Квант 1988, №8 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-mатематический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Поговорим про вечерний снег…

1988

ГАДАТЕЛЬ
НА ВА ВНИЙКВА

СIE ГАДАНИСТ МАЛОЛЕТЬ БЫТНИ ИЗНУЧЕНТЬ ЗЕРНА ПИСТИНАЯГО ВЪРУКИ ВЗЯВЛП
ВЪРУКЪ ВИСТЬ НА СРЕДНИУ СЕСО КРУГА. СПУСТИТЬ НА КОТУРОК ЧИСЛО ПАДСТЬ ЗЕРНО
ПОЗИЛИУ ТВОЕГО ГАДАНИВ СКТОГО ЧИСЛО ТАЙГИ ИЛЬ СТРОКАХ И ТРИГОТОВЫЙ ВУДИ

Пазволеск Ценуров М.Э.МАЯ 1899.r
Ликр.Горьшева ВВ Голышевка

1

В номере:

2 Памяты Ландду
8 А. А. Кремер. О рассеянии, или Как изменить жирность молока
15 Ю. П. Чукова. Распределение Пуассона
19 А. П. Винчиценко. Простые числа, математическая статистика и… ЭВМ
23 В. Н. Дубровский. Как возникает распределение Пуассона
26 А. В. Митрофанов. Поговорим прочерашний снег
Задачник «Квант»
30 Задачи M1116—M1120, Ф1128—Ф1132
34 Problems M1116—M1120, P1128—P1132
35 Решения задач M1096—M1098, M1100, Ф1108—Ф1112
32 Калейдоскоп «Квант»
«Квант» для младших школьников
33 Задачи
44 А. С. Штейнберг. Коротко о тепловом расширении
Лаборатория «Квант»
48 И. И. Мазин. Простые опыты с кипятком
Математический кругжок
51 М. В. Волков, Н. Н. Силкин. Кого послать на Марс?
57 Избранные школьные задачи
Практикум абитуриента
58 А. Р. Зильберман. Расчет электрических цепей
Информация
Вечерняя физическая школа при МГУ (14)
18 Заказы принятия…
ХI Турнир юных физков (61)
64 Ответы, указания, решения
Смеся (47, 50)
Наша обложка

1 Какое отношение эта электронная микрофотография (увеличение 10⁴) поверходит полипропиленовой плени имеет кочерашнему снегу, вы узнаете из статы А. В. Митрофанов.
2 Рисунок из старинной задательной книжки. На кругл с цфрамми бросали зернишко и под номером, на который оно nadало, в специальном списке вычитывали свою судьбу. Колчество появлений заданного номера в длиной серии заданий случайно, по подчиняется так называемому закону Пуассона. Две статьи в этом номере журнала — Ю. П. Чуковой и В. Н. Дубровского — посвящены верогтностному распределению Пуассона.
3 Шахматная страница
4 Головоломка «Змейка Генеля».

© Издательство «Нука».
Главная редакция физico-matематической литературы, «Квант», 1988

3

И. М. Халатников. — Родился Лев Давидович Ландду в 1908 году в Баку. Интерес и способности к точным наукам проявил очень рано. Сейчас об этом все знают, а сам Дай говорил так: «Интеррировать я научился в тринадцать лет, а времени, когда бы не умел дифференцировать, не помню». Как раз в тринадцать лет он окончил школа и поступил в экономический технический институт. Проучился там год, и в 1922 году стал студентом Бакинского университета, причем двух факультетов сразу — физико-математического и химического. Вскоре ректор рекомендувал заменятьного студента в Ленинградский университет. В 1927 году, девятнадцати лет, Дай закончил ЛГУ. Работать он начал в Ленинградском физico-техническом институте, который возглавил тогда Абрам Федорович Юффе — «папа Юффе», отец советской физики. В 1929 году в числе лучших аспирантов института Ландду был командирован за границу и посетил крупнейшие европейские центры теоретической физики. Побывал он и в Кембридже, где работал тогда Петр Леонидович Капица. Спустя девять лет, в тяжелый для Ландду год, Капица придет к нему на помощь, риску, быть может, даже жизнь.

Мы не видели Дай за границей, но слышали рассказы тех, кто был тогда рядом с ним. Говорили, что он ходил в красном піджаке…

Л. П. Питаевский. — Он был, как говорил сам, крайне левых убежdenий…

И. М. — Да, ему нравилось подразивать буржуазное мешанство, и в этом он чем-то походил на Маяковского. Говорил, что вот эту семью следует развести, а ту, напротив, образовать. Но его там все любили.

В это время было решено создавать в стране новые физические центры. Так возникли физico-технические институты в Харькове, Томске и Днепропетровске. В тридцать втором году Ландду уехал в Харьков. Мощь интеллекта, обязатель этой личности произвели огромное впечатление на студентов. Он был заменальным лектором — и, естественно, все захотели стать теоретическими и работать с Ландду. Поэтому он решил построить вокруг себя небольшой «забор» и придумал теоретический минимум. Только те, кому удалось сделать все экзамены этого минимума, получали право работать с Дай. Он относился коспитанию молодежи необыкновенно сердезно и считал, что если кто-то затратил такой труд и смог сдать все экзамены минимума, то его, Ландду, долг (долг!) — заботиться о таком человеке. Но его забота не имела ничего общего с мелочной опекой или всесторонним покровительством. Ландду помогал ученику вырасти в мастер, «расправить крылья».

Дуу был учителем от природы. Учить для него было удобствием. Поэтому он начинает думать о написании курса теоретической физики, по которым могли бы заниматься будущее теоретически. Знаментий «Курс теоретической физики» Ландду и Лифшца зародился, таким образом, еще в Харькове.

Нужно сказать, что Ландду обладал очень количеством характерам и острым языком. Поэтому он не только нахоедил друзей, но и наживал врагов сымым основательным образом. Времена были скверные. Анонимный домос мог лишить чистого человека имена, свободы, передко — жизнь. Такое еда не произошло и с Ландду. В 1937 году он заведовал кафедрой теоретической физики в Харьковском университете и возглавил теоретический отдел Укранинского физico-технического института (УФТИ). Вдруг — без всяких обязанностей — его уволили из университета. Тучи над головой Дуу сгущались. И тогда все его кафедра подала заявления об уходе. Это был шаг чрезвычайно отважный и опасный. К нему относились серверно. Нарком просвещения України В. П. Затонский пригласил всех в Киев и пообещал, что Ландду будет возвращен. Так проявились друзжеские отношения и любовь к Дуу его сотрудников.

…В 1935 году Петр Леонидович Капица организовал в Москве Институт физических проблем (ИФП) и искал физика, который возглавил бы теоретический отдел института. Он предло-

4

Жил эту должность заменитому Максу Борну, безавшему из национской Германии, но к тому времени Борну уже работал в Эдинбурге. И тогда Капица пригласил Ландду. Это был счастливый момент в биографии Льва Давидовича. Незвестно, чем бы все кончилось, остался он в Харькове. Достаточно сказал, что после отъезда Дуу в Москве его любимый ученик Исаак Яковлевич Померанчук был исключаен из комсомола «за связь с Ландду».

---

И. М. — Необходимо сказать несколько слов об отношении Ландду к науке. Он действительно любил физике и готов был обсуждать любую физическую проблему или задачу с каждым, кто приходит к нему за советом. Нужно было лишь заинтересовать его. Дуу был необыкновенно щедр и, если увлекался, мог начать «играть с листа» — брал номер «Physical Review», клад сверху чистый лист бумаги (он общно занимался, лежа на диване) и начинал импровизировать — решать задачу.

Ландду считал себя чемпоном мира по техническим физическим задач. Он говорил, что если чето формулировать задачу и предложить ее всем лучшим физкам мира, то он решит ее быстрее всех. Дело было во-ce не в том, что Ландду быстрое умел вычислять. В решении он всегда нахоил тот подход, который подсказывала ему физика проискодящего. Часто, читая статьи, он заглядвал лишь в результате, после чего воспроизвил его сам и, как правило, короче, чем автор. Именно такому подходу к теоретической физике — позволящему очень эффективно решать самые разнообразные задачи — обязаан своей популярность во всем мире курс Ландду — Лифшица.

И. Е. Дзялошинский. — Он любил все классифицировать: физков вообщее, физков-теоретиков,женщиин,дураков и подхалимов… И всегда — сизрядной долей юмора, шутки, хотя подчас весма язытельной и небезобидной.

И. М. — Ландду любил шутку. И мы тоже очень любили всевозможные розыгрыши. Но Дуу всегда следил за тем, чтобы соблюдалось неписанное правило: нельзя было, чтобы в розыгрыше «участовали» пресса и органы Советской власти.

Л. П. — И еще — розыгрыш не должен был наносить разыгрываемому материальной ущерб.

И. М. — Придумывайте шутки, разыгрывайте друг друга! Это украшает жизнь!

Тепер еще скажу вам, как Ландду относился к математике. Технический он владел вirtуозно и признавал только «realную» математи-

5

ку — ту, что нужна физика. Постоянным объектом его шуток были теоремы существования.

Л. П. — Да. И вместе с тем сам он интересовал математикой не только конструктивной. Я однажды заговорил с ним о том, как увлекательна проблема простых чисел. Он сказал: «Да, это интерес», — и тут же, без подготовки, показал, как растет количество простых чисел, меняших данную числа n, при больших значениях n.

И. Е. — О том, как появились экзамены теоретического минимума, здесь уже говорили. Хотелось бы расссказать, как это развивалось и чем, к сожалению, кончилось. Поначалу не было известно, какие задачи дает Ландду, так что списывать было просто неоткуда. Кроме того, все мы относились к этим экзаменам очень серьезно, и сама мысь о том, что можно списать, просто не приходила в голову. Потом сделших стало очень много, и Ландду не мог уже лично экзаменовать всех желающих. Тогда экзамены были розданы нам по одному на каждого. Круг задач становился известен, и я уже началLOBить людей, которые списывают … Однако я даже пожелал человека, который теперь уже членкорреспондент. Он настояло обиделся, что перестал сдавать теорминимум вообще. Так что проискдило и такое. Для нас это было немного удивило, потому что Ландду считал, что экзамены должны применяться абсолютино безхитростно: все вопросы на экзамене должны быть задачами из курса Ландду — Лифшца. Вы их должны были просто знать. Если же вы обладали какой-то жуткой способностью и вам удавалось запомнить все, что там есть, то, по-видимому, вы и так гениый.

Сам по себе двух экзаменов стал меняться в том смысле, что экзаменаторы начинали исхитрться, задавать вопросы, которые со школы принято назвать «задачами на сообщение». И это плохо, но вина в этом отношении не наша. К сожалению, теперь списывать сильно извратила выщее образование, и теперь списывать уже не считается поступным. Я напомню, что восем лет назад в американской военной академии в Аннаполисе весь выпуск курс

Участники конференции (слева направо): кандидат физico-mатематических наук Ф. Ф. Каменец, декан факультета общей и прикладной физики МФТИ; член-kорреспондент АН СССР Н. В. Карлов, ректор МФТИ; член-kорреспондент АН СССР Л. П. Питаевский; доктор физico-mатематических наук М. И. Каганов; академик И. М. Халатников; член-kорреспондент АН СССР И. Е. Дзялошинский; кандидат физico-mатематических наук С. А. Гордонин, доцент кафедры теоретической физики МФТИ.

7

ные. Вплоть до самого конца не понимал только Ландду. Он был «тупее всех» и, когда все уже считали себя полностью удовлетворенными, продолжал задавать самые, казалось, не относится к существу дела вопросы. И передко в результате оказалось, что стать ошибочная. Но в то же время Дay всегда очень уважал чужую работу. Dokладчик, начинающий со слов «Вот, взял статью, оказалась совершенню чепуховой», получал нагоний: «Не делайте из автора дурака, поскольку он этим вопросом занимается, а вы, докладчик, нет!».

Еще Ландду очень не любил лентяев. Вставал он не очень рано и утром, часов в одинадцать, приходил в спирантскую комнату и заводил разговор на общие темы. Но все это было довольно опасно. Если вы не переходили на темы научные, то он либо начиналскуать и уходил, либо злился, что разговор идет впустую, и тогда уже придался с нежорошими намеками … Намеки эти часто бывали небезобидны, но всегда очень остроумны.

M. И. — Я хотел бы сказать вот о чем. Совсем недавно в романе Бориса Ямпольского «Московская улица» я прочитал отрывок, где герой размышляет, «…как бы все могло сложиться… если бы в самом начале жизни на твоем пути встретился человек, который все знает, и в самом начале пути научил тебя закалке и читать лучшие книги, и дорогить временем, и не терять на чепуху, на безделье, на бедлам ни минуты, и ценить то, что действительно ценно, этот мифический, небывающий, добрый и великий человек, учитель, который на самом деленикогда и никому в жизни еще не попадался, и каждый доходил до всего сам, и делал все ошибки». Но мне кажется, что есть большая группа людей (и все мы, приведшие к вам сегодня в гости, — в том числе), которые в жизни необычайно повезло. Потому что у нас был Учитель, который научил очень многоу. Сейчас это трудно передать — мы все уже старые, взросленные. Мы уже не можем обьясить, какую роль играли разговоры с Ландду.

Ошущение того, что физика — главное дело жизни, что ничего важнее

этоого нет, он умел передавать своим близким.

«Не бывает сложных проблем (речь идет о человеке克斯 взаимодействия), бывают трудные проблемы». Вдумайте, и вы пожетте, насолько глухок смысл этих слов.

И главное: «Человек роден, чтобы быть счастливым».

Он оставил после себя книги, по которым оцень долго многое и многое будет постигать физику. Он оставил после себя Школу. И — идеи и результаты, которые насегдаются в науке.

---

В заключение — реплика Николая Васильевича Карлова, ректора МФТИ.

— Если можно, я хотел бы добавить несколько слов. Я чущая в физике с сорок седьмого по пятдесят первый год, и общий курс физики — с первого года — читался Ландду и Капицей. Первой я условиял лекцию Ландду и, признаясь, сразу подумал, что, какется, неудана поля. Уровень был таков, что одаренные молодые люди, ценившие себя высоко, участившиеся в оптимидах, прошедшие через два непростых тура встретились экзаменов, были ошибанены. Однако постепенно мы осознали, что нам предоставались счастливая возможность увидеть физик глазами этого замечательного ученого, с его глубиной понимания, широкой охвата, неожиданностью сравнения. Неоднократно, в разных laboratorиях мира — от Стэнфордского университета до Нормальной Школи в Париже — я слышал от коллег, студентов, аспирантов слова о том, как нам повезло, что у нас есть такой курс — курс Ландду и Лифшца. И физех должен гордиться тем, что среди его профессоров были Лев Давидович Ландду.

Публикацию подготовили
Д. Кашинцев и Р. Рамазавил

9

О РАССЕЯНИИ,
или Как изменить жирность молока

А. А. КРЕМЕР

Во все времена молоко было одним из основных продуктов питания человека. Все компоненты, содержащие в молоке, — жиры, белки, сахара, витамины — прекрасно усваиваются организм. Оdnako признано, что основная питательная ценность молока определяется жиром. Позотому пакет 6 %-го молока стоит дороже, чем пакет, на котором написано «жирность 3,5 %». Но как появились эти цифры на пакете? Каким образом определяют процентное содержание жира в молоке?

Для этого разработаны химические методы. Они связаны с применением концентрированных кислот и других агрессивных реактивов, и дитяся один анализ — ни много ни мало — получа. А общая потребность в таких анализах составляет более полумилларда (!) в год. При таких масштабах уже не обойтись без физических методов с их простой и высокой производительностью.

Слово «молочный» всегда было синонимом слова «мутный»: молоко тумана, молочное стекло и т. д. Мутная среда — это среда, непрозрачная для света не за счет поглощения (как, например, лист металла), а за счет рассеяния. Мутность молока обусловлена в основном наличии жира, который содержится в виде огромного количества шариков, диаметр которых колбляется от 0,5 до 10 мкм. Чем жирнее молоко, тем больше в нем жировых шариков, тем менее оно проразно. Значит, изменяя proporность молока, можно определить его жирность. Это пока что только идея. Не надо забывать, что мы собираемся конкурировать с химическим методами, позволяющими изменять жирность молока с точностью до 0,1 %. Именно такая точность и нужна на практике. Ухудшение точностирозит миллионными убитками: либо вы ку-

Пис. 1.

10

Часть пучка проводимодействует с частицей: отразится от поверхности, преломится внутри и т. д. Лучи из этой части пучка уже не сохраняет первоначального направления и либо совсем уйдет в сторону, либо, проijdя линзу, попадут в фокальную плоскость, но не в фокус. В результате полная световая энергия, собирающаяся в фокусе, уменышится на $\Delta\Phi$.
На первый взгляд представляется очень видным, что световая энергия, унесенная рассейной частью пучка, равна

$$\Delta\Phi' = E_0 S,$$

(1)

где $E_0$ — освещенность единичной площадки в падащем пучке, а $S = \pi r^2$ — площадь контура частицы. Однако мы увидим, что в действительности все обстоит не так просто, и полная световая энергия, рассейваемая частью, отличается от $\Delta\Phi'$.

Для характеристики рассейвающих свойств частицы мы воспользуемся безразмерной величины

$$\dot{Q} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta\Phi'},$$

(2)

где $\Delta\Phi$ — энергия, «теряющая» в результате рассейния. Отскание зависимости $Q$ от $r$ и от $\lambda$ и изучение распределения рассейного излучения в пространстве — это основная задача теории рассейния, с решением которой связаны такие блестише имена, как P. Декарт, Дж. Тиндаль, У. Рэлей, Л. И. Мандельштам и другие. А возможно интерес к этой задаче… из детского любопытства. Над нами проектируется градинозный природный «полгон» различных явлений светорассейния — атмосфера, представляющая собой воздействиux, насыщенный водяными каплями и пылевыми частицами. Десятки вопросов занимают нас с детства. Почему облака белые, а тучи черные? Почему солнеце желтое, а небо голубое? Что такое радуга? Почему в тумане все выглятит таким страным? Из таких вопросов ирождается серbezная физика.

Полная теория рассейния электромагнитной волны на сферической частице оказалась «креплим орешком», который подался усплиям ученых лишь в начале нашей века. Но некоторые ее результаты можно получить из простых физических соображений. Прежде всего, физическая интупция подсказывает нам, что вся картина рассейняя определяется не длиной волны и радиусом частицы в отдельности, а соответствием между ними. Другими словами, безразмерная величина $Q$ должна зависеть от безразмерной комбинации $r$ и $\lambda$, а именно — от параметра $\varrho = r/\lambda$.

Хотя явного вида $Q(\varrho)$ мы пока не знаем, попытаемся все же проследить ее поведение в пределных случаях. Если размер частиц бесконечно мал по сравнению с длиной волны ($\varrho \rightarrow 0$), то нет смысла говорить о световых лучах, которые попадают на частицу и рассенвают его. Волна просто «не заменяет» частицу, $\Delta\Phi \rightarrow 0$ и $Q \rightarrow 0$. Задачу о рассейнии бесконечного малой частицей рассматривал знаменитый англійский физик Лорд Рэлей, который показал в 1892 году, что, во-первых, свет рассенвается во все стороны равномерно, а во-вторых —

$$Q \sim \varrho^4 \sim \frac{1}{\lambda^4}.$$

(3)

С помощью этой зависимости впервые был обнаружен цвет неба. Ведь он пределяется цветом солнечных лучей, рассейных атмосферой. Из (3) следует, что коротковолновая часть спектра (синей цвет с $\lambda_1 \approx 0,4$ мкм) рассенвается горизонтально, чем длиноволновая часть (красный цвет с $\lambda_2 \approx 0,7$ мкм):

$$\frac{Q_1}{Q_2} = \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \right)^4 \approx 9.$$

Позному мы и видим над собой бездонную синеву небес.

Теперь обратимся к случая, когда частица бесконечно большая по сравнению с длиной волны ($\varrho \rightarrow \infty$). Здесь мы находимся во владениях геометрических оптики, и представляется очень видим, что рассейные лучи — это те лучи, которые попадают в контур частицы. Так что $\Delta\Phi = \Delta\Phi' = E_0 S$, и, казалось бы, $Q = 1$. Однако мы забили о том, что волновые свойства света проявляются и здесь. На контуре

11

частицы всегда происходит диффракция. Лучи света, претерпевшего диффракцию, распространяются вперед, по ходу падающих лучей, но все же слегка отклоняются от своего первого начального направления. А раз так, то в нашем строом эксперименте с линзой эти лучи уже не соберутся в фокальном пятне. И при этом оказывается, что энергия, которую уносят эти лучи, в точности равна $\Delta\Phi'$. Так возникает удвоение количества рассеяной световой энергии:

$$\Delta\Phi = 2\Delta\Phi', \text{ и } Q = 2.$$

Обратим внимание на то, что бесконечно большая (по сравнению с $\lambda$) частница, в отличие от бесконечно малой, рассеивает свет в окружающей пространство уже не равномерно: ведь в одном только направленном перед диффракционном «языке» оказывается заключенной половина $\Delta\Phi$.

Наблюдать асимметрию пространственного распределения рассеяного света можно вечером во время густого тумана. Вот идет авторомиль. Свет его фар как бы заставляет туман светиться. Но это свечение не отовсюду видно достагоно хорошего. Водитель видит довольно тусклый конус света. Зато пешекод, смотрящий спереди (не в упор, конечно, на фару, а под небольшим углом к направлению света), видит яркий светящийся столб тумана. Дело в том, что относительно крупные капли тумана рассеивает свет примущеневно в направлении расспранивания падающего светового пучка. Этот эффект известен и астрономам: недавно открыты колъца Юпитера, состоящие из частицы пыли, хорошо видны при освещении их Солнцем сзади, из-за Юпитера. В этом случае рассеяный свет доходит до земного наблюдаателя.

Итак, мы получили:

$$\lim_{Q \to 0} Q = 0, \lim_{Q \to \infty} Q = 2.$$

Общий вид кривой $Q$, расчитанной по точным формулам, изображен на рисунке 2 (синяя кривая). Здесь по оси абсцисс отложена величина $X = K\varphi$, где $K$ зависит от относительной коэффициента преломления частцы и окружающей среды. Так, для частц воды в воздухе (туман) $K = 4,1$, а для частц жира в воде (молоко) $K = 1,5$. Первое, что бросается в глаза при взгляде на кривой $Q(X)$, — ее немотонность. Наряду с «нормальными» участками возрастания есть и аномальные участки убывания $Q(X)$. Вообще наличие пиков в различных зависимости, описывающих колбательный процесс, связано, как правило, с хорошего всем знаком явления резонанса. В нашем случае колбательный процесс — это распространение электромагнитной волны, а резонирует она с частицей: когда $\lambda \approx nr$, где $n$ — целое число, рассеяние резко увеличивается.

Если бы атмосфера рассеивала аномально, то Солнце выглядало бы весма необъчно: оно имело бы… синий цвет. Понять причину этого нетрудно: красная часть солнечного спекта, которая рассеивалась бы сильнее, выходила из поля зрения,

12

a синяя, слабо рассеивающая, доходила бы до наблюдаателя. Мы можем даже оценить размер водяных капель, которые давали бы такой эффект. Из определения $Q$ и $X$ следует, что $r = X \lambda / K$. Подберем $r$ так, чтобы $\lambda_1 \approx 0,4$ мкм соответствовала главному минимуму $Q(X)$ при $X_1 = 7,6$, а $\lambda_2 \approx 0,7$ мкм — главному максимуму $Q(X)$ при $X_2 = 4,1$ (имеет смысл говорить лишь об этом первом пике $Q(X)$), поскольку достаточно небольшого размера в коллективе рассеивающих частиц, чтобы остальные пики в их суммарной $Q$-функции сгладились). Объем условия удовлетворяет $r \approx 0,7$ мкм. Таким образом, воданые капли, радиус которых лежит в близи 0,7 мкм, рассеивают аналогично. Меншие капли рассеивают нормально, а для больших величины $Q$ уже практическим не зависят от $Q$.

В атмосфере наиболее мелкие водыные капли содержатся в области: $r = 3 \div 5$ мкм при среднем расстоянии между каплями $1 \div 1,5$ мм. В тумане капли имеют размер $5 \div 50$ мкм, а в дожде (в зависимости от силы) $r = 0,1 \div 2,5$ мм. Капель с радиусом $r \approx 0,7$ мкм, как мы видим, нет, и становится понятно, почему никто из нас не видел синего Солнца. Однако…

26 сентября 1951 года жители западной Европы были потрясены фантастическим зрелищем: Солнце имело густой ультрамариновый цвет, а вечером такого же цвета была и Луна.

Еще лет 200 назад это явление было быоспринято как страшное предзнаменование. Мы же с вами, вооруженные теории рассеяния, сразу понаем, что наблюдаюсь аналогично рассеяние солнечного света. Но на чем? Виновника произвесния вскоре нашли. Ветер принес из Канады огромное облако капель древесной смоль, поднявшихся в воздух из-за сильных лесных пожаров в провинции Альберта. Размеры капель и параметр $K$ оказались таковы, что капли рассеивали аналогично.

Можно было бы привести еще множество примеров, иллюстрирующих различные проявления светорасссяния, но пора вернуться к объекту, радиикул.

Рис. 3.

которого был затейн этот теоретический экскурс, — к молоку. Мы уже готовы к тому, чтобы описать процесс прохождения параллельного светового пучка через тонкий слой молока. Пусть молоко налито в кивету и свет падает на стенку киветы перpendикулярно. Удобно представить себе, что жировые шарики расположены в молоке слоями, параллельными стенкам киветы (рис. 3). Каждый частица в первом слое рассеет светового энергию $\Delta \Phi_1$. Согласно (1) и (2),

$$\Delta \Phi_1 = QSE_0 = Q \pi r^2 E_0$$

($r$ — средний радиус частиц). Рассеянные лучи уходят в разные стороны, и освещенность, создаваемая первоначальным пучком, после прохождения светом первого слоя частица падает от $E_0$ до $E_1 < E_0$. Поэтому каждая часть из втором слода рассеет светового энергию

$$\Delta \Phi_2 = QSE_1 = Q \pi r^2 E_1.$$

И так далее. Наша задача — найти освещенность, создаваемую параллельным пучком на выходе из киветы. Для этого рассмотрим внутренний киветы слой молока толщиной $\Delta x$. Пусть освещенность в месте расположения этого слоя $E(x)$. Изменение освещенности в слое определяется энергией, рассеиваемой всем частицами этого слоя, и если в единице

13

объема имеет $N$ шариков жира, то

$$\Delta E = -Q \pi r^2 E(x) \cdot N \cdot \Delta x.$$

Отсюда при $\Delta x \to 0$ перейдем к дифференциальному уравнению:

$$E' = -Q \pi r^2 NE(x).$$

Как известно, дифференциальное уравнение вида

$$y'(x) = ay(x)$$

имеет своим решением экспоненциальную функцию

$$y(x) = ce^{ax}.$$

Применительное к нашему случая получаем, что на выходе из коветы длиной $l$ параллельный пучок света будет создавать освещенность

$$E(l) = E_0 e^{-Q \pi r^2 Nl}.$$

Реальные приборы построены так, что изменяется не освещенность, а величины $D = -\ln(E(l)/E_0)$, называемая оптической плотностью:

$$D = -\ln \frac{E(l)}{E_0} = Q \pi r^2 Nl.$$

Преобразуем эту формулу следующим образом:

$$D = \frac{Q \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 Nl}{\frac{4}{3} r} = \frac{QVlK \frac{1}{\lambda}}{\frac{4}{3} K \frac{r}{\lambda}} = \frac{Q}{X} \frac{3}{4\lambda} KlV.$$

Здесь $V = \frac{4}{3} \pi r^3 N$ — суммарный объем жировых шариков в единице объема молока. А $V \cdot 100\%$ и есть процентное содержание жира в молоке.

Итак, $D$ пропорционально $V$. Значит, изменяя оптическую плотность, можно вычислить жирность молока. Но увы! Точность определения $V$ будет низкой. Как видно из (4), в коэффициент пропорциональной плотности между $D$ и $V$ входит функция $z = Q/X$ (красная кривая на рисунке 2). В натуральном молоке, неависимо от содержания жира, средний радиус жировых частиц может быть разным — от 0,5 до 1,5 мкм. При $K = 1,5$ величины $X$ (для видимого света) может меняться, соответственно, от примерно 1 до 3. Такому изменению $X$, как видно из рисунка 2, соответствует изменение $z$ приблинительно в два раза. Теперь представляет, что мы взяли две пробы молока одинаковой жирности (одинаковые $V$), но в силу каких-либо физиологических особенностей коров размер частиц в одной пробе 0,5 мкм, а в другой — 1,5 мкм. Тогда $D$ будет отличаться вдвое. Это же громадная ошибка. Чтобы избежать ее, перед изменением производят стандартизацию размеров жировых шариков в пробе молока. Прибор снабжается громогенизатором — устройством, в котором молокоprodавливается через систему клапанов, где жировые шарики дробятся и приводятся все к среднему размеру примерно 0,5 мкм. Тем самым достигается однозначная зависимость между $D$ и $V$. (Гомогенизацию молока, кстати, часто проводят и на молокозаводах. Такое молоко более устойчиво к расслаиванию, к скисанию и лучше усваивания.)

Проблемы на этом, однако, не кончают. Дело в том, что в молоке имеется еще один нерастворимый компонент — белок. Частцы белка имеют средний радиус ~ 0,05 мкм, и рассеяние света на них может достигать 20 % от рассеяния на частиц жира. Для того чтобы устранить этот.meшающий фактор, молоко разводят слабым растором щелочи.

14

Шелочь, никак не действует на жир, дробит частицы белка на более мелкие — до 0,005 мкм. Вспомним, что при $r \to 0$ значение $Q$ падает стремительно: как $r^4$. Так что при таком дроблении рассеяние на частих белка уменьшается на несколько порядков. Мыслу исследователей пошла еще дальше. Ввиду большой пищевой ценности белка изменение содержания белка в молоке — не менее важная задача, чем изменение содержания жира. Можно попытаться «обратить вред в полезу»: нестранять рассеяние на частих белка, а использовать его для изменения содержания белка в молоке. Вспомним о том, что крупные частицы (это жировые шарики) рассеяют свет премущественно вперед, а мелкие (это частицы белка) — равномерно во все стороны. может быть, попытаться «сыграть» на этом эффekte? Например, сделаем так. Расположим вокруг клеты приемники света так, как показано на рисунке 4. Приемник 1, расположенный у передней стены клеты, улавливает свет, рассеяний назад, т. е. рассеяный премуществен-но частицами белка. Приемник 2 улавливает свет, рассеяний вперед. Здесь в расссеянии участвуют как частицы белка, так и частицы жира.

В результате сигнал с фотоприемника 1 будет связаан с концентрацией белка, а разность сигналов с приемников 2 и 1 — с концентрацией жира.

При этом, конечно, для точных изменений необходимо стандартизовать размеры частиц белка (также как и жира). Однако оказывается, что механическая готовизация на частицы белка никакого влияния не оказывает, а химическая стандартизация размеров частиц белка (дробление щелочного) уменьшается их настолько, что они практически перестановить рассеявать свет. Так красивая идея одновременного изменения содержания жира и белка в молоке по светорассению осталась по сея день неосуществленной. Но наука не стоит на месте, а технические возможности все время расширяются. Быть может, кто-то из молодых читателей, став специализтом по светорассению, решит в будущем эту задачу?

Вечерняя физическая школа при МГУ

Вечерняя физическая школа (ВФШ) при физической школеет набор учащихся в 8, 9 и 10 классы на очередной учебный год.

Основная цель ВФШ — помочь учащимся глубже изучить физку в объеме школьной программы. Заяття проводятся в вечернее время в форме лекций,читаемых раз в две недели,и ежедневных семинаров. Кроме того, учащся

смотрут посетить научные laboratorии факультета и на лекциях ведущих ученых ознакомиться с основными направлениями современной физики. Для желающих организовать факультативные занятия по математике и основам информатики.

Прием в ВФШ производится по результатам собеседования, которое будет проводиться начиная с 26 сентября. Для поступи

леня в школе необходимо лично заполнить заявление в комитете ВЛКСМ физика МГУ (с приложением двух фотокарточек размером 3×4 см). Заявления можно подать с 6 по 22 сентября ежедневно, кроме воскресения, с 16 до 18 часов. Работающая молодежь зачисляется в конкурса.

Успешно закончившие обучение получают справку об окончании ВФШ.

Адрес: 119899 Москва, ГСП, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ВФШ.
Телефон: 939-26-56.

15

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Кандидат физико-mатематических наук
Ю. П. ЧУКОВА

1837 год. Париж. По будвару Сен-
Мишель идет профессор Сорбонны,
член всех научных обществ и академ
ий Европы и Америки Симеон Дени
Пуассон. Он думает о своей последней
работе. Нужно ли докладывать ее
користам? или ограничиться математиками? Работа называлась «Исследова-
ние о вероятности приговоров в угол-
новых и гражданских процессов».
Материал был юридический, а закон
математический… Закон описывал
роль счастливого случая в судебных
процессах Франции XIX века.

Пуассон знал великую обобщаю-
щую силу математических законов.
Но и он не подозревал, что получен-
ный им закон, который назовут ра-
пределенем Пуассона, через полтора
века станет орудием исследования у
ученных самых разных специално-
стей.

Мы познакомимся с распределением
Пуассона на простом и всем понятном
примере.

В столовой сварили компот из $N$ вишен и разлили его по $n$ стаканам
(тщательно размешивая для чистоты эксперимента). Вопрос: какова вероят-
ность того, что в данном стакане вишен нет?

Будем считать, что все варианты
распределения вишен по стаканам
равноправны. Посокльку каждой из
$N$ вишен может попасть в любой из $n$
стаканов, общее число вариантов рав-
но $n^N$ (n вариантов для 1-й вишни,
n — для 2-й и т. д.). Число вариантов,
когда в данной стакан вишни не по-
палии, равно $(n-1)^N$ (каждая вишня
«выбирает» любой из остальных $n-1$
стаканов). Поэтому искомая вероят-
ность $R_0$ того, что в стакане не будет
вишен, равна $(n-1)^N/n^N$, т. е.

ПУАССОН

16

Можно вывести и обшую формулу для предельной (при больших $N$) вероятности $P_k$ обнаружить в стакане $k$ вшен ($k=0, 1, 2, \dots$):

$$P_k \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},$$

где $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$ при $k \geqslant 1$ и, по определению, $0! = 1$.

Вообще, пусть в эксперименте со случайными исходами изменяется какая-то величина, принимающая целые неотрицательные значения. Говорят, что она имеет распределение Пуассона, если значение $k$ она принимает с вероятностью $p(k; \lambda) = \lambda^k e^{-\lambda}/k!$ (см. (2)). На рисунке 1 показаны графики вероятностей $p(0; \lambda), p(2; \lambda)$ и $p(4; \lambda)$ как функций $\lambda$. При фиксированном $\lambda$ значения $p(k; \lambda)$ изображаются как на рисунке 2 (для $\lambda=10$).

Распределение Пуассона возникает в самых разнообразных ситуациях. Мы приведем только два характерных примера его использования. Первый — из физики. Эксперименты показывают, что при распределению вещества число $\alpha$-частиц, излученных за определенный промежуток времени $t$, с очень высокой точностью подчиняется распределению Пуассона со средним значением $\lambda t$, где $\lambda$ — параметр, характеризующий интенсивность излучения. Этот пример позволяет продемонстрировать, как опасно переодеряться здравомустсу смыслу. Действительно, на первый взгляд кажется, что вероятности загенерирова-

$$P_0 = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^N.$$

Пусть $\lambda = \frac{N}{n}$ — среднее число вшен в стакане, тогда

$$P_0 = \left(1 - \frac{\lambda}{N}\right)^N.$$

При больших $N$ (и фиксированном $\lambda$) эта величина примерно равна $e^{-\lambda}$. Итак,

$$P_0 \approx e^{-\lambda}.$$

(1)

Аналогично можно подсчитать и вероятность $P_1$ того, что в стакане оказетсяровно одна вшеня: эту вшню можно выбрать $N$ способами, а остальные $N-1$ вшен надо распределить по $n-1$ стаканам, следовательно,

$$P_1 = \frac{N(n-1)^{N-1}}{n^N} = \frac{N}{n-1} \left(1 - \frac{\lambda}{N}\right)^N \approx \lambda e^{-\lambda}.$$

*) В самом деле,

$$\lim_{N \to \infty} \left(1 - \frac{\lambda}{N}\right)^N = e^{\lim_{N \to \infty} N \ln(1-\lambda/N)},$$

а предель в показатель равен

$$\lim_{N \to \infty} N \ln \left(1 - \frac{\lambda}{N}\right) = \lim_{N \to \infty} \lambda \frac{\ln(1-\lambda/N) - \ln 1}{\lambda/N} = -\lambda \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h) - \ln 1}{h} = -\lambda,$$

т.к. последний предель равен произвольной функции $\ln x$ при $x=1$, т.е. 1.

17

вать 10 α-частиц за 5 секунд или 2 α-частицы за 1 секунд должны совпадать. Однако это не так. Допустим, например, что счетчик регистрации частицы со средней частотой λ=1 частица в секунду. Тогда число частицы, регистрации за 1 секунд, подчиняется распределению Пуассона с параметром 1, а за 5 секунд — с параметром 5. Поэтому первая вероятность равна

$$p(10; 5) = \frac{5^{10}e^{-5}}{10!} \approx 0,018,$$

а вторая —

$$p(2; 1) = \frac{1^2 \cdot e^{-1}}{2!} \approx 0,18.$$

Мы видим, что эти вероятности не только не равны, но различются в 10 раз!

Второй пример — из жизни вирсов, точнее бактериальных вирсов, называемых бактериофагами, которые были открыты в 1915 году. Бактериофаги — это парзиты бактерии. Они разиможаются только в бактериальных клетках. Один из наиболее изученных фагов — фаг T2 — разиможается в кишечной палочке Escherichia coli. Процесс заражения происходит следующим образом. Фаг при броуновском движении встречает с бактерией и прикрепляется к ней коном своего «хвоста» (рис. 3). После прикрепления оболочка вирса сокращается, сердцевина проникает через поверхность клетки и ДНК фага попадает в бактерию. Спустя примерно 20 минут при температуре 37° бактерия разрушается, и вместе одного фага появляется почти фагов. Редкостьный уровень!

Гибель бактерии под действием фагов можно наблюдать почти визуально. Дело в том, что питательный растор с бактериями E. coli кажется мутным — бактерии имеют размер около 1 мкм, а этого достаточно для рассеивания видимого света. Но если в пробирку с E. coli добавить один единственный фаг T2 и поджать часов 6—8, то растор в пробирке станет из мутного процесса. Объяснение единственной. Фаг T2, быстро разножаясь, разрушил все бактерии E. coli, и в пробирке не осталось объектов, способных рассеивать свет, т. к. размер самих фагов (около 200 nm) сликом мал для этого. Все это интересно, но вы праве спросить, причем тут распределение Пуассона.

Оказывается, оно неожиданным образом помогает решить важную для молекулярной биологии задачу — определить концентрацию вирсных частиц в расторе. В нашем примере с компотом аналитическая задача (найти среднее число вшен в стакане) решается просто: можно перечитать вшни в нескольких стаканах и поделить их число на число стаканов. Но вирсы не перечитываются как вшни! И вот тут-то мы вспомним формулу (1), которая связывает вероятность отсутствия частиц (будь то вшни или вирсы) в определенном объеме содержащого их состав (в стакане или в пробирке) с их средним числом. Возьмем, скажем, 100 пробирок с бактериями в питательной среде и добавим в каждую 1 мл растора с вирсами. По истечении некоторого времени инкубции подчитаем число пробирок, оставшихся мутными. Допустим, их оказалось 38, а другие 62 стакан们 произрачными. Это означает, что в 38 пробирок не попало ни одного фага, либо фаги разиможаются горздо быстреем бактерии (за истекшее время они разрушили все бактерии в 62 пробирках). Доля мутных пробирок дает приближение значения вероятности равна

18

сти $P_0$ того, что в пробирку не попал ни один фаг, т. е. $P_0 \approx 0,38$. Смотрим на рисунок 1 и видим, что такая вероятность реализуется при среднем значении $\lambda=1$. Ответ задачи таков: в 1 мл взвеси содержится в среднем 1 фаг.

Распределение Пуассона — одно из важнейших в теории вероятностей, оно встречается во множество задач. Если не вдаваться в детали, можно сказать, что оно появляется там, где рассматривается случайно разбросанные точки, и мы интересемся числом точек, попавших в заданную область. Таким образом могут служить изоминки в хорошо перемешном тесте (или вишни в компоте), опечатки в книге, моменты построения телефонных вызовов, капли доходя на сухом acфальте, мутации в хромосомах, подвергаемых облучению, и т. д., и т. д. Но, разумеется, чтобы закон Пуассона вступил в силу, требуется соблюдение некоторых условий, в прочем выполне естественных и достаточного общих. Если, например, рассматривается искусание α-частиц, нужно позаботиться, чтобы интенсивность излучения за время наблюдиный существует не менялась; если регистрации телефонные звонки, нужно, чтобы звонкие не договоравались между собой или с хозяйном телефоном о времени разговора, и т. п. Более подробно об этих условиях и следствиях, из них вытекающих, расссказывается в статье «Как возникает распределение Пуассона».

Заказы принятия…

Мы продолжаем список кипц, которые будут выпущены издательством «Наука» в 1989 году и которые могут заинтересовать наших читателей (умерация соответствует тематическому плану; чена указана ориентировочная; начало см. в № 7).

Астрономия

120. Бронштэн В. А. Как движется Луна? 70 к.
     Далее для астрономов XVIII—XX вв., вооруженных методами небесной механики, теория движения Луны оказалась «крепким орешком». Трудности, встретившие учены на этом пути, и методы их предоления подробно описаны в книге.

121. Голуб И. Я., Хренов Л. С. Время и календарь. 25 к.
     Описываются существование ранее и действующие теперь календари и приводятся сведения о

предполагаемой календарнойеформе.

122. Гурштейн А. А. Извечные тайны неба. 1 р. 20 к.
     В увеличенной форме с широким привлечением исторического материала рассказываться о достижениях современной астрономии и космонавтики, о методах астрономических исследований, о техных связях астрономии с механикой, математикой, физикой, науки о Земле.

123. Климшин И. А. Релятивистская астрономия: Пер. с укр. 1 р. 20 к.
     В популярной форме излагаются идеи специализации и общей теории относительной астрономии, инструкции для наблюдиения, материалов, посвященные кобыльным астрономическим датам.

124. Сикорук Л. Л. Телесоны для любительей астрономии. 70 к.
     Популярно рассказывается о конструкровании и

постройке любительских телефонов.

125. Шаров А. С., Новиков И. Д. Хаббл — выдающийся астроном двацатого столета. 50 к.
     Описание жизни, научной и общественной деятельности выдающегося астронома XX века — Э. Хаббла, это лет со дня рождения которого использовался в 1989 г. Самым выдающимся открытым Хаббла, обеспечтившим его имя, является открытые расширения Вселенной. Многие материалы о Хаббле в книге публикуются впервые.

126. Астрономический календарь на 1990 г. 1 р. 20 к.
     Ежегодник содержит сведения об астрономических явлениях в 1990 г., статьи, посвященные достижению космонавтики и различных отделов астрономии, инструкции для наблюдиения, материалов, посвященные кобыльным астрономическим датам.

(Окончание см. на с. 22)

19

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА,
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА И… ЭВМ

Кандидат физико-математических наук
А. П. ВИННИЧЕНКО

Отредакции. В последние годы с ростом мощности и доступности ЭВМ все большеную роль в работе математических стал играть эксперимент, бышший до недавнего времени почти безразделной вотчинной физики, химии и других естественных наук. Математики получили возможность выделить новые гипотезы на основе результатов быстрой компьютерной обработки огромных массивов. Порой при этом проявляются закономерности, которые вредли лиц можно было обнаружить в «добрыше старые времена».
В предлазаемой заметке вы не найдете ни одной теоремы и ни одного доказательства. Здесь рассказано об эксперименте на простых числах, позволяем сформулировать интересное предложение об их распределении. Быть может, кто-то из наших читателей сумет доказать или опровернуть его.
Еще древние греки видели ли среди множества целых положительных чисел «неделимые atoms», т. е. числа, которые не раскладывают на более мелкие множители, и называют их «простыми». Простое число делится только на единицу да на само себя, а все остальные числа получаются из этих элементов киричков мира

ПУАССОН

2*

19

20

чисел умножением. Начало ряда простых чисел — это 2, 3, 5, 7, а конца ему нет — наиболее простого числа не существует. Будем считать единственное четное простое число 2 «ошибкой природы» и рассмотрим ряд, начиная с 3. Подвергнем этот ряд процедуре разностного анализа*) — будем быть разности двух соседних членов:

$$\begin{align*} 3, & 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 \\ 2 & 2 4 2 4 2 4 2 4 2 6 \end{align*}$$

Разности повторяют — много двоеек, есть четырки, появились и шестерки. Как будто на игровой косте выпадают очки: двойка, двойка, четверка, опять двойка… Еретическая мысль — взглянуть на этот строго deterministic ряд как на результаты измерений некой случайной величины и попробовать обработать их методом математической статистики.

Пусть для обработки взяты простые числа, не превысющие $N$; в примере (1) $N=40$. Прежде всего выпишем в порядке возрастания все наблюдаемые значения $x_1=2, x_2=4, \dots$ нашей «случайной величины» (в примере (1) число этих значений $n=3$), а под ним — частоты $\omega_1, \omega_2, \dots$, с которым они появляются (т. е. отношения числа появления $x_i$ к общему числу наблюдаемой, которое у нас равно 10):

$$\begin{align*} 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & \dots \\ 2 & 2 & 2 & 2 & \dots ; \end{align*}$$

соответственно, $(x^2)^{n/2}=\text{const.}$

Далее составим таблицу «накопленных частот» $v_i=\omega_1+\omega_2+\dots+\omega_i$, т. е. запишем под каждым значением $x_i$ сумму частот всех значений, не превосходящих $x_i$:

$$\begin{align*} x_i & 2 & 4 & 6 \\ \omega_i & 0,5 & 0,3 & 0,2 \end{align*}$$

Изображим результаты этих расчетов в виде графика ступенчатой функции $F_N(x)$ (рис. 1), называемой эмпирической функцией распределения: $F_N(x)$ равно сумме $\omega_i$ по всем $i$, таким что $x_i \leqslant x$. Наша цель — сравнить графики $F_N(x)$ при разных $N$ и попытаться уловить какую-нибудь закономерность в их поведении при $N \to \infty$. Правда, если взятся за это без соответствующего подготовки, ничего хорошего не получится. Дело в том, что чем дальше, темже встречаются простые числа и тем больше в среднем будут промежутки между ними. Поэтому графики $F_N$ с ростом $N$ будут распливаться вправа. Чтобы компенсировать это распливание, применим к ним процедуру, знакомую нам по детективным романам. При слиянии fotografий с целлюльными изображен ли на них один и тот же целое, кrimиналисты уведомают или уменьшают их так, чтобы расстояния междуrachками на общих портретах стало одинаковым, а затем совмещают их поrachкам. Нечто подобное мы проделаем с эмпирическими функциями распределения.

21

Вычислим при каждом $N$ среднее арифметическое $\bar{x}$ всех наблюдаемых значений $x_i$, называемое средним значением. Легко видеть, что $\bar{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i \omega_i$.

Эта величина характеризует сдигг функции распределения по горизонтали. Вторая нужная нам величина —

$$\sigma_x = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \omega_i}$$

— называется средневадратным отклонением. Она служит мерой рассеивания наблюдаемых значений относительной среднего значения $\bar{x}$ — чем меньше $\sigma_x$, тем теснее расположены значения $x_i$. В нашей детективной аналоги величины $\sigma_x$ отвечает размер photographer. Приведем значения $\bar{x}$ и $\sigma_x$ для различных $N$.

| $N$ | 40 | $10^2$ | $10^3$ | $10^4$ | $10^5$ | $10^6$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\bar{x}$ | 3,40 | 4,10 | 5,98 | 8,12 | 10,42 | 12,73 |
| $\sigma_x$ | 1,56 | 1,84 | 3,54 | 5,86 | 8,02 | 10,28 |

Как и следовало ожидать, обе эти характеристики растут с ростом $N$, что свидетельствует о расползании графиков $F_N$. Чтобы помешать распола-zанию, сдинем каждый график на $x$ влево и созMEM в $\sigma_x$ раз к оси ordinат. Для этого заменим величины $x_i$ новых величины $y_i = (x_i - x)/\sigma_x$ и пересчитаем таблицу накопленных частот:

| $y_i$ | $-0,90$ | $0,38$ | $1,67$ |
| :— | :— | :— | :— |
| $v_i$ | 0,50 | 0,80 | 1 |

По этой таблице нарисуем график функции распределения $\bar{F}_N(y)$ величини $y_i$ (рис. 2). Легко видеть, что среднее значение и средневадратное отклонение величини $y_i$ при всех $N$ будут равны 0 и 1. Вот эти графики $\bar{F}_N$ мы и будем сравнивать. Конечно, при больших $N$ эту работу надо поручить ЭВМ. За 20 минут работы мы на сбытродействием 300 тыс. операций в секунду выделя графики, изображенные на рисунке 3 (для $N = 10^3$, $10^4$, $10^5$ и $10^6$). Правда, похоже, что эти ступенчатые графики приближаются к пологому графику, наиссованному черным цветом? Это — график так называемого показательного распределения

$$F(y) = \begin{cases} 1 - e^{-y-1} & \text{при } y \geq -1, \\ 0 & \text{при } y < -1 \end{cases}$$

с нулявым средним и единичным средневадратным отклонением. Расчет, проведенный на ЭВМ, подтверждает нашей крительное величение. Верно ли, что при $N \to \infty$ графики $\bar{F}_N(y)$ стремятся к $F(y)$ — неизвестно. Пока это только гипотеза. Однако гипотеза, подтвержданая на множество из 78 497 первых простых чисел. И эта огромная работа выполена всего за 20 минут!

Интересно отмечить, что такое же распределение дают и интервалы между соседними сигналами в пуассоновском потоке (см. конец статьи «Как возникает распределение Пуассона»). Можно появить это, вспомнить, что, как было показано в этой статье, вероятность $P_0(t)$ того, что в течение времени $t$ не поступит ни одного сигнала, равна $e^{-\lambda t}$. Следовательно, вероятность того, что очередной сигнал, на-

22

Чиная с произвольного момента $t_0$, появится до момента $t_0 + t$, равна $1 - e^{-\lambda t}$. После соответствующего сдвига и скатия получится функция распределения, задаваемая равенством (2).

Можно попытаться обнарженное свойство расстояний между соседними простыми числами какими-нибудь известными их свойствами. Например, имеется оценка количества $N$, впервые доказанная французским математиком Ж. Адамаром и белгийским математиком Ш.-Ж. Валле Пуссеном в 1896 году: $\pi(N) \approx N/\ln N$. Расмотрим так называемые квазипростые числа: корни уравнений $n_i/\ln n_i = i + 3, i = 1, 2, 3...$, число которых на отрезке от 1 до $N$, очень удобно, также применно равно $N/\ln N$. Выпишем $n_1, n_2, ..., n_6$ и применим разностный анализ:

$$8,61 \quad 12,71 \quad 17,00 \quad 21,47 \quad 26,10 \quad 30,87 \quad 4,10 \quad 4,29 \quad 4,47 \quad 4,63 \quad 4,77 \quad 0,19 \quad 0,18 \quad 0,16 \quad 0,14$$

Видно, что расстояния между соседними квазипростыми числами $n_i$ и $n_{i+1}$ возратают, однако все медленнее с ростом $i$. Попробуйте, опираясь на это наблюдение, доказать, что для квазипростых чисел эмпирическая функция распределения выпукла вниз и поэтому не может совпадать с показательной функцией распределения. Следовательно, наша гипотеза не может быть обоснована просто оценкой числа $\pi(N)$. Если она верна, то ее доказательство должно использовать какие-то более глубокие факты.

Заказы принятия…

(Начало см. на с. 18)

Информация, программирование

52. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. 1 р. 90 к.

Излагаются современные численные методы решения прикладных задач, расчитанные на применение быстродействующих ЭВМ. Расматривается теория интерполяции, квадратные формулы, аппроксимация функций, численные методы алгебры и т. д.

90. Знакомьте с персональной ЭВМ «Корвет». 95 к.

Содержит описание одной из первых в нашей стране персональных ЭВМ «Корвет». Расмотрено особенности архитектуры ЭВМ, правила пользования, программное обеспечение.

128. Абрамов С. А., Зima Е. В. Основы информаики. 1 р.

Содержит системизированное изложение основных понятий и методов информаики (вычислительной техники, программирования, численных методов, сортировки и поиск). Изложение основ программирования проводится на языке Паскаль.

129. Арсак Ж. Программирование и голосовойлокок. Пер. с фр. 90 к.

Расматривается способы программирования различных знамательных игр и голосовойлокок с числами, геометрическими функциями и др.

154. Новосельцев В. Н. Организм в мире техники: кибернетическая аспект. 70 к.

Рассказывается о том, как сегодняняя кибернетика позволяет во многом дать полную картину жизни процессов в организме.

155. Дьяковов В. П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторх. 1 р. 20 к.

Содержит описание современных отчетовных и зарубежных микрокалькуторов, языков и основных программирования.

156. Пильшиков В. Н. Сборник управления по языку Паскаль. 40 к.

В основу сборника пособие «Упражнения по языку Паскаль», используюем при обучении программирования студентов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета.

159. Николов Р., Сендова Е. Начала информаики: Пер. с болг. 60 к.

Отражен опит обучения детей работе с персональными компьютерами. Достатся основы обучения с компьютером в режиме диалога на языке ЛОГО.

23

КАК ВОЗНИКАЕТ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Кандидат физико-mатематических наук
В. Н. ДУВРОВСКИЙ

Кажdomу случаLOBь застать начало летнего дждика, когда земля еще сухая и только тут и там видны редкие темные пятнышки от первых капель. Эти пятнышки — почти идеальная модель «случайно разбросанных точек», о которых упоминалось в статье «Распределение Пуассона». Попробуем с помощью этой наглядной модели сформулировать математические гипотезы, описывающие случайно разбросанные точки, и вывести из них,

*) Поневоле мы вынуждены обходиться без определения понятия вероятности — желающие могут найти его, например, в книге А. Н. Колмогорова, И. Г. Журбенко, А. В. Прокорова «Введение в теорию вероятности» (М., Наука, 1978). Надеемся, что для понимания статьи будет достаточно небольшой доли здравого смысл.

что число точек, попавших за определение время на заданный участок, подчиняется распределению Пуассона.

Пусть $P_k$ — вероятность*) того, что на выбранный нами участок попадет $k$ капель. Прежде всего, ясно, что

1. вероятность $P_k$ определяется только площадью s этого участка и не зависит от его формы и расположения.

Поэтому будем искать $P_k$ в виде функции от площади участка, т. е. в виде $P_k(s)$. Вторая естественная гипотеза состоит в том, что

2. количество капель, выпавших на данной участок, не зависит от количества капель, выпавших на любой другой участок, не пересекающей с первой.

24

Другими словами, вероятности $P_0, P_1, P_2, \dots$ для данного участка никак не зависит от того, сколько капель оказываются на каком-то другом участке. Математическая выражением условия неависимости служит правило умножения вероятности: вероятность одновременного осуществления двух неависимых событий равна произведению их вероятностей. Например, если $S$ и $T$ — два непересекающихся участков $P_1(s) \cdot P_1(t)$. Аналогично, событие «на участки $S$ и $T$ попало 2 капли» имеет вероятность $P_2(s) \cdot P_0(t) + P_1(s) \cdot P_1(t) + P_0(s) \cdot P_2(t)$ (это событие разбивает на три: на участке $S$ выпало 2 капли, а на $T$ — ни одной; на участок $S$ выпала 1 капля и на $T$ — 1 капля; на участок $S$ выпало 0 капель, а на $T$ — 2 капли; и его вероятность равна сумме вероятностей этих трех составляющих). Подчерким, что правило умножения вероятностей не доказывается — это определение неависимости, но нетрудно объяснить, почему принимают именно такое определение.

Один из основополагающих принципов теории вероятности (закон больших чисел) утверждает, что частота, с которой произходит неокоторое событие в достаточно длинной серии опытов, приближается к его вероятности. Пусть в серии из $n$ опытов наблюдаются события $A$ и $B$, причем событие $B$ осуществилось $m$ раз и оба события одновременного осуществления $k$ раз; тогда частота $m/n$ события $B$ примерно равна его вероятности $P(B)$, а частота $k/n$ одновременного осуществления событий $A$ и $B$ — соответствующей вероятности $P(AB)$. Независимость событий $A$ и $B$ должна пройти в том, что сведения о реализации события $B$ не могут влиять на вероятность осуществления события $A$. Следовательно, частота $k/m$ опытов, в которых произило событие $A$, среди тех опытов, в которых зафиксировано событие $B$, должны такой же, как и в ряду всех вообще опытов: $k/m \approx P(A)$. Таким образом,

$$P(AB) \approx \frac{k}{n} = \frac{k}{m} \cdot \frac{m}{n} \approx P(A) \cdot P(B).$$

В пределе (при $n \to \infty$) эти приближенные равенства превращаются в точные. Мы получаем подтверждение того, что «правило умножения вероятности» верно отражает нашей интуитивное представление о неависимости событий.

Вернемся, однако, к каплям дожда. Третья гипотеза, описывающая их выпадение, такова:

3. вероятность $P_{>1}(h)$ тощо, что на участке малой площади $h$ выпадет не менее 2 капель, пребрежимо мала по сравнению с вероятностью $P_1(h)$ тощо, что на этот участок попадет 1 капля, т. е. $P_{>1}(h)/P_1(h) \to 0$ при $h \to 0$.

Иначе говоря, дважды в одно и то же место капли не попадают. Теперь условия сформированы полностью и можно занять получением следующего.

Первым делом найдем $P_0(s)$. Расстояние участок площадью $s+t$ и разобем его на два участка — площадью $s$ и площадью $t$. Если больший участок $(s+t)$ остался сухим, то и на оба его куска $s$ и $t$ капли не попали, и в силу условия 2) неависимости участков при любых $s, t \geqslant 0$ получаем $P_0(s+t) = P_0(s)P_0(t)$.

Из этого уравнения нам надо найти функцию $P_0$, о которой дополнительно известно, что $0 \leqslant P_0(s) \leqslant 1$ и $P_0(s) - убывающая функция. Докажем, что$P_0(s) = e^{-\lambda s}$при некотором$\lambda > 0$. Пусть$f - убывающая функция, удовлетворяющая $f(s+t) = f(s) \cdot f(t)$. Для любого $s > 0$ и любого натурального $n$ $f(ns) = f(s + (n-1)s) = f(s)f((n-1)s) = \dots = (f(s))^n$.

Подставляя сюда $s = \frac{1}{n}$ и полагая $f(1) = e^{-\lambda}$, получим $f(1/n) = e^{-\lambda/n}$. Подставим теперь $s = 1/m$ — получим $f(n/m) = (f(1/m))^n = e^{-\lambda n/m}$, т. е. для любого рационального $s > 0$ имеем $f(s) = e^{-\lambda s}$. Теперь, получая монотностную функцию $f(s)$

25

и $e^{-\lambda s}$, легко доказать, что последнее равенство выполняется при всех $s > 0$.

Заметим, что $P_0(h) \approx 1 - \lambda h$ при малых $h$ (запись $u(h) \approx v(h)$ будет у насозначать, что $(u(h) - v(h))/h \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$). Действительно, произведение функции $e^{-\lambda s}$ при $s = 0$ равна $-\lambda e^{-\lambda h} = -\lambda$, т. е. $(P_0(h) - 1)/h = (e^{-\lambda h} - 1)/h \rightarrow -\lambda$ при $h \rightarrow 0$. Следовательно, $P_1(h) + P_{>1}(h) = 1 - P_0(h) \approx \lambda h$ при малых $h$. А так как, в силу условия 3, $P_{>1}(h)$ пренебрежимо мало по сравнению с $P_1(h)$, при малых $h$ $P_1(h) \approx \lambda h$, $P_k(h) \approx 0$ при $k > 1$.

Тепер можно составить дифференциальные уравнения, из которых мы найдем $P_k(s)$. Расмотрим участок площадью $s$ и добавим к нему участок малой площадью $h$. Повторя приведенное равные расчудение, получим

$$P_k(s + h) = P_k(s)P_0(h) + P_{k-1}(s)P_1(h) + (P_{k-2}(s)P_2(h)) + \dots + P_0(s)P_k(h).$$

Поскольку $P_0(h) \approx 1 - \lambda h$, $P_1(h) \approx \lambda h$, а все выражение в скобках пренебрежимо мало по сравнению с $h$,

$$P_k(s + h) \approx P_k(s) (1 - \lambda h) + \lambda hP_{k-1}(s);$$

следовательно,

$$P_k'(s) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{P_k(s + h) - P_k(s)}{h} = -\lambda P_k(s) + \lambda P_{k-1}(s),$$

или

$$P_k'(s) + \lambda P_k(s) = \lambda P_{k-1}(s), \quad k = 1, 2, \dots$$

Что бы решить это уравнение, рассмотрим функцию $f_k(s) = P_k(s)e^{\lambda s}$. Найдем ее произведение: $f_k'(s) = P_k'(s)e^{\lambda s} + \lambda P_k(s)e^{\lambda s}$. Умножая уравнение (*) на $e^{\lambda s}$, получаем

$$f_k'(s) = \lambda f_{k-1}(s),$$

причем $f_k(0) = P_k(0) = 0$ при $k > 1$.

Тепер легко найти одну за другой все функции $f_k$: $f_1'(s) = \lambda P_0(s)e^{\lambda s} = \lambda$, следовательно, $f_1(s) = \lambda s$ (мы учили, что $f_1(0) = 0$); $f_2'(s) = \lambda f_1(s) = \lambda^2 s$, следовательно, $f_2(s) = \lambda^2 s^2/2$, …, $f_k(s) = \lambda^k s^k/k!$. И наконец, мы можем выписать искомое выражение

$$P_k(s) = \frac{(\lambda s)^k}{k!}e^{-\lambda s},$$

справедливо для всех $k = 0, 1, 2, \dots$.

Подведем итог. Если на плоскости случайно выбираются точки так, что выполнен условия 1—3, то число точек, попавших на участок площадью $s$, имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda s$, где $\lambda > 0$ — параметр, характеризующий среднюю плотность точек (ср. с формулой (2) в статье «Распределение Пуассона»).

Разумеется, все сказанное почти досконно переносится на случай точек в пространстве или на прямой. О последнем случае надо сказать особо, потому что он чаще всего встречается на практике. При этом прямой, на которой расположены точки, служит ось времени, а сами точки — это моменты поступления каких-то случайных сигналов, подчиняющихся условиям, аналогичным условиям 1—3. Стандартными примерами таких «потоков сигналов», называемых в теории вероятностей простыми или пуассовыми потоками, являются, например, испускаемые радиоактивным веществом частицы, вызовы, поступающие на телефонную станцию.

Мы затронули только одну сторону вопроса, вынесенного в заголовок статьи. С другими читателями, если ему доведется всезнать哉 теории вероятностей и случайных процессов.

Дорогие читатели!

В будущеем, 1989 году журнал «Квант», как и прежде, будет распространяться только по подписке. Оформить годовой подписку можно до 1 ноября 1988 года. Подписка принимается без ограничений в агентств «Союзпечати», на почтамах и в отделениях связи. Индекс журнала «Квант» в каталоге «Союзпечати» 70465.

26

В федеральском номере нашего журнала были помещены три фотографилы лыжных следов. Фотографии были сделаны в одно и то же время, и лыжни были расположены рядом. Но они так не похожи друг на друга…
Мы предлагали читателям подумать, чем объясняется такое разнообразие видов лыжных следов.

Наверное, каждый, кто заинтересовался этим вопросом, понял, что без физики здесь не обойтись. А физика — она всегда физика, и в марте, и в августа. Поэтому разговор о лыжных следах мы продолжаем сегодня, когда выращий снег уже растал, а до нового ещё далеко.

ПОГОВОРИМ
ПРО ВЧЕРАШНИЙ СНЕГ

Кандидат физико-математических наук
А. В. МИТРОФАНОВ

Возможно, кое- кто из вас, пока читал условия задачи, уже договорался, в чем суть дела. Ответ таков: лыжни сильно отличаются друг от друга потому, что по ним проехало разное количество лыжников и в разное время. Почему это так сльно повлияло на вид лыжни? Попробуем разобраться.

Выпавший на землю снег — очень сложный физический объект, непрерывно изменяющийся во времени. Вы знаете, что задолго до весеннего таяния снег оседает, уминается, может стать более плотным или, наоборот, более рыбальным, потерять в весе, «выветриться». При этом изменяются многие физические характеристики снега, например коэффициент теплопроводности, пористость, влажность и т. д. Вмешательство человека — скажем, уплотнение снега при прокладывании лыжни или пешекодной дороги — также изменяет вид снежного покрова, придает снегу свойства, которые отличают его в чем-то от нетронутых сутrofов.

Поразитная изменчивость состояния снега в природа связана с тем, что снег не просто существует сам по себе, а участвует в прямых и обратных физических переходах лед — пар и лед — вода. Особенно активно эти процессы протекают весной, когда снег находится в условиях, близких к так называемой тройной точке воды. Напомним, что в тройной точке три формы вещества — газообразная (в данном случае водяной пар), жидкая

27

(вода) и твердая (лед) — сосуществуют в равновесии. Для воды тройная точка (рис. 1) находится по температуре вблизи 0 °C (точнее при $t_0=0,0078$ °C); давление насыщенных водяных паров, соответствующей тройной точке, $p_0=610,6$ Pa (или, в других единицах, 0,006 атм, или 4,58 мм pt. ст.).

Скорость протекания фазовых переходов для снега зависит от целого ряда факторов, например от того, как светит солнце, тепло или морозно на улице, какова влажность, дует ли теплый ветер и т. д. Необольшие, совсемничтожные изменения в начальном состоянии снега могут привести к значительному отклонению скорости того или иного процесса и в конце концов оказываться сильное влияние на характерстики снежного покрова. Именно это и процессит на льжной трассе.

На правой фотографии видны две параллельные ледяные полоски, как бы высшие над выветренным, крупнозернистым весенним снегом. Это старая льжня. По лыжне проекало, должно быть, много льжников. Когда льжня уплотилась настолько, что на ней образовалась ледяная корка, льжники перестали пользоваться этой льжней и продолжили рядом новую. Отчего образуется лед на льжне при температуре ниже тает при такой температуре. Это очень любитьное обстоятельство, на котором следует обратить внимание.

В 1814—1816 годах, исследуя свойства снега и льда, знаменитый русский физик-электротехник В. В. Петров открыл явление возгонки, или сублимации, твердой фазы воды. Субли-

Рис. 1.

мация — это разновидность парообразования вещества. Сейчас хорошо известно, как испарются снежники. По фазовой диаграмме (см. рис. 1) можно определить давление насыщенных водяных паров; считается, что температура воздуха ниже 0 °C. Если в воздухе давление паров меньше, чем эта величины, то снег испарется (переход твердое тело — пар), и чем существенно, не начав еще тайть! И вот что интересно. Давление насыщенного пара над кривой поверхностью жидкости отличается от давления над плоской поверхностью.*) То же самое справедливо и для твердого тела, находящейся в равновесии с паром. Мелкие частицы снега сублимируют быстрее крупных. Чем тонше грань луца снежники, тем больше ее кривизна, и, следовательно, тем быстрее она испаряется. На вотнутых поверхностях снежнокривизна обратная, и там испарение может заменить кристаллизация влаги, если температура снега достигано низка. Этот процесс походит на конденсацию жидкости в узких порах или капиллярах, только в данном случае фазовый переход осуществляется минуя жидкое состояние.

В результате пар кристаллируется в местах пересечения лучей снежнокривизна там, где соприкасаются разные снежники. Изменяется не только форма снежнокривизна (вспомните снежные льдинки в виде крупы на дорогжах в конце зимы), но и отдельные снежники смерзают. Большое плотные участки предварительно утрамбованного снега смерзают быстрее. Снег твердейет и может превращаться в лед в тех местах, где он уже успел стать твердым. Образование твердого насыщенных паров, а следовательно, и их концентрация больше, чем на поверхности. Из-за разницы концентрации

28

рациЙ пар диффундирует к поверхности снега, и льжня леденет от глубинного водяного пара, а не от воды, образованной из снега вследствие чрезмерного давления льжна снег, как кто-либо из вас мог ошибочно подумать.

В дальнейшем судьба ледяной льжни иная, нежели соседних с ней сугровов, где снег под действием солнца и ветра быстрее сублимирует. Забавно, что имеет место своевобразный парниковый эффект: лед произчен для солнечных лучей, а теплобмен снега подо льdom с внешним пространством мал — ветер и конвекция под ледяной коркой практически отсутствует. В солнечный морозный день снег нагревается под льdom, быстрее сублимирует и может даже начать таять. Под льdom снег начинает исчезать!
Именно об этом в погожий весенний день «сообщает» нам шорох опадающих льдинок льжни.

Обратимся теперь к левой фотографии, на которой показана светля льжня. Эта льжня сравнительно новая. В февраль или в начале марта, незадолго до съемки, по льжне проехало много льжников. Они основательно утрамбовали снег, которое метели подсыпали немало. Снег на льжне сравнительно светей, светлей. Но почему льжня светлее фона и почему она выше общено уровня снега?

Можно было бы предположить, что накануне выпал снег, и ветром его намелло на льжню побольше, чем рядом на открытом месте; на следующий день снег вокруг стаял или испарился, а на льжне он остался, поэтому льжня и белая. Но льжня, подобная той, которая была сформирована, былает светлой на фоне снега независимо от того, прошел накануне снег или нет. Светлеые льжни часто попадаются вблизи городов весной, когда вовсю тает снег; бывает так, что почти весь снег на земле растял, а следы от льжни еще тянутся белыми полосами по земле …

Предложим другое объяснение. Светля льжня на более темном снежном фоне — это «автограф» интересного физического процесса, который можно было бы назвать радиационно-ной неустойчивостью границ们 грязного снега, если пользоваться научной терминологии. Под словом «грязь» подразумевается пыль, саха, пепел, словом загрязнения, которые поступают в снег из атмосферы. Грязь, в отличие от снега, хорошо поглощает видимое излучение: она черная! Частцы грязи находятся в контакте со снегом. Поэтому грязный снег лучше прогревается солнцем, чем чистый, и, следовательно, быстрее испаряется (или тает). Но чем больше слой снега испарится, тем грязнее станет его поверхность: грязь не испаряется, а накапливается на «подвижной» границе снежного покрова. А грязная поверхность еще больше будет прогреваться солнцем и т. д. Поэтому если в каком-либо месте снежного покрова снег испарится быстрее, то это место будет «чернее» соседних с ним участков, и в дальнейшем с этого места снег испаряется быстрее. Под действием солнечных лучей perвоначально плоская снежная поверхность становится рельефной со светлыми (высокими) и темными (низкими) участками.

Тепер обратимся к «черным» следам (средняя фотография). Похоже, что эта льжня никакогда не была «назеженой». Скорее всего, здесь когда проехали два-три льжника и оставили примятый, но еще не слишком плотный след. В дальнейшем под действием солнца снег на такой льжне испаряется быстрее, чем окружающий (утопленная льжня лучше зашищена от холодного ветра, чем снег на открытом месте). Став темной, льжня даже испаряется еще быстрее. И в конечном случае она выделяется на окружающем фоне благодаря тем же процессам, которые «виноваты» в существовании белой льжни на грязном снегу.

У «черной» льжни есть одна интересная особенность, на котором не всякий наблюдается обратит внимание. Чем сильнее припекает солнеце, тем более становится льжня. Снег, пропитанный водой, отражает видимое излучение намного хуже, чем сухой снежный насТ. В момент фотографирования (это было околопудня) темная льжня как раз стала «набухать» под солнечными лучими и

29

Потемнела еще больше. Если подойти к такой льжне попытке, то можно заметить, что снег на льжне пропитался водой.

Сказанное выше можно формularовать на языке физики, воспользоваться определенным альбебю и оптическими постояными воды и снега.

Альбебо матовой поверхности — это полный, или, как говоря, интегральный, коэффициент отражения или рассеяния света, т. е. относение отраженного (или рассеяного) светого потока к падающему. Чистый снег почти полностью рассеивает падающий на него свет. Альбебо снега обычно около 0,9, а иногда (для самого чистого снега) оно достигает даже величины 0,98.

Снег, покрытый или смоечный водой, — это уже не матовая поверхность, а гладкая в оптическом смысле. Такая поверхность отражает свет по известным нам законом геометрической оптики: от гладкой поверхности воды отражается малая часть падающего потока света (рис. 2). При нормальном padении коэффициент отражения света от поверхности воды близок к 2%.

Качественно то, что происходит с темной льжней, похоже на простой опыт, когда в стакан с сахарным песком наливают немного чистой воды: при подходящем освещении содержимое стакана сразу же темнет.

Не надо думать, что образование рельефа на снежной или ледяной поверхности связано только с наличием грязи. Представим себе, что поверхность чистого снега по какой-то причине стала немного неровной, с выступами или углублениями, пусть даже небольшие. Тогда разные участки поверхности по-разному наклонены по отношению к падающим солнечным лучам. Поэтому поверхность снега в разных местах будет не одинаково освещаться солнецем. И если такие или возгонка снега определяются в основном уровнем солнечной радиации, а не других принимами (скажем, теплым ветром), то более острооченьные снежные выступы, направленные в сторону солнца, будут «стравливаться» под солнцем медленнее, чем плоские ямки около выступов, т. е. рельеф поверхности снега станет более ярко выраженным, чем было первоначально. На чистом снегу образуется снежные конусы или остые языки. Объчно это случается, когда ярко светит солнце, но нет теплого ветра. Такие условия передко бывают высоко в горах, и весной под ярким солнцем на ледниках «вырастают» изучительной красоты ледяные зубья — кальгоспоры, доступящие высоты около метра.

Подобное образование рельефа поверхности знаком специализатам по радиационной физике полимеров. В полимерных пленках, облучаемых жестким ультрафиолетовым излучением, наблюдается эффект фототравления поверхности, причем фототравление первогоzahlung гладких поверхностей сопровождается ростом свободных «кальгоспор» — неровных высотов, иногда конечской формы (микрофотография такой поверхности помещена на первой странице обложки). Разумеется, для полимеров масштаб является более мелкий: размеры неровностей порядка микрометров. В данном случае, как и для снега, имеет место радиационная неустойчивость границы твердой фазы.

30

Задчи

M1116—M1120, Ф1128—Ф1132

M1116. Какое наиболее число узлов клетчатой бумаги может содержать прямогольник площадью a) 36; b) S, стороны которого идут по линиям сетки? (Считаются узлы, лежащие внутри и на границе прямогольника. Площадь клетки принята за 1.)

M1117. Дан произвольный треугольник. Докажите, что a) можно построить три окружности с центрами в его вершинах, попарно касающейся друг друга (в точках K, L, M — см. рис. 1);
b) если через середину каждой дуги KL, LM, MK, лежащей внутри треугольника, проведи касательную к ней, то образуется четыре треугольника, площадь одного из которых (центрального) равна сумме площадей трех других.

A. A. Горбачев

M1118. a) Докажите, что уравнение $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$ имеет бесконечную много решений в целых числах.
b) Сколько имеет таких решений, у которых z=1988?

C. Г. Мамиконян

M1119. Наозем $k$-звездой фигуру на плоскости, состоящую из $k$ лучей с общим началом, разбивающих плоскость на $k$ равных углов (по $360^\circ/k$). При каждих $k>2$ верно следует утверждение: для любых $k$ точек плоскости общего положения (никание три из которых не лежат на одной прямой) существует $k$-звезда, в каждом из $k$ углов которого содержитсяровно одна из этих $k$ точек?

M. Хованов, ученик 10 кл., Москва

M1120. a) Последовательность $a_0, a_1, a_2, \dots$ задана соотношениями $a_0=0, a_n=P(a_{n-1}), n=1, 2, \dots$, где $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, $P(x)>0$ при $x\geq 0$. Докажите, что для любых натуральных $m$ и $k$

$$\text{НОД}(a_m, a_k)=a_{\text{НОД}(m, k)}$$

b) Докажите аналогичное утверждение для последовательности Фибоначчи $a_0=0, a_1=1, a_2=1, a_3=2, \dots$, задаваемой условия $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}, n=1, 2, \dots$.

B. Ф. Лев

Ф1128. На горизонтальной поверхности поконтся однородный тонкий обруч массой $M$ и радиусом $R$. Горизонтальный диаметр обруча представляет собой легкую гладкую трубку, в которой помещен шарик массы $m$, прикрепленный к обручу двумя пружинами жесткостью $k$ каждой (рис. 2). Удерживая обруч неподвижным, шарик отклонил влево на величину $x$, после чего представили систему себе. Найти ускорение центра обруча в начальной момент времени. Просkalзывание обруча отсутствует.

C. С. Кротов

31

Ф1129. На цилиндрический постоянный магнит вблизи его полюса надета катушка, имеющая вид узкого колба (рис. 3). Если трасти катушки так, чтобы она совершала гармонические колбания вдоль оси $OO'$ с амплитудой $A=1$ мм (которая много меньше размеров магнита и катушки) и частотой $f=1000$ Гц, то в ней наводится ЭДС индуктивности. Собственная часть колбаний контур равна $\omega_0$. Какой будет собственная частота, если между пластинами конденсатора помещить свободную точку массой $m$, имеющую заряд $q$? Сила тяжесте отсутствует. Краевыми эффектами и силой «электростатического изображения» преобразуется.

Д. А. Купцов

Ф1131. Определить скорость ветра в смерее объчными meteorологическими приборами трудно (поскольку смерч неVELик по размеру и движется) и небезопасно. Предложено изменять ее издали с помощью портативного радиара (так как внутри смерча много пыли и мелких предметов, он отражает радиовольны). Радар излучает радиовольны на частоте $f_0=10^{10}$ Гц. Спектр отраженного от смерча сигнала приведен на рисунке 4 ($\Delta f=f-f_0$). Найти максимальный скорость ветра в смерее.

Д. А. Купцов

Ф1132. Недавно установлено, что вымирание видов животных на Земле идет особенно интенсивно в течение периодических повторяющихся промежутков времени длительного $T=6,2$ млн лет. Такая закономерность объясняется гипотезой, предполагающей существование звезд Немезиды, являющейся спутником Солнца. Эта слабая и потому невидимая звезда движется по орбите, положина которой расположена внутри так называемого «пояса Оорта», содержащого запас комет (рис. 5). Возмущая движение комет, Немезида вызывает на Земле «кометный дождь», продолжительность которой практически совпадает со временем пребывания Немезиды внутри пояса Оорта.

Определите большую полуось $a$ орбиты Немезиды и период ее обращения вокруг Солнца, если предполагается, что перигелий орбиты на расстоянии 0,15а от Солнца. Площадь эллипса $S=\pi ab$, где $a$ и $b$ — получися эллипса.

В. Е. Белонучкин

(Продолжение см. на с. 34)

Поправка
В условиях задачи M1115, 6) (см. «Квант», № 7) пропущено условие $m \geq n$.

Наиболее содействия в том числе а соорно зналика близ к коллективу и именеза с собой Толстяса выше, что перечислим и именеза в дальнейшем и указываем на упорядок и упорядочение жизни и футгейном славии,
помощок питьяющих и употребляющих, Кнебюномах зналика и футгейном славии,
давлии и мясо, проникая висью направленной. Долемоющее go на збука претензий совершенствовало коледвин. Но понятие, называемое
Вею это-применяемое еще и на шише проездом или при помощи – чем можно использовать,
психотерапевтическое, меньше. Колебиях охвобом организуемой области проживает по хранению,
худилище, охвобом хранения,imo зналика оскорбляющей сливе роживате с проживанием,
колебиях, охвобом хранения,ximo зналика оскорбляющей сливе роживате с проживанием,
законодательство, присутствие проездов и компиляции с использованием
присутствии и осенлосеннем естественном.

Х. Толстясе

33

33

```markdown
Качество, Клима"

Что читать в «Кванте» о колебанях
(публикации последних лет)
1. «О музыкальных звуках и их источник» — 1985, № 9, с. 26;
2. «Посторим колебанья» — 1985, № 10, с. 48;
3. «Физика музыкальной гармонии» — 1987, № 5, с. 41;
4. «Гармонические колебанья и рабочее» — 1987, № 9, с. 42.

35

coil. The self oscillation frequency of the circuit is $W_0$. Now will it change if a free particle of mass $m$ and charge $q$ is placed between the plates? There is no force of gravity, boundary effects and the force of “electrostatic representation” are negligible.

D. A. Kuptsov

P1131. It is difficult and dangerous to measure wind velocity in a cyclone with ordinary meteorological instruments (since cyclones are small and move rapidly). It was proposed to measure it from a distance using radar (since the inside of the cyclone contains a lot of dust and small objects which reflect radio-waves). The radar emits waves of frequency $f_0$. The spectrum of the reflected radio signal is shown on figure Pisc. 4. ($\Delta f=f-f_0$). Find the maximal wind velocity in the cyclone.

D. A. Kuptsov

P1132. It was recently established that the extinction of animal species takes place especially rapidly during periodically repeated time intervals of $T=6.2$ million years. This regularity is explained by a hypothesis, according to which the Sun has a satellite, called Nemesidis. This weak and hence invisible star moves along an orbit, half of which is located within the so-called “Oort belt”, containing a reserve of comets (see figure Pisc. 5). Perturbing the motion of comets, Nemesidis generates a “star rain” on Earth, whose duration practically coincides with period of time when Nemesidis is within the Oort belt. Determine the larger semiaxis $a$ of Nemesidis’ orbit and its period of revolution about the Sun if it is known that the perihelion of the orbit is $0.15a$ from the Sun. The area of an ellipse is $S=\pi ab$, where $a$ and $b$ are the semiaxes.

V. E. Belonuchkin

Решения задач

M1096—M1098, M1100*), Ф1108—Ф1112

Пусть $a_1, a_2, ..., a_{k-1}$ — хорды, перпендикулярные диаметры $AC=d$ и делящие его на $k$ равных частей. Выпуклый $2k$-угольник с вершинами в концах этих хорды и диаметра (на рисунке 1 — гольбой) состоит из треугольников и $k-2$ трапецей с одинаковыми высотами $d/k$ и основаниями $a_1, a_2, ..., a_{k-1}$; его площадь равна

$$S = \frac{d}{k} \left( \frac{a_1}{2} + \frac{a_1+a_2}{2} + ... + \frac{a_{k-1}+a_k}{2} \right) = \frac{d(a_1+a_2+...+a_k)}{k}.$$

Таким образом, интересующая нас сумма длин хорд равна $Sk/d$. Поскольку голубой треугольник лежит в круге диаметром $d$, его площадь меньше $\pi d^2/4$, откуда получаем оценку сверху: $Sk/d \leq 0.5kd$. С другой стороны, площадь голубого многоугольника не меньше площади красного квадрата $ABCD$; от сюда получается оценка снизу: $Sk/d \geq 0.5kd$. Правда, при нечетном $k=2m+1 \geq 3$ красный квадрат двумя уголками при вершинах $B$ и $D$ слегка вылезает за пределы голубого многоугольника, но эти уголки

*) Решение задачи M1099 содержится в статье M. B. Волкова, Н. Н. Силкина «Кого послать на Марс?» (см. с. 51)

36

Оценку не портят. Например, можно показать, что красный треугольник на рисунке 2 меньше подобно ему зеленого: поскольку

$$OQ = \frac{d}{2(2m+1)} \text{ и } PQ = \sqrt{QA \cdot QC} = \frac{d\sqrt{m(m+1)}}{2m+1},$$

получаем, что квадрат треугольника

$$BO - PQ = \frac{d}{2} \left(1 - \frac{2\sqrt{m(m+1)}}{2m+1}\right) = \frac{d(2m+1 - 2\sqrt{m(m+1)})}{2(2m+1)} = \frac{OQ}{2m+1 + 2\sqrt{m(m+1)}} \leq \frac{OQ}{3 + 2\sqrt{2}} < \frac{OQ}{2}.$$

Заметим, что при больших $k$ сумма длин хорд, как ясно из решения, почти равна $\pi dk/4$ (предел отношения этой суммы к $k$ равен $\pi d/4$). Те, кто знаком с понятыми интеграла и интегральной суммы, некомменно, увидят в сложете нашей решения вычисление интеграла от функций $f(x) = \sqrt{x^2 - d^2}$ на отрезке $-d \leq x \leq d$ с помощью интегральных сумм (точнее, «метод трапеций»).

А. Чазиров, P. Харитонов

M1097. Координаты вершин равноведренного треугольника — целые числа. Доказите, что квадрат основания — четное число.

Параллельно пересеcem данный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, так, чтобы вершина $A$ попала в начало координат. тогда координаты $(b_1, b_2)$ и $(c_1, c_2)$ вершин $B$ и $C$ останут哉 целыми. Из равенства $AB^2 = BC^2$, записанного в координатах:

$$b_1^2 + b_2^2 = (b_1 - c_1)^2 + (b_2 - c_2)^2,$$

вытекает, что $AC^2 = c_1^2 + c_2^2 = 2(b_1c_1 + b_2c_2)$ — четное число.

В. В. Произвольов

M1098. На окружности расстоянего $n$ точек, занумерованных подряд числа 1, 2, …, $n$. Двое црарают в следующую церру. Каждый по очереди проводит хорду, соединяющий точки с номерами одной четверти. Каждый хорда не должна иметь общих точек (далее концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний хорд. Выясните, кто из црроков — начинающий или его партнер — имеет выигрышную стратегию (при каждой $n = 4, 5, 6, 7, \dots$).

Ответ: при $n$ кратном 4, а также при нечетном $n$ выигрывает первый (начинаяший) игрок, а при $n = 4k + 2$ ($k$ целое) — второй.

Удобно считать, что точки с четыыми и нечетными номерами изображены разными цветами — скажем, белым и черным, — и что точки делят окружность на равные части.

Во всех случаях основная идея выигрышной стратегию — использовать симметрию.

Стратегия 1-го игрока при $n = 4k$ — проверяем ходом диаметр, а затем на каждый ход 2-го отвечать проведением симметричной относительной этого диаметра хорды — см. рис. 1. (Такой ход возможен, поскольку после каждой хода 1-го игрока позиция будет симметрична относительной диаметра. Здесь важно, что диаметрально противоположные точки имеют один и тот же цвет, и симметричные относительные диаметра точки — тоже.)

При $n = 4k + 2$ выигрыша стратегия 2-го игрока — на каждый ход 1-го игрока отвечать проведением хорды, симметричной относительной центра ok-

37

Ружности. Здесь существено, что диаметрально противоположные точки имеют разный цвет — ниже мы воспользуемся тем, что уже при одном этом условия игра проигрывна для начинающего.

Пусть $n$ — нечетно (тогда на окружности оказывается две соседние черные точки, с номерами 1 и $n$). При $n=4k+1$ 1-й игрок обеспечит себе выигрыш, если перымом ходом соединит, например, черные точки с номерами 1 и 3 (рис. 2), тем самым сведуло к аналогичной игре с $n=4(k-1)+2$, где начинающий проигрывает. Похожий, но еще более хитрый ход есть у 1-го игрок и при $n=4k+3$. Здесь он может отрезать три точки так, чтобы сохранили симметрия относительно оси — для этого достаточно соединить черные точки с номерами $2k+1$ и $2k+3$ (рис. 3).

Если мы следим свинить оставшиеся $4k$ точек так, чтобы они расположились по окружности на равных расстояниях, то диаметрально противоположные точки будут разного цвета (хотя белые и черные точки и не чередуются), и потому начинающий здесь (т. е. 2-й игрок) проигрывает.

Более тонких сообщений требуют тот вариант игры, в котором игрок, делаюший последний ход, проигрывает. Разбор этого варианта мы предоставляем читателям.

В. Г. Чванов

M1100*. На берегу прямолинейной реки лежат брева, какое из которых составляет с линий берега угол меньше $45^\circ$ (брева — не пересекающие друг друга отрезки; их число конечного). Доказите, что хотя бы одно из бревен можно закатить в реку, не задевая остальных. (Бревно можно катить лишь в перпендикулярном ему направлении, не поворачивая.)

Пусть берег — верхняя полуплоскость, линия берега — горизонтальная прямая $b$. Рассмотрим некоторое брево $l$ (составляющее с прямой $b$ угол меньше $45^\circ$). Проведем из его концов лучи, составляющие углы по $45^\circ$ с прямой $b$: из правого конца — в направлении $p$ «вправо — вверх», излевого конца — в направлении $q$ «влево — вверх» (рис. 1), и рассмотрим множество точки, лежащих в лице ломаной, состоящий из брева $l$ и этих двух лучей. Ясно, что выкатывая любое брево, удовлетрящее условию задачи и не имеющее общих точки с этим множеством, мы не можем задать брево $l$.

Удобно рассмотреть несколько большие множества, связанное с бреном $l$,— наоземем его «тенью $l$» и обозначим $U_l$ (рис. 2): его граница — ломанная, которая идет от правого конца брева $l$ в направлении $p$; затем, если ломанная упирается во внутреннюю точку какого-то брева — по этому брену вправа, от его правого конца — вновь по направлению $p$, и т. д., и также аналогично — отлевого конца брева $l$ (здесть отрезки ломаной идут, черезсь, по бревнам в направлении $q$). Очевидно, для различных бреен $l_1$ и $l_2$ их теми не совпадают. При этом, если $l_1 \subset U_{l_2}$ (л$_1$ лежит в тени $l_2$), то $U_{l_1} \subset U_{l_2}$. Теперь ясно, что в цепочке бреен $l_1$, $l_2$, $l_3$, …, в которой каждое брево мешает выкатить предыдущее, никакое брево не встретиется дважды: для нее $U_{l_1} \subset U_{l_2} \subset U_{l_3}$…

38

Ф1108. Для наглядной демонстрации возникния на вещество изготовления мишень в виде маленького серебряного шарика, закрыленное в верхнее лезкою пустотelo конуса (см. рисунок). Одна сторона шарика отполирована, а другая зачеренна. Мишень установлена от основанием конуса на шероховатую горизонтальную плоскость и на поверхности шарика-мишени фокусируют изучение от мощного импульсною лазера.

Оцените, при какой минимальной энергии светового импульса произойдет опрокидывание мишени. На какую из сторона шарика (отражающий или положящийся следует направить изучение?

Считайте, что масса шарика $m=3$ г и много большие массы конечной подставки; высота конуса $h=6$ см, диаметр основания $d=3$ мм; коэффициент отражения отполированной поверхности $r=0,99$; коэффициент положения зачеренной поверхности $a=0,99$; диаметр стороны лазерного импульса $\tau=10$ нс.

Эта задача возникла из реального существующего демонстрационного эксперимента. Световой пучок неодимового импульского лазера с энергией в импульсе 2 Дж и длительность импульса 10 ns направляется на верхний край вертикально стоящий мишени — деревянного клина; при этом если световой пучок фокусирован с помощью линзы и падает на зачеренную поверхность клина, то мишень опрокидывает. Если же пучок не фокусирован или же попадает на зачеренную поверхность, мишень не опрокидывает. Для простоты расчетов в условиях задачи деревянная клинообразная мишень заменена на серебряный шарик.

Для того чтобы мишень опрокидалась, необходимо, чтобы под воздействием светового пучка шарик приобрел кинетическую энергию, достаточно для подема центра тяжестей шарика на высоту

$$H = \sqrt{h^2 + \frac{d^2}{4}} - h \approx \frac{d^2}{8h},$$

т. е. необходимо выполнение условия

$$\frac{mv^2}{2} = mgH.$$

Это означает, что импульс, сообщенный шарику, должен быть равен

$$P = mv \approx \frac{md}{2} \sqrt{\frac{g}{h}} \approx 6 \cdot 10^{-5} \text{ кг} \cdot \text{м}/\text{с}.$$

Предположим, что опрокидывание мишени происходит за счет светового давления. В самом деле, каждый поглощенный фoton передает шарику импульс $P_0 = E_0/c = hv/c$, где $E_0 = hv$ — энергия фotonа, $c$ — скорость света. Умножив это выражение на число фотонов в изучении, мы получим полный импульс $P$, переданный шарику фotonами, откуда найдем полную энергию $E$ светового пучка, необходимую для опрокидывание мишени:

$$E = Pc \approx 2 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$

Для опрокидывания мишени не хватает 4-х порядков! Значит, в этом эксперименте световое давление не играет главной роли.

Разгадка эффективности состоит в том, что энергия лазерного пучка, поглощая зачеренную поверхность, производит быстрый локальный разогрев и испарение вещества мишени в области фокусировки пучка. Струя паров и создает ту реактивную силу, которая опрокидывает мишень. Сделаем соответствующие расчеты.

Пусть все световая энергия поглотилась и пошла на испарение массы $\Delta m$ вещества. Тогда

39

$$\Delta m \approx \frac{E}{L},$$

где $L$ — удельная теплота парообразования (здесь мы не учитываем энергию, необходимую для разогрева вещества до температуры плавления, для плавления и для дальнейшего разогрева до температуры кипения, так как она в несколько раз меньше энергии, необходимой для испарения). Средняя квадратичная скорость теплового движения молекул пара равна

$$u = \sqrt{\frac{3RT}{M}},$$

где $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура кипения, $M$ — молярная масса вещества. Для середра эта скорость составляет

$$u = 0,7 \cdot 10^3 \text{ m/c.}$$

Максимальный импульс, уносимый парамети и, по закону сохранения импульса, передаваемый шарику, равен $\Delta mu$. Для опрокидивания мишени необходимо, чтобы этот импульс был равен найdenному нами значению $P$:

$$\Delta mu = P.$$

Тогда необходимая энергия излучения

$$E = \Delta mL = \frac{PL}{u} \approx 0,2 \text{ Дж},$$

где $L = 2,2 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг.}$. А это на порядок меньше энергии излучения нашего лазера.

При получения этой оценки мы не учитывали, что часть световой энергии отражается мишению, часть поддет на ее нагрев (а не только на частиное испарение) и, наконец, что струя паров будет истекать расходящимся пучком и, следовательно, сообщит шарику несколько меньший импульс. Все это, конечно, означает, что оценка занijена, но, как оказывается, не более, чем на порядок.

И последнее. При облучении не поглощающей, а отражающей поверхности шарика для опрокидивания мишени потребуется энергия по крайней мере в $1/(1-r)=100$ раз больше.

Следовательно, если мишень при облучении ее зачеренной поверхности опрокидывается при энергии светового импульса

$$E > 0,2 \text{ Дж},$$

то при облучении отражающей поверхности для опрокидывания потребуется энергия

$$E > 20 \text{ Дж},$$

что на порядок больше энергии неодимового импульсного лазера.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф1109. С наклонной плоскости скатыают две бутылки: одна — пустая,

40

другая — заполняющая body. Какая из них скатится быстрее? Какая из этих бутылок поднимается на большую высоту, если их пустить вверх по наклонной плоскости с одинаковыми начальными скоростями? Считать, что просkalывающая нет.

Энергия как поступательного, так и врашательного движения. Если внутри бутылки имеется вода, то она, благодаря малой вззости, во врашении практически не участвует. В результате во втором случае большая часть начальной потенциальной энергии переходит в кинетическая энергия поступательного движения, и бутылка с водой скатится быстрее пустой бутылки.

Тепер приведем более строгое решение. Найдем, чему равна кинетическая энергия пустой бутылки массой $m$, которая катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания со скоростью $v$. Для простоты заменим бутылку пустотельным цилиндром и будем считать, что все его масса сосредоточена в тонких стенках.

Все точки цилиндра участвуют в сложном движении: это поступательное движение со скоростью центра масс $v$ и врашение с линейной скоростью $v$ в системе отсутства, связанной с центром масс.

Рассмотрим небольший участок «обода» массой $\Delta m_i$. Его скорость складывается из скорости $\vec{v}_i$ в системе центра масс и скорости $\vec{v}$ самого центра масс (см. рисунок). Кинетическая энергия этого участка равна

$$\Delta E_{ki} = \frac{\Delta m_i(|\vec{v}_i + \vec{v}|)^2}{2} = \frac{\Delta m_i(v_i^2 + v^2 + 2v_i v \cos \alpha_i)}{2},$$

где угол $\alpha_i$ для разных участков принимается от 0 до 2л. Полная кинетическая энергия цилиндра складывается из кинетических энергий всех его участков:

$$E_k = \sum_i \Delta E_{ki} = \sum_i \frac{\Delta m_i(v_i^2 + v^2)}{2} = \sum_i \Delta m_i v^2 = mv^2$$

(здесь мы учили, что для всех участков $v_i = v$, а cos $\alpha_i$ принимает все возможные значения — и положительные, и отрицательные, так что $\sum_i \cos \alpha_i = 0.$)

Если цилиндр скатывается по наклонной плоскости, то, спустившись с высоты $h$, он прибретет скорость $v$, которое можно найти из закона сохранения энергии:

$$mgh = mv^2,$$

и

$$v = \sqrt{gh}.$$

Отсюда видно, что эта скорость в $\sqrt{2}$ раз меньше скорости для случая скатывания без врашения. Это связано с тем, что потенциальная энергия цилиндра переходит в кинетическую энергию как поступательного движения, так и врашательного.

Когда внутри цилиндра находится вода (наш случай бутылки с водой), которая из-за незначительной вззости во врашение практически не вовлекается, полная кинетическая энергия равномерно катящая цилиндра массой $m$, заполненного водой массой $M$, будет равна

$$E_k = mv^2 + \frac{Mv^2}{2} = \left( m + \frac{M}{2} \right)v^2.$$

После спуска с высоты $h$ по наклонной плоскости такой цилиндр за счет потенциальной энергии $(m + M)gh$ прибретет кинетическую энергию $(m + M/2)v^2$, так что его