Квант 1986, №3 · Страницы

КВАНТ
3
1986

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы

В HOMEPE:
2 А. Б. Миддал. Как устроена пустота?
10 Н. П. Долбилин. Пик Делоне

IN THIS ISSUE:
9 Our calendar
Dominique François Arago

Matematический кругхок
17 Д. К. Фаддеев, И. Ф. Соколовский. О касательной к графику функции

Mathematics circle
D. K. Faddeev, I. F. Sokolovski. About tangents to graphs of functions

Школа в «Кванте»
21 Физика 8, 9, 10
24 Избранные школьные задачи

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Selected school problems

«Квант» для младших школьников
25 Задания
26 Л. Кэрролл. Королевскийрокет

Kvant for younger school children
Problems
L. Carroll. The King’s croquet

Заданияк «Кванта»
30 Победители конкурса
«Кванта»
31 Задания M971—M975; Ф983—Ф987
33 Решения задачи M951—M955; Ф963—Ф967
42 Список читателей, приславших правильные решения

Kvant’s problems
Prizewinners of the Kvant problem-solving contest
Problems M971—M975; P983—P987
Solutions M951—M955; P963—967
List of readers who have sent correct solutions

Искусство программирования
45 В. В. Рождественский, С. Г. Хлебутин.
Programmiрование на микрокалькуляторе: ветвление и цикл

The art of programming
V. V. Rojdestvenski, S. G. Khlebutin.
Programming our pocket calculator: branching and cycles

Полупроводниковые элементы вычислительной техники
48 VII. Элемент памяти — триггер

Semiconducting elements in computers
VII. Memory elements — triggers

Практикум абитуриента
51 В. М. Беккер, В. М. Гольховой, Ю. И. Ионин.
Уравнение касательной

College applicant’s section
B. M. Bekker, V. M. Golkhovoy, Yu. I. Ionin.
The tangent’s equation

Вариantsы вступительных экзаменов

Entrance examination problems

Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (50)
Наша обложка (8)
Шахматная страница
Головоломки в шахматной партии
(3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Kvant smiles (50)
Our cover page (8)
The chess page
Chessgame puzzles
(3rd cover page)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1986

2

«Интуция подсказывает человеку, что все должны быть связано в природе, что красота окружащего имеет высший и танистенный смысл. Разделать задаки Вселенной, познать непозначенное признаю научное творчество». Эти слова приладлежат выдалочему физиотериторку академик Аркадий Венедиктович Миддалу, внесему значительный вклад в развитие квантовой теории, теории лдра, физики элементарных частиц. А. В. Миддал уделяет большое внимание популяrizация научных знаний. В своих книгах он рассказывает о достижениях современной физики,водит читателя в мир научного творчества,дает почувствовать то, что называют «поззей научки».
Сезодня мы знакомим наших читателей со статьей А. В. Миддала, посвященной задакам пустоты.

Как устроена пустота?
Академик А. В. Миддала

Речь пойдет о том, как изменились наши представления о самом пространном во Вселенной и, быть может, самом важном объекте физических исследований — пустоте.

Что такое пустота: абстрактное понятие, «ничего», вместе с другими физическими тел?

Что остanetся, если идеальный насос удалит из замкнутого объема все частицы?

Что находится в международном пространстве, где почти нет вещества?

Развитие физики последних десятилетий показало, что нашей физической пространство — вакуум — не просто геометрический объект, не пространство, в котором ничего нет, а сложная система, обладающая интерсейшми свойствами, совершенню непохожими на свойства твердых сред, жидкостей или газов; его изучение касается самых глубоких понятей, таких, как причинность, связь геометрии с материей, симметрини пространства и времени, связь симметрии с закономи сохранения…

Нельзя толкнуть, не прикасаясь

Мы знаем, что тела действуют друг на друга при соприкосновении. Бросим в воду камень — от него побежит волна и вскользнет плавающие ветки — воздействие передается от точки к точке. Звук распространется потому, что давление передается от одного объема среды к соседнему, и т. д. Если накрыть звучащий электрический звонок стеклянным колпаком и откачать воздуха, то видно, как по-прежнему молоточек ударят по колокольчику, но звук исчезает — в пустом пространстве звук не распространется. В то же время перiod колебаний мятника, помещенного под колпак, не изменяется при удалении

3

воздуха (если пренебречь тренем); значит, не изменяется и сила тяжесте.

В отличие от сил, возникалоших при распространении звука, электрические и магнитные силы, гравитация действия и в пустоте, в ней распространяется свет, поэтому мы видим Солнце и звезды.

Естественно предположить, что в пространстве больши магниты, больши заряженного или массивного тела состояние пустоты изменяется. Пространство, окружающей эти тела, находится в «напряженном» состоянии, которое описывает словами: «в пространстве имеет поле». Заряды создают электрическое поле, магнит — магнитное, массивное тело вызывает гравитационное поле. Электрическое поле действует на заряженное тело, магнитное — на магнит, поле силы тяжесте — на камень, заставляя их движаться. Изменение скорости этих тел объясняется действием поля в той области пространства, где в данной момент времени они находятся. Сила передается через пустое пространство от точки к точке с помощью полей, как через невидимую жидкость. Такой механизм передачи воздействия называется близкодействием и приятот совершенной физикой.

Но существовало и другие представления — «дальнодействие»: влияние одного тела на другое мгновенное передается на расстояние. На основе этого взгляда Ньюотон построил свою теории тяготения. Предположение о мгновенной передаче воздействия не помещало ему найти закономерности движения небесных тел, с огромной точностью совпадающее с данными наблюдений. Сейчас мы знаем, почему: небесные тела движутся со сравнительно малыми скоростями, а гравитационное взаимодействие распространяется со скоростью света и может считаться в этом случае мгновенным.

Идею дальнейтия трудно согласовать со свойством света: было известно, что свет распространяется с конечной скоростью и проходит все промежутные точки на линии светового луча. Особенно хорошо это видно, когда луч света проходит в тумане — он непрерывен. Ньюотон предположил, что светшееся тело испускает частицы, передающие свет, — корпусклы. Тогда конечность скорости не противает идее дальнейтия, но остая без обяснения волновые свойства света, доказанные опытами по интерференции и диффракции. Корпускулярная теория Ньюотона так и смогла справиться с обясением этих явлений.

Через действия с лишним лет после Ньюотона, в 1905 году, появился замечательная работа Эйштейна по квантовой природа света. Эйштейн показал, что обнаруженные экспериментально закономерности фотоэфекта (вырывние электронов из.atoma при облучении) можно объяснить, только предположив, что свет представляет собой набор частиц — фотонов, которые взаимодействуют с электронами, выбрасывают их из атомов. (О факtonах мы подробнее поговорим позже.) Представление о свете как о волне не могло обяснить главную особенность фотоэфекта — энергия вылетающего электрона не зависит от интенсивности света, а только от его частицы.

В некоторых случаях зреня Эйштейна ознакомлена в ньюотонской теории корпускул. И снова возникли вопросы, на котором не смогетить Ньюотон: как объединить оба представления — о волновой и о корпускулярной природа света? Возниквали парадокс, который был разрешен квантовой теории, доказавшей, что свет — и волна, и частица, так же как электрон — и частица; и волна! Это представление получило название «квантово-волнового дуализма».

Сейчас нам известно, что в пустоте все взаимодействия — электрическое,

Возникк важный парадокс, который был разрешен квантовой теории, доказавшей, что свет — и волна, и частица…

4

магнитное, гравитационное, ядерное — передаются от точки к точке скоростью, не превышают скорость света. Если одно тело передвинуть, должна измениться слая тяготения, действующая с его стороны на другое тело. Но если это другое тело находится дальше от первого, то пройдет заметное время, прежде чем оно получит воздействие. Где же находится возмущение, когда первое тело уже перемещалось, а второе еще не имеет сведений о его новом положении?.. На этот вопрос теория дальнействия не могла ответить, и многие физики отказались от нее еще в прошлом веке.

Для объяснения передачи воздействия на расстояние была придумана специальная среда — эфир, заполняющая все пространство между частицами вещества. Воздействие передается за счет того, что вокруг заряженных или намагниченных тел эфир деформируется, и возникает сила, действующая на другой заряженное или намагниченное тело. Деформация эфира передается последовательно — от точки к точке. Свет распространяется в нем так же, как звук в среде.

Вплоть до начала XX века физики пытались строить эфир по образу и подобию известных твердых и жидких тел, а его нужно было изучать самого по себе. Это — среда особого рода. Следствием неверного представления о природе пустоты было возникновение интереснейших парадоксов, разрешение которых приводило к созданию новых физических теорий.

Электromagнитные свойства пустоты

Джеймс Максвелл своим удивительным уравнениемми, найденными в 1865 году, объединил различные разделы физики: оптику, электричесво, магнетизм.

Начало на этом пути было положено его могуим представлением Майклом Фарадем, открывшим в 1831 году закон электromagнитной индукции. Если изменять магнитное поле, произвольношее проводное колюцо, то в проводнике возникает электрический ток — заряды в нем начают двигаться под действием образущегося в пространстве колюцого электрического поля. Итак, переменное магнитное полерождает в пустоте переменное электрическое.

Еще в 1820 году другой предшественик Максвелла Ханс Эрстед обнаружил, что ток, текущий по проводнику, создает вокруг себя колюцевое магнитное поле! Если периодически изменять направность электрического поля в проводнике, возникает переменный ток и переменное магнитное поле. Максвелл высказал генiallyную догадку о том, что не только движущся заряды создают магнитное поле, его образует и само переменное электрическое поле.

Из этих двух замечательных свойств пустоты последовательно треться, не менее важное — в пустоте распространяется электromagнитные волны. Когда влизывает переменное электрическое поле, оно образует вокруг себя, согласно Максвеллу, переменное магнитное поле, а магнитное — по закону Фарадея — создает уже в соседнем месте переменное электрическое… Так возникшее передается все дальше и дальше.

Из уравнении Максвелла следовало, что электromagнитные колабания должны распростраться со скоростью света. Существование электromagнитных волн было экспериментально доказано Генрихом Герцем в 1886—1889 годах. Естественно было прийти к заключению, что свет — тоже электromagнитная волна. Это предположение было проверено и подтверждено опитом.

Как абстрактно выглядел эти представления во времени Максвелла!

5

И как быстро они стали основой почти всех благ современной цивилизации: от телефонна и радио до современных средств космической связи — не перечислять всего того, что родилось из опытов в маленьких laboratories прошло века, из смутных договорах великих умов!

Теория Максвелла была триумфом близкодейства: все электромагнитные воздействия передаются через среду — эфир. Но тут же возникли новые противоречия.

Когда в эфире движется тело, движется ли вместе с ним эфир? Эксперименты для противоречивы результаты, некоторые опыты показали частное или полное вовлечение эфира в движение, другие — что эфир вовсе не увлекается движущимся телом. В 1851 году французский физик Арман Физо измерил скорость света в текущей воде и показал, что эфир частично захватывает движущейся средой. Американский физик Альберт Майкельсон в 1881 году измерил скорость света вдоль и поперек направления орбитального движения Земли. Если бы эфир был неподвижен, то скорость света вдоль движения Земли складывалась бы из скорости света в эфире и скорости Земли относительной эфира. Оказалось, что скорость света одна и та же, то есть она не зависит от скорости источника, и если свет действительное распространяется в эфире — значит, эфир полностью увлекается Землей…

Разрешить противоречия эфира предстояло теории относительной эфира.

Эфир умер — да здравствует эфир!

В начале XX века идея близкодейства получила дальнейшее развитие и обоснование в теории относительнойности и теории тяготения Эйнштейна. Оказалось, что не только электромагнитные, но и gravitationные воздействия распространяются в пустоте скоростью света. Скорость света вошла не только в электродинамику, но и механику, и в теории тяготения.

Противоречие между опытом Физо и опытом Майкельсона было снятой новый формулой сложения скоростей, вытекавшей из теории относительнойности, свойства эфира здесь роли не играли. Отпала необходимость в самом понятии эфира, его заменил вакуум —

Скорость света вошла не только в электродинамику, но и механику, и в теории тяготения.

Но в начале новое, как правило, неотменяет старого, старые и новые идеи переплетаются и проникают друг в друга. Далее коренная научная революция не отменяет, а только перестает, переосмыслывает прежнее, устанавливает границы применности найденных ранее соответствий. Судьба эфир — убедительное подтверждение этому.

В начале XX века казалось, что все свойства пустоты объясняются гранитнойми и электромагнитными воздействиями. Но изучение atomных ядер показало, что существуют силы, удерживающие нейтроны и протоны в ядре, — ядерные силы. И с точки зрения близкодейства их тоже нужно рассматривать как особое, направленное состояние вакуума. Вакуум обогатился еще одним свойством.

Когда к электромагнитному полю и к полям, описывающим, например, пары частиц электрон — позитрон, протон — антипротон и так далее, применили квантовую механику, оказалось, что в пустоте проискодят непервывные колбания этих полей,рождаются и исчезают элементарные частицы… При столкновения нужной (нейтронов и протонов) из пустоты возникает цель сон различных частиц. Вакуум полон частицами! Удивительно сложную и интересную среду — вакуум — можно было бы снова назвать эфиром, если бы не возникать путаницы с наиболее понятем XIX века.

6

Квантовая механика
вакуумных полей

Без некоторых минимальных сведений о квантовой механике нельзя составить даже грубую физическую картину явлений, произходящих в вакууме. Поэтому, прежде чем говорить об удивительных свойствах вакуумных полей, нам придется отвлечься и поговорить о том, к каким результатам приводит применение квантовой механики к системе, колеблющимся около положения равновесия. Такие системы часто встречаются в физике и называются осцилляторами. Как бы ни было конкретно устроен осциллятор — будь то магнит, грузик наружке, колебательный контур, — его энергия состоит из двух слагаемых: потенциальной энергии, пропорциональной квадрату ккоторой величины, которое можно назвать «обобщенной координатой», и кинетическая, пропорциональной квадрату скорости изменения этой «координаты». Для грузика наружке «обобщенная координата» — смешение грузика от положения равновесия, для колебательного контура — заряд на обкладках конденсатора. Коэффициент пропорциональнойности в кинетической энергии определяет «обобщенную массу». Мы называем эти величины обобщенными потому, что они не зависит от реализации осциллятора — «координате», как вы видите, совсем не обязательно иметь размерность длины.

Остановим магнит — в положении равновесия его энергия минимальная: и кинетическая, и потенциальная энергия равны нулю. Так ведет себя классический осциллятор. Но вот что получилось, когда к осциллятора применили квантовую механику.

Один из важнейших принципов квантовой механики — принцип неопределенности, сформулированный Вернером Гейзенбергом в 1927 году, гласит: неокоторые физические величины не могут одновременно приводить определенные значения. Именно такимими величины являются «обобщенная координата» и «обобщенный импульс» — произведение «обобщенной массы» на «обобщенную скорость». Продельвая мысленные эксперименты, Гейзенберг пришел к заключению, что чем точнее измерять коор-

Один из важнейших принципов квантовой механики — принцип неопределенности.

динату электрона, тем менее определенным становится его импульс, и наоборот. Это — принципальное ограничение, которое природа накладывает на понятия координаты и импульса.

Когда квантовая механика была применена к осцилляром, сразу стало ясно, что кинетическая и потенциальная энергия квантового осциллятора не могут одновременно равнять нулю: если бы это было так, то должны были бы одновременно быть определены и равны нулю и координата, и импульс осциллятора, а это противоречит принципу неопределенности. Квантовый осциллятор, в отличие от классического, даже в состоянии с нанизшей энергейой не покoitится. Он совершает «нулевые колебания» около положения равновесия.

Это замечательное свойство квантовых осцилляторов хорошо длясовременной физики.

Упругие колебания твердого тела, так же как и колебания струны, описываются набором осцилляторов различных частот. Если учесть, что осцилляторы должны поднять квантовой механике, то получится, что при абсолотном нуле температуры происходит нулевые упругие колебания — а участок твердого тела не неподвижны, а участвуют в «нулевых колебаниях». Это подтвердили опыты по рассеянию света в твердых телах при низких температурах.

Электромагнитные волны в пустоте тоже можно рассматривать как ре-

8

кваны́ы бегущей электромагнитной волны) с разными энергиями и имплусами. В этом и состоянии гипотеза световых квантов, развитая Эйнштейном за 20 лет до того, как она была доказана квантовой электродинамикой.

В результате квантования поля само собой возникло понятие частицы как характеристки возбуждения электромагнитной волны с определенной длиной. Так была решена проблема «дуализма волн-частиц». Удивительная идея — воспринять частицы как квантовые состояния осцилляторов некоого поля — оказалась на редкость плодотворной. Она произвела всю современную теоретическую физику. Поле оказалось первичным понятием. Элементарные частицы возникают в результате его квантования.

Применение квантовой механики к полям, описывающим не фотоны, а другие частицы, например электроны и позитrons или пи-мезоны, приводит к очень пожежему результату. В пустоте существуют нулевые колебания электрон-позитронного,понного и вообще полей всех возможных частиц. Эти нулевые колебания проявляются в том, что в вакууме возни-
кают и исчезают пары «частица — античастица»: электрон — позитрон, нуклон — антинуклон… Вакуум наполнен такими не волне родившимися, образуошимися и исчезающими частицами, они называются «виртуальные» от латинского virtue — «возможность».

Но стоит в вакууме столкнуть двум нуклонами или электрону с позитроном, как виртуальные частицы могут превращаться в реализации — при столкновении роздаются новые частицы.

---

Мы расссказали лишь о малой частиудивительных свойств пустоты. В последнее годы стало известно, что в пустоте под влиянием внешних полей или высокой температуры могут произсодить переходы в другие состояния, подобно плавлению твердых тел. Но самое замечательное — это «нульевые колебания» геометрических свойств пространства, которые, возможно, дают ключ к пониманию связи с другими сил тяготения с другими силами природы.

Однако об этом — в другой раз.

Наша обложка

В «Кванте» уже не раз появлялись стати, содержание которых было наего картинами замечательных художников. В этом номере мы представляем вам еще раз положать картиной И. И. Левиитана «Март» и …решить две задачи, которые художник «сформулировал» своим изобразительными средствами.

Первую задачу мы приведили в Задачнике «Кванта» этого номера — задача Ф987. Ее решение будет опublikовано в июльском номере журнала. А вот вторая задача: какое время дня запечател художник?

9

Доминик Франсуа Араго
Стремясь ревностно к открытиям, он был осторожен в своих выводах и большие всего любил прокладывать новые пути, по которым можно было бы прийти к установлению тождества причини различных явлений.

Александр Гумбольд

26 февраля 1986 года исполнили 200 лет со дня рождения Доминника Араго, замечательного французского ученого, одного из самых популярных людей Франции своего времени.

Араго родился в Эстажеле, крокотном городке в Восточных Пиринях, на границе с Испании. Никакими особими способностями в раннем детстве он не отличался. Приложно посещал начальную школу, мечтая, когда вырастет, стать военным. Затем продолжил обучение в училище соседнего городка Периньяна. Порядки в этом училище не отличались большой стороны, и Араго проводил почти все время за чтением французской классики. Читать он предопчитал сдача на поросшем травой старом городском валу. Здесь-то и произшла встреча, кругто изменившаясь его жизнь и положившаяся наало рождению Араго-ученого.

Однажды Доминик Франсуа увидел официера инженерных войск, произвольшего за старым валом как-то сложные геодезические измерения на местности. Юнош порозила молодость этого официера (они были чуть ли неровесниками). Поскольку застенчивостью Арагоникогда не отличался, он немедленно подошел к официеру и спросил, как ему удалось в таком молодом возрасте получить эполеты. Официер ответил, что получил их по окончини Политехнической школе в Париже.

В тот же день в библиотеке училища Араго разыскал программу экзаменов, которые нужно было сдавать при поступлении в Политехническую школе. Большое мо́дного человека пугала математика — ее он не знал совершенно. Однако страх перед математикой боролся с желанием получить офисерское значение. Мечта стать военным победителем победила, и Араго засел за изучение математики.

Очень скоро он проштудировал все имеющиеся в его распоряжении учебники, но этого было явно недостаочно. Тогда пятнадцатлетний Араго стал читать «взросление» математические книги. В результате за полтора года он продивился в математике настолько, что с блеском сделал дивышияся два с половиной часа вступительного экзамена «самому Монжу»*). Знания Араго отдельных вопросов математики соответствуют к тому времени уровню выпускного курса.

Начались студенческая жизнь, которая длилась три года.

Окончив в 1806 году Школа, Араго становится секретером Бюро долгот в Париже, а с 1809 по 1830 год — он профессор Политехнической школи. В 1809 году, когда Доминнику Франсуа Араго было всего 23 года, он избрается членом Парижской Академии наук.

Следующие примерно 20 лет были годами наиболее творческой активности Араго. В должности профессора Политехнической школи, а позднее на пост директора Парижской общеватории он успел сделать необходимую много. Широта его научных интересов порождает. Араго занимался астрономией, оптикой, электромагнитизмом. Ему принадлежал важные работы в области meteorологии и физической географии. Наконец, он оставил заметный след как историк науки. В небольший заметке нет никакой возможности даже включить рассказать об всех проблемах, в решении которых внесла вклад Араго. Поэтому мы приведем здесь лишь коротный перечень.

Араго проверил правильность закона Бойля—Мариота для различных газов и воздуха, проверяя ряд оптово изучения упругостивых паров при высоких температурах.

*) Гаспар Монж (1746—1818) — известный французский математик, один из создателей Политехнической школи.

пературах и давления. Много лет отдал Араго оптическим экспериментам, сделав ряд важных открытий в области поляризация света. Араго первым составил таблицу коэффициентов предложения света в газах в зависимости от их состояния. Какстроом и геофизик Араго прославился тем, что установил связи полярных с магнитными бурями, усовершенствовал телекстоп. Он занимался также утончением формул Земли, измерением диаметров планет, формированием звезд и Луны, изучением колес Сатурна, солнечными затмениями. Араго изобрел один из первых активometers (прибор для измерения интенсивности солнечного излучения) и определил удельный вес воздуха. Он обнаружил намагничивание железных опилок влизи проводника с электрическим током и исследовал уровни и температур море на различных шипотах. Попстине не было области современной ему естественной науки, к которой он не пришел бы свои руки, свой ум, свою нестистицию энергию.

Об одном открытии Араго хотелось бы сказать чуть подробнее. В 1826 году он обнаружил явление, названное позднее магнитным явлением Араго. Объяснение этому уравнения для знаменитой англійской физик Майкл Фарадей. Вот описание «явления Араго» со слов Фарадей: «Если медная пластинка поворачивает близи от магнитной стрелки или от магнита, подвешенного таким образом, что он может врашаться в плоскости, параллельной (Окончание см. с. 50)

10

Пик Делоне

Кандидат физико-математических наук
Н. П. ДОЛБИЛИН

Одна из красивейших вершин в массиве Белухи на Алтае называется «Пик Делоне», по имени ее первовосходителя. О жизни и творчества этого удивительного человека рассказано здесь.

Борис Николаевич Делоне был прежде всего крупным математиком, и математическое творчество было безусловно основным в жизни этого замечательного ученого. Однако говорить о Борисе Николаевиче только как о математике невозможно, точно так же, как невозможно выделить в сложном полифонческом произведении его основную, пустую самую яркую, тему, так неразрывно она связана с другими темами.

Жизнь Б. Н. Делоне, а прожил он 90 лет, можно сравнить с целым произведением искусства. Она была исключительно насыщена и многограна. Далее процесс перечисления наиболее характерных моментов его биографии потребовал бы слишком много места для одной статьи. В таком перечислении хронологических одним из первых шел бы

1897 год — семилетний мальчик читает в подлиннике «Фауста» Гёте, знает наизусть отдельные главы позмы, пишет маслом первыше свои пейзажи.

Где-то в конце списка был бы отменен

1975 год, 6 июля — Борис Николаевич на 86-м году жизни проводит при 25° мороза почь на леднике под вершиной семитисчиника Хан-Тенгри на высоте 4200 м. Утром он на вертолете спускается к озеру Иссык-Куль и оттуда перелетает во Фрунзе, где стоит 40-градиная жара. К исходу дня он оказывается в подмосковном аэропорту, откуда ему предстоит добраться до дачи, расположенной в окрестностях Абрамцева. Приехав на станцию последней электричкой, Борис Николаевич с тяжелым рокзаком идет поздней ночью через лес и сбивается с пути. Пропутав в ночной лесу, он сбрасывает в укромном месте рокзак и налегке лишь к рассвету находит свой дом.

Эти биографические детали показывают, с одной стороны, что разностороннее давление Б. Н. Делоне проявилась в очень раннем возрасте. С другой стороны, до преклонных лет он сохранил по-юношески задорный темперамент, а незаурядное физическое здоровье позволило ему с полной отдачей заниматься на закате жизни как научной работой, так и туризмом. Геометрия чисел, математическая кристаллогфика, дискретная геометрия — таковспект научных работ, написанных Борисом Николаевичем, когда ему было уже за восемьдесят. Алтей и Кавказ, Карпаты и Тянь-Шань — такова география путешествия, совершенных Борисом Николаевичем в прекрасном возрасте.

---

Борис Николаевич Делоне родился в семье профессора механики в 1890 году. Он, как говорили прежде, получил прекрасное воспитание. Его занятия музыкой были основательны. Хорошо знаал, любил Баха, Моцарт. Играл все сонаты Бетховена, много

13

коэффициенты $p(a, x_1, \dots, x_n)$, что не существует алгоритма, позволяющего для каждого целого значения параметра $a$ узнать, имеет ли целое решение уравнения

$$p(a, x_1, \dots, x_n) = 0.$$

Простейшим диффективным уравнением является, пожалуй, уравнение первого степени с двумя неизвестными

$$ax + by = 1,$$

где $a$ и $b$ — целые числа. Если $a$ и $b$ имеют общее множители, то решений нет. Если же $a$ и $b$ взаимно просты, то решений бесконечно много (подробнее см. «Квант» 1973, № 4, с. 38). Теория таких уравнений, как утверждают историки математики, была изложена еще индиским математиком Аррибхата в V—VI вв. н. э. (кстати, его именем называют первый индиский искусственный спутник Земли).

Следующей по сложности ступенкой после линейного уравнения естественного считать аналогичное квадратное уравнение

$$ax^2 + bxy + cy^2 = 1.$$

Важный часть случай уравнения 2-й степени — уравнение Пелля

$$x^2 - dy^2 = 1$$

— был изучен Эйлером (подробнее см. «Квант» 1985, № 1, с. 20). Если $c (>0)$ — квадрат целого числа, то, кроме очевидного решения (1; 0), других целых решений нет. Если же $c$ не является квадратом целого, то решений бесконечно много. Исследование общего вида диффективных уравнений 2-й степени было проведено замененным французским математиком Лагранжем (1736—1813).

Что касается решений диффективных уравнений более высоких степеней, то серверных условий в этом вопросе не было плоть до начала XX века. Это придало вопросу о диффективных уравнениях 3-й степени авторитет трудной проблемы. На этой проблемы Борис Николаевич, которое всегда отличило стремление браться за трудные, важные задачи, не разменивать свой талант и время на мелочи, и оставил свой выбор.

К сожалению, а, возможно, и нет, Делоне не знал об опубликованной незадолго до этого работе норвежского математика А. Туэ.

Туэ рассматривал диффективные уравнения вида

$$a_0 x^n + a_1 x^{n-1} y + \dots + a_{n-1} x y^{n-1} + a_n y^n = b (1)$$

и доказал, что при $n \geq 3$ они могут иметь лишь конечное число решений, если, разумеется,

Портрет отца (рисунок Бориса Делоне)

левая часть уравнения не расскладывается в произведение многочленов с разциональными коэффициентами, содержащие компоненты степеней меньше 3. (Если в разложении присутствуют многочлен второй или первой степени, то решений может быть бесконечно много.)

Теорема Туэ является одной из наиболее фундаментальных в теории диффективных уравнений. Однако, утверждая для каждой диффектива уравнения указанного типа конечность числа решений, теорема Туэ ничего не может сказать о том, как найти эти решения. В ней ничего не говорится о верхней оценке значений решений конкретного уравнения. А это важно. Представим себе, что по коэффициентам конкретного диффектива уравнения мы можем вычислитьCONSTANTу $c$, которая зависит от преосходит абсолютиные значения $|x_0|, |y_0|$ для любого целого решения $(x_0, y_0)$ этого диффектива уравнения. Тогда, подставляя в уравнение всевозможные пары целых чисел $(x, y)$ с условием $|x|, |y| < c$, можно найти все решения конкретного уравнения. Сам же теорема Туэ в этом отношении не эффективна.

Исследования Б. Н. Делоне относялись к уравнениям 3-й степени, но, как мы увидим, для весьма эффективные и исчерпывающие результаты. Сначала он приступил к исследованию кубического аналога уравнения Пелля:

$$ax^3 + y^3 = 1,$$

где целое число $a$ не является кубом целого. (В случае, когда $a$ есть куб целого числа, левая часть уравнения раскладывается в произведение многочленов с целыми коэффициентами, и кубическое уравнение Пелля свидетельствует к решению диффективных уравнений 1-й и 2-й степеней.)

Кубическое уравнение Пелля всегда имеет по крайней мере одно решение

14

ние — (0; 1). Имеются ли другие решения, и если да, то какие?

Ответы на эти вопросы связаны с изучением совокупности чисел вида $A^3\sqrt{a^2}+B^3\sqrt{a}+C$ (A, B, C ∈ Z), где a — коэффициент уравнения Пелля).

Среди этих чисел выделяются единицы, то есть такие числа, образные к которым имеют такой же вид. Например, при a=2 число $3^2-1$ является единицей, поскольку обратное к нему равно $\varepsilon^{-1}=3^2+3^2+1$. Известно, что для каждой целого a ($3^2\notin Z$) среди единиц найдет такая (основная) единица $\varepsilon_0$, 0 < $\varepsilon_0<1$, из которой все остальные (положительные) единицы получаются возведением в целую степень.

Проявив исключительно изобретательность, Б. Н. Делоне доказал трудную теорему: уравнение $ax^3+y^3=1$, где a — целое, но не куб целое, может иметь, кроме решения (0, 1), еще не более одного решения в целых числах; второе решение существует тогда и только тогда, когда основная единица $\varepsilon_0$ двучленна, то есть имеет вид $\varepsilon_0=X_0^3\sqrt{a}+Y_0$, и тогда второе решение есть $(X_0, Y_0)$.

Что касается нахождения основной единицы, то еще лет за двадцать до этого Вороной дал алгоритм ее вычисления.

Например, для уравнения $4x^3+y^3=1$ основная единица трехчленна, поэтому других решений, кроме (0; 1), это уравнение не имеет. А уравнение $37x^3+y^3=1$, для которого основная единица двучленна, $\varepsilon_0=-3^3\sqrt{37}+10$, имеет два решения (0,1) и (-3, 10).

Затем Б. Н. Делоне перешел к более общему случае кубических уравнений с двумя неизвестными отрицательного дискриминаента

$ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3=1$, (A) где коэффициенты a, b, c, d — целые числа, а слова «в случае отрицательного дискриминаента» означают, что соответствующий уравнение многочлен $at^3+bt^2+ct+d$ имеет единственный вещественный корень $t_0$. В противном случае задача также сводится к исследованию двухчленных единиц. Послеством созданного им «алгоритма повышения» Б. Н. Делоне получил следующий функментальный результат: в общем случае уравнение вида (A) имеет не более трех решений в

целых числах. Только в двух случаях уравнение вида (A) имеет четые решения, и еще в одном случае уравнение имеет пять решений. Никакое уравнение вида (A) не имеет более пяту решений. (Так, уравнение $x^3-xy^2+y^3=1$ имеет пять решений: (1; 1), (1; 0), (0; 1), (-1, 1), (4, -3), а то, что других решений нет, следует из теоремы Делоне.

---

Работы Б. Н. Делоне по кубическим диофантным уравнениям обозначили едва ли не первый после Эйлера и Лагранжа серверный сdwг в направлении конкретного исследования уравнения более высоких степени. Успех не был случаен. Тысячи часов направленней работы — такое цена победы над трудной проблемой. Трудолюбие, воля, целуструмленность и, конечно, любовь к науке — без этих качеств цел не была бы доступнута. Тем более, что работа приходим в исключительных условиях: деникицы и петлюровцы, «кайзеровцы» и белополяки, «зелены» и «жовтовлакитные» — кто только не тероризировал Киев в годы гражданской войны…

Можно сказать, что в определении смысле результата Б. Н. Делоне оставались непрерывными околопульвами, до конца 60-х годов. Как писал член-корреспондент АН СССР Д. К. Фаддеев:

«По конкретности анализа, простое иясности цикл работы Б. Н. Делоне, посвященных неопределенным уравнениям, является исключительным в математике XX столгения с ее часто громоздким аппаратом и абстрактными построениями. По своему стилю этот цикл близок к лучшим образцам классических работ Гаусса и Чебышева по теории чисел».

---

После цикла работы по диофантным уравнениям у Б. Н. Делоне еще было переведено 60 лет творческой деятельности, которая добавила к авторитету крупного алгебраиста авторитет крупного геометра. Смешение его исследований в сторону геометрии происходит естественно. Определению роль здесь сыграло соприкосновение в процессе исследований неопределенных уравнений с работами Вороного. Но основная причина геометризации исследований Б. Н. Делоне заключалась в его исключительной обозначом, художничском восприятии мира.

15

В. Н. Делоне перед туристским походом (70-e годы)

Характерно, что Борис Николаевичникогда не желал сил, времени на то, чтобы довести понимание, казалось бы, уже законченного математического результата до такого уровня, на котором результат оформился бы в примытем геометрической образ. «Что это означает попросту?» — любимый вопрос Бориса Николаевичца, который он задавал и себе и коллегам, когда обсуждалась очередная работа. Не случайно в его работе «натягивают разделенные параллелепиды», «вытягивают носы», между точками, рассыпанными в пространстве, «летают пусть шары».

Признание научных заслуг не заставило себя долго ждать: в 1929 году В. Н. Делоне выбирают в членыкорреспонденты АН СССР. К этому моменту он уже семь лет профессионует в Ленинградском университете. Его предельно ясные, продуманные лекции вызывают большой интересу студентов. В. Н. Делоненикогда не упускал возможность расскаать им о трудной, нерешенной проблеме. В своей педагогической практике В. Н. Делоне руководствовала известным прицилиом «Ученик — не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажчь». Высокий научный авторитет, преданное и вместе с тем естеческое отношение к науке, личное обаяние, артистизм — все это приятивало к нему молодых людей. Недивительно, что у Бориса Николаевичца было много учеников, среди которых выдаюшихся математиков: академик А. Д. Алексадров, членыкорреспонденты АН СССР Д. К. Фаддеев и И. Р. Шафарович.

Весной 1934 года в Ленинграде Б. Н. Делоне организовал для школьников первого олимпiadу по математике, с которой фактически началось олимпiadное движение в нашей стране. Участники ленинградской олимпiadы до сих пор вспоминают, какое «ошеломляющее печатление» произвели на них встречи с Борисом Николаевичем (см. «Квант» 1984, № 9, с. 52).

В 1934 г. в Ленинграде был создан Математический институт им. В. А. Стеклова, где Б. Н. Делоне со дня его основания заведовал отдел алгебры (до 1960 года), а затем отделом геометрии. В 1935 году Математический институт наяду с другими ведущими учреждениями Академии наук СССР переводится в Москве. С этого же года Б. Н. Делоне заведовал кафедрой геометрии в Московском университете. В период работы в МГУ он читает оригинальный курс лекций по аналитической геометрии, который отличался исключительно богатством геометрических идеей. Студенты, имеющие счастье службы лекции Б. Н. Делоне, вряд ли подозревали, что за их великоописем скрывались тщательная подготовка. Так, в первые годы на подготовку двух часов лекции у него уходило два полных дня, в дальнейшем — день. Борис Николаевич не переносил верхоглядства, небрежности, он отшлифовал каждую идею, выверил каждое слово, отчаивал каждый рисунок. И, как следствие этого, во время лекции на доске лекко и быстро появлялись симpatичные «аффициные коты», изящные параболиды и гиперболиды, четкие додекадры и икоазды. Однако время у студентов механизма МГУ в ходу была серия анекdotов о своих профессорах на тему:

17

О касательной к графику функции

Член-корреспондент АН СССР
Д. К. ФАДДЕЕВ,
И. Ф. СОКОЛОВСКИЙ

Основная цель этой статьи — наглядно пояснить, чем касательная к графику дифференцируемой функции отличается от других прямых, проходящих через точку касания. Оказывается, ответ на этот вопрос не только проясняет геометрический смысл касательной, но позволяет находить ее уравнение, не вычисляя производную функцию.

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $M(x_0; f(x_0))$ чаще всего определяется как предельное положение секущей $MN$, когда точка $N$ неограниченно приближается к точке $M$, двигаясь по графику функции (рис. 1). Из этого определения выводится («Алгебра и начала анализа», п. 23) известное уравнение касательной

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0),$$

(1) где $f'(x_0)$ — значение производной $f'$ функции $f$ при $x = x_0$. Эта формула верна в предположении, что функция $f$ имеет производную в точке $x_0$.

Может возникнуть вопрос: «Почему собственно понятно касательной удаляется столько внимания? Чем касательная в точке $(x_0; y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$, «лучше» других прямых, проходящих через эту точку?» Ведь в общем случае о касательной к графику функции нельзя даже сказать (по аналогии с касательной к окружности), что она имеет единственную общую точку с графиком функции. Далее, касательная к графику функции может пересекать график, переходя с одной стороны графика на другую, именно в точке касания; например, так ведет себя касательная к графику функции $y = x^3$ в точке $(0; 0)$, или касательная к графику функции $y = x^3 - 3x^2$ в точке $(1; -2)$. А касательная к графику функции $y = x^4$ sin $(1/x)$ пересекает график бесконечное число раз.

Итак, чем же применять касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0; y_0)$? Оказывется, что в достаточно малой окрестности точки касания касательная принадлежится к графику функции плотнее, чем любая другая пряма, проходящая через точку касания. Разберемся в этом детальнее.

Пусть $y = f(x)$ — данная функция, имеющая производную $f'(x_0)$ в данной точке $x_0$. Уравнение произвольной наклонной прямы, проходящей через точку $(x_0; y_0)$, имеет вид $y = k(x - x_0) + y_0$. При $k = f'(x_0)$ получаем уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0; y_0)$. Одината точки на графике.funcции $y = f(x)$ отличается от ordinаты соответствующей точки на прямой на вершину

$$\varepsilon = f(x) - (k(x - x_0) + f(x_0)) = f(x) - f(x_0) - k(x - x_0) = (x - x_0) \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - k \right).$$

Вводя обозначения $x - x_0 = \Delta x$ и $f(x) - f(x_0) = \Delta f(x_0)$, это выражение можно записать короче:

$$\varepsilon = \Delta x \cdot \left( \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} - k \right).$$

Если $k = f'(x_0)$, то есть в случае касательной, при $\Delta x \to 0$ имеем $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} \to f'(x_0)$ и, следовательно, каждый компонент в правой части равенства стремится к нулю.

Рис. 1.

18

Если $k \neq f'(x_0)$, то $k = f'(x_0) + c$, где $c$ — неокоторая константа, не равная нулю. Тогда

$$\varepsilon = \Delta x \left( \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} - f'(x_0) - c \right).$$

При $\Delta x \to 0$ второй сомножитель в правой части равенства стремится к $c \neq 0$. Таким образом, при $\Delta x \to 0$ точка на касательной существует быстрее приближается к соответствующей точке графика, нежели точка с той же абсциссой, на прямой, отличной от касательной.

Что особенно важное, касательная прижимается к кривой не просто количественно лучше других прямых, а в неокотром смысле «на порядок лучше». Поясим это.

Перепишем выражение для $\varepsilon$ в случае $k \neq f'(x_0)$ в виде

$$\varepsilon = \Delta x \left( \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} - f'(x_0) \right) - c \Delta x.$$

Из такой формулы записи видно, что в случае, когда прямая отлича от касательной, разность между ordinатами соответствующих точек на прямой и на графике функций содержит слагаемое пропорциональное $\Delta x$, то есть вид $c \cdot \Delta x$, где $c$ — постоянная, в случае же приближения по касательной расстояние между точкой на прямой и соответствующей точкой на графике уменшается «на порядок быстрее», чем само $\Delta x$, то есть имеет вид $\gamma \cdot \Delta x$, где $\gamma$ — переменная, стремишая к нулю вместе с $\Delta x$. Таким образом, среди всех прямых, проходящих через точку графика функции, только касательная отличается от функции на величины, не содержащую линейного слагаемого относительно $\Delta x$.

Это свойство касательной и составляет ту особенность, которая выделяет ее из всего семейства прямых, проходящих через точку касания. Оно вполне характеризует касательную и поэтому может быть положено в основу определения касательной; тогда производную функцию в точке можно определить как угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Выведенное свойство касательной обосновывает метод получения уравнения касательной через приближенные равенства, оценывающие значение функции величиз точки касания. Показем применение этого метода на примерах. (В дальнейшем $\Delta x$ будем обозначать буквой $\alpha$.)

При мер 1. Напишем уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 3x - 6$ в точке $x_0 = -1$.

Решение е. Пусть $x = -1 + \alpha$, где $|\alpha|$ близок к нулю. Тогда $f(-1 + \alpha) = (-1 + \alpha)^2 - 3(-1 + \alpha) - 6 = 1 - 2\alpha + \alpha^2 + 3 - 3\alpha - 6 = -5\alpha + \alpha^2 - 2$. Преобразая $\alpha^2$, получим $f(-1 + \alpha) \approx -5\alpha - 2$. Вернемся к старым обозначениям; получим $f(x) \approx -5x - 7$ величиз $x_0 = -1$. Примяя $y = -5x - 7$ величиз $x_0 = -1$ отличается от $f(x)$ на величины, не содержащую линейного относительного $\alpha$ слагаемого, а таким свойством обладает только касательная, значит, $y = -5x - 7$ уравнение касательной к графику данной функции в точке $x_0 = -1$. (Проверьте этот результат, получив уравнение касательной по формуле (1).)

При мер 2. Выведем уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2$ в произвольной точке $x_0$.

Решение е. Пусть $x = x_0 + \alpha$, где $|\alpha|$ близок к нулю. Тогда $f(x_0 + \alpha) = x_0^2 + 2x_0\alpha + \alpha^2$. Преобразаем $\alpha^2$ и получаем $f(x_0 + \alpha) \approx x_0^2 + 2x_0 \times (x - x_0) = x_0^2 + 2x_0x - 2x_0^2 = 2x_0x - x_0^2$. Примяя $y = 2x_0x - x_0^2$ касательная к графику функции в точке $x_0$, угловой коэффициент касательной $2x_0$ — производная функция $x^2$ в точке $x_0$.

Особенно простым становится вывод уравнения касательной в случае, когда выражение, задающее функцию $f(x)$, содержит линейные множители вида $(x - x_0)$.

При мер 3. Напишем уравнение касательных к графику функции

$$y = (x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)$$

в точках пересечения графика с осью абсцисс.

Решение е. Пусть $x = x_0 + \alpha$, $y = \alpha(x_0 - x_1 + \alpha)(x_0 - x_2 + \alpha)$. Ясно, что при раскрытии скобок слагаемого, линейное относительное $\alpha$, имеет вид $\alpha(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)$, тогда

$$y = (x - x_0)(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)$$

— уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$. Аналогично получаем уравнение касательных в точках $x_1$ и $x_2$:

$$y = (x - x_1)(x_1 - x_0)(x_1 - x_2),$$

$$y = (x - x_2)(x_2 - x_0)(x_2 - x_1).$$

Показем конкретные примеры, в которых надо найти уравнение касательной в точке $x_0$.

21

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Вторая космическая скорость» предназначена восемиклассик, «Мазнитный момент тока» — деятивлассик, «О ядерном веществе» — деятивлассик. Материалы подготовил Н. К. Белкин.

Вторая космическая скорость

Если неокторому телу сообщить скорость, равную первой космической скорости, то оно не упадет на Землю, а станет искусственным спутником, движущимся по околоземной круговой орбите. Напомним, что эта скорость должна быть перепendlukularна направлению к центру Земли и равна по величине

$$v_1 = \sqrt{gR} = 7,9 \text{ km/c},$$

где $g = 9,8 \text{ m/c}^2$ — укорение свободного падения телу у поверхности Земли, $R = 6,4 \cdot 10^6 \text{ m}$ — радиус Земли (см. «Физику 8», § 40).

А может ли тело и вовсе порвать цепи тяготения, «приязывающие» его к Земле? Оказывается, может, но для этого его нужно «бросить» с еще большей скоростью. Минимальную начальную скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно предолело земное прияжение, называют второй космической скоростью $v_{II}$. Найдем ее значение.

При удалении тела от Земли сила прияжения совершает отрицательную работу, в результате чего кинетическая энергия тела уменьшается. Однакоременно с этим уменьшается и сила прияжения. Если кинетическая энергия упадет до нуля до того, как станет равной нулю сила прияжения, тело вернется обратно на Землю. Что бы это не произшло, нужно, чтобы кинетическая энергия сохранялась отличной от нуля до тех пор, пока сила прияжения не обратится в нуль. А это может произойти лишь на бесконечном большом расстоянии от Земли.

Согласно теореме о кинетической энергии (см. «Физику 8», § 55) изменение кинетической энергии тела равно работе действия на тело силы. Для нашей службы можно записать:

$$0 - \frac{mv_II^2}{2} = A,$$

или

$$\frac{mv_II^2}{2} = -A,$$

(*)

где $m$ — масса брошенного с Земли тела, $A$ — работа силы прияжения. Таким образом, для вычисления второй космической скорости нужно найти работу силы прияжения тела к Земле при удалении тела от поверхности Земли на бесконечно большое расстояние. Как это ни удивительно, но работа эта вовсе не бесконечно большая, несмотря на то, что перемещение тела как будто-бы бесконечно велико. Причина тому — уменьшение силы прияжения по мере удаления тела от Земли. Чему же равна работа силы прияжения?

Воспользовемся той особенностью, что работа силы прияжения не зависит от формы траектории движения тела (см. «Физику 8», § 56), и расстоянием самый простой случай — тело удаляется от Земли по линии, проходящей через центр Земли. На приведенном здесь рисунке изображен Земной шар и тело массой $m$, которое движется вдоль направления, указанного стрелкой.

Найдем сначала работу $A_1$, которое совершает сила прияжения на очень малом участке от произвольной точки $N$ до точки $N_1$. Расстояния этих точки до центра Земли обозначаем через $r$ и $r_1$ соответственно, так что работа $A_1$ будет равна

$$A_1 = -F(r_1-r) = F(r-r_1).$$

No какое значение силы $F$ следует подставить в эту формулу? Ведь оно изменяется от точки к точке: в $N$ оно равно $GMm/r^2$ (м — масса Земли), в точке $N_1$ — $GMm/r_1^2$. Очевидно, нужно взять среднее значение этой силы

23

моментов сил равны нулю, и рамка находится в состоянии устойчивого равновесия. (На самом деле рамка останавливается не сразу — в течение некоторого времени она будет совершать колесания около своего положения равновесия.)

Нетрудно показать (сделайте это самостояльно), что в любом промежутном положении, когда нормаль к плоскости контраса составляется произвольный угол β с индикцией магнитного поля, врашающей момент равен

$$M = BIS \sin \beta.$$

Из этого выражения видно, что при данном значении индикции поля и при определении положении контраса с током врашающей момент зависит только от произведения площади контраса S на силу тока I в нем. Величину IS и называют магнитным моментом контраса с током. Говоря точнее, IS — это модель вектора магнитного момента. А направлен этот вектор перпендикулярно плоскости контраса и при том так, что если мы следим вращать буравчик в направлении тока в контуре, то направление поступательного движения буравчика указывает направление магнитного момента. Например, магнитный момент контраса, показанного на рисунках 1 и 2, направлен от нас за плоскостью страниц. Измеряется магнитный момент в А·м².

Теперь мы можем сказать, что контур с током в однородном магнитном поле устанавливается так, чтобы его магнитный момент «смотрел» в сторону того поля, которое вызвало его поворот.

Известно, что не только контур с током обладает свойством создавать собственное магнитное поле и поворачивать во внешнем поле. Такие же свойства наблюдаются и у намагниченного стержня, например у стрелки компаса.

Еще в 1820 году замечательный французский физик Ампер высказал идею о том, что сходство поведения магнита и контраса с током объясняет тем, что в частих магнита существует замкнутые токи. Теперизвесно, что в atomах и молекулах действительное есть мелчайшие электрические токи, связанные с движением электронов по своим орбитам вокруг ядер. Из-за этого atoms и молекулы многохвостives, например парамагнетиков, обладают магнитными моментами. Поворот этих моментов во внешнем магнитном поле и приводит к намагничиванию парамагнитных веществ.

Выяснили и другие. Все частицы, входящие в состав atomа, обладают также магнитными моментами, вовсе не связанных с какими-либо движениями зарядов, то есть с токами. Для них магнитный момент является таким же «врожденным» качеством, как заряд, масса и т.п. Магнитным моментом обладает даже частица, не имеющая электрического заряда,— нейtron, составная часть atomных ядер. Магнитным моментом обладает поэтому и atomные ядра.

Таким образом, магнитный момент — одно из самых важных понятий в физике.

О ядерном веществе

В состав atomного ядра входят частицы двух типов: положительное заряжение протоны и нейтральные нейтроны. Они очень близки по массе $m_p \approx m_n \approx 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг. Величина эта ничтожна, но, тем не менее, плотность вещества в ядре очень велика. Попытаемся оценить ее.

Опыты Резерфорад, в которых существование atomного ядра, показали, что размер его ~10$^{-14}$—10$^{-15}$ м. Последующие измерения для радиуса ядра с массовым числом $A > 10$ значения

$$R_\pi \approx 1,3 \cdot 10^{-15} \sqrt{A} \text{ m}.$$

При этом для объема ядра (считая его сферическим) имеем

$$V_\pi = \frac{4}{3} \pi R_\pi^3 \approx 10^{-44} A \text{ m}^3.$$

Масса ядра

$$M_\pi \approx m_p A,$$

позетом плотность вещества в ядре

24

$$\varrho_{\pi} = \frac{M_{\pi}}{V_{\pi}} \approx \frac{m_p A}{V_{\pi}} \approx 10^{17} \text{ кг/м}^3.$$

Она оказывается чудовшно большой. Если бы можно было сплошать заполнить ядрами кубик объемом один кубический сантиметр, то масса этого кубика была бы равна примерно 100 миллионов тонн!

Такая градинозная плотность ядерного вещества свидетельствует, очевидно, о существовании огромных сил притяжения, действующих между частицами, составляющими ядро. (Обосновных свойств ядерных сил рассказывается в § 107 «Физики 10».) Кроме обычных ядер, физики-теоретики предполагают возможность существования и «необъичных»: чисто нейтронных, сверхплотных (в них вещество сжатое еще в несколько раз сильнее) и т. п. Экспериментальные поиски их пока не привели к положительной результатам.

Может ли в природе ядроное вещество существовать в виде больших образований? Положительный ответ на этот вопрос был получен, когда астрономы обнаружили (в 1967 году) нейтронную звезду.

Такая звезда может образовать из общий при быстром скатии. В общий звезде существует равновесие между силами gravитации, стремящимся сжать звезду, и силами давления нагретого звездного вещества, преястивующими этому скатию. Сжатие начинается, когда внутри звезды термоядерные источники энергии исчерпают свои ресурсы. Звезда остылает, равновесие нарушается, и вещество устремляется к центру звезды. Плотность материи резко возрастает, атомные электrons «видавливаются» в ядра и начинаются ядрные реакции превращения протонов в нейтроны. Приходит момент, когда вещество внутри звезды будет состоять, в основном, из нейтронов и иметь ядерную плотность. При этом звезда с массой, равной солнечной, должна сжаться до шара радиусом ~10 км.

Возможность существования нейтронных звезд предсказал выдавшийся советский физик Л. Д. Ландду.

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Решите уравнение
   $$x^3 - 9x^2 + 27x = 19.$$
2. Докажите, что число 1984·1985·1986×1987+1 является полным квадратом.
3. Докажите, что если у двух выкульных четырехугольников середины сторона совпадает, то их площадь равны.
4. $x, y$ — целые числа, причем число $6x+11y$ делится на 31. Докажите, что число $x+7y$ также делится на 31.
5. Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 100 км, одновременно вызжают навстречу друг другу два велосипеда, которые двигаются со скоростью 20 км/ч и 30 км/ч. Вместе с первым велосипедом из пункта А вылетает мука-слепень со скоростью 50 км/ч и летит по направлению к пункту B до встречи со вторым велосипедом, затем поворачивает и летит обратно до встречи с первым велосипедом, снова поворачивает и т. д. Сколько километров проектируют с направлением от пункту A к пункту B до того момента, как велосипеды встретились?

*) Эту же задачу нам прислал С.Р. Сефибеков. (Примеч. ред.)

Девятый класс
6. Построите график функции
$$y = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} \right).$$
7. Какое число больше: lg²11 или lg 12?
8. Докажите, что если отрезок, соединяющий двух противоположных сторон выпukлого четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон, то это трапеция.
9. Существуют ли заданные на все числовой оси функции f и g такие, что для всех x и y выполняется равенство
$$f(x) \cdot g(y) = x+y+1?$$
10. Построите квадрат по четырем точкам, лежащим по одному на его сторонах.

Десятый класс
11. Какое число больше: cos sin 1 или sin cos 1?
12. Сколько у уравнения
$$x-y)^2=x+y$$
целочисленных решений, удовлетворющих неравенствам |x|<100, |y|<100?
13. Диагонали делят трапецию на четыре треугольника. Пусть s — площадь трапеции, s₁ и s₂ — площади двух треугольников, которые примыкают к основаниям трапеции. Докажите, что √s = √s₁ + √s₂.
14. Действительно числа x, y, a таковы, что x+y=a-1, xy=a²-7a+14. При каком значении a сумма x²+y² принимает наиболее значение?
15. Может ли сечение n-угодной признамы быть правильным (n+2)-угодником?

Публикацию подготовил Л.Д.Курляндчик

25

Задания

1. Руслан купил для своего коллекции четыре марки: кубинскую, монгольскую, болгарскую и польскую. Стоимость покупки без кубинской марки — 40 копеек, без монгольской — 45 копеек, без болгарской — 44 копейки, а без польской — 27 копеек. Сколько стоит каждой марка?

2. Если к двадцати прибавить шестнадцать, получится 36 — полный квадрат. Если от двадцати отнять шестнадцать, получится четыре — тоже полный квадрат. Существуют ли еще числа, которые становятся полными квадратами после прибавления и вычитания числа 16?

3. Туристы подошли к небольшей речке, через которого переброшено бревно. Им нужно перебрать на другую сторону. Первый турист пошел по бревну и упал в воду, но сумел перебрать на другой берег вплавь. Тогда руководитель быстро перебежал по бревну. За ним перебежали на другую сторону и остальные туристы.

Почему по бревну лучше перебежать, чем перейти?

4. Точки A и B, взятые внутри прямогольника CDEF, соединили с его вершинами. Два из образованшихся треугольников закрашили в синей цвет, еще два — в красный цвет, так же как и центральный четырехугольник (см. рисунок). Доказите, что площадь красной части прямогольника равна площади его синей части для любого расположения точки A и B внутри прямогольника.

5. При каком основании системы численения имеет решение (и какое) числовой ребус на рисунке? (О системе численения см. ответ на шуточное стихотворение «Необыкновенная девочка» на с. 60.)

Эти задания нам предложили В. Д. Выон, ученик 7 класса школи № 60 г. Вакуу Назим Ширинов, С. С. Кротов, Г. А. Гальперин, А. В. Швецов.

Кордькем
У входа в сад рос
большой розовый куст,
розы на нем были белые,
но три садовника усерд-
но красили их в крас-
ный цвет. Нодходя
Алиса услышала: — Пя-
терка! Ты меня
забрызгал!
— Это Семерка
толкнула меня
— отвецал

кто еще это?

Семерка по-
смотрел на не-
го и сказал:
— Правально,
Всерда свали-
вый на другого
— Ты бы лучше по-
малкивал. — сказал Пя-
терка. — Вчера я своими
ушами слышал, как Ко-
ролева сказала, что тебе да-
но пора отрубить голову!
— Ну, знаете,…— но
взгляд его улал на Алисе.
Все трое склонились в низ-
ком поклоне. — Скажите,
пожалуйста, — робко спро-
сила Алиса, — зачем вы
красите эти розы? Двоика

Валету, но тот лишь ульь-
нуля и поклонился. Потом
она обернулась к Алисе и
спросила: «Как тебя зовут,
дитя?» — Меня зовут Али-
сой, с позволення Ващето
Величества, — ответила
Алиса учтиво. — А это кто
такие — спросила Королева
указивая на валившихся
вокруг куста садовников.
Они лежали лицом вина, и
Королева не могла разоб-
рать — садовники это, или
придворные. — Переверини
их! — приказала она Вале-
ту. Валет осторожно пере-
вернул садовников носком
сапога. — Встав!

крикнулка. Семерка по-
смотрел на не-
го и сказал:
— Правально,
Всерда свали-
вый на другого
— Ты бы лучше по-
малкивал. — сказал Пя-
терка. — Вчера я своими
ушами слышал, как Ко-
ролева сказала, что тебе да-
но пора отрубить голову!
— Ну, знаете,…— но
взгляд его улал на Алисе.
Все трое склонились в низ-
ком поклоне. — Скажите,
пожалуйста, — робко спро-
сила Алиса, — зачем вы
красите эти розы? Двоика

ли все сразу, не дожида-
ясь очереди. В скором время
Королева пришла в
безпество, топала ногами
и то и дело кричала: — Отрубить ей голову! Голову
ему долой! Алиса забеспо-
килась, решив, что у нее с
Королевой спор мог возникти.
Что со мной будет? — думала
Алиса. — Здесь так любят
рубить лодям головы. Она
огладеллась, желая незамет-
но улизнуть, как вдруг над
головой у нее повлищь
что-то непонятное. Алиса
нижак не могла понять, что
же это такое, но через

Ну и пусть, — подумайте
Алиса. — Все равно вопросо-
жи уже переста-
ни драться и раз-
бежали

• Ну и пусть, — подумайте
Алиса. — Все равно вопросо-
жи уже переста-
ни драться и раз-
бежали

тихо сказал:
— Понимаете, барышня, Королева приказала по-cадить красные ро-зы, а мы, дураки, посадили белые. Плакали теперь наши головы. В эту минуту Патерка крикнул:
— Королева! Садовнику пали ниц. Алиса обернула. — Впереди выступали десять солдат с пиками на перевев; они были очень похожи на садовников — также же плоские и четырехугольные. За ними — десять приводных них; их одежды били расши-ния.

я кретами.
За приводным бежалки королевские дети. Их было тоже десять. Одежда у них сверкала червоным золом том. За ними шестровали гости, все большие Королии и Королевы. За гостями шестровали заALTER Червей. Алиса заколебалась: может, и ей броситься ниц? Однако к чем устраивать шествия, если все будут падать ниц? Никто тогда ничего не видит… И она осталась стоять Едва шестые поравнялись с Алисой, Королева суро-во спросила: «Это еще кто?». Она образалась к

30

Победители конкурса «Задачник «Кваита»
Ежегодно наш журнал проводит конкурс среди школьников по решению задачи Задачника «Кваита».
Ниже публикуются списи победителей конкурса «Задачник «Кваита» 1985 года.
Награждатся Дилломом и значком журнала «Кваит» и получают право участвовать сразу в четвертом (пrecупlikанском) туре Всегоизной олимпиады 1986 года:

По математике
А. АКСЕНОВ — Великие Луки, с. ii. № 7, 9 кл.
М. АЛЕКСАНДРОВ — Москва, с. ii. № 542, 10 кл.
Я. АРГЕНТОВ — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.
Я. ВАРШАВСКИЙ — Харьков, с. ii. № 27, 8 кл.
Т. ГАЗАРЯН — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
Д. ГАМАРНИК — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 10 кл.
О. ГЕВОРКОВ — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 9 кл.
Р. ГЕНДЛЕР — Ташкент, с. ii. № 110, 9 кл.
Н. ГРИГОРЬЕВА — Андропов, с. ii. № 33, 10 кл.
А. ГРИГОРЯН — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
А. ДАВТЯН — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
Д. ДОВРИЦЫН — Москва, с. ii. № 91, 9 кл.
А. ДЫННИКОВ — Жуковский, с. ii. № 1, 10 кл.
Д. ЗАИЦЕВ — Киев, с. ii. № 145, 9 кл.
А. ИВАНОВ — Первомайск, с. ii. № 15, 10 кл.
С. ИСМАИЛОВ — Баку, ФМШ № 1, 10 кл.
В. КАПОВИЧ — Хабаровск, с. ii. № 2, 10 кл.
О. КИРНАСОВСКИЙ — Винница, с. ii. № 15, 8 кл.
А. КИСЕЛЕВ — Ленинград, с. ii. № 30, 10 кл.
А. КОНОНЕНКО — Киев, с. ii. № 145, 9 кл.
В. КРУГЛИКОВ — Харьков, с. ii. № 149, 9 кл.
М. КУРИННОЙ — Харьков, с. ii. № 27, 10 кл.
Н. КУШЛЕВИЧ — Москва, с. ii. № 91, 9 кл.
С. КЯРАС — Молетай, с. ii. № 2, 10 кл.
О. ЛИМЕШКО — Куйбышев, с. ii. № 16, 9 кл.
К. МАМУРОВ — Душанбе, с. ii. № 53, 10 кл.
В. МЕХРАБОВ — Баку, с. ii. № 20, 10 кл.
Г. МИХАЛКИН — Ленинград, с. ii. № 30, 10 кл.
М. МУНЬКИН — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.
Д. МУРАЛАШВИЛИ — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 10 кл.
И. РАСКИНА — Витебск, с. ii. № 31, 10 кл.
М. РЗАЕВ — Баку, с. ii. № 94, 9 кл.
И. САМОВОЛ — Гайворон, с. ii. № 5, 9 кл.
Р. СИВИЛЕВ — Ленинград, с. ii. № 30, 10 кл.
И. СИМОНЕНКО — Великие Луки, с. ii. № 1, 10 кл.
Д. ТАМАРКИН — Горький, с. ii. № 17, 9 кл.
К. ТИШЕНКО — Минск, с. ii. № 65, 10 кл.
Ю. ШАМРУК — д. Новый Двор Гродненской обл., 8 кл.
В. ЭПИКТЕТОВ — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.

По физике
А. АБАНОВ — Красноярск, с. ii. № 170, 10 кл.
М. АХМЕДОВ — Сумгайт, с. ii. № 23, 10 кл.
К. ВЕДОВ — Челябинск, с. ii. № 138, 10 кл.
А. ВЕРЕНГОЛЫЦ — Кишинев, с. ii. № 3, 10 кл.
О. ВЕСМАН — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.
А. ВЕСПАЛОВ — Тбилиси, с. ii. № 37, 10 кл.
А. БЫШКО — Ленинград, с. ii. № 239, 9 кл.
А. ВОЛОШИН — Ивановка Кирг. ССР, с. ii. № 2, 10 кл.
А. ГАМАЮНОВ — Полтава, с. ii. № 6, 9 кл.
В. ДОВРОВОЛЫСКИЙ — Тбилиси, с. ii. № 42, 10 кл.
А. ДОДА — Корсунь-Шевченкоский, с. ii. № 4, 10 кл.
Д. ЕЖИКОВ — Минск, с. ii. № 32, 9 кл.
А. ЖАРИКОВ — Киев, с. ii. № 157, 10 кл.
К. ЗАХАРОВ — Фрунзе, с. ii. № 61, 10 кл.
Н. ЗАХАРОВА — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.
В. ЗИНГЕРМАН — Самарканд, с. ii. № 51, 10 кл.
С. ИВАНОВ — Уфа, с. ii. № 12, 10 кл.
В. КАЛАЦКИЙ — Солигорск, с. ii. № 2, 10 кл.
М. КЕЛЛЬМАНСОН — Москва, с. ii. № 47, 10 кл.
П. ЛУШНИКОВ — Москва, с. ii. № 47, 10 кл.
А. МАКСИМОВ — Ташкент, с. ii. № 110, 10 кл.
Ю. МАХЛИН — Москва, с. ii. № 57, 10 кл.
В. МЕЛИК-АЛАВЕРДЯН — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
Г. НИКОЛАИШВИЛИ — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 10 кл.
И. ОБИЖАЕВ — Ташкент, с. ii. № 50, 10 кл.
А. ПАРЕЦКИЙ — Минск, с. ii. № 23, 10 кл.
С. РАХАМОВ — Казань, с. ii. № 131, 10 кл.
А. РОЗЕНВАЙН — Киев, с. ii. № 206, 9 кл.
Е. РОЗНОЩИК — Киев, с. ii. № 206, 9 кл.
С. РОСЯ — Минск, с. ii. № 76, 10 кл.
Р. САДЫКОВ — Фрунзе, с. ii. № 61, 10 кл.
В. ТАРНЕЦКИЙ — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.
С. ТУЖАНСКИЙ — Винница, с. ii. № 33, 10 кл.
Р. УЛЬМАСОВ — Душанбе, с. ii. № 8, 10 кл.
Г. ФИНКЕЛЬШТЕЙН — п. Черноголовка Москва, с. ii. № 82, 9 кл.
Г. ШВЕЦ — Киев, с. ii. № 145, 10 кл.
А. ШУЛЯК — Черкасская обл., Молодеция с. ii., 9 кл.

31

Задчи

М971 — М975; Ф983 — Ф987

М971. Восемь волейбольных команд проводили турнир в один круг (каждая сыграла с каждой один раз). Докажите, что можно выбрать из них такие четыре команды A, B, C, D, что A выиграла у B, C и D, B выиграла у C и D, C выиграла у D.

А. Т. Украинцев

М972. Последовательность $x_1, x_2, \dots$ задается условиями $x_1 = \frac{1}{2}, x_{n+1} = x_n^2 + x_n$ ($n=1, 2, \dots$). Найдите целую часть числа

$$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \dots + \frac{1}{x_{100}+1}$$

А. А. Анджанс

М973. В треугольнике ABC проведены высота AH и bisсектора BE. Докажите, что если $\angle BEA = 45^\circ$, то и $\angle EHC = 45^\circ$.

И. Ф. Шарыzin

М974. Двое играют в шахматы с часами. Послед того как оба сделали по 40 ходов, часы обихих показали 2 часа 30 минут.
a) Докажите, что в партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого более чем на 1 минуту 50 секунд.
b) Можно ли утверждать, что в некоторых моментах разница показаний часов была не менее 2 минут?

С. В. Фомин

М975. На «шахматной доске» размером $n \times n$ стоит 20 различных фигур. Известно, что каждая фигура с любого поля будет не более 20 полей.
a) Докажите, что при $n=100$ эти фигуры можно переставить так, чтобы они не были друг друга.
b) Пусть дополнительно известно, что если фигуру свинить, то множество полей, которые она будет, тоже паралельно свинится (на тот же вектор).
Докажите, что при $n=30$ эти 20 фигур можно переставить так, чтобы они не были друг друга.

А. К. Толпыго

Ф983. На шероховатом столе лежит брусок массой $m=1$ кг; коэффициент треня покоя бруска о стол $\mu_0=1$ Н/м, коэффициент треня скольжения $\mu=0,9$ Н/м. К бруску прикрепленаружина жесткость $k=1$ Н/м. Пружину начинают тянуть в горизонтальном направлении так, что ее свободный конец движется с постоянной скоростью $v$ (рис. 1). Как будет движаться брусок?

И. И. Мазин

32

Ф984. При колке дов топор иногда застревает в расщепление полена. В таких случаях дальше колют либо так, как показано на рисунке 2, либо — как на рисунке 3. Какой способ эффективен?

Т. С. Петрова

Ф985. В сосуд, заполненный жидким эфиром, погружают перевернутую пробирку A. Из нее сразу же начинают выходить пузырыки. Пузырыки «собирают» в первоначально полностью заполненную эфиром пробирку B (рис. 4), длина которого в два раза больше, чем длина пробирки A. При этом из пробирки B вытесятся $\frac{2}{3}$ первоначально объема эфира. Температура в комнате поддерживается равной 20 °C, давление равно нормальному атмосферному. Объясните проискодящей явление и определите по имеющимся в задаче данным давление насыщенных паров эфира при указанной температуре.

А. И. Буздин

Ф986. Две хорошего очищенные пластины, платиновая и волфрамовая, находятся в вакууме, образуя плоский конденсатор. Пространство между ними заполняет окисью углерода CO. Определите возникающего при этом разность потенциальов между пластинами. Считайте, что молекулы CO осаждаются на поверхности металла с образованным химическим связиу углерод — металл; молекула CO представляет собой диполь (рис. 5), $|\Delta q| \cdot l = 3,3 \cdot 10^{-31}$ Кл·м.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф987. На картине И. Левитана «Март» (см. с. 8 и 1-ю с. обложки) тени на снегу, отбрасываемые деревьями в ясный солнечный день, голубого цвета. Неправильнее ли (с физической точки зрения) было направлять их темными бесповетными (черными или серыми)?

А. С. Бутов

Problems

M971—M975; P983—P987

M971. Eight volleyball teams took part in a round robin tournament (each team playing once with each). Prove that it is possible to choose four teams A, B, C, D among the eight so that A has defeated B, C and D, B has defeated C and D, C has defeated D.

A. T. Ukraintsev

M972. The sequence $x_1, x_2, \ldots$ is defined by the conditions $x_1 = \frac{1}{2}, x_{n+1} = x_n^2 + x_n$ (n=1, 2, …). Find the integer part of the number

$$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \ldots + \frac{1}{x_{100}+1}.$$

A. A. Andjans

M973. In triangle ABC, AH is an altitude and BE a bisector. Prove that $\angle BEA = 45^\circ$ implies $\angle EHC = 45^\circ$.

I. F. Sharygin

M974. Two players played a chess game, using a standard (double) time-punching clock. After both had made 40 moves, both clocks showed 2 hours 30 minutes.

34

М952. Обозначим через {x} дробную часть числа x; {x}=x-[x], где [x] — наиболее целое число, не превысая x.
a) Приведите пример числа a такого, что $\{a\}+\{1/a\}=1$.
b) Докажите, что такое число a не может быть рациональным.

М953. На плоскости даны шесть точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих по-

у первого треугольника меньше: $\angle A < \angle FOB$. Аналогично, $\angle C < \angle BOD$, $\angle E < \angle DOF$. Следовательно,

$$\angle A + \angle C + \angle E < \angle FOB + \angle BOD + \angle DOF,$$

a сумма в правой части (*) или равна 2π (когда треугольник BDF остро- или прямогольный; рис. 1), или меньше (когда этот треугольник тупоугольный; рис. 2). Точно так же доказывается, что $\angle B + \angle D + \angle F < 2\pi$ (поскольку $r_1 < 1$), и поэтому сумма всех углов шестиугольника меньше 4π, что невозможно. Таким образом, $r \geq 1$.

Справедливо и более сильное утверждение: в наших обозначениях либо $r > 1 > r_1$, либо $r = r_1 = 1$. Для доказательства прежде всего показем, что треугольники ACE и BDF остроугольные. Допустим, например, что угол BFD не острый. Тогда точка F лежит в круге с диаметром BD, то есть $MF \leq MB$, где M — середина BD (рис. 3). Следовательно, точка N пересечения серединного перпендикулара к BF с отрезком BD лежит между B и M. Равноедренные треугольники BFA и BFN имеют общее основание BF и при этом $BN \leq BM < 1 = BA$ (так как $2BM = BD < BC + CD = 2$), поэтому $\angle AFB > \angle FBD$. Аналогично, $\angle DFE > \angle FDB$. Но тогда угол шестиугольника при вершине F больше $\pi$ ($\angle F = \angle AFB + \angle BFD + \angle DFE > \angle FBD + \angle BFD + \angle FDB = \pi$), а это противоречит выпуклости шестиугольника.

Тем самым доказано, что права часть в неравенстве (*) равна 2π и, рассудкая так же, как выше, мы получим, что $r_1 \leq 1$ (инначе сумма углов шестиугольника оказалась бы больше 4π).

Наконец, если один из радиусов, скажем r, равен 1, то, очевидно, точки A, C и E симметричных центру O описанной окружности треугольника BDF относительно его сторона (рис. 4). Отсюда легко вывести, что $\triangle ACE = \triangle DFB$, значит, и $r_1 = 1$. (Волlee того, в этом случае треугольники ACE и DFB симметричных относительно середины отрезка OH, где H — точка пересечения высот треугольника BDF, так что противоположные стороны шестиугольника параллельны.)

E. Хорват, В. Н. Дубровский

a) Ответ: один из примеров $-a = 2 + \sqrt{3}$. Действительно, поскольку $2 + \sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 1$,
$\{a\} + \{1/a\} = (\sqrt{3} - 1) + (2 - \sqrt{3}) = 1$.

Вoceше, годится любое число вида $n \pm \sqrt{n^2 - 1}$, где $n$ — целое и больше 1.

b) Допустим, что число $a$ рационально и представим его в виде несократимой дроби: $a = m/n$. Если $\{a\} + \{1/a\} = 1$, то очевидно, $a + 1/a$ — это целое число; обозначим его через k. Итак, $m/n + n/m = k$, то есть $m^2 + n^2 = kmn$. Отсюда следует, что $m^2$ делится на n, а $n^2$ — на m, а треугольку m и n взaimно просты, это возможно лишь при $|m| = |n| = 1$, то есть при $a = \pm 1$. Но в этом случае $\{a\} + \{1/a\} = 0$. Следовательно, расматриваемое уравнение не имеет рациональных решений.

И. Варга

a) Ответ: 10 точек. Пример расположения с 10 точками тройного пересечения прямых показан на рисунке 1: за исходные 6 точек здесь берутся вершины и центр правильного пятугольника.

35

парно эти точки. Каково наиболее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются 3 из этих 15 прямых?

Рис. 1.

Рис. 2.

М954. a) В треугольник вписан прямолинк со стороны a и b так, что все его вершины лежат на сторонах треугольника. Пусть $a_1$ и $b_1$ — длины проекций треугольника на прямые, параллельные сторонам a и b прямолинкна. Докажите равенство
$$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} = 1.$$
б) В произвольный треугольник вписан прямолинк параллельned с ребрами a, b и c так, что все его вершины лежат на поверхности треугольника. Пусть $a_1$, $b_1$ и $c_1$ — длины проекций треугольника на прямые, параллельные ребрами a, b и c. Докажите равенство
$$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} + \frac{c}{c_1} = 1.$$

Покажем теперь, что на каждой из 15 расматриваемых прямых лежит не более двух точек трейного пересечения (отличных от данных), то есть что общее их число не превыходит (15·2): $3=10$ (при подсчете учитывается, что каждая из этих точек лежит на трех прямых).

Заметим, что 6 прямых, попарно соединяющих любые 4 из данных точек, пересекаются по две в трех точках (если среди этих прямых нет параллельных), причем эти три точки не могут лежать на одной прямой (рис. 2). Поэтому на прямой, соединяющей две оставшиеся точки, могут лежать самоое большое две точки трейного пересечения, что и требовалось доказать.

Выделенное курсивом утверждение нетрудно доказать строю, пользовать тем, что прямая, не проходящая через вершины треугольника и пересекающая одну из его сторон, пересекаетровно одну другую сторону *). Интересно, что в некоторых неевклидовых геометриях это утверждение принимают за аксиomy (аксиома Фано), а в некоторых геометриях оно и вовсе не выполняется.

В. В. Прасолов

a) Очевидно, на одной из сторон треугольника должны лежать две соседние вершины прямого лыжата, а на двух других сторонах — еще по вершине (рис. 1). В обозначениях рисунка 1 из готов怠ности треугольников ABC и NMC, ACD и ANK получаем
$$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} = \frac{NM}{AB} + \frac{KN}{DC} = \frac{NC}{AC} + \frac{AN}{AC} = 1.$$
Посям подробнее равенство $a_1=AB$, имея в виду, что в задаче 6) аналогичные утверждения не столь очевидны. Проекция точки C на прямую AB лежит на отрезке AB (иначе одна из точек K и L — проекций N и M на AB — должна быть лежать вне этого отрезка); следовательно, проекция треугольника на прямую KL=AB совпадает с его стороной AB.

6. Ясно, что на одной грани треугольра может лежать либо целая грань параллельпеда, либо одно его ребро, либо одна вершина, либо вовсе ни одной (впрочем, последнее, как мы увидим далее, неозможно). Расмотрим два случая.

7. Пусть какая-то грань KLMN параллельнеда лежит на грани ABC данной треугольра ABCD. Тогда параллельная грань $K'L'M'N'$ вписана в сечение $A'B'C'$ треугольра плоскостью этой грани (рис. 2). Пусть $KL=a$, $KN=b$, $KK'=c$. Поскольку проекция E вершины D на плоскость ABC лежит в треугольнике ABC (иначе одна из точек K, M, N должны быть лежать вне его), проекции $a_1$ и $b_1$ треугольра на прямые KL и KN совпадает с проекциями грани ABC на эти прямые. Проекция же $c_1$ треугольра на прямую KK’, очень.no, равна его высоте DE. Треугольник $A'B'C'$ готов怠чен треугольнику ABC с центром D и коэффициентом $k=DE'/DE=(c_1-c)/c_1=1-c/c_1$ (E’ — точка пересечения DE и плоскости $A'B'C'$), следовательно, проекции треугольника $A'B'C'$ на $K'L'$ и $K'N'$

*) См. учебник А. В. Погорелов «Геометрия 6—10» (теорема 1.2).

36

Рис. 2. Показанные здесь три возможных случай расматриются совершенно одинаково.

Рис. 3.

Рис. 4.

равны $ka_1$ и $kb_1$ и в силу задачи a)
$$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} + \frac{c}{c_1} = k \left( \frac{a}{ka_1} + \frac{b}{kb_1} \right) + \frac{c}{c_1} = k + \frac{c}{c_1} = 1.$$

2. Пусть ни одна из граней параллелепеда не лежит целиком в грани tetraэдра. Тогда на каждой грани tetraэдра должно лежать по две вершины параллелепеда, то есть по одному ребру. Легко понять, что среди этих четырех ребра два, скажем KL и MN, обязательно лежат в одной грани параллелепеда и параллельны, а два других — K’N’ и L’M’ — в противоположной грани и перpendикularны первым двум. Поэтому общее ребро AB граней tetraэдра, содержащих отрезки KL и MN, параллельно им, а противоположное ребро tetraэдра CD параллельно K’N’ и L’M’ (и перpendикularно AB; рис. 3).

Пусть EF — общий перpendикular прямы AB и CD, P и Q — точки его пересечения с плоскостями KLM и K’L’M’. Проекция $c_1$ tetraэдра на KK’, оченьindo, равна EF, а его проекции $a_1$ и $b_1$ на прямые AB и CD (которые параллельны KL и KN) совпадают с проекциями треугольника ABF на AB и CDE на CD. Расмотрим проекции наших многогранников на плоскости ABF (рис. 4, a) и CDE (рис. 4, б). Рассуждая так же, как в конце пункту a), убеждаемся, что точка E лежит между A и B, а F — между C и D. Следовательно, $a_1 = AB$, $b_1 = CD$. Теперь, пользовясь готоветничью треугольников на рисунках 4, a и 4, б, получаем
$$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} + \frac{c}{c_1} = \frac{FQ}{FE} + \frac{PE}{FE} + \frac{PQ}{FE} = 1.$$

Утверждение задачи справедливо и для произвольного параллелепеда, вписанного в tetraэдр, если под $a_1$, $b_1$, $c_1$ понимать длины параллельных проекций tetraэдра на ребра a, b, c параллелепеда вдоль плоскостей соответствующих граней параллелепеда.

В. Н. Дубровский

M955. За круглым столом сидят n участников «безумного чаепития». Каждый минуто одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в противоположном порядке (так чтолевые соседи у всех станут правыми и наоборот)? Решите эту задачу: a) для n=4, 5 и 6; b) для любого n≥3.

◆
a), б) Ответ: пусть $t_n$ — искомое наименьшее время (в минутах), тогда $t_{2k} = k^2 - k$, $t_{2k+1} = k^2$; в частности, $t_4 = 2$, $t_5 = 4$, $t_6 = 6$.

Докажем, что при $n \geqslant 4$
$$t_n \geqslant t_{n-1} + \left[ \frac{n-1}{2} \right]$$

([a] — целая часть a). Представим, что участники чаепития сидят в вершинах правильного n-угольника. Тогда их итоговое расположение получается из исходного симметрией относительной некоторой оси. Пусть A — один из участков, наиболее удаленных от оси, B — симметричный ему. Кратайший путь от A к B по границе много-

37

Угольника (красная ломана на рисунке 1) содержит $k \geqslant [(n-1)/2]$ сторон (см. рис. 1), поэтому $A$ должен пройти по пути к $B$ не менее $k$ сторон, то есть сделать не менее $k$ пересекаивания. Но при этих пересекаивания порядок взаимного расположения остальных $n-1$ участников не меняется и им нужно сделать еще по меньшей мере $t_{n-1}$ пересекаивания между собой, чтобы разместиться в противоположном порядке, откуда и следует (1).

Поскольку $t_3=1$ (рис. 2), из оценки (1) получаем, что

$$t_{2k} \geqslant 1 + \left[ \frac{3}{2} \right] + \left[ \frac{4}{2} \right] + \dots + \left[ \frac{2k-1}{2} \right] = 2(1+2+\dots+(k-1)) = k^2-k,$$

(2)

$$t_{2k+1} \geqslant 1 + \left[ \frac{3}{2} \right] + \dots + \left[ \frac{2k-1}{2} \right] + \left[ \frac{2k}{2} \right] = k^2.$$

(3)

Покажем, что найдетного здесь числа пересекаивания достаточно, то есть знак $\geqslant$ в (2) и (3) можно заменить на знак $=$. Занутерем участников частия по порядку от 1 до $n$ и разобем их на две группы — от 1-го до $k$-го и от $(k+1)$-го до $n$-го. Чтобы поменять порядок в первой группе, пересимит последовательно 1-го участника со 2-м, 3-м, …, $k$-м, затем 2-го — с 3-м, 4-м, …, $k$-м и т. д. (рис. 3). На это уйдет $(k-1)+(k-2)+\dots+1 = (k^2-k)/2$ пересекаивания. Аналогично, за $(n-k)(n-k-1)/2$ пересекаивания мы получим обратный порядок во второй группе. Всего при $n=2k$ или $n=2k+1$ (то есть $k=[(n+1)/2]$ надо будет произвести $k^2-k$ или $k^2$ пересекаивания, соответственно.

Приведем идею другого вывода оценок (2) и (3). Заметим, что из любых трех участников частия хотя бы две должны помещаться местами (инначе их порядок сохраняются). Соединним двух участников отрезком, если им ни разу не приходимся пересекаивать друг с другом. Мы получим набор отрезков с концами в $n$ точках (или, как говорят, граф с $n$ вершинами). В силу сделанного заменения, эти отрезки (ребра графа) не образуют ни одного треугольника. Нетрудно доказать по индукции, что граф с $n$ вершинами без треугольников содержит не более $[n^2/4]$ ребер (это частный случай как называемый теоремия Турана; доказательство для четного $n$ было дан в решении задачи М934a в «Кванте» № 11 за 1985 г.). Следовательно, количество пар участников, которые хотя бы раз пересекаивают друг с другом, не меньше $n(-1)/2 - [n^2/4]$, что, как легко проверить, совпадает с правой частью (2) или (3) — в зависимости от четности $n$.

В. В. Алексеев, В. Н. Дубровский

Ф963. Плоскости $P$ и $Q$ пересекаются под прямым углом и плоскость $P$ составляет угол и с горизонтом (рис. 1). Из некоторых точки $A$ пространства

Свободное padение шарика из точки $A$ на плоскость $P$ и дальнейшее его движение по параболическим траекторям удобно представить как суперпозицию движений в двух взаимного перпендикуляр-

38

на плоскость P свободно падает маленький шарик. Соударения шарика с плоскостями абсцилтоно упругие. При каком условиях шарик вовь оказывается в точке A? Изображение одну из возможных траекторий возвращения.

ных направлений — вдоль осей X и Y (см. рис. 1).
«Составляющие» движения будут равноскореными с $v_{0x}=v_{0y}=0$ и сускорениями $g_x=g \sin \alpha$ и $g_y=g \cos \alpha$. Упругие удары шарика о плоскости P и Q делают эти движения периодически. Обозначим расстояния от точки A до плоскостей Q и P через l и h; времена прохождения этих расстояний («туда» или «обратно») —

$$\tau_x = \sqrt{\frac{2l}{g \sin \alpha}}, \quad \tau_y = \sqrt{\frac{2h}{g \cos \alpha}}.$$

Возврат шарика в точку A будет реализован при одновременном его появлении в точке A как в движении по оси X, так и в движении по оси Y, то есть если будет соблюдаться равенство

$$\tau_x = k \tau_y,$$

где k — рациональное число. При этом условия всегда найдутся неокоторые чисяла m и n, равные «числу ходов» шарика по осям X и Y от начала движения до его появления в точке A:

$$m \tau_x = n \tau_y.$$

Найдем реализую траекторию, по которой шарик может опять попасть в точку A. Используя соответствия отрезков путьей, проходимых в равноскореном движении за равные последовательные интервалы времени (при $v_0=0$), можно графически точно показать места ударов шарика о плоскости P и точки касания его траектории (отрезков парабол) оси X.

На рисунке 1 траектория спуска от точки A до удара о плоскость Q показана сним цветом. Возврат в точку A возможно лишь в том случае, если шарик после «отражения» от плоскости Q где-то опять «сядет» на эту же траекторию и будет двигаться по ней «вверх». Никакая другая траектория не приведет шарик в точку A (в той точке обязательно $v_x=v_y=0$).

В частности, если плоскость Q шарик встретиет на линии $A_1B_1$ ($m=2, n=2$), или на линии $A_2B_2$ ($m=2, n=4$), или на $A_3B_3$ ($m=2, n=6$) и т. д., то он сразу же после упруго удара оказывается на синей траектории и обязательно вернется в точку A.

Тепер обратим внимание на красную траекторию на рисунке 1. Если после отражения от плоскости Q шарик попадает на эту траекторию, то, движясь по ней «вверх», он в точке B отразится от

$$Puc. 1. |AA_1|:|A_1A_2|:|A_2A_3|= =|BB_1|:|B_1B_2|:|B_2B_3|= =1:3:5.$$

39

Плоскости $P$, вновь окажется на этой же траектории и почти по ней в обратную сторону (красная траектория отвечает движению шарика, брошенного из точки $B$ со скоростью $v_0$ такой, что $v_{0y} = \sqrt{2gh} \cos \alpha$, $v_{0x} = 0$).

В точках пересечения красной и синей траектории $|\vec{v}_{x1}| = |\vec{v}_{x2}|$ и $|\vec{v}_{y1}| = |\vec{v}_{y2}|$ согласно закону сохранения энергии, и становится понятным, что если в одной из этих точек (в точке $D$ или в точке $E$) окажется плоскость $Q$, то шарик с синей траектории в этой точке «переседет» на красную траекторию, пройдет по ней до точки $B$ и обратно до плоскости $Q$ и, вторично «пересев» на синею траекторию, вернется в точку $A$. При этом для точки $D$ $m_D = 4$, $n_D = 6$; для точки $E$ $m_E = 4$, $n_E = 10$.

Но в обшем случае пересадки с синей траектории на красную и обратно должны осуществляться через «промежутные параболи» (они на рисунке 2 показаны зеленьм цветом), причем какая-то из них, имея касание с осью $X$, будет обязательно иметь касание с осью $Y$. (На рисунке 2 приведена вся траектория движения шарика при $m = 8$ и $n = 10$.)

Если $k$ — irrationalное число, на плоскости $Q$ зеленье параболи никогда не пересечится с красной, и шарик никогда не окажется в точке $A$.

Г. С. Ланудус

Ф964. Материальные точки образуют замкнутую систему. Между любыми двумя точками системы действует сила притяжения, равная $\vec{F}_{ij} = km_i m_j \vec{r}_{ij}$, где $m_i, m_j$ — массы точек, $\|\vec{F}_{ij}\|$ — сила, действующая на точку $i$ со стороны точки $j$, $\|\vec{r}_{ij}\|$ — расстояние между точками (рис. 1), $k$ — постоянный коэффициент. В начальной момент все части покоягся. Докажите, что через некоторое время все точки столкнутся. Определите это время, если известны масса всей системы $M = \sum_j m_j$ и коэффициент $k$.

Докажем, что частицы одновременно столкнутся в центре масс системы.

По определению центра масс радиус-вектор $\vec{r}$, проведенный из начала координат в центр масс, есть

$$\vec{r} = \sum_j m_j \vec{r}_j / M,$$

где $\vec{r}_j$ — радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку $c$ массой $m_j$.

Поместим начало координат в центр масс системы. Тем самым мы положим $\vec{r} = \vec{0}$. Но согласно (1) это означает, что $\sum_j m_j \vec{r}_j = \vec{0}$. (Это равенство мы в дальнейшем использовать.)

Сила, действующая на $i$-ю точку со стороны точки $j$, может теперь быть выражена так:

$$\vec{F}_{ij} = km_i m_j \vec{r}_{ij} = km_i m_j (\vec{r}_j - \vec{r}_i).$$

So стороны всех точек системы на $i$-ю точку действует сила

$$\vec{F}_i = km_i \sum_j m_j (\vec{r}_j - \vec{r}_i) = km_i \sum_j m_j \vec{r}_j - km_i \sum_j m_j \vec{r}_i =$$

$$= \vec{0} - km_i \vec{r}_i \sum_j m_j = -km_i M \vec{r}_i$$

(мы учили, что $\sum_j m_j \vec{r}_j = 0$). Перепишем (2) в виде $\vec{F}_i = -\alpha_i \vec{r}_i$, или в скалярной форме

$$F_i = -\alpha_i r_i,$$ где $\alpha_i = kMm_i$.

Мы видим, что каждая точка движется так, как если бы она была соединена с центром масс системы приложенной жесткости $\alpha_i = kMm_i$, и в нерасти-

40

нутом состояний длина пружины нульевая.

Так как в начальной момент все точки покопились (и пружины при этом были растуты), в дальнейшем каждая точка будет движаться примоленной по направлению к центру масс. Время, за которой точка $i$ должен до центра масс, — это четверть перiodа колебаний груза массой $m_i$ на пружине жесткость $\alpha_i$:

$$t_i = \frac{T_i}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m_i}{\alpha_i}} = \frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{kM}}.$$

Как видно, $t_i$ не зависит от параметров конкретиной точки; следовательно, все частицы одновременно придуут в центр масс через время $\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{kM}}$.

А. Г. Самосват

Ф965. Длинный цилиндрический сосуд наполнен идеальным газом до давления $p_0$. Сначага температура цилиндра поддерживается постоянной и равной $T_0$. Затем температуру одной из торцевых стенок сосуда повышают $\Delta T$, а температура противоположной стены остается прежней. НачиTu установившееся давление в сосуде и положение центра масс газа. Считать, что $\Delta T \ll T_0$.

◆ После установления равновесия в разных местах сосуда давление газа будет одним и тем же, а температура будет различной: больше влизации более теплой стены и меньше — у противоположной. Если $\Delta T \ll T_0$, то можно считать, что температура меняется по линейному закону

$$T(x) = T_0 \left( 1 + \frac{\Delta T}{T_0} \frac{x}{l} \right)$$

(см. рисунок). Мысленно разобем сосуд на тонкие слоны толщиной $\Delta x$ такие, что в пределах каждой слоя можно считать температуру газа постоянной. Для газа в каждой таком слое выполняется условия

$$p = n(x) \cdot k \cdot T(x),$$

где $p$ — давление в сосуде, $k$ — постоянная Больцмана, $n(x)$ — объемная концентрация газа в данной слое. Видно, что концентрация тоже зависит от $x$

$$n(x) = \frac{p}{kT_0 \left( 1 + \frac{\Delta T}{T_0} \frac{x}{l} \right)} \approx \frac{p}{kT_0} \left( 1 - \frac{\Delta T}{T_0} \frac{x}{l} \right)$$

(мы воспользовались приближенным равенством $\frac{1}{1+\alpha} \approx 1-\alpha$ при $\alpha \ll 1$) и по линейному закону меняется от $n_0 = \frac{p}{kT_0}$ у «холодной» стены до $n_l = \frac{p}{kT_0} \left( 1 - \frac{\Delta T}{T_0} \right)$ у «теплою». Среднее значение концентрации

$$n_{cp} = \frac{n_0 + n_l}{2} = \frac{p}{kT_0} \left( 1 - \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T_0} \right).$$

Выразим через $n_{cp}$ полное число молекул в сосуде:

$$N = Sln_{cp} = \frac{pSl}{kT_0} \left( 1 - \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T_0} \right)$$

( $S$ — площадь торца цилиндра). С другой стороны,

$$N = Sln_0 = \frac{p_0Sl}{kT_0},$$

где $n_0$ — концентрация газа в сосуде при $p_0$, $T_0$. Из (1) и (2) находится давление в сосуде при установившемся равновесии:

41

$$p = \frac{p_0}{\left(1 - \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T_0}\right)} \approx p_0 \left(1 + \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T_0}\right).$$

Теперный положение центра масс газа:

$$x_{\pi, \text{M}} = \frac{S}{N} \int_0^L dx \cdot x \cdot n(x) =$$

$$= L \left(1 + \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T_0}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \frac{\Delta T}{T_0}\right) \approx L \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{12} \frac{\Delta T}{T_0}\right).$$

Таким образом, центр масс смесителя в сторону более холодной стены на

$$\Delta l = \frac{1}{12} \frac{\Delta T}{T_0} L.$$

Смешение центра масс каждого на первый взгляд парадокальным, однako естественно объясняется взаимодействием молекул газа со стенками сосуда. Дело в том, что в процессе установления равновесия изменение импульса молекул, стальивающих с более теплой стенкой, будет больше, чем у тех, которые стальиваются с противоположной стенкой. Это приведет к передаче импульса от стенок сосуда газу, а значит, и к смешению центра масс газа.

В. И. Комов

Ф966. Для цлюстрации поверхностного натяжения одну из мультиных пленок, натянутых на парадокальным, однako естественно объясняется взаимодействием молекул газа со стенками сосуда. Дело в том, что в процессе установления равновесия изменение импульса молекул, стальивающих с более теплой стенкой, будет больше, чем у тех, которые стальиваются с противоположной стенкой. Это приведет к передаче импульса от стенок сосуда газу, а значит, и к смешению центра масс газа.

ВЫЯсним сначала, вид какой кривой примет нить под действием силы поверхностного натяжения. Легко доказать, что в случае $l < \pi d/2$ это будет дуга окружности, так как, предположив противное (то есть что радиус кривизны нити не постоянен), приdem к тому, что равновесие нити невозможно.

С учетом этого найдем, что в случае $l > \pi d/2$ нить будет иметь два прямолинейных участка длиной $x = \frac{1}{2} \left(l - \frac{\pi d}{2}\right)$ и получокружность (так как точки $C$ и $D$ покрытся) радиусом $d/2$ (рис. 2).

Пусть сила натяжения нити $T$ (см. рис. 2). Расматривая симметричные участки нити, можно записать:

$$2T = \sum_i \sigma \cdot \Delta l_i \cdot \cos \alpha = \sigma d \Rightarrow T = \frac{\sigma d}{2}.$$

Л. Г. Маркович

Ф967. Стопку очень тонких металлических пленок, находящся на одинаковых расстояниях друже от друза, заряжают от батареи следующим образом. Отрицательную клемму батареи соединяют с самой правой пленкой, а положительную клемму присоединяют по очереди к самойлевой пленке, затем ко второй слева, к третьей и т. д. до предпоследней (второй спра-

Обозначим через $S$ площадь каждой пластины, $d$ — расстояние между пластинами, $\mathcal{E} — \partial D C$ батареи. Найдем, какая загрудное на самом правой пластине (1) после того, как загрудили $k$-ю пластину справа.

Расстояние между этим пластинами равно $(k-1)d$, разность потенциальов равна $\partial D C$ батареи $\mathcal{E}$, и, следовательно, напряжениеэлектрического поля в промежутке между этим пластинами должны быть равна

42

$$E = \frac{\varepsilon}{(k-1)d}.$$

Это электрическое поле создает отрицательным зарядом, расположенным на пластине 1, и всем положительным зарядам, находящимся на уже заряженных пластинах (рис. 2). Так как направность поля бесконечной заряженной плоскости не зависит от расстояния до нее и не меняется при ее перемещении, то мы можем мысленно привидить все положительное заряженные плоскости к $k$-й справа. При этом получится плоский заряженный конденсатор с расстоянием между пластинами $(k-1)d$. Так как поле в плоском конденсаторе равно $Q/\varepsilon_0S$, где $Q$ — заряд каждой пластины, то отрицательный заряд самой правой пластины (1) после зарядки $k$-й справа будет равен

$$Q = \frac{\varepsilon_0S}{(k-1)d}.$$

Таким же по величине будет суммарный заряд на всех положительных заряженных пластинах.

Заряд самой $k$-й пластины можно найти из следующих сообщений. До ее заряжки положительный заряд всех пластин слева до $(k+1)$-й включительно был равен $Q' = \frac{\varepsilon_0S}{kd}$, общий положительный заряд после зарядки $k$-й пластины стал равен $Q = \frac{\varepsilon_0S}{(k-1)d}$. Следовательно, заряд самой $k$-й пластины равен

$$Q = \frac{\varepsilon_0S}{d} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right).$$

Тепер можно ответить на вопрос, поставленный в задаче. Отрицательный заряд, который в конце концов соберется на самой правой пластине, как следует из выражения (1) для $k=2$, будет равен

$$Q_1 = \frac{\varepsilon_0S}{d}.$$

Заряд пластины 3 (выражение (2) $k=3$) —

$$Q_3 = \frac{\varepsilon_0S}{d} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{\varepsilon_0S}{6d}.$$

Таким образом, искомое отношение зарядов

$$Q_1:Q_3 = 6.$$

Е. П. Соколов

Список читателей, приславших правильные решения

Большинство читателей, приславших решения задачи M926—M940, Ф938—Ф952, справились с задачи M926, M929, M931, M936, Ф938, Ф941—Ф943, Ф947, Ф951, Ф952.

Ниже мы публикуем фамилии тех, кто прислаждался решения остальных задачи (цифры после фамилии — последние цифры номеров решений задачи).

Математика

Х. Азаев (с. Тюркба Аз. ССР) 33, 37; Н. Азазарян (Абовян) 33—35; Н. Азамов (С. Бальчики Андджанской обл.) 37—39; А. Аксенов (Великие Луки) 28, 34, 37, 38; М. Александров (Москва) 28, 33, 37—40; А. Алексейчик (Одеска) 37; М. Алт (Одеска) 28, 37, 38; Я. Аргентов (Алма-Ата) 32, 33, 37; В. Асамбаев (Алма-Ата) 37; А. Асташкевич (Томск) 28, 33—35, 37, 38; В. Балахонцев (Алма-Ата) 37; А. Баран (Киев) 28, 30, 33, 37, 39; Н. Безденежных (Нижний Тагил) 30, 32—34; Р. Безрукавников (Калуга) 28, 30, 33, 34, 38; В. Берездивин (Донецк) 33, 37; О. Бесман

43

(Алма-Ата) 37; И. Биндер (Ленинград) 28; Е. Боомол (Алма-Ата) 37; М. Бойко (Киев) 30, 32, 39; М. Бона (Секешфехервар, ВНР) 33, 39; А. Буза (Ульяновск) 37; Я. Варшавский (Харьков) 28, 32, 33, 35, 37, 38; М. Веклер (Ленинград) 28; И. Вербовский (Алма-Ата) 37; Т. Газарян (Ереван) 32—35, 37—40; Д. Гамарник (Тбилис) 33, 37—40; Г. Гевондян (Ереван) 37, 38; О. Геворков (Тбилис) 28, 37, 38; О. Гендельман (Харьков) 30, 38; Р. Гендлер (Ташкент) 28, 33, 38—40; О. Гeuпель (Дрезден, ГДР) 28, 30, 32—35, 37—40; А. Глуцик (Харьков) 28, 38; Р. Гой (Львов) 28, 33; Г. Горбатенко (Арзамас) 28; А. Гороховский (Киев) 28, 32, 33, 35, 38—40; Д. Гребнева (Алма-Ата) 37; П. Григорьёв (Алма-Ата) 37; Н. Григорьев (Андропов) 28, 33, 35, 37—39; Л. Грипбер (Алма-Ата) 37; М. Грипбер (Харьков) 30; Р. Грипив (Львов) 28, 33, 37, 38; А. Давтян (Ереван) 32—35, 37—40; А. Дементьев (Нальчик) 28; Г. Дементьев (Алма-Ата) 37; А. Джафаров (с. Торкоба Аз. ССР) 33, 37; М. Добрицын (Москва) 28, 32—35, 37—39; А. Донченko (Киев) 28, 32, 33, 35; С. Дубаденко (Алма-Ата) 37; М. Дудник (Алма-Ата) 33, 37; А. Дыников (Жуковский) 28, 32, 33, 35, 37—40; И. Дыников (Жуковский) 28, 32, 33, 35, 37—40; А. Жаксыбеков (Алма-Ата) 37; С. Железовская (Саратов) 33, 37, 38; В. Журавлев (Гайворон) 28, 30, 32, 33, 35, 38; П. Задоржный (Киев) 32, 33, 35, 37, 38; Д. Зайцев (Киев) 28, 33, 35, 37, 38, 40; Л. Запольский (Москва) 37, 38; А. Захаров (Гатчина) 28; И. Захаров (Алма-Ата) 37; А. Иванов (Первомайск Николаевской обл.) 38, 40; М. Изнавье (Саратов) 28, 32, 33; И. Кан (Семипалатинск) 38; В. и И. Капович (Хабаровск) 28, 33, 34, 38; Х. Каримбердев (Ташкент) 28; О. Карпасовский (Винница) 28, 33, 37; А. Киселев (Ленинград) 28, 32—34, 37—39; А. Козинский (Гайворон) 33, 35; И. Козуля (Жуковский) 33, 38; Д. Коноваленко (Севастополь) 30; А. Коненko (Киев) 33, 37—39; Ю. Королев (Казань) 37; А. Коршков (Мозырь) 33, 38; Д. Кохманок (Киев) 28; В. Краценко (Алма-Ата) 37; В. Крулликов (Харьков) 33, 38; И. Крылов (Ленинград) 32, 33; О. Крылов (п. Эльдикан Як. АССР) 35, 39; М. Кукс (Львов) 28, 37; А. Купшин (Алма-Ата) 37; М. Куриной (Харьков) 28, 32, 33, 37—40; С. Кутацев (Конаково) 28; И. Кутацев (Донецк) 33, 37; Л. Ленящий (Ленинград) 28, 32, 33, 37, 38, 40; О. Лимешко (Куйбышев) 28, 33, 35, 38; А. Литвак (Ленинград) 28, 32, 33, 37—39; М. Литвиков (Киев) 28, 32, 37, 38; А. Лобковский (п. Черноголовка Московской обл.) 38; И. Лучинин (Алма-Ата) 37; М. Макаров (Севастополь) 28, 30, 32, 34; К. Мамуров (Душанбе) 28, 30, 33, 35, 37—39; В. Матвеев (Челябинск) 37, 38; Ю. Махлин (Москва) 28, 37, 38, 40; С. Меленцевич (Минск) 28; В. Меркулов (Куйбышев) 38; А. Минасан (Ереван) 33, 35; Т. Мисирпашаев (Москва) 28, 32, 33, 37, 38; Г. Михалкин (Ленинград) 28, 33, 35, 38, 40; С. Михно (Краснодар) 28; Д. Музафаров (п. Герматук Аз. ССР) 30; М. Мунькин (Алма-Ата) 28, 32, 33; З. Мусина (Алма-Ата) 37; А. Назорный (Слук) 32, 33, 38; Е. Назорская (Ереван) 28; И. Неронов (Алма-Ата) 33; Ю. Ним (п. Черноголовка Московской обл.) 38; О. Ниц (Одеcca) 28, 30, 32, 33, 37,

44

И. Варда (Салонта, СРР) 45; А. Васильев (Краснойск) 39; А. Вилькоцкий (Минск) 39, 45, 49, 50; Р. Воливач (Днепропетровск) 45, 48; В. Волков (п. Погранничный Приморского кр.) 45; С. Волков (Нихний Тагил) 49; А. Волдько (Одеcca) 39; А. Волошин (п. Ивановка Иссык-Атинского р-на) 39; Г. Габададзе (Тбилис) 42; А. Гаек (Днепропетровск) 48—50; О. Гендельман (Харьков) 49; А. Глазок (Киев) 50; Л. Головань (Красногорск Московской обл.) 46; Л. Гольдштейн (Киев) 39; С. Гончарик (Баранович) 46; Л. Горкин (п. Научный Крымской обл.) 49; А. Гречишников (Миасс) 49; В. Гриберд (Москва) 44, 49; В. Гурарик (п. Черноголовка Московской обл.) 45, 48, 50; Л. Гуревиц (Кемерово) 44; А. Дементье (Нальчик) 46, 49; Д. Дементье (Нальчик) 46, 49; В. Добровольский (Тбилис) 49, 50; А. Дода (Корсунь-Шевченковский) 42, 44, 45, 48, 49; А. Дыников (Жуковский) 39, 45, 48, 50; И. Дьяков (п. Черноголовка Московской обл.) 49; Д. Ежиков (Минск) 39, 48; М. Ермаков (Рига) 45; С. Ефремов (Запорожье) 39, 45; А. Жариков (Киев) 39, 42, 44, 45, 48—50; В. Жевlakов (п. Черноголовка Московской обл.) 42, 45, 49, 50; А. Желудев (Москва) 44, 45; А. Жуков (Киев) 49; О. Заборонский (Москва) 49, 50; Р. Зайчиллиан (Белорец) 42; Н. Захарова (Алма-Ата) 45; К. Зварц (Киев) 44, 45, 50; В. Зелов (Новосибирск) 49; Е. Зельцер (Киев) 48; К. Зимин (Запорожье) 45, 48, 49; В. Зинерман (Самарканд) 45, 49, 50; И. Иванов (Калуга) 49; С. Иванов (Уфа) 44, 45, 48, 49; О. Изнатывае (Новополюк) 44; В. Калацкий (Солигорск) 45, 49; А. Калацников (Киев) 49; В. Каменькович (Харьков) 49; И. Каплан (Сумгант) 49; А. Карякин (Тамбов) 39; М. Кач (Саратов) 45; В. Кирьяшкин (Саратов) 48, 49; А. Киселев (Ленинград) 45, 49; П. Кларк (Тула) 44, 45, 49; И. Коваленко (с. Термаховка Киевской обл.) 49; Е. Кожевников (Москва) 49; Ю. Кондратенко (Киев) 42, 50; А. Краковский (Харьков) 48, 49; В. Краисков (Мозырь) 50; А. Красота (Киев) 45; В. Кращенко (Алма-Ата) 45; С. Крючков (Ногинск) 49; А. Курачев (Новосибирск) 39, 48—50; Д. Кушер (Мыттищи) 48, 50; П. Лаврентьев (п. Черноголовка Московской обл.) 45, 49, 50; А. Левенштейн (Донецк) 45, 49, 50; Л. Люзнов (Москва) 49, 50; М. Литвионов (Киев) 39; Ю. Лобзаков (Киев) 44—46; А. Лобковский (п. Черноголовка Московской обл.) 49; И. Луценко (Донецк) 44, 45, 49, 50; П. Лушинков (Москва) 42, 44, 45, 50; А. Максимов (Ташкент) 45; М. Магрушис (Харьков) 45; Г. Марченко (Саратов) 45; С. Маслов (Москва) 49; Ю. Махлин (Москва) 39, 44, 45, 50; З. Мачарадзе (Тбилис) 45; В. Мелик-Алавердян (Ереван) 44, 45, 49; К. Мельников (Пермь) 45; А. Мельничук (Хабаровск) 39; В. Микизиль (Ростов-на-Дону) 39; Т. Мисирашев (Москва) 39; Е. Михалок (Минск) 42, 48—50; С. Михно (Москва) 50; А. Мицаненко (Новосибирск) 48, 49; Д. Мozileueв (Шклов) 39, 45, 49, 50; А. Мудрик (Брест) 45; С. Настенко (Киев) 39, 48, 49; А. Недачин (Киев) 48; С. Никитенко (Киев) 48, 49; И. Никитин (Горький) 39, 42, 45; Г. Николашвили (Тбилис) 39, 44, 45, 48, 49; Т. Никольская (Донецк) 45, 49, 50; С. Новиков (Херсон) 45, 48—50; А. Нурмадамбетов (Новосибирск) 45; А. Оводенко (Донецк) 45, 49, 50; А. Янчук (Дубровица) 45, 50.

45

Программирование на микрокалькуляторе: ветвление и цикл

В. В. РОЖДЕСТВЕНСКИЙ,
С. Г. ХЛЕБУТИН

Эта заметка предназначется в первую очередь для девятиклассиков, изучающих курс «Основы информационных и вычислительных технологий» и имеющих доступ к программируемому микрокалькулятору.

В предыдущеем номере «Кванта» рассказываюсь о том, как простейшие программы, написанные на учебном алгоритмическом языке, можно «трансслировать в коды программируемого микрокалькулятора», то есть автоматически превращать такие программы в списком команд для микрокалькулятора (см. статью Л. Ф. Штернберга «Programmiрование на микрокалькуляторе: простейшие программы»). Здесь мы продолжаем этот рассказ. Речь躬дет о трансляции двух основных конструкций алгоритмического языка: ветвления и цикла. Изложение ведется применительно к микрокалькулятору «Электронка МК-54», но незначительными изменениями может быть присооблено к другим моделям отечественных программируемых калькуляторов.

Прежде всего, посмотрим как работает калькулятор в автоматическом режиме, то есть когда программа выполняется без вмешательства человека. Для управления выбором команды из памяти служит некоторая специализная ячейка, называемая счетчиком адресом.

Эта ячейка может содержать любой адрес программной памяти.

Если в авторном режиме нажать клавишу C/П, то тем самым отдается приказ калькулятору наать автоматический работу. Это значит, что калькулятор анализирует содержимое ячейки программиной памяти, на которую указывает счетчик адреса, выполняет ту или иную операцию и изменяет содержимое счетчика адреса. Такие действия называются тактом работы программы. Последовательно выполняя такты, программа считает, пока не встретиет команды СТОП.

Если в программе нет операций переходов, то в процессе выполнения одного такта значение счетчика адреса увеличивается на единицу. Операции перехода предназначены именно для того, чтобы менять содержимое счетчика адреса по нашему устройству. Как же работает команды перехода?

Рассмотрим команды БП и Fx∨0, где ∨ обозначает один из знаков операции сравнения: <, =, ≥, ≠. Для работы этих команд необходимо использовать две ячейки памяти: одну для хранения кода команды и следующего для хранения некоторого адреса.

Работа команды БП осуществляется так: калькулятор помещает в счетчик адреса тот адрес, который у нас записан в следующей последке кода БП ячейке.

Команда Fx∨0 делает следующее: если условие x∨0 выполено, то старое содержимое счетчика адреса увеличивается на два, если условие не выполено, то в счетчик адреса помещается адрес из следующего за кодом команды Fx∨0 ячейки.

Пример 1. Проследим за изменением счетчика адреса в процессе потокового выполнения следующего программы (см. таблицы ниже).

46

Итак, мы видим, что наличие операций перехода позволяет нарушать естественный (по порядку следования адресов) последовательность команды, а это как раз и необходимо при программировании конструкций «цикл» и «ветвление».

Конструкция «цикл»
На алгоритмическом языке такая конструкция выглідит следующим образом:
пока условие
нц
серия
кц
Для облегчения перехода конструкции «цикл» на язык калькулятора мы будем записьать ее в несколько ином виде, а именно:
пока
v ∨ 0
серия
кц
Здесь v — аргументческое выражение, ∨ — один из знаков сравнения, описанных выше.
Предлагаем следующую схему перехода оператора цикла с алгоритмического языка на язык калькулятора (здесь X обозначает вершину стека):

Заметим, что команда K НОП (нет операции) хотя и не влечет никакого действия, но удобна для установления соответствия между ключевыми словами (пока, кц). алгоритмческого языка и командами калькулятора, а также облегчает прослеживание логики программы. Выравнивание записей по вертикали удобно для поиска адресов перехода и для чтения программы.

Пример 2. Разработаем программу вычисления m=n!

На учебном алгоритмическом языке программа выглідит так:

алг факторial (цел m, n)
арг n
рез m
нач цел
ввод n
m:=1
i:=1
пока i<n
нц
i:=i+1
m:=m*i
кц
вывод m

кон
Обратите внимание на то, что в тело программы мы вставили две дополнительные команды (ввод и вывод) — они облегчают трансляцию.
Теперь можно транслировать программу. Сначала опишем место хранения переменных в виде таблицы.

Переменные n m i
Память RgO Rg1 Rg2

Оттраслированная программа выглідит так:

Адреса Команды Коды
00 C/П 50
01 X→ПО 40
02 1 01
03 X→П1 41
04 1 01
05 X→П2 42
06 K НОП 54
07 П→X2 62
08 П→X0 60
09 - 11
10 F x<0 5C
11 22 22
12 П→X2 62
13 1 01
14 + 10
15 X→П2 42
16 П→X1 61
17 П→X2 62
18 X 12
19 X→П1 41
20 БП 51
21 06 06
22 K НОП 54
23 П→X1 61
24 C/П 50