Квант 1988, №5 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-mатематический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Жесткость
выпуклых многогранников

1988

В номере:

2 Беседа с академиком В. П. Масловым
6 Н. П. Дольбин. Жесткость выпуклых многогранников
16 А. Л. Стасенко. Коридор входа
26 А. С. Штейнберг. Рождение сплава

Задачник «Кванта»
29 Задачи M1101 — M1105, Ф1113 — Ф1117
30 Problems M1101 — M1105, P1113 — P1117
34 Решения задач M1081 — M1085, Ф1093 — Ф1096

Калейдоскоп «Кванта»
32 Циклопда

«Квант» для младших школьников
34 Задачи
41 С. А. Тихомирова. Архимедова сила в литературных произведениях

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10:
45 Закон сохранения энергии
47 Правило Ленца
49 О швартовке, трении и формуле Эйлера

Искусство программирования
51 А. Г. Шезолев. Рисует школьная ЭВМ

Варианты вступительных экзаменов

62 Ответы, указания, решения
Смеся (16—23, 28, 44)

Наша обложка
1,4 Многогранник-флектор, предложенный Клауссом Штефеном.

2 Картина французского художника Ж. Сёра (1859—1891)
«Гавань Гонфлера» — хорошая illюстрация к заметке «О швартовке, трении и формуле Эйлера», которую вы можете прочитать в этом номере журнала.

3 Шахматная страница.

© Издательство «Нука».
Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1988

2

БЕСЕДА С АКАДЕМИКОМ
В. П. МАСЛОВЫМ

Виктор Павлович, когда и как у вас возникли интерес к физике и математике? Что повлияет в большей степени — школа, кружки, семья?

В крупках я не участвовал, в школе ни математикой, ни физикой особенно не увлекался. Наоборот, был довольно слаб в этих предметах, особенно по физике. А это было такое время, когда физикувлекались многие мои друзья, тогда была moda на физике. может быть именно мое отставание по физике сыграло некоторую роль: я решил, что у меня не хватает образования, что мне надо пойти на физический факультет, чтобы его воспользовать.

В олимпiadах вы, наверное, не участвовали?

Один раз я участвовал в олимпiadе по математике. Я пошел более или менее случайно, просто мои друзья пошли туда. Был это второй тур, я решил только одну задачу, после чего ушел. Получил за это грамоту.

Окончив школе, вы пошли учиться на физический факультет МГУ. Были ли у вас другие варианты выбора жизниного пути?

Да, я вообще больше увлекался гуманитарными науки. Но мой отчим, известный историк, профессор Борис Федорович Поршнев, сильно меняет отговаривал от гуманитарного пути. Собственно говоря, он и уговорил меня идти на физический факультет.

Кого вы считаете своим учительям? Кто из ваших коллег оказал на вас наиболее влияние?

Мой учитель — Сергей Васильевич Фомин. Он работал в пятидесятых годах на кафедре математики физического факультета МГУ. На втором курсе я стал интересовать некоторых частот математических задачи, в частности алгебраических. Я обрабатился тогда к известному алгебраическому Игорю Ростиславовичу Шафарвичу. Некоторые времени я занимался с ним, решил даже перейти на мехмат. Но когда я захотел это сделать, профессор Анатолий Алексеевич Blасов, у которого я был на кафедре, меня не опустил. Чтобы проверить, действительно ли я математик, он поставил мне одну математическую задачу. Я ее доволно быстро решил. Но Blасов мого доказательства никак не хотел понять, поскольку оно было не прямое, как он, видимо, хотел, а косвенно. Потом мне все-tаки удалось его убедить, он согласился меня опустить. Но тут со мной стал заниматься Сергей Васильевич Фомин. Он

3

меня и отговорил от перехода на мехмат. Тогда я перешел к нему на кафедру математики физического факультета.

— Какие трудности встретились у вас на пути становления ученого?

— Я почувствовал очень большое трудности из-за недостаточного математического образования. Я мало знал специальный литературу. После окончания физического факультета мне пришлось довольно долго привлекатель к математическому языку. Поэтому я не сразу был воспринят математиками как математик, а скорее как физик, поскольку язык у меня был для них несколько необъявный. Поначалу ряд моих вопросов математических работ переписывались математики, иногда даже без ссылок. Среди математков установилось мне, что мои работы не строгие. Пришлось предполагать эту точку зрения. Это мне удалось, как ни странно, когда я доказал свою компетентность в современно других областях математики, а не в тех, которые я в основном в это время занялся.

— Создается такое влечение, что вы все время шли по линии наиболее сопротивления: пошли на физический факультет, потому что физика вам давалась хуже всего, а потом стали заниматься математикой, потому что вам не хватило математического языка. Это что — черта характера?

— Нет, по-видимому, я математикой увлекся на физическом факультете потому, что у меня просто были большие склонности к математике. Как я говорил, это увлечение произошло на втором курсе. Дальше, правда, я стал увлекателься и квантовой механикой, квантовой физикой. Пожалуйста, можно сказать, что вообще-то я шел по линии своих увлечений, по линии наименшшего сопротивления в своей жизни. А на физический факультет я, может быть, действительно попал изупрятства: у меня в школьном аттестате была даже тройка по физике.

— Ваши первые работы (впрочем, и многие из внешних) относятся кfundamentalным исследованием и интересу в первую очередь математиков-теоретическов. С другой стороны, вы известнейший математик-прикладник. Как вы соответствите «чистую» математку с физикой и прикладными вопросами?

— Я думаю — удачно сложилось, что я пошел на физический факультете.

У меня есть склонность к обобщениям, к математическим и общим постановкам. Мой занятие физкой для мне источник математических задач; это в целом положительное повлияло на мою работу. В студенческие испрантские годы я поставил перед собой ряд проблем, связанных с теоретической физикой. До них пор не все проблемы мне удалось решить. Я думало, что такой путь поиска математических задач на границе с теоретической физикой — хороший. С другой стороны, это позволяет оценивать окончательные результаты с точки зрения их приложений к физике или к каким-либо других приложенным областям. В альгебре, и особенно в теории чисел, есть критерии, по которым обобщено оценвается работа. Например, давно ли поставлена задача, кто ее решал и не решил, спортивный элемент, что ли. Если удается также решить — значит, имеется серьезное продвижение. А вот в математике, связанной с приложениями, таким критерием, в известной степени, является именно приложение, широта возможных приложений. Здесь должны быть определена интупция, нужно чувствовать, какие именно задачи, решаемые данным математиком, могут быть полезны. Ну и в этом случае поогалот знания физики и физических проблем. Приведу пример такой математикка, как Людвиг Дмитриевич Фаддеев. Он тоже окончил физический факультет. Задачи, которые он начиная занимать читали ли не первым, потом получали широкий резонс благодаря его и не только его работам. Фаддеев часто удается по математике животрепешущие проблемы одним из первых. Это такие проблемы, как уравнение Кортевера-Дефриза*) или, скажем, обратная задача теории рассеивания. Фаддеев как-то чувствует, какие именно проблемы в дальнейшем будут развивать. И это связано, в большой степени, с его физическим образом.

*) Дифференциальное уравнение, описывающее волны на неглубоких водоемах, решения которого (так называемые солитоны) обладают очень низким математическим свойством.

4

— Недавно, в качестве эксперт-математика, вы участвовали в создании проекта захоронения авариного блока Черновьлской АЭС. Что вы можете рассказать об этом?

— По-видимому, в человеке есть какие-то такие скрытые возможности, которые пока наука еще не в состоянии обьясить. Фокусик гипотезирует человека, и тот на пальцах рук и ногустойчиво висит между двумя стульями. Это показывает совершенное необычайные потенциальные возможности, заложенные в человеке. Меня всегда поражало, насколько велик во время войны оказался потенциально нашего народа и наших ученых. Несмотря на огромные потери, страна после войны оказалась более сильной, чем до нее. Видимо, и здесь есть момент массового гипноза: колосальное напряжение усилило народ.

Такая же ситуация была у нас, когда мы работали над проблемой Черновьлской АЭС после взрыва. Это была настоящко напряженная и продуктивная работа, что я до сих пор считаю, — такую работу можно проделать за два, три года, но никак не за те два месяца, за которые мы ее выполнили. Притом не только мы — математики, но и все, кто этим занимался, все приехавшие учены другие специализостей были охвачены этим массовым подъемом. Откуда только брались силы — работа шла неимоверно быстрю. Никаких биоркатаических преград, на предоление которых вповседневной жизни уходят основные силы ученого. Когда мы продумывали и предлагали какой-либо опыт, я утром, скажем, обращался к организациим, и в тот же день эксперимент проводился на Черновьлской АЭС. Мы, конечно, прекрасно знали, как дорого обходится каждый эксперимент, сколько рентген-часов на человека приходится при той или иной проверке. Это создало необычайное напряжение. Другой пример — мой товарищ по работе В. П. Мясников звонил мне в три часа ночи сообщить, что «дыра» в доказательстве, которую я обнаружил, задавается — вариант «держится». Или еще мои молодые сотрудники задерживались у меня вечерами после последнего автораса настоящего установки, что уже вообще не могли больше работать, то уходили в отпуск (это было время отпусков, и я всех их задержал), их заменили другие. Никогда в своей жизни я не испытвал такого сильного напряжения. Когда решались сервисные вопросы, связанные с каркофагом, и надо было принять ответственное решение, каждый представлял себе наколько важными могут быть последствия неправильного выбора. Сроки поджимали, ведь каркофаг создавался молниеносно, наште математическое моделирование иногда не успевало. А когда учит и заставляет переделывать природа, это горький и дорогостойший опыт. Поэтому работа была совершенной необычайная, напряженная и интенсивная. А в конечном случае были получены не только расчеты, касающиеся этой станции непосредственно, — хотя мы проводили расчеты только для нее. Но тем не менее в результате математического моделирования получилось описания неожиданных для механики эффективов, иногда противоречащих предположениям наших коллег-физиков.

— В прикладных задачах, подобных моделированию поведения сложной системы (типа вышедшей из повиновения АЭС), используется компьютерный эксперимент. Применяли ли эти прием?

— Компьютерный эксперимент на самом деле надо было бы применять до того, как это печальное событие произойдет. Как говорится, русский человек задним умом крепок — такой компьютерный эксперимент сейчас и был проведен; он прямо показал, что взрыв должен быть произойти. После того как взрыв произошел, компьютерный эксперимент, показывающий какой-то один из возможных вариантов поведения реактора, уже на самом деле оказался бы не достигнутым, поэтому, что мы должны были просмотреть все варианты. Ведь наша цель — дать определенные рекомендации. Например, наш расчет показал, что не обязательно было подводить бетонную литу (подушку) под каркофаг. Отромные деньги были затрачены, в начале казалось — самая большая

7

другу в одном и том же порядке.
Коши доказал, что подобная ситуация неозможно, если речь идет о двух выпуклых многогранниках.
Теорема Коши. Два выпуклых многогранника с попарно равными граями, составными в одном и том же порядке, равны.
Для доказательства этой теоремы (ono намечено ниже) коней Коши предложил новый метод, который, по словам академика А. Д. Алексадрова, «представляет собой одно из прекраснейших рассужdenий, какие только знает геометрия». Воспел逮ии это действительное прекрасное рассужdenие стало в теории многогранников одним из стандартных методов доказательства других, аналогичных, теорем единственности.

Гипотеза Эйлера
Вопрос — однозначно ли задается форма многогранной поверхности своих граями, или поверхности может как-то меняться, несмотря на неизменность своих граней, — интересовал математиков задолго до Коши.
Над вопросом единственности размышлял и великий Эйлер. В 1766 году он высказал гипотезу: «Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется». «Замкнутой пространственной фигурой» у Эйлера считалось то, что сейчас принято называть замкнутой поверхности. Тем самым предположение Эйлера относилось не только к многогранным поверхности. Но по отношению к многогранникам уверенность в справедливости этой гипотезы была наиболее основательной. Эта уверенность покопалась на многовековом опите обращения с многогранниками и по своей丝ле достигала верования в аксиomy.

Простые многогранники
Вопрос о неизменности многогранной поверхности оказался твердым орешком, но прежде, чем в нем разобраться, необходимо уточнить некоторые понятия. Условия здесь под многогранником поняты не тело, ограниченнойное многоугольниками, как это делается в школе, а поверхность, составленную из этих многоугольников; при этом мы будем предложать, что наш многогранник склеен из конечного числа конечных многоугольников так, что к каждой стороне любой ее грани приклеена одна и только одна грань*). Многогранник с таким условиям называют замкнутым. Условие замкнутости — это естественное условие. Любой из многогранников, изучаемый в школьном курсе — признаны, парамиды, платоновы тела — замкнутый. Общий фанерный ящик для посылок, но без крышки, нельзя считать замкнутым многогранником. Но стоит прибить к нему крышку, как получается замкнутый многогранник.

Мы будем также предложать, что наш многогранник является, как говорят математики, топологической сфера. Топологическая сфера — это такая поверхность, которая отличается от обычной «круглой» сферы настоящего, насколько изогнутшаяся поррышка спушенного мяча отличается от накачанного. Другими словами, мы предложаем, что наш многогранник, будь он сделан из резины, можно было бы растнуть без разрывов и склеек в обычную круглую сферу. Условия называют такой многогранник простым. Все выпуклы, в том числе и «школьные», многогранники — простые, так же, как оба многогранника на рисунках 1, 2. На рисунке 3 приведен пример не простого, а троообразного многогранника.

Многогранник может быть сільно «закручен», что иногда трудно разобраться, простой он или нет. Тем более замечательно, что о многограннике можно сказать, простой он или нет, даже не взглянув на него. Представим, что кто-то сообщил нам число всех вершин В, число всех ребер P и число всех граней Γ неизвестного нам многогранника X. Тогда, подчитав число φ(X), называемое эйлеровой характеристикой многого-

*) Дать строгое математическое определение многогранника, охватывающее и невеликие многогранники, не так просто, и мы здесь этого делать не будем.

8

граничка $X$, по формуле
$$\varphi(X) = B - P + \Gamma,$$
можно уверенно сказать, будет ли многогранник $X$ простым. Многогранник будет простым тогда и только тогда, когда его эйлерова характеристка равна 2. Для многогранников, не являющихся простыми, эйлерова характеристка не превозходит нуля. В частности, для торговых многогранников (см. рис. 3) эйлерова характеристка равна нулю.

Изгибаемость многогранников

Представим теперь, что из картоных многоугольников с помощью клейкой ленты мы склеили многогранник (разумеется, конечный, замкнутый, простой). Ясно, что из-за гибкой в каждом ребре связи любые две соединние грани могут быть поворачивать друг относительно друга вокруг общего ребра, подобно страничкам книги, могли бы… если бы они не были связаны с остальных гранями.

Когда же грани склеены в многогранник, то возникнет вопрос: можно ли перерывно изменять, деформировать многогранник так, чтобы при деформации все его грани оставались неизменными, а изменялись лишь друганные углы? Если для данного многогранника такая деформация возникна, то многогранник назовем изгибаемым, а если нет — неизгибаемым.

Таким образом, изгибаемие многогранника, если оно вообшевозможно, связано с изменением друганных углов. И, хотя каждая пара соседних по ребру граней сама по себе свободна в выборе своего другого угла, каждая весма верятным, что в обществе других граней эта свободатрачивается. Возможно, что такого рода «праводоподобные расужения» послужили Эйлеру опорой для гипотезы о том, что замкнутые многогранники неизгибаемы.

Вопрос об изгибаемости простых многогранников был решен только спустя два века после Эйлера. Уже в нашей время, всего лишь десять лет назад, выяснили, что относительно многогранников Эйлер в своем пред-положении был прав… и не прав. Прав потому, что, как было установлено в 1975 году, «почти все» простые многогранники неизгибаемые. Однако «почти все» — это еще не все многогранники, а их в некоторых смысле «подавляющее большое институто». Два года спустя, в 1977 году, американский геометр Р. Коннелли построил первые примеры изгибаемых многогранников и тем самым опроверг гипотезу Эйлера (см. «Квант», 1978, № 9, с. 14, а также первую и четверую страницы обложки настоящего номера).

Не исключаено, что открытие изгибаемых многогранников кому-то показется не очень удивительным, особенно если он вспомнит о механих музыкальных инструментов, например, баяна. Но эта ассоциация здесь не уменьша. Дело в том, что механи «работают» благодарящегося и сминанию материалов, из которого они изготовлены. Если мы механи собраны из твердых пластин, соединенных между собой маленькими дверными петлями, то сыграть на инструменте не удалось бы. Такие механи, как нетрудно понять, нельзя было бы ни сжать, ни растнуть.

Впрочем, изгибаемый многогранник тоже непригоден для механи, хотя и по другой причине. Дело в том, что известная на сегодня коллекция изгибаемых многогранников обладает несколько неожиданным свойством: заключенный в многограннике объем при изгибании остается постоянным, т. е. многогранник «не дышит». Возникла гипотеза, что это всегда так — этот объем не изменяется при изгибании многогранника.

Заметим далее, что вследствие теоремы Коши изгибаемый многогранник не может быть выпуклым.

Действительно, изгибаемость данного многогранника означает, что существуют другие многогранники, склеенные из тех же граней в том же порядке, но не равные данному из-за чуть-чуть других других других углов. При этом, если исходный многогранник был выпуклым, то и другой сclerка лишь отличующимся углами, то же должны быть выпуклым. А это

9

противоречит теореме Коши, согласно которой два таких выпukлы многоугольника должны стать равны.

Лемма Коши о выпukлы многоугольника

Для доказательства теоремы Коши полезно внимательно посмотреть, как обстоятель дела с многоугольниками. Совсем не случайно в названни работы Коши, посвященной теореме о многоугольниках, присутствует слово «многоугольник». Представим плоский многоугольник, составленный из стержней с шарнирными соединительми в их концах. В случае треугольника длины стержней задают углы между ними (третий признак треугольников), и конструкция является жесткой. С практическим применением этого очевидного геометрического факта мы сталкиваемся на каждом шагу: в стержневых конструкциях, которые подвергаются значительным нагрузкам (фермы местов, стрелы подъемных кранов, перекрытия сооружений и т. п.), для обеспечения жесткости присутствуют треугольные элементы.

В случае же многоугольника с большим числом сторон длины сторон не определяют его углов, а следовательно, не задают и сам многоугольник. Тем не менее, Коши обратил внимание на один факт, оказывающийся существенным при доказательстве его теоремы.

Пусть $A = A_1A_2...A_n$ и $B = B_1B_2...B_n$ — выпukлы $n$-угольники, причем $A_1A_2 = B_1B_2, ..., A_{n-1}A_n = B_{n-1}B_n, A_nA_1 = B_nB_1$. Соответим каждой вершине $A_i$ первого многоугольника знак «+» или «-» в зависимости от того $\angle A_i > \angle B_i$ или $\angle A_i < \angle B_i$. Если $\angle A_i = \angle B_i$, то вершина $A_i$ остается неотмеченной. Прежде чем перейти к лемме Коши, заметим, что отмеченных вершин у неравных многоугольников не меньше четырех, иначе (как легко доказать) многоугольники $A$ и $B$ равны и неотмеченных вершин нет вовсе.

Лемма 1. Пусть у двух выпukлы многоугольников соответствие стороны попарно равны, а среда соответствие сторон попарно равны.

стевных углов имеются попарно неравные. Тогда при обходе вершин многоугольников разности соответствives углов меняют знак не менее четырех раз.

Понятоно, что число перемен знака при обходе вершин многоугольника должно быть четно и не равно нулю. Следовательно, для доказательства леммы нужно показать, что число перемен знака не равно двум. Изложим идею доказательства.

Предположим, что число перемен знака равно двум. Тогда многоугольник $A$ разбивает на две ломаны: у одной ломаной $A_iA_{i+1}...A_j$ есть вершины, отмещенные знаком «+», и ни одна из вершин не отмещена минусом; у другой ломаной — $A_jA_{j+1}...A_i$, наоборот, есть вершины, отмещенные знаком «-», и ни одна из вершин не отмещена знаком «+» (рис. 4).

Позотому ломаню $A_iA_{i+1}...A_j$ можно получить из соответствующих ломаной $B_iB_{i+1}...B_j$ многоугольника $B$, увеличивая углы последней. Каждый совершенню очередным, что в результате такой деформации ломаной, замыкающий ее хорда должна увеличивать, т. е. $A_iA_j > B_iB_j$. (Строю доказательство этого факта не

10

сколько утомительно, и мы его опускаем.)

С другой стороны, вторая ломанная $A_jA_{j+1}$ многоугольника $A$ получается из соответствующей ломанной $B_jB_{j+1}$ многоугольника $B$ в результате уменьшения углов. При этом замыкающий хорда должна уменьшаться. Значит, с другой стороны, $A_iA_j < B_iB_j$. Два противоречных друг друг неравенства показывают, что предположение о наличиировно двух перемен знака неверно. Следовательно, перемен знака не меньше четырех, что и требовалось доказать.

Лемма 1, о которой только что шла речь, потребуется для доказательства теоремы Коши, но в другом варианте — для случая выпуклых многоугольников на сфере. Формулируется и доказывается она так же, как выше: нужно только уточнить соответствующие понятия.

Определение сферического многоугольника совершено аналогично определению плоского многоугольника. При этом надо иметь в виду, что, во-первых, сторона сферического многоугольника — это угол между касательными, проведенными к двумя сторонам в точке их пересечения, т. е. в вершине многоугольника. Очевидно, что угол между сторонами равен линейному углу двугранного угла, образованного плоскостями соответствующих больших окружностей (рис. 5). В-третьих, выпуклый сферический многоугольник — это такой многоугольник, который лежит на сфере по одному сторону от каждой большой окружности, содержащей сторону-другу нашего многоугольника.

Основная лемма Коши

Предположим, что два многоугольника, удовлетворяющие условия теоремы Коши, не равны. Тогда среди соответствующих двугранных углов должны быть попарно неравны. Отметим ребро одного из наших многоугольников знаком «+» или знаком «—» в зависимости от того, двугранный угол при этом ребре больше, или меньше соответствующего двугранного углаDF многоугольника. Разумеется, не все ребра обязаны быть отмечены, поскольку среди соответствующих двугранных углов могут быть и попарно равные углы.

Выберем какую-нибуд вершину O многоугольника, к которой подходит отмеченые тем или иным знаком ребра, и опишем из нее, как из центра,

11

сферу $S$. При этом радиус возьмем настолько маленьким, чтобы сфера $S$, пересекая ребра и грани многогранника, подходящие к вершине-центру $O$, не задевала никаких других ребер и граней многогранника. Ясно, что грани многогранника, образующие многогранный угол с вершиной $O$, вырезают на сфере $S$ выпуклы (сферическая) многоугольник $M$, углы которого равны двумгранным углам многогранника. Если проведи таким же радиусом сфера $S'$ в соответствиишей вершине $O'$ другого многогранника, то на ней вырезается многоугольник $M'$, стороны которого равны соответствующим сторонам многоугольника $M$. Равенство сторона вытекает из условия теоремы Коши: в соответствииших вершинах многогранников должны сходиться попарно равные грани.

Вот здесь и настоящей время леммы 1. Мы предположили, что теорема Коши о единственности неверна; это значит, что хотя бы одно ребро оказывается отмещенным знаком «+» или «-», и, в соответствии с леммой 1, если к какой-нибудь вершине подходят отмещенные ребра, то число перемен знака у ребер при обходе вокруг этой вершины не меньше 4.

От этого несложного замечания до доказательства теоремы, казалось бы, еще далеко. Но здесь Коши находится неожиданный острумный ход, после которого доказательство становится делом техники. Оказывается, справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть на замкнутом выпуклом многограннике некоторые ребра отмещены знаком + или —. Выделим все те вершины многогранника, к которым подходит хотя бы одно отмещенное ребро. Тогда среды выделенных вершин всегда найдется такая вершина, при обходе вокруг встреченного парой соседних ребер и при обходе вокруг соответствующей грани и наоборот (рис. 7).

Обозначим через $\Gamma_n$ число $n$-угольных граней многогранника, $n \geqslant 3$. Тогда

$$\Gamma = \Gamma_3 + \Gamma_4 + \Gamma_5 + \Gamma_6 + \dots$$

(1)

Ясно, что при обходе $n$-угольника число перемен знака не больше $n$, а если $n$ нечетно, то не больше, чем $n-1$. Поэтому

$$N \leqslant 2\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 4\Gamma_5 + 6\Gamma_6 + 6\Gamma_7 + \dots$$

(2)

Так как каждое ребро принадлежит двум граням, то

$$2P = 3\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 5\Gamma_5 + 6\Gamma_6 + \dots$$

(3)

Перешем формулу Эйлера в виде

$$4B - 8 = 4P - 4\Gamma.$$

(4)

Подставим в (4) соответствия (3) и (1):

$$4B - 8 = 2(3\Gamma_3 + 5\Gamma_5 + \dots) - 2(2\Gamma_3 + 2\Gamma_4 + 2\Gamma_5 + \dots) = 2\Gamma_3 + 4\Gamma_4 + 6\Gamma_5 + \dots$$

(5)

В соответствии (5) коэффициент при $\Gamma_n$ равен $2(n-2)$ и, следовательно,

12

Teorema Alekсандрова
о достаочности

Когда работа Коши увидела свет, научные интересы ее авторы были уже далеко от этой области. В дальнейшем глобкие результаты по теории многоугольников были получены представления геометрической шкалы академика А. Д. Александрова. В 1939 году А. Д. Александров доказал теорему об условиях, при которых из данной развертки можно склить выпуклый многоугольник.

Посмотрим на рисунок 8, на котором нетрудно узнать хорошо известную развертку куба. Гораздо труднее увидеть, что развертка, представленная на рисунке 9, а также является разверткой куба — одинаково отмеченные на рисунке вершины задают отложение вершин и пар склеиваемых сторон (рис. 9, 6). Обратим внимание на то, что многоугольники развертки не обязательно совпадают с гранями получаются из него многоугольника. Грань многоугольника при этом может составлять из одного или нескольких кусков разных многоугольников развертки. Заметим также, что не всякая вершина многоугольника развертки обязана быть вершиной многоугольника, она может быть «спрятана» внутри ребра или внутри грани многоугольника.

Возьем произвольную развертку, т. е. возьем несколько вырезанных из бумаги выпуклых многоугольников и укажем, какую сторону каждой из них будем скливать с какой стороны другого многоугольника. Склеиваемые стороны, разумеется, должны

13

быть одинаковой длины. Будем склеивать многоугольники в соответствии с указаниями о порядке склеивания (при этом разрешается сибать многоугольники развертки). Возникает вопрос: из каких разверток можно таким образом получить выпуклый многоугольник? Для этого необходимо выполнение двух условий:

(I) для развертки имеет место формула Эйлера (В—Р+Г=2);
(II) сумма плоских углов, скодашихся при склеивания в одной вершине, не превышает 360°.

Смысл теоремы Алексаидрова поражет свой простотой: условия (I) и (II) являются необходимыми и достаточно для того, чтобы из многоугольников развертки можно было склеить выпуклый многоугольник (возможно, дополнительно сибая многоугольники развертки).

Развивая идеи, лежащие в основе этой теоремы, А. Д. Алексаидров построил внутреннюю геометрию выпуклых поверхностей — одну из важнейших теорий в современной геометрии.

Вернемся к развертке на рисунке 9,a. Далее не глядя на рисунок 9,б, проверив для нее выполимость условия Алексаидрова, можно утверждать, что из этой развертки склеивается некоторый выпуклый многоугольник. Сколько разных выпуклых многоугольников можно склеить из одной развертки? Из-за того, что грани многоугольника не фиксированы, теорема Коши на этот вопрос ответа не дает. А. Д. Алексаидров доказывает теорему, которая, с одной стороны, успела теорему Коши, с другой, — прекрасно дополняет его собственную теорему о достаточноности: если из развертки можно склеить выпуклый многоугольник, то только один.

Волее того, из этой развертки нельзя получить вообще никакой другой выпуклой поверхности, не только многоугольной, но и кривой. Это успешное теоремы Алексаидрова было получено в 1941 году его молодым учеником С. П. Оловяншинковым*.

*) Сергей Оловяншинков — победитель первой математической олимпiadы (1934 г.). Придатые

А. Д. Алексаидров.

Что касается наиболее полного обобщения теоремы Коши на случай произвольных, а не только многоугольных поверхностей, то этот вопрос должен времена оставаться нерешенным. Пусть произвольная замкнутая выпуклая поверхность выполенена из тонкого, гибкого, но нерастимого материала. Можно ли, сохраняя выпуклость, получить из нее поверхность другой геометрической формы? Если исходная поверхность — выпуклый многоугольник, то нельзя — это случае теоремы Коши — Алексаидрова — Оловяншинкова о единственности.

Okончательное обобщение теоремы Коши на случай произвольных поверхностей было получено в 1949 году также представителем школи Алексаидрова, советским геометром, академиком А. В. Погореловым. А. В. Погорелов доказал, что любая замкнутая выпуклая поверхность неизб�aема с

годы наложили свой отпечаток на нелёгкую судьбу талантливого юноши. В 1941 году ему удалось закончить Ленинградский университет и поступить в аспирантуру к А. Д. Алексаидрову. Но вскоре он ушел на фронт, осенью 1941 года был ранен. В госпитале он и написал работу об обобщении теоремы Коши. Вернувшись на фронт, С. П. Оловяншинков поисти в декабре 1941 года на «Невском пятачке» — известном кровопротивлениями боями плацарме.

15

КОРИДОР ВХОДА

Доктор технических наук
А. Л. СТАСЕНКО

— Ураа!! — кричали жители Гавра, наполняя собою все давские набережные… Черная масса … шлепунлась в залив … На середине залива барахтались три человек.
— Мы пятьдесят семь дней ничего не ели! — пробормotal худой, как гододный художник, мистер Лунд и расскаал, в чем дело.
А. П. Чехов. Летакшие острова

А дело в том, что вернуть на Землю ничего не проше, чем взлететь в космос. В самом деле, сколько нужно затратить энергии, чтобы поднять неоктору тяжесть (ну, например, себя) на высоту h? Всякий грамотный школьник скажет: mgh. И если спрятнуть с высоты h, то эта (потенциальная) энергия перейдет в кинетическую, а затем превращится в телло. Но кому от нее пользова, — особенно если h равно, скажем, высоте десятиэтажного дома. Ведь желательно приземляться мягко, почти с нулевой скоростью, а это значит, что нужно всю кинетическую энергию, в которой превращается потенциальная энергия, куда-то девать, — например, расходовать на триние овервку, спушенную с десятиого этажа.

Точно так же летательный аппарат при посадке на Луну или на планеты, почти лишенные atmosферы (Меркурий, Марс), должен будет гасить скорость и соответствующую кинетическую энергию при помощи силы тягги ракетных двигаелей, направленной в противоположную сторону.

Однако эти расускения верны, если имеет в виду стандартную рекомендацию школьных задач: «спортивленем atmosферы пренебречь». Но ведь парашют, планер, самолет с выключенными двигаетлями (ставший планером) как раз и признаются, не затрачивая энергии. Их скорость гасится аэродинамической силой — силой, действующей со стороны воздуха. А можно ли использовать atmosферу Земли для планирующего «бесплатного» признания из космоса? Этот вопрос не столько тривиален, как может быть, кажется, если вспомнить печальную судьбу большинства meteorитов, которые так и не добираются до поверхности Земли, а если добавются, то в жалком виде. А нам хотелось бы приземляться «целиком», не затратив ни своей массы, ни своей энергии.

Так можно ли?

Что бы ответить на этот вопрос, составим План. Когда автор этой статьиучился в школе, то для полного раскрытия образа, например, Татьяны Лариной или даже Бабы Яги непреемно требовался План. Вот и сейчас мы будем действовать по плану: сперва вкратце вспомним, как устройна atmosфера, как зависит сила, с которой воздействует на движущесся в нем тело, — ародинамическая сила — от плотности atmosферы и скорости тела, как нагревается и охлаждается это тело при движении в atmosфере, и, наконец, перейдет к Заключению.

Плотность atmosферы

Итак, прежде всего решить об atmosфере Земли. Правда, нечего и надеяться расскаать все, что можно, об atmosфере Земли — об всех ее ветрах, грозах, тайфунх, облаках — этого не сделать даже в очень толстой книге. Но можно сделать то, что делают физики каждой раз, когда все очень сложно (а сложно почти всегда), — можно построить модель atmosферы. Хорошая модель должна быть смысленным смысленным черты объекта или явления, которые мы намерены использовать для работы. А что самое хаскетное для нас в atmosфере? Ну, например, ее плотность — ведь мы собираемся в atmosфере двигаться, причем быстро, а интупитивно ясно, что сила сопротивления двигаению должна зависеть от плотности окружающего среды (ведь

16

вванне с водой руку двигать труднее, чем в воздухе при той же скорости).

Понятно, что с высотой плотность atmosферы должна уменьшаться. Зависимость плотности atmosферы Земли от высоты над уровнем моря приближенно можно выразить так называемой барометрической формулиной Болыцмана

$$\rho \approx \rho_0 e^{-\frac{h}{h^*}}$$

пригодной до $h \approx 80 \div 100$ km. В этой формуле $\rho_0 = 1,3$ кг/м$^3$ — значение плотности на уровне моря, а стоящая в знаменатель показателя степени величины $h^* = 7,16$ km называется масштабным коэффициентом плотности. Понятно, что на высоте $h^*$ плотность atmosферы в $e = 2,72$ раза меньше, чем на уровне моря.

Аэродинамическая сила

На тело, движущемся в воздухе, действует сила. Чтобы убедиться в этом, достаточно например, горизонтальное высотить ладонь в окно движущегося автовуса или вагона поезда (разумеется, осторожно!). При поворотах ладони вокруг горизонтальной оси силы со стороны воздуха будет действовать на кисть то вверх, когда ветер ударяет в ладонь, то вниз, когда в ее тыльную сторону. В первом случае угол атаки $\alpha$ (между плоскостью ладони и вектором скорости $\vec{v}$ набегающего потока) считается положительным, во втором — отрицательным (рисунок 1).

От чего эта сила зависит?

Используем для ответа на этот вопрос теорию размерностей. Сначала выпишем те характеристики процесса, от которых, как мы ожидаем, ладона бызисеть упомянутая сила.

Ну, разумеется, она зависит от скорости $v$ (совсем разные силы действуют на вытянутую руку, когда едешь, скажем, на экалаторе метро и когда высушень руку из окна мчащегося автоматили). Далее, если, например, проводится ладонь в воздухе и в воде, то (при одинаковой скорости движения) во втором случае сопротивление больше, чем в первом. Значит, важное еще, в какой среде происходит движение, — сила ладонь зависит от плотности среды $\rho$. А еще от чего? Конечно, от размера движения тела: попробуйте при одинаковых скорости взмахнуть в воздухе ладонь без вверх и с вверх — сразу станет ясно, что вверх_maxать труднее. Итак, аэродинамическая сила зависит еще и от характеристика тела $L$.

О форме будущего «Востока» спорили долю. Предлагались конус, полусфера, цилиндр и, наконец, — сфера, шар. С. П. Королеву он сразу поправился. Для него легко рассчитывать аэродинамические характеристики, у него хорошая устойчивость, наименьшие суммарные тепловые потки при торможении в атмосфере Земли. На участке приземления скорость спускаемого аппарата (CA) газилась парашютной системе.

17

Перечислим эти величины вместе с их размерностями:

$$[v] = \frac{M}{c}, [\rho] = \frac{\kappa \Gamma}{M^3}, [L] = m.$$

Как из них составить комбинацию, имеющую размерность силы, т. е. ньютон: $[F] = H = \kappa \cdot m/c^2$? Сразу видно, что размерность кг входит из наших трех параметров только в $\rho$, а секунда — только в размерность скорости, причем там она в значенателе в первой степени, а нам надо во второй. Следовательно, уж точно сила будет пропорциональна произведению $\rho v^2$. Но размерность этой величины есть $\kappa \cdot (c^2 \cdot m)$, а нам необходимо, чтобы метр стойл в числитель, — стало быть, нужно умножить еще на квадрат размена $[L]^2$ (а $L^2$ имеет размерность площади). Итак, единственная комбинация параметров $v$, $\rho$, $L$, имеющая размерность силы, есть $\rho v^2 L^2$, так что $F \sim \rho v^2 L^2$. Про коэффициенты пропорциональности (безразмерные!) теория размерностей нам ничего сказаить не может.

«Не позвольте! — воскликнет вдумчий читатель. — Ведь, по крайней мере, сила сопротивления может зависеть еще и от вззости воздуха, а мы про вязкость совсем забили?!» Это так. Более того, в некоторых случаях именно вязкость определяет силу сопротивления: например, на добинку, опускающийся на дно банки с медом, действует так называемая сила Стокса, пропорциональная не площади, а радиус шарика и не второй, а первой степени скорости. В этом примере течение media вокруг шарика настолько медленное, что даже называется ползушим. Но это движение в густом, вззом медленно положим. Но это движение в густом, вззом медленно воздействия на объективе скимаемым воздейством большого летаального аппарата, движущегося со сверхзвуковой скоростью. (Такое влияние размера тела на характер движения (масштабный эффект) былает и в других случаях: например, стабильно или можно застать плавать на поверхности воды в ванне, а стабнойлом, очень похожий на большую иглу, — едва ли, — может попробовать сами. В случае игры существенно поддерживающая сила поверхности поверхности, пропорциональная первой степени размера, а в случае лома превалирует сила тяжести, пропорциональная кубу размера, и эту силу уже не могут «перебороть» ни поверхности натяжение, ни архимедова сила.)

Разложим суммарную аэродинамическую силу $\vec{F}$, действующего на объективе тело со стороны воздуха, на две составляющие: $F_y$ — перpendикулярную к вектору скорости $v$, и $F_x$ — направленную вдоль этого вектора (рисунок 2). Первая из них — $F_y$ — называется подъемной силой, вторая — силой сопротивления. Очевидно, что обе эти компоненты имеют одну и ту же размерность — Н; значит, и $F_y \sim \rho v^2 L^2$, и $F_x \sim \rho v^2 L^2$. В формулах для $F_y$ и $F_x$ должны стать какие-то коэффициенты (безразмерные), зависимости, по крайней мере, от угла атак (ведь если крыло или ладонь поставить пер-

18

пендикулярно скорости $v$, то сопротивление будет, а подъемной силы — нижкой). Один из этих коэффициентов (в случае подъемной силы) называем коэффициент подъемной силы $C_y$, а другой (в случае сопротивления) — коэффициент сопротивления $C_x$.

Тепер напишем:

$$F_y = C_y \rho v^2 L^2, \quad F_x = C_x \rho v^2 L^2.$$ (2)

Мы сказали, что $C_y$ и $C_x$ (назовем их аэродинамическими коэффициентами) зависит от угла атаки. А открытая взятя эти зависимости? В некоторых случаях их можно расчитать. Например, такой расчет можно проводить для случая, когда аппарат летит очень высоко, там, где молекул уже мало и они влизации аппарата друг с другом не стalkиваются, а стalkиваются только с ним, с аппаратом; это очень упрощает расстояние.

Давайте рассматривать движение в системе отсчета, связанной с аппаратом, который движется в атмосфере со скоростью $\vec{u}$. В этой системе аппарат поконтся, а молекул воздуха на летятот на него. Мы будем считать, что $u$ много больше тепловых скоростей молекул; тогда можно пренебречьxaотическая темповдвижением молекул и считать, что все они налетают на аппарат со скоростью $\vec{v} = -\vec{u}$.

Рассмотрим прежде всего удар одной-единственной молекулы о твердую поверхность аппарата, наклоненную по отношению к вектору скорости на угол $a$ (угол атаки). В предположении абсолотно упругого удара после стalkновения молекул $v$ не изменится, а вектор $\vec{v}$ повернет на угол $2a$ (рисунок 3). Нетрудно найти изменение скорости молекулы в результате удара (см. рисунок 3):

$$\Delta v = 2v_n = 2v \sin a.$$

А изменение импульса этой молекулы, если ее масса $m$, равно

$$\Delta p_m = 2mv \sin a.$$

Согласно закону сохранения импульса и третьему закону Ньютона, такой же по абсолотной величины импульс получит тело, о которой ударилась эта молекул. А сколько молекул ударя-

20

номила нам много услій: не надо установливать, что сила пропорциональна плотности среды, площади поверхности аппарата, квадрату скорости движення.

Скачок уплотнения

Заметим, что мы в нашем рассмотрении представляли аппарат фактически как пластинку площади $S$, наклоненную под углом $\alpha$ к потоку молекул, а скорости молекул считали одинаковыми по модулю и направлению — аппарат двигался намного быстрее теплового движення самих молекул. То, что проискодило на тыльной подветренной стороне пластинки, нас не интересовало: молекулиу туда не попадали, так что это пространство можно было бы заполнить, например, теплом клина с тем же углом $\alpha$ при вершине. Пусть теперь этот клин опускается в плотные слоны атмосферы и движется все медленнее, но все еще быстрее средней тепловой скорости молекул и, следовательно, быстрее звука. (Ведь ясно, что такой организованный процесс, как звуковое воздействие, не может распространяться быстрее самих молекул, движущихся с тепловой скоростью.) Чтобы как можно сільне тормозиться, давайте плоскость клина начнем наклонять на все больший угол по отношению к потоку (ведь сила сопротивления $F_x \sim \sin^3 \alpha$). Тогда молекулиу будут отскакивать от наветренной полуплоскости под все более прямым углом, и перед поверхностью клина начнет образоваться скатый слой. Когда плоскость расположится перpendикularно потоку, молекулы, налетящие на клин вдали от его края, не будут успеваать сокольнуть с него, начнется настоящая толчер; и набегающее молекулы (они ничего не знают о преястствии — ведь скорость большие скорости звука) с размаху будут временся в эту толщу молекул. У плоскости $S$ возникнет скатый слой, отделенный от невозмущенного газа так называемым прямым скачком уплотнения (рисунок 6). В этом скачке резко (на то он и скачок) падает скорость потока — от сверхзвуковой до медленной дозвуковой.

А что творится с температурой? Давайте сделаем оценку ее величины. Пусть тело движется очень быстро, ну, например, его скорость $v$ (точнее, $u=v$) в двадцать раз большие скорости звука $c$. Иными словами, относение скорости потока $v$ к скорости звука $c$ равно $M=20$ (это относение называется числом Маха), а каждая молекula в набегающее невозмущенном потоке обладает кинетической энергией, приблизительно равной $\frac{mv^2}{2} = \frac{mc^2}{2} M^2$.

Внутри скатого слоя молекулы почти неподвижны относительно тела; значит, их кинетическая энергия почти целиком перешла в теплую, и для оценки температуры $T_1$ в скатом слое можно положить приближенно (для двухатомных молекул воздуха)

$$\frac{mc^2}{2} M^2 \approx \frac{5}{2} kT_1,$$

Первая мягкая посадка на Луну была совершена космическим аппаратом (КА) «Луна-9». На высоте около 75 км был включен тормозной движения, и КА начал снижение. Вблизи поверхности от тормозного отсека отделился сфericalный полезный груз. Коснушись грунт и перекатысь, как самый общий мяч, груз замер. После этого на его верхней полусфере раскрылись 4 лепестка антенны.

21

азота:

$$E = \frac{m_N c^2}{2} M^2 = \frac{1}{2} \cdot 4,7 \cdot 10^{-26} \cdot (300)^2 \times (20)^2 \approx 0,85 \cdot 10^{-18} \text{Дж.}$$

Видно, что $E$ и $\varphi$ сравнимы по порядку величины, — значит, можно ожидать и появления свободных электров ионов.

Конечно, на диссоциации ионизацию уйдет часть первогоальной кинетической энергии молекул, так что температура в скатом слое становится больше чем на поверхности Солнца! Это значит, что молекулы воздуха «развалятся» (диссоцируют) на отдельные атомы. А что еще? Сравним кинетическую энергию молекул с энергейой инизции. В таблицах можно посмотреть, что энергия инизции (в расчете на молекулу), например, для азота (основного компонента атомосферы) равна $\varphi = 2,5 \cdot 10^{-18}$ Дж. Оценим теперь в джойлях кинетическую энергию налетающей молекулы

И хотя мы провели рассуждения об образованении скатого слоя на примере плоскости, которое мы постепенно развернуть поперек сверхзвукового потока, все это верно и для любого тела, у которого можно проведти касательную плоскость, перепendlкуруную потоку. Такие тела называются в аэродинамике затупленными. Но существование такой плоскости еще мало: чтобы скачок уплотнения был похож на тот, который мы уже изучили, надо еще, чтобы радикзивы тела былизи этой касательной плоскости был достаточно большим — большие, чем толщина скатого слоя; тогда этот скачок на некотором протяжении (оперек потока) будет похож на прямой. В качестве примера на рисунке 7 изображен шар, обтекаемый сверхзвуковым потоком. Видно, что в окрестности передней точки

22

шара (точке торможения) и слой, и скачок действительное почти плоские — это место обведено пунктным прямогольником. Такие тела называются уже совсем обидно — тупыми. (В этом смысле, с точки зрения сверхзвуковой аэродинамики, любой человек, даже очень остроумный, является тупым телом.)

Итак, перед каждым затуплением телом в сверхзвуковом потоке образуется скатый и сильно нагретый слой газа.

Коридор входа, или Заклочение

В начале статьи мы рассуждали о том, что если у планеты нет атмосферы или она есть, но очень разреженная, то для мягкой посадки, требующей торможения, придется затратить энергии почти столько же, сколько для выхода из ее поля тяготения. Но если есть атмосфера достаточно плотности, то можно сэкономить эту энергию (а значит, и связанную с ней массу первоначально запасенного топли-ва), использя для торможения силу сопротивления $F_x$, а для поддержания в атмосфере — подъемную силу $F_y$.

А что значит «достаточная плотность» атмосферы? И только ли плотность атмосферы должна войти в наш рассудения? А размер планеты, ее масса (от которых зависит ускорение силы тяжестии на поверхности), толщина атмосферы, ее состав? А характеристики самого аппарата?

Вот об этом сейчас мы и собираемся поговорить.

Итак, пусть аппарат массой $M$, имеющий площадь крыла $S$, движется со скоростью $v$ в атмосфере Земли на высоте $h$, где плотность атмосферы равна $\rho$. Подъемная сила будет равна $F_y = C_y \rho v^2 S$. Облегая планету, аппарат движется поискрывной траектории. Пусть для простоты эта траектория близка к окружности радиусом $R + h$ (R — радиус Земли); тогда центростремительное ускорение аппарата будет равно $v^2/(R + h)$. Это ускорение определяется силой тяжестии и подъемной силой $F_y$:

$$Mg - F_y = \frac{Mv^2}{R + h}.$$

Учитывая, что «толщина» атмосферы мала по сравнению с радиусом Земли, перепшем последнее уравнение в виде

$$C_y \rho v^2 S \approx M \left( g - \frac{v^2}{R} \right).$$

Отсюда прежде всего следует, что там, где уже почти нет атмосферы, т. е. плотность и, следовательно, подь-

23

емная сила равны нулю, равна нулю и правая часть выражения. Тогда для скорости получается значение $v_I = \sqrt{Rg} = 7,8$ km/c — первая космическая скорость. А что происходит по мере снижения аппарата? Скорость аппарата будет уменьшаться под действием силы сопротивления $F_x$. Но по мере снижения быстро расет плотность атмосферы (см. формулу (1)). И, несмотря на падение скорости, подъемная сила $F_y$ возрадает. И эту подъемную силу можно использовать, чтобы задержать «падение» аппарата. При этом летательный аппарат становится фактически планером, и действующая на него сила тяжесте может быть уравновешена подъемной силой:

$$Mg = C_y\rho v^2 S.$$

Чтобы использовать эту возможность крылатого аппарата, лететь надо на таких высотах, где плотность атмосферы не меньше, чем $\rho_{\min} \approx \frac{Mg/S}{C_y v^2}$ (числитель этой дроби — сила тяжесте, приходящая на единицу площади крыла, — называется нагрузкой на крыло, поэтому мы его выделили). А при помощи формулы (1) можно определить и ту предельную высоту, не ниже которого можно держаться «на крыле» при данной скорости полета $v$:

$$\frac{Mg/S}{C_y v^2} \approx \rho_0 e^{-\frac{h_{\max}}{h^*}} \Rightarrow \frac{h_{\max}}{h^*} \approx \ln \frac{\rho_0 C_y v^2}{Mg/S},$$

откуда

$$h_{\max}(v) \approx h^* \ln \frac{\rho_0 C_y v^2}{Mg/S}.$$

Другими словами, если мы хотим, чтобы на заданной высоте $h$ аппарат «не проваливался», надо, чтобы его скорость была не меньше, чем

$$v_{\min}(h) \approx \sqrt{\frac{Mg/S}{C_y \rho_0}} e^{\frac{h}{h^*}}.$$

На рисунке 8 показана кривая BADC, соответствующая служю входа в атмосферу Земли летательного аппарата, имеющего первоначальное вторую космическую скорость $v_{\Pi} = 11,2$ km/c. Участок CD в нижних слоях атмосферы и описывается только что приведенной формулой.

Итак, мы получили кривуо, выше которой аппарат не может поддерживать атмосферу: при любой заданной скорости (меньше первой космической) подъемной силы будет не хватать, если мы заберемся на бóльшую

24

высоту, чем указывает эта кривая. Позному «запрещенная» область значений затрихована сверху.

Ну, так давайте лететь быстрое? Стоп! Введ мы знаем, что при больших скорости на затупленных кромках нашего аппарата «сядет» скачок уплотнения, за которым воздейству (и даже не воздейству, а смесь осоклов его молекул) разогрется так сильно, что аппарат может стореть. Это сложнейшая проблема входа в атмосферу — тепловой барер. Как ответить это телло? Можно использовать все: теплопроводность самого аппарата, которая позволяет теплу стекать «от носа в хвост», возможно его оплавления (и, значит, изменения формы, что делает аппарат еще «тупее»), теплое излучение «раскаленных добавла» части аппарата и др.

Обсуждать эту проблуу в целом мы здесь не будем, а для оценки допустимой скорости возьмем «самый худший» случай, когда все телло, приносимое на аппарат воздухом, отводится с его поверхности только излучением.

Есть такой закон — закон Стефана — Большмана, — согласно которой мощность, уносимая излучением с каждой квадратного метра площади, пропорциональна четвертой степени температуры: $q = \sigma T^4 \frac{\Delta J}{\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{c}}$. Коэффициент пропорциональности $\sigma$ называется постоянной Стефана — Большмана; его можно выписать из справочника по физике: $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8}$ Дж/(м$^2$·с·К$^4$). Это очень резкая зависимость: стойт температуру увеличить, например, в $3^4=81$ раз — почти в сто раз! Согласно этому закону получается, что для эффективного охлаждения излучением нужно «раскалиться добавла».

Итак, оценим наиболее скорость, с которой может двигаться аппарат, еще не плавая. Масса воздуха, налетающего за единицу времени на единицу площади поверхности аппарата, равна $\rho v$. Приносимая этим воздухом энергия $\rho v \frac{v^2}{2}$. Почти все эта энергия переходит в теплло. И все это теплло, по предложению, уходит от аппарата за счет излучения, которое в единицу времени уносит с единицей площади энергии $\sigma T^4$. Итак, потребуем, чтобы температура поверхности не превышает температуры плавления $T_{\pi \pi}$. Тогда будем иметь

$$\frac{v^2}{2} \rho v \leq \sigma T_{\pi \pi}^4.$$

Таким образом, скорость аппарата не может быть больше определенного для каждой высоты значения $v_{\max}$:

$$v \leq v_{\max}(h) = \left[ \frac{2 \sigma T_{\pi \pi}^4}{\rho(h)} \right]^{1/3}.$$

График зависимости $v_{\max}(h)$ на рисунке 8 — это кривая EF.

Итак, если мы хотим использовать «несущие и тормозящие» свойства атмосферы, т. е. садиться на планету на крылатом аппарате, не расходу топливо на торможение, то в плоскости координат высота — скорость наша «траектория» не может прохождение выше кривой CDAB (крылья не будет держать аппарат) и ниже кривой EF (сторим!). Обе эти кривы построены для условий посадки на Землю. Видно, что с увеличением скорости расстояние между этим кривыми — ширина «коридора входа» — достигает минимального значения (значит, особенно на этой высоте нужно не ошибиться!), но, к счастью, эти кривы игнорируются! Мудрая Природа предусмотрела возможность для развития существ возврашаться на Землю на крылатых аппаратах.

25

РОЖДЕНИЕ СПЛАВА

Кандидат физико-математических наук
А. С. ШТЕЙНБЕРГ

Явленый разъём грань,
Земную разрушь клеть
И яростный глиnn грянь,
Бутутющих тайн медь.

О. Э. Мандельштам

Сегодня медь, такую привчную, трудно представить в роли металла «бутутющих тайн». Хотя «за плечами» у нее слабая история. медь первой из металлов попала на службу к человеку. Но из-за ее мягкости orудия наших далеких предметов быстро тупились. На смену меди пришли более твердые и прочные бронзы — сплавы меди с оловом, мышьяком и другими элементами. А чистая медь надолго отступила в тень.

Новая волна интереса к древнему металлу была связана с его высокой электропроводностью. По этому показателю медь немного уступает только середбу, но не стоит забывать о его цене. Позному множество проводящих ток деталей изготовляется именно из меди. Но часто одной высокой электропроводности недостаточно…

Из какого металла следует изготовлять электрические контакты? Ясно, что они должны хорошо проводить ток, но, кроме того, желательно обеспечить их эрозонную стойкость. Слово «эрозия», может быть, не всем знакомо, но смысл его прост: так называется разрушение поверхности детали. Если материал недостаточно прочен, то в результате бесконечных замыканий и размыканий контакты потеряют свою форму и выйдет из строя.

To же самое сочетание высоких прочностных свойств (причем в широком диапазоне рабочих температур) и проводимости требуется для сварочных электродов, высокотемпературных проводников и т. д.

Можно ли обработать медь таким образом, чтобы ее удельное сопротивление почти не увеличилось, а прочность существенного воздуха?

Что такое прочность?

Под действием внешних сил материалов могут изменять свою форму — деформироваться. Но происходит это может по-разному. Если растнуть резинку и отпустить, она вновь сокращится. Это — пример упругой деформации. А вот пластилин, наоборот, совершенно «сбся не помнить» и послушно принимает в руки любые очерчания. Такая деформация называется пластической.

Metаллы ведут себя под действием нагрузки скорее как пластлин, чем как резина. Хотя деформировать их, конечно, намного труднее. Obviously вплоть до температуры пластления металлы имеет кристаллическое строение. Схематически разрез кристалла показан на рисунке 1. Там же показано, как под действием внешних сил две части кристалла могут сдиниться друг относительно друга. Если нагрузку потом снять, кристалл так и остается в деформированном состоянии.

Медь мягкий металл потому, что в ней пластическая деформация происходит сравнительно легко. Но пред-

Рис. 1. Кристалл меди легко деформируется приложенными к нему внешними условиями.

Рис. 2. Телерь линя среда пересекает террную часть. Кристалл упрощается.

27

Сплав меди с алюминем изготовить легко. Для этого надо взять оба компонента в нужной пропорции, вместе их расплавить, перемешать жидкость и дать ей остить и закристаллизовать.

Получится примерно то, что изображен на рисунке 3, б. Как теперь добавить кислород?

Поместим медно-alюминевый сплав в газовый атмосферу, содержащую кислород. Хотя бы просто в воздуханую среду. Дифундируя, молеклы газа будут заполнять пространство между атомами металлов.

Ну хорошего. Сплав меди с алюмиnem и кислородом мы приготовить сможем. А что делать? Здесь пора раскрыть идею нашего плана. Алюминий имеет, как говоря химики, больше сродство к кислороду, чем медь. Иначе говоря, он легче окисляется. Значит, можно попытаться создать условия, когда алюминий был окисляя, а медь — нет. Тогда частицы оксида алюминия образовывались бы внутри меди, и наша цель была бы доставгнута. Кстати говоря, совершенно необязательно брать для этих целей именно алюминий. Можно оставить выбор на любом другом металле с бóльшим сродством к кислороду, чем медь. Подходят титан, гафний, цирконий, никель, олово и т. д.

Вы, скорее всего, видели, как даже в сухую погоду гаснет костер у неумелого туриста. Если дрова беспорядочно навалены в кучу, доступ кислорода к горящему веществу затруднен, и реакция может прекратиться. Это не означает, что внутри плох сложенного костра вообще нет кислорода. Конечно, он пропикает туда через многочисленные щелки. Но его может оказаться недостагоно.

Мы подходим к очень важному выводу. Химчесская реакция — явление «пороговое». Для ее протекания необходимо создать неокоторую минимальную (выше «порога») концентрацию реагирующих веществ. Иначе реакция не поддет.

С проявлением этого прицита мы стalkиваем каждый день. Тщательный химический анализ показывает, что вокруг нас и в нас самих присутствуют почти все элементы периодического таблицы. К счастью, их концентрации, как правило, ниже «пороговых», и они между собой не реагируют. А иначе нашу жизнь было бы трудно себе вообразить…

Вернемся к металлам. Реакция оксиления алюминия идет легче, чем реакция оксиления меди, потому, что для нее ниже «порог» кислородной концентрации. Значит можно подбрать такую концентрацию кислорода в газовой атмосфере, что алюминий еще будет окисляться, а медь — уже нет.

Тепер, наконец, рассмотрим процесс внутреннего оксиления в целом. Исходный образец представляет собой сплав замешения алюминия в меди, в котором доля алюминия не превышает 30%. Так вылядят образцы сплав на основе меди после внутреннего оксиления. Упрочияющие частицы — SiO₂, диаметр частиц d≈1000 А (фото a, увеличение 100 000) и Al₂O₃, d≈150 А (фото b, увеличение 200 000) и d≈50 А (фото c, увеличение 200 000). Чем мелче частицы, тем прочее материал.

28

шает, как правило, процента. Этот образец помещается в камеру, где подерживает специально подобранная концентрация кислорода, при которой окислять может только алюминий. Атомы кислорода начинают диффундировать в образец. У его края образуется сплав из трех элементов — меди, алюминия и кислорода. Начало процесса схематически представлено на рисунке 4.

В зоне тройного сплава происходит реакция окисления алюминия. При этом атомы алюминия и кислорода покидают кристаллическую решетку меди и «организуют» свою самостояльную фазу — оксид Al₂O₃. Междуоузлия медной решетки освобождаются, и в них извне поступают свежие порции кислорода. А вот запас алюминия на краю образца вскоре истощится. Вся внешняя зона оказывается упрощенной оксидом, и процессы окисления поддет дальше — в глубь образца, куда с поверхности будет непрерывно «подкачитаться» кислород. Когда зона реакции пройдет через весь образец, процесс закончится: весь алюминий оказывается полностью переведенным в окисел*).

Оксид внутри меди образуется в виде очень мелких частиц размером порядка сотен ангстрем (1Å=10⁻⁸ см). Они хорошо видны в электронный микросоп.

К этому следует еще добавить, что весь процесс имеет смысл проводить

*) Точнее говоря, алюминия остается очень мало, его концентрация становится «порошовой».

Вниманию наших читателей!

Магазин «Академика» г. Кишинева высылает наложенным платежом книги издательства «Наука»:

Васильев Н. В., Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М., Тоом А. Л. Заочные математические описания. — 1986. — 30 к.

Климшин И. А. Астрономия наших дней. — Издание 3-e, переработанное и дополненное. — 1986. — 2 р. 30 к.

Майер В. В. Полное отражение света в простых опытах. — 1986. — 25 к.

Сикорук Л. Л., Шпольский М. Р. Любительская астрофотография. — (Библиотека любителя астрономии). — 1986. — 30 к.

Силин А. А. Тренце и мы. — (Библиотека)

при повышенных температурах. Как известно, температура является мерой средней кинетической энергии молекул или атомов. С повышением температуры кислород прибретает большую подвижность, и весь процесс значительное ускоряется во времени.

Вместо заключения

Вооружимся теперь цифрами: эксперимент показывает, что электропроводность внутринеокислого материала составляет 80—90 % электропроводности чистой меди, это срок службы изделия увечичается вдесятки раз. И в «старой, доброй» меди — еще немало «бутутюших тайн»!

Сплав, о котором мы рассказыли, прошел долгий путь от исследований физических основ процесса и создания его математических моделей до промышленного выпуска. Сейчас создается аналогичный материал на основе платины. Но он будет значительно прочнее, чем чистая платина. Его введение позволяет экономить немало драгоценного металла.

Снаружи внутринеокислая медь ничего не отличается от чистой меди, а внутринеокислая платина — от чистой платины. И смотря на гладкую нему по верхнюю металла, мы порой не подозреваем, как罢 он хранит секреты, как сложен был его «жизненный путь», сколько людей приложили руку к тому, чтобы он существовал и верно не весь служебу.

Вниманию наших читателей по адресу: 227012 Кишинев, пр. Ленина, 148, магазин «Академика».

29

Задачи

M1101—M1105, Ф1113—Ф1117

M1101. На боковых сторонах AB и AC равноведренного треугольника ABC нашлись также точки D и E соответственно, что AD=BC=EC и треугольник ADE равноведренный. Каким может быть угол при вершине A?

В. Кириак (Румыния)

M1102. Докажите, что существует n различных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу натурального числа, если a) n=3, 6) n=4, в) n — любое натуральное число, больше 2.

Л. Д. Курляндчик

M1103. a) На бесконечной плоскости, разбитой на квадратные клетки, некоторое — быть может бесконечное — количество прямоугольников размером 1×2 закрытых в черный цвет так, что никакие два черных прямоугольника не имеют общих точек (далее вершин). Докажите, что оставшуюся часть плоскости можно заместить этими прямоугольниками.

6)* Пусть на клетчатой плоскости закрытые несколько прямоугольников размером m×n, не имеющих общих точек. Докажите, что если mn четно, то оставшуюся часть плоскости можно заместить прямоугольниками размером 1×2, а если mn — нечетно, то это не всегда возможно.

M. Хованов, ученик 10 класса

M1104. В тетраэдре ABCD грани ABC и BCD перпендикулярны, ∠BAC=90°. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведением длины противоположных ребер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.

В. Н. Дубровский

M1105. После нескольких прямоугольных разрезов поверхности выпуклого многоугольника развернули на плоскость. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», т. е. отвецют одной и той же точке на поверхности многоугольника. Каким был исходный многоугольник, если при разрезании получился a) прямоугольник со сторонами 1 и √3,
6) равноведренный треугольник с углом 120°, причем в обихах склеиваются точки каждой стороны, симметричные относительно ее середины.

H. П. Дольбили, М. И. Штогрин

Ф1113. Шар радиусом R может свободно врашаться на закрепленной горизонтальной оси OO′. Под шаром, прижимаясь к нему, движется шероховатая жесткая лента, изогнутая в виде полуплиндра радиусом R (рис. 1). Скорость ленты v направлена горизонтально и перпендикулярно оси OO′. Чему равна установленная скорость врашения шара?

Л. Г. Маркович

30

Ф1114. Каскадер падает с высоты $H=50$ м. К нему пристегнут резиновый шур, второй конец которого закреплен в месте старта. Длина и жесткость шура подобраны так, что у земли скорость гасится до нуля. После того как затухли колебания, каскадер повисна высота $h=10$ м над землей. Какова была максимальная скорость каскадера во время падения? Соответствие воздуха не учитывать.

Д. В. Павлов

Ф1115. Замкнутый сосуд, заполненный газом, разделен на две части непроницаемый горизонтальный поршнем; масса сосуда $m$, масса поршня $M$. Вначале сосуд поконтся на подставке. Затем подставку только выбивают из-под сосуда. С каким ускорением начинает двигаться сосуд? Тренем между стенками сосуда и поршнем претензь.

С. Ф. Ким, А. И. Латвинин

Ф1116. В две одинаковые химические пипетки набирают до одного и того же уровня воды: в одну — холодную, в другую — горячую. Пипетки опорожняют и считают при этом капли. Из какой пипетки упадет больше капель?

А. И. Буздин

Ф1117. Свет от точного источника $A$ выводится сквозь непрозрачную стенку с помощью светового — тонкой прорачной палочки с радиусом сечения $R$ (рис. 2); внутренняя часть палочки с радиусом $r(R-r\ll r)$ сделана из материалов с показателем преломления $n_1$, а внешняя оболочка — из материалов с показателем преломления $n_2$ ($n_2<n_1$). Определите диаметр светового пятна на экране, расположенном на расстоянии $L$ от правого торца светового. Источник света находится центра левого торца светового.

Как изменится размер пятна, если источник удалить вдоль оси светового на расстояние $l$ от торца?

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Problems

M1101—M1105, P1113—P1117

M1101. There are points $D$ and $E$ on the equal sides $AB$ and $AC$ (respectively) of the isoceles triangle $ABC$ such that $AD=BC=EC$ and the triangle $ADE$ is isosceles. What can be said about $\angle A$?

V. Chiriac (Rumania)

M1102. Prove that there exist $n$ distinct natural numbers whose sum of cubes is the cube of a natural number, if a) $n=3$, b) $n=4$, c) $n$ is any natural number greater than 2.

L. D. Kurlyandchik

M1103. In the infinite plane, divided into equal little squares, there is a certain quantity (perhaps infinite) of black $1\times 2$ rectangles without common sides or vertices.

34

The water is dripped out of the pipettes and the drops counted. Which pipetie will yield the most drops?

A. I. Buzdin

P1117. Light from a point source $A$ is carried through a non-transparent wall by means of a light conductor: a thin transparent stick with circular section of radius $R$ (figure Pisc.); the inner part of the stick of radius $r(R-r \ll r)$ is made of a material of refraction index $n_1$, the outer envelope — of material with refraction index $n_2$ ($n_2 < n_1$). Determine the diameter of the light spot obtained on a screen placed at the distance $L$ from the right end of the light conductor. The source $A$ is placed next to its left end, near the latter’s middle. How will the size of the spot change, if the source is moved away from the conductor along its axis to the distance $l$?

E. N. Yunosov, I. V. Yaminski

Решения задач

M1081—1085, Ф1093—1097

Будем считать, что у однозначного числа «предпоследняя цифра» равна 0.

Если число $N$ кончается цифрами $ab$, то, очевидно, две последние цифры числа $3N$ совпадают с двумя последними цифрами числа $3(10a+b)=30a+3b$. Поэтому при четном $a$ предпоследние цифры чисел $3N$ и $3b$ будут одной и той же четности. Выпишем несколько верых степеней 3:

$$3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81.$$

IX последние цифры — 3, 9, 7, 1; далее они будут переодически повторять. Предпоследние цифры чисел $3 \cdot 3=9, 3 \cdot 9=27, 3 \cdot 7=21, 3 \cdot 1=3$ — четные, следовательно, если утверждение задачи справедливо для $3^n$, то оно справедливо и для $3^{n+1}$. А так как оно верно для $3^3=27$, по индукции заключаем, что оно верно и для всех натуральных $n>2$.

В. И. Плачко

M1082. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диаzoнали пересекаются в точке O. Доказите, что равенство $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2)$ выполняется и пересекается в точке O пополам.

Запишем теорему косинусов для треугольников $AOB, BOC, COD$ и $DOA$, полагая $\angle AOB=\alpha$ (и тем самым $\angle BOC=\pi-\alpha$; см. рисунок):

$$AB^2=AO^2+BO^2-2AO \cdot BO \cos \alpha,$$
$$BC^2=BO^2+CO^2+2BO \cdot CO \cos \alpha,$$
$$CD^2=CO^2+DO^2-2CO \cdot DO \cos \alpha,$$
$$DA^2=DO^2+AO^2+2DO \cdot AO \cos \alpha.$$

Сложим эти равенства и пересекаем квадраты отрезков диаzoналей в левую часть:

$$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2)=2 \cos \alpha(-AO \cdot BO+BO \cdot CO-CO \cdot DO+DO \cdot AO)=2 \cos \alpha(BO-DO)(CO-AO).$$

Равенство из условия равносильно тому, что последнее

35

Задание, Кванта

полученное выражение равно нулю, поэтому или
соς α=0, и следовательно, диагонали AC и BD перпенди-
кулярны, или BO=DO, или CO=AO, т. е. одна из диаго-
налей делится точкой O пополам.

А. П. Савин

M1083. Наибольшее из не-
отрицательных чисел $a_1$, $a_2, \dots, a_n$ равно a.
a) Доказите неравенство
$$\frac{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}{n} \leqslant \left(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\right)^2 + \frac{a^2}{4}.$$
b) Когда в нем достигается
равенство?

a), б) Положим $(a_1+a_2+\dots+a_n)/n=m$, тогда
$$\frac{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}{n} - m^2 \leqslant am - m^2 = \frac{a^2}{4} - \left(\frac{a}{2} - m\right)^2 \leqslant \frac{a^2}{4},$$
поскольку $a_i^2 \leqslant a \cdot a_i$ ($i=1, 2, \dots, n$). Тем самым доказано
неравенство a).

Равенство в нем достигается тогда и только тогда, когда,
во-первых, $a_i^2=a \cdot a_i$, т. е. при каждом $i$ либо $a_i=0$, либо $a_i=a$, и, во-вторых, $m=a/2$. А это возможно только в двух случаях: 1) все $a_i$ равны 0; 2) $n$ четно и $n/2$ чисел $a_i$ равны 0, а остальные $n/2$ равны $a$ ($a>0$).

Таким же способом можно доказать следующее — более общие — неравенство: $p_1a_1^\alpha + p_2a_2^\alpha + \dots + p_na_n^\alpha \leqslant \left(p_1a_1+\dots+p_na_n\right)^\alpha + (\alpha-1)\alpha^{\frac{1}{1-\alpha}}a^\alpha$ при $p_i \geqslant 0$ ($i=1, \dots, n$), $p_1+p_2+\dots+p_n=1$, $\alpha>1$, $0 \leqslant a_i \leqslant a$.

Л. Г. Ханин

M1084. Две окружности на плоскости пересекаются в точках A и B. Доказите, что можно выбрать такую точку C, что любая окружность с хордой AC будет пересекать данные окружности (второй раз) в точках, одинаково удаленных от C.

Обозначим через $O_1$ и $O_2$ центры данных окружностей. Достроим треугольник $O_1BO_2$ до параллелограмма (рис. 1) и доказем, что его четвертая вершина $C(O_1C=BO_2)$ и есть искомая точка.

Пусть $O$ — центр произвольной окружности, проходящей через $A$ и $C$, $M$ и $N$ — точки ее пересечения с окружностями $O_1$ и $O_2$. Равенство $CM=CN$ равносильно равенству друг CM и CN окружности O, которое, в свою очередь, равносильно тому, что прямая AC образует равные углы с прямыми AM и AN (т. е. либо $\angle CAM=\angle CAN$ — рисунок 1, либо $\angle CAM+\angle CAN=180^\circ$ — рисунок 2). Общая хордя AM окружностей O и $O_1$ перпендикулярна их линиям центров $OO_1$; аналогично, хордя AN перпендику-

36

лярна $OO_2$. Поэтому достаточно доказать, что прямая $AC$ образует равные углы с $OO_1$ и $OO_2$. Заметим, что $ACO_1O_2$ — равновесная трапеция (так как $O_1C=O_2B=O_2A$, $O_2C=O_1B=O_1A$, т. е. $\triangle O_1O_2C=\triangle O_2O_1A$). Следовательно, прямая $AC$ параллельна $O_1O_2$. Остается заметить, что $\angle OO_1O_2=\angle OO_2O_1$, либо точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$ ($OA=OC$), а значит, — и к отрезку $O_1O_2$.

В. Ю. Прогасов

M1085*. Несколько попарно скрещивающих прямых, расположенных в пространстве, проектируется на горизонтальном плоскосте. Их проекции изображены так, чтобы в точках пересечения было видно, какая точка расположена выше, а какая ниже. может ли получиться проекция, изображенная на рисунке 1a, 6, 8?

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

37

Ф1093. Автомобиль массой m=1200 кг, тормозя при выключенной передаче, катися визс с постоянной скоростью по наклонному участку шоссе с углом наклона α (sin α = $\frac{1}{14}$). Каждый из четырех колес автоматически имеет внешний радиус R и жестко скреплен с тормозным барбаном радиусом r = $\frac{5}{12}$ R, к которой прижимаются с одинаковой силой N тормозные колодки A и A’ (см. рисок). Начти N, если коэффициент треня скольжения между барбаном и колодками k=0,4. Просkalъывание между шинами и шоссе отсутствует.

Ф1094. Узкая трубка постоянного сечения образует канадрат со стороны l,

в) Ответ: да. Если мы сумем построить конфигурацию, проектная которой показана на рисунке 5, то, чутьчуть приподняв (параллельным переносом) прямую 6, опустив прямую 5, а за ней — прямы 1 и 2, получим рисунок 1, возьем в качестве прямых 1, 2, 3 и 4 диагонали боковых граней куба (рис. 6), прямую 5 проведем через середины диагоналей 1 и 2, а прямую 6 проведем через точки на диагоналях 3 и 4, расположенные чуть ниже их середин. Проекция этих прямы на основание куба дает рисунок 5.

Предлагаем читателем придумать по возможности более общее условия существования конфигураций скрещивающихся прямы, заданных их проекциями. Это интересная, но, видимо, довольно трудная задача на исследование.

С. Л. Табачников

Если бы на колеса автоматия не действовала тормозные колодки, то при отсутствии прокалъывании между шинами и шоссе автоматиль спускался бы по склону ускорению. При этом на пути S он «набирал» бы кинетическая энергию ΔK, и согласно закону сохранения энергии

$$\Delta K = mgS \sin \alpha,$$

где mgS sin α — изменение потенциальной энергии.

По условияю задачи скопость автоматиль не меняется. Это означает, что работа A сил треня (между тормозными барбанами и колодками) на пути S как раз равна mgS sin α. Найдем работу A.

Если автоматиль прошел путь S, то каждая колодка прошла по поверхности барбана путь S₁ = Sr/R, и сила треня между каждой колодкой и барбаном совершила работу

$$A_1 = kNS_1 = kNS \frac{r}{R}.$$

Суммарная работа сил треня —

$$A = 8A_1 = 8kNS \frac{r}{R}$$

(на каждом из четырех колес по две колодки).

Таким образом, по закону сохранения энергии

$$8kNS \frac{r}{R} = mgS \sin \alpha.$$

Отсюда находится N:

$$N = \frac{mgR \sin \alpha}{8kr} = 630 \text{ Н.}$$

В. И. Чивилёв

Начав дивигаться, жидкость будет стремиться занять положение, в котором потенциальная энергия системы Π будет наименьшей. Значение Π будет минимальным,

38

закрепленный в вертикальной плоскости. Трубка заполена равными объемами двух не пропикатических другь в другах жидкости с плотностью $Q_1$ и $Q_2$ (см. рис.ок). Вначале более плотная жидкость заполняла верхнюю часть трубки. В некоторых момент жидкости пршили в движение. Найти их максимальное скорость. Третий нет. Ускорение свободного падения равно g.

Ф1095. Рассеяный волосенедuct не заметил, как случайно наехал на вертикальную стенку. Оценить, при какой минимальной скорости шина при ударе деформация до металлического обода. Предполагается, что вы, хорошего представляя явление, можете сами задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно правильное их числовые значения и получить числовой результат.

Когда более плотная жидкость оказывается в нижней половине трубки, а менее плотная — в верхней (устойчивое положение равновесия). Согласно закону сохранения энергии именно в этот момент кинетическая энергия жидкости $K=(m_1+m_2)v^2/2$ (а значит и ее скорость) будет максимальным, и $K=\Delta\Pi$ (ΔП — изменение потенциальной энергии системы). Найдем ΔΠ.

Центр тяжестеки жидкости, занимающей поливну (верхнюю или нижнюю) трубки, находится на расстоянии $y=l/8$ от ближайшей горизонтальной стороны. Смешение центра тяжестеки жидкости при переходе в положение устойчивого равновесия равно

$$\Delta y=l-2y=l-2 \frac{l}{8}=\frac{3}{4} l.$$

Следовательно, изменение потенциальной энергии все системы —

$$\Delta\Pi=(m_1-m_2)g \cdot \frac{3}{4} l=\frac{3}{2}(Q_1-Q_2)gSl^2$$

(S — площадь сечения трубки).

Максимальное значение кинетической энергии —

$$K_{\max}=(m_1+m_2)\frac{v^2_{\max}}{2}=(Q_1+Q_2)Slv^2_{\max}.$$

Таким образом, из закона сохранения энергии —

$$(Q_1+Q_2)Slv^2_{\max}=\frac{3}{2}(Q_1-Q_2)gSl^2$$

— находим $v_{\max}$:

$$v_{\max}=\sqrt{\frac{3}{2}gl \frac{Q_1-Q_2}{Q_1+Q_2}}.$$

Г. В. Меледин

При удале колеса велосипеда о вертикальном стенку проискот сжатие газа в камере. При этом совершается работа

$$A \sim p \cdot \Delta V,$$

где $p$ — избыточное давление воздуха в камере, $\Delta V$ — изменение объема камеры. На совершение этой работы появится кинетическая энергия велосипеда, так что

$$p \cdot \Delta V \sim \frac{mu^2}{2}.$$

Отсюда для скорости велосипеда получаем

$$u \sim \sqrt{\frac{2p \cdot \Delta V}{m}}.$$

Избыточное давление в камере можно оценить из соответствия

$$p \cdot 2S \sim mg,$$

где $S$ — площадь соприкосовения каждой колеса с дорогой. Следовательно,

$$u \sim \sqrt{\frac{g \cdot \Delta V}{S}}.$$

Объем $\Delta V$, как видно из рисунка, можно оценить как

39

$$\Delta V \sim \frac{\pi d^2}{4} \cdot \frac{L}{2}, \quad \text{где} \quad \frac{L}{2} = \sqrt{2dR - d^2} \approx \sqrt{2dR}.$$

Сделаем численную оценку: при $d \sim 4$ см, $S \sim 3 \cdot 10$ см$^2$, $R \sim 40$ см получаем

$$u \sim 4 \text{ km/ч}.$$

Г. В. Федотович

Ф1096. Проволочное колъю радиусом $R$ имеет проводящую перемычку, расположенную вдоль диаметра. Влевую и правую полукругжности включены конденсаторы $C_1$ и $C_2$ (см. рис.ок). Кольцо помещено в нарастище линейно со временем магнитное поле с индукцией $B(t) = B_0 t/T$, переменную его плоскости. В некоторых момент времени перемычку убирают и затем прекращают изменять поле. Начти заряды, установленше на конденсаторах.

Кольцо с проводящей перемычкой можно представить как два контур — $AC_1B$ и $BC_2A$ — площадью $\pi R^2/2$ каждый. Магнитный поток, произвольный каждый контур, меняется со временем как

$$\Phi(t) = \frac{\pi R^2}{2} B_0 \frac{t}{T}.$$

При этом в каждом контуре поддерживается ЭДС индукции

$$\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{\pi R^2 B_0}{2T}.$$

Такова разность потенциальов между пластинами каждого конденсатора (см. рис.ок). Следовательно, заряды на пластинах конденсаторов при изменении магнитного поля будут постоянны и равны, соответственно,

$$Q_1 = \mathcal{E} C_1, \quad Q_2 = -\mathcal{E} C_2.$$

После того как уберут перемычку и прекратят изменять поле, заряды $Q_1$ и $Q_2$ будут перераспределаться между $C_1$ и $C_2$ до тех пор, пока разность потенциальов между соединительными пластинами конденсаторов не станет равной нулю, т. е. пока напряжения на конденсатрах не сравняются. Установившие заряды на пластинах будут определяться условиями

$$\frac{Q'_1}{C_1} = \frac{Q'_2}{C_2},$$

$$Q'_1 + Q'_2 = Q_1 + Q_2$$

(последнее равенство следует из закона сохранения заряда). Решая совместно (2) и (3), использует выражение (1) для $\mathcal{E}$, находим $Q'_1$ и $Q'_2$:

$$Q'_1 = \mathcal{E} C_1 \frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2} = \frac{\pi R^2 B_0 C_1}{2T} \frac{C_1 - C_1}{C_1 + C_2},$$

$$Q'_2 = \mathcal{E} C_2 \frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2} = \frac{\pi R^2 B_0 C_2}{2T} \frac{C_2 - C_1}{C_1 + C_2}.$$

Г. В. Федотович

41

АРХИМЕДОВА СИЛА
В ЛИТЕРАТУРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ

Кандидат педагогических наук
С. А. ТИХОМИРОВА

Физика нас окружает повсюду — дома, на улице, в поле, в лесу, у реки. Писатели, удивительное метко подмечая все происхождение вокруг, дают яркие, красочные описания разнообразных природных явлений. Читая книгу, внимательно следя за сюжетом, мы иногда пропускаем эти описания, считая их не достаочного интерсными. Между тем, они представляютесьма ценный и полезный материал не только для «лириков», но и для «физиков». Они часто быть внимательными, учат наблюдать, замечать, видеть проявления физики в окружающей жизни.

Мы предлагаем вам с такой физической точки зрения посмотреть на некоторые страницы литературных произведений. Начнем с отрывка из повести А. П. Чехова «Стель»:

«Егорушка… разбежала и полетел с полуторасаженнойышины. Описав в воздухе дугу, он упал в воду, глубоко погрузился, но дня не достиг; какая-то сила, холодная и пряная наощупь, подхватила и попесла его обратно наверх».

Ясно, что речь здесь идет о силе Архимеда, «холодной и пряной наощупь». Давайте попытемся дать объяснение различным проявлениям архимедовой силы, встречающемся на страницах художственной литературы. Прочитайте их и поставьте ответить на поставленные вопросы.

Отрывок из рассказа Б. В. Житкова «Под водой». Лейтенант, командоващий подводной лодкой, при входе в порт легкомысленно принял решение подырнуть под пароход, стоящий по курсу лодки. «…Но в это время сразу ход лодки замедлился. Все пошатнысь вперед. Лейтенант вздрогнул. Минер вопросительно на него взглянул.

— Сели на мель? Так ведь? — спросил он лейтенанта.

Рули были поставлены на подъем, витрат работал, приборы показывали, что лодка на той же глубине. Лейтенант вспомнил, что тут в португлиистое, липкое дно, понял, что лодка своим брюхом влипла в эту вззвуку жижу…»

Почему лодка не могла всплить? Всетда ли на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила?

К. Г. Паустовский, эпизод из повести «Кара-Вугаз». «…Наш кок отпросился искупаться, но залив его не принял. Он высоко выкидвал его ноги, и при всем тщании кок погрузиться в воду не смог. Это повеселило команду и улущило несколько ее дурное расположение. Кок к вечеру покрылся языми и утверждал, что вода заливая является разавленную царскую водку, иначе — серную кислоту.»

Почему кок не смог искупаться в заливе Кара-Вугаз?

Л. Н. Толстой, строки из рассказа «Лед, пар и вода». «…В холодной воде легче плавать, чем в теплой. А в горячей воде и дерево тонет.»

Почему в горячей воде дерево тонет?

Теперь вычислим архимедову силу. Для постановки задачи воспользоваться отрывком из очередка В. А. Солоухина «Трава», где дает описание растения «виктория кручина».

«…На воде лежали яркие свежеи сочной зеленой яростью листья, размером с обыкновенный круглый обеденный стол… каждый лист был около

42

двух метров в диаметре. Каждый лист имел по краю строго перпендикулярныйaborчик высотой сантиметров около семи…»
Сотрудница Ботанического сада посягнет: «…лист выдерживает семьдесят килограммов, даже больше… Но только если груз распределятьровно по всей поверхности, например, насыпатьровным слоем песку. Или положить вот такой фанерный круг, а на него уже и груз. Если же ходить по листу ногами, то, сами понимаете, он будет проминаться, прогибаться, колыхаться, зачерпнет воды и скорее всего порвется. Прочный-то он прочный, и плавачесть у него великоленая, но все же это ткани живого листа, а не какая-нибудь деревьяка».
Оцените, при какой нагрузке лист погрузится в воду на глубину, равную половине высотыaborчика, который он «обнесен» по краю. И подумайте: почему лист выдерживает большую нагрузку, если она распределяла равномерно?
Еще одна задача. Читаем «Детские годы Багрова-внука» С. Т. Аксакова. На реке Белой начался ледоход. Мальчик «жадно следил глазами, как шла между неподвижных берегов отромная полоса синего, темного, а иногда и желтого льда… какая-то несчастная черная корова бегала по ней (льдине — С. Т.), как безумная».
Оцените, каковы минимальные размеры льдины, на которой могла плыть корова. Прикните сами, чему равна масса коровы и толщина льда.
А теперь — о том, как можно «управлять» выталкивающей силой.

В отрывке из романа В. Д. Иванова «Русы изначальная» рассказывается, как воин-разведчик Ратибор собирается перейти на другой берег reки. Для этого он взял длину толстую troстику, «чтобы дышать под водой. Ноздри и уши пловец заткнул желтым

42

43

воском… Придерживая тростинку за конец губами, он скрылся под водой и обеими руками поднял камень величиной с коровью голову. Обвязав груз тонкой веревкой, Ратибор устроил петлю для руки».
Для чего Ратибор взял тяжелый камень в руки?
Природа предусмотрела различные приспособления, позволяющие животным жить в воде, плавать. А «сооб-

разительные» животные для облегчения плавания используют различные предметы. Читаем строки из художественных произведений.
Н. А. Некрасов, «Дедушка Мазай и зайцы»:
«Мимо бревно суковатое плыло, Сидя, и стоя, и лежа пластом, Зайцев с десяток спасалось на нем.

«Взял бы я вас — да потопите лодку!» Жаль их, однако, да жаль и находку — Я зацепился багром за сучок И за собой бревно поволок…»

Оцените, при каком минимальном объеме бревна зайцы могли на нем плыть. Прикиньте сами, чему равна масса зайца.
К. Г. Паустовский, «Мещерская сторона»:
«На берегах этих рек в глубоких норах живут водяные крысы. Есть крысы, совершенное седые от старости. Если типо следить за норой, то можно увидеть, как крыса ловит рыбу… Чтобы легче было плавать, водяные крысы отгрызают длиной стебель кури и плавают, держа его в зубах… Он прекрасно держит на воде даже не такую тяжестЬ, как крыса».
Почему стебель кури обладает хорошей плаучесть?
Сила Архимеда действует на тела и в жидкостьх, и в газах. Для пере-

44

мецения в воде люди используют подводные лодки, батиксафы, различные суда. Освоение атмосферы началось с плентов на воздушных шарах.

Приведем отрывок из «Рассказа аэропаста» Л. Н. Толстого. «…Я посмотрел на барометр. Теперь я уже был на пять верст над землею и почувствовал, что мне воздуха мало, и я часто стал дышать. Я потянул за вервку, чтобы выпустить газ и спускаться, но ослабел ли я, или сломалось что-нибудь, — кланан не открывался… «Если я не остановло шар,— подумал я,— то он лопнет, и я пропал»… Я изо всех сил ухватился за вервку и потянул. Слава богат, кланан открылся…»

Почему воздушный шар, поднявшись высоко, может лопнуть?

В середине прошло века был совершен первый полет на управляемом азростате — дирижабле. В начале нашего века дирижабли нашли широкое применение. Потом он них как-то заблили, а в наши дни вспомнили снова. Их предполагают использовать при освоении труднодоступных земель, как транспортоное средство.

Наш экскурс по страницам художственной литературы законом строками из романа А. Н. Толстого «Гиперболид инженера Гарина»: «…огромный дирижабль внесел над поляной, пришвартованный носом к причальной мачте. Мачта гнулась и трещала. Сигарообразное тело раскачивалось, и сизу казалось, что в воздухе повисло дишее железной баржи…»

Какое преимущество имеет дирижабли перед другими воздушными транспортными средствами?

Зачем нужна математика?

Сейчас на этот вопрос ответить несложно. Математика служит основой естественных и технических наук, без нееные немысли на одна современная технологическая. Кроме того, математика активно в экономике, социально и даже историю. А как представляли себе ответ на этот вопрос в «старое добро время», ну, скажем, лет семьсот назад? Давайте полистаем научные трактаты тех времени. Пожалуйста, самым знанием ученным тринадцатого века был Роджер Бэкон. Он родился в 1214 году близ Ильчеста, в графстве Сомерсет, и произведил из старинного дворянского рода. Бэкон обучался сначала в Оксфорде, потом в Париже, изучил все науки своего времени, а кроме того знал греческий, латинский, арабский и древнееврейский языки. Занимая экспериментальные науки

ми, Бэкон заложил основы ряда отраслей нового естественногоняния. Его удивительные опыты приели к тому, что он был обвинен в сношении с дьявлом. Дважды его сахали в торгову, причем в последний раз, в 1278 году, он был заключен на десять лет. Умер Бэкон в 1292 году. Главное сочинение Роджера Бэкон называется «Оpus majus» («Главный труд»). Почти половина его освящена математике. Некоторые представление об основных аргументах Роджера Бэкон можно составить по многословому, в общих тех времен, оглавлению его сочинения.

Часть I. О четырех принципах человека человека: авторитет, общие, общественный меним и городсти минимым значением.

Часть II. Об источнике совершенненной мудрости в Св. Писании.

Часть III. О попытке грамматики.

Часть IV. О попытке математики:

1. Необходимость математики в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в человеках в материали.

2. Необходимость математики в большинстве веществ: а) этим изучением занимались светые лодки; b) география; c) хроология; d) циклы; e) золотое сечение; f) естественные явления, такие, как радуга; g) аргументация; h) музыка.

3. Необходимость математики в церковных вещеках: а) удостоверение веры; b) исправление календаря. 4) Необходимость математики в государстве: а) о климатах; b) гидрогафия; c) география; d) актологии.

Часть V. О перспективе:

1. Органны зреня.
2. Зрене по прямым линиям.
3. Зрене, отраженное и преломленное.
4. О распространении впечатлений света, теплоты и пр.

Часть VI. О экспериментальной науки.

45

Физика 8, 9, 10:

Публикуемая книга заметка «Закон сохранения энергии» предназначаена во всемклассикам, заметка «Правило Ленца» — девятиклассикам, «О швартвеке, грении и формуле Эйлера» — десятиклассикам.

Закон сохранения энергии

Законы сохранения в физике, да и в природе вообще, играют совершенное особую роль, являясь как бы всеобщим закономедательством для всех природных явлений. Причем закономедательством абсолютным: все, что согласуется с ним (т. е. с законами сохранения), может проискодить, а может и нет, но это уже не согласуется — то совершенно запрещено.

Физику часто называют точной наукой. Это не совсем так. Физика точна лишь в том смысле, что она точно знает, насоколько именно приближены ее законы. Так, даже такой фундаментальный закон природы, как закон всемирного тяготения, имеет полное определение границ применимости. На очень малых расстояниях он не учитывает квантовости явлений, а на очень больших — того факта, что расстояние между двумя взаимодействующими массами нельзя предолеть мгновенно.

Единственное исключением в этом смысле является законы сохранения — они совершенно универсальны и на современном уровне знаний абсолютно точны. Например, закон сохранения энергии можно считать настолько надежно установленный экспериментальным фактом, что дальнейшая его проверка (опять же на сегодняшем уровне знаний), по-видимому, просто лишена смысла.

Возникает естественный и чрезвычайно важный вопрос: в чем причина такой уникальной законов сохранения? Оказывается, все дело в том, что

46

законы сохранения является следствием некоторых изначальных свойств окружащего нас мира, а именно — его симметрии. В частности, закон сохранения энергии связаны с почти оченьным свойством времени (как эта связь ни выглідит неожиданной) — с его однородностью. Пояснить само свойство довольно просто, что же касается вывода из него закона сохранения энергии, то тут вам придется поверить на слово.

Кажется вполне очередным, что любой эксперимент, илиструрующий какое-то физическое явление, будь он выполнен вчера, сегодня или через тысячу лет, должен дать одинаковый результат (если только он одинаково поставлен). Или, говоря иначе, физические законы со временем не меняются. Физики это формулируют так: время обладает свойством однородности. Именно из этого почти очередного свойства («почти», потому что при более визмательном размышлении может возникнуть много вопросов, да и вообще мы довольно смутно представляем себе, что такое время) и вытекает тот факт, что в замкнутой системе полная энергия остается постоянной. А это и есть закон сохранения энергии.

Do such a period of времени появляется сообщения о том, что где-то кто-то наблюдал отклонения от закона сохранения энергии. Разумеется, ни один физический закон не гарантирован от того, что в каком-то эксперименте мы можем выйти из области применения этого закона. Но когда речь идет о законе сохранения энергии, надо совершенно четко понимать, что утверждение о нарушении этого закона эквивалентно утверждение о нарушении однородности времени. (Сложет, явно упущенный фантастим, пишущими о так называемой машине времени. Ведь создание такой машины одновременно означает и отмену закона сохранения энергии. А уже тогда возниклы любые чудеса, начиная с вечного дивигателя и кончая бессмертем.)

По всей видимости, именно из-за глубокой связи энергии со временем энергия играет совершенное уникальное, можно сказать, магичскую роль. Помните Архимеда: «Дайте мне точку опоры…»? Так вот, энергия и является той точкой опоры, с помощью которого хотя бы в принципе, решаются практические все физические задачи. Однако из всех законов сохранения энергии является, пожалуйста, наиболее сложным. Это связано, главным образом, с тем, что энергия существует в различных формах: механическая (кинетическая и потенциальная), внутренняя (которую иногда называют телловой), электрическая и т.п. А со времен Эйнштейна, формулировавшего принцип эквивалентности энергии и массы, стало ясно, что при превращении энергии надо учитывать и возможность изменения массы. Вот почему часто довольно трудно проследить за переходом энергии из одной формы в другую и ужесовсем невозможно записать закон сохранения энергии в общем виде. Тем не менее, для механической энергии макросочечной системы это сделать сравнительно легко. Только не в виде закона сохранения, а в виде закона изменения механической энергии.

Итак, рассмотрим какую-нибудь систему (это может быть одно тело или несколько взаимодействующих тел). В частности сучае система может быть замкнутой, но это необязательно, т. е. в принципе на нее могут действовать внешние силы. При этом в системе волне могут протекать какие-то внутренние процессы, приводящие к переходам механической энергии в какие-либо другие виды или наоборот. Но одно существенное предположение мы все же сделаем — будем считать, что извлечем телло в системе не поступает.

Обозначим механическую энергию системы через $W$, а все остальные виды энергии, кроме механической, будем обозначать $Q$, по аналогии с телловой, и обозначено называть количеством теллоты. Из закона сохранения энергии очень, что изменение механической энергии системы равно произведенной работе ($A$) за вычетом выделившегося количества тел

47

лоты: $W_{\text{кон}} - W_{\text{нач}} = A - Q$.
Строго говоря, величины $A$ и $Q$ могут быть как положительные, так и отрицательные:
$A > 0$, если внешние тела совершают работу над системой, и $A < 0$, если система сама совершает работу над внешними телами;
$Q > 0$, если механическая энергия переходит в какие-либо другие формы, и $Q < 0$, если переход производит из немеханической формы энергии в механическую.
Приведенное уравнение оказывается исключительно эффективным при решении самых разнообразных физических задач.

Е. Е. Городецкий

Правило Ленца

В физике часто встречается ситуация, когда внешнее воздействие на какой-либо объект приводит к появлению противодействия этому воздействию. Приведем конкретные примеры.

Заключим газ в теплопроводной цилиндр, закрытый легким поршнем, который может в нем свободно перемешаться. В равновесии поршень займет такое положение, при котором давление газа в цилиндре равно внешнему давлению. Смешая поршень, уменьшим объем газа в цилиндре. Давление газа при этом возрастет, и это будет служить превращением для дальнейшего смесения поршня. При увеличении же объема газа давление в цилиндре упадет, и опять появляется силы, превращующее перемешению поршня.

Поставим чайник с водой на огонь. В результате повышения температуры дна чайника в системе чайник — вода возникнут такие процессы теплопередачи, которые стремятся уменьшить эффективная температура — от чайника к воде будет передаваться тепло.

Внесем проводник в электростанческое поле. Под действием поля заряды проводника перераспределяется таким образом, чтобы уничтожить причину, вызваншую их перераспределение, т. е. поле внутри проводника.

Вудем выдвигать постоянный магнит из проводшего колба. В колбе появится индекционный ток, и оно станет пригravаться к магниту, стремясь уничтожить причину (удаление магнита от колба), приведшую к возникновению тока.

Все эти примеры наводят на мысль, что внешнее воздействие, вызваншее систему из состояния устойчивого равновесия, стремулирует в системе процессы, стремящемся ослабить результат этого воздействия. Так формулируется прицелл, установленный французским ученым Ле Шателье в 1884 году и утонченный немецким физиком Брауном в 1887 году. Этот прицелл позволяет предвидеть, в каком направлении будет протекать процессы в системе, выведенной из равновесия. Он широко используется в физике и химиии.

Исторические прицелл Ле Шателье — Браунна был формулирован как общешение правил Ленца, которое гласит: индекционный ток, возникший в результате электромагнитной индукции, всегда направлен так, чтобы пытается прегravаться причине, его вызвавшей. Это правило формулировал русский физик Ленц в 1833 году. Суть правил Ленца пропилосприрует на несколько примерах.

Пример 1. Южный полис постоянного магнита удаляется от проводшего колба (рис. 1). Определяте направление индукционного тока в колбе. Куда направлена сила, действующая на колбо?

Для ответа на первый вопрос за причину, вызванную ЭДС индекции в колбе, взят уменшенное магнитного потока через колбо. Согласно правил Ленца, собственное магнитное поле, созданное индекционным током, должно прегravаться этому уменшению. Поэтому магнитные линии собственного поля идут через колбо в том же направлении, что и магнитные линии поля постоянного магнита, т. е. влево. По правилам буравчика индекционный ток в колб-

48

Рис. 1.

це направлен по часовой стрелке, если смотреть на колъю справа.

Для ответа на второй вопрос приной, вызывающей ЭДС индукиции, удобно считать увеличение расстояния между магнитом и колъю. Тогда, в соответствии с правилам Ленца, появится противодействие этой принине, т. е. между колъю и магнитом возникнет сила притяжения, действующая на колъю влево.

Пример 2. Южный полос магнита удаляется от проводящего колъца с разрезом. Что можно сказать об индукиционном токе в колъце и силе, действующей на колъю, в этом случае?

Прежде чем ответить на эти вопросы, затем, что в приведенной выше формулировке правила Ленца говорится о том, что индукионный ток всегда направлен так, чтобы пытается притягивать принце своего появления, и не говорится о том, что это притягствие (противодействие) обязательно притягится. Противодействие принце, вызывающей ЭДС индукиции, проявляется и может быть обнаружено только в том случае, когда есть возможность для протекания индукионного тока. Эта возможность реализуется, например, если цель, в котором возникнет ЭДС индукиции, замкнута. И чем меньше сопротивление этой цепи, тем больше ток поддет по ней и тем сильнее притягится противодействие принце, его вызывающей.

Ясно, что в колъце с разрезом ЭДС индукиции ток создается не может и никакая сила на колъю действовать не будет.

Пример 3. Расстоянием опыт, эффективно демонстрирующий правило Ленца (рис. 2). Подвесям между электромагнита магнит,

Рис. 2.

низняя часть которого представляет только медную пластинку, и вышеем его из положения равновесия. Что будет проискать с магнитом dalыше?

При движении такого магнитка в медной пластинке появится замкнутые индукионные токи (красные линии на рисунке 2), направление которых будет меняться. Согласно правила Ленца, взаимодействие этих токов с внешним магнитным полем должно притягивать принце, вызывающей токи, т. е. движению магнитка. Таким образом, колбания магнитка будет затухать, подобно колбании в очень важной жизни.

Замкнутые индукионные токи, возникшие в сплошных проводящих телах, движущихся в магнитных полях или помещенных в изменяющихся магнитные поля, называются выходными токами, или токами Фуко — по имени открывшего их французского ученого. В зависимости от условий вихревые токи могут быть как вредными, так и полезными.

Токи Фуко в сердечниках трансформаторов и врашающся части электрических генераторов и двигателей вызывают бесполезное нагревание и приводят к потерям энергии. Для ослабления выходных токов такие детали изготовляют из тонких листов стали, разделенных тончайшими слоями диэлектрика так, чтобы изолирующие прослояки пересекали возможность линии протекания выходных токов.

Примером полезного использования токов Фуко служит индукионная печь для плавки металла или быстрого приготовления пищи. Приципп действия индукионной печи состоит в том, что проводящие тело (металл

50

нися сили натяжения каната с ростом угла охвата пропорциональна величины сили натяжения:

$$\Delta T / \Delta \alpha \sim T,$$

или $$\Delta T / \Delta \alpha = -\mu T.$$

Знак минус здесь означает, что при увеличении угла охвата натяжение каната уменьшается.

В физике часто встречаются ситуации, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой этой величины. Например, является естественно радиоактивного распада («Физика 10», § 92): уменышение числа нераспашихся радиоактивных ядер в единицу времени пропорционально их числу. Другим примером может служить разряд заряженного конденсатора через резистор: уменышение заряда на конденсатор пропорционально току через резистор, который, в свою очередь, пропорционален заряду конденсатора. Во всех этих случаях происходит очень быстрое изменение соответствующей величины. Действительно, если, например, скорость изменения скорости (ускорение) движения тела постоянна, то величина скорости линейного расчет со временем. Если же ускорение пропорционально скорости, то оно все время увеличивается и скорость расчет намного быстрее — по так называемому экспоненциальному закону.

Такая же зависимость получается и в нашем случае для изменения сили натяжения каната. (Подчеркием еще раз, что речь идет о минимально возможной разности сили натяжения каната — когда вот-вот начется его скольжение по опоре.) Впервые этот вопрос был рассмотрен вликом математиком, механиком, физиком и астрономом Леонардом Эйлером (1707—1783). Он показал, что натяжение каната $T$ в зависимости от угла охвата опоры канатом (угол навистия) $\alpha$ изменяется по закону

$$T = T_0 e^{-\mu \alpha},$$

где $e=2,72...$ — основание натурального логарифма, $T_0$ — начальное натяжение каната (еше не навистиго на опору).

Угол $\alpha$ (измеряемый в радианах) связан с числом оборотов $n$ каната

вокруг кнехта простым соотношением: $\alpha=2\pi n$. Тогда, если при одном обороте натяжение каната уменьшается в $k$ раз, т. е.

$$\frac{T_0}{T_1} = e^{2\pi \mu n} = k,$$

после $n$ оборотов натяжение ослабевает в $k^n$ раз:

$$\frac{T_0}{T_n} = \frac{T_0}{T_1} \frac{T_1}{T_2} \dots \frac{T_{n-1}}{T_n} = k^n = c^{2\pi \mu n}.$$

При коэффициенте тремя $\mu=0,3$, например, один оборот каната включает силу его натяжения почти в 7 раз, а если сделать два оборота — натяжение ослабевает примерно в 40 раз! С ростом числа оборотов натяжение каната (благодаря треню) становится все меньше и меньше и постепенно сходит на нет.

Возвращаясь к герою Жюля Верна Матифу, мы теперь можем сказать, что, намотав канат на железную трубу, он сильно облегчил себе задачу. Я. И. Перельман, использую содержащие в романе данные о «Трабоколо» и сделав соответствующие расчеты, обнаружил, что если сили Матифу успел обернуть канат вокруг трубы при раза, то на его месте мог бы быть и ребенок. Точно так же и при швартовке судов от матросов не требуется большой силы — нужно лишь проявить внешательность иLOBкость и вовремя успеть быстро намотать канат на кнехт.

Заметим, что с рассмотренным явлением каждой из вас стalkивается практическими ежедневно, что-нибудзавязывая — будь то шнури, шарфили веревка. Ведь любой узел по существу представляет собой вверевку, навитую на «опору» (ту же самую вверевку).

А. И. Буздин

51

Рисует школьная ЭВМ

А. Г. ШЕГОЛЕВ

Со школьной ЭВМ, сабженной дисплеем, можно обшаться в диалоговом режиме по заранее предустретному сценарию (см., например, статьи В. А. Каймина в «Кванте», 1986, № 10, 11). При этом ЭВМ и ее пользователь обмениваются фрагментами текстов и числовыми данных. Между тем, большинство школьных микроЭВМ позволяет не только «печать», но и «рисовать» на экране, т. е. обладает графическими возможностями.

Для того чтобы на экране появилось изображение, мы должны указать исполнителю (школьной ЭВМ), где и что необходимо нарисовать. Поэтому прежде всего необходимо договориться о системе координат.

Приняята в микроЭВМ координатная система отличается от известной вам по школьному курсу математики. Начало координат (точка O) помещается в левом верхнем углу, а оси абсцисс и ordinate направлены так, как показано на рисунке 1. Поле экрана представляет собой множество точек, каждой из которых имеет определенный цвет, а координаты любой точки — целые числа x, y в пределах (для экрана ЭВМ «Ямаха») 0≤x≤255, 0≤y≤191.

Так же, как дом складываются из кирпичей, любое сложное изображение мы будем «строить» из простейших элементов. Для этого дополним знакомый вам школьный алгоритмический язык следующими графическими командами:

1. точка (x, y), цвет — изображить точку цвета цвет с координатами (x, y);
2. отрезок от (x1, y1) до (x2, y2),

52

цв — начертить отрезок, соединяющий точки с координатами (x1, y1) и (x2, y2) цвета цв;
3) округн(x, y), r, цв — нарисовать окружность радиусом r с центром в точке (x, y) цвета цв;
4) дуза (x, y), r, om α до β, цв — нарисовать дуг окружности (x, y), r, цв от угла α до угла β (рис. 2);
5) закрасить (x, y), цв — закрасить цветом цв точку (x, y) вместе с окружностью в пределах заключенной эту точку замкнутой линии того же цвета (в качестве части этой линии может использоваться граница экрана); если же такого контур нет, закрасиется весь экран.
Оказывается, перечисленные команд в полне достаточно, чтобы изобразать довольно замыслованные фигуры. Например, изображение скрипичного клиона можно представить как совокупность отрезков и дуг разного радиуса, плавано переходящих друг в друга (рис. 3).
Для облегчения построения часто повторяющихся элементов введем еще две команды:
6) рамка от (x1, y1) до (x2, y2), цв — изобразить прямоугольную рамку со стороными, параллельными сторонам экрана, цветом цв; прямоугольник задается координатами двух диагональных вершин (x1, y1), (x2, y2) (рис. 4);
7) рамка-закраш от (x1, y1) до (x2, y2), цв — закрасить рамку 6) и ее внутреннюю область цветом цв.
Алгоритмы, написанные с использованием графических команд, могут быть переведены на любой язык программирования, имеющий соответствующее средства. Вот как выглядит запись операторов 1) — 7) на языке MSX-BASIC, принятом на ЭВМ «Ямаха».

1. N PSET (X, Y), C (точка)
2. N LINE (X1, Y1) — (X2, Y2), C (отрезок)
3. N CIRCLE (X, Y), R, C (окружность)
4. N CIRCLE (X, Y), R, C, A, B (дуга; углы A и B — в радиах)
5. N PAINT (X, Y), C (закраска)
6. N LINE(X1, Y1) — (X2, Y2), C, B (рамка)
7. N LINE(X1, Y1) — (X2, Y2), C, BF (закрашенная рамка).
   Синним здесь выделены изменяющиеся элементы, в качестве которых могут использоваться числа (константы), а также имена переменных. N — номер (нумерция операторов в Бейсике обязаельна), C — целое число от 1 до 15, обозначающее цвет, который нужно закрасить данный объект:
   1 — черный, 6 — темно-красный,
   2 — средне-зелень, 7 — голубой,
   3 — светло-серый, 8 — средне-красный,
   4 — темно-голубой, 9 — светло-красный,
   5 — светло-голубой, 10 — темно-желтый,
   11 — светло-желтый,
   12 — темно-зелень,
   13 — розовый,
   14 — серый,
   15 — белый.
   Например, оператор Бейсика 20 PSET(50, 100), 6 приведет к появлению на экране темно-красной точки с координатами x=50, y=100.
   Кроме того, перевод ЭВМ в графический режим осуществляется по команде графика, что на Бейсике будет записано как SCREEN 2.
   Займется теперь изображением картины, помещенной в начале статы. Сценарий в этом случае — это рисунок, выполненный на бумаге. Вообще же графический сценарий представляет собой последовательность рисунков (сцен) и описание логики их через

54

нач
окружн (220, 90), 10, 2
закрасть (221, 91), 2
окружн (235, 90), 2
закрасть (236, 91), 2
рамка-закраш от (210, 90) до (250, 110), 2
кон

Обратите внимание, что основной алгоритм «синее море» представляет собой план изображения. За рисование же отдельных объектов «отвечает» соответствующий вспомогательный алгоритм. На языке Бейсика обращение к вспомогательному алгоритму (подпрограмме) осуществляется оператор
N GOSUB номер-начала,
где номер-начала — номер оператора, с которой начинается подпрограмма.
В качестве же оператора конца вспомогательного алгоритма (кон) используется оператор Бейсика N RETURN

(в основной программе для этого использования оператор N END).

Задачи

1. Переведите алгоритм «синее море» на язык MSX-BASIC.
2. Выберите несколько рисунок и построите алгоритм и программу, изображающие его на экране ЭВМ.

Вы заметили, что самой непроизвольной (и самой скучной) работой при построении графических алгоритмов является подбор координат для задания местоположения простейших элементов. Для создания изображений обычно используют специальную программу — графический редактор — которая позволяет рисовать на экране, управляя «графическим карандашом» с помощью клавиатуры. Графический редактор «переводит» изображение в операторы Бейсика, и полученный текст программы использует для воспроизведения этого изображения.

Вариант 2

1. Решите неравенство
   $$x^2 + 2x + 5 \leq x + 8.$$
2. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ x^2 + xy + y^2 = 7. \end{cases}$$
3. Решите уравнение
   $$2 \sin 11x + \cos 3x + \sqrt{3} \sin 3x = 0.$$
4. Определите промежутки монotonности функций
   $$y = \frac{(x - 2)(x - 4)}{x + 1}.$$
5. Высота прямогоного треугольника делит его на треугольники с периметрами $p_1$ и $p_2$. Найдите перimeter исходного треугольника.

Вариант 3

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 2x + 5y = 14, \\ 3x - 2y = 2. \end{cases}$$
2. Решите уравнение
   $$x^2 \lg^3 x - 1, 5 \lg x = \sqrt{10}.$$
3. Третий член арифметической программы в три раза больше второго

56

2. Решите уравнение
   $$2\cos x + \sin x = 1 + \sin 2x.$$
3. Решите уравнение
   $$81^x - 16^x = \frac{5}{6} \cdot 36^x.$$
4. Найдите все значения параметра $p$, при которых уравнение
   $$(p-1) \cdot 4^x - 4 \cdot 2^x + (p+2) = 0$$
   имеет хотя бы одно решение.
5. Правильная треугольная парамида со стороны основания $a$ вписана в сферу, при этом центр сферы делит высоту парамиды в отношении $\sqrt{5}:1$, считая от вершины. Верхнее основание правлевой четырехугольной призмы лежит в плоскости основания парамиды, а вершины ее нижнего основания принадлежат сфере. Какой должа быть высота призмы, чтобы ее объем был наиболее включено равна 1080.
6. Решите уравнение
   $$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0.$$
7. Решите уравнение
   $$\frac{1 - \log_3(x^2 + 3)}{1 - \log_3(x + 3)} = 2.$$
8. Решите неравенство
   $$2 \cdot 4^{\sqrt{x}} - 5 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 2 < 0.$$
9. Высота $H$ правлевой четырехугольной призмы равна стороне основания. Ниже основание правлевой четырехугольной призмы принадлежит основанию парамиды, а вершины его нижнего основания принадлежат сфере. Какой должа быть высота призмы, чтобы ее объем был наиболее включено равна 1080.
10. Найдите это значение объема.

Вариант 2

1. Найдите первый член и значатель геометрической прогрессии, в которой сумма первых четырех членов равна 40, а сумма членов начняя с четвертого и до седьмого включенного равна 1080.
2. Решите уравнение
   $$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0.$$
3. Решите уравнение
   $$\frac{1 - \log_3(x^2 + 3)}{1 - \log_3(x + 3)} = 2.$$
4. Решите неравенство
   $$2 \cdot 4^{\sqrt{x}} - 5 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 2 < 0.$$
5. Высота $H$ правлевой четырехугольной призмы равна стороне основания. Ниже основание правлевой четырехугольной призмы принадлежат основанию парамиды, а вершины его нижнего основания принадлежат сфере. Какой должа быть высота призмы, чтобы ее объем былINCLUDED.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Мяч, брошенный со скоростью $v_0 = 10$ м/c под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту, ударяется о вертикальном стенку, нахождения на расстоянии $s = 3$ м от места бросания. Определите модель и направление скорости мяча после удара. Удар считать абсциссно упругим, а углы падения и отражения — равны.
2. Тело массой $m = 1$ кг брошено под углом к горизонту. За время полета его импульс изменяется на $\Delta P = 10$ кг·м/c. Определите наиболее высокую высоту подъема тела.
3. По длиному стержню массой $M$, подвешенному наружине с коэффициентом жесткости $k$, скольит внешняя массой $m$ сускорением $a$ (рис. 1). Определите энергию деформацииружины. Массойружины претенбреть.
4. Некоторые количество водорода находится в закрытом сосуде при температуре $T_1$ и давлении $p_1 = 400$ Pa. Газ нагрели до температуры $T_2$, при которой молекулы водорода практически полностую распасы на атомы. При этом давление газа стало $p_2 = 40$ kPa. Определите, во сколько раз возросла средняя квадратическая скорость частиц газа.
5. Электрическое поле образовано внешним однородным электростанцией-

57

ским полем и полем заряженной металлической пластины, которое выполнizes пластины тоже можно считать однородным. Напряжение результатующего электрического поля справа от пластины $E_1=3 \cdot 10^4$ В/m, а следва $E_2=5 \cdot 10^4$ В/m (рис. 2). Определите заряд пластины, если сила, действующая на пластину со стороны внешнего электрического поля, $F=0,7$ Н.

6. Шарик массой $m=2$ г, имеющий положительный заряд $q$, начинает скольнить без начальной скорости из точки $A$ по сферической поверхности радиусом $R=10$ см (рис. 3). Потенциальная энергия взаимодействия заряда $q$ и неподвижного отрицательного заряда $Q$ в начальной момент $W_A=-2 \cdot 10^{-3}$ Дж. Определите потенциальную энергию взаимодействия зарядов, когда заряд $q$ находится в точке $B$, если в этом случае результатующего сил реакции со стороны сферической поверхности и кулововского взаимодействия, приложенная к шарику, $F=0,1$ Н. Треннем между шариком и сферической поверхности претензует.

7. Источники тока, имеющие одинаковые внутренние сопротивления $r=0,5$ Ом, подключены к резисторам, каждый из которых имеет сопротивление $R$ (рис. 4). ЭДС источников тока равны $\delta_1=12$ В и $\delta_2=6$ В. Определите величины сопротивления $R$, при которой ток в цепи $ABCD$ не течение.

8. Радиус орбиты электрина в модели атома Бора $r=5,3$ nm. Какую работу надо совершить, чтобы ионизировать этот atom?

9. При взаимодействии ядер аломиния $^{27}_{13}$Al с X-частицами образуется ядра изотопа магния $^{27}_{12}$Mg и $^{1}_{1}$Y-частицы. При взаимодействии же $^{1}_{1}$Y-частицы с ядрами аломиния $^{27}_{13}$Al образуется ядра изотопа магния $^{27}_{12}$Mg и $^{1}_{1}$Y-частицы. Какие широко известные частицы $X$, $Y$ и $Z$ участвуют в этих ядерных реакциях?

10. При термодерной реакции сляния дейтерия $^2$H и трития $^3$H образуется нейtron и неизвестная частица, при этом выделяется энергия $E_0=17,6$ МэВ. Определите неизвестную частицу и полную энергию, которая выделится, если прореагирует $m=1$ г дейтерия.

Публикацию подготовили Л. П. Паршев, Ю. А. Струков

Московский станкойструментальный институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение $1+\lg(1+2x+x^2)-\lg(x^2+6)=2\lg(x+1)$.

2. Решите уравнение $x^2+px+21=0$, зная, что сумма квадратов его корней равна 58.

3. Поезд должен быть проятый 840 км за определенное время. На половине пути поезд был задержан у семафора на $\frac{1}{2}$ часа и для того, чтобы прибить к месту назначения в срок, увеличил скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд находится в пути?

4. Решите уравнение $\sin 3x-\sin x\cos 2x=0$.

5. В основании прямой прямых лежит треугольник. Два его угла соответствующего равны $\alpha$ и $\beta$, а площадь равна $S$. Прямая, соединяющая вершину верхнего основания с центром кругга, описанного около нижнего основания, составляет с плоскостью основания угол, равный $\varphi$. Найдите объем призмы.

Вариант 2

1. Решите уравнение

58

$$5^{1+\log_4 x} + 5^{-\log_4 x} - 1 = \frac{26}{5}$$

2. Найдите целые значения $k$, при которых уравнение
   $$(k - 12)x^2 + 2(k - 12)x + 2 = 0$$
   не имеет корней.

3. Катер отошел от причала одновременно с плотом и прошел вниз по реке 40/3 км. Не делая остановки, он развернулся и пошел вверх по реке. Пройдя 28/3 км, он встретился с плотом. Какова собственная скорость катара, если скорость текущей реки 4 км/ч?

4. Решите уравнение
   $$\cos 2x + \sin^2 x + \sin x = 0,25$$.

5. Определите ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна $l$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$.

Физика
Задание устного экзамена

1. На горизонтальной поверхности покопится тело, к которой приложена сила $\vec{F}$ (рис. 1). При каких значениях угла $\alpha$ тело будет оставаться в покое независимо от величины силы? Коэффициент треня $\mu = 0,15$.

2. Спутник называется синхронным, если при движении по круговой экваториальной орбите он остается над одной и той же точкой поверхности Земли. Найдите радиус орбиты такого спутника.

3. Пуля массой $m$ попадает в центр лежащого на краю стола шара массой $M$ и застревает в нем. Определите скорость шара в момент удара о пол, если пуля летела в горизонтальном направлении со скоростью $v_0$ и высота стола $H$. Сопротивлением воздуха пренебрежь.

4. В кристалле поверхной соли NaCl atoms (онны) Na и Cl образуют кубическую решетку (рис. 2). Определите среднее расстояние между центрами соседнихонов. Плотность поверхности соли $\rho = 2,2 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, молярная масса натрия $M_{\text{Na}} = 23$ г/моль, хлора $-M_{\text{Cl}} = 35,5$ г/моль.

5. В откачанный сосуд объемом $V = 40$ л впрыснул $m = 80$ г воды.

6. В цилиндрическом сосуде под легкоподвижным поршнем находится $v = 1,5$ моль идеального одноатомного газа при температуре $t = 27^\circ\text{C}$. Какое количество теплоты надо подвести к газу, чтобы его объем увеличился в 3 раза?

7. При пропускании постоянного тока по участку $AB$ (рис. 3) на резисторе сопротивлением $R_2$ выделяется тепловая мощность $P_2$. Какая тепловая мощность выделяется на каждом из резисторов сопротивлениями $R_1$ и $R_3$?

8. Конденсатор включает в цепь так, как показано на рисунке 4. Найдите заряд на конденсаторе и определите показание волтметра, считая его идеальным.

9. Проволочный виток площью $S$ и сопротивлением $R$ находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией $B$, изменяющей со временем по закону $B = B_0 \sin \omega t$ ($B_0$ и $\omega$ известны). Определите максимальное значение тока и теплую мощность, выделяемую в витке. Линии индукции поля переменикулярны плоскости витка.

10. Луч света, падая на поверхности воды, испытывает преломление и частично отражается. Определите угол падения лука, если отраженный

59

Московский институт электронной техники

Физика
Задачи письменного экзамена

1. Пуля летящая горизонтальное, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули $m=5$ г, масса шара $M=0,5$ кг. Скорость пули $v=500$ м/с. При какой предельной длине стержня (расстоянии от точки подвеса до центра шара) шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?
2. Чему равна работа по подъему цепи, взятой за один конец и лежащей на плоскости, на высоту, при которой нижний конец отстопит от плоскости на расстояние, равное длине цепи? Длина цепи $l=2$ м, масса $m=5$ кг.
3. Некоторые массу $m$ идеально газа с молярной массой $M$ нагревают под поршнем так, что температура изменяется пропорционально квадрату давления от первого嗽ального значения $T_1$ до $T_2$. Определите работу, совершенную газом.
4. Определите плотность смеси, содержащей $m_1=4$ г водорода и $m_2=32$ г кислорода при температуре $t=7$ °C и объем давления $p=10^5$ Па.
5. Два электрона находится на бесконечно большом расстоянии друг от друга, причем первый электрон вначале поконтся, а второй имеет скорость $v_0$, направленную к первому. Определите наименьшее расстояние, на которой они сливаются.
6. Какое количество теплоты выделится в цепи при переключинии ключа $K$ из положения 1 в положение 2 (рис. 1)?
7. На резисторе во внешней цепи аккумулятора выделяется тепловая мощность $P=10$ Вт. Когда к концам

Рис. 1.
этого резистора присоединили точно такой же второй аккумулятор, выделяемой мощностью стала в два раза больше. Какой будет выделяемая мощность, если к аккумуляторам одномименными полосами присоединить третый такой же аккумулятор?

8. Волтамперная характеристика некоторого нейненого элемента такова, что до напряжения $U_0=100$ В ток через элемент отсутствуют, а затем линейно растет с ростом напряжения (рис. 2). При подключинии элемента к батарее с внутренним сопротивлением $r=2,5$ кОм через элемент течет ток $I_1=2$ мА, а при подключинии его к той же батарее через резистор сопротивлением $R=25$ кОм течет ток $I_2=1$ мА. Определите ЭДС газарей.

Рис. 2.
9. От источника света на плоское зеркало падает расходящая под углом $α$ пучок лучей. Определите угол между лучими после их отражения от зеркала.
10. Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=30$ см и плоского зеркала, нахождения на расстоянии $l=15$ см от линзы. Определите положение изображения, даваемого этой системе, если предмет находится на расстоянии $d=15$ см перед линзой.

Публикацию подготовили А. Т. Берестов, Г. М. Гусаков

60

Московский институт
нефти и газа
им. И. М. Губкина

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Пешекод переходил дорогу со скоростью $v=4,2$ km/ч по прямой, составляющей угол $\alpha=30^\circ$ с направлением дороги, в течение одной минуты. Определите ширину дороги.

2. Человек массой $M=60$ кг, стоя на коньках, бросает перед собой горизонтальное груз массой $m=2$ кг со скоростью $v=3$ м/c, а сам откатывает назад. Через сколько секунд после броска человек остановится, если коэффициент треня коньков олед $\mu=0,01$? Ускорение силы тяжестей принять равным $g=10$ м/c$^2$.

3. Во сколько раз период обращения спутника, движущегося на расстоянии $h_1=21$ 600 км от поверхности Земли, больше перiodа обращения спутника, движущегося на расстоянии $h_2=600$ км от поверхности Земли приять равным $R=6400$ км.

4. Два шара диаметром $d=60$ см каждый скреплены в точке касания их поверхности. На каком расстоянии от точки касания находится тяжестей системы, если масса одного шара в 3 раза больше массы другого?

5. Абсолютную температуру газа, находящаяся в цилиндре под поршнем, увеличили в 3 раза. Для того чтобы поршень остался в режиме положения, на него прилось положить груз массой $m=10$ кг. Площадь поршня $S=0,001$ м$^2$. Ускорение силы тяжестей $g=10$ м/c$^2$. Найдите начальное давление газа.

6. Какое давление произойдет пары рутин в баллоне рутной лампы объемом $V=3 \cdot 10^{-5}$ м$^3$ при $T=300$ К, если в ней содержится $N=10^{18}$ молекул рутин? Постоянная Большмана $k=1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/K.

7. Напряжение электронного поля плоского воздействного конденсатора емкостью $C=4$ мкФ равна $E=1000$ В/m. Расстояние между обкладками конденсатора $d=1$ мм. Определите энергию электронского поля конденсатора.

8. Волтметр со шкалой, расчитанной на $U=100$ В, имеет внутреннее сопротивление $r=10$ кОм. Какую наиболее разность потенциаль можно изменить этим прибором, если присоединить к нему последовательное добавочное сопротивление $R=90$ кОм?

9. В однородном магнитном поле находится плоский виток площадью $S=10$ см$^2$, расположенный перpendicularно линейным поля. Какой величины ток потребет по витку, если индикция поля будет убывать с постоянной скоростью $\Delta B/\Delta t'=0,01$ Тл/c? Сопротивление витка $R=1$ Ом.

10. Монхроматический свет падает перpendicularно плоскости прорачной дифраクционной решетки. Под каким углом будет наблюдаться перный главный максимум зеленной линии спектра рутной лампы (с длиной волны $\lambda=546$ nm), если перiod дифраクционной решетки $d=10,92 \times 10^{-7}$ м?

Вариант 2

1. На сколько метров путь,ройденный свободно падающим телом за десятию секунд, больше путь,ройденного телом в предыдущую секунду? Начальная скорость тела равна нулю. Ускорение силы тяжестей принять равным $g=10$ м/c$^2$.

2. Два одинаковых шрасов $m=4$ кг каждый стальваются и начинают движаться вместе. Какое количество теплоты выделилось при ударе шаров, если один из них имел до удара скорость $v=5$ м/c, а второй был неподвижен?

3. Камень массой $m=0,5$ кг, призыванный к ввервеске длиной $l=50$ см,вращается в вертикальной плоскости. Наяжеение ввервеки в нижней точке окружности, поднимается камень, если ввервеку перерезать в тот момент, когда скорость камня направлена вертикально вверх? Ускорение силы