Квант 1988, №7 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Остров четырех краск

1988

В номере:

И. М. Яглом Якоб Штейнер
А. А. Панов. Флексагоны, Флексоры, Флексмы
А. Д. Чернин. Космические иллюзии и миражи
А. А. Абрикосов (мл.). История России

Задачник «Кванта»
Задачи M1111—M1115, Ф1123—Ф1127
Problems M1111—M1115, P1123—P1127
Решения задач M1091—M1095, Ф1103—Ф1107

Калейдоскоп «Кванта»

«Квант» для младших школьников
Задачи
Т. С. Петрова. Из жизни молекул

---

М. Гарднер. Остров пяты красок

Искусство программирования
В. Н. Касаткин. Сколько цифр в числе 100!?

Информация
Заказы принятия…
Заочная школа при НГУ
Смесь (44)

Наша обложка

1 Любую ли карту на плоскости можно правильно раскрасть четырьмя красками — так, как это сделано, например, для острова, изобранного на нашей обложке? («Правильно» — это так, чтобы никакие две соседние страны не были окрашены в один цвет.)
В 1976 году Аппелем и Хакеном была доказана теорема, дающая утвердительный ответ на этот вопрос.
А вот в статье М. Гардера «Остров пяты красок» вы столкнетесь с фантастической истории, «опровергающей» эту значенную теорему.

2 Трудно поверить, но 250 лет назад теория тяготения Ньютона вызывала недоверие, споры и даже насмешки. Свидетельство тому — карикатура, появшаяся при жизни Ньютона.
А в нашемве были обнаружены явления поистине космического масштаба, связанные с законом всемирного тяготения. Об этом читайте в статье А. Д. Чернина.

3 Шахматная страница.

4 «Рецент» склейки флексаора Клауса Штефена. Что такое флексор (а также флексаон и флексман) вы узнаете, познакомившись со статьей А. А. Панова.

© Издательство «Нука».
Главная редакция физико-mатематической литературы. «Квант», 1988

2

ЯКОВ ШТЕЙНЕР
(из истории геометрии)

Доктор физико-математических наук
И. М. ЯГЛОМ

Во второй половине XVIII и в начале XIX века в Швейцарии жил замечательный педагог-гуманист Юганн Генрих Песталоши (1746—1827). Ныне Песталоши во всем мире считается основоположником теории начального обучения детей, идиен о соедининиях обучения с производительным трудом. Рассказывать о нем можно было бы долго — но не Песталоши является здесь нашим героем. Свои идей Песталоши проверял и реализоввал в основанной им превосходной начальной школе-интернате для детей бедняков. Сотрудники Песталоши разъезждали по всей Швейцарии, отбирая будущих учеников и уговаривая (часто это было труднее всего) их родителей послать детей в школе.

В 1814 году один из последних Песталоши сотрудников встретил в горах Швейцарии молодого пастуха Якоба Штейнера, сына бедного крестьянна. Якоб в это время едва умел читать и писать, однокамоучкой он прибрел некоторые позаниния в математике и в особенно увлекательей его тогда астрономии. Эти знания и интересы молодого пастуха поразили сотрудника Песталоши, который стал убеждать Штейнера-отца отказается от услуг ценного помощи и отправить сына в школе учиться. С большим трудом ему удалось до-

Автор этой статьи Исаак Монсеевич Яглом умер 17 апреля этого года. Читательям «Кванта» хорошо известно это имя: И. М. Яглому принадлежит такое большое число пуплярных книг по математике, что, вероятно, каждый интересующийся математикой читал что-то написанное им. В развитие годы на страницах журнала было опубликовано более десяти его статей. Более сорока лет жизни он верно служил пупуляризации математики.

Исаак Монсеевич Яглом родился в 1921 году. По счастью служайности, когда он чилися в старших классах, замечательные математики с энтузизмом организативали в Московском университе перевытел математические кружки и олимпиды. В 1938 году Яглом получил первый на олимпиде, а на следующей год, став студентом, И. М. Яглом оказался одним из самых активных руководителей кружка. Еще до войны Д. О. Шклярский, погибший на фронте, задумал создать сборник кружковских задачи и начал собирать материалы. Замысел Шклярского был завершен после войны, причем большая часть работы была выполнена Исааком Монсеевичем, ставшим основным хранителем «кружковской мудрости». Трехтомник «Задачи и теоремы элементарной математики» Д. О. Шклярского, Н. Н. Ченцова и И. М. Яглома на долге годы становится основным руководством для ребят, интересующихся математикой. Эта книга открыла серию «Библиотека математического кружка». В этой серии вышло еще несколько книг И. М. Яглома.

Для Яглома важно, что уже в школьные годы ребята могут не только решать изолированные красные задачи, но и, работая над хорошего спланированием серии задачи, они могут непрерывно переходить к профессиональной математической деятельности. На это ориентированы такие книги «Библиотека» как «Выпуклы фигуры» (написана совместно с В. Г. Болтянским), «Незlementарные задачи в элементарном изложении» (совместно с А. М. Ягломом), двухотомник «Геометрические преобразования».

В последнем году жизни Исаака Монсеевича остро волновали гуманитарные аспекты математики: он много пшет о ее истории, связях с естественными и гуманитарными научками, ее месте в жизни общества. В этой деятельности в полной мере проявились высокая культура, широкая эрудиция, которые порожали кадрого, кто имел счастье быть лично знаком Исаака Монсеевича.

Предлагаем внимание читателя стать посвящена Якобу Штейнеру, крупнейшему представителю «золотого века» немецкой геометрии. Очень характерно, что внимание И. М. Яглома привлекала эта колоритная, противоречивая фигуря. В Штейнере уживались фантастическая геометрическая intuция и необучайный консервативism, выражавшийся в категорическом непрятнии координат и комплексных чисел в геометрии, которые, как он был искуснее уверен, ведут к уничтожению истинного двух геометрики.

3

бится этого — и 18-летний Штейнер (он родился в 1796 году) нассгда покинул родную деревню. Вскоре Якоб оказался в городке Иверен вблизи Берна, в руководимой Песталоши школе-интернате, куда Песталоши приял его бесплатно: ведь ни за учебу, ни за питание, ни за проживание Штейнер платьь было нечем.

У Песталоши Штейнер провел 4 года. Сначала он учился в школе, а затем сам преподавал в ней математику. Оdnako Песталоши быстро понял, что талант Штейнера заслуживает лучшего применения. Следуя настоятьным советам Песталоши, Штейнер в 1818 году переезжает в Германию, в город Гейдельберг — ближайший к Иверену крупный университетский центр.

Песталоши расчитывал, что Штейнер закончит Гейдельбергский университет и затем сам выберет свой путь; однako в полной мере эти надежды не осуществились. Песталоши выдал Штейнер неокоторую сумму денег на дорогу и на первое обзаведение в чужом городе. Но дальше Штейнер предстояло самому обеспечивать себя хлебом насушным. Никакой профессий, кроме профессии учитель математики, Штейнер не владел. Он вынужден был перегружать себя частиными уроками, за которые платили ему мало: ведь он не имел никакого сервисного образования. Эти глубоко ненавидимые Штейнером уроки не давали ему возможность систематически посещать университет. За три года пребывания в Гейдельберге он сумел прослушать лишь несколько университетских курсов (что, впрочем, тоже было не мало, учитьвая его уровень подготовки). Кроме того, в Гейдельберге Штейнер приобрел первые математические знакомства, либо выдавшие таланты швейцарца сразу же бросались в глаза.

В 1821 году друзья сообщили Штейнер об открышении в Берлине вакансии преподавателя математики в одной из столичных гимназий, и он сразу же пустился в путь. Положение гимназического учитель давало бы ему регулярный заработок. Но для занятия столженной места ему предстояло еще сдать экзамены, а их результаты никак не могли особенно водушевить руководство гимназии.

Предде всего у кандидата на должность учителя спросили, знаком ли он с курсом гимназии. На этот вопрос Штейнер ответил кратко: «Нет, не знаком». А что еще он мог сказать? Ведь в русской гимназии проходились латынь и древнегреческий язык, с которых сын Швейцарского крестьянна был знаком не больше, чем мы с вами, мой читатель. Но и с экзаменом по математике дело обстояло не слишком благополучно: Штейнер показал общирные и глубокие знания по геометрии, но более чем скромные — по алгебре и тригонометрии, а в области математического анализа у него оказались зняющие проблемы. Оdnako бросающееся в глаза выдающее геометрическое способности молодого швейцарца и представленные им лестные характеристики сделали свое дело: Штейнер было разрешено два года преподавать математике во всех классах, кроме выпускного. Он должен был за это время сдать экзамены по курсу гимназии (их Штейнер так никогда и не сделал) и дополнительный экзамен по математике (его Штейнер сделал значительное позже).

В средней школе Штейнер пробовал 14 лет. Стало это возможным лишь после открытия в Берлине реальный училища, в котором увешено было число часов на математике и на естественные науки, но не преодавались древние языки (а следовательно, их знание не требовалось и от учительей училища). Оdnako, несмотря на то, что организатором и директором училища являлся также ученик Песталоши, Штейнер сначала и здесь числился только помощником учителя. Лишь после сдачи дополнительных экзаменов (в 1829 году) он стал старшим учительом. Увы! Приходится принять, что разделительный и ненимательный к лодям Штейнер учитель был неважным. Он с увлечением знамался с одаренными учениками, придумывая для них яркие и индивидуальные задания (в первую очередь — по геометрии, см. задачи 1,

4

2, 6 и Приложение). Остальные же школьники только сердили его: отсутствие у учащегося способностей и интереса к математике Штейнер просто не мог понять. Иногда, когда становилось совсем уж невмогуту, он даже бросал регулярую работу в школе и вновь, как в молодости, добавил пропитание частными уроками. Так же обстоятель дело и в тот, к счастью, критий период, когда от преподавания в гимназии Штейнер за necesidad экзаменов был отстраен, а реальное училище не открылось. Однако он неизмененно возвращался в родное училище, где к его выходкам привели, а математические его таланты высоко ценились.

В результате подбирая задачи для сильных школьников, Штейнер прибрел сохранившийся у него на всю жизнь интерес к элементарной геометрии. Рассмотрим несколько результатов Штейера в этой области. Начнем с задач, идущих от великого Эйлера.

Эйлер установил, что три середины сторон произвольного треугольника, три основания его высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от точки их пересечения (ортоцентра треугольника) до вершин принадлежат одной окружности. Эта окружность называется окружностью Эйлера или окружностью девяты точек треугольника. Замечательно, что для каждой треугольника его окружность Эйлера касается вписанной и трех внешисанных окружностей (рис. 1). Этот факт часто называют теоремой Фейербаха по имени того, кто впервые его доказал; но мало кто знает, что неизнакомый с результатом Фейербаха Штейнер доказал эту теорему всего через два года после ее первооткрытателя и сразу же опубликовал свой результат (так что многие математики познакомились с ним по публикации Штейнера, а не Фейербаха).

Задча 1. Пусть окружность S с центром в ортоцентре H треугольника ABC пересекает его средние линии B₁A₁(∥AB), C₁B₁(∥BC) и A₁C₁(∥CA) соответственно в точках F₁ и F₂, D₁ и D₂, E₁ и E₂. Докажите, что AD₁=AD₂=BE₁=BE₂=CF₁=CF₂ (теорема Штейнера).

Два треугольника ABC и A₁B₁C₁ пересеканы с центром пересечений P, если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ сохраняются в одной точке P. Два «собственно подобных» треугольника ABC и A₁B₁C₁ (т. е. подобных и таких, что направления обхода A→B→C и A₁→B₁→C₁ одинаковы — оба совпадает с направлением вращения часовой стрелки или оба противоположны

5

ему) всегда можно совместить центром Q, т. е. равномерным растяжением от Q или скатнем к Q (гомотетей), сопровождаемым повтором вокруг Q (почему?); точка Q называется центром подобия треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Задача 2. Пусть a, b, c — прямые, образующие треугольник T; пусть прямая l пересекает a, b, c в точках A₀, B₀, C₀. Восстановим в этих точках перепедикуляры к сторонам треугольника T: a₁ ⊥ a, b₁ ⊥ b, c₁ ⊥ c. Обозначим треугольник, образованный прямыми a₁, b₁, c₁, через t.

a) Тогда треугольники T и t собственно подобны и перспективны; описанные вокруг них окружности S и s взaimно перепедикуляры (т. е. перепедикуляры касательные к S и к s в точке их пересечения); точки {P, Q} = S∏s является соответственно центром перепедиктуры и центром подобия треугольников T и t (теоремы Штейнера).

6. Как изменяется приведенные теоремы, если прямые a₁, b₁, c₁ не перепедикуляры a, b и c, а образуют c, c b и с с соответственно заданный (по величине и по направлению) угол α?

Следующая серия задач, касающся полного четырехсторонника, идет от великого Гаусса: Штейнер со вкусом выбирал предшественников!

Полным четырехсторонником Ч называется фигура, образованная четырьмя прямыми «общего положения» (т. е. такими, что никакие три не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны); треугольники, сторонами которых являются три из этих прямых, называются треугольниками четырехсторонника Ч; точки пересечения прямых — вершинами четырехсторонника Ч; отрезки, соединяющие одной из наших прямых) вершины, — диагоналими четырехсторонника Ч.

Задачи

3 (теорема Гаусса). Середины трех диагоналей четырехсторонника Ч принадлежат одной прямой (рис. 2, a). Эта прямая называется прямой Гаусса четырехсторонника Ч.

4. Описанные вокруг четырех треугольников

6

Уильям Киндом Клиффорд (1845—1879).

угольников Ч окружности пересекаются в одной точке (рис. 2, б). Эта точка С называется точкой Клиффорда четырехсторонника Ч.

Теорема из задачи 4 была известна и до Клиффорда. Он, однako, придумал замечательную конструкцию (цель Клиффорда), в котором эта задача включается. Полным n-сторонником N называем n прямых «общего положения»; N содержит n полных (n—1)-сторонников $M_1, M_2, \dots, M_n$, получаемых отрасыванием прямых по одной. Точкой Клиффорда «полного 2-сторонника» (a, b) называем точку пересечения прямых a и b, а окружность Клиффорда полного 3-сторонника (a, b, c) — окружность, содержащую три точки Клиффорда 2-сторонников (a, b), (a, c) и (b, c) (т. е. окружность, описанную вокруг треугольника со стороны a, b, c). Далее, если n четно, то n окружностей Клиффорда (n—1)-сторонников $M_1, M_2, \dots, M_n$ пересекаются в одной точке — точке Клиффорда полного n-сторонника N (при n=4 — это теорема задачи 4). Если же n нечетно, то n точек Клиффорда (n—1)-сторонников $M_1, M_2, \dots, M_n$ принадлежат одной окружности — окружности Клиффорда полного n-сторонника N.

Задание

5 (вспомогательные задачи). a) Основания перpendикularов, опущенных на стороны треугольника T из точки M описанной вокруг него окружности, принадлежат одной прямой (рис. 2, б). Эта прямая w называется прямой Симпсона — Валлиса точки M относительно треугольника T.

6. Прямая w делит пополам отрезок MH, где H — ortоцентр треугольника T.

6 (теоремы Штейнера). a) Ортоцентры четырех треугольников Y принадлежат одной прямой (рис. 2, б). Эта прямая s называется прямой Штейнера четырехсторонника Y.

6. Для каждой полного четырехсторонника Y его прямая Штейнера s переpendикularна его прямой Гаусса g.

Продолжим теперь жизнь описания Штейнера. Самой большой его удачей в берлинский период жизни было знакомство с математиком-любителем, богатым промышленником, талантливым инженером и железнодорожным магнатом Августом Леопольдом Крепле (1780—1855). Видным ученым Крепле не был, хотя он и состоит членом Берлинской (Прусской) и членом-корреспондентом Петербургской (Российской) академий наук. Однако этих отличий он удостовился скорее за свои инженерные достижения и организационные таланты, чем за научные успехи. Но крупный предприниматель обязан хорошего разбиателя в людах — и Крепле доказал, что эти миспособностями он обладает в полной мере.

Первый специальированный математический журнал в Европе был основан в 1810 году известным французским математиком Жозефом Динаом Жергоном (1771—1859) и назывался «Анналы Жергона». Крепле решил создать математический журнал в Германии. Обдумывая состав будуших авторов журнала, Крепле в первую очередь рассчитывал на двух совершенной неизвестных професссионным математикам лиц, в таланты

7

которых он глубоко верил: на недоучившегося норвежского студента Н. Х. Абеля и на учтеля средней школьы Якоба Штейнера. Первый выпуск нового журнала, который инженер Крепле называл: «Журнал чистой и прикладной математики», вышел в 1826 году. Основное его содержание (как и содержание следующих выпусков журнала) составляли статьи Абеля и Штейнера. Так, в первых трех томах журнала напечатано 15 (!) статей и заметок Штейнера. «Журнал Крепле», как его тут же стал именовать математики, стал «первым математическим журналом мира». (В этой связи Жергон даже закрыл в 1831 году свой журнал. Впрочем, в 1836 году он был возобновлен другим французским математиком Жозефом Ливиллем (1809—1882) под названием, в точности копирующим название журнала Крепле.)

С созданием журнала Крепле Штейнер получил трибуну, с которой он мог возвратить свои геометрические идеи. К тому же влягательный Крепле стал инциатором избрания Штейнера (в 1834 году) в Берлинскую Академию наук: выдавшиеся научные труды Штейнера, опубликованные в журнале Крепле, давали для этого достающие основания. После этого было уже нетрудно добиться избрания Штейнера профессором — и в 1835 году Штейнер расстался со средней школе, заняв место профессора естественного научного отделения Берлинского университета.

Замечательно, что неважный школьный учтель Штейнер оказался выдающимся университетским профессором. В школе его разделжалиучные математические ученики; интересующие же геометрией студенты вдохновляли Штейнера, и его яркие по форме и темпераментные по использованию лекции сразу же стал пользоваться очень большим успехом: даже швейцарский акцент необычного профессора правался студентам. Импонировало студентам и то, что Штейнер постоял на своих лекциях задачи и вызывал служателей к доке для решения этих задач. (В наши дни так же стройл свои лекции в Московском университете)

Этот успех lekций Штейнера в истории геометрии частично сыгral даже отрицательную роль. Так, еще и во второй половине нашего столетия, лекции, скажем, по проективной геометрии во многих университетах мира читались по сільно к тому времени устаревшей схеме, разработанной не получившим систематического образованияшей цейарским пастухом. При этом использовалась придуманная Штейнером арханческая терминология, не употребляющая больше ни в одном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер чувствовал себя лидером немецкой геометрии; при этом на отсутствия от своих установок он реагировал зачастую достаочно более неодном разделе математики.

Штейнер兵力ствовали необычно профессора правался студентам и то, что Штейнер постоял на своих лекциях задачи и вызывал служателей к доке для решения этих задач. (В наши дни так же стройл свои лекции в Московском университете)

Этот успех lekций Штейнера в истории геометрии частично сыгral даже отрицательную роль. Так, еще и во второй половине нашего геометрии, стремящемся заменить геометрические образы их записью в координатах и затем работать с координатными представлениями геометрических объектов, использую совершенную алгебраический аппарат. Уже одно это было крайне антипатично «чистиому» геометриу Штейнеру, аналитических методов в геометрии не признавашему. Кроме того, возможно, Плюкер имел в глазах выходца из бедной крестьянской семьи Штейнера, так и не получившего университетского образования, еще два недостатка. Плюкер произходил из семьи рейнских промышленных магнатов и был чрезвычайно богат. Помимо того, он окончил два университета: в Бонне и в Париже. Поэтому немного, что работает Плюкера вызывали яростить Штейнера.

Плюкер в своих работах был неаккуратен — описки и другие дефекты, общно легко установить у него передко, так что почва для наладок Штейнера и в самом деле была. Резкая (и чаще всего несправедливая) критика Штейнера так утомила Плюкера, что он времени-

8

но даже вовсе отказался от геометрии, вернулись к ней (с выдающимся успехами) лишь после смерти Штейнера. Пока же он обратился к эспериментальной физике, успев и в этой области очень много. В частности, возможно, что без нападок Штейнера на Плюкера человеково позже пришло бы к идеям физического структурного анализа и к открытию так называемых категных лучей, осуществленному учеником Плюкера Юганом Вильгельмом Гиттором (1824—1914).

Так даже недостатки больших учены и/or оборачиваются благом для науки!

Последение два года жизни Штейнер много более сказалось перепряжение и недоедание в ранние годы. Для излечения он частоездил в родную Швейцарию, но в 1863 году из такой поездки он так и не вернулся: Штейнер умер 1 апреля 1863 года в полном одиночестве в номере гостиницы в Берне. Длительный период материальной необеспечности помещал ему обзавестись семьей. Он за

вещал некоторую сумму денег Берлинской Академии наук — для учреждения премии за социения по геометрии (конечное же, «чистой»!), и руководствукантана, где он родился — на премию за успехи в области математики ученикам начальной школи для детей бедняков.

Приложение

Построения с помощью одной линейки

Поступаты 1—3 Евклидовых «Начал» утверждают возможность неограниченного продолжения заданного отрезка прямой, проведения прямой через две известные точки и проведения окружности с заданным центром (точкой) и радиусом (отрезком). Вместе с подразумеваемыми Евклидом, но явно не формулируемыми, поступатами о возможности указать точку пересечения двух заданных (например, каждая — двумя свойствами точками) прямых, двух известных (определенных свойствами центрами и радиусами) окружностей и заданных прямой и окружности эти поступаты описывают весь массив «разрешимых по Евклиду» задач на построение: эти задачи должны совпать к перечисленным построальным, т. е. решаться с помощью линейки и циркуля.

В 1797 году в Италии была издана книга Лоренцо Маскерони (1750—1800) «Геометрия циркуля», в котором установалось, что все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, разрешимы также с помощью одного лишь циркуля (с тем естественным ограничением, что отрезок прямой, понятно, циркулем быть построен не может, — однако, зная две его точки, можно циркулем указать неограниченное количество других точек отрезка). Гораздо позже была найдена изданная в 1672 году (за 125 лет до Маскерони!) по-голландски и по-датски книга датачина Георга Мора (1640—1697), в котором была доказана та же теорема.

Штейнер же занитересовался построениями, осуществными с помощью одной линейки (см. задачи 1—3 ниже). Он последовательно расмотрел построения одной линейкой, выполнимые при наличии на плоскости а) двух параллельных прямых или отрезка, разделенного известной точкой в данном радиональном отношении; б) параллельграмма; в) квадрата; г) окружности с известным центром — и установил, что в случае г) разрешимы все «разрешимые по Евклиду» задачи на построение (конечное, окружность с данными центром и радиусом мы одной линейкой

9

Построить не может,— но может найти любое число точек этой окружности).

3 адачи

1°. Даны параллельные прямые AB и l. Постройте: a) середину C отрезка AB; 6) такую точку D этого отрезка, что AD=AB/n, где n — заданное (натуральное) число.

2°. Даны точки A, B и a) середина C отрезка AB; 6) такую точка D этого отрезка, что AD=AB/n. Проведите через заданный точку M прямую l||AB.

3°. На плоскости задны точка M, прямая l и a) параллелограмм, 6) квадрат. Проведите через точку M в случае a) прямую m||l, в случае b) — прямую m⊥l.

4°. На плоскости даны окружность S с центром O и a) 5 точек: A, B, Q, K, L; 6) 6 точек Q, K, L, P, M, N. Постройте в случае a) точки пересечения прямой AB и окружности с центром Q и радиусом KL; в случае b) — точки пересечения окружностей с центрами Q и P и радиусами KL и MN.

5° (задчага Гильберта). На плоскости дана окружность S. Докажите, что одной линейкой — без циркуля! — построить центр этой окружности невозможно.

Кратчайшие сети дорог

Штейнер часто задавал своим студентам задачи, требующие указать самую лучшую в том или ином отношении фигуру или конфигурцию. Вот одна из его любимых задач:

Имелются три деревни: A, B, C. Требуется соединить их минимальной по длине сетью дорог.

Более или менее ясно (хотя и это требуется еще доказать), что решение здесь задается либо двумя (кроме линейшей) сторонами △ ABC, либо отрезками AP, BP, CP, где сумма расстояний от P до вершин △ ABC — наименьшая возможность (рис. 3, a, b). При этом в случае рисука 3,6 отрезки AP, BP, CP должны образоваться в точке P одинаковые углы, либо если, скажем ∠APB≠∠APC, то можно найти точку Q, что QA=PA, а QB+QC<PB+PC. Отсюда следует, что решение задачи Штейнера дается рисунком 3,6, если каждый угол △ ABC меньше 120°, и рисунком 3, a, если ∠B≥120°.

В случае, когда число деревень n>3, «минimalная» система соединиших их дорог может оказаться родственной рисунку 3,a, т. е. состоит из каних-то дорог, соединиших наши деревни — такая система дорог называется остовной. Перебором (если надо — с помощью ЭВМ; сейчас к решению «общей» задачи Штейнера с большим числом «деревень» активино привлекаются компьютеры) всегда можно найти самую коротку остовную систему дорог. Но чаще лучше является сеть дорог, родственная рисуку 3,6, т. е. содержащая дополнительные «узлы» сети, в которых сходятся три дороги, попарно образующие между собой углы в 120° — такие узлы называются точками Штейнера, а содержащие их сети дорог — сетями Штейнера (рис. 4). Увы! Никаких общих методов отыскания минимальных сетей Штейнера, соединиших n пунктов, у нас нет; неизвестно также, когда «абсолютно минимальная» сеть дорог будет остной, а когда — сетью Штейнера. Правда, предполагают, что минимальная остовая сеть дорог очень заменено превышать минимальную сеть Штейнера не может: в самом худшем случае она оказывается всего в (2/3)√3 раз (т. е. примерно на 15%) длине — но и эта гипотеза доказана пока всего лишь для случая n≤5.

Вот как непроста оказылась «обещая» задача Штейнера о кратчайшей сети пути, соединиших n точек (у самого Штейнера для случая n>3 имеется лишь отдельные примеры таких сетей — но и сегодня мы знаем почти так же мало, как знал он!).

3 адачи

6°. Доказите сформированный результат Штейнера.

7°. Найдите кратчайшую сету пути, соединиших 4 точки A, B, C, D, являющиеся вершинами: a) квадрата; 6) треугольной пирамиды (тетраэдра).

10

ФЛЕКСАГОНЫ, ФЛЕКСОРЫ, ФЛЕКСМАНЫ

А. А. ПАНОВ

Приглашаем вас на коротку эскурсию в загадочный мир флексагонов и флексов — бумажных игрушек, обладающих порозительной способностью внезапно менять свою форму и цвет. Любую из этих игрушек вы суммеете склить за самое короткое время.

Но прежде всего — о названии статьи. Англійское to flex ознакомной складываться, сгибаться, гнутся.

А теперь приготовьте листavatмана или плотной альбомной бумаги, карандаши, ножницы, клей — и за делю.

Гексафлексаон

Флексаон — это склеенный из бумаги многоугольник, который, изгибаясь и складываясь, может переходить во все новые и новые состояния.

Гексафлексаон — это флексаон, имеющий форму правильного шестиугольника. Вырежем из бумаги полоску шириной 2,5 см, состоящую из десяти правильных треугольников, и раскраим ее обе стороны — прямую и оборотную, как на рисунке 1.

Несколько раз перегнем полоску по границам треугольников и продолжим изготовление флексаона, складывая полоску, как на рисунке 2.

Теперь остаться только подогнуть визз синий треугольник, склить друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности — и флексаон готов. Однако у него красная, другая — синия. Чтобы извлечь на свет его третью — зеленую поверхность, необходимо действия следующим образом. Сначала флексаон ставится на плоскость стола так, чтобы он опирался на три нижние точки. Эти точки нужно поджать друг к другу, и в момент их полного сбижения флексаон сам собой вывернет наизнанку, обнажая свою зеленую поверхность. Теперь остается развести верхние точки флексаона в стороны, и флексаон готов к новой трансформации. Так, последовательно переходя из одного состояния в другое, флексаон будет почередно предъявлять нам все свои три поверхности. Рисунок 3 дает неокоторое представление об изготовлении флексаона.

Сделанная нами модель является простейшей из общирного семейства гексафлексаонов, описанного в книге Мартина Гарднера «Matematические головоломки и развлечения» (М., Мир, 1971). В этой интереснейшей книге изложена история открытия гексафлексаонов и подробно расскажено о том, как можно строить модели с большим числом поверхностей.

Двойное шарнирное соединение

Двойное шарнирное соединение — это конструктивный элемент, служащий основой для еще одного ряда флексаонных моделей. Вырежем из бумаги два прямогольника размером 2,5×5 см и две полоски размером 1×7 см. На обихах конца каждой полоски отгленем по квадрату 1×1 см. Раскраским прямогольниками и полоски, как на рисунке 4, где представлены их прямые и оборотные стороны.

Приклеим обе полоски к одному из прямогольников, соединяя неакрашенные квадраты с неакрашенными, и завернем обе полоски на красную сторону прямогольника. Должно получиться то, что изображено на рисунке 5.

Слэрку красной стороны наложим второй прямогольник и снова склеим неакрашенные квадраты. Это и есть двойное шарнирное соединение. Она само является простейшим флексаоном, который может находиться в

14

выражете, нужно будет сделать стибы — по сплошным линиям грибом вверх, а по пучкиным — вниз.

Теперь присутствим к склейке. Сначала работаем с левой полоской из четырех зеленьх треугольников. Изогнем ее и подклеим клапан так, чтобы из этих треугольников составился тетрадр. Сдвинемся впрово и склейм следующий тетрадр из филолетовых треугольников и так далее. После того как будет склеена цепочка из девяты тетрадров, останется четырьх треугольника. Теперь вы уже легко сообщите, как обведить эти треугольники в последний, десятий тетрадр и замкнуть цепочку. Можно проконтролировать себя, взглянуть на четвертую страницу обложки.

Эта цепочка обладает удивительной способностью изгибаться и выворачивать до бесконечности, все время меняя свою форму. Кольцо из тетрадров — это первый пример флекса — изгибаемого многогранника. Еще о кольцах из тетрадров вы можете прочесть в увлекательной книге У. Болла и Г. Коксетера «Matematические всеся и развлечения» (М., Мир, 1986).

Флексы Роберта Коннелли и Клауса Штефена

Нужно сказать, что колцо из тетрадров как изгибаемый многогранник вызывает ряд возражений. Во-первых, в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, к которым подходит по четыре грани. Так что не понятно, стоит ли называть это колцо многогранником.

Что бы избежать всяких сомнений, при поиске флексов можно было бы ограничиться только выпukлями многогранниками, т. е. многогранниками, лежащими по одному сторону от каждой из своих граней. Но имеется знаменитая теорема Коши о том, что любый выпukляй многогранник неизгибаем (см. например, статью Н. П. Долбилина «Жесткость выпukляих многогранников», «Квант», 1988, № 5). Она была доказана в 1813 году. Хотя эта теорема не исключаа существования невыпukляих флексов, но многие математики считали, что и таких флексов тоже не существует. Поэтому сенсцией являся флексор, открытий Робертом Коннелли в 1977 году. В свое время конструкция, предложенная Коннелли, обсуждалась в статье В. Залгалера «Непрерывно изгибаемый многогранник» («Квант», 1978, № 9) и показалась мне тогда настолько сложной, что я даже и не стал в ней разбираться. Однако вскоре Клаусу Штефену удалось придумать настолько простой флексор, что его можно склеить буквально за считанные минуты. Как это сделать, показано на 4-й странице обложки «Кванта» № 5 за этот год.

А теперь переходим к заключительному сюжету.

Флексмы

Флексмы — это существа, населяющие мир флексагонов и флексов. Вы уже наверняка обратили внимание на изображение флексана (с. 13). Чтобы пользоваться с флексманами, вырежьте из плотной бумаги квадрат со стороной 15—20 см. Его нужно согласно по диагоналям грибом вверх и по штириховой линии (рисунок 16, а) грибом вниз, а затем сложить, чтобы получился треугольник. Теперь нужно будет проделать четырьше одинаковые операции. Результат первого из них — сибб по штириховой линии рисунка 16, б — изображен на рисунке 16, с, окончательный результат — на рисунке 16, г. Остаюется еще четырьше одинаковые операции — отгибание маленьких треугольников, и перед нами — флексман.

Самое применительное свойство флексанов — это их умение ходить по наклонным плоскостям. Стоит поставить флексана на достаточно пологую наклонную плоскость, и он тут же начинает мелким шажками спускаться по ней. Каждый из флексанов обладает своеобразным характеристим или, уж во всяком случае, своеобразной походкой. Думаю, что знакомство с ним доставит вам удобствие.

15

КОСМИЧЕСКИЕ ИЛЛЮЗИИ
И МИРАЖИ
Доктор физико-математических наук
А. Д. ЧЕРНИН

Космические источники изучения, получившие название квазаров, открыты четверть века назад, в 1963 году. Но их природа и до сих пор остается не до конца разгадаанной. Не видно конца сорпризам, которые они преподносат физикам и астрономам. Недавно обнаружены удивительные явления, никогда прежде не наблюдавшиеся на небе: удвоение образов и движение со сверхсветовой скоростью.

В этой статье мы не будем касаться истории открытия квазаров, гипотез и теории, выдвинутых для объяснения их свойств.*) Приведем лишь самые общие сведения о квазарах, а затем подробно рассакjem, что представляют собой миражи и иллюziи в мире квазаров и как их следует понимать.

*) Об этом можно прочитать в книге А. Д. Чернина «Звезды и физика», выпущеной в 1984 году издательством «Наука» в серии «Виблотечка «Квант» (выпуск 38). (Примеч. ред.)

16

Смыные мощные излучатели во Вселенной

Каждай квазар — это яркий «фонарь», который светит не только в видимом оптическом диапазоне электромагнитных волн, но и во всех других диапазонах — от радиоволн до гамма-лучей. Размер излучющей области всего сравним с размером Солнечной системы. Но в Солнечной системе лишь одна звезда — Солнце, а у квазара в том же объеме умешает генератор энергии, в тысячи раз более мощный, чем целая Галактика с ее миллиардами звезд. Как работает этот генератор? Таков самый главный вопрос физики квазаров, на котором еще представит найти ответ.

Квазары различны в таких данных Вселенной, где ни звезды, ни целые галактики уже не разгладят даже с помощью крупнейших телекопов. Самый далекий из известных сейчас квазаров находится от нас на расстоянии 13 миллиардов световых лет. Это значит, что свет от него идет к нам 13 миллиардов лет и, следовательно, мы видим его таким, каким он был 13 миллиардов лет назад. В те времена не существовало еще ни Земли, ни Солнца (по современным оценкам возраст Солнечной системы — около 5 миллиардов лет).

О расстояниях до квазаров и других далеких космических тел судят по спектрам их излучений. В спектрах квазаров видны линии излучения обычных атомов — таких, как водород, кислород, углерод и т. п.,— но все они сdwинуты к красному концу спектра, т. е. в области больших длины волн. Этот сдвиг — знаменито красное смение — связан с тем, что источники излучения удаляются от нас. Самое удление — это проявление общего распределения Вселенной. Согласно законам космологии, чем дальше от нас квазар или галактика, тем больше скорость убегания.

Если источник света испускает волны с периодом $T_0$ и при этом движется относительно нас со скоростью $v$, то волны видимого нами света будут иметь период

$$T = T_0 \frac{1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.$$ (1)

Здесь $c$ — скорость света, $\vartheta$ — угол между направлением скорости и лучом зрения (примой, которая соединяет нас и источник; когда источник движется прямо к нам, $\vartheta = 0$, когда прямой от нас — $\vartheta = \pi$). Для самых далеких квазаров период $T$ в 4—5 раз больше периода $T_0$. Изменение периода, а с ним и частоты и длины волны света из-за относительного движения источника и приемника называется эффектом Доплера. Он и создает красное смение в спектрах удляющихся галактики и квазаров.

Сейчас извесно более 2500 квазаров. Они рассеяны по небесной сфере более или менее равномерно. В среднем расстояние между ними, если изменять его по дугу на небе, составляет несколько градусов (для наглодности скажем, что угловые диаметры Луньи и Солнца около 0,5 градуса).

Но давно уже извесны два очень близких друг к другу квазара, которые к тому же так похожи друг на друга, что получили название квазаров-близнецов. Они находятся друг от друга на расстоянии всего в шесть секунд дуги, что в тысячи раз меньше среднего расстояния между квазарами; яркость их практические одинаковая; спектры этих квазаров одинаковы — в общих случаях видны одни и те же линия излучения с одной и той же интенсивностью. Крас-

17

ное смешение в спектрах одно и то же $T/T_0=2,4$. Это довольно значительная величины. Ей отвечают скорость удаления 0,7 с и расстояние от нас 7 миллиардов световых лет.

Поразительное сходство квазаровызнецов сильно ознакомило актромов. И вот была высказана договора, что это в действительности не два объекта, а два изобравжения одного и того же объекта. Но как может возникнуть на небе такое удвоение образа?

Гравитационная линза

Лучи распространяются, как известно, прямолинейно, если отсутствует предполление. Космическая среда настолько разрежена, что практические не вызывает предполления. И тем не менее пути света могут оказаться искривленными. Такое искривление создают поля тяготения небесных тел.

В этом нет ничего особенного удивительного. Еще в ньютоновой теории тяготения считалось само собой разумением, что луч света, рассматриваемый как поток частиц — световых корпускул, движущихся со скоростью света, отклоняется от прямолинейной траектории, когда проходит близи тяготению тела. Частцы света, как и все частицы и тела Вселенной, испытывают прияжение к гравитирущему телу.

Соображения об искривлении луча света полем тяготения остаются справедливыми и в релятивистской теории тяготения, которая называется общей теории относительнойности. Согласно этой теории угол отклонения луча, проходящero на минимальном расстоянии $r$ от тела массой $M$, равен (см. рис. 1)

$$\alpha = \frac{4GM}{c^2r}.$$ (2)

По предложению А. Эйнштейна первые попытки наблюдается этот эффект предпринимались для света звезд, проходящero в близи Солнца. Измерения можно проводить во время полного солнечного затмения, когда Луна закрывает солнечный диск. Множество наблюдается, проведенных начиная с полного солнечного затмения 1919 года, для результаты, прекрасно согласующейся с предсказанием общей теории относительнойности.

В 1936 году Эйнштейн опубликовал небольшую заметку, в котором предсказал новый эффект, связанный с отклонением света в поле тяготения, — эффект gravитационного линзы. Если на пути света от какого-то далекого источника к наблюдается окажется тяготющее тело, то при определенных условиях к наблюдается придет больше света, чем в отсутствие этого тела. Поле тяготения тела способно направить к наблюдается также лучи, которые иначе прошли бы mismo наблюдается. Тяготющее тело, подобно обычной линze, как бы фокусирует лучи.

Гравитационная линза и похожа, и не похожа на обычную световую. В собственной линза отклонение луча тем меньше, чем ближе к центру линзы. Поэтому в некоторых точках, лежащую на оси линзы, — в ее фокус — приходит не только луч, расположеннойся вдоль этой оси, но и все лучи, прошедшие через линзы. В поле тяготющего центра картина иная: отклонение луча тем больше, чем ближе его путь к центру. Это видно из формулы (2).

Рис. 1. Отклонение луча света в поле тяготющего массы.

18

Гравитационная линия может не только успить изображение, но и создать два изображения одного объекта. Посмотрим, как это происходит.

На рисунке 2 показан ход лучей, распространяющихся от источника (точка $S$) к наблюдаемой (точка $O$) mismo тяготического центра (точка $D$). Луч, идущий из источника, проходит на минимальном расстоянии $r=DC$ от тяготического центра, отклоняется им на угол $\alpha$ и приходит в точку наблюдания. (Для простоты вместе скругленной кривой на рисован простом пример в точке $C$ наблюдающего слияния.) наблюдаемый вид источник не в точке $S$ (в направлении $OS$), а в направлении луча $OC$ — на пример $OS'$. (Углы $\alpha$, $\beta$ и $\varphi$ на рисунке должны считаться малыми.)

Как связаны между собой величины, заданное взаимное расположение источника, тяготического тела и наблюдаателя? Из рисунка 2 видно, что

$$AS' = AS + SS'.$$

Поскольку взаимное расположение источника, тяготического тела и наблюдаателя? Из рисунка 2 видно, что

$$AS' = L\beta, \quad AS = L\varphi, \quad SS' = l\alpha.$$

Подставляя эти три выражения в первое равенство, получаем:

$$L\beta = L\varphi + l\alpha.$$

Подставим в формулу (2) $r=DC = (L-l)\beta$ и с учетом этого перепишем соответствие между расстояниями и углами в виде

$$\beta^2 - \varphi\beta - \frac{l}{L} \frac{4GM}{c^2(L-l)} = 0.$$

Это квадратное уравнение называют уравнением gravитационного линзы, создаваемой тяготюшим центром.

Рассмотрим возможность решения этого уравнения. Прежде всего обращаться к случаю, когда тяготюший центр лежит строго на прямой $OS$ (т. е. угол $\varphi$ равен нулю). Тогда решение уравнения имеет вид

$$\beta = \beta_0 = \pm 2 \left( \frac{l}{L} \frac{GM}{c^2(L-l)} \right)^{1/2}.$$

Картина обладает, оченьindo, осевой симметрией, так что наблюдаемый вид не точку $S'$, а кольцо, получающейся вращением этой точки вокруг оси симметрия — прямой $OS$ (или совпадающей с ней при $\varphi=0$ прямой $OA$); угловой радиус колца равен $\beta = \beta_0$.

Если тяготюший центр не лежит на прямой, соединяющей источник и точку наблюдания, то в картине отсутствует освая симметрия. Уравнение (3) при $\varphi \neq 0$ имеет два решения:

$$\beta_{1,2} = \frac{1}{2} \varphi \pm \sqrt{\frac{1}{4} \varphi^2 + \frac{l}{L} \frac{4GM}{c^2(L-l)}}.$$

Это означает, что линза создает два изображения, направления на которые даются углами $\beta_1$ и $\beta_2$ (первый из этих углов положитель, а второй отрицатель). Ход соответствующих лучей показан на рисунке 3. Минимальные расстояния от притягиающего центра различны для двух решений:

$$r_1 = (L-l)\beta_1, \quad r_2 = (L-l)\beta_2.$$

Различны для них, очевидно, и углы отклонения.

Гипотеза о квазарах-близнеках как о двух изображениях одного квазара $B_1$

Рис. 3. Как получается два изображения одного источника.

19

предполагает такое взаимное расположение источника света, гравитирующего центра и наблюдается, какое показано на рисунке 3. Прямым ее доказательством могло послужить обнаружение самого тяготического центра в нужном месте на небесной сфере — между двумя изображениями квазара, но не на строго равных расстояниях от них. И это действительное удалость сделать. Тяго匙щим центром оказывась слабая по блеску галактика, расположенная между квазарами-близечами и притом несколько близке к одному из них, чем к другому. Расстояние до нее оказалось приблизительно равным половине расстоянияю до квазара. Дальнейшие наблюдаемые исследования показали, что реальная картина несколько сложнее. Выяснили, что одно из изображений близцев на самом деле представляют собой два очень близких изображения, которые сливались на прежних фотографиях. Нетрудно доказать, что тянойное изображение может возникать в том случае, когда отклонящее поле тяго-teния создается не точным центром, а объемным телом, лежащим на луче зрения. Таким телом и служит галактика. Лучи света от квазара могут проходить не только у края галактики, но и сквозь нее. Тяго匙щая масса, которая определяет отклонения лучей, меньше света, проходащего в близце центра галактики, и больше для света, проходающего у ее края. Угол отклонения зависит от распределения масс в галактике. Уравнение линзы теперь уже будет более сложным, чем квадратное, и это создает большие разнообразие в возможных вариантах видимой картины.

Сейчас известно уже несколько примеров удвоения и утроения образов космических тел. Во всех случаях идет о квазарах. Эти миражи несомненно создают эффектом gravитационной линзы.

Почему же gravитационные линзы обнаруживают именно по квазарам и не действуют на свет звезд или галактик? Дело в том, что квазары, как мы говорили, видны издалека, в среднем с гораэдо больших расстояний, чем галактики, не говоря уже о звездах. Поэтому вероятность того, что свет от них встретиет по дороге к наблюдаемой массивной (но слабый по блеску) объекта, достаточно велика. Кроме того, квазар — это очень малый по видимому размеру, почти точный источник, и из-за этого от него может возникнуть несколько отдельных изображений, которые не смажутся и не сольются, как это было бы для протяженных источников — галактик.

Быстрее света?

Самым первым из открытых квазаров был источник радиоизлучения, который значился под номером 273 в 3-м Кембриджском каталоге*). Это, можно сказать, образцовый квазар; он обладает всеми типичными свойствами квазаров и к тому же удобен для наблюдания. В его самом центре область, где и роздается изображение, постоянно протекают какие-то бурные процессы, которые проявляются в изменении блеска. Более того, из этой области время от времени вырывают светящиеся облака и струи вещества. Однако появление струя, которая прямо «на глазах у всех» увеличивается в размерах, а яркое пятно на ее конце быстро удалялось от центра квазара. За четыре года наблюдаемый яркий конец струи удалился от центра на расстояние в двадцать световых лет. С какой же скорость он движался? Дела путь на

*) Это общий список объектов, составленный радиоastronomами Кембриджского университета в Англии.

20

время, находим, что скорость в пять раз превышает скорость света.

Легко представить, как были задачены астрономы. Ведь согласно теории относительнойнитики какое тело не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Это один из самых важных законов физики. После первого удивления и даже растерянности решения этого парадокса было — по крайней мере в принципие — найдено. Сверхсветовые скорости оказывались космической оптической иллюзийей.

Вот самый простой пример, показывающий, как возникает иллюзия сверхсветовых движений.

Представим себе, что имеет «фонарик», который движется навстречу нам, но не стого по лучу зрения, а под небольшим углом к нему (рис. 4). Сначала наш фонарик выключен, а потом дважды — в точках $S_1$ и $S_2$ — включается и посылает в нашу сторону два световых сигнала. За время между своим двумя включениями источником света прошел путь $S_1S_2$ на нашем рисунке. Видимое нами перемещение меньше: оно представляет собой проекцию $S_1S'$ этого пути на то, что называют картиной плоскостью (зафиксировав источник в точке $S_1$, наблюдаемый из точки $O$ дальнейшее движение источника проекрует на плоскость, перепедикулярную лучу зрения $OS_1$, — это и есть картиная плоскость). Как астрономы получили свои оценки скорости? Делили видимое перемещение

Рис. 4. Пример纵озиная движения со сверхсветовой скоростью.

(отрезок $S_1S'$) на время, прошедшее между приемами первого и второго сигналов. И брали именно время между приемами, а не между испусканиями сигналов. А ведь это разные промежутки времени! Делает их различными тот самый эффект Доплера, о котором мы уже упоминали.

Действительно, соответствие (1) между приемами $T$ и $T_0$ световой волны имеет на самом деле более общий характер. Оно применимо не только в случае периодических процессов. Перiod $T_0$ — это промежуток времени, скажем, между двумя соседними максимумами в испускаемой волне; а $T$ — промежуток времени между теми же максимумами, когда они один за другим регистрируются наблюдателем. Каждый из максимумов можно, конечно, считать «сигналом», так что $T_0$ — это промежуток времени между двумя испусканиями сигналов, а $T$ — между их приемами.

Когда источник света движется в нашу сторону, $T$ меньше, чем $T_0$. Значит, в нашем примере с фонариком промежуток между приемами световой волны меньше из точки $O$ дальнейшее движение источника проекрует на плоскость, перепедикулярную лучу зрения $OS_1$, — это и есть картиная плоскость). Как астрономы получили свои оценки скорости? Делили видимое перемещение

При вычислении видимой скорости перемещения мы, так сказать, проигрываем в пути (отрезок $S_1S'$ (см. рис. 4) меньше пути $S_1S_2$), но это может очень сильно выиграть во времени. Из-за этого и получается путем большое отношение видимого перемещения к времени между приемами световой волны; это отношение и посылает скоростью движения источника света. Такая «видимая» скорость выполня может оказаться большей скорости света. Но реализая скорость перемещения равна относительной проекцией пути $S_1S_2$ к промежутку времени между испусканиями — а не приемами! — сигналов. Она может быть близка к скорости света, но

*)Тому, кто имеет вычислить предель, нетрудно убедиться, что $\frac{T}{T_0} \rightarrow 0$ при $\frac{v}{c} \rightarrow 1$.

21

никогда не превысит ее. Выходит, что нельзя вычислять скорость делением пути,ройденного «там», на промежуток времени, измеренный «здесь». Но именно этоу и учит теория относительнойности. А эффектив Доплера, который дал нам решение парадокса, — прямое следствие теории относительнойности.

Какрождается иллюзия

Самое важное в теории относительнойности — это утверждение о том, что свет в пустоте распространяется с определенной конечной скоростью, которая не зависит от того, движется относительно нас источник света или покопится. Мы воспользуемся сейчас этим фактом, чтобы неоспределенно получить формулы, описывающие наш пример с движущимся фонариком. (И нужно только прибавить, что речь будет идти о распространении света в пустоте при отсутствии на его пути сильных полей тяготения. Мы говорили, что поля тяготения способны искривить путь света; они способны также изменить и его скорость. Но если между нами и источником нет очень массивных приятывающих тел, скорость света есть простое $c$; так мы и будем считать.) Пусть первый из двух сигналов испущен фонариком в некоторый момент, который мы выберем в качестве начала отчета времени ($t=0$). Расстояние от нас (от наблюдаателя) до источника в этот момент — $R$; значит, сигнал будет прият нам в момент времени $t_0=R/c$.

Пусть, далее, второй сигнал испущен в момент времени $t_1=s/v$, когда тело, движясь прямолинейно со скоростью $v$, прошло расстояние $s=S_1S_2$ (см. рис. 4). В момент $t_1$ расстояние до источника —

$$R_1 = \frac{R - s \cos \vartheta}{\cos \alpha} \approx R - s \cos \vartheta$$

(мы учили, что угол $\alpha$ очень мал, так как расстояния $R$ и $R_1$ много больше отрезка $s$, и $\cos \alpha \approx 1$). Второй сигнал доходит к нам за время

$$\frac{R_1}{c} = \frac{1}{c} (R - s \cos \vartheta)$$

и будет прият в момент

$$t_2 = t_1 + \frac{R_1}{c} = \frac{s}{v} + \frac{R}{c} - \frac{s}{c} \cos \vartheta.$$

От приема первого сигнала до приема второго сигнала прошло время

$$\Delta t = t_2 - t_0 = \frac{s}{v} (1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta).$$

Отсюда можно выразить проиденное фонариком расстояние $s$ через промежуток времени $\Delta t$, скорость движения $v$ и угол $\vartheta$:

$$s = \frac{v \cdot \Delta t}{1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta}.$$

Видимое перемещение тела $\tilde{s}$ представляет проекцией отрезка $s$ на картининую плоскость:

$$\tilde{s} = s \sin \vartheta = \frac{v \sin \vartheta}{1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta} \Delta t$$

(мы вновь учили здесь, что угол $\alpha$ очень мал). Чтобы найти «видимую» скорость $\tilde{s}$, нужно разделить видимое перемещение $\tilde{s}$ на промежуток времени $\Delta t$:

$$\tilde{v} = \frac{\tilde{s}}{\Delta t} = \frac{v \sin \vartheta}{1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta}.$$

Допустим, что $v = 0,8$ $c$ и $\cos \vartheta = 0,8$; тогда $\sin \vartheta = 0,6$, и $\tilde{v} = \frac{4}{3}$ $c$. При больше, но досветовой скорости реализого перемещения источника скорость видимого движения оказалась сверхсвободой.

Можно проверить (как это делают для нахождения экстремума функций), что при данной скорости движения источника $v$ видимая скорость

22

имеет максимальное значение при
$$\cos \vartheta = \cos \vartheta_0 = \frac{v}{c}.$$
Тогда $\sin \vartheta_0 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$, и максимальное значение видимой скорости —
$$\tilde{v}_{\text{max}} = \frac{v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}.$$
Скорость $\tilde{v}_{\text{max}}$ стремится к бесконечности, когда скорость реализного перемещения $v$ стремится к скорости света $c$.

Чтобы закончить наше рассмотрение, остается еще сравнить две величины: промежуток времени между испусканиями сигналов — $(\Delta t)_0 = t_1 = \frac{s}{v}$ и промежуток времени между их приемами — $\Delta t = \frac{s}{v} (1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta)$.

Возможно, у читателя возникнет вопрос: почему у нас отношение $(\Delta t)_0 / \Delta t$ не совпало с отношением $T_0 / T$ из формулы (1)? Куда делся множество $\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}$? Дело в том, что с этим множительем, встречающимся почти во всех формулах теории относительнойности (его называют релятивистским корнем), связан более тонкий эффект, который в нашем простом расчете ускользает: ведь мы пользовались не теории относительнойности в полном ее объeme, а только фактом конечности скорости света. Можно сказать, что мы сделали расчет в приближении, в котором пренебрегается всеми степенями величины $\frac{v}{c} < 1$ более высокими, чем первая. А формула для эффекта Доплера — это точный результат теории относительнойности.

Надеемся, что читатель понял, как может возникать иллюзия движений со сверхсветовыми скоростями. Но рассмотренный нами пример с фонариком — не единственная мысливая возможность. Вот еще ситuation, в которой мы предлагаем вам разобраться самостояльно. Пусть имеется некоторая полоса, перpendикулярная лучу зрения, которая в какой-то момент все одновременно вспыхнула. Что будет видеть наблюдаться?

Можно рассмотреть не полосу, а вспыхивающийшую сферу. Это могла бы быть оболочка квазара, освещаемая его центральным источником. В этом случае картине наблюдаемого явления — увеличению в размерах света щетогося пятна — будет соответствовать сверхсветовые скорости. Легко придумать и другие модели такого рода.

Гораздо труднее выяснить, какова действительная природа мощных взрывов, вспышек, выбросов, которые создают иллюзию сверхсветовых движений. Это — задача дальнейших исследований.

Заказы принимаются…

Глабная редактирация физico-mатематической литературы издательства «Наука» является крупнейшей издательской организации, выпускающей литерару по физico-mатематической наукам.

На все издания Глабной редактирации физico-mатематической литературы, включенные в тематическую склейп план выпуска на 1989 год, гарантирует полное выполнение заказов книготорговых организаций.

Ниже приведен список книг (с краткими аннотациями), которые могут заинтересовать наших читателей. Нуемая соответствие тематической плану. Цена — ориентировочная.

Математика

8. Бюллер В. Гаусс (биографический оцерк): Пер. с англ. 1 р. 80 к.

Впервы на русском языке издается книга, специально посвященная жизни и творчеству К. Ф. Гаусс (1777—1855) — одного из велини

23

Чайших математиков в истории человека. Много вимания уделяется историческим событиям, на фоне которых протекала нелегкая жизнь ученого.

9. Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. и нем. 2 р.

В сборник включены произведения выдающегося математика современности Германа Вейля (1885—1955), посвященные теоретико-позначательным проблемам математики, ее взаимодействием с научами о природе, роли в исследовании внешнего мира и творчества заменательных ученых Д. Гильберта, Ф. Клейна, Э. Нетер, А. Пуанкаре и В. Паули.

18. Клейн Ф. Лекции о развитини математики в XIX столетии. В 2-х томах. Т. I: Пер. с нем. 2 р. 50 к.

Новый перевод первого тома классического труда по истории математики девятнадцатого столетия, написанного выдающимся немецким математиком, педагогом и дейтелем математического просвещения Ф. Клейном (1849—1925).

19. Клейн Ф. Лекции об inklocation и решении уравнений пятой степени: Пер. с нем. 1 р. 90 к.

Посвящена одному из ярчайших разделов математики — геометрической теории inklocation и является уникальной по широте охватываемого материала и мастерству его изложения. Во второй части излагается основная геометрическая свойств inklocation теории уравнения пятой степени. На русском языке выходит впервые.

36. Гашков С. Б., Оlexник С. Н., Сергеев И. Н. Применим математку. 60 к.

Рассматривают вопросы построения и измерения ограниченных средствми, поиск оптимального решения в той или иной ситуации, способы быстроого счета, задачи на разрезание, переливание, взвешивание и т. п.

37. Костовский А. Н. Геометрические построения одним циркулем на плоскости и одним лишЬ сфераграфом в пространстве. 30 к.

Книга написана на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал школьникам, принимашим участие в описании г. Львова.

38. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по теорематрии. 80 к.

Содержит около 600 задач, сначалахенных подробными решениями, и 70 задач для самостоятельной работы. Большинство задачи по свеже тематике близки к школьной программе.

40. Задачи по математике. Начала анализа. 1 р. 70 к.

Методические построения справочника позволяет углубленно повторить этот раздел математики и самостояльно подготовиться к построению вуз с повышенной математической прорамкой. Книга создана на основе опыта преподавания математики на подготовительном отделении Московского государственного университета (механико-matематический факультет).

42. Цышкин А. Г., Пинский А. И. Справочник по методам решения задачи математике для средней школы. 1 р. 90 к.

Содержит основные методы решения задачи школьного курса математики. Изложение методов сопроводяется разбором типичных задач.

56. Арнольд В. И. Гюйгенс и Барруу, Ньюотон и

Гук — первые шаги математического анализа и теории катастроф от эволюент до квазикристаллов. 80 к.

В книге, написанной на основе лекции для студентов, рассказывает оождении современной математики и теоретической физики в трудах великих ученых XVII века.

57. Никольский С. М. Элементы математического анализа. 40 к.

Mathematical analysis in the first edition of the book is based on the works of the author, who is a graduate student in the field of mathematics and a professor of mathematics. The book is written in Russian, and the text is in English.

Физика

89. Воробьев И. И. Теория относительной в задачах. 50 к.

Fisical theories of relative in the tasks. 50 к.

Mathematical analysis in the first edition of the book is based on the works of the author, who is a graduate student in the field of mathematics and a professor of mathematics. The book is written in Russian, and the text is in English.

91. Майер В. В. Кумулятивный эфект в простых опитах. 50 к.

Physical effects in simple effects. 50 к.

Mathematical analysis in the first edition of the book is based on the works of the author, who is a graduate student in the field of mathematics and a professor of mathematics. The book is written in Russian, and the text is in English.

93. Пономарев Л. И. Под знаком кванта! 1 р. 10 к.

Physical effects in simple effects. 10 к.

Mathematical analysis in the first edition of the book is based on the works of the author, who is a graduate student in the field of mathematics and a professor of mathematics. The book is written in Russian, and the text is in English.

25

ИСТОРИЯ РОСИНКИ

Кандидат физico-mатематических наук
А. А. АБРИКОСОВ (мл.)

Состояние вещества былает: твердое, капельное, паровое и воздушное.
В. Даль. Толковый словарь живого велико-русского языка.

Введение

Все мы буквально на каждом шаг стalkиваемся с процессами испарения и кондensation. И хотя большим тут же представит себе кипящий чайник, безусловно, важнейший пример — это природный крутоворот воды, вне которого жизнь на Земле была бы, по меньшей мере,иной.

Итак, солнечное телло испаряет влагу у земной поверхности, конвективные точки и диффузия позволяют парамет доступить высоких атмосферных слоев. По мере движения вверх температура воздуха падает, пары конденсируются и образуют облака. Слияние и укрупнение капель внутри облаков завершается доjem — цикл замыкается.

Мы поговорим об одном из важнейших звеньев в этой цепочке — об образованни капелек при охлаждении водыного пара, но вначале напомним одно важное понятие.

Как вы знаете, насыщенные называются пары, которые находятся в равновесии с жидкой фазой. Каждый температуре $T$ соответствует свое определенное значение $p^0(T)$ давления насыщенного пара (рис. 1). Линия $p^0(T)$ разбиивает плоскость $p, T$ на области, соответствующие жидkomу и газообразному состоянием.

Равновесие между жидкостью и газом представляет собой пример так называемого динамического равновесия. Через поверхность раздела происходит постоянный обмен молекулами между фазами: идут как бы встречные процессы испарения и кондensation. Если пары насыщенные, то потоки частиц в ту и другую стороны одинаковы и количество вещества в обеих фазах неизменно.

Концентрация насыщенного пара определяется скоростью испарения с единицами поверхности жидкости, т. е. плотность насыщенных паров является мерой летучости вещества.

«Телеканнибализм» в мире капель. Качественный аспект

Тепер мы можем перейти к основной теме нашей статьи — влиянию формирования на равновесие жидкой и газовой фаз. Оказывается, что искривление поверхности приводит к изменению давления насыщенного пара. Давайте рассмотрим пример.

Пусть под колпаком находятся две одинаковые почти сферические капельки. Мы уже знаем, что каждаяся неизменность такой системы обманчива. На самом деле под колпаком присутствует пар, причем молекулы, покинувшие одну каплю, легко достигают другой. Устойчив ли в данном случае динамическое равновесие?

Привлечем сперва энергетические сообщения. Свободная поверхность капли обладает энергейой

$$E_S(r) = \sigma S = 4\pi r^2 \sigma$$

(здесь $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, а $S = 4\pi r^2$ — поверхность сферы с радиусом $r$). Нетрудно

Рис. 1. Фазовая диалгамма системы жидкости — пар. Линия $p^0(T)$, разделяющая область жидкой и газовой фаз, задает зависимость давления насыщенных паров от температуры.

26

убедиться, что минимальный энергию имела бы одна капля с удвоенной массой, а в нашем случае общая поверхность в $\sqrt[3]{2}$ раз больше.

Teoretическая это могло бы значить, что равновесие является неустойчивым. Но существует ли механизм, который привел бы к направленному переносу вещества, если в результате флуктуации симметрия вдруг нарушится и капельки станут хоть чутчь неодинаковы?

Да, такой механизм есть. Мы показем, что скорость испарения зависит от того, какую форму имеет испарющая поверхность. На поверхности большей кривизны (у маленькой капли) этот процесс идет интенсивнее. В свою очередь встречный поток молекул (конденсция) определяется только плотностью паров под колпаком и одинаков для обиха капель. Поэтому, если радиус капель отличается, капли не могут одновременно находиться в равновесии с паром. При этом большая капля оказывается более устойчивой и может постепенно поглотить меньшешую, даже не прикасаясь к ней. Такое «подание» на расстоянии можно было бы назвать телекинибализмом.

Математическое обоснование. Формула Кельвина

Закон сохранения энергии позволяет вычислить поправку к давлению паров, обусловленную искривлением поверхности. Расмотрим машину, изобранную на рисунке 2. Она пред_

Рис. 2. «Вечный двигатель». Из-за разности уровней жидкости в сосуде и в капилляре давление паров над выпуклым мениском больше $p^0(T)$. Не приведет ли это к круговороту в системе?

ставляет собой «вечный двигатель», единственная недостатком которого является, по мнению изобретателя, лишь малая развиваемая мощность.

Парихская академия наук не рассматривает подобные проекты уже более двух веков (с 1775 года). Закон сохранения энергии гарантирует их неработоспособность. Но поряд оказывается полезно разобраться, где именно допустил ошибку изобретателя, какой конкретный физический принцип он не учел. Методические это напоминает доказательства от противного, общеприятые в математике.

Идея этого perpetuum mobile такова. В сосуде с легко летучей жидкости погружен капилляр из несмачиваемого материала. Уровень жидкости в капилляре будет ниже, чем в основном резервуаре, на величины

$$h = \frac{2\sigma}{\rho g r},$$

где $\rho$ — плотность жидкости, $r$ — радиус капилляра, $g$ — ускорение свободного давления. Пары жидкости неисредственно над ее поверхности имеют давление $p^0(T)$, а над меняском в капилляре их давление будет больше на величины

$$\Delta p = \rho^0 g h,$$

где $\rho^0$ — плотность насыщенных паров (согласно уравнению Клапейрона — Мендлеева, $\rho^0 = \frac{p^0(T) M}{RT}$).

По замыслу изобретателя избыток паров выовет усиленную конденсцию в капилляре, и вследствие этого в системе возникнет круговорот жидкости.

Такое рассужждение содержит единственное слабое место: автор не учел эффектив, о котором мы говорили в предыдущем разделе. Сравним молекуры, находящиеся в поверхности жидкости в резервуаре и в капилляре (рис. 3). Очевидно, что в случае $a$ молекula имеет большое число соедей, с которых ее связьают между молекулярные силы. А это значит, что в случае $b$ молекULE проще покинуть жидкость, интенсивность испарения выше, и для компенсации необходимо большей встречный поток частиц.

27

Закон сохранения энергии утверждает, что направленный круговорот в системе отсутствует. Мы приходим к выводу, что равновесное давление паров над выпukлой поверхности жидкости равно

$$p_0(r) = p^0(T) + \Delta p = p(T) + \frac{2\sigma}{r} \frac{\varrho^0(T)}{\varrho_{\text{ж}}}.$$

(Обратите внимание, что ускорение свободного давления $g$ не вошло в конечный ответ, хотя и присутствовал в промежуточных выражках.)

Аналіз вечного диггателя — это прием, который позволяет нам кратчайшим путем достичь целли. Зато полученная формула имеет универсальный характер: для данной жидкости давление паров зависит не только от температуры, но и от кривизны поверхности.

Пусть теперь поверхность раздела имеет вогнутую форму. Установив в нашем perpetuum mobile смачиваемый капитляр, мы немедленно получаем результат, в котором добавка $\Delta p$ имеет противоположный знак:

$$p_0(r) = p^0(T) - \frac{2\sigma}{r} \frac{\varrho^0(T)}{\varrho_{\text{ж}}}.$$

При неслишком малых радиусах кривизны наши соответствия эквивалентны более точному уравнению

$$p(r) = p^0(T) e^{\frac{2\sigma}{r} \frac{\varrho}{r} RT},$$

полученном в 1871 году лордом Кельвином. Радиус кривизны береется со знаком «+» для выпukлой поверхности и со знаком «-» для вогнутой.

Можно найти характерное для данной жидкости значение радиуса кривизны, при котором поправка к давлению ставит сравнима с давлением надровной поверхностью:

$$r_0(T) = \frac{2\sigma}{p^0(T)} \frac{\varrho^0}{\varrho_{\text{ж}}} = \frac{2\sigma M}{\varrho_{\text{ж}} RT} = \frac{2\sigma V_{\text{ж}}}{RT}$$

(здесь $V_{\text{ж}}$ — молярный объем жидкой фазы). Величина $r_0$ зависит только от температуры, либо функция температуры является σ и $V_{\text{ж}}$.

Первые числовые оценки

Давайте обсуждим величины обнаруженного эффекта и выясним, играет ли он сколь-нибудь заметную роль в реализации значения $\sigma$, $\varrho_{\text{ж}}$, $\varrho^0$, $p^0$ и $r_0$ для воды при различных температурах. На первый взгляд кажется, что радиус $r_0$ удваивается.

Таблица

| $T$, К | $\sigma \cdot 10^5$ Дж/$\text{м}^2$ | $\varrho_{\text{ж}} \cdot 10^3$ Кг/$\text{м}^3$ | $\varrho^0 \cdot 10^3$ Кг/$\text{м}^3$ | $p^0$, Па | $r_0 \cdot 10^9$, М |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 273 | 75,5 | 1,00 | 4,88 | 611 | 1,2 | |
| 293 | 72,5 | 1,00 | 17,3 | 2,33 \cdot 10^3 | 1,1 | |
| 373 | 58,8 | 0,96 | 598 | 1,013 \cdot 10^5 | 0,7 | |

ручающе мал, просто не наблюдаем (ведь он в несколько сот раз меньше длины волны видимого света). Однако шарик такого размера содержит

$$N(r_0) = \frac{4}{3} \pi r_0^3 \varrho_{\text{ж}} \frac{N_{\text{А}}}{\mu} \sim 10^2 \text{ молекул воды}$$
($N_{\text{А}} = 6,06 \cdot 10^{23} \text{ молекул воды}$)

(настоящее неорадро). Нельзя не порядався этому результату, и вот почему.

При выводе основной формулы мы неявно предполагали, что система является макросопперской. Говорить о поверхности натяжении и давлении можно только при условии, что искривленный участок поверхности содержит достаточно большое количество молекул. Полученное значение $N(r_0)$ свидетельствует, что это справедливо практическими для всех $r > r_0$.

Подумаем, где же могут практические свойства искусственных менясков? Разумеется, безнадежно пытается вытянуть одиночный капитляр радиуса $r_0$. Но в нашем случае можно обойти и менее экзотических средствами.

28

Заметим прежде всего, что вовсе не обязательно иметь правильную капитальную сеть, можно попробовать воспользоваться пористым веществом. Приером могут служить силикагели — материалы, состоящие из спекшися гранул SiO₂ — вещества, смачиваемого водой. Размеры гранул колблются от 2·10⁻⁷ до 10⁻⁶ см, а промежутки между ними еще меньше, порядка r₀ (рис. 4). Если водыные пары могут беспрерывтенно пропикать в пространство между зернами, то над таким веществом давление паров должны уменьшаться в несколько раз. С помощью силикагелей удаляется создаватель сухую атмосферу для хранения гипросокопичных веществ, защищы металлов от коррозии. Силикагели можно эффективно использовать для очистки воздуха от газов и от других примесей как в промышленных установках, так и в бытовых, например в кухонных воздухаочистителей.

Реальная значимость воображаемой поверхности

Другой пример влияния границ раздела на свойства системы жидкости — пар мы встретием там, где эта граница еще не образовалась, а именно — в пересыщенном паре.

Если насыщенный пар контактует с жидкостью, то охлаждение или скатание неминуто приводят к конденсации. Состояния такой системы описываются точками p⁰(T) фазовой диаграммы (см. рис. 1). Однако, когда жидкая фаза отсутствует, изотерминачески скимая пары или же охлаждая их при постоянном объеме, можно их перенасить. Формула (*) позволяет лучшёй понять, что это значит.

Пары, давление которых превосходит p⁰(T), будут насыщенными по отношению к капелькам радиуса

$$r(p) = \frac{2\sigma}{p - p^0(T)} \frac{Q^0}{Q_{ж}} = \frac{p^0(T)}{p - p^0(T)} r_0(T).$$

Такие капли называются критическими зародышами. Например, что капельки меньше размеров охотно испарются.

Количество молекул внутри зародыша равно

$$N(r) = \left( \frac{p^0}{p - p^0} \right)^3 N(r_0).$$

Если степень пересыщения водного пара составляет 10 % ($\frac{p - p^0}{p^0} = 0,1$), то $N(r) \sim 10^5$ молекул. В газовой фазе также же количество молекул занимает объем в несколько тысяч больший, чем в жидкой. Легко видеть, что образование критического зародыша тут весма затрудено, так как едва ли молекулы пара вдруг захотят так сильно «потребиться». Поэтому пересыщенный пар может «застрять» в своем энергетическом нейггодном, так называемом метасабильном состоянии довольно надолго.

В действительности процесс конденсации проходит немного по-другому. Попробуем оценить характерный размер капелек, с которых начинается образование тумана и выпадение носной росы. Предположим, что наканнуне вечером влажность воздуха была 100 %, т. е. парциальное давление пара в воздухе было p⁰(T_B), где T_B — вечерняя температура. К утру температура попизiliaсь на ΔT градусов. При температуре T_y = T_B — ΔT пар, имеющий давление p⁰(T_B), — пересыщенный, ведь давление насыщенного пара убивает с температурой, и p⁰(T_B) > p⁰(T_y).

Чтобы определить размер зародыша в этих условиях, нам надо преждевременно насыщенного пара от температуры. Эта связь задается уравнением Клапейрона — Клаузиуса:

30

проявляются в виде цепочек пузырьков (водород вскипает).

Другой пример — это выращивание высококачественных монокристаллов. Небольшой monokристалл-затравку погружают в почти равновесный расплав, где он становится единственным кристаллизационным центром. (В отсутствие затравки удается охладить расплав до $T \approx 0.5$ $T_{\text{плавления}}$, прежде чем начнет кристаллизация. Но, увы, расплачиваться за высокое качество кристалла приходится длительное времярем роста. Чтобы вырастить большой monокристалл, нужно несколько недель, а то и месяцев.

Заключение, но не финал

Прежде чем поставить точку, выясним еще один вопрос. До сих пор мы обсуждали, с чего начинается образование капель. Но когда оно заканчивается? Почему утром все росинки так похожи? Что остановливает их рост? Ведь мы убедились, что чем больше радиус капли, тем охотнее она «пьет». По-видимому, существует какой-то дополнительный фактор, определяющий максимальный размер.

Слищком далеко искать не нужно. Дело в том, что мы пока нигде не учитывали действие на росинки силы тяжести. Оdnako сплошная форма крупных капель словно намекает, что это не всегда допустимо.

Попробуем оценить, до каких пор можно пренебрегать гравиатционной энергии. Для сферического капли она равна

$$E_g = \frac{4}{3} \pi r^3 \varrho g$$

и, будучи пропорциональна $r^4$, неминуем должа превзойти поверхности энергии $E_s = 4 \pi r^2 \sigma$ при увеличении $r$.

Чтобы найти предельное значение радиуса, приравняем энергию росинки суммарной энергии двух «половинных» капель, на которые она могла бы распасться:

$$E(1) = 4 \pi r^2 \sigma + \frac{4}{3} \pi r^4 \varrho g = 2 E\left(\frac{1}{2}\right)$$

($r/\sqrt[3]{2}$ — радиус «половинной» капли). Отсюда следует, что

$$r_{\text{max}} = \sqrt{\frac{3^3 \sqrt{2} \sigma}{\varrho g}} \approx 0.5 \text{ см.}$$

На первый взгляд — многооваuto для росинки. Но, разумеется, мы не учили всех факторов. В частности, размер капли зависит от того, на какой поверхности она образуется, насколько смчиваема эта поверхность водой. Да и, кроме того, слищком большие капли просто не могут удержаться на листах и травинках и скатываются с них. Однако по порядку величины приведенная оценка в полне достоверна.

Тут, пожалuy, стоит превать наш рассказ. Не потому, что он завершен, завершиласъ история одной только росинки. Но даже в этой капле воды мы видим, что в науке никакой шаг не былает последним.

За каждым ответом подтвердет вопрос: что же дальше?

У капель — тяжесть запонок, И сад сленит, как плеес, Обрызгаанный, закапанный Мильоном синих слёз.

В. Пастернак

31

Задчи

M1111—M1115, Ф1123—Ф1127

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задчи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмещаются звездочек. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задчи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера следует отправлять не позднее 1 октября 1988 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант».
Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» пишите: «Задчик «Кванта» № 7 — 88» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M1111» или «Ф1123».
В графе «…адрес отправителя» фамилию и имя просим письать разборчиво. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задчик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).
В начале каждой письма просим указывать номер школьных и класс, в котором вы учитесь.

M1111. Около отсоответственного треугольника ABC описана окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках A и C, пересекают касательную, проведенную в точке B, соответствно в точках M и N. В треугольнике ABC проведена высота BP (точка P лежит на стороне AC). Докажите, что прямая BP является биссектриской углą MPN.

В. И. Чиник

M1112. На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа a и b, то можно написать число ab+a+b. Можно ли этим способом получить a) число 13121; 6) число 12131?

Докажите, что существует бесконечного много натуральных чисел, не представимых в виде

в) x+y+xy, г) x+y+2xy с натуральными x и y.

А. А. Берзиньш, В. Г. Ильчцев

M1113*. В стране 21 город. Аввационное сообщение между ними осуществляет несколько авакомпаний, каждой из которых обслуживает 10 бесплатных авакомпаний, связывающихся по парно неокоторые пяты городов (при этом между двумя городами могут летать самолеты несколько компанций). Каждые два города связаны по крайней мере одной бесплатной авакомпании. При каждой из местных колисентов авакомпании это возможно?

Д. В. Фомин

M1114. Докажите, что для любого tetraэдра имеет место неравенство

$$r < \frac{ab}{2(a+b)},$$

где a, b — длины двух скрещивающихся ребер, a r — радиус вписанного шара.

И. Ф. Шарыzin

M1115*. a) В первой строке написаны 19 натуральных чисел, не превысших 88, а во второй строке — 88 натуральных чисел, не превысших 19. Изовем отрезком одного или нескольких чисел чисел одной строки. Докажите, что из данных строк можно выбрать по отрезку так, что суммы чисел в них равны.

6. Пусть n, m, k — натуральные числа. Докажите, что если

$$1+2+\ldots+n=mk,$$

то числа 1, 2,…, n можно разбить на k групп так, чтобы суммы чисел в каждой группе были m.

А. В. Анджанс

Ф1123. К концу вертикальной водопроводной трубЫ при помощи короткого отрезка резиновой трубки прикреплена стальная насадка массой M. При каком рас-(Продолжение см. на с. 34)

33

Самолет-разведчик пожарной авации вылетел на декурство. Его было очень сухое, и песные пожарные, к сошалению, стали частьм целением.
Сильная гроза в день декурства еще увеличила вероятность возникновения пожара, поскольку сопровождалась лишь незначительными домолями. Гроза не позволела самолету дышаться по наимененному маршту и вносила помехи в радиосвязь с землей. Вот что записал диспетчер.

12.00. Нахождение в центре квадрата Л—11, курис…*), скорость 200 км/ч.
Вуду держать эту скорость в течение всего полета.
12.30. Пролетаю охотничью избушку; пока все в порядке.
13.00. ВЫполняю поворот на …..
13.30. Слева в 15 км от меня метерологическая вышка, все в порядке.
14.00. ВЫполняю поворот на 90° елебо.
14.30. ВЫполняю поворот……
15.00. Пересекаю реку Синяя.
15.30. ВЫполняю поворот на 90° …..
15.45. ВЫполняю поворот на 90° направо.
16.00. Пролетаю над рекой Синяя.
16.18. Подо мной лесной поворот. Высылайте помощь. Мой координаты ……

В какой квадрат диспетчер должен послать пожарников?

*) Многооточие соответствует грозовым помещам.

34

ходе воды насадка будет горизонтальной (рис. 1)? Площадь секения трубы $S$, длина ее $l$. Треннем претенбрець.

М. Г. Гаврилов

Ф1124. На гладкое горизонтальное бревно радиусом $R$kladут сверху «кинижку», составленную из двух однородных тонких квадратных пластинок со стороны $l=4R$. Пластины скреплены при помощи неевесомого шарнирного стержня. Какой угол образуют пластины в положении равновесия (рис. 2)? Будет ли это положение равновесия устойчивым?

С. С. Кротов

Ф1125. Вертикальный теплопроводный сосуд, в котором находится одноатомный газ, закрыт поршнем массой $M$. В сосуд включают нагреватель мощностью $N$, и поршень начинает медленно движаться вверх. За какое время он поднимется на высоту $H$ относительно начального положения? Теплоемкость поршня, треннем и давлением atmosферы претенбрець.

А. Р. Зильберман

Ф1126. В схеме, изображенной на рисунке 3, ключ $K$ «колебляется» между положениями 1 и 2 с частотой $f=100$ Гц; в каждом положении ключ находится одинаковое время. Найти ток через резистор. $C_1=10$ мкФ, $C_2=30$ мкФ, $R=100$ кОм.

А. Р. Зильберман

Ф1127. Фонарик испускает пучок лучей, скодящихся на расстоянии $R_0=1$ м от него в маленькое пятно. На пути луча помещили два плоских зеркала квадратной формы так, что линия их соприкосновения пересекает ось пучка на расстоянии $r=70$ см от фонарика и перпендикулярна этой оси. Плоскости зеркал перpendикularны друг другу, а одно из зеркал составляет угол $\alpha=30^\circ$ с осью пучка. На каком расстоянии от фонарика сойдется тенерь пучок?

М. М. Цыпин

Problems
M1111—M1115, P1123—P1127

M1111. The tangents to the circumcircle of triangle $ABC$ at the points $A$ and $C$ intersect the tangent drawn from $B$ at the points $M$ and $N$ respectively. Show that the altitude $BP$ of triangle $ABC$ (where $P$ is on $AC$) is the bisector of angle $MNP$.

B. I. Chinik

M1112. The numbers 1 and 2 are written on the blackboard. Additional numbers may be written according to the following rule: if the numbars $a$ and $b$ are already on the board, then the number $ab+a+b$ may be added. Is it possible to obtain the numbers a) 13121; b) 12131 in this way? Prove that there are infinitely many nonnegative integers which cannot be represented as c) $x+y+xy$, d) $x+y+2y$ with nonnegative integers $x$ and $y$.

A. A. Berzins, V. G. Il’ichev

36

Решения задач

M1091. Изовем натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны.
a) Найдите наименьшее число а такое, что числа а и а+1 — удачные.
b) Существует ли такое a, что числа a, а+1 и а+2 — удачные?

M1092. Вырезанный из бумаги выпуклый многоугольник 10 раз складывают (перецбая по некоторым прямым) и затем разрезают по прямой. Какое наибольшее число кусков может получиться?

Ответ: a=549. Очевидно, сумма цифр любого числа четна. Поэтому, если a и a+1 — удачные числа, то a оказывается на 9 (инначе цифры этих двух чисел имеют разную четность). Ясно, что a не может быть двух значений (99+1=100). Если число a — трехзначное, т. е. a=xy9 (черта означает десятичную запись), то y<9 и a+1=x(y+1)0. Следовательно, x+y=9, x=y+1. Отсюда x=5, y=4.

6. Ответ: не существует. Как видно из решения задачи a), оба числа — a и a+1 — должны оказаться на 9, но это невозможно.

Н. И. Зильберер

Ответ: 1025. Решим задачу сразу в общем случае для n стибов. Проведем внутри многоугольника произвольный отрезок AB и отметим на нем точки C₁, C₂, …, Cₙ+1 также, что CₙB=2⁻k·AB (см. рисунок). Через каждую из точки Cₙ проведем прямую lₖ перепendlкулярно к AB. Последовательно перегнем многоугольник по прямым l₁, l₂, …, lₙ слева направо n раз (мы считаем, что первоначально точка A лежит левее B) и разрежем его по прямой lₙ+1. Отрезок AB сложится в отрезок CₙB, на котором сложенная фигура имеет 2ⁿ слое. Слева от разреза каждой слой соединен с другим сломем через перегиб lₙ, поэтому слова мы получим 2ⁿ−1 кусков. Справа от разреза слой также попарно соединены, за исключением двух одиночных нижних слов — краев исходной фигуры. Поэтому справа получится 2ⁿ−1+1 кусков, а всего получится 2ⁿ+1 кусков.

Покажем индикцией по числу перегибов n, что число кусков не может быть больше 2ⁿ+1. При n=0 это утверждение очевидно. Пусть оно верно для n перегибов. Перегнем многоугольник n+1 раз. После первого перегиба получается два соединенных между собой частично перекрывающихся многоугольных слоя. В дальнейшем каждый из этих слов можно рассматривать отдельно: он будет перегнут n раз и разрезан, что по предположению индикции дест 2ⁿ+1 кусков. Посокльку хотя бы два куска из разных слов должны быть соединены через перегиб, общее число кусков не превыходит 2(2ⁿ+1)-1=2ⁿ−1+1.

Таким образом, максимальное число кусков равно 2ⁿ+1; в частности, при n=10 получится 2¹⁰+1=1025 кусков.

С. В. Казаков

Ответ в задаче a): n−k+1.
a), 6) Разобем точки на «серии», каждая из которых начинается с двойки и включает следом

37

но во всех точках производаются следующие преобразования: каждое число 2 заменяется на 0, а затем к следующему за ним по числовой стрелке цилиндрического равнлось $k \ge 1$.

a) Через какое количество преобразований заведomo не останется ни одной двойки?

b) Пусть, кроме того, в $n-k$ остальных точках вначале стояли единицы. Докажите, что в конце концов останется $k$ единиц и $n-k$ нуля.

(по часовой стрелке) единцы. Если серия начинается в точке $A_1$, заканчивается перед точкой $A_2$ (где стоит двойка или ноль — на рисунке 1 это обозначено звездом)

Дочкой) и включает $m \ge 0$ единиц, то через $m+1$ шагов в $m$ точках, следующих за $A_1$, будут стоять $m$ нуля, а в точке $A_2$ — единица. На рисунках 2, а, б, в изображена эволюция одной серии для $m=0$, $m=1$ и $m=4$ ($\emptyset$ означает 0 или 1). Такая эволюция происходит одновременно со всеми сериями. Таким образом, если вначале было $k$ двойки в точках $A_1$, $A_2$, …, $A_k$ и самая длинная серия содержала $m \le n-k$ единиц, торовно через $m+1$ преобразований не останется ни одной двойки. Если при этом в остальных $n-k$ точках стояли единицы, то после всех преобразований на их местах будут стоять нуля, а в $k$ точках $A_1$, $A_2$, …, $A_k$ — единицы.

Н. В. Васильев

M1094. Пусть $a, b, c$ — неотрицательные числа.
a) Докажите, что из неравенства $a^4+b^4+c^4 \le 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ (1)
следует неравенство $a^2+b^2+c^2 \le 2(ab+bc+ca)$. (2)
b) Верно ли обратное: из неравенства (2) следует неравенство (1)?

a) Преобразуем разность правой и левой части (1):
$$D=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)=4a^2b^2-(a^2+b^2)^2+2c^2(a^2+b^2)-c^4=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2.$$
Если $D \ge 0$, то $2ab \ge |a^2+b^2-c^2|$. Поскольку буквы $a, b, c$ входят в условие совершенного симметричного образом, можно считать $a \ge b \ge c$. Тогда $a^2+b^2+c^2=|a^2+b^2-c^2|+2c^2 \le 2ab+2c^2 \le 2(ab+bc+ca)$.
6) Ответ: не верно. (Пример: $a=4$, $b=c=1$.)
Заметим, что, продолжив преобразования разности $D$, можно разложить ее на линейные множители:
$$D=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).$$
Здесь лишь одна скобка (в котором вычитается набольшее из чисел $a, b, c$) может оказаться отрицательной. Таким образом, (1) эквивалентно условию, что каждое из чисел $a, b, c$ не больше суммы двух других. Аналогично, (2) эквивалентно тому, что каждое из чисел $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}$ не больше суммы двух других. Отсюда легко получить другое решение задачи a): ведь если $b+c \ge a$, то $(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 \ge b+c \ge a$ и $\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge \sqrt{a}$.
Выражение $D$ встречает в формуле Герона для плошади треугольника со сторонами $a, b, c$ (эта площадь равна $\sqrt{D}/4$); такой треугольник существует, если $D > 0$.

38

М1095*. На плоскости задана окружность с центром O и две точки A, B (отличные от O) такие, что прямая AB проходит через точку O. Построите хорду MN этой окружности, которая видна из точки A под заданным углом α и a) параллельна прямой AB; б) проходит через точку B. (Если В лежит вне окружности, то через B должен проходит продолжение хорды MN.)

Рис. 1.

Рис. 2.

Для любой прямой, проходящей через произвольную даниную точку P и пересекающей даниную окружность, PX $\times$PY = $|d^2 - R^2|$, где X и Y — точки пересечения, d = PO — расстояние от P до центра O окружности, R — радиус окружности. (Из подобия треугольников PXX1 и PY1Y следует, что PX $\cdot$PY = PX1 $\times$PY1 = $(d + R)|d - R|$).

по доказанному, получившийся отрезок MM1 будет иметь нужную длину. Тепер, пользоваться тем, что для исходной хорды MN известен угол MN1N (он равен α) и расстояния ON=OM=R, мы можем построить отрезок, равный этой хорде. Для этого достаточно проведсти луч под углом α к уже построенному отрезку MM1 из его конца M1 и отметить точки пересечения этого луч с данной окружностью. Таких точек может быть 0, 1 или 2 (рис. 3). Отрезки, соединяющие эти точки с M, и дают возможность значения длины исходной хорды. Остается построить в данной окружности хорду известной длины, параллельную данной прямой AB. Поскольку эта известная длина принимает 0, 1 или 2 значения, наша задача может иметь 0, 2 или 4 решения. (Читатель самостояльно покажет, что 4 решения задача может иметь, если точка A лежит вне данной окружности; пример такой ситуации приведен на рисунке 4.)

6. Снова предположим, что искомая хорда MN построена (рис. 5). Проведем окружность AMN и обозначим через с прямыми AB и MO ($C \neq A, M_1 \neq M$). По-прежнему оказывается,

39

Что длина отрезка $MM_1$ не зависит от данного угла. Для доказательства нужно несколько раз применить теорему, приведенную выше (рис. 2):
$$BC \cdot BA = BM \cdot BN = BE \cdot BF,$$
где $E$ и $F$ — точки пересечения исходной окружности с $AB$; значит, положение точки $C$ не зависит от данного угла, и снова

$$OM_1 \cdot OM = OA \cdot OC.$$

Далее решение почти не отличается от решения задачи a), только на сея раз нужного строить не хорду данной длины, параллельную данной прямой, а хорду данной длины, продолжение которого проходит через данную точку. Нужно также отметить, что при некоторых расположениях точек $A$ и $B$ (см., например, рис. 6) угол $MM_1N$ может оказаться равным $\pi - \alpha$, а не $\alpha$.

Рис. 4.

Можно избежать перебора случаев, если воспользоваться понятием «направленного угла»: угол от прямой $AM$ до прямой $AN$, отсутствием, скажем, против часовой стрелки, всегда будет равен углу от $M_1M$ до $M_1N$, отсутствием в том же направлении. По-прежнему задача имеет 0, 2 или 4 решения.

Р. О. Бурдин

Ф1103. Математический матник длиной $l$ показывается в точке $A$ на конусе с углом расстояния $2\beta$ (рис. 1). Какой путь пройдет матник до отрыва от поверхности конуса, если легким толком матник вывести из положения равновесия? Угол наклона конуса к поверхности земли $\alpha$, поверхности конуса считается ладкой.

Поскольку верхний конец нити закреплен, матник до отрыва от поверхности конуса будет двигаться по окружности. Плоскость этой окружности наклонена под углом $(\pi/2 - \alpha)$ к горизонту, ее радиус $r = l \sin \beta$. По мере сокращения с конуса скорость точки $A$ растет, значит, должно увеличивается и ее центростремительное ускорение. В некоторых моментах действующих на матник сил может «не хватить» для продолжения движения по окружности, и тогда произойдет отрыв точки $A$ от поверхности конуса.

Рассмотрим силы, действующие на точку $A$ при ее движении по конусе. Это сила тяжесте $m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$ (рис. 2). В момент отрыва сilia реакции обращается в нуль. Этим и воспользовется для ответа на вопрос задачи.

Введем систему координат так, как показано на рисунке 2: направим ось $X$ по радиусу к центру окружности, ось $Y$ — по касательной к окружности и ось $Z$ —

41

Проведем из точки $E$ пряму $EF \parallel DN$. Условие возникновения эквивалентно условию возникновения построения треугольника из отрезков $ME$ и $EF=DN$ (равных длинами нитей) и отрезка $MF=|MN|-ED$ (равного разности длины стержней):

$$MF > |EM|-DN|.$$

Таким образом, если разность длины стержней больше разности длины нитей, то параллельные стержни, в противном случае параллельные нитей. В частности, если равны стержни, то параллельные нитей, если же равны нитей, то параллельные стержни. Если разности длины стержней и нитей одинаковы, то и стержни, и нитей лежат на вертикали $OA$.

В. Т. Карпетян

Ф1105. Металлический диск радиусом $r=10$ см врачается в горизонтальной плоскости со скоростью $v=60$ об/мин. Свысоты $H=10$ см на него падает плоскостью брусок, масса которого много меньше массы диска. Нижняя грань бруска все время параллельна плоскости диска, коэффициент треня между металлом и плоскостью $\mu=0,1$. На каком расстоянии от оси должен упасть брусок, чтобы при повторном nadении он унал за пределами диска? Считать, что после отскока брусок поднимается на прежнюю высоту; размеры бруска пренебречь.

Пусть брусок при первом nadении ударяется о диск в точке $A$, находящейся от центра диска на расстоянии $x$ (см. рисунок). Во время удара на брусок со стороны диска действуют две силы — направления вертикального сила реакции опоры $\vec{N}$ и направления горизонтального сила треня $\vec{F}_{\text{тр}}$. Предполагая, что в течение всего соударения скорость бруска относительно диска меньше линейной скорости $v_A = \omega x = 2\pi vx$ точки $A$ диск, получим, что все время $F_{\text{тр}} = \mu N$. Тогда импульс, переданный диском бруску в горизонтальном nadравлении, связан с импульсом, переданным бруску в горизонтальном nadравлении, соответственно.

$$P_r = \mu P_B.$$

С другой стороны,

$$P_r = mv,$$

где $m$ — масса бруска, $v$ — его горизонтальная скорость после соударения,

$$P_B = 2mv_0,$$

где $v_0 = \sqrt{2gh}$ — вертикальная скорость бруска непосредственного перед соударением. Отсюда находится

$$v = 2\mu v_0 = 2\mu \sqrt{2gh}.$$

За промежуток времени $\tau = 2t_{\text{пяд}} = 2\sqrt{2h/g}$ между первым и вторым соударениями брусок пролетит по горизонтали расстояние

$$l = v\tau = 8\mu h.$$

По условию задачи должно выполнять соответствие

$$l > \sqrt{r^2 - x^2},$$

т. е.

$$x > \sqrt{r^2 - l^2} = \sqrt{r^2 - (8\mu h)^2} = 6 \text{ см.}$$

Проверим, будет ли при этом выполнять условие $v < v_A$:

$$v = 2\mu \sqrt{2gh} \approx 28 \text{ см/c},$$

$$v_A = 2\pi vx \approx 38 \text{ см/c} > v.$$

Итак, брусок должен первый раз упасть на диск на расстоянии не меньше 6 см от его центра.

Л. А. Закревский

42

Ф1106. Неколько слов о северпроводниках. Северпроводники обладают свойством выталкивать магнитное поле (так называемый эфект Мейснера), благодара ему они могут парить над магнитом. Этот особенность северпроводников предполагается использовать для создания северскоростных поездов на «магнитной подвеске», опытные образцы которых уже испытывалися. А теперь сама задача. На северпроводии образец массой m, парящий над постоянным магнитом,kladут груз точного такой же массы. Во сколько раз необходимо увеличить магнитную indукцию поля, создаваемого магнитом, чтобы северпроводик с грузом парил на прежнем расстоянии от магнита?

Ф1107. Свежевыпавший пушистый снег искусственно на солнеце. Оцените характерное расстояние между отделными «искриками».

Будем считать, что снежники в снежном покрове представляют собой случайным образом ориентированные плоские зеркала одинаковой площадью порядка 10 mm².

Каждая снежника-зеркальце отражает свет в виде расходящeres пучка. Угол расходимости равен угловому размеру Солнца $a \approx 0,5^\circ$. Вероятность $q$ того, что отраженный свет от случайно ориентированной снежники попадает в данную точку $A$ (см. рисунок), равна отношению площади основания конуса светового пучка к площади полусферы, проходящей через точки $A$ (центр полусферы находится на снежнике). Учитывая, что высота светового конуса практически равна радиусу полусферы, находим

$$q = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{\pi R^2 \text{tg}^2 \alpha/2}{\pi R^2} = \text{tg}^2 \alpha/2 \approx \frac{\alpha^2}{4},$$

где $R$ — радиус полусферы, или расстояние от снежники до наблюдаемого, $r$ — радиус основания светового пучка.

На одном квадратном метре северности снежного покрова расположены $n \approx 10^5$ снежинок, при этом свет от $qn$ частиц будет попадать в точку $A$.

Чтобы оценить характерное расстояние между отделными «искриками», будем считать, что светящиеся снежники расположены на поверхности светового поверхности, например на центрах плотнопакованных шестиугольников. Тогда площадь одного шести

43

Угольника $S_0$ и характерное расстояние между искринами $d$ связаны соотношениям

$$S_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} d^2,$$

откуда находится

$$d \approx 60 \text{ см.}$$

При практическом наблюлении снежинок нужно учитывать биокулярность человекаского зрения. При малых расстояниях наблюдается: диаметр светового пучка меньше расстояния между зрачками, и каждый глаз видит «свой» искрини. При большом расстоянии ($R > 30$ м) диаметр светового пучка от отдельной снежинки становится на порядок больше, чем расстояние между зрачками, и можно использовать модель «точного наблюдаателя», как сделано выше.

Заметим, что искристый снег можно наблюдаать не только днем, но и ночью, например в свете фонарей уличного освещения. Вспомните А. А. Фета:

Скрип шагов вдоль улицы белых.
Огоньки вдали.
На стенах оледеных
Блецут хрустали.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Заказы принятия…

(Начало см. на c. 22)

Цель книги — познакомить читателя-neспециализста с основными фактиками квантовой физики и истории их открытия.

95. Тарбеев Ю. В. Физическая величины. Единцы. Эталоны. Константы. 1 р. 10 к.

В краткой и доступной форме представлены основные метrologические понятия, наименования и приятия в практике обозначения физических величины, наиболее точные и надежные значения физических常态, единицы физических величины.

96. Яворский Б. М., Се-лезнев Ю. А. Справочное руководство по физике для поступающих вузы и самообразования. 1 р. 90 к.

Руководство содержит сведения по всем разделам физики, которые изучаются в средней школе и средних специальных учебных заведениях.

108. Бутиков Е. И., Быков А. А., Кондратьев А. С. Физика в примерах и задачах. 1 р.

Цель авторов — научить читателя рассудать, довести его до глубокого понимания сутки рассматриваемых явлений. В новом издании нашли отражение последние изменения содержания курса физики средней школе и программ конкурсных экзаменов вузы.

109. Гурский И. П. Элементарная физика с примерами решения задач. 1 р. 10 к.

Последовательно и кратко рассмотрен весь элементарный курс физики. Цель автора — помочь абитурентам повторить курс физики с минимальной затратой времени.

110. Меледин Г. В. Физика в задачах: Экзаменационные задачи с решениями. 70 к.

Содержит сведение 500 задач, предлагавшихся на письменном вступительном экзамене по физике в Новосибирском государственном университете.

44

В чём фокус?

я могу углядать возраст и размер обуви каждоГО из вас. кто же лает?

умножь свой размер обуви на 5.

34 × 5
170

ТЕПЕРЬ ПРИБАВЬ
13 и умножь результат на 20

ГОТОВО!

170 + 13
183
× 20
3660

ОТНИМИ ГОД СВОЕГО РОЖДЕНИЯ.

3660 - 1977
1683

ТЕПЕРЬ ПРИБАВЬ
1728. СКОЛЬКО ПОЛУЧИЛОСЬ?

1683 + 1728
34

3411!

У ТЕБЯ 34 размер обуви. ТЕБЕ В ЭТОМ ГОДУ ИСПОЛНИ-LOCЬ ИЛИ ИСПОЛНИТСЯ 11 ЛЕТ.

В ЧЁМ СЕКРЕТ ФОКУСА? КАКОЕ ЧИСЛО СЛЕДУЕТ ПОСЛЕДНИМ ПРИ-БАВЛЯТЬ В 1989 гаду? А В 1995?

44

45

Задания

1. Проверьте справедливость tejдеств в числовой парамиде, изображенной на рисунке, и попробyte доказать общее утверждение:
   $$1+2+\dots+(k-1)+k+(k-1)+\dots+2+1=k^2.$$
   Подсказка рядом с парамидой.

2. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» вышше «дамы» и никто не катается со своей сестрой. Самый высокий из компании — Юра Воробьев, следующий по росту — Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымов и Аня Воробьева.
   Кто с кем катался?

3. В большую частрюлю, наполненную горячей водой, опустили стакан вверх дом. Через некоторое время из стакана стали выходить пузырьки воздуха. Почему?

4. Покажите, что уравнение
   $$x^5y=xy^5+1987$$
   не имеет решений в целых числах.

5. Прямогуляный лист бумаги разрезали на три треугольных куска. Площадь одного из них оказалась равной полусумме площадей двух других кусков. Как относится площади полученных кусков?

Эти задания нам предложили Н. И. Авилов, М. В. Улановский, А. Г. Самосват, А. П. Тонких, В. В. Произвольов.

47

Слово «молекula» появилось почти 350 лет назад. Появилось оно в книге французского философа Пьера Гасенди, изданной в 1647 году. По Гасенди молекula («массочка», от латинского «молес» — масса) — это несколькоatomов, объединенных в одну группу. По-разному объединенные atoms, т. е. разные молекулы, — это «кирипики», из которых природа строит разнообразные тела. Через этот М. В. Ломонсов, развивая учение о строении вещества, писал, что молекулы могут быть однородными (из одинаковых atomов) и разнородными (из разных), что молекулы взаимодействуют друг с другом и находятся в постоянномxaотическом движении.

Эти положения легли в основу молекулярно-кинитической теории строения вещества. Со временем они были подтверждены многочисленными опитами. О некоторых из них мы и хотим расскаать.

В 1911 году французский физик Дюнуайте поставил эксперимент, который показал, что в своем движении молекулы газа беспрестанно стalkиваются друг с другом, а между стокновениями их движение прямолейно.

Схема опыта приведена на рисунке 1. Из стеклянной трубки откачан

Рис. 1.

воздух. Трубка разделена двумя перегородками (1 и 2) на три отделения. В перегородках имеются отверстия ($O_1$ и $O_2$), расположенные на оси трубки. В отделении I помещен кусочек металлического натрия. Эту часть трубки нагревают. Натрий начинает испарться, пары натрия заполняют отделение I и через отверстия $O_1$ и $O_2$ проникают в отделения II и III. На стекках трубки там образуется натриевый налет, при этом в отделении II он покрывает все стенки, кроме перегородки 1, а в отделении III — только небольшую область направив ответия $O_2$.

Результаты этого эксперимента объясняются достаточно очевидно. В отделение II через отверстие $O_1$ попадают молекулы, скорости которых имеют различные направления. Поскольку воздуха из трубки откачан, молекулы натрия в отделении II движутся практическими без соударений и, попав на холодные стенки, оседают на них. А в отделение III попадают лишь те молекулы, скорость которых при вылете из отделения I была направлена вдоль прямой $O_1O_2$, и эти молекулы оседают в отделении III на стенке трубки строго направив ответий $O_1$ и $O_2$.

Факт, что молекулы движутсяxaотических, казалось бы, свидетельствует о том, что скорости молекул могут быть самых различными и нельзя указать ни их применительно направления, ни определенной величины. Однако в 1860 году английский физик Максвелл теоретически показал, что существует точный закон, которое подчиняется скорости беспорядочного, теплового движения молекул. Согласно этому закону — его называют законом распределения молекул по скоростям (или просто распределением Максвелла), при данной температуре существует определенное значение скорости, характеризующое движение большинства молекул данного газообразного вещества. И лишь у небольший доли молекул скорости намного больше или намного меньше этой наиболее вероятной скорости. (При этом предполагается, что все молекулы газа совершенно одинаковы и температура постоянна по всему объему.) Закон распределения молекул по скоростям позволяет определить долю молекул, скорость которых лежит близко к наиболее значению. Чем близке это значение к наиболее вероятной скорости, тем больше доля молекул, движущихся с данной скоростью.

На рисунке 2 приведен график, или построирующий распределение

48

Максвелла. По оси абсцисс отложена скорость $v$, а по оси ordинар — функция $f(v)$, значение которого при данном значении скорости определяет долю молекул газа, скорость которых очень близка к $v$.

Рис. 2.

Хотя смысл сказанного понятен, надо иметь в виду, что интересовать точным значением скорости определяемой молекулы или тем, сколько молекул имеют конкретирую скорость, бессмысленно. Дело в том, что рассматривая, скажем, газ в состоянии мы имеем дело с огромным числом объектов (ведь в одном кубическом сантиметре воздуха в комнате находится примерно $2,5 \cdot 10^{19}$ молекул). И нет никакой возможности (да и нет необходимости) обсуждать характеристики каждой объекта — молекулы — в отдельности. В целом ряде случаев для описания поведения такого огромного числа части достагоно значения средних значений величины, характеризующих движения части, — скажем средней скорости или средней энергии.

Эксперимент по определению скорости движения молекул газа был впервые поставлен тоже только в начале XX века немецким физиком Штерном. Схема опыта представлена на рисунке 3. При нагревании тонкой посеребренной платиновой проводки 1 (проволочка накаливается при прохождения по ней электрического тока) молекулы серебра испаряются с ее поверхности. Часть молекул через узкую щель 2 в тонком цилиндре 3, окружающим проводку, попадает внутри большого цилиндра 4, окружащего проводку и маленький цилиндр. Из положи большого цилиндра воздух откачан, поэтому молекулы серебра движутся там практическими без соударений и, попадая на стенку цилиндра, оседают на ней (температура поверхности большого цилиндра достагоно низкая). Оседающее молекулы образуют узкую полоску налета 5. Если вся система покопится, то эта молочка образуется как раз направившей itself 2, создавая как бы ее изображение. Но если оба цилиндра (3 и 4) врашаются вокруг обшей оси, прохождение через проволочку 1, то молочка налета уже не будет образовывать направившей itself 2. Действительно, за то время, пока молекулы пропетают расстояние от щели до поверхности цилиндра 4, цилиндр успевает поверхности, и след 6 (рис. 4), оставляемый молекулами, оказывается смешным относительно молоки 5 в направлении, противоположном направлению цилиндров.

Рис. 3.

Рис. 4.

49

Зная скорость, с которой вращаются цилиндры 3 и 4, можно по расстоянию между следами 5 и 6 определять время, за которой молекулы пропетают расстояние от щелки 2 до поверхности цилиндра 4. А зная это расстояние, можно определить скорость молекул.

Важно отметить, что положка на лета, образованного молекулами, оказывась не постояной толщины. Вблизи середины положка наиболее толстая, а на краях ее толщина уменьшается (рис. 5). Поскольку толщина середняного слоя определяется количеством молекул, освещих на поверхности цилиндра, то по ней можно судить о количестве молекул, налетающих на стенку с той или иной скоростью. Ведь близке к следу 5 попадают наиболее быстрыые молекулы, а дальше от него оседают более медленные. (Неправда ли, «профиль» середняного налета похож на кривую распределения Максвелла?)

Первый опит по определению скорости молекул Штерн поставил в 1920 году, а спустя четверть века идея опита была использована для экспериментальной проверки закона Максвелла. В этих экспериментах измерялось число молекул, скорости которых лежат в некотором интервале скорости. Измерения полностью подтвердили максимальный закон распределения.

Возможно, у читателя возник ворос: неужели столковения молекул друг с другом никак не влияют на распределение? В опите Штерна горячие молекул летели, не сталиваясь друг с другом, а может быть, если бы молекулы попадали не на холодную стенку, к которой они припали, а на такую же горячую, как они сами, и отскаквали от нее, то со временем в результате столковений друг с другом они выровняли бы свои скорости?

Разумеется, столковения сказываются на скорости молекул. Но изменение скорости происходит таким образом, что в любой промежуток времени число молекул, скорость которых уменышается, равно числу молекул, скорость которых уведомляется, и распределение молекул по скоростям остается неизменным — таким, как на рисунке 2. Если, конечно, температура газа постоянна.

А если газ нагревается? Более высоким температурам соответствует большие скорости молекул. Если во всем объеме, занимаемом газом, устанавливается более высокая температура, то кривая распределения смешается в сторону больших скоростей. При этом, как нетрудно понять, площадь под кривой остается постоянной — ведь она соответствует полному числу молекул в объеме.

И в заключение предлагаем вам подумать: какие явления в жизни, в окружающей природе свидетельствуют о том, что молекулы движутсяxaотично, что между столковениями их движение прямолинейно и что скорости молекул при одной и той же температуре не одинаковы.

51

В Монровии, столице Либерии, есть только один магазин хозяйственных товаров. Когда я сказал темнокожему клерку, сколько галловов краски мне нужно, он от удивления присвистнул:

— Не иначе, как вы собрались выкраить гору, мистер!
— Нет, — заверил я его, — не гору, всего лишь остров.

Клерк улыбнулся. Он думал, что я шуру, но я действительно собирался выкраить цель остров в пять цветов: красный, синий, зеленьй, желтый и фиолетовый.

Для чего мне это попадилось? Чтоы ответить на этот вопрос, мне придется вернуть на несколько лет назад.

Дело в том, что темой моей докторской диссертации была проблема четырех красок. Гипотеза о четырех красах утверждает, что для правильной раскраски любой карты, при которой любые две соседние страны, имеющие общий отрезок границы, будут выкрашены в различные цвета (две страны не считаются соседними, если их границы имеют лишь одну общую точку), достаточно четырех красок. Страны на карте могут быть любых размеров и самых прицудливых очертаний. Число их также может быть произвольным. Гипотеза четырех красок была впервые высказана в 1860 году Мебиусом, и, хотя над ее решением был лучше математически умы, гипотезу эту не удавалось ни доказать, ни опровергнуть*).

По страниномустеению обстоятельств проблемы четырех красок была решена для всех поверхностей, кроме сферы и плоскости. В 1890 году Р. Дж. Хивуд доказал, что для раскраски поверхности тора (поверхности бублика) необходимо и достаточно семи красок, а в 1934 году Ф. Франклин доказал, что шести красок достаточно для раскраски карт на односторонних поверхностях типа листа Мебиуса и бутылки Клейна.

17 ноября 1947 года профессор Венского университета Станислав Сляпенарский, читавший цикл лекций в Чикагском университете, сделал сенсащное сообщение о своем открытии нульсторонних поверхностей**). Это открытие имело далеко идущее последствия для изучения свойств бутылки Клейна и произвело подлинный переворот в исследовании по проблеме четырех красок.

Развивая некоторые идеи Сляпенарского, я опубликовал в 1950 году свою известную работу с проверженем «доказательства» Хивуда, полагавшего, что для правильной раскраски карты на плоскости необходимо и достаточно пяты красок. По всеобъему же убежданию топологов, для правильной раскраски плоскости или сферы достаточно четырех красок.

Вскоре после выхода в свет моей работы по проблеме четырех красок мне довелось завтраать в университетском клубе «Четырехугольник» с профессором Альмой Буш. Альма — один из ведущих наших антропологов и, несомненно, самая красивая женчина во всем университете.

Альма только что вернулся из экспедиции на небольший остров, расположенный в нескольких сотнях миль от побережья Либерии у западной крамки африканского материка. Она возглавляла группу студентов-антропологов, изучавших права и обычан пяты лемен, населявших остров.

— Остров разделен на пять области,— сообщила мне Альма,ставляя сигрету в длиной мундштук из черной пластмассы.— Все они граничат друг с другом. Это важно для понимания тамоших правов. Общность границ позволяет элементам поддерживать некое единство культуры. Что с тобой, Марти? Почему у тебя такой изумленный вид?

Я застыл, и, не донеся вилку до рта, медленно положил ее на стол.

*) Рассказ Гарднера написан в 1952 году. Положительное решение проблемы красок было найдено в 1976 году. (Примеч. ped.)
**) Подробный рассказ об этом читатель найдет в 6-м номере «Кваента» (Примеч. ped.)

52

— Потому, что ты рассказываешь невероятные вещи. Такого простого не может быть.
Альма была узвлена:
— ЧERO не может быть?
— Пяты пленен, имеющих общее границы. Это противоречит значению проблемы четырех красок.
— Противоречит чему?
— Проблеме четырех красок,— повторил я.— Есть такая проблема в топологии. Хотя она никак не доказана и не опровергнута, никто не сомневается, что она верна.
Я принялся концем ложки чертить на скатерти, пытаясь обьясить Альме, в чем здесь дело.
Альма быстро схватила общую идею.
— Может быть, у островных пленен другая математика? — высказала она предположение, шурясь от дыма сигреты.
Я покачал головой.
— Математика, дорогая моя, едина для всех культуры. Дважды два всегда четыре, даже в Африке. Если твой остров действительно разделен так, как ты говоришь — на пять области, каждая из которых имеет общую границу с четырьмя другими областями,— то я научу верить в математические способности твоих островитян. Нет ли у тебя карты острова?
Альма отрицательно покачала головой.
— Может быть, тебе отправиться с нами? — предложила она, страхивая пепел.— Я пробуду на острове мясц. Мне нужно проверить кое-какие данные перед тем, как опубликовать их, а ты тем временем сделаешь карту острова. Если то, о чем я тебе расскаазала, не подтвердится, я возмешу твои расходы.
Что я терял? Начинались летние каникулы, а это путешествие обещало быть приятным и необычным. И я согласился.

---

На второй день нашего пребывания на острове Альма познакомила меня с одним из островитан по имени Агуз. Агуз был из пленен хийнику, составляющего интеллектуальную элиту острова. Альма договорилась с Агузом совершить второе пеший поход по всему острову. К счастью, остров был невелик: площадь его не превышала 25 квадратных миль. Пустившись в путь с утра пораньше, мы могли к вечеру обойти весь остров. Я прихватил с собой блокот и коробку карандашей, чтобы набросать хотя бы грубую карту пяты области.

Свой первый визит мы нанесли пленени хийнику, на территории которого был расположен наш лагерь.

На верхнем листке своего блокота я нарисовал круг и закрасил его синим. Точная конфигурация территории, занимаемой хийнику, была неизвестна, но для моих целей было воспользоваться территории, занимаемой пленем волфези, я следва от синего кружка поставил загогулину и закрасил ее в зеленьй цвет.

С трудом продираясь сквозь заросли какого-то кустарника, мы вышли на берег узкой тихой реки. Отромный плот из бревен едва выступал из светлой жирной грязи, устилавшей до реки. Агуз столкнул плот в воду, взобрался на него и принялся отталкивать длиным бамбуковым шестом. Мы перешли врод узку полоку топкой грязи у берега и приседили к нему. Лавиря шестом, Агуз направил плот вниз по течение извилистой реки.

Через некоторое время Агуз сообщил о том, что мы встречем на территorio пленени гезеллом. Она была расположена к свегуру от волфези.

54

могли бы пометить каждую территорию пятнами соответствующего цвента, и на цветном аэрофотосимке форма каждой территории была бы великолепно видна.

Альма заявила, что мой план великолепен. Ей в любом случае нужно было снять карту острова, а предложенный много метод позволяет выполнить эту задачу быстрее, чем другие.

— Краска за мои счет, — шедро предложила она.

Тут мы и подошли к тому самому месту, с которой я начал свой рассказ. У подрядчика, принимающего заказы на выполнение строительных работ, мы взяли направат дожину распылительный краски. Я купил двадцать тысяч галловов самой дезевой краски. Вернувшись на остров, мы без труда набрали бригаду мальчишек племени хийки и обучили их пользоваться распылителем.

Агуз был назначен бригадиром. Тerrиторию каждого племени мы метили краской того же цвета, что и на моей «карте». Закрашивание всей территории потребовало бы слишком больших затрат, поэтому мы решили распылить краску пятнами диаметром около десяти футов с интервалами в сто футов. С самолета Terrитория каждого племени казалась бы раскрашенной в горошек, и границы были бы легко различными.

Каждай раз я сопровождал бригаду, чтобы проследить за работой. Все было сделано, как надо. В том, что четыре Terrитории имели общее границы, сомненый не было: у каждой из них к какому-нибудь участку границы примыкала Terrитория другого цвета.

Решающим должен был бы пять цвет!

К распылению желтой краски мы приступили на двенадцатый день работы. Желтая Terrитория уже граничила с краской, зеленой и фиолетовой. Мы приближались к синей Terrитории. Нервы мои были направены до предела.

Бригада маляров медленно продвигалась сквозь подлеск. Заходившее солнеце отбрасывало длиные тени. Попугай с красивым ярким оперением, получив свою порцию краски из распылителя, с шумом взлетел и скрылся, издавая произтельные крики. Небольшая коричневая змея, обрызганная желтой краской, шпя уползла в укромное местечко. Неожиданно я схватил Альму за плече.

— Клянусь тенью Мебиуса! — воскликнул я хрипло, не в силах унять белено колотившееся сердце.— Я вижу отскода синее пятна!

В прекрасных серых глазах Альмы всыхнуло торжество.

— Так кто был прав?

Я уселся на большой пень и вытер пот, градом катившийся по лицу. Голова раскалывалась от нестерпимой боли. В видах стучало. Сковоз монотонный неумолчный гул насекомых издали доносился четкий, зажигательный ритм барабанов беболупу. Агуз стоял в ожидании дальнейших приказаний.

Я был в полной растерянности. Строю говора, пять областейник не могли иметь общее границы. Я знал, что проблему четырех красков удалось доказать для случая, когда число страна не превышает 35. Но что, если в эти доказательства вкралась какая-нибудь ошибка? Если остров действительно опровергает утверждение проблем четырех красков, мое открытие станет одним из величайших поворотных пунктов в топологии!

Через несколько дней, когда очередным рейсом прилетел самолет из Монровии, мы решили произвести аэрофотосимку острова. К сожалению, самолет был маленьким, с двумя открытыми кабинами, поэтому лететь мог только фотограф с камерой. Как только снимки будут сделаны, пилот высадит фотографа, и возьмет меня, чтобы я мог с воздуха посмотреть на раскрашенный остров.

57

Сколько цифр в числе 100!?

В. Н. КАСАТКИН

Кажется, на этот вопрос получить ответ легко. В самом деле, ниже приведется программа — вычисление факторials числа $N$; работа по такой программе, компьютер вычислит и выведет на экран или напечатает число 100!. Нам останется только подсчитать число цифр в выведенном машиной числе.

Но попытки применить этот подход к большим числам $N$ приводят к неудачам — дело в том, что персональные компьютеры в большинстве своем не могут вывести на экран число, содержащое более 15 цифр.

Вот факторials нескольких чисел, больших 10, вычисленные на ЭВМ типа «Корвет»:
$$10! = 3628800;$$
$$11! = 39916800;$$

$$12! = 479001600;$$
$$13! = 6227020800;$$
$$14! = 87178291200;$$
$$15! = 1307674368000;$$
$$16! = 20922789888000;$$
$$3.55687428096E+14 = 17!$$

ФакторIAL числа 17 уже не помещилися на экран — произшло переполнение разрядной сетки и компьютер вместе точно результата 355687428096000 выдал значение числа 17! в нормализованной форме. ЭВМ предложила нам считать, что
$$17! = 3.55687428096E+14 = 3,55687428096 \cdot 10^{14}.$$

Означает ли это, что мы в принципие не можем на компьютере получить факторIAL большого числа, например 100!. Ответ простой: нет, не означает. Мы можем с помощью ЭВМ получить полную запись числа 100!, не потеряв ни одной цифры.

Это достигается путем использования программыстской смекалки. Задача, которую мы собираемся решить,

58

Рис. 1.

весьма примечательна для программыирования. Речь пойдет о том, как человек использует ЭВМ: действует ли он по шаблону или же, вникнув в особенности машин, заставляет ее работать необъчно, нестандартно.

Прежде чем расскаазать о практически природной программе нахождения всех цифр числа 100!, например о нескольких необходимых в дальнейшем средств языка Бейсик.

В программе будет использована функция «целая часть от значения аргумента». В Бейсике эта функция обозначает INT(X) — для любого действительного X значение функции INT(X) равно целому значению X, не превышающего его, например:

$$\text{INT}(2.5) = 2, \text{INT}(0.002) = 0,$$
$$\text{INT}(-6.3) = -7.$$

Условия все цифры получаемых факторалов чисел считать значениями переменных $a_i$, где $i=1, 2, \ldots$. До начала вычисления $N!$ каждая переменная $a_i$ равна нулю; начнем вычисления (рис. 1).

В процессе вычисления значения переменных $a_i$ изменяются.

Напомним, что если известен факторал числа $(k-1)$, то легко найти факторал числа $k$:

$$k! = k \cdot (k-1)!.$$

Приименим это правило к получению 4!, если известно, что 3!=6. Действует так: 6 умножаем на 4 и получаем 24. Цифру 4 делаем значением переменной $a_1$, а цифру 2 — значением переменной $a_2$. Схематически все эти действия можно изобразить так, как показано на рисунке 2.

Продолжим работу: вычислим 5!. Для этого 4!=24 умножим на 5 и соответствующие цифры делаем значениями переменных (см. рисунок 3).

Примотримся внимательнее к процессу переменжения чисел $k$ и $(k-1)!$. Умножение одного многоразрядного числа на другой сводится к умножению и сложению цифр. При этом мы хорошо различаем цифру младшего разряда и цифры старших разрядов.

Пристановим обсуждение задачи в целом и научимся решать небольшую, но важную для дальнейшего задачу: научим вычислительной машину выполнять выделение цифры десятков и цифры единиц в двухразрядном десятичном числе.

Необходимо составить программу, работа по которая, ЭВМ, после предъявления ей двухразрядного числа, переменной $a_1$ приводит значение, равное числу единиц, а переменной $a_2$ — значение, равное числу десятков.

Пусть переменная $A$ имеет значение, равное двухразрядному десятичному числу (например 73). Разделим значение $A$ на 10 и от результата возьмем целую часть — это и будет цифра десятков:

$$\text{LET}A(2) = \text{INT}(A/10),$$
$$\text{t. e. } a_2 = [7,3] = 7.$$

Если теперь от значения $A$ obtains $a_2 \cdot 10$, то получится цифра единиц в исходном числе $A$:

$$\text{LET}A(1) = A - A(2)*10,$$
$$\text{t. e. } a_1 = 73 - 7 \cdot 10 = 3.$$

Вернемся к задаче получения числа 5! Мы помним, что для этого придается число 4!=24 умножить на 5. Помним мы и о том, что число

59

Рис. 4.

4!=24 хранится необъчно: цифра 4 есть значение переменной $a_1$, а цифра 2 — значение переменной $a_2$. Можно образно сказать, что цифры 2 и 4 хранятся в ячейках $a_2$ и $a_1$ соответственно.

Умножив содержимое ячейки $a_1$ на 5, мы получим двухразрядный результат: $4 \times 5=20$. Цифру младшего разряда (это в данном случае — ноль) будем считать новый значением переменной $a_1$, а цифру 2 удержим пока «в уме». После этого следует выполнить умножение цифры, хранящейся в $a_2$, на 5 и к получению произведение прибавить цифру 2, предварительно взяв ее из нашей памяти. Результат действия: $5!=5 \cdot 4!=5 \cdot 24=120$ (рис. 4). После выполнения всех действия переменные $a_1$, $a_2$ и $a_3$ получили новые значения $a_1\neq0$, $a_2=2$ и $a_3=1$.

Если даже число $(k-1)$! содержит не две, а три и более цифр, схема получения цифр числа $k$! остается прежней (рис. 5).

Рис. 5.

центы $m_i$ могут быть многоразрядными числами.

Использовать следующий текст программы:

REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАКТОРИАЛА ЧИСЛА N
DIM A(100)
INPUT N
FOR I=2 TO 100
A(I)=0:NEXT I
A(1)=1:L=1
FOR K=1 TO N
R2=0:R1=0:I=1
IF R2=0 THEN IF I>L THEN 80
R=A(I)*K+R2
R2=INT(R/(10000!))
R1=R-R2*(10000!)
A(I)=R1
I=I+1
GOTO 40
L=I-1
NEXT K
FOR J=1 TO I-1
PRINT A(I-J);
NEXT J
END

В результате примения программы получим*:

100!=93 326215 443944 152681 699238 856266 700490 715968 264381 6214
963 895217 599993 229915 608941 463976 156518 286253 697920 8272
251 185210 916864 0 0 0

Естественно, что число $k$ может быть не только однозначным, а и двухразрядным. В этом случае коэффициенты Itak, у числа 100! имеется 158 цифр — понятие гипантское число!

*) Машина, распечатьая число, записьает его группами по 6 цифр, пропуская при этом начальное нулевую Так, в приведенной распечатке группу цифр 6214 нужно воспринять как группу $\odot 6214$, группу 963 — как $\odot 963$, 8272 — как $\odot 8272$, 251 — как $\odot 251$ и как другой $\odot$ как группу $\odot 0$

60

Заочная школа при НГУ

При Новосибирском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Ленинского комсомола работает Заочная школа (3Ш) для учащихся 8—10 классов общеобразовательных школа Сибири, Дальнего Востока, Средней Азии и Урала.

Основная задача 3Ш — оказать помощь в формировании и развитию у учащихся интерес к естественным наукам.

В 3Ш 5 отделений: математическое, физическое, химическое, биологическое и экономическое. На математическое, физическое, химическое, биологическое и экономическое неотъемлемое наукам.

Кроме отдельных учащихся, в 3Ш могут быть приняты также математические, физические, химические, биологические и экономические кружки и факультативы, которые работают в школе под руководством учитель. Руководители кружков набирают и зачисляют в них учащихся, приятные в 3Ш, и руководители кружков будут получать задания 3Ш, а также дополнительные материалы. Работы отдельных учащихся проводят в 3Ш, а работы кружков — его руководители (по желанию)

(Начало см. на c. 50)

Наверх воли две веревочные лестницы. Мы взобрались по ним и остановно уселись на закругленный край. Из ответия вырывался поток холодного воздуха.

— Как вам известно, — заметил Сляпенарский, — горлышко настоящей бутылки Клейна открывается в четвертое измерение.

Я осторожно наклонился вперед и заглянул внутри бутылки — холодный ветер дунул мне в лице. Из головы у меня никак не выходила гипотеза четырех красок. Я снова спросил об этом Сляпенарского.

— Что проблема четырех красок? — сказал он пренебрежительно. — Пустяок, сушая безделца. Дайте-ка мне карандаш и блокот.

Я вынул блокот из кармана и протянул Сляпенарскому. Он набросал несколько приудливых геометрических фигур.

— Если карта не содержит конфигураций, допускаются приведение к более простым формам, например не содержит нетронных вершин, многоосвязанных области или колес, состоящих из четырех числа шестиугольников и пар смежных пятугольников, то…

По сейчас не могу без содержания вспомнить о том, что затем произойдет. Из темных глубин бутылки Клейна внесало высунуляя длинный черный крючок, который охватил Сляпенарского за талю. Тот не успел даже позвать на помощь, как был увлечен в туманные глубины бутылки Клейна.

Должно быть, я находится в шоковом состоянии.

— Сляпенарский! Где вы, Сляпенарский? — отчаянно взывал я, но шестно. Ответом мне было эхо, допосившееся, как из глубокого колода.

Все остальное можно рассказать кратко. Молва о случаешемся с быстротой молнии распространяется среди хийкку. Ночно несколько хийкку пропикли на участок профессора, унести бутылку Клейна и сбросили ее со скалы. Они считали, что в бутылке были здесь духи, и хотели нассердать покончить с источником зла.

61

руководителя часть работы может быть проверена и в 3Ш).

Ежегодно часть учащихся 8—9 классов 3Ш приглашается в Летнюю школе при НГУ, которая работает с 1 по 22 августа. Здесь они вместе с победителем Весибирской olимпиды служют лекции крупных ученых, решают интересные задачи на семинарах, посещают с экскурсиями университет и научно-исследовательские институты Академеродка, отделхот и развлекательства. На период зимних каникул учащиеся 3Ш из близлежащих областей приглашаются в Зимнюю школе при НГУ.

Чтобы стать учеником Заочной школи при НГУ, необходимо до 30 сентября прислать на имя директора 3Ш заявление, написанное на почтовой карточке, с просьбой выслать первого задание. Необходимо указать также следующие о себе (см. образец):

Руководитель кружка должен прислать на имя директора 3Ш письмо с просьбой выслать первого задание и дополнительные материалы к нему.

Заявление о приеме на математическое или физическое отделение 3Ш можно выслать вместе с решениями соответствующего первого задания, публикуемого ниже, не позднее 15 октября.

Решения задач нужно записать в проектируемую терраду в клетку, оставляя поля для заменой преподавателя.

На обложке терради указывате те же сведения о себе, что и в заявлении. Работы вместе с заявлением отслеживают только простой bandеролью (тетрадь не перегибайте и не сворачивайте в трубочку). В tetрадь с решениями вложите листок размером 6×10 см с написанным на нем вашим адресом (его наклейт на конверт, когда будут отсылать ответ).

Наш.adрес: 630090 Новосибирск-90, ул. Пирогова, 11, Заочная школа при НГУ.

Первое задание по математике

8 класс

1. 80 % пути турист проехал на велосипед, 40 % оставшегося пути прошел пешком и 12 км пролыл на плоту. Найдите весь путь туриста.

2. Нарисуйте график функции
   $$y = |x - 1| + |x + 1|$$

3. Докажите, что девятизначное число, все цифры которого одинаковы, делится на 37.

4. Высоты треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Какой это треугольник: остроугольный, прямогольный или тупоугольный?

5. Найдите сумму всех трех значных чисел, в записи которых все цифры — нечетные.

6. Как с помощью циркуля и линейки построить треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону? Сколько различных треугольников может получить?

9 класс

1. Поезд проходит most длиной 800 метров за 1 минуту, а mismo наблюдается за 15 секунд. Какова длина поезда и его скорость?

2. На координатной плоскости изображите множество точек (x, y), чьи координаты удовлетворяют условиям
   $$y^2 + y \geq x + |x| - 1.$$

3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ x^2 + y^2 + xy = 19. \end{cases}$$

4. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке M. Выразите вектор $\vec{AM}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

5. Докажите, что двенадцатизначное число, все цифры которого одинаковы, делится на 13.

6. На плоскости задны две точки. Как с помощью циркуля и линейки построить квадрат, у которой эти точки были бы серединами смежных сторон?

62

10 класс

1. В гараже стоит 40 автоматический трехтипов: легковые, грузовые и автобусы. Автобусов меньше, чем легковых. Сколько в гараже автобусов, если легковых автоматический в 12 раз меньше, чем грузовых автоматический?

2. На координатной плоскости изображите множество точек $(x, y)$, чьи координаты удовлетворяют условиям
   $$[x+y]=[x-y].$$
   Здесь $[a]$ — целая часть числа $a$ — наиболее целое число, не превысаящее $a$.

3. Имеются две линейки без делений. Длина одной из них — 48 см, а длина другой — 78 см. Можно ли с их помощью построить отрезок длины 54 см? а длины 56 см?

4. Исследуйте функцию $f(x)=x^3-x^2-x+1$.

5. Можно ли в квадрат со стороны 5 см помещить два непересекающихся правильных треугольника со стороны 4 см?

6. В кубе $ABCDA'B'C'D'$ найдите угол между диагональю $AB'$ грани $ABB'A'$ и диагональю $BC'$ грани $BCC'B'$.

Первое задание по физике
Для построения на физическое отделение 3Ш может оказаться достаточно хорошо решить одну-две задачи. Однако после разораза задач своего класса полезно (и мы вам рекомендуем) ознакомиться с задачи для других классов, а понравившиеся вам задачи — попробовать решить (чем больше, тем лучше). При построении в 3Ш вам будет высланны решения всех задач. Познакомьтесь с ними, даже если вы их все решили.

Экспериментальная задача, предназначенная дляучаших всех классов.

1. Налейте в блюдечко немного воды, имеющей комнатную температуру, и аккуратно поставьте в него вверх дом ополоснутый снаружи очень горячей воды тонкостеный стакан. После того как стакан остынет, в него оказется втянутой часть воды (или вся вода) из блюдца. Измерьте относительной перепад давления и внутри стакана $\Delta p/p_0=(p_a-p)/p_a$, где $p_a$ — атмосферное давление воздуха в комнате. Проделяйте изменения нескольких раз, подумайте над принятими возможность небольшого расходения результатов измерений.

8 класс
2. Восписидист пересекает полосу мокрого acфальта шириной $l$. Колесо влосипеда имеет радиус $R$. Найдите расстояние между полосой и мокрым следом от колеса.

3. Вес тела в воде в два раза меньше, чем в масле, и в три раза меньше, чем в воздухе. Определите плотность масла.

4. С плавучей платформы поднимают на тресе батическая объемом $V=4\ m^3$. Площадь горизонтального сечения платформы на уровне поверхности воды $S=100\ m^2$. На сколько погрузится платформа при полном выходе батического из воды?

5. Одна из четырех электропиток, соединенных так, как показано на рисунке 1, перегорает. Во сколько раз изменится после этого мощность каждой литки?

6. В весах для изменения массы сыпучих тел на концах легкой линейки длиной 2L закрыплены чашка и противовес, их массы одинаковы и в сумме дают $m_0$. Скругленная сила опора может свигаться относительно линейки, пока вес с грузом не оказывается в равновесии при горизонтальном положении линейки. Найдите массу груза, если середина опоры сместится при этом на расстояние $l$ от середины линейки.

9 класс
2. Сосулька падает с крыши дома. Первую половину пути она пролетела за 1 секунду. Сколько времени ей осталось лететь?

3. Для контроля толщины металлической ленты изменяют сопротивление $R$ к квадратаго участке, подсоединяющие медные контакты к противоположным сторонам участка. Какова толщина ленты, если удельное сопротивление ее материалов $Q$?

63

4. На какую предельную прочность на разрыв должны быть расчитана переброшенная через блок ввервка, который поднимают груз массой $m=10$ кг, подвешивая к свободному концу различные грузы (рис. 2)? Массу блока и ввервки считайте пребрежимо малыми.

5. Сила давления шара на добассейна при заполнения бассейна водой уменьшилась в два раза, когда уровень воды достигет центра шара (рис. 3). Определите плотность материалов, из которого сделан шар.

6. Автомобиль движется колонной со скоростью $v_0$. На одном и том же участке дороги каждый автоматиль уменьшается от $v_0$ до $v$, после чего продолжает двигаться с неизменной скоростью $v$. При какой наименьшей дистанции между автоматили они не будут стальиться при торможении? Длина каждой автоматили $L$.

7. Наполовину закрашенный диск совершает 25 оборотов в секунду. Его снимают кинокамерой, делающей 24 кадра в секунду. С какой частотой будет вращаться диск на киноэкране?

10 класс

2. Горизонтальный ствол винтовки направлен прямо в центр мишени радиусом $r=5$ см. При какой наименьшей скорости вылета пуля попадает в мишень с расстояния $L=100$ м? Сопротивлением воздуха пребрежить, ускорение свободного падения $g=10$ м/c$^2$.

3. Решите задачу 3 для 9 класса.

4. Решите задачу 4 для 9 класса.

5. Два одинаковых конденсатора заряжены и соединены между собой. Пластины одного из них развигают на большое расстояние. Во сколько раз изменится напряжение на другом конденсаторе?

6. Для определения собственного объема сыпучого материалов его помещают в цилиндр, который герметически закрывается в цилиндре $p_1$ и $p_2$ при одной и той же температуре, но разных положениях поршня, когда суммарный объем воздуха и исследуемого материалов равен соответствию $V_1$ и $V_2$. Определите объем сыпучого материалов по этим данным.

7. Решите задачу 6 для 9 класса.

Основы и задачи

1. Если раскачивание сильное, то сухAMEПогнется, и в нижней точке траектории сиденье качелей станет задавать землю.

2. См. рисунок.

3. Вода, находящаяся в зазоре между склевшимся стеклами, смачивает стекло, и по краям стекол свободная (боковая) поверхность воды вогнута. Силы поверхностного натяжения не дают оторвать стекла друг от друга. Если опустить стекла в воду, то исчезнет вогнутая боковая поверхность водной прослойки, а вместе с ней — и стягивающие силы поверхностного натяжения.

4. Если пузырек смешен относительно центра, то шарик, положенный на поверхности воды, всегда будет поворачивать так, чтобы полностью наивысsem положении.

ЧЕМПИОН МИРА
ЗА КОМПЫЮТЕРОМ

Несолько лет назад в вычислительной системе АН СССР два молодых сотрудника А. Дудоладов и Г. Сенин разработали на компьютере информационного - поискового системы (ИПС), обладающего многими ценными качественными: компактным хранением текстов партии, удобным способом их ввода, накопления и извлечения по различным запросам, быстрый печать, возможность анализа партии с глновенным возвратом к нужной позиции и т. д. К сожалению, работа не нашла достагочной поддержки. Вскоре в ФРГ была создана более мощная ИПС «Чесс Бейс», реализованная на персональной ЭВМ «Атари». Эту систему можно создать с шахматным микрокомпьютером, что позволяет вводить тексты партии как с клавиатуры «Атари», так и путем их проигрывания на доске.

Острумно решаются вопросы поддержки, обновления и сопроводления «Чесс Бейс». Раз в два месяца выходит «журнал»-дискета с дработками программы, инструкциями по их включению в систему и текстами партии важнейших состояний. На одной дискете помещается до 6 тысяч партии, но в «Чесс Бейс» записьюются 2—3 тысяч — оставлено место для компетериев, вариантов и т. д.

В прошлом году создатель «Чесс Бейс» М. Вьюленвебер приезжал в Москву и демонстрировал свое детше в Центральном шахматном клубе. «Можно ли использовать систему для выпуска информационных блюдателей?» — спросите его на встрече. «Никаких проблем,— улыбнулся автор системы,— возьмем партию, который все помят.— На экране во всю шриниру появился запись 24-го, решающего поединика Каспаров — Карпов в Севилье.— Хотите получить текст на английском или немецком языке или же в виде фигурок-пиктограмм?» Приступуюю шие решили в пользову фигурок; после нажатия пары клавиша на дисплее вместе буков появились изображения фигур.

«Какую шриниру текст выбрать? — и он ограничил стольец с помощью прибора, называемого «мышью». В результате запись автоматически перестроилась на нужную шриниру.

«Здесь,— Вьюленвебер показал с помощью «мышью» стрелочкой, — вам нужно встать комментарий. В записи делаем разрыв и заполняем нужными комментариями. А в этом месте,— стрелочка опять поплаша,— разметим диаграмму…» Запись снова разорвалась, и перед собравшимся появлением диаграмма с позицией после соответствующего хода. В результате была набрана страница шахматного текста, и спустя двадцать секунд она уже появилась в отпечатном виде. Если речь идет о туририном пресс-бюлете, то с нее можно стать нужное количество копий.

Об этой системе высокого отозввления чемпион мира Г. Каспаров. Подготовка к туририрам и матчем, по его мнении, с помощью «Чесс Бейс» занимает намного меньше времени и может быть проведена более глубоко и основательно. Каспаров и сам несколько раз пользовался этой системе.

В 1986 году в Гамбурге чемпион мира давал сеанс одновременной игры с чаасами во всем сильнейшим немецким мастером и програмал — 3,5:4,5. В следующем году он решил взять решение у той же «команды». Но предварительно попросил подготовить ему партии содержимого за последнее два года. Каспаров просил за «Атари» около трех часов, изучая с помощью «Чесс Бейс» и дививальность партеров, их наклонности и стиль игры. Сеанс-реванш принес победу чемпиону мира со счетом 7:1. «Каждо из содержимого занал теперь как своих статьях».

рых знакомых, знал их и сільные, и слабые стороны»,— так прокомментировал Каспаров свой успех.

Любопытно, что спустя месяц Каспаров дал аналогичный сеанс в Базеле сборной Швейцарии. На сейчас он провел за компьютер около 6 часов и в быстро темпе просмотрел 700 партий будущих противников. Сеанс завершился со счетом 5,5:0,5 в его ползу. И вовь столбутедельный результат чемпион мира объясил свое прекрасной подготовкой. «Этореволюция шахматной игры!»— сказал Каспаров, когда он оценил все достопинства «Чесс Бейс».

Заметим, что чемпион мира вообщегортей энтузиast персональных компьютеров. Не слушайно он — президент первого компьютного клуба в Москве на Рождественском бульваре. А совсем недавно Каспаров провел уникальный сеанс одновременной игры при помощи спутников связи и комплектов. Сам сеансер находился во Франции, в Канах, а десять его содержимов — в разных странах, даже на разных материалов. В Москве в компьютерном клубе с чемпионом мира сразуался советский участник сеанс — чемпион страны среди юношей М. Улыббин. Он и сделал единственную ничью в этом международном представлении. Одну партии Каспаров проиграл, общий результат сеанс — 8,5:1,5 в его ползу. Блестиший результат, если учсть, что все участники сеанс — мастер, а двое— даже международные.

Bot одна из партий этого сеанс, которую чемпион мира быстро вышел у итальянского мастер из Милана.

Г. Каспаров — Э. Арланди Англиское начало

1. c4 c5 2. Kf3 Kc6 3. d4 cd 4. K:d4 Kf6 5. Kc3 e6 6. g3 Cb4 7. Cg2 0—0 8. 0—0 d5 9. cd ed 10. Cg5 C:c3 11. bc Ce6 12. Jb1 Ka5 13. Jb5 a6 14. C:f6 gf 15. Jb4 Jc8 16. e4 de 17. C:e4 f5 18. C:f5 C:f5 19. K:f5 Ф:d1 20. J:d1 J:c3 21. Jd7 Jf3 22. Jd5 b5 23. a4 Jb3 24. Jg4+ Kph8 25. Kh6 Kc6 26. Jf5. Черные сладкие.

E. Я. Гик

Перед вам кольцо, состоящее из десяти правильных tetraэдров. Оно склеено из плотной бумаги и может изгибаться и выворчитаться до бесконечности, все время меняя свою форму. Здесть изображены четыре последовательные фазы его врачиния. Обратите внимание на то, что каждый пара соседних tetraэдров имеет общее ребро, и при выворчитании колчага tetraэдры совершают колебания вокруг этого ребра. А пятуюLOBная звезда, перiodическая возникающая внутри колчага, при каждом последующем появлении оказывается по-вернуть на 36°. О том, как сделать такое колчо, вы можете прочитать в статье «Флексаоны, флексоры, флекстмы». Развертка колчua представляет там на рисунке 15. Рекомендуемый размер reber tetraэдров — 3,5 см. Не пожалев времени, тщательно разметьте развертку и раскрасть ее в два своих самых любых цвета. После этого вырежьте ее и, следуя указаням, даним в статье, аккуратно склейте. Проделав все это, вы станете обладаателем игрушки, которая, попаев в ваши руки, мzhновенно оживает.