Квант 1986, №11 · Страницы

ISSN 0130-2221
11
1988
Научно-популярный физико-математический журнал
Академи наук СССР и Академии педагогических наук СССР
Тепловой насос

XX ВСЕСОЮЗНАЯ
ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО ФИЗИКЕ
Алма-Ата, апрель 1986 г.

В НОМЕРЕ:

2. Интервью с академиком
   О. М. Белоцерковским
   К 275-летию со дня рождения
   М. В. Ломоносова

3. В. А. Олейников. Неприводимость и irrationalность

4. В. А. Олейников. Irreducibility and irrationality

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10

Квант’s school
Physics 8, 9, 10

«Квант» для младших школьников
Задачи
А. С. Штейберг. Знакомьтесь: металлическое стекло

Квант for younger school children
Problems
А. S. Shteinberg. Meet metallic glass

32. Калейдоскоп «Кванта»
    Квант’s kaleidoscope

Задачик «Кванта»
Задачи M1011—M1015; Ф1023—Ф1027
Решения задач M991—M995; Ф1003—Ф1007

Квант’s problems
Problems M1011—M1015; P1023—P1027
Solutions M991—M995; P1003—P1007

Искусство программирования
В. А. Каймин. Построение диалоговых алгоритмов

The art of programming
V. A. Kaimin. Constructing dialog algorithms

Практикум абитуриента
А. А. Болибрух, В. М. Уроев, М. И. Шабунин.
Задачи на координатной плоскости

College applicant’s section
А. А. Bolibrukh, V. М. Uroev, M. I. Shabunin.
Problems on the coordinate plane

Олимпiadы
В. В. Вавилов, С. В. Резниченко, И. Н. Сердееев.
XX Весоизоляция olimpiada по математике
А. Р. Зильберман, В. В. Кашкаров.
XX Весоизоляция olimpiada по физике
Призеры XX Весоизоляной olimpiады школьников

Olympiads
V. V. Vavilov, S. V. Reznichenko, I. N. Sergeev.
20th All-Union olympiad in mathematics
A. R. Zilberman, V. V. Kashkarov. 20th All-Union olympiad in physics
Prizewinners of the 20th All-Union school olympiad

Информация
Научно-техническая конференция школьников в МФТИ
Научная конференция школьников в ФМШ при МГУ

Information
Science-technology conference for school children at MPTI
Scientific conference for schools at the Moscow university PMS

60. Ответы, указаны, решены
    «Квант» улыбается (59)
    Смеся (22, 56, 57)
    Шахматная страница
    На цилиндрической доске
    (3-я с. обложки)

Anwers, hints, solutions
Kvant smiles(59)
Miscellaneous (22, 56, 57)
The chess page
On the cylindrical chessboard
(3rd cover page)

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1986

2

«Перейти к формированию специальностей широкого профиля, сочетающих глубокиеfundamentальные знания и остатульную практическую подготовку, ориентированную на конкретную отрасль. В этих строках из Проекта ЦК КПСС «Основные направления перестройки высшего и среднего специального образования в стране» суммирован опыт передовыхузов. Один из таких вызов — Московский физико-технический институт. Интерес к тему у школьников не ослабает уже в течение четырех десятилетий. Истории, серединапрештем дино и будущеу физика посылаена безда с его ректором — лауреатом Ленинской премии академиком О. М. Белоцерковским.

Интервью с академиком
О. М. Белоцерковским

— Олег Михайлович, образование физика в 1946 году было обучленго глубокими и сложными процессами, произходящими в научке и производстве. Как сегодня, с позицией, можно сказать, история вы могли бы прокомментировать их?

— Каждый этап в развития общества определяет свой уровень среднего и высшего образования. Надо сказать, что еще до войны разрыв между научкой, производством и образованиеем начал ошущаться все сильнее и сильнее. И идея физека как вуза, способного преодолеть этот разрыв, родилась именно в эти предвоенные годы. В 1938 году в «Правде» появился статья за подписью крупнейших ученых стран, где обсуждался вопрос о создании вуза нового типа и где были названы, по существу, все основные черты системы физика.

Жизнь требовала рационального и оптимального внедрения научных достижений в производство. В свою очередь научка должна была оперативно открыться на требовании быстро развивающейся промышленности, особенно ее новых отраслей. Для осуществления всего этого нужны были специальные особого склада: сfundamentальной общей подготовкой и хорошо знанием конкретиных проблем.

Идея физека была реализована только после войны. Сначала — созданием физико-технического факультета МГУ, а в начале 50-х годов факультет был преобразован в Московский физико-технический институт. У истоков физека стояли академики П. Л. Капица, М. А. Лаврентьев. Академик С. А. Христанович был, по существу, первым ректором МФТИ. Приципиальная роль в развития и становлении нашего института сыграл И. Ф. Петров, который в течение лет был директором института. Я бы сравнил его с мощной ракетой, носителем, которая выводит спутник на орбиту. Считаю, что именно он вывел физека на орбиту большой научки.

Я лично очень доволен, что пришел на физек, который теперь стал по настоящему техническим университетом.

— Вы перешли на физико-технический факультет МГУ с четвертого курса МВТУ имени Баумана. Что определило ваш выбор?

— Из Баумаского в МГУ нас перешло 16 или 17 человек. Мы были прияты на «двухсполовенный» курс. Мне тогда показалось возможным «потерять» два года с тем, чтобы приобрестиfundamentальные знания и в то же время работать в прикладной научке. Ведь раньше в академической области работали только выпускники университетов, а выпускники техническихузов шли на производство.

— Рассказите, каким бы физек в годы вашей учены. Ведь это были первым годы его существования.

— Как и сейчас, в программе было много физики. Очень сильным был преподавательский состав. Лабораторные работы стали академики

3

А. И. Шальников и Г. С. Ландсберг. Объединенный курс общей и теоретической физики читали академики П. Л. Капица и Л. Д. Ланду. Читали они этот курс всего год. Их лекции неповторимы и уникалыны. Ведь мы обцчно tratим много времени на последовательное чтение курсов. А они попробовали совместить их. Очень замачивая идея! Лекции эти сохранились, и мы попытаемся их издать.

Кафедру математики возглавлял академик М. А. Лаврентьев. Механику читали академик Л. И. Седов и член-корреспондент АН СССР В. В. Соколовский, физик — профессора С. Э. Хайкин и С. Г. Калашников.

Вполне естественно, что многое крупные учены и академики тогда были еще не крупные учены и не академики. Наш нынешний заведующий кафедрой высшей математики член-корреспондент Л. Д. Кудрявцев, к примеру, был еще кандидатом наук, а академик С. М. Никольский — доктором.

Лекции по физике великолепно читал член-корреспондент АН СССР С. М. Рытов. Я очень дорогил свои записи этих лекций. А на экзамене по физике получил у него четверку и ужасно огорчился.

— А были ли тогда такие элементы системы физека, как вопросы по выбору на экзаменах, базовые институты, шефы, государment?

— Госэкзамен по физике велл Л. Д. Ланду. И принимал его очень жестко.

Вопросов по выбору не было, но были супровые письменные контрольные работы. Сложнее, чем сейчас. Если вы набирали 70—80 % от максимального количества очков, то вам практические обеспечиваясь пятерка. Шли к лектору, и он не столько спрашивал, сколько беседовал с вами.

Базы и шефы существовали с самого начала. Основной упор делался на физку и инженерное обучение. Базовых институтов было немного: шесть — восемь.

— Какие изменения проискодили в системе физека в последующие годы?

— Со временем система физека эволюционировала, это закономерно. Возникали новые факультеты. У нас появился факультет аэромеханики и летательной техники. За двадцать лет своего существования он прекрасно зарекомендовал себя.

Еще одним новым элементом стал прием абитуриентов во Владивостоке, в Киеве, Краснодарское, Челябинское, Хабаровское. Набор наиболее сильных ребят на местах, их обучение в Долгопрудном по специальной программе и распределенное после четвертого курса обратно по специальностям, остро необходимым данной ресурсике или региону,— все это отвечает современным требованиям, отвечает, если хотите, мирому уровню подготовки кадров.

Вообщее наш институт стал удельть большие внимание «своему» абитуриту. Выили созданы заочная и вечерняя физико-технические школи, проводятся выездные физико-mатематические оптимизации, выходят рекламные номера нашей институтской газеты «За наук». Чтобы обрабатыть 700—800 будуших студентов, институт «просматривает» 10—12 тысяч школьников.

— Если сравнить сегодня абитуриентов с абитуриентами вашего набора…

— Сейчас требуется более углубленная, интенсивная, даже изощренная подготовка. Молодым людям также ее иногда к этому обращаются и люблю себя на мысли: смогли бы мы сегодня? И я не уверен.

Сейчас ребята приходит лучше подготовленных. Прием прошло года, например, был у нас самых сильным средinem техническихузов. Два победителя оптимизации на одно место! Этокое о чем говорит. Но, с другой стороны, теперьние студенты более ранние, менее терпельные. Мы были упорнее. В то трудное время — еще существенные ситуации. Впрочем, мне кажется, что он в определенной мере сохранился и сейчас. Специфика нашей профессии такова, что нам нужны в основном энтузиасы.

— Олег Михайлович, каковы главные черты сегоднянего облика МФТИ?

— Сейчас на физике сложился, видимо, довольно удачным союз «трех китов», трех образовательных циклов: общеинститутского, факультетского и базового. В рамках первого из них работы сльнейшие кафедры общей физики, высшей математики, теоретической физики. Факультетские и базовые циклы соответствуют основным направлениям подготовки кадров.

Вообщее в институте существуют три крупных «кучта» специальностей. Это

5

В этом году в нашей стране широко отмечается юбилей — 275-летие со дня рождения Михаила Васильевича Ломоносова. Часто случается так, что имя выдающегося ученого, посвятышшего себя одной области науки, остается неизвестным представителем других специальностей и тем более широкой общественности. Ломоносова же считает одним из основателей своей науки и химики, и физики, и теореологии, и географии… Он оставил яркий след в русской литературе и в искусстве.

Безнадежно пытается охватить в одной журналной статье все многообразие интересов и достижения Ломоносова — об этом написано множество книг. Представление о многообразности таланта Ломоносова дает «мозика» открытых из его работы и высказываний о нем выдающихся представителей отчетственной науки и культуры, публикацией которого наш журнал отмечает юбилей Великого русской энциклопедии.

6

О законах сохранения

…все перемены, в Натуре случающиеся, такого суть состояния, что сколько чего у одного тела относится, только присовокупится к другим. Так, ежели где убудет несколько материалов, то умножится в другом месте; сколько часов положит кто на бдение, сколько же сну отнимет. Сей всеобщий естественный закон простирается и в самые праваила движения; либо тело, движущее своим движением другое, сколько же опьяя у себя теряет, сколько сообщает другому, которое от него движение получает.

Из «Размышлений о причины теллоты и холода»

Внутреннее движение мы представляем себе простходящим тройим образом: 1) нечувствительные частицы непрерывно изменяют место или 2) врашаются, оставаясь на месте, или, наконец, 3) непрерывно колеблются взад и вперед на нечувствительном пространстве, в нечувствительные промежутки времени. Первое мы назовем поступательным, второе — врашательным, третье — колебательным внутриним движением. Теперь следует рассмотреть, какое же из этих движений производит теллоту. Чтоы это выяснить, мы прием за основу следующего положения. 1) To внутреннее движение не есть причина теллоты, отсутствие которого будет доказано в горячих телах.

Общее культурное влияние Ломоносова огромно. Наш литературный и научный язык, грамматика, позция, литература на века определялись Ломоносовым. Наш Академия наук с ее неустанным изучением родной страны получила свое настоящие бытие и смысл только через Ломоносова… Современная громадная советская наука и техническа стали возможными на почве, подготовленной Ломоносовым. Ломонрос с его широтого задач, простой и реальностью решений и неокруизимой настоящостью стал образцом передовых генцев русской науки в ее дальнейшем развития — Менделеева, Лебедева, Павлова…

Ломоносов являся как бы волочением и символьом русской культуры и науки с ее особенностями и своевременным.
С. И. Вавилов (1891—1951)

8

колебательным движением. Но так как большинство тел при нагревании до огненного каления сохраняет очень сильное сцепление частиц, то оченьно, что телота тел не проискит от внутреннего колебательного движения связанной материи.

Итак, после того, как мы ответгли поступательное и колебательное внутреннее движения, с необходимостью следует, что телота состоит во внутреннем врашательном движении связанной материи — ведь ее необходимо приписать какому-нибудь из трех движений.〈…〉

…невозможна высшая и последняя степень теплоты как движения. Наоборот, то же самое движение может настолько уменьшаться, что тело достигает, наконец, состояние совершенного покоя и никакое дальнейшее уменьшение движения невозможно. Следовательно, по необходимости должна существовать наиболее и последняя степень холода, которая должна состоять в полном прекрашении врашательного движения частиц.

О зажигательном приборе

Вознамерившись в области химии приборы физики, а также истинны, ими открыты, чтобы до известной степени страпить или облегчить трудности, встречалосься в этой науке, и осветить области темные и скрытые глубоким неведе-

Ломоносов получил от царицы 2000 рублей, что было больше, чем его трехлетнее желание в Академии наук… Значение его научных занятий в laboratorии не было понятно чиновником и двору. Чтобы оправдаться в своих laboratorных занятиях, Ломоносов писал в 1753 году графу Шувалову: «…полагаю, что мне позволено будет в день несколько часов времени, чтобы их, вместе с bilg韶ду, употребить на физическе и химическе опыты».〈…〉 Приходится удивляться тому, как много сделал Ломоносов в области экспериментальной базисной науки,

несмотря на эти неблагоприятные условия.
П. Л. Капица (1894—1984)

Теоретические и экспериментальные изыскания Ломоносов сочетал с большой работой по созданию самых различных приборов для нуждаии и практики: анемо-

9

нием, я счел за благо по mere моих сил уничтожить каким-либо способом упомянутые трудности и попытаться уведомить зажигательную силу этих приборов, которые прославлены столькими работниками, движущими вперед естеознание, и которые, я не сомневаюсь, придут на помощь в химических работах, требующих сильного огня.〈…〉

И вот, наконец, я видись мысль, что солнечные лучи и после отражения от плоских зеркал все еще сохраняют свою теплотворную силу, следовательно, должны, будучи собранны выпуклой линзой, уведомить жар. Тотчас же я, торжествуя, взял плоское зеркало и линзу диаметром в два дюйма и, так как день был как раз ясный, собран линзой солнечные лучи, отраженные зеркалом. Когда, после этого, я подставил кусок дерева, на нем образователься черное пятно и оттуда пошел дым. Я смотрел на это с восторгом и, с целью идти и далее, соединил фокус линзы, подставленной прямым лучам, с фокусом первой и поднес к ним весма белую бумагу, которая отказывался загораться от прямых солнечных лучей, собранных той или другой из названных линз; сразу же пошел дым, на бумаге образователься черное пятно, бумага вспыхнула, и огонь, разгоряясь, начал ее скигать. Итак, повторив этот опыт несколько раз иSTRAINВ ВСЯКОЕ СОМНЕНИЕ В ЕГО ПРАВИЛЬНОСТИ, Я НЕ КОЛЕБЛЮСЬ ЗАКЛЮЧИТЬ, ЧТО РАССАВИВ ТАК, КАК Я УПОМЯНУЛ ВЫШЕ, БОЛЬШЕ ЗЕРКАЛА И ЛИНЗЫ, МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ЖАР БОЛЬШОЙ.

метр, морской барометр, зажигательный оптический прибор, «горизонтской», «ночезрительная труба», отражательный зеркальный телесок, форметрическая труба для сравнения силы света звезд и многде, mnoгде других орициальные приборы и аппараты — плоды его неуто-мойной деятельности. Замечательная идея Ломоносова о рефрактометре получила признание и осуществлена только в конце XIX века.

М. В. Келдыш (1911—1978)

…я должен отдать справедливо гостодину Ломоносову, что он одарен самым счастью

ливымстроцем для объяснения явлений физических и химических. Желать nadобно, чтобы все прочие академики были в состоянии показать также изобретения, которые показал господин Ломоносов…

10

О методе научного исследования

Химик требуется не такой, который только из одного члена книги понял сию научку, но который собственным искусством в ней прилежно упражнялся… Не такой требуется математик, который только в трудных выкладках искусен, но который, в изображениях и в доказательствах привыкнув к математической сторости, в натуре современную правду точным и непоползовенным порядком вывести имеет… Химия руками, математика очаги физических по справедливости называется может.

О научно-популярной литературе

Всякий, кто берет на себя труд осведомлять публику о том, что содержится в новых сочинениях, должен прежде всего взвести свои силы. Ведь он затевает трудную и очень сложную работу, при котором приходит докладывать не об объективных вещеях и не просто об общих местах, но схватывать то новое и существенное, что заключается в произведении, создаваемых часто величайшими людьми…

Журналисту позволительно опровергать в новых сочинениях то, что, по его мнению, заслуживает этого, — хотя не в этом заключается его прямая задача и его признание в собственном смысле; но раз он уже занялся этим, он должен природую. В описаниях слышен взгляд ученого натуральства, нежели позта; но чистосердечная сила восторга превращала натуральства в позта.

Ломоносов страстно любил научку, но думал и заботила искусительно о том, что нужно для блага его родины. Он хотел служить не чистой научке, а только человекеству.

Н. Г. Чернышевский
(1828—1889)

Всякое прикосновение любезной сердцу его России, на котором онглядит под углом ее сияющей будущености, исполняет его силой чудотворной… Всяруссую землю озирает он от края до·края с какой-то светлой вышины, любуясь и не налогуясь ее беспредельностью и действен-

Н. В. Гоголь (1809—1852)

11

жен хорошо усвоить учение автора, проанализировать все его доказательства и противостать им действительные возражения и основательные рассудения, прежде чем присвоить себе право осуществ его. Простые сомнения или произвольно поставленные вопросы не дают такого права; либо нет такого невежды, который не мог бы задать больше вопросы, чем может их разрешить самый значющий человек. Особенно не следует журналисту вообразать, будто то, чего не понимает и не может объяснить он, является таким же для автора, у которого могли бы свои основания сокращать и опускать некоторые подробности.

Об обучении юношества

«Во-первых, при обучении школьников чаще всего наблюдаются должно, чтобы разного рода понятыми не отягощать и не приводить их в замечательство».

«Позволить школьникам упражнения по своей охоте для показания каждойому своего особливого рачения и понятия».

«Учители с учениками не должны поступать ни гордо, ни фамилиарно.〈…〉 Учитель должен не токмо словами учение, но и поступками добрый пример показывать учащимся.»

Ломоносов был великий человек. Между Петром I и Екатериной II он один является самобитным способжиком просвещения. Он создал первый университет, он, лучше сказать, сам был первым нашим университетом… Соединия необыкновенную силу воли с необыкновенной силой понятия, Ломоносов объявл все отрасли просвещения. Жажда науки была сильнейшего страстю сейчас души, исполненной страстей. Историк, ритор, механик, химик, минералоз, художник и стихотворец, он все испытал и все проник.
А. С. Пушкин (1799—1837)

В оформлении статьи использованы авторские рисунки из книг М. В. Ломоносова: морской барометр; крепостной перископ; зажигательный прибор; нечезрительная труба; регистратор грозового разряда; аэродромическая машина (прообраз вертолет).

12

Неприводимость и irrationalность

В. А. ОЛЕЙНИКОВ

В прощлом номере автор расскажал о много-
вековой истории irrationalных радиkalов
и неприводных многочленов, о признаке
Эйзенштейна. Здесь же речь пойдет о дости-
жении XX века в этой области, но на более
наглядном геометрическом языке.

Созданная на рубеже XIX и XX
веков теория алгебраических чисел
стала новым стимулом для изучения
неприводных многочленов. Алгебраическое число α — это просто ко-
рень многочлена с целыми коэффици-
центами:

$$P(\alpha) = a_0 + a_1\alpha + \ldots + a_n\alpha^n = 0.$$

13

Все радикалы, которые мы рассматривали в предыдущей статье, — алгебраические числа. Однако понятие алгебраического числа значительно шире: еще в начале прошло века П. Руффини (1765—1822) и Н. Г. Абель (1802—1829) показали, что не всякое уравнение степени выше четвертой разрешимо в радикалах. Алgebraические числа, таким образом, не исчерпывают irrationalными радикалами и рациональных числам.

Но это алgebraические числа тесно связаны с неприводимыми многочленами. Именно, любое алgebraическое число является корнем единственного (с точностью до числового множителя) неприводимого многочлена. Это следует из ТЕОРЕМЫ («Квант» № 10, с. 7).

Свойство неприводимости стало предметом пристального внимания многих выдающихся математиков. Наряду с поисками общих свойств (таких, как в ТЕОРЕМЕ) исследователи не давал покоя признак Эйзенштейна. Чувствовалось, что за этим признаком скрывается какой-то общий принцип, выявление которого позволяет получить новые более общие признаки. Так и оказалось на самом деле. Дальнейшее продвижение здесь связано с возможностью перевода свойства неприводимости на язык геометрических образов. Основа этого языка была заложена вликом Ньюотом за 200 лет до описываемых событий и носит его имя.

Диаграмма Ньюотона

Для построения диаграммы Ньюотона многочлена $P(x)$ по заданному простому $p$ необходимо:

1. координатная плоскость OKM (OK — горизонтальная, а OM — вертикальная оси);
2. линейка, гвозди, молоток;
3. немного терпения.

Потому что сначала наносится основа — каждому однолету $a_k x^k$ из $P(x)$ ставится в соответствии точка с координатами $(k; l)$; $l$ — это наиболее степень числа $p$, при которой $a_k$ делится на $p^l$. Набор всех таких точек $(k=0, 1, ..., n)$ и есть основа диagrаммы.

На рисунке 1 — основа многочлена $P(x) = 12 + 2x + 4x^2 + x^4 + x^5 + 2x^6 + 4x^7$

при $p=2$. Свободный член $a_0$ делится на $p^2$, но уже не делится на $p^3$ — имеем точку (0; 2), $a_1$ делится на $p$ — точка (1; 1), $a_2$ дает точку (2; 2).

Внимание! Если $a_k=0$, то точку основы вообще не наносим.

В нашем случае $a_3=0$ не дает точки основы.

Если $a_k$ не делится на $p$, то $l=0$ и точка $(k; 0)$ попадает на ось OK.

В нашем случае $a_4$ и $a_5$ не делятся на $p$, $a_6$ делится на $p$, $a_7$ делится на $p^2$ (см. рис. 1).

Будем считать, что вместе со старшим коэффициентом $a_n$ у многочлена $P(x)$ не равен нулю и свободный член $a_0$. Иначе $P(x)$ всегда приводим (доказите!) и поэтому нам не интересен. На плоскости OKM, таким образом, будет нанесены по крайней мере две точки:

начальная точка основы — у нас (0; 2) и ее конечная точка — (7; 2)

А теперь диagrамма (рис. 2). Берем молоток и выбиваем гвозди во все точки основы, затем приставляем линейку вертикального к гвоздию, вбитому в начальное точку. Вращаем ее против часовой стрелки, пока она не упрется в другой гвоздь основы (у нас (1; 1)). Соединия эти точки отрезком, получаем первое звено диagrаммы. Для получения следующого звена нужно врашать линейку вокруг второго гвоздя (1; 1) до встречи с новой точкой основы.

Вращаем линейку дальше и наносим остальные звены, пока, наконец, не добавемся до конечной точки основы и не получим последнее звено.

Диagrамма Ньюотона готова и изображена на рисунке 2. Она представляется собой вогнутую вверх ломанную и всегда имеет хотя бы одно звено.

14

Построите сами диаграмму Ньютона для многочлена
$$Q(x) = 16 + 4x + 8x^2 + 2x^3 + 8x^6$$
по простому $p = 2$.

Лищние точки (у нас — (2; 2)) не должны смещать читателя — во всяком стойшем производстве не обойтись без отходов.

О звеньях. Они бывают трех сортов:

Составные, простые, примененные

Звено диаграммы Ньютона называем простым, если кроме концов на нем нет других точек с целочисленными координатами. В противном случае, если такое имеется внутри звена, будем называть его составным (рис. 3). Далее, простое звено называем применным, если длина его проекции на горизонтальной ось OK равна единице.

Вот и все. Знакомство с образным языком неприводимости законено. Пора начать на нем разговаривать. За все труды по изготовлению диаграммы Ньютона нас вознаграждает

Признак Дюма

Если при неокотором простом $p$ диаграмма многочлена $P(x)$ состоит робно из одного простого звена, то такой многочлен неприводим.

Гистав Дюма жил в Швейцарии и активно занимался задачей о неприводимости в начале нашего столета. Этот признак получен им в 1906 году.

Признак Дюма позволяет … нарисовать признак Эйзенштейна,

глубже понять его и запомнить.

По условию признак Эйзенштейна все коэффициенты многочлена $P(x)$, кроме старого, делятся на $p$, а свободный член $a_0$ делится на $p$ и не делится на $p^2$. Эту ситуацию и отражает рисунок.

XX век не терпит остановок *) и созалейной об упущенныхвозможностей.

Признаки, признаки, признаки…

На рисунке 4 еще один признак.

Заключенный в словесную форму, он прибретает «больший вес»:

Если для многочлена $P(x)$ нечетной степени $2n+1$ можно указать такое простое число $p$, что старший коэффициент $a_{2n+1}$ не делится на $p$, а все остальные коэффициенты
$a_k$ делятся на $p$, $k=0, 1, ..., 2n$, но дополительно коэффициенты
$a_k$ при $k=0, 1, ..., n$ делятся и на $p^2$, а свободный член
$a_0$, делясь на $p^2$, не делится на $p^3$, то такой многочлен $P(x)$ неприводим.

Признак Дюма не исчерпан! Каждый желающий может стать обладаателем собственного признака, поднимавая все выше конец звена и следя за тем, чтобы оно оставалось простым.

Вывод очевиден: массовое производство признаков — перспективное и в то же время абсолитно безопасное дело**).

Снова irrationalность

Средние изобилия признаков неприводимости нашлось место и признаку irrationalности (доказательство в Приложении на c. 16).

Если при неокотором простом $p$ диаграмма многочлена $P(x)$ не содержит примененных звенев (составные разбицы на простые), то среди его корней не может быть рациональных.

*) Кое-что о доказательстве признака Дюма нетопопливый читатель найдет в Приложении на c. 16.
**) Но вряд ли оно доставит нам лавры Эйзенштейна.

16

Зародилось алгоритмическое направление во времена Л. Кронекера (1823—1891) — известного немецкого математика, когда был придуман самый верный (но не самый быстрый) способ узнать — приводим данный многочлен или нет (весьма похожий на тот, о котором шла речь в нашем первом примере: с. 15). Обогащенное идеями получабитых признаков, это направление набирает темп. В самом последнее время (в 1982 г.) оно выразило шеедевром мастеров Голландской школи (А. Ленстра, Г. Ленстра, Л. Ловас) под названием «Алгоритм приведенного базиса», разрешившим скоростной вопрос в принципальном плане.

Собиться бурной эпохи гулким эхом отделись в кабинетной тиши и, в конце концов, заставили неприводимый многочлен служить человеку. Он трудится в аллебраической теории кодирования, и не исключаено, что коды исправления ошибок помогали этим летом установить сывы в изображении телепередач с Мексиканского футбольного чемпионата мира. А в теории и практике случайных процессов неприводимый многочлен твордо стоит на страже государственных секретов, превращая их в псевдослучайные сценалы и охраня от чуткого построенного уха.

В страну неприводимых многочленов сделан первый шаг — мы познакомились с ее признаными лиDEPами. Но другие ее представители — как известные, так и не исследованные — остались за кадром. Страна неприводимых многочленов полна загадок и каждой новый шаг в нее рождает новые вопросы.

Приложение

Здесь мы приводим общеанное посяжение доказательства признака Дюма. Но сначала Разборка и сборка. Диаграмма Ньютона несет важную информацию о многочлене $P(x)$. Хранить ее удобно в разобранном виде.

Правило разборки. Разломаем диаграмму на звенья, в конце нарисуем стрелки и пересечем их параллельно себе (как векторы) в начальной точку (рис. 8). Так получается

Рис. 8.

связка многочлена по простому $p$. Если точка основы лежит внутри звена (у нас — точка (6; 1) на последнем звене), то ломать звено в этой точке не следует.

Правило сборки. Двигаясь сизу вверх (против часовой стрелки) выкладываем векторы связи друг за другом (см. рис. 8). Итак: Заданной диаграмме Ньютона соответствуетровно одна связка, и по заданной диаграмме восстанавливается однозначно.

Остается заметить, что местоположение на оси ОМ точки приложения связи не играет существенной роли. Умножая $P(x)$ на подходящую степень $p'$ (что не меняет свойства неприводимости), можно произвольно перемещать всю диаграмму, а вместе с ней и начальную точку, вдоль оси ОМ.

Теорема Дюма. Связка произведения $P(x)Q(x)$ представляет собой объединение связискомителей $P(x)$ и $Q(x)$ (рис. 9).

Рис. 9.

Здесь $Q(x)=b_0+b_1x+\dots+b_mx^m$ — это еще один, какий-нибудь, многочлен (подойдёт и $Q(x)$ со страницами 14). Его основа, диаграмма и связка — красные.

Теорема Дюма показывает, как, зная диаграммы многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ по одному и тому же простому $p$, построить диаграмму их произведения. Для этого следует наложить друг на другу связки компонентей, совместив их начальные точки, а затем построить ломанную по правилам сборки (рис. 10).

Рис. 10.

Добавление. Если в связи произведения $P(x)Q(x)$ два звена частично или полностью совпадают, то одно из них следует вытянуть из связки и поставить вслед за другим.

Секрет призника Дюма теперь прост — если $P(x)$ приводим, то по теореме Дюма его связка всегда состоит либо из нескольких звеньев, либо из одного, но тогда непреемно составляет (см. Добавление еще раз).

Для доказательства призника ингредиентов теорему ТЕОРЕМУ («Квант» № 10, с. 7), написавы диagrмму линейного движения (она состоитровно из одного примитивного звена) и вывести из теоремы Дюма утверждение:

Если все простые связи связи имеют проекцию на ось ОК длины > k, то все делители многочлена $P(x)$ имеют степени > k.

Доказательство теоремы Дюма основано на том, что умножению многочлена $P(x)$ на одной $b_kx^k$ соответствует на плоскости ОКМ перенос основных $P(x)$ на вектор с координатами $(k; l)$, где $(k; l)$ — точка основы $Q(x)$, отвечающая однозначну $b_kx^k$. Дальнейшие рассудения (вплоне элементарные) не вошли в рамках этой статьи и мы их опускаем.

17

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Кinematika врашательного движения» предназначена восмиллассиком, «Телловой насос» — девятиклассиком, «Номограмы в геометрической оптике» — девятиклассиком.

Кinematika врашательного движения

Медленно проехав перекресток, троллейбус стал удляться по улице, плавно увеличивая свою скорость…

Движение колеса троллейбуса — лишь один из многих примеров сложного механического движения в окружающей нас мире. Оказывается, любое сложное движение можно представить как сумму двух простых движения — поступательного и врашательного. Понимать это следует так: всегда можно подобрать такую поступательную движущуюся систему отчета, относительно которого движение выглядает только как врашение вокруг неодвижной оси.

Какую же в нашем случае надо выбрать систему отчета, чтобы в ней колесо троллейбуса совершало чистое движение? Какими физическими величины описывается это движение, как эти величины связаны друг с другом и как зависит от времени? Такие вопросы могут возникнуть не только на пешекодном переходе, но и на урoke, экзамене, при решении конкретной задачи.

На первый вопрос ответить легко, договорались, что поступательное движущуюся система отчета можно связать с самим троллейбусом (его корпусом). Перед тем как ответить на остальные вопросы, затем, что в нашем примере колесо врашается неравномерно — модель скорости любой точки колеса меняется со временем.

Рассмотрим неоктору точку $M$ колеса, находящуюся на расстоянии $r$ от оси врашения и имеющего в некоторый момент времени скорость $\vec{v}$ иускорение $\vec{a}$ (рис. 1). Из физических сообщений разумноускорение $\vec{a}$ представить как сумму двух составляющих: одна из них $\vec{a}_\pi$ направлена по радиусу к центру окружности — центростремительноеускорение, второй $\vec{a}_\kappa$ направлена по касательной к окружности — касательноеускорение. Оба этиускорения имеют определенный физический смысл — касательноеускорение характеризует быстроту изменения модели скорости, а центростремительноеускорение характеризует быстроту изменения направления скорости. Можно показать, что модель центростремительногоускорения $a_\pi = v^2/r$ («Физика 8», § 16), а модель касательногоускорения $a_\kappa = \Delta v/\Delta t$, где $\Delta v$ — изменение модели $v$ скорости точки на скольгу уголно малое $\Delta t$.

Линейные и угловые величины. Как уже говорилось, нам надо вести такие физические величины, которые характеризовали бы неравномерное врашение колеса (в системе отчета, связанной с троллейбусом). Попробуем это сделать по аналогии с прямолинейным неравномерным движениям.

Проследим за точкой $M$ колеса в течение малого промежутка времени $\Delta t$. За это время точка пройдет по дуге окружности путь $s$ и будет иметь скорость $v$ и касательноеускорение $a_\kappa$ (рис. 2). При величины $s, v$ и $a_\kappa$, называемые линейными величины, характеризуют движения точки $M$, но не могут служить для описания вра-

19

Тепловой насос

Все мы привыкли к электрическим нагревателем. Достаточно включить такой нагреватель в сеть, и через некоторое время в комнате ставится теплое — энергия электрического тока в нем превращается в тепло. Электрический нагреватель очень прост в устройстве и по существу представляет собой нагревательную спираль — резистор. Превращение электрической энергии в тепло осуществляется практическим полностюдо, за исключением той небольшой доли энергии, которая идет на световое излучение, если спираль достаточно раскалена и светится. Кстати, с этой точки зрения электрическая лампочка не такой хороший нагреватель, как скажем электрокамин, так как у нее несколько процентов мощности уходит в виде светового излучения. Но все-tаки, как ни странно, она скорее нагреватель, чем источник света, то есть она в основном греет, а не светит.

Казалось бы, электрический нагреватель идеально справляется со своей задачей, преобразуя практические всю энергию тока в необходимое тепло. А нельзя ли нам, затратив неокоторую энергию, получить тепла, скажем, в два раза больше и тем самым экономить расходы на нагревание? На первый взгляд, это абсolutно невозможно и противоречит закону сохранения энергии. Однако не будем торопиться и прробуем разобрать в этом во-просе подробнее. И научем с … холодной машины, а попросту — холодильника.

Холодильник отбирает тепло от внутренней emкость, где поддерживается низкая температура, и отделяет его в комнату. Сам по себе такой процесс иденти не может. Тепло не может перейти само собой от холодного тела к горячему (это одна из формулировок второго начала термодинамики).

«Обратная» теплопередача требует постоянного подвода энергии — работы компрессора холодильника. Детали устройства холодильника нам не существует, но затем, что для его функционирования всегда необходима энергия.

Пусть в результате совершения работы А холодильник отбрала у морозильной камеры количество теплоты $Q_2$. Тогда, согласно закону сохранения энергии, в комнате выделилось количество теплоты $Q_1 = Q_2 + A$. Понятно поэтому, что при работе холодильника, даже с открытой дверцей, в комнате ставится теплое.

Попробуем найти коэффициент полезного действия холодильника. Но прежде всего помним о тепловом дигателе, принципиустройства и работы которого точно такой же, как и у холодильной машины. По существу холодильная машина это тепловой дигателе, работающий по обратному циклу.

Как вы знаете, рабочое тело дигателя (рис. 1) получает от нагревателя количество теплоты $Q_1$, совершает работу $A'$ и obtains холодильнику (не путайте с холодильной машиной!) количество теплоты $Q_2 < Q_1$. Максимальный коэффициент полезного действия идеального теплового дигателя равен

$$\eta_{\text{max}} = \frac{A'}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1},$$

где $T_1$ — температура нагревателя, а $T_2$ — температура холодильника.

КПД холодильника $\eta_x$ определяется отношением количества теплоты, отбраемого у морозильной камеры, к необходимой для этого работе. Для

20

идеального холодильника он равен (рис. 2)

$$\eta_{\text{x max}} = \frac{Q_2}{A} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2} = \frac{1 - \eta_{\text{max}}}{\eta_{\text{max}}}$$

Заметим, что, как следует из этой формулы, холодильный коэффициент может быть большей единицы.

А теперь нетрудно доказать, как можно использовать холодильник для отапливания помещения в холодное время года — для этого холодильную камеру нужно вывести на улицу (а все остальные части «агрегата» оставить в комнате!)! Тогда, совершив работу $A$ (отображ энергию у электрической сети) и забав с улицы количество теплоты $Q_2$, мы передаем в комнату количество теплоты $Q_1 = A + Q_2 > A$. Понято, что никакого протиоречия с законом сохранения энергии нет — дополнительная энергия в виде теплы отбирается от холодного нагружного воздуха.

Холодильная машина, работающая таким образом, и называется «тепловым насосом», поскольку тепл «перекачается» снаружи вовнутрь комнаты. В результате работы теплового насоса в помещении становится теплее, а на улице — еще холоднее (последний эффект, конечное же, совершенноеничен). КПД теплового насоса $\eta_{\text{h}}$ определяется отношением получаемого помещением количество теплоты к необходимой для этого внешней работе. В идеальном случае он равен

$$\eta_{\text{h max}} = \frac{Q_1}{A} = \frac{Q_1}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_1}{T_1 - T_2} = \frac{1}{\eta_{\text{max}}}$$

и всегда большей единицы.

В качестве примера рассмотрим случай, когда температура нагружного воздуха $-20^{\circ}\text{C}$ ($T_2 = 253\ \text{K}$), а внутренняя необходимо поддерживать температуру $+20^{\circ}\text{C}$ ($T_1 = 293\ \text{K}$). Тогда

$$\eta_{\text{h}} = \frac{293}{40} \approx 7,3$$

то есть использует электрическую энергию для работы теплового насоса, мы можем получить в семЬ раз больше тепла, чем пользовательным прибором. Разумеется, реализый КПД всегда ниже, к тому же двигаель теплового насоса также превращает в работу не всю потребляемую энергию. Однако все равно использование теплового насоса оказывается в несколько раз болееRENTабельным, чем использование электрического оптике

Из школьного курса физики вы узнали о том, как можно графический решать различные задачи геометрической оптики. Например, чтобы найти положение изображения точного источника света в тонкой лице, достаточно построить ход двух произвольных лучей, выведших из источника и прошедших через линзу.

В этой заметке будет расссказано еще об одном, несколько необучном графическом способе решения подобных задач. При этом на предлагаемых вам рисунках вы не увидите ни световых лучей, ни оптических осей линызы, ни даже самой линызы. О каких же тогда графикахнойой речь?

В математике существует специальный раздел, называемый номографией (от греческих слов пόmos — закон и графо — пищу), в котором изучаются методы построения особых чертежей — номографии. С их помощью можно, например, не произвольно вычислить, получать приближенные

21

решения уравнения или находится приближенные значения интерсоциальных нас функиций. Воспользовемся и мы такой возможностью.

Пусть светашийся предмет находится на расстоянии $d$ от линии с фокусным расстоянием $F$, а его изображение — на расстоянии $f$. Можно показать (это сделано в § 60 «Физики 10»), что эти три величины связаны простым соотношением — формулой тонкой линии:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}.$$

Заметим, что каждое слагаемое, входящое в формулу, может быть как положительным, так и отрицательным. Если предмет, или его изображение, или фокус линии действительные, величины $d$, или $f$, или $F$ берется со знаком «плюс», в случае же предмет, или изображение, или фокус линии минимые, соответствующие величины считаются отрицательными.

Построим номограмму для формулы линии и показем, как с ее помощью можно решать конкретные задачи.

Изображим на плоскости прямоугольную систему координат $XOY$ (рис. 1). По оси $X$ отложим отрезок $OA$ длиной $d$, а по оси $Y$ — отрезок $OB$ длиной $f$. Пока для определения $d$ и $f$ будет считать положительных отрезков $KM$ и $KN$ через $F$. Из подобия треугольников $AOB$ и $AMK$ следует, что $$\frac{OB}{OA} = \frac{KM}{MA},$$ или $$\frac{f}{d} = \frac{F}{d-F},$$ откуда

легко получается знакомое нам уравнение (*).

Таким образом, мы получили, что длины $d$, $f$ и $F$ построены на чертежке отрезков связи между собой уравнением тонкой линии (вот почему при построении мы используем такие обозначения длин отрезков). А это, в свою очередь, означает, что мы умеем строить номограмму для формулы линии. Действительно, если по горизонтальной оси прямогольной системы координат откладывать расстояния $d$ от предмета до линии, а по вертикальной оси — расстояния $f$ от линии до изображения, то все прямые, соединяющие концы соответствующих отрезков, пересекаются в одной точке (рис. 2). Проекции этой точки на оси координат одинаковы и равны фокусному расстоянию $F$ данной линии.

Как вы знаете, для определения прямой на плоскости достаточно знать всего принадлежащие ей точки. Поэтому с помощью построенной номограммы по известным двум из трех величины $d$, $f$ и $F$ всегда можно графически определить недостающую третью. Так, например, при построении, приведенном на рисунке 1, мы фактически определили фокусное расстояние линии ($F$) по известным расстояниям от линии до предмета ($d$) и от линии до изображения ($f$).

Легко убедиться в том, что предложенный способ годится не только для собственных линии, но и для рассеивающих, а также для любых расположений предмета и изображения относительно линии. Если, например, предмет или изображение минимые, то соответствующие значения $d$ или $f$ являются отрицательными и, следовав-

22

ТЕЛЬНО, их надо откладывать в отрицательном направлении от начала координат (влево или вниз). Может служить, что точка $K$ пересечения всех отрезков, соответствующая фокус линзы, будет иметь отрицательные проекции. Это будет означает, что фокус линзы — минимый, то есть что линза — рассеивающая. Области расположения действительных и минимых предметов и изображений показаны на рисунке 3.

Номографмы можно использовать и для определения линейного увеличения линзы — отношения линейного размера $H$ изображения к линейному размеру $h$ предмета: $\Gamma = H/h = f/d$ (см. § 60 «Физики 10»). Из рисунка 1 видно, что

$$\Gamma = \frac{f}{d} = \text{tg} \beta.$$

Таким образом, изображение может быть увеличенным, уменьшенным или такого же размера, как и сам предмет.

Можно решить и обратную задачу — по заданному увеличению и известному фокусному расстоянию линзы определять расстояния $d$ и $f$. Для этого достаточно построить знакомую нам точку $K$ и проведсти через прямую, наклоненную к горизонтайной оси под углом $\beta$. Точки пересечения этой прямой с осами координат и дадут нам искомые значения $d$ и $f$.

А. И. Шапиро

Число делений

(Задание на исследование)

Объчная двацатисантметровая ученическая линейка (с 19-ю делениями) обладает таким свойством универсальнойности: с ее помощью одним измерением можно отложить любой отрезок длиной 1, 2, 3, …, 20 см. Это свойство может сохраниться, еслистерть часть делений. Какое минимальное число делений необходимо оставить (и как их расположить), чтобы свойство универсальнойности сохранилось? Этот задаче и ее обобщения посвящена данная метка.

Назовем линейку длиной $n$ с $k$ делениями универсальной (или $(n, k)$-универсальной), если с ее помощью можно одним измерением отложить любой из отрезков длиной 1, 2, …, $n$. Так, обчная ученическая линейка (20, 19)-универсальная, но бывают и (20, 6)-универсальная линейка (см. ниже). Основная задача состоит в том, чтобы найти минимальное число делений $k=k(n)$, для которого существует $(n, k)$-универсная линейка. Известны (см. «Квант» 1976, № 12, с. 7) следующие оценки для $k(n)$:

$$\frac{\sqrt{8n+1}-3}{2} \leq k(n) \leq \sqrt{4n+5}-3. \quad (*)$$

Для малых $n$ минимальное число делений $k(n)$ можно найти перебором. При $1 \leq n \leq 13$ эти числа соответственно равны 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 и достигаются на следующих линейках (числа в квадратных скобках указывают длины отрезков между последовательными делениями): [1]; [1, 1], [1, 2], [1, 2, 1], [1, 1, 3], [1, 3, 2], [1, 1, 3, 2], [1, 1, 3, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [1, 1, 4, 3], [

23

Задания

1. Как разрезать фигуру, изобразенную на рисунке, на три одинаковые части?

2. Железнодорожные рельсы закрепляют на шпалах для того, чтобы рельсы не сдвигались в сторону. Какую еще важную роль играют шпалы?

3. В записи +=*** замените звездочки цифрами так, чтобы равенство имело смысл и было правильным после поворачивания листа бумаги (на котором оно записано) на 180°.

4. У продавца, который привез на базар продавать орехи, оказались неправильные рычажные весы и правильная kilogramмовая гиря. Чтоы отвечить покупателю 2 кг орехов, он один раз уравновесил гирю орехами, положив ее на правую чашку весов, а другой раз уравновесил эту гирю орехами, положив ее на левую чашку весов. Оказалось, что в результате он отвечил больше 2 кг орехов (показите это). Как продавец должен поступить, чтобы ответитьровно 2 кг орехов?

5. В круге провели три хорды AB, BC, CD и отметили их середины: M, N, K. Показите, что углы BMN и NKC равны.

Эти задания нам предложили M. Бабиков, A. П. Савин, A. В. Швецов, H. Х. Розов, Г. А. Гальперин.

Знакомьте:
metаллическое
стекло

Кандидат физико-математических наук
А. С. ШТЕЙНБЕРГ

Вы включите магнитофон, но вместо музыки разделяя малопонятные хрипы. В мастерской слышите стандартный диагноз: износ магнитной головки. От длительного контакта с лентою она истерлась и не обеспечивает качество восприизведения. Наверное, многим знаком эта ситуация.

А теперь представьте себе рекламу: «Покупайте магнитофоны с головками из металлического стекла!». Скорее всего, сочетание слов «metаллическое стекло» показывает вам страны. Но можете смело довериться совету рекламы — в широком ассортименте полезных свойств металлических стекол (иногда их еще называют аморфными металлами) числится и повышенная сопротивляемость износу. Что же это такое — металлическое стекло?

Стекло (объчное, а не металлическое) известно человеку давно. В огне оказалась подходящая по составу песчаная смесь, расплавилась, затем застыл и… получилось стекло. Произошло это около шести тысяч лет назад, и с тех пор область применения стекла постояно расширялась.

25

Но только в нашем вке стали раскрыться его секреты.

Хорошо известны два «плотных» состояния вещества: жидкое и кристалическое. Их внешней непохожейности соответствует не менее серbezное разлице вatomном строении. В жидкости atoms расположены друг относительно друга более или менее случайно, а в кристалле их расположение строго упорядочено. Однакоые atoms расположены наподобные узлов пространственной решетки, которая называется кристалической. Разные вещества имеют свои характеристики формы кристалических решеток. На рисунке 1 изображен один из возможных вариантов.

Если кристалл нагреть выше точки плавления, он расплавится и превращается в жидкость. Если расплав охладить ниже точки плавления — он вовь закристаллизуется. При этом atoms как будто «чувствуют» приближение критического момента, когда надо перестроиться и из жидкости бесплатного бесплатного организаовать» строя кристалл. Все проискодит так, словно дана команда «становись!» и atoms-солдаты по одному занимают свои места, выстраиваясь в определенном порядке. И как бы «исполнительны» ни были atoms, на «построение» все-tаки требуется какое-то время. Самый известный пример кристализации — образование льда из воды при 0 °С. Точно так же ведут себя при своих температурах плавления все металлы, их сплавы и тышчи других веществ. Но иногда события развиваются по необычному сценарию.

«Жизнь» atomов — это постоянное движение. Но их подвижность быстро падает с понжением температуры. Этот обстоятельством можно воспользоваться. Представим себе, что какой-то многогруппой монстр схватил все atoms жидкости и удерживает их на месте, пока расплав не охладится до температуры ниже температуры плавления, и лишь после этого отпускает. тогда перестроится в кристалл атомам уже не удался. Они так и остаются в беспорядке. Сама жидкость при этом загустет и станет твердой. Такой материал и называется стеклом.*)

Держать atoms, конечно, нереально. Но это можно быстро охладить жидкость. Тогда при высоких темперарах (температура плавления) atoms перестроются не успеют, а при низких — будет уже поздно. Вспомните одну из детских игра. В ней все играющие должны остаться в положении, в котором их застала команда «замри». Иногда оно бывают неестественным. Резкое охлаждение — приказ «замереть» для atoms. В отличие от людей atoms могут находиться в «неудобных» положениях годами, весами, тысячелетями. И если играющие охивляют команда «отомри», то atoms «пробуждают к жизни» повторным нагревом.

Но что значит «быстро охладить»? Для каждого вещества ответ свой. Для смеси соды и песка «быстро» означает уменьшение температуры на доли градуса в секунду. Такая скорость охлаждения достигается при естественном отсутствии расплавленной массы. Именно поэтому и сумели наши данные предки открыть общие стекло. А вот для металлических сплавов «быстро» — это действительно быстро. Оценки показали: чтобы не дать жидкому металлическому расплаву закристализовать, его надо охладать со скоростью миллион градусов. Разумеется, температура горячого расплава не миллион градусов. Такая скорость понжения температурыозначает, что охладить расплав, скажем, от 2000 °C до 1000 °C надо за 10⁻³ с, то есть за одну миллисекунду. Такова цена «остановки» atomов.

Сама идея быстро охлаждения относить не нова. Под именем закалки она была известна с древности. Свидетельствует великий Гомер: «Как погружает кузнец раскаленный топориль секриру в воду холодную, иащит с клокотным железо — крепче железо бывают, в огне и воде зака-

*) Стекла относится к более общей группе аморфных веществ — так называются твердые тела, не имеющие кристалической решетки.

26

ляясь». Однако традиционные способы закалки обеспечивают скорость охлаждения только 100—1000 градусов в секунду. Для наших целей этого списком мало.

Оставим на время металл и задимся вопросом: как побистре охладить горячий чай? Проше всего — напить его из чашки в блюдце. Тепло отделется в основном окружающей воздуха. Увеличивая поверхность соприкосовения с воздуха, мы увеличиваем скорость охлаждения. Чем более плоское мы выберем, тем быстрее остынет чай (конечно, при его неизменном объеме!). Наконец, можно просто вылить чай на стол. В результате растекания жидкости площадь ее поверхности еще больше возрастет. Правда, для чапития этот прием мы рекомендувать не станем, затем в быстро оставшихся моменте не сомневаться.

Итак, первый вывод: для увеличения скорости охлаждения следует максимально увеличить площадь поверхности контакта с теплотводящей средой, в данном случае — с воздуха.

Но воздуха отводит тепло сравнительно медленно. Хорошими проводниками тепло по справедливости считаются металлы, а из них в первую очередь — медь. В этом мы убеждаемся каждый раз, когда прикасаемся к металлическому покрытию, — оно всегда какжет холодным, так как быстро отводит тепло человека.

Отсюда следует еще одна рекомендация: чай следует разливать не столе, а на широком металлическом (желательно медном) подносе. Тогда он остынет почти сразу же.

На этом закончим нашу не слишком изисканную «чайную церемония». Она подсказала конкретный рецепт. Для быстро охлаждения жидкого металла надо создать очень тонкий его слой на медной поверхности (обычно ее называют подложкой).

Первые удачные опыты по сверхбыстром охлаждению металлической жидкости были произведены в 1960 году. Капля расплавленного металла выступила на подложку из меди. (В ранних работах для этого применялась энергия пороховых газов обычногоистолета.) При ударе о медный экран капля расплющивается, моментально охлаждается (скорость охлаждения достигает $10^8-10^{10}$ град/c), и с медного «трамплина» в воздух взмывает крокотная лепешка твердого аморфного металла (рисунок 2). В самых тонких местах ее толщина оказывается равной 0,0001 мм.

Существует еще несколько разновидностей метода «расплюшивания капли». Главный их недостаток — малая производительность. Да и аморфный металл получается в виде мелкого порошка, а это не всегда удобно для практического использования. Но применение тех же принципов охлаждения позволяет создать способы производства непрерывной ленты из аморфного металла. Вот один из возможных вариантов. На врашающее медный диск льется тонкая струя расплавленного металла. Соприкасаясь с диском, она охлаждается, и с диска сбрасывается уже заставящая аморфная лента (рисунок 3).

Внешне металлическое стекло не имеет ничего общего с обычным производством стеклом и ничего не отличается от обычного (кристаллического) металла. Но это — только внешне. Необычному для комнатных температур беспорядочному расположениюатомов соответствует и необычные свойства. Аморфный металл чрезвычайно тверд и прочен. Изготовленные из него магнитные головки во много раз преосходят по сроку службы кристаллических «собрать». Да и по чистоте магнитным характеристикам применяются на их стороне. Уже сегодня в разных странах начат выпуск магнитных головок из металлического стекла для видео- и звуковых магнитногоонов, памяти компьютеров.

Высокая творость аморфных металлов подсказала и другую область их применения. Црезвычайно изготовлено из них режима инструменты.

(Окончание см. на с. 39.)

27

Задачи

M1011—M1015; Ф1023—Ф1027

M1011. Докажите, что для $n$ положительных чисел $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \dots \geq a_n$ выполнены неравенства:
a) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3)^2$;
b) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 - a_4^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3 - a_4)^2$;
b) $a_1^2 - a_2^2 + \dots - (-1)^n a_n^2 \geq (a_1 - a_2 + \dots - (-1)^n a_n)^2$.

Л. Д. Курляндчик

M1012. Докажите, что:
a) на плоскости можно расположить несколько непересекающихся кругов так, чтобы каждый касалсяровно 5 других;
b) число 5 в пункте a) нельзя заменить на 6.

Д. В. Фомин

M1013. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты две точки $M$ и $N$. При параллельные прямые, проходящие через точки $M$, $B$ и $N$, пересекают основание $AC$ в точках $K$, $D$ и $L$. Докажите, что площадь трапеции (или параллелограмма) $KMNL$ не больше площади одного из треугольников $ABD$ и $DBC$ (рис. 1).

В. В. Рождественский

M1014. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — различные попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечного много таких натуральных $b$, что числа $b + a_1, b + a_2, \dots, b + a_n$ также попарно взаимно просты.

В. Ф. Лев

M1015. Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен $x^4 + x^3 + x^2 + x + 12 = 0$?

С. Л. Манукян

Ф1023. Лампока выит на расстоянии $l_1$ от потолка на высоте $l_2$ от пола. При ее взрыве осолки разлетаются во все стороны с одной и той же по величине скоростью $v$. Найдите радиус круга на полу, в которой попадут осолки. Считать, что удары осолков об потолок абсцилтоно упругие, а об пол — неупругие; до стен осолки не должны.

Ф1024. Оценить изменение давления в парной после того как на раскаленные камни пленули воду из ковша. Предполагается, что вы, хорошего представления явление, может сами задать необходимое

28

Димые величины, выбрать достаточно правильно их числовые значения и получить численный ответ.

Г. В. Меледин

Ф1025. В схеме, приведенной на рисунке 2, сверхпроводашие катушки имеют одинаковые индикативности $L$, диод $D$ идеальный, начальный заряд конденсатора емкостью $C$ равен $Q_0$. Постройте графики изменения заряд $Q(t)$ конденсатора и токов $I_1(t)$ и $I_2(t)$ через катушки после замыкания ключа $K$.

Е. И. Бутиков

Ф1026. Горизонтальная плоскка, на которой лежит брусок, выбрирует по гармоничскому закону с частотой $f=10$ Гц в направлении, составляющем угол $\alpha=45^\circ$ с вертикалью (рис. 3). Коэффициент треня бруска о площадку $\mu=0,5$. При какой минимальной амплитуде выбричей брусок «поползет» по площадке?

Е. И. Бутиков

Ф1027. Источник света находится на расстоянии $l=1$ м от экрана. В экране направив источника сделано отверстие диаметром $d=1$ см. Как изменится поток света через отверстие, если между экраном и источником помещить прорачный цилиндр из материалов с показателем преломления $n=1,5$ так, как показано на рисунке 4 (длина цилиндра $l=1$ м, диаметр $d=1$ см; источник находится на оси цилиндра)?

А. И. Бутков

Problems

M1011—M1015; P1023—P1027

M1011. Prove the following inequalities for any $n$ positive numbers $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \geq a_n$:

a) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3)^2$;
b) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 - a_4^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3 - a_4)^2$;
c) $a_1^2 - a_2^2 + ... - (-1)^n a_n^2 \geq (a_1 - a_2 + ... - (-1)^n a_n)^2$.

L. D. Kurlyandchik

M1012. Prove that a) it is possible to choose several disks on the plane so that each touches exactly 5 others and no two disks have common inner points; b) the number 5 in a) cannot be replaced by 6.

D. V. Fomin

M1013. The points $M$ and $N$ are chosen on sides $AB$ and $BC$ of triangle $ABC$. Three parallel lines, passing through $M, B$ and $N$ intersect $AC$ at points $K, D$ and $L$. Prove that the area of the trapezoid (or parallelogram) $KMNL$ is larger than that of one of the triangles $ABC$ and $DBC$ (see figure Pис. 1).

V. V. Rojdestvenski

M1014. The natural numbers $a_1, a_2, ..., a_n$ are pairwise relatively prime. Prove that there exists an infinite set of natural numbers $b$ such that the numbers $b + a_1, b + a_2, ..., b + a_n$ are also pairwise relatively prime.

V. F. Lev

M1015. Can the polynomial $x^4 + x^3 + x^2 + x + 12$ be factorized into polynomials with integer coefficients?

S. L. Manukian

29

PROBLEMS" and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an uns-tamped selfaddressed envelope — we shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant problem contest. If you have an original problem to propose for publication, please send it to us under separate cover, in two copies (in Russian or in English), including the solution. On the envelope write NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS). Please print your name and address in BLOCK LETTERS.

P1023. A lamp hangs at the distance $l_1$ from the ceiling and $l_2$ from the floor. When it explodes, fragments fly in all directions with the same speed $v$. Find the radius of the circle on the floor within which they fall. You may assume that the collisions with the ceiling are absolutely elastic and those with the floor absolutely inelastic; no fragments reach the walls.

P1024. Estimate the variation of pressure in a sauna after water from a jar is splashed on very hot rocks placed inside the sauna. It is assumed that you are familiar with the phenomenon and can find the appropriate parameters, choose reasonable numerical values for them, so as to obtain a numerical answer.

G. V. Meledin

P1025. In the circuit shown on figure Pisc. 2, the coils with the same inductivity $L$ are superconducting, the diode $D$ is ideal, the initial charge of the capacitor is $Q_0$. Plot the dependence of the charge $Q(t)$ of the capacitor, and the currents $I_1(t)$ and $I_2(t)$ flowing through the coils, after the switch $K$ in turned on.

E. I. Butikov

P1026. A flat horizontal surface, on which a slab is placed, vibrates according to the harmonic law with frequency $f = 10$ Herz in a direction constituting an angle of $\alpha = 45^\circ$ with the vertical (see figure Pisc. 3). The friction coefficient of the slab against the surface is $\mu = 0.5$. For what minimal amplitude of vibration will the slab start to “creep” along the surface?

E. I. Butikov

P1027. A light source is placed at the distance of $l = 1$ m from a screen. An aperture of diameter $d = 1$ cm is made in the screen opposite the source. How will the flow of light through the aperture change, if a smooth transparent cylinder made of material of refraction index $n = 1.5$ is placed between the screen and the source as shown on figure Pisc. 4 (the length of the cylinder is $l = 1$ m, its diameter is $d = 1$ cm; the source is on the cylinder’s axis).

A. I. Butikov

Решения задач

M991—M995; Ф1003—Ф1007

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $MNH$. Докажем, что $OK = OH$, то есть что $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l$ к отрезку $KH$. Примяем $l$ проходит через точку $S$ — общую середину медианы $CK$ и средней линии $PQ$ треугольника $ABC$ (см. рисунок), следовательно, является серединным perpendicularом и к $PQ$, поэтому достаточно доказать, что $OP = OQ$ или что $\angle OPQ = \angle OQP$.

Точки $M$ и $H$ лежат на окружности $\omega$ с диаметром $AC$ и центром $P$ ($\angle AMC = \angle AHC = 90^\circ$), поэтому $PM = PH$; кроме того, $OM = OH$. Следовательно, примяем $OP$ perpendicularна отрезку $MH$ (и делит его пополам), а значит, $\angle OPQ$ — угол между прямыми $OP$ и $PQ$ — равен $90^\circ - \beta$, где $\beta$ — угол между прямыми $MH$ и $PQ$ или $MH$ и $AB$ ($AB \parallel PQ$). Возможны два случая: $\beta = \angle AHM$, если $\angle AHM \leq 90^\circ$, как на нашем рисунке, или $\beta = 180^\circ - \angle AHM$, если $\angle AHM > 90^\circ$. Поскольку углы $AHM$ и $ACM$ в окружности $\omega$ и опираются на одну и ту же хорду $AM$, они равны или дотwo в сумме $180^\circ$, поэтому либо $\beta = \angle ACM$, либо $\beta = 180^\circ - \angle ACM$ — выбирается то из равенств, для которого $\beta \leq 90^\circ$. При таком выборе

30

всегда получается, что $\angle OPQ = 90^\circ - \beta = |90^\circ - \angle ACM|$. Аналогично, $\angle OQP = |90^\circ - \angle BCN|$. Но $\angle ACM = \angle BCN$ по условию.

Заметим, что при $E = B, F = A$ из доказанного утверждения следует часть известной теоремы об «окружности 9 точки» (см. «Калейдоскоп «Кванта» в 11-м номере за 1985 год): основания высот и середины сторона треугольника лежат на одной окружности.

**M992. Среди 90 выпускников одной математической суммации у каждой не менее 10 других. Доказите, что выпускник может прилагать в гости трех других так, что среди четырех公积 не менее двух других.

M993*. a) Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат натурального числа.
б)* Доказите, что при $2 < n < 11$ не существует n последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат.

Пусть $A$ — произвольный выпускник. Достаточно показать, что найдется такой выпускник $B$, который другит одновременно с двумя друзьями $A$ (тогда $A$ может пригласить $B$ и эти двух друзей).

Если такой выпускник $B$ есть среди друзей $A$ — все в порядке. В противном случае каждый из $m(m \geqslant 10)$ друзей $A$ другит не менее чем с 8 выпускниками (не считая $A$), которые сами с $A$ не другат. Если бы все эти выпускники были различны, то получилось бы, что имеется не менее чем $8m \geqslant 80$ выпускников, отличных от $A$ и его друзей; но количество таких выпускников не превыходит $90 - m - 1 \leqslant 79$. Это означает, что какие-то две друзей $A$ имеют общего друга $B$, что и требовалось доказать.

a) Ответ: 18, 19, …, 28 $(18^2 + 19^2 + \dots + 28^2 = 77^2)$.
6) Мы должны показать, что уравнение $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 + \dots + (x + n)^2 = y^2$ или
$$nx^2 + n(n + 1)x + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = y^2$$
(1)

не имеет решений в целых числах $x$ и $y$, $x \geqslant 0$, $y \geqslant 1$, при $3 \leqslant n \leqslant 10$. (Здесь использовано известное доказательство $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6$, доказательство которого мы оставляем читателю; впрочем, достаточно проверить его вычислением для $n \leqslant 10$.)

Если равенство (1) выполняено, то остаток от деления $y^2$ на $n$ равен остатку от деления $a = n(n + 1)(2n + 1)/6$ на $n$. Но при $n = 3, 4, 9$, когда соответствующие остатки равны 2, 2 и 6 ($a = 14, 30$ и 15·19), это невозможно ни при каком $y$ (см. таблицу на полях).

При $n = 5$ и $n = 7$ число $a$ делится на $n$, поэтому число $y^2$, а следовательно, и $y$ делено делится на $n$ ($n$ — простое). Полягая $y = nz$, $t = x + (n + 1)/2$, мы можем переписать наше уравнение в виде $t^2 + (n^2 - 1)/12 = z^2$ или
$$z^2 - t^2 = \frac{n^2 - 1}{12}.$$
No это уравнение при допустимых значениях $n$, $t$ и $z$ не имеет решений, поскольку
$$z^2 - t^2 \geqslant z + t \geqslant 2t \geqslant 6,$$
$$\frac{n^2 - 1}{12} \leqslant \frac{7^2 - 1}{12} = 4.$$
При $n = 6$, 8, 10 уравнение (1) удобно переписать в виде

31

$$(n+1)x^2+(n+1)nx+(n+1)\frac{n(2n+1)}{6}=x^2+y^2.$$

Отсюда при $n=6$ получаем, что $x^2+y^2$ должно делиться на $n+1=7$. Таблица на полях показывает, что это возможно, лишь когда $x$ и $y$ одновременно делятся на 7. Но в этом случае все члены уравнения (2) кроме одного $-(n+1)n(2n+1)/6=7\cdot 13$ — должны делиться на $(n+1)^2=49$, чего не может быть. Точно так же доказывается, что и при $n=10$ нашей уравнение не имеет решений. Наконец, при $n=8$ влевой части (2) стоит число, которое при делении на 9 дает остаток 6 и, как видно из нашей таблицы, не может быть представлено в виде $x^2+y^2$.

♦

Ответ: $k=2/3$. При $a=b=c$ и $k=2/3$ данное неравенство обращается в равенство, поэтому искочное значение $k$ не может быть больше 2/3. Но при $k=2/3$ можно с помощью тождественных преобразований привести неравенство к виду
$$\frac{1}{6}\left(\frac{5}{2}((a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2)+(a^2-bc)^2+(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2\right)\geq 0,$$
следовательно, оно справедливо при всех $a, b, c$ и искочное значение $k$ в точности равно 2/3.

♦

M994*. При каком наиболее значении $k$ неравенство $a^4+b^4+c^4+abc(c+b+c)\geq k(ab+bc+ca)^2$ выполняено при всех значениях $a, b$ и $c$?

M995. Функция $y=f(x)$ при всех $x$ определяна, непрерывна и удовлетворяет условию $f(f(x))=f(x)+x$. ()
a) Найдите две такие функции $f$ (не равные тождественно 0). б) Доказите, что других таких функций нет.

a) Ответ: $y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}x$ и $y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}x$. Найти эти функции можно, предположив, что $f(x)=\lambda x$, подставив эту функцию в условие
$$\lambda^2x=\lambda x+x$$
и решив квадратное уравнение $\lambda^2-\lambda-1=0$ (корни этого уравнения равны $(1\pm\sqrt{5})/2$).
6) Как видно из решения задачи a), достаточно показать, что любая функция $f$, удовлетворяющая условию задачи, имеет вид $f(x)=\lambda x$. Для этого установим сначала неокоторые свойства функции $f$.

1. $f(0)=0$. (Пусть $f(0)=c$, тогда $f(c)=f(f(0))=f(0)+0=c$, следовательно, $f(c)=f(f(c))=f(c)+c$, то есть $c=0$.)
2. В разных точках функция $f$ принимает разные значения. (Если $f(x_1)=f(x_2)$, то $f(f(x_1))=f(f(x_2))$, то есть $f(x_1)+x_1=f(x_2)+x_2$ и $x_1=x_2$.) В частности, $f$ имеет единственный корень $x=0$.
   Из этих свойств и непрерывности функции $f$ следует, что:
3. на каждой из получений $x>0$ и $x<0$ функция $f$ сохраняет знак, причем при переходе через нуль ее знак меняется (иначе близкие к нулю значения $f$ будут приниматься по крайней мере дважды — справа и слева от точки $x=0$) и
4. функция $f$ имеет обратную функцию $g$ (определенную, конечно, на области значений $f$; ниже мы видим, что $f$ принимает все действительные значения).

Положим $f_0(x)=x$, $f_1(x)=f(x)$, $f_2(x)=f(f(x))$, …

32

1. Можно ли найти равно-действенный силу тяжести, действующих на осколки разорвашелого снаряда?
2. В опытах с магдебургскими полушарями с каждой стороны впрягали по 8 лошадей. Изменится ли сила тягги, если одно полушарие прикрепить к стете, а с другой стороны впрячь 16 лошадей?
3. Можно ли найти натуральную force?
4. С искусственной горки, профиль которого изображен на рисунке, не подсказывая, съездает тележка. В каком месте надо положить наиболее прочные доски?
5. Что лечение: удержать санки на склое горки или двигать их по нему равно-мерно вверх?

$$F = ma$$

Все трудноность физики состоит, по-відимому, в том, чтобы по является динамическим расознать силы природы, а затем по этим силам обязанить остальные явления…

«Математическое наука натуральной физики»

33

6. Грузовик трогается с места. Какая сила действует на груз, поставленный в середину его кузо-ва? Куда она направлена?

7. Две одинаковые пружины один раз создают механизм построить механику, совершенное неиспользовуя понятие силы. Оdnako формировка осовины на站起来 механики на站起来 механики, которое необходимо приложить, чтобы выдержать гвозди. Различчатся ли они? Почему?

…выданоцемуся немецкой физику Г. Герси удалось построить механику, совершенное неиспользовуя понятие силы. Оdnako формировка осовины на站起来 Mechanics, which is not solved by the given mechanism, is represented by a force acting on the body. This force causes the body to move, and the movement is represented by a vector. The vector is a vector that has a magnitude and a direction. The magnitude of the vector is the amount of change in the position of the body, and the direction is the direction in which the body moves.

…великий французский ученый Р. Декарт (1596—1650) предложал, что существует только такие силы, которые действуют при стольнових часах — контактные силы.

СИЛА

А так ли хорошо знаком вам понятие

СИЛА?

В словах, приведенных в элитрафе, заключена программа, указывающая и входновливающая Ньютона и его последовательей. Механика, созданная Ньютоном, была основой почти для всей физики влюблить до конца проилого строения, а для большинства областей технически эту роль она сохранила и до сих пор.

Ньютоновская механика базируется на трех значений законах, включающих функментальные понятие силы — меры взаимодействия материальных тел. Предлагая селодия паработать над этим понятным, подчеркием, что законы Ньютона не раскрывают происсхождение и свойства сил, что позволяет представить поведение тел под их действия.

1. «Сила и деформация», «О силах поверхностного натяжения» — 1983, № 12;
2. «Матрице поле и магнитные силы» — 1984, № 3;
3. «Как воедается физическая величины» — 1984, № 3;
4. «Какой из трех законов Ньютона вжнее?» — 1985, № 1;
5. «Конус трения» — 1986, № 1;
6. «Электрическое поле» — 1986, № 5.

34

…, $f_n(\dot{x}) = f(f_{n-1}(x))$; аналогично определим $f_{-1}(x) = g(x)$, …, $f_{-m-1}(x) = f_{-1}(f_{-m}(x))$ при $m \geqslant 1$.
Подставляя в условия $f_{n-1}(x)$ вместо $x$ при любом целом $n$, получим равенство
$$f_{n+1}(x) = f_n(x) + f_{n-1}(x).$$
Эта формула позволяет выразить $f_n(x)$ при любом $n$ через $x = f_0(x)$ и $y = f(x) = f_1(x)$; как показано на полях,
$$f_n(x) = a_n y + a_{n-1} x,$$
где последовательность $a_n$ задается соответствием $a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$ и «начальными условиями» $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ при всех целях $n$ (мы снова обходим пока вопрос об области определения $f_n$ при $n < 0$). Последовательность $a_n$ хорошо известна: при $n \geqslant 1$ это значенные числа Фибоначчи*); нам достаточно знать, что $|a_n|$ неограниченно возрастает при $n \rightarrow \pm \infty$ (при $n > 0$ это очевидно; при $n < 0$ достаточно заметить, что $a_n = (-1)^{n+1} a_{-n}$ и $|a_{-n}| = |a_n|$).

По выведениюomy выше свойству 3 возможны два случая: знак $f(x)$ либо всех $x$ совпадает со знаком — $x$, либо — со знаком $x$.

В первом случае $f_n(x)$ и $f_{n-1}(x)$ имеют при любом $x \neq 0$ разные знаки, поэтому для $n \geqslant 2$
$$|f_{n+1}(x)| = |f_n(x) + f_{n-1}(x)| \leqslant \leqslant |f_n(x)| \leqslant \dots \leqslant |f_2(x)| = |f(x) + x| \leqslant |x|.$$
Следовательно, $|y + (a_{n-1}/a_n)x| \leqslant |x/a_n|$. Поскольку права часть этого неравенства стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$, последовательность $a_{n-1}/a_n$ должна иметь некоторый предел $\mu$ (равный — $y/x$); при этом $y = -\mu x$.

Во втором случае $f_n(x)$ при всех $n$ имеет один и тот же знак (знак $x$). Поскольку $f$ — непрерывная функция и $|f(f(x))| = |f(x) + x| \geqslant |x|$, область значений $f$ или области определения обратной функции $f_{-1}$ — это все действительные числа и наши формулы для $f_n$ определены и справедливны при всех $x$ и всех целях $n$. Тепер для любого $n < 0$ имеем
$$|f_n(x)| = |f_{n+1}(x) - f_{n-1}(x)| \leqslant |f_{n+1}(x)| \leqslant \dots \leqslant |f_{-1}(x)| \leqslant |x|,$$
следовательно, $|y + (a_{n-1}/a_n)x| \leqslant |x/a_n|$. Переходя здесь к предлу при $n \rightarrow -\infty$, получим, как и в первом случае, что $y = \mu_1 x$, причем $\mu_1 = -\lim_{n \rightarrow -\infty} (a_{n-1}/a_n)$.

Заметим, что $\mu_1 = \lim_{n \rightarrow \infty} (a_{n+1}/a_n) = \mu^{-1}$; как следует из пункта a),
$$\mu = (\sqrt{5} - 1)/2, \mu^{-1} = (\sqrt{5} + 1)/2.$$

Эти числа участвуют и в общей формуле Бинэ для чисел Фибоначчи, приведенной на полях.

◆
Надутий воздухом шарик имеет очень небольшую массу, поэтому уже при скорости движения порядка несколько м/с его практически можно считать

*) Им посвящена, например, книжка Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи» (М.: Нauka, 1978).

35

великие скорость на высоте Н. Определенте траекторию установившегося движения шара.

тать безмассовым, сильное tremе о воздух подавляет влияние инерционности шарика (попробуйте, например, бросить его существенно дальше несколько метров).

Следовательно, из второго закона Ньютона получаем, что сумма сил, действующих на шар, равна нулю. При установившемся движении вектор скорости шара направлен горизонтально и лежит в одной вертикальной плоскости с тросом, поскольку сила tremе о воздух направлена противоложно скорости, и кроме нее горизонтально проекцию имеет лишь сила натяжения троса. Наконец, из сообщений симметрия ясно, что установившаяся траектория движения шара — окружность, радиус которого найти, если учеть, что горизонтальная проекция троса — касательная к ней (скорость шара направлена вдоль проекции троса). Дважды использует теорему Пифагора (см. рис.ок), находим, что длина проекции троса равна $l = \sqrt{L^2 - H^2}$ и радиус окружности, по которой движется шар,

$$r = \sqrt{R^2 - l^2} = \sqrt{R^2 - L^2 + H^2}.$$

Д. Ю. Григорьев

Ф1004. Тонкий одноподный стержень, который может свободно врачаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня, неподвижно висит над водой (рис. 1); длина стержня $l$, плотность материала $\rho$ (ρ меньше плотности воды $\rho_0$). Медленно опускаая ось, стержень подружают в воду. Найдите заисимость между углом отклонения стержня от вертикали и расстоянием от оси до поверхности воды; постройте график этой зависимости.

В процессе погружения на стержень действуют три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила реакции со стороны оси. При медленном погружении при любом значении расстояния $x$ от оси до поверхности воды стержень будет находиться в положении равновесия.

В качестве условия равновесия воспользовемся равенством нулю суммарного момента сил относительно оси вращения. Поскольку момент $M_A$ силы Архимеда до начала погружения оси ($x > 0$) и после него ($x < 0$) выражается разными формулами, следует рассмотреть эти стадии отдельно.

I. $x > 0$ (см. рис. 2). Moment силы тяжести равен

$$M_T = f_T \cdot d_T = \rho S l g \cdot \frac{l}{2} \sin \alpha = \frac{1}{2} \rho S l^2 g \sin \alpha$$

(S — площадь поперечного сечения стержня); момент силы Архимеда —

$$M_A = f_A \cdot d_A = \rho_0 S \left( l - \frac{x}{\cos \alpha} \right) g \cdot \frac{1}{2} \left( l + \frac{x}{\cos \alpha} \right) \sin \alpha = \frac{1}{2} \rho_0 S \left( l^2 - \frac{x^2}{\cos^2 \alpha} \right) g \sin \alpha.$$

Будем считать момент силы тяжести положительным; тогда момент силы Архимеда отрицательен (поскольку он стремится повернуть стержень в противоположном направлении). Тогда условие равновесия запишется в виде

$$M = M_T + M_A = \frac{1}{2} \rho S l^2 g \sin \alpha -$$

$$- \frac{1}{2} \rho_0 S \left( l^2 - \frac{x^2}{\cos^2 \alpha} \right) g \sin \alpha = 0 \Rightarrow \sin \alpha \left( \frac{x^2}{\cos^2 \alpha} - \left( 1 - \frac{\rho}{\rho_0} \right) l^2 \right) = 0.$$

36

Это условие выполняется при

1. sin α=0,
2. cos α=x/l/√(1-ρ/ρ₀).

Физический смысл при заданных в задание условиях имеет решение:

1. α=0 — существует при любых x≥0,
2. α=arccos(x/l/√(1-ρ/ρ₀)) — существует при l√(1-ρ/ρ₀)≥x≥0.

Исследуем на устойчивость первого положение равновесия α=0, соответствующей вертикальному положению стержня. При малом отклонении от этого положения (угол α мал, так что sin α≈α и cos α≈1) момент сил равен
$$M \approx \frac{1}{2} \rho Sl^2 g \alpha - \frac{1}{2} \rho_0 S (l^2 - x^2) g \alpha = \frac{1}{2} \rho_0 S g \alpha \left( x^2 - l^2 \left( 1 - \frac{\rho}{\rho_0} \right) \right).$$

При x>l√(1-ρ/ρ₀) этот момент положен, то есть поворачивает стержень в том же направлении, что и момент силы тяжестei, — силы возвратают стержень в положение равновесия. Следовательно, пока x>l√(1-ρ/ρ₀), равновесие при α=0 устойчиво. При x<l√(1-ρ/ρ₀) момент M<0 — положение равновесия α=0 становится неустойчивым. Ясно, что в этом случае будет устойчивое положение равновесия (2)), поскольку существование устойчивого равновесия оченьindo, а иных положений равновесия, кроме 1) и 2), нет.

Таким образом, по мере погружения стержень сначала будет оставаться в вертикальном положении (α=0) вплоть до x=l√(1-ρ/ρ₀), после чего начинает отклоняться от вертикали ($\alpha = \arccos \frac{x}{l\sqrt{1-ρ/ρ_0}}$) до горизонтального положения при x=0.

II. x<0 (рис. 3). После погружения оси суммарный момент сил равен
$$M = \rho Slg \cdot \frac{l}{2} \sin (\pi - \alpha) - \rho_0 S \frac{x}{\cos (\pi - \alpha)} g \cdot \frac{x}{2} \mathrm{tg} (\pi - \alpha) = \rho_0 S g \sin \alpha \left( \frac{\rho}{\rho_0} l^2 - \frac{x^2}{\cos^2 \alpha} \right),$$
и условие M=0 принимает вид
$$\sin \alpha \left( \frac{\rho}{\rho_0} l^2 - \frac{x^2}{\cos^2 \alpha} \right) = 0.$$

Анализ, аналогичный проведенному выше (для x>0), показывает, что устойчивыми положениями равновесия будут:
3) α=arccos x/l√(ρ/ρ) при -l√(ρ/ρ)<x<0,
4) α=π при x<-l√(ρ/ρ).

Таким образом, после погружения оси стержень

38

$$U = I_1 \cdot 1r + I_2 \cdot 3r + I_4 \cdot 2r,$$

где $r$ — сопротивление в 1 Ом. Из уравнения (1)—(3) получаем

$$I_2 = \frac{1}{2} I_1, I_3 = \frac{1}{4} I_1, I_4 = \frac{3}{4} I_1.$$

Подставив в (4) точки $I_2$ и $I_4$, выраженные через $I_1$, получим

$$U = I_1 \cdot 4r.$$

С другой стороны, сопротивление $R$ всея схемы равно

$$R = \frac{U}{I_1 + I_2} = \frac{U}{I_1 + I_1/2} = \frac{2}{3} \frac{U}{I_1}.$$

Следовательно,

$$\frac{3}{2} I_1 R = I_1 \cdot 4r,$$

откуда $R = \frac{8}{3} r = \frac{8}{3}$ Ом.

С. С. Кротов

Ф1007. На шар, составленный из двух полушарий, которые сделаны из стекол с показателем преломления $n_1$ и $n_2$ ($n_1 > n_2$), падает луч света. Шар начинают вращать с ульювой скоростью $\omega$ вокруг оси, перпендикулярной направлению луча (рис. 1). Надите максимальное отклонение светового пята на экране, установленном непосредственно за шаром.

Рис. 1.

Рис. 2. $0 < \Omega < \alpha_0$; $\varphi = \beta - \alpha$.

Рис. 3. a) $\Omega = \alpha_0$; $\varphi = 2\varphi_0 = \pi - 2\alpha_0$; $\delta) \alpha_0 < \Omega < \frac{\pi}{2}$; $\alpha > \alpha_0 \rightarrow \frac{\pi}{2}$; $\varphi < 2\varphi_0 \rightarrow 0$.

Поскольку луч проходит через центр шара, на поверхности шара (на входе и на выходе) луч не преломляется.

В течение времени $0 \leq t < \frac{\pi}{2\omega}$ падающий луч первую «половину» пути проходит в оптически более плотной среде. При этом, пока угол поворота $\Omega$ меньше угла $\alpha_0$ полного внутреннего отражения от границы преломления — $\alpha_0 = \arcsin \frac{n_2}{n_1}$, — луч, преломляясь на границе, переходит в менее оптически плотную среду (рис. 2) и $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1}$. С ростом угла поворота при $\alpha \rightarrow \alpha_0$ преломленный луч «прижимается» к границе сред, то есть $\beta \rightarrow \frac{\pi}{2}$. С того момента, когда $\Omega$ проходит значение $\alpha_0$, луч отражается от границы раздела и выходит из преломления с показателем преломления $n_1$. Так что в момент $t = \frac{\alpha_0}{\omega}$ проходит скачок луча на экране (рис. 3, a).

В дальнейшем ($\alpha_0 < t < \frac{\pi}{2\omega}$) $\alpha \rightarrow \frac{\pi}{2}$, то есть отраженный луч «прижимается» к границе сред (см. рис. 3, б), которая приближается к вертикали.

С того момента, когда граница проходит вертикальное положение ($t = \frac{\pi}{2\omega}$), луч падает в оптически менее плотную среду, преломляется на границе и выходит из более плотной среды. Угол падения $\delta$ и угол преломления $\gamma$ связаны соотношением $\frac{\sin \delta}{\sin \gamma} = \frac{n_1}{n_2}$. При переходе границы сред через вертикаль ($\delta = \frac{\pi}{2}$) $\gamma_0 = \arcsin \frac{n_2}{n_1} = \alpha_0$ — проходит «скачок» луча на экране (рис. 4). В дальнейшем ($\delta \rightarrow 0$) луч «прижимается» к нормали к границе сред (рис. 5), и при $\delta = 0$ проходит через сферу без преломления.

Из свойства обратности световых лучей ясно, как будет менять ход луча при дальнейшем