Квант 1988, №2 · Страницы

Научно-популярный
физико-mатематический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Наблюдение и фотоскема
быстрорекающих процессов

1988

В номере:

2 Я. В. Зельдович, М. Ю. Хлопов. Пути электронная теория
9 В. А. Прудковский. О консервной банке, пружине и прокатном стане
14 М. И. Башмаков. Математические образы в позици
17 Д. В. Фукс. О стихотворных размерах
Задачик «Кванта»
26 Задачи M1086—M1090, Ф1098—Ф1102
27 Problems M1086—M1090, P1098—P1102
28 Решения задач M1066—M1069, Ф1078—Ф1082
«Квант» для младших школьников
37 Задачи
38 А. С. Ярский. О пользоватки дляковоев
Калейдоскоп «Кванта»
40 Отражение и преломление
Информация
45 Компьютерный клуб «СПРАЙТ»
Лаборатория «Кванта»
46 С. М. Белоусов, Р. Н. Герасимов. Наблюдение и фотосъемка быстропroteкционной процессов
Школа в «Кванте»
Математика 6—10:
50 Сумма углов
52 О разрешениях многоугольников и теореме Эйлера
55 Сумма углов сферического многоугольника
56 Избранные школьные задачи
Практикум абитуриента
57 А. И. Черночан. Кinemатические связи в задачах динамики
63 М. Р. Либерзон. Сtereometрические задачи с шарами
66 Варианты вступительных экзаменов
73 Ответы, указания, решения
Смесь (25, 36)
Наша обложка
1 На фотографи запечатен один из моментов падения капли в воду. О том, как можно получить такую фотографию, рассказывает в рубрике «Лаборатория «Кванта».
2 «Запрещенное воспроизведение» — так называл свою картину белыйский художник Рене Магрит (1898—1967). С точки зрения геометрической оптики такое «воспроизведение» действительное запрещено. Зеркало и глаз «работают» по строим законом отражения и преломления. А хорошо ли вы знакомы с этим понятыми? Проверить себя вам помогет «Калейдоскоп «Кванта».
3 Шахматная страница.
4 Головоломка «Кольца Рубика».
© Издательство «Нука».
Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1988

2

Кодда эта стать уже готовилась к публикации, не стало одно из ее авторов — умер видащийся физик-теоретического Труда Яков Борисович Зельдович. Это был человек необыкновенно талант и эрудиции, внесший огромный вклад в самые различные области физики. Много делал он и для обучения молодежи, для получения научных знаний.

ПУТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ

Академик Я. В. ЗЕЛЬДОВИЧ,
доктор физико-математических наук
М. Ю. ХЛОПОВ

Электрический заряд

Еще в древности было известно, что если потерять кусок янтаря, он способен притягивать мелкие предметы. Этот забавный факт терялся в ряду многообразных явлений природы, интересовавших мыслителей древности… Позднее возниктермин «электричество», а в XVIII века было установлен, что существуют два вида электризованных тел. Телá одного и того же типа взаимно отталкивают, два тела разных типов — притягиваются.

Американский ученый Б. Франкин (1706—1790), занимающийся исследованием электричества, обратил внимание на показавшееся ему страным явление. Заряженный шарик, помещенный внутри заряженного металлического куба, не испытывал никакого действия заряда куба. Своим недоумением по этому поводу Франкин поделился с Дж. Пристли (1733—1804), и тот высказал договора, что, возможно, дело в том, что электрическая сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами — в полной аналогии с широко известным в ту пору законом всемирного тяготения Ньютона. Из этого закона, в частности, следовало, что граница силы, действующая со стороны однородной сферы на тело, которое находится внутри нее, равна нулю.

Согласно закону Ньютона сила равна модиethylдвух

В издательстве «Наука» в серии «Библиотека «Квант» готовится к печати книга Я. В. Зельдовича (в соответствии с М. Ю. Хлоновым) «Драма идеи в познании природы». Статья, которую мы предложаем сегодня нашим читателем, появилась в результате работы авторов над этой книгой.

Электрический заряд

Еще в древности было известно, что если потерять кусок янтаря, он способен притягивать мелкие предметы. Этот забавный факт терялся в ряду многообразных явлений природы, интересовавших мыслителей древности… Позднее возниктермин «электричество», а в XVIII века было установлен, что существуют два вида электризованных тел. Телá одного и того же типа взаимно отталкиствует два тела разных типов — притягиваются.

Американский ученый Б. Франкин (1706—1790), занимающийся исследованием электричества, обратил внимание на показавшееся ему страным явление. Заряженный шарик, помещенный внутри заряженного металлического куба, не испытывал никакого действия заряда куба. Своим недоумением по этому поводу Франкин поделился с Дж. Пристли (1733—1804), и тот высказал договора, что, возможно, это электрическая сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами — в полной аналогии с широко известным в ту пору законом всемирного тяготения Ньютона. Из этого закона, в частности, следовало, что граница силы, действующая со стороны однородной сферы на тело, которое находится в буквальном смысле слова яркий пример электри

3

triческого тока. Но в нашей обыделенной жизни мы встречаем бурное грозовое электрическое не так уже часто. Когда речь заходит об электрическом токе, нам скорое всего приходит на ум ток в проводах, приносящий свет электрических лампочки, голоса друзей в телефоне, мировые события в телевизоре. Однако в физике «тихий» ток проводов пришел значительное позже ток электрического разряда. Первые опыты по изучению тоководились именно с разрядами. Изучая разряды молнии или лейденской банки — прообраза современного конденсатора, — Франклин и италянский физик Дж. Беккария (1716—1781) наблюдали магнитное действие электрического тока. Железные предметы, находившиеся рядом с проводниками, по которым проходил электрический разряд, намагничивались. Было ясно, что электрические и магнитные явления как-то связаны.

Аналогия в поведении полосов магнитов и электрических зарядов была очевидной — одноменные полюса, как и одноменные заряды, отталкивались, разноменные — притягивались. Экспериментальные методы, развиты Кулоном, позволили ему измерить силу взаимодействия двух магнитов. Она оказалась обратно пропорциональной квадрату расстояния; как и в случае силы электростанческого взаимодействия двух зарядов, Кулон постулировал, что магнитная сила пропорциональная произведение «магнитных зарядов» полосов. Однако между электрическим зарядом и «магнитным зарядом» полюса магнита имелось одно отличие. При электризации тела мы получаем изолированный электрический заряд определяемого знака. А в результате намагничивания нельзя получить изолированный магнитный полос — обязательно получаются сразу два разноменных полюса. Намагниченное тело не может обладать изолированным «магнитным зарядом» определенного знака.

Но различа не очень смущали. Сликом сльна была традиция механики Ньютона. Казалось естественным, что между двумя малыми телами все силы, независимо от их природы, действуют единобразно — по прямой, соединяющей тела; и с расстоянием все силы убывают одинаково — обратно пропорционально квадрату расстояния между телами. Привлекательное изучение единственное всех дальнейств — гравитационного, электрического, магнитного. Тогда различие сил проявлялось бы только в разных местах их воздействия: гравитационная сила пропорциональная произведение масс тела, электрическая — электрических зарядов, магнитная — магнитных зарядов.

В начале XIX века благодар изобретению А. Волта (1745—1827) электрической батареи стало возможным изучать действие постоянного тока. Вместо кратковременных токов электрического разряда влабораторы появился непрерывный электрический ток в проводах, соединяющихся полюса батареи. Цельх двадцать лет, имея в своей распоряжении непрерывный ток, физики искали магнитную силу тока. Силу, действующую по прямой между магнитом и током.

Бенеджамин Франклин.

4

И не нашли. А в 1820 году появился статья датского физика X. Эрстеда (1777—1851). Всего несколько страниц латинского текста. Эрстед описывает отклонение магнитной иглы под действием постоянного тока прямого провода. Сила действовала не вдоль прямой, соединяющей провод и магнит. Магнитная сила тока оказалась не отталкивающей или притягивающей, а «поворачивающей».

Исследования Эрстеда продолжили и развил французский физик и математик A. M. Ампер (1775—1836). Он построил первую теорию электродинамики (термин Ампера), задуманную как продолжение дела Ньютона. Но ньютоновское описание действия на расстоянии уже далеко perвую трещину — нарушалось единобразие такого описания. Пройдет еще немного времени, и сама идея действия на расстоянии будет отвергнута в работах Фарадея и Максвелла.

Электрические направления и потенциал

Закон Кулона определял силу взаимодействия зарядов. Но как осуществляется это взаимодействие? Можно было бы просто сказать, что два заряда действуют друг на друга на расстоянии по закону Кулона, и не вдаваться в размышления о том, какие невидимые нити соединяют заряды, какие невидимые пружины притягивают разноменные заряды и растIkивают одномименные. Так поступил в свое время Ньютон, изучая теогение: «Причину этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явления, гипотез же я не измышлю… Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам и вполне достагоно для объяснения всех движений небесных тел и моря». Но чтобы упростить расчет силы взаимодействия неточных заряженных тел, оказалось удобным, чисто формально, ввести неокоторую характеристику окружающего заряд пространства — электрическую направность $\vec{E}$ — силу, с которой рас-

Шарль Огюстен Кулон.

сматриваемый заряд подействовал бы на пробный единничный заряд, помещенный в данную точку. Если же мы помещим в эту точку заряд $q$, то на него подействует сила $\vec{F} = q\vec{E}$. Наряженноесть электрического поля — вектор. Она, вообще говоря, меняется от точки к точке — и по абсолотной величины, и по направлению.

Мы можем приписать каждой точке пространства, окружающего данной источник электрической силы (точенный заряд, заряженное тело или системе заряженных тел), еще одну характеристику — электрический потенциал — потенциальную энергию взаимодействия пробного единничного заряда, помещенного в эту точку, с источником силы. При перемещении пробного единничного заряда из одной точки в другую электрическая сила совершает работу, по абсолотной величины равную разности электрических потенциалов двух точек. Если мы выберем значение потенциала в какой-то точке пространства за начало отсечета величины потенциала и (это наиболее естественно) положим зна-

5

чение потенциала в ней равным нулю, то, определяя работу электрической силы при перемещении единичного заряда из этой точки в любую другую точку, мы тем самым определяем потенциал любой точки пространства.

В определении потенциала есть элемент производа. Ведь мы не проводили расчет потенциала в начальной точке отсечета — мы просто положили его равным нулю. Если мы положили его равным нулю, а какой-то величины $\varphi_0$, то и потенциалы всех остальных точек пространства изменились бы на величины $\varphi_0$. Получается, что потенциал определяется неднозначно — он определяется с точностью до выбора значения потенциала в точке начала отсечета, а это значение мы можем выбрать каким хотим — от него работа электрической силы не зависит.

В физике наряду с измеримыми величиными есть величины очень удобные, но прямо не измеримые. Эти величины можно менять (преобразовывать) так, что при этом физические следствия не меняются. Например, значения координат точки $x$, $y$, $z$ зависит от выбора начала координат, от того, как ориентированы оси координат. А вот неосредственно измеряемое расстояние между точками ни от выбора начала координат, ни от направления осей координат не зависит. Такой же удобной, но зависящей от выбора начала отсечета величины является электрической потенциал.

Итак, есть две характеристики пространства, окружающего заряженное тело. Они говорят о том, что было бы, если бы мы помещали пробный единичный заряд в разные точки пространства. Одна — электрическая направность — говорит об электрических силах, которые действовали бы на этот заряд в различных точках пространства; другая — электрический потенциал — говорит о потенциальной энергии, который обладает бы такой заряд в разных точках.

Обе характеристики связаны друг с другом. Математическое описание свойств электрической силы приводит к некоторому удобному приему — расчет электрической силы, действующего на данный заряд на расстоянии, но каким-то образом преобразует окружающее его пространство. Оказывается удобным приписать действие данного заряда на другие заряды особым состоянии пространства, окружающего данный заряд,— его электрическому полю. Электрический потенциал является скалярной характеристикой этого поля. Электрическая напряжение — векторхарактеристикой.

Как мы скоро убедимся, электрическое поле — это не просто удобный математический прием, а физическая реализность.

Здесь же заметим следующей. Казалось бы, электрический потенциал — более удобный величины. Значительно проще связать с каждой точкой одно число (электрический потенциал), чем задавать в каждой точке вектор электрического напряжения-

6

ности, то есть три числа (tri proekции этого вектора). Но, во-первых, электрический потенциаль определян необходимно — с точностью до постоянной. А во-вторых, существуют такие электрические поля, для которых можно определить электрическую напряжение, а электрический потенциаль определять нельзя. Такие поля появляются в электродинамике — разделе физики, рассматриваемыми движущиеся заряды. Электростатическая поле — поле неподвижных зарядов — потенциально, можно ввести его электростатический потенциаль. Каждый бы, если заряды движутся, то такой потенциаль будет просто меняться со временем в соответствии со сметанием зарядов. Но движущие заряды — это электрический ток, а электрический ток обладает и магнитным воздействием. А это, как мы увидим далее, может приводить и к электрическому воздействию. И также воздействие будет уже непотенциальным.

Электромагнитная индукция

Если электрический ток обладает магнитным действием, то не может ли магнит быть источником тока? Нельзя ли «преварить магнитизм в электричестве»? Таким вопросом задается англійский физик М. Фарадей (1791—1867), и поиск ответа привели его к открытию явления электромагнитной индукции — возникновения электрического тока в проводящем контуре при изменении магнитного потока через контур.

Изучая это явление в разных аспектах, Фарадейводит понятие «магнитных кривых». «Под магнитными кривыми японмаю линии магнитных сил, хотя и искаженные соседством полюсов; эти линии вырисовываются железными опилками; к ним касательно располагались бы магнитные стрелочки»,— так определил Фарадей «магнитные кривые». Сегодня мы називаем их линиями магнитной индукции. В противоречие с традицией Фарадей придал физический смысл формальному понятию

Андре Мари Амнер.

силового поля. То, что было принято рассматривать только как условную характеристику пространства, удобную для описания дальнействия, Фарадей стал рассматривать как реализную физическую среду. «Фарадей своим мысленным взором видел линии сил, прохождение через пространство, там, где математики видели центры сил, пригивающие на расстоянии. Фарадей видел среду там, где они не видели ничего, кроме расстояния. Фарадей искал источник явления в реальных процесах, происходит в среде»,— так спустя тридцать лет писал Дж. К. Максвелл (1831—1879) во введении к своему «Трактату об электричестве и магнитизме».

Но интуитивно ясные сообщения Фарадей не могли убедить его современников. Однако — экспериментальные результаты, другие — их теоретическая интерпретация, даваемая Фарадем. «Я заявляю, что с трудом могу себе представить, чтобы кто-нибудь, кто практические и количественно знает совпадение наблюданий и вычисленный, основанных на за-

7

коне действия на расстоянии, мог хотя бы мгновение колебаться в выборе между этим простым и точным действием, с одной стороны, и чем-то столбь неясным и неопределенным, как линии сил, с другой стороны》,— так писал в 1855 году известный ученый Эри. Это мнение разделило большое внимание физиков, стремившихся обяснить электромагнитные явления на основе законов действия на расстоянии.

Требовалось перевести качественные сообщения Фарадея на математический язык, на язык уравнения. И это сделал великий шотландец Дж. К. Максвелл.

Электромагнитное поле

Итак, в середине XIX века вывелиись два противоположных подхода к описанию электромагнитных явлений. Вставл вопрос о том, действуют ли магниты или заряженные тела неосредственно на расстоянии или существуют неоторая среда, передающая воздействие одного магнита (или провода с током) на другой, одного электрических заряженного тела на другое.

«Когда мы наблюдаем, что одно тело действует на другое на расстоянии, то прежде чем принять, что это действие прямое и неосредственное, мы обыкновенно исследуем, нет ли между телами какой-нибудь матерIALной связи; и если находим, что тела соединены нитями,стернями или каким-либо механизмом, способным дать нам отчет в наблюдаемых действиях одного тела на другое, мы предпочитаем скорее обьясить действия при помощи этих промежутных звенев, нежели допустить понятие о прямом действии на расстоянии.

Так, когда мы, держая за проводочку, заставляем звонить колокольчик, то последовательные части проводок сначала натягиваются, а затем приходят в движение, пока, наконец, звонок не завонит на расстоянии последством процесса, в котором принимали участие все промежуточные части проводки одна за другой.

Мы можем заставить колокольчик звонить на расстоянии и иначе: например, нагнетая воздуха в длину трубку, на другом конце которого находится цилиндр с поршнем, движение которого передается звонику. Мы можем также пользоваться проводокой, но вместе того, чтобы держать ее, можем соединить ее на одном конце с электрической батареей, а на другом — с электромагнитом, и таким образом заставим колокольчик звонить посредством электричества.

Здесь мы указали три различных способа приводить звонок в движение. Но во всех этих способах есть то общее, что между звонящим лицом и звонком находится непрерывная соединительная линия и что в каждой точке этой линии совершается некоторый физический процесс, последством которого действие передается с одного конца линии на другой. Процесс передачи не мгновенный, а постепенный; так что после того, как на одном конце соединительной линии дан импульс, проходит некоторый промежуток времени, в течение которого этот импульс совершается свой путь, пока не

8

Джеймс Клерк Максвелл.

достигнет другого конца》,— писал Максвелл в своей статье «О действиях на расстоянии». И далее отмечал: «Кому свойства воздуха не знакомы, тому передача силы посредством этой невидимой среды будет казаться столже непонятной, как и всякий другой пример действия на расстоянии, и однako в этом случае мы можем обьясить весь процесс и определить скорость, с которой действия передается от одного участка среды до другого.

Почему же не может мы допустить, что знакомый нам способ сообщения движения посредством только и тягги наших руками является видом и наглядным примером всякого действия между телами, даже в тех случаях, когда мы не можем заметить между телами ничего такого, что видимо принимало бы участке в этом действии».

Работы Фарадея и Максвелла утверждали физическую реальность электромагнитного поля. Пространство, окружающей заряды, как бы ожидало. Оно оказывалось в особом состоянии, обладало особыми свойствами. Открытие электромагнитной индукции позволяет к этим свойствам подойти. Электрические и магнитные явления оказывались действительно взаимосвязаны. Но связи эта раскрывалась только в нестандартных процесах, через изменение со временем электрических и магнитных характеристик.

Покоящияся заряд okружает только электрическое поле. Движущая заряд okружают и электрическое поле, и магнитное поле. Если электрический ток постоянный, постоянно и магнитное поле. Такое поле действует в свою очередь только на движущая заряды — на токи. Таким образом, поле постоянного тока осуществляет только магнитное действие токов. Иное дело, когда ток переменный. В этом случае магнитное поле также оказывается переменным. И закон электромагнитной индукции определяет электрическое действие такого поля — оно (поле) оказывается источником электрического поля, движущего заряды в проводе, вызывающего в этом проводе электрический ток.

Итак, электрическое поле может существовать и вне прямой связи с зарядами — его источником может быть переменное магнитное поле. Такое электрическое поле действует на заряды. Значит, его можно характеризовать силой, действующей на единичный пробный заряд, т. е. электрической направностью. И сила эта будет совершать работу над пробным электрическим зарядом, движущимся в таком электрическом поле. Но в отличие от случая электростатического поля — поля неподвижных зарядов,— в электрическом поле переменного магнитного поля работа электрической силы зависит от пути, по которой пробный заряд перемещается. В этом поле работа по замкнутому контуру не равна нулю. Поэтому с каждой точкой пространства нельзя связать величины электрического потенциала — работы по перемещению единичного пробного заряд из некоторой начальной точки в данную. Такая величина не имеет смысла —

(Окончание см. на c. 25)

9

О КОНСЕРВНОЙ БАНКЕ,
ПРУЖИНЕ
И ПРОКАТНОМ СТАНЕ

Доктор технических наук
В. А. ПРУДКОВСКИЙ

Будем считать, что вам не раз приходилось вскрывать консервные банки. И время от времени вы задавались вопросом: неужели металлический лист, из которого сделана банка, нельзя изготовить потоньше? Тогда, например, из материалов для одной консервной банки можно было бы сделать две или даже три. В чем же дело? Почему металлурги не экономит металл? Давайте попробуем разобраться.

Консервные банки делают из стального тонкого листа — жести. Жесть получают холодной прокаткой. Нужно сказать, что с наиболее раннего достоверно упоминания о применении прокатки для деформирования металла прошло более 500 лет. В 1486 году великий художник, архитектор, ученый и инженер Леонардо да Винчи изобразил прокатный стан для получения тонкой ленты из золота и сербра, иушей на украшения. Такой стан имел два гладких валка диаметром около 40 мм, которые врашали вручную. Существу проесса прокатки с тех пор прициппально не изменилась (рисунок 1, а). В зазор между врашающимся в раз-ные стороны валками затягается металлическая полоса, толщина которой ($h_0$) больше величины этого зароза ($S_0$). Полоса под действием валков испытывает пластическое деформацию изменения формы и должны выходить из валков с толщиной, равной, казалось бы, величины зароза между ними (увеличивая при этом в длине и оставаясь той же ширины $B$). Однако фактически только металл прокатной полосы ($h_1$) былает всегда больше зароза между валками. Почему?

Деформация полосы проискодит в результате действия сил, приложенных к ней со стороны валков. Каждый валок действует на полосу, и согласно третьему закону Ньютона полоса действует на валок с такой же по величины сил; ее называют силой сопротивления деформированного или просто сопротивлением деформированного. Под действием этой силы проискодит упругая деформация валков и других деталей прокатного стана, первоначально установленный зазор между валками увеличивается, и на столбко же увеличивается толщина прокатной полосы. Другими словами, мы всегда получаем толщину по-

Рис. 1.
2 Квант № 2

10

Лосы несколько бóльшую, чем зазор ($S_0$) между валками. Для уменьшения деформации рабочих валков применяют опорные валки (рисунок 1,6).

Ну хорошо, скажете вы, тогда надо сделать зазор между валками меньше требуемой толщины жестки и получить нужную толщину. Логично! Хотя это лишь один из способов.

Но так ли все просто? Толщина жестки «нормальной» консервной банки равна 0,2—0,25 мм. Какой зазор нужно установить между валками, чтобы получить такую толщину листа? А какой зазор нужно установить, чтобы получить лист толщиной, скажем, 0,1 мм?

Давайте сначала посмотрим, какystроен прокатный стан (рисунок 2). Валки (1), деформационные полосу, не могут высеть в воздухе. Они крепятся на подшипниках (2) вместе сопорными валками (3) в рамках, называемой станной прокатного стана (4). Требуется зазор между валками при прокатке установливается с помощью винтов, которые называют нажимыми винтими винтими (5).

Сила сопротивления деформирования, действующая на рабочие валки со стороны прокатываемой полосы, вызывает упругую деформацию не только этих валков, но и опорных, а также нажимых винтов, станными и других элементов прокатного стана. Прокатный стан в этом случае ведет себя какружина, правда, не совсем obычной конструкции.

Из курса физики известно, что всякаяружина обладает жесткостью, которая определяет ее степень деформации под действием приложенных сил. От чего зависит жесткость прокатного стана, если его расматри-

вать как пружину? Упрощенное можно сказать, что (как и жесткость пружины) она зависит от его конструкции. Например, стан с двумя валками обладает значительной меняющей жесткость по сравнению со станом, имеющим четые валка, два из которых являются опорными. Есть и более жесткие станы, с большим числом опорных валков.

Теперяясно: что бы определить величины зазора, необходимого для получения жесткости заданной толщины, нужно знать величины жесткости прокаатного стана. Как же ее найти? Есть, конечно, расчетные методы, но для уже существующего стана ее проще изменить.

Установим нажимными винтими какой-либо зазор $S_0$ между рабочими валками. Теперяя с помощью распорного устройства будем каждой раз увеличивать этот зазор на величины $\Delta S$ и измерять диаметром силы упругости стана. На рисунке 3 результаты нескольких измерений представлены в виде графика зависимости сил упругости $F_y$ от величины зазора между рабочими валками. Эта зависимость изображается прямой линий, так как деформации деталей прокаатного стана упругие и справедливзакон Гука.

Тангенс угла $\alpha$ характеризует жесткость стана. Чем больше tg $\alpha$, тем больше жесткость. Конечно, в идеале угол $\alpha$ должен быть стремиться к $\pi/2$, но… все тела деформируются.

Теперяя посмотрим, что происходит в реальном процессе прокаатки. Мы уже говорили, что согласно третьему закону Ньютона валки действуют на прокаативаему полосу с такой же по величины сил, с какой полоса действует на валки. Эту силу мы назвали сопротивлением деформированного. Но как найти ее величины? Очевидно, что для прокатного стана, обладающего определенной жесткости, его упругая деформация будет зависеть от сопротивления деформированного прокаативаемого полосы. Если на одном и том же стане прокаатвать полосы из алюминия, меди и стали, то упругая деформация стана в каждом конкретном случае будет разной. При прокатке алюминия она будет меньше, при прокатке меди — больше, а при прокатке стани — еще больше. Почему? Вспомним диаграмму расстояния металлов. Для алюминия, меди и стали построены также диаграммы. С их помощью можно расчитать силу сопротивления деформированного для каждой конкретного металла или сплава. Таким образом, эта сила в основном зависимости материала прокаативаемого полосы.

Но при прокатке проискодит в основном состоянии металла между валками, а не расстояние. Предположим, что мы сажили валками полосу толщиной $h_0$ и шириной $B$ на величины $\Delta h$ и зафиксировали силу $F_c$, которая нам для этого потребовалась. На рисунке 4 результаты нескольких оптовых представлены в виде графика зависимости сил $F_c$ от толщины полосы $h$. Эта зависимость уже не линейная, так как проискодит пластическая деформация полосы. Сила $F_c$ — это, с некоторыми допущениями, не что иное, как сопротивление деформированного полосы.

Давайте подумаем, как нам посту-

Рис. 3.
Рис. 4.

12

Пить дальше. С одной стороны, на основании опытов, проведенных на прокатном стане без полосы, мы нашли жесткость стана. С другой стороны, на основании опытов по скатнию полосы в валках мы нашли величины ее сопротивления деформарованию. Теперь мы можем ответить на поставленный ранее вопрос: какой зазор $S_0$ следует установить между валками, чтобы получить толщину полосы, равную $h_1$? Предположим, что мы хотим получить полосу толщиной $h_1$ на прокатном стане, жесткость которого определяется значением tg $\alpha$ из рисунка 3. Для этого сначала мы должны найти по графику зависимости $F_c(h)$ слу сопротивления деформарованию полосы, соответствующую ее прокатке от толщины $h_0$ до $h_1$. Далее необходимо эту силу приравнять слее упруости стана (согласно третьему закону Ньютона) и с учетом жесткости стана определять необходимую величины зазор $S_0$.

Рисунок 5 проясняет, как проводится эта операция. На рисунке даны совместно графики зависимости $F_y(S)$ и $F_c(h)$. Из точки $A$ на рисунке 5, $\delta$ восстанавливает перpendикуляр до пересечения с кривой $L_2$ (точка $B$). Из точки $B$ проведем горизонталь до пересечения с perpendикуляром, восстанавливаемых из точки $K$ (рисунок 5, $a$), соответствующей величины $S_1$ зазор между валками, который будет равен толщине полосы $h_1$ ($S_1=h_1$). Через точку $D$ пересечения горизонтали $BD$ и вертикали $KD$ проведем прямую $L_1$, параллельную $L_0$ и определяющегоружину прокатного стана с заданной жесткостью tg $\alpha$. Тогда точка $E$ пересечения прямой $L_1$ с осью $S$ и дает нам необходимую величины $S_0$ зазор между валками, который следует установить перед прокаткой, чтобы получить заданную толщину полосы, равную $h_1$.

Предположим теперь, что нам надо получить полосу толщиной $h_2$ (см. рисунок 5, $\delta$). Проведяя аналогичные рассудения, мы оказываемся в точке $E'$, что соответствует отрицательному зазору между валками. Следовательно, такой процесс прокатки мы осуществить не сможем и данный прокатный стан позволяет в пределе получения минимального возможного толщину полосы, равную $h_{np}$. Таким образом, для каждого прокатного стана есть свой предельный минимальный толщина полосы, зависимости от свойств прокатываемого металла и размеров полосы. Полосу с толщиной меньше этой предельной на данном стане получить нельзя.

А если нужна более тонкая полоса?

Посмотрите на рисунок 5. Увеличивая угол $\alpha$, можно уменьшить предельную возможную толщину полосы. Значит, надо увеличить жесткость стана, в первую очередь — жесткость валков, так как доля их деформации в упругой деформации всего стана очень велика. Мы уже говорили, что

13

это можно добиться, используя опорные валки, число которых в реализации станах достигает восемнадцати (по девять на каждый рабочий валок).

Как вы договоратесь, консервные банки отнюдь не основная продукция, которую изготовляют из стальной полосы. Например, для кинесопов цветных телевизоров нужна полоса из специальной стали толщиной 0,15 мм с допустимыми отклонениями от этой толщины ±3 мм. Конечно, технологии получения такой полосы существенно отличается от технологических полосей для изготовления консервных банок. Большое значение и прокатные станы.

При изготовлении конденсаторов и прокладок в магнитных головках для малогабаритной аппаратуры необходима фольга (тончайшая лента) из алюминия, tantала и бериллевой бронзы толщиной 1—3 мкм. Как получить такой лент? Надо отметить, что она, как правило, довольно узкая, 400—600 мм по ширине (в то время как полоса для консервных банок достигает 1,5 м в ширину). Конечно, для более узкой полосы сопротивление деформированного меньше, чем для широкой. Для прокатки такой узкой и тонкой ленты используетрезвящаяно жесткие двадцативальные прокатные станы; прокатка производится в двух рабочих валках длиной 400—1200 мм, каждый из которых опирается на прямыду из опорных валков. А вообще станы листовой прокатки определяются длиной валка (шириной полосы); так что когда говорят «стан 1700», то это означает, чтолина рабочей части валков 1700 мм.

Есть еще один путь уменьшения предельно возможной толщины полосы. Он состоит из изменению формы кривой $L_2$ (см. рисунок 5, 6), т. е. к уменьшению силы сопротивления деформированного. Это можно достигаать различными путями: изменением условий треня между валками и полосой с помощью смазок, натяжением полосы во время прокатки, уменьшения ее ширины и других.

Проводят определенную термическую обработку металла (отжиг), снижающий сопротивление деформированного, что, кстати, широко использовется при производстве ленты для кинесопов. Однако все мероприятия, связанные с повышением жесткости стана и уменьшением сопротивления деформированного, как правило, связаны с дополнительными затратами. Так, полоса для кинесопов стоит значительно дороге полосы, ищей на изготовление консервных банок. Стоимость тончайших лент из некоторых металлов иногда в 20 раз больше стоимости золота той же массы. Вот и нужно думать: что выгоднее — прокатывать более толстую и болеедешевую жесть или более тонкую и более дорогую. Очевидно, в каждом конкретном случае нужно использовать из реальных возможностей.

Не так давно на Карагандинском металлургическом комбинате пущен в экспертацию новый стан, позволяющий получить жесть толщиной 0,18 мм. Для консервных банок начинает использоваться тонкий лист из алюминия сплавов. Сопротивление деформированного при прокатке алюминиязающего нijже, чем при прокатке стан. Так что вопрос с консервными банками будет решен. Но дело, как мы уже говорили, не только в консервных банках, хотя без них иногда не обойтись. Дело в другом. Проблема деформиции инструмента при обработке металлов давлением является очень серьезной проблемой. В нашем случае инструментом были валки, и прокатка — один из процессов обработки металлов давлением. Таких процессов существует очень много, и они постепенно вытесяют обработку металлов резанием, так как более экономичны и малоотходны. Однако точность размеров изделия при обработке давлением, особенно в холодном состоянии, существенно зависит от жесткости инструмента и самих обработывающих агрегатов. Задча повышения жесткости еще далеко от решения и ждет своего часа.

14

Математика и позция, физики и лирики… Нет, «Квант» не намери раздуть тленошее пламя этой полемики. Например, мы считаем, что глубокое естественное начало, заложенное в существии математических наук, приближает их и к музыке, и к позции. Доказательство тому — публикуемые ниже статьи. Их авторы — известные математики-исследователь们 — выступают в неожиданной для себя роли «исследовательи позции». В первой статье рассказано, какие неожиданные произведения возникают у позтов, когда они в своей творчестве обращаются к научной тематике. А второй демонстрирует своеобразие формально-mатематической подхода к теории стихосложения. В ней автор излазает строение правила для определения размера русского стиля.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ В ПОЭЗИИ

Доктор физico-mатематических наук
М. И. БАШМАКОВ

14

15

Есть много свидетельств тому, как искусство вдохновляет человека науки. Более удивительно, что наука может быть источником художественного вдохновения. Перелистьвая сборник стихов русских позтов начала нашего века, я наткнулся на глубокие и, наверно, не всегда осознаные связи математических образов и позтического мышления.

Для любого человека входом в математику является понятие числа. Магия чисел широко отражена в искусстве. Но вслу-shайтесь в следующие строки Николая Гумилева:

А для низкой жизни были числа,
Как домашний подъяремный скот,
Потому что все оттенки смысла
Умное число передает.

О СТИХОТВОРНЫХ
РАЗМЕРАХ

Доктор физико-математических наук
Д. В. ФУКС

Общенствие, что большинство русских
стихов подчиняется силаботоническому
строю. Грубо говоря, это означает, что в
каждой строке стихотворения между со-
седними ударными слогами расположется
одно и то же (фиксированное для
данного стихотворения) число безударных
слогов и первое ударение приходит на
один и тот же по порядку слог. На-
пример, в стихах, написанных наиболее
распространенным в русской позици раз-
мером — ямбом — все четные слоги каждая
строки должны быть ударны, а нечет-
ные — безударны:

Люблю тебя, Петра творенье…
Легко заметить, однako, что сформили-
рованное правило нуждается в уточнения-
ях. Попробуем, например, с его помощью

17

18

рассставить ударения в эталонных строках русского языка:

Мой дядя смых честных правил,
Коддá не в шутку знаемóг…

Мы наблюдаем сбой в обе стороны:
слава мои и не вовсе не получили ударений, а в слова занемо́ их оказалось два.
Если мы продвинемся в чтении «Евгения Онегина» (или «Медного всадника») дальнейше, то мы увидим, что эти отклонения от правила все же не вполне произвольны. Имеется, в действительности, только одно ограничение. Чтобы его формирование, заимерум в каждой строке слоги по порядку. Тогда если один или более словов неокоторого слова получат четные номера, то среди этих словов должны присутствовать ударный слог этого слова.
Высказывание «стихотворение написано ямбом» в точности означает, что выполнено это условие. Убедитесь в качестве упражнения, что «Евгения Онегина» написан ямбом, а «Василий Теркин» — нет. (Усердный читатель, который продвинется в исследовании «Евгения Онегина» достагоно далеко, возможно, будет обессуражен его 26-й строкой. Он найдет разъяснение в следующем пункте, правда, написанное мелким шрифтом.)

Определение размера. Мы постулируем, что рассматриваемый текст (стихи) разбит на строки, строки разбит на слова, состоящие из словов (с слова типа «в» или «к» мы игнорируем). Слоги в каждой строке заимерованы подряд, начиная с первого. Один из словов каждого слова является ударным (это тот слог, на который падает ударение при обличном чтении слова).

Как передко служается с аксиомами, это утверждение лишь приближенно отражает действительность. Во-первых, бывают слова с двумя (и более?) ударениями: самозонование, двоякоперiodический и т. п. Оdnako, это — длиные, неуклюжные слова, которые редко встречаются в стихах. Во-вторых, в неокоторых словах, таких как или, через переод и т. п., ударение может переместиться на другой слог. Это часто происходит в стихах, примером может служить упоминания 26-я строка из «Евгения Онегина» — Или блестали, мои читатель; вспомните еще Через леса, Через моря колдун несет боятиры. Такой перенос ударения возможен и в разговорной речи — скажите: «Течет река, через нее перебощен мест», и вы услышите, что в слова через ударение падает на второй слог. В-третьих, наконец, неокоторые группы слов, например, «на дом» в фразе «Задание на дом» образуют так называемые ритмические группы, которые следует приравивать к словам. Подробности см. в статье А. Н. Колмогорова и А. В. Прокорова «Модель ритмического строка русской речи, приспособления к изучению метрики классического русского стixa» в сборнике «Русское стихо-сложение» (М.: Наука, 1985). Мы игнорируем здесь все эти аномалики, вводя следующее правило: все формулируемые ниже правила имеют исключения, нужно только чтобы эти исключения были мало.

Зафиксируем два натуральных числа n и k ≤ n и отметим в каждой строки с номерами k, k+n, k+2n, …; эти слоги по определению считаются сильными словами (n, k)-размера. Говорят, что строка подчиняется (n, k)-размеру, если выполнено следующее условие:

• Это условие стиховеды часто называют правильом запрета переаккутиции. Они впервые было чётко высказано известным литератом Р. Якобсоном в двадцатьх годах, а затем изучено и развито в стиховедических работах А. Н. Колмогорова и его ученников (см., например, цитированную выше статью).

19

Например, обсуждавшийся выше ямб — это (2,2)-размер.

Стхотворение подчиняется (n, k)-размеру, если каждая его строка подчиняется (n, k)-размеру. При чтении стихотворения сльные слоги выделяются более или менее отчетливыми ударениями. Но еще раз подчерким: не следует путать, и тем более отложывать, сільные и ударные слоги. Сільный слог не обязаан быть ударным (первый слог слова запемол из второй строки «Евгения Онегина»), а ударный — сільным (слово не в той же строке). Помещенное в рамках правило как раз и указывает, когда сільный слог обязаан быть ударным, т. е. когда на слог с определенным номером в строке действительное падает ударение при правильном чтении.

Подробнее (n, k)-размер называется псложным размером с к-й сільной долей.

Уражение 1. а) Докажите, что если в строке, подчиненной (n, k)-размеру, сільный слог принадлежит слову, содержащему не больше n слогов, то этот слог является ударным. б) Если в строке отсутствует слова, содержащие больше n слогов, то условие подчиненности этой строки (n, k)-размеру равносильно тому, что все сільные слоги — ударны.

Заметим, что наша терминология не вполне согласуется с принятой в стиховедении. В частности, то, что мы называем размером, чаще называют метром, а размер включает в себя еще и число сільных слгов в строке, или, как говорят, число стон. Например, ямб — это метр, а пятистопный ямб — это размер.

Классические размеры. Классические размеры русской позици по определению считаются двухсложные и трехсложные размеры. Таким образом, классические размеры пять. Вот их названия:

| Размер | Название | Перевод названия (с гречского) |
| :— | :— | :— |
| (2,1) | Хорей | Плясовой |
| (2,2) | Ямб | ?
| (3,1) | Дактиль | Палец * |
| (3,2) | Амфибрахий | Двояократный** |
| (3,3) | Анапест | Обратный *** |

Примеры трех из пятей классических размеры мы находим в хрестоматийных стихах Пушкин:
Ямб:

Я помню чудное мгновение…
Еще одно последнее сказание…
Уньлая пора, очень очагованные…

*) Палец имеет три фаланги: первая длинная, две другие короткие.
**) Сильную долю окружают две слобы (краткие) доли.
***) Обратный долю.

Хорей:
Буря мелового кроет…
Царь с царцю проспился…
Долго ль мне гулять на свете…

Аmfибрахий:
Сижу за решеткой в темнице сырой…
Кавказ под мною. Один вышине…
Как ные сырается вечший Олег…

С дактилем нам помогет Лермонтов:
Тукини небесные, вечные страники…

А у Некрасова мы с легкостью находим образцы всех трехсложных размеров:
Дактиль:
В мире есть царь, этот царь беспощаден…
Дня не проводит Мазай без охоты…

Аmfибрахий:
Савраска увая в половине сугроба…
Есть меняцы в русских селеньях…

Анапест:
Выдь на Волду, чей стон раздает…
Что ты надно глядшь на дорогу…

Какой размер лучше? Если Вы просите у приятеля: «Ты подписался на журнал «Квант»?» (кстати, сделать это можно и теперь), то, скорее всего, вы сделаете ударения на словах «подписался» и «Квант», оставив безударными слова «ты», «на» и «журнал». Итого, 2 ударения на 9 слогов. Я думаю, это — норма для разговорной речи: одно ударение на 4—5 слогов. Если вы ответаете урок или читаете речь по бумажке, ударений будет больше (это явление описывается словом «бубнить»). Когда вы читаете «с выражением» стихи, ударений будет еще больше: примерно третье всех словов будут ударными. Это обстоятельство побудило неокоторых критков второй половины прошло века сделать вывод, что наболее подходящими для русского стихосложения размерами являются трехсложные размеры.

Действительно, трехсложные размеры занимают значительное место в творчестве позтов указанного времени, прежде всего, Некрасова и его окружения. Но верно и другое. Пушкин почт не пользовался трехсложными размерами: 80 % его стихов написаны ямбом, 15 % — хореем, а трехсложными размерами — совсем немного, причем это по большей части пардии, эпиграммы и т. п. (Справедливости ради нужно сказать, что среди немногих стихов Пушкин, написанных трехсложным размером, есть весма известные; кроме упомянутых выше можно назвать Раздайтесь, важальные навывы… Смотрю, как безумный, на черную шаль… и неокорыble другие. Сстати, среди трехсложных размеров Пушкин явное пред-

21

Начнем с $n=1$. Очевидно любой текст подчиняется (1,1)-размеру: все слоги сільные. Читать такие стихи — значит, скандировать (шай-бу-шай-бу!). Стихи в этом рода существуют, например: Не-ест-неbet-mень-шой-cы-нок (Некрасов), Ko-сико-ca-no-ka-ро-ca (Твардовский). Но они редки.

Более интересны размеры с $n>3$, особенно с $n=4$ и 5.

Совмещение размеров. Прежде чем обратиться к ним, зададимся вопросом: может ли одна и та же строка подчинять двум разным размерам? Наше определение не исключает такую возможность. Например, сточка, составлена из одних односложных слов, подчиняясь бы любому размеру.

У праванении 2. а) Докажите, что сточка, подчиенная одновременно ямбу и хорею, состоит из односложных слов. 6) Докажите, что сточка из 9 словов, подчиенная двум разным трехсложным размером, содержит по крайней мере 6 слов.

Практические это означает, что разные двухсложные размеры, как и разные трехсложные размеры, совместить невозможно. Казаюсь бы, совместить двухсложный размер с трехсложным легче, хотя и при этом возникают серыеные ограничения на длину слов.

У праванении 3. Докажите, что если сточка подчиняется одновременно хорею и дактилюю, то 4-й слог входит в состав либо односложного слова, либо слова, состоящего по крайней мере из 4-х слов.

Набоков приводит пример строки, подчиенной ямбу и амфibрахию: Тайистевный и неzemной. Но строка — это еще не стихотворение. К тому же сільные слоги двухсложного и трехсложного размеров, совмещенных в одном стихотворении, были бы совершенно различны, и это стихотворение (если бы оно существовало) можно было бы прочесть двумя совершенно разными способами. Можно высказать утвернение, что ни в одном позитивском сборнике вы такого стихотворения не найдете.

Другое дело — совмещение двухсложного и четырехсложного размеров, и причина в том, что 4 делится на 2. Например, что нужно для того, чтобы строка, подчиенная ямбу, подчиняясь также, скажем, (4,2)-размеру? Нужно, чтобы в слове, содержащем более одного четного слога, ударение приходилось на слог, номер которого не делится на 4. Выбросьте последнее «не», и вы получите условия подчиенной ямбу (4,4)-размеру. Поскольку слов, содержащих несколько четырехсложных слов, в стихотворении может быть не так уж много, это условие представ-

22

ляется вполне выполним. Для примера заметим, что из 14 строк первого строкы «Евгения Онегина» 13 подчиняются (4,4)-размеру и 7 подчиняются (4,2)-размеру. Наборот, что нужно для того, чтобы строка, подчиенная (4,2)-размеру, подчинялась ямбу? Нужно, чтобы в словах, не содержащих сильных слов (4,2)-размера, но содержащих (тогда уже единственный) четный слог, этот слог был удалным. (Например, если 3-й и 4-й слоги такой строки составляют слово, то в этом слове ударение должно падать на 4-й, а не на 3-й слог.) И это представляется вполне выполним.

Четырехсложные размеры. Телерь мы можем обратиться к их рассмотрению. Каждый четырехсложному размеру мы поставим в соответствии с ним двухсложный размер: для (4,1)- и (4,3)-размера таковым, по определению, считается хорей, для (4,2)- и (4,4)-размера — ямб. Далее, если строка подчиняется четырехсложному размеру, мы будем говорить о ее размере как о несамостояльном четырехсложном, если она подчиняется также сопряжением двухсложному размеру, и как о самостояльном — в противном случае.

Начнем с самостояльного четырехсложного размера. Должен признаться, что убедительные примеры русских стихов, подчиенных самостояльному четырехсложному размеру, мне не известно. Вероятно, их и нет — к таким выводу можно прийти, читая статью стиховеда Л. Е. Ляпиной «Русские песны» в уже цитировавшемся сборнике «Русское стихосклежение». (Пеоны — ученое название четырехсложных размеров; а пятисложные по-ученому называются пентонами.) Отчего это так? В поисках ответа попуем сконструировать строку, подчиненную самостояльному четырехсложному размеру:

Написал сорок стейй я в журнал «Квант». Эта строка подчиняется (4,3)-размеру, но не подчиняется хорею. Ее чтение вызывает явное затруднение: ударения в словах сорок и журнал каждой стойции не на месте. В чем дело? В том, что, как уже было сказано, примерное треть словов в стихотворении должны быть уdarными; поэтому сильных слов не достигно, и к ним приходит добавлять хотя бы слабые дополнительные уdarения. Поритическая соображения эти уdarения хотятся располжить в середине интервала между сильными слогами, а это и значит, что четырехсложный размер стремится к несамостояльности.

Несамостояльный же четырехсложный размер — очень распространенное явление. Если вы сомневаете в его существование (как сомневайтесь неокотые стиховеды — полемика с ними составляет основное содержание читировавшейся выше статы Л. Е. Ляпиной), спросите у любого ученика музыкальной школи — и он скажет вам, что четырехсложный размер в музыке встреется очень часто, в частности, в песнях:

Я ли в поле да не травушка была…
Уж как я ль мою коровушки люблю…
(все это — несамостояльный (4,3)-размер, он, как и трехдольный, весма характерен для русской песни). Если и это вас не убеждает, полистайте Пушкин. Вот образец (4,2)-размера из его юношеских стихов:

В печцах Геликона
Я нёкогда роздён;
Во имя Аполона
Тибуллом окрецён…

Знаменита «Зимняя дорога» Пушкин (По дороге зимней, скучной…) мне тоже кажется написанной четырехсложным размером; однако композитор Свиридов предложил прочесть эти стихи как двухсложные.

Более того, часто (можно сказать, как правило) четырехсложному размеру бывают подчинения только часть стихотворения, и переходы от четырехсложного ритма к двухсложному и обратно могут нестисливую или изобразительную нагрузку. Это легко прослеживается, например, в позме Некрасова «Кому на Руси жить хорошо» (несамостояльный (4,2)-размер).

Пятисложные размеры. Поскольку пятисложный размер может быть только самостояльным. Где искать его? Казалось бы, в стихах еще более тягучих и распевных, чем русские песни и лирика Некрасова. может быть, подойдут народные сказания? И точно, многие строки этого подчинения пятисложному размеру:

Ох ты доби esi, добрый мольде…
или
To не мудж с jenой, то не брат сестрой — Добрый мольде с красной девицей.
Более последовательный пятисложный размер (хотя тоже не без отступления) можно найти в подделках под сказательный стиль, стихизациях, написанных профессиональными потами, скажем в «Купце Калашникове» Лермонтова:

Как сходилися, собиралися
Удалые боицы московские

23

На Москву-реку, на кулачный вой…
И прйехал царь со дружиной,
Со боярми и опричниками…
Все это, кстати, (5,3)-размер.

Казалось бы все ясно. Но позволью себе привести совсем другой пример. В последний год своей жизни Гумилев написал позму «Дракон», состоящую из 12 частей по 5 четверостищей в каждой. Приведу полностью первую часть, описывающую восход солнца на океанском берегу, а вы определите размер.

Из-за свежих волн океана
Красный бык приподнял рода.
И белали лани тумана
Под складные берега.

Под складными берегами,
В многошумной сырой тени
Серебристыми яcemучами
Оседали на мох они.

Красный бык изменяет лица,
Вот широко крылья простер,
И парит огромная птица,
Пожирающая простор.

И к врагам голубой кумирни
По открытою трое небес
Он выходит, стрелок и лирник,
Ключ держа от тайн и чудес.

Дуйте ветры, чтобы волны пели,
Чтоб в лесах溜ели ствольы,
Дуйте ветры в трубах ущелей,
Возглашая ему хвальы.

Ответ: (5,3)-размер.

Дейстительно, предположим, что данное стихотворение подчиняется (n, k)-размеру. Во всех 20 строках 3-й и 8-й слоги являются ударными (в своих словах). Имеется 7 строк, в которых слово, содержащие 3-й слог, имеет более 3 слогов. Значит, либо 3-й слог является сильным, либо n≥5. Аналогичное верно и для 8-го слoga. Далее, 3-й и 8-й слоги являются одновременно сильными только в пятисложном размере. Легко проверить, что стихотворение действительно подчиняется (5,3)-размеру и не подчиняется другим пятисложным размерам. Размеры с n>5 мы исключаем из рассмотрения (см. ниже).

Для убедительности добавлю, что из наших 20 строк 5 подчиняются (3,3)-размеру, 3 подчиняются (4,1)-размеру, 1 подчиняется (4,4)-размеру, все 20 подчиняются (5,3)-размеру, 10 подчиняются (5,5)-размеру (это — издержки нашего определения, см. с. 18) и ни одна не подчиняется ни одному другому (n, k)-размеру с n, не большем 5. Такую информацию выделала бы нам машина, если бы мы прибегли к ее помощи.

Но где же в «Драконе» протяжная певучность «Купца Калашникова»? Основная причина ее отсутствия состоит в том, что почти в каждой строке «Дракона», кроме основных ударений на 3-м и 8-м слогах, имеется достаточно отчетливое дополнительное удаление либо либо на 6-м слоге. Дополнительные ударения прослеживаются и в других стихах Гумилева, написанных пятисложным размером, а также у Ахматовой и Цветаевой. В каком-то смысле и здесь можно было бы говорить о несамостояльности (пятисложного) размера, но уточнить этот смысл, оставясь в рамках строой сила-ботоники, нельзя.

К стихам Цветаевой, например, трудно подходить с тем определением размера, которое дано в начале статьи и которых мы все время пользовемся. Многие ее стихи написаны индивидуальным размером с фиксированными, но не составляющими арифметической прогрессии номерами сильных слогов, скажем 3, 6, 8, как в стихотворении.

Оны мясу идет к получчи:
Час монахов — и зорких птиц,
Заговорщик час — и юношей,
Час любвиков и убицы.*)

*) Такие размеры называются лозаэдрами.

24

Четыре, пять, что дальше? Дальше — 6. Бывают ли шестисложные размеры? Может быть. Так, правда с некоторой натуралькой, можно назвать шестисложным размером отдельных мест в «Купце Калашникове»:

Схоронили его за Москово-рекой…
Промежу Тульской, Рязанской, Владимирской…

Но число 6 имеет слишком много делительей, и шестисложный размер, скорее всего, будет распадаться в двух- или трехсложные (приведенные выше строки — не исключание). Почти всякое стихотворение, написанное трехсложным размером, будет подчиняться и шестисложному, но это не оказывает влияния на звучание стиха.

Вообще, говоря о (n, k)-размерах с большими n, следует, во-первых, иметь в виду, что черезур далеко расставленные сільные слоги вряд ли смогут создать определенной ритм стиха, а во-вторых, принять во внимание следующее, чисто арифметическое обстоятельство.

Уражение 4. Пусть m — число слов в строке. а) Если n≥k>m, то строка завершено подчиняться (n, k)-размеру (сильных слов нет — сравните со слуаем n=k=1, с. 21). 6) Если k≤m<k+n, то условие подчининости (n, k)-размеру не зависит от n и свойства к тому, что k-й слог удален.

Поэтому целесообразно считать (это можно добавить к нашему определению), что число слов в строках стихотворения, подчининого (n, k)-размеру (хотя бы в большинстве строк) не меньше k+n. (Например, бессмысленно искать (5,5)-размер в «Драконе» Гумилева — см. с. 23.)

На практике все это означает, что (n, k)-размеров с n, большим 5, не бывает, так что мы можем закончит наш разговор. За его пределями остались многочисленные отступления от силлаботинки, которые богатая русская позня. Но эти отступления находятся и за пределями нашей арифметической подхода к стихотворным размерам.

Уражение 5. Определите размер следующих стихотворений:

a) Вам теперь пришлось бы бросить ямб картавы.
Нынче наши перья — штык да зубья вил,—
Битты реболощий посерезнее «Полтавы»
И любовь пограндиознее онегинской любви.
(Маяковский)

6. Я мечтю ловил уходящие тени,
   Уходящие тени подасавшего, дня,
   Я на башню всходил, и дрожали ступени,
   И дрожали ступени под носой у меня.
   (Бальмонт)

25

Мартовская льжня

Эти три фотографины были сделаны в одно и то же время, илыжи эти были расположены рядом. Но посмотрите, какие они разные! Одна — светлая, выступающая над окружающим снегом, как рельсы. Другая, темная, утопленa в снегу. А третья, полупропашная, совсем необычна: тонкие, произчные ледяные кромки, словно подвешенные в воздухе, как «хрустальный мост» над грязным снегом…

Чем обьясняется такое разноеобразие видов льжных следов? Мы предлагаем вам подумать над этим, попаболдать мартовские льжни. А в одном из следующих номеров журнала своим сообщениями на этот счет поделится автор фотографией — кандидат физико-математических наук А. В. Митрофанов.

Пути электромагнитной теории

(Начало см. на c. 2)

ведь работа зависит от пути перемещения заряда. Электрическое поле, возникающее при электромагнитной индукции, нельзя характеризовать электрическим потенциалом. Это поле — непотенциальное.

В заключение отметимfundamentalное значение того, что источником электрического поля является переменное, а не постоянное магнитное поле.

В самом деле, если бы постоянное магнитное поле было источником электрического поля, то был бы возможен «вечный двигатель». В проводах, находящихся в таком поле, в этом случае протекал бы ток, который, в свою очередь, создавал бы магнитное поле, а оно, в свою очередь, создава-

ло бы ток в новых проводниках, и т. д. В результате одиночный провод с током становился бы бесконечным резервуаром энергии. Поэтому тот факт, что постоянное магнитное поле не обладает электрическим действием, с необходимостью следует из необходимости «вечного движения».

Теория Максвелла не только объединила накопленные к середине XIX века разозненные научные знания об электрических и магнитных явлениях. На ее основе была развита теория света как электромагнитного излучения, построена теория электромагнитных волн. Из максвелловских уравнений вышла теория относительнойности, а в сочетании с квантовой физикой — atomная физика, теория сверхпроводимости, квантовая электродинамика.

Росток электромагнитной теории Максвелла вырос в могучее drevo современнойfundamentalной физики.

3 Квант № 2

26

Задачи

M1086—M1090, Ф1098—Ф1102

M1086. С числом разрешается произведение две операции: «увеличить в 2 раза» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число из числа 0 получить: a) число 100? b) число n?

M1087. Расстоянием треугольник ABC, точку M в плоскости этого треугольника и проекции A₁, B₁, C₁ точки M на высоты, проведенные из вершин A, B, C соответственно. Доказите, что a) существует одна и только одна точка M, для которой отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ равны;
b) для такой точки M длины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ равны диаметру вписанной в треугольник ABC окружности.

A. Х. Джафаров

M1088. Доказите, что если числа p, q, r рациональны и pq+qr+pr=1, то (1+p²)(1+q²)(1+r²) — квадрат рационального числа.

Иштван Варга (Румыния)

M1089. В выпуклом четырехугольнике ABCD площадью S диагонали пересекаются в точке O. Пусть K, L, M, N — центры окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC, COD и DOA. Доказите, что произведение перimetров четырехугольников ABCD и KLMN не меньше 4S.

Д. Ю. Бураго, Ф. Л. Назаров

M1090. Доказите, что a) для любых положительных чисел a, b и c справедливо неименным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещите: «Задачик «Квата», новая задача по физике или «…новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школа и класс, в котором вы учитель.

Ф1098. Детский пистолет, который можно представить в видеружины конечной массы, прикрепленной к неподвижной стене, выстреливает шариком, сообщая ему скорость v. Если выстрелить шариком вдвое больше массы, его скорость будет v√2/3. Какова будет скорость шарика утроенной массы?

П. И. Зубков

Ф1099. В горизонтальном закрепленной открытой с концов трубе сечением S нахождения два поршня (рис. 1). В исходном состоянии левый поршень соединин с неподвижной стенкой недеформированнойружиной жесткостью k. Давление p₀ газа между поршнями равно внешнему давлению, расстояние H от правого поршня до края трубы равно расстоянию между поршнями. Правый поршень медленно вытягают к краю трубы. Какую силу нужно приложить к поршню, чтобы удержать его в крайнем положении? Треннее претензioso мало, температура постоянна.

В. П. Бородин

27

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than May 1st, 1988, to the following address: USSR, Moscow, 103006. Москва K-6, ул. Горького, 32/1, «Квант».

Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate

Ф1100. Достаточно длиной капитляр, погруженный в сосуд с водой, герметически закрывают сверху. При этом уровень жидкости в капитляре попирается на $\Delta h=4$ см. Чему равна относительная влажность воздуха у поверхности воды в сосуде, если температура окружающей воздуха $20^{\circ}\text{C}$?

Л. Г. Маркович

Ф1101. Легкий горизонтальный стержень длиной $2a$ может свободно врашаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Одинаковые массивные шары насажены на стержень и могут перемещаться вдоль него без трения и упруго отражаться от упоров на его концах (рис. 2). Сначала шары закреплены на расстояниях $a/2$ от оси. Стержень раскручивают до угловой скорости $\omega_0$, после чего шары одновременно освобождают. По каким траекториям будут двигаться шары? За какое время стержень совершит полный оборот? Построить график зависимости $\omega(t)$. Размеры шаров много меньше длины стержня.

А. Ю. Алексеев

Ф1102. Лазерный луч падает на проэрачную плоскопаралельную пластину, одна поверхность которого закрашена так, что может рассеивать свет во всех направлениях. На пластине видна следующее картина: светлая точка в центре, темный круг с резко очерченной границей, а вокруг — светлый ореол. Объясните явление.

А. М. Шалазин

Problems

M1086—M1090, P1098—P1102

M1086. Two operations may be carried out with numbers: doubling and adding 1. In what least number of these operations can the number 0 be transformed into the number a) 100? b) n?

M. V. Sapir

M1087. The point $M$ in the plane of triangle $ABC$ is perpendicularly projected to the points $A_1, B_1, C_1$ of the altitudes drawn from the vertices $A, B, C$ respectively. Prove that

a) there exists one and only one point $M$ for which the line segments $AA_1, BB_1, CC_1$ are equal;

b) the lengths of the segments $AA_1, BB_1, CC_1$ for such a point $M$ equal that of the diameter of the incircle of ABC.

A. H. Djafarov

M1088. Prove that if $p, q, r$ are rational numbers and $pq+qr+pr=1$, then $(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)$ is the square of a rational number.

Ishtvan Varga (Rumania)

M1089. In the convex quadrilateral $ABCD$ of area $S$ the diagonals intersect at the point $O$. Suppose $K, L, M, N$ are the centres of the incircles of triangles $AOB, BOC, COD, DOA$. Prove that the product of the perimeters of $ABCD$ and $KLMN$ is no less than $4S$.

D. Yu. Burago, F. L. Nazarov

29

что из них можно выбрать три точки, попарные расстояния между которых строюемые 1.

Используя рис. 1, we can see that the triangle ABC is a right triangle with vertices A, B, and C. The sides AB and AC are equal, and the angle ACB is 90 degrees.

M1067. Докажите, что для неотрицательных чисел x, y, z, удовлетворяющих условию $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, выполняем неравенство

$$\frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Докажем, что

$$\frac{t}{1-t^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2} t^2$$

при всех $t, 0 \leq t < 1$. На этом интервале неравенство (*) равносильно неравенству

$$f(t) = \frac{3\sqrt{3}}{2} t(1-t^2) \leq 1,$$

которое доказывается с помощью стандартного исследования функции $f(t)$. (Производная $f'(t) = \frac{3\sqrt{3}}{2}(1-3t^2)$ имеет на [0; 1] единственный корень $t = 1/\sqrt{3}$, причем $f(0) = f(1) = 0 < f(1/\sqrt{3}) = 1$. Следовательно $1/\sqrt{3}$ — точка максимума $f(t)$ на [0; 1].).

В силу (*) левая часть доказывается неравенства неравенстве, чем

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}(x^2 + y^2 + z^2) = \frac{3\sqrt{3}}{2};$$

равенство достигается лишь при $x = y = z = 1/\sqrt{3}$.

В. Э. Матизен

M1068. Дан угол AOB (А и В — точки на сторонах угла). Построите прямую l, проходящую через вершину O, так чтобы

Эта задача имеет изящное геометрическое решение с неожиданной интерпретацией на языке комплексных чисел. Но сначала приведем самое бесхитрное — тригонометрическое решение.

Заметим, что рассматриваемые площики не изме-

31

= KB cos α · BL sin α, но KB · BL = BQ₁² = OA², а OA² sin α = AC = CO = 2S₀OAC.

Как же связаны все эти столбные построения? Найти объяснение помогают комплексные числа. (Мы рассчитываем здесь на читатель, знакомых с комплексными числами и их геометрической интерпретацией.) Пусть точкам O, A и B отвеют числа нуль, a и b. Искомую прямую l будем задавать ее точкой z, |z|=1 (рис. 6). Поскольку 2OC = |a/z + a/ē|, 2AC = |a/z - ē/ē|, площадь S_AOC = |a²/z² - ē²/ē²|/8 и, аналогично, S_BOD = |b²/z² - ē²/ē²|/8. Числа под знаком модели в двух последних равенствах число минимы, поэтому равенство S_AOC = S_BOD эквивалентно условию ē²/ē² — ē²/ē² ± (b²/z² - b²/ē²), или (b²±a²)/z² = (b²±a²)/ē².

А это значит, что z² = ±t(b²±a²), где t — неокоторое положительное действительное число, т. е. z₁,₂ = r√b²±a² и z₃,₄ = ir√b²±a², где r = 1/|√b²±a²|. Числа b¹+a² и b²−a² задают, соответственно, прямую, содержащую медиану треугольника OAB₁, и прямую, параллельную AB₁, из первого построения (см. рис. 2); известную квадратного корня отвецет проведение bicсектрис углов AOM и AOM’. Второе построение (см. рис. 4, 5) получим, если разложить подкоренные выражения на множители: b²−a² = (b−a)(b+a), b²+a² = (b−ia)(b+ia). Числа b±a и b±ia — это точки P₁, P₂, Q₁ и Q₂, а среднее геометрическое √uv двух чисел u и v задает bicсектрису угла между векторами u и v. Например, z₁ = r√b²+a² лежит на bicсектрисе угла Q₁OQ₂.

Р. О. Бурдин, В. Н. Дубровский

M1069. В некоторых городах разрешены только парные объемы квадратами (если две семьи обменывают квадратами, то в тот же день они не участвуют в других обменах). Доказите, что любой сложный объем квадратами не скольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагается, что и до, и после обмена каждой семья живет в отдельной квадрате.)

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 1.

Изображим каждую квадратную квадратную точкой на плоскости, а переезд из одной квадраты в другую — стрелкой, соединяющей соответствующие точки. Ясно, что в любой точке одна стрелка начинается и одна кончается. Поэтому, если выйти из любой вершины и движутся по стрелкам, мы все время будем попадать в новые точки, пока не вернемся к началу пути (это неизбежно, так как число точек конечно). Проделаем то же самое, исходя из других точек. Мы обнаружим, что все стрелки образуют несколько непересекающихся замкнутых колес — циклов (рис. 1). Следовательно, достаточно доказать утверждение задачи для «циклического обмена» квадрат.

Пусть надо осуществить обмен A₁→A₂→…→Aₙ→A₁ — пересечить жилцов квадратных A₁ в квадратную A₂, A₂ — в A₃ и т. д. В первый день произведем парные обмена A₁↔A₁−1, A₂↔A₁−2, …, т. е. A₁↔A₁−k (мы считаем, что A₀=A₁); жилцы квадрати Aₙ и, при четном n, Aₙ/2 пока никакая не перезжают. Во второй день — обмена A₁↔Aₙ, A₂↔A₁−1, …, т. е. A₁↔A₁−k. В результате жилцы квадрати Aₙ переедут в квадратную Aₙ+1−(n−k)=Aₙ+1 при k=1, …, n−1, а из квадрати Aₙ — в Aₙ+1−n=A₁, что нам и нужно. Это схему обменов наглядно иллюстрирует рисунок 2. Если

32

Ф1078. Длиная точка путь с грузом на конце переброшена через блок и прязывана к носу модели лодки, которая может плыть по длиному прямолинейному каналу с водой (рис. 1). Лодку и груз отпускают, и скорость лодки (в см/c) записьют как дуную секунду. К сожалению, сохранялся только конец этой записи: 5, 65; 6, 44; 6, 96; 7, 31; 7, 54; 7, 70; 7, 80; 7, 86; 7, 91. Определите по этим данным скорость лодки через 0,1 секунды после того, как ее отпускили.

Рис. 2.

А1, …, An — вершины правильно n-угольника с центром O, то первый серий обменов отвечает симметрия относительно оси OAn, а второй — симметрия относительно оси OM, где M — середина стороны AnA1. Нетрудно доказать, что композиция (последовательное выполнение) двух симметричных относительных осей, пересекающих в точке O под углом α, есть поворот вокруг O на угол 2α; в нашем случае на угол 2π/n. При этом вершины многоугольника переставляются по циклу.

Н. Н. Константинов, А. И. Ширельман

При движении тела обтекаемой формы с небольшой скоростью в жидкости возникнет сила сопротивления, прямо пропорциональная скорости этого тела. Если массы лодки и груза равны соответствующего M и m, скорость движения лодки в данной момент времени — v, а ее ускорение — a, то (по второму закону Ньютона) уравнение движения лодки имеет вид:

(M+m)a=mg-Av, (*)

где A — некоторая константа, характеризующая силу сопротивления.

Уравнение () описывает движение с переменным по величины ускорением. Для нахождения зависимости скорости от времени необходимо, вообще говоря, интеррировать (). Однако нам требуется найти скорость лодки спустя весь короткое время после начала движения. При этом вкладом второго члена в правой части уравнения () можно пренебречь и считать, что лодка движется с некоторым начальным ускорением a0. Само уравнение движения на мысль, как использовать данные задачи для ее решения. Зависимость ускорения a от скорости v есть уравнение прямой в координатах a, v. Поэтому, экстраполиру () к значениям v→0, мы и получим начальное ускорение a0.

Для построения зависимости a(v) можно приращение скорости на каждом промежутке времени длительного 1 с считать равным ускорению. За скорость движения на каждом из указанных промежутков времени можно приять ее среднее значение. Полученная таким образом зависимость a(v) —

a (см/c²) 0,79 0,52 0,35 0,23 0,16 0,1 0,06 0,05
v (см/c) 6,04 6,71 7,14 7,42 7,62 7,75 7,83 7,88

— приведена на рисунке 2 (сплошная линия). Начальное ускорение a0, получающей из графика при v→0, равно ~3,5 см/c².

Таким образом, спустя 0,1 с после начала движения скорость лодки равна примерно 0,35 см/c.

А. А. Шеронов

34

$$T = \frac{V}{v} = \frac{1 + R_{\text{ш}} / R_{\text{x}} + R_{\text{ш}} / R_{\text{r}}}{p_{\text{x}} / R_{\text{x}} + p_{\text{r}} / R_{\text{r}}} = \frac{t_1 t_3}{t_1 + t_3} \left( \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_4}{t_3} - 1 \right) = 10.8 \text{ min.}$$

В. Е. Скороваров

Ф1080. Тонкостенный соуд непрерывно откачают насосом, однако из-за наличия микротресины в стенке соуда в нем установляется неизменное давление $p_y = 0.001$ мм рт. ст. Снаружи нормальное атмосферное давление $p_0 = 760$ мм рт. ст., относительная влажность воздуха $\varphi = 80\%$. Найдите давление паров воды в соуде. Давление насыщенных паров воды при данной температуре $p_n = 17.5$ мм рт. ст.

Рассмотрим Staционарный режим, когда давления паров воды и сухого воздуха в сосуде не меняются со временем. Обозначим установившееся давление паров воды в сосуде через $p_{y\pi}$, а через $p_{yB}$ — установившееся давление сухого воздуха. Установившееся давление влажного воздуха в сосуде $p_y$ равно сумме этих парциальных давлений:

$$p_y = p_{y\pi} + p_{yB}.$$

(1)

Поскольку температура воздуха остается неизменной, то условие сохранения давления для каждой из двух компонент требует, чтобы количество молекул каждого газа ( паров или сухого воздуха), попадающих в сосуд за единицу времени, было равно количество молекул газа, уходящих за сосуда за это же время. Число молекул газа, проходящих через микротресину, пропорционально произведению их концентрации на среднюю скорость теплового движения молекул этого газа. В свою очередь, это произведение пропорционального нарушения давления, деленному на $\sqrt{\mu}$, где $\mu$ — молярная масса газа. Число молекул газа, забираемых на сосудом за единицу времени, пропорционально давлению этого газа в сосуде. Таким образом, пренебрегая молекулами, которые покидают сосуд через микротресину ($p_y \ll p_H \frac{\varphi}{100}$), для молекул паров воды и сухого воздуха можно записать:

$$\frac{p_{0\pi}}{\sqrt{\mu_{\pi}}} \sim p_{y\pi}, \frac{p_{0B}}{\sqrt{\mu_{\beta}}} \sim p_{yB}.$$

(2)

Подставляя $p_{yB}$ из (2) в (1), найдем установившееся давление паров воды в сосуде:

$$p_{y\pi} = \frac{p_y}{1 + \frac{p_{0B}}{p_{0\pi}} \sqrt{\frac{\mu_{\pi}}{\mu_{\beta}}}} = \frac{p_y}{1 + \sqrt{\frac{\mu_{\pi}}{p_{0}} - \frac{p_H \varphi}{100}}} \approx \frac{\varphi p_H p_y}{100 p_0} \sqrt{\frac{\mu_{\beta}}{\mu_{\pi}}} \approx 2.34 \cdot 10^{-5} \text{ мм рт. ст.}$$

В. В. Можаев

35

Ф1081. Для очистки воздуха от пыли, которая в обычных условиях оседает очень медленно, можно использовать тот факт, что пылики загрязены.
В первом опите стеклянный цилиндр (рис. 1) с пыльным воздухом помещают в электрическое поле напряженное $E_1=1\times 10^4$ В/m, направленное вдоль оси цилиндра. Через время $t_1=2$ мин все содержащаяся в цилиндре пыль осела на дно. Во втором опите вдоль оси цилиндра натягивает тонкую проволоку и соединяет ее с источником высокого напряжения. Известно, что в этом случае напряжение поля $E \sim 1/r$, где $r$ — расстояние до оси. Напряжение источника подбирают так, чтобы напряжение электрического поля у стенок цилиндра была, как и в первом опите, $1 \cdot 10^4$ В/m. Считая пылики одинаковыми, а заряды пылинок равны, определяйте время оседания всей пыли на стенки цилиндра во втором опите. Пыли в воздухе немного, так что объемзарядом можно пренебреть.

Ф1082. В схеме, приведенной на рис. 1, замыкают ключи K. Найти максимальный ток через катушка. Найти максимальное напряжение на

36

конденсатор $C_1$. Неодельностью элементов схемы можно преобразить.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

$$\frac{LI^2_{\max}}{2} + \frac{C_1 U_0^2}{2} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \frac{U_0^2}{2} + A_1.$$

Заряд, протекший через батарею, равен изменению заряда конденсатора $C_1$, и

$$A_1 = \Delta q \cdot U_0 = \left( C_1 U_0 - \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U_0 \right) U_0.$$

Таким образом,

$$I_{\max} = \frac{C_1 U_0}{\sqrt{L(C_1 + C_2)}}.$$

Второй вопрос немного сложнее. Сумма напряжения на конденсатора равна напряжению батареи и постоянна. Поэтому в тот момент, когда напряжение $U_1$ на конденсатор $C_1$ максимальное, напряжение $U_2 = U_0 - U_1$ на конденсатор $C_2$ должна быть минимально (и отрицательно), а значит, в этот момент ток через катушка должен быть равен нулю (рис. 3). Снова запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 (U_0 - U_1)^2}{2} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \frac{U_0^2}{2} + A_2,$$

где

$$A_2 = \left( C_1 U_1 - \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U_0 \right) U_0.$$

Отсюда находится максимальное значение напряжения на конденсатор $C_1$:

$$U_{1\max} = U_0 \left( 1 + \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right).$$

А.Р. Зильберман

Задча на исследование

Преобразование степени бинома

Докажите, что для нечетных $n$ разность $(x + y)^n - x^n - y^n$ представляется в виде многочлена $P_n(u, v)$ от двух переменных $v = x^2 y + y^2 x$, $u = x^2 + y^2 + xy$. (Для некоторых $n$ эти многочлены указываны в таблице. Заметим, что $P_n$ имеет лишь около $n/6$ отличных от 0 коэффициентов, и все они положительные.) Выведите соответствия между коэффициентами многочленов, позволяющие вычислять их последовательное; одно такое соответствие показем на примере, взятом из таблицы: $196 = 2 \cdot 133 - 85 + 15$.

Попробуйте найти другие закономерности, которые удовлетворяют коэффициентами этих много-

гочленов. Выло бы интересно найти аналогичные представления для четного $n$, а также для многочленов с большим числом переменных.

Дверь Фарраи, Будапешт

37

Задания

1. Листок календаря частино закрыт предыдущим листом (см. рисунок). Какая его часть должна открыть или закрыть?

2. Некоторые целое число $A$ возвели в куб. Показите, что по крайней мере одно из чисел : $A^3-A$ или $A^3+A$ — делится на 10.

3. Почему птицы в мороз расшиют перья?

4. Трехначное число начинается с цифры 7. Из него получили другие трехначное число, переставив эту цифру в конец числа. Полученное число оказалось на 117 меньше предыдущого. Какое число расматривалось?

5. Впишите в клеточки цифры 1, 2, …, 9 (каждую по одному разу) так, чтобы произведение оказалось наиболее набольшим.

Эти задания нам предложили: А. М. Домашенко, Г. А. Гальперин, А. П. Савин, Н. К. Антонович, Л. П. Моцалов.

37

38

О ПОЛЬЗЕ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ КОВБОЕВ

Кандидат физико-математических наук
А. С. ЯРСКИЙ

Билл явился к мистеру Кону сразу после обеда. В это время техасское солнце превращает все техасские сыры в плавленные, всю техасскую воду — в кипяченую и заставляет всех техасских жителей мечтать о какой-нибудь более скорой и не столь мучительной кончине.

К тому моменту, как температура Билла упала ниже точки кипения железа, а весь лед в доме полностую иссяк, Билл обрел, наконец, способность выговаривать слова:

— Понимаете, мистер Кон, все дело в этом Стенили! Мы с ним, можно сказать, приятели. И спорили до последнего времени только один раз.

— А как было дело? — мистер Кон изо всех сил старался не заснуть.

— Видите ли, мистер Кон, Стенили куда-то собрался, нажется, в Натчез — это в верховых Ред-Ривер. Ну, я там бывал и говорю ему:

— Туда, мол, семь суток пути верхом.

— Ага,— говорит Стенили,— а до Батон Руж?

— Сутки,— говорю.

— А до Лафайetta?

— Примерно четверо суток. И дорога не легкая.

— А до… — и тут он называет ещё какой-то городшко — сколько?

— Я там не бывал,— говорю,— но, думало, суток десять—двенадцать.

— Знаете, Билл,— говорит Стенили,— все эти четыре города лежат как по заказу — в вершинах прямогольника.

— Ну и что? — говорю я.

— А то! — ответает Стенили.— Я знаю, сколько пути до… — тут он опять назвал тот же городшко.

— Ты что,— говорю я ему,— был там?

— Нет,— говорит он,— не был.

— Так откуда же ты можешь знать?

— Знаю,— говорит,— туда около восьми суток!

Ну, слова за слова, мистер Кон, вывел я своего инохода и…ровно через восемь суток оказался в этом городшке,vek бы его не видать. А еще через восемь суток Стенили мне объясил, что есть какая-то там «теорема»…*).Выходит, за ней-то я и моглася на Ред-Ривер.

— Ваш Стенили — неглупый мальй!— жара, какется, немного спала и мистер Кон слегка приободился.

— Даже черезцур неглупый.— Билл недовольно хмыкнул.

И вот, мистер Кон, несколько дней назад подходит ко мне этот Стенили, заводит разговор о погоде, о ценах на скот, а потом и говорит:

— Слушайте, Билл, как вы думаете, найдется ли в наших местах такая лошадь, с которой вам не справиться, а по моей она пойдёт?

Я, не задумываясь, говорю ему:

— Что же, Стенили, на такой лошадии я, так уж и быть, помогу тебе добраться до ближайшегоkladбища.

А он опять за свое:

*) Если ABCD — прямогольник и S — произвольная точка, то SA² + SC² = SB² + SD².

39

— Сдается мне, Билл, что есть такая лошадь.

— Ладно, — говорю, — ставлю десять против одного, что такой лошади нет. Выкладывай долар и не морочь мне голову.

— Не торопитесь, Билл, — говорит он, — и приготовьте десять доларов. Ответ стоит у вас в конце. Смотрите!

Тут он берет тетрадь, в которой я веду счет, открывает ее на чистой странице и пишет:

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d}.$$

Я, мистер Кон, его справиво:

— Слушай, Стенли, а что это ты начал счет с десяти — тут справа, в скобках?

— Это ваш мне долг, — говорит он, — где же его записьать, как не в бухгалтерской книге?

— Ты что-то очень спешшь, — говорю я ему. — Я, правда, давно не ходу в школу, но эта твой лошадь под номером десять хромает на все четыре ноги. И мою десяту ты получшь не раныше, чем это животное сделает хотя бы один шаг.

— Оно этот шаг сделает, — говорит Стенли и пишет:

$$\frac{8}{2} - \frac{9}{3} = \frac{8-9}{2-3}.$$

— Проверьте, — говорит, — предъявленный счет и раскошеливайесь…

Скажите, мистер Кон, вы когда-нибудь видели человека, который свалял дурака и тут же в этом признался? А ненужные десять доларов видели?…

— Слушай, Стенли, — говорю я, — ставлю еще десяту, что больше твой мерин не сделает ни шаг!

— Выкладывайте, — говорит он, — и вот вам расписка в получении:

$$\frac{5}{3} - \frac{9}{9} = \frac{5-9}{3-9} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}.$$

Проиграть две скачки подряд — такого со мной еще не бывало, мистер Кон. Но тут я вспомнил наш со Стенли уговор и решил, что еще не все потеряно.

— Слушай, Стенли, — говорю я ему, — под только этот конь ходит, не спорю. Но ты говорил, что мне на нем не успеть. Ставлю двацать против твоих двацати, что и у меня этот мустанг поjdет по струнке.

— Принято, — ответает Стенли.

Так вот, мистер Кон, эту скачку я тоже проигral… Вам, мистер Кон, в своей школе и за недель не заработать столько, сколько этот паршивец Стенли огреб за пару часов… А главное, я никак не могу взять в толк, какого дьявода хромая лошадь, то есть, я хотел сказать — неверная формула дает верные ответы? Вот с этим я, собственно, к вам и пришел!…

---

— Наука требует жертв! — изрек мистер Кон. — И вы, Билли, — одна из этих жертв!.. Во-первых, кто вам сказал, что неверная формула не может давать верных результатов? Че-пу-ха! Далее самый большой на свете враль может служить сказать правду!.. Во-вторых, пока вы тут продували один заезд за другим, я нашел подоблку вашего позора. Взгляните-ка на формулу

$$\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \left( 2 - \frac{b}{d} \right).$$

Неважно, каким именно путем я к ней пришел. Важно, что это — та же самая формула (10). Несколько преобразованная, конечно. Вы, Билли, можете взять любые b и d, вычислить по ним a и c — и все! Просто и безот-
(Окончание см. на c. 42)

40

Калейдокон, Клим

Мне хочется верить, что те,
кто любит познать причины явлений…
найдут nekotорое уdoелетворение при
ознакомлении с различными изложенными
здесь размышлениями о себе…

Х. Гюйленс.
«Трактат о свете»

1. Почему быстят возникшие пузыри в воде?

2. Можно ли разжчь костер при помоши льда?

3. Почему даже в чистой воде человека видит плохо?

4. Акваалгист, плавающий под водой, видит рыбка на берегу, а рыбак лишь в редких случах может увидеть акваалгиста. Почему?

5. Какую характеристику неизвестного вещества доставно определенть, чтобы узнать скорость света в нем?

6. Человек приближается к плоскому зеркулу со скоростью 2 м/c. С какой скоростью он приближается к своему изобравению?

7. Построите изображение человека в плоском зерне-
   ле в случае, показанное на рисунке.

8. Чем обьясняется блеск драгоценных камней?

9. Почему днем не видно звезд?

10. Сколько изобравений точки А (см. рисунок)

41

7. Луч проектора в тумане виден хороно, а в.acнную погоду — хуже. Почему?

…весьма точные измерения улыбое преломления света в разных средах произведел еще Клаевый Птоlemей (140 год н.э.) Однако установить соответствие между узлами подделия и узлами преломления ему не удалось.

…полное внутреннее отражение в естественных моноокристалых яcelестся более совершенным, чем отражение от специально изготовленных металлических зерка, две всесяда проискодит неокторое положение энергией подающего пучка.

…соевый известиство, причем не только в научных кругах, Нуютон при жизни более всего был обозначен союм оптическим исследованием, а самым nonулярным е20 произведением была «Отика», которая в течение многих десятилетия оставалась энергией для себя и в оптике что-то новое и интересное.

Отражение и преломление

Эти понятия, такие простые на первый взгляд,— глубокие и неотъемлемые представления одного из важнейших разделов физики—оптики. В физике мало таких областей, в которых с начала их развития были получены только крупные научные результаты, что и посядь день сохранили свое значение. Именно поэтому исследования по оптике оказали очень большие влияние на становление других разделов естественного, заставили переместить основные положения классической физики и сыграли существенную роль при зарождании теории относительнойности и квантовой теории. Мы надемся, что нынший выпуск «Каейдоскона» поможет вам по-иному взглянуть на некоторых привычные явления и приборы, например на линияу или фортапарат, а может быть, побудит серверно зауматься о механизме человекаского зрения — в обшем, поможет вам открыть для себя и в оптике что-то новое и интересное.

об ограничении и преломления (публичации последних лет)

1. «Причина Ферма» — 1984, № 1, с. 36;
2. «Дела и продолжки Ферма» — 1984, № 8;
3. «Неколько опытов с обежем» — 1984, № 11;
4. «Что такое радуга» — 1984, № 12, с. 20;
5. «Лучи и волны» — 1985, № 11, с. 23;
6. «Оттищеские приборы» — 1986, № 10;
7. «А что будет, если…» — 1986, № 12.
8. «Как однажды Жак-зонарь zouловой сломал фонарь…» — 1987, № 12.

42

казно! Пример? Пожалуйста. Назовите любые два числа. Два и семь? Прекрасно. Берем $b=2$, $d=7$ и вычисляем:

$$\frac{a}{c} = \frac{2}{7} \left( 2 - \frac{2}{7} \right) = \frac{2}{7} \cdot \frac{12}{7} = \frac{24}{49}.$$

Берите теперь $a=24$, $c=49$ или $a=48$, $c=98$… Проверяйте:

$$\frac{24}{2} - \frac{49}{7} = \frac{24-49}{2-7};$$

$$\frac{48}{2} - \frac{98}{7} = \frac{49-98}{2-7}.$$

Может, кстати, удвоить, утроить — хоть удсятерить оба знаменатель или числителя:

$$\frac{24}{6} - \frac{49}{21} = \frac{24-49}{6-21}.$$

Мистер Кон удовлевренно переведdux. Билл внимательно просмотрел написанное и подвел итог:

— От сны двацать. Больше мне на всем этом не отыграть!
— Это как сказать! — возмутился мистер Кон.— Конечно, этот ваш Стенли может знать открыTYо мной закономерность. Но одну вешь он наверняка не сможет сделать — просто потому, что это невозможно! Предложите ему, Билл, такой вопрос: может ли лошадь под номером 10 поднять голову?!! А говоря по просту, пусть добавется равенства (10) при $a>c$! Но не забудьте, Билл, все эти $a, b, c$ и $d$ — целые положительные числа. Вам ясно?

Возможно ли РАВЕНСТВО (10) при $a>c$?

Хмурое лицо Билла несколько проясилось.

— Если все так, как вы говорите, мистер Кон, то я возьму с него по путь доларов за каждый час, пока он будет ломать голову. Пятерка в час — это по совести.

— Не ждничайте, Билл,— возразил мистер Кон.— Речь идет о пожизнёмodoxе! Даже пятьдесят центов в час составят в сутки приличную сумму в двенадцать доларов!…

Мистер Кон ненадолго задумался.

— Знаете, Билл, предложите это невыполнимое задание кому-нибудь побогаче Стенли. Иначе идея не проживает и трех дней.

— Это уже моя zabota,— заявил Билл.— Хотел бы я, однако, допуматься, почему эта лошадь не может поднять голову?.. И еще одно. Мистер Кон, а если он и это знает?

— Тогда,— мистер Кон начал накляться,— тогда пусть найдет несократимые дроби $a/b$ и $c/d$ и сохранит условия (10)!

Возможно ли РАВЕНСТВО (10) при $a>c$?

— Хорошо,— сказал Билл,— но если он и об этом насыщан?
— Все,— отрезал мистер Кон,— меняем пластинку! Скажите, Билли, нравится вам дробь

$$\frac{19}{95}?$$

— Дробь как дробь…— Билл немного помолчал.— Какется, она сокращается…

— Да,— завопил мистер Кон,— сокращается!!! Но как!!! Просто вычеркиваются одинаковые цифры — последняя в числитель и первая в знаменатель:

$$\frac{19}{95} = \frac{1}{5}.$$

Проверяйте!!! А вот вам еще:

$$\frac{16}{64} = \frac{1}{4}.$$

И еще:

$$\frac{49}{98} = \frac{4}{8}.$$

На лице Билла появилось страное выражение. Он взял карандаш и под-

43

рагивающий рукой стал писать:
$$\frac{5}{55} = \frac{77}{77} = \frac{333}{333}.$$

— Посмотрите, мистер Кон,— сказал он тихо,— это я сам придумал…
— Эти примеры тривиальны,— безпелляционно заявил мистер Кон,— и мы их исключаим из рассторения. Так вот, пусть этот ваш Стенли придумает еще одну дробь, которая сокращается по такому способу, и чтобы она, разумется, не состояла из одинаковых цифр. Знайте, Билл: если в числе и знаменитые стоят двузначные числа, то таких дробей всего четыре! При из них я вам написал. А четвертую пусть шест Стенли…

Какую дроб не назвал мистер Кон?
И-молоко иODY?

Да, чуть не забыл. Если в числе несколько раз повторить последнюю цифру, а в знаменатель — столько же раз первого его цифру, то нашей неправильное сокращение дает верный результат. Смотрите и можете проверить:

$$\frac{19}{95} = \frac{199}{995} = \frac{1999}{9995} = \frac{1}{5}.$$

Пусть Стенли пробует сосчитать устно, чем равно
$$\frac{1666666666}{6666666664}?$$

Ну, Билл, этого, я думаю, вам хватит?

1000раз
1666…6
666…64
1000раз
3000раз
4999…9
999…98
4/8
3000раз

— Да, мистер Кон, спасибо. Но,— Билл смущенно поднялся,— у меня… я сейчас… пока не отыграюсь…
— Сколко? — лаконично спросил мистер Кон.

Билл совсем смутился, вытер люб и глубоко вздохнул.
— Если можно, три семьдесят три.
— Три доллара? — Мистер Кон удивленно хмыкнул.— Возьмите сорок — на первое время.
— Нет, мистер Кон, на то, что я задумал, мне нужно повно три семьдесят три!… Все верно. Спасибо, мистер Кон…

---

Примерно через неделю к мистеру Кону, как и следовало ожидать, заявился Стенли. Внешний его вид говорил о том, что ни для Билла, ни для кого-либо другого Стенли уже не мог служить источником дохода.
— Рад с вами познакомиться,— сказал мистер Кон,— присяжай-teсь. Ну, рассказывайте, как ваши дела?
— Как вам сказать, мистер Кон, дела идут… Вотащел показать вам одну штуку.
Стенли подошел к столу, взял лист бумаги и написал:
$$\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}.$$

44

— Довольно хитряя вещь,— сказал он. — Число неправильно вынослив из-под корня, а результат все равно правильно… Но у меня этот фокус не прошел: Билл все понял за пять минут и даже написал общую формулу! Это спутало все мои планы… Ну, да не об этом речь. Я, собственно,ащел, чтобы… ну…

КАКУЮ ФОРМУЛУ НАЛИСАЛ БИЛЛ?

— Сколько вам дать, Стенли? — напрямик спросил мистер Кон.
— Если вас это не слишком обременит, дайте мне,— Стенли перевел двух,— три доллара семьдесят три centsа. Верну через пару дней.
— Знаете, Стенли,— заметил мистер Кон, протягивая деньги,— я уже второй раз слышу эту непелую сумму — 3.73. Что, в конце концов, она означает?

— Да так, пустяки, мистер Кон, мелочь…— Стенли покрасnel, пробормotal еще что-то неразумительное и поспешно попрошался.

---

Через несколько дней мистер Кон был вынужден съедить по делу в ближайший городшко. Возле магазина ему бросилось в глаза рекламное объявление:

НОВИНКА
M. Я. Гардельман
Живая математика для миллионов
Полезные и занимаемые приложения
Цена: 3 доллара 73 centsа
А в углу кто-то приписал:

$$\frac{3\frac{1}{4}}{4\frac{1}{3}} = \frac{3}{4}.$$

КАКАЯ ФОРМУЛА скрывается ЗА ТАКИМ сокращением?

45

Компьютерный клуб «СПРАЙТ»

Четыре года назад, когда школьный комьютер был такой же редкостью, как заморский овощ — картофель во времена Петра I, в нашей школе начал работать факультатив по программированию. Редкостьный овощ у нас не произрастал: чтобы поработать на настоящей ЭВМ, мы едили в вычислительной центр Свердловского педагогического института. Через год школьный комьютер перестал быть диковинкой, и у нас в школе появился первая вычислительная машина — «Электроника Д3-28». Сначала одна, а следом за ней и другая. Еще через год в школе появился целый выбор из девенадцати новеньких «Роботров». Для вылупившихся маленьей пришлось срочно оборудовать дисплейный класс. Впрочем, сейчас это не более удивительное, чем жареная картошка на ужин.

Если прийти в дисплейный класс свердловской школе № 121 на засечание комьютерного клуба «СПРАЙТ», то можно попасть на лекцию «ЭВМ в медицинке» или на спор о современной музыке, на встречу со специалистом по машинной графике или разговор о творчестве французских импрессионных программ или на вечер позиции.

Каждай год к нам в клуб приходит новые ребята. Приходят, чтобы научиться программировать, освоить новую технику. Обучение самых младших ведется по «новосибирской» методике А. П. Ершова — Г. А. Звенигородского. Для этого мы переесли на наш школьные машины исполнители «Муравей» и «Шпага», описанные в книге Г. А. Звенигородского «Первые уроки программирования» (М.: Наука, 1986. Серия: Библиотека «Квант»). Занятия у старших и более

опытных прохождение формы семинара, когда каждый по очереди изучает тему и объясняет остальные. Старшие члены клуба учат младших. Наш выпускник Коля Мохов, теперь уже студент университета, будучи десятиклассиком, занимался с группой пятиклассников. Нынче это стало традицией.

Групповой портрет с Роботромом.

За два— три года занятый в клубе ребята успешно несколько языков программирования, паработать на различных машинах. Многие из них началиот сами создавать программы, могут грамотно проводить весь комплект работы — от постановки задачи совместно с заказчиком до оформления документации. Однако из основных направлений нашей работы — разработка обучающих программ по различным предметам. За три года были сделаны программы для уроков математики, химии, информатики, русского и английского языка. Многие из них нашли применение в школе иedinституте.

Члены нашего клуб — неременьные участники и передко призеры олимпиад по программированию, научно-практических конференций школьников и конкурсов про-

фессионального мастерства, которые проводятся в городе. Принимали они участие и в работе Ленинградской конференции «Школьная информатика».

В летние каникулы нашей старшеклассики работали программистами в вычислительных центрах. На летних школах юных программистов в г. Новосибирске мы нашли немало друзей и единомышленников. Особенно подружились с членами комьютерного клуба «Виртуал» из г. Кур-

46

Наблюдение и фотосъемка быстрого протекающих процессов

С. М. БЕЛОУСОВ, Р. Н. ГЕРАСИМОВ

Подтолкнула нас к этой работе книга Дж. Дариуса «Недоступное глаза», в котором мы прочитали про скоростную фотосъемку и увидели интересные фотографии.

Мы решили собрать установку, позволяющую получить фотографию быстропroteкативных процессов. А что

Эта статья, написанная ленинградскими школьниками, рассказывает о большей и интересной работе, которую провели авторы — ученики 9 класса ФМШ № 45 при ЛГУ — на базе Научно-исследовательского института физики ЛГУ.

бы эти процессы можно было также наблюдать непосредственно глазом, установить мы сделали стrobоскопический. Блок-схема нашей установки изображена на рисунке 1.

В качестве объекта исследования был взят процесс padения капель на поверхности воды.

Очередная капля, падая в воду, прерывает лазерный луч, затемняя при этом фотодиод. Электрический импульс с фотодиода попадает на таймер (регулируемая задержка), который нужен для того, чтобы можно было наблюдать разные фазы исследуемого процесса. Задержанный импульс поступает на усилитель-формировать, открывая, усиленный во много раз, идет на поджиг лампы-вспышки.

Для того чтобы капля не была на фотографии размаzanной, нужно достагочно малое время экспозиции. Это время (τ) легко оценить, исходя из следующих сообщений. Капля, падающая в воду с высоты H=20 см, имеет скорость у поверхности воды

48

Фото 1. τ=0.
Фото 2. τ=9 мс.
Фото 3. τ=19 мс.
Фото 4. τ=34 мс.
Фото 5. τ=59 мс.
Фото 6. τ=96 мс.
Фото 7. τ=135 мс.
Фото 8. τ=154 мс.
Фото 9. τ=169 мс.
Фото 10. τ=188 мс.
Фото 11. τ=228 мс.
Фото 12. τ=262 мс.

48

49

лографа С1-64. Импульс тока, возникающий при padеники капли через лазерный луч, приводил к запуску развертки А. Через время $T$, определяемое положением ручек «длинительность развертки А» и «задержка развертки В», осцилографы вырабатываем импульс запуска задержной развертки (развертка В). Этимпульс поступал на вход внешнего запуска импульского генератора Г5-63. Импульс, сформированный генератором, поступал на схему поджигта лампы-вспышки. Время задержки задавалось многооборотным потенциометром в пределах от 0 до 400 мкс и отсутствовось с точностью до 1 мкс.

Мы фотографировали padение капли в воду с разных высот. Найболее удачной и полной получалась серия фотографики капель, padаоших с высоты 37,5 см. Фотографии этой серии идут последовательно, как стадии проискодащего процесса. На фотографиях видна линейка с миллиметровыми делениями, она задает масштаб. Все фотографии сделаны в одном масштабе. Время $t$, которое приводится в подписах к фотографиям, отсутствует от момента касания каплей воды. Фотосъемка велась с помощью фотоаппарата «Зенит» на пленку «Аэрофото» (1400 ед.).

Приведем краткие описания фотографии.

Падая в воду, капля колблется и из-за этого имеет несферическую форму. Капля, зависшая над водой, запечатлена на фото 1 и 2. Над каплей на фотографии 1 видна маленькая капелька. Это — так называемый шарик Плато, возникающий при отрыве капли от капельницы.

Ударясь о воду, капля выдавливает находящую под ней жидкость вверх по своим краям в тонкий цилиндр. На фото 2 видно начало этого процесса. Жидкость на краях все увеличивающегося цилиндра энергетически выгоднее собственся в капли. Из сообщений симметрии ясно, что капли должны быть расположены по краям цилиндра равномерно. Поэтому и получают такие красные фотографии, как фото 3, где цилиндр похож на корону.

Под действием сил тяжести и поверхности натяжения корона начинает опадать (фото 4). Когда корона опадет совсем, на ее месте образуется водонка, через некоторое время водонка

ка схлопывает, и из ее центра начинает расти стольник (фото 5).

Столбик растет и утомляется и в какой-то момент достигает наиболее высокий высоты (фото 6).

Под действием сил поверхности на столбке образуется перемычка, и столбик распадается на капли, которые падают обратно в жидкость. Последовательные стадии распада столбка на капли показаны на фото 7—9. При стrobоскопическом наблюлении мы заметили, что в зависимости от толщины и высоты столбка он распадается на разное число капель. (Распад столбка обусловлен тем, что при образовании капель их суммарная поверхность энергия оказывается меньше, чем у столбика.) При этом оказывается что число капель, на которых распадается столбик, не зависит от коэффициента поверхности натяжения, а определяется только отношением диаметра к высоте столбка.

После того как капли от распавшегося столбка упали в воду, снова образуется водонка, из центра затягивает столбик (фото 10—12).

Литература

1. Дж. Дарис. Недоступное глаза — М.: Мир, 1986.
2. Я. Е. Гегузин. Капля. — М.: Наука, 1973.
3. Обыты в домашней лаборатории. — М.: Наука, 1984. — (Серия: Библиотека «Квант», вып. 4).
4. Я. Е. Гегузин. Пузыри. — М.: Наука, 1985. — (Серия: Библиотека «Квант», вып. 4).
5. Альбом текущей жидкости и газов. — М.: Мир, 1986.

50

Математика 6—10

Публикуемые ниже заметки объединены общим сложетом: в них идет речь о сумме углов многоугольника — выпуклого и произвольного, плоского и «сферического». Попутно обсуждаются теорема Эйлера о карте на плоскости (и на сфере) и вытекающая из нее более известная теорема Эйлера о многоугольника. Хотя первая заметка адресована учащимся 6—8 классов, второй — деяктилассик, а третья — деяктилассик, мы рекомендуем все же читать их подряд. Все три заметки подготовлены Н. В. Васильевым и В. Л. Гутенмахером.

Сумма углов
Сумма углов треугольника

Один из первых геометрических фактов, которые мы узнали — теорема о том, что в любом треугольнике сумма углов равна 180°. Этот факт можно проверить экспериментально: вырезать из бумаги произвольный треугольник, оторвать от него два угла и приложить к третьему — они составляют вместе развернутый угол в 180°. На той же идее — собрать три угла в одной вершине — основано и доказательство теоремы (рис. 1): если через вершину треугольника проведится прямую, параллельную проиноположной стороне — основанию, то два образованшихся угла будут равны углам при основании.

О «пятом постулате» Евклида

В этом нашем рассуждении использован «пятый постулат» Евклида — аксиома, утверждающая единственное прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку. Пары накрест лежащих углов при параллельных прямых равны*), и отсюда следует теорема о сумме углов треугольника. Разумеется, из теоремы о сумме углов треугольника в свою очередь можно вывести «пятый постулат» — они эквивалентны друг другу. Более двух тысяч лет понадобилось, чтобы выяснить, что отрицание пятого постулата — возможноность проведения через точку более одной прямой, не пересекающий данной, — вместе со всеми

*) См. «Геометрию 6—10» (М.: «Просвещение», 1986), c. 41.

51

другими аксиомами геометрии приводит к новой непротиворечной теории: геометрия Лобачевского. В геометрия Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°. В этой геометрии чем больше треугольник, тем больше разность между 180° и суммой углов треугольника — эта разность пропорциональна площади треугольника.

Геометрия в близком нам мире вполне согласуется с общной геометрией Евклида. Оdnako геометрия Лобачевского оказывается глубоко связанной с теории относительнойности. О геометрия Лобачевского можно прочитать в стате К. Л. Самарова, В. М. Уроева «Модель Пуанкаре» в «Кванте» № 6 за 1984 год.

Teorema о внешнем угле

Можно собрать углы треугольника вместе иным, чем на рисунке 1, образом, продолжив одну его сторону за вершину и проведя из этой вершины луч, параллельный противоположной стороне (рис. 2). Таким образом доказывается, что внешний угол треугольника (смежный с внутренним) равен сумме двух не смешных с ним внутренних углов. По существу это — вариант теоремы о сумме углов треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника используется при доказательстве многохутверждений. Напомним лишь одно, применяющегося особенно часто: величины центрального угла равна половине величины дуги, на которой опирается этот угол, т. е. положение величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу (в учебнике А. В. Погорелов «Геометрия 6—10» этот факт завершает курс 6 класса).

О величины угла

В обиденной жизни под углом понятия острая геометрическая фигура (угол стола, угол дома). Говоря об экспериментальной проверке теоремы о сумме углов треугольника, мы имеем в виду угол как часть плоскости, заключенную между двумя лучами (кусок бумаги). Сложение углов — прикладывание одного угла к другому — приведо нас к необучному углу, стороны которого лежат на одной прямой: развернуту углу в 180°.

Прикладывание нескольких углов может привести к тому, что начнет получаться какая-то двух-слойная фигура. Возникает естественный вопрос: что такое угол, например, в 380°? Такие углы рассматривают в курс трионометрии (см. «Алгебру — 8», с. 131); их удобно использовать при измерении поворотов.

Рассмотрим в качестве примеравращение ручки радиоприемника, используемой для его настройки. Повернуть эту руку на сколько-то градусов, мы попадем на нужную волну. При этом поворот от какой-то метки на 20° — это для настройки радиоприемника не то же самое, что поворот на 380°, хотя соответствующие положения ручки совпадают. Более того, врашать руку можно в ту и другую сторону — поэтому нужно ввести кроме положительных (отвечающих, скажем, поворотам против часовой стрелки) еще и отрицательные углы. Суммой двух углов будет поворот, который получается, если повернуть руку сначала на один угол, а потом на второй.

Попробуем с такой точки зрения рассмотреть сначала сумму углов треугольника, а затем многоугольника.

Сумма углов многоугольника

Представим себе линейку, скользываю по сторонам треугольника (рис. 3, а). Возле каждой вершины линейка поворачивается на вершину, равную внешнему углу треугольника, а после полного обхода вокруг треугольника — скажем, против часов стрелки — линейка возвращается на прежнее место, сделав один полный оборот — на 360°. Итак, сумма внешних углов треугольника равна 360° (рис. 3, б).

Точно такое же рассужждение применимо к любому выпуклому $n$-уголь-

52

нику: сумма внешних его углов равна 360° (рис. 4).

Поскольку каждый внешний угол в сумме со смежным ему внутренним дает 180°, сумма всех внутренних углов n-угольника равна 180°n−360°=180°(n−2).

Этот результат в учебнике доказывается иначе: выпуклый n-угольник можно разить диагоналями, проведенными из одной вершины, на n−2 треугольника; сумма всех их углов, равная, очевидно, сумме всех n углов n-угольника, в (n−2) раза больше суммы углов одного треугольника.

Такую же сумму углов имеет и любой, не обязательно выпуклый n-угольник. Но доказательство несколько сложнее.

Если пытается обойти «сложный» многоугольник по контуру и подсчитывать сумму внешних углов — углов поворота, то, во-первых, нужно будет учитывать направления поворота: углы поворота против часовой стрелки считать положительными, а по часовой стрелке — отрицательными (такие повороты соответствуют внутренним углам, большем 180°); во-вторых, не так уж очевидно, что в результате обхода многоугольника (несямопересекающей ломаной) общий поворот составит один полный оборот на 360°. Заметим, что при обходе самопересекающей ломаной на рисунке 5 — пятную угловой звезды — линейка делает два полных оборота, т. е. сумма внешних углов при вершинах звезды

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

правна 720° (а значит, сумма внутренних ее углов всегда равна 180°×5−720°=180°; проверьте этот результат, рассмотрев треугольники и выпуклый пятную угловик, из которых состоит звезда).

Доказать теорему о сумме углов любого многоугольника (не обязательно выпуклого) можно методом разрезания. Но об этом — в следующей заметке.

О разрешениях многоугольников и теореме Эйлера

Под многоугольником мы теперь понимаем кусок плоскости, вырезаем несямопересекающей ломаной. Начнем с того, что, как и побециальы в предыдущей заметке, доказем теорему о сумме углов любого многоугольника (не обязательно выпуклого) методом разрезания.

Конечно, найти вершину, из которого «видны» все остальные вершины (как для выпуклого многоугольника) в общем случае уже нельзя. Не совсем очевидно даже, что можно найти хотя одну диагональ, целиком лежащую внутри n-угольника. Но этот факт верен.

Лемма. Из любой вершины новыхугольника, угол при которой больше 180°, можно проверти диагональ, целиком лежащую внутри этого многоугольника.

Рассмотрим всевозможные лучи, идущие из такой вершины внутри многоугольника (рис. 1). Они «освещают», быть может, частично, по

53

крайней mere две стороны многоугольника. В самом деле, все лучи, которые освещают одну сторону, заполют угол, меньший 180°. Итак, угол многоугольника (больший 180°) разбивает по крайней мере на два угла, которые образаны лучами, освещющими разные стороны многоугольника. Тогда луч, разделяющий два таких угла, направлен в вершину многоугольника — по диагонали, целиком находящейся внутри многоугольника.

С помощью многократного использования леммы любой $n$-угольник можно разрезать на треугольники. Но мы должны проследить еще за количеством треугольников. Как и многие другие теоремы, в которых участвует произвольное натуральное число $n$, оформить доказательство удобнее всего с помощью математической индукции.

О математической индукции

Здесь принципи математической индукции мы используем в таком виде. Пусть неокторое утверждение, в формулировке которого участвует натуральное число $n$, справедливо для $n=n_0$ и из того, что оно справедливо для всех $n$ таких, что $n_0 \leq n < N$, следует его справедливо для $n=N$. Тогда оно верно для всех натуральных $n \geq n_0$.

Докажем по индукции нужное нам утверждение.

Теорема. Сумма углов произвольного (не обязательного выпуклого) $n$-угольника равна 180°($n-2$).

Для $n=3$ это верно. Пусть нашей утверждение справедливо для всех $n<N$ ($n \geq 3$). Рассмотрим неокторий $N$-угольник. По лемме его можно разрезать диагональю на два многоугольника. Пусть в одном из них $K$ сторон от большого $N$-угольника — т. е. он $(K+1)$-угольник, в другом $N-K$ остальных сторон — и он тем самым $(N-K+1)$-угольник. По предположению индукции их суммы углов равны $180^\circ(K-1)$ и $180^\circ(N-K-1)$. Складывая, получаем, что сумма всех углов $N$-угольника составляет $180^\circ(K-1)+180^\circ(N-K-1)=180^\circ(N-2)$. Теорема доказана.

Задно мы можем сделать такой вывод: при любом разрезании

54

Рис. 2.

Теорема Эйлера о карте. Пусть на плоскости выбрано В точек, и они соединены P отрезками так, что образовался многоугольник, разбитый на M других многоугольников правильным образом (рис. 2). Тогда B—P+M=1.

Доказательство. Пусть большой (внешний) многоугольник имеет n сторон (и n вершин), а число сторон тех M многоугольников, на которые он разрезан, — n1, n2, …, nM. Из B вершин карты n вершин лежат на границе, а (B—n) — внутри большого многоугольника. Подсчитав двумя способами обшную сумму углов всех M многоугольников, получим равенство $180^\circ(n_1-2)+...+180^\circ(n_M-2) = 180^\circ(n-2)+360^\circ(B-n)$,

откуда
$$n_1+n_2+...+n_M-2M=2B-n-2.$$

Заметим теперь, что в сумме $n_1+n_2+...+n_M+n$ каждый из P отрезков участвует дважды — он служит сторон двух многоугольников (ли-
	B	P	Γ
Куб	8	12	6
Тетраэдр	4	6	4
5-угольная пирамида	6	10	6
Октаэдр	6	12	8
Додекаэдр	20	30	12

Рис. 3.

Рис. 4.

55

ра. Из формулы $B-P+M=1$ для карты получаем формулу $B-P+\Gamma=2$ для многогранника.

Общая теорема Эйлера

Использование суммы углов для доказательства теоремы Эйлера — прием красивый, но несколько искусственный. На самом деле теорема Эйлера верна и для более общей ситуации — например, для произвольной карты с $B$ вершинами, $P$ ребрами и $\Gamma$ странами на сфере, причем «ребрами» могут служить любые отрезки кривых, лишь бы каждой страна имела границу из нескольких идущих целочкой ребер (в частности, внутри страны не должны быть «дыр», относится к другим странам). Однако из возможных идей доказательства теоремы в такой большей общности — индукция, основанная на «стягивании» одной из страны в точку.

Сумме углов многоугольника на сфере и теореме Эйлера для карты на сфере посвящена следующая заметка.

Сумма углов сферического многоугольника

На сфере мы будем рассматривать многоугольники, стороны которых — дуги больших кругов. Такой многоугольник можно получить как пересечение сферы с многогранным углом, вершина которого лежит в центре сферы $O$ (рис. 1). Величиной угла многоугольника на сфере естественно считать угол между касательными к его «сторонам», проведенными из вершины; поскольку касательные перpendикулярные радиусу, проведенноу в вершину из точки $O$, угол многоугольника на сфере равен двумранному углу при этом радиусе.

Аналогия между «суммой углов» и площадью, которое мы вскользь упомянули в предыдущей заметке, здесь ставится осZAемой: одна величина просто выражается через другую.

Теорема. Площадь многоугольника на сфере пропорциональна разности между суммой его углов и $180^\circ(n-2)$, где $n$ — число вершин многоугольника.

Козффициент пропорциональности зависит лишь от радиуса сферы. Прием радиус сферы за единицу (тогда площадь сферы равна $4\pi$) и условимся

Рис. 1.

углы измерять не в градусах, а в радианах ($180^\circ$ соответствует $\pi$ радианам). Тогда площадь $n$-угольника на сфере равна $\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n-\pi(n-2)$, где $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ — его углы.

В частности, площадь треугольника на единичной сфере с углами $\alpha, \beta, \gamma$ равна $\alpha+\beta+\gamma-\pi$.

Проверим формулу $S=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ для осмышки сферы, вырезаемой из нее треява взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими через центр: у этой осмышки три угла по $\pi/2$ каждый, и по формуле ее площадь равна $3\pi/2-\pi=\pi/2$ — действительно, это $1/8$ часть от $4\pi$, площади все сферы.

Доказать эту теорему достаточно для сферического треугольника: общая формула получится из этого частного случая также, как и при доказательстве теоремы о сумме углов плоского $n$-угольника, — с помощью разрезания и математической индукции.

Продолжив стороны сферического треугольника, мы получим три больших круга, разбивающих сферу на 8 треугольников (удобно представить себе три пересекающих в центре $O$ плоскости этих больших кругов, делых пространство на 8 треугольных углов,— каждый из них высекает на сфере треугольник). Обозначим углы нашего треугольника через $\alpha, \beta$ и $\gamma$, его площадь — через $S$, площади соседних с ним треугольников (примыкающих к сторонам, лежащим против углов $\alpha, \beta$ и $\gamma$ соответственно) — через $a, b$ и $c$ (рис. 2). Вместе с каждыми треугольниками наш тре

56

Угольник образует дольку — часть сферы, ограниченную двумя большими полукругами. Площадь такой дольки, очевидно, пропорциональна углу между плоскостями этих полукругов: площадь дольки с углом растора $\theta$ равна $2\theta$ ($\theta=2\pi$ соответствует полной сфере). Поэтому $S+a=2\alpha, S+b=2\beta, S+c=2\gamma$. Теперь заметим, что 8 треугольников на сфере попарно симметрины друг другу, поэтому $a+b+c+S=2\pi$. Сложив первые три равенства и вычтя из суммы четырех, получим $2S=2\alpha+2\beta+2\gamma-2\pi$, откуда $S=\alpha+\beta+\gamma-\pi$. Это и есть нужная формула для сферического треугольника.

Телесный угол. В физике (реже — в геометрии) былает полезно вершину «телесного угла», образуемого многогранной (и вообще, коничской) поверхностью с вершиной $O$: телесный угол изменяется площадью, высекаемой этой поверхности на единичной сфере с центром $O$. (Единца этой вершины называется «стерадиан».) Наша теорема выражает вершину телесного многогранного угла через вершины его двугранных углов.

Для карты на сфере, образованной двумя больших кругов, теорему Эйлера также можно доказать с помощью подсчета суммы углов. При этом нужно воспользоваться формулой, выражающей сумму углов многоугольника через его площадь и число сторона, $S=(сумма углов)-\pi(n-2)$, и учеть, что сумма всех углов вместе равна $2\pi B$, где $B$ — число вершин карты: $4\pi=2\pi B-\pi(2P-2\Gamma)$.

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Может ли денежная сумма $A$ рублей $B$ копеек в целое число $k$ раз превосходить денежную сумму $B$ рублей $A$ копеек ($0\leq A<100, 0\leq B<100$)? Если да, то во сколько раз?
2. Найдите все пары натуральных чисел, сумма квадратов которых равна 16 000.
3. Найдите положительные решения системы уравнения
   $$\begin{cases} xy(x+y)=6, \\ yz(y+z)=12, \\ zx(z+x)=30. \end{cases}$$
4. С помощью двусторонней линейки $a$) проведите бисекториус данного угла, 6) удвойте данный угол.
5. В остругольном треугольнике из разных вершин провел медиану, бисекториус и высоту. Могут ли точки их пересечения лежать в вершинах равностороннего треугольника?
   Девятый класс
6. Решите уравнение $(16x^{200}+1)(y^{200}+1)=16(xy)^{100}$.
7. На плоскости расположены два непересекающихся круга. Найдите множество точек $A$ на плоскости таких, что любая прямая, проходящая через $A$, пересекает хотя бы один из кругов.
8. В треугольнике $ABC$ средняя по величины сторона от каждой из остальных сторон на 1. Найдите эти стороны, если бисекториус угла $C$ пересекается с мединой угла $B$ под прямым углом.
9. Докажите, что $\cos(\alpha)>\sin(\alpha)$ при всех $\alpha$.
10. Натуральные числа $a, b, c, d$ удовлетворяют равенству $a+b=c+d=1000$. Когда сумма $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}$ принимает наибольшее значение?
    Десятельный класс
11. Найдите приближенные значения корней уравнения
    $$0,001x^3+x^2-1=0$$
    с точностью до 0,1.
12. Найдите объем пространственной фигуры, образованной пересечением двух круговых цилиндрических поверхностей радиусом $R$, оси которых пересекаются $a$) под прямым углом, 6) под углом $a$.
13. Можно ли в прямой угольнике размер $20\times 25$ разметить 120 квадратов размер $1\times 1$ так, чтобы любая окружность диаметром 1 внутри прямой угольника пересекала хотя бы один из этих квадратов?
14. Докажите, что если положительные числа $x$ и $y$ связаны равенством $x^y+y^x=x^x+y^y$, то $x=y$.
15. Касательные в точке $x=0$ к графикам функций $f(x), g(x)$ и $f(x)/g(x)$ пересекают ось абсцисс под одним и тем же углом. Найдите наибольшее значение $f(0)$.

Публикацию подготовил Г. А. Гальперин

57

Кinematические связи в задачах диамики

Кандидат физico-mатематических наук
А. И. ЧЕРНОУЦАН

В задачах по механике часто встречается ситуация, когда движение тела не является свободным. Ограничения могут создавать твердые поверхности, нераSTRAЖимые нити, жесткие стержни и т. п. В простейших случаях мы учитываем подобные ограничения автоматически, часто даже не оговаривая их существования. Например, ускорение тела на плоскости мы направляем вдоль плоскости (учтывая наличие твердой поверхности), скорости буксира и баржи считаем одинаковыми (принимая во внимание присутствие нераSTRAЖимого троса) и т. д. Однако иногда возникает необходимость выразить эти ограничения в виде специального управления, которое мы будем называть «kinematической связи». Начнем с такой задачи.

Задача 1. Найдите ускорения призмы массой $m_1$ и куба массой $m_2$, изображенных на рисунке 1, а. Третий пример.

Запишем второй закон Ньютона для каждой тела (в проекции на направление, совпадающей с соответствующим ускорением):

$$m_1 g - N \sin \alpha = m_1 a_1,$$

$$N \cos \alpha = m_2 a_2.$$

Мы учили, что по третьему закону Ньютона $\vec{N}_{12} = -\vec{N}_{21}$, т. е. $N_{12} = N_{21} = N$. Написанные два уравнения содержат три неизвестных. Третье уравнение — kinematическая связь между $a_1$ и $a_2$ — должно отражать тот факт, что куб и призма остаются все время в контакте друг с другом. Это можно сделать несколькими способами.

1. Расмотрим два близких положения системы, разделенные промежутком времени $\Delta t$ (рис. 1, 6). В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна переменную призмы $\Delta x_1$, а сторона $BC$ —

58

перемещению куба $\Delta x_2$. Имеем
$$\Delta x_2 = \Delta x_1 \text{tg} \alpha.$$
Разделив обе части равенства на $\Delta t$, получаем
$$v_2 = v_1 \text{tg} \alpha.$$
Так как это соответствие справедливо для произвольного момента времени, из него следует искомое соответствие
$$a_2 = a_1 \text{tg} \alpha.$$ (3)
Такой подход к получению кinemатической связи будем назвать прямым методом.
2) Другой способ получения необходимой связи основан на перехождение в текую систему отчета, где условие контакта становится тривалным. В системе отчета, связанной с признаем (см. рис. 1, 6), скорость куба $\vec{v}_{\text{отн}}$ направлена вдоль ее поверхности, т. е. под углом $\alpha$ к вертикали. Записывая закон сложения скоростей
$$\vec{v}_2 = \vec{v}_{\text{отн}} + \vec{v}_1$$
из соответствующего векторного треугольника получаем
$$v_2 = v_1 \text{tg} \alpha, \text{и } a_2 = a_1 \text{tg} \alpha.$$
Решаем совместно уравнения (1)—(3) и находим
$$a_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2 \text{tg}^2 \alpha} g,$$
$$a_2 = \frac{m_1 \text{tg} \alpha}{m_1 + m_2 \text{tg}^2 \alpha} g.$$
В этой задаче второй метод выгляделит несколько искусственного. Однако в некоторых случаях именно правильный выбор системы отчета позволяет существенно упростить проблему кinemатических связи. Вот пример.
Задча 2. Клин высотой $h$ с углом наклона $\alpha$ стоит на эладкой горизонтальной плоскости (рис. 2). Масса клина $m_1$. С вершины клина начи-

нает скалзывать без трения брусок массой $m_2$. Найдите ускорение клина и время скалзывания бруска.
Начнем со второго закона Ньютона. Запишем его для клина в проекции на горизонтальное направление, а для бруска пока что в векторной форме:
$$N \sin \alpha = m_1 a_1,$$
$$\vec{N}_{21} + m_2 \vec{g} = m_2 \vec{a}_2.$$ (5)
Как и раньше, $\vec{N}_{12} = -\vec{N}_{21}, N_{12} = N$. Выбор направления осей для бруска связаан с решением вопроса о кinemатическом связи.
Кinemатическая связь между ускорениями должны отражать тот факт, что в процессе движения брусок все время остается на поверхности клина. Записать это в виде прямого уравнения оказывается непросто. Вместо этого перейдем в системе отчета, связанную с клином. В этой системе скорость бруска $\vec{v}_{\text{отн}}$ и его ускорение $\vec{a}_{\text{отн}}$ направлены вдоль клина. Тогда из закона сложения скоростей
$$\vec{v}_2 = \vec{v}_{\text{отн}} + \vec{v}_1$$ получаем закон сложения ускорения (см. рис. 2)
$$\vec{a}_2 = \vec{a}_{\text{отн}} + \vec{a}_1.$$ (6)
Отсюда видно, что от неизвестных $a_1$ и $a_2$ удобнее перейти к неизвестным $a_1$ и $a_{\text{отн}}$, решив тем самым проблему кinemатической связи. Подставляя равенство (6) в уравнение (5) и проектуя это уравнение на направления вдоль поверхности клина и перпендикулярно к ней, получаем
$$m_2 g \sin \alpha = m_2 (a_{\text{отн}} - a_1 \cos \alpha),$$
$$N - m_2 g \cos \alpha = -m_2 a_1 \sin \alpha.$$ (5′′)
Из уравнения (4), (5′′) находится
$$a_1 = \frac{m_2 \sin \alpha \cos \alpha}{m_1 + m_2 \sin^2 \alpha} g,$$
$$a_{\text{отн}} = \frac{(m_1 + m_2) \sin \alpha}{m_1 + m_2 \sin^2 \alpha} g.$$

59

Для ответа на второй вопрос задачи нам не надо искать $a_2$, так как время сокальзывания выражается как раз через $a_{\text{отн}}$:

$$\frac{a_{\text{отн}} t^2}{2} = \frac{h}{\sin \alpha}.$$

Отсюда находится

$$t = \sqrt{\frac{2h}{a_{\text{отн}} \sin \alpha}} = \sqrt{\frac{2h(m_1 + m_2 \sin^2 \alpha)}{(m_1 + m_2) \sin^2 \alpha g}}.$$

Как уже говорилось, ограничение на движение может определяться не только прямым контактом расматриваемых тел, но и наличием в системе соединитьных элементов — стержней, нитей и т. п. В большинстве случае, даже если в условиях этого не оговорено, соединитьные элементы считаются идеальными, т. е. нити — неевесомыми и нерастижными, стержни — неевесомыми и абсолотно жесткими, для блоков кроме неевесомости предполагается также отсутствие трения на оси. (На самом деле слово «неевесомый» означает, что масса данного элемента пренебрежимо мала по сравнению с массами других тел системы, слово «нерастижный» — что удаление элемента мало по сравнению с перемещениями тел системы и т. д.) Перед тем, как разбирать конкретные примеры, выясним, что следует из идеального соединитьных элементов. Расмотрим три частных случаев.

1. Невесомость нити. Напишем второй закон Ньютона для участка нити массой $\Delta m_{\text{н}}$ (рис. 3, а):

$$T - T' = \Delta m_{\text{н}} a.$$

Так как $\Delta m_{\text{н}} = 0$, то $T = T'$, т. е. сила натяжения не меняется вдоль нити.

2. Невесомость подвижного блока и отсутствие трения на его оси. Для раскручивания неевесомого блока, в котором нет трения, не нужен вращательный момент. Из этого следует, что натяжение одной и той же нити по обе стороны блока одинаково (рис. 3, б), кроме того $T' - 2T = 0$, т. е. $T' = 2T$.

3. Невесомость стержня. Это условие означает, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на стержень, равны нулю. Например, если к стержню приложены две силы, то они равны по modulo, противоположны по направлению и действуют вдоль стержня (рис. 3, с). (В отличие от нити, стержень может быть не только в растянутом, но и в скатом состоянии.)

Нерастижимость и жесткость нитей и стержней приводит к появлению кинематических связей, которые мы разберем отдельно вследующих задачах.

Задча 3. Найдите ускорениярузов массой $m_1$ и $m_2$ после перерезания верхней нити (рис. 4). Нити и блок считать идеальными.

Выберем положительное направление оси вертикального вниз и запишем второй закон Ньютона для обихтел:

$$T + m_1 g = m_1 a_1,$$

$$m_2 g - 2T = m_2 a_2$$

(мы учили свойства блока и нити, описанные выше).

60

Для нахождения кинематической связи между $a_1$ и $a_2$ применим, как мы его называли, прямой метод. Запишем длину нити в виде
$$l = x_2 + \pi R + (x_2 - x_1),$$
где $x_1$ — координата груза массой $m_1$, $x_2$ — координата центра блока, $R$ — его радиус, и учет, что длина нити при движении грузов не изменяется. Тогда для перемещения грузов получим соответствие
$$2\Delta x_2 - \Delta x_1 = 0,$$
откуда
$$2v_2 - v_1 = 0,$$
$$2a_2 - a_1 = 0.$$ (9)
Решая уравнение (7)—(9) совместно, находим
$$a_1 = 2a_2 = \frac{2(m_2 + 2m_1)}{m_2 + 4m_1} g.$$
(Обратите внимание на то, что $a_1 > g$. Подумайте, почему получился такой ответ.)
Задача 4. Невесомый стержень с одинаковыми грузами массой $m$ на концах шарниро закреплен на оси, которая делит его длину в отношении 2:1 (рис. 5). Стержень удерживают в горизонтальном положении и в некоторый момент освобождают. Найдите ускорения грузов сразу после этого, а также давление стержня на ось в этот момент.

Запишем второй закон Ньютона для грузов, выбрав положительные направления осей в сторону соответствующих ускорений:
$$mg - N_1 = ma_1,$$
$$N_2 - mg = ma_2,$$ (10)
где $N_1$ и $N_2$ — силы, действующие на грузы со стороны стержня. Так как сумма моментов сил, действующих на неvesомый стержень, равна нулю, то
$$N_1 \frac{2}{3} l - N_2 \frac{1}{3} l = 0,$$
где $l$ — длина стержня. Отсюда
$$N_2 = 2N_1.$$ (12)
Осталось записать кинематическую связь между $a_1$ и $a_2$. Для этого изобразим на рисунке 5 положение стержня через малый промежуток времени $\Delta t$ после начала движения. Из подобия получаем

Рис. 5.
Рис. 6.
$$x_1 = 2x_2,$$
откуда
$$v_1 = 2v_2,$$
$$a_1 = 2a_2.$$ (13)
Решая совместно уравнения (10)—(13), находим
$$a_1 = 2a_2 = \frac{2}{5} g,$$
$$N_2 = 2N_1 = \frac{6}{5} mg.$$
Так как сумма сил, действующих на неvesомый стержень, равна нулю, то сила реакции оси (равная по модулю силе давления на ось) равна
$$N = N_1 + N_2 = \frac{9}{5} mg.$$

---

Во многих задачах, рассчитанных на применение закона сохранения энергии, требуется найти скорости тел к определенному моменту времени. В этом случае надо установить кинематическую связь не между ускорениями, а между скоростями тел. При решении таких задач полезно использовать тот факт, что полная работа, совершаемая любым идеальным соединительным элементом, равна нулю. Физическая причина этого состоит в том, что в таком элементе не может запасаться никакая энергия — ни кинетическая (его масса равна нулю),

61

ни потенциальная (элемент не деформируется).

Посленее утверждение требует посящения. Можно показать, что даже при малой деформации очень жесткого стержня (или другого элемента) потенциальная энергия его деформации $E_p = kx^2/2$ может быть велика — ведь она пропорциональна жесткости стержня $k$. Но если учеть, что сила $F = kx$, возникшая при деформации, остается конечной при $k \rightarrow \infty$ (она определяется движением тел, закрепленных на стержне), то потенциальная энергия $E_p = F^2/(2k)$ при больших $k$ оказывается очень малой.

Задча 5*). Груз массой $M$ сначала удерживают на уровне блоков, а затем освобождают (рис. 6). Считая нити и блоки идеальными, размеры блоков малыми по сравнению с расстоянием 2l между ними, а массу $m$ грузков, высших на концах нитей, известной, найдите скорость груза в тот момент, когда нити составляют угол $\alpha$ с вертикалью. Полученный ответ исследуйте.

К рассматриваемому моменту груз массой $M$ осуществляется на $H = l$ стtg $\alpha$, а грузники массой $m$ поднялись на $h = l/\sin \alpha - l$ каждый. Согласно закону сохранения энергии,

$$\frac{MV^2}{2} + 2\frac{mv^2}{2} - MgH + 2mgh = 0.$$ (14)

Для того чтобы найти связь между $v$ и $V$, можно, например, применить прямой метод. Из рисунка 6

$$l^2 + H^2 = L^2.$$

Дифференцируя по времени (и учитывая, что $l' = 0$), находим

$$2H \cdot H' = 2L \cdot L'.$$

Так как $L' = v$, $H' = V$, а $H/L = \cos \alpha$, то получаем искому связь

$$v = V \cos \alpha.$$ (15)

Однако проще получить это соответствие из следующих сообщений. Раз рассмотрение $L$ от груза массой $M$ до блока в рассматриваемый момент увеличивается со скоростью $v$ (с такой скоростью вытягается нить), то проекция скорости $\vec{V}$ этого груза на направление нити должна быть равна $v$. Учитывая, что скорость $\vec{V}$ направлена вертикально, получаем

$$\dots$$

(*) Эта и следующее задачи по своему уровню несколько выходит за пределы задач, предлагаемых обчно на вступительных экзаменах вузы. Однако знакомство с ними для абитриентов оказывается не бесполезным.

Уравнение (15).

Из уравнения (14) и (15) находится

$$V = \sqrt{2gl \frac{M \cos \alpha + 2m(\sin \alpha - 1)}{\sin \alpha (M + 2m \cos^2 \alpha)}}.$$

Выясним, будет ли центральный груз все время опускаться (мы считаем нити очень длинными) или при каком-то $\alpha$ он остановится и начинает подниться. Уравнение $V = 0$ (условие остановки) преобразуется к виду

$$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{2m - M}{2m + M},$$

т. е. остановка и обратное движение грузов происходит только при $M < 2m$. Если $M > 2m$, то центральный груз будет все время перешивать и его скорость будет неограниченно возрастать ($V \rightarrow \infty$ при $\alpha \rightarrow 0$ — проверять это сами). Если же $M = 2m$, то при опускании центрального груза система все близкие подходит к равновесию,ускорения грузов стремятся к нулю, а их скорости — к предельному значению $V_\infty = \sqrt{gl}$ (убедитесь в этом самостоятельное).

Хотелось бы обратить внимание на то, что при использовании закона сохранения энергии сила натяжения нити вообще не вошла в расчеты.

Послений пример иллюстрирует методы получения kinematических связей при движении твердых стержней (или других твердых связей). Например, что при движении твердого тела расстояние между любыми двумя его точками не изменяется.

Задча 6. Невесомый стержень длиной $l$ с грузами массой $m$ на концах сосальзывает по сторонам прямого двухногного угла (рис. 7, a). Найдите скорости грузов в тот момент, когда стержень составляют с горизонтом угол $\alpha$. Треня нет. В начальной

62

момент стержень находился в вертикальном положении.

Из закона сохранения энергии получаем

$$mg(l-y) = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2},$$

(16)

где $y = l \sin \alpha$ — координата второго груза в расстоянии момент. Для получения kinematической связи можно применить прямой метод, как это было сделано в предыдущей задаче (проделяйте это сами). Быстрее же и нагладнее kinematическая связь получается из таких сообщений. Раз расстояние между грузами остается неизменным, то в каждой момент скорость, с которой первый груз «удаляется» от второго, равна скорости, с которой второй груз «приближается» к первому. Иначе говоря, проекции скоростей грузов на стержень в любой момент времени одинаковы (см. рис. 7, а):

$$v_1 \cos \alpha = v_2 \sin \alpha.$$

(17)

Подставляя (17) в (16), находим

$$v_1 = \sqrt{2gl \sin^2 \alpha (1 - \sin \alpha)},$$

$$v_2 = \sqrt{2gl \cos^2 \alpha (1 - \sin \alpha)}.$$

В kinematике твердого тела часто используется «разложение» сложного движения на поступательное и вращательное. Чтобы продемонстрировать этот метод, применим его для получения kinematической связи (17). В системе отсчета, связанной с первым груzem, стержень совершает чисто вращательное движение. Значит, в этой системе скорость второго груза $v_{0\mathrm{T}}$ направлена перпендикулярно стержню. Применя закон сложения скоростей $v_2 = v_{0\mathrm{T}} + v_1$ (см. рис. 7, б), получаем соответствие (17).

Может показаться, что найденные выражения для скоростей дают полное решение задачи. Однако в этой задаче содержится получательный подход, разбором которого мы и законом статию.

Решение было бы полным, если бы второй груз не мог оторвать от вертикальной стены. (Для этого можно было бы, например, посадить грузы на гладкие шланги, а стержень присоединить к ним шарнирно). Однако в нашем варианте задачи (см. рис. 7, а) при некоторых угле произойдет отрыв второго груза от вертикальной стены, после чего найденный ответ будет неприменим. Дело в том, что горизонтальный импульс системы определяется только движением первого груза, скорость которого, в соответствии с выражением для $v_1$, до некоторого угла возрастает, а потом начинает убывать. Это означает, что в какой-то момент должны изменить направление внешняя горизонтальная сила, действующая на системе. Но есть только одна горизонтальная сила — сила реакции вертикальной стены, которая не может изменить свое направление. Таким образом, в тот момент, когда реакция стены обращается в нуль, происходит отрыв второго груза от стены. Дифференцируя выражение для $v_1$ по времени, находим, что $v_1$ максимальная при $\sin \alpha = 2/3$. При угле $\alpha = \arcsin (2/3)$ и произойдет отрыв стержня от вертикальной стены.

Уражения

1. Найдите ускорения стержня и клина, изображенных на рисунке 8. Треня нет.
2. Найдите натяжение нити в системе, изображенной на рисунке 9.
3. (для любительей каверз и ловушек). Чему равны ускорения грузов в системе, изображенной на рисунке 10?
4. Найдите ускорение клина на рисунке 11. Треня нет. Указание. Примените метод, использованный при решении задачи 2 в статье.

63

Стеоремические задачи с шарами

Кандидат физико-математических наук
М. Р. ЛИБЕРЗОН

В этой статье обсуждаются задачи о комбинациях тел в пространстве, в которых входят один или несколько шаров. Указанную в задание совокупность тел бывают трудно изобразить на чертежке, но это и не нужно: для решения достагоно построить плоские чертежи, получающие в сечении данной пространственной фигуры плоскости или при проектировании ее на плоскости. При этом главное — правильное выбрать плоскости. Универсально способа для такого выбора не существует; нужно, конечно, стараться, чтобы секущие плоскости проходили через как можно большее количество узловых точек — центров шаров, точек касания и т. д., — а при проектировании сохранялись (или изменялись контролируемым образом) данные длины и углы.

Напомним несколько простых геометрических фактов, которые часто используются при выбреge плосостей.

Утверждение 1. Радуцы, проведенные в точку касания двух шаров, лежат на одной прямой. Расстояние между центрами касающей шаров равно сумме их разности их радиусов.

Утверждение 2. Если плоскость проходит через центры касающей шаров, то она содержит точку касания.

Утверждение 3. Пусть шар касается боковой поверхности прямого кругового цилиндра. Если плоскость проходит через цилиндра и центр шара, то она содержит точку касания.

Утверждение 4. Пусть шар касается боковой поверхности прямого кругового конуса. Если плоскость проходит высоту конуса и центр шара, то она содержит точку касания.

В качестве примеров разберем несколько задач, предлагавшихся в разное время на вступительных экземплярах в МГУ.

Задание 1. В пространство, заключенное между сферической поверхностью и плоскостью, проходящей через ее центр,ложено три одинаковых шара радиусом г так, что каждый шар касается двух других, сферической поверхности и указанной плоскости. Надите радиус сферического поверхности.

Решение. Проекции центров данных шаров на данную плоскость являются вершинами правильного треугольника со стороны 2r; центр сферического поверхности лежит в центре этого треугольника; расстояние от этого центра до любой вершины треугольника равно 2r/√3 (рис. 1).

Проведем плоскость через центр O сферического поверхности и центр A одного из данных шаров перепедикулярно к данной плоскости. В сечении получится фигура, изобразенная на рисунке 2. На этом рисунке точка M — проекция точки A на данную плоскость, P — точка касания данного шара с центром A и данной сферического поверхности. В прямойном треугольнике AOM известны длины катетов: AM=r, MO=2r/√3. Следо-

64

Вательно, $AO = \sqrt{r^2 + \frac{4r^2}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}r$ и мы можем найти нужный радиус: $OP = OA + AP = \frac{\sqrt{21}}{3}r + r = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}r$.

Задча 2. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна 2, сторона $BC$ равна 4 и $\angle B = 60^\circ$. При шара касаются плоскости треугольника $ABC$ соответственно в точках $A, B, C$ и попарно касаются между собой. Определите радиус этих шаров.

Решение. По теореме косинусов находим длину стороны $AC$: она равна $\sqrt{12}$. Пусть шары, касающиеся плоскости треугольника в точках $A, B, C$, имеют свои центрами точки $O_1, O_2, O_3$, а их радиусы равны $x, y, z$. Проведем три вспомогательные секущие плоскости, перепределительные к плоскости треугольника $ABC$: одну через точки $O_1$ и $O_2$ (сечение этой плоскостью нашей фигуры изображено на рисунке 3), другую через точки $O_2$ и $O_3$ и третью через точки $O_1$ и $O_3$ (сечения этих плоскостей устройства аналогино). В каждом сечении лежит прямогольный треугольник, у которого длина гипotenузы равна сумме радиусов двух шаров, один катет равен разности этих радиусов, а другой катет равен длине соответствующего стороны треугольника.

КА $ABC$. Записав теорему Пифагора для каждой из этих треугольников, мы получим систему трех уравнений с треями неизвестными, из которой находим $x = \sqrt{3}/2, y = 2\sqrt{3}/3, z = 2\sqrt{3}$.

Задча 3. На плоскости лежит шар радиусом $R$. Эту же плоскость пересекает прямой круговой цилиндр радиусом $r$, причем образующие цилиндра перепendlukуляры к плоскости. Центр шара удален от оси цилиндра на расстояние $\rho > R + r$. Найдите минимальное возможный радиус шара, который касался бы одновременного цилиндра, плоскости и заданного шара.

Решение. Проведем вспомогательную плоскость через оси цилиндра и центр $Q$ заданного шара. Центр $O$ шара, радиус которого мы ищем, лежит, оченьindo, в этой плоскости. В сечении (рис. 4) расположен прямогольный треугольник $OKQ$, в котором длины всех сторон выражаются через данные задачи $R, r, \rho$ и искомый радиус $x$. Теорема Пифагора дает уравнение для вычисления $x$; решая это уравнение, получаем $x = (\sqrt{R + \rho} - r) - \sqrt{R})^2$.

Задча 4. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$). В угол $A$ куб висан шар радиусом $R = 0,5$. Найдите радиус шара, висанного в угол $C$ куб и касающейся заданного шара, при условии, что ребро куба $a = 1,5$.

Решение. Пусть $Q$ — центр шара, висанного в угол $A$. Существуют три шара, висанных в угол $C$ и касающейся заданного шара. Однако из них касается основания куба $ABCD$

65

в той же точке, что заданный шар, и содержит его внутренние $O_1$. Точка $O_1$ находится над точкой $Q$. Еще два шара, радиусы которых мы должны найти, касаются шара $Q$ внешним образом и расположены по разные стороны от него: меньший ближе к вершине $C$, больший дальше нее. Обозначим их центры буквами $O_2$ и $O_3$ соответственно.

(Заметим, что только самый маленький шар $O_2$ помещается внутри куба. Средний шар $O_1$ и большой шар $O_3$ «вылезают» за его пределы и могут касаться не граней куба, а их продолжений.)

Найдем радиусы этих трех шаров. Проведем вспомогательную плоскость через вертикальные ребра $AA_1$ и $CC_1$. В этой плоскости лежат центры всех шаров, точки касания их между собой и с плоскостью $ABCD$. Расмотримечение этой плоскостью шаров $O_2$ и $Q$ (рис. 5). В треугольнике $O_2KQ$ не известна только длина катета $KO_2$. Но $KO_2=MN$, а расстояние между точками $M$ и $N$ мы находим из проекции на плоскость основания $ABCD$ (рис. 6);

$$MN=AC-AM-NC=a\sqrt{2}-R\sqrt{2}-x\sqrt{2}=\sqrt{2}(a-R-x).$$

Воспользовавшись теоремой Пифгора для треугольника $O_2KQ$, мы получим уравнение

$$(R+x)^2=(R-x)^2+2(a-R-x)^2,$$

которое имеет два корня (напомним, что по условию $R=0,5$, $a=1,5$): $(3-\sqrt{5})/2$ и $(3+\sqrt{5})/2$.

Что означает наличие двух корней? Нарисуйте сечение и проекцию для шаров $O_3$ и $Q$, аналогичные показанным на рисунках 5 и 6. Убедитесь в том, что радиус большого шара $O_3$ находится из уравнения, которое отличается от написанного только знаками внутри скобок в правой части. Эта разница уничтожается при возведении в квадрат. Значит, полученные два корня — это длинные радиусов шаров $O_2$ и $O_3$ соответственно.

Для вычисления радиуса шара $O_1$ достаточно рассмотреть проекцию на плоскость основания $ABCD$, показан-