Квант 1989, №2 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-mатематический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

153
физико-математический журнал
Научно-популярный

$S_l \cdot R_o^a \cdot T_a$

1989

1

В номере:

2 Наш круглый стол
6 А. В. Сосинский. Косы и узлы
16 П. В. Влиох. Глобальные резонансы
23 А. С. Штейнберг. Правило фаз Гибса
30 И. Ф. Акулич. Бурсацкое развлечение

Задачник «Кванта»
34 Задачи M1146—M1150, Ф1153—Ф1157
35 Решения задач M1121—M1124, Ф1133—Ф1136

Калейдоскоп «Кванта»

Р — значит ракета
45 «Союз» открывает Турипр

«Квант» для младших школьников
46 Задачи
47 С. В. Дворянинов, А. П. Савин. Арифметика песочных часов

Школа в «Кванте»
Matematika 8—10:
50 Э. Г. Готман. Геометрические преобразования.
Часть I: Движения
54 Избранные школьные задачи

Лаборатория «Кванта»
55 Я. Е. Амстиславский. Рефрактометр для домашней лаборатории
60 Д. Д. Христозов. Лазерный.refрактометр

Практикум абитуриента
62 А. Р. Зильберман. Статика

Варианты вступительных экзаменов

Ответы, указания, решения
Нам пишут (14, 72)
Информация (29, 80)

Наша обложка
1 Обложка «Кванта» после применения композиции движений (см. статью «Геометрические преобразования»).
2 Репродукция картины испанского живописца С. Дали «Солнечный стол» (1936). Что это — мираж? игра воображения? запечатленные ассоциации? Это — тайна художника. А с точки зреня физики отдельные элементы картины можно рассматривать как纵острации законов оптики, в частности — закона преломления света (читайте статьи раздела «Лаборатория «Кванта»»).
3 Шахматная страница.
4 Головоломка из коллекции известных собирателей головоломок Дж. Слокума и Дж. Ботермана.

© Издательство «Нука».
Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1989

2

НАШ КРУГЛЫЙ СТОЛ

25 лет назад по инциативе ведущих ученых страны академиков А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, П. С. Александрова, И. К. Кикона и М. А. Лаврентьева были созданы специальизированные физико-mатематические школи-интернаты в Москве, Ленинграде, Киеве и Новосибирске. Задача этим школа была поставлена так: школьникам, живущим вдалеке от научных центров, предоставить те же возможности вывяжения в научку, что и ученикам университетских городов.

Недавно в нашей редакции состоялась встреча, посвященная двадцатилетию физико-mатематической школи-интерната при МГУ. Представляем ее участников: Д. Л. Абаров — директор школи, В. В. Василов — доцент МГУ, член редакlerin «Кванта», В. Н. Дубровский — преподаватель школи-интерната при МГУ, член редакlerin «Кванта», А. А. Егоров — научный сотрудник АПН СССР, преподаватель школи-интерната при МГУ, О. Н. Найда — быстроизвольный научный школ, ныне научный работник, кандидат физико-mатематических наук, А. В. Сосинский — доцент МИЭМ, член редакlerin «Кванта», Г. Ш. Фридман — доцент Омского государственного университета, выпускник ФМШ при НГУ.

Д. Л. Абаров. Главный результат работы любой школи — это выпускники. Наш интернат за 25 лет существования выпускил более 4000 человек. Практические все они поступили вузы (главным образом, в МГУ и МФТИ), многие закономили аспирантуру, зашитыли диссертации.

Среди наших выпускников — более 400 кандидатов и 20 докторов наук, есть лауреаты Ленинской и Государственной премии, премий Совета Министров СССР и Ленинского комсомола.

Наш выпускник Ю. А. Матиясевич решил 10-ю проблему Гильберта, выдающей работы выполнены А. Н. Варченко, Е. В. Шепиным, И. М. Кричевером, В. В. Никулиным и др. Сейчас максимальный возраст выпускников — 43 года, они успешно работают в различных научных институтах, вычислительных центрах, учебных заведений.

Среди преподавателей интерната 25 кандидатов и 3 доктора наук. Это позволяет вести учебные курсы нестандарто, развивать и поддерживать интерес к науке. Нас радют успехи наших учеников на оптимизации всех уровней — от Московских до международных.

Еще в 60-е годы появился традиция: выпускники интерната, став студентами, возвращались в школе преподаватель. Невозможно перечислять всех. Назову лишь А. П. Веселова, В. Н. Дубровского, А. Н. Дранишникова, Б. М. Ивлева, Т. Н. Трушанину, Е. В. Шепина — это ведущее преподаватель, давно и творческий работающее в интернате.

О. Н. Найда. В 1962—63 годах по поручению комитета комсомола физика МГУ я помогал И. К. Кикону в его работе со школьниками. Буквално на моих глазах весной 1963 года И. К. Кикон составил письмо в адрес правительства с предложением открыть в Москве интернат, аналогичный новосибирскому, который уже работал в то время благодарим инциативе М. А. Лаврентьева. Письмо подписали ректор МГУ И. Г. Петровский,резидент АН СССР М. В. Келдыш, а также руководители выпускных школ, просвещения и ведущих отражений промышленности. Результатом их настоящности было постановление Совета Министров СССР об организации школи-интернатов при Киевском, Ленинградском, Московском и Новосибирском университетах.

Потом была огромная работа по проведению первого набора в школе. Первые 19 учеников (11-й класс) были набраны из числа победителей III Всеросский математический Olympiadы. Их пригласили в Летнюшку в Красновидово под Можайском,

3

где с ним непосредственно занимаются А. Н. Колмогоров со своим помощниками. Последней школь все они были зачислены в интернат:

У меня сохранилась до сих пор контрольная работа Гены Архипова. Сейчас он — доктор физико-mатематических наук, известный специалист по теории чисел. Он всегда был влюблен в математике, а сколько выдуми и остроумя проявил, решая эту контрольную по физике!

Наш интернат начал работать в декабря 1963 года. Нado было видеть, с каким интересом ребята проводили лабораторные работы, изготовляли счетчики космических лучей — еще бы — при проведе части загорались лампочки. Отромным успехом пользовались курсы теоретической физики. Хочется пожелать нынешним учительам и ученикам такой же веселой работы, как это было в первые годы.

А. Б. Сосинский. Я начал работать в интернат в 1964 году одновременно с таким замечательными математиками как В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, В. М. Тихомиров, Д. Б. Фукс и др. — одно их присутствие в школе задавалорезвычайно высокий уровень преподавания. Очень любили и ребята, и педагоги одного из лучших учитель-математиков Москвы А. А. Шершевского. Большую роль в становлении интерната сыграли и более молодые математики, работавшие там в первые годы его существования: Е. В. Гайдуков, Д. И. Гордеев, А. А. Егоров, Ю. А. Ильяшенко, И. Г. Журбенко, А. С. Мишенко, В. А. Скворцов. Чрезвычайно интересно и живо была поставлена физика. Занятия вели молоды преподаватели, аспираты и студенты физика МГУ и МФТИ. Первый директор интерната П. А. Кузнецов очень много сделал за свое непродолжительное директорство (через год с небольшим он перешел работу директором в другую школе). Его сменила Р. А. Острая — фронтовик, историк по специальности (Ранса Аркадьевна окончила Институт физофини, литературы и искусства), человек велико-лепно образованный, интеллектный в самом высоком смысле этого слова. Она сразу попала и приняла идею создателей шкoles: в интернате следует приобретать не только к точным наукам, но и к культурным ценностям.

При оборе предодаателей Андрей Николаевич Колмогоров считал важным не только знание математики или физики, но научанность, понимание музыки, истории, некоторые спортивные науки. Не зря ФМШ иногда расшифровывает как «футбольно-mатематическая школа» — имеются в виду горяние поedinки между командами учеников и учитель по футболу, баскетболу, волейболу и другие соревнования.

Коллектив предодаателей perвых лет — люди не намного старше своих учеников — сумел вовлечь питания в интересную интенсивную интеллектуальную жизнь. Устраивались музыкальные вечера, коллективные чтения Пастернака, Булгакова, Хлебникова, Заболцкого, Ахматовой.

Об этом периоде интерната можно сказать славами из замечательного стихотворения «19 октября» известного сейчас позта-барда Ю. Кима, предодаавшего в интернате литературу и историю. Там есть такие строки:

Под твоей бессертной сенью
Научиться бы волне
Везозладному веселю,
Вескористному доверю,
Вольнодумной глубине…

Однако многим пришлось не по душе «безоглядное веселое», вызывало недоверие «бескорbstное доверье» и ужсовсем отравительной казалась «вольнодумная глубина». В 70-e года развитие интерната пошло не в ту сторону. Он все больше превращался в нечто вроде подготовительных курсов для школьников из провинции, причем все большеную роль при поступлении в интернат играло социальное происхождение, а не настоящие способности к науке, так что с 70-х годов наблюдалось падение научной интенсивности жизни интерната.

Сейчас в интернат пришли новые люди, и верится, что интернат — это замечательное явление нашей культуры.

4

А. Н. Колмогоров считает лекцию.

ры — вернется к своей истинно просветительской деятельности.

А. А. Егоров. Я работаю в интернате с конца 1963 года — с момента его открытия, так что вся история школи у меня в памяты.

Интернат осуществлял и осуществляет идео его создателя А. Н. Колмогова: дать возможность одаренному школьнику как можно раньше (начиная с младших курсов университета) включиться в научную работу. Таким образом, главная задача преодавания — это развитие устойчивого интереса, даже потребности к самостоятельным исследованием, творчеству. Мы показываем ученикам различных подходы к задачам, учит смотреть на проблему с разных сторон. К сожалению, часто в школах математику преодают так, как в армии учат «Устав», и к нам иногда приходят ребята, хотя и способные, но уже заторможенные своим школьными учительами. Растормозить их, заставить их мозги работать, научить учиться и привить вкус к учению — вот, что мы стремимся сделать.

Д. Л. Абраров. Я прошел путь от ученика (окончил интернат в 1977 году) до директора школи. Годы пребывания в интернате запомнились мне на всю жизнь ученьем и интересным бытьом. Я благодарен преподавателем, поддерживающим и развивающим наш интерес к математике и физике. В нашем классе решались задачи, предлагаемые Научным обществом учащихся. Очень трудные, исследовательские задачи, порой проблемы. Каждый ученик мог пытаться их решать. На кникух бывалое желание ответиться и отспаться, но очень скоро в руках оказалась книга, и дни отдельных проходили в самостоятельных занятиях. Такие трудные книги, как книга Колмогорова и Фомина «Элементы теории функций и функционирования анализа», дополнительно подогревали интерес своей непонятностью. Увлеченное делали матрификум (порой нас по новам разогоняли джурные преодаватели, когда мы решали задачи, забившись в какой-нибудь украмный уголок). Это, впрочем, и сейчас есть.

В. В. Вавилов. Дмитрий Леонардович Абраров упомянул замечательный учебный предмет — математический практику. В комнате, где мы сейчас беседуем, есть стенд со всеми вышедшими до середины него дня номерами «Кванта». Так вот, я вижу по меньшей мере 7 обложек, на которых изображены картины, выполеные школьниками при подготовке заданий по практикуму. Что же он представляет собой? Приблизительно один раз в месяц в интернате читателя лекции, а затем вывешиваются задания по практикуму. Выполняя задания, школьники должны освить теории, произвести расчеты и выполнить графическое часть работы. Задания эти уникальные, требуют отучащся умення ориентироваться в неизнакомой ситуации, самостоятельности и глубины усвоения материала — по существу это исследовательская работа. Однако из тем: «Легаюшие тарелочки».

(Окончание см. на c. 15)

7

КОСЫ И УЗЛЫ

Кандидат физико-mатематических наук
А. В. СОСИНСКИЙ

Плетение кос и завязывание узлов — разве это математика?

Приложный ученик объявно выносит из шкOLS такую точку зрения: математика занимается абстрактными понятями, а также предметы быта, как косы и узлы, к математике имеет отношения не могут.

Но это не так. Математики в нашей время занимаются не только возникшими проблемами — теории чисел, расчетом космических полетов, исследованием стихотворных размеров, — но и земными, повседневными вопросами: экономических подсчетами и даже… теории очередей.

И теории кос. Это реализая и живая наука, возникшая в 20-х годах нашей века; еще не завершена и не исчерпала своих приложений. А по красоте теория кос не уступает классической, но застывшей в своем величини математике античности и XVII веков, которую только и изучают в школе.

Наш расссказ начем с примеров кос (рис. 1). Косу можно себе представлять так: в верхний и нижний край вертикальной доски вбито по n гвоздиков (n может равять 1, 2, 3,…) — каждый из гвоздиков верхнего основания соединен нитью с одним из гвоздиков нижнего; нити попарно не пересекаются и все время должны опускаться вниз (нить не имеет права, повернутьись, начать подниматься вверх: фигуры на рисунке 2, например, косами не являются).

Две косы считаются эквивалентными (т. е. одинаковыми), если одну можно превращать в точную копию другой, двигая нити (без разрывов и склеиваний) так, чтобы каждая точка каждой нити перемещалась только в горизонтальной плоскости. Такое движение показано на рисунке 3.

На рисунке 1 вверху у начала каждой нити художник указал ее порядковый номер. Внизу снова указаан номер каждой нити — но здесь номера не обязательны и по порядку: каждой косе соответствует перестановке номеров ее нитей. Так, косам $K_1$, $K_4$, $K_5$ на рисунке 1 отвечают перестановки

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.$$

Рис. 1. Примеры кос из трех и четырех нитей: $K_1$ — «девицы кос»; $K_2$ — тривальная кос; $K_3$ — ?; $K_4$ — крашенная кос; $K_5$ — циклическая кос.

8

Рис. 2. Эти фигуры не являются коэффициентами их ниги и имеют восходящие участи.

Рис. 3. Геометрическое доказательство тривиальности косы $K_3=1$: «эгоризонтальные» движениями косы превращается в косу из четырех вертикальных косей.

Среди кос на рисунке 1 выделяется крашеная коса $K_4$; так она называется вовсе не потому, что художник нарисовал ее ниги разными цветами: крашеной называется любая коса, который отвечает тождественяя перестановка

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{pmatrix},$$

т. е. коса, сохраняющая порядок номеров нитей. Тривиальная коса, все нити которого вертикальные прямы, — частный случай крашеной косы.

Кстати, на рисунке 1 показана не одна, а две тривиальные косы. Две? — Да, именно две: коса $K_3$ тривиальная, либо она легко превращается (см. рис. 3) в косу из четырех вертикальных нитей.

Среди всех кос следует выделить, кроме крашенных, в известном смысле противоположные им циклические косы: это косы, переставляющие все номера нитей по единому циклу, как это делает коса $K_5$:

$$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 1.$$

Косы — один из простейших геометрических объектов, легко поддающих «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Делается это совсем просто (см. рис. 4): нужно приложить одну кругой, склеив соответствующее нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвоздики первой косы и верхние — второй). Такое умножение обладает рядом свойств общного умножения чисел: выполняется ассоциативный закон

$$K_1(K_2K_3)=(K_1K_2)K_3,$$

есты аналогичны — тривиальная коса $K_2=1$, для которого

$$1 \cdot K=K \cdot 1=K.$$

Есть и аналог деления: у каждой косы $K$ имеет обратная коса $K^{-1}$; для нее

$$K^{-1} \cdot K=K \cdot K^{-1}=1.$$

Послений факт не оченьiden, и мы предлагаем читателю самому придумать, как построить косу, обратную данной. Ну а если не получится, можно посмотреть ответ на следующее странице (рис. 5). Умножение кос, однако, не коммутативно: $K \cdot L$ не обязательно равно $L \cdot K$ (пример приведен ниже).

Получившийся алгебраический объект — он называется группой кос из $n$ нитей и обозначется $B_n$ — не слишком прост, но основательно изучен. Начнем изучать группу кос и мы. Для этого потребуется элементарные косы $S_1, S_2, \dots, S_{n-1}$ из $n$ нитей (рис. 6).

9

Рис. 4. Умножение кос: верх второй косы прикладывается к низу первой и соответствующие нити склеиваются.

Оказывается, что любая коса представляется в виде произведения элементарных кос $S_1$, $S_2$, … и обратных к ним. Например, очевидно, что

$$K_1 = S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1}.$$

Далее

$$K_3 = S_2 S_1 S_3^{-1} S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1 S_3 S_1^{-1} S_3^{-1};$$

это становится очевидным, если надлежащимшевлением нитей немного опустить 4 двойные точки, находящиеся справа на косе $K_3$ (рис. 7).

Упражнение 1. Представьте косы $K_4$, $K_5$ (см. рис. 1) в виде произведения элементарных кос $S_1$, $S_2$, $S_3$ и обратных к ним.

В теории кос, как в анализической геометрии, алгебраическая запись позволяет геометрическе рассуждения заменить совершенное механическими вычислениями, основными на следующих точеках:

I. Тривальные соотношения

$$S_i S_i^{-1} = S_i^{-1} S_i = 1,$$

$$S_i \cdot 1 = 1 \cdot S_i = S_i (i=1, 2,..., n-1).$$

II. Далекая коммутирование

$$S_i S_j = S_j S_i$$ при $|i-j| \geq 2$

($i, j=1, 2,..., n-1$).

III. Соотношения сплетения

$$S_i S_{i+1} S_i = S_{i+1} S_i S_{i+1}$$ ($i=1, 2,..., n-2$).

Справедливо эти точки очередна (рис. 8). Из них выво-

Рис. 5. Коса, обратная к данной: зеркальный образ кос $K$ (относительно горизонтальной плоскости, проходящей через ее нижнее основание) и есть обратная к $K$ кос $K^{-1}$.

Действительно, симметричные относительное этой плоскости пары двойных точек кос $KK^{-1}$ можно попарно уничтожить, последовательно дв歧аясь от центра косы к ее краям.

Рис. 6. Элементарные косы: $i$-я элементарная коса $S_i$ ($i=1, 2,..., n-1$) состоит из $(n-2)$ вертикальных нитей, а ее $i$-я нить меняется местами $c$ ($i+1$)-й (проход над ней).

10

Дятся и другие соотношения, например более общая форма далекой коммутитивности:

Упражнение 2. Докажите, что $S_i^e S_j^\delta = S_j^e S_i^\delta$ при $\varepsilon$, $\delta \in \{1, -1\}$, $|i - j| \geq 2$.

Разберем еще один пример: доказем соотношение $K_3 = 1$ (установленное геометрическим путем на рисунке 3) прямым вычислением. Имеем:

$$K_3 = S_2(S_1 S_3^{-1}) S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1(S_3 S_1^{-1}) S_3^{-1} = S_2 S_3^{-1}(S_1 S_1^{-1}) S_3 S_2^{-1}(S_1 S_1^{-1})(S_3 S_3^{-1}) = S_2 S_3^{-1} \cdot 1 \cdot S_3 S_2^{-1} \cdot 1 \cdot 1 = S_2(S_3^{-1} S_3) S_2^{-1} = S_2 S_2^{-1} = 1.$$

Здесь мы вначале воспользовались далекой коммутитивностью, а затем все «само» сократились (за счет тривальных соотношений).

Упражнения
3. Докажите точдества

Рис. 7. Представление кosci $K_3$ через элементарные кosci $S_1, S_2, S_3$ и обратные к ним. Для этого малым движением нитей все двойные точки расположются на разных уровнях, после чего алgebraическую запись $K_3$ можно просто прочитать по рисунку: $K_3 = S_2 S_1 S_3^{-1} \times S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1 S_3 S_3^{-1}$.

Рис. 8. Доказательство основных соотношения теории кosci: (I) тривальные соотношения (для кос из двух нитей); (II) далекая коммутитивность (для кос из четырех нитей); (III) соотношение сплетения (для четырех нитей). Для случая большого числа нитей все доказывается аналогично.

11

навливаемся. Отметим лишь то, что с их помощью геометрическая теория кос превращается в вычислительную науку, в котором все конкретные вопросы могут, в принципе, быть решены компьютером.

Скептический читатель спросит: ну и что? а зачем нужно уметть решать эти «конкретные вопросы»?

Попробую ответить. Дело в том, что теория кос, как уже говорилось, имеет много приложений как в математике, так и за ее пределами. Я остановилось здесь лишь на одном приложении, которое особо ценно — приложении к теории узлов.

Рассмотрим для начала несколько примеров узлов (рис. 9). Узел — это замкнутая линия в пространстве, гладкая или ломанная, которая может быть как угдоно закручана и переплетана. Полезно себе представляется, что узел сделан из тонкой, гибкой и растяжимой нити; мы считаем, что два узла одинаковы (эквивалентны), если можно один превращать в точную копию другого, двигая, изгибая, растягивая и скимая эту нить в пространстве, не разрывая ее. Среди узлов выделяются тривиальный узел (собственно, и не узел вовсе) — общная, незначенная окружность: $Y_0$ на рисунке 9. Впрочем, на этом рисунке показано два изображения тривиального узла: узел $Y_7$ тоже тривиально — его легко распутать, превращив в большую окружность (проделяте это мысленно или с помощью карандаша и ластика!). Более того, на рисунке 9, кроме $Y_0$ и $Y_7$, есть еще одна пара эквивалентных узлов.

Упражнение 5. Найдите два нетривиальных эквивалентных узла на рисунке 9.

Matematикам удобнее иметь точное определение эквивалентности узлов, а не наглядное описание, подобное данному нами выше. Приведем такое определение. Для этого мы условия считать, что узел — не плавано изгибающая кривая, а ломанная. Тогда элементарной операцией называется замена одного звена ломанной — скажем, ломанной $AB$ на рисунке 10 — на двухненно ломанную $ACB$ (и обратный переход от $ACB$ к $AB$), при условии, что узел не содержит внутренних точек треугольника $ABC$. Два узла будут эквивалентными, если от одного к другому можно перейти с помощью конечной последовательности элементов операций (рис. 10). Разглядев этот рисунок, вы без труда поймете, что этому определению эквивалентности действительное obtueает приведенное выше наглядное описание.

Для узлов, как и для кос, можно ставить пробелу классификации: указать (бесконечный) список узлов (без повторений) и алгоритм, относший любому узлу его номер в этом

12

Рис. 10. Элементарные операции над узлом: отрезок АВ заменяется на ломанную АСВ при условии, что узел не пересекает треугольник АВС; последовательное применение таких операций позволяет деформировать узлы.

списке. Хотя эта проблема сегодня в принципире решена, решение это настолько громоздко, что практический ползы от него нет. Нельзя ли свести эту проблуку к (ужже решенной) проблеме классификации кос? Здесь направляется следующий ход.

Возьемм косу, изогнем ее дугой и склеим конец с началом (рис. 11). Получится узел. Впрочем, всегда ли такое замыкание косы дает узел?

Рис. 11. Замыкание косы: соединяем начало и конец простейшей косы, получаем узел («трилистник»).

Рис. 12. Раскручивание положительного узла в косу. Вертикальная полуплоскость a раздавается, открывается как книжка и узел развоивается в косу. Эта операция — обратная к замыканию косы (рис. 11).

Управнения

6. Нарисуйте замыкания кос $K_1, K_4$ (рис. 1). Когда получается одна кривая, а когда несколько? Опишите косы, замыкание которых — одна кривая, т. е. узел.

7. Найдите косу, замыкание которой — узел: a) $Y_1, 6)$ $Y_3, b)$ $Y_4, r)$* $Y_2$ (см. рис. 9).

Итак, некоторые классификые косы, как убедились читатели, продолжали упражнение 6) при замыкании дают узлы. Все ли узлы могут быть получены таким образом? Оказывается — все!

Замечательный американский математик Дж. Александер доказал в 1925 году, что любой узел является замыкением некоторых косы. Мы не будем подробно доказать эту теорему, но указываем два основных приема, использых при ее доказательстве.

Первый пример («раскручивание»). Нарисуем узел, выберем на нем направление и возьмем произвольную точку $O$ вне его. Наозем звено узла положительным (относительно точки $O$), если направление движения по нему видится из точки $O$ слева направо; так все звенья узла кроме $AB$ и $FG$ на рисунке 13, а положительны. Узел назовем положительным (относительно точки $O$), если все его звенья положительны. Для положительных уз-

13

Лов легко найти косу, замыканием которого он является: нужно разрезать и раскрутить узел так, как показано на рисунке 12.

Второй примем («триок Александера»). Отрицательные звенья узла (рис. 13, б, в) заменяются на двухзвенные положительные ломаны, охватывающие точку O. После учитокжения всех отрицательных звеньев применяется первый примем.*)

Так доказывается, что каждый узел — замыкание неокоторой косы, а косы можно классифицировать. Нельзя ли воспользоваться этим для классификации узлов? Увы, нет. Дело в том, что замыкание разных кос не всегда приводит к разным узлам. Например, коса (из трех нитей), показанная на рисунке 14, не совпадает с косой (из двух нитей) на рисунке 11, но при замыкании тоже дает трилистник (проверьте!).

Таким образом, неопределенно свести классификацию узлов к классификации кос не удается. Однако теорема Александера — лишь первый шаг замыслового хода мысли, связая

*) Придирчивый читатель может возразить, что кроме положительных и отрицательных, узел может иметь и звенья, которые нельзя приписать знак. Если такая «непряятность» произошла, нужно слегка пошевить эти звенья.

зывающего красивейших обитателей трехмерного пространства — косы и узлы.

---

В заключение для читателей, который красота не кажется достающим основанием для изучения предмета, попробует ответить на вопрос: «А зачем это все нужно?». Отчасти ответ содержит в самом истории возникновения теории кос и узлов.

Теория кос была создана в двадцатьые годы нашего века еще молодым немецким алгебраистом Э. Артином по заказу… ткацкой фабрики: он выполнял, как бы сказали сегодня у нас, хозяйговорную работу для этого предприятия.

Истоки теории узлов — более древние, и интересные обстоятельства непосредственного ее возникновения — почти забиты. А дело было так.

Рис. 14. Замыкание этой косы — тоже узел «трилистник» (сравните с рисунком 11). Проверте!

14

Систематическое изучение теории узлов иницировал великий английский физик Дж. Максвелл. Он пришел к выводу, что волны осуществляют электromagнитные взаимодействия, а потом его осенила еще более смелая мысль: сами взаимодействующие частицы — тоже волны; но так как частицы (атомы) очень маленькие, а волны — длинные, волны-атомы должны замыкаться на себя на небольшом участке пространства: это узелки, в памятки которых хранится вся физико-импециальная информация об atomе, закодированная в самом характере заузливания атома. Максвелл и его ученики приялись за исследование узлов, начали их систематическую классификацию в виде таблиц.

Эстафету в изучении узлов, уже в нашем вке, прияли математики, притом вполне бекорьистно: их привлекала сама красота предмета. Созданные имми тонкие инварианты (а им будет посвящена статья «Узлы, защищения и их полиномы» в 4-м номере «Кванта») позволили значительно продвинутся в изучении узлов,

Наимпитет

Ф. П. Гросу из Кишинева исследует решение в натуральных числах уравнения $x^n + y^m = z^k$. Оказывается, если $k \geq n > m$, $x \geq y$ и $k/n = p$ — натуральное число, то решей нет. Доказательство. Поскольку $x \geq y$, $x^m \geq y^m$ и $x^n + x^m \geq z^k$. Поскольку $(x+1)^n > x^n + x^m$, $(x+1)^n > z^k$. Следовательно, $x > z^p - 1$. С другой стороны, $x = \sqrt[n]{z^k - y^m} < z^p$. Итак, $z^p > x > z^p - 1$, поэтому $x$ не может быть целым числом.

Аналогично доказывается следующее утверждение:

если система уравнения

$$\begin{cases} x^n + y^m = a \\ x^m + y^n = b \end{cases}$$

с $n > m \geq 1$, $a > b$ имеет натуральное решение, то это решение имеет вид

$$x = \sqrt[n]{a}, y = \sqrt[m]{a - \sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{b - \sqrt[n]{a}}^m,$$

где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Например,

$$\begin{cases} x^3 + y^2 = 134 \\ x^2 + y^3 = 52 \end{cases}$$

Дессятиклассик И. Григорьев из Актюбинска заменяет, что для унохнения четырех чисел на 6 можно воспользоваться формулой $ab...xy \cdot 6 = ky$, где $k = ab...x + 1/2ab...xy$.

Этот способ унохнения часто проще общного унохнения «в столбик».

В. Е. Кошаков из Ленинграда предложает следующую игру с числами. Возьмем нечетное натуральное число $N$ и представим его в виде суммы двух слагаемых. По каждому разбиению $N$ в сумму вида $p+q$, где $p < q$, построим новое разбиение вида $(2p) + (q-p)$. Что получится, если продолжать этот процесс? Например, разбиение числа $17 = 1 + 16$ приводит к целочке

$$1 + 16 \rightarrow 2 + 15 \rightarrow 4 + 13 \rightarrow 8 + 9 \rightarrow 16 + 1.$$

После этого разбиения повторяется. Такие цепочки автор называет netлями. Вот другой петля числа 17:

$$3 + 14 \rightarrow 6 + 11 \rightarrow 5 + 12 \rightarrow 7 + 10 \rightarrow 3 + 14.$$

Выписанные петли содержат все разбиения числа 17 в сумму двух слагаемых. Обратите внимание на то, что обе петли имеют одинаковую длину. Это не случайно: все петли простого числа имеют равные длины. Попробуйте сами доказать это утверждение.

В. Е. Кошаков продолжал большое количество вычислений и обнаружил числа, имеющие очень много петель. Например, число 65 537 имеет 2048 петель. Подумайте, что будет, если в определенной петле числа заменить унохнение унохнения число.

15

Наш круглый стол

(Начало см. на c. 2)

Тут речь шла о способах расчета полета популярной игрушки «летацшая тарелочка».

Д. Л. Абаров. Сейчас интернант становится подразделением Университета *, осуществляя идею Ломоносова: «При Университете должно быть гипназия». Разумеется, материалное обеспечение должно быть лучше, чем у обычной школи. Пока, к сожалению, наш материално-технический уровень не соответствует уровню преподавания. Например, сейчас у нас 2 класса с вычислительной техникой, а нужно — 4—5. Входение в состав МГУ позволяет полнее использовать огромный потенциал Университета. Создается полигон для отработки учебных курсов, написания книг, издания литературы — целого спектра учебных пособий, задачников. Ведь сейчас, что греха тайть, многие методические нахождения просто пропадают.

А. А. Егоров. Добавлено к этому, что первые годы существования интерната — это время, когда под руководством А. Н. Колмогорова проискодила модернизация школьных программ по математике. И именно в интернате отработывались идеи Андрея Николаевича. Он очень хотел написать учебник для интерната. К сожалению, больше помещала ему это сделать.

Г. Ш. Фридман. Я участник первой школы в Новосибирске. Она прошла летом 1962 года. Волее 600 школьников со всех концов страны собрались в Академгородке. Идея такой школи родилась еще в 30-е годы, но не случайно ее удалось реализовать лишь в начале 60-х (время оттепели) — и в Сибири (далеко от Москвы). Школа продолжалась 45 дней! Преподаватели — молодые сотрудники СО АН СССР, аспираты,

*) В октября 1988 года вышло постановление Совета Минстров СССР об организации специальizations учебно-начальных центров Московского и Новосибирского государственных университетов, в состав которых вошли соответствующие специальizations школьного интернатины.

студенты НГУ — заменательное собрание лодей. Лекции читали организаторы школи академики М. А. Лаврентьев, Г. И. Будker, член-корреспондент АН СССР А. А. Ляпунов. Разъехались ребята, кончились школа… Подумали: а не вернуть ли их назад. М. А. Лаврентьев идею эту принял, одобрил. Нашли значение, способы финансоврования. И таким вот образом в января 1963 года мы начали учиться в ФМШ при НГУ.

Первый научный руководитель школи — А. А. Ляпунов. У нас превозходно преподавались не только математика и физика, но и биология (единстенная школа страны, где изучалась генетика!). Издавался руководственный журнал, работал позтический клуб. А. А. Ляпунов кроме математических курсов читал придуманный им самим интерсейший курс «Землеведение». У себя на дому он проводил занятия кружка по теории множества, а после занятия, уже за чаем, шли разговоры об всем: о науке, музыке, живописи, литературе.

В. Н. Дубровский. Яучился в интернате в 1965—67 года, а с 1969 года, еще будучи студентом, начал преподавать. Дух первых лет школи вспоминало с огромным удовлетворением. Наш любимый лектор и преподаватель А. В. Сосинский преподавал нам не только математику, но и английский язык. Часту уроков математики шла на английском языке. Вспоминало вечера «Зеленая лампа»: на них Ю. А. Ким и Е. В. Гайдуков читали стихи символистов, «Мастера и Маргариту», Гумилева, Бальмонта. А какие были уроки литературы Н. И. Герасимова — под его влиянием мы заpoем читали, несмотря на очень интенсивные занятия математикой. По-настоящему увлекательны были уроки истории Р. А. Ostroй. Ее огромные знания,垦андартные подходы, приобщение к исторической литературе (например, «Наполеон» Е. В. Тарле) очень много нам дали: мы знали историю значительной лучше выпускников обучных школ.

17

«Пюоший камень»
и собственные части резонатора

В окрестностях Баку, там, где начинается каменная пустыня Кобыстана — «Страны оврагов», есть удивительный камень. Он так прославился, что даже имеет собственное имя — Нагарадаш, т. е. «Каменный бубен» (нагара — азербайджанский ударный музыкальный инструмент, даш — камень). Эта каменная глыба обладает замечательными аккутическими свойствами. Если ударять по ней камнем (и все, кто оказываются рядом, продолжают это с большим удовольством), то разделяется такой громкий и чистый звук, что кажется, будто ударили по хорошо звучащему колоколу…

Попробуем описать аккутические свойства «пюошнего камня» на языке физики. Понятно, что преждевременно в этом случае резьдолжна идти о частоте, на которой звучит камень. Посмотрим, как связана часть звуковых колебаний $f$ с размерами «бубна» $l$.

При ударе проискодит кратковременная деформация камня, и от точки удара во все стороны распространяется звуковые волны. Они бегут с определенной скоростью $v$, которая не зависит от размеров камня. Но волна распространяется безпрерывственно только в однородной безграничной среде, а ведь все предметы имеют границы, где одно вещество соприкается с другим (в нашем случае — камень с воздейством). Дойдя до границ, волна частично проникает в другую среду (звук из камня проникает в воздейству, достигая в дальнейшем нашихушей), а частично отражается назад. Чем больше отличия скорости звука в двух средах, тем эффективнее проискодит его отражение. В граните $v \approx 4 \cdot 10^3$ м/c, а в воздействие $v \approx 3,3 \cdot 10^2$ м/c, поэтому только не больше часть звуковой энергии выходит в воздейству, а основная ее должна «запретой» внутри камня. (Звук мог бы выйти и в каменистую почву, но «пюоший камень», лежащий на других камнях, имеет слабую «акустическую связь» с почвой — он соприкается с ней только в нескольких точках.)

Такие предметы, внутри которых быстроиспользуется колебательная энергия, называются резонаторами (от латинского слова resonо — звучу в ответ, откликаюсь). Если колебания в резонаторе затухают слабо, говорят, что резонатор имеет высокую добротность.

Однако вернемся к тому, что происходит внутри «пюошнего камня» после удара. Звуковые волны, многоократно отражаются от стенок и интерферияру друг с другом, либо успливаются, либо взаимно ослабляются. Усиление колебаний проискодит в том случае, когда волна, испытов одно или несколько отражений, возвращается в данную точку в той же фазе, с которой начался ее путь. Учитывая, что время прохождения волны вдоль звучшего предмета туда и обратно равно приблизительно $2l/v$, получим условие усиления колебаний: $2l/v \approx nT=n/f$ ($n=1, 2, 3, ...$ — целое число). Отсюда следует формула для частот, которые называются собственными частотами резонатора:

$$f_n \approx \frac{v}{2l} n.$$

При $n=1$ получается наимизация, или, как говоря, основная часть $f_1 \approx v/2l$.

Может возникнуть вопрос: почему в формуле (1) равенство приближенной, а не точное? Это легко понять, если вспомнить, что буквой $l$ мы обозначили «размеры» резонатора.

18

Что это означает для «пюшшего камня», не очень понятно — то ли длина, то ли высота. Для того чтобы написать точную формулу собственной части резонанта, надо знать его формулу.

Рассмотрим, например, простейший «одномерный» резонантор — тонкий натягуточно струну. Здесь вопрос о том, что такое $l$, не возникает — это длина струны между ее закрепленными концами. Поэтому приближение равенство (1) в случае струны становится точным.*)

В дальнейшем нам понадобится также формула для собственных частот «двухмерного» резонантора — тонкой сферической оболочки радиуса $R$:

$$f_n = \frac{v}{2\pi R} \sqrt{n(n+1)}.$$

Эта формула похожа на предыдущую: полный путь волны в струне от одного конца до другого и обратно, равный $2l$, заменяется в случае сферы длиной экрана $2\pi R$. С трехмерным (объемным) резонантом дело обстоятель несколько сложнее, и мы приведем здесь только выражение для основной части собственных звуковых колебаний шара радиуса $R$:

$$f_1 \approx 0.33 \frac{v}{R}.$$

Видно, что и в этом случае $f_1$ мало отличается от приближения этого приближения (1), если считать в последнем $l=R$ и $n=1$.

Резонатор может звучать на разных частотах

В выписанных выше формулах фигуррует целое число $n$. Пока неизвестно, чем оно равно, нельзя сказать на какой частоте (или на каких частотах) будут произдать колебания. Это зависит от того источника, который поставляет энергию в резонантор. При кратковременном возбжении (удар) звуковая энергия сама распределяется по собственным частотам,

*) Значение $f_n$ зависит, конечно, и от диаметра струны, от свойств материалов, от силы натяжения. Но все эти зависимости включаны в $v$, так что мы рассматриваем струны, отличующей друг от друга длиной.

или гармоникам, которые будут звучать одновременно (в формуле (1) возникает целый набор $n$). Какие именно гармоники будут возникать с сильнее, а какие слабеет, зависит от места удара. Поэтому, ударя по «пюшему камню» в разных местах, можно извлечь из него определенную мелодию, т. е. Нагарадаш «работает» как настоящий музыкальный инструмент!

Совсем иначе обстоит дело, если возбждается резонантор не кратковременным ударом, а непрерывно действующим гармоничским вибратором (источником синусодальных волн). В этом случае колебания проискодят на частоте возбжидателя $f$, которая может отличаться от всех $f_n$. Однако, когда $f$ совпадает с одной из собственных частот, амплитуда колебаний резко возрастает. В этом заключится суть явления резонанса.

На каких частотах «звенит» Земля?

От «пюшшего камня» размерами в несколько метров легко перевести мышление к огромной скале и еще дальнейше — ко всей Земле в целом. Интересно разробаться, на каких частотах может «звучать» такой глобальный, т. е. охватывающий всю планету, резонантор и какие источники способны его возбжать.

Земной шар, имеющий сложное внутреннее строение, окружен еще и атмосферой, верхние слоны которого (ноносфера) обладают высокой электрической проводимость. Учитывая все это, можно ожидать возникновения глобальных резонансов трех типов. Два из них связаны с механическими колебаниями внутри Земли и в ее атмосфере, а третьий — с электромагнитными волнами в промежуточке между земной поверхностью и иonosфераю. Соответствие существуют три серии собственных частот глобального резонанта, которые можно оценить с помощью приведенных выше формул.

Начнем с механических колебаний внутри Земли. Согласно сейчасмческим данным, скорость звука (сейсмических волн) в земных недрах воз-

19

Каждое землетрясение характеризуется своим «почерком» на сейсмограммах, но на определенных частотах, одинаковых для всех землетрясений, наблюдаются резонансные пики. свидетельствует о возбуждении собственных колебаний Земли.

растает с глубиной от 4—8 km/c у поверхности Земли до 7—13 km/c на нижней границе мантии.*) В адрес скорость звука снова уменьшается. Для оценки основной (наинизшей) собственной частоты сейсмических колебаний Земли воспользуемся формулой (3), положив в ней $v \approx 6$ km/c и $R = 6400$ km. Таким образом находим $f_1 \approx \frac{0,33 \cdot 6}{6,4 \cdot 10^3} \approx 3 \cdot 10^{-4}$ Гц, а соответствующей период — $T_1 \approx 55$ мин.

Услышать «голос Земли», конечно, нельзя из-за очень низкой частоты, но на лентах сейсмографов он должен себя проявить, если только найдется достаточно мощный источник возбуждения. Таким образом является землетрясения и взрывы. Каждый землетрясение характеризуется своим «почерком» на сейсмограммах, но в начале 60-х годов нашего века было обнаружено, что на некоторых частах (одинаковых для всех землетрясений!) наблюдаются резонансные пики, свидетельствует о возбуждении собственных колебаний Земли. Соответствующие периоды оказались равными 54; 35,5; 25,8; … мин, что не противоречит оценкам основной частоты $f_1$ по формуле (3) (хотя последняя, учитывая сложное строение Земли).

Оценку скорости распространения ВГВ по порядку величины можно получить из сообщений размерности.

*) Внутри Земли могут распространяться звуковые (сейсмические) волны двух типов (продольные и поперечные) с разными скоростями.

Ли, является весма приближенной). Собственные колебания Земли затухают сравнительно медленно. Достаточно сказать, что длительное запися на сейсмограммах после землетрясений может достигать несколько минут и десять минут, хотя само событие — землетрясение, взрыв — продолжается несколько секунд или даже доли секунды. Обнаружение собственных колебаний Земли относится к крупнейшим достижням современной геофизики. С помощью глобальных резонансов, сравнимая расчетеные и экспериментальные данные, проверяют правильность тех или иных модели внутреннего строения нашей планеты.

Атмосфера Земли — это тоже резонантор

Положина всея массы atmosферного воздуха заключена в признаном слое толщиной ~6 km, а если подняться на высоту 30 km, то визу остается уже ~99 % всея atmosферы. Поэтому условно можно говорить о «границе» atmosферы. Представим себе, что в каком-нибудь месте «граница» под действием некоторых сил немного приподнялась, после чего сила перестала действовать. Силаяжестии вернет возникший «горб» обратно, но возникших, движясь по инерции, опустится еще ниже, и на месте «горба» появится «впадина». Колебания толщиной atmosферы распространяется во все стороны от места возмущения в виде волн, подобных тем, которые наблюдаются на поверхности океана. Но поскольку резкой границей atmosферы не существует, волнообразные колебания охватывают всю ее толщину, их называют внутренними гранитными волнами (ВГВ)*.

Оценку скорости распространения ВГВ по порядку величины можно получить из сообщений размерности.

*) Слово «гравитационные» указывает в данном случае на то, что эти волны могут распространяться только в поле тяжестии (в отличие от звуковых волн). В физике тот же термин используется и совсем в другом смысле: так называют волны гранитции, которые пересят со скоростью света изменения поля тяготения в вакууме.

20

В искому формулу должны войтиускорение силы тяжести $g$ ($\text{m/c}^2$) и характеристим масштаб $H$ ($\text{m}$) изменения плотности воздуха с высотой. Из этих двух величины единственным образом образуется тревая, имеющая размерность скорости $v$ ($\text{m/c}$): $v \sim \sqrt{gH}$. Поскольку $g \approx 10 \text{ m/c}^2$, а $H \approx 10 \text{ km}=10^4 \text{ m}$, получаем $v \sim 300 \text{ m/c}$. ВГВ очень слабо затухают и в отличие от звуковых волн способны многоократно огибать земной шар. Кругосветные волны в атмосфере (они регистрации с помощью барометров) впервые были обнаружены в 1883 году после мощнейшего взрыва вулкана на острове Краkatay в Индонезии. Падение Тунгуского meteorита в 1908 году также сопровождалось аналогичными явлениями.

Толщина атмосферы очень мал по сравнению с радиусом Земли, поэтому для оценки собственных частот глобального атмосферного резонанта можно воспользоваться формулой (2). С указанным выше значением $v$ находится частоту $f_1 \sim 10^{-5}$ Гц и соответствующей период $T_1 \sim 30$ ч. Конечно, это всего лишь оценка по порядку величины, но из нее следует, что для возникления резонанса необходимо источник, способный колбать всю толщу atmosферы с периодом порядка десятика часов. Таким способами обладают приливные силы, действующие на atmosферу состояны Луньи и Солнца.*) О приливах в морях и океанах знает каждый, но это является наблюдается не только на водяных просторах. Существуют приливы и отливы и в твердой корезного шара, хотя высота приливных волн здесь очень мал (на широте Москвы она равна ~40 см), и в воздухной оболочке, где, наоборот, амплитуда веса значитela.

Рассмотрим сначала солнечные приливы. Действие силы прияжения Солнца на атмосферу (так же как и в воду, и на твердую кору) приводит к тому, что вдоль линии, соединяющей

*) О приливов и отливов можно прочитать в статье Л. Г. Асламазова «Лунный гормоз» в 8-м номере «Квата» за 1987 год.

центры Земли и Солнца, возникают два приливных горба, а в поперечном направлении — две впадины (отливы). Допустим, что в исходный момент времени мы находимся в месте максимального прилива — в точке 1 (см. рисунок). Через 6 часов вследствие суточного вращения Земли точка 1 переместится в 2, и в ней будет наблюдаться наиболее сильный отлив, поскольку приливные горбы остаются неизменно на линии Солнце — Земля. Еще через 6 часов точка 2 передет в 3, где прилив снова максимален. Таким образом, приливные деформации атмосферы, связанные с Солнцем, имеют период $T_\odot=12$ ч. Аналогичным образом действует на atmosферу и Луна, но за счет ее собственного вращения вокруг Земли возникнет несколько иной период приливных деформаций — $T_2 \approx 12,4$ ч. Поскольку Луна гораздо ближе к Земле, чем Солнце, связанные с него приливные силы должны быть согласно расчетам в 2,5 раза с сильнее солнечных.

Для океанских приливов этот вывод хорошо подтверждается на практике. Однако наблюдаемые приливов в атмосфере (они проявляются, в частности, в виде регулярных периодических колбаний atmosферного давления в тропиках с амплитудой ~2 мм рт. ст.) показывают, что амплитуда «солнечных» приливов (с 12-часовым периодом) примерно в 16 раз больше, чем «лунных». Следовательно, наблюдаемые соотношение амплитуд двух приливных возмущений atmosферы (солнечного и лунного) отличается от расчетного в 40 раз! Столь большое расхождение показывает, что в теоретических рассуждениях упущено что-то существенно.

Гипотеза, обьясяющая преобладание солнечных atmosферных приливов, была высказана впервые в конце прошло века англійским физиком У. Томсоном (воспедствии он получил титул лорда Кельвина). Суть ее заключается в следующем. Если период собственных колбаний atmosферы равен в точности 12-ти часам, то действие солнечной приливной силы (с 12-часовым периодом) приводит

21

к резонансу — резкому увеличению амплитуды колебаний атмосферы. Наши очень приближительные оценки $T_1$ не годятся для проверки резонансной гипотезы, поэтому следует обратиться к экспериментальным данным. Перiod собственных колебаний атмосферы был определен на основе наблюдений за теми кругосветными волнами давления, которые возникли после взрыва вулкана Кракатуу и падания Тунгусского meteorита, о чем мы уже упоминали. Найdenный таким образом период $T_1$ оказался равным 10,5 ч. Это значение не противоречит нашей грубой оценке $T_1$ по порядку величины, но совершено не согласуется с предположением о резонансе. Казалось бы, резонансную гипотезу следует отбросить. Но в конце 30-х годов нашего века она снова возродилась, в более сложном варианте.

Главной особенность новой теории является предположение о двух перiodах собственных колебаний атмосферы: $T_{1\text{н}}=10,5$ ч — для нижних слоев и $T_{1\text{в}}=12$ ч — для верхних (выше ~50 км). Если это действительно так, то можно представить себе, что взрывы на поверхности Земли возникдают короткоперидные колебания атмосферы, а приливы, охватывающие всю толщу атмосферы, — долговеридные. Однако чем изолированы друг от друга нижние и верхние слоны? Роль баррера между ними может играть слой воздуха с повышенной температурой, который слабо пропускает ВГВ сизу вверх, а те волны, которые возникли наверху, не пропускает вниз.

Расчеты показывают, что 12-часовой период колебаний в верхней атмосфере может возникнуть, если температура воздуха на высоте 50—60 км достигает 320—340 К. После этого максимума температура спадает, а начиная с высоты 80—100 км снова растет. Приемые изменения, которые стали возникними с появлением meteorologicalческих пакетов, подтвердили наличие предсказанного максимума! Однако возрастание температуры оказалось не столь значительным ($T_{\text{макс}} \approx 270—280$ К), как это следует из резонансной теории.

Таким образом, теория наблюдается перiodически получочных изменений параметров atmosферы пока полностью не завершена.

Глобальные электромагнитные резонансы

Под действием солнечного излучения в верхних слоях atmosферы происходит ионизация atomов и молекул, появляются свободные заряды, и электропроводность воздуха, начиная с высоты 50—60 км, сильно возрастает. Здесь начинается ионосфера, которая на больших расстояниях от Земли «смЫкается» с межпланетным пространством. Нижние слоны atmosферы толщиной в несколько десятиков kilометров обладают очень малой электромагнитные волны (радиволны). Каковы собственные частоты этого сферического резонанса? Ответ словается с помощью формулы (2), но с заменой в ней скорости звука $v$ на скорость света $c=3 \cdot 10^8$ м/с. В результате получается следующий набор собственных частот глобального электромагнитного резонанса:

$$f_n = \frac{3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{n(n+1)}}{2 \cdot 3,14 \cdot 6,4 \cdot 10^6} \approx 10,6; 18,3; 25,9; \dots$$

Основным источником возвратия резонанса служат молнии. На всем

22

На спектре электромагнитного шума отсутствuo видны максиммы, соответствующие собственным частотам глобального электромагнитного резонанта Земля — ионосфера.

земном шаре в каждой данный момент времени бушют тысячи гроз, каждую секунду вспыхивает в среднем около 100 молний. После каждого разряда резонантор Земля — ионосфера «звенит» подобно колоколу на собственных частотах. Но не успет этот «звон» затихнуть, как проискодит следуюший разряд, и колебания возникают заново. Поскольку вспышки молний проискодят случайно, их непрерывная последовательность возбуждает в резонанте электромагнитный шум, который легко обнаружить с помощью несложного приемного устройства, состоящего из антенны, усилителя (без детектора) и регистрации прибора. В качестве последнего использется анализатор спектра, позволяющий определить амплитуды электромагнитных колебаний на разных частотах (от единиц до десятов Гц). На полученных таким образом спектрах электромагнитного шума (см. рисунок) отсутствuo видны максиммы на собственных частотах, близких к расчитанным выше. Наблюдая можно проводить в любом месте земного шара (резонансы являются глобальными), желательно

22

23

Просто удивительное, сколько интересных вопросов может возникнуть при наблюдении самых общих явлений. Ну, например… Почему лед и вода, не превращаясь друг в друга, существует только при 0 °C? Чуть изменится температура — и либо лед начинает таять, либо вода начнет замерзать. Для нас это, конечно, счастливое обстоятельство, ведь иначе сляковь и гололед случайсь бы значительно чаще. И все же: почему это так? Сразу, разумется, не ответит, зато первый вопрос вызывает целочкуду других. Услужевая память подсказывает, что у воды существует и третье «обличье» — водяной пар. Так вот, могут ли вода, пар и лед существовать в одном состоянии одновременно, не превращаясь друг в друга? Скорее всего, ответ на этот вопрос вы знаете. Но возможно любой элемент из таблицы Менделеева. Почти каждой может существовать и в жидком, и в твердом, и в газообразном состоянии. А одновременно, в одном состоянии?

Как вы уже догадались, в этой статье мы попытемся ответить на эти и многое другое вопросы. Для этого давайте пробуем проятки узкой тропикой удивительных выводов, которое более 100 лет назад открыл великий американский физик Джозаяя Виллард Гиббс.

Что такое фаза?

Слово «фаза» имеет множество значений. Интересующое нас в практику Гиббсом. Чтобы понять, что же такое фаза по Гиббсу, научем с примеров.

Эта статья появилась в процессе работы автора над книгой «Репортаж из мира сплавов», которая будет выпущена в этом году издательством «Наука» в серии «Виблотечка «Квант». Советым вам не пропустить эту книгу. Из нее вы узнаете о том, как развилась наука о металхах, как придумывали сплавы наши далекие предмети и как это делается сегодня, о таниственных превращениях сплавов и их завтрашем дне.

При 0 °C в луччных лучах появляется кусочки льда. Первоначально однородная система — жидкая вода — распадается на две части. Их называют двумя разными фазами химического соединения H₂O. То же самое соединение может существовать и в виде третий фазы — водяного пара.

Жидкость, кристалл и пар — самые прививочные примеры разных фаз одного вещества. Оdnako фазы не обязательно различаются между собой именно агрегатным состоянием. Хорошо известны две твердые фазы углерада — графит и алмаз. Они имеют разные кристаллические решетки, и это приводит к колосальному различению их свойств. Фазы могут отличаться друг от друга и по своему химическому составу, и по магнитным характеристикам (магнитная и немагнитная), и по электрической проводимости (нормальная и сверхпроводная), и по другим свойствам.

Тепер попытаемся ввести понятие фазы более строго. За основу лаконичное определение академика М. А. Леонтовича: «В термодинамике фазой называется осякая однородная система, т. е. тело, физические свойства которого во всех точках одинаковы». Здесь надо отметить несколько тонкости.

Во-первых, говоря о «теле», мы всегда подразумеваем, что оно состоит из большого количества микроэстиц — atomов или молекул. Как правило, мерой «большого количества» служит число Авогадро — 6·10²³.

Фигуррирующий в определении «однородность» тоже надо понимать на уровне «большого числа» частиц, а не отдельных atomов или молекул. Воздух — однороден и является однозначной системой, хотя и состоит из различных молекул.

В многофазной системе однородность теряется, как это было в случае льда и воды. Между разными фазами

24

одной системы общно существует четко выраженная поверхность раздела. Приведем здесь еще один пример. Возьмите емкость с подсолнечным маслом и накапайте туда воды. Жидкость не смешаются. Вода в масле образует свою отдельную фазу. Поверхность раздела между двумя фазами будет отсутствиво видна.

Не всегда неоднородность системы и поверхности раздела видны неоорудно, и лишь с помощью микроскопа убеждаемся в ее многофазности.

При изменении внешних условий (температуры, давления, электрического или магнитного полей) фазы могут превращаться друг в друга (это вполне понятно уже на примере воды, пара и льда). Эти процессы так и называются — фазовые превращения.

Знакомство с фазовыми диаграммами

Начнем изучение фазовых превращений все с той же чистой воды. Для этого заключим ее в герметичный сосуд с поршнем, где ее состоянием легко управлять, меняя внешнее давление на поршень и нагревая или охлаждая сосуд. Важно понять, что никаких других способов воздействовать на фазовое состояние воды в сосуде, его при этом не открывая, у нас нет.*) Позмоту все «события», связанные с фазовыми превращениями в замкнутом сосуде, должны быть функцией только p и T.

Обратим внимание на одно обстоятельство: если во внешней среде поддерживается постоянная температура T, то через некоторое время такая же температура устанавливается во всех фазах системы. Это положение подтверджается нашим каждодневным опытом — при наличии контакта температуры разных тел выравниваются.

To же самое справедливо и в отношении давления, но с одной оговоркой: давление в разных фазах одинаково и равно внешнему, если все поверхности раздела между фазами плоские.*) Тогда равенство давления следует из механического равновесия поверхности раздела. Если же поверхности раздела имеет конечный радиус закругления, то приходится принять во внимание и силы поверхностиного натяжения. Однако в

*) Сосуд можно помещать в электрическое поле, в магнитное, но эти случаи в дальнейшем рассматриваются не будут.
**) В жидкой (да и в газообразной) фазе существует гидрорастательное давление, но мы будем вести разговор о ситуации, когда оно много меньше общего для системы давления p.

25

дальнейшем мы будем предполагать, что границы фаз всегда плоские. С учетом этих замечаний состояние системы характераизуется общими для всех фаз значениями давления и температуры.

Прежде всего желательно выяснить, при каких внешних условиях происходит фазовое превращение. Для определения остановимся на испарении воды. Если зафиксировать нормальное атмосферное давление, то вода в нашем состоянии начинает испарться при 100 °C. При более низких температурах поршень в сосуда будет «лежать» на воде, и пара в системе не будет.

Изменив давление, мы изменим и температуру наcala испарения. Можно свести все данные о фазовом превращении в таблицу из двух колонок: в одной указывать давление, а в другой — температуру наcala испарения. Но еще удобнее изобразить данные таблицы графически в виде зависимости температуры от давления (рис. 1). Точно так же можно в виде графиков представить данные и о двух других фазовых превращениях, которые могут присходить в системе, — превращения вода ← лед и лед ← пар. В результате получим такую диаграмму, как на рисунке 2.

Подчерком одно важное остояльство. Линии на диаграмме отделяют друг от друга области устойчивого существования соответствующих фаз. Это отподь неозначает, будто каждая фаза «живет» только в своей области и не может «залеать» в чужую. Разумеется, может. Мы регуляно наблюдаем это, скажем, весной, когда уже при положительной температуре реки еще полны льдин. Но такое состояние не является устойчивым — лед в реке тает. Этот процесс происходит не мгновенно, а с какой-то конечной скоростью. Через несколько дней (если вновь не ударят морозы) лед обзавелно растет вес, до конца. А вот вода при тех же условиях уже никогда снова не станет льдом.

Если состояние системы перестается во времени, говорят, что в ней установилось равновесие. Диаграмма на рисунке 2 представлена только равновесное состояние системы.

Подобные диаграммы называют фазовыми. Ими очень удобно пользоваться: зная температуру и давление, сразу определем, из каких фаз системы будет состояние в равновесии. Определим значением давления и температуры на диаграмме соответствует точка. Если она попадает в области устойчивого существования пара, льда или жидкости, то в равновесии системе будет состояние из одной соответствующей фазы. Если точка оказывается на линии диаграммы, система в равновесии будет состояние из двух фаз. Из каких именно? Совершенно очевидно: если, например, это — линия раздела «водной» и «ледной» области, то из льда и воды. И наконец, при единственном сочетании давления и температуры в равновесии будет находиться все три фазы.

Правило фаз в однокомпонентных системах

Не почувствовали вы по диаграмме воды, что имеются какие-то законы, регламентирующие «условия жизни»

26

фаз? Посудите сами: в однофазном состоянии система может существовать в широком диапазоне давления и температур, в двухфазном — только при их определенных комбинациях, а трехфазная область на диаграмме вообще стягивается в точку. Так и очень представить фазы в роли живцов коммунальной квартиры: чем больше живцов, тем меньше свободы у каждой из них. Впрочем, нельзя делать выводы на основании диаграммы одного единственного вещества. А вдруг в другом все по-другому?

И все-tаки закон совместного существования фаз действительного есть. По имену своего первооткрытеля он называется правилом фаз Гиббса.

Во всех биографиях американского физика-теоретика Дж. Гиббса (1839—1903) подчеркивается, что жизнь этого человека была внешне бедна собственными. Все его силы сконцентрированы на получении научных результатов, блеск которых не потускел и сегодня. Со времени опубликования последней работы Гиббса прошло более 80 лет, а результаты его исследования продолжают использовать в практическии неизменном виде.

Правило фаз всегда считалось одним из самых значительных достижений Гиббса. Строгий вывод правила достагочно сложен. Мы приведем его в существенную прощенном виде.

Начнем рассмотрение все с той же воды, находящейся в замкнутом соусе.*) Предположим, что при данных значениях $p$ и $T$ в равновесии находится жидкая фаза и пар. Молекулии $H_2O$ в паре и в жидкости находится в непрестанном телловом движении. В результате некоторых из них покидают свою «родную» фазу и попадают в соседню. Среднее количество молекул, которые улетают за единицу времени через единицу площади из жидкости, обозначаем $q_{ж}$. От чего может зависеть это число? Как уже отмечалось, положение дел в замкнутом соусе зависит лишь от установленной температуры равновесия значения 100 °C.

Теперьhora ввести новое понятие — число степеней свободы. Так в термодинамике принято назвать степень внешних параметров, которые в некоторых пределах можно независимо друг от друга менять, не меняя при этом фазового состояния системы. В изучаемом нами случае внешних параметров всего два — давление и

27

температура. А теперь взгляните еще раз на фазовую диаграмму воды (рис. 2). Каждый однофазному состоянию соответствует некоторая площадь, в пределах которого можно свободно варьировать оба параметра. Например, воду как такую (жидкую) можно нагреть или приложить к ней внешнее давление, или сделать то и другое одновременное (все это, конечно, в некоторых пределах), и при этом фазовое состояние системы в состоянии не изменится — вода так и остается водой. То же самое справедливо в случае льда или пара. Можно сделать вывод, что однофазная система имеет две степени свободы.

Совсем другая ситуация при двухфазном равновесии. Имеется уравнение, связывающее оба внешних параметра. В случае равновесия жидкость — пар мы его уже записывали: $q_\pi(p, T) = q_\pi(p, T)$. Поэтому свободно менять можно уже только один параметр, а другой надо «подстраивать» к нему в соответствии с уравнением. Если мы станем менять оба параметра независимо друг от друга, то «соскочим» с линейным фазового равновесия и одна из фаз исчезнет — фазовое состояние системы изменится. Поэтому состояние двухфазного равновесия имеет всего одну степень свободы.

Перейдем теперь к трехфазному равновесию, добавив к воде и пару лед. Предположим, что фазы в сосуде расположены так, как показано на рисунке 3. Учитем, что число молекул, покидающих за единицу времени через единицу площади лед, также будет функцией давления и температуры — $q_\pi = q_\pi(p, T)$, и запишем условие фаз:

$$C = 3 - \Phi (C > 0).$$

Взгляните на три диаграммы состояния однокомпонентной системы, приведенные на рисунке 4. Не дваясь в рассмотрение конкретных веществ, для которых они построены, можно сразу утверждать их ошибочность. На первой диаграмме существует точка четырехфазного равновесия. На второй трехфазное равновесие имеет две степени свободы. На третьей — две степени свободы имеет двухфазное равновесие. Говоря словами одного из персонajes А. П. Чехова, «это не может быть, потому что этого не может быть никака». Правило фаз категории записывается также ситuation.

Рис. 3.

28

А теперь посмотрим на рисунок 5, где изображена диаграмма состояния висмута. Римскими цифрами обозначены его пять различных кристаллических фаз. Можно убедиться, что несмотря на довольно сложный вид диаграммы, ни один из ее участков не противитправил фаз.

Правило фаз для многокомпонентных систем

Чистая вода, чистый висмут или какое-либо иное чистое вещество встречаются сравнительно редко. Значительное значение приходит именно до с различными многокомпонентными системами. Например, с расторами. Простейший пример растора — следая вода, состоящая из двух компонентов — сахара и воды, каждый из которых представляет собой тип молекул.

Чтобы описать состояние растора, нужно, помимо температуры и давления, указать относительное содержание всех компонентов, т. е. их концентрации. Понятно, что в системе, состоящей из К компонентов, следует указать значение (К—1) концентрации.

Для фаз, находящихся в равновесии, температура и давление — общее (одинаковые) параметры. А вот равенство концентрации ноткуда не следует. Более того, легко привести пример противоположного толка. Если в чай положить слишком много сахара, то он не размещается даже при дилтельной и интенсивной работе ложечкой. Установится двухфазное равновесие жидкого следного чая и лежшего на дне твердого сахара. Понятно, что концентрации компонентов в каждой из двух фаз совершенно различны.

Учтя это обстоятельство, попробуем описать ситуацию математически.

Предположим, что в системе из К компонентов в равновесии находится фаз. Теперь условия равновесия следует записать для каждой компонента:

$$q^{(1)}_I = q^{(1)}_{II} = q^{(1)}_{III} = \dots = q^{(1)}_{\Phi},$$

$$q^{(2)}_I = q^{(2)}_{II} = q^{(2)}_{III} = \dots = q^{(2)}_{\Phi},$$

$$q^{(K)}_I = q^{(K)}_{II} = q^{(K)}_{III} = \dots = q^{(K)}_{\Phi}$$

(нижний индекс обозначает номер фазы, а верхний — номер компонента). Эта система равенства является непредставенным обобщением условий равновесия в однокомпонентной системе.

Каждая из величины $q$ должна зависеть от общих давления и температуры — от $p$ и $T$ — и от (К—1) концентрации в своей фазе. Таким образом, общее число параметров, которые надо указать, чтобы описать равновесие, равно $2 + (K-1)\Phi$. А теперь подчищаем общее число уравнения в последней системе. Для каждой компонента оно равно (Ф—1), а всего компонентов К. Итак, получаем К(Ф—1).

Каждае из уравнения дополнительно связывается между собой параметры,

29

описывающие состояние системы, и тем самым поняает число степеней свободы. Так что в многокомпонентной системе число степеней свободы равно общему числу параметров минус количество уравнения:
$$C = 2 + (K - 1)\Phi - K(\Phi - 1) = 2 - \Phi + K.$$
(Для $K = 1$ (однокомпонентная система) получим уже известное нам равенство $C = 3 - \Phi$).

Поскольку число степеней свободы по смыслу должно быть неотрицательным, из правила фаз сразу следует, что максимальное количество фаз, которые могут находиться в равновесии в К-компонентной системе, равно 2+К.

Правило фаз выводилось для замкнутой системы. Но, строго говоря, такого почти никакогда не былоет. Система обычно находится в контакте с внешней средой, с которой может произойти обмен atomами или молекулами. Иногда с этим приходит считаться. Однако в подавляшем большинстве случае этим обстоятельством можно безболезненно претенбреть.

Из правил фаз следует очень много интересных выводов. Наверное, вы теперь без труда объявите, почему температура равновесия вода —лед этого фиксирована. Но если мы имеем дело не с чистой водой, а с каким-нибудь водным растором, то равновесие вода —лед (не чистые!) при фиксированном внешнем давлении «захватит» целый диапазон температур. Почему это так, поставляется объяснить сами на основании правила фаз.

ЗФМШ при Калининском университе

На базе физического факультета молдого Калининского государственного университета создается Зоочная всесоозная физиоматическая школа для старшеклассников.

Тем, кому не хватает страниц учебников, кто хочет глубже разобраться в вопросах физики и математики, с удовлетворением помогут студенты нашего университета под руководством опытных преподавателей. Для этого необходимо только ваше желание. В своей заявлении сообщите о себе следующие сведения:

1. Фамилия, имя, отчество.

2. Год рождения.

3. Город, школа и класс, в котором вы учите.

4. Свой домашний адрес. Всем, обратившимся к нам, мы вышли первое задание, которое будет встретиться им. Желаякова, д. 33, физический факультет КГУ, ЗФМШ.

31

Откроем первосточник…

…которым является книга Н. Г. Помяловского «Очерки бурсы». Речь пойдет о простой с виду задачке, внесло возникшей при чтении книги.

В первом из очерков, озаглавленном «Зимний вечер в бурсе», один из бурсаков, зовут которого Цаплей, во время скучного урока совершает следующие действия (циитруем): «Цапля со всусеerdнем пишет что-то; со стороны посмотреть, он прилежнейший ученик, а между тем он вот что делает: напишет цифру, под ней другую, потом умножит их, под произведением опять подпишет первую цифру, опять умножит числа и т. д.; работает, желая знать, что из этого выйдет».

Вот давайте и зададим себе простой вопрос: «Так что же из этого выйдет?» Этот вопрос bleibt за собой другой: «Что именно делал бурсак, как траковать его действия?» Автор попросил своих знакомых объяснить, чем занимается Цапля. Каждый опрошенный заявлял, что ему все предельно ясно и давал разъяснение, которое отличалось от предложенных остальных. Тем не менее после ряда ученений автору удалось свести все траковки к тем, которые и предлагают вшему внимание.

Трактовка первая, самая неинтересная

Кстати, большинство опрошенных выбрали именно ее. Последовательность чисел $x_n$ строится по такому правилу: $x_0$ и $x_1$ задаются заранее и $x_n=x_{n-1}x_0$ при $n\geq 2$.

С этой трактовкой нет проблем. Поскольку каждый последующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, возникнет обычновенная геометрическая прогрессия: $x_n=x_1x_0^{n-1}$. Последовательности такого типа настолько хорошо изучены, что здесь просто нечего добавить: каждый легко определит не только величины произвольного члена, но и без труда подчитает, например, сумму первых $n$ членов, а то и все последовательности (если $x_0<1$).

Трактовка вторя и, пожалей, самая интересная

Эту трактовку дал всего один целое — к сожалению, не автор этой статьи. Суть ее такова. Каждый раз под произведением бурсак записывает первого цифру этого произведения и производит очередное переложение. Например:

$$9.8=72; 72.7=504; 504.5=2520$$

и т. д.

To есть значение $x_0$ считаем извест-

*) См., например, «Калейдоскоп «Кванта» в № 3 за 1988 год.

33

= 6x₃ = 1296x₀ и 3888 ≤ x₄ < 4200. Это позволяет сделать выход об устойчивости, так как уже известно, что числа из интервалов [3 1/3; 4) и [4; 5) — устойчивы, а предель значений x₄, деленные на 1000, целиком лежат в интервале [3 1/3; 5).

2. x₀ ∈ [3 13/54; 3 1/3). Тогда x₃ = 216x₀ и 700 ≤ x₃ < 720. Следовательно, x₄ = 7x₃ = 1512x₀ и 4900 ≤ x₄ < 5040. Деля на 1000 и учитывая раннее найденные интервалы неустойчивости, получаем: те x₀, для которых 4900 ≤ x₄ < 5000, — устойчивы, а те x₀, для которых 5000 ≤ x₄ < 5040, — неустойчивы. «Граничное» значение x₀ найдется из условия x₄ = 1512x₀ = 5000, откуда x₀ = 3 58/189.

Итак, после долги мук получет третий интервал неустойчивости: [3 58/189; 3 1/3).

Пойдем далее, учитывая, что интервалы [4; 5) и [5; 6) уже рассмотрены.

6 ≤ x₀ < 7. Тогда x₁ = 6x₀ и 36 ≤ ≤ x₁ < 42. Но мы уже определили, что интервал [3,6; 4,2) — устойчив, и поэтому интервал [6; 7) — тоже устойчив.

7 ≤ x₀ < 8. Тогда x₁ = 7x₀ и 49 ≤ x₁ < 56. Здесь «граничным» является такое значение x₀, что x₁ = 7x₀ = 50, т. е. x = 7 1/7. Итак, появился четверый интервал неустойчивости: [7 1/7; 8).

8 ≤ x₀ < 9. Тогда x₁ = 8x₀ и 64 ≤ ≤ x₁ < 72. Здесь «граничное» значение x₀ определяется из условия x₁ = 8x₀ = 7 1/7 · 10, т. е. x₀ = 8 13/14. Возникает пятый интервал неустойчивости: [8 13/14; 9); а интервал [8; 8 13/14) — устойчив.

9 ≤ x₀ < 10. Тогда x₁ = 9x₀ и 81 ≤ ≤ x₁ < 90. Деля на 10, находим «граничное» значение: x₁ = 9x₀ = 8 13/14 · 10, т. е. x₀ = 9 58/63. Последний интервал неустойчивости: [9 58/63; 10), а интервал [9; 9 58/63) — устойчив.

Таким образом, всего имеет 6 интервалов, содержащих неустойчивые числа (эти интервалы изображены на заставке к статуе). Суммарная их «длина» равна примерно 2,53, т. е. около 28 % «длины» всего интервала [1; 10). Как видно, вероятность того, что научд взято число оказется неустойчивым, не так уж мала, хотя, на первый взгляд, казалось, что она должна быть намного меньше.

Тепер «судьба» каждого исходного числа нам ясна, и мы можем сразу сказать, что последовательность, начинаяшаяся, к примеру, числом x₀ = 71428571, на некотором шаге «застынет»; если же x₀ увеличить на 1 (т. е. взять x₀ = 71428572), то последовательность будет растяне неограниченно. Подобные выводы можно делать и для irrationalных чисел. Например, число π = 3,141… — устойчивое, а e = 2,718… — неустойчивое.

Интересно было бы попытать неустойчивые числа и в других системах чисел. Только не в двойной — ведь там неустойчивых чисел вовсе нет (все ненулевые двойные числа имеют первой значений цифровединицу!) Насчет остальных систем чисел автору ничего не известно.

А зачем все это?

И действительно — зачем? Чему автор хотел научить, какие проблемы поднял?

Могу ответить лишь в двух Ноздрева: очень уж интересные подробности открылись! Да и так ли уж обязательно непреемно чем-то учить? Нужна ведь и просто «гимнастика ума», а если она может немного развлечь — тем лучше!

34

Задания

M1146—M1150, Ф1153—Ф1157

M1146. Точка $K$ — середина стороны $AB$ равностороннего треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle MKN=60^\circ$. Доказите, что перimetр треугольника $MCN$ равен половине перimetра треугольника $ABC$.

Э. Г. Готман

M1147. Задано несколько точек, соединенных отрезками двух цепев: некоторые пары точек — головными отрезками, некоторые другие — красьми. Известно, что в любом замкнутом пути, состоящем из нескольких отрезков, число красьх отрезков четно. Доказите, что все точки можно разить на два множества так, что каждой краской отрезок соединяет точки из разных множества, а каждый голубой — точки из одного и того же множества.

M1148. Доказите, что для нецелого $a>1$ (причем $a\neq \sqrt[p]{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа) и натурального $n$ выполняется равенство

$$[\log_a 2]+[\log_a 3]+...+[\log_a n]+[a]+[a^2]+...+[a^k]=nk,$$

где $k=[\log_a n]$ ([x] — целая часть числа $x$).

Р. В. Алексеев, Л. Д. Курляндчик

M1149. На плоскости заданы два луца $p, q$ с вершинами в точках $P$ и $Q$ соответственно. Две окружности — одна с центром на луце $p$, проходящая через точку $P$, и другая с центром на луце $q$, проходящая через $Q$, — касаются друг друга в точке $M$ внешним образом. Найditе множество точки $M$.

В. В. Шабунин

M1150. Доказите, что при любых положительных $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ выполено неравенство

$$\frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{2(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)} \leq \frac{a_1}{a_2+a_3} + \frac{a_2}{a_3+a_4} +...+\frac{a_n}{a_1+a_2}.$$

Е. Г. Моисеев, ученик 10 класса

Ф1153. Жидкий расчет бетана налили в кузов самосвала доверху. Оценить, какая доля растора остanetся в кузове после резкого торможения. Предполагается, что вы хорошо представляется явление, может сами задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно разумные их числовые значения и получить числовой результат.

Г. В. Меледин

Ф1154. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика массой $m$ каждай. Один из кубков приклеен к столу (рис. 1). Кубик отрывается от стола, если к нему приложить горизонтальную силу $F$. Между кубками имеется несовомая свободнаяружина жесткостью $k$. Незакрепленному кубку сообщили скорость $v$. С какими скоростями разлетятся кубики после столковения?

Г. В. Федогович

35

Ф1155. Тяжелый поршень массой $M$ может свободно перемещаться внутри вертикального теплопроводного цилиндра сечением $S$, верхний конец которого закрыт, а нижний открыт в атмосферу (рис. 2). Внутри цилиндра имеет горизонтальная перегородка с маленьким отверстием, отсекающая от атмосферы один mole воздуха, занимающий объем $V$ и имеющий атмосферное давление $p_a$. Поршень, которой вначале прижат силу к перегородке, отпускают. Принимая, что внутренняя энергия газа равна $cT$, найти, на сколько опустится поршень.

Г. Л. Коткин

Ф1156. Два одинаковых электромагнитas $L_1$ и $L_2$ включены последовательно в цепь постоянного тока (рис. 3). С помощью ключа $K_1$ параллельно одному из них может в непроводшем направлении подключится диод $D$. При замкнутом ключе $K_2$ к электромагнитам приятную железная пластинка. Если ключ $K_1$ разомкнут, то при размыкании $K_2$ пластинка отрывается от общих магнитов одновременно и падает, сохраняя горизонтальное положение. Если ключ $K_1$ замкнут, то при размыкании $K_2$ пластинка вначале отрывается от магнита $L_1$, а потом от $L_2$, что приводит к ее вращению. Объяснить различие в поведении пластинки в первом и втором случах.

В. В. Голубев

Ф1157. Имеются два полупрозрачных зеркала, каждое из которых, как показывает измерения, пропускает приблизительно 1/5 часть светового потока, а остальной свет отражает. Если на пути параллельного пучка света установлен оба зеркала так, чтобы их плоскости были перендикularны пучку, то, казалось бы, они должны пропускать 1/25 часть падающего потока света, тогда как на самом деле свет ослабляется не в 25 раз, а заметно меньше (примерно в 10 раз). Объяснить явление.

В. В. Голубев

Решения задач

M1121—M1124, Ф1133—Ф1136

I. Одно из самых бескатростных решений основано на том, чтобы опустить из точки $B$ перендикularы $BH$, $BA_1$, $BC_1$ на прямые $AC$, $AK$, $CK$ (они равны по сообщениям симметрии) и рассмотреть получающие углы с вершиной $B$. Треугольники $KA_1B$ и $KC_1B$ равны, причем $\angle A_1BK = \angle KBC_1$ (их сумма составляет $2\angle B$, поскольку $\angle A_1BA = \angle ABH$, $\angle HBC = \angle CBC_1$). С другой стороны, радиус $OB$ описанной окружности в любом треугольнике $ABC$ составляет также же углы со стороны $AB$ и $BC$, как высота $BH$ со стороны $BC$ и $AC$ соответствено:

$$\angle ABO = |90^\circ - \angle AOB/2| = |90^\circ - \angle C| = \angle HBC,$$
$$\angle CBO = |90^\circ - \angle COB/2| = |90^\circ - \angle A| = \angle HBA.$$

Позотому $\angle A_1BO = \angle OBC_1 = \angle B$, т. е. $OB$ и $KB$ лежат на одной и той же прямой — биссерпсе угла $A_1BC_1$.

36

Трудность в оформлении решения этой задачи заключается в том, что нужно учесть различные возможности случая: 1) $\triangle ABC$ остроугольный; 2) один из углов $A$ или $C$ не меньше $90^\circ$; 3) $\angle B > 90^\circ$ (см. рисунки 1—3; затем, что случай $\angle B = 90^\circ$ невозможен: при этом построенные прямые параллельны). Впрочем, рассуждания во всех случаях аналогичны.

Наметим еще два решения.

II. Угол между прямыми $AK$ и $KC$ дополняет $2\angle B$ до $180^\circ$, точнее

$$\angle A_1KC_1 = 180^\circ - \angle A_1BC_1 = |180^\circ - 2\angle B| = 180^\circ - \angle AOC,$$

позному центр $O$ лежит на окружности, проходящей через $K$, $A$ и $C$, и (поскольку $AO=OC$) делит пополам дуг $AC$. Поэтому $KO$, также как и $KB$, — bicсектриса угла $A_1KC_1$.

Это решение также нуждается во внешательном разборе случая 1—3. Как обычно, свободно от этой трудности решения с геометрическими преобразованиями.

III. Композиция симметричной относительной прямых $AB$ и $BC$, т. е. поворот на угол $2\angle B$ с центром $B$, переводит прямую $AK$ в прямую $KC$. Поворот на тот же угол $2\angle B$ с центром $O$ переводит радиус $OA$ в радиус $OC$, поэтому прямую $AK$ он должен переводить в прямую, проходящую через $C$ и имеющего то же направление, что и $KC$, т. е. в прямую $KC$. Отсюда следует, что точка $O$, также как и $B$, одинаково удалена от прямых $AK$ и $AC$, и обе они лежат на bicсектрисе угла между $AK$ и $KC$.

Н. В. Васильев, В. Н. Дубровский

M1122. Решите систему:

$$(x_3+x_4+x_5)^5=3x_1,$$
$$(x_4+x_5+x_1)^5=3x_2,$$
$$(x_5+x_1+x_2)^5=3x_3,$$
$$(x_1+x_2+x_3)^5=3x_4,$$
$$(x_2+x_3+x_4)^5=3x_5.$$

Ответ: система имеет три решения: $x_2=x_3=x_4=x_5=x_1$, где $x_1=0$, $x_1=1/3$ или $x_1=-1/3$.

Вместе с каждым набором чисел $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$, удовлетворяющим этой системе уравнений, ей удовлетворяют также наборы, полученные циклической перестановкой: $(x_2, x_3, x_4, x_5, x_1), (x_3, x_4, x_5, x_1, x_2)$ и т. д. Поэтому можно предполагать, что $x_1 \geqslant x_i$ ($i=2, 3, 4, 5$).

Воспользовемся тем, что функция $f(x)=x^5/3$ возвращшаяся. При нашем предположении

$$3x_2=(x_4+x_5+x_1)^5 \geqslant (x_3+x_4+x_5)^5=3x_1,$$

откуда $x_2 \geqslant x_1$, т. е. $x_2=x_1$. Затем аналогично из него ввенства

$$3x_3=(x_5+x_1+x_2)^5 \geqslant (x_4+x_5+x_1)^5=3x_2$$

выводится, что $x_3=x_2=x_1$; из него ввенства

$$3x_4=(x_1+x_2+x_3)^5 \geqslant (x_5+x_1+x_2)^5=3x_3$$

следует, что $x_4=x_3$ и, наконец, из ввенства

$$3x_5=(x_2+x_3+x_4)^5=(x_1+x_2+x_3)^5=3x_4$$

получаем $x_5=x_4$.

(Заметим, что можно рассудать и короче: уже из неравастива (1) — зная, что оно обращается в равенство,— мы могли бы заключить, что $x_3=x_1$, а затем из (3), — что $x_5=x_1$.)

37

Итак, все $x_i$ ($i=1, 2, 3, 4, 5$) равны одному и тому же числу $x_1$; для него получаем уравнение $(3x_1)^5=3x_1$, откуда $x_1=0$ или $x_1=1/3^4$, т. е. $x_1=\pm 1/3$.

Л. Тугеску

М1123. Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороны единица. Будем рассматривать ряды клеток, паральные стороны удела («вертикальные» и «горизонтальные» ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

Ответ на этот вопрос положен. Однако из возможных расположений конструкруется индикцией по степеням 2 (рис. 1). Пусть в квадрате $A_n$ размером $2^n \times 2^n$ (на пересечении первых $2^n$ строк и $2^n$ столбцов) расположены числа от 1 до $2^n$ так, что каждое из них встречается по разу в каждой строке и каждой столбце. На рисунке 2 показано, как из $A_n$ изготовливается квадрат $A_{n+1}$ размером $2^{n+1} \times 2^{n+1}$, в котором расположены числа от 1 до $2^{n+1}$ и выполняется то же условие; запись $A_n+2^n$ здесь означает, что ко всем числам квадрата $A_n$ прибавляется $2^n$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Эта задача связана с таким интересным вопросом. Пусть клетки бесконечной шахматной доски, занимающей прямой угол, занутерованы числами 0, 1, 2, … следующим образом: на первой угловой клетке ставится 0, а затем каждой клетке приписывается наименьший номер, не используемый еще для нумерации каких-либо предшествующих клеток, стоящих левее нее на той же горизонтали или ниже — на той же вертикали. Какой номер получит клетка, стояшая на пересечении $i$-й горизонтали и $j$-й вертикали? (Номера приписываются клеткам в порядке возрастания суммы $i+j$; см. задачу 127 в книге А. М. и И. М. Ягломов «Незlementарные задачи в элементарном изложении», М.: 1954, Гостехтеориздат.)

Н. В. Васильев, В. С. Шевелев

M1124. Боковые стороны, диагонали и продолжения оснований трапеции пересекают прямой l в шести точках, т. е. высекают на прямой l пять отрезков. a) Доказите, что если крайние (1-й и 5-й) отрезки равны, то соседние с ним

Пусть прямая l пересекает боковые стороны AB и CD трапеции в точках K и N, диагонали AC и BD — в точках L и M, продолжения оснований AD=a и BC=b — в точках P и Q; PA=x, CQ=y (см. рисунок). Тогда, рассматривая пары подобных треугольников, основания которых лежат на прямых AD и BC, а общей вершиной служебит одна из точек K, L, M или N, получим:

$$\frac{PK}{KQ} = \frac{x}{b+y}, \frac{PN}{NQ} = \frac{x+a}{y}, \frac{PL}{LQ} = \frac{x}{y}, \frac{PM}{MQ} = \frac{x+a}{y+b}.$$

38

(2-й и 4-й) также равны.
6) При каком отношении основанный трапеци можно проводить прямую l так, чтобы все пять отрезков были равны?

Ф1133. В calorimetре медленно остыает расплад исследуемого вещества. Удельная теплота плавления этого вещества (она была определяна в предыдущих опитах) $L = 200$ кДж/кг. По графику зависимости температуры вещества от времени (рис. 1) определяйте удельные тепломкости вещества в тердом и жидком состоянии. Терлоемкость calorimetра пренебречь.

Рис. 1.

a) Если произведение двух отношений (*) равно 1, то
$$\frac{PL}{LQ} \cdot \frac{PM}{MQ} = \frac{x(x+a)}{y(y+b)} = 1, \frac{PL}{LQ} = \frac{MQ}{PM},$$
откуда
$$\frac{PL}{PQ} = \frac{MQ}{PQ}, \quad PL = MQ, \quad KL = MN.$$

6. Четыре отношения (*) равны соответственно 1/4, 4, 2/3 и 3/2 тогда (и только тогда), когда
   $$4x = b + y, \quad 4y = a + x, \quad 2y = 3x, \quad 2(x+a) = 3(y+b).$$
   Если $x = 2d$ и выполнен первый три из этих равенств, то $y = 3d$, $a = 10d$, $b = 5d$. При этом выполнен и четвертое равенство.

Таким образом, нужно примяя существует в том и только в том случае, когда одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Э. Г. Готман

Как видно из рисунка, сначала вещество, находящее в жидком состоянии, охлаждается до температуры плавления, затем в течение 5 минут кристаллизуется без изменения температуры, после чего опять охлаждается, уже в твердом состоянии.

Очевидно, что если температура с течение времени не изменяется (во время кристаллизации), то выделяемая веществом тепловая мощность постоянна. Выразить ее можно, воспользовавшись горизонтальным участком графика:

$$P = \frac{Q}{\tau_{\text{кр}}} = \frac{mL}{\tau_{\text{кр}}}.$$

Продолжив участок графика, соответствующий жидком состоянию (проведя касательную к графику), можно записать (рис. 2):

$$c_{\text{ж}} m \Delta t_{\text{ж}} = P \tau_{\text{ж}},$$
откуда
$$c_{\text{ж}} = \frac{\tau_{\text{ж}}}{\Delta t_{\text{ж}}} \frac{L}{\tau_{\text{кр}}} \approx 8 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}.$$

Аналогично для твердого состояния найдем:

39

$$c_{\text{TB}} = \frac{\tau_{\text{TB}}}{\Delta t_{\text{TB}}} \frac{L}{\tau_{\text{kp}}} \approx 15 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}.$$

Заметим, что касательные мы провели для большей точности, можно было обойтись и без них, использув маленькие кривых, которые примыкают к горизонтом участигу графика.

А. Р. Зильберман

Ф1134. Исследуя новый открытую планету, имеющий форму шара радиусом $R=6400$ км и покрытую по всей поверхности океаном глубиной $H=10$ km из обичной воды, учены установили, чтоускорение свободного падения остается с большой степенью точности неизменным при погружении в океан на различные глубины. Определите по этим данным ускорение свободного падения на планете. Гравитационная постоянная $G=6,67 \times 10^{-11} \text{H} \cdot \text{m}^2/\text{кг}^2$.

Внутри однородной сферы gravitationная сила равна нулю, внешние же тела сфера притягивает так, будто все масса сосредоточена в центре. Расчитаем ускорение свободного падения на глубине $x$ в океане, покрывающем планету.

Рассмотрим сферический слой толщиной $x$, состоящий из воды. Его можно считать составленным из тонких однородных сферических оболочек, каждая из которых внутри себя gravitationной силы не создается. Поэтому gravitationное притяжение свободная содается к притяжению на поверхности шара радиусом $R-x$. Масса этого шара

$$m = M - \frac{4\pi\rho}{3} (R^3 - (R-x)^3),$$

где $M$ — масса всей планеты, $\rho=10^3 \text{kg/m}^3$ — плотность воды. Тогда ускорение свободного падения

$$g = \frac{Gm}{(R-x)^2} = G \frac{M-4\pi\rho(R^3-(R-x)^3)/3}{(R-x)^2}.$$

Отметим, что это выражение справедливо лишь для малых, по сравнению с $R$, $x$ — ведь не вся планета состоит из воды. Поэтому на графиках, изображающих зависимость $g$ от $x$ (см. рисунок), только начальные участки в окруженной полосе описываются полученной формулой. Проанализируем полученное выражение. При достижении большей массе планеты $M$ ускорение $g$ при погружении взрастает. При достижении малых массах ускорение сразу же начинает падать. Существует граничная масса, выше которой ускорение растет, а ниже — падает. Значение этой граничной массы и соответствует слузаю, когда в близи поверхности океана $g$ меняется меньше всего, т. е. остается почти постоянным.

Теперь проведем расчеты. Ускорение $g_0=GM/R^2$ на поверхности океана в случае gravitationной массы «почти» равно ускорению $g$ на малых глубинах $x$, а их отношение «почти» равно единице:

$$\frac{g}{g_0} = \frac{1-4\pi\rho R^3(1-(1-x/R)^3)}{(1-x/R)^2} \approx 1.$$

Смысл этого «почти» в том, что нужно учесть первую степень малой величины $x/R$ и пренебречь второй и третьей степени. Тогда предыдущее выражение сведется к равенству

(Продолжение см. на с. 42)

40

… мы имеем серверные основания
сделать заkillочение,
но сам по себе свет…
возмущем и форме волни…
Дж. K. Макселли

Вопрос и задачи

А так ли хорошо знакомы нам
СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ

?

История утверждения волновой теории счета драматична и увлекательна. Последствованная до конца XVIII века корpusкулярная теория оказалась не способной объяснять явление явные к интегральной линеки, меняя полного полинную неожиданную величину на волна на распространение других

веке XIX. Уснеж волновой опитки были огромны, они позволили составить более глубокое представление о природе счета, увеличившее слияние теории счета и теории электронная.

Волновая теория не охватывает всего многообразия проявлений счета.
Одинко когда разговор идет о диффракиции и интегрании, дисперсии и поляризации, без нее не обойти

42

$$\frac{1 - 4\pi\rho R^2 x/M}{1 - 2x/R} = 1,$$

или

$$1 - \frac{4\pi\rho R^2}{M} x = 1 - \frac{2x}{R}.$$

Отсюда, приравнивая коэффициенты при $x$, имеем

$$M = 2\pi R^3\rho = 1,6 \cdot 10^{24} \text{ кг},$$

$$g_0 = \frac{GM}{R^2} = 2,6 \text{ м/c}^2.$$

В заключение подумайте сами, будет расти или уменеться ускорение свободного падения при погружении в океан на Земле.

И. И. Воробьев

Ф1135. Горизонтальная площадка с лежащей на ней монетой совершает кругловое поступательное движение в горизонтальной плоскости так, что все ее точки описывают окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\omega$. Коэффициент треня между монетой и площадкой $\mu$. Каким будет установившееся движение монеты? Какой след «вычерчивает》 она на площадке?

Общий характер установленшего движения монетыле лучше всего уяснить из сообщений симметрии. При круговом поступательном движении горизонтальной площадки все ее точки и все направления в горизонтальной плоскости физически эквивалентны. Поэтому, какими бы ни были начальные условия при установившемся режиме в неподвижной (лабораторной) инерционной системе отчета, монета будет двигаться по окружности поступательно (без вращения) и с той же угловой скоростью $\omega$, что и площадка. От начальных условий зависит только положение центра этой окружности. Любая другая мыслиная траектория таким свойством — отсутствием выделенных направлений — не обладает.

Сообщения симметрии позволяют сделать еще один вывод: относительно площадки (т. е. движущейся неперцоальный системы отчета) монета, если она проскальзывает, тоже движется по окружности.

Тепер, когда мы представляем себе характер движения монеты, остается только найти радиус окружностей, вычерчиваемых монетом в той и другой системе отчета.

В горизонтальной плоскости на монете действует единственная сила — сила треня со стороны площадки. Рассмотрим сначала с площадкой, т. е. не просkalзывает. При этом в инерционной системе отчета монета движется по окружности радиусом $R$ с ускорением $\omega^2 R$, направленный к центру этой окружности. Так как это ускорение сообщается монете слиной треня покоя, модель которого не может превышать значения $\mu m$, то движение вместе с площадкой (без просkalзывания) будет проискодить при условии $\omega^2 R \leq \mu g$, т. е. при $\omega^2 R / (\mu g) \leq 1$.

При значениях безразмерного параметра $\omega^2 R / (\mu g)$, превосходящих единицу (т. е. при достаточно большой угловой скорости $\omega$, или большом радиусом $R$, или малом

44

Движной системе отчета (окружность радиусом $r$) и след, который монета вычерчивает на движущейся площадке (окружность радиусом $\rho$). Если в неподвижной системе отчета монета движется против часовой стрелки (как и площадка), то относительно площадки ее движение происходит по часовой стрелке. При «быстром» движении площадки, когда $\omega^2 R/(\mu g) \gg 1$, монета в неподвижной системе отчета практически стоит на месте $(r \ll R)$, а площадка под ней описывает круги радиусом $R$, так что $\rho \approx R$. При «медленном» движении площадки, когда $\omega^2 R/(\mu g) \gtrsim 1$, монета почти не отстает от площадки, описывая в неподвижной системе отчета круги почти такого же радиуса: $r \approx R$, так что $\rho \rightarrow 0$.

Е. И. Бутиков

Ф1136. В схеме, приведенной на рисунке 1, амператоры показывают точки 0,2 А и 0,3 А. После того как два резистора в схеме помещали местами, показания амператоров не изменились. Какой ток чечет через батарею? Считать напряжение батареи неизменным. Сопротивления амператоров претензиймо малы.

В исходной схеме напряжение на каждом резисторе одно и то же. Раз после перестановки резисторов показания амператоров не изменились, значит, сопротивления переставленных резисторов одинаковы.

Рассмотрим два возможных варианта перестановки среднего резистора и одного из крайних (рис. 2):

$$R_1 = R_2 \text{ и } R_2 = R_3.$$

Вариант $R_1 = R_3$, т. е. перестановка крайних резисторов, невозможен, так как иначе амператоры изначально должны быть бы показывать одинаковые точки.

Итак (см. рис. 2):

Рис. 1. Рис. 2.

1. $R_1 = R_2 \Rightarrow I_1 = I_2 = \frac{I_1 + I_2}{2} = 0,1 \text{ A},$
   $$I_{6ат1} = I_1 + (I_2 + I_3) = 0,1 \text{ A} + 0,3 \text{ A} = 0,4 \text{ A}.$$

2. $R_2 = R_3 \Rightarrow I_2 = I_3 = \frac{I_2 + I_3}{2} = 0,15 \text{ A},$
   $$I_{6ат2} = I_3 + (I_1 + I_2) = 0,15 \text{ A} + 0,2 \text{ A} = 0,35 \text{ A}.$$

А. Р. Зильберман

45

«Союз» открывает Турнир

Кажды́й исследователь Вселенной проходит свой путь к звездам. Всегоозное аэрокосмическое общество «Союз» предладает начать этот путь с участия в Турипре коньх исследователей космоса. Подобные турипры (по по физике) проводятся Московским университетом уже более десяти лет. И всегда они проходят необычно и увлекательно. Нтак, Турип начинается…

Задания заочного коллективного конкурса
Условия задач сформированы максимальное кратко. Вам самим следует сделать необходимые допущения и обоснованные процеси, выбрать модель для описания данного явления и алгоритм решения задачи, исследовать полученные результаты.

1. Часы. Вы посетили некуло планету и собираете вернуться на нее через десять тысяч или даже миллион лет. Какие часы вы оставите на этой планете, чтобы точно изменить время вашего отсутствия на планете?

2. Коррекция орбиты. Спутник массой 50 тонн движется по круговой орбите на высоте 200 км над поверхностью Земли. Как изменяется параметры его орбиты, если дивгелели спутника сообщат ему дополнительный импульс $10^4$ кг·м/c

a) вдоль траектории полета?

b) перpendикулярно траектории в плоскости орбиты?

b) перpendикулярно плоскости орбиты?

3. Затраты на коррекцию. Какую минимальную работу должны совершить дивгелели спутника для того, чтобы повернуть плоскость траектории на угол (и?

4. Связанные спутники. Необходимо, чтобы два спутника массами 10 и 50 тонн были расположены на одной прямой с центром Земли. Предложите наиболье экономичный способ поддержания такой ориентации спутников, если расстояние между спутниками

a) 100 метров,
b) 10 километров.

5. Рыбалка со спутника. Можно ли со Staционарно спутника спустить на тросике зонд на поверхность Земли или хотя бы до плотных слоев атмосферы?

6. Меторитная защита. Разработайте систему защиты космического корабля от микрометеритов и meteoritов средних размеров. Если ваш система не сравотала, то сколько времени имеет у космонавта для обнаружения и задаки ответствия диаметром 1 мм, пробитого meteorитом в общивке корабля?

7. Черная дыра. Как заменить, что ваш космический корабль приближается к черной дыре, и как избежать такой непритятой встречи?

8. Комета. Представьте себе, что ледная комета массой $10^{15}$ кг может через несколько лет превысть в Землю. Разработайте проект предотвращения катастрофы.

9. Астронавт. На какую максимальную дальность путешествия может расчитывать астронавт

a) при современном уровне развития техники?

6. в дальнейом будущеем, когда практические все технические трудности будут предоленены?

10. Космический эксперимент. Пусть в состав экпедицини на Марс восем человек. Как бы вы распределяли обязанности в такой коллективе? Как избежать конфликтных ситуаций в течение перелета Земля — Марс — Земля?

11. Видеосюжет. Предложите сценарий для 5—10 минутного научного или учебного видафильма, который будет отсутств в космической лаборатории.

12. Великое противостояние. Вооружившись телекопом и другими физическими приборами, вы можете наладить систематические наблюдения Марса. Поделитесь с нами вашими наблюдениями.

13. Гравитационное ускорение. Обосновайте способ использования гранитного поля планет для разгона космического корабля. В каком году и какого числа вы предложили бы начать полет зонд к граниам Солнечной системы, если для ускорения решения использовать Марс? Стартовая скорость зonda 15 km/c.

14. Атмосфера Луны. Представьте, что вам удалось на Луне атмосферу земного состав. Опишите ее параметры и свойства. Как быстро она будет «худеть» и как сохранить такую атмосферу?

15. Футбол на Луне. Возможно, в будущеем Луне станет излобленным местом отдыxa земля. К сожалению, любительей футболаждет разочарование. Предложите подвижную игру для отдельных на Луне, не уступающую по увлекательности футболу.

(Окончание см. на c. 61)

46

Задания

1. Иногда продавцы, принимая меловь, взвешивает ее. Однако продацу для 50 рублей монетами по 15 и 20 копеек. Их общая масса оказалась равной 800 г. Сколько было монет? (Пятнадцатикопеечная монета (пятнадцатный) весит 2,5 г, а двадцатикопеечная (двугривенный) — 3 г.)
2. Расставьте числа от 1 до 8 в кружки фигуры, изображенной на рисунке, так, чтобы сумма чисел на каждой okружности была одной и той же.
3. Мы с сыном каталогсь в лодке по озеру. В воде отражался прибрежный лес. Сын сказал: «Давай надем на отражение, я хочу, чтобы оно оказалось у меня под ногами». Мы попробовали сделать это, но отражение «убежало» от нас. Почему?
4. В газете «Советский спорт» (3.V.1987) была опубликована промежуточная таблица одного футбольного турира:

| | Игры | Побед | Ничных | Пораж. | Разн. мяч. | Очки |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Венгрия | 2 | 2 | 0 | 0 | 4—1 | 4 |
| Швеция | 2 | 1 | 1 | 0 | 1—1 | 3 |
| Испания | 2 | 0 | 2 | 0 | 3—3 | 2 |
| Ирландия | 3 | 0 | 1 | 2 | 3—5 | 1 |
| Франция | 1 | 0 | 0 | 1 | 0—2 | 0 |

Докажите, что в таблице имеется ошибка, и, зная, что ошибка одна, исправьте ее и укажите результаты сыгранных матчей.

5. Точку пересечения средних линей выпukлого четырехугольника соединия с его вершинами (см. рисунок). Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих треугольников.

Эти задания нам предложили А. В. Богомольная, Н. И. Абилов, Г. А. Гальперин, А. Ф. Колан, В. В. Произвольов.

47

АРИФМЕТИКА
ПЕСОЧНЫХ ЧАСОВ

Кандидат физико-математических наук
С. В. ДВОРЯНИНОВ,
кандидат физико-математических наук
А. П. САВИН

За свою историю человек изобрел множество видов часов: солнечные, огненые, водыные, песочные, механические, электрические, электронные, атомные…

Солнечные часы теперь можно встреть на заданиях как украшение. Об огненых часов напоминают свечи на новогодних.elках.
Водяные и песочные часы заявляются о себе в восклизации: ваше время истекло! Правда, кое-где в процессе кабинетах поликлиник еще сохранились песочные часы на 3, 5 и 10 минут. Но и там они не могут составить конкуренцию электрическим и электронным таймером, которые вытесяют эти изобретения тысячелетней давности, как ЭВМ и микрокалькуляторы вытесяют конторские счеты и арифметры.

Но все-tаки давайте поразмышляем немного о песочных часов — стеклянном баллоннике с перетянутой посиному талей (рис. 1), через которого из одной половинки часов в другую пересыпается мелкий прокаленный песок.

Если это — трехминутные часы, то песок пересыпается за три минуты. Если их тут же перевернуть, то можно отмерить 6 минут. Если раз перевернуть их в момент полного пересыпания песка, можно дождаться окончания девятиминутного интервала. Понятно, что таким образом можно отмерить любое целое число минут, кратное trem.

Ну а если у нас есть пара песочных часов — трехминутные и пятминутные, — то мы сможем еще отмерть время, кратное 5 минутам. Таким образом, мы можем отмерить 3, 5, 6, 10 минут… Кроме того, можно отмерить и 8 минут: сначала отсчита-

таем 5 минут на один часах, а потом 3 минуты на других. А 11 минут? Тоже можно, потому что 11=2·3+5. И 12 минут отмерить можно, так как 12=4·3. Проверьте, что можно отмерить и 13, и 14, и 15 минут.

А может быть, мы сможем отмерять любое целое число минут, большее 7? Конечно же! Если мы уменьшем отмерять 8, 9 и 10 минут, то, добавляя по 3 минуты, получим 11, 12 и 13 минут, добавляя еще по 3 минуты, получим 14, 15 и 16 минут и т. д.

Заметим, что заодно мы показали, что всяку сумму в целое число рублей, большею семи рублей, можно упласть купiopами достоинством в 3 и 5 рублей. На бумажных деньах доказательство можно проведети и инчете.

Пусть мы можем упласть некоторое число рублей, большее семи; показем, что в таком случае мы можем упласть сумму и на 1 рублей большею. Отсюда — как говорят, по индекции — и будет следовать наше утверждение.

Рис. 1.

48

Действительно, если в имеющейся сумме есть купора в 5 рублей, то, заменив ее двумя «трешками», мы увеличим сумму на 1 рублей. Если же в сумме нет ни одной «пятерки», то там не менее трех «трешек» (сумма больше семи). Заменив три «трешки» двумя «пятерками», мы и в этом случае увеличим сумму на 1 рублей. Доказательство окончено.

Но вернемся к песочным часам. Если у нас на руках только пятиминутные и десятиминутные часы, то, как нетрудно понять, с их помощью мы сможем отмерять только промежутки времени, кратные 5 минутам. И вообше, если у нас есть $k$-минутные и $m$-минутные песочные часы, то время, отмеренное с их помощью, будет кратно НОД $(k, m)$ — наиболее общему делитель чисел $k$ и $m$. Числа 3 и 5 взаимно просты, их наиболее общий делитель равен 1; числа 3 и 10 тоже взаимно просты. Оказывается, что с помощью трехминутных и десятиминутных песочных часов можно отмерить любое число минут, больше семнадцати. Действительно, $18=6 \cdot 3, 19=10+3 \cdot 3, 20=2 \cdot 10$. А дальше, как и предше, добавляем нужное число трехминутные интервалы.

Ну а в обшем случае? Оказывается, что если числа $k$ и $m$ взаимно просты, то при помощи $k$-минутных и $m$-минутных часов можно отмерить любое количество минут, больше $km-k-m$. Заметим, кстати, что $3 \cdot 5-3-5=7$, а $3 \cdot 10-3-10=17$, т. е. трехминутными и пятиминутными часами можно отмерить любой целочисленный интервал времени, больше семнадцати минут; а трехминутами и десятиминутными часами — любой целочисленный интервал времени, больше семнадцати минут, что мы и видели раньше.

Докажем, чторовно $km-k-m$ минут с помощью $k$-минутных и $m$-минутных часов при взаимно простых числах $k$ и $m$ отмерить нельзя. В самом деле, пусты мы смогли это сделать, «запуская» $k$-минутные часы $x$ раз, а $m$-минутные — $y$ раз. Тогда $km-k-m=xk+ym$, или $k(x+1)=m(k-1-y)$. Так как $k$ и $m$ взаимно просты, число $k-1-y$ должно делиться на $k$ (причем $k-1-y>0$). Но $k-1-y<k$. Получили протиоречие.

Таким образом, мы доказали, что, с помощью трехминутных и пятиминутных песочных часов необходимо отмерить промежуток времени в 7 минут. А теперь совершим необходимое — отмерим 7 минут с помощью этих часов! А как же нашей dokазательство? Dokазательство верно, но лишь при том предположении, что очередной пуск часов проискодит после полного пересыпания песка у работавших до этого часов. Это предположение естественно для одинх часов, поскольку с их помощью мы не можем отмечать промежутки времени, меньше того, на котором эти часы расчитаны. Но, имея две часы, мы получаем новые возможности.

Запустим одновременное трехминутные и пятиминутные часы. В том момент, когда на трехминутных часах упадет вниз последняя песинка, остановим пятиминутные часы. Следать это очень просто — стоит ли попытаться их набок (рис. 2). Телер пятиминутные часы «настроены» на 2 минуты, т. е. с их помощью мы можем отмерить две минуты, а значит, и 7 минут: $7=2+5$.

Итак, с помощью трехминутных и пятиминутных часов мы можем отмерять промежутки времени в 2, 3, 5, 6, 7, 8 и любое больше число минут. Остальные нейсными промежутками в 1 и 4 минуты. может быть, их тоже можно отмерить? Конечно. «Запустим» наши часы одновременно. В том момент, когда на трехминутных часах истечет песок, перевориваем их и, тем самым, начинаем новую трехминутку, но превем ее в тот момент, когда вторые часы отмерят свои 5 минут. Ostановленные трехминутные часы оказутся «настроены» на 1 минуту $(2 \cdot 3-5=1)$. Получить теперь 4 минуты не представляется труда, поскольку $4=1+3$.

Попробуйте теперь самостояльно с помощью трехминутных и десятиминутных часов получить все целые

49

Промежутки времени от 1 до 17 минут.
Почему мы уверены в том, что это можно сделать? Дело в том, что имеет место следующая теорема:
Если k и m — взаимно простые числа, то для любого целого числа n можно подобрать также целые числа x и y, что xk+ym=n. Какое отношение к песочным часам имеет эта теорема? Самое прямое. Из нее следует, что при наличии k-minутных и m-minутных часов можно отмерить любое целое число минут, если числа k и m взаимно просты. Действительно, если мы хотим отмерить n минут, то найдем числа x и y, удовлетворяющие этому уравнению. Теперь в случае, когда оба эти числа положительные, сначала отмерем xk минут с помощью k-minутных часов, а потом еще ym минут с помощью m-minутных. Если же одно из них, например y, отрицательно, то запускаем одновременное те и другие часы, переворачиваем свое время те часы, из которых высыпался песок, и в тот момент, когда m-minутные часы отчитывают свои (-ym) минут (y<0!), останавливаем k-minутные часы. Теперь, чтобы отчитать n минут, следует запустить k-minутные часы и поддерживать их в работешем состоянии до тех пор, пока они не закончат отчитет xk минут.

Таким образом, запущенные после остановки k-minутные часы отчитают xk-(−y)m=xk+ym=n минут.

No как найти решение уравнения xk+ym=n? Оказывается, достаточно научиться решать уравнение xk+ym=1: если x=a, y=b — решение этого уравнения, то x=na, y=nb — решение уравнения xk+ym=n.

Да, но как найти какое-нибудь решение уравнения xk+ym=1? Способов довольного много, опишем самый простой, но, наверное, не самый короткий.

Запишем это уравнение в виде y=(1−xk):m и будем придавать числу x значения 0, 1, 2, …, m−1. Покажем, что если k и m взаимно просты, то при одном из этих значений число (1−xk):m будет целым. Найдем отделения на m чисел 1−0·k, 1−1·k, …, 1−(m−1)·k. Они попарно различны, либо в противном случае число (1−x1k)−(1−x2k)=(x2−x1)k делилось бы на m, а значит, и x2−x1 делилось бы на m (k и m взаимно просты!), что невозможно, так как x2−x1<m. Итак, при некоторых значениях x остаток равен нулю; следовательно, число y=(1−kx):m является целым. Эти x и y и составляют искомое решение уравнения xk+ym=1.

Вниманию подписчиков!

В настоящее время количество страниц в нашем журнале увеличивается на 25%, что позволяет нам открыть ряд новых рубрик.

Для компенсации расходов по уведомлению объема журнала

ла цена каждой номера увеличивается на 5 копеек. Новая цена журнала — 45 копеек. К сожалению, решение об уведомлении объема и стоимость журнала было утверждено после выпуска каталога «Союзпечати» и начала подписки на 1989 год. Если вы уже оформили подписку, просим вас в соответствиицем отделении «Союзпечати» про-

извести доплату по 5 копеек за каждой номер.

Для тех, кто не успел подписаться на «Квант» с начала года, напоминаем, что подписка на него принимается без ограничений в агентствах «Союзпечати», на почтамах и в отделениях связи. Индекс журнала «Квант» в каталоге «Союзпечати» 70465.

50

Математика 8—10

Геометрические преобразования

Часть I: Движения

Публикуемая заметка адресована восемиклассикам, однako она, несомненно, будет полезна девятиклассикам и десятиклассикам, готовыми к современным на олимпiadах или к поступлению в buses.

Э. Г. ГОТМАН

Преобразования плоскости — движения и подобия — во многих случаях позволяют экономно и изящно решать геометрические задачи. В последние два года «Квант» дважды обращался к этой теме (см. № 12 за 1986 г. и № 8 за 1987 г.). Разумеется, мы не предполагаем у читателя знакомства с этим статями и снача-la изложим необходимые для решения задач теоретические сведения.

Напомним основные определения.

Движение — это преобразование плоскости, при котором расстояние между образами любых двух точками равно расстоянию между этих точками. Выделим три специальных вида движения.

Поворот вокруг точки O на угол α — это преобразование, при котором точка O переходит в себя, а произвольная точка A, отличная от O, переходит в такую точку A’, что OA’=OA и угол между OA и лучом OA’, отсутствия в направлении против часовой стрелки, равен α. Подчеркием, что у нас поворот — это всегда поворот против часовой стрелки; скажем, поворот на 30° по часовой стрелке — это для нас поворот на 330°.

Паралельный перенос на вектор α — это преобразование, при котором произвольная точка A переходит в та-

51

кую точку $A'$, что вектор $\overline{AA'}$ равен $\bar{a}$.

Освая симметрия с осью $l$ — это преобразование, при котором произвольная точка $A$ переходит в точку $A'$, симметрично $A$ относительно прямой $l$. Точки самой прямой $l$ остаются при этом преобразования неодвижными.

Очевидно, поворот вокруг точки, параллельный перенос и освая симметрия сохраняет расстояния между точками и, следовательно, является движением. Центральную симметрию мы не виделием в отдельный вид движения: это частный случай поворота — поворот вокруг симметрины на $180^\circ$.

Мы будем пользоваться следующими обозначениями: $R_O^a$ — поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$, $T_a$ — параллельный перенос на вектор $a$, $S_l$ — освая симметрия с осью $l$. Через $E$ мы обозначаем точдействие преобразование (при котором все точки переходит в себя). Например, параллельный перенос на нулевой вектор есть точдействие преобразование: $T_0 = E$. Равным образом поворот (вокруг любой точки) на $360^\circ$ возвращает все точки в исходное положение: $R_O^{360^\circ} = E$. Добавим к этому, что всегда $R_O^{a+360^\circ} = R_O^a$, поэтому углы поворота целесообразно задавать с точностью до $360^\circ$. Объчно в записи $R_O^a$ предполагается, что $0 \leqslant \alpha < 360^\circ$.

Очевидно, что при любом движении симметрины.conправленные лучи переходит в симправленные лучи. Ясно также, что при любом параллельном перенос произвольный луч переходит в симправленный с ним луч. По-другому дело обстоит при повороте.

Теорема 1. При повороте угол между произвольным лучом и его образом равен углу поворота.

Доказательство. В частном случае, когда начало данного луча совпадает с центром $O$ поворота, это утверждение очевидно. Если начало данного луча $k$ отлично от $O$, то из точки $O$ проведем луч $h$, симправленный с лучом $k$ (рис. 1). Так как любое движение преводит симправленные лучи в симправленные, то образы $k'$ и $h'$ лучей $k$ и $h$ тоже

Рис. 1.

сонаправлены. Следовательно, угол между $k$ и $k'$ равен углу между $h$ и $h'$, т. е. равен углу поворота.

Уже эта простая теорема может эффективно использовать при решении задач.

Упражнения

1. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ все его построены равносторонние треугольники $ACB_1$ и $BCA_1$. Доказите, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ равны. Найдите величины угла между прямыми $AA_1$ и $BB_1$.

Указание. Убедитесь, что с помощью поворота вектор точки $C$ на $60^\circ$ отрезок $B_1B$ можно совместить с отрезком $AA_1$ (треугольник $ABC$ считается положительно ориентированным *).

2. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ все его построены квадраты $ACA_1A_2$ и $BCB_1B_2$. Доказите, что а) отрезки $AB_1$ и $A_1B$ равны и перпендикулярны; б) центры построенных квадратов и середины отрезков $AB$ и $A_1B_1$ являются вершинами треугольника $A'B'C'$. В противном случае

*) Номинным, что треугольник $ABC$ считается положительно ориентированным, если обход его вершин в порядке $A, B, C$ происходит против часовой стрелки, и отрицательно ориентированным в противном случае. (Не лишнее заметить, что треугольники $ABC$ и $ACB$, которые геометриски не отличаются друг от друга, ориентированны противоположным образом.)