Квант 1985, №11 · Страницы

КВАНТ
11
1985

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

ХIX Всесоюзная
олимппада школьников по физике
(Куйбыцев, апрель 1985 г.).
Идет эксперимент…

Научно-популярный
физiko-mатематический журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

11 1985
Основан в 1970 году

Издательство «Наука». Главная редакция физiko-mатематической литературы

В HOMEPE:
2 В. В. Абилов. Физика + Математика + ЭВМ
V. V. Avilov. Physics + mathematics +
computers
9 В. В. Вабилов. Об одной формуле Христина
V. V. Vavilov. On a formula of Christian
Huygens

15 Лаборатория «Кванта»
A. A. Боровой. Остмос
Kvant’s lab
A. A. Borovoy. Osmosis

20 Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10
Physics 8, 9, 10
Избранные школьные задачи
Selected school problems

26 Наш календарь
Три значенные работы
Альберта Эйнштейна
Our calendar
Three famous papers by Albert Einstein

27 «Квант» для младших школьников
Задания
Kvant for younger school children
Problems
28 В. Г. Болтянский. Отгадать день рождения
V. G. Boltyanski. Guessing birthday dates

31 Заданияк «Кванта»
Задания M951—M955; Ф963—Ф967
Kvant’s problems
Problems M951—M955; P963—P967
36 Решения задачи M931—M935; Ф943—Ф947
Solutions M931—M935; P943—P947

32 Калейдоскоп «Кванта»
Kvant’s kaleidoscope

44 Искусство программирования
C. A. Абрамов. Самый знаменитый алгоритм
The art of programming
S. A. Abramov. The most famous algorithm

48 Полупроводниковые элементы
вычислительной техники
III. Биполярные трансисторы
Semiconducting elements in computers
III. Bipolar transistors

51 Олимпiadы
В. В. Вабилов, С. В. Резниченко.
XIX Весеозная олимпiadа по математике
All-Union mathematics olympiad
A. A. Бирюков, A. P. Зильберман.
XIX Весеозная олимпiadа по физике
A. A. Biryukov, A. R. Zilberman. The 19th
All-Union physics olympiad

59 Ответы, указания, решения
Информация (25, 50)
«Квант» улыбается (47)
Смесь (8, 19)
Шахматная страница
Задания на гексагональной доске
(3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Information (25, 50)
Kvant smiles (47)
Miscellaneous (8, 19)
The chess page
Problems on the hexagonal board
(3rd cover page)

«Сталалмиты» и «сталактиты», сформированные на первой странице обложки, выросли в расторе
мидкого стека из мелких кристалликов хлористого кobalта в течение буквально нескольких минут.
О том, как это происходит, можно прочитать в статье «Остмос» в этом номере журнала.

© Издательство «Наука». Главная редакция физiko-mатематической литературы, «Квант», 1985

2

Физика Математика ЭВМ

Кандидат физico-matематических наук
В. В. АВИЛОВ

В этой статье речь пойдет о вычислительной физике — новой наук, родившейся на стыке физики и прикладной математики. Как только появились быстродействующие ЭВМ, они стали использоваться во всех областях физики. Здесь мы оставим в стороне роль ЭВМ в современном физическом эксперименте, который теперь без использования компьютеров зачастую просто невозможен, и обратится к их применению в теоретических исследованиях.

Расчет методом Monte-Karlo свойство бинарного сплава по модели Изинга. ЭВМ служитным образом разброса atoms сорта А (светлые квадраты на экране) по плоской решетке 16×16, предоставя оставшиеся места atomам сорта Б (темные квадраты), и сейчас подсчитывает, сколько раз соррикаются atoms разных сортов.

В настоящее время существует два главных направления в использовании ЭВМ в теоретической физике. В рамках первого подхода физик старается как можно дальнейться в решении задачи до обращения к ЭВМ. Машина используется только для вычисления интерралов, сумм, для нахождения решения сложных уравнений, которые не могут быть получены аналитически (в виде формул). Другой подход — это так называемое машинное моделирование. Сторонники этого направления исходят в расчетах только из основных физических законов и, исследуя результаты счета, пытаются

3

сделать новые физические выводы. Во многом такая деятельности близка к физическим эксперименту, иногда даже используется название «численный эксперимент». Обратимся сначала к первому подходу.

Если требуется помощь ЭВМ

Первоначально физков не допускали к ЭВМ. Расчеты выполняли программы. Это было связано с тем, что на ЭВМ первого поколения программы составлялись в так называемых машинных кодах, которые были различными для каждой типа ЭВМ. Не специальity в программировании было очень трудно написать и отладить программу. Существовал четкое разделение труда: физик писал формулы, математик-программист считал по ним. Таким способом было решено большое количество задач, но одновременно вычислись и недостатки этого метода. Для многих задач при таком подходе не удалось получить правильные решения. Прежде всего это было связано с тем, что ЭВМ проводит расчеты с конечной точностью, выполнение каждого действия приводит к погрешности округления. Для большинства ЭВМ относительно расчетов каждого действия лежит в интервале $10^{-8} - 10^{-16}$. Казалось бы, это очень большая точность. Но из-за того, что в секунду ЭВМ выполняет до $10^8$ операций, ошибка вычисления может быстро накапливаться.

Если одна и та же величины может быть вычислена различными способами, то говорят о различных числовых процесах. Эти числовые процессы могут быть устойчивыми или неустойчивыми по отношению к накоплению ошибок округления. Существуют даже такие процессы, где накопление процессности округления делает неприменимым метод расчета уже через несколько шагов. Это означает, что физик, желающий проведение численный счет по своим формулам, должен разбираться в числовых процесах и представлять себе, какие методы прикладной математики он может использовать в своей работе. Стало ясно, что физики и математики должны взаимодействовать между собой на всех этапах — начная от постановки задачи и кончная числовая процессом. Это обстоятельство и способствовало появлению специальности — вычислительной физики.

Отметим также, что возможность такого обединения специальностей связана и с разработкой языков программирования, существующего облегчивших «обшение» с машиной. Удобные дисплеи*) упростили контакт пользователя с ЭВМ. Выили созданы библиотeki программы; теперь уже необходимо каждый раз заново составлять программу для решения стандартной задачи, гораддо процесса воспользоваться библиотекой стандартных программ. Появились и специальные журналы, публикующие работы по вычислительной физике. На первых этапах журналы просто печатали тексты программы. Скоро, однокого, стало ясно, что так можно поступать лишь с самых простыми программами. Дело в том, что при набore в типографии, а затем при «переносе» программы из журнала в ЭВМ неизбежно появляются ошибки. Поэтому сейчас публикуется только описание метода расчета, сама программа хранится в специальной библиотеке и высылается пользователю по заказу.

В начале 70-х годов на одной из конференций по методам расчета электронно-оптических систем сотрудников вычислительной центра Сибирского отделения АН СССР демонстрировали работу созданного имми комплекса программы. Несокольных докладчиков за полдня до доклада они попросили форматировать задачи, которые решаются в их работе. На вечернем заседании вместе с докладчиками сотрудники ВЦ ознакомили всех со своим решением этих задач, полученными на ЭВМ с помощью комплекса программы. Стало ясно, что задачи, решения которых ранее требовало несколько месяцев, можно решить в течение нескольких часов. Столь яркая демонстрация возможностей ЭВМ заставила многохитрость свое отношение к ним.

Сегодня появилось множество подобных комплексов, ориентированных

*) Так называют комплекс экрана и клавиатуры в современной ЭВМ, с помощью которого ведется диалог ученого и машины. На дисплее воспроизводится и реактируется в ЭВМ программа, на него же выводятся результаты вычисления.

4

на определенный круг задач. Физику, который собирается работать с таким комплексом, нет необходимости программировать исследовать числовые процессы на устойчивость. Машина сама сделает это, достаточно лишь написать основные уравнения и задать начальные условия. На выходе пользователь получает исходное решение в виде таблиц и графиков. При необходимости комплекса даже сделает по результатам счета цветной филм. Физик, сидя у дисплея, может контролировать решение, изменять значения параметров, проводить различные начальные условия. Разумеется, созданию каждого комплекса программы предшествует пропотливая работа специальств по физике и прикладной математике.

Численный эксперимент

Do six pins go horizontally on a taxi pacesetax, когда физика исследуемого явления понята еще до обращения к ЭВМ. Результаты этих pacesetов нужны для практических целей.

Сейчас мы поговорим о другом направлении вычислительной физики — о машинном моделировании. Как уже упоминалось, метод машинного моделирования характеризуется тем, что задаются только основные закономерности, описывающие систему.

Например, если этим методом исследуются свойства газа, жидкости, плазмы, галактики или другой системы, состоящий из многох частиц, то задают закон их взаимодействия и начальные координаты и скорости частиц. Далее составляют уравнения движения(*), а решают их с помощью ЭВМ.

Наблюдая эволюцию системы и сравнивая поведение системы, получаем

*) В классической механике находится уравнение движения для каждой частицы свойства к записи второго закона Ньютона. Если же скопится частиц нельзя предполагать малыми по сравнению со скоростью света, то в качестве уравнения движения уже следует пользоваться соответствующими уравнениями теории относительной уравнений квантовой механики.

5

чаемое в результате такого численного эксперимента, с имеющимся экспериментальным данными или с тем, что предсказывают приближенные аналитические методы, ученыые пытаются выявить закономерности ее развития.

Во многих отношениях метод машинного моделирования сходен с физическим экспериментом, этим методом страются воспроизвести, «скопировать» природу. Преимущество моделирования в том, что оно позволяет рассмотреть такие системы, для которых пока еще нельзя получить экспериментальные данные (процессы при сверхвысоких давлениях, температурах, энергиях частиц).

Возможности этого метода, размещается, не беспредельны. Для того чтобы описать поведение молекул в 1 cm³ реализной жидкости, требуется следить за движением порядка 10²² молекул. Далее для современной большой ЭВМ это число слишком велико. Пока что для расчетов доступны системы, состоящие не более чем из 10⁶ частиц. Однако уже и при рассмотрении такого «ограничного» числа частиц во многих случаях выявляются закономерности, характерные для той или иной системы большого числа частиц.

Методы машинного моделирования работают тем лучше, чем мощнее ЭВМ, на котором реализуется программа. В последние годы стали создавать специальные ЭВМ, каждая из которых пригодна для решения только одной серии задач, возможно, с некоторыми модификациями, но это уже эту серию такая ЭВМ имеет решать хорошо.

Можно привести много примеров, когда моделирование на ЭВМ приводило к открытиям, которые существенно образом повышали на наши взгляды на физический мир.

Так, в 1954 году Энрико Ферми с сотрудниками моделировали на ЭВМ распространение колебаний в одномерной цепочке взаимодействующих атомов. Таким образом они хотели понять, как установливается тепловое равновесие в твердых телах. Для того чтобы промоделировать взаимодействие, считалось, что соседние атомы связаны прижинками. Из предварительного теоретического рассмотрения было известно, что в случае, когда сила натяжения F приходится содействия атомы, связана с изменением ее длины Δx объчным линейным законом F=-k·Δx, тепловое равновесие в системе не установливается никакогда. В то же время полагалось, что достаточно ввести любую нелинейность в законом взаимодействия атомов (то есть считать F(Δx) нелинейной функцией) — и тепловое равновесие будет установливается в такой системе за конечное время.

В своей работе Ферми с сотрудниками в простейшую нелинейность, добавив в выражение для силы F слагаемое, пропорциональное (Δx)². Численный счет показал, что в этом случае тепловое равновесие в системе действительное установливается, однако чрезвычайно медленно. Характерное время этого процесса во много раз превышает оценки, которые давала существенные результаты в terms теории. Этот удивительный результат stimuliровал дальнейшие численные и аналитические исследования. Было доказано, что для некоторых типов нелинейной зависимости силы натяжения других от расстояния Δx теплое равновесие в системе не установится никакогда.

В настоящее время опубликованы сотни, если не тысячи статей, в которых численно и аналитические исследования также системы. Результаты этих исследований находят не

6

посредственное применение в широком круге задач физики плазмы, гидродинамики, оптики и т. п.

Начиная свою работу, Ферми и его сотрудники поняли, что выбранная им модель цепочки далека от реального твердого тела. Реальные кристаллы обладают сложной трехмерной решеткой, в них взаимодействуют не только ближайшие соседи, а закон взаимодействия atomов города сложнее, чем было принято в этой работе. Тем не менее простая модель одномерной цепочки позволяет возможные следствия неLINEНОГО закона взаимодействия atomов.

Модель Изинга и генератор случайных чисел

Не все задачи, однako, свойства к численному решению уравнения движения. Для ряда задач используется такой важный метод моделирования на ЭВМ, как метод Monte-Карло. Познакомимся с ним на примере исследования фазовых переходов. Но сначала скажем несколько слов о самом probleме фазового перехода, с которой на протяжении многих лет, ввиду ее сложности, физики никак не могли до конца разобраться.

К фазовым переходам относятся также хорошо знакомые вам явления, как плавление и кипение, а также многое менее знакомые — переход металла в сверхпроводяще, а геля — в сверхтекучее состояние, упорядочение сплавов и т. д. Все эти, на первый взгляд неохожие между собой, явления, имеют одно общее свойство — по мере приближения системы к переходу существенным становится взаимодействие все большего числа ее частиц, что затрудняет применение общих методов теоретической физики. Тут-то и приходит на помощь комьютер, позволяя расчитать поведение системы влизации фазового перехода. Однако сначала следует придумать подходящий модель, — простую, и в то же время отражающего основные свойства системы.

Вот как, например, можно описать фазовый переход из газообразного в жидкое состояние. Расмотрим плоскую решетку, содержащую $N$ узлов, в которых располагается $m$ ($m < N$) atoms. Известно, что взаимодействие между atoms быстро спадает с увеличением расстояния между ними, поэтому грубо можно предположить, что atoms в решетке взаимодействуют только в том случае, если они оказываются в соседних узлах решетки. Такая модель называется моделью Изинга решеточного газа со взаимодействием ближайших соседей.

При высоких температурах atoms распределяются по решетке в среднем равномерно. Однако при достаточно низких температурах, благодария прияжения между atoms, они собственные вместе, заполненные неокотropy объасы решетки. Так водяной пар с понжением температуры сначала становится насыщенным, а затем конденсируется в капельки жидкости.

Для того чтобы узнать температуру, при которой происходит «конденсация» решеточного газа (фазовый переход), или, например, выяснить, как ведет себя тепломкость влизации фазового перехода, необходимо уметы вычислять энергию системы взаимодействия atomов для каждого способа их расположения по решетке (конфигурации). Главная сложность заключается в том, что число способов размещения atomов по узлом решетки очень быстро возвращает с увеличением числа узлов $N$. Если, например,

8

Когда американская фирма IBM начала выпускать свою серию ЭВМ «IBM 360», то в пакете стандартных программ для нее была программа RANDU, генерирующая последовательность случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0; 1]. Инженеры фирмы проверили программу и, не обнаружив корреляция для пар чисел, сочли дальнейшую проверку излишней. В течение нескольких лет эта программа использовалась для расчета методом Monte-Karlo, прежде чем было обнаружено, что ввидаемой последовательности чисел имеет сильная корреляция между тройками чисел. Оказалось, что если разбитъ числа на тройки, которые задают $x, y, z$ — координаты последовательности точек, то вместо того, чтобы распределиться равномерно по единичному кубу, точки расположятся в нем на некоторой поверхности. (Разумеется, если при моделировании задачи Изинга разбрасывается atoms по трехмерной решетке с помощью такого датчика, то распределение atoms будет сильно отличаться от случайного.) Поэтому те расчеты методом Monte-Karло, которые в течение нескольких лет были выполенены на машинах серии «IBM 360», потребовалось переделать.

Курьезное совпадение

Во втором издании книги извлеченного итальянского ученого, профессора Орацио Звелто, одного из пionеров квантовой электроники, — «Приницы лазеров» — перед предисловием автора помещен любопытный материал. Он начинается с цитаты из «Естетвеной истории» Плиния Старшero, римского ученого и писателя, жившего в первом ввеке нашей эры (этот единственное сохранившийся до наших дней труд Плиния Старшero представляет собой энциклопедию естественного-научных знаний античности; он содержит также сведения по истории искусства, истории и быта Рима):

«Лазер — один изучеднейших даров природы, имеющий множество применений».

Далее идет пояснение к цитате (мы приводим его в несколько сокращенном виде):

«В период треко-римской цивилизации (начиная с 6 в. до н. э. и кончая 2 в. н. э.) лазер был широко известен и весма прославлялся. Так в действительности называлось растение, которое в диком виде встречалось на большей территории около Кирены. [Это древний город в Северной Африке, основанный около 630 г. до н. э. греками; один из культурных и торговых центров античности; в настоящее время принадлежит Ливии. Примеч. ped.] Они применяются для легеня множества более ней — от простуды до различных эпидемических заболеваний. Его использовали как противодействие при укрещении и укрещении их на ЭВМ. Оказалось, что только одна из них содержит ошибку.

Аналитические преобразования на ЭВМ успешно использются во многих физических задачах.

Курьезное совпадение

9

Об одной формуле Христиана Гюйгена

Кандидат физико-математических наук
В. В. ВАВИЛОВ

Длина окружности радиуса 1/2 может быть определена как предел последовательности длини перimetров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность при неограниченном увеличении числа его стороны. Определение таким образом число обозначется символом л. Аналогично можно определить число л и как предел перimetров правильных описанных около этой окружности многоугольников (рис. 1). Точнее, если через $p_n$ обозначить перimetр вписанного, а через $q_n$ перimetр описанного правильного $n$-угольника, то имеют место неравенства
$$p_n < \pi < q_n, \quad n \geqslant 3.$$
Когда $n$ возрастает, обе последовательности $p_n$ и $q_n$ монотно приближаются к числу л (рис. 2); при перехождение от $n$ к $n+1$ мы получаем меньше ошибку в приближениях, которое числа $p_n$ и $q_n$ дают для числа л.
В своей значении соинения «Измерение кругга» Архимед (287—212 гг. до н. э.) дал следующее приближение для числа л:
$$3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{10}{70},$$
то есть
$$3,14084507 < \pi < 3,14285714.$$
Этот результат Архимед получил при помощи вычисления перimetра правильного вписанного 96-угольника.
Многоековая история числа л связана с многими именами известных математиков. Однако из последовательей

10

Именно это основное неравенство и позволило Гюйгенсу пойти дальше Архимеда.

Ниже мы докажем приведенные результаты Архимеда и Х. Гюйгена и рассмотрим некоторые смежные вопросы.

Доказательство основного неравенства

Доказательство неравенства (1) мы разобем на несколько шагов. Левую часть этого неравенства будем считать известной и поэтому докажем только справедливость второго неравенства.

1°. Если в некоторых сегмент круга ACB приscan равноведенный треугольник ABC и в точках A, B и C проведены касательные к окружности так, как показано на рисунке 4, то

$$S_{ABC} < 2S_{KLM}.$$

(2) Действенный, из соответствий $|KL| > |LC|$ и $|LC| = |AL|$ следует $|AK| < 2|KL|$. Так как треугольники KLM и KAB подобны, их площади относятся как квадраты соответствующих сторонах, справедливоно,

$$S_{KAB} / S_{KLM} = |KA|^2 / |KL|^2 < 4,$$

откуда $S_{KAB} < 4S_{KLM}$.

С другой стороны, равноведенные треугольники KAB и ABC имеют общее основание AB, и поэтому их площади относятся так же, как их высоты, или (по теореме Фалеса) как длины соответствующих сторонах. Следовательно,

$$\frac{S_{ABC}}{S_{KAB}} = \frac{|AL|}{|AK|},$$

и, так как $|AL| < (1/2)|AK|$, получаем $S_{ABC} < (1/2)S_{KAB}$.

Отсюда и из предыдущего неравенства для площадей получаем (2).

2°. Если обозначить через $S_{cerm}$ площадь сегмента ACB (см. рис. 4), то

$$S_{cerm} \leq \frac{2}{3} S_{ABK}.$$

(3)

Для доказательства этого неравенства воспользуемся следующим сообщением. Обозначим (см. рис. 5) через $S_0$ и $A_0$ площади треугольников ABC и KLM соответственно. Расмотрим теперьдугу AC, разделим ее точкой $C_1$ пополам и построим точно таким же образом треугольники площадей $S_2$ и $A_2$. Точка $C_3$ — серединадуги AC$^2$ — порождает аналогичным образом треугольники площадей $S_3$ и $A_3$. Продолжая этот процесс, мы получим две последовательности $\{S_n\}$ и $\{A_n\}$ положительных чисел — площадей соответствующих треугольников. По доказанному в 1° — см. (2), — имеем следующее:

$$S_0 < 2A_0, \quad S_1 < 2A_1, \quad S_2 < 2A_2, \quad S_3 < 2A_3, \dots, \quad S_n < 2A_n.$$

Ясно, что (рис. 6)

$$S_0 + 2S_1 + 2^2S_2 + 2^3S_3 + \dots + 2^nS_n + \dots = S_{cerm}$$

11

и
$$A_0 + 2A_1 + 2^2A_2 + 2^3A_3 + \dots + 2^nA_n + \dots = S_{ABK} - S_{\text{сегм}}.$$
Из приведенной цепочки неравенства и двух последних соответствий следует, что *)
$$S_{\text{сегм}} \leq 2(S_{ABK} - S_{\text{сегм}}),$$
то есть утверждение (3).
3°. Следующая геометрическая лемма X. Гойгена представляет и самостоятельный интерес.
Лемма. На рисунке 7: О — центр кругга, прямые AE и CD — касательные к окружности, AB — произвольная секция, пересекающая прямую CD, l_AC — длина дуги AC. Тогда справедливо следующее неравенство:
$$l_{\text{AC}} \leq \frac{2}{3} |CD| + \frac{1}{3} |AF|.$$

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, |AE| = |EC|; следовательно, треугольник ACE равноведенный и углы EAC и ECA равны. Отсюда следует, что треугольник AED также равноведенный (так как $CAD = 90^\circ$, $DAE = 90^\circ - EAC$, $ADE = 90^\circ - ECA$) и тем самым |AE| = |ED| = |CE|. Из (3) следует, что $S_{\text{сегм}} \leq (2/3)S_{AEC}$, где $S_{\text{сегм}}$ — площадь сегмента кругга, закрашен-

*) Нетрудно доказать, что если последовательности $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ имеют предель и $a_n < b_n$, $n=1, 2, \dots$, то $\lim_{n \to \infty} a_n \leq \lim_{n \to \infty} b_n$.

ного на рисунке 7. Прибавив к обеим частиям этого неравенства площадь $S_{AOC}$ треугольника OAC, мы получим
$$S_{\text{сегт}} \leq \frac{2}{3} S_{AEC} + S_{OAC},$$
где $S_{\text{сегт}}$ — площадь сектора OAC, откуда
$$S_{\text{сегт}} \leq \frac{2}{3} S_{OAC} + \frac{1}{3} S_{OAC},$$
где $S_{OAC}$ — площадь четырехугольника OAEC. Так как
$$S_{OAC} = 2 \cdot S_{OEC} = 2 \cdot \frac{1}{2} |OC| \cdot \frac{1}{2} |CD| = \frac{1}{2} |OC| \cdot |DC|, S_{OAC} = \frac{1}{2} |OC| \cdot |AF|, S_{\text{сегт}} = \frac{1}{2} |OC| \cdot l_{AC},$$
из последнего неравенства следует нужное соответствие (4).
4°. Для завершения доказательства неравенства (1) сделаем следующие построение (рис. 8): пусть $AA_1$ — сторона правильно вписанного $n$-угольника, а $LL_1$ — сторона правильно описанного многоугольника с таким же числом сторон; проведем прямую AB и из точки A опустим перпендикуляр AK на касательную LL_1.

Так как $AOC = 2ABC$ (одни из углов центральный, а второй опирается на эту же дуг), мы видим, что AD — bicсектриса в треугольнике LAK, и по теореме о биссектрисе имеем $|AL| / |LD| = |AK| / |KD|$.

Но $(AK) \perp (KL)$, поэтому $|AK| < |AL|$ и из предыдущей пропорции получаем $|KD| < |LD|$. Так как $|AF| = |KC|$, получаем $|KD| = |CD|$

12

| $n$ | $p_n$ | $q_n$ |
| :— | :— | :— |
| 3 | 2,59807621 | 5,19615242 |
| 6 | 3,00000000 | 3,46410161 |
| 12 | 3,10582854 | 3,21539030 |
| 24 | 3,13262861 | 3,15965994 |
| 48 | 3,13935020 | 3,14608621 |
| 96 | 3,14103195 | 3,14271459 |
| 192 | 3,14145247 | 3,14187304 |
| 384 | 3,14155760 | 3,14166274 |
| 768 | 3,14158389 | 3,14161017 |
| 1536 | 3,14159046 | 3,14159703 |
| 3072 | 3,14159210 | 3,14159374 |

$-|AF|$. Кроме того, $|LD|=|CL|-$
$-|CD|$ и, следовательно,
$|CD|-|AF|<|CL|-|CD|,$
$2|CD|<|AF|+|CL|,$
$2|CD|+|AF|<2|AF|+|CL|$.

Используя теперь (4), получаем
$$l_{AC} < \frac{2}{3} |AF| + \frac{1}{3} |CL|.$$
Аналогично можно написать, что
$$l_{A1C} < \frac{2}{3} |A1F| + \frac{1}{3} |CL1|$$
или, наконец,
$$l_{AC} + l_{A1C} < \frac{2}{3} |AA1| + \frac{1}{3} |LL1|.$$

Умножив полученное неравенство на $n$, мы и получим неравенство (1).

Дальнейшее исследование основного неравенства

Нами установлено, что число лежит в первой трети интеграла $p_n$, $q_n$ при всех $n \geqslant 3$. Для того чтобы уточнить расположение числа л в этом новом интеграле, рассмотрим отношение длины интегралов $p_n$, $\pi$ при $p$, $q_n$ [. Вычисления показывают *] (см. таблицы 1, 2), что это отношение длины, то есть значения дробей
$$(q_n-\pi)/(\pi-p_n), n=3, 6, 12, 24,$$
достаточно близки к 2. На основании этих вычислений мы с большой степенью уверенности можем предположить, что в действительности имеет место соответствие

*) Для желающих проверки вычисления на калькуляторе приведем приближение равенство: $\pi \approx 3,14159265$.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{q_n-\pi}{\pi-p_n} = 2.$$ (5)

Для доказательства соответствия (5) заметим, что (рис. 9))

$$p_n=n \cdot \sin \frac{\pi}{n}, q_n=n \cdot \tg \frac{\pi}{n}, n \geqslant 3,$$
и, следовательно,
$$\frac{q_n-\pi}{\pi-p_n} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{n}} \cdot \frac{n \sin \frac{\pi}{n}-\pi \cos \frac{\pi}{n}}{\pi-n \sin \frac{\pi}{n}}.$$
Для анализа полученного выражения нам понадобятся неравенства *)
$$x-\frac{x^3}{6} < \sin x < x-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}, x > 0.$$ (6)

Чтобы доказать левое неравенство в (6), положим
$$f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}.$$

Тогда имеем
$$g_1(x)=f'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2},$$
$$g_2(x)=g'_1(x)=-\sin x+x.$$

*) Неравенство (6) значительное улучшает известное неравенство sin $x<x$ при $x>0$; см. по этому поводу: «Квант», № 5, 1979, c. 5.

13

Так как sin x < x при x > 0, получим $g_2(x) > 0$ при x > 0. Тем самым функция $g_1(x)$ возвращает при x > 0. Но $g_1(0) = 0$ и, следовательно, $g_1(x) > 0$ при x > 0. Функция $g_1(x)$ является произвольной для функции $f(x)$, для которого также $f(0) = 0$. Но при x > 0 имеем $g_1(x) > 0$, поэтому функция $f(x)$ также возвращает и, следовательно, принимает только положительные значения, то есть $f(x) > 0$ при x > 0, что и утверждалось.

Аналогично установливается правила част неравенства (6), а также неравенства (доказите их самостояльно!)

$$1 - \frac{x^2}{2} < \cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}, \quad x > 0. \quad (7)$$

Из неравенств (6) и (7) вытекают следующие приближенные формулы:

$$\sin \frac{\pi}{n} \approx \frac{\pi}{n} - \frac{\pi^3}{6n^3},$$

$$\cos \frac{\pi}{n} \approx 1 - \frac{\pi^2}{2n^2}.$$

Следовательно,

$$\frac{q_n - \pi}{\pi - p_n} \approx 2 \cdot \left(1 - \frac{\pi^2}{2n^2}\right)^{-1},$$

что и завершает доказательство соответствия (5), так как $\frac{\pi^2}{2n^2}$ стремится к нулю при $n \to \infty$.

Равенство (5) позволяет сделать следующий качественный вывод: число $\pi$, находясь при любом $n \geqslant 3$ в интервале $]p_n, \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n[$, при всех достаточно больших значениях $n$ близке к правому концу этого интервала, чем к левому.

Формула Гойгенаса и ее эффективность

Архимед использовал для вычисления числа $\pi$ приближенную формулу

$$\pi \approx p_n, \quad n \geqslant 3.$$

Гойгенс в своей работе, в частности, получил другую приближенную формулу

$$\pi \approx \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n, \quad n \geqslant 3,$$

то есть взял в качестве приближения для числа $\pi$ правую часть неравенства (1).

Бóльшую эффективность формулы Гойгенаса по сравнению с формулой Архимеда можно обнаружить неосредственными вычислениями на микрокалькуляторе, сравив результаты таких вычислений, сведенных в таблицах 1, 2 и 3 (цветом на этих таблицах выделены точные цифры числа $\pi$). Отметим, что проведится также вычисления — увлекательная и непростая задача.

Можно сравнить эффективность формул Архимеда и Гойгенаса другим методом, не произвольной конкретных вычислений для $p_n$ и $q_n$. Можно использовать так называемые аппирорные оценки для точности этих формул, то есть такие неравенства, которые позволяют оценить разности $\pi - p_n$ и $\frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n - \pi$ для всех $n \geqslant 3$ заранее, без вычислений периметров. Ценность таких аппирорных оценок состоит так же в том, что они позволяют в точности этих оценки числа $n$, для которых нужно найти точность будет достигуть. Используя неравенства (6) и (7) и произвольные простые аппирорные вычисления, нетрудно получить (мы оставляем это читателю в качестве упражнения!) следующие аппирорные оценки:

$$\frac{5}{n^2} < \pi - p_n < \frac{6}{n^2}, \quad n \geqslant 3, \quad (8)$$

и

$$\frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n - \pi < \frac{64}{n^4}, \quad n \geqslant 3. \quad (9)$$

Непосредственно из этих неравенств

14

замечаем, что «скорость», с которой разность $\frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} q_n - \pi$ стремится к нулю, больше «скорости», с которой стремится к нулю разность $\pi - p_n$ при $n \to \infty$.

Для сравнения этих «скоростей» найдем те значения $n$, которые нам наверняка обеспечат точность вычисления числа $\pi$, например, равную $10^{-2}$. Так как $\pi - p_n < \frac{6}{n^2}$, для вычисления по формуле Архимеда с этой точностью достаточно взять $n$ таким, чтобы $6/n^2 < 10^{-2}$, то есть $n \geq 25$. Используя же формулу Гойгенаса, нам достаточно выбрать $n$ таким, чтобы $64/n^4 < 10^{-2}$, то есть $n \geq 9$.

Как видно из разобранного примера, а также из неравенств (8) и (9), формула Гойгенаса быстрое приводит к заданной точности.

Две задачи

Мы помещаем здесь материал, который может стать началом небольшого математического исследования.

Задача 1. Пусть $AC$ — хорда, $|BB_1| = 2R$ — диаметр окружности. $O$ — центр круга, $(BB_1) \perp (AC)$, $B$ — середина дуги $AC$, $E$ и $F$ — середины дуг $AB$ и $BC$ соответственно (рис. 10). Доказите, что

a) $|AB|^2 = |BD| \cdot |BB_1|$, $|BE|^2 = |BG| \times |BB_1|$;

b) $|BD| < 4 \cdot |BG|$;

c) $|AC| < 2 \cdot |EF|$;

d) $S_{ABC} < 4(S_{ABE} + S_{BFC})$;

e) $\pi R^2 > \frac{4}{3} S_{2n} - \frac{1}{3} S_n$;

где $S_n$ — площадь правильного в окружность $n$-угольника ($S_{2n}$ — соответствующее $2n$-угольника);

ж) $2\pi R > \frac{4}{3} p_{2n} - \frac{1}{3} p_n$,

где $p_n$ — перimetр правильного в окружность $n$-угольника ($p_{2n}$ — соответствующее $2n$-угольника);

задача 2. Докажите, что все нижелейные предыдущего существуют и найдете их:

a) $n^2(\pi - p_n)$;

b) $n^4\left(\frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} q_n - \pi\right)$;

b) $\lim_{n \to \infty} \frac{p_n^2 - p_{n-1}p_{n+1}}{2p_n - p_{n-1} - p_{n+1}}$;

r) $n^4\left(\pi - \frac{4}{3} p_{2n} + \frac{1}{3} p_n\right)$;

d) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi R^2 - S_n(n)}{S_q(n) - \pi R^2}$,

где $R$ — радиус круга; $S_p(n), S_q(n)$ — площади правильных виссанных и описанных многоугольников.

В заключение отмечим, что наблюдение Х. Гойгена о том, что число $n$, равное длине окружности радиуса $1/2$, находится в два раза больше к перimetр виссанного в эту окружность правильного $n$-угольника, чем к перimetр описанного вокруг этой окружности правильного $n$-угольника, было не так давно обобщено на случай произвольных выпуклых фигур, ограниченных гладками (без изломов) кривыми. Именно, имеет место следующие утверждения.

Пусть $L$ обозначает длину выпуклой замкнутой кривой без изломов, $P_n$ — перimetр $n$-угольника с максимальным перimetром, виссанного в данной кривой и $Q_n$ — перimetр описанного вокруг данной кривой с минимальным перimetром (такие существуют!). Тогда справедливо соответствие утверждений

$$\lim_{n \to \infty} \frac{Q_n - L}{L - P_n} = 2.$$

Доказательство этого утверждения и многое другое интересные результаты, связанные с ним, можно найти в книге [4].

Литература

1. Рудно Ф. О кадаратуре круза (Архимед, Гойгенс, Лежандр, Ламберт), Матезис, 1911.
2. Веселовский И. Н. ХристIAN Гойгенс. — М.: Учредгиз, 1959.
3. Кыпман Ф. История числа $\pi$, — М.: Наука, 1971.
4. Тот Л. Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, — М.: Физматгиз, 1958.

15

Остмос

Доктор физико-математических наук
А. А. БОРОВОЙ

Срезанная ветка растения начала вянуть. Но вот вы опускаете ее в воду, и по прощевии сравнительно небольшего времени листы расправляются, вовь становятся упругими, наливаются влагой.

Почему ожидает ветка? Какие силы заставляют влагу пропикать в растение и двигаться внутри него? Что удерживает воду в клетках и не дает ей выходить наружу? Каким образом клетка растения оказывается пропицаемой для воды только в одном направлении: снаружи — вовнутрь?

Учены очень давно пытались ответить на эти вопросы, но определённойясности удалось добиться только в конце XIX века. Прошло еще несколько времени, и в laboratorиях сумели содействовать (хотя и очень грубо) эти природные явления. А уже в наших них с успехом заставили работать в самых разных областях науки и техники.

Кто и как обнаружил является космоса

В 1748 году французский физик-экспериментатор Ж. А. Нолле, занимаясь изучением кипения жидкости, столкнул с нейвестным до тех пор явлением. В одном из своих оптов он терметично закрыл стекан со спиртом пленкой бычего пузыря и погрузил его на доно большего сосуда с водой. Через несколько часов пузырь сильно раздулся — вода пропикла в стекан и увеличила давление в нем. Нолле не прошел mismo этого удивительного факта и объясил его следующее образом: «Животный пузырь может быть более пропицаем для воды, чем для спирта; в таком случае скорость прохождения воды оказывается больше скорости прохождения спирта».

Повторим опыт Нолле, но использует менее дефицитные материалы — бытий пузырь заменим листком целлюфана, а спирт — водным растором сахара.

На рисунке 1 изображен прибор, который изготовить несколько. В банку с чистой воды опущена широкая стеклянная трубка, затянутая сизу целлюфаном. Целлюфан закреплен так, чтобы вода не затекла внутри трубки (герметизацию можно осуществить с помощью липкой ленты, резинового колечка, пластлина и т. п.). Сверху в толстую трубку через резиновую пробку входит тонкая стеклянная трубка.

В начале опыта в трубки наливают растор сахара до тех пор, пока уровень жидкости в трубках и в банке не совпадут (этот момент и показан на рисунке 1 штириховой линии). Через некоторое время можно заметить, что высота столбца растора увеличится — так же, как и в опыте Нолле, вода начинает свое движение через лленку, в нашем случае целлюфаную.

Явление, при котором наблюдается одностороннее пропиниковение расторителя через полупроницаемую перегородку, отделяющего расторителя, называется осмосом. Слово это имеет греческий происхождение и означает только, давление.

16

Повторив опыт французского физика, впервые обнаружено осмос, попробуем разобраться в этом явлении.

Остмос и односторонняя диффузия

Вспомним, что проискодит при расторении какого-нибудь вещества в расторителе. Молеклы вещества пропикают в расторителе, а молеклы расторителя — в области, занятую растором. Такая взаимная диффузия (проникновение) и приводит к выравниванию концентраций расторенного вещества и расторителя по всему объему.

Теперь представим себе ситуацию, при которой растор и чистый расторитель разделены полупроницаемой перегородкой — она пропускает молеклы расторителя, но не пропускает молеклы расторенного вещества. Очевидно, что в этом случае выравнивание концентраций может присходить только за счет односторонней диффузии расторителя.

Именно так и проискодит в поставленном нами опите. Целлюфан «непрозрачен» для молекул сахара, но «прозрачен» для молекул воды, поэтому при одинаковой высоте жидкости (одинаковом давления на перегородку) в банке и трубках в начальной момент через целлюфан проходит больше молекул воды сизу вверх, чем сверху вниз. В результате уровень жидкости в банке начинает попасть на порождаемый в воду пропикает в растород под действием сил так называемого осмотического давления. Как только гидрорастаниеское давление столбца растора уравновесит осмотическое давление, процесс прекратиется. Высота этого столбца и служит количественной мерой осмотического давления.

Полупроницаемые перегородки и «искусственная клетка»

После работы Нолле многоченые — ботаники, химики, физики — стали ставить опыты и изучать явление осмоса. Для полупроницаемых перегородок они использовали самые различные природные материалы: кожицу от яйца, быцы и свининые пузыри, перепонки и т. п.

Рис. 2.

В середине XIX века (в 1866 г.) немецкий ученый М. Траубе изобрел способ получения искусственных полупроницаемых пленок из железисто-синеродистой меди (Cu₂Fe(CN)₆). Они были хорошо проницаемы для воды, но не пропускали большим других веществ.

Мы можем убедиться в этом с помощью красного эксперимента, который получил название «искусственная клетка». Не следует пусться громоздкой химической формулы пленки. В домашних условиях можно получить, используя исходных веществ медный купорос (CuSO₄) и железную соль (K₄Fe(CN)₆) — реактивы, продолжается в магазинах фотоматериалов.

Нальем в пробирку слабый (проблизительное трехпроцентный) растор медного купороса и бросим на дно кристаллик желтой кровной coli. Кристаллик должен быть чистым — лучшие всего от отколоты от большого кристалла перед самим опитом. В результате реакции

$$2\text{CuSO}_4 + \text{K}_4\text{Fe(CN)}_6 \rightarrow \text{Cu}_2\text{Fe(CN)}_6 + 2\text{K}_2\text{SO}_4$$

поверхность кристалка покрывается полупроницаемой пленкой. Вода пропикает через нее и вызывает рост «клетки». Оболочка «клетки» распирается, а в тех местах, где пленка попается под действием внутреннего давления и расторочно выливается наружу, сразу же снова

17

образуется полупроницаемая оболочка. Таким образом «клетка» постепенно принимает ветвистую форму. Можно сказать, что «искусственная клетка» ведет себя подобно животному организму.*)

Этот классический опыт требует терпения и akкуратности, красивые «растения» с первой попытки могут и не получиться.

В нашей дни можно поставить более эффективный и доступный эксперимент, в котором искусственные «растения» выращиваются в водном расторе жидкого стекла (кремнеискальный натрий Na₂SiO₃ — силикатный канцелярский клей). Удается вырастить цель «сад», если бросить в этот растор кристаллы хлористого кобальта, сернокислого железа, хлористого никеля, сернокислого маргана и многих других веществ (которые читатель может подобрать самостояльно).**)

Опыты с осмотетром и создание теории осмоса

Прошло десять лет с тех пор, как Траубе получил первый искусственный полупроницаемую пленку, и в 1877 году немецкий ботаник В. Пфефер создал прибор для измерения осмотического давления — осмотетр. Конструция, который мы воспользовались, воспроизвода опит Нолле (см. рис. 1), во многом повторяет идею Пфеффера.

С помощью осмотета ученый показал, что осмотическое давление зависит только от концентрации, но не от природы расторенного вещества (для слабых расторов), и увеличивается с повышением температуры. Его измерения показали также, что

*) Описанный опыт требует от экспериментатора стороны в обращении с реактивами. Нельза, чтобы они попадали на руки, стол и т.п. Если все же это произойдет, надо их сразу смыть большим количеством воды.

**) См. фотографии, воспроизведенные здесь на рисунке 2 и на первой странице обложки журнала.

Рис. 3.

Так впервые получены количественные данные об осмосе, которые помогли выдающемуся голландскому химнику Я. Х. Вант-Гоффу создать теории этого явления.

В 1887 году ученый опылковал работу, в которой показал, что молекулы расторенного вещества ведут себя в расторе так же, как молекулы идеального газа в состоянии А расторитель в этом случае играет роль…пустоты!

Чтобы понять ход рассужждения Вант-Гоффа, поставим мысленный эксперимент. Пусть горизонтальный цилиндр, наполненный водой, разделен на две равные части целлюфанов перегородкой, которая может смешаться без нарушения герметичности (рис. 3). Если в одной части цилиндра расторить сахар, то за счет диффузии чистой воды сквозь целлюфан в области растора давление там повышается и перегородка начинает смешаться. Объем растора будет увеличивать, объем чистой воды — соответственно уменьшаться. Но по результатам этого экспериментного предположения, что молекулы сахара в расторе оказывают дополнительное давление на перегородку. Расторное вещество стремится расширяться и сдинирует целлюфан — точно так же, как газ стремится расширяться и сдинирует поршень, отделяющий его от вакуума.

С помощью такого предположения Вант-Гоффу удалось обеспечить все особенности осмоса, обнаруженные Пфеффером. Ученый вывел уравнение, полностью аналогичное уравнению состояния идеального газа:

$$\pi V=nRT,$$

где π — осмотическое давление, V — объем растора, n — число молекул расторного вещества, R — универсальная газовая постоянная, T — температура. Было показано, что сходство между повышением расторного вещества и газа существенно расторова, такого, в котором взаимодействием молекул расторного вещества между собой можно претензить.

Теория Вант-Гоффа подтвердилась многими опитами. Ее автор стал пер-

19

ранные системы, которые вводят лекарстенные вещества в строго контроллеруемых количеств в кровеносные сосудах прямое через кожу, куда их приклеивают. Уже появились капсулы-наклейки с нитроглицерном для сердечных больных.

Многие крупные научно-производственные объединения занимаются совершенствованием_memбранной технологически. Рождаются все новые и новые методы получения полупроницаемых пленок. Так, несколько лет назад их начали делать с помощью …ускорителей тяжелых ядер. Под пучком таких ядер синтетические пленки

Задача для исследования

Черно-белые области

Число черных и белых полей на шахматной доске одинаково. Если на плоскости расположен несколько прямых, то все части, на которые они делят плоскость, тоже можно раскрасти в два цвета — черный и белый — так, что части, имеющие общую стороны, показаны в разные цвета. Однако при этом черных и число белых области не обязательно будет одинаковым.

Во сколько раз число черных области может превозходить число белых? Такую задачу поставил в прошлом году на семинаре в МГУ член-корреспондент АН СССР И. В. Арнольд. (Эта задача связана с такой: на сколько число максимумов многочлена $n$-й степени от двух переменных может превозходить число его минимумов?)

Точнее, предполагается, что $n$ прямых на плоскости находится в общем положении (никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку), и требуется найти максимальное значение, которое принимает отношение числа черных и белых области при этих условиях.

В задаче № 4 для 10 класса на последней Всесоюзной олимпиаде (см. с. 53) предлагалось доказать, что число черных области не превышает удвоенного числа белых. На самом деле, как доказал молодой Московский математик Ю. В. Чеканов, при возрастинии числа прямых $n$ максимальное отношение числа черных области к числу белых стремится к 2; его доказательство опирается на некоторых сообщения теории эллиптических кривых (линия уровня энергии системы с кубическим потенциалом), о которых раскразано в стате «Как сахат дерева» из книги «Математический цветник» (М., 1982, с. 117—129). Попробуйте найти точные значения максимального отношения числа черных и белых области хотя бы для некоторых значений $n$ ($n=4, 5, 6, \dots$) и постройть серий примеров, для которых при возрастинии $n$ это отношение остается больше неоторого числа, большего 1. (Точное значение максимального отношения для $n=2^k$ прямых нашей ленинградский математик П. Ю. Суворов; интерсоответствует, что и Павел Суворов, и Юра Чеканов, как впроцем и Владимир Игоревич Арнольд, в прошлом — победители математических оптимизации.)

Близкий к задаче о черно-белых области вопрос: какую наиболее допустую долю среди области, на которых $n$ прямой разбивают треугольники?

Интересны и аналогичные вопросы для черно-белой раскраски области, на которых $n$ прямой разбивают треугольники?

Поправка

Мы публикуем здесь два рисунка, которые были отпечатаны с ошибками на с. 35 «Квата» № 10 по вине типографии. Рисунок, помещенный здесь, должен быть третьим сверху влевой колонке на с. 35 номера 10, а рисунок справа — последним (нижним) в этой же колонке. Отметим также, что ссылки на рисунки 3 и 4 в тексте следует помещать местами.

20

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга «Инерция и инертость» предназначена восемиклассика, «Электрический диополь и его электрический момент» — девятиклассика, «Лучи и волны» — десятиклассика. Материалы подготовил Н. К. Белкин.

Инерция и инертость

Эти два слова, близкие по звучанию, употребляются и в физике, и в общеденной жизни. Многие считают, что «инертость» и «инерция» как физические понятия равнозначны друг другу, что они — синономы. Дейстительно ли это так?

Слова-синонными можно заменять одно другим (например, «спешить» и «торопиться»), если не говорить о некоторых стилистических оттенках. Но как раз этим свойством взаимозаменяется слова и понятия «инерция» и «инертость» не обладают. Первый закон Ньютона называют законом инерции, но никто не назовет его законом инертости. Существует термин «инерциальная система отчета», но никак не скажет «инерная система отчета». Можно сказать «движение по инерции», но нельзя — «движение по инертости». Число таких примеров можно и увеличить.

Но если слова неравнозначны, это значит, что за ними кругются разные понятия. Попытка толковать слова «инерция» и «инертость» как выражение два разных физических понятия сделана в учебнике «Физика 8» (глава 4).

Что такое инерция? В 1632 году вышла в свет книга Галилея «Диалог о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой». В ней нарушу с другими важными идеями, относящимися к механике, формулировано и положение, получившее потом название закона инерции иставшее основной диамки. Галилей пришел к нему с помощью очень простого рассуждения, основанного на опытах и наблюдениях.

Скатываясь по наклонной плоскости визз, шарик непрерывно уvelичает свою скорость. Тот же шарик, движяясь по наклонной плоскости вверх, скорость своего уменышает. «А… что произойдет бы с тем же движущимся телом на поверхности, которая не поднимается и не опускается?» — справивает Галилей. Ответ на этот вопрос и есть законом инерции в его первоначальной галилеевской формулировке: «Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления движению, то… движение его является равномерным и продолжалось бы постояно, если бы плоскость пространстве без конца». На ряде других примеров Галилей показывает, что движение по инерции должно быть не только равномерным, но еще и прямолинейным.

В 1687 году Ньютон обобщил это утверждение и дал ему такое формулировку: «Всякое тело продолжает сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку оно не принуждается приложенными силами изменять это состояние». Силу Ньютон определяет как «действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».

Латинское слово «inertia» переводится на русский язык как «бездействие» и даже… «лень»! Тело, к котором не приложены силы, само по себе своего скорость не изменяет — ему как бы лень это делать. Поэтому закон Галилея—Ньютона (первый закон Ньютона) и получил название закона инерции.

Механическое движение — это явление природа. Значит, и часть движения — движение, при котором тело сохраняет свою скорость,— тоже явление, явление инерции. Именно такое толкование слову «инерция» и дается в учебнике «Физика 8». Этому соответствует и общадное выражение «движение по инерции».

Известно, что всякое движение тела рассматривается относительно опре-

21

деленных систем отчета. Системы отчета, относительно которых может наблюдаться явление инерции, называются инерциальными. Утверждение о том, что такие системы отчета существуют, по существу и составляют содержание закона инерции.

Что такое инерность? Что касается этого понятия, то о нем достаточно подробно говорится в § 22 «Физики 8».
Когда два тела взаимодействуют между собой, то оба они получают ускорения, но ускорения, вообще говоря, различны: у одного меньше, чем у другого. О том теле, у которого ускорение меньше, можно сказать, что его движение больше похожие на движение по инерции (при котором ускорение равно нулю). Поэтому о том теле говорят, что у него инерность больше, чем у его партнера по взаимодействию. Время взаимодействия (ono одинаково для обихх тел) ему «не хватило», чтобы изменить свою скорость на столько же, на сколько это «сделало» другое тело. Более инерному телу требуется больше время на то, чтобы изменить скорость на заданную величины, чем телу менее инерному. Таким образом, инерность — это свойство тел. Количество оно выражается массой — величины, впервые введенной в механику Ньютоном.

Электрический диполь и его электрический момент

В большинстве своей нас окружают электрические нейтральные тела. Однако утверждать, что они не принимают никакого участия в электрических взаимодействиях, было бы неправильно. Достаточно вспомнить, например, что два заряда, помещенные в какой-нибудь диэлектрик, взаимодействуют сlabee, чем в вакууме. Причиной тому — молекули диэлектрика. Хотя диэлектрик состоит из нейтральных молекул, они способны создать собственное электрическое поле, которое и ослабляет электрическое взаимодействие зарядов.

Рассмотрим простейший пример электрической нейтральной системы — электрический диполь. Так называют совокупность двух равных по модулю, но противоположных по значку точных электрических зарядов ±q, нахождения на некотором расстоянии l друг от друга (рис. 1).

Поле диполя. Электрическое поле диполя можно найти в любой интерсуцей нас точке, опираясь на принципи суперрозициции («Физика 9», § 42). Сделаем это, например, для точки A (рис. 2). Напряженность поля в этой точке равна векторной сумме направленностей, создаваемых точными зарядами +q и —q:

$$\vec{E} = \vec{E}_+ + \vec{E}_-$$

или

$$E = E_+ - E_- = \frac{kq}{(r-l/2)^2} - \frac{kq}{(r+l/2)^2} = \frac{2kql}{(r^2 - l^2/4)^2},$$

где r — расстояние от середины диполя до точки A.

На больших расстояниях, когда r >> l, получаем

$$E = \frac{2kql}{r^3} = p \cdot \frac{2k}{r^3},$$

где p =ql называется электрическим моментом диполя. Говоря точнее, ql — это модуль дипольного электрического момента $\vec{p}$, а направлен этот вектор от прицательного заряда к положительному. Электрический момент — основная характеристика диполя. В данном случае он определяет электрическое поле диполя на больших расстояниях от него.

Как видно из последнего выражения, вдали от диполя направленность поля убивает с расстоянием как $1/r^3$, то есть быстрее, чем поле то-

Рис. 1.
Рис. 2.

22

Чечного заряда (пропорциональное $1/r^2$). Это справедливо не только для точек, которые лежат на линии, но и для любых других точек, достаточно удаленных от диполя.

Диполь в электрическом поле. Посмотрим, как ведет себя диполь, попав во внешнее электрическое поле. Сначала — в однородное поле с направлением $\vec{E}$ (рис. 3). На заряды диполь действуют равные по модулю, но противоположные по направлению силы $+q\vec{E}$ и $-q\vec{E}$, которые стремятся развернуть диполь. Относительно оси, проходящей через центр диполя (точку $O$) и перpendикулярной плоскости чертежа, каждая сила создает врашаюший момент, равный произведению модуля силы на соответствующей площадью (см. рис. 3): $qE \cdot l/2 \sin \alpha$.

Суммарный врашаюший момент будет равен

$$M = 2qE \frac{l}{2} \sin \alpha = qlE \sin \alpha = p \cdot E \sin \alpha.$$

Таким образом, при заданных значениях $E$ и $\alpha$ врашаюший момент $M$ определяется величины дипольного момента $p$.

Рис. 4.

Рис. 5.

Под действием врашающего момент диполь будет поворачивать, пока не займет положение, изображенное на рисунке 3 штиrxовой линий. В этом положении равны нулю как сумма сил, так и сумма моментов сил, действующих на диполь. Это означает, что диполь находится в равновесии. При этом электрического момент диполя сознавлен с вектором направления поля.

Следовательно, в однородном внешнем электрическом поле диполь поворачивается и располагается так, чтобы его дипольный момент был ориентирован по полю. Заметим, что такое положение является положением его устойчивого равновесия.

Пусть теперь диполь находится в неоднородном внешнем поле. Разумеется, и здесь возникнет врашаюший момент, разворачивающий диполь вдоль поля (рис. 4). Но в этом случае на заряды действуют неодинаковые по модулю силы, равнойствующая которых отлична от нуля. Поэтому диполь будет еще и перемещаться поступательно, втяиваясь в область сильного поля (убедитесь в этом самостояльно).

Диполи в природа. Молеклы многохвостives похожи на электрические диполи — равные по модулю положительные и отрицательные заряды в них разделены в пространстве. Примерами таких дипольных молекул могут служить, скажем, молекули соляной кислоты HCl, состоящие из положительных ионов водорода ($\text{H}^+$) и отрицательных ионов хлora ($\text{Cl}^-$). Молеклы самого распространного на земле вещества — воды $\text{H}_2\text{O}$ состоит из двух положительных ионов водорода и одного отрицательного иона кислорода (рис. 5). Хотя это системы не двух, а трех зарядов, но ведут себя они как электрические диполи — центр положительного заряда на неокотором расстоянии от центра отрицательного заряда, а суммарный положительный заряд равен по модулю суммарному отрицательному заряду.

Есть также вещества, у которых молеклы в обычных условиях диполи не являются, поскольку центры положительных и отрицательных зарядов в них совпадают. Но во внешнем электрическом поле заряды противоположных знаков несколько смща-

23

ются относительно друг друга и молекулы становятся электрическими диполлями.

Заметим, что именно благодаря существование диполей происходит такое важное физическое явление, как поляризация диэлектриков («Физика 9», § 47). Интересно, что весь поляризованный диэлектрик ведет себя подобно диполю. Движение такого диполя в неоднородном электрическом поле было исторически первым замещенным лодьми электрическим явлением (вспомните прияжение на электризованным телом легких предметов).

Лучи и волны

В начале XIX века, благодаря работам по интерференции и дифракции света, окончательно утвердилось представление о том, что распространение света в пространстве представляет собой волновой процесс. Однако задалго до этого возникла, формировалась и продолжает существовать и в нашей дни так называемая геометрическая оптика. В этом разделе физики изучаются законы распространения света на основе представления о световых лучах. Говорится о падающих, отраженных и преломленных лучах, о расходящих, сходящих и параллельных лучах лучей и т. п.

«Лучовая» картина света позволяет описать многое из того, что происходит, когда свет падает на зеркала, признаны или линзы («Физика 10», глава 6). При этом говорится о ходе лучей, например в признаме, линзе или какой-то более сложной оптической системе.

Значит ли это, что через признамы и линзы проходят не световые волны, а лучи, что от зеркал отражаются не волны, а лучи? Что представляют собой световые лучи? Какова их физическая сущность?

Оказывается, за лучами не кроется никакой физической реальности. Световые лучи — это линни, вдоль которых распространяется световая волна. Все законы геометрической оптики могут быть получены из волна новой теории как предельный случай, когда размеры преятствий на пути света много больше длины световой волны. Таким образом, использование понятия светового луча вовсе не обязательно для понимания того, что происходит при распространении света. Оно просто облегчает рассмотрение.

Убедимся в этом на несколько конкретичных примерах.

Призма. Пусть на стеклянную призму треугольного сечения, находящаяся в воздухе (рис. 1), падает плоская световая волна. В какой-то момент времени волновая поверхность (волновой фронт) достигает в точке C поверхности признамы.

Начиная с этого момента, нижний край выбранного нами участка DC волновой поверхности (точнее, участка линни пересечения волновой поверхности с плоскостью чертежа) распространяется в стекле, в то время как верхний продолжает еще распространяться в воздухе. Когда верхний конец (точка D) достигает признамы в точке A, сферическая волна, распространiosa от нижнего конца (точка C), doit до точки E, причем расстояние CE будет применено в полтора раза меньше, чем DA, так как скорость света в стекле приблизительно в полтора раза меньше, чем в воздухе. Далее сферическая волна, центром которого является точка C, достигает второй грани признамы в точке B. В свою очередь из точки A тоже будет распространяться сферическая волна. К тому моменту, когда волна в стекле распространится на расстояние Eb, волна из A пройдет больший путь (скорость света в воздухе больше, чем в стекле!). Таким образом, новый фронт волны по другую сторону признамы (вернее, участком линни его пересечения с плоскостью чертежа) становится отрезок BK. Значит, роль признамы состоит в том, что фронт CD све-

24

товой волны преобразовался в ВК.
И произшло это потому, что скорость света в стекле меньше, чем в воздухе.
Такова волновая картина прохождения света через призму. Для сравнения на этом же рисунке сним цветом показана также и обычно приводимая картина хода луча в призме (см., например, § 56 «Физики 10»). Из рисунка 1 видно, что луч — это простой прямые, перpendикулярные волновым поверхностям (волновым фронтам). «Преломление лучей света» в действительности означает поворот фронта волны. Угол поворота волнового фронта — это СНВ. Таков же, очевидно, и угол преломления лучей.

Как видно, «лучевая» картина проще, чем «волновая», поэтому обычно и пользовются.

Собирающая линза. Пусть на двояковыпуклу стеклянную линзу, находящаяся в воздухе, падает плоская световая волна (рис. 2). С того момента, когда волновая поверхность (точнее, выбранная ее часть) коснется своей серединой первой поверхности линзы в точке C, пусть всех ее точки (кроме середины) проходят часть в воздухе, а часть в стекле. По мере удаления от середины волнового фронта к его краям доля «стеклянной» части пути уменьшается, поэтому, когда середина волны достигает в точке C’ второй поверхности линзы, все остальные части волнового фронта продвинутся на большие расстояние (самое большое расстояние пройдут крайные точки). В результате получается, что по выходе из линзы плоский волновой фронт ACB превращается в сферический A’C’B’. Центр этой сфериской волны — точка F — называется, как известно, фокусом линзы. Понято, что если, наоборот, сфериская волна выходит из точного источника, расположенного в фо-

Рассенвающая линза. Рисунок 3 или построирует случай, когда плоская волна падает на двояковогнутую стеклянную линзу, находящуюся в воздухе. После того как волновая поверхность коснется в точках A и B линзы, крайние участки будут отставать от других частей волнового фронта (так как проходят в стекле, где скорость света меньше, чем в воздухе). В результате плоская волна ACB превращается в сферический A’C’B’. Но центр этой сферической волны (точка F) находится по ту же сторону от линзы, откуда пришла плоская волна. Точку F тоже называют фокусом линзы, но фокусом минимым, так как преломленный свет сюда реально не попадает. Синним цветом и здесь показан соответствующий ход лучей.

---

Читатель без труда сумет сам построить волновые картины прохождения света через линзы, когда на них падают не плоские, а сфериские волны. После проходения линзы они преобразуют в сфериские же волны, но с другими радиусами. Из таких картины можно получить и формулу линзы, такую же, разумется, как и из геометрической оптики.

26

Три значенные работы Альберта Эйнштейна

(к 80-летию со времен их опубликования)

В 1905 году в немецком физическом журнале “Апнален der Physik” были написаны три статей, которые без преувеличения можно сказать, сыграли определуюшую роль во всем последующем развитием физической науки. Автором этих статей был молодой (ему тогда было двадцать лет) и мало кому известный Альберт Эйнштейн, занимающий скромную должность эксперта Швейцарского Бюро Патентов в городе Берне.

Мы здесь очень кратко рассказем об этих работах в том порядке, в каком они были опубликованы.

Первая из них поступила в редакцию журнала 18 марта 1905 года и была ознакомлена «О одной эвристической точке зрения», касающейся возникновения и превращения света». Заметим, что слово «эвристический», имеющее древнегреческий проискхождение, означает приближение следующего: «облегчаюший понски, помогаюший постигнуть истину» (вспомните всклицание «эвристические» — нашел! — в легенде об Архимеде). В этой работе было развитно новое, квантовое представление о природе света.

Во второй половине прошло века английский физик Джек. К. Максвелл создал теории электрических и магнитных явлений, в котором, в частности, показал, что свет представляет собой электромагнитные волны. Согласно этой теории, поле электромагнитной волны с заданной частотой существует во всем пространстве, энергия поля распределена по всему пространству непрерывно и может изменяться так же непрерывным образом.

Воловая теория света получила многочисленные подтверждения на опыта и считалась твердого установленной. Однако она не могла объяснить неокоторая физическая явление и в первую очередь равновесное теллоовое излучение. В 1900 году немецкий физик М. Планк вышел формулу, которая прекрасно описывает спектр свечения нагретого тела. Для обоснования формулы Планк предположил, что энергия излучения atomов меняется не непрерывно, а скачами, каждый раз убывая или возрата на величины, пропорционально частоте волны. Так в физике вошло дискретное (то есть скачаобразное, не непрерывное) изменение энергии.

А. Эйнштейн в своей работе утверждал, что закономерность, найденная Планком, является всеобъемлющей, далекой выходящей за рамки проблемы теллоового излучения. Он указал на цель класс явлений (теллоовое излучение, фотолиминисценция, фотоэфект), которые «лучше объясняются предположением, что энергия света распределяется по пространству дискретно. Согласно этому сделанному здесь предположению, энергия пучка света,ышедшего из неокоторая точки, не распределяется непрерывно во все пространстве объеме, а складывает из конечного числа локализованных в пространстве недельных квантов энергии, поглощаемых или возникших только целиком».

Эйнштейн приведет возможность физической опыты, которые могут быть послужить для проверки высказывания занной им точки зрения. Однако из них был опыт по выбиванию светом электронов с поверхностями металла (фотоэфект). Эйнштейн на основе высказанных им представлений сформировал закон, который теперь называют законом Эйнштейна для фотоэфекта.

Шестнадцать лет спустя, в 1921 году, А. Эйнштейн был присужden Нобельская премия «за важные физико-mатематические исследования, особенно за открытие законов физического эфекта». Но значение работы 1905 года далеко выходит за рамки теоретического объяснения физического ефекта, выдвигая совершенное понимание природы света и вообще электромагнитного поля. Эта работа была важнейшим шагом в развитие квантовой физики.

Следующая статья А. Эйнштейна называется «О движении взвешенных в покоящей жизни части, требуемом молекулярно-кипейческой теории теллоты». Она поступила в редакцию журнала 11 мая 1905 года, меньше чем через два месяца после работы о квантах света. В ней по существу была построена теория броунского движения (котя сам Эйнштейн в этой работе заметил, что доступные ему данные относятельно этого явления не настолько точны, чтобы составить о нем определенное мнение).

В 1827 году английский ботаник Р. Броун обнаружил, что мелкие частицы, взвешенные в жидкости, находятся в постоянном и беспорядном непрекрашащемся движении. Дальнейшие многочисленные экспериментальные исследования показали, что это движение не связано с ккипами-любо в внешним влиянии и что окивленность его повышается с ростом температуры и зависит от размера частицы и от взкости жидкости.

Эйнштейн рассмотрел этот вопрос теоретически.

Молекулия жидкости находится в тепловом движении, и поэтому частица, взвешенная в жидкости, все время с ним соударяется. В силу случайных причины число молекул, ударюших частицу с одной стороны, может оказаться большей, чем число (Окончание см. на c. 30)

27

Задчи

1. К человеку, стоящему на тротуаре, подъехал миллионер. «Вы не образили внимания на номер только что проехавшего синего самосвала?» «Конечно, образил. Второе движение число получается из первого перестановкой цифр, а если из первого вычесть второе, то получится сумма цифр одного из них.» «Спасибо», — сказал миллионер, — и записал номер в блокот. Какой номер он записал?

2. Разрежьте «кораблик» (см. рисунок) на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

3. На столе лежала стопка одинаковых книг. Я осторожно потянул одну из книг в середине стопки. Вместе с ней «поехали» и лежали на ней книги. Книги же, лежали ниже, остались на месте. Почему?

4. В выражении 19 * 83 вместе звездочки поставьте цифру так, чтобы полученное число стало точным кубом.

5. Концы одной стороны четырехугольника соединили с серединой его противоположной стороны (см. рисунок). Доказите, что если площадь полученного треугольника равна площади площади четырехугольника, то этот четырехугольник — трапеця или параллелограмм.

Эти задчи нам предложили: А. А. Кордюк, ученик 4 класса из Киева Руслан Вьюн, А. П. Савин, Н. И. Вовсуновский, В. В. Произвольов.

28

Отгадать день рождения

Член-корреспондент
Академии педагогических наук СССР
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ

Небольшая заметка с таким названием: «Отгадать день рождения», — есть в книге Я. И. Перельмана «Занимательная алгебра». В этой заметке описывается некий числовой фокус. Вот в чем он состоит.

Представьте себе, что к вам пришел папин знакомый, дату рождения которого вы не знаете. Предложите ему умножить число его рождения на 12, номер месяца, в котором он родился, умножить на 31, а затем сложить полученные произведение. Пусть он скажет вам, что у него получилось. Оказывается,ная сумму этих двух произведения, можно узнать оба нужных числа (число и месяц рождения). Как выполняется этот фокус, вы можете посмотреть в книге Я. И. Перельмана. Сейчас мы расскажем вам другой способ выполнения того же фокуса; этот способ предложил Педро делы Риско Падрон — кубинский читатель книги Я. И. Перельмана.

Обозначим через $x$ число рождения пришешего знакомого, а через $y$ — номер месяца его рождения. Знакомый сообщает вам сумму $12x+31y$. Расмотрим два случая: а) $y$ четно; б) $y$ нечетно.

а) $y$ четно, то есть $y=2k$. Тогда $12x+31y=12x+62k=$
$$=12(x+5k)+2k=12(x+5k)+y.$$
Отсюда видно, что число $12x+31y$ имеет такой же остаток от деления на 12 (обозначим его через $r$), как число $y$. Число $y$ вообще принимает значения от 1 до 12, а в нашем случае ($y$ четно) $y$ может быть равно 2, 4, 6, 8, 10 или 12. Понято, что $y=12$, когда $r=0$. В случае же, если $r \neq 0$ и $r$ четно, мы имеем $y=r$.

б) $y$ нечетно, то есть $y=2k+1.$

Тогда
$$12x+31y=12x+31(2k+1)= =12(x+5k)+2k+7= =12(x+5k+2)+y+6,$$
откуда видно, что число $12x+31y$ имеет такой же остаток $r$ от деления на 12, как число $y+6$, то есть $y$ либо совпадает с числом $r-6$, либо отличается от него на 12. Значит, если $r$ нечетно и $r>6$, то $y=r-6$; если же $r$ нечетно и $r<6$, то $r-6$ отрицательно, и потому $y=(r-6)+12=r+6$.

Отсюда и получается тот способ выполнения фокуса, который предлагает Педро делы Риско Падрон:

1. если $r$ четно, но $r \neq 0$, то $y=r$;
2. если $r=0$, то $y=12$;
3. если $r$ нечетно и $r>6$, то $y=r-6$;
4. если $r$ нечетно и $r<6$, то $y=r+6$.

Узнать $y$ и вычислить произведение $31y$, вы вычитаете это произведение из сообщенного вам числа $12x+31y$, находите число $12x$, после чего, разделив результат на 12, находите $x$. Дата рождения определяна.

Теперь взглянем на этот фокус с другой точки зрения. Год содержит 365 или 366 дней, и любой из них мог оказаться днем рождения папином знакомого. Таким образом, «объем» возможной сообщаемой информации равен 366. Если бы вместо выражения $12x+31y$ было взято другое выражение, причем такое, что для двух различных дней года выражение получило бы одинаковые значения, то такое выражение было бы для выполнения фокуса неприрюдно. Получив это значение, вы не смогли бы определить, на какой из двух дней, соответствующих этому значению выражения, приходим到 день рождения. Выражение $12x+31y$ было взято потому, что для всех 366 дней года (високосного) оно принимает различные числовые значения.

Но $12x+31y$ — не единственное выражение, обладающее таким свойством. Этот же свойством обладает выражения $12x+35y$, $12x+37y$, $2x+31y$, $3x+31y$, $4x+31y$, $12x+7y$, $12x+5y$, $12x+y$ и другие. Например, взяв выражение $12x+y$, можно предложить упрощенный вариант фокуса: умножить число рождения на 12, прибавить номер месяца рождения и сообщить результат. А «алгоритм» выполнения фокуса в таком

29

упрощеном варианте будет совсем несложен: надо определить остаток $r$ от деления сообщенного числа $12x+y$ на 12, и тогда при $r \neq 0$ имеем $y=r$, а при $r=0$ будет $y=12$. Правда, такой упрощенный вариант фокуса легко разгадать.

Наконец, можно взять выражение $100x+y$, и тогда дата розделяя определяется совсем просто и неинтересно（《тривиально》，как говорят математики): число сотен равно числу розделения, а последние две цифры дают месту розделения. Например, для даты 16 июля (то есть $x=16$, $y=7$) имеем $100x+y=1607$; теперь достаточно поставить точку, то есть написать 16.07, и получается способ записи даты, часто используемый на документах (только там добавляют еще год: 16.07.72).

Задачи

1. Проделяйте сами с собой описанный фокус и «отгадайте» день своего рождения, используя выражения: a) $100x+y$; b) $12x+y$; b) $12x+31y$.
2. Докажите, что если натуральные числа $a, b$ удовлетворяют неравенству $31a+12b \leq 366$, то выражение $ax+by$ не позволяет проводить описанный фокус.
3. Докажите, что если натуральные числа $a, b$ удовлетворяют неравенству $a<12$ и $b<31$, то выражение $ax+by$ не позволяет проводить указанный фокус.
4. Докажите, что каждое из выражений a) $x+31y$, b) $16x+31y$; b) $12x+7y$ пригодно для проведения описанного фокуса.

Отредакции. В связи с этой заметкой уменьшно вспомнить еще один интересный фокус. Это — изящная задача, придуманная много лет назад Д. Б. Фуксом. Правда, в этой задаче не идет речь о днях розделения и вообще о дахах, но тоже требуется угадать несколько чисел.

Двое прягелей играют в угадавание чисел. Первые задумывает 10 на туральных чисел (мы обозначим их через $x_1, \dots, x_{10}$). Второй пытается уладать их, задавать вопросы. В качестве вопроса он предладает первому свой 10 натуральных чисел — обозначим их через $a_1, \dots, a_{10}$. Первый в ответ сообщает ему, чем равно выражение $a_1x_1+...+a_{10}x_{10}$. Услышав ответ, второй участник играл задает следующий вопрос — аналогичный первого, но с другой $a_1, \dots, a_{10}$. И так далее. За какое наименьшее число вопросов можно уладать все числа $x_1, \dots, x_{10}$?

Эта задача в свое время была придумана для Московской математической олимпiadы, но на нее не попала: члены Оргкомитета олимпiadы не смогли удержаться от того, чтобы предлагать ее сначала друг другу, потом — своим знакомым, — и задача стала широко известной. Ответ в ней гораздо меняше, чем это может показаться с первого взгляда: оказывается, что вопросов требуется всего два (!).

Для первого вопроса возьмем $a_1 = ...=a_{10}=1$. В ответ на этот вопрос мы получаем сумму $x_1+...+x_{10}$, которая завершено большее каждое из $x_1, \dots, x_{10}$ (только это и важно). Возьмем теперь такое $m$, что число, записьваемое как единица с $m$ нулями, не меньше ответа на первый вопрос, и зададим следующее вопрос: $a_1=1, a_2=10...0, a_3=10...0, a_4=10...0, ..., a_{10}=10...0$. В ответ мы получим длинное число, у которой в последних $m$ разрядах будет записано первое задуманное число (к которым в начале приписано, быть может, несколько нуля), в следующих с конца

30

m разрядах — второе число, затем — третье и т. д.

При мер: $x_1=4, x_2=11, x_3=21, x_4=14, x_5=9, x_6=7, x_7=1, x_8=12, x_9=3, x_{10}=11$. Ответ на первый вопрос: 90. Второй вопрос: $a_1=1, a_2=100, a_3=10000, \dots, a_{10}=10...0$.

Ответ на вторый вопрос: 11031201070914211104. Беря с конца по две цифры, получаем задуманные числа: 04, 11, 21, …

Три значенные работы Альберта Эйнштейна
(Начало см. на c. 26)

молекул, ударяющих ее с противоположной стороны, и тогда на частицу действует неокоторая сила, вызывающая ее перемешение. Направление этой силы меняется случайным образом, поэтому случайным образом изменяется и направление перемешения частицы. Эйнштейн разработал простой, но очень мощный метод, позволивший «проследить» за частицей, совершающей такое рода движение.

Эта работа Эйнштейна является одним из наиболее убедительных подтверждений молекулярно-kinетической теории.

Третья по порядку, но не по важности, работа Эйнштейна, опубликованная в том же журнале “Annalen der Physik” и в том же 1905 году, называется «К электроннаямике движущихся тел». Статья поступила в редакцию 30 июня 1905 года. В этой работе дано практические законченое изложение специjalной теории относительной теории относительной.

(Впрочем, в том же году и в том же журнале была написана еще одна коротка и важная работа Эйнштейна «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?», посвященная выводимementого соответствия между массой тела и его энергиям.)

О теории относительной теории относительной трудно расскадать кратко, а подробный расскада невозможен из-за ограниченного объема этой статьи. Складем лишь, что с появлением этой теории связан корененной перемотр основных понятей, которые получается физика, таких как время, пространство, длина, длительность, энергия, количество движения, масса и т. д. По своему значению для естественного появление теории относительной теории относительной можно сравнить с появлением на два столей ранее ньютоновской механики.

Кажется невероятным, что один человек смог за год сделать три столбца целительные по своим последствиям работы в трех различных областях физики (квантовая теория излучения, молекулярно-kinетическая теория, теория относительной).

Следует сказать о том, что хотя мы теперь даем высокую оценку работы Эйнштейна 1905 года, тогда не все и не сразу поняли их значение. В частности, основоположник квантовой физики Макс Планк должен соглашаться с теми представлениями о природаве света, которые были высказаны Эйнштейном в первой из трех значений работы 1905 года. Однако неотorious крупнейшие физики того времени признаны их сразу же. Средних были и Мария Кюри:

«Я искренне восхитилась работы, которые были опубликованы господином Эйнштейном по вопросам современной теоретической физики. Думаю, впрочем, что физиоматики признают, что это работы самого высокого класса. В Брюсселе на научном контресе, в котором участвовали и глубину знаний! Нам известно, что господин Эйнштейн еще очень молод, но это и дает нам право возлагать на него самые большие надежды, видеть в нем одного из крупнейших теоретических будущего».

Эти надежды оправдались в полной мере.

В. М. Болотовский

31

Задчи

М951—М955; Ф963—Ф967

М951. Все стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF равны 1. Доказите, что радиус описанной окружности одного из треугольников ACE и BDF не меньше 1.

Е. Хорват (Венгрия)

М952. Обозначим через {x} дробную часть числа x; {x} = x - [x], где [x] — наибольшее целое число, не превысая ее.

a) Приведите пример числа a такого, что
{a} + {1/a} = 1.

6. Доказите, что такое число a не может быть рациональным.

И. Варга (Румыния)

М953. На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?

В. В. Прасолов

М954. a) В треугольник вписан прямоугольник со стороны a и b так, что все его вершины лежат на сторонах треугольника. Пусть a₁ и b₁ — длины проекций треугольника на прямые, параллельные сторонам a и b прямоугольника. Доказите равенство
$$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} = 1.$$

6. В произвольный tetraэдр вписан прямоугольный параллельный ребра a, b и c так, что все его вершины лежат на поверхности tetraэдра. Пусть a₁, b₁ и c₁ — длины проекций tetraэдра на прямые, параллельные ребра a, b и c. Доказите равенство
   $$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} + \frac{c}{c_1} = 1.$$

В. Н. Дубровский

М955.* За круглым столом сидят n участников «безумного чапития»*. Каждый минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое намиень-(Окончание см. на с. 34)

*) Из сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес».

Калейдоскоп «Кванта»
«Не считать ничего следующим, если кое-что осталось сделать»
Карл Фридрих Гаусс

Великого немецкого математика Карла Фридриха Гаусс (1777—1855) современники называли «королем математики».
Его математический талант пробудился очень рано. Уже девятнадцатилетим студентом он решил проблему, которая стояла 2000 лет, со времен древнегреческих геометров. Он указыл все такие числа n, для которых можно построить правильный n-угольник (с помощью циркуля и линейки). В частности, он указал способ построения правильного семнадцатилетим математики. А в 22 года он доказал теорему, получившую название «Основной теоремы алгебры» (о существовании комплиексного корня у любого многочлена).
Гаусс внес огромный вклад во многие области математики. Кроме того, он много и успешно занимался геодезией и физикой.
Подробнее о К. Гауссе и его работах читайте в нашем журнале (№ 1, 1972; № 1, 1973; № 8, 1977).

Треугольник — простейшая плоская фигура. При вершины и три стороны. Но изучение треугольника породило целую науку — тригонометрию, в котором метрические свойства треугольника выражаются через функция его углов. Эта наука возникла из практических потребностей при изменении земельных участков, составления карт местности, конструктивии машин и механизмов.
Первые упоминания о треугольнике и его свойствам мы находим в египетских пapiрухах более чем 4000-летней давности. В частности, там упоминается способ нахождения площади равноведенного треугольника, дающий хорошее приближение при малых углах при вершине, противоположной основанию. Эта площад нахождение как произведение половины основания на боковой сторону.
Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойства треугольника доступает высокого уровня — достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона.
После длительного периода упадка культуры и, в частности, математики, с XV—XVI веков началось Возрождение.
Вновь появилось огромное количество исследований свойств треугольника, особо-
бенно в XVIII века. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получивший название «Новая геометрия треугольника».
Вот одна из замечательных теorem того времени, принадлежащая Л. Эйлеру. «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Эта окружность изобрана на рисунке 1. Она обусловна называется «окружностью деревяти точек» (по коли-

Полезные формулы

Пусть, как принято обучно, $a, b, c$ — длины сторон треугольника, $p$ — его полуперimetр, $m_a, m_b, m_c$ — длины медиан, $h_a, h_b, h_c$ — длины высот, $R$ — радиус описанной честиvy замечательных точек, через которые она проходит. Ее называют также «окружность Эйлера», а неокружность «окружность Фейербаха» в честь немецкого математика XIX века К. Фейербаха (брата извесного немецкого философа), доказавшего, что эта окружность касается окружности, вписанной в треугольник, и всех его внешисанных окружностей (то есть окружностей, касающиеся одной из сторон и продолжений двух других сторон, рис. 2). Радиус окружности девяты точек равен половине радиуса описанной окружности, а центр окружности девяты точек лежит на середине отрезка, соединяющего центр описанной окружности с точкой пересечения высот тре-

ной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $S$ — площадь треугольника. Тогда

$$S = \frac{ah_a}{2}; \quad S = pr;$$

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};$$

$$S = \sqrt{\frac{Rh_a h_b h_c}{2}};$$

$$abc = 4SR;$$

$$ab + bc + ac = p^2 + r^2 + 4Rr;$$

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c};$$

$$m_a = \frac{\sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2}}{2};$$

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2).$$

честву замечательных точек, через которые она проходит. Ее называют также «окружность Эйлера», а неокружность «окружность Фейербаха» в честь немецкого математика XIX века К. Фейербаха (брата извесного немецкого философа), доказавшего, что эта окружность касается окружности, вписанной в треугольник, и всех его внешисанных окружностей (то есть окружности, касающиеся одной из сторон и продолжений двух других сторон, рис. 2). Радиус окружности девяты точек равен половине радиуса описанной окружности, а центр окружности девяты точек лежит на середине отрезка, соединяющего центр описанной окружности с точкой пересечения высот тре-

угольника. Прямая, который принадлежит этот отрезок, называется прямой Эйлера. Этот прямой принадлежит и точка пересечения медиан треугольника. (Подробнее об окружности девяты точек можно прочесть в «Кванте», 1981, № 8.)

Известно, что Наполеон часть своего свободного времени посвящал занятым математикой. Ему приписывал такую красную теорему: «Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника». Этот треугольник называют «внешним треугольником Наполеона». Аналогично строится «внутренний треугольник Наполеона».

Находки в геометрии треугольника есть и в на-

шем веке. Так, в 1904 году американский математик Ф. Морли доказал, что если из каждой вершины треугольника проведится луч, делящие соответствующей угол на три равные части (трискрисы угла), то точки пересечения смejных трискрис углов являются вершинами равностороннего треугольника (рис. 3). Доказательство этого утверждения было бы вполне под силу и древнегреческий математикам. Они прошли много этого факта, видимо, потому, что тогда было принято рассматривать лишь построения при помощи циркуля и линейки, а с помощью этих инструментов такое деление в общем случае сделать новозможно (это позднее было доказано).

А. П.

Рис. 3.

34

Шее время все участники человека могут оказаться сидящими в противоположном порядке (так что левые соседи у всех станут правыми и наоборот)? Решите эту задачу: а) для $n=4$, 5 и 6; 6) для любого $n \geqslant 3$.

В. В. Алексеев

Ф963. Плокости $P$ и $Q$ пересекаются под прямым углом и плоскость $P$ составляет угол $\alpha$ с горизонтом (рис. 1). Из некоторой точки $A$ пространства на плоскость $P$ свободно падает маленький шарик. Сударенная шарика с плоскостями абсолотно упругие. При каком условиях шарик вновь оказывается в точке $A$? Изображите одну из возможных траекторий возврашения.

Г. С. Лапидус

Ф964. Материальные точки образуют замкнутую систему. Между любыми двумя точками системы действует сила прятяжения, равная $\vec{F}_{ij} = km_i m_j \vec{r}_{ij}$, где $m_i, m_j$ — массы точки, $|\vec{F}_{ij}|$ — сила, действующая на точку $i$ со стороны точки $j, |\vec{r}_{ij}|$ — расстояние между точками (рис. 2), $k$ — постоянный коэффициент. В начальной момент все частицы покояться. Доказите, что через некоторое время все точки столкнутся. Определите это время, если известны масса всей системы $M = \sum_i m_i$ и коэффициент $k$.

А. Г. Самосват

Ф965. Длинный цилиндрический сосуд наполнен идеальным газом до давления $p_0$. Сначала температура цилиндра поддерживается постоянной и равной $T_0$. Затем температура одной из торцевых стенок сосуда повышает на $\Delta T$, а температура противоположной стенки остается прежней. Найти установившееся давление в сосуде и положение центра масс газа. Считать, что $\Delta T \ll T_0$.

В. И. Комов

Ф966. Для иллюстрации поверхностного натяжения одну из мыльных пленок, натянутых на параллельные «направляющие» и разделенных ниткой $AB$ (см. рис. 3), прокалывают; при этом нить $AB$ натягивается. Определите силу натяжения нити. Расстояние между «направляющими» равно $d$,лина нити $l$ ($l > \pi d/2$), коэффициент поверхностного натяжения мыльного расвора $\sigma$.

Л. Г. Маркович

Ф967. Стоку очень тонких металлических пластин, находящихся на одинаковых расстояниях друг от друга, заряжают от батареи следующим образом. Отрицательную клемму батареи соединяют с самой правой пластиной, а положительную клемму присоединяют по очереди к самой левой пластине, затем ко второй слева, к третьей и т. д. до предпоследней (второй справа; рис. 4). Найти относение заряда на самой правой пластине к заряду на третьей справа пластине. Считать, что толщина стопки много меньше, чем линейные размеры пластин.

Е. П. Соколов

36

a thread $AB$ (Fig. 3, p. 34) is punctured; the thread, which had been floating freely on the film, stretches into a definite shape. Find the tension in the thread. The distance between the «directrices» is $d$, the length of the thread is $l$ ($l > \pi d/2$), the coefficient of surface tension of the soap solution is $\sigma$.

L. G. Markovich

P967. A pile of very thin metal plates, located at the same distance from each other, is charged from a battery in the following way. The negative contact of the battery is connected to the plate furthest to the right, while the positive contact is connected in sequence first to the first plate from the left, then to the second one, the third and so on until the next to last plate (the second one from the right, see Fig. 4). Find the ratio of the charge of the far right plate to that of the third from the right. Assume that the thickness of the pile is much less than its linear measurements.

E. P. Sokolov

Решения задач

M931 — M935; Ф943 — Ф947

Рассмотрим треугольники $AA_1B_1$ и $BB_1A_1$ (рис. 1). Они имеют общую сторону $A_1B_1$ и равные по условию стороны $AA_1$ и $BB_1$. Кроме того, равны их углы $AB_1A_1$ и $BA_1B_1$, поскольку смежные с ними углы — это углы при основании равноведренного треугольника $A_1B_1C$ (отрезки $CA_1$ и $CB_1$ равны, как касательные, проведенные к окружности из одной точки); по той же причине углы $AB_1A_1$ и $BA_1B_1$ тулы, следовательно, остальные углы рассматриваемых треугольников остры. По теореме синусов

$$\sin \angle A_1AB_1 = \frac{A_1B_1}{A_1A} \sin \angle AB_1A_1 =$$

$$= \frac{A_1B_1}{B_1B} \sin \angle BA_1B_1 = \sin \angle B_1BA_1,$$

позному $\angle A_1AB_1 = \angle B_1BA_1$ (эти углы остры), значит, и $\angle AA_1B_1 = \angle BB_1A_1$. Таким образом, треугольники $AA_1B_1$ и $BB_1A_1$ равны (по двум сторонам и углу между ними). В частности, $AB_1 = BA_1$ и $AC = AB_1 + B_1C = BA_1 + A_1C = BC$. Аналогично доказывается, что $AC = AB$.

Отметим, что, вообще говоря, признак равенства треугольников «по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них» не верен (см. рис. 2).

В. Н. Дубровский

M932. В кавадратной клетке со стороны 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может одним выстрелом прострелть анаконду сразу в 6 местах. Не преувеличивает ли барон? (Анаконду можно считать произвольной ломаной длины 10, расположенной внутри кавадрата $1 \times 1$.)

37

М933. 13 рыцарей из k разных кланов (1<k<13) сидят за круглым столом. Каждый держит золотой или серебряный кубок, причем золотых кубковровно k. Король Артур приказал рыцарем одновременно передать кубки своим соседям справа, потом сделать то же самое еще раз и т. д. Докажите, что в некоторых моментах найдет два рыцара из одного клана, в руках у которых золотые кубки.

М934. В пространстве расположено 2n(n≥2) точек (так что никакие 4 не лежат в одной плоскости) и проведено n²+1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведенные отрезки образуют a) хотя бы один треугольник; b)* не менее n треугольников.

ломной. Барону достаточно быстро пистелить из этой точки перепendlukлярно стороне. Из рисунка на полях видно, что анакonda может так расположиться в клетке, что даже Мюнхгаузен не сумет прострелить ее сразу в 7 местах.

С. В. Гашков

◆
Вудем рассуждать от противного. Если утверждение задачи не верно, то в любой момент временировно один рыцарь в каждой клане держит золотой кубок, так как число кланов равно числу кубков. Допустим, что каждая следующая передача кубков проискдает через минуту. Тогда за 13 минут — время полного оборота кубков вокруг стола — каждому рыцарю доведется держать каждый из золотых кубковровно по одному разу, то есть в течение k минут, а всем рыцарям одного клана вместе взятым — nk минут, где n — число рыцарей в этом клане. Таким образом, nk=13, что невозможно при 1<k<13, поскольку число 13 простое.

Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

Если бы общее число рыцарей r делилось на k: r=kn, то было бы нетрудно построить пример, когда в любой момент лишь у одного рыцаря из каждого клана золотой кубок: достаточно расследить рыцарей каждого клана в вершинах правильного n-угольника, а k золотых кубков дает k сидящим подряд рыцаря (из разных кланов).

С. В. Гашков

◆
a) Выберем точку, из которой выходит наиболее число отрезков. Обозначим ее через A₁, концы выхождения из нее отрезков — через B₁, …, Bₖ, остальные точки — через A₂, …, A₂n-k. Если треугольников нет, то между точкими B₁, …, Bₖ нет отрезков, поэтому из каждой из них выходит не более 2n-k отрезков. А поскольку из каждой точки Aᵢ, i=1, …, 2n-k, выходит не более k отрезков, общее число отрезков не превысит

$$\frac{1}{2}(k(2n-k)+(2n-k)k)=k(2n-k)\leq n^2.$$

Не число данных отрезков равно n²+1, поэтому они образуют хотя бы один треугольник.

Для n² отрезков утверждение задачи, как видно из рисунка, не верно.

б) Проведем доказательство индукции по n. При n=2 (для 4 точки и 5 отрезков) утверждение проверяется непосредственно. Докажем его для 2(n+1) точки, считая его верным для 2n точки.

Согласно a) проведенные отрезки образуют хотя бы один треугольник ABC. Нужно еще по крайней мере n треугольников. Обозначим количество отрезков, выхождения из вершин треугольника ABC (не считая его сторон), через kₐ, kₑ, k₃ соответственно.

38

Если $k = k_A + k_B + k_C \leq 3n - 2$, то для каких-то двух вершин треугольника, например $A$ и $B$, общее число таких отрезков $k_A + k_B$ не больше $2n - 2$. Выбросим эти точки и все выходящие из них отрезки (вместе со сторонами треугольника $ABC$). Мы получим набор из точек, соединенных не менее чем $(n + 1)^2 + 1 - (2n - 2) - 3 = n^2 + 1$ отрезками, которые, по предложению индуки, образуют не менее $n$ треугольников.

Если же $k \geq 3n - 1$ и $k$ рассматриваемых нами отрезков образуют со сторонами $AB, BC$ и $CA$ треугольников, то $t \geq n$. В самом деле, пусть среди $2n + 2 - 3 = 2n - 1$ точек, отличных от $A, B, C$, имеется $n_j$ таких, из которых идет $j$ отрезков к вершинами $A, B, C$ ($j = 0, 1, 2, 3$). Тогда
$$n_1 + n_2 + n_3 \leq n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = 2n - 1,$$
$$n_1 + 2n_2 + 3n_3 = k \geq 3n - 1,$$
следовать, $t = n_2 + 3n_3 \geq n_2 + 2n_3 \geq (3n - 1) - (2n - 1) \geq n$.

С. В. Гашков

M935. (Задача о гайке.) Если внутри правильно $2n$-угольника со сторонами $a$ и центром $O$ (произвольным образом помещить правильно $2n$-угольник со сторонами $a/2$, то он накроет точку $O$. Доказите это утверждение: $a)$ для $n = 2$; $b)$* для $n = 3$; $c)$* для любого натурального $n$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Будем рассуждать от противного и сразу в общем случае. Обозначим меньший $2n$-угольник через $M_1$, больший — через $M_2$. Если многоугольник $M_1$ не содержит центра $O$ многоугольника $M_2$, то, поскольку он выпуклый, у него найдется такая сторона $AB$, что точка $O$ и сам многоугольник $M_1$ лежат по разные стороны от прямой $AB$ (рис. 1). Пусть $CD$ — противоположная к $AB$ сторона многоугольника $M_1$. Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно радиусу вписанной окружности многоугольника $M_2$, поэтому прямая $CD$ лежит вне этой окружности. Проведем касательную $MN$ к этой окружности (см. рис. 1), параллельную $CD$; тогда, как следует из сказанного,
$$CD \leq C'D' < MN,$$
где $C'D'$ — отрезок, по которой прямая $CD$ пересекается с $M_2$, причем концы отрезков $C'D'$ и $MN$ лежат на двух соседних сторонах многоугольника $M_2$.

Тепер достаточно доказать, что $MN < a/2$ (тогда окажется, что $CD < a/2$, что противоречит условия). Пусть точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $M_2$, выходящих из вершины $P$; $Q, R$ и $T$ — точки касания этих сторон и отрезка $MN$ с вписанной окружностью $M_2$ (рис. 2). Тогда
$$2MN = MT + MN + TN = QM + MN + NR < QP + PR = a,$$
что и требовалось.

Заметим, что для $(2n + 1)$-угольников аналогичное утверждение неверно.

С. В. Гашков

**Ф943. Небольшие тело падает с ортомой высоты на землю. Считая удар тела о землю абсолотно упругим, определен-

39

лить ускорение тела сразу же после того, как оно отскочит от земли.

Рис. 1.

Рис. 2.

Положно скорости тела, то есть вверх. Посокльку сила сопротивления растет с увеличением скорости, найдет такая высота (по условию тела падает с огромной высоты), на которой сила сопротивления оказывает по модулю силу тяжести (рис. 1):

$$mg - F_c = 0, \quad mg + F_c = 0.$$

Начиная с этого момента, тело будет падать с некоторой постоянной скоростью $\vec{v}$.

С такой же по модели, но противоположно направленной скоростью тела отскочит от земли сразу же после абсцилтоно упругого удара о нее. В этот момент на тело действуют две одинаково направленные и равные по модулю силы (рис. 2), поэтому его ускорение будет равно

$$a = \frac{mg + F_c}{m} = \frac{2mg}{m} = 2g \approx 20 \text{ m/c}^2.$$

А. Г. Шихкеримов

Ф944. На твердое тело, движущаяся поступательно по шероховатой горизонтальной поверхности, в момент времени $t_0 = 0$, когда скорость тела равна $v_0$, начинает действовать сила $F(t)$, направленная все время вдоль вектора $\vec{v}_0$ и возвращающаяся в временем. Через время $t$ скорость тела оказывается равной $v_i$, причем $v_i = 5 \text{ m/c}$, если $v_0 = 1 \text{ m/c}$, и $v_i = 13 \text{ m/c}$, если $v_0 = 10 \text{ m/c}$. Определить зависимость $v_i = f(v_0)$ при всех возможных $v_0$.

Начиная с момента времени $t = 0$, на тело действуют две силы — данная сила $F(t)$, возвращающаяся со временем, и сила треня, которая здесь может принимать значения от 0 до максимальной силы треня покоя, равной силе треня скольжения $F_{\tau p} = \mu mg$ (μ — коэффициент треня, $m$ — масса тела). Эти силы направлены противоположно друг другу, поэтому понятно, что характер движения тела будет определяться соотношением между модулями действующих на тело сил, и прежде всего — в начальной момент. Расстоярим возможность в начале момента $t = 0$, на тело действуют две силы — данная сила $F(t)$, возвращающаяся со временем за данный промежуток времени $t$ не зависит от скорости: $v_i = v_0 + C$ (где $C$ — некоторая постоянная). Соответствующий график изобранен на рисунке 1. Нетрудно увидеть, что данные задачи не «ложатся» на этот график. Значит, $F(0) < \mu mg$.

Поскольку сила $F(t)$ с течение времен возвращает, в какой-то момент, назовем его «критичским», она оказывается равной максимальной силы треня покоя: $F(t_{\kappa p}) = \mu mg$. Это может произойти либо до указанного момента времени $t$, либо после него (конечно, не исключено, что этого не следует никакого, но об этом — несколько позже).

Пусть $t_{\kappa p} < t$. Тогда тело сначала, до момента $t_{\kappa p}$, движется замедленно, а потом ускорено. Но здесь тоже возможно два случая: в момент $t_{\kappa p}$ скорость тела либо равна нулю, либо больше нулю. Ясно, что первый случай может быть реализован лишь при достаточно малых начальных скорости. При этом скорость $v_i$ не зависит от скорости $v_0$ (тело движется замедленно, останавливается и снова начинает движаться, «забыв» о начальной скорости $v_0$): $v_i = A$. Постепенно уvelичная начальная скорость, мы приедем к таким ее значению, назовем его «критичским», что при

40

$v_0 > v_{\text{кр}}$ тело будет движаться, не остановливаясь. В этом случае, начная с момента $t_{\text{кр}}$, на тело будет действовать сила $F(t) - \mu mg$, не зависит от скорости, поэтому $v_t = v_0 + B$. Таким образом, при $t_{\text{кр}} < t$ график зависимости $v_t = f(v_0)$ имеет вид, приведенный на рисунке 2.

Пусть теперь $t_{\text{кр}} > t$. Проведяя аналогичные расчёжения, мы приdem к графику, изображенную на рисунке 3. Очевидно, что этот график подходит и для последнего возможного случая, когда сила $F(t)$ всегда меньше $\mu mg$ (тело либо остановится до момента $t$, либо будет движения сускорением, не зависит от скорости).

Итак, мы получили три графика зависимости конечной скорости движения тела от его начальной скорости. При этом точки, заданные в условиям задачи ($v_t = 5$ м/c при $v_0 = 1$ м/c и $v_t = 13$ м/c при $v_0 = 10$ м/c), «ложатся» лишь на график, изображенный на рисунке 2. Таким образом,

$$v_t = \begin{cases} A & \text{при } v_0 \leqslant v_{\text{кр}}, \\ B + v_0 & \text{при } v_0 > v_{\text{кр}}. \end{cases}$$

«Сшивая» эти два условия с учетом конкретных данных, получим окончательно (рис. 4):

$$v_t = \begin{cases} 5 \text{ м/c} & \text{при } v_0 \leqslant 2 \text{ м/c}, \\ 3 \text{ м/c} + v_0 & \text{при } v_0 > 2 \text{ м/c}. \end{cases}$$

Р. Л. Мкртчян, O. М. Худавердян

◆ Коэффициент полезного действия циклического процесса определяется как $\eta = A / Q$, где $A$ — работа, совершенная системой за цикл, $Q$ — количество теплоты, полученное системой соответствующего привертом и при втором цикле. Найдем $Q_1$ и $Q_2$.

Пусть температура газа в точке 1 была $T_1$. Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа, нетрудно показать, что

$$T_2 = T_5 = 2T_1, T_3 = T_6 = 6T_1, T_4 = 3T_1, T_7 = 9T_1.$$

Очевидно, что в процессе 1-2-3-4-1 газ получил теплло $Q_1$ на участках 1-2 и 2-3, причем $Q_1 = A_1 + \Delta U_1$, где $A_1 = 4p_0V_0 = 4vRT_1$ — работа, совершенная на этих участках газом, $\Delta U_1 = \frac{3}{2}vR(T_3 - T_1) = \frac{15}{2}vRT_1$ — изменение его внутренней энергии. Так что

$$Q_1 = 4vRT_1 + \frac{15}{2}vRT_1 = \frac{23}{2}vRT_1.$$

В процессе 5-6-7-4-5 газ получил теплло $Q_2$ на участках 5-6 и 6-7, причем

$$Q_2 = A_2 + \Delta U_2 = 3p_0V_0 + \frac{3}{2}vR(T_7 - T_5) \frac{27}{2}vRT_1.$$