Квант 1986, №9 · Страницы

КВАНТ 9
1986

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

С новым
учебным годом!

1

В НОМЕРЕ:

2 День знаний — веннадодный праздник
3 С. Г. Гиндикин. Жозеф Луи Лагранж
11 А. А. Ланидес. Покатаемся на виндсерфере
16 В. А. Фабрикант. Волк, барон и Ньютон
21 М. Д. Коваленко. Микропроцессор измеряет…

Knowledge day — our national holiday
S. G. Gindikin. Joseph Louis Lagrange
A. A. Lapides. Riding a windsurfer
V. A. Fabrikant. The wolf, the baron and Newton
M. D. Kovalenko. Measuring by microprocessor…

Новости науки
20 На пути кRENTеновскому лазеру
Science news
In the direction of X-ray lasers

Matematический кругок
23 И. А. Кушнир. Урок одной задачи
Mathematics circle
I. A. Kushnir. One-problem lesson

Школа в «Кванте»
25 Физика 8, 9, 10
Physics 8, 9, 10
Selected school problems

«Квант» для младших школьников
31 Задания
34 С. Н. Олехник. Сколько велосипедов?
Kvant for younger school children
Problems
S. N. Olekhnik. How many bicycles?

Kалейдоскоп «Кванта»
Kvant’s kaleidoscope

Заданияк «Кванта»
36 Задания M1001—M1005; Ф1013—Ф1017
Kvant’s problems
Problems M1001—M1005; P1013—P1017
Solutions M981—M985; Ф993—Ф997
List of readers who have sent correct solutions

Искусство программирования
48 Математика и программирование (Беседа с академиком А. П. Erшовым)
The art of programming
Mathematics and programming
(A talk with academician A. P. Ershov)

Практикум абитуриента
51 А. Р. Зильберман. Цепи переменного тока
College applicant’s section
A. R. Zilberman. Alternative current circuits

Олимпiadы
Olympiads

Ответы, указания, решения
Наша обложка (10)
Смесь (56)
Шахматная страница
Новые успexи комьютера (3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Our cover page (10)
Miscellaneous (56)
The chess page
New computer achievements (3rd cover page)

Прекрасные летние каникулы позади. И теперь уже радуга — не просто радуга, а оптическое явление в атмосфере, качели — не просто качели, а пример параметрического резонанса (разобрать с этим примером вам помогет стать на с. 29)… С новым учебным годом!
О конструкциях, изображенных на второй странице обложки, рассказывает на с. 10.

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1986

2

День знаний — венародный праздник

В этом году в третьий раз отмечается венародный праздник — День знаний.

В. И. Ленин на заре Советской власти говорил, что коммунистом можно стать, лишь обогатив свою память знанием всех тех богатств, которые выработало человекство. В обращении к молодежи на III съезд комсомола он призывал: «Учитться, учиться и еще раз учиться». Эти ленинские заветы нашли вопросы в политике нашей партии и советского государства, которые создали невиданные по своим историческим аналогам возможности для расцвета образования и культуры в нашей стране.

Почему на данной этапе развития нашего общества делу получения знаний уделяется столбьюе внимание? Реализация начеченного XXVII съездом партии курса на укорение социально-экономического развития страны связана с научно-техническим прогрессом, с превращением науки в непосредственную производительную силу общества. Специальные исследования убедительно доказывают высокую экономическую эффективность образования. Есть данные о том, что от 30 до 40 процентов прироста национального дохода в развитх странах обеспечивают за счет образования. Рост образования мощен.

КПСС и советское правилоство уделяют постоянное внимание делу совершенствования образования. Подтверждение этому — новая реформа школи. Срок обучения продолжается в ближайшие годы с 10 до 11 лет; начальная школа становится четply летней. Принимаются меры к улучшению трудового обучения и воспитания. В 12 пятилетке будет построено вдвое больше школа, чем в 11 пятилетке. Будет также возвратную 800 новых комплектов профессиональных. Начечено открыть сотни новых станций коных технических, юных натуральств, спортивных школ. Расширяется сеть научных обществ учащихся, крупков, детских клубов.

Изменится и само содержание школьных знаний. Будет лучше обеспечено знакомство с новыми технологиями, компьютерами, робототехникой. Ученики получат более глубокие политические знания, ознакомятся с новыми социальными процесами в стране и мире в целом. Начнет издаваться новый политический журнал для старшеклассников. Расширяется цикл факультативных занятий по гуманитарному, физико-математическому, техническому и биологическому профилям с целью развития талантов и способностей учащихся.

В День знаний все страна сердечно приветствует учитель и учеников и желает им новых большех успехов.

Вице-президент Академии педагогических наук СССР

Ю. К. Бабанский

3

Жозеф Луи Лагранж
К 250-летию со дня рождения

Кандалат физико-mатематических наук С. Г. ГИНДИКИН

Письмо из Турина. В августа 1755 г. великий Эйлер (1707—1783) получил из Турина письмо от 19-летнего Лагранжа, который и прежде писал ему. У Эйлера, несомненно, уже успел сложиться мнение, что его корреспондент является талантливым сформировавшимся математиком, несмотря на его молодость. И все же содержание последнего письма порazило ученого.

С конца XVII века внимание математиков все более привлекали задачи, которые сейчас принято называть варшационными, а тогда обычно называли изоперметрическими. Все началось с задачи о брахистохроне — крювой наиболее широким между двумя точками. Эту задачу поставил Иоганн Бернулли (1667—1748). Впрочем, задачи о кривых, обладающих теми или иными свойствами максимума-минимума, возникали и раньше: окружность при заданной длине ограничивает фигуру наиболее плошей площади (изоперметрическое свойство, отсюда и название класса задач), пряма — кратчайшее расстояние между точками и т. д. Число таких задачросло, математики с удовлетворением решали их, подбирая свой «ключ с секретом» к каждой из них.

Однако стиль этих расцвета дифференциального и интегрального исчисления требовал попытаться найти общий метод, сформировать исчисление для решения изоперметрических задач. Такой метод нашел в 1732 г. сам Эйлер. Его основное наблюдение состоит в том, что кривые, являющиеся решением этих задач, отвечают решением некоторых дифференциальных уравнений. В вывode этих уравнений он видел основную задачу. Трудность здесь состоит в том, что реб шла о поиске экстремальной кривой (а не экстремальной точки) и поэтому известные примеры поиска экстремума были непримелены. Лишь окольным путем, заменив кривы на ломанье, Эйлеру удалось предолеть эту трудность.

Но Лагранж, с решительностью, присущей молодости, отважился применить именно к кривым основному схему поиска экстремума из общного анализа. Эта схема, как знает сейчас любой девятиклассик, состоит в замене функции $y=f(x)$ на ее главную часть $dy=f'(x)dx$ (ее дифференциаль) с последующим решением уравнения $dy=0$ (то есть $f'(x)=0$). Лагранж придумал соответствующее понятие для кривой $l$, обозначил его $\delta l$ (по аналогии с $dy$); позже $\delta l$ стал называть варшацией. Уравнение $\delta l=0$ и привед его сразу к тем дифференциальным уравнениям — их теперь называют уравнениями Эйлер-Лагранжа, — к которым Эйлер шел кружным путем.

Короткой информации Эйлеру было достигно, чтобы оценить все применущества усвоершенствования Лагранжа. Письмо Лагранжа возродило и у самого Эйлера интерес к экстремальным задачам. Уже в 1756 г. он делает в Берлинской академии два сообщения, связанные с методом Лагранжа. В том же году Лагранж по представлению

4

Эйлера был избран иностранным членом этой академии — редакция для молодого ученого, который не успел опубликовать свои трудов.

Эйлер не торопится публиковать свои новые результаты, предоставляя своему молодому коллеге, не торопясь, подготовить к печати своего работы. Он разъясняет свою позицию в письме от 10 октября 1759 г.:

«Твое английское решение изоперimetрической проблемы содержит, насоклко я вижу, все, чего только можно желать в этой области, и я чрезвычайно рад, что эта теория, который после первых моих попыток я занимался edва ли не один, доведена только до величайшего совершенства. Важность вопроса побудила меня к тому, что я с помощью твого освещения сам выел английское решение. Я, однако, решил скрывать это, пока ты не опубликовешь свои результаты, так как я никогда обозам не хочу отнимать у тебя часть заслуженной тойой словы».

Замечательный пример научной этики!

Письмо Эйлера добавило решимости Лагранжу опубликовать сделанное, и во II томе «Туриинских записок» за 1761—1762 г. появляется его тему «Обыт нового метода для определения максимумов и минимумов неопределенных интервальных формул». В 1764 г. публикует свои результаты и Эйлер, предваряя публикацию словами:

«После того как я долго и бесплатно трудился над решением этого вопроса, я с удивлением видел, что в «Туриинских записах» задача эта решена столь же легко, как и счастливо. Это прекрасное открытие вызвало у меня тем больше восхищение, что оно значительное отличие от данных много методов и значительно их превозходит по простоте».

Заметим, что Эйлер не упоминает предшествовавшей переписки. Эйлер предлагает называть новый метод «варнационным исчислением» по аналогии с дифференциальным исчислением.

Таким был научный дебит Лагранжа. В одном отношении он уникален. Известны и другие примеры, когда великие математики получали первые крупные результаты в том же возрасте, что и Лагранжа. Однако при этом решила она卑но о решении конкретных задач. Интерес же к совершенствованию метода как такового приходит с годами. Мы же видим, что уже в первой работе Лагранжа проявилось то, что будет всегда отличать его в дальнейшем: полное прояснение ситуации, совершенствование метода, поиск первого принципы ценится выше конкретных задач.

Джузепте Луиджи. Мы расссказали о первой великой работе Лагранжа, но все же стоит сказать несколько слов о более ранних события его жизни. Жозеф Луи Лагранж родился 25 января 1736 г. в Турине, в Италии. Впрочем, на родине его называли Джузепте Луиджи. Его предед приехал из Франции и поступил на службу к герцогу Савойскому, а дед и отец продолжали служить в должности казначей фабрики и строений. К рождения будущего математика семьи разорилась.

«Если бы я был богат, я, верятоно, не достиг бы моого положения в математике; а в какой другой деятельности я добавляю бы тех же успехов?» — говорил впследствие учены.

Впрочем, поналу семейные планы предназначаили Жозеф Луи карьеру адвоката, и в 14 лет он определяется в Туриинский университет. Однако всё он перешел в Артиллерийскую школа, что было связано с успешным интересом к математике. В 19 лет он — профессор математики в этой школе (по некоторым сведениям, еще раньше).

Вокруг Лагранжа сложился крупок молодых математиков и физиков, который позднее преобразовал в Туриинскую академию наук. С 1759 г. начинают выходить «Философско-mатематические сборники частного Туриинского научного общества», которые привели называть простой «Туриинскими записами». Мы уже говорили, что во II томе записок появился тему карьеру Лагранжа оварнационном исчислении, а I том содержал две его работы, в том числе статью «Исследование о природах распространения звука».

Основания статики. Лагранжа был душой Туриинского кружка. Опубликованные в «Туриинских записах» статья его товарищей несут отчетливый след сильного влияния Лагранжа. Особенно это относится к статью Фонсене, который был, по видимому, лишь соччастником предприятого Лагранжем систематического продумывания основ механики. Потом с сюжета этой статьи начнет его знаменитая «Аналитическая механика». Речь здесь идет о сопоставлении двух важнейших на杭 statики: принципи рычага и принципа сложения сил, приложенных к одной точке. Архимед положил в основу этой теории рычага аксиому о равновесии рычага с равными плецами и грузами и о двойной нагрузке на точку опоры в этой ситуации. Многие авторы пытались уточнить и дополнить рассудения Архимеда, но они, по словам Лагранжа, «нарушив простоту …почти ничего не выиграли с точки зрения точности». Лагранж отмечает, что первый часть аксиомы естественного считать оченьдовидной из сообщений симметрии: «нельзя устотреть основания, в силу которого один груз перетянул бы другой». Он, однако, не видит никаких логических оснований к тому, что нагрузка на точку опоры при этом должен быть равна обязательно сумме весов грузов:

5

«по-видимому, все механики рассматривают это допущение как результат повседневного наблюдения, которое учит нас, что тяжеть тела зависит только от его массы, но ни в какой мере не зависит от его формы».

Лагранж предлагает вывод второй половины аксиомы Архимеда из первого. Он рассматривает однородную треугольную пластину ABC, где основание AB равноведренного треугольника горизонтального. Вершины A, B нагружаются равными.grзами p, а вершина C грузом 2p. Пластина опирается на среднюю линию MN, паралельную AB (рис. 1). Она будет находиться в равновесии, что следует из рассмотрения пары рычагов AC, CB с точками опоры M, N в силу первой части аксиомы Архимеда. Но тогда в равновесии будет и рычаг CF, где F середина AB с точкой опоры E — серединой CF (в ней пересекаются MN и CF). Следовательно, нагрузка в точке F должна быть равна грузу 2p в точке C (строго говора, здесь применяется обращение первой части аксиомы Архимеда, которое легко выводится), а это в точности нагрузка на точку опоры в рычаге AB. Лагранж аккуратно отмечет, что прием с рассмотрением равновесия плоской пластины относительно стержня онпочерпул у Гюйгена.

Далее, Лагранж рассматривает принцип сложения сил, приложенных к одной точке, который легко обосновывается при помощи рассмотрения сложения движения. Существняя разница в принципах состоит в том, что в одном случае сил прикладываются к разным точкам, а в другом — к одной. Тем не менее многие утверждения статики можно выводить как из одного принципа, так и из другого. Возникает желание вообще отказывать от принятия принципа рычага за аксиomy, но Лагранжа настояживает, что все известные выводы аксиомы Архимеда из закона сложения сил весма искусственные:

«…хотя, строго говора, оба принципа рычага и сложения движения всегда приводят к одним и тем же результатам, интересно отметить, что наиболее простой сил для одного из этих принципов становится наиболее сложным для другого».

Интущия позволяет Лагранжу безшибочно обнаружить тонкое место, хотя он и не смог до конца объяснить его. Оно связано с взаимношенное механики и геометрии. Дело в том, что закон сложения сил, приложенных к одной точке, не зависит от аксиомы паралельных, в то время как в пространстве Лобачевского нагрузка на точку опоры рычага всегда превышает сумму весов приложенных грузов. В выводе второй половины аксиомы Архимеда используется утверждение о том, что высота равноведренного треугольника пересекается со средней линий в ее середине; а это опирается на аксиomy паралельных и не справедливо в геометрии Лобачевского. По-видимому, Лагранж еще не знал этого, хотя известно, что он размышлял над проблемой V постулата.

Приципи наименшено действия. Во II томе «Турииских записок» следед за темуаром о варианционном исчислении была помещена статья Лагранжа «Приложение метода, изложенного в предыдущем темуаре, для решения различных задач динамики». И здесь Лагранж следует по стопам Эйлера. В 1744 г. Мопертион (1698—1759) формулировал очень общий и туманный принцип, согласно которой все в природа, включая механическое движение, происходит так, чтобы некоторая величина — действие — достигала своего минимального значения. Эйлер для случая движения

6

точки в центральном поле превращил это неопределенное утверждение в совершенно точное, определяв действие в этом случае как интерgal скорости по пути §v ds. Лагранж обобщил прицили Эйлера на случай произвольной системы точек, между которых имеются связи и которые взаимодействуют произвольным образом. Определив действие в этой системе, Лагранж, пользовясь разработанной им технической вирнационного исчисления, решает разнообразные задачи диагностики, включая гидродинамику. Как пишет Фурье (1768—1830):

«Он своит все законы равновесия и движения к одному прицилиу и, что не менее удивительно, он их подчиняет одному методу исчисления, изобретателем которого он сам является».

Посещение Парижа. В 1766 г. Лагранжу исполнилось 30 лет. Это был важный рубеж в его жизни. Он признан в научном мире: в 1764 и 1766 гг. он удостаивается премий Парижской академии за исследование движения Луньи и спутников Юпитера. Провинциальный Турин становится темen для научной деятельности Лагранжа. В личной жизни он был непритязательен, отличался слабым здоровым, его скромность в общении с людьми передко приобретала формуステенчивости и даже неподимости. Он вел общирную переписку, но как много дает непосредственное общение с учеными, Лагранж имел возможность убедиться во время поездки в Париж в 1755 г. Лагранж сопроводал своего друга Карачили, назначенного посланником в Лондон. Впрочем, до Лондона Лагранж не доехал.

«Опасно заболев после обеда у аббата Нолле, на котором Нолле угощал его кушаньями, приготовленных на итальянский лад, Лагранж не мог поехать в Лондон, а остался длялечения в Париже и по вздорлении поспешил вернуть в Турин», — вспоминал его друг и биограф Деламбр.

Дело было в том, что в сверной Италии для приготовления пищи использоват косторовое масло, предварительно сливно прожаренное. На кухне у Нолле, где решили приготовить обед «на итальянский лад», воспользовались косторовым маслом без необходимой подготовки, и оно в полной мере проявило свои известные лекарственные свойства. Оdnako в научном плане более была плодотворной. Лагранж много общеется с крупнейшими французскими математиками Даламбером (1717—1783), Клеро (1713—1765), Кондорсе (1743—1794), но и среди менее значенных ученых были также, которые остались его друзьями на всю жизнь. Лагранж недократно повторял, что эти полгода, проведенные в Париже, были самым счастливым периодом в его жизни.

Лагранж в Берлине. В 1766 г. Эйлер узжеает из Берлина в Петербург, освободив место директора физико-mатематического класса Берлинской академии наук. Он предлагает Фридриху II в качестве своего преемника Лагранжа. Эта кандидатура была энергично поддержана Даламбером, с меньшим которого король считался в еще большей степени. Уже в ноябре 1766 г. Лагранж в Берлине, хотя король Сардинни неохотно расстался с ученым. Лагранж оказался в академии не в лучшие ее дни. Здесь не было ни Эйлера, ни Даламбера, ни Мопертион. Оdnako здесь работал очень оригинальным математиком Ламберт (1728—1777), доказавший в частности, irrationalность числа л. У Лагранжа и Ламберта много точек соприкосовения в математике, чем-то они наполняют друг друга и по-человечески. Их другба продолжалась десять лет до смерти Ламберта и была очень существенно для них обонх. Нелегко было замкнутому Лагранжу приспособиться к жизни прусккого двора. Но он, в отличие от Эйлера, смог это сделать и избежать конфликтов. Лагранж ведет размеренную жизнь: внешние обязаности, встречи, переписка занимают большую часть дня, но весь вечер после обязательной прогулки отдел занятым наукой в тишине, за закрытыми дверями.

«Аналитическая механика». Лагранж провел в Берлине чуть больше двадцати лет. Это была пора его зрелости, самый продукттивный период его жизни. Есть несколько великих ученых, в наследии которых есть одна главная книга («Начала» у Ньютона, «Маятниковые часы» у Гюйгена). У Лагранжа такой книгой была «Аналитическая механика». Она вышла в 1788 году, когда Лагранжа был уже в Париже. Но она выбрала в себя то главное, что было сделано в Берлине, а задумано еще в Турине. Замысел книги лучше всего условить из слов самого автора:

«Имеется уже несколько руководств по механике, но план этого социенника совершенновый. Я имел в виду привести всю теорию этой науки и искусство решения относится к ней задач к общим формулам, простое развитие которых давало бы все необходимые для решения всякой уравнения».

Итак, коротко говоря, Лагранж собирается показать, что чисто аналитических процесур достаточно для решения механических задач (чтоЫ подчернуть это, Лагранж демонстративно не пользовается чертежами), что можно предложить «однообразные» (как мы бы сказал сегодня, алгоритмические) правила рассмотрения таких задач и что имеются простые общие прицилиы, на которых все механика

8

Алгебраические размышления. Проблемы алгебраических уравнений и их систем запимали Лагранжа в разных аспектах. В 1770—71 гг. вышел мемуар «Размышления об алгебраическом решении уравнений», несомненно задуманный еще в Турине. Собственное, это целая книга, занимающая более 200 страниц, которая, по словам Коши, знаменовала начало новой эры в алгебре. Наряду с «Аналитической механикой» это вершина творчества Лагранжа.

Лагранж стремится разрешить следующую задачу: почему не удается получить формулу для корней алгебраических уравнений степени, больше 4. Он подвергает анализу выражения, стоящие под радикамами в формулах для квадратного и кубического уравнения, приведя убедительные аргументы в ползу того, что для уравнения 5-й степени аналогичные выражения, а значит, и формулы существовать не могут. Это доказал позднее Абель, а общее глубокие идеи о перестановках корней послужили Галуа (1811—1832) отправной точкой для построения его великой теории.

Кризис. Математика была единственной страстью Лагранжа и ее было достаточно, чтобы заполнить всю его жизнь, доставить ему немало счастьых минут. Все остальное было подчинено занятиям наукой. Деламбр передает относение Лагранжа к музыке:

«Я ее люблю, поскольку она меня изолирует; я слышу первые три такта, на четвертом также не различаю ничего, я предаюсь своим размышлениям, ни что меня не прерывает, и тогда я решаю наиболее трудные из проблем».

Для Лагранжа было характерно, что великие цели позначения истинны, мировой гармонии не переплетались у него с личными амбициями, с желанием совершать, обгорать современников. Если он узнал, что кто-то успешно занимается проблемой, над которой он сам думал, он немедленно прекращал размышления с искреннимощущением «освобоження от обязательности». Влагодаря всегда этому Лагранжу было присуше необычайное душевное равновесие, давшее силы стояко переносить тяготы жизни, не прекращать напряженных занятий.

Лишь одно могло поколебать Лагранжа — потеря ориентиров, неверенность в выборе правильных целей. И это осуществление начинает появляться вскоре после переезда в Берлин. В 1772 г. он пшет Даламберу: «Не каждец ли Вам, что вышла геометрия близости к упадку, ее поддерживает только Вы и Эйлер». Это пшет учены, который находится в расцвете сил (ему 36 лет), у которого начинает складывать его «Аnalитическая механика» и который только что опубликовал алгебраический тему, определяющий развитие алгебры на 100 лет вперед!

Ошущение заката математики не покидает Лагранжа. 21 сентября 1781 г. он опять пшет Даламберу:

«Я начинаю чувствовать силу моеи инерции, которая понемного увеличается, и я не могу сказать с уверенностью, что в течение будущего десятилетия я еще буду заниматься математкой. Я думаю также, что шахта становится слишком глубока и что ее придает рано или поздно бросить, если не будут открыты новыерудонские жили».

В Париже. Предчувствие не обманную Лагранжа. В 1787 году, вскоре после смерти Фридриха II, он переехал в Париж и, по существу, прекращал активные занятия математикой. Лагранжу 51 год. В один 1783 год мир лишился и Эйлер, и Даламбера. Лагранжа восторженно встречал французские учены, теперь он несомненно «первыгет Европы», и лишь Лапас может всегда конкурировать с ним. К Лагранжу неравнодушны при дворе. Он необычно легко отвлекается от геометрии в ползу занятой философией, химей, историй, медициной, активно участвует в опытах великого химика Лавузье (1743—1794). Но вскоре наступило французских учены перевали в период революции, в котором учены приняли само активное учение. Никогда прежде не представлялась для них возможность непосредственно влиять на жизнь страны. Они входят в мунципалитет, Учредительное и Законодательное собрания; астроном Байи становится мэром Парижа, математик Лазар Карно возглавляет оборону Франции (его называли «организатором побед»), а Монж морским минстром. Резко активизировался и деятельности учены, направленная на решение практических задач.

Лагранж держится в стороне от политики. Закон 1793 г. предписывает иностранцам покинуть Францию, но специальный декрет Комитета общественного спасения делает для Лагранжа исключение. В самые трудные дни он не покидает Франции, разделяя судьбу своих коллег. Участие в политической жизни столицы Байи, Кондорсе. Лавузье был казен как откупщик. Лагранж приставно наблюдает за проискодящим. Деламбр сохранил слова Лагранжа, сказанные после гильотинирования Лавузье:

«Нужен был один момент, чтобы снести эту голову, и, может, будет недостаочно стает, чтобы появился подобная».

10

иронией». И неожиданное именно этот скромный человек стал воспринятыся как образец великого ученого и человека, причем не только математиками. Гёте писал:

«Математик совершенен лишь постольку, поскольку он является совершенным человеком, поскольку он осуществляет в себе прекрасное, присущее истинное; только тогда его творчество становится основательным, чистым, ясным, одухотворенным, действительным изящным. Все это требуется, чтобы уподобиться Лагранжу».

И в другом месте:

«Лагранж был безупречный человеком и именно поэтому и великим. Если безупречный человек наделен талантами, то он всегда становится благом человека, носителем счастья и благородства, будь то художник, исследователь природу, поэтому кто-то любо другой».

Эйлер и Лагранж воспринимаются сегодня как величайшие математики XVIII века, учитель и ученик, дарования которых妒азительно дополняли друг друга. Эйлер, стремившийся заглянуть как можно дальше вперед, говорил о вещах, для которых еще нет подходящего языка, оставить потомкам задачи, которые должны будут служить ориентирами, и Лагранж, во всем добирашийся до глубины структур, стремившийся создать картину, лишенную белых пятен, передать последующим поколением языка и методы, которые должны время будут доставиться для решения новых задач.

Наша обложка

На второй странице обложки показаны три фотографии складчатых моделей, изготовленных из плоских листовavatмана без разрывов и склейванный. Такие конструкции мы назовем структурными пространствами с направляющими поверхностями. Их можно получить из плоского листового материала (avatмана, тонкого картона, металла или пластиссы), складывая его по линям в надлежащую сторону в соответствии со схемами, две из которых показаны на рисунке, а затем изгибая лист со складками, чтобы придать ему общую форму цилиндра. Для трех показанных модели «направляющей поверхности» служит цилиндр, но можно построить подобные структурыные пространства и с другими направляющими поверхностями, например, кончечными, гиперболическими и эллиптическими.

В качестве основы сети линей, по которым производятся складки, использующие элементы различных паркетов (см. «Квант», 1979, № 2, с. 9) и решеток на плоскости. При этом здесь примерются не только примеры или ломанные, но и кривые линей складок, что придает полученным модельм большеую естетическую выразительность.

Кроме естеческих пространств, структурные пространства обладают различными интерсельными механическими свойствами (статические и динамические), вследствие которых они перспективны для поиска новых архитектуры и конструктивных форм.

А. И. Волков

12

доски, $M$ — масса спортмена. Силы приложены к разным точкам. Поэтому, чтобы компенсировать опрокидывающий момент, спортмен отклоняется внутри поворота.

Горизонтальная составляющая $F_{\text{под}}$ приводит к появлению центристремительного ускорения $a_{\text{ц}}$, а так как вертикальная составляющая $F_{\text{под}}$ уменьшилась по сравнению со случайным примолнейного движения, то доска опускается чуть глубже в воду. Сила Архимеда $F_{\text{А}}$ возрастает, так что по вертикальной оси выполняется условие равновесия.

Теперь рассмотрим движение сердца не поровной, а по наклонной поверхности воды — по волне. На рисунке 3 все силы приложены в одной точке. На самом деле это, конечно, не так: силы приложены в разных точках, и приходится, смешаясь к корме или к краю сердца, создавать дополнительный момент силы $Mg$, компенсирующий внешние моменты. Спортмен вынужден постояно балансировать, его центр тяжестки все время смешается от некоого среднего равновесного положения.

На системе (серф+спортмен) действуют три силы — тяжестки $(M+m)g$, сила Архимеда $F_{\text{А}}$ и гидродинамическая сила $F$ (которую и здесь можно представить как сумму $F_{\text{сопр}}$ и $F_{\text{под}}$). Спортмен неподвижен относительно ската волны, то есть перемещается вместе с ней с постоянной скоростью (волна как бы несет спортмена). Поэтому условия равновесия составит в равенстве нулю векторной суммы этих трех сил.

Однако гидродинамическая сила возникает лишь при движении относительно воды с некооторой скоростью. В данном же случае мы только что приняли, что спортмен покопится относительно ската волны. Но отсутствaje тогда берется эта сила?

Все дело в том, что покой относительно волны восе не означает покоя относительно воды. Когда распространяется волна, элементы водной поверхности движения практические лишь по вертикали. Колбания вверх — вниз различных элементов поверхности воды, расположенных вдоль прямой, по которой распространяется волна, «скородинированны» таким образом, что наблюдаются, расматривающий всю поверхность целком, видит бегущую со скоростью $v$

вдоль горизонтали волну (на рисунке 4 изображена поверхность воды в два близких момента времени, стрелки показывают скорости $w$ отдельных элементов поверхности жидкости).

Это означает, что на неподвижного относительно ската волныспортмена «набегает» вода со скоростью $\vec{v}'$ (рис. 3), являющейся векторной суммой скорости $(-\vec{v})$ и $\vec{w}$ (знак минус перед горизонтальной составляющей скорости возникает из-за перехода в движущую систему отчета). Эта скорость и приводит к появлению гидродинамической силы.

У(spортмена есть возможность поднятьсь выше на скат, обусловно и использует на практике,— она состоит в ориентации сердца не вдоль направления распространения волны, а под углом $\gamma$ к ней (рис. 5). Разворачивая сердф боком,(spортмен резко увеличивает силу сопротивления. Собственно, только этой возможностью и пользовается, чтобы подняться достагоно высоко на волну, так как при ориентации сердфа параллельно скорости $v$ точка равновесия находится при достагоно малых $x$.

Одна из фигур, выполняемых мастерами сердфинга, таква.

Развернуть сердф боком,(spортмен поднимается по скату, затем резко разворачивает сердф параллельно $v$ и начинает глисировать вниз. Затем, продолжая глисировать поровной воде, плавано разворачивается на $180^\circ$ (физика поворота описана ранее). Теперь он движется на волну, скорость сердфа падает,(spортмен выздает на волну (можно в принципе и прекратить глисирование, оставившись или уменьшив угол атаки $a$, и просто подождать, когда волна, с которой он съехал, его доогонит и поднимет наверх, как поплавок). Затем, не достигнуть гребня (в точке ската с достагоно большим $x$),(spортмен вновь разворачивает доску на $180^\circ$, и все повторяется.

Obviously(spортмена едет не вниз по скату, а под некоторым углом $y$ к линни ската. Это позволяет им двигаться со скоростью в 1/cos $y$ раз больше, чем скорость волны. Действительно, из рисунка 5 видно, что спортмен за время $t$ проходит путь $AB$ со скоростью $u$, даже оставясь все время в точках ската волны с одинаковым значением $x$, то волна проходит за это время путь $AC=vt$. Отсю-

РИС.1. СЕРФ НА РОВНОЙ ВОДЕ
РИС.3. СЕРФ НА ВОЛНЕ
Для простоты расширяния
могие приложения сили Fи FА совмещены
РИС.2. ПОВОРОТ
СЕРФА НА РОВНОЙ
ВОДЕ (скорость на-
правлена на нас)
РИС.4.
ГРЕБЕНЬ ВОЛНЫ
РИС.5.

17

Волк, барон и Ньюотон
(О фильме «Ну, погоди!», романе Сирано де Бержерака и лазерном термоядерном синтезе)

Академик АПН СССР
В. А. ФАБРИКАНТ

В этой статье пойдет речь о физическом явлении, которое можно было наблюдать в сельмой серии мультифильма «Ну, погоди!». Помните, как волк на парсной яхте стается договора заайца, плывшего на пароходе? Для укорения хода яхты волк дует в парус. На первый взгляд может показаться, что ситuation, в известном смысле, хода с той, что была описана бароном Мюнхгаузеном: попав в болото, барон сам себя вытащил за волосы. Однако имеется существенное разлице в этих двух случаях. Волк не нарушил один из основных законов механики — третий закон Ньюотона, тогда как барон его «нарушил», что, конечно, невозможно.

В «Началах»*) Ньюотона третий закон формулирован так: «Дейстивно всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — действия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны». Ньюотон поснил: «Если что-либо давит на точно будь другое или тянет его, то оно само этим последним давится или тянется. Если кто нажит пальцем на камень, и палец его также нажит камнем». Из третьего закона Ньюотона следует, что никакое взаимодействие тел внутри замкнутой системы (из которой ничего не вылетает нарушу) не может изменить движения системы в целом. В частности, взаимодействие отдельных частей организации барона Мюнхгаузена (рук и волос) не могло вызвать изменение скорости его погружения в болото, а тем более вытащить его оттуда.

Чтобы хотя бы замедлить погружение, барон должен был начать разделаться иbrosать с силой предметы своего тулета вниз в болото, то есть нарушить замкнутость системы. Здесь особенно полезны были бы тяжелые ботфорты. Наконец, барон мог стать на седло и прыгнуть за пределы болота. Но при этом он толкнул бы визз когда и тем самымускорил бы погружение бедного животного в болото.

Однако вернемся к «Ну, погоди!». Предположим, что парус яхты сделан из материалов, которая поглощает структурова, испускаемую Волком. тогда яхта с Волком на ней представлена бы замкнутую систему, и при отсутствии ветра она не смогла бы сдвинуть с места, как бы Волк ни старался. Так же бесплатны были бы попытки Волкаускорить дутем ход яхты: давление на парс воздушной струи, испускаемой Волком, уравновешиваясь бы действием кортей Волка на пальбу яхты. Дело в том, что душиший вперед Волк испытывает отдачу, направленную назад (действие и противодействие).

Здесь имеется аналогия с выступом изружья или орудия, когда пуля или снаряд вылетают в одном направлении, аружье или орудие начинают движаться в противоположном направлении. Каждый охотник и артилерист знает это. Еще ближе — аналогия с ракетой, из хвоста которой

*) «Математические начала натуральной философии» — так называл Ньюотон свой главный труд, в котором изложил результаты исследований по механике (этот труд выselл в свет в 1687 году). В «Началах» (так коротко называют эту работ Ньюотона) содержатся основные понятия классической механики, три закона движения (законы Ньюотона) и закон всемирного тяготения.

2 «Квант» № 9

18

вырываются продукты сортая, а она сама летит в противоположном направлении.

В фильме «Ну, погоди!» на языте стоит обикновенный парус, который, конечно, отражает струю воздуха, испускаемую Волком. Струя после отражения уходит назад, выходит из системы «яxtа с Волком». Иными словами, система перестает быть замкнутой. Возникает явление отдачи,ускорящее движение яxtы.

Вся реактивная авиация использует явление отдачи, возникающее при испускании двигателями назад газовых струй. Созданные советскими конструкторами во время Великой Отечественной войны «катюши», нагоявшие панический ужас на фашистов, использовали тот же эфект.

Возвращаясь к Волку, надо признаать, что он оказывается более сведущим в механике, чем барон. Вместе с тем можно ввести рационализаторское предложение. Волку было бы выгоднее стать спиной к пароходу и дуть в обратную сторону — ведь парус не является идеальным отражателем для воздействной струи, струя от паруса уходит ослабленной.

Сирано де Бержерак

Эффект отдачи, как известно, лежит в основе применения пакет для космических путешествий. Вот тут мы подошли к французскому пакетю Сирано де Бержераку (1619—1655). Это очень своеобразная фигура в истории мировой литературы. Сирано происходил из захудального двоянского рода и всю жизнь очень нуждался. В ту эпоху прошедали только позты, поступавшие на службу в свиту кого-либо из богатых аристократов. Для Сирано такой путь был закрыт из-за его крайне неависимого и вспышчного характера. Сирано писал стихотворные листовки, направленные против всесильного первого министра Франции кардинала Мазарини («мазарины»). Он пытался разбогатеть за счет картежной игры, но безспешно. Природа нагradила Сирано огромным карикатурным носом, вызывшим постоянные насмешки, что служило поводом для бесконечного числа дуалей. И вот этот картежник и дузлят был глубоким мыслителем, последовательем философа-материалиста Гассенди*) и создателем замечательного научно-фантастического романа «Иной Свет, или Государства и империляны», изданного в 1657 году, уже после смерти автора. Роман носит явно атеистический характер, и в нем Сирано остроумно выспенвает библиские легенды.

Для нас интересно то, что в романе Сирано описывает свой полет на Луну… с помощью пакет! Есть старинная гравюра, изображющая Сирано, летящого к Луне в корзине, к которой прикреплены пакеты, испускающие огненные струи по направлению к Земле и тем самым поднимающие корзину. Таким образом, Сирано за триста лет предвидел применение пакет для космических путешествий. Любопытно также, что в романе, написанном более чем за тридцать лет до выхода в свет «Начал» Ньюотона, Сирано утверждает, что пригяжение Луной пересилит пригяжение Землей на расстоянии, меньше от Луны, чем от Земли, так как масса Луны меньше массы Земли, и даже вычисляет отношение этих расстояний (получает, конечно, неверный численный результат — 3 вместе примерно 9).

Сирано ironически описывает Луну как место, где находится земной ray. Он там якобы встречает пророка Илью и выясняет у него, как тот добрался до Луны. И пророк описывает свой способ путешествия, проти-

*) Пьер Гассенди (1592—1655) — французский философ и ученый. Занимался исследованием по механике, аукике, оптике, теллоте.

19

воречащий треьему закону Ньютона.
Порок Илья построил железную колесницу (есть поверье, что гром во время грозы — это громыхание колесницы порока Ильи при его поздах по небесам) и, сев в нее, стал подбрасывать вверх намагниченный железный шар. Шар подтягивал за собой каждый раз колесницу, и таким образом порок достит Луны. Порок не учел отдачи, которое будет испытывать колесница при каждом броске шара, и оказался предшественником «правдолюбивого» барона Мюнхгrayзена.

Во второй половине девятнадцатого века французский драматург Эдmon Ростан написал пьесу «Сирано де Бержерак», пользовующая до сих пор большим успехом. Пьеса названа автором героическим комедий, что точно отражает ее характер — веселый и одновременно романтический возвышенный. Максим Горький написал специальную статью, в которой очень высоко оценил благородный образ Сирано, обрисованный Ростаном.

Ростан приписал Сирано способ полега на Луну, «изобретенный» пороком Ильей, и не упомянул о ракетах. Вот соответствующее место из пьесы:

«Лечь на железный лист
и сильными рыбками
Магнит подбрасывать,
он лист железный с вами
Подтягет кверху. Вы опять.
Так до Луны и упражняйтесь».
Почему Ростан колесницу превращил в железный лист, неясно.
Сравнительно недавно имя Сирано присвоено одному из лунных кратеров, что, безусловно, вполне справедливо.

Неколько слов о Жюле Верне
«С Земли на Луну прямым путем за 97 часов 20 минут» — так называется научно-фантастический роман Жюля Верна (1828—1905), который был написан в 1865 году. Жюль Верн описывает полега на Луну в снаряде, выпущном гигантской пушкой. Над признать, что это гораздо менее рациональный способ, чем полег с помощью ракет, придуманный Сирано.

А ведь прошло более двухсот лет! Правда, в другом романе Жюля Верна — «Вокруг Луны» — запасливый француз Мишель Ардан захватил с собой пакеты, но только для смягчения удара о Луну за счет явления отдачи. Зато в обонх романх Жюля Верна дана более точная координата точки пути, где приняжение Земли уравновешивается приятженем Луны — 47/52 расстояния между Землей и Луной. Это естественное, так как уже было известно отношение масс Луны и Земли, а также закон тяготения Ньютона. Спутники Мишеля Ардана — президент пушечного клуба Барбикен и капитан Николь — использовали алгебру для соответствующих вычислений, за что Мишель Ардан их раззилл «иксоедами». Между прочим, согласно Жюлю Верну неевосимость должна дельться только в одной точке траектории — в той самой, где результатующая сила тяготения равна нулю. Жюль Верн неправ. Для появления неевосимости вовсе не требуется обращение в нуль силы тяготения. Не говоря уже об опите космонавтов, каждый спорстем-пригун находится в состоянии неевосимости во время прыжка (если не учитвать сопротивление воздуха).

Управляемый термодерный синтез и явление отдачи

Тепер мы перенесемся в нашей столете и даже в первую половину будущего, двацать первого века. Речь поддет о новейшей техническе,

Микропроцессор измеряет…

М. Д. КОВАЛЕНКО

Каким прибором можно измерить температуру мороженой курицы? Конечно, термометром! Сделать в тушке надрез, ввести термометр, подождать немного… А если это необходимо сделать быстро, да еще не испортивать товарного вида? Вы просите, какое отношение эти вопросы имеют к теме статы? Самое непосредственное, в чем читатель сможет убедиться, ознакомившись с устройствам термометра микропроцессорной эры.

Начнем с датчика температуры. Для того чтобы измерить быстро, термометр делают в виде полой иглы, которое можно вонзать в тушку, почти не испортив ее. Внутри полой иглы размешается датчик — металлическая проволока, сопротивление которой в небольшим интервале температуры запрещения на проволоке, можно с помощью этой формыры расчитать температуру. Быстро? Не очень, даже если имеет под рукой микрокалькулятор. Значительноускорить процесс измерения позволяет использовать микропроцессор.

Упрощенная блок-схема микропроцессорного термометра изображена на рисунке. Микропроцессор (МП) — это вычислительное-правляющая электронная схема, роль которого, в существии, аналогична роли мозга в животном организме. Конструктивно МП, содержащий десяти тысяч трансисторов, представляет собой одну микросхему. МП работает с цифрами, поэтому не прерывный, или, как говоря, аналоговый сигнал с датчика (напряжение) должен поступать на вход МП преобразованным в цифровую форму. Эту работу выполняет аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Микропроцессорный термометр содержит запоминающие устройства (3У) двух видов: оперативные (03У) и постоянные (П3У). В 03У числа и программы могут свободно записывать и считывать, но после выключения питания все содержимое 03У стирается. В П3У информации записывается только один раз, но она хранится «вечно».

Как работает термометр? Предварительно, при градировке, определяют постоянные коэффициенты a и b и записывают их в П3У. МП работает

*) Такой датчик называется термометром сопротивления и применяется редко. Обучно использовать термопарные или полупроводниковые датчики, но на принцип измерений это мало влияет.

22

по программе, также записанной в ПЗУ. Программа — это последовательность команд-шагов, которые МП выполняет по очереди со скоростью в соответствии тысяч или даже миллионы шагов в секунду. Условная программа измерения температуры может быть деталь примерно так (в результате программы каждой из этих шагов выполняется несколько команд):

Шаг 1. Вызвать из ПЗУ числа $a$ и $b$.

Шаг 2. Ввести в МП число из АЦП (это число — значение напряжения $U$).

Шаг 3. Вычислить температуру по формуле $t=(U-a)/b$ (результат записывается в ОЗУ).

Шаг 4. Отобразить записанное в ОЗУ число на цифровом дисплее.

Шаг 5. Перейти к выполнению шага 2. В результате работы этой программы на дисплее с частотой в тысячи измерений в секунду будет отображаться значение температуры. Вот теперь мы можем узнать температуру быстрого (далее список!). На практике же эту частоту уменьшают во много раз — для удобства наблюдения. (Подобную картину вы могли наблюдать на табло электронных весов.)

Рассмотрим более сложный пример — цифровой волтметр состроенным МП. Блок-схема его примерно такая же, как и у термометра. Предположим, нас интересют колбания напряжения в сети. Требуется узнать, насколько часто в течение 1 часа действующего значения напряжения выходит за пределы 210—230 В. Можно было бы решить эту задачу так: взять общий цифровой волтметр с цифровечащим устройством (ЩПУ) и запустить волтметр на измерения с интервалом в 1 секунду. Через час мы получим бумажную ленту длиной 3—4 м с 3600 чисlamи и, вооружившись терпенiem, начнем подсчитывать количество чисел на ней, выпадающих из интервала 210—230 В. Вам хотелось бы занять такой работой? Вряд ли. Так давайте заставим работать МП! Для этого составим программу (как и в первом примере, это условия программы):

Шаг 1. Очистить ячейки памяти ОЗУ с номерами (адресами) $N_1$ и $N_2$, то есть запись в них нулы.

Шаг 2. Измерить действующее значение напряжения сети $U$.

Шаг 3. Если $U<210$ или $U>230$, то к содержимому ячейки памяти с адресом $N_1$ прибавить единицу.

Шаг 4. Если $210≤U≤230$, то к содержимому ячейки памяти с адресом $N_2$ прибавить единицу.

Шаг 5. Ждать 1 секунду.

Шаг 6. Перейти к выполнению шага 2.

В результате работы этой программы в ячейке ОЗУ с адресом $N_1$ будет накапливаться количество выходящих за пределы 210—230 В результатов измерений, а в ячейке $N_2$ — количество попавших в этот интервал результатов измерений. Эти данные могут непрерывно отображаться на цифровом дисплее, так что достаточно через 1 час после запуска остановить программу и взглянуть на дисплей, чтобы узнать, насколько часто происходит колбания напряжения в сети. Можно измерить программу, сделать так, чтобы она сама остановилась после выполнения заданного числа измерений.

«Меню» микропроцессорного волтметра обычно содержит десятичных программи: статистической обработки результатов измерений, поискка максимальных и минимальных значений средиземпенных напряжений, анализа формулы периодических сигналов и т. д. Эти программы, которые могут содержать сотни шагов, записаны в ПЗУ, поэтому для работы с приборам нет необходимости самостоятельного составлять программы. Необходимо лишь ознакомиться с назначением 2—3 десятиков коппок.

На этих двух простейших примерах видно огромное применение прибора состроенных микропроцессорами: они выдают не «сырые» первичные данные, а обработанные, то есть перечисленные в конечные величины. Применение таких прибора颂ит к большей экономии труда людей, к росту его производительности. Однако наиболее полезное применение МП проявляется в управляющих системах, в которых имеется обратная связь, то есть возникствие со стороны МП на управляемый объект. К таким системам относятся, например, промышленные роботы. Но это уже тема для особого развития. А пока, покупая в магазинам мороженую курицу, не забудьте ее оценить. Если тщшка мягкая, то, конечно, и без МП все ясно.

Урок
одной задачи

И. А. КУШНИР

— Сегодня, — начал занятие математической кружка Иван Петрович, — наш урок посвящен одной задаче.
— Такая трудная? — удивились мы.
— Нет. Особенно этой задачи в том, что она помогет нам решить другие задачи. Вот ее условия:

Задача 1. В трапеции, основания которого a и b, проведена через точку пересечения диагоналей прямая, паралельная основанием. Надите длину отрезка этой прямой, отсекаемого от нее боковым сторонами.

Иван Петрович вызвал одного из нас к доске, и на доске появился чертеж (рис. 1). Мы сразу заметили подобие треугольников AMO и ABC, MBO и ABD и на доске написали формулы

$$\frac{x}{b} = \frac{h_2}{h}, \quad \frac{x}{a} = \frac{h_1}{h},$$

в которых $h, h_1, h_2$ — высоты треугольников ABD, MBO, AMO, а $x = MO$. Сложив эти равенства, мы получили

$$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = \frac{h_1 + h_2}{h} = 1,$$

то есть $x = ab/(a+b)$. Аналогично $ON = ab/(a+b)$, открываются ответы:

$$MN = \frac{2ab}{a+b}.$$

— Иван Петрович, — посылалось из класса, — я уже вижу, как из этой задачи можно составить новую задачу. На доске появился такая запись:

Задача 2. Докажите, что в трапеции отрезок прямой, паралельный основанием, которое принадлежит точка пересечения диагоналей и концы которого находится на боковых сторонах трапеции, делится в этой точке пополам.

— Хорошая задача, — пожвали Иван Петрович, — а теперь я изменю рисунок, — и он, продолжав боковые стороны трапеции до пересечения в точке $E$ (рис. 2), провел через точки $O$ и $E$ прямую. Точки пересечения прямой с основаниями учитель обозначил $F$ и $H$.

— Обращаю выше внимание, — продолжал он, — на такой задачу:

Задача 3. Докажите, что в произвольной трапеции середины основании, пересечение боковых сторон и пересечение диагоналей принадлежит одной прямой.

Решение получилось сразу: ведь оно следует из предыдущей задачи, так как $EH$ — медиана в треугольнике $EBC, EMN, EAD$.

— Правильно, — заметил Иван Петрович. — А как решить эту задачу другим способом?

Мы задумали…
— Тогда путь это будет ваша домашнее задание. Подсказываю: примените готовую.

— Иван Петрович, а я знаю, почему вы обращаете внимание на эту задачу, — ведь с ее помощью можно решать задачи на построение с одной линейкой. Вот, например, на районной олимпиде была такая задача:

Задча 4. На прямой даны три точки A, B, C, из которых В находится посредине между A и C. Через произвольную точку K, не принадлежащую отрезку AC, с помощью одной линиики проведите прямых, параллельных AC.

— Тоже хорошая задача, — согласно Иван Петрович, — но о ней мы поговорим в следующий раз, а сегодня рассмотрим более сложную задачу:

Задча 5. На каждой из двух параллельных прямых расположены по одному отрезки длиной a и b. С помощью одной линиики построить отрезок:

$$x = \frac{ab}{a+b}.$$

Сами мы бы быстро не справились, если бы не помощь Ивана Петрович:

— Продолжим стороны трапеции ABCD, у которой основания — заданные отрезки a и b (рис. 3). Точки пересечения диагоналей AC и BD и отрезков AB и DC обозначаим O и E. Проведем прямую EO, которая пересечет основания трапеции в точках F и H. Соединим точки D и F, A и F, B и H, C и H, получим точки K и L. Отрезок KL — искомый.

Дейстительно, треугольники BKF и AKH, CFL и LHD подобны, поэтому

$$\frac{BK}{KH} = \frac{BF}{AH}; \quad \frac{FL}{LD} = \frac{FC}{HD}.$$

Но BF = FC и AH = HD (задча 2), значит,

$$\frac{BK}{KH} = \frac{FL}{LD},$$

следоватьно, отрезок KL параллель основания BC и AD. А поскольку точка O принадлежит отрезку KL и MK = KO, a OL = LN (задча 2), получаем

$$OL = \frac{1}{2} \frac{ab}{a+b}, \quad KL = \frac{ab}{a+b}.$$

— А чтобы вы глубже разобрались в таких задах, дома сделайте еще и также задачи:

6. Отрезки длиной a и b принадлежат одной из параллельных прямых, а отрезок длиной c — другой из них. При помощи одной линиики построить отрезок длиной x, чтобы

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$$

7. Даны параллельные отрезки. Разделите с помощью одной линиики один из них пополам.

8. С помощью одной линиики разделите трапецию на две равновеликие фигуры.

9. Даны две параллельные прямые. Проведите через данную точку третью прямую, параллельную данных, с помощью одной линиики.

10. Увеличите данный отрезок, лежащий на одной из двух параллельных прямых, с помощью одной линиики в 2, 3, …, n раз.

11. Найдите половину, треть, …, n-ю часть такого отрезка.

— И все эти задачи, — напомним учитель, — решаются с помощью той первой задачи, с которой мы познакомились сегодня.

— Кто же придумал эту задачу?

— Первого автора задачи я вам назвать не могу, — сказал Иван Петрович, — но известно, что она встречается в трактате XII века индиского математика Бхаскары «Венец астрономического учения» в таком виде:

Задча 12. Зная длины a и b двух параллельных бамбука, вертикально вткнутых в землю на известном расстоянии, вычислить длину перпендикуляра к земле, опущенного из точки пересечения прямых, соединяющих конец одной палки с основанием другой, и длины между основанием этого perpenдикуляра и основанием палок.

— И, наконец, — заканчивая запятые, развернуть таблицу с чертежом Иван Петрович (рис. 4), — наша задача связана с неравенствами: отрезок MN является геометрической интер-

(Окончание см. на с. 35)

25

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Позоворим о средней скорости» предначаена восмиллассиком, «О явлениях перепена» — девятиклассиком, «Что такое параметрический режим?» — десятиклассиком.

Поговорим о средней скорости

Когда мы говорим о скорости движения различных тел в окружающей нас мире, то чаще всего подразумеем среднюю скорость. Именно она позволяет оценить проеденное расстояние, зная время движения, или, наоборот, помогает найти время движения по проеденному пути. Так, например, отправляясь на вокзал с другой конца города, вы расчитываете свое время, исходя из известной по опыту средней скорости передвижения городского транспорта. При этом для вас совсем неважно, как меняется мгновенная скорость автовоса или троллейбуса от одной остановки до другой.

Для определения средней скорости мы истинное сложное неравномерное движение мысленно замением неокоторным простым равномерным движением, при котором тело проходит тот же путь (или совершает то же перемещение) за то же время, что и в процессе истинного движения.

Обратим внимание на то, что в «Физике 8» (§11) ведены два различных понятия средней скорости: векторная средняя скорость, вычисляемая по вектору перемещения s тела за определенное время t, и скалярная средняя скорость, определяемая по пути l, проеденному телом вдоль траектории:

$$\vec{v}_{\text{cp}} = \frac{\vec{s}}{t}, \quad v_{\text{cp}} = \frac{l}{t}.$$

Средняя скалярная скорость, вообще говоря, не совпадает с моделем векторной средней скорости. Так, $v_{\text{cp}}$ для Земли при ее обратном движении вокруг Солнца составляет примерно 30 km/c, в то время как средняя векторная скорость, взятая за промежуточными, равный одному году, очень низко, равна нулю. Равенство средних скоростей выполняется только в случае прямолинейного движения тела в одном направлении. Ниже мы будем говорить только о скалярной средней скорости. Начнем с такого примера.

Представьте себе, что вы едет в автотобиле по пустинному загородному шоссе,строившись рядом с водителем. В руках у вас секундомер, за окном отсутствиво видныстречающие километровые столбики, и вы проводите небольшой эксперимент. В первом опыте водитель по вашей команде «скачком» меняет скорость каждую минуту: $v_1 = 40$ km/ч, $v_2 = 60$ km/ч, $v_3 = 80$ km/ч, $v_4 = 20$ km/ч. Затем опыт ставится иначе: водитель последовательно проходит тот же набор скоростей, но команды вы даете ему не по секундомеру, а в те моменты, когда автотобиль проезжает mismo очередного километрового столбика. Одиноковы ли средние скорости в этих двух опытах?

В первом случае движения построено так, что на каждом участке, где скорость была постоянна, автотобиль движался в течение одного и того же промежутка времени $\Delta t$ (рис. 1). Поэтому

$$v_{\text{cp1}} = \frac{l}{t} = \frac{v_1 \Delta t + v_2 \Delta t + v_3 \Delta t + v_4 \Delta t}{4 \Delta t} = \frac{1}{4} (v_1 + v_2 + v_3 + v_4) = 50 \text{ km/ч}.$$

Во втором случае одинаковы не времени на каждом участке, а проеденные пути $\Delta l$ (рис. 2). Таким образом,

$$v_{\text{cp2}} = \frac{l}{t} = \frac{4 \Delta l}{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3 + \Delta t_4} =$$

26

Как видно, в первом случае средняя скорость определяется средним арифметическим от скорости на каждом участке движения. К сожалению, многие учащие ошибочно полагают, что среднюю скорость так можно вычислить всегда, для любого типа движения. Это неверно. Уже во втором из рассмотренных примеров мы убедились, что при движении, в котором на каждом участке тело проходит одинаковый путь (но с различными скоростями), средняя скорость выражается горизонтом более сложно:

$$\frac{1}{v_{\text{cp}}} = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \dots + \frac{1}{v_n} \right).$$

Поэтому при вычислении средней скорости лучше всего пользоваться общим определением, которое справедливо всегда.

Часто среднюю скорость находится по графику зависимости модуля мгновения.

Зависимость пути от времени при прямолинейном неравномерном движении позволяет, например, легко отыскать тот момент времени, в котором модель мгновенной скорости совпадает с величины средней скорости на рассматриваемом участке движения. Для этого нужно соединить отрезком прямой начального и конечного точки графика $l(t)$ на рассматриваемом участке и параллельным переносом полученного отрезка до касания с графиком найти исключую точку (или точки).

Величина средней скорости иногда позволяет оценить пределно возмож-

27

ные значения скоростей тела на отдельных участках его движения. Так, зная, что средняя скорость движения на двух одинаковых участках пути равна 12 м/c, мы сразу же можем сказать, что значение скорости равномерного движения ни на одном из них не может быть меньше 6 м/c (убедитесь в этом самостояльно).

А. И. Шанюро

О явлениях переенoca

Все окружающие нас тела, даже самые маленькие по размерам, состояят из огромного числа молекул. Движение каждой молекул описывается закономи механики, однако поведение большого числа молекул подчиняется качественно иным закономерностям. Можно ли установить эти закономерности, зная характер движения отдельных молекул? В принципие — да, но на практике это очень сложная задача.

К счастью, оказывается, что для изучения некоторых свойств макросоппических тел совсем не обязательно интерсоватився каждой молекулой в отдельности. В полне достаточно общего представления о внутренней структуре тела как о системе движущихся и стalkивающихся друг с другом частиц. При этом поведение макросоппических тел можно характеризовать специальными физическими величиными, которые относятся к всей совокупности молекул, слагающих тела, то есть являются средними характеристиками. Так, например, плотность вещества определяется средним числом молекул в единице объема, температура тела — их средней кинетической энергии, и т. п.

В состоянии равновесия любые средние характеристики тела одинаковы во всех его точках. Но легко представить ситуацию, когда равновесия нет. Расмотрим пример.

Если поставить сосуд с водой на горячего плиту, то сначала температура воды у дня будет выше, чем на поверхности. Лишь по истечении довольного большого промежутка времени вода прогреется равномерно по всему объему. Как же происходит этот прогрев?

Мы уже говорили, что вещество — это система движущихся и взаимодействующих друг с другом молекул,

28

ператур в ней, то есть зависит прежде всего от внешних условий. А вот коэффициент пропорциональной определяется исключительно внутренним устройством вещества (тем, как движутся молекулы внутри него и как они взаимодействуют (сталкиваются) друг с другом). Этот коэффициент называется коэффициент теплопроводности (λ). Он различается в разных веществ. Так, теплопроводность любого металла на несколько порядков больше теплопроводности дерева. Именно поэтому трудно прикопнуть к металлической ложке, опущенной в стакан с горячим чаем, но ничего не стоит держать в руке горячую спичку.

Другой пример. Расстоярим смесь двух веществ, например воды и каплю чернил в ней. Очевидно, что капля будет распливаться, стремять равномерно растечья по всему объему воды, то есть будет проискодить процесс диффузии. В отличие от первого примера здесь возникнет поток вещества — чернил, направленный из области, где чернил много, в области, где их мало. Этот поток пропорционален разности концентрации чернильных молекул в различных областях пространства. Коэффициент пропорционалности между потоком вещества и разностью концентрации называется коэффициент диффузии (D). Коэффициент диффузии так же, как и коэффициент теплопроводности, различен у разных веществ и определяется их внутренним устройством (способностью молекул одного сорта «противкиватся» сквозь толщу других молекул).

Наконец, последний пример. Представьте себе твердое тело, движущеся в жидкости. Как показывает опыт, слой жидкости, непредставенно при

мыкающей к движущему телу, как бы приплопают к нему и вовлекаются в направленное движение. За счет обмена молекулами между слоями это движение передается соседним слоям, от них — следующим и т. д. Таким образом возникнет поток имплуса от слоев, обладающих большей скоростью, к слоям с меньшей скоростью. Именно в этом и состоит механизм жидкого трения, или вззости. Действительно, увеличение имплуса жидкости означает, что на нее со стороны тела действует какая-то сила (изменение имплуса системы равно имплусу внешних сил, действующих на нее). Следовательно, согласно третьему закону Ньютона со стороны жидкости на тело действует сила, направленная в противоположную сторону. Это и есть сила жидкого трения.

Поток имплуса от слоев, движущихся быстро, к слоям, движущимся с меньшей скоростью, пропорционален разностью скоростей этих слояв. Коэффициент пропорционалности между потоком имплуса и разностью скоростей называется коэффициент вззости импл尬и (η).

Все рассмотренные примеры характеризуется общим свойством — переносом неокоторого признака (энергии в первом примере, вещества во втором и импл尬а в третьем) из одних областей системы в других. Неслучайно потому, что явления такогорода называются явлениями пере尬и. Каждое из них характеризуется своим коэффициентом пере尬и, и задача теории — уметь их вычислять. В обшем случае это очень трудная задача, до них пор полностью не решенная. Однако для газа рассчитать

29

коэффициенты переноса рассмотрены трех конкретных процессов большого труда не представляют.

Оказывается, все три коэффициента (телопроводности, диффузии и вязкости) пропорциональны длине свободного пробета молекул (l) и средней скорости их теплового движения (v):λ~D~η~lv. Такая зависимость коэффициентов переноса от характеристик молекулярного движения очень естественная. Ведь средняя скорость молекул v определяет скорость переноса того или иного признака в процессе установления равновесия. Длина же свободного пробета l появляется в формуле потому, что после каждого стольновения параметры движения молекулы определяются параметрами системы в тех местах, где эти стольновения происходит, то есть в точках, отстоящих друг от друга на расстояние l. Так, в нашем примере с телопроводностью величины энергии, передаваемой молекулой при очередном стольновении, определяется разность температур в тех точках среды, где произшло это и предыдущее стольновение.

E. E. ГОРОДЕЦКИЙ

Что такое параметрический резонанс?

Из школьного курса физики (см. «Физику 10», § 9 и 20) вы знаете о резонансе в колебательной системе, который возникает в результате возникшей силы, изменяющейся с частотой, равной частоте свободных колебаний системы (в действительности из-за резонанс настоящего при несколько меньше частоте). Оказывается, наличие такой силы — не единственная возможность возникновения резонансных явлений. Вот наглядный пример. Раскачиваясь на качелях, вы можете значительное увеличить амплитуду их колебаний только благодаря тому, что будет периодически приседать и распрямляться, то есть изменять положение своего центра тяжести.

Из этого примера видно, что приной резкого воздействия амплитуды колебаний может служить не только периодическая внешняя сила, но и периодическое изменение одного из параметров колебательной системы при условии, что частота этих меняющий определяемый образом связи с частотой собственных колебаний системы. Такой резонанс называют параметрическим.

Для выяснения механизма этого способа успешная колебаний обработка к хорошо знакомой вам системе — грузику наружное («Физика 10», § 2). Однако вместе того чтобы возбудить обичные свойства колебания грузика, сделаем следующее.

В момент, когда грузик массой m проходит положение равновесия с максимальным скоростью v_m, положим на него некоторый дополнительный грузик массой Δm, скажем, пластиновый шарик. Для того чтобы скорость грузика в этот момент не изменилась, предварительно разгоним шарик до той же скорости v_m. Отметим, что в процессе разгона шарика мы совершаем работу, которая в конечном случае идет на увеличение полной энергии системы до величины (m+Δm)v²/m/2. Это увеличение энергии приводит к большему, по сравнению с предним, максимальным расчету решения других x’m, величины которого можно найти из закона сохранения энергии.

$$\frac{(m+Δm)v²}{2} = \frac{k(x'm)²}{2}.$$

В момент, когдаружина максимальная расстояния, а скорость грузика равна нулю, мы мгновенно симметрик. Так как в этот момент энергия системы заключит только в растянутойружине, уменьшение массы грузика никак не изменит полной энергии системы. Таким образом, нам удалось в системе дополнительную энергию Δmv²/m/2. При этом

30

Энергия системы увеличилась в
$$n = \frac{(m + \Delta m)v_m^2}{2m v_m^2} = 1 + \frac{\Delta m}{m} \text{ раз.}$$

Дадим нашей системе «отдохнуть» и, когда грузик будет снова прохідить (в обратном направлении) положение равновесия, повторим ту же процедуру с пластилиновым шариком. Однако теперь благодаря предыдущего вмешательства максимальная скорость у грузика оказывается равной $v_m' = \sqrt{(m + \Delta m)/m} v_m$, и, разгоняя шарик, прежде чем положить его на грузик, нам придется совершить работу большего, чем в первый раз ($\Delta m(v_m')^2/2 > \Delta m v_m^2/2$).

Итак, каждые полерниода мы будем увеличитать энергию системы, и, понятно, что это увеличите энергии приводит к возрастанию амплитуды колбаний (будем считать массу шарика столь малой по сравнению с массой грузика, что изменением частоты колбаний системы можно пренебреть).

Подчерком тот факт, что в отличие от обычного резонанса, при котором частота внешней силы должна быть равна собственной частоте колбаний системы, в случае параметрического резонанса усиления колбаний происходит наиболее эффективно, когда частота изменения того или иного параметра системы вдвое превышаете собственную частоту колбаний.

Рассмотрим еще один пример, или построирующий общий принцип возникновения параметрического резонанса. Представим колбательный контур, состоящий из конденсатора и катушки, в котором могут произойти свободные электрические колбания («Физика 10», § 13). Будем периодически изменять емкость конденсатора. Для этого в момент, когда заряд на конденсатор максимален, быстро развивен его пластины, когда же заряд на пластинах равен нулю, так же быстро вернем их в прежнее положение. Продолжая этот процесс, можно убедиться в том, что амплитуда колбаний в такой системе будет неограниченно возрастать, хотя в контуре и отсутствует внешняя ЭДС. Дело в том, что при развивании заряженных пластин мы каждый раз совершаем положительное равенство, а сдигая незаряженные пластины, никакой работы не совершаем вовсе. Легко видеть, что и в этом процессе частота внешнего воздействия вдвое превышает собственную частоту колбаний системы.

А что произойдет, если мы возьмем колбательный контур, в котором изначально отсутствует явно выраженные колбания, и начнем чисто механическими (меня расстояние между пластинами или их площадь) с частотой, вдвое превышают собственную, изменять емкость конденсатора? Оказывается, и в этом случае будет произходить процесс нарастания колбаний! Дело в том, что на пластинах конденсатора всегда неокторный малый, случайно образовавшийся, заряд. Этот заряд дает «начальный толчок» быстро росту колбаний по схеме, описанной выше. На этом принце устроены генераторы и успilitели электромагнитных колбаний, получившие название параметрических машин. Первая параметрическая машина была конструкирована в 1933 году на основе исследований советских физиков — академиков Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси.

Ну, а если система не идеальна, то есть в ней есть потери энергии?

При обычном резонансе потери энергии определяют максимальную амплитуду колбаний. В случае же параметрического резонанса роль этих потерь принимает на себя. Как мы уже обсуждали, при параметрическом резонансе за каждые полерниода энергия системы возрастает в определенное число раз, но при этом часть энергии безвозвратно теряется (выделяется в виде теплла). Если возрастание энергии превышает потери, то колбания, хотя и медленнее, чем в отсутствие потерь, но для возбуждения колбаний в системе с треннем следует в большей степени изменять соответствующей параметр системы — на грузик класс шарик большей массы, пластины конденсатора развирать на большие расстояние. Качающемуся же на качелях придется приcedать глубже, однako если удаться начать раскачку, то, не изменяя глубины приседания, можно будет раскачаться очень сильно.

А. А. Варламов, А. И. Черпочан

31

Задания

1. Был уже вечер, покупатели разошлись по домам, а до конца работы у Наташи — молодой продавцы овощного магазина — оставалось еще полчаса. На прилавке лежали три кончана капусты, два арбуза, дыня и свекла. Чтоы скоротать время, Наташа стала взвешивать эти овощи и судивлением обнаружила, что все три кончана капусты весят одинаково, и у обоних арбузов равный вес. Более удивительным было равновесие еще в трех случах, изображенных на рисунках. А теперь ответьте: во сколько раз дыня тяжелее свеклы?

2. Восстановите цифры, замененные звездочками (см. рисунок).

3. Предшественница электрической лампочки — керосиновая лампа — временами коптила, поэтому над ней на потолке образовательность черное пятно. Но и над светильниками с электрическими лампочками иногда возникает темное пятно на потолке. Нeyжели и электрические лампы коптят?

4. При каком наименьшем количестве монет можно уплаить без сдачи любую сумму от 1 копейки до 1 рубля?

5. В момент, когда мы выключаем газ под кипящим чайником, из-под его крышки вырываются клубы пара. Почему?

Эти задания предложили В. Д. Вьюн, А. А. Никанореков, Н. П. Долбилин, А. П. Савин, Э. С. Парилис

31

Ускорение

Вопросы и задания

1. Два поезда идут наbstречную друг другу: один — ускоренно на север, другой — замедленно на юг. Как направлены ускорения поездов?

2. С помощью графика скорости равную скоренностью с начальной скоростью, равной нулю, показывает, что пути, проиденные телом за последовательные равные промежутки времени, пропорциональны рядом нечетных чисел.

3. На рисунке приведен график скорости тела, движущегося примоллиенной.

Постройте график его ускорения.

4. Два тела, масси которых M и m (M > m), подняты на одинаковую высоту над землей и одновременно отупщены. Один временно ли они пряемляться, если сила соротивления воздуха для обихих тел одинакова и постоянна?

…телегрь же перейдет к даннему ускорению.
Премье всего необходимую будет подвижать этому естественной贾ленно желению
соответствие точное определение и дать последнему объяснение.
…радиомерно — или единобразно — ускоренным движением [приращения] скорости.
Г. Галилей

поискец

последний

Ускорение

…далее Тартарен из Тараскона, знаменитый своей меткой стрелбой по фурахкам, поучствовал бы, по-видимому, смущение, если бы ему предложили выпустить пулю, который, пролетев несколько десятков тышей, километров, должана была бы попасть в конецку. А ведь подобная задача решения физики в гитанских условиях элементарных частиц.

Трогаясь со станции, поезд неокторое время движется практическими равновускоренно. Определите величины ускорения в этот период с помощьюниты, гирьки и линейки.

6. Ускорение ракеты воззратает даже в том случае, когда равноведействующая приложенных к ней сил остается неизменной. Почему?

7. Отчего мы не замещаем движения Земли вокруг Солнца, хотя скорость этого движения — 30 км/c?

8. Легче ли побить矫тивные рекорды на экваторные нежели в более высоких потах?

9. С каким минимальным ускорением можно пройти через точку • мертвой петли?

34

Сколько велиспедов?

С. Н. ОЛЕХНИК

Подняв облако пыли, по проселочной дороге промчалась ватага ребят на двухколебных велиспедах, а вслед за ними — ребята на трехколебных велиспедах. Самые маленькие вовсю крупили педалями, стараясь не отставать от больших.

Семиклассики Саша и Наташа, пропустив велиспедистов, снова зашагали по дороге.

«Я насчитал всего 30 колес», — сказал Саша. «А я насчитала 12 ребят», — сказал Наташа.

Через некоторое время Саша, обращаясь к Наташе, сказал: «Я знаю, сколько было двухколебных и трехколебных велиспедов!».

«Наверное, это нетрудно посчитать», — ответила Наташа. — Если ты дашь мне листок бумаги и карандаш, я тоже скажу, сколько было двухколебных и трехколебных велиспедов.

Наташа обозначила число двухколебных велиспедов через x, число трехколебных велиспедов — через y, записала систему уравнения

$$\begin{cases} x+y=12, \\ 2x+3y=30 \end{cases}$$

и, решив ее, получила, что x=y=6.

«Это верный ответ — сказал Саша. — Но задача решается в уме. Слушай! Если бы мы посадили всех ребят на двухколебные велиспеды, то двухколебных велиспедов было бы 12, а колес всего было бы 24».

«А мы насчитали 30 колес: значит, разница в 6 колес получилась за счет трехколебных велиспедов», — перебила Сашу Наташа.

«Верно: значит, трехколебных велиспедов 6; а тогда и двухколебных также 6».

«Смотри, как просто! Такую задачу может решить и первоклассик. Давай-ка предложим ее на математическом кругле для младших классов да подберем еще несколько подобных задач. Я, например, вспомнила такую:

В клетке находится кролик и фазаны. Известно, что всего в клетке 35 голов и 94 ног. Требуется узнать, сколько фазанов и сколько кроликов в клетке.»

«А я знаю несколько старинных задач:

Купил 112 баранов стары и молодых, dal 49 рублей и 20 альтин. За старого платил no 15 альтин и no 2 деньги, а за молODO по 10 альтин; и ведательство есть, колiko стары и молоды баранов купил он. (1 альтин=3 копейки=6 деньг; 1 рубль=100 копеек.)

Некто купил 64 рублей суkon. Из них 20 рублей белых, 13 рублей черных, 5 красных, 19 зеленых, 7 лазоревых, и dal за них 486 рублей. Цена же их была не одинаковая: за черный рулон он платил четырьмя рублей дорогое белого, за красный — tremя рублей дешевле черного, за зеленый — двумя рублей дешевле красного, и за лазоревый — одним рублей дорогое зеленого. Ведательно есть, колiko денег он платил за каждый рулон.

Девандачать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женчина — по половине хлеба, а ребенок — по четверти хлеба. Сколько было мужчина, женчина и детей?».

35

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. а) Пусть $a > 0, b > 0, c > 0$. Доказите неравенство
   $$abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).$$

6. Пусть $r$ и $R$ — соответственно радиусы окружности, описанной в треугольник, и окружности, описанной около него. Доказите, что $R \geq 2r$. Выясните, в каком случае это неравенство превращается в равенство.

2. Надите наименьшее значение многочлена
   $$x^6+2x^4+2x^3+x^2+2x-1.$$
3. Доказите, что число $n^4+64$ является составным.
4. Доказите, что уравнение
   $$x^2+y^3+z^5=t^7$$
   иметет бесконечного много решений в натуральных числах.
5. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ даны точки $M$ и $N$ такие, что $AM:MB=BN:NC$. Пусть $Q$ — точка пересечения прямых $AN$ и $CM$. Доказите, что площадь четырехугольника $MBNQ$ равняется площади треугольника $ACQ$.

Девятый класс
6. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} x^2-yz=y-x, \\ y^2-xz=z-y, \\ z^2-xy=x-z. \end{cases}$$
7. Углы $A, B, C$ треугольника $ABC$ равны соответствию $\alpha, \beta, \gamma$; стороны, лежащие против соответствующих углов, равны $a, b, c$.
a) Доказите неравенство
$$a \cos \alpha+b \cos \beta \leq c.$$
6) Надите наименьшее значение произведения
$$\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}.$$

Для каждого треугольника это наиболее значение достигается?
8. Найдите все целые $k$, при которых $k^5+3$ делится на $k^2+1$.
9. В треугольник $ABC$ описан треугольник $MNP$ ($M \in AB, N \in BC, P \in AC$) так, что сторона $MN$ перpendикулярна стороне $BC$, а сторона $MP$ перpendикулярна стороне $AC$. Найдите положение точки $M$ (на стороне $AB$), при котором сторона $PN$ будет наименьшей.
10. Доказите, что уравнение
$$x^{10}-x^7+x^2-x+1=0$$
не имеет решений.

Десять класс
11. Решите уравнение
$$x^2+2x \sin xy+1=0.$$
12. Вычислите сумму
$$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}+\dots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$$
13. Доказите равенство ($n \geq 2$)
$$tg x \cdot tg 2x+tg 2x \cdot tg 3x+\dots+tg(n-1)xtg nx=\frac{tg nx}{tg x}-n.$$
14. Решите уравнение
$$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}-1=0.$$
15. На сторонах остроугольного треугольника, как на диаметрах, во внешнюю сторону постройки полукружности. Высоты треугольника продолжили до пересечения с построенными полукружностями, после чего эти точки пересечения соединили с ближайшими вершинами треугольника. Доказите, что из положившегося шестиугольника можно склить тетраэд.

В подготовке публикации использованы задачи, предложенные С.Р. Сефибековым, а также А. А. Егоровым, В. Н. Дубровским и Э. А. Ясиновым.

Урок одной задачи
(Начало см. на c. 23)
претающий среднего гармоничского чисел $a$ и $b$ (здесяв они основания трапеции). Отрезок $MN$ меньше отрезка $L_1L_2$ — среднего геометрического двух чисел, и, наконец, отрезок $MN$ меньше отрезка $L_5L_6$ — среднего квадратичного двух чисел $a$ и $b$ — отрезка, разбиающего трапецию на две равновеликие части и паралельного основания, то есть
$$\frac{2ab}{a+b} < \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2} < \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

36

Задачик
кванта

Задачи

M1001 — M1005; Ф1013 — Ф1017

M1001. В куче 1001 камень. Она произвольно делится на две кучи, подсчитывает число камней в них и записывает произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих куч (в котором больше одного камня)produlates та же операция: она делится на две и записывает произведение чисел камней в двух новых образовательных кучах. Затем та же операция повторяется с одной из трех получившихся кучи и так далее, пока во всех кучах, не станет по одному камню. Чему равняется сумма 1000 записанных произведений?

A. C. Меркурьев

M1002. a)*Рассейный математик, забив трехзначный код своего подъезда, нажimaет кнопки (с цифрами 0,1,…,9) по одному в секунду. Дверь открывается, если три цифры кода в нужном порядке будут набранны подряд. Математик уверен, что даже в случае «крайнего невезения» (если нужная комбинация встретиется последней) он смотет войти в подъезд не позже чем через 16 мин. 42 сек (1002 сек). Прав ли он? Как он должен действовать, чтобы попасть домой за напменные времен?

Ответьте на последний вопрос, если 6) исправны только кнопки с цифрами 1, 2, 3 (другие цифры в код не входят);
в)*исправны все кнопки, но математик помнит, что все три цифры кода различны.

M1003. В треугольнике ABC проведены три высоты АH, BK, CL. Доказите равенства
AK · BL · CH=AL · BH · CK=HK · KL · LH

C. A. Генкин

M1004. Через вершину A треугольника ABC, в котором AB≠AC проводятся всевозможные прямые. Доказите, что a) на каждой их них найдется на более одной точки M, отличной от вершин треугольника, для которой ∠ABM=∠ACM;
б) имеется не более пяты из этих прямых, на которых нет ни одной такой точки M.

O. P. Мусин

M1005. Клетки квадратной таблицы размер n×n (n≥3) заполняются числами ±1 по следующим правилам:

1. во все граничные клетки таблицы помещаются числа — 1;
2. число, помещаемое в очередную незаполненную

37

гаем нашим читателем (кроме московцев и ленинградцев) присылать их решения до 1 декабря — они также будут учитывать в конкурсе «Задачника Кванта». Номиналем, что при определении победителей конкурса, принимаемых на республиканские олимпiadы, мы сможем учеть письма, полученные не позже 10 декабря.

клетку таблицы, равно произведению ближайших к этой клетке чисел, расположенных по разные стороны от нее и лежащих или в одной строке с ней, или в одном столбце с ней. Так делается до тех пор, пока все клетки таблицы не будут заполнены.

a) Какое наиболее количество +1 может получить в таблице?
b) Какое наиболее количество +1 может получить в таблице?

Н. Х. Адаханов

Ф1013. Два спортмена стоит в точках А и В и держат резиновый шур. По сигналу спортмена А начинает двигаться на восток со скоростью $v_0=1$ м/с, а спортмена B — на юг с постояннымускорением. Найдите это ускорение, если известно, что узел B, завязанный на шнуре, при движении прошел через точку Γ (рис. 1; масштаб указана на рисунке).

С. С. Кротов

Ф1014. Мощный трансistor, выделяющий тепло, закреплен на теплотводящей пластине, обдуваемой воздухом, температура которого равна 30 °C. На рисунке 2 показано распределение температур на пластине. Определите рассеиваемую мощность. Известно, что равномерно нагретая до 70 °C пластина рассеивает мощность $P=10$ Вт при температуре воздуха 20 °C. Теплоотдача пропорциональна разности температур пластины и воздуха.

А. Р. Зильберман

Ф1015. Схема, приведенная на рисунке 3, содержит 50 разных амператоров и 50 одинаковых волтметров. Показания первого волтметра $U_1=9,6$ В, первого амператора — $I_1=9,5$ мА, второго амператора — $I_2=9,2$ мА. Определите по этим данным сумму показаний всех волтметров.

А. Р. Зильберман

Ф1016. В катушку может свободно втяиваться ферромагнитный сердечник массой $M=0,01$ кг. Катушку подключили к источнику с напряжением $U=100$ В, и через нее протек ток, показанный на рисунке 4. Оцените начальную индуктивность катушки. Пренебрегая потерями, найдите скорость сердечника в момент $\tau=10^{-3}$ с.

В. Е. Скороваров

Ф1017. Крупнейший в мире советский телефон имеет в качестве объектива зеркало диаметром $D=6$ м. Какое время потребуется, чтобы, сравнивая полученные на этом телефоне фотонимки, можно было заметить взаимное вращение нашей Галактики и туманности Андромеды вокруг общего центра масс?

Расстояние до Андромеды $R=1,42 \cdot 10^{11}$ $R_0$, где $R_0$ — радиус орбиты Земли. Массы Галактики и Андромеды равны, соответствующей, $M_\Gamma=2,5 \times 10^{11}$ $M_0$, $M_A=3,6 \cdot 10^{11}$ $M_0$, где $M_0$ — масса Солнца. Фотографирование ведется в видимом свете на длине волны $\lambda=5 \cdot 10^{-7}$ м.

В. Е. Белонучкин

39

U=100 V and current flows through it as plotted on figure Pisc. 4, p. 37. Determine the original inductivity of the coli. Assuming losses negligible, find the velocity of the core at time $\tau=10^{-3}$ s.

V. E. Skоговаров

P1017. The world’s largest (Soviet-made) telescope has a mirror of diameter $D=6$ m for a lens. How much time is required to register the relative rotation of our Galaxy and Andromeda about their common centre of mass by comparing photographs obtained by this telescope? The distance to Andromeda is $R=1.42 \cdot 10^{11} R_0$, where $R_0$ is the radius of Earth’s orbit. The masses of our Galaxy and Andromeda equal, respectively, $M_G=2,5 \cdot 10^{11} M_0$ and $M_A=3.6 \cdot 10^{11} M_0$, where $M_0$ is the Sun’s mass. The photographs are taken in visible light of wavelength $\lambda=5 \cdot 10^{-7}$ m.

V. E. Belonuchkin

Решения задач

M981 — M985; Ф993 — Ф997

a) Ясно, что если число $a$ записывается $n$ единицами, число $b$ записывается $k$ единицами и $n$ делится на $k$, то и $a$ делится на $b$. А поскольку 1986 = $2 \cdot 3 \cdot 331$, число $A=11...1$ из 1986 единиц имеет кроме числа 1 и самого $A$ еще по крайней мере 6 делителей из одних единиц:

$$11, 111, 111 111, \underbrace{11...1}_{331}, \underbrace{11...1}_{662}, \underbrace{11...1}_{993}$$

b) Мы указываем не 28, а сразу 128 делителей числа $A$. Заметим, что 111111 раскладывается на 5 простых множителей:

$$111111=1001 \cdot 111=3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37.$$

Учитывая, что $10^{993}+1$ делится на $10^3+1=1001$, а $10^{993}-1$ — на $10^3-1=999$ (см. то жества на полях, где $n=2k+1=331$, $x=10^3$) и полагая $a=10^{331}$, получим

$$A=\frac{a^6-1}{9}=(a^3+1)\frac{a^3-1}{9}=\frac{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37}{1001} \cdot \frac{a^3-1}{999}.$$

Произведение любого набора из этих 7 множителей будет делителем $A$ («пустому набору» ответает делитель 1). Таким образом, мы нашли $2^7=128$ делителей, причем все они различны. Чтобы убедиться в этом, докажем, что все 7 множителей в выписанном разложении $A$ попарно взимно просты. В самом деле, остаток от деления числа $a$ на $m=10^6-1$ равен 10, поскольку $10^{331}-10=10(10^6-55-1)$ делится на $m$; поэтому $a^3 \pm 1$ при делении на $m$ дает остаток $10^3 \pm 1$, то есть числа $(a^3+1)/1001$ и $(a^3-1)/999$ взимно просты с $m$ и, очевидно, взимно просты друг с другом.

Нетрудно продолжить разложение $A$ на взаимно простые множители:

$$A=3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 \frac{a+1}{11} \cdot \frac{a^2-a+1}{91} \cdot \frac{a-1}{9} \cdot \frac{a^2+a+1}{111}$$

(из выделенного выше куриным утверждения следует, что сомножители здесь целые); отсюда видно, что $A$ имеет не менее $2^9=512$ делителей. Продолжить это разложение «вруч»

40

М982. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты ABB₁A₂, BCC₁B₂, CAA₁C₂. Докажите, что перепределкиры к отрезкам A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, воспставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.

М983. В турнире с учасением 16 тенисистов каждой двое црают одну партию.
a) Приведите пример распределения результатов партии, при котором любых 10 участников можно расставить по кругу так, чтобы каждый выцерал у своего левого соседа.
b) Докажите, что если условие из пункта a) выполняено, то и любых 11 участников можно расставить по кругу таким образом.

Ную» уже трудно. Однако из малой теоремы Ферма (приведенной на полях) следует, что $9A=10^{1986}-1$ делится на простое число 1987. Таким образом, один из 4 последних компонителей должен делиться на 1987, а значит, A имеет не менее $2^{10}=1024$ делителей. может быть, кому-то из читателей удасся поднять эту оценку еще выше?

Н. В. Васильев, Л. Д. Курляндчик

♦ Мы докажем, что рассматриваемые в задаче перепределкиры содержат медианы неокоторого треугольника, готовичного данному треугольнику ABC. Утверждение задачи следует тогда из того, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке.

Проведем через центры квадратов прямые, параллельные сторонам треугольника ABC (см. рис. 1); они ограничивают готовичный ему треугольник $A_0B_0C_0$. Поскольку прямые $A_0B_0$ и $A_0C_0$ — середины перепределкиры к отрезкам $AA_2$ и $AA_1$, точка $A_0$ их пересечения — это центр описанной окружности треугольника $AA_1A_2$ и, следовательно, лежит на серединном перепределкуре $p_a$ к отрезку $A_1A_2$. Аналогично середины перепределкиры $p_b$ и $p_c$ к отрезкам $B_1B_2$ и $C_1C_2$ проходят через точки $B_0$ и $C_0$ соответственно.

Остается доказать, что прямые $p_a$, $p_b$, $p_c$ содержат медианы треугольника $A_0B_0C_0$. Для этого достаточно проверить, что они параллельны медиам треугольника ABC; например, что прямая $p_a$ параллельна медиане AM, или что $AM \perp A_1A_2$. Повернем треугольник ABC на $90^\circ$ вокруг точки A так, чтобы вершина B перешла в $A_2$ (рис. 2). Пусть точки M и C перейдет при этом в $M'$ и $C'$; тогда $M'$ — середина $A_2C'$, а A — середина $A_1C'$ ($A_1A=AC=AC', \angle A_1AC=\angle CAC'=90^\circ$). Поэтому $AM'$ — средняя линия треугольника $A_1C'A_2$, то есть $AM' \parallel A_1A_2$; в то же время $AM \perp AM'$.

Другое решение можно получить из следующого сообщения: пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC; если параллельно пересечены отрезки $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ на векторы $\vec{AO}$, $\vec{BO}$ и $\vec{CO}$ соответственно, то эти три отрезка connkнутся в треугольник, причем прямые $p_a$, $p_b$ и $p_c$ будут его серединными перепределками.

В. Н. Дубровский

♦ a) Пусть 16 тенисистов стоит по кругу и каждый выигral у 7 следующих за ним по часовой стрелке (как сыграли между собой тенисисты, отстоящие на 8 мест, несущественно). Такое распределение результатов удовлетворяет условию задачи: если произвольно отметить в круге 10 тенисистов — $A_1$, $A_2$, …, $A_{10}$ (по часовой стрелке), — то между $A_1$ и $A_2$, $A_2$ и $A_3$, …, $A_{10}$ и $A_1$ будет не более чем по 6 тенисистов, поэтому в каждой из этих пар перевый выигral у второго.

Число 16 в условии задачи можно заменить на любое $n \geq 3$, а 10 — на любое $k$ такое, что $(n+3)/2 \leq k \leq n$, — пример строится точно так же. Если $k<(n+3)/2$, такого примера построить нельзя.

6. Докажем, что если любых $k(2<k<n)$ из $n$ тенисистов, сыграших друг с другом по одной

41

партии, можно расставить в соответствии с условиям, то любых $k+1$ точек.

Рассмотрим неокторую группу из $k+1$ теннисстов и удалим из нее одного $-A$, а остальных $k$ расставим по циклу (так, чтобы каждый выигral у следующего). Отметим тех из $k$, который $A$ проигral, красным, а тех, у кого он выигral — синим (см. рисунок); хотя бы один красный и хотя бы один синий заведом найдется, потому что $A$ вместе с любыми $k-1$ теннисстями можно расставить по циклу (то есть даже среди любых $k-1$ из наших $k$ найдется и красный, и синий теннисст). Тепер выберем в нашем цикле любое место, где за красным по часовой стрелке стоит синий, и вставим между ними $A$.

Заметим, что при $n=16$, $k=10$ утверждение задачи остатется верным, даже если не требовать, чтобы все тенниссты сыграли друг с другом. Чтобы убедиться в этом, достаточно из условия, что любых 10 теннисстов можно расположить по циклу, вывести такие следствия:

1. каждый выигral не более 7 партий;
2. среди любых 11 найдется такой, который сыграл со всеми 10 остальных.

К. П. Кохас, Н. В. Васильев

M984. Через произвольную точку $K$ квадрата $ABCD$ проверена прямая, пересекающая его протиwoложные стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$. Доказать, что отличная от $K$ точка пересечения окружности, проходящих через точки $K$, $B$, $P$ и $K$, $D$, $Q$, лежит на диагонали $BD$.

Пусть $L$ — точка пересечения диагонали $BD$ с окружностью $DQK$. Доказем, что эта точка лежит и на второй окружности — $BPK$. Для определения предположим, что точки $K$ и $Q$ лежат по разные стороны от $BD$, а $P$ и $K$ — по одному сторону (см. рисунок). Тогда, поскольку углы $DQK$ и $DLK$ вписаны в одну окружность и опираются на одну и ту жедугу $DK$,

$$\angle BPK = \angle PQD = \angle KLD = 180^\circ - \angle KLB,$$

то есть четырехугольник $PKLB$ вписан в окружность.

Приведем еще одно решение, использующее поворот. Пусть $M$ и $N$ — точки пересечения окружностей $KQD$ и $KPB$ с прямыми $AD$ и $BC$ соответственно (см. рисунок). Ясно, что $\angle MKQ = \angle PKN = 90^\circ$, то есть отрезок $MN$ перpendикулярен $PQ$ и проходит через точки $K$. Рассмотрим поворот точки $Q$ в $M$ (а луч $QC$ — в луч $MD$). Легко видеть, что при этом поворот прямая $QP$ перейдет в $MN$, а прямая $AB$ — в $BC$. Следовательно, точки $P$ перейдет в $N$. Поскольку отрезки $QM$ и $PN$ видны из центра повората под прямыми углами, этот центр лежит на пересечении данных окружностей. С другой стороны, он равну敦ен от прямых $AB$ и $BC$ (так как первая из них переходит во вторую) и, следовательно, лежит на диагонали $BD$.

В. Н. Дубровский

M985. Уделом между двумя прямыми, пересекающимися в точке $O$, называется угол между северной $O$, неправосходящим $90^\circ$. Сколькими способами через точку $O$ в пространстве можно проверить три прямые $l_1$, $l_2$, $l_3$ так, чтобы углы между $l_2$ и $l_3$, $l_3$ и $l_1$, $l_1$ и $l_2$ соответственно равны числом $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$? (Две трейки прямых

42

$l_1, l_2, l_3$ и $l'_1, l'_2, l'_3$ считаются одинаковыми, если они «конгрузить», то есть если существует поворот или симметрия относительно плоскости, переводящие $l'_i$ в $l'_i$, для всех $i=1, 2, 3$.

Предотвращение: ответ зависит от величины $a_1, a_2, a_3$: например, для $a_1=a_2=a_3=30^\circ$ он не такой, как для $a_1=a_2=a_3=70^\circ$.

Какждый из плоских углов должен быть меньше суммы двух других, а сумма всех трех углов должен быть меньше $360^\circ$ (см., например, учебное пособие: Геометрия 9—10 / Под ред. З. А. Скорец — М.: Просвещение, 1981, с. 224). При этом трехгранный угол определяется своим плоским угламми однозначно (с точностью до конгрузности).

Пусть $l_1, l_2, l_3$ — прямые, удовлетворяющие условиям задачи. Выберем на прямой $l_1$ один из лучей с началом $O$ — обозначим его $r_1$, — а на прямых $l_2$ и $l_3$ — лучи $r_2$ и $r_3$, составляющие с $r_1$ углы величины $a_2$ и $a_3$ (см. рисунок). Поскольку угол между прямыми $l_2$ и $l_3$ равен $a_1$, угол между лучами $r_2$ и $r_3$ может быть равен $a_1$ или $180^\circ-a_1$. Из сказанного о трехгранных углах следует, что существует не более двух различных (с точностью до конгрузности) треок прямых с заданным угламми $a_1, a_2, a_3$ между ними. Они получаются при продолжении ребер двух трехгранных углов $T$ и $T'$ с плоскими углами $a_1, a_2, a_3$ и $180^\circ-a_1, a_2, a_3$ соответственно, причем для их существования необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (1) — в первом случае, (2) — во втором.

Заметим, что при $a_1=90^\circ$ все наши треок прямых одинаковы ($T \cong T'$, так как $a_1=180^\circ-a_1$). Разумеется, это верно и тогда, когда $a_2=90^\circ$ — в расчедениях можно просто поменять нумерацию прямых. Итак, если хотя бы один из углов $a_1, a_2, a_3$ равен $90^\circ$ и выполнен условия (1) (или совпадение с ним в этом случае условия (2)), то наша задача имеет единственное решение.

Наконец, пусть все углы $a_1, a_2, a_3$ острые и удовлетворяют общим системам (1) и (2). Покажем, что тогда треок прямых, построенные по трехгранным углам $T$ и $T'$, различны. Для того чтобы две такие треок оказались конгрузить, надо, чтобы угол $T'$ был конгрузен углу $T$ или вообще любому из 8 трехгранных углов с вершиной $O$, ребра которых лежат на тех же прямых $l_1, l_2, l_3$, что и ребра угла $T$. Легко видеть, что плоские углы этих трехгранных углов могут равнять ($a_1, a_2, a_3$) (для угла $T$ и «вертикального» к нему угла), ($180^\circ-a_1, 180^\circ-a_2, a_3$), ($a_1, 180^\circ-a_2, 180^\circ-a_3$) или ($180^\circ-a_1, a_2, 180^\circ-a_3$). Но у угла $T'$ровно 2 острых угла ($a_2$ и $a_3$), а во всех выписанных треоках их число равно 3 или 1.

А. В. Гончаров, В. Н. Дубровский

Ф993. Через неподвижное, горизонтальное закрепление брево переброшена вервевка. Чтобы удерживать груз массой $m=6$ кг, необходимо найти второй конец вервки с минимальной силой $F_1=40$ Н (см. рисунок). С какой минимальной силой $F_2$ надо тянуть вервевку, чтобы груз начал подниматься?

Вес груза $P=mg=60$ Н существенно больше силы $F_1$, с которой надо тянуть вервевку. Такая ситуация нам хорошо знакова из жизни и связана с наличии треяков между вервевкой и бревном.

В первом случае (вервевка неподвижна) силы треяки направлены против действия веса груза и помогают удерживать вервевку с грузом. Полный расчет распределения сил треяка довольно сложен, так как абсолютиное значение силы натяжения вервевки (которая определяет силу реакции опоры в

43

точках соприкосновения вервки с бревном) меняется от $F_1$ (условие равновесия левого конца вервки) до $P = mg$ (условие равновесия правого конца). Однако для решения задачи нам достаточно заметить, что сила треня $F_{\tau p}$, пропорциональная в каждой точке силе реакции опоры, будет пропорциональная силе натяжения вервки; для определения будем считать, что $F_{\tau p}$ пропорциональная бóльшей силе натяжения, то есть $F_{\tau p} = kP$. Это означает, что $F_1 = P - kP$, и относение бóльшей силе натяжения $P$ к меньше $F_1$ есть величины постоянная: $P/F_1 = 1/(1-k) = \text{const}$.

Во втором случае, когда мы хотим поднять груз, концы вервки как бы меняются местами. Сила треня оказывается направленной против действия сили $F_2$ и уже не помогает, а мешает. Отношение бóльшей сили натяжения $F_2$ к меньше $P$ должно быть таким же, как и в первом случае $F_2/P = P/F_1$.

Отсюда находится:

$$F_2 = \frac{P^2}{F_1} = 90 \text{ H.}$$

А. И. Буэздин

Ф994. Спутник исследует планету, плотность которого $\rho$, движаясь по круговой орбите с перiodом обращения $T$ и относительной ее поверхности. Какая часть площи планеты останется неисследованной?

◆ Со спутника видна лишь часть поверхности планеты, попадающая внутри конуса, вершина которого — точка, в которой в данный момент находится спутник, а образующие — касательные к поверхности планеты, проведенные из этой точки (см. рисунок). Таким образом, неисследовыми остаются два сферических сегмента, площад которых

$$s = 2 \cdot 2\pi rh = 4\pi r^2 (1 - \cos \alpha) = 4\pi r^2 \left(1 - \sqrt{1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2}\right),$$

где $r$ — радиус планеты, $R$ — радиус орбиты спутника. Отношение этой площи к площи поверхности планеты —

$$\frac{s}{S} = 1 - \sqrt{1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2}.$$

Выразим относение $r/R$ через приведенные в условия задачи данные.

Запишем уравнение движения спутника:

$$G \frac{Mm}{R^2} = ma,$$ или $a = G \frac{M}{R^2} = G \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \dot{\rho} \cdot \frac{1}{R^2}$.

С другой стороны, $a = (2\pi/T)^2 R$. Следовательно,

$$\frac{4}{3} G \pi \rho \frac{r^3}{R^2} = \frac{4\pi^2}{T^2} R,$$

откуда

$$\frac{r}{R} = \sqrt[3]{\frac{3\pi}{G \rho T^2}}.$$

Подставляя это значение в (*), находим, какая часть площи поверхности планеты остается неисследованной:

$$\frac{s}{S} = 1 - \sqrt{1 - \left(\frac{3\pi}{G \rho T^2}\right)^2/3}.$$

В. В. Дорин

44

Ф995. В западном капилляре находится жидкость плотности $\rho$. При нагревании капилляра на малое $\Delta T$ оказывается, что граница $AB$ между жидкостью и ее паром (см. рисунок) не свызается. При этом давление пара возросло на $\Delta p$. Как изменилась плотность жидкости?

Из условия задачи следует, что состояние системы до и после нагрева отвецают равновесному социществario жидкости и ее пара. Это означает, что на $p - T$-диаграмме оба состояния попадают на кривую социществario. Эта кривая, как известно, представляет собой зависимости давления $p$ насыщенного пара от температуры $T$, причем зависимости эта монотонная. Касательные к кривой $p$ (T) составляют разные углы с осью $T$. Выберем ту точку на кривой, касательная в которой составляют угол $\alpha = \arctg \frac{\Delta p}{\Delta T}$ с осью $T$. Значения $p$ и $T$, отвечающие этой точке, однозначно определяют начальные давление и температур газа.

При нагревании жидкость должна быть расширяться, то есть граница $AB$ должна быть дивигаться вправа. Неодвижность границозначает, что при нагревании испаряется такая масса $\Delta m$ жидкости, что оставшаяся жидкость плотностью $\rho - \Delta \rho$ занимает режим объем. Как видно из рисунка, этот объем равен объему, занимаемому паром. Таким образом,

$$\Delta \rho = \frac{\Delta m}{V}.$$

(*)

Изменение давления насыщенного пара связано с увеличением его температуры на $\Delta T$. Из уравнений состояния пара при температуре $T$ и $T + \Delta T$ —

$$pV = \frac{m}{\mu} RT,$$

$$(p + \Delta p)V = \frac{m + \Delta m}{\mu}R(T + \Delta T)$$

— получаем:

$$\Delta p \cdot V = \frac{\Delta m}{\mu}RT + \frac{m}{\mu}R \cdot \Delta T + \frac{\Delta m}{\mu}R \cdot \Delta T.$$

Пренебрегая членом $\frac{R}{\mu}(\Delta m \cdot \Delta T)$, отсюда с учетом (*) находится:

$$\Delta \rho = \frac{\mu}{R} \frac{\Delta p \cdot T - p \cdot \Delta T}{T^2}.$$

Л. Г. Маркович

Ф996. В проелном массселектрометре источник испускает сгусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно (рис. 1) и проелют через первый датчик ($\Delta_1$), на рис. 1.

Пусть частница массы $m$ вылетает из источника со скоростью $v$. Обозначим $v_||$ проекцию этой скорости на направление, параллельное сетке $C$, а $v_⊥$ — проекцию $v$ на направление, перpendикулярное сетке. При движении частцы за сеткой (справа от нее) $v_||$ остается неизменной, а $v_⊥$ меняется от $+v_⊥$ до $-v_⊥$. Согласно закону сохранения импульса (в проекциях на направление, перpendикулярное сетке), $F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v_⊥ = 2mv_⊥$, где $\Delta t$ — время движения частцы за сеткой; отсюда $\Delta t = 2mv_⊥/F$. Полное время проелета — это

$$T = t + \Delta t = \frac{2L}{v_⊥} + \frac{2mv_⊥}{F}$$

(*) (т — суммарное время проелета от датчика $\Delta_1$ до входа за сетку и от выхода из сетки до датчика $\Delta_2$).

47

Т. Мисирнашаев (Москва) 60; К. Мортиси (Тигровисте, СРР) 62; Я. Мустафаев (Баку) 64; С. Мушинский (Новосибирск) 57, 59, 62, 63, 65, 67, 68; Т. Нарбеков (Алма-Ата) 65; В. Нефф (Донецк) 65; Ю. Никоноров (с. Михайловка Каз. ССР) 62, 65; О. Ниц (Одеска) 60, 62, 63, 65, 67, 68; С. Окуловский (Ленинград) 62, 64, 65; М. Панков (Львов) 62, 65, 67; Ю. Панчул (Киев) 62, 65; П. Пасманик (Москва) 65, 67; Д. Пастур (Харьков) 60; М. Пасуманский (Ленинград) 64; О. Пелевин (Кострома) 62; А. Петрова (Ленинград) 57, 60; В. Пикман (Киев) 65; А. Покровский (Киев) 57, 60, 62, 65, 67, 68; В. Поливов (Магнитогорск) 57, 60; В. Помаз (Семеновка) 65; М. Померанцев (Черкассы) 57; И. Портной (Одеска) 62—65, 67, 70; В. Процак (Киев) 62, 64, 65, 67; В. Пушня (Харьков) 62, 64, 65, 67; В. Радулин (Челябинск) 67, 68; А. Райский (Алма-Ата) 65; И. Раскина (Витебск) 62, 65; С. Резнов (Киев) 62, 65, 67, 68; М. Рзаев (Ваку) 62; А. Ройтерштейн (Ленинград) 62—64; К. Рубцов (Киев) 62, 65; Т. Руденко (Киев) 65; Д. Румынин (Краснойрск) 57, 64; В. Сакбеев (Алма-Ата) 65; З. Салканова (Алма-Ата) 65; И. Самовол (Гайворон) 60; Д. Семинхин (Киев) 62, 65, 68; С. Сильвестров (Киев) 62, 64, 65, 67; И. Симоненко (Веллике Луки) 60; К. Синалевич (Ленинград) 65; В. Слитуже (Димитровград) 67; С. Смирнов (Ленинград) 62—65, 67, 68, 70; В. Столин (Вильнос) 62, 63, 67; А. Струнин (Ярославль) 64, 65, 67, 68; К. Стыркас (п. Черноголовка Московской обл.) 62, 64, 67; Д. Семинхин (Киев) 62, 65, 68; С. Сильвестров (Киев) 62, 64, 65, 67, 68; И. Симоненко (Веллике Луки) 60; И. Устиловский (Москва) 59, 60, 62—65, 67, 68, 70; В. Филильштейн (Воронеж) 65; В. Фокин (Хабаровск) 62, 65, 67; Д. Хаджцев (СтараЗагора, НРБ) 62; Л. Христов (Силистра, НРБ) 67; А. Чазиров (Алма-Ата) 60; Е. Черная (Деппродзержинск) 67, 70; К. Чураше (Новосибирск) 62, 65, 67; Е. Чураше (Новосибирск) 62, 65, 67; Ю. Шампук (Целиноград) 62, 67; Ю. Шампук (Д. Новый Двор Гродненской обл.) 67; И. Шехтман (Киев) 67, 68; С. Шехтман (Киев) 65; В. Шмуклерман (Одеска) 62; И. Шолев (Стара-Загора, НРБ) 65; И. Шор (Киев) 65; И. Шор (Киев) 65; П. Шработей (Москва) 67; В. Шраер (Ленинград) 62—65; П. Штейнберг (Пушино) 62, 65; Г. Шуzaй (Запорожье) 65; О. Шелков (Навон) 62, 67; И. Шenetкова (Москва) 67; В. Элькин (Харьков) 62, 65; Я. Эфдидеев (Ваку) 62; О. Юсухно (Киев) 62, 63, 65; А. Яврян (Ереван) 67.

Физика
А. Абанов (Краснойрск) 68, 69, 74; У. Абакиров (Алма-Ата) 75; О. Азикова (Целиноград) 73—75, 78, 80; А. Анисимов (Киев) 78, 80; Ф. Асманьярова (Целиноград) 73—75, 78, 80; Т. Ахметов (Новосибирск) 78, 80; К. Бедов (Челябинск) 68—70, 72; А. Белечкий (Киев) 78; Ю. Белобородов (Челябинск) 80; С. Беловольов (Новосибирск) 68, 69, 78; Д. Белонов (Свердловск) 70; В. Березский (Киев) 69; А. Бермус (Грозный) 75; О. Бесман

50

ставление программирования и информаники — одно из текущих недоразумений. Есть немало «умников», я позволюю себе сказать так, ионически, от которых можно услышать «это де Никакая не информаника, это чистое программирование». Такое высказывание, с моей точки зрения, свидетельствует либо о некомпетентности, либо о методологически неверной позиции. Ведь программирование — неотъемлемая часть информаники.

Попробую разъяснить это, натянув вопрос на себя. Мне конечно проще всего сказать, что моя научная специализность — программирование. Потому что я занимался программированием в широком смысле большую часть своей сознаательной жизни. При этом я настаню на таком расширенном понимании слова «программирование», оно охватывает не только написание конкретных программ. Но теперь, когда наша компьютерная наука имеет название — информаника — я должен сказаить, что информаника тоже является моей научной специализностью. Есть у меня работы и размышления, которые касаются предмета информаники, ее связей с другими научами, с математикой и с физофией, ее содержания в школьном курсе. Позтому коротко отвечаю на вопрос так: моя нынешняя научная специализность — информаника, более узкая — программирование.

Как Вы представьте себе взаимодействия между математикой и информацией?

— Прежде всего хочу подчернуть, что информаника расширяет сфера деятельности математики. Например, такие аспекты информаники, как теория алгоритмов и теоретическое программирование, структура данных, информационные модели, вычислительный эксперимент создают почву для математических исследований. В дополнение к этому, именно ЭВМ позволяет набоолее эффективно применять математические методы практических во всех сферах человека деятельности. Можно сказать, что информаника — это способ, с помощью которого математики завоевывают мир.

Для специализтов по информаике математические науки служат основным рабочим аппаратом. Но сама информаника —интезирующая наука, она берет не только от математики, но и от phenomenологических наук, от лингвистики, психологии. Информация занимает особое положение в конце других наук: ее цель — вскрыть и преодолесты наglieduce основные принципы единства обработки информации во Вселенной. (Замечу в скобках, что кибернетка имеет схожую, но не совпадающую сферу применения: изучить основные принципы обработки информации потоков, но не во «всей Вселенной», а лишь в сфере управления.)

Можно сказаить и так: если физика пытается ответить на «роковой вопрос» — почему мир устроен так, что в нем можно жить, информаника отвечает на свой «роковой вопрос» — почему мы можем познать окружающий нас мир, овладеть объективно существующей в природе информацией. Информация как наука искодит из существования натуральных знаковых систем — носителей информации в природе, и сама создает знаковые системы, выявляет единство законов обработки информации в природе, в технике.

Создание искусственного интеллекта — одна из задач информаники. В промышленности, в технических освобождаеме человека от физического труда. Информация же решает проблуу страниения человека из процесса обработки информации, что достигается dockональным объясением его функций, перелагаемых затем на компьютер. Таким образом, здесь для познания информации надо вывить алгоритм его обработки. Позтому часто говорят: мы это знаем, если мы можем это запрограммировать.

Я не буду вдаваться глубже в обслуживание предмета информаники. Скажу лишь, что информация — это и не вещество, и не энергия, а не третье. Любая наука изучает некоторые структуры природы. В каком-то смысле,信息均ка изучает структуру структуры, это не менее увлекательно и волнушше, чем исследования строения вещества,— мое юношеское увлечение,— о котором я говорил в начале нашей беседы.

Веседу записал А. В. Сосинский

51

Цепи переменного тока

А. Р. ЗИЛБЕРМАН

Переменный ток (или напряжение) представляет собой вынужденные электрические колабания. Величина тока изменяется со временем по гармоничческому закону

$$i = I_m \cos(\omega t + \varphi_0),$$

где $I_m$ — амплитуда, $\omega$ — крутовая (циклическая) частота (она измеряется в радианах за секунду, а пишут просто $c^{-1}$), $\varphi_0$ — начальная фаза колабания. Аналогичное вынуждение можно записать и для переменного напряжения.

Пример. Запишем зависимость от времени напряжения сети: 220 В, 50 Гц. В этом случае амплитуда $U_m = U \sqrt{2} = 220 \sqrt{2}$ В≈311 В (напомним, что $U = 220$ В — это действующое значение напряжения), крутовая частота $\omega = 2\pi v \approx 6,28 \cdot 50 \text{ c}^{-1} \approx 314 \text{ c}^{-1}$. Пусть еще нам известно, что в момент начала отчета ($t=0$) напряжение было равно $u_0 = 50$ В и убывало. Тогда мы сможем найти начальную фазу $\varphi_0$:

$$u_0 = U_m \cos \varphi_0,$$

откуда $\varphi_0 = \arccos \frac{u_0}{U_m} \approx 1,4$ рад

(подумайте сами — где мы учили убывание напряжения). Итак,

$$u = 311 \cos (314t + 1,4).$$

Видно, что надлежащим выбором начала отчета времени — а это в нашей власти — можно сделать $\varphi_0$ каким угодно, в частности нулем. Этим часто пользовется и без спецальных оговорок записывают

$$u = U_m \cos \omega t.$$

Расчет цепей переменного тока обычно сводится к тому, чтобы при заданном напряжении источника определить токи. Совсем просто расчитывать токи в цепях, содержащих только резисторы. В любом месте такой цепи ток изменяется «в такт» с

52

Рис. 1.

приложенным направлением, то есть отсутствует сдвиг фаз между током и направлением. Сложнее обстоит дело, если в цепи есть накопители энергии — катушки и конденсаторы. В этом случае моменты максимумов направления и токов могут и не совпадают — появляются соответствующие сдвиги фаз. Известно, например, что при включении в сеть катушки максимумы тока отстают от максимумов направления на четверть периода (сдвиг фаз π/2), а при подключении конденсатора — наоборот, опережают на четверть периода.

При расчетах в цепях постоянного тока можно просто складывать величины направления на последовательно соединенных элементы и величины токов на разветвленных участках цепи. В случае переменного тока все сложнее — амплитуда суммы не всегда равна сумме амплитуд. Например, амплитуда суммы двух токов по 1 А каждой может оказаться любой — от 0 до 2 А, нужно обозначить учитываясь сдвиги фаз. Для расчета цепей переменного тока часто применяют удобный графический метод — метод векторных диаграмм. Он основан на простой идее.

Пусть вектор $\vec{A}_0$ (длиной $A_0$) врашает всяorkруг одного из своих концов против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega$. Тогда проекция второго конца на ось $X$, начало которого находится в центре врашения (рис. 1), равна $x = A_0 \cos (\omega t + \varphi_0)$.

To есть получается именно та функция, которая нас интересует. (Собственно говоря, круговую часть объзачают той же буквой, что и угловую

Рис. 2.

скорость, как раз име в виду эту модель.) На этом же рисунке можно изображить еще один вектор $\vec{A}_1$, соответствующий другой функции с амплитудой $A_1$ и начальной фазой $\varphi_1$. При $\varphi_1 > \varphi_0$ вектор $\vec{A}_1$ «опережает» вектор $\vec{A}_0$ на угол $\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_0$. Важно, что $A_0$ и $A_1$ могут иметь и различную размерность (например, $A_0$ может изменяться в волтах, а $A_1$ — в амперах).

Теперь о самом метода. Что такое «векторная диаграмма»? Это чертеж, на котором изображены в виде векторов (взапнее выбранном масштабе и с учетом сдвигов фаз) направления и тoki исследуемой цепи. В рассматриваемом нами случае гармоничных колебаний (в других случаях это неверно!) все эти векторы врашают в одну сторону с одинаковой угловой скоростью $\omega$, и углы между ними остаются постоянными, поэтому о врашении можно не говорить и рисовать «неподвижную» картину. Если чертеж построен — задача уже решена, ведь он содержит все необходимые сведения о направлениях и токах интерресуций нас цепи. Метод построения векторных диаграмм — это и есть способ получения таких чертежей.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Задание 1. На рисунке 2 изображена простая электрическая цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и резistor. Амплитуда тока в цепи составляет $I_m = 0,1$ А. Найдите амплитуд направления источника и сбез фаз между этим направлением и током в цепи.

Выберем подходящие масштабы для изображения токов и направлений. Нарисуем произвольно (так, как нам удобно!) вектор $\vec{I}_m$ (рис. 3). Тепер мы можем нарисовать вектор $\vec{U}_{Rm}$, изображенной направлением на резistor (изображим его другим цветом, чтобы не путать векторы направлений и то-

53

ков). Его модуль
$$U_{Rm} = I_m R = 50 \text{ В}.$$
По направлению вектор $\vec{U}_{Rm}$ совпадает с вектором $\vec{I}_m$ (ведь сдвиг фаз между током и направлением резистора равен нулю). Вектор направления на конденсаторе $\vec{U}_{Cm}$ равен по модулю $U_{Cm} = I_m X_C = 100 \text{ В}$, где $X_C = 1 / (\omega C) = 1 \text{ кОм} - \text{емкостьное сопротивление},$ и отстает на $\pi/2$ по фазе от тока. Нарисуем и этот вектор. Наряжение на источнике $\vec{U}_m$ соответствует сумме векторов $\vec{U}_{Rm}$ и $\vec{U}_{Cm}$:
$$U_m = \sqrt{U_{Rm}^2 + U_{Cm}^2} \approx 112 \text{ В}.$$
Заметим, что мы уже нашли (нарисовали!) угол между током $\vec{I}_m$ и направлением всей цепи $\vec{U}_m$. Этот угол можно просто изменить трансортиром или посчитать тригонометрическим:
$$\text{tg} \varphi = \frac{U_{Cm}}{U_{Rm}} = 2,$$
$$\varphi = \arctg 2 \approx 1,1 \text{ рад} \approx 64^\circ.$$
Эту задачу можно сформулировать немного по-другому: задать амплитуду направления источника, например $U'_m = 220 \text{ В}$, а найти амплитуду тока в цепи. Такая задача сложнее — ведь мы должны найти рисовать диаграмму, не зная амплитуды тока $I'_m$. Тут есть две возможности. Первая — решить вспомогательную задачу о нахождения амплитуды направления $U_m$ при заданном токе $I_m$ (мы только что такую задачу обсуили), а затем записать оченьное соответствие
$$\frac{U'_m}{U_m} = \frac{I'_m}{I_m}$$
и найти из него амплитуду тока $I'_m$:
$$I'_m = I_m \frac{U'_m}{U_m} \approx 0,18 \text{ А}.$$
Вторая возможность — рисовать диаграмму не в конкретном численном масштабе, а в общем виде. При этом отношения длины векторов остаточной теми же, а значит, и углы между ними не изменяются. Полученную из диаграммы формулу
$$U'_m = \sqrt{(U'_{Rm})^2 + (U'_{Cm})^2} = \sqrt{(I'_m R)^2 + (I'_m X_C)^2}$$
мы используем для нахождения $I'_m$:
$$I'_m = \frac{U'_m}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} \approx 0,18 \text{ А}.$$
Способы эти по сложности примерно равноены.

Рис. 4.
Задача 2. К источнику переменного направления подключены две направленные ветви. Амплитуда тока в первой $I_{1m} = 1 \text{ А}$, во второй $I_{2m} = 0,3 \text{ А}$. В каких пределах может находиться амплитуда тока, протекающего через источник? Каким может быть максимальный сдвиг фаз между током и током в первой ветви?

Решение ясно из рисунка 4, на котором изображена векторная диаграмма для данной цепи (вектор $\vec{I}_{2m}$ нарисован так, чтобы его удобнее было складывать с вектором $\vec{I}_{1m}$):
$$I_{1m} - I_{2m} \leq I_m \leq I_{1m} + I_{2m},$$
$$0,7 \text{ А} \leq I_m \leq 1,3 \text{ А}.$$
Максимальный угол между $\vec{I}_m$ и $\vec{I}_{1m}$ соответствует:
$$\sin \varphi_{\max} = \frac{I_{2m}}{I_{1m}} = 0,3,$$
$$\varphi_{\max} \approx 0,31 \text{ рад} \approx 18^\circ.$$
При этом $I_m = \sqrt{I_{1m}^2 - I_{2m}^2} \approx 0,95 \text{ А}$. Угол между $\vec{I}_m$ и $\vec{I}_{2m}$ может быть любым (от — $\pi$ до +$\pi$).

Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке 5, найдите ток, текущий через источник, и свыше фаз между этим током и направлением источника.

Начнем рисовать диаграмму, задавшись током через катушку. Положим, например, $I_{Lm} = 0,1 \text{ А}$. Тогда направление на катушке $\vec{U}_{Lm}$ равно по модулю $U_{Lm} = I_{Lm} X_L = 100 \text{ В}$, где $X_L = \omega L = 1 \text{ кОм} - \text{индуктивное сопротивление},$ и определяет ток $\vec{I}_{Lm}$ по фазе

Рис. 5.