Квант 1986, №1 · Страницы

КВАНТ
1
1986
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

В природе часто встречаются симметричные объекты. Своийством симметрицы обладают и пчелные соты, и колонии вирусов (фотография слева, сделанная с помощью электронного микроскопа), и кристаллы (вверху приведены рисунки из атласа к тракту Р. Ж. Гаюи, изданного в начале XIX века).

Но почему пчели строят шестиугольные соты, а вирусы предпочитают пятуюгольники? Из каких повторяющих частей можно составить кристалл? Эти вопросы обсуждаются в статье «Следы на песке и… строение вещества».

Нащим новым читателем
Интервью с академиком Ю. А. Осипьяном
И. Г. Башмакова, А. И. Лапин. Пифагор
Л. Г. Асламазов. Следы на песке и … строение вещества

To our new readers
Interview with academician Yu. A. Ossipyan
I. G. Bashmakova, A. I. Lapin. Pythagoras
L. G. Aslamazov. Footsteps in the sand …and the structure of matter

Matematический кругок
Н. В. Васильев, В. Л. Гутенхахер. Комбинаторика — многочлены — вероятность

Mathematics circle
N. В. Vasiliev, V. L. Gutenmakher.
Combinatorics — polynomials — probability

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10
Избранные школьные задачи

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Selected school problems

«Квант» для младших школьников
Задачи
Н. Н. Иванова. Восстанови стертую фигуру!

Kvant for younger school children
Problems
N. N. Ivanova. Recovering erased figures

Калейдоскоп «Кванта»
Kvant’s kaleidoscope

Задачик «Кванта»
Задачи M961—M965; Ф973—Ф977
Решения задач M941—M945; Ф953—Ф957
Из письм читателей

Kvant’s problems
Problems M961—M965; P973—P977
Solutions M941—M945; P953—P957
From our mail

Полупроводниковые элементы вычислительной техники
V. Элементарные логические операции

Semiconducting elements in computers
V. Elementary logical operations

Искусство программирования
С. А. Абрамов. Поиск в упорядоченной совокупности и упорядочение

The art of programming
S. A. Abramov. Search in an ordered set and ordering

Практикум абитурента
И. Г. Габович. Основные углы в правильной парамиде

College applicant’s section
I. G. Gabovich. The principal angles of regular pyramids

Вариants вступительных экзаменов

Entrance examination problems

Информация
Новый прием во Всесоюзную заочную математическую школа (ВЗМШ)
Новый прием на заочное отделение Малого механита
Заочная физико-техническая школа при МИСиCe

Information
Entrance requirements to the All-Union mathematics correspondence school
Entrance requirements to the Maly Mekhmat correspondence school
The MISIS physico-technical correspondence school

Ответы, указания, решения
Смесь (23, 58)
Шахматная страница
Новое в кодексе (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Miscellaneous (23, 58)
The chess page
New rules (3rd cover page)

Модель кристаллической решетки сплава медь — золото, воспроизведенная на первой странице обложки, — характерный пример наших представлений о строении твердого тела. О том, как развията эта представления, каково состояние дел в физике твердого тела сегодня, читайте в интернью с академиком Ю. А. Осипьяном.

Интервью с академиком Ю. А. Осипьяном

Главный редактор нашего журнала академик Ю. А. Осипьян — известный ученый физик, директор Института физики твердого тела АН СССР, профессор Московского физico-технического института. В беседе, проведенной с Ю. А. Осипьяном корреспондентом «Кванта» и предлазаемойセодия нашим читателем, решил о становлении молодого ученого, о роли личности в научке, о стремительное развивающее новом направлении — дислокационный физик, об особенности работы современного исследователя.

Юрий Андреевич, каким был ваш путь в научку?

— Я закончил школу в 1949 году. Но уже раныше, в 8—9 классах, мне было ясно, что я буду занимается физикой. Меня очень интересовала физика металлов. Где же учиться дальше?

Тогда только возникали факультеты, где комбинировалось университетское — широкое физическое образование с реальными знаниями в конкретных областях. И я узнал, что научкой о металлах смогли занимается инженерно- физическим факультете Московского института стали и сплавов (сейчас он называется физико-химическим факультетом). Решил поейти туда, поступил и был очень доволен, поскольку в институте подобралась целая пледа хороших учителей как в теоретической, так и в экспериментальной области физики. Мне удалось почерпнуть там довольно много полезных знаний, что сказавется на протяжении всей моей научной жизни.

Когда подошло время дипломной работы, жизнь свела меня с академиком Г. В. Курдюмовым, признаным лидером нашей физики металлов. В Институте металлофизики, который он возглавил, под руководством профессора Б. Я. Любова я делал диплом.

Поначалу я стал было занимается экспериментом. Но, анализируя условия опытов, столкнулся с теоретическими задачами. Почувствовал вкус к теории; мне думалось, что и как теоретическим смогу кое-что сделать. Те знания физики и математики, что накопились к тому времени, позволили решить интересную, как мне кажется, задачу — о механизме низкотемпературных фазовых превращений в металлах.

— Это была фактически ваше первая научная работа?

— Да. С фактовми превращениями, связанных с изменениями агрегатного состояния, мы сталиваемся часто — это плавление, кристаллизация, конденсация. Однако и в уже затвердевших металлах могут происходит факовые превращения. Проблема состояния в том, как объяснить, что некоторые из них идут при низких температурах очень быстро. По законам, которые подчиняются общiblemente фазовые переходы, эти превращения должны идти годами — концы с концами не сохранились…

Возникла идея: не оказавал ли влияние при таких температурах на эти явления квантовые эффекты? Надо отметить, что применение квантово-механических представлений к факовым переходам тогда было еще в диковинку. Однако, когда я провел расчет с учетом этого нового фактора, оказалось, что «все хорошего схотия». Работа,чество говоря, мне очень нравилась, и она стала довольно быстро известной среди металловов.

И вот, защитив диплом, я получил квантификацию теоретика. Правда, меня к тому времени уже неудовлет-

4

воряли мои познания в математике и теоретической физике. Я решил продолжить образование, углубить, увеличить эти знания и — поступил на механико-математический факультет МГУ. На первый курс! Работал в институте Курдюмова, новь уклонился в экспериментальной физике, но математики не браслет, продолжал учится по вечерам и прошел весь курс механика. И хотя жизнь сложилась так, что занимаюсь эксperиментальной физикой твердого тела, математическая «подкованность» чрезвычайно мне помогает…

— Известно, что организатор нового института — физики твердого тела — вы стал в 30 лет. Не отвлекло ли это вас от непосредственной научной работы?

— Отвлекло, и еще как! Но меня успокаивала и обладеживала мыслю о том, что как только институт будет формирован, сразу же многократно увеличится возможность для проведения экспериментов. Есть еще одна сторона дела: при создании института и во время дальнейшей работы в нем мне довелось сотрудничать со многими выдασимисся учеными, оказавшими огромное влияние на нашу деятельности. Судите сами.

Конечно же, среди них был мой научный руководитель академик Г. В. Курдюмов, сформированший научные направления нового учреждения и поручивший мне возглавить его. Это и тогдаший председент АН СССР М. В. Келдыш. Он тоже не побоялся моей молодости и решительно поддержал мое назначение. Академик Н. Н. Семенов, директор Института химического физики, активно мне помогал и предоставил возможность создать наш институт в недрах своего. И когда еще не было даже задания, мы могли сколачивать научный коллектив.

На научную проблему сільнейшим образом влияли сотрудники Института физических проблем во главе с академиком П. Л. Капицей. С ним тогда приходилось много раз беседать и пользоваться его советами. Я считлив, что в то время мне довелось общаться с Л. А. Арцимовичем, академиком-секретарем Отделения общеей физики и астрономии…

Отрадно вспомнить, что тогда нам помогали многое физики, работавшие в других институтах,—ные академики В. К. Вайнштейн, А. И. Шальников, член-корреспондент АН СССР Ю. В. Шарвин. Ведь долго времени я был единственным штатным сотрудником нового института, един по проектным организациям, рисовал, как все будет расположено. Не было абсолотно ничего — лес и болото в Черноголовке под Москвой.

— И вот институт был создан и действует почти четверть века. Оправдались ли ваши надежды?

— Да, сейчас я с удовлетворением могу сказать, что коллектив у нас неложой, работоспособный, и мы прибрели довольно хорошего репутации физического института в системе Академии наук, получили интересные и значимые результаты. Но наши успехи обязательно надо поддержать с другими институтами, расположенными в Черноголовке, с которым мы тесно взаимодействуем. Разумеется, это Институт химического физики. Его сотрудники, очень хорошо знание методы воздействия на твердое тело, синтезируют новые материалы. Без контакта с ними нам было бы трудно.

Не можем мы обойтись и без кажддневного общения с учеными из Института теоретической физики имени Л. Д. Ландду. Костати, это научное подразделение возникло за счет части сотрудников теориделя Института физических проблем, которые я в своей время «вербовал» к нам в институт. Но тогда же родилась более широкая идея — не ограничаться решением задач теории твердого тела, а заняться также теоретическими проблемами гидродинамики, взрыва, ядерной физики, то есть создать в Черноголовке некий «мозговой центр» теоретической физики. Это и было сделано. И вот рядом с нами стали работать выходцы из шкoles академика Л. Д. Ландду — новые академики и члены-корреспонденты АН СССР А. А. Абриковов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, И. М. Халатников. В этот институт затем пришли крупные учены — академики А. В. Мигдал, С. П. Новиков, член-корреспондент АН СССР А. И. Ларкин, профессора В. Л. Покровский, Я. Г. Синай и другие. Конечно, это уникальное собрание физик-теоретических и математических в одном месте.

5

Я думало, что такой «концентрации» теоретической мысли, в том числе и по теории твердого тела, нет нигде в мире. Вот видите, говоря о науке, нельзя не сказать о личностях.

А почему я так подробно остановился на теоретических? Да просто многое проблемы без них вообще невозможно решать. Кроме того, общение с теоретиками специфично, оно носит характер стимулиции. Если вы хотите пойти к теоретику, чтобы что-то спросить, вам надо подрасти до уровня конкретной постановки вопроса, разговаривать с ним на особом языке. Все это требует предварительного работы и осмысления. Считаю, что контакты с теоретиками повышают квалификацию экспериментаторов.

— Юрий Андреевич, а чем занимались именно вы в новом институте? Как реализовались ваши личные научные планы?

— Пока строительство института продвигалось, я продолжал размышлять о некоторых аспектах физической природы почности твердых тел.

Известно, что кристаллов идеальной структуры практических нет. Они всегда имеют дефекты, в частности так называемые дислокации — одномерные нарушения кристаллечческой решетки, линии объема atomных плоскостей в кристалле. Так вот, теория дислокации служила объяснение процессов пластической деформации и прочности, такое было основное наначение этой теории. А хотеловыщить, влияют ли дислокации не только на механические, но и физические свойства твердого тела?

На его электронские, оптические, магнитные свойства? Я попытался выяснить, взаимодействуют ли дислокации с электронами? И как это взаимодействие выражается в поведении электронов и дислокации? Оказалось, что здесь kroется ответ на многое вопросы, которые стояли тогда в физике твердого тела.

Например, был открыт фотопластический эффект, перевернувший, в общем, представления о природе почности кристалла. Считалось, что для того чтобы осуществить пластическую деформацию кристалла, надо что-то «сотворить» с кристаллечской решеткой, что изменения в состоянии электронов не могут повлиять на пластические свойства.

Но вот мне вместе с моей сотрудцией И. В. Савченко удалось наблюдать следующее. При включении света прочитать некоторые кристаллов возникла разрастающая их сопротивление пластической деформации уведомивалось на 30—40, а иногда и на 100 процентов. Выключали свет — прочитать падала до исходного значения. Это было очень страно, поскольку как мы знали, тот свет, который мы включали, с решеткой ничего не делает, только — с электронами, а они-то на прочитать не должны влиять!

Десять лет кропотливой — и экспериментальной, и теоретической — работы позволили установить природу этого, теперь широко известного, эффектива. Свет возникал электроны, их состояние влияло на дислокации, а уж дислокации — на пластическость.

С другой стороны, присутствие в кристалле дислокации сказывается на его электрическом сопротивлении и других электрических свойствах. И тут мы набрели на множество новых явлений. В общем, возникла довольно общирная область, которую мы называем дислокционной физикой. Это и есть до них пор предмет моей — и многохонных учеников — научной деятельности. И надо сказать, что работы нашего института в значительной мере определяют состояние этой научной области.

— А каково на сегодня состояние дел в физике твердого тела вообще?

— Сегодняший день характерен тем, что роль и объем исследований по физике твердого тела заметно растут. Ее, так сказать, удельный вес внутри всей физики уведомляется. Это выражается в том, что его знаменитая все больше научных сотрудников, в нее направляется больше ассигнований, больше выделяется оборудования, соответствующего и она дает больше «продукции».

В физике твердого тела много фундаментальных проблем. Это только может показаться, что она занята частными вопросами. Ничто подобного! Наример, недавно удалось проводится такой эксперимент, который дает возможность определить с большой точностью значение мировойCONSTANTЫ — отношения загрязнения электронов к его массе. Такого в твердотельных экспериментах равше не было. Показатель общественного оценки работы по физике твердого тела служит

6

и то, что каждые пару лет ученым, занимаются его, присуждает Нобельская премия.

Если же конструкция приложений этой научной области к практике, то я осмелюсь сказать, что физика тердого тела дает больше, чем всякая другая область. Ну вот, смотрите, я назову лишь три направления.

Первое: Конструкционные материалы — все, из чего построены здания и машины, все материалыленные. Ученым необходимо «подложить» физические знания под понятие проискодиях здесь процессов.

Второе. Регулирование и автоматика. Здесь всякий раз в «сердце» приборов — датчик какого-либо сигнала. Как правило, это твердое тело — кусочек полупроводника, металла. А дальнейшее система «занята» успешем или переработкой полученного сигнала.

И третье. В основе научно-технической революции, связанной с вычислительной техники, компьютеризации, лежит физика тердого тела. Без ее доступения в принципе не были бы возможны современные ЭВМ, потому что только твердотельные электронные схемы — при разумныхгаритах — могут переработать громадный необходимый объем информации.

Так что физика тердого тела — фундамент для решения очень многих прикладных задач, с ней связано немало вопросов интенсивизации производства, технической реконструкции народного хозяйства. Этим вопросам сегодня ограничено внимание. В осуществление плановускорения научно-технического процесса, которые намечают партния, наша научка призыва ввести всомый вклад.

— Зачастую школьники представляют себе, что занимается физикой можно, лишь будучи «винтиком» в громадном коллективе научных сотрудников. Так ли это?

— И да и нет. Скажем, работы по ядерной физике, физике элементовных частиц требуют одновременных условий большого числа людей, особенно в эксперименте. Необходимы огромные машины — ускорители, ядерные реакторы. И чтобы создать их, и чтобы обслуживать и ставить опыты, нужны действительно большие коллективы.

В нашем же деле, в физике тердого тела, много эксперименты проходится, подчас, как в классической физике — одним-двумя исследовательами. Например, те опыты, о которых я расссказал. И поэтому разумная постановка эксперимента передко играет не менее важную роль, чем уникальные технические возможности его реализации. Еще есть место для остроимных, я бы сказал, индивидающих опытов.

Вот эта манера работы отражалась на том, что наш институт построен как коллектив в значительной мере самостоятельно работающих сотрудников. Мы всегда, правда, привètствуем взаимодействие, но не перархическое, а как люди равных, сортаников.

Не в первый раз я говорю сегодня о личности в науке. Наверное, потому что на меня оказали большие влияние два человека — академики Г. В. Курдюмов и П. Л. Капица. Оба известны как люди, сделавшие в науке сами что-то конкретное, хотя, конечно, это и руководители, и организаторы научной работы целых коллективов. Мне хотелось бы воспитать своих сотрудников и учеников так, чтобы они ни в коей мере не забывали этого и всяческие страницы проявить свою индивидуальность. Говоря же о физике тердого тела, я хочу подчеркнуть, что это такая область физики, где просто необходимы творческие люди.

— Может ли это рассматривать как приглашение читателя «Квата»?

— Конечно, но я не хотел, чтобы в данной случае решила лишь о физике тердого тела. Вообще занимается физикой — очень интересно. Я просто сочувствую тем люди, которые не интересуются физикой, они просто не подозревают, как это увлекательно. Способность «переварить» одновременного большое количество информации, построение логических схем, проверка гипотез, определение получаемых результатов — все этим богата физика. И сколько еще области, в которых можно приложить свои силы, сколько романтики в занятых этой наукой! Только, думало, не надо ждать, когда знания о том, где учиться и чем занимается, придут к вам сами. Эти знания надо искать, добиться. А сорриковенное с ними, безусловно, помогет обретению дополнительного интереса к нашей области деятельности, а именно — к науке, конкретно — к физике.

Пифагор

Доктор физико-математических наук
И. Г. БАШМАКОВА,
кандидат физико-математических наук
А. И. ЛАПИН

В списке величайших математиков от древности до наших дней на первом месте, безусловно, должны стоять Пифагор. Не только потому, что он — первый известный нам великий математик. С именем Пифагора и с его эпохой связано возникновение математики как науки, ее превращение из набора полезных правил и решетов в абстрактнуюедутивную науку.

Абстрактнаяедутивная наука…
Что это значит? Прежде чем ответить на этот вопрос, остановимся на жизни Пифагора и его эпохе.

Эпоха. Время, в котором жил этот величайший ученый,— VI век до н. э.,— было особой эпохой не только в Греции, но и почти во всей южиме — известном грекам обществом мире. Как весной, не сговариваясь, сразу заветают все яблони, точно так же в это время в различных местах тихой заводи Старого мира поднимаются могучее волны: возникают новые идеи и учения. В Греции того времени появляются первые натуральноесофы: Фалес, Анаксимандр, Пифагор, Парменид, Гераклит, Эмпедокл; величайшие литераческие позты: Архилох и Сапфо; первые создатели трагедий: Фриних и Эсхил. Жизнь повсюду быет ключом, возникают многочисленные научные и философские школы, религиозные секты,— все они стремятся осмыслять и объяснить строение Вселенной и место в ней человека. В это же время в Грециирождается новый государственный строй — демократия,— которое не знало ни одно предшествующее государство.

Жизнь. О жизни Пифагора сохранились самые отрывные сведения. По наиболее распространенной версии, он родился около 570 года до н. э. на юнийском острове Самoce, славившемся замечательными художственными и техническими сооружениями. Наозем храм Геры и знаментий водопровод, проходивший через тун-

8

нель, который строит начали копать с обеих сторон горы, причем расчета были настолько точными, что оба хода аккуратно сошлись в глубине. Отцом Пифогора называют Мнесарха, известного камнезда. По словам английного биографа, будучи юношей,яждушим знаний, Пифогор покинул родной остров, чтобы объехать мир, и побивал почти во всех эллинских и во многих чужеземных странах. Пифогор служал заменить греческих учены и восторгался чудесами Востока. Расссказывали, что он был в сокровенных святилищах Египта, посетил халдейских мудрецов и персидских магов, спускался в танистенную пещеру Крита, с которой был связан миф о современии богов.

Вернувшись на Самос, Пифогор нашел свою родину под тираней Поликрата. Увидев, как говорит английный биограф, что тирания сликом сcilна, чтобы «свободный человек мог с достоинством переносить произвол и дееспотизм», он решил удалиться в Южную Италию, где тогда находились замененные эллинские колонии. Он поселился в италийском городе Кротоне, для граждан которого он составил законы. Расссказывали, что обходя чужеземные города, Пифогор исцелял больших, дикие звереи позволяли ему гладить их, реки приветствовали его человеческими голосами, что его одновременного могли видеть в двух различных местах. Этот служам способствовал как необыкновенная личность философа, так и его религиозно-мистическое учение.

Пифогорейский союз. Вскоре вокруг Пифогора возник многочисленный крупок преданных ему учеников, «ибо он настолько превозелел слабой всех остальных, что вся молодежь хотел бы его учениками». Вскоре из них был организован пифогорейский союз или братство, которое было одновременно научным обществом, религиозным союзом и политическим клубом. Доступ в него был открыт не для всех. Испытемый должен был прояты длительный искус; говорили даже, что ему предписывалось хранить молчание в течение пяты лет. Хотя через столетие после смерти Пифогора союз уже распался, почти все великие математики древности назвали себя пифогорейцами.

Matematическая доказательство. Мы говорили уже, что Пифогор был создателем математики как науки. Но разве до него люди не умели считать, складывать и умножать дроби, вычислять простейшие площади и объемы? Конечно, умели. Они умели даже решать квадратные уравнения! И все-tаки математики как науки тогда еще не было. Математические знания, которые передавались почти без изменения из поколения в поколение на противжения тысячелетей, не были организованы в системе — они положили скорее на собранные рецептов, в правильности которых можно было убедиться при решении конкретных задач.

Пифогор понял, что основой математики является доказательство. Где нет его — нет и математики. Что же такое доказательство и для чего оно нужно?

Допустим, мы хотим установить, что сумма углов треугольника равна 180°. Как это сделать? Поступит так: аккуратно нарисуем треугольник (тушью в тетради или мелом на доске) и изменим его углы с помощью транспортира. Сложив их, мы получим число, близкое к 180°. Что же мы выязывали? Только то, что наиссованный нами треугольник имеет сумму углов, равную, скажем, 180°01′. Мы можем продолжить наши изменения, рассматривая другие нарисуемые треугольники, и будем всякий раз получить результат, близкий к тому, который мы хотим установить. Результаты будут приближенными, во-первых, потому, что линейка, которой мы пользовались, не будет абсолютино прямой (в чем можно убедиться, посмотрев на нее в лупу). Во-вторых, и углы, измененные транспортиром, будут найдены не вплоне точки. Но даже если бы нам удалось достать идеально точную линейку и транспортир, мы бы все-tаки не установленны наше предложение, потому что треугольников бесконечного много и мы никогда не сможем для всех них найти сумму углов.

Пифогор, видимо, первый пришел к мысли, что математика рассматривает абстрактные объекты (то есть идеально прямые линии без ширины, точки, не имеющие размеров, и т. д.) и что свойства их следует установить не с помощью изменений, а с помощью рассудения. Например, для доказательства теоремы о сумме углов треугольника нарисуем, как это делал Пифогор, произвольный треугольник (его можно рисовать от рук, не пользоваться линейкой) и проведем через его вершину B прямую LM, параллельную основанию AC (рис. 1). Тогда $\angle LBA = \angle BAC = \alpha$, а $\angle MBC = \angle BCA = \gamma$ (как накрест лежшие углы). Но сумма $\angle LBA + \angle ABC + \angle MBC$ составляет развернутый угол, то есть равна 180°. Значит, сумма углов любого треугольника будет равной 180°.

9

Рис. 1.

Однако при доказательстве мы опирались на свойства параллельных прямых, которые тоже нуждаются в доказательстве. Их доказательство будет опираться на какие-то другие свойства и так далее. Итак, известная рассмотренная бесконечного числа треугольников, мы «попали в лапы» другой бесконечности — пришли к необходимости проведения бесконечного много доказательства. Предложение A мы свели к предложению B, которое сведется к предложению C, то есть $A \Leftarrow B \Leftarrow C \Leftarrow \dots$.

Как же быть? Ясно, что на каком-то месте надо остановиться, какие-то предложения надо принять без доказательства. Но ведь так мы можем получить бесконечного много «неодоказуемых» предложений, иными словами, снова «попасть в лапы» бесконечности! И вот следующая генциальная мысль Пифогора (или его современников) состоит в том, что в геометриноможно выбрать конечное число недоказуемых предложений (названных впоследствие аксиомами), из которых уже можно будет вывести все остальные.

Итак, математика, по Пифогору, изучает свойства абстрактных объектов; средствам установления истинных является доказательство, которое проводится, исходя из конечного числа отображенных предложений, принятых без доказательства.

Не надо думать, что эти идеи были восприняты сразу. На Пифогора и его последовательей обрушился поток наадок, насмешек; некоторые учены называли его неумным многоознайкой и шарлатном, говорили, что никак не видел линей без ширины или кругов, касающийся прямой только в одной точке. Однако Пифогор и его ученики продолжали развивать наук на новом прочном фундаменте.

«Математа». Так пифогорецы называли свою систему знаний. «Математа» состоит из четырех частей: арифметики, геометрии, астрономии и учении о гармонии (теории музыки). Первые две из них были чисто теоретическими — мы и теперь относим их математике, другие две были приложением арифметики и геометрии к изучению небесных тел и законов созвучий — мы бы отнесли их к математической физике.

Мы мало знаем об арифметике пифогорецев. Достоверно известно, что в ней изучались целые числа и их отношения, то есть рациональные числа. Платон в своих диалогах называет арифметику «учением о четырех и нечетных числах». Мы можем восстановить это учение по книге IX «Начал» Евклида, в конце которой (предложение 21-34) оно воспроизводится. Пифогор разделил все целые числа на четырьмя (делящесся на 2) и нечетные (не делящесся на 2) и доказал функменту теорему: произведение двух чисел четного тогда и только тогда, когда по крайней мере один из компонентей четырех. Это была первая теорема теории делимости, последившая модель для формулировки и доказательства более общей теоремы: произведение двух чисел чисел делится на простое число р тогда и только тогда, когда на него делится по крайней мере один из компонентей. Из этой последней теоремы следует закон однозначности разложения целого числа на простые множители. Аналогично из теоремы Пифогора следует, что каждое целое число однозначно представимо в виде $N=2^kN_1$, где $N_1$ — нечетное, а $k$ — целое неотрицательное числа. Учение о четырех и нечетных позвольло пифогорецам доказать ряд чрезвычайно важных теорем, к которым мы еще вернемся.

В геометрии Пифогора привлекали правильные фигуры и тела. Так, он знал, что плоскость можно «замостить» правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Он умел строить правильный пятугольник — как выпуклый, так и звездчатый. Пятиконечная звезда сцитлась символьом здоровья, а вскоре вообще стала опознавательным знаком для пифогорецев, разбросанных по всему древнему миру. Венчала геометрию теорема Пифогора, которая имеет функментальное значение и в самом математике, и в ее приложениях. Как доказывал ее Пифогор? Нам это, увы, неизвестно.

Пифогор развил также учение о подобии, причем первоначально он, по-видимому, считал, что все отрезки созмерными, а значит, их отношение можно выразить рациональным числом, то есть в основе его теории подобия лежала арифметика разнональных чисел.

10

Открытие несоизмеримости. Обратимся теперь к величайшейому открытию Пифагора, которое доставило ему немерknушую славу и ознакомило триумф математики. Мы говорим об открытии несоизмеримых отрезков, или, иначе — irrationalности.

Но что это такое? Пусть нам дан квадрат со стороны 1. Тогда, по теореме Пифагора, квадрат его диагонали равен
$$c^2 = 1^2 + 1^2 = 2.$$
Чему же равна сама диагональ $c$? Попробуем узнать это, извлекая корень из 2.

Если вы применете за эту работу, то получите сначала $c_1 = 1$, затем $c_2 = 1,4$, затем $c_3 = 1,41$ и т. д. Наконец, вы должны до 10-й цифры, и это занятие вам надоест. Вы скажете: «Хватит! Этот рядикогда не кончится». Но мы возразим вам: «Продолжайте! А вдруг он закончится на 11-й или 20-й цифре?». Увы, мы снова «попали в лапы» бесконечности!

Но и здесь находится выход Пифагор. Он рассудил так: пусть $c$ можно выразить рациональной дробью $p/q$. Предполагаем, что $p$ и $q$ не могут быть оба четными (инначе мы бы сократили дробь на 2). Возвода равенство $\sqrt{2} = p/q$ в квадрат, получим $2p^2/q^2$ или
$$p^2 = 2q^2$$
(1)

значит, $p^2$ делится на 2. Отсюда Пифагор на основании основной теоремы о четных и нечетных заклонает, что и число $p$ четно. Значит, $q$ нечетно (инначе мы сократили бы дробь $p/q$ на 2). Итак, $p = 2p_1$. Подставляя в равенство (1), получим $q^2 = 2p_1^2$, то есть $q^2$ делится на 2, тогда по предыдущему и $q = 2q_1$, значит, $q$ четно. Мы пришли к противоречию, так как число $q$ должно быть одновременно и четным, и нечетным, что невозможно.

Открытие несоизмеримых величины глубоко поразило всех эллинов. Это было теоретическое предложение, которое, как казалось, противоречило все изменительной практике! Ведь на практике все величины соизмеримы: мы терим их с точностью до сантиметра, миллиметра, микрона, но всегда получаем в результате рациональные числа. Открытие несоизмеримости можно сравнить с открытием Коперника, которое также противоречит нашимповседневным наблюдаемым восходов и заходов Солнца, или с открытием геометрии Лобачевского. По преданию, пифогорейцы держали это открытие в тайне, желая, по-видимому, найти ему достойное место в своей «математа», а пифогорец Гипас, который разгласил тайну, был за это покаран богатами: он утомил, потерпев кораблекрушение. Знаменитый пифософ древности Платон (конец V — начало IV в. до н. э.) писал, что поздно узнал о несоизмеримости и что до этого он был подобен неразумному животному. Другой великий философ, ученик Платона,ρισстель, рассуждая о том, как возникла наука, писал: «все начинают с удивления (…), удивляются ли, например, загадочных самодвижущимся игрушкам, или солнцеворотам, или несоизмеримости диагонали, либо всем, кто еще не устотрел причину, кажется удивительным, если что-то нельзя измерить самой малой мерой» (Метафизика, книга 1, гл. 2).

Ученики и последователи Пифагора вскоре обнаружили, что кроме $\sqrt{2}$ имеется еще целый ряд ирациональных чисел: $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, ..., \sqrt{15}$, или, как они говорили, что стороны квадратов с площадью 3, 5, 6, …, 15 несоизмеримы со стороны единичного квадрата. В диалоге Платона «Театет» расссказывает, что пифогорец Федор из Кириены проел афинским юношам лекцию, где провел соответствующее доказательство для $\sqrt{17}$.

Вудем действовать методом Пифагора: пусть нам надо доказать ирациональное $\sqrt{d}$, где $d$ — целое некавадратное число. Если $d$ четно, то доказательство проводится последно так же, как и для $\sqrt{2}$. Пусть $d$ нечетно, и предположим, что $\sqrt{d} = p/q$; тогда
$$p^2 = dq^2.$$
(2)

Можно показать, что в этом случае $p$ и $q$ будут нечетными, то есть будут иметь вид $2n+1$, тогда квадраты их будут вида $4(n^2+n)+1$ или $\frac{n(n+1)}{2} + 1$, где $\frac{n(n+1)}{2}$ — целое. Подставляя эти значения в формулу (2) и группируя члены, получим
$$8\left(\frac{n(n+1)}{2} - d\frac{m(m+1)}{2}\right) = d-1.$$
Левая часть равенства делится на 8, значит, и права должны иметь вид $8k$, то есть должны быть $d=8k+1$. Если число $d$ не имеет такого вида, как, например, 5, 7, 11, 13, 15, то приём к противоречению, которое и опровергает сделанное предположение. Если же $d$ имеет вид $8k+1$, то этот метод доказательства отказывается служить. Так будет числа 9, но оно — полный квадрат, и для 17. Вот почему, веройтоно, Федор и остановился на этом числе.

Средди служатей Федора был молодой талантливый математик Театет.

12

ца, Луны и планет, но до Пифагора
никто не пытался построить модель
Солнечной системы. Пифагорейцы
первые построили математическую
модель мира, они считали, что выразить закономерности природы можно с помощью числа, что «все есть число». Всю Вселенную, как писал Аристотель, он «признал гармонией и числом».

Гармония. Идея о возможности построения числовой модели мира былаположена Пифагором в основу его теории музыки. Пифагор обнаружил, что качественные отличия в звучании струн обусловливаются чисто количественных различиями, а именно длиной струн. Одновременное звучание двух срун будет приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует музыкам интервалам в октаву, квантуу. Оценная открытие Пифагора, крупнейший немецкий физик Зоммерфельд писал, что день, когда оно было сделано, можно назвать днем рождения математической физики. И действительно, гармонический колеблющесистемы сыграли огромную роль в физике. В 20-х годах нашей века аналогия между колеблющесисткой, изданной тоньей определенной частицы, и атомом, испускающим излучения определенной частицы, которые также определились отношениями целых чисел, последняя ключом для создания квантовой механики. Это остоятельство было отмечено А. Эйнштейном:

«Таким образом, — писал он, — мы открыли неокторое подобное между колебанным струны и атомом, испускающим из элементов частицы: из тяжелых, составляющих ядро, и легких — электронов. Такая система частиц ведет себя подобно маленьком акустическому инструменту, в котором производятся стоящие волны» (А. Эйнштейн, Л. Инфельд. Эвольочная физика. М.: Наука, 1963, с. 224).

Астрономия. Пифагор полагал, что Земля имеет форму шара и что она находится в центре Вселенной. Вокруг нее располагаются восемь концентрических сфера — это сферы Луны, Солнца, пяты планет и неподвижных звезд. Внешняя сфера — сфера неподвижных звезд — делает за сутки полный оборот вокруг Мировой оси, увеличая в своей движении все семь остальных сфера. Оdnako Луна, Солнце движение, которое происходит в направлении, обратном суточномуращению сфера. Воспледствии пифагорейцы пришли к выводу, что и Земля не остается неподвижной, а врашается вместе с другими планетами вокруг Центрального огня. Эта мысль более чем на 2000 лет предосчитила идею Коперника о том, что Земля не занимает центрального положения в Солнечной системе.

Замечательно, что Пифагор сразу попытался создать астрономистическиевоззрения с теории музыки. Он считал, что каждая планета, движясь по своей орбите, изделия определяющей звук, причем тонá таковы, что при движении всех семи планет звучит «музыка сфера». Пифагор называл даже Солнечный системе семиструнной лирой. Он уверял, что может слышать эту дивную музыку, которое оставьте люди услышат только после смерти.

Мы уже говорили, что идеи Пифагора неожиданного получили новую жизнь в нашем веке, но уже в применении к миру атомов. Зоммерфельд, о котором мы уже упоминали, писал:

«To, что нам сегодня удается понять на языке спектров, — это истинная музыка атомных сфера, созвучие целочисленных отношений, всевозрастание порядок и гармония при всем их многообразии.

…Все целочисленные закономерности спектральных линий и атомистки в конце концов вытекают из квантовой теории. Она представляет собой тот полный тиннства инструмент, на котором природа использует спектральную музыку иритом которого она управляет строением атома и атомных ядер» (А. Зоммерфельд. Путти познания в физике. М., Наука, 1973, с. 255).

Говорят, что наука отличается от искусства тем, что в во время как создания искусства вечны, великие творения науки безнадежно стреют. К счастью, это не так, и творчество Пифагора — лучший тому пример. Он был не только величайшим, но и частливейшим генем, так как его идеи и теории не сошли со сцены, продолжая до них пор волновать умы. Ни одна из его научных идеей неумерла. С каждым новым этапом науки они меняли свой облик, чтобы вновь будут и волновать ум и сердце ученых.

13

Следы на песке и…строение вещества

Доктор физико-математических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

Изо всех двухсот миллиардов мужчин, женщин и детей, которые когда-либо прошли по влажному песку с современная мира до собраня Британской Ассоциации в Абердине в 1885 г., сколько найдется таких, которые на вопрос «Сжался ли песком под вашей ногой?» ответили бы индуче, чем «да»!
Лорд Кельвин, Балтийорские лекции, 1904 г.

А задумывались ли вы над ответом на этот вопрос? На первый взгляд кажется, что, утрамбовивая песк, мы всегда делаем его более плотным, затемляем песчики теснее прижатся друг к другу. Но в действительности дело может обстоятель itself. И доказательство этому — следы, которые остаются на некоторых временах, когда ступаешь по мокрому песку у берега моря или реки. Вот что говорил по этому поводу О. Рейнольдс — ученый, известный своим работами по гидродинамике, — в докладе на собрании Британской Ассоциации в 1885 г.: «Когдаhora надавливает на песк, плотный после щедшего прилива, участок, находящийся вокруг ноги, точас же становится сухим… Надавливание ноги разрыхляет песк, и чем сильнее оно, тем больше воды уходит… Оно делает песк сухим до тех пор, пока сизу не прибудет достаточно количество воды».

Так почему же в результате надавливания увеличивается пространство между песчиками, и имеющейся воды уже недостаочно, чтобы заполнить его? Этот вопрос не случайно волновал ученых XIX века. Ответ на него имеет самое прямое отношение к atomному строению вещества. Да-

14

вайте и мы попробем разобратья в этом вопросе.

Плотная упаковка шаров

Можно ли заполнить твердыми шарами все пространство? Разумеется, нет — между ними всегда остатся свободные промежутки. Доля пространства, занимаемого шарами, называется плотностью их упаковки. Чем тестие расположены шары, чем меньше свободного места между ними, тем больше плотность упаковки. Когда же достигается максимальная плотность упаковки одинаковых твердых шаров? Ответ на этот вопрос дает ключ к разгадке «тайны» следов на песке.

Исследуем вначале более простой случай — упаковки одинаковых кругов на плоскости. Плотной упаковки кругов можно достичь, вписывая их в мозаки, составленные из правильных многоугольников, заполняющих всю плоскость. Существуют только три способа построения таких мозаки — из правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. Упаковки кругов с использованием квадратной и шестиугольной мозки показаны на рисунке 1. Далее «на глаз» видно, что второй способ более экономичен. Точный расчет (выполне смотете проверisti его сами) показывает, что в этом случае кругами заполнен примерное 90,7 % плоскости, в то время как в первом случае — только около 78 %. Шестугольный способ упаковки на плоскости — самый плотный. По-видимому, из-за этого его и используют пчелы при построении сот.

Плотную упаковку шаров в пространстве можно осуществить следующим образом. Расположим на плоскости первый слой шаров уже известным нам наиболее плотным способом. Затем можно положить на них второй такой же слой. Если располагается каждый шар верхнего слоя в точности над нижним, так что все шары оказываются вписанными в кубические соты, то слишком много пространства оказывается неиспользовным. При таком способе упаковки заполняется только 52 % пространства.

Ясно, как можно упаковать шары плотнее. Для этого верхний шар надо располагаать в лунке, образованной треярем соседними нижними шарами. Но при этом верхние шары не смогут заполнить все лунки — одно из двух соседних углублений всегда свободным (рис. 2). Поэтому, когда мы укладываем третий слой шаров, сделать это можно будет двумя способами: либо расположить шары третьего слоя над теми углублениями в первом слое, которые шары второго слоя оставили свободными (центр одного из шаров на рисунке 2, будет нахождение в точке A), либо — как раз над шарами первого слоя (при этом центр одного из шаров третьего слоя оказывается в точке B). Для последующих слояов сохраняется. В результате получаем два способа упаковки шаров, показанные в пространстве на рисунке 3. В общих случаях шарами заполнен около 74 % пространства.

Рис. 1. Упаковка равных кругов на плоскости в ячейки правильных мозаки.

Рис. 3. Пространственная картина, показывающая 2 способа плотной упаковки шаров.

15

Рис. 4. Кубоктаэдр Кеплера.

Легко подсчитать, что при таком способе упаковки каждый шар соприкается с 12 соседними шарами. Точки соприкосновения образуют вершины четырнадцатигранника. Его грани — чередующеся квадраты и равносторонние треугольники. Так, при втором способе плотной упаковки получается кубоктаэдр Кеплера, показанный на рисунке 4.

До сих пор мы рассматривали лишь такие способы упаковки шаров, при которых они вписываются в перiodические «соты». А можно ли достичь плотной упаковки, отказывшись от этого условия? Один из способов показан на рисунке 5. Шары в каждой плоскости расположены по сторонам правильных пятугольников (пентагонов). В каждом pentагоне соседние шары касаются друг друга, но шары, относительно к разным pentагонам одной плоскости, разделены в пространстве. Стороны pentагонов чередующеся слоев попеременно содержат четыре и нечетное число шаров. Коэффициент заполнения пространства в такой структуре равен 72 % и лишь немного уступает случую плотной упаковки, показанному на рисунке 2. Можно упаковать шары, не образуется из центров решетку, более плотно, достигив коэффициента заполнения 74 %, однако существуют ли еще более плотные упаковки — этот вопрос остается открытым до сих пор.

Вернемся к следующим напеске. Мы теперь знаем, что существуют особые упаковки шаров, при которых остается очень мало пустого пространства между ними. Если нарушить такое расположение, выведя, например, шары одного слоя из лунок другого слоя, то промежутки между шарами увеличатся. Ясно, однако, что песчинки никогда не упаковывает специальным образом. Как же достичь плотной упаковки песчинок?

Вспомним житейский опыт. Вам надо заполнить сосуд крупо так, чтобы в него вместе с максимальным ее количество. Что вы при этом делаете? Потребиществе сосуд или поступиществе по нему, добавяясь желаемого эффективта. Далее после плотной утравовки крулы в сосуд можно с помощью такого приема уменьшить еще какое-то дополнительное ее количество.

Научное исследование этого вопроса предприял в 50-х годах английский ученый Г. Скотт. Он заполнял шариками от подшипников сферические бутылки разных размеров. Если заполнять бутылки без потряхивания так, чтобы шарики располагались случайным образом, экспериментально наблюдается следующая зависимость плотности упаковки от числа шариков:

$$\varrho_1 = 0,6 - 0,37 / \sqrt[3]{N},$$

где $N$ — полное число шариков. Если число шариков очень велико (а в опытах $N$ достигало несколько тысяч), то видно, что плотность упаковки стремится стать постоянной и соответствующей заполнению 60 % пространства. А вот если потряхивать бутылку по мере ее заполнения, плотность упаковки возрастает:

$$\varrho_2 = 0,64 - 0,33 / \sqrt[3]{N}.$$

Правда, и в этом случае она получается гораздо меньше 74 %, соответствующих регуляром расположению шариков.

Рис. 5. Пентагональная упаковка шаров.

16

Стоит задуматься над приведенными здесь зависимостями. Почему поправка обратно пропорциональна $\sqrt[3]{N}$? Шарики, расположенные у стенок сосуда, находятся в особом положении по сравнению с шариками в объеме и влияет на плотность упаковки. Величина их вклад пропорциональна отношению площади поверхности $\sim R^2$ к объему сосуда $\sim R^3$ и убивает обратно пропорционально размеру системы $R$ (под объемом системы мы попиваем полный объем пространства, занимаемого шариками вместе со свободными промежутками). Размер $R \sim \sqrt[3]{N}$, так как объем системы пропорционален полному числу шариков. Такие зависимости часто возникают в физике, когда надо учитывать поверхности эфективы.

Таким образом, точные эксперименты подтверждают житейский опит и показывают, что, потряхивая зернистую среду, можно достичь большей плотности упаковки. Но почему же все-tаки это происходит? Дело в том, что устойчивому положению равновесия всегда соответствует минимум потенциальной энергии. Шарик может устойчиво лежать в ложбинке, но с вершины горки он обязательно скачится. Нечто подобное происходит и здесь. Шарики при потряхивании скатывают в свободные промежутки, плотность упаковки увеличивается, а общий объем системы уменьшается. В результате попужается уровень заполнения сосуда шариками, а следовательно, опускается центр тяжестями и уменьшается потенциальная энергия системы.

Теперь, наконец, можно с достаочной ясноностью представить себе, что происходит с песком. Волнение воды встречивает пеок, и в результате достигается плотная упаковка песинок. Сдавливая пеок ногой, мы нарушаем эту упаковку и увеличиваем размер пор. Вода из верхних слоев пескауходит вллубь, заполняя эти увеличившиеся промежутки. В результате пеок «выбыxaет». Когда ногу убирают, деформация исчезает, плотная упаковка восстанавливается, а вытеcenная из новых уменьшенных промежутков вода заполняет след, оставленный ногой. может служиться и так, что после сильного нажатия пеок не восстановится. Тогда след станет снова мокрым, лишь когда вода поднимется из нижних слоев и заполняется поры.

Любопытно, что это свойство сыпчих сред залище индийские факры. Один из их триоков состоит в том, что в сосуд с узким горлышком, доверху наполненный рисом, многоократно втыкали узкий длиной нож. В какой-то момент нож застрявал в рисе, а сосуд можно было поднять вместе с ножом. Ясно, что фокус состоял в том, что сосуд при заполнении рисом встречался, достигая плотной упаковки. Втыкание ножа нарушало эту упаковку и увеличивало объем пространства между рисинками. Так как объем сосуда не менялся, то возрастали силы, сдавливающие рисинки, а следовательно, и тrene между ними и ножом. В какой-то момент оно оказалось достаточно, чтобы помещать вытянуть нож из сосуда.

Дальний и близкий порядок

Атомы, из которых состоит все тела, конечно, нельзя считать твердыми шарами. И тем не менее простые геометрические соображения помогают разобраться в строении вещества.

Рис. 6. Элементы гранецентрированной кубической решетки и дексационной решетки с плотной упаковкой.

18

Рис. 9. С помощью правилных пятугольников невозможно заполнить всю плоскость без просветов.

Рис. 10. Строение квариа (a) и стекла (б).

в периодических решетках. Отдельный правилный пятугольник можно, например, поворачивать вокруг оси, проходящий через центр, и он при этом 5 раз совместится с собой. В таком случае говорят, что имеется ось симметрии 5-го порядка. Но в решетке Браве такой оси быть не может. Это означает, что имеется плоскость, усеянная узлами, образующими правилные пятугольники. А заполнить целиком плоскость правилными пятугольниками невозможно (рис. 9)!

Однако типы решеток Браве не исчерпывают разнообразия свойств симметрии решетков. Ведь, как вы уже убедились на примере гексагональной плотной упаковки, решетки Браве можно оставлять одна в другую! В результате элементы симметрии объединяются в различных комбинациях, образуется так называемое пространственные группы. Все имеется 230 различных групп. Все они были найдены в 1890 году русским ученым Е. С. Федоровым.

Итак, любой кристалл можно составить из повторяющихся частией. Это свойство кристаллов называют трансляционной симметрией (трансляция — перенос в пространстве). Иначе еще говорят, что в кристаллах имеется дальний порядок. Это, пожалуй, самое характерное свойство кристаллов, которое отличает их от всех других тел.

Есть, однако, не менее важный класс веществ — аморфные тела, в которых дальнейто порядка нет. В аморфном состоянии находится жидкие тела. Но и твердое тело может быть аморфным. Самый простой пример — обычное стекло. На рисунке 10 показано строение стекла и квариа, который имеет тот же химический состав, что и стекло. Квариц — кристалл, а стекло — аморфное тело. Хотя дальнейто порядка в стекле является не менее чем это, оно, однако, не означает, что в расположении atoms царит полный хаос. Определенная структура в расположении близких соседей, как видно из рисунка, сохраняет и в стекле. Говорят, что в аморфных телах имеется близкий порядок.

Аморфные материалы нашли в последнее время важные применения в технике. Уникальные свойства аморфные металлические сплавы (metallические стекла). Их получают, очень быстро охлаждая жидкий металл — со скоростью порядка несколько тысяч градусов в секунду. Доступ этого можно, например, разбрызгивая мелкие капли металла на поверхности быстроствующего холдного диска. Капля «размазывается» по диску очень тонким слоем (толщиной в несколько микрометров), и хорошо тепловодной металлу остыть столь быстро, что его atoms просто не успевают расположиться правилным образом. Оказалось, что аморфные сплавы обладают повышенной твердостью, высокой коррозийной стойкостью, оптимальным сочетанием электрических и магнитных свойств. Область применения таких материалов быстро распространяется.

(Окончание см. на с. 48)

21

Конецно, эта формула применяется для перестановок с повторениями любых предметов. Например, количество перестановок цифр 0, 0, 0, 0, 1, 1, 3 равно $\frac{7!}{4!2!1!} = \frac{4!5 \cdot 6 \cdot 7}{4!2} = 5 \cdot 3 \cdot 7 = 105$.

Задание и
11. Сколько различных анграмм у слов: a) реестр; 6) анграмма?
12. Сколько способами мама может в течение недели выдать дочек 3 банана, 2 груши и 2 апельсина, если кждый день будет давать ей по одному фрукту?
13. Расшифруйте приведенную на рисунке на с. 19 фразу, в котором вместе каждого слова стоит его анграмма.
14. Сколько способами можно составить окерелье из одной черной, двух белых, трех красных и пяты голубых бусинок?

Степень суммы
Комбинации букв — анграммы — естественно возникают при переменении двух или нескольких многочленов, а комбинаторы коэффициенты — коэффициента анграмм — при переведении подобных членов.

Хорошо известна формула квадрата суммы двух чисел:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Похожую формулу можно получить и для квадрата суммы трех и большего числа слагаемых. Возведем, например, сумму $a+b+c$ в квадрат:
$(a+b+c)(a+b+c) = aa + ab + ac + ba + bb + bc + ca + cb + cc = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$.

Аналогичная формула верна и для $(a+b+c)^2$ (на рисунке 3 каждый однолетен выражает площадь своего прямоугольника); вообще, квадрат суммы $n$ чисел вычисляется так: надо сложить все квадраты этих $n$ чисел и прибавить удвоенную сумму всевозможных попарных произведений этих чисел.

Если аккуратно переменность $a+b+c$ при раза на себя, получится также формула:
$(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 6abc$.

Объясним, как можно получить возможность здесь коэффициенты 1, 3 и 6 без утомительного умножения и совпания подобных членов. Это — уже знакомые нам количество анграмм. Член $a^3$ может получить только одиним способом — когда из каждой скобки
$(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$ береется буква $a$. Чтобы получить коэффициент при $a^2b$, нужно из одной скобки взять $b$, а из двух других $a$, то есть этому члену соответствует анграммы $aab, aba, baa$ из двух букв $a$ и одной буквы $b$: их количество равно $(2+1)!(2!1!) = 3$. Наконец, коэффициент при $abc$ равен числу $3!/(1!1!1!) = 6$ анграмм (перестановок) слова из трех различных букв $a, b, c$.

Аналогичная формула получится и для куба суммы большего числа слагаемых, например
$(a+b+c+d+e)^3 = (a^3+...) + 3(a^2b+...) + 6(abc+...)$.

Здесь многооточим в каждой скобке обозначены члены, получаемые из первого выписанного члена всевозможными заменами букв.

Укажем теперь общую формулу.

23

ния в степень и приведення подобных членов, то есть сумма вероятностей анаграмм слова кккзз.

Интересно, что случай «2 красных и 3 желтых», а также «2 красных, 2 желтых и 1 зеленьй» имеют одинаковую вероятность

$$\frac{5!}{2!3!} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{5!}{2!2!1!} \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{5}{36}.$$

(Это — наиболее вероятные комбинации 5 перцев при выбранных нами вероятностях.)

З а д а ч и

18. Все три ребра куба 6×6×6, исходящие из вершины A, поделили в отношении 3:2:1, считая от вершины A, и через точки деления провели плоскости, параллельные граями, разрезующие кубик на 21 кусок (рис. 5).

a) Сколько из них будут брусками 3×2×1?

b) Сколько еще и каких, будет кусков? Каковы их объемы?

b) Имеется ли связь между этой задачей и задачей про перцы?

19. Автомат составляет окерелья из 6 бусинок, выбирая их случайно из большой кучи черных, белых, красных и голубых бусинок, смещанных в соответствии 1:2:3:4. С какой вероятностью в таком окерелье

a) все бусинки голубые;

b) все — одного цвета;

b) не будет ни одной красной бусинки;

г) встретиется бусинки всех четырех цветов?

d) Какие окерелья будут попадаться чаше всего?

e) Каким нужно взять соотношение бусинок в большой куче, чтобы чаще всего встретились окерелья с 2 красными, 2 черными, одной белой и одной голубой бусинками?

20. Пусть вероятность падения бутерброда маслом виз разна 3/4. Произошло случайное событие: поднос с семью бутербродами опрокинуляс. Какова вероятность, чторовно k бутербродов упадут маслом виз (для каждой k=0, 1, 2, …, 7)?

Возведите в степень (p+q)^7 и подчитайте каждый однолетен при p=3/4, q=1/4. Для вычисления коэффициентов можно воспользоваться микрокалькулятором. (См. Приложение.)

Биоминальные коэффициенты

Выше мы почти не затрагивали сами простой и, пожалуйста, самый важный случай двух букв. Коэффициенты многочлена (a+b)^n имеют специальное обозначение C^k_n, а формула (a+b)^n = C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1} b + … + C^n_n b^n

называется формулой биома Ньютона. Мы знаем, что C^k_n — количество слов из n букв, среди которых k букв и n-k буква a — можно найти по формуле

$$C^k_n = \frac{n!}{(n-k)! k!} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}.$$

Например,

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4,$$

поскольку

$$C^0_4 = C^4_4 = \frac{4!}{4!0!} = 1,$$

$$C^1_4 = C^4_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4,$$

$$C^2_4 = \frac{4!}{2!2!} = 6.$$

Биоминальные коэффициенты — числа C^k_n — возникают в самых различных задачах биоманторики, алгебры, геометрии, математической анализа, теории вероятности. Они связаны многочленскими красными тождествами; например, из равенства C^k_n + C^k_{n-1} = C^k_{n+1} (см. задачу 5) следует, что при всех натуральных n и k, 0≤k<n,

$$C^k_n + C^k_{n+1} + ... + C^k_n = C^k_{n+1}.$$

(для k=1 это — формула, с которой мы начали статью). Более подробно об этих замечательных числах будет расссказано в одном из следующих номеров журнала.

Литература

1. В. А. Успенский. Треугольник Паскала. М.: Наука, 1979.

2. М. И. Башмаков, В. М. Беккер, В. М. Гольховой. Задание по математике: Алгебра и анализ. М.: Наука, 1982.— (Серия: Biблютечка «Квант», вып. 22)

3. А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенko, А. В. Прокоров. Введение в теорию вероятности. М.: Наука, 1982.— (Серия: Biблютечка «Квант», вып. 23)

4. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, 1976, т. 1.

5. Ф. Мостеллер. Пятдесят запимательных вероятностных задач с решениями. М.: Наука, 1985.

Приложение: Вычисление биоминальных коэффициентов на калькулятор В3-34.

При больших n вычисление биоминальных коэффициентов вручную — весма трудомка задача. Ниже приведется программа для калькулятор В3-34*), позволяющая вычислить коэффициенты C^k_n для любого n≤334 и всех k≤n (при этомные ответы получаются при n≤28; при больших n программах дает приближенные ответы**)).

*) Небольшие модификации позволяют приспособить программу к модели МК-54 и МК-61.

**) Верхняя граница 28 для n и точность приближенных значений коэффициентов многочлена, чем для программы из известных справочников В. П. Дьякона и А. Н. Цветкова и В. А. Епанчникова. (Прим. ped.)

24

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Конус трения» предназначена восемиклассик, «Первый источник электрического тока» — девятиклассик, «Дифракция волн» — девятиклассик.

Публикацию подготовил И. К. Белкин.

Конус трения

Если рассмотреть условия равновесия тела на наклонной плоскости, угол наклона которого можно изменять, то легко получить (сделайте это самостоятельно), что тело начинает сокальзывать с плоскости при угле ф таком, что

$$tg\varphi = \mu,$$

где $\mu$ — коэффициент трения тела о плоскость. Не кажется ли вам удивительным, что этот угол не зависит от массы тела?

To же самое выражение для угла ф можно получить и другим, пожалуйста, более простым способом. Но для этого надо предварительно позначиться с понятием «конус трения».

Пусть тело, которое можно считать матерIALной точкой, находится на шереохватной горизонтальной плоскости. Сила тяжесте $m\vec{g}$ прижимает тело к поверхности, и поверхности «откликается», действия на тело силой нормального давления $\vec{N}$. Если же к телу приложена также и некоторая горизонтальная сила, то со стороны поверхности появляется еще одна сила трения. Пока величина горизонтальной силы не превышает максимального значения силы трения покоя $F_{\text{тр.п.max}} = \mu N$, тело покoitся. При достижении этого значения тела начинает движаться, причем поверхности действует на него преястτυвошей движению силы трения скольжения

$$F_{\text{тр.ск.}} = F_{\text{тр.п.max}} = \mu N.$$

Как сила нормальной реакции, так и сила трения порождаются поверхности, поэтому можно говорить о полной силе реакции поверхности. В случае, когда тело под действием внешней силы (конечно, включаяшей в себя силу тяжести) движется вдоль поверхности (рис. 1), полная сила реакции есть

$$\vec{R} = \vec{N} + \vec{F}_{\text{тр.ск.}}.$$

Эта сила направлена под углом ф к нормали, который легко определять:

$$tg\varphi = \frac{F_{\text{тр.ск.}}}{N} = \mu, \quad \varphi = \arctg\mu.$$

Угол ф называют углом трения.

Будем теперь мысленно врашать вектор $\vec{R}$ вокруг нормали к поверхности, не меняя угла ф между ними. При этом вектор опищет конус (с углом 2φ при вершине), называемый конус трения. Он обладает следующим замечательным свойством. Какая бы большая по величине внешняя сила не прикладывалась к телу, если она лежит внутри конуса трения, тела остаются в покое. Если же эта сила выходит за пределы конуса трения, то, какой бы малой она не была, тела начинает движаться.

В справедливости этого утверждения нетрудно. Действительно, пусть внешняя сила $\vec{F}$ (см. рис. 1) приложена к телу так, что ее линяя действия составляет угол $\alpha$ с нормалью к поверхности. Тогда «сдвигающая» тело вдоль поверхности силы равна $F_{\sin\alpha}$, а сила нормальной реакции равна $F_{\cos\alpha}$. Таким образом, предельно возможная сила трения покоя, удерживающая тело на месте, есть

$$F_{\text{тр.п.max}} = \mu N = \mu F_{\cos\alpha} = Ftg\varphi\cos\alpha.$$

Пока сила $\vec{F}$ лежит внутри конуса трения, $\alpha < \varphi$ и, следовательно, $F_{\sin\alpha} <$

25

Первый источник электрического тока

<Ftgφcosα. Тело при этом покопится. Однако как только угол α становится больше угла трения φ, последнее неравенство нарушается. Тепер трение уже не в состоянии удержать тело на месте, и оно начинает скользить.

Вернемся к телу, оставленному в начале статы на наклонной плоскости, и построим для него конус трения (рис. 2). Внешней силой здесь служит сила тяжестеги $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз. Пока α<φ, согласно сказанному выше, тело будет покопться. Но как только угол α превышает угол φ — начнет движение. Поэтому мы сразу же получаем условие начала сокальзывания тела с наклонной плоскости:

$$tg\alpha > \mu, \alpha > arctg\mu.$$

Заметим, что понятим конуса трения пользовется инженеры при расчете той или иной конструкции. Так, например, даже при проектировании табуретки следует помнить о конусе трения.

Представьте себе табуретку, пожки которой соединены с сидением шарирами (рис. 3). Конечно, в действительности никто не станет так делать, однако такая система крепления позволяет нам легче разобраться с ролью конуса трения. Поставим такую табуретку на пол так, чтобы угол α, который находится с нормально к полу, был меньше угла трения φ. В этом случае как бы мы не нагружали табуретку, пожки ее не разведутся — сила, с которой каждая пожка действует на пол, лежит в пределах соответствующего конуса трения. Если угол α сделать больше угла φ, то сила, с которой каждая действует на пол, выйдет за пределы конуса трения, пожки разведется и табуретка упадет.

У реальный табуретки пожки соединены с сидением не с помощью шариров, а включаны или включаны в него.

Электрический ток даже в простейшей электрической цепи может показаться несколько загадающим явлением. В самом деле, ток — это упорядоченное движение электрических зарядов, например электронов в металлическом проводнике. Упорядоченное движение их загадает электрическое поле. Но, как известно, работа электростатического поля по замкнутой траектории равна нулю (а электрические цепи, в которых протекает постоянный электрический ток, всегда замкнуты). Тем не менее в цепи при прохождения тока совершается работа. За счет этой работы, например, нагреваются проводники.

Почему же в цепи существует электрический ток и почему при его прохождения совершается работа?

И то и другое возможное только потому, что где-то в цепи действуют какие-то неэлектростатические силы, которые могут создать и поддерживать в цепи электростатические поле и работа которых не равна нулю. Силы эти получили название «стороних сил». То место в цепи, где они действуют, носит название (не совсем удачно) «источника тока».

Что это за сторонине силы и как они действуют? В качестве примера рассмотрим первый в истории химический источник постоянного тока. Его придумал в самом конце XVIII века иtalянский физик Алексаандро Волга (1745—1827). Тепер этот источник называют элементом Волга. Он состоит из циккового и медного электродов, погруженных в раствор серной кислоты.

Заметим, что медь и цикк состоит не из нейтральных атомов, а из положительныхонов соответствующего металла и электронов, оторвашихся от атомов и ставших, как говоря, свободными. Следует иметь в виду, что и раствор кислоты состоит не из

26

нейтральных молекул воды (H₂O) и серной кислоты (H₂SO₄). Значительная часть молекул H₂SO₄ в воде превращается в три иона — два положительно заряженных иона водорода H⁺ и отрицательно заряженный ион SO₄²⁻ с двойным зарядом:

H₂SO₄ → 2H⁺ + SO₄²⁻.

Посмотрим, что происходит, когда в такой растор погружают электроды (см. рисунок). Начнем с цинка.

При погружении цинка в растор кислоты начинается химическая реакция взаимодействия ионов SO₄²⁻ и Zn²⁺, в результате чего ионы цинка отрывают от электрода и переходит в растор. При этом на электроде оказывается избыток электронов, и он становится отрицательно заряженным. По мере накопления ионов Zn²⁺ в расторе неокоторая их часть, пригиваемая электродом, возвращается обратно. В конце концов установлена dichamическое равновесие: число ионов, покидающих цинк, равно числу ионов, возвращаются в него. Но электрод остается заряженным отрицательно, а растор влизаЭлектрода (за счет ионов цинка) получает положительный заряд.

Появление дополнительных положительных ионов около цинкового электрода вызывает перераспределение уже имеющих ионов внутри растора. Часто отрицательных ионов из соседнего слоя перемещается близке к электроду, а часть положительных ионов отнестиется в более удаленный слой. Подобные перемещения происходит во всех слоях растора, плоть до слоя, прилегающего к медному электроду. Здесь происходит следующее процесс.

В отличие от цинка медь почти не расторяется в кислоте, то есть не посылает в растор своих ионов. Наоборот, положительные ионы водорода из растора, попадая на медный

электрод, отбирают у него свободные электроды и нейтрализуют. Медь становится положительным заряженной, а растор около нее приобретает отрицательный заряд.

Таким образом, медный электрод в элементе Волта образует положительный полос, а цинковый электрод — отрицательный. Разность потенциалов между ними составляет приблизительно 1,1 В.

Посмотрим теперь, что происходит, если электроды соединить металлическим проводником. Свободные электроды во внешней части цепи (в проводнике) начинают движаться от цинка, где они имеют в избитыке, к меди, где их недостает. Это означает, что во внешней части цепи возникнет электрический ток, направленный от меди к цинку.

А что же в самом элементе Волта? Из-за ухода электронов с цинка равновесие между цинковым электродом и растором нарушается, в результате чего дополнительное число ионов цинка будет переходить в растор, поддержива тем самым отрицательный заряд электрода. А из-за прихождения на медный электрод больше число положительных ионов водорода из растора сможет нейтрализовать на этом электроде. При этом положительный заряд меди тоже поддерживает.

Мы видим, таким образом, что в время, как во внешней части цепи от цинкового электрода к медному движется свободные электроды, внутри источника движения цепи: положительные от цинка к меди и отрицательные от меди к цинку. Так в замкнутой цепи осуществляется непрерывный круговой процесс перемещения электрических зарядов, то есть электрический ток.

Какие же силы совершают работу по поддержанию постоянной позиции потенциалов между медным и цинковым электродами? Это так называемые химические силы, действующие внутри элемента Волта. Другими словами можно сказать, что источником энергии электрического тока служит энергия, выделяющаяся при химических реакциях между электродами и растором кислоты.

Отсюда получается, что «источник тока» в действительности есть источник энергии, за счет которого и со-

27

вершается работа по перемещению зарядов по цепи, проявляющаяся, в частности, в нагреве проводников. Энергию, приходящую на единицу заряда, обходшего цепь, называют электродвижущей силой источника.

В других источниках проискодят другие процессы, действуют другие силы, но роль их всегда такая же как и в рассмотрении нами элемента Волта.

Дифракция волн

Дифракция называется огибание волнами превращствия, их пропикновение в области геометрической тени. Это одно из характеристих явления для волн любой природы.

Особенно заметно дифракция проявляется тогда, когда размеры превращения сравнимы с длиной волны. Звуковые волны, например, имеют длину порядка метров, и их дифракцию обнаружить легко — звук можно услышать из-за угла. А вот у света длина волны составляет всего лишь доли микрометра, и в обычных условиях наблюдаются дифракцию света трудно. Долго время считалось даже, что свет всегда распространяется прямонейно.

Качественное явление дифракции волн объясняется с помощью принципа Гюйгена («Физика 10», § 38). Первую количество теории дифракции света построил французский инженер Огюстен Френелль. В 1818 году он представил свой «Метуар о дифракции света» на конкурс, объявленный Парижской академией наук. В следующем году этот метуар был премирован, а позже напечатан в трудах Академии.

Среди членов комиссии, который было поручено рассмотреть метуар Френелля, был известный ученый С. Пуассон. Основываясь на теории Френелля, Пуассон продолжал расчет для двух частных слуаев дифракции на различных превращениях, не разобраны Френелем, и получил парадокальные результаты. В первом слуае расчет показывает, что в центре геометрической тени от небольшого шарика, поставленного на пути света, должно наблюдаться светлое пятно. Во втором слуае получалось, что после прохождения света через круглое ответственное в центре дифракционной картины может появиться темное пятно. Расчеты Пуассона были представлены как доказательство несостояности теории Френелля. Однако соответствующие эксперименты более подтверждили все выводы френелевской теории. Этот факт сыграл немаловажную роль для начала широкого признания волновой природы света.

Давайте и мы разберемся в явлении дифракции поподробнее. Расмотрим дифракцию света на круглом ответственном ширире. На рисунке 1дуга ABC показывает фронт волны, испущенной точным источником света S, в момент достижения волной превращения. Каждая точка фронта является, согласно принципи Гюйгена, источником вторичных волн, а их интерференции, по теории Френелля, объясняет дифракционную картину на экране Э.

Чтобы рассчитать результат интерференции вторичных волн, например, в точке D в центре экрана, применим метод, предложенный Френелем. Разобъем волновой фронт на зоны (зоны Френелля) по такому принципу: разность расстояний от крайних точек каждой зоны до экрана должна отличатьсяровно на половину длины волны света:

$$AD - KD = KD - LD = LD - MD = MD - BD = \lambda/2.$$

Для чего так поступают? Это позволяет воспользоваться известным свойством: волны, имеющие разность хо-

28

да в положину длины волны (находящиеся в противофазе), при сложении газят друг друга. Каждый точке одной зоны найдется соответствующая точка в соседней зоне, от которой волны придут в точку $D$ в противофазе, а площади всех зон почти одинаковы. Поэтому действие соседних зон в точке $D$ (например, первой и второй, второй и третьей и т. д.) практически уничтожают друг друга.

Тепер легко понять, при каких условиях можно наблюдать «парадокс Пуассона». Если в ответсти имеется точное число зон, то в центре экрана мы увидим темное пятно. За ним расположется светло колюцо, затем темное и т. д. (рис. 2, а). На экране мы будем наблюдать систему черезушки темных и светлых колцес (но центральное пятно будет темным!). Если же в ответсти указывается нечетное число зон, то результат будет обратным — в центре будет наблюдаться светло пятно, окруженное черезушки темными и светлыми колццами. Дифракционную картину от небольшего шарика (рис. 2, б) попробуйте объяснить самостояльно.

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Четырезначное число, записанное последовательно стойцами слева направо цифрами
   $x, y, u, v$, будем обозначать символом $xyuv$. Докажите; что если $A$ и $B$ — произвольные цифры, отличные от 0, то
   $ABBA - BABA = ABAB - BAAB$.

2. При каких значениях $a$ система уравнения
   $$\begin{align*} 2x + ay &= a + 2, (a + 1)x + 2ay &= 2a + 4 \end{align*}$$
   не имеет решений?

3. Найдите все точки чисел $x, y, z$, удовлетворяющие системе неравенств
   $x^2 \leqslant y, y^2 \leqslant z, z^2 \leqslant x$.

4. Докажите, что произвольный треугольник разбивается своим медиамми на 6 равновелых треугольников.

5. Докажите, что в выпуклий четырехугольник тогда и только тогда можно писать окружность, когда суммы длины противоположных сторон одинаковы.

6. Найдите все целые $n$, при которых модель трехчлена $n^2 - 7n + 10$ является простым числом.

7. Докажите, что уравнение $\sin x = x^2 + x + 1$ не имеет решений.

8. Положительное или отрицательное число $\sin 10\,000$?

(Окончание см. на с. 55)

29

Задания

1. Однажды я решил проехаться по креSELНОЙ канатной дороге. В неКоторый момент я обратил внимание, что идущее мне навстречу креСЛО имеет номер 95, а следующее — номер 0, дальше 1, 2 и т. д. Я взглянул на номер своего креСла. Он оказался равным 66. Проехал ли я половину пути? При встрече с каким креСлом я проеду половину пути?

2. Вот очень простая
   Γ+О=Л-О=В×O=Л-О=М-К=А
   Замените буквы цифрами так, чтобы получились верные равенства; при этом одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным — разные.

3. Во фlakон неправильной формы налили некоторое количество жидкости. Как, не имея никаких изменительных инструментов и других сосудов, узнать, занимает ли жидкость больше или меньше половины объема флакона?

4. Как найти центр наиссованной окружности, если в вашем распоряжении лишь карандаш и обычная линейка с параллельными краями (ширина линейки меньше диаметра окружности)?

5. Дедушка с tremя внуками вышел протуляться в парк. Встретившийся им дедушкин знакомый спросил, сколько каждому из них лет. Ваная сказал: «Я младше Пети и мне больше пяты лет». Петя произнес:
   «Я младше Саши на 3 года». А Саша сказал: «Нам всем вместе в 3 раза меньше лет, чем дедушке, а вместе с дедушкой намровно 100 лет». Сколько лет каждой из внуков?

Эти задания нам предложили: А. П. Савин, Л. П. Мочалов, М. И. Лобак, А. И. Демидов, Н. К. Антонович.

30

Восстанови
стертую фигуру!

Кандидат педагогических наук
Н. Н. ИВАНОВА

«Очередное занятие нашего кружка посвязывано решению геометрических задач», — сказал учитель. — «Эти задачи не совсем обычны — мы будем восстанавливать фигуры по некоторым известным элементам. С подобными задачими люди встречались еще в глубокой древности, когда им приходилось восстанавливать границы участков, смытыв в результате разливания Нила».

Учитель показал ребятам осколок разбитой патефонной пластики и предложил определить радиус этой пластики (центр пластики не сохранялся, но сохранилась неоторая часть ее края).

Ребята вспомнили, что центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения середины перпендикуров, проведенных к сторонам треугольника. Значит окружности, легко найти ее радиус. Поэтому для решения задачи с пластинкой можно использовать треугольник ABC, вершины которого лежат на дуге окружности пластики (рис. 1).

«Вторая задача более сложная», — сказал учитель и нарисовал на доске треугольник ABC. Он провел в нем медианы и отметил их основания D, E, F, потом стер треугольник, оставив только основания медиан. Ребятам же учитель предложил восстанавить треугольник.

Первым поднял руку Петя. Он подошел к доске и соединил данные точки отрезками. Отрезки DE, DF и EF — средние линии в треугольнике ABC. А средняя линия параллельна стороне треугольника. Это и дает ключи к решению задачи: через каждую из данных точек нужно проверить прямую, параллельную непрохождение через нее средней линии, и в результате пересечения этих прямых мы получим искомый треугольник (рис. 2).

«Хорошо!», — сказал учитель. «Теперь — третья задача». Учитель нарисовал на доске остроугольный треугольник ABC, провел в нем две высоты AE и BF. Затем снова стер треугольник, оставив точки E, F и часть основания — отрезок MN. «Восстановите стертуй треугольник», — сказал учитель. Ребята задамались. Сережа соединил точки E и F. Как бы дальше? Если бы определить положение точки A и B — концов основания треугольника — задача была бы решена. «Что вы можете сказать об углах AFB и BEA?», —

31

обратился учитель к кругковцам. «Эти углы прямы»,— ответили ребята. Сережа договора, что точки E и F принадлежат геометрическому месту точек, из которых отрезок AB виден под прямым углом. Таким геометрическим местом точек является окружность*), диаметр которого и есть AB. Необходимо найти центр этой окружности. Он лежит на прямой MN и на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку EF, то есть является точкой пересечения MN и этого перпендикуляра (рис. 3). Определив точки A и B, ребята легко нашли точку C. Задча решения!

«Четвертая задача — самая трудная: нужно восстановить треугольник по основаниям трех его высот».
К доске снова вышел Петя. Он нарисовал треугольник ABC, провел в нем высоты, отметил их основания: H₁, H₂, H₃. Стер треугольник, соединил точки H₁, H₂, H₃ и задумался. Учитель посоветовал ему сделать от руки набросок, считая, что задача уже решена, и подсказал, что bicсектрисы треугольника H₁H₂H₃ принадлежат высотам треугольника ABC. Петя подумал и доказал это утверждение. Он построил две окружности: с дина-

*) Кроме точки A и B.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

метрами AC и AB — и воспользовался свойством писанных в окружность углов (рис. 4; как рассуждал Петя?). После этого Петя сновастер, быстро построил в треугольнике H₁H₂H₃ bicсектрисы и через вершины H₁, H₂, H₃ провел прямые, перпендикулярные построенным bicсектрисом. В пересечении он получил искомый треугольник ABC.

В конце занятия учитель предложил еще четые задачи для домашнего решения.

1. В треугольнике ABC из вершины A были проведены медиана AD и высота AH, а из вершины B — медиана BF. Треугольник стерли, оставив только три точки D, F и H. Восстановите треугольник.

2. Нарисовали параллелограмм. Затем его стерли, оставив середины трех сторон. Восстановите параллелограмм.

3. Даны точки M, N, K — середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Восстановите четырехугольник.

4. Восстановите треугольник, если известны середины двух его сторон и прямая, на которой лежит bicсектриса, проведенная к одной из этих сторон.

Давление, объем, температура

1. Дан график изменения состояния газа в координатах p, V. Представить этот процесс графиски в координатах V, T и p, T.

2. При нагревании газа была получена зависящимость давления от температуры, показанная на графике. Сжимали или распирали газ?

3. Два попытки стеклянных шарика соединины трудкой, посерредние котороди находится капелька рутути. Можно ли по положению капельки судить о температуре окружащего воздуха?

4. Определите по графику, какая из кривых изо-термма, а какая — адинабатра?

5. Определите по графику, какая из кривых изо-термма, а какая — адинабатра?

6. Объем газа уменьшил в 2 раза, а температуру увеличил в 1,5 раза. Как изменилось давление?

7. Как менялась температура газа при проведении процесса, изображенного на графике?

8. Объем воздуханого пузырька удававается при подьеме со дна озера на поверхность. Какова глубина озера?

9. Почему электронная лампочка заполняет инертным газом при давлении, значительной меньшем атмосферного?

4. При значительном повышении температуры газа, состоящего из многоатомных молекул, может начаться их диссоциация. К каким отклонением от закона Шарля может это привести?

… повышение давления от одной до двух atmospheric при постоянной температуре влечет за собой уменьшение газа в вдвое, в то время как объем воды меняется при этом лишь на одну даватимесячную. Оdnako скимаместить воды не так уж и мала: если бы удаLOB освободить от скатия воды Мирового океана, то его уровень поднялся бы на 35 м и огромные территории оказылись бы затопленными.

… Войль, эксперименттируя с газами, не пытался установить новый закон, а хотел лишь доказать, что воздух обладает урутостью. Записи Войли внимательно просматривали его ученик Тоунли. Он-то и обнаружил, что давление и объем обрабатно проницавали друг друг. 14 лет спустя Марютт, проведя многочисленные опыты, выvelл тот же закон.

Давление, объем, температура

А так ли хорошо знакомы вам понятие Давление, объем, температура?

Приименив законы Ньютона к описанию теплового движения atomов и идеального газа, можно вывести уравнение состояния газа, из которого следует сделать в апитрафе утверждение. Однако многочестве в веществе можно понять, не вдаваясь в детали его внутреннего строения. Так впервые опытным путем пришли к газовым законам, связывающим давление, объем и температуре газа.

Эти законы «работают» уже более 200 лет, позволяют исследовать поведение газов в различных условиях. Они помогут и вам разобраться в задачах, собранных сегодня в «Калейдоскопе».

1. «Закон Даллгона» — 1981, № 11.
2. «Уравнение газового состояния» — 1983, № 2.
3. «Физический смысл универсальной газовой постановки» — 1983, № 10.
4. «Масса и количество вещества…» — 1984, № 10.
5. «Газ превращается в жидкость» — 1984, № 11.

34

Задчи

M961—M965; Ф973—Ф977

M961. На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD — точка F, причем AE:EB=1:2, CF=FD. Будут ли головой и розовый треугольник (рис. 1) подобны?

A. П. Савин, Н. А. Паравян

M962. Докажите, что ни для какого многочлена P(x) с целыми коэффициентами не могут найти такие различные целые числа x₁, x₂, …, xₙ (n ≥ 3), для которых выполнялись бы равенства P(x₁)=x₂, P(x₂)=x₃, …, P(xₙ-1)=xₙ, P(xₙ)=x₁.

Думитру Раду (Румыния)

M963. При пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины, пересекаются в одной точке.

T. Газарян (уч. 10 класса)

M964. Докажите, что в последовательности (aₙ) различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию aₙ<100n, найдется число, в десятичной записи которого a) встречается цифра 1;
б) встречается 1986 единиц подряд.

A. А. Столин

M965. Дано шесть чисел a₁, a₂, …, a₆. Чтобы подсчитать «в люб» сумму их попарных произведений a₁a₂+a₁a₃+…+a₅a₆, нужно затратить 15 умножений и 14 сложений. Докажите, как можно найти сразу сумму этих чисел, сумму их произведений по два, по три, по четыре и по пять, затратив всего 15 сложений и 14 умножений.

H. В. Васильев

Ф973. Тело начинает двигаться прямолинейно из точки A и через время T попадает в точку B a) с максимальной возможной скоростью, 6) с минимальной возможной скоростью; расстояние |AB| равно l. Найти скорости тела в этих двух случаях, если скорость в точке A v₀=0 и ускорение тела — a₀ < a < a₀.

Д. А. Акопян

Ф974. Определите период малых колебаний системы, изображенной на рисунке 2; масса груза m, упругость推销ны k, AOB=α. Стержень и блок считать гладкими,推销ну невесомой. Пружина закреплена в точке A. Изменится ли период колебаний, если в точке O также закрепить груз m?

Л. Г. Маркович

35

Ф975. Между пластинами плоского конденсатора площадью $S$, расстояние между которых $d$, движется со скоростью $\vec{v}$ плоскопаралельная протяженная проводящая пластина толщиной $d/2$. Вдоль пластины перепendlулярно $\vec{v}$ действует постоянное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$. Определените напряжение на конденсаторе емкостью $C$, соединенным с пластинами так, как показано на рисунке 3.

Е. А. Ромищевский

Ф976. Моль идеального одноатомного газа переводится из начального состояния в конечное, как показано на рисунке 4. Определените подвеждение газу тепло, если разность начальной и конечной температуры равна $\Delta t = 100^\circ\text{C}$.

С. М. Коршунов

Ф977. На стене, плоскость которой отклонена от вертикали на $4,87^\circ$ (рис. 5), укреплено зеркало. С какого максимального расстояния человека рост которого 170 см, может увидеть в зеркале хотя бы часть своего изобравжения?

Е. П. Кузнецов

Problems

M961—M965; P973—P977

M961. Points $E$ and $F$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ of the square $ABCD$ respectively so that $AE:EB=1:2$, $CF=FD$. Will the blue and pink triangles on Fig. 1 be similar?

A. P. Savin, N. A. Paravyan

M962. Prove that there is no polynomial $P(x)$ with integer coefficients for which one can find distinct integers $x_1, x_2, ..., x_n$ ($n \ge 3$) satisfying the relation

$$P(x_1) = x_2, \quad P(x_2) = x_3, \quad ..., \quad P(x_{n-1}) = x_n, \quad P(x_n) = x_1.$$

Dumitru Radu (Rumania)

M963. The opposite sides of a hexagon are parallel. Prove that the lines joining their midpoints intersect at one common point.

T. Gazarian (10th form pupil)

M964. Prove that it is possible to find, in any sequence $\{a_n\}$ of distinct natural numbers satisfying the condition $a_n < 100 n$, a number whose decimal expansion contains a) the digit 1; b) 1986 digits 1 in a row.

A. A. Stolin

M965. Six numbers $a_1, a_2, ..., a_6$ are given. In order to compute the sum of their pairwise products $a_1a_2 + a_1a_3 + ... + a_5a_6$ in the direct way, 15 multiplications and 14 additions are required. Show

37

M942. Числа 1, 2, …, 2n−1, 2n разбиты на две группы по n чисел в каждой. Пусть $a_1 < a_2 < ... < a_n$ — числа первой группы в порядке возрастания, $b_1 > b_2 > ... > b_n$ — числа второй группы в порядке убывания. Докажите, что $|a_1 - b_1| + |a_2 + b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2$.

Заметим, что из двух чисел $a_k$ и $b_k$ одно всегда не превосходит $n$, а другое — больше $n$. Действительно, если, например, $a_k \leq n$ и $b_k \leq n$, то и все числа $a_1, a_2, ..., a_k$ и $b_k, b_{k+1}, ..., b_n$ не превосходят $n$. Всего мы получаем $k + (n - k + 1) = n + 1$ различных натуральных чисел, не превосходящих $n$, что невозможно. Аналогично доказывается, что оба числа $a_k$ и $b_k$ не могут быть больше $n$.

Таким образом, каждое из слагаемых $|a_k - b_k|$ в нашей сумме равно разности числа, больше $n$, и числа, не превосходящего $n$. Раскрывая модель и переставив слагаемые, получим

$$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n) - (1 + 2 + ... + n) = n^2.$$

В. В. Произвольв

M943. Последовательность $a_1, a_2, ...$ задается правилами: $a_{2n} = a_n$ при $n \geqslant 1$ и $a_{4n+3} = 0$ при $n \geqslant 0$. Докажите, что эта последовательность не имеет периода.

Доказательство проведем от противного. Пусть последовательность имеет период $T = 2^p \cdot q$, где $q$ нечетно. Если $q = 4m + 3$, то при $k \geqslant p + 2$

$$a_{2k} = a_{2k+T} = a_{2p(2^k - p + q)} = a_{2p-1(2^k - p + q)} = ...$$

$$... = a_{2k-p+4m+3} = a_{4(2^k - p - 2 + m)+3} = 0.$$

но в то же время

$$a_{2k} = a_{2k-1} = ... = a_1 = 1.$$

Противоречие.

Если же $q = 4m + 1$, то в проведенном рассуждении число $T$ надо заменить на число $3T = 2^p (4 \cdot 3m + 3)$, которое также должно быть период нашей последовательности.

С последовательностью $(a_n)$ связана заменательная бесконечная ломанная $A_0 A_1 A_2$… с равными звеньями, каждое из которых (начиная с $A_1 A_2$) составляет угол $90^\circ$ с предыдущим, причем в вершине $A_n (n \geqslant 1)$ ломанная поворачивает налево, если $a_n = 1$, и направо, если $a_n = 0$. Эта ломанная называется «главной ломанной дракона» (см. статью Н. В. Васильева и В. Л. Гутенхаера «Кривые дракона» в «Кванте» № 2 за 1970 г.).

Ю. В. Нестеренко

M944. Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке 1. Во всех 19 узла образовающей фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбита имеет по крайней мере 7 таких, в вершинах которых треугольник чисел записаны в порядке возрастания против числовой стрелки.

От каждой из сторон треугольников проведем стрелку, направленную влево от стороны, если двигается по ней от вершины с меньшим числом к вершине с большим числом (рис. 2). Если числа, записанные в вершинах неокоторого треугольника, возвращают при обход вершин против часовой стрелки, то внутри этого треугольника находитсяровно две стрелки; если по часовой — торовно одна (рис. 3). Пусть треугольник первого типа — $n$, второго — $m(n + m = 24)$. Посокльку общее число $N$ строит внутри шестиугольника равно $2n + m$, нам достаточно доказать, что $N \geqslant 31$ (тогда $n = N - (n + m) \geqslant 31 - 24 = 7$).

38

Стрелки, ответающие 30 внутренним отрезкам разбиения, заведomo лежат внутри шестиугольника. Из 12 остальных стрелок, расположенных по контуру шестиугольника, хотя бы одна должна быть направлена внутри. (В противном случае, обходя границу шестиугольника по часовой стрелке, мы каждый раз встречали бы все большее число.) Итак, $N \geq 30 + 1 = 31$.

А. А. Берзиньш

M945. Дана строго возрастищая неограниченная последовательность положительных чисел $a_1, a_2, \dots$. Доказите, что для всех достаточно больших $k$ справедливо неравенство

a) $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1$;
b) $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1985$.

a), 6) Положим

$$s_k = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}}.$$

и докажем, что при любом достаточно большом $k$ $s_k < k - 1/2$.

Поскольку последовательность $a_1, a_2, \dots$ неограниченно возрастиет, найдется такое $K$, что $a_1/a_K < 1/2$, тогда при всех $k \geq K$

$$k - s_k = \left(1 - \frac{a_1}{a_2}\right) + \left(1 - \frac{a_2}{a_3}\right) + \dots + \left(1 - \frac{-a_k}{a_{k+1}}\right)$$

$$> \frac{a_2 - a_1}{a_{k+1}} + \frac{a_3 - a_2}{a_{k+1}} + \dots + \frac{a_{k+1} - a_k}{a_{k+1}} = 1 - \frac{a_1}{a_{k+1}} > 1 - \frac{a_1}{a_K} > \frac{1}{2}$$

Приемя это утверждение к последовательности $a_{m+1}, a_{m+2}, \dots$, получим, что при всех достаточно больших $k$, $k > m$,

$$s_k - s_m = \frac{a_{m+1}}{a_{m+2}} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - m - \frac{1}{2}.$$

Выберем теперь такое $k_1$, что $s_{k_1} < k_1 - 1/2$, затем $k_2 > k_1$ так, что $s_{k_2} - s_{k_1} < k_2 - k_1 - 1/2$, затем $k_3 > k_2$ так, что $s_{k_3} - s_{k_2} < k_3 - k_2 - 1/2$, и т. д. Тогда при любом $k \geq k_n$

$$s_k = \left(s_k - s_{k_n}\right) + \left(s_{k_n} - s_{k_{n-1}}\right) + \dots + \left(s_{k_2} - s_{k_1}\right) < (k - k_n) + \left(k_n - k_{n-1} - \frac{1}{2}\right) + \dots + \left(k_2 - k_1 - \frac{1}{2}\right) + k_1 - \frac{1}{2} = k - n/2.$$

Отсюда вытекают оба утверждения задачи: a) — при $n = 2, 6$) — при $n = 2 \cdot 1985$.

Л. Д. Курляндчик

**Ф953. Для точной подстройки частоты вращения диска электропроводателя (33 $\frac{1}{3}$ оборота в минуту) на его боковую поверхность наносят метки, которые освещают неоновый лампочкой с частотой 100 всыщек в секунду. Каким должно бы число меток, чтобы при номинальной скорости они казались нео逮ными? После отключения движения начало троицить диск, и метки «побезут». За

39

первые 4 с mismo точки наблюдения «пробегают» 10 меток. Через какое время диск остановится? Через какой промежуток времени метки «побегут» в другую сторону?

После отключения диска начинает равномерно тормозиться (при сухом трении силы при торможении не изменяются по величины). За 4 секунд при номинальной скорости должны пройти 400 меток, а диск «отстал» на 10 — значит, за это время скорость диска упала на $2 \cdot \frac{10}{400} = \frac{1}{20}$ от номинальной величины. Следовательно, диск остановится через $4 \cdot 20 = 80$ секунд, а через 40 секунд «побегут» в первый раз в другую сторону.

А. Р. Зильберман

Ф954. Декоративная квадратная штора размером $1,5 \times 1,5$ м высит на карнизе вдоль вертикальной стены. Нижний край шторы поднимают вверень с верхим, так что штора оказывается сложенной ввое, и отпускают. Найдите заисмешать силы, действующей на карниз, от времени. Штора тонкая, ладкая и имеет массу 3 кг.

♦
Рассмотрим положение шторы спустя время $t$ после начала ее падения. Так как штора мягкая, то левая ее часть свободно падает, а правая неподвижна (см. рисунок). При этом в момент времени $t$ левая часть движения со скоростью $gt$. Так как штора мягкая и тонкая, пренебрежем размером области перегиба и ее импульсом. Спустя небольшой интервал времени $\Delta t$ затормозится еще часть шторы массой

$$\Delta m = \frac{m}{d^2} gt \frac{d \cdot \Delta t}{2}$$

(d — сторона шторы), которая до торможения имела импульс

$$\Delta p = \Delta m \cdot gt = \frac{m}{d} (gt)^2 \frac{\Delta t}{2}.$$

Приименим к этому кукушшторы закон изменения импульса, чтобы определить силу $T(t)$, действующего на него со стороны висящей части шторы (по третьему закону Ньютона точно такая же по величине силы будет действовать вниз на висящую часть шторы). Итак,

$$T(t) - \Delta m \cdot g = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m}{2d}(gt)^2,$$

откуда

$$T(t) \big|_{\Delta t \to 0} = \frac{m}{2d}(gt)^2.$$

Поскольку права часть шторы неподвижна, сумма сил, действующих на нее, в любой момент времени равна нулю. Следовательно, в момент времени $t$ получим

$$T(t) + \frac{m}{2} g + \frac{m}{2d^2} d \frac{gt^2}{2} g - N(t) = 0,$$

где $N(t)$ — сила, действующая со стороны карниза на штору в момент времени $t$.

Таким образом,

$$N(t) = \frac{m}{2d}(gt)^2 + \frac{m}{2} g + \frac{m(gt)^2}{4d} =$$

$$= \frac{mg}{2} \left| 1 + \frac{3}{2} \frac{gt^2}{d} \right| = 15 \left[ 1 + 10t^2 \right] H$$

($t \leq \sqrt{\frac{2d}{g}} \approx \sqrt{0,3} \text{ c.}$).

С. С. Кротов

41

Гн из тонкой сверхпроводящей проводки подвешалась на упругой нити в магнитном поле, направленном вертикально вверх вдоль оси катушки (см. рисунок). Нить подвеска в исходном состоянии не закручина, сила тока в катушке равна нулю. Индукция В магнитного поля медленно увеличалась от нулевого значения до значения $B_0=0,1$ Тл, при котором сверхпроводимость скаком исчезала и проволока переходила в нормальное состояние. Катушка при этом закручилась. Определите максимальный угол закручивания катушки, считая, что упругий момент нити пропорционален углу закручивания (в радианах); коэффициент пропорциональности $G=10^{-7}$ Н·м. Число витков катушки $n=100$, радиус витков $R=1$ см, масса катушки $M=10$ г. Отношение заряда электрона к его массе равно $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.

Ф957. Распространение коротких радиоволн в верхних слоях атмосферы Земли (unoносфере) можно описывать закономами геометрической оптики, если принять, что показатель преломления $n$ для радиоволн меньше единицы и изменяется с высотой $H$ от поверхности Земли так, как показано на рисунке 1 (для неокторой части v). На сутинике, летящем на высоте $h=200$ км, установлен радиопередатчик, излучающий радиоволлы частоты $v$ равномерно по всем направлениям. Пренебрегая подлосением радиоволн в unoносфере, оцените долю излучаемой передатчиком мощности, которая уносится радиоволнами за пределы земной атмосферы. При оценках поверхности Земли считать плоской, а отражающийся от unoносферы.

Рассмотрим сначала луч, испущенный со спутника вверх под углом $a$ к вертикали. Обозначим

$$\Phi = LI \text{ — собственный магнитный поток, } \Phi_{\text{BH}} \text{ — поток, созданный внешним полем. Отсюда}$$

$$I = \frac{|\Phi_{\text{BH}}|}{L} = \frac{SnB_0}{L} = \frac{\pi R^2 nB_0}{L}.$$

Пусть этот ток создан движением $N$ электровов по виткам катушки. Тогда

$$I = \frac{N}{2\pi Rn} ev,$$

где $e$ — заряд электрона, $v$ — скорость упорядоченного движения электровов.

Суммарный импульс всех электровов

$$p = Nmv = 2\pi RnI \frac{m}{e}.$$

Этот импульс при исчезновении тока передается катушки. Обратим внимание на то, что в данном случае задача о передаче врашательного импульса сводится к задаче о передаче линейного импульса. В приведенной формуле под $p$ нужно помнить арифметическую сумму импульсов всех электровов, равную (после исчезновения тока) арифметическую сумму импульсов всех элементов катушки. Катушка прибретает после исчезновения тока кинетического энергии

$$E_{\kappa} = p^2/2M.$$

Угол закручивания нити найдет из закона сохранения энергии:

$$\frac{p^2}{2M} = \frac{G\varphi^2_{\max}}{2},$$

откуда

$$\varphi_{\max} = \frac{p}{\sqrt{MG}} = \frac{2\pi^2 R^3 n^2 B_0}{L \frac{e}{m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{MG}} \approx 1,2 \cdot 10^{-4} \text{ рад.}$$

С. М. Козел

Среду, в которой показатель преломления зависит только от высоты, можно разбить на тонкие плоские слоны, в пределах каждого из которых показатель преломления можно считать постоянным. Расмотрим ход луча в двух соседних слоях с показателями преломления $n_i$ и $n_{i+1}$. Пусть в одном слое угол падения луча на границу раздела слоеев $a_i$, а в другом — $a_{i+1}$ (рис. 2). По закону преломления

$$\frac{n_{i+1}}{n_i} = \frac{\sin a_i}{\sin a_{i+1}},$$

откуда

$$n_{i+1} \sin a_{i+1} = n_i \sin a_i.$$

Таким образом, произведение показателя преломления на синус угла падения при переходе от слоя к слюю не меняется и остается постоянным для всех слов, через которые идут луч.

На рисунке 3 сплошными линиями показан ход лучей, уходящих за пределы атмосферы, а пунктиры — отражающийся от unoносферы.

Рассмотрим сначала луч, испущенный со спутника вверх под углом $a$ к вертикали. Обозначим

43

Пожалуйста, перевая задача 1984 года М841 — в ней требовалось доказать, что произведение длины отрезков, на которые запотенуда прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника, — оказалась не только одной из самых простых, но и получила наиболее число различных решений. Кроме опубликованного в «Кванте» № 4 за 1984 г., приведем еще одно, приспланное Л. А. Штейнгаем (руководителем математического куржа Тбилисского дворца пиноверов), — по принципиу древних «смотри!» (рис. 1); площадь треугольника ABD равна площади прямоугольника OEDF, поскольку треугольники одинакового цвета равны, то есть AT·TB=OE·OF=S△ABD=S△ABC.

---

В связи с поставлением в решении задачи М810 (Квант, 1983, № 9, с. 46) вопросом об оценке площади наибольшего прямоугольника, вписанного в произвольную выпуклу фигуриллоцади S, Е. М. Гольберг (Ленинград) заметил, что сравнительно нетрудно помещить в такую фигуру два прямоугольника, сумма площадей которых не меньше S/2 (рис. 2); для этого достаточно описать вокруг данной фигуры прямоугольник KLMN, стороны KL и MN которого касаются ее в наиболее удаленных друг от друга точках A и B фигуры (отрезок AB называется «диаметром» фигуры), и проведении параллельные AB отрезки L1M1 и K1N1 так, что AL1=L1L, AK1=K1A (доказите, что площадь каждого из розовых прямоугольников не меньше половины соответствующей части фигуры, разделенной диаметром AB). А. В. Хоудлев (Москва) доказал, что в любую выпуклу фигуриллоцади S можно вписать прямоугольник плоцади не меньше S/2, но его доказательство не в поле элемарно и слишком длино, чтобы привести его здесь,— мы предлагаем любитель геометрических неравенств поискать простое доказательство этой теоремы и возможных ее вариантов или обобщений, предъедем тем публиковать заметку на эту тему.

---

В связи с задачей М839 (Квант, 1983, № 12, с. 35) десятиклассик (телеръ уже студент) Л. Вертгейм из Новосибирска прислал нам ряд интересных результатов о последовательности a, определяемой условиями: a1=1, a2=2, a_k — наименьшее из натуральных чисел, не образующих тройку членов арithmeticской прогрессии с предыдущими и большие a_k-1 (при k>2): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, 28, 29, … В частности: a2m+1=2a2m=3m+1; a2k=a2k-1+1; если n нечетно, то чтобы найти a_n, достаточно записать n в двойной системе, а прочитать — в троичной (например, 1110=10112, a11=10113=31); любое натуральное число можно получить как сумму двух (не обязательно различных) чисел a_n.

Правда, все это не решает более трудный вопрос: каково наименьшее (для данного n) число b_n такое, что из отрезка натурального ряда от 1 до b_n можно выбрать n чисел, не содержащих тройки членов arithmeticской прогрессии,— получается лишь оценка сверху: b_n≤a_n≤c·n^{log2}3.

---

Пожалуйста, наибольшее из n наименьших чисел в строках таблицы, m — наибольшее из n наименьшего чисел в ее столбцах, будем считать, что k≤m. В каждой строке найдется число, не превысая ключ, и число, большее k (инначе наибольшее бы строка, в котором все числа не больше k, самого k в ней быть не может, а тогда было бы m>k). Возьмем в i-й строке пару соседних чисел a_i и b_i такую, что a_i≤k<b_i. Средние их мы найдем нужную, поскольку хотя одно из чисел b_1, b_2, …, b_n не меньше n+k.

Н. В. Васильев

44

v. Элементные логические операции

Доктор физико-математических наук М. Е. ЛЕВИНШТЕЙН, кандидат физико-математических наук Г. С. СИМИН

В предыдущих заметках этой рубрики (см. «Квант», 1985, № 9—12) мы рассмотрели устройство, принципы действия и способы изготовления трансисторов — основы современных ЭВМ. Для того чтобы понять, как с помощью трансисторов в ЭВМ осуществляется процессive действия, нам потребуется сегодня разговор об элементарных логических операциях.

…Вы входите в вестибольд современного 16-этажного дома. Перед вам двери двух лифтов и одна-единственная кнопка в стене. Вы ее нажмите и по световому табло над дверью видите, как один из лифтов начинает к вам спускаться. По дороге кабина оставливается — слышен шум открывающихся и закрывающихся дверей — в лифт кто-то вошел. Cabina возобновляет движение. Наконец, двери лифта открывают. Кто-то выходит… Все это так прививно, что практические не задерживает внимание.

А теперь представьте себе на месте инженера, который должен спроектировать электронную схему, управляющую движением лифта. Эта схема должна уметь решать множество задач.

«Если кабины не заняты и нажата только одна кнопка — после к данному этажу ту кабину, которая ближе. Если об кабины на одном этаже — после ту, которая потребляет меньше энергии.»

«Если в кабине пассажир и он нажал кнопку данного этажа, а на другом этаже также нажата кнопка, причем лифт едет не вверх, а вниз, а второй лифт не занят, или, если во втором лифте также пассажир…»

Попробуйте представить себе всю совокупность логических задач, которые могут быть поставлены перед электронной схемой при наличии 16 этажей и двух лифтов, и вы убедитесь, что даже такой простейший «процессор» должен уметь справляться с очень непростыми проблемами.

Попытавшись такой процесор спроектировать, вы рано или поздно убедитесь в следующем. Составляя логическую схему, удобно на время забить о свойствхого прибора, который служит элементной базой вашего процесора, и считать, что в вашем распоряжении имеются элементарные логические ячейки — элементарные схемы, умение реализовать логические функции «И», «НЕ», «ИЛИ».

Чем сложнее функция процесора, который должен быть спроектирован, тем более эффективен такой подход. Для ЭВМ, которая должна решать задачи в тысячи раз более сложные, чем устройство управления лифтом, только он является оправданным.

Разумеется, совсем забить о свойствхом базы не удалось. Рано или поздно встает множество вопросов, решения которых определяется именно параметрами того конкретного элемента, — электромагнитного реле, трансистора, выключателя и т. д.,— на котором построены логические схемы. Как быстрое сравнитель логические ячейки? Какую мощность они

Самые первые идеи создания программмируемой автоматической цифровой вычислительной машины вывинуты более 150 лет назад. Они принадлежат англиканну Ч. Бэбиджу, человеку феноменальных способностей, чьи идеи на это лет опередили время. Воле 30 лет, начиная с 1812 года, Бэбиджу работал над изготовлением такой машины. «Elementной базой» машины Бэбиджа служили «цифровые» колеса с различным числом зубов. Часты машины Бэбиджа хранятся в научном музее в Лондоне. (Подробно о Ч. Бэбидже можно прочесть в «Кванте», 1985, № 10 в статье «История рождения компьютера».)

45

Основой этой альгебры, которая теперь называется «бульевой», является любые величины, приимающее только два значения: «да» — «нет», «0» — «1», «включено» — «выключено» и т. д.

Глубокую и прициппальный взаимосвязь бульевой альгебры и двойного характера ключейых электриных элементов установил известный американский математик Дж. фон Нейман. Идеи Неймана заложили основы однородных ЭВМ, состоящих из большого числа идентичных элементов логических схем, действующих по двойному принципу. Нейман доказал, что, используя схемы «НЕ», «ИЛИ», «И», можно создать все основные узлы ЭВМ.

Крупный вклад в алгебраическую теории автоматов внес известный советский математик академик В. М. Глишков. Важные результаты получены им в теории цифровых автоматов, в области приложений вычислительной техники, в разработке новых причислов построения малых ЭВМ.

Операции бульевой алгебры

Логическая сложение
$$C = A + B \quad (A \text{ и } B)$$

Логическая умножение
$$C = A \cdot B \quad (A \text{ и } B)$$

Логическая отрицание
$$B = \bar{A} \quad (\text{не } A)$$

Соответствующие логические схемы

А + B
Схема „ИЛИ”

А · B
Схема „И”

А
А̅
Схема „НЕ”

Таблица логических операций.

потребляют? Сколько стоит логическая схема? Насколько надежно она зашищена от помех? И т. д.

Но пока вы проектируете логику процесса, обо всех этих вопросах можно не думать. Логическая схема, построенная с использованием логических ячеек типа «И», «ИЛИ», «НЕ», является универсальной; она не зависит от того, на каких элементов реализованы логические ячеек.

Что же представляют собой логические ячеек?

Это электронные схемы, на входах и выходах которых направления могут принимать только два полне определенных значения. Одно из этих значений называется логическим нулем, второе — логический единицей. Эти два значения направления обозначают, соответственно, $U^0$ и $U'$ («0» и «1»).

Логические ячеек типа «ИЛИ» (схемы логического сложения) имеют два или более входов и один выход. Если хотя бы на один из входов поступает сигнал «1», на выход также появляется «1». Условное обозначение схемы «ИЛИ» показано в первой строке таблицы логических операций. Входы схемы обозначены буквами $A$ и $B$. Сигнал на выход обозначется $(A + B)$.

Логические ячеек типа «И» (схемы логического умножения) также имеют один выход и два или более входов. Сигнал «1» на выход ячеек появляется в том и только в том случае, если на всех входах ячеек также действуют сигналы «1». Если хотя бы на одном из входов действует сигнал «0», то на выход устанавливается сигнал «0».

Логические ячеек типа «НЕ» (их называют также инверторами или схемами «логического отрицания») имеют один вход и один выход. Если на вход поступает сигнал «1», на выход появляется «0», и наборот, если на вход действует «0», на выход устанавливается «1».

Логические операции сложения, умножения и отрицания подчиняются определенным правилам, устанавливаемых так называемой алгеброй логики или бульевой алгеброй.

Манипулярия только логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ» (иногда в очень сложных сочетаниях), можно, оказывается, осуществить любые действия, позволяющие ЭВМ принимать решения, управлять, переработать информацию и т. п.

Примеры простейших логических схем, построенных на трансисторах, мы рассмотрим в следующей заметке нашей рубрики.

47

можно подобрать такие начальные данные $a_1, \dots, a_n$, b, что применение к ним алгоритма A потребует не менее $\log_2(n+1)$ сравнения.

Доказательство. В качестве $a_1, \dots, a_n$ возьмем любые целые числа такие, что $a_1 < \dots < a_n$, в качестве b будем поочередно сравть $a_1, \dots, a_n, a_{n+1}$. Применение $A_1$ этим вариантом начальных данных должно давать соответствие числа 1, …, $n+1$. Результаты сравнения, выполненных в ходе применения $A_1$ к любому из этих вариантов, могут быть записаны в виде последовательности слов «да» и «нет». Для исследования значений $a_1, \dots, a_n$ и различных b используются только сравнения вида (1). Поэтому, если применение $A_1$ к начальным данным $a_1, \dots, a_n$ b потребовалровно k сравнений, притом k первых сравнений в ходе применения $A_1$ к другим начальным данным $a_1, \dots, a_n, b'$ должны те же самые результаты, то дальнейшее применение $A_1$ к $a_1, \dots, a_n, b'$ уже не потребует сравнения, и этот будет тем же самым, что и для начальных данных $a_1, \dots, a_n, b$. Следовательно, средние получившихся последовательностей «да» и «нет» нет совпадающих и ни одна не является началом другой. Пусть $l$ — число элементов в самом длиной из этих последовательностей, то есть $n+1$, не превыходит числа всех последовательностей длины l, то есть $2^l$. Итак, $n+1 \leq 2^l$ и $l \geq \log_2(n+1)$. Так как $l$ — целое число, то $l \geq \log_2(n+1)$.

Соопоставление двух доказанных теorem показывает, что не существует такого алгоритма поиска места элемента, который для любых начальных данных требовал бы меньше сравнения, чем алгоритм $A_1$. В этом смысле $A_1$ является оптимальным (напущим) алгоритмом.

Задача 2. Пусть $a_1 < \dots < a_n$ и средние чисел $a_1, \dots, a_n$ есть число, равное b. Требуется найти t, для которого $a_t = b$. Приведите такой алгоритм решения задачи, который требует $\log_2 n$ сравнения. Докажите, что этот алгоритм оптимален.

Задача 3. Рассмотрим два алгоритма выбора наименьшего из неравных чисел. Первый алгоритм: найти меньше из первых двух чисел, сравнить его с третьим, опять взять меньше, сравнить с четвертым и т. д. Второй алгоритм («кубковая» или «олимпийская» система): разбит числа на пары, меньше из каждой пары пропустить в следующий тур. Если одному числу не нашлось парного, то это число тоже пропустить в следующий тур. В следующем.type повторить то же самое и т. д., пока не останется одно число. Какой из этих алгоритмов требует меньше сравнения?

Задача 4. Докажите, что не существует алгоритма выбора наименьшего из n неравных чисел, который требовал бы меньше (n-1)-го сравнения. (Прием, использованный в доказательстве теории 2, позволяет доказать лишь то, что число сравнения в худшем случае не меньше $\log_2 n$.)*

Перейдем теперь к задаче упорядочения, что есть к задане расположения в ряд по возможности неравных чисел

$a_1, \dots, a_n$. Ответ важен, в частности, для решения на ЭВМ задач, связанных с поиском информации (мы уже видели, что упорядочность обеспечивает быстрый поиск).

Алгоритм $A_2$: упорядочивать по очереди начальные группы чисел данного совокупности: $a_1; a_1, a_2; a_1, a_2, a_3; \dots; a_1, \dots, a_n$ — последняя группа совпадает со всем совокупностью; для перехода от упорядоченной группы из i чисел к упорядоченной группе из (i+1)-го числа надо поместить $a_{i+1}$ на его место в имеющейся упорядоченной группе из i чисел — это место определяется при помощи алгоритма $A_1$.

Обозначим через $B(n)$ число сравнения, требуемое $A_2$. Имеем $B(n) = \log_2 2^l + \dots + \log_2 n \leqslant \log_2 2^l + \dots + \log_2 n + (n-2) = (2) = \log_2 n! + (n-2) \leqslant n(\log_2 n + 1) - 2$.

Задача 5. Определите число сравнения, требуемое следующим алгоритмом упорядочения $a_1, \dots, a_n$, найти наименьшее число и поместить его на первое место, затем найти наименьшее средние остатки и поместить его на второе место и т. д. (см. задачи 3, 4).

Задача 6. Допускается, что в неупорядоченной совокупности $a_1, \dots, a_n$ могут быть равные числа. Показите, что в этом случае алгоритм $A_2$ обеспечивает расположение данных чисел в порядке неубывания.

Прием, использованный при доказательстве теории 2, позволяет установить, что для любого алгоритма упорядочения можно подобраться совокупность $a_1, \dots, a_n$, применение к которой этого алгоритма потребует не менее $\log_2 n!$ сравнения (такой совокупностью будет одна из $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ перестановок n произвольных чисел). Вместе с (2) это показывает, что во всяком случае, $A_2$ не далек по числу сравнения от оптимального (чero нельзя сказать об алгоритме из задачи 5): так, например, $\lim_{n \to \infty} (B(n) / \log_2 n!) = 1$. Различными авторами предпринялиись попытки доказать оптимальность $A_2$ и даже печатно сообщалось о якобы найdenном доказательстве. Позделе выяснили, что $A_2$ не оптимален: этот алгоритм требует всем сравнению для упорядочения пятей чисел, а на самом деле достаточно семи сравнений. Это непростой факт, хотя он допускает формулировку в виде задачи на взвешивание.

Задача 7*. Имеется все без гирь и пять различных группов. На каждую из двух чисел весов можно класть по одному группу. Расположите группы по убыванию веса, использовав семь взвешивания.

51

лить длину ребра куба, объем которого в $\sqrt{3}$ раза больше объема данной парамиды.

Решение. Если $a$ — сторона основания, то $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$, то есть $a = 2r\sqrt{3}$. Тогда площадь основания парамиды
$$S_{\text{occh}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 3r^2\sqrt{3}.$$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в этот треугольник, так что $|OB| = 2r$. Из $\triangle SBO$ получаем $|SO| = 2r \text{tg} \alpha$ (рис. 2). Объем парамиды
$$V = \frac{1}{3} \cdot 3r^2\sqrt{3} \cdot 2r \text{tg} \alpha = 2r^3\sqrt{3} \text{tg} \alpha.$$

Обозначив искому длину ребра куба через $x$, составляем уравнение
$$x^3 = \sqrt{3} \cdot 2r^3\sqrt{3} \text{tg} \alpha,$$
откуда
$$x = r^3\sqrt{6 \text{tg} \alpha}.$$
Выразим теперь $tg \alpha$ через функцию угла $\varphi$ с помощью формулы (9):
$$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ctg} \frac{\varphi}{2},$$
так что
$$\text{tg} \alpha = \frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{2\sqrt{\sin \left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)}}.$$

Позному
$$x = r \sqrt[3]{\frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{2\sqrt{\sin \left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)}}} = r \sqrt[3]{\frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{6\sqrt{\sin \left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)}}}.$$

Уражнения

1 (ЛГУ, 1979). Сторона основания правильной четырехугольной парамиды равна $a$, угол между смежными боковыми граями равен $a$. Найти площадь боковой поверхности парамиды.

2 (Киевск. политехн. ин-т, 1980). Найти объем правильной четырехугольной парамиды со сторонами основания $a$ и плоским углом при вершине, равным углу наклона бокового ребра парамиды к плоскости основания.

3 (КГУ, 1980). Найти величины двумя геометрическими боковыми граями правильной шестиугольной парамиды, вписанной в сферу, зная, что она равна величины угла, под которым видно из центра сферы боковое ребро парамиды.

4 (МАИ, 1980). В правильной четырехугольной парамиде $SABCD$ угол между перпендикулярами $AL$ и $AM$, опущенными из точки $A$ на боковые грани $SBC$ и $SCD$, равен $a$. Найти объем парамиды, если объем куба, ребро которого равно стороне основания парамиды, равен $v$.

5 (Киевск. политехн. ин-т, 1980). Найти объем правильной четырехугольной парамиды, если ее боковое ребро равно $l$, а угол наклона боковых граней к плоскости основания равен $a$.

6 (ТашГУ, 1981). Объем конуса, вписанного в правильную четырехугольную парамиду, равен $Q$. Двугранный угол, образованный смежными боковыми граями, равен $a$. Найти длину стороны основания парамиды.

7 (КГУ, 1981). Сторона основания правильной четырехугольной парамиды равна $a$, двумгранный угол между боковыми граями равен $a$. Вычислить объем и боковой поверхности парамиды.

8 (Киевск. ин-т инж. граjd. авциции, 1981). Полная поверхность правильной четырехугольной парамиды равна $S$, а плоский угол при вершине боковой грании равен $a$. Найти высоту парамиды.

9 (КГУ, 1983). Вправильной четырехугольной парамиде сумма величины двумгранных углов между смежными и противоположными боковыми граями равна $180^\circ$. Найти эти углы.

10. Вправильной $n$-угольной парамиде сторона основания равна $a$ и двумгранный угол при боковом ребре равен $a$. Найти объем парамиды.

52

Московский физико-технический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$10 \cdot 4 \frac{1}{\sin^2 x} - 16 = 42 \text{ ctg}^2 x + 2.$$
2. Решите неравенство
   $$\log \frac{1}{4} - 3x (1 + 25x^2) > 0.$$
3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} y^4 + 19 = 20(x + y), \\ \sqrt{x} + \sqrt{x + 2y} = \sqrt{2}. \end{cases}$$
4. Основание AD трапеции ABCD (AD || BC, AD || BC) является диаметром окружности, которая касается прямой CD в точке D и пересекает сторону AB в точке L так, что |AB| = 4/√3 · |AL|. Радиус окружности равен R, угол CAD = 45°. Найдите площадь трапеции.
5. Точка D лежит на ребре BC правильно треугольной прямой SABC (S — вершина), |BD|: |DC| = 2:3. Цилиндр качает боковой поверхности плоскостей SAB и SBC, одно из оснований цилиндра проходит через точку D, второе основание имеет общую точку с ребром SC. Боковая поверхность цилиндра имеет единственную общую точку с ребром AC. Найдите отношение объемов цилиндра и прямыми.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\frac{1}{1 - \sqrt{1-x}} + \frac{1}{1 + \sqrt{1-x}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}}.$$

2. Решите неравенство
   $$\left(\frac{1}{9}\right)^x - \frac{x^2}{2} \geq 3 |3x - 12| + 2x.$$

3. Решите уравнение
   $$9 \log_{\sin 2x} 4 \cos^2 x + 8 \log_2 \cos x \sin x = 16.$$

4. В окружности проведены хорды AB и AC, причем |AB| = 2 см, |AC| = 1 см, угол
   $$\widehat{CAB} = 120^\circ.$$. Найдите длину той хорды okружности, которая делит угол CAB пополам.

5. В правильную четырехугольную прямую SABCD (S — вершина) вписана сфера. Длина ребра основания прямой равна 8, а длина высоты прямой равна 3. Точка M — середина ребра SD, точка K является ortогональной проекцией точки M на плоскость ABCD. Через точку M проведена касательная к сфере, пересекающая плоскость ASC в точке N так, что NMK=arccos (-1/3). Найдите |NM|.
   Вариант 3

6. Решите уравнение
   $$\log_4(2x + 9) + 1)\log_{x+2} 2 = 1.$$

7. Решите уравнение
   $$1 - 12 \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) - 12 \cos \left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) = \sqrt{2} \cos^2 x + \tg \frac{7\pi}{4}.$$

8. Найдите все значения параметра a, при которых вершины двух парабол y=4x^2 + 8ax - a и y=4ax^2 - 8x + a - 2 лежат по одному сторону от прямой y=-5.

9. В трапеции MNPQ (MQ || NP) угол NPM в 2 раза больше угла NQM. |NP| = |MP| = 13/2, |MQ| = 12. Найдите площадь трапеции.

10. Дана правильная шестиугольная прямida SABCDEF (S — вершина). Точки K и L выбраны на ребрах ES и AF соответственно так, что |EK| = 1/5 |ES|, |FL| = 1/2 |FA|. Точки R и T расположены на прямых DK и SL так, что прямая RT перепедикулярна плоскости SAD. Длина высоты прямых равна 18, |RT| = 4.
    Найдите объем прямиды.

Физика
Писменный экзамен
На решение задач каждой варанта относилось пять часов. Для получения удовлетворительной оценки было достаточно сделать любые две задачи.

Вариант 1

1. На гладку неподвижную наклонную плоскость с углом наклона α налетает стальной шарик под углом β (рис. 1). При каких β шарик сможет вернуть в точку его первого удраа о плоскость? Все соударения считать упругими.
2. При изотермическом скатии m=9 г водяного пара при температуре T=373 К его объем уменьшился в 3 раза, а давление возросло вдвое. Найдите начальный объем пара.

53

3. В цепи, изображенной на рисунке 2, тепловая мощность, выделяемая во внешней цепи, одинаковая при замкнутом и разомкнутом ключе $K$. Определите внутреннее сопротивление батареи $r$, если $R_1=12$ Ом, $R_2=4$ Ом.

4. В фокальную плоскость тонкой собирающей линии помещено плоское зеркало (рис. 3). Предмет $A$ расположен между фокусом и линзой. Оптическая система создает действительное изображение предмета. Как изменится уvelениcence, с которой изображается предмет, если расстояние между линии и предметом уменьшить вдвое?

Вариант 2

1. Вблизи дороги образовалась ледная горка с выездом на проездую часть. Поверхность горки составляет угол $\alpha$ с горизонтальной плоскостью. Проезжающий mismo дорогой машине удалость до половины высоты посыпать горку сизу песком. Коэффициент треня скольжения полозев санок о лед с песком $\mu=0,5$. Пренебрегая тренем санок о лед без песка, найдите максимальное значение угла $\alpha$, при котором санки не смогут достичь основания горки, сжевав с ее вершины без начальной скорости.

2. Моль идеального одноатомного газа с начальной температурой $T_1=600$ К адвабатически уvelенивается свой объем в 3 раза. Какую работу совершает при этом газ, если в тепловом процессе, при котором давление линейно изменяется с температурой (рис. 4), газу при расшириении из того же начального в то же конечное состояние было подведено количество теплоты $Q=1,9$ кДж? ($R=8,3$ Дж/(моль·К.))

3. В плоский конденсатор, подключенный к источнику с постоянной ЭДС $\delta$ и внутренним сопротивлением $r$, помещена плоская пластина, имеющая заряд $q$ (рис. 5). Что будет показать идеальный волтметр, подключенный к клеммам источника, если двигать пластину с постоянной скоростью $v$? Расстояние между обкладками конденсатора $d$.

4. Широкий пучок параллельных лучей падает перpendикулярно на экран. На пути света параллельно экрану установили отрицательную (рассеивающую) линзу. Расстояние между линзой и экраном второе больше фокусного расстояния линзы. Площадь области на экран, где после установки линзы возросла освещенность, оказалась равной $S=15\pi$ см$^2$. Определите диаметр линзы.

Вариант 3

1. $\alpha$-частица, пропеляя mismo первооначально покопшегося ядра химического элемента с массовым числом, равным 12, потеряла 20 % свой скорости. На какой угол $\beta$ отклонилась $\alpha$-частица (рис. 6)?

2. В тепловом процессе объем идеального газа изменяется с давлением по закону $V=\beta p$, где $\beta$ — неоторая постоянная. Во сколько раз изменяется давление газа при уменьшении температуры от $T_1=450$ К до $T_2=200$ К?

3. Два удаленных проводящих шара радиусом $R$ соединены участком цепи, содержащим конденсатор емкостью $C$, катушку с индуктивностью $L$ и ключ $K$ (рис. 7). В начальной момент времени конденсатор заряжен до напряжения $U_0$, заряды на шарах отсутствуют. Определите максимальное величины силы тока в цепи после замкывания ключа $K$. Активным сопротивлением катушки пребрежь.

Московский институт электронного машиностроения

Математика
Писменный экзамен

Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$\sin x + \cos x = \sqrt{1 + \mathrm{tg} x}.$$

2. Вычислите сумму корней уравнения
   $$x^2 - 2(a^2 - 4a)x - (8a^3 - 26a^2 + 9) = 0$$

и найдите значения $a$, при которых она принимает наименьшее значение.

3. Дан куб $ABCDA'B'C'D'$. Верно ли, что плоскости $ABC'$ и $CDA'$ перpendикулярны? Дайте обоснование ответу.

4. Найдите расстояние между точкой $A$ (5; 2) и точкой $B$ с абсциссой 1, лежащей на параболе $y=x^2+2x$. Является ли точка $B$ близкой к $A$ точкой параболе?

5. Какие из следующих функций
   $$3+\cos^2x; 2\cos 2x-3\sin x; \sin \frac{x}{2}; \sin 2x$$ могут быть представлены в виде многочлена от $x$ (то есть в виде $a_0\sin^n x+a_1\sin^{n-1}x+...+a_n$, где $a_0, a_1, ..., a_n$ — действительные числа)?

Вариант 2

1. Решите неравенство

55

Вариант 2
(физическая факультет)

1. Найдите объем правильной четырехугольной парамиды, у которой ребро равно $l$ и составляет угол $\alpha$ с плоскостью основания.
2. Решите уравнение
   $$\cos x + \frac{1}{\cos x} = 2.$$
3. Решите неравенство
   $$|x^2 - 4x| < 5.$$
4. Решите уравнение
   $$\log_2(9 - 2x) = 1.$$
5. Найдите наиболее и наиболее значение функции $y = x^3 - 3x^2 + 5$ на отрезке [0; 3].

Вариант 3
(гдерафический факультет)

1. Теллюход пропыллял 9 км по озеру и 20 км по течение реки за 1 ч. Найдите скорость теллюхода при движении по озеру, если скорость течение реки равна 3 км/ч.
2. Основанием призыва служит правильный треугольник, вписанный в круг радиуса 2 м, боковые грани ее — квадраты. Определите объем этой призыва.
3. Решите уравнение
   $$\sin x - \sqrt{3 \cos x} = 0.$$
4. Решите неравенство
   $$\frac{x}{3^2} > 9.$$
5. Найдите промежутки возрастания функции $y = 4 + x - 3x^3$.

Вариант 4
(индивидуально-педагогический факультет)

1. Найдите объем правильной четырехугольной парамиды, у которой площадь основания равна $S$, а ребро составляет угол $\alpha$ с плоскостью основания.
2. Решите уравнение
   $$\tg(2x + 4) = 1.$$
3. Решите уравнение
   $$x - 3 = (5 + x) \cdot 4.$$
4. Решите неравенство
   $$x^2 - 14x - 15 > 0.$$

Избранные школьные задачи

(Начало см. на с. 28)

9. a) Найдите уравнения прямых, касающихся одновременного двух парабол
   $$y = x^2 + x - 2$$ и $$y = -x^2 + 7x - 11.$$

6. Сколько общих касательных имеются параболы
   $$y = a_1x^2 + b_1x + c_1$$ и $$y = a_2x^2 + b_2x + c_2$$?

10. В пространстве данной $n \geqslant 4$ точек, причем известно, что для каждой четырех из них найдется плоскость, в котором эти четыре точки лежат. Верно ли, что и все $n$ точек лежат в одной плоскости?

Десять класс

11. Нарисуйте график функции $y = e^{\ln|x|}$.
12. Решите уравнение 3 sin $x - 4 \cos x = \cos 5x - 7$.
13. Из таблиц известно, что lg $\pi = 0,4972$. Сколько знаками записывается число $[\pi^{100}]$?
14. Дан двумя угловыми уголами $\varphi$, $0 < \varphi < \pi/2$. На одной его грани лежит прямая, составляющая угол $\alpha$, $0 < \alpha < \pi/2$, с ребром двумя угловыми угла. Вычислите угол, которое эта прямая составляет с другой грани двумя угловыми угла.
15. Может ли в сечении параллелепипеда плоскостью получаться пятуюугольник? А может ли пятуюугольник, получащийся в сечении параллелепипеда плоскостью, быть правильным?

Публикацию подготовил Н. Х. Розов