое делится без остатка на 9. При этом частное от деления больше, чем данные число, на 21. Найдите это число.

2. (5) Два комбайна убирают хлебное поле. После того как первый пророботал на поле 2 часа, а второй — 5 часов, оказалось, что убрана половина поля. Затем 1,5 часа они работали вместе и убрали еще четверть поля. Оставшуюся работу выполнял только первый комбайн. Определите, сколько ему попадобилось для этого времени.

3. (2) Две автоматизны, выжавшие из городов А и В навести друг другу, каждая со своей скоростью, встретились через 6 часов. Первой машине, чтобы пройти 2/5 пути от А до В, требуется на 2 часа больше, чем второй, для того, чтобы пройти 2/15 пути от В до А. За какое время проходит расстояние между А и В каждой машина?

4. (2) Число десятиков двухначного числа на 4 большие числа его единиц; произведение же этого числа на сумму его цифр равно 496. Найдите это число.

5. (10) Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 66, а произведение второго и третього членов равно 528. Найдите сумму первых сорока членов.

6. (3) Два тела, находящиеся на расстоянии 310 м одно от другого, одновременно начиная двигается на逮рету друг друга. Первое тело движется равномерно со скоростью 1 м/c, а второй — равноскоренно с начальной скоростью 1 м/c иускорением 3 м/c². Через сколько они встретиются?

7. (11) Вычисление
   $$\frac{1}{5} : \left(\frac{17}{40} + 0,6 - 0,005\right) \cdot 1,7$$

8. Упростите выражение:
   a) (3)
   $$\frac{1}{c^2} - a^2 \frac{1}{c} \left(\left(\frac{c}{a}\right)^{-1} - \left(\frac{a}{c}\right)^{-1}\right) : \frac{(a+c)\sqrt{c}}{\sqrt{1/a}}.$$

6. (10)
   $$\frac{(ab^{-1}+a^{-1}b+1)(a^{-1}-b^{-1})^2}{a^2b^{-2}+a^{-2}b^2-(ab^{-1}+a^{-1}b)}$$

b) (12)
$$\left(\frac{x^2}{y^2} - \frac{1}{y^2} + \frac{x^2}{y^2}\right) \times \frac{x^2}{y^2} - x^2$$
$$\times \frac{x^2}{y^2} \cdot y^2 - \frac{2y}{x-y}.$$

9. (6) Вычисление
   $$\log \frac{1}{a^3} + \log_a \sqrt{a\sqrt{a}}.$$
10. (2) Докажите, что сумма
    $$\sqrt{\sin^4 x + 4\sin^2 \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} + \sqrt{\cos^4 x + 4\cos^2 \left(x-\frac{\pi}{2}\right)}$$

является постоянным числом, не зависит от $x$.

11. Найдите:
    a) (5) $\cos^4 a + \sin^4 a$, если $\sin 2a = \frac{1}{7}$;
    b) (3) $\cos(60^\circ - a)$, если $\lg a = \frac{3}{4}$ и $180^\circ < a < 270^\circ$.

12. (10) Упростите выражение $\frac{1+\cos a}{\sin a} \times \left(1 + \frac{(1-\cos a)^2}{\sin^2 a}\right)$ и найдите его значение, если $\cos a = -0,8; \frac{\pi}{2} < a < \pi$.

13. (6) Чему равно выражение $\sin a + \cos \frac{a}{2}$, если $\cos a = -\frac{2}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2}$.

14. (12) Найдите целый корень уравнения $|3x-7|=x+5$.

15. Решите уравнение:
    a) (6) $x^2-0,8|x|-0,33=0$;
    b) (11) $16 \cdot 2^{3x}=\frac{1}{32} \cdot 4^{x-3}$;
    b) (4) $3^{2x}-3^x=702$;
    r) (9) $2 \cdot 5^{1-x}-2 \cdot 5^{x+1}+25^x+25^{-x}=26$;
    d) (2) $|x-3|^{x^2-x}=|x-3|^2$;
    e) (10) $x^{1-\frac{1}{3}} \log x^2 - \frac{1}{\sqrt{100}}=0$;
    ж) (9) $2^{|x+2|}-|2^{x+1}-1|=2^{x+1}+1$;
    з) (9) $3\log_2(x+1)^2+12=2\log_2(5-x)^3+2\log_2(5+x)^3$;
    и) (9) $\log_{36}x^2+\log_6(x+5)=1$;