Квант 1987, №1 · Страницы

ISSN 0130—2221
КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
87

Cu Fe B S Li

В номере:

2 С Новым годом!
3 С. Р. Филонович. О столковении шаров и «серbezной» физике
10 С. М. Воронин, А. Г. Куляzin. О задаче Пифагора

Задачик «Кванта»
15 Задачи M1021—M1025; Ф1033—Ф1037
17 Решения задачи M1001, M1003—M1005; Ф1013—Ф1016

«Квант» для младших школьников
23 Задачи
24 А. П. Савин. На круги своих

Наш календарь

Школа в «Кванте»
29 Физика 8, 9, 10

Математический кругок
37 В. Л. Гутенмахер, Ж. М. Раббо́г. Выбор наилучшего варианта

Искусство программирования
43 Л. Ф. Штернберг. Циклы, циклы, циклы …

Практикум абитуриента
47 Ю. И. Ионин, В. В. Некрасов. Вычисление расстояний и углов

Варианты вступительных экзаменов

Информация
55 Новый прием во Всесоюзную заочную математическую школе
56 Новый прием на заочное отделение Малого механита
57 Заочная физико-техническая школа при МИСиCe

Ответы, указания, решения
58 Смесь (36)
Шахматная страничка
Компьютер анализирует эндшпиль (3-я с. обложки)

Наша блюдака

Три столетия разделют задачу классической механики об упрутом столковении шаров и замечательное открытие XX века — эфект Комптона.
Что общего у этих явлений? Как они связаны?
Ob этом читайте в статье на с. 3.

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1987

2

С Новым годом!

Наступил 1987 год — второй год XII пятилетки, год семидесятилетия Великого Октября. Он будет годом наряженного труда в условиях непрерывно углубляющейся перестройки, укоренная социально-экономическим развитием нашей страны. Необходимо закрепить успехи, достигнуть после апрельского (1985 года) пленума ЦК КПСС и XXVII съезд партии, и утверенно дивится вперед по пути интенсивизации народного хозяйства. Предстояят революционные преобразования производительных сил и совершенствование производственных отношений, всея социальной жизни общества. Многое придется изменить и в современной системе образования и подготовки кадров. Социальism обладает огромными резервами во всех сферах жизни общества, и эти резервы необходимо в действие как можно быстрее.

Впереди XX съезд ВЛКСМ. Он обсуит проблемы, которые жизнь ставит перед комсомолом и молодежью на этапе коренной перестройки нашей экономики. На повестке дня — расширение прав комсомола (в том числе и многомиллионной артилизации), развитие его инциативы, самостояльности, повышение ответственности перед страной. Это позволяет еще активнее привлечь к решению общенародных задач молодежь — самую динамичную, направную часть общества.

Дорогие наши читатели! Вам представит интереснейшая жизнь в условиях непрерывно развивающейся и условиями научно-технической революции. Как сказал Генеральный секретарь ЦК КПСС М. С. Горбачев, нынешняя пятилетка — труднейшая, сложнейшая, но и самая интересная пятилетка. Вдумайте в эти слова — ведь в них ваше ближайшее будущее. Оно потребует от вас немалых знаний и умений. Одним из самых главных требований жизни становится умение самостояльно обучаться. Стране нужны высокообразовательные работыки, выобленые в процесс приобретения новых знаний и хорошего владения технической этого процесса. И наш журнал будет стремиться помогать вам в развитиии этих важнейших навыков.

Желаем вам успехов в новом году!

О СТОЛКОВЕНИИ
ШАРОВ
И «СЕРЬЕЗНОЙ» ФИЗИКЕ

(Сложен ли эффект Комптона?)
Кандидат физико-mатематических наук
С. Р. ФИЛОНОВИЧ

Когда-то было сказано, что всякая научная идея проходит в своей истории три этапа: в момент появления она кажется безумной, затем становится общепризнанной и, наконец, рассматривается как тривалная. (От себя добавим, что в конечном случае идея может оказаться и ошибочной.) Если не обращать внимание на резкость формулировки, присущую всяку афоризму, то с таким общим представлением судьб многих физических идеи и теории нельзя согласиться. Можно привести немало примеров того, как положения и формулировки, из-за которых когда-то яростно «ломались копья», теперь встречаются на страницах школьных учебников. Вероятно, один из самых свежих примеров такого рода — так называемый эффект Комптона, рассмотрение которого предусматривается новой школьной программиой по физике. А ведь каких-нибудь шестдесят лет назад вокруг самого эффекта бушевалы страсти, а в адрес его первогокрывателя высказывались резкие, незаслуженные обвининия. Тепер же… Однако прежде чем расссказать о самом эффекте, нам необходимо обсуждать вопрос, уже отсутствно знакомый многим читателем.

Об одной классической задаче

Задумывались ли вы о том, почему в задачиках по физике так часто встречаются задачи на стольновения шаров? Для этого есть много оснований. Прежде всего, удар, произходящий при стольновении шаров, с позицией механики — один из простейших видов взаимодействия, законы которой можно относительно простого исследовать на опыте. Именно поэтому при формировании классической механики в XVII столетии установление законов удара считалось важнейшей задачей. В то время наиболее успешов в исследовании этой задачи добавился знаменитый голландский физик и математик X. Гойгенс, написавший сочинение «О движении тел под влиянием удара», в котором были рассмотрены многое служан стольновения шаров.

Значение задачи об ударе состоит в том, что в них в наиболее простой и отчетливой форме можно проследить действие законов сохранения энергии и импульса. Этими законами мы и воспользовемся при решении очень простой задачи: шар массой $m_1$ налетает на неподвижный шар массой $m_2$ со скоростью $v_1$. Найти относительное изменение кинетической энергии первого шара после стольновения, если известно, что удар абсолотно упругий и врашением шаров можно пренебречь.

Поскольку в условиях неоговорено, что удар центральный, мы должны предположить, что после

Рис. 1. Диаграмма импульсов для стольновения шаров.

4

Удара шары разделяются под некоторыми углами $\theta$ и $\beta$ к направлению первого направления шара $m_1$. На рисунке 1 треугольник $ABC$ образован векторами импульсов $\vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1$, $\vec{p}'_1 = m_1 \vec{v}'_1$ и $\vec{p}'_2 = m_2 \vec{v}'_2$ ($\vec{p}_2 = 0$) — такое геометрическое представление закона сохранения импульса в нашей задаче. Примення теорему косинусов к треугольнику $ABC$, получаем:

$$(m_1 v_1)^2 = (m_2 v_2)^2 - (m_1 v_1)^2 + 2 m_1^2 v_1 v_1 \cos \theta.$$

(1)

Закон сохранения энергии в данном случае, очевидно, можно записать в виде

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1 (v_1')^2}{2} + \frac{m_2 (v_2')^2}{2}.$$

(2).

В системе двух уравнений (1)—(2) входят три неизвестные величины: $v_1', v_2'$ и $\theta$, поэтому выразить их независимо друг от друга нельзя. Однако если задается конкретным значением угла $\theta$ — его называют углом рассеяния, — то путем несложных преобразований можно выразить скорость $v_1'$ как функцию этого угла:

$$v_1' = v_1 \frac{m_1 \cos \theta - \sqrt{m_2^2 - m_1^2 \sin^2 \theta}}{m_1 + m_2}.$$

Отсюда нетрудно найти и относительное изменение кинетической энергии шара $m_1$:

$$\frac{|\Delta T|}{T_1} = \frac{m_1 v_1^2 - m_1 (v_1')^2}{m_1 v_1^2} = \frac{2}{\left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)^2} \left(\frac{m_2}{m_1} + \sin^2 \theta + \cos \theta \sqrt{\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 - \sin^2 \theta}\right).$$

(3)

Проанализируем полученное решение для простейшего случая любого стольновения шаров ($\theta = 0$ или $\theta = \pi$). При $m_1 \ll m_2 \Delta T \rightarrow 0$; это означает, что шар $m_1$ отскакивает от шара $m_2$ в направлении, противоположном первоначальному ($\theta = \pi$), so скорость, по абсцилотной величине равной $v_1$. При $m_1 \gg m_2$ также $\Delta T \rightarrow 0$; в данном случае стольновение с шаром $m_2$ практически не влияет на движение шара $m_1$ ($\theta = 0$). Во всех промежуточных случаях $\Delta T \neq 0$. Следовательно, при некоторых отношениях $m_2/m_1$ величины $\Delta T$ достигает максимума. Простой расчет показывает, что максимум $\Delta T$ соответствует условиям $m_2/m_1 = 1$.

На рисунке 2 приведены кривызисимости относительной изменения кинетической энергии первого шара от величины $m_2/m_1$ для нескольких углов рассеяния. Видно, что для различных $\theta$ кривы несколько различаются, но у всех у них есть

Рис. 3. Схема установки А. Комптона.
Пуок рентгеновских лучей, выходящий из трубки Т, рассеялся на объекте R. Чтобы выделить из рассеяного излучения часть, рассеяную под заданным углом θ, использулась система щелей (рисунок соответствует θ=90°). Прошедшее через щеллю излучение анализировалось срещательным электрометром. Важнейшей частью спектромета является кристалл, образующий для рентгеновского излучения пространственную дифракционную решетку. Вследствие дифракции на этой решетке отраженные от кристалла лучи распространялись по направлениям, зависящим от длины волны отражению излучения. Для анализа пространственного распределения лучей применилась конизация камера. Попадая в нее, кванты рентгеновского излучения вызывали конизацию газа, заполняющего камеру. В результате возраслatok, протекающий через газ. Меняя ориентацию камеры относительно кристалла и следя за током, можно определить относительно интенсивность рентгеновских лучей разных длины волн, приступовавших в рассеяном излучении.

Рис. 4. Результаты экспериментов А. Комптона.
a) — зависящость комптоновского смещения от угла рассеяния θ; А — спектр nadaiщего излучения; В, В, Г — спектры рассеяного излучения при θ=45°, 90° и 135°, соответствующего.
Смешение увечивается с ростом угла рассеяния.
b) — результаты исследований эфекта для различных рассеяателей; А — спектр nadaiщего излучения.
Чем массивнее atoms элемент-рассеяателя, тем меньше интенсивность смещенной компоненты и больше — не смещенной. Величина смещения остается постоянной.

шение») зависит от угла рассеяния: с ростом θ увеличивается и Δλ (рисунок 4, а). Для данного угла θ величины Δλ не зависит от природы рассеяателя, то есть при рассеянии на разных веществ Δλ оказывается одинаковым. При смене рассеяатель меняется соотношение между интенсивностями смесенной (с длиной волны λ′) и несмещенной (λ) компонент: с увеличением номера элемента в таблице Менделеева, соответствующего материалу рассеяателя, интенсивность несмещенной компоненты рассеет, а смесенной — падает (рисунок 4, б).

Убедившись в правильности экспериментальных данных, Комптор, несмотря на возражения некоторых коллег, опубликовал свои результаты. Однако мыслу о необходимости дать им физическую интерпретацию не покидала ученого. И вскоре Комптор публикует новую работу, в котором дает теорию эфекта. Физик-экспериментатор предлагает теорию, основывающийся на самых современных для того времени представлениях! Слушай в истории физики крайне редкий.

«РассеяниеRENTеновскихлучей как частиц»

Так озаглавил Комптор свои воспоминания, в которых рассказывается о событиях, связанных с открытием эфекта, названного его именем. Это заглавие отражает субъективное предложенное Комптором объяснения эфекта.

Комптор получил неплохое образование на родине, а затем был направлен на стажировку в Англюю, в знамениту Кавендишскую laboratoire, где познакомился с важнейшими проблемами физики наcala XX века. В частности, он знал о теории квантов света Эйнштейна, в основе которого лежало представление о свете как поток частиц, характеризующая частотой v и энергий hv (h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с — постоянная Планка). Знал он также и о дополнительии к этой теории, сделанном самим Эйнштейном, согласно которой квантов света обладает не только энергий, но и импульсом p=hv/c, где c — скорость света. Идея об импульсе фотона была высказана еще в 1916 году, но до начала 20-х годов она не получила экспериментального подтверждения.

Комптор решил использовать квантовые представления об изучении для объяснения обнаруженного им эфекта. Он высказал предложение, что рассеяниеRENTеновских квантов происходит на покоящихся свободных электронах твердого тела, причем стольновение кванта с электроном подобно упругому соударению шаров, в результате которого меняются величины энергии и импульса как у кванта, так и у электрона. Фактически диagramма импульсов (рисунок 5), соответствующая элементарному акту рассеяния, выглядает так же, как и в случае стольновения шаров, поскольку в векторной форме уравнение, отражающей закон сохранения импульсов, также записьется в виде $\vec{p}_1 = \vec{p}'_1 + \vec{p}'_2$ ($\vec{p}_2 = 0$). Надо только учеть, что импульс кванта до и после рассеяния — соответствующего p₁=hv/c и p’₁=hv’/c, а импульс, приобретаемый электроном, — $p'_2 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} v$,

где $m_0$ — масса покоя электрона (ввиду высокой энергииRENTеновских квантов электрон при стольновении может прибрести скорость, сравнирую со скоростью света; поэтому при записи уравнения следует пользоваться релятивистскими формулами). На основе диagramмы можно записать уравнение, отражающей закон сохранения импульса:

$$\frac{hv}{c}^2 = \left( \frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right)^2 - \left( \frac{hv'}{c} \right)^2 + 2 \left( \frac{h}{c} \right)^2 vv' \cos \theta.$$ (4)

Релятивистское уравнение для закона сохранения энергииRENTеновских квантов связается в таком виде:

$$hv + m_0 c^2 = hv' + \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (5)

Рис. 5. Диagramма импульсов для рассеяния фотона на покоящем электроне.

8

(в левой части уравнения, отражающей состояние системы фoton — электрон до взаимодействия, учтено, что электрон обладает энергийной покоя $m_0 c^2$). Эти уравнения позволяют найти величины комптоновского смесения $\Delta \lambda$ для данного угла рассеяния $\theta$. Учитывая, что $v = c / \lambda$, $v' = c / \lambda' = c / (\lambda + \Delta \lambda)$, из (4) и (5) получаем:

$$\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos \theta).$$

(6)

О чем говорит этот результат? Прежде всего, величина $\Delta \lambda$ оказывается не зависящей от $\lambda$ и определяется только углом рассеяния $\theta$ иfundamentali-mи постоянными $m_0$, $c$ и $h$). Из формулы (6) к тому же ясно, почему эффект Комптона практически не наблюдается для фotonов видимого света. Если дляRENTеновской области относение $\Delta \lambda_{\max} / \lambda$ ($\Delta \lambda_{\max} = 2h / m_0 c$) при рассеянии на угол $\theta = \pi$ составляет несколько процентов (для $\lambda = 10^{-10} \text{m}$ $\Delta \lambda_{\max} / \lambda = 5 \cdot 10^{-2}$), то для видимого света $\Delta \lambda_{\max} / \lambda$ очень мало (для $\lambda = 5 \cdot 10^{-7} \text{m}$, например, $\Delta \lambda_{\max} / \lambda \approx 10^{-5}$). С другой стороны, из формулы (6) следует, что $\Delta \lambda / \lambda$ должно возрасти при перехождение отRENTеновского к $\gamma$-излучению. Это подтверждается наблюдаемыми:

*) Величина $\Lambda = h / (m_0 c)$, равная для электрона $2,42 \cdot 10^{-12} \text{m}$, получила название комптоновской длины волны. Она играет важную роль в современной теоретической физике.

γ-динапазоне $\Delta \lambda_{\max} / \lambda > 1$. Формула для $\Delta \lambda$ объявляется и тот факт, что комптоновское смесение не зависит от природы рассеиваателя: рассеяние происходит на электронах — частицах, входящих в состав всех веществ.

Можно понять и изменения относительной интенсивности смесенной и несмещенной компонент при смесе рассеиваателя. Начиные несмещений компоненты обусловлено рассеиением изменения не свободными электронами, а электронами, сильно связанных с ядрами атомов. В этом случае рассеяние происходит так, как будто фoton сталькивается не с электроном, а с частицей газадо большей массы, по порядку величины равной массе ядра. Отсюда следует, что $\Delta \lambda$ ничего мало (см. (6)). Чем больше порядковый номер элемента, тем больше долю в общем числе электронов составляют «массивные» электроны, вседействие чего относительной интенсивность несмещенной компоненты растет.

Итак, теория Комптона хорошо обязывала основные черты обнаруженного эффекта. Не следует, однако, думать, что она была встречена единоудушным одобренем. Учены в своих воспоминаниях рассказал об одном эпизоде, хорошо отражаемо отношение ученого мира к открытию молодо-

9

го американца. В 1924 году на ежегодной встрече ученых английских стран, где присутствовали такие известные физики, как Резерфорд, Брэгг и другие, вокруг работы Комптона разгорелсь столбцовления дискссия, что пунктальные англичане однajжды даже пожертвовали обеденным перерывом ради ее продолжения. И все же после встречи к Комптону подошел известный индиский физик Ч. Раман и сказал: «Комптон, вы прекрасный спорщик, но правда не на вашей стороне». По иронии судьбы через три года Раман оказался одним из авторов открытия еще одного вида рассеяния, при котором меняется часть излучения, — так называемого комбинационного рассеяния света *).

Лишь с течение времена теория Комптона, подтвержденная результатами многочисленных экспериментов, завоевала признание.

Эффект Комптона сыгral важную роль в становлении квантовой теории излучения. Заслужги его первооткрытия были отмечены присуждением Нобелевской премии по физике за 1927 год. Воспследствие ученыы выяснили, что этот факт имеет важное значение для астрофизики. Было установлен, что в космосе наблюдается не только примой эффект Комптона, о котором шла речь выше, но и так называемое обратное рассеяние. По бесконечным простом Вселенной движется множество очень быстрых электронов, которые могут стalkивать с фотонами. Диаграмма импульсов для таких стalkовенной может выглядеть так же, как и рисуне 5, но направления всех импульсов необходимо сменить на обратные. В результате стalkовения электрон останавливается (или почти останавливается), а импульс и, следовательно, энергия фотона уvelичивается. Таким образом, при обратном комптоновском рассеянии происходит уменьшение длины волны фотона, а не возрастание, как в прямом эффекте.

В чем отличие?

Прежде чем закончить разговор об эффекте Комптона, заданным вопро-
*) Независимо от Рамана комбинационное рассеяние было открыто и объясенно советским физиками Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштом.

В этой статье мы рассмотрим задачу о нахождения решения уравнения

$$a^2 + b^2 = c^2$$

(1)

в натуральных числах. Частные решения этой задачи были найдены задолго до появления математики как науки. Так, древние вывлечение знаний решения $(a, b, c) = (3, 4, 5)$ и целый ряд других решений уравнения (1), в том числе такие сложные, как (105, 36, 111) или (12709, 13500, 18541).

Хотя существуют различные точки зрения на математике договораского периода, нет никаких оснований приписывать вывлечение в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука появилась в VI века до нашей эры в Древней Греции. Традиция связывает первые постановки математических задачи в современном политехническом методом математики. Математика какедутивная наука落户 в школе пифогорецев.

Поэтому, а возможно, также из-за очень сложных связей с геометрической теоремой Пифогора, уравнение (1) называется задачей Пифогора, а точки науральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению, называются пифогорыми трейками. Из теоремы Пифогора следует, что каждому прямому треугольнику с целочисленными катетами $a, b$ и гипотенузой $c$ соответствует некоторая пифогорова трейка такая, что $0 < a < b < c$, и наоборот. Таким образом, задача Пифогора имеет произвольный геометрический смысл (рис. 1).

Арифметический способ решения задачи Пифогора

Ясно, что если трейка натуральных чисел $(a, b, c)$ является пифогорой, то при положительной целом $k$ трейка чисел $(ka, kb, kc)$ также будет пифогорой. Поэтому для решения задачи Пифогора нет нужных перечислять все пифогоровые трейки $(a, b, c)$ — достаточно перечислять примитивные трейки, т. е. такие пифогорые трейки $(a, b, c)$, для которых нет ни одного целого $k > 1$, делящего все три числа $a, b, c$ без остатка.

А переработы примитивные пифогоровые трейки совпадают несложно. Для этого имеется простой решет, известный еще пифогорецам; основанный на следующем утверждении:

если $p = q$ — взаимное простые числа разной четности, $p > q$, то трейка чисел

$$a = p^2 - q^2, b = 2pq, c = p^2 + q^2$$ (*)

будет примитивной пифогоровой трейкой.

Например, если взять $q = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$, $p = 163$, то получим пифогорую трейку (24805, 13692, 28333).

Доказательство обведенного в рамках утверждения оейвидно. Действительно, в силу (*)

$$a^2 + b^2 = (p^2 - q^2)^2 + 4p^2q^2 = (p^2 + q^2)^2 = c^2,$$

т. е. трейка $(a, b, c)$ пифогорова. Она к тому же и примитивна: общий много

13

имеет вид
$$y = k(x + 1),$$
где $k$ — угловой коэффициент прямой.
Таким образом, координаты точки $(x_2; y_2)$ будут удовлетворять системе уравнения
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = k(x + 1). \end{cases}$$
Решим эту систему относительно $x$ и $y$. Подставляя значение $y = k(x + 1)$ из второго уравнения в первое уравнение системы, получим
$$x^2 + k^2(x + 1)^2 = 1,$$
или
$$(1 + k^2) \cdot x^2 + 2k^2 \cdot x + k^2 - 1 = 0.$$
Если $x$ удовлетворяет последнему уравнению, то $x$ является абсциссой точки пересечения прямой $y = k(x + 1)$ с окружностью $K$, т. е. либо $x = x_1 = -1$, либо $x = x_2$. Из теоремы Виета следует, что
$$x_1 + x_2 = -\frac{2k^2}{1 + k^2},$$
откуда
$$x_2 = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}.$$
Поскольку точка $(x_2; y_2)$ лежит на прямой $y = k(x + 1)$,
$$y_2 = \frac{2k}{1 + k^2}.$$
Посление две формулы каждой числу $k$ ставят в соответствие точку
$$(x_2; y_2) = \left(\frac{1 - k^2}{1 + k^2}; \frac{2k}{1 + k^2}\right),$$
лежащую на окружности $x^2 + y^2 = 1$. Обратно, каждой точке $(x; y) \neq (-1; 0)$, лежащей на окружности $K$, соответствует одно и только одно значение углового коэффициента $k$:

$$k = \frac{y}{x + 1}.$$

Заметим здесь, что если $k$ — рациональное число, то точка $(x_2; y_2)$ определяем формулой (6), имеет рациональные координаты, и обратно, если $x_2$ и $y_2$ рациональные, то в силу формулы (7) $k$ рациональное. Таким образом,

между точками с рациональными координатами окружности единного радиуса (за исключением точки $(-1; 0)$) и рациональными точками вещественного прямой установлен взаимно однозначное соответствие.

Заставляя величины $k$ пробегать все рациональные значения интервала от $-\infty$ до $+\infty$, мы переберем все точки с рациональными координатами на окружности $K$ единного радиуса (за исключением точки $(-1; 0)$) и тем самым найдем все примитивные решения задачи Пифогора.

Приведем соответствующие формулы. Пусть $k = p/q, q > 0$, НОД $(p, q) = 1$. Тогда из формулы (6) следует, что

$$\left(x_2; y_2\right) = \left(\frac{q^2 - p^2}{q^2 + p^2}; \frac{2pq}{q^2 + p^2}\right).$$

Мы вновь получили, по существу, формулы (*)! Чтобы получить тот же результат в точности, осталось немного повозиться с четырьмя.

В случае разной четности $p$ и $q$ формула () соответствует примитивной пифогородной тройке $(a, b, c) = (q^2 - p^2, 2pq, q^2 + p^2)$. Если же $p$ и $q$ одновременно нечетные, то, переходя к новым переменным $q_1 = (q + p)/2, p_1 = (q - p)/2$, НОД $(p, q) = 1$, получим $q^2 + p^2 = 2(q^2 + p^2), q^2 - p^2 = 4p_1q_1, 2pq = 2(q^2 - p^2)$. После сокращения на 2 в () получим

$$\left(x_2; y_2\right) = \left(\frac{2q_1p_1}{q_1^2 + p_1^2}; \frac{q_1^2 - p_1^2}{q_1^2 + p_1^2}\right).$$

Заметим, что формула (8) отличается от формула () перестановкой $x_2$ и $y_2$. Если оказется, что $p_1$ и $q_1$ оба нечетны, то перейдем к переменным $q_2 = (p_1 + q_1)/2, p_2 = (q_1 - q_1)/2$, НОД $(q_2, p_2) = 1$ и т. д. В итоге получим либо формулу типа (), либо формулу типа (8), в которых $p_1$ и $q_1$ имеют разную четность, НОД $(p_2, q_2) = 1$. Таким образом, примитивное решение, соответствующее рациональной точке $(x_2; y_2) \neq (-1; 0)$, задается либо формулу типа (), либо формулу типа (8), в которых $p_1$ и $q_1$ — взаимно однозначного соответствия между примитивными решениями уравнения Пифогора и рациональных точками окружности $x^2 + y^2 = 1$ (исключая точку $(-1; 0)$) из формула () и (8) следует утверждение (*).

14

Рациональная параметризация конечных секений

Для нахождения рациональных точек, лежащих на окружности с уравнением $x^2 + y^2 - 1 = 0$, мы выведили формулу (6). Она устанавливает взаимно однозначное соответствие между параметром $k$, принимающим всевозможные действительные значения, и точками окружности (за исключением точки $(-1; 0)$), причем координаты $(x; y)$ точек, лежащих на окружности, являются рациональными функциями от $k$. Возникает вопрос: можно ли аналогичным образом задавать точки, лежащие на других кривых, скажем на эллипсе, параболе или гиперболе? (Эллипс, парабола и гипербола являются конечными секениями; отсюда называется этого раздела.)

Для ответа на этот вопрос рассмотрим кривую на плоскости, заданную уравнением $K(x, y) = 0$, где $K(x, y)$ — квадратный многочлен от $x$ и от $y$. Точки, лежащие на параболе, эллипсе и гиперболе, как раз удовлетворяют такого рода соответствию. Пусть $(x_1; y_1)$ — какая-нибудь фиксированная точка такой кривой. Проведем через эту точку прямую с угловым коэффициентом, равным $k$ (рис. 3). Будем искать точки $(x; y)$ пересечения кривой и прямой. координаты $(x; y)$ этих точки удовлетворяют системе уравнения
$$\begin{cases} K(x, y) = 0, \\ y - y_1 = k(x - x_1). \end{cases}$$

Решая эту систему относительно $(x; y)$ так же, как мы это делали раньше для окружности, выразим координаты $(x_2; y_2)$ второй точки пересечения

прямой $y = y_1 + k(x - x_1)$ с кривой $K$ через параметр $k$. Легко проверить, что получится выражение вида
$$\left(x_2; y_2\right) = \left(\frac{A(k)}{C(k)}; \frac{B(k)}{C(k)}\right),$$
где $A(k), B(k), C(k)$ — многочлены степени не выше 2 от параметра $k$. Эта формула задает рациональную параметризацию кривой $K$, т. е. выражает координаты точки на кривой через рациональные функции от одного параметра $k$.

Формула (*), как и формула (), позволяет нахождение целые точки на кривой $K$. Однако сейчас нас интересует другое — совсем неожиданное — применение этой формулы, к которой мы переходим.

Применение к вычислению интегралов

Оказывается, что такие безнадежные с виду интегралы, как
$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}},$$
берутся, если воспользоваться рациональным параметризацию подходящие выбранной кривой. Именно, если в данной случае взять кривой
$$K(x, y) = y^2 - (x^2 + 3x - 4),$$
заметить, что точка $(x_1; y_1) = (-4; 0)$ лежит на кривой
$$y(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 4}$$
и рассмотреть всевозможные прямые
$$y = k(x + 4),$$
то получится следующая параметризация (проделяйте выкладки самостоятельно!):
$$\left(x; y\right) = \left(\frac{1 + 4k^2}{1 - k^2}; \frac{5k}{1 - k^2}\right).$$

Тогда $dx = \frac{10k}{(1 - k^2)^2} dk$, и поэтому (после сокращения) получим
$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}} = \int \frac{dx}{y(x)} = \int \frac{2dk}{1 - k^2}.$$

Послений интеграл уже легко вычислить:
$$\int \frac{2dk}{1 - k^2} = \int \frac{dk}{1 - k} + \int \frac{dk}{1 + k} = \ln |1 + k| - \ln |1 - k| + C = \ln \left| \frac{1 + k}{1 - k} \right| + C.$$

15

Задачи

M1021. Аллпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После почевки в лагере у подножья скалы он может подниматься, нашевая вервку, со скоростью 40 метров в час, а после холодной вервки на скале — 30 метров в час. По готовой вервке он поднимается со скоростью 400 метров в час. За сколько дней он сможет достичь вершины, если будет работать на скале (включая подъем по вервке) 6 часов в день? (Временем спуска и других операций претенбрец.)
M1022. Первые 8 натуральных чисел можно расставить в две строки так, что сумма чисел в верхней строке равна сумме чисел в нижней, а суммы чисел в столбцах также равны между собой. Можно ли расставить подобным образом перевысить a) десять, 6) двенадцать натуральных чисел?

| 1 | 4 | 6 | 7 |
| :— | :— | :— | :— |
| 8 | 5 | 3 | 2 |

в) При каких натуральных $n$ можно расставить таким образом числа от 1 до $2n$?

M1023. Всегда ли из 100 треугольников найдется хотя бы один такой, что его можно целиком покрыть остальных 99?

Г. А. Гуревич

M1024*. Докажите, что для любых двух треугольников с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ выполнен неравенство
$$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} \leq \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta + \text{ctg} \gamma.$$
Р. П. Ушаков

M1025*. Две прямые, проведенные через одну и другую точку пересечения продолжей противоположных сторон выпukлого четырехугольника, разрезают его на четыре меньших четырехугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно писать окружности, то и в исходный четырехугольник можно писать окружность.

И. Ф. Шарыzin

Ф1033. Через блок радиусом $R$ перекинит однородный гибкий канат массой $m$ и длиной $l$, прикрепленный к двум крикам на потолке, расположенным на расстоянии $2R$ (рис. 1). На оси блока высит груз, масса которого вместе с блоком $M$. Треннее между канатом и блоком отсутствует. Найти минимальную силу натяжения каната.

В. И. Чувилёв

Ф1034. Моль идеального газа из начального состояния 1 с температурой $T_1=100$ К, расширясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2 (рис. 2). Этот переход происходит без подвода либо отвода теплла. Затем газ сжимают в процессе $2 \rightarrow 3$, в котором давление является линейной функцией объема, и наконец, в изохорическом процессе $3 \rightarrow 1$ газ возвращается в исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при расширении через турбину в переходе $1 \rightarrow 2$, если в процессе $2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ газу в итоге подведено $Q = 72$ Дж теплла. Из-

16

или «… новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школа и класс, в котором вы учитесь. Фамилию и имя пишите, пожалуйста, печатными буквами.

Diagram of a pulley system

Pис. 1. Pис. 2.
Pис. 3.

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than March 15th 1987, to the following address: USSR, Moscow, 103006. Москва К-6, ул. Горького, 31/1, Квант. Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate cover; on the envelope write the words: “KWANT’S PROBLEMS” and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose everything, что $T_2=T_3$, $V_2=3V_1$; газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·К).

А. А. Шеропов

Ф1035. Электрический диополь из двух жестко связанных точчных зарядов $+q$ и $-q$, расположенных на расстоянии $l$ друг от друга, пропетает плоский конденсатор, пластины которого подключены к источнику с ЭДС $\epsilon$ (рис. 3). Определите скорость диополя в центре конденсатора, если известно, что его скорость вдали от конденсатора равна $v_0$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, масса диополя $m$. Силой тяжесте пренебречь.

А. В. Шелазин

Ф1036. К телу массой $m=20$ г, лежащему на гладком горизонтальном полу, привязаны две одинаковые упругие нити жесткости $k=10^4$ Н/m. Одна нить прикреплена к стене, свободный конец второго нити начинают тянуть в горизонтальном направлении со скоростью $v=10$ м/c. Какая нить порвется, если разрыв каждой нити проискодит при абсолютном удлининии $\Delta l_{\text{np}}=5$ см? Считать, что закон Гука выполняется для нитей вплоть до их разрыва; треня нет.

Е. П. Соколов

Ф1037. В полой сфере проделано маленькое отверстие, через которой внутри проискодит при абсолютном удлининии $\Delta l_{\text{np}}=5$ см? Считать, что закон Гука выполняется для нитей вплоть до их разрыва; треня нет.

Problems
M1021—M1025; P1033—P1037

M1021. A mountain climber intends to go up a sheer rock wall of 1000 m. After spending a warm night in camp near the wall’s base, he climbs up, hanging up ropes, with vertical velocity 40 m per hour. After a cold night on the wall itself, his velocity decreases to 30 m per hour. When the ropes are already hanging, he climbs 400 m per hour. How many days will he take to reach the top if he is able to work 6 hours a day on the wall. (The time for climbing down and other operations is negligible).

M1022. The first 8 natural numbers may be written in two rows (see the table on p. 15) so that the sum of numbers in the upper row equals that in the lower one, and the column sums are also equal to each other. Can the first a) ten, b) twelve natural numbers be arranged in this way?

c) For what natural $n$ can the numbers 1 to 2n be arranged this way?

M. I. Shterenberg

M1023. Is it always possible to find one triangle among any 100 which can be covered entirely by the other 99?

G. A. Gurevich

M1024*. Prove that for any two triangles with angles $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ and $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ the following inequality holds

$$\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta_1}{\sin \beta} + \frac{\cos \gamma_1}{\sin \gamma} \leq \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta + \text{ctg} \gamma.$$

R. P. Ushakov

M1025*. Two straight lines, passing each through one of two different intersection points of the extended sides of a convex quadrilateral, divide it into four lesser quadrilaterals. Show that if circles can be inscribed into two of them (not having a common

18

та же операция повторяется с одной из трех полученных кучи и так далее, пока во всех кучах не станет по одному камню. Чему равяется сумма 1000 записанных произведений?

M1003. В треугольнике ABC проведены три высоты AH, BK, CL. Доказите равенства AK·BL·CH = A·L·BH·CK = HK·KL·LH.

Пусть углы при вершинах A, B, C данного треугольника равны соответственно α, β, γ. Тогда AK=AB|cos α|, AL=AC|cos α| (знак модуля предусматривает случайную угла α; см. рис. 1, 2), следовательно, треугольник AKL подобен треугольнику ABC с коэффициентом |cos α| и KL=BC|cos α|. Подставляя в равенства из условия задачи эти выражения и анализа), 6) Расмотрим три случай расположения прямой l, проходящей через A.

1. Прямая l содержит вершину B или C. В этом случае, очевидно, искомых точек на ней нет (∠ABM может равнять ∠ACM только при M=A).

2. Точка B и C лежат по одному сторону от l (рис. 1). Тогда из равенства ∠ABM=∠ACM следует, что точки A, B, C и M лежат на одной окружности, то есть M есть отличная от A точка пересечения описанной окружности треугольника ABC с прямой l. Такой точки не существует, если прямая l касается окружности ABC. Для всех остальных рассматриваемых здесь прямых точки M существует и единственная.

3. Точка B и C лежат по разные стороны от l. Пусть B₁ — точка, симметричная B относительно l. Если она не лежит на прямой AC (рис. 2), то треугольник ABC можно заменить на AB₁C (∠ABM=∠AB₁M для всех точки M прямой l), причем B₁ и C лежат уже по одному сторону от l. Тепер из сказанного в случае 2) следует, что на любой прямой l имеется не более одной искомой точки, и более того, этих точек нет только тогда, когда l касается описанной окружности треугольника AB₁C. Пусть l — такая прямая (рис. 3).

20

По сизhalу спортмен А начинает движаться на восток со скоростью $v_0=1\text{m}/\text{c}$, а спортмен В — на юг с постояным ускорением. Надите это ускорение, если известно, что узел В, завязанный на шнуре, при движении прощел через точку Γ (масштаб указана на рисунке).

Diagram

Ф1014. Моцный гранитор, выделяющий телло, закреплен на теллоотводящей площадке, обдуваемой воздухом, температура которого равна 30 °C. На рисунке показано распределение температур на площадке. Определите рассеиваемый мощность. Известно, что равномерная нагрета до 70 °C пластина рассеивает мощность $P=10\text{Bt}$ при температуре воздуха 20 °C. Теллоотдача пропорциональна разности температур пластины и воздуха.

Разобъем пластину на одинаковые маленькие участки (на рисунке таких участков 130). Понятно, что мощность $P$, рассеиваемой пластиной, равна сумме $\sum p_i$ мощностей, рассеиваемых отдельными участками.

Мощность, которая уносится с каждой участка, равна

$$p_i = p_0 \cdot \Delta t_i,$$

где $\Delta t_i$ — разность температур участка и воздуха, $p_0$ — коэффициент пропорциональности. Известно, что при температуре воздуха $t_{B1}=20\text{°C}$ с пластины, равномерно нагретий до $t_1=70\text{°C}$, уносится мощность $P=10\text{Bt}$. При этом с каждой участка уносится одна и та же мощность

$$p = \frac{P}{130} = p_0(t_1 - t_{B1}).$$

Отсюда находится $p_0$:

$$p_0 = \frac{P}{130(t_1 - t_{B1})} = \frac{10}{130 \cdot 50} \text{Bt/град} = 1,54 \cdot 10^{-3} \text{Bt/град}.$$

21

будем считать, что температура участков, лежащих между изотермими 60 °C и 70 °C, равна 65 °C (для этих участков Δt=35 °C), между изотермими 60 °C и 50 °C — 55 °C (Δt=25 °C), и т. д. Тогда полную мощность, рассеиваемого пластиной, можно найти так:
$$P_1 \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (45 \cdot 4 + 35 \cdot 17 + 25 \cdot 30 + 15 \cdot 60) + 5 \cdot 20) Bt = 1,54 \cdot 10^{-3} \cdot 2525 Bt \approx 3,9 Bt.$$
Для оценки точности этого результата можно посмотреть, как влияет на результат неочистить оценки температуры «долей» пластины. Возьмем вместе 65 °C — 67,5 °C, вместе 55 °C — 57,5 °C и т. д. Тогда
$$P_{\text{верх}} \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (47,5 \cdot 4 + 37,5 \cdot 17 + 27,5 \cdot 30 + 17,5 \cdot 60 + 7,5 \cdot 20) \approx 4,4 Bt.$$
Оценку сразу получим, взяв записенные температуры:
$$P_{\text{низж}} \approx 1,54 \cdot 10^{-3} (42,5 \cdot 4 + 32,5 \cdot 17 + 22,5 \cdot 30 + 12,5 \cdot 60 + 2,5 \cdot 20) \approx 3,4 Bt.$$
Итак,
$$P_1 = (3,9 \pm 0,5) Bt.$$
Конечно, мы сильно «завысили» возможность неочистить определения температуры. Однако нужно понимать, что эта неочистность — не единственная (да и не самая важная) причина погрешностей нашего расчета. Условие задачи идеализировано, оно не учитывает конвекции воздуха, которая сильно меняет результат.

А. Р. Зильберман

Ф1015. Схема, приведенная на рисунке, содержит 50 разных амператоров и 50 одинаковых волтметров. Показания первого волтметра $U_1=9,6$ В, первого амператора — $I_1=9,5$ мА, второго амператора — $I_2=9,2$ мА. Определите по этим данным сумму показаний всех волтметров.

Ток, текущий через амператор $A_1$, равен сумме токов, текущих через волтметр $V_1$ и амператор $A_2$, т. е.
$$I_1 = I_{V1} + I_2;$$
следовательно, ток, текущий через волтметр $V_1$, равен
$$I_{V1} = I_1 - I_2 = 0,3 \text{ мА},$$
и сопротивление волтметра —
$$R = \frac{U_1}{I_{V1}} = \frac{9,6}{0,3 - 10^{-3}} \text{ Ом} = 32 \text{ кОм}.$$
По условиям задачи все волтметры одинаковые, т. е. сопротивление каждого из них 32 кОм.

Записем сумму напряжения, показываемых всеми волтметрами:
$$\sum_{i=1}^{50} U_{Vi} = \sum_{i=1}^{50} I_{Vi} R = R \sum_{i=1}^{50} I_{Vi}.$$
Но $\sum_{i=1}^{50} I_{Vi} = \text{это ток, текущий через амператор } A_1$, т. е.
$$\sum_{i=1}^{50} I_{Vi} = I_1.$$ Позотому
$$\sum_{i=1}^{50} U_{Vi} = RI_1 = 304 \text{ В}.$$
А. Р. Зильберман

Ф1016. В катушку может свободно втяиваться ферромагнитный сердечник массой $M=0,01$ кк. Катуш-

При втяивания ферромагнитного сердечника в катушку меняется индиктивность катушки. В этом случае закон электромагнитной индукции должен быть записан следующим образом:

22

Ку подключаил к источнику с напряжением $U = 100$ В, и через нее протек tok, показанный на графике на рисунке. Оцените начальный индуктивность катушки. Пренебрегая потерями, найдите скорость сердечника в момент $\tau = 10^{-3}$ с.

$$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d(LI)}{dt} = U.$$

Здесь $L$ — индуктивность катушки, зависимости от времени, $I$ — ток в катушка, который также зависит от времени. Поэтому

$$\frac{d(LI)}{dt} = I \frac{dL}{dt} + L \frac{dI}{dt} = U.$$

В начальной период, когда сердечник еще не сдивился с места, можно считать, что индуктивность не меняется. Тогда $\frac{dL}{dt} = 0$, и уравнение (*) имеет вид

$$L_0 \frac{dI}{dt} = U,$$

где $L_0$ — начальная индуктивность катушки. Из графика находим, что в этот период $\frac{dI}{dt} = 10^6 \frac{A}{c}$. Следовательно,

$$L_0 = \frac{100 \text{ B}}{10^6 \text{ A/c}} = 10^{-4} \text{ Гн.}$$

Величина $L_0$ достигано мала, чтобы в дальнейшем ее не учитывать (тем более что ток, как видно из графика, в дальнейшем меняется очень мало). Поэтому при $t > 10^{-5}$ с уравнение (*) принимает следующий вид:

$$I \frac{dL}{dt} = U.$$

Отсюда видно, что $L$ будет растяной со временем, поскольку $U = 100 \text{ B} = \text{const}$ и $I = 10 \text{ A} = \text{const}$:

$$L = \frac{U}{I} t.$$

В момент $t = \tau = 10^{-3}$ с

$$L_\tau = \frac{100}{10} \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн.}$$

Найдем скорость сердечника в этот момент. Пренебрегая потерями, запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2} + L_\tau \frac{I^2}{2} = IU\tau,$$

где $IU\tau$ — работа источника за время $\tau = 10^{-3}$ с, $L_\tau I^2/2$ — электромагнитная энергия катушки, $mv^2/2$ — кинетическая энергия ферромагнитного сердечника. Отсюда находим $v$:

$$v = \sqrt{\frac{2IU\tau - L_\tau I^2}{m}} = 10 \text{ м/c.}$$

По решению этой задачи необходимо сделать несколько замечания. Эта задача относится к так называемым «оценочным» задачам, в которых как правило, некоторые величины задаются приближительно или их надо найти из графика, другие необходимо найти приближенно, пренебрегая какими-то малыми величинами. В данной задаче мы не учитывали активное сопротивление источника, потеря в сердечнике на токи Фуко; не учитывали, что ток в сердечнике после первого скачка не будет постоянным во времени, а будет немного меньше; ну и конечно, мы не рассматривали переходный процесс от малой индуктивности к большой. Точно решение этой задачи достигано сложно; однако полученные нами оценки близки к реальным величинам.

В.Е. Скороваров

23

Задчи

1. Король Артур заказал художнику рисунок для своего шита, имеющего форму четыртки круга, с просьбой окрасить его в три цвета: желтый — цвет доброты, красный — храбрости и синий — мудрости. Когда художник принес рисунок, оруженосец сказал, что на рисуке храбрости больше, чем ума. Оdnako художник смог доказать, что там того и другого поровну. Как?
2. Решите числовой ребус, записанный на рисуке. Оdnаковый буква соответствует одинаковые цифры, разным — разные.
3. Оdnажды я заблудился в лесу. Уже собирался остановиться, чтобы развести костер и заночевать, как споткнулся о водопроводную трубу. Ясно, что нужно идти вдоль трубы, но в какую сторону? Туда, куда теет вода, ведь она течет к людям. А как определить, куда теет вода?
4. Урожай фруктов в этом году был отличный. Мы наарили 19 банок вареня. Я расставил их на трех полках в погребе так, чтобы на каждой полке стояло одинаковое количество литров вареня. На первую полку я поставил одну большею и четые средние банки, на вторую — две большеи и шесть литровых банок, а на третью — одну большею, три средних и три литровых банки. Сколько литров вареня мы сварили?
5. Два джентльмена были чрезвычайно сложны в своих прививчах и видимо поэтому терпеть друг друга не могли. Оdnажды, прогуляясь по улице, они увидели друг друга и одновременно свернулли в парк: один вворота A (см. рисуок), второй — вворота B. Каждый решил обойти этот хорошего знакомый им парк, пройдяровно по одному разу по каждой дорогке. Покажите, что если они все время будут дивятся с одинаковыми скоростями, то непреемно встретиться.
   Эти задчи нам предложили А. П. Савин, ученик 9 класса Кармелавской средней школе Лит. ССР Герман Сафин, М. И. Лобак, В. Д. Выон, В. В. Произвольов.

24

НА КРУГИ СВОИ
А что будет, если…

Кандидат физико-математических наук
А. П. САВИН

В детстве я очень любил калейдоскоп.
Глядишь в волшебную трубочку и видшь великоплепную мозку. Небольшой поворот — и новый узор, еще поворот — и опять новый и новый узор.

Когда мне в руки впервые попал кубик Рубика, то мне сначала было интересно просто покрутить его, как раныше я крутил калейдоскоп, полюбаваться возникалошей игрой красок на его гранах. Оdnako бессистемное кручение вскоре мне наскучило. После нескольких часов попыток самостоятельно открыть «резец» собирания кубика я достал номер «Квант» *) и, потратив еще около часа, кубик собран.

Тепер я начал обращаться с кубиком осторожнее, чтобы его можно было легко вернуть в «собранное» положение. Покрутил одну грань раз (рис. 1), еще раз, еще и еще — кубик вновь собран.

А что будет, если вертеть по очереди две соседние грани, скажем, в одну и ту же сторону? Первая-вторая раз, первая-вторая два, первая-вторая три… (рис. 2).В это время я уже знал, что через несколько пар вращей кубик вновь «соберется». У меня начали установить пальцы, я сбивался счета, а кубик все не «собирался».

Лишь после 105 пар вращей кубик собрал свои цвета на гранах.

Но откуда я знал, что такой момент наступит? Просто перед этим я немного порассуждал. Различных положений у кубика хотя и много, но конечное число. Раз так, то он не может всякий раз оказаться в новом положении, рано или поздно появится положение, в котором кубик уже был. Обозначим такое положение буквой A, а «собранное» положение буквой E (рис. 3, с. 27). После пары вращей кубик переходит из состояния A в состояние B, потом из состояния B в состояние C и т. д., пока он снова не очутится в положении A и все снова начинает повторяться. Как говорят математики, положения кубика будут переодически повторяться.

Давайте сформулируем полученный результат, уже отвлекаясь от кубика — объекта, для которого он был получен.

Если объект может находиться в конечном числе состояния и определенна операция, однозначно переодящая какое состояние в новое, то, последовательно применяя эту операцию, получим переодическую повторяющую последовательность состояния объекта.

*) См. «Квант», 1983, № 9, с. 33—36.

25

Это утверждение звучит как закон природы или математическая теорема. На самом деле так оно и есть. Более того, с помощью этого утверждения мы сможем получить очень интересные результаты.

Но сначала законом рассужделяю о кубике Рубика. Заметим еще одну особенность нашей операции: для любого состояния однозначного определения «предыдущее» состояние. А именно, следует повернуть уже в другую сторону сначала вторую, а затем первый грань кубика. Посмотрим на рисунок 4 (с. 27). Двигаясь из положения А «назад», начиная с положенного перьвим положения A, через несколько шагов мы приедем в положение E; значит, и из во второй раз положенного положения A за то же число шагов мы попадем в положение E. Таким образом, между первым и вторым положениями кубика A обязаться нахождение положения E — собственный кубик.

Вот такие рассужделяя промелькули в моей голове перед тем, как я начал вертеть кубик по описанному правилау. Конечно, количество пар врашений могло оказаться очень большим, ведь состоящий у кубика Рубика чрезвычайно много — 43 252 003 274 489 856 000. Я пробовал вертеть грани в разных стороны — первый по часовой стрелке, а второй — против. В этом случае возврашение наступает через 63 пары ходов, а если вертеть по очередной три соседние грани в одну стороны, то цикл замкнется через 80 треек поворотов.

Тот, кто имеет у себя кубик Рубика, может познакомиться с другойми наборами поворотов. Ну а кто его не имеет, берете бумагу, карандаш, и мы начнем экспериментировать с числами. Конечно, не помещал бы и микрокалькулятор или персональный компьютер, но можно обойтись и без них.

Разделим 136 на 11. Кстати, вы знаете признак делимости на 11? Нет? Запомните, это полезно. Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11. В нашем случае (1+6)—3=4, следовательно, 136 на 11 не делится.

А что будет, если мы все-tаки начнем делить уголком? Взгляните на рисунок 5 (с. 26). Нетрудно заметить, что цифры после запятой периодически повторяют. Такая десятичная дробь будет бесконечной и называется перiodической десятичной дробью. Записьается она так: 12, (36) — повторяющийся набор цифр заключается в скобки.

При делении еще каких целых чисел возникают периодические десятичные дроби? Любых, лишь бы делитель был отличен от нуля, при этом будем считать конечную десятиную дробь бесконечной, продолжив ее после последней цифры нулями. Почему? Для доказательства нам будет очень удобно воспользоваться ранее формулированным общим утверждением. В качестве рассматриваемого объекта возьмем разность, стоящую под черту. В нашем примере это сначала будет 2, потом 4, потом 7, снова 4, снова 7 и т. д. Рассмотрим операцию, которую мы проделиваем

26

с этим объektом. Сначала следует приписывать еще одну цифру, потом вычитаем из полученного числа наиболее число, кратное делитель, но не превосходящее этого числа, записываем разность — это и будет преобразованное число.

Сначала операция зависит от делимого, поскольку приписываем цифра зависит от делимого, но через несколько шагов (в нашем случае со второго шага) справа приписывается только нуль. После этого мы попадаем в условия действия формулированного нами закона. Объект — число, оно может находиться в конечном числе состояний: принимаемые целые неотрицательные значения, меньше делителя. Операция определяена, она однозначно переводит одно число в другое. Значит, последовательность получаемых чисел будет перiodически повторяется. Отсюда следует, что и цифры в частином начнут перiodические повторяется. Наше утверждение доказано.

А что будет, если у числа взять сумму его цифр, у полученного числа снова взять сумму его цифр и т. д.? Складем, для числа 1987 все ясно:
1987→25→7→7→7→…

А для других чисел? Нетрудно заметить, что всякое число больше суммы своих цифр (исключение составляют лишь однозначные числа), поэтому после применения операции взяття суммы цифр число будет уменьшаться до тех пор, пока оно не станет однозначным, а однозначное число при нашей операции переходит в равное ему число. Таким образом мы получили доказательство перио-дичности (с периодом 1) получаем последовательности, начиная с некоторого места.

А какое число будет при этом повторяться? На этот вопрос легко ответить, не выписывая саму последовательность. Это будет остаток от деления первогочального числа на 9, если само число не делится на 9, и 9, если оно делится на 9. Почему? По признаку делимости на 9. Правда, вы знаете его в «урезанном» виде: «для того чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы сумма его цифр делилась на 9». Оdnako имеет место более сильное утверждение: само число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9.

Тепер ясно, что у каждой следующого числа будет тот же остаток при делении на 9, что и у начального. Среди однозначных чисел все имеют разные остатки при делении на 9, кроме 0 и 9, но у числа, отличного от нуля, сумма цифр также отлична от нуля. Отсюда и следует нашей утверждение. Перiodический последовательность с периодом 1 называют последовательностью с неподвижной точкой.

А что будет, если у числа быть не сумму цифр, а сумму квадратов цифр? Снова попробем для числа 1987 (рис. 7). Получили, что периодические будет повторяться последовательность 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89.

Возьемем число 133 (рис. 8). Здесь «неподвижная точка» — это 1 (период последовательности равен 1).

Но обязательно ли при проедуре взяття суммы квадратов цифр возникнет периодические последовательности? А если да, то какие?

29

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Закон Архимеда» предназначена воспользоваться «Сылы молекулярного взаимодействия» — девятиклассик и десятиклассик, «Поляризация света» — десятиклассик.

Закон Архимеда

«…Удар скатого воздуха хлопнул в трубах, вода в системе зажурчала, и глубомер пополз вверх. Лодка вспылала наровном киле, и глубомер показал, что рубка уже вышла из воды», — так описывает всплывание подводной лодки в книге Л. Соболева «Морская душа».

Причина всплывания — сила Архимеда, называемая еще выталкивающей силой, которая после продвижения с водой скатым воздуха превысила по модулю силу тяжестями лодки. Когда же и в каком случае возникнет сила Архимеда? Стороны чего она действует? Куда приложена, как направлена и чем равна?

Выталкивающая сила — это сумма всех сил давления, действующих со стороны жидкости или газа на поверхности погруженного в нее тела (рис. 1). Истинная причина погружения выталкивающей силы — наличие различного гидроскатического давления на разных уровнях жидкости.

Для нахождения силы Архимеда мысленно замерим погруженное тело жидкости в объете этого тела (рис. 2). На нее со стороны окружающей жидкости будет действовать такая же выталкивающая сила, как и на погруженное тело. По третьему закону Ньютона выделенная в объете тела жидкость (вытесенная жидкость) будет действовать на окружающую жидкость с той же самой по модулю, но противоположно направленной силой. Это — все вытесенное объема жидкости. Вспомним, что вес тела, неподвижного в некоторой системе отчета (необязательно инерционной), называется сила, с которой тело胀дствие его прияжения к Земле действует на подставку или подвес. В нашем случае роль под-

30

иставки для выделенного объема жидкости играет окружающая жидкость.

Итак, выталкивающая сила, действующая на порруженное в жидкость тело, равна по модулю и противоположна по направлению весу вытесенной жидкости. Это и есть закон Архимеда. Заметим, что в формулировке закон говорится именно о всее вытесенной жидкости, а не о силе тягости. И это весма существенно, так как вес тела (по модулю) не всегда совпадает с силой тягости. Например, ящик массой $m$ в кабине поднимающегося сускренем $a$ лифтдадит на пол с силой $m(g+a)$. Это значит, что вес ящика равен $P=m(g+a)$, в то время как сила тягости, действующая на ящик, равна $mg$. Когда же кабина лифтта опускается с тем же ускорением, вес ящика оказывается равным $P=m(g-a)$.

Из последнего выражения ясно, что выталкивающая сила появляется тогда, когда нет состояния неевесомости, то есть любое тело (в том числе и жидкость) имеет вес. Если сосуд с жидкостью свободно падает, то жидкость настоящая в состоянии неевесомости и на порруженное в нее тело слая Архимеда не действует. Не действует эта сила и в космическом корпле, движущемся с выключенными двигателями.

При доказательстве закона Архимеда мы считали, что тело полностью порружено в жидкость и все его поверхность соприкается с жидкостью. Если же часть поверхности тела плотно прилегает к стенке или дну сосуда, так, что между ними нет прослойки жидкости, то закон Архимеда неприменим. Яркой иллюстрацией сказаного служит опыт, когдаровную нижнюю поверхность деревянного кубика натирают парафином и плотно приставляют ко дну сосуда. Затем осторожно наливают воду. Бру-
Рис. 3. Рис. 4.

сок не всплывает, так как со стороны воды на него действует сила, не выталкивающая его вверх, а прижмающая ко дну (рис. 3).

Приведенная формулировка закона Архимеда остается справедливой и в случае, когда тело лишь частично опущено в жидкость, но не соприкается со стенками сосуда. (Доказательство аналогичного случая полностью порруженного в жидкость тела.)

Нам осталось научиться нахождение весы вытесенной жидкости и личное действие выталкивающей силы. В общем случае (например, когда тело порружено в жидкость, врашающую вместе с сосудом) это не так легко сделать.

Рассмотрим наиболее простой и часто встречающийся на практике случай. Пусть сосуд с жидкостью неподвижен в некоторой инерциальной системе отчета. Тогда, как известно, вес любого неподвижного тела равен силе тягости, действующей на тело. Поэтому и выталкивающая слая равна по модулю слие тягости, действующей на вытесенную жидкость, и противоположно ей направлена. Линия действия выталкивающей силы будет проходит через центр тягости вытесенной жидкости. Показем это.

На вытесенной объеме жидкости массой $m$ (рис. 4) действуют две силы — слие тягости $mg$, приложенная в центре тягости этого объема, и выталкивающая слая $F_B$. Так как жидкость нахождения в равновесии, то по правилам рычага (см. § 62 «Физики 6-7» или § 47 «Физики 8») действующие на нее силы обратно пропорциональны плечем этих сил. Плечо слие тягости относительно оси, проходящей через центр тягости, равно нулю. Значит, и плечо выталкивающей слие тоже равно нулю, т. е. линия действия выталкивающей силы проходит через центр тягости «вытесенной��» объема жидкости.

Поскольку точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия, обычно выталкивашую слиу помещают в центр тягости вытесенной жидкости и называют эту точку центром давления.

31

Силы молекулярного взаимодействия

Один из крупнейших современных физиков Ричард Фейнман считает, что если бы потребовалось в одной единственной фазе передать самое главное из того, что мы знаем сегодня о мире, то эта фаза должна быть бы быть такой: «… все тела состоит из atoms — маленьких телец, которые находятся в беспрерывном движении, притягиваются на небольшом расстоянии, но отталкиваются, если одно из них плотнее прижать к другому» (Фейнмановские лекции по физике, том 1).

За каждым утверждением этой «ключевой» фазы — своей специализации наука. Что такое atoms? Как они устроены и как взаимодействуют друг с другом? Поиск ответов на эти вопросы приводят к квантовой физике, а через нее — к пониманию микромира. Какова роль движения atoms и их взаимодействия в формировании свойств вещества? В ответе на этот вопрос — вся макросоппециальная физика и связанные с ней выходы на химию, биологически и другие науки.

Давайте и мы немного проudem по этому пути и попытаемся, исходя из устроства отдельного atomа, попытать природу взаимодействия между различными atomами или молекулами.

Вы знаете («Физика 10», глава 11), что atoms состоит из положительного заряженного ядра и довольно сложным образом движущихся вокруг него отрицательных зарядов — электровов. Это столб привченное в наши дни представление об atomах приело в момент своего появления (в начале XX века) к настоящей катстрофе в классической физике. Дело в том, что в соответствии с классическим представлениями электрон при любом неравномерном движении и, в частности, при врашении вокруг ядра обязательно изучает электромагнитные волны. Энергия его при этом уменьшается, и, в конечном случае, он неизбежно должен упасть на ядро. Это означает, что в рамках классической физики atom вообще существовать не может.

Потребовался радиальный переместор всех наших представлений о мире, чтобы выход из создавшего тупика. В результате была создана квантовая механика, которая, в частности, показала, что электрон в atomе может иметь лишь дискретные значения энергии. Находясь в состоянии с каким-либо значением энергии из этого «разрешенного» набора, электрон не излучает электромагнитные волны. Излучение (или поглощение) энергии проходит лишь при переходе из одного Staционного состояния в другое. Все сказанное относится к молекулам.

Так было «оправдано» существование atomов и молекул.

Тепер естественно задать такой вопрос. Если atoms и молекулы нетральны, то каким же образом они взаимодействуют друг с другом?

Давайте рассмотрим молекулу «поближе». Если центры распределения положительных и отрицательных зарядов внутри нее не совпадают друг с другом, то такой молекул можно представить как небольшую гантельку («Физика 9», § 46). На одном конце ее находится положительный заряд, а на другом — отрицательный. Такие электрические гантельки называют диполями.*)

Когда две диполные молекулы оказываются рядом, каждая из них стремится расположиться так, чтобы положительный конец одной половины к отрицательному концу другой, и наоборот. В результате, несмотря на то, что каждой молекula нейтральна, между молекулами возникнет довольно заметное прияжение. Такое взаимодействие называется диполным. Оно, как мы видели, связано с тем, что у диполных молекул средние расстояния между разномmemеными зарядами немного меньше, чем между одномmemеными. Очевидно, что при удалении молекул друг от друга это разлице в расстояниях уменьшается. В какой-то момент оно становится несущественным, и сила взаимодействия между молекулами обращается в ноль.

Ну, а как бы в тех случаях, когда молекулы «симметрины», т. е. центры распределения положительных и отрицательных зарядов внутри них совпадают?

32

ДЕКАБРЬ
Српичбаза
РАМАНУДЖАН
(родился
22 декабря 1887 года)

МАРТ
Жан Батист Жозеф
ФУРЬЕ
(родился
21 марта 1768 года)

Многогранник —
календарь
(см. с. 28)

ЯНВАРЬ
Николай Егорович
ЖУКОВСКИЙ
(родился
17 января 1847 года).

АПРЕЛЬ
Карл Фридрих
ГАУСС
(родился
30 апреля 1777 года)

ФЕВРАЛЬ
Мстислав Всеволодовиц
КЕЛДЫШ
(родился
10 февраля 1911 года).

МАЙ
Павел Сергеевич
АЛЕКСАНДРОВ
(родился
4 мая 1896 года)

32

33

ИЮНЬ
Александр Михайлович
ЛЯПУНОВ
(родился
6 июня 1857 года)

СЕНТЯБРЬ
Михаил Васильевич
ОСТРОГРАДСКИЙ
(родился
24 сентября 1801 года)

ИЮЛЬ
Фридрих Вильгельм
БЕССЕЛЬ
(родился
22 июня 1784 года)

ОКТЯБРЬ
Эварист
ГАЛУА
(родился
26 октября 1811 года)

АВГУСТ
Нильс Хенрик
АВЕЛЬ
(родился
5 августа 1802 года)

НОЯБРЬ
Михаил Алексеевич
ЛАВРЕНТЬЕВ
(родился
19 ноября 1900 года)

33

34

Здесь надо прежде всего уточить, что значит «совпадают». Ведь электроны непрерывно движутся вокруг ядра. Иогда говорят даже, что они «размазаны» вокруг ядра, образуло него облако. И центр этого отпечатного облака совпадает с центром положительного ядра только в среднем, а в каждый отдельный момент времени они слегка отклонены друг от друга. Просто в один момент центр облака находится по одному сторону от центра положительного заряда, а в другой — по другую. Можно сказать, что в этом случае молекula (или atom) представляется собой непрерывно возникка и исчезающий дипольь.

Если две такие молекулы сbijжаются на достаточно малое расстояние, то эти «мерцающие» диполи начнут действовать друг на другу так, что в каждый момент времени разноменные заряды в различных молекулах оказываются друг к другу близке, чем одноменные. Возникают силы притяжения, которые теперь называютсяван-дер-ваальсовскими. Эти силы оказываются значительно слабые диполььых.

Йтак, мы получили, что при сbijжении atomов или молекул между ними возникка силипгения.

Что же произойдет, если atomы или молекулы сbijжать все больше и больше? Понято, что всегда наступит такой момент, когда электронные оболочки различных atomов начнут перекрывать. В результате между atomами возникнут силипгения, обусловленные их «деформацией». Силипгения города больше диполь-дипольных и тем болееван-дер-ваальсовских силипгения, поэтому на малых расстояниях atomы всегда оказываются.

Притяжение на больших расстояниях и отталкивание на малых ознакомлении, на котором силипгения и отталкивания компенсируются. Этот характерный размер и определяет среднее расстояние между молекулами в жидкостях и твердых телах (в газах молекулы практические не взаимодействуют друг с другом).

Само существование различных агрегатных состояний вещества (газообразного, жидкого и твердого) связано с описанным здесь взаимодействием. Правда для характеристики свойств системы из большого числа частиц (какой и является вещество) лучше пользоваться понятным не силым, а энергии взаимодействия. Так, если кинетическая энергия молекулы много больше энергии ее взаимодействия со своим окружением, мы имеем газ; если много меньше — твердое тело. В жидкостях эти энергии приблизительно равны друг другу.

E. E. Городецкий

Поляризация света

Возвращавшиеся из Испандии моряки часто привозили необычные процессы камни — кристаллы известного шпата. Эти камни, позже их стали называть использовим шпатом, были веса замечательны по своей форме и другим свойством, но главным образом — свойствами особенностей преломления света. Так, например, если кусок использового шпата положить на какую-нибудь надпись, то сквозь него можно видеть надпись разделенной (рис. 1).

В 1669 году датский ученый Э. Бартолин сообщил интересные результаты своих опытов с этим кристаллам. Оказалось, что при прохождения сквозь такой кристалл луч света распределяется на два — теперь их называют обикновенным и необикновенным лучами. Изванная лучей оправданы: обикновенный луч ведет себя так, как это соответствует известным законом преломления света, а необикновенный луч как бы нарушает эти законы. В частности, когда падающий луч перpendикулярен поверхности кристалла, первая луч проходит сквозь кристалл непреломленным, второй же испытывает преломление (рис. 2).

Вартолин проводил исследование открытого им явления двойного лучепреломления и обнаружил дополнительно, что в кристалле существует неотородное направление, вдоль которого падающий луч не раз-

35

дваивается. Однако обязывается всем этим фактом он найти не смог.

Несолько лет спустя открытие Бартолина привлекло к себе внимание индерландского ученого Х. Гюйгена. Повторив опыты Бартолина, он идет дальше, пропуская оба луча, выSEDшие из кристалла индерландского шпата, сквозь второй точкой такой же кристалл. Для обязывания результатов опытов Гюйгенс вдогит понятие оптической оси кристалла (которую фактически уже обнаружил ранее Бартолин). Ею он назвает выделенное направление в кристалле, вдоль которого обязываенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь.

Опыты Гюйгена показали, что в случае, когда оптические оси обихих кристаллов параллельны и луче света падает под прямым углом к передней грани первого кристалла, то при входе во второй кристалл обязываенный и необыкновенный лучи не претерпевают разделения на два (рис. 3). В других случаях оба луча, выSEDшие из первого кристалла, во втором кристалле опять могут разделиться. При этом интенсивность каждого из четырех лучей в сильной степени зависит от угла между оптическими осями кристаллов.

Аналізируя результаты опытов, Гюйгенс, придерживающийся волновой теории света, пришел к выводу, что обязываниемому и необякновенному лучам соответствует различные скорости распространения в исследуемом кристалле. Однако Гюйгенс исходил из аналогии между звуковыми и световыми волнами и считал последнее, как и первые, продолжными. Это заблудение не позволяет ему объяснить неокоторая особенность проводных опытов.

Спустя более чем лет, в 1808 году, французский физик Э. Ма-

лос обнаружил двойное лучепрелломление при отражении света. Глядя сквозь кристалл испандского шпата на отражение заходящого солнца в окнах Люксембургского дворца в Париже, Малос к своему удивлению заметил, что два изображения, возниккающих в результате двойного лучепрелломления, имели различную яркость. В частности, при некоторых кристаллах было видно только одно изображение.

На основании этого и других опытов и опираясь на корпускулярную теории света Ньютона, Малос предположил, что корпускуры, которые, по Ньютону, имеют внешнее сходство с магнитками, обладающими полюсами, в солнечном свете ориентированны беспорядочно, но после отражения от какой-либо поверхности или после прохождения сквозь кристалл они приобретают определенную ориентацию. Такой «упорядоченный» свет он называл поляризованным.

Серодня нам хорошо известно, что видимый свет представляет собой поперечные электромагнитные волны. При распространении электромагнитной волны в пространстве в нем совершают колбания вектор направления электрического поля $\vec{E}$ и вектор индукции магнитного поля $\vec{B}$. Эти векторы всегда взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению расстояния волны. Свет, в котором направления колбаний упорядочены каким-либо образом, называют поляризованным. Если колбания вектора $\vec{E}$ все время проискдает в одной плоскости, то говорят, что свет плоскополяризованный (или линейно поляризованный), а саму эту плоскость называют плоскостю поляризация.

Свет, излученный одним atomом, поляризован всема. Однако излучение максимопрерывного тела (Солнца, электрической лампочки и т.п.) является суммой излучений огромного числа atoms. Каждый из них излучает светового волну на протяжении примерно $10^{-8}$ с, и если все atoms будут излучать свет с различной поляризцией, то поляризация всего лучка будет меньше на протяжении таких же промежутков времени. Поэтому в естественном свете эффициры, связанные с поляризациями,.upредняются, и такой свет на

36

зывают неполяризованным. Для выделения из неполяризованного света «части», обладающей желаемой поляризацией, использует так называемые поляризаторы. В их роли может выступать тот же кристалл испандского шпата, из которого обыкновенный и необыкновенный лучи выходят плоскополяризованными во взимно перпендикулярных плоскостях, а также искусственные поляризаторы.

Разберем прицип действия этого прибора на известном вам примере поляризатора для электромагнитных волн сантиметрового диапазона (см. «Физику 10», § 47). Он выполнен в виде ряда параллельных металлических прутьев, сделанных из хорошего проводника. При разделении на решетку электромагнитной волны (с длиной, сравнимой с расстоянием между прутьями) составляющая электрического поля, параллельная прутьям, сильно затухает, так как под ее воздействием в прутьях возникает электрический ток, что приводит к потерям энергии на джоулево телло. Кроме того, происходит частное отражение волны от решетки. В результате параллельная составляющая волны через решетку фактически не проходит. Перpendicularная же прутьям составляющая электриче-

Неколько задач на один пример

Предлагаем вам несколько задач на построение с помощью преобразования плоскости — поворотов, параллельных переносов, осевых симметрий, гомотетей. Способ применения преобразования во всех задач один и тот же. Мы проиллюстрируем его примером.

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ и точка $A$. Требуется построить отрезок с концами на данных окружности, который бы делился точкой $A$ пополам.

Решение. Пусть $X$ и $Y$ — концы искомого отрезка, принадлежшие соответственно $\omega_1$ и $\omega_2$. При центральной симметринии с центром $A$ точка $Y$ должна перейти в $X$, т. е. попасть на окружность $\omega_1$. В то же время она должна оказаться на окружности $\omega_2$, симметричной $\omega_2$ относительной $A$ (так как $Y \in \omega_2$). Следовательно, $X$ — точка пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Задча может иметь два, одно или ни одного решения.

Подумайте какие преобразования надо применить в следующих задачах:

1. Дана прямая и две окружности по разные стороны от нее. Постройте квадрат, диагональ которого лежит на прямой, а концы другой diagonали — на окружности.

2. Даны три параллельные прямые. Постройте правильный треугольник, вершины которого лежат (по одному) на этих прямых.

3. Даны окружность и точка $A$ вне неe. Постройте луч с началом в $A$, пересекающий окружность последовательно в точках $B$ и $C$ таких, что $AB=BC$.

4. Даны точка $A$, окружность и прямая. Постройте квадрат $ABCD$ такой, что на окружности лежит его вершина $B$, а на прямой a) вершина $D$, 6) вершина $C$.

5. Даны две пересекающие прямые и две точки, $A$ и $B$. Постройте параллельграмм $ABCD$, вершины $C$ и $D$ которого лежат (по одному) на данных прямых.

6. Даны две концентрические окружности. Проведите в большей окружности хорд, которая бы делилась меньшей окружностью на три равные части.

Д. В.

37

Выбор наиболее варианта

Кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР,
.J.K. М. РАБВОТ

В младших классах, а также на вступительных экзаменах вузы, часто предлагают задачи на составление уравнений. При этом приходится, во-первых, занимать переводом условий с общного языка на математический, а во-вторых, решать полученные уравнения и неравенства.
В тексте задачи описана какая-нибудь ситuation и требуется по одним указанным данным определить другие. Вот, например, первые и последние фразы условий задачи из учебника алгебры для 7 класса:
«Две машинстики получили для перечатки рукопись… За сколько часов могла бы перечатать рукопись каждой машинства?»
«Катер отправился от речного вокзала вниз по течению… Сколко времени затратил волосипедист на пути от города до турбазы?»
«Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка… Какова была первоначальная масса сплава?»
Важно уметь решать такие задачи, так как в произвольенной и экономической практике часто приходится подводить итоги, перечитывать и суммировать различные показатели, анализировать работу предприя-

тий и т.п. Результатом этой деятельности является уяснение сложившейся ситуации. После этого естественно сделать следующий шаг — составить план-программу дальнейших действия. Здесь, конечно, возможно множество вариантов и хочеется выбрать из них наиболее удобный.

Постановка и решение таких задач является предметом математического программирования. Однако из первых, кто использовал математку в подобных вопросах, был советский математик, академик Л. В. Канторович (1912—1986). В 1939 г. вышла его книга «Matематические методы организации и планирования произвольства». Во введении к этой книге он писал:

«Существуют два пути повышения эффективности работы цеха, предприятия и целой отрасли промышленности. Однако путь — это различные улучшения в технике, то есть новые приспособления в отдельном станке, изменение технологического процесса, нахождение новых, лучших видов сырья. Другой путь, пока гораздо меньше использовать, — это улучшение в организации произвольства и планирования. Сюда относятся, например, такие вопросы, как распределение работ между отдельными станками предприятия или механизмами, правильное распределение заказов по предприятиям, правильное распределение различных видов сырья, топлива и пр.»

С тех пор прошло много лет, и математическое программирование стало целой наукой, основанной на эко-

38

номико-mатематических методах и широко использовей ЭВМ.

В результате задач планирования и управления приходится иметь дело одновременно с очень большим количеством переменных. Мы разработем несколько простых учебных примеров с небольшим числом переменных, в которых можно получить решения с помощью математики, известной ученикам 6-7 классов,— пропорций, свойств линейной функции одного переменного, небольшого перебора вариантов и, конечно, смекалки.

Где построить баню? В деревне Мочалкино 100 жителей, а в деревне Веники — 50 жителей. В каком месте шоссе, соединяющего эти деревни, надо построить баню, чтобы общее расстояние, которое придется прочит по шоссе всем 150 жителям до бани, было наименьшим?

Переведем условие задачи на математический язык. Пусть расстояние по шоссе между деревнями равно a км и баня находится между деревнями в x км от Мочалкино, тем самым 0≤x≤a. Тогда все 100 жителей этой деревни прочит до бани 100x km, а все 50 жителей деревни Веники — 50(a-x) km. Всего будет прочитено S=100x+50(a-x) км.

Итак, мы получили следующую математическую задачу: найти наименьшее значение величины S=50x+50a при условии, что 0≤x≤a, где a — фиксированное число.

Решить задачу очень легко: достаточно заменить, что величина S уменьшается с уменьшением x, поэтому наименьшее значение S будет при наименьшем возможном значении x, то есть при x=0, и тем самым строить баню нужно в деревне Мочалкино.

Обсудим полученный результат. Почти все, кому мы задавали вопрос, где построить баню, сразу ответили, что ее надо построить в месте, расстояние от которого до деревни Мочалкино в два раза меньше расстояния до деревни Веники. Наверное, у них возникла такая физическая модель: представляются качели, на одном конце доски сидит человек, в два раза более тяжелый, чем сидящий на другом конце.

Если баня будет находиться на расстоянии a/3 от Мочалкино, то все жители вместе прочит до бани такой же путь, что и жители Веников:

100·a/3=50·2a/3. Наверное, это каждая более справедливым, если имеет в виду не всех жителей, а противопоставлять одну деревню другой и искать «точку равновесия». Но это будет решение совсем другой математической задачи: при каком значении x, где 0≤x≤a, величина f=|100x-50(a-x)| будет наименьшей?

Конечно, слова «наилучший вариант» могут пониматься совершенно по-разному. Чтобы в них точный смысл, мы составляем целевую функцию. В нашей задаче это была функция S=50x+50a, а в другом варианте — функция f=|150x-50a|. Найдя x, при котором целевая функция принимает наименьшее значение, мы получили наилучший (с определенной точки зрения) вариант.

Ясно, что жители деревни Веники могут оказаться не в восторге ни от одного из этих вариантов и, возможно, могут вывинуть против них довольно вскоре аргументы. Складем, что стариков и детей у них больше, а машин — меньше, чем в Мочалкино, что у них есть водопровод, а в Мочалкино — нет и т.п. Но если все это учесть, то получится совсем другой математической задача — другой математической модель.

Мы надеемся, что несколько легкими сложениями прочитаго баню не создается у читателей неверного впечатления. Вот пожоже, но уже выполне серверные задачи: где на территории большого завода с несколько цехами разместить столовой? Как лучше спланировать в ней обслуживание работы?

Здесь выбор целевой функции в принципие ясен (наименьшая затрата времени), но оптимальное решение зависит не только от числа рабочих в разных цехах, но и от особен-

39

ности производства и других факторов.

Лучший способ добрать до вокзала. Петру Петрович надо срочно добрать до вокзала. Он может вызвать такси, которое придет ядать 24 минуты, и ехать со скоростью 30 km/ч, а может идти пешком со скоростью 6 km/ч. Как ему лучше поступить, если расстояние от дома до вокзала: а) 2 км; б) 3 км; с) 5 км?

Чтобы нагладнее сравнить движение пешхода и автоматили, мы ведем еще один персонал — jenу Петра Петровича.

Представим себе, что Петр Петрович пошел на вокзал пешком, но как только он вышел из дома, его жена заметила, что он забил дома железнодорожный билет, тут же вызвала такси, доходлась его и поехала дорогять мужа.

Подсчитаем время, через которой она его доогнит. Через время $t$ после своего выхода из дома Петр Петрович будет находиться на расстоянии 6т км от дома, а при $t > 24$ мин=2/5 ч такси пройдет 30(t—2/5) км.

Такси может догнать Петра Петровича в момент, когда

$$6t = 30(t - 2/5),$$

то есть при $t = 1/2$ ч. Если до вокзала меньше, чем 1/2 ч хода, жена не успет догнать мужа, если же больше, чем 1/2 ч, то она его доогнит и подвезет на вокзал. За $t = 1/2$ ч Петр Петрович может удалиться от дома на 3 км. В результате этих расхождения мы приходим к следующему выводу.

Если расстояние до вокзала меньше 3 км, как в случае $a$), Петру Петрович лучше идти пешком; если равно 3 км, то все равно — пешком или на такси; а если больше 3 км, как в случае $b$) — лучшие вызвать такси.

Для лучшего понимания решения полезно представить графическое изображение молчально сделан ряд предположений: пешход и такси движут равномерно, вызов и выезд такси проискают мгновенно (на практике это далеко не так) и т.п. Кроме того, по нашему условиядля Петра Петровича самим ценным было время. Но в случае $b$) мы столкнулись с тем, что нашлось два равноценных с этой точки зрения варанта. Для выбор одного из них нужно другое сообщение: или стоимость поездки (тогда он, скорее всего,ойдет пешком), или удобства (тогда он поедет на такси).

Один велосипед на двойх. Два брата, Коля и Сережа, хотя добраться до бабушки, живущей от них в 40 км. У них есть один велосипед, на который они подрузили вещи. Коля ходит пешком со скоростью 6 km/ч, а ездит на велосипеде со скоростью 20 km/ч; скорости Сережа — соответственно 4 km/ч и 30 km/ч. Велосипед можно оставлять на дороге без присторма. Как им вместе быстрее всего добраться до бабушки?

Предположим, что брата прибывает к бабшке одновременно, и найдем время, за которой они могут это сделать. Затем мы покажем, что за меньше времени один из них не сможет добраться до бабшки.

Пусть Коля $x$ км проехал на велосипеде и $(40-x)$ км проехал пешком, а Сережа, наоборот, проехал $x$ км, а проехал $(40-x)$ км.

Тогда Коля затратил на дорогу $(x/20+(40-x)/6)$ часов, а Сережа — $(x/4+(40-x)/30)$ часов.

Если они приближены одновременно,

$$\frac{x}{20} + \frac{40-x}{6} = \frac{x}{4} + \frac{40-x}{30}.$$

41

$$m = \frac{2}{15} + \frac{7}{15} y,$$

которая принимает наименьшее значение при наименьшем возможном значении $y = 0$. Если мы выражали $m$ не через $y$, а через $x$ или через $z$, то было бы сложнее выяснить, на каком промежутке надо искать ее наименьшее значение. Как лучше выбирать, к какой переменной свойить функцию — это тоже важная задача.

Можно было бы обойтись без этих выкладок, если подметить следующие обстоятельства. Чтобы новый сплав содержал 40% кobalта и как можно меньше меди, надо, чтобы в нем было как можно больше никеля. Поэтому второй сплав, который, казалось бы, хорошо тем, что в нем уже 40% кobalта, лучше вообше не трогать, так как в нем совсем нет никеля — см. таблицу. Значит, надо смешать первый и третьий сплавы. Пусть мы взяли $a$ кг первого сплава, тогда надо взять $(1-a)$ кг третьего. В новом сплаве будет содержаться 0,6(1-a) кг кobalта. По условию 0,6(1-a)=0,4, поэтому $a=1/3$, что приводит к ответу.

Новогодняя задача*). На 100 руб. решение купить.elочных церрушек. Елочные церрушки продаются наоборот. Набор, состоящий из 20 церрушек, стоит 4 руб., набор, состоящий из 35 церрушек, стоит 6 руб., набор, состоящий из 50 церрушек, стоит 9 рублей. Сколько и каких наборов нужно купить, чтобы было куплено наименьшее количество церрушек?

Одна церрушка в первом наборе стоит 1/5 руб., во втором наборе — 6/35 руб., в третьем наборе — 9/50 руб. Упорядочим эти числа: 6/35<9/50<1/5. Итак, самые дешевая игрушки во втором наборе, а самые дорогие — в первом.

Чтобы купить на 100 руб. как можно больше церрушек, нужно, конечно, купить побольшие девевых церрушек. Самое большое, мы можем купить 16 наборов по 6 руб. и затратить на это 96 руб.

Остаются 4 руб., на которые можно лишить купить первой набор. Все мы купим таким способом 16·35+20=580 церрушек.

Скорее всего, это самый лучший вариант. Проверим все-tаки еще такой: если купить 15 шестигрублевых наборов, то остается 10 руб. Мы можем тогда купить еще один девятый гублевый набор или два четырехгублевых. И в том, и в другом случае количество церрушек оказывается меньше, чем в первом варианте.

Итак, надо купить 16 наборов по 6 руб. и 1 набор за 4 руб. При этом будет закуплено 580 церрушек.

Мы пришли к этому ответу с помощью такого естественного сообщения: можно купить тем большие церрушек, чем они дешевле.

Наши рассудения правдоподобны, но, вообше говоря, мы перебрали не все возможные варианты. Поэтому приведем более строгое решение.

Пусть $x$ — количество наборов I типа, $y$ — II типа, $z$ — III типа. Надо найти такие неотрицательные

42

числа $x$, $y$ и $z$, чтобы выполнялись условия $4x+6y+9z \leq 100$ и чтобы величины $S=20x+35y+50z$ были наиболее.

Поскольку

$$4x+6y+9z = \frac{6}{35}S + \frac{4}{7}x + \frac{3}{7}z \geq \frac{6}{35}S,$$

получается, что $\frac{6}{35}S \leq 100$, откуда $S \leq 583\frac{1}{3}$.

Так как $S=20x+35y+50z$ — целое число, делящаяся на 5, имеем $S \leq 580$. При $x=1$, $y=16$, $z=0$ все условия выполняются и $S=580$.

Эта задача относится к целочисленному программированию, которое является одним из наиболее сложных разделов математического программирования.

Задания

1. Трех молодых продавцов — Юрия, Якова и Льва — распределили на работу в универсаг. Директору универсмаги нужно направить одного из них в отдел радитоваров, другого — в отдел музыкальных инструментов, а третьего — в отдел фототоваров. Директор поросил психолога помочь ему проверсти это назначение наличищим образом. Психолог провод с ними беседу и оценил знания каждого

| РАДИО | ФОТО | МУЗЫКА |
| :— | :— | :— |
| Юрий | 5 | 4 | 7 |
| Яков | 6 | 7 | 3 |
| Леб | 8 | 11 | 2 |

во всех трех областях в баллах. Затем он составил таблицу и представил ее директору универсмага. Как директору распределить новичков, чтобы сумма соответствующих баллов была наиболее? (Например, если Юрия назначит в радиотелел, Якова — в музыкальный, а Льва — в фотоотдел, то сумма баллов будет равна $5+3+11=19$).

2. На сковородке, вместеошёл две котлеты, можно их поджарить с обеих сторон за 10 минут. Как быстрее всего поджарить на этой сковородке 3 котлеты?

3. Даны две точки, $A$ и $B$, расположенные по одному сторону от данной прямой. Как расположить на этой прямой отрезок МК данной длины $a$, чтобы ломана AMKB имела наименьшую длину?

4. Три братьки один вложен, и им нужно добавить до дома, находящемся в 30 км от магазина. Каждый из братьев ходит пешком со скоростью 4 км/ч, а ездит на вложенце со скоростью 20 км/ч. За какое наименьшее время они могут добавиться до дома? (Вложенем можно оставлять на дороге без пристма.)

5*) Малыш может съеть торт за 10 минут, банку варенья — за 8 минут и выпить пакет молока за 4 минут. Карлсон может это сделать соответственно в 2 раза быстрее. За какое наименьшее время они могут вместе покончит с завтраком, состоящим из торта, банки варенья и пакета молока?

6. В каждом из четырех содержится по 1 л смеси кислоты с водой. Процентное содержание кислоты в них равно 10%, 30%, 60%, 80% соответствует. Лаборатору нужно получить 50%-ю смесь кислоты с водой. Какое наименьшее количество таких смеси он может получить, сливая смеси из данных сосудов?

7. Нужно изготовить сплав, содержащий 40% олова. На складе имеются 3 сплава с 60%, 10% и 40% содержанием олова. Цена 1 кг каждой из имеющих сплавов равна 4,3 руб., 5,8 руб. и 5,5 руб. соответствует. Какое сплавы и в какой пропорции надо взять на складе, чтобы 1 кг нового сплава был как можнодешевле?

8. (Задача вступительная экзамена отделений планирования народного хозяйства и экономического библиотека экономического факультета МГУ 1984 г). Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов. Для сборки 12-квартирного дома необходимо 70 деталей первого и 100 деталей второго вида. Для сборки 16-квартирного дома требуется 110 и 150, а для дома на 21 квартиру нужно 150 и 200 деталей первого и второго вида соответствующего. Все имеется 900 деталей первого и 1300 деталей второго вида. Сколько и каких домов нужно собрать, чтобы общее количество квартир в них было наиболее?

9. На коллецей магистрали расположены три склада и три магазина; расстояние между каждойми двумя соседними пунктами равен 1 км. На рисунке показано наличие товара на складах (в тоннах) со знаком «+» и потребности магазина в товара (в тоннах) со знаком «-». Требуется составить наименьшее экономный план перевозок, чтобы перевести все грузы со склада в магазина и чтобы сумма перевозных тонно-километров была наименьшей. (Приведите наличищий, с вашей точки зрения, вариант перевозок и изложите те сообщения, которые приведены вас к этому ответу.)

43

Циклы, циклы, циклы…

Кандидат физико-математических наук
Л. Ф. ШТЕРНБЕРГ

Программирование потеряло бы многое, если бы не было понятия ветвления или вспомогательного алгоритма, но все же сердце программы — это циклы. Однако раз написанная команда, стояшая внутри цикла, будет выполнять многоратно — это и придает смысл работе по составлению программы.

Работе команды потеряния отвечено 3 страницы в учебнике 9 класса, и с ее помощью решается много задач. Еще 2 страницы теории отвечено ей в учебнике «Информаτικά-10» *); вводится дополнительная конструкция — цикл для, которая удобна, но без которой можно было бы и обойтись. Так что же можно сказать о циклах? Komy неопоняна фраза на русском языке

пока условие потерять действия кц, из которого и получается команда

*) Так автор кратко называет учебное пособие «Основы информатики и вычислительной техники», Примеч. ред.)

повторения (если заменить слово «повторять» словом «нцц»)? Мы и далее в записи команд цикла будем использовать слово «повторять» — записанный так цикл легче читать и поннимать. И все-tаки циклы бывают разные.

Начнем с простейшей задачи: с помощью описанного на c. 78—81 учебника «Информаτικά-9» графический исполнитель нарисовать нотный стан с длиной линии 50 и расстоянием между линиями 3. Это можно сделать такой программиной (здесь и далее мы будем писать только программы, без заголовка и без описаний):

k:=1;
пока k≤5 повторять
направо (90); рисуй; вперед (50);
не рисуй; назад (50);
налево (90); вперед (3);
k:=k+1
кц

Если бы нашим исполнительом командоваал человек, не знакомый с программированием, то он был сказал так: «выполнить 5 раз следующее: направо (90); рисуй … вперед (3)». И действительно: переменная k нужна нам только для того, чтобы считать количество потеряний цикла, в теле цикла она нам не нужна; но исполнитель-то об этом не знает, и он честно завершет переменную k и будет записьать туда текущее значение k: а вдруг его будут использовать в те-

45

i:=0; y:=a[0];
пока i≠n повторять
i:=i+1; y:=y·x+a[i]
кц

Посмотрите на переменную i: на каждом шаге цикла она изменяется на одно и то же значение (в данном случае на 1), и именно по этой переменной определяется, когда надо кончать цикл. Пропистайте учебник — почти на каждой странице вы найдете цикл, в котором какая-то переменная каждой раз изменяется на одно и то же значение, и именно по ее значению определяется завершение работы цикла. Такая ситуация встречается очень часто, поэтому такие циклы получили специальное название — циклы с параметром.

Параметром цикла называется та самая переменная, которая меняется одинаковым образом и служит для определения окончания работы цикла. Есть для них и специальная форма записи:

меняя параметр от значения 1 шагом значение 2
до значения 3 повторять действия кц

Смысл этой конструкции, как всегда, соответствует значению фразы на русском языке. С ее помощью алгоритм схемы Горнера можно записать
y:=a[0];
меняя i от 1 шагом 1 до n повторять
y:=y·x+a[i]
кц

Как видим, здесь заголовок цикла возвращ в себя и установку начального значения параметра, и изменение его, и проверку на окончание цикла. При этом шаг, если он равен единице, можно не задавать. Так, в нашем случае можно записать

меняя i от 1 до n повторять

Такой цикл имеется практическим во всех языках программирования, но по традиции имеет чуть другую форму записи:

для … от … шаг … до … цикл и называется еще «цикл для». Именно в таком виде он есть в языках Panipa, ПЛ/1, Аллол-60, Аллол-68 и т. д. При этом в некоторых языках (Фортран, например, или школьный алгоритмический язык) сначала задается конечное значение, а затем шаг, а в некоторых (ПЛ/1) — можно писать и так, и так.

Почему же эта конструкция цикла появилась в учебнике «Информация-10»? На первый взгляд этот цикл, как и цикл повторять … раз, не дает нам ничего нового — только запись стала подобнее: вместе
x:=a;
пока x≤b повторять
… x:=x+h;
кц

пишем

меняя x от a шагом h до b повторять … кц и все. Но это не совсем так: например, если a=0, b=1, a h=0,1, то оба цикла сравотают одинаково, но если h=-0,1, то цикл показится (значение a никакогда не станет больше b), а цикл с параметром просто не выполняется ни одного раза: дело в том, что в этом цикле не просто проверяется условие «x≤b», а контрольуется нахождение значения параметра между a и b; при попытке выйти из диапазона в любую сторону, в частности, если шаг направлен не к b, а в обратную сторону, цикл выполнять не будет. Итак, цикл с параметром, как и цикл повторять …
раз — это защитеная конструкция: такие циклы никакогда не защищаются.

Уражение с применением цикла для (цикла меняя) алгоритмы МИНЭЛЕМЕНТ и УПОРЯДОЧЕНИЕ (A7, A8 на c. 93, «Информация-9»).

Но и у цикла с параметром может встречаться ситуация, когда заранее не ясно, сколько надо сделать шагов изменения параметра. Например, пусть в таблице из M элементов надо найти позицию, в которой встречается элемент, равный i. Для поиска элемента надо просмотреть таблицу элемента за элементом, меняя индекс на 1, но сколько шагов надо сделать — это заранее неизвестно. Справиться с этой задачей нам помогет грибид из цикла меняя и цикла пока:

меняя i от 1 шагом 1 пока a[i]≠x повторять кц Обратите внимание: тело цикла пустое — все, что надо, выполняет заголовок цикла; выход из цикла произойдет, когда a[i]=x, при том в i останется номер того элемента таблицы, на котором перевался цикл.

Такой цикл есть в языке ПЛ/1.

Понятно, что можно образовать и гибрид

меня … от … шаг … повторять … до … , в котором изменяется параметр, а проверка произойдет в конце. Приведенный выше метод поиска нужного элемента в таблице будет работать только тогда, когда мы уверены в

46

том, что искомый элемент в таблице есть. Если его нет, то через $M$ шагов значение $i$ выйдет за границу таблицы, и нам будет выдано сообщение об ошибке, либо же ЭВМ начнет делать что-то непредсказуемое. Изменим наш алгоритм так, чтобы при отсутствии нужного элемента он давал нам, например, нулевое значение номера. Каазалось бы, можно сделать так:

меняя $i$ от 1 шагом 1 показа $i \leqslant M$ и $a[i] \neq x$ повторять кц;
если $i > M$ то $i := 0$; все;

но так делать нельзя: если нужно элемента нет, то на шаг $(M+1)$, даже убедившись в том, что $i > M$, ЭВМ все равно попробует сравнить несуществующий элемент $a[M+1]$ с $x$ — и может дать сообщение об ошибке. Заглянув в учебник на с. 57, мы найдем способ выкрутиться из этого положения ценой введения дополнительной переменной и дополнительных сравнений (число сравнения придает ни много ни мало — удвоить), и изучив его, признаем, что не каждый смог бы его самостоятельно придумать. Вот если бы нам удалось заставить ЭВМ сначала сравнить $i$ с $M$, а второе сравнение проводить только при положительной результате первого сравнения…

Но читатель уже, наверное, понял основную нашу мысль: если нам неудобно работать, значит, нам чего-то не хватает и это «что-то» надо вести. А не хватает нам возможность выполнять две отдельные проверки и два выход из цикла: по обнаружению элемента и по исчернинию таблицы. Если учесть, что задача поиска — это весма частая задача, то введение удобных средств для поиска — не мелочь. Но признав, что в цикле может быть более одной причины выхода, не стоит ограничивать и думя. И вот в нашем алгоритмческом языке появляется мощная и удобная конструкция цикла, охватывающая почти все нужные случаи:

меняя … от … шагом … до …
пока … повторить … раз
тelo цикла
до … кц,

где может отсутствовать любая из подчерknутых частей, причем не должны присутствовать одновременно-

47

Вышение расстояний и углов

Кандидат педагогических наук
Ю. И. ИОНИН,
В. В. НЕКРАСОВ

В этой статье рассматривается несколько геометрических задач, для решения которых необходимо вычислить те или иные расстояния или углы в пространстве (эти задачи представлены на вступительных экзаменах в развитие вузы). Задания такого типа удобно решать с помощью скалярного произведения векторов. Основной метод решения заключится в том, что в пространстве выбирается подходящий базис и составляется таблица умножения — таблица скалярных произведений векторов этого базиса. Имея такой таблицу и зная разложения векторов в выбранном базисе, вычислить длины этих векторов и углы между ними уже легко. Мы начнем с простой задачи, где этот метод направляется сам собой, а затем перейдем к более сложным задачам, продемонстрировав на них все основные случаи.

Задание 1 (МАИ, 1981). В треугольной парамиде ABCD все ребра имеют одинаковую длину. Точка M — середина ребра AD, точка O — центр треугольника ABC, точка N — середина ребра AB и точка K — середина ребра CD. Найдите угол между прямыми MO и KN.

Решение e. Приимем длину ребра tetraэдра за единицу и выберем в качестве базиса векторы $\overrightarrow{DA} = \vec{a}, \overrightarrow{DB} = \vec{b}, \overrightarrow{DC} = \vec{c}$. Составим таблицу умножения для этого базиса (табл. 1, с. 48). Разложим векторы $\overrightarrow{MO}$ и $\overrightarrow{KN}$ по векторам $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

$$\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{DO} - \overrightarrow{DM} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{2} \vec{a} = \frac{1}{6} (-\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}),$$

$$\overrightarrow{KN} = \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{DK} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{2} \vec{c} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}).$$

Угол $\varphi$ между прямыми MO и KN вычисляется по формуле

$$\cos \varphi = \frac{|\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{KN}|}{|\overrightarrow{MO}| \cdot |\overrightarrow{KN}|}.$$

Найдем $\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{KN}$, $|\overrightarrow{MO}|$ и $|\overrightarrow{KN}|$, получая таблицу 1:

48

$$\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{KN} = \frac{1}{12} (-\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}) (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) = \frac{1}{12};$$
$$|\overrightarrow{MO}| = \frac{1}{6} \sqrt{(-\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c})^2} = \frac{1}{2};$$
$$|\overrightarrow{KN}| = \frac{1}{2} \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Отсюда $\cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{6}$, $\varphi = \arccos \frac{\sqrt{2}}{6}$.

Однако условие задачи не всегда позволяет выбрать базис с полностью определенной таблицей умножения. В этом случае нужно попытаться составить уравнение относительно недостаточного элемента.

Задача 2 (МФТИ, 1974). Сторона основания правльной треугольной прізмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $a$, точки $O$ и $O_1$ являются центрами оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Длина ortogonalной проекции отрезка $AO_1$ на прямую $B_1O$ равна $\frac{5a}{6}$. Определите высоту прізмы.

Решен и е. Выберем в качестве базиса векторы $\overrightarrow{AA_1} = \vec{m}, \overrightarrow{AB} = \vec{n}, \overrightarrow{AC} = \vec{p}$ (рис. 1). Пусть $h = |\vec{m}|$. Таблица 2 — это таблица умножения для базиса $(\vec{m}, \vec{n}, \vec{p})$.

Ортогonalная проекция отрезка $AO_1$ на прямую $B_1O$ равна длине этого отрезка, умноженной на косинус угла

Рис. 1.

ф между прямыми $AO_1$ и $B_1O$. Чтобы вычислить $|\overrightarrow{AO_1}|$ и cos $\varphi$, разложим векторы $\overrightarrow{AO_1}$ и $\overrightarrow{B_1O}$ в базис $(\vec{m}, \vec{n}, \vec{p})$:

$$\overrightarrow{AO_1} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{AC_1}) =$$
$$= \frac{1}{3} (\vec{m} + \vec{m} + \vec{n} + \vec{p}) =$$
$$= \frac{1}{3} (3\vec{m} + \vec{n} + \vec{p});$$
$$\overrightarrow{B_1O} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AB_1} = \frac{1}{3} (\vec{n} + \vec{p}) - (\vec{m} + \vec{n}) =$$
$$= \frac{1}{3} (-3\vec{m} - 2\vec{n} + \vec{p}).$$

Используя таблицу 2, находим:

$$|\overrightarrow{AO_1}| = |\overrightarrow{B_1O}| = \frac{1}{3} \sqrt{9h^2 + 3a^2},$$
$$\overrightarrow{AO_1} \cdot \overrightarrow{B_1O} = -\frac{1}{6} (6h^2 + a^2),$$
$$\cos \varphi = \frac{6h^2 + a^2}{2(3h^2 + a^2)}.$$

Поскольку $|\overrightarrow{AO_1}| \cdot \cos \varphi = \frac{5a}{6}$, мы получаем уравнение
$$\frac{\sqrt{9h^2 + 3a^2}(6h^2 + a^2)}{6(3h^2 + a^2)} = \frac{5a}{6}.$$
Отсюда $h = \frac{a \sqrt{6}}{3}$.

Можно выделить четыре основных типа задачи на вычисление расстояний и углов:

1. Расстояние от точки до прямы

Дано: точка $M$; пряма $l$ с направлением вектором $\vec{a}$, точка $A$, принадлежащая прямой $l$; $\overrightarrow{AM} = \vec{m}$.

Найти: расстояние от точки $M$ до прямы $l$.

(Векторы $\vec{a}$ и $\vec{m}$ в условиях их разложения в некотором базисе с заданной таблицей умножения.)

Приведем схему решения этой задачи.

Пусть $N$ — ortogonalная проекция точки $M$ на прямую $l$ (рис. 2). Тогда $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = x\vec{a} - \vec{m}$. Незввест-

50

$\vec{A} = 60^\circ$. Все ребра прізмы имеют длину $a$. Точка $K$ является ортогональной проекцией точки $B_1$ на плоскость $DA_1C_1$, а точка $L$ — ортогональной проекцией точки $K$ на плоскость $DD_1C_1C$. Найдите объем пирамиды $DCLK$.

Решение. Прием за основание примыды $DCLK$ треугольник $CDL$, лежащий в плоскости $DD_1C_1C$. тогда отрезок $KL$ — высота примыды (рис. 5). Следовательно, $V_{KCDL} = \frac{1}{3} S_{CDL} \cdot KL = \frac{1}{6} DC \cdot LM \cdot KL$, где $M$ — ортогональная проекция точки $L$ на прямую $DC$.

Выберем в качестве базиса векторы $\vec{C}_1\vec{B}_1 = \vec{m}, \vec{C}_1\vec{D}_1 = \vec{n}, \vec{C}_1\vec{C} = \vec{p}$ и заполним таблицу 4 — таблицу умножения для этого базиса.

Далее,
$$\vec{B}_1\vec{K} = \vec{C}_1\vec{K} - \vec{C}_1\vec{B}_1 = x\vec{C}_1\vec{A}_1 + y\vec{C}_1\vec{D} - \vec{C}_1\vec{B}_1 = x(\vec{m} + \vec{n}) + y(\vec{n} + \vec{p}) - \vec{m} = (x - 1)\vec{m} + (x + y)\vec{n} + y\vec{p}.$$

Так как вектор $\vec{B}_1\vec{K}$ перpendикулярен вектором $\vec{C}_1\vec{A}_1$ и $\vec{C}_1\vec{D}$, получаем систему
$$\vec{B}_1\vec{K} \cdot (\vec{m} + \vec{n}) = 0, \quad \vec{B}_1\vec{K} \cdot (\vec{n} + \vec{p}) = 0.$$

Заменив вектор $\vec{B}_1\vec{K}$ его разложением в базис $(\vec{m}, \vec{n}, \vec{p})$ и воспользовавшись таблицей 4, прием после упрощенной к системе управления $2x + y = 1$, $3x + 4y = 1$, открываем $\vec{KL} = \frac{3}{5}(\vec{m} + \vec{n}) - \frac{1}{5}(\vec{n} + \vec{p}) = \frac{1}{5}(3\vec{m} + 2\vec{n} - \vec{p})$. Аналогично $\vec{KL} = \vec{C}_1\vec{L} - \vec{C}_1\vec{K} = z\vec{C}_1\vec{D}_1 + t\vec{C}_1\vec{C} - \vec{C}_1\vec{K} = z\vec{n} + t\vec{p} - \frac{1}{5}(3\vec{m} + 2\vec{n} - \vec{p}) = \frac{1}{5}(-3\vec{m} + (5z - 2)\vec{n} + (5t + 1)\vec{p})$. Так как $\vec{KL} \cdot \vec{n} = 0$, то $-\frac{3}{2} + 5z - 2 = 0$, открываем $z = \frac{7}{10}$, и $5t + 1 = 0$, открываем $t = -\frac{1}{5}$. Следовательно,
$$\vec{KL} = \frac{1}{5}(-3\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}) = \frac{3}{10}(-2\vec{m} + \vec{n}).$$

Теперь можно найти высоту примыды $KCDL$:
$$KL = \frac{3}{10}\sqrt{(-2\vec{m} + \vec{n})^2} = \frac{3a\sqrt{3}}{10}.$$

Осталось найти $\vec{LM}$:
$$\vec{LM} = \vec{CM} - \vec{CL} = u\vec{CD} - (\vec{C}_1\vec{L} - \vec{C}_1\vec{C}) = u\vec{n} - z\vec{n} - t\vec{p} + \vec{p} = (u - \frac{7}{10})\vec{n} + \frac{6}{5}\vec{p}.$$

Так как $\vec{LM} \cdot \vec{n} = 0$, то $u = \frac{7}{10}$, открываем $\vec{LM} = \frac{6}{5}\vec{p}$, $|\vec{LM}| = \frac{6a}{5}$. Таким образом,
$$V_{KCDL} = \frac{1}{6} \cdot a \cdot \frac{6a}{5} \cdot \frac{3a\sqrt{3}}{10} = \frac{3a^3\sqrt{3}}{50}.$$

3. Расстояние и угол между скрещивающимся прямыми

Дано: прямая $l_1$ с направляющим вектором $\vec{a}_1$, точка $A_1$, принадлежащая прямой $l_1$; прямая $l_2$ с направляющим вектором $\vec{a}_2$, точка $A_2$, принадлежащая прямой $l_2$; $\vec{A}_1\vec{A}_2 = \vec{m}$.

Найти: расстояние $u$ угол между прямыми $l_1$ и $l_2$.