Квант 1985, №8 · Страницы

КВАНТ
8
1985
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Эту конструкцию, которая экспонировалась в 1983 году в Москве на выставке, посвященной природным формам и архитектурной бионике, создал архитектор Ю. С. Лебедев. С математической точки зрения она интересна тем, что модельует довольно замысловатьую поверхность с самопересечением, образованную прямоугольными отрезками. В модели эти отрезки — небольшие стержни, закрылиенные системы проводов. Они опускают пять изученных скрутенными переплетами шлейфами, как бы повиснула на сторонах и на диазонаlli кадарата, находящося сверху.

В НОМЕРЕ:

2. В. А. Фабрикант. Что такое нелинейная оптика
3. Ю. П. Соловьев, А. В. Сосинский. Геометрия скользывающих векторов
4. И. И. Мазин. Приглашение в парную (или физика в бане)
5. Ю. С. Петров. Висчие места
   V. А. Fabrikant. What is non-linear optics
   Yu. P. Soloviev, A. B. Sossinski. The geometry of sliding vectors
   I. I. Mazin. Invitation to a sauna (or Physics in the bath)
   Yu. S. Petrov. Suspension bridges

Наш календарь
Открытие рентгеновских лучей
Our calendar
The discovery of X-rays

Matematический кругок
С. В. Белый, Е. А. Ровенский. Обобщенная задача о ферзях
Mathematics circle
S. B. Belyi, E. A. Rovenski. The generalized Queen problem

«Квант» для младших школьников
Задания
30. Н. А. Родина. О всемирном тяготении, приливах и отливах
32. Фестиваль задач
36. Л. Кэрролл. Поросенок и перец
Kvant for younger school children
Problems
N. A. Rodina. About universal gravitation and tides
Problem festival
L. Carroll. Pigs and peppers

Заданияк «Кванта»
Задания M936—M940; Ф948—Ф952
Решения задач M916—M920; Ф927—Ф932
Kvant’s problems
Problems M936—M940; P948—P952
Solutions M916—M920; P927—P932

Практикум абитуриента
С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора
College applicant’s section
S. M. Kozel. Paradoxes of the plane capacitor

Информация
Традиционный праздник юных математиков
Вечерняя физическая школа при МГУ
VII Московский турир юных физиков
VIII турир юных физиков
Заочная школа при НГУ
Information
Traditional feast of young mathematicians
Moscow university evening physics school
7th Moscow young physicist’s tournament
8th young physicist’s tournament
Novosibirsk university correspondence school

Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (51)
Смесь (8, 17, 21)
Шахматная страница
Шахматы на паралельных досках (3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Kvant smiles (51)
Miscellaneous (8, 17, 21)
The chess page
Chess on parallel boards
(3rd cover page)

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-matематической литературы, «Квант», 1985

2

Что такое нелинейная оптика

Академик АПН СССР
В. А. ФАВРИКАНТ

За последние двадцать лет прошло быстroe развития нового раздела физической науки — нелинейной оптики. Справедливости ради надоскаать, что еще в двадцать годы нашего столития С. И. Вавилов упорно искал нелинейные оптические эффекты. Результатом этих исследований стала работа С. И. Вавилова и В. Л. Лёвшина 1926 года, в которой впервые наблюдался нелинейный оптик.

Лазерная экспериментальная установка для изучения нелинейно-оптических явлений.
(Фотографии к статьи сделаны в laboratorии лазерной биофизики и биomedицины физической факультета МГУ.

тический эффект — уменьшение коэффициента поглощения уравнового стекла при прохождения через него света от яркой искры. В честь этой пionерской работы, по предложению академика Р. В. Хохлова, советские конференции, посвященные нелинейной оптике, называются ввиливскими. Создание в 1960 году лазеров вызвал букрально взрыв работ по нелинейной оптике.

Прежде чем перейти к расскачу о некоторых нелинейных оптических явлениях, напомним основные положения лазерной оптики, которые, несмотря на свою привлечность, в действительности далеко не тривиальны.

«Несовершенство опыта способствует развитию науки»

Одним из основополагающих принципов, лежащих в основе лазерной оптики, служит принцип суперпозиции, согласно которой при прохождения одной световой волны сквозь другую обе распространются, не взаимодействия друг с другом. Правда, часто говорят, что при интерференции темная полoa образуется там, где одна из интерференции волн «гаскит» другую. Это, однако, не означает, что волны взаимодействуют друг с другом. Здесь просто происходит противоположно направленных электрических полей обеих волн. При взаимодействии же волн должны быть бы измениться под влиянием друг на друга сами эти электрические поля, что при интерференции не имеет места.

Дальше мы увидим, что в действительности взаимодействие волн должны быть всегда, однако результаты его заметны лишь при определениях условий. Прежде всего — когда интенсивности *) взаимодействующих волн велики. Это условия и определение попсков. Так, С. И. Вавилов пытается обнаружить

*) Интенсивность волны — это энергия, проходящая через единицу площади волнового фронта за единицу времени. Величина интенсивности пропорциональна квадрату амплитуды волны.

нарушение прицила суперрозицини в солнечной короне, где он надеялся найти следы рассеяния света на свете. Оdnako эти исследования завершились безрезультатно. Заметим, что если бы расселяние света на свете проискодило при обычных (для земных условий) интенсивности света, то для человека это имело бы весма неприятные последствия: ведь видимый мир был бы затянут, как туманом, световой пленой.

Другой важной основой линейной оптики служит прицили неизменности частоты света при прохождения его сквозь различные среды. Он был открыт Ньютоном в процессе его заменательных оптических экспериментов. В 1671 году на их основании Ньютон формулировал следующие положение: «Вид цвета, свойствный каждому отдельному сорту луче, не изменяется ни предполленем, ни отражением от естественных тел, ни какой-либо другой причины, которое я мог наблюдать» (рисунок 1).

Счастливым для развития физики оказалось то обстоятельство, что экспериментальные возможности Ньютона, в смысле интенсивности источников света, были весма ограничены (солнечный луч, прошедший сквозь щель в оконной ставне). Если бы у него в руках оказался лазер, то наблюдаемая картина могла бы сильно осложнить, что задержало бы развитие оптики. В связи с опытами Ньютона С. И. Вавилов подчеркивал: «Несовершенство опыта способствует развитию науки». Это утверждение звучит парадокально, но преждевременное обнаружение некоторых деталей в эксперименте может задержать на долгие годы источкование экспериментальных данных и развитие теории.

Границы применения линейной оптики — где они?

Практические все нелинейные эффективы наблюдаются при распространении света в веществе. В принципе, теория предсказывает возможность их наблюдания и в вакууме, однако до сих пор там они обнаружены не были.

В классической оптике при обясненении процесса распространения света в среде используют модель atoms как системы, в которой электрон как бы закреплен наружие. Проходящая световая волна вызывает свои электрическим полем вынужденные колбания электрона. Эти колбания в свою очередь порождают в окружающей atom пространстве электромагнитные волны, то есть сам atom начинает излучать. Возникающая вторичная волна по частоте совпадает с первичной волной (при вынужденных колбании частота колбаний совпадает с частотой вынужденной силы). При этом разность фаз этих волн остается постоянной (такие волны называются когерентными). Сложение всех вторичных волн, излучаемых различными atomами, с первичной дает результатрушую волну, распространяющую в среде со скоростью $v$, отличч-

4

ной от скорости $c$ распространения света в вакууме. Это и приводит к тому, что показатель преломления среды $n=c/v$ оказывается отличным от единицы.

Смешения электрода, вызванные световой волной от общного источника света, весы малы. Они определяются соответствием направленностей электрического поля световой волны и внутреннего поля. В волнах от общных источников света направлено поля — порядка $10^9$ В/cм. Таким образом, при воздействии поля световой волны смещение электрода не превышает $10^{-6}$ от радиуса атома, что составляет $10^{-14}$ cm. Величина порядка процентов от радиуса атомного ядра!

В лазерных пучках направности поля достигают $10^6-10^7$ В/cм и, соответственно, смещения могут быть горизondo большими.

При малых относительных смещениях электрода можно считать, что действующая на электрон возврашающая сила выражается законом: $F=-kx$, то есть имеет место линейная зависимость силы $F$ от смещения $x$ (закон Гука для общнойружинки). Однако с ростом величины смещений (например, в поле лазерного пучка) должны проявиться отклонения от этого закона. В простейшем случае, который будет рассмотрен ниже, отклонение от линейной зависимости можно принять в виде $F=-kx+\alpha x^2$, где нелинейное слагаемое $\alpha x^2$ сказывается лишь при достаточно больших смещениях (квадрат малой величины мал по сравнению с самой величины). Заметим, что теперь величины силы асимметрично изменяется при изменении знака смещения (рисунок 2). Воду сторону электрон, оказывается, сместить легче, чем в другую (например, при $\alpha>0$ в сторону положительных $x$ легче, чем в сторону отрицательных).

Итак, можно сказать, что приближение линейной оптики соответствует выбору простой линейной зависимости возврашающей силы, действующей на электрон, от смещения. Мир нелинейной оптики начинается там, где становятся существенными отклонения от этого простого закона и следует принять во внимание реализ-

Рассмотрим простейший слуай, о котором уже шла речь выше. Уравнение движения электрода будет иметь вид

$$ma=-kx+\alpha x^2+eE_0\cos \omega t,$$

(1) где $m$ — масса электрода, $a=x''$ — егоускорение, $eE_0\cos \omega t$ — сила, действующая на электрон со стороны электрического поля световой волны ($E_0$ — амплитуд поля, $\omega$ — частота). Задчача состоит в том, чтобы найти из этого уравнения зависимость $x(t)$ и на ее основании уже судить о свойств вторичных волн в рассматриваемой среде. К сожалению, математика не дает нам точных методов решения подобных нелинейных уравнений.

Замечательный англійский физик Рэлей, занимающийся теорией колбанний, предложил

5

приближенный метод решения задачи, обладающий большой эффективностью. Так как нелинейное слагаемое $ax^2$ проявляет себя лишь при достаточно больших $x$, Ралей в качестве нулевого приближения пребрег членом $ax^2$.
После этого осталось линейное уравнение
$$ma = -kx + eE_0 \cos \omega t$$
такое же, как уравнение вынужденных колбаний грузика наружке под действием перiodический внешней силы. Понято, что в этом случае движение будет произходить по гармоничческому закону, но не с собственной частотой $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, а с частотой $\omega$ вынужденной силы:
$$x_0(t) = beE_0 \cos(\omega t + \varphi)$$
где $beE_0$ — амплитуда вынужденных колбаний грузика (для удобства расстройения в амплитуде выделен сомножитель $eE_0$), а $\varphi$ — сдвиг фазы этого колбания по сравнению с фазой вынужденной силы.
Для получения следующого приближения Ралей в уравнения (1) заменил в нелинейном слагаемом величины $x^2(t)$ найденной приближенной величины $x_0^2(t)$. В результате уравнение (1) из нелинейного превращается в линейное ($x$ в него входит только в первой степени):
$$ma = -kx + \alpha b^2 e^2 E_0^2 \cos^2 \omega t + eE_0 \cos \omega t.$$ (2)
Воспользовавшись известным тригонометрическим соотношением
$$\cos^2 \omega t = \frac{1}{2} (1 + \cos 2\omega t)$$
получаем окончательно
$$ma = -kx + \left( \frac{1}{2} \alpha b^2 e^2 E_0^2 + \frac{1}{2} \alpha b^2 e^2 E_0^2 \cos 2\omega t + eE_0 \cos \omega t \right).$$
Из этого уравнения движения мы видим, что на электрон как бы действуют три вынужденных сил (слагаемые, заключенные в скобки). Первая из них, не зависит от времени, вызовет просто постоянное смение электрона из положения равновесия (асимметрия, о котором мы уже упоминали выше).

Вторая сила, изменяющая с частотой $2\omega$, вызывает появление в смещении электрона составляющей, изменяющей с той же частотой $2\omega$. Подчеркием, что амплитуда этой составляющей пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. Наконец, последняя сила, изменяющая с частотой $\omega$, нам уже знакома. Она соответствует полю падающей световой волны, благодаря которого и возникают вторичные волны. Амплитуда этой составляющей пропорциональна амплитуде падающей световой волны. С ростом интенсивности световой волны роль второй силы по отношению к третьей уравнению (квадрат большей величины влик по сравнению с самой величины).

Таким образом, вынужденные колбания электрона будут составлять из двух гармоничских колбаний с частотами $\omega$ и $2\omega$. Соответствие и вторичные волны, испускаемые atomами (ионами) кристалла, будут составлять из волн с той же частотой $\omega$, что и первичная волна, а также из волн с удовлетворяющей частотой. Получается, что из-за нелинейного слагаемого $ax^2$ в действующей на электрон возвращаются силы в кристалле возникает вторичная волна с удовлетворяющей частотой (ее называют второй гармоникой) и тем

На фоторафинировке показано, как инфракрасный луч лазера ($\lambda=1064$ nm) преобразуется в видимый свет ($\lambda=532$ nm) при прохождения через нелинейную оптическую среду. Ход невидимого инфракрасного луча от лазера до нелинейного преобразования можно проследить по выходящему образу из преобразователься слабому «отражению» лучу.

6

самым нарушается принцип построения частоты, царивший в линейной оптике.

С помощью нелинейных эффектов можно преобразовать частоту светового луча, не нарушая его направленности. Это крайне важное для практики, особенно в лазерной технологии. Например, лазер на неодимовом стекле дает мощное, но невидимое инфракрасное излучение с длиной волны 1064 nm. Если удвоить его частоту,лина волны станет в два раза короче — 532 nm, что соответствует зеленому свету, прекрасно видимому глазом человека.

В радиотехнике нелинейный эффект преобразования частоты наблюдается задолго до появления нелинейной оптики. Когда в Москве была построена мощная радиостанция, то при приеме в Горьком передач радиостанции, находящся в городах к западу от Москвы, стали прослушивать и Московские передачи. Это объясняется тем, что мощные волны Москвыской радиостанции изменяют ионосферу над Москвы и тем самым модулируют прохождение радиоволны, принимаемые в Горьком (рисунок 3).

Условие синхроизма

И все же не следует думать, что преобразование частоты света с высоким коэффициентом полезного действия (КПД) представляет собой простую задачу. Так, в работе Франкена с сотрудниками, опубликованной в 1961 году и содержащей описание первых наблюдаемой удвоения частоты света, КПД (то есть отношение интеンシвности входящей волны с частотой 2ω к интеンシвности падающей волны с частотой ω) составляют всего лишь 10⁻¹⁰! В этих опытах красный свет рубинового лазера с длиной волны 0,6943 мкм превращался в ультрафиолетовое излучение с длиной волны λ=0,3471 мкм (напомним, чтолина волны образно пропорциональна ее частоте). В качестве кристалической нелинейной среды был использован квадрат.

Для того чтобы эффект генерации гармоник прошли в полной мере, необходимо, чтобы фазы вторичных волн на выходе из кристалла были согласованы (условие волнового синхроизма). Только в этом случае сложение вторичных волн дает интенсивную результатрушую волну.

Атомы же распределены по всей длине кристалла, сквозь которой проходит свет. Поэтому генерируемые имми вторичные волны будут иметь различные начальные фазы (рисунок 4). Чем дальше от источника находится atom, тем позднее до него должен перечная волна и тем позже сам он начинает излучать вторичную. С другой стороны, этот, более дальней от источника, atom оказывается ближе к применику. Следовательно, его вторичной волне придает проятки меньший путь, чем волне, испущенной более близким к источнику света atomом.

В линейной оптике первичная и вторичная волны имеют одинаковые частоты, а следовательно, и одинаковые скорости распространения в среде. Поэтому в таком случае не важно, где произойдет преобразование первичной волны во вторичную — все они приходят к применику с одной и той же фазой. Иначе обстоит дело в нелинейной оптике. Показатель преломления среды зависит от частоты (диперсия), поэтому вторичная волна с частотой

8

товый характер. Известное уравнение Эйштейна для фотоэфекта

$$hv = P + \frac{mv^2}{2},$$

где $P$ — работа выхода, $mv^2/2$ — кинетическая энергия выравнного светом электрона, заменяется уравнением

$$Nhv = P + \frac{mv^2}{2},$$

(4)

где $N$ — число фотонов, поглощаемых электроном одновременно. Из уравнения (4) следует, что с ростом $N$ (интегисовности света) должна расти и кинетическая энергия выравнных электронов. Кроме того, красная граница фотоэфекта смешается в области малых частот ($v_{\kappa p} = \frac{P}{hN}$).

Характерно, что в работе Эйштейна 1905 года, удостоенной Нобелевской премии и содержащей вывод основного уравнения теории фотоэфекта,

Встреча с читателем журнала

7 июня состоялась встречная уравнение редакционной коллекции журнала «Квант» с преподавателями математики, занимающимися на курсах повышения квалификации учительей средних школ при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. В этой встрече, проходившей на механико-математическом факультете МГУ, приняли участие заместитель главного редактора журнала Ю. П. Соловьев, члены редакцииционной коллекции ответили на многочисленные вопросы в части сущности уравнения.

Подчеркивая большое значение журнала в развитиии интереса учащихся к физике и математике, многие выступили на встрече учительiales в то же время критически замечания и конструктивные предложения, направленные на дальнейшее изучение «Кванта». Состояние обсуждения показало, что журнала имеет еще немного возможностей для того, чтобы лучше и полнее удовлетворить запросы читателей, чтобы стать более доступным и популярным среди школьников, учительей, студентов и любителей математики. Поэтому составившего полезного разговора членов редакционной коллекции с учительами будут учтены при планировании дальнейшей работы журнала.

H. P.

9

Геометрия скользящих векторов

Кандидат физико-математических наук Ю. П. СОЛОВЕВ,
кандидат физико-математических наук А. В. СОСИНСКИЙ

…Да Лебедь рвется в облака,
Рак лягится назад, а Шука тянет в воду.

Вы, конечно, помните вынесенные в эпиграф строки замечательной бази И. А. Крылова. А задумывались ли вы над тем, как расчитать движение воздуха, если известно, с какими силами его тащат лебедь, рак и шука? Задача эта совершенно естественная, можно сказать, типичная: к некоторому твердому массивному телу в определенных местах приложены силы — что произойдет? Как ни странно, привучный векторный аппарат, изучаемый в школе на уроках физики и математики, совсем непригоден для решения подобных задач. Когда мы должны принимать в расчет не только массу, но и размеры тела, когда мы имеем дело не с абстрактной матерIALной точкой, а с настоящим предметом, то не всегда ясно, как складывать векторы, приложенные к предмету в разных местах, что можно и чего нельзя делать с этим векторами и, собственно говоря, что представляют собой такие «настоящие» векторы.

Ответ на эти вопросы — в виде необольной математической теории (теории скользящих векторов) — и составляет предмет нашей статьи.

Какие бывают векторы?

Вектор в пространстве или на плоскости приято изображать направлением отрезком AB. Он задается двумя точками: своим началом (или точкой приложения) A и концу B. Если отрезок AB неограниченно продолжить в обе стороны, получается прямая, которая называется линейной действая вектора AB.

Все векторы, в зависимости от того, какие геометрические или физические величины они представляют, могут быть разбиты на три следующих типа.

1°. Можно сучиться, что два геометрических вектора изображают одну и ту же физическую или механическую величины. (Напомним, что в геометрии два вектора (направленных отрезка) называются равными, если их линии действия параллельны, длины равны и порядок точек задает одно и то же направление на их линиих действия, или, другими словами, если они совмещаются параллельным переносом.) Такого рода векторы, не имеющие ни определенной линии действия, ни определенной точки приложения, называют свободными. Например, вектор магнитной индукции постоянного магнитного поля или вектор скорости одной инерцальной системы относительно друг — свободные векторы; их можно считать приложенными к любой точке. Математики, как правило, тоже изучают свободные векторы; простейший пример — вектор, заданной параллельной перенос: приложенный к любой точке, он указывает своим концом образ этой точки при данном переносе.

2°. С другой стороны, встречаются также физические величины, что изображаются их векторы не могут быть отделены от своей точки приложения. Такого рода векторы называются связными (или закрепленными). Так, вектор мгновенной скорости движения точки в данной момент времени — пример связанного вектора.

10

Его нельзя отделить от движущейся точки (если, конечно, все остальные точки пространства не перемещаются с той же скоростью).

3°. Наконец, может служить, что два геометрических равных вектора изобразают равные физические величины лишь при условии, что эти векторы имеют одну и ту же линюю действия, и изобразают не равные физические величины, если они имеют различные линии действия. Таковые, например, векторы, изобразующие силы, действующие на твердое тело. Такие неотделимые от линии действия векторы называются скользывами. Это, так сказать, «настоящие» силы векторы, реализно действующие не на абстрактные «бесконечно малые» тела, а на жесткие предметы, имеющие определенные размеры и форму. Заметим, что здесь условие жесткости тела существенно: тело не растяивается и не скнимается, без потеря передает усиление вдоль линии действия, поэтому не важно, к какой именно точке на линии действия приложена сила; точка приложения может как бы скольить по линии действия.

О скользывах векторах и почти рассказ. В дальнейшем слово «вектор» без определения следует понимать именно как «скользыващий вектор»; а когда речь пойдет о свободных или закрепленных векторах, это будет оговорено.

Мы будем обозначать (скользывание) векторы либо одной полужирной буквой, например $v$, либо двумя буквами

с чертой сверху, например $\overrightarrow{AB}$. Свободные же векторы мы будем обозначать буквами со стрелками, например $\vec{v}$ или $\overrightarrow{AB}$.

Системы скользыващих векторов

Итак, (скользыващий) вектор $v=\overrightarrow{AB}$ задается прямой $l=AB$ — своей линий действия — и направлением отрезком $AB$, лежащим на этой прямой. Два вектора $v=\overrightarrow{AB}$ и $u=\overrightarrow{CD}$ считаются совпадениями, если они задают один и тот же свободный вектор $(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD})$ и, кроме того, у них одна и та же линия действия (прямы $AB$ и $CD$ совпадают).

В дальнейшем нас будут интересовать не отдельно взятые векторы, а конечные системы векторов $(v_1, v_2, \dots, v_k)$, ведь именно такие системы ответают системам сил, действующим на твердое тело. Порядок перечисления векторов, разумеется, не существует; однако один и тот же вектор может встречаться в системе несколько раз, и его нужно считать столько раз, сколько он в ней встречается.

Наша цель — научиться преобразовать системы друг к другу, совпать — если это возможно — произвольную систему к системе простейшего вида. Для этого нам потребуется

Элементарные операции
и эквивалентность системы векторов

Когда линии действия двух векторов $v$ и $u$ пересекаются, эти векторы

11

можно сложить естественным образом: если $u = \vec{AB}$, $v = \vec{AC}$ (А — общая точка линей действия), то суммой $w = u + v$ векторов $u$ и $v$ называется вектор $w = \vec{AD}$, где точка $D$ получена сложением $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$ по правилу параллелограмма (рис. 1,a). Такое сложение «пересекающийся» векторов будет нашей первой элементарной операцией; она свойит систему из двух векторов $(u, v)$ к системе из одного вектора $(w)$.

У этой операции есть обратная: если дан любой вектор $v = \vec{AB}$, то можно выбрать две произвольные прямые, проходящие через любую точку линей действия (скажем, через точку $A$), и разложить вектор $\vec{AB}$ по правилу параллелограмма (рис. 1,б). Из одного вектора $(v)$ мы получим систему из двух векторов $(v_1, v_2)$.

Обратите внимание, что складывать можно только векторы, чьи линей действия пересекаются или совпадают. Особенно просто складываются векторы с общей линейной действия. В частности (рис. 2), так складываются два противоположных вектора, то есть векторы вида $v = \vec{AB}$ и $-v = \vec{BA}$; их суммой будет нуль-вектор $0 = \vec{AA}$.

Наша вторая элементарная операция состоит в уничтожении нуль-вектора, то есть в переходе от системы вида $(v_1, v_2, ..., v_k)$ к системе $(v_1, v_2, ..., v_k)$. В частности (при $k=0$), простейшая система $(v, -v)$ совпается к пустой или нульевой системе, которое мы будем обозначать так же, как нуль-вектор — через 0.

У второй элементарной операции тоже есть обратная — розделение нуль-вектора, то есть переход от системы $(v_1, v_2, ..., v_k)$ к системе $(v_1, v_2, ..., v_k)$. В частности (при $k=0$), простейшая система $(v, -v)$ совпается к пустой или нульевой системе, которое мы будем обозначать так же, как нуль-вектор — через 0.

У второй элементарной операции тоже есть обратная — розделение нуль-вектора, то есть переход от системы $(v_1, v_2, ..., v_k)$ к системе $(v_1, v_2, ..., v_k)$. В частности (при $k=0$), простейшая система $(v, -v)$ совпается к пустой или нульевой системе, которое мы будем обозначать так же, как нуль-вектор — через 0.

С точки зрения механики понятно, почему мы интересемся элементарными операциями и эквивалентными системами. Ведь две эквивалентные системы с помощью оказываются на твердое тело, в чем можно убедиться не только экспериментально, а просто продукт氟изической смысл элементарных операций. Приводя же сложные системы мы к более простым, мы получаем возможность легко разобраться в том, какое именно результатое воздействие данной сложная система сил оказывает на твердое тело.

Простейшие системы на плоскости; пары

Рассмотрим теперь подробнее приведение системы векторов к более простым для случая систем векторов на плоскости.

На рисунке 3 показано, как с помощью элементов операций осуществляется приведение некоторых простейших систем векторов к другим системам. Мы советуем читателю внимательно проследить за всеми операциями и даже проделать их самостояльно на бумаге.

Особое внимание следует обратить на рисунок 3, е. На нем показаны системы из двух противоположных векторов равной длины на параллельных линейных действия; такие системы коротко называют параметром. Из рисунка видно, что пары не удается упростить, а можно только «повернуть», превращать в другую пару.

На рисунке 4 показана еще одна серия элементов операций. Здесь происходит не упрощение исходной системы (из одного вектора), а ее условия: из данного вектора мы получаем вектор с другой линейной действия и пару; впрочем, если этот рисунок прочитать в обратном порядке (а это осмысленно, либо каждая элементарная операция имеет обратную), мы получим упрощение (система, состоящая из пары и вектора, приводится к системе из одного вектора). Переход $(v) \rightarrow (u, x, y)$ стоит запомнить, он нам потребуется несколько позже.

Заметим еще, что примыты приведения плоских систем бывают полезны и при рассмотрении пространственных задач. Так, пространственная система $(\mathbf{l}, \mathbf{p}, \mathbf{ш}, \mathbf{т})$ ($\mathbf{l} = -\mathbf{t}, |\mathbf{p}| = |\mathbf{ш}|$) применением операции разложения вектора приводится (рис. 5,a) к паре $(\mathbf{u}, \mathbf{v})$: $\mathbf{l} = \mathbf{a} + \mathbf{v}, \mathbf{ш} = \mathbf{b} + \mathbf{u}$, а плоская система $(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{л}, \mathbf{т})$, остающаяся после выделения из системы $(\mathbf{l}, \mathbf{p}, \mathbfш, \mathbf{т})$ пары $(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ (рис. 5,a), как легко видеть, приводится к нулю (рис. 5,б)

Момент вектора и момент пары

Выше мы видели, что пар векторов нельзя привести к одному скользываемому вектору. Однако пара допускает

12

Простейшее преобразование плоских систем:

a) два пересекающих вектора → один вектор;

b) два соправленных вектора → два пересекающих вектора;

c) два противоправленных вектора разной длины → два пересекающих вектора;

d) два противоправленных вектора равной длины (пара) → другой пара.

Рис. 3.

12

13

удобную векторную характеристику. Чтобы получить ее, нам придется на часть издалека.

Пусть дан вектор $v = \overline{AB} \neq 0$ и точка $O$, не лежащая на его линии действия; тогда момент вектора $v$ относительно точки $O$ называется (закрепленный!) вектор $OM$ (приложенный к точке $O$) с линейной действия, перpendикулярной плоскости $OAB$, длины $OM = r \cdot |v|$ (где $r$ — плечо вектора $v$ относительно $O$, то есть расстояние от $O$ до прямой $AB$) и направленный так, чтобы направление вращения $v$ вокруг $O$, наблюдаемое из точки $M$, было положительным (против часовой стрелки; рис. 6); если точка $O$ лежит на линии действия вектора $v$, или $v = 0$, то момент принимается равным нулю. Moment вектора играет важную роль в механике при изучении вращательного движения и имеет красивые приложения в геометрии.

Пусть теперь дана пара векторов $v = \overline{AB}, v' = \overline{A'B'}$ и точка $O$; пусть $OM$ и $OM'$ — моменты $v$ и $v'$ относительно $O$. тогда легко проверить (сделайте это!), что длина и направление суммы моментов относительно точки $O$ векторов $v$ и $v'$ не зависит от выбора этой точки, то есть сумма является свободным вектором. Его называют (веktorным) моментом пары $(v, v')$. Легко проверяется, что длина векторного момента пары $(v, v')$ равна $d \cdot |v|$, где $d$ — расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $A'B'$. Пользоваться этим, а также утверждение задачи 3, нетрудно доказать, что пара приведется к нулю тогда и только тогда, когда ее векторный момент равен нулю.

Приведение плоских систем к паре или вектору
Мы сейчас доказем следующую замечательную теорему.

14

Всякая (конечная) система (скользащих) векторов на плоскости прюводятся либо к одному вектору, либо к пале.

Доказательство. Если данная система состоит из одного вектора — теорема доказана. Если в системе есть векторы с пересекающимся линиями действия, то их можно попарно упрощать (см. рис. 3,a), пока не останутся лишь векторы с параллельными линиями действия. Если таких векторов три или более, то по крайней мере два из них соправлены, и мы можем упрощать систему дальше (см. рис. 3,б). Таким образом, переходы 3, б и 3, а позволяют нам свести доказательство теоремы к случай двух противоположно направленных векторов с параллельными линиями действий. Если длины векторов различны, то переход 3, б с последующим переходом 3, а дает нам один вектор, а если длины равны, то мы получили пару; теперь теорема доказана полностью.

Заметим, во-первых, что доказательство не только устанавливает справедливость теоремы, но и дает эффективный способ для того, чтобы найти вектор (или пару), эквивалентный исходной системе. Во-вторых, если заранее выбрать некоторую фиксированную точку, то можно так проводить наш элементарные операции, чтобы привести данную систему к системе из одной пары и одного вектора, чья линия действия проходит через эту точку. Действительно, это верно, если система приводится к одной паре. Если же она приводится к одному вектору, то операция, показанная на рисунке 4, позволяет привести вектор к паре и вектору, чья линия действия проходит через заданную точку.

Исчисление системы векторов; базис

Мы научились приводить системы плоских векторов к простым системам. Однако оказались, что системы можно не только приводить одну к другой, но и выражать одну через другие. При этом возникнет исчисление системы векторов, очень похожие на обычное исчисление свободных векторов в пространстве.

Чтобы описать это исчисление, определяем сумму двух системы $N=(u_1, u_2, ..., u_k)$ и $M=(v_1, v_2, ..., v_l)$ как их «свободное объединение», то есть система

$$L=N+M=(u_1, u_2, ..., u_k, v_1, v_2, ..., v_l)$$

(равенство системы векторов понятия здесь и ниже как их эквивалентность), и произведение

$$\lambda N=(\lambda u_1, \lambda u_2, ..., \lambda u_k),$$

где $\lambda$ обозначает вектор с той же линейной действия, что $u$, длины $|\lambda| \cdot |u|$, направленный так же, как $u$, если $\lambda>0$, и в противоположную сторону, если $\lambda<0$.

Скажем, что система $N$ линейно выражается через системы $M_1, ..., M_n$, если существует числа $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$, также что

$$N=\lambda_1 M_1+\lambda_2 M_2+\dots+\lambda_n M_n.$$

Рассмотрим теперь случай системы на плоскости. Пусть $O$ — произвольная точка плоскости, $I$ и $J$ — одновекторные системы, состоящие из ненулевых неоклипнеарных векторов, приложенных к точке $O$, а $K$ — любая (ненулевая) пара. Тогда системы $I, J, K$ образуют базис в множестве системы плоских векторов, то есть любая система $N$ однозначно линейно выражается через $I, J, K$:

$$N=\alpha I+\beta J+\gamma K$$

(числа $\alpha, \beta, \gamma$ однозначно определяны системы $N$ при фиксированных $I, J, K$).

Читатель, знакомый с понятием векторного пространства, конечно, понял, что это утверждение означает, что множество классов экзвалентных систем (скользащих) векторов на плоскости относительно операций, определяемых выше, образует векторное пространство размерности 3.

---

Дояда до этого места, авторы сервисно задумались, а потом запорили: о каких именно приложениях теории скользащих векторов рассказы? Где только эта теория не используется! В статике (теория ферм иверочных многоугольников), в строительном механике, в kinematике и диинамике твердого тела, а ее обобщения использются в некоторых новых разделах геометрии. Но нельзя объять необъятное. Здесь мы приведем только один пример — из kinematики твердого тела, а также, в конце статьи, ряд задач. Еще одно применение скользащих векторов — в строительном механике — рассматривается в заметке «Висячие места» на с. 22.

15

Вращение твердого тела

Здесь нас интересует такая кинематическая задача: как описать движение твердого тела, врашающегося около некоторой оси, если эта ось в свою очередь врашается вокруг неподвижной оси? Мы будем считать задачу решенной, если дан способ нахождения вектора скорости любой направления заданной точки тела (относительно неподвижной системы отчета).

Ответ красиво формулируется в терминах скользыващих векторов. Однако прежде чем его привести, мы немного расскажем о том, как вообще может двигаться твердое тело. Начнем с простейших примеров.

При равномерном прямолинейном движении твердое тело перемещается с постоянной скоростью в фиксированном направлении. При этом векторы скорсти во всех точках одинаковы, их направление и величины во времени. Все точки движутся по прямым. Движение характеризуется одним своободным вектором скорсти $\vec{v}$.

При равномерном врашательном движении тело движется с неизменной угловой скоростью (см. «Физику 8», § 17) неподвижной оси. При этом вектор скорсти любой точки на оси врашения — нулевой, а вектор скорсти любой другой точки перепендукулярен плоскости, проходящей через эту точку и ось, и по величины пропорционален расстоянию от точки до оси. Точки оси остаются на месте, а остальные точки движения по окружности с центрами на оси. Такое движение характеризуется одним с коЛЬЗЯЩИМ вектором $\omega$ — угловой скоростью врашения, линия дей-stвия которого совпадает с осью врашения.

При равномерном врашательном движении тело врашается с постоянной угловой скоростью $\omega_0$ неподвижной оси $AB$, а само тело к тому же врашается вокруг оси $M_1N_1$ с постоянной по величины угловой скоростью $\omega_1$. (Подчеркнем, что

16

Как скользыващий вектор эта угловая скорость переменная, $\omega_1 = \omega_1(t)$, — меняется положение ее линейной дейстивия $M_t N_t$.) Как описать результатующее движение? Ответ зависит от взаимного расположения осей $AB$ и $M_t N_t$.

1°. Оси совпадает. Тогда тело врашается около неподвижной оси $AB = M_t N_t$ с постоянной угловой скоростью $\omega = \omega_0 + \omega_1$. (Пример: движение часов или минутной стрелки часов, лежащих на Северном полюсе.)

2°. Оси параллельны, причем $\omega_0 \neq -\omega_1$. Тогда в любой момент $t$ скорости всех точек тела также же, как если бы оно равномерно врашалось с угловой скоростью $\omega = \omega_0 + \omega_1$ (здесь имеет в виду сумма скользывающих векторов — см. рис. 3 и рис. 10) вокруг линейной дейстивия $P_t Q_t$ вектора $\omega$. Говорят, что тело имеет мгновенную угловую скорость $\omega$ и мгновенную ось врашения $P_t Q_t$. В данном случае мгновенная ось врашается вокруг неподвижной оси $AB$, оставаясь ей параллельной.

3°. Оси параллельны, причем $\omega_0 = -\omega_1$. Тогда тело совершает поступательное движение с вектором скорости $\vec{v}$, равным моменту пары ($\omega_0, \omega_1$), то есть в любой момент $t$ скорости всех точек тела одинаковы и равны $\vec{v}$. (Пример: движение подвижной части педали; рис. 8.)

4°. Оси пересекаются. Этот случай аналогичен 2°: в любой момент $t$ тело имеет мгновенную ось врашения и мгновенную угловую скорость $\omega = \omega_0 + \omega_1$. Разница в том, что здесь мгновенная ось описывается не цилиндр, а конус с вершиной в неподвижной точке тела — точке пересечения осей. (Пример: прецессионное движение волчка; рис. 9.)

5°. Оси скрещиваются. В этом случае тело имеет, так сказать, «мгновенную винтовую ось»; подробнее об этом см. в задачах 7, 8.

Мы видим, таким образом, что решение нашей kinematической задачи коротко и просто формулируется в терминах сложения скользывающих векторов. Несложные доказательства утверждения 1°—4° мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Разные задачи

1. Наозем главным вектором системы скользыващих векторов ($v_1, \dots, v_n$) сумму равных им свободных векторов $\vec{v}_1 + \dots + \vec{v}_n$, а главным моментом этой системы относительно точки $O$ — сумму моментов векторов $v_1, \dots, v_n$ относительно $O$. Докажите, что у любых двух эквивалентных систем главные векторы и главные моменты относительно одной и той же точки $O$ совпадают.

2. Покажите, что любая система векторов, расположенных в одной плоскости, эквивалентна тем вектором, направленным вдоль сторона треугольника, произвольно выбранного в той же плоскости.

3. Докажите, что плоская система векторов, перпендикулярных к сторонам выпуклого $n$-угольника в их серединах, эквивалентна нулю, если длины векторов пропорциональны соответствующим сторонам и все векторы обращены внутри многоугольника (или все направку).

4. Сформируйте и докажите утверждение, аналогичное утверждению предыдущей задачи, для терраэдра.

5*. Покажите, что любая система векторов пространства эквивалентна шести вектора, направленным по ребрам произвольного тетраэдра.

6*. Покажите, что любая система векторов пространства эквивалентна системе, состоящей из одного вектора (проходящшего через произвольное выбранную точку) и из одной пары. Выведите отicioда, что системы скользывающих векторов в пространстве, рассматриваемые с точностью до эквивалентности, образуют шестимерное векторное пространство.

Указание. Сначала приведите систему к трех скользывающим векторам, проходящим через три произвольно выбранные точки (паскладывая каждой вектор системы по тем направленям), затем к двум векторам, один из которых проходит через данную точку, и наконец, примените построение из рисунка 4.

7. Твердое тело врашается с угловой скоростью $\omega$ около оси, которая в свою очередь движется равномерно и прямолинейно со скоростью $\vec{v}$. Докажите, что тело: а) совершает

18

Приглашение в парную
(или Физика в бане)

Кандидат физико-математических наук
И. И. МАЗИН

«Дивное видел я в Славянской земле на пути своего. Видел бани деревянные, и разожут их докраса, и разделуся, и будут натги, и оболются квасом, и возьмут прутья молоды, и быот себя сами, и того добьются, что выlezут еще живы, и оболются водой студеной, и такоживут.»
Так описывает баня в русских летописях XI века. И по сейчас любители бани с заартом «мучайот» сами себя. Зачем? Говорят, что пользова с кратковременным воздействием на кожу высоких температур — горячего воздуха. Оdnako во влажном воздуха высокую температур трудно выдерживать даже недолго. Так что в хорошо бане должно быть не только жарко, но и сухо. Не так-то просто построить хорошо баню, да и «приготовить» пар, то есть, говоря научным языком, создать оптимальный микроклимат, то же надо уметь. Наши предки умели это делать еще в XI века, а вот объяснить, почему в бане нужно поступать так, а не иначе, они бы, пожалей, не смогли. Но сегодняший школьник знает достаточно, чтобы ответить на вопросы, которые задает любитель физики обичная парная. Это я и предлагаю сделать читателю. Начем мы с того, что посмотрим как бы со стороны на банный «сесанс» и будем по ходу дела задавать себе вопросы. А потом мы попытаемся на них ответить.

Итак, в баню! А чтобы лучше ориентироваться, будем пользоваться рисунком со страницы 19.

Вот мы уже в парной. Ну и жара… Что же, постом немного визу — здесь попрохладнее. Привыкли — можно и наверх. Горячно? Ничего, сегодня еще не очень жарко, былает и так, что на горячной деревянной полбосойного не встаншь, да и на скамье не посидшь. А если скамья сколочена железными гвоздями, то на нее не стоит садиться и в не очень жаркой бане: прикосновся голым телом к шляпке гвоздя — заработешь охог.

Вопрос 1. Почему в парной визу холоднее, чем на полке?

Вопрос 2. Почему при той температуре, при которой еще можно есть на нагртое дерево, садится на железо уже нельзя — обожжешься?

Послепенно мы привыкаем к парной. Возdux уже не кажется таким горячим. Оdnako чувствуется, что он сырой — на скамейке, на полу мокрыше пятна. Это можно исправить. Нужно, как говорят, «поддать пару»: взять кипятка и маленькими порциями, ковшиком, бросать его в пчель на раскаленные камни. Сразу горячая волна пахнет из печи наверх, жарче станет на полке, жарче и сушие; исчезнут мокрыше пятна, высохнут пол и скамьи.

Вопрос 3. Почему, когда подбрасывают воду на горячие камни печи, в парной становится сушие?

Вопрос 4. Почему нужно подбрасывать воду понемоу, а не выпить в каменку сразу шайку воды?

Вопрос 5. Почему нужно бросать именно кипяток, а не холодную воду?

… Но вот прошло больше часа. В парной повышало много народу, воздуха уже не такой свежий, сырость, на полу листья от веников. Пора «чистить» парную. Это делается так. Все выходят минут на десять. За это время нужно подместить пол, окатить его водой из шланга; затем открыть настежь дверь в парную, снаружи околдвери пленнуть на пол несколько шаек холодной воды; а потом начать поддавать пар. Свежий пар вытестит старый, застоявшийся воздуха парной. Теперь все готово, можно заходить и начинать все сначала.

Вопрос 6. Зачем нужно лука холодной воды у входа в парную?

Вопрос 7. Почему свежий пар вытестиет старый воздух воздуха?

Итак, с правильами бани мы познакомились. Давайте ответать на возникшие вопросы.

Первый вопрос был настолько прост, что на него, наверное, сразу ответил любой читатель. Так что начем со второго вопроса.

Что происходит, когда человек наступает или садится на горячую скамью? Температура тела человека не больше 40 °C, в то время как тем

19

пература воздуха, а следовательно, и скамеек в хорошо парной от 80 до 120 °С. При контакте начинается процесс передачи тепла от горячого тела (скамы) к холодному (человеку). Как быстро идет процесс? Это определяется, в частности, теплопроводностью горячого тела. Чем больше теплопроводность материала, тем быстрее передается тепло от его более нагретых участков к менее нагретым. У железа, как и у других металлов, теплопроводность значительное больше, чем у дерева, — примерно в 300 раз. Когда мы соррикаемся с горячей деревянной скамей, остыает тае часть, которая находится в близи контакта, и нам передается тепло, «отнятое» у малого объема скамьи. Иное дело, если в зоне контакта окажется гвоздь: тепло будет быстро «подтягиваться» к точкам соприкосовения со всей длины гвоздя. Кроме того, объемная теплоемкость (то есть теплоемкость, расчитанная на единицу объема) у железа примерно в 40 раз больше, чем у дерева; так что при одинаковых условиях оставания мы от куска железа получим вдесятки раз больше тепла, чем от куска дерева того же объема.

Теперь, я думаю, вы сможете сами четко формулировать ответ на вопрос 2. (Заметьте: мы ничего не говорили о теплопроводности и теплоемкости человекаского тела. Подумайте сами, какую роль играют эти характеристики в рассмотрении нами процессе.)

Чтобы ответить на следующие вопросы, давайте вспомним некоторые

20

сведения из молекулярной физики, в частности — о водяном паре.

Вода, как известно, может находиться в трех агрегатных состояниях: твердом — лед, жидком — собственно то, что мы и называем водой, и газообразном — пар. Что касется льда, то он пряного отношения к бане не имеет, а вот про воду и пар поговорим.

Вода может превращаться в пар — это испарение, а пар может превращаться в воду — это кондensation. При испарении воды поглощается тепло, а при кондensation той же массы пара выделяется такое же количество теплла. В атмосфере всегда имеет неокоторое количество водяного пара. Например, в жидкой комнате в 1 м³ воздуха обычно содержится около 10 г пара. Плотность водыного пара в воду уже называют абсолютной влажностью.

Поставим в комнате блюдце с водой. Вода будет испарться и со временемся превращаться в пар. При этом абсолютная влажность в комнате повышится, но не намного — объем комнаты обычно несколько десятькубических метров, и если в блюдце было 10 г воды, то влажность увеличилось не более чем на 1 г/м³. А если такое же блюдце помещить в сосуд объемом 1 л (10⁻³ м³) и закрыть его? Количество воды в блюдце будет уменьшаться до тех пор, пока пар в сосуд не станет насыщенным. А это произойдет тогда, когда число молекул, выпLETающих из воды за единицу времени, и число молекул, переходящих за единицу времени из пара в воду, сравняются. И с этого времени абсолютная влажность воздуха в сосуд не будет изменяться. (Разумеется, мы имеем в виду, что температура сосуда все время остается постоянной.)

Таким образом, при каждом температуре существует максимальная абсолютная влажность воздуха, равная плотности насыщенного водяного пара при этой температуре. Чем выше температура, тем больше значение плотности насыщенного пара.

Понятно, что чем меньше абсолютная влажность воздуха по отношению к максимальной влажности воды можно при данной температуре, тем интенсивнее идет испарение воды. Отношение абсолютной влажности к плотности насыщенного пара при данной температуре называют относительной влажностью, а относительной.Eсли

21

при подбрасывании кипятка в каменку в парной становится суше, значит, относительная влажность уменышается (а абсолотная, конечно, увеличитается). Почему это происходит? Когда небольшие количесто воды с сильной бросают в печку, она разбрызгается в маленькие капельки. Попадая на камни, разогретые до температуры в сотни градусов, капельки мгновенно испарются, превращаются в пар, температура которого сравнима с температурой самых камней. Раскаленный пар вырывается из печки, общая температура воздуха в парной поверхности. Более высокой температуре соответствует более высокая плотность насыщенного пара, и, значит, даже с учетом увеличения абсолотной влажности, относительная влажность может уменьшаться. Это и происходит на самом деле.

Понятно, почему нужно бросать воду именно маленькими порциями. Большая порция упадет на камни сравнительно большой «каплей». Такая «капля» не сможет испариться так быстро, как маленькая, а просто начинает кипеть, образуя пар с температурой 100 °C или, может быть, немного выше. Но нас это не устроит. Все секрет в быстротености процесса! По этой же причине нельзя бросать холодную воду. Ведь у камня довольно низкая теплопроводность, поэтому даже маленькая капля, пока будет нагреваться до 100 °C, успеет несколько охладить ту часть камня, с которой соприкается, а значит, и температура образующегося пара упадет.

Итак, на вопросы 3, 4 и 5 мы ответили. Вопрос 6 для нас теперь несложен. Вблизи лучки температура ниже точка росы. Поэтому выходящий из парилки «отработанный» пар начинает быстро конденсировать, как говорят, «садиться» на луже. В хорошо парилке дверь и песть расположены в разных концах: горячий пар, образующийся у каменки,ройдя всю парилку, охлаждается и конденсируется на выходе.

И наконец, последний вопрос: почему свежий пар вытесят стары воздуха парной?

Вспомним, что при «чистке» парной в печь набросали несколько шкафов, поэтому даже маленькая капля, пока будет нагреваться до 100 °C, успеет несколько охладить ту часть камня, с которой соприкается, а значит, и температура образующегося пара упадет.

Ну, вот, а теперь, когда с физкой все стало можно приступать к практическим занятиям. Легко пора, дорогой читатель!

Африканская головойомка

С давних времен в Африке очень популярны игры и головойомки с веревочками. Мы хотим предложить вам одну из таких головойомок — ее любят в Гамбии. Эта головойомка состоит из плаanks с трея отверстиями, шнурка, продернутого через центральное отверстие так, как показано на рисунке, и закрытного по краям, и колыца, высшего, скажем, на левой петле. Требуется передвинуть колью вдоль всего шнурка направо, не отрывая шнурка от плаanks. (Шнурок примерно вчетверро длинее плаanks, а колью больше, чем центральное отверстие в плаanke.) Попро

22

Висячее
мосты

Ю. С. ПЕТРОВ

Висячее мосты… Они поражают смелостью замысла, чистотой и совершенством линей. Тонкие вертикальные тросы, спускаясь с изящно изогнутых провисающих канатов, легко удерживают в воздухе многоотоную acфальтированную полосу, по которой торопливо снуют автоматизны. Взгляните на рисунок — какое ощущее воздействие и легкость! Но за этой легкостью скрывается чудоизна направенноь всех звенев конструкции, а величественная неподвижность места, парящего над речной глазью, — следствие равновесия огромных невидимых сил, укрошенных разумом конструктов.

Прежде чем воплотиться в законченное сооружение из стали и бетона, мест проектируется и тщательно расчитывается большим количеством инженеров-строителей. Но проектировке конструкных местов предшествует разработка их общей математической теории, решения многих прициппальных и частных математических задач. Одна из этих задач прямо-tаки направается, когда смотршь на висячий мост: какой должа быть кривая, определенная форму провисающих канатов, чтобы обеспечить их равновесие?

Обычно на поставленный вопрос уверенно ответ-

23

векторами *). Этому решению и посвязывана настоящая заметка.

Несущая часть высшего места состоит из канатов и подвесных стержней, которые мы будем предполагать вертикальными, находящимися на одинаковых расстояниях друг от друга и одинаково нагруженными (см. рисунок). Мы будем пребегать весом этих стержней и каната. Будем, наконец, предполагать, что канат симметричен относительно некоторой вертикальной прямой и что он абсолотно гибок и нерастяжим. Примем вертикальную плоскость, содержащую канат, за координатную плоскость, прямую ее пересечения с плоскостью места, которая предполагается горизонтальной — за ось Ox, а ось симметрии — за ось Oy. Обозначим через a расстояние между стержнями и через (x_k, y_k) — координаты вершины M_k (см. схему). Допустим, что натяжение горизонтального звена

*) О скользывах векторов можно прочитать в статье Ю. П. Соловьева и А. Б. Сосинского в этом номере журнала. Для понимания настоящего заметки, однako, нет необходимости подробно разбиать всю эту статю.

Несущая часть места:
канат — ломанная
… M₀M₁M₂M₃ …
подвесные стержни — отрезки
… M₁P₁, M₂P₂, M₃P₃, …

23

24

но в противоположном направлении.
По сообщениям симметрии достаточно рассмотреть лишь одну половину каната (скажем, ту, которая имеет положительные абсциссы). Вершина $M_1$ находится в равновесии под действием трех сил: $T_0$, $F_1$ и $T_{12}$, откуда

$$tg a_1 = \frac{|F_1|}{|T_0|} = \frac{p}{T_0}.$$

Вершина $M_2$ находится в равновесии под действием сил $T_{21}$, $F_2$ и $T_{23}$, откуда $tg a_2 = 2p/T_0$. Аналогично, $tg a_k = kp/T_0$.

Тепер мы в состоянии вычислять координаты $(x_k, y_k)$ вершины $M_k$. координаты вершины $M_1$ равны $(a/2, b)$, где $b$ — расстояние от горизонтального звена до оси $Ox$. координаты остальных вершин могут быть подсчитаны последовательно по формулам

$$x_k = x_{k-1} + a, \quad y_k = y_{k-1} + a \ tg a_{k-1}.$$

Следовательно,

$$x_k = \frac{a}{2} + (k-1)a,$$

$$y_k = b + \frac{ap}{T_0} [1 + 2 + \ldots + (k-1)] = b + \frac{k(k-1)ap}{2T_0}.$$

Формула для $y_k$ может быть получена и иначе. Для ее вывода достаточно заменить, что внешние силы, приложенные к части $M_1 M_2 \ldots M_k$ каната, образуют систему векторов, эквивалентных нулю, следствие чего сумма их моментов относительно точки $M_k$ равна нулю.

25

ОткрытиеRENTгеновских лучей

К 90-м годам прошло столетня профессор Ворцбурского университета (Германия) Вилгельм Конрад Рентген был уже хорошо известен в научных кругах все

Вечером в пятницу 8 ноября 1895 года, законом с преподавательским делами, Рентген экспериментировал в лаборатории — как всегда, в одиночестве. Вот уже несколько недель объектом его исследований были вызыванные тогда жаркие сорта дольные лучи. Теперь мы знаем, что это поток быстро несушихся электронов. Но в те времена так называли излучение непонятной природы, испускаемое катодом разрядной трубки (откачанный до высокого вакуума стеклянный баллон, обычно удлиненной формы, в котором взили концов плагины металлические электроды) при подаче на ее электроды высокого напряжения. Там, где катодные лучи попадают на стенки трубки, стекло ломинесирует зеленьм светом.

Рентген работал в затемнном помещении, а разрядная трубка была помещена в черный светопроприцаемый футляр. Поблизости от нее на лабораторном столе лежал ломинесительный экран — листок бумаги, покрытый платиносинердистым баррем (такие экраны, испускающие видимый свет при подаче на них невидимого излучения — ультрафюретовых или катодных лучей, ширококо применялись тогда в лабораторной практике). Нежиданно ученый заметил, что при каждом разряде через трубку на экран… наблюдается яркая вспышка». Рентген незамедлительно удостоверился в том, что именно разрядная трубка — источник невидимого излучения не может быть ни ультрафюретовыми, ни катодными лучами. В самом деле, вспышки на экран наблюдаются и требуют разрядки и катодных лучей — алюминивую пластинку толщиной в 15 мм, толстенную книгу в 1000 страниц, наконец, собственную руку. И Рентген стало ясно, что ему посчастливилось сделать зачемательное открытие — обнаружить новый вид лучей, обладающих, к тому же, несыханной пропикационной способностью.

Было ли открытие Рентгена полностью случным или к источником экранизации в темной комнате его подвели каккие-то интуитивные сообщения, неизвестно. На сей счет существует множество версий — от сомнительных до весы убедительных. Но все они недостеряны: неразговоривый ученый ничего нерассказал, а оченьцев не было. Зато хорошего известно, что следующее семь недель после 8 ноября Рентген проводил в оставленке полного затворения в лаборатории (он даже распорядился поставить туда раскладную кровать), днем и ночью, почти без отдыxa, проводя все новые и новые экраниенты, перепроверяя и варьируя прежние опыты. Период напряженной работы оказался чрезвычайно продуктивным — Рентген выяснил, как зависит поглощение новых лучей от толщины и плотности различных материалов; установил, что луч могут быть «мягким» (сильно поглощаемыми) и «жестким» (слабо поглощаемыми); изучил их фотографичесное действие; показал, что они не отклоняются экраническим и магнитным полями,ониизируют воздействие; сконструировал разрядную трубку,

(Окончание см. на с. 27)

26

Обобщенная задача о ферзях

С. В. БЕЛЫЙ,
Е. А. РОВЕНСКИЙ

Задача о ферзях — на шахматной доске расставить максимальное число ферзей так, чтобы они не угрожали друг друга, и найти число всех таких расставок — давно уже стала классической. В XIX веке этой задачей занимался великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), а в нашем столетии выдающийся американский математик и киберNETIK Колод Шенон (p. 1916) указал на ее прямое отношение к вопросам помехуостойчивого кодирования.

Недавно появилось интересное обобщение этой задачи, касающейся расставки максимального числа ферзей («Наука и жизнь», 1982, № 3, с. 73; «Квант», 1983, № 1, 3-я стр. обл.): на шахматной доске расставить максимальное число ферзей p так, чтобы каждый из них атаковалровно k ферзей (1≤k≤4). Эта задача была поставлена американским математиком Скоттом Кимом и опубликована в J. Recreational Mathematics, 1979-80, vol. 12, № 1, p. 53 (американский журнал, в котором публикуется статьи и задачи заимателового характера по математике). При k=0 получаем классический задачу, для которой p_max=8. Подумайте, почему в формулировке задачи сделано ограничение k≤4. Задачу Кима удалось решить частную (J. Recreational Mathematics, 1980-81, vol. 13, № 1, p. 61—62). Именено:

$$p_{\text{max}} = 10 \text{ для } k = 1,$$
$$p_{\text{max}} = 14 \text{ для } k = 2.$$

Примеры соответствующих расстановок показаны на рисунках 1 и 2.

Для k=3 и k=4 были найдены расстановки p=16 (там же) и p=21 (Scientific American, 1981, vol. 245, № 6, p. 19) соответственно, но оставалось неизвестным, являлся ли эти числа максимальными.

В данной задаче мы докажем, что $p_{\text{max}} = 18$ для k=3, (3)
$p_{\text{max}} = 21$ для k=4. (4)

Рисунки 3 и 4 показывают, что расстановки с таким числом ферзей существуют. Заметим, что расстановка с p=18 для k=3 равна не была известна. Попробуем теперь найти верхнюю оценку для p.

Пусть p—число ферзей, a q—число рядов (вертикалей, горизонталей и диагоналей), на которых стоит хотя бы один ферзь. Тогда, если бы ферзи не атаковали друг друга, то q=4p. Но так как общее число боев равно pk (каждый ферзь атакуетровно k ферзей), то

$$q = 4p - \frac{pk}{2} \text{ или } r = \frac{2k}{8-k}.$$

Докажем теперь (3). Общее число вертикалей, горизонталей и диагоналей на доске n×n равно 6n−2, поэтому

$$q \leq 6n-2.$$

Из (5) и (6) для доски 8×8 получаем p≤18.

27

Докажем (4). Так как угловые клетки доски не могут быть заняты ферзями (почему?), получаем
$$q \leq 6n - 6.$$

Из (5) и (7) для доски $8 \times 8$ находим $p \leq 21$.

Итак, задача Кима полностью решена. Нам остается добавить, что максимальные расстановки ферзей, показанные на рисунках 3 и 4, были найдены с помощью ЭВМ (на это ушло около 30 минут счета на ЭВМ с числом операций 200 тысяч в секунду). Читатели, умеющие программировать, могут попробовать свои силы в составлении такой программы.

Задача для исследования.
Естественным обобщением задачи С. Кима является следующая задача:
На шахматной доске $n \times n$ расставить максимальное число ферзей $p_{\max} = p(n, k)$ так, чтобы каждый из них атаковалровно $k$ ферзей ($0 \leq k \leq 4$), и найти число $N = N(n, k)$ та-

Оtkрытие рентгеновских лучей

(Начало см. на c. 25)

даноую более интенсивное излучение (по существу это была первая рентгеновская трубка).

Полученные результаты Рентген подытожил в вышедшей в первых числа явваря 1896 года брошюре «О новом рode лучей». Одновременно он разослал ведущим физкам мира перые рентгеновские chimки, в том числе chimок кистей руки своей жены. Пожалуйста, ни одно физическое открытие не вызвало стологомного и всеобщего интереса, как обнаружение Рентгеном лучей, прохождения сквозь стены и позволяющих видеть невидимое. Физики сразу же принялись повторять удивительные опыты, журналисты заполнили страницы газет сенсационными сообщениями. В 1901 году Рентген стал перым луреатом Нобелевской премии по физике.

Современные области применения рентгеновских лучей трудно даже перечислить — медицина, генетика, дефектология, рентгенструктурный анализ, рентгенопектральный анализ, исследования производений-старинной живописи, кримinalистика…

Выдающеся положение занимает открытие рентгеновских лучей в истории науки — именно с него началась зара атомной и ядерной физики. «В начале 1896 года, в тот самый день, когда в Париже стало известно об опытах Рентгена и о необходимости световых лучей, испускаемых лиминесцирующими стенками… трудок, — рассказывал А. Беккерель, — я задумал использовать, не испускает ли также лучи и всякое другое лиминесцирущее вещество». Предположение оказылось неверным, но в опитах Беккереля была открыта радиоактивность.

А Дж. Дж. Томсон вспоминал: «Я исследовал в течение некоторого времени проводимость газов под действием электрических сил, но сталивался с трудностью найти какой-либо такой метод создания проводимости, который был эфективным и надежным. Новые лучи снимали это затруднение… Эксперименты, которые были неозможно трудными до открытия лучей, становились легкими». Результатом этих «легких экспериментов» стало открытие Томсон (весной 1897 года) электрона.

В. Е. Явелов

28

Традиционный праздник юных математиков

Праздник юных математиков в гостеприимной столице Советской Аджарии — г. Батуми — уже давно стал традиционным. Каждый год на осенние школьные каникuly сюда съезджаются юные математики из разных концов нашей страны. Организаторы праздника — Совпроф Аджарии, Министерство просвещения Аджарской АССР, Аджарское отделение Всесоюзного общества «Знание», обком профессионоза работников просвещения, городской отдел народного образования и городком комсомола, Батумский республиканский Дворец пionеров и школьников, средние школьы № 7 и 22, школаинтернат № 2 — постарались сделать программу праздника более интересной и разнообразной, чем в предыдущее году.

Центральное место праздника — конференции, на котором авторитете жюри, состоящее из математиков и педагогов, и юные гости праздника заслушавот доклады и участвуют в их обсуждении. В этом году на долю жюри, возглавляемого профессионом Тбилисского государственного университета Н. Кахниашвили, выпала большая нагрузка — в пяты секциях было заслушано рекордное число докладов (около 60). Интересы доклады представили учащие Москвы школа № 444, 57 и 91. К лучшим докладам жюри относно доклады десятиклассника ленинградской школи № 45 Р. Алексеева «О некоторых циклических неравенств», учащогося ленинградского ПТУ № 253 М. Михеева «Измерение радиуса шара маленьким циркулем и линейкой», сверловского десятиклассника Ф. Толстова «Интерпетатор языка РАПИРА для ЕС ЭВМ», десятиклассника Ереванской ФМШ № 1 В. Степанова «Сходимость последовательности», ученика 444-й школи А. Ermakова об алгоритме игры «Быки и коровы». Ряд интересных докладов был представлен батумскими школьниками.

И, как всегда, наиболее интерес вызывал традиционный математический KBH. Начался KBH приветствием, затем команды для небольшие представления на тему «Matематика в путешествии» — таким было «домашнее задание». После этого 12 командам — учатикам KBH — были предложены самые разные конкурсы: на лучшее стихотворение с заданным рифмами, лучшую обложку для журнала «Квант», лучшую задачу в «Квант» для младших школьников, ну и, конечно, много математических задания.

Среди них были и задачи-шутки: Человек родился 1 июня 40 г. до н. з., а умер 1 июня 40 г. н. з. Сколько лет он прожил? (ответ: 79 лет — не было нулевого года). Выили и более сердезные задания: Расположить 6 точек на плоскости так, чтобы любые три из них образовали равноведенный треугольник (ответ: эти шесть точек — вершины и центр правильного пятугольника).

KBH закончился конкурсом капитанов, победителем которого стал команду г. Ригги Ю. Антимиров. Прекрасно выступил и капитан команду г. Батуми А. Смирнов: он был единственным, давшим верный ответ на одно из трех заданий конкурса капитанов: на какое наиболее число частей могут разделить пространство четыре плоскости, проходящие через одну точку (ответ: 14), и этим выvel свою команду на первое место. В итоге первоое место на KBH поделили команды Батуми и Баку, второе — команды школи № 57 Москвы и Свердловска, третье — команды Ленинградского ПТУ и Ригги.

Программа праздника была очень насыщенной. Школьники pobывали в Ахалшенском совхозе, совершили эскурсии в Ботанический сад, делились принившей и Государственной музей Аджарии. В программу праздника входила и встречала журнала «Квант», на которой хозяйва и гости праздника поздравили наш журнал с юбилеем — пятнадцатилетием выхода в свет первого номера «Кванта». С интересной программистой выступили на вечере занимаемый математиками базилицы. Наканную торжественную закрытия состоялся традиционный «Огонек друзьбы» — один из самых символьических пунктов программы. Все присутствующие выразили горячую признаательность инциатору иodoxновителю этого замечательного слета юных математиков — заслуженной учительнице ресурсными Медее Илларионовне Жгенти.

Н. В. Васильев,
В. Л. Гутенахер,
В. М. Ивлев

KBANM
ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задания

1. Впишите в квадратики (см. рисунок) цифры от 1 до 9 так, чтобы выполнялись указанные неравенства.

2. Расшифруйте числовой ребус:

3. Маша и Павлик купили по порции мороженого и принесли его домой. Павлик положил свое мороженое в блюдце на стол, а Маша поставила свое мороженое под струю вентилятора. Чье мороженое должно не растает?

4. Коля и Витя, гуляя по парку, набрел на большую поляну, окруженную липами. Коля пошел вокруг поляны, считая деревья. Витя сделал то же, но начал с другого дерева (хотя пошел в ту же сторону). Дерево, которое у Коли было давцатьм, у Витя было седьмым, а дерево, которое у Коли было седьмым, у Витя было девяносто четвертым. Сколько деревьевросло вокруг поляны?

5. На рисунках A) и B) указаны замкнутые обходы клеток на двух фигурах шахматным конем. Используя эти рисунки, постройте замкнутый обход шахматным конем всех клеток фигуры, изобразенной на рисунке B).

Эти задания нам предложили
Л. П. Моцалов, С. Н. Олехнин, А. П. Савин,
Г. А. Гальперин, Н. И. Авилов.

30

О всемирном тяготении, приливах и отливах

Доктор педагогических наук
Н. А. РОДИНА

В одной из книг, посвященных путешествиям, описано такое градиенное явление: в часы приливов в лагуну одного из островов Альдабра (эти острова лежат в заливе Индийского океана у восточных берегов Африки) устремляются мощные потоки воды; в прошиве, соединяющим лагуну с океаном, скорость течение достигает 25 км/ч, а масса втекаюшей воды составляет несколько миллиардов тонн. В часы отливов вода устремляется назад, в океан, до лагуны обнажается почти на две трети, и на отмежных бродят тысячи птиц, выискивающих добычу.

Какие же колосальные силы «выплескивают» воду из лагуны в часы отлива и поднимают ее во время прилива? Это силы всемирного тяготения.

Часто говорят, что Ньюотон приSELк мысли о существовании сил прияжения между всеми телами природы, наблюдая падение яблока на Землю.

Но открытие и изучение силы тяготения имеет сложную историю.

Еще учены perвых греческих школ (V—IV в. до н. э.) утверждали, что «подобное стремится соединиться с подобным». В течение всего средневековья эта идея поддерживает аналгорий с прияжением магнитов.

Много замечательных имен мы встретили, изучая историю становления учения о всемирном тяготении. Это и Тихо Браге, в течение двадцати лет наблюдающий планеты солнечной системы и оставивший многочисленные точные данные об их движении, и Юганн Кеплер, установивший на основе этих данных законы движения планет и высказавший мысль о том, что прийной врашення Луны вокруг Земли является прияжение, и Галилео Галилей, открывший спутники Юпитера, и многое другое. Но мы обратимся к работам Ньюотона, который принадлежит открытие закона всемирного тяготения.

«Лабораторий» для Ньюотона служил космос, телами, с которых он проводил «опыты», — Солнце и планеты солнечной системы. Изучая данные о движении планет, он пришел к выводу, что во всех случаях тело, находящемся в центре (Солнце по отношению к планетам и планеты по отношению к своим спутникам), действует на обращающееся вокруг него тело с некоторой силой, которая и удерживает тело на орбите. Очень важным, решающим для установления закона всемирного тяготения был сделанный им вывод: сила, удерживающая небесное тело на орбите, обратно пропорциональна квадрату расстояния от центраного тела.

А следующее положение, установленное Ньюотоном, гласит: «Тяготение существенно во всем телам вообще и пропорционально массе каждой из тел».

Итак, все тела прияживаются друг к другу. Но если тяготение — свойство всех тел, то почему в нашей обиденной жизни мы замещаем только одно его проявление — прияжение тел Землей (и замещаем ошибимо, когда несем тягежный груз!)? Почему, сидя за партий рядом с товарием, мы неощущаем взаимного прияжения?

На это ответает Ньюотон: «Если кто возразит, что все тела, находящиеся

31

у нас, по этому закону должны быть тяготеть друг к другу, тогда как такого тяготение совершено неощущается, то я на это отвечу, что тяготение к этим телам, будучи во столько же меньше тяготения к Земле, во сколько раз масса тела меньше массы всей Земли, оказывается гораздо меньше такого, которое могло бы бытьощущено».

Оказывается, с которой приятывают друг друг два человека, находящиеся на расстоянии в один метр (например, сидящие за одним столом), равна приблизительно 0,00000025 Н.

Значит, ссыла приятжения, в одном случае удерживающей планеты на орбитах, могут быть в другом случае неощущимо малыми.

Запишем закон всемирного тяготения в виде формулы, введя коэффициент пропорциональнойности (G), связывающий силу тяготения (F) двух тел с их массами ($m_1$ и $m_2$) и расстоянием между ними (r):

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}.$$

(*)

Что бы числить силу взаимного приятжения двух тел, нужно знать, чем равен коэффициент G, то есть знать, с какой силой приятываются друг к другу два тела, имеющие массы, равные единице, на расстоянии, равном единице.

Коэффициент этот можно определить только опытным путем. Он носит название gravitationной постоянной («гравитация» — латинское слово, в переводе на русский язык — тяжесть). Это первый в истории физики постоянная («константа» по-латили), первая в семьеConstant, которые называют универсальными, то есть одинаковыми для всех тел природы. Ньютон введет эту константу в научку, но не он определил ее значение.

Трудности определения постоянной тяготения обусловлены тем, что gravitationное приятжение тел, использых в laboratorных опытах, «безнадежно» мало, и для его измерения нужны тончайшие приемы.

…Английский ученый Генри Кавендиш стол тщательно выполнял научные измерения, что его добросовестность даже отмечена в истории физики. Свои работы он публиковал только тогда, когда полностью был уверен вправильности и точности получения результатов. Возможно, именно стол высокая требовательность к себе привела к тому, что о многих открытиях Кавендиша (и очень важных для науч открытия!) узнали почти через сто лет после того, как они были сделаны им, при изучении его записей.

Именно Генри Кавендиш в 1798 году определил в условиях laboratorии gravitationную постоянную. Схема установки, которой он пользовался, изображена на рисунке 1.

Два небольших свинцовых шара (1 и 2) были прикреплены к концам легкого стержня, подвешенного за середину на длиной тонкой нити. К этим шарам подносились большие шары (A и B). Шары приятывались,стержень поворачивался и закручивались. Закручивание прекращалось, когда действие силы упругостини уравновешивалось действием силы тяготения между большим и малым шаром. А какова сила упругостини при разных углах закручивания — это Кавендиш измерил заранее. Так

(Puc. 1.)

(Окончание см. на c. 34)

находы первый вторник места я
повел в Ленинград, а первый вторник после первого места я первый вторник после первого места я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
в Рите. В следующем месте я первый вторник после первого места я первый
из городов?

Расшифруйте артифметический ребус:
SNEG+KRUG=SPORT.

+SNEG
KRUG
SPORT

На две партии развившись,
забавлялись обезьяны.
Часть восемая их в квадрате
ВPOSE ВСЕЛО РЕЗВИЛАСЬ.
Криком разделным двенадцать.
Воздух свejкий отлащали.
Сколько же всего, ты скажешь,
Обезьян там было в роше?

Найдите четырехначное число, являющееся полным квадратом, у которой первые две цифры одинаковы и последние две цифры одинаковы.

Полша

В семье шестого детей. Пятero из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причем воз-
раст каждого ребена — простое число. Сколько лет младшему?

Из Вариы в Софию со скоростью 75 km/ч отправлясь легковая машина. Через 20 минут из Вариы по то-
му же пути отправлясь другая машина со скоростью 90 km/ч. На ка-
ком расстоянии от Вариы вторая машина доогнит первую?

Волгария

Пять олимписких колед разби-
вают плоскочной части). Размести-
те в этих частях по одному числу
из набора от 1 до 15 так, чтобы сумма
чисел внутри каждой круга равна
39.
Абстрация

35

телами, вода, нахождение вблизи точки А (гисунок 2), притягивается Лунной сільнее, чем вода, нахождение вблизи точки В. Казалось бы, в результате этого вода должна переть на «лунную» сторону Земли, где образуется водяной горб. Так как Земля врашается вокруг своей оси, в каждом месте вода будет раз в сутки подниматься (прилив) и опускаться (отлив). Оdnako в действительности и приливы, и отливы проискодят два раза в сутки. Почему же это так?

Причина в том, что Земля и Луна не неподвижны друг относительно друга. Представьте себе два шарика — тяжелый и легкий, — соединенные нитью и лежашие на гладкой горизонтальной поверхности. Легкий шарик можно привести во врашение вокруг этого не оставется на месте — его центр тоже будет дивгаться по окружности, правда, небольшего радиуса (см. рисунок 2). Неодвижной остается только неокоторая точка О на линии вдоль натянутой нити, расположенная вблизи тяжелого шарика (ее называют центром масс системы). Вокруг этой точки и проискодит врашение как тяжелого, так и легкого шарика.

Точно так же Земля и Луна врашаются вокруг неокоторая точки, которая, вседствие того, что Земля горздо массивнее Лунны, оказывается даже лежащей внутри Земли (но не в ее центре). Центр Земля врашается вокруг точки, а вода на поверхности Земли отбрасывается от центра врашения. Это приводит к тому, что и противоположной Луне стороне Земли образуется водяной горб. Поверхность океана принимает удаленную форму, вытянутую в направлении Лунны и (немного меньше) в прямо противоположном направлении. Так как Земля врашается и вокруг собственной оси, «двугорбая» приливная волна «бежит» по поверхности Земли. В тех областях, которые оказываются после рединеме между горбами, наблюдаются отличы.

Изучение приливов связано со многими трудностями. Та упрощенная модель, которое мы рассматривали, далека от реального картины. Земля, как известно, не шар, она сплюснуту у полюсов; вода не распределяна равномерно по ее поверхности. Луна при своем движении по орбите оказывается на разных расстояниях от Земли. Свой вклад в приливообразуюшую силу вносит и Солнце. А взаимное расположение Солнца, Земли и Луны перiodически изменяется. Эти и многие другие факторы существенно сказываются на реальном картине обращения и движения приливных волн и могут смешать положения водых горбов, изменять их величины и т. п.

Но главное нам теперь ясно: причина приливов и отливов — всемирное тяготение.

Можно с увеличностью сказаить, что еще в древности жрецы умели расчитывать время приливов. Иначе как они могли бы творить, «чудеса», которые описаны, например, в сказках Древнего Египта: «…Когда достигли суда канала «Двух рыб», увидели все, что отmelли обнажились и дальнейшее продвинутся невозможно. Тогда его величество фараон призвал Джеди и повелел… И Джеди начал произносить над водой магическе заклинания. По слову его вода в канале поднялась и покрыла отmelли слоем в четые локтя. И суда фараона движились дальше…»

40

Задания

M936 — М940; Ф948 — Ф952

M936. Докажите, что за 3n+1 взвешиваний на чашечных весах без гриь можно выделить самый легкий и самый тяжелый из 2n+2 камней, если:
a) n=3; 6) n — любое натуральное число.
С. В. Фомин

M937. Существует ли такая фигура F, что его нельзя накрыть полукруг радиуса 1, а двумя ее экземплярами можно накрыть круг радиуса 1, если F:
a) произвольная фигура; 6) выпуклая фигура?
Н. В. Васильев, А. Г. Самоват

M938. Радиус круга с центром O равномерно врашает, поворачиваясь за одну секунду на угол 360°/n (где n — натуральное число, больше 3). В начальной момент он занимал положение OM₀, через секунду — положение OM₁, еще через 2 секунды — положение OM₂, еще через 3 секунды после этого — положение OM₃ и т. д., еще через n—1 секунду — положение OMₙ−1.
a) Докажите, что если n — степень 2, то радиус OM₁, …, OMₙ−1 делят круг на n равных секторов.
b) Возможно ли это при других значениях n?
В. В. Произвольов

M939. В клетки таблицы 10×10 записывают каким-либо образом цифры 0,1,…,9 так, что каждая цифра встречается 10 раз.
a) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и каждой столце встречались не более 4 различных цифр?
b)* Докажите, что найдется строка или столец, в котором встречается не менее 4 различных цифр.
Л. Д. Курляндчик

M940*. a) Квадрат разбит на прямогольники. Назовем цепочкой такое множество этих прямогольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытия (рис. 1). Докажите, что любые два прямогольника входят в некоторую цепочку.
b) Докажите аналогично утверждение для куба, разбитого на прямогольные параллелипеды (в определенении цепочки сторону квадрата нужно заменить на ребро куба).
в) Верно ли, что любые два параллелипеда в разбиении куба принадлежат одному «слюю» —

41

Множеству параллелепипедов, проекции которых на некоторую грань заполняют ее целиком, не налагаясь друг на друга?

А. И. Гольбер, В. А. Гурвич

Ф948. Известно, что в небольшей «просвет» между машинами, стоящими у тротуара, рекомендуется заездим ходом, а не передним. Почему?

Г. Я. Мякищев

Ф949. Одинаковый ли показания термометров, один из которых помещен у поверхности кипящей жидкости, а другой — в ее глубине?

Т. С. Петрова

Ф950. В запаянной капиллярной трубке, находящая два стольника рутины, разделенные капелькой водного растворора электролита HgI₂. Внутренний диаметр трубки d=0,3 мм. Трубка подключена последовательно с резистором с сопротивлением R=390 кОм к батарее с ЭДС Е=10 В (рис. 2). Через какое время капелька сместится на одно деление шкалы (см. рисунок)?

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф951. Определить емкость системы конденсатора, приведенной на рисунке 3. У каждой конденсатора указано значение его емкости, измеренной в микрофарадах.

А. И. Буздин, С. С. Кротов

Ф952. Наблюдатель расматривает удаленный предмет и摄影ино этого предмета, сделанную из той точки, в которой находится наблюдаемый. Что ему кажется бóльшим — предмет или его摄影ическое изображение? Во сколько раз?摄影ия была сделана аппаратом, объективного имеет фокусное расстояние F=3 см; при печатании снимка было сделано увеличение k=2,5.

В. С. Рыбин

Problems

M936 — M940; P948 — P952

M936. Prove that 3n+1 weightings on a plain balance without weights are sufficient to distinguish the lightest and the heaviest of 2n+2 stones, if a) n=3; b) n is any natural number.

S. V. Fomin

M937. Does there exist a plane figure F which does not cover a half disk of radius 1, while two copies suffice to cover a disk of radius 1, if a) F is an arbitrary set; b) a convex one?

N. B. Vasiliev, A. G. Samosvat

M938. The radius of a circle rotates about its centre O, sweeping through an angle of 360°/n each second (where n is a natural number greater than 3). At the initial moment the ra-

43

Решения задач
M916 — M920; Ф927 — Ф932

М916. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Доказите, что площадь ограниченной или шестиугольника равна половине площади треугольника.

Обозначим вершины данного треугольника через $A, B, C$, середины его сторон — $A_1, B_1, C_1$, три другие вершины расматриваемого в задание шестиугольника — $A_2, B_2, C_2$ (см. рисунок). Заметим, что отрезки, соединяющие центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ с серединами его сторон, разбиают наш шестиугольник на три параллелограмма $OA_1C_2B_1, OB_1A_2C_1$ и $OC_1B_2A_1$ (отрезки $OA_1$ и $B_1C_2$ параллельны, так как оба они перепределились стороне $BC$; аналогично $OB_1 \parallel A_1C_2$ и т. д.). Отсюда следует, что треугольники $A_1B_1C_2, B_1C_1A_2$ и $C_1A_1B_2$ соответственно равны треугольникам $A_1B_1O, B_1C_1O$ и $C_1A_1O$, а значит, площадь шестиугольника вдвое больше площади треугольника $A_1B_1C_1$, очевидно, равной четверти площади исходного треугольника.

Другое доказательство опирается на то, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке: $A_2, B_2$ и $C_2$ — это точки пересечения высот равных треугольников $AB_1C_1, C_1A_1B_1$ и $B_1CA_1$, отсюда $\triangle A_2B_1C_1 = \triangle C_2CA_1$, $\triangle B_2A_1C_1 = \triangle C_2CB_1$, следовательно, наш треугольник равновелик параллелогамму $C_1A_1CB_1$.

Отметим, что в случае тупоугольного треугольника аналогичное построение приводит к самопересекающей шестиугольной ломаной, для которого утверждение останется в силу, рассматривать так называемую «ориентированную площадь» (см. статью А. Л. Тоома «Сколько площадей у многоугольника?» в «Кванте» № 12 за 1984 г.).

А. А. Азамов

M917. a) Чему равна длина максимальной серии идущих подряд несястливых билетов? b) Сколько существует таких серии максимальной длины? (Считается, что номера билетов изменяются от 000000 до 999999 включительно; билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних цифр.) a) Ответ: 1000. Любой номер билета находится между двумя счастливыми номерами, равными $1000N + N$ и $1000(N + 1) + (N + 1)$ (N и N + 1 — трехзначные числа), у которых три первые цифры совпадают, с учетом порядка, с трея последними (для номера, равного 1000A + B, где A и B — трехзначные числа, надо взять N = A, если A < B, и N = A - 1, если A ≥ B). Поскольку разность этих счастливых номеров равна 1001,лина серии несястливых билетов не может быть больше 1000. В то же время две серии длины 1000 — от 000001 до 001000 и от 998999 до 999998, очевидно, состоит из несястливых номеров.

b) Ответ: две серии; они приведены в решении задачи a).

Покажем, что между любыми двумя счастливыми номерами $n = \overline{abcabc}^*$ и $n' = n + 1001 =$

*)Черта означает десятичную запись: $\overline{a_1a_2...a_n} = a_1 \cdot 10^{n-1} + a_2 \cdot 10^{n-2} + ... + a_n$.

44

= \frac{a’b’c’a’b’c’}{(a’b’c’=abc+1)} при \frac{abc}{≠000} и \frac{abc}{≠998} имеется еще хотя бы один счастливый номер. Отсюда, очевидно, следует, что других «несястливых серий» длины 1000, кроме указаны выше, не существует.

Если $a \neq 9$, $c \neq 0$, то таким номером является $\frac{abc}{(a+1)b(c-1)}$; если $a=9$, то и $a'=9$, а нужный номер — $\frac{a'b'c'8b_1c_1}{b_1c_1}$, где число $b_1c_1$ получено увеличением на 1 одной из цифр числа $\frac{b'c'}{(b'c'≠99)}$; если $c=0$, то $c'=1$ и нужный номер — $\frac{a'b'c'a_2b_2}{a_2b_2}$, где $a_2b_2$ получено из $\frac{a'b'}{a'b'}$ уменьшением одной из цифр на 1 $(\frac{a'b'}{≠00})$.

С. Ю. Оревков

M918.* Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его стороны — целые числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5.

Пусть в данной треугольнике $ABC$ длины сторон $AB, BC$ и $CA$ равны $c, a$ и $b$, тогда, как легко видеть, отрезки сторон от вершин $A, B, C$ до точек касания вписанной окружности со стороны равны

$$x = \frac{b+c-a}{2}, y = \frac{c+a-b}{2}, z = \frac{a+b-c}{2}$$

(обозначения см. на рисунке). При этом полуперimetр $p$ треугольника равен $x+y+z$. Приравнивая выражения для площади $S$ треугольника по формуле Герона —

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

и через полуперimetр и радиус $r=1$ вписанной окружности —

$$S = pr,$$

получим, что $p=(p-a)(p-b)(p-c)$ или

$$x+y+z=xyz.$$

Из равенств (1) следует, что числа $x, y$ и $z$ либо все одновременно целые, либо полупелые (то есть вида $n+1/2$, где $n$ — целое). Во втором случае числа $2x, 2y$ и $2z$ должны быть нечетными, что невозможно в силу равенства (2) $(2x \cdot 2y \cdot 2z = 4(2x+2y+2z)=4(a+b+c)$ — нечетное число равно четному), и, таким образом, мы должны решить уравнение (2) в целых числах.

Пусть для определения $x \leqslant y \leqslant z$, тогда $xyz \leqslant 3z$, то есть $xy \leqslant 3$. Перебирая пары натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющих этому неравенству (и условию $x \leqslant y$), получим, что либо $x=y=1$, и тогда $2+z=z$, что невозможно; либо $x=1, y=2$, и тогда $3+z=2z$, то есть $z=3$; либо $x=1, y=3$ и $z=2<y$, что противоречит нашему предположению. Итак, $x=1, y=2, z=3$, то есть $a=y+z=5, b=z+x=4, c=x+y=3$.

В. В. Праслов

M919. a) Докажите равенство

$$\int_0^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{gx}} dx + \int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{arctg x}} dx = \frac{\pi}{4}.$$

46

$$z = nx^2y^2 - \frac{x^3 + y^3}{z^2} \geq nx^2y^2 - (x + y).$$

В то же время, очевидно, $x^3 + y^3$ делится на $z^2$, поэтому
$$x^3 + y^3 \geq z^2 \geq (nx^2y^2 - (x + y))^2,$$
следовательно,
$$n^2x^4y^4 < 2nx^2y^2(x + y) + x^3 + y^3.$$

Деля обе части на $nx^3y^3$, мы получаем нужную оценку
$$nxy < 2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) + \frac{1}{nx^3} + \frac{1}{ny^3}.$$

Из нее сразу следует, что $x = 1$, потому что при $x \geq 2$ (и $y \geq x$) лежая часть неравенства () не меньше 4, а правая — меньше 3. Подставим значение $x = 1$ в ():

$$ny < 2 + \frac{2}{y} + \frac{1}{n} + \frac{1}{ny^3}.$$

Это неравенство может выполнять лишь при $y \leq 3$ (при $y \geq 4$ его правая часть меньше 4). Вспомним, что число $x^3 + y^3 = 1 + y^3$ должно делиться на $z^2$, причем $z \geq y$; отсюда вытекает, что $z = 1$ при $y = 1(1 + y^3 = 2)$, $z = 3$ при $y = 2(1 + y^3 = 9)$, а при $y = 3(1 + y^3 = 28)$ подходящих значений $z$ не существует. Остается подставить тройки чисел (1, 1, 1) и (1, 2, 3) в исходное уравнение и найти, что в первом случае $n = 3$, а во втором $n = 1$.

Итак, ответ: при $n = 3$ $x = y = z = 1$, при $n = 1$ уравнение удовлетворяет тройка (1, 2, 3) и все, получающейся из нее перестановками.

Решение нами уравнение на помощь по структуре уравнения $x^2 + y^2 + z^2 = nxyz$, которое подробно рассматривалось в статье М. Г. Крейна «Диофантово уравнение А. А. Маркова» в «Кванте» № 4 за этот год. Интересно, что это уравнение также разрешимо только при $n = 1$ и $n = 3$, однако число его решения в общих случаях бесконечно. Еще одно пожоже уравнение в целях числа $(x + y + z = xyz)$ встречает в решении задачи M918.

Р. А. Мазов, В. Н. Дубровский

Ф927. Через сцинитляционный счетчик, имеющий форму прямолинього параллеленада, пропелает заряженная частница, и молекуляр сцинитлятора, лежащие вдоль ее траектории, испускают свет. Свет в каждой точке испускается изгорно, то есть равномерно во все стороны. Какая доля световой энергии выйдет из сцинитлятора в воздух, если коэффициент преломления вещества сцинитлятора $n = 1,6$? Положением света в сцинитляторе претенбрьить.

Примечание урезол при вершине конуса равен $\Omega = 2\pi(1 - \cos \theta)$, где $\theta$ — угол между осью конуса и его образующейся.

Рассмотрим луч света, испущенный из произвольной точки внутри сцинитлятора.

Пусть $\alpha$ — угол, который образует этот луч с нормальной $\vec{N}$ к одной из граней параллельнеда, для определения наоземем ее гранью $A$, а $\alpha_0 = \arcsin(1/n) \approx 39^\circ$ — предельный угол полного отражения света на границе сцинитлятора — воздух.

Докажем, что для любых значений показателя преломления $n > \sqrt{2}$ справедливо следующие утверждения:

1. Луч, испущенный под углом $\alpha < \alpha_0$, обязаетно выйдет из сцинитлятора и притом только через грань $A$.
2. Никакой луч, испущенный под углом $\alpha > \alpha_0$, через грань $A$ выйти не может.

Прежде всего заметим, что при отражении

47

света от граней, параллельных $\vec{N}$, угол $\alpha$ не меняется (это следует непосредственно из закона отражения света). Далее, поскольку для $n > \sqrt{2}$ $\alpha_0 < 45^\circ$, минимальный возможный угол падения луча (удовлетворяющий условию $\alpha < \alpha_0!$) на грани, параллельные $\vec{N}$, оказывается больше $\alpha_0$ и, следовательно, через эти грани свет из сцинитиллатора выйти не может. Таким образом, утверждение 1 доказано.

Перейдем к доказательству второго утверждения. Расмотрим все возможные значения углов $\alpha$ от 0 до $180^\circ$. В области $\alpha_0 < \alpha < 90^\circ$, в силу следующого замечания, ясно, что ни при каком из этих углов свет через грань $A$ выйти не может. При начальных углах $90^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$ на грань $A$ могут попасть (но вовсе не обязательно попадут) лишь те лучи, которые испытыли полное отражение на грани — наовем ее $B$, — параллельной $A$. Но такие лучи не могут выйти через грань $A$, поскольку их угол падения на нее точно такой же, как и на грань $B$, от которой они отражились. Следовательно, утверждение 2 тоже доказано.

Итак, все лучи, которые выйдет из счетчика, сосредоточены в шести конусах — ось каждой конуса перpendикулярна одной из граней параллельпеда. Телесный угол, вырезаемый всеми конусами, от максимального телесного угла, равного 4π, составляет долю

$$\eta = \frac{6 \cdot 2\pi(1 - \cos \alpha_0)}{4\pi} = 3\left(1 - \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}\right).$$

Это означает, что из сцинитиллтора с $n=1,6$ выйдет приближительно 2/3 образованшейся световой энергии.

С. А. Хорозов

Ф928. Два одинаковых главных получиндра, общая масса которых $m$, подвешены на нерастяжимой невестой нити так, как показано на рисунке. Чему равны силы натяжения нити и сила давления одного получиндра на другой?

На каждый получиндр действуют сила тяжестеки, сила натяжения нити и сила давления со стороны второго получиндра. Запишем условие получиндра:

в проекциях на горизонтальной ось —

$$T + T \cos \alpha = N,$$

(1)

в проекциях на вертикальной ось —

$$T \sin \alpha = \frac{mg}{2}.$$

(2)

Решая совместно уравнения (1) и (2), находим силу $T$ натяжения нити и силу $N$ давления одного получиндра на другой:

$$T = \frac{mg}{2 \sin \alpha},$$

$$N = \frac{mg(1 + \cos \alpha)}{2 \sin \alpha}.$$

Л. Г. Маркович

48

Ф929. Известно, что, охлаждая сосуд с водой и одноверменно откачивая газ из сосуда, можно довести воду до кипения. Возможно ли закипание жидкости при охлаждении замкнутого сосуда с жидкостью и газом?

Условие закипания жидкости при данной температуре — равенство давления над ней давлению насыщенных паров при этой температуре.

Если замкнутый сосуд с жидкостью и газом охлаждать равномерно, то при любой температуре давление над жидкостью будет больше давления ее насыщенных паров на величины парциального давления газа, находящегося в сосуде. В этом случае жидкость при охлаждения не закипит.

Если же сосуд охлаждать неравномерно, так, чтобы верхняя часть сосуда охлаждалась быстрее, жидкость может закипеть. Это произойдет, когда суммарное давление газа и насыщенных паров над жидкостью, где температура более низкая, становится давлением насыщенных паров при той более высокой температуре, какую имеет в данной момент жидкость.

Л. А. Ашкинази

Ф930. Плотности поверхностного заряда на прямуюольных пластинах плоского конденсатора равны +σ и -σ. Расстояние между пластинами много меньше размера пластин. Определите направление электросектооля в точке A (см. рисунок).

Из сообщений симметрии легко показать, что вектор направления $\vec{E}_A$ электростатического поля в точке A направлен перpendикулярно пластинам конденсатора.

Дейстительно, разобъем мысленно каждую пластину на одинаковые малые участки. Выберем на двух пластинах пар симметричных (лежащих друг против друга) участков. Например $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_1'$ поля, создавемого зарядами этих участков в точке A, направлена вертикально (см. рисунок). Так что суммарная направление $\vec{E}_A$ поля в точке A также вертикально (то есть перpendикулярна пластинам конденсатора).

Дополнительно каждую пластину нашего конденсатора еще tremя таким же пластинами (с той же плотностью зарядов) так, чтобы точка A оказалась внутри тойкой конденсатора с «учетверенными» пластинами. Например $\vec{E}_0$ поля такого конденсатора в точке A станет равной $\vec{E}_0 = 4\vec{E}_A$, где $E_0 = \sigma/\varepsilon_0$. Следовательно,

$$E_A = \frac{E_0}{4} = \frac{\sigma}{4\varepsilon_0}.$$

О. Я. Савченко

Ф931. Точечный источник расположен на расстоянии 2F от линзы с фокусным расстоянием F. На расстоянии 3F от линзы расположен экран (см. рисунок). За линзой установлена круглая пластинка радиуса R, пропускаю-

49

В точку экрана, лежащую на расстоянии $r$ от оптической оси $(r \leqslant R_\pi)$, попадают лучи, выходящие из линзы на расстоянии $2r$ от оси. Освешенность в этой точке экрана (без использования пластинки) равна

$$E_0(r) = \frac{IF}{(F^2 + r^2)\sqrt{F^2 + r^2}} = \frac{IF}{(F^2 + r^2)^{3/2}}$$

(I — сила света источника; потерями света в линзе мы пренебрегаем). При использовании пластинки освешенность в этой точке будет

$$E(r) = E_0(r) \cdot T(2r) = \frac{IF}{(F^2 + r^2)^{3/2}} T(2r),$$

где $T(2r)$ — «пропускная способность» пластинки в ее точках, находящаяся на расстоянии $2r$ от оптической оси. Понятно, что освешенность в любых точках пятна (независимо от $r$) будет одной и той же, если $T(2r) = k(F^2 + r^2)^{3/2}$, то есть

$$T(r) = k \left(F^2 + \frac{r^2}{4}\right)^{3/2},$$

где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Поскольку $T(r) \leqslant 1$, максимальная возможность во всех точках пятна при использовании пластинки не может быть больше минимальной освешенности пятна, получающей без пластинки. Minimalная освешенность без пластинки — в точках, лежащих на границе пятна, то есть на расстоянии $R_\pi$ от оптической оси. В эти точки попадают лучи, выходящие из пластинки на расстоянии $R_\pi$ от оси. Следовательно, максимальное значение $k$ определяется условием $T(R_\pi) = 1$, то есть

$$k = \frac{1}{(F^2 + R_\pi^2/4)^{3/2}}.$$

Итак, пятно на экране имеет равномерную максимальную возможность освешенностью, если «пропускная способность» пластинки меняется вдоль ее радиуса по закону

$$T(r) = \frac{1}{(F^2 + R_\pi^2/4)^{3/2}} \left(F^2 + r^2/4\right)^{3/2} = \left(\frac{4F^2 + r^2}{4F^2 + R_\pi^2}\right)^{3/2}.$$

A. A. ЛанUDEC

50

Ф932. Настройка затраты состояит в следующем: нажимая в определенном месте вторую струну, добавляются, чтобы она звучала в унисон с первой, далее так же настроаются другие струны. может ли человек, у которого абсолотно отсутствует музыкаальный слух (то есть уменне различается звуки по высоте), настроить затрату?

Давление воздуха в том месте пространства, через которое прохит звуковая волна, отличается от среднего atmospheric давления на величины $\Delta p$, которая меняется со временем по закону

$$\Delta p = p_0 \cos \omega t,$$

где $p_0$ — амплитуда избыточного давления, характеризующая громкость звука (определяется наальными условиями возбужения звука), $\omega$ — частота колебаний, характеризующая тон (высоту) звука (определяется частотой колебаний источника звука).

Представим себе, что мы держили одновременно с одинаковой силой две гитарные струны, zajав их так, что в случае точной настройки они должны были бы издавать звуки одной и той же высоты. Суммарное дополнительное давление воздуха будет меняться со временем по закону

$$\Delta p_c = p_0 \cos \omega t + p_0 \cos ((\omega + \delta \omega) t + \varphi) = 2 p_0 \cos \left( \frac{\delta \omega}{2} t + \frac{\varphi}{2} \right) \cos \left( \left( \omega + \frac{\delta \omega}{2} \right) t + \frac{\varphi}{2} \right),$$

где $\delta \omega$ — разность частот, которая и определяет степень «расстроенности» инструмента, $\varphi$ — возможный сдвиг фаз в колебаниях струн.

Поскольку в нашей задаче $\delta \omega$ мало, колебания на служебут воспринимается как звук частоты $\omega + \delta \omega / 2 \approx \omega$, но громкость звука будет меняться со временем с частотой $\delta \omega / 2$, то есть с периодом $T = 4\pi / \delta \omega$. Понятно, что чем меньше $\delta \omega$, тем больше период $T$. Увеличения этого периода и надо добаваться, подкручивая колки на гитаре.

И. И. Мазин

Информация

Вечерняя физическая школа при МГУ

Вечерняя физическая школа (ВФШ) при физическом факультете МГУ объявляет набор учашихся в 8, 9 и 10 классы на очередной учебный год.

Основная цель ВФШ — помочь учащимся глубже изучить физику в объеме школьной программы. Занятия в школе проводятся в форме лекций, читаемых раз в две недели, и еженедельных семинаров. Кроме того, учащся смогут посетить научные laboratorии факультета и на лекциях ведущих ученых познакомиться с основными направлениями современной физики. Для десятиклассников организации факультативные занятия по математике. Успешно закончившие обучение получают справку об окончании ВФШ.

Прием в ВФШ производится по результатам собственника, которое будет проводиться начиная с 24 сентября. Работающая молодежь зачисляется вне конкурса. Для поступления в школе необходимо лично заполнить заявление в комитете ВЛКСМ физика МГУ (с приложением двух факторов резмером $3 \times 4$ см). Заявления можно подавать с 5 по 21 сентября ежедневно, кроме воскресения, с 16 до 18 часов.

Адрес ВФШ: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ВФШ. Телефон: 139-26-56.

КВАНТ УЛЬБАЕТСЯ

Околоучная информация

Учеными Академгородка были распрофованы сигналы, последные неизвестной цивилизации. Начало 6 сигнала соответствует 12 часов Москвыского времени.

Институт метрологии утвердил новую единицу времени в СИ: сиоминуту.

Для любительей кубика Русика: доказана теорема о том, что КР можно привести к исходному состоянию из любого положения не более чем за 6 ходов. При доказательстве использованы кубик Русика, широкая кисть и набор из шести красок.

На экзамене по математике преподаватель А. Е. Иванов отбрал шпаргалку у студента Б. Петрова и, рассматривая пожелательные листки, узнал свой почерк пятнадцатилетней давности.

Вышел из печати сборник «Избранные произведения». В сборник помещены 64 произведения типа 2×2=4, 5×5=25, 6×6=36, 7×7=49 и т. п.

Электриков заинтересует новое издание книги И. А. Гончарова «Обрыв».

Для абитуриентов, сделших литературу письменно, выпущено полное собрание сочений. Интересующей могут обратиться в контору ВРД.

Весь натуральный ряд чисел выучил студент Вася Семечкин. Демонстрация fenomena продолжется в аудитории 215.

Это любопытно!

Аксиoma 1. Что написано пером, то не вырубишь топором.
Аксиoma 2. Лес можно вырубить топором. Следствие. Лес пером не описать.

Аксиoma 3. Обещанного три года ждут.
Аксиoma 4. Семеро одного не ждут.
Следствие. Если семеро ждут обещанного три года, им обещано не одно.

По матерIALам клуба ВРД математического факультета
НГУ и газеты МФТИ «За научку»

52

Парадоксы плоского конденсатора

Доктор физико-математических наук
С. М. КОЗЕЛ

«Какие могут быть здесь парадоксы, — скажет читатель, — ведь это такая простая электрическая система». И действительно, что может быть процес плоского конденсатора? Из школьного учебника физики мы знаем, что так называют систему, состоящую из двух параллельно расположенных на небольшом расстоянии проводящих пластин, между которых находится слой диэлектрика.

Если пластины (обкладки) конденсатора подсоединить к полосам батерен, то на одной из них появится некоторый заряд $+q$, а на другой — заряд $-q$. Электрическое поле плоского конденсатора содержит ценное, в основном, в пространстве между пластинами. Это поле однородно, то есть вектор направности $\vec{E}$ одинаков во всех точках. Емкость плоского конденсатора выражается формулой

$$C = \frac{q}{\Delta \varphi} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d},$$

где $\Delta \varphi$ — разность потенциальов между обкладками конденсатора, $S$ — площадь каждой пластины, $d$ — расстояние между ними. $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Казалось бы, все ясно. А между тем многое абитуренты, «встретились» на экзамене с плоским конденсатором, испытывали определенные затруднения. В ряде случаев они, опираясь, вводе бы, на хорошо известные факты, приходит к противоречным результатам, и возникает парадоксальная ситуация. Разумеется, все эти парадоксы можно легко разресть, если глубоко и неформально разобраться в законах электростатики. Приведем несколько конкретных примеров.

Парадокс 1. Расмотрим заряженный плоский воздушный конденсатор. Разность потенциаль между его обкладками

$$\Delta \varphi = \frac{q}{C} = \frac{qd}{\varepsilon_0 S}.$$

Обратим внимание на то, что $\Delta \varphi$ пропорционально расстоянию $d$ между пластинами конденсатора. Это значит, что, разделяя пластины заряженного конденсатора, мы можем увеличивать разность потенциаль между ними. Зарядив, например, конденсатор до разности потенциальов 10 В и увеличив затем зазор $d$ в $10^3$, $10^4$, … раз, мы получим $\Delta \varphi$ равным, соответствующим, $10^4$ В, $10^5$ В и т. д. Какой простой и хороший способ создания ускорителя заряженных частиц! Неправда ли?

Мы явно встречаем здесь в противоречие со здравым смыслом, который подсказывает нам, что еще один шаг, и мы приедем к нарушению одного из основных принципов физики — закона сохранения энергии.

И все же, правильны или нет наши рассуждения? Obviously абитуренты сразу ответают, что такого быть не может, но далеко не все указывают физическую причину этого. А на самом деле все очень просто. Приведенная формула для емкости плоского конденсатора справедлива только при малых значениях $d$, то есть когда $d$ существенно меньше линейных размеров пластин. При больших зазорах между обкладками поле перестает быть однородным и разность потенциальов $\Delta \varphi$ перестает линейно зависит от $d$.

Мы затронули здесь очень важный вопрос о пределах применимости физических результатов. Любая физическая модель всегда имеет ограниченную применимость. Нельзя, например, применять модель идеального газа к реальным газам при высоких давлениях и низких температурах. Формула для емкости плоского конденсатора перестает «работать», когда рассстояние между обкладками становится достаточно большим и электрическое поле между ними оказывается

53

неоднородным. Нельзя непосредственно применять закон Кулона для определения силы электрического взаимодействия между пластинами плоского конденсатора. К сожалению, абитуренты передко в этом случае пишут формулу $F = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$, в то время как правильное выражение для силы имеет вид $F = q \frac{E}{2} = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S}$ (при этом сила не зависит от расстояния $d$).

Тепер сформируем задачу для самостоятельного решения.

Задача 1. Попробуйте оценить, во сколько раз можно увеличить разность потенциаль между обкладками заряженного плоского конденсатора, если удалить их на очень больше расстояние друг от друга.ЛИнейный размер пластин $a = \sqrt{S}$ и начальное расстояние $d$ между ними считать известными.

Заметим, что такого рода задачи на оценки, где точный расчет затруднительен, играют в физике большую роль. Они требуют выбора упрощенной физической модели и позволяют оценить масштабы явления по порядку величины.

Парадокс 2. Возьмем заряженный и изолированный плоский конденсатор и просверлим в его пластинах два маленьких ответствия — одно направив другого. При этом поле внутри конденсатора практически не изменится и останется однородным. Пусть через одно из ответств в конденсатор влегает с небольшой начальной скоростью заряженная частота так, чтобы электрическое поле конденсатораускорило ее (рис. 1). (Для этого, очевидно, частота должна влиять в конденсатор через ответствие в одномimeно заряженной пластине.)

Провелев через конденсатор, частiza вылетает из другого ответствия, прибрета дополнительную энергию $\Delta W = q\Delta\varphi$. Тепер предлагается с помощью магнитного поля изменить направление движения частцы таким образом, чтобы она снова влетала

Рис. 1.

через первое ответствие в конденсатор. Напомним, что сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частцу, не совершает работы, так как она перепедикулярна вектору скорости частцы.

При повторном prolете через конденсатор частица вновь прибрета дополнительную энергию $\Delta W$, вследующем цикле — еще $\Delta W$ и т. д. Мы с вами «изобрел» циклическийускоритель, который не нуждается в источнике энергии. Еще немного фантази — и мы конструкируем так называемый двигатель, работаюший без потребления энергии!

К этому ошибочному результату мы пришли потому, что не принял во внимание одно из фундаментальных свойств электристатического поля — его потенциальный характер. Потенциальность электристатического поля означает, что если из одной точки пространства в другую мы переносим заряженное тело, то работа электрических сил не зависит от формы пути, а определяется только положениями начальной и конечной точки. Отсюда следует, что если заряженное тело переносить по замкнутой траектории, то при возврашении в исходную точку полная работа электрических сил обращается в нуль. (Напомним, что таким же свойством обладает и граBITационное поле.) Именно это свойство позволяет ввести понятия потенциальной энергии и потенциальа.

В нашем случае при движении заряженной частицы внутри конденсатора электрическое полеускоряет, а вне конденсатора — тормозит ее, и когда частица подлегает к ответию в первой пластине, ее энергия принимает прежнее значение. Это означает, что в рассматриваемом примере мы прициппально не можем пребрать полем вне плоского конденсатора. Разумеется, оно значительное слабое поля между обкладками, но в нем частца пролетает городадо большей путь; в результате в тормозшем поле вне конденсатора она теряет как раз ту энергию, которое сообщило ейускорющее поле внутри конденсатора.

Парадокс 3. Вот еще один пример, показывающий, что пребрежение внешним полем плоского конденсатора (или, как его называют, полем

54

рассения) может привести к принципально неверным выводам.

В школьном учебнике сказано, что тела, в том числе и проводящие, расположенные вне конденсатора, практические не влияют на его emкость. Чаще всего так и бывают. Пусть, например, выззи обкладки плоского конденсатора расположена еще одна проводящая незаряженная пластина «a» (рис. 2). Эта пластина не изменит поля внутри конденсатора, и его emкость остается прежней. Поднесем теперь к конденсатору еще одну пластину — «6» и расположим ее выззи второй обкладки конденсатора. И эта пластина не оказывает влияния на emкость конденсатора.

Тепер соединим внешние незаряженные пластины проводником. Наш конденсатор оказывается как быставленным внутри проводящей коробки. Что при этом произойдет?

Многие абитриенты утверждают, что и в этом случае поле между обкладками конденсатора не изменится (так как внешние пластины были не заряжены) и, следовательно, emкость конденсатора тоже не изменится. А между тем схема, изображенная на рисунке 2, при замкнутых крайних пластинах эквивалентна цепи из трех конденсоров (рис. 3). Если все промежутки между пластинами одинаковы, то emкость такого сложного конденсатора равна $C = \frac{3}{2} C_0$, где $C_0$ — первоначальная emкость. Таким образом, emкость изменяется, а именно — увеличивается в 1,5 раза. Как это можно обьясить?

Оказывается, прийной всему — поле рассечения конденсатора. Под его действием происходит перераспределение зарядов на внешних пластинах, в результате чего верхняя пластина «a» оказывается заряженной отрицательно, а нижняя «6» — положительное. (Кстати сказаны, из рисунка 3 следует, что если одну из внешних пластин соединить проводником с одной из пластин данного конденсатора, то emкость становится равной $2 C_0$.)

Парадокс 4. Пусть мы имеем два одинаковых конденсатора (далее не обязаательно плоских) emкость $C$ каждой. Один из них заряжен зарядом $q_0$, а другой не заряжен. Электрическая энергия, запасенная в конденсаторах, равна

$$i = \frac{1}{R} \left( \frac{q_0 - q}{C} - \frac{q}{C} \right) = \frac{1}{RC} (q_0 - 2q).$$

Если принять во внимание, что по определению ток равен изменению заряда в единицу

55

времени (производной от заряда по времени):
$$i = \frac{dq}{dt},$$
то мы получим уравнение
$$\frac{dq}{dt} + \frac{2}{RC} q = \frac{1}{RC} q_0.$$

Удобнее записать уравнение не для заряда, а для тока, поэтому написанное выше соответствие процедного процедногоференцируем по времени:
$$\frac{di}{dt} + \frac{2}{RC} i = 0,$$
или $$\frac{di}{i} = -\frac{2}{RC} dt.$$

Посленее уравнение легко проинтегрировать. При этом левую часть нуждного проинтегрирования в пределах от первогоначального значения тока $i_0$ до значения тока $i(t)$ в рассматриваемый момент времени, а правую — от 0 до $t$:
$$\ln i(t) - \ln i_0 = -\frac{2}{RC} t,$$
или
$$i(t) = i_0 e^{-2t/(RC)}.$$

Значение тока $i_0$ в первый момент после замыкания ключа можно определить из следующих физических сообщений: в первый момент левый конденсатор заряжен до разности потенциалов $q_0 v/C$, а правый — не заряжен. Поэтому падение напряжения на резисторе как раз равно $q_0/C$. Отсюда следует, что $i_0 = q_0/(CR)$.

График функции $i(t)$ изображен на рисунке 5. Такие функции называются экспонентами. Они очень часто встречаются при решении физических задач. Время $t$, в течение которого сила тока уменьшается в $e$ раз, называется постоянной времени системы. В нашем случае $t = CR/2$. Чем меньше сопротивление $R$, тем быстрее проинтегрирует затухание тока.

Тепер нам осталось вычислить джоулево тепло:
$$Q = \int_0^\infty i^2(t) R dt = \frac{q_0^2}{C^2 R} \int_0^\infty e^{-4t/(RC)} dt = \frac{q_0^2}{4C} = \frac{1}{2} W_1.$$

Итак, парадокс разрешен. Независимо от величины $R$ровно поливна первоначальной энергии конденсатора переходит в тепло, а вторая поливна сохраняет в виде электрической энергии конденсаторов после их перезарядики. Пусть вас не смущает некоторая сложность приведенного расчета. Такие расчеты, намерены экзаменах от вас не потребятся. Нам важно было показать, что строгий расчет полностью разрешает противоречение.

Остается сказать несколько слов о предельном случае $R \rightarrow 0$. Что, если мы соединим конденсаторы идеальными проводниками (сверхпроводниками)? Формально наш результат остается в силе, так как он вообще не зависит от величины $R$. Но где же выделяется «потерянная» энергия и в каком виде?

Разумеется, в этом предельном случае джоулева тепла нет, но существенную роль начинает играть излучение электромагнитной энергии. При быстрых изменениях тока в цепи в окружающей пространстве возникнет переменное электромагнитное поле, и половина первоначальной энергии уносится электромагнитной волной.

Следует отметить, что в этом случае необходимо учитывать небольшую индуктивность соединенных проводов. Тогда цепь становится колбательной кондурту с малым (но не бесконечно малым!) затуханием. Процесс перезарядики конденсатора приобретает колбательный характер, и излучением электромагнитной энергии в окружающей пространстве преобразуется никак не нельзя.

Еще один парадокс, очень похожий на предыдущий, попробyte разрешить сами.

Заддача 2. Имеется незаряженный конденсатор емкости $C$ и батарея с ЭДС $\mathcal{E}$. Подсоединим обкладки конденсатора к полюсам батареи. Тогда на пластинах появится заряд $q = C\mathcal{E}$, и конденсатор приобретет электрическую энергию $W = C\mathcal{E}^2/2$. При этом батарея совершит работу $A = q\mathcal{E} = C\mathcal{E}^2$. Мы видим, что $W = 1/2A$. Куда же девальсь вторая поливна работа, совершенной батареей?

Парадокс 5. Плоский воздушный конденсатор емкости $C$ заполнили диэлектрической жидкость с пропиществом $\varepsilon$ и зарядили до напряжения $U$. При этом конденсатор приобретел электрическую энергию $W_1 = \varepsilon CU^2/2$. Затем конденсатор отсоединил от источника, жидкость слини и после этого разрядили. Легко сообщить, что при разряде выделяется энергия $W_2 = \varepsilon^2 CU/2 = \varepsilon W_1$ (заряд конденсатора $q = \varepsilon CU$ при сливании жидкости не изменился, а емкость стала равной $C$). Получается, что при разряде конденсатора выделится больше

56

энергии, чем он получил при зарядке. Например, при $\varepsilon=2W_2=2W_1$. Возникла явно парадоксальная ситуация.

Хотя задача о разряде конденсатора, из которого удален диэлектрик, в разных вариантах хорошо известна, многие абитриенты испытывали сервисные затруднения, пытаясь разрешить этот парадокс. А объяснение здесь очень простое.

При удалении диэлектрика из заряженного конденсатора нужно совершить неокторую внешнюю положительную работу, так как диэлектрик всегда втягается в область более сильного электрического поля (между обкладками). За счет этой положительной работы внешней силы и будет увеличивать электрическая энергия конденсатора:

$$W_2 - W_1 = A_{\text{внеш}}.$$

В нашем случае жидкий диэлектрик вытекает из конденсатора под действием силы тяжестей, поэтому энергия конденсатора возрастет на величины работы силы тяжестей. Если конденсатор все время оставался подключенным к источнику, то необходимо было бы учитывать еще и работу батареи:

$$W_2 - W_1 = A_{\text{внеш}} + A_{\text{бат}}.$$

Это соответствие закон сохранения энергии для изолированного конденсатора (и вообще для любой изолированной электростатической системы) при наличии внешних сил, совершающих работу.

Задача 3. Попробуйте самостояльно найти внешнюю работу и работу, которое совершает батарея с ЭДС $\varepsilon$, при силье жидкого диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$ из конденсатора, подсоединенного к ее полюсом. Емкость воздуха конденсатора равна $C$.

Если в системе есть активное сопротивление, то необходимо учитывать и джойлево тепло. В этомшем случае закон сохранения энергии удобно записать в виде

$$A_{\text{бат}} - Q = \Delta W - A_{\text{внеш}}$$

57

VII Московский турир юных физиков

Часами изменяется время, А временем жизни человека; Но чем, скажи, изменяется ты Глубину Восточного океана.

Козьма Прутков

VII Московский турир был проведен физическим факультетом МГУ им. М. В. Ломоносова с октября 1984 г. по февраля 1985 г. В этом современнии старшеклассников принятоучатне 40 школ Москвы и Московской области.

Первое место и переходящий приз турира присужены команде школа № 47 (капитан — О. Виноградова), второе место — командашкола № 7 (Р. Вакко) и ФМШ № 18 при МГУ (А. Михеев), третье место — командашкола № 57 (В. Садов), № 82 пос. Черноголовка (В. Барзькин), № 542 при МИФИ (О. Заборонский) и № 679 (А. Никитин). Победителем конкурса капитанов стал А. Михеев (ФМШ № 18). За лучший доклад на турире почетной грамотой была нагradена А. Вуйволова (с.ш. № 7). За активноеучатие в турире и проявленные глубокие знания по физике жизни человека вручило грамоты и подарки 17-ти школьникам. Физический факультет МГУ нагradил шкOLS, команды которых показали высокие результаты, физический приборами.

Ниже мы публикуем задачи физика ТЮФ-VII. Вы можете использовать их при проведении в школе физических олимпiad и виктории, вечеров науки, физоев, в работе физических кружков.

Домашние задачи физистам турира

На выполнение этих заданий школьникам отводился один месяц.

1. «Оптический зажигательный прибор». «В этих моих рассудениях мне представляется возможность достигнуть целлю только одним способом: собиранием фокусов несколько линия или зерка в одно место, где соединеными силами они и произведут жар больший, чем известный до сих пор.» (M. В. Ломоносов)

Как зависит максимальная температура разогрева и скорость разогрева объекта от числа пучков в приборе, предложенном М. В. Ломоносовым? К чему приведет замена солнечных пучков лазерными?

2. «Катушка». На бумажном каркасе намотана в несколько слоев катушки из медной проволки. Определить число витков катушки, не разматывая ее. Оценить омическое сопротивление, индуктивность и емкость катушки. Для экспериментов была выдана катушка с таким параметрами: диаметр провода 0,8 мм, диаметр катушки 30 мм, длина намотки 20 мм, число витков 125.

3. «Ячейки Бенара». Создать установку для демонстрации ячейки Бенара. Как зависит в вашей установке размер ячейок от разности температуры между нижним и верхним слоями жидкости и от толщины слоя жидкости?

Примерные параметры установки:

1 — латунная пластина толщиной 1—3 мм;
2 — кусок трубы из теплопозиционного материала (эбонит, оргстекло); внутренний диаметр 100 мм, высота 30 мм. Трубу следует прикрепить к пластине эпоксидной смолой;
3 — произрачная крышка (стекло).

Исследуемая жидкость — подсолнечное масло, в которой надо насыпать щепотку сербряки (мелкого аломиневого порошка). Налейте тонкий слой жидкости в получившуюся ванночку, закройте крышкой и начинайте равномерный нагрев нижней пластины — скоро вы обнаружите ячейки Бенара. (См. также «Квант», 1977, № 4, с. 24.)

4. «Снежный покров».
   «Мороз снежком укутывал:
   «Смотри, не замерзай!»

(Из детской песенки)

«Подсчитано, что если бы снегом укрылась все Земля, то средняя температура ее поверхности попизила бы от существующего сейчас +15 °С до −88 °С.»

(Из ученой книги)

В этих двух цитатах заключен физический парадокс — от снега тепло и… холодно. Разрешите этот парадокс.

5. «Представление». Разыграть с участием членов команды и большейков представление на физическую тему. Длительность представления — 5 мин. Жанр произвольный.