Квант 1989, №1 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Лед — икс

1989

YAX DARGENT

G. DECHAMP

1

В номере:

2 К нашим читателем
3 Интервью с академиком И. М. Гельфандом
14 А. В. Зарецкий. Лёд-икс

Из истории науки
13 Л. Н. Крыжановский. Громоотвод, политика и… шляпки

Задачик «Кванта»
21 Задачи M1141—M1145, Ф1148—Ф1152
22 Решения задачи M1116—M1120, Ф1128—Ф1132
29 Список читателей, приславших правильные решения

«Квант» для младших школьников
30 В. Л. Гутенхахер. Дроби — верблюда — паркеты

---

34 Р. Брэдбери. Р — значит пакета

40 Калейдоскоп «Кванта»

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10:
45 Равновесие механический системы и метод виртуальных перемещений
47 Сколько бывают состояние у вещества?
49 Несолько заменой по поводу фотоэфекта

Математический кругок
52 С. М. Львовский, А. Л. Тоом. Можно и нельзя

Олимпиды
56 В. В. Василов, А. А. Фомин. XXIX Международная математическая олимпида
59 О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов. XIX Международная физическая олимпида

Информация
65 Новый прием во Всесоюзную заочную математическую школе
66 Заочная физico-техническая школа при МФТИ
69 Заочная физico-техническая школа при МИСиCe
70 Новый прием на заочное отделение Малого механика

72 Варианты вступительных экзаменов
75 Ответы, указания, решения

Наша обложка

1 Лед — такое, казалось бы, простое и хорошо всем знакомое состояние воды. А вот с точки зрения физики лед в своей mode уникальный объект. Об этом — стать А. В. Зарецкою.

2 Как вы думаете, что завервочи привязаны к шляпам паржисках модицу второй половины XVIII века? Подсказка — в заметке «Громоотвод, политика и… шляпки».

3 Шахматная страница.

4 Головоломка «Непослушные шарики».

© Издательство «Нука».
Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1989

2

Дорогие читатели!

Поздравляем вас с наступным Новым годом! Для журнала «Квант» это двадцатый год его существования. Многие из тех, кто еще школьником регуляро читал наш журнал и размышлял над его статьями и задачами, теперь научные работники, педагоги, инженеры. Мы надемемся, что и новые наши подписчики найдет для себя в журнале много интересного и полезного.

Каждай номер журнала содержит широкий спектр материалов. Это рассказы о достижениях научки и ее применениях, об истории физики и математики и новых открытий. Мы знакомим читателей с крупными отчетственными и зарубежными учеными, их взглядами и путями в научу.

Журнал насыщен разнообразными задачами, которые необходимо для тренровки питьливого ума. Это занимаемые задачи для начинающих («младших школьников»), более серьезные избранные школьные задачи, экзаменационные задачи для абитуриентов, требующие еще более длительных разумений оlimпиданных и исследовательские задачи, циклы задач для математического кружка. Особая роль отведена разделу «Задачник «Кванта», который проводит традиционные ежедневные конкурсы на лучшее решение задачи из этого раздела. Надо сказать, что больше часть материалов нашего журнала расчитана на серверное чтение «с карандашом в руке».

В журнале найдет пшщу для размышлений не только «теоретики», но и «экспериментаторы» — те, кто любит физические опыты.

Регулярно появляются в журнале материалов, рассказывающие о различных оlimпидах и конкурсах, о заочных и вечерних физико-mатематических школах, о новых книгах по математике и физике.

В этом году объем нашего журнала увеличился на 16 страниц. Мы хотели бы использовать эту возможность для более полного удовлетворения пожеланий наших читателей. Так, интересующимся компьютерами и программирами будут адресованы статьи о математических вопросах программирования, об использовании ЭВМ в научке и в жизни. Большое внимание будет уделено различным направлениям и достижениям в освоении космического пространства. В частности, мы будем давать регуляруную информацию о работе надавно созданного при ЦК ВЛКСМ Весоизного молодежного аэрокосмического общества. На страницах «Кванта» найдет место и произведение художственного литературы, прежде всего — научная фантастика.

Нам очень хотели бы, чтобы «Квант» стал вашим другом, помощником, учительом, собственником. А это невозможно без вашего непосредственного участия, без тестиой «обратной связи». Мы ждем ваших писем!

3

ИНТЕРВЬЮ С АКАДЕМИКОМ
И. М. ГЕЛЬФАНДОМ

Всеобщей известностью пользовется математический семинар Гельфанда, который уже 45 лет собирается в понедельник вечером в Московском университете. На семинаре учася и студенты-первокурсники, и известные учены. Неколько поколеный выдалошихся математиков воспитано этим семинаром.

Израиль Моисеевич — основатель Всегоозной заочной математической школа и predседатель ее Научного совета. Главная задача этой школа — помочь тем школьникам, которые, в отличие от жителей Московы, Ленинграда и других крупных городов, практические лишены математической литературы и kontaktов с учеными. Созданная 25 лет назад, Всегоозная заочная математическая школа была первою в нашей стране школе такого типа; впоследствии по ее образцу были открыты и другие заочные школе.

Всегда с академиком Гельфандом планировалась как общное интервью «Кванту». Мы заготвили вопросы, интересные, как нам казалось, и нашим читателем, и нашему собеседнику. Израиль Моисеевич, просмотрев список вопросов, отметил, что вопросы очень интересные, но он себя… не считает компетентным ответать на них.

— Вы понимаете, я не считаю себя вправе наязываать свое мнение вашим молодым читателем. Давайте лучше я рассказу, как занимаемся математикой в том возрасте, который совпадает с возрастом большей части читателей «Кваента» — от 13 до 17 лет. Не уверен, что помню сейчас все задачи, которые я занимался в этой время, но те задачи, о которых рассказу, я запомnil очень хорошо. Вот рассказ И. М. Гельфанд.

1*

4

Один из романов Грэхема Грина называется «The loser takes all»). Моя математическая биография складывалась удивительно счастливо, и много лет она была осуществленем этого высказывания. В чем мне повезло? Если коротко, то, во-первых, в том, что я неучился в университете (да и вообщейни в каком высем учебном заведении), а, во-вторых, в том, что в результате определенных жизниенных трудностей, постигших мою семью, я оказался в Москве без родителей, безработным, в шестнадцать с половиной лет.

И. М. Гельфанд беседует с выдающимся французским математиком Ж.-П. Серром после его выступления на семинаре Гельфанда в МГУ. Апрель 1984 года.

Попробую посянить смысл фразы «the loser takes all» с помощью рассказа другого английского писателя, Сомерсета Мозма. Главный герой рассказа, некий церковный служка, терпит неудачу: при аттестации церковного персонала выясняется, что он неграмотен, и его выгояют с работы. Он начинает работать продавцом сирает, затем выкупает табличный киоск, потом несколько других киосков … и делает блистательную коммерческую карьеру, становится самым богатым человеком своего города, его зэром. И вот у него берут интервью — как вы сейчас у меня — и он пожает журналисту, что неграмотен. Потребенный журналист восслuctает: «А каких бы Вы высот достигли, если бы были грамотным!» Немедленно следует ответ: «Я был бы церковным служкой.»

Так вот я в февраль 1930 года, в 16 с половиной лет, приехав в Москву к дальнейм родственникам, был часть безработным, брался за любую временную работу, а больше сидел в Ленинской библиотеке и «добирал» те знания, которые недополучил в школе и в независимом профессиональном-техническом училище. В библиотеке я познакомился со студентами университета и стал ходить на семинары. В 18 лет я уже преподавал, а в 19 попал в аспирантуру, и моя дальнейшая математическая биография шла обичным, регулярным образом, тут она вписывается в русло, прививчное для математиков.

Но не об этой части моей жизни я хотел рассказыть читателя «Кванта», а о предыдущей — о том, как я занимался математикой в возрасте от 13 до 17 лет. Я хочу об этом рассказыть по двум причинами. Во-первых, по моему глубокому убежданию, у большинства будущих профессиональных математков математическая одаренность проявляется именно в период от 13 до 16 лет**), хотя, конечно, бывают и флуктуации, от более раннего развития до значительного более позднего (от 20 до 30 и даже 40 лет), которое наблюдается у некоторых сильных математиков. Во-вторых, этот период сформирово-

*) Проигравший получает все (англ.)
**) Большое подробно об этом Израиль Монсеевич рассказал в интервью, опубликованном в «Известях» 3 декабря 1987 года.

5

вал мой способ занятия математикой. Предмет исследования, конечно,варь-
ровался, но художественный образ математики, сложившийся в это время,
явился основой в выборе задач, привлекающих меня вплоть до сего-
няшнего дня. Мне кажется, что без понимания этой мотивировки нельзя
разобраться в каждшей алгоритмности моих способов знаматыся и выбора тем
занятый. В свете же этой мотивировки они на самом деле сложились очень по-
следовательно и логично.

Семинар Гельфанда. За пер-
вым столом второй слева —
рост семинара известный
американский математик
Р. Макферсон. 1981 год.

Первое, что я помню, относится к 5—6 классу. Я тогда понял, что есть зада-
чи по геометрии, которые нельзя решить алгебраически. Я составил таб-
лицу отношений длины хорды к длине дуги через каждые 5°. Лишь много поз-
же я узнал, что бывают тригонометрические (не алгебраические!) функции
и что в существии я составил тогда тригонометрические таблицы.

Примерно в то же время я проработал задачик по элементарной алгебре.
Курса алгебры у меня не было, теории я не знал, а приходилось решать порой
непростые задачи, использую, например, (неизвестные мне) формулы сокращен-
ного умножения. Если я не мог расшифровать, как решить данную зада-
чу, я заглядывал в ответ, научился по постановкам задачи и ответам восстанав-
ливать методы их решения. В частности, я тогда понял и запомнил на всю
жизнь, что новый область можно овладеть, решая задачи, и никака не зазорно
посмотреть в ответ, поскольку когда мы решаем какую-либо проблему, всегда
имеется гипотеза об ответе. Занятия математикой вообще похожи на решения
задач, в которых кое-что известно об ответе. Эти математические ра-
бота отличается от необходимой, конечно, тренировки по выполнению конкур-
ной работы для поступления вуз.

В начале 6-го класса я обратил внимание на задачи по геометрии, в которых
часто появлялся прямогольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, и даже со
сторонами 5, 12, 13. Мне захотелось найти все прямогольные треугольники с
целыми сторонами, и я выел обещую формулу для их сторон, т. е. нашел все Пи-
фагоровы тройки. (Разумеется, я тогда не знал этого термин.) К сожалению,
сейчас не помню, как я это сделал.

Занимался математикой я во время болезней и в каникулы. Я и теперь заме-
чало, как много успевают сделать сильные школьники, когда по болезни остаются
дома. Своих сыновей я поэтому после болезней на несколько лицних дней
оставлял дома.

Геометрию мы проходим по Киселеву, еще не испорченному последующими
переработками. Некоторые теоремы давались в виде задачи. Я достигло обещую
тетрадь (в те годы это было не так-то легко), выписал на каждой странице

6

условие теоремы и за лето заполнил доказательствами почти все страницы. Так я научился писать математические работы.

Я пропущу большой период. Отмечу только книгу по алгебре Давыдова с остроимыми способами решения задач на максимум и минимум элементарными методами (т. е. без применения дифференциального исчисления). Например, найти максимум $ab$, если $a+b$ задано; найти прямогольник максимальной площади при заданном периоде; найти максимум произведения неотрицательных чисел $a_1a_2...a_n$, если задана их сумма $a_1+a_2+...+a_n$; из квадрата с заданной стороны вырезают квадратики, а из оставшейся части делают коробку; какого размена квадратики надо вырезать, чтобы объем коробки был максимален?

Большое впечатление произвели на меня комбинаторика и биом Ньютона, который я долго продумывал.

Жил я в маленьком городшке с единственной школе. Момим преподавателем математики был очень добрый, хотя с виду и суровый человек по фамилии Титаренко. У него были большие запорожские усы. Лучшего учителья не встречал, хотя я знал больше него, и он это понял. Он очень любил и всячеки ободрял меня. Ободрять — самоое главное для учителья, не так ли?

Существен был нежатка книг по математике. Я видел в объявлениях, что есть книги по высшей математике, и представлял высшую математiku как нечто очень интересное. Родители мои не могли выписать эти книги — не было денег. Но тут мне опять повезло. В 15 лет меня повезли в Одессу операровать аппендицит. Я заявил родительям, что не лягу в большицу, пока мне не купят книг по высшей математике. Родители согласились и купили курс высшей математики Беляева для взов на украинском языке. Денег, впрочем, хватило лишь на первую часть, с изложением дифференциального исчисления и аналитической геометрии на плоскости.

Мне повезло, что я начал не с глубокого университетского курса. Это была очень элементарная книга. Об уровне книги Беляева можно судить по введению к ней. В нем, в частности, говорилось, что функции бывают трех видов: аналитические, заданные формулами; эмпирические, заданные таблицами; корреляционные. Что такое корреляционные функции — я узнал много лет спустя у студента, занимавшегося теорией вероятности.

На третий день после операции я взялся за эту книгу и читал ее, перемжая это с чтенем романов Э. Золя, дней девять (тогда после подобных операций лежали 12 дней). За это время я ее прочитал.

Из книги я условияд две замечательные идеи. Во-первых, любая геометрическая задача на плоскости и в пространстве может быть записана формулами. Впрочем, я подозревал это и раньше. Я также узнал о существовании таких замечательных функур, как, например, эллипс.

Вторая идея — она произвела переворот в моем мировозренении — заключалась в том, что есть формула для вычисления сinhуса: sin $x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$ —…

Do этого я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принадлежало «трансцендента» для алгебраической. Возьмите, например, формулу для кружености — там есть «геометрическое» число л. Или, скажем, сinhус — он определяется чисто геометрическим.

Когда я обнаружил, что сinhус можно записать алгебраическими в виде ряда, барер обрушился, математика стала единой. И по сейчас я воспринюю различные разделы математики вместе с математическим физикой как единое целое.

Конечно, я убедился в том, что задачи на экстремум решаются автоматически, и хотя они теряют свое обаяние, у вас в руках мощный аппарат для их решения.

7

Изучая дифференциальное исчисление, я узнал, что бывает еще и интерральное исчисление, связанное с площадями и объемами. Но в чем оно состоит, мне не было известно: ведь у меня не было второго тома курса Беляева!

Тут я хочу вспомнить еще одну задачу. Когда мы следующего осенью проходили в школе обьемы тел врашения, мой одноклассник, известный впоследствии математик Д. П. Мильман, обратил мое внимание на следующее задачу: найти обьем тела, образованного врашением круга вокруг касатель-

Вручение И. М. Гельфанду почетной степени доктора Лионского университета. Июнь 1984 года.

ной. Для решения этой задачи я разбил круг на полоски и сосчитал сумму разностей обьемов соответствующих цилиндров врашения. Тем самым я пришел к необходимости найти сумму

$$\cos \varphi + \cos 2\varphi + \cos 3\varphi + \dots + \cos n\varphi.$$

(*)

Дальнейшее, как всегда, было смесью изобретательности и глупости. Я прощел mismo элементарного решения с помощью общной тригонометрии, но воспользовался формулой $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$ (эта формула называется формулой Эйлера, но я этого не знал). Я получил эту формулу из глубоко поразивших меня рядов для синуса, косинуса и $e^x$. Далее, осталось найти сумму геометрической прогрессии $e^{i\varphi} + e^{2i\varphi} + \dots$ и получить из нее сумму (*), что я и сделал.

На этой задаче я получил привычку обдумывать задачу и после ее решения. А именно: отодвинул окружность от прямой и попаял, что при врашении получается тело, напоминающее резиновый круг, на котором си-

*) $i$ — минимая единица ($i^2 = -1$); о комплексных числах можно прочитать, например, в «Кванте» (1983, № 2, c. 16).

9

Складывая эти равенства, я получил

$$F(n+1) - F(1) = S_0 + \frac{S_1}{2!} + \frac{S_2}{3!} + \dots,$$

где $S_0$ — интересующая меня сумма, а

$$S_1 = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n),$$

$$S_2 = f''(1) + f''(2) + \dots + f''(n),$$

Тогда я записал систему

$$F(n+1) - F(1) = S_0 + \frac{S_1}{2!} + \frac{S_2}{3!} + \frac{S_3}{4!} + \dots,$$

$$f(n+1) - f(1) = S_1 + \frac{S_2}{2!} + \frac{S_3}{3!} + \dots,$$

$$f'(n+1) - f'(1) = S_2 + \frac{S_3}{2!} + \dots,$$

т. е. бесконечную систему с бесконечным числом неизвестных $S_0, S_1, S_2$, … Я уже упомянул, что в книге Кагана были бесконечные определители, поэтому я смог воспользоваться «правилом Крамера» для нахождения $S_0$:

$$S_0 = \frac{1}{1}$$

Определенть в числитель этой «дроби» я разложил по первому столбцу, получив

$$S_0 = B_0(F(n+1) - F(1)) + B_1(f(n+1) - f(1)) + B_2(f'(n+1) - f'(1)) + \dots,$$

(1)

где $B_0 = 1, B_1, B_2, \dots$ — числовые определители бесконечного порядка. Полученное выражение называется формулой Эйлера — Маклорена, но я, конечно, об этом не знал. Чтобы его вычислить, нужно было найти коэффициенты $B_0, B_1, B_2, \dots$.

Для этого я применил соображения, которые сегодня называны «функциональными». Именно, пользовсь тем, что коэффициенты $B_0, B_1, \dots$ не зависит от $f$, я подбрал такую функцию $f$, чтобы левая часть системы образовала геометрическую прогрессию (которую я умел суммировать). Для этого подходит функция $f(x) = e^{\alpha x}$, подставляя которой в формулу (1), я получил (проделяйте выкладки!)

$$B_0 + \alpha B_1 + \alpha^2 B_2 + \dots = \frac{\alpha}{e^{\alpha}-1},$$

т. е. получил произведение функции для нужных чисел $B_0, B_1, B_2, \dots$ (они называются числами Бернулли, а многочлен $S_0$ для $f(x) = x^p$ называется многочленом Бернулли).

Из этого перiodа я помню еще две задачи. Первая возникла из задачи в нашем задании по алгебре: выразить $x_1^2 + x_2^2$ и $x_1^3 + x_2^3$ через коэффициенты квадратного уравнения, корнями которого являются $x_1$ и $x_2$.ECTЕСТВЕННЫМ ОБОБЩЕНИЕМ ЯВЛЕТСЯ ЗАДАЧА: выразить суммы $x_1^2 + \dots + x_n^2$ и $x_1^3 + \dots + x_n^3$, где $x_1, \dots, x_n$ — корни уравнения $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0$, через

10

эго коэффициенты. Здесь мне помогла теорема Безу, которое я узнал из учебника Давыдова. Я пошел дальше и поставил себе более общую задачу: выразить сумму $k$-х степеней корней алгебраического уравнения $n$-й степени через коэффициенты этого уравнения. Я решил эту задачу (ответ назвается формулой Ньютона).

Вторая задача, которая я тогда решал, возникла, когда я обнаружил, что число cos $ix$ — вещественное, либо

$$\cos ix = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$$

Я задумался над этим неожиданным фактом и доказал следующее обещание теорему: всякая четная вещественная функция принимает вещественные значения на минимой оси.

Чтобы это доказать, нужно было уточнить, что такое «функция». Я размышлял над тем, что называть функцией, и принял такое определение: функция — это сумма сходящого бесконечного степени ряда. После этого доказательство теоремы почти очевидно.

Эта задача, по-видимому, была последней, над которой я размышлял до своего приезда в Москве. Я ее решил летом 1929 года, а в следующие полгода, очень трудные для моей семьи и для меня, мне было не до математики.

Дальнейший период моих занятий, в Москве, в отличие от описанного, не был «чистым экспериментом». В Москве я уже был подвержен многим самых разнообразным влияниям, и мое развитие уже не шло своим собственным путем. В этот период, как я уже говорил, яучился самостояльно в библиотеке им. В. И. Ленина, перебиваясь служными заработками. Однако время даже был контрольом в «Ленинке». Познакомился с университетским студентами-математики. Кто-то из них мне сказал, что мой интерес к выражениям вида $f(n+1)-f(n)$ связан с целой наукой, называемой теорейкой конечных разностей, и подсказал мне, что нужно прочитать книгу Nörlund’a «Differenzenkalkül» на эту тему. Книга была на немецком языке, но с помощью словаря я ее осилл.

Стал ходить на университетские семинары, и тут оказался под тяжелим психологическим прессом. Я обнаружил, что мой стиль занятий математикой никак не годится. В математике появились новые вещи — новые требования в отношении строости доказательств, большой интерес к теории функций действительного переменного (ТФДП). (Замечу, что сегодня и этот уровень строости, и ТФДП считают старомодными и устарелыми, но тогда…)

Тогда я осознал, что очень важно, что функция не обязана быть неправивной, что непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой, что дифференцируемая функция не обязана быть дважды дифференцируемой и т. д.; что даже если у функции существует произвольные всех порядков, то ее ряд Тейлора не обязана сходиться и что, даже если он сходится, его сумма не обязана совпадать со значением функции! Если это совпадение имеет место, то такая функция называется аналитической, и этот класс функций, утверждали приверженцы ТФДП, настолько узок, что находится за пределами главных интервов математики. А я только такие функции и рассматривал!

Под давлением этой точки зрения я прочитал «современный, строгий» учебник по анализу Валле Пуссена, пожожий на те учебники, по которым сегодня участвует на механите МГУ, но лучший, чем они. Я поэтому с пониманием сочувствующего первогоурсника механита, которые допускают к красотам математического анализа только после годового испытательного срока, испытания «строгим обоснованием» анализа.

Но и тут мне повезло. Я стал читать замечательный учебник И. И. При-

12

часы делают коробку (см. рисунок). Какого размера квадратки надо вырезать, чтобы объем коробки был максимален?

Ясно, что нельзя вырезать очень маленькие квадратки, так как коробка получится слишком мелкой. Нельзя вырезать и очень большие квадратки, так как тогда коробка будет слишком узкой. Сколько же надо вырезать?

Указание: объем коробки $V = x(a - 2x)^2$. Ву-
дем искать максимум $4V = (4x)(a - 2x)(a - 2x)$,
т. е. максимум произведения трех чисел, сумма которых равна 2a.

5. Задчача. Вычислите суммы $\cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx$ и $\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx$.

6. Вычисляя объемы и площади поверхности тела врашения, И. М. Гельфанд открыл для себя замечательные теоремы Гульдина:

объем тела врашения плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжестеги;

площадь поверхности тела врашения равна произведению длины границей фигуры на длину окружности, описанной центром тяжестеги этой границцы.

Задчача. На каком расстоянии от центра находится центры тяжестеги полукруга и полукружности?

7. Чтоы познакомитться с определителемми, решим систему линейных уравнений:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2. \end{cases}$$

Если $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$, ее решение дает формулы:

$$x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}, y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}.$$

Величина $a_1b_2 - a_2b_1$, стоящая в знаменателе, обозначает через $\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix}$ и называется определителем. В числительных тоже стоит определители $\begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}$ и $\begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix}$.

Аналогично при решении системы

$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1, \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2, \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$

в знаменателе повязются определители третього порядка. Определитель

$$\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix}$$

раведен $a_1(b_2c_3 - b_3c_2) + a_2(b_3c_1 - b_1c_3) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1)$. Обратите внимание на то, что в скобках стоит определителя второго порядка. Такая запись определителя называется его разложением по первому столбцу.

Можно договораться, из каких однолетов от переменных $a_1, a_2, \dots, d_4$ состоит определитель четырого порядка:

$$\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{matrix}.$$

Гораздо труднее угадать, каковы знаки этих однолетов.

Квадратные таблицы из чисел называются (квадратными) матрицами, а соответствующие определители — определители матриц. Интересно, что сейчас И. М. Гельфанд увлечен вопросом: чем должен быть равен определителькубищеской матрицы? Когда ответ будет получен, он найдется расскадать об этом на страницах «Кванта».

8. Задчача. Докажите, что

$$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6$$

и

$$1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = n^2(n+1)^2/4.$$

Замечательно, что $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^2$. Интересно, можно ли это доказать непосредственно?

Числа Бернулила дают возможность вычислить и обшую сумму $1^p + 2^p + \dots + n^p$ как многочлен от $n$ степени $p+1$.

9. Задчачи. а) Выразите сумму квадратов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$ через его коэффициенты.

6. To же — для суммы кубов корней этого уравнения.

b) To же — для суммы квадратов и кубов корней уравнения

$$x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0.$$

Указание: воспользуйтесь формулами Виета:

$$a_1 = -(x_1 + x_2 + \dots + x_n), \quad a_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_n-1x_n, \quad a_3 = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + \dots + x_n-2x_nx_1x_n),$$ где $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни уравнения.

Решая общую задачу о том, как выражается сумма степеней корней уравнения через его коэффициенты, И. М. Гельфанд доказал формулы Ньютона:

$$p_k + a_1p_k-1 + a_2p_k-2 + \dots + a_k-1p_k = 0, \quad k \leq n, \quad p_k + a_1p_k-1 + a_2p_k-2 + \dots + a_np_k-n, \quad k > n.$$

Здесь $p_k$ обозначает сумму $i$-х степеней корней $x_i^1 + x_i^2 + \dots + x_i^n$.

Формулы Ньютона можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно $p_i$ с коэффициентами $a_1, a_2, \dots, a_n$. Если решить эту систему, то получится формула Варианта, прямо выражющая сумму степеней уравнений через его коэффициенты. В современной математике этот сложет получил далекое развитие.

13

Громоотвод, политика и…
шляпки

Любитель наук из Филадельфии (штат Пенсильвания) Бенджамин Франклин, впоследствии дипломат и член многоих академий наук, в том числе и Петербургской, в 1749 году записал в своем рабочем журнале идею опыта, который должен был подтвердить электрическую природу грозовых явлений, а в 1750 году в письме английскому ученому Питеру Коллинсону предложил громоотвод — заземленный металлическийстержень, возвышающая над зашищаемым объектом.

Весной 1752 года опит по замыслу Франклина был успешно выполнен во Франции — из металлического шеста, установленного в будке на изоляторе, в грозу были извлечены искры. Несколько позже (в том же году) в Филадельфини сам Франклин осуществил опит с «электрическим змеем» — извлек искры из влажной от джеджа бечевки, на который был запущен змей с металлическим острием и которое Франклин, находясь в укрытии, держал за привязанную к ней шелковую ленту. Вскоре появились первые громоотводы, хотя их внедрение проходило относительно гладко. Зачастую нами, а не острыми. Сложилась ситuationя, которая наполнила борбу тупоконечников с остроконечниками из «Путешествий Гулливера» Джонатана Свифта (первое издание книги вышло в 1726 году). Лондонское Королевское общество (академия наук) выступило против миниого усовершенствования, предложенного Вильсоном. Тем не менее король Георг III в 1777 году, во время войны с американскими колонями, которые боролись за независимость от Англии, велел заменить у себя остроконечные громоотводы на тупоконечные, чтобы не пользоваться изобретением противника.

(Продолжение см. на c. 20)

14

Под увеличительным стеклом снежинки
казались горздо более крупными,
чем были на самом деле,
и пожодили на роскошные цветы
или десятионные звезды.
Видишь, как хорошего сделано! —
сказал Кай. — Снежники горздо
интереснее настоящих цветов!
И какая точность!
Ах, если бы только
они не таили!

Г.-Х. Андерсен.
«Снежная Королева»

15

Лед всегда представлялся человеку символом красоты, точности, величины. Но красоты суповой, красоты, несущей в себе холод, зло, а порой и смерть. Недаром Данте представлялось, что лед должен находиться в самом центре Земли, у последней ступени, ведущей в Ад, а сокровища Сатаны скрыты в ледяном суndуке.

Бесспорно, исследование художником явлений природы и законов мироэдания идет через его эмоциональное воспрятие окружающей мира. Ученый же должен быть бесстрастен, как при выборе объекта исследования, так и при анализе многочисленных (и порой противоречных) данных.

А чем может быть интересен лед с точки зрения физики?

Химическая формула льда — H₂O. При охлаждении вода замерзает, выражаясь точнее, кристаллизуется. В настоящее время обнаружено тринадцать (!) различных структурных форм льда. Пусть это число считается некоторыми несчастливым, но оно ставит лед в особое положение — ни одно столб же просто по химическому составу вещество не может похожать таким общим фазовых переходов. Вот и первый повод присталней приглядеться к этому объекту.

На рисунке 1 показана практические все фазовая диаграмма H₂O. Она изучена достаточно неплохо, хотя все еще богата белыми пятнами. Доста-точно сказаь, что лед-X и лед-XI были обнаружены всего лишь несколько лет назад. Лед, к которым мы все привыклили, тоже указаны диаграмме — это лед-I, или, точнее, лед-Iₙ. При нормальном давлении и 0 °C его удельная плотность 0,917×10³ кг·м⁻³, он легче воды, т. е. в процессе кристаллизации плотность воды уменшается.

Это совершенно необучное свойство льда (ведь общно кристаллизация ведет к увеличению плотности) имеет громадное значение для жизни на Земле. Ледяной панцрь, образующийся на поверхности воды, создает столб эфективную теплопозоляцию, что водоемы редко промерзают на всю глубину. Не хочется и думать, что было бы с подводным миром, будь лед хотя учточку тяжелее воды!

Рис. 1. Рис. 2.

18

ному на рисунке 3, б, приводит к нарушению пункту 3.

Но ведь известно, что лед не является идеальным диэлектриком, а обладает вполне изменением электропроводностью, причем протонной. Зачит, протоны могут дивигаться! Так что же — БФП-правила не верны? Правильный всего ответить так: они почти всегда верны, но именно исключания из этих правил и обусловлены удивительные электрические свойства льда.

В конце пятидесных годовшей царский физик Жаккар предложил очень изящный способ описания этих электрических свойств движением свободных дефектов, возникающих именно при нарушении БФП-правил. Это очень необучный механизм электропроводности, поэтому давайте рассмотрим его подробней.

«Испортим» решетку льда, нарушив 2-e из БФП-правил: от одного атома кислорода уберем протон, а другому добавим — как на рисунке 3, б. Мы получим так называемые ionные дефекты (их обозначают OH⁻ и H₃O⁺). Теперь испортим решетку, нарушив правило 3, — так, как показано на рисунке 3, е. При этом возникнут ориентационные дефекты (так называемые L- и D-дефекты).

Дефекты всегда присутствуют в результате структуре льда, но их очень мало — в химически чистом льде при температуре — 10 °C на 3 · 10¹¹ молекул воды приходит около 10⁵ ориентационных дефектов и всего лишь пара ionных дефектов.

На рисунке 4, а показано, как может произходить движение протонов. Расмотрим ionный дефект H₃O⁺. Протон 1 переходит на место, отменное крестиком. Ранше H₃O⁺-ион был у кислорного атома I, а теперь он будет находиться у кислорода II. Далее протон 2 переходит на место, тоже отменное крестиком, — теперь он H₃O⁺ находится уже у атома III, и т. д. Мы видим, что каждый раз движется разные протоны, как бы передавая друг друг эстафету. И в результате H₃O⁺-ион «проходит» весь путь «сам». На рисунке 4, б показана решетка льда после перемещения H₃O⁺-иона из положения I в положение X.

Мы для наглядности взяли гипотетическое плоскую квадратную решетку льда. В этой решетке у каждой атома кислорода оказывается четкое эквивалентных кислородных сосяда, как и в результате трехмерной решетке, и поэтому все полученные здесь выводы справедливны и для истинной решетки льда. Попробуйте сами разобраться, как движутся OH⁻-ионы, L- и D-дефекты.

Okазалось, что и в некоторых других веществ механизм проводимости такой же. Сейчас даже многоимки с винанием следует за изучением механизма электропроводности льда, поскольку в ряде биологических объектов переносроповен очень напоминает движение протонов в льде.

Теория Жаккара многое обязывала, но с каждым годом растет число экспериментальных фактов, которые требуют дальнейшего углубления существующих представлений. Появляются новые, и порой очень необучные, гипотезы. Согласно одной из таких смелых гипотез, истинными носителями заряда в льде являются электроны, «оседлавшие» движущиеся протоны дефекты. Так ли это — показет время.

19

Объемные свойства льда представляют достаточно необходимые и даже экстинчные, но свойства поверхности льда еще удивительные.

Разбудите любого человека среди почи и спросите, при какой температуре плаvitся лед? «Конечно, при 0 °C». Но вот на вопрос «при какой температуре начинает плаvitся поверхность льда?», пожалуйста, не смогут однозначно ответить даже специализы по физике льда.

С точки зренияfundamentalной науки исследования поверхности льда чрезвычайно интересны. Но эти исследования имеют не менеее, если не большее, прикладное значение. Движение ледоколов, борба с оледенением кораблей и самолетов, строительство в полярных и заполяных области, движение ледников — во всех этих случаях важно знать, что же происходит на поверхности льда, т. е. на границе раздела лед — металл, пластик, различный групп и т. д. Необходимо знать механизмы сцепления льда с различными конструкционными материалов, характер и величины треня и тому подобные характеристики. А как нужны материалы с минимальным коэффициентом треня для различных спортивных снарядов!

Кстати, а почему многое материалы так хорошо скольдают по льду?

Возможно, этот вопрос многим покажется простым. Ведь хорошее скольжение — это когда между телом и льdom имеет слой воды. А когда тело сльно давит на лед, он плавится — под давлением плавление начинается при более низкой температуре.

Давайте разберемся. Как следует из физовой диаграммы, температура плавления льда понятие на 1 градус при дополнительном давлении Δp=10⁷ Pa. Пусть масса коньковека M=60 кг, а сечение конька S=3·200 mm²=6·10⁻⁴ m²; тогда дополнительное давление будет Δp=Mg/S=10⁶ Pa. Значит, под коньком температура плавления понятие только на… 0,1 °C. А как же катание при —10 °C? Да, обяснение хорошего скольжения, видимо, в чем-то другом.

Считают, что в пределыльной области температур на поверхности кристалического льда находится тонкий квазиидный слой («квази» означает «почти» или «как будто»). Вряд ли эта тонкая плена — общная жидкость. Однако многое ее свойства очень близки к свойством воды. В некоторых экспериментах существование квазиидного слоя прослеживается даже при —30 °C, т. е. за 30 градусов до плавления!

Может быть, наличие квазиидного слоя обусловливает небольшой коэффициент треня? Подобное предложение позволяет многое обяснить, но, к сожалению, истинная природа значительной сложнее, и ее еще предстоит понять.

Кстати, между концепциями «квазиидного слоя» и «плавления давления» спор идет уже более столетия. У истоков этого спора имеза заменательных физиков — Фарадей и братьев Томсонов (один из них известен всем как лорд Кельвин). Да, да, эти всемирно известные учены тоже изучали лед.

Не сомневаюсь, что все вы играли в снежки. Но не задумывались ли вы, а почему так легко сплит снежок? Снег — это не тесто, не пластин, а небольшие кристаллы (!) льда. Ведь из металлических опилок «снежок» не сплит, а из льда — пожалуйста. Не задумываюсь?

А вот Майкл Фарадей болееста лет тому назад, видимо, задумался. В 1850 году он обратил внимание на следующий факт: куски льда смерзаются, если их привести в соприкосновение при температуре около 0 °C. Почему? Именно для обяснения этого факта Фарадей и предположил,

20

ЧТО НА ПОВЕРХНОСТИ ЛБДА ESTЬ ОСОБЫЙ — КВАЗИЖДКИЙ — СЛОЙ.

Давайте теперь посмотрим на рисунок 5, и я думаю, вам сразу станет ясно, почему наличие квазижидкого слоя приводит к смерзанию двух кусков льда.

Именно наличием квазижидкого слоя пытаюсь обьясить очень большую пласточность льда и движение ледников.

Авторитет Фарадея был очень велик, но у него нашелся оппонент — Джеймс Томсон (брат лорда Кельвина). Он обратил внимание на известную тогда часть фазовой диаграммы льда и теоретически доказал, что при скатии лед должны плавиться. А значит, если сдавить два куска льда, они должны сплавиться (посмотите на рисунок 6).

Фарадей проводел серию экспериментов, опровергающих точку зрения

Когда Георг менял свои громоотводы, на шпиле Петропавловской крепости в Петербурге уже возникла громоотвод (вероятно, первый в нашей стране).

Следует заметить, что в действительности форма громоотвода обычно не имеет значения. Но вот если вершина громоотвода находится на таком большом расстоянии от земли, что оно сравним с высотой грозового облака (например, в случае громоотводов на самых высоких небоскребах), то удается наблюдать тихий разряд с острия громоотвода, не переходящий в молнию, как и предполагал Франклин, ратуя за «тихий» громоотвод с заостренной вершиной. Удивительно точно писал Франклин в 1767 году: «Заостренный таким образом пруток либо предотвращает удар молнии из облака, либо же при ударе отводит его в землю без ущерба для здания».

(Окончание см. на с. 33)

21

Задания
M1141—M1145, Ф1148—Ф1152

M1141. Трапецция описана около окружности. Докажите, что хотя бы одна из ее диагоналей образует с основанием угол не более 45°.

H. M. Седракин

M1142. Таблица $m \times n$ заполнен $mn$ числами так, что в каждой строке и в каждой столбце эти числа составляютарифметическое прогрессию. Сумма четырех чисел, стоящих в углах таблицы, равна $s$. Чему равна сумма всех чисел в таблице?

M1143. Масса каждой из 101 гирек, расположенных по окружности, — натуральное число, а их общая масса равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну или несколько гирек, расположенных подряд, с общей массой 200 г.

B. B. Произвольов

M1144. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — неотрицательные числа. Какое число больше:

$$\sqrt{a_1^{1988} + a_2^{1988} + \dots + a_n^{1988}}$$ или $$\sqrt{a_1^{1989} + a_2^{1989} + \dots + a_n^{1989}}$$

A. И. Шехорский

M1145*. Из точки $P$ проведены две касательные PB и PC к окружности, причем $\angle BPC > 90^\circ$. На меньшей дуге BC взята точка A. Докажите, что площадь треугольника, отсекаемого от угла BPC касательной к окружности в точке A, не превыходит площадь треугольника ABC.

B. Ю. Прогасов

Ф1148. Цилиндр с намотанной на него нитью, второй конец которого закреплен,кладут на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, так, как показано на рисунке 1. В тот момент, когда нить была вертикальная, угловая скорость вращения цилиндра была равна $\omega$. Определить, чему равна в этот момент: а) скорость оси цилиндра; б) скорость точки цилиндра, касающейся наклонной плоскости. Радиус цилиндра равен $R$.

C. C. Кротов

Ф1149. На проведение рельсы игрушечной железной дороги беспорядочно бросают, замыкая рельсы, тонкие длиные оголенные проводники из меди. Оценить сопротивление между рельсами, если расстояние между ними равно $l = 5$ см, диаметр проводника $d = 0,2$ мм, его длина $h = 30$ см, бросили $N = 100$ проводников.

A. P. Зильберман

Ф1150. К идеальному одноатомному газу, заключенной внутри масляного пузира, подводится телло. Найти теплоемкость газа (в расчете на 1 моль) в этом процессе, если давлением пузира можно пребежать.

A. A. Шеронов

Ф1151*. Электростатическая волтметр представляет собой плоский конденсатор, одна из пластин которого

22

Закреплена неподвижно, а другая может двигаться, оставясь параллельной первой пластине. Подвижная пластина прикреплена к стене при помощи пружины жесткостью $k=10$ Н/м. Начальное расстояние между пластинами $d=3$ см, площадь каждой пластины $S=0,5$ м². Расчитать шкалу волтметра. Какое максимальное напряжение можно изменять с его помощью? Расмотреть отдельно случан, когда вызкое трене очень мало и довольно велико.

А. Р. Зильберман

Ф1152. За линзой на расстоянии $l=4$ см (большое фокусного) расположено перpendикулярно главной оптической оси плоское зеркало. Перед линзой, также перpendикулярно главной оптической оси, расположен лист клетчатой бумаги (рис. 2). На этом листе получают изображения его клеток при двух положениях листа относительно линзы. Эти положения отличия на $l=9$ см. Определить фокусное расстояние линзы.

Е. П. Кузнецов

Решения задач
M1116—M1120, Ф1128—Ф1132

Ответ: a) 74; b) 6) $2S+2$.
Примогольник размером $m \times n$ клеток содержит $f=(m+1)(n+1)$ узлов. При данной площади $mn=S$ величина

$$f=S+m+n+1=S+m+\frac{S}{m}+1$$

принимает наиболее значение $2S+2$ при $m=1$ или $m=S$ (для прямогольника размером $1 \times S$). При других $m$ ($1<m<S$) величина $f$ меньше $2S+2$. Это следует из неравенства $m+\frac{S}{m}<S+1$, которое эквивалентно очередному неравенству $(m-S)(m-1)<0$. Заметим, что верно более общее утверждение: при заданном $S$ (S—целое или полученное число) из всех многоугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги самое большое число узлов содержит многоугольник, не имеющий внутренних узлов. Это следует из формулы Пика для клетки $S$ таких многоугольников*: $S=i+\frac{r}{2}-1$, где $i$ — число узлов, лежащих внутри многоугольника, а $r$ — число узлов на его границе: общее число узлов равно $i+r \leq 2i+r=2S+2$. (Неравенство превращается в равенство только при $i=0$.)

В. Л. Гугенахер

M1117. Дан произвольный треугольник. Доказите, что: a) можно построить три округности с центрами в его вершинах, по-

Точки $K, L, M$ — это точки касания сторон данного треугольника $ABC$ со вписанной в него окружностью (см. рисунок; если $OK=OL=OM$ — радиусы вписанной

*) См. статью «Вокруг формулы Пика», «Квант», 1974, № 12.

23

парно касающей друга druga (в точках K, L, M); б) если через середину каждой дуги KL, LM, MK, лежающей внутри треугольника, проведя касательную к ней, то образуется четыре треугольника, площадь одного из которых (центрального) равна сумме площадей трех druгих.

Каательная, проведенная через середину $C'$ для KL (с центром C), отсекает от $\triangle ABC$ равноведенный треугольник, по площади равный четырехугольнику $CKOL$: высота $CC'$ разрезает этот равноведенный треугольник на два прямого левых, равных $\Delta KCO = \Delta LCO$. Тут следует еще отметить, что эта касательная (на рисунке — красная) всегда пересекает стороны CA и CB (угол COB тупой, поскольку полусумма двух углов B и C треугольника ABC меньше $90^\circ$, поэтому гипотенуза CO треугольника COK меньше CB; аналогичное $\angle COA > 90^\circ$, и поэтому $CO < CA$). Аналогичная перестройка для двух других красных касательных превращает равноведенные треугольники с высотами $AA'$ и $BB'$ в четырехугольники $ALOM$ и $BMOK$. Таким образом, сумма площадей трех равноведенных треугольников с красными основаниями равна площади треугольника $ABC$. Отсюда вытекает последнее утверждение задачи: площадь, не покрыта треугольниками, равна площади, покрытой ими дважды.

А. А. Горбачев

M1118. а) Докажите, что уравнение $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$ (*) имеет бесконечную многорешений в четырех числах $(x, y, z)$, не имеющих общего делителя, большего 1.
б) Сколько имеет таких решений, у которых $z=1988$?

a) Перепишем уравнение (*) в виде
$$xy+yz+zx=0.$$
Заметим, что если одно из неизвестных равно 0, то и неокторые другие — тоже 0; в дальнейшем мы не будем рассматривать такие тривиальные решения. Пусть $d$ — наиболее общий делитель $x$ и $y$, $x=da$, $y=ab$. тогда $z=-xy/(x+y)=-dab/(a+b)$, где $a, b$ и $a+b$ попарно взаимно просты, так что $d$ делится на $a+b:d=k(a+b)$. Отсюда получаем общую формулу для нетривиальных решения:
$$x=ka(a+b), y=kb(a+b), z=-kab,$$
где $a, b, k$ — целые, причем $a$ и $b$ взаимно просты. При $k=1$ получаем всевозможные различные решения из чисел, не имеющих общего делителя, большего 1.
б) Ответ: 16. Вопрос сводится к тому, сколько способами можно представить 1988 в виде произведения $-ab$, где $a$ и $b$ — взаимно простые целые числа. Поскольку 1988 = $4 \cdot 7 \cdot 71$, в роли $a$ можно взять произведение некоторых чисел — 1, 4, 7, 71 (тогда $b$ будет произведением остальных; произведение «пустого множества» естественно считать 1.)
С. Г. Мамиконян, Н. В. Васильев

M1119. Назовем $k$-звездой фигур на плоскости, состоящую из $k$ лучей с общим началом разбиения плоскость на $k$ рав

24

ных углов (по 360°/k).
При каких k>2 верно следующее утверждение: для любых k точек плоскости общего положения (никачее три из которых не лежат на одной прямой) существует k-звезда, в каждом из k углов которого содержитсяровно одна из этих k точек?

Рис. 1.

Рис. 2.

Задатник, Канма

При k=4 рассмотрим два случая. Если точки лежат в вершинах выпukлого четырехугольника, то за центр 4-звезды можно взять точку пересечения его диагоналей, а лучи направить по биссектрисам углов между ними (рис. 2). Если одна из точек D лежит внутри треугольника ABC с вершинами в трех других и ∠ADB>90°, то в качестве O можно выбрать точку пересечения отрезка DC и некоторой полуокружности, диаметр которого A₁B₁ целиком лежит на отрезке AB, а лучи направить по прямым OA₁ и OB₁ (рис. 3).

Чтобы доказать, что для k=5 (и k>5) утверждение неверно, достаточно привести пример; в качестве такогоого годятся 5 точек, лежащие на одной дуге величины α<72°. В самом деле, если дуга α пересекает четыре точки лучей 5-звезды с центром O, то α>72°. (поскольку полусумма дуг AB′ и A′B на рисунке 4 равна ∠AOB′=36°.

М. Хованов

M1120. a) Последовательность a₀, a₁, a₂, … задана соответствия Фибоначчи a₀=0, a₁=1, a₂=1, a₃=2, …, задаваемой условия: aₙ+1=aₙ+aₙ-1, n=1,2,…

б) Доказите аналогичное утверждение для последовательности Фибоначчи a₀=0, a₁=1, a₂=1, a₃=2, …, задаваемой условия: aₙ+1=aₙ+aₙ-1, n=1,2,…

Докажем общее утверждение: если последовательность a₀=0, a₁, a₂, … целых чисел такова, что

НОД(aₘ, aₖ)=НОД(aₘ-k, aₖ) (1)

для любых m>k≥1, то

НОД(aₘ, aₖ)=aₖ, (2)

где d=НОД(m, k).

В самом деле, для любой пары начальных значений m, k повторение операции

(m, k)→(m-k, m)

(из большого числа пары вычитается меньше) приводит к пале (d, 0), где d=НОД(m, k); это вариант алгоритма Евклида для отыскания наиболее общего делителя чисел m, n, изложенный в учебнике информацией для 9 класса (объчно алгоритм Евклида называют его «сокращенный» вид, состоящий из последовательности делений с остатком.

Таким образом, из равенств (1) следует, что

НОД(aₘ, aₖ)=НОД(aₘ, a₀)=НОД(aₘ, 0)=aₖ

— это и есть (2).

a) Положим P(P(P(…(P(x))…))=Pₙ(x); это многочлен с целыми коэффициентами, причем aₘ=Pₘ(a₀) и aₘ=Pₘ-k(aₖ) при m>k. Заметим, что Pₙ(x)=aₙ+xQₙ(x), где Qₙ(x) — тоже многочлен с целыми коэффициентами. Проверим (1): при m>k≥1

НОД(aₘ, aₖ)=НОД(Pₘ-k(aₖ), aₖ)=НОД(aₘ-k+

25

Ф1128. На горизонтальной поверхности покотся однородный тонкий обруч массой M и радиусом R. Горизонтальный диаметр обруча представляет собой легкую гладкую трубку, в которой помещен шарик массой m, прикрепленный к обручу двумя пружинами жесткостью k какдая (рис. 1). Удерживая обруч неподвижным, шарик отклонилилево на величины x, после чего предоставили систему самой себе. Начищу ускорение центра обруча в начальной момент времени. Просkalъывание обруча отсутствует.

На рисунке 2 показаны силы, действующие на шарик и на обруч.

Пусть ускорение центра обруча равно a. Тогда уравнение, выражающее второй закон Ньютона для построительного движения обруча (в проекциях на горизонтальное направление), будет иметь вид:

$$Ma = 2kx - F_{тр}$$

Здеся 2kx — суммарная сила ургоости обихих пружин, $F_{тр}$ — сила треня со стороны горизонтальной поверхности.

Если ускорение центра обруча равно a, то вертикальное ускорение шарика будет равно $ax/R$, и уравнение движения шарика (в проекциях на вертикальное направление) записывается в виде:

$$ma \frac{x}{R} = mg - N.$$

Здеся N — сила реакции со стороны гладкой трубки. Наконец, запишем уравнение, описывающее врашательное движение обруча вокруг центра:

$$MRa = F_{тр}R + Nx.$$

Решая систему трех уравнений, получим

26

Ф1129. На цилиндрический постояний магнит области его полюса надета катушка, имеющая вид узкого колыза (рис. 1). Если трасси катушки так, чтобы она совершала гармоничное колебания вдоль оси ОО’ с амплитудой $A=1$ мм (которая много меньше размеров магнита и катушки) и частотой $f=1000$ Гц, то в ней наводится ЭДС индукции с амплитудой $\mathcal{E}_0=5$ В. Какая сила будет действовать на неподвижную катушка, если пропустить по ней ток $I=200$ мА?

При смешении катушки вдоль оси магнита меняется поток магнитной индукции через катушка. В результате в ней возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}=N\Delta\Phi/\Delta t$, где $N$ — число витков катушки, $\Phi$ — поток магнитной индукции через один виток.

Для вычисления $\Phi$ поступим следующим образом. Натяем на виток какую-либо поверхность и подсчитаем число линей индукции магнитного поля $\bar{B}$, пересекающих эту поверхность. В данном случае удобно использовать поверхность в виде цилиндра с крышкой (рис. 2). При этом будем иметь в виду, что при смешении катушки крышка остается на месте, но меняется расстояние между ней и катушки. Пусть катушка сместилась вниз на $\Delta x$. Тогда к боковой поверхности цилиндра добавляется «поясок» с площадью $2\pi R\Delta x$, где $R$ — радиус катушки. Соответствие к $\Phi$ добавляется $\Delta\Phi$ — магнитный поток через этот «поясок»:

$$\Delta\Phi=2\pi R\Delta x\cdot B_r,$$

где $B_r$ — радиальная (т. е. перpendикулярная боковой поверхности цилиндра) проекция вектора $\bar{B}$. Таким образом,

$$\mathcal{E}=N\cdot 2\pi R\frac{\Delta x}{\Delta t}B_r=N\cdot 2\pi RvB_r,$$

где $v$ — скорость катушки. При гармоничных колебаниях амплитуда скорости

$$v_0=\omega x_0=2\pi fA,$$

и

$$\mathcal{E}_0=N\cdot 2\pi R\cdot 2\pi fAB_r.$$

С другой стороны, искомая сила равна

$$F=\sum\Delta F=\sum N\cdot I\Delta l\cdot B_r=N\cdot 2\pi RIB_r.$$

Из последних двух равенств окончательно получаем

$$F=\frac{\mathcal{E}_0I}{2\pi fA}\approx 0,16\text{ H.}$$

М. М. Цыплин

Ф1130. Колебательный контур состоит из вакуумного конденсатора емкостью $C$, расстояние между пластинами которого $d$, и катушки индуктивности. Собственная часть колебаний контура равна $\omega_0$. Какой будет собственная

Запишем энергию системы в произвольный момент времени:

$$W=\frac{LI^2}{2}+\frac{CU^2}{2}+\frac{mv^2}{2}-\frac{qUx}{d},$$

где $L$ — индуктивность катушки, $I$ — ток в катушка, $U$ — напряжение на конденсаторе, $v$ — скорость частицы, $x$ — ее координата. Уравнение движения частицы в электрическом поле конденсатора имеет вид:

27

Частота, если между пластнами конденсатора помещить свободную точную частую массой $m$, имеющую заряд $q$? Сила также отсутствует. Краевыми эфективами и силой «электростатическая изобрання» претенбреть.

$$ma = \frac{qU}{d}.$$

Если $U$ изменяется по гармоничскому закону $U = U_0 \cos \omega t$, то
$$v = \left( qU_0 / (md\omega) \right) \sin \omega t,$$
$$x = -\left( qU_0 / (md\omega^2) \right) \cos \omega t,$$
$$I = -CU_0 \omega \sin \omega t.$$

По закону сохранения энергии
$$W = U_0^2 \left( \frac{L}{2} (C\omega)^2 + \frac{m}{2} \left( \frac{q}{m\omega d} \right)^2 \right) \sin^2 \omega t +$$
$$+ U_0^2 \left( \frac{C}{2} + \frac{q^2}{m(\omega d)^2} \right) \cos^2 \omega t = \text{const.}$$

Это возможно, только если коэффициенты при $\cos^2 \omega t$ и $\sin^2 \omega t$ равны. Отсюда получаем
$$\omega^2 = \omega_0^2 / 2 + \left( \left( \omega_0^2 / 2 \right) \right)^2 + \left( q\omega_0 / d \right)^2 / (mC)^{1/2}.$$

Оценим, при каких условиях можно претенбреть с одной «электростатической изобранення»* (как это было сделано выше). Эта сила, равная по порядку величины $q^2 x / (\varepsilon_0 d^3)$, должна быть намного меньше «обичной» электростатической силы $qU/d$, откуда
$$\frac{q^2}{\varepsilon_0 d^3 m\omega^2} \ll 1.$$

Поскольку площь пластин конденсатора $S \gg d^2$, а $C = \varepsilon_0 S / d$, формула (*) справедлива, если введение частицы в конденсатор не сильно изменяет частоту колбаней в контуре.

А. В. Андрианов, Д. А. Купцов

Ф1131. Определить скорость ветра в смерее обычными meteorologicalи приборами трудно (поскольку смеря не велик по размеру и движется) и неbezonalно. Предложено измерять ее издали с помощью портативного радиора (так как внутри смерца много пыли и мелких предметов, он отражает радиовольты). Радар излучает радиовольты на частоте $f_0 = 10^{10} \text{ Гц}$. Спектр отражению от смерца сизна приведен на рисунке ($\Delta f = f - f_0$). Найти максимальную скорость ветра в смерее.

Частота отраженного сигнала отличается от частоты излучателя из-за эффекта Доплера. Максимальный сдвиг частот будет в том случае, если скорость отражающего радиовольты предмета направлена точно на радар (или от него).

Будем считать, что радар посылает короткие радиомпульсы с частотой следования $f_0$, а частота принимаемых им импульсов равна $f_1$. Время между приходами в антенну радара $n$-го и $(n+1)$-го импульсов равна
$$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{f_0} + T_{n+1} - T_n,$$
где $T_n$ — время распространения $n$-го импульса от радара до отражающего предмета и обратно, $T_{n+1}$ — время распространения $(n+1)$-го импульса.

Обозначим через $L_n$ расстояние от радара до отражающего предмета в момент испускания $n$-го импульса, а через $L_{n+1}$ — то же расстояние в момент испускания $(n+1)$-го импульса. Очевидно, что
$$T_n = \frac{2L_n}{v + c}, \quad T_{n+1} = \frac{2L_{n+1}}{v + c},$$

*) О том, как можно определить эту силу для некоторых конкретичных случая, можно прочитать в заметке «Метод электростатических изобранений» (Квант, 1987, № 3, с. 39). (Примеч. ред.)

28

где $v$ — искомая скорость ветра в смерче, $c$ — скорость распространения радиоволн (скорость света). Разность $L_n - L_{n+1}$ равна смесению отражающего предмета за время, равное $1/f_0$:

$$L_n - L_{n+1} = \frac{v}{f_0}.$$

Отсюда получаем

$$f_1 = f_0 \frac{(c + v)}{(c - v)} \approx f_0 \left(1 + \frac{2v}{c}\right),$$

и

$$v \approx \frac{c}{2} \frac{\Delta f}{f_0} \approx 100 \text{ m/c.}$$

Д. А. Купцов

Ф1132. Недавно установлено, что вымирание видов животных на Земле идет особенно интенсивно в течение периодических промежутков времени длительного $T = 6,2$ млн лет. Такая закономерность объясняется гипотезой, предложанной существование звезды Немезиды, являющейся спутником Солнца. Эта слабая и потому невидимая звезда движется по орбите, полована которой расположена внутри так называемого «пояса Оорта», содержащого запас комет (рис. 1). Возмущая движение комет, Немезида вызывает на Земле «кометный домъ», продолжительность которого практически совпадает со временем孵ания Немезиды внутри пояса Оорта.

Определите большую получость а орбиты Немезиды и период ее обращения вокруг Солнца, если предполагается, что перигелий орбиты находится на расстоянии 0,15а от Солнца. Площадь эллипса $S = \pi ab$, где $a$ и $b$ — получи эллипса.

За время $T = 6,2$ млн лет радиус-вектор Немезиды занимает площадь, защищенного на рисунке 2. Это положина плосади эллипса за вычетом плосади треугольника с основанием $2b$ и высотой 0,85 $a$. Площадь этой фигуры, как нетрудно считать, составляет $(\pi ab/2 - 0,85ab)/\pi ab = 0,23$ плосади всего эллипса. Та-

Рис. 1.

Рис. 2.

кую же часть перiodа составляет время孵ания Немезиды внутри пояса Оорта (это следует из второго закона Кеплера). Полный период обращения Немезиды вокруг Солнца, следовательно, составляет $T_x = 27$ млн лет.

Сравнивая, с помощью третього закона Кеплера, движение Земли и Немезиды, получаем большую получость невидимого спутника Солнца:

$$a = \left( T_x/T_0 \right)^{2/3} R_0 = \left( 27 \cdot 10^6 \right)^{2/3} a.e. = 9 \cdot 10^4 a.e. \approx 13,5 \cdot 10^{12} \text{km.}$$

Здесь $T_0$ — земной год, а $R_0$ — радиус орбиты Земли, равный одной астрономической единице (1 а.е.), или 150 млн км.

В. Е. Белонучкин

29

Список читателей, приславших правильные решения

Большинство читателей, приславших решения задачи M1091—M1115, Ф1103—Ф1117, справились с задачи M1091, M1093, M1094, M1096, M1097, M1101, M1102, M1105, Ф1104, Ф1106, Ф1109—Ф1111, Ф1114—Ф1116. Ниже мы публикуем фамилии тех, кто писал правильные решения остальных задачи (цфры после фамилии — последние цфры номеров решенных задачи).

Математика
Д. Аладжанов (п. Ермолино Калужской обл.) 04; Н. Андрианов (Электросталь) 92, 98, 00, 03, 04; А. Акимов (Евпатория) 98, 04; А. Акопян (Ереван) 04; Ш. Алексаян (Лининакан) 04; И. Аржанцев (Киев) 92, 98, 04; В. Барановский (Омск) 92, 98, 03, 04; С. Башмаков (Севастополь) 04; Н. Булусак (с. Менява Ивано-Франковской обл.) 98; А. Болданов (Стайый Оскол) 92, 03, 04; П. Бородин (Киров) 98; Я. Бренер (Сергевка) 04; С. Бутвина (Житомир) 92, 95, 98, 03, 04; Ю. Вавулов (Сафоново) 04; В. Ванчун (Москва) 04; Ц. Васильев (София, НРВ) 04; Ю. Великина (Днепропетровск) 04; С. Волошин (Подгородное) 04; К. Волченко (Донецк) 03; М. Всемирное (Ленинград) 92; М. Выборов (Киев) 92; Е. Габрилович (Минск) 98; Ю. Гольд (Одеcca) 04; П. Григорьев (Рига) 92; Ю. Гринфельд (Москва) 92, 98, 00, 03, 04; А. Гурман (Одеcca) 04; А. Давыдов (с. Елфимово Горьковской обл.) 04; Х. Джафаров (с. Тюркба АзССР) 98; Д. Долгопят (Рeyтов) 92; В. Дробовцев (Москва) 92; В. Дубров (Минск) 92, 98, 03, 04; Е. Дуда (Харьков) 92; А. Ефимук (Минск) 03, 04; В. Жилинская (Вильнос) 92, 98—00; И. Зеленко (Саратов) 03, 04; С. Зелик (Краматорск) 92, 98, 04; И. Зук (Эссен, ФРГ) 00, 04; В. Ивлеев (Джезказан) 92; М. Изнагев (Москва) 04; С. Измалков (Харьков) 04; А. Имашова (Ленинград) 98; И. Иопне (Москва) 92, 98, 00; Д. Кабыш (Москва) 98; Е. Казарян (Тилиси) 92; В. Калошин (Харьков) 92, 95, 98, 00; Л. Каминsteин (Киев) 92, 03, 04; Д. Камушадзе (Тилиси) 04; Н. Капуткина (Москва) 92, 98, 03; С. Касамян (Октембергский р-н АрмССР) 92; К. Касимов (Цelinоград) 04; И. Кириллов (Усть-Каменогорск) 04; С. Коваценко (Винница) 92, 98, 03, 04; О. Коврижкин (Майкоп) 92; Д. Кожевников (Онутин) 92; А. Козачко (Винница) 92, 98, 03, 04; И. Кокоев (Тилиси) 04; Г. Колесничкий (Тилиси) 04; М. Коледе (Омск) 92, 98, 04; В. Колошин (Харьков) 03, 04; П. Кононенко (Иваново) 92; Д. Коржнев (Киев) 04; Д. Коржин (Иваново) 03, 04; А. Короткий (Днепродзержинск) 04; А. Коршков (Мозырь) 92, 98, 03, 04; Г. Кропин (Ленинград) 98, 04; А. Крюков (Саратов) 98, 04; Т. Куликова (Звенигород) 92, 95, 98, 03, 04; Н. Лапуста (Терновопол) 04; В. Левшин (Москва) 98; С. Лесик (Донецк) 92, 95, 98, 03, 04; Ю. Литвинова (Киев) 98; М. Лоба (Львов) 04; Е. Ломовцева (Белорец) 92; Г. Маглеридзе (Рустави) 04; А. Мальй

(Продолжение см. на с. 51)

30

ДРОБИ — ВЕРБЛЮДЫ —
ПАРКЕТЫ

Кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

Нередко бывают, что одна и та же математическая задача естественно возникает в современно неположих ситуациях — от головоломок до прикладных расчетов. Об одной из таких задач сегодня и почти речь.

Арифметическая задача

Найти все четвёрки натуральных чисел (p, q, r, s), для которых справа竖ло равенство

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1.$$

Будем считать, что $p \leq q \leq r \leq s$. Тогда самое меньше число — $p$ — не больше 4 (иначе $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} < 1$) и, конечно, не меньше 2. Следовательно, надо рассмотреть три случая: $p=2$, $p=3$, $p=4$.

Пусть $p=2$. Тогда $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{2}$. Снова оценим самое меньше число — $q$. Оно не может быть больше 6 (иначе $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} < \frac{1}{2}$) и должно быть не меньше 3.

Тепер в равенство $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{2}$ подставим четые возможных

32

быть равны $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{7}$ соответственно*). Судья добавляет одного своего верблюда (получается 42) и отделяет братьям соответственно 21, 14, 6 верблюда (всего 41), а своего верблюда забирает назад.

Практическая задача

Самый простой из «правильных» паркетов — это разбиение плоскости на квадраты (рис. 1). Интересно выяснить, сколько есть такие паркетов: к каждой вершине паркета примыкают четыре правильных многоугольника и все вершины устройства одинаково (последнее означает, что паркет можно сdwинуть так, что лю-
*) Первая четверка среди всех других выделяется тем, что содержит наиболее число — 42, при чем 42=2·3·7. Среди troек чисел, сумма обратных которых равна 1, таким же свойством обладает начало нашей четверки: (2, 3, 7). Оказывается, что среди пaterок такой будет (2, 3, 7, 43, 1806), где 1806=2·3·7·43; среди шестерок — (2, 3, 7, 43, 1807, 3263443), и далее будет так же. Это — очень трудная теорема, которую наша старшие читатели встречали в 7-м номере «Кванта» за 1987 год в стате «Разбивание единиц».

бая его заданная вершина перейдет в любую другую заданную вершину и все линия совпадают). Это — вполне практическая задача.

Мы знаем, что сумма углов правильного $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$, а его один угол равен

$$\frac{180^\circ(n-2)}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.$$

Пусть в вершине паркета скодятся углы четырех правильных многоугольников: $p$-угольника, $q$-угольника, $r$-угольника и $s$-угольника. Сумма этих четырех углов должна равнять $360^\circ$. Запишем это условие:

$$180^\circ - \frac{360^\circ}{p} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{q} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{r} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{s} = 360^\circ.$$

Легко понять, что это равенство приводит к знакомому нам соответствию

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1.$$

33

Если считать, что $p \leq q \leq r \leq s$, то все такие четырёх мы знаем — их 14 штук. Так как речь идет о многоугольниках, надо отбросить те четырёх, где $p=2$. Останутся четырёх четырёх:

(4,4,4,4), (3,4,4,6), (3,3,6,6), (3,3,4,12).

Первая четырёха соответствует паркету из одинаковых квадратов (каждай вершине примыкают 4 правильных четырёхугольника — см. рисунок 1).

Вторая четырёха (3,4,4,6) представляет две возможности для устройства вершины (рис. 2, $a$, $\delta$), но дляправильного паркета удается достроить только паркет на рисунке 2, $a$ — получается рисунок 2, $\delta$.

Третьей четырёхе (3,3,6,6) также соответствует два расположения многоугольника:

Громоотвод, политика и…
шляпки

(Начало см. на с. 13)

Чешский связейник Прокоп Дивиш по правилам неофицальной типул «волшебник электричества» (magus electricus). В 1754 году он построил первый в Европе молниеотвод, изобретенный им независимо от Франклина. Но перенесемся на несколько лет назад.

В 1750 году венский профессор Иозеф Франц решил показать Дивишу свой электрический опыт. У Франца был типичный для того времени генератор статического электричества — врачаемый стеклянный шар с подвешенным на шелковых шнурах кондуктором (отводом) в виде металлической трубки или прута. Чтобы проверить любой электрической опыт, нужно было вращать стеклянный шар, который при этом электризовался тренем и сообщал паркетю.

Дивиш прибил к Францу в парике, как того требовала мода. Но парик был с секретом: весь утыkan обрезками проволоки. Уже давно было известно, что металлическое отсутствие «отнимает электричество» (это — одно из явлений, на которых основано действие молниеотвода). Наложняя голову к кондуктору, Дивиш отводил тем самым электрическим паряд. Вероятно, Дивиш испытывал непритыные ошибки, отводя паряд в землю через свое тело, но чего нестерпись ради хорошего шутки!

ки! Франц был обесекран: он никак не мог получить заряд на кондукторе. Ему так и не удалось удивить «мага электричества».

Если бы Дивиш провел заемление от обрезков проводок (скрытым образом, разумется), он был бы избавлен от непритыных ошибений. Идея такого рода возникла во второй половине XVIII века. Речь идет о шляпе-молниеотводе. На рисунке (см. 2-ю страницу обложки) изображены паряжские модели с персональной грозозащитой в виде середняной цепочки, спускоошейся до пят с металлической стержня, укрепленного на шляпе. В XVIII века это не было шуткой.

Л. Н. Крижановский

35

Рассказ замечательного американского писателя-фантаста адресоваан прежде всего тем, для кого космические полеты — главная мечта жизни, а любимая картина — вид звездного неба. Однако словом, всем тем, для кого «Р — значит ракета».
Именно так будет называться новый раздел нашего журнала. В нем мы будем публиковать различные материалы, посвященные освоению и исследованию космической пространства, работе Всесоюзного молодежного аэрокосмического общества.

Р — ЗНАЧИТ РАКЕТА

Р. БРЭДБЕРИ

Эта огрома, к которой мы приникали лицом, и чувствовали, как ветер становится жарким, и еще сильней прижимались к ней, забывая, кто мы и откуда мы, мечтая только о том, кем мы могли бы быть и куда попасть…

Но ведь мы были малчишки — и нам нравилось быть малчишки; и мы жили в небольшем флоридском городе — и город нам нравился; и мы ходили в школа — и школа нам безусловно нравилась; и мы лазали по деревьям и играли в футболь, и наши мамы и палы нам тоже нравились…

И все-tаки иногда — каждую неделю, каждый день, каждый час в ту минуту или секунду, когда думали о пламени, и звездах, и об ограниче, за которой они нас ожидали, — иногда ракеты нравились нам больше.

Ограды. Ракеты.
Каждую субботу утром…
Ребята собирались возле мочего дома.
Солнце едва взошло, а они уже стоят, голосят, пока соседи не выступят из форточек пистолеты-парализаторов — дескать, сейчас же замолчите, не то заморозим на часок, тогда на себя пеняйте!

— А, blevь на ракету, сунь голову в кюзу! — кричали ребята в ответ. Кричали, надежно украылись за нашей изготовлению: ведь старик Уикард из соседнего дома стреляет без промаха.

В это прохладное, мягкое субботное утро я лежал в постели, думая о том, как наканнуне провалил контROLную по семантике, когда сизу донеслись голова ватги. Еще и семи не было, и ветер нес с Атлантики густой туман, и расставленные на всех углах выбраторы службы погоды только что начали жужжать, разгоняя своим лучами эту кашу: слышно было, как они нежно и прячно подвывают.

Я доташился до окна и выглянул наружу.

— Ладно, пираты космоса! Глуши моторы!

— Эгей! — крикнул Ральф Прайори.— Мы только что узнали: расписание запусков изменили! Лунная, с новым мотором «Икс-Л-3», стартует через час!

— Будда, Мухаммед, Алах и прочие реальные и полумифические детели! — молвил я и отскочил от окна с такой прытью, что ребята от толчка повалились на траву.

Я мигом натянул джемпер, живо надел башмаки, сунь в задний карман питаательные капсулы — сегодня нам будет не до еды, глотай пилюли, как в животе заворит, — и на вакуумном лифте ухнул со второго этажа вниз, на первый.

На газоне ребята, вся пятерка, кусали губы и подпрыгивали от нетерпения, строили сердные рожки.

— Кто последним добавит до монорельсовой, — крикнул я, проносясь мимо них со скоростью 5 тысця миль в час,— тот будет жукоглазым марсианином!

Сидя в кабине монорельсовой, со свистом уносившей нас на Космодром завадцать миль от города — каких-нибудь несколько минут езды,— я чувствовал, как у меня словно жуки копошатся под ложечкой. Пятнадцатилетнему мальчише подавай один только больше запуски. Чуть не каждую неделю по расписанию приходили и уходили маленьжонтинентальные грузовые ракеты, но этот запуск… Совсем другое дело — сила, мощь… Луна и дальше…

— Голова кружится,— сказал Прайори и стукнул меня по руке.

Я дал ему сдачи.

— У меня тоже. Ну, скажи, есть в неделе душе субботы?

Мы обменялись широкими понимающими улыбками. Мысленно мы проходили все ступени представговор готовности. Другие пираты были правильные парни. Сид Россен, Мак Лесли, Ирл Марни — они тоже, как все ребята, прыгали, бегали и тоже любили ракеты, но почему-то мне думалось, что вряд ли они будут делать то,

36

что в один прекрасный день сделаем мы с Ральфом. Мы с Ральфом мечтали о звездах; они для нас были желаннее, чем горсть белого-голубых бриллянтов чистейшей воды.

Мы горланили вместе с горланами, смелялись вместе со смехачами, а в душе у нас обонх было тихо; и вот уже бочковатая кабина, шурша, остановилась, мы выскочили и, крича и смясь, побежали, но побежали спокойно и даже как-то замедленно: Ральф вперед меня, и все показывали рукой в одну сторону, на заветную огряду, и разбиали места вдоль проволоки, поторапливая отставших, но не оглядываясь на них; и наконец все в сборе, и могуая ракета вышла из-под пласткового купола, пожежено на огромный межзвездный цирковой шатер, и пошла по блестишим рельсам к точке пуска, провожаемая огромным портальным краном, смахивающим на дисторическо крылатого ящера, который вскормил это огненное чудовище, холодил и лелейл его, и теперь вот-вот состояться его рождение в раскаленном внесенным сполохом небе.

Я перестал дышать. Даже вдоха не сделал, пока ракета не вышла на бетонный пятачок в сопровождении тягачей-жуков и больших кургузых фургонов с людьми, а кругом, возясь с механизмами, механики-богомолы в абсетовых костюмах что-то стрекотали, гудели, каркали друг друга вhezримые для нас и неслышные нам радиофоны, да мы-то в уме, в сердце, в душе все слышали.

— Господи,— вымолвил я наконец.

— Всемогущий, всемилостивый,— подхватил Ральф Прайори, стоя рядом со мной.

Остальные ребята тоже сказали что-то в этом рode.

Да и как тут не восхищаться! Все, о чем людим мечталось веками, разобрали, проселяли и выковали одну — самую заветную, самую чудесную, самую крылатую мечту. Что ни обвод — отвердевшее пламя, безупречная форма… Застывший огонь, готовый к тайному лед джали там, посреднибетонной прерии; ещё немного, и с ревом проснется, и равнется вверх, и беднет эта бездумная, великолепная, могуая голова Млечный Пут, так что звезды посыплются вниз меторитным огнепадом. А попадется на пути Угольный Мешок —ей-богу, как даст под вздох, сразу в сторону отскочит!

Она и меня поразила прямо под вздох, так стукнула, что я ошибил острый приступ reвности, и завистки, и тоски, как от, чего-то незавершенного. И когда наконец через поле пошел окруженный тишиной самоходный вагочик с космонавтами, я был вместе с ними, облаченными в диковинные белые досрехи, в шаровидные гермошлемы и в этакую величественной небрежность — ни дать ни взять магнитофольная команда представляется публике перед тринировочной встречей на какомибудь местном магнитополе. Но они-то вылетали на Луну — теперь туда каждой места уходила ракета, — и у огромы уже не собирались только зевак, один мы, мальчишки, более за благополучный старт и вылет.

— Черт возьмли, — произнес я. — ЧERO бы я ни отдал, только бы попететь с ними. Представляешь себе…

— Я так отдал бы свой годовой проездной билет,— сказал Мак.

— Да… Ничего бы не пожалел.

Нужно ли говорить, какое это было влике событие для нас, ребятшек, словно взвешенных посередине между своей утренней игрой и ожиданной нас вскоре таким мощным и внутренным пополуденным фейверверком.

И вот все приготовления завершены. Заправка ракеты горючим кончилась, и люди побежали от нее в разные стороны, будто муравьи, улепетьвающие от металлическогоидола. И Мечта окнила, и взревела, и метнулась в небо. И вот уже скрылась вместе с утробным воем, и остался от нее только жаркий зон в воздухе, который через землю передался нашим ногам, и вверх по ногам дошел до самого сердца. А там, где она стояла, теперь была черная оплавленная яма да клуб ракетного дыма, будто прибито к земле кучевое обласк.

— Ушла! — крикнул Прайори.

И мы все снова часто задышали, приготовленные к месту, словно нас оглушили из какого-нибудь чудовищего парапистолета.

— Хочу посокорее вырасти, чтобы попететь на такой ракете.

Я прикусил губу. Куда мне, зеленому концу; к тому же на космическе работы по заявленю не принятоют. Жди, пока тебя не отберут. Наконец кто-то, какется Сидни, сказал:
— Ладно, теперь айда на телешоу.

Все согласились — все, кроме Прайори и меня. Мы сказали «нет», и ребята ушли, заливаясь хохотом и разговаривая, только мы с Прайори остались смотреть на то место, где недавно стоял космический корабль.

Он отбил нам вкус ко всему остальном, этот старт. Из-за него я в попедельник провалил семантику.

37

И мне было совершенно наплевать.
В такие минуты я говорил спасибо тому, кто придумал концентраты. Когда у нас вместе желудка ком нервов, меняше всего тянет ссть за стол и расправиться с обедом из трех блюд. Без аппетита несколько таблеток концентрата отлично заменили и первое, и творчее.
Все дни напролет и до поздней ночи меня неотступно, упорно преследовала одна и та же мысль. Дошло до того, что я каждую ночь должен был прибегать к снотворному массажу в сочетании с тихими мелодиями Чайковского, чтобы хоть ненадолго комкнуть веки.
— Помилийте, молодой человек,— сказал в тот понедельник мой учитель,— если это будет продолжаться, придется на следующем заседании психологического комитета сизить вам общую оценку.
— Простите,— ответил я.
Он пристальное посмотрел на меня.
— У вас какой-то затор в голове? Очевидно, что-то совсем просто, и притом осознанное.
Я пожился.
— Верно, сэр, осознанное, но никак не простое. А очень даже сложное. Но в общем-то можно сказать одним словом — пакеты…
Он улыбнулся.
— Р — значит пакета, так что ли?
— Вот именно, сэр, что-то вроде этого.
— Но мы не можем допустить, молодой человек, чтобы это отражалось на вашей успеваемости.
— По-вашему, сэр, меня надо подвергнуть гипотипическому внутренню?
— Нет-нет. — Учитель перебрал листки, вверху которых большими буквами была написана моя фамилия.
У меня все сжалось под ложечкой. Он опять посмотрел на меня.
— Вы ведь у нас, Кристоф, первый номер в классе, фаворит, так сказал.
Он закрыл глаза, разумивая.
— Тут надо основательно поразмыслить,— заключил он. Похлопал меня по плечу и добавил: — Ладно, продолжайте занимать. И не надо горевать.
Он отошел от меня.
Я попробовал сосредоточиться на занятиях, но не мог. До конца уроков учитель все посматривал на меня, листал моей таблиц и задумчиво покусивал губы. Часов около двух он набрал какой-то номер на своем аудиофоне и минут пять с кем-то разговаривал.
Я не мог рассыпать, что он говорил.
Но когда он положил трубку на место, то очень-Oчень страно поглядел на меня.

Завись, и восторг, и сожаление — все смешалось вместе в этом взгляде. Немножко грусти и много радости. Да, выразительные были глаза.
Я сидел и не знал, смяться мне или плакать.
В тот же день мы с Ральфом Прайориулины пораныше из школи домой. Я расскаазал Ральфу, что приключилась, и он насупился: такая у него привчка.
Я встревожился. И мы принялись вместе подстегивать эту тревогу.
— Ты что, Крис, думаешь, тебя кудаибудь отправят?
Кабина монорельсовойащипела. Это была наша остановка. Мыышли. И медленно зашагали к дому.
— Не знаю,— ответил я.
— Это было бы свинство,— сказал Ральф.
— Может быть, мне нужно讶ки к психатру, чтобы он прочитил мне мозги, Ральф? Так ведь тоже нельзя — чтобы учеба кувырком летела.
У моого дома мы оставились и долго глядели на него. Тут Ральф сказал одну страницу вещь:
— Днем нету звезд, а мы их все равно видим, правда ведь, Крис?
— Правда,— сказал я.— Видим.
— Мы будем держаться заноно, идет, Крис? Не могу они, черт бы их взял, убирать тебя сейчас из школи. Мы друзья. Это было бы несправедливо.
Я ничего не ответил, потому что горло мое плотно закупорил ком.
— Что у тебя с глазами? — спросил Прайори.
— А, ничего, слишком долго на солнце глаздел. Пошли в дом, Ральф.
Мы ухали под страями воды в душевой, но как-то без особого воодушевления, даже когда пустили ледяную воду.
Пока мы стояли в сущиле, обдуваемые горячим воздухом, я успелно размышлал. Литература, рассуждал я, полным-полна людей, которые стражаются с суровыми, непримиримыми противниками. Мозг, мыщцы — все обращают на борбу против всяких преон, пока необедят или сами не проиграют. Но ведь у меня-то никаких признаков внешнего конфликта. То, что меня грузет острыми зубами, грузет изнутри, и, кроме меня, только врач-психолог разгладит все мои царапины. Конечно, мне от этого ничего не легче.
— Ральф,— сказал я, когда мы начали одеваться,— я влип в войну.
— Ты один? — спросил он.
— Я не могу тебя впутывать,— объяс-

38

ил я. — Потому что это совсем личное делло. Сколько раз мама говорила: «Крис, не ещё так много, у тебя глаза больше желудка»?
— Миллион раз.
— Два миллиона. А теперь перефразируем это, Ральф. Скажем иначе: «Не фантазируй так много, Крис, твое воображение черезур велико для твоого тела». Так вот, война идет между воображением и телом, которое не может за ним поспевать.
Прайори сдержанно кивнул.
— Я тебя понял, Кристоф. Понял то, что ты говорил про личную войну. В этом смысле во мне тоже идет война.
— Знаю,— сказал я. — У других ребят, так мне кажется, это пройдет. Но у нас с тобой, Ральф, по-моему, это никогда не пройдет. По-моему, мы будем ждать все время.
Мы устроились под солнцем на крыше дома, разложили терради и принялись за домашние задания. У Прайори ничего не выходило. У меня тоже. Прайори сказал всуху то, чего я не мог собраться с духовом выговорить.
— Крис, Комитет космонавтики отбирает людей. Желающие не подают заявлении. Они ждут.
— Знаю.
— Ждут с того дня, когда у них впервые заметет сердце при виде Лунной пакеты, ждут годами, из места в месяц все найдется, что в одно прекрасное утро спустится с неба голубой вертолет, сдет на газоне у них в саду, из кабины вылезет аккуратный, подтянутый пилот, стремительно поднимется на крыльцо и нажмет кнопку звонка. Это вертолет ждут, пока не исполнится давать один год. А ввадцать первый день рождения выпивают бокалдруго вина и с громким смехом небрежно бросают: дескать, ну и черт с ним, не очень-то и нужно.
Мы посидели молча, взвешивая всю тяжесь его слов. Сидели и молчали. Но вот он снова заговорил:
— Я не хочу так разочаровывать, Крис. Мне пятнадцать лет, как и тебе. Но если мне исполнится давать один, а в дверь нашего интерната, где я живу, так и не позвонить космонавт, я…
— Знаю,— сказал я,— знаю. Я разговарил с таким, которые прожали впустую. Если так случится с нами, Ральф, тогда… тогда мы выпем вместе, а потом поддем и наймемся в грузчики на транспортуную ракету Европейской линии.
Ральф скаjalся и побледел.
— В грузчики…

Кто-то быстро и мягко прошел по крыльцу, и мы увидели мою маму. Я улыбнулся.
— Здорово, леди!
— Здравствуй. Здравствуй, Ральф.
— Здравствуйте, Джен.
Глядя на нее, никако не дал бы ей больше двадцати пяты — двадцати шести лет, хотя она произвела на свет и выражила меня и уже далко не первый год службы в Государственном статистическом управлении. Tonккая, изящная, улыбная: я представлял себе, как сильно должен был любить ее отец, когда он был жив. Да, у меня хоть мама есть. Ведняга Ральф воспитывался в интернате…
Джен подошла к нам и положила ладонь на люб Ральфа.
— Что-то ты плюхо выглядишь,— сказала она.— Что-нибудь неладно?
Ральф изобразил улыбку.
— Нет-нет, все в порядке.
Джен не нуждалась в подсказке.
— Остався новевать у нас, Прайори,— предложила она.— Нам тебя недостает. Верно ведь, Крис?
— Что за вопрос!
— Мне было вернуть в интернат,— возразил Ральф, правда, не очень убеженно.— Но раз вы просите, да вот и Крису надо помочь с семантикой, так я уже ему помогу.
— Очень великоодуно,— сказал я.
— Но сперва у меня есть кое-какие дела. Я быстро туда-обратно на монорельсовой, через час вернуть.
Когда Ральф щелел, мама многозначителов посмотрел на меня, потом ласковым движением пальцев приглядила мне волосы.
— Что-то назначет, Крис.
Мое сердце притихло, ему захотелось помолчать немного. Оно ждало. Я открыл рот, но Джен продолжала:
— Да, где-то что-то назначет. Мне сегодня два раза звонили на работу. Сперва звонил твой учитель. Потом… нет, не могу сказать. Не хоче ничего говорить, пока это не произойдет…
Мое сердце заговорило опять, медленно и жарко.
— В таком случае, не говори, Джен. Эти звонки…
Она молча посмотрел на меня. Сжала мою руку мягкими теплыми ладонями.
— Ты ещё такой юный, Крис. Совсемсовсем юный.
Я сидел молча.
Ее глаза посветели.
— Ты никогда не видел своего отца, Крис. Ужасно желко. Ты ведь знаешь, кем он был?

39

— Конечно, знаю, — сказал я. — Он работал в химической laboratorии и почти не выходил из подземелья.

— Да, он работал глубоко под землей, Крис, — подтвердил мама. И почему-то добавила: — И никогда не видел звезд.

Мое сердце вскрикнул в груди. Вскрикнул громко, пронзительно.

— Мама… мама…

Впервые за много лет я вслух назвал ее мамой.

Когда я проснулся на другое утро, комната была залита солнцем, но кушетка, на которой обещано спал Прайори, гостя у нас, была пуста. Я прислушался. Никто не плескался в душевой, и сушилка не гудела. Ральфа не было в доме.

На двери я нашел приколотую записку.

Увидимся днем в школе. Твой мат подросила меня коче-то сделать для нее. Ей звонили сегодня утром, и она сказала, что ей нужна моя помощь. Привет. Прайори.

Прайори выполняет поручения Джен. Странно. Джен звонили рано утром. Я вернулся к кухетке и сел.

Я все еще сидел, когда снаружи донеслись крики:

— Эгей, Крис! Заспался!

Я выглянул из окна. Несколько ребят из нашей ватги стояли на газоне.

— Сейчас спушусь!
— Нет, Крис.

Голос мамы. Тихий и с каким-то необычным оттенком. Я повернула. Она стояла в дверях позади меня, лице бледное, осунушеся, словно ее что-то мучило.

— Нет, Крис, мягтой повторила она. — Скажи им, пусть идут без тебя, ты не поддешь в школе… сегодня.

Ребята визу, наверно, продолжали шуметь, но я их не слышал. В эту минуту для меня существовали только я и мама, такая тонкая, бледная, напряженная… Далекодалеко зажужжали, зарокотали вибраторы метеослужбы.

Я медленно обернулся и посмотрел визна reбят. Они глядели вверх все трое — губы раздивнуты в небрежной полуульбке, шершавые пальцы держат тетради по семантике.

— Эгей! — крикнул один из них. Это был Сидни.

— Извини, Сидни. Извините, ребята. Топайте без меня. Я сегодня не смогу пошти в школе. Попозже увидимся, идет?

— Ладно, Крис!
— Что, заболел?
— Нет. Просто… Словом, шагайте без меня. Потом встретился.

Я стоял, будто оглушенный. Наконец от обращенных вверх вопросаших лиц и глазнул на дверь. Мамы не было. Она уже спустилась на первый этаж. Я условиял, как ребята, заметно притихнув, направились к монорельсовой.

Я не стал пользоваться вкусом-лифтом, а медленно пошел вниз по листнице.

— Джен, — сказал я, — где Ральф?

Джен сделала вид, будто поглощена расчесыванием своих длинных русых волос виброгребенкой.

— Я его успла. Мне нужно было, чтобы он ушел.

— Почему я не пошел в школе, Джен?
— Пожалuyста, Крис, не справивай.

Прежде чем я успел сказал что-нибудь, я условиял в воздухе какой-то звук. Он произал достаточно плотные стены нашего дома и вошел в мою плот, стремительный и тонкий, как стрелла из искусшейся музыки.

Я глотнул. Все мои страхи, колебания, сомнения мгновенно исчезли.

Как только я условиял этот звук, я подумал о Ральфе Прайори. Эх, Ральф, если бы ты мог сейчас быть здесь. Я не верил сам себе.

Слушал этот звук, слушал не только ушами, а всем телом, всей душой, и не верил.

Ближе, ближе… Ох, как я боялся, что он начинает удаляться. Но он не удалился. Понизив тон, он стал снижаться возле дома, разбрасываясь свет и тени огромными врашающимся лепестками, и я знал, что это вертолет небесного цвета. Гудение прекратилось, и в наступившей тишине мама подалось вперед, выпустила из рук виброгребенку и глубоко вздохнула.

В наступившей тишине я условиял шаги на крыльце. Шаги, которые я так долго ждал.

Кто-то нажал звонок.

Я знал кто.

И упорно думал об одном: «Ральф, ну почему тебе непрееменно надо было уйти теперь, когда это проискот? Почему, черт возьмги?»

Глядя на пилота, можно было подумать, что он родился в своей форме. Она сидела на нем как вылитая, как вторая кожа — середристая кожа: тут голубая полоска, там голубой круjuk. Строгая и безупреная, как и надлежит быть форме, и в то же время — олицетворение космической мощи.

40

Калейского, Клима"

1989
1989

Этот «Калейского» — новогодний: он составлен из задания, где число 1989 — главное «дейстучочее лично». Заданий нам предложили III. С. Абасов, Н. К. Антонович, И. Гшурбеков, Д. Ф. Григории, А. П. Савин, Ю. Файзуллаев, Д. В. Фукс.

41

1. Может ли сумма 1 + 2 + … + n при каком-нибудь n оканчивать на 1989?
2. Изготовляя конфетти, Вася разрезал лист бумаги на 4 части, неокоторы из полученных кусков он снова разрезал на 4 части и т. д. Может ли в неокоторий момент оказаться 1989 кусков?
3. Стороны правильно 1989-угольника неограничного продолжили, в результате чего плоскость разделилась на много частей. Число этих частей больше миллиона или меньше?
4. В 1989 году мне исполняется столкло лет, сколько в сумме дают цифры года монего рождения. В каком году я родился?
5. Решите арифметический ребус:
   XYZT
   • XYZ
     X
     1989
6. Прямоугольный ящик горизонтальный и вертикальный дощечками разделили на 1989 ячеек и в неокотории ячейки положили шарики (возможно, больше одного). Можно ли это сделать так, чтобы в каждом горизонтальном ряду оказалось по 300 шариков, а в каждом вертикальном — по 100 шариков?
7. Семь девяток выписали подряд: 9999999. Поставьте между нимиус так, чтобы получшеся выражение равнялось 1989.
8. Треугольник разрезали на два многоугольника примолнейным разрезом, один из полученных многоугольников вновь разрезали на два и т. д. Какое наименьшее количество разрезов следует произвести, чтобы общее количество вершин у полученных многоугольников равнялось 1989?
9. На какую цифру оканчивается число по 1989?

42

Р — значит пакета

(Начало см. на c. 34)

Его зваили Трент. Он говорил уверенно, с непринужdenной гладкостью, без обиняков.
Я стоял молча, а мама сидела в углу с видом растерянной девочки. Я стоял и слушал.
Из всего, что было сказано, мне запомнили лишь каке-то объывки.
—…отличные отметки, высокий коэффициент умственного развития. Воспрятие А-1, любозначательность AAA. Необходимая увлеченность, чтобы настоящего и терпельного занятия восемь долги лет…
— Да, сэр.
—…разговаривали с вашими преподавателями семантики и психологии…
— Да, сэр.
—…и не забудьте, мастер Кристофер…
Мистер Кристофер!
—…и не забудьте, мастер Кристофер,никто не должен знать про то, что вы отобраны Комитетом космонавтики.
— Никто?
— Ваша mate и преподаватель, конечно, знают об этом. Но, кроме них,никто не должен знать. Вы меня хорошо поняли?
— Да, сэр.
Трент сдержанно улыбнулся,упершись в бока своим ручицами.
— Вам хочет спросить —почему так? Почему нельзя поделиться со своим друзьями? Я объявню. Это своего рода психологическая защита. Каждый год мы из миллиарного населения Земли отбираем около десята тысяч молодых людей. Из них три тысячи через восемь лет выходит изучилища космонавтики, с той или другой специальностью. Остальные приходит возврашает домой. Они отсеялись, но окружающим-то незачем об этом знать. Общно отсев проискодит уже в первом полугодии. Не очень приятно вернуть домой, встретить друзей и доложить им, что самая заменательная работа в мире вам не по зубам. Вот мы и делаем все так, чтобы возврашение проходило безболезненно. Есть и еще одна причина. Тоже психологическая. Мальчищам так важно быть заправилами, в чем-то превосходить свои товарищей. Строго-настрою запрещая вам рассказывать друзьям, что вы отобраны, мы лишаем вас половины удовлетвория. И таким способом проверяем, что для вас главное: мелкое чистолюбие или сам космос. Если вы думаете только о том, чтобы выделиться,—скателем дорога. Если космос ваше признание, если он для вас все,—добро пожаловать.
Он кивнул маме.
— Благодарю вас, миссис Кристофер.
— Сэр,— сказал я.— Один вопрос. У меня есть друг, Ральф Прайори. Он живет в интернате…
Трент кивнул.
— Я, естественно, не могу вам сказать его данные, но он у нас на учете. Это ваш лучший друг? И вы, конечно, хотите, чтобы он был с вами. Я проверю его дело. Восппытаемся в интернате, говорите? Это не очень хорошо. Но… мы посмотрим.
— Если можно, прошу вас. Спасибо.
— Я витесь ко мне на Костодром в субботу, в пяты часов, мистер Кристофер. До тех пор —никому ни слова.
Он козырнул. И ушел. И взмыл в него на своем вертолете, и в ту же секунду мама оченьилось возле меня.
— О, Крис, Крис…— твердила она, и мы прильнул друг к другу, и шептал что-то, и говорили что-то, и мама говорила, как это важно для нас, особенно для меня, как заменательно, и как это очень, вроде как в старину, когда человек постился, и давал обет молчания, и ни с кем не разговаривал, только моллся и старался стать достойным, и уходил в какой-нибудь монастыр, где-нибудь в гуаши, а потом возврашает к людям, и служил образцом, и чили людей добру. Так и теперь, говорила она, заключила она, утверждала она, это тоже своего рода высокий орден, и я стану как бы его частицей, больше не буду приладать ей, а буду приладать Вселенной, стану всем тем, чем отец мечтал стать, да не смог, не дожил…
— Конечно, конечно,— пробормотал я.— Я поставюсь, чистое слово, поставюсь…— Я запнулся.— Джен, а как же… как мы сказем Ральфу? Как нам быть с ним?
— Ты узжешь, и все, Крис. Так ему и скажи. Коротко и ясно. Большое ничего ему не говори. Он поймет.
— Но, Джен, тЫ…
Она ласково улыбалась.
— Да, Крис, мне будет одиноко. Но ведь у меня остается моя работа и остается Ральф.
— Ты хочет сказыть…
— Я заберу его из интерната. Он будет жить здесь, когда ты уедешь. Ведь именно это ты желал от меня услышать, Крис, верно?
Я кивнул, внутри у меня все будто он-meleло.
— Да, я как раз это хотел услышать.

43

— Он будет хорошо сыном, Крис. Почти таким же хорошо, как ты.
— Отличным!
Мы сказали Ральфу Прайори. Сказали, что я, оченьно, уеду учиться в Европу на год и мама хочет, чтобы он поселился у нас, был ей сыном, пока я не вернусь домой. Мы выпали все это так, будто слова обжигали нам язык. Когда же мы кончили, Ральф сперва пожал мне руку, потом поцеловал маму в щеку и сказал:
— Я буду рад. Я буду очень рад.
Страно, Ральф даже не стал допытаться, почему я все-tаки узжажю, куда именно и когда думало вернуть. Сказал только:
— А здорово мы вместе играли, верно? — и примок, словно боялся продолжать разговор.
Это было в пятницу вечером, Прайори, Джен и я ходили на концерт в Зеленый театр в центре нашего общественного комплекса, потом, смесь, возвратились домой и стали готовиться ко сну.
У меня ничего не было уложено. Прайори вскользь отметил это, но спрашивать, почему, не стал. А дело в том, что на близкиешее восемь лет другие бали на себя заботу о моей личной экипировке. Укладывать нечем.
Позвонил учитель семантики, коротко и ласково пожелал мне, улыбаясь, всего добро.
Наконец, мы легли, но я целый час не мог уснуть, все думал о том, что это мог последняя ночь вместе с Джен и Ральфом. Последняя ночь.
И я всего лишь пятнадцатилетний мальчишка…
Я уже начал засыпать, когда Прайори в темноте мягко повернулся на своей кушетке лицом в мою сторону и торжественно прошелал:
— Крис?
Пауза.
— Крис, ты еще не спишь? — Глухо, будто далекое эко.
— Не сплю,— ответил я.
— Думаешь?
Пауза.
— Да.
— Ты… ты теперь перестал ждать, да, Крис?
Я понимал, что он подразумевает. И не мог ответить.
— Я жутко устал, Ральф,— сказал я.
Он ответился, лег на спину и сказал:
— Я так и думал. Ты уже не ждешь. Ах, черт, как это здорово, Крис. Здорово.
Он протянул руку и легонько стукнул меня по бицепсу.

Потом мы оба уснули.
Наступило субботнее утро. За окном в семичасовом тумане раскатились голова ребят. Я условиял, как стукнула форточка старика Уикарда и жужжание его парапистолета стало подкрадывать к мальчишкам.
— Сейчас же замолчите! — крикнул он, но совсем беззловно. Это была общная субботняя игра. Было слышно, как ребята сметются в ответ.
Проснулся Прайори и спросил:
— Сказать им, Крис, что ты сегодня неойдешь с ним?
— Ни в коем случае,— Джен прошла от двери к открытом окну, и светлый ореол ее волос потесил туман.— Здорово, ватгага! Ральф и Крис сейчас выйдет. Задержать пуск!
— Джен! — воскликнул я.
Она подошла к нам с Ральфом.
— Проведете вашу субботу, как обычно, вместе с ребятами!
— Я думал побить с тобой, Джен.
— Разве день отдыха для этого существует?
Она живо накормила нас завтраком, поцеловала в щеку и выставила за дверь, в объятия ватги.
— Давайте не поддем сего дня к Космодрому, ребята.
— Ты что, Крис… Почему?
Их лица отразили целую гамму чувств. Впервые в истории я отказывался ики Космодрому.
— Ты народно, Крис.
— Конечно, дурака валяет.
— Вот и нет,— сказал Прайори.— Он это серверно. Мне тоже туда не хочет. Каждуо субботу ходим. Надоело. Лучше на следующей неделе сходим.
— Да ну…
Онни были недовольны, но без нас идти не захотели. Сказали, что без нас неинтересно.
— Ну и ладно… Пойдем на следующей неделе.
— Конечно. А сейчас что будем делать, Крис?
Я сказал им.
В этот день играли в «бей банку» и другие, давно оставленные нами игры, потом пошли в небольший подход в ржавых путей старой, заброшенной железной дороги, побродили по лесу, сформированными каких-то птиц, поплавали нагишом, и я все время думал об одном: сегодня последний день.
Все, что мы когда-либо заевали по субботам, все это мы вспомнили. Всякие там шутки и проказы. И, кроме Ральфа, никто не подозревал о моем ответе, и с каждой

44

минутой все ближе подступали заветные «пять часов».
В четыре я сказал ребятам «до свидетель».
— Уже уходишь, Крис? Ну, а вечером что?
— Заходите в восемь, — сказал я. — Пойдем посмотрим новую картину с Салли Гиберти!
— Так точно.
— Ключ на старт!
И мы с Ральфом отправились домой.
Мамы дома не было, но на моей кровати лежал ролик аудиофильма, на котором она оставила часть себя — своего улыбку, свой голос, свой слова. Я вставил ролик в проектор и наел на стену. Мягкие русые волосы, мамино белое лице, ее негромкий голос:
— Не люблю я прошатся, Крис. Пойду в лабораторию, поработаю там. Счастливое тебе. Крепко-крепко обнимало. Когда я тебя снова увижу… ты будешь мужчной.
И все.
Прайори ждал за дверью, а я в четвертый раз прокрутил ролик.
— Не люблю я прошатся, Крис. Пойду… порботаю… счастливо. Крепко… обнимало…
Я тоже еще наканнуне вечером записал ролик. Теперь я засунул его в проектор и оставил — два-три прошальных слова.
Прайори проволил меня до полуодоги. Нельзя же, чтобы он ехал со мной до Космопорта. У станции монорельсовой я крепко пожал ему руку и сказал:
— Отлично мы сегодня день провели.
— Ага. Теперь, что же, до следующего субботы?
— Хотел бы я ответить «да».
— Все равно ответить «да». Следующая суббота — лес, ватага, пакеты, старина Уикард с его верным парапистолетом. Мы другно рассмеялись.
— Договорились. В следующую субботу, рано утром. А ты береги… береги нашу маму, ладно, Прайори, обещаешь?
— Что за глупый вопрос, балда ты,— сказал он.
— Точно, балда.
Он глотнул.
— Крис.
— Да?
— Я буду ждать. Так же, как ты ждал, а теперь тебе больше не нужно ждать. Буду ждать.
— Думаю, тебе не придется ждать долго, Ральф. Я надекось, что недолго.
Я легонько стукнул его разок по руке. От ответил тем же.
Закрылась дверь монорельсовой. Каби-наринлась вперед, и Прайори остался позади.
Я вышел на остановке «Космопорт». До здания управления было каких-нибудь пятьсот метров. Я шел этот отрезок десять лет.
«Когда я тебя снова увижу, ты будешь мужчиной…»
«Никому ни слова…»
«Я буду ждать, Крис…»
Все это — пробкой в сердце, и никак не хочеется уходить, и плавает перед глазами…
Я подумал о своей мечте. Лунная ракета. Теперь она уже не будет частицей моей души, моей мечты. Теперь я стану ее частицей.
Я все шел, и шел, и шел, чувствуя себясовсем ничтожным.
В ту самую минуту, когда я подошел к управлении, стартовала вечерняя Лондонская ракета. Она вскользьнула землю, и вскользьнула и наполнила сладким треетом моей сердце.
И я сразу наcal страшно быстро расти.
Я провожал глазами ракету до тех пор, пока рядом со мной не щелкнул чьи-то приветствующие каблуки.
Я окаменел.
— К. М. Кристофер?
— Так точно, сэр. Явился по вызову, сэр.
— Сюда, Кристофер. В эти вопросы…
Ограды, к которой неделю назад мы приникали лицом, и чувствовали, как ветер становится жарким, и еще сильней прижимались к ней, забывая, кто мы, откуда мы, мечтая только о том, кем мы могли бы быть и куда попасть…
Ограды, у которой неделю назад мы приникали лицом, которые нравилось быть мальчишками, нравилось жить в небольшим флоридском городе, и школа безусловно нравилось, и нравилось играть в футболе, и палы и мамы им тоже нравились…
Мальчишки, которые каждую неделю, каждый час минуту непреемно думали о пламени, и звездах, и огроме, за которой все это их ожидало… Мальчишки, которые нравились большее.
Мама, Ральф, мыувидимся. Я вернусь.
Мама! Ральф!
И я прошел черезворота и вошел внутри огradы.

Этот рассказ перепечатан из сборника фантастических рассказов Рэя Брэдбери (М.: Детская литература, 1973). Перевод с английского Н. Галь и Э. Кабалевской.

45

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Равновесие механической системы и метод виртуальных перемещений» предназначаена восмиллассикам, заметка «Сколько бывают состояния у вещества?» — девятиклассикам, «Неколько заменой по поводу фотоэфекта» — десятиклассикам.

Равновесие механической системы и метод виртуальных перемещений

Рассказывал, что для строительства одного из соборов в Швейцарии его архитектору попадобились блоки, позволяющие поднимать на большую высоту особо тяжелые грузы. Он конструкровал весма сложный полиспаст, но запутался в многочисленных силах натяжения тросов и так и не смог расчитать, сколько же человек нужно будет нанять для его обслуживания. За помощь архитектор обработился к известному ученому Юганну Бернулли (1667—1748). Каково же было удивление архитектора, когда Бернулли, едва взглянув на чертеж, тут же дал ответ. Пораженный архитектор попросил открыть ему тайну столбного расчета…

Попробуем и мы (вслед за Бернулли) обсуить условия равновесия механической системы с несколько иных позиций, чем это сделано в следующей главе школьного учебника «Физика 8».

Obviously для того, чтобы выяснить условия равновесия системы,водят силы реакции механических связей*). Связями принято называть те ограничения, которые наложены на положение отдельных частей системы, или на возможность их перемещения.

*) См. статью А. И. Черноуцана «Кinemатические связи в задачах диамники» во втором номере журнала за 1988 год.

46

В качестве примеров механических связей можно назвать нить, на котором подвешен груз, шарнир, соединяющий отдельные части механизма, плоскость, на которой находится тела системы, и т. п. Чем больше в системе связи (например, нитей в полиспасте, сконструированном нашим архитектором), тем сложнее проследить за действием всех возникающих в них сил реакции.

Во многих случаях механические связи обладают неким замечательным свойством, которое Бернулли и положил в основу своего простого и изящного способа нахождения условий равновесия механической системы. Это свойство заключается в том, что полная работа всех сил реакции, возникших в связи системы при любых достаточно малых возможных отклонениях ее от положения равновесия, равна нулю.

Тут следует специально оговорить, что подразумевается под «любими достаточно малыми возможными отклонениями» системы от положения равновесия. Прежде всего, конечно, перемещения точек системы, определяющие такие отклонения, не должны противоречить механическим связям (нити не должны раваться, шарниры — ломатся). Такие перемещения называют возникшими, или виртуальными (что означает — мысленными). Их следует отличать от истинных перемещений, которые проискдают под действием приложенных сил. Виртуальные перемещения не имеют относительной проессу движения системы — они вводятся лишь для того, чтобы выявить существующие в системе соответствия сил и установить условия равновесия. Малость же перемещений нужно для того, чтобы можно было силы реакции считать неизменными.

Связи, для которых сумма элементарных работ сил реакции при любых виртуальных перемещениях равна нулю, называют идеальными. Подчеркнем, что не все связи идеальными. Так, если тела системы лежат на плоскости с трением, то эта связь (плоскость) уже не идеальная.

Рассмотрим, как выполняется свойство идеальных связей на примере системы точек, образующих абсолотно твердое тело. Любая точка $A$ такого тела связана со всеми другими точками силами реакции. Выделим какую-либо точку $B$ и обозначим силы реакции, действующие между точками, через $\vec{F}_{AB}$ и $\vec{F}_{BA}$ (первая из них приложена к точке $A$, вторая — к $B$). Забудем на время обо всех остальных точках тела, кроме двух выделенных. Тогда у нас остается система двух материалов точек, соединенных несовместимым жестким стержнем. Согласно третьему закону Ньютона,

$$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}.$$

Совершим теперь некоторые виртуальные перемещения этих точек $\Delta s_A$ и $\Delta s_B$. Можно считать, что $\Delta s_A$ — общее для всех точек поступательное перемещение твердого тела как целого, а $\Delta s_B = \Delta s_A + \Delta s'$, где $\Delta s'$ — перемещение, соответствующое выражению точки $B$ относительно точки $A$. Полная работа сил реакции при этих виртуальных перемещениях есть

$$\Delta A = (\vec{F}_{AB} \cdot \Delta s_A) + (\vec{F}_{BA} \cdot \Delta s_B) = \left( (\vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BA}) \cdot \Delta s_A \right) + (\vec{F}_{BA} \cdot \Delta s').$$

Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю в силу условия (*). Равным нулю оказывается и второе слагаемое, так как перемещение $\Delta s'$, соответствующое выражению точки $B$ относительно точки $A$, перpendикулярно силе $\vec{F}_{BA}$, которая направлена вдоль прямой, соединяющей точки $A$ и $B$. Точно так же можно показать, что виртуальная работа (т. е. полная работа при виртуальных перемещениях) сил реакции и для любых других твердого тела равна нулю. Таким образом, на рассмотрении примере мы убедились в справедливости обсуждаемого свойства идеальных связей.

Для того чтобы окончательно формировать новый принцип равновесия, нам осталось рассмотреть виртуальную работу внешних сил. Заметим, что каждая приложенная система внешняя сила в условиях равновесия должна находиться в равновесии с силами реакции, вызванными

47

ею. Позному если теперь вычислить полную работу, совершаемую внешними силами и силами реакции связи при любом виртуальном перемещении, то и она оказывает равной нулю. Но относительно сил реакции мы уже знаем, что они никакой полной работы не совершают. Следовательно, при любом виртуальном перемещении полная работа внешних сил также должна быть равна нулю.

Итак, условия равновесия механической системы может быть формулировано в виде так называемого принципа виртуальных (возможных) перемещений:

для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма работы всех действующих на систему внешних сил при любых виртуальных перемещениях системы была равна нулю.

Благодаря этому принципу, формулировано Иоганном Бернули в 1717 году, для нахождения условий равновесия нет необходимости расматривать большое число сил реакции связи. Достаточно выбрать удобные виртуальные перемещения, вычислить соответствующее им полную работу только внешних сил и приравнять ее нулю.

Проиллюстрируем применение этого принципа на простейшем примере — найдем силу упругости пружины, к которой подвешен груз массой $m$. В качестве системы выберем сам груз. К нему приложены две внешние силы — сила упругости пружины $T$ и сила тяжеста груза $mg$. Представим себе, что мы сместили находящаяся в равновесии груз на малую величины $\Delta x$ вниз. Тогда работа силы тяжесты будет равна

$$\Delta A_1 = mg\Delta x,$$

а работа силы упругости пружины —

$$\Delta A_2 = -T\Delta x.$$

Согласно принципу виртуальных перемещений, сумма работы обих丝 должны быть равна нулю:

$$\Delta A_1 + \Delta A_2 = mg\Delta x - T\Delta x = 0,$$

откуда получаем

$$T = mg.$$

Эту задачу, конечное же, можно было бы решить и обычным способом — использую условия равновесия тел. Причем в данном случае оба метода по степени сложности одинаковы. Однако в целом ряде случаев метода виртуальных перемещений приводит к более быстрому и простому решению, а иногда даже позволяет решать задачи, которые в принципе не разрешимы на основе общих условий равновесия.

Заметим также, что метод виртуальных перемещений может успешно применяться при решении не только механических задач, но и задач электроности, молекулярной физики.

А. А. Варламов

Сколько бывают состояния у вещества?

В этой заметке мы хотим рассакать немного о различных состояниях вещества — о самых известных, несколько менее известных исовсем мало известных.

Любое тело — это огромное число движущихся и взаимодействующих друг с другом молекул. Каждый совершенство естественных, что, когда взаимодействие молекул друг с другом слабое, молекул должны образовать газ; в противном же случае, когда взаимодействие велико, — твердое тело; в промежутном случае — жидкое. Это, безусловно, так. Только в физике не существует понятный малой или большой величины без сравнения с чем-то. В данном случае энергия взаимодействия молекул надо сравнить с их кинетической энергейой.

Из молекулярно-kinетической теории известно, что средняя кинетическая энергияxaотическая энергияxaотическая молекул $\bar{E}$ неосредственно связана с температурой $T$ системы: $\bar{E} = \frac{3}{2}kT$. Так как нас интересют только качественные сообразения, можно

48

тель $^3/2$ мы учитывать не будем. Обозначим среднюю энергию взаимодействия молекул со своим окружением через $U$. Введем параметр $\varepsilon$, равный отношению средней энергии взаимодействия к средней кинетической энергии: $\varepsilon=U/kT$. Теперь можно записать условия существования газа, жидкости и твердого тела. Если $\varepsilon\ll 1$, мы имеем газ (молеклы быстро движются, почти не взаимодействия друг с другом). Когда $\varepsilon\gg 1$, система представляет собой твердое тело (молеклы «зажаты» на своих местах). Промежуточный случай, когда $\varepsilon\approx 1$, соответствует жидкости. Но внутри каждой из этих очень больших классов состояния существуют довольно большое разнообразие.

Остановимся прежде всего на твердом теле. Из условия $\varepsilon\gg 1$ ясно, что состояние твердого тела определяется в основном энергийном взаимодействиям молекул. Как известно, любая система, представленная самой себе, стремится занять такое положение, чтобы ее потенциальная энергия была минимальной (под потенциальной энергейой здесь надо помнить именно энергию взаимодействия молекул друг с другом). Так вот, оказывается, что минимум энергии соответствует состояние, когда молеклы расположены строго периодически. Другими словами, устойчивому равновесию соответствует не просто твердое тело, а конкретно кристалл. Это первый, наиболее изученный тип твердых тел. Свойства кристаллов целиком определяются типом кристаллечской решетки. Бывают решетки, составленные из кубков, шестигранных призм, параллелепидов и т. п. При нагревании кристаллов (например, при атмосферном давлении) существуют температура (внимание! вполне определенная температура), при которой кристаллечская решетка становится неустойчивой. Начинается плавание (понятно, что температура плавание должна определиться из условия $\varepsilon\approx 1$, т. е. $kT_{\pi l}\approx U$).

Другой тип твердого тела возникнет в том случае, когда при охлаждении жидкости теряют свою подвижность раныше, чем успевают выступиться в кристаллеческого решетку. Теперь они бы и «хотели» упорядочиться, да не могут. Точнее, могут, но для этого им надо очень много времени. Мы получаем твердое, но не кристаллеское, а аморфное тело. Типичным примером таких тел является стекло. При нагревании стекло постепенно размягчается и, в конечном случае, превращается в жидкость, но никакой определенной температуры плавления не существует.

Получится ли при охлаждении данной жидкости кристалл или аморфное тело, сильно зависит от скорости охлаждения. Например, для получения аморфных металлов скорость охлаждения должна быть колосальной (расплавленный металл разбрызгивают на охлаждаемую жидким азотом поверхность). Но это не единственное условие. Например, из глицеринка, как ни стаяяся, кристалл не получится (причина этого на сегодня не совсем ясна).

Если речь идет о телах, состоящих из молекул простой формы, то никаких других возможностей, по всей видимости, нет. Но, к счастью, мир не так прост. Вы хорошо знаете, что существуют ограниченные (да и не только ограниченные) молекулические свойства сложной формы. Вещества, построенные из таких молекул, могут находиться в необучных состояниях, которые нельзя отнести ни к жидким, ни к твердым. Вот несколько примеров.

Нибольное типичным свойством жидкости является ее изotropность, т. е. одинаковость свойств во всех направлениях. Однако теперь теперь можно использовать механические свойства, скорость распространения различных волн (упругих или электромагнитных) и т. д. Так вот, околоста лет назад были открыты жидкости, не обладающие изotropностью, — так называемые анизotropные жидкости. С тех пор было найдено (и создано искусственно) огромное число жидкости. Главной их особенность является то, что в одних направлениях они обладают

49

дают свойствми кристалла (например, периодичность внутренней структуры), а в других — нет. Это жидкие кристаллы. За совмещение таких, казалось бы, несовместимых свойств, как текущость и упорядочность, они получили название mezofаз (mezо означает промежуточный; т. е. промежуточных фаз).

Длинные полимерные молекул могут образовать еще один класс состояний, к которым относятся, например, холодец или резина. В этих состояниях длиные молекул объединяются в разветвленные цепи или сетки. В результате возникнет своеобразное, похожое на желез тело, которое называется «гель». Состояния этого типа также чрезвычайно распространены в природе.

Наконец, очень кратко остановимся на каком-то смысле экстремальных состояний вещества.

При нагревании газа кинетическая энергия его молекул растет и может оказаться порядка энергии иннзации атомов. Тогда при стольновении молекул друг с другом атомы могут иннзоваться, и мы получим смесь нейтральных и загруженных (положительно и отрицательно) частиц. Очень важно, что количество положительных и отрицательных загрязов при этом всегда одинаково, так что в целом газ электронетрален. Это плазма, совершенное специальное и обладающее уникальным свойством состояние вещества.

И в заключение обратимся к…
звездам. Звезда — это гигантское газовое и пылевое облака, стремящемся сжаться под действием сил gravitationного притяжения. В результате такого скатия температура в сердцевине звезды растет, и в какой-то момент зажгается термодерная реакция: ядра водорода сливются, превращаются в гелий. Выделяющаяся при этом энергия превращает дальнейшем скатию, звезда стабилизируется (именно на такой стадии звездной эволюции находится Солнце). Но постепенно водород выгорает, и скажите возможность. Колоссальное давление, возникающее при этом, раздавливает atoms. Возникает состояние, в котором электроны как бы свободно плавают в поле гольных ядер. Если масса звезды не слишком велика (меньше 1,25 массы Солнца), то спецификаское откаливание, существующие между электронами, превращает дальнейшем сжатюю (отталкивание это не связано с электрическими силами, а носит сугубо квантовый характер). В результате возникает совершенное особое состояние с огромной плотностью (порядка 60 т/см³). Звезды, устроенные таким образом, носят название белых карликов (из-за светло-голубого свечения и малых размеров). Если масса звезды больше (большое 1,5—2 масс Солнца), то уже и электроны не могут противостью гравитационногоусажению. В результате они (электроны) вдвілаются в ядра и, слияясь с протонами, образуют нейтроны. Возникает вещество, состоящее не из atomных ядер, а из нейтронов, с совсем уж фантастическими большой плотностью (≈2·10⁹ т/см³). Это нейтронные звезды.

На этом мы, пожалуй, остановимся. Хотя, прямо скажем, список удивательных состояний вещества, существующих в природе, еще далеко не исчерпан.

Е. Е. Городецкий

Неколько заменой по поводу фотоэфекта

В школьном курсе физики вы познакомились с явлением фотоэфекта, т. е. испускания электронов веществом под действием света, и его закономерностями («Физика 10», глава 10).

Что является главным в теории фотоэфекта? Конечно же, гипотеза световых квантов — фотонов. Фотоэфект можно представить как результат двух последовательных процессов: 1) поглощение кванта света электроном, 2) вылет электрон за пределы вещества. Если происходит

50

оба процесса, явление правильнее называть внешним фотоэфектом. Если же поглощение фотонов не приводит к вылету электронов из вещества, но изменяет его электропроводность, то говорят о внутреннем фотоэфекте (обычно наблюдается в полупроводниках). Собственное фотоэфектом часто называют сам акт поглощения фотона электроном.

Возникает вопрос: может ли фотоэфект произходить на отдельно взятом свободном электреоне? На первый взгляд — почему бы нет? Ведь мы же говорим: фотон поглощается электроном. Причем же здесь вещество?
Возьем электрон, посветим на него фонариком, и он начинает «глотать» фотоны и разгонять! Оказывается, ничего не выйдет. Свободный электрон не может поглотить ни одного фотона. Он, правда, свиñется с места, но причиной будет не поглощение, а рассеяние фотонов. Это тоже очень интересный процесс — известный вам эфект Komптона, в котором ярко проявляется квантовые свойства света, но… не фотоэфект.

Почему же фотон не может поглотиться свободным электроном? Проведем, как говорят математики, доказательство «от противного». Пусть электрон (покоящся или движущая) поглощает налетающий на него фотон, и при этом изменяется его скорость. Оказывется, такой процесс запрещен законами сохранения энергии и импульса. Это становится оченьным, если выбрать такую инерционную систему отчета, в которой электрон после фотоэфекта поконтится. Смотрите сами. Что мы имеем в конечном состоянии? Покоящся электрон и ничего больше. А в начальном состоянии? Движущая электрон да еще и фотон впридачу. Энергия, действительное, не сохраняется.

Значит, фотоэфект «по всем законам» возможен только в присутствии третьего участника. В металх, получовидных эту роль играютоны кристаллический решетки. Но при подсчете энергии (например, в уравнения Эйнштейна для фотоэфекта) мы их не учитываем потому, что благодаря своей большой массе они быстро забирают очень малую часть энергии (игра при этом важную роль в законе сохранения импульса).

А возможен ли фотоэфект на отдельно взятом atomе (или молекул) — например, в газе? Оказывется, да. Фотон поглощается одним из электронов atoms, а лишьний импульс уносится atomным ядром. Интересно отметить, что впервые фотоэфект был обнаружен Г. Гермем именно в опытах с газами (1887 г.). Он исследовал электрический пробой воздушного промежутка между электродами и обнаружил, что при облучении этого промежутка светом пробой настояет при меншем напряжении.

Почему же в школьном курсе физики подробно обсуждается лишь внешний фотоэфект? Ведь при любом фотоэфекте происходит главное квантовое явление — поглощение фотона электроном. Все дело в том, что законы внешнего фотоэфекта достаточно просты и их сравнительно легко изучать экспериментально. При этом количественные характеристики фотоэфекта могут быть найдены как из самых экспериментов по внешнему фотоэфекту, так и неависимыми способами. Поговорим об этом несколько подробнее.

Уравнение Эйнштейна

$$hv = A + \frac{mv^2}{2}$$

содержит две непосредственное изменяемые величины: частоту света $v$ и максимальный кинетический энергию выбиваемых электронов $mv^2/2$. Оптическими методами могут быть созданы лучки света с хорошю извлеченными частотами $v$. Для получения сведеней

51

o вылетающих электронах (количество электронов, выбиваемых за одну секунду, а также максимальная конечная энергия) из исследуемого металла изготовляют катод вакуумной лампы. Так как ток через лампу осуществляется как раз выбиваемый электронами, то из волтамперной характеристики лампы можно получить всю необходимую информацию. В частности, максимальная конечная энергия электронов выражается через задерживающее напряжение $U_3$:

$$\frac{mv^2}{2} = eU_3.$$

Если для различных металлов нанести на график экспериментальные зависимости $eU_3$ от частоты света $v$, то, в соответствии с уравнением Эйнштейна, получается параллельные прямы (см. рис.ок). По наклону этих прямы можно вычислить постоянную Планка $h$, а по точкам пересечения графиков с осами — найти работу выхода $A$ и предельную частоту $v_{\min}$, называемую красной границей фотоэфекта. Как вы знаете, впервые понятие о квантовании энергии ($E = hv$), в также постоянная $h$ был введены М. Планком для объяснения законов теплового излучения. Из теории фотоэфекта получается такое же (с точностью до ошибок эксперимента) значение $h$, что сильно укрепило позиции квантовой теории.

А можно ли другим способом, кроме фотоэфекта, изменить работу выхода? Ответ направляется сам собой — надо как-то по-другому, без обычная светом, заставить электроны покидать вещество. Самое очевидное — нагрева категод, заставить электроны «испарять» с его поверхности. Именено это явление — термоэлектронная эмиссия — используется в электронных лампах — диодах, триодах и т. п. Процесс испускания электронов действительное очень похож на испарение — нарушу могут вылететь только самые быстрые электроны, энергия которых превышает работу выхода.

Для большинства металлов работы выхода имеет порядок нескольких электронов. Много это или мало? Оценим среднюю энергию теплового движения электронов по формуле, которая была получена для однозатомного газа:

$$E = \frac{3}{2}kT.$$

При комнатной температуре ($T \approx 300$ K) эта величина составляет несколько сотых долей электроновoltaica, т. е. в сотни раз меньше, чем работа выхода. Это означает, что количество электронов, которые покидают металл за счет теплового движения, при комнатной температуре очень мало (при изучении фотоэфекта это явление можно не учитывать). Чтобы «испарение» электронов стало заметным процессом, надо нагреть категод до нескольких тиссяч градусов.

Исследуя зависимость числа испускаемых электронов от температуры, можно вычислить работу выхода. Положенные таким способом значения работы выхода хорошо согласуются с предсказаниями теории внешнего фотоэфекта, что является важным независимым подтверждением правильности ее основных положений.

А. И. Черновчан

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 29)

(Диепропетровск) 17; М. Дорожова (п. Черновоговка Московской области) 05—07,13; А. Дунаевский (Москва) 07,13; В. Дядечко (Винница) 03—05,13—17; А. Ефимчик (Минск) 03; А. Жук (Ровно) 03—07,17; В. Журавлев (Донецк) 13; В. Завадский (Минск) 05,12—17; В. Зайцев (Борисоглебск) 05; А. Залеский (Харьков) 05—07,17; Ф. Занин (Старей Оскол) 03,05; С. Зеленский (Семипалатинск) 17; Д. Золотагев (Харьков) 03,13; К. Зуев (Вологда) 03,05,13; А. Зуевов (Донецк) 05; М. Изнатев (Славянск) 13; И. Иопне (Москва) 03; С. Казенас (Алма-Ата) 03—07,13; В. Камчатый (Киев) 03—07,17; М. Капустин (Львов) 05—07,13,17; А. Карпенко (Брест) 05; С. Касамян (Октемберянский р-н АрмССР) 05; Д. Кириллов (Калининград) 05; А. Кожевников (Калуга) 03—05,13; В. Коколин (п. Собино Коми АССР) 13; М. Колпаков (п. Почет Краснойрского кр.) 03—05,13; Д. Комисаренко (Винница) 03,13—17; А. Комник (Старей Оскол) 03—07; В. Кондратев (Калининград) 05; С. Коренов (Васильков) 13; А. Коршков (Мозырь)

(Окончание см. на с. 79)

52

Можно и нельзя

Кандидат физико-математических наук
С. М. ЛЬВОВСКИЙ,
кандидат физико-математических наук
А. Л. ТОOM

Формулировки школьных задач чаще всего начинаются с словами вроде «вычислите» или «найдите». Оdnako в математике очень часто встречаются и задачи, в которых требуется не вычислить что-либо, а выязывать, существует ли объект с заданным свойством. Формулировки таких задач начинаются обычно с словами «можно ли…» или «существует ли…». Ответ на такие вопросы должен быть, естественно, обоснованным. Если мы утверждаем, что нечто сделать можно, то достаточно указать конкретный способ сделать это. Если же мы утверждаем, что чего-то сделать нельзя, то примерми тут уже не обойтись, надо придумывать доказательство. Общего рецепта для такого рода доказательств не существует; в этой статье мы показем вам лишь некоторые из примеров, которые могут при этом использоваться.

Вот первый пример на тему «можно и нельзя».

Задание 1. Для каких натуральных чисел n существует замкнутая ломанная из n звенев, пересекающая каждое свое звеноровно один раз? Все пересечения должны проискать внутри звенев, а не в вершинах; никакие три звена не должны пересекаться в одной точке.

Решение. Прежде всего заметим, что для некоторых n такой ломанной не существует: например, для n=1, n=2, n=3, n=4. С другой стороны, при некоторых n таких ломанную можно найти; например, на рисунке 1 показана нужная ломанная при n=6. Обратим внимание на следующие свойства этой ломаной: ее звеня образуют три пары, причем звеня каждой пары пересекаются друг с другом, а с другими звенями

53

не пересекаются (на рисунке 1 каждая пара звеньев начерчена своим цветом). Это свойство вытекает из самого условия задачи: если какая-то ломанная пересекает каждое свое звеноровно один раз, то каждое звено образует пару с пересекающим его звеном. Но, чтобы звенья могли разбится на пары, их число обязано быть четным. Итак, мы доказали, что для нечетных $n$ требуемой ломанной не существует. Оказывается, что для всех четырех ломанные существуют. Придумайте сами общий способ построения такой ломанной для каждой четверго $n \geq 6$. Вам помогет в этом рисунок 2.

Задача 2. Существует ли такое натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 4 — четвертой степени целого числа?

Решение. Давайте предположим, что такое число $m$ существует, и разложим его на простые множители. Собственно, из его простых множителей нас интересют только двойки; поэтому мы запишем:

$$m = 2^k \cdot p,$$

где $p$ нечетно. Согласно первому условию число

$$2m = 2^{k+1} \cdot p$$

квадрат целого числа, откуда $k+1$ четно, а потом $k$ нечетно. Согласно второму условию число

$$4m = 2^{k+2} \cdot p$$

четвертая степень целого числа, откуда $k+2$ делится на 4. Но если $k$ нечетно, то и $k+2$ нечетно, и потом не может делиться на 4. Полученное противоречие показывает, что исключого числа не существует.

Рис. 1.

Задача 3. Какое наиболее количество точек можно расположить в квадрате со стороны 1 так, чтобы все расстояния между этих точками были не меньше 0,5? («В квадрате》 означает «внутри квадрата или на его границе»).

Эта задача тоже из серии задач «можно или нельзя». Ее решение должно состоять из двух частей: доказательства того, что столько точек расположить требуемым образом можно, и того, что большего количество точек расположить уже нельзя. Нетрудно понять, как расположить требуемым образом девятый точек; одну точку поставить в центре квадрата, четыре — в вершинах и еще четыре — в серединах сторона (рис. 3, а). Возникает предположение, что больше чем девятый точек требуемым образом расположить нельзя. Как это доказывается? Весьма привлекательно выгляделит, например, такой путь доказательства: рассмотреть вышеуказанную расстояние девяты точек (в центре, вершинах и серединах сторона) и поставаться после этого установлен, что еще одна точка, добавленная к этим.devятии, будет находиться на расстоянии, меньше 0,5, от хотя бы одной из первых.devятии. Это утверждение совершено верно (например, потому, что круги радиусом 0,5 с центрами в первых.devятии точках покрывают весь квадрат — рис. 3, б), но, к сожалению, оно не дает решения нашей задачи. В самом деле, откуда уверенность, что единственный способ требуемого расположения.devяты точек — это рисунок 3, а? Вдруг.devяты точек удаться расположить как-то по-другому, да так, что к ним можно будет добавить еще и десятию?

54

Рис. 3.

Чтобы доказать, что больше девяты точек расположить в квадрат требуемым образом нельзя, воспользоваться вот каким приемом. Разобъем наш квадрат на 9 равных квадратков состоями 1/3 (рис. 4). Если в большом квадрате расположено больше девяты точек, то хотя бы две из них попадут в один и тот же маленький квадратик. Расстояние между любыми двумя точками квадрата не превыходит, очевидно, длины диагонали этого квадрата. Но диагональ квадрата со стороны 1/3 равна $\sqrt{2/3} \leq 0.5$. Значит, более девяты точек расположить требуемым образом невозможно, и ответ к задаче 2 — это де вять точек.

Соображение, который мы воспользовались при решении задачи 2: «если более чем 9 точек распределить по 9 квадраткам, то хотя бы две из этих точек попадут в один квадратик» — часто называют «прииципом Дирихле» в честь заменительного немецкого математика П. Г. Дирихле (1805—1859).

В задачах 2 и 3 утверждение о существовании доказываюсь построением конкретного примера. В задаче 4 приходит действовать по-иному.

Задача 4. Последовательность чисел строится следующим образом. Первое число в ней равно двум. Каждый следующее число равно сумме десятих степеней цифр предыдущего числа. Доказите, что в этой последовательности встречается два одинаковых числа.

Посмотрим, что за числа получится в этой последовательности. Второе число равно $2^{10}=1024$. Третье число равно $1^{10}+2^{10}+4^{10}=1+1024+1024^2=1049601$.

Четвертое число уже так велико, что становится ясно: «вручную» мы двух одинаковых чисел не найдем. Более того, возникает сомнение, верно ли вообще то, что нас просто доказать? На первый взгляд, числа быстро растут, и повторов не предвидится. Однако не будем спешить с выводами; вместо точных вычислений наших чисел посмотрим, сколько цифр может быть в их записи.

Четвертое число равно $1^{10}+4^{10}+9^{10}+6^{10}+1^{10}$, а это меньше, чем $10^{10}+10^{10}+10^{10}+10^{10}=5 \cdot 10^{10}$. Однако $5 \cdot 10^{10}$ — одинаковатизначное число (это пятерка с десятью нулями); значит, в четвертом числе не более одинаковати цифр. Пятое число — это сумма десятих степеней цифр четырого числа. Каждый из этих десятих степеней меньше чем $10^{10}$, всего цифр не больше 11, значит, пятое число меньше, чем двенадцатизначное число $11 \cdot 10^{10}$. Стало бы пять, пятое число содержит не более 12 цифр. Рассуждая аналогично, получаем, что шестое число меньше $12 \cdot 10^{10}$, и стало бы, опять имеет не более 12 цифр. Поэтому то же рассужждение, получаем, что в записи седьмого, восмого и вообще всех последующих чисел нашей последовательности содержится не более 12 цифр. Поскольку чисел, в записи которых содержится не более 12 цифр, конечное число, у нас не смогут все получаться числа, отличные от прежних, и когда-нибудь встретиется два одинаковых числа.

В заключение предлагаем вам задачи для самостоятельного решения (задачи 1—12 составляют задание для

55

семиклассиков, железших поступить во Всесоюзную заочную математическую шкалу — рассказ об этой школе см. на с. 65).

Задчич

1. Имеются три раствора. Первый из них содержит 2 % вещества A и 3 % вещества B. Второй раствор содержит 5 % вещества A и 7 % вещества B. Третьий раствор содержит 11 % вещества A и 12,5 % вещества B.

Можно ли смешать эти растворы в такой пропорции, чтобы полученная смесь содержала 7,5 % вещества A и 7 % вещества B?

2. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 написаны подряд. Можно ли так растворить скобки и знаки математических действий, чтобы получилось выражение, равное нулю?

3. Пионер Сережа придумал такой признак делимости на 27: если сумма цифр числа делится на 27, то и само число делится на 27. Верен ли этот признак?

4. Можно ли разрезать квадрат на 1989 квадратников (не обязательно равных)?

5. Число 1989 возвели в куб и к результату прибавили 3; полученное число опять возвели в куб и к результату прибавили 3; полученное число опять возвели в куб, к результату опять прибавили 3 и т. д. Получалась последовательность чисел, каждое из которых на 3 больше куба предыдущого. может ли в ней встретиться число, окачивающееся на 8?

6. Существует ли такое натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, после умножения на 3 — кубом, после умножения на 5 — пятой, а после умножения на 7 — седьмой степень целого числа?

7. Существует ли такое патиизначное число, что сумма цифр делится на 13 и сумма цифр числа, на единицу большего, также делится на 13? Если нет — докажите, если да — перечислите все такие числа.

8. Простим числом называется натуральное число, большее 2 и не имеющее делитель, кроме самого себя и 1. Требуется в каждую клетку квадратной таблицы размером 4×4 клетки висать по простому числу таким образом, чтобы в каждой строке и каждом столце произведение чисел равнялось 1989. Можно ли это сделать?

9. Можно ли так растворить числа в клетках прямогольной таблицы, чтобы произведение чисел в каждой строке равнялось двум, а произведение чисел в каждой столце равнялось три?

10. Можно ли пять различных примых на плоскости раположить таким образом, чтобы каждая из них пересекаларовно три другие?

11. Расстояние между пунктами A и B — пятьдесят километров. В полдень из пункта A в пункт B отправились трое друзей. Пешком каждой из них идет со скоростью 5 км/ч. В их распоряжении есть дорогный велосипед, на котором можно ехать со скоростью 10 км/ч, и гоночный велосипед, на котором можно ехать со скоростью 20 км/ч. На каждом велосипеде помещается только один человек; велосипеды можно оставлять на дороге без пристма. Успеют ли все трое, полдзуясь только этими двумя велосипедами, добавляется по пункта B к шести часов вечера?

12. Можно ли расположить на плоскости 7 точки таким образом, чтобы среды любых трех из них нашлись хотя бы две, расположенные на расстоянии 1 см?

13. В футбольном турине участвовал 10 команд; каждая сыграла с каждой по одному матчу. Согласно опубликованным итогам турира, команда, заняшая седьмое место, набрала 11 очков, команда, заняшая воьмое место, набрала 6 очков, а команда, оказавшая на последнем месте, набрала 4 очка. Могло ли так быть? (За победом команда получает 2 очка, за ничью — 1 очко, за порожжение — 0 очков. При равенстве набранных очков учитывается количество забитых и пропущенных мячей.)

14. Послеовательность, состоящая из сорока чисел, строится следующим образом. Первое число равно нулю, второе равно единице. Каждый число, кроме первого и второго, равно сумме каких-то двух из предшествующих чисел. может ли в такой последовательности встретиться член, равный миллиону?

15. Сколько кругов радиусом 1 нужно взять, чтобы покрыть им квадрат со стороны 2?

16. Требуется перевести несколько кусков мрамора общей массой 14 т. Точная масса каждой куска неизвестно, что масса каждой не более 400 кг. Сколько машин грузоподъемностью в 1500 кг надо зааказать, чтобы заведено можно было увеличить этот груз?

17. В стране Миггов из любого города в любой можно проехать по одной-единственной дороге. При дороги проходят через 4 города каждой, две дороги проходят через 3 города каждой, а на каждой из остальных дорог лежит по 2 города. Девочка Элли расскажа, что всего в этой стране 11 городов и 35 дорог. Докажите, что она ошиблась в подсчетах.

18. Круг разбит на n одинаковых секторов, в каждой из которых стоит по шашке. За один ход можно сделать следующие: взять любые шашки и переставить их: одну — в соседней сектор по часов стрелке, другую — в соседней сектор против часов стрелки. При каких n можно с помощью таких ходов собрать все шашки в одном секторе?

19. Квадрат со стороны 1 м выкапли в две краски. Докажите, что найдет три точки одного цвета, являющихся вершинами равностороннего треугольника со стороны не менее 30 см.

56

XXIX
Международная математическая олимпида

Кандидат физико-mатематических наук
В. В. ВАВИЛОВ,
кандидат физико-mатематических наук
А. А. ФОМИН

XXIX Международная математическая олимпида проходила с 9 по 21 июля 1988 года в Австралии в Сиднее и Канберре и являлась частью государственной программы, посвященной празднованию 200-летия образования Австралиского Союза.

Безусловно, все мы очень ждали этой олимпиды и штастельно к ней готовились в течение всего года. Наш страну представляли Сергей Берлов, Сергей Иванов, Николай Филонов, Юрий Хохлов (все четвero — из Ленинграда), Дмитрий Иванов (г. Долгопрудный Московской области), Дмитрий Туляков (г. Жданов). Сергей и Дмитрий Ивановы сейчас участвовали в десятом классе и имеют реальные шансы быть включеными в состав команды СССР на XXX олимпиде, которая состоит в ФРГ в 1989 году; кроме того, для Сергей Иванова олимпида в Австралии была уже второй Международной олимпидой, и в обеих он добавляя заменательных результатов. Руководители учебнотренировочных сборов команды и команды на самом олимпиде были авторы настоящего статьи. Большую помощь в подготовке команды оказали члены редколлегии журнала «Квант».

На торжественной открытии олимпиды член Парламента Австралиского Союза министр занятости, образования и обучения Джон Доунис сказал: «Участие в этом важном международном событии показывает, можно добиться, когда страны со всего мира объединяются с целью представления благоприятных условий для образования молодых людей… Своим участием в этой олимпиде вы утверждаете главные принципы, входящие в основу образования системы во всем мире: принцип стремления к совершенству во всех наших делах; принцип сотрудничества как в классной комнате, так и во всех сферах рабочей жизни; и простой, но такой важный, принцип трудолюбия…»

В XXIX ММО приняло участиеrekордное число стран — 58, из них50 странах представлены командами школьников, а 8 страан — только наблюдаемми. Олимпида прошла на очень высоком научном и организационном уровне. Ее успешно способствовала большая подготовительная работа, которую возглавляли премьер-ministerр Австралии Роберт Хоук, министр занятости, образования и обучения Джон Доунис, председент Академии наук Девид Кэртис, директор Канберского колледжа высшего образования Роджер Скотт, председатель юрисвобийского общественного учитель математики Патрик Костелло, директор фирмы IBM-Австралия Брейн Финн и многоге другие.

Международные олимпиды проходят по сложившейся традиции в дватура, в каждом из которых предлагается по три задачи. На тур ответится 4,5 часа работы времени, и каждая задача (независимо от ее сложности) оценивается в 7 баллов.

Задание XXIX ММО
1 (Люксембург). На плоскости даны две окружности с общим центром, радиусы которых соответствовали равны r и R, r<R. Пусть P — фиксированная точка на маленькой окружности и B — переменная точка на большей окружности. Примяя BP пересекает второй раз большую окружность в точке C. Перпендикуляр l к прямой BC, проходящий

57

Через точку $P$, пересекает второй раз маленькую окружность в точке $A$ (в случае, когда $l$ — касательная к окружности, считаем, что $A=P$).

1. Найдите множество значений выражения $BC^2+CA^2+AB^2$.

2. Найдите множество точки, являющихся серединами отрезков $AB$.

2 (Чехословакия). Пусть $n$ — натуральное число и $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ — подмножества некоторого множества $B$. Предположим, что $a)$ каждое множество $A_i(i=1, 2, \dots, 2n+1)$ содержитровно $2n$ элементов;

$b)$ каждое множество $A_i \cap A_j(1 \leq i < j \leq 2n+1)$ содержитровно один элемент;

$c)$ любой элемент множества $B$ принимает не менее чем двум из множества $A_i(i=1, 2, \dots, 2n+1)$.

Для каких значений $n$ можно поставить в соответствии каждому элементу множества $B$ одно из чисел 0 или 1 так, чтобы каждое из множества $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ содержало бы равно $n$ элементов соответствующих числу нуля?

3 (Англия). Функция $f$ определяна на множество целых положительных чисел и удовлетворяет следующим условиям:

$$f(1)=1, f(3)=3, f(2n)=f(n),$$
$$f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n),$$
$$f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n).$$

Найдите число всех таких значений $n$, $1 \leq n \leq 1988$, для которых $f(n)=n$.

4 (Ирландия). Докажите, что множество решений неравенства

$$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$$

является объединением непересекающихся промежутков, сумма длины которых равна 1988.

5 (Греция). Пусть $AD$ — высота в прямомугольном треугольнике $ABC, <A=90^\circ$. Примая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $ACD$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $K$ и $L$. Докажите, что

$$S_{ABC} \geq 2S_{AKL}.$$

6 (ФРГ). Пусть $a$ и $b$ — такие целые положительные числа, что $a^2+b^2$ делится на $ab+1$ без остатка. Докажите, что $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ является квадратом целого числа.

Коротко расскажем о том, как производится подбор задач для оптимизации, формируется и работает жюри ММО. Каждый стране-участница предоставляется возможность предложить не более 6 задач с полными решениями, которые, по возможности, должны охватывать различные разделы школьного курса математики и иметь разную степень трудности. Из всех поступивших на конкурс задач специальная комиссия страны, проводящей оптимизацию, отбирает, как правило, 20—30 задач для дальней

58

нейшего обсуждения на засеединях жюри. В жюри MMO входят научные руководители всех стран-участниц, а также представлены жюри и его меститель, назначенные организациями. Все вопросы на засеединях жюри решаются простым большинством голосов. Набольшие дискусии в жюри возникют при оценке сложности задач. Наболее типичен здесь пример с задачи по стереометрии — большиство стран не желает включать такие задачи в окончательный список задач олимпиды.

Из 275 школьников, участвовших в MMO, примерно пользовна была нагradлена золотыми, серебрными или бронзовыми медалями (приблизительно в отношении 1:2:3). В команде СССР золотыми медалями нагradены Н. Филонов (42), С. Иванов (41), Д. Туляков (37) и Д. Иванов (36), а серебрными медалями нагradены Ю. Хохлов (31) и С. Берлов (30); вскобках указано набранное участиками число баллов (из 42 возможных).

В неофициальном (как и на спортивных олимпидах) командном зачете команда СССР заняла первое место (217 баллов из 252 возможных). Далее следуют: Китай (201), Румыния (201), ФРГ (174), Вьетнам (166), США (153), ГДР (145), Болгария (144), Франция (128), Канада (124). Отметим особо, что команды Болгарии и ГДР выступали неполными составами — по 5 школьников. Команда Австралии набрала 110 баллов, один из участников Теренс Тао завоевал золотую медаль (34 балла) и один — Джефри Байлей (20 баллов) — серебрную. Теренс Тао третий раз выстает в составе сборной страны — в прошлом году на Кубе он завоевал серебрную медаль, а в 1986 г. в Варшаве — бронзовый. А самое главное, что в период проведения олимпиды этого года ему исполнили только 13 лет и во время обеда все участики MMO устроили ему громкую овощью, выразив тем самым ему свое восхитение и уважение.

Matематические совершения проходили в два дня, а все остальные дни пребывания были посвящены знакомству со страной, ее достопримечательности, культурой и искусством, природой, простой простой и хорошо организованному отдельному, спортивным мероприятиям и взаимному общею членов различных команд. О внестельных от экскурсии, о возникших в период олимпиды знакомствах, перевернутом месте и созведении Южный Крест, олевостороннем движении, о кенгуру, коала — маленьком медвежонке размером с подушку, какаду, летучих белках и т. д. и т. д. можно расссказать до бесконечности…

Мы закончим свой рассказыми из речи премьер-minистра Австралии Робerta Хоука на очень торжественной и трогательной церемонии закрытия XXIX МMO: «В таких областях, как спор и искусство, имеется много возможностей для поощрения и раннего открытия талантов, но на интеллектуальном поррице это наблюдается реже. Настоящая Олимпида представляет как раз такую возможность, причем на том поррице, где стремление к совершенству является предельно важным не только для конкретных лиц, но и для стран в целом. Поощрение совершенства в математике может только способствовать промышленному и экономическому развитию, что, в свою очередь, может привести к лучшей жизни для людей всех наших стран…

Несмотря на всю важность самого математического совершения, я считаю, что культурный обмен, просуществший здесь, является не менее важным. Я надеюсь, что вы будете поддерживать этиружетенные связи и после того, как покинете Канберру, что вы употребите свои таланты на благо вашего Родины и всего мира, равно как и для личного удовлетворения и осуществления жизни человека…

Присоединись к этим словам, пожелаем членам советской команды больших творческих успехов, крепкого здоровья, большого трудолюбия и целеустремленности в их дальнейшей жизни.

59

ХIX
Международная физическая олимпиада

Доктор педагогических наук
О. Ф. КАБАРДИН,
кандидат педагогических наук
В. А. ОРЛОВ

В этом году Международная физическая олимпиада школьников проходила с 23 июня по 2 июля в городе Бад-Ишль (Австрия). Число страниц олимпиады ежедневно увеличивается (в этом году — на две страны). В Австрийю приехали школьники из 27 стран: Австралии, Австралии, Белгии, Болгарии, Великобритания, Венгрии, Ветнамма, ГДР, Исландии, Италии, Канады, Кипра, Китая, Колумбии, Кубы, Кувета, Индерландов, Норвегии, Польщи, Румынии, СССР, США, Финляндии, ФРГ, Чехословакии, Швеции, Югославии.

В проведении олимпиады приняли участие представитель ЮНЕСКО и корреспонденты журналов для школьников из Белгии, Великобритании, Венгрии, Югославии, Чехословакии. Жаль, что на олимпиаде не оказалось представителя журнала «Квант».*

В команду СССР, по итогам выступления на Всесоюзных олимпиадах и по результатам зимних и летних сборов, вошли:

Юрий Кравченко — выпускник с.ш. № 820 г. Москвы,
Александр Мазуренко — выпускник с.ш. № 50 г. Минска,
Антон Малкин — выпускник с.ш. № 30 г. Ленинграда,
Вадим Мороз — выпускник ФМШ № 45 г. Ленинграда,
Константин Пененен — выпускник с.ш. № 63 г. Одессы.

*) Редакция тоже сохраняет об этом. Остается надеяться, что наше сожаление разделяет и недавно созданный Государственный комитет СССР по народному образованию. (Примеч. ped.).

Заметим также, что все участники летнего сбора, включая также Дмитрия Головина — выпускника с.ш. № 29 г. Тамбова, Сергея Панафидина — выпускника с.ш. № 30 г. Ленинграда и Алексея Пушкинна — выпускника с.ш. № 57 г. Москвы, зачислены без экзаменов в выбранные имы вузы — МФТИ, МГУ, ЛГУ.

Руководители команды были авторы этой статьи — научные сотрудники Научно-исследовательского института содержания и методов обучения АПН СССР.

Торжественное открытие олимпиады состоялось в здании Высшей школе подготовки кадров в области туризма. Школьников привелствовали директор этой школи магистр Р. Гинзел, бургомистр г. Бад-Ишль К. Саллер, представитель Международной комиссии профессор Венского Технического университета П. Сkalицкий, заведующий секцией Министерства просвещения, искусства и спорта магистр Л. Лейтнер. Профессор Венского университета Р. Доброземский прочитал яркий доклад на тему «Физика в Австралии», из которого ясно следовал, что Австралия подарила миру не только блестиших художников, музыкантов, позтов, но и не менее блестиших ученых-физиков: Х. Доплера, И. Лошмидта, Л. Больцмана, В. Геcca, Э. Шредингера, В. Паули, Э. Маха («конус Маха» был использован в качестве эмблемы олимпиады).

Соревнования проходили, как всегда, в два тура. На теоретическом туре школьникам были предложены три задачи, на эксperиментальном — две задачи (на выполнение заданной каждой тура давалось 5 часов). Вот условия этих задач.

Teoretическая тур

Задача 1. Определение скорости при помощи эффективда.

Процессы излучения и поглощения фотонов обратимы, поэтому вселд за процессом поглощения фотона atomом может наблюдаться его спонтанное излучение (флуоресценция). Это явление используется в современных методах обнаружения и идентификации частиц, а также для спектросоппения скоростей atomных частиц.

В идеальной экспериментальной установке (рис. 1) движутся частицы (однократно инизированныеоны) со скоростью v против луча

60

Рис. 1.
лазера с изменяемой длиной волны $\lambda$. Покоящие частицы ($v=0$) могут быть возбуждены излучением с длиной волны $\lambda_0=600$ nm. Движения частицы, в соответствии с принципом Доплера, возбуждаются излучением с другой частиотой, поэтому для их возбуждения лазер должен настраивать на другую длину волны $\lambda(v)$. Спектр скоростей ионов в диапазоне от $v_1=0$ до $v_2=6000$ м/c приведен на рисунке 2.

1. Используя классический эффект Доплера, определяте, в каком диапазоне длиной волны должны находиться излучение лазера для возбуждения всех частиц. Представьте качественное распределение числа поглощаемых фотонов в зависимости от длины волны лазера.

Волlee строгий расчет требует применения релятивистской формулы

$$v' = v \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}.$$

Оцените погрешность при использовании классического приближения.

2. Пусть ионы перед их возбуждениемускоряются электрическим полем с напряжением $U$. Какова количество зависящим ширины спектра скоростей $\Delta v$ от ускоряющего напряжения $U$? Увеличивается или уменьшается ширина спектра скоростей частиц в результате их ускорения?

3. Ион с отношением заряда к массе $e/m = 4 \cdot 10^6$ Кл/кг имеет две длины волны возбуждения $\lambda_1=600$ nm и $\lambda_2=\lambda_1+10^{-3}$ nm. Покажите, что два интеграла длиной волны спектра лазера при возбуждении всех ионов перекрываются. Возможно ли разделение спектров возбуждения двух уровней в результате ускорения ионов в электрическом поле с разностью потенциальов $U$? Если да, то определите минимальное значение напряжения.

Задание 2. Диск Максвелла
Однородный цилиндрический диск (масса $M=0,40$ кг, радиус $R=0,060$ м, толщина $d=0,010$ м) подвешен на двух прикрепленных к его оси (радиуса $r$) нитях одинаковой длины. Массой и толщиной нитей, а также массой оси можно преобразить. Поддяв центр тяжести диска, наматыванием нитей, на высоту $H=1,0$ м, дают диск возможность опускаться (рис. 3). Доступный самого нижнего положения, диск опять начинает подниматься. Ответьте на следующие вопросы, предполагая для упрощения, что точка $A$ всегда находится на одной вертикали с точкой $P$ (рис. 4).

1. Какую угловую скорость развивается диск

Рис. 2.
после прохождения его центром тяжести пути $s$?

2. Какую кинетическая энергия поступательного движения имеет диск после прохождения его центром тяжести пути $s=0,50$ м? В каком соответствии находится эта энергия с другими видами энергии, если радиус оси $r=0,0030$ м?

3. Какова сила натяжения каждой из двух нитей во время опускания диска?

4. Найдите угловую скорость диска во время его подъема как функцию угла поворота $\varphi$ (рис. 5). Установите, по меньшей мере качественно, компоненты перемещения и скорости центра тяжести диска в декартовой системе координат как функцию угла $\varphi$.

5. Минимальное значение силы натяжения, при которой нить разрывается, равно $T_{\min}=10$ Н. Какова максимальная высота опускания диска, при которой нить во время подъема диска еще не разорвется?

Задание 3. Процесс рекомбинации в газовом разряде
В высокотемпературной плазме газового разряда находится $(Z-1)$-кратно инизированные ноты атомов, содержащих $Z$ протонов в ядре. Обозначим такие атомы $A^{(Z-1)}$.

1. Рассмотрим случай, когда единственный электрон в атоме $A^{(Z-1)}$ находится в основном состоянии. В этом состоянии средний квадрат расстояния $r_0^2$ электрон от ядра определям как сумму квадратов неопределенностей его координат $(\Delta x)^2, (\Delta y)^2$ и $(\Delta z)^2$. Средний квадрат импульса $P_0^2$ электрон определям как сумму квадратов неопределенностей проекций импульса на координаты оси $(\Delta P_x)^2, (\Delta P_y)^2$ и $(\Delta P_z)^2$. Какому неравенству удовлетворяет произведение $(P_0^2) \cdot (r_0^2)$?

2. Ион $A^{(Z-1)}$ может захватить второй электрон и при этом испустить фoton. Запишите уравнения, определяющие частоту этого излучения. (Вычисленный частотный произведение не нужно.)

3. Вычислите внутреннюю энергию $A^{(-1)}$, исходя из того факта, что в основном состоянии она имеет минимальное значение. Примите при этом следующие приближения: a) использует в выражении для потенциальной энергии электрон значение $r=r_0$ из вопроса 1; b) использует в выражении для кинетической энергии средний квадрат импульса $P_0^2$ из приближенияного равенства $(P_0^2) \cdot (r^2)=\hbar^2$.

4. Вычислите аналогичным образом энергию системы $A^{(-2)}$, возникшей в результате re