Квант 1986, №2 · Страницы

КВАНТ
2
1986

Научно-популярный физиком-математической журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Широким фронтом ведется в нашей стране работы по управлением термоядерному синтезу. Однако из перспективных направлений в этой области — лазерный термоядерный синтез (ЛТС). На первой странице обложки показана центральная часть многооканальной лазерной системы «Дельфин» для исследования по ЛТС (Физический институт им. П. Н. Лебедева АН СССР).

С помощью гигантской колъевой антенны радиотелектора АН СССР (дiamетр колъца 600 м; фото визу) астроны могут одновременно принимать радиоизлучение планет Солнечной системы, отделых звезд и иных, чрезвычайно удаленных от нас, объектов Вселенной. РАТАН-600 — мировой рекордсмен по информационности.

О некоторых других крупных научно-технических разработках расскажется на первых страницах этого номера.

1

В НОМЕРЕ:

2 Настречу XXVII съезду КПСС
Д. Г. Крутоцин. Города для электринов
В. И. Арпольд. Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения

Awaiting the 27th CPSU Congress
D. G. Krutogin. Cities for electrons
V. I. Arnold. Evolutionary processes and ordinary differential equations

21 Лаборатория «Кванта»
Я. Е. Гегузин. Кардиографма ртутного сердца

Kvant’s lab
Ya. E. Geguzin. Cardiogramms of mercury hearts

24 Школа в «Кванте»
Matematika 9, 10

Kvant’s school
Mathematics 9, 10

28 Новости науки
Новый метр

Science news
The new meter

29 «Квант» для младших школьников
Задачи

Kvant for younger school children
Problems

30 А. С. Алексадров. Загадка этрусков

A. S. Alexandrov. The Etruscan mystery

32 Калейдоскоп «Кванта»

Kvant’s kaleidoscope

35 Задачик «Кванта»
Задачи M966 — M970; Ф978 — Ф982
Решения задач M946 — M950; Ф958 — Ф962

Kvant’s problems
Problems M966 — M970; P978 — P982
Solutions M946—M950; P958 — P962

44 Полупроводниковые элементы вычислительной техники
VI. Логические схемы на трансисторах

Semiconducting elements in computers
VI. Logical transistor networks

46 Искусство программирования
Л. Ф. Штернберг. Программирование на микрокалькуляторе: простейшие программы

The art of programming
L. F. Shternberg. Programming your pocket calculator: simplest programs

49 Практикум абитуриента
В. Е. Белонучкин. Законы Кеплера и школьная физика

College applicant’s section
V. E. Belonuchkin. Kepler’s laws and school physics

52 Варианты вступительных экзаменов

Entrance examination problems

57 Наша обложка (27)
Ответы, указания, решения
Шахматная страница
ЭВМ и шахматный кодекс (3-я с. обложки)

Our cover page (27.)
Answers, hints, solutions
The chess page
Computers and chess rules (3rd cover page)

2

Настоящая книга является коммутистической партией Советского Союза. Съезд рассмотрит и утвердит важные документы — новую редакцию Программы КПСС, Устав КПСС с предложениями изменениями и Основные направления экономического и социального развития на 1986—1990 года и на период до 2000 года,— которые были представлены для всенародного обсуждения.

Грандиозные задачи поставлены в этих документах. За пятнадцать лет представит практические удвоить все основные показатели нашей экономики, увеличить производительность труда в 2,3—2,5 раза; выйти на самые передовые позиции в мировом хозяйстве. Такое ускоренное развитие невозможно без активной помощи. Проделанный анализ показал, что все необходимое для этого уже родилось в ходе величайшей научно-технической революции, который ознакоменана вторая половина XX века. Атомная энергетика, большая химия, информация и вычислительная техника, новые методы обработки материалов, комплексная механизация и автоматизация производства, биотехнология, «зеленая революция» в сельском хозяйстве — вот путь, по которой мы будем идти в эти годы.

Физика и математика играют решающего роль в научно-технической революции. Они должны внести огромный вклад в интенсивную наcodного хозяйства и создание/materialно-технической базы будут коммунистического общества. Советские учены успешно работают над общими комплексами физico-mатематических проблем, занимая по ряду направлений ведущие позиции. Они внесли крупный вклад в исследование космоса, изучение природных элементов части и управляемых термодерных реакций, в лазерную технику, физку твердого тела, физку высоких давлений и низких температур. Успешно развивается информация. Выполнения выдающейся исследований по многим разделам современной математики.

Ускоренное развитие экономики тесто связано с совершенствованием подготовки научных и производственных кадров. А это накладывает немалые требования на среднюю школа и систему профессионального технического образования. Второй год в нашей стране успешно осуществляется реформа среднего образования. Одна из ее задач — приближить молодежь к научно-технической революции, обеспечить активное участие молодежи в коренной перестройке производственных сил нашей страны.

Задачи, формирование в подготовленных к съезду документов, дополнения. Трудиться над их решением придает и вам, наши юные читатели. И мы хотим помочь вам лучше подготовиться к этим сложным и интересным делам.

На этой и следующих страницах помещены фотографии,纵острирующие некоторые достужения науки и техники в нашей стране

1. Чертежи будущего трактора создания графопостроитель, входящим в комплект EC-7054. ЭВМ позволяет за несколько секунд расчитать и изображать объект в любом ракурсе.

2. Моиный гидравлический процесс, используемый для создания высоких давлений при получения промышленных алмазов.

3. В этой установке протекает процесс, с помощью которого ученые моделируют фотосинтез: под действием света в расторе должны образоваться соединения с большим запасом химического энергии.

1* 3

4

4. Так производят плазменное напыленение на детали сельскохозяйственных машин. Вырываются из соли плазма содержит тончайший порошок. Он с силой «нашленывается» на деталь, устраняя повреждности дефекты и придавая детали твердость и жаростойкость.

5. Внутренний вид Серпуховского ускорителя на 76 ГЭВ. Недавно здесь была открыта новая часть — глюбол, с помощью которого физики наделются «заглянуту» вллубь частиц, еще вчера казавшихся элементарными.

6. Космическая станция «Вега» на испытательном стенде. В июне прошло год две также станции, направляющиеся к комете Галлея, передали на Землю ценную научную информацию о Венере.

7. Первая в мире опытно-промышленная установка Y-25 с магнитозидропонамическим генератором проектной мощностью 20 месаватт. На таких установках происходит прикое преобразование тепловой энергии в электрическую.

8. Одна из профессий лазерного лука — разделение изотопов. Различные изотопы

данного химического элемента подлоцалот оптическое излучение избирательно (в определенных интервалах частот). Для создания подходящего излучения служат лазеры с плавающий перестройкой частоты.

6↑ 7↑ 8↓

6

Осуществить комплекс мероприятий по совершенствованию технологически производства. Расширить в дальнейшем пятилетке в 1,5—2 раза применение прогрессивных базовых технологий…

Организовать массовый выпуск персональных компьютеров. Обеспечить рост объема производства вычислительной техники в 2—2,3 раза. Высокими темами направить масштабы применения современных высокопроизводительных электронно-вычислительных машин всех классов.

Из проекта Основных направлений экономического и социального развития СССР на 1986—1990 годы и на период до 2000 года

Города для электровов

Кандидат технических наук
Д. Г. КРУТОГИН

Интервальные полупроводниковые схемы стали в последние годы основным структурным элементом твердотельной электроники. Далее опытный радиолюбитель теперь вместе сборки усилителя из деталей предпочитает использовать готовую микросхему. Тем более так поступают профессиональные конструкторы. В бытовой радиоаппаратере, например в телевизоре, число микросхем достигает десять, в специальной — сотен и тысячи штук на изделия. Многоelementные интервальные схемы называются большими — сокращенно БИС. Применение таких схем оказывается особенно эффективным в вычислительной технике.*)

Как делаются микросхемы? Давайте проследим за основными этапами изготовления БИС, построаемся оценить и трудности, и достижения в их технологически.

БИС под микросопом наполинает своеей четкой планировкой карту большого города. Вот и сравним построение БИС с возведением города, города для электровов.

• От редакции. Этим вопросам посвящен цикл статей под рубрикой «Полупроводниковые элементы вычислительной техники», который публикуется в «Кванте», начиная с 9-го номера 1985 года.

8

300 мкм. Способ получения пластин не очень экономен: алмазная пила толщиной 300 мкм, а затем шлифовка переводят в опилки более 60 % объема монокристаллического кремниевого слитка, полученного ценой немалых usили и энергетических затрат. Да и толщина готовой пластин будет использована плохо. Полезная глубина, то есть толщина тех слоев, в которых потекут нужные нам точки, не превышает 1 мкм. Но сделать пластин более тонкими, к сожалению, нельзя — они будут разрушаться при обработке.

В качестве стройплощадки для ВИС можно использовать пластинку диэлектрика — оксида алюминия (Al₂O₃), называемого в обиходе салфюром. Пластинку салфира полируют как же тщательно, как кремневую, а затем на нее наносят monокристаллический слой кремния нужной толщины. Салфир выбран в качестве подложки потому, что расположение atoms на поверхности кристалла салфира при определении направления среда очень близко к структуре кристаллической решетки кремния. Это обстоятельство позволяет вырастить на поверхности салфира тонкий кристаллический слой кремния — рабочую область будущего трансистора. Комбинация слоев «кремний на салфир» — ее обозначают КНС — широко использовется в технологически изготовления ВИС. Она обладает важным применением: салфир — прекрасный диэлектрик, он обеспечивает полную электрическую изоляцию отдельных элементов схемы. С точки зрения топологии микросхемы эти элементы в кремниевой схеме подобны близкам, выпытым в землю, а в КНС-структура они подобны домикам (рис. 1).

В рамках нашей анализии современная ВИС эквивалентна городу из 100—150 тысяч домов-транзисторов с развитыми системами коммуникаций (дороги, электроснажение и т. п.). Размеры этого города — от 2×3 мм до 6×8 мм. И на такой стройплощадке мы будем возводить все дома одновременно. Более того, на одной кремниевой пластине мы будем одновременно строить 100—150 ВИС-городов (в зависимости от размеров пластины и площади микросхемы). Наша «громадная» стройплощадка в натуральную величины выглядает примерно так, как на рисунке 2.

Возможно, у читателя возник вопрос: а почему бы не делать микросхему на кристалле размером, скажем, 15×15 мм — это ведь тоже немного для пластины диаметром 150 мм, а емкость ВИС возрастет на порядок. Оказывается, на кристалле увеличенного размера почти наверняка найдется дефект atomной решетки, способный полностью вывести из строя ВИС. На поверхности плащадью 1—2 см² даже у самой лучшей на сегодня пластины встреется хотя бы один дефект. Так что приходит до овольствования «мальм».

Рис. 2. Примерно так выглядает в натуральную величины «стройплощадка», на которой одновременно возводится до сотни «городов»-ВИС. А чтобы разглядыть план отделного «квартала», необходимо увеличить его в сотни раз.

9

Строить начнем с … окон

Итак, мы приступаем к строительству. Дома в нашем городе неизенькие. Посмотрите на рисунок 3,a: три «этажа» в рабочей области трансистора, два этажа металлической разводки да плосколько этажей междуной изоляции; так что в домашнєсторе по крайней мере 5—7 этажей.

Общее число операций, совершаемых при строительстве интегральной микросхемы, достигает сотни, но при этом неокторы операции повторяются многоократно. Мы рассмотрим важнейшие моменты в процессе изготовления ВИС.

Рабочие области трансистора — коллектор, база, эмittтер — образуются при легировании кремния соответствующими примесями элементов III и V группы перiodической системы. Ввести в творое тело чужеродные atoms можно, используя явление диффузии. Если пластину кремния нагревать в парах летучого соединения легирующего элемента — например, в парах BH₃ или AsH₃, — то часть atoms в или As пропикнет в кремний.

(Такой процесс называют диффузионным легированием.) Чтобы применяпели не всюду, а лишь в места, предусмотренные топологней ВИС, надо зашитить поверхность пластины экраном, непроницаемый для применения атомов. В экране надо оставить «окна»: через них на очередной этаж будут поступать «стройматериалы» — atoms применений (доноры и акцетторы) будут пропикать в кремний, формируя рабочие области трансистора (см. рисунок 3, б—2).

Таким экраном для кремния оказался его собственный окид SiO₂. Достаточно «толстый» слой оксида легко образуется на поверхности кремния при температуре около 1000 °C; он не проницаем для применения атомов; устойчив при температуре диффузии; прочно держится на кремнии. Растение SiO₂ в кислоте (травление) позволяет проделать в нем окна для последующей диффузии. (Далеко не всегда технологам так веет. Например, прекрасный полупроводниковый материал — асcenд галля GaAs — не образует такого запитного слоя при окислении, и его экранирование превращается в отдельную проблему.)

Легко ли «прорубить окно»?

Прежде чем протравливать окна в SiO₂, надо зашитить от расторения остальной часть оксидной пленки (на этом этапе зашитный слой сам нуждается в защите). Здесь включается важнейшая в технологически микрозлестрики процедура — фотолитография. Цель ее — «раскрoint» запитный слой SiO₂ в соответствии с топологичкой схемой ВИС.

Фотолитография — это совокупность операций, связанных с применением светочувствительных составов, подобных тем, которые наносят на фотопленку или фотобумагу. Составы эти называют фоторезистами. Глагол «to resist» в англичском языке означает «сопротивляемся». Засвеченный фоторезист легко расторяется в травяших расторах, неасвеченный — «сопротивляемся» травленю. (Можно подобрать и такой состав, который, наоборот, становится устойчивым после засвечивания.)

На специальной центрифуге жидкий резист тонкимровным слоем размывается по поверхности окисленной пластины кремния и подсушива-

13

Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения

В. И. АРНОЛЬД

«Уравнение было очень сложное, но процессор с присущей ему скромностью называл его обыкновенным».

Из газетного интервью с математиком.

Дифференциальные уравнения — одно из основных орудий математического естественного назывения. Избрел их Исаак Ньюотон (1642—1727). Задчи по существу приводаше к дифференциальным уравнениям появлялись и до Ньюотона. Однако решать их умели лишь такие гении, как президент французской Академии наук X. Гойгенс (1629—1695) и учитель Ньюотона, математик и богослов, проповедник английского короля И. Барруу (1630—1677). После Ньюотона их решают любые студенты и даже школьники.

Ньюотон считал свое изобретение настолько важным, что защищовал его в виде анграммы*), смысл которого в современных терминах можно волно передать так: «полезно» решать дифференциальные уравнения (так как им выражаются законы природы).

В другой, более длинной анграмме Ньюотон защищал также и придуманный им решит решения всех уравнений, в том числе и дифференциальных.

Teorия дифференциальных уравнений переработывает вопросы естественного

*) бассдаe13eff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx. Рассшифровка: Data aequatione quotunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire et vice versa, то есть «по данному уравнению, содержащему сколько-нибудь функций, найти производу и обратно». Эта анграмма содержится в знаменитом «втором письме» Ньюотона секретарю Королевского общества (английской академии наук) Ольденбергу от 24 октября 1676 г. Письмо предназначалось Лейбниццу (1646—1716) и содержало сообщение об изобретении математического анализа. Переписку с Лейбницем, жившим в Германии, Ньюотон вел через Ольденбурга (которого впследствие заключили в Тауэр за связь с иностранцами).

Знания в геометрическе задачи о кривых, определяемых векторными полями (см. ниже) подобно тому, как декартов метод координат превращает вопросы об алгебраических уравнениях в задачи о линейях и поверхностях.

Состояния процесса

Чтобы изучить какой-либо процесс, нужно прежде всего уметь описывать множество всехозможных состояний этого процесса. Посмотрим, как это делается, на примерах.

1. Движение точки по прямой. Опыт показывает, что для определения движения матриальной точки по прямой в отсутствие внешних сил достагоно задать в начальной моменте ее скорость и положение на прямой. Поэтому множество всех состояний математикой отложствует с координатной плоскостью (s; v): каждой точке на этой плоскости obtueает матриальная точка, движущаяся со скоростью v и занимающая положение с координатой s, и обратно — каждому состояние ответает свойства точки плоскости (рис. 1).

2. Колебания матрика. Состояние плоского матрика тоже описывается двумя параметрами, например углом отклонения θ от вертикали и угловой скорость ω матрика (рис. 2). Стало бы, множеством состояний матрика снова будет плоскость? Не совсем. Дело в том, что при изменении угла θ на 2π матрик возвращается в прежнее положение. Поэтому множествое состояние здесь — цилиндрическая поверхность (рис. 2).

3. Положение возврана на двух дорогах. Города A и B соединены двумя непересекающими дорогами, на каждой из которых находится возвр; нас интересует их взаимное расположение. Положение возврана на первой дороге (рис. 3) можно определить числом — долей расстояния от A до B (по первой дороге), заключенной между A и возвром; аналогично, возвр должен определяться такой же долей по второй дороге. Поэтому интересующей нас множество состояний описывается точками (x; y) единичного квадрата (0≤x≤1, 0≤y≤1).

Множества состояния процесса в теории дифференциальных уравнений называют фазовыми пространствами.

14

Итак, каждая точка фазового пространства (фазовая точка) изображает состояние процесса. А само течение конкретного процесса изображается линий в фазовом пространстве; эти линии называются фазовым траекториями.

Введение фазового пространства процесса геометризует теорию — вопросы о хode процесса превращаются в вопросы о поведении фазовых траекторий. Получащие геометрические задачи могут быть трудными. Однако бывают и так, что уже одно введение фазового пространства позволяет решить трудную задачу.

Задача (H. H. Константинов). Из города А в город В ведут две непересекающая дороги. Известно, что две машины, выездящие по разным дорогам из А в В и связанные вервой некоторой длины, меньше 2l, смолли проехать из А в В, не порвав вервки. Могут ли разминутся, не коснущись, два крульных воза с семом радиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг друга?

Фазовым пространством здесь служит единчный квадрат. Начальное положение машин (в городе A) соответствует левому нижнему углу квадрата, а движение машин из A в B изображается кривой, ведущей в противоположный угол квадрата (левый верхий). Но всякие две кривы в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Поэтому, как бы ни движались возы, наступит момент, когда пара возовзамет полностью, в котором была в некоторый момент времени пара малина. В этот момент расстояние между центрами возов будет меньше 2l. Итак, разминутся не удается.

В рассмотрении задаче не участвовали дифференциальные уравнения, но ход рассужdenный близок к тому, чем мы будем заниматься дальнейше: описание хода процесса как линии подхождения фазового пространства часто оказывается чрезвычайно полезным.

Общая схема теории дифференциальных уравнений такова. Посокльку начальное состояние рассматриваемых нами процессов определяет их будущий ход, оно определяет и скорость изменения состояния, то есть скорость движения фазовой точки. Зависимость скорости движения фазовой точки от ее положения (или локальный закон эволюции процесса) как раз и выражается, по Ньюотону, дифференциальным уравнением. Геометрические это уравнение изображается векторное поле фазовой скорости (см. например, рисунки 5,11 ниже). Теория дифференциальных уравнений должна по векторному полю описывать ход процесса, то есть нахождение траектории движения фазовых точки, отвечать на вопросы о характеристике их движения (например, на такие вопросы: будут ли траектории ограничены? возвращаются ли они к исходной точке?). Значение этих вопросов для изучения процесса очень удобно.

Уравнение математического матрика

Согласно законам механики угловое ускорение матрика пропорционально моменту силы тяжести (рис. 4)

Рис. 1. Движение по прямой. Рис. 2. Колебания матрика.

Рис. 3. Задча о двух возах на двух дорогах.

15

$$I\ddot{\theta} = -mgl \sin \theta,$$

где $m$ — масса, $l$ — длина, $\theta$ — угол отклонения; точка сверху означает производную по времени $t$ (здесь и всиду ниже), две точки — вторую производную*), $I = ml^2$ — момент инерции. Знак минус в уравнении объясняется тем, что момент стремиста уменшить отклонение. Последнее получим $\ddot{\theta} = -k \sin \theta$, где $k = g/l$. Коэффициент $k$ можно сделать равным 1 подходящим выбором масштаба времени (поделив $t$ на $\sqrt{k}$). Тогда уравнение математического матрика примет вид

$$\ddot{\theta} = -\sin \theta.$$

(1)

Фазовым пространством матрика является цилиндр ($\theta; \omega$), где $\omega = \dot{\theta}$ — угловая скорость. Мы можем записать уравнение (1) в виде системы

$$\dot{\theta} = \omega, \dot{\omega} = -\sin \theta,$$

(2)

в котором входят только первые производные неизвестных $\theta$ и $\omega$. Эта система выражает локальный закон эволюции состояния матрика: скорость изменения выражена через само состояние.

Решить уравнение (1) (или систему (2)), оказывается, не так легко. Если ограничиться небольшими углами $\theta$ (мальые колебания), то $\sin \theta \approx \theta$. Поэтому при малых $\theta$ пользовется вместе (1) приближенным уравнением $\ddot{\theta} = -\theta$. Оно называется уравнением малых колебаний матрика. Его решения $\theta = C \sin (t + \varphi)$ вам известны из курса физики: при малых углах отклонения плоской математической матриксовает гармоничное (синусоидальное) периодическое колебания. Вопрос о том, насолько меняется этот выбор при переходе к истинному уравнению матрика (1), нуждается в специальном исследовании.

Воспользуемся фазовым пространством системы (2) — цилиндром ($\theta; \omega$). В каждой точке фазового пространства построим вектор фазовой скорости, то есть вектор с координатами ($\dot{\theta}; \dot{\omega}$)=(ω; —sin $\theta$) — геометрический эквивалент закона природы (1). Полученная картика — поле фазовой скорости — изображена на рисунке 5 (для наглідності мы разрезали цилиндр по образу щей и развернули его).

На этой картине можно разгладеть следующое. В двух точках фазовая скорость равна нулю. Точке $A$ obtueает нижнее (устойчивое) положение равновесия, точке $B$ — верхнее (неустойчивое) положение равновесия. При малых значениях $\theta$, $\dot{\theta}$ видно, что точки фазового пространства перемещаются по замкнутым кривым, положим на окружности (мальые колебания), при увеличении $\theta$ замкнутые кривые увеличиваются и растягиваются в подобие элиппсов (колебания большой амплитуды)*). Особую роль играют траектории, помещенные красным

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin tg x - tg \sin x}{x - 0} = \arcsin \arctg x - \arctg \arcsin x$$

мгновенно из геометрических сообщений (редко кто из современных математиков справляется с вычислением этого предела за час).

16

ными стрелками: упавший из положения неустойчивого равновесия матрик совершает полный оборот и вновь замирает в верхнем положении. Эта траектория отделяет колебания от (неравномерных) врашений, которые совершает матрик, если его скорость при $\theta = 0$ превышает в наших безразмерных единицах число 2.

Караси ( нормальное размножение)

В большомруду разводят караси. Караси не мешают друг другу, когда им хватает. Как будет меняться число караси $x(t)$ с течение времени $t$? Скорость прироста караси при этих условиях оказывается пропорционально количеству особей; поэтому можно написать

$$\dot{x} = kx, \quad k > 0.$$

(3)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением нормального или мальтизанского размножения*). (Напомним, что $\dot{x}$ обозначает производную по времени.)

Теорема существования. Любая функция вида $x = Ce^{kt}$, где $C$ — постоянная, является решением уравнения (3).

Доказательство: подставьте в уравнение.

Из доказанной теоремы следует

Теорема единственности. Других решений у уравнения (3) нет.

Доказательство. Любую функцию можно записать в виде $x(t) = C(t)e^{kt}$. Тогда $\dot{x} = Ce^{kt} + kx$. Поэтому для выполнения равенства $\dot{x} = kx$ необходимо и достаточно, чтобы $C = 0$, то есть чтобы $C$ было константой.

Графики решений уравнения называются интегральными кривыми. Эти кривые лежат в пространстве — времени, то есть на плоскости с координатами $(t; x)$. Для вычерчивания интегральных кривых полезна заготовка, которая называется полем направленной уравнения и состоит из маленьких отрезков, приложенных в каждой точке пространства — времени под углом к оси времени, тангенс которого равен правой части уравнения.

*) В некоторых случаях скорость размножения оказывается пропорциональной не числу особей, а числу пар. Такое anomalное размножение города медленнее обычно при малой плотности населения (например, китам неокторы видов трудно найти пару). Например, при больших $x$ размножение со скоростью, пропорциональной $x^2$, приводит к *взрыву» за конечное время: график $x(t)$ имеет вертикальное асимптоту (почему?). Эта ситuation реализуется в уравнении химической кинетики, где скорость реакции пропорциональная количеству каждой из реакентов.

Рис. 6. Поле направленной уравнении нормального размножения $\dot{x} = kx$ и решение, проходяще через начальную точку $(t_0, x_0)$.

нения ($kx$ для уравнения (3), см. рис. 6). Интервальная кривая в каждой точке касается соответствующего отрезка и, обратно, кривая, всуду касающаяся наших отрезков, будет графиком решения (в этом и состоит геометрический смысл дифференциального уравнения).

Мы только что доказали, что через каждую точку пространства — времени проходитровно одна интегральная кривая $x = Ce^{kt}$ уравнения (3). Эта формула выражает закон нормального размножения: для уравнения количества караси всегда требуется одно и то же время независимо от их количества. Период уравнения населения Земли в настоящее время около 40 лет. Следовательно, число жившихся людей больше числа всех когда-либо умерших людей, если бы скорость прироста не менялась. Время существования человека получается тогда порядка 2000 лет; следовательно, скорость прироста населения равше бы меньше 1/v(x). Вдоль интегральной кривой (если она нигде не параллельна оси $t$) можно выразить $t$ в виде функции от $x$. Обозначая производную по $x$ шрихом, получим $t' = 1/v(x)$. Значит, $t$ есть первообразная от

17

Рис. 7. Поле направлен и графики решений логического уравнения $x=(1-x)x$. Решения $x=1$ и $x=0$ отведют положимым источником и неустойчивого равновесия.

1/v. Это позволяет выразить $t$ через $x$, а затем и $x$ через $t$. (Разумеется, прямые пространства — времени, где $v(x)=0$, приходит выкидывать, чтобы не делить на нуль.) При $v(x)=kx$ получаем $t'=1/kx$, $kt=\ln|x|+const$, $x=Ce^{kl}$.

2. Теорема единственности, утверждающая, что не совпадает интервальные кривые не пересекаются, — чрезвычайно удивительные факты, противоречий наглядной очевидности и физической опыту. Например, интервальные кривые уравнения (3) при $k=1$, проходящие через точки (0; 0) и (0; 1) при $t=-5$ на глаз неразличимы, а при $t=-30$ между ними не уменьшаются и.atoms. Тем не менее математики считают их нересекающимся и при $t=-10^{10}$.

3. В физической литературе последнего времени подвергается сомнению данный Ньюотоном в 1684 году вывод законов Кеплера из (указанного ему Гуком в письме от 6 января 1680 г.) закона всемирного теотения: этот вывод не использовет не доказываемого Ньюотом теорему единственности для уравнения движения. В действительности, однako, единственное следует из существования решения, зависимости которого от начальной точки выражается дифференцируемой функцией. Доказательство единственности в этом случае аналогично приведному выше для уравнения разновения, нужное же решение Ньюотон предъявил. В письме Галлею о своей дискуссии с Гуком Ньюотон для описание различных между подходами математков (Ньюотона) и физков (Гука) к естественным, остающейся актуальным и сегодня: «Математики, которые все открывают и установливают и продельывают всю работу, должны довольствовать роль сухих вычислителей и черногоабочики; другой, который всего лишь все схватывает и на все претендует, присваивает себе изобретения как своих последовательелей, так и своих предшественников». В обязанности Гука как куратора Королевского общества входило доказывать опитами на ежедневных засаданных общества по 2 или 3 новых закона природы, что он и делал в течение 40 лет. Доказываемые законы могут быть открыты и другими, но Гук насчитывает до 500 законов, открыты лишь им. Естественно, он не все успевал обосновывать математические.

Вернемся, однако, к нашим карамям. Через некоторое время карамей станет стол много, что им не будет хватать корма и им станет тено; дальнейший прирост уже не будет удовлетворять уравнению (3).

Караси при нежватке пищи (логистическая кривая)

Если наш продукт с карамями неVELик, или если число карамей в большом продукty сильно возросло, конкуренция из-за пищи приводит к уменьшению скорости прироста. Простейшее предположение состоит в том, что коэффициент $k$ зависит от числа карамей линейно, то есть $k=a-bx$ (при неслишком больших $x$ всякую гладкую функцию можно аппроксимировать линейной). Мы приходим, таким образом, к уравнению размножения с учетом конкуренции: $\dot{x}=(a-bx)x$. Коэффициенты $a$ и $b$ можно превращать в единицы выбором масштабов $t$ и $x$. Мы получаем так называемое логистическое уравнение

$$\dot{x}=(1-x)x.$$ (4)

Поле направлену уравнения (4) в пространстве — времени показано на рисунке 7, а рядом, на рисунке 7, б, показаны графики решений. S-образные интервальные кривые в полосе $0<x<1$ называются логистическими кривыми. Мы видим, что 1) процесс имеет два положения равновесия: $x=0$ и $x=1$;
2) между прямыми $x=0$ и $x=1$ поле направлено вверх от 0 к 1, а при $x>1$ — вниз к 1.

Таким образом, положение равновесия 0 неустойчиво (раз появшеся населенение карамей начинает расстил), а положение равновесия 1 устойчиво (меньше населенение расстил, больше — убывает). Каким бы ни было начальное число карамей $x>0$, с течение времени процесс выходит к устойчивому состоянию равновесия $x=1$. У каждой пруда, таким образом (при неизменных прочих условиях), имеется свое «правильное» число карамей, и любая популяция карамей будет к этому числу стремиться.

18

Ловля карасей

До сих пор мы рассматривали свободную популяцию карасей, развивающийся по своим внутренним законам. Предположим теперь, что мы карасей вылавливаем (скажем, колхозный пруд регуляро снабжает местный рыбный магазин живой рыбой). Предположим, что скорость отлова постоянна. Мы приходим к дифференциальному уравнению отлова
$$\dot{x} = (1-x)x-c.$$ (5)

Величина $c$ характеризует разрешаемую скорость отлова и называется кватой.

На рисунке 8 показаны три разновидности графиков решения уравнения (5) при трех разных $c$.

Мы видим (рис. 8, а), что при неслишком большой скорости отлова ($0<c<1/4$) существует два положения равновесия ($x=A$ и $x=B$ на рисунке). Нижнее положение равновесия $A$ неустойчиво. Если по каким-либо причинам (перелов, болеени) в некоторых моменте величины популяции $x$ осуществляется ниже $A$, то в дальнейшем все популяция за конечное время исчезнет. Верхнее положение равновесия $B$ устойчивое — это Staционный режим, на который выходит популяция при постоянном отлове $c$. Естественно, равновесное населенение пруда, в котором произвольится отлов менше, чем в пруду, в котором лов не ведется.

Если $c > 1/4$ (рис. 8, b), то равновесий нет и все караси будут отловлены за конечное время (завышенный план по продаже живой рыбы в магазина приведет к ее гибели; исторический пример такого рода — истребление стеллеровой коровы).

При $c = 1/4$ (рис. 8, б) имеется одно неустойчивое состояние равновесия $(A=B=1/2)$. Отлов с такой скоростью при достаточно большой начальной популяции математически возможно в течение сколь угодно длительного времени, однako сколь угодно малое количество численности установившейся равновесной популяции вниз (см. точку $F$) приводит к полному отлову карасей за конечное время (план отлова $c = 1/4$ для магазина «Рыба» тоже не годится).

Таким образом, хотя теоретически допустимы любые квоты вплоть до максимальной ($c \leq 1/4$), максимальная kvota $c = 1/4$ приводит к неустойчивости и недопустима*. Более того, практические недопустимы и близкие к $1/4$ kvоты, так как при них опасный порог $A$ близок к установившейся режиму $B$ (необольшие случайные отклонения отравыают популяцию ниже порога $A$, после чего она погибает).

Оказывается, что все же можно так организовать отлов, чтобы устойчиво получать лов со скоростью $c = 1/4$. Посмотрим, как это делается.

Введение обратной связи

Фиксируем вместе абсолотной скорости отлова относительно, то есть фиксируем отлавливаему его единицу времени долю наличной популяции:

$$\dot{x} = (1-x)x - px.$$ (6)

На рисунке 9 показано пространство — время для уравнения (6) (при $p < 1$) и графики некоторых решений. Видно, что нижнее, неустойчивое положение равновесия теперь в точке $x = 0$, второе положение равновесия $B$

*) Важный для экономики вывод математической экономии: стремление максимизировать приблы, доход или количество продукции через/to возникновением неустойчивости системы.

Рис. 8. Решения уравнения отлова $\dot{x} = (1-x)x - c$ при разных значениях квоты отлова $c$. При $c < 1/4$ любая популяция стреми к устойчивому равновесию $x = A$, при $c = 1/4$ положение равновесия неустойчиво, при $c > 1/4$ любая популяция вымирает.

20

множение карасей приведет к тому, что со временем ищу нанунт размножаться.

Но вернемся ли мы к точке A? Иными словами, будет ли процесс колебания повторяться периодически? Ответ на этот вопрос зависит от выбора начальной точки A (а также от значения параметров системы). К этому вопросу мы вернемся в одном из следующих номеров журнала.

Задачи

1. Найти уравнение логистического кривой.
2. Являются ли интегральные кривы уравнения (5) и (6) расстояния логистических кривыми?
3. Докажите, что интегральные кривы уравнения (5) и (6), расстояние в неполосы между A и B, имеют вертикальные асимптоты.

Города для электронов

(Начало см. на c. 6)

После формирования разводки и контактов БИС готовы. Каждый из них тщательно проверяет на работоспособность прямо на пластине. Kontrolный автомат, управляемый компьютером, опускает на БИС точныйше иглы- контакты и посылает в схему серию тестовых импульсов тока (как говорят, «прозваивания» схему). Если схема содержит миллион элементов, то число тестовых импульсов — до десять тысяч. Ответ экзаменуемой схемы принимает ЭВМ. Если БИС отзывается не так, как надо, или молчит, контрольный автомат помещает ее капелькой магнитной краски. После того как кремневую пластину разделят на сотни готовых микросхем (это делают алмазным резцом или лазерным лучом), электромагнит выберет менее забракованные схемы.

А исправные готовые БИС теперь осталось помещить в корпус. Небольшая коробочка из керамики, металла или пластиссы должна ограничить микросхему от внешних повреждений, воздействия атмосферы, случайных электрических полей, обеспечить охлаждение работающего микросхемы. Поэтому, несмотря на внешнюю про-
стоту, конструкция корпуса тщательно продумывается и просчитывается. В некоторых типах микросхем стоимость корпуса и работ по «упаковке» достигает третьи все стороны БИС.

Тепер, когда процесс изготовления микросхемы закончился, кончается и аналогия с градостроительством. Никакой город-новостройка не подвергается испытаниям на устойчивость к строгадуной жарке и к морозу в —60 °C, к землетрясению в 9 баллов, к удару при padении с трехметровой высоты; добавьте проверку на герметичность в морском тумане, на выдерживание предельного рабочого режима и т.п. Если БИС все это выдерживает, ее можно передать потребителю.

---

Микроэлектронка — это союз многих наук: матерIALоведения, точной механики, квантовой оптики, электрофиизики, фотохимики, кибернетики,… Нельзя сказает, что здесь главное, что второстепенное. Лучше, чем располагают сегодня наука и техника, создает технологию производства микросхемы. Мы рассмотрели лишь самые типичные и сравнительно простые для понимания элементов технически. Но и они, и другие варианты технически и близкие перепективы технически БИС всегдают надежны на то, что вершины микроэлектронной технически еще далеко впереди.

21

Кардиграмма ртутного сердца

Доктор физико-математических наук
Я. Е. ГЕГУЗИН

Из множества особенностей и свойств истинного сердца ртутное обладает лишь один — способностью пульсировать, периодически меня свою форму. Ртутному сердцу неведомы ни больше, ни перебои, ни волнения; перед настоящим сердцем оно имеет безусловное и завиное преимущество — может оставиться, сколько угодно долго просуществовать бездействuyа, а затем снова окнить.

У нас в лаборатории в шкафу, где хранятся химические реактивы, живет ртутное сердце. Конструция его совсем проста: фарфоровая чашка с вогнутым домом, на дне чашки — руть в виде расплющенной капли-лужцы (диаметром ≈ 4 см). Она запята только слоем слабого (5-и процентного) водного растора солной кислоты (≈50 мл), в котором растровена соль двухромовокислого калия (K₂Cr₂O₇; ≈60 мг). Фарфоровая чашка прикрыта плескигласовой пластинкой, в пластинке укреплена гайка, а в ней — винт, заканчивающийся железной проволокой-иглюй. Вращая винт, проволоку можно опустить до соприкосовения с проверхостью ртутки, и ртутное сердце начинает работать, то есть ритмические пульсировать.*)

Чтобы такое сердце работает на дежно, проволока должна коснуть проверхостями капли-лужцы либо в центре, либо в одной из точек на контуре.

Пульсация ртутного сердца — зрелше впечатлюше: на чистой проверхости капли возникают переливающиеся блики приудливой формы, и контур капли приобретает быстро меняющее очередное, которые повторяют в каждом очередном цикле пульсаций. Сердце работает без установки: мы оставляем его на час, на два, а однажды оставили на ночь — и утром нашли пульсирующим.

Теперь о механизме пульсации ртутного сердца — лучцы ртути, которая непрерывно вздраивает от соприкосовения с железной проволокой.

Вначале о двух эффектах, с которых необходимо ознакомиться, чтобы понять причину периодических сокращений и расширений ртутной капли.

Первый эффект заключится в уменьшении проверхостного натяжения металла, если на его поверхности имеется электрический заряд. Проще всего это понять на примере свободной сферической жидкой металлической капли, скажем капли ртути. Пусть радиус капли R. Если она не заряжена, вещество, находящее в ее объеме, будет испытывать скимающее давление p_cж=2σ/R. Оно связано с искривлением проверхости (R) и проверхостным натяжением (σ). Допустим теперь, что по проверхостям капли распределен заряд, величины которого q. Очевидно, что носители заряды будут отталкивать друг от друга с силой, величины которой (в соответствии с законом Кулона) пропорциональна квадрату заряда. Это означает, что при неизменном объеме сферической капли (и, следовательно, при постоянном радиuce) наличие на ее проверхости электрического заряд приведет к понижению скимающего давления. Это обстоятельство может быть представлено как следствие понижения проверхостного натяжения на величины Δσ~q².

Мы не стремились к тому, чтобы расчет был точен; важно лишь основание утверждать, что величины понижения проверхостного натяжения не зависит от знака, заряда, находящегося на проверхостии. Порукой тому — квадратная зависимость Δσ от величины заряда q.

Все это нам необходимо знать, как как ртуть в расторе солной кислоты получает заряд, и поэтому проверхостное натяжение на границе ртуть — растор как бы понятается. (Мы не будем подробно интерсовать-

22

ся процессами на этой границе, так как они достаточно сложны.)

Описанный эффект влияния заряда на поверхности на величины поверхностного натяжения, который именуется «электрокапиллярный эффект», был открыт и изучен французским физиком Габриэлем Липпманом (1845—1921) и нашел множество практических приложений.

Второй эффект состоит в том, что в момент, когда металлическая игла соприкасается с поверхностью ртути, величина имеющегося на ртути заряда изменяется, следовательно, эффектное поверхность натяжение также должно измениться. С помощью простого опыта легко убедиться в том, что в момент соприкосовения величина заряда на ртути уменьшается, а вместе с тем уменьшается и то понжение поверхностной энергии, которое наступило, когда ртути была залита растором соляной кислоты. Два последовательных отрицания равносильны одному утверждению: уменьшение понжения ознакомлен по вышению. В момент прикосовения железной иглы к поверхности ртути ее поверхность натяжение немного увеличивается. Следствием этого увеличения должно быть неокторое скатие капли-лужицы, которая на дне чашки под собственной тяжестью расплошлась, и частично приближение ее формы к сферической. Это отсутствив наблюдается, если в центре капли в ее тело погрузить металлический иглу: капля-лужица вздрогнет, и ее горизонтальный диаметр является.

Вот теперь можно понять механизм пульсации. Начнем со случая, когда железная игла касается ртути в точке на контуре лужицы (рис. 1). В момент соприкосовения иглы с поверхностью ртути — соприкосовения, а не внедрения! — поверхности натяжение несколько повышается, ртути лужица уменьшит диаметр, контакт между ней и иглой нарушится. После этого поверхность натяжение должно возвраться к значению, которое было до соприкосовения иглы с каплей, то есть понзиться, а радиус ртути лужицы должен возрастить. Это значит, что лужица соприкосется с иглой и все начнет снова: сокращение лужицы — нарушение контакта, расширение лужицы — восстановление контакта и т. д.

Интересен механизм возникновения пульсации в том случае, когда игла прикасается к поверхности ртути не на контуре ртути, а в ее центре, в макушке (рис. 2). Казалось бы, наступило при этом повышение поверхностного натяжения должно сопровождаться поднятом макушки и образованением ненарушающего контакта с иглой. В действительности, однако, произходит иное. Макушка лужицы чуть наползает на иглу, а затем под действием силы тяжестей от нее. Этот первый импульс дает толок колебаниям, капля раскачивается, сердце начинает пульсировать.

Любопытная деталь: при переное иглы с контура лужицы на ее макушку частота пульсации увеличивается.

23

личивается. Это совершенно аналогично повышению частоты колебаний гитарной струны, если пальцем прижать ее к грифу посередине между точками закрепления.

Необходимо подчеркнуть, что рутное сердце отнюдь не вечный двигаель. Во время его работы расходуется энергия, выделяющаяся при химическом взаимодействии между рутью, железом, соляной кислотой и двухромовокислым калем. В этой реакции расходится исходные компоненты, и она прекратиется, когда, скажем, будет «съедена» железная игла. В «невечности» рутного сердца можно легко убедиться, взяв более тонкую проволочку. Довольно скоро контакт между каплей и проволочкой перестанет воспроизводиться, так как кончик проволоки будет «съеден». Чтобы сердце опять заработало, надо проволочку придвинуть к лучице: явно не вечный двигаель!

Задумали мы снять кардиограмму рутного сердца. Много сведений из нее не извлечешь, разве только определить число пульсаций в секунду (а их можно просто посчитать, наблюдая за лужией, или для верности воспользоваться караммикой кинофильма). То, что рутное сердце здоров, просто отчетливо видно глазами: оно пульсируетритично, без перебоев, явно не уставая (частота пульсаций нашего лабораторного сердца — около 120 ударов в минуту). И все-tаки снять кардиограмму любопытно.

Вначале решили воспользоваться работаюшим сердцем как переврателем электрической цепи, регистрации моменты включения и выключения с помощью самопищущего прибора. От этой мысли, однако, отказались, так как любое электрическое вместеЛЬСТВО в рутное сердце неизбежно исказит его пульсации. Поступили по-иному. Тоненький луч света направлялся на зеркальную поверхность пульсирующей лужицы, а отраженный от нее мечущейся луч подавал сигнал на самомсец, который и записал кардиограмму (рис. 3). На кардиограмме видна последовательность черезюшихся максимумов и минимумов — четких, строгих, периодических, без перебоев, на зависть любому человекскому сердцу.

Рис. 3. Кардиограмма рутного сердца.

Рис. 2. Пульсация рутного сердца, когда металлическая проволока-целла касается максимумов рутной капли-лужицы.

25

Поскольку $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$, разность (*) равна
$$\frac{1}{\sqrt{9981} + \sqrt{9980}} - \frac{1}{\sqrt{9979} + \sqrt{9978}}.$$
Знаменатель первого дроби больше знаменателя второй дроби, откуда следует, что первое число меньше второго:
$$\sqrt{9978} + \sqrt{9981} < \sqrt{9979} + \sqrt{9978}^*).$$
Задача 3. Что больше: 1986$^{1985}$ или 1985$^{1986}$?

Решение. Сравним числа, полученные после извлечения корня (1985·1986)-й степени из данных чисел: $1986\sqrt{1986} \sqrt{1985} 1985$. Заметим, что это — значения функций $y = x^{1/x}$ при $x = 1985$ и $x = 1986$. Производная этой функции $y' = x^{\frac{1}{x}} - 2$. $(1 - \ln x)$ отличается при $x > e$, так что на промежутке $e$; $\infty [$ функция $y = x^{1/x}$ убывает. Поэтому $1986\sqrt{1986} < 1985\sqrt{1985}$, а значит, 1986$^{1985} < 1985$$^{1986}$.

Оценим количество десятичных цифр числа 1986$^{1985}$: $1 + \lg 1986^{1985} = 1 + 1985 \cdot \lg 1986 \approx 1985 \cdot (\lg 2 + +3) \approx 1985(0,3+3) \approx 6550$ цифр! Такое огромное число, больше «гугола» (см. «Квант», 1983, № 7, с. 41), не может вычислить ни одна ЭВМ в мире!

Задачи на сравнение чисел очень часто возникают при решении неравенств. Мы разберем сейчас два примера, после чего предложим несколько неравенств для самостоятельного решения.

Задача 4. Решите неравенство $(2 - 5^x)(7x^2 - 10x + 3) < 0$.

Решение. Будем решать это неравенство методом интегралов (см. «Квант», 1985, № 12, с. 18). Отметим на числовой оси корни компоненты: $x_1 = \log_5 2$, $x_2 = 3/7$, $x_3 = 1$. Очевидно, $x_3 = 1$ — самый большой корень, и при $x > 1$ данное произведение отрицательно. Черезование знаков левой части неравенства показано на рисунке 1 (красными точками отмечены корни $x_1$ и $x_2$). Мы видим, что ответ существенно зависит от того, что больше: $3/7$ или $\log_5 2$. Сравним

) Разность () равна примеру $0,5 \cdot 10^{-6}$, поэтому ее вычисление на микрокалькуляторе, который воспроизводит 8 значших цифр на индукторе (например, на калькуляторе БЭ-36) не дает ответ на поставленный вопрос; — мы получим, что эти числа равны, то есть приdem к неверному ответу.

26

Какой же ответ?

Поводом для написания этой заметки послужила следующая задача:
При каких p уравнение
$$\lg(x^2+2px)-\lg(8x-6p-3)=0$$
имеет один корень?

Эта задача, предложенная на вступительном экзамене по математике в Белоруссом техническом институте им. С. М. Кирова, была в свое время включена в сборник задач, вышедший в 1983 году вторым изданием *). В этом сборнике приведено неполное решение — рассмотрен только один возможный случай.

Чтобы получить, в чем здесь дело, мы сначала разберем более простой пример с точно такой же формулировкой, в котором, нарисовав картину, можно сразу все увидеть.

Вот этот пример:
При каких p уравнение
$$\frac{\lg px}{\lg(x+1)}=2$$
имеет один корень?

Решение. Данное уравнение эквивалентно системе
$$\begin{cases} px>0, \\ x>-1, \\ px=(x+1)^2, \\ x>-1, \\ x^2+(2-p)x+1=0. \end{cases}$$
Первый случай. Квадратное уравнение имеет единственный корень (рис. 1).

В этом случае дискриминант уравнения равен нулю, то есть $(2-p)^2=4$, откуда p=0 и p=4. Поскольку p=0 нам не годится, остается p=4. При p=4 находится единственный корень x=1.

Второй случай. Квадратное уравнение имеет два корня, больший из которых попадает в ОДЗ, а меньший — не попадает.

Таким образом, если $x_1$ и $x_2$ ($x_1<x_2$) — корни квадратного уравнения, то должно быть $x_2>-1$, а $x_1\leq-1$ (см. рисунки 2, а, б). Это условие эквивалентно тому, что для функции $f(x)=x^2+(2-p)x+1$ должно быть $f(-1)\leq0$. Отсюда находится p≤0. Поскольку px>0, значение p=0 не годится. Таким образом, ответ в на-

*) Е. А. Островский, И. М. Ангилейко, П. В. Атрашонок, Р. В. Козлова. Задание по математике на вступительных экзаменах вузах. Минск: Вышэйшая школа, c. 15.

27

Шем примере:
$$] - \infty; 0 [ \cup \{ 4 \}.$$
По этой же схеме решается и первая задача, приведенная в начале заметки.

Снова выписываем эквивалентную систему:
$$\begin{cases} 8x - 6p - 3 > 0, \\ \frac{x^2 + 2px}{8x - 6p - 3} = 1 \end{cases}$$
(ясно, что при выполнения этих условий неравенство $x^2 + 2px > 0$ также выполняется), то есть
$$\begin{cases} 8x - 6p - 3 > 0, \\ x^2 + 2x(p - 4) + 6p + 3 = 0. \end{cases}$$
Снова возможны два случая:
Первый случай. Квадратное уравнение имеет единственный корень, то есть дискриминант уравнения равен нулю. Запишем это условие:
$$p^2 - 14p + 13 = 0,$$
откуда $p = 1$ и $p = 13$.
При $p = 1$ получаем $x = 3$; при $p = 13$ получаем $x = -9$. Подставляя найденные значения $x$ и $p$ в неравенство $8x - 6p - 3 > 0$, убеждаемся, что значения $p = 13$, $x = -9$ не годятся. И наоборот, значения $p = 1$, $x = 3$ этому неравенству удовлетворяют. Таким образом, исходное уравнение при $p = 1$ имеет единственный корень $x = 3$*).

Второй случай. Квадратное уравнение имеет два корня, больший из которых попадает в ОДЗ, а меньший — не попадает.

Из неравенства $8x - 6p - 3 > 0$ следует, что $x > \frac{6p - 3}{8}$, так что если $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$) — корни квадратного уравнения $x^2 + 2x(p - 4) + 6p + 3 = 0$, то должно быть $x_2 > \frac{6p + 3}{8}$, а $x_1 \leqslant \frac{6p + 3}{8}$. Снова, как и в примере $\frac{\lg px}{\lg(x + 1)} = 2$ (см. рис. 2) получаем, что все условия будут выполнены тогда и только тогда, когда для функции $f(x) = x^2 + 2x(p - 4) + 6p + 3$ будет $f\left(\frac{6p + 3}{8}\right) \leqslant 0$. Записав это условие $\left(\frac{6p + 3}{8}\right)^2 + 2 \cdot \frac{6p + 3}{8}(p - 4) + 6p + 3 \leqslant 0$, получим после преобразования $(6p + 3)(22p + 3) \leqslant 0$, откуда $-\frac{1}{2} \leqslant p \leqslant -\frac{3}{22}$.

Итак, ответ в этой задаче:
$$\left[ -\frac{1}{2}; -\frac{3}{22} \right] \cup \{1\}.$$
И. Г. Габович
П. И. Горштейн

*) Такой ответ приведен в вышепомогнутом сборнике задач.

Наша обложка

Obviously the stereometricской задачи начинается с того, что мы в общих чертах воспроизводим рассматриваемый в ней конфигурацию. В задаче с обложки предыдущего номера представить конфигурацию легче всего прямо по ходу решения. Большое этомо на следующей (приведенный на обложке) нам по сути дела и не попадoitся.

Решение основано на следующем полезном утверждении: две окружности радиусов $R_1$ и $R_2$ касаются друг друга внешним образом тогда и только тогда, когда отрезок их общей внешней касательной между точками касания равен $2\sqrt{R_1R_2}$ (рис. 1). Доказательство этого утверждения очень удобно из рисунка 1. Расматривая окружности в этом утверждении как сечения двух шаров плоскостю, проходящей через их центры, или как сечения шара и шлинда плоскостю, проходящей через центр шара перепendluklarно оси шлинда, мы получим условия внешнего касания шаров или цилиндра; например, в последнем случае надо, чтобы расстояние от точки касания шара с плоскостю до прямой, по которой цилиндр

$AB^2 = O_2C^2 = (R_1 + R_2)^2 - (R_1 - R_2)^2$

Рис. 1.

28

Новый метр

To, о чем здесь будет рассказано, не новое открытие в какой-то конкретной области науки. Тем не менее речь пойдет о событии, о котором, безусловно, будет написано во всех учебниках и которое отражится на всей жизни и деятельности человека.

Более двух лет назад, в октября 1983 года, Интернциональный комитет мер и весов (его официальное название CIPM — la Comité Internationale des Poids et Mesures) опубликовал рекомендацию ввести новый этапон метра. Приведем начало этого документа:

«Интернциональный комитет мер и весов рекомендует, чтобы метр задавался одним из двух методов —

a) длиной пути l, проходимого в вакууме плоской электромагнитной волной за время t; длина пути вычисляется по измерению времени t, используя соответствие l=ct и значение скорости света в вакууме c=299 792 458 м/c;

b) длиной волны в вакууме λ плоской электромагнитной волны частоты v; длина волны вычисляется по измерению частоте v, используя формулу λ=c/v и значение скорости света c=299 792 458 м/c…».

Вспомним, как определяется метр сейчас. Также официальный документ, принятый в 1960 году 11-й Генеральной конференции по метам и весам, гласит: «Метр — длина, равная 1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p10 и 5d5 atoma криптона-86».

А каким бы метр до 1960 года?

Согласно первому определению, принятому во Франции во время Великой Французской революции, метр был равен десятимилюнной доле четырёхдвятой длины парикского меридиана. В 1799 году был изготовлен и утвержден первый прототип метра в виде платиновой линейки — так называемый архивный метр. Затем в 1872 году Международная метрическая комиссия приняла решение об откаске от «естественного» эталена длины и о принятии архивного метра в качестве эталенной меры длины. Прототип этого метра в виде бруса из сплава платины и придая с нанесенными на одной из его плоскостей штрихами хранится в Севре (близ Парижа) в Международном биомер и весов. Относительная погрешность воспроизведения такого метра составляет около 10⁻⁷.

Такое определение метра продолжалось почти 80 лет. Лишь к 1960 году оптические методы измерения достигли такого совершенства, что могли конкурировать с простым прикладыванием измеряемого образца к парикскому этаю.

Лону. Они позволяют воспроизвести метр с точностью порядка 10⁻⁸.

Почему же теперь настояло время вводить новое определение метра? Одна принчина — принципная. Новый метод основан на величины скорости света в вакууме — фундаментальный постоянной величины, не зависит от движения наблюдаемого. В новом определении метра скорость света считается заданной, она в точности равна 299 792 458 м/c (подобно тому как до 1960 года метр был точно равен росту соответствующего метра).

Другая принчина, техническая, связана с расширением точных методов измерения частоты вплоть до видимой частоты спектра, в котором оптики умеют измерять длину волны с большей степенью точности (методом интерференции). Начиная с 1982 года, стало возможным измерять частоту и длину волны одной и той же спектральной линии с ошибкой, не превышающее 1—2 единиц в десятом знаке (!). Можно в шутку сказать, что только в последние годы проверили соответствие c=λv для видимого света.

Итак, когда рекомендуется Интернционального комитета мер и весов будет принята, в физических таблициях будет стоять точное значение скорости света, а длины можно будет измерять с ошибкой, не большей чем две единицы в десятом знаке.

Я. С.

29

Задачи

1. В этом году я отправовал свой день рождения. Число исполняшихся мне лет во многом примечательно.

Если от этого числа отнять 2, то оно разделится на 3, а если от него отнять 3, то оно разделится на 2.

Если к нему прибавить 4, то оно разделится на 5, а если от него отнять 5, то оно разделится на 4.

Если от него отнять 5, то оно разделится на 6, а если от него отнять 6, то оно разделится на 5.

Если к нему прибавить 7, то оно разделится на 8, а если к нему прибавить 8, то оно разделится на 7.

Сколько же лет мне исполнились?

2. Замените буквы цифрами так, чтобы выполнялись оба равенства:

(ОН)³=ВАНЯ, В+А+Н+Я=ОН
(одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным — разные).

3. Дым, который мы видим, — это мелкие частицы несгоревшего топлива. Их плотность во много раз больше плотности воздуха.

Почему же эти частицы поднимаются вверх?

4. На днях я жарил оладьи. Когда я начал переворивать одну из них, она никак не входила на старое место. Оладьи удалось вновь разместить на сковороде, лишь перевернуть их все.

Докажите, что всегда можно ложить перевернуть оладьи на круглой сковороде, на которой они лежали раныше, и приведите пример, в котором нельзя одину из оладий, перевернуть, ложить на старое место.

5. Разрежьте каждую из двух маленьких фигур одинаковым образом на четыре части так, чтобы из полученных восьми части можно было сложить вдвое большеную (по площади) подобную фигуру.

Эти задачи предложили В. Д. Выон, ученик 10 кл. пос. Славяносербский Ворошиловградской обл. Серzej Ревков, А. П. Савин, А. М. Абрамов, Л. П. Мочалов.

30

Загадка этрусков

Кандидат физико-математических наук
А. С. АЛЕКСАНДРОВ

По крупцам собирают археологически и историки сведения об этрусках, тайнственном древнем народе, некогда засеявшем большую часть современной Италии. Примерно к середине I тысячетия до н. э. их свидетельия достигла культурного и экономического расцвета. Грозную силу представляли собой этрусские города и в военном отношении. Но после изгнания в 510 году до н. э. этрусских царей из Рима, у этрусков в Италии появились в лице римлян опасные соперники. Длительные войны закончились через несколько столей покорением этрусков, и в начале нашей эры они полностью расторились в пестрой массе народов Римской империи. От них остались лишь немногочисленные надписи на до сих пор не расшифрованным окончательно языке, отделные памятники выдающегося развития ремесел и искусств и скупные сообщения римских авторов…

При раскопках городов Этурии археологам удалось найти самые разнообразные свидетельства высокого уровня развития угаскей цивилизации. Всеобщие восхитение вызывали ювелирные изделия этрусков и средних в первую очередь так называемые гранулированные украшения — подлинные шеедевры безымянных мастеров. Они представляют собой медные пластинки со сложными узорами, выложенными тысячими мелчайших (диаметром около 0,2 мм) золотых шариков. Ни у одного другого народа гранулированные изделия не достигали такой высокой степени совершства.

К концу I тысячетия н. э. искусство изготовления подобных украшения было окончательно забито. Только в XIX веке исследователи представили попытки восстановить секретные техники, но — безрезультатно. Долгое время никто не мог обьясить, как можно прикрепить золотую крупнику к медному основанию, не расплавляя ее при этом. Если бы крупника расплавилась, капля жидкого золотота растеклась бы по меди. При охлажде-

Калейдоскоп «Кванта»
Одной из древнейших математических дисциплины является теория чисел, многие задачи которого обладают тем свойством, что они допускают очень простую, понятную всем формулировку, но доказательство задачи представляется необычайные трудности.
И. М. Виноградов

Выдающийся советский математик — академик Иван Матвеевич Виноградов (1891—1983) известен замечательными результаты в теории чисел. В своих исследованиях он создал мощный метод анализуческий теории чисел — метод трионометрических сумм. Этот метод удалось решить многое задачи, стоятями не поддававшиеся решению.
Иван Матвеевич Виноградов более патиесети лет возглавлял Математический институт им. В. А. Стеклова Академии Наук СССР — главный штаб советской математической науки. Он — дважды Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премии.

Числа простые и…

Давайте оглнемся вокруг: сколько чисел окружает нас! Номер нашего дома, квартры; номера автобусов, трамваев, на которых мыездим; температура воздуха, атмосферное давление; уровень наших знаний по математике и по литературе… Я думаю, что вы можете многоократно уведомить этот список.
Каждеое число мы воспринимаем как степень проявления чего-либо или как показатель принадлежности объекта к тому или иому классу предметов, явлений (поеед данного маршрута, самолет данной марки, например ТУ-134 и т. д.). При этом мы совершенно не задумываемся о самых числах. Конечно, отмечаем при встрече «круглы» числа; некоторые проверяют номера библиотек в автобусе на «счастливость»: совпадает ли суммы первых и последних трех цифр. Но эти свойства присущ们 не самим числам, а их представлениям в десятичной записи.
Свойства чисел люди начали интересоваться очень давно. Еще древние греки делили натуральные числа на простые — имеющие лишь два различных делитель, и составные — у которых больше двух делитель. Единица имеет только один делитель, поэтому ее не причисляют ни к простым, ни к составным числам.
Древние греки умели доказывать, что простых чисел бесконечно много. В 1837 году немецкий математик Лежен Дирихле доказал, что в любой арифметической прорессии созащим простыми разности и первый членом содержится бесконечно много простых чисел.
Свойства делимости помогали грекам в решении уравнений в целых числах. Особенно велики здесьаслужги Дюофанта, которое называют последним великим математиком античности. Годы его жизни точно не установлены, но имеются всеские основания считать, что он жил в III веке нашей эры.
Задачи теории чисел, несмотря на простоту формулировки, как правило, очень трудны. Так, несколько столейй ждет решения проблем с большим числом, а их представлениям в десятичной записи.
Копченая или бесконечная совокупность пар простых чисел, отличающихся на 2, то есть таких, как 3 и 5, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, … ?» А сколько труда затрачено на попытки доказать «Великую теорему Ферма»!
Рассмотренные свойства чисел, связанных с их делительами, породило большую область математики, называемой мультитипическом теорейчиком чисел (от латинского слова multiplicatio — умножать).
Математики рассматривают также свойства чисел, связанные с их представлениями в виде суммы чисел определяемого вида. Существует бесконечно

33

много чисел, являющихся квадратами и суммами двух квадратов одновременно; это — «пифагоровы тройки». Также существует бесконечного много кубов, являющихся суммами трех кубов, и т. д.

В 1742 году в переписке двух академников Петербургской Академии наук Х. Гольдбаха и Л. Эйлера возникла следующая проблема (она носит название проблемы Гольдбаха): верно ли, что каждое четное число, большее двух, представляет в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечетное число, большее семи, представляет в виде суммы трех простых чисел. Существный вклад в решение этих проблем внесли советские математики И. М. Виноградов и Н. Г. Чудаков.

Класс проблем, связанных с представлением чисел в виде сумм чисел заданного вида, получили название additивной теории чисел (от латинского additivus — прилагаемый, получающийся в результате сложения).

В противоположность простым числам, математики рассматривают числа, имеющие очень много делителей. Натуральное число называется сверхсоставным, если у него больше различных делителей, чем у любого из натуральных чисел, меньше его. Единица со своим единственным делителем является сверхсоставным числом (поскольку нет натурального числа, меньше ее). Следующим сверхсоставным числом будет простое число 2, имеющее два делителя 1 и 2; далее — число 4 с тремя делителями 1, 2 и 4; потом 6 с четырьмя делителями. Можно было предположить, что всякое число $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ будет сверхсоставным, но это не так. Попробуйте отыскать следующие десять сверхсоставных чисел.

Для нахождения числа различных делителей у чисел существует формула. Известно, что всякое натуральное число $n$ представляет в виде произведения степени простых чисел и притом единственным образом:

$$n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots \cdot p_s^{k_s}$$

(эта теорема носит название основной теоремы)

А. П.

Полезные факты

Признак делимости на 11

Для того чтобы число, записанное в десятичной системе счисления, делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11.

Теорема Вильсона

Число $(n-1)!+1$ делится на $n$ в том и только в том случае, если $n$ — простое число.

Малая теорема Ферля

Если $p$ — простое число, то для любого натурального числа $a$ число $a^p$ — а делится на $p$.

34

В результате в чрезвычайно узкой зоне контакта шарика и пластины образовывался медно-золотой сплав.

Температура плавления чистого золота — 1063 °C, чистой меди — 1083 °C, а сплавы золота с медью плавятся при более низких температурах. Например, сплав, состоящий из равного количества атомов золота и меди, плавится уже при 910 °C. Именно это обстоятельство является ключевым для разгадаки секрета ювелиров Этрурии. Они повышали температуру до того предела, что расплавлялась только зона образовывающего сплава, а сами золото и медь оставались в твердом состоянии. При последующем охлаждении расплав затвердевал, и крупинка, практические не потеряв своей сферической формы, приварилась к основанию из меди. Этот процесс одновременно происходит во всех крупинках, и весь приклеенный к папирсу узор оказывается как «сведенным» (по аналогии с переводными картинами) на медь. Папирус при столбь высоких температурах сторал dotла, и изделия было готово. Медь описывается не успевала, так как процесс проискодил достаточно быстро и значительно часть кислорода принимал на себя при сторании папирус.

Древние ювелирные секреты и сегодня разгаданы не до конца. Остатся неясным, например, как эструкам удавалось изготовлять мелчайшие золоты шарики. Но более всего удивляет то, как вообще сумели мастер далекого прошло выработать столбь изшренную технологию. Какой удивительной комбинации случая, опыта и произнения обязаны эструки своему открытию? может быть, это когда-нибудь станет известным, а пока мы может лишь воздать должное исчезнутьшему народу и повторить слова древнеримского историка Гая Саллюстия: «ЧERO люди сумeiот добиться, возделывая землю, плавая металл и возводя строения, зависит от их духовной силы».

Наша обложка

(Начало см. на с. 27)
касается той же плоскости, было равно $2\sqrt{R_1R_2}$, где $R_1$ и $R_2$ — радиус шара и основания цилиндра.

Пусть $A$ и $C$, $B$ и $D$ — точки касания шаров радиусов $R_1$ и $R_2$ соответственно с плоскостью, $l$ — прямая, по которой цилиндр касается плоскости. Из приведенного выше утверждения следует, что $AB=BC=CD=DA=2\sqrt{R_1R_2}$, то есть $ABCD$ — ромб (рис. 2), причем его диагонали равны $2R_1$ и $2R_2$.

Кроме того, точки $A$ и $C$ удалены от прямой $l$ на одной и то же расстояние (равное $2\sqrt{R_1r}$). Следовательно, эта прямая либо проходит через середину $O$ отрезка $AC$ (центр ромба), либо параллельна $AC$. После нее невозможно, так как точки $B$ и $D$ также удалены от $l$ на одной и то же расстояние ($2\sqrt{R_2r}$). В итоге получается чертеж, показанный на рисунке 2.

Из прямогоного треугольника $AOB$ получаем уравнение $AB^2=AO^2+OB^2$, или $4R_1R_2=R_1^2+R_2^2$.

Далее, если $\alpha$ и $\beta=\pi/2-\alpha$ — углы между прямой $l$ и прямыми $OA$ и $OB$, то $\sin \alpha=2\sqrt{R_1r/R_1}=2\sqrt{r/R_1}$, $\cos \alpha=\sin \beta=2\sqrt{r/R_2}$, следовательно,

$$1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=4r\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right).$$

Решая уравнения (1) и (2) совместно, получим ответ: $R_1=4r(3\pm\sqrt{3}), R_2=4r(3\mp\sqrt{3})$ (знаки выбираются согласно).

В. Д.

36

как показано на рисунке 1: $|AB|=l, |BC|=2l$. Стержень подвешен за точку $A$ к очень длинной неверсомой нити $AO$. В начальной момент стержень удерживают в горизонтальном положении, и нить при этом вертикальная; затем стержень отпускают. Какой будет скорость точки $A$ в тот момент, когда стержень будет проходить низшее положение?

Г. Л. Коткин

Ф979. В сосуде, имеющим форму двух «состыкованных» цилиндров одинаковой длины $l$ и с площадями сечений $S$ и $\alpha S$ ($\alpha>1$), находится идеальный газ. Посредние каждаго цилиндра находится поршни, соединенные жестким стержнем (рис. 2); при этом давление в отсеке $I$ равно $p$, в отсеке III давление равно $\beta p$, поршни находится в равновесии. К системе подвели телло $Q$ так, что температура возросла, оставаясь во всех отсеках одинаковой. Определите, как изменилось давление в отсеке $I$. Внутренняя энергия одного моля газа равна $cT$ (с — молярная теплоемкость газа). Теплоемкость цилиндров и поршней пребрежимо малы; треннем пребрежчь.

В. С. Фадин

Ф980. Четыре одинаковых металлических пластины площади $S$ каждая с зарядами $q_1, -q_1, q_2, -q_2$ установлены параллельно друг другу на расстоянии $d$ одна от другой (рис. 3; $d$ много меньше линейных размеров пластин). Внешние пластины 1 и 4 соединяют проводиком. Найти разность потенциаль между пластинами 2 и 3.

Т. В. Федогович

Ф981. На груз массы $M$, высший наружное,кладут груз массы $m$ (рис. 4), удерживая груз $M$ в первоначальном положении, а затем грузы отпускают. Найти максимальный силу, действующего на груз $m$ со стороны груза $M$.

П. И. Зубков

Ф982. Как известно, предельный размер размещаем детали изображения на кинопленке определяется размерами кристалков светочувствительной слоя. С уменьшением размера кристалков четкость изображения растет. Оцените предельный размер кристалков, при котором зритель перестает заметать рост четкости изображения на экране кинозала. Предполагается, что вы хорошо представьте явление, может сами задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно правильные численные значения и получить численный результат.

Г. В. Меледин

Problems

M966—M970; P978—P982

M966. Prove that any triangle can be cut up by line segments into four pieces from which two triangles similar to the original one can be put together.

L. D. Kurlyandchik

M967. Denote by $\sigma(n)$ the sum of all positive integer divisors of the number $n$ (including 1 and $n$) and by $\varphi(n)$ the quantity

38

Решения задач
M946—M950; Ф958—Ф962

М946. Две параболи расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболи пересекаются в четырех точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

Выберем прямоугольную систему координат $Oxy$ так, чтобы оси парабол были координатными осями (см. рисунок). Тогда уравнение одной из парабол $x=ay^2+b$ ($a>0, b<0$), другой $y=cx^2+d$ ($c>0, d<0$). координаты $(x;y)$ точек пересечения парабол удовлетворяют системе уравнения $x=ay^2+b, y=cx^2+d$. Разделив первое уравнение на $a$, второе — на $c$ и сложив получшиеся уравнения, приходим после очередных преобразований к уравнению
$$\left(x-\frac{1}{2a}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2c}\right)^2=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4b^2}-\frac{b}{a}-\frac{d}{c}.$$
Поскольку его правая часть положительная, отсюда следует, что точки пересечения парабол лежат на окружности радиуса $R=\sqrt{\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4b^2}-\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}$ с центром в точке $Z(1/2a; 1/2c)$.

Л. П. Купцов

M947. На доске в строку написаны числа
$$1\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\cdots\frac{1}{10}\frac{1}{11}\frac{1}{12}.$$
a) Докажите, что как мы ни расставили знаки «+» и «-» между этими числами, полученная сумма не будет равна нулю.
b) Какое наименьшее количество написанных чисел не обходимостерить с доски для того, чтобы после некоторых расстановки «+» и «-» между оставшими числами получалась сумма, равная нулю?

В решении обихих пунктов задачи используется следующие утверждения: сумма двух несократимых дробей $a/b$ и $c/d$ с разными значениями не может равнять нулю. (Если, скажем, $b>d$, то равенство $ad=-bc$ невозможно, так как $a$ взaimно просто с $b$, а $d$ не делится на $b$.)
a) Записьвая рассматриваемую сумму в виде
$$\left(1\pm\frac{1}{2}\pm\cdots\pm\frac{1}{10}\pm\frac{1}{12}\right)\pm\frac{1}{11},$$ мы видим, что в силу приведенного выше утверждения ни при каком выборе знаков она не обратится в нуль, так как наименьший общий значенный дробей в скобках не равен 11.
b) Ответ: 6. Из доказательства пункта a) следует, что дробь 1/11 надостерить. Точно так же доказывается, что надостерить 1/9, 1/8, 1/7. Общий вклад дробей 1/5 и 1/10 в сумму, если хотя одна из них нестерта, может равнять $\pm 1/5$, $\pm 1/10$ или $\pm 3/10$. Поскольку значенные остальные дробей не делятся на 5, и эти две дроби надостерть. Из оставшихся чисел нульевую сумму составить можно:
$$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=0.$$
С. В. Резниценко

M948. Правильный треугольник ABC полностью покрыт пятью меншими равными правилами треугольника. Докажите, что треугольник ABC можно полностью покрыть четрьма такими треугольниками (эти треугольники разрешается переведать).

Возьемем в треугольнике ABC шесть точек — вершины и середины сторона. Хотя бы две из них должны покрыться одним из пятей менших треугольников, следовательно, сторона такого треугольника не меньше половины стороны треугольника ABC. Поэтому каждый из четырех правилных треугольников, на которых средние линии

40

1,25R, где $R$ — радиус земли. В некоторых моментах сутини какапультируется со станции в направлении ее движения и переходит на эллиптическую орбиту с аноезем, удаленным от центра земли на расстояние 10R. При каком отношении $m/M$ сутини встретится со станцией, совершible один оборот вокруг земли?

Пусть $T_1$ — период обращения сутиника по орбите 1 с расстоянием от центра земли до апогея 10R, $T_2$ — период обращения сутиника по орбите 2 с расстоянием от центра земли до перигея $nR$ ($n$ — неизвестное число). Сближение сутиника и станции в точке $A$ через один оборот сутиника произойдет при условии

$$\frac{T_1}{T_2} = k > 1, \quad \text{где } k \text{ — целое число.}$$

Выражая $T_1, T_2$ через массы станции $M$ и сутиника $m$, используя для этой цели законы Кеплера, законы сохранения импульса и энергии, найдем возможность соответствия между этими массами, которые приводят к выполнению условия $T_1:T_2 = k$.

По третьему закону Кеплера

$$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^{3/2} = \left( \frac{45}{5+4n} \right)^{3/2} = k,$$

где $a_1, a_2$ — большие полуоси соответствующих орбит (см. рис.ок). Выразим $n$ через массы $m$ и $M$.

При разделном движении станции и сутиника вокруг земли сохраняется их полные механические энергии. Так как потенциальная энергия тела массы $m$ в поле тяготения земли на расстоянии $r$ от центра земли равна

$$U = -\frac{GmM_3}{r} = -\frac{mgR^2}{r}$$

(g — ускорение свободного падения, $M_3$ — масса земли), то из закона сохранения энергии следует, что

$$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{mgR^2}{5R/4} = \frac{|m(v_1')^2|}{2} - \frac{mgR^2}{10R},$$

$$\frac{Mv_2^2}{2} - \frac{MgR^2}{5R/4} = \frac{M(v_2')^2}{2} - \frac{MgR^2}{nR},$$

где $v_1'$ — скорость сутиника в апогее, $v_2'$ — скорость станции в перигree, $v_1$ и $v_2$ — скорости, прибретаемые соответственно сутиником и станцией в момент расстоявки в точке $A$ (см. рис.ок).

Согласно закону сохранения импульса скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ связаны соответствием

$$(M + m)v_0 = mv_1 + Mv_2,$$

где $v_0$ — скорость станции и сутиника до расстоявки. Величину $v_0$ найдем из уравнения движения станции и сутиника как целого (до расстоявки):

$$\frac{(m + M)v_0^2}{5R/4} = G \frac{(m + M)M_3}{(5R/4)^2},$$

откуда

$$v_0 = \sqrt{\frac{GM_3}{5R/4}} = 2\sqrt{\frac{gR}{5}}.$$

Второй закон Кеплера позволяет установить связь между скоростью $v_1$ и $v_2'$,

$$\frac{5}{4}Rv_1 = 10Rv_1',$$

42

Ф960. Для того чтобы получить две совершенню одинаковые катушки, их наматьают на немагнитный сердечник одновременно, используя сложные вместе провода (рис. 1). Однако из катушки подключают через ключи K к батарею B с напряжением U₀, вторую — к резистору R. Ключ замыкают. Рассчитайте мощность тока на резисторе. Нарисуйте график зависимости силы тока через батарейку от времени.

Через время т ключ размыкают. Какое количество теплоты выделяется в резисторе, начиная с этого момента? Индуктивность каждого из катушки L. Батарейку считать идеальной. Сопротивлением проводов претензей.

Рис. 1.

Рис. 2.

При расчете ЭДС индукции в цепи каждой катушки нужно учитывать полный магнитный поток через нее, то есть сумму потоков, создаваемых токами обиха катушки.

После замыкания ключа в обихах цепях возникают одинаковые ЭДС $E_1 = E_2 = U_0$, и мощность, выделяющаяся на резисторе, равна

$$P = \frac{E_2^2}{R} = \frac{U_0^2}{R}.$$

Так, текущий через 2-ю катушка, равен $I_2 = U_0/R$. Магнитный поток, произвольный 1-ю катушка, равен

$$\Phi_1 = LI_1 + LI_2,$$

где $I_1$ — ток через 1-ю катушка и через батарейку. (Поток через каждую катушка, создавемый током $I_2$, один и тот же — катушки намотаны вместе.) Следовательно,

$$E_1 = U_0 = \left| \frac{d\Phi_1}{dt} \right| = \left| L \frac{dI_1}{dt} + L \frac{dI_2}{dt} \right| = \left| L \frac{dI_1}{dt} \right|$$

(так как $I_2 = \text{const}$). Отсюда

$$I_1 = \frac{U_0}{R} + \frac{U_0}{L} t.$$

График $I_1(t)$ приведен на рисунке 2. Скачок тока в первый момент связаан с тем, что полный поток через катушки не должен меняться скачком, и сразу после включения возникнет добавочный поток, направленный против потока, создаваемого 1-й катушки.

К моменту размыкания ключа полный поток через 2-ю катушки равен

$$\Phi_{2\tau} = -LI_2 + LI_{1\tau} = L \frac{U_0}{L} \tau = U_0 \tau.$$

Сразу после размыкания ключа в этой катушка возникнет ток

$$I_p = \frac{U_0 \tau}{L},$$

поскольку поток через катушка не должен меняться скачком. Тепло, которое выделится на резисторе с момента размыкания, —

$$W = \frac{1}{2} LI_p^2 = \frac{U_0^2 \tau^2}{2L}.$$

А. Р. Зильберман

Ф961. Для поддержания постоянной температуры воды в проточном аквариуме пользоваться двумя одинаковыми надревателями (см. рисунок). В обычном режиме используется прихождение увеличивается в три раза. Как нужно изменить расход холодной воды, если надреватели включены в сеть последовательного? Каким должен быть расход холодной воды, если включена одна спираль мощность

Тепло, получаемое водой от нагревалей, компенсирует тепловые потери — тепло, отдаваемое аквариумом в окружающей среду. Мощность потерь зависит от разности температуры воды в аквариуме и окружающей среду. Если эти температуры не меняются, то и мощность потерь остаются неизменной.

Обозначим секундный расход воды в первом случе (включена одна спираль) $\Delta m$. Тогда

$$P = c \cdot \Delta m \cdot (t_2 - t_1) + q,$$

(1) где $q$ — мощность потерь. Во втором случе (включены две спирали, соединенные параллельно) мощность возвращается в два раза, и

43

$$2P = c \cdot 3m \cdot (t_2 - t_1) + q.$$ (2)

Из (1) и (2) сразу можно получить

$$q = \frac{1}{2} P.$$

Но в том случае, когда спирали будут включены последовательно, выделяемая имми мощность составит как раз $P/2$. Значит, в этом случае-body следует отключить.

Тепер из уравнения (1) и (2) найдем секундный расход воды при условии, что включена одна спираль:

$$\Delta m = \frac{P}{2c(t_2 - t_1)} = \frac{100}{2 \cdot 4,2 \cdot 10^3 \cdot 17} \text{ кг/c} \approx 7 \cdot 10^{-4} \text{ кг/c}.$$

А. P. Зильберман

Ф962. Точенные источники, расположенные на главной оптической оси линзы, образуют равномерно светящую нить (проходящий через фокус линзы). Найти закон изменения $E(x)$ освещности в точках, лежащих на той же оси по другую сторону линзы на больших от нее расстояниях $x$ ($x \gg F$, где $F$ — фокусное расстояние линзы).

Отрезки светящейся нити, расположенные на расстояниях $y > F$ от линзы, дают действительные изображения на оптической оси справа от линзы. Для нахождения освещности $E(x)$ единиц们 длины на оптической оси, то есть мощности изображения, падающего на единицу длины, рассмотрим, как проискодит преобразование малого отрезка предмета $dy$ в отрезок изображения $dx$ (см. рисунок).

Пусть мощность, изображая с единиц们 длины светящейся нити, равна $E_0$. Тогда суммарная мощность изображения, попадающего на элемент $dx$ изображения, равна

$$E(x) \cdot dx = E_0 \frac{\Omega(y)}{4\pi} dy.$$ (*)

Здесь учтено, что линза фокусирует только часть изображения элемента $dy$ — изображение, попадающего на элемент $dx$ изображения задается формулой $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{F}.$$ Поэтому $dy$ в формуле (*) можно выразить через $dx$ следующим образом:

$$dy = \left| \frac{dy}{dx} \right| dx = \frac{F^2}{(F-x)^2} dx.$$

(Производная взята по модулю, поскольку длины отрезков и мощности положительных.) Подставляя значение $dy$ в (*) и учитывая, что для $x \gg F$ $y \approx F$ и телесный угол $\Omega(y \approx F)$ не зависит от $x$, получим

$$E(x) \approx E_0 \frac{\Omega(F)}{4\pi} \frac{F^2}{(F-x)^2} \approx E_0 \frac{\Omega(F) \cdot F^2}{4\pi x^2} \sim \frac{1}{x^2}.$$

M. A. Воронцов, B. E. Кунцын

44

VI. Логические схемы на трансисторах

Доктор физико-математических наук М. Е. ЛЕВИНШТЕЙН, кандидат физико-математических наук Г. С. СИМИН

Получив представление об элементарных логических операциях (см. «Квант», 1986, № 1), мы можем теперь познакомиться с тем, как они реализуют с помощью схемы на трансисторах.

Простейшая логическая схема, осуществляющая операцию «ИЛИ», показана на рисунке 1. Схема содержит два биополярных трансистора типа «n—p—n».

Обозначение соответствует биополярному трансистору типа p—n—p; обозначение соответствует трансистору типа n—p—n.

Наклонная стрелка соответствует эмптетру, вертикальная черточка — базе, наклонная черточка без стрелки — коллектору.

Коллекторы общих трансисторов подсоединены параллельно к «плюсу» источника питания Е. Эмиттеры — к нагрузочному сопротивлению Rₙ. Если направление между базой и эмптетром трансистора равно нулю, то переход база — эмптетр закрыт, так через него не протекает. Поэтому нечеток и в цепи коллектор — эмптетр ( трансистор закрыт). Из рисунка 1 видно, что если сигнал на входах трансисторов отсутствует, то есть направление на входах Uₙ₁ и Uₙ₂ равно нулю, то она трансистора закрыт. Так I через нагрузочное сопротивление Rₙ не протекает, и сигнал на выходе Uₙ₁=IRₙ также равен нулю. Если хотя одно из направлений, подваемых на входы схемы, достаточно для отправления трансисторов T₁ и T₂, так в цепи резко возратает и выходное направление существенно увеличивается.

Кремниевые трансисторы обычно закрыты, если направление на переход база — эмптетр меньше 0,6 В. Поэтому в схеме данного типа уровень «логического нуля» обычно соответствует направлению U⁰, близкое к нулю, а «логический единица» — U¹≈0,8 В.

На рисунках 2 и 3 показаны схемы «И» и «НЕ» на биополярных трансисторах. Рассудяая так же, как при анализе схемы «ИЛИ», легко убедиться, что для схемы «И» выходное направление Uₙ₁>0 только в том случае, если трансистора T₁ и T₂ одновременно открыты, то есть на оба входа подано направление, соответствующей логической единице (Uₙ₁=U¹, Uₙ₂=U¹). В схеме «НЕ» Uₙ₁=U¹ при Uₙ₂=U⁰ и, наоборот, Uₙ₁=U⁰ при Uₙ₂=U¹.

Важным недостатком логических схем на основе биополярных трансисторов является то, что в одном из состояний схемы через выходное сопротивление Rₙ протекает большой ток. В ЭВМ, содержащих миллионы логических схем, это приводит к значительному потербению мощности, разогреву схем в процессе работы и снижения надежности ЭВМ. Этот недостаток исключает в логических схемах на основе комплементных*) полезных трансисторов — КМОП-схемы.

Пример КМОП-схемы представлен на рисунке 4.

*) «Комплементные» в переводе с английскогоозначает «дополнительное».

Рис. 1. Пример реализация схемы «ИЛИ» на двух биополярных трансисторах типа n—p—n.

Рис. 2. Пример realizация схемы «И».
Рис. 3. Пример realizация схемы «НЕ».

45

ВЫЖАЙЩЕМ БУДУЦЕМ ПОЯВЯТСЯ ЭВМ, ЛОЦИЧЕСКИЕ СХЕМЫ КОТРЫХ БУДУТ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ЦЗАРЕНДА ГАЛЛИЯ (Ga As).
Эти схемы обладают значительно большим быстродействием.
На микрофотографии показана ВИС на основе аспендаллевых полевых трансисторов. Размер ВИС — 2,7×2,25 мм. Длина затвора трансисторов в ВИС~1 мкм.
Скорость переключения элементов логических ячеек ВИС — 150 пс. По быстродействию эта схема в четыре раза превозходит лучшую кремниеву ВИС аналогично назначению.

Прициплальная схема и условия обозначение современной логической микросхемы серии K187 на кремниевых биолярных п—р—п трансисторах.
Схема имеет 5 входов и 2 выхода. На одном из выходов (вывод 6) образуется напряжение логического суммы (операция «ИЛИ») сизалов $x_1$—$x_5$, поступающих на выходы 1—5, на другом выходе (вывод 7)—сизнал, сочетающий операция логического суммирования и инверсии (операция «ИЛИ»—«НЕ»).
Существование условий логического схемы по сравнению с простейшей ячейкой, показанной на рисунке 1, вызван необходимостью обеспечить высокое быстродействие, малую потребляемую мощность, незащищимость параметров схемы от kolejнией напряжения питания и количества подключаемых к ней других логических схем, требованием помехоустойчивости логических сигналов на выходе и т. д.
Время сравнительная микросхемы около $10^{-8}$ с, потребляемый ток ~10 мА.

Вертикальная линия обозначает канал трансистора. Отходящие от нее горизонтальные линии — исток (низняя) и сток (верхняя). Линия, идущая параллельно каналу рядом с ним, обозначает затвор. Вывод затвора изображается на одном уровне с выходом истока.

Использовемые в схеме МОП-траниторы $T_1$ и $T_2$ имеют структуру разного типа. Транитор $T_1$ нормально открыт, то есть при отсутствии напряжения на затворе проводимость его канала велика; транитор $T_2$ нормально закрыт, при нулевом напряжении на затворе ток по его каналу не течение. При достаточно большом положительном напряжении на затворе $U^1$ нормально открыт транитор $T_1$ запирается, а нормально закрыт $T_2$ — отпирается.

В показанной на рисунке 4 схеме при $U_{bx}=0$ $T_1$ открыт, а $T_2$ — закрыт, поэтому все напряжение источника питания падает на траниторе $T_2$; поскольку выходное напряжение сигмается с транитором $T_2$, $U_{bx}$ велико. При $U_{bx}=U^1$ $T_1$ закрывается, а $T_2$ — открывается, поэтому $U_{bx} \approx 0$. В общих состояниях протекающий в цепи ток равен нулю, так как один из траниторов находится в закрытом состоянии. Поэтому КМОП-схема потребляет энергию от источника только в момент переключения. На основе КМОП-схемы созданы микрокалькуляторы и микро-ЭВМ, имеющие рекордно низкое потребление мощности — доли микроватта. Такие микро-ЭВМ могут питаться от фотоэлемента, для работы которого достаточно света нейркой настолько лампы.

46

Программирование на микрокалькуляторе: простейшие программы

Кандидат физико-математических наук Л. Ф. ШТЕРНБЕРГ

В этой статье, предложенной для девятиклассиков, рассказывается, как транслировать (переводить) простейшие (линейные) программы, написанные на учебном алгоритмическом языке, в которых программирование микрокалькулятора (ВЗ-34, МК-56, МК-54). Таким образом, если у вас есть доступ к такому микрокалькулятору, статья поможет вам связать школьный курс информации с практикой программирования.

Работа калькуляторa. У вас в руках программируемый микрокалькулятор. Можно ли считать его вычислительной машиной, путь маленькой? Давайте посмотрим.

— Память, способная хранить программу, и данные есть? — Да.
— Процессор, способный без временательства человека автоматически выполнять заложенную в память программу и обработывать данные, есть? — Да.
— Устройство ввода есть? — Да, клавиатура.
— Устройство ввода есть? — Да, индикатор.

Итак, калькулятор — это ЭВМ. Разумеется, маломощная и низкоскоростная, но все же позвольшая выполнять довольно серверные расчеты и, что для нас само главное, позволяющая хорошо понять, что процессит в любой ЭВМ — и больше, и малой. Вот поэтому мы и заявем программированем калькуляторa. Только как его программровать, если он не понимает нашей алгоритмического языка, а понимает только команды, подаваемые нажатем клавиши? Значит, надо научиться переводить алгоритмы с удобной для нас записи в команды калькуляторa.

Из чего же состоит и что имеет сам калькулятор? Его структура*) показана на рисунке 1. Пока обратим внимание на 14 резистров памяти, где будут хранить данные; они имеют номера 0,1…9, a, b, c, d (цифр не хватило — взял ли буквы); а также на два операционных регистра X и Y — именно над содержимым этих резистров выполняются операции. Прочее регистра нас показ не интересют. «Лампочки», подсоединенные к регистру X, ознакомют, что содержимое X вывлечивается на индикаторe.

С инструкцией к калькулятору вы, конечно, уже ознакомились, с инженерным (непрограммируемым) калькулятором вы тоже знакомы, поэтому описывать назначение клавиш и отдельные операции мы не будем**). Попродуем поработать.

Даны три стороны треугольника a=3, b=4, c=5 и надо вычислить по теореме косинуса угла, лежащшего против стороны a.

(Формула: cos a = $\frac{a^2+c^2-b}{2bc}$). Включаем калькулятор и работает с ним в автоматном режиме, то есть как с обычными инженерным калькулятором: нажимем клавиши, а калькулятор выполняет действия:

| Класс | Инд. | Комментарии |
| :— | :— | :— |
| 3 | 3 | заносим значение a=3 |
| П 0 | 3 | в Р0 (регистр 0) |
| 4 | 4 | заносим значение b=4 |
| П 1 | 4 | в P1 |
| 5 | 5 | заносим значение c=5 |
| П 2 | 5 | в P2 |
| Fx² | 25 | возводим значение c в квадрат вызываем значение b в X (c² при этом уходит в Y) |
| Fx² | 16 | возводим b=4 в квадрат |
| + | 41 | получаем b²+c² |
| ИП 0 | 3 | вызываем значение a в X (предыдущий результат — в Y) |
| Fx² | 9 | получаем a² |
| — | 32 | получаем значение числителя и запоминаем его в P4 |
| 2 | 2 | начиная вычислять 2·b·c |
| ИП 1 | 4 | …
| × | 8 | …
| ИП 2 | 5 | …
| × | 40 | вычислили 2·b·c |
| ИП 4 | 32 | вызываем числитель в X |
| X→Y | 40 | меняем местами X и Y (делить нужно на знаменатель) |
| ÷ | 0.8 | получаем результат |

• (Изложение ведется применительно к модели ВЗ-34, МК-56, МК-54).

**(См. «Нуки и жизнь» № 2, 4, 6, 8, 10, 12 (1984), № 2, 4, 6 (1985), «Техника — молодежи» № 3 (1985) и др.)

47

Рис. 1.

Теперь, нажав клавии B/O, F, ПРГ, переведем калькулятор в программиный режим (на индикаторе при этом загорятся два нуля на месте порядка числа), а затем нажем те же самые клавии в той же последовательности, добавив в конец нажатие клавии C/П (зачем она нужна, обьясенно далее). Теперь нажатие клавии будет производить совсем другой эффект: калькулятор не выполняет нужные действия, а запоминает их. Для этого у него имеется специальная память под команды, состоящая из 98 ячеек, пропуверованных от 0 до 97 и счетчик адреса, содержащий номер той ячейки, в которой будет записано очередное действия (см. рис. 1). Клавиией B/O (возврат к нулю) в счетчик адреса записывается ноль — его-то мы и видим на индикаторе после перехода в программиный режим. Нажатие клавии (или пары клавии), которое в автономном режиме вызывало выполнение действия, теперь вызывает запись числового кода этого действия (команды) в ячейку памяти и увеличение счетчика адреса на единицу. Текущие значения счетчика адреса и последние три команды видны на индикаторе. Итак, наш последовательность действия, превращенная в команды, оказывась в пары клавилятора и представляет собой программу для калькулятора. Ее можно прочитать и при необходимости исправить ошибки — как это сделать, хорошо описано в инструкции к калькулятору.

Нажатем F, ABT вернем калькулятор в автономный режим. Нажав B/O, запесем ноль в счетчик адреса (этот ноль на индикаторе мы не видим, но в счетчик он запесется). Теперь будет нажатать клавишу ПП. Каждый нажатие вызывает выполнение одной команды из пары калькулятора — а именно той, адрес которого находится в счетчике адреса; после этого значение в счетчике увеличивается на единицу и при следующем нажатии будет выполнять следующая команда, на индикаторе будет последовательно вывлечаться те же значения, которые приведены в таблице. После 22-го нажатия увидим результат — 0.8.

Таким образом можно проверить программу, но так выполнять ее должно. Для выполнения программы указывать есть третий режим — автоматический. Нажем B/O, запесем в счетчик адреса ноль, и нажем клавии C/П (Стоп/Пуск). Теперь калькулятор также будет выбирать из пары по одной команде, выполнять их и увеличивать значение счетчика адреса, но уже не будет оставаться после каждой команды. Результаты на индикаторе будут мгать так быстро, что рассмотреть их нельзя. Для того чтобы увидеть конечный результат, надо оставить автоматический работу — для этого мы и записали в конец программы команду C/П — при ее выполнения калькулятор переходит из автоматического режима в автономный и можно посмотреть результат.

Итак, наш исполнитель — микрокалькулятор — может работать
— в автономном режиме, исполнитель команды по мере их подачи с клавиатуры;
— в программином режиме, запоминаная подаваемые с клавиатуры команды;
— в автоматическом режиме, выполняя в память команды.

48

Переходы из режимы в режимы поляются с помощью класси F, ПРГ, АВТ и СП так, как показано на рисунке 2.

Программируем линейный алгоритм. Наш исполнитель понимает весь своеобразный язык — язык нажатий класси, для нас более удобна и привчена запись на алгоритмческом языке (см. «Квант» 1985, № 9, 10). Чтобы успешно программировать классилятор, нам надо научиться переводить программу с алгоритмческого языка на язык класситора — как говорят профессиональные программы: транслировать ее в код класситора (от англ. translate — переводить). Вообще-то говоря, современная ЭВМ понимает весь своеобразный код, но у нее есть свой «встроенный» транслятор, переводящий программу с языка программирования на ее код. Для класситора это придется делать вручную.

Запишем нашу программу на алгоритмческом языке.

алг КОСИНУС
(вещ a, b, c, k)
apr a, b, c
рез k
нач веш k
k := b² + c² - a² / 2bc

кон

Сформируем теперь правила перевода (трансляции).

1. По службному слову веш (других типов переменных у класситора нет) распределим регистры памяти под переменные, записывая в таблицу, какой регистр соответствует данной переменной.

2. Для запроса значения класситора должен оставаться и подождать, пока человек наберет нужное значение, затем запустится его в соответствующей регистр, затем подождать следующего значения и т. д. Таким образом,apr программается последовательностью команд засылки в памяти, разделенных командами C/П.

3. Присваивание программыруется оченьным образом.

4. Если заслуженным словомрезледует лишь один параметр, рез транслировать нет необходимости. Если же таких параметров несколько, то в конце программы, перед словом кон, нужно программировать вывод этих параметров последовательностью команд вызова на регистр X вы-

водимых значений, за каждой из которых стоит команда C/П, пристававливающего вычисления.

5. Кон программируется командой C/П.

Отметим, что в программе может оказаться несколько команд C/П. При переходе в автоматный режим по команде C/П в счетчике адреса находится адрес следующего команды (это можно проверить, нажав F, ПРГ, то есть перейдет в программиный режим, когда значение счетчика адреса видно на индикаторе, затем надо будет вернуть в автоматный режим, нажав F, ABT); если теперь нажать C/П, то начинает выполнять та команда, адрес которого находится в счетчике адреса, то есть следующего за C/П — вычислениянойой дальше.

Оттраслируем нашу программу.

Адр Код Ком

a — P0
b — P1
c — P2
k — P3

00 40 П0
01 50 C/П
02 41 П1
03 50 C/П
04 42 П2

05 61 ИП 1
06 22 F x²
07 62 ИП 2
08 22 F x²

09 10 +
10 22 F x²
12 11 —
13 44 П4
14 02 2

15 61 ИП 1
16 12

17 62 ИП 2
18 12
19 64 ИП 4
20 14 X↔Y

21 13 ÷

алг КОСИНУС
вещ a, b, c, k)
алг a, b, c
рез k

[Затем вводим a, b, c.] [Перед первой засылкой можно не ставить C/П (перед русом программы классилятор в автоматном режиме), надо набрать значения a и нажать C/П]
k := (b² + c² - a²)/(2bc)
[Работаем строго по формуле: вычисляем значение b², затем c², складываем, и т. д.]
[Понятно, что результат мы получим, но можно это сделать быстрее: после ввода в регистре X осталось с его можно сразу использовать.] [Можно сконкомить несколько команд, если считать, так: k := (b² + c² - a²)/2/b/c и программировать значение на 2, затем на b и наконец — на c.]
Получаем результат. кон Не забудьте выключить классилятор!

Итак, работает по чисто форматным правилам, мы получим программу для класситора, но она не будет оптимальной. С одной стороны, по (Окончание см. на c. 57)

49

Законы Кеплера и школьная физика

Кандидат физico-matематических наук
В. Е. БЕЛОНУЧКИН

На примениях экзаменах в некоторых вызывных направлениях в Московский физico-технический институт, а также на школьных физических олимпiadах передко встречаются задачи, в которых требуется рассмотреть движение планет (или их спутников) и определить соответствующее параметры их орбит. Большую помощь в решении таких задач может оказать знание законов Кеплера, с которым изучается знакомятся в школьном курсе астрономии.

Вспомним законы Кеплера.

I закон: каждая планета обращается вокруг Колнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Колнце.

II закон: радиус-вектор планеты за одиноковые промежутки времени описывается площади.

III закон: квадраты перiodов обращения двух планет вокруг Колнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Если центральным «светилом» является не Колнце, а, например, Земля (или иная планета) и нас интересует движение ее спутников, также можно пользоваться закономи Кеплера. Над простой Колнце заменить на Землю, а планеты — на их спутники.

В этой статье мы рассмотрим несколько задач, решения которых предполагает знание законов Кеплера. Попутно вспомним и другие, в частности количественные, сведения из астрономии; они тоже могут оказаться полезными при выяснения параметров орбит планет, комет, спутников.

---

Ровно четверть века назад, 12 апреля 1961 года, человек, говоря с вами К. Э. Циолковского, «вышел из колыбели» в Космос. Юрий Гагарин, первый космонавт Земли, на космическом корабле «Восток» совершил один оборот вокруг Земного шара. Помните ли вы продолжительное этого полета? Если нет, то не можете ли расчитать ее?

Задача 1. Какова минимальное возможная продолжительность полета спутника вокруг Земли?

В силу III закона Кеплера полезен в вокруг Земли, требующий наименьшего времени, должен проходить по эллипсу с минимальной большей полуосью. Очевидно, что таким эллипсом является окружность (эллипс с совпаданием фокусами), примыкающая к поверхности Земного шара.

Продолжительность полета можно вычислить различными способами. Мы выберем, может быть, не самый простой метод, но это такой, который неисредственно использует законы Кеплера.

Вспомним, что естественный спутник Земли — Луна — совершает один оборот за время (звездный месяц) $T_{\text{Л}} = 27,3$ сут=2,36·10⁶ с. Средний радиус орбиты Луны $r_{\text{Л}} = 3,84 \cdot 10^5$ км, радиус Земли, а следовательно, и радиус «самой быстрой» (по времени) траектории спутника $R_3 = r_{\text{min}} = 6,38 \times 10^3$ км. Остается подавить эти данные в выражение III закона Кеплера

$$\frac{T_{\text{min}}^2}{T_{\text{Л}}^2} = \frac{r_{\text{min}}^3}{r_{\text{Л}}^3},$$

и мы найдем

$$T_{\text{min}} = T_{\text{Л}} \left( r_{\text{min}} / r_{\text{Л}} \right)^{3/2} \approx 5,06 \cdot 10^3 \text{с} = 84 \text{мин} = 1 \text{ч} 24 \text{мин}.$$

(Заметим, что полет Ю. А. Гагарина продолжался 1 ч 48 мин, то есть коабль «Восток» сделал часть более одного витка.)

Конечно, расчет параметров круговых орбит — дело сравнительно несложное. Мы могли бы, например, воспользоваться значением перой космической скорости для спутника, запускаемого с Земли, и, зная радиус его орбиты, вычислить период. Но когда приходится записаться действительно эллиптическими орбитами, имеющими заметный эксцентриситет, нас могут выручить только законы Кеплера.

Задача 2. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите ра-

50

Рис. 1.

дцусом $R + 3R_3$ (рис. 1). В результате кратковременного действия тормозного движения скорость спутника уменшила так, что он перешел на эллиптическую орбиту, касающуюся поверхности Земли. Через какое время после торможения спутник прземлится?

До приземления спутник должен пройти поливну эллиптической траектории, большая полусьтой которого, как нетрудно видеть, равна $2R_3$. Искомое время торможения $\tau$ можно найти непредставлено из III закона Кеплера, если использовать результаты предыдущего задачи:

$$\frac{(2\tau)^2}{T_{\min}^2} = \frac{(2R_3)^3}{R_3^3},$$

$$\tau = \frac{1}{2}T_{\min} \cdot 2^{3/2} = \sqrt{2}T_{\min} \approx 7,1 \cdot 10^3\text{c} \approx 119\text{мин} \approx 2\text{ч}.$$

В этом году окрестности Солнца посещает, пожалуй, самая знаменитая комета солнечной системы — комета Галлея. Впервые учены смогут наблюдать ее не только с помощью прибора, расположенных на Земле: на свидение с кометом советская космическая ракета несет созданную международным коллективом ученых автоматического станцию «Вега» (она посетит ВЕНеру и комету ГАЛлея). Учены постараются как можно подробнее изучить во многом еще загадочную страницу космоса (программа исследования очень общирна) — ведь следующая встреча состояния только через 76 лет!

Давайте и мы проведем небольшое «исследование» кометы.

Задача 3. Minimalное расстояние кометы Галлея от Солнца $r_{\min} = 0,6$ а. е. (1 астрономическая единица=1 а. е.=1,5·10^8 км — радиус земной орбиты). Зная период обращения кометы $T=76$ лет, найдите, насколько далеко она уходит от Солнца.

Мы недаром выбрали в качестве единцы времени год, а единцы длины — расстояние от Земли до Солнца. Ведь проще всего параметры орбиты кометы сравнить с параметрами орбиты Земли.

Из III закона Кеплера найдем большую полусьтую орбиты кометы Галлея $a$:

$$a = a_3 \left( \frac{T}{T_3} \right)^{2/3} = r_0 \left( \frac{T}{T_0} \right)^{2/3} \approx 17,9 \text{ а. е.}$$
($r_0=1$ а. е., $T_0=1$ год). Тепер нетрудно определить максимальное удаление кометы от Солнца:

$$r_{\max} = 2a - r_{\min} \approx 35,2 \text{ а. е.} \approx 5,3 \cdot 10^9 \text{ км}.$$

Задача 4. Используя сведения из задачи 3, оцените максимальное и минимальное скорости кометы Галлея.

Перигелиой орбиты кометы во много раз близке к Солнцу, чем афейний. Следовательно, мы не допустим большой ошибки, если будем считать, что в близки перигелия комета движется не по эллиптической, а по параболической орбите. Это означает, что в перигелия скорость кометы равна так называемой второй космической скорости (или параболической скорости) относительно Солнца, то есть той минимальной скорости, при которой комета может предодеть гравитационное прияжение Солнца.

Известно, что вторая космическая скорость $v_{\text{II}}$ в $\sqrt{2}$ раз больше перой космической скорости $v_1$, вычисленной для того же расстояния от центра прияжения.*) Значит, нам надо знать первую космискую скорость для расстояния $r_{\min} = 0,6$ а. е. от Солнца. А вычислить ее можно с помощью законов Кеплера, использую в качестве ориентира Землю и знания, что скорость движения Земли по орбите равна $v_0 = 30$ км/с (если вы не помните это значение, его можно вычислить, поделив длину орбиты на продолжительность периода обращения).

Тепер несколько преобразуем выражение III закона Кеплера — выразим период обращения через скорость и радиус:

*) С выводом этого соотношения можно познакомиться, например, по статье В. В. Можаева «Закон всемирного тяготения» («Квант», 1980, № 3). Там же можно найти метод строгого расчета интерсуциных нас скоростей и с его помощью убедиться, что мы ошиблись совсем немного.

52

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. Решите уравнение
   $$6 \cos x - \frac{1}{3} = \sqrt{32 \cos x - \frac{17}{9}}.$$

2. Решите неравенство
   $$\frac{1}{x-1} + \frac{3}{|x|+1} \geq \frac{1}{|x|-1}.$$

3. Некоторые окружности касаются прямых AB и BC соответственно в точках D и E. Точка A лежит между точками B и D, а точка C — между точками B и E. Найдите площадь треугольника ABC, если длины сторон AB и AC соответственно равны 13 и 1, а точки A, D, E и C лежат на одной окружности.

4. Из трех значений p:0,24π; 0,26π; 0,6π — найдите те, при которых уравнение
   $$\left( \frac{p-5x}{\pi} + \log_3 \frac{3p}{\pi} \right)(6 \sin (p-x) - \sqrt{18}) = 0$$
   имет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 0 < x < π/3.

5. На плоскости a, проходящей через центр шара радиуса R, задана окружность с центром O₁ и радиусом r₁, расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точки A, принадлежащей шару и удаленной от плоскости a на расстояние R. Множество отличных от A точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью с центром O₂ и радиусом r₂. Найдите расстояние от точки O₂ до плоскости a, если расстояние между точками A и O₁ равно a.

Вариант 2
(факультет вычислительной математики и киберnetики)

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 6x - 2 \cdot 3y = 2, \\ 6x \cdot 3y = 12. \end{cases}$$

2. В трапеции PQRS длина основания QR равна 10, длина диагонали QS равна 19, а величины угла QSP равна 30°. Выясните, что больше: длина основания QR или длина стороны RS.

3. Решите уравнение
   $$4 - \cos[2\pi (13x+9)^2] = 5 \cdot \sin[\pi (13x+9)^2].$$

4. Решите неравенство
   $$\frac{2 \log_{1-3}|x|(42x^2 - 14|x|+1)}{\log_{1-3}|x|(x - \frac{5}{6})^2} \leq 1.$$

5. Найдите все трейки чисел x, y, z, удовлетворяющие уравнению
   $$\sqrt{\frac{3}{2} x^2 - 2y^2 + 2z^2 + 10z + 6y + \frac{\sqrt{3}}{2} x - 17} + \sqrt{3x^2 - 2\sqrt{3} (\cos \pi y + \cos \pi z)} x + 4 = 0.$$

6. Все ребра tetraэдра ABCD имеют равную длину. На ребрах AB, AC и AD выбраны, соответствующие точки K, L, M так, что длина отрезка KB равна 15, а длина отрезка MD равна 10. Известно, что радиус шара, вписанного в tetraэдр ABCD, равен $\frac{5}{2} \sqrt{6}$, а объем пирамиды AKLM равен 375 $\sqrt{2}$. Найдите сумму радиусов двух шаров: вписанного в пирамиду AKLM и описанного около нее.

Вариант 3
(химический факультет)

1. Решите уравнение
   $$4 (\sin 6x + \sin 4x) = \cos x (4 \sin^2 5x - 5).$$

2. Решите неравенство
   $$5^{2x} - \frac{1}{3} x^2 < 5^{2x} - 2x (\sqrt{3}^5) x^2 + 24.$$

3. На координатной плоскости xOy рассматривается треугольник ABC, у которой вершина A совпадает с началом координат, вершины B и C лежат соответствующим на параболах y = 3x² - 10x + 2 и y = -2x² + 5x - 10, сторона BC параллельна оси ordinate, а абсцисса вершины B придлежит отрезку $\left[ \frac{3}{5}; \frac{3}{2} \right]$.

Какое значение должно иметь абсцисса вершины B, чтобы площадь треугольника ABC была наиболее?

4. Высота пирамиды равна 2, основание пирамиды есть ромб, площадь которого равна 8, а величины острого угла равна π/6. Некоторые шарка касается плоской боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что прямая, соединяющая вершину пирамиды с центром шара, проходит через точку пересечения диагональной ромба. Найдите объем шара.

5. Решите систему
   $$\begin{cases} 2x + y + \log_2^3 (|y| - 2x + 5) - 20 = 0, \\ (2x + y)^2 - 7(2x + y) \log_2 (|y| - 2x + 5) - 8 \log_2^3 (|y| - 2x + 5) = 0. \end{cases}$$

Вариант 4
(блюлозческий факультет)

1. Решите уравнение
   $$\frac{1 - x}{(2 - x)(x - 3)} + 1 = \frac{1}{2 - x}.$$

2. Найдите все корни уравнения
   $$3 \cos 2x - 5 \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 1,$$

принадлежите отрезку [π; 2π].

3. Решите неравенство
   $$\frac{1}{\log_5(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_5(3 - 2x)} < 0.$$

4. На гипotenuse LM прямогоугольника LKM лежит точка N. На прямой LM взята точка P так, что точка M находится между точками N и P, а угол NKP прямой. Найдите площадь треугольника NKM, если известно, что площадь треугольников LKM и NKP равны a и b соответствственно, а величины угла LKP равна φ.

5. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение
   $$8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1$$
   Вариант 5
   (факультет почтоведения)
6. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 7\cdot 2^x+6y=2, \\ 3\cdot 2^{x+1}-5y=93. \end{cases}$$
7. Решите уравнение
   $$\lg(9-x)=-2\lg\left(\frac{1}{x+3}\right).$$
8. Найдите все корни уравнения
   $$\cos x+(1+\cos x)\mathrm{tg}^2x-1=0,$$
   удовлительющие неравенству tg x > 0.
9. Через точку D основания AB равноведенного треугольника ABC проведена прямая CD, пересекающая описанную окол треугольника ABC окружность в точке E. Найдите длину отрезка AC, если длина хорды CE равна 3 и длины отрезков DE и DC равны.
10. Пусть x=x₀ — больший из корней уравнения
    $$x^2+(3ab+3a-2)x+5ab+5a-17=0.$$
    Найдите наиболее значение x₀ при a ≥ 1, b ≥ 0.
    Вариант 6
    (отделение геолозии геолозического факультета)
11. Определите, что больше:
    $$2^{\log_35}-0, 1 \text{ или } 5^{\log_32}.$$
    Результат обосновyte.
12. Решите уравнение
    $$\frac{|x-2|}{|x-1|-1}=1.$$
13. Первый рабочий изготовил 60 деталей на три часа быстрее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если работа вместе, они изготовят за один час 30 деталей?
14. Решите уравнение
    $$5\sin^2x-4\sin x\cos x-\cos^2x=4.$$
15. Решите уравнение
    $$\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}.$$
16. Дан куб ABCDA’B’C’D’ с ребром длины 4. На середине ребра BC взята точка M, а на ребре A’D’ на расстоянии 1 от вершины A’ взята точка N. Найдите длину кратчайшего пути между точками M и N по поверхности куба.
    Вариант 7
    (отделение геофизики геолозического факультета)
17. Определите, что больше:
    $$3^{\log_25}+10^{\frac{1}{3}\log_{10}2} \text{ или } 5^{\log_23}+10^{\sqrt{10}}.$$
    Результат обосновyte.
18. Решите неравенство
    $$\frac{|x-2|}{|x-1|-1} \ge 1.$$
19. См. вариант 6, задача 3.
20. Решите уравнение
    $$3\sin x+5\cos x=\sqrt{17}.$$
21. Решите уравнение
    $$\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}.$$
22. Конус врачается вокруг оси — прямой, перпендикулярной его высоте и проходящей через вершину. Найдите площадь сечения полученного тела врашения плоскостью, проходящей через ось врашения, если длина образующей конуса равна 5, а длина высоты равна 4.
    Вариант 8
    (географический факультет)
23. Решите уравнение
    $$4\sin x+\cos 2x=1.$$
24. Решите неравенство
    $$\log_x(3-x)>1.$$
25. Две реки с прямолинейными русами и одинаковой скоростью течение падают в одном и том же месте в озеро, образуя между собой угол в 60°. От двух прицелов, расположенных на разных реках и отстоящих друг от друга на расстоянии 28 км, одновременно вышли байдарка и лодка, скорости которых в стоячей воде соответствно равны 10 km/ч и 3 km/ч. Байдарка достига озера через 2 ч, а лодка — через 4 ч. Найдите скорость течение рек.
26. Величины углов P, Q, R треугольника PQR составляют аргументической прогрессию с разностью (-2π/9). Виссектрисы этого треугольника пересекаются в точке S. Точки P’, Q’, R’ находятся на отрезках SP, SQ, SR соответственно на одинаковом расстоянии от точки S. Докажите, что величины углов P’, Q’, R’ треугольника P’Q’R’ также образуют аргументической прогрессию. Найдите ее разность.
27. Найдите все числа b, удовлетворяющие условию -1 ≤ b ≤ 1, для которых выражение 1-2√4x²+4bxy+y²+8y+18 принимает наиболее значение лишь при одной паре чисел x, y.
    Вариант 9
    (отделение политической экономии экономической факультета)
28. Найдите все решения неравенства
    $$\frac{4x-1}{3x+1} \ge 1.$$
29. Решите уравнение
    $$2\sin x=3\mathrm{ctg}x.$$
30. Укажите все a, при которых уравнение $\log_2x+\log_a x+\log_4 x=1$ имеет решения и найдите эти решения.
31. Найдите наиболее значение функции
    $$y=\frac{2x^2+x+1}{3x^2-x+2}.$$
32. Из пункта A в пункте B вышел пешек. Не позже, чем через 40 минут след за ним вышел второй. В пункте B сначала пришел один пешек, а другой достит B не равше, чем через после этого. Если бы пешек вышли одновременно, то они приближены бы в пункте B с интервалом не более, чем в 20 минут. Определите, сколько времени требуется каждому пешеку на путь от A до B, если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.
33. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка E — пересечение диагоналей. Известно, что площадь каждой из треугольников ABE и DCE равна 1, площадь всего четырехугольника не превыходит 4, |AD|=3. Найдите сторону BC.