Квант 1987, №7 · Страницы

ISSN 0130—2221
Квант
Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
In Quadrante Orientali, circa 5 et Limit Bore.
20
1987

1

В номере:

Научно-популярный
физико-mатематический
журнал Академии наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

Ю. П. Соловьев. Арифметика эллиптических кривых
А. А. Панов. Генеалогическая деревья
В. С. Ашавский. Поверхность кристалла
С. И. Валянский. Единицы: от системы к системе
С. С. Хилькевич, О. А. Зайцева. Как построить траекторию?

Издательство «Наука».
Главная редакция физико-mатематической литературы

Новости науки
Туннельный микрокоп

Калейдоскоп «Кванта»

Наш календарь
Ван-дер-Ваалс и его уравнение

Задачик «Кванта»
Задачи M1051—M1055, Ф1063—Ф1067
Решения задач M1031—M1035, Ф1043—Ф1045, Ф1047

«Квант» для младших школьников
Задачи
А. П. Савин. Задачи на разрезание

Математический кругок
О. Т. Ижболдин, Л. Д. Курляндчик. Разбение единиц

Игры и головоломки
В. Н. Дубровский. Перевертыши

Информация
Компьютеры на берегу Оби
Юные программы в Ленинграде
Заочная школа при НГУ

Ответы, указания, решения
Наша обложка (с. 53)
«Квант» улыбается (с. 58)
Шахматная страница
Фигуры возвратаются домой (3-я с. обложки)

На первой странице обложки воспроизведена одна из лунных карт выдающейся полскою астроνομа Яна Гевелия, опубликованных в его знаменитом труде «Селенографика» в 1647 году. Рассказ о Гевелии вы найдете в разделе «Наша обложка».

На второй странице обложки представлен фрагмент современной карты Луны, составленной Государственным астроνομическим институтом им. П. К. Штернберга и Топоезодещеской службы СССР.

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1987.

4

нальную точку (16/9; 7/9) построить еще одну касательную к кривой (4) до пересечения с ней в третьей разиональной точке и т. д. Но Диофант не сделал этого шага. И потребовалось более 1500 лет, прежде чем математики сумели до конца воспользоваться идеями Диофанта.

Кривые третьей степени
Оставаясь верными геометрическому подходу, рассмотренному выше, мы сосредоточим наше внимание не на решении уравнения третьей степени, а на следующем эквивалентном вопросе: каковы рациональные точки кривой на плоскости, задаваемой уравнением третьей степени

$$f(x, y) = ax^3 + bx^2y + \dots + hx + iy + j = 0$$
с целочисленными коэффициентами?

Все такие кривые можно разбить на два больших класса. К первому классу относятся кривы, у которых имеются точки заострения (как точка (0; 0) кривой $y^2 = x^3$), самопересечения (рис. 3), а также кривы, для которых $f(x, y)$ представляется в виде $f(x, y) = f_1(x, y) \cdot f_2(x, y)$,

где $f_1(x, y), f_2(x, y)$ — многочлены меныших степеней (рис. 4). Изовем такие кривы вырожденными. Второй класс образуют невырожденные кривы третьей степени с целочисленными коэффициентами — такие кривы называются эллиптическими. Именно этот (наиболее общий) класс и будет нас интересать. Мы будем рассматривать эллиптические кривы, заданные в так называемой канонической форме, т. е. уравнения

$$y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c$$
(6)

с целыми коэффициентами $a, b$ и $c$, в котором многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ не имеет кратных корней.

Это не нарушает общности: любую неособую кривую $f(x, y) = 0$ третьей степени можно неокторым преобразованием привести к виду (6); при этом, если коэффициенты $f(x, y)$ были целыми, задачу отыскания рациональных точек на кривой $f(x, y) = 0$ можно свести к аналогичной задаче для кривой (6) с целыми $a, b$ и $c$.

Графическое изображение эллиптических кривых
Прежде всего выясним, как выглядит кривая (6). Чтобы получить ее графическое изображение, нужно нарисовать график функции $y = \sqrt{x^3 + ax^2 + bx + c}$ и симметрично отразить его на оси $Ox$. Для построения графика $y = \sqrt{x^3 + ax^2 + bx + c}$ построим вначале график функции $y = x^3 + ax^2 + bx + c$. Известно, что у многочлена третьей степени (без кратных корней) могут быть либо один, либо три вещественных корня. По предположению все эти корни различны. Позному график $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ выглядит так, как показано на рисунке 5, $a$ и $b$. А теперь уже нетрудно получить график функции $y = \sqrt{x^3 + ax^2 + bx + c}$

5

(рис. 6, а) и, тем самым, вид эллиптической кривой $y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c$ (рис. 6, б) для случая кривой 5, а. Случай кривой 5, б мы оставляем читателю; результатующая кривая состоит из двух кусков (см. рис. 9).

Отметим следующое obstruction. Графика функции $y = \sqrt{P(x)}$ и $y = -\sqrt{P(x)}$ «склеиваются» в точках $x_1, x_2, x_3$ «гладко», т. е. без углов. Это происходит потому, что касательная к графику $y = \sqrt{P(x)}$ в точках $x_1, x_2, x_3$ вертикальная; другими словами, ее угловой коэффициент обращается в бесконечность. Это легко доказать подсчетом произвольной функции $y = \sqrt{P(x)}$.

Сложение точек
на эллиптической кривой

Метод секущих, примененный к эллиптической кривой $C$, приводит к необходимости результату: оказаться, точки на ней можно «складывать». Мы определяем операцию сложения точек на $C$, отправляясь от ее графикакого изображения (см. рисунок 7). Возьмем на $C$ две точки $P$ и $Q$ и проведем через них прямую. Эта прямая имеет третью точку пересечения с кривой $C$. Отразим эту точку от оси $Ox$ и наовем получившуюся точку суммой $P$ и $Q$ (обозначение $P+Q$, рис. 7). Не всегда прямая, проходящая через точки, пересекает кривой $C$ в третьей — направер, вертикальная прямая. Далее мы более подробно рассмотрим эту ситуацию.

Исследуем свойства сложения точек на эллиптической кривой. За образец примем свойства операции сложения чисел. Эта операция коммутирования, т. е. $a+b=b+a$, и ассоциативна, т. е. $(a+b)+c=a+(b+c)$. Кроме того, у этой операции существует нуль, т. е. такое число $O$, что $a+O=a$ для любого $a$, и, наконец, для каждой числа $a$ имеет противоположное ему, т. е. такое число $(-a)$, что $a+(-a)=0$.

А как обстоит дело на эллиптической кривой? Прежде всего, операция сложения точек коммутирования. В самом деле, для вычисления $Q+P$ мы используем ту же сумму прямую, что и для $P+Q$. Следовательно, $Q+P=P+Q$.

Ассоциативность для сложения точек на эллиптической кривой также выполняется, но доказать это не просто. Этот замечательный факт — попробуйте его осмыслить геометри-

6

Рис. 8.

к плоскости и наозовем бесконечно удаленной точкой. Каким требованием она должна удовлетворять? Любая вертикальная прямая стремиется к бесконечности сверху и снизу. Потребуем, чтобы все эти бесконечности были одной и той же точкой $E$, т. е. будем считать, что $E$ есть точка пересечения всех вертикалей. Это требование корректно определяет точку $E$ — нулевую точку относительно нашей операции сложения. В силу нашего соглашения вертикальная прямая, проходящая через точку $P$, проходит через $P$ и $E$. Поэтому точка $R$ пересечения этой прямой с эллиптической кривой удовлетворяет соответствию $P+R=E$, т. е. является противоположной к $P$. А с другой стороны, $R$ — это точка, симметричная к $P$ относительно оси $Ox$. Значит, любая точка $P$ имеет противоположную — $P=R$. Тем самым мы убедились, что сложение точка на эллиптической кривой обладает теми же свойствами, что и сложение чисел.

Как вычислить точку $P+P$? Когда точки были различны, мы проводили секущую. Раз они слились, понятно, что нужно проверить касательную (рис. 9).

А что делать, чтобы найти 3$P$? Очень просто, берем сумму 2$P$ и $P$. Подобно этому 4$P=3P+P$, 5$P=4P+P$ и т. д.

Поиск рациональных точек
Вооружившись операцией сложения, займемся теперь рациональными точками. Пусть $P=(x_1, y_1)$, $Q=(x_2, y_2)$ — две рациональные точки на эллиптической кривой $y^2=x^3+ax^2+bx+c$, где $a, b, c$ — целые числа, и прямая, проходящая через $P$ и $Q$, пересекает эту кривой еще в одной точке $R=(x_3; y_3)$. тогда $R$ также является рациональной точкой.

Доказывается это утверждение довольно просто. Если

$$y=kx+d$$

— уравнение прямой, проходящей через точки $P$ и $Q$, то $k$ и $d$ — рациональные числа, поскольку их можно выразить через координаты $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ точек $P$ и $Q$ по формулам

$$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, \quad d=y_1-kx_1=\frac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}.$$

Подставив (7) в уравнение эллиптической кривой, получим для $x$ уравнение третьей степени с рациональными коэффициентами

$$(kx+d)^2=x^3+ax^2+bx+c,$$

т. е.

$$x^3+(a-k^2)x^2+(b-2kd)x+c-d^2=0.$$

По теореме Виета

$$x_1+x_2+x_3=k^2-a.$$

Так как $x_1$ и $x_2$ рациональные, то рационным будет $x_3$, а значит, и $y_3=kx_3+d$.

Из этого доказательства сразу же следует формула для вычисления координат точки $P+Q$. По определению $P+Q$ получается из $R$ отражением от оси $Ox$, значит, координаты $(u; v)$ точки $P+Q$ могут быть найдены по формулам

$$u=k^2-a-x_1-x_2, \quad v=-ku-d=-[k(u-x_1)+y_1].$$

Подставив сюда значения $k$ и $d$, получим

$$u=\frac{(y_1-y_2)^2}{(x_1-x_2)^2}-(a_1+x_1+x_2),$$

$$v=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x_1-u)-y_1.$$

Ясно, что если $x_1=x_2$, эти формулы не имеют смысла. В этом случае уравнение секущей (7) нужно заменить уравнением касательной и действовать по прежней схеме. В результате получим

$$u=-2x_1+a-(\frac{3x_1^2+2ax_1+b}{2y_1})^2,$$

$$v=y_1+\frac{3x_1^2+2ax_1^2+b}{2y_1}(u-x_1).$$

Таким образом, зная хотя бы одну рациональную точку $P$ на эллиптической кривой, мы можем найти по указанным формулам точки 2$P$, 3$P$ и т. д. Расмотрим пример. Пусть кри-

7

вая задана уравнение $y^2 = x^3 - 2$ и $P = (3; 5)$. Тогда $2P = \left(\frac{129}{100}; -\frac{383}{1000}\right)$ – новая рациональная точка. Теперь можно вычислить $3P, 4P$ и т. д. Заметим, что объем вычислений с каждым шагом стремительно растет. Если обозначить через $u_n$ первую координату точки $nP$, то

$$u_1 = 3, \quad u_2 = \frac{129}{100}, \quad u_3 = \frac{164323}{29241},$$

$$u_4 = \frac{2340922881}{58675600}, \quad u_5 = \frac{307326105747363}{160280942564521}.$$

Далее еще быстрее. Например, у $u_{11}$ в числеле 71 знак.

В настоящее время неизвестно нижкой общей процедуры для нахождения всех рациональных решений уравнения $y = x^3 + ax^2 + bx + c$. В разобранном примере $y^2 = x^3 - 2$ одно решение (3; 5) мы просто подобрали; в общем же случае неизвестно нижко метода, который позволяет бы найти это первое решение. Нахождение рационального решения эллиптического уравнения с помощью эффективной процедуры является одной из крупнейших проблем теории чисел. Однако, если одно решение есть, можно найти другие по формулам (8) и (9).

Порядок точек
на эллиптической кривой
При получении точек $nP$ из данной точки $P$ возможно два случая. В первом случае на шаге $n$ получается нуль, т. е. существует такое число $n$, что $nP = E$. Если для всех $m < n$ $mP \neq E$, то говорят, что точка $P$ имеет конечный порядок $n$. Например, на кривой $y^2 = x^3 + 4$ точка $P = (0; 2)$ имеет порядок 3, на кривой $y^2 = x^3 + 1$ точка $P = (2; 3)$ имеет порядок 6, на кривой $y^2 = x^3 - 43x + 166$ точка $P = (3; 8)$ имеет порядок 7. Можно поставить вопрос: сколько существует рациональных точек конечного порядка и каковы эти порядки?

В 1976 году американский математик B. Mazур получил выдающийся результат, показав, что если $P$ — рациональная точка порядка $n$, то $n \leqslant 10$ или $n = 12$; с другой стороны, на эллиптической кривой существует самое большое 16 рациональных точек конечного порядка.

Второй случай — это когда все точки $2P, 3P, 4P$ и т. д. различны. В 1901 году французский математик A. Пуанкаре (1854—1912) высказал гипотезу о том, что вседа можно найти такое конечное число рациональных точек $P_1, \dots, P_r$, что всякая рациональная точка $P$ выражается через их, т. е. представляется в виде

$$P = n_1P_1 + \dots + n_rP_r + Q,$$

вде $n_1, \dots, n_r$ — целые числа, однозначно определяемые точкой $P$, а $Q$ — точка конечного порядка. Сами же точки $P_1, \dots, P_r$ не выражаются друг через друг. Число $r$ называется ранzem кривой.

Гипотезу Пуанкаре в 1922 году доказал английский Л. Морделл, но его доказательство не дает никакого способа для вычисления ранга. До них пор неясно, существует ли эллиптические кривые сколь годно большего ранга. Известно лишь, что ранг оценивается через коэффициенты $a, b, c$ уравнения $y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c$, поэтому кривые большего ранга должны иметь большее коэффициенты. Например, к числу кривых ранга $r \geqslant 8$ относится недавно найденная кривая, у которой

$$a = -3^2 \cdot 1487 \cdot 1873,$$

$$b = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 151 \cdot 14551 \cdot 33353,$$

$$c = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 151^2 \cdot 193 \cdot 273 \cdot 156307.$$

Заключение: кривые произвольных степений
Мы здесь ограничились кривыми (а значит, диффантовыми уравнениями) степени 2 и 3. А как обстоит дело с степенями $n \geqslant 4$? В этом случае тоже естественно выделить класс «невыраженных» кривых степени $n$ (типичный представитель — кривая $x^n + y^n = 1$). При $n > 3$ картина разительно меняется. Еще в 1931 году английский математик Л. Морделл выдвинул гипотезу — на таких кривых число рациональных точек всегда конечно. Гипотеза Морделла более полезна в центре внимания ведущих математков всего мира. Существенный вклад в ее решение внесли советские математики И. P. Шафаревич, Ю. И. Манин, С. Ю. Аракелов, А. Н. Паршин, Ю. Г. Зархин, ночесть ее решения в 1983 г. выпала молодому ученому из ФРГ Герду Фальтигсу. За это в 1986 г. на Конгрессе математков в Беркли (США) он был нагradжен медалью Филдса — высшей нагradой для математков.

8

ГЕНЕАЛОГИЧЕСКИЕ ДЕРЕВЬЯ

А. А. ПАНОВ

В этой статье пойдет речь о математической классике — алгоритм Евклида и пифагоровых тройках. Алгоритм Евклида описан в εκklидовых «Началах» (около 300 г. до н. э.) и наверняка был известен задолго до этого. История пифагоровых троек прослеживается еще дальше. Замечательным памятником человека ккультуры является древнеавилонская глиняная таблица, содержащая пятнадцать пифагоровых троек. Она датируется 1700 годом до н. э.

Мы здесь попытаемся строить пыль с этих древних понятыми, поговорить о них на наглядном «языке деревьев». Этот язык оказывается полезным при решении некоторых уравнений и указывает, какая связь существует между алгоритмом Евклида и методом построения пифагоровых троек, недавно предложенным английским математиком А. Холлом.

Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида служит для нахождения наиболее общего делителя (НОД) двух натуральных чисел.

Пусть $(m, n)$ — пара положительных целых чисел:

1. если $m=n$, то число $d=m=n$ и есть наиболее общий делитель исходной пары чисел, если $m \neq n$, то перейти к 2);
2. большее число заменить на его разность с меньшим и перейти к 1).

Возможно, вы больше привели к следующему варианту шага 2:

2’) большее число заменить на его остаток от деления на меньшее и перейти к 1),
но это дело вкуса.

Задача 0. Докажите, что оба алгоритма 1), 2) и 1), 2’) приводят к одному и тому же результату.

Указание. Вспомните, что деление — это многоократное вычитание.

Во всяком случае, сам Евклид говорит о своем алгоритме как о «постоянном отличии меньше от большего» («Начала», Книга 7, Предложение П, перевод Д. Д. Мордухай-Болтовского). Именно этот алгоритм, основанный на многоократном вычитании, и будет объektом нашего исследования.

Продемонстрируем работу алгоритма на конкретном примере. Пусть $(m, n)=(20, 12)$. Тогда, записывая действия алгоритма справа налево, получим следующее цепочку:

$(4, 4) \leftarrow (8, 4) \leftarrow (8, 12) \leftarrow (20, 12)$.

Значит, НОД $(20, 12)=4$. Проделав то же самое для пары $(5, 3)$, получим цепочку

$(1, 1) \leftarrow (2, 1) \leftarrow (2, 3) \leftarrow (5, 3)$.

Ясно, что каждое число во второй цепочке получается из соответствующего числа в первой цепочке делением на 4.

Разобравшись с этим примером, ответьте на следующий вопрос.

Задача 1. Пусть $d=НОД (M, N)$. Положим $m=M/d, n=N/d$. Чему равен НОД $(m, n)$ и в чем сходство между действием алгоритма Евклида на пару $(M, N)$ и на пару $(m, n)$?

В дальнейшем мы ограничим только пары $(m, n)$, для которых НОД $(m, n)=1$. Такие пары будем называть простыми парами.

Генеалогия простых пар
Рассмотрим еще один пример. Применим алгоритм Евклида к простой паре $(3, 4)$:

$(1, 1) \leftarrow (2, 1) \leftarrow (3, 1) \leftarrow (3, 4)$.

Эта цепочка имеет общую часть с цепочкой для пары $(5, 3)$, и потому их можно обединить:

$(3, 1) \leftarrow (3, 4)$
$(2, 3) \leftarrow (5, 3)$

Можно добавить еще одну простую пару $(3, 2)$, и картина условия:

$(3, 1) \leftarrow (3, 4)$
$(2, 1) \leftarrow (2, 3) \leftarrow (5, 3)$
$(1, 2) \leftarrow (3, 2)$

10

Создается впечатление, что должно существовать общая картина, обведенная все простые пары. Чтобы выяснить ее строение, можно было бы добавить еще несколько простых пар. Так или иначе, в какой-то момент времени нам должны прийти в голову правильный вопрос: путь имеет простая пара $(m, n)$; от каких пар к ней могут идти стрелки?

Задача 2. Докажите, что если от пары $(M, N)$ в алгоритме Евклида идет стрелка к паре $(m, n)$, то либо $M=m+n$, $N=n$, либо $M=m$, $N=m+n$.

Эта задача подсказывает, что нужно ввести два преобразования $t_1$ и $t_2$, переводящих пару $(m, n)$ в пары
$$t_1(m, n)=(m+n, n),$$
$$t_2(m, n)=(m, m+n).$$
(1).

Тепер мы можем двигаться в обратном порядке. Начнем с пары $(1, 1)$ и применим к ней оба преобразования $t_1$ и $t_2$ ($t_1$ действует по стрелке, идущей вверх, $t_2$ — по стрелке, идущей вниз). Получим две новые пары — $(2, 1)$ и $(1, 2)$. К каждой из них снова применим $t_1$ и $t_2$ и т. д.

Каждая пара здесь порождает две новые пары, и этот процесс продолжается впервые до бесконечности. Как и следовало ожидать, рисунок 1 содержит в качестве фрагментов все предыдущее картини, только стрелки здесь обращены в другую сторону.

Рис. 1.

Задача 3. Докажите, что любая пара $(m, n)$ на рисунке 1 простая.

Задача 4. Докажите, что каждая простая пара содержится на рисунке 1 и притом только один раз.

После этих задач to, что изображено на рисунке 1, естественно называть генеологическим деревом простых пар.

Задача 5. Пусть пара $(m, n)$ лежит на генеологическом дереве на рисунке 1. Существует единственный путь, соединяющий ее с начальной парой $(1, 1)$. Покажите, что движение по этому пути против стрелок соответствует применению к паре $(m, n)$ алгоритма Евклида.

Итак, генеологическое дерево на рисунке 1 содержит все простые пары. Применение алгоритма Евклида к паре $(m, n)$ эквивалентно движению по дереву против стрелок.

Уравнение $XY=Z^2$
Изменим теперь тему разговора и попытаемся найти все целочисленные решения $(X, Y, Z)$ уравнения
$$XY=Z^2.$$

Ограничим лишь положительные $X, Y, Z$. Пример: $X=3$, $Y=12$, $Z=6$.

Казалось бы, о чем говорить? Для заданного $Z$ отискание решения уравнения свойства к разложению числа $Z^2$ на два сомножителя, и для каждой $Z$ можно даже подсчитать число решения.

Задача 6. Заффиксируем $Z$ и путь $Z=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_l^{a_l}$ — разложение $Z$ на простые сомножители. Докажите, что число решения уравнения (2) равно $(2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_l+1)$.

Однако я хочу предложить другую точку зрения.

Задача 7. Пусть $(X, Y, Z)$ — решение уравнения (2); докажите, что при $d>0$ тройка $(dX, dY, dZ)$ — тоже решение. Пусть $(X, Y, Z)$ — решение уравнения (2) и НОД $(X, Y)=d$; докажите, что $(X/d, Y/d, Z/d)$ тоже решение уравнения (2) и при этом НОД $(X/d, Y/d)=1$.

Таким образом, при отискании всех решений $(X, Y, Z)$ уравнения (2) мы можем ограничиться только теми, для которых НОД $(X, Y)=1$; будем назвать их примитивными. Все остальные получаются из примитивных простым умножением.

Задача 8. Пусть $(X, Y, Z)$ — примитивное решение уравнения (2). Докажите, что найдется такая простая пара $(m, n)$, что $X=m^2$, $Y=n^2$, $Z=mn$.

Тепер ясно, что соответствия $X=m^2$, $Y=n^2$, $Z=mn$ (3) осуществляется взаимно однозначное соответствие между простыми парами $(m, n)$ и примитивными решениями $(X, Y, Z)$ уравнения (2).

Это значит, что мы в полной мере можем воспользоваться нашими предыдущими результатами о простых парах. Например, используя соответствие (3), заменим на рисунке 1 каждую простую пару $(m, n)$ соответствующим ей примитивным решением $(X, Y, Z)$. Получившееся дерево естественно называть генеологическим деревом примитивных решений уравнения (2). Оно содержит все без

11

исключения примитивные решения. Можно предложить более прямой и удобный путь построения этого дерева.

Задание 9. Пусть пара $(m, n)$ порождает при помощи (3) решения $(X, Y, Z)$. Обозначим решение, пороженное парой $t_1(m, n) = (m+n, n)$, через $T_1(X, Y, Z)$ и решение, пороженное $t_2(m, n) = (m, m+n)$, — через $T_2(X, Y, Z)$. Доказите, что

$$T_1(X, Y, Z) = (X+Y+2Z, Y, Y+Z),$$
$$T_2(X, Y, Z) = (X, X+Y+2Z, X+Z).$$

Все это означает, что генеалогическая дерево на рисунке 2 возникает непосредственно при помощи преобразования $T_1$ и $T_2$. Мы исходим из очередного решения (1, 1, 1) и начинаем действовать на него преобразования $T_1$ и $T_2$. Стрелка, идущая вверх, соответствует действию $T_1$, стрелка, идущая вниз, — действию $T_2$.

Рис. 2.

Рисунок 2 выглядает весма привлекательным и позволяет получитьясное представление об устройстве множества всех примитивных решений уравнения (2). Но все-tаки уравнение $XY=Z^2$, как мы уже говорили, допускает и более простой подход. Поэтому перейдем к рассмотрению более содержательного примера.

Пифагороны тройки

Итак, уравнение
$$X^2+Y^2=Z^2.$$
Его целочисленные положительные решения $(X, Y, Z)$ называются пифагороны тройками. Самый первый пример пифагоровой тройки — это, конечно, тройка (3, 4, 5). Нам бы хотелось и для этого уравнения построить дерево решений — генеалогическое дерево пифагоровых тройки, подобное тому, что на рисунке 2. Как это сделать? Если следовать тому, что было сделано для уравнения $XY=Z^2$, то необходимо:

(I) среди всех пифагоровых троек выделить примитивные;

(II) для примитивных пифагоровых троек $(X, Y, Z)$ выписать подходящие соответствия $X=X(m,n), Y=Y(m,n), Z=Z(m,n)$ на подобные соответствий (3);

(III) построить генеалогическое дерево для пар $(m, n)$ и заменить на нем каждую пару $(m, n)$ на порожденную его тройку $(X(m, n), Y(m, n), Z(m, n))$.

To, что связано с пунктами (I) и (II), уже давно известно. Мы сообщим необходимые факты без каких бы то ни было комментариев и доказательств, отсылая читателя в случае необходимости к статье С. М. Воронина и А. Г. Кулагина («Квант», 1987, № 1, с. 11).

Пифагорова тройка $(X, Y, Z)$ называется примитивной, если НОД $(X, Y)=1$ и при этом $X$ нечетно, а $Y$ четно. Тройка (3, 4, 5), например, примитивна.

Известно, что для любой пифагоровой тройки $(x, y, z)$ существует такая единственная примитивная пифагорова тройка $(X, Y, Z)$ и такое единственное натуральное число $d$, что либо $(x, y, z)=(dX, dY, dZ)$, либо $(x, y, z)=(dY, dX, dZ)$. Тем самым, перечислив все примитивные пифагороны тройки, мы получаем возможность перечислять и все вообщепи-fontовы тройки.

Целочисленная пара $(m, n)$ называется примитивной, если $m>n, n>0$, НОД $(m, n)=1$ и числа $m, n$ имеют разную четность. Пара (2, 1), например, примитивна.

Известно, что соответствия $X=m^2-n^2, Y=2mn, Z=m^2+n^2$ (4) осуществляют взаимно однозначное соответствие между множеством всех примитивных пар и множеством всех примитивных пифагоровых троек. Пара (2, 1), например, при помощи соответствий (4) порождает тройку (3, 4, 5).

Что касается пункта (III) нашей программы построения генеалогического дерева, то он был реализован английским математиком А. Холлом.

Генеалогия пифагоровых троек

В небольший заметке, опубликован в 1970 году в журнале «Mathematical Gazette», А. Холл предлагает

12

следующий способ построения генеалогического дерева для примитивных пар и примитивных пифагоровых troek. Вводятся три преобразования $t_1, t_2$ и $t_3$:

$$t_1(m, n) = (2m - n, m),$$
$$t_2(m, n) = (2m + n, m),$$
$$t_3(m, n) = (m + 2n, n).$$

При помощи этих преобразований, начиная с пары (2, 1), строится генеалогическое дерево. Здесь направление вверх соответствует преобразования $t_1$, горизонтальное направление — преобразование $t_2$, направление вниз — преобразование $t_3$.

Задача 10. Пусть пара $(m, n)$ порождает при помощи соответствий (4) пифагорову troйку $(X, Y, Z)$. Пифагорову troйку, порожденную парой $t_1$ $(m, n)$, обозначаем через $T_1(X, Y, Z)$; troйку, порожденную парой $t_2$ $(m, n)$, — через $T_2(X, Y, Z)$; наконец, troйку, порожденную парой $t_3$ $(m, n)$, — через $T_3(X, Y, Z)$. Докажите, что

$$T_1(X, Y, Z) = (X - 2Y + 2Z, 2X - Y + 2Z, 2X - 2Y + 3Z),$$
$$T_2(X, Y, Z) = (X + 2Y + 2Z, 2X + Y + 2Z, 2X + 2Y + 3Z),$$
$$T_3(X, Y, Z) = (-X + 2Y + 2Z, -2X + Y + 2Z, -2X + 2Y + 3Z).$$

Теперь при помощи преобразования $T_1, T_2, T_3$ построим еще одно генеалогическое дерево, но уже началосься с troйки (3, 4, 5).

Замечательный результат Холла заключается в том, что генеалогическое дерево на рисунке 3 содержит все без исключения примитивные пары; значит, генеалогическое дерево на рисунке 4 содержит все без исключения пары (2, 1).

К каждой паре $(m, n)$ на рисунке 3 подходитровно одна стрелка. Для преобразования $u_1, u_2, u_3$ это соответствует следующему факту.

Задача 13. Пусть пара $(M, N)$ примитивна и $(M, N) \neq (2, 1)$. Докажите, что тогда только одна из трех пар $(m, n) = u_i(M, N)$, $i = 1, 2, 3$, будет примитивной. При этом $m + n < M + N$.

И, наконец, завершаюшая

Задача 14. Докажите, что каждая примитивная пара содержится на генеалогическом дереве на рисунке 3 и при этом только один раз (а также каждая примитивная пифаговая troйка на рисунке 4).

Другие генеалоги

В 1978 году в скандинавском математическом журнале «Normat» была опубликована статья Е. Сельмара, в которой установлен, что существуют

13

еше два генеологических деревьев, содержащих все без исключений и повторений примитивные пифагоровы трейки (рис. 5).

Первое из них строится при помощи преобразования
$$T_1(X, Y, Z) = (2X - Y + Z, 2X + 2Y + 2Z, 2X + Y + 3Z),$$
$$T_2(X, Y, Z) = (2X + Y + Z, 2X - 2Y + 2Z, 2X - Y + 3Z),$$
$$T_3(X, Y, Z) = (2X + Y - Z, -2X + 2Y + 2Z, -2X + Y + 3Z).$$

Второе — при помощи преобразования
$$T_1(X, Y, Z) = (X - 2Y + 2Z, 2X - Y + 2Z, 2X - 2Y + 3Z),$$
$$T_2(X, Y, Z) = (2X + Y + Z, 2X - 2Y + 2Z, 2X - Y + 3Z),$$
$$T_3(X, Y, Z) = (-2X + 3Y + 3Z, -6X + 2Y + 6Z, -6X + 3Y + 7Z).$$

Пифагоры трейки неизменно, на протяжении тиссячелей привлекают внимание математиков. Но мы видим, что эта тема не исчерпала себя, и тут до сих пор продолжают обнаруживать новые интересные факты.

Подводя итоги
В связи с тем, что было расссказано, имеется несколько вопросов, которые необходимо если не решить, то по крайней мере задать. Например, почему для управления $XY = Z^2$ от каждой решения отходят две стрелки, а на генеологическом дереве для $X^2 + Y^2 = Z^2$ — три? Далее, почему для управления $X^2 + Y^2 = Z^2$ построено три генеологических деревьев, а для $XY = Z^2$ — только одно, и существует ли для этих управления другие деревья? Наконец, как бы найдены преобразования $T_1$, $T_2$, $T_3$, позволяющие строить генеологические деревья для пифагоровых трейки?

Наше построение генеологического дерева для управления $XY = Z^2$ напрямую связано с алгоритмом Евклида и выгладит достаточно мотивированным, чего нельзя сказать об управлении $X^2 + Y^2 = Z^2$. Однако между этим управлениями имеется связь, оправдывающая попытки сделать для одного из них то, что было сделано для другого. Действительно, записем управление $X^2 + Y^2 = Z^2$ в виде $Z^2 - X^2 = Y^2$ и разложим левую часть на множители: $(Z - X)(Z + X) = Y^2$. Сделав замену $U = Z - X$, $V = Z + X$, $W = Y$, приходим к управлению $UV = W^2$. Таким образом, существует замена, переводящая управление $X^2 + Y^2 = Z^2$ в управление $XY = Z^2$.

Имеется еще цель ряда управления, допускающих замену, переводящую их в $XY = Z^2$. Таким управлениями будут, скажем, $X^2 + Y^2 = 2Z^2$ и $X^2 + 3Y^2 = Z^2$. Вы можете попытаться построить генеологические деревья и для этих управлений.

Необходимо сказать еще об одном заменаальном управлении — управлении Маркова:
$$X^2 + Y^2 + Z^2 = 3XYZ.$$

Оно обладает уже привящным для нас свойством — все его решения, кроме двух очень низких (1, 1, 1) и (2, 1, 1), организуют в генеологическое дерево. Об этом подробно расссказано в увеличительной стате М. Г. Крейна («Квант», 1985, № 4, с. 13). Это дерево вполне аналогично генеологическому дереву для управления $XY = Z^2$. Существует ли какая-то связь между этим управлениями? Какие еще управления обладают подобными свойствами?

Так что тут есть о чем еще подумать.

14

ПОВЕРХНОСТЬ
КРИСТАЛЛА

Кандидат физико-математических наук
В. С. АШАВСКИЙ

1915 год. Уже год идет первый мировая война. Германия первой из воюющих держав применила химические боевые вещества. Когда стало известно об этом представления, выдающийся ученый Николай Дмитриевич Зелинский разрабotal специализный прибор, защищющий людей от боевых отравляющих веществ. Этот прибор — угольная противогазовая маска — спас жизни тысячи русских солдат.

Разработанное Зеленским устройство является прототипом современного противогаза. Главная часть противогаза — коробочка, заполненная угольным порошком. Попытаемся понять, на чем основано действие такого порошка и почему он может защищать от действия ядовитых газов.

Маленькие гиганты

Представьте себе, что в коробке противогаза вместе угольного порошка находится просто кусок угля той же массы. Что, если с таким противогазом попасть в зону газовой атаки? Защитит ли он от ядовитых газов? Оказывается, нет. Все дело именно в порошке.

Что же отличает порошок от сплошного куска угля?

В противогазе используется специально подготовленный уголь, который называют активированным. Такой уголь отличается от обычного тем, что имеет гораздо большую поверхность на единицу массы. Его частицы пронизаны порами и чем-то напоминают изъеденное червими дерево. Площадь поверхности активированного угля на единицу массы, называемая удельной поверхности, оказывается в миллионы раз больше удельной поверхности сплошного куска. Один грамм активированного угля обладает поверхностью, превышающей 1000 м². Вдумайте: маленький кусочек-липут, специализным образом подготовленный и размолотый в порошок, прибретает гигантскую поверхность! В таком порошке существена часть молекул и atoms оказывается на поверхности. И этот факт определяет защитное действие противогаза: именно поверхности atoms угля «задерживают» atoms ядовитых газов, очищая от них воздуха, прохождение в дыхательную массу.

Почему atoms на поверхности могут поглощать ядовитый газ, а в объеме — нет? Чем жизнь atoms на поверхности отличается от его жизни в объеме? Попробуем разобраться.

Почему atoms неудобно на поверхности?

Хорошо известно, что кристалл имеет упорядоченную и симметричную решетку, в котором каждый atom занимает строго определенное место. Atoms кристалла взаимодействуют друг с другом, и у каждой atom в результате такого взаимодействия образуется устойчивые «связи» с его соседями. Число ближайших соседей у atoms в данной кристаллеической решетке называется координатным числом и является характеристкой кристалла. В каком бы месте внутри кристалла мы ни выбрали atom, у него всегда будет количество соседей, равное координатному числу. А если atom находится на поверхности?

Представим себе кристалл, находящаяся в вакууме. У поверхности atoms есть не со всех сторон —

15

с одной стороны atoms вообше отсутствует (рисунок 1). Иными словами, у atoms на поверхности иное координанное число, чем у atoms внутри кристалла. Например, у atoms внутри кристалла с кубической решеткой (такой, как на рисунке 1) шесть соседей, а у atoms на поверхности — лишь пять. Следовательно, часть возможных связей у поверхности atoms остаются незадачействованной, и энергия такого atoms больше, чем atoms, жившего внутри кристалла. Существование поверхности энергетической невыгодно, так как это увеличивает энергию кристалла в целом. Atoms поверхности стремятся уйти внутри кристалла, окружить себя своим родными atomsми, задействовать все возможные связи и тем самым уменьшить свою энергию. Однако любый реализный кристалл занимает ограниченную область пространства, поверхности существенно существенно и кому-то надо на ней находиться. Причем atoms оказываются на поверхности не за какие-либо «провинности», а случайно. Как в известной песе: «Пусть кому-то повезет, а кому-то нет».

Таким образом, мы видим, что образование поверхности связано с определенными энергетическими затратами, и основной характерistik поверхности является поверхности энергия — энергия, необходимая для создания поверхности единичной площади.

Известно, что механические, электрические и другие свойства кристаллов могут зависят от направления. Это явление называется анизотропной и является следствием упорядоченности структуры кристаллов. поверхности энергия — анизотропное свойства. Как видно из рисунка 2, создать поверхности можно многими способами. Например, расколов кристалл по плоскостям 1—1, 2—2 или 3—3, мы получим поверхности, веса существенно различующейся по структуре — количество atoms на единицу площади на поверхности 1—1 больше, чем на поверхности 2—2. Разное количество atoms — разная поверхности энергия. Значения поверхности энергии, приходящие на единицу площади, для различных поверхности одного и того же кристалла могут различаться очень сильно, на несколько десятиков процентов.

Рис. 2.

(В отличие от кристалла, для каждой жидкости существует свое значение удаленной поверхности энергии — поверхности натяжение,— которое не зависит от направления. Это одно из проявлений изotropности жидкости.)

Дадорбция

Пример с противогазом, с которой мы начали разговор, служит нагладной иллюстрацией явления, называемого адсорбцией. Адсорбция (от латинских слов ad — «на» и sorbeo — «поглощать») — это поглощение вещества из газов или жидкой среды поверхности с помощью разложения (адсорбируются) частицы окружающей среды, и они оказываются связанным с поверхности. Конечно, на угле адсорбируются кислород, азот и другие составные части воздуха. поверхности угля насыщается этим газами еще в процессе приготовления — ведь уголь все время находимся в соприксовении с atmosферой, и молекулы составляющих воздуха газов уже поставляются занять все доступные для них места на поверхности.

16

ности. Однако не все молекуры одинаково прочно на ней удерживаются. Одини связываются накрепко, другие при малейшем воздействии уже не могут удержаться и покидают свои места, уступая место более «приязчивым» молекулам. Когда через уголь проходит воздействux, содержащий ядовитые газы, между молекулами начинается настоящая борьба за территorioю. Каждый газ стремится занять место на поверхности и вытестиь с нее другие газы. Победает в этой борьбе тот, кого повреждность «любит» больше, кого она сильнее к себе приятииает.

Своих других повреждностей выбирает очень остротельно. Заполнение свободной связи чужеродным atomом или молекулой уменышет повреждностью энергии кристалла. Изменение энергии зависит от того, какой именно atom (или молекula) занял свободную связь. Чем больше уменышается поврежденная энергия от присоединения данного atomа, тем прочее связывается этот atom с повреждностью. Если газы связываются повреждностью примерно одинаково, то они будут удерживать на повреждности приблизительно в равных количеств. Если же один из них гораздо «приязчивей» остальных, то он замет практически всего повреждность, вытестив с нее молекулы другого газа. К счастью, многие ядовитые газы так сильно связываются повреждностью угля, что роль воздействия не принимается в расчет — настолько малые его количество адсорбируются углем. Molекуры отравляющего вещества остаются на повреждности угля, а молекуры кислорода проходят, позвольяя дышать.

Формула Ленгмюра и активированный уголь

Значительный прогресс в изучении адсорбции был достигнут благодарым работам американского физика-химика И. Ленгмюра (1881—1957). В 1932 году за свои работы по исследованию повреждных явлений он был удостоен Нобелевской премии. Ленгмор получил формулу, позволяющую расчитать количество адсорбирующего вещества в зависимости от его давления в окружающей среде. Получить эту формулу совсем несложно.

Микрофотографии повреждности активированного угля.

При вывода формулы Ленгмюра мы будем считать, что все atoms повреждности одинаковые и каждый из них может адсорбировать строго определенное количество молекул (или atoms) окружающей среды и что между адсорбированным молекулами отсутствует взаимодействие, т. е. адсорбированная молекula не влияет на адсорбцию остальных. Для того чтобы молекula газа адсорбировалась на повреждности, должны произойти два независимых события: молекula газа должна попасть на повреждность адсорбента и в данном месте повреждности должна оказаться свободная связь. Вероятность $w_1$ первого события пропорциональна числу ударов молекул газа о повреждность адсорбента за единицу времени, а это число пропорционально давлению газа $p$; так что $w_1 \sim p$. Вероятность $w_2$ второго события пропорциональна числу независимых событий на повреждности адсорбента. Если в данной момент $\theta$ всех свободных связей занята адсорбированным молекулами, то $w_2 \sim (1 - \theta)$. Вероятность $W$ сложного события — адсорбции — равна произведению вероятностей этих двух независимых событий, т. е. $W \sim p(1 - \theta)$. Если обозначить количество частей, адсорбирующих на повреждности за единицу времени, через $N$, то

$$N \downarrow = \alpha p(1 - \theta),$$

где $\alpha$ — некоторая постоянная, зависит от температуры.

Молекula улетает с повреждности, когда ее энергия оказывается достаточно для того, чтобы оторвать. Вероятность такого прочего события пропорциональна общему числу адсорбированных на повреждности молекул. Следовательно, число молекул, улетающих с повреждности в единицу времени,—

$$N_{\uparrow} = \beta \theta,$$

17

где $\beta$ — постоянная, также зависимости от температуры.

При равновесии колчества молекул, приходящих на поверхность и уходящих с нее в единицу времени, должны быть равны $(N_1 = N_2)$:

$$a p(1 - \theta) = \beta \theta.$$

Отсюда находится связи на поверхности, занятых адсорбированными молекулами:

$$\theta = \frac{b p}{1 + b p},$$

где коэффициент $b = \alpha / \beta$ зависит от температуры (поскольку $\alpha$ и $\beta$ зависит от $T$). Если число свободных мест на поверхности адсорбента $z$ (объчно берется число свободных связей на единицу массы адсорбента), то число адсорбированных молекул

$$\Gamma = z \frac{b p}{1 + b p}.$$

Это и есть формула Ленгмюра.

Постоянная $z$ является величины, характеризующей поверхность. Именно в $z$ заключита высока адсорбирования способность активированного угля — ведь чем больше удельная поверхность, тем больше $z$. Для адсорбента с удельной поверхностью $1000 \text{ m}^2/\text{г}$ значение $z$ равно примерно $10^{22} \text{ g}^{-1}$.

На рисунке 3 приведены графики зависимости $\Gamma$ от $p$ для двух различных адсорбентов. Это — так называемые изотермы адсорбции Ленгмюра (изотермы — потому что процесс адсорбции предполагается идущим при постоянной температуре). При относительной малых давлениях ($b p \ll 1$) $\Gamma$ прямо пропорционально $p$; при больших давлениях ($b p \ll 1$) наступает насыщение — все связи на поверхности, которые были свободными, заняты, и для новых атомов и молекул окружающей среды уже не остаются места — ведь поверхность не бесконечна. Очевидно, что вещество 1 является лучшим адсорбентом, чем вещество 2.

Graph

Рис. 3.

2 «Квант» № 7

18

Вездесушая поверхность
Во многих процесах поверхность играет решающую роль. Однако из самых ярких примеров этого — процессы катализа (от греческого κατάλυσις — «разрушение»).

Катализаторы — вещества, которые могут влиять на скорость химического реакции, не участвуя в ней сами. Активность твердых катализаторов в первую очередь определяется свойством их поверхности. В связи с этим хотелось бы упомянуть об одном интересом явления.

Атомы, попижающие поверхность энергию, могут приходить на поверхность не только из окружающей среды, но и из внутренней области кристалла. Представим себе кристалла, состоящий из atoms двух сортов (из двух компонентов). Условия существования atoms на поверхности и в объеме, как мы уже знаем, различны. Поэтому в полное возможно, что относительные концентрации atoms на поверхности и в объеме также различны. Атомы, уменьшающие поверхность энергию, стремятся выйти на поверхность, и их относительное количество на поверхности увеличивается. Этот процесс называется сергерацией (от английского segregation — «отделение»). Концентрация atoms одного из компонентов на поверхности может в тысячи раз превышать его концентрацию в объеме. Например, в сплаве, состоящем из atoms Fe и Bi, концентрация Bi на поверхности составляет десяти процентов при его концентрации в объеме всего 0,1 %. Сергерацию необходимо учитывать в процессе катализа, так как скорость химического реакции на поверхности твердого катализатора очень сильно зависит от поверхностных концентраций веществ.

Поверхность является полномочным представителем и защитником материалов при его взаимодействии с окружающей средой. Ведь воздействию окружающей среды в первую очередь поддерживается поверхность. Злейший враг поверхности металла — коррозия. Первейшая задача поверхности — устойчив перед натиском этого врага. Ничтожные количество примесей, в сотни раз меньше, чем это необходимо для покрытия поверхности моногатным слоем, могут значительно повысить коррозиюную стойкость поверхности металла.

«Поверхность придумал дьявол»,— сказал как-то выдающийся физик, один из создателей квантовой механики, В. Паули (1900—1958). Эти слова связаны по видимому, с огромными трудностями исследований поверхности.

Методы, позволяющие получить информацию о поверхности — ее структуре, химическом составе и т.п., очень сложны, и основные условия в этой области были сделаны лишь в последнее десятилетие. Приведем простой пример: необходимо определить концентрацию какого-либо вещества в кристалле. Для проведения такого измерения традиционными химическими методами необходимо минимум 0,001 г вещества. Если площадь поверхности анализируемого образца 1 см² (большую площадь получить, не разрушив образец, практическим невозмножно), то удается определить среднюю концентрацию вещества в слое толщиной около 1000 международных расстояний.

Современные методы позволяют исследовать слой влизываний поверхности толщиной всего в одной механической расстояние! Они дают возможность видеть atoms, изучать их взаимное расположение, взаимодействие друг с другом. С помощью этих методов удалость установки, что при сергерации все отличие поверхностной концентрации от объемной сосредоточено в очень тонком слое влизываний поверхности — толщиной всего в несколько механических расстояний.

Прогресс в исследовании поверхности за последнее десятилетие связана в первую очередь с успехами микросекtronники и созданием новых прибора. Ответ на самый важный вопрос — из каких элементов состоит поверхность? — нельзя было получить еще буквально несколько лет назад, а сегодня с помощью туннельного микросектора можно различить на поверхности отдельные atoms, находящиеся друг от друга на расстоянии всего в несколько ангстрем.

«Поверхность очень интересны, но ведь их так мало»,— говорил Великий интайский физик Энрико Ферми (1901—1954). Действительно, поверхности принадлежит лишь очень малая часть вещества. Но значение ее в жизни вещества огромно.

19

Туннельный микрокопп

В 1986 году Нобелевской премии по физике были удостоены швейцарские физики Г. Бинник и Г. Рорер, изобретатели сканирующего туннельного микрокоппа — прибора, о котором поддет речь в этой заметке.

Один из самых «продуктных» эффициентов квантовой механики — туннельный эффициент. В частности, он состоит в том, что электроны оказываются способными «просачивать» из одного проводника в другой, отделенный от первого тонкой диэлектрической или вакуумной прослоюкой.*) Явление обязано своим проискждением волновым свойством электронов,

Фотографика волфрамовогоостирия, использующего в туннельном микрокопке. Симок сделан с экрана электронного микрокоппа; масштаб левой части изобравеня 400 nm, правой — 40 мкм.

*) В обшем случае туннельный эффициент заключается в проедлении частицей потенциального барера, когда ее энергия меньше высоты барера. Это явление существенно квантовой природы, невозможное в классическом механике.

благодаря которым электрон с неокотой вероятностью можно обнаружить вне проводника.

Известный уже более полезка туннельный эффициент для жизни многим полезным приборам и устройств. Один из них — туннельный диод — стал привчным радиотехническим элементом. А теперь туннельный эффициент лег в оснуvy микрокоппа нового типа, шагнущего в мир размеров, составляющих доли поперечника atoma. (Напомним, что диаметр atoma — порядка одного ангстрема: 1А=10⁻¹⁰ м.) Туннельный микрокопп имеет беспреследенное увеличение, превозждащее 100 миллионов, и позволяет изучать детали atomной структуры поверхностей твердых тел.

Do недавнего времени кордсменом был электронный микрокопп с увеличением до 1 миллиона. В нем, в отличие от обычного оптического микрокоппа, роль светового луча играет поток электронов, управляемый электронной оптикой — аналогом системы оптических lines. В туннельном микрокопке вы не найдете традиционных для микрокоппа элементов. В нем нетystройств, подобных по назначению линии, и работа он не по приципиу «видения», а по приципиу «оссяания».

Чувствительность элементов, буквально «ошупывающим» поверхности, служит тончайшее волфрамовое отсутствие, столб тонкое, что на конце его уменьшается всего лишь несколько atoms. Острие с помощью высокоточных механизмов подводится перпендикулярно к исследуемой поверхности до появления замethого (10⁻⁹ А) туннельирующих электронов череззарок «острие — поверхность». Затем начинают свою работу так называемые пезозелемены — пластины из спесиальной керамики, меняющие свою длину при приложении электрического поля.*)

*) Действие такого пезозелемента основано на обратном пезозелическом эффиците — возникновении в неокотых кристаллах механических деформаций под действием электрического поля.

Электромеханическая система из пезозелементов автоматически поддерживает расстояние от острия до поверхности постоянным и равным 10 Å. Изменение расстояния на небольшую величины вызывает отклонение туннельного тока от заданного значения, и электронная схема обратной связи подает электрический сигнал на пезозелемент, приближаюший или удаляющий острые относительные поверхности туннельного тока от заданного значения, чтобы туннельный ток, а значит, и расстояние острые — поверхности оставались неизменными. Эффективная работа системы автоматики обеспечивает чрезвычайно резко заисмость туннельного тока от величины зазора. Так, изменение зазора «острие — поверхность» на 2 Å увеличивает туннельный ток в 1000 раз.

Подачей электрических сигналов на другие пезозелементы системы острые перемещаются по двум координатам в плоскости поверхности. Таким образом поверхности последовательно «просматривается», или, как

Изображение atomного рельефа участка поверхности кремния. Впупкости высоты 1,3 А соответствует «поверхностям» отдельных atoms.

говорят, сканируется (от англійского scan — поле зерни). Поэтому туннельный микрокопп называется еще сканирующим.

В результате действия всей системы острые свойства с высокоточным тронным в 0,01 А резЬеф изучаемой поверхности. Информация о резЬефе поверхности в различных ее точках записывается в память ЭВМ и после обработки, состоящей в фильтрации, т. е. устройства шумовых и паразитных сигналов, выводится на дисплей ЭВМ в виде «топографической карты» поверхности.

(Окончание см. на с. 52)

20

ЕДИНИЦЫ:
ОТ СИСТЕМЫ К СИСТЕМЕ

С. И. ВАЛЯНСКИЙ

15 декабря 1832 года Геттингенскому научному обществу была представлена для обсуждения работы всемирно известного математика Карла Фридриха Гаусса. Она называлась «Наряжение земной магнитной силы, приведенной к абсолютиной мере» и была небольшой, всего 37 страниц. Однако этот скромный труд сыгral огромную роль в развитие естественного изучения. Чтобы почувствовать эту роль, нам придется обратиться к истории, вспомнить некоторые moments «биографии» магнита.

О существовании «камня», принятывающего железо, узнал еще древние, и попытки обьясить принятательную силу этого камня предпринимались еще более 2000 лет назад. Первым же практическим применением магнита стал компас. По поводу места и времени изобретения компас однозначного мнения нет. Но по крайней мере с XIII века компас известен в Европе. С его появлением начались открытия, связанные с природой земного магнитизма. Сразу же было обнаружено, что магнитная стрелка указывает относить не строго направление на свет; что отклонение стрелки от этого направления (магнитное склонение) изменяется в зависимости от места наблюдения; что стрелка устанавливается не горизонтально, и угол, который она составляет с вертикалью, тоже зависит от места наблюдения.

Чем обьясняется ориентация магнитных стрелок? Что такое магнитные силы? Первым попытался ответить на эти вопросы англійский физик Уильям Гильберт (1544—1603). Будучи тонким экспериментатором, Гильберт заложил основы на магнетизме и, в частности, о земном магнетизме. Он высказал предположение, что Земля — это большой магнит, и в этом смысле она подобна шару из магнитного материала. В подтверждение этой гипотезы ученый изготовил маленькую модель Земли — железный шар — и показал, что при движении по поверхности такого шара магнитная стрелка ориентируется как раз так, как это имеет место в реальности.

Проблема навигации поставила перед естественноеателем новую задачу: стало понятно, что для успешного пользования компасом (компас был одним из основных навигационных инструментов) необходимо иметь карту магнитных склонений. Для составления такой карты Лондонское Королевское общество (Академия наук Англия) в 1698 году снарядило

21

спецальную морскую экспедицию под руководством астронома и геофизика Эдмунда Галлея (того самого Галлея (1656—1742), чьим именем названна знаменитая комета). При года кропотливой работы — и вот результат: Галлеем издана «магнитная» карта Атлантического и Тихого океанов. (На ней исследователь впервые соединил точки с одинаковыми значениями склонения одной линии. Терерь этот способ широко представления различных характеристик земной поверхности, особенно в метерологически.)
Как развивались события дальше? Понимая важность магнитных измерений для развития наук, путешествий, военноного дела, сразу три Академии наук — Петербургская, Парижская и Берлинская — объявляют конкурс на лучшую работу, объясняющий явление земного магнитизма.
С открытом законом Кулона начался новый этап в изучении земного магнитизма. Поочину знаменитого немецкого ученого — геолога, географа, путешественика — Алексадра Гумбольда с 1800 года почти все экспедиции одним из пунктов программы имел измерение магнитного поля в различных точках Земли. Такими измерениями, кстати, занямались и знаменить русские море-ма. Это было в середине XVIII века. Многие виды учебные открыткиулисны призыв Академий. Рядfundamentальных работ по изучению земного магнитизма был выполнен именно в это время. И среди них — работы французского физика и инженера Шарля Огюста Кулона по точному измерению электрических и магнитных сил.
Проведя серию удивительного точных для того времени экспериментов, Кулон доказал, что сила взаимодействия между заряженными телами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и прямо пропорциональна их зарядам. По аналогии с электрическими зарядами, для характерстики магнитных свойства вещества Кулон использовал понятие магнитных зарядов и показал, что сила взаимодействия между намагничными телами зависит от расстояния между ними и от величины магнитных зарядов так же, как сила электростанческого взаимодействия в случае электрических заряженных тел.) Таким образом, благодаря экспериментам Кулона появился возможность измерять абсолютиное значение магнитной силы.
С открытием законов Кулона начался новый этап в изучении земного магнитизма. Поочину знаменитого немецкого ученого — геолога, географа, путешественика — Алексадра Гумбольда с 1800 года почти все экспедиции одним из пунктов программы имел измерение магнитного поля в различных точках Земли. Такими измерениями, кстати, занямались и знаменить русские море-ма. Это было в середине XVIII века. Многие виды учебные открыткиулисны призыв Академий. Рядfundamentliches работ по изучению земного магнитизма был выполнен именно в это время. И среди них — работы французского физика и инженера Шарля Огюста Кулона по точному измерению электрических и магнитных сил.
Проведя серию удивительного точных для того времени экспериментов, Кулон доказал, что сила взаимодействия между заряжными телами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и прямо proporциональна их зарядам. По аналогии с электрическими зарядами, для характерстики магнитных свойства вещества Кулон использовал понятие магнитных зарядов и показал, что сила взаимодействия между намагничными телами зависит от расстояния между ними и от величины магнитных зарядов так же, как сила электростанческого взаимодействия в случае электрических заряженных тел.) Таким образом, благодаря экспериментам Кулона появился возможность измерить абсолютиное значение магнитной силы.
С открытием законов Кулона начался новый этап в изучении земного магнитизма. Поочину знаменитого немецкого ученого — геолога, географа, путешественика — Алексадра Гумбольда с 1800 года почти все экспедиции одним из пунктов программы имел измерение магнитного поля в различных точках Земли. Такими измерениями, кстати, занямались и знаменить русские море-ма. Это было в середине XVIII века. Многие виды учебные открыткиулисны призыв Академий. Рядfundamentliches работ по изучению земного магнитизма был выполнен именно в это время. И среди них — работы французского физика и инженера Шарля Огюста Кулона по точному измерению электрических и магнитных сил.
Проведя серию удивительного точных для того времени экспериментов, Кулон доказал, что сила взаимодействия между заряжными телами обратно proporциональна квадрату расстояния между ними и прямо proporциональна их зарядам. По аналогии с электрическими зарядами, для характерстики магнитных свойства вещества Кулон использовал понятие магнитных зарядов и показал, что сила взаимодействия между намагничными телами зависит от расстояния между между ними и от величины магнитных зарядов так же, как сила электростанческого взаимодействия в случае электрических заряженных тел.) Таким образом, благодаря экспериментам Кулона появился возможность измерить абсолютиное значение магнитной силы.
() Серодняя мы знаем, что магнитных зарядов в природа не существует. Но в своей время введение этого понятия оказалось очень полезным для развития представления о магнитизме.

22

наблюдения через несколько столей, можно было бы узнать, изменяют ли магнитные силы своего величины, подбно тому, как установлено, что изменяется их направление. Для повышения надежности изменений Бию предлагал иметь несколько стрелок и проводить независящие изменения, всякий раз намагничивая стрелки заново, до насыщения. Но даже в его время понимали, что это не выход из положения. Вопрос достоверности результатов изменений оставался открытым. Хотелось бы найти способ, не зависящий от «капризов» стрелок, от их намагничности.

В 1828 году произшла встреча Гаусс с А. Гумбольдтом. Длительная беседа двух величайших ученых своего времени закончилась тем, что Гаусс заинтересовался явлениями земного магнитизма и решил попытаться создать теорию этого явления. Но прежде, чем приступить к решению задачи, нужно было разработать точные научные определения характеристик земного магнитизма — склонения, наклонения и направности. А для этого необходимо разработать основания магнитных изменений. Приступить же к намеченной работе Гаусс смог лишь осенью 1831 года, когда в Геттингенский университет был приглашен 27-летний физик из Галле Вилгельм Вебер. Гаусс познакомился с ним в доме Гумбольда еще в 1828 году, и с приходом молодого ученого в университету у него появился единомшленник и талантливый помошник.

Вот какие события произшли до с одной нерном ей этаном, это называют прямым изменением, в противном случае — изменения косвеные. Использование зависясти между физическим величиными, мы можем некоторых величины принять за основные, а остальные — произвольные — получать комбинацией выбранных основных величины. Поэтому, прежде чем приступить к косвеному изменению магнитных величины через изменение сил и движений взаимодействующих намагничных тел, Гаусс предстояло разобраться, какие величины в механике можно выбрать в качестве основных, а какие будут произвольными.

Исходя из законов и определений механики, Гаусс показал, что в этом

23

разделе физики достаточно ввести всего три основных величины, а все остальные механические величины могут быть изменены с их помощью (т. е. выражены через основную точку). Перебирая различные тройки величины, которые могут быть претензовать на роль основных, он устанавливал, что в механике наиболее удобно в качестве основных величины вырабат длину, массу и время. Кроме того, для этих величины существовали этапы и простые методы измерений.

Далее необходимо было сконструировать прибор, измеряя механические параметры которого можно было определить магнитные характеристики намагниченных объектов. Для этого Гаусс воспользовался следующим обстоятельством. Перiod колебаний намагниченной стрелки в магнитном поле Земли зависит от силы земного магнитизма, а также от магнитных и механических свойств стрелки. Поэтому, измеряя и сравнивая перiodы колебаний разных стрелок с известными механическими свойствами, можно, зная закон взаимодействия магнитных зарядов, определить силу земного магнитизма. Итак, процесс измерения магнитных величины к измерению механических величины, которые, в свою очередь, можно выразить через основные — длину, массу и время.

В качестве основных единиц измерения Гаусс предлагал использовать миллиграмм, миллиметр и секунду среднесолнечных суток. Эти единицы он выбрал не случайно. Во времяена Великой Французской революции была образована специальная комиссия,

рической системы. Однако при магнитных измерениях ему было удобно пользоваться миллиграммами и миллиметрами — должны единиц измерений миллиграмм, миллиметр и секунду. Предложенную Гауссом системы стали называть «абсолютной» *).

*) С этим называемым сведено недоразумение. Заглавие работы Гауса — «Напряжение земной магнитной силы, приведенное к абсолютной мере».
Но «абсолютное» относится не к теме основных единиц измерения, через которые Гаусс выражил магнитные величины, а означает лишь, что магнитная величина измерена абсолютно, с использованием лишь трех основных этапов механических величины, а не относительно некоторых магнитной силы, взятой за этапом. Заметим, что уже в этой работе Гаус предложил свойства и электрические единицы к механическим. Практические эти задачу выполнили В. Вебер.

24

В 1862 году «Британская ассоциация для продвижения наук», членами которого были также учены, как лорд Кельвин, Дж. Клер Максвелл, поставила задачу: выработать для различных областей физики основные и произvodные единицы измерения. Но… она не нашла ничего лучше, чем идея Гаусса о выборе в качестве основных величины длины, массы и времени. Вот только единцы их измерений предлагалось несколько изменить, «назначав» основными сантиметр, грамм и секунд. И еще: именно этой авторитетной Комиссий были предложены единица сили — дина и единица энергии — эрг. По сутти дела, была разработана известная система единиц СГС. Для электрических и магнитных единиц была использована идея Гаусса о связи механических и электромагнитных единиц через проедур измерения (системы СГСЭ и СГСМ).

Комиссия впервые внесла неокоторуюясность в системе электрических и магнитных единиц, но, к сожалению, на практике пользоваться такой системой было очень неудобно, потому что они величины получались слишком большими, а другие слишком малыми. Поэтому нарушу с абсолютиной системы было решение так называемую практическую систему единиц. Здесь уже можно было в качестве основных использовать единицы, кратные 10″ основным единицам абсолютиной системы, где п могло быть целым положительным или отрицательным числом. Это было большим шагом вперед.

Ведь электрические и магнитные явления стали находить все большее и большее применение в технике и в быту, значит, надо было иметь удобные способы сравнения различных результатов, получаемых различными исследователями, чтобы потом их точно воспроизводить. Вот почему решение Британской комиссии было в центре обслужения I Конгресса электриков в Париже в 1881 году. Так как Конгресс был международным, то и принятые им решения имели международное значение. А в основе этих решений были положены предложения Британской ассоциации по развитию наук, т. е. идеи Гаусса.

Сейчас мы пользовемся так называемой системе СИ. В отличие от существовавших ранее системы, количество единиц между двумя системами, количество основных величины в ней увеличено. Дело в том, что приведенные системы

ищ們 через проедур измерения (системы СГСЭ и СГСМ).

Комиссия впервые внесла неокоторуюясность в системе электрических и магнитных единиц, но, к сожалению, на практике пользоваться такой системой было очень неудобно, потому что они величины получались слишком большими, а другие слишком малыми. Поэтому нарушу с абсолютиной-systemа были удобны для измерений в тех конкретных областях физики, для которых они, собственно, и создавались. А система СИ признана бытую универсальным, единой для всех разделов физики. Поэтому, чтобы избежать совпадения размерностей у различных физических величины, пришлось увеличить число основных. Таким образом, в системе СИ появилось уже 6 основных единиц — три механических, одна электромагнитная, одна термодинамическая и одна оптическая. В октября 1971 года к ним была добавлена еще одна — единица количества вещества — моль.

Следует отметить, что законы физики не зависит от того, в какой системе мы производили измерения, но выбор

25

удобной системы единц существенно упрощает различные расчеты. Здесь можно проведити анализию с различными системами численения. Так, в вычислительной технике до недавнего времени наиболее удобной системой численения была двойная, так как один из основных элементов ЭВМ — триггер — имеет два устойчивых состояния: нет напряжения на выходе — 0, есть напряжение — 1. Где-то может быть удобным численное по основанию 3, 4, 5, и т. д. Но есть система, которая понята всем, — десятичная. И если результат предназначен для большого числа различных специализов, то его надо переводить в десятичную систему, хотя в рамках отдельной специализации может быть предпочтительный свой системе. Так и с системами единц изменения. Например, в США ряд специализов,

работающих над проектированием различных газопроводов, водопроводов и т. п., в качестве единцы площади используют не площадь единичного квадрата, а площадь единичного круга. Встроими иногда в уравнение Ньютона для гравиитического взаимодействия двух масс $F = Gm_1m_2/r^2$ полагают гравиитную постоянную $G$ равной 1. Это приводит к изменению системы единиц. В частности, к уменьшению числа основных единиц.

И все-tаки наиболее общеприятной на сегодняший день является Интернациональная Система — СИ. В чеме примушства?

Система СИ необходима для того, чтобы специализы из разных области интернациональной языка — латынь. Работы, предназначаемые для внутреннего пользования, можно было писать и на родном языке, но то, что предназначалось для всего научного сообщства, следовало писать на латыни, тогда работы становились удобными для всеобщого ознакомления. (Кстати, работа Гаусса также написана на латыни.) Система СИ — это своеобразная «латный», доступная всем, но никто не обязан готовить на этом языке в своем доме.

Вот так завершалась история 37 страниц, написанных более 150 лет назад.

26

КАК ПОСТРОИТЬ ТРАЕКТОРИЮ?

С необходимостью расчитать траекторию того или иного движения человека стalkивается очень часто. Такая задача возникает и перед австралиским аборигеном, подкрадывощимся с бумерангом к стae птиц, и перед математиком, вычисляющим место применения космического корабля.

В этой статье мы хотим рассказать об одном методе приближенного построения траекторий сложных движения, пропллюстрировать его на конкретных примерах и предложить виниманию читатель несколько игр, в основе которых лежит этот метод.

Начнем с начала

Не боися начала, а я ещё конча.
Не дочитав сказки, не кидай указык.
В. Далъ. Пословиц русского народа

Основная идея метода очень проста и основана на известном соотношении, связывающихся вектор перемещения материальной точки с вектором ее средней скорости. Напомним, что средней скорость $\vec{v}_{\text{cp}}$ неравномерно движения называется физической величины, равная относению перемещения $\vec{s}$ тела за некоторый промежуток времени $\Delta t$ к длиельности этого промежутка:

$$\vec{v}_{\text{cp}} = \frac{\vec{s}}{\Delta t}.$$

Отсюда

$$\vec{s} = \vec{v}_{\text{cp}} \Delta t.$$

И средняя скорость, и перемещение — величины векторы, поэтому на рисунках они изображаются направлеными отрезками. При этом направления обих векторов одинаковые, а длины отличаются в $\Delta t$ раз. Очевидно, что соответствующим выбором масштаба можно сделать так, чтобы направленные отрезки, изображенные среднюю скорость и перемещения, совпадали

$$\vec{v}_0$$

Рис. 1.

полностью — и по направлению, и по длине. Именно это обстоятельство и дает возможность быстро и несколько строить, разумеется приближению, различные траектории.

Рассмотрим сначала простейший случай — равномерное прямолинейное движение. Пусть в начальной момент времени тело находится в точке $A_0$ и имеет скорость $\vec{v}_0$ (рис. 1). Поскольку (как мы договорились) вектор перемещения за промежуток времени $\Delta t$ совпадает с вектором скорости, то по истечении этого интервала тело оказывается в точке $A_1$, в которой оказывается отложенный из $A_0$ вектор начальной скорости $\vec{v}_0$. Отложив из точки $A_1$ еще один вектор $\vec{v}_0$, получим точку $A_2$, в которой тело оказывается по истечении двух интервалов $\Delta t$. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность точки $A_n$, в которых тело будет находиться по истечении $n$ выбранных промежутков времени от начала движения. Примяя, прохождение через эти точки, и есть траектория равномерного прямолинейного движения.

Идей обобщения метода

Они впервые рассмотрели обобщение цры на случай «многоруководо игрок», т. е. игрок, имеющего более двух рук.

Из сборника «Математический цветник»

Рассмотренный выше случае равномерного прямолинейного движения является простейшим, однако основная идея метода остается неизменной и в более сложных ситуациях.

Идей метода в следующем.

Для приближенного построения траектории все время движения тела разобем на малые промежутки *),

*) В зависимости от условий движения длиельности «малого» промежутка может изменяться как долями микросекунд, так и миллиардами лет. Важно только, чтобы она была намного меньше времени протекания рассматриваемого процесса.

28

точку $A_3$. В ней тело окажется спустя интервал $\Delta t$ после прохождения точки $A_2$ и т. д. Построение дает приближенную траекторию — ломаную, которая похожа на хорошего извесную всем параболу, являющегося истинной траекторией.

Решение этой задачи особойности не представляется, поскольку ответ был известен заранее из школьного курса физики. Прочем, сравнение полученного результата с известным позволяет проверить метод, а также проверка всегда полезна.

Тепер мы готовы к рассмотрению более сложной и не изучаемой в школе задачи о движении тела в поле тяжесте при наличии сопротивления воздуха. Пусть в начальной момент времени тело находится в точке $A_0$ и имеет скорость $\vec{v}_0$ (рис. 4), а сила сопротивления воздуха $\vec{F}_c$ связана с вектором скорости тела $v$ соответствием $\vec{F}_c = -\alpha \vec{v}$ (α — постоянный коэффициент). Требуется установить, какой будет траектория тела в этом случае.

Ускорение $\vec{a}$, вызваемое двумя слиями — тяжесте и сопротивления, можно определить из второго закона Ньютона. Однако для построения удобнее ускорение $\vec{a}$ представить как сумму двух составляющих: ускорения $a_t = g$, сообщаемого слиной тяжесте, и ускорения $\vec{a}_c = \vec{F}_c / m = -(\alpha / m)\vec{v}$. Если изображить зависимость $a_c$ от $v$ в виде графика, то по нему легко определить величины ускорения $\vec{a}_c$ для любого значения скорости тела. Например, же этого ускорения всегда противоположно направлению вектора скорости $\vec{v}$.

Приступим к построению траектории. Спустя малый промежуток времени $\Delta t$ после того, как тело начало движение из точки $A_0$ (см. рис. 4), оно оказывается в точке $A_1$. Для построения вектора скорости на следующем шаге нужно из точки $A_1$ отключить вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ и прибавить к нему вектор ускорения $\vec{a} = \vec{g} + \vec{a}_c$ (как построить векторы $\vec{g}$ и $\vec{a}_c$ по отдельности, мы уже знаем). В результате построения получим точку $A_2$ — в нее и будет направлен новый вектор скорости. Таким образом, спустя два промежутка времени после начала движения тела окажется в точке $A_2$.

Повторяя эту процедуру, мы получим точку $A_3$, в котором тело окажется еще через один промежуток, затем точки $A_4$, $A_5$ и т. д. Заметим, что ускорение $\vec{a} = \vec{g} + \vec{a}_c$ по истечении каждого промежутка времени необходимо определить заново, поскольку составляющая $\vec{a}_c$ зависит от скорости и поэтому в процессе движения не остается постоянной.

Ломаная, прохождение через точки $A_0$, $A_1$, $A_2$, …, представляет собой приближенную траекторию полета тела при наличии сопротивления воздуха. Особенность этой кривой состоит в том, что, в отличие от параболы (см. рис. 3), она не симметрина относительно вертикали, проходящей через навившую точку полета: исходящая ветвь траектории кругче восходящей. Посмотрите теперь на замистованный нами из учебника по бадминтуну*) рисунок 5, на котором изображены траектории полета волна при различных подачах. Видите?

Почти все траектории обладают отмеченной особенностью — они являются несимметричны. В спортивном базиментоне этим пользовется очень широко. Высокую подачу, например, подают обычно настолько высоко, насколько позволяет высота потолка и силы игрока,— при этом на задней линии поля противника волан падает почти вертикально, а по ответно падающей волану нельзя нанести ответного сильного удара, так как мешает оперение.

Тепер естественно условия сгущения, добавив, например, еще одну действующую на тело силы. Оказыва-

*) Рыбаков Д. П., Штильман М. И. Основы спортивного базимента. (М., Физкультура и спорт, 1978.)

29

вается, что это позволяет нам рассмотреть очень красивую задачу о…

Здесь мы советем читателю на несколько минут перевать чтение, сложить из листка бумаги «самолетик» и показать за теми выкрутасами, которые он вытворяет в воздухе, когда его запускают с различными скоростями и под разными углами к горизонту. Во-первых, это дает возможность немного отдохнуть, а во-вторых, после таких экспериментов вам будет намного интереснее читать то, что написано далее.

Как летает бумажный самолетик?

Заранее тут ничего сказаить нельзя. И это, конечно, самое интересное!

А. А. Милл. Виниц-Пух и все-все-все

Проведенные эксперименты, вероятно, убедили вас в том, что бумажный самолетик ведет себя в полете гораздо сложнее и интереснее, чем брошенный камень или волан для бадминтона. Далее бросать его все время строго горизонтально, то в зависимости от начальной скорости он то почти отвесно пикирует на пол, то взмывает под потолок. Угадать заранее траекторию его полета практически невозможно, однако это вовсе не означает, что поведение кувыркашшегося в воздухе бумажника не подается никакому анализу.

Задча о полете бумажного самолета является частьим слуаем более общей задачи о неуправляемом полете безмоторного летательного аппарата. Эту задачу впервые поставил и решил заменять русский ученый, основоположник аэродинамики Н. Е. Жуковский (1847—1921). Здесь мы разберем только тот вариант задачи, который сам Жуковский называл «задачей о планере».

Пусть в воздухной среде летит симметричный планер (рис.6). На него действуют три силы: сила тяжести

$$\vec{F}_T$$, сила лобового сопротивления $$\vec{F}_c$$ и подъемная сила $$\vec{F}_n$$. Сила тяжести $$\vec{F}_T = m\vec{g}$$ поступна по величине и всегда направлена вертикально вниз. Сила лобового сопротивления связи со скоростью $$\vec{v}$$ соответствием $$\vec{F}_c = -\alpha \vec{v}$$, т. е. точно так же, как и в предыдущем случае. Подъемная сила лежит в вертикальной плоскости и направлена перpendicularно вектору скорости, а величина ее, согласно т. н. теореме Жуковского, связана со скоростью соответствием $$\vec{F}_n = \beta v^2$$. Все три силы приложены в центре масс, которые находятся в вертикальной плоскости симметричной планера. Спрашивается, какой будет траектория полета, если планер запускают из точки А₀ с начальной скоростью $$\vec{v}_0$$ под углом φ к горизонту (рис. 7)?

Траектория строится в точности так же, как и раньше, только теперь для нахождения полногоускорения придется складывать не два вектора, а три: $$\vec{g}, \vec{a}_c$$ и $$\vec{a}_n$$, где вызываемое подъемной силойускорение $$\vec{a}_c = \vec{F}_n/m$$ направлено perpendicularно вектору скорости $$\vec{v}$$ и равно ($\beta/m)v^2$ по величине. Для упрощения построения полезно воспользоваться приведенными на рисунке 7 графиками зависимости $$a_c$$ и $$a_n$$ от $$\vec{v}$$.

Построение траектории планера, как видите, хотя и громоздкое, но не сложное. Это посмотрене, какую изумительную кривую мы получили! Наш планер описал самую настоящую «мертвую петлю»! В данном случае петля одна, но в принципе планер может описать несколько таких петель, после чего он переходит в режим характерного «порхающего» петля: он то проваливается вниз, то снова набирает высоту и, постепенно уменьшая амплитуду таких «провалов», выравнивает свой полет и движется равномерно по некоторой наклонной прямой.

30

Итак, мы построили траекторию и получили описание наиболее характерных особенностей полета симметричного планера, несмотря на то, что точное решение задачи о планире (решение сложной системы дифференциальных уравнений) перевести на понятный школьник язык совершенного невозможно.

Наблюдательный читатель, верятно, заметил, что бумажный самолёт в некоторых отношениях отличается от рассмотренного нами идеального планера. Например, самолёт может не быть идеально симметричный: у него могут быть разными сила тяжестями, подъемная сила и сила сопротивления воздуха, действующие на правое илевое крылья. Это приводит к тому, что в полете одного крыло самолета будет располагаться выше другого, и самолёт начинает как по наклонной плоскости, «соскальзывать» в сторону опущенного крыла.

При таком поперечном «скольжения» носовая и хвостовая часть самолета будет испытывать неодинаковые силы сопротивления воздуха, поэтому самолёт начинает поворачивать вокруг вертикальной оси, т. е. будет лететь не прямо вперед, а поворачиваясь вправо или влево. Короче говоря, к рассмотрению нами «кувырканию» и «порханию» планера в вертикальной плоскости добавляется повороты вправо или влево.

Поскольку разные типы сил, действующих на самолёт, по-разному зависит от скорости, то радиус повората и даже его направление тоже будет зависит от скорости. Поведение самолетки, которые на больших скоростях поворачивают вправо, а на малых влево, оказывается особенно интересным. Позапускайте несколько таких самолетков разных типов, присмогите к их полету — и вы увидите, что многое в их поведении будет вам теперь более понятным.

В принципие, с помощью изложенного метода можно рассматривать и еще более сложные задачи, связанные с повышением летаательных аппаратов. Например, полет самолета. Для этого достаточно вспомнить, что самолет — это тот же планер, только с двигателем. Поэтому добавить к рассмотренным в задаче о планере trem силам постоянную по величины сил тягги двигается $\vec{F}$, направленную вдоль вектора скорости, мы сможем построить траекторию полета самолета. Если представить, что в кабине этого самолета сидит пилот, который управляет двигаителем и рулем высоты (т. е. изменять величины $\vec{F}$ и параметр $\beta$), то можно моделировать даже повышение самолета в управляемом полете. Перiodически включая и выключая двигаель такого самолета, терпельный читатель сравнительно легко может добиться того, что самолет перейдет в волнообразный режим полета, напоминающий полет синиц, стрижей и других небольших птиц. А уменный в этом режиме массу $m$ и увеличив параметры $\alpha$ и $\beta$, можно получить траектории, которые будут достаточно точно воспроизводитьxaотическая возможность.

Качейское, Клима"

1. Почему нежестко лежать на вервоочном газе?

2. Можно ли, не разбивая рoe оно или вареное?

3. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

4. В какое время года сільне всего провисают телеграфные и телефонные провода?

5. Почему птицы беанано садятся на провода, мы либо подаемая ту даши?

6. Чем обязаняется то, что зелень без труда стрекочшего возле кузнечника?

7. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

8. Почему птицы беанано садятся на provода, мы либо подаемая ту даши?

9. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

10. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

11. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

12. Какого цвета кажется красный флаг при синем освещении?

13. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

14. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

15. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

16. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

17. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

18. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

19. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

20. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

21. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

22. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

23. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

24. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

25. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

26. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

27. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

28. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

29. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

30. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

31. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

32. Почему в пайной посуде можно кипятить воду и посуда не распаивается от огня?

14. Верно ли, что «ночью все копки серы»?

15. Почему верхние спины катайте колеса иногда сливются для глаз, в то время как нижние разделно?

16. Можно ли, окнувшись в воду, читать там книжный шрифт?

А. С. Пушкин

Опыты и наблюдения

В этом — летнем — выпуске «Калейдоскона» мы на время отсутствием от традиции обсуждения основных физических понятий и представляем вам заняться опытыми. Для этого можно использовать буккально все, что находится под рукой, либо внимательно наблюдайте за окружающими вас явлениями. Вы убедитесь, что за многоими, совсем простыми на первый взгляд собитями кроется в полне серезная физика, требующая размышлений и смекалки. Тем же, кто захочеет поверить правильно своих выводов не только опитным, но и теоретическим путем, советум заглянуть в следующий номер журнала.

8. Всетка ли в жаркую погоду ветер приносит хладу?

9. Сохранит ли равно все линейка или глазкая палка, если вы будете сдвинуть она лежит? Почему?

10. Почему мыльный ком помещен на носу близка под рукой, либо внимательно наблюдайте за окружающими вас явлениями. Вы убедитесь, что за многоими, совсем простыми на первый взгляд собитями кроется в полне серезная физика, требующая размышлений и смекалки. Тем же, кто захочеет поверить правильно своих выводов не только опитным, но и теоретическим путем, советум заглянуть в следующий номер журнала.

34

Ван-дер-Ваальс и его уравнение
(к 150-летию со дня рождения ученого)

23 ноября 1837 года в семье лейденского плотника Якобуса Ван-дер-Ваальса появился на свет первый из девятей детей — Иоганнес Дидерик Ван-дер-Ваальс, будущий знаменитый голландский ученый, один из основоположников современной молекулярной физики.

Скромный достаток столмогочисленной семьи не позволял и мечтать о высшем образования, так что после начальной школи весь долгий и нелегкий путь в науку Ван-дер-Ваальс прошел самостоятельно, как сказали бы сейчас, без отрыва от производства, либо только в 40 лет он расстался с профессейшей школьного учитель. Правда ему все же уделось, хотя и с многолетним первывом, прослушать в старинном Лейденском университете с десятом лекционных курсов по математике, астрономи и физике.

Но 14 июня 1873 года Ван-дер-Ваальс — в это время он еще преподавал физике в одном из реальных училищ Гаги — приехал в Лейденский университет не для того, чтобы пополнить знания еще одной лекцией. На этот день была назначаена зашиита его докторской диссертации «О непрерывности жидкого и газообразного состояния». Зашита прошла успешно, но особого востора диссертация газского учитель у членов ученого совета не вызвал. Миновало десять лет, и евро-пейские учены начали осознавать, что этой работой — заметим, это было первое самостоятельное научное исследование Ван-дер-Ваальса, его первый научная публикация! — ее автор вписал свое имя в число классиков науки. В 1910 году Ван-дер-Ваальс был удостоен Нобелевской премии по физике.

В чем же существует этой классической работы голландского ученого? На языке формул ответ на этот вопрос выглядел сследующим образом:

до Ван-дер-Ваальса было известно уравнение состояния идеального газа
$$pV=RT,$$
(1)
в «Неперрывности» же впервые появилось уравнение состояния реакльного газа
$$\left(p+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT,$$
(2)
где $V$ — объем моля газа при температуре $T$ и давлении $p$, $R$ — универсальная газовая постоянная, $a$ и $b$ — экспериментальные constants, характеризующие соответствие между молекулярное приятиею и собственным объемом молекул.

Идеальный газ — это хотя и чрезвычайно полезная в физике, но предельно упрощенная теоретическая модель. Она соответствует газу, плотность которого настолько низка, что взаимодействие между молекулями и размер молекул практическиминикакой роли не играют. Уравнение Ван-дер-Ваальса (так называют уравнение состояния реакльного газа) отвечает газодого более релистической модель: молекулы — абсолотно твердые шарики очень малого, но конечного диапазона.

Переход от уравнения (1) к уравнению (2) Ван-дер-Ваальс охарактеризовал как «введение поправок». И это действительное так. Во-первых, в нем учитывается, что помимо внешнего давления $p$ действует «внутреннее» давление $a/V^2$, возниклошее за счет межмолекулярного приятие и «стремящее» стянуть мечущиеся в беспреcedentedном тепловом движении молекулы в один текстый стускок. Во-вторых, принимается во внимание тот факт, что для теплового движения молекул доступен не весь объем $V$, а лишь пространство, оставшее за вычетом собственного объема молекул. (На самом деле Ван-дер-Ваальс обнаружил, к своему немалому удивлению, что константа $b$ в первом приближении равна учетверренному значению суммарного собственного объема молекул, содержащихся в одном молекуле).

Obчное слово «поправка» ассоциируется с чем-то неслишком важным, во всяком случае, не прициппальным, не связанным с коренным изменением. Однако в физике эта привычная ассоциация очень часто не оправдывается. И яруший тому пример — ван-дер-Ваальс превращения, приводения к учеденному уравнению (1), справедливо для не существующего в природа теоретического объекта под названным «идеальный газ», в уравнение (2), описывающее поведение реакльного вещества в диапазоне плотностей, пространства от значений, соответствующих разрежению газу, до величины, отвечающих жидкую состояние.

При этом из самых выражений для ван-дер-Ваальс совокупных поправок можно определить и молекулярные силы, и размер молекул — совершенное реакльные параметры, о которых даже не заданут речь в модели идеального газа.

На рисунке 1 показаны изображения уравнения Ван-дер-Ваальса для различных значений температуры. Ясно, что больше значения $V$ относится к газообразному состоянии, а малые — к жидкому. Как свидетельствует изготовемый 1, 2, 3,

35

при температуре $T \ge T_k$ каждому значению $p$ отвечает одно значение $V$. Это означает, что переход от газообразного состояния к жидкому непрерывен, и поэтому при таких температурах само подзадение на газ и жидкость теряет смысл. Иное дело температуры $T < T_k$. В этом случае каждому значению $p$ отвечает три различных значения $V$, так что на изотермах (см. изотермы 4, 5, 6 на рис. 1) появляется волнообразный сегмент.

Рассмотрим подробнее одну изотерму для неокторой температуры $T < T_k$ (рис. 2). Участок ec ее волнообразного сегмента, проведенный пунктром, соответствует противестенному положению: при скатии давление падает, чего в природа не было найдено. Наличие нереализуемого участа ec означает, что при построении изменении объема вещество не может все время оставаться однородным — в неокторий момент должно произойти его расслое на газ и жидкость. Таким образом, истинная изотермма имеет вид ломаной линии $abfg$ с прямолинейным отрезком $bf$ в области волнообразного сегмента, соединяющим ветвь $ab$, соответствующего газообразному состоянию, и ветвь $fg$, соответствующего жидкому состоянию. Сам горизонтальный участок $bf$ соответствует переходу газа в жидкость (и наоборот), присходящему при заданной температуре и при определении постоянном давлении. На какой «высоко», т. е. при каком давлении, возникает прямолинейный участок, из участки Ван-дер-Ваальса определять невозможно. Ответ на этот вопрос дает правило, установленное Дж. Максвеллом (1831—1879) и Р. Клаузиусом (1822—1888): ordината участа $bf$ должна быть такой, чтобы обеспечивалось равенство площадей «полуволн» $bcd$ и def, лежащих сверху и сизу от него.

По мере повышения давления прямолинейный участок укаравается и при $T = T_k$ стягивается в «критическую точку» $K$. По участки Ван-дер-Ваальса $T_k = 8a/(27bR)$ и ей ответает критическое давление $p_k = a/(27b^2)$. Для воды, например, $T_k = 647,3$ К и $p_k = 22,13$ МПа, откуда $b = RT_k/(8p_k) = 30,4 \cdot 10^{-6}$ м$^3$/моль, и для «диаметра» моейжду собой очень слабыми, но обладающими бесконечным радиусом действия силами взаимного прияжения. Сам Ван-дер-Ваальс настанал на том, что учитываемые его уравнения силы прияжения отнюдь не дальнейстую оценке, а простраются на расстояние, ограниченное всего лишь несколько миллиарных диаметрами. Это остоятельство не представляло бы особого интерсеса — так ли уж важно, какая картина рисовалась голландскому ученому столтее назад! — если бы в конце концов не оказалось, что физическая интупция ученого все еще не превозлена даже самыми изощренными математическими методами. Действительно, сопоставление экспериментальных данных с результатами компьютерных численных расчетов показало, что участки Ван-дер-Ваальса может быть справедливым и при короткодействующем характеристике межмолекулярного прияжения, причем оно не обязательно для любого объема.

Как сложилась судьба Ван-дер-Ваальса после зашиты его значений диссертации?

В 1875 году он был избран академиком, а спустя два получил должность профессора физики Амстердамского университета. Этот пост он занял до 1908 года, когда, согласно неизблемому правилу, вышел в отставку в связи с достижением 70-летнего возраста. Помимо участки со стороны реальных газов, Ван-дер-Ваальс получил еще целый ряд важных научных результатов, причем значение некоторых из них было по достоинству оценено только в нашей времени. Его научная деятельности продолжалась до 1916 года, затем творческие и физические силы стали ослабевать. Ученый умер в 1922 году, в эпоху, когда занимающей его всю жизнь пробелы молекулярной физики были вытеcenны на периодного науки бурно развивавшимся квантовой теории, физики atoma и atomного ядра. Но прошло полвека, эти проблемы снова переместились в центр внимания физики, и работы Ван-дер-Ваальса получили новую и чрезвычайно плодотворное развитие.

В. Е. Явелов

36

Задчи

M1051 — M1055, Ф1063 — Ф1067

M1051. В левый нижний угол шахматной доски 8×8 клеток поставлено в форме квадрата 3×3 двеять фишек. Фишка может перерыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от нее, если соответствующей поле свободно. Можно ли несколькоimi таких ходами собрать все фишки в виде квадрата 3×3:
а) в левом верхнем углу?
б) в правом верхнем углу доски?

А. Е. Брискин

M1052. Докажите, что из $n$ четырехугольников, отсекаемых от выпуклого $n$-угольника диагоналими, не более $n/2$ могут оказаться описными округности. Приведите пример 8-угольника, у которого таких четырехугольников 4.

Н. М. Седракян

M1053. Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, где каждое число равно сумме двух предыдущих, при $m > 3$ встретиется не менее 4 и не более 5 $m$-значных чисел.

M1054. Докажите, что шесть точок попарного касания четырех сфера всегда лежат на одной сфере или на одной плоскости.

Ю. К. Коба

M1055. На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превысodiaщих 120°.

А. Ф. Сидоренко

Ф1063. Пешекоду необходимо в кратчайшее время попасть из точки поля $A$ в точку поля $B$, расстояние между которых 1300 м. Поле пересекает прямолинейная дорога так, что точка $A$ находится от нее на расстоянии 600 м, а точка $B$ — на расстоянии 100 м. Скорость перемещения пешекода по полю равна 3 км/ч, а по дороге — 6 км/ч. Какой путь должен избрать пешекод? Чему равно минимальное время? Расмотреть случай, когда точки $A$ и $B$ лежат по одному сторону от дороги и когда они лежат по разные стороны от дороги.

С. С. Крогов

Ф1064. Нить прикреплена к ободу тяжелого обруча и намотана на него. Если другой конецити прикрепить к потолку и отпустить обруча, то он, врашаясь и разматывая нить, будет двигаться вниз. Пусть три таких обруча соединены «последовательно», т. е. конецити следующего обруча прикреплен к оси предыдущего (рисунок 1). Все обручи одновременно отпустили, и они пришли в движение. Определить, с каким ускорением движется верхиной обруча.

С каким ускорением будет двигаться верхиной обруча, если число последовательно соединенных обручей очень велико?

Считать, что масса обруча равномерно распределена по его ободу, спицы невесямы, нити невесямы и нерастижмы, трене отсутствует.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф1065. Кастрюлю, в которой налиит 1 л воды, никак не удается довести до кипения при помощи нагревая

38

if the number of successively connected wheels is very large. Assume that the wheel’s mass is uniformly distributed along the circumference, the strings are weightless and unstretchable and there is no friction.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminski

P1065. A pot containing 1 liter of water refuses to come to a boil on a 100 watt heater. How long can it take for the water to cool by 1 degree when the heater is turned off?

A. R. Zilberman

P1066. Imagine that a thin layer of soot, absorbing practically all the Sun’s emissions, is formed in the upper atmosphere as the result of massive forest fires. What will the Earth’s mean temperature become, if it is now 300 K?

A. L. Stasenko

P1067. A transparent solid sphere of radius $R$ made out of material with refraction index $n$ contains a small incrustation $A$ (figure Pис. 2 on p. 37). When looking at the incrustation the apparent distance from it to the centre of the sphere does not depend on $\alpha$ for sufficiently large $\alpha$ (see the figure). Find the true distance from the incrustation to the sphere’s centre.

G. V. Grigoriev

Решения задач

M1031 — M1035, Ф1043 — Ф1045, Ф1047

Построим точку $B_1$, симметрично $B$ относительно прямой $l$, тогда $M$ лежит на пересечении прямых $AB_1$ и $l$ (см. рис. 2 on p. 37). When looking at the incrustation the apparent distance from it to the centre of the sphere does not depend on $\alpha$ for sufficiently large $\alpha$ (see the figure). Find the true distance from the incrustation to the sphere’s centre.

Угол $AMB$ как внешний угол равноведренного треугольника $MBB_1$ равен $2\angle AB_1B$. С другой стороны, точки $A, B$ и $B_1$ лежат на окружности с центром $N$, поэтому $\angle ANB = 2\angle AB_1B$ (центральный угол $ANB$ и вписанный в эту окружность угол $AB_1B$ опираются на одну дуг $AB$).

Л. Д. Курляндчик

M1032. Выписаны $n$ чисел 2, 3, …, $n+1$, их весовозможные произведения по два, по три и т. д. вплоть до произведения всех $n$ этих чисел. Докажите, что сумма чисел, обратных всем выписанным, равна $n/2$. (Например, при $n=3$ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{3}{2}$.)

Очевидно, что рассматривая в задаче сумма на 1 меньше произведения

$$\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)...\left(1 + \frac{1}{n+1}\right).$$

Следовательно, она равна

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} ... \frac{n+2}{n+1} - 1 = \frac{n+2}{2} - 1 = \frac{n}{2},$$

что и требовалось доказать.

A. B. Анджанс

39

М1033. Окружность от квадрата четырехугольника (гранция каждой стороны из двух окружностей и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в琢убой цетт, два других — в красный. Докажите, что: a) суммы красных и голубых дуг равны; b) суммы перimetров красных и голубых треугольников равны.

Рис. 1. Рис. 2.

М1034. Прямоугольная шоколада разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных делек. Двое из разгара в такую цетт. Начинающий размывает шоколаду по неокторому углублению на две прямоугольные части. Затем израющение по очереди ломатот odну из получившихся частей по неокторому углублению на две. Тот, кто перым отломит квадратную дольку (без углубления), a) проррывает, b) выгрывает. Кто из израющих может обеспечить себе выгрышии — начнающий или его партнер?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25

Ответ: в обих вариантах игры побеждает начинающий. Это справедливо и для любой шоколада из mn долек (размером m×n), где mn четно (за исключением случая шоколада 2×n с нечетным n в вариante 6) — здесь ответ зависит от n.) Мы рассмотрим сразу общий случай. Интересно, что выигрышные стратегии в «противоположных» вариантах a) и 6) почти совпадают.

a) Стратегия, обеспечивающая выигрышная начинашему, такова. Хотя бы одно из чисел m и n четно — пусть это будет m(m=2k). Первым ходом начинающий размывает шоколаду на две одинаковые половины (по n×k долек). Затем каждый ход второго он dysplует на другой половине шоколадики. Таким образом, после каждого ход первого игре обе половины будут разломаны совершенно одинаковым образом. Ясно, что при этом первый не отломит дольку 1×1 равные, чем это сделает второй.

6. Здесь при четном m>2 и n>1 начинающий может использовать ту же «симметричную» стратегию до тех пор, пока второй не отломит полоску шрипиной 1; первый тут же отломивает он нее дольку 1×1 и выгрывает.

При публикации задачи мы по недоразумению не помещили рядом с условиям рисуок, изображаюший шоколаду из 5×10 долек; поэтому строго говоря, нужно рассмотреть еще случай шоколадики 2×25 (хотя, по видимому, в жизни таких не было). В вариante 6) игры «симметричная» стратегия для шоколадики 2×n не годится — отличать полоску шрипиной 1 нельзя (это немедленно ведет к проррышшу), так что шоколаду можно ломать только «поперек». Возникает такая игра в «разбиение». На доске написано вначале число n; затем при каждом ходе одно из чисел страется и пишут неокторы два натуральных числа, в сумме дюшных стертое. Проигрывает тот, кто вынужден написать 1 (то есть проррышная позиция — это набор чисел 2 и 3). Вопрос о том, кто выгрывает в подобных играх, оказывается далеко не простым; об интересной теории, позволяющей найти ответ без большого перебора, будет расссказано в одном из номеров

40

«Кванта» в будущеем году. Пока сообщим лишь ответ: при $n=25$ выигрывает начнающий (один из правильных первых ходов: $25=13+12$).

Ответ для нечетного $mn$ в общем случае нам неизвестен ни для варианта а), ни для варианта 6) игры.

С. В. Фомин, Н. В. Васильев

М1035. На отрезке [0; 1] по очереди отмещаются точки $x_0, x_1, x_2, ..., x_n$. Для каждой точки $x_k$ ($k=1, ..., n$) изменяется расстояние $d_k$ от нее до ближайшей к ней из поставленных ранее точек. Доказите, что $d_1+d_2+...+d_n \leq 1 + \frac{\log_2 n}{2}$.

Рис. 1.

Рис. 2. Преобразование набора $x_0, x_1,...,x_n$ при сдвиже точки $x_2$: каждый значению $x_2, 0 \leq x_2 \leq 1$, отвечает горизонтальной отрезок, на пересечении которого с синним линиями расположены точки $x_i$.

Рис. 3.

Покажем сначала, что любой набор точек $x_0, x_1, ..., x_n$ на отрезке [0; 1] можно, не уменьшая суммы

$$s = d_1 + d_2 + ... + d_n,$$

преобразовать в набор, две первые точки которого — 0 и 1, а каждой следующая — середина одного из отрезков, на которые предыдущие точки разбивают [0; 1]. Ясно, что можно ограничиться наборами различных точек (если точка $x_i$ совпала с одной из предыдущих, ее можно просто вычернуть — $d_i=0$ — и добавить новую точку в конец). Но нам будет удобно допустить совпадения.

Пусть $x_i$ — самая левая, $x_k$ — самая правая точка набора. Очевидно, $s$ не уменьшится, если заменить $x_i$ на 0, а $x_k$ — на 1. Кроме того, при $i \geq 1$ можно поменять $x_i=0$ и $x_{i-1}$ друг с другом местами — при этом сумма $d_{i-1}+d_i$ может только возрастить (рис. 1), а остальные слагаемые суммы $s$ не изменятся. Поэтому впредь можно считать, что $x_0=0$, а $x_1=1$. Будем «улучшать» набор $x_0, ..., x_n$ дальше. Расмотрим точку $x_2$. Если $x_2=x_0$ или $x_2=x_1$, пропустим ее и перейдет к $x_3$. Пусть теперь $x_2=x$, $0<x<1$. Будем дивигать точку $x_2=x$ по отрезку [0; 1] и при этом один из отрезков [0; x] или [x; 1] вместе со всеми попашными на него точками $x_i$ растягивать, а другой — скимать (рис. 2). Ясно, что тогда сумма чисел $d_i$ для точек $x_i$ отрезка [0; x] будет изменяться пропорционально $x$, а для отрезка [x; 1] — пропорционально 1—х, поэтому общая сумма, как функция $x$, будет равна

$$s = 1 + \min(x, 1-x) + lx + r(1-x)$$

($d_1=1, d_2=\min(x, 1-x), l$ и $r$ — постоянные). Эта функция линейна на отрезках [0; 1/2] и [1/2; 1] и имеет излом в точке $x=1/2$ (рис. 3), поэтому ее максимум достигается в одной из точек $0, 1/2, 1$. Сдвинем $x_2$ в точку максимума и одновременно соответствующим образом растением (или созем) набор точки $x_i$ на отрезках [0; $x_2$] и [$x_2; 1$]. Мы получим набор точек, у которой сумма $s$ не меньше первого начального, а точка $x_2$ находится либо в середине отрезка [$x_0; x_1$] ($x_2=1/2$), либо на краю этого отрезка. Если, далее, $x_3$ не совпадает ни с одной из точек $x_0, x_1$, $x_2$, рассмотрим тот из отрезков [$x_0; x_2$] и [$x_2; x_1$], на котором лежит $x_3$. Как и выше, мы можем так изменить набор точки $x_i$ на этом отрезке, чтобы точка $x_3$ стала его серединой или концом, и при этом сумма $s$ не уменьшилась. Поступная так же со следующими точками, мы приедем к набору, в котором $x_0=0$, $x_1=1$, а каждой следующая точка совпадает либо с серединой отрезка, соединяющего две соседние точки, либо с одной из этих точек. Все точки, совпадающие с предыдущими, можно вычернуть, после чего остается набор из $k$ точек ($k \leq n$), удовлетворяющий сформулированному в начале решения условия.

Для такого набора точек $d_1=1, d_2=1/2, d_3=1/4, d_4=1/4$ или $1/8$ при $i \geq 2$ каждое число $d_i$ равно $2^{-m}$ с некоторым натуральным $m$, причем чисел $2^{-m}$, имеется не более $2^{m-1}$. Ясно, что наиболее значение сумма первых $n$ таких чисел принимает при