Квант 1985, №7 · Страницы

ISSN 0130-2221
7
1985

Научно-популярный физиком-математической журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Этот воздуший насос был построен в 1658 году (рисунок из сочининия Робerta Boйля 1659 года). Многие конструктивные детали прибора были придуманы и сделаны молдым ассистентом Boйля Робертом Гуком. Это было в самом начале научной деятельности Гука — механика и химка, физика и биология, астронома и архитектора… Статью, посвященную замецательному ученому-значилопедству, мы публикуем в этом номере журнала.

В НОМЕРЕ:

2 Л. Г. Асламазов. Соотношение неопределенностей
9 В. А. Успенский, А. Л. Семенов. Решимые и нерешимые алгоритмические проблемы
16 С. Р. Филонович. Роберт Гук
23 Я. С. Бродский, А. К. Слиенко. Функциональные уравнения и группы
L. G. Aslamasov. The uncertainty principle
V. A. Uspenski, A. L. Semionov. Decidable and undecidable algorithmic problems
S. R. Filonovich. Robert Hooke
Ya. S. Brodski, A. K. Slipenko. Functional equations and groups

Наш календарь
Игорь Евгеньевич Тамм
Our calendar
Igor Evgenievich Tamm

Лаборатория «Кванта»
Л. В. Тарасов, М. Л. Тарасов. Струя воды и…
движущийся кораблик
A. А. Варламов. Из старых опытов
Kwant’s lab
L. V. Tarasov, M. L. Tarasov. Frowing water and… moving toy ships
A. A. Varlamov. From old experiments

Matematический круглок
С. В. Дворянинов, Э. А. Ясиновый. Как получаются симметричные неравенства
Mathematics circle
S. V. Dvoryaninov, E. A. Yasinovyi. Obtaining symmetric inequalities

«Квант» для младших школьников
Задачи
Л. Кэрролл. Синяя гусеница дает совет
Kvant for younger school children
Problems
L. Carroll. Advice from a caterpillar

Задачник «Кванта»
Задачи M931—M935; Ф943—Ф947
Решения задач M911—M915; Ф923—Ф926
Kwant’s problems
Problems*M931—M935; P943—P947
Solutions M911—M915; P923—P926
M. L. Kontsevich. Uniform disposition

Практикум абитуриента
А. И. Буздин, С. С. Кротов. Фазовые превращения
College applicant’s section
A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Phase transformations

Игры и головоломки
В. Г. Чванов. Задча о DOMINIROVANNИ Ферзей
Puzzles and games
V. G. Chvanov. Queens dominate the chessboard

Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (53)
Смесь (8)
Шахматная страница
Цилиндрические шахматы (3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Kvant smiles (53)
Miscellaneous (8)
The chess page
Cylindrical chess (3rd cover page)

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1985

2

Соотношение неопределенностей

Доктор физико-математических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

С квантовой механикой в школе стalkиваются совсем немного. Но даже такая краткая встреча оставляет глубокий след — уж слишком необычен квантовый мир. И хочет, чтобы вы сразу увлеклись этой наукой, лежащей в основе современной физической картины мира. Поэтому давайтеUCTром здесь еще одно свидетель. Будем надеяться, что для некоторых из вас оно послужит поводом к более глубокому знакомству с квантовой механикой в будущеем.

1. Импульс и координата

Немецкий физик Вернер Гейзенберг, открытый соотношение неопределенностей в 1927 году, формулировал его следующим образом: если, исследуя какое-то тело, нам удалось определить проекцию имплуса тела с неопределенностью Δp_x, то мы не смогем одновременно определить соответствующее координату тела с точностью, больше чем Δx≈h/Δp_x, где h=h/2π=1,054·10⁻³⁴ Дж·с — постоянная Планка.

Поначалу это соотношение может вызвать чувство недоумения. Ведь законы Ньютона, которые изучают в школе, позволяют найти закон движения тела, то есть расчитать зависимость координат от времени. Зная закон движения, можно найти проекции скорости тела v (производные от координат по времени) и проекции его имплуса p=mv. Получается, что можно одновременно определить координату и имплусь, и никакого соотношения неопределенностей нет. Действительно, в классической физике все проинсходит именно так, а вот в микромире дело обстоит иначе (рис. 1).

Представьте себе, что надо следить за движением электона. Как это сделать? Глаз — инструмент для этих целей неподходящий. Его разрешающее силы недостаочно, чтобы разгладеть электон. Ну что же, посмотрим на электрон в микросопп. Разрешаюшая способность микросоппа определяется длиной волны света, в котором ведется наблюдание. Для общного видимого света эта величины порядка 1000 ангстрем (≈10⁻⁵ см), и частицы меньше размеров в микросопп не разгладились. Атомы имеют размеры порядка ангстрема, так что найдется различить их, а тем более отделные электроны, не приходит.

3

No daßйте пофантазируем.

Предположим, что нам удалось сконструировать микрокопп, использующий невидимый свет, а электромагнитные волны с меняющей длиной волны, например рентгеновское или даже γ-излучение. Чем жечече соответствует длина волны, тем меньше объекты можно наблюдаать. Казалось бы, такой воображаемый γ-микрокопп был бы идеальным инструментом для наблюдения за электромом. С его помощью можно было бы измерить координату электрона сколь угодно точно. Причем же тут соответствие неопределенностей?

Вдумаемся глубже в этот мысленный эксперимент. Для того чтобы мы получили информацию о положении электрона, от него должен отражаться хотя бы один γ-квант — носитель минимальной порции энергии $\hbar \omega^*$). Чем меньше длина волны, тем больше частота излучения $\omega$ и тем больше порция энергии, которое обладает квант. А импульс кванта пропорционален его энергии. Сталкиваясь с электромом, γ-квант обязательно передает ему часть своего импульса. Таким образом, измеряя координату, мы всегда восемим неопределенность в импульс электрона, и чем точнее мы хотим проверсти измерение, тем больше будет неопределенность. Подробный анализ этого процесса показывает, что произведение неопределенностей $\Delta x \times \Delta p_x$ нельзя сделать меньше, чем постоянная Планка.

Может создаться впечатление, что мы рассмотрели только частный случай, придумали «плохой» прибор для измерения координаты, и можно проверсти измерение города тонше, не «толкая» электрон, не изменя его состояние. Но увы это не так.

Лучшие умы (среди них и А. Эйнштейн) пытались придумать такой прибор, который смог бы измерить координату тела и его импульс одновременно с точностью, большей, чем позволяет соответствие неопределенностей. Но никаку не удалось это сделать. Сделать это просто нельзя. Таков закон приоды.

Все это может показаться несколько туманным, и трудно сразу

*) Энергия кванта $E = hv = \hbar \omega$, где $\omega = 2\pi v$ угловая частота.

Рис. 1. Измерение координаты частцы с точностью $\Delta x$, определением шириной щелки, через которой частца продает, приводит к неопределенности соответствующего проекции импульса частцы $\Delta p$.

4

определения координаты ($\Delta x \sim 10^{-8}$ см — атомные размеры), то неопределность в скорости становится сравнимой с самой скоростью микрочастицы. При описании электронов в atomе соответствие неопределностей уже работает в полной мере, с ним не считаться нельзя. И это приводит к удивительным следствиям.

2. Волны верятности

В простейшей модели atom — модели Резерфора — электроны крупется по орбитам вокруг ядра подбно тому, как планеты движут вокруг Солнца. Но электроны — загруженные частицы, и при их вращении обязательно создаются переменные электрические и магнитные поля — возникает излучение, приводяще к потери энергии. Вот почему в планетарной модели электроны желет независая судьба — они обязательно упадут на ядро, и atom разрушится. Но ведь стабильность atom — это твердо установленный экспериментальный факт.

Нужно было «подправить» модель Резерфора, и сделал это Нильс Бор в 1913 году. Электронам в модели Бора разрешается врашаться только по определенным орбитам, где они обладают строго заданным энергиями. Изменять эту энергию электроны могут только скачком, излучая и поглощая кванты при переходе с одной орбиты на другую. Такое «квантовое» поведение электронов в atomе позволяет объяснить многое — в частиности, устойчивость atom и atomные спектры, но оно противоречит соответствию неопределению. Ведь при движении даже по квантовой орбите импульс и координата могут быть определены одновременно, а в микромире, как мы теперь знаем, такого быть не может.

Пришлось отказаться и от этой модели atom. Картина, описывающая поведение электрона в atomе, оказалась еще более сложной.

Представьте себе, что нам удалось определить положение электрона в atomе в какой-то момент времени. Сможем мы точно сказаать, где он будет в следующий момент (для определенности, скажем, через одну секунд)? Нет, изменение координаты,

5

которые мы привыкли в общий жизни. По образному выражению А. Эйнштейна, приходится «играть в кости» для того, чтобы предсказывать поведение электронов. Без этого, увы, обойтись нельзя.

Итак, в микромире состояние электрона определяется заданием вероятности его обнаружения в разных точках пространства. В нашей наглядной модели меры вероятности будет плотность меток, и можно представить себе, что эти метки образуют некое подобие облака, определяющего образ жизни электрона.

Как устройства облака вероятности? Аналогично тому, как в классической механике законы Ньютона определяют движения тел, в квантовой механике имеет свое уравнение, из которого можно найти «размазку» электрона в пространстве. Такое уравнение придумал в 1925 году авторский физик Эрвин Шредингер (заметьте, раньше, чем было открыто соответствие неопределенностей, то есть раньше, чем проясилась причина размазки микрочастиц — такое в физике бывают). Уравнение Шредингера количественно, точно и подробно описывает atomные явления. Но расскаазать об этом без сложной математики нельзя. Мы приведем здесь просто ответы — показем точные портреты размазки электрона в некоторых случаях.

На рисунке 2 показана схема опыта по дифракции электронов и фотография системы полос, возникающей на экране. Картина совершенню аналогична той, которая возникнет при дифракции света. Если считать, что электрон

Рис. 3. Это, конечно, не фотография реальных электронов, а результат расчета, показывающих, как «размазаны» электроны в atomе. Симметрия этих картинок во многом определяет симметрию молекул и кристаллов. Можно даже сказаать, что здесь находится ключи к попианию красоты упорядоченных форм животной природы.

6

троны движутся по прямолинейным траекториям, как им положено в данном случае по законам классической физики, объяснить этот опыт нельзя. А вот если они размазны в пространстве, то результат опыта можно понять. Более того, из опыта следует, что облако верятности обладает волновыми свойствами. С волнами верятности мы встречемся и в общей жизни — например, волны эпидемии, рождаемости, представности и т. п. В том месте, где амплитуда волны максимальная, — наиболее верятность чем-то произойти. В нашем случае в этих местах с наиболее верятностью можно обнаружить электрон, и также области на фотографии получаются более светлими.

На рисунке 3 представлена размазка электрона в различных состояниях atoma водорода, найденная на основе точных математических расчетов. Чем светлее область, тем верятнее встретить в ней электрон. Рисунки наполняют картины стоящих волн, возникших, когда волновой процесс происходит в ограниченной области пространства. Какие удивительные формы могут принимать обласка верятности! И эти красивые абстрактные картики действительно определяют поведение электронов в atome и объясляют, например, уровня энергии и все, что касается химической связи.

Не вдаваться в детали устройства обlakов верятности, можно с помощью соответствия их характерный размер. Если обlakо верятности имеет размер порядка $\Delta x$, то бессмысленно говорить о большей, чем $\Delta x$, неопределенности в координате частицы. Следовательно, неопределенность импульса частицы $\Delta p_x$ не может быть меньше, чем $\hbar/\Delta x$. По порядку величины это же выражение определяет и минимальное значение импульса частицы.

Чем меньше размер обlakа верятности, тем больше становится импульс и, следовательно, тем быстрее движения внутри обlakа локализации. Оказывается, что уже этих общих рассудений достаточно, чтобы правильно оценить размер atoma.

Электрон в atome обладает кинетическая энергия электрона — это энергия его движения. Она связана с импульсом по известной формуле $E_k = (mv^2/2) = (p^2/2m)$. Потенциальная энергия — это энергия кулоновского взаимодействия с ядром. Для нее также имеется формула: $E_\pi = (-Ke^2/r)$, где знак минус соответствует притяжению, $e$ — заряд электрона, $r$ — расстояние от электрона до ядра, $K$ — коэффициент, зависимости от выбора единиц измерения.

В каждом состоянии у электрона имеется определенное значение полной энергии $E$. Состояние с минимальным энергийным называется основным (невозобуденным) состоянием. Оценим размер atoma в основном состоянии.

Пусть электрон размазан в некоторой области размер $\sim r_0$. Приженение электрона к ядру стремится уменьшить $r_0$, «схлопнуть» облако верятности. Это соответствует уменьшению энергии электрона, которая по порядку величины равна $-Ke^2/r_0$ (при уменьшении $r_0$ растет модель отрицательной величины). Если бы электрон не обладает кинетической энергейой, то он упал бы на ядро. Но, как вы уже знаете, кинетическая энергия у локализованной частицы всегда является сследствие соответствия неопределенностей. Оно и «мешает» электрону упасть на ядро!

При уменьшении $r_0$ увеличивается минимальный импульс частицы $p_0 \sim \hbar/r_0$, а, следовательно, растет кинетическая энергия $\sim \hbar^2/2mr^2$. Из условия равенства нулю производной от полной энергии частицы получаем, что ее минимуму соответствует значению $r_0 \sim \hbar^2/Kme^2$.

которое определяет характерный размер обlakа локализации электрона в основном состоянии, то есть размер atoma. Величина $(\hbar^2/Kme^2)$ равна 0,5 ангстрем, а мы знаем, что такое по порядку величины размеры atомов в действительности. Ясно, что соответствие неопределенностей, позвольшее правление оценить размер atомов, — один из самых глубоких законов микромира.

Для сложных atomов существует определенная закономерность, также неопределенное вытекающая из соответствия неопределенностей. Экспериментально довольно точно определяется работа, которая надо совершить, чтобы выравить электрон из atoma (она равна энергии инцизации $E_\pi$).

8

неважно произходение кинетической энергии — связана ли она с тепловым движением atomов или с нулевыми квантовыми колебаниями. Найболее вероятные кандидаты в незамерзающие жидкости — водород и гелий. В этих легчайших веществ энергия нулевых колебаний максимальная. Но гелий к тому же — инертный газ. Его atoms взаимодействуют друг с другом очень слабо, и расплавить кристаллческую решетку геляя сравнительно легко. Оказывается, что энергии нулевых колебаний в гелии для этого достагоно, и он не замерзает даже при абсолотном нулеле. А вот водород, хотя его atoms и обладают большей, чем у гелия, энергий нулевых колебаний, все-тaki замерзает, так как взаимодействие atoms водорада гораздо более сильное.

Все остальные вещества также замерзают при абсолотном нулеле температур. Так что гелий — единственное вещество, которое при нормальном давлении всегда остается жидким. Можно даже сказаать, что именно соотношение неопределенности не позволяет ему замерзнуть. Физики называют жидкий квантовой жидкость. Она обладает таким удивительным свойством, как сверхтекучесть. Академик Л. Д. Ландду говорил, что жидкий гелий — это окно в квантовый мир.

При давлении около 30 atmosферждий гелий все-taki затвердевает. Твердый гелий, правда, тоже совсем необычный кристалл. В нем нулевые колебания определяют, например, кинетическое энергию atomов на границе, и вследствие этого поверхность кристалла может совершать гигантские колебания, словно граница между двумя неперемешивающимися жидкостями (рис. 4). Твердый гелий физики называют квантовым кристаллом, и его свойства сейчас интегрисовно исследуются.

---

Наш расссказ о соответствии неопределенностей подошел к концу. Надеемся, что читатель постепенно стал привыкать к удивительному квантовому миру, где частицы нельзя оставить, жидкости не замерзают, а электроны размазывны вокруг ядра смытим причудливым образом. Такой мир трудно себе представить. Но его можно понять, и именно в этом, как считал Ландду, состоит главная заслуга совершенной теоретической физики.

Советум прочесть

В 1984 году издательство «Детская литература» вышло книгу профессора М. М. Колтуна «Мир физики».

В книге показан сложный, многообразный и противерный, но вместе с тем единим мир неразрывно связанных физических явлений и процессов, популярю и занимает носящее нахождение, управляющих этим миром, и об истории их открытия. Автору удалось проследить внутреннюю логику развития физики и вскрыть связь этой науки с различными сферами человекаческой деятельности — с другими областями науки, технически и даже с искусством. Книга прекрасно оформлена, в ней много интересных иллюстраций — редких исторических фотографий, красочных схем, репродукций картины, изображений современных прибора и экспериментальных установок. Словом, это — превосходная книга для чтения по физике, способная увлечь любого читателя.

9

Решимые
и нерешимые
алгоритмические
проблемы

Профессор
В. А. УСПЕНСКИЙ,
доктор физико-математических наук
А. Л. СЕМЕНОВ

Алгоритмы

Все мы умеем складывать многоозначные числа — этоу учат в детстве. Давайте задаемся, в чем состоит нашей учение? Когда в пьесе Э. Ионеско «Урок» ученица демонстрирует заменательные способности к переменной десятизначных чисел, потрясенный учитель узнал, что ее способ очень прост — она выучила (беско нечную!) таблицу умножения всех чисел. По-видимому, наш способ — иного рода. Мы знаем единый конечный способ, позволяющий решать бесконечное множество задач. В нашем случае бесконечное множество образуют задачи о нахождения суммы: для каждой пары чисел — свой задача. Способ единый, поскольку он один и тот же для всех задач. Способ конечный в том смысле, что он может быть изложен конечным числом слов (а если бы это было не так, то ведь этому способу нельзя было бы и научить!). Как известно, способ этот называется «сложение столбиком» и состоит в том, что одно число (например, 8257) подписывается сизу под другим (например, 64) с выражением правого края (то есть так: 64/8357, а не, скажем, так: 64/8357) и далее начинается последовательное применение таблицы сложения однозначных чисел (которую нужно заранее вычитать) с переносом, где надо, в следующий разряд. В результате этого постелено будет формуровано число 8421.

Здесь мы не столько изложили способ, сколько напомнили его, будучи утверены, что он известен. Однако читателью было бы полезно записать этот способ на бумаге полностью — так, чтобы его мог понять и использовать человек, не знающий ранее, как складывать многоозначные числа. Упражнение, которое мы предложили читателью, на научном языке формулируется так: записать алгоритм, решающий

10

проблему сложения чисел. Эту и другие проблемы построения алгоритмов мы будем далее формулировать, указая, что от алгоритма требуется, примерно в таком виде:

Проблема. Дано: два произвольных натуральных числа. Требуется: найти их сумму.

Такая форма записи будет служить для нас сигналом, что решение проблемы состоит не в том, чтобы для каждой двух чисел найти свой отделный способ вычисления результат, а в том, чтобы найти единый общий способ, годящийся для всех пар чисел, то есть найти алгоритм (в данном случае — алгоритм сложения).

В этой статье под алгоритм мы будем понимать всякую конечную систему правил, которая задает вычислительной процедусе. Этот процесс начинается с предъявления (подачи на вход алгоритма) произвольного (но выбранного из фиксированной для данного алгоритма совокупности) исходного данного. Процесс может завершиться получением полностоящего определенного этим исходным данным результата; тогда говорят, что результат обращается на выход алгоритма. Однако процесс может продолжаться и неограниченно, у алгоритма результат существует не всегда. Например, алгоритм, вычисывающий частное двух чисел в виде десятичной дроби, может никакого не кончит работать (так 1:3=0,33333…).

Понятие алгоритма принадлежит к числу основных понятей математики. Теория алгоритмов вместе с математической логикой образует функментальный теоретическую базу построения и использования вычислительной техники. Именное начиные алгоритмов для тех или иных задач позволяет решать эти задачи на ЭВМ.

Замечательен сам термин «alгоритм». В самом деле, много ли терминов науки, в состав которых входит географическое название? Подобное навание не сразу разгладишь в слое «alгоритм», однako оно там есть — это навание города «Хорезм». Ведь в основе термин «alгоритм» лежит имя аль Хорезми (что значит «из Хорезма») — велико математика IX века. Крупнейшие математики и алгоритмы всего мира воздали дан основополагающей роли аль Хорезми, съехавшись в сентябре 1979 года в Хорезмскую область Узбекистана, в город Ургенч, где они обсулились вопросы теории алгоритмов и ее приложений на современном этапе. Подобное об этой встрече в Ургенч расссказал один из ее организаторов, академик А. П. Erшов (см. «Квант», 1984, № 8, c. 29).

Мы собираемся продемонстрировать читателю наиболее значительные и наглядные примеры нерешимых алгоритмических проблем, то есть таких алгоритмических problems, для которых не существует решения. Для контраста, эти примеры будут содержать с таким, где алгоритм есть (хотя, иногда и очень сложен) или вопрос о наличии алгоритма еще не решен.

Решение алгебраических уравнений

Выпишем уравнение

$$x^2 + 2 = y^3$$

(1)

и будем интересовать его решениями. Решение в данной случае — это пара чисел (a; b), подчиненная условию $a^2 + 2 = b^3$, например, пара (5; 3).

Решая какое-либо уравнение, надо всегда точно знать, какие числа дозволяет быть в качестве его решения. Если, к примеру, решения уравнения должны служить прирост количества коз в таком-то стаде за такой-то срок, вред ли нас устроит ответ «две трети» (но ответ «минус десять» будет осмыслен: он означает, что количество коз в стаде, к сожалению, не возросло, а уменьшилось). Для уравнения (1) можно интересовать его действительными решениями, то есть парамети действительных чисел, расположенными решениями, то есть парамети расположенных чисел, целыми решениями, то есть парамети целых чисел. Уравнение (1) имеет бесконечно много действительных решения: достаточно взять любое a и положить b = $\sqrt[3]{a^2 + 2}$, тогда пара (a; b) будет решения (вопрос к читателю: можно ли взять любое b и положить a = $\sqrt{b^3 - 2}$?). Нетрудно доказать, что (1) имеет бесконечно много расположенных решения; вот одно из них: (0,383; 0,129). Цельх же решения только два: (5; 3) и (−5; 3). Однако доказать это не легко.

Решение уравнения в целых числах представляется собой очень древнюю (его занимается еще сам Пифогор в VI. в до н. э.) и — в общем случае — очень трудную задачу. Основная трудность состоит в том, чтобы выяснить, имеет ли данное уравнение хотя бы одно целочисленное решение. Например, неизвестно (во всяком случае было неизвестно до срав-

11

нительно недавнего времени) имеют ли решения в целях числа уравнения $x^3+y^3+z^3=30$ и $x^4+y^4+z^4=u^4$.

Задача для читателя. Для каждого из уравнений $x^4+y^4=5z^2$, $3x^2-y^2=1$, $x^2+y^3=z^4$ найдите какое-нибудь решение в целях числа или доказите, что такое решение не существует.

Указание. Об этих и других уравнений в целях числа можно прочесть в популяриных брошюрах: Гельфонд А. О. «Решение уравнений в целях числа», М., 1952. (серия «Популяриные лекции по математике», вып. 8); Серпиский В. «О решении уравнений в целях числа», М., 1961.

Задача «уметь по произвольному алгебраическому уравнению с цельми коэффициентами выяснять, имеет ли оно решение в целях числа» составляется одну из двадцати трех называемых «проблем Гильберта». Что это проблема?

Когда Давид Гильберт (1862—1943), один из величайших математikов XX века, готовил свой доклад на Всемирном математическом конгрессе в Париже в 1900 г., он выбрал 23 пробемы из различных области математики. Эти пробемы были его попыткой «проникнуть в предстоящие условия нашей науки и тайны ее развития в начинащем состоянии». Попытка эта оказалась необсячайно успешной и ценной. И по сея день решения (далее частное) какой-либо пробемы Гильберта расценвается во всем мире как высшее математическое достижение. Обязательным требованием, предъявляемым к действительному фундаментальной пробке, Гильберт считал «возможность изложить ее содержание первогому встречному». Задача о выясении наличия целочисленных решений составляется десятию пробему из списка Гильберта. Читатель может сам судить, в какой степени ее формулировка является общественно. Сейчас мы сформируем десятию пробему Гильберта в соответствии с принятыми здесь стандартами.

Проблема 1 (десята пробема Гильберта). Дано: произвольное алгебраическое уравнение с цельми коэффициентами. Требуется: выяснить, существует ли у данного уравнения решения в целях числа.

Искомый алгоритм: в 1970 г. советский математик Ю. В. Матиясевич доказал невозможность алгоритма, решающего эту пробему (см. «Квант», 1970, № 7, с. 39).

В связи со формулировкой проблемы уместно сделать заменение, примененное не только к ней, но, с соответствующими изменениями, и в других случаях. Алгоритм отыскания какого-нибудь решения любого уравнения, о котором известно, что у него есть решение, существует! Действенный, вот такой алгоритм: надо просто подставлять в уравнение все наборы натуральных чисел. В конце концов будет найден набор, удовлетворяющий уравнению.

Приведем несколько естественных модификаций первой пробемы.

Проблема 2. Дано: произвольное алгебраическое уравнение с цельми коэффициентами. Требуется: выяснить, существует ли у данного уравнения решения в действительных числах.

Искомый алгоритм: существует!

Решение пробемы 2 было получено известным пользователем Альфредом Тарским в 40-e года XX века. О применении этого результата будет говорить далее. В действительности, Тарский построил более общий алгоритм, позволяющий выяснить наличие решения у систем равенств и неравенств.

Чтобы оценить степень нетривиальности алгоритма Тарского, попытаться решить следующую задачу. По произвольному алгебраическому уравнению с цельми коэффициентами и одной неизвестной требуется выяснить, существует ли у него решение в действительных числах. (Ясно, что эта задача — простой частный случай пробемы 2). Если степень уравнения нечетна, сразу можно ответить, что корень уравнения существует. А что, если чета?

Проблема 3. Дано: произвольное алгебраическое уравнение с цельми коэффициентами. Требуется: выяснить, существует ли у данного уравнения решения в рациональных числах.

Искомый алгоритм: существует или нет — неизвестно.

Посмотрите, как близки друг к другу формулировки наших пробем 1, 2 и 3: эти формулировки различются лишь в одном слове. И как, тем не менее, различны ответы на вопрос, существует или нет соответствующей алгоритм. Понятие, удивительное рядом!

12

Преобразование слов

В математике словами называются любые конечные последовательности символов. Например, 1985 — слово длины 4. Слова не только не обязаны обладать каким-либо смыслом, но даже быть произносимыми. Так, БРДРОБЬШ — слово из русских букв (и притом длины 8), хотя и не слово русского языка. Как правило, исходные данные для алгоритмов — это слова. Когда алгоритм задан, определяено и множество букв, то есть символов, из которых составляют слова, подаваемые ему на вход. Такое множество называется алфавитом. Алфавиты, в которых пишутся тексты на естественных языках и языках программирования, печатаются книги, содержат не более несколько сот букв. Многозначные числа, участвующие в «школьных» алгоритмах — это слова в десятибуквенном алфавите, состоящем из букв 0, 1, 2, …, 9; эти буквы, как известно, называются цифрами; а для записи десятичных дробей, помимо этих десяти цифр, используются еще одна буква — запятая.

Современные вычислительные машины работают с двойными словами, состоящими из букв 0 и 1. Чтобы проиллюстрировать гибкость и эмкость понятия «слово», заметим, что пару слов можно закодировать одним словом, например, поставив между членами пары букву, не входящую в алфавит, в котором эти члены записаны. Таким образом, в качестве исходных данных для алгоритмов достаточно расматривать слова, а расматривать в этом качестве пары, тройки и т. д. слов нет нужны. Заметим еще, что часто бывают удобно расматривать слова длины полы; оно называется пустым словом, так как вовсе не содержит букв.

Многие из вас играли в следующую игру. Дается задание, например, «передать волка в козу». Решение:

В чем состоит один шаг переделки? — В замене любой буквы уже полученного слова на любую другую букву русского алфавита, причем так, чтобы получаемый объект (слово в математическом смысле этого слова) оказался слова осмысленным словом русского языка.

Тепер упростим игра — забудем о том, что среди всех последовательностей буквы выделены слова русского языка. Будем считать все (в математическом понимании, то есть как осмысленные, так и бессмысленные) слова в русском алфавите равноправными. Можно ли тогда переделать волка в козу? Ну, теперь это совсем легко:

ВОЛК→КОЛК→КОЗК→КОЗА

Может быть, теперь любое слово можно переделать в любое? Конечно нет — слова должны быть одинаковой длины. Но этого условия и достаточно!

Проблема. Дано: два слова в русском алфавите. Требуется узнать, получается ли одно из другого последовательности замен буквы на букву.

Искомый алгоритм: сравнить длины слов, если они совпадают, то ответ ДА, если не совпадают, то ответ НЕТ.

Заметим, что первоначальная проблема — переделать одно заданное слово русского языка, также очень редко только имеет (конечный!) словарь всех слов русского языка, которые можно использовать в игре, и достаточно запас времени и бумаги. Несложный подчет показывает, что эта задача может быть практическими решения на сегодняших ЭВМ.

Тепер, опять забив о русском языке (но не о русском алфавите) и под словами понятия произвольные конечные последовательности русских букв, условия задачи полы; оно называется пустым словом, так как вовсе не содержит букв.

Преобразование слова за один шаг будет, как и раньше, состоять в том, что в любом месте слова мы заменаем участок, который разрешено заменять, на то, на что его разрешено заменять. При этом все разрешенные замены двусторонние: если участок X разрешено заменять на участок Y, то и участок Y разрешено заменять на участок X. Например, если спи-

13

сок разрешенных замен таков, какой мы только что выбрали, то преобразование за один шаг может быть таким: БААБ — БББББ, или таким: БАБ — АБАБ, или таким: БАВА — БААА.

Проблема. Дано: два слова в русском алфавите. Требуется: узнать, можно ли передать одно в другое, пользоваться следующей системой разрешенных замен:

АВ BB AY BY DBA DYB BВА
ВА BB YA YB BD YD BВА

Искомый алгоритм: не существует. Это доказал советский математик Г. С. Цейтин, придумавший указанную систему замен.

Подобную проблему в общем виде (то есть любой системы разрешенных замен) впервые поставил известный норвежский математик Аксель Туэв в 1914 году. Сам он доказал существование алгоритма в ряде частных случаев.

Туэ особо выделил случай, когда во всякой разрешенной замене один из членов — пустое слово, и, таким образом, всякая разрешенная замен состоит в том, что можно в любое место имеющегося слова встать указанное в замене слова или вычернуть его. Например, вставляя и вычеркивая слова АБ и BA, можно из слова АБББА получить БАБАБ. Попытательность построить требуемый алгоритм для вставок и вычеркивания АБ и BA, то есть для такого списка разрешенных замен:

АВ
пустое слово
ВА
пустое слово

(Уже этот простейший пример важен для раздела алгебры, называемого «теория групп».)

Для любого набора разрешенных вставок-вышеркивания алгоритм, установливающий, можно ли передать одно слово в другое, существует. Показал это советский математик С. И. Адян в 1966 году.

Элементарная геометрия

Мы не имеем здесь возможность дать детальное определение, что такое элементарная геометрия в строом смысле, уточняемом с помощью математической логики. Постараемся, однako, дать приближательное описание. Исходными понятями элементарной геометрии служат точки, прямые, плоскости, отрезки, окружности, сферы, отношения «лежать на», «лежать между», «быть конгрузными» и т.п. Допускается образование новых понятений — но без использования многооточий и оборота «и так далее» (в этом пункте строое математiko-logичское представление об элементарной геометрии расходится с распливчатым традиционным). Например, понятие треугольника принадлежит элементарной геометрии: ведь треугольник можно определить как такие три отрезка $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$, что $A_2=A_3$, $A_4=A_5$, $A_6=A_1$. А вот общее понятие ломаной не принадлежит элементарной геометрии, потому что в его определении участвует многооточие и слова «и так далее»: ломаная — это набор отрезков в $A_1A_2$, $A_3A_4$,… (здесь многооточие!), $A_{n-1}$, $A_n$, таких, что $A_2=A_3$, $A_4=A_5$ и т.д.

Проблема. Дано: утверждение элементарной геометрии. Требуется: проверить, истинно ли оно.

Искомый алгоритм: существует.

Существование алгоритма было, по существу, установлено Тарским в 40-e годы нашего века. Она достаточно просто вытекает из существования того алгоритма Тарского, о котором говорилось ранее. Связь проблем алгебры и геометрии была открыта уже давно (аналитическая геометрия), естественно, что она распространяется и на алгоритмические проблемы.

Результат Тарского выглядит, и действительно является, крайне сильным и даже парадоксальным. Оказывается, существует весма община область классического математики (именно — элементарная геометрия), о которой традиционно считается, что она требует тонкого интеллекта и уж никак не совпадает к типым подсчетам, и в то же время имеется алгоритм, который может проверять истинность теorem этой области (а если нужно, то и искать их доказательства). Утешиться можно лишь тем, что алгоритм Тарского не является реальным: он требует неслыханного большого времени для своего осуществления.

Полезно представить себе: насоклько «близко» начинаются те геометрические утверждения, для которых, несмотря на существование общого алго-

14

ритма, сейчас неизвестна их истинность или ложность.

Вот один наглядный пример. Возьмем движатель круглых банок одинакового диаметра (равного, скажем, 10 см). Мы хотим упаковать их, поставив стойям, в круглую коробку. Это можно сделать, например, так, как показано на рисунке 1). Однако можно расположить банки и более тесно — так, чтобы попадилась коробка меньше шиws размеров. Например так, как показано на рисунке 2. Наконец, упаковка, показанная на рисунке 3, позволяет использовать еще меньше коробку. Спрашивается, можно ли найти круглую коробку еще меньше диаметра, в котором бы впелезли все наши банки? Ответа на этот вопросник не знает, хотя этот ответ и может быть получен с помощью алгоритма Тарского: надо применить этот алгоритм к утверждению, что третья упаковка — наилучшая, и посмотреть, что получится в результате. ДА или НЕТ. Однако этот способ не реализен, поскольку для получения результат работы алгоритма требуется астрономически большее время.

Пример доказательства нерешимости

Предположим, что мы работаем в Вычислительной Центре. В этом центре имеется замечательная Вычислительная Машина. Она может произвольить вычисления по любой программе $p$, написанной на некоторе Языке Программирования, то есть по входному данному $m$ находит результат $p(m)$ программы $p$ (если, конечно, он определен).

Программы можно переумеровать (например, в алфавитном порядке, ведь каждую программу можно считать словом в символах Языка Программирования), составив Библиотеку в сех программи:

$$p_1, p_2, p_3, \dots, p_n, \dots$$

Лучше всего имеет дело с таким программами $p$, которые при любом входном данном $m$ дают результат $p(m)$. Такова, например, стандартная программа для вычисления функции $y=m^2+5m-6$. К сожалению, встречаются и такие программы, которые при некоторых значениях входного данного никакого не заканчивают работы, «зацикливаются», как говорят программы. Так, программа для вычисления десятичной записки функции $y=m/3$ не дает результатата, скажем, при $m=10$.

Это очень непряятное обстоятельство. Ведь если ты такую программу введем в Вычислительной Машина вместе с таким «плохим» исходным данным, работа Вычислительной Машины никакого не окончится, и мы будем только зрятить дорогостощее Машинное Время.

Чтобы это избежать, хорошо бы иметь некоторую процедуру (алгоритм!), которая по номеру программы заранее готовила бы, даст программа с этим номером при выбранном входном данном результатат, или нет.

Проблема. Дано: произвольная пара натуральных чисел $(n, m)$. Требуется: построить алгоритм, выяснойший, заканчивает ли работу $n$-ная программа $p_n$ при входном данном $m$.

Искомый алгоритм: не существует, и мы сейчас это доказем.

Доказательство. (Диазональ Кантopa). Предположим, что искомый алгоритм А существует. Составим таблицу всех программы и исходных данных:

15

Рассмотрим программу $\bar{p}$, результат которого «не такой, как на диагонали», то есть определяемся правлим

$$\bar{p}(m) = \begin{cases} p_m(m) + 1, & \text{ если } p_m(m) \text{ определено, } 0 \\ 0, & \text{ если } p_m(m) \text{ не определено.} \end{cases}$$

Это действительное программа, то есть $p$ вычисляется с помощью алгоритма. (А именно, такого: проверяем условие $p_m(m)$ определено по алгоритму $A$, если оно выполнено, вычисляем $p_m(m)$ и прибавляем единицу, если нет, полагаем $\bar{p}(m) = 0$). Но тогда $\bar{p}$ входит в списк всех программы Виблотекки, под каким-то номером. Обозначим этот номер через $k$ и рассмотрим $p_k(k)$ (элемент по диагонали!).

Если $p_k(k)$ не определено, то $\bar{p}(k) = 0$ и поэтому $\bar{p}(k) \neq p_k(k)$.

Если $p_k(k)$ определено, то $\bar{p}(k) = p_k(k) + 1 \neq p_k(k)$.

В обих случаях $\bar{p}(k) \neq p_k(k)$, что невозможно, либо $\bar{p}$ и $p_k$ — одна и та же программа. Это противоречие завершает доказательство.

Читатель, возможно, хотел бы узнать, почему приведенное выше доказательство называется «диагонально» Кантора». Дело в том, что изящный метод доказательства, использованный здесь, был придуман немецким математиком Георгом Кантором (1845—1918), основателем теории множества. Правда, Кантор устанавливавал совсем другое утверждение. Именно, что множество действительных чисел нельзя запутовать натуральными числами, то есть составить списк всех действительных чисел: $a_1, a_2, a_3, \dots$ (Читатель, которое этот результат показался очень давно — «ведь действительных чисел городадо большие, чем натуральных», мы советем доказать, что все рациональные числа можно запутовать — хотя их тоже «горадство большие, чем натуральных»).

Следуя Кантору, мы доказем (от противного), что даже множество действительных чисел на отрезке [0,1] нельзя запутать. Предположим, что нам удалось это сделать. Расположим наши числа, предположим, число 0,abc где $a$ — любая цифра, отличная от $a_1$; $b$ — любая цифра, отличная от $b_2$; $c$ — любая цифра, отличная от $c_3$, и т. д. Противоречие!

Давайте подведем некоторые итоги. Мы познакомились с понятием алгоритма — важнейшим понятием современной математики и информастики. Разумеется, многие конкретные алгоритмы (например, алгоритм сложения столбком или алгоритм Евклида нахождения общей меры) были известны очень давно, однако общее представление об алгоритме формировалось только в первой половине XX века. Всякая попытка использовать вычислительные машины для решения каких-либо задач начинается с построения алгоритма, решающего эти задачи. Пока нет такого алгоритма, нельзя составлять программу для вычислительной машины. А если оказывается, что нужно алгоритма и не может быть, то бессмысленно и пытается составлять программу. Поэтому результат о невозможности тех или иных алгоритмов имеет очень практический смысл. Кроме того, расуждения, приводящие к установлению такой невозможности, позволяют глубже проникнуть в природу самого понятия «alгоритм».

У читателя может возникнуть вопрос: всякий ли алгоритм можно запустить в программу для вычислительной машины? Ответ: теоретически — да. Слово «теоретически» означает здесь, что ответ утвердительен, если допускать программы сколь годно длины (для написания которых зависит не хватит бумаги, чернил и карнашей на всей Земле) и сколько угодно долго работыЩОе (триллюоны лет). Отметим, что подобного рода допущения глобоко коренятся в математике. (Мы допускаем многоугольники с любым числом сторон. Мы верим, что алгоритм сложения столбком позволяет числа любых размеров, хотя и осознаем, что если в слабаемых большие знаков, чемAtomов в Земном шаре, то не вплоне ясно, как такие слагаемые записать, да и число шаров при их сложении окажется астрономически велико…) К тому же и возможности вычислительной техники непрерывно растут. Если первые вычислительные машины совершили сотни операций в секунду, и управлялись программими, составленные десятиков команда, то быстроенные современных машин доходят до сотни миллионов операций в секунду, а размер их программи — до сотен тысяч команда. Приятно считать, что возможности машины удесяертиется за каждое пятилетие. Разумеется, тем не менее, оценки и размеры алгоритма и числа шаров его работы имеют первостепенно важность. Но это — тема отдельных серверных обсуждений.

16

Роберт Гук
(к 350-летию со дня рождения)

Кандидат
физико-mатематических наук
С. Р. ФИЛОНОВИЧ

Здание Грешем-колледжа.
В этом доме Гук жил и работал почти пятьдесят лет.

В истории науки есть периоды, когда происходитила кругая ломка представленной о природе и методах ее исследования. Такие периоды принято называть научными революциями. Одна из них относится к XVII столетию, в течение которого были заложены основы многохарактеристикой физики. Характер революции в физике XVII века определялся, прежде всего, обращением ученых к эксперименту как средству познания законов природы. Одним из величайших эксперименторов—the эпохи был Галилей. Его простые, оструемые и очень убедительные опыты вдохновили многох력 ученых на исследование в развитие области физики. XVII столетие чрезвычайно расширило круг изучаемых физических законов и явлений. При этом научная специализация еще не зашла в то время очень далеко, и многие выдающиеся учены успешно работали сразу в нескольких областях физики. К таким ученым-учиверсалам относится Галилей, Кеплер, Гюйгенс, Ньюотон. К этому перечню следует добавить и имя выдающегося английского естественногоателя Roberta Гук, который по широте научных интересов и разнообразию полученных им результатов занимает одно из самых заметных мест вblicяшей плеяде ученых XVII века.

О жизни этого ученого, о его научной деятельности и о судьбе его работ мы рассакjem в этой статье.

17

Роберт Гук родился 18 июля 1635 года в местечке Фрешутер на английском острове Уайт в семье настоящего местной церкви. Отец хотел, чтобы Robерт тоже стал священником, но от этих планов пришлось отказыться. У мальчика было такое слабое здоровье, что он даже не мог ходить в начальную школу вместе со сверстниками. (Более преследовали Гука всю жизнь, и это сказалось на его характере: современники часто отмечали его вспыльчивость, резкость и раздражительность.)

Имея большой доступ, юный Гук много времени посвящал конструкрованию и моделированию различных устройств и механизмов. Можно сказать, что страсть к изобретательству проявилась у него еще в раннем детстве. Однако безмятежная жизнь в семье была рано превращена трагическим собитием. Когда Roberty было 13 лет, умер его отццей, и Гук пришлось задуматься о своем будущеем. Стремясь с пользователем оставшись ему в наследствю 100 футов стерлингов, Гук поступает учеником к одному лондонскому живописцу. Однако вскоре он убеждается, что и без специальной подготовки достаточно хорошо рисует, а запах масляной краски вызывает у него головную боль. Отсюда и решение уйти от живописца и поступить в школа извлечного педагога Р. Башби. В школе Robерт изучил латинский и греческий языки, познакомился с геометрией Евклида, одним словом, получил подготовку, достаточно для поступления в университет.

В 1653 году Гук становится студентом знаменитого Оксфордского университета. К тому времени деньги, оставленные ему отцом, были исчерпаны, и молодому человеку надо было искать средства для продолжения учебных. Robерт устанавливается хористом в церковь. Однако петь ему пришлось недолго, поскольку очень скоро он находится место, лучше отвечающей его склонности: молодого человека берет к себе в качестве ассистента химик Т. Уиллис. Видимо, Гук работал добросовестно, и Уиллис рекомендовал его в том же качестве молодому аристократу, увлеченному научкой, имя которого вошло во все учебники физики, — Roberty Бойлю.

Бойль, человек столбя же знатийный, сколь и богатый, не желая участвовать в сложной политической борьбе, раздирашей Англлю в середине XVII века, удалился в Оксфорд, где на свои средства организовал химический laboratorium. Ранее он получил прекрасное образование во Франции, Италии и Швейцарии и занимался научными исследованиями не как дилетант, а в полне професссионально. К тому времени, когда Гук стал его ассистентом, Бойль был заинтересован изобретением О. Геррике воздушным насосом и опытами, произведенными немецким естественспытателем с помощью этого устройства. Понимая, что конструкция насоса Геррике далека от совершенства и что для проведения количественных экспериментов

18

Отрывки из сочинений Гука

Без обращения к первосточикам невозможно составить правильное представление о том, как излагали свои взгляды учены прошло. Иноzdда современная формулировка закона, посчитаю имя того илиного ученого, в действительности очень сильно отличается от той, которую давал ему автор. Но чаще знакомство с работами классиков естественного вызывает восхитение именно тем, как точно учены прошло удавалось представлять свои идеи: высказанные или несколько столетый назад сужения звучат волне современно. Последнее относится к многим работам P. Гука. Мы предложаем читателю несколько отрывков из произведений ученого, касающиеся природы света и закона управления.

Публикацию подготовил С.Р. Филонович.

О свете

«Свет — колебательное илирожательное движение в среде…, произходшее из подобного же движения в светящемся теле, подобно звуку, который обычно объясняет продолжательным движением среды, проводящей его, взвванием продолжательным движением звучшего тела. И также как в звуке пропорциональные колебания производят различные гармоники, так и в свете различные страны и приятные цвета создают при смешении пропорциональных и гармоничческих движений. Первые воспринятия ухом, а вторые — глазом.»

В следующем отрывке речь идет о возниклении световой волны и, по существу, воздействия о фермерском волновом фронте.

«…свет распространяется с одинаковой скоростью, откуда необходимо, чтобы каждый импульс или колебание светящемся тела возбудал сферу, которая непрерывно увечивалась бы так же, хотя и намного быстрее, как волны или круги на поверхности воды расходятся вокруг точки,

(Продолжение см. на c. 20)

требуется ее сервершенствование, Бойль поручил Гуку занять этим вопросом. Новый ассистент блестящие справился с заданием.

На рисунке 1 изображен внешний видстройства, которое вошло в историю физики под названием «насос Бойля — Гука». Используя этот насос, Бойль выполнил цикл экспериментов, которые привели к установлению одного из основных газовых законов, впоследствии названного «законом Бойля — Мариотта» *).

Итак, еще во время учебы в университете Гук приобщился к научным исследованием. Закомство с Уиллисом и Бойлем имело для начинающего ученого особое значение еще и потому, что они вели Гука в крупок любительей естественногония, регуляро собственнойся в Оксфорде, многие члены которого несколько лет спустя (в 1660 году) стали основателями Лондонского Королевского общества (Академии наук Англлии). Члены крупка были хорошо осведомлены о талантах Гука, и когда в 1662 году встал вопрос о кандидаттуре на должность демонстратора Королевского общества, они без колебаний обратились к Гука. Гук приял это предложение. В его обязанности входила подготовка трех-четырех экспериментов, которые демонстрировались на еженедельных заседаниях Королевского общества.

Середина XVII века — это время, когда экспериментальные исследования только входят в практику учены. Поэтому Гук приходит осеньмного работать, чтобы удовлетворить требования человека человека, ведь он должен был не только ставить опыты, придуманные им самим, но и повторять эксперименты, сообщения о которых до Англлии, проводить астроνομические наблюдения и т. д. И Гук с целью справлялся с этим обязаностями в течение нескольких десятилетий.

С 1665 года Гук становится профессором геометрии в Грешем-коледже и читает там lekции. В 1666 году меценат Кутлер предложает Гука за довольно большое вознаграждение начать чтение lekций для членов Лондонского Королевского общества по различным проблемам науки. Гук, нуждающийся в средах, принимает и это предложение, и в течение многих лет регуляро выступает с lekциями на разнообразные темы.

Кажется, что дел, которые занимаются Гук,xbатилю бы на несколько лодей. Но он находится все новые применения своего таланту. В 1666 году произошло трагическое событие: в результате страшного пожара была уничтожена значительная часть англійской столицы (он вошел в историю как Бойшой Лондонский Пожар — с большой буквы). Сразу после трагедии отцы города обращались в Королевское общество с просбой предста-

*) Результаты независимых исследований французского физика, Э. Мариотта были опубликованы спустя 14 лет после выхода в свет основной работы P. Бойля.

19

вить проекты перестройки Лондона. Гук за несколько недель подготовил оригинальный проект. По его плану улицы Лондона должны были пересекаться стого под прямыми углами. Хотя этот план не был принят (идея ученого была вопросена в жизнь лишь значительное позже, при застройке Нью-Йорка), проект Гук оценен по достоинству, и он был привлечен к работе по перестройке Лондона в качестве смотрителя. В конце 60-х — начале 80-х годов под руководством Гука в городе было возведено множество зданий. Получили известность и работы Гука как архитектора. В частности, по его проекту было возведено здание печально знаменитой больницы Марии Вифлеемской, превращенной в последствия в дом для умалишенных. Ее второе название — «Бедлам» — стало нарушательным и обозначает хаос, неразбериху. К сожалению, ни одно из зданий, построенных по проекту Гука, до наших дней не сохранили.

Вот так, в непрерывной, неустанной деятельности проектили дни Робerta Гука. Однако средние множества его занятый основное место, безусловно, принадлежит научным исследованием. Какими же открытиями и изображениями обогатил Гук научу?

Как уже говорилось, своего научного работу Гук начал с участия в экспериментах Бойля. Однако из открытий Бойля послужило темой и первого самостоятельного исследования Гука. Бойль затем, что жидкость в тонких трубках (капилларах) не подчиняется закону сообщающихся сокудов: вода в стеклянном капиллере поднимается выше уровня воды в широком сосуде. Гукtlsательно исследовал явления подобного рода, которые получили названия капиллярных. Выяснить их причину он не смог, но им было сделано несколько важных наблюдений и обобщений. В частности, он установил связь между капиллярностью и движением соков в стволах деревьев.

Важной особенность творчества Гука была глубокая взаимосвязь проблем, которые он знамался. На это обстоятельство надо обратить особое внимание, поскольку широта интересов Гука необсячна. Ярким примером разнообразия занимающих его вопросы является «Микрофрагфика» — самое известное произведение Гука, изданное в 1665 году.

В этой относительной небольшей книге Гук описывает множество наблюдаемых, произведенных с помощью усовершенствованияного им микросопа. На рисунке 2 показан внешний вид этого микросопа, а на рисунке 3 — изображения микросопических объектов, исследований Гуком. (Эти и другие рисунки для книги «Микрофрагфика» Гук выполил сам.)

Усовершенствование микросопа позволяет Гуку проверить уникальные по систематическому и разнообразию наблюдаемых. Исследование глаза мужи было настоящим научным открытом — Гуку удалось обьясить, почему полез зрения этого насекомого очень велико. «… ряды глаз располо-

Рис. 2. Микросопон Гука.
Рис. 3. Изображения микросопических объектов, исследований Гуком: грибница плеесени; «мозаичный» глаз мухи; различные типы снежинок.

20

где от упавшего камня началось движение. Из этого следует, что все части этих сферы волнообразно распространяются через однородную среду, пересекая лучи под прямыми углами.»

Гук одним из первых исследовал цвета тонких пленок. Он пытался объяснить возможности сложения «импульсов» — волны, отражения от различиной поверхности пленки. По поводу этого объяснения Т. Юнз, впервые формулировавший закон интерференции, писал, что среду ученых, занимающих оптикой, только у Гука есть намек на прицили интерференции.

«После двух предложений и одного отражения распространяется род ослабленного луча, который ослаблен не только вследствие двух предложений, но и вследствие потери времени, необходимого для прохождения луча туда и обратно между двумя поверхностями… Ослабленный импульс подходит к первому отражению импульсу так, что смешанный или удвоенный таким образом импульс, передняя часть которого более сильная…, вызывает на сетчатке опущение желтого цвета. Если немного удалить поверхности друг от друга, то ослабленный импульс совпадает со вторым или следующим импульсом, отраженным от первой поверхности, отставая от него, затем с третьим, четвертым, пятым, шестым, седьмым или восемым… Таким образом, если есть тонкое произведение тело, толщина которого возрастает…, то цвет будет повторяться столь же часто, на сколько ступеней отстает ослабленный импульс от первого начального или первого импульса, совпадает с последующими.»

(Окончание см. на c. 22)

жены таким образом, что нет ни одного направления, видимого от головы, на которое не были направлены несколько этих полусфер, так что справедливо говорят, что муxa имеет глаза во всех направлениях и что она действительное обозревает все вокруг себя. Замечено также, что когда муxa подвигает свое тело назад, эти поверхности поднимаются над поверхностью ее плеечей и спины, так что она может смотреть над своей спиной»,— так Гук описывает глаза муxa.

Среди других биологических наблюдений в первую очередь надо отметить описание клеточного строения растений. Сам термин «клетка», прочно вошедший в язык науки, был введен Гуком.

Хотя «Микрофрагия» в основном посвящена описанию микросоппических наблюдений, в ней не мало страниц, где обсуждаются вопросы из разных областей естественногоника. Так, Гук касается вопросов, связанных с превматическими и барометрическими опытами; вовь обсуждает явление капиллярности; излагает оригинальную теорию тела и горения; описывает свои астрономические наблюдения. Среди астрономических проблем, которые затрагивают луниных кратеров. Для ответа на него учены стали моделиные опыты; он наблюдается образованным/herновостем, похожих на кратеры, на поверхности кипящого альбестра и на поверхности размягченной глины, в которой падают небольшие ядрышки. Эти моделиные эксперименты можно рассматривать как косвенное обоснование двух основных современных гипотез о проискждении кратеров на Луне: вулканической и meteorитной.

Среди наблюдений и гипотез, касающиеся самых различных проблем, особое значение для развития физики имела та часть книги, в которой Гук обсуждал вопрос о природаве света. Занитересовавшись явлением цветов тонких пленок и выполив целяй ряд оринитальных наблюданий, он формулировал гипотезу о природаве света, которое считают истоком волновой теории света.*) Гук приобрел такой авторитет в этом вопросе, что именно ему руководство Лондонского Королевского общества поручило в 1672 году высказатьскуюждение о работе по теории цветов, представленной в Общество И. Ньюотоном. В работе Ньюотона были высказаны некоторые сообщения, касающиеся природу света, с которых Гук не согласился. Будучи человеком решительным, он выступил с резкой критикой точки зрения Ньюотона. С этого времени в течение ряда лет Гук и Ньюотон полемизировали по вопросам оптики.

В истории физики имя Гука наиболее прочно связано с формулировкой закона ургогости, известного как домому старшекласснику как «закон Гука». Исследованиями ургогих свойства веществ Гук

*) Читателью, желающей составить представление о том, как Гук формулировал свои научные представления, мы предлагаем ответки из работ Гука по оптике (с. 18) и механике (с. 22).

21

занитесовался еще в юности, когда принимал участие в опытах Бойля. Затем он столкнулся со скодными проблемами, занявшись конструктивным хронометра со спиральнойружиной. Итом работ Гука в этой области стала его lekция «О восстановитель способности, или об управости», изданная отдельной брошюрой в 1678 году, в которой формулирован закон управления.

В своей лекции Гук описал множество опитов с управими телами, обобщением результатов которых и стал знаментийной закон. На рисунке 4, записованием из указанной брошюры, показаны схемы опитов Гука по исследованию различных видов деформаций. Характерно, что Гук подходил к этим исследованиям, с одной стороны, как практик, изучая, например, деформации часовныхружин или изгиб деревянных балок, используемых в строительной практике, а с другой — как ученый-естественныйатель, проводящий точные количественные эксперименты и делаюший глобкие обобщения. (Отметим также, что закон управления — это один из немногих научных результатов, приоритет на который всегда за Гуком.)

Наконец, еще одна проблема физики, включая Гука в решение которого весма значительен, — это теория гравитации. Как и многими другими вопросами, гравитацией Гук запointerсовался еще в начале своей научной карьеры. В первые годы деятельности Лондонского Королевского общества он проводил опыты, в которых пытался выяснить, меняется ли сила притяжения, действующая на тело со стороны Земли, при изменении расстояния от центра Земли. Ожидаемых результатов Гук не получил, но не потерял интерес к этой проблеме.

Занятия астрономией, в частности попытка обнаружить параллельное недоввижных звезд — явление, которое неисредственно доказывает движение Земли вокруг Солнца, побудили Гука изложить свои взгляды на движение и взаимодействие тел. В 1674 году он опыликовал работу «Попытка доказать движение Земли наблюдениями», где, в частности, указал на существование универсальной силы гравитации. Однако найти функцию, определяющую зависимость этой силы от расстояния между взаимодействующими телами, Гук не смог. Некоторые время спустя он обработался к Ньюотону с вопросом о возможном виде этой функции, а затем высказал предположение, что сила гравитации подчиняется закону обработных квадратов. Ньюотон в своей знаментийной книге «Математические начала натуральной физики», где он изложил основные законы диамники, даже не упомянул о заслуках Гука в изучении гравитации, чем глубоко его осkopил. Между Гуком и Ньюотоном, как и в случае дискусии о природаве света и цветов, резко обстрились отношения. Известный советский физик и историк науки С. И. Вавилов в научной биографии Ньюотона по этому поводу писал: «Ньюотон был, оченьindo, неправ:

23

Функциональные уравнения и группы

Я. С. БРОДСКИЙ, А. К. СЛИПЕНКО

С функциональными уравнениями вы, наверное, знакомы, хотя, может быть, и не знаете, что они так называются. Так, именно функциональные уравнения $f(x)=f(-x), f(-x)=-f(x), f(x+a)=f(x)$ задают такие свойства функций, как четность, нечетность, периодичность.

Вообще же функциональное уравнение — это некоторое соответствие, из которого нужно найти неизвестную функцию.

Например, $f(x+1)+f(x)=x,$
$2f(1-x)+1=xf(x),$
$xf(x)+f\left(\frac{4}{2-x}\right)=x$.

Изучать функциональные уравнения математики начали более двухсот лет назад, когда к ним приведенные задачи механики. Большой вклад в изучение таких уравнений внес О. Коши (1789—1857). На страницах нашего журнала уже рассматривалось функциональное уравнение $f(x+y)=f(x)+f(y)$, носящее его имя*). В данной статье мы рассмотрим один из методов решения функциональных уравнений, использующий важнейшее понятие современной алгебры — понятие группы.

Композиция функций

Вы, конечно, заметили, что число исходных, основных функций, изучаемых в школьном курсе математики, сравнительно неевелiko. К ним, например, относятся линейная, степенная, показательная, тригонометрические функции. Другие функции по лучиются из основных при помощи композиций и алгебраических действия.

Так, функция $f(x)=\sin(2x+1)$ является композицией линейной функции $g(x)=2x+1$ и тригонометрической функции $h(x)=\sin x$, т. е. $f(x)=h(g(x))=(h\circ g)(x)$.

Функция $f(x)=\lg \arcsin x$ получена в результате композиции функций $g(x)=\arcsin x$ и $h(x)=\lg x$. Обратите внимание на то, что в области определения композиции $h\circ g$ входят те значения $x$ из $D(g)$, для которых $g(x)\in D(h)$. В последнем примере $D(g)=[-1; 1], D(h)=] 0; \infty$. [. Так как $\arcsin x>0$ при $x\in] 0; 1]$, то $D(f)=] 0; 1]$.

Если взять композицию этих же функций в обратном порядке, то есть функцию $f(x)=\arcsin \lg x$, то получим $D(f)=\left[\frac{1}{10}; 10\right]$.

Композиция дробно-linейных функций $g(x)=\frac{-2x+1}{3x+2}$ и $h(x)=\frac{3x-2}{-x+4}$ являются функциями $f(x)=h(g(x))=$
$$\frac{3\cdot\frac{-2x+1}{3x+2}-2}{-\frac{2x+1}{3x+2}+4}=\frac{-12x-1}{14x+7}, x\neq-\frac{2}{3}.$$
Здесь $D(f)=R\left\{-\frac{2}{3},-\frac{1}{2}\right\}$.

Как правило, $f\circ g\neq g\circ f$. В то же время для любых функций
$(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)$,

что непредставлено вышекает из определения композиции.

Уражения

1. Найдите композиции $f_1\circ f_2$ и $f_2\circ f_1$ следующих функций:
   $f_1=\frac{x-2}{3x+4}, f_2=\frac{2x+3}{5x-1}$.

2. Найдите область определения композиции $1-x^2$ и $\sqrt{x}$.

3. Пусть $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. Найдите $f\circ f\circ f\cdots f$.

Функциональные уравнения

Решим следующую задачу.
Задача 1. Найдите все функции $y=f(x)$ также, что
$$2f(1-x)+1=xf(x).$$

24

Решение. Предположим, что существует функция $f(x)$, удовлетворяющая данному уравнению. Заменив $x$ на $1-x$, получим

$$2f(x) + 1 = (1 - x)f(1 - x).$$

Из (1) находим $f(1 - x) = \frac{1}{2}(xf(x) - 1)$.

Подставляя значение $f(1 - x)$ и уравнение (2), получим

$$2f(x) + 1 = (1 - x) \cdot \frac{1}{2} \cdot (xf(x) - 1),$$

откуда $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - x + 4}$.

Неосредственной проверкой убеждаемся, что полученная функция удовлетворяет уравнению (1).

В рассмотренном уравнении подзнаком неизвестной функции стоит функция $f_1 = x$ и $f_2 = 1 - x$. Замена $x$ на $1 - x$ переводит функцию $f_1$ и $f_2$ друг в друга. В результате подстановки $x \rightarrow 1 - x$ получено еще одно уравнение, содержащое $f(x)$ и $f(1 - x)$. Решение функционального уравнения мы свели к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим теперь более сложную задачу.

Задание 2. Решите уравнение

$$xf(x) + 2f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) = 1.$$

Решение. Попробуем действовать так же, как и в первом случае. Выполним замену $x \rightarrow \frac{x - 1}{x + 1}$. Получаем

$$\frac{x - 1}{x + 1}f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) + 2f\left(-\frac{1}{x}\right) = 1.$$

Наряду с выражениями $f(x)$ и $f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$ у нас появилось новое «неизвестное» $-f\left(-\frac{1}{x}\right)$. Попробуем применить в (3) еще одну подстановку: $x \rightarrow -\frac{1}{x}$. Имеем

$$-\frac{1}{x}f\left(-\frac{1}{x}\right) + 2f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right) = 1.$$

Кроме $f\left(-\frac{1}{x}\right)$, в уравнении появилось «неизвестное» выражение $f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)$. Что же, попробуем выполнить в (3) подстановку $x \rightarrow \frac{x + 1}{1 - x}$. И, наконец, удаляем. Получаем

$$\frac{x + 1}{1 - x}f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right) + 2f(x) = 1,$$

где новые неизвестные не возникли — построена система четырех линейных уравнений (3) — (6) с четырьмя неизвестными $f(x)$, $f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$, $f\left(-\frac{1}{x}\right)$ и $f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)$. Последовательно исключаем $f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$, $f\left(-\frac{1}{x}\right)$, $f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)$, найдем $f(x) = \frac{4x^2 - x + 1}{5x(x - 1)}$ ($x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1$).

Как и при решении уравнения (1), мы предполагали, что функция, удовлетворяющая (3), существует. Проверка показывает, что $f$ удовлетворяет уравнению (3).

Появляются группы

Попробуем разобрать почему нам удалось решить уравнение предыдущого параграфа.

Рассмотрим еще одно уравнение

$$f(x + 1) + f(x) = x.$$

Оно выглядит не более «страшным», чем уравнение (3), одnakо все попытки решить его тем же способом оказаться тщетными: при замене $x \rightarrow x + 1$ появляется «неизвестное» $f(x + 2)$, и так далее. Цепочка не заменяется: мы никогда не получим линейной системы.

Вспомним, что, решая первое уравнение, мы выполнили подстановку $x \rightarrow 1 - x$. При этом $1 - x \rightarrow x$. То есть две функции $g_1(x) = x$ и $g_2(x) = 1 - x$ по отношению к операции композиции ведут себя так $g_1 \circ g_2 = g_2 \circ g_1 = g_2$, $g_2 \circ g_2 = g_1$, $g_1 \circ g_1 = g_1$.

Рассмотрим таблицу «умножения» (на пересечении строки с номером $i$ и столбца с номером $j$ стоит $g_i \circ g_j$).

В каждой строке и каждой столбце этой таблицы встречаются и $g_1$ и $g_2$.

Допустим теперь, что нам нужно

25

решить уравнение

$$a(x)f(x) + b(x)f(1-x) = c(x),$$

(*)

где $a, b, c$ — неокоторые функции. Ясно, что выполняя подстановку $x \rightarrow 1-x$, мы получим уравнение

$$a(1-x)f(1-x) + b(1-x)f(x) = c(1-x),$$

(**)

которое вместе с уравнением (*) образует линейную систему относительной функции $f(x)$ и $f(1-x)$. Дальше решение будет развивать так же, как и при решении задачи 1.

Во втором рассмотрении примере мы делали подстановки

$$x \rightarrow \frac{x-1}{x+1}, x \rightarrow -\frac{1}{x}, x \rightarrow \frac{x+1}{1-x},$$

то есть имена дело с функциями

$$g_1(x) = x, g_2(x) = \frac{x-1}{x+1},$$

$$g_3(x) = -\frac{1}{x}, g_4(x) = \frac{x+1}{1-x}.$$

Постотрим, как ведут себя функции $g_1, g_2, g_3, g_4$ по отношению к операции композиции. Составим таблицу 2, аналогично таблице 1 (в пересечении $i$-й строки и $k$-го столбца запишем $g_i \circ g_k$).

Таблица эта симметрина относительно своей диагонали (это значит, что $g_i \circ g_k = g_k \circ g_i$ при любых $k$ и $i$). Кроме того, все функции $g_i$ встречаются в каждой строке и каждом столбце равно один раз, и, наконец, легко заметить, что $g_3 = g_2^2, g_4 = g_3^2, g_1 = g_2^4$. Здесь $g_i^2 = g_2 \circ g_2 \circ \dots \circ g_2$.

Таким образом, система функции $G = \{g_1, g_2, g_3, g_4\}$ обладает следующими свойствами: а) она замкнута относительно композиций; б) среди этих функций есть тожественное отображение $g_1(x) = x$; в) у каждой из функций $g_i$ есть обратная $g_i^{-1}: g_1^{-1} = g_1, g_2^{-1} = g_4, g_3^{-1} = g_3, g_4^{-1} = g_2$.

Теми же свойствами обладает и система функции $G = \{g_1, g_2\}$ из примера 1.

Если бы теперь нам предложили решить любое функциональное уравнение вида

$$a(x)f(x) + b(x)f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) + c(x)f\left(-\frac{1}{x}\right) + d(x)f\left(\frac{x+1}{1-x}\right) = h(x),$$

(***)

мы сделали бы это, выполив замены $x \rightarrow g_2(x), x \rightarrow g_3(x), x \rightarrow g_4(x)$, после чего пришли бы к линейной системе. Для примера запишем, что получится из (***) после замены $x \rightarrow g_2(x)$.

При этом $g_2(x) \rightarrow g_3(x), g_3(x) \rightarrow g_4(x), g_4(x) \rightarrow g_1(x)$, так что получится уравнение

$$a\left(\frac{x-1}{x+1}\right)f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) + b\left(\frac{x-1}{x+1}\right)f\left(-\frac{1}{x}\right) + c\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \cdot f\left(\frac{x+1}{1-x}\right) + d\left(\frac{x-1}{x+1}\right)f(x) = h\left(\frac{x-1}{x+1}\right).$$

Теперь даим следующее определение.

О пределене. Произвольное множество $G$ функции, определяемых на некотором множество $M$, называется epynnoi относительно операции $\circ$, если оно обладает теми же свойствами, что и система $(g_1, g_2, g_3, g_4)$, то есть

1. Для любых двух функции $f \in G, g \in G$ их композиция $f \circ g$ тоже принадлежит $G$.
2. Функция $e(x) = x$ принадлежит $G$.
3. Для всякой функции $f \in G$ существует обратная функция $f^{-1}$, которая принадлежит $G$.

Это определение есть частный случай общего определения понятия группы — одного из важнейших понятий современной математики. Подробно и популярино основные понятия теории группы изложены в книге П. С. Александрова «Введение в теории группы» (Библиотека «Квант», вып. 7, М.: Наука, 1980).

Два примера группы функции мы уже видели. Приведем еще несколько примеры.

a) Множество $G$ линейных функций $f(x) = ax + b$, ($a \neq 0, b \in R$);

б) $G = \{x, \frac{1}{1-x}, \frac{x-1}{x}\} \in R\{0, 1\}$;

b) $G = \{x, \frac{1}{1-x}, \frac{x-1}{x}\} \in R\{0, 1\}$;

28

Струя воды и … движущий кораблик

Кандидат физико-математических наук
Л. В. ТАРАСОВ,
М. Л. ТАРАСОВ

Уже несколько раз на страницах «Лаборатории «Квант» рассказывалось об очень интересном и важном физическом явлении — о наличии реакции вытекающей струпи и об отсутствии реакции втекающей струпи жидкости (см. «Квант», 1978, № 9; 1980, № 9).
В этом номере публикуется еще одна статья на эту тему.

Начнем с рассказа об одной забытой детской игрушке, которая была достагоно популярной в 30-e годы. Называлась она «Самоходный катер». Сейчас эту игрушку в магазинах уже не продают, но ее нетрудно сделать своим рукам дома или в кружке «Умелы руки».

Устройство «Самоходного катера» изображено на рисунке 1. На лодочке 1 укреплена герметичная жесткая плоская коробочка 2, которая может подогреваться свечой 3 (в современных опытах вместе сечи лучше использовать таблетку сухого спирта). Из коробочки под доно лодки выходит изогнутая металлическая трубка 4 (плотность соединений обеспечивает пайкой 5). Для большого эффекта одну стороны коробочки можно изготовить в виде щелкаюшей_memбраны (см. «Юный техническ», 1983, № 8, с. 65).

Работа эта игрушка следующим образом. Жестная коробочка заполнялась водой (через отверстие с пробкой 6), и игрушка опускалась на поверхности воды. Затем зажигалась свеча. Через некоторое время лодка начинала двигаться — сначала медленно и плавно, потом рыбами,

29

издавая характерные звуки, имитирующие работу паровой машины. Идвигалась все время, пока горела свеча.

Попробуем теперь разобраться в том, почему же движется «самоходный катер».

Когда мы зажигаем свечу, вода в коробочке нагревается и закипает (рис. 2, а). При этом давление в коробочке повышается, вода начинает через трубку выходить наружу, а лодочка приходит в плавное и медленное движение. Эта, первая, фаза работы игрушки заканчивается, когда вода в коробочке выкипает.

Поскольку теплопроводность пара мала, пар практически не отбирает тепло от коробочки и не нагревается, а значит, и не распирается. Более того, он конденсируется в трубке (в месте контакта с водой), в результате чего давление в коробочке падает, и вода постепенно поднимается вверх по трубке (рис. 2, б). Это — вторая фаза работы игрушки.

Когда вода поднимается по трубке до самого верха и какое-то количество воды, перелившись через край, упадет на раскаленное до коробочки, произойдет моментальное испарение воды. При этом давление в коробочке подскочит, и неокторое количество воды из трубки вытолкнет наружу (рис. 2, с). Это — третья фаза работы игрушки.

В дальнейшем, пока горит свеча, вторая и третья фазы черезют. Когда же свеча потухнет, коробочка остынет, весь пар конденсируется, и коробочка вновь заполняется водой.

Может показаться непонятным, как перемешениями одного и того же количества воды — вытолкваемого из трубки в третьей фазе и всасываемого трубкой во второй фазе — можно добиться поступательного движения лодочки. Оказывается, все дело в существовании реакции вытолкшей струи и отсутствии реакции вытолкшей струи жидкости.

Для наглядной илистрации этого факта обратимся к другой любопытной самоделке (рис. 3) — «картезианскому водолазу» с пристроенным к нему сегнеровым колесом. (О том, как сделать эту игрушку, рассказывается в «Кванте» № 9 за 1980 год.) Если нажать на поршень 1, давление в сосуде 2 увеличивается, вода через

30

Из старых опытов

Кандидат физико-mатематических наук
А. А. ВАРЛАМОВ

Под таким заголовком мы публикуем статьи о занимаемых и вместе с тем весы по физике.*) Сегодня вниманию читателей предлагается рассакзать о том, как легко «добиться» электрические заряды в домашних условиях, как была «открыта» лейденская банка и какие опыты можно с ней проведи.

Макки, изобравенные на верхнем рисунке, вовсе не являются атрибутами жреца какого-нибудь языческого пламени. В прошлом вке с их помощью почтенные профессора физики демонстрировали на своих лекциях в университетах явление электростанческого отталкивания. Для этого маску с волосяным париком укрепляли на диэлектрической подставке и заряжали от электростанческой машины. Иогда для демонстрации приглашался кто-либо из студентов (из числа наиболее любознательных). Как и маску, его установливали на изолирующей подставке и подсоединили к кондуктору электростанческой машины. Через некоторое время, когда на нем накопилася достаточно больший заряд, волосы на его голове становились дыбом, а вритихшем залле слышалось слабое потрескивание — это с кончиков волос стекали электрические заряды.

Существует много различных забавных опытов по электричеству, которые довольно легко воспроизвести самостояльно. О некоторых опытах мы уже расссказвали раныше (см. «Квант», 1983, № 5, с. 29), еще с несколькими хотим познакомить теперь.

В книге Гастона Тисандье «Научные развлечения», изданной более ста лет назад, есть описание очень простой в изготовлении электростанческой машины, с помощью которого можно легко «получать» необходимые для опытов электрические заряды.

Возьмите металлический лакированный поднос длиной 35—40 смитметров и установите его на столе на нескольких стеклянных рюмках (рис. 1). Вырежьте по форме подноса лист плотной оберточной бумаги так, чтобы он хорошо ложился на плоскую часть подноса. С помощью расплавленного супгуца приклейте к листу две бумажные ленты, за которым было бы его поднимать.

Заготовленный лист бумаги поднести к какому-нибудь источнику теплла, например к печке, чтобы бумага хорошо просохла и по возможности сильно нагрелась. После этого быстро положите ее на деревянный стол и сільно потрите сухой и жесткой платяной щеткой — благодаря электризации tremenем лист бумаги приобретет неокотый заряд.

Тепер, взявшись за ленты, перенести лист бумаги на поднос, заземлите последний, прикоснувшись к его краю пальцем, и тотчас же поднимите бумагу. В результате этого поднос оказется заряженным (причем зарядом противоположного бумаге знака). Чтобы убедиться в этом, приблизьте к подносу согласно палцеру — на достаточно малом расстоянии от подноса в палце ударит маленькая молния — искус. Можно сно-

31

ва опустить лист бумаги на поднос и, повторяя тот же прием, получить еще одну изскру и так далее, вплоть до 7—8 раз.

Эту электростатическое машину можно использовать для зарядки конденсатора, называемого лейденской банкой.

Впрочем, история открытия лейденской банки стоит того, чтобы рассказыть о ней отдельно.

В 1745 году профессор Лейденского университета (Голландия) Мушенбрек решил с помощью электростатического машины зарядить воду. Для этого он взял стеклянную банку иставил в нее, для подвода к воде зарядда, металлический стержень. Совершив процесс зарядки, он, держясь одной рукой за банку, другой взгляся за стержень. В последствии в письме к французскому физику Реомюру он писал, что все его тело при этом содержнулось как от молнии, и что он даже ради короны Франции не стал бы повторять этот ужасный эксперимент.

Примерно в то же время немецкий ключист проводил опыты по получению электронной воды, которая, как предполагаюсь, обладала целебными свойствами. Зарядив воду в бутылке, он прикоснулся к гвоздю, по которым подавался заряд в воду, и его постигла та же участь, что и Мушенбрека.

Так был открыт первый электростатический конденсатор, который впоследствии получил название лейденской банки.

Известия об этих опытах расстроали по свету, и их стали повторять во многих местах.

Интересный опыт о электростатическом естественнойателя Франклина. Для начала он продолжил обещанный опыт с лейденской банкой. Опустив палей одной руки в воду и дотронувшись другой рукой до наружной поверхности банки, он получил ошутимый удар. Предположив, что заряд содержится в самой воде, он в следующем опыте осторожно переилел ее в другую банку и испылал ее действие на себе — удара не последало. Следовательно, дело не в воде. Налив в первую банку свежей воды и повторив свой опыт, Франкин снова получил удар и таким образом убедился в том, что «сила, дашшая его, заключена в самом стекле».

Прошло совсем немного времени, и лейденская банка приняла «современный» вид — стеклянная банка, обkleенная с обихом металлической фольгой.

Превосходную лейденскую банку можно изготовить, например, так (рис. 2). Возьмите наполененный охотничьей дробью стеклянный стакан иставьте в него металлической чайную ложку (конечно, все эти предметы должны быть абсолотно сухими). Для зарядки полученного конденсатора (подумайте, а что служит его обкладками?) обратимся к помощью только что описанной электростатической машины. В то время как вы касаетесь пальцем подноса и поднимаете лист бумаги, пусть ваш помощник, держа банку за дно, поднесет ее к краю подноса так, чтобы искра ударила в конец ложки. После нескольких таких разрядов лейденская банка получит волне достающий заряд, и с ее помощью можно будет продолжать множество интересных опытов. Описем некоторые из них.

Самый простой опит — разрядите лейденскую банку через плотную бумагу, и вы увидите, что искра пробет в бумаге ответственное приудливой формы.

Теперь попаждый так называемые физуры Лихтенберга. Професор физики Геттингенского университета Лихтенберг (живший в XVIII века) придумал способ, как сделать видимым невооруженным глазом распределение зарядов на электростанной поверхности. Для этого им была использована способность различных

33

Как получаются симметричные неравенства

Кандидат физico-mатематических наук
С. В. ДВОРЯНИНОВ,
кандидат педагогических наук
Э. А. ЯСИНОВЫЙ

Во многих задачках по алгебре и анализу, на математических олимпiadах, а иногда и на экзаменах встречаются задачи, в которых требуется доказать неравенство с несколькими переменными. Самые простые из них доступны ученикам 5—6 класса. Разнообразным методам их доказательства, общим теоремам о заменательных неравенствах посвящены многочисленные математические статики, обзоры, монографии. Немало статей о неравенствах накопилось и в портфеле нашего «Математического кружка».

В этой заметке рассказывается о теореме Мюрхеда про неравенства, связывающей симметрические многочлены специального вида (суммы всевозможных однолетов с одинаковыми показателями). Эта теорема, доказанная в 1903 году, заменительная не только своей общностью и окончательностью, но и тем, что возникало в связи с ней комбинаторные понятия («диаграммы Юнга» и их сравнение — «мажоризация») столбже естественного появления в различных разделах теоретической и прикладной математики, активно развивающихся в последнее время.

Введение

Мы будем заниматься неравенствами такого типа:

$$x^2 + y^2 \geq 2xy,$$
(1)
$$x^5 + y^5 \geq x^3y^2 + y^3x^2,$$
(2)
$$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx,$$
(3)
$$x^3 + y^3 + z^3 \geq 3xyz,$$
(4)

$$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 \geq x^2yz + y^2xz + z^2xy,$$
(5)
$$x^4 + y^4 + z^4 + w^4 \geq 4xyzw.$$
(6)

Эти неравенства справедливы при всех неотрицательных значениях входящих в них букв. Для случая двух переменных также неравенства легко доказать группировкой слагаемых и разложением на множители. Доказем, например, что при любых неотрицательных x и y выполено неравенство (2). Для этого рассмотрим разность

$$x^5 + y^5 - x^3y^2 - y^3x^2 = x^3(x^2 - y^2) - y^3(x^2 - y^2) = (x^3 - y^3)(x^2 - y^2).$$

После нее произведение, очевидно, неотрицательно; обе скобки не меньше 0 при $x \geq y \geq 0$ и не больше 0 при $y \geq x \geq 0$.

Волlee трудно допусться до симметричного доказательства неравенства с темя или большим числом переменных. Продемонстрируем общую идею пока на одном примере (5). Здесь удобно, пересечя все члены в левую часть неравенства, умножить их на 2 и собрать в три группы:

$$x^2(y^2 - 2yz + z^2) + y^2(x^2 - 2xz + z^2) + z^2(x^2 - 2xy + y^2) = x^2(y - z)^2 + y^2(x - z)^2 + z^2(x - y)^2 \geq 0.$$

Уражение 1. Постраайте доказать неравенства (1), (3) и (6).

Чтобы научиться доказать всевозможные неравенства такого типа и формулировать общую теорему, необходимо познакомиться с неотрицательными новыми понятиями. Сейчас мы их опишем.

Симметризация одночлена

Пусть у нас есть несколько неотрицательных переменных — для определения, три переменных x, y и z. Кроме того, пусть задан набор из такого же количество целых неотрицательных чисел, $\alpha = (k; j; i)$, где $k \geq j \geq i$; назовем их показателем. Нарисуем таблицу из трех квадратов и в верхнем правом углу каждой напишем соответствующий показатель. В эти квадраты випщем три буквы x, y, z и, глядя на таблицу, напишем одночлен $x^k y^j z^i$. Теперь в ту же таблицу випщем переменные в другом

34

Порядке; получим, например, такой одночлен $y^k x^j z^i$, и так далее (рис. 1).
(Нетрудно соччитать, сколько всего разных одночленов у нас получится. В первый квадрат можно поместить любую из трех букв $x, y, z$ — это дает три варианта; во второй квадрат — любую из двух оставшихся букв, так что всего имеет $3 \cdot 2 = 6$ вариантов.) Затем сложим все написанные одночлены; получившийся многочлен от трех переменных $x, y, z$ обозначим через $T_{(k,j,i)}(x,y,z)$, или $T_u(x,y,z)$, или просто $T_u$ (T — от слова «таблица»). Этот многочлен будет, как говоря, «симметрический» он не меняется при любых перестановках переменных. Степень каждого его одночлена равна $s=k+j+i$.

Например,

$$T_{(2;1;0)}(x, y, z) = x^2 y + y^2 x + z^2 x + x^2 z + z^2 y;$$

$$T_{(3;1;1)}(\dot{x}, y, z) = x^3 y z + y^3 x z + z^3 x y + x^3 z y + y^3 z x + z^3 y x;$$

$$T_{(2;2;2)}(x, y, z) = 6 x^2 y^2 z^2.$$

Последение два примера показывают, что когда среди показателей есть равные, в многочлен $T_u$ можно привести подобные члены и записать его короче.

Если набор показателей $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ состоит из $n$ чисел, то надо нарисовать таблицу с $n$ квадратами и взять $n$ переменных $x_1, x_2, \dots, x_n$. При этом в многочлене $T_u(x_1, \dots, x_n)$ до приведения подобных будет $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ одночленов.

Итак, каждому набору целых чисел $\alpha = (\alpha_1; \alpha_2; \dots; \alpha_n)$, где $\alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \alpha_3 \geqslant \dots \geqslant \alpha_n \geqslant 0$ соответствует многочлен $T_u$ — «симметризация» одночлена с показателями $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$.

Будем каждый такой набор $\alpha$ изображать в виде лесенки из $n$ ступенек: высота каждого ступенки равна соответствующему показателю, ширина — единица. Такую лесенку удобно рисовать на клетчатой бумаге; общее число клеточки — «кирпичей» $1 \times 1$, из которых состоит лесенка, равно $s = \alpha_1 + \dots + \alpha_n$ — степени многочлена $T_u$. На рисунке 2 изображены лесенки, соответствующие некоторым из многочленов $T_u$, встречалось в наших неравенствах.

Научное название этих лесенок, которые оказываются полезными в разных задачах комбинаторики, алгебры и анализа — «диаграммы Юнга» (см. [3]).

Упражнение 2. Напишите многочлены $T_u$ и нарисуйте соответствующие им лесенки для следующих наборов $\alpha$: (3, 2); (3, 2, 1); (3, 3, 0, 0); (4, 1, 1, 0); (5, 0, 0, 0, 0); (1, 1, 1, 1, 1).

Сравнение диаграмм Юнга

На рисунке 3 изображены пары лесенок, соответствующие неравенствам (1)—(6) из введения. Мы видим, что больше ему из двух многочленов соответствует более крупная лесенка: вторую, более пологую, можно получить из первого, связав несколько киппей направо — вниз (см. рис. 4). Сформулируем точнее, что ознакомит здесь слова «более крупная»,— сначала для лесенок из трех ступеней.

Пусть $\alpha = (\alpha_1; \alpha_2; \alpha_3)$ и $\beta = (\beta_1; \beta_2; \beta_3)$ — два набора целых чисел с одинаковой суммой $s = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3; \alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \alpha_3 \geqslant 0$ и $\beta_1 \geqslant \beta_2 \geqslant \beta_3 \geqslant 0$. Будем считать, что $\alpha > \beta$ (а максимует $\beta$), если выполнен такое условие:

$\beta$ можно получить из $\alpha$, продолжав несколько раз (быть может,

35

Между наборами лишь частичный — бывает, что два набора с одинаковой суммой не сравнимы (см. упражнение 6).

Упражнения

3. Проверьте, что для пар диаграмм Юнга на рис. 3 выполены условия (*) и (**).

4. Докажите, что условия (*) и () эквивалентны (то есть если выполены неравенства (), то набор β можно получить из α «свальванением кирпичей», и обратно).

5. Нарисуйте все лесенки из s=4 кирпичей в порядке убывания, начиная от самой крутоей (4;0;0;0) и кончая самой пологой (1;1;1;1); то же — для лесенок из 5 кирпичей.

6. a) Проверите, что диаграммы Юнга (4;1;1) и (3;3;0) не сравнимы,— ни одна из них не максимрует другую. Есть ли еще такие неравенные наборы с суммой 6?

6. Найдите все такие пары наборов для s=7.

Teорема Мюрхеда

Теперь все готово для формирования основной теоремы.

Пусть α=(α1;α2;…;αn) и β=(β1;β2;…;βn) — два набора показателей с одинаковой суммой. Если α>β, то при всех неоргцательных x1, x2, …,xn
Tα(x1, x2, …, xn)>Tβ(x1, x2, …, xn).
Обратно, если выполено такое неравенство, то α>β.

Мы не будем приводить формульного доказательства теоремы в общем виде (его можно найти в книгах [1], [2] — вторая из них целиком посвящена различным вариантом отношения «максимизации», его применением и обобщениям), вместе этого опшем его основные идеи и продемонстрируем их на конкретных примерах.

Доказательство второй части утверждения теоремы — необходимости условия α>β — вытекает из того простого факта, что из двух многочленов от одной переменной t (с положительным старшим коэффициентами) при больших значениях t больше тот, у которого больше степени (см. упражнение 8).

Доказательство достаточности условия α>β основано на двух идеях. Первая — «свальванние кирпичей»: два набора α>β можно соединить целочкой наборов так, что соседи наборы в этой целочке отличия лишь в двух местах, так что от каждой набора к следующему можно перейти, «свальванный кирпич» с одной ступенки на другую на соответствующей лесенке. Вторая — «симметричная группировка»: разность многочленов для соседи наборов можно записать как сумму (по всем параметровх x, y) одинаковых групп вида
(xp+r yq+p r xq−p r yq+p r)Z
(см. рис. 5), где Z — произведение остальных переменных, соответствующих одинаковым показателям в соседних наборах. Последнее вы-

36

Рис. 5.

разжение раскладывается на множество и как легко видеть, при $p > q$, $r \geq 0$, неотрицательно. (Проверьте!)
Все это станет понятным для тех, кто внимаетно, подробно выписывая все выкладки, разберет несколько примеров. Мы приведем два.

Неравенство между средними арифметическими и средним геометрическим трех неотрицательных чисел

$$\frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} \geq \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3}$$

после переобозначений $a_1 = x^3$, $a_2 = y^3$, $a_3 = z^3$ превращается в неравенство (4), которое уже упоминалось выше. Покажем, как оно доказывает по способу Мирхеда. Глядя на рисунок 4 а), мы видим, что нужно доказать два неравенства:

$$T_{(3; 0; 0)}(x, y, z) \geq \geq T_{(2; 1; 0)}(x, y, z)$$

Рассмотрим первое из них и составим разность

$$R_1 = T_{(3; 0; 0)}(x, y, z) - T_{(2; 1; 0)}(x, y, z) = 2(x^3 + y^3 + z^3) - x^2y - y^2z - z^2x - x^2z - y^2x - z^2y.$$

Сгруппируем теперь слагаемые по четыре по следующему принципу: для каждой пары переменных в одну группу включаются слагаемые, в которых показатели при этих переменных меняются с (3, 0) на (2, 1) (а общий показатель в наборах здесь 0 на последнем месте). Получим

$$R_1 = (y^3 + z^3 - y^2z) + (x^3 + y^3 - x^2y - y^2x) + (z^3 + x^3 - z^2x - x^2z) = (y^2 - z^2)(y - z) + (x^2 - y^2)(x - y) + (z^2 - x^2)(z - x) \geq 0$$

при всех неотрицательных $x, y, z$.

Теперь доказем второе неравенство

$$R_2 = T_{(2; 1; 0)}(x, y, z) - T_{(1; 1; 1)}(x, y, z) = x^2y + y^2z + z^2x + x^2z + y^2z - 6xyz.$$

Здесь в показателях общая единица на втором месте, а (2; 0) превращается в (1, 1). В соответствии с этим, получим:

$$R_2 = x(y^2 + z^2 - 2yz) + y(z^2 + x^2 - 2zx) + z(y^2 + z^2 - 2yz) = x(y - z)^2 + y(z - x)^2 + z(x - y)^2 \geq 0.$$

Это и доказывает неравенство (4).

Решение задачи M762.

В этой задаче (из «Задачника «Кванта» № 9, 1982) требовалось для положительных $a, b, c$ доказать неравенство

$$a + b + c \leq \frac{a^2 + b^2}{2c} + \frac{b^2 + c^2}{2a} + \frac{c^2 + a^2}{2b} \leq \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}.$$

Читатель предложили несколько различных методов их решения. Один из них — способ Мирхеда (к другим мы надемся вернуть в одном из следующих номеров «Кванта»). Умножив данные неравенства на 2abc, мы приведем их к таким «Мирхедовскому» виду:

$$2(a^4 + b^4 + c^4) \geq \geq a^3b + b^3a + b^3c + c^3a + a^3c,$$

$$a^3b + b^3a + b^3c + c^3a + a^3c \geq 2(a^2bc + b^2ac + c^2ab).$$

Соответствующие диаграммы Юнга изображены на рисунке 4, 6. Разность левой и правой части каждой неравенства можно записать, как и выше, в виде суммы трех групп по четыре однолетена. Экономия место, мы запишем только одну группу — две другие получаются заменой буква $a, b, c$ на $b, c, a$ и $c, a, b$.

Доказательство (7):

$$(a^4 + b^4 - a^3b - b^3a) + \dots = (a^3 - b^3)(a - b) + \dots \geq 0.$$

Доказательство (8):

$$(a^3b + c^3b - a^2cb - c^2ab) + \dots = b(a^2 - c^2)(a - c) + \dots \geq 0.$$

Тем самым, задача M762 решена.

Еще несколько упражнений и задач для исследования

7. Выпишите все неравенства Мирхеда для многочленов степени 4.

8. a) Пусть $T_{(a_1; a_2; a_3)}(x, y, z) \geq T_{(\beta_1; \beta_2; \beta_3)}(x, y, z)$ для всех неотрицательных $x, y, z$. Доказите, что тогда выполнен неравенства (**). (У каза ие. Расмотите несколько случаев: $x = y = z = t; x = y = t, z = 1; x = t, y = z = 1$ и сравните степени полученных многочленов от $t$.)

9. Доказите следующее неравенства (для неотрицательных $x, y, z, v, w$):

a) $x^4y^2z + y^4x^2z + z^4yx^2 + x^4z^2y + z^4x^2y \geq 2(x^3y^2z + y^3z^2x + z^3x^2y^2);$

b) $x^5 + y^5 + z^5 \geq x^2y^2z + y^2z^2x + z^2x^2y;$

b) $x^3 + y^3 + z^3 + v^3 \geq xyz + xyv + xzv + yzv.$

10. Выведите из теоремы Мирхеда неравенства для средних арифметических и геометрических $n$ неотрицательных чисел.

Сколько «кирпичей» нужно свалить, чтобы от набора $(n, 0, 0, \dots, 0)$ из $n$ чисел перейти к набору (1, 1, …, 1)?

11. Сформируйте и доказите теорему Мирхеда для любых неотрицательных (не обязательных целых) показателей.

12. Для некоторых наборов показателей (с четной суммой $s$) неравенство, о котором идёт в теореме Мирхеда, верно для всех, а не только для неотрицательных значений переменных. Постайте описать все такие случаи.

Литература

1. Харди Г. Г., Литтельвуд Д. Е., Полина Г. Неравенства — М.: ИЛ, 1948.
2. Маршал А., Олкин И. Неравенства: теория максимизации и ее приложения. — М.: Мир, 1983.
3. Заочные математические олимпиады (задачи 5—9). — М.: Наука, 1981.

Задчи

1. У меня замечательный номер телефона: первый три цифры одинаковы, остальные четыре цифры тоже одинаковы. Более того, сумма всех цифр номера равна двумя номерами числу, первый цифра которого совпадает с первой цифрой номера моого телефона, а последняя — с последней. Найдите этот семизначный номер.

2. Решите следующий числовой ребус:

$$\times \frac{CEMB}{CEMB}$$

---

---

---

3. На круглом столе лежат 11 шашек: 5 черных и 6 белых. Пятеро сядыших за столом ребят играют в следующую игру. Сначала каждый берет по две шашки, потом начинающий берет оставшуюся шашку. Если у него оказавются все три шашки одинакового цвета, то он выиграл и игра прекращается, если нет, то он оставляет себе две шашки одинакового цвета, а третью передает партнеру справа. Если у того окажутся все шашки одинакового цвета, то выиграл он, если нет, то он поступает аналогично предыдущему и т. д. Может ли так служиться, что каждый сделает не менее двух ходов?

4. Попросите товарища стать спиной к стене, прислонив к стене пятки, а потом попытаться достать пальцами рук пальцы ног, не сгибая ноги в коленях. Наверняка это ему не удостсядать. Почему?

5. Правильный восеминугольник разделен на части, которые раскрашены так, как на рисунке. Доказите, что сумма площадей, закрашенных каждым цветом, одна и та же.

Эти задчи нам предложили:
Н. К. Антонович, Л. П. Мочалов, А. П. Савин,
С. С. Кротов, В. В. Произволь

Алиса и Синяя Гусеница долго смотрел друг на друга, не говоря ни слова. Наконец Гусеница вынула кальян изю рта и медленно, словно в полусне, заговорияна: — Ты… кто… такая!
Алиса немного рассердиллась — уж очень непровно три доюма). DA BRA выклада! — жалобно протянула Алиса. А про себя подумала: « До чего они тут все обидчины! — Со временем привылись, возразили Гусеница, сунула мундштук в рот и путьила дым в воздух. Алиса терпеливо жедла, пока Гусеница не соблаговолит снова обрабатыва на нее внимание. Минуты через две Гусеница вынула кальян изю рта, зевнула раз-друго и потинулась. Потом она сползла с гриба и скрылась в траве, бросив Алисе на прощание: — Откущий с одной стороны, подрастешь, а с другой уменышилась! « С одной стороны чего? — Гриба, уменышилась! « С другой стороны чего? » — Гриба, ответила Гусеница, словно услышав вопрос, и исчезла из виду. С минуту Алиса задумчив смотрелла на гриб, пытаясь определять лет ты без малого прохил. Между тем двух гусеи за обедом один. Ты от клюва до лап уничтожил. — В раннейности мыщцы своих целостней Я развил изучением права, И так часто я спорил с женю своего, что жевать начиная на славу! — Мой отец, ты простил ли меня, несмотрая

ПО-ТВОЕМУ, ты изменилась?
— Да, сударьия, — отвечала Алиса,— и это очень грустно.
To одного ста-новлось роста, то другого и низого не помню.
— Ничего не помнив? — спросила Гусеница.
— Ничего! —cka-зала с тоской Алиса.— Я про-бовала прочитать «Дом, который построил Джек», а получилось что-то со-всем другое.— Попробуй «Папу Вилыма»,— пред-ложила Гусеница.
Алиса начаала.
(Прочти и ты сти-хи на мундире…)
— Все неверно,—ckaзала Гусеница.— Да, не со-всем верно,— робко со-гласилась Алиса.— Неко-торые слова не те.— Все не так, от самого начала и до самого конца,— строгого проговора-рила Гусеница.
Наступило мол-чание.— А ка-кого роста ты хочешь быть?— спросила на-конец Гусени-ца.— Ах, все равно,— быстро сказаала Алиса.
— Если вы

Этот факт я отметил вначале. Почему ж: ты такLOBю проделал, отец,
Троекратное сальто-морталле?
— В ранней юности,
— сыну ответил старик,— Натирался я мазью особой,
На два пиллинтка,
— один золотник,
Вот, не купишь ли банку на пробу?

На нельзякость такого вопроса:
Как-сумел удержать ты живого утра
В равновесе на кончике носа?
— Нет, доволено!—
сказал возмущенный отец,—
Есть граниныйLOBому терпенью.
Если пятый вопрос ты задаш, наконец,
Сосчитаешь ступень за ступенью!

SMOTRI DR. STRANITSU
LEV. VOZD. SHAR

нельзя было
третьи
минуты, ибо
она:
стремительное
уменьшалась.
Алиса взялась
за другой
кусок
но
по-
добо-
ро-
док
ее так
прочно
прижало
к
ногам,
что она
никак
не могла
открыть рот. Наконец ей
это удалось,
и она
откусила
немного
из левой руки.

А.К.

— Ну вот, голова наконец освободилась! — ра-
достно воскликнула Алиса. Впрочем, радость
ее тут же сменилась тревогой: куда-то про-
пали плечи. Она взглянула вниз, но увидела
только шею невероятной длины, которая возвы-
шалась, словно огромный шест над зеленьм мо-
рем листвы. — Что это за зелень? — промолвила
Алиса. — И куда девались мои плечи? Бедные
мои ручки, где вы? Почему я вас не вижу? С
этими словами она пошевелила руками, но уви-
деть их все равно не смогла. Убедившись, что
поднять руки к голове не удался,
Алиса решила нагнуть к ним голову и
с восторгом убедилась, что
шея у нее словно змея,
гнется в любом направлении. Алиса выгнула
шею изящным зигзагом,
готовясь нырнуть в лес
(eй уже стало ясно,
что это верхушки дерев-
вев, под которых она
только что стояла), как
вдруг посылалось гром-
кое шппение. Она
вздрогнула и отступи-
ла. Прямо в лице ей,
яростно бияя крыльями,
кинулясь горлица. — Змея!
— крикнула Горлица. — Ни-
какая я не змея! — возму-
тилась Алиса. — Оставьте
меня в покое! — А я говорю!
— змея! — повторила Гор-
лица несколько сдержаннее.
— Стоило мне устроиться
на самом высоком дере-
ве, — продолжала Горли-
ца громче и громче и
наконец сывяясь
на крик, — сто-
илло мне поду-
мать, что

наконец-
то от них
избавилась, как
нет! Они тут как тут! Лезут
на меня прямо с неба! У-y! Змея
подколодная!

SMOTRI PRAV. VOZD. SHAR

— Никакая я не змея! — сказала Алиса. — Я
просто… просто… — Ну скажи, скажи, кто
ты такая? — подхватила Горлица. — Сразу видно,
хочешь что-то видумать. — Я… я… малень-
кая девочка, — сказала Алиса не очень уве-
ренно, всоминь, сколько раз она менялась за
этот день. — Ну уж, конечно, — ответила Гор-
лица с величайшим презредием. — Видала я на
своем веку много маленьких девочек, но с та-
кой шеей — ни одной! Нет, меня не проведешь!

LEV.SHAR
Ачто больше,
когда подбородо
док стукается
оноги или
НОГИ-ОПОДБО-
РОД ОК?

Самая настоящая
змея — вот ты кто!
Ты мне еще скажешь
что ни разу не пробовала яиц. — Нет,
почему же, пробовала, — отвечала
Алиса. (Она всегда
говорила правду).
— Девочки, знаете,
то же едят яиц. — Я

этому не верю,— сказала Горлица.— Но если
это так, тогда они тоже змеи! Больше мне не-
чего сказать. Мыль эта так порзила Алису,
что она замолчала. А Горлица прибавила:
— Знаю, знаю, ты яйца ищешь! А дево-
чка ты или змея — мне это безра-
злично.— Но мне это совсем не
безразлично,— поспешила
возразить Алиса.— И, по
правде сказать, яйца я
не шцу! А если даже и
искала 6, то ваш мне
все равно бы не попа-
добились. Я сырые не лю-
блю! — Ну, тогда убирая-
ся!— сказала хмуро Горлица и снова уселась на свое
гнездо. А Алиса стала
спускаться на землю,
что оказалось совсем не
просто; шея то и дело
запутывалась среди ветвей. Немного спуста Али-
са вспомнила, что все
еше держит в руках ку-
сочки гриба, и прияла
понемножку отку-
сывать сначала от
одного, а потом от
другого, то вырастая, то
уменьшаясь, пока наконец
не прияла прежнего своего
вида. Поначалу это показалось ей очень
страным, так как она успела уже отвыкнуть
от собственного роста, но вскоре она освои-
лась и начала опять беседовать сама с собой.
— Ну вот, половина задуманного сделана! Как
удивительные все эти перемены! Не знаешь, что
с тобой будет в следующий миг… Ну ничего,
сейчас у меня рост опять прежний. А теперь
надо попасть в тот сад. Хотела бы я знать,
как это сделать? Тут она вышла на поляну, где
стоял маленький домик, не более четырех фут-
тов вышиной. «Интересно, кто там живет? — по-
думала Алиса.— Но мне нельзя туда идти, я
слишком больше, перепугаю их до смерти!»
Она приялась за гриб и не подходила к дому
до тех пор, пока не уменьшилась до девяти
дюймов.

Задачи

M931 — М935; Ф943 — Ф947

M931. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторона AB, BC и CA в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Известно, что длины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ равны. Доказите, что треугольник ABC — правильный.

А. Н. Драншинков

M932. В квадратной клетке со стороны 1 м находится анкондда длиной 10 м. Барон Монхгаузен утверждает, что он в любой момент может одним выстрелом прострелить анкондду сразу в 6 местах. Не превышения лет барон? (Анкондду можно считать произвольной ломаной длины 10, расположенной внутри квадрата 1×1.)

С. В. Гашков

M933. 13 рыцарей из k разных кланов (1<k<13) сидят за круглым столом. Каждый держит золотой или серебрый кубок, причем золотых кубковровно k. Король Артур приказал рыцарем одновременно передать кубки своим соседям справа, потом сделать то же самое еще раз и т. д. Доказите, что в некоторых моментах нейдутся рыцары из одного клана, в руках у которых золотые кубки.

А. А. Болотов

M934.* В пространстве расположено 2n (n≥2) точек (так, что никакие 4 не лежат в одной плоскости) и проведено n²+1 отрезков с концами в этих точках. Доказите, что проведенные отрезки образуют a) хотя бы один треугольник; 6) не менее n треугольников.

M935. (Задача о гайке.) Если внутри правильного 2n-угольника со стороны a и центром O помещить произвольным образом правильный 2n-угольник со стороны a/2, то он накроет точку O. Доказите это утверждение: a) для n=2, 6)* для n=3, в)* для любого натурального n>1.

С. В. Гашков

Ф943. Небольшое тело падает с огромной высоты на землю. Считая удар тела о землю абсцилтоно упругим, определять ускорение тела сразу того, как оно отскочит от земли.

А. Г. Шихкеримов

43

Ф944. На твердое тело, движущемся поступательно по шероховатой горизонтальной поверхности, в момент времени $t_0=0$, когда скорость тела равна $v_0$, начинает действовать сила $F(t)$, направленная все время вдоль вектора $\vec{v}_0$ и возвращающая со временем. Через время $t$ скорость тела оказывается равной $v_t$, причем $v_t=5$ м/с, если $v_0=1$ м/с, и $v_t=13$ м/с, если $v_0=10$ м/с. Определить зависимость $v_t=f(v_0)$ при всех возможных $v_0$.

Р. Л. Мкртчян, О. М. Худавердян

Ф945. Определите отношение $\eta_1/\eta_2$ коэффициентов полезного действия двух циклических процессов, проведенных с идеальным газом (рис. 1): первый процесс 1-2-3-4-1, второй процесс 5-6-7-4-5.

Ф946. Два одинаковых точных заряды $q>0$ находится на расстоянии $l$ друг от друга. На какое минимальное расстояние «подойдет» к плоскости симметрии $\Pi$ (рис. 2) с помощью линяя, выходящая из левого заряда под углом $\alpha$ к прямой, соединяющей заряды? Под каким углом к плоскости симметрии будет расположена эта линя при удалении на большое расстояние от зарядов?

С. С. Кротов

Ф947. Оболочка космической станции представляет собой зачеренную сферу, температура которой за счет работы аппаратуры внутри станции равна $T=500$ К. Какой будет температура оболочка, если станцию окружить тонким черным сферическим экраном почти такого же радиуса, как оболочка? Количество телла, излучаемого с единицами площади поверхности, пропорционально четвертой степени абсолютной температуры.

А. Н. Буздин

Problems

M931 — M935; P943 — P947

M931. The incircle of triangle $ABC$ touches sides $AB, BC$ and $CA$ at the points $C_1, A_1, B_1$ respectively. It is known that the segments $AA_1, BB_1, CC_1$ are of equal length. Prove that $ABC$ is equilateral.

A. N. Dranishnikov

M932. A 10 meter long anaconda lives in a square cage of side 1 meter. Baron Münhausen claims that he can shoot through the anaconda in 6 places anytime with a single shot. Is the baron exaggerating? (The anaconda may be viewed as an arbitrary polygonal line of length 10 in a 1 by 1 square.)

S. B. Gashkov

M933. 13 knights from $k$ different clans ($1<k<13$) sit at the Round Table. Each holds a gold or silver cup, the number of gold ones

45

(возможно, вырождающийся в треугольник или отрезок) с диагонали $KM$ и $LN$, а его площадь $S$ по известной формуле равна

$$S = \frac{1}{2} KL \cdot MN \cdot \sin \angle KON = \frac{1}{8} AB \cdot CD \cdot \sin \alpha,$$

то есть не зависит от выбора точек $E$ и $F$.

Из доказательства видно, что утверждение задачи верно и для невыпуклого четырехугольника $ABCD$.

М. В. Старк

♦ a) Нужное представление нетрудно найти в явном виде:

$$x^2 = \frac{1}{3} (x+1)^3 - \frac{1}{3} (x^3+3x+1).$$

б) Доказательство проведем индукцией по степени многочлена. Для многочленов нулевой степени (постоянных функций) утверждение задачи очевидно. Пусть оно справедливо для всех многочленов степени меньше $n$. Произвольный многочлен $n$-й степени $P_n(x)$ можно записать в виде

$$P_n(x) = ax^n + P_{n-1}(x),$$

где $P_{n-1}(x)$ — многочлен степени не выше $n-1$, для которого наше утверждение верно по предположению индукции. Поэтому его достаточно доказать для одного $ax^n$ (если утверждение задачи верно для двух многочленов, то оно, очевидно, верно и для их суммы). Ясно, что $ax^n$ — монотная функция при нечетном $n$; при четном $n$ существует нужно представления следует из формулы

$$(n+1)x^n = (x+1)^{n+1} - x^{n+1} - Q_{n-1}(x),$$

в котором $(x+1)^{n+1}$ и $x^{n+1}$ — возвращение функции $(n+1)$ нечетно), а для многочлена $Q_{n-1}(x)$ степени $n-1$ утверждение задачи выполняется по предположению индукции.

При четном $n=2k$ можно рассудать и иначе. По предположению индукции $x^k = P(x)-Q(x)$, где $P$ и $Q$ — монотновозрастание многочлены; следовательно,

$$x^{2k} = 2P^2(x) + 2Q^2(x) - (P(x)+Q(x))^2.$$

Подставляя в формулу пункта a) $P(x)$ вместе $x$, мы получим представление $P^2(x)$ в виде разности двух возвращающих многочленов. То же самое можно проделать с $Q(x)$ и $P(x)+Q(x)$, что в конечном случае дает нужно представление для $x^{2k}$.

А. Ю. Вайитров, В. Н. Дубровский

♦ a) Воспользовемся тем, что для всех точек прямой, проходящей через вершину угла, отношение расстояний до его сторона (точнее, до прямых, содержащих стороны) будет одним и тем же. В частности, равны отношения $KA_1/KB_1$ и $PA_2/PB_2$ расстояний от точек $K$ и $P$ до сторона $CA$ и $CB$ угла $ACB$ (см. рисунок: на нем угол $C$ острый, для тупого угла $C$ расстояние аналогично). Первое из этих отношений, очевидно, равно $AKsin \angle A/BKsin \angle B$ ($\angle A$ и $\angle B$ — углы треугольника $ABC$). Что бы

46

найти второе, заметим, что $\angle PAA_2$ является вертикальным к углу между хордой $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$ и касательной к ней в точке $A$, то есть равен по величины положение дуги $AC$ и, следовательно, $\angle PAA_2 = \angle B$; аналогично, $\angle PBB_2 = \angle A$. Таким образом,

$$\frac{PA_2}{PB_2} = \frac{PA \sin \angle PAA_2}{PB \sin \angle PBB_2} = \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A}$$

($PA = PB$ по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки). Приравнивая полученные выражения

$$\frac{AK \sin \angle A}{BK \sin \angle B} = \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A}$$

и получаем теоремой синусов $\sin \angle B/\sin \angle A = AC/BC$, получим нужное соотношение:

$$\frac{AK}{BK} = \frac{AC^2}{BC^2}$$

6. Рассмотрим прямую $l$, симметрично $CP$ относительно биссектрисы угла $ACB$ (см. рисунок). Ясно, что для всех ее точек отношение расстояний до прямых $CA$ и $CB$ обратно такому же отношению для $CP$, то есть равно $\sin \angle A/\sin \angle B$ (см. (*)). Для точки $M$, в которой прямая $l$ пересекает сторону $AB$, это отношение, очевидно, равно $AM \sin \angle A/BM \sin \angle B$. Следовательно, $AM = BM$, то есть $CM$ — медиана треугольника $ABC$.

В. Н. Дубровский

M914. На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеона разного цвета, то они одновременно менят свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т. д.). может ли случай так, что через некоторое время все хамелеоны будут однозоночета?

ОТВЕТ: не может. Мы должны доказать, что из трейки (13, 15, 17) с помощью операций, описанных в условиям, то есть уvelищения одного из чисел на 2 и одновременного уменьшения двух других на 1 (если они положительные), нельзя получить одну из треек (45, 0, 0), (0, 45, 0) и (0, 0, 45) (45 = 13 + 15 + 17). Как и в большинстве аналогичных задач с отрицательным ответом, для доказательства надо построать подобрать инвариант — величины, определянию на трейках целых чисел ($c, \delta, m$) и не меняющийся при указанных преобразованиях треек, которая бы принимала значение для первой трейки и трех последних.

Таким инвариантом является, например, остаток $r$ от деления на 3 разности $c - \delta$ первых двух чисел трейки ($c, \delta, m$).

Действенный, при «смене окраски хамелеонов» числа $c$ и $\delta$ могут замениться на $c - 1, \delta - 1$, на $c + 2, \delta - 1$ или на $c - 1, \delta + 2$; в первом случае $c - \delta$ не меняется, в двух других — изменяется на 3, значит, остаток $r$ остается прежним. Остается заменить, что для исходной трейки (13, 15, 17) он равен 1, а для трех последних $r = 0$.

Несложно ответить и на общий вопрос — при каком условия из одной трейки чисел нашими операциями можно получить другую. Поскольку сумма $s = c + \delta + m$ всех чисел трейки, оценно, тоже инвариант, мы можем воспользоваться удобной и красивой геометрической интерпретацией нашей задачи: каждую трейку ($c, \delta, m$) с заданной суммой $s$ будет изобра-