Квант 1986, №4 · Страницы

КВАНТ
4
1986

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

9.33 вошел
Земли
ми лево
9,42 В
хорошее.
склею лоши.
Земли укий мне
по ВС+1
12. IV 61 - ГАГАРИН

На этой странице в разных видах показана седлообразная поверхность, известная математиком под названием гиперболический параболон. Ее можно задать в пространственной системе координат Оxyz уравнений z=xy — тогда она выглядел так, как показано на рисунке слева вверху. Этот рисунок заметен из замечательной книги Д. Гильберта и С. Кон Фоссена «Назлядная геометрия» (M.: «Наука», 1981 г., с. 23), которое мы рекомендуем приобрести всем любителем геометрии.

Обратите внимание, разглядывать портрет поверхности z=xy, на приме, лежащие на ней (паример на координатные оси 0x и 0y). Можно доказать, что через каждую поверхность проходитровно две прямые, челиком в ней содержащие. Волее того, все поверхность образована бесконечным семейством прямых, соединяющих две фиксированные скрещивающие прямые. Таких семейства — два; составляющие их прямые называются прямолинейными образующими, их можно рассмотреть на рисунке справа вверху.

Однаго гиперболического параболона — не только развлечение для любителей геометрии. Он очень часто используется в архитектуре для создания крыш и перекрытии: наличие прямолинейных образующих позволяет составить красную, необъемную скривленную поверхность из общих поверхных (приложенных) элементов. Здание с такой крышей показано на рисунке вниз. Такая же крыша имеет у здания плавающего бассейна спортомплеска «Олимпийский» в Москве.

У гиперболического параболона есть и другие, менее известные приложения. Например, в биологии. Так, рисунок справа вверху из статы Н. М. Аглома о популяционной генетике из этого номера «Кванта».

1

В НОМЕРЕ:

2. Г. М. Гречко. К читательм «Кванта»

3. Т. К. Бреус. Снова на свидание с Марсом

4. И. М. Яглом. Генетика популяций и геометрия

5. В. А. Бронистэн. Как движется Луна?

6. А. В. Бялко. Полет к Солнцу
   G. М. Grechko. To the readers of Kvant
   T. К. Breus. Another date with Mars
   I. М. Yaglom. Population genetics and geometry
   V. А. Bronshten. How the Moon moves
   A. V. Byalko. Flight to the Sun

7. Лаборатория «Кванта»
   A. А. Боровой. Капилляры и смачивание
   Kvant’s lab
   A. А. Borovoy. Capillaries and moistening

8. Школа в «Кванте»
   Matematika 10
   Избранные школьные задачи
   Kvant’s school
   Mathematics 10
   Selected school problems

9. «Квант» для младших школьников
   Задания
   A. П. Савин. Рисунок помогает рассуждать
   Kvant for younger school children
   Problems
   A. P. Savin. Drawings help your reasoning

10. Калейдоскоп «Кванта»
    Kvant’s kaleidoscope

11. Задачик «Кванта»
    Задания M976 — M980; Ф988 — Ф992
    Решения задач M956 — M960; Ф968 — Ф972
    Kvant’s problems
    Problems M976 — M980; P988 — P992
    Solutions M956 — M960; P968 — P972

12. Искусство программирования
    Ю. В. Котов. Посмотрим на экран
    The art of programming
    Yu. V. Kotov. Looking at the display

13. Полупроводниковые элементы вычислительной техники
    VIII. Регистры
    Semiconducting elements in computers
    VIII. Registers

14. Практикум абитуриента
    А. И. Вуздин, С. С. Кротов. Тепловые процессы в газах
    College applicant’s section
    A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Heat processes in gases

15. Варианты вступительных экзаменов
    Entrance examination problems

16. Информация
    Заочная физическая школа при МГУ
    Information
    Moscow university physics correspondence school

17. Ответы, указания, решения
    Смесь (4)
    Шахматная страница
    Неподвижные фигуры
    (3-я с. обложки)
    Answers, hints, solutions
    Miscellaneous (4)
    The chess page
    Motionless pieces
    (3rd cover page)

(C) Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1986

2

Дорогие друзья!

Серодня мы встречаем двадцатипятительные начала этой пленов человека в космос. Четверть века назад, 12 апреля 1961 года Юрий Гагарин ступил первым на тот путь, который ниже становится все более наезженной магистралью.

25 лет — мало и много. Мало — ибо события тех лет настояло ярки и незабываемы, что казется современным недавним. Много — потому что за четверть века меняются поколения и в мире техники, и среды людей.

В первых пленах космоса был единственным в корабле, а основное значение его — испытания корабля и самого себя в экстремальных условиях. За то время, пока космоса первого набора ожидали своего второго пленета, сама космическая техника и задачи исследовании изменялись настолько, что приходилось не раз и не два проходить переподготовку. Слетать дважды по схожей программе просто не представлялось возможным. Каждый пленет был пленом в неведомое. Работа в космосе, научные и технические эксперименты делали лишь perвыые, не всегда уверенные, шаги…

Серодня, порошестив четверти века, возникло новое поколение космической техники и новое поколение космосов. Их теперь не просто числом большие, они теперь большие летают (как дольше, так и чашце). Можно всегда говорить о профессионализме, «многогоразовости», что ли, космосов, об отчетственной школе их подготовки.

С развитием орбитальных комплексов открылись особенно широкости научного эксперимента в уникальных условиях космоса. Теперь космической экипаж — коллектив экспериментаторов, где взаимовыручка и помощь не исключают углубленной специализции по отдельным проблемам.

Как пример — исследование оптических явлений в околоземном пространстве. Серебристые и перламутровые облака, светящиеся «усы» суммечной атмосферы и полярные сияния над горизонтом, расположенное Солнце и мерцалоше звезды на восходах и заходах — вот далеко не полная палитра любопытных явлений верхней атмосферы. Прижды мне посчастливилось быть участником эксперимента на орбитальные станции, и полученный за это время общий материал наблюдающий составил содержание многоих научных работ. Обработка результатов этих наблюдений приносит немалую пользу.

И как радостно знать, что результат эксперимента нуждке, так и горестно слышать, как строятся планы приспособления космоса к целям учичжения. Досадно, что средства уходят на осуществление военных программ, что наличие оружия массового учичжения приводит к недоверию.

Хочеется верить, что люди мира предодолеют опасные планы, и мы будем свидетельми и участниками многоих мирных научных экспериментов в космическом пространстве.

С уваженем

Г. М. Гречко/

3

Снова на свидетельс с Марсом

Кандидат физико-математических наук
T. K. БРЕУС

Венера и Марс — ближайшие соседи Земли. Вместе с Меркурием они составляют так называемую земную группу планет, сходных по своим свойством (массам, размерам, составу) и, по-видимому, по проискждению и эволюции.

Пожалуйста, ни с какой другой планетой солнечной системы человека не связьало такое множество легенд, экзотических гипотез и смелых фантазий, как с планетой Марс. Из-за своего чуть красноватого цвета Марс казался нашим предметом зловещим. Собственно, с этим связано само название планеты и ее спутников: в переводе с греческого «Марс» — богатойны, «Фобос» и «Деймос» — страх и ужас. Не удивительно ли, что предсказанные сказочные лапутянскими астроνομами в знаменитых «Путешествия Гулливера» Дж. Свифта два спутника Марса были действительно обнаружены спутра полтора столета американским астрономом А. Холлом! А обнаруженные итальянским астрономом Дж. Скипапрелли «марсианские каналы», породившие оптимisticические надежды на существование «братьев по разуму» на Марсе, оказались естественных геологическими структурами — русами «высохших рек»!

Теперь, когда число космических станций, посылаемых к Марсу, исчисляется десятиками, надо признаться, что мечтатели и оптимисты разочарованы, специализыми многое узнали, но загадок и гипотез не убавилось, хотя они уже не столбят экзотичны, как раньше. Первые серые исследования Марса советскими автоматическими международными станциями «Марс» были проведены в 1971 году. А сейчас в Советском Союз идет подготовка нового космического проекта исследований Марса и двух его спутников. Этот проект получил название «Фобос». Академия наук СССР приглала участие в проекте научные организации социальтических стран, а также ФРГ, Австрии, Финляндии, Швеции и Европейского космического агентства.

Два космических аппарата будут запущены с космодрома Байконур в июле 1988 года и в течение двухсот дней по дороге к Марсу будет исследовать Солнце и свойства межпланетной среды. Затем аппараты станут искусственными спутниками Марса и научут «жить» на круговой орбите, по которой обращается вокруг Марса его естественный спутник Фобос. Один из аппаратов научет «охоту» за Фобосом, постепенно приближаться к нему, чтобы рассмотреть его с «разных точек зрения». Второй аппарат либо последует за первым, либо направится к Деймосу.

Оба спутника Марса, по-видимому, являются захваченными Марсом астроидными телами. Астероны, так же как и кометы, не претерпели сервисных геологических изменений с момента образования солнечной системы. По этой причине исследование астроидов и комет дает возможность судить об условиях формирования тел солнечной системы и их последующей эволюции. А это очень важно для понимания происхождения и эволюции Земли, проблемы природных жизни.

Первый шаг на этом пути уже сделан — космические аппараты «Вега» встретились с кометой Галлея. В проекте «Фобос» будет осуществлено, по-видимому, неисредственное знакомство с астроидным телом — с Фобосом.

Можно многое рассказать об интересных задах проекта «Фобос». С орбиты искусственного спутника Марса будут проводиться исследование самой планеты — ее рельефа, поверхности, атмосферы и т. д. Есть и задачи по изучению свойств Марса как планеты в целом. В одном из таких экспериментов, называемом условия «Плазма», будет исследовать иносфера Марса.

Как и у Земли, иносфера Марса состоит из плазмы, содержащей электроны ионы. В иносферах Земли и других планет концентрация загрязнений частица сначала увеливает-

4

ся с ростом высоты, достигая максима на некоторой высоте, а затем начинает спадать.

В проекте «Фобос» предполагается получить высотное распределение концентрации электронов в верхних слоях ионосферы Марса. Изучение ионосферы важно по себе, так как ее свойства определяют во многом «жизнь» планеты. Кроме того, знание «устройства» ионосферы планеты помогет ответить на вопрос: есть ли у Марса собственное магнитное поле?

С тех пор, как открыли солнечный ветер — потоки плазмы, испускаемой Солнцем в межпланетное пространство, — стало ясно, что планеты существуют не в космической пустоте.

Обдувающий планеты солнечный ветер — чрезвычайно разреженная среда, содержащая всего несколько частиц или несколько десять частиц в 1 см$^3$. Однако, если у планеты нет экрана — собственного магнитного поля, две плазмы — солнечная и планетная (ионосфера) — интенсивно взаимодействуют друг с другом. В результате этого взаимодействия образуется резкая верхняя граница ионосферы, разделяющая две плазмы — ионосферную и солнечную. Ионосфера плазма под «напором» солнечного ветра оказывается поджатой со стороны Солнца. Именно это процессит у Венеры, не имеющий собственного магнитного поля.

Совершенно другая картина наблюдается у Земли. Земля имеет защитный экран — собственное магнитное поле, которое «остановливает» поток солнечного ветра далекого от земной поверхности. Ионосфера Земли защищена таким образом от солнечного ветра и ведет себя в основном независяном от него.

А что происходит на Марсе? Собственное магнитное поле у Марса есть, но оно очень слабенькое, в десяти тысяч раз слабее, чем у Земли. Но все-tаки оно есть! (Венера пока единственная немагнитная планета из исследований). Однако неясно, служит ли марсианское магнитное поле таким же экраном для планеты, как земное поле для Земли. Если — да, то верхняя ионосфера Марса должна вести себя так же (или похожим образом), как земная. Если же — нет, если магнитное поле Марса настолько мало, что солнечный ветер не «ошушает» его присутства, то ионосфера Марса должна быть похожа на венерианскую.

Ответа на этот и многое другие вопросы учены от экспертиции к Марсу и Фобосу.

Генетика
популяций
и геометрия

Доктор физико-математических наук
И. М. ЯГЛОМ

Математика
и нематематика

В ряду всех наук математика занимает современное особое, принадлежшее лишь ей одной место. Естественные науки — физика, химия, астрономия, биология, геология, минераология,… — изучают мир, в котором мы живем; гуманитарные науки — литература, литературноеведение, юридические (право), история, этика, естеника, социология,… — изучают человека общество в разных его проявлениях, то есть также нечто realmente существующее, поддающееся наблюдением и даже эксперименту. В противоположность этому математика используется некоторые астрономические конструции, вроде числа $\sqrt{2}$ или (также на самом деле не существующей в природе!) линии, не имеющей ширины, а только длину; точнее всего объекты математики можно определить, указав, как, скажем, в геометрии, полный список аксиом, который эти объекты должны удовлетворять. При этом выдающая роль математики связана с приложением ее как к естественным, так и к гуманитарным наукам, с возможностью «математического моделирования» объектов реального мира. При математическом моделировании производится такое отношение этих объектов с теми или иными математическими понятиями, при котором отношения между этим понятиями достаточно точно передают отношения между интересующими нас реальными «вещими». Это и позволяет изучать эти «вещи» с помощью чистого математических рассуждения. Это общую схему использования математики мы проиллюстрируем здесь на примере изучения явлений наследствности, точнее, популяционной генетики.

Наследствие

Следуя простейшей классической схеме, идущей от Г. Менделя*), мы сосредоточим внимание на каком-то одном передающемся по наследству признаке, который определяется парой генов; таким признаком является, например, цвет шерсти (черный или коричневый) морских свинок. Каждый из генов, ответственных за этот признак, может быть одного из двух типов — G или g: один из них, обозначаемый большой буквой G, задает домининтный (главенствующий) вариант признака (в нашем примере — черная окраска), другой — g — рецепсивный (подавляемый) вариант признака. Это означает, что внешний вид грибидной свинки Н со смешан-

*) Австрийский естественный Грегор Иоганн Менделя (1822—1884), служивший настоящем монастры на территории нивенней Чехословакии, заложил основы современного учения о наследствности (генетики).

8

Скрещивание с «гибридами». Пусть теперь особи популяции $P = P(d, h, r)$ скрещиваются только с гибридными особями Н. Рассуждая, как в первом примере, мы получим, что половина потомков попучит от гибридного родителя ген $G$, а другая половина — $g$, причем в каждой из этих половин особи, у которых вторым геном (наследуемым от родителя из популяции $P$) будет $G$, составят долю $\Gamma$, а особи со вторым геном $g$ — долю $\gamma$. Следовательно, для наследственной популяции $P'(d', h', r')$ имеем

$$d' = \frac{\Gamma}{2} = \frac{d}{2} + \frac{h}{4}, \quad h' = \frac{\Gamma}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{2}, \quad r' = \frac{\gamma}{2} = \frac{r}{2} + \frac{h}{4}.$$

Сравнивая координаты точек $P'(\Gamma/2, 1/2, \gamma/2)$ и $P_0(\Gamma, 0, \gamma)$, убеждаемся, что точка $P'$ получается из $P$ приgomетии с центром $H$ и коэффициентом 1/2 (рис. 4). А это значит, что преобразование $f_2$, переводящей $P$ в $P'$, можно представить как композицию проектарования в направлении $h$ на прямую, соединяющую середины $M$ и $N$ сторона DH и HR нашего треугольника, иgomетии с центром в середине $T$ отрезка MN и коэффициентом 1/2.

Из этого представления непосредственно видно, что наследственное преобразование $f_2$ сразу преводит треугольник DHR (множество всех популяций) в среднюю линию MN (множество популяций, наполовину состоящих из гибридов) и имеет единственную неподвижную точку (устойчивую популяцию, сохраняющую свой состав) — точку $T$ (1/4,

Graph

Рис. 4.

Послеовательные поколения $P'$, $P'' = f_2(P')$, … изображаются точками прямой MN; каждая из них переходит в следующую приgomетию с центром $T$ и коэффициентом 1/2 (проектировать их, конечно, уже не нужно). Поэтому популяции $P'$, $P''$, … неограниченно приближаются к устойчивой популяции $T$.

Задачка 3. Пусть $f_{abc}$ — наследственное преобразование, отвецощее скрещивание популяции $P(d, h, r)$ с фиксированной популяцией $P(a, b, c)$ (конечно, $a,b,c \geq 0$ и $a+b+c=1$); например, $f_{100}$ и $f_{010}$ — это рассмотренные в тексте преобразования $f_1$ и $f_2$. Запишите формулы преобразования $f_{abc}$ и выясните его геометрический смысл, найдите устойчивые популяции. Что происходит при многократном повторении преобразования $f_{abc}$?

Панмиксия.
Закон Харди — Вейнберга

Рассмотренные выше наследственные преобразования $f_1$ и $f_2$ имеют, в первую очередь, учебный характер. Гораздо большие значения для популяционной генетики играет наследственное преобразование $P' = f(P)$, где популяция потомков $P'$ получается в пределложении чисто случайного образования пар из состав популяции $P$ — этот метод образования брачных пар биологически называют панмиксей (полным смешиванием особей популяции). При этом считается, что в jenской и мужской части популяции $P(d, h, r)$ доли особей каждой из типов D, H, R одинаковы (и, конечно, равны $d, h, r$). Ясно, что производимый научд выбор брачных пар и последующей выбор пары генов, передаваемой потомку (по одному гену от родителя), можно заменить прямым случайным выбором пары генов из генофона популяции $P$. При этом частота, с которой будет возникать пар $GG$ (то есть доля $d'$ доминантных особей в наследственной популяции $P'$), будет равна $\Gamma^2$, частота пар $Gg$ и $gG$ (доля $h$ гибридных особей) — $2\Gamma\gamma$, а пар $gg$ (доля $r'$ резессовных особей) — $\gamma^2$. Итак,

$$d' = \Gamma^2 = (d + h/2)^2, \quad h' = 2\Gamma\gamma = 2(d + h/2)(h/2 + r), \quad r' = \gamma^2 = (h/2 + r)^2$$

(обратим внимание на то, что $d' + h' + r' = (\Gamma + \gamma)^2 = 1$).

Формулы в рамках выражают один из основных законов популяционной

9

генетики — так называемый закон Харди — Вейнберга, с которой начинается буквально любое изложение этой столь важной сегодня дисциплины; они показывают, как меняется состав популяции при условии «истого смешивания» — при отсутствии каких-либо дополнительных факторов, регуляционных образование брачных пар.

Выясним геометрический смысл преобразования $f$ (то и есть закон Харди — Вейнберга). Заметим, прежде всего, что состав генофонда популяции $P'$ и $P$ одинаков, поскольку $\Gamma' = d' + h'/2 = \Gamma^2 + \Gamma\gamma = \Gamma(\Gamma + \gamma) = \Gamma$.

Как мы уже знаем, это значит, что точки $P$ и $P'$ лежат на прямой, перpendикулярной стороне $DR$. Положим теперь $DP_0 = x$ (рис. 5), тогда $\gamma = r_0 = x \sin 60^\circ = x\sqrt{3}/2$, следовательно,

$$h' = 2\Gamma\gamma = 2(1 - \gamma)\gamma = \sqrt{3}x(1 - x\sqrt{3}/2).$$

Как известно, в обычной (прямогольной) системе координат (рис. 5) это уравнение при $0 \leq x \leq DR = 2/\sqrt{3}$ задает друг П парабoles; отметим, что в наших «координатах относительно треугольника $DHR$» она имеет уравнение $h^2 = 4dr$ (поскольку $h'^2 = 4\Gamma^2\gamma^2 = 4d'r'$). Легко проверить, что эта парабола проходит через точки $D, R$ и $T$ (середину средней линии $MN$) и касается в этих точках прямых $DH, RH$ и $MN$.

Таким образом, точка $P' = f(P)$ лежит на пересечении перpendикуляра $DR$, проведенного через $P$, и указанной парабoles, других словами,

$$\begin{array}{c} H \\ M \\ T \\ R \\ P' \end{array}$$

Рис. 5.

преобразование $f$ есть параллельное проектирование треугольника $DHR$ на дуг $\Pi$ парабoles в направлении $h$.

Отсюда сразу П неподвижны, то есть все популяции $P$ ($d, h, r$) такие, что $h^2 = 4dr$ устойчивы относительно наследственного преобразования $f$. Последний результат, в определенном смысле, является парадокальным: из него следует, что в достаточно большой популяции при отсутствии мутации и (искусственного или естественного) отбора эволюция всегда осуществляется за один шаг. Дальнейшее скрещивание особей в таких условиях уже не меняет относительно состав популяции: если $P' = f(P)$, $P'' = f(P')$, и т. д., то $P' = P'' = \dots$ Оdnako в результате жизни также идеализированные условия скрещивания никогда не имеют места: выполняются они всегда лишь более или менее приближенно. Поэтому и закон Харди — Вейнберга задает лишь первое приближение к реализации условия скрещивания никакются с помощью дальнейших, условиям математических модели (см., например, задачу 4.). Разумеется, полученные с их помощью результаты надо каждой раз сравнить с наблюдающими над живот природой.

Задача 4. Пусть границы пары в популяции $P$ образуют чисто случайно (как при панмиксини), но грибиды отличаются по жизни способов наследственной популяции в живых остатся лишь $k$-я часть (при $k > 1$ это означает, что направить, сохраняться лишь $(1/k)$-я часть особей типов $D$ и $R$). Опишите соответствующее геометрическое преобразование треугольника $DHR$. Как оно устроено при $k = 0$ (полное вымирание грибидов) и при $k = \infty$ (полное вымирание особей $D$ и $R$)?

Закон Харди — Вейнберга был независяimo открыт в 1908 г. в Кембридже молодым английским математиком Годфри Харольдом Харди и в Вене авторский врачом Вильгельом Вейнбергом. (Воспел逮ии историки науки установили, что пятую годами раны тот же закон — в несколько других его формы — был указан английским биологом У. Е. Кастлом, работа которого, од-

10

нако, никак не была заменена.) Любопытно отметить, что выдающийся специализит в области теории чисел Г. Х. Харди является воинственным адептом «чисой» науки: в своей научной авторографии «Апология математика» (к сожалению, эта интересная книга на русский язык не переведена) он с темпераментом доказывает премиущества яркой и богатой идеями «чисой» математики перед «прикладной» науки, совершенно незаслуженно казавшейся ему скучной; хорошо курс математического анализа Харди вызывающе назван «Курсом чисой математики». Оdnako сегодня более 90 % всех упоминаний имени Харди в научной и учебной литературе связано не с его выдающимся работами теоретического содержания, а с единственным юношеским его «грехом» — с выполненной в молодости прикладной работе по популяционной генетике, содержание которого мы только что изложили.

Поговорим о дальнейшем

Выше мы рассмотрели самую простую генетическую схему, когда какой-то признак, проявляющийся в двух вариантах, определяется парой генов, каждой из которых может быть двух типов. Оdnako и число генов, и число их различных типов, да и законы их внешнего проявления могут быть другими. Об одной из таких более сложных систем передачи наследственных признаков мы сейчас коротко расскажем.

Известны наследственные признаки, встречающиеся уженшин гораддо режке, чем у мужчин. К ним относятся, например, гемофилия (несвертываемость крыви) и цветовая слепота (несспособность различать некоторые цвета, чашце всего красный и зеленьй). Вторую из этих более_NEW впервые описал страдавший его знаментийный англійский химик Дж. Дальтон (1766—1844); по его имени она вписледствии была назван «дальтонизмом». Сам Дальтон считал, что это мужская более_NEW. Здесь он ошибался, что и не удивительно: по статистике дальнейто 8 % среди мужчин и только 0,5 % среди женши. Причина этого различия объясняется в так называемой X-хромосоме. Эта хромосома вместе с другой — Y-хромосомой — определяет пол человек*): в клетках jenского организма имеет по две

*) Так же обстоит дело у других млекопитающих и неокторы насекомых.

Анонамистический месяц
А₁
А₂
Земля
Перiode

Разница между сизерическими и сИЮгическими месяцев
Луца
Земля
Солнце

Рраконтический месяц
Пиоиссоскные зимние месяцев
Ω₁
Ω₂ (восходящие)
удени

Как движется Луна?

Кандидат физико-mатематических наук
В. А. БРОНШТЭН

Вероятно, многое читатели «Кванта» удивятся: до чего легкий вопрос! Все знают, что Луна — единственный естественный спутник Земли — движется по эллипсу, совершая один оборот за 27,3 суток. И движение это происходит в строгом соответствии с закономи Кеплера, являющимся следствием закона всемирного тяготения, открытоного Ньютоном. Все это верно, но…

Теория движения Луны оказывается одной из самых сложных задач небесной механики, на решение которого нужно два с поливиной века (считая только от Ньютона). В разработку этой теории вложили трудные замечательные учены, как Эйлер, Клеро, Даламбер…

Так в чем же были трудности? Как их удалость предолеть?

Четыре лунных месяцев

Движение Луны изучали еще астрономы Древнего Вавилона. Они тщательно регистрации моменты солнечных и лунных затмений. По этим данным древнегреческий астроном Гипарх (П век до н. э.) определил дительность основных периодов, характеризующих движение Луны. По традиции мы будем называть их «месяцами».

Таких месяцев с древних времен было известно четыре. Сидерический, или звездный, месяц — это период обращения Луны вокруг Земли; он определяется по перемещению Луны относительно неподвижных звезд. Синодический месяц — промежуток времени между двумя последовательными новолунями (или пололунями). Аномалистический месяц — это период между двумя последовательными прохождениями Луны через период своей орбиты. Наконец, драконический месяц — это промежуток времени между двумя прохождениями Луны через восходящий узел ее орбиты — точку пересечения орбиты с плоскостью эклиптики (телер мы знаем, что это не что иное как плоскость земной орбиты, но во времена Гипарха Земля считалась неподвижной, а плоскость эклиптики считалась плоскостью орбиты, по которой Солнеце движалось вокруг Земли).

Гипарх рассчитал, основываясь на datos наблюдающий затемний астрономами, что через каждые 345 лет положения Солнца, Луны, перигree и узлов лунной орбиты повторяются; иначе говоря, 345-летний цикл содержит целое число всех четырех месяцев. Выводимые из цикла Гипарха продолжительности лунных месяцев лишь на немогие доли секунды отличаются от тех значений, которые получаются астрономы теперь, накопив наблюдания еще за 21 столетие (эти значения приведены на с. 14).

Почему синодический месяц длине сидерического, объяснить нетрудно. Смена лунных фаз зависит от положения Луны относительно Солнца. Луна вместе с Землей обращается вокруг Солнца. Неправление этого движения совпадает с направлением обращения Луны вокруг Земли. В результате движение Луны по ее «околоземной» орбите происходит как бы с отставанием: повторение лунных фаз происходит не через сидерический месяц, а через более длительный период, который и называет синодический месяц. Нетрудно получить такое соответствие между дительностиями сидерического (S) и синодического (P) месяцев:

$$\frac{1}{S} = \frac{1}{P} + \frac{1}{T},$$

где $T$ — дительность земного года (в сутках).

Тот факт, что аномалистический месяц длине сидерического, по существу ознакомлен, что сама лунная орбитка как целое выражается (в собственной плоскости), и линяя, соединяющая перигree и апогей орбиты (то есть большая ось лунного эллипса), называется линейной апсид, поворачивая в том же направлении, в каком движется Луна. Так что Луне приходит постояно «догонять» своей перигree.

Драконический месяц, напротив, короче сидерического. Это значит, что

линия узлов поворачивается навстречу движению Луны.

Причина повората большой оси лунного эллипса и лунни узлов была найдена лишь в XVIII века, после создания Ньютоном теории всемирного тяготения. А еще через стоятия эта теория позволяет траектории движения искусственных спутников Земли, обрелла, так сказать, вторую молодость. Но — обо всем по порядку.

Лунные неравенства

С именем древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (ок. 100 — ок. 165) обычно представляет всего геоцентрическую систему мира, против которой боролись Коперник, Джордано Бруно, Галилей, Кеплер. Но Птолемей внес большой вклад в развитие астрономии, в частности, в теории движения Луны. Правда, в тот период речь могла идти только о кинематической теории, либо причины и истинные законы движения небесных тел известны не были.

В течение длительного периода развития астрономической науки считалось, что небесные тела могут двигаться только равномерно по окружности. Если движение выглядело более сложным, то его можно представлять комбинацией движений по нескольким окружностям. Именно так поступил Птолемей с Луной.

Движение Луны по небу было неравномерным. Чтобы представить его комбинацией равномерных движений по окружности, надо было сначала определить величины отклонений от равномерного движения, или так называемых неравенств. И во время Птолемея, и даже во время Кеплера и много позже было принято назвать «неравенствами» отдельные компоненты отклонения положения Луны от положения вообразаемой точки, движущейся по эклиптике равномерно с периодом, равным средичному месяцу. Таким образом, слова «неравенство» в астрономии означает совсем не то, что оно означает в математике. Впрочем, в современной науки встречается с подобными примерами буквально на каждом шагу. Так, слова «элемент» означает в химии одно, а в электротехнике совсем другой. Никто не спутает ядро кометы, ядро живой клетки и ядро атома. А сейчас мы встретиемся с еще одним примером употребления привченных нам терминов в ином смысле.

Все положения на небе Луны, Солнца, звезд и планет уже во время Птолемея изменились в системе координат, наполнявших географические долготу и широту. И назывались эти координаты почти так же: астрономическая долгота и астрономическая шириота. Только шириота небесных светил отсутствия оси плоскости эклиптики (напомним, что в те времена так называлась плоскость, в которой лежала орбита Солнца, обращающейся вокруг Земли), а долгота — от точки весеннего равноведствия, в которой Солнце раз в год пересекает небесный экватор. Взявшись за определение лунных неравенств, Птолемей рассматривал в основном неравенства по долготе, вывод шириту по наклону лунной орбиты, равному 5°, — именно таким определил этот угол Гиппарх, «муж трудолюбия и поклонник истинны», как называ его Птолемей. (По современным данным Гиппарх ошибся всего на 8 минут дуги).

Общее неравенство Е движения Луны по долготе Птолемей представил следующей формулой (в современных обозначениях):

$$E = 6^\circ 15' \sin l + 1^\circ 18' \sin (2D - l) + 19' \sin 2l.$$

16

эклиптике. Но когда он попытался вывести скорость смесения лунного перигея, то получил результат, вдвое меньший наблюдаемого.

Да, теория движения Луны оказалась креплим орешком и для самого Ньютона, и для длиного ряда его последовательей. В чем же состояние главная трудность?

Мы знаем, что основная сила, действующая на планеты, — притяжение Солнца. Под действием этой силы планета должна описывать кеплеров эллипс. Притяжение других планет, массы которых в тысячи, сотни тысяч и миллионы раз меньше массы Солнца, приводит лишь к небольшим отклонениям от кеплеров эллипса, которые приятно называть возмущениями. Эти возмущения неvelikки и их нетрудно вычислить. (Известно, что по возмущениям в движении Урана астрономы Дж. Адамс и У. Леверь независимо вычислили положение и орбиту неизвестной до того планеты, вызывающей эти возмущения, — его оказался Нептун.)

В случае Луны дело обстоятель совершено иначе. Луна в своем образлении вокруг Земли постояно подвергается возмущению со стороны самого массивного тела солнечной системы — Солнца. К тому же эти возмущения изменяются в течение аномалтического места (с изменением расстояния от Луны до Земли) и в течение года (с изменением расстояния от Земли до Солнца).

Конкурс Петербургской академии наук

Прошло три четверти века со времен публикации бессмертного труда Ньютона «Математические наука натуральной физиологии». И хотя сам Ньютон пытался разрабатыть теории движения Луны, его теория не давала требуемой точности. А ведь в те годы теория движения Луны имела практическое значение: по астрономической долготе Луны определили географическую долготу места на Земле. Поскольку Луна перемещалась по небу в среднем на 13° в сутки, ее положение на небе в данной час завиSELО от долготы места. Мореплаватели и путешественники пользовались этим для определения географических долгот.

И вот в 1750 году Петербургская академия наук объявила конкурс на лучшее исследование по такой теме: «Показать, согласны ли все неравенства, которые наблюдаются в движении Луны, с ньютоновской теории, и какой должна быть истинная теория всех этих неравенств, чтобы по ней можно было со всем точностью определять место Луны на любое время».

Эта формулировка была выбрана неслучайно. Мы помним, что Ньютон потерпел неудачу в теоретическом определении скорости смесения лунного перигея. В 1745 году эту же задачу попытались решить два замечательных французских математикas — Алексис Клод Клеро (1713—1765) и Жан Лерон Даламбер (1717—1783). Оба они были членами Парижской академии наук, явными соперниками в науке, над лунной проблемой работали совершенное неравенство. Решая задачу о движении лунного перигея, они оба пришли к тому же выводу, что и Ньютон: период обращения большой оси лунного эллипса теоретически должен быть в два раза большие, чем это следует из наблюдания. Оба учены даже высказали мысль, что закон Ньютона неточен и требует поправок. Именно это заключение столб авторитетных учены и вызывало объявление конкурса Петербургской академии наук с приведенной выше формулировкой.

Но уже за несколько месяцев до объявления конкурса, в мае 1749 года, Клеро нашел причину «расходения» теории Ньютона с наблюдаями. Теория была не винована. Дело в том, что даваемое теорей аналитическое (в виде формулы) выражение для смесения перигея представило собой степенной ряд вида $k_0 + k_1 m + k_2 m^2 + \dots + k_n m^n + \dots$, где $m$ — отношение суточных смесений Земли и Луны по их орбитам ($m \approx 1/13$), $k_n$ — численные коэффициенты. Значение $m$ мало по сравнению с единицей, и каждый следующий член ряда много меньше предыдущего. И Ньютон, и Даламбер, и Клеро брали для вычисления значения смесения перигея, ограничиваясь лишь первым членом ряда. Это, как договора Клеро, и приводило к результату расходения теоретически расчитанной и реализной скорости смесения лунного перигея. Учтя в выражении для смесения второй

член, Клеро получил обнадеживающий результат: расхождение теории с наблюдаемыми уменышпLOBь в три с лишним раза. Чем больше членов брал Клеро, тем больше стремилось к нулю расхождения с данными наблюдаемыми.

В 1752 году Клеро представил Петербургской академии наук большой темуар, озаглавленный «Теория Луны, выведенная из единственного начала притяжения, обратно пропорционально квадратам расстояний». Эта работа была удостоена наначенной премии и издана в Петербурге. В ней Клеро решает задачу наращивание эллипсе, каким и является в существии орбита Луны. В своей работе Клеро впервые показал, что лучные неравенства проявляются не только в долготе и шипоте Луны, но и в расстоянии от нее до Земли. В формулах теории Клеро каждая из величины (долгота, шипота и расстояние) выражается уже суммой из 20 членов ряда.

Работа Клеро для толчок к новым исследованием. Даламбер решил проверить выводы Клеро и пришел к тем же результатам, хотя и другим способом. Дейстительный член Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707—1783) усовершенствовал теории Клеро, сделав ее более удобной для составления таблиц движения Луны. Такие таблицы вскоре были составлены немецким астрономом Тобиасом Майером. Спустя 20 лет Эйлер вовь обратился к теории движения Луны. В 1772 году он издал труд, озаглавленный «Теория движения Луны, изложенная новым способом». И действительно, в этой работе был предложен принципально новый способ построения лунной теории.

Идеи, заложенные во второй лунной теории Эйлера, позволяют в принципе достичь наиболее точного описания движения Луны. Однако эти идеи опередили свое время — развитие науки тогда было недостачно, чтобы на их основе получить окончательное решение задачи. И лунные теории продолжали развивать по стартому, «прототипному» пути.

Как строить теории?

Teория Клеро, Даламбера и первая лунная теория Эйлера принадлежали к классу аналитических. В этих теории выражения для координат небесного тела (или для элементов его орбиты) выводятся как решения уравнений движения, даваемых теории Ньютона. Построение таких теорий требовало тогда громадного труда. Создатель одной из лучших аналитических теории французский астроном Шарль Делоне (1816—1872) затратил на ее 20 лет непрерывной работы. Зато теория Делоне может быть применена не только к Луне, но и к любому другому спутнику планеты, в том числе и к искусственному спутнику Земли.

В численных теории цельный ряд элементов орбиты береется из наблюдаемия, а затем уточняется в ходе расчетов. Лучший из численных теории движения Луны была теория немецкого астронома П. А. Ганзена (1795—1874), на основе которой были составлены таблицы движения Луны, служившие астрономам почти полвека — до начала двадцатьх годов нашего столета.

Нанбольший успех выпал на долю численно-аналитических теории, наало которых было положено второй лунной теории Эйлера. При этом лишь немногое величины берутся из наблюдаемия и подставляются в уравнение движения до их решения.

В 1888 году американский астроном Джордж Хилл (1838—1914) использовал идеи Эйлера для построения своей теории движения Луны. Ему удалось получить скорость движения перигеля лунной орбиты аналитических. Все неравенства движения Луны были разделены им на классы, в зависимости от того, какие величины входили в то или иное неравенство. Тем самым всегда была как бы «расслована» на несколько отдельных задач, каждая из которых решалась отдельно. Теория Хилла довел до конца американский астроном Эрнест Браун (1866—1938). Ему удалось преодолеть одну за другой все оставшиеся трудности теории и достичь точности, достигающий для удовлетворения наблюдаемия наала и середины двадцатого века. Выражение для долготы Луны в теории Браун содержало 552 члена, для шипоты — 487, для радиуса вектора Луны — 304 члена. Были

(Окончание см. на c. 48)

18

Полег
к Солнцу

Кандидат
физико-mатематических наук
А. В. БЯЛКО

Когда бы смертным
столь высоко
Возможно было
возлететь,
Чтоб к солнцу бренно
наше око
Могло, приблизившись,
смотреть,
Тогда б со всех открытся
стран
Горяцей вечно океан…
Там огнены валы
стремятся
И не находится берегов.
Там выхри пламенны
крутятся,
Борющись множество
веков,
Там камни, как вода,
кипят,
Горяцей там домди
шумят…

М. В. Ломонсов

Есть высказывание: «самая интересная поверхность — это человекое лице». Зададимся вопросом: с какой поверхностью в природе можно сравнить лице человека по его содержательности и непредсказуемой изменчивости? Сильный соперник есть — это поверхность Солнца.

Посторите на фотографию Солнца на с. 19. К сожалению, она не может дать полного представления о красоте и сложности нашего светила. Его поверхность очень недорога, на ней не найти двух одинаковых участков; и все это разнообразие постоянно изменяется. Кроме того, солненая поверхность переменна по спектру — при наблюлении в свете с разными длинами волн она оказывается раз-личной. Это происходит потому, что принимаемое нами от Солнца излучениеrazных длин волн формируется на разных высотах солнечной атмосферы.

Явления на поверхности Солнца — возникновение и движение пятен, их исчезновение, солнечные вспышки, мощные протуберанцы и т. д. — отражают сложные процессы, происходит во внутренних слоях нашей звезды. Что происходит на Солнце вatomных масштабах — известно. Известно, например, как взаимодействует свет с отдельными atomами, как atoms взаимодействуют между собой. (Солнце на 99,9% состоит из atomарного водорода и гелия.) Оdnako

20

Вычислим все же (это нам пригодится для дальнейшего), сколько времени продолжался бы такой поле от Земли до Солнца.

Траектория падения на Солнце — отрезок прямой — это предельный случай вытянутой эллиптической орбиты с большой полусьью, равной половине радиуса земной орбиты. Согласно третьему закону Кеплера, квадраты перiodов обращения тел по орбитам относятся как кубы больших полусейн орбит. Значит, время $t$ падения на Солнце (то есть поливну перiodа обращения по вытянутой орбите с большой полусьью $R_\oplus/2$) можно определить из условия $(2t)^2/T_\oplus^2 = (R_\oplus/2)^3/R_\oplus^3$, где $T_\oplus$, $R_\oplus$ — период обращения и радиус орбиты Земли. Поскольку $T_\oplus$ — это 1 год, $t = 1/4\sqrt{2}$ года ≈ 0,177 года.

Время прямого поле оказалось не велико, но начальная его скорость, увы, пока не достигна. Как же проверсти поле к Солнцу с намиными энергетическими затратами, с намишей стартовой скоростью? Наболее экономичный поле использует gravитационное поле Юпiterа для торможения станции на ее орбите вокруг Солнца. Но для того, чтобы осуществить этот маневр, к Юпiterу надо подлететь с определенной скоростью. А для этого, в свою очередь, необходимо, чтобы предолев земное притяжение, станция вышла на орбиту, имея относительно Солнца начальную скорость $v_0=40,5$ km/c; следовательно, относительно Земли скорость станции в это время будет 10,5 km/c. Итак, поле начинается с разгона ракеты в ту же сторону, куда направлена скорость движения Земли по ее орбите. Какую стартовую скорость надо сообщить ракете?

Чтобы могло предположить земное притяжение, при старте ему нужно сообщить кинетическая энергия соответствует второй космической скорости $v_{\text{II}}=\sqrt{2gR_\oplus} \approx 11,2$ km/c.*) Но будьте внимательны — не нужно прибавлять к 10,5 km/c вторую космической скорость, чтобы получить стартовую! Из

*) В матровском номере «Кванта» за этот год в разделе «Школа в «Кванте» была опубликана заметка «Вторая космическая скорость». Мы советуем читательм познакомиться с ней. (Примеч. ред.)

закона сохранения энергии полуаем, что стартовая скорость с поверхности Земли в нашем случае равна $v_{\text{ct.}} = \sqrt{(v_0 - v_\oplus)^2 + 2gR_\oplus} \approx 15,5$ km/c.

Кстати, знаете ли вы, где на земной поверхности находится наличище (из энергетических сообщений) место старта? Это вулкан Климанджаро в Танзании, гора высотой 5,9 км почти на экваторе. С учетом сплошности Земли вершина вулкана — самая удаленная от центра точка земной поверхности (дальше Эвереста!). Там наименьшее на Земле ускорение свободного падения. Вершина вулкана, однако, всегда покрыта снегом, и строить там космодром пока не собираются.

Продолжим наш поле. Он прохождение по участку эллиптической орбиты, пересекающий орбиту Марса и подходящей к орбите Юпitera (рис. 1). Промежуточная цель поле — Юпiter, самая большая из планет солнечной системы. Он должен затормить станцию, погасить ее скорость относительно Солнца — тогда станция начинает падать на Солнце. Чтобы в момент подлега станции Юпiter нахождение в точке пересечения орбит, в момент старта он должен находиться в точке, отмещенной на рисунке 1 нульевым времени. Позаботиться еще, чтобы в момент пересечения орбиты Марса он оказался достаточно далеко от автоматической станции и не исказил ее траектории.

Рис. 1. Траектория поле к Солнцу с минимальной стартовой скоростью. Вдоль траектории — время поле в годах. В момент пересечения с орбой Юпitera, через 1,35 года после старта, происходит с Юпiterом и торможение станции до нулевой относительной Солнца скорости. Далее космический корабль свободно падает к Солнцу.

21

Рис. 2. Траектория корабля при сьлижении с Юпитером в системе отчета, связанной с Юпитером. Справа приведена диаграмма скорости: а) до сьлижения; б) после сьлижения.

Попав в поле тяжесте Юпитера, станция будет двигаться по гиперболической траектории, отб/aцшей эту планету (рис. 2). При этом выделение закона сохранения энергии скорости приближения к Юпитеру и удаления от него в симметричных точках гиперболы будет по абсолотной величины одинаковы, но по направлению они могут заменно отличаться. Поэтому на траекторию облегая Юпитера станция должна выйти со скоростью (относительно Юпитера) $u_1$, равной по абсолотной велинице скорости самой планеты (относительно Солнца) $v_1 = 13,1$ km/c. Направление облегая должно быть таким, чтобы при удалении от Юпитера в точке, симметричной точке начала облега, направление скорости станции $\vec{u}_2$ ($|\vec{u}_2| = |\vec{u}_1| = |\vec{u}_4|$) было противоположно направлению скорости движения Юпитера по его орбите. Тогда в этой точке скорость станции относительно Солнца станет равной нулю — и под действием малого на таком большом расстоянии солнечного прияжения наш последец начнет очень медленно приближаться к Солнцу. Эти условия выполняются в том случае, когда скорость станции относительно Солнца в начале облегая Юпитера равна $v_1 = 14,3$ km/c (см. рис. 2). А это условие, в свою очередь, и определяет начальное скорость станции на орбите — 40,5 km/c.

Итак, в системе отчета, связанной с Юпитером, траектория станции вблизи планеты — гипербола. А в системе отчета, связанной с Солнцем, этот участок траектории выглядит так, как показано на рисунке 3.

Сколько времени будет продолжать такая ток к Солнцу? Мы уже вычислили время падения на Солнце по прямой. В данном случае, когда падение начинается с орбиты Юптера, нужно вместе земного года взять период обращения по орбите Юптера $T_u = 11,86$ года (земного). В результате окажется, что падение займет время $T_u / 4\sqrt{2} \approx 2,1$ года. Прибавим к этому времени полета по эллиптическому участку траектории (до «встречи» с Юпитером) — оно оказывается равным 1,35 года. Итого, весь полет к Солнцу займет почти 3,5 года.

При взгляде на траекторию полета возникнет ошибение, что это как юпiter направил космическую станцию к Солнцу. На самом деле, аппарат направляют, конечно, люди. Перед подлетом к Юпiterу нужно сделать коррекцию траектории — даже небольшая ошибка при выборе расстояния полета около Юптера или скорости с ним может испортить всю программу исследования

(Окончание см. на с. 24)

Рис. 3. Траектория корабля при сьлижении с Юпитером в системе отчета, связанной с Солнцем. Вдоль крыых пространлено время относительно момент наибольшого сьлижения.

22

Капилляры и смачивание

Доктор физико-математических наук
А. А. БОРОВОЙ

Вы решили уехать загород. Собрали вещи, смотрите, не забыто ли что. И вот… на окне горшки с цветами. Захватить их с собой невозможно, и нет никакого, кто мог бы поливать цветы в ваше отсутствие. Что же предпринять? Наполнить водой поддоны цветочных горшков? Такой способ поливки годится не для всех растений — многое из них не терпят переизбытка влаги. А главное, он рассчитан на небольшой срок — несколько дней, неделю.

Вопрос этот не новый. Цветоводы давно придумали самые разные конструкции «автоопилок», которые действуют надежно и долго и даже дозируют воду для поливки цветов.

Простейшую автопилку (рис. 1) можно легко сделать самим. Воду наливают во вместельный сосуд, накрытый крышкой. В этот сосуд опускают один конец труго свернутого жгута из марли, другой его конец закапывают в землю. Вода поступает к растению по жгуту, причем скорость ее поступления можно отрегулировать, изменяя толщину жгута, его наклон и т. п. Жгут следует поместить внутри резиновой трубки, тогда вода будет меньше пропливаться и испарться по дороге к цвету.

И в жгуте, и в земле, наполняющей горшок, и частично в сами растениях вода движется и удерживает за счет явления, которое называют капиллярноостью.

Капилляр — это тонкая трубка, общую ее внутренний диаметр меньше одного миллиметра. Если капилляр, сделанный из чистого стекла, опустить в сосуд с водой, то уровень жидкости в нем будет выше, чем в сосуд (рис. 2). Чем тонше трубка, тем больше эта разница. Происходит это вследствие смачивания водой чистого стекла. В широком стеклянном сосуде поверхность воды лишь изгибается у самых стенок.

В почве капилляры образуются между ее частичками. Благодарям влага может подниматься на значительную высоту: до 2 метров в песке, а в чистой глине — значительно выше. Процесс идет медленно и длится иногда несколько недель и даже месяцев. (Попробуйте самостоятельно придумать и провести эксперименты, в которых можно было бы наблюдать

23

подъем воды в капиллярах почвы.)
Если внутренняя поверхность трубки не смачивается жидкостью, то в капилляре уровень ее ниже, чем в широком сосуде (рис. 3). Изменится и форма поверхности жидкости у стенок сосуда.

Интересно, что смачивание (или несмачивание) определяет, как поведет себя капля жидкости на поверхности другой жидкости. Например, капля подсолнечного масла или керосина растекается по воде тончайшим слоем, вплоть до мономолекулярного (то есть толщиной всего в одну молекулу!) Такое поведение смачивающих жидкости позволяет позволило английскому физику лорду Рэлею оценить размер одной молекулы.

На большую поверхность воды он помещал капельку оливкового масла и сначала убеждался в том, что масляное пятно покрывает поверхность равномерным слоем, без масляных «бляшек» и «окошек» воды. Для этого Рэлей использовал маленькие кусочки камфары. Если такой кусочек попадает на поверхности воды, он начинает «метаться». Дело в том, что в воде камфара расторяется и при этом поверхность натяжение воды уменьшается. Но расторение происходит неравномерно: с одной стороны частички быстрее, с другой — медленнее, и на кусочек камфары начинает действовать разность сил поверхностного натяжения, вызвывающая его движение. Вы легко можете наблюдать это явление, только для того чтобы опит прошел удачно, надо не касаться воды и кусочков камфары руками (лучше всего их сокабливать ножом прямо над поверхностью воды). А вот в масле камфара не расторяется и ведет себя спокойно.

Итак, убедившись в однородности масляной пленки, ученый определял радиус пятна $R$ и находил его толщину $l$:

$$l = \frac{V}{\pi R^2},$$

где $V$ — объем капли масла. Если предположить, что капля растекась в мономолекулярный слой, то толщина пятна — это характеристир размер молекулы масла. Получилась величины, близка к $10^{-9}$ м.

Смачивание очень часто приходит нам на помощь: мы смазываемрушися части машины, жидкая смазка обволкаивает поверхность металла и удерживает на ней; расплавленное olвоо смачивает чистую медь, латунь, алюминий при пайке; клей растекается по поверхности склеиваемых материалов.

Практические во всех старинных осветительных приборах, начиная от древних светильников, в которых фитилек был погружен в нефть, растительное масло или жир, и кончая керосиновыми лампами, тоже использовалось явление смачивания: горючее вещество поднималось по капиллярам фитилля и постепенно сторало.

Наблюдение такого необучного поведения жидкости, когда она движется против сил тяжестей, вдохновляло многоих изобретателей на создание Perpetuum mobile — вечного движения, который использовал бы свойства капилляров. Проекты были весма разнообразными и появлялись не только в древности или в средние века, но даже и в начале XX века. Чаще всего идея заключалась в следующем: по фитиллю жидкость (объчно вода) должен быть подниматься из нижнего сосуда в верхний, а там уже по трубке или lotку стекать вниз, приводя в

24

движение водяную меллиццу (рис. 4).
Вопрос о том, почему фитиль, сумевший поднять воду на какую-то высоту, друг потеряет свойство впитьвать и удерживать жидкость и беспрерывенно отдract ее в верхнем сосуде, изображатель как-то не тревожил.
Сamo устройство не только не работало вечно, но и вообще не работало.
Совершенно особую роль играет смачивание в условиях невесомости.
Вот что рассказывал летчик-космонавт А. А. Серебров*:)

«Представьте задачу: напить жидкость в сосуд без потеря. На космическом корабле вода подается из крана порциями по 25 см³. Представленные сами себе, эти порции собираются в шаровидные капли, как и положено в невесомости; эти капли в результате разных случайных воздействий потом дробятся на меньше…

Если действовать как на Земле и напивать воду из крана в горлышко сосуда, то она станет выталкивать из сосуда воздуха, в котором взвешены капли разного размера, — иными словами, будет сама же себя выталкивать.

Если же струю с малой скоростью направить сразу на стенку сосуда, то вода, смачивая стенку, приппает к ней. Тогда взвешенных капель не будет — по крайней мере, до тех пор, пока сосуд не встряхивают. Таким способом можно без потеря напить жидкость в сосуд.

*) Здесь приведен ответок из интервью А. А. Сереброва журналу «Квант» (см. аппельский номер. за 1983 год).

ПОЛЕТ
к Солнцу

(Начало см. на с. 18)

Солнца. Еще одна коррекция, уже после облега Юпитера, позволяет последнее погрешности и точно задать расстояние, на котором автоматически станция пройдёт около Солнца.

Одна из ключевых идей этого способа — изменение скорости космической станции при слияжении с промежуточной планетой — уже использовалась в практике космических полетов. Последний тому пример —

сближение с Венерой космических аппаратов «Вега», которые после этого направились к комете Галлея.

---

Нам нужно помнить физические явления, произходящие на Солнце. Все следствия этих знаний предсказать невозможно. Вспомним для сравнения эпоху великих географических открытий, когда человекство знакомилось со своей планетой. Не исключаено, что нашей времени в будущем назовут эпохой великих космических открытий. Первый полет к Солнцу станет, несомненно, одним из ее украшений.

25

Математика 10
Эта заметка предназначена десятиклассикм. В ней излагаются некоторые весы полезные факты, связанные с числом e.

Производная логарифма

В учебном пособии «Алгебра и начала анализа 9—10» на с. 208 выводится формула для произвольной логарифмической функции. Эта формула получается там с помощью теоремы о произвольной обратной функции и формулы для произвольной показательной функции. В этой заметке мы получим формулу для произвольной логарифмической функции непредседательной — нахождения соответствующего предела.

No bначale определим
Число e

Рассмотрим кривolineную графиком функции y = $\frac{1}{x}$, отрезком [1; t] оси Ox и прямыми x=1, x=t (рис. 1). Площадь этой кривolineной грапейции есть функции от t — обозначим ее через S(t). Эта функция на промежутке [1; ∞] возвращает и непрерывна.

Доказательство непрерывности функции S(t) неявно содержится в п. 59 учебного пособия «Алгебра и начала анализа 9—10»: там показывается, что функция S(t) дифференцируем; всякая же дифференцируемая функция является непрерывной. В проечем, непрерывность S(t) можно вывести прямо из определения непрерывной функции. Попробуйте это сделать.

Поскольку S(2)<1 (рис. 2), а S(4)>1 (рис. 3; $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$), то между чисlami 2 и 4 существует единственное число — его обозначают буквой e, такое, что S(e)=1.

На с. 200 учебного пособия «Алгебра и начала анализа 9—10» число e определяется по другому. Можно доказать, что эти два определения эквивалентны.

Так как e>0 и отлично от 1, могут быть определены логарифмы по основанию e. Эти логарифмы называются натуральными и обозначются ln, то есть ln a=log_e a. Так как e>1,

функция y=ln x на промежутке ]0; ∞[ возвращает.

Два важных неравенства

Докажем теперь, что для любого натурального числа n выполено неравенство

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}. \quad (1)$$

Из неравенства (1) непредседательно следует, что

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

(именно так определяется число e вузовских курах математического анализа).

Действительно, возьмем любое число ε>0 и положим N=[$\frac{e}{\epsilon}$]. Тогда для любого натурального n>N выполено неравенство

$$n > \frac{e}{\epsilon} \quad \text{и}$$

$$\left| \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n - e \right| = e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \left(1 + \frac{1}{n} - 1\right) < \frac{e}{n} < \epsilon.$$

Зафиксируем любое натуральное число n, положим q=1+$\frac{1}{n}$ и рас-

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

27

Задания

1. Веселый турист пешком отправился на слет. В первый день пути он прошел 1/3 пути, во второй день он прошел 1/3 остатка, в третий день турист прошел 1/3 нового остатка. В результате туристи осталось пройти 32 км. Сколько километров от дома туриста до места слета?

2. В № 6 журнала «Квант» в «Заданиеке «Кванта» будет опубликованы задачи по математике с номерами от М986 до М990. У первого из них номер совпадает с последними треями цифрами года выхода журнала. А в каком номере журнала номер задачи по математике совпадает полностью с номером года? (Предполагается, что в каждом номере порежиму будет печататься по пять задачи по математике и что журнал будет выходить ежемесячно.)

3. Пожарив на сковороде яичницу, я взяла за ручку, чтобы поставить сковороду на стол, но она была очень горячая. Я обернул ручку триочкой; но все равно было горячо. Тогда я намочил триочку водой. Что я почувствую на этот раз?

4. Пакет для молока скленвает из цилиндрического бумажного колба (см. рисунок). Получается треугольная парамида. Для удобства транспортировки грани парамиды является равнобедренными, но не равносторонними треугольниками. Предположим, что из бумаги скленен пакет, у которого все грани — правильные треугольники. Как его теперь разрезать в цилиндрическое колбо, высота которого равна половине длины ребра парамиды?

5. Расшифруйте числовые ребры, написанные на рисунке.

Эти задания нам предложили А. П. Савин, ученик 9 класса шк. № 2 г. Гайворона Валерий Журавлев, С. С. Кротов, В. В. Произвольов, И. В. Алексеев-Астафье.

Рисунок
помогает
рассуждать

Кандидат физико-математических наук
А. П. ГАВИН

Однажды соседи попросили меня помочь переставить мебель в их квартире. Молодая хозяйка начала бодро руководить «бригадой такжежников», состоящий из ее мужа, отца и меня.

«Давайте поставим сервант к этой стенке, а рядом с ним — телевизор»,— скомандовала Наташа. Мы другно навалились на сервант — из него со звоном посылаясь посуда. После многочисленных «Раз-два, взяли», «Давай-давай» — сервант утвердили на указаном месте. Оdnako тумбочка с телевизоромника не входила в предназначенное для нее пространство. Мы отдвинут сервант в сторону, чтобы поставить тумбочку с телевизором, но в результате сервант загородил прокод в дверь.

Tri часа мы переставили мебель из комнаты в комнату. При этом возникали ситуации, когда, например, для того чтобы поставить в кабинет пианино, нужно было выташить оттуда журналый столик и все креса, отправить их на кухню и вернуть обратно только после установки пианино. Радостная готовность «свидинут горы» сменила крайней установленность. Главным персонажам наших шуток стал Сизиф*). В некоторых момент выши вдруг заняли свои первоначальные положения, и все мужчины другно воскликнул. «Вот так лучше всего!»

Эта история послужила мне уроком. И когда родители решили купить еще

*) По греческой мифологии Сизиф был осуществлен богатим заактивать камень на гору, но перед самой вершиной камень каждый раз скатывался вниз.

Это кабитем.

один книжный шкаф (что означает перестановку мебели в квартире), я начертил на бумаге план квартиры, вырезал прямогольнички, соответствующие по размерам имеющей мебели и новому шкафу, и нанал экспериментировать. Изучив новую расстановку мебели, я установил последовательность перестановки:

1. Из прихожей вешалка убирается на кухню.
2. Шкаф заносится в прихожую.
3. Из гостиной сервант переносится в спальню.
4. На место серванта ставится шкаф.
5. Вешалка возвращается в прихожую.
6. Диван переносится на кухню.
7. На место дивана ставится сервант.
8. Диван переезжает в спальню.

Ожидая машину со шкафом, я размышлял, нельзя ли что-нибудь переставить еще до прибития шкафа. Я нарисовал схему (рис. 1), из которого увиел, что операции 1 и 3 от других не зависят. Немного подумав, я понял, что последовательность действий можно изменить так, что не только операции 1 и 3, но и операции 6, 7, 8 можно будет выполнить до приеда шкафа. Таким образом, рисунок помог мне найти рациональный вариант перестановки.

Волее сложная ситуация такого же характера очень давно обсуждалась в нашем журнале (см. «Квант», 1971, № 6, 4-я с. обложки). Это так называемая «Игра Эскотта» (см. рис. 2, а). Задчача заключится в перемещении блоков по одному в примогольнике до тех пор, пока блоки 1 и 2 не помещаются местами с блоками 7 и 10 так, как показано на рисунке 2,б. (Вращать блоки не разрезается, даже если для этого есть место.) В одном из следующих номеров журнала было помещено решение этой головоломки, содержащое 66 ходов. Икольники — члены Малой Академии Наук Крыма — изготовили головоломку Эскотта, однako никто не заметил публикации ее решения в «Кванте». Несколько лет никто не мог найти «заоскольку этой задачи».

на гр.стр. А Кисунок №2 5
Клюки
Браузать
загреζено!

Хотя «Игра Эскотта» и называется игрой, мы все же привыкли к игram, в которых участвуют по крайней мере два человека. Каждый из вас, конечно же, играл в «крестики-полки» — когда в квадрат 3×3 две игроков по очередно пишут один ирок — знак ×, а другой — знак 0. Выиграает тот, после хода которого образуется три его знака, идущие подряд.
Я думаю, вы настоящко хорошо знакомы с этой игрой, что можете сыграть вничью с любым противником, игра как «крестиками», так и «полками»

(то есть, начинай игру или игра вторым). Поэтому рассмотрим немного другой вариант «крестиков-поликов».
Пусть каждый из двух игроков может при любом своем ходе ставить как «крестик», так и «полик» (конечное же, только один значок). Кто выигравает в этом случае?
Понграйте с приятельами в эту игру. Она доставит вам удобствие. Здесь при правильной игре выиграает начинающий. Как? Сначала он ставит какой-нибудь значок (скажем, «крестик»). Затем… Взгляните на рисунок 3 и вы увидите, как должен игре

Азтон - массовый маленький
«крестиков-поликов»
Рисунок №3

Рисунок №4

рать первый игрок, чтобы выиграть при любых ответах второго. (Мы немного сократили рисунок, убрав позиции. которые отличия от приведенных на рисунке поворотом доски или симметрией.) Тепер вы можете выиграть у любого противника, если ходите первым. Математики говорят, что задан алгоритм решения.

Алгоритмы окружают нас повсюду. Раскроем поваренную книгу. Здесь каждый решет есть перечисление последовательности действия (алгоритм), которые нужно совершить, чтобы приготовить то или иное блюдо. Вот, например, решет картофельного пирожного.

1. Картофель имеет (а не отварить), чтобы пюре было совершенно сухое.
2. Растопить сливочное масло.
3. Тщательно растерть с горячим сливочным маслом картофельное пюре.
4. Взбитть 4 яйца.
5. Добавлять их по одному в пюре, не переставая растрать.
6. Отделно растерть 4 желтка с сахаром добавлена.
7. Соединить их с картофельной массой.
8. Оставшиеся белки взбитить в твердую пиву.
9. Соединить их с картофельно яичной смесью, стараясь взбитить пивнее.
10. Добавить пекарский порошок$^1$.
11. Запечать на огнеупорном блюде в духовке. На 10 крупных картофелин 300 г сливочного масла, 8 яйц, 3 столовых ложки сахара, 0,5 чайной ложки пекарского порошка.

Рисунок этого решета удобно изобразить в виде схемы (см. рис. 4). Здесь отсутствив видно, что операции 2, 4, 6 и 8 могут быть выполнены независяimo от других. Можно сэкономить время приготовления этого блюда, если

$^1$) Пекарский порошок состоит из смеси сды, углекилого аммония и винокамененной соли. Его можно заменить смесью сды и лимонной кислоты в равных частях.

ли выполнить эти операции, пока нечется картофель.

Подобные рисунки последовательности проведения отдельных операций получили широкое распространение во многих области жизни, особенно в стройствеve. Там они называются сетевыми графиками. Использование сетевых графиков позволяет сокращать время строительства, указывать точное время проведения каждой стройительной операции, проводить расчеты потребности в машинах, людах, материалов.

Расчеты сейчас выполняют электронно-вычислительные машины (ЭВМ) по заранее намеченной программе — алгоритму; эти действия и здесь удобно изобраться графики в виде кружочков и стрелочек. Такие рисунки называются «блок-схемами».

Рассмотрим последовательность действия при решении квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Вычислим $A = b^2$.
2. Вычислим $B = ac$.
3. Вычислим $C = 4B$.
4. Вычислим $D = A - C$.
5. Вычислим $E = \sqrt{D}$.
6. Вычислим $F = -b + E$.
7. Вычислим $G = -b - E$.
8. Вычислим $H = 2a$.
9. Вычислим $x_1 = F/H$.
10. Вычислим $x_2 = G/H$.
11. Печатаем $x_1, x_2$.

Блок-схема этого алгоритма представляет на рисунке 5.

На большинстве современных ЭВМ операции проводятся последовательно: 1-я, 2-я и т. д. Но уже есть ЭВМ, которые могут одновременно совершать несколько операций. И таким образом ускорять работу.

31

Задчи

M976—М980; Ф988—Ф992

M976. Из вершины $A$ квадрата $ABCD$ проведены два луца, образующие между собой угол $45^\circ$. Один пересекает сторону $BC$ в точке $E$, диагональ $BD$ — в точке $P$, другой — сторону $CD$ в точке $F$, диагональ $BD$ — в точке $O$. Доказите, что площад треугольника $AEF$ вдвое больше площади треугольника $APO$.

Э. Г. Готман

M977. Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из многочленов $f(x)$ и $g(x)$ получить $x$, если а) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2+2$; б) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2-2$; в) $f(x)=2x^2+x$, $g(x)=2x$; г) $f(x)=2x^2+x$, $g(x)=x^2$.

С. И. Кублановский

M978. Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два правильных треугольника со сторонами большие $\sqrt{2}/3$, не налегаются друг на друга?

E. А. Карлов, И. К. Димитров (Болгария)

M979. Пусть $k$ и $n$ — натуральные числа, $k \leqslant n$. Изовем набор $k$ положительных чисел $a_1,a_2,...,a_k$ меньше 1 исключительно, если для любого разбиения $n=n_1+n_2+\dots+n_k$ числа $n$ на неотрицательные целые слагаемые хотя бы одно из чисел $a_i n_i$ — целое ($i=1,2,...,n$).

а) Для каких $k$ и $n$ существует исключательные наборы?

б) Каковы эти наборы?

E. А. Горин

M980. Внутри выпукло a) многоугольника, 6) многоугольника с вершинами $A_1,A_2,...,A_n$ взята точка $O$. Доказите, что среди $n(n-1)/2$ углов $A_i O A_k$ ($i,k=1,2,...,n$) не менее, чем $n-1$ имеют величины от $90^\circ$ до $180^\circ$.

В. Г. Болтяский

Ф988. Хоккеист скольит по луду на одном коньке. Известно, что лед тает под коньком на глубину $h=0,03$ мм. Ширина конька $d=2$ мм. Найти силу трения между коньком и лッドом. Удельная теплота плавления льда $\lambda=3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг, плотность льда $\rho=0,9$ г/cm$^3$. Считать теплопроводность льда малой.

М. Г. Гаврилов (Окончание см. на с. 34)

32

Калейдоскоп «Кванта»
Видя, что все математические науки — хотя предметы их и различны — создают между собой в том, что рассматривают не что иное, как разные отношения и пропорции, я думал, что нашучше будет, если я стану рассматривать только эти отношения вообще…, чтобы потом приложить их к всем другим предметам, к которым они подойдут.
Рене Декарт

Французский математик и естественныйатель Рене Декарт (1596—1650) — один из основоположников европейской науки и философии нового времени. Декарту принадлежит часть создания аналитической геометрии, он — один из творцов современной алгебры, механики, оптики. Декарт первым в новое время поставил космогоническая проблему.
В лице Декарт организки соединился гейн威尔икого ученого и глубокого философа. Будучи создателем рационалистического метода в науке, Рене Декарт подчеркивал, что «подлинную науку можно найти в себе самом или в великой книге мира».

О круте

В древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Дейстивительно, в каждой точке окружность «устроена» одинаковым образом, что позволяет ей двигаться «по себе». На плоскости этим свойством обладает еще лишь прямая. Оно из интереснейших свойств круга состоит в том, что круг при заданном перimetре ограничивает максимальное площадь.

В русском языке слово «круглый» также означает высокую степень чего-либо: «круглый отличник», «круглый сирота» и даже «круглый дурак».
С кругом связана и классическая задача, ставшая символьом неразрешимой проблемы. Это — задача квадратуры круга, то есть построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновелюкого данному кругу. Задачу эту не могли решить на протяжении более двух тысяч лет. Лишь в XIX века услышми нескольких выдающихся математков — Ламберта, Лиувилля, Эрmitа и Вейерштраса — была установлена новоземо

Полезные формулы

Не очень трудно найти длину других сегмента и его площадь, если известен радиус окружности и угол, стягиваемый дугой сегмента. Но как быть, если эти величины неизвестны,

$$p \approx \frac{8l-L}{3}, S \approx \frac{2}{3}hL.$$
Здесь $p$ — длина дуги сегмента, $S$ — его площадь, $L$ — длина хорды, $h$ — высота сегмента, $l$ — длина отрезка $AC$ (см. рисунок). (При углах, стягиваемых дугой сегмента, меньше $60^\circ$, эти формулы дают ошибку, не превышают 1,5 %.)

33

вем второй. Третья окружность будет касаться двух данных и второй окружности и т. д. Может служить, что на некоторых шале очередная окружность косется первой окружности, как на рисунке 1. Утверждение Штейнера состоит в том, что если для некоторых начальной (первой) окружности получится такая целочка, то подобная целочка образуется при любом другом выборе первой окружности. При этом и количество окружностей в целочке не будет зависеть от того, какую окружность мы взяли в качестве первой.

Вторая теорема принадлежит французскому математике и механику Ж. Виктору Понселле (1788—1867) и утверждает следующее:

Пусть снова имеется две непересекающей окружности

Рис. 1.

ности. Будем считать, что одна из них находится внутри другой. Выберем на внешней окружности некоторую точку и проведем из нее касательную к внутренней окружности. Из новой точки пересечения этой касательной с внешней окружностью проведем еще одну касательную к внутренней окружности и т. д. (рис. 2). И вывод: если на некоторых шале мы попадем в начальную точку, то такой

Рис. 2.

процесс «замкнется» при выборе в качестве начальной точки любой другой точки внешней окружности.

Третья теорема была доказана современно американскими математики В. Л. Блеком, Г. К. Хаулендом и В. Хаулендом и носит название «теоремы о зигзарах»:

Вновь возьмем некоторую

Рис. 3.

рую точку на внешней окружности и, поставив пожек циркуля в выбранную точку, сделаем на внутренней окружности засечку. Поставим пожек циркуля в получившую точку внутренней окружности и тем же растором циркуля сделаем засечку на внешней окружности. Из полученной точки снова «загаем» тем же радиусом на внутреннюю окружность, затем снова на внешнюю и т. д. Соединив последовательно получаемые точки, мы образуем зигзагообразную ломаную (рис. 3). И вывод оказывается, что если эта ломанная на некотором шале замкнется, то она замкнется при любом другой точке (растор циркуля оставляем прежим). Сохранится и число отрезков ломаной.

А. П.

Задания
и ГОЛОВОЛОМКИ

1. Возьмем прямогольный листок бумаги, который можно накрыть кругом радиуса 1. Перенем листок (рис. 1). Можно

Рис. 1.

ли теперь накрыть его тем же кругом?

В. В. Произвольов

2. К двум окружностям проведена внешняя касательная AB и две внутренние касательные, пересечения которых AB в точках C и D (рис. 2). Доказите, что AC=DB.

Г. А. Гальперин

3. Решите числовой ребус:

радиус
дуга
фигры

34

Ф989. Модель тележки на гусеничном ходу поставили на наклонную плоскость с углом наклона α=30° и отпустили. Найти ускорение модели. Длина модели l=50 см, высота h=2 см. Гусеницы сделаны из резины, их масса составляет 80 % всей массы модели. Трене в механизме модели пренебрежимо мало.

А. И. Буздин

Ф990. Тепловой двигатель представляет собой полененный газом цилиндр с поршнем, движение которого ограничено упорами AA и BB (рис. 1). Газ медленно нагревалот, пока поршень не коснется упоров BB, после чего основаниеружины смешают из положения BB в положение ГГ. Затем сосуд медленно охлаждают до тех пор, пока поршень не коснется упоров AA. Тогда основаниеружины смешают назад до BB, цилиндр снова нагревалот, и т. д. Найти КПД этого двигателя. Цилиндр заполнен глием; площадь поршня S=10 см²; жесткостьружины k=10 Н/м, длина ее в нерастинутом состоянии l₀=60 см. Внешнее давление приять равным нулю.

А. Р. Зильберман

Ф991. В схеме, приведенной на рисунке 2, U₀=2,4 В, R=600 Ом, r=200 Ом, диоды Д₁ и Д₂ имеют одинаковые волтамперные характеристики (рис. 3). Найти ток через диод Д₂.

Р. З. Александров

Ф992. При съемке кадара из фильма «Гулливер в стране лилипутов» актера, играющего роль Гулливера, помещили на расстоянии 4 м от кинокамеры с короткофокусным объективом, а актера, исполняющего роль лилипута, — на расстоянии 40 м. На какое расстояние нужно навести объектив камеры, чтобы изобразения обихгеров на киноленте были одинаково четкими?

Почему при такой съемке используется короткофокусный объектив? Оцените фокусное расстояние такого объектава, если известно, что объная (некомбинированная) съемка людей с расстояния 5 м проводится объективом с фокусным расстоянием 50 см и глубина резкости при этом 0,5 м.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Problems

M976—M980; P988—P992

M976. Two rays, forming an angle of 45°, are drawn from the vertex A of the square ABCD. One intersects side BC at the point E and the diagonal BD at the point P, the other intersects side CD at the point F and the diagonal BD at the point O. Prove that the area of triangle AEF is twice that of APO.

E. G. Gotman

36

Решения задач

M956. На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через одну точку A, и три — через точку B. Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от A и B, вершины параллелограмма.

M957. Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди 9 простых чисел 2,3,…,23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвертая степень целого числа.

М956—M960; Ф968—Ф972
Приведем одно из многоих решений задачи.
Обозначим центры окружностей через $O_1, O_2, O_3, O_4$, точки их попарного пересечения — через $K, L, M, N$ (см. рисунок). Посокльку окружности равны, точка $P$ пересечения общей хорды $AK$ окружностей $O_1$ и $O_2$ с их линейным центров $O_1O_2$ делит оба отрезка $AK$ и $O_1O_2$ пополам. Аналогично, отрезки $O_3O_2$ и $AL$ имеют общую середину $Q$. Следовательно, отрезок $PQ$ является средней линий двух треугольников — $O_1O_2O_3$ и $AKL$, то есть $\overrightarrow{O_1O_3}=2\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{KL}$. Точно также доказывается, что $\overrightarrow{O_1O_3}=\overrightarrow{NM}$, а из равенства $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{O_1O_3}=\overrightarrow{NM}$ следует, что $KLMN$ — параллелограмм.

Докажите самостояльно, что $A$ и $B$ — точки пересечения высот треугольников $BKL$ и $AMN$; этот факт можно использовать для другого решения задачи (ср. с заключительным замечанием в решении задачи M951 в прошлом номере «Кванта»).

В. Н. Дубровский

Докажем, что из данных чисел можно выбрать достаточно много таких пар $(a,b)$, что произведение $ab$ — квадрат целого числа; точнее: из $N$ чисел (с 9 простыми множителими) можно выбрать не менее $(N-2^9)/2$ таких пар. В нашей задаче $N=1985$, так что можно выделить не менее $(1985-512)/2$, то есть по крайней мере 737 пар $(a,b)$. Затем к $N=737$ целым числом $\sqrt{ab}$ можно применить еще раз то же рассудение и получить такую пару $(\sqrt{ab}, \sqrt{cd})$ — даже $(737-512)/2+1/2=113$ таких пар,— что произведение $\sqrt{ab} \cdot \sqrt{cd}$ квадрат целого числа, то есть $abcd$ — четвертая степень целого числа.

Осталось доказать формулированный факт. По основной теореме арифметики каждое натуральное число однозначно представляется в виде произведения простых множителей. Произведение $ab$ двух целых чисел

$$a=2^{\alpha_1}3^{\alpha_2}...23^{\alpha_9} \text{ и } b=2^{\beta_1}3^{\beta_2}...23^{\beta_9}$$

будет точным квадратом в том и только том случае, если показатели $\alpha_i$ и $\beta_i$ имеют одинаковую четность (для каждой $i$ от 1 до 9); в этом случае наборы $(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_9)$ и $(\beta_1,\beta_2,...,\beta_9)$ показателей мы будем называть сравнимыми. Будем из $N$ наборов показателей, соответствующих $N$ данным числом (с множеством 2,3,…,23), выделять одну за другой пары сравнимых наборов, до тех пор, пока это возможно. набор без пары остается не более $2^9$, поскольку существует всего $2^9$ попарно несравнимых наборов показателей (на каждом из 9 мест может стоять либо четное, либо нечетное число — всего $2^9$ вариантов).

Эта задача, предложенная Монголей на последней международной оптимизации, — частный случай следующего, видимо, очень трудной проблемы. Пусть заданы натуральные

38

четным коэффициентом $P_2$ при той же степени $x$, возникает новый в члене степени на $q$ большей многочлена $x^qP_2(x)$, поэтому $w(i_1) \leqslant W(P_1) \leqslant W(P)$.

Приведем еще одно рассудение — индукцией по $i_1$. Для $i_1=0$ наше утверждение очевидно $(w(0)=1)$.

Докажем, что если оно верно для некоторого $i_1=j_1$, то оно также верно для $i_1=2j_1$ и $i_1=2j_1+1$. Для этого, пользоваться предположением индикции и формулами (2), (3) и (4) на полях, учитем отдельно коэффициенты при четных и нечетных степенях $x$ в многочленах $(1+x)^{i_1}$ и $P(x)$. Положив, в зависимости от четности $i_8$, $i_8=2j_8$ или $i_8=2j_8+1$ и применяя формулы на полях, запишем многочлен $P(x)$ в виде $F_1(x^2)+xF_2(x^2)$.

Если $i_1=2j_1$, то, согласно (2), $w(i_1)=w(j_1)$. При этом, если $i_2>i_1+1$, то запись $P(x)$ начинается с $(1+x^2)^{j_1}$ и включает коэффициентов при четных степенях $x$ в вес $P(x)$ (то есть вес $F_1(x)$) уже не меньше $w(j_1)$. Если же $i_2=i_1+1$, то, используя (4), мы начнем запись $P(x)$ с $(1+x^2)^{j_1}$ и по предположению индикции вклад $W(F_2)$ коэффициентов при нечетных степенях $x$ в вес $P(x)$ не меньше $w(j_1)$.

Если $i_1=2j_1+1$, то, согласно (3), $w(i_1)=2w(j_1)$ и включает в вес $P(x)$ и нечетных, и нечетных степеней $x$ не меньше $w(j_1)$, так что $W(P) \geqslant 2w(j_1)=w(i_1)$.

Наконец, наметим наиболее почительное решение, использующее общее правило описания всех нечетных коэффициентов многочлена $(1+x)^i$. Представим $i$ в виде

$$i=2^{m_1}+2^{m_2}+\dots+2^{m_r}, m_1<m_2<\dots<m_r;$$

такое представление всегда существует и единственно $(m_1,...,m_r)$ — это номера разрядов двойной записи числа $i$, в которых стоит 1). Тогда по формуле (1) на полях $(1+x)^i=(1+x^{q_1})\dots(1+x^{q_r})$, где $q_i=2^{m_i}$. Поэтому коэффициент $C_i^k$ многочлена $(1+x)^i$ при $x^k$ нечетен тогда и только тогда, когда к равно нечетной подсумме суммы (*). Обозначая через $M(i)$ множество показателей $\{m_1,...,m_r\}$ в двойном разложении $i$, это условие можно записать в виде $M(k)\subset M(i)$. Следовательно, коэффициент при $x^k$ многочлена $P(x)$ нечетен тогда и только тогда, когда множество $B=M(k)$ содержится в нечетном числе многочлены $A_s=M(i_s)$, $s=1,2,...,n$; также многочстве $B$ будем называть нечетными. Итак, нужно доказать такой число комбinatorный факт: число всех подмножества многочства $A_1$ не меньше числа всех нечетных многочств. Для этого достаточно сопоставить всем $C \subset A_1$ различных нечетные подмножества $F(C)$.

Если $C$ само нечетно, положим $F(C)=C$. В противном случае добавим к $C$ множество, выбранное следующим образом. Расмотрим все $A_s$. содержащие $C(s \geqslant 2)$ — их число нечетно, — и множество $D_s$, состоящие из всех элементов $A_s$, не входящих в $A_1$. Среди этих множеств могут встретиться одинаковые; оставим лишь те, которые представлены нечетным числом копий, из них выберем нечетное наиболее наибольшее (не содержащие в других) $D_h$ и положим $F(C)=C \cup D_h$. Легко видеть, что все множество $F(C)$ нечетны и различны $(F(C) \cap A_1=C)$.

Если выписать коэффициенты $(1+x)^i$, заменяющие на 0, а нечетные — на 1, и составить из таких строкек таблицы, получится «двоичный треугольник Паскала», показанный на полях. Попробуйте разобраться в его структуре и проследить с его помощью за последним решением.

Н. В. Васильев, Д. В. Фукс

M959. В стране между неокторыми параметрами городов установлено авационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более, чем 1/(k—1)—ю часть авационной таким образом, что среди любых k городов найдутся два, не содержанные между собой авационные, если

39

Для этого заметим, что число $n$ внутренних авиалиний (для выбранного «минимального» разбиения), выходящих из любого города $A$, не больше числа $n_i$ авиалиний, ведущих из этого города в любую группу городов $G_i$ ($i=1,...,k-1$): если бы оказалось, что $n > n_i$, мы переведели бы город $A$ в группу $G_i$ и тем самым уменьшили бы число внутренних авиалиний на $n - n_i$. Следовательно, общее число авиалиний, выходящих из города $A$, не меньше $(k-1)n$. Суммируя такие неравенства по всем городам и учтывая, что каждая авиалиния соединяет два города, получим, что $2N \geq 2(k-1)N_{\text{вн}}$. Закроем теперь все внутренние авиалинии нашего «минимального» разбиения. Тогда из любых $k$ городов хотя бы два попадут в одну группу и не будут соединены между собой, причем закрыты будут не более $N/(k-1)$ авиалиний.

A. A. Разборов

M960. Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат неокоторого натурального числа $n$, то число $n$ представляется в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.

a) Доказите это утверждение.
b) Вот один пример таких чисел: $8^3 - 7^3 = (2^2 + 3^2)^2$; приведите еще хотя бы один пример.
b) Доказите, что их существует бесконечно много.

a) Пусть $(m+1)^3 - m^3 = n^2$. Раскрывая скобки и умножая обе части равенства на 4, получим, что $3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4m + 4 = 4n^2$ или $3(2m+1)^2 = (2n+1)(2n-1)$. (1)

Поскольку числа $2n+1$ и $2n-1$ взаимно простые, равенство (1) возможно, только когда одно из этих чисел — квадрат натурального, а другой — утроенный квадрат. Но число $n$ нечетно ($n^2$ это разность чисел разной четности), поэтому $2n+1$ дает при делении на 4 остаток 3, а квадрат целого числа либо делится на 4, либо дает при делении на 4 остаток 1; следовательно, точным квадратом является $2n-1$; то есть $2n-1 = (2l+1)^2$ или $n = 2l^2 + 2l + 1 = l^2 + (l+1)^2$.

6), в) Полягая в равенстве (1) $2n=a$, $2m+1=b$, перепшем его в виде $a^2 - 3b^2 = 1$.

Очевидно, каждому решению $(a, b)$ этого уравнения с нечетным $b$ (и, следовательно, четным $a$) ответает пара $(m, n)$, удовлетворяющая условию задачи. Покажем, как по одному решению $(a, b)$ можно построить бесконечную последовательность решений. Мы воспользуемся общим методом построения решений так называемого уравнения $\Pi_1 x^2 - dy^2 = 1$, о котором подробно рассывалось в статье Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Пары чисел и действия с ними» (Квант, 1985, № 1, с. 20).

Пусть $(a_1, b_1)$ — какое-то решение (2). Определим числа $a_k$ и $b_k$ равенством $(a_1 + b_1\sqrt{3})^k = a_k + b_k\sqrt{3}$. Ясно, что тогда $(a_1 - b_1\sqrt{3})^k = a_k - b_k\sqrt{3}$, поэтому $a_k^2 - 3b_k^2 = (a_k + b_k\sqrt{3})(a_k - b_k\sqrt{3}) = ((a_1 + b_1\sqrt{3})(a_1 - b_1\sqrt{3}))^k = (a_1^2 - 3b_1^2)^k = 1$.

Следовательно, пары $(a_k, b_k)$ при всех $k$ также удовлетворяют уравнению (2). При этом, если $b_1$ нечетно $(a a_1$ четно), то при нечетном $k$ число $b_k$ представляется в виде $a_1 \cdot A + b_1^k (k-1)/2$ и тоже нечетно.

Таким образом, начав, скажем, с $(a_1, b_1) = (2, 1)$ и последовательно вычисляется нечетные степени

40

(2+\sqrt{3})^3=26+15\sqrt{3}, (2+\sqrt{3})^5=362+209\sqrt{3},…, мы получим бесконечный набор решений (2): $(a_3, b_3)=(26, 15), (a_5, b_5)=(362, 209),..., а из них — решения исходной задачи:$(m, n)=(7, 13), (104, 181),…, которые отвечают соответствия $8^3-7^3=(2^2+3^2)^2$ (пример из условия задачи 6)), $105^3-104^3=(9^2+10^2)^2$ (ответ к задаче 6)) и т. д.

А. П. Савин, В. Н. Дубровский

Ф968. На три паралельных оси, соединенных жесткими стержнями, насажены три зацепленных шестеренки с радиусами $r_1, r_2$ и $r_3$ (рис. 1). Оси В и С врачаются вокруг неподвижной оси A с угловой скоростью $\omega_0$; при этом размеры треугольника ABC остаются неизменными, а шестерена радиуса $r_3$ движется поступательно. С какой угловой скоростью врачается шестерена радиуса $r_1$?

Рис. 1.

На рисунке 2 показано положение системы через время $t$. За это время точки $B$ и $C$ повернуть на угол $\varphi=\omega_0 t$. Шестерена радиуса $r_3$, согласно условиям движения, движется поступательно. Это значит, что за время $t$ эта шестерена повернулась как целое вокруг оси $A$ на угол $\varphi$. И вокруг собственной оси $C$ — тоже на угол $\varphi$. Значит, все другие отношения на рисунке 2, равны $\varphi r_3$, и угловая скорость $\omega$ врачается шестерена радиуса $r_1$ определяется условиям движения.

Рис. 2.

Отсюда

$\omega=\omega_0\left(1-\frac{r_3}{r_1}\right)$.

В. Ванцелов (Болгария)

Ф969. Две банки, сделанные из одного и того же материалов, имеют одну и ту же геометрическую форму, причем все линейные размеры одной банки в к раз меньше, чем другой (см. рисунок). В две каждой банки сделано отверстие. Банки одновременно опускают на воду. Какая банка угодет скорее? Во сколько раз?

Из-за того что банки, которые погружаются в воду, сделаны из одного и того же материалов, в первый момент глубина погружения каждой из них линейно связана с размером. То есть, если размеры банок различаются в $k$ раз $l_2=kl_1$, то в $k$ раз различаются расстояния от поверхности воды до поверхности $h_2=kh_1$.

Так как перепад давления по обе стороны ответствия зависит от глубины погружения $\Delta p=\rho_{\text{воды}}gh$, а скорость воды, заполняющей банку через ответствие, связана с перепадом давления — $\Delta p=\frac{1}{2}q_{\text{воды}}v^2$, то

$v^2=2gh$.

В свою очередь, скорость определяет время $t$, за которым банка наполнится водой и поддет ко дну.

41

Таким образом, зависимости (*) являются ключевым соотношением, связывающим время с линейными размерами через ускорение свободного давления $g$, которое в этой задаче играет роль единственной размерной constantsы, определяющей диапазму процесса. Το есть величины, имеющие размерность $m/c^2$, например $l/t^2$, выражаются только через $g$ и поэтому не зависит от $l$:

$$l_2/t_2^2 = l_1/t_1^2.$$

Следовательно,

$$t_2 = \sqrt{k} t_1.$$

И. К. Соболев

Ф970. В тонкостенной непрозрачной сферической области находится шар, радиус которого в несколько раз меньше радиуса оболочки. Предложите способ определения плотности вещества, из которого сделан шар. Масса оболочки неизвестна.

Измерем вес сферы с шаром $P = (M + m)g$, где $M$ и $m$ — массы сферы и шара соответствующего. Прикладываем к сфере силу $F$ (силу измеряем), направленную вертикально вниз, и в момент $t = 0$ убираем опору из-под сферы. Сфера начинает двигаться вниз с ускорением

$$g + a = \frac{Mg + F}{M}.$$

Масса $m$ в формулу не входит, поскольку шар в момент $t = 0$ отрывается от сферы и с ускорением $a$ (относительно сферы) движется вверх. Измерив ускорение $a$, находим массу сферы $M = F/a$. Измерение ускорения $a$ надо закончит до момента удара шара о сферу в ее верхней точке. Отметив этот момент времени (по звуку удара или по скачку показанной диамометра, измеряющего силу $F$), расчитываем радиус $r$ шара. Из $S = a(\Delta t)^2/2$, где $\Delta t$ — время движения шара, находим:

$$r = R - \frac{a(\Delta t)^2}{4}.$$

Здесь $R$ — радиус сферы, который можно измерить непосредственно, а пусть $S = 2(R - r)$. Теперь мы знаем и радиус шара, и его массу $\left(m = \frac{P}{g} - \frac{F}{a}\right)$, что позволяет решить задачу.

С. А. Хорозов

Ф971. В магнитном поле, индукция $\vec{B}$ которой вертикальная, врачается около вертикальной оси так, как показано на рисунке, металлический стержень. Условая скорость врачия равна $\omega$, $R$ и $\alpha$ заданы. Найти разность потенциаль на концах стержня.

Для решения воспользовемся выражением для ЭДС в виде

$$\mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.$$

Прежде всего отметим, что ЭДС будет постоянной в любой момент времени, так как стержень всегда находится в одинаковых условиях. Поэтому мы имеем право рассмотреть его полный оборот:

$$-\Delta\Phi = \pi R^2 B,$$

$$\Delta t = \frac{2\pi}{\omega}$$

$$\mathcal{E} = \frac{\pi R^2 B}{2\pi} \omega = \frac{1}{2} BR^2 \omega,$$

то есть зависит только от $R$, а не от $\alpha$.

Л. Г. Маркович

42

Ф972. В высокоскоростном киностемом аппарате, приемаемом для съемки быстропroteкαιощих процессов, ленка движется непрерывно со скоростью v. Для предотвращения смызывания изображения между ленкой и объективом установлена четьрегранная стеклянная прізма с показателем преломления n, врачающая с постоянной угловой скоростью (рис. 1). Пренебрегая расфокусировкой изображения, определяте, при какой угловой скорости изображение на ленке не смызывается. Определите толщину прізмы при условии, что экспонирование изображения одного кара проводится в пределах $-\alpha_0, \alpha_0$ ее угла поворота, а минимальный размер различных деталей изображения равен $\delta$.

Рассмотрим точку $A$ на оптической оси. Ее изображение $A'$ также расположено на оптической оси при положении прізмы, изображением на рисунке 1. При повороте прізмы на угол $\alpha$ изображение $A'$ смешается по горизонтали на $\xi(\alpha)$ от плоскости, в которой со скоростью $v$ движется кипопленка, и на величину $\Delta(\alpha)$ в направлении движения пленки (рис. 2). Смешение по горизонтали приводит к расфокусировке изображения. По условияю этим эфектом можно пренебреть.

Рассмотрим, к чем приводит смение $\Delta(\alpha)$. Относительно пленки изображение $A'$ движется со скоростью $u = \frac{\Delta(\alpha)}{t} - v$. Скорость $\omega$ вращения прізмы подбирают такой, что при малых углах $\alpha$ скорость $u$ близка к нулю, и изображение $A'$ не подвижно относительно пленки. Это объясняет назначение вращающей прізмы — она компенсирует смение пленки. Зависимость $\Delta(\alpha)$ от $\alpha$ имеет вид ($h$ — толщина прізмы)

$$\Delta(\alpha) = h \sin \omega t \left(1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right)$$

(выведите эту формулу самостояльно, пользоваться законом преломления).

Мгновенная скорость изображения $A'$ в тот момент, когда оно находится на оптической оси, равна

$$\frac{d\Delta(\alpha)}{dt} \bigg|_{t=0} = \frac{d\Delta(\alpha)}{d\alpha} \cdot \frac{d\alpha}{dt} \bigg|_{\alpha=0} = h \frac{n-1}{n} \omega$$

и по условияю

$$h \frac{n-1}{n} \omega = v.$$

(*)

С ростом $\alpha$ мгновенная скорость уменьшается, и точка $A'$ за время поворота прізмы на угол $\alpha$ ($t=\alpha/\omega$) экспонирует на пленке отрезок длиной $\Delta = \left(v - \frac{\Delta(\alpha)}{\alpha} \omega\right) \frac{\alpha}{\omega}$. Изображение на пленке не смазано, если за время экспониции кара длина этого отрезка не больше $\delta$, то есть при $\alpha=\alpha_0 \Delta=\delta$, или $-\alpha_0 h \sin \alpha_0 \left(1 - \frac{\cos \alpha_0}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right) + h \frac{n-1}{n} \alpha_0=\delta$.

Отсюда находится $h$:

$$h = \frac{\delta}{\alpha_0} \left(\frac{n-1}{n} - \sin \alpha_0 \left(1 - \frac{\cos \alpha_0}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right)\right)^{-1}$$

С учетом этого (*) находится прізмы изображение на пленке не смазано:

$$\omega = \frac{v n}{n-1} \cdot \frac{\alpha_0}{\delta} \left(\frac{n-1}{n} - \sin \alpha_0 \left(1 - \frac{\cos \alpha_0}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\right)\right).$$

А. А. ЛанUDEC

43

Постотрим на экран

Ю. В. КОТОВ

Пожалуй, самый популярным устройством современных ЭВМ, особенно среди непрофессионалов, стали электронно-лучевые экраны, придающие машина некоТОРое скодство с телевизорами. Дополнительные клавиатурой и такими приспособлениями, как «световые перья», «визиры» и «мышки», они obligают ввод в ЭВМ, чтение и редактирование информации, управление вычислительной процессом. К крупным ЭВМ подключит по несколько таких устройств, что позволяет одновременно работать большому числу пользователей. Далее маленькие настольные ЭВМ (так называемые персональные компьютеры) снабжают экранами, либо подключится к обычным бытовым телевизорам.

К сожалению, знаatokи русского языка не смогли предложить для таких экранов с клавиатурой термина с русским корнем, и их называют английским словом «исппеля», иногда — «терминал». Дисплеи бывают алфавитно-цифровые и графические. Первые могут показать на своих экранах только буквы, цифры, знаки и то, что из них состоит — тексты, программы, числовые данные. Графические же дисплеи универсалы в том смысле, что отображают как графический информация (схемы, графики, чертежи), так и алфавитно-цифровую. Современные графические дисплеи делят на две большие группы — векторные и растровые. Если у векторных электронный луч последовательно вывлечивается запрограммированные элементы изображения — отрезки, символьы и иногда дуги, — то в растровых устройств он, как и в телевизоре, «заштриховывает» экран последовательными строками, изменяя при этом свою яркость. На простейших растровых экранах изображение складывается из множества расположенных по ряду точек, и если этих рядов недостаточно много,— например, 200, 300, качество изображения невысокое. Более совершенные растровые экраны позволяют получить и цветные изображения. Средние них есть и такие, где качество «картинки» заметно лучшие, чем в бытовом телевизоре, поскольку изображение разлагается на 1000 и более строк, к тому же нет неизбежных помех, приходящих с эфира.

Графические экраны делают общение с машиной особенно наглядным и, при наличии соответствующих программ, доступным для всех возрастов. Для повышения спроса на «бытовые» персональные компьютеры на западе развивается целая индустрия «компьютерных игры». Компьютерные игры, конечно, веще неплохая, развивают глазомер, быстроуреакции, сообщатьлность, они полезно для получения с игровыми моментами. Мы не говорим уже об автоматизированной проектировании, научных исследований и других серверных занятий.

Цель этой заметки — показать читатель «Кваンタ», не имеющим доступа к подобному оборудованию, как реализит экран дисплея в учебном процессе.

На фотографиях представлены примеры изображения, получаемых на экране графического терминала «EC-7064», подключенного к ЭВМ серии EC, в Московском архитекторном институте и Московском институте радиотехники, электронники и автоматики.

На первой фотографии видим — в левой части экрана — орнамент, набранный световым пером из типовых элементов, вывлеченных программировой в правой части экрана. В начальной момент в левой части экрана светятся только точки, помещаются узлы квадратной сетки 5×5 ячеек. Учащияся выбирает пером приглянушуюся ему типовую фигуру из «меню» и затем «припашает» ее в нужную ячейку сетки, указав пером два диагонального расположенных узла. При этом можно «припаять» фигуру не только в исходной ориентации, но и с поворотом на угол, кратный прямому. В одну ячейку можно «вытять» две или три различных фигуры, с помощью специальных кнопок терминала можно стирать неправильно введенные

44

фигурки, убирать после формирования орнамента опорные узловые точки, выводить информацию на перфоленту или магнитную ленту для вычерчивания орнамента на графопостроитель. Эта «игра» позволяет освить режим «графический компловки», понятие «графический клавиатуры» или «меню», к тому же повторить понятия перенос и поворота. С этой программирующей развлекаются не только студенты-первокурсники, но и школьники младших классов.

На второй фотографии показана более профессиональная задача — с использованием того же принципи «спроектирования дом». Здесь сочетаются тривировка в работе с ЭВМ и архитектурно-эстетические вопросы.

На третьей фотографии мы видим изображение несложного механизма (подобие робота-манипулятора), захват которого взять или отпустить квадратный предмет. С помощью кнопок клавиатуры управляют движением механизма и работы захвата. При одном нажатии соответствующего кнопки повернуть можно тот или другой рычаг в ту или другую сторону на «большой», «средний» или «малый» шаг. Задча состоит в том, чтобы за возможное меньше число шагов поставить несколько предметов рядом или друг на друга. Чтобы можно было следить за работой учащегося, контрольная точка захвата оставляет на экран след. Интересно, что при оченьной простоте задачи даже профессора, впервые севшие за экран, не сразу овладевают искусством управления роботом. А есть более механизмы, смоделированные в пространстве!

Теперь попробуйте представить себе, как на специальном графическом языке задаить фигуры, показанные на следующих двух фотографиях. Фигура «колеса» состоит из отрезков, окружностей и друг. Но при этом используется также повторения («цикл») и преобразования координат (поворот вокруг заданной точки). Для изображения детали надо числа и спецальными кодами задать размеры и нужное положение составляющих ее частей — таких, как параллелепиды, признаны и конусы, а кроме того — задать и уточнить ракурс, под которым видна деталь (другими словами — задать аксонометрическую или перспективную проекцию).

На шестой фотографии мы видим изображение пересекающихся тел — в данном случае конуса и эллипсона. Построение и исследование линей пересечения поверхности — одна из традиционных тем институкого курса начертательной геометрии. Многие поколения студентов строят такие линии с помощью циркулей и линейек. Здесь же линии строят машина, но размеры тел (поверхности) и их положение студент должен определены числами. Когда тела зада-

45

ны, с помощью ключок клавиатуры объект можно просмотрить в различных ракурсах и с изменением масштаба. Можно также изменять положение или размеры заданных тел. На фотографии мы видим, что линия пересечения состоит из двух овальных частей. Можно ли вы сообщить, каким образом надо перединуть конус, чтобы линия пересечения содержала лишь одну часть?

На седьмой фотографии — графики различных синусид. Каждый синусид задана несколькими числами, среди которых коэффициенты, входящие в ее уравнение. Изменяя тот или иной коэффициент, учащийся может проследить, как он влияет на форму кривой. Конечно, синусид — простейший пример, но даже при небольшем условении аналитического представления функции, математик и то не всегда скажет, как меняется форма графика при изменении различных величины. Здесь новую, измененную линию ЭВМ позволяет получить за несколько секунд!

На восемой фотографии показано изображение проектируемой типовой детали. Ее параметры заданы в виде нескольких чисел в двух строках в нижней части экрана. В процессе автоматизациированного проектирования подобных деталей конструктора проверяют на экране, как будут выглядеть создавемые детали и их рабочие чертежи. Здесь мы видим зубчатое колесо. Если некоторые его параметры получаются в результате расчетов кinemатики машин, прочностных расчетов, то другие (например ширина бобышки) определяются конструктивно. Проектировщик также проверяет, правильно ли программа расставила размеры и обозначения; в случае необходимости он может по предустоттивным в программе правильам вnectи коррективы. Окончательно изображение выводится на графопостроитель.

Наконец, на девятой фотографии — более сложный объект, нарисованный графопостроителем. Между прочим, мощности машин, недавно считываются большими, уже не хватает, чтобы быстро формировать и высвечивать на экране изображения такой сложности. Приходится ждать перед темным экраном минуту, две… и надеяться на дальнейший быстрый протресс электронки. Все же и сейчас ценность таких изображений оченьна. Изменив одно или несколько чисел в описании объекта, можно получить для сравнения варианта, отличующейся композицией, пропорциями. Нетрудно просмотреть объект с разных сторон и расстояний. Выбранные «кадры» с большей точностью и подробностью переносится на бумагу и полученные машинные чертежи могут быть дороготны вручную (раскрашены, детализированы) художниками и архитекторами.

46

VIII. Регистры

Доктор физико-математических наук М. Е. ЛЕВИНШТЕЙН, кандидат физико-математических наук Г. С. СИМИН, В. Я. СИНДАЛОВСКИЙ

ЭВМ часто сравнивают с живым организмом. В этом сложном организме роль сердца играет тактовый генератор, заданной ритм работы машины, роль мозга — процессор, управляющий всеми операциями, производными ЭВМ. «Глаза» и «уши» ЭВМ — устройства ввода информации, «невная система» — сложнейшая сеть проводников, объединяющая в единое целое элементы ЭВМ, «речь» — устройства ввода полученных результатов.

В этом сложном организме мы изучили работу одиночных клеток — трансисторов. Именно из таких «клеток» — биоплярных или полевых трансисторов состоит почти все части ЭВМ. Не изучив, как устройна клетка и как она работает, нельзя глобоко понять работу организации. Но с другой стороны, ясно, что ограничись только знакомством с одиночной клеткой, особенно далеко в исследовании сложного организма тоже не продвиhesся.

В этой и следующей заметках мы рассжем, в качестве примера, как на основе уже изученных нами простейших логических схем и триггеров на трансисторах создают более сложные радиоэлектронные схемы, неосредственно служящие узлами ЭВМ,— регистрации и сумматоры.

Вся информация, хранящаяся и перерабатываемая в ЭВМ, представлена, как мы знаем, в форме чисел, записанных в двойной системе. Регистры используют в ЭВМ для записи, хранения и считывания чисел.

На рисунке показана упрощенная схема регистрации для записи чисел, имеющих четырех разрядов (в действительности регистрации современных ЭВМ могут содержать до 64 разрядов). Регистр состоит из запоминающих элементов — триггеров, входных схем «И», разрешающих запись, и выходных схем «И», разрешающих считывание числа.

Обратите внимание на условное обозначение триггера. Оно похож на условное обозначение других логических схем, но содержит в правом верхнем углу знаок «T». Два входа триггера обозначают буквами S (от англійского слова set — установить) и R (от слова reset — возвратить, восстановить). Различие между входами число условное — электрические они совер-

Так вылідит оперативная память современной ЭВМ. На печатной плате видны кремневые интергральные микросхемы. Время записи и считывания в результате такой памяти составляет 50—100 ns.

При выполнении действия с большими числами мы пользовемся представлением числа в следующем виде:

0,123826·10⁵ порядок магнитса основание системы счисления

В резистрах ЭВМ используется аналогично представлении чисел с той только разницей, что основанием системы счисления служит 2 (двоичная система), а mantissa и порядок записи в двойной системе.

Запись в девятирардном резистре ЭВМ числа — 4,5:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 0 1 1 1 0 0 1

знак знак порядка магнитса мантиссы.

Первы разряд резистра отводится для записи знака числа (мantиссы). Число 1 в разряде соответствует минуту, 0 — плюс. Второй разряд показывает знак порядка. В данной примере порядок имеет знак плюс. Разряды с 3 по 5 отведены для записи порядка; в данной примере порядок равен +3. Разряды с 6 по 9 служат для записи двойной mantиссы. Единица в 6-м разряде соответствует 2⁻¹, в 7-м — 2⁻², в 8-м — 2⁻³ и т. д. Таким образом, записано число — (1·1/2 +0×(1/4+0·1/8+1·1/16)). 2³ = -4,5.

В приведенном примере mantисса может изменяться от

47

— $\frac{15}{16}$ до + $\frac{15}{16}$, а порядок от — 7 до + 7. В ЭВМ серии ЕС в 32-разрядных решетрах хранятся числа от $\approx 5,4 \cdot 10^{-79}$ до $\approx 7,2 \cdot 10^{75}$.

В ЭВМ близкой基数 будущее на смену кремниевым ВИС прудут ИС оперативной памяти на основе полупроводникового материалов арисенда саллала. На фотораффици показана ячейка такой ИС, имеющая размер 62×65 мкм. Полевые трансисторы, входящие в состав схемы, имеют затворы длиной 1 мкм. Кристалл с объемом памяти 4 кбит содержит 26600 полевых трансисторов и имеет размер 5,6×6 мм. Выстроёные ИС — 2 ис.

Объем оперативной памяти недостаточен для решения сложных задач на ЭВМ. Основная часть информации хранится во внешней памяти, имеющей горадо больший объем, хотя и меньше быстродействие. На фотораффици изображено устройство внешней памяти на магнитной ленте, немного похожое на обычный катушечный магнитfon. На ленте длиной 750 м может хранить до 6 мл. 32-разрядных чисел. Время считывания всей такой ленты составляет 6—7 минут.

Шенно эквивалентны. Вход $R$ используется для установки начального «нулевого» состояния триггера, а вход $S$ — для подачи сигнала, который необходимо заполнить. Выход триггера, например на котором устанавливается равным «1» при подаче «1» на $S$, называется основным (верхний выбор на рисунке 1), а второй выбор, например на котором инверсно по отношению к входному сигналу, называется дополнительным. Инверсия, так же как и в схемах типа «НЕ», обозначается кругжом.

Входы «установка нуля» $R$ всех триггеров соединены; на них перед записью подается сигнал «1», в результате чего на всех основных выходах триггеров устанавливается «0».

Проследим, как производит запись числа в регистр. Каждая из входных схем «И» имеет два входа. Один из них (низкий на рисунке 1) — общий для всех схем. Проводик, соединяющий эти общие входы, называется шинной записи (ЗАП). Если на шину записи подано нульое напряжение, то на всех выходах схем «И» также будет нульое напряжение, независимо от сигналов на вторых, «сигналных» входах — таково свойство схем типа «И» (см. заметки в № 1, 2 «Квант», 1986). Однако, если на шину записи ЗАП подается сигнал «1» — разрешение записи, — то напряжение на выходах схем «И», а следовательно, и на $S$ — входах триггеров будет зависеть от того, какой сигнал поступает в этот момент на вторые, сигналные входы схем «И».

На рисунке 1 для примера показана запись числа 9 (1001). В первом и четвертом разряда на сигналных входах сигнал «1». Если на шине ЗАП также сигнал «1», то на вход $S$ триггеров 1-го и 4-го разрядов поступит сигнал «1», который «перевернет» эти триггеры. В 1-м и 4-м разряда запишется «1». В разрядах 2 и 3, где на сигналных входах «0», на выходах схем «И» также будет «0» и в тригграх остаются записанным «0».

Действие выходных схем «И» аналогично действию входных. Как только на шину считывания (СЧ) будет подан сигнал «1», на выходах схем «И» появятся сигналы «1» в тех разрядах, в которых на основном выходе триггера была записана «1».

В схемах реализующих триггеров. На этих выходах создается так называемый «обратный код» записанного числа, в котором на месте «1» находится «0» и наоборот. Обратный код используется в ЭВМ для осуществления некоторых арифметических операций с двойными числами.

Совокупность регистрации, использующих ЭВМ для заполнения программы работы, исходных и промежуточных данных математических действия, называется оперативной памятью. Оперативная память одной из больших отечественных ЭВМ «ВЭСМ-6» содержит 32768 (32768=2$^{15}$) регистра, каждой из которых позволяет хранить 48-разрядные двойные числа.

От оперативной памяти требуется высокое быстрое, потому что она должна успевать записьать и считывать числа с такой же скоростью, с какой машина производит вычисления. Среди современных промышленных интерфейсов схем наиболее быстрое построением обладают ИС на основе кремневых биполярных трансисторов. Поэтому оперативная память больших ЭВМ выполняется из логических схем и триггеров на биполярных трансисторах.

Регистры микрокалькуляторов изготовливаются на основе полезных МДП-транзисторов. Быстроествие такой памяти значительно ниже, но это МДП-транзисторы потребляют гораздо меньше энергии. Благодаря этому микрокалькулятору могут десятички часов работы от минитаорной батарейки.

48

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Найдите наименьшее значение выражения
   $$2x^2 - 2xy + 5y^2 + 2x + 2y.$$
2. Найдите сумму
   $$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + 7 \cdot 9 + \dots + 999 \cdot 1001.$$
3. Известно, что $n-1$ делится на 15, а 1001 делится на $n+1$. Найдите $n$.
4. В прямогольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CD$. Найдите: a) радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если радиус окружностей, вписанных в треугольника $ACD$ и $BCD$, равны $r_1$ и $r_2$; b) перimetр треугольника $ABC$, если перimetры треугольников $ACD$ и $BCD$ равны $P_1$ и $P_2$.
5. На окружности, описанной около правлого треугольника $ABC$, взята точка. Найдите сумму квадратов расстояний от этой точки до вершин треугольника, если сторона треугольника равна $a$.

Девятый класс
6. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + \dots + 9x_9 + 10x_{10} = 55, \\ x_2 + 2x_3 + \dots + 9x_{10} + 10x_{11} = 55, \\ x_{10} + 2x_1 + \dots + 9x_8 + 10x_9 = 55. \end{cases}$$
7. Доказите неравенство

Учитены не только солнечные возможности, но и влияние несферических Земли, притяжение планет, небольшая релятивистская поправка. И все же теория Брауна обнаруживала страницы неувязки, давала хотя и очень малые, но заметные расхождения с наблюдамими. Уже в 40-х годах нашего столета было установлено, что теория здесь опять не винована, а имеет место неравномерность вращения Земли, а значит, и неравномерность времени, которое определяется по вращению нашей планеты. С переходом к эфемеридному времени, текущему равномерно (ono определяется с помощью atomных часов), все неувязки отпалили.

Развитие космических пqlетов, в том числе к Луне, установка на поверхности Луны угловых отражателей для лазерной локации существенного повышения к точности лунной теории. Тепер расстояние до Луны мы можем определить с точностью до 25 см. Совершенствование ЭВМ открыло новые возможности.

Группа французских учены сумела с помощью ЭВМ проверить теории Делоне и Хилла — Брауна и получила все нужные величины с потрясающей точностью: до $1''$ по углам и с «лазерной» точностью по расстоянию. Для этого прилось брать в разложения уже много тысяч членов. Впрочем, для ЭВМ это особого труда не составило. Созданная таким образом теория была затем с успехом применена и к изучению движения искусственных спутников Земли.

Так завершилась многоvekовая история построения теории движения Луны. Тепер мы знаем, что скрывается столь, казалось бы, простой фразой: «Луна движется вокруг Земли по эллипсу…»

49

Тепловые процессы в газах

Кандидат физико-математических наук
А. И. БУЗДИН,
кандидат физико-математических наук
С. С. КРОТОВ

При переходе от раздела «Механика» к разделу «Молекулярная физика и тепловые явления» учащся не всегда достагоно ясно представляют себе принципы изменения в подходе к описанию изучаемых систем.

Во всех существующих в природе телах происходит движение составляющих эти тела мелчайших частиц (атомов и молекул). Оно, как известно, называется тепловым движением, и его характерная черта — беспорядочность. В механике мы отвлекаем от этого внутреннего движения частиц и изучаем движение тела как целого. Часто можно вообше пренебречь размерами тела при описании его движения и считать тело материалов точкой. Материальная точка — основной объект механики.

В физике тепловых явлений, напротив, надо учитывать хаотическое движение гигантского числа частиц, из которых состоит газы, жидкости, твердые тела (порядка числа Авогадро $N_A \sim 10^{23}$ 1/mоль). При этом главный интерес представляет находжение усереденных величины, описывающих состояние системы в целом, — температуры, давления, плотности и т. п.

Набольшее внимание в школе идеальным газам, подчиняющим Менделеева — Клапейрона

$$pV = \frac{m}{M}RT,$$

где $p$ — давление, $V$ — объем, $m$ — масса, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура газа.

Тепловым прибессом можно считать любой процесс, при котором изменяется хотя бы один параметр, характеризующий состояние газа. Так, например, при изготовлении процессе над заданным количеством газа температура поддерживается постоянной, а давление и объем изменяются (но $pV = \text{const}$, соответствующего закону Бойля — Мариотта).

Вспомните, что процесс с параметрами газа при изокорическом и изобарическом процессах.

Задача 1. Тепловой процесс, который совершается с газом в замкнутом состоянии, на $V$ — $T$-диаграмме имеет вид окружности (рис. 1). В каких точках максимальны и минимальные температура газа, его объем и давление?

Точки, где максимальные и минимальные объем и температура, указываются легко. Это точки касания данной окружности соответствующими горизонтальными и вертикальными прямыми — изохорами и изотермами. Для ответа на вопрос о давлении постройим на этой же диаграмме изобары.

При изобарическом процессе объем газа при поропционален его температуре:

$$V = \frac{mR}{Mp}T,$$

следовательно, изобары представляют собой прямые линии, проходящие через начало координат, причем наклон их тем меньше, чем больше давление. Теперь ясно, что мы должны проведги из начала координат касательные к окружности. При этом нижняя касательная будет отвечать максимальным давлением, а верхняя — минимальным.

Задача 2. На $p$ — $V$-диаграмме изображен процесс расширяения газа, при котором газ переходит из состояния 1 с давлением $p_0$ и объемом $V_0$ в состояние 2 с давлением $p_0/2$ и объемом

50

2V₀ (пис. 2, а). Изображите соответствующей процесс на p—T- и V—T-диаграммах.

Поскольку на p—V-диаграмме процесс изображается отрезком прямой, давление и объем связаны соотношение p=αV+β, где α и β — константы. Для их определения учет взаимосвязь параметров p и V в состоянии 1 и 2 соответственно:

$$p_0 = \alpha V_0 + \beta, \frac{p_0}{2} = 2\alpha V_0 + \beta.$$

Отсюда

$$\alpha = -\frac{p_0}{2V_0}, \beta = \frac{3}{2}p_0.$$

Таким образом, уравнение теплового процесс в переменных p, V имеет вид

$$p = -p_0 \frac{V}{2V_0} + \frac{3}{2}p_0.$$

Учитывая уравнение Менделеева — Клапейрона, записанное в виде pV=AT (A=mR/M=const), найдем уравнение процесс в переменных p, T:

$$\left( \frac{3}{2}p_0 - p \right) p = \frac{Ap_0}{2V_0} T$$

и переменных V, T:

$$V \left( 3 - \frac{V}{V_0} \right) = \frac{2A}{p_0} T.$$

Так как произведение pV для состояния 1 и 2 одно и то же, конечная и начальная температуры совпадают и равны T₀=p₀V₀/A. В переменных p,

$$T \text{ и } V, T \text{ графики процесс будут участипарабол, изображенных на рисунках 2, 6 и 8:}$$

Задча 3. Как меняется температура газа при тепловом процессе 1—2—3—4—1 (пис. 3)?

На участке 1—2 давление растет при постоянном объеме, значит (в соответствии с законом Шарля), растет и температура. На участке 2—3 температура также увеличивается, поскольку произходит рост объема газа при постоянном давлении (закон Гейлосска). Аналогичные рассудения позволяют заключить, что на участках 3—4 и 4—1 температура падает. Ответ легко получить также, проверяя соответствующие изображения на p—V-диаграмме.

При решении данной задачи подразумевается, что масса газа оставалась все время постоянной. Ответьте самостояльно на такой вопрос: как должна меняться масса газа, чтобы при постоянной температуре тепловой процесса на p—V-диаграмме изображался так же, как на рисунке 3?

Задча 4. На рисунке 4 представлены две изображения газовых газов одинаковой массы. Чем отличаются эти газы, если их температуры одинаковы?

В соответствии с законом Менделеева — Клапейрона,

$$p = \frac{mR}{MV} T,$$

позному единственной причиной тому, почему газ 1 имеет всегда большие давление (при одном и том же объме), является его меньше по сравнению с газом 2 молярная масса.

Вопрос: Могут ли пересекаться какие-либо изображения газов?

Задча 5. Моль идеального газа участирует в тепловом процессе 1—2—3—4—1, изображенный в рис. 5, а. Продолженная отрезков прямых 1—2 и 3—4 проходят через начало координат, а кривыe 1—4 и 2—3 являются изображениями