Квант 1987, №5 · Страницы

ISSN 0130—2221
Квант
Научно-популярный
физико-математический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1987

1

В номере:

2 Время творить, время деревать!
4 П. А. Пебзнер. Лучше пари для простаков
9 Г. С. Симин. Оптическая elektronika при свечах
16 Д. Г. Крутоzin. Кто управляет городом МК?

Задачик «Квант»
22 Задачи M1041 — M1045; Ф1053 — Ф1057
24 Решения задач M1021 — M1025; Ф1033 — Ф1037

«Квант» для младших школьников
31 Задачи
34 Н. Я. Виленкин. Из истории добей

32 Калейдоскоп «Квант»

Школа в «Квант»
37 Физика 8, 9, 10:
Законы сохранения и системы отчета
Как работает электродвигатель?
Физика музыkalной гармонини
49 Избранные школьные задачи

Новости науки
44 Мечта становится реальностью

Математический кругок
45 С. И. Соболев. О случайных букданиях

Практикум абитуриента
50 Э. Г. Готман. Правильное решение геометрической задачи

Варианты вступительных экзаменов
61 Ответы, указания, решения
Шахматная страница
Чемпionаты компьютеров (3-я с. обложки)

Наша библика

Солнечные батареи, оптические кабели связи, чувственные фотодетекторы — все это сегодняший день оптической elektronики.
А начало этой самой молодой области полупроводниковой техники было положено … более лет назад.
О первых шагах оптоэлектроники рассказывается в стате Г. С. Симина. Фотографини на первой и второй страницах обложки — илистрации к этой стате.

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1987

2

Время творить,
время деревать!

Дорогие наши читатели-школьники! В вашей жизни произшло знаменательное событие. После длительного активной подготовки состоялся XX съезд ВЛКСМ. Он открыл новую эру в истории комсомола, стал хороший практический школь перестройки и демократизации одной из самых массовых общественных организаций нашей страны. Над материалами съезда надо упорно думать, их надо внимательно изучать и обсуждать в коллективах. Ведь они затрагивают все стороны жизни молодежи и подвергают их открытому, чистомому анализу.

У нашей комсомола имеются немалые заслуги, отмеченные высокими нагradами Родины. Но и его не обошли элементы застоя, биократацияции, формализма, с которых мы столкнулись в последние десятилетия как в экономике, так и в социальной деятельности. Не имея необходимых условий для самостоятельного преодоления этих негативных явлений, многие из вас утратили социальную активность, замкнулись в кругу личных интересов, пытались приспособиться к окружающей деятельности.

Решения съезда по мере их практической реализации приведут к коренному обновлению всех сторон деятельности комсомола. Они признают вас к активности, самоодействности, самоуправлению. Ведь вам предстоит участвовать в революционном обновлении социальистического общества. Думайте, спорьте, ищите, предлагайте, настан赁ите, добивайте, словом, включайте в открытую борьбу за совершенствование нашей советской школы, нашero социальистического общества. Овладелайте знаниями, расширяйте свой кругозор, укрепляйте волю, дисциплинируйте характер. Упорная учeba — залог успешной трудовой деятельности в будущее жизни. Но не зубрите, а старайтесь понять изучаемый материал, найти свой интерес в каждом школьном предмете.

Над предполеть привычную инерцию в учебе. В отсутством докладе ЦК ВЛКСМ съезду по этому

3

поводу сказано четко: «Приобретение знаний — направленный труд. Оdnako в создании учащихся и студентов по-прежнему живет убеждание, что период учебы — это лишь порядок к труду, это еще не сама жизнь, а подготовка к ней». С этим неправильным убежданием надо распрошаться посокоее и навсегда.

В отчетном докладе ЦК ВЛКСМ поставлена и такая задача: «Давайте, товарищи, займемся новым для нас делом — поиском талантов. Ведь это беспечное достояние общества». Таланты пробуждаются рано, еще за школьной партой. Но нельзя бывают их заметить, поддержать, взрастить. Именно к этому и стремится наш «Квант», пробуждая интерес к физico-mатематическим научам и страясь помогать самостояльному развитию юных талантов.

Выбирайте комсомольскими воскаками тех, кто талантлив, честен, трудолюбив, принимален, кто может поступать за интересы ученического коллектива. Выбирайте и поддерживайте их своей инциативой, конкретными, интересными для вас делами. Время беспреженных соглашателей и присрособленцев, ловкачей и тунядцев уходит в прошлое.

Чаще обращайтесь к Ленину, к его работам последовательского периода. Ответы на многое вопросы о месте молодежи и комсомола в жизни общества и сегодня можно найти в его речи на III съезд РКСМ, в центральной идее этой речи о том, что главная задача Союза молодежи — учиться коммунизму.

Впереди у вас необычайно интересная и непростая жизнь. Помните, что недалеко от времени, когда на ваш плену ляжет ответственность за будущее социальizaма, за судьбы человека. Выступая на съезд, генеральный секретарь ЦК КПСС М. С. Горбачев сказал, обращаясь к молодежи: «Развитие цивилизации сегодня страяет грань междувозможным и невозможным. В ваше распоряжение поступает такая колосальная научно-техническая мощь и интеллектуальный потенциал, каких не было в руках ни у одного из живших на Земле поколеней человекаского рода… И, вступая во владение этой мощью, помните, что вы творите будущее».

4

ЛУЧШЕЕ ПАРИ
ДЛЯ ПРОСТАКОВ

Кандидат физико-математических наук
П. А. ПЕВЗНЕР

— Почему ты никогда не играешь? — Спросил Мальыш у Смока, когда они как-то раз сделали в «Оленем роze». Нeyжели тебя не тайет к цорному столу?
— Тайет, — ответил Смок.— Но я знаю статистику производства, а мне нужна верная приблибь.

Джек Лондон, Смок Беллю

Вы наверняка знаете игру орел-решка: игрок А выбирает какую-нибудь сторону монеты (например, О — орел), сообщает об этом В; В берет другую сторону; после этого подбрасывает монета … Ни у кого не возникает сомнений в том, что игрок орел-решка — честный способ решения спорных вопросов.

В 1974 году Мартин Гарднер в статье «Парадокс, возникающий из-за неразнзитивных отношений» позnakомил читатель журнала Scientific American с «такой же чистой» игрой, которое он назвал лучшим парил проставков. Эта игра сходна с игрок орел-решка, только игроки задумывали слова не из одной буквы, как в игре орел-решка, а из нескольких букв. Мартин, игрок А задумывает слова ОРО и сообщает об этом В; В в свою очередь задумывает какое-нибудь слово такой же длины, например, OOP. Разумеется, выбранные слова не должны совпадать, поэтому А и сообщает о своей выборе В. После этого игроки начинают подбрасывать монету, записывая результат каждого бросания. Мартин, после 6 бросаний с исходами: решка, орел, решка, решка, орел, решка, будет записана последовательность POPPOP. Игра прекращается в тот момент, когда в записываемой последовательности букв на конце возникнет слово, выбранное А или В; в первом случае победа присуждается А, во втором — В. Таким образом, победает тот, чье слово появится раньше. Мартин, если на следующем монеты выпадет О, то победит А, так как будет написано POPPOP (курсивными буквами выделено возникшее в последовательности слова, выбранное игром A); Если на следующем броске выпадет P, то игру следует продолжить (так как в POPPOP не содержится ни ОРО, ни OOP); при этом в случае, когда на 8-м, 9-м и 10-м бросах выпадут О, О, Р, победит В — ведь будет написано POPPOPООР.

Если вы играете в игру орел-решка, то выбор орла или решки — дело вкуса, так как слова О и Р равноправны. На первый взгляд кажется, что и в «лучшем пари для простаков» все слова равноправны. В 1969 году создатель этой игры Вальтер Пенней обнаружил неравноправность слов. Большинство математиков, узналих правил игры, в первый момент отказываются в это поверить. Тем не менее это так — для многих пар слов выбор одного из них (самого «сильного») обеспечивает премиущество игру, осуществившего это выбор: этот игрок выгрывает чашце, чем его противник, игра оказывается нечестной. Более того, существует формула, позволяющая количественно выразить это премиущество.

С этой формулировке связана почти детективная история. Гарднер привел ее в своей статье, сославшись на известного английского математика Джона Конвея, сообщившего о ней в письме (без доказательства). Гарднер признался, что у него нет идеи о том, как ее доказывать и «предположил», что она получена с помощью матини, как и многое другое результаты Конвея.

Сообщения Конвея об этой задаче до сих пор не напечатаны, но в конце 70-х, начале 80-х годов его формула была неависимо и разными способами доказана сразу несколько математиками. Однако все эти работы использовали довольно серверный математический аппарат, и формула появлялась в них, как фокус: после деления одних трехтажных выражений на другие. Оказывается, существ-

5

вует элементарное доказательство формулы Конвеля, эскиз которого приводится в заключение этой статьи. Более того, сейчас имеется и простой алгоритм для нахождения лучшего ответа для второго игрок, хотя первоначальный заменатель алгоритм (для слов из трех букв), предложенный в статье Гарднера и принадлежший его коллеге В. Волку, по туманности и запутанности не уступает алхимическим решетам получения философского камня.

Но мы отвлеклись. Осталось невязываенным, почему слова в нашей игре могут быть неравноправными.

Какое слово сильнее?

Рассмотрим конкретный пример. Представим себе, что в игре с двумбукувенными словами игрок А поставил на комбинацию «решка-решка», а В — на комбинацию «орел-решка». Тогда А выиграет, только если при первых двух бросаниях выпадет PP: если выпадет ОР, сразу же выиграет В, если выпадет PO или OO, то В тоже выиграет, хотя и не сразу; именно, в последних двух случаях В выиграет, как только при очередном бросании выпадет P (а это когда-нибудь и произойдет — при чистом бросании монета не может всегда выпадать орлом). Таким образом, из четырех равновозможных слушав (PP, ОР, PO, OO) игрок А выиграет в одном (PP), т. е. шансы на выиграшу y А в три раза хуже, чем y B.

По поводу игры с двумбукувенными словами стоит заметить, что умный игрок А не будет выиграть слово PP (равно как и слово OO). Он выберет слово ОР (или PO), а тогда его шансы на выиграшии и проигрыш одинаковы, если, конечно, В не выберет одно из «слабых» слов OO или PP (проверьте!).

Рис. 1.

Но если перейти к трехбукувенным словам, картина принимающая меняется. Именно: какое бы трехбукувенное слово не выбрал церок А, его соперник В может подобрать другое слово, которое ему дает больше шанс на выигрыш.

— Как же так,— спросит читатель,—почему бы игрок А не выбрать «самое сильное» слова, ведь он выбирает первым? А дело как раз в том, что нет самого сильного слова. Ситуация наглядно появляется рисунок 1. На нем выписаны все трехбукувенные слова составленные из букв O, P, а красные стрелки между двумя словами указывают, какое из этих двух слов сильнее (т. е. дает больше шанс на выиграшии).

Посмотрите на рисунок 1: из каждого слова выходит хотя бы одна стрелка; значит, для любого слова есть более сильное, т. е. нет самого сильного слова. Обратите внимание на цикл из слов PPO, OPP, OOP и PPO. Мы видим: из того, что слова X сильнее Y, а Y сильнее Z, вовсе не следует, что X будет сильнее Z (ситуация, которая часто возникнет в спортивных современных). Математики говорят, что отношение «быть сильнее» нетраизитивно (отсюда и название упомянутой статьи Гарднера). Имея в своей распоряжении рисунок 1, игрок B, руководствуясь стрелками, всегда может в ответ на выбор А выиграть для себя более сильное слово. И тогда он будет чаще выиграть, чем его противник.

Но насоколько чаше? И откуда следует, что рисунок 1 правильно отражает реальную ситуацию? На эти вопросы нам предстоит ответить.

Оценим шансы на выиграшии

Вернемся к двумбукувенной игре. Будем, как и раньше, предполагать, что наивный игрок А выбрал слово A=11, а его хитрый противник B поставил на слово B=01 (вместо букв O, P мы теперь пишем цифры 0,1, а игрок и выбранное им слова обозначаем одной буквой). Последовательности бросаний монеты, на которых выиграет А, будем называть A-сериями (анаалогично определяется B-серии). Например, 11 — A-серия, а 01, 001, 0001, 101, 1001, 10001 — B-серии.

6

Таблица 1.

Очевидно, что 11 — единственная А-серия (т. е. А выигрывает в том и только в том случае, когда первые два броска монеты дают 1). Далее, не менее оченьindo, что B-серия имеет вид 0…1, либо 10…1 (на месте многооточная может стать любое число нуля).

Итак, 11 — единственная А-серия. Давайте попытемся определить вероятность*) выигрыша A, т. е. должно слияев, в которых после двух бросаний появляется последовательность 11.

В результате одного бросания возможны два исхода (0 и 1) — вероятность каждого исхода равна 1/2. В результате двух бросаний возможны четыре исхода, вероятность каждого равна 1/4, следовательно вероятность выигрыша A равна 1/4 (т. е. А выигрыает в 1/4 всех слияев):

$$P(A, B) = P(11) = 1/4$$

(через $P(A, B)$ обозначена вероятность выигрыша A у В, через $P(11)$ — вероятность серии 11).

В результате $n$ бросаний могут получить $2^n$ (равновозможных) исходов; следовательно, вероятность каждого серии длины $n$ равна $1/2^n$. Для того, чтобы посчитать вероятность $P(B, A; n)$ выигрыша В за $n$ шагов или менее, необходимо найти вероятность каждого $B$-серии длины $\leq n$ и просуммировать эти вероятности. Получим

$$P(B, A; n) = P(01) + P(001) + \dots$$

$$\dots + P(0...01) + P(101) + P(1001) + \dots$$

• Мы не определем здесь понятие вероятности — в нашей стране слова «вероятность» и «доля слияев» — синонимы. Читатель, желающий ознакомиться с этим понятием, мы отсылаем к книге: А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прокоров, Введение в теории вероятностей, М.: Наука, 1978.

Таблица 2.

$$\dots + P(10...01) = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n} \right) +$$

$$+ \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^n} \right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2^{n-1}}.$$

Следовательно, В выигрыает у А за $n$ шагов или менее с вероятностью, которая при больших $n$ оцень близка к 3/4; вероятность того, что после $n$ бросаний еще никто не выигрел, равна $1/2^{n-1}$ (т. е. ничего мало при больших $n$). Переход к предлу в равенстве $P(B, A; n) = 3/4 - 1/2^{n-1}$ при $n \to \infty$, можно считать, что мы получим вероятность $P(B, A)$ выигрыша В у А при «неограниченном продолжении» игры:

$$P(B, A) = 3/4.$$

Вероятность выигрышей для произвольных двухбуквенных слов $A$ и $B$ показана в таблице 1 (число, стоящее на пересечении строки $B$ и столбца $A$, дает вероятность выигрыша В у А). Эту таблицу несложно составить.

Оценим преимущество

По таблице 1 строится таблица 2, дающая преимущество В над $A$

$$d(B, A) = \frac{P(B, A)}{P(A, B)}.$$

В таблице 3 приводятся преимущества для всех трехбуквенных слов. Пользоваться этой таблицей мы и построили «неграничный» граф, показанный на рисунке 1.

Но как найти числа в таблице 3? К сожалению, формула (1) малопригодна для вычисления при длине слов $l \geq 3$. Уже для трехбуквенных слов $A, B$ найти $P(A, B)$ неосредственно — весма непряная задача, а для больших $l$ — безнадежная. Но тут нас выручает «магическая»

7

Формула Конвеля

Формула Конвеля позволяет найти $d(B, A)$ при произвольных $B$ и $A$, не вычисляя никаких вероятностей. Для того, чтобы объяснить эту формулу, нам нужно определить многочлен Конвеля $K_{XY}(t)$ слов $X, Y$.

На рисунке 2 слова $Y$ шесть раз записано под словом $X$, причем каждое новое слово $Y$ сдигается на одну позицию вправо по сравнению с предыдущим (для $n$-буквенных слов слова $Y$ будет записано под $X, n$ раз).

Кажdomу сдигу слова $Y$ поставим в соответствии число 1 или 0 в зависимости от того, совпадает ли все буквы, находящиеся друг под другом в общих позициях $X$ и $Y$, или нет. Полученное таким образом слова (длины $n$) из нулей и единиц называется корреляцией $X$ и $Y$ и обозначается $\langle XY \rangle$. Так, например, для 2-го сдиги $Y$ общее позиции совпадает, поэтому во второй строке на рисунке 2 записана единица — вторая буква слова $\langle XY \rangle$.

В нашем примере
$$\langle XY \rangle = 010011.$$

В общем случае, пусть $\langle XY \rangle = e_1 \dots e_n$ (где $e_i$ — нули или единицы). Тогда многочлен Конвеля слов $X, Y$ определяется так:
$$K_{XY}(t) = e_1 + e_2 t + \dots + e_n t^{n-1}.$$

В нашем случае $K_{XY}(t) = t + t^4 + t^5$. Очень странное определение! Во всяком случае совершено непонятно, как до него можно было допуться. Но оно работает — на нем основана формула Конвеля:

$$d(B, A) = \frac{K_{AA}(1/2) - K_{AB}(1/2)}{K_{BB}(1/2) - K_{BA}(1/2)}.$$

Можно понять Гарднера, когда он приписывает выбор этой необъичной формулы «потусторонним» слам: ну магия, и только!

Не остававливаясь пока на вывод формулы (*), появим, как его пользоваться. Сначала нужно найти корреляции $\langle AA \rangle, \langle AB \rangle, \langle BB \rangle, \langle BA \rangle$. Затем по ним написать четыре многочлена Конвеля, в каждой из них подставить $t = 1/2$ и, наконец, выполнить действия, указанные в пра-

Вой части формулы (*). Конкретный пример разобран на рисунке 3.

Имея таблицу преимуществ и зная загаданное игроком A слова A, игрок B легко найдет оптимальный выбор ответа B — для этого ему нужно лишь разыскать максимальное значение в столбце под словом A. Например, для первого столбца A=000 (табл. 3), $d_{\text{max}}=7$, и нужно взять B=100. Это обеспечивает семикратное преимущество. В таблице 3 максимальные элементы в столбцах обведены в кружочки — все они не меньше 2; — следовательно, при любом выборе A, B может ответить так, что y B будет по крайней мере 2-кратное преимущество в игре.

Как выбрать ответное слово?

Мы уже обязывали, как это сделать. Но при этом предположили, что предварительно составлена таблица преимуществ. Нельзя ли, зная слова A, неосредственно найти оптимальный ответ B, не вычисляя все таблицы (или целого ее столбца, длина которого равна 2’)?

Оказывается — можно. Расскажем, как это делается.

Пусть игрок A выбрал слова A = $a_1 a_2 \dots a_l$ ($l > 2$, а_i равно 0 или 1).

Тогда игрок В следует выбрать слова $B = b_1 b_2 \dots b_l$,
$b_2 = a_1, b_3 = a_2, \dots, b_l = a_{l-1}$ (пока первая буква $b_1$ слова $B$ не фиксируется).

В этом случае при сдвиге слова $A$ на одну позицию относительно $B$

$$B = b_1 b_2 b_3 \dots b_l$$
$$A = a_1 a_2 \dots a_{l-1} a_l$$

все буквы, находящиеся друг под другом, совпадают, поэтому первый член в многочлене $K_{BA}(t)$ при $t=1/2$ равен 1/2 — мы тем самым стремимся максимizarровать значение $K_{BA}(1/2)$ в формуле Конвеня. Вообще предлагаем выбор оптимального ответа основан на (довольно тонком) анализе формулы Конвеня, который мы проводить не будем.

Осталось обяснить, как выбирается $b_1$. Обозначим $A' = a_1 a_2 \dots a_{l-1}$. Пусть $r$ — минимальное число, при котором после сдвига $A'$ на $r$ позиций происходит совпадение написанных друг под другом букв:

$$A' = a_1 \dots a_r a_{r+1} \dots a_l-1$$
$$A' = a_1 \dots a_{l-r-1} a_{l-r} \dots a_l-1$$

(t. е. $a_1 = a_{r+1}, a_2 = a_{r+2}, \dots, a_{l-r-1} = a_{l-1}$). Так вот, букву $b_1$ следует выбирать по правилам $b_1 \neq a_r$ (например, при $A=100100$ имеем $r=3$, и следует брать $B=110010$).

Американские математики Гуибас и Одыжко доказали в 1981 году, что такой выбор слова $B$ — оптимален. Более того, ими доказано, что число $\min \max d(B, A)$ (t. е. преимущество В над А при самом лучшем для А выборе слова $A$) стремится к 2 при возрастании $l$. Другими словами, при указанном выборе ответа второй игрок в среднем выигрывает в два раза чаще самого хитро-ного игрока.

Нам осталось лишь привести обещанное доказательство.

Эскиз доказательства формулы Конвеня

Данные слова $A, B$ длины $l > 2$. Через $S_A$ обозначим (бесконечное) множество укороченных $A$-серий, т. е. всех слов, получаемых из $A$-серий отображаемым их последних $l$ букв. Аналогично определим $S_B$. Пусть $m_1, \dots, m_k$ номера разрядов слова $\langle XY \rangle$, где стоит 1 (напомним, что $\langle XY \rangle$ — это корреляция слов $X$ и $Y$); через $H_{XY}$ обозначим множество из $k$ слов, составленных соответствующими первых $m_1, m_2, \dots, m_k$ букв слова $X$. Через $M*H$, где $M$ и $H$ любые множества слов, обозначим слова $M$ и $H$, т. е. новое множество, составленное из всех слов вида $XY$ (слова $X$ и $Y$ записаны подряд в одной слова, $X \in M, Y \in H$). На-

(Окончание см. на c. 15)

9

ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ПРИ СВЕЧАХ

Кандидат физико-математических наук
Г. С. СИМИН

Оптическая электронка (или оптоэлектронка) — самая молодая и, возможно, самая перспективная область современной полупроводниковой электронки, любимца физиков, разработчиков сверхбыстродействующих ЭВМ и систем сверхдальней связи. Его занимаются самые передовые laboratorии мира, основные наисовременнейшим оборудованием. И уже конечно не при свете свечей. Между тем наш рассказ об оптоэлектронке мы научем с тех далеких времен, когда в России А. Н. Лодыгин еще только разработывает первые конструкции угольных ламп накаливания, а Европа освещалась в основном свечами и газовыми фонарими.

Из многих известных в XIX веке полупроводников — как тогда говорили, веществ, «худо проводящих электроство», — селен был материалом, удостоеным особого внимания ученых. Дело в том, что в 1873 году английский телефонный служащий А. Мей служающий обнаружил, что сопротивление селена резко уменьшается, если на него падает свет. Возможно, Мей не слишком обработался новому явленю, так как обнаружил его, исследуя селеновые изоляционные опоры телефонного кабеля. Но руководитель Мея, инженер У. Смит, сразу оценил важность открытия. Он быстро провел первые исследования и в том же 1873 году сообщил о них в печати. Это сообщение вызвало бурный интерес у физиков всего мира.

К исследованию селена обратились учены из Германии, Франции, Англия, России, Америки. Предпринимались многочисленные попытки повышить светочувствительность селена. С этой целью были использованы десяти способов его получения. Однако все эти поискы велись практическими «вспеную» — ведь физики XIX века и понятия не имели о невероятной чувствительности полупроводников к примесям, о методах их очистки. Поэтому публикуемые результаты противоречили друг друга, приводимые численные данные различались в десяти и сотни раз. Встречались и просто кручезные (с нашей, сегодняней точки зрения) сообщения. Некоторые авторы писали, например, что светочувствительность селена возрастает, если рядом с ним положить каучук или камфару, повышавшие перед тем в озоне. Другие сообщали, что селен наиболее светочувствлен к соседентинным маслом. Однако не следует забываать, что в то время полупроводники еще не были осознаны как особый, удивительный класс материалов. Так что не спешите посмотреть свысока на эксперименты столетней давности — это были первые шаги на пути, который привел к созданию оптической электронки.

«Селеновый бум» привлек внимание знаменитого немецкого электротехника Вернера Сименса. Сименс был найден редконым изобретательским талантом. Еще двадцатитипелетным молодым человеком, отбивая пятилетное тюремное заклонение за участке в дузле, он изобрел способ галванического середения и золочения и позолотил свою тюремную ложку, перенеса на нее золото с завалявшейся в кармане монеты. Это было в начале сороковых годов XIX века. В семидесятые годы Сименс, крупный промышленный магнит, почетный доктор Берлинского университета, член Берлинской академии наук, автор риттного эталона сопротивления, увековечшего его имя, оставался таким же неукротимым изобретателем, как в юности. Он увлекся изучением селена, и это увлечение имело весма серbezные последствия для дальнейшей судьбы селена. В 1875 году Сименс опублика-

10

вал статью, в котором, наряду с детальным описанием способов получения и свойств сельна, сообщил об изобретенном им новом приборе — абсолютном электрическом фототметре. Скажем несколько слов о фототметрии и ее состоянии в XIX веке, чтобы вы лучше смогли оценить изобретение Сименса.

Можно считать, что фототметрия зародилась во II веке н. э., когда Птолемей начал изучать яркость звезд. И все дальнейшее развитие этой области научки было связано, в основном, с астрономическим наблюданиями. В 1604 году Кеплер установил законы освещенности. В 1729 году французский ученый П. Бугер сформировал принцип фототметрии и заложил начала научных измерений в этой области. Идея Бугера состоит в том, чтобы использовать способности глаза улавливать разницу освещенности, даже если эта разница составляет всего 1%. В фототметре Бугера две части экрана освещаются двумя источниками — изучаемым (например, звездой) и «эталонным» (например, светой). Освещенность той части экрана, на котором светит эталонный источник, можно менять (например, приближая или удаляя свету). При равенстве освещенности, создаваемых изучаемой и «искусственной» звездой, положение последней регистрации. Таким образом можно делать косвенные измерения.

Фототметр Бугера недократно усовершенствовался в течение более 100 лет, однако основной принцип его работы был неизменным: равенство освещенности констатировал глаз. Устал астроном — точноъизмеренный резко падает; при различных оттенках цвета измеряемого и эталонного источников оценка становится затруднительной; появился в поле зрения яркий предмет — снова ошибка в измерениях. Субъективный характер измерений стал сервисным недостатком фототметрии. А между тем потребность в фототметрах росла: к небесным светилам прибавлялись земные лампы, яркость которых тоже нужно измерять.

Занявшись исследованием сельна, Сименс не мог пропустить возникновение выполнения экспериментов. Он сконструировал фототметр, в котором впервые субъективная оценка на глаз была исключена и интенсивность света могла быть выражена в электрических единицах. Электрическая цепь фототметра Сименса состояла из галванического элемента, галванометра и куска сельна с проводными электродами. В темноте сопротивление сельна так велико, что стрелка галванометра почти не отклоняется. При освещении сельна его сопротивление падает, ток увеличивается, и стрелка галванометра отклоняется тем сильнее, чем ячее свет. (Именно так работает и совершенний фототэспопотер!)

На основе сельового фоторезистора Сименс сделал первый в мире оптоэлектронную игрушку (конечно, в то время ее никто так не назвал; термин «оптоэлектронка» появился много десятиков лет спустя). Основным элементом этой игрушки была модель человекаского глаза, в которой был vmontирован сельовой фоторезистор. Стоило приблизить к глазу зажжению свечу — и он тут же закрывался, «шурясь» от яркого света, совсем как живой.

Изобретение сельового фототметра должно только к появлению целой серии оструумных прибора. Интересным и очень смелым для того времени развитием работ Сименса является изобретение американского инженера Дж. Кэри. В том же 1875 году он предложил проект устройства для передачи изобравенной на расстояние. Приципид действия этого устройства представляется теперь очень простым. Передаваемое изобравнение сначала процуруется на приемник, который состоит из большого числа сельовых ячеек, составленных вплотную. Сопротивление ячеек изобравняется в различных степении в зависимости от того, насолько ярко освещена та или иная ячее. Воспроизвождение изобравнения на «экране», который представляет собой панель с лампочками, причем число лампок равно числу сельовых ячеек приемника. Каждая лампочка соединена последовательно с соответствующей ячейкой и источником напряжения. При включении напряжения ячейки той или иной лампочки тем больше, чем меньше сопротивление соединенного с ней сельового элемента, т. е. чем ячее освещена соответствующая ячейка. При достижении большей длины проводов, соединяющихся приемник и экран, изобравнение может быть передано на значительное расстояние.

11

Изобретение Кэри, однako, оказалось в то время практическим нереализуемым. Ведь если приемник содержит, например, 100×100 ячеек, то необходимо протянуть до экрана 10 000 проводов и подключит их к 10 000 лампочек, к 10 000 источников, и чтобы ни одна лампа не перегорела!

Несолько следующих приемников сельового фоторезистора вызывали настоящие сенсции.

В дальнейшем Ващингтоне Алексадр Грехем Белл с интересом читал поступающие из-за океана сообщения об исследованиях сельена и сам испробал немало способов приготовления материалов с высокой светочувствительностью. После несколько удачных опитов Беллу пришла в голову страна на первый взгляд миссель — в электрической цепи, в которой был включен исследуемый сельовой образец, заменить галванометр… телефоном. Мыслу эта не показется столь уж страной, если вспомнить, что незадолго до того Белл как раз взял патент на первый в мире телефон и теперь с успехом распространял свое детше по всей стране. Телефон Белла издавал звуки, если ток, текущий через него, менялся достаточно быстро. Поэтому Белл решил, что если в цепи последовательно с телефоном*) будет включен сельовый фоточувствительный образец, то телефон будет звучать, когда свет, падающий на сельен, будет часто перерывать. 17 мая 1878 года, читая лекцию в Королевском институте в Лондоне, доктор Белл объявил, что «возможно слышать звуки, вызванные перерыванием света». Мелодические звуки разной высоты Белл получал, меняя скорость вращения диска с прорезями, расположенного между ярким источником и сельовым приемником.

Два года спустя эта идея Белла получила сенсционное развитие.

Солнечным летним днем 1880 года жители Ващингтона с удивлением наблюдали, как прилично одетый господин установливал на крыше Франклиновской школе страное сооружение. Многие узнали в господине друга и помещика профессора Белла мастер Тейнтера. Тейнтер направил на солнеце небольшие зеркало; отраженный солнечный свет прохолил через неболько линия и ярким тонким лучом упирался прямо в окно стоящего напротив здания. В этом здании помещалась исследовательская лаборатория Белла. Став позади зеркала и приспособив к нему нечто вроде рупора, Тейнтер начал что-то негромко говорить в рупор, глядя при этом на окно лаборатории. В ответ в окне появился мастер Белл, размахивающий шляпой.

В этот день Белл и Тейнтер успешно осуществили беспроводную оптическую телефонную связь. Сооружение на крыше было передающей станцией. В лаборатории Белла располагалась приемная станции. Посылаемый с крыши луч padал на фотоприемник — сельовый фоторезистор, включенный в электрическую цепь последовательно с телефоном. Когда Тейнтер говорил в рупор, звуковые колбания заставли зеркало слегка вибрировать. При этом из-за «расфокусировки» менялась освещенность фотоприемника …
Поднесся к уху телефон, Белл отчетливо услышал голос Тейнтера: «Мистер Белл, если вы слышите меня, подойдите к окну и помашите шляпой». Ответ Белла свидетельствовал о полном успехе опита.

Сенсционное сообщение об эксперименте Белла и Тейнтера вызвал новую волну повышенного интереса к сельну, новые попытки увеличить его светочувствительность. Последовательный Белла, его соответствие К. Фритс сумел получить образцы, сопротивление которых под действием солнечного света уменьшалось более чем в 300 раз (Белл и Сименс достигли лишь пятнадцатикратного изменения). Фритс предложил и еще одно возможное применение сельена. Если подключить сельовый фоторезистор к какому-либо электрическому аппарату, то этим аппаратом можно будет управлять при помощи света. Например, сельовый элемент может быть включен в цепь электромагнитногорелле. При освещении элемента его сопротивление уменьшится, ток в цепи возрастет, и контактырелле замкнутся без всякого прямого вместе в электрическую цепьрелле. В этой идее содержится принципиадействия так называемой оптоары — одного из основных элементов

*) Имеется в виду не телефонный аппарат в целом, который мы и привели называть телефоном, а сам звучащий элемент Белла — электромагнит сMEMбраной.

12

современной автоматики (вспомните хотя бы пропускные автоматы в метро).
И хотя оптопары появились лишь во второй половине нашего столетия, идея оптического управления с помощью сельового элемента была очень эффективно реализована намного раньше.

1 февраля 1907 года в Париже в переполненном конференц-зале перед журналистами, учеными, предпринимателями и членами правительства выступал инженер из Мюнхена Артур Корн. Слева и справа от него на длином столе расположались два больших медленно врашаюших цилиндра непонятного для публики назначения.

«Мадам и месье,— начал свое выступление Корн,— пробела передачи фотографи по телефagy решения! Это можно делать так же, как мы передаем по телефону звук.»

В конференц-зале присутствовали люди, весы далекие от науки, поэтому Корн долго и пространно обязывал устройство телефонна и телефонфа, разные технические детали. Сегодняший читатель «Кванта» знаком с этим «подробностями», и поэтому мы сразу перейдем к изложению иен фототелеграфа, реализованной впервые восемьдесят лет назад.

Фотография не передается целиком, а разбивается на 100 полос, а каждая полоса — на 100 элементов. На передающей станции надо изменить тон каждого элемента и соответственно повернуть регулятор тока. На приемной станции это изменение тока изменит силу света лампы, которая завичает участок фотопленки. Теперь нужно перейти к следующему элементу на передающей станции и соответственно передвинута фотопленку на приемной. Идея хороша, но если тратить только 5 секунд на передачу одного элемента, то на передачу всей фотографи попадбится, увы, 14 часов неперерывной работы. Вот если бы регулятор тока работал автоматически, мгновенно изменяя тон каждого элемента и сообщая его приемной станции…

Таким автоматическим регулятором может служить сельовый фотоэлемент. Сфокусированный свет лампы, пройда сквозь фотографи, свернуть в виде цилиндра, отражается зеркальцем на сельовый фотоэлемент, который регулярует ток в телефонном проводе. Вращается цилиндр на передающей станции, строго с той же скоростью вращается цилиндр на приемной станции. Медленно ползет виз лампа, «просматривающая» фотографи,— с той же скоростью ползет луч, засечивающий фотопленку. А сельовый образец посылает в линию связи импульсы, точно отражающие произ嗽ность очередного элемента. Просто, не так ли?

Между тем Корн потратил на реализацию своей идеи более трех лет. И пробелой был вовсе не селен, нет, получоводник работал безотказно.

14

Главная сложность была в достижении полной синхронности механических перемещений и равенства скоростей вращения барабанов.

Наконец, к 1907 году проблема была решена. И вот демонстрация в Париже. Барабаны, установленные слева и справа от Корна, — это передающая и приемная станции. А провода, выходящие из передающей станции, подсоединены к телефонной линии Париж — Лион. (На второй странице обложки помещена фотография из французского журнала «L’Illustration», в котором сообщалось о сенсционном эксперименте Корна.) Сигнал от сельового элементаежит по одной пале проводов в Лион, а по другой — обратно, в Париж, всего 1000 километров. Фотография, помещенная в передающем цилиндре, «просматривалась» 12 минут. Пленку из примного цилиндра тут же проявили и отпечатали — и под рукоплескания зала была продемонстрирована фотография предидента Французской Республики Фоллиера. Корн, приняемая поддавления, заявил, что не сомневался в успехе, так как несколько ранее им был столбже удачно передан портрет предидента Рузвельта по линии Мюнхен — Нюнберг — Мюнхен.

Передача изображений с помощью фотоэлемента стала быстро завоевывать признание. Аппараты, действующие по разработанному Корном принципиу, удалось усвоершенствовать настолько, что они могли с высокой четкостью передавать на расстояние мелкий газетный текст.

Таким был этот самый первый и не слишком известный виток истории полупроводниковых прибора. Зародившись в конце XIX века, они на год операции появление телефонна и трансформатора, на 20 лет — радно и почти на 50 лет — … самих себя, то есть роздение класса «полупроводниковых прибора»! Как ни парадокально, но изобретение Корна было последним крупным собыием на этом начальном этапе. Новых приборами пришлось ждать еще долгие десяти лет. Это время понадобилось для создания квантовой теории электрических свойств полупроводников, разработки уникальных методов их очистки от случайных примесей, а также способовведения строго контролируемого количества нужных примесей, изготовления сложных комплектов оборудования для производства прибора. Только после этого на рубеж 50-х годов нашего столета и стало возможным наано «полупроводниковой революции», одним из самых передовых отрядов корона является современная оптическая полупроводниковая электрика.

Эта интересная наука, сокращенно называемая оптоэлектронкой, изучает законы превращения электрического тока через полупроводник в свет и образные законы, по которым свет, падающий на полупроводник, вызывает в нем электрические сигналы. На основе оптоэлектронки середина создания огромное прибора, прочно вошедших в нашу жизнь и ставших уже привчными. Достойно удивления и восхищения то, что более 100 лет назад учены сумели не только изготовить первые оптоэлектронные приборы, но и с пораительной интуицией предосхитить важнейшие области их будущего использования и развития.

Чувствительность фотометр Сименса стал прообразом современных полупроводниковых приемников света — фотодетекторов. Они улавливают слабые оптические сигналы на расстоянии десятов kilометров от источника, «читают» оптические команды современных станков с программным управлением, сигнализируют об объíveis или окончания ленты в магнитофонах и выполняют еще много важных задач.

Попытка Дж. Кэри изготовить светящийся экран для передачи изображения на расстояние находится свое продолжение в работах исследователь многих стран по созданию плоского телевизионного экрана, признанного заменить громоздкий кинесопровод временных телевизоров. Информационные таблицы («светящиеся газеты»), установленные на крышах зданий в Москве, Ленинграде и других городах, прямо реализуют смелую идею столетней давности.

Фотофон Белла, который был надолго забит в результате многоолетнего триумфального шестивия электрического телефонна по всему миру, в 70-e годы XX века родился на вiode систем оптической телефонной связи. Эти системы позволяют по одному оптическому кабелю передавать одно-

16

КТО УПРАВЛЯЕТ ГОРОДОМ МК?

(Путешествие по микрокомпьютеру)

Кандидат технический наук Д. Г. КРУТОГИН

Сегодня нам предстоит посетить архитектурный центр нашего города и одновременно главный производственный район — короче говоря, микропроцессор. Неслучайно мы открывали этот видит, неслучайно ходили вокруг да около. Сложен для анализа микропроцессор, как сложен архитектурный шедевр. И расскаазать о нем не так просто. Можно бы опять нарисовать план, перечислить детали МП, взаимодействие их в работе, но мы сделаем это позже. А научем с того, что построим в своей воображении простейший микропроцессор (ПМП) из самых необходимых блоков. Если он сможет «работать» (там же, в воображении), то, наверное, его нетрудно будет и немного усложнить, чтобы приближаться к реальной архитектуре и реальным функциям МП.

16

17

Итак, с чего начать? Процессор должен выполнять все арифметические и логические операции. Напомним, всех операций не так уж много: арифметические — сложение с учетом знака (т. е. и вычитание) и умножение (деление) при помощи с-divisionа двойного числа вправо — влево на целое число разрядов; логические — «И», «ИЛИ», «НЕ». Эти операции выполнить в нашем ПМП арифметикой-логическое устройство, сокращенно — АЛУ. Вот уже это — архитектурная желчужина города МК и вообще вычислительной техники.

Самый главный работник

АЛУ — это многоразрядный (8, 16, а иногда и больше) набор сумматоров, способный в зависимости от импульсов управления перестраивать с арифметических на логических действия или наборот. О работе однозначного сумматора «Кваант» расскажаал в прошлом году (см. майский номер). А на рисунке 1 можно видеть четырехразрядное (совсем простое) АЛУ. По проводам шины данных на входы $A_0$ — $A_3$ и $B_0$ — $B_3$ поступают разрядно операнды $A$ и $B$, с выходов $F_0$ — $F_3$ разрядно выходят результаты, входы $S_0$ — $S_3$ служат для управления АЛУ, переключают его на те или иные операции (сложение, вычитание, отрицание и т. п.).

Глядя на рисунок 1, представьте себе большой лабиринт с прямогольными переходами. В нем есть восемь входов и четыре выхода; но, в отличие от обычных лабиринтов, в этом лабиринте неко («имя» этого неко УФК, и познакомимся мы с ним немного позднее) то и дело передвигает стены, меняя конфигурации проходов. В результате АЛУ при разных сигналах управления произведет разные действия с одинаковыми операндами, а на выходе будут разные ответы.

АЛУ работает с огромной, фантастической быстрою; то, что оно может сделать, оно делает за миллионные доли секунды (а самые быстрое устройство АЛУ — в сотни раз быстре). Это его качество очень ценно, и можно сказать, что все остальное, что есть в МК, устройно так, чтобы АЛУ, по возможности, не приходит кjdать.

Откуда же берется операды? Объчно из районов ОЗУ или ПЗУ. Но вызывать их оттуда, как правило, можно только по очереди, например, сначала $A$, потом $B$. Значит, пока ПМП ожидает появления $B$, операнд $A$ должен где-то немного подождать. Ближайшей «приемной» служит специальный регистра памяти, называемый аккумулятором. В нем столкко же разрядов, сколько в АЛУ. Аккумулятор не только подает один операнд в АЛУ, он же принимает в себя и результат операции — слово $F$. Потом аккумулятор переправит это слово в ОЗУ или в какой-то другой регистр памяти внутри процесса, но сначала важно повернуть дело!

Следующий важный момент — управление. Мы уже отметили, что АЛУ нужно управлять, задавать ему порядок работы. Значит нашему ПМП нужны соответствующие органы управления. (Вот как повернуть дело! Раньше мы отмеали, что всем управляет процессор, а им, оказывается, тоже кто-то управляет.)

«Процессор» для процесса

Устройство управления и формирования команд (обозначим его УФК)

Рис. 1. Схематическое изображение связи четырехразрядного АЛУ. С — указатель сбывания сdbила и перемена разрядов. М — переключатель «аррифметика — логика».

18

занимает в районе ПМП приложый по размерам микропаон. Задча этого микропаон: получить очередную команду из текста программы и расшифровать ее до уровня простейших импульсов, подаваемых на входы $S_i$ и $M$ арфметикo-логическая устройства.

В основном микропаон УФК застроен логическими устройствами, которые называются дешифраторами. Они и впрямь наполняют шфровальные карты, отверстия которых из самого случаяного текста выбирают несколько букв секретного donneся. А роль ответный выполнять разные варианты подключения элементов дешифратора к шине, несущей текст команды. Хотя элементы застроки типовые — это логические элементы *) И — НЕ, ИЛИ — НЕ, но причудливая их архитектура позволяет реализовать несколько десятиков комбинаций, обеспечивающих управление ПМП. Системы УФК управляют не только АЛУ, но и аккумулятором и других районами МК. Один из квартолов УФК специализирован на обслуживания систем ввода и вывода, он же управляет буферами соответствующих шин в периоды контакта с внешними устройствами. До сотни каналов управления выходит из района УФК.

Следующий вопрос — откуда УФК получает команду для расшифровки? Разумеется, из ЗУ (откуда приходят и операды). Но на время расшифровки, формирования микрокоманд и их использования прибывая из памяти команда должна располагаться рядом с УФК (быть под рукой), т. е. в специальном регистре памяти — регистре команда (PK). В PK столко же разрядов, сколько в АЛУ и аккумуляторе.

Ясно, что аккумулятор и PK — ближайшая, сверхоперативная память процессора.

Было бы неплохо, если бы внимательный читатель нарисовал сейчас блок-схему описанной выше части ПМП. Два прямогоЛЬНИКА, один другим, нужно соединить узким коридором, в котором стоит двумя направлениями стрелка — это АЛУ и аккумулятор (A). Ниже расположится прямогоЛЬник чуть большого размера — УФК, стрелки от него идут в АЛУ и аккумулятор. Справа расположите квадратик PK, стрелки от него направлены к блоку УФК. Теперь над аккумулятором нарисuite маленький, но важный квадратик — буфер (Б), а затем к буферу и регистру команда подведите справа шину данных (для этого на ней придется сделать развилку). Буфер Б (мы раньше сравнили его с постом ГАИ) может пропускать данные от памяти (ОЗУ) в процессе, в другом состоянии — наоборот — от процесса к ОЗУ. Но есть у него и треtte состояние, когда он вообществаются от обмена данных, как бы «смотрит в него». В такое состояние буфер «выдает» (конечно, по сигналу УФК!) в то время, когда по шине данных поступает слово-команда. В результате команда оказывается в регистре команда, но никак не в АЛУ. Если теперь вспомнить, что команда и «поселены» были в ОЗУ отдельно от операдов, и вызываются так, чтобы не попасть в арфметико-логическое устройство, станет понятно, как ЭВМ разбиается в командах. Чуть позже мы проверим правильность вашего рисунка, а теперь вернемся к командам. Вот такой вопрос — кто и когда вызывает очередную команду? Эту обязанность выполнять еще один регистр памяти, который называют программимом счетчиком, или счетчиком команд (СК).

Эти счетчики управляет все тот же блок УФК. При начале использования программы на счетчик записывается адрес первого по порядку команды. Как только эта команда попала в PK и начала расшифроваться в УФК, счетчик получает сигнал приращения, например на единицу, и тем самым записывает адрес следующего команда (или второй части той же команды, если она длинная).

Та же процедура повторяется со следующей командой и т. д. до команды останова. Но иногда в очередной команде содержится указание для счетчика перейти не к следующей, а к какой-то другой команде, которая далеко вперед (или, наоборот, позади) очередной. Тогда в счет-

20

Логические схемы дешфратора в УФК и буферных схемах шин.

Внутренние шины связи между отделными элементами процессора.

Конечно, реализный микропроцессор намного сложнее наше простого. В нем появляется еще несколько важных регистрации специализированного назначения, предустративается возможность перевывания программы и возврата к ней, а также разных способов обращения к памяти. Общую сложность структуры МП можно оценить, если вспомнить, что за каждым регистром, сумматором или дешфратором стоит десяти, а то и сотни трансисторов, а во всем микропроцессоре их десяти или сотни тысяч.

Но давайте взглянем на микропроцессор не с архитектурой, а с функциональной точки зрения. Что делает он в микроЭВМ, что делает процессор в больших ЭВМ? Для чего вообще nueжен процессор?

Робот-лифтер

В январском номере «Кванта» за прошленный год в статье «Элементарные логические операции» был рассмотрен пример управления лифтами: многоэтажный дом, один или несколько лифтов, на каждом этаже одна кнопка вызова. Лифтами управляет командный аппарат. В ответ на многообразие возможных задач-ситuation аппарат выдает одно из трех решений: вверх, вниз, стоп (если лифт два, то независимых решений 2×3=6). Решения приготовлены заранее и существуют в виде схемы электрических соединений общих выключателей или реле. Эти соединения можно описать логическими операциями (см. рисунок 4, а): если включена кнопка «э10» (этаж) ИЛИ «э9» (и т. д.) И (при этом!) включена кнопка «л12» (пустой лифт стоит на 12 этаже) И НЕ включена кнопка «стоп1» (перегруз!) И НЕ включена кнопка «стоп2» (открыты двери!), то решение задачи — ВНИЗ. А иначе — СТОП. Лифт при движении на контакты поставных выключателей, схема соединений меняется, и перед десятьм этажом включается НЕ «л10», т. е. СТОП (рисунок 4, б).

Таким образом, командаппарат запоминает и сравнивает командывызовы, операнды-текуще состояние, команды-запреты (они вообще превыше всех других!), а потом выдает команду-ответ. Каждая команда легко представима: 1 — кнопка нажата, 0 — кнопка отpuщена. Это прививный нам двойный код.

Процессор (или микропроцессор) — многоократно условенный командаппарат, сжатый в размерах до нескольких квадратных миллиметров микросхемы. У него в запасе не три, а более сотни вариантов решения, он сопоставляет множество данных,

Рис. 3. Схема простейшего микропроцессора. Розовый плашкой выделена основная часть схемы, с которой мы начали «строительство».

21

Рис. 4. Логика управления лифтом.

десятки запретов. Свои ответы процессор посылает в сотни и тысячи разных адресов. Словом, он намного мощнее скромного командоаппарата по скорости и по возможности, но по смыслу действия и по функциям — он тоже командоаппарат! Вариants решений (микрокоманды), которые пользовся микропроцессор, записаны в постоянной памяти блока УФК. Поэтому, заканчивая путешествие по городу Микрокомпьютеру, уменьшить микропроцессор с административно-культурным районом, аустройством управления и формирования команд (УФК) придать статус горисполкома (оперативное текущее руководство жизни города).

Вместо заключения

Задачи городского совета, т. е. определение общих целей, перспектив, порядка исполнения работ, выполнять программы, которую в МК пользователи, т. е. мы с вами. Следовательно, при всем совершенстве конструкции ЭВМ и МК не содержат в себе творческого начала, его включает в них человек, включает в виде постоянных или заменяемых программ.

ЧERO же мы не увидели в городе МК из того, что полагается увидеть экскурсантам? Нет здесь памятника основателем и первостроителям города. В предельной тестите и рациональности нашего города ему нет места. Но если бы он был, то на его вершине стопло бы ответы почетное место trem ученым: Майклу Фараденко — физик, первый отметивший особые свойства полупроводников, Чарльзу Бэббеджу — первому «архитектору» и строитель вычислительных машин, Джорджу Булю — математик, изобретатель алгебры логики — науки, на котором основана схемотехника ЭВМ. Эти три человека могли быть знакомы, либо жили в Англии примерно в одно время.

Второй ярус памятника должен быть вместе десяти крупных ученых: от Д. Менделеева и Н. Бора, Я. Френкеля и В. Шоттки до изобретателей трансистора — Дж. Бардина и У. Братейна.

В третьем ярус памятника достойны помещиться тысячи инженеров из разных стран, представителей нескольких поколений физиков, химиков, математиков, металлургов, технологическ, chimтрудом и талантом создан микросоискей и прекрасный город. Собственно, он и есть лучший памятник их водховененной работе.

22

Задчи

M1041 — M1045; Ф1053 — Ф1057

M1041. На плоскости заданы a) четыре, б) три вершины правильно пятнуюЛЬНИКА. С помощью двусторонней линейки восстановите остальные его вершины. (Двусторонней линейкой можно делать то же, что и обычной линейкой без делений, а также проводить прямую, параллельную данной, на расстоянии, равном ширине линейки.)

M1042. В классе ограничуется турип по переггированному каната. В туриперовно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить изучшихся этого класса (из одного, двух и т. д. человек, кроме команды всего класса). Докажите, что каждая команда будет совершать с командой, состоящей из всех остальных учеников класса.

И. И. Гриничук

M1043. Можно ли разить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого n числа n—50, n+1987 принадлежали трех разным подмножествам?

С. В. Коняzin

M1044. Докажите, что из четырех чисел всегда можно выбрать два числа x и y, также что

$$0 \leq \frac{x-y}{1+xy} \leq 1.$$

И. И. Сергееев

M1045. В некоторых царстве, некотором государстве, территории которого имеет форму квадрата со стороны 2 км, царь решает создать всех жительей к 7 часов вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителью, который в свою очередь может передать любое указание любому другому жителью и т. д. Каждый житель до поступления указания находится у себя дома (в известном месте) и может передавать со скоростью 3 км/ч в любом направлении. Докажите, что царь может ограничивать оповещение так, чтобы все жители успели прийти к началу бала.

С. В. Коняzin

Ф1053. В тонком гладком трубопроводе скольzt (в поле силия тяжесте) гибкий однородный шнур (рис. 1). Участики AB и BC трубопровода представляют собой полукружности радиусом R, точки A, B и C лежат на одной вертикали; длина шнура l=2πR. Найти все точки шнура, в которых натяжение равно нулю в тот момент, когда нижний конец шнура находится в точке C.

И. Ю. Потеряко

Ф1054. Два стержня одинаковой формы сделаны из материалов с разными упругими свойствами — модили Юнга материалов равны соответствию E₁ и E₂. Стержни склеены торцами и покрашены одной краской, так что получившийся образец выглядает как однородный стержень. Какой модель Юнга «вещества» этого стержня изменит экспериментатор, не знающий, что стержень составляет?

В. А. Давыдов

23

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than August 1st 1987, to the following address: USSR, Moscow, 103006. Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate cover; on the envelope write the words: “KVANT’S PROBLEMS” and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an unstamped selfaddressed envelope — we shall use it to send you the correction results. If you have an original problem to propose for publication, please send it to us under separate cover, in two copies.

Ф1055. Электрический прибор П подключен к сети переменного тока с напряжением 220 В через конденсатор emкостью C=0,5 мкФ (рис. 2). Амперметр показывает ток I=0,01 А, показание волтметра — U=180 В. Найти мощность, потребляемую от сети прибором. Считать амператор и волтметр идеальным.

А. Р. Зильберман

Ф1056. В схеме, изображенной на рисунке 3, ключ К₃ сначала замкнут, а ключи К₁ и К₂ разомкнуты. В некоторых момент времени замкнут ключ К₁, а пустая время t₁=0,1 с замкнут吻 К₂. Еще через время t₂=0,2 с размыкают吻 К₃. Найти: 1) максимальное напряжение на конденсаторе; 2) ток через катушка L₁ через время t₃=1 с после замкывания吻 К₁. Сопротивлением проводов пренебречь, диод считать идеальным; L₁=1 Гн, L₂=0,5 Гн, C=10 мкФ, U₀=10 В.

А. Р. Зильберман

Ф1057. Гантель, состоящая из двух шариков массой m каждый, закрыпленных на концах легкого стержня длиной 2b, подвешена в горизонтальном положении на двух нерастижных нитях длиной l, расстояние между которых 2a (рис. 4). Найти период малых круглых колбанный гантели.

М. М. Цыпин

Problems

M1041 — M1045; P1053 — P1057

M1041. Let a) four, b) three vertices of a regular pentagon in the plane be given. Construct the other vertices by means of a two—sided ruler. (A two—sided ruler does anything a one—sided unmarked ruler can do and can also be used to draw a line parallel to a given one at the distance equal to the ruler’s width.)

M. I. Grinchuk

M1042. A tug-of-war competition is organized among the pupils of a certain class. Every possible team which can be made up of one, two, etc. pupils (but not the entire class) must participate exactly once. Prove that each team will compete against the team consisting of all the other pupils of the class.

I. N. Sergeev

M1043. Can the set of all integers be partitioned into three subsets so that for any integer n the numbers n, n−50, n+1987 will belong to three different subsets?

S. V. Konyagin

M1044. Prove that out of any four positive numbers it is always possible to choose two numbers x and y such that

$$0 \leqslant \frac{x-y}{1+xy} \leqslant 1.$$

I. N. Sergeev

M1045. Once upon a time the King of a small square Kingdom of side 2 km decided to invite all his subjects to a Ball at the Court at 7 PM. At noon he dispatched a Messenger who could transmit any message to any inhabitant of the Kingdom, who in turn could transmit any message to any other inhabitant, etc. Each inhabitant stays at his house (whose location is known) until he gets a message and then walks at 3 km per hour in the required direction. Prove that the King could have organized the transmission of messages so that all his loyal subjects could reach the Court in time for the Opening of the Ball.

S. V. Konyagin

24

Решения задач

M1021. Аллупинст хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После новейки в ладере у подножья скалы он может подниматься, нашевая вервку, со скоростью 40 метров в час, а после холодной ночевки на скале — 30 метров в час. По готовой вервке он поднимается со скоростью 400 метров в час. За сколько дней он может достичь вершины, если будет работать на скале (включая подъем по вервке) б часов в день? (Временем спуска и других операций претенбречь.)

P1053. A uniform elastic string slides inside a smooth pipe (in the Earth’s gravitational field). The sections $AB$ and $BC$ of the pipe are semicircles of radius $R$, the points $A, B, C$ are on the same vertical (see figure Pис. 1), the length of the string is $l=2\pi R$. Find all the points of the string where the tension is zero at the moment when the string’s lower extremity is at the point $C$.

I. Yu. Poteryaiko

P1054. Two rods of identical shape are made from materials with different elasticity properties: Young’s modulus of the material equals $E_1$ and $E_2$ respectively. The rods are glued together end to end and covered with a coat of the same paint, so that the sample obtained looks like a uniform rod. What value of Young’s modulus for the “material” constituting the rod will be measured by the unsuspecting experimentator, who is unaware that the rod is not uniform?

V. A. Davydov

P1055. The electric apparatus II is connected to a source of alternating current of 220 V via a capacitor of $C=0.5$ µF (see figure Pис. 2). The ammeter shows a current of $I=0.01$ A, the woltmeter shows $U=180$ V. Find the power from the source used by the apparatus. The ammeter and voltmeter are assumed ideal.

A. R. Zilberman

P1056. In the circuit shown on figure Pис. 3 the switch $K_3$ is turned on at first, while the switches $K_1$ and $K_2$ are turned off. At a certain moment $K_1$ is switched on, and in $t_1=0.1$ seconds later so is $K_2$. In another $t_2=0.2$ seconds $K_3$ is switched off. Find: 1) the maximal tension on the capacitor; 2) the current through the coil $L_1$ in time $t_3=1$ s after the switch $K_1$ was turned on. The resistance of the wires may be neglected, the diodes assumed ideal; $L_1=1$ H, $L_2=0.5$ H, $C=10$ µF, $U_0=10$ V.

A. R. Zilberman

P1057. A weight for bodybuilding, consisting of two solid spheres of mass $m$ each joined by a light rod of length $2b$, hangs horizontally on two inelastic wires of length $l$ whose distance is $2a$ (see figure Pис. 4). Find the period of small rotational oscillations of the weight.

M. M. Tsypin

Решения задач

M1021 — M1025; Ф1033 — Ф1037

Ответ: за пять дней.

Обозначим через $x_n$ наиболее высокую высоту, до которой альпинист может подняться за $n$ дней ($n=1, 2, \dots$). Если к концу какого-то дня он достигит высоту $h$ метров, на следующий день он может подняться на высоту $h+6\cdot 30=h+180$ метров, если будет нечувствить на скале, и на высоту $h+\left(6-\frac{h}{400}\right)40=h+240-h/10$ метров, если спустится нечувствить вниз. Ясно, что первый вариант выгоднее, если $180>240-h/10$, то есть $h>600$, второй — если $h\leq 600$. Таким образом,

$$x_{n+1}=\begin{cases} x_n+240-x_n/10, & x_n\leq 600, \\ x_n+180, & x_n\geq 600. \end{cases}$$

25

Начав с $x_0=0$, можно определить $x_n$ последовательно для всех $n$. Поскольку $x_4<1000$, а $x_5>1000$, альпинист сможет достичь вершины скалы к концу 5-го дня; для этого он должен первые две ночь провести внизу, а последние две — на скале.

Н. В. Васильев

М1022. Первые 8 натуральных чисел можно расставить в две строки (рис. 1) так, что сумма чисел в верхней строке равна сумме чисел в нижней, а суммы чисел в столбцах также равны между собой. Можно ли расставить подобным образом первые: а) десят, б) двенадцать натуральных чисел?

в) при каких натуральных $n$ можно расставить таким образом числа от 1 до $2n$?

Рис. 1.

| 8 | 2 | 3 | 5 |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | 7 | 6 | 4 |

Рис. 2.

Сумма нижних чисел равна $(1+2+\ldots+2k)+2k\cdot 2k$, т. е. на $4k^2$ больше суммы верхих чисел. Следовательно, мы должны переставить в несколькох столбцах верхнее число вниз, а нижнее — вверх так, чтобы в итоге верхняя сумма увеличилась на $2k^2$ (а нижняя на столбко же уменьшилась). Заметим, что $m$-е слева число верхней строки на $2k$ меньше $m$-го справа числа нижней строки для всех $m=1, 2, \ldots, 2k$, поэтому, если переставить одновременно числа в двух столбцах, равностоящих от краев таблицы, верхняя сумма возрастет на $4k$.

При четном $k$ такого перестановки достаточно проделать для $k/2$ симметричных пар столбцов: верхняя сумма возрастет на $4k\cdot k/2=2k^2$. При четном $k\geqslant 3$ переставим верхние числа $k+1$ и $2k$ с соответствующими нижними — $3k$ и $2k+1$, а также числа $(k-1)/2$ симметричных пар столбцов. Мы снова получим нужное увеличение верхней суммы:

$$3k-(k+1)+(2k+1)-2k+4k\cdot(k-1)/2=2k^2.$$

Наконец, при $k=1$ нужно расстановки, очевидно, не существует.

М. И. Штеребер

М1023. Всегда ли из 100 треугольников найдется хотя бы один такой, что его можно целиком покрыть остальные 99?

Эта последовательность строится по следующему принципу. Сначала определим последовательность $a_n$ длини наиболее стороны треугольников $T_n$ так, чтобы при любом наложении треугольников $T_1, T_2, \ldots, T_{n-1}$ на $T_n$ оставалась непокрытой фиксированная (не зависшая от $n$) для площи треугольника $T_n$, — это можно обеспечить выбором $a_n$, достаточно большого по сравнению с $a_1, \ldots, a_{n-1}$. Затем надо подобрать последовательность площей $S_n$ треугольников $T_n$ так, чтобы суммарная площадь треугольников $T_{n+1}, T_{n+2}, \ldots$ была меньше площадь непокрытой части треугольника $T_n$, — этого можно добиться за счет достаточно быстро убывания последовательности площей.

26

Приведем пример одной из таких последовательностей треугольников. Пусть $T_1$ — правильный треугольник со сторонам $a_1=1$; $T_n$ при $n>1$ — равноведенный треугольник с основанием $a_n=4^{n-1}$ и площадью $S_n=S_1/4^{n-1}$, где $S_1=\sqrt{3}/4$ — площадь треугольника $T_1$ (высота $h_n$ треугольника $T_n$ равна $2S_n/a_n=2\sqrt{3}/4^{2n-1}$). Расстоянием треугольники $T_1$, $T_2$, …, $T_n$. Каждый из треугольников $T_i$, $1\leq i\leq n-1$, помещается в полосе ширины не больше $a_i$, перпендикулярной основанию треугольника $T_n$ (см. рис.ок). Площадь, покрываемая этой площадей в $T_n$, меньше $a_i \cdot h_n$, поэтому суммарная площадь, покрываемая треугольниками $T_1$, …, $T_{n-1}$ в $T_n$ меньше $(a_1+a_2+\dots+a_{n-1})h_n$ (эта оценка очень грубая, но ее нам вполне хватит). Поскольку

$$a_1+a_2+\dots+a_{n-1}=\frac{1}{3}(4^{n-1}-1)<\frac{1}{3}a_n,$$

покрыта площадь треугольника $T_n$ меньше $a_nh_n/3=2S_n/3$, а значит, больше третий площади $T_n$ остается непокрытой. В то же время

$$S_{n+1}+S_{n+2}+\dots=$$

$$=S_1\left(\frac{1}{4^n}+\frac{1}{4^{n+1}}+\dots\right)=\frac{S_1}{4^{n}(1-1/4)}=\frac{1}{3}\frac{S_1}{4^{n-1}}=\frac{1}{3}S_n.$$

Следовательно, треугольники $T_1$, …, $T_{n-1}$, $T_{n+1}$, $T_{n+2}$, … нельзя покрыть весь треугольник $T_n$.

Г. А. Гуревич

M1024. Докажите, что для любых двух треугольников с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ выполено неравенство

$$\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha}+\frac{\cos \beta_1}{\sin \beta}+\frac{\cos \gamma_1}{\sin \gamma} \leq$$

$$\leq \text{ctg} \alpha+\text{ctg} \beta+\text{ctg} \gamma.$$

Фиксируем $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Мы должны доказать, что наиболее значение левой части расматривается неравенства как функция от $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ при $\alpha_1+\beta_1+\gamma_1=\pi$ достигается, когда $\alpha_1=\alpha$, $\beta_1=\beta$, $\gamma_1=\gamma$. Умножая левую часть на $\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma$, придаим ей вид

$$\sin \beta \sin \gamma \cos \alpha_1+\sin \gamma \sin \alpha \cos \beta_1+\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma_1=A.$$

Это выражение можно использовать как сумму (взятую со знаком минус) трех попарных скалярных произведений векторов $a$, $b$ и $c$ длина $a=\sin \alpha$, $b=\sin \beta$, $c=\sin \gamma$, направленных по сторонам треугольника с углами $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ (см. рис.ок):

$$A=-(\bar{b} \cdot \bar{c}+\bar{c} \cdot \bar{a}+\bar{a} \cdot \bar{b})=$$

$$=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2-(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})\cdot(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})),$$

поскольку $bc \cos \alpha=-\bar{b} \cdot \bar{c}$ и т. д. Очевидно, что наиболее значение эта величины принимает, когда $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=0$, т. е. из векторов $a$, $b$, $c$ можно составить треугольник. Углы этого треугольника равны $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$, а противолежащие им стороны — $\sin \alpha$, $\sin \beta$, $\sin \gamma$; по теореме синусов получаем, что $\alpha=\alpha_1$, $\beta=\beta_1$, $\gamma=\gamma_1$.

Р. П. Ушаков

M1025. Далее приведите, проведенные через одну точку пересечения продолжений протоположных сторон выпуклого четырехугольника, разрезают его на четыре меньших четырехугольника. Докажите, что если в два их них, не имеющие общей

Известно, что в четырехугольник можно писать окружность тогда и только тогда, когда суммы его протоположных сторон равны. Оказывается, имеется еще два аналогичных признака, которые и используются в решении задачи.

Пусть стороны $AB$ и $DC$ четырехугольника $ABCD$ при продолжении пересекаются в точке $E$, $AD$ и $BC$ — в точке $F$ (рис. 1). Тогда для существования вписанной в четырехугольник $ABCD$ окружности необходимо и достаточно выполнение любого из следующих

27

стороны, можно описать окружности, то и их исходный четырехугольник можно описать окружность.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф1033. Через блок радиусом R перекинуть одноподный гибкий канат массой m и длиной l, прикрепленный к двум крюкам на потолке, расположенным на расстоянии 2R (см. рисунок). На оси блока высит груз, масса которого вместе с блоком M. Тренце между канатом и блоком отсутствуют. Найти минимальную силу натяжения каната.

Рассмотрим левую половину каната ABD (см. рисунок). Ясно, что чем ниже на участке AB точка каната, тем меньше в этой точке сила натяжения. Поэтому точку каната с минимальным натяжением надо искать где-то на участке BD. Возьмем произвольную точку C на этом участке, находящую на расстоянии H от потолка.

На участок каната ABC действует направления вертикального вверх силы F₁ со стороны крика, сила натяжения каната F в точке C (со стороны расположенной справа от точки C частки каната), а также сила давления блока на канат, рассредоточенные по всей поверхности соприкосновения каната с блоком.

Переместим мысленно участок каната ABC на сколь годуно малое расстояние x таким образом, чтобы он занял новое положение A₁B₁C₁ (см. рисунок). При таком перемещении сила F₁ совершит работу F₁x, а сила F совершит отрицательную работу — Fx. Силы давления блока на канат работы не совершат (в каждой точке каната они направлены перpendикularно направлению перемещения этой точки). Потенциальная энергия перемещенного участка каната увеличится при этом на ту же величины, на какую увеличится потенциальная энергия кусочка каната длиной x и массой $\frac{m}{l} x$ при пересечении его из положения CC₁ в положение AA₁. По закону сохранения энергии

$$F_1x - Fx = \frac{m}{l} xgH.$$

28

Отсюда

$$F = F_1 - \frac{m}{l} xgH. \tag{1}$$

Теперь видно, что минимальное значение $F$ на участке $BD$ будет при максимальном возможном значении $H$, т. е. в точке $D$. Равенство (1) для точки $D$ имеет вид

$$F_{\min} = F_1 - \frac{m}{l} g \left( \frac{l}{2} - \frac{\pi R}{2} + R \right).$$

Так как $F_1 = \frac{1}{2}(M+m)g$, что легко показать, то минимальная сила натяжения каната равна

$$F_{\min} = \frac{Mg}{2} + \frac{mg}{2} \frac{R}{l} (\pi - 2) = \left( M + m(\pi - 2) \frac{R}{l} \right) \frac{g}{2}.$$

В. И. Чицевлёв

Ф1034. Моль идеально газа из начального состояния 1 с температурой $T_1 = 100$ К, расширяясь через тurbину в пустой сосуд, совершает неокоторую работу и переход в состояние 2 (см. рисунок). Этот переход просходит без подвода либо отвода тепла. Затем газ сжимают в процессе $2 \rightarrow 3$, в котором давление является линейной фиксией объема, и наконец, в изохорическом процессе $3 \rightarrow 1$ газ возвращается в исходное состояние. Наути работы, совершенную газом при расшириении через тurbину в переходе $1 \rightarrow 2$, если в процессе $2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ к газу в этоте подведено $Q = 72$ Дж тепла. Известно также, что $T_2 = T_3$, $V_2 = 3V_1$; газовая постоянная $R = 8,31$ Дж/(моль·К).

При расшириении газа через тurbину в пустой сосуд он совершает работу за счет своей внутренней энергии (так как подвода тепла нет). В процессе такого перехода отдельные части газа могут иметь разные температуры и давления — это так называемое «неравновесное» расшириение. Однако после установления в газе равновесной температуры $T_2$ и давления $p_2$ совершенная газом работа однозначно определяется законом сохранения энергии:

$$A_{1 \rightarrow 2} = c_V(T_1 - T_2),$$ где $c_V = \frac{3}{2} R.$

На участке $2 \rightarrow 3$ начальная внутренняя энергия газа равна конечной, поэтому подведенное к газу тепло $Q_{2 \rightarrow 3}$ определяется совершенной газом работы (площадь трапеции):

$$Q_{2 \rightarrow 3} = A_{2 \rightarrow 3} = \frac{p_2 + p_3}{2} (V_3 - V_2) = RT_2 \frac{1 - \alpha^2}{2\alpha},$$ где $\alpha = \frac{V_2}{V_3} = 3.$

На участке $3 \rightarrow 1$ подведенное к газу тепло определяется изменением его внутренней энергии, так как изохорическая процесс работы газом не совершается:

$$Q_{3 \rightarrow 1} = c_V(T_1 - T_3) = c_V(T_1 - T_2).$$

По условию $Q_{2 \rightarrow 3} + Q_{3 \rightarrow 1} = Q \neq 72$ Дж, или

$$RT_2 \frac{1 - \alpha^2}{2\alpha} + c_1(T_1 - T_2) = Q.$$

Посленее равенство позволяет найти температуре $T_2$, а затем и работу $A_{1 \rightarrow 2}$:

$$A_{1 \rightarrow 2} = \frac{Q + RT_1 \frac{\alpha^2 - 1}{2\alpha}}{1 + \frac{R}{c_V} \frac{\alpha^2 - 1}{2\alpha}} = 625$$ Дж.

А. А. Шеронов

Ф1035. Электрический диополь из двух жестко связанных точных зарядов $+q$ и $-q$, расположенных на расстоянии $l$ друг от друга, проплегает плоский конденсатор, пластый которого подключиется к источнику с постоянной ЭДС ($cm. рисунок$). Определение всего следует отметить, что диополь будет «втягиваться» в конденсатор — результатирующая сила, действующая на него со стороны пластин, направлена внутри конденсатора, и следовательно, в конденсаторе скорость диополя возратает.

Так как поле в конденсаторе поддерживается постоянным, можно пребежать влиянием поля диополя на заряды пластин, т. е. считать поле конденсатора внешним (независимым) по отношению к диоплюю.

29

дельте скорость диполя в центре конденсатора, если известно, что его скорость вдали от конденсатора равна $v_0$. Рассстояние между пластинами конденсатора $d$, масса диполя $m$. Влиянием силы тягости пренебречь.

Поле конденсатора — потенциальное; следовательно, в конденсatore диполь будет обладать и потенциальной энергией. Эта энергия равна

$$W_\pi = (+q)\varphi_x + (-q)\varphi_x = q\frac{\varepsilon}{d}(x_+ - x_-) = -ql\frac{\varepsilon}{d},$$

где $x_+$ и $x_- = x_+ + l$ — координаты зарядов $+q$ и $-q$, $\varphi_x$ и $\varphi_x$ — потенциальы в точках с координатами $x_+$ и $x_-$; координата $x$ отсутствует от отпечатлено заряженной пластины (см. рис.ок). При таком выборе начала отсчета работа по перемещению единичного заряда с отпечатной пластины на положительной равна $\varepsilon$.

Искомую скорость диполя найдем из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} - ql\frac{\varepsilon}{d},$$

откуда

$$v = \left(v_0^2 + \frac{2ql\varepsilon}{md}\right)^{1/2}.$$

А. В. Шелазин

Ф1036. К телу массой $m = 20$ г, лежащему на главном горизонтальном полу, приязаны две одинаковые упругие нити жесткости $k = 10^4$ Н/m. Одна нить прикреплена к стене, свободный конец второй нити начинают тягнуть в горизонтальном направлении со скоростью $v = 10$ м/c. Какая нить порвется, если разрывка каждой нити просходит при абсолитном удлиении $\Delta l_{\text{np}} = 5$ см? Считать, что закон Гука выполняется для нити вплоть до их разрыва; треня нет.

За процессом растяжения нитей удобно следить, перейдет из неподвижной системы (рис. 1) в системе координат, двурушцося вправо со скоростью $v/2$; тело в первый момент времени находится в начале координат ($x = 0$) и движется влево со скоростью $v/2$.

Сила упругости, действующая на тело, не зависит от движения концов нитей, а зависит лишь от смешения тела $x$ от первогоначального положения:

$$F_x = -k(\Delta l + x) + k(\Delta l - x) = -2kx,$$

где $\Delta l = (v/2)t$ — абсолитное значение смешенной концов нитки к тому моменту, когда смешение тела равно $x$. Следовательно, тело будет совершать гармоничие колбания с частотой $\omega = \sqrt{2k/m} = 10^3$ Гц около первогоначального положения. Смешение тела меняется со временем по закону

$$x = -\frac{v}{2\omega}\sin \omega t,$$

а удлинения нитей —

$$\Delta l_1 = \frac{v}{2}t - \frac{v}{2\omega}\sin \omega t,$$

$$\Delta l_2 = \frac{v}{2}t + \frac{v}{2\omega}\sin \omega t.$$

Отсюда видно, что в течение четырех полуперiodов колбаний —

$$2n \frac{T}{2} < t < (2n + 1) \frac{T}{2} \left( T = \frac{2\pi}{\omega}, n = 0, 1, 2, \dots \right)$$

— сильнее будет растяжета нить, в течение нечетных полуперiodов — вторая.

Таким образом, вторая нить порвется, если выполняется условие

30

Ф1037. В полой сфере проделано маленькое отверстие, через которого внутри пронikaет узкий паралельный пучок света. Внутренняя поверхность сферы отражает свет во все стороны одинаково (диффузно) и не подluaет его. Как будут различится в этом случае освещенность в точке, диаметрально противоположной отверстию, и во всех остальных точках сферы?

Поскольку по условиям внутренняя поверхность сферы не поглощает падающего на нее светую энергию, после многократных отражений через некоторое время в системе установки равновесие. При этом каждый небольший участок внутренней поверхности сферы всю попаданию на него светую энергию будет равномерно рассеивать во все стороны. В результате установления равновесия освещенность всех внутренних точек сферы, кроме точки, противоположной отверстию, будет одинаковой. При равновесии суммарная световая энергия, приходящая к отверстию в единицу времени от всех внутренних точек сферы, будет равна энергию, поступающей через отверстие в сферу извлекающей через отверстие в сферу извлекающей. Таким образом, после установления равновесия (а именно такая ситuation и рассматривается в задаче) отверстие будет эквивалентно устройству, которое всего приходящий кнему энергию от всех внутренних точек сферы послеает узким пучком в диаметрально противоположную точку.

Легко понять, что в силу малости отверстия суммарная энергия, приходящая кнему от всех внутренней поверхности сферы, равна суммарной энергии, рассеиваемой во все стороны любым участком сферы, равным по площади отверстию (это следует из обратности состояния равновесия — если все рассеиваемые лучи «заставить» дивятся в обратных направлениях, то ничего не изменится); это рассудение не касается только точки, диаметрально противоположной отверстию.

Итак, в силу расс挛ия доли энергии, посылаемые всеми внутренними точкими как к отверстию, так и в противоположную отверстию точку, будет одинаковыми. Кроме того,ровно столь же энергии придет в точку, противоположную отверстию, и от отверстия. Следовательно, освещенность внутренних точек сферической поверхности будетровно вдвое меньше освещенности точки участка сферы, противоположного отверстию. (Чем меньше площадь отверстия, тем точнее выполняется относение 1:2.)

С. С. Кротов

31

Задания

1. У каких полуокружностей, изображенный на рисунке, сумма длины больше — у верхних или у нижних?
2. Почему растения не рекомендуют поливать днем, особенно в солнечную погоду?
3. Совершите путьшее из пункта П в пункте Е (см. рисунок). Для этого замените буквы цифрами так, чтобы все равенства стали верными (одинаковые буквы заменяются одинаковыми цифрами, разные — разными). Счастливого пути!
4. Из шести косточки домино выложен прямогольник так, что ему соответствует пример на сложение (см. рисунок). Сложите из шести косточки домино (может быть, других) такой же прямогольник так, чтобы сумма (т. е. число в нижней строчке) была наименьшей.
5. В детском кафе стоит одинаковые круглые и одинаковые квадратные столы, на которых лежат одинаковые круглые и одинаковые квадратные салфетки. Известно, что круглый стол можно покрыть четырьмя квадратными салфетками, а квадратный — четырьмя круглыми салфетками. Покажите, что диаметр круглой салфетки не меньше половины диагонали квадратного стола, а сторона квадратной салфетки не меньше радиуса круглого стола.

Эти задания нам предложили ученик 8 класса Ю. Файзуллаев из колхоза «Правда» Шаватского района Хорезмской области, А. П. Савин, Л. П. Моцалов, Тран Куанг Дат (СРВ), В. В. Произвольов.

Смегировен!

32

32

Калейгское, Клима"

…всец не может ни создавать из ничего, ни одновременно возможна максимальная его вращения?
7. В массивный однородный цилиндр, который может без трения врачаться вокруг горизонтальной оси, попадает пуля,让她шая горизонтальная со сколову вращает ли полный импульс хорошего центрирования наночного максимального максимального от нуля?
8. Излучая фoton, атом газа изменяет свой импульс. Почему это изменение неизбежно?
9. В процесс ангигиляции электрона и позитрона нижняя не возвращает один тамма-квант. Какой из закоев сохраняется законом схраниния оказываются справаимыми лишь прпи описания ограниченного крутая желений. Так, при изучении химических реакций можно считать, что

1. Может ли кинетическая энергия тела изменяться, если на тело не действуют силы?
2. Может ли кинетическая энергия тела оставаться неизменной, если равно действующая приложенным к телу сили отличина от нуля?
3. Когда перенос электрического заряда из одной точки электрического поля в другую не сопроводяется изменением энергии?
4. В какие виды энергии превращается при фотозефекте энергия падающего на вещество света?
5. Каким образом космос навт, не связанный с кораблением, может вернуть на корабль?
   …часто неокоторые законы схраниния оказываются справаимыми лишь прпи описания ограниченного крутая желений. Так, при изучении химических реакций можно считать, что

33

масса сохраняется, однако при адерных реакциях применение такого закона было бы ошибным, так как, например, масса конечных продуктов деления урана меньше массы исходного копищества урана.

… если бы закон сохранения зарада не является.enоле точным законом природа, то электрон может быть распасаться, например, на ней прино и фото. Поиск таких распадов, однако, не увеличилось успешом и показали, что время жизни электрона по крайней мере не меньше 10²² лет. (Возраст же Вселенной оценивается сегодня учеными в 10¹⁰ лет.)

… именно закон сохранения зарада подсказал Дж. Максеелу идею о возможности воззвлечения мощности поля в результате изменения электрона к предсказанию перiodических электромагнитных процессов, распространения цихиса в пространстве. Вычисленное значение скорости распространения оказалось в точности равным гранеем измеренной скорости света.

ЗАКОНЫ
СОХРАНЕНИЯ

А так ли хорошо знакомы вам

Развитие физики сопровододательов установлением самых различных законов сохранения, утверждающих, что в изолированных системах определенные величины не могут возникать или исчезать. Представления о том, что подобные законы существуют, возникли в глубине веков: приведенное в эпиграфе изречение Лукрения отражает еще античные взгляды. Сего дня физика известно довольно много таких законов, часть из них знакома в вам — это законы сохранения имплуса, энергии, зарада. Дальнейшее изучение физики позволяет узнать, что есть весма необучные законы сохранения, например, странаности, четверости и очагования. Но прежде —правотаем с теми, которые вы должны хорошо знать.

О законах сохранения (публикации последних лет):

1. «Столкновения тел» — 1984, № 4;
2. «Как вводятся физические величины» — 1984, № 10;
3. «Импульс и кинетическая энергия» — 1985, № 5 (с. 28);
4. «Механическая работа и механическая энергия» — 1985, № 5;
5. «Волк, барон и Ньютон» — 1986, № 9;
6. «Атомная физика в задах» — 1986, № 12;
7. «Закон сохранения энергии» — 1987, № 5.

34

ИЗ ИСТОРИИ ДРОБЕЙ

Доктор физико-математических наук
Н. Я. ВИЛЕНКИН

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя название всех следующих дробей связаны с названием их значенателей (tri — «треть», четыре — «четверть» и т. д.), для половины это не так — ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть. Эти и некоторые другие дроби встречались в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, — древнегипетских пapiруcas и вавилонских клипописных табличках. И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей 1/3 и 2/3, не совпадали с обозначениями для других дробей.

Египтане все дроби старались записать как суммы долей, т. е. дробей в да 1/n. Единственным исключением была дробь 2/3. Например, вместо 8/15 они писали 1/3+1/5. Иного это бывало удобно. В пapiрусе, написанном египетским писом Ахмесом, есть задача: разделить семь хлебов между восемью люdbми. Если резать каждый хлеб на 8 части, придется сделать 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Теперя ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб — на 8 части (всего 17 разрезов).

Но складывать записанные в виде долей дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтане не до-

35

пускали. Позотому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в котором все доби вида 2/n, от 2/5 до 2/99, записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление целых чисел. Вот, например, как делили 5 на 21:

$$\frac{5}{21} = \frac{1}{21} + \frac{2}{21} + \frac{2}{21} = \frac{1}{21} + \left( \frac{1}{14} + \frac{1}{42} \right) + \left( \frac{1}{14} + \frac{1}{42} \right) = \frac{1}{21} + \frac{2}{14} + \frac{2}{42} = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{42}.$$

Умели египтане также умножать и делить доби. Но при умножении приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстоятель дело с делением.

Совсем иным путем пошли вывилоняне. Дело в том, что система числения в Вывилоне была шестдесятричной — каждая единица следующего разряда была в 60 раз больше предыдущего. Вывилер, записы 14″ 42′ 38 означала число 14·60²+42·60+38, т. е. в нашей записи число 52958 (только вывилоняне пользовались не нашими цифрами, а другими обозначениями, составленных из клинцев). Поэтому и доби были у вывилоняне не десятичными, а шестдесятричными. По сути делала мы и сейчас пользовался таким добями в обозначениях времени и величины углов. Например, время 3 ч 17 мин 28 с можно записать и так: 3,17′28″ ч (читается 3 целых, 17 шестдесятных 28 три тысяч шестисотных часа). Вместо слов «шестдесятные доли», «три тысяч шестисотные доли» говорили короче: «первые малые доли», «вторые малые доли». От этого и произошли наши слова «минута» (по латыни «менышая») и «секунда» (по латыни «вторая»). Так что вывилонский способ обозначения добей сохранил свое значение до сих пор.

Не все доби можно изобразить в виде конечных шестдесятричных, как и все доби записьвали в виде конечных десятичных. Например, доби вида 1/7, 1/11, 1/13 не могут быть записаны в шестдесятричной форме. Но их можно с любой степенью

37

Физика 8, 9, 10
Публикуемая книга заметка «Законы сохранения и системы отчета» предназначается восмиллассиком, «Как работает электродвигатель?» — девятиклассиком, «Физика музыкальной гармонии» — десятиклассиком.

Законы сохранения и системы отчета

Есть надежный способ проверить, хорошо ли вы понимаете законы, относящесся к движению тел, — рассмотите явление в различных инерциальных системах отчета. Нередко сразу же обнаруживаются парадоксы, свидетельствующие о том, что настоящого понимания у вас еще нет. Часто это связано с тем, что учитель и авторы учебников и задачников заботливую выбирают систему отчета, где процесс выглядит наиболее просто. Такая методика в значительной мере оправдана: зачем вдаваться в сложные объяснения, если можно сделать проще. Однако все это хорошо до поры до времени. В нестандартной ситуации без обстоятельного анализа и настоящего понимания не обойтись.

Все сказанное неосредственно относится, прежде всего, к закону сохранения энергии.

Потенциальная энергия и работа. Вот простейшая задача. К степени прикреплена растянутаяружина с шаром на свободном конце. Сжимаясь,ружина совершает работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому со знаком минус:

$$A = -\Delta E_p = \frac{kx^2}{2}$$

(*) (k — жесткость рукины, x — ее начальное расстояние).

Работа — произведение модели векторов сил и перемещения на коэсинус угла между этим векторами — зависит от системы отчета, так как при неизменной силе перемещение тела в различных системах отчета различано. В то же время потенциальная энергия (а значит, и ее изменение) — функция расстояния между телами или их частями — от системы отчета зависит не может.

Что будет с равенством (*), если перейти в движущую систему отчета? Работа изменится, а потенциальная энергия нет?

Недоразумение разрешается очень просто. В действительности изменение потенциальной энергии $\delta\omega x$ взай-

39

счета

$$\Delta E'_k = A'.$$

Таким образом, при перехождение от одной системы отчета к другой меняется не только кинетическая энергия, но и изменение кинетической энергии. Но всегда изменение кинетической энергии равно работе сил в этой системе отчета.

Определить, как меняется кинетическая энергия в зависимости от системы отчета, не сложно, Вычислить же изменение работы города сложнее. Расмотрим такую задачу.

Кубик сосальзывает без трения с наклонной плоскости высотой $h$ (рис. 3, а). У основания плоскости кинетическая энергия $E_{k2} = mv^2/2$, а начальная энергия $E_{k1} = 0$. Изменение кинетической энергии равно работе силы тяжесте:

$$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv^2}{2} = mgh.$$

Рассмотрим движение кубика с точки зрения инерциальной системы отчета, движущейся относительно наклонной плоскости со скоростью $v = \sqrt{2gh}$ (рис. 3, б). В этой системе начальная скорость кубика равна $v = \sqrt{2gh}$, а конечная скорость равна нулю, поэтому

$$\Delta E'_k = E'_{k2} - E'_{k1} = -\frac{mv^2}{2} \neq mgh.$$

Согласно теореме о кинетической энергии,

$$\Delta E'_k = -mgh = A'$$

— работа оказывается отрицательной. Дело в том, что в движущейся системе отчета сила реакции плоскости не перpendикулярна перемещению кубика. Она-то и совершает отрицательную работу (наряду с положительной работы силы тяжесте), уменышающий кинетическую энергию кубика. Однако вычислить ее неосредственно, не прибегая к закону сохранения энергии, веса затруднительно.

Закон сохранения импульса. Импульс силы не зависит от системы отчета. Поэтому и изменение импульса тела одинаково во всех инерциальных системах отчета:

$$\Delta P = F \Delta t.$$

В данном случае все очень просто — импульс тела при перехождение от одной системы отчета к другой меняется, но изменение импульса остается одним и тем же.

Г. Я. Мякшцев

Как работает электродвигатель?

Вопрос не такой простой, как кажется на первый взгляд. Естественный ответ со ссылкой на закон Ампера для силы, действующего на проводник с током со стороны магнитного поля, суть дела объясняет далеко не полностью.

Откуда береется сила Ампера? Она возникнет из-за того, что на движущейся в проводниках (металлических) электроды действует магнитная сила Лоренца. Ее модель

$$F = evB \sin \alpha,$$

где $e$ — заряд частицы, имеющей скорость $\vec{v}$, $\vec{B}$ — магнитная индукция, $\alpha$ — угол между векторами $\vec{v}$ и $\vec{B}$. Сила $\vec{F}$ перpendикулярна $\vec{v}$ и $\vec{B}$, и ее направление определяется правом левой руки. Казалось бы, если эта сила в любой момент времени перpendикулярна скорости, то работу совершать она не может. Тем не менее именно магнитная сила электродвигателя.

Столь же «загадочка» работа генератора, превращающего механическую энергию в энергию электрического тока. Если ЭДС индуцируется во врашающем якоре генератора,

41

суммарной скорости $\vec{v}$ и не совершает работы. Составляющая $\vec{F}_2$ представляет собой стороны сили, вызывающий появление тока в обмотке якоря. Она совершает положительное работу $A_2$. ЭДС генератора $\delta_i = A_2/e$. Другая составляющая $\vec{F}_1$ направлена против движения проводника. Она совершает отрицательную работу $A_1$ и тгорозит врашение якоря. Обе работы равны по модели и противоположны по знаку. Якорь не оставливается, несмотря на тормозящую силу $\vec{F}_2$, благодаря действию внешних сил стороны двигается, врашающего якорь. Именно положительная работа внешних сил компенсирует отрицательную работу силы $\vec{F}_1$, и врашение якоря продолжается непрерывно.

Чем больше потребитель включено в цепь генератора, тем больше должа быть сила тока в якоре для поддержания на выходе генератора неизменного напряжения. Соответствие, больше будет сила $\vec{F}_1$, тормозящая якорь, и для поддержания номинального режима работы генератора потребуется больше мощность двигаателя. Таким образом, включая без нужды обживенную электрическую лампочку, мы заставляем двигаатель, врашающий якорь генератора, развивать чуть больше мощность.

Г. Я. Мякище

Физика музыкальной гармонии

Вы знаете, что звуки, окружающие нас, есть не что иное, как колбания давления и плотности воздуха. Среди всего многообразия звуков неокоторые оказывают на человека сильное эмциональное воздействие. Это — звуки музыкальные. Объяснить их особое взаимодействие с мозгом только физическим принимами, размечется, нельзя. Но можно, говоря словами Пушкин, «поверить алгеброй гармонию».

Согласно дошедшим из древностей преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифогор и его ученики. Ими было установлено, что одинаково натянутые струны, сделанные из одного материала, издают согласие.

Рис. 1. Колбания струны, закрепленной с двух стороны и оттянутой посередине. Какая следующая картина отличается по времени от предыдущего на четверть периода колбаний.

ное музыкальное звучание, если их длины относятся, как небольшие целые числа. Например, если взять две струны, одна из которых вдвое короче другой, то извлекаемые из них звуки оказываются согласными. Музиканты в таком случае говорят, что звуки отличают на октаву, и обозначают их одной нотой: например, «до» первой октавы, «до» второй октавы и т. п.

Послеотрим, с физической точки зрения, как происходит колбания струны с закрепленными концами (рис. 1). Если струну оттянут последение и отпустить, она будет совершать колбания, при которых скорости иускорения всех точек направлены одинаково. *) Такие колбания определяют основной тон звучания струны. Оказывается, частота $v$ основного тона струн, сделанных из одного и того же материалов и натянутых с одинаковой силой, зависит только от их длины $l$, причем зависит обратно пропорционально: $v \sim 1/l$. Возможны также и другие колбания струны — с частотой вдвое, второе и т. д. большей, чем частота основного тона. Их называют обертонами.

Но вернемся к музыкальным звукам. Тепер мы можем сказать, что частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т. д. октавах, относятся как 1:2:4:8 … А как следует выбирать музыкальные тоны

)О том, как возникают такие колбания, можно прочитать, например, в замете И. К. Белкина «О музыкальных звуках и их источника» (Квант, 1985, № 9, с. 26). (Примеч. ped.)

43

ных интервала: основной интервал, или большая секунд, — 1,125 = v₂/v₁ = v₃/v₂ = v₅/v₄ = v₆/v₅ = v₇/v₆ и малый интервал, или малая секунд, — 1,0535 = v₄/v₃ = v₈/v₇. Пифагорыоны тонны соответствуют большим клавишам клавиатуры, а черные клавиши размещены как раз между теми белыми, где оказывается большой интервал.

К сожалению, оказывается, что ширина двух малых интервалов — 1,0535 × 1,0535 = 1,110 (поскольку интервалы есть отношения частот, то для вычисления большого интервала входящие в него малые надо перемножать, а не складывать) заметно для слуха отличается от большого — 1,125. Поэтому звуки пифагоровой гаммы неравноправны — гамму не удается начать с любой из нет. Чтобы изменить тональность, музыкальный инструмент нужно настроить заново. Для струнных инструментов это сделать нетрудно, но организ, который состоит из множества труб — каждая для своего звука, настраивают при его создании.

Несмотря на это неудобство, пифагова гамма (наряду с другими типами музыкальных рядов) прослужла музыкантом более двух тысяч лет — до XVI века. Затем получила распространение так называемая диотичческая гамма, которая была построена на частотах, составленных из отношений чисел 2, 3 и 5. Но и она страдала аналогичным недостатком.

Только к дальнейшему усвоению инструментного музыкального строя, возникло, опять стали физические исследования. Францз М. Мерсенн (1588—1648) установил, как зависит частота колебаний структу не только от ее длины, но и от силы натяжения, секунды структу и плотности материалов, из которой она сделана. Вскоре после этого было изобретено фортепиано — инструмент, в котором структу настроены на последовательные музыкальные тонны с частотами от 27,5 до 3520 Гц, охватывающие 7 октав.

Примерно в то же время был создан так называемый хорошего темперарованный строй, то есть хроматическая гамма, в которой все последовательные интервалы выбранны между собой (рис. 3). Ключом к ее созданию стало математическое совпадение. Оказалось, что степени числа $^{12}/2$ с хорошей точностью совпадает с пифаговыми отношениями (сравните их сами) — хроматическая кванта, например, отличается от пифаговой всего на 0,11 % — такая погрешность неразличима на слух. Поэтому на современных музыкальных инструментах можно играть в любой из 24 тональностей (12 максимых и 12 минимых). То, что при этом можно добиться согласно звучания нерависимо от тональности, доказывает Бах, когда писал свой «Хорошо темперарованный клавир» — 24 предложи и фуги во всех тональностях. Существуют ли физические принципы различия между максимом и минимом, увы, нам неизвестно до сих пор.

А. В. Вялко

44

Мечта становится реальностью
(Открытие высокотемпературной сверхпроводимости)

«Если нельзя, но очень хочет, то можно.» Этими словами можно охарактеризовать открытые, которое буквально сегодня производило тела и о котором поддет речь в данной заметке.

Впервые о сверхпроводимости, одном из самых ярких и необъчных явлений физики, стало известно 28 апреля 1911 года. Нидерландский физик Г. Камерлинг-Оннес на засадании Королевской академии наук в Амстердаме сообщил об обнаружении им эффектив — полном исчезновении электрического сопротивления ртути, охлажденной жидким гелем до температуры T=4,15 К. Вскоре сверхпроводимость при низких температурах была обнаружена и в ряде других металлов и сплавов.

Практические перспективы открытого явления казались безграничными: линни передач электрознергии без потерь, сверхмощные магниты, электромоторы и трансформаторы нового типа, аккумуляторы с неограниченной емкостью и т. п. Оdnako два непреодолимых в то время превращаются стали на пути реализации этих планов. Первоое — это чрезвычайно низкие температуры, при которых сверхпроводимость проявляется во всех известных материалов. Для охлаждения.do таких температур приходится остроединить и дорогим жидким гелем, что делает многое заманчивые проекты использования сверхпроводимости попросту перегентабельными. Второе превращение — его вскоре с разочарованием обнаружил сам Камерлинг-Оннес — связано с тем, что сверхпроводимость оказалась весна «капизной» по отношению к магнитному полю: в сильных полях она исчезает (в рути, например, это происходит при indукции магнитного поля выше 0,04 Тл).

На протяжении длительного времени приода сверхпроводимости оставалась необъясненной, лишь в 1957 году это явление нашло последовательное теоретическое объяснение. Как оказалось, сверхпроводимость связана с возникновением в некоторых металлах при низких температурах специфического приятиения между электронами, обусловленного их взаимодействием посредством окружающей кристалической решетки.

Создание теории сверхпроводимости должно мощный импульс дальнейшим ее исследованием. Наряду с обнаружением прициппальной новых, квантовых, эфективов, свойствных сверхпроводникам, значительный прогресс был достигнут и в получении новых сверхпроводящих материалов. Так, к середине 80-х годов были созданы сверхпроводники, способные выдерживать огромные магнитные поля (вплоть до 60 Тл) и пропускать соответственное большие токи. Однако в области повышения так называемой критической температуры — максимальной температуры, при которой в образце еще возможно протекание сверхпроводящого тока, за последние 15 лет, несмотря на колосольные условия учены всего мира, не удалось содействия с рекpondного значения 23 К (для сплава Nb₃Ge) ни на один градус.

Но, может быть, явление сверхпроводимости прициппальной невозможного при достаточно высоких температурах?

Именено к таким выводу относительно обычной сверхпроводимости (обусловлен взаимодействием электронов посредством решетки) и склониясь учены. Самые оптимisticические прогнозы предсказывали предельно возможные значения критических температур порядка 30—40 К.

И вот в конце 1986 года научный мир был взбудован сенационным сообщением об обнаружении нового ряда сверхпроводящих веществ с критическими темперарами именно 30—40 К и даже выше. Этими должны веществами оказались весна сложные металлооксиды типа La—Sr—Cu—O, La—Pb—Cu—O, La—Ba—Cu—O. впервые они были синтезированы швейцарским учеными, но уже буквально через несколько месяцев их стали «печь» во многихлабораториях мира.

Подобно «золотойlixорадке» времен Клондайка,lixорадка посковсоединения с высокими критическими параметрами охватила ученых. Сведения о новых сверхпроводниках, с еще более высокой критической температуре, посылались как из рода изобилия. Журналыные публикации не успевают за синтезом все новых и новых веществ с удивительными свойствами, известия о них немедленно передаются из лаборатории в лабораторию по телефону или, как во время Гойгена и Ньютона, в письмах.

Уже поступили достоверные сообщения о достижении рекордной критической температуры в 120 К в соединениях типа Y—Ba—Cu—O. Успешные исследования в данной направлении ведутся и в нашей стране.

Вещества обнаруженного ряда представляют собой так называемую металлооксидную керамику. И проводимость в нормальном состоянии весна невысока — по своим электрическим свойствам они являются плоскими металлами, да и концентрация электронов проводится в них невылка. Природа новой, высокотемпературной, сверхпроводимости пока остается неясной. Связана ли она с традиционным взаимодействием электронов друг с другой кипениям 77 К). В результате можно ожидать настоящую революцию в целом где обладает физики и техники, последствия которой до конца сегодня представить трудно.

В. В.

45

О случайных блужданиях

Кандидат физико-математических наук
С. И. СОВОЛЕВ

В радиопередаче по сказке Джанни Родари «Чиполлино и его друзья» сыщик мистер Моркоу ведет розыск справшегося Чиполлино по принципу:

«Шаг назад, шаг вперед,
От нас разбойник не уйдет».

Этот принцип поиска можно было бы считать шуткой автора, если бы его эффективность не вытекала из одной теоремы теории вероятности. Наша заметка посвязывана этой теореме и примыкающим к ней задачам.

Случайные блуждания по примой

Отметим целочисленные точки на прямой, возьмем монету и фишку. Представим себе, что в момент времени 0 в точке $a \in Z$ стоит фишка. Бросим монету. Если она выпадет гербом, перевиним фишку на 1 вправо, если решкой, то на 1 влево. А дальше снова бросаем монету и поступаем по этому правилу и т. д. Если монета не имеет дефектов, то фишка, в момент времени $t$ ($t = 0, 1, 2, \dots$) стоящая в точке $k \in Z$, вследующий момент времени $t + 1$ с вероятностью 1/2 оказется в точке $k + 1$ или с той же вероятностью оказется в точке $(k - 1)*$.

Описанный процесс называется симметриным случайным блужданием по множеству $Z$ целых точек прямой, начинающихся в точке $a$. Такое блуждание называется симметриным потому, что у монетки герб и решка равноправны.

Немного уточняя ситуацию из сказки Джанни Родари, будем считать, что сыщик Моркоу в розысках Чиполлино совершает симметриное случайное блуждание по множеству $Z$ (с помощью монетки).

*) Вероятность $p(x)$ события $x$ — это некоторая численная характеристика возможности наступления этого события. Вероятность невозможного события принимается равной 0, достоверного события — равной 1, а вообще $0 \leq p(x) \leq 1$. В сложных сituциях вероятность определяется аксиоматически, однako в этой заметке аксиоматически теорию нам заменит небольшая доза здравого смысла. В частности, если несколько событий равновозможны, то их вероятности одинаковы; например, вероятность выпадения двойки (или пaterки) на нежульничекой игральной кости равна, конечно же, 1/6, вероятность выпадения орла на негнутой монете — 1/2.

46

Задание 1. Возьмите монету и фишку, фишку поставьте в точку 0. Бросьте монету, передвините фишку и запишите ее положение. Повторите до 10 раз. В результате вы должны получить строку из последовательных положений фишки.

Конкретное блуждание можно наглядно изображить, нарисовав его траекторию. Положение фишки в момент времени $t$ в точке $k$ отметим точкой $M_t$ с координатами $(t; k)$ на плоскости с прямогольной декартовой системой координат. Соединив стрелкой точку $M_t$ с точкой $M_{t+1}$ ($t = 0, 1, 2, \dots$), мы и получим наглядное изображение траектории фишки.

Например, если при бросании монеты выплали последовательно $\Gamma, \Gamma, P, \Gamma, P$, а начальное положение фишки было в точке 0, то последовательные положения также:

| время | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| положение фишки | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |

и траектория выглядит так, как показано на рисунке 1.

Задание 2. Нарисуйте траекторию, изображенную блуждание фишки из задания 1.

Вероятность попадания в данную точку

Пусть блуждание фишки по прямой начинается в точке 0. Интересным является вопрос, с какой верятностью в момент времени $t$ фишка оказывается в положении $k$. Иначе говоря, с какой верятностью $t$-звенная траектория приходит в точку $(t; k)$? Обозначим эту верятность $P_t(k)$. Ответ на поставленный вопрос зависит от числа $S_t(k)$ траекторий, ведущих из точки $(0; 0)$ в точку $(t; k)$.

Напишем около каждой точки $(t; k)$, в которой приходит хотя бы одна траектория, число $S_t(k)$, показывающее сколько траекторий ведет в эту точку для $t = 0, 1, 2, 3$ (рис. 2).

Задание 3. Продолжите рисунок 2 для $t = 4, 5, 6$.

Можно подметить следующие. В точку $(t; k)$ могут идти стрелки только из точки $(t - 1; k - 1)$ и $(t - 1; k + 1)$, и больше неткуда. Поэтому $S_t(k) = S_{t-1}(k-1) + S_{t-1}(k+1)$.

Таблица, состоящая из чисел $S_t(k)$, начало которой мы нарисовали, оказывается так называемым треугольником Паскала. Она всегда, стольик за столбиком, порождает условия $S_0(0) > 1$ и соответствием (1). Например:

$$\begin{align*} S_1(-1) &= S_0(-2) + S_0(0) = 0 + 1 = 1, \\ S_1(1) &= S_0(0) + S_0(2) = 1 + 0 = 1, \\ S_2(-2) &= S_1(-3) + S_1(-1) = 0 + 1 = 1, \\ S_2(0) &= S_1(-1) + S_1(1) = 1 + 1 = 2, \\ S_2(2) &= S_1(1) + S_1(3) = 1 + 0 = 1, \end{align*}$$

и так далее.

Конечно, $t$-звенных траекторий в два раза больше, чем $(t - 1)$-звенных — ведь каждая $(t - 1)$-звенная траектория порождает две $t$-звенных. Поэтому однозвенных траекторий 2, двухвенных — 4 и так далее, $t$-звенных траекторий — $2^t$.

Все $2^t t$-звенных траекторий — равновозможные траектории движения фишки (поскольку герб $\Gamma$ и решка $P$ — равновозможные исходы бросания монеты), из них $S_t(k)$ траекторий приходит в точку $(t; k)$. Поэтому верятность $P_t(k)$, с которой $t$-звенная траектория приходит в точку $(t; k)$, равна $S_t(k)/2^t$. Okоло точки $(t; k)$, в которой приходит хотя бы одна траектория, выпишем верятность $P_t(k)$. Полученный таблицу назовем треугольником верятностей. Поделив равенство (1) на $2^t$, получим закон

47

$$P_t(k) = \frac{1}{2} P_{t-1}(k-1) + \frac{1}{2} P_{t-1}(k+1),$$

порождащий (с использованием условий $P_0(0) \geq 1$) весь треугольник вероятностей (рис. 3).

Задание 4. Продолжите треугольник вероятностей $P_t(k)$ вправо, выписав его для $t = 4, 5, 6$.

Формула (2) учитывает, что:

1. Фишка может быть в момент времени $t$ в положении $k$ только если она была в момент времени $t - 1$ в одном из соседних положений $k - 1$ или $k + 1$;

2. переходы из положения $k - 1$ в положение $k + 1$ или из положения $k + 1$ в положение $k$ проискают с вероятностями $1/2$ (позному перед $P_{t-1}(k - 1)$ и $P_{t-1}(k + 1)$ и стоит коэффициенты $1/2$).

Следующие два задачи предназначаны для тех, кто знаком с определенным числа сочетаний и знает формулу бинома.

Задание 5. Докажите, что

$$P_n(k) = C_n^{\frac{n+k}{2}}/2^n,$$

еще $C_n^m$ число сочетаний из $n$ элементов по $m$.

Задание 6. а) Проверьте для $t = 1, 2, 3, 4$, что коэффициент при $x^k$ в разложении многочлена

$$\frac{1}{2^n} \left( x + \frac{1}{x} \right)^t$$

по степеням $x$ равен $P_t(k)$. 6) Докажите утверждение пункта a) для любого натурального $t$.

Попадется ли Чиполлино?

Пусть в точке 0 на прямой спратически Чиполлино, а в точке $k$ находится мостер Моркову. Мы предположили, что сыщик, разыскивая Чиполлино, совершает симметриное случайное блуждание, начинающееся в момент времени 0 в точке $k$ на прямой. С какой вероятностю мостер Моркову когдаибудь найдет Чиполлино, т. е. окажется в точке 0?

Обозначим эту вероятность $P(k)$. Как и всякая вероятность, $P(k)$ — какая-то часть единцы:

$$0 \leq P(k) \leq 1.$$

Заметим, что $P(0) > 1$ (если $k = 0$, то уже в момент времени 0 сыщик и Чиполлино находится в одной точке,

помним — достоверное событие, а его вероятность равна 1). Если $k \neq 1$, то поскольку из точки $k$ сыщик может попасть когда-нибудь в точку 0 только,ройдя в следующий момент времени после выхода из точки $k$ через соседние точки $k - 1$ и $k + 1$, оказывается справедливым тот же самый закон полусуммы:

$$P(k) = \frac{1}{2} P(k - 1) + \frac{1}{2} P(k + 1).$$

Здесь учтено, что переход за единицу времени из точки $k$ в точку $k - 1$ проискают с вероятностю $1/2$; то же верно для перехода из точки $k$ в точку $k + 1$.

Рассмотрим точки $M_k(k; p(k))$ на плоскости с прямой угловой декартовой системой координат $xOy$. Поскольку середина отрезка, соединяющего точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, есть точка $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$, ясно, что точка $M_k$ (где $k \neq 0$) является серединой отрезка $M_k - 1M_k + 1$. Следовательно, точки $M_k$, где $k \geq 0$, лежат на одном луче, и точки $M_k$, где $k \leq 0$, лежат на одном луче. Оба этих луча выходит из точки $M_0(0; 1)$ (так как $P(0) > 1$) и лежат в полосе $0 \leq y \leq 1$ (так как $0 \leq P(k) \leq 1$ для любого $k$), заключенной на рисунке 4. Следовательно, они составляют прямую $y = 1$. Все точки $M_k(k; P(k))$ лежат на этой прямой, поэтому $P(k) \geq 1$ для любого $k$.

Итак, мы доказали, что сыщик с вероятностю 1 рано или поздно найдет Чиполлино, из какой бы точки $k$ он ни начинал блуждание!

Читатель может спроисть — а что если при бросании монеты все время будет выпадать единца, ведь тогда сыщик будет вправо по прямой и никакого не найдет Чиполлино? Конечно, такое блуждание логически возможно, но вероятность, что произойдет блуждание, не приводящее в точку 0, равна 0. Это — доказанная нами теорема. Вопрос о ее приложи-

48

Случайные блуждания на плоскости и в пространстве

Рассмотрим на плоскости треугольную сетку; возьмем фишку и (недеформированную) игральную кость. ШестЬ направленной движения по сетке обозначим цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, как показано на рисунке 5. Поставим фишку в один из узлов сетки и бросим кость. Переведим фишку в соседний узел по направлению, отвечащему показанию кости. А дальнейшее снова бросаем кость и поступем по этому правлу и т. д. Этот процесс называется симметриным случайным блужданием по плоской треугольной сетке.

Предположим, что Чиполлино спрятался в одном из узлов сетки, а сыщик мистер Моркову совершает случайные симметричные блуждания по сетке; найдет ли он Чиполлино? Оказывается, что и в этом случае сыщик находится свою жертву с вероятностью edиница. Это тоже математическая теорема из теории вероятности, известная под обозначим называемем «все дороги ведут в Рим». Ее доказательство мы не приводим — оно несколько сложнее доказательства теоремы о случайном блуждании на прямой. Результат будет тем же для плоской квадратной сетки (вместо обичной игральной кости придется пользоваться «костью» в форме правильно терраэдра).

Однако если перейти к кубическому сетке в пространстве и аналогично определить на ней симметриное случайное блуждание (здесь снова подой-
Pис. 5.

Pис. 7.

дет обычная игральная кость — ведь из каждой вершины кубического сетки выходит шесть ребер), то результат оказывается совсем другим. Если Чиполлино спрячется далеко от сыщика, то вероятность попмки становится ничтожно малой. Это уже трудная теорема, об ее доказательстве мы говорить ничего не будем.

Два слова о приложениях

Игровой сложет этой заметки не должен вводить читателя в заблуждение. Теория случайных блужданий — важный и очень полезный раздел теории вероятности. Она с успехом применяется при изучении различных процессов развития (в физике, в химии и даже в экономике). Особенно в последние годы, когда случайные процессы легко моделируют на ЭВМ с помощью датчиков случайных чисел. Эффективные и неожиданные приложения она получает в практическом нахождение решений конкретных дифференциальных уравнений с помощью так называемого метода Monte Carlo. Но это предмет для отдельного расскада.

В заключение предлагаем два задачи.

Задание 7. Чиполлино спрятается в точке 0, в точке N находится пропасть, а сыщик Моркову находится в точке k (k∈Z, 0<k<N). Сыщик цитет Чиполлино прежним образом. Если он попадет в точку 0, то найдет Чиполлино, а если попадет в точку N, то свалится в пропасть (рис. 6). С какой вероятностью сыщик найдет Чиполлино? С какой вероятностью сыщик свалится в пропасть?

Указание: Докажите, что (в режних обозначениях)

$$P(k) = \frac{1}{2} P(k-1) + \frac{1}{2} P(k+1),$$

49

где $k=1, 2, ..., N-1$; $P(0)=1$, $P(N)=0$. Как расположены точки $M_k(k; P(k))$, где $k=0,1, ..., N$? Ответ на первый вопрос: $P(k) > 1-k/N$. Чтобы ответить на второй вопрос, можно поменять местами пролисты и циполилино. Покажите, что ответ дает число $P(N-k) - k/N$.

Задание 8. Несколько прутков связи так, как показано на рисунках 7 a)—2). В точке 1 сидит гусеница. Точки A и B смазаны kleем. Гусеница движется по следующему закону. Если она попадает в точку A или в точку B, то в этой точке приклевается. Если она находится в одной из точек (отличных от A и B), из которой выходит m прутков, то она выбирает один из этих прутков с вероятностью 1/m и полет до его конца, а дальнейшее действия, как описано. С какой вероятностью гусеница коэффицирует приклеется в точке A?

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7, \\ x^2 + xz + z^2 = 21, \\ y^2 + yz + z^2 = 28. \end{cases}$$

2. Докажите, что круги, построенные на сторонах выпukлого четырехугольника, как на диаметрах, покрывают этот четырехугольник.

3. Варифметический прогрессии, составленной из натуральных чисел, есть член, оканивающийся цифрой 3, но нет член, оканивающегося цифрой 5. Есть ли в ней член, оканивающийся цифрой 7?

4. Из карьера нужего вывести 870 т гранитных глыб. Докажите, что если каждая глыба весит не более 8 т, то для перевозки достагоно 17 платформ, грузоподъемностью 58 т каждой.

5. Докажите, что существует бесконечного много целых чисел, которые являются точными квадратами и остаются таковыми после приписывания к ним справа единиццы (в десятичной записи).

Девятый класс
6. Числа $x, y, z$ удовлетворяют соответствиям $x+y+z=a$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}$. Докажите, что по крайней мере одно из чисел $x, y, z$ равно $a$.

7. Разложите число 1987 в сумму натуральных чисел таким образом, чтобы произведение этих чисел было максимальным.

8. На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки $A_1, B_1, C_1$ такие, что $BA_1:A_1C=CB_1:B_1A=AC_1:C_1B=1:2$. При пересечении отрезков $AA_1, BB_1, CC_1$ образуется треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади треугольника ABC.

9. На сторонах произвольного треугольника как на основании построены во внешнюю сторону равносторонние треугольники. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника.

10. Многочлен
    a) $ax^2+bx+c$,
    b) $ax^3+bx^2+cx+d$
    принимает при любом целом $x$ целое значение. Какими могут быть его коэффициенты (например, обязаτεло ли они являются целыми)?

Десять класс
11. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} x=y^2+ay+b, \\ y=x^2+ax+b. \end{cases}$$

12. Докажите равенство $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4$.

13. Какой из треугольников, высанны в данную окружность, имеет наиболее перimetр?

14. Данны несколько положительных чисел, сумма которых равна 3 и сумма квадратов которых равна 1. Докажите, что среди этих чисел найдет три, сумма которых не меньше 1.

15. Докажите, что сумма углов пространственного неплоского четырехугольника меньше 360°.

Публикацию подготовили
Л. Д. Курляндчик и Д. В. Фукс