Квант 1987, №9 · Страницы

ISSN 0130—2221
КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1987

Редакционная коллекция
и редакция журнала «Кваит»
поздравляют читателей
с началом нового учебного года
и всемародным праздником —
Днем знаний.
Желаем вам успехов
в труде и учении, знакомства
с увлекательными книгами,
интересных занятий
в школьных кружках,
побед на олимпiadах.
Пусть этот учебный год
поможет вам достичь
новых рубежей
в области основами
современных наук,
в развитии самодеятельности
и школьного самоуправления.

1

В номере:

2 Интервью с академиком А. С. Боровиком-Романовым
8 А. С. Михайлов. Волны в сердце
15 А. В. Дорофеева. Рене Декарт и его «Геометрия»

Задачник «Кванта»
21 Задачи M1061—M1065, Ф1073—Ф1077
24 Решения задач M1041—M1045, Ф1053—Ф1057
29 Список читателей, письвших правильные решения

«Квант» для младших школьников
31 Задачи
34 Угадай число

Kалейдоскоп «Кванта»

Школа в «Кванте»
38 Физика 8, 9, 10:
Легко ли описывать движение?
Вокруг одной задачи
Давление газа в сосуде
Гармонические колебания и равновесие

Matematический кругок
45 С. Л. Табачников. Сообщения неперерывности

Практикум абитриента
51 Г. В. Дорофеев, Н. Х. Розов. Функции перiodические и неперiodические

Информация
55 П Научно-техническая конференции школьников в МФТИ
56 Новосибирск — Андовер

Олимпiadы
59 Избранные задачи Московской городской олимпiadы по физике
60 Задачи пятидесятой Московской городской математической олимпiadы

62 Ответы, указания, решения
Смесь (20, 37)
Шахматная страница
Статистика эндшпилля (3-я с. обложки)

На шищека

На обложке сентября номера, как и на улице, появились первые желтые листы; среди них затерлялся декартов лист — видимо, он былал из статы о «Геометрии» Декарта в этом номере.

Фотографии, воспроизведенные на второй странице обложки, сделаны на Московской городской олимпiadе по физике (февраль — марта 1987 года).

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-matематической литературы, «Квант», 1987

2

ИНТЕРВЫЮ С АКАДЕМИКОМ
А. С. БОРОВИКОМ-
РОМАНОВЫМ

— Андрей Станиславович, рассказante, пожалуйста, об Институте физических проблем, который вы возглавляет. О его истории, традициях, основных направлениях проводимых научных исследований.

— Наш институт весна необучен по сравнению с большинством существующих в СССР институтов физического процесса. Главной его особенностью является то, что при необходимости числе сотрудников в ИФП собраны очень сильные исследовательы. Основан он был в 1934 году Петром Леонидовичем Капицей, создавался под его непосредственным руководством. Создавался на протяжении достаточно долгого времени, не сразу, не одним.maxом. И в течение всего этого времени заключил основы будущих направлений научных исследований.

С самого начала главным предметом исследования в ИФП стала физика низких температур, физика, связанная с проявлением квантовых закономерностей в твердых телах, а также в жидком гелии. Именно здесь в 1938 году П. Л. Капицей было открыто одно из самых удивительных проявлений квантовых законов в макроскопическом масштабе — явление сверхтекучести. Открытие сверхтекучести — это целый цикл необученной остроумных и тонких экспериментов, приведших к созданию новой области

3

физики — квантовой физики конденсированного состояния, ставшей сегодня фундаментом целого ряда прикладных направлений.

Следующим важнейшим достижением учены ИФП является открытие промежуточного состояния сверхпроводников. Так называют особое состояние сверхпроводшего образца в магнитном поле, когда он «рассловается» на нормальные и сверхпроводящие области. Далее последовал ряд заменательных открытий в области сверхпроводимости. В пятидесятельные годы Львом Давидовичем Ландду, работавшим в ИФП, совместно с В. Л. Гинзбургом создается феноменологическая теория сверхпроводимости; А. А. Абриковов открывает сверхпроводники второго рода, ставшие основой всех сегонных практических применений этого удивительного явления.

Затем, после столбientes исследований сверхтектически и сверхпроводимости, в этой области намителися неокторный спад. Однако в настоящее время, в связи с рядом быстроистичных открытий последних лет, эти исследования опять активизировались.

Еще одним важным направлением, с которым связаны большие достижения ИФП, является изучение энергетических спектров электронов в металлах. Были разработаны тончайшие методики изготовления чрезвычайно чистых монокристаллических образцов, в которых электрон «пробегал» без стольновейной расстояния в миллиметры! В обычных, «грязных», образах при комнатной температуре этот пробег не превышает несколько метровых расстояний. Учеными института было разработано много оригинальных методов изучения поведения электронов в металлах, которые позволили открыть совершенное новую увлекательную область физики низких температур.

Интересные результаты были получены и при изучении магнитных свойств твердых тел при низких температурах. Например, было обнаружено новое физическое явление — пызомагнетизм — возникновение в некоторых веществ намагнением под давлением.

Следует отметить, что последние тридцать пять лет научной деятельности самого Петра Леонидовича Капицья не были связаны с физикой низких температур. Он занимался электропроводкой больших мощностей, поэтому рекордный по мощности СВЧ генератор — нитрон, изучал плазменный разряд и другие связанные с плазменю физические явления. И сейчас в Институте есть лаборатория, которая под руководством С. П. Капицья занимается электропроводкой иускорительной техники. Говоря о П. Л. Капице, нельзя не упомянуть ее и о его инженерной деятельности. Все действияшие в мире установки для получения кислорода путем криогенного разделения воздуха, все машины для сжжения геля работы на принципиах, предложенных Петром Леонидовичем.*)

Вудучи директором ИФП, П. Л. Капиця уделял большое внимание поддержанию техных контактов между физики-теоретическими и экспериментальными. В Институте был создан теоретический отдел, который на протяжении многих лет возглавил выделющийся советский физик Л. Д. Ландду. Активное сотрудничество Капицья и Ландду привело к ряду более высоких открытий в физике низких температур. Воспследствии в Институте формировалась целая «школа Ландду», из которой вышили многое лучшее физическое теоретическое нашей страны. В шестидесятых годах Академий наук СССР был организован Институт теоретической физики (носящий теперь имя Л. Д. Ландду), и часть ученников и сотрудников Ландду перешли работу. С этим институтом и сегодня мы сохраняем теorieми.

Другая часть теоретической по-прежнему работы в теоретическом отделе ИФП. В настоящее время его возглавляет Я. В. Зельдович. Это очень настоящее исследование, много сделавший в самых различных областях физики и оборонной техники — не зря он является триждцать Героем Социалистического Труда. Из последних ученков Ландду в нашем институте работы также крупные учены как Л. П. Питаевский и А. Ф. Андреев. Л. П. Питаевский — теоретик очень широкого профиля, который принадлежит важные открытия в области

*) Жизнь и научная деятельности П. Л. Капицья заслуживаюот отдельной беседы. Интересующие читатели могут прочесть сборник статей П. Л. Капицья «Эксперимент и практика». (Примеч. ред.)

4

сверхтекучества и в физике плазмы. А. Ф. Андреев в прошлом году вместе с сотрудниками ИФП А. Я. Паршиным и К. О. Кешешевым был удостоен Ленинской премии. Неколько лет назад они сделали крупную работу, который положили начало совершению новой области физики — физике квантовых кристаллов.

Сотрудникими теоретического отдела являются также Л. А. Вайштейн, М. И. Каганов, другие ученые. Л. А. Вайштейн — специалист в области радиофизики — обладает удивительными способностями в математической физике. С помощью карандаша и бумаги он находит решения таких задач, которые обычно решаются лишь при помощи мощных компьютеров. М. И. Каганов — известный специалист в области электронной теории металлов.

Я перечислил только старшее поколение теоретических в ИФП, имеются и следующие эшелоны. Основные направления их научной деятельности — физика низких температур, космология, физика плазмы.

В последние годы мы попеснились утраты. Умерли выдающиеся физики-теоретически И. М. Лифшц и Е. М. Лифшц. Илья Михайлович, основатель большой научной школы в области физики твердого тела, многие годы возглавлял теоретический отдел нашего института. Евгений Михайлович Лифшц являлся крупнейшим специалистом в космологии. Он пришел в ИФП вместе с Ланду и был не просто его ученком, но и на протяжении многих лет неизменным совтвором — им написан классический курс теоретической физики. Совсем недавно мы потеряли замечательного ученого и человека, одного из старнейших сотрудников ИФП А. И. Шальникова. Алексадр Иосифич работал в Институте со дня основания, обладал огромным талантом экспериментатора и был учителем почти всех сегодняних сотрудников.

И сегодня в институте работает целый ряд прекрасных физков-эксперименторов. Так, например, Ю. В. Шарвин, который совсем недавно сделал очень важное открытие, связанное с совершению новой области физических исследований. Его работы по международным талантом экспериментатора и教学中 почтели все сегодняних сотрудников.

Из старшего поколения эксперименторов еще хотел бы назвать М. С. Хайкина и Н. В. Заварицкого. М. С. Хайкин — виртуоз экспериментальной техники. Он конструкрует тонкие приборы, которые позволяют решать сложные физические задачи. В настоящее время им создано несколько таких крупных микросолнов, которые как «ошупывают» поверхность образ-

5

наболее чувствительный из них с помощью подключенной к нему ЭВМ рисует решение поверхности, образованный отделными атомами. Н. В. Заварицкий сделал много открытый в области сверхпроводимости и в области изучения взаимодействия электронов с телловыми колбаными ионной решетки металла. Из экспериментатов упомяну также Н. Е. Алексеевского, автора ряда классических работ по физике металлов.

Я мог бы и дальше перечислять имена и работы ученых ИФП, но всех все равно не перечислю, поэтому оставалось. Скажу только, что, в общем, наши сотрудники — это яркие личности в науке.

— Что вы можете сказать о сегодняшем молодом поколении ученых ИФП?

— Петр Леонидович Капица недократно подчеркивал, что настоящий ученый не может работать без молодежи. Он был одним из основателей Московского физического института — вуза нового типа, признанного воспитательством будущих ученых. Связи с этим взом у нас традиционно крепки. Ежедневно в laboratorиях и на научных семинарах в ИФП можно увидеть студентов и аспирантов «физеха». Со временем основания МФТИ наш институт является базовым для кафедры физики низких температур. Лучшие студенты этой кафедры, проявившие себя в процессе обучения, оставляются на нашем институте стажерами, а затем и аспирантими. Лучших из лучших мы после аспирантуры зачисляем в штат.

К сожалению, подобная практика работы с молодежью не повсеместна. В нашей стране в настоящее время сложилась такая ситуация, что Академия наук — высший научный орган страны — очень сильно отделилась от высшего образования. В то же время во многих странах, в особенности в США, Канаде, Англии, Японии, наука делается в большой степени в научных учреждениях, которые являются laboratorиями университетов. При этом на одного научного сотрудника приходит два три аспиранта и несколько студентов. У нас в институте это соответствие значительной хуже — на пятые сутки сотрудников приходит около тридцати стажеров, аспирантов и студентов. Но по сравнению с другими научными учреждениями страны это еще очень хорошо.

Я считаю, что если зрелый научный сотрудник работает без молодежки, без учеников, то он очень скоро теряет свою форму. При технологии молодежью сказывается эффективность связи, причем роль его может оказаться куда более важной, чем просто обучение. Процесс обучения всегда с более глубоким пониманием предмета самим обучающим. А потом, именно молодежь находится путь в науке. Так и у нас, за последние 10—15 лет ряд выпускников физика, ставших сотрудниками ИФП, создали новые научные направления, о некоторых из них я упоминал выше.

И вот еще что я хотел сказать. Очень много сейчас говорят о вредении научных достижений в технически, практику, в жизни. Это, несомненно, одна из главных задач сегодня дня. Но что касаетсяFundamentals наук, то, с моей точки зрения, здесь важнейшим вредением является передача накопленных знаний, всего накопленного опыта. Fundamentals наук — это как раз то, что хранится в первую очередь вmozах ученых и передается из одного поколения в другой.

— К какой области физики относятся наши научные интересы?

— На этот вопрос ответить очень просто. Мой интерес лежат в области магнетизма и низких температур. трудно сказать, что перевищает, — в разных годы по-разному. Я всегда строился, еще когда был студентом, брать пошпе. Считаю, что нельзя долго заниматься одним узким вопросом, потому что, когда к чему-то привыкаешь, резко падает вероятность сделать что-то новое, неожиданное. Возникает ошибке завершения, полной ясности. А это — настоящее.

— В каких области физики, по вашему мнению, можно ожидать значительных результатов в ближайшем будущем?

— Известно, что такой крупнейший физик как Резерфорд считал, что энергия атома никакого применения в нашем векте не найдет. Я думаю, что предсказывать что-то в нашей времени не

6

возможно. Ярким примером, предостерегающим от прогнозов, является сегодняший «бум» с высокотемпературной сверхпроводимостью.*)

— Как вы можете прокомментировать последние достижения в этой области?

— Сверхпроводимость, о котором сейчас идет речь, чрезвычайно интересна как с точки зрения функциональной науки, так и, главным образом, с точки зрения открывающихся перспективных технических применений. Перед физикими стоит непростая задача объяснить природу обнаруженной высокотемпературной сверхпроводимости в новых материалов. Сегодня уже всем ясно, что она отличается от прививчной, есть несколько альтернативных гипотез о механизме обнаруженной высокотемпературной сверхпроводимости, но однозначного решения проблем пока нет. может быть, вскоре удаться повышить температуру перехода в сверхпроводящее состояние еще на 100—200 К. Теперь уже нет приинн отрицать эту возможность. Но уже и доступные условия открываются невиданные перспективы. В ближайшие несколько лет, может быть пять — семь, благодаря обнаруженную явление совершается колосальный переворот во многих областях технически. Но для его реализации нужны специальные кадры — не те, что занимаются физическим проблемами, а кадры химиков-технологов, которые ищут новые материалы. Деятельность их порой даже «антинаучная», т. е. ход мысли этих ученых невероятен с точки зрения обычного научного подхода. В качестве примера я могу привести шутку, которое мне недавно расскажал индерландский физик-теоретик Хендрик Казимир. Он долгое время работал в исследовательских laboratorиях радиотехнической фирмы и хорошо разбирается в инженерном деле. Эта шутка, в каком-то смысле, отражает способ мышления техническов. Долго время не удавалось напылить француз на германии. И тогда Казимир сказал, что необходимо в качестве промежутного слоя помещить реней. Логика выбора реня состояла в том, что… между Францией и Германии в качестве «скрепляющего» природного элемента протекает Рейн.

Суть дела в том, что у техническов, создающих новые материалы, свое видение, иногда очень странное (с точки зрения физика), какие-то свойства фигуры, своя, не всем понятная, логика — тем не менее приводающая к целю. Как во всяком творчестве, особенно связанном с понском, здесь оказывается очень важным, помимо прочного, имеет какое-то спецификаое чуть. Надо сказать, что на Западе такие учены идут, что называется, номером один. Я думаю, что и у нас где-то, скажем, в металлургии, известны подобные уникмы. А вот в области физики называть таких я затрудняюсь. И не потому, что их нет. Уверен, что есть. Но их не применяют, не выделяют. Это большой недостаток в организации нашей науки.

— Когда вы обнаружили у себя интерес к физике? Выло ли что-нибудь запомнившееся в школьные, студенческие годы в плане вашого становления как физика?

— Мне трудно ответить на первый вопрос, потому что у меня и ответ, и мать — физики. Отц многим занимается дома. Сначала это была вакуумная техника. Он был очень хорошо стеклодувом и почти все приборы делал своиими руками, дома. Когда мне было лет шесть, он делал первые детекторные радиоприемники… Так что выделить какой-то особый момент я затрудняюсь, скорее всего это было «в крови». Мой старший брат пошел учиться в Ленинградской политической институт, что также сказал на моем выборе. Я могу похожаться, что десяти лет отруду слушал лекции знаменитого Паули на съедение русских физики. Я, конечно, ничего не понял, просто родительм некуда было меня деть, а теперь могу гордиться этим событием в моей жизни.

Do сельмого класса яучился в Ленинграде, потому мы переехали в Москву. Большинство наших учителей преодолали еще в старой гимназии. В целом это были очень хорошие учители. Вообще, профессия учителя очень трудная. Она требует талант. Ведь чтобы удержать внимание класса в течение целого урока, несомненно нужен особый талант.

У меня было очень хороший друг, с которым почти каждый вечер мы ходили в библиотеку Политехнического музея. А кроме того, мы с ним вечер

7

рами, а иногда и почами, экспериментровали в школе. Большое по химию. Бывало, пожарные приезжали…

Мои студенческие годы — я учился в МГУ — разблисьвойной. Они мне очень памятны.

В университете у нас была очень хорошо поставлена математика. Курс анализа нам читал профессор И. В. Арнольд. Он был просто артист, настоящий художник, мы восхищались его лекциями. У нас был замечательный профессор и по дифференциальной геометрии — А. П. Норден. Это был такой педагог! Он начал записи на лекции в верхнем левом углу доки, а последнюю формулу записывал к концу второго часа в правом нижнем углу. Читал очень хорошо. Лекции по физикеVEL профессор А. В. Молодеевский, и мне они не очень нравились. А вот физический практикум был очень интересный. Его вели В. И. Иверонова и М. П. Шаскольская.

Момим неосредственным научным руководителем был Петр Георгиевич Стрелков. У него было два удивительных достоинства. Во-первых, он был очень искусным экспериментатором, а во-вторых, он предоставлял нам больше свободу в работе, поощрял нашу самостоятельность. Он очень вдохновлял нас, пропагандировал наши первые успехи, всяческие способствовали нашему самотверждению в науке. Этот человек мне очень много дал, и я ему очень групыше шесть человек были прикреплены к Институту физических проблем. Я считаю, что мне очень полезно, что еще в студенческе годы я попал в институт П. Л. Капиццы. Петр Леонидович создал в Институте физических проблем особый климат, удивительно благорпятный для научного творчества и особенно — для воспитания молодежи. Это был климат, в котором на первом месте в жизни стояла любовь к науке — стремление к научному понску. Все мы посещали необыкновенный семинар, который руководил Александ Иосифович Шальников. Доклады на семинаре носили методический характер и растягивались иогда на месяц, а то и больше. По ходу возникали разные вопросы, и мы все очень внимательно их разбиали, обсуждали… А Александ Иосифович непрерывно задавал каверзные вопросы, заставлял нас находу объяснять все тонкости установки, о котором рассказывал докладчик, и придумывать конструкции новых прибора. Благодаря его температуру все дискусии проходили очень бурно.

Потом я работал в Московском государственном институте мер и измерительных прибора (МГИМИП’e), и в этом была, я думало, своей пользования в выборе направления исследований, в создании laboratorии, я все начал сам сначала. А в ИФП я «вернулся» в 1956 году.

— Каковы ваши жизниенные увлечения помимо физики?

— Очень люблю путешествовать. Раньше это был путешествия с рюкзаком — 40 кг за спиной и две недели палаточной жизни… Урал, Пампир, Алтай, Кавказ — мы много искодили. Много путешествовали сженой на байдарке.

Увлекателься радно — спаял четыре телевизора; занимаюсь фотографией.

— Какой путь молодого человека, решившего посвятить себя физике, представляется вам наиболее эффективным?

— Главное — по своему опыту служу — чтобы было больше хорошего научно-популярной литературы. Я сошкольных лет помню книгу Робerta Милликена об измерении зарядда электрона. Ее стоимость была переиздать. Вообще было бы замечательно, если бы популярию литературу писали ведущие учены, чтобы наука попадала к любозательным, что называется, из первых рук. Но всем сейчас неогода. Вот если бы появился современный Я. И. Перельман.

Очень важным делом я считаю вскоре «руководение» — радно, планеры, столяричанные, фото…

Было бы, несомненно, полезно чтобы в ведущих случаях школьникам, хотя бы раз в месяц, читали лекции ведущие учены.

Но все-tаки главную роль в привлечении молодежи в науку должна научно-популярная литература. В этом смысле «Квант» — очень полезное дело. Раньше, когда сын школьником, я читал его часто. И сейчас читаю и считаю, что журнал хорошо, очень нужно. Лучшего, пожалуйста, в этом ряду и нет.

Интервью с С. С. Кротов

9

Возникало тахикардия и фибрилляция? Каков механизм нарушения регуляной волновой картины в сердце? На эти вопросы дает ответ математическая теория волн в возникнутое сердце.

Мы же попытаемся качественно обьясить механизм возникновения описных сердечных аритмий.

Волны возбуждания

Вы видели, как горит бикфордовый шнур? Волна горения без вдоль шнура, не затухая. «Форму» такой волны можно представить в виде зависимости температуры от времени в различных точках вдоль пути распространения. При прохождения фронта горения происходит резкое, ступенчатое повышение температуры, а после израсходования запаса горючего в данном месте температура возврашает к начальному значению. Понятно, что при встрече две волны горения газят друг друга.

Волны в живых организмах наполняют волну горения. Хорошим примером такой биологической волны служит имплус возбуждания, распространSIONся по нервному волокну. Этот электрический имплус без затухания и искажений по нервному волокну диаметром менее 0,025 мм и длиной до 1,5 м с постоянной скоростью, составляющей обусловлено десяти метров в секунду. Нервное волокно — проводник,

Рис. 1. Распространение волны электрического возбуждания по правому предсердию. Показаны последовательные положения фронта волны; цифрами указано время в миллисекундах.

10

но очень плотой. Электрическое сопротивление на единицу его длины составляет примерно $10^9 - 10^{10}$ Ом/см, что в этом миллионов раз больше сопротивления медного провода того же диаметра. Если бы по мере движения нервного импульса к нему не подводилась непрерывно энергия, он бы затухачебыстро. Электроимпulse механизмы, обеспечивающие подвод энергии и устойчивое распространение импульса, довольно сложны, и мы не будем их касаться.

Волны, распространяющиеся без затухания и сохраняющие свои характеристики постоянными за счет непрерывного подвода энергии извлекает называтель авторовами. Наглядным аналогом авторовного процесса служит распространение волны горения в среде, которая способна к последующему восстановлению своих свойств. Простейший пример подобного явления — это горение степи. При каждом прохождения волны пламени вся трава сгорает, но затем она медленно отрадает вовь, так что степь можно поджчь еще раз. Степь как «возбудимая среда» обладает свойством восстановления.

Отделные мышечные волокна сердца по своим электрическим характеристикам аналогичны нервному волокну. Мышечная ткань сердца состоит из плотно переплетенных волокон, электрические связанных друг с другом в участках контакта. Импульс возбуждения может переходить с одного волокна на другой, так что волны возбуждения способны распространять по сердечной ткани в любом направлении. В этом смысле сердечная ткань является возбудимой средой.

Аксиomatическая модель возбунимой среды

Летом 1945 года американский ученый Норберт Винер (тот самый Винер, который формировал основные положения кибернетики) гостил на дайте у своего друга Артура Розенблюта, директор Мексиканского института кардиологии. К тому времени было уже хорошо известно, что по сердцу распространются волны электрического возбуждения (они были открыты еще в начале нашего столетия) и что неокотые сердечные

Рис. 2. Последовательность смены состояний элемента возбунимой среды; белым показано состояние покоя; красным — возбуждение, сним — рефрактерности.

Рис. 3. Волна возбуждения в аксиomatической модели возбунимой среды.

Рис. 4. Максимальное частая последовательность волна возбуждения.

Рис. 5. Эффект подавления «медленных» источников. Показана временная развертка картины фронтов воли, испускаемых двумя источниками, которые имеют различные периоды. Левый высокочастотный подавляет правильный низкочастотный источник. Вверх отложено время t, по горизонтали — координата x вдоль прямой, соединяющей центры двух источников.

ариттими связаны с циркуляцией волн возбуждения вокруг атомических превращений. Занитересовавшись этим вопросом, Винер построил совместно с Розенблютом математической модель, позволившую им в процессе видение объяснить основные особенности процессов в возбунимых средах.

В модели Винера и Розенблюта поступируется, что возбунимая среда образована сетью из элементов, как-

11

дый из которых способен пребивать в трех состояниях — покоя, возбуждения и рефрактерности; переходы между состояниями осуществляются скачком, подчиняясь определенным правилам.

Как реализуется эти состояния?
В отсутствие внешних воздействий элемент неограниченно должно сохранять состояние покоя. Внешним воздействием его можно перевести из этого состояния в состояние возбуждения. Пробы определение времени $\tau_{\text{воэб}}$ в таком состоянии, элемент переходит к состоянию рефрактерности, в котором он является невозбудимым. Состояние рефрактерности длится время $\tau_{\text{peф}}$; по процессии этого времени способность к возбуждению восстанавливается — элемент переходит в состояние покоя. (Все эти переходы схематически изображены на рисунке 2.)

Дополнительное предложение модели состоит в том, что возбуждение может передаться от возбуждаемых элементов к соседним, находящимся в состоянии покоя. В результате по среде распространения волны возбуждения (рисунок 3). Скорость $c$ распространения этих волн построена.

Модель Винера — Розенблюта задает определение поведение волн возбуждения в среде.

1. Существует минимальный временной интервал следования волн возбуждения. Этот период $T_{\text{min}}$ равен сумме длительного состояния возбуждения и рефрактерности: $T_{\text{min}} = \tau_{\text{воэб}} + \tau_{\text{peф}}$. Если волны следуют с минимальным периодом, т. е. с максимальным возможной частотой, то все элементы среды находятся в двух состояниях: один — в возбужденном, другие — в состоянии рефрактерности (рисунок 4). Minimalный пространственный интервал следования волн — $L_{\text{min}} = cT_{\text{min}} = c(\tau_{\text{воэб}} + \tau_{\text{peф}})$.

2. При стольновении волны газят друг друга. Это легко понять — ведь при стольновении возбужденные элементы оказываются «зажатыми» между двумя надвигающимся областями рефрактерности.

3. Волны возбуждения не отражаются от границ. Это утверждение доказывает аналогично предыдущему.

4. «Быстры» источники волн подавляют деятельности всех более «медленных» источников. («Быстры» — это источники, испускающие волны часть, через малые промежутки времени.) Убедимся в этом.

Пусть в среде имеются два периода действияющих источника, которые испускают волны через интервалы времени $T_1$ и $T_2$. На рисунке 5 изображена временная развертка картины волн от этих двух точных источников. Левый источник испускает волны возбуждения чаше, чем правый (т. е. $T_1 < T_2$). С течение времени точка встречи и гашения двух фронтов смешается в направлении к низкочастотному правому источнику, пока он не оказывается подавленным. Таким образом, по процессии достаточно большого времени в среде «выживает» лишь самый «быстрый» из источников.

5. Волна возбуждения может неограниченно долго циркулировать по колыцу или вокруг ответствия в возбуждимой среде.

Возьмем узкую полоску возбуждения среды и свернем ее в колыцо. Если длина полоски $l > L_{\text{min}}$, то по колыцу неограниченно долго может циркулировать волна возбуждения (рисунок 6,a). Перiod ее циркулиции $T = l/c$.

Станем теперь увеличивать внешний радиус колыца и устремим его к

12

бесконечности. Тогда вместо колыца мы получим ответные ввозбудимой среде (рисунок 6,6). Что произдет с волной возбуждания в колыце, когда мы будем растяивать его таким образом? Она будет продолжать вращение, но ее фронт изогнется.

Дейстительно, фронт волны возбуждания не может представлять собой прямую радиальную линию, вращующую вокруг ответия с какой-то угловой скоростью $\omega$. Ведь в таком случае на расстоянии $r$ от центра ответия скорость фронта равнась бы $c=\omega r$ и неограниченно возрастала с увеличением $r$. Однако скорость распространения волн $c$ постоянна. Это означает, что удаленные участки фронта станут отставать, и он примет со временем форму спирали.

Таким образом, вокруг ответия ввозбудимой среде может сколь годно долго вращаться без затухания спиральная волна. Перiod ее вращения — это время, затрачиваемое на прохождение импульса возбуждания по всему перimetру $l$ ответия, т. е. $T=l/c$. Если ответие круглое и радиус его $R$, то $T=2\pi R/c$, а частота вращения $\omega=2\pi/T=c/R$.

Итак, мы познакомились с моделью Винера — Розенблюта. Как же объяснить с ее помощью возникновение сердечных аритми?

Спиральные волны и сердечные аритми

Степки предсердия достаточно тонкие, поэтому ткань сердца здесь можно считать двумерной возбудимой средой. В результате нарушения кровоснабжения после инфарктма миокарда небольшие области сердечной ткани могут отмирать, теляя способность к проведению волн возбуждания. Эти области играют роль ответий ввозбудимой среде сердечной ткани.

К чему приведет циркуляция волны возбуждания вокруг одного из этих ответий? Ответ зависит от того, как соотносятся перiod циркуляции с частотой волн, испускаемых синусом узлом. Если частота вращения спиральной волны выше, чем частота генерации волн синусовым узлом, то спиральная волна является более быстроисточником и подавляет детельность синусового узла. Посокльку радиуса ответий — пораженных

Рис. 7. Рождение спиральной волны (D — область с повышенной рефрактерностью). а) — исходное положение двух волн; б) — второй волна не входит в область D, возникла разрыв фронта; с) — возбуждание начнет распространять внутренность области D; д) — спиральная волна через достаточно большой промежуток времени.

13

участков сердца — достаточно малы, а частота циркуляции волны обратно пропорциональна радиусу отверстия, так обычно и проискодит. Волна, врашшающая вокруг отверстия, захватывает все предсердие. Нормальный режим работы сердца нарушается. На смену ему установливается «трепетание» предсердия, т. е. развивается сердечная ариттия.

Спиральные волны могутрождаться из разрывов фронта волн возбуждания. Предположим, что в среде имеется область $D$, элементы которого обладают повышенной длительностью рефрактерного состояния. Пусть по среде движутся подряд друг за другом две волны возбуждания, отделенные небольшим временным интервалом (рисунок 7,a). После прохождения первой волны через область $D$ находящиеся в ней элементы надолго остаются в состоянии рефрактерности. Возбуждание от второй волны не может пронкнуть в эту область — фронт волны рвется (рисунок 7,б). Через какое-то время состояние рефрактерности в области $D$ закониться и элементы, находящиеся в этой области, вовь прибретут способность к возбужданию. Если к этому времени вторая волна еще не миновала область $D$, то возбуждание от фронта этой волны начинает распространяться внутри области $D$ (рисунок 7,б). Затем волна будет закручивать вокруг области разрыва (рисунок 7,с), и с теми временем формируется спиральная волна, показанная на рисунке 7,д.

Сердечная ткань неоднородна по своим свойствам, в том числе и по длительности рефрактерного состояния. Неоднородность еще более возрастает в результате нарушения нормального питания клеток после инфаркта. При обычном режиме работы сердца интервал между очередными волнами возбуждания составляет 1 секунду, а длительность рефрактерного состояния — порядка 0,1 с. Поэтому разрос в значениях рефрактерности, свойственный живой ткани, не приводит в обычных условиях к разрыву фронта волн возбуждания. При некоторых порожжениях сердечной ткани, однако, в ней генерируется синусовый узлом дополнительная волна, отделенная от предыдущего очень малым временным интервалом. Если этот временной интервал достаточно короток (меньше суммы максимальной продолжительности рефрактерного состояния и длительного состояния возбуждания), фронт такой волны разорвется на границе области с повышенной рефрактерностью, и родится спиральная волна. На рисунке 8 показано образование спиральной волны из разрыва фронта в эксперименте с положкой ткани, взятой из сердца кролика.

Время жизни спиральной волны в неоднородной среде конечно. Из-за неоднородности среды центров волны со временем смещается, blijдает по среде. Рано или поздно волна выходит на границу среды и исчезает. С исчезновением спиральной волны приступ ущшенного сердцебиения заканчивается.

Возможен, однако, и другой исход. На фронте волны возбуждания — на рукуве спиральной волны — могут образовать вторичные разрывы при прохождения области с повышенной рефрактерностью. В результате будет произходить размижение спиральных волн. Если скорость размижения волн превышает скорость их исчезновения на границах, число спиральных волн будет возрастать со временем, пока все среда не будет за-

14

полнена коротками «обрывками» спиральных волн. Этот хаотическая волновой режим наблюдается при фибрилляции — сокращения сердца как целого прекрашаются и проискотят лишь хаотическое поддержание отдельных его участков.

Экспериментально было установлено, что для возникновения фибрилляции необходимо прерышение «критического массы» сердечной ткани: вплоть до неокотого размера полоски такой ткани создается в ней самоподдерживающийся фибрилляцию невозможно. (Например, для ткани предсердий кролика критическая масса составляет около 20 мг.)

Этот эффект нетрудно объяснить. Если приятить, что распределение рефрактерности по среде случайно, то вероятность рождения новой спиральной волны из разрыва фронта одной из уже существующих волн примерно одна и та же для любой точки среды. Полное число новых спиральных волн,рождающихся в среде за единицу времени, пропорционально площади, занимаемой средой, и числу уже имеющих спиральных волн: $n_+ = \alpha L^2 N$, где $L$ — линейный размер среды (мы считаем ее двумерной), $N$ — число уже существующих волн, $\alpha$ — неокотый постоянный коэффициент. Число спиральных волн, которые за единицу времени исчезают на границах среды, равно $n_- = \beta N L$ (ono пропорционально длине границ), $\beta$ — постоянный коэффициент. Хаотический режим, наблюдающийся при фибрилляции, соответствует ситuation, когда скорость размножения спиральных волн:

$$y^2(27y - 26) = 0,$$

а координаты рационального решения (в тексте и на рисунке 2) должны быть (17/9; 26/27).

В статье «Задачи на разрезание» на рисунке 1 (см. с. 45) показывает разрезание равностороннего треугольника на четыре части, из которых складывается ромб, а не квадрат. Конструция, дающая квадрат, выглядает так:

ных волн превышает скорость их исчезновения, т. е. когда $n_+ > n_-$. Как видно из приведенных выше рассужений, это возможно в том случае, когда линейный размер среды $L$ выше критического значения $L_{\text{кр}} = \beta/\alpha$. В средах меньше размеры критической спиральных волн подавлено процессом их ухода на границы.

Знаниям возникновения опасных сердечных аргитми, можно гораздо успешнее искать способы борьбы с ними или их предотвращения.

---

В этой короткой стать нам пришлось ограничиться только самыми простыми и нагладными обязываниями. Аксиматическая модель Винера — Розенблюта сыграла свою роль в создании теории авторов новых явлений. Большой вклад в развитие этой теории внесли советские учены — физики, биологи, математики, медики. Model Винера — Розенблюта была подробно исследована и развита в работах участников семинара, организованного в 60-х годах советским математиком И. М. Гельфандом. В настоящее время для описания волн в возникших средах, в том числе — в ткани сердца, используют более детальные модели, формируемые на языке дифференциальных уравнений в частих произвольных. Однако модель Винера — Розенблюта продолжает оставаться полезной во всех случаях, когда необходимо быстро получить качественный картину интерсуцию нас эффектива.

15

РЕНЕ ДЕКАРТ
И ЕГО «ГЕОМЕТРИЯ»

Кандидат физико-mатематических наук
А. В. ДОРОФЕЕВА

Восьмого июня 1637 г. в голландском городе Лейдене в титографии Жана Мэре появился на свет книга с длиным по объцало своего времени названем «Рассужждение о метода, позволяющим направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автора этой книги звал Рене Декарт. Ему шел тогда сорок второй год и он по праву считался одним из крупнейших в Европе математиков; одноко «Рассужждение о метода» было его первым печатным трудом. Впереди у него были еще тринадцать лет жизни, удивительные сочинения, но даже одной небольший части первого печатного труда — геометрия — оказалось достаточно, чтобы нассгеда обессмерть его имя. Вместе с «Геометрией» Декарта в науку вошел метод координат.

Жизненный путь

Декарт родился в 1596 г. в провинции Турень на юге Франции в семье, принадлежащей знанному, но обедневшей роду. В 1597 г. умерла его мать. Когда Рене исполнилась восемь лет, отчет отправил его в коллеж г. ЛаФлеш, незадолго до этого открытий каталогической ordenом незуитов для просвещения привилегированного двоянства.

В течение первых пяты лет в коллеже преподавали латинский и греческий языки, историю, литературу, а затем в течение трех лет — философию, логику, математику и физику. Вспоминая годы учебы, Декарт в «Рассужении о метода» писал:

«Я изучал там все, что изучали другие, и, не довольствуюсь преподаваемыми сведениями, пробегал все подавшие мне под руки книги, трактовавшие о наиболее редкостьх и любопытнейших науках… Особенно нравилась мне математика верность и очень достоинство своих рассужений».

Он рано начал проявлять необходимую самостоятельность суджений.

«Признаюсь, я родился с таким умом, что главное удовольствие при научных занятиях для меня заключилось в том, что я выслушвал чужие мнения, а в том, что я всегда стремился создать свои собственные».

Приложно изучая все, что предлагала школа, прочтывая самостоятельно попадавшие к нему научные книги, онный Декарт в то же время испытывал глубокое разочарование. Он сомневался в достоверности полученных знаний. Обучение в школе и университетах было в то время сложистеским. Оно предполагало веру в церковное учение, наследие античности, научные авторитеты, имена, договора.

Окончив коллеж в 1614 г., юноша обдумывал план дальнейшей жизни.

16

В путьществиях, наблюданиях, экспериментах, развшелиях он видел путь, который приведет его к позаниню тайн приоды. Декарт писал впоследствии:

«Я совершенствовала книжные занятия и решился искать только ту науку, которую мог обрести в самом себе или же в великой книге мира, и употребил остаток моей юности на то, чтобы путьществовать, увидеть двери и армии, встречаться с людьми разных народов, положенный и собрать разнообразный опыт, испытать себя во встречах, которые пошлет судьба, и повсюду поразмыслить над встречашимися предметами так, чтобы извлечь какую-нибудь ползу из таких занятий».

По окончании коллежа Декарт неокончили время провел в семье отца, а затем отправился в Париж, где вначале вел обещную для молодого и знанного дворянина светскую жизнь. Вскоре наступил перелом — Декарт удинился в предмете Парижа Сен-Жермен и предмета занятия науковой. В 1616 г. он получил в Пуатье степень бакалавра права.

В 1618 г. Декарт вступил добровольцем в армию, срававшуюся против общего врага Франции и Голландии — испано-австрийских войск. С 1619 г. он нес военную службу в армии герцога Бавари. В 1620 г. Декарт находился в Богемии, в следующем году в Венгрии. В это время он принял решение оставить военную службу и вернулся во Францию, посетив Германию и Голландию.

Навестив отца, Декарт продолжил свои страницы. Он pobывал в Швейцарии и Италии, таким образом, в полной мере осуществил задуманный в юности план общеобразовательных путешествий. С 1625 г. Декарт обосновался в Париже. Все эти годы он постояно встречался с учеными, главным образом, математicians и философами, а также с мастерами-практиками, изготовляющими оптические инструменты.

В Париже Декарт разработал основы своего научного метода. Слава молодого ученого быстро росла. О нем говорили как о создательной физиосфской системе. Декарт почувствовал необходимость полного уединения, чтобы завершить исследование. Он решил, «удалиться от всех мест, где мог иметь знакомства».

В 1628 г. Декарт переехал в Голландию, пережившую тогда пору экономического и культурного расцвета. Ее моряки совершали путешествия. В стране росли морские порты и крупные города, развивались ремесла, возникали университеты. В типографиях Голландии печатались лучшие научные труды, в том числе сочинения Коперника, «Диалоги» Галлея. А главное, страна отличалась необходимой в то время религиозной терпимостью и значительной свободой от цензуры.

Декарт прожил в Голландии два лет, заполненных непрерывным трудом. Его время распределялось так: утром — продолжительные размышления и решение математических

17

ских задач, затем опыты по оптике, анатомии, медицинне, ботанике, вещерами — письма. Он вели общирную переписку с выдающимся учеными Франции и Голландии.

Результаты философских задуманий и естественногоучных экспериментов Декарт изложил в ряде сочинений, которые принесли ему широкую известность. Он отдавал много сил проаганду учения, стремясь распространить его в школьах и университетах Голландии. Новизна и смелость научных идеей все-tаки приведели Декарт к столковению с протестанскими богатством. Он был вынужден покинуть Голландию.

В 1649 г. Декарт принял предложение шведской королевы Христины, желавший собрать при своем двое выдающихся ученых Европы. В одном из письем он говорил о том, как трудно человеку, «родившемся в садах Турени», переехать в Швецию — «страну медведей, снегов и льдов». Вскоре после переезда Декарт просудился, заболел воспалением легких. 11 февраля 1650 г. он умер. В 1663 г. сочинения Декарт были внесены в список книг, запрещенных каталогической церковью. Несмотря на это, научные идеи Декарт быстрого распространения по Европе, оказавая глубокое воздействие на умы его современников.

Основоположник нового научного метода

В «Рассужждение о метода» Декарт формулировал «главные правила метода» и отметил: «Я принял твердое решение построно соблюдать их без единого отступления». Вот эти правила.

Первое: не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старatelю избегать последности и предубежения и включать в свои существия только то, что представляется моему уму так ясно и отчетливо, что никаким образом не может дать повод к сомнению.

Второе: делить каждую из расстатриаемых много трудностей на столбко частей, на сколько потребуется, чтобы лучше их разрешить.

Третье: руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восхо-

Титульный лист первого издания «Рассужждение о метода».

дить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.

И последнее: делать всюду настоящее перечни и также обозрые обозры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Декарт подчеркивал, что в основе научной теории должны лежать ясные и простые принципы. Необходимо изучать, описывать, классифицировать явления природы, проводить эксперименты и математические расчеты. Изучая природу, нужно полагаться лишь на свои силы, а не ждать помощи свыше,ójжественного откровения. Эти взгляды ученого были несовместимы с теологией и схоласткой.

К сочинению «Рассужждение о метода» Декарт написал три приложения, которые должны были развязывать и проиллюстрировать его научный метод,— «Диоптику», «Метеоры» и «Геометрию». Проблемы опти-

18

ки, теории метеорологических явлений, математики были тесно связаны с практическими задачами, стоящими в то время перед мореплавателями, инженерами, астрономами, мастерами по изготовлению оптических инструментов.

«Диоптрика» и «Метеоры»
В начале XVII столетия в науку вошли зрительные трубы и микросоны, открывшие широкий возможности проникновения в просторы все

ленной и в тайны микромира. Внименые ученых привлекли теоретические основы оптики. Голландец В. Снеллиус (1580—1620) открыл закон преломления света на границе двух сред и излагал его в лекциях, которые он читал в Лейденском университете. Этот же закон Декарт открыл, по-видимому, независимо от Снеллиуса, опубликовал и обосновал в своей «Диоптрике». Использов его, он создал теорию радиги.

В «Метеорах» Декарт объявил проискождение радиги благодаря тому, что правильно построил ход лучей в джедевой капле (см. рисок 1, принадлежащий Декарту). Эти объяснения, дополненные Ньюотоном, приводятся во всех современных учебниках. Декарт проводил эксперименты соферических стеклянным сосудом, помещенным на солнце, и на их основе построил свою теорию цветов. Если для наблюдается, нахождение в точке E (см. рис. 1), луч DE образует с солнечным лучом FD угол, примерно равный 42°, то эта часть сосуда кажется наблюдается ярко красной; при уменьшении угла появляется другие цветы радиги. Наряду с Кеплером, Гойгенсом и Ньюотом Декарт является создателем современной оптики.

В приложении «Метеоры» ученыystemилися выяснить законы образования обlakов, снега, града, молнии, исследовать природу ветра. Он не мог сколько-нибудь полно решить поставленную перед собой задачу уже потому, что в ту эпоху еще ничего не знали об электрических явлениях. Главная заслуга Декарт заключится в том, что он объясил явления природы с помощью науки, не оставляя места домыслам, предрассудкам и суевериям.

«Геометрия» Декарта
Это третье приложение к «Рассуждению о метода» обссертило имя ученого в большей степени, чем другие его открытия. Декарт создал метод координат, с помощью которого устанавливают технологии связи геометрии и алгебры. Его метод решать алгебраические задачи с помощью геометрии, наоборот, использовать теорию алгебраических уравнений при решении геометрических задач.

19

Основной элемент «Геометрии» — отрезок. Если к отрезку $a$ приложить отрезок $b$, то получится новый отрезок $a+b$ — сумма отрезков $a$ и $b$ (рис. 2). А как определить произведение отрезков $ab$? У древних греков $ab$ — это площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (рис. 3). Декарт нарушил эту многоvekовую традицию, приводящую ко многим неудобствам. У него $ab$ — это тоже отрезок; он находится из пропорции $x/a=b/1$. На рисунке 4 показано, как Декарт построил отрезок $x=ab$. Аналогично из пропорции $x/1=a/b$ видно, как можно разделить отрезок $a$ на отрезок $b$.

Декарт введен ось абсцисс — прямую, на которой отмещена точка $O$, являющаяся началом отчета, и выбрал некоторый отрезок за единичный (рис. 5). С его помощью можно изменить длину любого отрезка. Значит, у Декартка каждому отрезку соответствует положительное число — его длина. Он проводит операции с отрезками, а по существу, — это операции с положительным действительным числам: длины отрезков складываются, переменнойются, длина одного отрезка делится на длину другого.

Наличие оси абсцисс позволяет установить связь между линиями и уравнениями. Пусть $F(x,y)=0$ — алгебраическая уравнение $*$), например, $3y-2x-6=0$. Отложим на оси абсцисс отрезок, длина которого равна $x$. Из уравнения $F(x,y)=0$ найдем соответствующее значение $y$ и отложим его на прямой, перпендикулярной оси. Получаем точку $M$ (рис. 6). Числа $x$ и $y$ называются координатами точки $M$.

Если значения $x$ меняются, то меняются соответствующие значения $y$, и точка $M$ при своем движении описывает некоторую линию $L$.

Вывод Декарта: алгебраическому уравнению $F(x,y)=0$ соответствует некоторая линия $L$ на плоскости.

Например, нашему уравнению $3y-2x-6=0$ соответствует прямая, уравнению $xy-1=0$ — гипербола.

До исследований Декарта отрицательные числа встречались в математике лишь при решении алгебраических уравнений. Они не были равноправны с положительным числами.

*) To есть уравнение вида $F=0$, где $F$ — многочлен.

Метод координат привел Декарт к геометрической интерпретации отрицательных чисел.

Рассмотрим уравнение $y^2=x$. Каждый положительному числу $x$ здесь соответствует два значения $y$. Соответствующая линяя изобразена на рисунке 7. Отрезки $AK$ и $KB$ лежат по разные стороны от оси абсцисс. Они наглядно убедают нас в том, что отрицательные координаты имеют такое же право на существование, как и положительные.

Основная идея геометрии Декарта состоит в том, что геометрические свойства линей можно выяснить, произведение алгебраических преобразований их уравнений. Например, чтобы найти точки пересечения окружности $(x-2)^2+y^2=1$ и парабoles $y^2=2x-3$, нужно решить систему
$$\begin{cases} (x-2)^2+y^2=1, \\ y^2=2x-3. \end{cases}$$

Используя приемы алгебры, получаем $(x-2)^2+2x-3=1$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=2$. Затем находим $y^2=-3$ или $y^2=1$.

Уравнение $y^2=1$ имеет два корня: $y_1=1$ и $y_2=-1$. По терминологии Декарта, $y_1=1$ — «истинный» корень, а $y_2=-1$ — «ложный» корень. Но, как показывает рисунок 8, с точки зрения геометрии оба корня совершенно равновравны.

Уравнение $y^2=-3$, по терминологии Декарта имеет два «воображаемых» корня. Так он называл комплиексные числа (см. о них статью Л. С. Понтрягина в «Кванте» № 2, 1985).

«Воображаемым» корням не соответствуют никакие точки на рисунке 8. Зачем же тогда о них говорить? Что они дают математике? На эти

20

вопросы Декарт ответил так: с помощью «воображаемых» корней можно построить общую теорию алгебраических уравнений.

В «Геометрии» Декарт изложил и свою теорию алгебраических уравнений. Он начал ее с указания, что их удобнее всего записать в форме, ставшей теперь для нас привченной, — с правой стороны равной нулю:

$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n = 0.$$

Он формулировал теорему о том, что алгебраическое уравнение степени $n$ имеетровно $n$ корней, если учитывать положительные, отрицательные и комплексные («воображаемые») корни. Это основная теорема алгебры, которую до Декарта, в начале XVII века, высказали П. Роте и А. Жирар.

Декарт первым стал обозначать данные величины начальных буквами алфавита $a, b, c$, неизвестные — последними буквами $x, y, z$. Он простил обозначение степени, и оно прияло знакомый нам вид $a^3, x^2$ и т. п.

Распространение и влияние «Геометрии»

Сочинение «Рассудение о метода» было опубликовано в 1637 г. на французском языке. Современники Декарта восприняли его «Геометрию» с большим энтузизмом. Вскоре она была переведена на латинский язык — международный язык науки той эпохи. За короткое время «Гео-ритер» выдержала четые издания. Всемнадцатом столетии она была настолько книгой каждой творческой работающего математика.

Декарт считал, что математика должна изучать лишь кривые, заданные алгебраическим уравнениями, потому что для исследования других линей нет общего метода. Примером алгебраической кривой может служить декартов лист. Его уравнение $x^3 + y^3 - 3ax y = 0, a \neq 0$. Между тем в математике большешую роль играют и неалgebraические (трансцендентные) кривые: спираль Архимеда, квадратриса, трактиса, циклопа и другие. Декарт не включаил их в свою «Геометрию».

Это ограничение Декарт предоставили Ньютона и Лейбницц, разработавшие во второй половине XVII века общепримеры исследований трансцендентных кривых. С помощью метода координат они стали изучать синусоиду, логарифметическую, показательную и другие функции.

Метод координат плоскового развивающего дальше. Вскоре появился ось ordinат, а в XVIII веке и стереометрия; в XIX веке возникла «многомерная» геометрия, «бесконечномерная» геометрия в XX веке. Сегодня без метода координат невозможно себе представить ни математику, ни физику.

Труды Декарта, его философские, математические и космологические идеи вызывают глубокий интерес и обсуждение в наших дни. В этом его величение ученого.

Задания на исследование

Предлагаем читателем несколько задач о средних величины проекций многоугольников и многогранников. С их помощью можно, в частности, решить задачи M1030, отличнуюся от помещенного в «Кванте» № 6.

а) Обозначим через $p_M(l)$ длину проекции выпуклого многоугольника $M$ на прямую $l$. Доказите, что среднее значение $p_M(l)$ по всем прямым, проекциям через заданную точку, равно $p/\pi$, где $p$ — пещертр многоугольника $M$. (По определению, это среднее значение равно $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} p_M(l_u) da$,

где $l_u$ — прямая, составляющая с фиксированной осью $l_0$ угол $a$.)

В следующих двух задачах рассматриваются средние по всем направлениям в пространстве; о том, что под ними помещается, рассказываюсь в стате Ю. Ионина и А. Плотчина «Среднее значение функции» («Кванте», 1977, № 7, с. 26).

Обозначим через $s_M(P)$ и $t_M(l)$ соответственное проекции выпуклого многоугольника $M$ на плоскость $P$ и длину его проекции на прямую $l$.

6. Чему равно значение $s_M(P)$, усредненное по всем плоскостям $P$, проходящим через заданную точку?

в*) Чему равно значение $t_M(l)$, усредненное по всем плоскостям $P$, проходящим через заданную точку?

Подсказка: нетрудно понять, что ответ в заданях а) — в) имеет размерность см, см², см³ соответствующего. Какие «геометрические величины», связанные с многоугольником или многогранником, имеют такую размерность?

А. В. Гончаров

21

Задчи

M1061 — M1065, Ф1073 — Ф1077

M1061. В стране, где больше двух городов, некоторые пары городов соединены пересекающими дорогами. Известно, что для любых трех городов A, B, C по этой сети дорог можно проехать из A в B, не заездая в C. Докажите, что на всех дорогах можно установить одностороннее движение так, что из каждой города можно будет проехать в любой другой, дивяясь по установленным направлениям.

В. Е. Колосов

M1062. a) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и D. Прямые BD и CE пересекаются в точке M, AM и BC — в точке P, AM и DE — в точке N. Докажите, что

$$\frac{PN}{NA} = 2 \cdot \frac{PM}{MA}.$$

6. На ребрах SA, SB и SC терраэдра SABC взяты точки D, E и F. Плокости ABF, BCD и CAE пересекаются в точке M, прямая SM пересекает плоскости ABC и DEF в точках P и N. Докажите, что

$$\frac{PN}{NS} = 3 \cdot \frac{PM}{MS}.$$

Т. А. Джортменадзе, Е. Я. Глейбман

M1063. Сколько существует различных целых чисел, которые можно представить в виде разности $a - \bar{a}$, где $a - n$-значное натуральное число ($10^{n-1} \leq a < 10^n$), $\bar{a}$ — число, полученное при записи цифр $a$ в обратном порядке? Например, если $a = 1917$, то $a - \bar{a} = 1917 - 7191 = -5724$. Укажите ответ для: a) $n = 4$; b) $n = 5$; b) любого натурального $n$.

Г. О. Эльстин

M1064. Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая $n$-венная плоская ломанная, если: a) $n$ нечетно; b) $n$ четно? (Предполагается, что никакие три вершины не лежат на одной прямой и что никакие три звена не пересекаются в одной точке.) Д. В. Фукс

M1065.* Будем рассматривать векторы $(x; y)$ с целыми неотрицательными координатами, причем хотя бы одна из координат отлична от 0. Изовем такой вектор образующий, если $|x - y| = 1$.

a) Докажите, что рассматривается вектор $(x; y)$ можно представить в виде суммы образующих (или он сам — образующий) тогда и только тогда, когда величины $k(x, y) = x + y - (x - y)^2$ неотрицательна.

6. Докажите, что число $n(x, y)$ различных (с точностью до порядка) представлен вектора $(x; y)$ в виде суммы образующих таблицу, чтобы мячик ударился о пол как можно дальше от начальной точки? Чему равно это максимальное расстояние?

А. В. Хельсис

22

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than December 1st, 1987, to the follo-

Ф1074. Папа Карло сделал для Буратино колпак из тонкой жестки. Колпак имеет форму конуса высотой $H=20$ см с углом $\alpha=60^\circ$ при вершине. Будет ли этот колпак держаться на голове у Буратино, если эта голова — гладкий шар диаметром $D=15$ см?

С. С. Кротов

Ф1075. Выполняя лабораторную работу, студент опустил в сосуд с водой кипятильник, включил его в сеть и стал каждые три минуты записьвать температуру. Данные этого опустения в таблице 1. Затем он охладил воду, положил в сосуд небольшой металлической образец и вновь провел измерения. Результаты этого опустения в таблице 2.

Определите по этим данным теплемкость образца. Напряжение в сети $U=35$ В, ток через кипятильник $I=0,2$ А, температура в комнате $t_0=20^\circ$ С.

Л. П. Баканина

Ф1076. Для исследования солнечной батареи используется многопредельный волтметр (он состоит из чувствительного микроамперметра и набора добавочных резисторов). Подключив его к батарее на пределе 1 В мы получаем показание $U_1=0,7$ В. Переключив волтметр на пределе 10 В, мы получим показание $U_2=2,6$ В. Что получилось бы на пределе 100 В? Известно, что при неизменном освещении солнечная батарея ведет себя как обычный источник, последовательно к которым подключен резистор большого сопротивления.

А. Р. Зильберман

Ф1077. По одной из гипотез звезды образуются из межзвездной среды (космическая пыль) путем скатания под действием gravитационной силы. Оцените время образования звезды из гигантского сферического облака космического пыли плотностью $\rho=2\cdot10^{-20}$ г/cм$^3$. Можно считать, что при скатании частицы не обгоняют друг друга. Гравитационная постоянная $G=6,67\cdot10^{-11}$ Н·м$^2$/кг$^2$.

В. Е.Скороваров

Problems

M1061—M1065, P1073—P1077

M1061. In a country of more than two cities some pairs of cities are connected by non-intersecting roads. It is known that for any three cities $A, B, C$ it is possible to travel from $A$ to $B$ on these roads without going through $C$. Prove that it is possible to choose directions of one — way traffic on all the roads so that any city may be reached from any other along the roads in the chosen directions.

V. K. Kolosov

M1062. a) Points $E$ and $D$ are chosen on sides $AB$ and $AC$ of triangle $ABC$. The lines $BD$ and $CE$ intersect at the point $M$, $AM$ and $BC$ at $P$, $AM$ and $DE$ at $N$. Prove that

$$\frac{PN}{NA} = 2 \cdot \frac{PM}{MA}.$$

b) Points $D, E$ and $F$ are chosen on the sides $SA, SB$ and $SC$ of the tetrahedron $SABC$. The planes $ABF, BCD$ and $CAE$ intersect at the point $M$, the line $SM$ intersects planes $ABC$ and $DEF$ at $P$ and $N$. Prove that

$$\frac{PN}{NS} = 3 \cdot \frac{PM}{MS}.$$

T. A. Djortmenadze, E. Ya. Gleibman

24

Решения задач
M1041 — M1045, Ф1053 — Ф1057

М1041. На плоскости заданы: a) четыре, б) три вершины правлого пятуугольника. С помощью двусторонней линеей восстанавливайте остальные его вершины. (Двусторонней линеей можно делать то же, что и обычной линеей без деления, а также проводить прямую, параллельную данной на расстоянии, равном ширине линеей.)

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

M1042. В классе организации турир по перегрузиванию каната. В туриреровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учащихся этого класса (из одной, двух и т. д. человек, кроме команды всего класса). Докажите, что каждая

Ключевой элемент решения — построение биссектрисы угла, показанное на рисунке 1. Мы будем также пользоваться тем, что любая сторона правлого пятуугольника видна из любой его вершины (за исключением концов этой стороны) под углом π/5. Искомый пятуугольник обозначим через ABCDE.

a) Пусть данные вершины A, B, C, D. Для построения E достаточно заменить, что AE — биссектриса угла, смежного с углом BAC (∠BAC=π/5, ∠CAE=2π/5) и аналогично DE — биссектриса угла, смежного с CDB (рис. 2).

6. Очевидно, достаточно рассмотреть 2 случая: 1) заданные вершины A, B, C, 2) заданные вершины A, B, D. В случае 1 (рис. 3) строим AE — биссектриса угла, смежного с BAC, и AD — биссектрису угла EAC; вершина D находится на пересечении AD и биссектрисы угла, смежного с ACB. Аналогично строим E. В случае 2 (рис. 4) можно воспользоваться тем, что AC и DC — биссектрисы углов BAD и BDF, где DF — биссектриса угла, смежного с ADB. Это позволяет построить вершину C, а затем и E.

Некоторые читатели не обратили внимание на последнюю фразу условия и посчитали, как это принято во многих книгах о геометрических построениях, что двусторонняя линеейка позволяет проводить две параллельные прямые на расстоянии, равном ширине, через две заданные точки A и B (как на рисунке 5). При таком понимании оказывается разрешимыми все задания на построение, которые можно решить традиционным набором инструментов — циркулем и линейкой (но окружность следует считать построенной, если указаан ее центр и отрезок, равный радиусу). Интересно выяснить, верно ли это для «двусторонней линеейки» в смысле нашей задачи.

М. И. Грипичк

Рис. 4.

Рис. 5.

Назовем две команды дополнительными, если одна из них состоит из всех учеников, не вошедших в другую. Каждый ученик класса входит только в одну из двух дополнительных команды, следовательно, он входитровно в поливину всех команда. Но пользоваться всех командах числу всех предстоящих совершений. Таким образом, число совершений совпадает с числом выступлений каждой ученика, а значит, в каждом совершении будут выступать все ученики, т. е. две дополнительные команды.

Приведем еще одно решение. Допустим, что в одном

25

Команда будет совершаться с командой всех остальных учеников класса.

M1043. Может ли разить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого n числа n, n−50, n+1987 принадлежали trem разным подмножества?

Ответ: нельзя. Доказательство проведем от противного. Предположим, что указанное в условиям разбиение существует. Будем писать m≈k, если целые числа m и k принадлежит одному и тому же подмножества разбиения, и m≠k, если нет. Доказем, что n≈n+1937 и n≈n−150

для любого целого n; отсюда будет следовать, что 0~1937~2·1937~…~50·1937=
=646·150−50~645·150−50~…~50,
т. е. 0~−50, а это противоречит условиям задачи.

Назовем тройку чисел представленный, если она содержит по одному числу от каждой подмножества разбиения. По условиям тройки
n−50, n, n+1987; n−100, n−50, n+1937 и
n+1937, n+1987, n+2·1987

— представленные при любом n (1937=1987−50). В частности, из второй и третьей тройки видно, что n+1937≠n−50 и n+1937≠n+1987, а из первой — что n≠n−50 и n≠n+1987. Отсюда следует нашей утверждение: n≈n+1937. Телерч число n+1937 во второй тройке можно заменить на n, т. е. тройка n−100, n−50, n — представлена. Подставляя в нее n−50 вместе n, получим еще одну представительную тройку n−150, n−100, n−50. Из сравнения этих двух троек вытекает второе утверждение: n≈n−150.

С. В. Коняzin

M1044. Доказите, что из четырех чисел всегда можно выбрать два числа x и y также, что
0≤x−y/1+xy≤1.

Пусть α, β, γ, δ — арктангенсы данных чисел, расположенные по возрастанию; тогда
−π/2<α≤β≤γ≤δ<π/2<α+π.

Точки β, γ, δ разбивают отрезок [α; α+π] на четыре отрезка. Длина хотя бы одного из них не превыходит π/4; в качестве x и y можно взять тангенсы его правого илевого концов. Дейстительно, если, например, β−α≤π/4, то, учитывая, что β−α≥0, имеем 0≤tg(β−α)≤1 и при этом
tg(β−α)=tgβ−tgα/1+tgβtgα=x−y/1+xy.

(В случае (α+π)−δ≤π/4 надо еще воспользоваться равенством tg(α+π−δ)=tg(α−δ).)

И. Н. Сергеев

M1045. В некоторых церсте, неоктором государстве, территория которого

Организуем оповещение следующим образом. Разобем церсто на 4 квадрата со стороны 1 км — квадраты 1-го ранга; каждый из этих квадратов разобем на

26

имеет форму квадрата с стороны 2 км, царь решает созвать всех жителей к 7 часов вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь может передавать любое указание любому жителю и т. д. Каждый житель до поступления указания находится у себя дома (в известном месте) и может передвizaться со скоростью 3 км/ч в любом направлении. Докажите, что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успешили к началу бала.

Ф1053. В тонком главном грубопроводе скольцит (в поле сны тяжесту) забкий однородный шнур (см. рисунок). Участик АВ и BC грубопровода представляют собой полукругности радиусом R, точки A, B, C лежат на одной вертикали; длина шнура l = 2πR. Начти все точки шнура, в которых натяжение равно нулю в тот момент, когда нижний конец шнура находится в точке C.

Пусть в тот момент времени, который запечатлен на рисунке, шнур имеет ускорение a. Найдем его.

За малый промежуток времени Δt шнур переместился так, что его конец, находившийся в точке C, сметлился на Δx=v·Δt, где v — значение мгновенной скорости шнура. Кинетическая энергия шнура за это время увеличилась на

$$\Delta K = \frac{m(v + \Delta v)^2}{2} - \frac{mv^2}{2} \approx mv \cdot \Delta v$$

(m — масса шнура; слагаемый ~(Δv)² мы пренебрегли). Потенциальная энергия шнура изменилась на

$$\Delta \Pi = \Delta m \cdot gh = m \frac{\Delta x}{l} gh = m \frac{v}{l} gh \cdot \Delta t,$$

где Δm — масса участика шнура длиной Δx, который как «переместился» из точки A в точку C, т. е. опустился с высоты h=4R. Согласно закону сохранения энергии ΔK=ΔΠ, т. е.

$$mv \cdot \Delta v = m \frac{v}{l} gh \cdot \Delta t.$$

Отсюда находится шнур в какой-нибудь точке и найдем для получения отрезков их ускорения (тем же способом, который мы воспользовались выше). Если ускорения отрезков оказываются одинаковыми, это

27

Ф1054. Два стержня одинаковой формы сделаны из материалов с разными упругими свойствами — модели Юнга материалов равны соответствию $E_1$ и $E_2$. Стержни склеены торцами и покрыены одной краской, так что полученные образец выглядают как однородный стержень. Какой модель Юнга «вещества» этого стержня измерит экспериментатор, не знающий, что стержень составной?

Составной стержень представляют собой два последовательно соединенных упругих стержня с жесткостьми, равными, соответствию $k_1$ и $k_2$. Удлинение $x$ составного стержня при его растяжении равно $x_1+x_2$, где $x_1, x_2$ — удлинения первого и второго стержней. Поскольку растяживающая сила одинаковая для общих стержней (стержни покояться), то из закона Гука следует, что

$$k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2},$$

где $k$ — жесткость составного стержня.

Жесткость связи с моделями Юнга материалов стержней:

$$k_1 = E_1 \frac{S}{l}, k_2 = E_2 \frac{S}{l}, k = E \frac{S}{2l},$$

где $l$ — длина каждого стержня, $S$ — площадь поперечного сечения, $E$ — модель Юнга «вещества» составного стержня. Следовательно, значение $E$, которое получит в измерениях экспериментатор,

$$E = k \frac{2l}{S} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} \frac{2l}{S} = \frac{2E_1 E_2}{E_1 + E_2}.$$

В. А. Давыдов

Ф1055. Электрический прбор П подключен к сети переменного тока с напряжением 220 В через конденсатор емкостью $C = 0,5$ мкФ (рис. 1). Амперметр показывает ток $I = 0,01$ А, показание волтметра — $U = 180$ В. Найти мощность, потребляемую от сети прбором. Считать амperметр и волтметр идеальными.

Рис. 1. Рис. 2.

Найдем сначала действующее значение напряжения на конденсатор:

$$U_C = IX_C = I \frac{1}{2\pi C} = 63,7 \text{ В}$$

(здесь $v = 50$ Гц — частота колебаний переменного тока в сети). Теперь нарисуем векторную диаграмму*) токов и напряжений для данной цепи (рис. 2). Из диаграммы легко найти сdwг фаз $\varphi$ между током $I$ и напряжением $U_0$:

$$\varphi = 90^\circ - \arccos \alpha = 90^\circ - \arccos \frac{U_0^2 + U_C^2 - U^2}{2U_0 U_C} \approx 46^\circ.$$

Активная мощность, потребляемая прбором П, равна активной мощности, которая выделяется во всей цепи (в конденсаторе тепло не выделяется), т. е.

$$P = U_0 I \cos \varphi \approx 1,53 \text{ Вт.}$$

А. Р. Зильберман

*) О том, что такое векторные диаграммы и как они строятся, можно прочитать, например, в статье «Цепи переменного тока» («Квант», 1986, № 9).

28

Ф1056. В схеме, изображенной на рисунке 1, ключ К₃ сначала замкнут, а ключ К₁ и К₂ разомкнуты. В некоторых момент времени замкнут ключ К₁, а спустя время t₁ = 0,1 с замкнут ключ К₂. Еще через время t₂ = 0,2 с замкнут ключ К₃. Начит: 1) максимальное напряжение на конденсаторе; 2) ток через катушка L₁ через время t₃ = 1 с после замкнутая ключка K₁. Сопротивлением проводов претензей, диод считать идеальным; L₁ = 1 Гн, L₂ = 0,5 Гн, C = 10 мкФ, U₀ = 10 В.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Ф1057. Гантель, состоящая из двух шариков массой m какды, закрепленных на концах лезкою стеряния дииной 2b, подвешена в горизонтальном положении на двух нерастижных нитях дииной l, расстояние между которых 2a (рис. 1). Начит перiod малых крутильных колебаний гантели.

После замкнутия ключа K₁ в катушке L₁ появляется ток, который с течение времени увеличивается по линейному закону

$$I_1 = \frac{U_0}{L_1} t.$$

To же проискодит и в катушке L₂ после замкнутия ключа K₂. В момент размыкания ключа K₃ (рис. 2)

$$I_1 = \frac{U_0}{L_1} (t_1 + t_2) = 3 \text{ A},$$

$$I_2 = \frac{U_0}{L_2} t_2 = 4 \text{ A},$$

а заряд на конденсаторе равен нулю.

В тот момент, когда заряд конденсатора стает максимальным (он будет оставаться таким и в дальнейшем —диод не дает конденсатору разрядиться), через обе катушки будет течение тот же ток I, не равный нулю (рис. 3). Контур, состоящий из двух катушек и двух батареек, сверхпроводящий, а батарейки компенсируют друг друга, поэтому магнитный поток, произвольный контур, со временем не изменяется:

$$L_1 I_1 - L_2 I_2 = L_1 I + L_2 I.$$

Отсюда получаем ответ на второй вопрос задачи:

$$I = \frac{L_1 I_1 - L_2 I_2}{L_1 + L_2} = \frac{2}{3} \text{ A}.$$

Начиная с момента размыкания ключа K₃ и до момента установления максимального заряда qₘ на конденсаторе батарейки совершили работу

$$A = q_m U_0.$$

Тогда, записав закон сохранения энергии

$$\frac{L_1 I_1^2}{2} + \frac{L_2 I_2^2}{2} + A = \frac{(L_1 + L_2) I^2}{2} + \frac{q_m^2}{2C},$$

или

$$q_m^2 - 2CU_0 q_m - C (L_1 I_1^2 + L_2 I_2^2 - (L_1 + L_2) I^2) = 0,$$

находим ответ на первый вопрос:

$$q_m \approx 1,3 \cdot 10^{-2} \text{ KJ}, \ U_m = q_m / C \approx 1300 \text{ B}.$$

Решение может стать более очевидным, если заметить, что две батарейки можно заменить одной (т. е. объединить положительные полюсы батареек).

А. Р. Зильберман

При круглых колебаниях гантель поворачивается вокруг вертикальной оси OO₁. Выясним, как зависит потенциальная и kineticческая энергия гантели от угла повората φ (рис. 2).

Пусть при повороте на угол φ центра тяжестега гантели поднимается на высоту Δh (относительно положения равновесия). Как видно из рисунка 2, Δh = l - h, где

$$h = \sqrt{l^2 - |BB_1|^2} \approx \sqrt{l^2 - a^2 \varphi^2}$$

(поскольку угол повората φ мал, |BB₁| ≈ aφ). Отсюда получаем:

$$l^2 - h^2 \approx a^2 \varphi^2 \iff \Delta h \cdot (l + h) \approx a^2 \varphi^2,$$

откуда

$$\Delta h \approx \frac{a^2 \varphi^2}{l + h} \approx \frac{a^2 \varphi^2}{2l}$$

(при малых φ Δh мал, и l + h ≈ 2l).

29

Следовательно, потенциальная энергия гантелей (измеряемая по отношению к положению равновесия) зависит от угла поворота как

$$\Pi_{\varphi} = 2mg \cdot \Delta h = \frac{mga^2}{l} \varphi^2.$$

(1)

Вычислим теперь кинетическая энергия. При малых колебанях можно пренебречь вертикальным составляющим скоростей шариков и считать, что векторы скоростей лежат в горизонтальной плоскости и равны по модулю $v = b\omega_{\varphi} = b\varphi'$ ($\omega_{\varphi}$ — угловая скорость шариков в тот момент, когда угол поворота гантелей равен $\varphi$). Таким образом, кинетическая энергия зависит от угла поворота как

$$K_{\varphi} = 2 \frac{mv^2}{2} = mb^2(\varphi')^2.$$

(2)

Заметим, что формулы (1) и (2) аналогичны формулам, описывающим потенциальную и кинетическую энергию груза, колблющегося наружные жесткость $k$:

$$\Pi_x = \frac{1}{2} kx^2, \quad K_x = \frac{1}{2} M(x')^2,$$

где $x$ — отклонение от положения равновесия. Получая этот анализий, можно записать:

$$\Pi_{\varphi} = \frac{mga^2}{l} \varphi^2 = \frac{mga^2}{l} \left( \frac{x}{b} \right)^2 = \frac{1}{2} kx^2,$$

где $x = b\varphi$ — отклонение шарика от положения равновесия, а

$$k = \frac{2mg}{l} \frac{a^2}{b^2};$$

соответствует,

$$K = mb^2(\varphi')^2 = m(x')^2 = \frac{1}{2} M(x')^2,$$

где

$$M = 2m.$$

Таким образом, гантель будет совершать круглые колбания с периодом

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{2mlb^2}{2mga^2}} = 2\pi \frac{b}{a} \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

М. М. Цыпин

Список читателей, приславших правильные решения

Вольшинство читателей, приславших решения задачи M1016—M1030, Ф1028—Ф1042, справились с задачи M1021, M1026, M1027, Ф1028, Ф1031, Ф1034, Ф1037—Ф1039, Ф1041, Ф1042.

Ниже мы публикуем фамилии тех, кто присладывает решения остальных задачи (цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задачи).

Математика
А. Абдрахманов (Алма-Ата) 16; А. Аветисан (с. Геганист АрмССР) 22; С. Агневич (Баранович) 23; А. Акимов (Евпатория) 22, 25; Д. Алиевский (Свердловск) 16; В. Андрюшенко (Винница) 22, 23, 25; К. Аношкин (Саратов) 24, 25; И. Аржанцев (Киев) 22; Ф. Арзыклов (с. Бальчики Андджанской обл.) 20; Д. Ароцер (Киев) 18; А. Афонин (Брест) 22, 23; А. Бабкин (Киев) 25, 28, 29; З. Бандик (Белград, СФРЮ) 17—19, 22; С. Барон (Цelinоград) 22, 23; Ю. Безачева (Краснойрск) 22, 24; А. Бейянку (СPP) 17—19, 28; И. Белозеров (Серпухов) 16, 18, 20, 25; В. Бергман (Баку) 22; Р. Бочев (Враца, НРБ) 22—25, 28, 29; Ф. Бразун (п. Гирей Краснодарского края) 22; В. Буайко (Киев) 22; Е. Бураковский (Киев) 23; К. Вербицикий (Москва) 22, 24, 28—30; А. Винчиук (Винница) 18, 20, 22—25; А. Винцок (Киев) 16, 28; А. Витяев (Новосибирск) 16, 18—20, 22, 28; В. Волододский (Омск) 16—20, 22—24, 28; В. Волчков (Шахтерск) 22—24; Д. Вольпер (Омск) 28, 29; Я. Воробец (Львов) 22, 23; М. Выборов (Киев) 28; С. Герасимов (Харьков) 28; М. Гольдшейд (Челябинск) 16—20, 29; А. Гороховский (Киев) 22, 25, 28, 29; Н. Григорьева (Цelinоград) 22; Р. Грипив (Львов) 18, 22, 23, 28, 29; З. Джабева (с. Махмудавар АзССР) 23; Т. Дидук (Цelinоград) 22, 23; Н. Дохолян (Тбилиси) 23; С. Дронов (Пушино) 25, 29; А. Дубинский (Москва) 16; Г. Дятлов (Новосибирск) 28; П. Евсельев (Майкоп) 22; В. Завражний (Фрунзе) 22; А. Залеский (Харьков) 28; С. Зелик (Краматорск) 22; Е. Зельцер (Киев) 16, 18, 23; И. Зефиров (Химки Московской обл.) 16, 18, 22, 23, 25; В. Иванов (Тбилиси) 22; С. Измалков (Харьков) 22—25, 28; И. Исрафилов (Баку) 23; А. Калинин (Саратов) 22; В. Калошин

32

1. Как обьяснить явление, выражаемое словами «дым тает в воздухе»?
2. Почему сливки на молоке отстаивают быстрее в холодном помещении?
3. Отчего бруновоское движение не наблюдается для чайнок в стакане?
4. Почему в горячее воде сахар расторяется скорее, чем в холодной?
5. Скорости теплового движения многох молекл при комнатной температуре близки к скорости пули. Почему же запаху духов требуется заметное время, чтобы распространиться по комнате?
6. Почему шар, выточенный из сырого дерева и покрытый лаком, сохраняется целым, в то время как точно такой же шар, не покрытый лаком, растрескивается?
   …е 1845 года в Королевское общество (Академия наук Англли) была предсталаена работа покео Ватестона, в которой пока

…теллога состоит во внутреннем динаминии…
M. В. Ломоносов.
«Размышления о приписне теплоты и холода»
Диалектие молекул ускорizaет от нашего непосредственно воскрытия, как печкая звьь на поверхности моря для наблюдая, нахождение на очень далеком расстоянии.
Жан Перрен.
«Атомы»

Вопросы и задачи

7. На высоте несколько сотен километров над Землей молекулы атмосферы обладают скоростями, которые соответствуют темппературы в несколько тышей градисов. Почему же не плавятся летающие на таких высокотах искустiveness спутники Земли?
8. Почему у Луньи нет атмосферы?
9. Почему разбитый стакан нельзя собрать, соедининив осокки, хотя между молекулами существует силы сцепления?
10. Отчего трудно отвинить гайку, должно время нахождения в тушо завичном состоянии, не смотря на то, что болт и гайка сделаны из нержавеющего металла?
11. За счет какой энергии возможны капиллярные явления?
12. Подумайте, как изменилось бы давление в соответствии с которая показана.

33

КАК ДВИЖУТСЯ
МОЛЕКУЛЫ

А так ли хорошего знаете вы,

КАК ДВИЖУТСЯ
МОЛЕКУЛЫ

Свое начало молекулярно-кинитическая теория вещества, изучаемая в школе, берет в глубокой древности — с атомистической гипотезы. Пройдя долги и терпистый путь, эта теория прибрела закономенный вид в конце XIX — начал XX века благодария трудам выдалших учены — P. Клаузуса, Дж. Максвелла, Л. Большина, А. Эйштейна, Я. И. Френкеля. Микрокоппичей, или молекулярный, подход к исследованию тепловых явлений оказался чрезвычайно плодотворным и позволяет нарисовать внешательную по своим масштабам картину пройдену приессов, произходящих в природу и в создании целевой модели. В этом выпуске «Калейдоскопа» предлагаем вам разобрать с неокторыми вопросами на основе представлений молекулярно-кинитической теории.

…е конце пройдено столепия Люденчу Больцману прихождения столь часто отражать постоянные наполки со стороны множих протиникое молекулярно-кинитической теории, что одну из своих статей он заключил, перефазируя Галилея, словами «И все таки они делкутся», имена в виду, конечно, молекуры.

34

УГАДАЙ ЧИСЛО

Вы играли в игру «Угадай число»? Даже не слышали? Это очень простая игра. Скажем, я загадываю натуральное число, меняше 100, записью его на бумаге (что бы не было возможности сжульничать), а вы пытаете его отгадать, задавая вопросы, на которые можно ответать лишь «да» или «нет». Потом вы загадываете число, а я пытаюсь его отгадать. Кто угадает за меняше число вопросов — тот выиграл.

За сколько вопросов вы беретесь угадать мое число? Не знаете? Говорите, что, может быть, сразу, а может быть, попадбится это вопросов? Я бересь угадать ваше число всего за семь вопросов. Как? А вот, например, как. Пусть вы загадали число. Я спрашиваю: «Оно меняше, чем 64?» — «Да». — «Меньше, чем 32?» — «Да». — «Меньше, чем 16?». — «Да». — «Меньше, чем 8?» — «Нет». — «Меньше, чем 12?» — «Нет». — «Меньше, чем 14?» — «Да». — «Меньше, чем 13?» — «Нет». — «Задумано число 13».

Понятно? Я делю набор возможных чисел пополам, потому оставшуюся половину снова пополам и т. д., пока в оставшейся части не оказывается всего одно число. Почему я начал с числа 64, а не с числа 50? Об этом чуть позже; можно было начинать и с числа 50. Нетрудно проверить, что для чисел, меняших 64, достаточно уже шести вопросов, а за семь вопросов можно угадать любое число, не превосходяще 128.

34

35

веты, я заглядываю в такую вот шпаргалку:

| синий | красный | черный | зеленьй |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 4 | 8 |
| 3 | 0 | 16 | 32 |

Если вы ответили на вопросы скажем так: «Синий, зеленьй, красный», я складываю три числа 0, 12, 16, стоящих на пересечении столбцов и строк, соответствующих названным цветам в соответствующих таблицах. Проверьте, что число 28 действительное имеет названные цвета в таблицах (и только оно).

А теперь откроем секрет этого фокуса. С раннего детства мы привели записьать числа в десятичной системе чиселения. Например, последовательность цифр 1987 мы расшифровывали как $1 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$. Счет ведется десятими, десять единиц одного разряда является единицей следующего разряда. Если же основание системы чиселения взят число 4, а не 10, попадбится всего 4 цифры: 0, 1, 2 и 3. Хотя почему именно цифры? Можно, например, использовать цветные кружочки: © — для нуля, ¶ — для 1, ¶ — для 2 и 3 — для 3. Число 28 записывается в четыricular системе чиселения как $1 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0 = 130_4$ (четверка сизу числа 130 означает, что запислена в четыricular системе чиселения). А в нашей цветовой записи оно записется, как $\textcircled{3}$$\textcircled{3}$$\textcircled{3}$.

Если прочесть эту запись «справа-налево», получится «синий — зеленьй — красный». Это сочетание цветов мы и называли, когда, задумав число 28, сообщали его цвета в таблицах A, B, B!

Взглянем еще раз на наши таблицы. В таблице A цвета чисел переедuceкиередуют через четырьмя таким способом определяют вторую цифру в четыricular записи числа, а в таблице B — третью цифру. То же самое говорит и «ципаргалка», с помощью которого мы определили число по его цветам в таблицы. (Мы поместили числа в таблицы A, B, B размером $7 \times 9$ для того, чтобы вас неного запутать: если использовать

36

таблицы $A_1, B_1, B_1$ размером $8 \times 8$, системе можно обнаружить гораддо быстрее.) Таблицы, составленные подбным образом, но использующие 3 цвета, будут соответствовать представлению числа в троичной системе числения; использующие 2 цвета — в девоичной. Как запишется в двойной системе числения число 100? Это
$$64 + 32 + 4 = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0,$$
т. е. $1100100_2$. Мы видим, что числа, менящиеся ста (далее менящиеся 128), записьвают в двойной системе числения не более, чем семью знаками. Вспомните, что я брался угадать число менящееся 100, за семь вопросов!
Для числа 13 получилась такая последовательность ответов: да—да—да—нет—нет—нет. Запишем число 13 в двойной системе числения и добавим переедини три нуля: 0001101$_2$. Какая связь между последовательностью ответов «да—нет» и полученными цифрами? Ну, конечно же, совершенно прямая: ответу «да» соответствует цифра 0, а ответу «нет» — цифра 1.

Таким образом, вместо моих вопросов «большие—менные» можно было бы предъявить семь таблиц с синими и красными цифрами. Не знаю, как вам, а мне метод деления пополам правился больше. Между прочим, он довольно часто используется на практике. Скажем, мне нужно найти в заданке задачу № 1372. Я раскрываю его посредние и смотрю какой-нибудь номер задачи на этой странице. Если он больше, чем 1372, я делю пополам первого поливину задания и смотрю на номера там; а если меньше, то продельываю эту процедуру со второй половиной. Количество страниц, которые могут содержать эту задачу, каждой раз вдвое уменышается, и двойное быстро находится то, что искал. Этот метод носит название «дихотомия» от греческого «диха» — на две части — и «тома» — сечение.

Приципи дихотомии заложен и в оптимийской системе выявления чемпиона: сначала все участки разбиаются на пары, и в каждой паре определяется сильнейший, дальнейшее побеждание — половина участков — исключаются из совершенненной, а победители вновь разбияются на пары и т. д. Пока не остановится всего одна пара, во встречке которой и определяется чемпион. Эта система совершенна, если количество участков является степенью числа 2; тогда в каждой крите совершенненной заняты все участки, а если в некоторых крите число участков нечетно? Тогда одна из команд переходит в следующий крит без совершеннения с другими критем. Любопытно, что если участок на единицу больше степени двойки, то описанная ситuation будет возникать в каждой крите совершенненной (например, при 9 или 17 участках), и нужно следить, чтобы одна и та же команда не оказалась «лишней» в каждой крите и таким образом не вышла бы в финал, не сыграв ни одной игры.

(Окончание см. на с. 50)

37

Кто с кем танцует?

На конкурсе балного танца города Долгопрудного три первыые места заняли пары из танцевального коллектива “Терпихора” МФТИ. Корреспондент институтской многоотражки “За наук” т. Петров захотел узнать, кто с кем танцует, и получил такие ответы:

Я-Светана. Каждая девушка моложе своего партнера на Згода

А я-Игорь. Нам всем вместе 115 лет

Меня зовут Юля. Мне вместе с Игорем зб лет.

Я-Антон. Мне вместе с Юлей 40 лет.

Но всё-то, кто с кем танцет?

Я-Маким. Самая молодая среди нас-Ира.

Ира-это я.

Я обращалось ко всем, кто обучается математике, элементарной или высшей, и заинтересован в области его, и говорю: «Конечно, будем учиться доказывать, но будем также учиться доказывать»:

Д. Пойа

Matematике должно учить в школе ещё с тою целлюлю, чтобы познания, здесь приобретемые, были достаются для общиховенных потребностей в жизни.

Н. И. Лобачевский

37

38

Физика 8, 9, 10

Публикуемые ниже заметки «Легко ли описывать движение?» и «Вокруг одной задачи» предзначаены восмиллассикам, заметка «Давление газа в сосуде» — девятиклассикам, «Гармонические колебания и равновесие» — девятиклассикам.

Легко ли описывать движение?

Многие понятия cinematики — раздела механики, посвященного изучению движения тел без выяснения их причины,— каждуся нам очень простыми, даже элементарными. Однако потребовались века, чтобы наука выработала эффективные методы описания движения. Остановимся несколько подробнее на истории формирования представления о двух cinematических величины — о скорости и ускорении.

Движение любого тела связано с изменением его положения в пространстве с течение времени. Эта привчная для нас мысль не только уж однозначана. Дейстивтельно, что, например, следует принять за независимую переменную при описании движения — путь или время? Учены начала XVII века не были единущны в ответе на этот вопрос. И если это различие во взглядах не приводило к серbezным расхожедием при исследовании равномерного прямолинейного движения, то в случае неравномерного движения оно оказывалось весысственным. Попробуйте, скажем, установить закон движения, предположив пропорциональность скорости пройденному пути (v～s), и вы убедитесь, что это гораздо более трудная задача, чем описание равноускоренного движения, при котором скорость пропорциональна времени (v～t).

Заслужга систематического рассмотрения задач cinematики прямолинейного равноускоренного движения принадлежит Г. Галилею (1564—1642). Экспериментально изучив свободное padение тел и их движения по наклонной плоскости с малым тренем, Галилей сформулировал закон равноускоренного движения, который звучал так: «Если тело, выйда из состояния покоя, падает равномерно-ускоренно, то расстояния, проходимые им за определенные промежутки времени, относится между собой как квадраты времени».

39

Мыслъ Галилея о том, что свободное падение присходит равноускорено, воспринмалась современниками с трудом. Один из героев книги Галилея «Веседы и математические доказательства» приводит противнее такое, представляющее ему убедительным, возражение: «Если тяжело падащее тело выходит из состояния покоя таким образом, что скорость его уvelичается пропорционально времени, истекему от начала движения, то отскода следует, что тело должно двигаться с любой степенью скорости или любой большей степенью медленности, выходя из состояния покоя… — является, которое весма трудно себе представить, когда наши чувства показывают, что тяжело падащее тело сразу прибретает большую скорость». Каждый просторечие «показанный цвет» и теории Галилея считает с помощью острумного опыта (подумайте — какого).

Галилею же принадлежит и идея о представлении сложного движения как результата сложения относительной простых движения. «Пробным камнем» для ее проверки послужила задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту, которая (будучи важной в военноом отношении) издана прилекала внимание ученых. Еще Леонардо да Винчи (1452—1519) в целом правильно представлял вид траектории такого тела (рис. 1).

Оdnako и во времяна Галилея в трактах по военноому делу можно было встретить ошибочное описание траектории снаряда как совокупности двух отрезков прямых и части okружности (рис. 2). Доказательство Галилеем теоремы о том, что «при сложном движении, слабогощемся из равномерного горизонтального и естественного-ускоренного движения, бросаемое тело описывает полупарабулу», представляло круглое научное достижение.

Следует отметить, что Галилей в своих рассуденияхникогда не пользовался понятием «скорость» и соответствующим выражением $v=s/t$. Все его теоремы посвящены анализу отношений однородных (т. е. имеющих одинаковую размерность) величины. (Вспомним, например, формулировку утверждения, касающейся свободного падения тела.) Такой способ изложения определяется традицией, береущей начало еще в эпохе Античности. Интересно, что и И. Ньюотон (1643—1727) в своих знаменитых «Началах» не пользовался выражением $v=s/t$. Первым, кто осмелился ввести скорость таким образом, был Л. Эйлер (1707—1783). В сочинении «Теория движения твердых тел» (1765 г.) он дал ей такое определение: «При равномерном движении отношение пути к промежуткам времени, в течение которых они проходят».

Рис. 1. Семейство баллстических траекторий, каким его представляют Леонардо да Винчи (рисунок из его записьх книжек). Общий вид этих траекторий изображен вверно, однako зависит dalhности полета от угла бросания показана неправильно.

Рис. 2. Схема из военного траектора XVII века. Вид изображенной здесь траектории снаряда горизонтального и естественного-ускоренного движения, бросаемое тело описывает полупарабулу, представляло круглое научное достижение.

40

дятся, называется быстроотой или скоростью.〈…〉 Итак, если при равномерном движении за время, равное t, проходится путь, равный s, то скорость равна s/t. Если скорость обозначит буквой v, то v=s/t». Как видите, даже обозначения переменных, используемые Эйлером, сохранили до наших дней.

Но, может быть, мы преувеличаем значимость шага, сделанного Эйлером? Скорее всего, нет. Насколько необъичным для XVIII века был его подход к определению физической величины, свидетельствуют посяснения, которые Эйлер счител необходимым сделать далее: «Здесь может, пожалуй, возникнуть сомнение по поводу того, каким образом можно делать путь на время, так как ведь это — величины разнородные, и, следовательно, невозможно указыть, сколько раз промежуток времени, например, в 10 минут, содержится в пути длиной, например, в 10 футов.〈…〉 Если для измерения путей мы изберем определению длину в качестве единиц и точно так же для времени изберем в качестве единиц определений промежуток времени и если мы будем постоянно пользоваться этой мерой, то все пути и времени выразятся в отвлеченных числах, и тогда для деления первых на вторые не будет никаких прействий». Вот какие процессы вещи приходилось развязывать вfundamentальных соинениях по механике в середине XVIII века.

Но и Эйлер нельзя считать в полной мере автором современного определения скорости — он не пользовался понятным скорости как вектора, а отдельно определил модель скорости и ее направление. Представление о скорости как о направлении отрезке вошло в физку примерное слово лет после публикации соинения Эйлера, когда в математике были разработаны основы векторного исчисления.

После рассскада о длиной и сложной истории понятия скорости уже не только удивительным представляется тот факт, что понятие ускорения вошло в научу еще позже. Впервые физическая величины «ускорение» в связи лекциях по механике французский математик и инженер Ж. Понселе (1788—1867) лишь в 1841 году. Это не значит, однако, что в сочинениях авторов XVIII и даже XVII веков не встречается термин «ускорение». Им пользовались, но подразумены не физическую величины, а процесс изменения скорости. (Отметим попутно, что в физике можно найти и другие примеры такого смешанного словопотребления — вспомним хотя бы термины «переменение», «давление», «сопротивление».) Правда, Эйлер уже рассматривал вторую произвольную пути по времени, имеющий с современной точки зрения смысл касательного ускорения, но он интерпретировал ее по-другому. Эйлер писал, что эта произвольная «выражает собой тот отрезок пути, на который телце перемещается сверх того расстояния, которое проедено им в силу бышшего у него равные движения».

Широкое использование ускорения в работе по механике началось лишь после выхода в свет (1851 г.) сочинения «Элементы механики» Француза А. Резаля, ученика Понселе.

Итак, история основных понятий kinematики показывает, что выражка начного языка для описания движения потребовала предоления многих трудностей прициплального характеристика. И то, что мы теперь с легкостью пользоваем этим языком, лишьий раз поддерживает заслужи ученых прошло.

С.Р. Филонович

Вокруг одной задачи

На одном из занятый кругжка по решению задачи наш учитель предложил такую задачу:

За пятью секунду равнозамедленно движения тела проходит 5 см и останавливается. Какой путь тела прошло за третью секунду?

Никто из нас не смог к ней подступиться. Тогда учитель сказал: «Серднаяшнее занятие кругжка мы посвятим решению этой задачи, хотя она решается… устно. Для этого лишь нужно знать… Впрочем, решите сначала другую задачу». Вот ее условия:

За последние полесекунды свободно nadающее тело проходит путь, равный 30 м. Найдите скорость тела в момент приземления.

41

Эту задачу мы решили легко:

$$s = v_0 t + \frac{gt^2}{2}, \quad v_t = v_0 + gt,$$

откуда

$$v_t = \frac{s + gt^2}{t} = \frac{30 \text{ m} + (10 \text{ m/c}^2)(0.5 \text{ c})^2}{0.5 \text{ c}} = 62.5 \text{ m/c},$$

но связи с предыдущей задачей не обнаружили. Однако как только учитель записал конечную формулу иначе:

$$s = v_t t - \frac{gt^2}{2},$$

мы сразу же увидели обратимость движения. (Это как в кино, когда снять эпизод прокручивают в обратном порядке.)

Теперь нашу задачу можно формулировать так:

За первую секунду равноскореенно движения без начальной скорости тело проходит 5 см. Найдите путь за гретью секунду.

Мы быстро нашли несколько путей решения. Учитель же остановился на одном из них, в котором было получено выражение для пути,ройденного за любую секунду:

$$s_n = (2n - 1) \frac{a\tau^2}{2},$$

где $\tau = 1$ с, $n$ — номер секунды. Обратив наше внимание на множество (2n-1) — рекуррентную формулу нечетного числа, учитель записал:

$$s_1: s_2: \dots: s_n = 1: 3: \dots:(2n-1).$$

И тогда всем стало ясно, что нашу задачу действительно можно было решить устно:

$$s_3 = 5s_1 = 25 \text{ см.}$$

В. А. Бодик

Давление газа в сосуде

Зависит ли давление газа на стенку сосуда от материалов стенки и ее температуры? Попробуем ответить на этот вопрос.

При вывода основного уравнения молекулярно-kinетическая теории идеального газа в учебнике «Физика 9» (§7) предполагается, что стенка абсолотно гладкая и стокновения молекул со стенкой пронсходят по закону абсолотно упругого удара. Другими словами, kinетическая энергия молекул при ударе не меняется, и угол падения молекул равен углу отражения. Является ли это предположение оправданным и необходимым?

Коротко можно сказать так: предположение оправдано, но не необходимо.

На первый взгляд кажется, что считать стенку абсолотно гладкой ни в коем случае нельзя — стенка сама состоит из молекул и, значит, гладкой быть не может. Из-за этого угол падения не может при любом соударении равнять углу отражения. Кроме того, молекули стенки совершаютxaотическая колбанная околоположенный равновесия (участуют в беспорядочном телловом движении). Поэтому при стокновении с какой-либо молекулой стенки молекул газа может передать часть энергии стенки или, наоборот, увеличит свою kinетическую энергию за счет стенки.

Тем не менее предположение об абсолотно упругом характере соударения молекул газа со стенкой оправдано. Дело в том, что при вычислении давления в конечном случае важны средние значения соответствующих величины. При условии теллового равновесия между газом и стенкой сосуда кинетическая энергия молекул газа в среднем остается неизменной, т. е. соударения со стенкой не меняют среднюю энергию молекул газа. Если бы было не так, то телловое равновесие самопроизвольно нарушалось бы. А это невозможно согласно второму термодинамики. Так же может быть применительно отражения молекул в каком-либо оправданным направлении — иначе сосуд с газом начал бы двигаться, что противоречит закону сохранения импульса. Значит, среднее число молекул, падающих на стенку под некоторым углом, равно среднему числу молекул, отлетающих от стенки под таким же углом. Предположение о зеркальном отражении от стенки каждой отдельной молекулы соответствует этому условияю.

Таким образом, считая соударения молекул газа со стенкой упругими, мы получаем для среднего давления такой же результат, как и без этого предположения. Значит, давление газа не зависит от качества обработки стенки (ее гладкости). Однако пред-

42

положение об абсолотно упругом характере удаля сільно упрощает вычисление давления газа, и поэтому оно оправдано.

А зависит ли давление газа на стенку от ее температуры? На первый взгляд — должно зависит. Если, например, нет теплового равновесия, то молекуры от холодной стены должны отскакивать с меньшей энергией, чем от горячей.

Однако, даже если одну стенку поддерживает холодной с помощью холодильной установки, то давление на нее все равно не может быть меньше, чем давление на противоположную горячею стенку. Ведь тогда сосуд наcalы бы дивятся ускоренно без внешних сил, а это противоречит законом механики: освободив закрепленный сосуд со стенками различной температуры, мы не вызовем его смещения. Дело здесь в том, что при данном неравновесном состоянии газа в сосуд концентрация молекул у холодной стены компенсируется увеличением концентрации молекул и наборот. В результате давление на холодную и горячую стены оказывается одним и тем же.

Рассмотрим еще один вариант опыта. Охладим очень быстро одну из стенок. В первый момент давление на нее уменьшится, и сосуд немного сдинится с места; затем давления выравниются, и сосуд остановится*). Но при этом движении центр масс системы остается на месте из-за того, что плотность газа у холодной стеныстанет чуть больше, чем у горячей.

Следует отметить, что на самом деле давление не остается строго фиксированной величины. Оно испытывает флуктуации, и поэтому сосуд слегка «дрожит» на месте. Но амплитуда дрожания сосуда крайне мала.

Итак, окончательно мы пришли к выводу, что давление газа на стенки в сосуд не зависит ни от качества обработки стенок, ни от их температуры.

Г. Я. Макшцев

*) Остановка сосуда произойдет из-за того, что молекуры газа при удале передают больший импульс той стенке, которая движется им навстречу.

Гармонические колебания и равновесие

Что мы изучаем, рассматривая колебания грузика, подвешенного нанитке или наружке? Два конкретных движения или нечто большее?

Оказывается, за «элементарными» движениями грузика стоит огромный, понятие неисчерпаемый мир колебаний. В природа колебляется все. Колебются электроны внутри.atoma,.atomy внутри молекул, молекулы внутри кристалла. Колебются дома, mostly и любые другие механические конструкции. Колебется количество шук и карасей в водоемах, волков и зайцев в лесах. И так можно было бы продолжать до бесконечности.

Кажде колебание характеризуется своей частотой $\omega$ (или периодом $T=2\pi/\omega$), и частота эта является важнейшей характеристикой любой колеблющей системы. Так, например, частоты колебаний atomов в кристаллах определяют физические свойства кристаллов: их тепломкость, теплопроводность, электрическое сопротивление и т. д. Частоты колебаний механических конструкций связаны с их прочноостью и устойчивостью по отношению ко всякого рода механических воздействиям. Некоторые электрические системы (генераторы, антенны и т. п.), в существии, специализно создаются для того, чтобы получить колебания определенных, нужных нам частот. Понятно поэтому, как важно уметить частоты колебаний, возникка ошибок в различных системах. Но прежде чем рассказыть, как это делается, обсудим, почему вообще колебания так распространены в природе.

Мы привыклили к тому, что мир воскруг нас довольно устойчив. Дома и месты не разрушаются, корабли не переворачиваются, волки и зайцы устойчиво сосуществуют друг с другом. Каждый полне очевидным, что тело, лежащое на дне ямы, самопроизвольно нижогда не «выползет» из нее, в то время как лежащое на вершине горки тело вполне может взять да и скатиться вниз. Так вот, в определенном смысле и дом, и мест, и карабль на воде чрезвычайно похожи

43

на лежащее на две ямы тело. Похожи тем, что все они находятся в положении устойчивого равновесия.

Оказывается, устойчивость равновесия и колбания тесно связаны друг с другом. Всякий раз когда в физике заходит речь о поведении или свойств системы вызли ее положения равновесия, возникает задача о колбаниях, или, как ее часто называют, задача об осцилляторе (от латинского осcilло — качаюсь). К осциллятору свойства большое число проблем современной физической науки.

Устойчивое равновесие характеризуется тем, что потенциальная энергия системы в этом положении минимальная. Именно благодаря этому и возникают колбания. Дейстивительно, отклонив систему из положения равновесия, мы тем самим увеличили ее потенциальную энергию. В системе при этом возникают силы, стремящиеся вернуть ее обратно (уменьшить потенциальную энергию). Если представить такую систему самой себе, то она начинает «разгонять», «скатывая» к своему положению равновесия (как шарик в ямке). Избиточная потенциальная энергия переходит в энергию, связанную с движением, то есть в кинетической. При прохождения положения равновесия «скорость» системы максимальная (вся потенциальная энергия переша в кинетической), и система проскаивает это положение. В дальнейшем «скорость» начинает уменьшаться, кинетическая энергия вновь переходит в потенциальную и т. д. Возникают колбания.

Мы не случайно слова «разгонять» и «скорость» поставили в качестве. Дело в том, что величина $v = \Delta x/\Delta t$ (Δx — «смешение» тела из положения равновесия), которая играет скорости, иногда совпадает с настоящей скоростью, а иногда нет (чуть ниже мы поясим это на примере). Но независимо от этого кинетика чесная энергия всегда пропорциональна квадрату этой величины, т. е.

$$W_k \sim \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2.$$

Так как для движущегося тела $W_k = mv^2/2$, то и в более общем случае кинетическая энергия принято записать в виде

$$W_k = \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2.$$

Величина $m$ здесь часто совпадает с массой, но в принципе может и отличаться от нее.

Потенциальная энергия произволной системы вызли положения устойчивого равновесия может быть записана в виде

$$W_p = \frac{k}{2} \Delta x^2.$$

Множитель 1/2 здесь введен просто для удобства (для симметрии с выражением $W_k = mv^2/2$), коэффициент $k$ в каждом конкретном случае свой, а величина $\Delta x$, как уже говорилось,— малое «смешение» тела из положения равновесия.

При описании любого физического явления энергия играет, пожалуй, самуюfundamentalную роль. Хотя бы потому, что закон ее сохранения сильно ограничивает возможность типы движения. Чрезвычайно важна она и в нашем случае. Сделаем неокоторое общее утверждение:

Если полная энергия системы, равная сумме потенциальной и кинетической энергии, в произвольный момент времени записывается в виде

$$W = \frac{k \Delta x^2}{2} + \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2,$$

то это означает, во-первых, что система колбляется и, во-вторых, что квадрат частоты колбаний равен отношению коэффициентов, определяющих потенциальную и кинетическую энергии, т. е. $\omega^2 = k/m$.

Вот мы и формулировали основное правило нахождения частот колба-

44

ний. Проиллюстрируем сказанное на примерах.

Пример первый (совсем простой) — тelo на пружинке (рис. 1). Роль потенциальной энергии в этом случае играет энергия пружей деформации (k — жесткость пружины). Из общего утверждения получаем

$$W = \frac{k}{2} \Delta x^2 + \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Lambda t} \right)^2, \quad \omega^2 = \frac{k}{m},$$

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Аналогично находятся частоты любых пружин колебаний: молекул в кристалле, Останкинской телебашни или места через залив в Сан-Франциско и т. п.

Пример второй (чуть сложнее) — математический матрик (рис. 2). При записи потенциальной энергии матриальной точки в поле тяготения надо учеть, что в выражении $W_p = mgh$ величины $h = \Delta x^2/2l$ (это следует из подобия треугольников ABD и ABC на рисунке 2). Тогда из общего утверждения следует:

$$W = \frac{mg}{2l} \Delta x^2 + \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Lambda t} \right)^2, \quad \omega^2 = \frac{g}{l},$$

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Аналогично находятся частоты колебаний шарика в ямке, корабля на воде и т. д.

Пример третий (электрический) — колебательный контур (рис. 3). В равновесии ни заряда на конденсаторе (C), ни тока через катушки (L) нет. При отклонении от равновесия на конденсаторе появляется заряд $\Delta Q$, а через катушки теет tok $I = \Delta Q/\Delta t$. Роль потенциальной энергии играет энергия заряженного конденсатора: $W_p = (\Delta Q)^2/(2C)$ (ведь именно она связана с взаимным расположением зарядов). Роль кинетической энергии берет на себя энергия, запасенная в катушки: $W_k = LI^2/2 = (L/2)(\Delta Q/\Delta t)^2$ (она связана с током, т. е. с движением зарядов; $I = \Delta Q/\Delta t$ играет роль скорости). Итак,

$$W = \frac{1}{2C} (\Delta Q)^2 + \frac{L}{2} \left( \frac{\Delta Q}{\Lambda t} \right)^2,$$

$$\omega^2 = \frac{1}{LC},$$

Определение частот колебаний по виду энергии оказывается удобным и влюбом другом случае.

В заключение хочется сказать, что колебания не есть один из типов движения в ряду многохругих, а представляют собой фундаментальное явление, элемент того тинистенного «алфавита», с помощью которого природа создает все, что нас окружает.

E. E. Городецкий

Список читателей, прислуших правильные решения
(Начало см. на с. 29)

К. Николаев (п. Черноголовка Московской области) 33—36; A. Новик (Мозырь) 33; Д. Новотков (Алма-Ата) 29, 33, 40; A. Носенко (Коммунарск) 33, 35; C. Ночевый (Запорожье) 33, 35; E. Однорозова (Виница) 29; K. Ольхин (Краснодар) 35; O. Паруш (Одинцово) 36, 40; Д. Пастухов (Москва) 29, 40; J. Петъко (Минск) 33, 35, 40; A. Платонов (п. Черноголовка Московской области) 35; A. Подтележников (Харьков) 36; O. Покрамович (д. Сокки Брестской области) 33; П. Полыкин (Тула) 33, 35; A. Португалов (Киев) 40; O. Радчин (Нарофоминск) 33, 35; A. Раев (Бор-Yндур, МНР) 33, 35; H. Рахманов (Ленкорань) 33, 35; T. Рашник (Киев) 33, 35; M. Рзаев (Баку) 36; Д. Румынин (Новосибирск) 33, 40; J. Руна (Киев) 40; A. Рыбак (Новосибирск) 40; P. Садайак (с. Матусов Черногославой области) 33—36; B. Сасенко (Улан-Удэ) 33; C. Сазонов (Климовск) 33, 35; Ю. Самохвалов (Омск) 35; B. Сафонов (Челябинск) 32; A. Седлов (Целиноград) 40; E. Семенога (п. Ирша Красногрского кр.) 40; A. Сибирков (Томск) 35, 36; H. Сидоров (Киев) 33, 35, 36; C. Сильвестров (Киев) 33, 35, 36; D. Симонян (Рига) 35; B. Синцкий (Ленинград) 36; B. Скворцов (Черкассы) 29; B. Смирнов (Тихвин) 33; M. Соколов (Одинцово) 35; A. Ставицкий (Баку) 29, 32, 33, 35; П. Старков (п. Черноголовка Московской области) 40; A. Стародубов (Алма-Ата) 29; B. Старцев (Алма-Ата) 32; A. Стенура (Ивано-Франковск) 29, 32, 33, 35; A. Субботин (Алма-Ата) 34; B. Терещенко (Киев) 33; Д. Тильза (Алма-Ата) 40; O. Толмаче (Киев) 40; A. Толстых (Днепроперский) 29; Ф. Тричук (Москва) 33, 35; B. Тур (Киев) 33, 35; B. Тягнирдно (Минск) 32; Г. Фейцин (Тула) 33, 35; B. Фирсов (Москва) 33, 40; H. Фатayв (Белорек) 33; Ф. Фот (Томск) 36; П. Фурсиков (Куйбышев) 33, 35; Ю. Харченко (Москва) 40; П. Хиль (п. Овидиополь Одеской области) 40; Д. Хосид (Алма-Ата) 40; C. Храпов (Коломна) 29; O. Цодиков (Артемовск) 33; И. Чайка (Кузнецовск) 33; O. Чанов (Врест) 29; M. Чекушина (Алма-Ата) 35; E. Чернышев (Ташкент) 35; И. Шаталов (Долгопрудный) 35; A. Шзабутдинов (Димитровград) 35; C. Штовба (Виница) 29, 33, 35; У. Юсупов (Шават) 40; И. Ясиков (Тольятти) 35, 40.

45

Соображения непрерывности

С. Л. ТАВАЧНИКОВ

В большинстве задач из школьного учебника математики требуется решить уравнение, найти значение койй-либо величины, построить фигуру с заданным свойствами и т. д. Эта статья посвящена задачам другого сорта — в них требуется только доказать, что искомый корень, число, фигура и т. д. существует. Метод решения, который мы будем пользоваться, — это соображения непрерывности.

Задачи о плоских фигурах

Начнем с такой задачи. На плоскости расположена неокоторая фигура. Доказать

Рис. 1.

жите, что существует вертикальная прямая, делящая ее площадь пополам.

Возьем вертикальную прямую, расположенную слева от данной фигуры (рис. 1, а), и начнем перемещать ее направо. В некоторых моментах прямая коснется границы фигуры (рис. 1, б), затем будет скольнить по фигуре (рис. 1, в—д) и наконец окажется справа от фигуры (рис. 1, ж). Как меняется при таком движении площадь той части фигуры, которая лежит слева от прямой (синяя часть на рисунке 1)? Эта площадь непрерывно изменяется от нуля (рис. 1, а) до площади всей фигуры S (рис. 1, ж). Следовательно, в некоторых моментах эта площадь равна половине площади всей фигуры. В этот момент вертикальная прямая и делила площадь фигуры пополам.

46

Обсуждение это решение. Во-первых, оно не дает возможность построить нужную прямую, а только доказывает ее сущность в виде данной фигура совершенного произвольная.

Во-вторых, наше решение показывает, что существует прямая произвольного направления, делящая площадь фигуры пополам. Более того, из решения также следует, что прямая, проходящая в данном направлении и делящая площадь фигуры пополам, определяется единственным образом. Этот мы в дальнейшем будем пользоваться.

Взглянем на наше решение несколько с другой точки зрения. Выберем на плоскости горизонтальной числовую ось (рис. 2, а). Положение произвольной вертикальной прямой $l$ характеризуется числом $x$ (точкой, в которой прямая $l$ пересекает ось). Расстояним площадь части фигуры, лежащей слева от прямой $l$, как функцию $f(x)$. График этой непрерывной функции показан на рисунке 2, б). Найти прямую, делящую площадь фигуры пополам, это значит найти числовой оси такого точку $c$, для которой $f(c)=S/2$.

Рассмотрим на рисунке 2, б) горизонтальную прямую $y=S/2$. Левый конец графика функции $f(x)$ лежит ниже прямой, а его правый конец — выше, так как $f(a)=0<S/2$, а $f(b)=S>S/2$. Следовательно, существует точка пересечения горизонтальной прямой $y=S/2$ с графиком $f(x)$. В этой точке и выполнен равенство $f(c)=S/2$.

Свойство непрерывных функций, которые мы пользовались при решении ницы, называется теоремой о проемжуточном значении:

между двуяя соими значениями непрерывная функция принимает все промежуточные значения.

Волlee формально: если $f(x)$ — непрерывная функция на отрезке $[a; b]$ и $c$ — неокоторое число, заключенное между $f(a)$ и $f(b)$, то на отрезке $[a; b]$ найдется такая точка $x_0$, что $f(x_0)=c$.

Например, в нашей задаче функция $f(x)$ принимает значение $S/2$, заключенное между $f(a)=0$ и $f(b)=S$.

Теорема о промежуточном значении почти очевидна. И как многое очевидные утверждения, доказать ее несовсем просто. Для доказательства пришлось бы углубиться в определение непрерывной функции и действительного числа. Это уведомы нас слишком далеки от темы нашей статьи, поэтому путь теорема о промежуточном значении остается для нас просто очевидной. И еще одно: мы не доказывали, что площадь части функции, лежащей от прямой, непрерывно зависит от положения этой прямой (т. е., что $f(x)$ — непрерывная функция). Это тоже почти очевидно; и в других задачах этой статьи мы не будем отделно доказывать непрерывность возникающих при решении функции.

Задание

1. а) Дана выпуклая фигура*) и точка в еее. Доказите, что существует прямая, проходящая в данном направлении и делящая площадь фигуры пополам.
2. В что превращится предыдущая задача, если точка будет стремиться в бесконечность?
   b) Решите п. a в случае, когда точка лежит в нутри фигуры.
   г) Верно ли, что в п. a и в существует единственная прямая?
3. а) Даны две выпуклые фигуры (может быть, пересекающиеся). Доказите, что существует прямая, делящая площадь каждой из фигуры пополам.

6. В что превращится эта задача, если одна из фигура стянется в точку?

*) Выпуклая фигура вместе с любыми двумя точками содержит целиком и соединяющий их отрезок. Например, круг — выпуклая фигура, а окружность — нет.

Рис. 3.

47

Почему табурет квадратный?

Представьте себе, что пол на кухне у вас не очень robustый (так обычно и бывают, особенно если он покрыт линолеумом). Поэтому квадратный табурет стоит на полу только время ножками, а четверняя ножка висит в воздухе. Можно ли так передвинуть табурет, чтобы он стоял на полу всеми четырьмя ножками или может сличится, что, как его ни дивят, табурет все равно будет качаться? Мы, конечно, предполагаем, что, когда табурет твердо стоит на четырех ножках, его поверхности может быть несколько наклонена по отношению к полу.

(Прежде чем приступить к математическому решению этой задачи, проведите эксперимент у себя на кухне. После того как этот эксперимент дает положительный ответ на наш вопрос, перейдите к математическому решению задачи.)

Будем считать, что поверхность пола, хотя и не является плоской, все же отличается от плоской не слишком сильно. Это предположение позволяет использовать полы «патологической» формы — такой, например, как пол пешеры, покрытый сталгитами, т. е. известковыми сосульками, растущими вверх.

Итак, пусть у табурета ножки A, B и C стоит на полу, а четверняя ножка D висит в воздухе (рис. 4; a).

Не отрывая ножек A и C от пола, поверхем табурет относительно прямой AC таким образом, чтобы ножки B и D находились в воздухе на равном расстоянии от пола (рис. 4, б); расстояние до пола отсутствует вдоль направления ножек). В таком положении (две ножки табурета стоит на полу, а две другие нахождения от пола на равном расстоянии) табурет можно передвигать.

Представим себе, что пол сделан из плотина и ножки табурета могут свободно пройти сквозь него. Опустим табурет в направлении его ножек так, чтобы ножки B и D оказались на полу, а ножки A и C — ниже поверхности пола и на равном расстоянии от нее (рис. 4, с).

Начнем поворачивать табурет вокруг центра против часов стрелки из положения 4, б, не отрывая ножек A и C от пола и сохраняя равное расстояние от ножек B и D до пола. После повората на 90° ножки A и C займут положение ножек D и B на рисунке 4, б, а ножки B и D — соответственно положения ножек A и C на рисунке 4, б. Во время движения табурета расстояние от ножек B и D до пола меняется непрерывно. В начальной момент — рисунок 4, б — это расстояние положительно, так как ножки выше поверхности пола, а в конечный момент, изображенный на рисунке 4, б, — отрицательно, так как ножки ниже поверхности пола. Следовательно, был момент, когда это расстояние равной нулю. В этот момент табурет и стоял на всех четырех ножках.

Нашшее имеем не только теоретическую, но и практическую ценность — поворачивая табурет на 90° вокруг центра, можно найти устойчивое положение. Проверьте это экспериментально. И еще одно замечание. Нашшее основано на том, что ножки табурета расположены в вершинах квадрата. Если бы они были расположены в вершинах прямой

48

Угольника или другого четырехугольника, наше рассужение бы не прошло. Автору не извесно, верно ли утверждение задачи для четырехугольников, отличных от квадрата (во всяком случае, ясно, что четырехугольник должен быть вписанным в окружность). Если кто-нибудь из читателей смотет разобраться в этом вопросе, обязаьтено сообщите нам.

Задание

7. Учитель попросил доказать, что выпуклую фигуру можно разделить парой взаимно перпендикулярных прямых на четыре равновеллические части. Один ученик предложил такое решение. «В любом направлении можно проведти единственную прямую l, деляшую площадь фигуры пополам (рис. 5, a). Каждый из получшихся плоских фигуры можно разделить на две равновеллические части прямыми, перпендикулярными l (рис. 5, б). Начнем изменять направление прямой l, сохраняя вид чертежа. После изменения направления на 180° точки A и B помещаются местами. Значит, в некоторый момент они совпадали. В этот момент рисунок 5, б превращится в рисунок 5, с и мы получим нужную пару perpendicularных прямых, деляших площадь фигуры на четыре равновеллические части.

a) Найдите ошибку в этом решении.
b) Придумайте правильное решение задачи.

8. Докажите, что в центрально-симметрично выпуклую фигуру можно писать квадрат. (На самом деле квадрат можно писать в любую фигуру. Но для доказательства этой теоремы выдающегося советского математика Л. Г. Ширельмана (1905—1938) одних сообщений непрерывности уже не достаточно.)

9. Даны две выпуклые фигуры, одна из которых лежит внутри другой. Докажите, что:
   a) найдется две параллельные хорды внешней фигуры, касающиеся внутренней фигуры и имеющие одинаковую длину (рис. 6, a);
   b) найдется точка X внешней фигуры, из которой проведится две равные касательные хорды к внутренней фигуре (рис. 6, б).
   Указа и е. Среди хорд внешней фигуры, касающиеся внутренней, есть хорда наибольшей длины. Проведите из ее концов касательные к внутренней фигуре.

10. Даны три выпуклые фигуры, выходные друг в друга (рис. 7). Докажите, что найдется точка X внешней фигуры, из которой проведится касательные хорды к внутренней фигуре так, чтобы отрезки, заключенные в средней фигуре, были бы равны.

О корнях многочленов и хордах графиков функций

Вы, конечно, знаете, что квадратный треугольен может не иметь корней — таков, например, многочлен x²+x+1. А как обстоит дело с кубическими многочленами? Сейчас мы докажем, что

всякий кубический многочлен имеет хотя бы один корень

Рассмотрим сначала кубический многочлен со старшим коэффициентом 1:

f(x)=x³+bx²+cx+d

Запишем его в таком виде: f(x)=x³(1+b/x+c/x²+d/x³). Если величины |x| очень велика, то слагаемые b/x, c/x² и d/x³ становятся очень малыми. Поэтому число, стоящее в скобке, близко к 1 и, во всяком случае, положительное. Следовательно, знак f(x) при больших |x| определяется знаком числа x³. Тем самым f(x)<0 при больших по абсолотной величины отрицательных x и f(x)>0 при больших положительных x.

Кубический многочлен, как и всякий многочлен, — непрерывная функция. Поэтому можно применить теорему о промежутном значении. Из нее следует, что найдется такое x, что f(x)=0. Следовательно, кубический многочлен имеет корень.

Случай общого кубического многочлена f(x)=ax³+bx²+cx+d свойства к уже разобраному: достаточно разделить f(x) на a.

Наше доказательство хорошего или простирует слия и слабость сообщений непрерывности. Мы почтите «даром» получили неочевидное утверждение о существовании корня, однако осталось неясным, как на ней корень для конкретного многочлена (формулы для корней кубического многочлена существуют, но … это уже совсем другой сложет, и мы его не будем касаться).

49

Другой пример. Пусть $f(x)$ непрерывная периодическая функция на прямой с периодом $T$. Докажите, что ее график имеет горизонтальную хорду длины $T/2$.

Существование горизонтальной хорды длины $l$ равnocльно равенству $f(x)=f(x+l)$ (рис. 8). Следовательно, нам нужно доказать, что найдется такое $x$, что $f(x+T/2)=f(x)$. Иными словами, нужно доказать, что функция $g(x)=f(x+T/2)-f(x)$ имеет корень, т. е. $g(x)=0$ для некоторого $x$.

Возьемем произвольное число $a$. Если $g(a)=0$, то все доказано; поэтому предположим, что $g(a)\neq 0$. Для определения будем считать, что $g(a)<0$. Пусть $b=a+T/2$. Найдем значение $g(b)$:

$$g(b)=g(a+T/2)=f(a+T/2+T/2)-f(a+T/2)=f(a+T)-f(a+T/2)=-f(a)-f(a+T/2)=-g(a).$$

Итак, $g(b)>0$.

Функция $g(x)$ непрерывна, как разность непрерывных функций. Поэтому можно воспользоваться теоремой о промежуточном значении. Из этой теоремы следует, что между числами $a$ и $b$ найдется такое $x$, что $g(x)=0$.

Утверждение о горизонтальных хордах графика периодической функции можно знать успешно: график такой функции имеет горизонтальную хорду произвольной длины.

А вот с графиками непрерывных функций на отрезке дело обстоит иначе. Пусть на отрезке длины $T$ задана непрерывная функция, значение которого в концах отрезка совпадает.

Рис. 6.

Рис. 7.

Тогда если число $l$ имеет вид $T/n$ для некоторого натурального $n$, то график функции обязательно имеет горизонтальную хорду длиной $l$; если же $l$ не такого вида, то существует непрерывная функция с одинаковыми значениями на концах отрезка, график которого не имеет горизонтальных хорди длиной $l$. (Подробный расссказ об этом вы найдете в статье И. М. Яглома «О хордах непрерывных кривых», «Квант», 1977, № 4.)

Задачи

11. Докажите, что многочлен нечетной степени имеет корень.

12. Вчера в полное было холоднее, чем в полное позавчера и сегодня. Докажите, что найдется один и тот же момент времени в сегодня, когда температура была одинаковой.

13. Пусть $f(x)$ — непрерывная функция на некотором отрезке, и все значения приладат этому же отрезку. Докажите, что найдется такое $x$, что $f(x)=x$.

14. Многочлен $f(x)=ax^2+bx+c$ такое, что уравнение $f(x)=x$ не имеет решения. Докажите, что уравнение $f(f(x))=x$ тоже не имеет решения.

15. Пусть $f(x)$ — непрерывная периодическая функция на прямой с периодом $T$. Докажите, что ее график имеет горизонтальную хорду произвольной длины.

16. Средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называется величины $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$.

Докажите, что если среднее значение непрерывной функции на некотором отрезке равно нулю, то она принимает на этом отрезке нульевое значение.

18. Рассмотрим функцию вида $f(x)=a_1\sin x+a_2\sin 2x+\dots+a_n\sin nx+b_1\cos x+b_2\cos 2x+\dots+b_k\cos kx$, где $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_k$ — некоторые коэффициенты. Докажите, что уравнение $f(x)=0$ имеет корень.

Заключение

Мы разобрали несколько задач, в решении которых основную роль играли соображения непрерывности. В каждом

50

дой из задач интерсуюшая нас величина зависела от одного параметра — например, площадь части фигуры, лежащей по одному сторону от прямой, зависела от угла наклона этой прямой. Сообщения непрерывности можно распространить и на случай, когда параметров больше одного. Подробный рассак об этом не входит в наш планы; ограничимся формулировкой нескольких теорем.

1. В пространстве произвольным образом расположены три тела. Существует такая плоскость, которая делит объем каждого из тел пополам. Это утверждение известно, как «теорема о сэндвичне с ветчиной» (первое тело — это кусок хлеба, второе — слой масла, а третье — ломоть ветчины).

2. На земле найдутся две такие диаметрально противоположные точки, в которых совпадают температура и давление.

3. Вокруг выпуклого тела можно описать куб. (Эта теорема обобщает на случай пространства утверждения задачи 6).

4. Представьте себе шар, покрытый волосами. Можно ли его «причесать» таким образом, чтобы каждый волосок касался поверхности шара, и направления близко расположенных волосов отличались не очень сильно? Оказывается, нельзя — хотя бы один волосок остается перpendicularным к поверхности шара. Это утверждение известно как «теорема о ежеве» или «теорема о причесывании шара».

5 (для тех, кто знает комплексные числа). Мы докажали, что многочлен нечетной степени обязаательно имеет действительный корень. А как обстоит дело с комплексными корнями? Оказывается, любой многочлен (отличный от постоянного) имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение настоящего важно, что оно называется основной теоремой алгебры. Один из подходов к его доказательству тоже основан на сообщениях непрерывности.

Угадай число

(Начало см. на c. 34)

Попробуйте ответить на следующий вопрос: «В совершенняях на кубок по волейболу участвует 133 команды, совершенняя проводятся по олимпией-ской системе; сколько будет проведено игр для определения победителя?»

Сначала каждая, что нужно очень долго считать, чтобы получить ответ, а решение оказывется черезчайно простым. Достаточно заметить, что в каждой игре выбываетровно одна команда, а нужно, чтобы осталась одна; значит, чтобы выбыло 132 команды, нужно проводится 132 игры.

Эта же идея присутствуют в решении еще одной популярой задачи. Шоколада состоит из 3×8 долек. Соколько нужно сделать разломов по линиям, чтобы полностью разломать ее на долки? Сначала решаются встает в тупик: ведь ломать-то можносовсем по-разному! Но давайте четко формулируем задачу. Есть один кусок шоколада, нужно получить 24 куска, и при каждом разламывании количество кусков увеличиваетсяровно на один. Значит, ломать придется 23 раза, причем безразлично, в каком порядке это делать.

Публикация подготовлена А. П. Савиным по материалам В. А. Далингара и Ф. Н. Фазыловa

55

II Научно-техническая конференция Школьников в МФТИ

В «Кванте» № 11 за 1986 год рассказываюсь о первой научно-технической конференции Школьников в МФТИ и предлагалось присылать рефераты и работы на следующую конференцию, запланированную на апреля 1987 года. Школьники откликнулись очень быстро. В начале марта этого года в МФТИ было прислан 220 работ из 33 городов страны. Омск и Львов, Свердловск и Тула, Киев, Челябинск, Тбилиси, Москва, Саратов, Запорожье и многие другие города были указаны в обратных адрерах обемистых бандерлей с рефератами, графиками, схемами и программами для ЭВМ, поступивших в организат된 конференции. И вот 19 апреля 1987 года в Московском физico-техническом институте была проведена II Научно-техническая конференция Школьников. На нее приехали около 100 участников из РСФСР, с Украины, из Белоруссии и Казахстана.

После торжественного открытия конференции наалиработу секции математики, физики, теоретической физики и информаники, на котором участники выступили с докладами по своим работам. Затем состоялся просмотр «стендовых докладов» — работ, не заслушанных на секциионных заседаниях.

Выступления Школьников показали основное применение конференции перед олимпиадами и другими соревнованиями: возможность долго и глубоко разрабатывать запитересовавшую тегу тему. Лучшие работы получились у ребят, творческие и аккуратно выполнивших эксперимент или проработавших большое количество литературы по теме реферата, а не у тех, кто за несколько дней переписал главу из взовского учебника. Кроме того, выступление на конференции максимально приближено к настоящей научной работе, требующей творческого подхода к теме, больших затрат времени и труда.

После просмотр «стендовых докладов» перед ребятами выступили преподаватели МФТИ и специалисты из базовых институтов. Они ответили на многочисленные вопросы Школьников. Участникам конференции были про-

дemonстрированы различные физические эксперименты, в том числе эффективы высокотерпарной сверхпроводимости, обнаруженный в начале 1987 года, буквально за два месяца до конференции.

Закончилась конференции нагружением активных ее участников книгами по физике и математике (с авторфамилии и пожеланиями авторов), грамотами МФТИ, дипломами и значками журнала «Кванте». Но главной наградиой для Школьников было, наверное, самоучание в конференции, знаменитого с МФТИ — одним из ведущих вузов стран, встречи с учеными.

А теперь оргомитет конференции ждет новых работ. Участником конференции может стать любой Школьник. Для этого надо написать реферат (7—25 страниц), самостоятельное разобрав интересный вопрос по физике, техническим математическим или программированию. Однако экземпляр реферата надо до 1 февраля 1988 года выслать по адресу: 141700 г. Долгопрудный Московской области, МФТИ, оргомитет III Научно-технической конференции Школьников, второй оставить себе. Все вопросы по темам рефератов и организации конференции можно выяснить по телефону ЗФТШ: 408-51-45.

А. В. Сапожников, член оргомитета конференции

57

Советская делегация в Рокфелеровском центре в телестиди NBC (Нью-Йорк).

Интерес к представителем СССР в Андовере был очень большой. Абсолютное большинство школьников и учительей, с которых мы обещались, были настроены очень дружественно к нашей стране и советским людям. Большое внимание уделяли программе обмена американское телевидение, радио и газеты. Информация о нас и об американской делегации в Сибири публикалась в газах «Востон Глоб», «Лауренс Трибон», местных андверских газетах. Информация была в основном объективна и доброежелательна.

Подвода некоторых итоги первого обмена, надо отметить, что накопленный за 200 лет опыт работы одной из самых представных американских школ может быть полезен для советского народного образования. Заслуживают глубоко изучения отдельные курсы и учебники, особенно по естественно-начным предметам и иностранным языкам, широкое применение компьютерной техники не только в математике, но и в преподаании искусства, языков и т. д. Много интересного можно черпнуть в области конкретной методики предодавания различных предметов. С другой стороны, у американских партнеров больший интерес вызывал опыт работы Новосибирской ФМIII в условиях крупного научного и университетского центра, в частности, оригинальные курсы математики, физики, совершенное новейшее курс «Математическое моделирование физических процессов с помощью ЭВМ», система естественного воспитания и организация жизни большого ученческого коллектива в целом.

Обмен решения продолжить. Скоро в Новосибирск и в Андовер должен пройти следующее делегацию уже в составе 10 учащихся.

О. Шуева:
Самое, пожалуй, главное — американскиеровесники стали нашими очень хорошими друзьями. С ним я могу говорить буквально обо всем, потому что они пытались понять, всушаться и высказать свою точку зрения. Между девчонками о политике мы говорили довольно мало, обсуждая только какие-то внешние аспекты. Но именно там я поняла, что в США создают некоторые степени нашей страны, хотя вообще к нам относились очень других делегов и гостиниц.

О том, как мы учились. Каждый день у нас было 5 уроков по 50 минут.

Английский язык — курс, специально подготовленный для нас, где мы читали «Старик и море» и говорили с ребятами-американцами на заданную тему, пытались читать и понимать стихи.

Программирование вел замечетный учитель, не только профессионал своего дела, но и удивительный артист — импровизатор. Очень много работы на машинах, изучая ТУРВО-ПАСКАЛЬ, а главное — имели возможность узнать, какими могут быть уроки программирования в школе.

Курс искусства поразил и заинтересовал меня своей необходимостью. Я бы сказал, неординарность. У нас в ФМIII тоже есть курс истории искусств, но здесь мы чисто теоретически (хотя очень очень интересно) изучали художеников, скульпторов по определенным источникам. В Андовере я была в группе, в которой на все объекты нас учили смотрить как-то со всех сторон, со всеми особенностями. Надо сказать, что этому было не трудно, но важно научиться. Вообще уроки искусства составили из двух частей: рисования и фото-дела. Например, нам нужно было получить фотографию разных типов:

1. Уловить очень интересный момент.
2. Сделать абстрактную фотографию.
   При фотографировании мы пользовались самых простыми фотопаратами. В школе

58

ectь специально оборудованная лаборатория для проявления пленок и печати фотографией.
Математika — очень часто проводились тесты на основе того, что рассказал учитель. Сделали их с честью!
Физика — в течение всего урока преподаватель должна все своивыоды соответствующими опытами.
Учителя Андоверской школа на уроке ведут себя очень раскованно, обьясняя до тех пор, пока классу не станет все-все понятно, обладают высокой артистическостью, не вызывают к доске на уроках, но часто проводят не очень сложные тесты. На уроках (на всех) идет обсуждение со всей группой того, что учащся уже прочитали.
Андоверские школьники все занимаются каким-то видом спорта, учася неистово, доказываясь до самого сутки (не отстаут от учитель, пока он им все не только объяснит, но и доказет), очень талантливые ребята (это особенно с самого школьки), главное — думающее.
Вез сомнения, поедка в Америку — это и отличная практика в английском языке. Первую неделю в Андовере мы говорили на английском языке горячадо лучше, так как очень аккуратно использовали те правила и основы, что получили на уроках и специальной предварительной подготовке (по английскому языку), которое проводили наши учитель. Но потом, когда стандартных фраз уже стало не хватать, мы стали извязываться так, что американцы поняли нас с великим трудом. Затем мы уже привели, адаптировались и легко восприняли информацию. Примерно к концу третьей недели я могла свободно и понять готовить со своим соседями, друзьями.

С. Шаламов:
В Андовере мы помогли американским школьникам получить реальные и правильные представления о советских школьниках. Оказалось, что между нами не так много различий.

Очень хорошо бы переять у Андоверских учащихся их работоспособность. Они занимаются очень много. Меня妒азло поведение на уроках школьников и учитель. При всей своей свободности и раскованности ребята служают его весу урок, и вес урок в классе тишина. Учителя очень подробно и хорошо объясняет материал, совмещая жесткий контROL с другими соседями.

А. Васильев:
Все американцы, с которым мы встречались (особенно в Андовере, где расположена школа), относялись к нам очень хорошо. Вздел мы встречали и желание поять, и желание помочь, где необходимо. Конечно, возникали у нас трудности с языком, особенно вначале, но и они были предолимыми.

Система образования в Академии Филлипс сильно отличается от нашей. Много из того, что мы увидели, было бы полезно и у нас. Например, мне понравился урок искусства. На этом уроке учитель не мастерству рисования или фотографирования, а уменно видеть мир, смотреть на что-то общное с необходимой точкой. Кстати, слово «учит» здесь несовсем верно, учитель не дает указания, а советует, никакого не настоявая на своей точке зрения.

О. Ивановенко:
За месяц учебы я узнал много нового не только из курсов, которые посещала, но и из жизни учащихся Академии Филлипс.

Отношение между учительем и учеником в этой школе свободнее, чем у нас, нет традиции поднимать руку, ставать перед учительем. Однако чувствовали огромное уважение с обеих сторон. Ни разу не замечала, чтобы ученики отвлекались во время уроков. Учитель может несколько раз объяснять неопонятную весть, никогда не смущая. Учитиеся сами выбирают курсры, поэтому у них больше заинтересованность в их изучении.

Незгладимое впечатление оставил школьный драматический театр. Андоверские школьники — замечательные артисты.

А. Косых:
Я жил среди американцев, молодых американцев. И я видел, что они подчас думают о нас то же самое, что и мы о них. Сейчас я хорошо понимало их и гордздо лучше понимало себя, друзей — нас.

Ф. Бояркин:
Отношение к нам со стороны американских учащихся и жительей Андовера, с которым мы общались, было очень хорошо. Ни где мы не встречались не наименьшим к нам как к советским людям. В разговорах с американцами всегда чувствовали желание узнать что-то новое о нашей стране, о нашей школе и о многоом другом.

Я понял, что у американцев те же мысли и интересы, они хотят друзьей нашего страны.

И. Павлова:
Мы получили возможность свободного, если можно так сказать, «неофициального» общения с нашими светскимиками в Соединенных Штатах. Мы смотли сами, не из вторых рук узнать друг друга. Я, например, после двух недель пребывания чувствовали себя обикновенной ученцией этой школе. Между нами и учениками Академии Филлипс не было никакой преграды, затрудняющей общение. Мне очень понравились естественность, ненатуральность наших отношений.

Мы получили прекрасную возможность изучать английский язык. Пожалуйста, обменал только к более интенсивному изучению иностранного языка в школе. Мы наделы убедились, как он необходим.

В Академии Филлипс очень много ученики играют на каких-либо музыкальных инструментах. У нас есть музыкальные и художественные школы, в которых учатся дети, имеющие способности, но учащие старших классов поступить в них уже не могут. Было бы неплюхо, если бы на наших школе мы изучали музыку, но не в начальных классах, а в старших.

60

Кипяченим молока на его поверхности появляется плотная пенка. Кастрюля стоит на плите и нагревается от $t_1=98^\circ\text{C}$ до $t_2=99^\circ\text{C}$ за $\tau=0,5$ мин. Через какое время после этого молоко убежит? Общное молоко на 90% состоит из воды, удельная температура воздуха в комнате повышалась от $t_1=17^\circ\text{C}$ до $t_2=21^\circ\text{C}$, а влажность — от $\varphi_1=40\%$ до $\varphi_2=60\%$. При температуре $t_1$ давление насыщенных паров воды $p_1=1,94$ кПа, а при температуре $t_2$ — $p_2=2,49$ кПа. Молярная масса водыного пара $M=0,018$ кг/mоль. Сколько воды испарилось в комнате?

10 класс

1. Жюри олимпиды заседало в комнате площадью $S=20\text{ m}^2$ и высотой $H=3\text{ m}$. В результате жарких споров температура воздуха в комнате повышалась от $t_1=17^\circ\text{C}$ до $t_2=21^\circ\text{C}$, а влажность — от $\varphi_1=40\%$ до $\varphi_2=60\%$. При температуре $t_1$ давление насыщенных паров воды $p_1=1,94$ кПа, а при температуре $t_2$ — $p_2=2,49$ кПа. Молярная масса водыного пара $M=0,018$ кг/mоль. Сколько воды испарилось в комнате?

2. В цилиндрической коробке радиусом $R$ с гладкими стенками находится маленькая шайба, масса которой совпадает с массой коробки, причем расстояние от центра коробки до шайбы составляет половину радиуса коробки. В некоторых момент времени коробке сообщили скорость $u$, направленную вправа, а шайбе — такую же по модулю скорость, направленную впевно (рис. 10). Определите траекторию движения коробки по столе. Удары абсцилтоно упругие, трене отсутствует.

3. Коротkozамкнутая сверхпроводящая катушка имеет железный сердечник, который перемещается вдоль ее оси. Завинимость индуктивности $L$ катушки от смешения $x$ центра сердечника относительно центра катушки показана на рисунке 11. В начальном состоянии $x=0$ (сердечник вставлен в катушку), ток в катушке $I_H=1$ А. Затем сердечник вынимают. Чему будет равен ток в катушке после этого?

4. В исходном состоянии схемы (рис. 12) конденсаторы не заряжены. В момент $t=0$ ключ $K$ замыкают. Найдите заряд, протекший через дiod, если $R=10\text{ kOm}$, $C=1\text{ мКФ}$, внутренним сопротивлением батареи можно пренебреть. Волтамперная характеристика диода приведена на графике на рисунке 12.

Публикация подготовили А. И. Вуздин, С. С. Кротов, О. Ю. Овчинников

Задащий патидесной Московской городской математической олимпиады

Заключительный тур патидесной Московской городской математической олимпиады 15 февраля 1987 года в Московском университете. В нем участвовали 697 школьников 7—10 классов. Ниже приводятся задания этогоура (расчитанные на 4 часа). Пять из задач этогоска были включены в «Задачник «Квата», и в этом номере публикуются их решения.

7 класс

1. В марта 1987 года учитель решилровать 11 занятый математический кружка. Доказать, что если по субботам и воскресеньям

Года полтора назад одна из центральных газет опубликовала письмо родителя, которые на волне общего увлечения приобрели сыну новую золотоломку. «Запутать» ее, конечно, не составило труда. А вот «распутать»… Головоломка не поддавалась ни сыну, ни отцу, ни учитель в школе. Вконеч отчащится родители обращались к изготовителем злосчастной игрушки. О результатате можно судить по тому, что следующее инструментальное было газета.

У нас есть основания предполагать, что предметом, доставшим столько хлопот его счастливым владельцем, была изобранная здесь золотоломка (рис. 1). Это 7 дисков с 6 лунками на каждом, во всех лунках кроме одной лежат цветные шарики. Повернуть на некоторый угол колесико сбоку золотоломки, мы с помощью системы шестеренок поворачиваем одновременное все диски на тот же угол в направлении, указанных стрелками. При этом «дырку» (пустую лунку) нужно установить против шарика на другом диске, включить шарик в «дырку», освободившуюся лунку врачием колесика установить против нового шарика и т. д. Так произведится перестановка шариков. А как вернуться в исходное положение?

Найти алгоритм помогает граф золотоломки (см. обложки «Кванта» № 5 и № 7). Отметим на плоскости 42 точки — по числу лунок — и соединим линий каждого пару точек, отвечающих «связанным» друг с другом лунки.

Рис. 1.

кам, т. е. лункам, которые можно составить врачием колесика (рис. 2). Легко понять, что любая лунка связанаровно с одной лункой на каждом из соседних дисков, т. е. лунки центрального диска (6 точек в центре графа) связаны с 6 лунками каждой, а остальные лунки имеют по 3 «связи». Лунки, неосредственно стыкующейся с центральными («лунки 1-20 уровня»), образуют на графе внутреннее колючо. При врачиении колесика на 60° на их место прудут «лунки 2-20 уровня» — они изобраются точками следующего колуса. Дальше идет колючо «лунок 3-20 уровня», попадали их на 1-й уровень при повороте на 120°, и т. д. Тепер головоломку можно свести к перемещением фишек по линям графа. Такие «путешествия по графам» подробно обсуждались в одноменной стате Д. Вакарлова («Кванта» № 7, 1986, с. 50). Главная трудность возникает при пересечении на практику — слишком уж разница расположения шариков в золотоломке и на графе (на общих рисунках изобравенно одно и то же (!) расположение цветов; черным на графе помещена «дырку»).

Рис. 2.

женняя шариков в золотоломке и на графе (на общих рисунках изобравенно одно и то же (!) расположение цветов; черным на графе помещена «дырку»). Головоломку удобно собирать по уровним; предварительно оценедной уровень переводится на место 1-20. Поясним, как переставляется шарики 1-20 уровня. Переведем сначала «дырку» через 2-й уровень на одно из мест 1-20 уровня (по красным стрелкам), проходит ее по кругу (синце дуги) и возвращает тем же (красным) путем. В результате 5 шариков 1-20 уровня циклически переставляются, а остальные вернуть на свой мест (проверять!). Из таких 5 циклов можно составить любую перестановку цветов на 1-м уровень. Аналогично можно устроить обмен между различными уровнями.

В. Н.