Квант 1985, №10 · Страницы

ISSN 0130-2221
10
1985
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

На черно-белой
фотографии виизу
показана часть
первои в мире
электронной
вычислительной
машины,
сконструированной
в 1942 году и названной
«АВС» ее создателем
Дж. Атанасовым.
Вверху на цветном
отпечатке показана
«Электронка МС 1201.2»,
современная
советская одноплатная
встраиваемая
микро-ЭВМ,
а ниже — совсем
крохотная
однокристальная
микро-ЭВМ
«Электронка C5—31».

Интересно, что
последняя машина,
размером в почтовую
марку, по объему
памяти и быстродействию
на много порядков
превосходит
своего неуклижнего
праодителя,
компьютер «АВС».

Об истории создания
первых ЭВМ см. статью
Бл. Х. Сендова
и Н. Х. Розова
в этом номере
журнала.

1

В НОМЕРЕ:

2 В. А. Фабрикант. Первые шаги Нильса Бора в науке
8 Бл. Х. Сендов, Н. Х. Розов. История рождения компьютера
V. А. Fabrikant. Niels Bohr’s first steps in science
Bl. Kh. Sendov, N. Kh. Rozov. How the computer was born

НОВОСТИ НАУКИ
Еще один тип радиоактивности
Science news
One more kind of radioactivity

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖКОК
15 С. В. Гашков. Неравенства для площади и периметра выпуклого многоугольника
Mathematics circle
S. В. Gashkov. Inequalities fo the area and perimeter of convex polygons

Школа в «Кванте»
21 Математика 8, 9, 10
24 Избранные школьные задачи
Kvant’s school
Mathematics 8, 9, 10
Selected school problems

«Квант» для младших школьников
25 Задания
26 А. В. Семёнов. Трене: вредное, полезное, интересное…
Kvant for younger school children
Problems
A. V. Semenov. Friction: harmful, useful, interesting…

Заданияк «Кванта»
29 Задания M946—M950; Ф958—Ф962
34 Решения задач M926—M930; Ф938—Ф942
Kvant’s problems
Problems M946—M950; P958—P962
Solutions M926—M930; P938—P942

Калейдоскоп «Кванта»
Kvant’s kaleidoscope

Искусство программирования
42 А. П. Ершов. Алгоритмический язык
The art of programming
A. P. Ershov. The algorithmic language

Полупроводниковые элементы вычислительной техники
46 II. Полевые трансисторы
Semiconduct elements in computers
II. Field transistors

Практикум абитуриента
48 А. Р. Зильберман. Повторим колебания
College applicant’s section
A. R. Zilberman. Reviewing oscillations

Олимпiadы
52 XI Всероссийская оптимида школьников
Olympiads
The 11th All-Russian school olympiad

Ответы, указания, решения
Наша обложка (41)
«Квант» улыбается (20)
Смесь (19, 24, 28, 40, 41, 55)
Шахматная страница
Гексагональные шахматы (3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Our cover page (41)
Kvant smiles (20)
Miscellaneous (19, 24, 28, 40, 41, 55)
The chess page
Hexagonal chess (3rd cover page)

Необучная шахматная доска, воспроизведенная на первой странице обложки,— не шутка художника. На таких треххвых шестидельных досках играют в сексаональные шахматы. На обложке приведена начальная расстояние черных фигур, белые ставятся аналогично направив черных. Как црать в такие шахматы, расскаано в серединашей «Шахматной странице».

2

Первые шаги
Нильса Бора в научке

Академик АПН СССР
В. А. ФАБРИКАНТ

Я рассматриваю труды Бора как величайший триумф человекаской мысли.
Резерфорд, 1936 г.

В этом году 7 октября человекство отметило столетие со дня рождения одного из создателей современной физики — Нильса Бора. Важно подчернуть, что слова Резерфорда, приведенные в качестве эпиграфа, сказаны им уже после того, как на смену боровской теории.atoma пришла строная квантовая механика. Ни в коем случае не умаляя заслу создания квантовой механики Гейзенберга, Шредингера и Дирака, Резерфорд справедливо делает акцент на роли Бора.

Дирак, в значительной мере завершивший построение квантовой механики и заложивший основы квантовой электродинамики, так оценвал роль Бора в lekции, прочитанной им в 1975 году: «Я считаю, что появление идеи Бора было самим градиозным шагом в истории развития квантовой механики».

Надо сказать, что роль Бора была весна своеобразной. Нибольшую известность получила так называемая модель atoma Бора, хотя сам Бор относился к этой модели довольно скептически, понимая ее противоречность. Гораздо более важными были теfundamentальные идеи, которые имел в виду Дирак.

Велики заслуги Бора и как учитель большой плейды крупных ученых, в том числе выдающегося советского физика Ландду. Это связано не только с масштабами его научного гения, но и с порозительными качествами. Он был человеком исключительной доброты, чистоты и обязания. К Бору приезжали и молодые, и уже сложившиеся учены. Он вел с ними поистине изучительные диссussии, приводившие к весыма важным новым результатам. Сбылись слова, сказанные о Боре, когда он был еще малыйком, его отцом: «К Нильсу будет приходить люди и слушать его».

Студент, магистр, доктор

В 1903 году Нильс Бор поступил в Копенгагенский университет, где его отец Кристинан Бор был профессор физиологии. Курс физики в этом университете читал профессор Кристинен. Широта его интересов и своевременный подход к предмету, безусловно, сыграли очень большую роль в формировании Нильса Бора как физика.

Интересно, что студенты очень скоро почувствовали Нильса Бора. Однако сокурница в письме своей кузине, отправленном в 1904 году, писала: «Кстати о гениях. С одним из них я встречаюсь кажду-

3

дый день. Это Нильс Бор, о котором я уже тебе рассказывал: его незаурядные способности проявляются все в большей степени».
В 1905 году Datское королевское общество наук объявило конкурс на лучшую работу по физике. Над было исследовать колебания стрый жидкость с целью создания метода определения коэффициента поверхностного натяжения (речь шла о развитии работ знаменитого английского физика Рэлея). Бор весла успешно справился с теоретическими проблемами, но эксперимент успешил выполнить только с одной жидкостью — с водой. Важность теоретических результатов Бора была оценена золотой медалью, хотя его конкурент, также нагруженный золотой медалью, разработал более простой экспериментальный метод и определил коэффициент поверхностного натяжения ряда жидкости.

Окончив в 1907 году университет, Бор образился к Кристинсену за темой для магистерской диссертации. Тот посоветовал занять электронной теории металлов. Бор послушал и вскоре написал своему брату Харальду, что работы Лоренца по электронной теории его очаровали. Но очарованность не помещала Бору обнаружить принципыные недостатки классической электронной теории. В 1909 году Бор получил степень магистра и сразу же начал работать над докторской диссертацией, явившейся продолжением его теоретических исследований.

Докторская диссертация, представлена 12 апреля 1911 года, в частиности, содержала доказательство принципыальной невозможности создания теории магнитных свойств вещества на основе чисто классических представлений. Так как диссертация была опубlikована только на детском языке, ее результаты не получили широкого распространения, и через восемь лет голландкаван Лёвен заново провела то же доказательство (теорема Бора —ван Лёвен). Важно поддержнуть, что здесь Бор впервые лично наполнился на границу применения классической физики.

Защита диссертации состоялась 13 мая того же года. В еженедельнике «Политика» была помещена заметка, где кратко описывалось вы-stупление на этой защите профессора Кристинсена: «Он говорил в своей общной приятной манере, рассказал несколько забавных истории и выражал сожаление, что диссертация Бор не была опубlikована на иностранном языке. У нас в Дании едва ли есть такие компетенции в электронной теории люди, кто бы мог судить о диссертации на эту тему». Дальше было написано: «Доктор Бор,gliedный и застенчивый молодой человек, не принимал активного участия в обсуждании, побившем по своей непродолжительнойности все рекорды».

Кристинсен был прав, и поэтому Бор вскоре после зашиты с радостью отправился в Кембридж на годичную стажировку.

Бор попадает к Резерфорду

В Кембридже работал сам «отец электрона» Дж. Дж. Томсон. Более компетентного человека в области интересовавшей Бора, не было. Однако по ряду причин Бору не удалось наладить деловой контакт с Томсоном.

Зато в Кембридже Бор в октября 1911 года впервые встретился с Резерфордом, признавшим сюда из Манчеста на так называемый ежедневный каведницкий обед. Бор вспоминал: «Хотя в этот раз мне не удалось познакомиться с Резерфордом, на меня произведли глубокое впечатление его обаяние и энергия — качества, с помощью которых ему удалось достигать почти невероятных веществ, где бы он ни работал».

Н. Бор и Л. Д. Ланду на «Праздике Архимеда» в МГУ.

4

В ноябре Бор поехал в Манчестер к одному из коллег своего отца. Коллега оказался близким другом Резерфора и познакомил с ним Бора. Позднее Бор писал: «Во время беседы, в которой Резерфорд с подлинным энтузизмом говорил о многих новых перспективах развития физики, он любезно согласился на мою просбую о том, чтобы мне присоединиться к группе, работающей в его laboratorии, после того как ранней весной 1912 года я должен был закончить свой занятие в Кембридже». Резерфорд только просил договориться о переезде с Джи-Джи (пrozвищте Томсона), чтобы эта процедура не выглядела как результат переменивания сотрудника от одного руководителя к другому. Согласно Томсона было получено без особого труда.

Если в Кембридже Бор увлекался моделью atoma Томсона, согласно которой отрицательно заряженные электропны включаны в облако положительного заряда «как изоминки в кекс», то в Манчесте он быстро освободился с ядерной моделью atoma Резерфора, созданной только год тому назад, где положительный и отрицательный заряды как бы помещались местами. В этой модели положительно заряженное ядро малых размеров окружено облаком электронов, движущихся по замкнутым орбитам вокруг ядра (как планеты вокругруг Солнца). У модели Резерфора имеется серверный недостаток — она никак не могла обьясить устойчивость структуры atoma, проявляшуюся буквально на каждом шагу.

Бор с энтузизмом окнулялся в атмосферу манчестерской laboratorии и заняла попытками разрешения этого противорения. Резерфорд быстро оценил глубину подхода Бора и оказал ему всяческую поддержку. У Бора возникла идея применить к решению указанной проблемы квантовые представления, развительные Планком и Эйштейном. Незввестно, правада, где и когда Бор впервые познакомился с этим представлениями (характерная деталь — в курсе теоретической физики Кристансена, изданном на немецком языке в 1910 году, нет ни слова о квантах!).

Главная работа Бора

В centябре 1912 года Бор вернулся в Копенгаген и продолжил свои попытки применить квантовые представления к планетарной модели atoma, но дело продвигалось очень тучо. В первых числах февраля 1913 года к нему случайно заглянул его университетский товарищ — спектросописист Хансен. До этой встречи Бор не проявлял никакого интереса кстроению линейчатых спектров изучения и поглощения различных элементов. Позднее он говорил: «Он воспринимались так же, как прекрасные узоры на крыльях бабчек,— их красотой можно было восшиаться, но никто не думал, что регулярность в их окраске способна навести

Н. Бор и В. Паули, наблюдение за враценем волчка.

5

на след фундаментальных биологических законов». Хансен задал вопрос: «А как твой теория объясняет спектральные формулы?» Бор, получивший к тому времени, как мы видели, веса солидную подготовку в области теоретической физики, не понял, о чем идет речь. Он ничего не знал ни о каких спектральных формулах. Хансен сказал: «Тебе необходимо посмотреть эти формулы. Они с заменательной простотой описываютatomные спектры». Бор выполил этот совет из верхливости, не придавая ему особого значения. Однако, по его словам, как только он увидел формулу Бальмером (швейцарским физиком и математиком) чисто эмпирическим путем еще в конце XIX века и выражала последовательность частот для ряда линей ввидимой области спектра atoma водорода. Несколько позднее аналогичные закономерности были обнаружены и для невидимых участков водородного спектра.

После знакомства с формулой Бальмера дело быстро пошло на лад, и уже в марте 1913 года Бор завершил работу, который он назвал «О строении atomов и молекул». В том же году по представлению Резерфорда она была опубликована в английском журнале «Phylosophical Magazine» в виде трех статей. Мы ограничимся рассмотрением только первой, наиболее важной из «трилогии» Бора статьи — «Связывание электронов положительных ядром».

Между фактическим ходом исследования и изложением его автором в завершаюшей статье часто существует разрыв. Известный американский биомикк, набелевский луреат Cent-Дьёрды изобразил часть складывающегося ситуации графических (см. рис.), где по одной оси отложено время, по другой — «истина». Ломана 2 выражает фактический ход исследования, когда перiodы роста «истины» сменяются перiodами ее спада (то есть заблудениями), а идеальная пряма 1 изобразает изложение этого же процесса в завершаюшем труде.

Бор, по науре человека откровенный, не мог так поступить, хотя и передельвал свою статью многократно. Для Бора характерна также щепе-

«График»
Сент-Дьёрды.

тильность, с которой он ссылается на своих неудачливых предшественников, пытавшихся применить к обясенению свойств атома.

Введение к статье содержит очень важное значение, касающееся роли квантовой постоянной Планка в теории атома. Это значение носит современный характер и связано с так называемой теорейным размерностью. Однако из пionеров применения методов теории размерностей в физике был Рэлей (с развития трудов которого, еще студентом, начинал свою научную деятельности Бор).

Если выбрана определенная система основных величины, например в механике — длина, время и масса, то размерности производных величины записывается через размерности основных величины. Так, размерность длины обозначается [l]=L, тогда размерность площади [S]=L² и объем [V]=L³. Размерность времени [t]=T, соответствующего размерностью скорости [v]=LT⁻¹, а ускорения [a]=LT⁻². Так как размерность массы [m]=M, то размерность силы [F]=MLT⁻². И так далее.

Бор обратил внимание на то, что в модели атома Резерфорда имеются только два параметра — загаде e и масса электрона m, из которых нельзя образовать величины, определяющего структуру атома и имеющего размерность длины. Если же добавить планковскую постоянную h, то такая возможность появляется.

Воспроизведем несколько выкладки, отсутствующие в статье Бора, которые помогут понять его идею. При этом мы, так же как это сделал Бор в последующих частях статьи, будем пользоваться так называемой абсолотной электростанционной системы единиц (СГСЭ). В ней в качестве основных механических единиц приняты сантиметр, грамм, и секунд (отсюда буквы СГС). Размерность загада электрона в этой системе проще всего определить из закона Кулона (основного закона электростанции), записав его в простейшем виде F=e²/r²=[F]=MLT⁻²,

8

История рождения компьютера

Академик Болгарской академии наук
Вл. X. СЕНДОВ,
доктор физико-математических наук
Н. X. РОЗОВ

В статье «Предыстория рождения компьютера» (см. «Квант», 1985, № 9) было рассказано о многовековом пути человека от счета на пальцах до арифметметра. Сейчас мы продолжим путьствие по истории — от возникновения теоретической идеи «считающее машины» до создания первых реальных ЭВМ. Этот этап развития вычислительной техники, неосредственно предвариющий эру современных компьютеров, занял примерно столепие.

На грани реализации и фантастического

Великая промышленная революция, ознакомовавшаяся постепенным, но неуклонным переходом от мелкого ручного ремонного труда к крупному машинному фабричному производству, с течение времени затронула все области технически и дала мощь импульс дальнейшем прогрессу науки. Это была эпоха великих открытий, выдавшихся изобретений, плодоворных идеей. Прогресс не мог в конце концов не проявиться и в вычислительной форме, столбец связываном с торгово-индustrialными и научно-техническими проблемами.

С начала XIX века главное внимание учебы, интересавшихся облегчением и обеспечением вычислений, было сосредоточено на всестороннем совершенствовании считающих устройств, получавших все более и более широкое распространение. Основное предназвание считающего устройства (наиболее удачным его примером является арифметметр Однера) состоит в том, чтобы самостояльно осуществлять любую арифметическую операцию над числами.

А можно ли создать машину, которая бы выполняла не просто отделные арифметические операции, но «умела» автоматически проводить всего цепочку вычислений, необходимую для решения задачи в целом? Такая постановка вопроса представляется сегодня абсolutно естественной и логичной, однако действи-полтораста лет назад даже сама по себе эта мысль была нетривиальной и ознакомлена открытием, нового направления в научном поиске. Человеком, который судедно было высказать и впервые попытаться реализовать функ-

9

mentalную идею вычислительной машины, являся английин Чарльз Бэбидж (1791—1871).

Крупный математик, талантливый инженер, разносторонний изобретатель, известный естественныйатель, пытливый исследователь, Ч. Бэбидж, при разработном многообразии своих интересов и осуществленных дел, всю жизнь неутомимо и упорно занимать разработкой и конструктивием вычислительных машин.

В 1822 году он построил образец машинны, названной им «разностной», и приступил к созданию большой разностной машинны, предназначенной для расчета наиг讼ных и астрономических таблиц. Однако эта работа по разным причикам завершена так и не была.

В 1834 году Ч. Бэбидж начинает работу над своим главным детшем — вычислительной машиной, которая он назвал «аналитический» и которая должна была автоматически решать все вычислительные задачи, с которых сталкивались инженеры и математики. Грандиозный проект такой машины, разработанный автором с удивительной подробностью, настоящего обогнал своей времени, что его практическое осуществление не могло не оказаться нереальным.

В чем конкретно состоит сделанный Ч. Бэбидж шаг вперед в развитиии вычислительной техники? Прежде всего, машины Бэбиджа, как аналитическая, так и разностная, расчитаны не на выполнение каждой арифметической операции по отдельным командам человека, поступающих всякий раз после завершения предыдущего операции, а на комплектное проведение — без вышательства человека на промежуточных этапах — всего нужно обмена вычислительной в целом. При этом, если разностная машина была ориентирован на одну в полне определенную, неизменную программу действий с данными чисlamи, то аналитическая машина допускала осуществление различных программы вычислений в зависимости от расматриваемой задачи. Выражаясь современным языком, разностная машина — это специализированная вычислительная машина с фиксированной программикой, а аналитическая машина — это универсальная автоматическая вы-

Чарльз Бэбидж — автор проекта первого универсального программного вычислительного машины.

Нельзя не отметить, что аналитическая машина Бэбиджа представляет собой единый комплект специализированных блоков: устройства для ввода начальной информации (исходных данных), запоминающего устройства (памятки), арифметическое устройство (осуществляющего действия над числами), устройство управления (обеспечивающего выполнение операций в необходимой последовательности), устройство для ввода обработанной информации (результата). Иными словами, эта машина, предвосхизная архитектуру современных компьютеров, обладала практическими всими их нынешними основными структурными компонентами.

Однако — дитя своей эпохи! — аналитическая машина, как и все предшествующие ей считающие устройства, была (и не могла не быть) чисто механическим калькулятором. Ведь в первой половине прошло столетя исследований в области электричесва, работы по его использованию еще только начинались. Именно потому генциальные идеи Ч. Бэбиджа относительно назначения, логического структуры и принципов работы вычислительной машины оказались облепыми в одеждах, заранее предопределившие бес-

10

перспективность попыток внедрения подобных машин в жизнь. Впрочем, и здесь Ч. Бэбидж пытается сказать новое слово: проект предустратival, что приводит аналогичную машину в действие должен паровой дивятель.

Первая леди комьютерного королевства

Как показала дальнейшая история, одним из прочееских замыслов Ч. Бэбиджа является предложенная им система управления вычислительной машиной с помощью перфокарта. Идея использования карточек с пробитыми в них ответящими (perфокарт) получила широкое распространение после того, как в 1804 году французский изобретатель Жозеф Мари Жаккар (1752—1834) примел их для автоматизации работы ткацкого станка. Однако Ч. Бэбиджу впервые пришлось занять детальной разработкой многих вопросов, связанных с введением перфокартами в машину массивов чисел и последовательности команд.

Управление вычислительной машиной, очень/noно, невозможно без развития теории рационального описания комплектов тех операций, которые следует выполнять машине при решении различных задач. Тем самым оказалось неизбежнымождение нового направления науки — программирования. Заслуга создания этого направления принадлежит Августе Аде Лавлейс (1815—1852), дочери великого английского поэта Джорджа Байрона.

Леди Лавлейс, проявлявшая незаурядные математические способности, серьезно интересовалась работой Ч. Бэбиджа и глубоко понимала его идеи. В своей публикации 1843 года, которую по праву считают первый работой по теории программирования, она высказала целый ряд мысли и принципиов, сохраняющих свое значение и сегодня, а не которые предложенные его термины закрепились в научном языке. Ей принадлежит и исторически первая достаточно сложная конкретиная программа — для вычисления так называемых чисел Бернулли по специально разработанному алгоритму (пraktических пробовать эту программу она, конечно, не могла по причине отсутствия машин).

Говоря о программировании, нельзя не отметить еще два факта, относящихся к XIX веку и сыгравших особенно важную роль в становлении этой науки. Первый — «изобретение» Ч. Бэбиджем специальной команды, называемой сейчас командой условияного перехода (говорят еще ветвления) и имеющей в современном программировании исключительное значение. Эта команда позволяет самой машине автоматически определять дальнейшую последовательность операций в зависимости от результата, получающегося на определенном шаге работы. Тем самым открывается возможность поручить машине выполнение не только аргументических, но и логических операций.

Однако для того чтобы продвинуться по этому пути, нужно расположать аппарат формульно-mатематического анализа логических высказываний. Именно таким аппаратом оказалась теория, предложенная в 1847 году английским математиком Джорджем Булем (1815—1864) и получившая название бульевой алгебры.

11

Это — второй исторический факт XIX века, предопределенный использование вычислительных машин для решения логических проблем и автоматизации расчудений.

Время надежд, время исканий

Ч. Бэбидж умер, его аналитическая машина так и осталась незавершенным проектом… Но его основная идея — создать автоматическое вычислительное машину с программным управлением для выполнения научно-технических расчетов — умеет не могла. Ибо она была произрывым предвидением насущенных потребностей продолжшегося развития цивилизации.

Уже с конца прошло столетя быстрого увеличения число модели и модификации арифметметра и других считающих устройств (клавишных, записьвойших и т. п.), начинается их широкое производство и применение. Арифметметр существенно облегчил и укорил наиболеутиментальное и рутинирующее работу — выполнение арифметических операций. Однако фактическое решение сколько-нибуд серьезной конкретной математической задачи, получение в ней реализного ответа в виде численных данных, прежде всего обчную и нужного в приложениях, оставалось целой пробелой, не простым и трудоемким делом, требовавшим длительных успешной больших коллективов вычислителей.

Например, одним из основных местов, связывающих математку сжизнью, является дифференциальные уравнения. Естественно, что отыскание решения (или, как говорят математики, интеррирование) таких уравнений служит типичным объектом вычислительных работ. Вот что говорилось по этому поводу в книге «Численное интеррирование дифференциальных уравнений», изданной всего лишь полвека назад, в 1932 году: «Читатель долженверду услить себе главную мысль: решения этих уравнений в огромном большинстве случае является на практике чрезвычайно трудной операцией, относительной часть много времени на вычисления…»

Было совершено ясно: разрешить все усиливающиеся противоречие между уровнем развития математики

ческой теории и возможность ее реализации приложений,.linkвидировать громадные трудности на пути осуществления расчетов, в которых отсутствнуждались технологии и наука, экономика и управление, может лишь вычислительная машина. Эти в первую очередь и обьясяется, что приставный интерес к конструкрованию вычислительных машин, явно наметився в конце XIX века, стал затем резко растит. Усилями отделных инженеров, физиков, математиков, изобретателей, а чашце — целых коллективов удалось добиться многих замечательных результатов. Нельзя не поддержнуть, что в значительной мере эти результаты были невозможны без сделанных к тому времени открытий и исследования в физике, механике, техническе, без доступного уровня промышленного производства и технической культуры.

Какие же вычислительные машины были проектированны и созданы в первой половине нашего столетия? Далее простое перечисление их модели потребовал бы слишком много места. Поэтому мы ограничимся лишь кратким перечислением их основных, прициппальных особенностей и несколькими примерами.

Большую группу составляли специальизированные электромеханические вычислительные машины, представленные собой механический калькулятор, который приводился в движение электроприводом и управлялся электрическими импульсами. Особое распространение получили табуляторы (начание: счетно-аналитические, или счетно-перфорационные машины), применяющиеся главным образом для механизации решения задачи статистики и учета. Первый табулятор разработал еще в 1884 году американский инженер Герман Холлерит (1860—1929).

Были построены электромеханические вычислительные машины, ориентированные на другие важные практические задачи. Надо признать, что некоторые из них являются более естественным образом совершенным конструкторским мыслями и идеального технического использования. Средние их следует упомянуть первую машину для интегрирования дифференциальных уравнений, изобретенную известным советским математиком и ко-

12

рабелом академиком А. Н. Крыловым (1863—1945). Отметим далее, что в 1915 году фирма «Аскания» (Верлин) изготовила вычислительное машину для определения времени приливов и отливов на северном побережье Германии. Автомат состоит из замыслового кружева несколько сотен бронзовых шестеренок и был не так уж громоздок. Для того, чтобы составить расписание приливов на год, он должен был «шевелить шестеренками» восем часов — быстродействие достаточно妒зительное по тем временам. Но еще более妒зительно, что машина верной и правой безотказно служила 60 лет — до 1975 года!

Другую группу составляли универсальные электромеханические вычислительные машины с программным управлением. В этих машинах применялась техническая новинка — электромагнитное реле. Исторические первоий действияшей машиной такого типа была машина «Ц-3», построенная в 1941 году немецким инженером Конрадом Цузе, одnakо развязывания гитлеровой Германии вона стала прийной того, что это достижение немецкой науки не получило своевременной известности и не оказало влияния на развитие вычислительной техники.

Самая совершенная из машин этой группы, получившая название «Марк-1», создавалась в 1937—1944 года под руководством американского физика Говарда Эйкена. Она была большую роль в решении целого ряда ключевых вопросов конструкрования компьютеров. Вот некоторые ее характеристики. «Марк-1» весил 4,5 тонны, занимал площадь 17×2,5 м и представлялось сложную комбинацию огромного числа релейных и механических элементов, соединенных 800 км электроноводки. Ввод начальных данных — 23-значных чисел в общий (десятичной) форме осуществлялся с помощью перфокарта, аправление работы машины обеспечивает бумжной перфолентой. На операцию сложения (вычитания) затрачивалось 0,3 секунды, а умножение и деление требовали 5,7 с и 15,3 с соответственно.

Наконец, упомянем еще большую группу аналоговых вычислительных машин (или машин непрерывного действия). Работа этих машин базируется на идее конструкрования — по исходным данным — такой модели схемы (главным образом — электрической), изменение одной из физических характеристик (например напряжения) которого и определяет искому волчину. Эти машины особенно хорошо себя зарекомендовали при решении задач, где в первую очередь важно получить качественное или графическое представление об изменении неизвестной. Однако для особых вычислений они практические непргигодны.

Итак, достигнутые успехи в создании вычислительных машин были несомнены. И все же эти машины в коей мере не могли удовлетворить огромные вычислительные потребности», сложившиеся к середине XX века. Непомерно дорогостшей и непримемого громоздкой являются их конструкция, слишком низкой оставалась скорость работы, явно недостаточным был объем памяти, веса негибким оказалось на практике управление процессом вычислений. Дальнейшее интенсивное развитие вычислительной техники, ее массовое использование объективно не могло быть обеспечено лишь улучшением реализации уже имеющихся идеей.

Требовалась принципиальное новая идея…

«АВС» — первый электронный компьютер

Приципиально новая идея состоит в том, чтобы заменить все механические элементы машины, все электромагнитные реле электронными

14

риферийное оборудование на перфокартах. И то, что «АВС» так и не удалось в эксплуатации, — одно из драматических следствий самого трагического события нашего века, второй мировой войны. Надо, впрочем, заметить, что и идеи, и работа Дж. Атанасова над электронным компьютером были известны целому ряду ученых и, в том числе, Дж. Мокли.

Факты, связанные с работой Дж. Атанасова над электронным компьютером, стали широко известны лишь в 60-е годы, а несколько позже был официально признан его приоритет.

После появления в 1945 году первого действующего электронного компьютера начался период бурного развития электронной вычислительной техники. История этого периода — тема отдельного разговора. А закончить настоящее статью нам хотелось бы напомнить о первой советской электронной вычислительной машине «МЭСМ». Она была построена в 1951 году под руководством академика Сергея Алексеевича Лебедева (1902—1974) и была, кстати, первым электронным компьютером в Европе.

Еще один из известных видов радиоактивных превращений тяжелых ядер, встречающихся в природе (альфа- и бета-распады, спонтанное деление ядер и т. д.), добавили новый вид — распад с излучением ядра изотопа углерода, более тяжелого, чем ядро геля (альфа-частица).

Совсем недавно, в этом году, сотрудниками Объединенного института ядерных исследований (г. Дубне), а также группой американских физиков был обнаружен еще один тип распада, с излучением еще более тяжелого ядра — ядра неона.

Так, например, распадается изотоп урана с массовым числом 233:

$$\begin{align*} 233U &\rightarrow 209Pb + 24Ne \\ 233U &\rightarrow 208Pb + 25Ne \end{align*}$$

— распад идет с излучением изотопа неона с массовым числом 24 или 25. Какой именно процессит распад — пока не ясно.

Вероятность такого распада очень мала: примерно на 10^{12} излученных альфа-частиц прихождения ядро неона. Если бы альфа-распада урана не было, ядро урана жилло бы в среднем около 10^{17} лет, дождаясь своего неонного распада (перiod полураспада изотопа урана-233 с излучением альфа-частицы составляет 1,62×10^5 лет).

Распадается и другой изотопу урана — с массо-вым числом 232:

$$\begin{align*} 232U &\rightarrow 208Pb + 24Ne \\ 232U &\rightarrow 208Pb + 25Ne \end{align*}$$

Вероятность вылета ядра неона в этом случае тоже примерно в 10^{12} раз меньше вероятности вылета альфа-частицы.

Обнаружен такой же распад еще одного ядра — ядра протактиния:

$$\begin{align*} 231Pa &\rightarrow 207Tl + 24Ne \\ 231Pa &\rightarrow 207Tl + 24Ne \end{align*}$$

Образовавшийся талий-207 превращается в свинце-207 (среднее время жизни талия-207 составляет 6,8 мин) с излучением электрона (бета-распад). Вероятность неонного распада протактиния меньше вероятности его альфа-распада приблизительно в 10^{11} раз.

Все новые открыты распады, как мы видим, заканчиваются изотопах свинца, на которых заканчиваются и все естественные радиоактивные ряды — семейства урана, тория и актиния. Природа нашла еще один — обходной — путь превращения различных элементов в устойчивый свинце.

Я. С.

15

Неравенства для площади и перimetра выпуклого многоугольника

Кандидат физико-математических наук
С. В. ГАШКОВ

Возможно, читатель извесно, что среди всех фигур данного перimetра наиболее площад и имеет круг.

Если нет, советум прочитать статью В. В. Трофимова «Царевна Дидона, изоперметры и мыльные пленки» в пятом номере журнала за этот год.

Здесь же мы познакомим читателя с аналогичными экстремальными свойствами правильных $n$-угольников, выделяющими их среди всех прочих $n$-угольников, и в качестве следствий получим несколько интересных неравенств, связывающих между собой площад и перimetр $n$-угольника, радиуса «вписанного» и «описанного» кругов и другие его характеристики. Для точной формулировки и доказательства этих утверждений нам придется определить несколько вспомогательных понятий, а для треугольников упомянутые утверждения можно сформулировать уже сейчас.

Управнения

1. Среди треугольников, вписанных в данной круг, наиболее площад (и перimetр) имеет правильный треугольник.
2. Среди треугольников, описанных около данного круга, наиболее площад (и перimetр) имеет правильный.
3. Среди треугольников данного перimetра наиболее площад имеет правильный.
4. Среди треугольников с данной минимальной высотой наиболее площад (и перimetр) имеет правильный.
5. Среди треугольников с данной максимальной стороны наиболее площад (и перimetр) имеет правильный.

Далее анализу утверждений 1-5 будет доказаны для произвольных выпуклых $n$-угольников.

Что такое выпуклый многоугольник?

Определение 1. Многоугольник $P$ называется выпуклым, если он лежит по одному сторону от каждой прямой, проходящей через какие-нибудь две соседние его вершины. Такие прямые называются касательными к многоугольнику $P$, так что касательная — это прямая, содержащая какую-нибудь его сторону. Далее рассматривают только выпуклые многоугольники, а появление новых многоугольников оговаривается особо.

Управнения
6. Докажите, что выпуклый многоугольник совпадает с пересечением своих касательных полуплоскостей. Полуплоскость называется касательной к $P$, если она содержит $P$ и ограничена касательной к $P$.

7. Докажите, что прямая, имеющая общие точки с выпуклым многоугольником, либо разрезает его на два многоугольника, либо проходит через его вершину так, что он целиком лежит в одной из полуплоскостей, определяемых рассматриваемой прямой.

Определение 2. Прямая, проходящая через вершину выпуклого многоугольника так, что он лежит целиком по одному сторону от этой прямой, называется опорной к этому многоугольнику. Любая касательная является опорной, но не каждой опорной является касательной (см. рис. 1).

Управнения 8. Докажите, что выпуклый многоугольник имеет в точности две опорные прямые, параллельные данному направлению. Эти прямые ограничивают полосу, содержащую этот многоугольник.

Определение 3. Полоса, ограниченная параллельными прямыми, называется опорной полосой; опорная полоса, у которой хотя бы одна из ее граничных прямых является касательной, называется касательной полосой (см. рис. 2).

16

У праванення.
9. Докажите, что выпуклый многоугольник совпадает с пересечением своих касательных полос.
10. Докажите, что невыпуклый многоугольник содержится в выпуклом многоугольнике большей площади и меньше перimetра.

Диаметр и ширина многоугольника

Поняття, которые здесь будут определены, необходимы для формирования теоремы, обобщшей утверждения управления ираженням 4 и 5.

Определение 4. Диаметром многоугольника называется наибольшее расстояние между его вершинами.

У праванення 11. Докажите, что наибольшее расстояние между точками a) треугольника, 6) произвольного n-угольника равно его диаметру.

Определение 5. Шириной многоугольника называется наименьшая ширина его наибольших полос.

У праванення
12. Докажите, что ширина любой опорной полосы не меньше ширины многоугольника (откуда следует, что наименьшая ширина опорных полос равна ширине многоугольника).
Очевидно, что ширина треугольника равна его наибольшей высоте.
13. Докажите, что ширина H, диаметр D и перimetр P равильно n-угольника связанных равенствами $2n \mathrm{tg} \frac{\pi}{2n} H = P = 2n \sin \frac{\pi}{2n} D$ (если n нечетно), $n \mathrm{tg} \frac{\pi}{n} H = P = n \sin \frac{\pi}{n} D$ (если n четно).
Указание: см. рис. (3 a, 6)

Изопериметрическое и другие экстремальные свойства правильных многоугольников

Докажем следующую теорему
Теорема 1. a) Среди выпukлых n-угольников, лежащих в данном круге, наибольшую площадь (и перimetр) имеет вписанный в этот круг правильный n-угольник.
6) Среди n-угольников, содержащих данный круг, наибольшую площадь

(и перimetр) имеет описанный около этого круг правильный n-угольник.
в) Среди n-угольников с данным перimetром наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.

Для доказательства теоремы понадобятся пять вспомогательных утверждений, доказать которые мы предлагаем читателю в качестве упражнения.

У праванення
14. Если один выпukлый многоугольник содержит второй, то перimetр первого больше перimetра второго.
15. a) Вписанный в круг равносторонний многоугольник имеет равные углы, то есть является правильным.
6) Описанный около круга равносторонний многоугольник имеет равные стороны, то есть является правильным.
16. Среди треугольников с данными основанием и углом при вершине наибольшую площадь (и перimetр) имеет равобедренный треугольник.
17. a) Среди треугольников с данными описанной окружностью и углом при вершине наибольшую площадь основание имеет равобедренный треугольник.
6) Среди треугольников с данными углом при вершине и данной внешписанной окружностью, касающейся основания и продолженной боковых сторон, наибольшее основание имеет равобедренный треугольник.
18. Среди треугольников с данными основанием и перimetром наибольшую площадь (и угол при вершине) имеет равобедренный треугольник.

Докажем, наконец, теорему. Начнем с пункта a). Заметим, что если n-угольник не является вписанным в расстояние окружности, вписанный в этот круг и имеющий большую площадь (см. упражнение 14) больший перimetр (см. рис. 4). Если же n-угольник, вписанный в круг, не является правильным, то (см. упражнение 15 a)) у него найдет соседние неравные стороны, которые на рисунке 5 обозначаны AB и BC. Обозначим B’ середину дуги AC (см. рис. 5). Тогда B ≠ B’, |AB’| = |B’C| и из упражнения 16 следует, что изображенный на рис. 5 n-угольник с вершиной B’ вместе B

18

Рис. 8.

Для дальнейшего понадобятся неокторые вспомогательные понятия, интересные и сами по себе. Их изложению посвящен следующий параграф.

Смешение и симметризация многоугольников

Излагаемые далее понятия были введены в геометрию Г. Минковским, который применял их в своих знаменитых исследованиях о выпуклых множествах.

Определение 6. Смешением (полусуммой) двух точных множеств называется множество середин всех отрезков, концы которых принадлежат этим множеством (один конец первогому множеству, а другой — второму). (На рисунке 8 показано смешение отрезков AB и CD.)

Упражнение 19. a) Смешением паралельных прямых является прямая, делящая пополам полос между ними.

6. Смешением отрезков, лежащих на паралельных прямых, является средняя линия трапеции (паралелографма), образованной этим отрезками.

b) Смешением паралельных полос ширины $H_1$ и $H_2$ является паралельная им полоса ширины $\frac{H_1+H_2}{2}$.

г) Смешением кругов радиуса $R_1$ и $R_2$ является кругг радиуса $\frac{R_1+R_2}{2}$.

20. Опорная полоса смешения двух многоугольников является смешением паралельных ей опорных полос этих многоугольников.

Очень важной для дальнейшего является утверждение следующей задачи.

Задача 2. Смешением двух многоугольников $P_1$ и $P_2$ является многоугольник $P$, для каждой стороны которого найдется паралельная ей сторона одного из многоугольников $P_1$ или $P_2$, причем для любого из сторон

20

КВАНТ УЛЬБАЕТСЯ

Нильс Бор и «Журнал шутливой физики»

В 1935 году к 50-летию Нильса Бор сотрудники руководителя ИНститута теоретической физики выпустил первый том руководного сборника “The Journal of Jocular Physics” («Журнал шутливой физики»). В предисловии к сборнику говорилось:

«Большое событие, отмечать которое мы готовились, явилось Великолепным поводом совершить, наконец, тот шаг, который был уже подготовлен бурным развитием нашей науки и в котором давно опущалась необходимость организации и легализовать довольно старую область физики — The Jocular Physics. По причине, еще не выясненным, она до сих пор влачала просто жалкое существование на общем фоне стремительно развития науки. В качестве первого меры мы предприняли издание этого сборника, который знаменуетрождение нового периодического издания, и посвящего оно будет исключително комористической стороне многогранной жизни мира физики».

Сборник действительно стал периодическим и выходил … раз в 10 лет (второй том вышел к 60-летию Н. Бора, третий — к 70-летию). Аналогичный сборник под названием “The Journal of Unclear Physics” («Журнал нечистой физики») был выпущен к 50-летию английского физика P. Пайерласа. Здесь мы помещаем два материалов этих сборников.

Н. Бор и вестерны

Нильс Бор любил ходить в кино, причем из всех жанров признавал только один —ковбойские вестерны. Трудно себе представить, что привлекало Бор в этих картинах. «Я волне могу допустить,—говорил он;— что хорошоенькая геройня, спасаясь бегством, может оказаться на из-

влистичной и опасной горной тропе. Менее всего, но все же возможно, что мест над пропасью рухнет как раз в тот момент, когда она на него ступит. Исключительно маловерятно, что в последний момент она схватится за былинку и повиснет над пропасью, но даже с такой возможностью я могу согласиться. Совсем уже трудно,

но все-tаки можно поверить в то, что красавецковбой как раз в это время будет проезжать мимо и выручит несчастную. Но чтобы в этот момент тут же оказался оператор с камерой, готовый заслать все эти волнуошие события на пленку,—уж этому, увольте, я не поверю!»

21

Matematika
8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка предназначаем десятиклассикам. Оdnako первая ее часть может быть полезной и учащимся 8-х и 9-х классов.

Векторы в геометрических задачах

1. Параллельность и отношение отрезков

Задача 1. Точка K, L, M, N — середины сторона BC, CD, DE, EA пятугольника ABCDE, точки P и Q — середины отрезков KM и LN. Доказать, что отрезки PQ и AB параллельны, и найти отношение их длины (пис. 1).

Переведем утверждение задачи на векторный язык.

Параллельность отрезков PQ и AB записывается равенством $\overrightarrow{PQ} = k \cdot \overrightarrow{AB}$, где $k$ — некоторое действительное число. Вычислив $k$, мы найдем отношение длины отрезков PQ и AB.

Основной в решении этой задачи оказывается формула $\overrightarrow{OZ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OY})$, где $Z$ — середина отрезка XY, а $O$ — произвольная точка.

Решение. $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OL} + \overrightarrow{ON}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{OM}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OE})\right) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.

Отсюда следует, что отрезки PQ и AB параллельны, а отношение их длино $\frac{1}{4}$.

В приведенном решении мы дважды использовали «формулу разности»

$\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$, позволяющий выразить любой вектор через векторы, отложенные от одной и той же точки.

Вот несколько примеров записи одного и того же утверждения на геометрическом и векторном языках:

1. Точка A, B, C лежат на одной прямой.
2. Точка M делит отрезок AB в отношении $|AM|:|MB| = l:k$
3. М — точка пересечения медиан (центрroid) треугольника ABC.
4. ABCD — параллельрам.

В двух последних случаях геометрическое и векторное утверждение равносильны при условии, что точки A, B, C не лежат на одной прямой.

Задача 2. Доказать, что середины оснований и точка пересечения диагоналей трапеции лежат на одной прямой (пис. 2).

Решение. Пусть M, N — середины оснований BC и AD трапеции ABCD, O — точка пересечения диагоналей. Из подобия треугольников AOD и BOC следует: $\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OD|}{|OB|}$. Обозначая эти

22

2. Центroid системы точек

Понятие центроид легко переносится с треугольника на произвольную конечную систему точек пространства:

Точка M называется центроидом системы n точек $A_1, A_2, \dots, A_n$, если $\overrightarrow{MA}_1 + \overrightarrow{MA}_2 + \dots + \overrightarrow{MA}_n = \overrightarrow{0}$.

С помощью формулы разности последнее равенство можно переписать так: $(\overrightarrow{OA}_1 - \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OA}_2 - \overrightarrow{OM}) + \dots + (\overrightarrow{OA}_n - \overrightarrow{OM}) = \overrightarrow{0}$ (О — произвольная точка),

$\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_n - n \cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{0}$,

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{n} (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_n)$.

Из последней формулы следует, что любая конечная система точек имеет единственный центroid. Причем центроид системы, состоящий из одной точки, — сама эта точка, центроид пары точек — середина соединяющего их отрезка. Нахождение центроида большого числа прощается благородяя следующему принципу: если $M_1$ — центроид системы k точек $A_1, A_2, \dots, A_k$, а $M_2$ — центроид системы l точек $B_1, B_2, \dots, B_l$ и эти системы не имеют общих точек, то центроид системы k + l точек $A_1, A_2, \dots, A_k, B_1, B_2, \dots, Bl$ — это точка M, принадлежащая отрезку $M_1M_2$ и делящая его в отношении $|M_1M_2| = l:k$.

Действительно, пусть $k \cdot \overrightarrow{M_1M} = l \cdot \overrightarrow{MM_2}$.

Использовая формулу разности, получим:

$k (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OM}_1) = l (\overrightarrow{OM}_2 - \overrightarrow{OM}_1)$,

$k \cdot \overrightarrow{OM} - k \cdot \overrightarrow{OM}_1 = l \cdot \overrightarrow{OM}_2 - l \cdot \overrightarrow{OM}_1$,

$(k + l) \cdot \overrightarrow{OM} = k \cdot \overrightarrow{OM}_1 + l \cdot \overrightarrow{OM}_2$,

$\overrightarrow{OM} = \frac{k}{k + l} \overrightarrow{OM}_1 + \frac{l}{k + l} \overrightarrow{OM}_2$.

По формуле (1)

$\overrightarrow{OM}_1 = \frac{1}{k} (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_k)$,

$\overrightarrow{OM}_2 = \frac{1}{l} (\overrightarrow{OB}_1 + \overrightarrow{OB}_2 + \dots + \overrightarrow{OB}_l)$,

так что

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{k + l} (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_k)$,

и мы получили требуемое.

Примена этот принцип к тройке вершин треугольника, мы получим, что центроид треугольника лежит на

23

отрезке, соединяющем вершину с центром двух других вершин, то есть с серединой противоположной стороны, и делит этот отрезок в отношении 2:1, считая от вершины. Отсюда следует известная теорема планиметрии: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин.

Аналогично доказывается, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке — центроид треугольника — и делятся в этой точке в отношении 3:1, считая от вершин.

3. Вычисление расстояний и углов

Задав в пространстве тройку некомпланных векторов — базис, можно разложить по этому базису любой вектор единственным образом. Зная же скалярные произведения базисных векторов, мы можем легко вычислить скалярные произведения любых векторов, а следовательно, их длины и углы между ними.

Задание 4. Дано $\vec{a}\vec{b} = 1$, $\vec{a}\vec{c} = 2$, $\vec{b}\vec{c} = 0$, $\vec{a}^2 = \vec{b}^2 = 4$, $\vec{c}^2 = 2$.

Найти $|\vec{p}|$, $|\vec{q}|$, $(\vec{p}, \vec{q})$, если $\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Решение: Перепишем условия задачи в виде «таблицы умножения» (табл. 1). Находим: $|\vec{p}| = \sqrt{\vec{p}^2} = \sqrt{(2\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{4\vec{a}^2 - 4\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{16} = 4$;

$|\vec{q}| = \sqrt{\vec{q}^2} = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{b}\vec{c}} = \sqrt{16} = 4$.

Из определения скалярного произведения получем:

$$\cos(\vec{p}, \vec{q}) = \frac{\vec{p}\vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|} = \frac{2(\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{16} = \frac{2\vec{a}^2 + \vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} - \vec{b}^2 - \vec{b}\vec{c}}{16} = \frac{9}{16},$$

откуда $(\vec{p}, \vec{q}) = \arccos \frac{9}{16}$.

Задача 5. Основание признамы $ABCA_1B_1C_1$ — правильный треугольник. Боковое ребро $AA_1$ вдвое больше стороны основания и образует углы $A_1AB = 90^\circ$, $A_1AC = 60^\circ$. О — центр треугольника $ABC$. Найти на прямой $CC_1$, такую точку $K$, что прямые $B_1K$ и $A_1O$ перпендикулярны.

Решение. Положение точки $K$ на прямой $CC_1$ определяется значением коэффициента $x$ в равенстве $\vec{C}_1\vec{K} = x \cdot \vec{C}_1\vec{C}$. Обозначим через $a$ длину стороны основания признамы, выберем в качестве базиса тройку векторов $\vec{m} = \vec{AB}$, $\vec{n} = \vec{AC}$, $\vec{p} = \vec{AA}_1$ (рис. 5), после чего составим «таблицу умножения» (табл. 2).

Разложим векторы $\vec{A}_1\vec{O}$ и $\vec{B}_1\vec{K}$ в базис $(\vec{m}, \vec{n}, \vec{p})$: $\vec{A}_1\vec{O} = \vec{A}_1\vec{A} + \vec{A}O = -\vec{p} + \frac{1}{3}(\vec{m} + \vec{n}) = \frac{1}{3}(\vec{m} + \vec{n} - 3\vec{p})$, $\vec{B}_1\vec{K} = \vec{B}_1\vec{A}_1 + \vec{A}_1\vec{C}_1 + \vec{C}_1\vec{K} = \vec{m} + n - x\vec{p}$. Записав условия перпендикурови примых $A_1O$ и $B_1K$:

$(\vec{m} + \vec{n} - 3\vec{p})(-\vec{m} + \vec{n} - x\vec{p}) = 0$, получим, используя таблицу 2: $11a^2x - 3a^2 = 0$, откуда $x = \frac{3}{11}$.

Упражнения

1. В терраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины ребер $AB$ и $CD$. Доказите, что середины отрезков $CE, DE, AF$ являются вершинами параллелограмма.

2. Точки $A, B, C, D, E, F$ не лежат в одной плоскости. Доказите, что если прямые $AB$ и $DE, BC$ и $EF, CD$ и $AF$ параллельны, то $|AB| = |DE|, |BC| = |EF|, |CD| = |AF|$.

3. Доказите, что отрезки, соединяющие середины сторона основания четырехугольников параллелограмма, пересекаются в одной точке. В каком отношении они делятся этой точкой?

4. Доказите, что середины четырехугольников, о которых идет речь в предыдущем упражении, являются вершинами параллелограмма.

24

Найдите отношение площади этого параллелограмма к площади основания примыды.

5. Основание примыды $SABCD$ — квадрат, каждое из боковых ребров вдвое больше стороны основания. Найдите угол между прямыми SM и BN, где M и N — середины ребер AB и SC.

6*. Приемые a и b пересекаются в точке O. Из произвольной точки M, отличной от O, опущены перpendикуляры MA и MB на прямые a и b. Из точек A и B опущены perpendикуляры $AA_1$ на прямую b и $BB_1$ на прямую a. Доказайте.

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. При каких натуральных n сократима дробь $\frac{8n+71}{5n+46}$?

2. Решите уравнение $x^2 + \frac{9x^2}{(x+3)^2} = 16$.

3. В окружности радиуса R проведены два диаметра, угол между которых равен a. Доказите, что расстояние между основаниями perpendикуляров, опущенных из произвольной точки окружности на эти диаметры, не зависит от положения точки на окружности, и найдите его.

4. Доказите, что число $n^2+5n+16$ ни при каком натуральном n не делится на 169.

5. Построите квадрат, если данные 4 точки: по одной точке на каждой из прямых, содержащих стороны квадрата.

Девятый класс
6. Разложите на множители выражение $(1+x+x^2+x^3+\dots+x^n)^2-x^n$, где n — натуральное число, n ≥ 3.

7. Высоты треугольника пересекаются в точке H. Известно, что $|HC|=|AB|$. Найдите угол при вершине C.

8. В пространстве данных две скрещивающиеся прямые a и b. Проведите прямую, пересекающую обе данные прямые и: a) прохождение через данную точку M, не лежащую на a и b; b) параллельную данной прямой l. В каком случае решение возможно?

9. a) При каком условии прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ perpendикуляры?

6. Найдите кратчайшее расстояние от точке парабoles $y=x^2-8x+16$ до прямой $y=-2x+1$.

10. В пространстве данных две скрещивающиеся взаимно perpendикуляры прямые a и b. Найдите множество середин отрезков AB данной длины d таких, что A ∈ a, B ∈ b.

Дессятый класс
11. Как нужно разместить в пространстве правильный tetraedр, чтобы его ortогональная проекция на данную плоскость имея набольшую площадь? Найдите значение этой плоскости, если ребро tetraedра имеет длину a.

12. Решите уравнение $\log_2^2(x+y)+\log_2^2(xy)+1=2\log_2(x+y)$.

13. Доказите формулу Симпсона: пустылощадь сечения тела плоскостью $P_x$, проведенной perpendикулярно координатной оси Ox через точку этой с координатой x, выражается при $x \in [a; b]$ многочленом от x не выше третьей степени (тело заключено между плоскостями $P_a$ и $P_b$); тогда объем тела V можно вычислить по формуле

$$V = \frac{h}{6} (S_a + 4S_{cp} + S_b),$$

где h = b - a, $S_a = S(a)$, $S_b = S(b)$, $S_{cp}$ — площадь «среднего» сечения — сечения плоскости $P_{(a+b)/2}$, соответствующего координатне $x_0 = (a+b)/2$.

14. Дан прямуюольный параллелипед, основание которого — квадрат $ABCD$ со стороны 10, боковое ребро $AA_1$ имеет длину 40. Пусть P — середина AB, Q — середина CD, E — точка, принадлежащая PQ и удаленная от стороны AB на расстояние 1. Найдите длину кратчайшего пути, проходшего по поверхности этого параллелипеда и соединяющего точку E с точкой F, симметричной точке E относительно центра параллелипеда.

15. Решите уравнение $\sqrt{a-x}+\sqrt{b-x} = \sqrt{a+b}-2x$.

Публикацию подготовил В. М. Ивлев

Уголок коллекционера

Нильс Бор и филателя

Существуют десяти матрики и почтовые блоки, посвященные Альберту Эйнштейну. «Филателистическая судьба» другого выдающегося физика XX века — Нильс Бор с Бора сложилась иначе. Единственная марка с портретом Бора вышла на его родине, в Дании, в 1963 году, к патидесятилюно созданной основкой теории строения atomов. На ней изображена также схематическая модель atomа водорода и приведена формула для определения энергии излученных фотонов: $hv=E_2-E_1$.

Мы воспроизводим здесь эту марку.

В. Р.

Задания

1. Переложите две спички так, чтобы равенство, изображенное на рисунке, стало верным.

2. Чему равно выражение Г·Р·У·З·И·Я / Т·Б·И·Л·И·С·И’, если буква соответствует цифры, причем одинаковым буквам — одинаковые цифры, а разным — разные?

3. Оdnажды должныливым осенним вечером я шел на станцию по проеслочной дороге. Грязь, вылетавшая из-под моих ботинок, оседала на обшлагах брюк. Придя на станцию, я обнаружил, что с внутренней стороны брюки стал грязными до колен. Но брызги грязи так высоко не поднимались. Почему же я так испачался?

4. Число 6116 обладает следующим свойством: какую бы пapy его цифр ни взять, последняя цифра их суммы такая же, как последняя цифра суммы двух других цифр. Сколько четырехзначных чисел с таким свойством?

5. Детский кубик я оклеил чистой бумагой, каждую грань разделил на четыре квадратика и в каждый квадратик попытался записать целое число так, чтобы сумма этого числа и четырех чисел в соседних квадратиках равнялась 13 (см. рисунок; соседними считаются квадратики, имеющие общую сторону). Однако у меня ничего не получилось. Можно быть, вам удаться? Или же это сделать невозможно?

Эти задания нам предложили: Сережа Алтун-джи, ученик 7 класса, Л. А. Штейнгари, А. П. Савин, М. И. Музафаров, В. В. Произвольов.

27

Тренице: вредное, полезное, интересное…
А. В. СЕМЁНОВ

Приходилось вам каталог на санках своего приятель? Конечно — да. И, конечно, вы замечали, что по льдукатить санк одно удовольствие, по снегу — потребнее, а если попадетсяголый, без снега, асфальт, то тащитьсанк ох как тяжело. А почему?Наверное, каждый ответит сразу: придвижении по асфальту трене больше. И будет прав. Но давайте разберемсяс тренем чуть подробнее.

Как вы думаете, если творые соприкасаоцесса поверхности неподвижны — может ли быть между нимитрене? Как следует подумайте, обратитесь к своему повседневномуопыту…

Конечно, может. Если бы не силатреня, мы не смогли бы стоять дажена слегка пологой горке; никакое тело не смогло бы удержаться на наклонной плоскости — в результате действия сили тяжестии оно съезжало бы. Именно трене мешает нам, когдамы пытаемся подвинуть какой-нибудьпредмет. Такое трене называюттренем покоя, в отличие от треняскольжения, возникающего придвижении поверхностей друг относительно друга.

Итак, когда тело, скажем ящик,стоит на полу, а мы пытаемся егосвиднуть, мы предолеваем силитреня покоя. Когда нам это удалосьи ящик поехал по полу, действуетсила треня скольжения.

Между тренем покоя и тренемскольжения есть существенное разлице. Сила треня покоя зависит от того, с какой силой мы действуемна тело, пытаясь свиднуть его с места. Мы прикладываем маленькую сили — и сила треня покоя маленькая, какраз такая, чтобы уравновесить приложению сили. Мы увеличиваемусиление — и сила треня покоя растет. Но вот при каком-то усилиномудалось свиднуть ящик, он заскользилпо полу. При этом сила треня скольжения остается практическим постоянной и равной максимальной силе треня покоя. При каком уже усилиномудалось свиднуть тело? Иными словами, какова наиболее силатреня покоя? От чего она зависит?

Над этими вопросами (и вообще над тем, что такое трене) ученыдумали уже много веков назад. Размышления о силе треня встречаютсясреди записей Леонардо да Винчи. Но строие ответы, в форме законов, были сформированы в 1699 годуфранцузским физиком Амонтоном.Через сто лет после Амонтона законытреня были переоткрыты Кулоном, и теперь их чаще всего называютзаконами Амонтона — Кулона.

Основной из этих законов можносформировать так: максимальнаясила треня покоя ($f_{\max}$) междуповерхностями двух тел прямого пропорциональна величины сили ($N$), с которой тела прижаты друг к другу:

$$f_{\max} = \mu N.$$

Для ящика, стоящего на полу, сила$N$ равна силе тяжестии, на наклоннойплоскости прижмашшая сила станетменьше, соответственно меньшей будет и силе треня. Козффициентпропорциональности $\mu$ зависит от материалов, из которых сделаны срикасаоцесса поверхности, и от того, как они обработаны. Как это ни удивительно, сила треня не зависит отплощади поверхности срикасаоцесса треня.

Говоря о трении, мы все времяподаzymеали «вредность» его действия: из-за треня противятсяподышы, «льесейот» автоматильныешины, снашиваются детали машин. С этим вредным тренем борются,страяются его уменшить. Но трене — бувально ведедесуше, былаетон и полезно.

Прежде всего, именно благодаря силе треня мы с вами можем ходитьпо земле. Припомните: как труднобывает в головед ходить по улице. Все это происходит из-за того, чтоуменьшается силе треня при движении: по льду она меньше, чем поасфальту. И только благодаря треню

28

Когда тело находится на горизонтальной поверхности, сила, прижимающая его к этой поверхности, равна сце тягесте. Если поверхности не горизонтальная, а составляет какой-то угол с сце тягесте, то прижимающая сила тем меньше, чем больше этот угол ($a_2 > a_1$, и $N_2 < N_1$). И соответственно, чем более крупная наклонная плоскость, тем меньше сце тягения скольжения ($F_{τp_2} < F_{τp_1}$).

Шкаф не сдвигается с места до тех пор, пока прикладываемая к нему «движущая» сила не станет равной μN. А до этого момента сце тягия покоя всякий раз уравновешивает «движущую» сце, и шкаф остается неподвижным.

можем мы подняться по лестнице так, чтобы ноги не скользили по ступенкам, а руки по перилам.

На рисунке на странице 26 художник попытался показать, что случится, если внезапно исчезнет сила трения. Но не все последствия этого поистине катстрофического исчезновения ему удалось предвидеть. Подумайте сами, чего художник не предусмотрел.

Нет сомнений, что перед нами безумная теория, но весь вопрос в том, достаточно ли она безумна, чтобы оказаться еще и верной!

Н. Бор

…чизвизация стоит перед наиболее сервисной пробелой, требующей обеспечения увеличиврования относительной между народами, чтобы бесплатно опасности бы ли устранены, а наровы мира мощны бы совместными условиями повышать благосостояние людей на основе достижения научного прогресса.

Н. Бор

29

Задчи

M946—М950; Ф958—Ф962
M946. Две параболи расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболи пересекаются в четырех точках. Доказите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.
Л. П. Купцов

M947. На доске в строку написаны числа
$$1\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{10}\frac{1}{11}\frac{1}{12}.$$
a) Доказите, что как мы ни расставили знаки «+» и «-» между этими числами, полученная сумма не будет равна нулю.
b) Какое наименьшее количество написанных чисел необходимостерить с доски для того, чтобы после некоторых расстановки «+» и «-» между оставшимся числами получалась сумма, равная нулю?

M948. Правильный треугольник ABC полностью покрыт пятью меньшими равными треугольниками*). Доказите, что треугольник ABC можно полностью покрыть четырьмя таким треугольниками (эти треугольники разрешаются передвигать).
В. В. Произвольов

M949. Данны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, …, 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять группы так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были одинаковы во всех пятей группах?
E. П. Ерошенков

M950. Двадцать пять коротышек делят садовые участки в Цветочном горode. Каждый участок представляет собой квадрат $1 \times 1$ и все участки вместе составляют квадрат $5 \times 5$. Каждый коротышка находится в ссоре не более, чем с треями коротышками. Доказите, что можно распределить участки таким образом, чтобы участки двух посорившихся коротышек не были бы соседними. (Соседними называются участки, имеющие общую сторону.)
С. В. Конгаzin

Ф958. Космическая станция массой M и составковый с ней спутник массой m движутся вокруг

*) В данной задаче треугольник расматривается вместе с его внутренней области.

30

Земли по круговой орбите, радиус которого равен 1,25R, где R — радиус Земли. В некоторых моментспутник катапультируется со станции в направлении ее движения и переходит на эллиптическую орбиту с апогем, удаленным от центра Земли на расстояние 10R. При каком отношении m/M спутник встретится со станцией, совершив один оборот вокруг Земли?

А. А. Бирюков, В. В. Данилюк

Ф959. При относительной влажности воздуха r₁=50 % вода, напитая в блюдце, испарилась на открытом воздухе за время t₁=40 мин. За какое время испарилась бы вода при r₂=80 %?

Ф960. Для того чтобы получить две совершенное одинаковые катушки, их наматывают на немагнитный сердечник одновременно, используя сложенные вместе провода (рис. 1). Одну из катушек подключают через ключ K к батарейке B с напряжением U₀, вторую — к резистору R. Ключ замыкают. Расчитайте мощность тока на резисторе. Нарисуйте график зависимости силы тока через батарейку от времени.

Через время t ключ размыкают. Какое количество теплоты выделится в резисторе, начиная с этого момента?

Индuctивность каждой из катушки L. Батарейку считать идеальной. Сопротивлением проводов пренебречь.

Ф961. Для поддержания постоянной температуры воды в проточном аквариуме пользовается двумя одинаковыми нагревателями (рис. 2). В обычном режиме использует один из них, а если подключают паралельно второй нагреватель, то расход холодной воды приходится увеличить в 3 раза. Как нужно изменить расход холодной воды, если нагреватели включаны в себя последовательно? Каким должен быть расход холодной воды, если включена одна спираль мощностью P=100 Вт? Температура холодной воды t₁=10 °C, температура воды в аквариуме t₂=27 °C. Вода быстро перемешивается.

А. Р. Зильберман

Ф962. Точчные источники, расположенные на главной оптической оси линзы, образуют равномерно светащущая нить (проходящую через фокус линзы). Найти закон изменения E(x) освещенности в точках, лежащих на той же оси по другую сторону линзы на больших от нее расстояниях x (x≫F, где F — фокусное расстояние линзы).

М. А. Воронцов, В. Е. Кунццын

SKOPОСТЬ

калейское

вороси и зовни

1. График изображает зависимость от времени скорости двух примолинейно движущих пихся тел на протяжении одного и того же промежутка времени. Какое из тел имелло за этот промежуток большую среднюю скорость?

… если бы камень, выпущенный с вершины мачты пылицезо с большой скоростью корабля, уплал в точности в то же самое место, куда он падает, когда корабль сстит неподелимно, то какую службу сослужил бы этот опыт с падением для решения вопроса, стоит ли судно неподаджно или же пылете?»
Г. Галлией

«Диалог о двух главнейших системах мира»

2. Лодку подтягивает за веревку к берегу. Определить скорость движения людей в момент, когда угол наклона веревки a, скорость ее вытягиная — v_B.

3. На рисунке изображено расположение точки, участ-вуших в поперечном волно-момент времени (v — вектор скорости волны). Каковы направления векторов минуенных скоростей точки a, b, c и d в этот момент времени?

34

in sequence? How much water must be used when one heater of power $P=100$ Wt is working? The temperature of the water source is $t_1=10^\circ\text{C}$, the aquarium water temperature is $27^\circ\text{C}$, its water mixes very rapidly.

A. R. Zilberman

P962. Point sources, located on the principal optical axis of a lens, constitute a uniformly lighted string (passing through the lens’ focus). Find the rule $E(x)$ expressing the luminosity at points of the optical axis on the opposite side of the lens, when the distance $x$ from the lens is large ($x \gg F$, where $F$ is the lens’ focal distance).

M. A. Vorontsov, V. E. Kunitsin

Решения задач

M926 — М930; Ф938 — Ф942

Условие задачи удобно представить геометрическим. Отметим на координатной плоскости $Oxy$ точки $A(x; y)$ и $B(u; v)$. Угол $AOB$ прямоий, так как $OA \cdot OB = xu + yv = 0$. Кроме того, $OA^2 = x^2 + y^2 = 1$ и $OB^2 = 1$, поэтому точка $B$ получается из точки $A$ поворотом вокруг $O$ на $\pm 90^\circ$ (см. рисунок) и $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором $OA$ и осью $Ox$, а значит, $u = \cos (\alpha \pm 90^\circ) = \pm \sin \alpha = \mp y$, $v = \sin (\alpha \pm 90^\circ) = \pm \cos \alpha = \pm x$. Следовательно,

$$x^2 + u^2 = x^2 + y^2 = 1,$$
$$y^2 + v^2 = y^2 + x^2 = 1,$$
$$xy + uv = xy - xy = 0.$$

Приведем еще одно, чисто алгебраическое, решение. В то же действие

$$(x^2 + y^2 - 1)^2 + (u^2 + v^2 - 1)^2 + 2(xu + yv)^2 = x^4 + y^4 + u^4 + v^4 + 2 - 2(x^2 + y^2 + u^2 + v^2) + 2(x^2y^2 + u^2v^2 + x^2u^2 + y^2v^2) + 4xuyv = (x^2 + u^2 - 1)^2 + (y^2 + v^2 - 1)^2 + 2(xy + uv)^2$$

левая часть, по условию, равна нулю; следовательно, равна нулю и правая часть, то есть справедливый три доказываемых равенства.

Попробуйте обобщить нашу задачу на трехмерный случай — доказать, что если три вектора длины 1 в пространстве с координатами $(x_1; x_2; x_3)$, $(y_1; y_2; y_3)$, $(z_1; z_2; z_3)$ попарно перpendicularны, то векторы $(x_1; y_1; z_1)$, $(x_2; y_2; z_2)$ и $(x_3; y_3; z_3)$ тоже имеют длину 1 и попарно перpendicularны.

С. В. Дужин

a) Докажем, что через конечное число операций «типа a» — замены пересекающих отрезков $AC$ и $BD$ на непересекающих $AB$ и $CD$ — мы придем к конфигурации, в котором уже не будет пересекающих отрезков.

Рассмотрим сумму $s$ длины отрезков конфигурации. При каждой операции типа $a$ она уменьшается:

$$AB + CD < AC + BD$$

(для трехгольников $APB$ и $CPD$, где $P$ — точка пересечения $AC$ и $BD$ — рис. 1, выполнен неравенства $AB < AP + PB$ и $CD < CP + PD$; сложив их, получим (*)).

С другой стороны, величины $s$ может принимать лишь конечное число значений, по-

35

скольку существует лишь конечное число различных конфигураций из отрезков с вершинами в данных точках. Поэтому конечное число шагов мы приедем к конфигурации, с которой уже нельзя проделать операцию, уменьшающего s.

Это решение дает очень глубую верхнюю оценку для максимального количества $T_n$ операций, которое может быть проделано с конфигурацией на $n$ точках — можно сказать лишь, что оно меньше числа всех конфигураций, то есть $2^{n(n-1)^2}$ ($n(n-1)/2$ — это число различных отрезков с концами в данных $n$ точках).

Приведем идею другого решения, дающего значительное лучшеую оценку. Расмотрим произвольное разбиение $f$ данных точек на два неупустых множества, каждое из которых лежит целиком по одному сторону от некоторой прямой $l$. Таким прямых для данного разбиения, конечное, бесконечно много, но одну из них всегда можно получить, повернуть по часовой стрелке прямую, соединяющую две качёные точки $A$ и $B$ на очень маленький угол вокруг середины отрезка $AB$ (рис. 2); эту прямую обозначим $l_f$. Число прямых $l_f$, а значит и число расстояний «выпуклы» разбиений не превыходит числа пар точек $n(n-1)/2$.

Назовем балансом конфигурации суммарное число $b$ пересечений ее отрезков со всеми прямыми $l_f$; ясно, что $0 \leq b \leq (n(n-1)/2)^2$. При операции типа $a$ число пересечений любой прямой $l_f$ с отрезками конфигурации не увеличивается, а по крайней мере для одной прямой оно уменьшается на 2. Следовательно, $T_n \leq n^2(n-1)^2/8$. Интересно было бы получить еще более точную оценку для $T_n$.

6. Приведем пример, показывающий, что для операции «типа $\delta$» — замены пересекающих отрезков $AC$ и $BD$ на имеющие общий конец $AB$ и $BC$ — процесс может «зациклиться» и тем самым продолжается неограниченно. Расположим 18 точек в вершинах правильно 18-угольника и обозначим через $D(k,l)$ конфигурацию из 36 отрезков, в которой каждая из 18 точек соединена с $k$-й и $l$-й от нее по счету.

Чтобы пройти за 54 операции путь $D(4,8) \rightarrow D(5,9) \rightarrow D(6,7) \rightarrow D(4,8)$ (рис. 3), достаточно каждого из операций, изображенных на рисунке 4, проделать по 18 раз (поворачивая картину каждой раз на $20^\circ$).

По-видимому, существуют и примеры с существенно меньшим числом точек $n$ и длиной цикла $T$, чем $n=18$ и $T=54$.

Н. Б. Васильев, В. Е. Колосов

36

М928. В кинотетре $N+1$ место. Вначале $N$ человек, имеющие билеты с указанием места (в их числе и Игорь) сели на произвольные $N$ мест, неелядя на своих билеты. Пришедший последним $(N+1)$-й зритель хочеет занять свое место; если оно занято — с одной стороны там, тот поступает так же и так далее, пока нужное сознанием место не оказывается свободным. Какова вероятность того, что Игорю придется пересесть? (Другими словами, какую долю сред всех возможных размешений зрителей составляют невьюдные для Игоря?)

Ответ: 1/2. Докажем, что выгодных для Игоря размешений столько же, сколько невьюдных, установлен взаимноозначное соответствие между теми и другими.

Пусть при некоторых исходном размешении $P$ $N$ зрителей на $N+1$ местах Игорь пересеел на свободное место. тогда получится новое размешение $P'$. Таким образом, все возможные размешения разбиаются на пары $(P, P')$ и достаточно показать, что в каждой паре одно размешение — выгодное для Игоря (его не стоит), а другой — невьюдное.

Если $P$ — выгодное размешение, то последний зритель, участующий в пересадках (то есть имеющий билет на свободное место), при размешении $P'$ стоит Игоря. Значит, $P'$ — невьюдное размешение. Если же $P$ — невьюдное размешение, то зритело, который стоит Игоря, при размешении $P'$ стоит будет некого, поэтому на нем пересадки закончатся, то есть $P'$ — выгодное для Игоря размешение.

И. В. Алексеев-Астафев

М929. Нагуральные числа $a, b, c, d$, е удовлетворяют условию $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4$. Докажите, что по крайней мере $a$ три из них четны, $b$ три делятся на 5, $b$ два делятся на 10.

Малая теорема Ферма
Для любого целого числа $n$ и простого числа $p$ число $n^p - n$ делится на $p$.

ОТВЕТ: 1/2. Докажем, что выгодных для Игоря размешений столько же, сколько невьюдных, установлен взаимноозначное соответствие между теми и другими.

Пусть при некоторых исходном размешении $P$ $N$ зрителей на $N+1$ местах Игорь пересеел на свободное место. тогда получится новое размешение $P'$. Таким образом, все возможные размешения разбиаются на пары $(P, P')$ и достаточно показать, что в каждой паре одно размешение — выгодное для Игоря (его не стоит), а другой — невьюдное.

Если $P$ — выгодное размешение, то последний зритель, участующий в пересадках (то есть имеющий билет на свободное место), при размешении $P'$ стоит будет некого, поэтому на нем пересадки закончатся, то есть $P'$ — выгодное для Игоря размешение.

И. В. Алексеев-Астафев

a) Заметим, что число $n^4$ при четном $n$ делится на 16, а при нечетном $n$ дает при делении на 16 остаток 1. (Действительно, при $n=2k+1$
$n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)=$
$=8k(k+1)(2k^2+2k+1)$,
а $k(k+1)$ всегда делится на 2.)
Следовательно, остаток от деления $a^4+b^4+c^4+d^4+e^4$ на 16 равен количеству нечетных чисел среди $a, b, c, d$. А поскольку он должен совпадать с аналогичным остатком для $e^4$, мы получаем, что условие задачи может выполнять, только если все цейел четыны, или если число $e$ ировно одно из остальных чисел нечетны. Тем самым доказано и утверждение a).

6. Для остатка от деления числа $n^4$ на 5 справедливо утверждение, аналогичное доказанному в пункте a): этот остаток равен 0 или 1 в зависимости от того, делится $n$ на 5 или нет. (Действительно, если $n=5k±1$, то $n^2-1=5k(5k±2)$ делится на 5; если $n=5k±2$, то $n^2+1=5k(5k±4)+5$ делится на 5. Поэтому $n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)$ всегда делится на 5, если $n$ не кратно 5. Это утверждение есть частный случай называемой малой теоремы Ферма, формулировка которой приводится на полях.)

Теперь точно так же, как в решении пункта a), доказывает, что либо все числа $a, b, c, d, e$ делятся на 5, либо число $e$ ировно одно из остальных чисел не делятся на 5, откуда следует 6).
в) Рассмотрим три случая.

1. Число $e$ четно. Из решения задачи a) следует, что все остальные числа тоже четны, а из решения задачи 6) — что по крайней мере три из них делятся на 5, а значит, и на 10.

2. Число $e$ делится на 5. Этот случай рассматривается так же, как предыдущий: все

38

ля $f_0 = e_1 - e_0$ и $f_1 = e_2 - e_0$ из множества $F$, разность $f_1 - f_0 = e_2 - e_1$ которых тоже должна принадлежать множеству $F$, что противоречит нашему предположению.

Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

Рассуждая так же, как в приведенном решении, нетрудно показать, что утверждение задачи выполняется для любого разбиения первых $N$ чисел $1, 2, ..., N$ на $k$ множества при

$$N = N_k = k! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{k!} \right)$$

($n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$). Значения $N_k$ для $k = 1, ..., 6$ вычислены на полях. Очевидно, что и для любого $N \geqslant N_k$ утверждение задачи будет верно для $k$ множества; в нашем случае $1985 > 1957 = N_6$. Отметим, что сумма в скобках в правой части (3) при $k \to \infty$ очень быстро скодится к основанию натуральных логарифмов — числу $e = 2,718$… Может проверить, что $N_k = [k! e]$, однако эта красивая формула, к сожалению, не дает наименьшее подходящего значения $N$ для данного $k$; например, для $k = 3$ наименьшее значение равно 14, а не 16. Здесь возможно интересная, но, видимо, трудная задача оценки этого наименьшего значения сизу. Верно ли, например, что оно всегда больше $ck!$, где $c$ — некоторая постоянная? Лучшей известной пока оценкой остается $(3^k - 1)/2$ А. Ходлева (см. решение задачи М540, «Квант» № 12, 1979, с. 23).

А. Д. Валцев, В. Н. Дубровский

Ф938. Пилот космического корабля, движущшегося со скоростью $v = 1$ km/c, затем при по курсу астрофуд диаметром $d = 7$ km, когда до его поверхности оставалось расстояние $l = 8,5$ km. Космонавт сразу же включил аварийные двигатели, которые за пребежимое малое время сообщают кораблю дополнительную скорость $\Delta v = 300$ м/c, направление которого задается космонавтом. Можно ли корабль избежать столковения?

♦

Чтобы избежать столковения, космонавт должен также изменить скорость корабля, чтобы угол между первоначальным направлением «на астерид» и новым курсом был больше угла $\alpha_0$, определяемого условиями (рис. 1)

$$\sin \alpha_0 = \frac{d/2}{l + d/2} = \frac{d}{2l + d} \approx 0,292.$$

Максимальное отклонение от первогоначального курса при сообщении кораблю дополнительной скорости $\Delta v$ обеспечивается в том случае, когда вектор $\vec{\Delta v}$ оказывается перpendикулярным вектору $\vec{v}_1 = \vec{v} + \vec{\Delta v}$ (рис. 2), то есть когда

Рис. 1.

Рис. 2.

$$\sin \alpha = \frac{\Delta v}{v} = 0,3.$$

Значит, при включении аварийных двигатели космонавт может изменить курс корабля на угол $\alpha > \alpha_0$, и столковения с астеридом не произойдет.

А. В. Андрианов

Ф939. Дно соуда наклонено под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту. В дне имеется полусферическая выпуклость радиусом $R$

♦

Рассмотрим тело, имеющее форму половины шара радиуса $R$. Предположим, что оно находится Q и ориентировано в про-

39

(рисунок 1). Высота столька жидкости над выпуклостью равна Н. Какая вертикальная сила действует со стороны жидкости на выпуклый участок дна? Плотность жидкости равна q.

Рис. 1.

Рис. 2.

странские точки так же, как и выпуклость в дне данного сосуда.

Согласно закону Архимеда, на это тело действует выпталкивающая сила $\vec{F}$, направленная вертикально вверх и равная по modulo

$$F = \varrho g V = \varrho g \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \varrho g \pi R^3.$$

С другой стороны, силиу $\vec{F}$ можно представить как равнодействующую двух сил давления со стороны жидкости: силии $\vec{F}_1$, действующей на «основание» половины шара, и силии $\vec{F}_2$, действующей на его боковую поверхность (на рисунке 2 показаны два возможных сличая):

$$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2.$$

Нас интересует проекция силии $\vec{F}_2$ на вертикальную ось (обозначим ее через X и направим вверх):

$$F_{2x} = F - F_{1x} \quad (\text{для одного сличая})$$

или

$$F_{2x} = F_{1x} - F \quad (\text{для другого сличая}).$$

Для нахождения модуля и проекции силии $\vec{F}_1$ заметим, что давление линейно возрастает с глубиной и поэтому можно воспользоваться его средним значением:

$$F_1 = p_{cp} S = \varrho g (H + R) \pi R^2,$$
$$F_{1x} = \varrho g (H + R) \pi R^2 \cos \alpha.$$

Тогда для исключения получим

$$F_{2x} = F - F_{1x} = \frac{2}{3} \varrho g \pi R^3 - \varrho g (H + R) \pi R^2 \cos \alpha$$

или

$$F_{2x} = F_{1x} - F = \varrho g (H + R) \pi R^2 \cos \alpha - \frac{2}{3} \varrho g \pi R^3.$$

При угле $\alpha = 45^\circ$ первый сличай оказывается невозможным: $2/3 < \cos \alpha = \sqrt{2}/2$, поэтому $F_{2x} < 0$, чего в данной ситуации быть не может. Таким образом, остается второй сличай:

$$F_{2x} = \varrho g \pi R^2 \left( (H + R) \cos \alpha - \frac{2}{3} R \right).$$

Л. Г. Маркович

Ф940. Почему прикладке кирпичных печей для скренления кирпичей используется глиной растор, а не, например, цементный (хотя он более твердый)?

В печи возможны большие и неравномерные по времени и по объему перепада температуры. Если кирпичи и растор сделаны из разных материалов (то есть из материалов с разными коэффициентами теплового расширения), то при изменении температуры (охлаждение, нагрева) они будут по-разному менять в объеме (расширяться, скиматться). Это приведет к возникновению больших внутренних напряжений в местах контактов кирпич — растор; в результате печь растрескается.

В. А. Ильин

Ф941. В магнитном поле постоянного прямолинейного тока находим квадратная рамка ABCD (см.

40

рисунок). Рамку переводят в новое положение, показанное на рисунке пунктиром. Это можно сделать двумя способами: равномерным поворотом вокруг стороны CD или равномерным параллельным переносом вдоль AD. При каком способе выделится больше теплла, если время перевода рамки в новое положение в общих случаях одинаковое?

Ф942. Плокая световая волна падает нормально на экран Э. Как изменится освещенность экрана в точке M (см. рисунок), если на пути волны помещить полубесоничную непрозрачную пластину П, параллельную экрану?

Волновая поверхность плоской волны — плоскость, перpendикулярная направление распространения волны. На пластину П свет падает нормально, поэтому плоскость, в которой помещают пластину, является одной из волновых поверхностей, и ее можно рассматривать как совокупность одинаковых вторичных источников, колблющихся в фазе. Результатрушое колбание в точке M на экране представляется собой суперпозицию колбаний, приходящих от этих источников.

При внесении пластины закроется половина вторичных источников. Поэтому амплитуда результирующего колбания в точке M уменьшится в 2 раза. Освещенность экрана в точке M пропорциональная квадрату этой амплитуды. Следовательно, при внесении пластины освещность уменьшится в 4 раза.

Д. А. Купцов

Это было так, точно изnod носила земля и ниде не было видно твердой почвы, на которой можно было бы стройти. Мне всегда казалось удобом, что этой колблющейся и полной противорецей основы оказалось достаточно, чтобы позвольть Бору — человеку с генциальной интушцией и тонким чутем — найти главнейшие законы спектральных линей и электронных оболочек atomов, включая их значение для химии. Это качество мне удалось и теперь. Это называшая музыкальность в области мысли.

А. Эйнштейн

Во всей мировой науки в нашей дини не было человека с таким влиянием на естественное, как Бор. Из всех теоретических троя Бора была самой значительной.

П. Капица

Я приехал в СССР, чтобы встретиться со старыми друзьями и найти новых, потому что содержатель учены разных стран помогает не только развитию науки, но и делу мира.

Н. Бор

Я до сих пор изучлась, когда смотрю на ядерный реактор.

Н. Бор

Если я что-нибудь неhmожко умело, то разве что думать… Н. Бор

Квантовая теория волше не bleibt меня к своим проблемам. Ныне первоотененная проблема — найти путь к предотвращению ядерной волны!

Н. Бор

41

Мы продолжаем публикацию стереометрических задач с чертежами, начату во 2-м номере «Кванта» за этот год (см. также обложки 3, 5 и 6 номеров). Ниже приводятся условия двух задач; первая из них представляет на примены экзаменах в Московский физик-технический институт в 1984 году. Вторая задача интересна тем, что рассматривается в ней конфигурацию не очень-то легкого себе представить. Чтобыdatь читателемвозможность поразмыслить над ней самостояльно, чертеж к ней мы помещим на обложке одного из следующих номеров.

Задача 1. В основании примиды SABCD лежит прямогольник ABCD, в котором $|AC|=2|AB$. Высота примиды проходит через точку пересечения диагональной прямогольника. Сфера касается плоскости ABCD и всех боковых ребер примиды. Начины объем примиды, если радиус сферы равен $R$, а угол SDC равен $\alpha$.

Плоскость проходит через точку $S$, касается указаанной сферы и пересекает прямые

BD и AC соответственно в точках $P$ и $Q$ ($|DP| > |BP|$, $|AQ| > |CQ|$). Найти отношение $|BP|:|BD|$, если:
a) $|BP| = |CQ|$,
b) $|CQ| = 3|AC|$.

Задача 2. Имеется шесть предметов, два одинаковых шара радиуса $R_1$ еще два одинаковых шара радиуса $R_2$, очень длинный цилиндр с радиусом основания $r$ и плоскость. Они расположены в пространстве так, что каждый из них касается пятим остальных (цилиндр — своев боковой поверхности). Выразить $R_1$ и $R_2$ через $r$.

Кроссворд

По горизонтали: 7. Советский ученый-физик, удостовенный Нобелевской премии. 8. Прибор для измерения атмосферного давления. 10. Буква греческого алфавита. 11. Физическая величины. 13. Продукт механического соединения каких-либо веществ. 17. Прибор для измерения на сферах. 18. Звезда, красный гигант. 19. Прибор для регулирования силы тока в цепи. 21. Советский космонавт. 23. Найменшая порция электромагнитной энергии. 24. Процесс распространения колебаний в пространстве. 26. Приставка для обработания наименованной долных единиц. 28. Одана из декартовых координат точки. 29. Утверждение, принимаемое без доказательства, в рамках какой-либо научной теории.

По вертикали: 1. Трехлектrodная электронная лампа. 2. Тригонометрическая функиция. 3. Проэрачная, беспроводная жидкость. 4. Один из элементов трансистора. 5. Вещесто, состоящее из макромолекул. 6. Сплав железа с углеродом. 9. Генциальный англійский физик. 12. Первый русский академик. 14. Единица измерения телеского угла. 15. Металл, имеющий наименование содержимое сопротивления. 16. Прибор для преоб

разования электрических колебаний в звуковые. 20. Неправильность в действиях, мыслях. 21. Тригонометрическая функиция. 22. Прибор для измерения силы тока, напряжения и сопротивления. 23. Минерал, природный кремнеzem. 25. Самый твердый минерал. 26. Единица измерения длины. 27. Газ, преодохраняющий живые организмы на Земле от вредного влияния солнечной радиации.

Составил Г. Н. Плотников

42

Алгоритмический язык

Академик А. П. ЕРШОВ

В этой статье продляется разговор об основных понятиях информационных науках автором в предыдущем номере «Кванта».
Как и прежде, следует обращать внимание на слова, набранные курсивом — это термины из информационных. А вот короткие слова, напечатанные жирным цифром, — это службные слова, они появляются только в программах, выполяя в них определенные функции, в которых вам следует разобраться.

В прошлом стать мы рассмотрели несколько примеров алгоритмов. Теперь же наша цель — научиться записывать алгоритмы «по всем правилам науки». Но прежде чем разбирать правильа отдачи приказа, следует понять, на что способен использовать приказов. Мы начнем поэтому с ответа на следующий вопрос:

Что должен иметь исполнитель?

1°. Считать. Исполнитель должен не только быстро и безшибочно произвольить все четыре арифметических действия, но и понять порядок их выполнения, «понить скобки», а также находить численные значения переменных величины. Например, хорошо использовать почти сразу сообщает, что при $x=0,17$ и $y=1,32$ выражение $(x^2+3x)(y^3+5xy)/\sqrt{x^2+xy}$ равно 3,66409 … и даже быстро укажет, что $\cos 0,29^\circ=0,99998719$ … или $\sin(x^2+x)=0,003471$ … при $x=0,17^\circ$. НеSTRAWSЫЕ ЕМУ НИ БОЛЬШЕ ЧИСЛА, НИ БОЛЬШЕ ОБЪЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

2°. Запомнить. Исполнитель имеет заносить сообщаемые ему данные в определенные (известные ему) места своей памяти. Данные могут быть как числовыми, так и текстовыми (литерными) величины. В частности, он может заносить какую-нибудь команду или серийного команд. При необходимости исполнитель может уничтожить эти данные, заменить или изменить их. В частности, переменные числовые величины могут подвергаться многоократным изменением в процессе исполнитель алгоритма.

3°. Выбрать. Исполнитель должен иметь принимать решение о своих дальнейших действиях в зависимости от обстановки. Именно, он проверяет, выполнен ли некоторое сообщаемое ему условие, и если оно выполено, он использует одну серийную команду. Такой выбор между двумя сериями команда программы называют условия командой или ветвлением. Разумеется, исполнитель должен знать еще его проверить.

43

4°. Повторять. Исполнитель повторяет (быстро и, быть может, многократно) одну и ту же серию команд (цикл), пока выполнен определенное условие (условие цикла). Это условие он должен проверить перед каждым выполненем серии, а обнаружив, что оно нарушается, он должен перейти к следующей за циклом команд. Хороший исполнитель — например современный компьютер — сilen именно уменем с колосальной скоростью таким образом работать в цикле.

5°. Вспоминать. Среди текстов, записанных в память исполнитель, могут быть разные данные (числовые, литераные), которые он должен умет при необходимости вспомнить. В частности, в память могут быть запесены вспомогательные алгоритмы. Хороший исполнитель вспоминает (и выполняет) их по одному уполнинию их назначения (имени), не требуя повторения всех команд вспомогательного алгоритма. Такой пример программы называют вызовом подпрограммы.

6°. Печать. Исполнитель печатает (например, карандашом на бумаге, на печатающем устройстве или на экране дисплея) решение задачи (ответ), то есть результаты выполнения программы, построено образовательнее в нужных местах его памяти в процессе работы. (В прочеем, при работе в диалоговом режиме с заказчиком компьютер-исполнитель пользовается печать на дисплее не только в конце работы, но и в процессе работы для того, чтобы задавать вопросы.)

Примеры записи алгоритмов

Ниже приведятся примеры записи алгоритмов. Эти примеры выполняны в соответствии с правилами алгоритмического языка, принято в вашем учебнике. Мы предлагаем внимательно прочитать их и разобрать, как они работают, то есть сыграть роль исполнитель алгоритма (для предложенных исходных данных — значений аргументов). Если это сразу не получится, стоит еще раз просмотреть §§ 2—4 вашего учебника, прочитать общие посянения, приведенные ниже, и затем вернуть к исполнению алгоритмов. Большое подробное комментарий приводится в конце статьи. Прочитав их, вы проверите, правильно ли вы исполнили данные алгоритмы, и будет готовы само «стоятьно писать простые программы на алгоритмическом языке.

В частности, вы сможете записать алгоритмы, решающие задачи из предыдущей статьи этого раздела («Квант» № 9) на алгоритмическом языке. В таком виде участвий (задачи про роботы) проводятся на следующей странице, остальные появятся в одном из ближайших номеров «Кванта».

45

Общепояснения

Все приведенные записи алгоритмов начинаются с заполовка (выделенного синим цветом). Заголовок начинается с названия или имены алгоритма (он напечатано заглавными буквами после службыного слова алгоритм)) и списка параметров (список переменных величины стоит в скобках после названия алгоритма). Далее (после слов аргументов) это те параметры, которые в начале нужно ввести в машину — их она заполинает). Завершается заполовок списком результатов (они перечислены после слова рез). Мы будем считать, что машина напечатает их значения, когда алгоритм будет использован.

После заполовка идет тело программы. Она начиная со службыного слова начало, далее идут все команды, которые завершают словом кон(eц).

Обратимся спрва внимание на те команды, в которых машина считает. Здесь имеется как совсем простые вычисления (например прибавленные единицы), так и более сложные (скем (-b+\sqrt{d})/2a). Записьюются эти вычисления самим объчным образом — так, как вас учат на уроках математики. Поэтому этот спектр записи алгоритмов у вас не выовет никаких трудностей. Стоит, однако, обратить внимание на команду присваивания (знаок :=). Запись x:=a означает, что параметру x машина присваивает значение a (здесть a может быть и числом, и текстом, и другим параметром). В этом случае машина заполинает, что x равно a. Если теперь она должна напечать x, то она напечатает не букву x, а число (текст) a.

В теле программы для наглядности мы цветом выделили все ветвления и повторения. Ветвления показаны здесь разделивающимся красными стрелками. Запись ветвления начинается со службыного слова если и кончается службыным словом все. После слова если стоит условия, затем службыное слово то, за ним первый серия команды, затем службыное слово значение, а за ним второй серия команды. Напомним, что при ветвлении машина проверяет условия, далее исполяет либо первый серий команды (если условия выполнен), либо второй (в противном случае). Можно сказать, что машина выбирает нужную ей серийную команд. Исполив ее, машина переходит к следующей команде.

Повторения (или циклы) выделены здесь желтыми кружками. Каждый цикл открывается службыным словом пока и завершается словом кц (конец цикла). После слова пока стоит условия цикла, затем службыное слово (начало цикла), за ним серия команд цикла. Напомним, что при использовании цикла машина сновала проверяет условия; если оно выполнен, машина выполняет серийную команд цикла и вовь проверяет условия; если оно опять выполнен, машина сновала проверяет серию и так далее, пока условия не оказывается нарушенным; тогда она переходит к следующей команде (после слова кц); если условия никакого не нарушится, машина будет «работать вечно», — говорят, что она зациклилась. Чтобы избегать зацикливания, нужно позаботиться о выходе из цикла, то есть добиться нарушения условий цикла.

Вспомогательный алгоритм (подпрограмма) выделяется своим имени, с указанием списка переменных (в скобках); указывает аргумент и результат не следует. Машина исполяет подпрограмму и присваивает переменным из ее списка соответствующие значения. Поэтому важно правильно согласовать имена этих переменных с именами переменных из основной программы.

Когда все команды программы исполены (перед заключительным службыным словом кон), машина печатает подряд полученные значения тех переменных, которые в заполовке стоит после службыного слова рез (те переменные, которые нikакие значения не присваивают). Не печатаются также кавычки, образляющие значения литеральных переменных.

46

II. Полевые трансисторы

Доктор физико-математических наук
М. Е. ЛЕВИНШТЕЙН,
кандидат физико-математических наук
Г. С. СИМИН

Прицели работы полевого трансистора (ПТ) очень прост (рис. 1). На тонкой полеводниковой платинке расположены три электрода. Если приложить напряжение между электродами 1 (истоком) и 2 (стоком), то по пластинке, называемой каналом, потребет ток. Величина протекающего по каналу тока изменяется при приложении к третьему электроду (затвору) управления напряжения.*)

Различные типы полевых трансисторов (а их существует довольно много) отличаются друг от друга принипом работы затвора. Существуют ПТ, в которых роль затвора играет $p$—переход, контакт металл — полеводник, структура металл — диэлектрик — полеводник (МДП-структура) и т. д.

На рисунке 2 показан ПТ, в котором в качестве затвора использовется $p$—переход, смешенный в обратном направлении. Как известно («Физика 9» §79), на границе между электронным ($n$-типа) и дырочным ($p$-типа) полеводниками образуется слой, обедненный свободными носителями тока (запорный слой). Если приложить $p$—переход запирающей напряжение $U_3$: «плос» к $n$-типу и «минус» — к $p$-типу, то ширина этого слоя растет. Поскольку свободных носителей в запорном слое нет, ток через него не протекает. Таким образом, увеличение напряжения на затворе приводит к сухению канала, по которой протекает ток, и при неизменном напряжении сток — исток производства уменшение тока через трансistor. Еще больше напряжение на затворе полностью перекрывает канал, и ток обращается в нуль.

На рисунке 3 изображен другой тип трансистора,резвящаяно широко использованный в современных ЭВМ,особенно в микрокалькуляторах. В качестве затвора в этом ПТ использовется МДП-структура. Металлический затвор отделен от полеводниковой платинны тончайшим (сотые доли микрона) слоем двуокиси кремния SiO$_2$, которая является хорошим диэлектриком. Позотому трансисторы этого типа иногда называются также МОП—ПТ (металл—окисел—полеводник). На пластинке кремния $p$-типа под стоком и источком созданы области $n$-типа (рис. 3, а). Пряжение сток—исток $U_{cn}$, таким образом, прикладывается к двум последовательно соединенным $p$—переходам. Какова бы ни была полярность напряжения $U_{cn}$ в отсутствие напряжения на затворе, один из $p$—переходов всегда оказывается запертым. В таком состоянии сопротивление $p$—перехода очень велико, и ток, протекающий через трансistor, близок к нулю.

*) Поскольку управление сопротивлением канала производится электрическим полем затвора, трансисторы этого типа и называются полевыми.

Минimalная достижная длина канала $L$ определяется совершенством технически. Для полевого трансистора 60-х годов $L \approx 20$ мкм. Для совершеннего сердizioю кремнего МДП- трансистора $L \approx 3$ мкм. В исследовательских laboratorиях получены приборы с $L \lesssim 0,3$ мкм.

Собственное предельное время переключения «3 мкм — трансистора» — $3 \cdot 10^{-11}$ с. Практическая скорость сравнива

47

Тываная современной серийной логической МДП-ячеейки составляет 5·10⁻⁹ с. Рекордно малое время переключения МДП-транзистора, полученное в 1984 году, составляет ~10⁻¹¹ с.

Микрофотографика фрагмента МДП—БИС. Длина канала самых больших элементов ~10 мкм, самых маленьких ~1 мкм.

При громадной плотности упаковки элементов на пластине (~10⁵) и крошечных размерах элементов (≤1 мкм), каждая пыланка, севшая на пластину, приводит к выходу из строя БИС.

В таких костюмах обычно работают хирурги. Но эта деваушка «оперирует» не больше: она проводит операцию по изголовению БИС.

Если же приложить сравнительно небольшой положительный потенциаль к затвору $U_3$, то по другую стороны диэлектрика, в $p$-канале, который как бы служит второй обкладкой конденсатора, научит скаливаться отрицательные заряды. Положительный заряд на затворе индцирует появление в канале электронов, которые пригravываются полем металлического электрода. При некотором напряжении $U_3=U_0$, называемом пороговым напряжением, в узком слое под затвором конденсция индцируваемых полем электронов превысят исходную концентрацию дырок в $p$-канале. Произойдет изменение характеристика проводимости (инверсия). Вместо полупроводника $p$-типа в пределах этого слоя возникнет полупроводник $n$-типа. В результате исчезают $p$—переходы между стоком и источком и образуется сплошной проводящей канал (рис. 3, 6). В таком состоянии сопротивление трансистора мало.

ПТ, у которых в отсутствие управления на затворе канал для того открыт и сопротивление мало, называются нормальное открытым. ПТ, у которых, наоборот, в отсутствие управления канал закрыт, называются нормальное закрытым. МДП—ПТ, прицип работы которого расстоянены выше (рис. 3), относится к нормальном закрытым ПТ.

Для того чтобы схема, содержащая ПТ, имела два легко различных состояния «0» и «1», и таким образом, могла служить элементом логического ячейки, достаточно последовательно с трансистором в цель сток — исток включить сопротивление нагрузки $R_H$ и источник напряжения $\varepsilon$.

Если в такой схеме используется, например, нормальное закрытый ПТ, то в отсутствие напряжения на затворе ($U_3=0$) сопротивление трансистора очень велико и практически все напряжение источника $\varepsilon$ падает на трансисторе. Когда напряжение на затворе превышает пороговое значение $U_0$, сопротивление трансистора мало, и все напряжение падает на сопротивлении $R_H$. Эти два легко различных состояния соответствуют состояниям «0» и «1» в логических схемах на основе МДП-транзисторов. Достаточно небольшего (≈1 В) сигнала на затворе, чтобы перевести трансистор из состояния «0» в состояние «1».

Важнейшим параметром трансистора в качестве элемента логических схем ЭВМ является скорость его переключения из открытого состояния в закрытое и обратное. Эта скорость определяется как свойствами самого прибора, так и схемой, в котором он включает. Самое малое время переключения, которое, в принципе, может быть получено, приближительно равняется времени прохождения носителей т вдоль канала под действием приложенного напряжения $U_{cn}$. При длине канала $L$ и скорости носителей $v$ время пролега т составляет $\tau=L/v$. Скорость дрейфа электронов (или дырок) в электрическом поле, как известно, пропорциональна напряжению поля $E$ ($v=\mu E$). Коэффициент пропорциональности $\mu$, имеющий размерность $m^2/(B \cdot c)$, называется подвижностью. Посокльку напряженной поля в канале $E=U_{cn}/L$, окончательно получаем: $\tau=L^2/\mu U_{cn}$. Таким образом, предельное быстрое решение полевых трансисторов определяется тем, насколько коротким удается сделать канал трансистора, и подвижность носителей в материалов, из которого изготовлен трансистор.

О том, каковы реализые трансисторы, скорости их переключения и плотность упаковки в современных ЭВМ, вы узнаете из соседней колонки.

48

Повторим колебания

А. Р. ЗИЛЬБЕРМАН

Колебания возникают в системе, выведенной из состояния устойчивого равновесия. Во многих практических важных случаях, если возврашающая в положение равновесия сила линейно зависит от смешения, получается гармоничное колебания. Объчно это «мальые» колебания, когда равновесие нарушено незначительно.

Простейший пример — колебания математического матрика при небольших углах отклонениянит от вертикали. Еще пример — колебания груза под действием силы упругости пружины в отсутствие других сил. Он интересен тем, что колебания оказываются гармоничскими, даже если они не малые — лишь бы пружина подчиняясь условияю (закон Гука) $F=-kx$, где $x$ — удлинение пружины (смещение груза из положения равновесия), $k$ — жесткость пружины, $F$ — сила упругости пружины.

Разберем этот пример подробнее. Пусть груз прикреплен к горизонтальной пружине, второй конец которого закреплен, и находится на гладкой горизонтальной поверхности. Уравнение второго закона Ньютона для груза имеет вид

$$mx''=-kx,$$

или

$$x''+\frac{k}{m}x=0$$

(1)

(здесь $m$ — масса груза, $x''$ — его ускорение, точнее — проекция ускорения на горизонтальной ось $X$). Решением такого уравнения является функция

$$x=x_m \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi_0)=$$

$$=x_m \cos(\omega_0 t+\varphi_0),$$

(2)

где $x_m$ — амплитуда, $\omega_0=\sqrt{k/m}$ — собственная частота, $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний. Частота определяется параметрами колеблощей системы $(k$ и $m)$, а амплитуда и начальная фаза зависит от того, как именно система вывели из состояния равновесия, то есть определяются начальные moments времени $t_0=0$:

$$x_0=x(t_0)=x_m \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi_0)=$$

$$=x_m \cos \varphi_0,$$

$$v_0=v(t_0)=x'(t_0)=$$

$$=-x_m \sqrt{\frac{k}{m}} \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t_0+\varphi_0)=$$

$$=-x_m \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \varphi_0.$$

Разделив второе уравнение на первое, найдем $\varphi_0$:

$$tg \varphi_0=-\sqrt{\frac{m}{k}} \frac{v_0}{x_0}, \varphi_0=\arctg\left(-\sqrt{\frac{m}{k}} \frac{v_0}{x_0}\right).$$

Величину $x_m$ проще всего найти, исключая трионометрические функции обчичным методом возвления в квадрат и сложения уравнения:

$$x_0^2+\frac{m}{k}v_0^2=x_m^2, \quad x_m=\sqrt{x_0^2+\frac{m}{k}v_0^2}.$$

Можно задавать координаты $x(t_1)$ и $x(t_2)$ в качестве-то «удобные» moments времени $t_1$ и $t_2$, или скорости $v(t_1)$ и $v(t_2)$ или координату $x(t_1)$ и скорость $v(t_2)$ и т. д. Важно только, чтобы moments времени $t_1$ и $t_2$ не оказались разделенными целым числом полуперiodов.

Таким образом, зная уравнение движения системы (уравнение (2)) и два дополнительных данных, мы полностью опишем движение. То же можно сказать, например, и проравускоренное движение — ускорение определяющего силами, а вместе с начальными координатой и скоростью это позволяет знать о таком движении абсолютино все.

Уравнения, похожие на уравнение (1), получаются во многих задачах на колебания — нужно только правильно выбрать переменную. Проиллюстрируем это, несколько условия задачу про груз наружие.

49

Задание 1. Груз — чашка весов массой $M$ — высит наружные жесткости $k$, а колебания вознкают при надении в чашку грузика массой $m$ (он пролегает до удара путь $h$ и прилиает к чашке). Опишите движение чашки.

Направим ось координат $X$ и выберем начало координат 0 так, как показано на рисунке 1. Учитывая, что вначале чашка была в равновесии, запишем

$$Mg - k(l - l_0) = 0$$

($l$ — длина пружины с подвешенной чашкой, $l_0$ — без нее). При отклонении на $x$ от начального положения, когда грузик уже прилип к чашке, уравнение движения системы будет иметь вид:

$$(M + m)g - k(l - l_0 + x) = (M + m)x''.$$

Раскрывая скобки и учитывая первое уравнение, получим

$$x'' + \frac{k}{M + m}x = \frac{mg}{M + m}.$$

Это уравнение очень похоже на уравнение (1), мешает только права часть — она не равна нулю. Ясно, почему так получилось: мы взяли начало координат не там, где нужно, — ведь положение равновесия у потяжелшей чашки сдинуловось вниз на расстояние $\Delta x = mg/k$. Если мы введем новую переменную

$$x_1 = x - \Delta x = x - \frac{mg}{k},$$

то уравнение для $x_1$ будет практически таким, как (1):

$$x_1'' + \frac{k}{M + m}x_1 = 0$$

(напомним, что при такой замене переменной произвольные от $x_1$ также же, как от $x$).

Мы не станем здесь решать задачу

Рис. 1.

Рис. 2.

до конца, главное мы сделали — получили уравнение колебаний. Из него сразу надем частоту колебаний:

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M + m}}.$$

Для полного описания движения системы нужно вначале решить задачу о неупругом ударе груза о чашку, а затем найти амплитуду и начальное фазу колебаний. Проделяйте это сами (ответ приведен в конце номера на c. 59).

Частоту гармоничских колебаний системы можно находить и из энергетических сообщений. Покажем это на примере идеального колебательного контура (без потерь).

Обозначим максимальный загрудинатора (амплитуду колебаний загруда) через $q_m$, а максимальный ток через катушку (амплитуду колебаний тока) — $I_m$. Ток — это первая произвольная от загруда обкладок по времени, поэтому для гармоничских колебаний справедливо соотношение

$$I_m = q_m\omega_0.$$

В тот момент, когда загруд максимален ($q = q_m$), ток равен нулю, а при $i = I_m$ загрудинатора обращается в нуль. Найдем энергии контура в указанные моменты времени и приравняем их:

$$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{LI_m^2}{2},$$

или $$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{Lq_m^2\omega_0^2}{2},$$

где $C$ — емкость континатора, $L$ — индуктивность катушки. Отсюда

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Для примера применения энергетического метода разрешения две задачи.

Задание 2. Найдите перiod вертикальных колебаний груза массой $m$ в системе, изображенной на рисунке 2. Считать массу блока $M$ сосредоточенной в его оси. Пружина имеет жесткость $k$, нить нерастяжима.

Приравняем энергии системы в положении равновесия и в крайнем положении, когда скорость груза обращается в нуль. Но сначала немного статики. Обозначая длину нерастянутой пружины через $l_0$, а длину ее в положении равновесия через $l$, запишем

$$k(l - l_0) = Mg + 2mg$$

(вниз на блок действия потвеяния нити, равные весу груза).