Квант 1985, №9 · Страницы

КВАНТ
9
1985
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР
С НОВЫМ
УЧЕБНЫМ
ГОДОМ!

Приведенные здесь фотографии получены при стробоскопическом освещении (симки сделаны в Московском театре-студии на Юго-Западе). О том, в чем заключется стробоскопический эффект, лежащий в основе этого метода фотосъемки, можно прочитать в рубрике «Школа в «Кванте» — в заметке, предназначенной во всемикlassникam.

1

В НОМЕРЕ:

2 С новым учебным годом!
3 Н. Х. Розов, Бл. Х. Сендов. Предыстория рождения компьютера
8 Е. Е. Городецкий, В. С. Есинов. Конвекция и самоорганизующая структуры
14 А. Н. Земляков. Введение в stereometрию, или «Аксиматические игры»

Jаборатория «Кванта»
E. Э. Коломейцев. Опыты со светящимся веществами

Kvant’s lab
E. Е. Kolomeytsev. Experiments with luminiscent objects

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10

«Квант» для младших школьников
Задачи
Г. А. Гуревич. Криптографма Жюля Верна

Kvant for younger school children
Problems
G. А. Gurevich. Jules Verne’s cryptogramm

Kалейдоскоп «Кванта»

Kvant’s kaleidoscope

Задачик «Кванта»
Задачи M941—M945; Ф953—Ф957
Решения задач M921—M925; Ф933—Ф937
Кляксы на плоскости
Список читателей, прилавших правильные решения

The art of programming
A. П. Erшов. Компьютер — алгоритм — алгоритмический язык

Semiconducting elements in computers
I. First glance inside

Олимпiadы
Задачи юбилейной Московской городской математической олимпiadы
Новосибирская областьная олимпiadа по физике

Olympiads
Problems of the Moscow mathematics olympiad
Novosibirsk regional olympiad in physics

Информация
Физiko-mатематическая конференция школьников

Information
High school students physico-mathematical conference

Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (55)
Шахматная страница
Рейтинги (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Kvant smiles (55)
The chess page
Ratings (3rd cover page)

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1985

2

С новым учебным годом!

Редколлегия и редакция журнала «Квант» поздравляет наших юных читателей с новым учебным годом! А год этот во многом должен быть действительным новым, необучным.

Продолжается осуществление школьной реформы, набирает силу процесс интенсивизации народного хозяйства. В соответствии с постановлением партии и правительства во всех средних учебных заведениях страны вводится курс «Основы информаики и вычислительной техники». Начат широкий эксперимент по использованию вычислительной техники в предприятии школьных предпритов. Вместооннее и глубокое овладение молодежью вычислительной техники должен стать важным фактором укрепления научно-технического прогресса в стране.

Хотелось бы, чтобы за новый строкой в школьном расписании вы видели, какое большое значение придает сегодия этой мере, поднималошей работы школьы на качество новой уровня, соответствующей условиям и потребностям общества и потребностям общества.

Проjdет немного времени, и вы воляетесь в ряде многомиллионной армии рабочих и инженеров, ученых и техников, преподавателей и конструкторов, механизаторов и служащих. Вы попадете на заводы, где работают станки с числовым программным управлением, в laboratorии, где действуют сотни электронных устройств и приборов, в аудитории, преподавание в которых ведется с применением современных электроновычислительных машин. Без преувеличения можно сказать, что мир, в котором вам предстоит жить и работать, будет миром компьютеризированным, насыщенным новейшей техники. Это не фантастика, вернее, вчерашняя фантастика, обреталось невиданным темпами реальных черты на наших глазах.

Что бы эта, порой лишь угадываемая сегодия, техническа была вам подвластна, готовиться к встрече с ней необходимо загодя, уже за школьной парой. Вот почему такое важное значение прибретает задача вооружить учащихся знаниями и навыками использования современной вычислительной техники.

Помочь решению этой задачи призван и наш журнал. Как всегда, он будет стремиться пробудить интерес к физике и математике — научам, лежащим в основе современной техники, знакомить вас с достижениями физико-математических наук и применением их в народном хозяйстве.

И наряду с этим «Квант» становится содержательным успешномуведения нового учебного курса, рассказывать о развитию, сегодиям состояния и перспективах вычислительной техники, о том, как она использовется в различных областях, о связанных с ней проблемах математики и физики. Статы и заметки на эти темы будут регулировано появляется на страницах нашего журнала.

Мы надеемся, что некоторые как говорят программы, «доза алгоритмности» оказывается полезной для наших читателей. От вас редактируется отклики на эти публикации и предложения новых тем.

Желаем успехов в новом учебном году!

3

Предыстория роздения компьютера

Доктор физико-математических наук
Н. Х. РОЗОВ,
академик Болгарской академии наук
Вл. Х. СЕНДОВ

Сейчас, в конце XX века, уженикого нельзя удивить сообщениями о высоких темпах прогресса в различных научных направлениях и отражах технически, о быстро растущем числе научно-технических новинок в различных сферах нашей жизни. Констатция этого стала обширим, а подтверждений тому, одно развитие другого, известно великое множество.

И все же можно думать, что постремительности своего развития, по интенсивности и широкоте проникновения буквально во все области деятельности и была человек вычислительная техника является собой один из самых уникальных феноменов. Люди даже среднего поколения отчетливо помнят то время, когда об электронных вычислительных машинах говорили как о чем-то абстрактном и далеком, а сама аббревиатура ЭВМ оставалась многим неизвестной.

Сегодня без компьютеров с их огромными разносторонними возможностями многое реализация производственные процессы, глобальное экономическое планирование, тончайшиеfundamentальные исследования, удовлетворение многообразных потребностей миллионов людей и т.п.— просто не могли бы существовать.

Современная вычислительная техника резко изменила и сильно возввилавозможности математической науки. Мало того, что сейчас оказывается «доступными» многое задачи, которые, будучи в процессе разрешимы лишь «вринципе», теоретически, на практике оставались непреодолимыми из-за фантастических большого объема нужных вычислений. Самое главное в том, что на базе использования компьютеров все более и более возра́стает роль и значение математического моделирования. С каждым днем все новые и новые эксперименты удается заменять «обсчетом на машине», а это дает количество выигры в средствах и во времени. Недаром получила распространение такая точка зрения: срождаемым современным компьютером математика стала экспериментальной науки.

Однако речь ниже пойдет не о современном состоянии вычислительной техники и не о перспективах ее будущего развития и использования. Настоящая статья посвящена некоторых аспектам уже прошедшей истории компьютера, собственным минувших дней.

4

Эта история представляется нам интересным, содержательным и почительным конкретным примером диалектического процесса формирования человекаского знания. Каждый из основополагающих идеи, в своей совокупности приведших к созданию компьютера, с одной стороны, была порождением остроого, оригинального ума, а с другой — являясь естественным и неизбежным продуктом исторического эволюции условий жизни человека, его потребностей, развития науки и техники.

«Машина», которая всегда с собой

Потребность считать была, веряно, одной из первых потребностей интеллектуального уровня, которые испытывал номо sapiens уже в начале своего исторического пути. Она предопределялась и стимулировалась научными проблемами самого существования первобитного человека и прежде всего — постоянной необходимости знать и учиться меняющейся колчество пищи, скота, зерна и других животных предметов. Однако человек человека овладевало очень медленно, ибо формирование абстрактных понятий «один», «два» и т. д. потребовал аккумулирования тысячелетнего практического, житейского опыта.

В длительном и трудном процессе осознания самой идеи счета человека особенно сильно помогли… его пальцы. Так уж устроена природа, что человек роздается с естественной «счетной машиной» — десятю пальцами на руках — и постоянно, всю жизнь носит ее с собой.

Эта простая, удобная и надежная «счетная машина» обладает в минитаре всеми способностями компьютера: в нее можно вводить числовую информацию, она помогает произвольить арфметические операции, сообщает получающийся результат и позволяет при необходимости какое-то время его сохранить. Конечно, продолжительность хранения информации и объем памяти такой «машины», ее вычислительные возможности весможности весма скромны, хотя и не так малы, как кажется.

В некоторых книгах по занимаемой математике описаны весма искусные приемы, позволяющие «на пальцах» проводить счет до довольного больших чисел и выполнять не только сложение и вычитание, но и умножение. Сейчас это просто забава, фокусы, но даже в XIII века один из творцов средневековой математики в Европе Леонардо Пизанский, больше известный под именем Фибоначчи, рекомендовал использовать пальцы как вспомогательное средство при счете.

Пальцевый счет сыгral особую роль в развитием математики. Представляется достоверным, что именно здесь пальцев рук сервера на практике породили, а затем психологически закрепили привучку людей считать десятиками, что привед к возникновению десятичной (десятеричной) системы числения. Она постепенно вытекала другие системы числения (скажем, двенадцатричного или шестидесятеричного), применявшиеся некоторыеми народами, и стала давно уже общеприятной во всем мире.

Поскольку долго оставлять на пальцах числовую информацию, естественно, невозможно, перед человеком со всей практической актуальной встала задача изобретения способы обозначать и хранить числа. На заре человекства для этого использовались зарубки и насечки на различных предметах, специальные счетные палочки, камещки, бирки и т. п. Но самый надежный и удобный способ обозначения и хранения чисел появился с возникновением письменности. Кстати, некоторые истории утверждают, что люди научились записывать цифры даже раньше, чем буквы.

Выдающимся historическим событием, определяющим все последующие развитие математики, явилось открытие позиционной нумерации. По-видимому, она родилась около 4000 лет

5

тому назад в древнем Вавилоне.
Как жаль, что время не donneло до нас имя того гения, который первый высказал идею при записи чисел специальным образом учитывать место каждой цифры! Несравнимые удобства позиционной номерации обеспечили ей победу над всеми другими способами записи чисел (например, над хорошо всем знакомой rimской системой номерации); именно она в дальнейшем открыла возможность механизации счета и в конечном итоге — создания компьютера.

Созданием прививной нам десятичной позиционной номерации (системы численения) мы обязаны древним индусам — это произошло приближительное полторы тысячи лет назад. Из Индии через арабов в период раннего средневековой эта система номерации вместе с обозначениями цифр (которые до сих пор называются «арабскими») пришла в Европу, а затем распространилась во все страны.

Как считать быстрее и надежнее?

По мере роста разнообразных практических нужд человека, в первую очередь — с расширением внутренней и международственной торговли, увеличивалось и значение различных вычислений в жизни общества, без которых невозможно эти нужды обеспечивать.

Сегодняя такие вычисления каждятся совсем простыми — ведь они использует лишь четыре арифметических действия и доступны младшеклассикам! Но не будем забывать, что речь идет об иных временах, когда удобных правил письменного счета «столбиком» еще не существует, когда люди не знали не только шариковых авторучек, но даже и бумаги.

Великий revolución в математике явилось изобретение абака, или, иначе, счётов. К сожалению, неизвестно, кто и когда создал этот шедер, как невозможно и назвать точное число его исторических и национальных разновидностей.

Абак был удобным и простым приспособлением, позволяющим человека определить арифметические операции над числами путем перемещения по специальным правилам каких-то предметов (счетных марок). Широко известно, что математики древности в геометрии особое значение придавали

Русские счеты.

решению задачи «с помощью цифр и линейки». Но немного знают, что аналогичное положение должно сохраняться в арифметике: задача считалась решенной только в том случае, если указано, как соответствующее необходимые вычисления проводится на абаке.

В различных странах модификации абака, несмотря на妒азительную простоту их устройства (а может быть, именно благодаря такой простоте?), получили широкое признание и использовались в течение столетия. Особенно значительный вклад в распространение абака и методов счета на нем внесет інвестиционный французский ученый Герберт (950—1003), ставший в конце своей жизни папой римским под именем Сильвестр II.

Лишь в позднее средневекование, после появления в Европе бумаги и по мере распространения и принятия десятичной позиционной системы численения (в котором легко выполнять письменное арифметическое операции), абак утверивает свое универсальное значение для арифметики. Постепенно он превращается во вспомогательное приспособление, еще какое-то время, так сказать, «технические» обеспечивающие коммерческие расчеты и т.п. Например, русские счеты до сих пор с успехом помогают в работе кассирам магазинов (в самые последние годы счеты наалиут уступать свое место, вытесяемые автоматически кассовыми аппаратами и микрокалькуляторами).

Абак (счеты), конечно, еще нельзя назвать вычислительной машиной. Это всего лишь счётный прибор, позволяющий организовать вращionalной форме (альтернативной цисвенному вычислению «столбиком») выпол-

6

нене арифметических операций, которые фактически проводит сам человек, в своей голове. Да и перемещение счетных марок, к которым сводится вычисление, человек осуществляет так же сам, своей рукой.

Однако с появлением абака была реализована и закреплена основополагающая идея специального устройства, выполяющего неограниченное число операций определенных типов без каких-либо промежутных записей.

К счетным приборам, помимо абака и счетов, относятся и многое другие приспособления, достаточно оригинальные и интересные. Не будем их здесь все перечислять, а упомяем лишь еще одно, на первый взгляд весьма неожиданное в ряду счетных приборов. Это … табличцы логарифмов. Не нужно, однако, удивляться! Если подумать, как проводится, скажем, умножение с помощью таблиц логарифмов, то нетрудно убедиться, что их роль в принципие не отличается от роли счетов.

Tabличцы логарифмов были опубликованы в 1614 годуштандским математиком Джоном Непером (1550—1617), хотя создал их он много раныше — примерно в начале 90-х годов XVI века. Появившееся вначале как основа свободного «счетного прибора», понятие логарифма сыграло особую роль в истории развития всей математической науки.

Первые попытки поручить счет машине

Правила письменного счета в десятичной позиционной системе численения, несомненно, очень удобны, но от этого вычисления не перестановить быть трудомками и утомительными, особенно если это длинные вычисления с большими числами. Поэтому с победой десятичной позиционной системы численения мыслю о создании приспособлений, помогающихся счету, не потеряла своей приятельности. Более того, дальнейший интенсивный рост потребностей торговли и финансового дела, бурое развитие техники в период становления капиталистического способа производства, астрономические, землеперные, навигационные и прочие расчеты, необходимость конкретного («до числа») решения прикладных математических задач — все это делало задачу освобождения человека от тяжелого времени счета весы важной.

К XVII веку относится следующей чрезвычайно важной собственной техники — появление считающего устройства.

Долго считалось, что первое устройство построил в 1642 году французский математик, физик и физоеф Блез Паскаль (1623—1662). Однако не так давно было установлено, что впервые, приблизительно в 1623 году, счетный автомат сконструировал немецкий ученый Вильгельм Шиккард (1592—1636), профессор математики и … восточных языков университета в Тюбингене.

Радикальное отличие считающего устройство от счетного прибора состоит в том, что оно само, безучастия головы человека, автоматически проводит арифметическое операцию над установленными исходными числами и сообщает получающийся результат. Однако та часть работы, которая связана с составлением плана последовательного проведения различных операций, поэтому ввода данных перед каждой операцией и списывания промежутных результатов, остается за человекам.

Важно поддержнуть и то существование остоятельного, что реализация вычислительных операций в считающем устройстве осуществляется на основе механического движения его деталей (например, выражения запеленных колес) с автоматическим превращением десята в некотором разряде в единицу следующих технических ушштреней).

Изобретение Шиккарда осталось практическимиником не известным, а

7

автомат Паскала получил широкую популяриость и послужил родоначальником огромного семейства сцитаюших устройств, созданных в течение последующих трех столетий. Интересно отмечать, что, хотя само по себе создание таких устройств — проблема скорее инженерная, техническая, в длином списке имен их создатель значается многое выдающейся математики, причем, как правило, именно им принадлежали оригинальные конструктивные решения. Вот лишь несколько примеров.

Один из основоположников дифференциального и интегрального исчисления немецкий математик, естественно пытаетсяель и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) активно занимался созданием и усовершенствованием автоматов для счета на протяжении почти 40 лет своей жизни. Построенное им считающей устройство «умело» выполнять не только сложение и вычитание, как автомат Паскала, но и умножение и деление. Другими словами, Лейбниц был автором первого в истории арифметра — устройства, позволяющего быстро и удобно совершать все четыре арифметических действия.

Первая логарифмическая линейка была придумана в 20-х годах XVII века известным английским математиком Вильямом Оутредом (1574—1660), который, кstatи, предложил использовать «крест» × в качестве знака умножения. Получившая широкую популяриость, многократно усовершенствовавшаяся, пережившая века, логарифмическая линейка оказалась верным, удобным и незаменным помощником в самых разнообразных практических расчетах. Еще сравнительно недавно именно она являлась как бы символом инженерного труда: инженер всегда изобравался на символ и рисунках с неизменной логарифмической линейкой в нагрудном кармане.

Имя русского математика и механика, основоположника петербургской математической шкалы Пафнутья Львовича Чебышёва (1821—1894) хорошо известно во всем мире: его работы оказали решающее влияние на развитие многих ветвей математики. Заметный след оставил П. Л. Чебышёв и в истории вычислительной техники. Им впервые была высказана (и реализована в его арифметре) идея непрерывного (а не дискретного) преобразования десята в единицу старшего разряда. Приципили не прерывной передачи десятков прибрел особо важное значение уже в нашей времени, после возникновения ЭВМ.

XX век ознаменовался дальнейшим резким возрастением роли вычисления в самых разных областях человекаской деятельности. Считать требовалось многоим и считать приходилось многого. В первой половине нашей столетия наиболее распространенным в мире считающим устройством был арифметром. Различные его модификации, выпускающиеся в разных странах, принципиально не отличались от арифметром, сконструированного в 1890 году петербургским изобретателем Вильг尔德ом Теофиловичем Одером (1845—1905). Легкий и небольший по размерам, простой и удобный в обработении, надежный в работе, арифметром Одерга явился вершиной конструктора искусства среди многочисленных считающих устройств.

Кступ из лодей старшего поколения, хотя как-то связанных с вычислениями или обработкой числовых данных, не приходилось иметь дело с классическим арифметром «Феликс»? Еще так недавно он был основным массовым вычислительным средством, его можно было встретить повсюду. А сегодня «Феликс» — лишь экспонат музея истории науки. Подгогнемая потребностими бытия, вычислительной техники пошла дальше, и нам пришлось проститься с этим верным и привчным помощником. Такие расчеты всегда немного грустны, но без них невозможен прогресс науки, они неизбежны…

8

Конвекция и самоорганизующая структуры

Кандидат физико-mатематических наук
E. E. ГОРОДЕЦКИЙ.
В. С. ЕСИПОВ

Ветры и океанские течение, движение материалов и потоки солнечной материи… Каждое из этих явлений очень сложно и многообразно. И все же они (а также многое другое) имеют характерную общую черту: существенно роль в них играет конвекция — одно из самых красивых явлений в физике макромира.

В последние годы интерес к этому «старому» и, казалось бы, хорошо знакомому явлению резко повышился. Оказывается, конвекция — один из тех процессов, в результате которых системы, первоначально неупорядоченные, приходит в упорядоченное состояние. Рождение порядка из хаоса (или, иначе, самоорганизация) — этоfundamentalный механизм эволюции. И понятие конвекции помогает нам продвинутся в понимании этой захватывающей и, в большой степени, все еще тинистенной проблемы.

Условия существования конвекции

В узком смысле слова конвекция — это возникновение упорядоченного движения в неравномерно нагретых жидкости или газах.

При каких условиях возникнет такое движение? Обратимся к простому примеру: представим себе, что мы подогреаем紊ну плоский горизонтальный слой жидкости. Каким образом может произойти процесс передачи тепла от нижней границы жидкости к верхней?

При малой разности температур ΔT нижнего и верхнего слоя жидкости проесс передачи тепла происходит за счет теплопроводного механизма: более «горячие» молекулы, стальваясь с более «холодными», передают им избыток своей энергии, но макросоппереское движение жидкости при этом отсутствует. Однако, когда разность температур достигает определенного критического значения ΔTкр, теплопроводный механизм передача тепловой энергии, связанный с возникновением в жидкости макросопперегодая движения.

Что значит «неустойный»? В каком смысле «более высокий»?

Давайте резберемся в этих вопросах.

Устойчивость и неустойчность

Из курса механики мы знаем, как определяется устойчивость равновесия системы: если при отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть ее обратно,— равновесие устойчивое (рисунок 1, а); если же могут

10

ратура внутри слоя линейно зависит от высоты $h$:

$$T(h) = T_1 - \Delta T \frac{h}{L}.$$

Так как плотность жидкости при нагревании уменшается, в нижних, более нагретых, сложных плотность меньше, чем в верхних, — жидкость недорога по плотности. Зависимость плотности от высоты имеет вид

$$\rho(h) = \rho_1 \left( 1 + \beta \cdot \Delta T \frac{h}{L} \right)$$

(здеся $\rho_1$ — плотность на нижней границе, $\beta$ — коэффициент объемного распределения, равный изменению единиц объема тела при изменении температуры на 1 градус). Чем больше $\Delta T$, тем быстрее растет плотность жидкости в слое с ростом $h$. Иными словами, при увеличении $\Delta T$ недорогость плотности в слое возрастает. И это, в конечном случае, приводит к неустойчивости: более легкая жидкость, находящаяся внизу, стремится всплить, возбуждая при этом движение во всем слое, — возникает конвекция.

На первый взгладл может показаться страным, что такое движение не начинается сразу, при сколь году малом перегреве нижних слов. Ведь если мы погружаем какое-нибудь тело в жидкость, оно всплывает даже тогда, когда плотность его хотя бы чуть-чуть меньше плотности жидкости.

Чтобы понять, что здесь происходит, представим себе, что небольшой элемент жидкости (например, шарик радиуса $R$) начал двигаться вверх со скоростью $v$. Объчно можно считать, что объем, а следовательно, и плотность тела по мере подъема не меняются. В рассматриваемом случае выделенный элемент жидкости, поднимаясь и попадая в более холодные слоны, уменшается в объеме, становится более плотным и может потерять плаучесть. В этом все дело!

Прежде чем получить условия потери устойчивости теплопроводного режима в явном виде, сделаем одно очень важное значение. Имея в виду чисто качественный характер наших оценок, мы совершенно не будем интерсоваться в формулах численных коэффициентами, да и вообще каимми-либо деталями. Так, мы рассматрием элемент жидкости в форме шарика, хотя на самом деле он мог бы иметь более сложную форму. Мы будем принимать объем этого шарика равным $R^3$, а площадь его поверхности — $R^2$ (вместо $4/3\pi R^3$ для объема и $4\pi R^2$ для площади поверхности) и т. д. Этот метод, называемый методом размерных оценок, является важным этапом физического исследования, этапом, на котором проясняется самая суть интерсующего нас явления: от каких параметров оно зависит, каковы его пространственные и временные масштабы и т. д.*)

Итак, присутствим. Введем время $t$, в течение которого температура шарика (и, соответственно, его плотность) остается приблизительно постоянной. За это время шарик, движясь с приблизительно постоянной скоростью $v$, успевает поднять с уровня $h$ на уровень $h + \Delta h$, где $\Delta h = v t$. Его место на уровне $h$ занимает более плотный элемент жидкости, опустившийся с уровня $h + \Delta h$ (рисунок 3). Плотность поднимающегося с уровня $h$ шарика равна $\rho(h) = \rho_1 (1 + \beta \cdot \Delta T \cdot h/L)$, а плотность опустившегося на уровне $h$ шарика равна $\rho(h + \Delta h) = \rho_1 (1 + \beta \cdot \Delta T \cdot (h + \Delta h))/L$. Изменение потенциальной энергии при таком встречном движении равно

$$(\rho(h) - \rho(h + \Delta h)) R^3 g \cdot \Delta h = - \rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{\Delta h}{L} R^3 g \cdot \Delta h = - \rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{v^2 \tau^2}{L} R^3 g.$$

Знак «минус» означает, что энергия уменшается, — значит, такое движение в жидкости выгорано. Надо, однако, учесть еще выделяющиеся за счет треня тела, которое равное сил сопротивления $A = F_c \cdot \Delta h$. Сила сопротивления связана с наличием внутреннего треня (вязкости) в жидкости и в случае шарика, движущегося со скоростью $v$, пропорционально радиусу шарика и его скорости, а также коэффициенту взякости жидкости $\eta$:

$$F = \eta Rv$$

(здеся мы вновь отбросили несущественный в наших качественных оценках численной коэффициентом пропорциональной).

Таким образом, изменение энергии при возникновении в жидкости движения равно

$$\Delta W = (-\rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{v \tau}{L} R^3 g + \eta Rv) v t.$$

Оценим время отсутствия шарика $t$. Избьютное количество теплла у шарика ($\Delta Q = \rho R^3 c \cdot \Delta T$ ($\rho R^3$ — масса шарика, $c$ — удельная теплемкость). Количество теплла $\Delta q$, перемещено от горячего тела к холодному за единицу времени через единицу поверхности раздела этих тел (эту величины называют потоком теплла),

*) О методе размерных оценок можно прочитать в главе «Вычисления без вычислений» книги А. В. Мигдала «В поисках истинны» (серия «Эврика» издательства «Молодая гвардия», 1983 год).

11

Пропорциональное развитие температуры $\Delta T$ горячего и холодного тела и обратно пропорционально толщине переходного слоя; коэффициент пропорциональности (характеристиющий теплопроводные свойства тела) называют коэффициентом теплопроводности и обозначают $x$. В случае нашего шарика толщина переходного слоя — это радиус шарика, и $\Delta q = x \cdot \Delta T/R$. Время оставления шарика — это время, за которое все избыточное теплое $\Delta Q$ успеет перейти от шарика через его поверхность к окружшей жидкости. Следовательно, время $\tau$ определяется условиям $\Delta Q = \Delta q \cdot R^2 \tau$, откуда

$$\tau = \frac{\Delta Q}{\Delta q \cdot R^2} = R^2 \frac{\rho c}{\chi}.$$

Комбинацию $\chi/(\rho c)$ называют коэффициентом теплопроводности и обозначают $x$. Так что $\tau = R^2/\chi$.

Подставив найденное значение $\tau$ в выражение для $\Delta W$, получим:

$$\Delta W = R^3 \frac{\eta}{\chi} \left( 1 - \frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{L \eta \chi} \right) v^2.$$

В соответствии с общим принципом при $\Delta W > 0$ случайно возникшее движение затухает (аналогия с рисунком 1, а при $\Delta W < 0$ движение продолжается (аналог — рисунок 1, б) — состояние покоящей жидкости (телопроводный режим) становится неустойчивым. Условие $\Delta W < 0$ выполняется, когда

$$\frac{\rho_1 \beta g R^4 \cdot \Delta T}{L \eta \chi} > 1.$$

Обратите внимание на то, как в это неравенство входит размер шарика $R$: чем больше $R$, тем охотнее шарик устремляется вверх. Значит, в первую очередь начинает движаться шарик максимального возможного в данной ситуации размера. Но этот максимальное возможное размер, очень длинный равен толщине слоя. Поэтому в последнем неравенстве можно считать $R \approx L$.

Итак, мы получили условия, определяющие начало конвективного движения:

$$\frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{\eta \chi} > 1.$$

Вы видите, что критическая развитие температуры, при которой происходит сывтопроводные связи, определяется параметрами жидкости (вязкость $\eta$, температуропроводность $\chi$ и т. д.), а также толщиной слоя $L$. Чем больше толщина слоя, тем при меньшей развенности температуры на нижней и верхней его границах теплопроводный режим сменяется конвективным.

Подставляя в выражение для $\Delta W$ значение $R \approx L$, найдем

$$\Delta W = L^3 \frac{\eta}{\chi} \left( 1 - \frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{\eta \chi} \right) v^2.$$

Наша задача выполняется мы нашли функцию, минимум которой определяет положение равновесия системы — это $\Delta W(v)$. Когда развитие $\Delta T$ мала, график $\Delta W(v)$ имеет вид, аналогичный приведенному на рисунке 1, а — минимум реализуется при $v = 0$. При $\Delta T$ настолько больших, что $\Delta W < 0$, мы переходим к ситуации, изображенной на рисунке 1, б, что и означает спонтанный (самопроизвольный) переход жидкости из состояния с нулевой скоростью в состоянии со скоростью, отличной от нуля.

Наконец-то структура!

Итак, мы нашли условия потери устойчивости. Но что же произойдет с жидкостью дальнейше?

Прежде всего очень научать одновременное движение вверх. Восходящие движение обязательно должны привести к низкой температуре. И эти восходящие и низкодушие потоки должны быть как-то распределены в нашем слое.

Оказывается, что система, в которой имеются потоки энергии или вещества (такие системы называются неравновесными), странается таким образом, чтобы следить по энергии минимальных.*) В рассматриваемом нами случае восходящие и низкодушие потоки жидкости строгоупорядочиваются, образуя очень красивую и, что особенно порозительно,

*) Это, по видимому, весма общий принцип. Однако в настоящее время строгодоказательства его справедливости не существует.

12

очень правильную картину: слой жизни «разбиается» на признамы (так называемые ячейки Бенара — по имени французского исследователя, впервые наблюдающего и описавшего это явление), по граям которых жизни поднимается вверх, а в центре стекает вид, либо наоборот. Динамир поперечного сечения призим приближительно равен $L$. На рисунке 4 приведена фотография такой структуры (вид сверху; справа — увеличенное изображение тех же ячеек).

Самопроизвольное возникновение структуры, неизменно поржающейся всякого, впервые стalkивающегося с этим явлением, — факт, значение которого выходит далеко за рамки проблемы конвекиции.

Другие типы неустойчивости

Причиной неустойчивости в расстоянии нами служа является наличие потока тепла через границы жизни и неодородность плотности по высоте. Совершенно аналогичный результат мы получим и в том случае, когда неодородность плотности вызвана не разность температур, а различем состави жизни и верхих слоев жизни. Например, когда вверх находится вода более соленая (а следовательно, более тяжелая), чем вниз. Здесь мы переходим к очень интересному и разнообразному кругу вопросов, связанных с конвекией в двухкомпонентных жидкостях. Примером такой системы является океан. Реально в океане наряду с неодородностью по составу существует также и неодородность по температуре. Комбинация этих факторов приводит к многим характеристим особенностям океана и, в частности, к формированию в нем устойчивых слоев с различной соленостью и температурой (к так называемой стратификации океана).

Чтобы понять, как образуется такая структура, рассмотрим воду, в нижних слоях которой температура и соленость выше, чем в верхних. При этом, даже если плотность воды вниз больше, чем в верхну (то есть, казалось бы, равновесие устойчивое, и перенос энергии должен идти обчным теплопроводным способом), тем не менее, возможно сывисточности и переход от теплопроводного режима к конвеktивному.

Действительно, представим себе, что небольший элемент жизни нацал движаться вверх. Предположим, что его температура и соленость не меняются. Так как плотность элемента больше, чем плотность окружающей среды, он вскоре оставится и начинает тоннуть, движясь обратно к своему положению равновесия. Возникает колебательное движение рассматриваемого элемента, аналогичное колебанию тела, подвешенного наружке. Такое колебание естественно затухает из-за тре-

13

ния, обусловленного языковостью жидкости. А теперь учет, что в процессе подъема выделенный элемент, оказываясь в более холодных слоях, оставает. Это приводит к его «утяжелению», так что, возвращаясь к своему положению равновесия, он имеет скорость большую, чем та, с которой он начал движаться (происходит как бы подталкивание грузика, колеблющегося наружнее). Такое подталкивание может скопперсировать затухание колебаний, и амплитуда колебаний начинает нагаться. Это и есть неустойчивость. (Такую неустойчивость называют колебательной конвекцией.) Размах колебаний растет до неокоторого предельного значения, которое и определяет толщину слоя. В результате таких колебаний жидкость внутри слоя активно перемешивается. Температура и соленость воды при этом оказывается в пределах одного слоя почти постоянными. После того как такой слой формировался, над ним начинает растить другой слой, затем третий и т. д.

Вновь возникает структура. Но на этот раз слоистая.

И еще об одном типе конвективной неустойчивости нам хочет рассказать. Кто из вас не видел, как закручивается вода, выливающаяся из сливного отверстия в раковине.

Для этого приведем: каждый замечал, что чайки при перемешивании сахара в стакане с чаем всегда собираются к оси стакана. И то и другие является частью проявления неустойчивости, которая называется неустойчивостью Тейлора (по имени англійского ученого Дж. И. Тейлора (1886—1975), занимавшегося исследованием по аэрофундамике).

В наиболее чистом виде неустойчивость Тейлора проявляется в жидкости, находящейся между двумя сосными врашающими цилиндрами. Цилиндры увлекают жидкость за собой, в результате чего она начинает врашаться. Однако при определенной разности угловых скоростей внутреннего и внешнего цилиндров такое число врашательное движение жидкости становится неустойчивым, и наряду с врашением появляется движение жидкости в радиальном направлении. Ситуация очень напоминает ту, которую мы рассматривали выше. Разница лишь в том, что в горизонтальном слое «верх» и «низ» были выделены направлениемускорения свободного падения g, здесь же «верх» и «низ» задаются направлением центростремительногоускорения. В первом случае мы видели выделенный элемент жидкости в сплывайал за счет того, что его плотность не успевала сравнять с плотностью окружающей среды (шарик не успевал остыть). Здесь скорость врашения элемента жидкости, случайно налавшено движется вдоль радиуса, не успевает сравнять со скоростью врашения тех слоев жидкости, в которых он попадает.

В результате развития такой неустойчивости жидкости, врашающая между цилиндрами, развивается на системе «баранок» (рисунок 5; черными стрелками показаны направления текущей жидкости внутри врашающся «баранок»). Вновь возникает упорядоченная структура!

В общем случае можно сказать, что врашение жидкости в одной плоскости, как правило, приводит к ее движению в периодкулярной плоскости.

(Окончание см. на с. 22)

14

Введение
в стереометрию,
или
«Аксиматические игры»

Кандидат педагогических наук
А. Н. ЗЕМЛЯКОВ

Эта статья адресована, главным образом, девятиклассикам, начавшим изучать стереометрию по учебнику академика А. В. Погорелова. Ее можно использовать и учтелю при закреплении материалов § 14 этого учебника. Суть же рассматриваемых в статье вопросов — о смысле формулировок аксиом, о роли различных аксиом, о логических трудностях, возникших при доказательстве теорем, — наверное, будет понятна и интересна всем любителем геометрии и логики. Вы как бы совершите проулку по § 14 книzi А. В. Погорелова «Геометрия 6—10» (Г., с. 175—177) и увидите, сколько «разностей» и «интересностей», «хитростей» и «всякостей» заключено всего на трех страницах учебника. Итак, в путь…

1. От планиметрии — к стереометрии

…Думай о смысле, а слова придут саму!
Льюис Кэрролл

Вы уже изучили — прошли — три пространственные аксиомы C₁, C₂ и C₃ (Γ., с. 175), а еще, наверное, и три теоремы — 14.1, 14.2 и 14.3 (Γ., с. 176—177). Сейчас и мы проijdемся по ним вместе с вами, проверим, хорошо ли и все ли вы поняли на трех первых стереометрических страницах. В доказательстве первой же теоремы —

14.1: Через прямую и не лежащую на ней точку можно проверить плоскость, иритом только одну

— использовались не только пространственные аксиомы—

C₂: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой

C₃: Если две различные плоскости имеют общую точку, то через них можно проверить плоскость, иритом только одну

— но и две аксиомы, называемые в учебнике «планиметрическими», а точнее, «аксиомами планиметри» (Γ., с. 175) — I₁ и I₂:

I₁: Какова бы ни была прямая, существует точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей

I₂: Через любые точки можно проверить прямую, и только одну

Сразу возникает вопрос: а какой смысл придется этим «аксиомам планиметри» в стереометрии? Ведь в планиметрии аксиомы I₁ и I₂ описывали основные свойства «принадлежности точек и прямых на плоскости» (Γ., с. 4). Полные их формулировки в планиметрии подлиннее, чем приведенные выше:

(I₁): Какова бы ни была прямая (в плоскости), существует точки (плосости), принадлежащие этой прямой, и точки (плосости), не принадлежащие ей

(I₂): Через любые точки (плосости) можно проверить прямую, и только одну

15

(заметьте, что рисунки к аксиомам мы изменили — «приспособили» к плоскости). Планimetрический листья — справедливо утверждение ($I_1$) и ($I_2$) в какдой плоскости — имеют аксиомы группы I в stereometрии? Или, может быть, речь в них идет о точках и прямых в пространстве, то есть в только что приведенных формулировках во всех скобках вместе с лова «плоскость» нужно поставить слово «пространство» (например, $I_1$: Какова бы ни была прямая в пространстве, существует точки пространства… и т. д.)?

Не торопитесь читать далее. Попробуйте сами ответить на заданные вопросы, откройте учебник и посмотите, как применяются аксиомы $I_1$ и $I_2$ в доказательстве первого теоремы — 14.1.

Посмотрели? Проследим за ходом доказательства теоремы 14.1 вместе. Вот текст учебника.

Пусть $a$ — данная прямая и $B$ — не лежащая на ней точка.

Здесь пока всего лишь введены обозначения к условиям теоремы.

Отметим на прямой $a$ какую-нибудь точку $A$. Такая точка существует по аксиоме $I_1$.

Стоп! Если трактовка аксиомы $I_1$ планиметрическая, то для ее применения нужно, чтобы прямая $a$ лежала в какой-нибудь плоскости. А такой аксиомы — типа «Для каждой прямой существует проходящая через нее плоскость» — в учебнике, увы, нет. Значит, аксиому планиметрии $I_1$ в stereometрии следует трактовать как пространеную. Продолжим «расследование». Следующая фраза из доказательства:

Проведем через точки $A$ и $B$ прямую $b$ (аксиома $I_2$).

Снова стоит! Планimetриское толкование требует для применения аксиомы $I_2$, чтобы точки $A$ и $B$ лежали в одной плоскости. Но аксиом, гарантирующих это, у нас нет. Значит, и аксиом $I_2$ — пространенная, лишь по своей краткой словесной формулировке совпадающая с планиметрической аксиомой $I_2$ из § 1.

Подведем итог. Аксимы планиметрии $I_1$ и $I_2$ в stereometрии имеют пространенный смысл («Думай о смысле!»), а в полную их формулировку нужно включить соответствующие слова («a слова придут сами!»). Вот эти полные формулировки:

$I_1$: Какова бы ни была прямая в пространстве, существует точки пространства, принадлежащие этой прямой, и точки пространства, не принадлежащие ей (прямой);

$I_2$: Через любые две точки пространства можно проверить прямую (в пространстве), и только одну.

Планimetрические же аксиомы ($I_1$) и ($I_2$) в stereometрии уже становятся теоремии:

$I_1'$. Какова бы ни была прямая в плоскости, существуют точки этой плоскости, принадлежащие прямой, и точки этой плоскости, не принадлежащие ей (прямой);

$I_2'$. Через любые две точки пространства можно проверить прямую, лежащую в этой плоскости, иритом только одну.

Теорема $I_2'$, конечно, сразу следует из теоремы 14.2 и пространенной аксиомы $I_2$. Еще более очевидна справедливо первого утверждения теоремы $I_1'$ (обдумайте!). А вот со вторым утверждением еще нужно повозиться. Сформулируем его как задачу.

Задачка 1. Данны плоскость $a$ и лежащая в ней прямая $a$. Докажите, что существуют точки, принадлежащие плоскости $a$, но не принадлежащие прямой $a$.

2. От аксиом — к теорем

Ты просыщь, кто велит?
— Всеслышь без деталей…
Ворис Пастернак

Разобравшись со страницей 175, обратимся к следующим страницам учебника — к доказательством трех первых теоремств. Сначала мы предложаем вам выполнить задачи: поставить на схеме (рисунок 1, на котором кругками обозначены аксиомы, квадратиками — теоремы) стрелки, показывающие, какие

16

утверждения использются при доказательстве теorem 14.1, 14.2 и 14.3. Две стрелки, соответствующие использованную в разобранном куссочке доказательства теоремы 14.1 аксиом I₁ и I₂, мы уже обозначили.

Чтобы правильно расставить остальные стрелки, нужно еще раз внимательно прочитать все детали данных в учебнике доказательства теorem.

А пока вы это делаете, мы разберем доказательство второй теоремы:

14.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости

(на рисунке слева изображено невозможное — прямая не может «проткнуть» плоскость в двух точках!). Итак, данные прямая a и плоскость α, имеющие две общие точки. Расматривается точка A∉α (аксиома I₁), а затем плоскость α’, прохождение через прямую a и точку A (а это… что?).

Существование такой плоскости гарантирует уже доказанной теорем 14.1 — и, кстати сказаны, именно поэтому на первом шаг доказательства берется точка A вне прямой a (по «аксиоме» I₁), а не в плоскости α («по аксиоме» C₁). Заметим также, что явной ссылки на теорему 14.1 в учебнике нет — она подразумеется. В соответствии с нашими правилами мы поставим на схеме стрелку от квадратика 14.1 к квадратику 14.2.

В оставшейся части доказательства использующая аксиома C₂ (опять не

Рис. 1.

явно — без ссылки) и аксиома I₁, так что всего к квадратику 14.2 на схеме будет проведено четыре стрелки.

А вы уже расставили стрелки? Сверьте свою схему с нашей, данной на с.18 (см. рис. 4). Выясняется любопытнейшее обстоятельство — от аксиомы C₁:

C₁: Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей

не идет никаких стрелок! Может быть, она совсем и не нужна, раз она не использалась? Стоп! Подумайте!

Если вы решали все задачи к §14, то в двух из них вам пришлось использовать эту «странную» аксиomy — в каких именно? В действительности аксиома C₁ — самая существенная именно пространственная аксиома. Как раз из нее вытекает, что в пространстве есть пересекающие плоскости (инначе о чем речь в аксиоме C₂!), существуют не лежащие в одной плоскости точки (см. задачи 1, 5, 10 к §14), можно рассматривать не лежащие в одной плоскости прямые (см. задачи 2 и 9 к §14). Сформулируем эти утверждения как задачи:

2. Докажите, что в пространстве существуют две различных пересекающих плоскости.

3. Докажите, что в пространстве существуют две прямые, не лежащие в одной плоскости.

4. Докажите, что в пространстве所述 четырех стрелки, которые не лежат в одной плоскости.

5. Бег по кругу

Бросая в воду камешки, смотри на круги, или образуемые; иначе такое бросание будет пустого забавого.

Козьма Прутков

Еще раз рассмотрим теоремы 14.1 — 14.3. Обратим внимание: первый из них по формулировке (см. п. 1) похожа на третью —

14.3: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно проведить плоскость, и при том только один

В той и другой — по два утверждения: о существовании плоскости («можно проведити плоскость») и о ее.edинстен-

18

Рис. 3.

Нужно сказать, что ошибка эта — распространенная и коварная; так, в течение многих веков появлялись принадлежшие даже профессиональным математикам «доказательства» аксиомы параллельных (аксиомы V из §1 учебника А. В. Погорелова, эквивалентной пятому постулату Евклида). Только после тщательного «расследования» в них удалалось обнаружить порочный круг. Но это уже другая тема.

Возможно, у некоторых читателей осталось чувство неудовлетворенности — ошибение, что «Что-то здесь все-taku есть!» В самом деле, наш порочный круг можно «разорвать», если разбит теорему 14.1 на две части:

14.1.A. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и
14.1.B. притом только одну.
В доказательстве теоремы 14.2 используется только утверждение 14.1.A, так что в полне строие рассудения можно провести по схеме, изображенной на рисунке 5.
Как видите, без аксиомы C₂ доказать теорему 14.1 в полном объеме все же неудается.

4. Заключение: вопросы и задачи «напоследок»

В завершение нашей эскурсии по §1 задам еще три вопроса к тексту учебника.

I. В приведенном в учебнике решении задачи 5 (с. 176) опущен один логический возможный случай — какой? Как быть в этом случае?

II. В условия разобраной в учебнике задачи 7 (с. 177) говорится о прямых, пересекающих две данные прямые a и b, но не проходящих через их точку пересечения A. Существенно ли это последнее требование? Использовано ли оно в решении?

III. В учебниках А. В. Погорелова (1982—1985 гг. издания) в доказательство теоремы 14.1 попало совершению лишнее математическое слово — какое? Найдите его.

И «напоследок» — еще четые задачи близкой тематики.

5. Доказите, что через любую прямую в пространстве можно provести: a) хотя бы одну плоскость; b) хотя бы две различные плоскости; в) бесконечного много плоскостей.

(Окончание см. на с. 28)

Рис. 4.

18

20

Однако мы ограничимся лишь фото-люминиецей.
Начнем с опытов, в которых исследуются свойства флуоресцирующих жидкости.

Опыт 1. Нам потребуется источник света и произнача кювета. В домашних условиях в качестве источника можно использовать диапроектор, в котором вместе диапозитва надо вставить кусочек картона или фольги с вырезанной в цentre дырочкой (диаметром 2—3 мм). Это позволяет получить слаборасходящейся пучок света. Кюветой может служить флакон из-под одеколона и тому подобное. Если сосуд наполнить чистой водой и посмотреть на него сбоку (как показано на рисунке 1), то луч света в воде практически виден не будет (его видно только на границах вода — стекло). Если же воду заменить керосином, то внутри кюветы мы увидим синеваго-белесую полосу. Причина этого — флуоресценция керосина.

Флуоресценцию можно наблюдать и на других растором шампунь в воде, таким, что яркость флуоресценции была достаточно большой. Затем начнем добавлять понемного растор йодистого калия. Яркость свечения будет убивать,

Опыт 2. Наполним сосуд растором шампунь в воде, таким, что яркость флуоресценции была достаточно большей. Затем начнем добавлять понемного растор йодистого калия. Яркость свечения будет убивать,

Рис. 1.

пока, наконец, растор не перестанет флуоресцировать совсем. Явление это носит название тушения люминецей. Качество объяснить его можно так. Молекula жидкости, облачаемой светом, находится в воздухном состоянии в течение инчутажного, по объным меркам, промежутка времени — порядка $10^{-8}-10^{-9}$ с. Но и за это малое время она может столько тьться с молекулой тушшего вещества (в нашем случае — йодистого калия) и передать ей часть или всю энергию возбуждания, которая в конечном итоге перейдет в тепло. Таким образом, процесс переизлучения не осуществится.

Аналогичные события происходит и при большой концентрации флуоресцирующего вещества. Его молекуры интенсивно сталкиваются, и при этом их избиточная энергия (энергия возбуждания) легко переходит в тепло. Именно поэтому расторы с большой концентрацией шампунья слабее излучают свет.

Понятно, что вероятность столковения между молекулими тем выше, чем выше температура растора. Зачит, повышение температуры тоже оказывает тушащое действие. Это вы можете проверить самостояльно.

Опыт 3. В предыдущем эксперименте мы тушили флуоресценцию. Телер попробуем услить яркость свечения.

Как показывает опыт, в водных расторах довольно сильное тушащое действие оказывают водородные ionы. Попытаемся уменьшить их концентрацию, добавив в растор шампуня несколько капель растора щелочи (КОН или NaOH) — ярость флуоресценции заметно увеличится.

Опыт 4. Поставим на пути луч от диапроектора синий светофильтр (рис. 2). Растор риваноля в кювете продолжает светиться характерным для него цветом. То же происходит и при зеленом светофильтре, а вот красный привод к исчезновению флуоресценции. Почему?

В 1852 году английский физик и математик Дж. Г. Стокс установил, что при флуоресциции длина волны излучаемого света больше длины волны возбуждающего света (правило Стокса). Эту закономерность легко понять, если вспомнить обяснение механизма флуоресциции, приведенное в начале статьи.

21

Рис. 2.

Иногда, правда, правило Сtokса нарушается, и энергия переизлученного кванта оказывается больше энергии поглощенного кванта. Это означает, что молекула, находясь в возбужденном состоянии, получила дополнительную порцию тепловой энергии, перешла в еще более высокое энергетическое состояние, а затем всю свою избыточную энергию отдала световую кванту.

Вернемся к опыту. Если учеть, что
λ синнего света > λ зеленого света >
λ желтого света > λ красного света, то становится ясным, что в нашем случае закон Сtokса выполняется.

---

Во всех рассмотренных до сих пор опытах мы наблюдали флуоресценцию жидкости изучению флуоресценции кристаллов.

Внешние различия этих разновидностей люминесценции — по дилительности последствия — обусловлены различиями в протекании самого процесса переизлучения. В первом случае «ячейкой» флуоресценции является отдельная молекула. Внутри нее происходит процесс возбуждения и возврашения в новозвуженное состояние, которое и сопровождается излучением света. Во втором же случае в люминесценции участвует не отдельная молекула, а их больше число — практические все кристаллическая решетка. Объяснение механизма флуоресценции для этого случая можно найти в литературе, указанной в конце статьи.

К кристаллофосфорам относятся неоторные сульфиды (химические соединения металлов с серой), прежде всего — сульфиды металлов II группы перiodической системы элементов: CaS, ZnS, SrS, BaS. Нанболее известный из них — серистый цикн (ZnS), с которых мы и будем экспериментировать.

Для приготовления сульфида цинка необходимо взять 1 весового часть порошка серы (серного цвета) и 2 весовые части порошка цинка. Смешав эти вещества, их нагревали. (Из-за резкого запаха выделяющихся газов опыт лучшие проводить либо на открытом воздухе, либо в вытяжном шкафу школьного химического кабинета.) Получившийся серистый цикн перемешивают с kleем и наносят на лист картона — фосфоресцирующий экран готов.*)

Сразу же можно приготовить и другой фосфоресцирующий экран, добавив к первоначальной смеси порошков серы и цинка немного медных опилок.

Затем приступим к опытом.

Опыт 5. Овветим лучом от диапроектора экран с серистым цинком (сами постараемся на свет не смотреть) и выключим источник. В настоящее темноте в течение нескольких десятиков секунд экран будет светиться с слабым зеленьм светом. Проделаем тот же опыт с экраном, активированным медью. Свечение его будет другим по оттенку, ярче и продолжительнее по времени.

Опыт 6. Оказывается, если фосфор нагреть, скорость его высвечивания возрастет. Нагреем монету и (после выключения света) приложим ее к обратной стороне экрана. В месте соприкосновения с монетом экрана ярко вспыхнет, но заго и быстро погаснет — место монеты в дальнейшем будет отмешено темным пятом на затухающий свете экрана.

Опыт 7. До сих пор мы облучили люминефоры только видимым светом. Интересно, как они поведут себя, если на них подействовать лучами невидимой части спектра, например ультрафилютовой?

Воспользовемся ультрафилютовой лампой, продолжается в магазине. В темноте направим лучок ультрафилютовых лучей на экран из серистого цикна. Мы увидим, как серистый цикн ярко вспыхнет.

Способностью люминесцировать в ультрафилютовых лучах обладают многое вещество, даже те, которые не люминесцируют при обличном освешении.

*) Сульфид цикна можно «раздобить», сокоблив его с.elочных игрушек, светящихся в темноте.

22

Люминесценция нашла свое практическое применение, прежде всего, в лампах дневного света (люминесценных лампах). В таких лампах, содержащих пары ртути, возбуждается газовый разряд, который сопроводает с свечением, содержащим, в основном, ультрафилотовые лучи. Стенки ламп, покрытые люминофорами специального состава, поглощают ультрафилотовый свет и превращают его в видимый.

Такие лампы значительно более экономичны, чем лампы накаливания. Кроме того, спектральный состав их света близке к дневному и поэтому более приятен для глаз.

---

Вы познакомились лишь с небольшой частью опытов, которые можно проводится с люминесцирующими веществами. Они из них мы попытались обьясить, другие оставили без обьяснения, поскольку оно существенно выходило бы за рамки школьной программы по физике.

В заключение приводим список литературы, которая использовалась при подготовке этой статьи.

1. Н. С. Ахметов. Общая и неорганическая химия. — М.: Вышая школа, 1981.
2. Г. С. Ландсберг. Оптика. — М.: Наука, 1976.
3. С. Э. Фриш и А. В. Тиморева. Курс общей физики, т. III. — М.: Физматгиз, 1961.
4. Элементарный учебник физики/Под редакцией Г. С. Ландсберг, т. III. — М.: Физма ггиз, 1958.
5. Журнал «Химия и жизнь»: 1983, № 11 и 1984, № 11.

Конвекция и самоорганизующее структуры

(Начало см. на c. 8)

В стакане с чаем, так же как и в рассмотрении нами системы двух цилиндров, врашение в горизонтальной плоскости приводит к вертикальным потокам (рисунок 6). Для выливающейся из раковины воды изменение направления скорости в вертикальной плоскости, возникающее при втекании жидкости в ответстве, приводит к появлению врашения в горизонтальной плоскости (рисунок 7).

Во всех описанных нами примерах мы имеем дело с гидродинамической жидкостью неустойчивостью. Но упорядоченные структуры возникают и во многих других случаях, когда в системе имеет место достагоно интенсивный поток энергии или вещества.

Условия возникновения и свойства таких структуры занимаются молода и бурно развивающейся наука — синегретика. Но это — тема для отдельного разговора.

Рис. 6.

Рис. 7.

24

правное промежутку между всышками, оно переместилось в точку B.
Тогда, как известно, перемещение $s_1$ (по модели) тела из A в B можно найти по формуле

$$s_1 = v_A \tau + \frac{a \tau^2}{2},$$

где $v_A$ — модель скорости в точке A, $a$ — модель искомого ускорения. В течение следующого промежутка времени τ тела перемещается из B в C.
Его перемещение $s_2$ определяется аналогичной формулой, в котором начальная скорость $v_B = v_A + a \tau$:

$$s_2 = v_B \tau + \frac{a \tau^2}{2} = (v_A + a \tau) \tau + \frac{a \tau^2}{2} = v_A \tau + \frac{3a \tau^2}{2}.$$

Найдем теперь перемещений $s_2 - s_1$ за два последовательных равных промежутка:

$$s_2 - s_1 = \left(v_A \tau + \frac{3a \tau^2}{2}\right) - \left(v_A \tau + \frac{a \tau^2}{2}\right) = a \tau^2.$$

Отсюда для ускорения $a$ получаем

$$a = \frac{s_2 - s_1}{\tau^2}.$$

Таким образом, имея строкосоппичную картину движения тела, можно найти его ускорение, изменив длины любых двух соседних отрезков, соответствующих перемещением тела за одинаковые промежутки времени между всышками. Нужно, разумеется, знать эти промежутки, а также масштаб силмака.

Для нашего случая время между всышками равно 0,1 с, а каждой единице длины на рисунке соответствует расстояние в 0,01 м. По этим данным вы, конечно же, сможете определить искомое ускорение тела.

Хаотичность молекулярного движения и тепловые машины

Как известно, тепловые машины отличаются тем, что их коэффициент полезного действия (КПД) отличается мал по сравнению с другими машинами. Так, например, КПД паровозов, теплер уже практически не использоваются, не превышает 10 %, а сменившие их тепловозы работают с КПД всего около 25 %. КПД лучших современных тепловых двигателей не превышает 50 %.

Значит, и теплер, через 200 лет после появления первых тепловых машин, половина энергии топлива, сжгаемого в них, расходит безполезно? В чем тут дело? Может быть, в том, что учены и инженеры не сумели придумать и конструкировать «хорошие» тепловые машины, в которых энергия топлива использовалась бы более эффективно?

Оказывается, создатели машины в этом не винованы. Истинного «вииновника» низких значений КПД мы найдем, если более внимательно рассмотрим существующее того, что происходит в тепловых машинах.

Беспорядочное и упорядочное движения. Телловые машины строят для того, чтобы в них совершалась механическая работа. Делается это обычно так: какой-нибудь газ получает от нагревания некоторое количество теплоты и расширяется; при этом расширяении сила давления газа и совершает работу, например по перемещению поршня или вращению турбины. Другими словами, в тепловые машины происходит преобразование тепловой энергии, то есть энергия беспорядочного молекулярного движения, в механическую — энергию упорядоченного движения. Это, пожалуй, самое важное, что можно сказать о всякой тепловой машине: на

26

газа для возврашения поршня к исходному положению будет проводиться по той же кривой, но в обратном порядке, то и работа будет такой же. Следовательно, работа, совершенная при расширении газа, будет «потрачена» на его скатие. Такая «машина», конечно, бесполезна.

Для того чтобы тепловая машина все-tаки произвели полезную работу, нужно, чтобы работа, затрачиваемая на скатие газа, была меньше работы, полученной при расширении. А для этого скатие газа надо вести так, чтобы кривая зависимость давления от объема лежала ниже кривой расширения. Например, по линии 3—4 на рисунке 2. Тогда площадь под кривой, а значит и соответствующая ей работа, будет меньше. Разность значений площадей под кривыми 1—2 и 3—4 выразит ту полезную работу, которую можно получить от машины за каждой цикл.

No если кривая скатия лежит ниже кривой расширения, то это значит, что газ перед сжатием пришлось охладить. Другими словами, часть количества теплоты, полученного газом от нагрева тела, пришлось передать некоторому телу с более низкой, чем у газа, температурой — так называемому холодильнику.

В этом и состоит причина низкого КПД тепловых машин: все количество теплоты, полученное газом от нагрева тела, превышает предыдущей теплоты, полученного газом от нагрева тела, превышает предыдущей теплоты, увеличивается при наличии большей температуры — второго начала термодинамики.

Итак, вы видите, что истинной причины низкой эффективности тепловых машин является хаотичный характер молекулярных движений. А эта причина не может быть устранена никакими ушшренями учены и инженеров, конструкрующих тепловые машины.

О музыкальных звуках и их источниках

Музькальные звуки, или музыкальные тонны, — это звуки, которые мы слышим тогда, когда их источники совершают гармоничные колебания. Амплитуда этих колебаний определяет громкость звука, а частота — его высоту (или высоту тонна). Бóльшая амплитуда колебаний соответствует большей громкости, а большая частота — более высокому тону.

Звуки одной и той же высоты можно возвратить многоестrousх способов — например, с помощью различных музыкальных инструментов или человекаческих голосов. Но интересно, что все эти звуки (далее одинаковые по тону) легко различны наслух.

В чем здесь дело? Почему звуки, соответствующие колебаниям одной и той же частоты, оказываются нам неодинаковыми? Как нам удается узнать голос знакомого человека среди множества других голосов незнакомых нам людей? Каким образом мы отличаем звучание струны рояля или скрипичной струны, звук аккордона или флейты? Чтоы это понять, нужно выяснить что и как колебляется в источниках музыкальных звуков.

В большинстве музыкальных инструментов колебощимияя элементами являются струны или воздушные стольы. Начнем со струн.

Колебания струны. Что представляют собой колебания струны как целого? Представим себе, что мы возвратили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отражается и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встречаются две волны, бегущие в противоположных направлениях. Поскольку эти волны когерентны, при их сложении образуется устойчивая интегренционная картина («Физика 10», § 36). В тех точках струны, где колебания, вызываемые обеими волнами, одинаковы по фазе, смешения от положения равновесия будут изменяться с удовлетворением апплитудой. Такие точки принято назвать пучностями смесиния. Точки струны, куда приходит волны, вызывающие

28

да, в отличие от струны, в воздействном столбе возникают неоперечные, а продолжные упругие волны.

Труба может быть короткой или длиной, прямой или изогнутой. Другой ее конец может быть открытым или закрытым. Иногда вдваемый воздействует вибрировать тонкий упругий язык, который передает колбанная воздейству в трубе (кларнет), иногда вибрирует губы исполнитель, вызывая вибрации воздейству в трубе (корнет).

Высота звука здесь, как и в случае струны, зависит от линейных размеров. В открытий трубе основной тон воздействует, когда на длина трубы укладывается 1/2 длины волны, а в закрытой — нечетные кратные. Эти особенности связаны с тем, что на открытий концах трубы (а один из них всегда открытий) воздействуют тонкой пучности смесенной стоячей волны.

Музькант может изменять действующее длину трубы, закрывая и открывая отверстия, сделанные вдоль трубы, с помощью клапанов или просто зажимая их пальцами (флейта, кларнет, дудка). В тромбоне, например, длина трубы, а вместе с тем и высота звука, изменяется с помощью скользывающей U-образной приставки. В органе же длины труб неизменены, но загочало труб с самыми разными длинами чрезвычайно велико — до нескольких тысяч.

Введение
в стереометрию,
или «Аксиматические игры»

(Начало см. на с. 14)

6. Доказите, что для любой прямой в пространстве можно построить пересекающий ее (в одной точке) плоскость.

7. Доказите, что для любой плоскости в пространстве можно построить пересекающий ее (в одной точке) прямую.

8. Доказите, что для любой прямой в пространстве можно построить не лежащую с ней в одной плоскости прямую.

Сформулированные в статье задачи 1—8 составляют своеобразный «пraktikum по применению аксиом». Их решения, как решения многохзадач из начальных, «вводных», разделов самых разнообразных аксиоматических теории, можно рассматривать как определению «игру по правилам». Цель «игры» — все доказать, «правила» состоит в том, что можно использовать только приятные аксиомы (и, конечно, уже выведенные из них факты). Над сказать, что наши задачи, отчасти сознательно, «переупанны» так, что относительно трудная задача может предшествовать более легкой и как раз помогаюшей решать предшествующее. Так что вам есть с чем «повозиться».

Последнез заменение. Не исключано, что в результате педантичный склад ума заставит вас задуматься над всема примечательным вопросом: а почему вообще существует приемые (а вслед за ними — и плоскости)??? В аксиомах об этом говорится, но … все встает на свои места только после добавления еще одной аксиомы — назовем ее «нулевой»:

0: На плоскости (в планиетри) или в пространстве (в стереометри) существует хотя бы две различные точки.

29

Задчи

1. Петя гостил у бабушки. В субботу он сел в поезд и приехал домой в попедельник. Петя заметил, что в этот попедельник число совпало с номером варона, в котором он ехал, что номер его места в вароне был меньше номера варона и что в ту субботу, когда он садился в поезд, число дня было больше номера варона. В каком вароне и на каком месте он ехал?

2. Какая часть площади квадрата больше (см. рисунок): закрашенная красным цветом или закрашенная синим цветом?

3. Сосульки на крышах домов, как правило, высят вертикально, а на ветках деревьев часто образуют такие «веера», как на рисунке. Почему?

4. Расположите в кругжах звезды первыше 11 натуральных чисел так, чтобы сумма четырех чисел в вершинах каждой из пяты секторов равная 25.

5. Докажите, что из 18 последовательных трехзначных чисел хотя бы одно делится на сумму своих цифр.

Эти задчи нам предложили
С. В. Дворянинов, В. В. Произвольов,
Д. А. Ракчеев, Н. И. Абилов, С. Л. Елисеев.

Натуральный ряд

Легенда повестиет, что натуральный ряд — последовательность целых положительных чисел: 1, 2, 3, … — был подарен людям Прометем. Но на самом деле изобретение натурального ряда было одним из первых и величайших достижений человека муселли, родившихся из практики. История возникления натурального ряда началась задолго до изобретения письменности. Потребалось множество веков, чтобы понять, что в этом ряду нет наиболее числа. Долго время думали, что счет возникен только в определенных пределах, за которым начинается «тема». Вавилоняне верили, например, что существует некое фантастическое число «левинафан», за которым пространется то, что не может быть сосчитано.

Только в III веке до нашей эры дневегреческий математик Архимед в книге «Псаммит» («Исчисление песинок») показал, что сколько угодно больше количество песинок все равно может быть сосчитано, так как натуральный ряд может быть неограниченно продолжен, и каждое следующее число может быть определенным образом записано и названно. Таким образом пришли к пониманию того, что натуральных чисел бесконечного много. Именено этот факт и подзаумевал математики, когда говорят, что множество натуральных чисел бесконечно.

Ну, а что можно сказать относительно простых чисел — конечно или бесконечно их множество? В «Началах» Евклида (III век до н. э.) показано, что не существует наиболее формулы

$$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2} n (n + 1)$$

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1)$$

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$$

От Олимпа до Парнаса
От Олимпа до Парнаса,
К добрым музам от бозов,
Оседлав коня Пезаса,
Я домчал за пять часов.

Сбавив скорость верст на десять,
С грустью я за семь часов
На Олимпе вернуляя, месяц
Осветил мне Зевса кров.

«Кванта» друг и почитель,
Дав фантази простор,
Может быть ты посчитал бы,
Сколько верст между этих гор?

Р. К. Аракелов

шero простого числа, откуда следует бесконечность множества простых чисел и, разумется, множество натуральных чисел. Вот остроимное доказательство этого факта. Пусть $p$ — простое число. Перменожим все простые числа до $p$, включая само $p$, и к этому произведению прибавим единицу. Получим число $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot p + 1$. Это число, большее $p$, будет или простым, или составным. Если оно простое, то тем самым доказано, что существует простое число, большее $p$. Если же оно состоит из простых чисел 2, 3, 5, …, $p$ оно не делится — при делении на эти числа в остатке получается 1. Значит, оно должно делиться на простое число, большее, чем $p$. Итак, и в этом случае мы должны признать, что существует простое число, большее $p$. Но это и означает, что не существует наиболее простого числа.

Сам термин «натуральное число» впервые был употреблен римским филиософом Боэцием (ок. 480—524), но стал общеупотребительным после того, как был включен французским математиком Д’Аlamбером (1717—1783) в «Энциклопедию».
В XIX веке математики

$$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$$
$$1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{1}{3} n (2n - 1)(2n + 1)$$
$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n (n + 1) = \frac{1}{3} n (n + 1)(n + 2)$$

Числовые головоломки

Кроссамбер
По горизонтали:
a) Число, цифры которого является последовательными и расположены в порядке возрастания; b) число, кратное 9; d) полный квадрат; e) число, кратное 36.
По вертикали:
a) Число, цифры которого является последовательными и расположены в порядке убывания; b) квадрат простого числа; c) полный куб; e) степени числа 2.

Н. К. Антонович
Одинаковые цифры при умножении
Может ли при переменении двух двух значных чисел получить четпрежзнаное число, все цифры которого одинаковы?

Ф. К. Кадиров
Одинаковые цифры при сложении
Может ли подобрать такое натуральное число $A$, а затем так переста-

вить в нем цифры, чтобы при сложении полученного числа с числом $A$ суммой оказалось число, записываемое 1985 девятками: 99…999?

М. Байрамов, десятиклассник из Баку

Арифметические ребцы

ЛЮБА
ЛЮБИТ
АРБУЗЫ

СПОРТ

• ПОРТ
  ОРТ
  РРРР

Н. К. Антонович

34

Как и фамилия Дакоста, и, пробуя их одно за другим, может быть и отыскали бы число, являющееся ключом криптографмы`.

Не ясно, почему отсутствие разделения текста на отдельные слова каждая судье непредодолимым препятствием. На самом деле оно только увеличивает объем необходимого перебора. Манозль возвращает судьbe: «Ну, что же! Если имя Дакости упоминается, тогда, принимая одну другой каждую букву этих строк за первый из тех семи, что составляют его имя, мы в конце концов найдем его».

Вот он — прямой путь к решению задачи! Перебор не так уж велик. Текст состоит из 252 букв. Следовательно, необходимо перебрать максимум 246 вариантов. В один прекрасный момент, записав над фрагментом ИБНТФЕ слова ДАКОСТА, мы определяли бы последовательность цифр 5134325. Естественно предположить, что последняя цифра 5 — начало следующого периода:

ДАКОСТА
… 5 1 3 4 3 2 5 1 3 4 3 2 5 1 3 4 …
… Т Г О И БНТ Ф Е О И X …

Вместо ключа 432513 мы нашли его циклическую перестановку 513432, что ни в коей мере не мешает расшифровке текста.

И, наконец, обсуудим следующий вопрос. Мы имеем представление о содержании документа и поэтому смогли угадать слова, в него входящие. По этому слову и была проведена расшифровка. А как быть, когда содержание документа неизвестно?

Есть несколько путей. Можно как и раныше, пытается отладать какоеибудь слова (либо часть слова), входящие в документ. (В текстах часто встречаются слова «который», «тогда», «если», «что» и т. д.; присутствки «при», «пре», «под».) Такой поиск может значительно увеличить объем перебора, однako шансов на успех достагоно много. По-видимому, болеерациональный путем является проведение анализа частоты использования различных букв в криптографме. Но как же так?! Ведь Жаррикс прямо говорит, что если ключом к шифру служит число, такой путь неприменем: «Что же из этого следует? Что значение каждой буквы определяется случайно поставленной под ней цифрой, и буква в криптографме никака не обозначает одной и той же буквы текста.»

Рассмотрим следующое устройство для кодирования (рис. 1). Предположим для простоты, что ключом шифра служит трехзначное число. На четырех концентрических кругах, меньший из которых неодвижен, а остальные могут врашаться относительно своего центра, выпишем буквы алфавита. Пусть в качестве ключа выбран число 259. Повернем первый круг против часовой стрелки на две буквы, второй — на пять буквы, а третий — на девять буквы (рис. 2). Кодирование произвольится следующим образом. Перую букву текста находится на неподвижном круге и вместе не записьаем соответствующую ей букву перого круга, вместе второй буквы текста — соответствующую ей букву второго круга и т. д., вместе 3k+i

35

(i=1, 2, 3; k=0, 1, 2, …) буквы текста — соответствующее ей букву i-го круга.

Из самого процесса кодирования следует, что если разница между номерами мест, на которых стоит любые буквы текста, кратна 3, то при их кодировании используется одна и та же цифра. Поэтому утверждение Жаррикаса о том, что буква в криптографме никакого не обозначает одной и той же буквы текста — ошибочно.

Теперь перейдем к расшифровке. Предположим, мы знаем, что ключ — трехзначное число. Становится ясно, что для нахождения первой цифры этого числа надо проверить анализ набора, состоящего из первого, четвертой, …, 3k+1-й, … букв текста; для определения второй цифры — набора, состоящего из второй, пятой, …, 3k+2-й, … букв; для определения третьей цифры — набора, состоящего из третьей, шестой, …, 3(k+1)-й, … букв.

Остается выяснить вопрос: как быть, когда неизвестно, из какого количества цифр состоит ключ? Здесь уже не обойтись без перебора. Сначала предполагаем, что ключ — двухначенное число, затем — трехзначное и т. д., — до тех пор, пока текст не будет расшифрован.

Попуская промежуточные варианты, сразу рассмотрим последовательность расшифровки нашей криптографмы для случая, когда ключ — шестизначное число.

Весь текст криптографмы разбиваем на шесть наборов букв по правилам, описанному выше*), и подсчитываем, сколько раз буквы алфавита входят в каждый из наборов. Результаты подсчетов приведены в таблице 1.

В каждом наборе — всего по 42 буквы: этоого, конечно, маловаато для того, чтобы сделать достоверные выводы о частоте использования каждой из букв криптографмы. Наша задача упрощается тем обстоятельством, что для каждой набора достаточно отладать цифру, на которую осуществляется сдвиг букв алфавита при кодировании.

Возьемем четыре наиболее употребительные буквы: A, E, И, O — и подсчитаем общее число их входений в первоначальный текст при различных величины сдигага от 0 до 9. Результаты приведены в таблице 2.

| № набора | Величина сдигага |
| :— | :— |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 5 | 1 | 1 | 9 | 13 | 1 | 6 | 4 | 7 | 6 |
| 2 | 6 | 2 | 2 | 19 | 3 | 4 | 9 | 5 | 4 | 5 |
| 3 | 8 | 8 | 11 | 3 | 5 | 12 | 11 | 5 | 5 | 5 |
| 4 | 5 | 4 | 6 | 3 | 8 | 15 | 1 | 4 | 6 | 8 |
| 5 | 6 | 17 | 3 | 7 | 6 | 1 | 9 | 7 | 2 | 8 |
| 6 | 9 | 4 | 6 | 12 | 3 | 10 | 7 | 8 | 7 | 4 |

Поскольку мы выбрали наиболее часто встречающиеся буквы, естественно предположить, что первая цифра ключа — 4, вторая — 3, четвертая — 5, пятая — 1, шестая — 3. Что касется третьей цифры, то ее следует выбирать из цифры 2, 5, 6. Окончательная расшифровка криптографмы теперь уже не представляется никакой трудности.

К нашим читателем
Продолжается подписка на журнал «Квант» на 1986 год. Индекс журнала в каталоге Союзечати 70465. Подписая цена на год 4 рублей 80 копеек, Подписа принимается без ограничений всем почтовыми отделениями в течение всего года.

36

Задчи

M941—M945; Ф953—Ф957

M941. Дан правильный (4k+2)-угольник $A_0A_1$ … $A_{4k+1}$ с центром $O$. Докажите, что сумма отрезков, высекаемых углом $A_kOA_{k+1}$ на прямых $A_1A_2k$, $A_2A_2k-1$, …, $A_kA_{k+1}$ (см. рисунок 1 для $k=2$), равна радиусу $OA_0$ описанной окружности (4k+2)-угольника, если $k=2$, 6) $k$ — любое натуральное число.

И. Ф. Шарыzin

M942. Числа 1, 2, …, 2n—1, 2n разбиты на две группы по $n$ чисел в каждой. Пусть $a_1<a_2<...<a_n$ — числа первой группы в порядке возрастания, $b_1>b_2>...>b_n$ — числа второй группы в порядке убывания. Докажите, что $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_n-b_n|=n^2$.

В. В. Произвольов

M943. Последовательность $a_1, a_2, ...$ задается правилом: $a_{2n}=a_n$ при $n \geqslant 1$ и $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ при $n \geqslant 0$. Докажите, что эта последовательность не имеет периода.

Ю. В. Нестеренко

M944*. Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке 2. Во всех 19 узлах образованшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеет по крайней мере 7 таких, в вершинах которых точки чисел записаны в порядке возрастания против часов стрелки.

А. А. Берзиныш

M945*. Дана строго возратающая неограниченная последовательность положительных чисел $a_1, a_2, ...$. Докажите, что для всех достагоно больших $k$ справедливо неравенство

a) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\...+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1$;

b) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\...+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985$.

Л. Д. Курляндчик

Ф953. Для точной подстройки частоты врашения диска электроннойгрибателя (33$\frac{1}{3}$ оборота в минуту) на его боковой поверхности наносят метки, которые освещают неоновой лампочной с частотой 100 впышек в секунду.

37

Каимм должно быть число меток, чтобы при номинальной скорости они казались неподвижными?
После отключения двигателя силы сухого трения начинают тормозить диск, и метки «побегут».
За первые 4 с mismo точки наблюдаются «пробегают» 10 меток. Через какое время диск остановится?
Через какой промежуток времени метки «побегут» в другую сторону?

А. Р. Зильберман

Ф954. Декоративная квадратная штора размером 1,5×1,5 м висит на карнизе вдоль вертикальной стены. Нижний край шторы поднимают вровень с верхним, так что штора оказывается сложенной вдвое, и отпускают. Найдите зависимости силы, действующего на карниз, от времени. Штора тонкая, гладкая и имеет массу 3 кг.

С. С. Кротов

Ф955. Смеся газов, состоящую из $m_1=100$ г азота и неизвестного количества кислорода, подвергают изотермическому скатанию при температуре $T=74,4$ К. График зависимости давления смеси газов от ее объема приведен на рисунке 3 (в условиях единицах). Определите массу кислорода. Расчитайте давление насыщенных паров кислорода при этой температуре.

Примечение. $T=74,4$ К — это температура кипения жидкого азота при нормальном давлении; кислород кипит при более высокой температуре.

А. И. Буздин

Ф956. В одном из вариантов классического опыта, поставленного академиком И. К. Киконым, односойная коротkozамкнутая катушка индуктивности $L=3 \cdot 10^{-5}$ Гн из тонкой сверхпроводящей проводки подвешиваясь на пругуroidиниты в магнитном поле, направленном вертикально вверх вдоль оси катушки (рисунок 4). Нить подвеса в исходном состоянии не закручена, сила тока в катушке равна нулю. Иndукция $B$ магнитного поля медленно увеличивается от нулевого значения до значения $B_0=0,1$ Тл, при котором сверхпроводимость скачком исчезала и проволока переходила в нормальное состояние. Катушка при этом закручивается. Определите максимальный угол закручивания катушки, считая, что упругий момент нити пропорционален углу закручивания (коэффициент пропорциональности $G=10^{-7}$ Н·м/рад). Число витков катушки $n=100$, радиус витков $R=1$ см, масса катушки $M=10$ г. Отношение заряда электрона к его массе равно $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.

С. М. Козел

Ф957. Распространение коротких радиоволн вверхних слоях атмосферы Земли (ионосфере) можно описывать законами геометрической оптики, если принять, что показатель преломления $n$ для радиоволн меньше единицы и изменяется с высотой $H$ от поверхности Земли так, как показано на рисунке 5 (для неокоторий частоты v).

38

На спутнике, летящем на высоте $h=200$ км, установлен радиопередатчик, излучающий радиоволны частицы $v$ равномерно по всему направлению. Пренебрегая поглощением радиоволн в ионосфере, оцените долю излучаемой передатчиком мощности, которая уносится радиоволнами за пределы земной атмосферы. При оценках поверхность Земли считать плоской, а отражение радиоволн от нее зеркальным и без потерь. Причемение. Телесный угол конуса с углом при вершине $\beta$ равен $\Omega=2\pi\left(1-\cos \frac{\beta}{2}\right)$.

В. И. Чувилёв

Problems

M941 — M945; P953 — P957

M941. The regular $(4k+2)$ vertex polygon $A_0A_1 \dots A_{4k+2}$ of centre $O$ in given. Prove that the sum of the segments of the lines $A_1A_{2k}, A_2A_{2k-1}, \dots, A_kA_{k+1}$ inside the angle $A_kOA_{k+1}$ (see Pис. 1 on p. 37 for $k=2$) equals the radius of the circumcircle of the polygon, if a) $k=2$, b) $k$ is any natural number.

I. F. Sharygin

M942. The numbers 1, 2, …, $2n-1$, $2n$ are split into two groups of $n$ numbers each. Suppose $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ are the numbers of the first group in increasing order, and $b_1 > b_2 > \dots > b_n$ the numbers of the second one in decreasing order. Prove that $|a_1-b_1|+a_2-b_2|+\dots+|a_n-b_n|=n^2$.

V. V. Proizvolov

M943. The sequence $a_1, a_2, \dots$ is given by the rules: $a_{2n}=a_n$ if $n \geqslant 1$ and $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ if $n \geqslant 0$. Prove that this sequence is not periodic.

Yu. V. Nesterenko

M944*. A regular hexagon is split into 24 equal triangles as shown on Pис. 2, p. 37. Different numbers are written at each of the 19 vertices of the figure thus obtained. Prove that among the 24 triangles at least 7 have vertices with counterclockwise increasing numbers.

A. A. Berzinsh

M945*. An unbounded strictly increasing sequence of positive numbers $a_1, a_2, \dots$ is given. Prove that for all sufficiently large $k$

a) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1$;

b) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985$.

L. D. Kurlyandchik

P953. In order to regulate the turntable of a $33^{1/3}$ RPM record player with great precision, little evenly spaced marks are made on the disk’s outside surface; they are lighted by a neon lamp of frequency 100 flashes per second. How many marks are needed to make them appear motionless at nominal velocity? After the turntable motor is turned off, dry friction forces begin slowing the disk down — the marks begin to “run”. In the first 4 seconds 10 marks “run past” the observation point. How soon will the disk stop? How soon will the marks start “running the other way”?

A. R. Zilberman

P954. A designer’s drapery 1.5 by 1.5 m hangs from a horizontal crossbar along a vertical wall. The lower end of the drapery is lifted level with the upper one (so that the drapery is folded in

40

Решать задачу будем сразу в обшем случае в). Расмотрим вспомогательный четырехугольник $ABCD'$, где $D'$ — точка, симметричная $D$ относительно серединного перпендикуляра к диагонали $AC$ (рис. 1), и докажем, что его улыbs при вершинах $A$ и $C$ — прямы.

Представляя четырехугольник $ABCD'$ как объединение треугольников $ABD'$ и $CBD'$, получим, что его удовеная площадь равна

$$AB \cdot AD' \sin \angle BAD' + BC \cdot CD' \sin \angle BCD'.$$

Удвоенная площадь $ABCD$ по условию равна

$$AB \cdot CD + BC \cdot AD.$$

Но эти четырехугольники, очевидно, равновелики, а $AD'=CD$, $CD'=AD$, поэтому $\sin \angle BAD' = \sin \angle BCD' = 1$, то есть $\angle BAD' = \angle BCD' = \pi/2$.

Из доказанного следует, что около четырехугольника $ABCD'$ можно описать окружность (с Diamетром $BD'$). На ней лежит и точка $D$ ($\angle ADC = \angle AD'C$). Обозначим через $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$, $\varphi_4$ угловые величины для $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (рис. 2), тогда $AB=BD' \sin \frac{\varphi_1}{2}$, $BC=BD' \sin \frac{\varphi_2}{2}$ и т. д. Остается выразить эти величины через $\alpha$ и $\beta$. По теореме о величины вписанного в окружность угла

$$2\alpha = \varphi_2 + \varphi_3, \ 2\beta = \varphi_3 + \varphi_4, \ 2\angle BCD' = \pi = \varphi_1 + \varphi_3 = 2\pi - \varphi_2 - \varphi_4$$

(так как дуги $CD'$ и $AD$ равны). Отсюда получаются формулы (1). Для существования четырехугольника необходимо и достаточно, чтобы все числа $\varphi_i$ ($i=1, ..., 4$) были положительны, что эквивалентно неравенству (2). Ответы к задачам a) и b) находятся после подстановки вместо $\alpha$ и $\beta$ заданных значений.

Легко показать, что условию задачи удовлетворяют любые четырехугольники $ABCD$ с перпендикулярами диагоналими, около которых можно описать окружность, и только они. Это можно вывести также из одной из вершин так называемой теоремы Птолемея: для любых четырехугольки $A, B, C, D$ плоскости верно неравенство

$$AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC,$$

которое обращается в равенство лише для точек, лежащих на одной окружности или на одной прямой (см., например, «Квант» № 3 за 1973 г. (с. 27)). В то же время последнее утверждение этой теоремы легко доказывается с помощью перехода к четырехугольнику $ABCD'$.

В. Л. Гутенмахер

◆

Положим $t=\sin^2 x (\cos^2 x=1-t), a=p/2, b=q/2$, тогда данное уравнение перешется в виде

$$f(t)=t^a+(1-t)^b=1.$$

41

Мы должны доказать, что уравнение (*) имеет решения в интервале ]0; 1 [ (областии значений функций $y=\sin^2 x$ на интервале $0<x<\pi/2$) тогда и только тогда, когда $(a-1)(b-1)<0$ или $a=b=1$.

В дальнейшем будем считать, что $a \geq b$ (в противном случае с помощью замены $s=1-t$ мы перейдем к уравнению $s^b+(1-s)^a=1$ на интервале $0<s<1$).

Покажем сначала, что если $(a-1)(b-1)>0$ или только одно из чисел $a$ и $b$ равно 1, уравнение (*) решений не имеет. Возможны два случая: $a>b \geq 1$ или $1 \geq a>b$. В первом случае $t^a<t$, $(1-t)^b \leq 1-t$ и $t^a+(1-t)^b<t+(1-t)=1$.

Второй рассматривается аналогично.

При $a=b=1$ функция $f(t)$ тогда действено равна 1.

Пусть, наконец, $a>1>b$. Покажем, что на интервале ]0; 1 [ найдется две точки, $t_1$ и $t_2$, такие, что $f(t_1)>1$, $f(t_2)<1$. Отсюда по теореме о промежуточном значении непрерывной функции будет следовать, что в некоторых точке $t$ на интервале ]$t_1$; $t_2$ [ $f(t)=1$. Расмотрим производную функцию $f(t)$:

$$f'(t)=at^{a-1}-b(1-t)^{b-1}.$$

При $t \rightarrow 0$ функция $at^{a-1}$ стремится к нулю, а $b(1-t)^{b-1}$ стремится к $b>0$ (графики этих двух функций — рис. 1 и рис. 2). Поэтому при достаточно малом $t_1$ на интервале $0<t<t_1$ производаная $f'(t)<0$, следовательно, функция $f(t)$ убивает на отрезке [0; $t_1$] и $f(t_1)<f(0)=1$. Аналогично, при $t \rightarrow 1$ функция $at^{a-1}$ стремится к $a$, а $b(1-t)^{b-1}$ неограниченно растет $(b-1<0)$. Поэтому $f'(t)<0$ при $t_2<t<1$, где $t_2$ достаточно близко к 1, следовательно, функция $f(t)$ убивает на отрезке [$t_2$; 1] и $f(t_2)>f(1)=1$. Тем самым нашей утверждение доказано полностью.

А. М. Седлецкий

♦

Обозначим через $a$ и $l$ плоскость и перпендикулярную ей прямую, на которые проектируется куб.

Поскольку любая прямая, проходящая через внутреннюю точку куба, пересекает его поверхности в двух точках, любая проекция куба на $a$ вдвое меньше суммы площадей проекций на $a$ всех его граней, то есть равна сумме площадей проекций трех попарно perpendicularных граней.

С другой стороны, проекция куба на прямую $l$ совпадает с проекцией $P'Q'$ какой-то его диагонали $PQ$. Проведем через точку $P$ плоскость, perpendicularную $l$, тогда вес куб и, в частности, точка $Q$ и концы $A, B, C$ трех ребер куба, выходящих из вершины $P$, лежат по одному сторону от этой плоскости. Поэтому проекции $\overrightarrow{P'Q'}$, $\overrightarrow{P'A'}$, $\overrightarrow{P'B'}$ и $\overrightarrow{P'C'}$ векторов $\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}$ и $\overrightarrow{PC}$ на прямую $l$

42

будут соправлены. Но $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$, следовательно, для проекта куба на $l$ равна

$$|\overrightarrow{P'Q'}| = |\overrightarrow{P'A'} + \overrightarrow{P'B'} + \overrightarrow{P'C'}| =$$

$$= |\overrightarrow{P'A'}| + |\overrightarrow{P'B'}| + |\overrightarrow{P'C'}|,$$

то есть равна сумме длин проекций трех его попарно перепедикулярных ребер ($PA, PB$ и $PC$).

Остается заметить, что угол между плоскостью любой грани куба и плоскостью $\alpha$ равен углу между перепедикулярным этой грани ребром и прямой $l$, а значит, площадь проекции этой грани на $\alpha$ равна длине проекции ребра на $l$ (при ortогональной проекции площадь грани и длина ребра умножаются на косинусы соответствующих углов).

Обобщения этой задачи на случай многомерного пространства расматривается в статье английского математика Дж. Мак-Мулена, опубликованной в журнале „Bull. Lond. Math. Soc.“ № 3 за 1984 год.

С. Л. Табачников

M924. Каждый две из $n$ точек (никачее три из которых не лежат на одной прямой) соединены отрезком, и на всех отрезках расставляются стрелки. Треугольник ABC с вершинами в данных точках называется ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях AB, BC, CA или AC, CB, BA.
a) Объясните, как расставить стрелки, чтобы не возникло ни одного ориентированного треугольника.
b) Каково наиболее возможное число ориентированных треугольников (для каждой n)? (Нарисуйте соответствующие примеры для $n=4$, 5 и 6.)

◆ Обозначим данные $n$ точек через $A_1, \dots, A_n$.

a) Ответ: надо расставить стрелки по возрастанию номеров точек: от $A_i$ к $A_j$ при $i < j$ (см. рис. 1 для $n=5$). Тогда в любом треугольнике из вершины с наименьшим номером выходит две стрелки, поэтому он не ориентирован.

b) Ответ: наиболее число ориентированных треугольников равно $n(n^2-1)/24$ при нечетном $n$ и $n(n^2-4)/24$ при четном $n$ (см. рис. 2-4 для $n=4$, 5, 6).

Нам будет удобнее найти наименьшее число ориентированных треугольников, а потом вычесть его из общего числа треугольников, равного $n(n-1)(n-2)/6$ (выбирая последовательную вершины треугольника из данных точек, мы будем иметь для первой вершины $n$ возможностей выбора, для второй — $n-1$, для третьей — $n-2$; при этом каждая трейка вершин в разном порядке будет выбран 6 раз).

Будем назвать пару стрелок (направленные отрезки) согласованной, если они имеют общее начало или общий конец. Очевидно, из трех пар сторон любого неориентированного треугольника из стрелокровно две — согласованные (на рисунке 5 — AB и AC, AC и BC), а любая согласованная пара стрелок принадлежитровно одному неориентированному треугольнику. Поэтому число неориентированных треугольников равно половине числа согласованных пар. Оценим это число.

Если из некоторой точки $A$ выходит $k$ стрелок, то число образуемых им пар равно $k(k-1)/2$. При этом в точку $A$ выходит $n-1-k$ стрелок, образующих еще $(n-1-k)(n-2-k)/2$ согласов-

43

ванных пар. Итак, число согласованных пар с общей вершиной в точке $A$ равно

$$\frac{1}{2} (k^2 - k + (n - 1 - k)^2 - n + 1 + k) = \frac{1}{2} ((n - 1)^2 - (n - 1)) - k (n - 1 - k).$$

Легко видеть, что наименьшее значение этого выражения достигается при $k = (n - 1)/2$, если $n$ нечетно, и при $k = n/2$ или $k = n/2 - 1$, если $n$ четно, и равно, соответственно, $(n - 1)(n - 3)/4$ и $(n - 2)^2/4$.

Заметим, что стрелки всегда можно расставить так, чтобы из каждой точки выходило указанное «оптимальное» число стрелок. Действительно, представим, что точки $A_1$, …, $A_n$ образуют правильный $n$-угольник и расставим стрелки на его сторонах и диагоналях (не проходящих через его центр) так, чтобы они задавали одно и то же направление обхода центра; на диагоналях, проходящих через центр (они имеют только при четных $n$) стрелки можно поставить произвольно. Тогда число стрелок, входящих в каждую вершину, отличается от числа стрелок, выходящих из нее, не более чем на 1.

Таким образом, наиболее число ориентированных треугольников при нечетном $n$ равно

$$\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} - \frac{n}{2} \cdot \frac{(n - 1)(n - 3)}{4} = \frac{n(n^2 - 1)}{24},$$

а при четном $n$

$$\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} - \frac{n}{2} \cdot \frac{(n - 2)^2}{4} = \frac{n(n^2 - 4)}{24}.$$

Приведем набросок другого решения. Пусть $k_i$ — число стрелок, выходящих из точки $A_i$, тогда число неориентированных треугольников равно сумме

$$\frac{k_1(k_1 - 1)}{2} + \dots + \frac{k_n(k_n - 1)}{2} = \frac{k_1^2 + \dots + k_n^2}{2} - \frac{n(n - 1)}{4}$$

(число всех стрелок равно $k_1 + \dots + k_n = n(n - 1)/2$). Если для неокоторого расположения стрелок $k_i \geq k_j + 2$, для каждой-то двух точек, то можно изменить направления (не более чем двух) стрелок так, что $k_i$ уменьшится, а $k_j$ увеличится на 1; при этом сумма квадратов $k_1^2 + \dots + k_n^2$ уменьшится. Следовательно, для «напулящего» расположения стрелок $|k_i - k_j| \leq 1$ при всех $i, j$, а значит, $k_i = (n - 1)/2$ или $k_i = ((n - 1) \pm 1)/2$ (в зависимости от четности $n$) при всех $i$, откуда с помощью (*) легко получить ответ.

И. И. Цаленчук, В. Н. Дубровский

Ф933. Два куска сахара можно поместить в стакан с чаем различными способами. Можно просто положить сахар на дно (рисунок 1), а можно установить куски «врасор», если стакан имеет кончексую форму (рису-

45

Ф935. По длининому прямотому проводнику постоянного сечения течет ток $I_0$. На участке AB проводника (см. рисунок) его удельное сопротивление уменшается от $\rho_1$ в сечении A—A до $\rho_2$ в сечении B—B. Какой по величины и знаку объектный загрудь образуется на участке AB?

Выделим на участке AB нашего проводника в произвольном месте бесконечно малый элемент длиной $\Delta l$ (см. рисунок) и запишем для этого элемента закон Ома:

$$\Delta U = I_0 \rho \Delta l / S.$$

Здесь $\rho$ — удельное сопротивление проводника в выделенном объете, а $S$ — сечение проводника. Учитывая, что предел отношения $\Delta U / \Delta l$ при $\Delta l \rightarrow 0$ определяет величины напряженности электрического поля ($\lim_{\Delta l \rightarrow 0} (\Delta U / \Delta l) = E$), мы можем записать первое равенство в виде

$$E = \rho I_0 / S.$$

Полученное соответствие показывает для любого сечения проводника связь напряженности электрического поля $E$ с удельным сопротивлением проводника в том же сечении.

Пусть в выбранном элементарном объете образуется объектный загрудь $\Delta Q$. Найдем напряженность электрического поля слева ($E_1$) и справа ($E_2$) от выбранного элемента. Используя принцип суперпозиции электростатических полей, можно записать

$$E_1 = |\vec{E}_1| = |\vec{E}_l| - \frac{\Delta Q}{2\varepsilon_0 S},$$

$$E_2 = |\vec{E}_2| = |\vec{E}_l| + \frac{\Delta Q}{2\varepsilon_0 S}.$$

Здесь $|\vec{E}_l|$ — напряженность электрического поля в объете нашего элемента, создаваемая всеми зарядами, кроме заряда $\Delta Q$, а вторые члены унитывают поле заряда $\Delta Q$, которое будет эквивалентно полю вблизи равномерно заряженной поверхности с поверхностью плотностью зарядов $\Delta Q / S$. Изменение поля на границах элемента

$$\Delta E = |\vec{E}_2| - |\vec{E}_1| = \Delta Q / \varepsilon_0 S.$$

С другой стороны,

$$\Delta E = \Delta \rho \cdot I_0 / S,$$

где $\Delta \rho$ — разность удельных сопротивлений проводника справа и слева от выбранного элемента у его границ. Из двух последних равенств мы получаем связь объемого заряда $\Delta Q$ с разностью удельных сопротивлений на его границах:

$$\Delta Q = \varepsilon_0 I_0 \cdot \Delta \rho.$$

Объемный заряд на всем участке $AB$ равен сумме подобных элемарных зарядов, то есть

$$Q_{AB} = \Sigma \Delta Q = \varepsilon_0 I_0 \Sigma \Delta \rho = \varepsilon_0 I_0 (\rho_2 - \rho_1).$$

Поскольку разность $\rho_2 - \rho_1$ отрицательна (по ус-

46

Ловию $\rho_2 < \rho_1$), то и объемный заряд на участке проводника $AB$ будет отрицательным.

В. В. Можаев

Ф936. По длиниому сверхпроводящему соленоду с индуктивностью $L_0 = 1$ Гн, содержащему $N = 200$ витков, течение ток $I_0 = 0,1$ А.*) Издали к соленоду подносят замкнутый проводящий виток того же радиуса, что и витки соленода; индуктивность витка $L_1 = 1 \cdot 10^{-3}$ Гн. Виток ставляет между витками соленода соосно с ним. Как изменится ток, текущий по соленоду? Как изменится энергия системы?

◆
Do внесения витка магнитный поток через соленид был равен

$$\Phi_0 = L_0 I_0.$$

Этот поток создает всеми витками; считая, что включены炙ных витков в общий поток одинаковы (так можно считать, если витков много и соленид длинный), найдем вклад одного витка (поток, создаваемый одним витком через соленид при токе $I_0$):

$$\Delta \Phi_0 = \frac{L_0}{N} I_0.$$

С другой стороны, общее магнитное поле соленода создает каждый из витков поток $\Delta \Phi_0^*$; сумма таких потоков равна $\Phi_0$; поэтому

$$\Delta \Phi_0^* = \frac{\Phi_0}{N} = \Delta \Phi_0.$$

Значит, магнитный поток через один виток, создаваемый соленидом при токе $I_0$, такой же, как поток через весь соленид, создаваемый одним витком при том же токе. (Это — известный факт.)

Внесем виток в соленид. Пусть $I$ — новый ток в солениде, а $I_1$ — индукционный ток, возникший в витке. Поскольку виток сверхпроводящий, магнитный поток через него должен оставаться неизменным и равным нулю. Этот поток складывает из потока $\Phi$, создаваемого через виток всем соленидом при токе $I$, и собственного потока $\Phi_1$, создаваемого витком с током $I_1$:

$$0 = \Phi + \Phi_1 = \frac{L_0}{N} I + L_1 I_1.$$

Магнитный поток через соленид (сверхпроводящий) также должен оставаться неизменным и равным $L_0 I_0$:

$$L_0 I_0 = L_0 I + \frac{L_0}{N} I_1.$$

Решая совместно (1) и (2), находим токи $I$ и $I_1$:

$$I = I_0 \left( 1 - \frac{L_0}{L_1 N^2} \right)^{-1} \approx 0,103 \text{ A},$$

$$I_1 = - I \frac{L_0}{L_1 N} \approx -0,510 \text{ A}.$$

Таким образом, ток, текущий по солениду, увеличился на $\Delta I = 3 \cdot 10^{-3}$ А. Энергия системы увеличилось:

$$\Delta W = L_0 \frac{I^2}{2} + L_1 \frac{I_1^2}{2} - L_0 \frac{I_0^2}{2} \approx 1,25 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}.$$

Энергия возросла за счет механической работы, которая была совершена при внесении витка в соленид (противоположно направленные токи отталкиваются).

А. Р. Зильберман

47

Ф937. На вертикальной стене направлен человек «ростом» $h=20$ см, голова человека находится на высоте $H=2$ м над полом. При помощи линейы с фокусным расстоянием $F=0,1$ м получают изображение человека на полу. На эти размер наиболье четкого изображения.

Изображение на полу можно получить при различных положениях линзы, и увеличение будет зависит от положения линзы. Наиболье четким изображение будет в том случае, когда «центр» источника (точка $A$ на рисунке) и соответствующая точка изображения (точка $A'$) лежат на главной оптической оси линзы. Нетрудно показать, что плоскость, в которой лежит линза, проходит через вершину $O$ прямого угла $AOA'$ (см. рисунок).

Запишем формулу линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{|AO'|} + \frac{1}{|O_1A'|}.$$

Считая, что $|OA| = H - h/2 = H_1$, получаем $|AO'| = H_1 \cos \alpha$, $|O'A'| = |OA'| \sin \alpha = H_1 \text{tg} \alpha \cdot \sin \alpha$, и

$$\frac{1}{H_1 \cos \alpha} + \frac{1}{H_1 \text{tg} \alpha \cdot \sin \alpha} = \frac{1}{F},$$

откуда

$$\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{F}{H_1} = \frac{F}{H - h/2}.$$

Из этого уравнения можно найти угол $\alpha$. Приближенно можно считать (угол $\alpha$ мал), что $\cos \alpha \approx 1$; тогда

$$\sin \alpha \approx \sqrt{\frac{F}{H - h/2}} \approx 0,233 \text{ и } \alpha \approx 0,231.$$

Рассчитаем теперь размер изображения. Если бы источник и изображение лежали в плоскости, перpendикулярных главной оптической оси линзы, то увеличение было бы равно

$$\Gamma = \frac{|O'A'|}{|AO'|} = \frac{H_1 \text{tg} \alpha \cdot \sin \alpha}{H_1 \cos \alpha} = \text{tg}^2 \alpha.$$

В нашем случае увеличение равно отношению длиной проекций изображения и источника на эти плоскости; значит, размер изображения равен

$$h' = h \Gamma \text{tg} \alpha = h \text{tg}^3 \alpha \approx 0,25 \text{ см.}$$

А. Р. Зильберман

Кляксы на плоскости

Представьте себе географическую карту, на которой показана територия расположения какого-либо вида растений или эпидемии. Часть карты, соответствующая этой територии, закрашена определенным цветом, остальная оставлена белой. Чтобы изучить диамнику расположения вида или эпидемии, составляют последовательность таких карт, соответствующих различных моментам времени, и пытаются получить закономерности изменения закрашенной части. Если ребёнок об эпидемии, мы, естественно, хотим, чтобы она угасла. Если же ребёнок о каком-то ценном виде, мы хотим, чтобы он сохранился. В обихх случае нам важно, исчезнет закрашенная часть или нет. Подобные сообщения приводят к задачам, аналогичным той, которая была опубликована в 5-м номере нашего журнала за этот год в «Задачнике «Кваита» (M925). Мы приведем ее решение и еще несколько связанных с ней задач.

М925. На белой плоскости расположена сингра $K_0$. Из нее получается новая сингра фигуря $K_1$ по следующему правилу, применением одновременного ко всем точкам $M$ плоскости: если не менее полюшны площади круга радиуса 1 с центром в точке $M$ занято с ним цветом, то точки $M$ становятся сине, а если менее полюшны — то белой. На следующем шаге из полученной сингра фигуря $K_1$ по тому же правилам получается фигуря $K_2$, затем из нее $K_3$ и т. д. Докажите, что: а) для произвольной ограниченной фигуры $K_0$, начиная с некоторого шага, если плоскость станет белой; б) если $K_0$ — круглую 100, то это случится не позже чем через миллион шага.

Обозначим буквой $F$ то правило, по которой из каждой фигуры получается следующего. Она монотноно в следующем смысле: из меньшей фигуры по правилам $F$ получается меньшая; более формально это можно записать так:

$$K \subset K' \Rightarrow F(K) \subset F(K').$$

Благодаря этой монотности, нам достаточно рассматривать в качестве начальных фигур

48

гур только круги. Действительно, всякая ограниченная фигура лежит в некотором круге, и если уже даже этот круг под действием нашего правила превращится в пустое множество, то содержащая в нем фигура — тем более. Круги удобны тем, что под действием $F$ они переходят в круги. Точнее:

a) если $K$ — круг радиуса, большего или равного $1/\sqrt{2}$ (то есть площади большей или равной $\pi/2$), то $F(K)$ — тоже круг (меньшего радиуса);

6. если $K$ — круг радиуса, меньше $1/\sqrt{2}$, то $F(K)$ — пустое множество.

Рассмотрим функцию $f(R)$, определяющую при $R$, больших $1/\sqrt{2}$, следующим образом: если $R$ — радиус круга $K$, то $f(R)$ — радиус круга $F(K)$. График функции $f$ показан на рисунке 1. Когда $R$ возрастает от $1/\sqrt{2}$ до бесконечности, функция $f(R)$ monotonно растет от $1-1/\sqrt{2}$ до бесконечности, причем ее график остается все время ниже биссертрисы координатного угла $(R-f(R))>0$. Нетрудно доказать, что разность $R-f(R)$ есть монotonно убывающая функция от $R$ (стремящаяся к нулю при $R \rightarrow \infty$). Ломанная линия на рисунке 1 показывает, как ведут себя радиусы $R_0$, $R_1=f(R_0)$, $R_2=f(R_1)$, … (на рисунке 1 уже $R_3<1/\sqrt{2}$, поэтому на следующем этапе получится пустое множество). В общем случае из монotonности $R-f(R)$ следует:

$$R_0-R_1<R_1-R_2<R_2-R_3<\dots$$

Отсюда, обозначая $R_0-R_1=d>0$, получим, что $R_n<R_0-nd$. Значит, при некоторых значении $n$ (не больше чем $R_0/d+1$) фигура $K_n$ будет пуста. Тем самым доказано утверждение a). (В этом доказательстве неокторные детали только намечены, но по ходу приводимого далее решения задачи 6) мы получим и еще одно решение a.).

Чтобы справиться с пунктом 6), надо численно оценить величины, на котором уменьшается радиус $R$ круга $K$ под действием правила $F$. Если внутри круга $K$ находится меньше часты нашего «стандартного» круга $D$ радиуса 1 с центром в точке $M$, то эта точка не входит в $F(K)$, и, следовательно, $f(R)<OM$, где $O$ — центр круга $K$. Как видно из рисунка 2, так будет, например, когда окружность круга $K$ пересекает диаметр $AA_1$ круга $D$ в серединах $B$ и $B_1$ радиусов $MA$ и $MA_1$ в этом случае площадь сегмента $BB_1G$ меньше площадей кривolinейных треугольников $ABL$ и $A_1B_1L_1$, поэтому площадь пересечения круга $D$ и $K$ меньше половины площади круга $D$. При этом $OM^2=OB^2-MB^2=R^2-1/4$, таким образом,

$$f(R)^2<OM^2=R^2-1/4$$

(при любом $R>1/\sqrt{2}$), то есть $R_n^2<R_n^{n-1}-1/4$.

Отсюда по индукции заклюcem, что при $R_{n-1}>1/\sqrt{2}$

$$R_n^2<R_n^2-n/4$$

Следовательно, круг произвольного радиуса $R_0$ исчезнет за конечное число шагов (что доказывает утверждение a)), причем это число не больше $4R_0^2+1$. При $R_0=100$ оно завершимо меньше миллиона, что и требуется доказать в задаче 6).

Задачи 1.

1. Пусть $N(R)$ — число применений правила $F$, превращающих круга радиуса $R$ в пустое множество. Мы доказали, что $N \leqslant 4R^2+1$. Доказите, с другой стороны, что $N \geqslant cR^2$, где $c$ — неокторная положительная константа.

2. Рассмотрим другое правило $H$ преобразования фигур на плоскости. Введем систему координат $Oxy$. Если дана фигурка $K$, то новая фигурка $H(K)$ состоит из всех точек $T(x; y)$, для которых пересечение $K$ и треугольника с вершинами $(x; y), (x+1; y), (x; y+1)$ имеет площадь, не меньше половины площади этого треугольника. Доказите, что всякая ограниченная фигура под многократным действием $H$ превращается в пустое множество за конечное число шагов $N$, причем для круга радиуса $R$

$$c_1 \cdot R \leqslant N \leqslant c_2 \cdot (R+1),$$

где $c_1$ и $c_2$ — неокторные положительные константы.

3. На белой сфере диаметра $d>1$ задана синия фигурка $K_0$. Сопоставим каждой точке $M$ сфереры ее «окрестность» $D_M$ — часть сферы, заключенной в шаре диаметра 1 с центром $M$, и образуется новую синию фигуру $K_1$ из тех и только тех точек $M$, для которых площадь пересечения $D_M$ и $K_0$ не меньше половины площади окрестности $D_M$. Аналогично из $K_1$ получается $K_2$ и т. д.

a) Доказите, что если исходная фигурка $K_0$ содержится в шаре диаметра, меньше $d$, то через конечное число шагов все сфера станет белой.

6. Доказите, что для любого $\varepsilon>0$ можно указать такое $d$ и такую синию фигуру $K_0$ площади не больше $\varepsilon d^2$ на белой сфере диаметра $d$, что после конечного числа описанных превращений все сфера станет синией.

b) Существуют ли отличные от полусферы фигуры $K_0$, для которых $K_1$ совпадает с $K_0$?

А. Л. TOOM