Квант 1988, №3 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-mатематический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Сплетение
скрещивающихся прямых

1988

Imre Kudnyi
No. 1132

В номере:

2 К 80-летию со дня рождения Исаака Константиновича Кикона:
В начале пути
На пороге большой научки
Первая Государственная премия
12 О. Я. Виро, Ю. В. Дробогухина. Сплетения скрещивающихся прямых

Задачник «Кванта»
20 Победители конкурса «Задачник «Кванта»
21 Задачи M1091 — M1095, Ф1103 — Ф1107
22 Problems M1091 — M1095, P1103 — P1107
24 Решения задач M1070, M1072 — M1075, Ф1084 — Ф1087
30 Список читателей, письвших правильные решения

«Квант» для младших школьников
31 Задачи
34 А. И. Буздин, С. С. Кротов. Что и как мы видим

32 Калейдоскоп «Кванта»
Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10:
Что такое центр масс
Как в металле протекает электрический ток?
О машине времени и теории относительнойности

Математический кружок
46 Д. К. Фаддеев, М. С. Никулин, И. Ф. Соколовский.
Основной принцип дифференциального исчисления.
Часть 1: Линейная функция

Искусство программирования
51 В. В. Ромдестенский, С. Г. Хлебутин.
Структурный подход и язык программирования Бейсик

Вариantsы вступительных экзаменов
60 Ответы, указаны, решения
Смесь (c. 38)

Наша обложка
1 Иллюстрация к статье «Сплетения скрещивающихся прямых».
2 Литография голландского художника М. Эшера (1898—1972)
«Вверх и видз» — наглядная иллюстрация условий нашего зрительного восприятия: только влядевшись, мы понимаем, что это «невозможный объект». Что мешает нам сразу увидеть его «невозможность»? Из-за чего возникает обманное впечатление его реальности?
Прояснить эти вопросы вам помогет стать «Что и как мы видим».
3 Шахматная страница.
4 Головоломка «Три бруска».

© Издательство «Нука».
Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1988

2

Исаак Константинович Киконн
(к 80-летию со дня рождения)

28 марта 1988 года исполняется восемьдесят лет со дня рождения основателя журнала «Кваант» академика Исаака Константиновича Киконна (умер 28 декабря 1984 года). Он был выданшимся советским физиком, дважды Героем Социалистического Труда, лауреатом Ленинской и Государственных премии. Ему принадлежит крупный вклад в решение ряда важных государственных проблем и прежде всего в лиkvиданию монополии США на atomное оружие. И. К. Киконн был ближайшим помещником руководителя этих работ академика И. В. Курчатова, одним из создателей Института atomной энергии и бессменным заместителем директора этого института.

И. К. Киконн принадлежал к замечательной школе физики, созданной академиком А. Ф. Иоффе. Из нее вышли крупнейшие советские физики — академики А. П. Алексадров, А. И. Алиханов, Л. А. Арцимович, П. Л. Капица, И. В. Курчатов, Г. В. Курдюмов, Н. Н. Семенов, Ю. В. Харитон и другие ученые. Ученики Иоффе со студенческих лет активно включались в самостоятельную научную работу. Так было и с Исааком Константиновичем — научную работу он начал еще на втором курсе, а вскоре после окончания института выполил серий работ в области физики твердого тела, получивших международное признание. Мы не будем здесь пытаться расскаазать о его научных работах — их много и они весна разобразны. Остановимся лишь на его вклад в отчетственное просвещение.

Две очень важные проблемы занимали его ум многое годы. Научно-техническая революция непрерывно повышает требования к работнику. Автоматизация производства, рождения новых технологий, вторжение ЭВМ в различных сферы труда — такое величие времени. Надежно владеть столб сложной технической может лишь человек с хорошей физико-mатематической подготовкой. А уровень преподавания этих наук в средней школе должно время оставаться недостающим. Стремясь повышить его, И. К. Киконн возглавил работу по совершенствованию программы и учебников по физике — нелегкий труд, за который крайне неохотно принимается в нашей дни крупные ученые.

Другая проблема, заботившая И. К. Киконна, — поиск молодых талантов, от которых прямо зависит будущее нашей науки. Он был убежен в том, что народ наш талантлив, и самородков, подобных М. В. Ломоносову, у нас немало. Но как нам вовремя разгладеть, не упустить этих новых Ломоносовых, Мендлеевых и Лобачевских? Надо было создать какой-то единый всесоозный механизм, способствующий вывлечению молодых талантов. Таким механизмом стал школьные олимпiadы, и Исаак Константинович был председателем Центрального оргомитета Всесоозных физико-mатематических и химических олимпiadских школьников.

И. К. Киконн вместе с академиком А. Н. Колмогоровым организовал одну из первых в стране физico-mатематической школе-интернат при Московском государственном университете. Они же положили начало первому в мире научно-популярному физico-mатематическому журналу для старших школьников «Кваант» и «Библю-

3

ТЕЧЕКЕ «Квант» и руководили имми до последних дней жизни.

И. К. Кикоин любил наш журнал и несмотря на свою огромную занятость всегда находил время для разработки тематики, поиска авторов и обсуждения статей. Он любил молодежь — надо было видеть, как загорались его глаза при встрече с талантливыми школьниками. Он безгранично любил физика, занятая его были главным смыслом всей его жизни. Не задолго до смерти, выступая перед школьниками, он говорил: «…за долгу жизнь не успел насладиться любимой своей физикой, не хватило мне времени, ясно виджу теперь — не хватило. А ведь не было ни одного дня в жизни, ни выходного, ни праздника, ни отпуска, когда бы я его не занялася. Часто и сны виду о физике». Takим мы запомнили этого замечательного человека и ученого.

В этом номере мы помещаем ряд материалов, посвященных памяты И. К. Кикоина.

В НАЧАЛЕ ПУТИ

Исак Константинович Кикоин в 1923 году окончил среднюю школа № 1 им Л. М. Поземского в Пскове. Он всегда с благодарностью вспоминал годы учены. Школа помогла ему найти свое призвание, привила любовь к физике — научке, которое он посвятил всю жизнь.

В февраль 1983 года шестклассики псковской школа № 1 написали Исак Константинович письмо с просьвой рассказать оodzах учены в школе, о себе, о своей работе. Исак Константинович охотно откликнулся на просьву. В разное время он написал школьникам четыре письма.

Выдержки из этих посем мы предложаем вашему вниманию.

…Родился я 28 марта 1908 года в городе Жагре (это в Литовской ССР).

…В семье придерживались творго правила — приучать детей к посильной работе по дому, заботе о всех членах семьи; прививалась любовь к труду и ответственность за порученное дело.

На всю жизнь я сохранил к родительам благодарность за это. В своей жизни часто встречался с трудностями, вспоминал заветы моого отца.

В нашей семье детей учили писать и читать рано. В три года я уже умел читать и писать. От отца я ежедневно получал задание, за выполнение которого должен были давать ему отчет. Отец задавал мне и тексты, которые я должны ответать ему наизусть. Теперя я понима, что эти устные задания способствовали формированию у меня хорошей памяти, которое я сохранил на всю жизнь.

…В 1916 году мы переехали в г. Опочку Псковской губернии (теперь — области), где я поступил в школе.

Учитывая мне было нетрудно, настолько, что, дважды «перескочив» через класс, я в 1921 году оказался в пределследнем классе. Но в том же году мого отца перевели преподавателем математики в вашу школе, которая тогда назывался школьной I-ей и II-ей студени.

Естественно, что и я поступил учиться в ту же школе. Таким образом, последние два учебных года я провел в нашей с вами школе… Об этих мощных годах у меня остались самые светлые и приятные воспоминания.

Довольно рано, еще в младших классах, я усердно занимался математикой и физикой; вероятоно, сказалсь влияние отца.

В школе, в которой вы сейчас учительсь, создавались исключительно благоприятные условия для углубленного изучения много этих предметов.

Математику у нас преподавал первоклассный педагог Дмитрий Михайлович Ляпунов, который я очень благодарен за полученные от него знания.

Очень мне повезло и с физикой.

Мне доверили заведовать физическим кабинетом школа и вместе с моим товарищем по школе — заведовать школьной библиотекой (и то и другое было моей общественной работы).

…Физический кабинет был преводходно основан приборами, и я имел возможность произвольить множество экспериментов. Правда, многие приборы нуждались в ремонте, и я обогатился опытом изготовления нужных для этого деталей.

Школьная библиотека была на редкость богата, в ней содержалось несколько деталей тысяч томов. Много там было книг по физике и математике.

…Почитка каждой день я судовольствием проводил время за занятиями в библиотеке.

4

теке и физический кабинете с утра и до позднего вечера. В результате я приобретло довольное основательные позиции по обем дисциплинам, значительной более общирные, чем требовалось школьной программы.

…Шкoly я окончил в пятнадцатилетнем возрасте. К этому времени я уже точно решил, в каком высшем учебном заведении буду продолжать свое образование. Дело в том, что незадолго до этого в одной из центральных газет появился стать выдающегося физика академика Абрама Федоровича Иоффе об основном им физico-mеханическом факультете при Ленинградском политехническом институте им. М. И. Калинина. Прочитав эту статью, я твордо решил поступить только на этот факультет. Но… в взы принимали молодежь начиная с семнадцатилетнего возраста. Поэтому я решил поступить в Псковское землеперное училище — одно из пятых училищ, существовавших в стране. Это было лучшее из средне-технических заведений Пскова. К сожалению, прекрасноюдания, в котором находилось училище, сейчас нет. Я легко сдал экзамены и был принят на третьий курс училища (потом оно стало называться Землеустроительным техническом). Однако из причины, почему я выборл это училище, заключалась в том, что при сравнительно значительной безработице, которая тогда существовала в стране, землепров не хватало.

Я не стану оставываться на годах, проведенных в этом училище, а ограничись только указанием на то, что моя неплохая физика-mатематическая подготовка помогла мне окончить училище с высшими оценками.

…Мне тогда уже исполнилось 17 лет, и я имел право поступать в выбранный мной Политехнический институт на физico-mеханический факультет. …Может быть, вам будет небезынтересно узнать, как проходили у меня вступительные экзамены на этот факультет. В те времена правила сдачи экзаменов для поступления вузы часто менялись. В частности, в 1925 году для поступающих в Московские и Ленинградскиеузы правилами было предусмотрено, что лица, окончившие в этом году средние школи или средние технические учебные заведения и желающие в этом же году поступить вузы, экзамены сдавали в своих области или губернских городах. Лица же, окончившие средние учебные заведения до 1925 года, экзаменовались в приемных комиссийх смизов в как и теперь).

Таким образом, я должны сдавать экзамены у себя в Пскове. Для Псковской губернины на выборный мною физico-mеханический факультет было выделено два места.

5

Желающих поступить на этот факультет из Псковской губернии было несколько десятиков человек. …Приемная комиссия состояла из учитель Пскова. Экзамены по физике, математике, химии, русскому языку и политрамote (телерь общественного дела «весьма удовлетворительное», т. е., по-телерешнему, на пять. Мне объявли, что я зачислен студентом физико-механического факультета Ленинградского политехнического института. Председатель комиссии поздравляет: «Все в порядке. Можно есть в Ленинград. Вы зачислены». Все документы, включая достоверение об окончании школа и аттестат об окончании Землемерного училища, комиссия отправила в Ленинградский политехнический институт.

Одна маленькая деталь: в момент, когда я сдавал экзамены (июль месяц), аттестаты оканичивающим Землемерное училище еще печатались в типографии, поэтому мне перед экзаменами для представления в приемную комиссию выдалиубликат аттестата, направанный на пышущей машинке, точно с тем же текстом и с подлинными подписами и гербовой печатью.

…К началу учебного года я приезжаю в Ленинград. Прихожу на свой факультет и читало списк приятных студентов. Мое фамилии нет!

…Назавтра утром (это было 28 августа) я направился в канцеляrio для выяснения причины этого явного недоразумения. Когда я назвал свою фамилию заведующему канцелярей, он распорядился… привести мое личное дело. Он стал его перелистьвать и заявил: «Вы не приняты, потому что не явились на экзамены». На мое объяснение, что я экзамены сдавал в Пскове губерской приемной комиссии, последовал ответ: «Вы ведь окончили школу в 1923 году, а не в этом, 1925 году, и согласно существующим правилам должны экзаменовать здесь — в институте». В ответ на это я сказал, что в этом году окончил Псковское землемерное училище. На это последовал удививший меня ответ: «Об этом нам не известно ничего». Я стал утверждать, что в моем личном деле должен стать аттестат об окончании в Пскове Землемерного училища. Перелисть снова личное дело и найти этот аттестат, он категорически заявил: «Поскольку ваш аттестат не в типографии, он не может служить для нас официальным документом». Я ему объяснил приину… и показал типографий аттестат, выданный мне на руки, подчеркнуть, что тексты, печати и подписи в обонх документах в точности совпадают.

Все это не произвело на него никакого

Родители И. К. Кикошна — Буня Израильна и Константин Исаакович.

Дом в г. Пскове, где была семья Кикошны. Отсюда в 1925 году И. К. Кикошн уехал учиться в Ленинград.

И. К. Кикошн сестрой Еленой (1925).

впечатления, и он заявил, что теперь уже поздно и моем место занято.

…Выручила меня симpatичная девушка — технический секретарь приемной комиссии. Внимательно просмотрев моем дело, она поняла, что заведующий канцелярей допустил ошибку, в которой признаться и исправить ее не хочет. К счастью, в институте еще проходили

6

Дополнительные приемные экзамены, которые заканчивают 29 августа… Девушка посоветовала мне написать заявление не о зачислении меня студентом, а о разрешении заново сдать приемные экзамены. Я также заявление написал. Она сама отвечла его предложению приемной комиссии и через некоторое время принесла мое заявление с положительной резолюцией. Посмотрев на меня, она с сомнением спросила, действительно ли я смогу сдать в течение оставшихся нескольких часов все экзамены — их было пять!

…Я примком направился в первый из указанных аудитории. Там шел экзамен по математике. За столом сидел солидный мужчина в морской форме. Позже я узнал, что это был известный профессор Р. О. Кузьмин, читавший лекции по высшей математике на караблестронном факультете (позетом он и носил морскую форму). Перед ним на стол лекал задачник Бычкова по математике. Профессор раскрыл научд задачник и предложил решить два квадратных уравнения с двумя неизвестными. Я посмотрел задачу и тут же, не решая, сказал ему ответ. Он сверлися с ответом и спросил, как я так быстро решил задачу. Я ему ответил, что задача простая и решается вume. Должен вам сознать, что это была неправда. Дело обьясялось тем, что у меня хорошо память, а все задачи этого учебника я перешал… и запомнил ответы.

Тогда профессор Кузьмин предложил мне другую задачу — три квадратных уравнения с трея неизвестными. Я снова дал ему ответы, не решая эту систему, сказал что такая задача легко решается вume. Это, конечно, тоже было неправдой. Тогда он, закрыв задачник, предложил мне вычислить логарифм числа, что я и сделал успешно, нормальным путем. Задав мне несколько устных вопросов по геометрии, на которые я дал правильные ответы, он спросил, где я учился, и затем поставил мне оценку «ВУ» (всема удовлетворительное)… Экзамен по математике продолжался примерно минут пятнацать. Оттуда я бегом отправился в аудитории, где проходил экзамен по физике. Этот экзамен занял 15—20 минут, и я получил также оценку «ВУ».

Экзамены по химии и политрамоте прошли тоже успешно.

Остался последний экзамен по литературе. На этот экзамен собрали всех экзаменуошихся в одну аудитorio. Экзамен принимали две школьные учительницы (в Политехническом институте не было такого предмета). Они написали на доске темы сочинений на выбор экзаменуошеся. По мере того как они писали название тем, мое настроение начало портиться. Темы были по литературным произведениями, которые я любо не читал, либо положил… Спасибо новой оказалась

7

последняя тема — седьмая по счету. Тема называлась «Типы крестьян по социению Н. В. Гоголя «Мертвые души».

…Произведения Н. В. Гоголя я любил, много раз перечитвал и интерсозвали всем, что было написано о самом Гоголе и его творчестве. На этой теме я и остановил свой выбор. Когда я написал примерную уже страницденадцать и, как говорится, только «расписался», разделяя голос учительницы — время окончилось, пора сдавать работы. Когда я сказал, что не успел еще закончить сочинение, она спросила: «Сколько вы написали?». Услышав, что я написал около 12 страниц, она сказала, что этого вполне достагоно, и добавила: «Нам не так важно, что вы написали, а как написали». Насколько я потом понял, их интересовала грамотность поступающих.

Назавтра я был зачислен студентом физико-механического факультета Политехнического института.

Много лет спустя мой учитель академик А. Ф. Иоффе, будучи у меня дома в гостях уже в Москве, рассказал моим домашним, что когда-то ему как декану факультета «всеущи проходжжали» о том, что на его факультете появился студент, который в течение одного дня сдел всеступительные экзамены в институт и при этом «весьма удовлетворительно».

Так начались счастливые дни моей юности.

НА ПОРОГЕ БОЛЬШОЙ НАУКИ

В 1977 году на страницах «Кванта» академик Н. К. Киоин рассказывал об основных этапах становления советской физики. В этом рассказе много места было уделено Ленинградскому физико-техническому институту (ЛФТН), который в конце двадцать годов стал одним из основных центров физической науки в СССР.

Будучи студентом-бторокурсиком Ленинградского политехнического института, Исаак Константинович начал работать в ЛФТН. Мы предложаем нашим читателем из статьи Н. К. Киоина «Как создавалась советская физика» («Квант», 1977, № 10—12), в которых он делится своим воспоминанием о студенческой жизни, тесно связанной с ЛФТН.

…Напротив нашей института, через улицу, которая называлась «Дорога в Сосновку», находился Ленинградский физико-технический институт (тогда он назывался физико-техническийRENTЕНОВСКИЙ INSTITUT). Директором его был академик А. Ф. Иоффе…. Основную массу сотрудников составляли молодые люди, начавшие работу, будучи студентами физико-механического факультета.

…Отбирались студенты на работу в институт таким способом. Преподаватели факультета — сотрудники института, в том числе и студенты старших курсов, которые руководили лабораторными работами студентов, имели указания А. Ф. Иоффе присматривать к студентам, которые проявляют интерес и способности к экспериментальной физике, и приглашать их на работу в физико-технический институт. В 1927 году, будучи студентом второго курса, я был приглашен на работу в физико-технический институт. Там молодежь сразу приближалась к современной науке. С нами не очень листья и не считались с тем, что у себя на факультете мы еще чего-то «не проходили». На научных семинарах, которые проискодили регулярно по пятницам, с 5 до 7 вечера, разбиались научные работы, только что сделанные сотрудниками института или опубликованные в зарубежных журналах. Мы принимали участие в работе семинара, должны были слушать и поннимать, о чем идет речь, а если не понимали, то справиться. В первое время мы даже не решились спрашивать, потому что не понимаили ничего. Но довольно быстро понятие настоящего лица, по-видимому, потому, что мы привели к стили изложения и сами много читали.

…Когда я начал работать в Ленинградском физико-техническом институте, под влиянием лекций и семинаров Я. И. Френкеля, который рассказывал нам о современных идеях в физике металлов, я решил заняться вопросами именно этой области физики и, прежде всего, эффективом Холла. Я решил проверить, возникнет ли эффектив Холла в жидких металлах. Этот вопрос ранее, в начале века, занимались такие корифей науки, как Нернст, Друде. Процмотрев имешущая по этому вопросу литературу, я пришел к выводу, что выбор жидких металлов в проводившихся ранее опытах был сделан неудачно. В первых

8

экспериментах в качестве образца выбирали руть, потому что при комнатной температуре она всегда в жидком состоянии. Эффекта Холла в ней не обнаружили. Как потом оказалось, и в твердой рутии этот эффект очень мал, и его трудно измерить. Проводились опыты и свистиом. Висмут казался очень подходящим образом, поскольку в твердом высоте ЭДС Холла на несколько порядков больше, чем в других металлах: в «обычных» металлах она измеряется в микровольтах, а в высоте — в милливольтах. Однако в жидком высоте эффекта не обнаружили. Теперь известно, что аномально больший эффект Холла в твердом высоте связано с особенностями его кристалической структуры. В жидком состоянии эта структура пропадает. А экспериментаторы, собирашиеся измерить больший эффект, увидев, что он в 1000 раз меньше ожиданного, пришли к выводу, что эффекта просто нет.

Я решил взять в качестве образца металл, который является наиболее простым. Это — шелочный металл. Шелочные металлы хорошо тем, что у них практические все теоретические предсказания относительно их свойств хорошо определены в опытах. Я выбрал для эксперимента сплав натрия с калем, который при известной концентрации компонент становится жидким уже при комнатной температуре.

Мне представлялось, что при комнатной температуре в предыдущих опытах связи не только с недачным выбором образцов, но и с недостаточно точной постановкой эксперимента. Дело в том, что когда через жидкий металл, находящийся в магнитном поле, пропускают ток, то с стороны магнитного поля на металл начинают действовать силы, которые приводят к смешению отдельных слоев жидкого металла друг относительно друга. (В твердом металле этого перемещения слоев, естественно, нет.) В результате возникнет выходные токи, которые «смазывают» эффект Холла в жидком металле. Так что необходимо если не свести на нет, то максимальное уменьшение этих «паразитных» токов. Для этого мы взяли образец в виде тонкого слоя жидкого металла. Тщательно проведенные измерения обнаружили наличие эффекта Холла. Года через полтора вышла работа Зоммерфельда, в которой рассказывалось об опытах, подтверждалось современную теорию металлов. Ссылался Зоммерфельд и на наш опит. По правде говоря, я был необыскновен год собой — такой авторитет, как Зоммерфельд, оценил мою работу.

…В 1930 году, когда я только что окончил институт и получил звание инженер氟ика, по рекомендации А. Ф. Иоффе меня направили в командировку в Германию, чтобы ознакомиться с физическим laboratoriumами Запада. Я пробил в Германии около трех местцев и смог познакомиться с работами физических laboratorий Лейпцига, Монхена, Гамбургга. И нужно сказать, что я был очень удивлен, когда убедился, что уровень наших физиков, в частности моей собственной уровень, был ничего не ниже уровня физиков, с которых я встречался в laboratorиях за рубежом.

Нахождение в командировке, я около места работы в laboratorии в Монхене, в бышей laboratorии Рентгена. Там работы и университетские доктораны (так назывались у них заканчивающие университет студенты, которые готовят дипломные работы). Однако я заметил, что доктораны, готовясь к выпускным экзаменам, читают книгу Я. И. Френкеля «Курс электродинамики», изданную на немецком языке. Я спросил: «А кому вы сделете экзамены?», они ответили: «Зоммерфельд». Тому самому Зоммерфельду, крупнейшему теоретику мирового класса, про которой у нас, когда мы были студентами, ходила поговорка «нет Бора кроме

9

Бора, и Зоммерфельд его порок». Я знал, что имеется пятотомный курс физики самого Зоммерфельда, и спросил, почему доктораны учат электродинамику не по Зоммерфельду, а по Френкелю. А потому, ответили они, что Зоммерфельд сказал, что он будет принимать экзамены только по курсу Френкеля, поскольку лучше курса в мире сейчас нет. Когда я сказал, что лично знаком с Френкелем, то почувствовал, что мой авторитет в их глазах резко возрос. А я испытыл чувство истинной гордости за наших советских физиков, заслуживших широкое признание в среде крупнейших теоретиков мира.

ПЕРВАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПРЕМИЯ

Исак Константинович Кикопин был удостоен несколько Государственных премии. Некоторые работы, за которые ему присуждались премии, не были опublikованы в печати из-за секретности. Не всегда сообщалось о самом факте присуждания премии. В течение ряда лет — это были годы самой направленной работы — даже имя Н. К. Кикопина не упоминалось в печати, в научных журналах не появились его статьи.
Однако самую первую Государственную премию Н. К. Кикопин и его сотрудники С. В. Губарь и В. С. Обухов получили за работу, которая была опublikована, и о присуждании премии было сообщено в печати, по радио. Об этой работе расссказывает профессор А. К. Кикопин.

Это произошло в дальнейшем теперь 1942 году, в самый разгар Великой Отечественной войны.

Работа была опublikована в журнале «Вестник электропромышленности» под заглавием «Новая система электрозмертельной аппаратуры для измерения постоянных токов большой силы». Что это за новая система? Почему она понадобилась?
И почему измерительные приборы этой системы оказались столь важными, что работа была тогда же, в условиях войны, удостоена Государственной премии? Ведь измерительные приборы — это не танки, не пушки и не minны или бомбы!

Зачем нужны большие токи?

В современной техническе чаще всего используется переменный ток и притом сравнительно небольшой силы — обычно в несколько amпер, резке — в десяти amпер, еще резке — в сотни amпер. Есть, однако, отрасли технически, где требуется непреемно постоянный ток, причем очень большой силы. Это прежде всего металлургия цветных металлов. Такой важный металл как алюминий получают исключительно метод электролиза, и при этом через расплавленную смесьглинозема (Al₂O₃) и криолита (Na₃[AlF₆]) проходит постоянный электрический ток во много десятичной амперар (в настоящее время до 150 кА). Далее в то время, к которым относится описываемая работа, при электролизе алюминия используется ток до 70 кА.

Перед самой войной на Урале строился и вводился в эксплуатацию Уральский алюминийный завод, самый большой в стране. Были и два других завода — один в Ленинградской области, а второй на Украине. Именно на Уральском заводе электролитические ванны были рассчитаны на токи до 75 кА. Естественно, для управления процессом производства алюминия необходимо было иметь возможность измерять эти токи.

Как изменяют большие токи?

Всем известно, как изменяют величины, характеризующие электрический ток (силу тока, напряжение, мощность, энергия). В те времена использовались главным образом приборы магнитозлектрической системы; существовали и приборы, использующие нагрев проводки, по которой проходит изменяемый ток (телловые приборы). Во всех случаях токне-sуществие части приборов сделаны из тон-

10

ких проволок, по которым нельзя пропускать слишком большие точки. А если требуется изменять сильные точки, то приборы шунтируются — параллельно токонесущей части изменительного прибора включают сопротивление (шунт), в определенное число раз меньше сопротивления токонесущей части прибора. Если, например, в цепи течет ток в 100 А, а прибор расчитан на изменения тока не больше 1 А, то сопротивление шунта должно быть в 99 раз меньше, чем сопротивление катушки в приборе. Тогда через прибор будет идти ток 1 А, а через шунт — 99 А. Чем больше изменяемый ток, тем меньше должно быть сопротивление шунта. Добавляются этого увеличением площади поперечного сечения проводника-шунта.

Пока идет речь об изменении дескатков и даже немногих сoten amпера, проблем с шунтими не возникает. Однако, когда требуется изменять точки в тысячи ампера, шунт становится весом обременительной частью прибора. Так, шунт к прибору для изменения тока 10 000 А имел массу 35 кг. На практике с увеличением изменяемого тока масса шунтаросла пропорционально квадрату силы тока. Значит, если нужно изменять ток в 50 кА, масса шунта должна быть 875 кг, а при тоже в 100 кА — 3,5 тонны!

Добавим к этому, что изменительные приборы с шунтими для электролизных заводов у нас в стране не производились. Закупали их в Германии. Но даже зарубежом нельзя было купить необходимые для Уральского завода киломерметры на 75 кА. Положение особенно обострилось с началом войны. Два алюминевых завода в Европейской части СССР оказались на оккупированной территории. Остался единственный алюминевый завод на Уралье, пустить который нельзя было без изменений приборов.

Это и побудило И. Кикона заняться стол вжной проблемой. В ее решении был запитесован не только Уральский, но и другие электролизные заводы, например, Солина камский калийный комбинат. У автора этих строк хранится переписка с этим заводом, из которого видно, насколько важными для него были быстреяя разработка и изготовление новых приборов.

Какие же приборы были предложены взамен шунтовых?

Амператр, через которой не проходит ток

Идея изменений очень больших постоянных токов, предложенная И. К. Киконаным была исключительно проста. Вокруг всякого постоянного электрического тока существует постоянное же магнитное поля в точке, нахождения на заданном расстоянии от проводника с током, зависит только от силы тока. Эта зависимость хорошо известна для магнитного поля вокруг проводника цилиндрической формы. В этом случае индукция поля обратно пропорциональна расстоянию от проводника и прямого пропорциональна силе тока.

На электролизных заводах токонесущие провода — это медные шины прямогоolgного сечения, да еще сложенные вместе. И в этом случае индукция магнитного поля определяется током в шинах, но зависимость ее от силы тока несколько сложнее — она немного отклоняется от линейной. Это, однако, не мешает оценить силу тока по индукции магнитного поля. Саму индукцию предлагалось оценивать самим простым способом — по отклонению магнитной стрелки.

Как известно, на магнитную стрелку (намагниченный стержень) в одномородном магнитном поле действует пара сил, врашаюший момент которых отличается силе стрелка в конце концов установливается вдоль линей индукции магнитного поля. Но можно сделать так, чтобы стрелка не установливалась вдоль линей индукции, а поворачивалась на угол, пропорциональный току. Для этого на стрелку должна действовать сила, момент которой «разворачивается» стре-

11

lkу в противоположном направлении и растет с увеличением угла повората. Такой противодействующий момент может быть создан, например, подходящий пружиной.

Схема прибора, конструктивного И. К. Кикоиным и его сотрудниками, показана на рисунке.

На оси 1, установленный на агатовых подшипниках (для уменьшения трения), укреплен намагниченный стержень 2. Противодействующий момент создает спиральными пружинами 3. Ось со скрепленным с ней стержнем снабжения стрелкой, скользывающей по циферблату, на котором нанесено 100 делений. Прибор был переносным и просто установливался на токонесушей шине в любом месте. Расстояние от шины до намагниченного стержня всегда одно и то же (несколько сантиметров), так что угол повората стрелки зависит только от силы тока. Опыт показал, что небольшая нейненость зависит от силы тока наблюдается только при самых больших силах тока (начиная от 84-го деления шкал). Особую трудность представляла собой градиировка прибора. Ведь сравнивать его показания с эталонным прибором, как это обычно делается, было невозможно — таких приборов просто не существует. Поэтому специально разработали метод градиировки, основанный на явлении электромагнитной индукции.

Кроме переносного килоамперметра, для измерения тока на отдельных электропитическихваннах был разработан Staционный прибор для измерения тока в главной цепи с передачей его показаний на пульт управления. Для этого нужно было «преобразовать» угол повората в электрический сигнал, который и передавался на пульт.

Хотя погрешность измерения силы тока была довольно большой — 3 %, но для технических измерений она была вполне приемлением и удовлечениезаказчиков.

Кроме килоамперметров, И. К. Кикоиным и сотрудниками были разработаны приборы для измерения мощности (ваттметры), счетчики энергии и счетчики амператоров (электрического заряда), также необходимые электролизным заводам, — все расчитанные на токи порядка 70 кА. Следует отметить, что не только была предложена идея приборов и разработана их конструкция, но все эти приборы были изготовлены в мастерских института физики металлов в Свердловске, где в то время работал И. К. Кикоин, и поставлены в нужном количестве электролизным заводам на Урале и в соседних районах. Это и позволяет Уральскому алюминевому заводу начать выдачу продукции — важнейшего металла авнационной промышленности.

Таким образом, работа, начатая еще в 1939 году, оказалась в 1942 году как нельзя более кости для жизни важной отрасля оборонной промышленности. В день 25-й годовщины Великой Октябрьской социальностиской революции было объявлено о присуждении И. К. Кикоину, С. В. Губарю и В. С. Обухову Государственной премии. Это была первая Государственная премия, присужденная физиком Урала.

12

СПЛЕТЕНИЯ
СКРЕШИВАЮЩИХСЯ
ПРЯМЫХ

О. Я. ВИРО,
Ю. В. ДРОВОТУХИНА

Заголовок этой статьи кажется несколько страным, не правда ли? Сплетают что-то гибкое. А тут — прямы! В заголовке, правда, говорится не о процессе сплетения, а, скорее, о результате. Но могут ли быть сплетены, зацеплены друг за друга, хитро расположены по отношению друг к другу скрещивающейся прямы? На первый взгляд кажется, что не могут. Впрочем, откуда у нас это впечатление? В поседневной жизни мы никогда не имеем дела с чем-либо действительно положим на прямы: не так существенно то, что не бывают предметов бесконечного тонких — толщиной мы готовы пренебречь,— существенное отсутствие неограниченной протяженных объектов. Далее лучше света — эти образцы прямейности,— рассеявясь и слабая, на большом расстоянии становятся неощутимыми. На практике приходится иметь дело лишь с отрезками прямы. Любой набор непересекающийся друг с другом отрезков можно,.divяя отрезки так, чтобы они все время оставались непересекающимися, расположить как попало. В этом нас убеждает опит, да и доказать это не трудно. Прямы мы изобрааем их отрезками. Потому-то нам и какется, что прямы не могут быть сплетены. Ну а как на самом деле?

Прежде всего, давайте более точно сформулируем интересующие нас вопросы. Первый вопрос: могут ли несколько непересекающийся прямы располагаться по-разному? А что значит «располагаться по-разному»? Сейчас нас не интересют ни углы, ни расстояния между прямыми. Будем считать, что при движении прямы, в процессе которого они остаются непересекающимися, взаимное расположение их не изменяется. Если же один набор прямы нельзя получить из другого таким движением, то условия считать, что прямы в этих наборах расположены по-разному.

Самыми легкими для нашей пространственного воображения являются наборы параллельных прямы. Ясно, что любые два таких набора, состоящие из одинакового числа прямы, устроены одинаково. Действительно, поворачивая все пространство с «вмороженными» в него прямы одного набора, можно сделать их параллельными прямым другого набора, после чего, перевигая по очереди прямы первого набора так, чтобы они не назвали друг на друга и оставались параллельными, легко совместить их с прямыми второго набора.

Обратимся теперь к произвольным наборам прямы. Можно ли произвольный набор непересекающийся прямы превращать в набор параллельных прямы, как бы «причесать» его? У этой задачи есть простое и неожиданное решение. Попробуйте ответить, не заглядывая в последующей текст. Подумали? Ну, тогда читайте дальше. Ответ — всегда можно. Докажем это.

Возьемем произвольный набор непересекающийся прямы. Выберем две параллельные друг друг плоскости, не параллельные ни одной прямой нашего набора. Зафиксируем точки пересечения первой плоскости с прямыми: поставим там шарниры. Точки пересечения второй плоскости с прямыми тоже зафиксируем, но так, чтобы они были не подвижны только на плоскости, а по прямым могли бы скольить. Другими словами, ограничимся тем, что просверлим во втором

14

пендикулярна плоскости, проходящей через биссектрису и первыше прямые. Так что вовсе не случайно в доказательстве изотопности любых двух пар скрещивающихся прямых углы были сделаны равными 90°. При любой другой величины угла эта конструция доказательства не дает. Более того, дело здесь не в конструкции. Оказывается, две пары скрещивающихся прямых с одинаковыми расстояниями и углами, которые не совмещаются при помощи нашей конструкции, не могут быть совмещены никакой изотопней, в процессе которой расстояние и угол построены. Это связано с заменательным явлением, которое нам еще не раз встретиется. Его стоит обсуждать подробнее.

Орientация и полупорентации

Орientированный прямой называется прямая с выделенным на ней направлением. Направление обычно показывается стрелкой. Примую можно орientировать двумя способами, две прямые — четьрым, набор из $n$ прямых — $2^n$ способами. Полупорентация набора прямых называется пара противоположных ориентаций этого набора. Другими словами, полупорентация набора прямых — это его ориентация с точностью до одновременного обращения всех стрелок («с точностью до наборот»). На рисунке 2 показаны две орientации пары прямых, составляющие одну ее полупорентацию.

Каждую пару не перендикулярных прямых можно сначала канонической полупорентацией (т. е. полупорентацией, которая определяется самой парой, точнее, взаимным расположением входящих в нее прямых).

Для этого ориентируем как-либо одну из прямых такой пары и повернем эту прямую так, чтобы она стала паралеллена другой прямой. Такой поворот можно осуществить двумя способами (рис. 3); выберем из них самый экономный — тот, при котором угол поворота наименьший (он единственный, поскольку прямые не ortогональны). Получается ориентированная прямая, она паралелна второй прямой нашей пары, которая тем самым прибретает ориентацию (рис. 4). Таким образом, выбор ориентиции одной из прямых дает ориентацию пары. Если мы выберем противоположную ориентацию этой прямой, то получим противоположную ориентацию пары. Начав с другой прямой, мы получим те же две противоположные друг друга ориентации пары. Эти две ориентации и составляют общанную каноническую полупорентацию.

Изотопия, в процессе которой не меняется угол между прямыми, переводит каноническую полупорентацию в каноническую полупорентацию. Это наводит на мысль рассмотреть еще один тип изотопий — изотопий полупорентационных пары: мы допускаем изменения угла и расстояния между прямыми, но требуем, чтобы в процессе изотопии полупорентация не менялась (полупорентация может

15

быть не канонический). Такая изотопность занимает промежутное положение между наличием произвольной изотопии и наличием изотопии, в процессе которого расстояние и угол (≠90°) не меняются. Уж если между интересующими нас получентрированными парами прямых нет такой изотопии, то не может быть и изотопии, при которой расстояние и угол не меняются. Что же может превращать изотопности получентрированных пар прямых?

Коэффициент зацепления прямых

У каждой получентрированной пара прямых имеет характерISTика, которая может принимать значения +1 и —1. Эта характеристика называется коэффициент зацепления. Она сохраняет при изотопиях, и поэтому если две получентрированные пара прямых имеют разные коэффициенты зацепления, то они не изотопны. Вот как определяется коэффициент зацепления. Имеется самый экономный способ совместить одну получентрированную прямую с другой, скрещивающейся с ней, — перемешать прямую вдоль общего перpendикуляра и поворачивать ее на наименьший угол, необходимый для совместия направлений. При этом прямая будет дивгаться либо как ручка правого буравчика, либо как ручка левого (рис. 5); затем, что тип буравчика не зависит от того, какую из двух прямых мы дивгали. В первом случае коэффициент зацепления равен —1, во втором — +1.

Ясно, что переorientация одной из прямых пары влечет за собой изменение коэффициента зацепления.

Позному при замене ориентации пары на противоположную коэффициент зацепления не меняется, стало быть, является характеристкой получентрированной пары и зависит только от получентации. При отражении в зеркале коэффициент зацепления пары ориентированных прямых меняется (рис. 6).

Вспомним теперь тот несчастный случай, с которым мы столкнулись в поисках изотопии между двумя парами скрещивающихся прямых, сохраняющей расстояния и углы между прямыми (рис. 7). Тогда мы не смогли ответить на вопрос об изотопности наборов, показанных на рисунке 8. Но теперь-то мы знаем, что такие пары (со своим каноническими получентрицами) получаются одна из другой отражением в зеркале и имеют поэтому различные коэффициенты зацепления. Значит, такие пары нельзя соединить изотопией, в процессе которой не меняются расстояния и углы между парыми. А если у двух пар одинаковы расстояния, углы и коэффициенты зацепления, то эти пары можно соединить такой изотопей.

Тройки прямых

Когда мы занимались парами, затемную роль играл общий перpendикуляр пары скрещивающихся прямых. Строю говоря, без него можно было обойтись, но он так естественно связан с прямыми, так надежно соединяет их во что-то целое и обозримое, что было бы страно не воспользоваться им. Теперь хорошо бы найти объекта, столже присущение тройке скрещивающихся прямых. Мы не будем делать это для тройки, прямые которой лежат

16

в трех паралельных плоскостях.
Дело в том, что такое расположение неустойчивое: чуть повернуть любую из прямых, мы получим изображенную тройку, к которой наши конструкции применены.

Итак, рассмотрим произвольную тройку попарно скрещивающихся прямых, не содержащую в трех паралельных плоскостях. Через каждую из этих прямых проведем две плоскости, параллельные двум другим прямым. Так получают шесть плоскостей. Ясно, что они распадаются на три пары паралельных (каждая пара скрещивающихся прямых содержится в двух паралельных плоскостях). Пересекаясь, плоскости образуют параллелепид. Наши прямые являются продолжениями трех его попарно скрещивающихся ребер (рис. 9). Таким образом, любые три попарно скрещивающихся прямые, не лежащие в трех паралельных плоскостях, являются продолжениями ребер неокоторого параллелепида. Этот паралелепид и является обещанным выше объектом, связанным с тройкой прямых. Чем он заменален? Прежде всего, он единствен.

В самом деле, через прямую проходит единственная плоскость, параллельная другой, скрещивающейся с ней прямой, и если эти прямые — продолжение ребер параллелепида, то в этой плоскости лежит одна из его граней. Следовательно, построенная нами шестерка плоскостей однозначно определяется исходной тройкой прямых, и всякий паралелепид, ребра которого лежат на этих прямых, ограничен этих плоскостями и, значит, тоже однозначно определялен.

Мы видим, что несущий паралелепид соединяет прямые тройкиничут не хуже, чем обычный перпендикуляр соединял прямые в пале. Здесь, как в случае общего перпендикара и в случае полученного пары не перпендикулярных прямых, из исходной геометрической конфигурации естественно возникнет нечто дополнительное по отношению к ней, но канонически с ней связанное и потому достойное внимание при изучении исходного объекта.

Загадка. На рисунке 10 изображены, вопроси доказанному выше, два паралелепипед с ребрами, лежащими на трех попарно скрещивающихся прямых. В чем дело? Где спрятан обман — в доказательстве или в рисунке?

Займется классификацией тройки с точностью до изотопий. Как было показано, какую тройку попарно скрещивающихся прямых мы ни взяли, слегка пошевелив ее, мы можем добиться, чтобы ее прямые оказались продолжениями ребер неокоторого параллелепида. Паралелепипед определяется (с точностью до движений) длинами своих ребер и углами между ними. Неперерывной деформацией мы можем сначала сделать все углы прямыми (получим прямогольный параллелепид), а затем все ребра сделать одинаковой длины, например единничной (получим куб; рис. 11). Эта деформация сопроводяется изотопий тройки прямых, являющихся продолжениями ребер параллелепида. Таким образом, нам удалось получить прямые нашей тройки на попарно скрещивающейся ребра единничного куба. Это замечательное достижение. Действительно, теперь мы знаем, что неизотопных наборов из трех попарно скрещивающих прямых не так уж много — не больше, чем тройок попарно скрещивающих прямых ребер у куба. А сколько их? На

17

Первый взгляд, их восемь. В самом деле, фиксируем какую-нибудь гранькуба; как мы видели, в ней содержитсяровно одно ребро из каждой тройки попарно скрещивающихся ребер, и оно может быть любым из четырех ребер этой грани, а троек, содержащих фиксированное ребро,ровно две (рис. 12). Впрочем, восемь — это слишком много. Поворачивая куб, мы можем перевести любое его ребро в любое другое. Так что возможность не больше двух; они и показаны на рисунке 12. Этот успех дает надежду на то, что, действуя таким образом, удastoreть изоппность и троек прямых, показанных на этом рисунке, а значит, и вообще всех троек попарно скрещивающихся прямых. Попробуйте!

Не получается? Не расстраиваетсь, и не должно получиться. Как и у пар ориентированных прямых, у троек (неориентированных!) прямых есть характерISTика, называемая коэффициентом зацепления, которая может принимать значения ±1 и которая сохраняет при изоппях и изменяется при отражении тройки прямых в зеркале. Вот ее определение. В произвольном наборе из трех попарно скрещивающих прямых ориентируем как попало все прямые. Пары прямых, содержащие в нашей тройке, прибегают при этом коэффициенты зацепления (равные ±1). Перемножив их, получим некоторое число (то же +1 или —1), которое и называется коэффициентом зацепления исходной тройки прямых. Оно не зависит от ориентации прямых: переorientрован любую прямую, мы помещаем знак у двух из трех компонентей, что не изменит произведение. Сохранение коэффициента зацепления тройки прямых при изоппии и его изменение при отражении тройки в зеркале вытекают из соответствующих свойств коэффициента зацепления пары ориентированных прямых. Поскольку тройки прямых на рисунке 12 являются зеркальными образами друг друга, их коэффициенты зацепления различны, и эти тройки действительно не изоппны.

Поскольку всякая тройка попарно скрещивающихся прямых изоппна одной из двух троек, изображенных на рисунке 12, две тройки изоппны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые коэффициенты зацепления.

Итак, уже тройки попарно скрещивающихся прямых могут располагаться по-разному. Это оправдывает заголовок статьи, а также то, что в дальнейшем наборы попарно скрещивающихся прямых мы будем назвать просто сплетеями.

Задание

1. Найдите коэффициенты зацепления каждой из троек прямых на рисунке 12.
2. Прямы, содержащие ребра пространственного четырехугольника ABCD, ориентированны «по кругу» (от A к B, от B к C, от C к D, от D к A). Сравните коэффициенты зацеплений пар прямых, лежащих на противоположных ребрах.
3. Докажите, что у всякой тройки попарно

Рис. 12.

20

Победители конкурса «Задачик «Квант»

Ежегодно наш журнал проводит конкурс среди школьников по решению задачи из Задачника «Квант». Объявляем именно победителем конкурса «Задачик «Квант» 1987 года.

Награждайются Дилломом и значком журнала «Квант» и получают право участвовать сразу в четвертом (песпубликском) туре Всегоизной олимпиады 1988 года:

По математике

Ю. Великина — Днепропетровск, с. ш. № 45, 8 кл.
К. Вербицкий — Москва, с. ш. № 607, 10 кл.
А. Витяев — Новосибирск, с. ш. № 166, 10 кл.
В. Волчков — Шахтерск Донецкой обл., с. ш. № 5, 10 кл.
М. Выборнов — Киев, с. ш. № 145, 9 кл.
Ю. Гнаток — Каменец-Подольский, с. ш. № 16, 10 кл.
М. Гольдшейд — Челябинск, с. ш. № 31, 10 кл.
Н. Дохолян — Тбилиси, ФМШ № 42, 11 кл.
Н. Зверев — Москва, с. ш. № 57, 9 кл.
В. Калошин — Харьков, ФМШ № 24, 9 кл.
О. Киринасовский — Винница, с. ш. № 15, 10 кл.
Г. Колесницкий — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 10 кл.
Д. Косоная — Белорецк, с. ш. № 14, 10 кл.
С. Лаусяна — Кохтла-Ярве, с. ш. № 13, 9 кл.
А. Лосев — Ленинград, с. ш. № 239, 10 кл.
Т. Мартиросова — Ташкент, с. ш. № 89, 10 кл.
А. Мельник — Гайворон, с. ш. № 2, 9 кл.
Ю. Морозов — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 10 кл.
А. Назарян — Тбилиси, ФМШ № 42, 11 кл.
В. Павлунин — Фрунзе, с. ш. № 61, 10 кл.
В. Полицук — Киев, с. ш. № 145, 9 кл.
В. Роткин — Баку, с. ш. № 47, 10 кл.
Р. Садреев — Алима-Ата, РФМШ, 9 кл.
Д. Синицкий — Ленинград, с. ш. № 239, 10 кл.
С. Синикова — Москва, с. ш. № 463, 10 кл.
И. Солтан — Павлодар, с. ш. № 3, 10 кл.
Д. Фельдман — п. Черноголовка Московской обл., с. ш. № 82, 9 кл.
В. Фельдшеров — Алима-Ата, РФМШ, 9 кл.
Я. Эфендиев — Баку, с. ш. № 82, 10 кл.
А. Яврян — Ереван, с. ш. № 8, 10 кл.

По физике

Н. Адигезалов — Баку, с. ш. № 20, 10 кл.
А. Бабкин — Киев, с. ш. № 206, 9 кл.
С. Бобровник — Черновцы, с. ш. № 24, 9 кл.
И. Велиев — Баку, с. ш. № 56, 10 кл.
С. Вердиян — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
В. Гуревич — Саратов, с. ш. № 13, 10 кл.
Е. Демлер — Новосибирск, с. ш. № 130, 10 кл.
А. Езерский — Минск, с. ш. № 50, 10 кл.
В. Завадский — Минск, с. ш. № 50, 9 кл.
В. Завражний — Фрунзе, с. ш. № 61, 10 кл.
Ф. Занин — Старый Оскол, с. ш. № 16, 8 кл.
Е. Зельцер — Киев, с. ш. № 145, 10 кл.
А. Капустин — Москва, с. ш. № 114, 10 кл.
К. Краснов — Киев, с. ш. № 206, 9 кл.
А. Майков — Старый Оскол, с. ш. № 16, 10 кл.
Р. Малков — Саратов, с. ш. № 13, 9 кл.
К. Николаев — п. Черноголовка Московской обл., с. ш. № 82, 10 кл.
Д. Ноготков — Алима-Ата, РФМШ, 10 кл.
З. Останов — Тбилиси, ФМШ № 42, 10 кл.
В. Павлунин — Фрунзе, с. ш. № 61, 10 кл.
Л. Петъко — Минск, с. ш. № 50, 10 кл.
А. Подтележников — Харьков, с. ш. № 27, 10 кл.
С. Сазонов — Климовск, с. ш. № 5, 10 кл.
М. Сергазин — Алима-Ата, РФМШ, 10 кл.
А. Сибиряков — Томск, с. ш. № 30, 10 кл.
З. Тавартиладзе — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 11 кл.
А. Усинский — Ровенская обл., Вербская с. ш.-интернат, 8 кл.
И. Химони — Днепропетровск, с. ш. № 53, 9 кл.
И. Чайка — Кузнецовск, с. ш. № 1, 10 кл.

(Окончание см. на c. 29)

21

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задачи отмещаются звездочки. Послед формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера следует отправлять не позднее 1 июня 1988 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант».
Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 3—88» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M1091» или «Ф1103».
В графе «… адрес отправителя» фамилию и имя просим писать разборную. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер шкoles и класс, в котором вы учитесь.

Задачи

M1091—M1095, Ф1103—Ф1107

M1091. Назовем натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны a) Найдите наименьшее число a такое, что числа a и a+1 — удачные.
6) Существует ли такое a, что числа a, a+1 и a+2 — удачные?

H. И. Зильберер

M1092. Вырезанный из бумаги выпukлей многоугольник 10 раз складывают (перегибая по некоторым прямым) и затем разрезают по прямой. Какое наибольшее число кусков может получить?

C. В. Казаков

M1093. На окружности в n точках расставлены числа 0, 1, 2. Затем одновременно во всех точках произволься следующие преобразование: каждое число 2 заменяется на 0, а затем к следующему за ним по часовой стрелке числу прибавляется 1. Пусть вначале количество двоеков равность k ≥ 1.
a) Через какое количество преобразований завершено не оставется ни одной двойки?
b) Пусть, кроме того, в n−k остальных точках вначале стояли единицы. Доказите, что в конце концов остается k единиц и n−k нуля (рис. 1).
H. Алексаандру (Румыния)

M1094. Пусть a, b, c — неотрицательные числа.
a) Доказите, что из неравенства
$$a^4 + b^4 + c^4 \leq 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)$$
(1)
следует неравенство
$$a^2 + b^2 + c^2 \leq 2(ab + bc + ca).$$
(2)
6) Верно ли обратное: из неравенства (2) следует неравенство (1)?

B. А. Сендеров

M1095*. На плоскости задана okружность с центром O и две точки A, B (отличные от O) такие, что прямая AB проходит через точку O. Построите хорду MN этой okружности, которая видна из точки A под заданным углом α и
a) параллельна прямой AB;
b) проходит через точку B. (Если B лежит вне okружности, то через B должно проходить продолжение хорду MN.)

P. О. Бурдин

Рис. 1. Точки, в которых стоит числа 2, — красные, 1 — голубые, 0 — белые; здесь k=4, n−k=3.

22

Ф1103. Математический матник длиной $l$ покопится в точке $A$ на конусе с углом расстояра 2β (рис. 2). Какой путь пройдёт матник до отрыва от поверхности конуса, если легким толком матник вывести из положения равновесия? Угол наклона конуса к поверхности земли $\alpha$, поверхности конуса считается гладкой.

Л. Г. Маркович

Ф1104. Концы двух однородных стержней привязаны друг к другу неевесомыми и нерастяимыми нитями. Один из стержней подвязали за середину к шитатву. Доказать, что образованный таким образом из нитей и стержней четырехугольник является трапецей.

В. Т. Карпетян

Ф1105. Металлический диск радиусом $r=10$ см вращается в горизонтальной плоскости со скоростью $v=60$ об/min. С высоты $H=10$ см на него падает плосковый брусок, масса которого много меньше диска. Нижняя грань бруска все время параллельна плоскости диска, коэффициент треня между металлом и пластмассой $\mu=0,1$. На каком расстоянии от оси должен упасть брусок, чтобы при повторном падении он упал за пределами диска? Считать, что после отскока брусок поднимается на прежнюю высоту; размерми бруска пренебречь.

Л. А. Закревский

Ф1106. Несоклько слов о сверхпроводниках. Сверхпроводники обладают свойством выталкивать магнитное поле (так называемый эффект Мейснера), благодаря чему они могут парить над магнитом. Эту особенность сверхпроводников предполагается использовать для создания сверхкоростных поездов на «магнитной подвеске», опытные образцы которых уже испытывалися. А теперь сама задача. На сверхпроводящий образец массой $m$, паращий над постоянным магнитом,кладут груз точного такой же массы. Во сколько раз необходимо увеличить магнитную indукцию поля, создаваемого магнитом, чтобы сверхпроводник с грузом парил на прежнем расстоянии от магнита?

А. И. Буздин

Ф1107. Свежевыпавший пушистый снег искристая на солнеце. Оцените характерное расстояние между отдельными «искриками».

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Problems

M1091—M1095, P1103—P1107

M1091. A natural number is called successful, if its digits can be split up into two groups with equal sums.
a) Find the least $a$ such that both $a$ and $a+1$ are successful.
b) Is there an $a$ such that $a, a+1, a+2$ are all successful?

N. I. Zilberberg

M1092. A convex paper polygon is folded 10 times (along straight lines) and then cut along a straight line. Find the maximum number of pieces.

S. V. Kazakow

24

Решения задачи
M1070, M1072—M1075,*) Ф1084—Ф1087

Мы рассмотрим несколько ortogonalных проектций теградра и воспользовемся тем, что проекти треугольника вдоль стороны или вдоль медианы и проекти параллелограмма вдоль стороны или диагонали есть отрезки, длины которых выражаются через площадь соответствующего фигуры и длину стороны, медианы или диагонали (рис. 1).

Пусть дан теградр ABCD (рис. 2). Каждый из секущих плоскостей проходит через середины 4-х его ребер и, следовательно, пересекает его по параллелограмму, ограниченной средними линиями граней. Площади сечений, параллельных соответствующего ребрам DA, DB, DC, обозначим через $s_a$, $s_b$, $s_c$, площади граней ABC, BCD, CDA, DAB — через $S_D$, $S_A$, $S_B$, $S_C$. Спроектируем теградр вдоль ребра CD (рис. 3). Получится треугольник ABC (мы сохраняем за проектами точек те же обозначения, что и за самими точками). Проведем в нем среднюю линию KL, параллельную AB (это проекти сечения $s_c$), и медиану CM (это проекти треугольного сечения CDM нашего теградра; M — середина ребра AB). В параллелограмме CLMK (рис. 3) стороны и диагонали равны

$$CL = KM = CB / 2 = S_A / l,$$
$$CK = LM = CA / 2 = S_B / l,$$
$$KL = 2s_c / l, \quad CM = 2S_1 / l,$$

где $l = CD$, $S_1$ — площадь $\triangle CDM$. Записьвая для CLMK «равенство параллелограмма» (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторона), получим

$$2(S_A^2 + S_B^2) = 4s_c^2 + 4S_1^2.$$

Аналогично доказывается равенство

$$2(S_C^2 + S_D^2) = 4s_c^2 + 4S_2^2,$$

где $S_2$ — площадь треугольного сечения ABN, проходящero через середину N ребра CD. Наконец, ortogonalно спроектируем теградр вдоль его «средней линия» MN (рис. 4). Получится параллелограмм ACBD (диагонали AB и CD, пересекаясь, делятся пополам). Диагонали этого параллелограмма — это проекти треугольных сечений $S_1$ и $S_2$, т. е. $AB = 2S_2 / m$, $CD = 2S_1 / m$, где $m = MN$, а средние линии — проекти сечений $s_a$ и $s_b$, и, поскольку стороны средним линиям, $AD = 2s_a / m$, $AC = 2s_b / m$. Еще раз использем «равенство параллелограмма»:

$$2(4s_a^2 + 4s_b^2) = 4S_1^2 + 4S_2^2.$$

Из (1), (2) и (3) следует утверждение задачи:

$$S_A^2 + S_B^2 + S_C^2 + S_D^2 = 4(s_a^2 + s_b^2 + s_c^2).$$

Отметим, что эта задача в другой формулировке

25

Рис. 3.

Рис. 4.

появился в недавно изданном очень содержательном задачнике «Зарубежные математические оптимизации» (М., 1987, с. 49, задача 15.17).

М1072. Разложите на простые множители число 989·1001·1007+320.

Ответ: 1009·997·991. Догадаться до этого разложения можно с помощью следующого сообщения: если $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$, то $f(x)+f(-x)=-2(a+b+c)x^2+2f(0)$, т. е. при $a+b+c=0$ сумма $f(x)+f(-x)$ постоянна. В нашем случае можно взять $f(x)=(x-10)\times(x+2)(x+8)$, тогда заданное число равно $f(999)-2f(0)=-f(-999)=1009\cdot997\cdot991$. Легко проверить, что все три множители здесь простые.

С. В. Фомин

М1073. В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ нашла точка O, из которой все стороны видны под углом 60°. Докажите, что если $OA_1>OA_3>OA_5$ и $OA_2>OA_4>OA_6$, то $A_1A_2+A_3A_4+A_5A_6<A_2A_3+A_4A_5+A_6A_1$.

Отложим на сторонах угла величины $60^\circ$ от его вершины $P$ отрезки $PB_i=OA_i$, $i=1, 2, ..., 6$, как показано на рисунке. Поскольку отрезки $B_1B_2, B_2B_3, ..., B_6B_1$ соответственно равны отрезкам $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_6A_1$, достаточно доказать, что

$$B_1B_2+B_3B_4+B_5B_6<B_2B_3+B_4B_5+B_6B_1.$$

Это неравенство получается, если сложить 4 неравенства треугольника (см. рис.ок):

$$B_1B_2<B_1C_1+C_1B_2,$$
$$B_3C_2<B_3C_1+C_1C_2,$$
$$C_2B_4<C_2C_3+C_3B_4,$$
$$B_5B_6<B_5C_3+C_3B_6,$$

где $C_1, C_2, C_3$ — точки пересечения отрезка $B_1B_6$ с отрезками $B_2B_3, B_3B_4$ и $B_4B_5$. (Указанные отрезки пересекаются благодаря неравенствам, данными в условиям. Например, из неравенств $PB_3<PB_1$ и $PB_6<PB_2$ следует, что точки $B_3$ и $P$ лежат по одному сторону от $B_1B_6$, а $B_2$ и $P$ — по разные, поэтому $B_3$ и $B_2$ лежат по разные стороны от $B_1B_6$, т. е. прямая $B_1B_6$ пересекает отрезок $B_2B_3$; аналогично доказывается, что прямая $B_2B_3$ пересекает отрезок $B_1B_6$, и, следовательно, отрезки $B_2B_3$ и $B_1B_6$ пересекаются.)

А. С. Меркурьев

М1074. Дана сторка из $2n+1$ карточек, с которой разрешается произведение две операции: (А) сверху снимается часть

Занутерум карточки сверху вниз числами 0, 1, …, $2n$ и выложим их последовательно в вершинах правильного многоугольника $A_0A_1...A_{2n}$ (рис. 1). Тогда операции (А) ответает поворот всего набора карточек вокруг центра многоугольника на угол, кратный $360^\circ/(2n+1)$,

26

карточек и перекладывается в схранением порядка;
(B) верхние n карточек с сохранением порядка включения в промежутков между нижними n+1 карточками.
Доказите, что с помощью указанных операций из исходного расположения карточек в стопке нельзя получить более 2n(2n+1) различных расположений карточек.

Рис. 1.

Задание, кванта

а при операции (Б) карточек из вершин $A_0, A_1, \dots, A_{n-1}$ перекладываются, соответственно, в вершины $A_1, A_3, \dots, A_{2n-1}$, а из вершин $A_n, A_{n+1}, \dots, A_{2n}$ — в вершины $A_2, A_4, \dots, A_{2n}$ (рис. 2). Таким образом, после операции (Б) картоки, которые первоначально были соседними, будут стоять через одну. Если же между двумя карточками было заключено k сторон многоугольника (всегда можно считать k≤n), то в результате операции (Б) между ними оказывается 2k сторон. В частности, расстояния между карточками 0 и 1, 1 и 2,…, 2n и 0 будут оставаться равными между собой при выполнении операции

Рис. 2. Рис. 3.

рацией (A) и (B) в любом числе и порядке. Поэтому расстановка всех карточек полностью задается положением карточек 0 и 1: если 0 находится в вершине $A_i$, а 1 — в вершине $A_j$, то 2 — в такой вершине $A_k$, что $A_jA_k=A_iA_j$, 3 — в такой вершине $A_l$, что $A_kA_l=A_iA_j$, и т. д. (рис. 3). Место для карточек 0 можно выбрать 2n+1 способами, для карточек 1 остается 2n мест. Следовательно, число возможных расположений не превыходит 2n(2n+1).

Чтобы получить точное число расположений, надо здесь множество 2n заменить на число различных остатков от деления степени двойки на 2n+1. (При каждом применении операции (Б) число сторона многоугольника между карточками 0 и 1, отсутстваемое в заданном направлении, нужно удалить и взять остаток от деления на 2n+1.)

Д. В. Фомин, В. Н. Дубровский

M1075. Найдите наиболее натуральное число, в десятичной записи которого каждой цифра (кроме крайних) строго меньше двух соседних с ней цифр.

Ответ: 96433469. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — последовательные цифры числа $N$, удовлетворяющего условиям задачи. Рассмотрим разности соседних чисел $d_i=a_{i+1}-a_i$, $i=1, \dots, n-1$. Условие $a_i<(a_{i-1}+a_{i+1})/2$ можно переписать в виде $a_i-a_{i-1}<a_{i+1}-a_i$, или $d_{i-1}≤d_i-1$. Пусть $a_m$ — наименьшая цифра числа $N$. Можно считать, что $a_{m-1}>a_m$, $a_m≤a_{m+1}$, т. е. $d_{m-1}≤-1$, $d_m≥0$. Тогда $d_{m-2}≤d_{m-1}-1≤-2$, $d_{m-3}≤-3,..., a d_{m+1}≥d_m+1≥1$, $d_{m+2}≥2$, $d_{m+3}≥3,...$.

Докажем, что $n≤m+4$. Допустим, что это не так, тогда $a_{m+5}=a_{m+4}+d_{m+4}≥a_{m+4}+4≥a_{m+3}+3+4≥...≥a_{m+1}+1+2+3+4≥10$, но $a_{m+5}≤9$. Аналогично доказывается, что $m≤4$ (в противном случае $a_{m-4}≥a_{m-3}-a_{m-4}≥a_{m-3}+4≥...≥a_m+10$). Итак, $n≤8$, причем если $n=8$, то $m=4$. Подставляя $m=4$ в оценки

27

Для $d_i$ и учитывая, что $a_1 \leqslant 9, a_8 \leqslant 9$, получим:
$$a_2 = a_1 + d_1 \leqslant 9 - 3 = 6, \quad a_3 \leqslant a_2 - 2 \leqslant 4, \quad a_4 \leqslant a_3 - 1 \leqslant 3;$$
$$a_7 = a_8 - d_7 \leqslant 9 - 3 = 6, \quad a_6 \leqslant a_7 - 2 \leqslant 4, \quad a_5 \leqslant a_6 - 1 \leqslant 3.$$
Следовательно, $N \leqslant 96433469$.

С. Е. Рукишин

Ф1084. Если к обмерземму стеклу на незначительное время прижать пятак, то вдоль края пятака на стекле протаивает кругок. Почему?

Когда мы прижимаем пятак к стеклу, он нагревается от руки. От него нагревается и тает иней. А касается монета ия прежде всего по краям, там, где имеется утолщение. Между остальной частью монеты и инеем имеется воздушный зазор. Теплопроводность воздуха намного меньше теплопроводности металла. Поэтому сначала «прогревается» и протаивает ией по колыцу, по краю монеты. После этого монета «ложится» на ией всей поверхность, и таяние ией проискит по всей площади монеты.

Л. А. Ашкинази

Ф1085. На рисунке 1 изображен процесс, совершаемый над идеальным газом и переводящим его из состояния В. Найдите на график участки процесса, где температура газа повышается (понижается).

Рассмотрим на кривой две достаточно близкие точки процесса $C$ и $D$ и запишем выражение для изменения температуры газа при переходе из точки $C$ в точки $D$:

$$\Delta T_{CD} = T_C - T_D = \frac{M}{mR}((p + \Delta p)(V + \Delta V) - pV) \approx \frac{M}{mR}(p \cdot \Delta V + V \cdot \Delta p).$$

Пусть $\Delta T_{CD} \approx 0$ (это означает, что либо точки $C$ и $D$ лежат на одной изтерме, либо при переходе $C \rightarrow D$ температура газа проходит через экстремальное значение (максимальное или минимальное)). Тогда

$$\frac{p}{V} = -\frac{\Delta p}{\Delta V}.$$

(*)

Из рисунка 1 видно, что $\frac{p}{V} = \text{ctg } \alpha$, а при достаточно близких точках $C$ и $D$

$$\frac{\Delta p}{\Delta V} = \text{tg } \beta' \approx \text{tg } \beta'' \approx \text{tg } \beta = -\text{ctg } \gamma.$$

Таким образом, из (*) следует, что

$$\text{ctg } \alpha = \text{ctg } \gamma, \text{ или } \alpha = \gamma.$$

Предположим теперь, что в какой-либо точке кривой $AB$ $\alpha < \gamma$. Тогда $\text{ctg } \alpha > \text{ctg } \gamma$, и повторяя приведенные рассуждения в обратном порядке, получим, что $\Delta T_{CD} > 0$. Следовательно, температура газа при прохождении через эту точку увеличивается. И наоборот: если в какой-то точке $\alpha > \gamma$, то $\Delta T_{CD} < 0$, и температура газа в данной случае уменьшается.

Найдя на график точки $M_1$, $M_2$ и $M_3$, в которых $\alpha = \gamma$ (см. рис. 2), выясняем, что на участках процесса $AM_1$ и $M_2M_3$, где $\alpha < \gamma$, температура газа увеличивается, а на участках $M_1M_2$ и $M_3B$ ($\alpha > \gamma$) — уменьшается.

И. Ю. Потеряйко

29

$$\alpha_{0A} \leqslant \alpha_0 \leqslant \frac{\pi}{2},$$
то ускорение $a$ принимает минимальное значение при $\alpha_1 = \arccos \left( \frac{4}{3} \cos \alpha_0 \right)$ (см. рис. 2).

$$\Delta = f(1) - f(\cos \alpha_0) = 5 \cos^2 \alpha_0 - 8 \cos \alpha_0 + 3.$$

Максимальное значение $f(\cos \alpha)$ (а следовательно, ускорение $a$) принимает либо $\cos \alpha = \cos \alpha_0$, либо $\cos \alpha = 1$. Расстояние разность

$$\Delta = f(1) - f(\cos \alpha_0) = 5 \cos^2 \alpha_0 - 8 \cos \alpha_0 + 3.$$

Видим, что

$$\Delta \leqslant 0 \text{ при } \cos \alpha_0 \geqslant 3/5,$$
$$\Delta > 0 \text{ при } \cos \alpha_0 < 3/5.$$

Значит, ускорение $a$ принимает максимальное значение (см. рис. 2)

при $\alpha_2 = \alpha_0$, если $\alpha_0 \leqslant \alpha_{0B} = \arccos \frac{3}{5}$,

при $\alpha_2 = 0$, если $\alpha_{0B} < \alpha_0 \leqslant \frac{\pi}{2}$.

О. А. Седлецкий

Победители конкурса «Задачик «Кванта»»

(Начало см. на с. 20)

Назряждаются Дилломом и значком журпала «Квант» и книгами серии «Библиотечка «Квант» за активное участие в конкурсе:

По математике

В. Вологодский — Омск, с. ii. № 91, 10 кл.
Д. Воллер — Омск, с. ii. № 66, 10 кл.
А. Гороховский — Киев, с. ii. № 79, 10 кл.
Р. Гринив — Львов, с. ii. № 62, 10 кл.
И. Зефиров — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
И. Кокорев — Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ, 10 кл.
А. Кулик — Киев, с. ii. № 145, 9 кл.
В. Матвеев — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
Я. Мустафев — Баку, с. ii. № 20, 10 кл.
Д. Прокофьев — Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ, 10 кл.
В. Рагулин — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 9 кл.
В. Слитинский — Киев, с. ii. № 206, 10 кл.
Д. Туляков — Жданов, с. ii. № 7, 10 кл.
Ф. Фот — Воронеж, с. ii. № 58, 10 кл.
О. Христенко — Караганда, с. ii. № 63, 10 кл.

По физике

А. Белецкий — Канев, с. ii. № 4, 10 кл.
С. Белусов — Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ, 10 кл.

А. Билибин — Борович, с. ii. № 1, 10 кл.
Д. Виткуп — Киев, с. ii. № 145, 10 кл.
П. Волфбейн — Киев, с. ii. № 145, 10 кл.
А. Гончаров — Новосибирск, с. ii. № 130, 10 кл.
П. Горьков — П. Черноголовка Московской обл., с. ii. № 82, 10 кл.
С. Дронов — Пушино, с. ii. № 3, 10 кл.
А. Ельяшевич — Минск, с. ii. № 16, 10 кл.
Д. Зеленский — Семипалатинск, с. ii. № 3, 10 кл.
С. Зеленский — Семипалатинск, с. ii. № 3, 10 кл.
А. Зискинд — Винница, с. ii. № 17, 10 кл.
В. Каменькович — Харьков, с. ii. № 27, 10 кл.
В. Камчатный — Киев, с. ii. № 206, 9 кл.
А. Комник — Старый Оскол, с. ii. № 16, 9 кл.
А. Коршков — Мозырь, с. ii. № 8, 9 кл.
Ю. Кравченко — Москва, с. ii. № 820, 10 кл.
В. Лендерман — Киев, с. ii. № 208, 10 кл.
А. Мазуренко — Минск, с. ii. № 50, 10 кл.
А. Мамаев — Заволжье, с. ii. № 17, 10 кл.
А. Мацко — Киев, с. ii. № 206, 10 кл.
Н. Михайловский — Красноярск, с. ii. № 20, 10 кл.
В. Мороз — Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ, 10 кл.
К. Пенанен — Одеска, с. ii. № 63, 10 кл.
О. Покрамович — Брест, с. ii. № 1, 10 кл.
Р. Сагайдак — с. Матусов Черкасской обл., с. ii. № 1, 10 кл.
Д. Симонян — Рига, с. ii. № 79, 10 кл.
В. Синенко — Канев, с. ii. № 4, 10 кл.
М. Соколов — Одинцово, с. ii. № 11, 10 кл.
Д. Тильга — Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.
И. Тодошенко — Пермы, с. ii. № 16, 10 кл.
Г. Фейгин — Тула, с. ii. № 36, 10 кл.
С. Штовба — Винница, с. ii. № 33, 10 кл.
И. Ясников — Тольятти, с. ii. № 59, 10 кл.

30

Список читателей, приславших решения задачи M1045—M1060, Ф1058—Ф1072, справлицы с задачи M1045, M1046, M1051, M1053, M1056—M1060, Ф1058, Ф1062, Ф1063, Ф1065, Ф1068, Ф1071. Ниже мы публикуем фамилии тех, кто прослаwl правильные решения остальных задачи (цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задачи).

Математика
Ю. Великина (Днепропетровск) 49, 50, 52, 55;
К. Вербицкий (Москва) 49, 50, 52, 54;
А. Винцукий (Калуга) 50, 55; А. Винцук (Киев) 49, 50; А. Витяев (Новосибирск) 49, 50, 54; В. Вологодский (Омск) 49, 50, 52, 54; В. Волков (Шахтерск) 48—50, 52, 54, 55; Д. Волпер (Омск) 49, 50, 52, 54, 55; Я. Воробец (Львов) 49, 50, 52; М. Вьюрнов (Киев) 48—50, 52, 55; Ю. Гнаток (Каменец-Подольский) 49, 50, 52, 54; М. Гольдшейд (Челябинск) 48—50, 52, 54, 55; А. Гороховский (Киев) 48—50, 52, 54, 55; В. Гравит (Северодинск) 49, 50, 52, 54, 55; Р. Гринив (Львов) 49, 50, 52, 54, 55; А. Давыдов (с. Елфимово Горьковской обл.) 49; Р. Дадашов (п. Борадыгях АзССР) 50; Н. Дохолян (Тбилис) 49; С. Дронов (Пушино) 49, 50, 52, 54; К. Дышлевой (Черкасы) 52, 54; И. Жарков (Свердловск) 48—50, 52, 54, 55; И. Жильцов (Свердловск) 52; Ю. Жуков (Тула) 50; Ю. Журавель (Киев) 49; Н. Зверев (Москва) 49, 50, 52, 54, 55; С. Зелик (Краматорск) 49, 54; И. Зефиров (Химки) 48—50, 52, 54, 55; Е. Иванов (Москва) 52, 54, 55; А. Калинин (Саратов) 49, 50, 52, 55; В. Калошин (Харьков) 49, 50, 52, 54; С. Кириллов (Одеска) 49, 52, 54; О. Кирисовский (Винница) 49, 50, 52, 54, 55; С. Коваценко (Винница) 50, 52; О. Коврижин (Майкоп) 49, 52, 54; А. Козачко (Винница) 50, 52; И. Кокорев (Ленинград) 49, 50, 52, 54, 55; Г. Колесицкий (Тбилис) 49, 50, 55; А. Коршков (Мозырь) 49, 50, 52; Д. Косоля (Белорецк) 48—50, 52, 54, 55; В. Крепет (Новосибирск) 48—50, 52; Г. Кроин (Ленинград) 52; В. Крушиан (Новосибирск) 48—50, 52, 54; А. Кулик (Киев) 48—50, 52, 54, 55; К. Курабaeва (Алма-Ата) 50; А. Курило (Целиноград) 52; К. Левин (Киев) 49, 50; С. Лесик (Донецк) 49, 50; А. Лоеев (Ленинград) 48—50, 55; В. Лысенков (Белорецк) 48—50, 52, 54, 55; А. Мальцев (п. Медведка Курской обл.) 49, 50, 52, 54; И. Марков (Киев) 48, 49, 52; Т. Мартиросова (ТАшкент) 48—50, 52, 54; В. Матвеев (Москва) 48—50, 52, 54, 55; А. Мельник (Гайворон) 50; А. Мельников (Краснодар) 49, 52, 55; О. Мельников (Краснодарск) 49, 50; М. Мельцер (Винница) 48—50, 52, 54, 55; С. Морозов (Заволжье) 49, 52; Ю. Морозов (Тбилис) 49; Я. Мустафеев (Баку) 48—50, 52, 54; И. Nazарян (Тбилис) 48—50, 52, 54; А. Натальин (Ленинград) 52; О. Нумов (Заволжье) 52; И. Онульский (Киев) 52, 55; О. Павлов (Новосибирск) 49, 50, 52, 54, 55; А. Павлунин (Фрунзе) 49; В. Павлунин (Фрунзе) 52; А. Плачко (с. Великая Руссава Винницкой обл.) 49; В. Полшук

Задчи

1. Как перевести в лодке с одного берга на другой козла, капусту, двух волков и собаку, если известно, что волка нельзя оставлять без пристотра с козлом и с собакой, собака «в ссоре» с козлом, а козел «неравнодушен» к капусте? В лодке только три места, поэтому можно брать с собой одновременно не более двух животных или одно животное и капусту.

2. В современных по стрелбе участовало 30 человек. Первый стрелок выбил 80 очков, второй выбил 60 очков, третий выбил среднее арифметическое чисел очков у первых двух, четвертый — среднее арифметическое чисел очков, выбитых предыдущими стрелками. Сколько очков выбил последний стрелок?

3. Решите арифметический ребус, изображенный на рисунке, подставив вместе букв Ч четырех цифры, а вместе букв Н — нечетные.

4. Почему льжники и конько-бежцы после финиша накидывают на себя пальто или одеяло, хотя на дистанции им было очень жарко?

5. Плоскость разбита на квадраты площадью 100 cm². Как с помощью одной линейки (без делений) получить квадрат площадью 80 cm²?

Эти задчи нам предложили: Е. В. Чернышов, Н. Я. Антонович, А. П. Савин, В. В. Произвольов.

32

Замечательные числа .
Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, в котором каждое число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$

Эти числа введены и talibянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в «Книге абака» (1202). Он получил их как численность семейства кроилков, произходящих от одной пары, при условии, что каждая пара кроилков ежемесячно производит новую пару.

Оказаюсь, что числа Фибоначчи возникают в самых различных области жизни. Например, если идти по дорогке, разделенной на $n$ квадратов, каждый раз страна на следующий квадрат или через один, то количество способов пройти такую дорогку равно $f_n$.

Числа Фибоначчи оказываются в спирали, причем количество спиралей, идущих в одну и другую сторону, различны — они являются последовательными числами Фибоначчи (например, спиралей может быть 34 и 55). То же наблюдается и на плодах ананаса, где спиралей обобщно бывают 8 и 14.

AE: $AB = AB:BC = AD:AC = \tau$

Числа Фибоначчи оказываются в спирали, причем количество спиралей, идущих в одну и другую сторону, различны — они являются последовательными числами Фибоначчи (например, спиралей может быть 34 и 55). То же наблюдается и на плодах ананаса, где спиралей обобщно бывают 8 и 14.

33

8×8

Любитььте соотношения:

$$f_1 + f_2 + \dots + f_n = f_{n+2} - 1;$$
$$f_1 + f_2 + \dots + f_n^2 = f_n f_{n+1};$$
$$f_1 - f_2 + \dots + (-1)^{n+1} f_n^2 = 1 + (-1)^n f_{n+1} = f_n + 2 f_{n-1} - f_n f_{n-1} = (-1)^n;$$
$$f_n + m = f_{n-1} f_m + f_n f_{m+1};$$

$$f_1 x + f_2 x^2 + \dots + f_n x^n + \dots = \frac{x}{1-x-x^2},$$
$$\frac{f_1}{2} + \frac{f_2}{4} + \dots + \frac{f_n}{2^n} = 2;$$

$$1 = 1, 1 + \frac{1}{1} = \frac{2}{1}, 1 + \frac{1}{1+1} = \frac{3}{2},$$
$$1 + \frac{1}{1+1} = \frac{5}{3}, \dots,$$
$$1 + \frac{1}{1+1} = \tau.$$

Обнаружено, что дроби вида $a/b$, соответствующие винтообразному расположению листов на стебельке расстояния, часто является отношением последовательных чисел Фибоначчи. Для бука и орешника это отношение равно 2/3, длядуба и абрикоса — 3/5, для тополя и груши — 5/8, для婴 и миндала — 8/13, и т. д.

34

ЧТО И КАК МЫ ВИДИМ

Кандидат физико-математических наук
А. И. БУЗДИН,
кандидат физико-математических наук
С. С. КРОТОВ

Один физиолог, показанный действие
слепого пятна, стал
любимем при двое
французского короля;
на утомительных
заседаниях
so своими предворными
король развелался,
«отрубая им золоты»:
он смотрел
на однозою из них
и следил, как
в это время
«исчезала»
голова другого.

(Из «Фейнмановских
лекций по физике»)

34

36

испускания глазами специального «флюида». Сетчатка представляет собой разветления зрительного нерва, и первые окончания бывают двух типов — палочки и колбочки (эти названия связаны с формой). При слабом освещении зрение в основном обусловленном палочками, но, к сожалению, они не способны обеспечить цветовое зрение. За цветовое зрение ответственных колбочки, а они начают «включаться» лишь при достижном освещении. С этим, кстати, и связано проискждение выражения «ночью все кошки серы» — при очень слабом освещении все предметы казутся обещеченными.

Слабый свет от звезд, доходящий к Земле, позволяет нам определить цвета лишь самых ярких из них; между тем, сделанные с помощью телекопа цветные сигки звездного неба поражают богатством и красотой красок — к сожалению, глаз они недоступны. Однако чувствуются нашнего «бесцветного» зрения понятие удивительна: глаз может в принципе регистрации даже единичные фотоны. Фотон — квант электромагнитного колбания, как бы самая малая энергетическая порция излучения. (Здесь мы стalkиваем с тем, что, согласно квантовой теории, свет, с одной стороны, электромагнитная волна, а с другой стороны, поток частиц — квантов или фотонов.)

Как мы уже говорили, формирование цветового ощущения — сложный процесс. Светочувствительные клетки глаза связаны не только с мозгом, но и друг с другом. Глаз как бы сам проводит первичную обработку световой информации. Неслучайно при развитиизародыща глаз формируется путем вырастания волокон непосредственного из мозга, и по сути дела он является частью мозга.

Кстати, то место на сетчатке, открывая выходит, разветляясь, зрительный нерв, лишено световой цветительнойности — там нет палочки и колбочки; оно носит название «сплощное». Если изображение предмета на сетчатке попадает на сплощное, то предмет не виден. Открыл слепое пятно известный физик Мариотт, сообщение об этом феномене было им сделано на заседании Парижской академии в 1666 году. Он же был тем «физиологом» (из επιграфа к статье), который научил французского короля гуманному способу «отрубать головы» своим придворным.

Важную роль мозга при восприятии внешних образов иллюстрирует такой пример. Если человекстанет носить очки, которые делают изображение перевернутым, то сначала человек все будет видеть «вверх ногами». Однако через некоторое время восприятие внешних образовстанет прививным. А вот после снятья очков предметы будут казаться перевернутыми, и потребуется определенное время, чтобы все стало на свои места.

Посмотрите теперь на рисунок 2, где изображены три челювка. Каждый совершенню ощущенным, что нижний намного меньше верхнего. Линейка, одnakо, докажет вам, что все челювки одной высоты. Все дело здесь в лучевых линиях, которые создают ощущение переспектiviы. Также трудно поверить, что прямые на рисунок

37

Рис. 3.

ке 3 параллельны. Подобного рода эффективы доставляли непряятности архитекторам еще в древнейшие времена: чтобы очередная постоянная казались прямыми, их пристроительве приходилось искривлять. Пожалуй, наиболее яркое впечатление создал картины голландского художника Эшера, наглядно иллюстрирующие условия нашего восприятия (реродукция картины Эшера помещена на второй странице обложки этого номера).

А как бы думайте, почему возникают перед глазами цветные круги, если в полной темноте задать головой о дверной косяк? а если о фонарь?

Наш глаз плохо приспособлен длястрого анализа цветового состояния света. Для этой цели лучше использовать физические приборы (простейший из них — призма). Зато, смешая в определенной пропорции всего лишь три цвета, например красный, желтый и синий, можно получить практические любой цвет (по крайней мере, ошушение цвета). Это, кстати, широко используется в цветном телевидении. Все краски на экране цветного телевизора возникают в результате соответствующего наложения трех основных цветов. Аналогично, всего три краски используется и при цветной печати. Так, смешав желтую и синию краски, мы получим зеленьй цвет, направив на экран желтый и синий лучи, мы увидим зеленье пятно. Совершенно ясно, что полученный таким способом зеленьй цвет вовсе не есть «чистый» зеленьй цвет, который входит в состав радуги и отвечает электромагнитной волне определенной длины. Просто-напросо в двух этих случаях создается одинаковое ошушение цвета. Несмотря на сказаноное, богатство красок, воспринаемых человеким глазом, очень велико — хорошо художники различают до трехсот оттенков.

И в зависимости — еще один «цветной» сюжет, из области физики элементарных частиц. Выдуманные крупнейшим физиком-теоретиком современности Гелл-Маном экзотическая крупцы материи — кварки — не только получили право на несовсем обычное существование (в свободном состоянии они находиться не могут), но и приобретили еще и «окраску». Они былиот трех «цветов» — красного, зеленого и синего. Объичный протон, состоящий из трех «разноцветных» кварков, будет по этой теории «белым», т. е. «бесцветным». Смешивая эти три цвета в разных комбинациях, можно получить любой другой цвет видимого спектра, что и применяется в цветном телевидении.

Таким образом, современная физическая наука способна с увеличениемговорить о цвете даже таких объектов, неосредственнуювозможность наблюдания которых она с не меньшей уверенностью ответает. Понстине, человекское воображение не имеет пределов…

И прежде чем поставить точку, предлагаем вам подумать над таким вопросами.

1. Известно, что, загорая в полдень, можно просто «сгореть». А вот опасность солнечного окora в утренние и вечерние часы практические «нулевая». Почему?

2. Если смотреть на луч проектора сбоку, то он кажется изогнутым. Почему?

38

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 30)

Ф. Занин (Старый Оскол) 70, 72; Д. Звонов (Челябинск) 61, 70; Д. Зеленский (Семипалатинск) 61, 69; С. Зеленский (Семипалатинск) 69; Е. Зельцер (Киев) 60, 61, 64, 66, 70; А. Зискинд (Винница) 60, 69, 70; Я. Зубков (Алма-Ата) 72; К. Зуев (Вологда) 61, 70; И. Илцев (Плевен, НРВ) 60; А. Исаков (Калининград) 59, 61; М. Ифеев (Москва) 69, 70, 72; С. Казенас (Алма-Ата) 69, 70; Е. Казмирук (п. Черноголовка Московской обл.) 60, 70; А. Капинов (Алма-Ата) 72; В. Каменькович (Харьков) 60, 64, 69; М. Камцева (Старый Оскол) 70; В. Камчатный (Киев) 72; А. Капустин (Москва) 59—61, 70, 72; А. Ключанов (Алма-Ата) 61, 70; М. Ковалеев (Губкин) 72; А. Колесник (Старый Оскол) 61; А. Комник (Старый Оскол) 60, 70; А. Коновалов (Мытниц) 61; И. Коновалов (Киев) 72; Е. Корсунский (Харьков) 59—61, 72; А. Корсунский (Мозырь) 64, 70, 72; А. Корытъко (Киев) 60; М. Кравчененко (Казань) 70; Ю. Кравчененко (Москва) 59—61, 67, 70, 72; В. Куклеев (Ленинград) 60, 67; Ю. Кумnan (Москва) 70; О. Кушинр (Дубляны) 60, 70; С. Лапин (Саратов) 72; Ю. Лепин (Харьков) 64; В. Лендерман (Киев) 60, 70; А. Лосев (Ленинград) 70; И. Лохтин (Москва) 60, 70; О. Лугуев (Махачкала) 60, 61; А. Лугуевин (Мичуринск) 70; А. Львовский (Москва) 61; А. Мазуренко (Минск) 59—61, 64, 67, 69, 70, 72; А. Майков (Старый Оскол) 60, 61, 70; А. Маливанчик (Киев) 60, 61, 70, 72; Р. Малков (Саратов) 59—61, 64, 66, 69, 70, 72; А. Мальшеев (п. Медвянка Курской обл.) 59—61; А. Мамаев (Заволже) 64; А. Макоц (Киев) 60, 61, 72; И. Межуев (Коломна) 59; А. Мелеховец (Брест) 72; В. Меркер (Старый Оскол) 70, 72; А. Мина (Киев) 72; И. Михайловский (Краснойярск) 59—61; Я. Михеев (Киев) 72; Е. Мосеев (Запороже) 72; В. Мороз (Ленинград) 59—61, 64, 67; К. Недбаев (Брест) 72; А. Никитин (Ленинград) 60, 61, 64; К. Николаев (п. Черноголовка Московской обл.) 70, 72; А. Никонок (Ровно) 70; А. Новик (Мозырь) 61, 69, 70, 72; Д. Ноготков (Алма-Ата) 70; С. Ночевный (Запороже) 60, 72; А. Окунев (Гродно) 61, 72; В. Ольховец (Киев) 70, 72; З. Останов (Тбилиси) 61; В. Павлинн (Фрунзе) 70; Д. Пастухов

Новые книги издательства «Нука»

Готовятся к печати:
Богатырев Г. И., Боковнев О. А. Пособие по математике для подготовительных курсов техническим на базе 8 классов средней школы.

Учебное пособие. Изд. 2-е, перераб. 23 л. 80 к.

Задачи по физике. Учебное пособие. Под ред. О. Я. Савченко. Изд. 2-е, перераб. 26 л. 1 р. 10 к.

Зельдович Я. Б., Хлопов М. Ю. Драма идеи в познании природы (частцы, поля, заряды). (Виблотечка «Квант»). 10 л. 40 к.

Пособие по математике для поступающих в.by.

Учебное пособие. Под ред. Г. Н. Яковлева. Изд. 3-е, перераб. 41 л. 1 р. 50 к.

Сборник задач и вопросов по физике для средних специалистов. Учебное пособие. Под ред. Р. А. Гладковой. Изд. 7-е, перераб. 22 л. 1 р.

Стасенко А. Л. Физика по лета. (Виблотечка «Квант»). 10 л. 40 к.

(Окончание см. на с. 59)

39

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Что такое центр масс» предназначена восемиклассикам, заметка «Как в металле протекает электрический ток?» — девятиклассикам, «О машине времени и теории относительнойности» — десятиклассикам.

Что такое центр масс

Если вы бросите камень под углом к горизонту, он, как известно, попетит по параболе. А если бросить длиную палку, да еще закрутить ее как следует? Конечно, разные точки палки движутся по-разному, описывая довольно сложные траектории, но попет палки в целом чем-то похож на попет камня: подъем, верхнее положение, спуск. Мало того, если пренебречь сопротивлением воздуха, то движение одной определенной точки палки ничем не будет отличаться от движения камня, свободно летящero по параболе. Эта точка — центр масс палки.

Центр масс существует у любого тела, более того — у любой системы тел. Он обладает замечательными свойствами, с некоторыми из них вас познакомит эта заметка.

Начнем с определения положения центра масс. Расмотрим систему материальных точек с массами $m_1, ..., m_n$. Как, зная их координаты, найти координаты этой «самой важной точки»? Ответыглядит так:

$$x_{\mu m} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + ... + m_n x_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n},$$

анаалогично для координат $y_{\mu m}$ и $z_{\mu m}$. Почему именно так определяется центр масс, станет ясно позднее, когда мы рассмотрим его диамические свойства. А пока освоимся с выражением (1), обсуídив несколько связанных с ним вопросов.

a) В случае двух точек массами $m_1$ и $m_2$ выражение для $x_{\mu m}$ имеет наглядный смысл: центр масс лежит

40

между точками, близке к той, у которой масса больше (рис. 1); относение расстояний до точек обратно относению их масс (проверьте это сами). Ясно, что в общем случае центр масс лежит где-то между точками системы, отражая распределение масс в пространстве.

6. Все материалы точки «участуют» в определенной положения центра масс совершенно равноверно. Значит, если расположение масс симметрично относительно какой-то точки, то эта точка и будет центром масс. Например, центр масс однородного шара совпадает с его центром (то же для цилиндра, куба и т. п.).

в) И еще одно. Оказывается (попробуйте это доказать), положение центра масс не изменится, если мы, выделив какую-то часть расстояний системы, сосредоточим всю массу этой части в одной точке — ее центре масс. Например, центр масс проводочного треугольника совпадает с центром масс системы трех точек, расположенных в серединах сторона (массы точек равны массам соответствующих сторона).

Перейдем теперь к самому главному — изучению физических свойств центра масс.

Пусть за малое время $\Delta t$ точки переместятся на $s_1$, …, $s_n$. Тогда, как видно из (1), перемещение центра масс будет равно

$$\vec{s}_{\mu M} = \frac{m_1 s_1 + m_2 s_2 + \ldots + m_n s_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$$

(напомним, что проекции вектора перемещения на оси равны изменением соответствующих координат). Разделив перемещение на $\Delta t$, найдем скорость центра масс:

$$\vec{v}_{\mu M} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \ldots + m_n \vec{v}_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$$

(2)

Обратите внимание — в числеlete

Рис. 1.

стoitит не что иное, как полный имплульс системы $\vec{P}$. Поэтому выражение (2) можно записать в виде

$$\vec{P} = (m_1 + m_2 + \ldots + m_n) \vec{v}_{\mu M}.$$

Итак, первое свойство: если всего массу системы мысленно сосредоточить в центре масс, то имплульс этой вообразаемой точки будет равен полному имплульсу системы. Что из этого следует? Мы знаем, например, что имплульс замкнутой системы сохраняется. Значит, если система замкнута, скорость ее центра масс $\vec{v}_{\mu M}$ остается постоянной.

Рассмотрим пример. Оdnородная тонкая палочка длиной $l$ стоит вертикально на гладком полу (рис. 2). Ее отпускают, после чего она падает плашм. Как узнать на сколько сдиенется нижний конец палочки к моменту падания? Одана палочка в поле тяготения не является замкнутой системой; но, раз на нее действуют только вертикальные силы, горизонтальная проекция ее имплульса не меняется, в нашем случае — остается равной нулю. Значит, центр масс не смешается в горизонтальном направлении, т. е. центр палочки упадет в то место, где она стояла, а ее нижний конец сместится на $l/2$.

Продолжим обсуждение свойств центра масс. Рассмотрим систему двух материалов точек массами $m_1$ и $m_2$. Пусть эта система не замкнута, т. е. на каждое тело действуют как внутренние, так и внешние силы. Исподя из второго закона Ньютона, запишем изменение имплульса каждой точки за время $\Delta t$:

$$m_1 \Delta \vec{v}_1 = (\vec{F}_1 + \vec{F}_{12}) \Delta t,$$

$$m_2 \Delta \vec{v}_2 = (\vec{F}_2 + \vec{F}_{21}) \Delta t,$$

где $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ — внешние силы, $\vec{F}_{12}$ — сила, действующая на первую точку

41

со стороны второй, $\vec{F}_{21}$ — соответственно, наоборот. По третьему закону Ньютона $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$, поэтому изменение импульса всей системы равно

$$\Delta \vec{P} = m_1 \Delta \vec{v}_1 + m_2 \Delta \vec{v}_2 = (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \Delta t$$

— импульс системы меняется только под действием внешних сил. С другой стороны, из выражения (3) следует, что

$$\Delta \vec{P} = (m_1 + m_2) \Delta \vec{v}_{\mu M}$$.

Отсюда для центра масс получаем соответствие, аналогичное второму закону Ньютона:

$$(m_1 + m_2) \Delta \vec{v}_{\mu M} = (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \Delta t,$$

которое можно переписать в более привящном виде:

$$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (m_1 + m_2) \vec{a}_{\mu M}.$$

(4)

Это — самое главное: центр масс движется так, как будто в нем содержится вся масса системы и к нему приложены все внешние силы. Обратите внимание — именно внешние силы. Внутренние силы системы вообше не влияют на движение ее центра масс. Вот почему движение этой точки во многих случаях оказывается достаточно простым.

Это свойство центра масс имеет многочисленные приложения. Например, теперь вам, наверное, ясно, почему середина палки, брошенной под углом к горизонту (о которой шла речь в самом начале заметки), движется, как и камень, по параболе. В отсутствие треня о воздействии внешняя сила равна $m\vec{g}$, и, значит, ускорение центра масс, как и ускорение камня, равно $\vec{g}$, независимо от того, происходит ли вращение палки.

Разберем такой пример. Подъемный краан подает на стропельную площадку тяжелую плиту. Что бы развернуть эту плиту, две рабочих толкают ее в точках $A$ и $B$ с одинаковой по модулю силу (рис. 3). Относительно какой точки начинает повращаться плита? Ручаемся, что многие из вас сразу же ответят так: конечно, относительно точки $C$, лежащей посередине между точки $A$ и $B$.

Не торопитесь! Правильный ответ: относительно точки $O$ — центра масс плиты. Посмотрите на уравнение (4). Раз сумма внешних сил равна

Рис. 3.

нулю, значит, равно нулю ускорение центра масс — он и будет оставаться в покое.

В заключение — еще об одном «удобстве» центра масс. Как следует из уравнения (3), в системе отсчета, связанной с центром масс, полный импульс системы тел равен нулю. Ясно, что в такой системе движения должно выглядеть проще — ведь система как целое покопится. Особенно удобно использовать этот пример, если система замкнута. Ведь тогда ускорение центра масса равно нулю (см. уравнение (4)), и связанная с ним система отсчета является инерционной. Например, центральный удар двух упругих шаров в такой системе выглядит так просто, что можно сразу угадаать ответ: после удара шары разлегаются с таким же скоростью, с какими они вначале сбижались. Подумайте сами, почему это так.

А. И. Черночан

Как в металле протекает электрический ток?

Этот вопрос обычно не вызывает затруднений у школьников. Как протекает? Да очень просто. Если между концами проводака, например металлического, поддерживает разность потенциальов, то в нем возникнет электрическое поле. Действия на имеющейся в металле свободные электрины, это поле придает им ускорение в направлении того конца provодака, потенциального которого выше (заряд электринов отрицательный). Возникает направление движения зарядов, которое и является электрическим током.

42

Нельзя сказать, что такой ответ ошибочен. Все слова в нем верны. Однако этот, на первый взгляд исчерпывающий, ответ сразу же вызывает целый ряд других вопросов и возвращений. Попробуем в них разобраться.

Как движутся электоны при создании между концами проводника разности потенциальов? Казалось бы,ускоренное,ведь на них все время действует сила $\vec{F}=e\vec{E}$ ($\vec{E}$ — направленность электического поля в проводнике). Но, с другой стороны, если бы это действительное было так, то сила тока в любом сечении проводника со временем возрастала бы, что противоречит закону Ома — при постоянном направлении силы тока, протекающего по проводнику, постоянна: $I=U/R$. Как же быты? Вспомним о внутреннем устройстве металла.

Валентные электоны atomов металлов связаны с atomами весма слабо. Поэтому при обращении кристаллической решетки они легко отрывают от atomов и образуют довольно плотный электронный газ (далее от каждой atomа оторвется лишь по одному электрону, то их концентрация в таком газе оказывается порядка $n \sim 10^{29}$ $1/\text{m}^3$, в чем мы можете убедиться самостояльно). Рассуждая выше о протекании тока через металл, мы считали эти электоны свободными. В определенном смысле это верно, но не следует забывать и об их окружении — ионной кристаллической решетке.

Созданная в конце XIX — начале XX веков классическая электронная теория сопротивления металлов предполагала, что в процессе движения под действием электрического поля электоны стalkиваются с ионами кристаллической решетки. Средние этих стalkовенений бывают и такие, при которых электоны всего прибретенную при разгоне в электрическом поле энергии передают решетке. Именно также стalkовенения, их называют эффективными, и ответственны за сопротивление металла. Ostальные стalkовенения для понимания механизма протекания тока можно не принять в расчет (после них изменяется лишь направление скорости электронов, но не ее величины).

Пусть среднее время между соударениями есть $\tau$. Тогда можно представить себе следующую модель движения электрона в металле, в котором создается электрическое поле. В интервале времени от 0 до $\tau$ электрон движется сускорением $a=e\vec{E}/m$, и, следовательно, проекция скорости его направленного движения противовызителя. Далее он сноваускоряется электрическим полем, и процесс повторяется. График зависимости проекции скорости упорядоченного движения от времени приведен на рисунке.

Такое кусочно-равноускоренное движение можно представить себе как равномерный дрейф электрона в направлении, противоположном полю, со скоростью $v_{\text{cp}}=eE\tau/(2m)$. Вычислим связанную с этим движением силу тока.

Число электронов, проходящих через сечение $S$ проводника за время $\Delta t$, есть $\Delta N=nSv_{\text{cp}}\Delta t$. При этом переносится заряд $\Delta q=e\Delta N=neSv_{\text{cp}}\Delta t$. Следовательно, в проводнике протекает ток

$$I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=nev_{\text{cp}}S=\frac{ne^2\tau}{2m}SE.$$

Величина

$$j=\frac{I}{S}=\frac{ne^2\tau}{2m}E$$

называется плотностью тока.

Оказывается, полученный нами коэффициент при направлении поля $E$, который составлен только из микросоппических характеристик металла, есть не что иное, как величины, обрат-

43

ная уделному сопротивлению металла $\rho$.

Ну вот, кое-что стало просяться. Однако вопросы еще остались. Давайте, например, оценим среднюю скорость направленного движения электронов. Пусть по медному проводнику сечением, скажем, $10\text{ mm}^2$ и концентрацией электронов $n=1,67 \cdot 10^{29} \text{ 1/m}^3$ протекает ток $I=10$ А. Тогда средняя скорость

$$v_{\text{cp}} = \frac{I}{neS} \approx 0,04 \text{ mm/c}.$$

Если же по известному из эксперимента значению $\rho$ определять время между эффективными соударениями, то оказывается, что $\tau \sim 10^{-14}$ с. Поэтому, если предполагается, что пробег между эффективными соударениями происходит со средней скоростью $v_{\text{cp}} \sim 0,1 \text{ mm/c}$, то мы приходим к абсурдному утверждению: расстояние между двумя соударениями электрона составляет $l = v_{\text{cp}} \tau \sim 10^{-18}$ м, что на много порядков меньше расстояния между ближайшими ионами в решетке. Следовательно, мы снова чего-то не учили. А не учили мы того, что частицы электронного газа в металле, подобно молекулам идеального газа в сосуде, находятся в постоянном хаотическом движении. Однако, если воспользоваться такой аналогией и вместе $v_{\text{cp}}$ подставить в выражение для $l$ тепловой скорость $v_{\tau} = \sqrt{3kT/m}$ (см. § 11 «Физики 9»), то этого все оказывается недостаточно для согласия с опытными данными (убедитесь в этом самостояльно).

Мы исчерпали возможность классической физики. В действительности последовательная теория сопротивления металлов была построена только в середине двадцатого века с помощью представления квантовой физики. Оказалось, что электроны в металле движутся с гигастимми скорости $v_e \sim 0,01c$ (с — скорость света в вакууме). Это хаотическое движение части электронного газа имеет чисто квантовое, а не тепловое проискождение — оно не прекращается даже при абсолотном нуле температуры. Но и при столбтномх скорости хаотического движения электронов в отсутствие электрического поля средний перенос заряда через відленное сечение проводника равен нулю. При включении электрического поля на это хаотическое движение накладывается упорядоченный дрейф электронов против поля — как это уже было описано выше. Расстояние же между двумя последовательными соударениями определяется именно большой скоростью хаотического движения и составляет для взятого нами конкретного медного проводника несколько десятиков (а может быть, даже сотен) международных расстояний, что уже вполне праводоподобно.

И, наконец, последняя необходимость. Согласно законам квантовочек, электрон в идеальной перiodической кристалической решетке движется так, что он… никакогда не сталькается с понами, ее образуощими. А как же бы тогда со всеми нашими предыдущими умозрителыми построениями? Как же тогда электроны при своем движении в кристалле передают свою энергию решетке?

Оказывается, при низких температурах электроны сталькаются с примесными атомами и других дефектами, всегда имеющимся в решетке реального кристалла. Устраняя их, сопротивление кристалческого металла можно делать все меньше и меньше. При комнатных же температуре электроны в основном рассеяватся на… колбанях решетки. Если в недоввижной решетке они еще могут «строить» свое поведение так, чтобы «обойти» все периодические повторяющиеся ноны, то когда последнее совершают тепловые колбаня, электроны уже никак не могут «следить» за их хаотическим движением и неизбежно сталькаются то с одним, то с другой.

Вот, включите, какие «подводные камни» встречались нам при вимательном рассмотрении, казалось бы, такого ясноого вопроса.

А. А. Варламов

44

О машине времени и теории относительнойности

В восьмой главе курса физики для 10 класса вы познакомились с построатами специальной теории относительнойности (СТО) и основными следствиями из них. Однако из положений СТО утверждает, что одновременность пространственного разделенных событий относительной, т. е. зависит от того, в какой системе отчета ведется наблюдение. Это утверждение, как и многие другие, относится к теории относительнойности, какется страным, даже парадокальным и уже во всяком случае противоречит эздравому смыслу. А почему?

С первых шагов научной фантастики одним из изложенных приемов жанра стало «перемешение во времени». Многие авторы использют его для создания красного «временного парадокса», абсурдного замыкания цепочки событий. Так, геройя одного фантастического рассказа перемешается в предыдущем состоянии и знакомится с симpatичным коншей, который, как ей известно, должен стать автором заменательных открытий. Именно так и произходит, но только благодаря тому, что сама геройя, обладая хорошей памятью, вовремя излагает ему все детали очередного открытия, известного ей из «будущих» учебников и монографий. Как вы понимаете, никто ничего не открывал. Проsto из-за перемешения во времени следствие (геройя рассказа знает детали открытия) произило равные причины (совершение самого открытия), что и приведо к парадоксу.

Что бы таких парадоксов не возникало, нельзя, как подсказывает здравый смысл, менять местами прошло и будущее.

— Стоп! — скажете вы.— В таком случае, что-то не в порядке с теории относительнойности. Ведь относительно одновременности ознакомлен, что для разных наблюдателей порядок следования событий во времени может быть различным.

Посяhim это на конкретном примере. Рассмотрим неподвижно стоящую на рельсах очень длинную платформу A, на концах которой находится два приемника света, и два поезда B и C, едиших вправо и влево соответственно. В какой-то момент времени в точке, расположенной точно посередине между приемниками, производится мгновенная вспышка света. Изовем это событие №1. Тогда событие №2 — луч света фиксируется левым приемником и событие №3 — луч света фиксируется правым приемником. Ясно, что в системе отчета, связанной с платформой A, событие №2 и №3 происходит одновременное. Однако в системе отчета, связанной с поездом B, который едет вправо, событие №3 произойдет равнее, чем событие №2, так как правильный приемник в этой системе движется навстречу лучу света, а левый приемник от луча света убегает. В системе отчета, связанной с поездом C, который едет вправо, событие №3 произойдет позже, чем событие №2. Все дело тут, конечно, в том, что для всех трех наблюдателей свет распространется с одной и той же скоростью (в соответствии со вторым поступатом СТО).

Получается, что с появлением СТО само понятие «раньше-позже» стало относительноим. То, что в одной системе отчета было «раньше», в другой системе может оказаться «позже».

— Все это выглядит очень страным,— скажете вы.— Как мы видели, менять события местами во времени через сервисы последствиями.

Оказывается, все не так страно. Лишая абсolutного смысла понятия «раньше-позже» и «одновременно», СТО никогда не приводит к нарушению принципо-следствий связи между событиями. Если одно событие является следствием другого, то в любой системе отчета оно будет произvodить позже. Обратите внимание — во всех системах отчета (A, B и C) событие №1 (испускание света) произvodит равь-

45

Схема абсолютной (не зависящей от системы отчета) классификацией событий. Для простоты оставлена лишь одна пространственная ше, чем события № 2 и № 3 (прибытие этого света на приемники). Она происходит равные с точки зрения любого наблюдается — ни в одной системе отчета не может свет сначала прийти на приемник, а потом излучиться источником. Вывод ясен: неправильно было бы утверждать, что любые два события можно, изменив систему отчета,omenять местами во времени.

Когда же это возможно, а когда нет? Начнем с другого конца — постараемся установить, когда между двумя событиями может существовать принцип-следственная связь.

В классический (доэйштейнновской) физике на этот вопрос существовал следующий простой ответ: если одно событие происходит позже другого, то оно может быть его следствием, независимо от того, где эти события происходит. Дело в том, что не было никаких оснований полагать, что скорость передачи информации (сигналов) чем-то ограничена. Тогда, если даже событие $B$ произшло очень далеко от события $A$ и совсем не намного позже, можно, используя сигнал достаточно большой скорости, передать в точку $B$ информацию о событии $A$ еще до наступления события $B$. Получается, что любое нарушение временной последовательности событий «раныше-позже» могло привести к нарушению принцип-следственных связей. Поэтому естественно, что понятие «раныше-позже» и «одновременно» в классический физике были абсолютными, т. е. не могло координата, т. е. каждому событию соответствует точка на плоскости «пространство (x) — время (t)».

ли зависять от системы отчета (см. рисунок).

В соответствии с теорией относительнойникостиника сигнал не может распространяться со скоростью, большей скорости света в вакууме $c$. Исходя из этого, меняется и условия возникновения принципной связи между событиями. Если луч света из точки $A$ приходит в точку $B$ до того, как там произшло событие, то событие $A$ может повлять на событие $B$. Именно в таком случае событие $B$ считается принципно связанным с событием $A$. Запишем это условия так:

$$t_B - t_A \geq \frac{r_{AB}}{c},$$

где $r_{AB}$ — расстояние между точками, где происходит события $A$ и $B$. Условие

$$t_A - t_D \geq \frac{r_{AD}}{c}$$

означает, что событие $A$ может быть следствием события $D$, т. е. событие $D$ является принципно связанным с событием $A$, хотя и в обратном порядке. Если же

$$|t_A - t_K| < \frac{r_{AK}}{c},$$

то события, даже не будучи одновременными, полностью независимы одно от другого,никакая информация об одном событии не может прийти к моменту настоящего другого.

Все это условия изобравено на рисунке. Если, например, событие $B$ связано с событием $A$ соответствующим, т. е. не могло координата, т. е. каждому событию соответствует точка на плоскости «пространство (x) — время (t)»

46

Основной принцип дифференциального исчисления

Часть I:
Линейная функция

Член-корреспондент АН СССР
Д. К. ФАДДЕЕВ,
кандидат физико-математических наук
М. С. НИКУЛИН,
И. Ф. СОКОЛОВСКИЙ

В этой статье автором хотелось подтвердить мысль о том, что математика в своей элементарной части является самой простой из наук, так как она изучает наиболее грубые стороны действительности. Это в полной мере относится к элементам математического анализа, основные идеи которого очень просты и наглядны, если их показывать на том интуитивном уровне, на котором они фактически возникли. К сожалению, очень不多

многих результатов математического анализа, их ясный геометрический и физический смысл зачастую уже при первом знакомстве приносятся в жертву проблем обоснования и так называемой математической строости.

По существу, основной идеей «высшей математики» является следующое процесс сообщения, которое мы называем основным принципом дифференциального исчисления:

На небольшим участке любой достаточно «хорошей» кривой она успешает мало изогнутся и тем меньше, чем меньше рассматриваемый участок. Поэтому малый кусочек кривой линейности совпадает с отрезком некоторых прямой, и их близость становится все более совершенной по мере стягивания участка кривой к некоторой точке. Примая, которая плотнее, чем другая прямая, прижимается к кривой близи данной точки, называется касательной к кривой в данной точке. В частиности, график достаточно «хорошей» функции на

47

малом участке почти прямолинеен, и малое изменение функций почти равно малому изменениюnekоторий линейной функции. Иными словами, «хорошая» функция почти линейна локально, т. е. в бесконечную уменьшенной окрестности любого значения аргумента. Угловой коэффициент касательной к графику функций называется значением произвольной от функций в рассматриваемой точке.

«Основной принцип» не является теоремой и не содержит в себе четких определений. Достаточно «хорошая» кривая и «хорошая» функция — понятия, которые можно определить точнее лишь после уччения и формиализации понятия произвольной. Однако рациональные, степенные, показательные и логарифмические, а также тригонометрические функции — все являются «хорошими». Более того, функция, возникающая при исследовании процессов естественного и технически, обычно оказывается «хорошими». В качестве «плюхой» можно назвать функцию $|x|$ в окрестности нуля.

В этой статье мы, оставив в стороне проблемы обоснования, получим основные результаты школьного курса математического анализа, исходя из «основного принципа» дифференциального исчисления. Но прежде чем перейти к решению этой задачи, который посвящена вторая часть этой статьи, мы обстоятлено рассмотрим линейную функцию. Это необходимо сделать по двум принципам. Первая состоит в том, что линейная функция в школьном курсе изучается очень рано и, как следствие этого, несколько упрощенно и оторванно от важнейших ее применений. Вторая причина — принципальная, она связана с особой ролью, которую играет понятие линейной функции в основных концепциях математического анализа.

Определение линейной функции

Линейной функцией называется функция вида $y=kx+b$, где $k$ и $b$ — постоянные. При $k=0$ функция принимает постоянное значение $y=b$. При $b=0$ функция $y=kx$ называется прямой пропорциональной, а параметр $k$ называется коэффициентом пропорциональной.

Характеристиское свойство линейной функции

Это свойство состоит в следующем: приращение линейной функции пропорционально приращению аргумента.

Действительно, пусту $y=kx+b$ — данная функция и пусту аргумент изменяется от $x_1$ до $x_2$. Выразим приращение функции $\Delta y=y(x_2)-y(x_1)$ через приращение аргумента $\Delta x=x_2-x_1$:

$$y(x_2)-y(x_1)=kx_2+b-(kx_1+b)=k(x_2-x_1).$$

Таким образом, $\Delta y=k\cdot \Delta x$, т. е. действительно приращение $\Delta y$ функция $y=kx+b$ пропорционально приращению $\Delta x$ аргумента с коэффициентом пропорциональной, равным $k$.

Справедливо обратное утверждение, а именно: если приращение функции $f(x)$ пропорционально приращению аргумента, то $f(x)$ — линейная функция.

Действительно, выберем (зафиксируем) некоторое значение $x_0$. Тогда для любого $x$ в силу условия выполняется равенство

$$f(x)-f(x_0)=k(x-x_0),$$

откуда

$$f(x)=kx-kx_0+f(x_0),$$

т. е. функция имеет вид:

$$f(x)=kx+b,$$ где $b=f(x_0)-kx_0$, значит, $f(x)$ — линейная функция.

Итак, мы приходим к выводу, что отмещенным свойством обладает линейная и только линейная функция, поэтому и называют его характеристическим свойством линейной функции.

Monotонность линейной функции

При $k>0$ функция $y=kx+b$ — возможность, при $k<0$ — убывающая.

Доказем это при $k>0$; пусту $x_2>x_1$, тогда $y(x_2)-y(x_1)=kx_2+b-(kx_1+b)=k(x_2-x_1)>0$, т. е. $y(x_2)>y(x_1)$, что и требовалось доказать.

Композиция линейных функций

Сложная функция, являющаяся композицией линейных функций, тоже

48

Линейная функция с коэффициентом пропорциональности, равным произведению коэффициентов пропорциональности составляющих ее функций.

Действительно, пусть
$$F(x) = f(g(x)) \text{ и } f(x) = k_1 x + b_1, \quad g(x) = k_2 x + b_2.$$
Тогда
$$F(x) = k_1 (k_2 x + b_2) + b_1 = k_1 k_2 x + k_1 b_2 + b_1 = kx + b,$$
где $k = k_1 k_2, b = k_1 b_2 + b_1$.

Очевидно, что утверждение справедливо для сложной функции, составленной из любого числа линейных функций.

График линейной функции

Теорема. График линейной функции $y = kx + b$ — прямая.

Читатель без труда докажет эту теорему, пользоваться подобным прямогольным треугольником. Однако нетрудно построить и доказательство, не используя теории подбия, опираясь на монотносты линейной функции.

Пусть $y = kx + b$, и мы рассматрием точки на графике с абсциссами $0, x_1, 2x_1, 3x_1, \dots$. Покажем, что эти точки лежат на одной прямой. Идея доказательства ясна из рисунка 1. Все розовые треугольники равны, и сумма углов при любой из точек рассматриемого ряда равна $180^\circ$, так как сумма острых углов прямогольного треугольника равна $90^\circ$, и третий угол при каждой из точек прямой. Следовательно, гипotenузы треугольников продолжают друг друг и составляют прямую. По то же причине точки графика с абсциссами $0, x_1/n, 2x_1/n, \dots, nx_1/n$, лежат на прямой, и она совпадает с предыдущей, либо содержит точку с абсциссой $x_1 = nx_1/n$. Натуральное число $n$ можно взять сколь годно большем, так что найdenная прямая $L$ содержит точки графика со сколь годно густо расположенными абсциссами.

Покажем, что все точки графика лежат на той же прямой $L$. Допустим, что точка $(x_0, y_0)$ графика лежит выше прямой $L$. (Если точка расположена ниже, рассудение аналогично.) Тогда, как и предшеде, мы убедимся в том, что на прямой $L'$, соединяющей точку $(0, b)$ с точкой $(x_0, y_0)$, точки графика с абсциссами $0, x_0/m, 2x_0/m$, … расположены сколь годно густо. Таким образом, в этом предположении точки графика функции $y = kx + b$ «прягали» бы сколь годно часть с прямой $L$ на прямую $L'$, что невозможно в силу монотности линейной функции. Итак, любая точка графика лежит на построенной ранее прямой.

Обратно, любая точка $(x_2, y_2)$ этой прямой принадлежит графику $y = kx + b$. Действительно, точки $(x_2, kx_2 + b)$ есть точка графика и, в силу доказаного, принадлежит прямой, а так как на прямой, не параллельной оси ordinат, есть только одна точка с абсциссой $x_2$, то $y_2 = kx_2 + b$.

Из доказанной выше теоремы следует, что график прямой пропорциональности ($b=0$) — прямая, проходящая через начало координат.

При решении задач часто приходится прибегать к утверждению, обратному теореме о графике линейной функции: любая прямая, не параллельная оси ordinат, есть график некоторых линейной функции.

Докажем его.

Пусть данная прямая проходит через точки $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$, где $x_0 \neq x_1$ (рис. 2). Всегда можно подобрать уравнение вида $y = kx + b$, для которого пары чисел $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$ будут решены:

$$\begin{cases} y_0 = kx_0 + b, \\ y_1 = kx_1 + b. \end{cases}$$

Для этого достаточно положить
$$k = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1}, \quad b = y_0 - \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} x_0.$$
Прямая — график линейной функции
$$y = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} x + y_0 - \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} x_0 -$$
проходит через точки $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$; это — единственная прямая, проходящая через эти две точки, значит, она совпадает с данной прямой, что и доказывает наше утверждение.

Применение характеристического свойства линейной функции

Пример 1. Написать уравнение прямой $a)$ с угловым коэффициентом $k = 3$, проходящей через точку $(-7, 2)$, $b)$ проходящей через точку $(-8, -10)$ и $(2, 4)$.

49

Решение. а) Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка искомой прямой; тогда $\Delta y = y - 2$ и соответствующей приращение аргумента равно $\Delta x = x + 7$. Уравнение прямой имеет вид: $y - 2 = 3(x + 7)$.

6. Вычислим угловой коэффициент $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4 + 10}{2 + 8} = 1,4$.

Мы пришли к предыдущей задаче, но имеем одну «лишнюю» точку. Выбираем любую из двух и составляем уравнение прямой, например, $y - 4 = 1,4(x - 2)$; можно было написать и $y + 10 = 1,4(x + 8)$.

Пример 2. Изучается зависимость, описываемая линейной функцией $y = kx + b$; значения величины $x$ получаются в результате изменения. С какой точностью необходимо выполнять изменения величины $x$, чтобы вычислить значения величины $y$ с точностью до $\varepsilon$?

Решение. Ошибку в измерении величины $x$ можно считать приращением аргумента $x$, т. е. принять за $\Delta x$. Тогда в силу характеристического свойства линейной функции ошибка в определении величины $y$ будет равна $\Delta y = k \cdot \Delta x$. Требуется $|\Delta y| \leq \varepsilon$, откуда $|\Delta x| \leq \varepsilon/|k|$.

Это элементарный результат, но он находится применение в весма общих и совсем не элементарных ситуациях.

Геометрический и физический смысл параметров $k$ и $b$ в уравнения прямой $y = kx + b$

Геометрический смысл параметра $k$ состоит в том, что $k$ равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс (с учетом направления отчета угла). Модуль $k$ готовит о том, насолько кругто (близко к вертикали) проходит прямая, поэтому $k$ называют уравним коэффициентом прямой. Закккать $k$ показывает, в каком направлении идет прямая (возрастает или убывает линейная функция).

Остановимся более подробно на физическом смысле параметров $k$ и $b$. Возьмем графики двух линейных функций (рис. 3 a, б) и будем присвяивать переменным (по осам координат) различных наименования так, чтобы каждый раз данной прямая описывала бы некий возможный процесс.

1. Пусть графики изображают процесс изменения температуры неокторого физического тела. По оси ординат откладывается температура $(y = T)$ в градусах Цельсия, по оси абсцисс времени $(x = t)$ в секундах. Тогда

$$k = \frac{\Delta T}{\Delta t} \frac{\text{град}}{c}$$

— скорость изменения температуры. В случае a) $|k|$ — скорость нагрева, в случае b) $|k|$ — скорость охлаждения, $b = T(0)$ — начальная температура.

2. Пусть $y = m$ — масса горючего в граммах, $x = t$ — время в секундах. Тогда

$$k = \frac{\Delta m}{\Delta t} \frac{\text{г}}{c}$$

— скорость изменения работы — мощность, $b = A(0)$ — работа, совершенная к началу отчета.

52

программу, написанную на Бейсике, позволяет сразу убедиться в ее неструктурности: каждая строка начинается с номера (метки) и часто встречаются команды типа GOTO 90 или GOSUB 210 (передача управления по метке).

Можно ли связать структуры подход, реализованный в школьном алгоритмическом языке, с написанием программы на неструктурном языке Бейсик? Оказывается — можно. Цель этой статьи — показать, как именно это делает. Более точно, мы ужеемся просто методику, позволяющим «автоматически» переводить программы, написанные на школьном алгоритмическом языке, на язык Бейсик.

При этом мы не будем стремиться к тому, чтобы написать налучшую (скажем, кратчайшую) программу на Бейсике, отвечающего алгоритму, написанному на школьном алгоритмическом языке. Например, мы будемводить ряд дополнительных строкек (начинаяшихся со слова REM), не нужных для исполнителя (ЭВМ), но обеспечивающих структуруность полученной программы, ее читаемость.

Мы предполагаем, что читатель знаком — хотя бы в общих чертах — со школьным алгоритмическом языком и языком Бейсик. Мы считаем, что нам дана готовая программа на алгоритмическом языке; наша цель — перевести ее на Бейсик. В данной программе могут встретиться следующие основные конструкции школьного алгоритмического языка: 1) типы переменных иCONSTANT; 2) таблицы; 3) оператор присваивания; 4) оператор ветвления; 5) оператор цикла; 6) операторы ввода и вывода; 7) заголовок алгоритма; 8) способы вывода подпрограмм, передача параметров.

Укажем по порядку, как переводятся каждая из этих конструкций.

1. Типы переменных иCONSTANT в школьном алгоритмическом языке следующие: натуральные, целые, вещественные и литералы. В Бейсике тип переменной не описывается, а обозначается символом после имени переменной: % — целая, — литераная, нет символа — вещественная. натуральных переменных в Бей-

сике нет, вместо них будем использовать целые. При переводе будем оставлять описания типа в комментариях (начинаяшихся со слова REM), а всоду в программе после имен целых и литераных переменных ставить % и соответственно. Например, если в программе встречаются

нат i, цел k, веще a, лит t
то мы пишем (номер строки мы обозначаем буквой n)

n REM НАТ I, ЦЕЛ K, ВЕШ A, ЛИТ T
а в программе используем переменные I %, N %, A, T ↵.

2. Таблицы также бывают трех типов. Minimalное значение индексов в Бейсике равно 0. Если в программе встречаются таблицы

вшт таб x [0:10], цел таб k [0:3, 0:5]
мы пишем (номер строк опущены)

REM ВЕШ ТАБ X [0:10]
ЦЕЛ ТАБ K [0:3, 0:5]
DIM X (10), K % (3,5)

Заметим, что строкка, начинающаяся со слова REM, не повлияет на использование алгоритма (хотя она вводится в ЭВМ и появляется в распечатке программы). Мы ее пишем с тем, чтобы более подробное и наглудное описание переменных, чем то, которое дается следующей строкой перевода.

3. Оператор присваивания (значок :=) алгоритмического языка переводится на Бейсик знаком равенства (=). Например, строка x:=x+1 переводится как X=X+1.

4. Оператор ветвления предлагается переводить так:

если усл IF (NOT усл) THEN n1
то серия 1 GOTO n2
иначе n1 REM ИНАЧЕ
серия 2
все n2 REM ВСЕ
или в сокращенной форме (без инчае)
если усл IF (NOT усл) THEN n
то серия n REM ВСЕ
здесь усл — условия, n1, n2, n — номера строк.

5. Оператор цикла (цикл пока) предлагается переводить по следующей схеме:

пока усл n1 IF (NOT усл) THEN n2
ни ци GOTO n1
серия GOTO n1
ки n2 REM КОНЕЦ ЦИКЛА

53

В цикле для при переводе можно использовать оператор FOR:
для i от min до max
шаг h FOR I=min TO max STEP H
ни
серия NEXT I
кц REM КОНЕЦ ЦИКЛА
(шаг h может быть опущено, при этом шаг полагается равным 1).

6. Операторы ввод и вывода, строго говоря, отсутствует в алгоритмическом языке. Если, однako, они добавлены к языку (например, как в «Кванте», 1986, № 11, с. 40 или как в «Е — практикуме»*), то они переводятся словами INPUT и PRINT соответственно. В противном случае следует в конце программы на Бейсике написать PRINT X, где X — имя переменной (или список имен переменных), стоящей после слова REM. Слово кон заменяется на RETURN (или на END в основной программе), слово нач игорируется.

7. Заголовок алгоритма (процедуры, функции или основной программы) пишется в комментариях, т. е. переписывается после слова REM. Слово кон заменяется на RETURN (или на END в основной программе), слово нач игорируется.

Для организации подпрограммы в Бейсике имеются операторы GOSUB и RETURN. Например, для вывода подпрограммы KBУР (a, b, c, x₁, x₂) (начинаяшейся со строки 170 и вычисляющей корни x₁ и x₂ квадратного уравнения ax²+bx+c=0), чтобы решить уравнение x²+(P+2)x+4Q, нужно написать:
REM KBУР (1, P+2, Q4, X, y)
A=1
B=P+2
C=Q4
GOSUB 170
X=X1
Y=X2
REM КОНЕЦ ВЫЗОВА KBУР

Если какая-нибудь процедура всегда вызывается с одним и теми же аргументами, имеет смысл написать ее так, чтобы они и были ее формальными параметрами, при этом вывоз будет состоять только из GOSUB n. Если нет, подобная оптимизация описана: получится, что некоторые переменные вызываются процедуры мо-

*) Тренажер для основания алгоритмического языка на машине «Ямаха».

гут быть испорчены при вызове.
В качестве примера мы приводим программу приближенного решения уравнения F(X)=0 с данной точностью E методом деления данного отрезка [A, B] пополам. Для конкретности выбрано очень простое уравнение (X²=4); однако, заменив должным образом лишь одну команду (с номером 1020), можно пользоваться этой программой для решения любого другого уравнения. Читателью мы предлагаем прочитать программу и разобрать работу алгоритма. Мы уверены, что структурированность программы и знание школьного алгоритмического языка позволяет ему с легкостью выполнить это задание.

54

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-mатематический и экономический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\frac{3 - 5 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 6 \cos 2x}{5} = x - \frac{\pi}{3}.$$

2. Решите неравенство
   $$\frac{1}{\log_2 \frac{4}{x}} > \frac{1}{\log_2 \frac{x}{2}} - 1.$$

3. Из точки $A$ к окружности радиусом $R$ проводится касательная $AM$ ($M$ — точка касания). Секущая, проходящая через точку $A$, пересекает окружность в точках $K$ и $L$, причем $L$ — середина отрезка $AK$, угол $AMK$ равен $60^\circ$. Найдите площадь треугольника $AMK$.

4. При каких значениях параметра $a$ можно решить систему неравенств
   $$x^2 + (a+4)x + 4a \leq y,$$
   $$3x + y - (2a+4) \leq 0$$
   содержит отрезок $[-2; -1]$ оси $Ox$?

5. Точка $M$ — середина ребра $AD$ единного куба $ABCDA'B'C'D'$. Через середину отрезка $B'M$ перепределилуарно ему проводится плоскость. Найдите расстояние от центра куба до этой плоскости.
   Вариант 2
   (физический факультет)

6. Найдите все решения уравнения $\sin x + \cos 3x = 0$, удовлетворяющие неравенству
   $$\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} > 0.$$

7. Решите неравенство
   $$\frac{1}{\log_2 \left(x^2 - x + 1\right)} + 1 \geq \frac{\log_2 \left(x + 3\right)}{\log_2 \left(x^2 - x + 1\right)}.$$

8. Две окружности радиусами 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $B$ проведена прямая, пересекающая окружности в точках $C$ и $D$ так, что $CD = 8$ и $B$ лежит между $C$ и $D$. Найдите площадь треугольника $ACD$.

9. Принаяка касается парабoles $y = -x^2 + 2x + 2$ в точке $A$ и пересекает ось $Ox$ в точке $B$, а ось $Oy$ в точке $C$. Известно, что точка $A$ лежит в 1-й четверти координатной плоскости и $2AB = AC$. Найдите уравнение касательной.

10. В треугольной парамиде $SABC$ ребра $AB, BC$ и $BS$ имеют длину 2 и взаимно перpendикулярны. Через середины ребер $AC$ и $SB$ проводится плоскость, пересекающая ребро $AB$ и образующая равные углы с плоскостями граней $ABS$ и $ABC$. Найдите величины этих углов.

Вариант 3
(факультет естественных наук и геологии-геофизической факультет)

1. Решите уравнение
   $$(13x^2 + 2x - 14) \cdot \arccos x = 0.$$
2. Решите уравнение
   $$2^2 \sin 2x - 2 \cos 2x + 3 - \left(\frac{1}{6}\right) \cos 2x - \sin 2x - \log_6 14 + 3^2 \sin 2x - 2 \cos 2x + 1 = 0.$$
3. При каком значении высоты прямой трапеця с острым углом $30^\circ$ и перimetром 6 имеет наиболее плоскость?
4. Имеются три куска сплава меди с нижелюм в отношениях 2:1, 3:1 и 5:1 по массе. Из них сплавлен куском массой 12 кг с относимым меди к нижелюм 4:1. Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого была вдое большие массы второго.
5. Дана парамида $ABCD$. Ребро $DC$ перепределилуарно плоскости основания $ABC, AB = 3\sqrt{3}, BC = 3$, угол $ACB$ равен $\pi/3, DC = \sqrt{13}$. Проведена сфера радиусом 5 с центром в вершине $D$. Найдите длину линии пересечения сферы с основанием $ABC$.

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет
Каждай варинент состояние из пяти задач трех типов.
Первые три задачи — расчетные, различной трудности: от почты стандартных до сравнительно сложных, требующих смекалки, глубоких знаний, умения разобраться в непривычной или условенной физической ситуации.
Четвертая задача — это задача-оценка. Для ее решения надо получить расматриемое физическое явление, формулировать простую (так как нужно только оценка) физического модели этого явления, выбрать разумные числовые значения физических величины и, наконец, получить численный результат, более или менее соответствующейrealности. В тексте задачи поддерживают, что абитриент может сам выбрать необходимые для решения задачи величины и их числовые значения.
Пятая задача — это задача-дemonстрация, в которой надо объяснить физическое явление, демонстрируемое в аудитории. Здесь важно понять существенные явления и среды различных факторов выделить главный.
На решение задачи давалось пять часов, начиная с завершения демонстрации.
После текста каждой задачи в скобках указаан процент решивших ее.